APLICACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO

LEY DE LOGÍSTICA

MANUAL DE PRACTICAS

MATERIA: ECUACIONES DIFERENCIALES

PROFESOR: NAVA DOMÍNGUEZ SERGIO IVÁN

INTEGRANTES:

Osbaldo Daniel Vázquez Martínez 11210126 Jesús Eduardo Martínez Castañeda 11210101

TIJUANA BAJA CALIFORNIA 29 DE MAYO DE 2012

Tabla de contenido

INTRODUCCIÓN. ............................................................................................................... 2

JUSTIFICACIÓN .................................................................................................................. 3

OBJETIVO .......................................................................................................................... 4

MODELO MATEMATICO ................................................................................................... 5

DESARROLLO DEL PROBLEMA .......................................................................................... 6

Pasó a paso para obtener solución. ............................................................................. 6

Solución. ....................................................................................................................... 8

RESULTADOS TEORICOS ................................................................................................... 9

Graficas Teóricas ........................................................................................................ 10

Valores Iniciales .............................................................................................................. 11

El Medio ...................................................................................................................... 11

La Noticia .................................................................................................................... 12

RESULTADOS EXPERIMENTADOS ................................................................................... 13

Datos Experimentales ................................................................................................. 14

Comparación de las rectas. ........................................................................................ 15

CONCLUSION ......................................................................Error! Bookmark not defined.

INTRODUCCIÓN.

En este proyecto se busca saber cómo es que actúa la dispersión de la

comunicación. Es decir, saber la rapidez en que se conocerá alguna noticia por medio

de la aplicación de este modelo matemático, “Ley de Logística”. A través de esta

ecuación de primer orden, donde para resolverla será aplicado el método de

separación de variables y sustitución de nuestras condiciones iniciales; como respuesta

obtendremos una solución que podremos variar algunos factores. Este será nuestro

proceso y resultado teórico.

Para los valores reales será realizada una prueba publicitaria. Para lograr un

mejor efecto estaprueba se elaborara con unapoblación cerrada, en este caso por una

página de internet. El proceso de prueba no durara mucho. Será realizado en cortos

plazos en concentraciones mínimas de población, en consecuencia se obtendrá un

resultado que se espera tenga un insignificante rango de error. Se obtendrá del

promedio de los resultados que logremos; confiando que reaccione como lo

esperamos.

JUSTIFICACIÓN

Este proyecto está dirigido a compañías, empresas y/o personas que quieran dar la

publicidad a algún producto o noticia. Este proyecto tiene como propósito saber cuál será

aproximadamente el tiempo que tarde en difundirse un mensaje en alguna población cerrada.

Los resultados teóricos podrían variar un cierto porcentaje respecto a los resultados

experimentales. Ambos resultados que serán sustituidos en la fórmula para saber si nuestro

porcentaje de error está dentro de las condiciones establecidas por dicho método.

Un ejemplo para lo cual podría aplicarse es, que tan rápido se puede llegar a hacer

propaganda a un partido político de manera virtual.

El proyecto nos servirá para conocer el grado de impacto que tiene un anuncio

respecto al tiempo.Para esto será necesario este proyecto matemático de “ley de logística”.

Sea y (t) el número de personas que conocen la noticia al tiempo t. Supongamos que la

velocidad con que varía el número de personas que conocen la noticia es proporcional tanto al

número de personas que si la conocen, como al de las que todavía no la conocen.

Entonces.

Donde k será nuestra constante positiva.

( )

OBJETIVO

Adoptar elmodelo matemático a nuestro proyecto.

Conocer cuánto tiempo tarda en difundirse una noticia en una población cerrada.

Con los datos obtenidos podremos modificar valores y obtener distintos resultados

respecto al tiempo.

MODELO MATEMATICO

La parte fundamental de nuestro proyecto está basada en este modelo matemático: “Ley de

Logística” Este se complemente de la siguiente manera: supongamos que la velocidad con que

varía el número de persona que conocen una noticia es proporcional tanto al número de

persona que la conoce, como el que todavía no la conoce.

La ecuación es la siguiente.

Fig. (1.0)

Este se conforma de los siguientes elementos:

Nuestra solución será la siguiente.

Con C una constante.

Más adelante se desarrollara la ecuación de la fig. (1.0), sustituyendo nuestras variables para

llegar a la misma solución.

Y debemos obtener una gráfica como la siguiente imagen.

M = NO. DE POBLACION O MASA

Y (t) = NO. DE PERSONAS QUE CONOCEN EL PRODUCTO AL TIEMPO (T)

K = CONSTANTE POSITIVA

( )

( )

DESARROLLO DEL PROBLEMA

Este es un modelo para la propagación de un mensaje en una población fija.

Supóngase que una empresa de alto prestigio quiere dar a conocer un nuevo producto, y esta

misma manda un mensaje por una página de internet muy concurrida que tiene como

miembros a 1000 personas. Supongamos que la rapidez con que la publicidad se propaga, es

proporcional no solo al número de miembros que la saben, sino también al número de

miembros que no saben de la notica. Determinaremos que pasara después de 0 min, si además

se observa que después de 10 minutos ya eran 50 personas los enterados.

Pasó a paso para obtener solución. Denotemos que x (t) al número de miembros que saben del nuevo producto en t

minutos. Entonces x (0)=1, x (10)=50, 1000-x (t) expresa el número de miembros que no están

enterados del producto y

es la velocidad con que aumenta el número de miembros

enterados.

Por hipótesis

es proporcional a [x (T)] [1000-x (t)].

Este problema queda formulado así:

Podemos observar que

Fig. (1.1)

Es la ecuación logística con a= 1000k y b = k. Separamos variables en la ecuación anterior y por

fracciones parciales se obtiene que

( )

X (0) = 1

X (10) = 50

∫

∫

Integrando de ambos lados obtenemos que:

Y simplificando, se tiene

En donde,

Como x (0) = 1 tenemos que c2=

y sustituyendo el valor de c2 en la ecuación

anterior, x (t) queda de la forma:

Fig. (1.2)

O bien

Ademásx (10) = 50, por lo cual

( )

( )

( )

De esta expresión despejamos k y obtenemos que

Así, sustituyendo el valor de k en (1.2), tenemos que x (t) queda al fin de la forma

El número de miembros que conoce el producto después de 20minutos está dado por

Es decir, 734 miembros conocen el producto. Un 73.45% de la población total.

Solución.

( )

( )

( )

( )

RESULTADOS TEORICOS

Para realizar esta prueba fue necesario tener un medio y una noticia para difundir,

esperar un lapso de tiempo para tomar nuestros datos que se adaptarían a la fórmula de “ley

logística”.

Se obtuvo de resultado lo siguiente.

Sabemos que al tiempo 0, solo 1 persona sabrá de la noticia, es el que comenzara a publicarla

y difundirla. Al minuto 10 obtenemos a 50 personas. Estos datos serán los necesarios para

empezar a resolver y sustituir valores para poder construir nuestra gráfica y luego

experimentarlo. Obteniendo estos datos podremos saber si funciona o falla nuestro proyecto.

Entonces, se presenta una tabla y graficas con los datos teóricos obtenidos.

Al sustituir nuestros datos en la solución,

obtenemos los siguientes resultados que están

tabulados y graficados como puede observarse.

( )

1. En la columna x (t) se indica el tiempo que

transcurre en minutos.

2. En la siguiente columna se encuentra los

miembros que conocen la noticia con respecto a la

primera columna.

3. En la siguiente columna tenemos el

porcentaje respecto al número total de los

miembros con respecto a los miembros que van

conociendo la noticia.

x(t) MIEMBROS PORCENTAJE

x(0) 1 0.1%

x(1) 1 0.1%

x(2) 2 0.2%

x(3) 3 0.3%

x(4) 4 0.4%

x(5) 7 0.7%

x(6) 10 1%

x(7) 15 1.5%

x(8) 23 2.3%

x(9) 34 3.4%

x(10) 50 5%

Graficas Teóricas

VALORES TEORICOS

Grafica con un rango de 0 a 10 minutos, con los datos necesarios para obtener valores

teóricos.

Gráfica teórica al contar 31 minutos del proceso.

De 31 minutos en adelante se observa que se sigue obteniendo un 999 constante hasta llegar a

los 78 minutos que es donde alcanza su máximo de 1000 miembros. Es equivalente al 100% de

nuestra población.

Es decir que dentro de 1 hora con 18 minutos toda la población deberá enterarse de alguna

noticia relevante.

x(0) x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7) x(8) x(9) x(10)

Teorico 1 1 2 3 4 7 10 15 23 34 50

0

10

20

30

40

50

60

MIE

MB

RO

S

0

200

400

600

800

1000

1200

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516171819202122232425262728293031

Teorico

Teorico

Valores Iniciales

El Medio

Para obtener los valores iniciales fue necesario tener un medio de población cerrada.

En este caso fue aplicada por medio de una página web muy concurrida es decir Facebook. Allí

se puede observar el número total de amigos, que es nuestra población.

(La página web no fue hecha con este fin pero si fue indispensable debido al valor de

amigos agregados, y la rapidez de respuesta de los usuarios.)

La Noticia

Este proyecto implica noticias con cualquier tipo de tema, educación, servicios, etc. En

este caso se utilizó una imagen en la cual se maneja política con los valores del ser humano. La

noticia que fue difundida por esta red social.

(`Este fue un mensaje difundido en la red social “Facebook” el día domingo a las 12.00

pm)

Combinando el medio y la noticia vemos como se obtuvieron los valores para de allí

basarnos para luego experimentarlos.

RESULTADOS EXPERIMENTADOS

Es el momento de concretar el proyecto, tomando los datos de manera real por decirlo

así, experimentando. Este será un proceso en el cual se ha creado un blog en internet, este

contiene noticias, una de ellas es sobre “Peña Nieto y las encuestas” y la otra “Promotores de

Peña Nieto”.

Entonces el link será publicado en Facebook y serán contados por minuto cada vez que

una persona con diferente dirección IP ingrese a la página. Ya sea la opción 1 o 2.

Se estará llevando el conteo de cada minuto hasta llegar a los 30 minutos. Después

compararemos mediante una tabla con su respectiva gráfica.

La noticia recordemos que será en la población cerrada de la página de Facebook.

Datos Experimentales

Presentaremos los datos obtenidos experimentalmente.

Empezamos a experimentar un domingo 27 de mayo de 2012, a las 11:54 am. El

proceso duro 30 minutos y los datos fueron los siguientes.

Como se observa dependiendo de la noticia varia el número de visitas

Tiempo en minutos Peña Nieto y las encuestas Promotores Peña Nieto

11:54 1 1 11:55 3 2 11:56 5 4 11:57 7 5 11:58 11 9 11:59 15 12 12:00 20 13 12:01 25 15 12:02 25 16 12:03 29 22 12:04 35 25 12:05 42 30 12:06 50 42 12:07 60 46 12:08 71 60 12:09 79 69 12:10 85 80 12:11 98 92 12:12 126 101 12:13 142 112 12:14 173 117 12:15 198 128 12:16 219 159 12:17 268 181 12:18 296 190 12:19 313 221 12:20 358 272 12:21 405 342 12:22 467 392 12:23 530 411

(Tabla obtenida con los datos.)

Para la realización de esta grafica se publicaron 2 noticias y lo que obtuvimos será

proyectado en 2 rectas.

(Después de 30 minutos de experimentar y así es como se comportó durante el proceso.)

Comparación de las rectas.

0

100

200

300

400

500

600

7001

1:5

4

11

:56

11

:58

12

:00

12

:02

12

:04

12

:06

12

:08

12

:10

12

:12

12

:14

12

:16

12

:18

12

:20

12

:22

12

:24

Peña Nieto y las encuestas

Promotores Peña Nieto

0

200

400

600

800

1000

1200

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

Datos teoricos

Peña Nieto y las encuestas

Promotores de Peña Nieto2

Conclusión

Con nuestro proyecto podemos determinar que, existen diversos factores, por los

cuales nuestros resultados pueden variar, bastante ya sea, por la página en la que se difunde la

notica que tan conocida o desconocida sea, o por el tipo de público al que se le está

proponiendo participar. Se realizaron varias pruebas para encontrar el mejor tiempo de

publicar una noticia, en este caso el medio día es donde más personas se encontraron

conectados y de allí es donde obtuvimos el mayor numero de resultados. Este modelo no es

práctico para tipo de experimento ya que no arrojo resultados más próximos a los reales y por

lo tanto no se cumplió con el objetivo establecido al inicio de la práctica.