Aula 04: Resolvedores LP - Otimização Linear e Inteira€¦ · 6 / 35 Túlio Toffolo –...

Aula 04: Resolvedores LPOtimização Linear e Inteira

Túlio A. M. Toffolohttp://www.toffolo.com.br

BCC464/PCC174 –2018/2Departamento de Computação –UFOP

http://www.toffolo.com.br

Previously...

Aula Anterior:

Algoritmo Simplex (Parte 2)

Exemplos de Modelagem

2 / 35 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 04: Resolvedores LP

Aula de Hoje

1 Exercício 1: Método Simplex

2 Exercício 2: Modelagem

3 Formato LP

4 Aula Prática


Método Simplex

Exercício1 Resolva, usando o método Simplex (passo-a-passo):

min. 300x1+ 280x2

s.a. 70x1+ 50x2 ≥ 350

50x1+ 80x2 ≥ 400

x1 ≥ 2

x1, x2 ≥ 0


Método Simplex

Exercício1 Resolva, usando o método Simplex (passo-a-passo):

min. 300x1+ 280x2

s.a. 7x1+ 5x2 ≥ 35

5x1+ 8x2 ≥ 40

x1 ≥ 2

x1, x2 ≥ 0


O Algoritmo Simplex

Passo 1 Converta o PL para a Forma Padrão.

Passo 2 Obtenha uma Solução Básica Factível (se possível) daForma Padrão.

Passo 3 Teste de Otimalidade: Determine se a Solução Básica éÓtima. Se Ótima PARE.

Passo 4 Caso não seja ótima -Mudança de Base: determine:

qual variável não básica irá entrar na base, com o intuitode melhorar a função objetivo;

qual variável básica irá sair da base.

Passo 5 Utilize as operações elementares para computar a NovaSolução Básica e volte para o Passo 3.


Passo 1

Passo 1: Colocar na forma padrão:

min. 300x1+ 280x2

s.a. 7x1+ 5x2−x3 = 35

5x1+ 8x2 −x4 = 40

x1 −x5 = 2


Passo 2

Passo 2: Obter uma Solução Básica Factível (SBF) inicial:

Infelizmente a obtenção de uma solução inicial não é trivial

Motivo: as variáveis de folga (que aparecem em apenas umarestrição) não permitem uma SBF trivial (exemplo: x3 = −35 não épossível uma vez que x3 ≥ 0)

O que fazer?

Uma opção é aplicar o Método de Duas Fases


Método de Duas Fases

Passo 2: Obter uma Solução Básica Factível (SBF) inicial

O Método de Duas Fases é aplicado:

Variáveis artificiais são adicionadas para que seja trivial gerar umaSolução Básica Factível (SBF).

Em seguida, um novo problema é resolvido cujo objetivo é minimizar ovalor das variáveis artificiais, ou seja: desaparecer com elas.

min. +a1+a2+a3

s.a. 7x1+ 5x2−x3 +a1 =35

5x1+ 8x2 −x4 +a2 =40

x1 −x5 +a3 = 2

Agora temos que resolver o problema acima!


Passos 2.1 e 2.2

Passo 2.1 (Método de Duas Fases): Colocar na forma padrão

Não é necessário pois o problema já está na forma padrão.

Passo 2.2 (Método de Duas Fases): Encontrar uma SBF inicialTrivial: a1 = 35, a2 = 40 e a3 = 2.

L0 : + a1 + a2 + a3 = 0

L1 : 7x1 + 5x2 − x3 + a1 = 35 a1 = 35

L2 : 5x1 + 8x2 − x4 + a2 = 40 a2 = 40

L3 : x1 − x5 + a3 = 2 a3 = 2

Vamos montar o tableau:

a1, a2 e a3 devem ter coeficiente 0 na função objetivo:

Logo: L0 ← L0 − L1 − L2 − L3


Passos 2.3 e 2.4

Passo 2.3 (Método de Duas Fases): Teste de otimalidade

A solução não é ótima, pois há variáveis com custo reduzidonegativo (e trata-se de um problema de minimização):

x1 x2 x3 x4 x5 a1 a2 a3

L0 : −13 −13 +1 +1 +1 = −77 z = −77

L1 : +7 +5 −1 +1 = 35 a1 = 35

L2 : +5 +8 −1 +1 = 40 a2 = 40

L3 : +1 −1 +1 = 2 a3 = 2

Passo 2.4 (Método de Duas Fases): Mudança de Base

Quem entra na base? x1

Quem sairá da base? a3, pois a linha L3 será a linha pivô (é a linhaque mais limita o valor de x1)


Passos 2.5

Passo 2.5 (Método de Duas Fases): Computar Nova Solução Básica

Temos que atualizar o tableau

x1 x2 x3 x4 x5 a1 a2 a3

L0 : −13 −13 +1 +1 +1 = −77 z = −77

L1 : +7 +5 −1 +1 = 35 a1 = 35

L2 : +5 +8 −1 +1 = 40 a2 = 40

L3 : +1 −1 +1 = 2 a3 = 2

x1 entra base na linha pivô L3 (linha que mais limita seu valor), logo:

L3 ← L3 (x1 já tinha coeficiente 1) logo: x1 = 2

x1 x2 x3 x4 x5 a1 a2 a3

L3 : +1 −1 +1 = 2 x1 = 2


Passos 2.5


Atualizamos as demais linhas para que x1 tenha coeficiente zero:

L0 ← L0 + 13L3

L1 ← L1 − 7L3

L2 ← L2 − 5L3

x1 x2 x3 x4 x5 a1 a2 a3

L0 : −13 +1 +1 −12 +13 = −51 z = −51

L1 : +5 −1 +7 +1 −7 = 21 a1 = 21

L2 : +8 −1 +5 +1 −5 = 30 a2 = 30

L3 : +1 −1 +1 = 2 x1 = 2

Agora voltamos ao passo 2.3...


Passos 2.3 e 2.4


A solução ainda não é ótima, pois ainda há variáveis com custoreduzido negativo (e trata-se de um problema de minimização):

x1 x2 x3 x4 x5 a1 a2 a3

L0 : −13 +1 +1 −12 +13 = −51 z = −51

L1 : +5 −1 +7 +1 −7 = 21 a1 = 21

L2 : +8 −1 +5 +1 −5 = 30 a2 = 30

L3 : +1 −1 +1 = 2 x1 = 2





Passos 2.5



x1 x2 x3 x4 x5 a1 a2 a3

L0 : −13 +1 +1 −12 +13 = 67 z = 67

L1 : +5 −1 +7 +1 −7 = 21 a1 = 21

L2 : +8 −1 +5 +1 −5 = 30 a2 = 30

L3 : +1 −1 +1 = 2 x1 = 2


L2 ← L2 ÷ 8, e portanto x2 =308

x1 x2 x3 x4 x5 a1 a2 a3

L2 : +1 − 18

+ 58

+ 18

− 58

= 308

x2 = 308


Passos 2.5



L0 ← L0 + 13L2

L1 ← L1 − 5L2

x1 x2 x3 x4 x5 a1 a2 a3

L0 : +1 − 58

− 318

+ 138

+ 398

= 0 z = 0

L1 : −1 + 58

+ 318

+1 − 58

− 318

= 188

x5 = 188

L2 : +1 − 18

+ 58

+ 18

− 58

= 308

x2 = 308

L3 : +1 −1 +1 = 2 x1 = 2

Agora repetimos o ’loop’ e voltamos ao passo 2.3...


Passos 2.3 e 2.4


A solução ainda não é ótima, pois ainda há variáveis com custoreduzido negativo (e trata-se de um problema de minimização):

x1 x2 x3 x4 x5 a1 a2 a3

L0 : +1 − 58

− 318

+ 138

+ 398

= − 188

z = − 188

L1 : −1 + 58

+ 318

+1 − 58

− 318

= 188

x5 = 188

L2 : +1 − 18

+ 58

+ 18

− 58

= 308

x2 = 308

L3 : +1 −1 +1 = 2 x1 = 2





Passos 2.5



x1 x2 x3 x4 x5 a1 a2 a3

L0 : +1 − 58

− 318

+ 138

+ 398

= − 188

z = − 188

L1 : −1 + 58

+ 318

+1 − 58

− 318

= 188

a1 = 188

L2 : +1 − 18

+ 58

+ 18

− 58

= 308

x2 = 308

L3 : +1 −1 +1 = 2 x1 = 2


L1 ← L1 × 831 , e portanto x5 =

1831

x1 x2 x3 x4 x5 a1 a2 a3

L1 : − 831

+ 531

+1 + 831

− 531

−1 = 1831

x5 = 1831


Passos 2.5



L0 ← L0 + 31L1 ÷ 8

L2 ← L2 − 5L1 ÷ 8

L3 ← L3 + L1

x1 x2 x3 x4 x5 a1 a2 a3

L0 : +1 +1 +1 = 0 z = 0

L1 : − 831

+ 531

+1 + 831

− 531

−1 = 1831

x5 = 1831

L2 : +1 + 531

− 731

− 531

+ 731

= 10531

x2 = 10531

L3 : +1 − 831

+ 531

831

− 531

= 8031

x1 = 8031

Agora repetimos o ’loop’ e voltamos ao passo 2.3...


Passo 2.3


A solução ainda é ótima (considerando o problema artificial daprimeira fase) e, portanto, encontramos uma SBF inicial

x1 =8031 , x2 = 105

31 e x5 =1831

Como encontramos uma SBF, removemos as variáveis artificiais doproblema e voltamos à função objetivo do problema original:

x1 x2 x3 x4 x5

L0 : +300 +280

L1 : − 831

+ 531

+1 = 1831

x5 = 1831

L2 : +1 + 531

− 731

= 10531

x2 = 10531

L3 : +1 − 831

+ 531

= 8031

x1 = 8031


Passo 3

Primeiro atualizamos a linha L0 para que as variáveis básicas (x1, x2e x5) tenham coeficiente zero:

L0 ← L0 − 300L3 − 280L2

x1 x2 x3 x4 x5

L0 : + 100031

− 46031

L1 : − 831

+ 531

+1 = 1831

x5 = 1831

L2 : +1 + 531

− 731

= 10531

x2 = 10531

L3 : +1 − 831

+ 531

= 8031

x1 = 8031

Passo 3: Teste de otimalidade

A solução é ótima!!!

z = 5340031 , x1 =

8031 e x2 =

10531


Solução gráfica


Aula de Hoje



3 Formato LP

4 Aula Prática


Modelagem

ExercícioA cia. farmacêutica Margarida fabrica 2 drogas: d1 e d2. As drogas são produzi-das pela mistura de dois compostos químicos: q1 e q2. Considerando seu pesototal, a droga d1 deve apresentar ao menos 65% de q1 e a droga d2 deve apre-sentar ao menos 55% de q1. A droga d1 vende por R$ 60,00 a grama e a droga d2vende a R$ 40,00 a grama. Os compostos q1 e q2 podem ser produzidos por doisprocessos de fabricação, p1 e p2. Executar o processo p1 por uma hora requer 30gramas de matéria-prima crua, 2 horas de trabalho e produz 15 gramas de cadacomposto químico. O processo p2 executado por uma hora requer 20 gramas dematéria-prima crua e 3 horas de trabalho, resultando em 20 gramas de q1 e 10gramas de q2. Considere a disponibilidade de 120 horas de trabalho e 100 gramasde matéria-prima crua.

Formule um PL que maximiza o faturamento da cia. Margarida.


Exercício 2: Modelagem

Variáveis:

d1 e d2: quantidade produzida de cada droga

p1 e p2: tempo de execução de cada processo

qd11 , qd21 , qd12 e qd21 : quantidade produzida de cada droga a partir decada processo


Exercício 2: Modelagem

max 60d1 + 40d2 (1)

s.a. d1 = qd11 + qd1

2 (2)

d2 = qd21 + qd2

2 (3)

qd11 ≥ 0.65d1 (4)

qd21 ≥ 0.55d2 (5)

qd11 + qd2

1 ≤ 15p1 + 20p2 (6)

qd12 + qd2

2 ≤ 15p1 + 10p2 (7)

30p1 + 20p2 ≤ 100 (8)

2p1 + 3p2 ≤ 120 (9)

d1, d2, qd11 , qd2

1 , qd12 , qd2

2 , p1, p2 ≥ 0 (10)


Aula de Hoje



3 Formato LP

4 Aula Prática


Introdução

Formatos conhecidos para entrada de programas lineares:

MPS Mathematical Programming System :

padrão da indústria

pouco intuitivo, confuso e com limitações

LP CPLEX LP file format :

padrão criado para uso com o resolvedor CPLEX

mais fácil e prático do que o formato MPS

aceito nos principais resolvedores modernos

arquivos podem ser convertidos para MPS


Formato LP

Componentes

função objetivo

restrições

informações de variáveis

limites

variáveis inteiras genéricas

variáveis binárias


Problema da Dieta

DIETA.LP

1 Minimize2 3 x1 + 2.5 x234 Subject to5 6 x1 + 4 x2 >= 326 5 x1 + 6 x2 >= 3678 End


Resolvendo

Comando1 gurobi.sh2 model = read('dieta.lp')3 model.optimize()

Exemplo Limites1 Optimize a model with 2 rows, 2 columns and 4 nonzeros2 Coefficient statistics:3 Matrix range [4e+00, 6e+00]4 Objective range [2e+00, 3e+00]5 Bounds range [0e+00, 0e+00]6 RHS range [3e+01, 4e+01]7 Presolve time: 0.02s8 Presolved: 2 rows, 2 columns, 4 nonzeros9

10 Iteration Objective Primal Inf. Dual Inf. Time11 0 0.0000000e+00 8.500000e+00 0.000000e+00 0s12 2 1.7750000e+01 0.000000e+00 0.000000e+00 0s1314 Solved in 2 iterations and 0.02 seconds15 Optimal objective 1.775000000e+01


Limites e Integralidade

Podem ser especificadas restrições específicas sobre algumas variáveis

Essas restrições são informadas após a seção das restrições normais epodem ser dos seguintes tipos:

Restrição de limites -Seção Bounds:

Exemplo Limites1 Subject to2 ...3 Bounds4 0 <= x1 <= 405 2 <= x4 <= 3


Limites e Integralidade (cont.)

Para variáveis para as quais não são permitidos valores fracionáriostemos as seções:

General: variáveis inteiras de modo geral

Binary: variáveis binárias que somente podem assumir valor zero ou um

Exemplo Integralidade1 Subject to2 ...3 Binary4 x35 General6 x17 x2


Aula de Hoje



3 Formato LP

4 Aula Prática


Aula Prática

1 Modelar os modelos da aula passada no formato LP

Exemplo de Modelagem 2 (Análise de Investimentos)

Exercício da Aula Passada (cia. farmacêutica Margarida)

2 Implementação de modelos com Python+Gurobi

Exemplo de Modelagem 1 (Planejamento da Produção)


/ 12

Perguntas?

Aula 04: Resolvedores LP - Otimização Linear e Inteira€¦ · 6 / 35 Túlio Toffolo –...

Documents

Transcript of Aula 04: Resolvedores LP - Otimização Linear e Inteira€¦ · 6 / 35 Túlio Toffolo –...