ASPECTOS BÁSICOS

CONTENIDOS

Conceptos básicos Elementos pasivos y activos Análisis temporal Transformada de Laplace Dominios de análisis Dominio transformado Transformación de circuitos

o Anexo 1: Demostración trigonométrica

Rafael Cabeza - Sonia Porta

BIBLIOGRAFÍA

R. A. DeCARLO, P-M. LINLinear Circuit Analysis. Capítulos 13-14

J. D. IRWINAnálisis Básico de Circuitos en Ingeniería. Capítulos 16-17

L. P. HUELSMANBasic Circuit Theory. Capítulos 9-10

S. FRANCOElectric Circuits Fundamentals. Capítulo 16


OBJETIVOS

Recordar conceptos básicos relativos a redes eléctricas

Describir en el dominio tiempo los diferentes componentes de una red eléctrica

Evaluar la complejidad matemática asociada al análisis de circuitos en el dominio temporal

Plantear la alternativa de análisis en el dominio transformado

Introducir la transformada de Laplace como herramienta matemática

Aprender a aplicar la transformada de Laplace a los circuitos eléctricos


CONCEPTOS BÁSICOS

Sistema: cualquier ente físico que o Convierte, transmite y utiliza energíao Representa, manipula, transmite y almacena

información Descripción de sistemas

o A nivel de actuación: cálculo de la salida a partir de la entrada

o A nivel de composición: entidades que componen el sistema, su comportamiento individual, interconexiones (análisis y diseño)

ExcitaciónExcitación

EntradaEntradaRespuestaRespuesta

SalidaSalidaSISTEMA


CONCEPTOS BÁSICOS

ExcitaciónExcitación

EntradaEntrada

RespuestaRespuesta

SalidaSalida

SISTEMA

Electrocardiograma: ECGElectrocardiograma: ECG

SISTEMA

CONCEPTOS BÁSICOS

Red/circuito: el resultado de interconectar diversos componentes eléctricos con un objetivo específico (típicamente procesar señales de entrada)

Descripción de circuitoso Leyes de componentes: relación tensión-corriente para

elementos básicoso Leyes de interconexión: relaciones entre magnitudes en

las interconexiones de los componenteso Relación entrada-salida: tanto en el dominio del tiempo

como en el de la frecuencia


CONCEPTOS BÁSICOS: TOPOLOGÍA

Rama: cualquier elemento de red con dos terminaleso Tendrá asociada la corriente y la tensión de rama

Nudo: cualquier punto del circuito donde confluyen dos o más ramaso Para definir el voltaje de un nudo aislado se deberá definir

necesariamente un nudo de referencia o masa ( )o También se define la diferencia de potencial entre dos

nodos cualesquiera Malla: cualquier conjunto de ramas que constituyen un

camino continuo y cerrado en el circuito, con la propiedad de que para todo nudo perteneciente a la malla, existen dos y sólo dos ramas de la malla conectadas a dicho nodo


CONCEPTOS BÁSICOS

Ejemplo


CONCEPTOS BÁSICOS: MAGNITUDES

Notación, definición y unidadesMagnitud Símbolo Unidad Signo

Carga eléctrica C=culombio polaridad

Corriente eléctrica A=amperio sentido

Energía potencial eléctrica J=julio suministro/consumo

Tensión eléctrica V=voltio polaridad

Potencia eléctrica W=watio suministro/absorción

)(tq

dttdqti )()(

)(tw

dqdwtv )(

dtdwtp )(


CONCEPTOS BÁSICOS: LEYES DE KIRCHHOFF

De nudos o de corrientes (KCL)o En cualquier circuito y en cualquier instante de

tiempo, la suma algebraica de corrientes en un nudo es nula

o Equivalentemente, la suma de corrientes entrando al nudo es igual a la suma de corrientes saliendo del nudo

n

kk ti

10)(


CONCEPTOS BÁSICOS: LEYES DE KIRCHHOFF

De mallas o de voltajes (KVL)o En cualquier circuito y en cualquier instante de

tiempo la suma algebraica de tensiones en una malla es nula

o Equivalentemente, al recorrer la malla en cierto sentido arbitrario, la suma de subidas de tensión es igual a la suma de caídas de tensión

n

kk tv

10)(


CONCEPTOS BÁSICOS: LINEALIDAD

De forma básica un sistema es lineal si posee dos propiedades:o Homogeneidad: o Aditividad:

Formalmente, sea un circuito con N fuentes independientes xi(t). Sea y(t) una variable de salida cualquiera del circuito. Sea ui(t) el valor de dicha variable de salida cuando el generador i-ésimo actúa en solitario. El circuito será lineal si cuando actúan todos los generadores simultáneamente y cada uno de ellos se ve multiplicado por una constante i , la salida se puede calcular como:

Todos nuestros circuitos serán sistemas lineales Relación de la aditividad con principio de superposición

)()()()( 2211 tutututy NN

)()( xfxfy )()()( 2121 xfxfxxfy


CONCEPTOS BÁSICOS: POTENCIA Para que el signo de p(t) permita distinguir entre absorción y

suministro se adopta el convenio de signos: se considera la corriente i(t) circulando del terminal positivo de v(t) al negativo

Este convenio se aplica también a la hora de definir las relaciones tensión – corriente en los componentes pasivos

Si no se verifica el convenio, basta con introducir un signo negativo en cualquiera de las dos magnitudes:

0)()()( titvtp

0)()()( titvtp

El elemento absorbe potencia del resto del circuito

El elemento suministra potencia al resto del circuito


)()()( titvtp

CONCEPTOS BÁSICOS: PASIVIDAD

Un elemento de red es pasivo sii la energía absorbida por el elemento y suministrada por el resto del circuito es no negativa para todo instante de tiempo

o En otras palabras, el balance energético es siempre favorable al elemento

o En caso contrario el elemento se denominará activoo Ejemplos de elementos pasivos: resistencias,

condensadores e inductoreso Ejemplos de elementos activos: fuentes independientes,

fuentes dependientes, amplificadores operacionales

0)()()()(

tt

divdptw



Ejemplos

)(tw

t

)(tw

t

)(tw

t

)(tw

t

Pasi

vos

Activ

os



Ejemplos

o Fuente de corriente: Potencia suministrada (-)36 W (elemento activo)

o Elemento 1: Potencia absorbida (+)54 W (elemento pasivo)

o Elemento 2: Potencia suministrada (-)18 W (elemento activo)

o Se cumple el principio de conservación de la energía


ELEMENTOS PASIVOS: RESISTENCIA

Resistenciaso La relación tensión-corriente que define un

comportamiento resistivo es la ley de Ohm

o Observar la relación entre el sentido de la corriente relativo a la definición de la polaridad del voltaje

o La resistencia R (≥0) se mide en Ohmios: o La ley de Ohm puede ser invertida:

donde G=1/R= conductancia, se mide en Siemens (S):

)()( tiRtv RR

A 1V 1 1


)()(1)( tvGtvR

ti RRR

V 1A 1 1S 1 1

ELEMENTOS PASIVOS: RESISTENCIA

Resistenciaso La resistencia es un elemento sin memoria ya que

el valor del voltaje en un instante dado depende exclusivamente del valor de la corriente en ese mismo instante:

o Es un elemento disipativo:

o Es un elemento pasivo:

ttiRtvGtitvtp RRRRR 0)()()()()( 22


)()( tiRtv RR

tdττiRdττvGdττiτvdττptwt

R

t

R

t

RR

t

RR

0)()()()()()( 22

ELEMENTOS PASIVOS: CONDENSADOR

La relación tensión-corriente que define un comportamiento capacitivo es

o O de forma equivalente:

o Observar la relación entre el sentido de la corriente relativo a la definición de la polaridad del voltaje

El término vC(0) se denomina condición inicial del condensador ya que es el voltaje que resume su evolución hasta ese instante inicial

)0()(1)(1)(0

C

t

C

t

CC vdiC

diC

tv

dttdvCti C

C)()(



La capacidad está definida como: Se mide en Faradios:

Es un elemento con memoria ya que el valor del voltaje en un instante dado depende de la evolución de la corriente hasta dicho instante

El voltaje en un condensador siempre será una magnitud continuao El voltaje en bornes de un condensador es la consecuencia

macroscópica de la acumulación de carga eléctrica en su interior. Dicha carga no se puede trasladar instantáneamente por lo que el voltaje debe variar de forma continua: PRINCIPIO DE CONTINUIDAD

Bajo excitaciones constantes y supuesto tiempo infinito el condensador se comporta como un circuito abierto

)()(tvtqC

C

V 1C 1F 1



Es un elemento pasivo ya que la energía almacenada en un condensador es

Ejemplos de relación tensión-corriente para un condensador

0)(21)()()( 2

tCvdivtw C

t

CCC

)(tvC

)(tiC



EjemploV )10sin(5)( 3ttvC

F 5,0 C

mA )10cos(5,2)()( 3tdt

tdvCti CC

mW )102sin(25,6)()()()()( 3tdt

tdvCtvtitvtp CCCC

J )102cos(1125,3)10(sin25,6)(21)( 3322 tttCvtw C



Ejemplo )(tvC

)(tiC

)(tp)(tw


ELEMENTOS PASIVOS: INDUCTOR

La relación tensión-corriente que define un comportamiento inductivo es

o O de forma equivalente:

o Condensadores e inductores son elementos dualeso Observar la relación entre el sentido de la corriente

relativo a la definición de la polaridad del voltaje El término iL(0) se denomina condición inicial del

inductor ya que es la corriente que resume su evolución hasta ese instante inicial

)0()(1)(1)(0

L

t

L

t

LL idvL

dvL

ti

dttdiLtv L

L)()(



La inductancia está definida como:o Se mide en Henrios:

Es un elemento con memoria ya que el valor de la corriente en un instante dado depende de la evolución del voltaje hasta dicho instante

La corriente en un inductor siempre será una magnitud continuao La corriente que recorre un inductor es la consecuencia

macroscópica de la acumulación de flujo magnético en su interior. Dicho flujo no se puede modificar instantáneamente por lo que la corriente debe variar de forma continua: PRINCIPIO DE CONTINUIDAD

Bajo excitaciones constantes y supuesto tiempo infinito el inductor se comporta como un circuito cerrado

)()(

titL

L

A 1 Wb1H 1



Es un elemento pasivo ya que la energía almacenada en un inductor es

Ejemplos de relación tensión-corriente para un inductor

0)(21)()()( 2

tLidivtw L

t

LLL

)(tvL

)(tiL


Componente Resistencia Condensador Inductor

Definición

Unidad Ohmio: Faradio: Henrio:

Corriente

Tensión

Potencia oEnergía

Serie

Paralelo

ELEMENTOS PASIVOS: TABLA RESUMEN

didvR

dvdqC

didL

AV11

VsA1F1

A

sV1H1

Rtvti )()(

dttdvCti )()( )0()(1)(

0

idvL

tit

)()( tiRtv )0()(1)(0

vdiC

tvt

dt

tdiLtv )()(

)()()( 22

tiRR

tvtp )(21)( 2 tvCtw )(

21)( 2 tiLtw

NS RRRRR ...321NS CCCCC1...1111

321 NS LLLLL ...321

NP RRRRR1...1111

321 NP CCCCC ...321

NP LLLLL1...1111

321


CONCEPTO DE INVARIANZA TEMPORAL

Un circuito es invariante temporal cuando los parámetros que definen su comportamiento no varían en el tiempoo Una resistencia cuyo valor resistivo no varía en el

tiempo es invariante temporal. En caso contrario sería no-invariante temporal

o Un interruptor que se abre o cierra o un conmutador que cambia de posición son elementos no-invariantes en el tiempo Recordad que un fusible es un interruptor irreversible y

por lo tanto un elemento no invariante temporal


CONCEPTO DE INVARIANZA TEMPORAL

Ejemplo

o Si R≠R(t) entonceso Si R=R(t)=Ra+Rbcos2fbt entonces

Observar como aparecen en la señal de salida frecuencias adicionales a la frecuencia de la señal de entrada

tfAti 1π2cos)(

tfARtiRtvo 1π2cos)()(

tfftffARtfARtv bbb

ao )π(2cos)π(2cos2

π2cos)( 111


ANÁLISIS TEMPORAL

Ejemplo

)()( tvtvV CRg

dtdvCti C)(

)()( tiRtvR

KVL

KCL )()()( tititi CR gC

C VRC

tvRCdt

dv 1)(1

)0()0( CC vtv Condición inicial:


ANÁLISIS TEMPORAL

o La solución más general a esta ecuación diferencial es de la forma:

o se denomina respuesta completao es la respuesta natural y se calcula como

la solución más general de la ecuación diferencial homogénea

o es la respuesta forzada y se calcula como una solución particular de la ecuación diferencial inhomogénea

forzadanatural)()()( tvtvtv CCC

natural)(tvC

forzada)(tvC

)(tvC


ANÁLISIS TEMPORAL

o Respuesta natural: solución más general de

o Separando variables e integrando

o Exponenciando

La constante indeterminada K de integración se calcula al final imponiendo condiciones de continuidad

0)(1natural

natural tvRCdt

vdC

C

ctetRC

vtRCv

vddt

RCvvd

CC

C

C

C 1ln11

naturalnatural

natural

natural

natural

tt

RCC KeKetv

1

natural)( RC


ANÁLISIS TEMPORAL

o Respuesta forzada: una solución particular de

o Se obtiene en general consultando unas tablas de soluciones preestablecidas en función de la naturaleza del término inhomogéneo (fuentes independientes).

o Para el caso concreto de tener un término constante, se propone otra constante A. Sustituyendo

gCC V

RCtv

RCdtvd 1)(1

forzadaforzada

gg VAVRC

ARCdt

dA

11


ANÁLISIS TEMPORAL

o Respuesta completa: la suma de la solución natural más la forzada

o Por último se calculan las constantes indeterminadas mediante las condiciones iniciales y los principios de continuidad

o Por lo tanto

g

tRC

C VKetv

1

)(

)0()0( tvtv CC

)0()0( CC vtv gCgC VvKVeKv )0()0( 0

0 ; 01

tVeVvtv g

tRC

gCC


ANÁLISIS TEMPORAL

o Respuesta naturalo Respuesta forzada

0 ; )0()(1

natural

teVvtv

tRC

gCC

0 ; )(forzada

tVtv gC

5Transitorio Estacionario

Completa

Natural Forzada


gV

gC Vv )0(

)0(Cv

t

ANÁLISIS TEMPORAL

o La respuesta natural no depende de las fuentes independientes del circuito y siempre se amortigua en el tiempo

o La respuesta forzada depende directamente de las fuentes independientes del circuito y no se amortigua necesariamente

o El estado transitorio es el periodo de tiempo durante el cual la respuesta natural no se puede despreciar respecto de la forzada

o El estado estacionario se alcanza cuando la respuesta natural es despreciable frente la forzada


TRANSFORMADA DE LAPLACE

La transformada de Laplace permite simplificar el análisis de circuitos al sustituir la resolución de ecuaciones integro-diferenciales (respecto de la variable temporal) por ecuaciones algebraicas (respecto de una variable compleja)

Es un procedimiento de análisis completo (obtiene la respuesta completa) y general (aplicable a cualquier circuito de cualquier orden)

Permite además el enlace con la representación frecuencial de las señales

Conecta con el concepto de causalidad


CONCEPTO DE CAUSALIDAD Diremos que una señal es causal cuando es

nula para todo instante negativo

o Multiplicar por el escalón unitario u(t) fuerza la causalidad:

o Es equivalente al efecto de un interruptor que se cierra en t=0

0 0)( causal es )( ttftf

0 si 0

0 si 1)( porque causal es)( )( tttututf



La transformada de Laplace de una función f(t)está definida como:

donde s es una variable compleja denominada normalmente frecuencia compleja.

Se supondrá siempre que f(t) es una función causal, es decir nula para tiempos negativos

La transformada de Laplace relaciona biunívocamente una función de variable real con otra función de variable compleja

0 )()()( dtetfsFtf stL



Propiedades básicaso Linealidad

o Desplazamiento temporal

o Desplazamiento frecuencial

o Escalado temporal/frecuencial

)()()()( 22112211 sFasFatfatfa L

0 ),()()( TsFeTtuTtf sTL

)()( asFtfe at L

asF

aatf 1)(L



Propiedades básicaso Diferenciación temporal

o Diferenciación de orden dos

o Diferenciación de orden n

0

22

2

)0()(tdt

dfsfsFsdt

fdL

)0()(

fssF

dtdfL

01

1

0

21 )0()(t

n

n

t

nnnn

n

dtfd

dtdfsfssFs

dtfd

L



Propiedades básicaso Integración temporal

o Integración frecuencial

ssFdqqft )()(0 L

sdF

ttf )()(L



Propiedades básicaso Multiplicación por t

o Multiplicación por tn

o Convolución

)()()()()(*)( sGsFdtgftgtf

LL

dsdFtutft )()(L

n

nnn

dsFdtutft 1)()( L



Tabla de transformadas1)( Lt

set L)(

stu 1)( L

2

1)(s

ttu L

1

!)( nn

sntut L

astue at

1)( L

1)(!)(

n

tan

asntuet L

)()()1(

assatue ta

L

22)()sin(

s

tut L

22)()cos(

s

stut L

22)()()cos(

asastute at L

22)()()sin(

astute at L



Tabla de transformadas

222 )(2)()sin(

s

stutt L

222

22

)()()cos(

sstutt L

22

cossin)()sin(

s

stut L

22

sincos)()cos(

s

stut L

222

3

)(2)()cos()sin(

astuttte at L

222)(2)()sin(

asastutte at L

22)()sinh(

s

tut L

22)()cosh(

s

stut L


TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

La transformada inversa está definida como:

donde es un camino en el plano complejo. Típicamente se elige como camino una línea vertical de la forma 1+j donde varía entre +∞ y –∞ y 1es cualquier número real mayor que 0, la abscisa de la convergencia absoluta

dsesFj

tfsF st)(π21)()(1-L



En análisis de circuitos obtendremos siempre funciones racionales de la forma

Se distinguen tres casoso m > n : función impropia, no contemplada en redeso m < n : función estrictamente propiao m ≤ n : función propia, Si m=n el estudio se reduce

a una estrictamente propia

011

1

011

1

)()()(

asasasbsbsbsb

sDsNsY n

nn

mm

mm

)()(

)()()(

sDsRK

sDsNsY



Calculando las raíces del denominador podemos escribir

A partir de esta expresión se debe realizar la descomposición en fracciones simples de esta función

Tenemos cuatro posibles casoso Raíces reales con multiplicidad unidado Raíces reales con multiplicidad mayor que la unidado Raíces complejas con multiplicidad unidado Raíces complejas con multiplicidad mayor que la

unidad

)())(()(

21

011

1

n

mm

mm

pspspsbsbsbsbsY



Raíces reales con multiplicidad unidado Reescribiendo la función:

o Los residuos se calculan como

o Cada fracción parcial de cada raíz está asociada a una exponencial temporal cuyo coeficiente es el valor de la raíz

)()()(

1

1

sDsN

psAsY

pspssYpssYpsA

)()()(lim

)(1-

tueAps

A tp

L



Raíces reales con multiplicidad k mayor que la unidado Reescribiendo la función

o Ahora los k residuos son

o Y cada fracción está asociada a

o De nuevo el coeficiente que aparece en el exponente de la exponencial es la raíz

)()(

)()()(

1

12

21

sDsN

psA

psA

psAsY k

k

ps

ik

ik

ps

kik

ik

i sDsN

dsd

iksYps

dsd

ikA

)()(

!1)()(

!1

1

)(1)(

11-

! tuetiA

psA ptii

ii

L



Raíces complejas con multiplicidad unidado En este caso se tendrá siempre una raíz p

acompañada de su compleja conjugada p*

o Siendo el residuo:

o Obsérvese que el residuo de la raíz compleja conjugada p* es el conjugado del residuo de la raíz original p

)()()(

1

1*

*

sDsN

psA

psAsY

pssYpsA )()(



Raíces complejas con multiplicidad unidado Utilizando una nueva parametrización

o Se pueden agrupar las dos fracciones en una sola

o donde

)()(

)()()(

1

12221

sDsN

sKsKsY

jpjp *;


][2][2

*))(()(

21

22

AImKAReK

pspss


Raíces complejas con multiplicidad unidado Consultando las tablas se pueden identificar

directamente la transformadas inversas de cada uno de estos términos

)()cos()(

)(1

1-221 tuteK

ssK t

L

)()sin()(

21-

222 tuteKs

K t

L



Raíces complejas con multiplicidad unidado De forma más compacta se pueden expresar como:

o Con

o Esta función representa una oscilación amortiguada ( <0) exponencialmente, cuya frecuencia es la parte imaginaria de la raíz y la constante de atenuación es la parte real de la misma.

)()sin()()cos(1-

*

*tutKetutKe

psA

psA tt

L


2

1

1

222

21 tanarc;tanarc;2

KK

KKAKKK

Ver anexo


Ejemplo

o Descomposición del denominador

o Dos raíces: con multiplicidad 2 con multiplicidad 1

o Descomposición en fracciones simples

26742410)( 234

ssssssY

]1)1[()1()22()1(2674 2222234 sssssssss

1)1()1(

)1(1)( 2

212

21

sKsK

sA

sAsY


jp 11p


Ejemplo

o Raíz real

o Raíz compleja

1410

1410

0330

2324102224

2

1

2

1

11

2121

2121

2121

KKAA

KAKKAA

KKAAKKAA

)(1410

111-

221 tuete

sA

sA tt

L

)()sin(14)cos(101)1(

)1( 1-2

21 tutetes

KsK tt

L


DOMINIOS DE ANÁLISIS

En este punto tenemos dos formas de analizar circuitos:o Dominio temporal:

Las ecuaciones que se deben resolver son ecuaciones integro-diferenciales respecto de la variable temporal

Se utilizarán las leyes de Kirchhoff Los elementos de red estarán definidos mediante su relación

tensión-corrienteo Dominio transformado:

Las ecuaciones que se deben resolver son ecuaciones algebraicas respecto de la variable transformada s

Se utilizarán las leyes de Kirchhoff transformadas Los elementos de red estarán representados mediante modelos

equivalentes La manera de relacionar ambos dominios es mediante

la transformada de Laplace


Dom

inio

tra

nsfo

rmad

oD

omin

io

tem

pora

lDOMINIOS DE ANÁLISIS

Señal de entradaSeñal de entrada

Señal de salida

Señal de salidaCircuitoCircuito Ecuación

diferencialEcuación

diferencial

Señal de entrada

transformada

Señal de entrada

transformada

Circuito transformado

Circuito transformado

Ecuación algebraicaEcuación

algebraica

Señal de salida

transformada

Señal de salida

transformada

Laplace

Laplace

Laplace L

aplac

e in

versa


DOMINIOS DE ANÁLISIS

Circuito RCgC

C VRC

tvRCdt

dv 1)(1

RCss

RCV

svsV

sV

RCsV

RCvssV

gC

Cg

CCC 1

)0()(1)(1)0()(

LaplaceLaplace inversa

RCt

gCgCgCg

gC

eVvVtv

RCs

Vvs

V

RCssRCV

sv

)0()(

1)0(

1

)0( 1-L


TRANSFORMACIÓN DE GENERADORES

La transformación de fuentes independientes ideales se realizará de manera directa mediante la transformada de Laplace

Ejemplo

Laplace)(tv )(sVLaplace

)(sI)(ti

LaplaceV 8

s8



Transformación de fuentes dependienteso De voltaje

Laplace

Laplace

CCVS

VCVS



Transformación de fuentes dependienteso De corriente

Laplace

Laplace

CCCS

VCCS


TRANSFORMACIÓN DE OPAMPS

Transformación de amplificadores operacionales

Laplace


TRANSFORMACIÓN DE ELEMENTOS DE RED

Transformación de resistencias

)()( tiRtv RR

)()( sIRsV RR


Laplace


Transformación de condensadores

)0()(1)(0

C

t

CC vdiC

tv

svsI

sCsV C

CC)0()(1)(


Laplace


Transformación de condensadores

dttdvCti C

C)()(

)0()()( CCC vCsVsCsI


Laplace


Transformación de inductores

dttdiLtv L

L)()(

)0()()( LLL iLsIsLsV


Laplace


Transformación de inductores

)0()(1)(0

L

t

LL idvL

ti

sisV

sLsI L

LL)0()(1)(


Laplace

DOMINIO TRANSFORMADO

En resumen, para analizar un circuito en el dominio transformado se deberá:o Transformar aplicando directamente la transformada de

Laplace las fuentes independientes/señales de entradao Transformar los elementos de red: resistencias,

condensadores e inductores teniendo en cuenta siempre las condiciones iniciales de los mismos

o Analizar el circuito con las leyes de Kirchhoff para el dominio transformado, calculando así la variable de salida

o Obtener la variable de salida en el dominio temporal mediante la transformada de Laplace inversa



Ejemplo

Condiciones inicialesCondiciones iniciales

4)0( tvC

RtiL

4)0(



Problema 18.a


V6)0( tvC

A3)0( tiL



Problema 18.b


V5)0( tvC

A5.2)0( tiL



Impedancias/admitanciaso Siempre calculadas en condiciones iniciales nulas

o Impedancia:

o Admitancia:

o Tabla para elementos básicosImpedancia Admitancia

Resistencia R GCondensador 1/sC sCInductor sL 1/sL

)()()(

sVsIsY

)()()(

sIsVsZ


ANEXO: DEMOSTRACIÓN TRIGONOMÉTRICA

Comparamos el resultado

con la relación trigonométrica

para concluir, bajo igualación , que

donde

y

tKtKty sincos)( 21

)cos(sinsincoscos NMNMNM

NtM ;

KKKK

2

1

sin

cos

)cos(sincos)( 21 tKtKtKty o

1

2tanKK

Sonia Porta - Rafael Cabeza

22

21

2 KKK

ANEXO: DEMOSTRACIÓN TRIGONOMÉTRICA

De forma similar podemos comparar el resultado

con la relación trigonométrica

para concluir, bajo igualación , que

donde

y

tKtKty sincos)( 21

NtM ;

KKKK

2

1

cos

sin

)sin(sincos)( 21 tKtKtKty o

2

1tanKK

Sonia Porta - Rafael Cabeza

22

21

2 KKK

)sin(cossinsincos NMNMNM

CONOCIMIENTOS ADQUIRIDOS

Conceptos básicos de topología, linealidad, invarianza temporal, pasividad, causalidad, leyes de análisis

Componentes activos y pasivos: relación tensión-corriente. Potencia y energía. Principio de continuidad y condiciones iniciales

Estudio básico en el dominio del tiempo: respuesta natural y forzada. Transitorio y estacionario


CONOCIMIENTOS ADQUIRIDOS

Transformada directa e inversa de Laplace Propiedades y procedimiento de cálculo

Transformación de circuitos. Concepto de impedancia/admitancia

Incorporación de las condiciones iniciales al circuito transformado en forma de fuentes independientes


ASPECTOS BÁSICOS - Cartagena99

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