ATV71 Manual User (Vietnamese)

04/11/23 Hệ phương trình tuyến tính 1

C2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

2.1. Dạng tổng quát của hệ phương trình tuyến tính:1. Định nghĩa: Đó là một hệ phương trình đại số bậc nhất gồm m phương trình n ẩn có dạng:

mnmn22m11m

2nn2222121

1nn1212111

bxa...xaxa

...............

bxa...xaxa

bxa...xaxa

xj là biến,

aij được gọi là hệ số (của

ẩn)bi: được gọi là hệ số tự

do


1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN2. Ma trận các hệ số của phương trình:

mn2m1m

n22221

n11211

a...aa

............

a...aa

a...aa

A

3. Ma trận cột của ẩn và ma trận cột của hệ số tự do:

Tn21

n

2

1

x...xx

x

...

x

x

X

Tm21

m

2

1

b...bb

b

...

b

b

B

Hệ phương trình (1) có thể viết: AX = B


1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN4. Ma trận bổ sung:

m

2

1

mn2m1m

n22221

n11211

b

...

b

b

a...aa

............

a...aa

a...aa

A

1.2. Nghiệm:• Một nghiệm của hệ phương trình (1) là một bộ n số thực (c1,c2,…cn) thoả hệ phương trình (1).• Hệ phương trình (1) được gọi là tương thích nếu có ít nhất một nghiệm, và được gọi là không tương thích (hệ vô nghiệm) nếu nó không có nghiệm.• Hai hệ phương trình tuyến tính được gọi là tương đương, nếu các tập hợp nghiệm của chúng là trùng nhau.


1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN1.3. Điều kiện tồn tại nghiệm:• Định lý (Định lý Kronecker – Capelli): Hệ phương trình tuyến tính (1) có nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma trận A bằng hạng của ma trận bổ sung .

1.4. Ví dụ: Xác định tham số a để phương trình sau có nghiệm:

1axxx

1xaxx

1xxax

321

321

321

)2a()1a(2a3a

a11

1a1

11a

A 23


2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAME

2.1. Định nghĩa: Hệ phương trình Crame là một hệ phương trình tuyến tính n phương trình, n ẩn và định thức của ma trận hệ số khác không.

2.2. Định lý Crame: Hệ phương trình Crame có nghiệm duy nhất tính bằng công thức X = A-1B, tức là:

)Adet(

)Adet(x j

j

Trong đó Aj là ma trận thu được từ A bằng cách thay cột thứ j bằng cột các phần tử tự do.


2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAME

2.3. Ví dụ: Giải hệ phương trình:

8x3x2x

30x6x4x3

6x2x

321

321

31


3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS3.1. Định nghĩa:

Hệ phương trình tuyến tính có số phương trình và số ẩn khác nhau hoặc ma trận các hệ số bằng không.

Ta thực hiện các phép toán trên hàng đối với ma trận bổ sung của hệ phương trình (1) và đưa ma trận này về dạng ma trận bậc thang.

m

2

1

mn2m1m

n22221

n11211

b

b

b

a...aa

............

a...aa

a...aa

A


3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS3.2.Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:

7x7x11x4

2x2xx3

4x3x4x2

321

321

321

3.3. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:

3.3.1. Định nghĩa:

0xa...xaxa

............

0xa...xaxa

0xa...xaxa

nmn22m11m

nn2222121

nn1212111

T0...00

0

...

0

0

X


3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS3.3. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:

3.3.1. Định nghĩa:

0xa...xaxa

............

0xa...xaxa

0xa...xaxa

nmn22m11m

nn2222121

nn1212111

T0...00

0

...

0

0

X

Hệ luôn có nghiệm tầm thường


3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS3.3.2. Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:

Trường hợp 1: Nếu rankA = n, hệ phương trình chỉ có nghiệm tầm thường.

Trường hợp 2: Nếu rankA = k < n thì hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có vô số nghiệm, phụ thuộc n-k tham số.

3.3.3. Ví dụ:

0x19x24x8x3

0x3x2x5x4

0x4x6x5x3

0x3x4x2x

4321

3321

4321

4321


3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS

101220

151830

5610

3421

192483

3254

4653

3421

413121

HH3HH4HH3

0000

0000

5610

7801

4232122

HH2HH3HH2H


3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS

0x5x6x

0x7x8x

432

431

432

431

x5x6x

x7x8x

RankA = 2, số ẩn là 4 nên hệ phương trình có vô số nghiệm phụ thuộc vào 2 tham số X1, X2.


3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS3.3.4. Hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất: Giả sử rankA = k < n. Ta có hệ có vô số nghiệm phụ thuộc n-k tham số. Giả sử n-k tham số đó là xk+1, … xn.

x1 x2 ... xk xk+1 xk+2 … xn

c11 c12 … c1k 1 0 ... 0

c11 c12 … c1k 0 1 ... 0

... ... ... ...

cn-k,1 cn-k,2 … cn-k,k 0 0 ... 1

Hệ này được gọi là hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.


3 PHƯƠNG PHÁP GAUSSÁp dụng: Sử dụng ví dụ trên ta tìm được hệ nghiệm cơ bản như sau:

x1 = 8x3 – 7x4 x2 = -6x3 + 5x4 x3 x4

8 -6 1 0

-7 5 0 1

ATV71 Manual User (Vietnamese)

Documents

Transcript of ATV71 Manual User (Vietnamese)