Associações Estáveis - Proposta de Mestrado · Proposta de Mestrado Maycon Sambinelli...

Associacoes EstaveisProposta de Mestrado

Maycon SambinelliOrientador: Orlando Lee

Instituto de Computacao da UNICAMPMestrado em Ciencia da Computacao

29 de junho de 2012

http://goo.gl/hoq2q

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Introducao

B Associacoes Estaveis (STM, de Stable Matching)

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7 9 1

8 12 n

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B Associacao estavel

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Associacao estavel

Definicao

Uma associacao M e uma associacao estavel para umainstancia do STM se nao existe um par de agentes i e j quepodem ser associados um com o outro, tal que i prefere serassociado a j do que a pM(i), e j prefere ser associado a i doque a pM(j), onde pM(q) se refere ao agente associado a q emM

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Exemplo de associacoes

a1 : a3 ≺ a2 ≺ a4

a2 : a4 ≺ a3 ≺ a1

a3 : a4 ≺ a2 ≺ a1

a4 : a3 ≺ a1 ≺ a3

B Uma associacao estavel: (a1, a2), (a3, a4)

B Uma associacao nao estavel: (a1, a3), (a2, a4)

B Nenhum agente pode melhorar sua associacao em umasolucao estavel

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Associacoes estaveis com empates

B STMs podem permitir empates entre agentes na lista depreferencia

• a1: a2 ≺ a3 ≺ a4, a7, a5 ≺ a6 ≺ a8, a10 ≺ a9

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Problemas relacionados ao STM

B Associacao estavel “justa”, que maximize a “felicidade”da associacao

B O custo de uma associacao M para um agente i

• i : a4 ≺ a1, a3 ≺ a2

• cM(i) = 1, 2, 2, 3 respectivamente

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Problemas relacionados ao STM

Peso de uma associacao

w(M) =∑q∈U

cM(q)

B Uma associacao estavel e igualitaria se ela possui omenor peso entre todas as associacoes estaveis

Arrependimento de uma associacao

r(M) = maxq∈U

cM(q)

B Uma associacao estavel de arrependimento mınimo euma associacao cujo arrependimento e o menor entretodas as associacoes estaveis

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Importancia

B Pode ser generalizado para muitos problemas deaplicacoes praticas para associacoes de esquemacentralizado

B Associacao de residentes: EUA, Canada e Japao

B Atribuicao probatoria de professores aos seus primeirospostos de trabalho na Escocia

B Atribuicao de PEDs do IC

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Objetivos

B Estudar diversas versoes do problema de associacaoestavel

B Complexidade dos algoritmos

B Tecnicas para solucao dos problemas

B Contribuicao algorıtmica

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Problema do Casamento Estavel (SM)

B Proposto por Gale e Shapley [1]

B Conjunto de n homens e n mulheres, cada um provendouma lista de preferencia linearmente ordenada de todos osmembros do sexo oposto

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Criterio de Estabilidade

Uma associacao M e estavel para uma instancia do SM se naoexistir um homem m e uma mulher w tal que m prefere w apM(m) e w prefere m a pM(w)

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B Para qualquer instancia do SM, sempre existe umaassociacao estavel

B O(n2)

B Arrependimento mınimo ou igualitario: polinomial

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Problema do Casamento Estavel com Lista

Incompleta (SMI)

B Generalizacao do SM com lista incompleta

B Nao ha mais a obrigacao de classificar todas as pessoas

B i e aceitavel para uma pessoa j se i aparece na lista depreferencia de j , caso contrario ela e inaceitavel

B Resolvıvel em tempo polinomial

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Problema do Casamento Estavel com Empates

(SMT)

B Remove a restricao de que a lista de preferencias devemser estritamente ordenadas

B Resolvıvel em tempo polinomial

B O problema de determinar se um casal (m,w) de umainstancia do SMT pertence a uma associacao estavel eNP-completo [3]

B Encontrar uma associacao estavel igualitaria ou dearrependimento mınimo e NP-difıcil [3]

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Problema Casamento Estavel com Lista

Incompleta e Empates (SMTI)

B Permite empates e lista incompleta

B Diferente do SM, SMI e SMT o SMTI pode produzirassociacoes estaveis de diversos tamanhos

B O problema de encontrar uma associacao estavel detamanho maximo para o SMTI (MAX-SMTI) eNP-difıcil[2]

B Varias propostas de algoritmos aproximativos

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Problema dos Companheiros de Quarto (RM)

B Generalizacao do SM

B Remocao da biparticao do grafo

B Polinomial

B RMT e NP-completo

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Problema dos Residentes por Hospitais

B Generalizacao do SMI

B Introduzida por Gale e Shapley [1] com o nome deProblema da Admissoes em Faculdades

B Conjunto de Hospitais, onde cada hospital i possui civagas para residentes

B Cada estudante classifica estritamente um subconjunto dehospitais e cada hospital classifica seus candidatos

B M e uma associacao para o HR se cada estudante estaassociado a no maximo um hospital e cada hospital ipossui no maximo ci estudantes associados a ele

B Polinomial

B HRT, generalizacao do SMTI

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Cronograma de atividades

201203 04 05 06 07 08 09 10 11 12

1 • • • • • •2 • • • • • • • • •3 • • • • • • • •45

2013 201401 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 01 02

123 • • • • • • • • • •4 • • • • • •5 •

1 Estudo de tecnicas e conceitos relacionados a associacoes estaveis2 Disciplinas do Instituto de Computacao3 Levantamento e estudo bibliografico4 Escrita da tese5 Defesa e revisao da tese

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Bibliografia I

David Gale and Lloyd S. Shapley.College admissions and the stability of marriage.American Mathematical Monthly, 69(1):9–15, 1962.

Zoltan Kiraly.Better and simpler approximation algorithms for the stablemarriage problem.Algorithmica, 60:3–20, 2011.

David F. Manlove, Robert W. Irving, Kazuo Iwama,Shuichi Miyazaki, and Yasufumi Morita.Hard variants of stable marriage.Theoretical Computer Science, 276(1–2):261–279, 2002.

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