Atom vodika - fizika.unios.hr · Odredite valnu funkciju i dopu stene energije. Igor Luka cevi c...

Atom vodika

Atom vodikaQuantum mechanics 1 - Lecture 11

Igor Lukacevic

UJJS, Dept. of Physics, Osijek

23. svibnja 2013.

Igor Lukacevic Atom vodika

Atom vodika

Sadrzaj

1 Razdvajanje Schrodingerove jednadzbeSchrodingerova jednadzba u sfernim koordinatamaRazdvajanje varijabliKutna jednadzbaRadijalna jednadzba

2 Atom vodikaRadijalna valna funkcijaSpektar atoma vodika

3 Literatura


Atom vodika

Razdvajanje Schrodingerove jednadzbe

Sadrzaj



3 Literatura


Atom vodika


Schrodingerova jednadzba u sfernim koordinatama


Atom vodika



Pitanja

1 Kako izgleda potencijal u kojem segiba elektron u atomu vodika?

2 O cemu on ovisi?

3 Koje bi bile tada prirodne koordinateza ovaj problem?

4 Sto je s vremenom?


Atom vodika



S.J. u Kartezijevim koordinatama

− ~2

2m

(∂2

∂x2+

∂2

∂y 2+

∂2

∂z2

)Ψ(x , y , z) + V (x , y , z)Ψ(x , y , z) = EΨ(x , y , z)

↓

S.J. u sfernim koordinatama

− ~2

2m

[1

r 2∂

∂r

(r 2∂

∂r

)+

1

r 2 sinϑ

∂

∂ϑ

(sinϑ

∂

∂ϑ

)+

1

r 2 sin2 ϑ

(∂2

∂ϕ2

)]Ψ(r , ϑ, ϕ) + V (r)Ψ(r , ϑ, ϕ) = EΨ(r , ϑ, ϕ)

Pitanje

Mozete li razdvojiti S.J. u sfernim koordinatama?


Atom vodika


Razdvajanje varijabli

PretpostavkaΨ(r , ϑ, ϕ) = R(r)Y (ϑ, ϕ)

⇒{

1

R

d

dr

(r 2

dR

dr

)− 2mr 2

~2[V (r)− E ]

}︸︷︷︸

samo o r

=

= − 1

Y

{1

sinϑ

∂

∂ϑ

(sinϑ

∂Y

∂ϑ

)+

1

sin2 ϑ

∂2Y

∂ϕ2

}︸︷︷︸

samo o ϑ,ϕ


Atom vodika


Razdvajanje varijabli

1

R

d

dr

(r 2

dR

dr

)− 2mr 2

~2[V (r)− E ] = l(l + 1)

− 1

Y

{1

sinϑ

∂

∂ϑ

(sinϑ

∂Y

∂ϑ

)+

1

sin2 ϑ

∂2Y

∂ϕ2

}= l(l + 1)


Atom vodika


Kutna jednadzba

sinϑ∂

∂ϑ

(sinϑ

∂Y

∂ϑ

)+∂2Y

∂ϕ2= −l(l + 1) sin2 ϑY

Pitanje

Prepoznajete li ovu jednadzbu?

Hint: Malo je “zamaskirana”.


Atom vodika


Kutna jednadzba

Sferni harmonici - rjesenja kutne jednadzbe [4,5]

Y ml (ϑ, ϕ) = Θm

l (ϑ)Φm(ϕ) = ε

√(2l + 1)

4π

(l − |m|)!

(l + |m|)!e imϕ Pm

l (cosϑ) ,

ε =

{(−1)m , m > 01 , m ≤ 0


Atom vodika


Radijalna jednadzba

Pitanje

Na koji dio valne funkcije, Ψ(r , ϑ, ϕ) = R(r) · Y (ϑ, ϕ), ce utjecati sfernosimetricni potencijal oblika V = V (r)?


Atom vodika


Radijalna jednadzba

d

dr

(r 2

dR

dr

)− 2mr 2

~2[V (r)− E ] R = l(l + 1)R

u(r) = rR(r)

− ~2

2m

d2u

dr 2+

[V +

~2

2m

l(l + 1)

r 2

]u = Eu

↓RADIJALNA JEDNADZBA

Pitanje

Sto mozete zakljuciti iz usporedbe radijalne jednadzbe sa Schrodingerovomjednadzbom?


Atom vodika


Radijalna jednadzba

efektivni potencijal Veff = V +~2

2m

l(l + 1)

r 2︸︷︷︸↓

centrifugalni clan


Atom vodika


Radijalna jednadzba

Primjer 1.

Promotrite beskonacno duboki sferni bunar

V (r) =

0 , r ≤ a

∞ , r > a.

Odredite valnu funkciju i dopustene energije.


Atom vodika


Radijalna jednadzba

Primjer 1.


V (r) =

0 , r ≤ a

∞ , r > a.


izvan bunara: u = 0

unutar bunara: V = 0

⇒ d2u

dr 2=

[l(l + 1)

r 2− k2

]u , k =

√2mE

~


Atom vodika


Radijalna jednadzba

Primjer 1.


V (r) =

0 , r ≤ a

∞ , r > a.


1 l = 0 ⇒d2u

dr 2= −k2u ⇒ u(r) = A sin(kr) + B cos(kr)

Pitanje

Kako cete odrediti A i B?


Atom vodika


Radijalna jednadzba

Primjer 1.


V (r) =

0 , r ≤ a

∞ , r > a.


1 l = 0 ⇒d2u


u(0) = 0 ⇒ B = 0

u(a) = 0 ⇒ ka = nπ ⇒ En0 =n2π2~2

2ma2, n ∈ N

Zadatak

Usporedite En0 s energijama u kvadratnom bunaru.


Atom vodika


Radijalna jednadzba

Primjer 1.


V (r) =

0 , r ≤ a

∞ , r > a.


1 l = 0 ⇒d2u


U.N. ⇒ A =

√2

a⇒ ψn00 = R(r)Ylm(ϑ, ϕ) =

u(r)

rY 0

0

=

√2

a

sin(nπr/a)

r· 1√

4π

=1√2πa

sin(nπr/a)

r


Atom vodika


Radijalna jednadzba

Primjer 1.


V (r) =

0 , r ≤ a

∞ , r > a.


2 l = 1, 2, 3, . . .[6]⇒

u(r) = Arjl (kr) + Brnl (kr)

jl (x) = (−x)l

(1

x

d

dx

)lsin x

x sferne Besselove funkcije

nl (x) = −(−x)l

(1

x

d

dx

)lcos x

x sferne Neumannove funkcije


Atom vodika


Radijalna jednadzba

Primjer 1.


Atom vodika


Radijalna jednadzba

Primjer 1.

99K zasto cemo staviti B = 0?


Atom vodika


Radijalna jednadzba

⇒ R(r) = Ajl (kr)

Pitanje

Sto dobijemo iz rubnog uvjeta?


Atom vodika


Radijalna jednadzba

⇒ R(r) = Ajl (kr)

Rubni uvjet: R(a) = 0 ⇒ jl (ka) = 0 ⇒ k =1

aβnl


Atom vodika


Radijalna jednadzba

⇒ R(r) = Ajl (kr)

Rubni uvjet: R(a) = 0 ⇒ jl (ka) = 0 ⇒ k =1

aβnl

Enl =~2

2ma2β2

nl

ψnlm(r , ϑ, ϕ) = Anl jl

(βnl r

a

)Y m

l (ϑ, ϕ)


Atom vodika

Atom vodika

Sadrzaj



3 Literatura


Atom vodika

Atom vodika

Radijalna valna funkcija

Potencijal

V (r) = − e2

4πε0

1

r

Radijalna jednadzba

− ~2

2m

d2u

dr 2+

[V +

~2

2m

l(l + 1)

r 2

]u = Eu

u(r) =?


Atom vodika

Atom vodika


κ =

√−2mE

~⇒ 1

κ2

d2u

dr 2=

[1− me2

2πε0~2κ1

(κr)+

l(l + 1)

(κr)2

]u

Supstitucija ρ = κr , ρ0 =me2

2πε0~2κ

⇒ d2u

dρ2=

[1− ρ0

ρ+

l(l + 1)

ρ2

]u , u = u(ρ)


Atom vodika

Atom vodika


Ideja: pogledajmo rjesenja u asimptotskim podrucjima!

1 ρ→∞

Pitanje

Koji clan dominira u radijalnoj jednadzbi?


Atom vodika

Atom vodika



1 ρ→∞

d2u

dρ2= u ⇒ u(ρ) = Ae−ρ +��HHBeρ︸︷︷︸

?

∼ Ae−ρ


Atom vodika

Atom vodika



1 ρ→∞

d2u

dρ2= u ⇒ u(ρ) = Ae−ρ +��HHBeρ︸︷︷︸

?

∼ Ae−ρ

2 ρ→ 0

Pitanje

Koji clan dominira u radijalnoj jednadzbi?


Atom vodika

Atom vodika



1 ρ→∞

d2u

dρ2= u ⇒ u(ρ) = Ae−ρ +��HHBeρ︸︷︷︸

?

∼ Ae−ρ

2 ρ→ 0

d2u

dρ2=

l(l + 1)

ρ2u ⇒ u(ρ) = Cρl+1 +��

�HHHDρ−l︸︷︷︸?

∼ Cρl+1


Atom vodika

Atom vodika


Pretpostavimo u(ρ) = ρl+1e−ρv(ρ)

[2]=⇒ ρ

d2v

dρ2+ 2(l + 1− ρ)

du

dρ+ [ρ0 − 2(l + 1)] v = 0

v(ρ) =?


Atom vodika

Atom vodika


Pretpostavimo u(ρ) = ρl+1e−ρv(ρ)

[2]=⇒ ρ

d2v

dρ2+ 2(l + 1− ρ)

du

dρ+ [ρ0 − 2(l + 1)] v = 0

v(ρ) =?

Pretpostavimo v(ρ) =∞∑

j=0

ajρj ⇒ aj =?

[2]=⇒

∞∑j=0

j(j + 1)aj+1ρj + 2(l + 1)

∞∑j=0

(j + 1)aj+1ρj

−2∞∑

j=0

jajρj + [ρ0 − 2(l + 1)]

∞∑j=0

ajρj = 0

=⇒ j(j + 1)aj+1 + 2(l + 1)(j + 1)aj+1 − 2jaj + [ρ0 − 2(l + 1)] aj = 0


Atom vodika

Atom vodika


⇒ rekurzivna formula

aj+1 =

[2(j + l + 1)− ρ0

(j + 1)(j + 2l + 2)

]aj

a0 = A → a1 → a2 → · · ·

Pitanje

Kako biste odredili A?


Atom vodika

Atom vodika



aj+1 =

[2(j + l + 1)− ρ0

(j + 1)(j + 2l + 2)

]aj

a0 = A → a1 → a2 → · · ·

potrazimo aj kada j →∞

Pitanje

Koji clanovi dominiraju u v(ρ) kada j →∞?


Atom vodika

Atom vodika



aj+1 =

[2(j + l + 1)− ρ0

(j + 1)(j + 2l + 2)

]aj

a0 = A → a1 → a2 → · · ·

potrazimo aj kada j →∞[2]⇒ aj ≈

2j

j!A

pretpostavimo da je to “egzaktan” rezultat

⇒ v(ρ) = A∞∑

j=0

(2ρ)j

j!= Ae2ρ

⇒ u(ρ) = Aρl+1eρ

Pitanje

Kako se ponasa u(ρ) kadaρ→∞?


Atom vodika

Atom vodika



aj+1 =

[2(j + l + 1)− ρ0

(j + 1)(j + 2l + 2)

]aj

a0 = A → a1 → a2 → · · ·


2j

j!A


⇒ v(ρ) = A∞∑

j=0

(2ρ)j

j!= Ae2ρ


Pitanje

Da li je to “pozeljno”ponasanje funkcije u(ρ)?Imate li ideju kako rijesitiovaj problem?


Atom vodika

Atom vodika



aj+1 =

[2(j + l + 1)− ρ0

(j + 1)(j + 2l + 2)

]aj

a0 = A → a1 → a2 → · · ·


2j

j!A


⇒ v(ρ) = A∞∑

j=0

(2ρ)j

j!= Ae2ρ


Rjesenje

Red mora biti konacan.


Atom vodika

Atom vodika


⇒ ∃ jmax , tdj . ajmax+1 = 0 ⇒ 2 (jmax + l + 1)︸︷︷︸n

−ρ0 = 0 ⇒ 2n = ρ0


Atom vodika

Atom vodika


⇒ ∃ jmax , tdj . ajmax+1 = 0 ⇒ 2 (jmax + l + 1)︸︷︷︸n

−ρ0 = 0 ⇒ 2n = ρ0

Sjetimo se

E = −~2κ2

2m= − me4

8π2ε20~2ρ20⇒ E En


Atom vodika

Atom vodika


Dopustene energije eektrona u atomu vodika

En = −

[m

2~2

(e2

4πε0

)2]

1

n2=

E1

n2

n = 1, 2, 3, . . . glavni kvantni broj

Zadatak

Usporedite ovu formulu s Bohrovom formulom za energije elektrona u atomu.

Pitanje

Koliko iznosi E1?


Atom vodika

Atom vodika


Bohrov radijus

κ =

(me2

4πε0~2

)1

n=

1

an⇒ a =

4πε0~2

me2= 0.529 · 10−10 m


Atom vodika

Atom vodika


Ukupna valna funkcija

Ψnlm(r , ϑ, ϕ) = Rnl (r) · Y ml (ϑ, ϕ)

Radijalna valna funkcija [7]

Rnl (r) =1

rρl+1e−ρv(ρ)

Sferni harmonici

Y ml (ϑ, ϕ) = ε

√(2l + 1)

4π

(l − |m|)!

(l + |m|)!e imϕ Pm

l (cosϑ)


Atom vodika

Atom vodika


Primjer 2.

Kako izgleda valna funckija osnovnog stanja n = 1, l = 0,m = 0?


Atom vodika

Atom vodika


Primjer 2.


Ψ100(r , ϑ, ϕ) = R10(r) · Y 00 (ϑ, ϕ)

jmax = n − l − 1 = 1− 0− 1 = 0 ⇒ v(ρ) = a0

ρ = κr =r

an=

r

a

⇒ R10(r) =a0

ae−

ra

Pitanje

Kako biste odredili a0?


Atom vodika

Atom vodika


Primjer 2.


Ψ100(r , ϑ, ϕ) = R10(r) · Y 00 (ϑ, ϕ)

jmax = n − l − 1 = 1− 0− 1 = 0 ⇒ v(ρ) = a0

ρ = κr =r

an=

r

a

⇒ R10(r) =a0

ae−

ra

Pitanje

Kako biste odredili a0? U.N. ⇒ a0 =2√a


Atom vodika

Atom vodika


Primjer 2.


Ψ100(r , ϑ, ϕ) = R10(r) · Y 00 (ϑ, ϕ)

jmax = n − l − 1 = 1− 0− 1 = 0 ⇒ v(ρ) = a0

ρ = κr =r

an=

r

a

⇒ R10(r) =a0

ae−

ra

Y 00 =

1√4π

⇒ Ψ100(r , ϑ ϕ) =1√πa3

e−ra


Atom vodika

Atom vodika


Primjer 3.

Odredite radijalnu valnu funkciju za prvo pobudeno stanje.


Atom vodika

Atom vodika


Primjer 3.


n = jmax + l + 1 = 2

l = 0 (jmax = 1) m = 0

l = 1 (jmax = 0)

m = 1m = 0m = −1

4 stanja


Atom vodika

Atom vodika


Primjer 3.


n = jmax + l + 1 = 2

l = 0 (jmax = 1) m = 0

l = 1 (jmax = 0)

m = 1m = 0m = −1

4 stanja

1

l = 0

jmax = 0 ⇒ a1 = −a0

jmax = 1 ⇒ a2 = 0

⇒ v(ρ) = a0(1− ρ)

⇒ R20(r) =a0

2a

(1− r

2a

)e−

r2a


Atom vodika

Atom vodika


Primjer 3.


n = jmax + l + 1 = 2

l = 0 (jmax = 1) m = 0

l = 1 (jmax = 0)

m = 1m = 0m = −1

4 stanja

2

l = 1 jmax = 0 ⇒ v(ρ) = a0

⇒ R21(r) =a0

4a2re−

r2a


Atom vodika

Atom vodika


Pitanje

1 Koliko ima mogucih vrijednosti l za svaki n?

(Hint: n = jmax + l + 1)

2 Koliko ima mogucih vrijednosti m za svaki l?

3 Kolika je onda degeneracija stanja elektrona u atomu vodika?


Atom vodika

Atom vodika


Pitanje

1 Koliko ima mogucih vrijednosti l za svaki n?

(Hint: n = jmax + l + 1)

2 Koliko ima mogucih vrijednosti m za svaki l?

3 Kolika je onda degeneracija stanja elektrona u atomu vodika?

1 l = 0, 1, 2, . . . , n − 1 n

2 m = −l , . . . , 0, . . . , l 2l + 1

3 d(n) =∑n−1

l=0 (2l + 1) = n2


Atom vodika

Atom vodika


Degeneracija stanja elektrona u atomu vodika

d(n) = n2

n l =

0 m = 0 d(n) = 1

1 m =

10−1

d(n) = 3

...

n − 1 m =

n − 1...−(n − 1)

d(n) = 2n − 1


Atom vodika

Atom vodika


v(ρ) = L2l+1n−l−1(2ρ)

Pridruzeni Laguerreovi polinomi

Lpq−p(x) = (−1)p

(d

dx

)p

Lq(x)


Atom vodika

Atom vodika


Laguerrovi polinomi (slika)

Lq(x) = ex

(d

dx

)q (e−x xq)


Atom vodika

Atom vodika


Valna funkcija elektrona u atomu vodika [8-11]

Ψnlm(r , ϑ, ϕ) =

√(2

na

)3(n − l − 1)!

2n [(n + l)!]3e− r

na

(2r

na

)l

L2l+1n−l−1

(2r

na

)Y m

l (ϑ, ϕ)


Atom vodika

Atom vodika


Primjer 4.

a) Izracunajte 〈r〉 i 〈r 2〉 za elektron u osnovnom stanju atoma vodika.

b) Izracunajte 〈x〉 i 〈x2〉 za elektron u osnovnom stanju atoma vodika.

c) Izracunajte 〈x2〉 za elektron u stanju atoma vodika odredenog s n = 2,l = 1, m = 1.


Atom vodika

Atom vodika


Primjer 4.




a)

ψ =1√a3π

e−ra ⇒ 〈r n〉 =

1

a3π

∫r ne−

2ra · r 2 sinϑdrdϑdϕ

=4

a3

∫ ∞0

r n+2e−2ra dr

〈r〉 =4

a3

∫ ∞0

r 3e−2ra dr =

3

2a

〈r 2〉 =4

a3

∫ ∞0

r 4e−2ra dr = 3a2


Atom vodika

Atom vodika


Primjer 4.





Atom vodika

Atom vodika


Primjer 4.




b)

〈x〉 DZ= 0

〈x2〉 DZ=

1

3〈r 2〉 = a2


Atom vodika

Atom vodika


Primjer 4.




c)

ψ211 = R21 · Y 11 = − 1√

πa

1

8a2re−

r2a sinϑe iϕ

〈x2〉 =1

πa

1

(8a2)2

∫ (r 2e−

ra sin2 ϑ

)(r sinϑ cosϕ)2︸︷︷︸

x2

r 2 sinϑdrdϑdϕ

= 12a2


Atom vodika

Atom vodika


Primjer 4.





Atom vodika

Atom vodika

Spektar atoma vodika


Atom vodika

Atom vodika


Eγ = Ep − Ek = E1

(1

n2p− 1

n2k

)Eγ = hν

c = λν

⇒

1

λ= R

(1

n2k

− 1

n2p

)

R =m

4πc~3

(e2

4πε0

)2

= 1.097 · 107 m−1


Atom vodika

Atom vodika


99K Pogledajte ref. [12].


Atom vodika

Atom vodika


Primjer 5.

Promotrite Suncev sustav kao analog atoma vodika.

a) Koji je izraz za potencijalnu energiju?

b) Koliko iznosi “Bohrov radijus” za ovaj sustav?

c) Napisite gravitacijsku “Bohrovu formulu”, te izjednacavajuci En sklasicnom energijom planeta u kruznoj orbiti oko Sunca radijusa r0,pokazite da je n =

√r0/ag . Iz toga procijenite kvantni broj Zemlje.

d) Pretpostavite da je Zemlja nacinila prijelaz u susjedno nize stanje (n − 1).Kolika energija ce se otpustiti pri tom prijelazu? Kolika bi bila valnaduljina emitiranog “fotona”?


Atom vodika

Atom vodika


Primjer 5.







a) V (r) = −GMm

r⇒ e2

4πε0! GMm


Atom vodika

Atom vodika


Primjer 5.







b)

aBohr =

(4πε0

e2

)~2

m⇒ ag =

~2

GMm2= 2.34 · 10−138 m


Atom vodika

Atom vodika


Primjer 5.







c)

En = −[ m

2~2(GMm)2

] 1

n2

Ekl =1

2mv 2 − G

Mm

r0, FG = Fcf ⇒

mv 2

2= G

Mm

2r0⇒ Ekl = −G

Mm

2r0

En = Ekl ⇒ n =

√r0ag≈ 2.53 · 1074


Atom vodika

Atom vodika


Primjer 5.







d)

∆E = −[

G 2m2m3

2~2

] [1

(n + 1)2− 1

n2

]︸︷︷︸

≈−2/n3

≈ G 2m2m3

~2n3

≈ 2.09 · 10−41 J = 1.3 · 10−22 eV

⇒ λ ≈ 9.52 · 1015 m ≈ 1 gs


Atom vodika

Literatura

Sadrzaj



3 Literatura


Atom vodika

Literatura

Literatura

1 R. L. Liboff, Introductory Quantum Mechanics, Addison Wesley, SanFrancisco, 2003.

2 D. J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, 2nd ed., PearsonEducation, Inc., Upper Saddle River, NJ, 2005.

3 L. I. Schiff, Quantum Mechanics, McGraw-Hill Book Company, New York,1949.

4 Aplet - Kompleksni sferni harmonici

5 Aplet - Sferni harmonici

6 M. Abramowitz, I. A. Stegun, eds., Handbook of Mathematical Functionswith Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York, 1972.

7 Aplet - Radijalna valna funkcija

8 Aplet - H orbitali 1




12 Aplet - Posebne funkcije Aplet - Spektar vodika


http://demonstrations.wolfram.com/ComplexSphericalHarmonics/

http://demonstrations.wolfram.com/SphericalHarmonics/

http://demonstrations.wolfram.com/HydrogenAtomRadialFunctions/

http://demonstrations.wolfram.com/HydrogenOrbitals/

http://demonstrations.wolfram.com/HydrogenOrbitalDensities/

http://demonstrations.wolfram.com/VisualizingAtomicOrbitals/

http://demonstrations.wolfram.com/PlotsOfQuantumProbabilityDensityFunctionsInTheHydrogenAtom/

http://demonstrations.wolfram.com/GeneratingFunctionsAndRodriguessFormulasForSpecialFunctionsU/

http://web.phys.ksu.edu/vqm/software/online/vqm/html/h2spec.html

Atom vodika - fizika.unios.hr · Odredite valnu funkciju i dopu stene energije. Igor Luka cevi c...

Documents

Transcript of Atom vodika - fizika.unios.hr · Odredite valnu funkciju i dopu stene energije. Igor Luka cevi c...