Atomic orbital&

Hydrogen-atom wave function原子軌道と水素原子波動関数

Derivation of hydrogen-atom wave function

@ Schrödinger eq. of H atom （水素原子のシュレディンガー方程式）

Derivation of hydrogen-atom wave function

E = - —2n2

1 Energy（エネルギー）

@ Solution （解）

ψn,l,m (r,θ,φ) Rn,l (r) Yl,m (θ,φ) , = xHydrogen-atom wave function

（水素原子波動関数） Radial wave function

（動径波動関数）

Spherical Harmonics

（球面調和関数） n = 1, 2, 3, . . .l = 0, 1, 2, . . . , n-1

m = 0, ±1, ±2, . . . , ±lwhere

@ realized Hydrogen-atom wave function （実数化した水素原子波動関数）

ψn,l,m (r,θ,φ) real

Rn,l (r) Yl,m (θ,φ) ±

x=Realized Spherical Harmonics

（実数化した球面調和関数）

eliminate a imaginary by linear combination （足し算引き算して虚数を消去する）

separate the variables of ( r, θ, φ) （変数分離する）

n = 1, 2, 3, . . .l = 0, 1, 2, . . . , n-1m = 0, 1, 2, . . . , l

where

convert from the xyz to the rθφ(polar) coordinate （ xyz 座標から極座標へ変換する）

convert to the atomic unit （原子単位へ変換する）

@ Schrödinger eq. of H atom （水素原子のシュレディンガー方程式）

Load to the Atomic Orbitals

ψn,l,m (r,θ,φ) real

Rn,l (r) x=n = 1, 2, 3, . . .l = 0, 1, 2, . . . , n-1m = 0, 1, 2, . . . , l

where

Y0,0

Y1,0 Y+1,1Y-

1,1

Y2,0 Y+2,1 Y+

2,2Y-2,1Y-

2,2

Yl,m (θ,φ) ±

n=1

n=2

n=3

R1,0

R2,0R2,0R2,1

r

R3,0 R3,1 R3,2

l=0

l=1

l=2

θ

φπ

2π

n=1

n=2

n=3

R1,0

R2,0R2,0R2,1

r

R3,0 R3,1 R3,2

Load to the Atomic Orbitals

ψn,l,m (r,θ,φ) real

Rn,l (r) x=n = 1, 2, 3, . . .l = 0, 1, 2, . . . , n-1m = 0, 1, 2, . . . , l

where

Y0,0

Y1,0 Y+1,1Y-

1,1

Y2,0 Y+2,1 Y+

2,2Y-2,1Y-

2,2

Yl,m (θ,φ) ±

θ

φπ

2π

3D representation

（この変形は世界地図の変形に似ている）（この変形は世界地図の変形に似ている）

l=2 : dz2orbital

d orbital

z2

This transformation is similar to that of the world map.

conversion Y2,0 (r,x,y,z)

Load to the Atomic Orbitals

ψn,l,m (r,θ,φ) real

Rn,l (r) x=n = 1, 2, 3, . . .l = 0, 1, 2, . . . , n-1m = 0, 1, 2, . . . , l

where

Y0,0

Y1,0 Y+1,1Y-

1,1

Y2,0 Y+2,1 Y+

2,2Y-2,1Y-

2,2

Yl,m (θ,φ) ±

+

+ + + +

+ + ++ +

+ + ++

++ +

- --

- - -- - - -

- - -

n=1

n=2

n=3

R1,0

R2,0R2,0R2,1

r

R3,0 R3,1 R3,2

n=1

n=2

n=3

R1,0

R2,0R2,0R2,1

r

R3,0 R3,1 R3,2dz2 dzxdyzdxy dx2-y2

pz pxpy

s

ψn,l,m (r,θ,φ) real

x= Yl,m (θ,φ) ±

Load to the Atomic Orbitals

Yl,m (r,x,y,z) ±

Rn,l (r)

R1,0

R2,0R2,0

R3,0

n=1

n=2

n=3

s

s orbital

2s

3s

x =

1s

xRn,l (r) ψn,l,m (r,x,y,z) real

=Yl,m (r,x,y,z) ±

R2,1

R3,1

n=2

n=3

pz

px

py

p orbital

x

l=1

=

3pz

3px

3py

2pz

2px

2py

xRn,l (r) ψn,l,m (r,x,y,z) real

=Yl,m (r,x,y,z) ±

dz2

dzx

dyz

dxy

dx2-y2

d orbital

x =

3dz2

3dzx

3dyz

3dxy

3dx2-y2

l=2

R3,2

n=3

xRn,l (r) ψn,l,m (r,x,y,z) real

=Yl,m (r,x,y,z) ±

Atomic Orbitals and Energies of the Hydrogen Atom（水素原子の原子軌道とエネルギー）

n=1

n=2

n=3n=4

E = - —2n21

( K shell )

( L shell )

( M shell )

( N shell )

l=1 l=2 l=3l=0

m=±1 m=±2 m=±3m=0m=±1 m=±2m=0

m=±1m=0

m=0

n = 1, 2, 3, . . .

l = 0, 1, 2, . . . , n-1

m = 0, ±1, ±2, . . . , ±l

principal quantum number

orbital angular momentum quantum number

magnetic quantum number（磁気量子数）

（軌道角運動量量子数）

（主量子数）

0

-0.5

Atomic Orbitals and Energies of the Hydrogen Atom

ψn,l,m (r,θ,φ)

n=1

n=2

n=3n=4

E = - —2n21

Atomic Orbitals and Energies of the Hydrogen Atom

4pz 4px 4py 4dz2 4dzx4dyz 4dxy

4dx2-y2

4s

4fx(5z2-r2)

4fy(5z2-r2)

4fz(x2-y2)

4fxyz

4fx(x2-3y2)

4fy(3x2-y2)

2s

3s

1s

3pz 3px 3py

2pz 2px 2py

3dz2 3dzx 3dyz 3dxy 3dx2-y2

4fz(5z2-3r2)

ψn,l,m (r,x,y,z) real

ψn,l,m (r,θ,φ)

n=1

n=2

n=3n=4

E = - —2n21

Atomic Orbitals and Energies of the Hydrogen Atom

4pz 4px 4py 4dz2 4dzx4dyz 4dxy

4dx2-y2

4s

4fx(5z2-r2)

4fy(5z2-r2)

4fz(x2-y2)

4fxyz

4fx(x2-3y2)

4fy(3x2-y2)

2s

3s

1s

3pz 3px3py

2pz 2px2py

3dz2 3dzx3dyz3dxy 3dx2-y2

4fz(5z2-3r2)

ψn,l,m (r,x,y,z) real

4pz 4px4py

4dz2 4dzx4dyz4dxy 4dx2-y2

4s

4fx(5z2-r2) 4fy(5z2-r2) 4fz(x2-y2)4fxyz 4fx(x2-3y2)4fy(3x2-y2) 4fz(5z2-3r2)

4fx(5z2-r2) 4fy(5z2-r2) 4fz(x2-y2)4fxyz 4fx(x2-3y2)4fy(3x2-y2) 4fz(5z2-3r2)

4dz2 4dzx4dyz4dxy 4dx2-y2

4pz 4px4py

4s

3dz2 3dzx3dyz3dxy 3dx2-y2

2s

3s

1s

3pz 3px3py

2pz 2px2py