AU Predavanje10 Bez Animacija

Automatsko upravljanje 2011/2012

Prof.dr.sc. Nedjeljko Peric, Prof.dr.sc. Zoran VukicProf.dr.sc. Mato Baotic, Doc.dr.sc. Nikola Miškovic

Zavod za automatiku i racunalno inženjerstvoFakultet elektrotehnike i racunarstva

Predavanje 10 - Polovi, nule i vremenski odzivi

Automatsko upravljanje :: Predavanje 10 - Polovi, nule i vremenski odzivi c© 2011 Peric,Vukic,Baotic&Miškovic 1 / 61

Uvod

Sažetak Predavanja 09

• Frekvencijske karakteristike mogu se prikazati na više nacina; zapraksu su najvažniji Nyquistov i Bodeov dijagram

• Nyquistov dijagram predstavlja graficki prikaz G(jω) = A(ω)ejϕ(ω) ukompleksnoj G-ravnini, gdje je ω parametar

• Nyquistov i Bodeov dijagram daju brzi uvid u vladanje sustava; iznjih se jednostavno ocita pojacanje i fazno kašnjenje(prethod

_enje) za razlicite frekvencije

• U frekvencijskim podrucjima u kojima asimptote dobro prateamplitudno-frevencijsku karakteristiku Bodeova dijagrama (spozitivnim ili negativnim nagibom) sustav se može aproksimiratiderivatorom odnosno integratorom

• Neminimalnost faze odnosi se na sustave koji imaju nule i polove udesnoj poluravnini kompleksne s-ravnine

• Stvorena je osnova za analizu stabilnosti linearnih vremenskinepromjenljivih sustava zasnovanu na frekvencijskimkarakteristikama


Uvod

Cilj

• Razumjeti vezu izmedu položaja polova i nula u kompleksnojs-ravnini i vremenskih odziva sustava

• Pokazati kako se vremenski pokazatelji kvalitete preslikavaju us-podrucje

• Pokazati kakav je utjecaj nula u desnoj poluravnini kompleksnes-ravnine na odziv sustava


Polovi i nule prijenosne funkcije

Polovi i nule prijenosne funkcije

• Prijenosna funkcija, definirana kao odnos Laplaceovetransformacije izlaza sustava i Laplaceove transformacije njegovaulaza uz pocetne uvjete jednake nuli, u opcem se slucaju možeizraziti odnosom dvaju polinoma:

G(s)def=

Y (s)

U(s)=

B(s)

N(s)(10-1)

• Uz pretpostavku da polinomi B i N nemaju zajednickih nul-tocaka

• Iz N(s) = 0 slijede konacni polovi sustava• Iz B(s) = 0 slijede konacne nule sustava

• Napomena: U daljnjem tekstu se pod pojmovima polovi i nulesustava podrazumijevaju konacni polovi i nule sustava


Sustavi prvog reda Sustav prvog reda bez nule

Sustav prvog reda bez nule

• Prijenosna funkcija PT1-sustava:

G(s) = Ks+a

→

g(t) = Ke−at , ∀t ≥ 0

h(t) = Ka− K

ae−at , ∀t ≥ 0

(10-2)

gdje je sp1 = −a pol sustava, a s T = 1a oznacava se vremenska

konstanta sustava• Ako je a > 0, sustav je stabilan (Re(spi) < 0)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

at

g(at)K

Slika 10.1: Težinska funkcija PT1-sustava

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

at

aK

h(at)

Slika 10.2: Prijelazna funkcija PT1-sustava


Sustavi prvog reda Sustavi prvog reda s nulom u lijevoj poluravnini

Prijenosna funkcija sustava prvog reda s nulom u lijevojpoluravnini s-ravnine (1)

• Opci oblik prijenosne funkcije sustava prvog reda s nulom u lijevojpoluravnini s-ravnine:

G(s) = Ks + b

s + a(10-3)

• Primjer 10.1: Realizacija G(s) iz (10-3). Jednostavna realizacijaprijenosne funkcije (10-3) sklopom s operacijskim pojacalom(shvacenim kao idealno pojacalo), Slika 10.3, glasi:

G(s) =U2(s)

U1(s)= K1

1 + Ts

1 + αTs= K1

a

b

s + b

s + a, (10-4)

pri cemu je K1 statickopojacanje sustava, a T i αT suodgovarajuce vremenskekonstante, te je prema (10-3)a = 1

αT, b = 1

T, K = K1

ab

1C

R

R

2C

1u 2u

Slika 10.3: Realizacija G(s) iz (10-3).Automatsko upravljanje :: Predavanje 10 - Polovi, nule i vremenski odzivi c© 2011 Peric,Vukic,Baotic&Miškovic 6 / 61


Primjer 10.1: Realizacija G(s) iz (10-3) (2)

• Parametri prijenosne funkcije (10-4) odred_eni su pasivnim

komponentama sklopa:

K1 = 1, T = RC1, α =C2

C1

• Ovisno o vrijednosti parametra α dobiju se razliciti odzivi sklopa(shvacenog kao sustav)

• (a) 0 < α < 1

G(s) =1 + Ts

1 + αTs=

1 + αTs

1 + αTs+

(1 − α)Ts

1 + αTs= 1 +

(

1

α− 1

)

αTs

1 + αTs(10-5)

• Fazna karakteristika sklopa (prijenosne funkcije) ima faznoprethod

_enje (o primjeni elementa s faznim prethod

_enjem bit ce rijeci

u narednim predavanjima)• Iz (10-5) vidljivo je da se ovaj clan može promatrati kao paralelni spoj

P-clana jedinicnog pojacanja i DT1-clana (u cjelini: PDT1-clan)




• (a) 0 < α < 1

• Iz (10-5) dobiju se g(t) i h(t) prikazani Slikom 10.4 i Slikom 10.5

g(t) = 1αδ(t) +

(1 − 1

α

)1αT

e−

tαT , t ≥ 0

h(t) = 1 +(

1α− 1

)e−

tαT , t ≥ 0

(10-6)

tT

g(

tT

)

α

α− 1α2T

1α

0

Slika 10.4: Težinska funkcija sustavaG(s) = 1+Ts

1+αTsuz 0 < α < 1

tT

α

1α

h(

tT

)

0

1

Slika 10.5: Prijelazna funkcija sustavaG(s) = 1+Ts

1+αTsuz 0 < α < 1




• (b) α > 1

• Prijenosna funkcija ima oblik (10-4), ali ju zapisujemo na nacin

G(s) =1

α+

1 − 1α

1 + αTs(10-7)

• Fazna karakteristika sklopa (prijenosne funkcije) ima fazno kašnjenje (oprimjeni elementa s faznim kašnjenjem bit ce takod

_er rijeci u

narednim predavanjima)• Prema (10-7) ovaj se sustav sastoji od paralelnog spoja P-clana

pojacanja 1α< 1 i PT1-clana (u cjelini: PPT1-clan)




• (b) α > 1• Analiticki izrazi za težinsku i prijelaznu funkciju isti su kao i za slucaj s

faznim prethod_enjem, razlika u odzivima prikazanim na Slici 10.6 i

Slici 10.7 proizlazi iz razlike u iznosu parametra α:

g(t) = 1αδ(t) +

(1 − 1

α

)1αT

e−

tαT , t ≥ 0

h(t) = 1 +(

1α− 1

)e−

tαT , t ≥ 0

(10-8)

tT

g(

tT

)

α

α− 1α2T

1α

0

Slika 10.6: Težinska funkcija sustavaG(s) = 1+Ts

1+αTsuz α > 1

tT

α

1α

h(

tT

)

0

1

Slika 10.7: Prijelazna funkcija sustavaG(s) = 1+Ts

1+αTsuz α > 1



Osvrt na Primjer 10.1. (1)

• Usporedbom odziva PT1-sustava i onih dobivenih u Primjeru 10.1.stjece se uvid u bitan utjecaj nula prijenosne funkcije sustava navremenski odziv

• Pri tome je, nadalje, važno u kakvom su odnosu vrijednosti nula ipolova (odnosno pripadajucih vremenskih konstanata) prijenosnefunkcije

• Nule iz lijeve poluravnine kompleksne s-ravnine koje su bližeimaginarnoj jω-osi nego polovi dominantnije utjecu na vremenskiodziv sustava

• Ta se dominantnost ogleda u izraženom nadvišenju (“špici”)prijelazne funkcije h(t) (Slika 10.5): za vrijednosti α bliske nuli "špica"poprima enormno visoke vrijednosti (za promatrani sklopneizvedive!)




• Za α ≈ 0 (izraženo fazno prethod_enje) nazivnik prijenosne funkcije

G(s) =1 + Ts

1 + αTs

može se zanemariti, pa ona poprima svojstva PD-clana (polsp1 = − 1

αT puno je udaljen od ishodišta u odnosu na nulu sN1 = − 1T ):

G(s)α≈0≈ 1 + Ts

• Nasuprot tome, za velike iznose α (izraženo fazno kašnjenje), tj. zadominantniji utjecaj pola u odnosu na nulu (pol − 1

αTpuno je bliži

ishodištu u odnosu na nulu − 1T), prijenosna se funkcija može

aproksimirati PT1-clanom vremenske konstante αT , a u daljnjojaproksimaciji i I-clanom integracijske konstante αT :

G(s)α≫1≈ 1

1 + αTs

α≫1≈ 1

αTs




• Provedena razmatranja vezana za utjecaj polova i nula navremenski odziv sustava mogla bi se osvijetliti i analizompripadajuce frekvencijske karakteristike promatranog primjera

G(jω) =1 + jωT

1 + αjωT

pomocu Nyquistova i Bodeova dijagrama

• Napomena: Analiza prethodne frekvencijske karakteristikepomocu Nyquistova i Bodeova dijagrama – samostalni radstudenata


Sustavi drugog reda Sustav drugog reda bez nula

Sustav drugog reda bez nula (PT2-clan) (1)

• Primjer 10.2.: Sustav drugog reda bez nula dan je prijenosnomfunkcijom:

G(s) =1

12 s2 + 3

2 s + 1=

2

(s + 1)(s + 2)

te težinska i prijelazna funkcija proizlaze primjenom inverzneLaplaceove transformacije:

G(s) = 2(s+1)(s+2) =

2s+1

+ −2s+2

•−− g(t) = 2e−t − 2e−2t , t ≥ 0

H(s) = 2s(s+1)(s+2) =

1s + −2

s+1 + 1s+2 •−− h(t) = 1 − 2e−t + e−2t , t ≥ 0


Sustavi drugog reda Sustav drugog reda bez nula

Primjer 10.2: Sustav drugog reda bez nula (PT2-clan) (2)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

t [s]

g(t)

Slika 10.8: Težinska funkcija sustavaprijenosne funkcije G(s) = 2

(s+1)(s+2)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t [s]

h(t)

Slika 10.9: Prijelazna funkcija sustavaprijenosne funkcije G(s) = 2

(s+1)(s+2)

• Prijelazna i težinska funkcija karakterizirane su modovima e−1·t ie−2·t koji su posljedica polova sustava sp1 = −1 i sp2 = −2

• Pol sp1 = −1 bliže je jω-osi i više utjece na vrijeme potrebno zadostizanje ustaljenog stanja; ukoliko bi se pol sp2 = −2 dodatnoudaljio od ishodišta, njegov utjecaj na to vrijeme bio bi oslabljen


Sustavi drugog reda Sustav drugog reda s nulom u lijevoj poluravnini

Sustav drugog reda s jednom nulom u lijevoj poluravninis-ravnine

• Primjer 10.3: Prijenosna funkcija, te težinska i prijelazna funkcijasustava drugog reda s nulom u lijevoj poluravnini s-ravnine

G(s) = 4s+2s2+3s+2

= 4s+ 1

2

(s+1)(s+2) →

g(t) = 6e−2t − 2e−t , t ≥ 0

h(t) = 1 − 3e−2t + 2e−t , t ≥ 0

0 12 3 4 5

6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

t [s]

g(t)

Slika 10.10: Težinska funkcija sustava

prijenosne funkcije G(s) = 4s+ 1

2(s+1)(s+2)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

t [s]

h(t)

Slika 10.11: Prijelazna funkcija sustava

prijenosne funkcije G(s) = 4s+ 1

2(s+1)(s+2)


Sustavi drugog reda Sustav drugog reda s nulom u lijevoj poluravnini

Osvrt na Primjer 10.2. i Primjer 10.3.

• Usporedbom prijelaznih funkcija u Primjeru 10.2. (Slika 10.9) i uPrimjeru 10.3. (Slika 10.11) ocito je da sustavi drugog reda s istimrasporedom polova i istim statickim pojacanjem mogu imati bitnorazlicita ponašanja ovisno o postojanju nula

• Nula u lijevoj poluravnini s-ravnine u odred_enom rasponu svojih

vrijednosti ubrzava prijelaznu pojavu u sustavu

• Može se uociti da je odziv h(t) u Primjeru 10.3. dobiven na sljedecinacin:

H(s) = 4ss(s+2)(s+1) +

2s(s+2)(s+1) → h(t) = 2g(t)Primjer 10.2. + h(t)Primjer 10.2.

• Ustvari, uz isto staticko pojacanje sustava, ukoliko bi nula bila bližeishodištu, koeficijent uz g(t)Primjer 10.2. bio bi veci pa bi prijelaznafunkcija h(t) imala vece nadvišenje

• Obrnuti efekt dogad_ao bi se udaljavanjem nule od ishodišta u

smjeru negativne realne osi; koeficijent uz g(t)Primjer 10.2. približavase nuli, nadvišenje nestaje te konacno h(t) → hPrimjer 10.2.(t)


Sustavi drugog reda Analiza sustava drugog reda bez nula

Sustav drugog reda s konjugirano-kompleksnim parompolova i bez nula (PT2S-clan)

• Opci oblik prijenosne funkcije sustava drugog reda bez nula imaoblik (ponavljanje s Predavanja 09):

G(s) =K

1ω2

ns2 + 2ζ

ωns + 1

(10-9)

gdje je:ωn – prirodna frekvencija neprigušenih oscilacija [s−1]ζ – relativni koeficijent prigušenjaK – staticko pojacanje sustava

• Kada je |ζ| < 1, polovi sustava predstavljaju konjugirano-kompleksnipar, a odziv sustava posjeduje harmonicke komponente

• Oscilatoran PT2-sustav nosi oznaku PT2S (dodatno slovo “S” u oznacipotjece od njem. Schwingungen – oscilacije)



Konjugirano-kompleksni par polova PT2S-sustava

• Polovi PT2S-sustava, tj. nul-tockepolinoma nazivnika u (10-9) zaslucaj |ζ| < 1 (relacije vrijede iza |ζ| = 1):

sp1,2 = −σ ± jωd , (10-10)

gdje je:

σ = ζωn – prigušenjeωd = ωn

√

1 − ζ2 – prirodnafrekvencija prigušenihoscilacija [s−1]

• Kut α = arccosζ je kut kojegradij-vektor pola zatvara snegativnom realnom osi (vidiSliku 10.12)

0

sp,1

sp,2

s-ravnina

j Im(s)

Re(s)

ωn α

σ

ωd

Slika 10.12: Karakteristicne velicinevezane uz konjugirano-kompleksni parpolova PT2S-sustava



Primjeri sustava koje se može modelirati PT2-sustavom

• Neki primjeri sustava koje se može prikazati prijenosnomfunkcijom (10-9):

• RLC krug• Mehanicki oscilatorni sustav (masa, opruga, prigušivac)• Istosmjerni motor s nezavisnom i konstantnom uzbudom• Segment cijevi za transport fluida



Odnos izmed_u položaja polova i vremenskog odziva

PT2-sustava (1)

• U ovisnosti o položaju polova PT2-sustava u kompleksnoj ravnini (tj.o iznosima ζ i ωn) dobiju se slucajevi prikazani sljedecom tablicom(odzivi su prikazani za K = 1)

Relativni koeficijent Položaj polova Prijelazna funkcija h(t)prigušenja

0 < ζ < 1-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1

-0.5

0.5

1

Re( )

n

s

ω

Im( )

n

s

ω

0.5ζ =

0.1ζ =

0.5ζ =0.1ζ =

ntω

( )nh tω

ζ = 1-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1

-0.5

0.5

1Im( )

n

s

ω

Re( )

n

s

ω1

5 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1( )nh tω

ntω



Odnos izmed_u položaja polova i vremenskog odziva

PT2-sustava (2)

Relativni koeficijent Položaj polova Prijelazna funkcija h(t)prigušenja

ζ > 1-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

-3

-2

-1

1

2

3

-101

5ζ =

2ζ =

Im( )

n

s

ω

Re( )

n

s

ω

ntω

( )nh tω2ζ =

5ζ =

ζ = 0-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0

0.5

1

Re( )

n

s

ω

Im( )

n

s

ω

1

0 5 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

ntω

( )nh tω

−1 < ζ < 0-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

0.1ζ = −

1 Re( )

n

s

ω

Im( )

n

s

ω ( )nh tω

ntω



Odzivi PT2-sustava za razne vrijednosti ζ (1)

• 0 < ζ < 1 (PT2S vladanje)

sp1,2 = −ζωn ± jωn

√

1 − ζ2

• U ovom je slucaju prijelazna funkcija:

h(t) = 1−e−ζωnt

cos[(

ωn

√

1 − ζ2)

t]

+ζ

√

1 − ζ2sin

[(

ωn

√

1 − ζ2)

t]

(10-11)• Jednadžba (10-11) može se zapisati i na sljedeci nacin:

h(t) = 1 − e−

σ︷︸︸︷

ζωn t

√

1 − ζ2sin

(

ωn

√

1 − ζ2)

︸︷︷︸

ωd

t + arccosζ︸︷︷︸

α

(10-12)

• Odavde slijedi

g(t) =dh(t)

dt=

ωn√

1 − ζ2e−σt sin(ωdt) (10-13)





• Granicni slucaj ζ = 0:

h(t) = 1 − cos(ωnt),g(t) = ωn sin(ωnt),

(10-14)

(sp1,2 = ±jωn, trajni oscilatorni odziv)

• Granicni slucaj ζ = 1:

h(t) = 1 − (1 + ωnt)e−ωnt ,

g(t) = ω2nte−ωnt ,

(10-15)

(sp1,2 = −ωn, granicni aperiodski odziv)




• 0 < ζ < 1 (PT2S vladanje)• Na temelju provedenih razmatranja slijedi da je relativni koeficijent

prigušenja ζ glavni cimbenik koji odred_uje oscilatornost sustava, dok

prirodna frekvencija neprigušenih oscilacija ωn odred_uje brzinu odziva

sustava• To je ilustrirano grafovima g(t) i h(t) na Slici 10.13 i Slici 10.14, uz

parametar ζ

0ζ =

0.7ζ = 0.5ζ =0.4ζ =0.3ζ =0.2ζ =0.1ζ =

1ζ =ntω

( ) /n ng tω ω

Slika 10.13: Težinska funkcijaPT2S-sustava za razne rijednosti ζ

0ζ =

0.5ζ =0.4ζ =0.3ζ =0.2ζ =0.1ζ =

0.7ζ =1ζ =

ntω

( )nh tω

Slika 10.14: Prijelazna funkcijaPT2S-sustava za razne rijednosti ζ





• Prigušivanje oscilatornog tijeka opisuje se pomocu

Td =1

ζωn(10-16)

te se stoga Td naziva vremenskom konstantom prigušivanja• Iz položaja polova sp1 i sp2 od G(s) dade se Td neposredno odrediti

(Td = 1σ

), ili ga se pak može odrediti pomocu tangente anvelopeoscilatorne prijelazne funkcije




• ζ > 1 (aperiodsko PT2 vladanje)

• U ovom slucaju prijenosna funkcija (10-9) ima dva negativna pola

sp1,2 = −ζωn ± ωn

√

ζ2 − 1

• Ako se definiraju vremenske konstante T1 = − 1sp,1

i T2 = − 1sp,2

slijedi

(serijski spoj dvaju PT1 clanova, tj. PT2 clan):

G(s) =1

(1 + T1s)(1 + T2s)

• Prijelazna funkcija za ζ > 1 ima oblik:

h(t) = 1 − ζ +√

ζ2 − 1

2√

ζ2 − 1e

−ωn

(

ζ+√

ζ2−1

)

t+

ζ −√

ζ2 − 1

2√

ζ2 − 1e

−ωn

(

ζ−√

ζ2−1

)

t

(10-17)

• ζ < 0 – polovi se nalaze u desnoj poluravnini pa je sustav nestabilan



Važnost odnosa izmed_u odziva i položaja polova kod

PT2-sustava

• U prijenosnoj funkciji G(s) = K1

ω2n

s2+ 2ζωn

s+1ωn i ζ u cijelosti karakteriziraju

vladanje sustava

• Ova prijenosna funkcija zadovoljavajuce dobro nadomješta iprijenosne funkcije viših redova kod kojih je:

• jedan par polova dominantan• ostali polovi relativno daleko od jω-osi (nedominantni polovi)

• U praksi je ovo cest slucaj!



Dominantna dinamika sustava

0

sp,1

sp,2

s-ravnina

j Im(s)

Re(s)

ωnα

σ

ωd

dominantnipar polovanedominantni

polovi

Slika 10.15: Raspored polova sustava s istaknutim dominantnim parom polova

• Dominatni par polova koji leži u s-ravnini najbliže jω-osi, opisujenajsporije vlastito gibanje sustava i najjace utjece na njegovo

dinamicko vladanje; ωd = ωn

√

1 − ζ2, σ = ζωn, α = arccosζ

• Na temelju dosadašnjih razmatranja zakljucuje se da se pri sintezisustava upravljanja izborom mjesta polova u s-ravnini (odred

_enih

sa ζ i ωn) odred_uju dinamicki pokazatelji kvalitete sustava u

vremenskom podrucju (neposredni pokazatelji kvalitete)


Neposredni pokazatelji kvalitete sustava upravljanja

Neposredni pokazatelji kvalitete sustava upravljanja

• Pri analizi kvalitete upravljanja (regulacije) promatra se vremenskiodziv upravljane (regulirane) velicine y(t) odnosno regulacijskoodstupanje e(t) uz djelovanje odabranog ispitnog signala(pobude); u ovom razmatranju pod pobudom ce sepodrazumijevati signal referentne velicine r ili signal poremecajnevelicine z

Vladanje sobzirom na

vodećuvrijednost

Vladanje sobzirom na

smetnju

proces

ue

z

++

+

z'

r +

_

yRegulacijskiureñaj

Slika 10.16: Pojednostavljena struktura sustavaupravljanja

• Uobicajeno se kaoispitni signal koristiodskocna funkcija S(t)te se promatraprijelazna funkcija sobzirom na referentnuvelicinu y(t) = hr(t)odnosno naporemecajnu velicinuy(t) = hz(t)


Neposredni pokazatelji kvalitete sustava upravljanjaPokazatelji kvalitete prijelazne funkcije s obzirom

Pokazatelji kvalitete hr(t)

• Za opis prijelazne funkcije hr(t) koriste se sljedeci pojmovi(neposredni pokazatelji kvalitete):

• maksimalno nadvišenje σm (engl. peak, overshoot)• vrijeme prvog maksimuma tm (engl. time to maximum overshoot)• vrijeme porasta tr (engl. rise time)• vrijeme ustaljivanja tε (engl. settling time)

0%

50%

100%

y(t)=hr(t)

tz tat50 tu tm t

2

t

tangenta utočki infleksije

W

tr

90%

10%

mσ

ε

ε

Slika 10.17: Neposredni pokazatelji kvalitete odziva sustava upravljanja naodskocnu funkciju referentne velicineAutomatsko upravljanje :: Predavanje 10 - Polovi, nule i vremenski odzivi c© 2011 Peric,Vukic,Baotic&Miškovic 31 / 61


Maksimalno nadvišenje (1)

• Maksimalno nadvišenje σm=emax=Mp odred_uje iznos maksimalnog

regulacijskog odstupanja nakon prvog dostizanja stacionarnogstanja

• Za sustav drugog reda (prema prijenosnooj funkciji (10-9))maksimalno postotno nadvišenje odredeno je izrazom:

σm[%] =h(tm)− K

K· 100% = 100 · e

− ζπ√1−ζ2 (10-18)

• Izraz (10-18) dobiven je sljedecim izvodom:

dh(t)

dt= 0 → t =

kπ

ωn

√

1 − ζ2(10-19)

• Za k = 1 dobije set = tm = π

ωn

√1−ζ2

h(tm) = 1 + e− ζπ√

1−ζ2

(10-20)



Maksimalno nadvišenje (2)

• Dakle, σm ovisi jedino o relativnom koeficijentu prigušenja kaoparametru koji odred

_uje položaj konjugirano kompleksnih polova u

s-ravnini:σm = f (ζ), ζ = f−1(σm) (10-21)

100

80

60

40

20

0.1 0.2 0.3 0.50.4 0.6 0.7 0.90.8 1.00

[ ] ( )1%m fσ ζ=

ζ

Slika 10.18: Ovisnost σm o ζ



Vrijeme prvog maksimuma, vrijeme porasta

• Vrijeme prvog maksimuma tm (tm=tp) je vrijeme pri kojem sepojavljuje maksimalno nadvišenje

tm =π

ωn

√

1 − ζ2(10-22)

Napomena: prethodni izraz za tm tocan je za promatrani sustavdrugog reda, a zadovoljavajuce prihvatljiv i za sustave višeg reda

• Vrijeme porasta tr definira se kao vrijeme za koje prijelazna funkcijahr(t) poraste od vrijednosti 0 (ili 0.1hr(∞)) na vrijednost krhr(∞),gdje se u literaturi uobicajeno koristi kr = 0.9 ili kr = 1; za sustavdrugog reda (prema prijenosnoj funkciji (10-9)) i za ζ = 0.5 je:

tr ≈1.8

ωn(10-23)



Vremena porasta ta i ta,50, vrijeme zadržavanja tz , ulaznovrijeme tu

• U nastavku se obrazlažu i neke druge definicije vremena porastakoja se koriste u praksi:

• Vrijeme porasta ta dobiveno iz tocaka sjecišta tangente, povucene utocki infleksije W prijelazne funkcije hr (t), s linijama hr(0) i hr(∞)

• Cesto se koristi tangenta povucena u tocki odred_enoj vremenom t50

kod koje hr (t) poprima iznos 0, 5hr (∞) – u tom se slucaju vrijemeporasta oznacava s ta,50

• Takod_er, prakticno je definirati i pojmove vezane za neposredne

pokazatelje kvalitete sustava, a koji su bliski vremenu porasta:

• Vrijeme zadržavanja tz koje se dobije iz sjecišta prethodno definiranetangente u tocki infleksije s vremenskom osi

• Ulazno vrijeme tu kojim je odred_en trenutak prvog dostizanja hr (∞)

• Vrijedi približna relacija:tu ≈ tz + ta (10-24)



Vrijeme ustaljivanja tε

• Vrijeme ustaljivanja (smirivanja) tε (tε=ts=Ts) kojim je odred_eno

trajanje prijelaznog procesa nakon kojega hr(t) odstupa manje odzadanog iznosa ε (npr. ε = 1%, što odgovara vremenu ustaljenjat1%)

• Za vrijeme ustaljivanja vrijedi izraz:

t1% ≈ 4.6

ζωn(10-25)



Pokazatelji kvalitete s obzirom na odziv sustava naporemecajnu velicinu

• Na slican se nacin može karakterizirati i vladanje sustava s obziromna poremecajnu velicinu

• I ovdje se na isti nacin definiraju pojmovi “maksimalno nadvišenje” i“vrijeme ustaljenja”, Slika 10.19

0

100%y(t)=hz(t)

t2

t

s regulatorom

bezregulatora

εmσ ε

Slika 10.19: Neposredni pokazatelji kvalitete odziva sustava upravljanja naodskocnu funkciju poremecajne velicine


Neposredni pokazatelji kvalitete sustava upravljanjaOsvrt na neposredne pokazatelje kvalitete

Osvrt na neposredne pokazatelje kvalitete

• Iz provedenih razmatranja slijedi da velicine σm i tε neposrednoukazuju na prigušenje sustava, dok je velicinama tu, ta, tr i tm

odred_ena brzina, odnosno dinamika sustava

• Sve prikazane velicine (neposredni pokazatelji kvalitete uvremenskom podrucju) odred

_ene su iznosima ζ i ωn koji definiraju

položaj polova u s-ravnini

• U praksi se cesto ogranicavamo na cetiri velicine i to: tu (ili tr ) , tm,tε i σm

• Relacije za odred_ivanje ovih neposrednih pokazatelja kvalitete za

sustav bez nula:tr =

1.8ωn

tm = π

ωn

√1−ζ2

t1% = 4.6ζωn

σm[%] = 100e− πζ√

1−ζ2


Prikaz zahtjeva na sustav upravljanja u s-ravnini

Postavljanje zahtjeva na položaj polova u s-ravnini

• Na temelju povezanosti izmed_u pokazatelja kvalitete vremenskog

vladanja sustava i položaja polova sustava u s-ravnini može seizborom fizikalno prihvatljivih parametara ωn i ζ dobiti željenovladanje sustava

• Ta cinjenica predstavlja osnovu za metodu sinteze zasnovanu narasporedu polova (engl. pole placement method)



Prikaz zahtjeva na sustav upravljanja u s-ravnini (1)

Zahtjev s obzirom namaksimalno nadvišenje σm

σm ≤ σm,max → ζ ≥ ζ0 = f−1(σm,max),α ≤ α0 = arccosζ0

α0

jω

σ

Dopuštenopodrucjepolova

Zahtjev s obzirom na vrijemeporasta tr (ta; ta,50)

tr ≤ tr,max → ωn ≥ ωn,0 = f−1(tr)

ωn,0

jω

σ




Prikaz zahtjeva na sustav upravljanja u s-ravnini (2)

Zahtjev s obzirom navrijeme ustaljivanja tε

tε ≤ tε,max → σ > σ0 = f−1(tε,max)σ0

jω

σ


Cjeloviti zahtjevi s obziromna raspored polova

jω

σ



Prikaz zahtjeva na sustav upravljanja u s-ravnini Odred_ivanje ζ i ωn zatvorenog regulacijskog kr

Primjer 10.4: Zatvoreni regulacijski krug (1)

• Zatvoreni regulacijski krug prema Slici 10.20 ima prijenosne funkcijeregulatora GR(s) i procesa Gp(s):

GR(s) = KR

1 + TIs

TIs,

Gp(s) =Kp

(1 + T1s)(1 + T2s)

( )R s ( )U s ( )Y s+ ( )RG s ( )pG s-

Slika 10.20: Blokovski prikaz zatvorenogregulacijskog kruga

• Ako se odabere TI = T1, potrebno je u tom slucaju odrediti ωn i ζzatvorenog regulacijskog kruga



Primjer 10.4: Zatvoreni regulacijski krug (2)Rješenje (1)

• Prijenosna funkcija otvorenog regulacijskog kruga (uz TI = T1) je:

Go(s) = GR(s) · Gp(s) =KRKp

TIs(1 + T2s),

odakle slijedi prijenosna funkcija zatvorenog sustava:

Gr(s) =Go(s)

1 + Go(s)=

KRKp

TIT2s2 + TIs + KRKp=

1TIT2

KRKps2 + TI

KRKps + 1

• Opci oblik prijenosne funkcije drugog reda je

G(s) =K

1ω2

ns2 + 2ζ

ωns + 1

,

pa usporedbom koeficijenata u polinomima od Gr(s) i G(s)proizlazi:

1

ω2n

=TIT2

KRKp,

2ζ

ωn=

TI

KRKp



Primjer 10.4: Zatvoreni regulacijski krug (3)Rješenje (2)

ω2n =

KRKp

TIT2→ ωn =

√

KRKp

TIT2

2ζ

ωn=

TI

KRKp→ ζ =

ωnTI

2KRKp=

1

2

√

TI

KRKpT2

• Dakle, ωn i ζ ovise o parametrima procesa i o parametrimaregulatora

• Iz posljednjeg izraza slijedi

KR =1

4ζ2

1

Kp

TI

T2,

tj. pojacanje regulatora ovisi o relativnom koeficijentu prigušenja,pa se npr. za parametre procesa Kp = 10, T1 = 1 s, T2 = 0.1 s i zaodabrani ζ = 0.58 dobiva TI = 1s, KR = 0.74 i, posljedicno,ωn = 8.6 s−1



Primjer 10.4: Zatvoreni regulacijski krug (3)Sklopovska izvedba regulatora s operacijskim pojacalom

• Nacelna izvedba regulatora s operacijskim pojacalom prikazana jena Slici 10.21

• Izracunani parametriregulatora dobiju se,primjerice, uz otpor u ulaznojgrani pojacala R = 100 kΩ,otpor u povratnoj granipojacala R = 75 kΩ, tekapacitet C = 13 µF

povratna veza

Referentnaveličina u

3 6

750.75

100

75 10 13 10 F 1 s

R

I

K

T −

= =

= ⋅ Ω ⋅ ⋅ ≈

Slika 10.21: Izvedba regulatora sklopoms operacijskim pojacalom


Sustav s konjugirano-kompleksnim parom polova i nulom u lijevoj poluravnini s-ravnineSustav s konjugirano-kompleksnim parom polo

Sustav drugog reda s konjugirano-kompleksnim parompolova i nulama

• Sustav drugog reda s konjugirano-kompleksnim parom polova(razmatran ranije) može sadržavati i nule koje mogu znacajnoutjecati na vremenske odzive

• Primjer 10.5: Oscilatorni sustav drugog reda s nulom u lijevojpoluravnini s-ravnine

• Prijenosna funkcija sustava kojeg se razmatra u ovome primjeru je

G(s) =ωn

β

s + βωn

s2 + 2ζωns + ω2n

(10-26)

pa pripadne težinska i prijelazna funkcija glase (|ζ| < 1):

g(t) = ωne−ζωnt

[

1β

cos(ωn

√

1 − ζ2t) +1− 1

β√1−ζ2

sin(ωn

√

1 − ζ2t)

]

, t ≥ 0

h(t) = 1 − e−ζωnt

[

cos(ωn

√

1 − ζ2t) +ζ− 1

β√1−ζ2

sin(ωn

√

1 − ζ2t)

]

, t ≥ 0


Sustav s konjugirano-kompleksnim parom polova i nulom u lijevoj poluravnini s-ravnineSustav s konjugirano-kompleksnim parom polo

Primjer 10.5: Oscilatorni sustav drugog reda s nulom u lijevojpoluravnini s-ravnine

• Iz prethodnih izraza ocito je da utjecaj nule sN1 = −βωn slabi sporastom β (usporedite g(t) i h(t) PT2S-sustava (10-12) i (10-13) snetom navedenima izrazima za β → ∞)

• Za ilustraciju ovog efekta, na slikama 10.22 i 10.23 dani su grafovitežinskih i prijelaznih funkcija sustava G(s) (10-26) za ζ = 0.5, kojemuse parametar β mijenja u rasponu 0.25 − 10

510

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

ntω

0.25β =

0.5β =

1β =

5, 8, 10β =

( )n

n

g tωω

Slika 10.22: Težinska funkcija za raznevrijednosti β

0 5 10

0.5

1

1.5

2

2.5

ntω

( )nh tω 0.25β =

0.5β =

1β =

5, 8, 10β =

Slika 10.23: Prijelazna funkcija za raznevrijednosti β


Kracenje nula-pol (kompenzacija utjecaja nula na dinamicko vladanje sustava)Kracenje pola pobude i nule sustava

Kracenje pola pobude i nule sustava

• Promotrimo prijenosnu funkciju koja ima jednostruku nulu:

G(s) =s + a

N(s)(10-27)

• Pretpostavimo da je pobuda sustava u(t) = e−at , tj. U(s) = 1s+a

• Tada je (Slika 10.24):

=( )( )tδ1

s a+( )U s1

( )

s a

N s

+ ( )Y s

( )( )tδ1 1

( )N s

( )Y s

Slika 10.24: Kracenje pola pobude i nule sustava

Y (s) = G(s)U(s) =1

N(s)

• Nula sustava sN1 = −a blokira prijenos signala u(t) = e−at krozsustav

• To znaci da je za ovakvu pobudu potpuno blokiran dio prisilnogodziva sustava koji odgovara partikularnom rješenju diferencijalnejednadžbe sustava


Kracenje nula-pol (kompenzacija utjecaja nula na dinamicko vladanje sustava)Kracenje nula i polova prijenosne funkcije

Kracenje nula i polova prijenosne funkcije (1)

• Nule i polovi prijenosne funkcije mogu se med_usobno kratiti ako

imaju jednake vrijednosti; kracenje nula i polova cesto se koristi usintezi sustava upravljanja

• Ne preporuca se kracenje nula i polova u desnoj poluravninis-ravnine

• Primjer 10.6.: Sustav drugog reda s parametarski zadanom nulom

G(s) =2

a

s + a

(s + 1)(s + 2)•−− g(t) = 2

a − 1

ae−t − 2

a − 2

ae−2t , ∀t ≥ 0

• Za a = 1 (kracenje pola sp1 = −1) dobije se:

G1(s) =2

s + 2•−− g1(t) = 2e−2t , ∀t ≥ 0

• Za a = 2 (kracenje pola sp2 = −2) dobije se:

G2(s) =1

s + 1•−− g2(t) = e−t , ∀t ≥ 0



Primjer 10.6: Sustav drugog reda s parametarski zadanomnulom (2)

• Razmatrani sustav, s pripadnom diferencijalnom jednadžbom,

G(s) =Y (s)

U(s)=

2

a

s + a

(s + 1)(s + 2)↔ y(t)+3y(t)+2y(t) =

2

au(t)+2u(t)

ima svojstvene vrijednosti λ1 = −1 i λ2 = −2, koje se pojavljuju uslobodnom odzivu sustava (odzivu nepobud

_enog sustava, koji je

posljedica pocetnih uvjeta y(0−), y(0−)) za bilo koju vrijednostparametra a, pa tako i za a = 1 i za a = 2

• Med_utim, za a = 1 ili a = 2 odziv mirnog sustava (pocetni uvjeti = 0)

na bilo koju pobudu, koja ne sadrži u sebi komponentu e−at , necesadržavati vlastiti mod sustava e−at

• Razlog tome leži u cinjenici da svojstvena vrijednost sustava λ = −a

nije i pol prijenosne funkcije sustava – zbog kracenja nule i polaprijenosna funkcija G(s) za s = −a ne teži u beskonacno(|G(−a)| < ∞)



Kracenje nula i polova prijenosne funkcije (3)

• Dakle, svaki pol je i svojstvena vrijednost sustava, no svakasvojstvena vrijednost sustava ne mora biti i pol sustava (zbogmoguceg kracenja nula i polova)

• Prijenosna funkcija je i prije i poslije moguceg kracenja nula ipolova matematicki korektna, pa ispravno opisuje izlazno-ulaznovladanje sustava, tj. dio sustava koji je istodobno i upravljiv iosmotriv


Neminimalno-fazni sustavi

Primjer 10.7: Oscilatorni sustav drugog reda s nulom udesnoj poluravnini s-ravnine (1)

• Ponovno razmatramo prijenosnu funkciju (10-26) (vidi Primjer 10.5.):

G(s) =ωn

β

s + βωn

s2 + 2ζωns + ω2n

,

i pripadajuce težinsku i prijelaznu funkciju (|ζ| < 1):

g(t) = ωne−ζωnt

[

1β

cos(ωn

√

1 − ζ2t) +1− 1

β√1−ζ2

sin(ωn

√

1 − ζ2t)

]

, t ≥ 0

h(t) = 1 − e−ζωnt

[

cos(ωn

√

1 − ζ2t) +ζ− 1

β√1−ζ2

sin(ωn

√

1 − ζ2t)

]

, t ≥ 0

• Razmotrimo prijelaznu funkciju sustava kada je β < 0, tj. kada senula sustava sN1 = −βωn nalazi u desnoj poluravnini s-ravnine(neminimalno-fazni sustav)




• Za slucaj β < 0 dobije se sustav s neminimalno-faznim vladanjem teje prijelazna funkcija za razne vrijednosti parametra β dana naSlici 10.25

• Usporedno je na Slici 10.26 prikazana i prijelazna funkcija sustavaza vrijednosti parametra β po iznosu iste, ali predznakom suprotneu odnosu na one sa Slike 10.25

5 10

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5( )nh tω

ntω

0.25β = −

0.5β = −

1β = −

-5, -8, -10β =

Slika 10.25: Prijelazne funkcije za β < 0

0 5 10

0.5

1

1.5

2

2.5

ntω

( )nh tω

0.25β =

0.5β =

1β =

5, 8, 10β =

Slika 10.26: Prijelazne funkcije za β > 0




• Za β > 0 (sustav s minimalno-faznim vladanjem) – za manjevrijednosti β (nula bliže jω-osi) nadvišenja su izraženija

• Za β < 0 (sustav s neminimalno-faznim vladanjem) dobije sepodbacaj u prijelaznoj funkciji – za manje vrijednosti β podbacajisu izraženiji

• Navedene konstatacije slijede i iz analitickih razmatranja –prijenosna funkcija (10-26) može se prikazati kao:

G(s) =ωn

β

s + βωn

s2 + 2ζωns + ω2n

=ω2

n

s2 + 2ζωns + ω2n

+1

βωns

ω2n

s2 + 2ζωns + ω2n

(10-28)• Iz (10-28) slijedi prijelazna funkcija

G(s) = G0(s) +1

βωnsG0(s) → h(t) = h0(t) +

1

βωn

d

dth0(t) (10-29)

• Iz (10-29) slijedi da ce sve prijelazne funkcije za razlicite vrijednosti βprolaziti kroz tocke (t0,i ,h0(t0,i)), gdje za t0,i vrijedi h0(t0,i) = 0



Prijelazne i težinske funkcije neminimalno-faznih sustava

• Prijelazne i težinske funkcije neminimalno-faznih sustava imaju“inverzni” odziv, odnosno podbacaj (engl. undershoot)

• Ovisno o tome radi li se o neminimalno-faznom sustavu s neparnimili parnim brojem nula smještenih u desnoj poluravnini s-ravninedobiju se nacelno razliciti vremenski odzivi

• Uz neparni broj neminimalno-faznih nula prijelazna funkcija u trenutkut = 0+ krece u suprotnu stranu u odnosu na stacionarno stanje,primjeri:

G1(s) =1−T1s

(1+T2s)(1+T3s)→ h1(0

+) = − T1T2T3

, h1(∞) = 1

G2(s) =T1s−1

1+T2s→ h2(0

+) =T1T2, h2(∞) = −1

• Uz parni broj neminimalno-faznih nula prijelazna funkcija u trenutkut = 0+ krece u stranu odred

_enu konacnim stacionarnim stanjem,

primjer:

G3(s) =(1−T1s)(1−T2s)

(1+T3s)(1+T4s)(1+T5s)→ h3(0

+) = T1T2T3T4T5

, h3(∞) = 1


Neminimalno-fazni sustavi Primjeri neminimalno-faznih sustava

Primjer 10.8: RC-mreža

• Za RC-mrežu danu na Slici 10.27 dobijese prijenosna funkcija:

G(s) = U2(s)U1(s)

= Ua(s)−Ub(s)U1(s)

=

=

U1(s)

R+ 1sC

1sC

− U1(s)

R+ 1sC

R

U1(s)=

= 1−sRC1+sRC

• Uvod_enjem T = RC prijenosna funkcija

sklopa zapisuje se kao:

G(s) =1 − Ts

1 + Ts

(svepropusni clanprvog reda!)

1u2u

R C

RC

au bu

Slika 10.27: RC-mreža



Primjer 10.9: Elevacija zrakoplova u letu (1)

• Prijenosna funkcija G(s) izmed_u promjene visine leta zrakoplova

∆he [m] i zakreta krilaca ψe [] na njegovim stražnjim krilima (Boeing747, Slika 10.28) dana je sljedecom relacijom:

G(s) =∆He(s)

Ψe(s)=

30(2 − s)

s(s2 + 4s + 13)

eψ

Slika 10.28: Prikaz zrakoplova i mjestazakreta krilaca



Primjer 10.9: Elevacija zrakoplova u letu (2)

• Odziv na tipicno upravljacko djelovanje pilota na krilca pripromjeni visine leta prikazan je Slikom 10.29

5 10012345678910

5 10-500

50100150200250

0 0.5 1-1.5-1-0.50

0.51

1.5

podbačaj

[ ]meh∆

[ ]eψ °

[ ]st

[ ]st

Slika 10.29: Manevar promjene visine zrakoplova



Primjer 10.10: Hidroelektrana (1)

Otvorprivodnog aparata

Mehaničkasnaga

Električnasnaga

Slika 10.30: Turbinsko-generatorski slog sprivodnim aparatom

• Prijenosna funkcija kojapribližno opisuje vladanjeturbinsko-generatorskog sloga sprivodnim aparatom glasi:

∆P(s)

∆X (s)=

1 − Ts

1 + 0.5Ts(10-30)

gdje je:

• ∆P(s) - promjena mehanickesnage turbine

• ∆X (s) - promjena otvoraprivodnog aparata

• T - vremenska konstantatromosti vode



Primjer 10.10: Hidroelektrana (2)

• Privodni aparat cine pomicne lopatice cijim se zakretanjemodred

_uje protok vode kroz turbinu

• Efekt tromosti vode uzrokuje u pocetnom trenutku promjenuprotoka vode (i snage proporcionalne protoku!) suprotnog smjeraod promjene otvora privodnog aparata (zbog vece površineotvora)


Zakljucak

Zakljucak

• Izbor mjesta polova u s-ravnini (odred_enih parametrima ζ i ωn)

odred_uje dinamicke pokazatelje kvalitete sustava u vremenskom

podrucju (neposredni pokazatelji kvalitete)• Dobivene su relacije za odred

_ivanje neposrednih pokazatelja

kvalitete sustava drugog reda bez nula:

tr =1.8ωn, tm = π

ωn

√1−ζ2

,

t1% = 4.6ζωn

, σm[%] = 100e− πζ√

1−ζ2

• Te su relacije valjane i za sustave višeg reda od dva ako je jedanpar polova sustava dominantan, a ostali polovi relativno daleko odjω-osi (nedominatni polovi)

• Nule sustava znacajno utjecu na vremenski odziv, ovisno o njihovupoložaju u odnosu na polove sustava

• Nule sustava iz desne poluravnine s-ravnine uzrokuju pojavu“inverznog odziva” zbog cega je ove sustave teško upravljati


AU Predavanje10 Bez Animacija

Documents

Transcript of AU Predavanje10 Bez Animacija