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ATIVIDADES

ENSINO MÉDIO – 2º ANO – MATEMÁTICA – PROF. IPOJUÇAN

1. (Udesc 2019) Dadas as matrizes

2 1 1 3

1 4 2 0A ,

3 2 0 1

1 0 2 1

1 3 2

B 4 1 1 ,

2 3 2

1 2

C1 4

e D [2] o valor de

det(A) det(B)

det(C) det(D)

é igual a:

a) 0 b) 15 c) 20 d) 10 e) 25

2. (Uece 2019) Os elementos a, b, c, d da matriz a b

Mc d

são distintos entre si e escolhidos aleatoriamente no

conjunto {1, 3, 5, 7}.

Considerando-se, para cada escolha destes elementos, d o determinante de M, o número de valores distintos que

d pode assumir é a) 6. b) 8. c) 16. d) 24.

3. (Espcex (Aman) 2018) Uma matriz quadrada A, de ordem 3, é definida por ij i j

i j, se i ja .

( 1) , se i j

Então 1det(A ) é igual a

a) 4. b) 1. c) 0.

d) 1

.4

e) 1

.2

NOME: _________________________________

TURMA: ________________________________

DATA: _________________________________

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ATIVIDADES

4. (Mackenzie 2018) O valor do determinante

13

13

13 3

3

3 3

0 log 3 log

1 log 27 log 27

0 log 81 log 243

é

a) 0 b) 1 c) 1 d) 3

e) 1

3

5. (Famema 2018) Considere as matrizes ij 2 3A (a ) , com ija 2i j, 2

1 2

B 0 1

m 1 2

e m 0

C ,3m 6

sendo m

um número real. Sabendo que C A B, então det C é igual a

a) 0. b) 12. c) 8. d) 6. e) 4.

6. (Epcar (Afa) 2018) Sejam a e b números positivos tais que o determinante da matriz

1 0 0 1

2 a 0 1

1 1 b 1

0 0 0 1

vale 24.

Dessa forma o determinante da matriz b 2

3 a

é igual a

a) 0 b) 6 c) 6

d) 6

7. (Udesc 2017) Sejam A, B, X e Y matrizes quadradas de ordem 2 tais que, 1 2

A3 2

e

0 2B .

1 4

A soma dos determinantes das matrizes X e Y sabendo que 2X 2Y A B e rX 2Y A é igual a: a) 4 b) 72 c) 144 d) 24 e) 102

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ATIVIDADES

8. (Unisc 2017) Dadas as matrizes 1 2

A3 4

e 1 2

B ,1 0

o determinante da matriz A B é

a) 4 b) 6 c) 8 d) 12 e) 27 9. (Uem 2017) Considere as matrizes

1 2 3A ,

3 2 1

1 3

B 2 2

3 1

e

0 1 0 0

3 2 1 0C .

0 3 2 1

1 0 3 2

De acordo com conhecimentos sobre matrizes e determinantes, é correto afirmar que 01) det(M N) det(N M), onde M e N são matrizes quadradas de mesma ordem.

02) tdetM detM, onde M é matriz quadrada de ordem ímpar.

04) det(C) 4.

08) a matriz A B possui três linhas e três colunas. 16) det(A B) 96.

10. (Uem 2017) Considere as matrizes

2 1 0

A 3 2 5

0 1 2

e

1 2 3 4

B 1 2 3 4 .

1 2 3 4

A partir delas, é correto afirmar que: 01) A matriz A é uma matriz invertível. 02) A primeira e a última linhas de A B são iguais. 04) É possível calcular o determinante da matriz B.

08) O determinante da inversa de A é 1

.10

16) A B B A.

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ATIVIDADES

11. (Uerj 2017) Observe a matriz:

3 t 4

3 t 4

Para que o determinante dessa matriz seja nulo, o maior valor real de t deve ser igual a: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

12. (Eear 2016) Para que o determinante da matriz

1 1 1

1 0 b

1 2 1

seja 3, o valor de b deve ser igual a

a) 2 b) 0 c) 1 d) 2

13. (Ifsul 2015) Sejam as matrizes 2 2A , onde j

ixj 2i

2 ,se i ja , B I ,

j ,se i j

e I é a matriz identidade. Sabendo que tA é

a matriz transposta de A, qual é o determinante de t(A B)?

a) 11 b) 11 c) 9 d) 9

14. (Udesc 2014) Se TA e 1A representam, respectivamente, a transposta e a inversa da matriz 2 3

A ,4 8

então

o determinante da matriz T 1B A 2A é igual a:

a) 111

2

b) 83

2

c) 166

d) 97

2

e) 62

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ATIVIDADES

15. (Espm 2011) Dadas as matrizes x 2 1 x

A e B1 1 1 2

a diferença entre os valores de x, tais que

det(A B) 3x, pode ser igual a:

a) 3 b) -2 c) 5 d) -4 e) 1

16. (G1 - ifal 2011) Se 1 2 1 2

A e B1 0 1 0

. O determinante da matriz 1(AB) é:

a) 1

10 .

b) 21

.10

c) 13

.10

d) 13

.10

e) nda. 17. (Pucpr 2010) Considere as seguintes desigualdades:

2 2 3 4I.

1 4 1 5

3 6 4 7II.

5 2 1 5

8 1 9 2III.

2 6 1 7

É correto afirmar que: a) São verdadeiras apenas as desigualdades I e II. b) São verdadeiras apenas as desigualdades II e III. c) São verdadeiras apenas as desigualdades I e III. d) As três desigualdades são verdadeiras. e) As três desigualdades são falsas.

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ATIVIDADES

18. (Mackenzie 2010) Dadas as matrizes A = (aij)3x3 tal que ij

ij

a 10,se i j

a 0,se i j

e B = (bij)3x3 tal que ij

ij

b 3,se i j

b 0,se i j

,

o valor de det(AB) é a) 27 x 103 b) 9 x 103 c) 27 x 102 d) 32 x 102 e) 27 x 104 19. (Uel 2009) Se o determinante da matriz:

x 2 1

A 1 1 1

2x 1 3

é nulo, então: a) x 3

b) 7

x4

c) x 1 d) x 0

e) 7

x4

20. (G1 - cftsc 2008) Calcule o valor de x para que se tenha x 3

0.4 2

a) 3. b) 6. c) 0. d) 3. e) 6.

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ATIVIDADES

Gabarito: Resposta da questão 1: [B] Calculando o Determinante da matriz A. A quarta linha foi multiplicada por 1 e somada com a terceira. A quarta linha foi multiplicada por 3 e somada com a primeira. Foi utilizado o Teorema de Laplace a partir da quarta colunada nova matriz obtida com as transformações acima.

4 4

2 1 1 3 5 1 7 05 1 7

1 4 2 0 1 4 2 0det A 1 ( 1) 1 4 2

3 2 0 1 4 2 2 04 2 2

1 0 2 1 1 0 2 1

1 40 14 8 112 20 2 60

Calculando, agora, o determinante da matriz B.

1 3 2

detB 4 1 1 2 24 6 4 3 24 3

2 3 2

Determinante de C

1 2detC 4 ( 2) 6

1 4

Determinande de D. det D 2

Portanto:

det(A) det(B) 60 315

det(C) det(D) 6 2

Resposta da questão 2: [A] Escolhendo os elementos da diagonal principal, os elementos da diagonal secundária ficam determinados

univocamente. Logo, a resposta é

4 4!6.

2 2! 2!

Resposta da questão 3: [D]

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ATIVIDADES

11 12 13

21 22 23

31 32 33

1 111

1 212

1 313

21

2 222

2 323

31

32

3 333

a a a

A a a a

a a a

a 1 1

a 1 1

a 1 1

a 2 1 1

a 1 1

a 1 1

a 3 1 2

a 3 2 1

a 1 1

Então,

1

1 1 1

A 1 1 1

2 1 1

1 1 1

det A 1 1 1 4

2 1 1

1 1det A

det A 4

Resposta da questão 4: [C] Calculando:

13

13

13 3

3

3 3

0 log 3 log0 1 1

1 log 27 log 27 1 3 3 4 5 1

0 4 50 log 81 log 243

Resposta da questão 5: [B] Tem-se que

11 12 13

21 22 23

a a aA

a a a

2 1 1 2 1 2 2 1 3

2 2 1 2 2 2 2 2 3

1 0 1.

3 2 1

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ATIVIDADES

Logo, vem

2

2

2

C A B

1 2m 0 1 0 1

0 13m 6 3 2 1

m 1 2

m 0 m 2 0.

3m 6 m 2 6

Portanto, para que a igualdade seja satisfeita, devemos ter

2 2

2 2

m 2 m m m 2 0

m 2 3m m 3m 2 0

m 2 ou m 2.

m 1 ou m 2

Desse modo, podemos concluir que m 2 e, assim, a resposta é

2 0detC 12.

6 6

Resposta da questão 6: [D] Tem-se que

1 0 0 1a 0 3

2 a 0 124 1 b 2 24

1 1 b 10 0 1

0 0 0 1

ab 24.

Portanto, a resposta é

b 2a b 3 2

3 a

ab 6

24 6

2 6 6

6.

Resposta da questão 7: [B]

De 2X 2Y AB e TX 2Y A ,

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ATIVIDADES

T

T

1X Y AB

2

X 2Y A

1Y AB A

2

De 1 2

A3 2

e

0 2B ,

1 4

2 10AB

2 2

e T 1 3

A2 2

Então,

2 10 1 31Y

2 2 2 22

0 8Y

3 3

Substituindo 0 8

Y3 3

e T 1 3

A2 2

na equação TX 2Y A ,

0 8 1 3X 2

3 3 2 2

1 13X

4 4

Logo,

1 13 0 8det X det Y

4 4 3 3

det X det Y 1 4 13 4 0 3 8 3

det X det Y 72

Resposta da questão 8: [A] Pelo Teorema de Binet, det(AB) det A detB, ou seja,

1 2 1 2det(AB)

3 4 1 0

det(AB) (1 4 2 3) ( 1 0 2 1)

det(AB) 2 ( 2)

det(AB) 4

Resposta da questão 9: 01 + 16 = 17. [01] Verdadeira. De fato, pelo Teorema de Binet, segue que det(M N) detM detN detN detM det(N M).

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ATIVIDADES

[02] Falsa. Na verdade, temos tdetM detM, qualquer que seja M quadrada.

[04] Falsa. O determinante da matriz C é dado por

L L1 4

Chió

0 1 0 0

3 2 1 0detC

0 3 2 1

1 0 3 2

1 0 3 2

3 2 1 0

0 3 2 1

0 1 0 0

2 8 6

3 2 1

1 0 0

( 8 12)

4.

[08] Falsa. A matriz 2 3 3 2 2 2A B D tem duas linhas e duas colunas.

[16] Verdadeira. Com efeito, pois

1 31 2 3 14 10

A B 2 23 2 1 10 14

3 1

e, portanto, tem-se det(A B) 196 100 96.

Resposta da questão 10: 01 + 02 = 03. [01] Verdadeira. De fato, pois

2 1 0

det A 3 2 5 8 10 6 8 0.

0 1 2

[02] Verdadeira. Com efeito, pois

2 1 0 1 2 3 4

A B 3 2 5 1 2 3 4

0 1 2 1 2 3 4

3 6 9 12

10 20 30 40 .

3 6 9 12

[04] Falsa. A matriz B não é quadrada. [08] Falsa. Conforme (01), temos

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ATIVIDADES

1 1 1det A .

det A 8

[16] Falsa. Sendo 3 3A e 3 4B , podemos concluir que existe A B e não existe B A. Em consequência, tais produtos

não podem ser iguais. Resposta da questão 11: [A] Tem-se que

3 t 40 (t 3)(t 4) 12 0

3 t 4

t(t 1) 0

t 0 ou t 1.

Portanto, como 1 0, segue que a resposta é 1.

Resposta da questão 12: [B]

1 1 1 1 1

1 0 b 1 0

1 2 1 1 2

Calculando o determinante pela regra de Sarrus, temos: 0 b 2 0 2b 1 3 3b 3 3 2b 0 b 0 Resposta da questão 13: [A] Determinando a matriz A de acordo com a lei de formação proposta, temos:

1 2

2 2

2 2 2 4A

1 41 2

Considerando que B é a matriz identidade de ordem 2, temos:

1 0B

0 1

Portanto, t 2 1 1 0 3 1A B

4 4 0 1 4 5

E o determinante de t(A B) será dado por:

3 13 5 4 1 11

4 5

Resposta da questão 14:

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ATIVIDADES

[B]

O determinante de A é igual a 2 3

2 8 4 3 4.4 8

Logo, 1

8 3 32

4 4 4A .

4 2 11

4 4 2

Daí, 13

42A 2

2 1

e, portanto,

3 112 4 4 2

B .2 23 8

2 1 5 7

O resultado pedido é

112 11 83

2 7 5 .22 2

5 7

Resposta da questão 15: [C] De acordo com o Teorema Binet, segue que

2

det(A B) 3x det A detB 3x

(x 2) (x 2) 3x

x 3x 4 0

x 1ou x 4.

Portanto, a diferença entre os valores de x, tais que det(A B) 3x, pode ser igual a 4 ( 1) 5 .

Resposta da questão 16: [E] Como A B, segue que

1 2 1

2 2

1 1det(AB) det(A ) .

det(A ) (det A)

Portanto,

11 2 1det A 1 0 ( 1) 2 2 det(AB) .

1 0 4

Resposta da questão 17: [B] I) 8 – (- 2) > 15 - 4 (falsa). II) - 6 + 30 < 20 + 7(verdadeira). III) - 48 + 2 > -63 + 2(verdadeira). Resposta da questão 18: [A]

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ATIVIDADES

3

3

3)det(

300

030

003

10)det(

1000

0100

0010

BB

AA

det(A.B) = det(A).det(B) = 103.33= 27.103 Resposta da questão 19: [E] Resolvendo o determinante, temos:

7

3x 4x 1 2x x 6 0 4x 7 0 x .4

Resposta da questão 20: [E]