Artigo nbsp hanoi_nbsp_gepem_nbsp_38

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Sugerencias a tener en cuenta en la fase de bsqueda de estrategias para la realizacin del juego (v

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Pubilicado no Boletim GEPEM n. 38, pp. 95-110, fev/2001.Movendo discos, construindo torres e matematizando com futuros professores Agradeo as contribuioes e colocaoes do amigo Arthur Powell (Rutgers University, USA)

Marcelo Almeida Bairral Professor do Instituto de Educaao da UFRuralRJ, e-mail: mbairral@ufrrj.br Introduao

A formaao de professores, tanto a inicial como a continuada, constitui desafio permanente das instituioes formadoras e a cada vez mais estao em evidncia os processos de formaao docente. O processo de matematizaao Reflexao propiciada com Powell (1996) tem sido o meu foco com licenciandos em matemtica da Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro BR 465 km 7 CEP. 28970-000 Seropdica-RJ http://www.ufrrj.br. Considero matematizar como um processo construtivo, fortalecido pela interaao pessoa/grupo no qual as idias matemticas constituem e sao constitudas de significaoes, a partir do que falam (gesticulam, desenham ou qualquer outra maneira de representar e comunicar suas ideias) meus alunos. Nesta perspectiva, complementa (Powell, 1996) matematizar um processo natural, inerente ao ser humano e que deve ser propiciado desde a infncia e depende da capacidade que todos os seres humanos tm, de tomar conscincia de um evento ou acontecimento. Assim, o que pretendo aqui contribui com esta reflexao relatando uma experincia como professor da disciplina de Prtica de Ensino de Matemtica. A disciplina, com carga horria terico-prtica de 60 horas, tem como objetivos, dentre outros, propor diferentes jogos como detonadores do processo de matematizaao e refletir sobre a prtica avaliativa em matemtica. Integrando jogo, processo ensino-aprendizagem de matemtica e avaliaao, enfatizando a utilizaao de dirios de campo (individuais e coletivos) como instrumentos avaliativos potencializadores, segue minha reflexao.

O jogo e a prtica em sala de aula

Por ser o jogo uma atividade inata s crianas, o professor deve aproveitar o seu carter ldico para fazer com que o processo ensino-aprendizagem, em especial o de matemtica, seja mais motivador e divertido, sem que essa prtica pedaggica seja confundida com falta de proposta educativa. Segundo Gimnez e Rosich (1998) um jogo possui as caractersticas de vertente ldica, fator de azar, tempo limitado e contedo curricular implcito. Como componente ldico, o jogo proporciona um valor motivacional de atitudes e de predisposies ao livro didtico. No mais, fomenta o processo de socializao, uma vez que tem um componente social indubitvel por estabelecer efetivas reaes de aceitao, cumprimento de regras, etc. O azar um dos elementos sociais principais que tem o jogo, por desenvolver no aluno o hbito ganhar/perder como inerente ao processo. O tempo e o nmero limitado de movimentos de um jogo faz com que seja possvel utiliz-lo tambm como base de situaes didticas e o contedo curricular (conceitos, procedimentos e atitudes) do jogo no pode ficar em segundo plano. Utilizo jogo com futuros professores de matemtica com o objetivo de que eles reconheam-no como um recurso manipulativo importante, porm com a caractersticas diferentes de outros materiais didticos e que o licenciando perceba tambm a importncia de incorpor-lo como instrumento srio em sua sala de aula, para uma busca e desenvolvimento de idias matemticas. Alm de promover a socializaao e despertar o esprito investigativo, importantes no processo de matematizar, provocar mudanas de atitude frente ao erro. Ou seja, professor e aluno passarao a reconhecer o erro como potencial no processo de matematizaao. Nesta perspectiva, um dos jogos que utilizo na disciplina a Torre de Hanoi, bastante conhecido pelos professores. Este jogo baseado num mito indiano. O mito (Ferrero, 1991; Machado, 1992) do templo de Benars, no qual Deus no momento da criaao, colocou 64 discos de ouro puro, todos de tamanhos diferentes, colocados em uma das trs agulhas de diamante que haviam fixadas numa placa de cobre. O maior disco seria a base da torre e o menor seu topo: era a Torre de Brahma. A tarefa dos sacerdotes do templo seria transportar a torre para outra agulha de diamante, movendo um disco de cada vez, e nunca colocando um disco maior sobre outro menor. Ainda, segundo o mito, quando a tarefa fosse cumprida o mundo desapareceria.Assim considerando o carter motivador intrnseco ao jogo Torre de Hanoi, seu aspecto investigativo e que se adapta a diferentes sries, suas regras sao: mover um disco de cada vez e nunca um maior pode ficar sobre o menor e, o desafio descobrir o nmero mnimo de movimentos que podem ser realizados para mover determinada quantidade de discos de uma torre a outra. O jogo encontrado facilmente em lojas de materiais pedaggicos, mas tambm pode construdo pelo prprio professor utilizando madeira, cartolina, papelao ou at mesmo moedas. Veja a seguir a ilustraao de uma torre com 5 discos.

Como tambm tenho includo na temtica de minhas aulas a divulgaao e busca de sites em matemtica, uma aluna encontrou este, que vale a pena acessar para conhecer e jog-lo, virtualmente: http://www.fortalnet.com.br/jogos/hanoi/hanoi.htm A utilizaao das torres de Hanoi em sala de aula, j foi muito bem apresentada por Grando (1997), porm o que pretendo aqui aprofundar a reflexao sobre a sua utilizaao com futuros professores de matemtica e enriquec-la no tocante prtica avaliativa em matemtica.

A prtica avaliativa em matemtica com os dirios de campo

Pensar em avaliaao, implica mudanas nos objetivos para o processo ensino-aprendizagem, na maneira de conceber a aprendizagem, na interpretao e na abordagem dos contedos matemticos, num trabalho docente que deve incluir uma variedade de situaes de aprendizagem (PCN, 1998). Despertado e influenciado por Powell e Lpez (1995) sobre a importncia da escrita no ensino-aprendizagem de matemtica comecei a utilizar em minhas aulas o instrumento de avaliaao que o dirio de campo Prefiro utilizar este termo, pois normalmente existem alunos que, ao iniciarem o processo de escrita dos dirios, descrevem, superficialmente, o que aconteceu. Por exemplo, em uma aula com o jogo Torre de Hanoi comum o aluno escrever conhecemos a Torre de Hanoi entao, o que enfatizo que o meu interesse saber o que ele aprendeu, ou nao, no trabalho com a torre. Assim, prefiro nao utilizar o termo relatorio, pois para mim um texto mais que descritivo. A idia de dirio de campo vem da pesquisa qualitativa.. A seguir, o roteiro (Bairral e Gimnez, 2000; D`Ambrsio, 1996) que sugiro aos licenciandos para a elaborao dos dirios. DataCarga horriaTema principal da aulaPalavras-chaveQual(is) foi(ram) o(s) objetivo(s) da(s) aula(s)?O que voc aprendeu? O que precisa de esclarecimento?Descreva brevemente um momento especialmente significativo no desenvolvimento da aula.Identifique algo que te surpreendeu, que te fez refletir, levantar perguntas, etc.Procure explicar algo que te deixou confuso, alguma dificuldade encontrada, uma dvida ou pergunta no esclarecida.Sugestes e outros comentrios que considere importantes.Bibliografia (utilizada, sugerida, ...)

Valore de 1 a 10:A aula como um todo:O professor:O seu grupo:Os demais grupos:Voc:

As idias de D`Ambrsio (1996) tambm foram orientadoras para adaptaao do instrumento dinmica da disciplina e, como critrios de avaliaao utilizo: PrincipaisPrazo de entrega.Compreenso e explicitao dos temas abordados: perceber o que importante destacar dentro do estudado.Utilizaao do roteiro.Resposta s colocaes feitas pelo professor.OutrosReporte ao trabalho coletivo.Associao de idias com a prtica, apresentando exemplos.Capacidade de anlise e sntese.Evoluo no processo de elaborao de escrita e idias.Dvidas levantadas e esclarecimentos solicitados.Crticas e sugestoes feitas.Organizao e apresentao.Vocabulrio e coerncia na escrita.Referncia bibliogrfica.

A seguir, apresento parte dos relatos dos grupos. Os licenciandos trabalharam em grupo de, no mximo, 4 alunos e cada grupo tinha pelo menos uma torre. Normalmente nao interfiro na formaao dos grupos, mas considero importante o professor intervir nesta formaao, principalmente em turmas com nmero grande de alunos, o que nao foi o meu caso. As turmas de Prtica de Ensino tem tido em mdia dezoito alunos por semestre. Ao todo foram utilizadas 5 (cinco) aulas e os alunos deveram relat-las em grupo (dirio do grupo) e individualmente (dirio individual).

Grupo 1

N de discosN de movimentos

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23(3-1=2)37(7-3=4)415(15-7=8)531(31-15=16)663(63-31=32)7127(127-63=64)Tabela 1

Para descobrir a quantidade de movimentos a serem feitos (MT) para um determinado nmero de discos, basta somar a quantidade de movimentos anteriores (MA) com a quantidade de discos que queremos mover (MD): MT = MA + MD.Frmula para o movimento da torre com n discos (observe tabela 1). Sejam an o nmero mnimo de movimentos com n discos. De acordo com a tabela vemos que:an = 2a n-1 + 1an - an-1 = 2 n-1Resolvendo o sistema para an chegamos a frmula que determina o nmero mnimo de movimentos: an = 2 n - 1Estratgias para conseguir um nmero mnimo de movimentos. ConsidereT1T3T2

Se quisermos mover a pilha de T1 para T2 (sentido horrio) entao:(1)se o nmero de discos for par, o primeiro disco deve ser colocado em T3 (sentido anti-horrio)(2)se o nmero de discos for mpar, o primeiro disco deve ser colocado em T2 (sentido horrio).Obs.: Esta estratgia serve para o movimento das torres intermedirias tambm.

Grupo 2

... Para cada disco a mais que colocamos, o nmero de movimentos dobrava e aumentava em 1, como mostra o esquema abaixo:N de discosMovimentos numricos necessrios11 (x2 + 1=3)23 (x2 + 1=7)37 (x2 + 1=15)415 (x2 + 1=31)531 (x2 + 1= ... )......NX2 + 1

Notemos que ao aumentarmos o nmero de discos, em 1 unidade, o nmero de movimentos dos discos, aumenta segundo u