as - Capitulo 02 - Numeros Reales
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UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
Facultad de Ciencias Fısicas y Matem aticas
Introducci on a la Matem atica Universitaria.
520145
Capıtulo 2. Numeros Reales
Prof. Antonio Contreras Quilodran.
Numeros Reales 1 . FCFM.UdeC.
Numeros Reales.
Existe un conjunto R cuyos elementos se llaman numeros reales ,
dotado de una relacion de igualdad y provisto de dos operaciones
binarias internas, la adicion + y la multiplicacion · , que satisfacen
las siguientes propiedades o axiomas.
1. Propiedades de la suma
a) ∀x, y ∈ R : x + y = y + x; conmutatividad
b) ∀x, y, z ∈ R : x + (y + z) = (x + y) + z; asociatividad
c) ∃0 ∈ R,∀x ∈ R : x + 0 = x; neutro aditivo
d) ∀x ∈ R,∃ − x ∈ R : x + (−x) = 0. inverso aditivo
Numeros Reales 2 . FCFM.UdeC.
Numeros Reales.
2. Propiedades del producto
a) ∀x, y ∈ R : xy = yx; conmutatividad
b) ∀x, y, z ∈ R : x(yz) = (xy)z; asociatividad
c) ∃ 1 ∈ R,∀x ∈ R : x · 1 = x; neutro multipl.
d) ∀x ∈ R, x 6= 0 : ∃x−1 ∈ R : x · x−1 = 1; inverso multipl.
e) ∀x, y, z ∈ R : x(y + z) = xy + xz.
distributividad del producto en la suma.
Numeros Reales 3 . FCFM.UdeC.
Numeros Reales.
Observaciones:
a) Los elementos neutro aditivo 0, neutro multiplicativo 1, inverso
aditivo −x e inverso multiplicativo x−1, x 6= 0, son unicos.
b) x · 0 = 0,∀x ∈ R.
c) R con estas operaciones se dice que es un Cuerpo
conmutativo , la multiplicacion se escribe x · y = xy.
d) La igualdad tiene las siguientes propiedades:
i) es reflexiva, ∀x ∈ R, x = x.
ii) es simetrica, ∀x, y ∈ R, x = y ⇐⇒ y = x.
iii) es transitiva, ∀x, y, z ∈ R, x = y ∧ y = z ⇐⇒ x = z.
Numeros Reales 4 . FCFM.UdeC.
Numeros Reales.
Utilizando los axiomas de cuerpo se deducen las reglas
algebraicas que rigen la operatoria con igualdades.
Operatoria algebraica: ∀x, y, z ∈ R
a) x = y =⇒ x + z = y + z;
b) x = y =⇒ xz = yz, z 6= 0;
c) xy = 0 ⇐⇒ x = 0 ∨ y = 0;
Definici on . ∀x, y ∈ R existe un unico numero real d tal que
x + d = y, se llama diferencia entre y y x, se escribe
d = y − x. Ademas existe un un unico numero real z tal que
xz = y, se llama cuociente de y y x, se escribe z = y
x= yx−1.
Numeros Reales 5 . FCFM.UdeC.
Numeros Reales .
Continuaci on operatoria algebraica: ∀x, y ∈ R
a) −(−x) = x;
b) (−x)y = −xy;
c) (−x)(−y) = xy;
d) x 6= 0 ∧ y 6= 0 =⇒ (xy)−1 = x−1y−1;
e) −(x + y) = (−x) + (−y) = −x − y;
f) (x + y)(x − y) = x2 − y2;
g)x
y
u
v=
xu
yv;
h)x
y+
u
v=
vx + yu
yv.
Numeros Reales 6 . FCFM.UdeC.
Numeros Reales.
Orden en R. Para dotar a R de un orden compatible con las
operaciones ya definidas introducimos los llamados axiomas de
orden .
O) Distinguiremos en R un subconjunto no vacıo R+, cuyos
elementos llamaremos numeros reales positivos, tal que:
(O.1) Tricotomıa. ∀x ∈ R se verifica una y solo una de las
proposiciones:
x ∈ R+ ∨ −x ∈ R+ ∨ x = 0.
(O.2) ∀x, y ∈ R+, x + y ∈ R+, R+ es cerrado para la suma
(O.3) ∀x, y ∈ R+, xy ∈ R+, R+ es cerrado para la
multiplicacion.
Numeros Reales 7 . FCFM.UdeC.
Numeros Reales.
Definici on. Definimos en R la relacion menor que , simbolizada <
como sigue
∀x, y ∈ R, x < y ⇐⇒ y − x ∈ R+.
Tambien se escribe y > x. De la definicion es claro que
x ∈ R+ ⇐⇒ x > 0.
Definici on. R− = {x ∈ R : −x ∈ R+}. Luego,
x ∈ R− ⇐⇒ x < 0.
Definici on. Definimos en R la relacion menor o igual que ,
simbolizada ≤ como sigue
∀x, y ∈ R, x ≤ y ⇐⇒ y − x ∈ R+ ∨ x = y.
Numeros Reales 8 . FCFM.UdeC.
Numeros Reales.
Relaci on de Orden. La relacion de orden ≤ satisface las
siguientes propiedades:
a) Es reflexiva,∀x ∈ R, x ≤ x
b) Es antisimetrica,∀x, y ∈ R, x ≤ y ∧ y ≤ x =⇒ x = y.
c) Es transitiva,∀x, y, z ∈ R, x ≤ y ∧ y ≤ z =⇒ x ≤ z.
d) Criterio de comparacion,∀x, y ∈ R, x ≤ y o bien y ≤ x.
R con las operaciones y esta relacion de orden se dice que es un
cuerpo conmutativo completamente ordenado
Numeros Reales 9 . FCFM.UdeC.
Numeros Reales.
Reglas algebraicas para las desigualdades.
a) ∀x, y, z ∈ R, x ≤ y ⇐⇒ x + z ≤ y + z.
b) ∀x, y, a, b ∈ R, x < y ∧ a < b =⇒ x + a < y + b.
c) ∀x, y ∈ R. Si a > 0 y x < y entonces xa < ya.
Si a < 0 y x < y, entonces xa > ya
d) ∀x, y, a, b ∈ R, x < y ∧ a ≤ b =⇒ xa < yb.
e) xy > 0 ⇐⇒ (x > 0 ∧ y > 0) ∨ (x < 0 ∧ y < 0).
xy < 0 ⇐⇒ (x > 0 ∧ y < 0) ∨ (x < 0 ∧ y > 0).
Definir intervalos, hablar de inecuaciones y resolverlas.
Numeros Reales 10 . FCFM.UdeC.
Numeros Reales.
Valor absoluto . Para x ∈ R se define el valor absoluto como
sigue
Si x ≥ 0, entonces |x| = x y si x < 0, entonces |x| = −x.
De la definicion es claro que | − 4| = 4, |4| = 4, |a2| = a2 y
|0| = 0. Se tienen las siguientes propiedades
a) |x| ≥ 0,∀x ∈ R.
b) | − x| = |x|,∀x ∈ R.
c) |x| ≥ x,∀x ∈ R.
d) |xy| = |x|
|y| ,∀x, y ∈ R, y 6= 0.
Numeros Reales 11 . FCFM.UdeC.
Numeros Reales.
Valor absoluto: Continuaci on.
∀x, y, z ∈ R.
e) x < y < z ⇐⇒ x < y ∧ y < z; notacion
f) Para a > 0, |x| < a ⇐⇒ −a < x < a;
g) Para a > 0, |x| = a ⇐⇒ x = −a ∨ x = a;
h) Para a > 0, |x| > a ⇐⇒ x < −a ∨ x > a;
i) |x + y| ≤ |x| + |y|; desigualdad triangular
j) | |x| − |y| | ≤ |x − y|.
Numeros Reales 12 . FCFM.UdeC.
Numeros Reales.
Subsistemas de R. Se definen los subconjuntos de R.
i) El conjunto de Los numeros Naturales N = {1, 2, 3, ...}.
ii) El conjunto de los numeros enteros Z = N ∪ {0} ∪ N−
iii) El conjunto de los numeros Racionales
Q = {x ∈ R : x =p
q, p, q ∈ Z, q 6= 0}.
iv) El conjunto de los numeros Irracionales I = Qc = R − Q.
Numeros Reales 13 . FCFM.UdeC.
Numeros Reales.
Definici on. Potencias y raıces.
i) Exponente natural. ∀n ∈ N, a ∈ R, an = a · a · a · · · a.
ii) Exponente entero. Si p ∈ Z, p < 0, entonces p = −n,
n ∈ N y ap = a−n = 1
an .
iii) Si a ∈ R+, n ∈ N, entonces existe un unico b ∈ R+ tal que
bn = a. b es la raız n- esima de a, se escribe b = n√
a = a1
n .
iv) Si a ∈ R−, n ∈ N y n es impar, entonces existe un una unica
raız n-esima de a. b = n√
a = a1
n .
Por ejemplo, 3√−8 = −2, pues (−2)3 = −8.
Numeros Reales 14 . FCFM.UdeC.
Numeros Reales.
Definici on. Potencias y raıces.
v) Si a ∈ R+, p ∈ Z, q ∈ N, entonces la potencia racional de
a se define por:
ap
q = (a1
q )p.
vi) Si a < 0 y q un entero impar, entonces q√
a = a1
q existe.
Luego, la potencia racional es ap
q = (a1
q )p.
Por ejemplo, a = −8 < 0 y q = 3 entero impar, entonces
(−8)2
3 = ((−8)1
3 )2 = ( 3√−8)2 = (−2)2 = 4.
Numeros Reales 15 . FCFM.UdeC.
Numeros Reales.
Leyes de potencias para exponente racional.
∀a, b ∈ R+, r, s ∈ Q.
a) ar · as = ar+s
b) ar
as = ar−s.
c) (ar)s = ars.
d) ar · br = (ab)r .
e) ar
br = (ab)r.
f) a−r = 1
ar .
Numeros Reales 16 . FCFM.UdeC.
Numeros Reales.
Axioma de Completitud.
Definiciones previas. Para S ⊆ R, S 6= φ, se definen:
a) k es una cota inferior de S si k ≤ x,∀x ∈ S.
b) m es una cota superior de S si x ≤ m,∀x ∈ S.
c) S es acotado inferiormente si tiene cotas inferiores.
d) S es acotado superiormente si tiene cotas superiores.
e) S es acotado si es acotado superiormente e inferiormente.
Numeros Reales 17 . FCFM.UdeC.
Numeros Reales.
Axioma de Completitud. Continuaci on.
f) El supremo s de S, si existe, es la menor de las cotas
superiores. Se denota por s = sup(S) y se verifica que
∀x ∈ S, 1) x ≤ s, 2) x ≤ s′ =⇒ s ≤ s′.
g) El ınfimo i de S, si existe, es la mayor de las cotas inferiores.
Se denota por i = inf(S) y se verifica que
∀x ∈ S, 1) i ≤ x, 2) i′ ≤ x =⇒ i′ ≤ i.
Numeros Reales 18 . FCFM.UdeC.
Numeros Reales.
Axiomma de Completitud (o axioma del supremo) .
Todo subconjunto S de R, S 6= φ y acotado superiormente posee
supremo.
Ejemplo. Sea S = [−1, 0[. Se tiene que: Los numeros reales
positivos son cotas superiores de S, pues x ∈ R+ =⇒ x ≥ 0,
tambien el cero es una cota superior de S. Luego, como S 6= φ y
es acotado superiormente, el axioma de completitud asegura que
S posee supremo. A saber, sup(S) = 0.
Numeros Reales 19 . FCFM.UdeC.
Numeros Reales.
Teorema. Axioma del ınfimo .
Todo subconjunto S de R, S 6= φ y acotado inferiormente posee
ınfimo.
El conjunto S es no vacıo y acotado inferiormente, ya que −4 es
una cota inferior. Luego, por el teorema del ınfimo, S tiene ınfimo.
En este caso inf(S) = −1.
Numeros Reales 20 . FCFM.UdeC.
Numeros Reales.
Observaci on . Si S es acotado superiormente (inferiormente),
entonces el supremo (ınfimo) puede pertenecer o no a S. Si
pertenece, entonces el supremo (ınfimo) es el maximo (mınimo)
del conjunto.
En el ejemplo dado, con S = [−1, 0[. inf(S) = −1 ∈ S, el
conjunto tiene mınimo. En cambio, el supremo de S es 0 /∈ S. En
consecuencia, S no tiene maximo.
Numeros Reales 21 . FCFM.UdeC.
Numeros Reales.
Definici on. Potencias de exponente real. Para a ∈ R+, x ∈ R,
definimos: 1x = 1 y para a 6= 1 se define:
i). ax = inf{ar : r ∈ Q, r ≤ x}, para 0 < a < 1.
ii). ax = sup{ar : r ∈ Q, r ≤ x}, para 1 < a.
El conjunto Aa = {ar : r ∈ Q, r ≤ x} es no vacıo, acotado
inferiormente en caso i) y superiormente en caso ii). En
consecuencia, el axioma de completitud asegura que existe el
ınfimo y supremo respectivamente. Luego, existe la potencia de
exponente real ax.
Numeros Reales 22 . FCFM.UdeC.
Numeros Reales.
Ejemplo. Para a = 3 > 1, se tiene:
3√
2 = sup{3r : r ∈ Q, r ≤√
2}= sup{30, 3
1
2 , 31, 36
5 , ...}
Para a = 4 se tiene:
43 = sup{4r : r ∈ Q, r ≤ 3}= sup{..., 4 1
2 , 41, 42, 45
2 , 64} = 64
Notar que, en este caso dado que el exponente en un numero
natural, se tiene que 43 = 4 · 4 · 4 = 64.
Numeros Reales 23 . FCFM.UdeC.