Atelier Fonctions
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Atelier Fonctions
Problème 1 :
Est-il possible que l’aire du triangle soit égale à l’aire du carré ?
Réalisation de la figure sous géogébra
Le cadre géométrique met (peut-être) en évidence la solution AM=0 . Une analyse de la configuration permet d’affirmer que si le triangle a pour base le double du côté du carré alors le triangle et le carré ont la même aire ce qui correspond à AM=8/3 cm.
L’étude géométrique sous géogébra n’est pas précise. On trouve une valeur approchée de la solution non triviale à 0,1 près.
Différence des aires:Expérimentalement, elle n’est jamais nulle
Une valeur approchée de AM est 2,7
Expérimentation avec le tableur
Côté du carré A ire du carré Base du triangle A ire du triangle Différence d'aires
0 0 8 0 00,5 0,25 7,5 1,88 -1,63
1 1 7 3,5 -2,51,5 2,25 6,5 4,88 -2,63
2 4 6 6 -22,5 6,25 5,5 6,88 -0,63
3 9 5 7,5 1,53,5 12,25 4,5 7,88 4,38
4 16 4 8 84,5 20,25 3,5 7,88 12,38
5 25 3 7,5 17,55,5 30,25 2,5 6,88 23,38
6 36 2 6 306,5 42,25 1,5 4,88 37,38
7 49 1 3,5 45,57,5 56,25 0,5 1,88 54,38
8 64 0 0 64 -10
-50
5
1015
2025
3035
40
4550
5560
65
Différence des aires
Pour obtenir une plus grande précision il faut introduire le cadre fonctionnel car le solveur graphique permet d’obtenir
une valeur approchée beaucoup plus précise.On a deux fonctions: f(x)=x² et g(x)= x(8-x)/2 sur [0;8]
avec x=AM
Résolution algébrique:
On obtient, en faisant la différence des aires :
1,5 x² - 4 x = 0.
La factorisation ici ne pose pas de problème.
Problème 2 :
On voudrait que le motif ait une aire égale à la moitié de
celle du carré ABCDQuelles dimensions faut-il
donner au motif ?
Retour à la figure sous géogébra
Avec le tableur…Côté du carré A ire du carré Base du triangle A ire du triangle A ire du m otif A ire du m otif-32
4,5 20,25 3,5 7,88 28,13 -3,884,6 21,16 3,4 7,82 28,98 -3,024,7 22,09 3,3 7,76 29,85 -2,164,8 23,04 3,2 7,68 30,72 -1,284,9 24,01 3,1 7,6 31,61 -0,4
5 25 3 7,5 32,5 0,55,1 26,01 2,9 7,4 33,41 1,45,2 27,04 2,8 7,28 34,32 2,325,3 28,09 2,7 7,16 35,25 3,24
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
aire du m otifSous-titre
Nous sommes confrontés à nouveau aux limites des logiciels utilisés.
Il faut donc revenir à la fonction donnant l’aire du motif en
fonction de la distance AM (x).
On a alors : f(x) = 0,5 x² + 4x
Résolution graphique de l’équation 0,5x²+4x=32
Résolution algébrique:
La factorisation du trinôme nécessite une aide
On peut proposer aux élèves de vérifier l’égalité entre :
puis leur demander de terminer la factorisation.
Avec le logiciel de calcul formel Xcas
L’élève peut vérifier la factorisation puis en déduire les solutions.Penser à cocher dans Cfg/configuration du cas, la case SQRT pour obtenir l’affichage des racines carrées
Remarque:
L’instruction canonical_form (ou forme_ canonique si Scolaire/Seconde)
permet dans xcas de retrouver la forme canonique
Problème 3 :
On voudrait que l’aire du triangle soit la plus grande possible.
Par expérimentation sur géogégra ou sur une calculatrice, on trouve comme maximum
8 obtenu pour AM=4.
Preuve fonctionnelle
A faire après le cours sur la représentation des trinômes.On sait que la courbe de la
fonction donnant l’aire du triangle est une parabole.
La recherche des antécédents de 0 ou de 6 par exemple
permet de mettre en évidencel’axe de symétrie de la parabole
puis d’en déduire le sommet .
Preuve algébrique
L’expérimentation a donné pour maximum 8. Il suffit donc d’étudier le signe de la différence :
0,5x (8-x)-8 ou de 8-0,5x (8-x)
On trouve 0,5x(8-x)-8= -0,5(x-4)² ou 8-0,5x(8-x) = 0,5(x-4)² .
Prolongements possiblesEst-il possible que l’aire du triangle soit plus grande que celle du carré ? (à faire au moment de la résolution des inéquations par tableau de signe)
Comment évolue l’aire du motif en fonction de AM ?
Propositions de travail1ère propositionOn considère un quart de cercle de centre
A et de rayon 6 cm. Le point M est un point libre sur le
segment [AB]. A partir du point M, on construit le
rectangle AMLP tel que L soit un point du quart de cercle et P un point de [AC].
Le problème : suivant les positions de M, l’aire du rectangle AMLP est-elle constante ou varie-t-elle ? Si elle n’est pas constante, pour quelle(s) position(s) de M est-elle maximale ?
2 ème proposition
(situation n° 1 document ressources) A chaque nombre supérieur ou égal à 1, on associe le nombre de
diviseurs de sa partie entière.1. Quels sont les nombres associés à 10 ? 43,7 ?
182 / 3 ?2. Quel est le plus petit nombre auquel on associe 8 ?3. Représenter graphiquement la situation de départ, pour
tous les nombres compris entre 1 et 25 .
Construire une activité à partir de ces éléments du document ressources
3ème proposition
On considère un rectangle ABCD tel que AB=8 et AD=12. Le point M est un point libre sur le segment [AB].
À partir du point M, on construit le carré AMIJ avec J sur [AD] et le rectangle IHCK avec H sur [BC] et K sur [DC].
Le problème : Où placer le point M sur [AB] pour que la somme des aires du carré AMIJ et du rectangle IHCK soit la moitié de l’aire du rectangle ABCD ? Existe-t-il plusieurs solutions ? Combien?
4ème proposition
ABCD est un rectangle tel que AD = 2. On construit les points E et F tels que ACEF est un carré.
Peut-on construire un rectangle ABCD de sorte que ACEF ait une aire inférieure à celle de ABCD ?
Peut-on construire un rectangle ABCD de sorte que le triangle ACE ait une aire inférieure à celle de ABCD ?
Autres propositions de questions ?