Astrodi Namic A

7/30/2019 Astrodi Namic A

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Astrodinamica

Alberto Abad


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iii

Para Pili,

Pablo, Cristina,Cari y Alejo.


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Indice general

Prologo y agradecimientos XI

I Sistemas de referencia en Astrodinamica 1

1 Sistemas de referencia en IR3 31.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 El espacio afn IR3: sistemas de referencia . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Producto escalar: IR3 como espacio eucldeo . . . . . . . . . . . . . 41.4 Angulos y funciones circulares inversas . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 Producto vectorial y mixto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6 Sistemas de referencia ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.7 Otras propiedades de los distintos productos de vectores . . . . . . 111.8 Angulo orientado entre dos vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.9 Coordenadas cartesianas y polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.10 Trigonometra esferica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.10.1 Formulas de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.10.2 Regla del pentagono de Neper . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.10.3 Analogas de Neper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.10.4 Algoritmo para la resolucion de triangulos esfericos . . . . . 22

2 Cambios del sistema de referencia: rotaciones 25

2.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2 Rotaciones en IR3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3 Composicion de rotaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.4 Rotacion de un vector alrededor de un eje . . . . . . . . . . . . . . 292.5 Rotaciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.6 Angulos de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.7 Rotaciones y cuaternios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3 Fundamentos de los sistemas de referencia en el espacio 373.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2 Sistema de referencia horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3 Sistema de referencia horario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

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vi Indice general

3.4 Sistema de referencia ecuatorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.5 Sistema de referencia eclptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.6 Relacion entre los sistemas de referencia espaciales . . . . . . . . . 433.7 Sistema de referencia geografico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.8 Sistema de referencia planetografico . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4 Sistemas de referencia espaciales precisos 534.1 Movimientos del polo y del equinoccio . . . . . . . . . . . . . . . . 534.2 Sistemas de referencia espaciales precisos . . . . . . . . . . . . . . . 574.3 Transformaciones entre sistemas de referencia precisos . . . . . . . 60

4.3.1 Movimiento del polo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.3.2 Cambios de origen en el ecuador intermedio . . . . . . . . . 644.3.3 Precesion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.3.4 Nutacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.3.5 Tratamiento actual de la precesion y nutacion . . . . . . . . 684.3.6 Desviacion entre los sistemas Eoo y SG . . . . . . . . . . . . 704.3.7 Transformacion general de coordenadas . . . . . . . . . . . 71

4.4 Relacion de los sistemas precisos con los sistemas idealizados . . . 71

5 Referencia temporal 735.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.2 Relojes basados en la rotacion terrestre . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.2.1 Tiempo sidereo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.2.2 Angulo de rotacion terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.2.3 Tiempo solar y tiempo medio . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.2.4 Tiempo universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.3 Movimiento orbital de la Tierra: el ano . . . . . . . . . . . . . . . 815.4 Relacion entre el tiempo sidereo y el tiempo medio . . . . . . . . . 825.5 Escalas de tiempo uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.5.1 Tiempo de efemerides y tiempo atomico internacional . . . 845.5.2 Tiempo universal coordinado . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.5.3 Tiempo de zona y tiempo oficial . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.6 Escalas modernas de tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.7 Tiempos coordenada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.8 Calendario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.9 Determinacion de una epoca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

II Movimiento kepleriano 95

6 Revision de elementos de dinamica clasica 976.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.2 Movimiento de una masa puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.3 Sistemas inerciales y no inerciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.4 Movimiento de una partcula en su plano . . . . . . . . . . . . . . 101


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Indice general vii

6.5 Sistemas dinamicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.6 Ecuaciones de Lagrange y de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.7 Transformaciones canonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.8 Ecuacion de HamiltonJacobi y ecuacion de Delaunay . . . . . . . 107

7 Movimiento kepleriano 1097.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.2 Leyes de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.3 Propiedades de las conicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

7.3.1 Elipses: 0 e < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117.3.2 Parabolas: e = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127.3.3 Hiperbolas: e > 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7.4 Ley de gravitacion de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1137.5 Problema de dos cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1157.6 Movimiento relativo o kepleriano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167.7 Funciones f y g de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

8 Integracion del problema kepleriano 1238.1 Modelo orbital kepleriano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1238.2 Primeras integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1248.3 Deduccion de la primera y segunda leyes de Kepler . . . . . . . . . 1268.4 Tercera ley de Kepler: unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1298.5 Ley horaria del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

8.5.1 Formulacion regularizada del movimiento kepleriano . . . . 131

8.5.2 Caso parabolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1338.5.3 Caso elptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1348.5.4 Resolucion de la ecuacion de Kepler . . . . . . . . . . . . . 1368.5.5 Caso hiperbolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

9 Orbitas keplerianas 1419.1 Caracterizacion de las orbitas keplerianas . . . . . . . . . . . . . . 1419.2 Elementos orbitales ordinarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1439.3 Variables no singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1459.4 Sistemas de referencia orbitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

9.4.1 Sistema espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1469.4.2 Sistema nodalespacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1479.4.3 Sistema nodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1479.4.4 Sistema apsidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1499.4.5 Sistema orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1499.4.6 Sistema de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

9.5 Relaciones entre el vector de estado y los elementos orbitales . . . 1519.5.1 Determinacion de la orbita a partir de las condiciones iniciales1529.5.2 Calculo de efemerides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

9.6 Interseccion de dos orbitas keplerianas . . . . . . . . . . . . . . . . 154

9.6.1 Pertenencia de un punto a una orbita . . . . . . . . . . . . 154


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viii Indice general

9.6.2 Interseccion de orbitas no coplanarias . . . . . . . . . . . . 1559.6.3 Interseccion de orbitas coplanarias . . . . . . . . . . . . . . 1559.6.4 Colisiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

9.7 Variaciones de los sistemas de referencia . . . . . . . . . . . . . . . 1579.8 Variables polaresnodales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1589.9 Variables de Delaunay en el movimiento elptico . . . . . . . . . . . 160

10 Formulacion universal del problema kepleriano 16310.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16310.2 Funciones V de Stump . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16310.3 Funciones V0, V1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16810.4 Formulacion universal del problema kepleriano . . . . . . . . . . . 16910.5 Coeficientes de transicion en forma cerrada . . . . . . . . . . . . . 172

11 Orbitas keplerianas que pasan por dos puntos 17511.1 Problema de transferencias orbitales y problema de Lambert . . . 17511.2 Orbitas de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

11.2.1 Plano de la orbita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17711.2.2 Angulo de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

11.3 Elementos del triangulo OP1P2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17711.4 Hodografa en P1 y P2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17911.5 Orbitas de energa mnima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18211.6 Orbitas de energa h > hm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18211.7 Conjunto de las orbitas que pasan por dos puntos . . . . . . . . . . 185

11.8 Tiempo de transito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18611.9 Orbitas keplerianas que pasan por dos puntos en dos instantes . . 187

III Movimiento orbital 189

12 Movimiento orbital 19112.1 Ecuaciones del movimiento orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19112.2 Ecuaciones de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19212.3 Ecuaciones de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

12.4 Perturbaciones de corto y largo periodo y seculares . . . . . . . . . 19712.5 Metodo de aproximaciones sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . . 19812.6 Perturbaciones de primer orden en el movimiento orbital . . . . . . 19912.7 Propagadores orbitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20012.8 Propagador SGP4/SDP4 y variables TLE . . . . . . . . . . . . . . 203

13 Problema de n cuerpos 20713.1 Formulacion del problema de n cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . 20713.2 Modelo planetario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20913.3 Perturbacion luni-solar del satelite artificial . . . . . . . . . . . . . 21013.4 Problema de tres cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

13.4.1 Problema restringido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211


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Indice general ix

13.4.2 Problema restringido circular . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

13.4.3 Puntos de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

13.4.4 Curvas de velocidad cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

14 Atraccion de solidos 219

14.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

14.2 Polinomios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

14.3 Potencial gravitatorio de un planeta . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

14.4 Modelos de potencial gravitatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

14.5 Evaluacion del potencial planetario y la fuerza derivada . . . . . . 228

14.6 Potencial terrestre en variables polares nodales . . . . . . . . . . . 230

14.7 Ecuaciones del movimiento en el sistema planetografico . . . . . . 231

15 Otras perturbaciones 23515.1 Rozamiento atmosferico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

15.2 Presion de radiacion solar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

15.3 Eclipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

15.3.1 Semidiametros y distancia angular . . . . . . . . . . . . . . 241

15.3.2 Condiciones para un eclipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

15.3.3 Area de un segmento circular . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

15.3.4 Magnitud del eclipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

15.3.5 Eclipses en satelites artificiales terrestres . . . . . . . . . . . 246

15.4 Perturbaciones relativistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24715.5 Perturbaciones empricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

IV Navegacion espacial 249

16 Navegacion espacial 251

16.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

16.2 Satelites artificiales terrestres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

16.2.1 Satelites de comunicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

16.2.2 Satelites de navegacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

16.2.3 Satelites de observacion terrestre . . . . . . . . . . . . . . . 257

16.2.4 Satelites cientficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

16.2.5 Estaciones espaciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

16.2.6 Vehculos de transporte de carga . . . . . . . . . . . . . . . 260

16.2.7 Basura espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

16.3 Navegacion interplanetaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

16.3.1 Viajes a la Luna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

16.3.2 Viajes a Marte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

16.3.3 Exploracion del sistema solar . . . . . . . . . . . . . . . . . 267


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x Indice general

17 Orbitas de satelites artificiales terrestres 27117.1 Movimiento del satelite sobre la superficie terrestre . . . . . . . . . 271

17.1.1 La orbita en la superficie terrestre: traza . . . . . . . . . . . 27217.1.2 Visibilidad de un satelite desde una estacion . . . . . . . . . 276

17.2 El problema principal del satelite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27817.3 Efectos sobre el satelite de otras perturbaciones . . . . . . . . . . . 27917.4 Clasificacion de los satelites artificiales segun su orbita . . . . . . . 281

17.4.1 Orbitas bajas (LEO) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28117.4.2 Orbitas medias (MEO) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28217.4.3 Orbitas geoestacionarias (GEO) . . . . . . . . . . . . . . . 28217.4.4 Satelites Molniya y Tundra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28317.4.5 Satelites heliosncronos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28417.4.6 Orbitas de transferencia geoestacionarias (GTO) . . . . . . 285

18 Maniobras orbitales 28718.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28718.2 La velocidad y la navegacion espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . 28718.3 Propulsion de naves espaciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29018.4 Lanzamiento de satelites artificiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29518.5 Correccion de orbitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

18.5.1 Correccion general de la orbita . . . . . . . . . . . . . . . . 30218.5.2 Cambio del plano orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30218.5.3 Correccion de la orbita en su plano . . . . . . . . . . . . . . 30518.5.4 Cambio de la forma de la orbita . . . . . . . . . . . . . . . 306

19 Transferencias y encuentros orbitales 30919.1 Transferencias orbitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

19.1.1 Transferencias de Hohmann y bielptica . . . . . . . . . . . 31019.1.2 Transferencia optima en dos maniobras . . . . . . . . . . . 314

19.2 Encuentros orbitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31519.2.1 Maniobra de espera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31619.2.2 Encuentro directo en transferencias generales . . . . . . . . 31719.2.3 Encuentros en transferencias de Hohmann . . . . . . . . . . 318

19.3 Viaje a Marte en una orbita de transferencia de Hohmann . . . . . 321

20 Navegacion interplanetaria 32320.1 Sondas espaciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32320.2 Esfera gravitacional de influencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32520.3 Salida del campo gravitacional de un planeta . . . . . . . . . . . . 32720.4 Entrada en el campo gravitacional de un planeta . . . . . . . . . . 32920.5 Impulso gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

Bibliografa 335

Indice alfabetico 337


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Prologo y agradecimientos

La Tierra es la cuna de la inteligencia,

pero no se puede vivir siempre en una cuna.

Konstantin E. Tsiokovsky, 1911.

La tecnologa espacial es responsable de una buena parte de los avances tec-nologicos actuales. La investigacion y desarrollo en cuestiones cientficas y tecnicasrelativas a los satelites artificiales y la navegacion espacial resultan fundamenta-les para un rapido avance cientfico y tecnologico. Son muchas las actividadescotidianas que no podramos realizar de no existir satelites artificiales orbitandoalrededor de la Tierra. En efecto, en las noticias de televisi on son frecuentes lasconexiones con pases de otros continentes; recibimos canales de television a travesde las antenas parabolicas; hablamos con otros pases por telefono con igual o me-

jor cobertura que en la misma ciudad; vemos fotografas de las borrascas, lo quepermite la prediccion del tiempo; sabemos los minutos que faltan hasta que llegue

el proximo autobus; tenemos informacion de los minutos y segundos que lleva deventaja el ciclista escapado sobre el peloton que lo persigue, etc. Ademas, hayotros usos mas sofisticados, como el poder obtener imagenes de galaxias extre-madamente alejadas, hacer un seguimiento del avance de la desertificacion en losMonegros, una estimacion de la nieve acumulada en el Pirineo, localizacion de unacolonia de linces ibericos, detectar bancos de pesca, o hacer llegar la educacion alugares remotos, como la selva brasilena, por poner unos cuantos ejemplos. Perotodas estas posibilidades son relativamente recientes; el primer satelite artificial,el Sputnik I se lanzo en 1957. La era espacial, en el momento de escribir estaslneas, no tiene mas que 55 anos.

Uno de los aspectos fundamentales para el exito de una mision artificial es el


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xii

establecimiento de una orbita precisa que le permita desarrollar, durante el mayorperiodo de tiempo posible, la mision para la que ha sido concebido. Los funda-mentos del analisis del movimiento orbital de los satelites artificiales, as como elde otras naves espaciales cuyo proposito sea la exploracion del espacio exterior,se basan en las consecuencias de la ley de gravitacion universal enunciada porNewton. Esta ley, que determina el movimiento de cualquier cuerpo en el espacio,natural o artificial, dio lugar a la Mecanica Celeste, que nacio como la disciplinacientfica que estudia el movimiento de planetas, cometas, asteroides y cualquierotro cuerpo sometido a la ley de gravitacion de Newton.

Las caractersticas especiales de alguno de los problemas dinamicos planteadosen el estudio de las orbitas de los satelites artificiales llevaron a definir una nuevadisciplina cientfica, la Astrodinamica, heredera de la Mecanica Celeste, que estu-dia principalmente el movimiento en el espacio de los objetos artificiales. Aunque

la causa fundamental del movimiento sigue siendo la ley de gravitacion de Newton,en Astrodinamica hay que considerar otro tipo de fuerzas no gravitacionales quemodifican las consecuencias de esta ley. Por otro lado, la Astrodinamica anade a laMecanica Celeste un nuevo problema, como es el diseno de complejas trayectoriaspara las naves espaciales que les permitan realizar, con las limitaciones energeticasactuales, cualquier recorrido por el sistema solar. El presente libro pretende daruna vision general de los principales puntos que aborda la Astrodinamica, paraello se ha dividido en cuatro partes: sistemas de referencia, movimiento kepleriano,movimiento orbital y navegacion espacial.

En la primera parte del libro se aborda un problema previo a la navegaci on

espacial, la determinacion precisa de la posicion y velocidad de un cuerpo en elespacio. En primer lugar se realiza un repaso de una serie de herramientas basicas,que van, desde el concepto de angulo y vector, hasta el de sistema de referencia yel estudio de las rotaciones de estos sistemas. Una vez establecidos los conceptosbasicos se pasa al estudio de los sistemas de referencia astronomicos considerandolas variaciones de estos sistemas debidas a los pequenos movimientos de los planosfundamentales del ecuador y la eclptica. En este punto se han introducido todaslas recomendaciones y normas dictadas por la Union Astronomica Internacional(IAU) en el ano 2000, y en vigor desde el ano 2003, que vienen a modificar lasteoras de la precesion y nutacion de los anos 1976 y 1980. Finalmente se estudia

el parametro que actua de variable independiente en las teoras dinamicas, esto es,el tiempo. Puesto que cualquier mision espacial establecera su referencia temporala traves de un reloj, se estudian los distintos tipos de relojes y tiempos que nosda la Astronoma.

En la segunda parte del libro se estudia en profundidad el movimiento ke-pleriano. Las leyes de Kepler describen el comportamiento de la solucion de unmodelo teorico basado en el movimiento relativo de dos masas puntuales que inter-accionan gravitacionalmente de acuerdo con la ley de Newton. No solo se integrael problema, sino que se realiza un estudio cualitativo exhaustivo del mismo, quees necesario para comprender la complejidad del modelo orbital real. Se analiza

la geometra de este movimiento, as como distintos conjuntos de variables que lo


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xiii

describen y varios sistemas de referencia asociados a las orbita keplerianas. Final-mente se estudia el problema de contorno consistente en el analisis del conjuntode orbitas keplerianas que pasan por dos puntos.

La tercera parte trata del modelo orbital real. Se analizan los distintos efec-tos que pueden modificar una orbita kepleriana: forma no esferica de la Tierray de los planetas; atraccion gravitacional de otros cuerpos; frenado atmosferico;presion de radiacion solar; efectos relativistas; etc. Se estudia la formulacion delproblema de tres cuerpos, que es el siguiente en complejidad al modelo keple-riano de dos cuerpos, y se analiza un caso particular, el problema restringido, quedetermina muchas de las caractersticas dinamicas de la navegacion interplaneta-ria. Finalmente, se obtienen las ecuaciones que permiten estudiar los modelos demovimiento orbital a partir de aproximaciones al modelo kepleriano.

La parte final aborda los aspectos que se refieren a la navegaci on espacial,tanto de satelites artificiales como de sondas interplanetarias. El primer captulode esta parte analiza la historia del primer medio siglo de navegacion espacial,no tanto desde un punto de vista cronologico, sino describiendo la historia decada tipo de mision, procurando dar de esta forma una vision mas coherentede la industria espacial actual. Se estudian por separado los satelites artificialesy la navegacion interplanetaria. En los primeros se analiza la interaccion entreestos y la Tierra, que condiciona el tipo de mision en funcion de las zonas dela Tierra que el satelite sobrevuela. Tambien se estudian los distintos tipos demaniobras, incluido el lanzamiento, que permiten modificar una orbita; as comolas trasferencias orbitales, o conjunto de maniobras que conectan orbitas sin unpunto en comun. El ultimo captulo estudia los conceptos basicos para el disenode las trayectorias interplanetarias a partir de la union de fragmentos de orbitaskeplerianas.

El presente libro ha sido escrito despues de muchos anos de estar encargadode la docencia de las asignaturas de Astronoma y Mecanica Celeste de la licen-ciatura de Matematicas en la Universidad de Zaragoza. Parte de las notas escritascomo consecuencia de dicha docencia se plasmaron en un libro titulado Curso deAstronoma y escrito en colaboracion con Jose Angel Docobo y Antonio Elipe.A ellos quiero agradecer el uso, en este libro, de ciertas partes del anterior, con

objeto de dejar cerrados algunos temas. De esta forma, el lector interesado uni-camente en Astrodinamica no tendra la necesidad de navegar en otro libro masorientado a la Astronoma.

Con este libro he intentado llenar una laguna en la literatura en espanol detemas de Astrodinamica, pues son muy escasos los libros de estas caractersticasque pueden encontrarse en las libreras. Escribir el libro en espanol me ha hechoreflexionar sobre la adaptacion de los terminos cientficos a nuestra lengua y meha conducido a unas consideraciones sobre terminologa que, equivocadas o no,he intentado plasmar en el libro. En este punto quiero agradecer a mi colega LuisFlora sus fructferas e ilustrativas conversaciones sobre el tema. El ingles se ha

convertido en la lengua comun de la ciencia, es por ello corriente que determinados


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xiv

terminos no se traduzcan o la traduccion sea poco meditada. Al escribir este librohe intentado utilizar una terminologa que se adapte al maximo a las palabras yconceptos del espanol y a su significado cientfico. Esto debe ayudar a realizar unacorrecta interpretacion de dichos terminos cuando se pretende hacer divulgacionde temas especializados a personas no expertas en la materia o no familiarizadascon la literatura tecnica escrita en ingles. As, en este libro he usado palabras noestandar como conicas enlazadas en lugar de patched conics, orbitas de aproxima-cion en lugar de flyby o swingby, etc. Al final de la obra, en el ndice alfabetico sehan incorporado algunos de estos terminos comunes en ingles con una indicacionde la traduccion usada en el libro.

Tambien resulta relacionado con el lenguaje otro aspecto que podra no men-cionar y dejar pasar desapercibido pero del que prefiero que quede constanciaescrita. As como he intentado ser riguroso en la eleccion de la terminologa en

espanol y por adelantado pido excusas por los posibles fallos cometidos en esteempeno, tambien he prescindido de una norma de nuestro lenguaje que creo debeser modificada. Es norma del espanol usar la coma como separador de la parte de-cimal de un numero. A este respecto, creo firmemente que el lenguaje matematico,que es un lenguaje universal, debe estar por encima de cualquier localismo queunicamente lo dificulta. Aunque es bien cierto que la coma o el punto unicamenteconstituyen dos formas diferentes de representacion de un mismo concepto, quees el numero real, es tambien util disponer de un representacion universal que seainterpretada en la misma forma por cualquier persona. Por ello he optado por eluso del punto en lugar de la coma como separador decimal.

La escritura de un libro de texto cientfico requiere la realizacion de profundasrevisiones para garantizar la calidad del producto final. Sin embargo, la experien-cia me indica que en cada revision (no profesional) de un texto del tamano de este,siempre se encuentran nuevas erratas. No pienso que este libro quede totalmenteexento de las mismas, por lo que intentare, dentro de lo posible, informar al lectorde todas las que se vayan encontrando despues de la edicion definitiva. Para ellopuede consultarse la pagina web: gme.unizar.es/pages/libroastrodinamica, dondese informara, periodicamente, de las mismas, as como de toda informacion utilrelacionada con el libro. A lo largo del proximo ano aparecera tambien, como semenciona en el captulo 12, el software Orbits, paquete de Mathematicaque com-

plementa este libro. En la pagina web: gme.unizar.es/software/orbits, apareceraninstrucciones sobre su descarga y uso.

Quiero terminar este prologo entrando en el apartado de agradecimientos. Esdifcil intentar agradecer en unas pocas lneas a todos cuantos, de alguna forma,han colaborado, directa o indirectamente, en la escritura de este libro, al fin y alcabo, la escritura del libro esta ntimamente relacionada con una trayectoria pro-fesional de mas de 30 anos. Por otro lado, quiero ser breve y no deseo olvidarmede nadie, as que comenzare con un agradecimiento generico a todos los miembrosdel Grupo de Mecanica Espacial de la Universidad de Zaragoza y a todos los cole-gas y amigos de las Universidades de La Rioja, Santiago de Compostela, Murcia,

Cartagena, Pamplona y del Real Observatorio de la Armada.


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xv

Por otra parte, es de justicia escribir unas lineas aparte, y muy destacadas,para todos los miembros del grupo APSIDE (Asociacion para la Promocion Socialde la Investigacion y el Desarrollo Espacial), seccion aragonesa del proyecto SSETI(Student Space Exploration and Technology Initiative) a quienes dedico de maneraespecial este libro y que son quienes, de alguna forma, me han creado la obligacionmoral de escribirlo, terminarlo e intentar que sea una herramienta util para todosaquellos estudiantes interesados en la industria espacial.

El proyecto SSETI nacio hace unos anos como una iniciativa de la AgenciaEspacial Europea (ESA) para formar a jovenes estudiantes en el ambito espacial.El proyecto pretenda agrupar universidades de toda Europa formando equiposque seran capaces de disenar, construir y lanzar satelites. La novedad consista enque todo el proyecto estara dirigido y formado exclusivamente por estudiantes,contando con el apoyo de expertos de la Agencia y profesores de las universidades.

Como primer objetivo se planteo la construccion y envo al espacio del sateliteESEO (European Student Earth Orbiter). Itziar Barat y Ruben Castro, estu-diantes de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Zaragoza, asumieron elliderazgo de un grupo de companeros de las licenciaturas de Matematicas y Fsi-cas y se encargaron del analisis de mision de ESEO, es decir, el diseno de la orbitay de todos los aspectos astrodinamicos derivados de la misma. Ademas conven-cieron a Antonio Elipe, que fue decano de la Facultad de Ciencias y Director delInstituto de Matematicas y Aplicaciones de Aragon, y a mi mismo, para actuarcomo profesores tutores del proyecto Los miembros del SSETI han ido cambian-

do, en su mayor parte por terminar sus estudios de licenciatura. A lo largo deestos anos varias generaciones de estudiantes han ido desarrollando sin desanimoel proyecto. Ademas de los ya mencionados debo nombrar tambien a Isaac Today Eva Tresaco en la segunda generacion, a Julia Marn-Yaseli, David Vicente yAlejandro Vaquero en la tercera y el ultimo por ahora, Jonatan Peris, que haconseguido que la llama de la ilusion no se extinga. No son los unicos y ruego alresto de sus companeros que me perdonen y que hagan suyo mi homenaje a todoel grupo.

La falta de estabilidad de los grupos, que necesariamente deban cambiar al-gunos miembros cada ano, hicieron ver a los organizadores de la ESA que losobjetivos iniciales de ESEO eran demasiado ambiciosos, por lo que se planteo lanecesidad de desarrollar un proyecto algo menos exigente que, por su duraci on,no desmotivara a los participantes. As nacio SSETI-Express, un satelite artificialmas pequeno desarrollado en dos anos y lanzado al espacio el da 27 de Octubre de2005. Aunque la senal de dicho satelite se perdio por problemas en las bateras,podemos calificar sus resultados como de profundo exito. Este exito animo aluso de la experiencia adquirida para alcanzar mayores objetivos, como el pro-yecto ESMO (European Student Moon Orbiter) que trataba de enviar una navea orbitar en torno a la Luna. Diversos acontecimientos posteriores, junto con lacrisis economica, minimizaron los objetivos propuestos, aunque afortunadamente

todava subsiste una pequena llama encendida, en espera de tiempos mejores.


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xvi

Para un profesor nada hay tan importante como el exito de sus alumnos, eneste caso comprobado y reconocido. Por ello, quiero enviarles a todos ellos miagradecimiento mas profundo, por ser los culpables de la finalizacion del libroy por haber logrado que recuperara la ilusion por la docencia y demostrarme,y demostrar a muchos otros, que con voluntad y con esfuerzo cualquier jovenpreparado es capaz de conseguir lo que se proponga.

Zaragoza, Agosto de 2012

Alberto Abad


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Parte I

Sistemas de referencia enAstrodinamica

1


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Captulo 1

Sistemas de referencia en IR3

1.1 Introduccion

El objetivo del presente captulo es recordar el concepto de sistema de refe-rencia en IR3, necesario para situar la posicion de los astros y otros objetos en el

espacio. Para ello, efectuaremos un breve repaso de las propiedades basicas delespacio vectorial real IR3 y de todos los conceptos asociados al mismo como losproductos escalar, vectorial y mixto, angulos, etc., que seran de gran importanciaen el desarrollo del libro.

Estas notas no constituyen un tratado de algebra, de hecho, sera necesaria unarevision de un libro especializado para una mejor comprension de algunos de losconceptos aqu utilizados. Sin embargo, hemos preferido profundizar en algunosaspectos, como el de sentido de un angulo y la orientacion de los sistemas dereferencia, pues estos conceptos, de gran importancia en la Astrodinamica, son a

menudo tratados sin demasiado rigor.La trigonometra esferica ha sido la herramienta tradicional para resolver pro-

blemas de Astronoma de Posicion, donde el concepto de distancia entre puntos,imposible de medir por observacion directa, es cambiado por el de distancia an-gular, sustituyendo los puntos de IR3 por su proyeccion en una esfera de radioarbitrario (tomado como unidad de longitud). En este libro, salvo en una oca-sion, hemos utilizado el calculo vectorial y matricial en lugar de las f ormulas dela trigonometra esferica, lo que conduce a relaciones mas faciles de entender yque no contienen ambiguedades. Sin embargo, con objeto de que el lector puedacomprender algunas de las demostraciones que aparecen en libros clasicos de As-

trodinamica desarrollaremos brevemente en este captulo los fundamentos de la


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4 Sistemas de referencia en IR3

trigonometra esferica.

1.2 El espacio afn IR3: sistemas de referencia

El espacio IR3 puede ser considerado como un conjunto de elementos, llamadospuntos, que se representan por letras mayusculas: O , P , Q , S , . . .; o bien, como elconjunto de vectores x de un espacio vectorial real de dimension tres.

Estas dos formas de ver IR3 pueden relacionarse si consideramos un puntocualquiera O 2 IR3, que llamaremos origen, y asociamos a cada punto P un vectorde IR3, que llamaremos x = OP, y que geometricamente representa el segmento(vector) que une el punto O con el punto P. Si consideramos otro punto Q, talque y = OQ, podremos poner QP = OP OQ = x y. De esta forma hemosdotado a IR

3

de una estructura de espacio afn.Si consideramos una base (i1, i2, i3) de IR

3 el elemento x 2 IR3 puede repre-sentarse por tres numeros reales (x1, x2, x3), que son llamados componentes delvector en dicha base, de manera que x = x1i1 + x2i2 + x3i3.

Al conjunto formado por el origen y la base {O, i1, i2, i3} le llamaremos sistemade referencia de IR3. En este sistema de referencia el vector correspondiente alorigen O tiene sus tres componentes nulas.

1.3 Producto escalar: IR3

como espacio eucldeoLlamaremos producto escalar de dos vectores x, y, al numero real

x y = x1y1 + x2y2 + x3y3, (1.1)

donde (x1, x2, x3), (y1, y2, y3) son las componentes de x, y en la base (i1, i2, i3).Aunque el valor obtenido con esta definicion depende de la base donde estemostrabajando, puede demostrarse facilmente que el valor del producto escalar esindependiente de la base en la cual se calcule. El producto escalar nos permi-tira definir los conceptos de angulo y distancia.

Diremos que dos vectores son ortogonalescuando su producto escalar sea cero.

Llamaremos longitud o norma de un vector al escalar

kx k = px x = (x2)1/2.

De esta forma, la distancia entre dos puntos P, Q vendra dada por la norma delvector QP = OPOQ.

Todo vector x puede ser expresado en la forma

x = kx k x,


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Angulos y funciones circulares inversas 5

donde x representa un vector de norma unidad en la misma direccion que x y porlo cual sera llamado direccion. Esta propiedad permite caracterizar un vector porsu norma y su direccion.

El producto escalar de vectores verifica ademas las siguientes propiedades:

x y = y x,x (y + z) = x y + x z,

( x) y = (x y),x x 0,

x x = 0 () x = 0.

(1.2)

La introduccion de los conceptos de producto escalar y distancia y sus propie-dades permiten considerar IR3 como espacio eucldeo.

2

x

y

Figura 1.1: Angulo entre dos vectores.

Llamaremos angulo entre dos vectoresx, y, al numero real que verifica

x y = kx kky k cos . (1.3)

Las propiedades de la funcion coseno,as como la propia geometra de la figura1.1, nos indican la existencia de dos po-sibles soluciones de la anterior ecuacionque se corresponden con los dos angulos, 2

.

1.4 Angulos y funciones circulares inversas

Observando la figura 1.1 podemos pensar en un angulo como el arco o trayec-toria recorrido por el vector x hasta llegar a la direccion ocupada por el vector y.Para llegar a y puede pasarse varias veces por su posicion, lo que equivale a darvarias vueltas y se corresponde con las propiedades de periodicidad de la funcioncoseno. As pues, desde el punto de vista de la definicion anterior, el angulo entredos vectores o direcciones puede considerarse identico si le restamos o sumamosun numero entero de vueltas, esto es, un multiplo de 2.

Con objeto de evitar esta multiple definicion y precisar mas este conceptodefiniremos en IR una relacion de equivalencia R2 de la siguiente forma: dadosx, y 2 IR diremos que x esta relacionado con y, esto es xR2y, si y solo si existe unk 2 ZZ tal que x y = 2k. El conjunto A de las clases de equivalencia definidaspor R2 coincide con el conjunto cociente IR /2ZZ y hereda la estructura de grupoconmutativo. Los elementos de A seran llamados angulos.

Un representante cualquiera de cada clase de A, que viene dado por un numeroreal, sera llamado determinacion del angulo . Llamaremos determinacion prin-

cipal de al numero real perteneciente al intervalo [0, 2) que sea representante


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de una clase de IR /2ZZ. Obtener la determinacion principal de un angulo es lomismo que calcular el resto de la division del numero real que representa el angulopor 2 o bien obtener el valor congruente (modulo 2) de este numero.

Observese que podemos definir un isomorfismo entre el conjunto A de angulosy el intervalo [0, 2) a traves de la determinacion principal de cada angulo. Porello, a partir de aqu, cuando hablemos de angulo nos referiremos siempre a su de-terminacion principal o a su valor 2 [0, 2). De esta forma quedaran justificadasigualdades del tipo + = y otras que aparecen cuando obtenemos la de-terminacion principal de una combinacion lineal de angulos cuyo valor, obtenidopor reglas aritmeticas, excede de 2 o es menor que 0.

En ocasiones la practica comun exige la eleccion de otra determinacion paralos angulos, basada en una definicion de los mismos en el intervalo (, ]. Estarepresentacion se establecera para los angulos definidos explcitamente en dicho

intervalo o en un subintervalo de este.

Las funciones trigonometricas o circulares

sen, cos : IR ! [1, 1],tan : IR ! IR[{1,1},

son tres1 funciones suprayectivas y periodicas, de periodo 2, cuyas propiedadessuponemos de sobra conocidas.

A pesar de no ser biyectivas, su periodicidad permite la definici on de una

serie de funciones inversas llamadas arco coseno (acos), arco seno (asin) y arcotangente (atan) que seran biyectivas si restringimos el intervalo de definicion

acos : [1, 1] ! [0, ],asen : [1, 1] ! [

2,

2],

atan : IR[{1,1} ! [2

,

2].

(1.4)

Esta determinacion de cuadrante es la usada habitualmente por todos los lengua-jes de programacion y calculadoras cuando se invocan las funciones inversas de

las circulares. Notese ademas que la funcion acos as definida, cuando se usa parala obtencion del angulo entre dos vectores, determina el menor de los dos posibleso angulo agudo.

Habitualmente el uso de las funciones arco coseno, arco seno y arco tangen-te viene asociado a la resolucion de ecuaciones del tipo cos = x, sen = x,o tan = x. Si el significado geometrico de en dichas ecuaciones se restringe alintervalo de definicion de las funciones, la solucion de cada una de esas ecuacionessera unica y vendra dada por las funciones acos, asen, atan, respectivamente. En

1Las funciones sec, cosec, cotan, pueden considerarse funciones auxiliares de sen, cos y tan ysus propiedades facilmente deducibles a partir de ellas por lo que no son consideradas en estaexposicion.


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Angulos y funciones circulares inversas 7

caso contrario, si la solucion puede ser un angulo cualquiera en su determina-cion principal, tendremos dos posibles soluciones por cada ecuacion, que vendranexpresadas por las funciones arccos, arcsin, arctan en lugar de acos, asen, atan,

cos = x () = arccos x ()

0 = acos x,1 = acos x,

sen = x () = arcsen x ()

0 = asen x,1 = asen x,

tan = x () = arctan x ()

0 = atan x,1 = + atan x.

(1.5)

Cuando conozcamos simultaneamente el coseno y el seno de un angulo, cos =

x, sen = y, este podra ser encontrado sin ambiguedad tomando la solucioncomun de entre las dos obtenidas a partir de arccos x, arcsen y. Al igual que enalgunos lenguajes de programacion, que definen una funcion arco tangente condos argumentos para resolver dicho caso, en lo que sigue utilizaremos la funcionatan(x, y) que determina, sin ambiguedad, el angulo que forma el punto (x, y) 2IR2{(0, 0)} con el eje Ox del plano, esto es, cuyo coseno es x/

px2 + y2 y cuyo

seno es y/p

x2 + y2.

= atan(x, y)() 8>:

cos =x

px2 + y2

,

sen = ypx2 + y2

.(1.6)

Notese que hemos usado un orden de variables distinto a la funcion atan2 deFORTRAN, pues hemos considerado que esta forma concuerda mas con el lengua-

je habitual de las Matematicas, donde la primera coordenada x suele representarel coseno, y la segunda, y, el seno.

Propiedad.- La ecuacion

tan

2= x, (1.7)

tiene una unica solucion dada por la expresion

= 2 atan x. (1.8)

En efecto, aplicando la funcion inversa

2= arctan x =

atan x,

+ atan x,(1.9)

y llamando 0, 1 a las dos soluciones, se tendra

1 = 2( + atan x) = 2 + 2 atan x = 2 atan x = 0.


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Propiedad.- Las dos soluciones de la ecuacion

A = Ccos + Ssen , A, B, C 2 IR, (1.10)

vienen dadas por la expresion

= atan(C, S) arccos

ApC2 + S2

. (1.11)

En efecto, si llamamos M,m, a las constantes definidas por

C = Mcos m, S = Msen m,

o lo que es igual

M = pC2 + S2, m = atan (C, S) ,podremos poner

A = Mcos m cos + Msen m sen = Mcos(m ),

de donde invirtiendo se llega a

m = arccos

A

M

,

y finalmente

= m arccos

A

M

.

1.5 Producto vectorial y mixto

Como sabemos, dos vectores linealmente independientes de IR3 determinan unplano. Ademas, podemos definir dos direcciones distintas, ortogonales al plano,equivalentes a los conceptos relativos de encima y debajo del plano. Por otro lado,

las dos direcciones ortogonales al plano son opuestas entre si. Para caracterizarestas dos direcciones estableceremos el concepto de producto vectorial.

Supongamos dos vectores x, y que forman entre si un angulo2 = acos(x y).Llamaremos producto vectorial de dos vectores x, y, y lo representaremos porx y, a un vector que se caracteriza por:

Su norma, kx y k = kx kky k sen .

Su direccion, ortogonal al plano definido por x, y, que viene definida por ladireccion de avance de un sacacorchos o tornillo3 cuando gira para llevar el

vector x hacia el vector y por el camino mas corto (angulo agudo ).


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Sistemas de referencia ortonormales 9

xy

x y

xy

x y

Figura 1.2: Producto vectorial de dos vectores.

La figura 1.2 representa los dos posibles vectores xy segun la posicion relativade x e y. Puede observarse tambien que las dos unicas direcciones ortogonales alplano definido por dichos vectores se representan por los vectores x y e y x,que ademas verifican la relacion

x y = y x.Al producto escalar de un vector x por el vector resultante del producto vec-

torial de otros dos y

z, que puede tambien denotarse como [x, y, z] = x (y

z),

se le suele llamar producto mixto de tres vectores.

1.6 Sistemas de referencia ortonormales

La definicion de ortogonalidad nos permite definir un sistema de referenciadonde los vectores de la base son ortogonales4 entre si

i1 i2 = i1 i3 = i2 i3 = 0.

A dicho sistema de referencia le llamaremos sistema de referencia ortogonal. Siademas los vectores tienen norma unidad

i21 = i22 = i

23 = 1,

el sistema sera llamado sistema de referencia ortonormal.

De acuerdo con lo visto en el apartado anterior, dados dos vectores ortogonalesy unitarios i1, i2, existen unicamente dos direcciones ortogonales al plano definido

2Como se ha dicho antes hemos elegido el menor de los dos posibles o angulo agudo.3Recuerdese que un sacacorchos avanza hacia arriba cuando gira en sentido contrario a las

agujas del reloj y hacia abajo en caso contrario.4Tres vectores de IR3 ortogonales entre si son linealmente independientes.


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por i1 y i2. Estas dos direcciones son las representadas por los vectores i1 i2 ei2 i1, que en ambos casos tienen norma unidad de acuerdo con la definici on deproducto vectorial.

De esta forma se llega a las dos posibles elecciones de sistemas de referenciaortonormales: sistema directo (llamado tambien sistema dextrogiro o de orienta-cion positiva) cuando i3 = i1 i2 y sistema retrogrado (sistema levogiro o deorientacion negativa) cuando i3 = i2 i1.

i1i2

i3

i1i2

i3

Figura 1.3: Sistema de referencia de orientacion positiva (izquierda) y de orientacionnegativa (derecha). Notese la posicion distinta de los vectoresi1, i2 en ambos sistemas.

Propiedad.- Para todo sistema ortogonal directo se verifica

1.

i3 = i1 i2, i1 = i2 i3, i2 = i3 i1. (1.12)

2. Dados dos vectores x = x1i1 + x2i2 + x3i3, y = y1i1 + y2i2 + y3i3, suproducto vectorial se puede expresar como

x y = (x2y3 x3y2)i1 + (x3y1 x1y3)i2 + (x1y2 x2y1)i3

=

i1 i2 i3x1 x2 x3y1 y2 y3

.(1.13)

3. Dados tres vectores x = x1i1 + x2i2 + x3i3, y = y1i1 + y2i2 + y3i3 yz = z1i1 + z2i2 + z3i3, su producto mixto se puede expresar como

[x, y, z] = x1 x2 x3y1 y2 y3

z1 z2 z3 . (1.14)


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Otras propiedades de los distintos productos de vectores 11

Propiedad.- Para todo sistema ortogonal retrogrado se verifica

1.

i3 = i2

i1, i2 = i1

i3, i1 = i3

i2, (1.15)

2. Dados dos vectores x = x1i1 + x2i2 + x3i3, y = y1i1 + y2i2 + y3i3, suproducto vectorial se puede expresar como

x y = (y2x3 y3x2)i1 + (y3x1 y1x3)i2 + (y1x2 y2x1)i3

=

i1 i2 i3y1 y2 y3x1 x2 x3

.(1.16)

3. Dados tres vectores x = x1i1 + x2i2 + x3i3, y = y1i1 + y2i2 + y3i3 yz = z1i1 + z2i2 + z3i3, su producto mixto se puede expresar como

[x, y, z] =

x1 x2 x3z1 z2 z3y1 y2 y3

. (1.17)Las dos propiedades anteriores caracterizan los sistemas directos y retrogrados

cuya representacion grafica puede verse en la figura 1.3.

La definicion de producto vectorial no es util para el calculo del mismo. Pararealizar este calculo es necesario acudir a una de las expresiones (1.13) o (1.16).Hay que hacer notar aqu que unicamente la primera es usada en la mayora delos libros y las libreras de los lenguajes de programacion. Esto supone que demanera implcita dichos libros y programas trabajan con un sistema de referenciaortogonal directo.

En Astronoma, se utilizan dos sistemas de coordenadas, horizontales y hora-rias, que se definen habitualmente a traves de sistemas de referencia retrogrados.En este libro, con objeto de evitar el problema generado por las distintas propie-dades del producto vectorial, utilizaremos unicamente sistemas directos, para loque redefiniremos las coordenadas asociadas a los sistemas retrogrados.

1.7 Otras propiedades de los distintos productosde vectores

Daremos a continuacion otras propiedades de los productos de vectores queson independientes de la orientacion de la base elegida para su calculo. Estas

propiedades seran usadas a lo largo del libro.


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Propiedad .- Las relaciones siguientes son validas independientemente del siste-ma de referencia en el que expresemos los vectores:

x

(y + z) = x

y + x

z, (1.18)

(x y)2 = kx k2ky k2 (x y)2, (1.19)(x y) z = (x z)y (y z)x, (1.20)x (y z) = (x z)y (x y)z. (1.21)

Propiedad.- El area de un triangulo de vertices O ,P,Q viene dada por el valorde kx y k/2, siendo x = OP , y = OQ.

Propiedad.- Dados dos vectores ortogonales a, b, y un escalar c, el sistema

x a = b,x a = c,

(1.22)

tiene como unica solucion

x =a b + c a

a a. (1.23)

En efecto,

a b = a (x a) = (a a)x (a x)a,de donde despejando se llega a la solucion.

1.8 Angulo orientado entre dos vectores

La ecuacion (1.3) nos ha permitido introducir el concepto de angulo y sumedida a traves del producto escalar. La solucion de dicha ecuacion conduce,como se ve en la figura 1.1, a dos valores, y 2, que representan igualmenteal angulo salvo que las propiedades geometricas de un determinado problemarestrinjan el rango de valores a un subintervalo de [0, 2).

Tambien podremos discriminar uno de los dos posibles valores cuando defina-mos un sentido de recorrido de los angulos y tomemos uno de los dos vectorescomo origen (de aqu en adelante x). Generalmente se considera sentido de giro

positivo al recorrido en sentido contrario a las agujas del reloj y sentido de gi-ro negativo al recorrido en sentido de las agujas de un reloj. En dinamica suelehablarse tambien de sentido directo y sentido retrogrado respectivamente. Habi-tualmente se considera positivo el signo de los angulos medidos en sentido directoy negativo los medidos en sentido retrogrado.

La anterior definicion contiene tambien una ambiguedad, pues el sentido posi-

tivo se transforma en negativo, y viceversa, cuando miramos la figura desde el otro


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Angulo orientado entre dos vectores 13

lado del plano determinado por los vectores x, y. Dicha ambiguedad quedara eli-minada fijando, mediante el producto vectorial de los dos vectores, el subespaciodesde el cual observamos el giro.

Para fijar los conceptos de angulo directo o retrogrado entre dos vectores x, y,o angulo que va de x a y en sentido positivo o negativo, debemos fijar, en primerlugar, una orientacion o direccion n, definida a partir del vector (xy)/kxy k odel vector (yx)/kxy k. Fijado n, hablaremos de angulo directo, o recorrido ensentido positivo o directo, como aquel que lleva el vector x hacia y en el sentido degiro contrario a las agujas del reloj visto desde la direccion del espacio definida porel vector n. Un angulo retrogrado, o recorrido en sentido negativo o retrogrado,es el angulo recorrido en sentido contrario al anterior. Habitualmente todos loslibros usan, sin mencionarlo, la orientacion definida por n = (x y)/kx y k.

El concepto de sistema ortogonal directo nos va a permitir determinar, de unamanera precisa, el angulo directo entre dos vectores x, y, una vez hayamos definidola orientacion n. En efecto, por ser n ortogonal a x podemos definir un sistemade referencia ortonormal directo formado por los vectores {i1 = x/kx k, i2 =nx/knx k, i3 = n}. Notemos que por ser n y x ortogonales se tiene knx k =kx k y por tanto i2 = (nx)/kx k. El vector y, que pertenece al plano formadopor i1 y i2 podra expresarse como

y = p i1 + qi2,

o lo que es igual

y = ky kp i1 + ky kqi2.Si llamamos = atan(p, q) tendremos que

y = ky k cos i1 + ky k sen i2,

de donde podremos poner

ky k cos = y i1 = x y

kx

k

, ky k sen = y i2 = y (n x)

kx

k

=n (x y)

kx

k

,

y finalmente

kx kky k cos = x y, kx kky k sen = n (x y), (1.24)o lo que es igual

= (x, y, n) = atan (x y, n (x y)) . (1.25)

La expresion (1.25) nos da de manera precisa y unica el valor del angulo que va

dex

ay

en sentido positivo desde la orientacion definida por el vectorn

.


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1.9 Coordenadas cartesianas y polares

Las componentes (x ,y,z) de un vector x = x i1 + y i2 + z i3, expresado en un

sistema de referencia ortogonal directo {i1,

i2,

i3}, seran llamadas coordenadascartesianas o coordenadas rectangulares y representan:

Las proyecciones del vector x sobre los ejes Ox, Oy y Oz o direcciones i1, i2e i3 respectivamente.

Los cosenos directores, o cosenos de los angulos que forma el vector x conlos ejes Ox,Oy y Oz:

x = kx k cos(x, i1) = x i1,y = kx k cos(x, i2) = x i2,z = kx k cos(x, i3) = x i3.

En Astronoma, donde en ocasiones la medida de la distancia a los astros noes conocida, resulta de particular importancia el uso de las coordenadas polaresesfericas que separan la distancia al origen de las otras coordenadas angulares.

Para definir las coordenadas polares esfericas (figura 1.4) consideraremos, enprimer lugar, un vector l de norma igual a kx k y cuya direccion representa lainterseccion del plano formado por x e i3 con el plano Oxy formado por i1 ei2. Llamaremos longitud al angulo desde i1 hasta l medido en sentido directotomando como orientacion la definida por el vector i3. La longitud puede tomarun valor cualquiera 2 [0, 2).

Llamaremos latitud al angulo entre l y x. Este angulo se considera positivosi el vector x esta en el lado del espacio correspondiente a i3 y negativo si esta enel correspondiente a i3. De esta forma 2 [/2, /2].

Por ultimo llamaremos distancia r a la norma kx k.Las coordenadas (r, , ) seran llamadas coordenadas polares esfericas o sim-

plemente coordenadas esfericas y se caracterizan principalmente por separar ladistancia r de las cantidades angulares adimensionales , .

En ocasiones hablaremos de la colatitud o angulo = /2 2 [0, ] entrei3 y x y de la colongitud o angulo entre i2 y l, medido en sentido retrogrado.

Facilmente comprobamos que tambien se verifica = /2 2 [0, 2).El uso de la colatitud y la colongitud permite usar los sistemas de coordenadas

(r, , ), (r, , ), (r, , ) como alternativa al sistema de coordenadas polaresesfericas.

Observando la figura 1.4 se deduce facilmente que un vector unitario l pertene-ciente al plano Oxy y que tiene una longitud , forma tres angulos (, /2, /2)con los tres vectores de la base, por lo que sus componentes, dadas por los cosenosdirectores seran

l = cos i1 + cos(

2 ) i2 + cos

2

i3 = cos i1 + sen i2.


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Coordenadas cartesianas y polares 15

i1

i2

i3

x

l

Figura 1.4: Coordenadas polares esferi-cas.

De esta forma, se tendra, por un lado

l = r cos i1 + r sen i2,

y por otro,

x = r cos l + r cos i3

= r cos l + r sen i3,

por lo que finalmente se llega a la expre-sion del vector en coordenadas polaresesfericas

x = r cos cos i1+

r sen cos i2+r sen i3,

(1.26)

lo que demuestra que las coordenadas cartesianas pueden expresarse en funcionde las polares esfericas en la forma:

x = r cos cos ,y = r cos sen ,z = r sen .

(1.27)

Asimismo, invirtiendo las relaciones anteriores obtenemos las coordenadas esferi-cas en funcion de las rectangulares:

r =p

x2 + y2 + z2,

= asenz

r,

= atan(x, y).

(1.28)

Puesto que el paso de cartesianas a polares y el de polares a cartesianas seranmuy usados a lo largo del libro estableceremos, de aqu en adelante una nota-cion mas compacta que establece el nombre de una funcion que a traves de losalgoritmos (1.27) y (1.28) realiza la transformacion.

Llamaremos cart() a la funcion que obtiene el vector x = (x,y,z) a partir delvector de coordenadas polares (r, , ),

x =

0@ xyz

1A =0@ r cos cos r cos sen

r sen

1A = cart(r, , ). (1.29)Para referirnos a cada una de sus componentes podremos usar las funciones:

x = cart1(r, , ), y = cart2(r, , ), z = cart3(r, , ). (1.30)


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Por otro lado, la funcion polar() representara la inversa de la anterior, es decir,nos dara el vector de coordenadas polares en funcion del vector en cartesianas

(r, , ) = polar(x). (1.31)

Para referirnos a cada coordenada polar por separado usaremos las funcionessiguientes:

r = polarr(x), = polar(x), = polar(x). (1.32)

Combinando el uso de la colatitud y colongitud con las coordenadas polarespodremos poner:

x = r sen cos i1 + r cos cos i2 + r sen i3, (1.33)

x = r cos sen i1 + r sen sen i2 + r cos i3, (1.34)

x = r sen sen i1 + r cos sen i2 + r cos i3, (1.35)

o bien usando la funcion cart() escribiremos

x = cart(r,

2 , ) = cart(r, ,

2 ) = cart(r,

2 ,

2 ).

1.10 Trigonometra esferica

Una de las caractersticas de la observacion astronomica es la imposibilidad deuna medicion visual directa de la distancia al astro, pudiendose medir unicamente

distancias angulares. Las coordenadas polares resultan perfectamente adaptadasa la premisa anterior pues separan la distancia r al astro de las dos coordenadasangulares.

Desde un punto de vista practico prescindir de la distancia equivale a suponertodos los astros proyectados sobre una esfera de radio arbitrario que tomaremoscomo unidad. Esta esfera es llamada esfera celeste. En el caso de las orbitas delos cuerpos del sistema solar y de las naves espaciales la distancia es mucho me-nor que la distancia a las estrellas por lo que debe ser tomada en consideraci on,sin embargo, los parametros angulares de su orbita pueden separarse y ser estu-

diados sustituyendo la orbita por su proyeccion en la esfera celeste que sera unacircunferencia.

La necesidad de relacionar puntos en una esfera nos lleva a considerar unaherramienta muy usada en Astronoma clasica: la trigonometra esferica. En estelibro se ha limitado al maximo el uso de triangulos esfericos, sin embargo, porclaridad en la lectura de otros libros de Astrodinamica y Mecanica Celeste seestudian en este apartado las formulas basicas de la trigonometra esferica: lasformulas de Bessel.

Comenzaremos recordando que la interseccion de la esfera con un plano quepase por su centro es una circunferencia que llamaremos crculo maximo. Si el

plano no pasa por el centro de la esfera el crculo sera llamado crculo menor.


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Trigonometra esferica 17

Por otro lado, dados dos puntos en una esfera, existe uno y solo un crculomaximo que pasa por ellos, pues estos dos puntos, junto con el centro determinanun plano que corta a la esfera en dicho crculo maximo. Notese que el crculomaximo es el equivalente a la recta en la geometra plana.

En geometra plana, queda perfectamente determinado el concepto de seg-mento de recta como la parte de la recta que une dos puntos. Sin embargo, dadosdos puntos en la esfera, al ser cerrado el crculo maximo que los une, quedandeterminados dos segmentos y no uno. Para evitar confusiones consideraremosunicamente como segmento que une dos puntos al menor de ambos.

Uno de los parametros que representan un segmento de recta es su longitud.Esto ocurre tambien cuando consideramos un segmento de crculo maximo, sinembargo, puesto que al trabajar en la esfera se pretende eliminar el conceptode distancia, o lo que es igual las dimensiones de longitud, deberemos sustituir

el concepto de longitud del segmento por algun otro concepto equivalente. Paraello, basta recordar la expresion l = r, que relaciona la longitud del segmentode circunferencia con el producto del arco que este abarca por el radio de lacircunferencia. Si consideramos el radio como unidad de distancia, la longituddel segmento equivale al arco. As pues, a partir de ahora, cuando hablemos delongitud del segmento que une dos puntos de la esfera, entenderemos como tal elarco que dicho segmento abarca, expresado en radianes.

Tres puntos no alineados en un plano forman un triangulo plano, que quedacaracterizado por seis parametros: la longitud de los tres lados y los angulos queforman entre si los tres lados. Si tomamos tres puntos sobre una esfera podemosunirlos dos a dos por medio de segmentos de crculo maximo (figura 1.5). La figuraformada en la esfera por estos tres segmentos sera llamada triangulo esferico.

a

b c

A

B

C

Figura 1.5: Triangulo esferico.

Un triangulo esferico viene caracterizado tambien por seis elementos: la lon-

gitud de sus tres lados (a,b,c), que como hemos dicho antes viene expresada en


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radianes, y por sus tres angulos (A ,B,C) que quedan definidos por los tres angulosque forman entre si los planos que definen cada par de crculos maximos. Debidoa la forma de elegir el segmento entre los dos posibles, los tres lados verifican larelacion a

2[0, ], b

2[0, ], c

2[0, ]. De la misma forma esto obliga a que se

verifiquen tambien las relaciones A 2 [0, ], B 2 [0, ], C2 [0, ].La trigonometra esferica permite obtener los seis elementos de un triangulo

esferico a partir de tres cualesquiera de ellos.

1.10.1 Formulas de Bessel

Con objeto de encontrar las formulas que nos permitiran resolver un trianguloesferico, definiremos un sistema de referencia en el que el origen coincida con elcentro de la esfera. De esta forma los vectores, de norma unidad, que unen el origen

con cada vertice del triangulo esferico seran llamados a = OA, b = OB, c = OC.

2 c

2 b

A

A

a

b

c

Figura 1.6: Vectores que definen los verti-ces del triangulo.

Elegiremos un sistema de referen-cia ortogonal directo de forma quei3 = a, y b este en el plano formadopor Oxz. As, atendiendo a la figura1.6, podemos deducir que:

a = i3,b = sen c i1 + cos c i3,c = sen b cos A i1+

sen b sen A i2 + cos b i3.(1.36)

Puesto que el angulo entre cada par devectores es igual al lado que formansus vertices podremos poner, por unlado

b c = cos a,

y por otro, sustituyendo el valor de losvectores dado por las relaciones (1.36),

obtendremosb c = cos b cos c + sen b sen c cos A.

Igualando las dos ultimas ecuaciones se obtiene la expresion

cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A, (1.37)

que es la conocida como primera formula de Bessel o formula del coseno.

Tanto en la anterior como en todas las f ormulas de la trigonometra esfericapodemos permutar las tres letras que representan lados y angulos distintos. De estaforma las formulas obtenidas no seran unicas. En particular, la primera formula de

Bessel debe leerse de la siguiente forma: el coseno de un lado es igual al producto


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de los cosenos de los otros dos lados mas el producto de los senos de los otros doslados por el coseno del angulo opuesto al primer lado. As tendremos tres y nouna formula del coseno.

Por otro lado, llamaremos A, B, C a los vectores unitarios ortogonales a losplanos que contienen cada lado del triangulo esferico y cuya expresion viene dadacomo

C =a bka b k , B =

c ak c a k , A =

b ck b c k , (1.38)

o lo que es igual

A = cos c sen A sen b

sen ai1 +

cos A cos c sen b cos b sen csen a

i2 +sen A sen b sen c

sen ai3,

B = sen A i1 cos A i2,C = i2.

(1.39)Los extremos de los vectores A, B, C forman otro triangulo esferico (figura

1.7), que es llamado triangulo polar, cuyos lados son a0 = A, b0 = B, c0 = C y cuyos angulos son A0 = a, B0 = b, C0 = c.

2AA

a

bc

A

B

C

Figura 1.7: Triangulo polar.

Por ser B el angulo entre A yC tendremos, por un lado, que

kA

Ck

=k

Akk

Ck

sen(

B)

= sen B,

y por otro lado

sen2 B = kACk2 = (AC)(AC).Si sustituimos las expresiones dadasen (1.39), desarrollamos y efectuamosciertas simplificaciones, llegaremos a laigualdad

sen a sen B = sen b sen A. (1.40)

Escribiendo esta expresion para to-das las permutaciones de letras se obtiene la segunda formula de Bessel o formulade los senos que puede tambien expresarse en la forma siguiente

sen a

sen A=

sen b

sen B=

sen c

sen C. (1.41)

Por ultimo, si calculamos el producto escalar de A por C, tendremos por unlado

A C = cos( B) = cos B,


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y por otro

A C = cos b sen c + sen b cos c cos A

sen a,

lo que lleva finalmente a obtener la tercera formula de Bessel

sen a cos B = cos b sen c sen b cos c cos A. (1.42)

Las tres formulas de Bessel son validas para cualquier triangulo esferico, portanto lo seran tambien para el triangulo polar. As pues si las aplicamos para loselementos a0 = A, b0 = B, c0 = C, A0 = a, B0 = c, C0 = c,obtendremos, por un lado

cos A = cos B cos C+ sen B sen Ccos a, (1.43)que sera llamada primera formula polar, y por otro

sen A cos b = cos B sen C+ sen B cos Ccos a, (1.44)

que sera llamada tercera formula polar.

La segunda de Bessel aplicada al triangulo polar vuelve a dar la misma ex-presion, por lo que ha sido omitida y es la razon por la que no hemos definidoninguna segunda formula polar.

1.10.2 Regla del pentagono de Neper

Las formulas de Bessel se simplifican cuando alguno de los elementos, biensea un lado o un angulo, vale 90. A un triangulo de este tipo le llamaremosrespectivamente triangulo rectilatero o triangulo rectangulo.

Neper reunio todas las formulas de Bessel particularizadas para ambos casos yconsiguio enunciar una regla muy simple, llamada regla del pentagono de Neper,que relaciona entre si todos los elementos de estos triangulos.

Estas reglas van asociadas a cada uno de los pent agonos dibujados en lasfiguras 1.8(a), 1.8(b). Estos pentagonos pueden modificarse con una permutacioncualquiera de las letras en el representadas.

Hay dos reglas para cada pentagono que se pueden enunciar de la siguienteforma:

El coseno de un elemento situado en un vertice es igual al producto de lascotangentes de los elementos situados en vertices contiguos.

El coseno de un elemento situado en un vertice es igual al producto de los

senos de los elementos situados en vertices opuestos.


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A = 90

a

B C

90 c 90 b

(a) Triangulo rectangulo.

a = 90

180 A

b c

90 C 90 B

(b) Triangulo rectilatero.

Figura 1.8: Pentagono de Neper.

1.10.3 Analogas de Neper

Las cinco formulas de Bessel, y las que se derivan de la posible permutacionde letras, permiten la resolucion de cualquier tipo de triangulo esferico a partirde tres datos del mismo. Sin embargo, con objeto de discriminar de forma sencillaentre dos posibles soluciones es conveniente el uso de otro conjunto de formulas,obtenidas a partir de las anteriores, que seran llamadas analogas de Neper.

Las analogas de Neper5 pueden escribirse como:

tanA2

= cosb c

2sec

b + c2

cotB + C

2,

tana

2= sec

B C2

cosB + C

2tan

b + c

2.

(1.45)

Veremos unicamente la obtencion de la primera, pues el resto se obtiene demanera identica. Para ello, reuniremos convenientemente las expresiones (1.41)llegando a

sen a (sen B + sen C) = sen A (sen b + sen c),

por otro lado, aplicando dos de las permutaciones de las terceras f ormulas deBessel (1.42), se llega a

sen a(cos B + cos C) = (1 cos A)(cos c sen b + cos b sen c),que divididas nos conducen a

sen B + sen C

cos B + cos C=

sen A (sen b + sen c)

(1 cos A)(cos c sen b + cos b sen c) .5Existen otras expresiones similares, pero estas nos dan la informacion suficiente para com-

pletar el algoritmo del proximo apartado.


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Usando simples relaciones trigonometricas se llega finalmente a

tanB + C

2= cos

b c2

secb + c

2cot

A

2,

que coincide con la primera de las expresiones (1.45).

1.10.4 Algoritmo para la resolucion de triangulos esfericos

Podemos encontrar un algoritmo muy simple para resolver cualquier trianguloesferico si tenemos en cuenta las siguientes propiedades derivadas de las funcionestrigonometricas:

Cualquier lado o angulo de un triangulo esferico esta en el primer o segun-

do cuadrante luego para determinarlo unvocamente se precisa conocer sucoseno.

La tangente del angulo mitad determina, sin ambiguedad el cuadrante decualquier angulo.

La resolucion de un triangulo esferico del que conocemos tres elementos serealizara mediante seis conjuntos de formulas que representan casos identicos salvouna permutacion de letras.

1. Tres angulos (A ,B,C) conocidos.Solucion unica obtenida a partir de las tres formulas polares del coseno.

2. Tres lados (a,b,c) conocidos.

Solucion unica obtenida a partir de las tres formulas del coseno.

3. Conocidos dos lados y un angulo de manera que el angulo no sea opuesto aninguno de los dos lados. Esto corresponde a los tres casos: (a,b,C), (a,c,B),(b,c,A).

Cada uno de estos casos tiene solucion unica en la que el tercer lado se

obtiene por aplicacion directa de la formula del coseno, y una vez obtenidoeste, los otros dos angulos se obtienen como en el segundo caso por aplicacionde las formulas del coseno.

4. Conocidos dos angulos y un lado de manera que el lado no sea opuestoa ninguno de los dos angulos. Esto corresponde a los tres casos: (A ,B,c),(A,C,b), (B,C,a).

Cada uno de estos casos tiene solucion unica en la que el tercer angulo seobtiene por aplicacion directa de la formula polar del coseno, y una vezobtenido este, los otros dos lados se obtienen como en el primer caso por

aplicacion de las formulas polares del coseno.


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5. Conocidos dos lados y un angulo de manera que el angulo sea opuesto aalguno de los dos lados. Esto corresponde a los seis casos: (a,b,A), (a,b,B),(a,c,A), (a,c,C), (b,c,B), (b,c,C).

Cada uno de estos casos tiene solucion doble. Por ejemplo el caso (a,b,A)se resuelve aplicando en primer lugar la formula de los senos para obtenerB. Del seno se obtienen dos valores B1, B2 que seran llevados junto con losde (a,b,A) a las analogas de Neper para obtener c y C. El resto de casos seresuelve tambien con una aplicacion de la formula de los senos y luego lasdos analogas de Neper.

6. Conocidos dos angulos y un lado de manera que el lado sea opuesto a algunode los dos angulos. Esto corresponde a los seis casos: (A ,B,a), (A ,B,b),(A,C,a), (A,C,c), (B,C,b), (B,C,c).

Cada uno de estos casos tiene solucion doble. Por ejemplo el caso (A ,B,a)se resuelve aplicando en primer lugar la formula de los senos para obtenerb. Del seno se obtienen dos valores b1, b2 que seran llevados junto con losde (a,b,A) a las analogas de Neper para obtener c y C. El resto de caos seresuelve tambien con una aplicacion de la formula de los senos y luego lasdos analogas de Neper.

La indicacion de solucion unica o doble de cada uno de los seis casos representaunicamente el numero maximo de soluciones. En todos los casos puede habermenos soluciones. La anulacion de la solucion obtenida se realizara cuando seobtenga un valor mayor que la unidad para un seno o un coseno o al aplicar lasanalogas de Neper se obtenga un angulo mayor que 180.


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Captulo 2

Cambios del sistema dereferencia: rotaciones

2.1 Introduccion

Si tenemos un punto P, referido a un sistema de referencia {O, i1, i2, i3}, yqueremos expresarlo en el sistema {O0, f1, f2, f3} debemos transformar la expre-sion del vector OP en la base inicial {i1, i2, i3} en la expresion del vector O0P enla base del sistema final {f1, f2, f3}. Para ello debemos realizar dos operaciones:

una traslacion del origen, dada por la relacion OP = OO0 + O0P ,

un cambio de base para expresar los tres vectores de la relacion anterior enla base del sistema final.

En adelante prescindiremos de la traslacion, suma del vector OO0

, por la sim-plicidad de esta operacion y porque en la practica casi todos los cambios de sistemade referencia que trataremos en este libro mantienen fijo el origen.

Un cambio entre dos bases ortonormales de IR3 con la misma orientacionsera llamado rotacion del sistema de referencia.


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26 Cambios del sistema de referencia: rotaciones

2.2 Rotaciones en IR3

Sea un vector x 2 IR3 que, expresado en la base1 I = {i1, i2, i3}, tiene laforma

x = x1i1 + x2i2 + x3i3, (2.1)

mientras que en la base F = {f1, f2, f3} se escribe

x = X1f1 + X2f2 + X3f3. (2.2)

Para relacionar las componentes de x en ambas bases tendremos en cuenta,por un lado, que por ser F base de IR3 cualquier vector de IR3 podra ser expresadoen dicha base, por tanto, podremos escribir:

i1 = r11 f1 + r12 f2 + r13 f3,i2 = r21 f1 + r22 f2 + r23 f3,i3 = r31 f1 + r32 f2 + r33 f3,

(2.3)

mientras que, por ser I base de IR3, cualquier vector de IR3 podra ser expresadoen dicha base en la forma:

f1 = s11 i1 + s12 i2 + s13 i3,f2 = s21 i1 + s22 i2 + s23 i3,f3 = s31 i1 + s32 i2 + s33 i3.

(2.4)

Por ser las bases ortonormales, las componentes de un vector pueden obtenersea traves de los cosenos directores, luego se tendra

rij = cos(ii, fj) = ii fj = cos(fj , ii) = sji ,

lo que permite finalmente escribir:

f1 = r11 i1 + r21 i2 + r31 i3,f2 = r12 i1 + r22 i2 + r32 i3,

f3 = r13 i1 + r23 i2 + r33 i3.

(2.5)

Si en la igualdad (2.2) sustituimos los vectores fi por las expresiones dadasen (2.5), y la igualamos, componente a componente, a (2.1), obtendremos tresrelaciones que en forma matricial se podran poner como0@ x1x2

x3

1A =0@ r11 r12 r13r21 r22 r23

r31 r32 r33

1A0@ X1X2X3

1A . (2.6)1Cuando no haya ambiguedad en el origen identificaremos con el mismo nombre al sistema

de referencia y a la base que lo forma.


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Rotaciones en IR3 27

De la misma forma, sustituyendo en la igualdad (2.1) los vectores ii por lasexpresiones dadas en (2.3) e igualando, componente a componente, a (2.2) obten-dremos la relacion inversa de (2.6) en la forma

0@ X1X2X3

1A = 0@ r11 r21 r31r12 r22 r32r13 r23 r33

1A0@ x1x2x3

1A . (2.7)De aqu en adelante, dado un vector cualquiera x de IR3, utilizaremos un

subndice que coincida con el nombre de un sistema de referencia para indicar elvector columna formado por las componentes de x en la base de dicho sistema dereferencia. De esta forma x

I, x

Fseran:

xI = 0@x1

x2x31A , xF = 0@

X1

X2X31A .

Por otro lado, llamando

RIF

=

0@ r11 r12 r13r21 r22 r23r31 r32 r33

1A , (2.8)a la matriz cuyas columnas son las componentes de la base F en terminos de labase I, la relacion (2.6) se podra poner como

xI

= RIF

xF

, (2.9)

mientras que la matriz

RFI

=

0@ r11 r21 r31r12 r22 r32r13 r23 r33

1A , (2.10)permite poner la ecuacion (2.7) en la forma

xF = RFIxI. (2.11)A partir de las propiedades anteriores se demuestra que la inversa de una

matriz de rotacion coincide con su traspuesta

RFI

= R1IF

= RTIF

.

Las matrices que cumplen esta importante propiedad son llamadas matrices or-togonales.

La notacion anterior, que usa dos subndices que representan los nombresde los dos sistemas de referencia, no presenta ningun tipo de ambiguedad en

la expresion de la rotacion. Sin embargo, esto no sucede as cuando se define


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el concepto de matriz de rotacion. Revisando la literatura nos encontramos dosdefiniciones distintas que responden a dos convenios diferentes. Los dos conveniosson correctos siempre que no se mezclen entre si.

Convenio A.- Llamaremos matriz de rotacion entre los sistemas de referencia Iy F, y la representaremos por el smbolo R a la matriz RIF

que permite expresarel vector x

Icomo producto de la matriz R por el vector x

F.

Convenio B.- Llamaremos matriz de rotacion entre los sistemas de referencia Iy F, y la representaremos por el smbolo eR a la matriz R

FIque permite expresar

el vector xF

como producto de la matriz eR por el vector xI

.

Puede parecer absurdo introducir en este texto ambos convenios, sobre tododespues de haber establecido inicialmente una notacion que no contiene ningunaambiguedad, sin embargo, hemos preferido introducir las dos notaciones con ob-

jeto de no modificar expresiones que son de uso comun en la comunidad cientfica,en la que no siempre coincide el convenio utilizado para expresar las rotaciones.Siempre que sea posible utilizaremos los subndices para evitar confusiones, enotros casos utilizaremos la notacion con o sin tilde para especificar el convenioutilizado sin recordarlo en cada caso.

2.3 Composicion de rotaciones

Supongamos que partimos de un sistema de referencia S1 y vamos aplicando

sucesivamente rotaciones que pasan de S1 a S2, de S2 a S3, etc. Llamaremos,respectivamente,Ri = RSiSi+1 ,

eRi = RSi+1Si ,a las matrices de cada rotacion en ambos convenios.

Sustituyendo sucesivamente el vector xSi

por el producto RSiSi+1

xSi+1

sepodra poner

xS1

= RS1S2

RS2S3

. . . RSn1Sn

xSn

, (2.12)

obteniendose la matriz de giro como producto de las sucesivas matrices de giro enel orden en que estos se producen.

La expresion (2.12) puede ponerse tambien en la forma

xS1

= RxSn

, xSn

= eRxS1

, (2.13)

donde hemos llamadoR = R1R2 . . . Rn1, (2.14)

a la matriz de giro compuesto en el primer convenio y

eR =

eRn1 . . .

eR2

eR1, (2.15)

a la matriz de giro compuesto en el segundo convenio. Podemos observar que el

orden de las matrices en el producto cambia de un convenio al otro.


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Rotacion de un vector alrededor de un eje 29

2.4 Rotacion de un vector alrededor de un eje

a

(x a)a

R[, a][x]

a x(a x) aR[, a][(a x) a]

x

Figura 2.1: Rotacion de un vector alrededor deun eje.

Estudiaremos ahora el pro-

blema de la rotacion de un vec-tor x, un cierto angulo , alrede-dor de un eje a. El valor positi-vo o negativo del angulo gira-do vendra definido por la orien-tacion dada por el vector a. Lla-maremos R[, a][x] al vector re-sultante de la rotacion que puedeverse en la figura 2.1.

Para obtener el valor de dicho

vector elegiremos un sistema dereferencia ortogonal directo en elque a representa el eje Oz, el ejeOy vendra definido por el vectorax, ortogonal a a, y por ultimoel eje Ox por la direccion (a x) a, la unica posible para que

el sistema sea ortogonal y directo. De esta forma hemos elegido una base ortogonal{(a x) a, a x, a}.

La propiedad (1.20) permite escribir

x = (x a)a + (a x) a,

por lo que, de acuerdo con la figura 2.1, tendremos

R[, a][x] = (x a)a + R[, a][(a x) a].

Teniendo en cuenta que R[, a][(a x) a] pertenece al plano Oxy y tiene unalongitud , podremos poner

R[, a][(a x) a] = [(a x) a]cos + (a x)sen ,y finalmente expresar el resultado del giro del vector x en la forma

R[, a][x] = (x a)a + [(a x) a]cos + (a x)sen . (2.16)

Propiedad.- El resultado de aplicar consecutivamente a un vector x un giro deangulo y otro de angulo respecto a un cierto eje a es el mismo vector x,esto es, se verifica la relacion

R[, a][R[, a][x]] = x.


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Propiedad.- La rotacion de angulo () alrededor del eje (a) es identica a lade angulo alrededor del eje a, o lo que es igual, se verifica la relacion

R[, a][x] = R[

,

a][x].

Si aplicamos una rotacion de angulo dado alrededor de un eje a = a1i1 +a2i2 + a3i3 al sistema de referencia I = {i1, i2, i3}, este se transformara en el sis-tema F = {f1, f2, f3} de manera que la expresion de los vectores fj vendra dadapor

fj = R[, a][ij ].

Particularizando la relacion (2.16) con la expresion de a = a1i1+a2i2+a3i3 enla base I, obtendremos las expresiones de los elementos de la base F en terminosde la base I, con lo que podremos calcular la matriz de rotacion R

IF

0@ a

2

1+ (a2

2+ a2

3)cos a1a2(1 cos) a3 sen a1a3(1 cos) + a2 sen

a1a2(1 cos ) + a3 sen a22 + (a2

1+ a2

3)cos a2a3(1 cos) a1 sen

a1a3(1 cos ) a2 sen a2a3(1 cos) + a1 sen a23 + (a2

1+ a2

2)cos

1A .

(2.17)

Llamando, como en (2.8), rij a las componentes de esta matriz podemos con-cluir que se verifican las relaciones:

2 cos = r11 + r22 + r33 1,2 a1 sen = r32 r23,2 a2 sen = r13

r31,

2 a3 sen = r21 r12,(2.18)

que permiten obtener la rotacion alrededor de un eje que pasa de uno a otrosistema de referencia. Puede observarse que las ecuaciones (2.18) producen dossoluciones correspondientes a las dos rotaciones de signos opuestos vistas en laultima propiedad.

2.5 Rotaciones elementales

Llamaremos rotacion elemental de eje j a aquella que transforma una baseortonormal I = {i1, i2, i3} en otra tambien ortonormal F = {f1, f2, f3} mante-niendo fijo el eje j, esto es ij = fj . Dichas rotaciones consisten (ver figura 2.2)en girar el sistema de referencia un cierto angulo alrededor del eje definido porij . La matriz de una rotacion de este tipo sera llamada Rj().

Calcularemos unicamente el valor de la matriz R1(), siendo igual el calculode las otras dos R2(), R3(). Para ello tendremos en cuenta que, de acuerdo conel apartado anterior y la relacion (2.16), los vectores de la nueva base

Astrodi Namic A

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