Mat

emat

ik

38 LMFK-bladet 2/2014

Fysi

k

Fysikundervisningens udvikling i gymnasietIndtil 1988 hvilede fysikundervisningen i gymnasiet på det teoretiske, som man søgte at bekræfte gennem demonstra­tionsforsøg eller fysikøvelser, der blev analyseret og doku­menteret i fysikrapporter.

I undervisningen arbejdede man sig begrebsmæssigt og krono­logisk frem fra kinematikken med formlerne for jævn og kon­stant accelereret bevægelse over mekanikken med Newtons love.Meget rimeligt, da mekanikken er forudsætningen for en grund­læggende forståelse for resten af fysikken.

Denne begrebsmæssige kronologi er opretholdtholdt i standard­værket University Physics fra Pearson, i tyske lærebøger og og­så i de fleste lærebøger fra før 1988 – blandt andet mine egne.

En central del af 1g–undervisningen var at befri eleverne for Aristoteleske hverdagsforestillinger og at formulere Galileis faldlove, som den første erkendelsesmæssige landvinding, der analytisk beskriver en grundlæggende simpel lovmæssighed i fysikken: Det frie fald.

Alt dette er jo en saga blot, da undervisningen om bevægelse i tyngdefeltet foregår ved at optage faldende legemer med høj­hastighedskamera, og overføre data til et computerprogram, som derefter laver fits og tegner grafer.

At score mål på hjørnesparkOle Witt–Hansen, lektor emeritus

Især efter 2005 er det teoretiske aspekt stort set opgivet (fordi eleverne heller ikke lærer matematik længere?) og ”lovmæs­sighederne” i fysikken bliver i stedet resultatet af computerfits. Da kvantitativ måleusikkerhed for længst er forsvundet fra fy­sikundervisningen, søger eleverne ofte at finde analytiske for­klaringer på led i computerfits, som ikke burde være der, des­uagtet, at luftmodstand for frit fald af massive legemer fuld­stændig drukner i måleusikkerhed.

Da elevernes elementære matematiske færdigheder i gymnasi­et i dag helt er erstattet af brug af matematik IT, er det jo også omsonst at forsøge at udlede formlerne for konstant accelere­ret bevægelse, udtrykkene for potentiel og kinetisk energi, ar­bejdssætningen og energibevarelse i tyngdefeltet.

Jeg synes det er et problematisk kulturelt og intellektuelt til­bageskridt, at det teoretiske aspekt af fysik og matematik med udledning og beviser stort set er forsvundet fra undervisnin­gen, hvor det tidligere (og især for pigerne) havde en elemen­tær intellektuel appel for en del af eleverne.

Men nu til sagen. Tidligere, når jeg udledte formlerne for det skrå kast (med vektorregning naturligvis) og understregede, at når man først har sluppet et legeme, så er bevægelsen ude­lukkende styret af tyngdekraften i lodret retning, så er det ikke

Mat

emat

ik

LMFK-bladet 2/2014 39

Fysi

k

så sjældent, at elever har spurgt om, hvordan man så fx kan få en fodbold til at dykke eller dreje.

Svaret er naturligvis, at man ved udledningen af det skrå kast, ser bort fra luftmodstand, men det forklarer jo ikke, hvordan bolden kan dreje. Forklaringen må søges i, at bolden skruer, altså roterer om en lodret akse. Opvakte elever vil så gerne have en forklaring på, hvorfor det kan give en sideværts kraft, og undvigemanøvren har da været, at det er alt for komplice­ret til at forklare på gymnasialt niveau (hvilket er sandt). Om jeg selv forstår det?...Øh var det ikke klokken, der ringede?

At man faktisk kan score mål på hjørnespark, kan ses af fle­re videoer på YouTube, hvis man i Google søger på: ”Mål på hjørnespark”.

Man kan godt give en kvalitativ forklaring, som jeg engang har set i bladet Ingeniøren, men en egentlig beregning af boldens bane ud fra grundliggende lovmæssigheder, har jeg aldrig set. Jeg kan huske, at en elev engang foreslog det, som ”Stor Opgave i fysik”, men dengang opgav jeg det, som alt for kompliceret.

Pensionisttilværelsen tillader imidlertid at tage den slags pro­blemer op, selv om det er geometrisk (matematisk) komplice­ret. Men det viser sig faktisk muligt at udlede nogle analytiske udtryk, som beskriver bevægelsen, hvor boldens hastighed og

rotation er de eneste parametre man kan vælge frit. Det resul­terer i 3 koblede 2. ordens differentialligninger, som herefter kan løses numerisk og vises i en 3D projektion.

Geometrisk analyse af problemstillingenFiguren på næste side viser en fodbold, der bevæger sig i y–retning, svarende til en luftmodstand, der kommer ind i mod­sat retning. Et punkt på bolden er fastlagt ved polære koor­dinater: (r, θ, φ).

Geometrien kan være lidt svær at overskue på den rumlige teg­ning, så der er lagt et snit parallelt med x–y–planen, hvor vin­dens retning v0 er opløst efter en tangential og en radial retning.

vr betegner vindens radiale komposant og vt betegner vindens tangentiale komposant. Af figuren til højre ses, at

v v v vr t= =0 0sin cosφ φ

Idet bolden roterer om z–aksen, vil et punkt (r, θ, φ) have en hastighed i y–retningen, som er boldens medføringshastighed, plus y–komposanten af boldens rotationshastighed.

For farten i den jævne cirkelbevægelse gælder v = ω·r og far­ten i cirkelbevægelsen, svarende til azimutvinklen θ er derfor vθ = ω·r·sinθ og y–komposanten vil være vθy = ω·r·sinθ∙cosφ.

Mat

emat

ik

40 LMFK-bladet 2/2014

Fysi

k

Hastigheden af et punkt i y–retningen er derfor v r0 + ⋅ ⋅ ⋅ω θ ϕsin cos , og den radiale og tangentiale komposant af denne hastighed bliver derfor.

v v rr = + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅( sin cos ) sin0 ω θ ϕ ϕ

v v rt = + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅( sin cos ) cos0 ω θ ϕ ϕ

Vi er interesseret i kraften, der virker modsat bevægelsesret­ningen (y–retningen), som vil bremse bolden og kraften, der virker i x–retningen, vinkelret på bevægelsesretningen. Vi skal derfor udregne komposanterne i x– og y–retning af radi­alhastigheden. Radialhastighederne af boldens bevægelse vil ændre fart og retning af bolden, mens tangentialhastigheden eventuelt vil ændre rotationshastigheden. Imidlertid vil bol­dens hastighed bremse på den ene side og give medløb på den anden, så vi ser helt bort fra tangentialhastigheden. Ud fra teg­ningen øverst til højre, kan man for radialhastigheden se, at:

v v v vrx r ry r= =cos sinϕ ϕ så

v v rrx = + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅( sin cos ) sin cos0 ω θ ϕ ϕ ϕ

v v rry = + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅( sin cos ) sin sin0 ω θ ϕ ϕ ϕ

Som udtryk for luftmodstanden, der virker modsat bevægel­sesretningen, vil vi anvende udtrykket:

F c Av vw= − = −½ ρ γ2 2

ρ er luftens massefylde, cw er formfaktoren, A er tværsnits­arealet af legemet, og v er hastigheden i bevægelsesretningen.

Kræfterne, der virker i x–retningen, svarende til vinklerne φ og π – φ, er modsat rettede, hvad angår leddet v0, som det frem­

går af udtrykket for vrx, men da vi kvadrerer hastighederne, bliver vi nødt til at udregne Fx som:

Fx = Fx(φ) – Fx(π – φ)

Den kraft Fx, der virker i punktet (r, θ, φ) skal så ganges med arealelementet dA r d d= ⋅ ⋅2 sinθ θ ϕ og integreres over hele halvkuglen, θ π ϕ π∈ ∈[ , ] [ ,½ ]0 0og . Da vi har trukket area­let ud af formlen, skriver vi den nu:

dF c v dA v dAw= − = −½ ρ γ212

dF dF

v r rx x( ) ( )

(( sin cos ) sin cos sin

ϕ π ϕ

γ ω θ ϕ ϕ ϕ

− − =

− + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅1 02 2 2 2 θθ θ ϕ

ω θ π ϕ ϕ ϕ θ θ ϕ

⋅ ⋅

− + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

d d

v r r d d( sin cos( )) sin cos sin02 2 2 2 ))

dF dF

v r rx x( ) ( )

(( sin cos ) sin cos sin

ϕ π ϕ

γ ω θ ϕ ϕ ϕ

− − =

− + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅1 02 2 2 2 θθ θ ϕ

ω θ π ϕ ϕ ϕ θ θ ϕ

⋅ ⋅

− + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

d d

v r r d d( sin cos( )) sin cos sin02 2 2 2 ))

De to udtryk er ens, bortset fra et fortegnsskifte i det andet led i de toleddede størrelser, idet cos( ) cosπ ϕ ϕ− = − . Leddene vil derfor gå ud mod hinanden, bortset fra 2 gange det dob­belte produkt af den toleddede størrelse, man finder efter en mindre reduktion:

dF dF

v r d dx x( ) ( )

sin cos sin

ϕ π ϕ

γ ω θ ϕ ϕ θ ϕ

− − =

− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅1 03 2 3 24

I det følgende får vi brug for at kunne udregne integraler af typen:

sin cosn mx x dx⋅ ⋅∫Hvis n er lige og m er ulige (eller omvendt), så kan integralerne udregnes relativt nemt ved anvendelse af formlerne: cos2 x = 1– sin2 x, eller, hvad der er det samme, sin2 x = 1– cos2 x og en simpel substitution. Hvis både n og m er lige, kan integralet udregnes ved (successiv) anvendelse af ovennævnte formler,

→v0

→vr→vt φ

φ

θ

x

y

zω

→v0

→vr→vt

φ

φ

x

y

z

Mat

emat

ik

LMFK-bladet 2/2014 41

Fysi

k

samt formlerne: coscos sin cos2 21 22

1 22x x x x

=+

=−og .

Endelig hvis n og m er ulige, kan man anvende formlen sin2x = 2sinx·cosx.

F v r d dx = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫γ ω θ ϕ ϕ θ ϕ

π π

1 03

0

2 3 2

0

42

sin cos sin

sin cos sin2

0 0

14

0

1 22 2 2 2θ θ

θθ

θθ

ππ π π

d d=−

= −

=∫ ∫

cos sin ( sin ) cos sin

(sin sin

3 2

0

2 2

0

2 4

2 2

1ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ

π π

⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ =

−

∫ ∫d d

)) sin sin sin⋅ = −

= − =∫ d ϕ ϕ ϕπ

π

13

3 15

50

0

22 1

315

215

Det endelige udtryk for Fx bliver herefter:

F c v rx w= −12

415 0

3ρ π ω

Bemærk, at der (naturligvis) ikke er nogen kraft på tværs af bevægelsesretningen, hvis ω = 0.

Udtrykket for hastigheden i y–retning er givet ovenfor:

v v rry = + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅( sin cos ) sin02ω θ ϕ ϕ

Dette udtryk skal integreres over hele halvkuglen:

F v r d d

v r

y ry= − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

∫∫γ θ θ ϕ

γ ω θ ϕ

ππ

12 2

00

1 02

sin

(( sin cos ) sin ϕϕ θ θ ϕππ

) sin2 2

00

⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫∫ r d d

Leddet, der kommer med cosφ vil forsvinde ved integrationen, idet cosφ er ulige i intervallet fra 0 til π, og de øvrige funktio­ner er lige. Når integranden udregnes finder man:

Fy =

F r v r d dy = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫γ ϕ θ ω ϕ θ ϕ θ ϕ

ππ

12

02 4 2 2 4 3 2

00

( sin sin sin sin cos )∫∫På næsten samme måde som ovenfor, finder man for de 4 in­tegraler:

sin4

0

38ϕ ϕπ

π

⋅ =∫ d , sin3

0

43θ θ

π

d =∫ ,

sinθ θπ

d =∫ 20

og sin cos4 2

016ϕ ϕ ϕπ

π

⋅ ⋅ =∫ d ,

hvilket man muligvis også kan finde ved brug af CAS.

BevægelsesligningerneHerefter kan vi opskrive udtrykket for Fy.

F c r v ry w= − +12

34 12

202 2 2ρ

π πω( )

Vi har antaget, at bolden bevæger sig i y–retningen. Dette er naturligvis en tilnærmelse, hvis man skyder et hjørnespark ”langs” baglinien (y–retningen). Den korrekte formel for luft­modstanden er

F c Av vv c Av vw w

→→

→= − = −½ ½ρ ρ2

Selv om hastigheden ikke er ganske vinkelret på rotationsak­sen, vil vi beholde udtrykket for Fx alt andet ville være (ma­tematik) halsløs gerning, og formodentlig kun ændre mini­malt på resultaterne.

Accelerationen bestemmes ved at dividere med boldens masse m, udskrevet ved hjælp af de 3 basisvektorer i j k

→ → →, , :

a Fm

Fm

Fm

m c v r i m c r v v r

x y z

w w

→→ → →

→ →

= + + =

− − +12

415

12

34 12

3 2 2ρ π ω ρπ π

ω( 22 j g k→ →

−)

a Fm

Fm

Fm

m c v r i m c r v v r

x y z

w w

→→ → →

→ →

= + + =

− − +12

415

12

34 12

3 2 2ρ π ω ρπ π

ω( 22 j g k→ →

−)

Hvis vi skriver accelerationen ud i komponenter efter x–, y– og z–akse, finder man derfor:

a m c r vv m c v r

a m c r vv

x w x w

y w y

= − −

= − +

12

34

12

415

12

34 12

2 3

2 2

ρπ

ρ π ω

ρπ π

ω( rr

a m c r vv gz w z

2

212

34

)

= − −ρπ

Mat

emat

ik

42 LMFK-bladet 2/2014

Fysi

k

Dette er 3 koblede 2. ordens differentialligtninger, og selv om det skulle lykkes at finde en analytisk løsning, er det svært at finde anvendelse for den. Ligninger er løst numerisk, og plot­tet i en ægte 3D projektion.

Udregner man konstanterne med ρ =1,293 kg/m3, cw = 0,4, ra­dius af bolden r = 0,10 m og massen af bolden m = 0,400 kg, får man følgende numeriske ligninger:

a vv v

a vv

a

x x

y y

z

= − ⋅ − ⋅

= − ⋅ + ⋅

− −

− −

1 52 10 5 40 10

1 52 10 1 68 10

2 4

2 5 2

, ,

, ,

ω

ω

== − ⋅ −−1 52 10 9 822, ,vvz

Grafisk løsning af bevægelsesligningerneVi har sat fodboldbanens bredde til 60 m. Opgaven, at bestem­me udgangsfarten, vinklerne θ, φ for retningen og det rette skru af bolden for, at den ender i mål, er omtrent lige så van­skelig, som at udføre det i praksis, men nogle rimelige vær­dier kunne være: v0 = 22,5 m/s, ω = 31,4 s–1, (omløbstid T = 0,2 s), θ = 60° og φ = 80°.

Bolden vil ganske rigtigt dreje ind mod målet og lande der, og på 3D figurerne, ser det ud som om den kommer i mål, men det er et bedrag på grund af projektionen.

Ser man imidlertid på graferne for x(t), y(t), z(t), kan man se, at den faktisk ikke når ind i målet.

Med de valgte værdier af vinkler og hastighed skal man fak­tisk op på urealistisk høje rotationshastigheder, før bolden går ind i målet.

Om det er muligt i den nuværende beskrivelse, at få bolden i mål med realistiske værdier af vinkler, hastighed og rotati­on, skal jeg ikke kunne sige, da man muligvis også skal ju­stere det aerodynamiske. Formålet har egentlig blot været, at give en teoretisk og kvantitativ forklaring på, at man kan sco­re mål på hjørnespark.

Af de tre grafer nedenfor, hvor 3D afbildningen ses fra to for­skellige pladser på tilskuerrækkerne, kan ses, at der bliver sco­ret på hjørnespark.

På hver 3D graf er vist to kurver, hvoraf den ene er er bol­dens bane i mål, den anden er banekurven, når man ser bort fra luftmodstanden. Bemærk at afstande er stærkt fortegne­de i 3D projektion. Den sidste graf er (x(t), y(t), z(t)) med og uden luftmodstand.

Beregningerne og graferne er lavet med et mere end 20 år gammelt DOS–program skrevet i Turbo 7.0. Efter Windows 98, kan man ikke længere tage et skærmdump af DOS–grafik­ken, og programmet kan overhovedet ikke køre i Windows 7 eller 8. De viste billeder er derfor kopi af skærmdump fra en Windows 98 maskine.

Fornøjelsen ved den klassiske fysik er jo, at det bringer én i stand til analytisk at forstå og beskrive vores materielle om­verden, som den kan iagttages.

Min pointe er lidt den, at gå ud fra grundliggende lovmæs-sigheder, for derefter at behandle resultaterne med IT, i stedet for det omvendte, at udlede lovmæssigheder ud fra IT–grafer.