Atomo Hidrogeno

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estructura de la materia

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  • Estructura de la Materia

    Atomo de Hidrogeno

    Martha M. Flores LeonarFQ UNAM

    26 de marzo de 2015

  • ATOMO DE HIDROGENO

    x

    y

    z

    r

    (r, , ) = R (r) () () (1)

    H = ~2

    22 kZe

    2

    r(2)

    H (r, , ) = E (r, , ) (3)

  • SOLUCIONES DE ATOMO DE HIDROGENO

    n,l,m (r, , ) = Rn,l (r) radial

    l,m () m () angular

    (4)

    n,l,m (r, , ) = Rn,l (r)Yl,m (, ) (5)

    Numeros cuanticos

    n numero cuantico principal(nivel de energa )

    n = 1, 2, 3, ...

    l numero cuantico secundario(forma del orbital)

    l = 0, 1, 2, ..., n 1 l = 0 sl = 1 pl = 2 dl = 3 f...

    m numero cuantico magnetico(orientacion del orbital)

    m = l,l + 1, ..., 0, ..., l 1, l

    En = 12kZ2e2

    n2a0(6)

  • Funciones radiales Rn,l (r)

    Rn,l (r) = rleZr/na0nl1j=0

    Cjrj (7)

    Funciones angulares Yl,m (, )

    Yl,m (, ) =[

    2l + 14pi

    (l |m|)(l + |m|)

    ]1/2Pl,m(w) eim (8)

    Pl,m(w) = (1 w2)|m|/2 d|m|

    dw|m|Pl(w) ; w = cos

    Pl(w) =

    P0(w) = 1P1(w) = wP2(w) = 12 (3w

    2 1)P3(w) = 12 (5w

    3 3w)...

  • Funciones radiales del atomo de hidrogeno

    n l Rn,l(r)

    1 0 2(

    Za0

    )3/2eZr/a0

    2 0 12

    2

    (Za0

    )3/2 (2 Zra0

    )eZr/2a0

    2 1 12

    6

    (Za0

    )3/2 (Zra0

    )eZr/2a0

    3 0 281

    3

    (Za0

    )3/2 [2(Zra0

    )2 18(Zra0 )+ 27]eZr/3a0

    3 1 2

    281

    3

    (Za0

    )3/2 [6

    (Zra0

    )](Zra0

    )eZr/3a0

    3 2 2

    281

    15

    (Za0

    )3/2 (Zra0

    )2eZr/3a0

  • Funciones angulares del atomo de hidrogeno

    l m Yl,m (, ) = l,m() m()

    0 0 (1/4pi)1/2

    1 0 (3/4pi)1/2 cos 1 1 (3/8pi)1/2 sen ei

    1 1 (3/8pi)1/2 sen ei2 0 (5/16pi)1/2

    (3 cos2 1)

    2 1 (15/8pi)1/2 sen cos ei

    2 1 (15/8pi)1/2 sen cos ei2 2 (15/32pi)1/2 sen2 e2i

    2 2 (15/32pi)1/2 sen2 e2i

  • Funciones del hidrogeno

    n l m n,l,m (r, , ) = Rn,l (r)Yl,m (, ) Orbital

    1 0 0 1,0,0 (r, , ) = R1,0 (r)Y0,0 (, ) 1s

    2 0 0 2,0,0 (r, , ) = R2,0 (r)Y0,0 (, ) 2s2 1 0 2,1,0 (r, , ) = R2,1 (r)Y1,0 (, ) 2p02 1 1 2,1,1 (r, , ) = R2,1 (r)Y1,1 (, ) 2p12 1 1 2,1,1 (r, , ) = R2,1 (r)Y1,1 (, ) 2p13 0 0 3,0,0 (r, , ) = R3,0 (r)Y0,0 (, ) 3s3 1 0 3,1,0 (r, , ) = R3,1 (r)Y1,0 (, ) 3p03 1 1 3,1,1 (r, , ) = R3,1 (r)Y1,1 (, ) 3p13 1 1 3,1,1 (r, , ) = R3,1 (r)Y1,1 (, ) 3p13 2 0 3,2,0 (r, , ) = R3,2 (r)Y2,0 (, ) 3d03 2 1 3,2,1 (r, , ) = R3,2 (r)Y2,1 (, ) 3d13 2 1 3,2,1 (r, , ) = R3,2 (r)Y2,1 (, ) 3d13 2 2 3,2,2 (r, , ) = R3,2 (r)Y2,2 (, ) 3d23 2 2 3,2,2 (r, , ) = R3,2 (r)Y2,2 (, ) 3d2

  • NIVELES DE ENERGIA DEL ATOMO DE HIDROGENO

    En = 12kZ2e2

    n2a0

    n numero cuantico principalE (Ha)

  • NIVELES DE ENERGIA DEL ATOMO DE HIDROGENO

    En = 12kZ2e2

    n2a0

    n numero cuantico principalE (Ha)

    -0.1

    -0.2

    -0.3

    -0.4

    -0.5

    -0.0

  • NIVELES DE ENERGIA DEL ATOMO DE HIDROGENO

    En = 12kZ2e2

    n2a0

    n numero cuantico principalE (Ha)

    -0.1

    -0.2

    -0.3

    -0.4

    -0.5

    -0.0

    1s

  • NIVELES DE ENERGIA DEL ATOMO DE HIDROGENO

    En = 12kZ2e2

    n2a0

    n numero cuantico principalE (Ha)

    -0.1

    -0.2

    -0.3

    -0.4

    -0.5

    -0.0

    1s

    2s

    2p

  • NIVELES DE ENERGIA DEL ATOMO DE HIDROGENO

    En = 12kZ2e2

    n2a0

    n numero cuantico principalE (Ha)

    -0.1

    -0.2

    -0.3

    -0.4

    -0.5

    -0.0

    1s

    2s

    2p

    3s

    3p

    3d

  • NIVELES DE ENERGIA DEL ATOMO DE HIDROGENO

    En = 12kZ2e2

    n2a0

    n numero cuantico principalE (Ha)

    -0.1

    -0.2

    -0.3

    -0.4

    -0.5

    -0.0

    1s

    2s

    2p

    3s

    3p

    3d

    4f

  • NIVELES DE ENERGIA DEL ATOMO DE HIDROGENO

    En = 12kZ2e2

    n2a0

    n numero cuantico principal

    -0.0

    -0.1

    -0.2

    -0.3

    -0.4

    -0.5

    E (Ha)

    1s

    2s

    2p

    3s

    3p

    3d

    4f

    n = 1

    1 estado

    n = 2

    4 estados degenerados

    n = 3

    9 estados

    degenerados

    n = 4

    16 estados degenerados

  • ANALISIS DE LA PARTE RADIAL

    Contiene toda la informacion del sistemaNo tiene significado fsico

    ||2 Densidad de probabilidad()

    (r, , ) = |(r, , )|2 = |R(r)|2|()|2|()|2 (9)

    (r, , ) = |(r, , )|2 = |R(r)|2 radial

    |Y(, )|2 (10)

    Rn,l(r) es funcion de la distancia al nucleo

    Rn,l(r) depende de los numeros cuanticos n y l

    Numero de nodos, penetracion de las funciones y funcionesdifusas o localizadas

  • Funciones 1s, 2s y 3s:Funciones radiales y su cuadrado para los orbitales 1s, 2s, 3s, 2p, 3p y 3d del hidrgeno.

    !

    !

    En las funciones s la es distinta de cero en el origen, su valor disminuye al

    aumentar n

    Nodos estan asociados con cambios de signo en la funcion:ns n 1 nodos

  • Funciones 2p, 3p, 3d:

    Funciones radiales y su cuadrado para los orbitales 1s, 2s, 3s, 2p, 3p y 3d del hidrgeno.

    !

    !En las funciones p y d la es cero en el origen

    El numero de nodos depende de n y l para cualquier tipo de funcion:

    numero de nodos = n l 1 nodos

  • FUNCION DE DISTRIBUCION RADIAL

    ||2 d = 1 (11)

    0

    pi0

    2pi0|R(r)|2 |()|2 |()|2 r2 sen d d dr = 1 (12)

    0|R(r)|2 r2 dr

    pi0

    2pi0|()|2 |()|2 sen d d = 1 (13)

    Si la parte angular esta normalizada: 0

    |R(r)|2 r2 funcion de distribucion radial

    dr = 1 (14)

  • |R(r)|2 r2 dr Probabilidad de encontrar al electron a un distancia rdel nucleo en una capa de espesor dr

    La funcion de distribucion radial es siempre cero en el origen

  • Funciones de distribucion radial:Funciones de distribucin radial para los orbitales 1s, 2s, 3s, 2p, 3p y 3d.

    !

  • Orbitales difusos Que tan extendida se vuelve la funcionEste comportamiento es mas evidente al cambiar de nivel deenerga (n)

    Densidades radiales de probabilidad en unidades atmicas.

    !!

    !

    3s > 2s > 1s

    El orbital 3s es mas difuso que el 2s y este a su vez es mas difuso que el 1s

  • Funciones penetrantes Probabilidad de encontrar al electroncerca del nucleo

    Este comportamiento es mas evidente al cambiar el tipo deorbital (l)

    Densidades radiales de probabilidad en unidades atmicas.

    !!

    !3s > 3p > 3d

    El orbital 3s es mas penetrante que el 3p y este a su vez es mas penetrante que el 3d

  • ANALISIS DE LA PARTE ANGULAR

    n,l,m (r, , ) = Rn,l (r) l,m () m () angular

    (15)

    n,l,m (r, , ) = Rn,l (r)Yl,m (, ) (16)

    n l m n,l,m (r, , ) = Rn,l (r)Yl,m (, ) Orbital

    1 0 0 1,0,0 (r, , ) = R1,0 (r) (1/4pi)1/2 1s

    2 0 0 2,0,0 (r, , ) = R2,0 (r) (1/4pi)1/2 2s2 1 0 2,1,0 (r, , ) = R2,1 (r) (3/4pi)1/2 cos 2p02 1 1 2,1,1 (r, , ) = R2,1 (r) (3/8pi)1/2 sen ei 2p12 1 1 2,1,1 (r, , ) = R2,1 (r) (3/8pi)1/2 sen ei 2p1

    Las funciones son imaginarias excepto cuando m 6= 0Para eliminar la parte imaginaria hay que hacer combinacioneslineales

  • x

    y

    z

    r

    r, , x, y, zz = r cos (17)

    y = r sen sen (18)

    x = r sen cos (19)

  • Funcion s:

    l = 0, m = 0

    Y0,0 (, ) = (1/4pi)1/2

    Y0,0 (, ) no depende de ni de se define una esfera

    Y0,0 (, ) |Y0,0 (, ) |2

    No hay nodos en la funcion (planos nodales)

    La probabilidad de encontrar al electron es independiente de ladireccion

  • Funcion p:

    l = 1, m = 0

    Y1,0 (, ) = (3/4pi)1/2 cos

    Y1,0 (, ) |Y1,0 (, ) |2

    Funcion pzHay un plano nodal

    La probabilidad de encontrar al electron es mayor sobre el eje z

  • Funcion p:

    l = 1, m = 1 Y1,1 (, ) = (3/8pi)1/2 sen eil = 1, m = 1 Y1,1 (, ) = (3/8pi)1/2 sen ei

    Se hacen combinaciones lineales:

    Yp+ (, ) =12

    [Y1,1 + Y1,1] (20)

    Yp (, ) =1

    i

    2[Y1,1 Y1,1] (21)

    Ademas, la funcion exponencial compleja se puede escribir como:

    ei = cos + i sen (22)

    ei + ei = cos + i sen + cos i sen = 2 cos (23)

    ei ei = cos + i sen cos + i sen = 2i sen (24)

  • Yp+ (, ) =12

    [Y1,1 + Y1,1]

    =12

    [(3

    8pi

    )1/2sen ei +

    (3

    4pi

    )1/2sen ei

    ]

    =12

    (3

    8pi

    )1/2sen

    [ei + ei

    ]=

    12

    (3

    4pi

    )1/2sen [2 cos ]

    =

    (3

    4pi

    )1/2sen cos

    = Ypx (, ) (25)

  • Yp (, ) =1

    i

    2[Y1,1 Y1,1]

    =1

    i

    2

    [(3

    8pi

    )1/2sen ei

    (3

    4pi

    )1/2sen ei

    ]

    =1

    i

    2

    (3

    8pi

    )1/2sen

    [ei ei]

    =12i

    (3

    4pi

    )1/2sen [2i sen ]

    =

    (3

    4pi

    )1/2sen sen

    = Ypy (, ) (26)

  • Funciones px y py:

    Ypx (, ) Ypy (, )

    Cada una tiene un plano nodal

    |Y|2 La probabilidad de encontrar al electron es mayor sobrelos ejes x y y respectivamente

  • Planos nodales:

    La funcion s (l = 0) no tiene planos nodales

    Las funciones p (l = 1) tienen 1 plano nodal

  • Las funciones d (l = 2) tienen 2 planos nodales

  • Las funciones f (l = 3) tienen 3 planos nodales

  • Las funciones angulares (Yl,m (, )) tienen l planos nodales

    Las funciones radiales (Rn,l (, )) tienen n l 1 planos nodalesLas funciones totales (n,l,m (, )) tienen n 1 planos nodales

    n,l,m (r, , ) n 1

    = Rn,l (r) n l 1

    Yl,m (, ) l

  • FUNCIONES DE ONDA REALESTabla