Artefatti intelligenti: Aritmetica Maria G. Bartolini ... · Conoscere e utilizzare algoritmi e...

Artefatti intelligenti:Aritmetica

Maria G. Bartolini BussiUniversità di Modena e

Reggio Emilia

Seconda Primaria

Quinta Primaria

Seconda Primaria

Quinta Primaria

Prima Secondaria / Quinta Primaria

Un antico manoscritto

Artefatti intelligenti

Questo non è intelligente!

Perché?


Questo è intelligente!

Perché?



Ma è difficile: ha una componente di convenzionalità molto impegnativa(valore posizionale)



Ma è difficile: non si presta a esercizi veloci di conteggio oltre il 9

Artefatti intelligentiprima dell’abaco

Dall’inizio della scuola primaria

Dall’inizio della scuola primariaalla secondaria di primo grado


Dall’inizio della scuola primaria

Il libroPARTE 1 – L’insegnamento-apprendimento della matematica attraverso diverse culture: Italia e Cina

1. Un quadro di riferimento per sostenere le buone pratiche degli insegnanti

2. La Cina

3. Approfondimenti

PARTE 2 – Rappresentazione dei numeri, addizione e sottrazione con le cannucce.

4. Introduzione all’artefatto

5. Guida alle attività per l’insegnante

6. Materiali operativi per l’alunno (87 schede)

PARTE 3 – Problemi con variazione




I temi

PROCESSI

•Contare•Rappresentare i numeri (notazione posizionale)

•Risolvere problemi aritmetici

•Avviare al pensiero algebrico

I temi

ARTEFATTI

• Cannucce (non solo)

•Problemi con variazione

•Schemi

•Equazioni figurali

PROCESSI




I temi

PROCESSI




PROVE INVALSI di II e

V primaria

Risultato importante della

ricerca internazionale

Il libroPARTE 1 – L’insegnamento-apprendimento della matematica attraverso diverse culture: Italia e Cina

1. Un quadro di riferimento per sostenere le buone pratiche degli insegnanti

2. La Cina

3. Approfondimenti

PARTE 2 – Rappresentazione dei numeri, addizione e sottrazione con le cannucce.




PARTE 3 – Problemi con variazione




Cannucce

Perché questi temi: INVALSI(e Indicazioni)

AMBITO PREVALENTENumeriSCOPO DELLA DOMANDAVerificare il possesso di strategie di conteggio.PROCESSO PREVALENTEConoscere e utilizzare algoritmi e procedure.Indicazioni nazionaliContare oggetti o eventi, a voce e mentalmente, in senso progressivo e regressivo e per salti di due, tre, … RISULTATI DEL CAMPIONEMancata risposta: 1,3Errata: 42,6 Corretta: 56,1

Cannucce per contarefino dai tre anni

Cannucce per rappresentare i numeri in base dieci

dalla prima elementare

Da un libro cineseInizio prima elementare

36 - 28

Da un libro cinese

problema

Valore posizionale

36 – 28? 36 -28=12?

problema

Valore posizionale

36 -28=8..

con il “prestito” di una decina

36 – 28? Slego un fascetto e prendo i

bastonciniche mi servono

cultura

bambino

problema

Valore posizionale

36 -28=8..

con il “prestito” di una decina

36 – 28?

cultura

bambino

Legare

slegare

ComporreScomporre

problema

Valore posizionale

C’è un potenziale semiotico nelle cannucce

il doppio legame tra

una consegna (alla portata dei bambini)

e

quel particolare elemento del sapere da insegnare

problema

Valore posizionale cultura

bambino

Segni, testi situati

Segni, testi matematici

Dove agisce l’insegnante?

UN QUADRO METODOLOGICO

MEDIAZIONE SEMIOTICA

UN QUADRO METODOLOGICO

IL CICLO DIDATTICO

IN ITALIA

Conti A. (1920), Aritmetica per la prima classe elementare , Firenze, Bemporad e Figlio.

1929 Anni ‘50

IN ITALIA

Modello delle scatole trasparenti

48Scuola estiva 2013 - seconde

Ho tre decine e quattordici unità. Che numero è?



Ho tre decine e quattordici unità. Che numero è?



3 decine e 14 unità



Lego i fascetti che posso e li metto

nella scatola



4 decine e 4 unità


Dall’inizio della scuola primariaalla secondaria di primo grado

Il libro

Libro in preparazione

PascalinaMichela Maschietto

Zero+1 – Quercettida un’idea di F. Arzarello

Che cos’è la Pascalina?

Nota storica: la pascalina

…. invenzione che consente di eseguire ogni genere di operazione aritmetica, in modo nuovo e comodo …..Questa macchina semplifica ed elimina nelle sue operazioni tutto quanto è superfluo, il più incompetente troverà tanti vantaggi quanto il più esperto. Senza trattenere o prendere a prestito nulla, la macchina fa da sola quanto l’operatore desidera, senza che lui se ne debba in alcun modo preoccupare.

(B. Pascal, 1645)


Dal film “Blaise Pascal” di Roberto Rossellini(1972)


William Schickard

1623


Klein (1924) così commenta il senso delle macchine da calcolo ed in particolare della Brunsviga.


Mi sia permesso riassumere osservando che il principio teorico della macchina è molto elementare e rappresenta semplicemente una realizzazione tecnica delle regole che si usano sempre nel calcolo numerico […].

(Felix Klein)


Nell’esistenza di una tale macchina vediamo una incontestabile conferma che solo le regole dell’operazione, e non il significato dei numeri, sono importanti nel calcolo; perché la macchina può seguire solo queste; è costruita per fare esattamente questo; non potrebbe cogliere intuitivamente il significato dei numeri.

(Felix Klein)


Non riterremo dunque accidentale che un uomo come Leibniz, pensatore astratto di primo livello, e uomo di grande talento pratico, sia stato, al tempo stesso, sia il padre della pura matematica formale che l’inventore di una macchina calcolatrice.

(Felix Klein)

Che cos’è la Pascalina?

Analisi del potenziale semiotico

Alcuni significati matematici:

Rappresentazione polinomiale dei numeri in base dieci.

Algoritmi di addizione e sottrazione in base dieci.

Collegamento tra aspetti semantici ed aspetti sintattici.

Primo esempio(classi prima e seconda

elementare)

(Mara Boni)

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Rappresentazionepolinomiale dei

numeri.Collegamento tra aspetti semantici

e sintattici

Conta usando la pascalina

Prima elementare: Mara Boni

Conta usando la pascalina

Prima elementare: Mara Boni

Rappresentazionepolinomiale dei

numeri.Collegamento tra aspetti semantici

e sintattici

La “filastrocca” di Alice


Da zero si va avanti di uno e si fa zero più uno.

Dall’uno si va avanti di uno e si fa uno più uno.

Dal due si va avanti di uno e si fa due più uno.

Dal tre si va avanti di uno e si fa tre più uno.

Dal quattro si va avanti di uno e si fa quattro più uno.

Dal cinque si va avanti di uno e si fa cinque più uno.

Dal sei si va avanti di uno e si fa sei più uno.

Dal sette si va avanti di uno e si fa sette più uno.

Dall’otto si va avanti di uno e si fa otto più uno.

Dal nove si va avanti di uno e si fa nove più uno.

E nell’altra ruota è andato avanti di uno e è arrivato sul numero uno.

INSEGNANTE: Sì e però che numero è questo, Alice? Che numero è lì? Che numero si è formato? Guardatelo.

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VOCE: Dieci.

INSEGNANTE: Dieci. Abbiamo il dieci. Avete visto? Dopo il nove siamo andati avanti di uno e si è formato il dieci. Sai andare avanti ancora un po’? Dai!

ALICE: Dal dieci si va avanti di uno e si fa dieci più uno e con l’uno si mette un altro uno e diventa undici. Poi vai avanti di uno e diventa ..

INSEGNANTE: Scusate, sempre con la ruotina di destraeh, la ruotina gialla di destra, sempre la ruotina gialla Alice muove. Alice, Marta, sempre sta muovendo la ruota di destra, Alice muove qui, correttamente qui, non lì, Marta, qui. Ecco qui, avete visto?, sempre qui va avanti di uno, vero Alice?

•ALICE

•Dal dodici va avanti di uno e diventa tredici.

•Poi dal tredici si va avanti di uno e diventa quattordici eccetera ..

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La Pascalina

Apre, fino dalla prima elementare, a nuove avventure (addizioni-sottrazioni con numeri fino a 3 cifre; addizioni e sottrazioni per iterazione dell’operatore +1 o -1 e per decomposizione del numero in unità, decine, centinaia, ecc.)

Suggerisce la realizzazione di procedure facilmente automatizzabili

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Per i bambini di livello “alto”che le “inventano” spontaneamente

Per i bambini con difficoltà che le possono imitare

Dentro lo schema

La risposta di Alice, colta al volo dall’insegnante e proposta a tutti come modello da imitare, mette a disposizione di tutti il collegamento tra

Artefatto (le ruote, andare avanti, girare, i gesti, diventa, l’uno che si mette con un altro uno, diventa …)

Matematica (i numerali nell’ordine standard, l’operatore +1, …..).

Dentro lo schema

La risposta di Alice, colta al volo dall’insegnante e proposta come modello da imitare, mette a disposizione di tutti il collegamento tra

Aspetti sintattici (la conta realizzata in modo automatico)

Aspetti semantici (il numero degli scatti necessari)

Qualche mese dopo(seconda elementare)

Prova individuale con una pascalina a testa:

Costruisci il numero 23 e spiega con parole e disegni come hai fatto (partendo da zero).

Qualche mese dopo(seconda elementare)

Una nuova consegna (di natura semiotica)

Spiega come hai fatto. Puoi aiutarti con queste parole (o numeri).

Avanti di 1

Rumoretto

Clic clac / zzz / tru tri /tic tac

Vado di 1

Vado avanti di 1

+1

Scatta

Che numero è? Scrivilo in parole.

Restituisce agli allievi e dà valore ai segni da loro prodotti.

In molti protocolli gli allievi disegnano mani, evocando gesti.

Sono segni-artefatto che evocano l’esperienza concreta (situata).

Dovranno essere trasformati in

segni matematici.

Una nuova consegna (di natura semiotica)

Secondo esempio(classe quarta elementare)

(Franca Ferri)

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Algoritmi di addizione

in base dieci Quarta elementare: Franca Ferri

La consegna (individuale)

Scrivi le istruzioni d’uso della Pascalina per l’operazione di addizione

(caso particolare suggerito:

28 + 14)

Due protocolli

Christian: Ho scritto il primo addendo, 28, poi ho aggiunto il secondo, ruotando in senso orario la rotella delle unità quattro volte e la rotella delle decine una sola volta. Il risultato è 42. Orlando: Ho scritto il numero 28, poi ho girato in senso orario 14 volte la ruota in basso a destra, quella delle unità. Il risultato è 42.


in base dieci


in base dieci

Testi (segni)matematici

INTENZIONE DELL’INSEGNANTE

Una nuova consegna

Guarda che cosa hanno scritto Christian e Orlando per calcolare sulla pascalina:

28 + 14

Prova a scrivere le espressioni matematiche che rappresentano i due diversi procedimenti.

Globalmente

• Usano solo i segni matematici (7/23)• Usano segni matematici e linguaggio iconico

(2/23)• Usano segni matematici e linguaggio verbale

(10/23)• Usano segni matematici, linguaggio verbale e

linguaggio iconico (4/23)

Solo segni matematici (M. Y. N.)

Christian

= (20 + 10) + (4 + 8) =

= 30 + 12 =

= 42

Orlando

= (20 + 8) + (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1) =

= 20 + (8 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1) =

= 20 + 22 =

= 42

Segni matematici e linguaggio iconico

Segni matematici e linguaggio verbale

Le due operazioni sono le stesse, solo che cambia come le svolgono.

Christian: 28 + 1 da + 4 u = 42

Orlando: 28 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 42

(L. F.)

Segni matematici, linguaggio verbale ed iconico (L. A.)

Terzo esempio(classe prima media)

(Rossella Garuti)

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Potenzialità della pascalina(esempio di macchina matematica)

È un artefatto polisemico.

L’introduzione in classe non determina in modo automatico il modo in cui è usato e concettualizzato dagli allievi.

Crea – potenzialmente - le condizioni per generare la produzione di voci diverse (la polifonia di Bachtin) per una discussione matematica.

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Le prime consegne

Disegna e descrivi come è fatta la Pascalina senza farla girare.

Descrivi come funziona.

Le prime consegne

Disegna e descrivi come è fatta la Pascalina senza farla girare.

Le prime consegne

Descrivi come funziona.

“Quando la ruota in basso a destra arriva a 9 fa muovere la ruota arancione che a sua volta muove la seconda ruota gialla. Le ruote arancioni si muovono quando una gialla arriva a 9. Le ruote dentate gialle si possono muovere sia in senso orario che antiorario. Secondo me le ruote arancioni servono a far muovere le ruote gialle”

Problemi autoposti

Come fare per far muovere tutte e cinque le ruote insieme?

“ Con qualsiasi numero che finisce per 00 facendo un clic dell’ultima ruota a destra in senso antiorario si muovono tutte e cinque le ruote”

“ Con tutti i numeri che finiscono per 99, facendo un clic dell’ultima ruota a destra in senso orario si muovono tutte e cinque le ruote”

Altri problemi

• Eseguire una moltiplicazione• Eseguire una divisione• Eseguire un’addizione girando la ruota delle

unità solo in verso orario• Eseguire un’addizione minimizzando il numero

degli scatti (dei passi): es. 15 + 19• Eseguire una sottrazione mnimizzando il

numero degli scatti (dei passi): es. 17 – 9• Congetturare che cosa può avvenire

eseguendo l’addizione 998 + 5; eseguire ed interpretare il risultato

Il gioco voci-eco

Altri riferimenti storici

http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/ICT/Htmls/Informazioni/Antologia/Pascal.htm



Alcuni riferimenti

Tesi di dottorato di Rossella Garuti:

http://www.mmlab.unimore.it/site/home/progetto-regionale-emilia-romagna/risultati-del-progetto/tesi-di-dottorato-sul-progetto-regionale.html

Volume del progetto Regionale:

http://www.mmlab.unimore.it/site/home/progetto-regionale-emilia-romagna/risultati-del-progetto/libro-progetto-regionale/documento16016366.html



Prestito Pascaline

Laboratorio di Macchine Matematiche presso il Liceo Aldo Moro di Reggio Emilia

http://www.liceomoro.gov.it/laboratori/laboratorio-macchine-matematiche/

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