arquiteturas continuas e topologia - USP€¦ · têm-se público x privado, dentro x fora, opaco x...

#1

similaridades em processo

Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em

Tecnologia do Ambiente Construído do Departamento de Arquitetura e Urbanismo da Escola

de Engenharia de São Carlos da Universidade de São Paulo . Maio de 2003

arquiteturas continuas e topologia:,

David Moreno [email protected]

Orientador Prof. Assoc. Washington Luiz Marar

(ICMC-USP)[email protected]

#2

Ficha catalográfica preparada pela seção de Tratamento da Informação

do Serviço de Biblioteca - EESC/USP

Sperling, David Moreno

Arquiteturas contínuas e topologia: similaridades em

processo / David Moreno Sperling. -- São Carlos, 2003.

Dissertação (Mestrado) -- Escola de Engenharia de São

Carlos-Universidade de São Paulo, 2003.

Área: Tecnologia do Ambiente Construído.

Orientador: Prof. Assoc. Washington Luiz Marar.

1. Arquitetura Contemporânea. 2. Topologia.

3. Diagramas. 4. Processo Projetual. I. Título.

S749a

#3

“Quem somos nós para falar de consequências, se da fila interminável delas que incessantemente vêm caminhando na

nossa direcção apenas podemos ver a primeira, Significa isso que algo pode acontecer ainda, Algo, não, tudo, … Só

porque vivemos absortos é que não reparamos que o que vai nos acontecendo deixa intacto, em cada momento, o que

nos pode acontecer, Quer isso dizer que o que pode acontecer se vai regenerando constantemente, Não só se regenera

como se multiplica, basta que comparemos dois dias seguidos…” José Saramago, em Todos os Nomes, p.48.

aos meus paismeus paismeus paismeus paismeus pais,

que modelam massas e

nutrem pensamento largo

#5

agradecimentos

ao Ton, orientador e amigo, por sua coragem e disponibilidade em orientar um

trabalho entre; por sua generosidade no ensinar e no conviver; pelas orientações

matemática e arquitetonicamente realizadas nesses três anos de trabalho,

ao professor Manoel, por sua indispensável contribuição nos primeiros

encaminhamentos desta pesquisa,

ao professor Azael, por sua constante disponibilidade para interlocução,

aos professores Heverson, Fabio, Joubert e Marcio por seu apoio em

momentos decisivos,

à Alberto Elfes (atualmente no CalTech/NASA), pela abertura à pesquisa junto

ao Laboratório de Desenvolvimento de Produto do Centro de Pesquisas Renato

Archer (CenPRA – Ministério da Ciência e Tecnologia), Campinas-SP,

à Jorge Lopes da Silva, Carlos Saura e Richard Gallo (CenPRA) por

sua abertura e seu interesse no desenvolvimento de pesquisa conjunta,

aos funcionários do SAP (Joao, Sergio, Fatima, Marcelo, Lucinda, Paulo

Borges, Paulo Ceneviva, Alexandre…), por sua presteza no decorrer desta,

aos amigos professores do curso de Arquitetura e Urbanismo da PUC-Pocos

de Caldas/MG, pelos momentos de crescimento,

aos alunos que tive, nestes anos, na Unifenas, na PUC-Pocos e na USP-

Sao Carlos - para onde retorno como professor - pelo contato sempre instigante,

aos amigos Luciano, Katina, Roberto e Alessandra, por seu apoio,

aos amados Adolfo, Suely, Cristina e Priscila, por sua expectativa e

compreensão em momentos de “suspensão”,

e, em especial, à Milena, querida companheira, por seu encorajamento e suporte

expressos nas pequenas atitudes cotidianas.

,

,- ,

.

-.

#7

2:93

resumo/abstract

#0 introducao

#1 arquitetura e exterioridades

1.1 Um olhar sobre a arquitetura – distanciamento e aproximação

1.2 Arquitetura Ampliada – procedimentos históricos

1.3 Arquitetura e Topologia – procedimentos interdisciplinares contemporâneos

1.3.1 Forma e estrutura – a modelagem algébrica

1.3.2 Continuidade Espacial – a modelagem de superfícies

1.3.3 Continuidade Espacial – a teoria dos grafos

1.3.4 Arquitetura, concreta e virtual – as 3+n dimensões espaciais

1.3.5 Arquitetura, mutável e efêmera – o evento

1.3.6 Metarquitetura – o procedimento projetual por diagramas

1.4 Topologia Apropriada – uma leitura crítica de outras leituras

#2 diagrama topologico _ construcao de um conceito

2.1 Aproximações aos diagramas – conceituações preliminares

2.1.1 Aproximação pela Ciência Cognitiva

2.1.2 Aproximação pela Lógica – Semiótica

2.1.3 Aproximação pela Filosofia

sumario,

0:111:19

:21

#9

:24

:35

:37

:40

:45

:54

:62

:68

:77

:96

:97

:100

:109

. -,

. -

#8

2.1.4 Aproximação pela Lógica – Matemática

2.2 O diagrama em Topologia

2.2.1 Em Topologia de Redes – o grafo

2.2.2 Em Topologia Geométrica – o diagrama topológico

2.2.2.1 Uma (necessária) referência a conceitos da Topologia

2.2.2.2 O diagrama e o processo, o diagrama como processo

#3 diagrama _ a arquitetura na (da) topologia/atopologia na (da) arquitetura

3.1 Características topológicas em espaços arquitetônicos –

(des)conectividade como qualificação espacial fundamental

3.2 Diagrama em arquitetura. O diagrama processual topológico em

arquitetura

3.2.1 Diagrama e Desenho

3.2.2 Diagrama como narrativa arquitetônica – (re)construção de um

processo

#4 consideracoes finais

#5 referencias

5.1 Iconografia

5.2 Bibliografia

5.3 Musicografia (trilha sonora do processo)

:111

:119

:119

:124

:124

:145

3:153

:155

:165

:176

:180

4:201

5:207

:209

:224

:229

. -

^

#9

resumo

A pesquisa investiga o atual momento em que a Topologia adquire uma posição especial

dentro dos diálogos que a Arquitetura historicamente têm estabelecido com outras

áreas do conhecimento. Aponta e sistematiza aproximações contemporâneas com a

Topologia realizadas por arquitetos e desenvolve sua aproximação por meio da

apresentação do conceito de diagrama processual topológico. Este conceito tripartite

(diagrama, processo, topologia), é investigado em diferentes áreas como Ciência

Cognitiva, Lógica (Matemática e Semiótica) e Filosofia, a fim de enriquecer a análise de

sua atuação no campo da Topologia. Nesta análise, o diagrama processual topológico

é delineado como um meio operativo-representacional de relações espaciais estruturais

(a topologia do objeto) que possui três variáveis: pensamento, espaço e tempo.

Finalmente, este conceito é levado ao campo do projeto e da representação em

Arquitetura, construindo um diálogo crítico com o uso e a referência ao diagrama que

fazem arquitetos contemporâneos paradigmáticos – Bernard Tschumi, Peter Eisenman,

Greg Lynn, Rem Koolhaas, MVRDV, Ben van Berkel, Lars Spuybroek, dentre outros.

abstract

This research aims to analyse Topology’s state of the art. Nowadays Topology is a key

player in the dialogues that Architecture has historically stablished with other areas of

knowledge. This work points out and systematizes contemporary approximations with

Topology made by architects and developes their ideas by means of the concept of

topologic processual diagram. This threefold concept (topology, process, diagram) is

investigated in different areas such Cognitive Science, Logic (Mathematics and Semiotics)

and Philosophy, in order to enrich the analyse of its actuation in the field of Topology.

In this analysis, the topologic processual diagram is described as an operative-

representational medium of spatial structural relations (the object’s topology), with

three variables: thought, space and time. Finally, this concept is investigated within the

realm of the project and representation in Architecture, building up a critical dialogue

with diagrams, its use and reference, as performed by paradigmatic contemporary

architects - Bernard Tschumi, Peter Eisenman, Greg Lynn, Rem Koolhaas, MVRDV, Ben

van Berkel, Lars Spuybroek and others.

0:11

#0

introducao. -

fg0_

01, f

g0_0

2 –

plan

o/su

perf

ície

, hom

eom

orfis

mo

– pr

otot

ipag

em r

ápid

a. D

avid

Spe

rling

0:13

Alguns temas freqüentes em reflexões pessoais deste pesquisador sobre o pensar e o

fazer “arquitetônicos” são elementos indutores desta pesquisa e pano de fundo frente

ao qual ela se apresenta e com ele pretende dialogar. São algumas chaves de leitura.

Elemento fundante da ação do arquiteto sobre qualquer realidade (i)material, o projeto

é a primeira chave. Como ação propositiva, é transformadora de condições dadas, é

resposta sintética a situações-questões analisadas. Como ação intencionada, tem a

dimensão temporal de uma ação num presente que reflete (em) um futuro, o futuro

projetado no presente, ação que antevê, prevê. Como ação qualificadora, insere o

objeto projetado em toda a sua dimensão real, além de dotá-lo conscientemente de

atributos que o distinguem como produção de conhecimento e, como tal, objeto de

questionamentos, reflexões, classificações, fruições... Ao projeto está associada a criação,

atividade instauradora de relações por meio de elementos disponíveis que são

recompostos em instantes imaginativos, em processos de pensamento. Associações

em processos de aproximação rumo ao intencionado, não como confirmação do

antevisto, mas como desenvolvimento dinâmico de estruturas até uma relação estável,

que não quer dizer imóvel e sim, estruturada. Os pensamentos e as criações são vários,

para além dos criadores; só podem ser designados os projetos, os modos de projetar,

no plural. Ações projetuais, processos de pensamento.

O desenho, segunda chave, em suas muitas acepções aparece como denominador

comum. Sendo vários os modos de projetar e os modos de utilização de ferramentas

para a ação, são em menor número essas ferramentas. O desenho condensa em si uma

ação que reflete e uma reflexão agente; o desenhar físico e o desenhar mental sofrem

uma inversão pela mão que pensa e a cabeça que desenha. O desenho, como sinônimo

de pensamento, é sintético e transfere para o desenho desenhado esta condição, de

filtro da realidade, de seleção por importância, de síntese do plano a construir. O desenho

enquanto é desenhado vai participando ativamente dos processos tornando-se

posteriormente seu registro, testemunha das associações, possível de ser lido e

reconstituído ao pensamento do qual faz parte. Desenho como ação, desenho como

reflexão.

A terceira chave é a reflexão da arquitetura como uma linguagem estruturada capaz de

conter informações e manipulá-las: transportar, traduzir, associar. Além de testemunho

introducao. -

0:14

econômico, social, histórico e cultural, a arquitetura revela processos de pensamento,

os quais a constituíram e formalizaram. A arquitetura enquanto área de atuação emite

e reverbera conceitos presentes em sua contemporaneidade, assim como as outras

linguagens e, articulando-se com elas, protagoniza reflexões interdisciplinares e a criação

do novo. Pensamentos em pensamentos, arquiteturas em arquiteturas, pensamentos

em arquiteturas, arquiteturas em pensamentos.

Quarta chave: continuidade x descontinuidade. Pertencente às qualificações

arquitetônicas, esse binômio de opostos condensa em si a variada gama de relações

espaciais propiciada por meio da arquitetura. Essa, considerada como o espaço

construído, poderia ser reduzida a dois tipos de superfícies: superfícies por onde e

superfícies contra, que promovem as relações de continuidade e descontinuidade. Destas

têm-se público x privado, dentro x fora, opaco x transparente, aberto x fechado, hori-

zontal x vertical. E da manipulação do binômio, suas gradações. A superfície é ativada

para a qualificação espacial. Em outra face da disciplina, como pertencente aos processos

de projeto e representação, o binômio continuidade x descontinuidade expressa tanto

dados quantitativos como quantidade de informação x ruído de informação quanto

qualitativos como desenho processual x desenho fragmentado. Em tempos de revolução

digital e novos meios de representação, continuidade e descontinuidade apresentam-

se como possibilidades na e para representação. (Des)continuidade.

A observação da contemporaneidade, mais especificamente no campo de atuação do

arquiteto, vem se associar às chaves anteriores, incrementando o material para reflexão.

De modo geral, é observada a intensificação de diálogos da arquitetura com outros

campos de atuação humana, criando relações interdisciplinares, que promovem o

intercâmbio de conceitos entre áreas diversas e, mais além, que intencionam criar

possibilidades de reflexão e construção de conceitos transdisciplinares, que seriam a

trans(in)ferência de conceitos situados acima de qualquer das disciplinas. Alguns são

os campos com os quais observa-se a arquitetura promover diálogos: a Filosofia, as

Ciências, a Telemática e a Topologia, os quais denominam-se aqui de exterioridades

arquitetônicas. Frente a uma realidade contemporânea cada vez mais complexa, os

diversos campos de atuação procuram responder com seus instrumentos de análise e

proposição; respostas diversas a questões contemporâneas acabam por encontrar

similaridades, como que reverberando conceitos que permeiam descobertas e teorizações

em uma mesma época, num fluxo das particularidades das disciplinas para a construção

de uma inteligência da humanidade.

O campo da atuação desta pesquisa parte daquele que se abre entre duas disciplinas,

Arquitetura e Topologia. A pesquisa se propõe investigar a Topologia e a possibilidade

da ocorrência de diálogos interdisciplinares com a Arquitetura, dentro de profundidades

0:15

e domínios controlados e acessíveis por um estrangeiro à disciplina, mas com o rigor

científico necessário ao entendimento de suas estruturas de funcionamento. Tendo em

vista ser uma pesquisa de arquitetura, realizada por um arquiteto, para a comunidade

dos arquitetos - mesmo que orientado por um matemático - não como demarcação de

sua restrição, mas como consciência de sua abrangência, o escopo do trabalho não é

aquele necessário para lançar novas questões à Topologia e aos matemáticos. Talvez

apenas o registro de um olhar estrangeiro à sua disciplina. Pretende quando muito

lançar um olhar entre, que possibilite a instigação do diálogo da arquitetura com suas

exterioridades e a abertura de seu campo de atuação a outros ares.

A Topologia, grosso modo, é uma geometria que não se ocupa de medidas e proporções;

seus “objetos” podem ser imaginados como que construídos com materiais

perfeitamente elásticos - podendo, como resultado determinar a similaridade entre

formas geométricas consideradas distintas pela geometria euclidiana. Para o momento,

pode-se considerá-la uma geometria operativa, isto é, ocupada com determinadas

operações com entidades geométricas e propriedades invariantes independentes de

sua forma. Relações espaciais específicas são manipuladas por meio de operações

realizadas e registradas em representações também específicas, operações em que

processo, produto e representação são interdependentes.

A Arquitetura é vasto campo de atuação, com difícil definição sintética do seu caráter

ontológico. Procurando desviar de questões pouco produtivas como, por exemplo, o

que é arquitetura e que normalmente demandam respostas genéricas ou generalizantes,

a pesquisa procura considerá-la por meio das possibilidades de relações fenomenológicas

entre ela e o homem e que se fazem em três instâncias: projeto, produção e prática do

espaço pelo homem. Algo sobre o qual se age reciprocamente, e que, por meio da

ação, se constrói o entendimento e a fruição.

Projeto, produção e prática. Ação projetual como momento de ação imaginativa,

construção mental e discurso prévio sobre o espaço que tem embutido em si uma

percepção da realidade e uma intenção construtiva indutiva de sua qualificação.

Concepção que demanda representações mentais e físicas que tem como suporte o

desenho como representação/reflexão de arquitetura. Produção do espaço como ação

contínua de transformação da imaginação - construção virtual - em construção atual,

que cria o suporte para a prática do espaço. Prática do espaço como interpretação/

significação/percepção/uso por meio dos quais efetivamente é construído. Para o recorte

da pesquisa duas dessas instâncias são constituintes do quadro de referência: o projeto

e a prática do espaço.

0:16

Decorrente das chaves - projeto, desenho, linguagem, (des)continuidade – e de

observações sobre parte da arquitetura contemporânea, além do olhar estrangeiro sobre

a ação operativa do topólogo, o recorte construído diz respeito a processos de criação

e representação, relações entre Topologia e Arquitetura quanto a inserção de novas

geometrias e modos de apresentação/representação no processo de projeto e na

concepção e leitura de espaços arquitetônicos. O objeto teórico pode então ser descrito

como as similaridades existentes entre a Arquitetura e a Topologia e as contribuições

da Topologia para a Arquitetura em duas atuações específicas, quais sejam: a ação

projetual do arquiteto por meio do uso de diagramas processuais, como instrumentos

de projeto e de leitura, representações na e para a concepção de espaços arquitetônicos

e as similaridades com a ação projetual do geômetra por meio de diagramas processuais

topológicos, representações das quais faz uso na concepção de superfícies topológicas.

E, de modo, implícito, tendo o diagrama como instrumento de leitura, a utilização de

algumas caracterizações espaciais topológicas (relações espaciais estruturais) na

concepção e leitura de espaços arquitetônicos (estruturas espaciais relacionais) .

O entendimento da Topologia como uma exterioridade arquitetônica, possível de estar

incrementando ações de projeto, representação e leitura de arquitetura, suscita o esboço

de algumas questões. Em arquitetura, novos meios de projeto podem alterar a ação de

projeto? Novos meios de projeto, alterando a ação de projeto, podem alterar concepções

espaciais? Novos meios de leitura de projetos/espaços podem alterar as bases de

interpretação/significação/percepção/uso desses espaços?

A prática de pesquisa é um processo de aproximações sucessivas e como tal segue

trajeto de territórios mais largos até pontos específicos e recortados, algo que ocorre

pela passagem por etapas subseqüentes que demandam o conhecimento de etapas

anteriores aliado a um crescente amadurecimento no processo de investigação. Nesta

pesquisa soma-se a essa estrutura linear afunilada, outra mais complexa. O movimento

por aproximações realizado na pesquisa segue então duas estruturas de funcionamento,

linearidade e simultaneidade, não como algo planejado e sim como uma metodologia

que se constrói construindo o saber, que tem a particularidade da criação de pontes

entre duas disciplinas distintas, onde o tatear muitas vezes se faz presente. O movimento

de uma etapa designada como início até outra designada como término e o que ocorre

dentro de cada etapa - de seu início ao seu fim - realiza-se em oscilação com outro que

tece costuras entre todas as faces, não mais etapas da pesquisa. As etapas passam a

ser as costuras realizadas entre suas faces. Sendo assim, no movimento linear, a pesquisa

se apresenta agora em sua última conformação com seus três capítulos, três etapas

subsequentes, cada qual com sua metodologia específica e, no movimento simultâneo,

três faces construídas de modo interdependente, costuradas cada qual com as outras

duas em diversos percursos de idas e vindas.

0:17

O primeiro capítulo-etapa-face delineia o quadro de referência da pesquisa, sobre o

qual se estrutura seu objeto propriamente dito. Em um primeiro momento, apresenta

um breve lastro histórico de contatos interdisplinares entre arquitetura e arte com as

ciências, na medida em que aquelas se colocaram como produtoras de conhecimento

e como ciência aplicada e que compuseram o que aqui se chamou de uma “modernidade

ampliada”. Num segundo momento, foca procedimentos interdisciplinares

contemporâneos de arquitetos em direção à Topologia, agrupando-os segundo seis

temáticas recorrentes – sendo a sexta, até certo ponto, denominador comum das outras

cinco. Conforma um panorama das principais aproximações Arquitetura-Topologia e

os seus possíveis pontos de contato – material não encontrado na literatura especializada

internacional durante o período desta pesquisa, entre os anos de 2000-03. Por fim,

num terceiro momento, tece leitura crítica a respeito de algumas incorporações da

Topologia na prática e na crítica da arquitetura contemporânea, a partir do embasamento

conceitual da Topologia, apresentado no capítulo seguinte.

O segundo capítulo-etapa-face se desenvolve sobre o objeto da pesquisa já prenunciado

e previamente introduzido no primeiro capítulo: o diagrama processual topológico.

Para a construção de uma compreensão adequada de seu todo e suas partições -

“diagrama”, “processo”, “topológico” - a pesquisa percorre, quanto à porção

“diagrama”, os campos da Ciência Cognitiva e da Lógica, tanto Matemática quanto

Semiótica e, como definição de recorte e controle de abrangência, faz apenas menção

à ocorrência do diagrama na Filosofia contemporânea. E finalmente adentra à Topologia,

em duas áreas correlatas: Topologia de Redes e Topologia Geométrica – na qual se

encontra a especificidade de seu objeto: a porção “processual topológica”. Ao adentrar

na Topologia, apresenta, de início, de forma sistematizada e intuitiva, as principais

terminologias, procedimentos projetuais e caracterizações espaciais topológicas,

permitindo ao leitor ter acesso a conceitos - não raro mitificados em Arquitetura

Contemporânea - que mapeiam o contexto para o desenvolvimento do objeto específico.

O terceiro capítulo-etapa-face desenvolve seu percurso pelas principais referências do

uso de diagramas em arquitetura, após o que, diferencia diagrama de desenho,

diferencia o uso do diagrama geométrico do topológico em arquitetura e apresenta o

diagrama como narrativa arquitetônica de (re)construção de um processo de projeto.

1:19

#1fg

1 -

Atr

ator

de

Lore

nz -

Edw

ard

Nor

ton

Lore

nz arquitetura e exterioridades

1:21

arquitetura e exterioridades“O que ocorreria se o geômetra estivesse possuído por uma afinidade peloheterogêneo?Se sua curiosidade alcançasse os tamanhos contínuos precisamenteporque são incomensuráveis, porque sua superposiçãoé impossível e não são independentes de sua posição?Então é quando surge, a partir da Analisis Situs,da topologia, uma máquina geométrica funcionando em revés,não para fazer o mensurável, mas para fazer o incomensurável.”Jean-Francois Lyotard [LYOTARD, 1990, apud CASTRO, 1999: p.08] 1

Este trabalho de pesquisa sobre possíveis inter-relações e similaridades entre Arquitetura

e Topologia coloca-se duplamente como investigador de diálogos do campo

arquitetônico com outra área do conhecimento e como participante de um contexto

histórico, que se acentua na contemporaneidade, de aproximação entre disciplinas,

primordialmente das ciências humanas em direção às ditas “novas ciências” exatas e

biológicas.

A incorporação de conceitos e paradigmas externos à disciplina arquitetônica acaba

por, de algum modo, contribuir para “novas” percepções/criações/interpretações do

objeto arquitetônico e certas reorientações da disciplina. Tentativas de reavaliação de

paradigmas da disciplina como, por exemplo, o equilíbrio estático do objeto e de suas

representações, pela incorporação do movimento no objeto e em seu processo de

criação, têm levado a recentes investidas de arquitetos no campo da Topologia. Fato

que será contextualizado neste capítulo tanto como participante de um contexto histórico

e contemporâneo de relações da arquitetura com exterioridades em busca de novos

paradigmas, quanto como participante de processos formadores de uma historiografia.

1 “Que ocurriria si el geómetra estuviera poseído por una afinidad hacia lo heterogéneo? Si su curiosidadalcanzara los tamaños continuos precisamente porque son incomensurables, porque su superposiciónes impossible y no son independientes de su posición? Entonces es cuando surge, a partir del AnálisisSitus, de la topologia, una máquina geométrica funcionando al revés, no para hacer lo mensurable sinopara hacer lo inconmensurable.” [LYOTARD, 1990, apud CASTRO, 1999: p.08]

Considerar as arquiteturas moderna e contemporânea e os processos de passagem de

uma a outra, como movimentos lineares e estanques, acontecimentos, teorias e obras,

causa e conseqüência, antes e depois, corresponde à construção de uma historiografia

que lima coexistências e simultaneidades, composta por elementos que se sucedem

seqüencialmente e se opõem, um o negativo do outro. Movimentos que não se

misturam, teorias que não se complementam. Algo que, na realidade, se mostra com

maior complexidade e demanda maior aguçamento.

. -1.1 um olhar sobre a arquitetura -

distanciamento e aproximacao

1:22

Também demanda maior profundidade, em tempos de crescente inserção dos meios

telemáticos em várias esferas da existência e de maior aproximação entre as áreas do

conhecimento, borrando limites2 , a utilização por parte da Arquitetura, de conceitos

advindos de outros campos do conhecimento - como as ciências, por exemplo - sem

uma criteriosa pesquisa destes conceitos em seu terreno de significância original e uma

ponderação crítica de sua sustentabilidade quando da construção de relações com seu

campo.

2 «O futuro da arquitetura não é maisarquitetural». Este mote de Jean Nouvel, umdentre vários arquitetos contemporâneos quedestacam certo hibridismo contemporâneo,enfatiza seu entendimento da arquitetura comoa consolidação, através de um jogo metafórico,de atmosferas cenográficas construídas pordeslocamentos de conceitos das artes, dafotografia, do cinema, da ficção científica, daliteratura, das comunicações. Ver Revista ElCroquis, n.69, 1994, Barcelona.

Para a construção de um enfoque ciente de que a historiografia

da arquitetura se constrói, não por oposição, mas por

acumulação e associação e de que a produção, inserida em um

contexto mais amplo, vincula-se de alguma forma às outras

manifestações humanas de seu tempo, faz-se necessário um

movimento de leitura em duas vias: distanciamento e

aproximação. Distanciamento para a apreensão de um pano-

rama arquitetônico que não se constrói-construiu por opostos

estanques, mas pela co-presença em maior ou menor grau de

diferentes correntes e teorias. Aproximação para o (re)estudo dos conceitos emprestados

de outros campos - no caso desta pesquisa, o estudo da Topologia - para que a produção

arquitetônica, baseada em conceitos interdisciplinares, se invista de uma

interdisciplinaridade real.

Em direção a esse movimento simultâneo de distanciamento e aproximação, ganha

relevância para este estudo o processo pelo qual surgem as interpretações pré-canônicas

e como são construídas as significações canônicas das obras arquitetônicas. Silvia Arango

[ARANGO, 1989: p. 123], ao discutir as relações entre centro e periferia, isto é, entre

produtores e consumidores de cultura, chama a atenção para a construção de uma

historiografia de arestas aparadas, em que a diversidade e o aprofundamento conceitual

cedem lugar ao discurso lapidado e menos denso que se beneficia de livre veiculação:

“Está claro que as influências vinham normalmente do ‘centro’, e ademaischegavam decantadas, diminuídas em suas potencialidades intelectuais edesprovidas do traço polêmico que as havia gerado. Em outras palavras,vinham como tópicos rodeados de uma aura de indiscutível respeitabilidade.O que se percebia era habitualmente o substrato geral comum, raramenteas diferenças. Ante o peso de uma Cultura assim entendida, ninguém selançava na aventura de tentar criar corpos teóricos próprios eindependentes.”

1:23

Para Juan Pablo Bonta as interpretações pré-canônicas são as mais criativas, já que o

intérprete estaria livre de pré-conceitos, à procura de uma interpretação que aparece

como um desafio à sua intuição, à sua imaginação e à sua sensibilidade. Já uma

interpretação canônica torna-se conseqüência de um consenso social:

“...é o resultado acumulativo de muitas respostas prévias, destiladas porrepetição e reduzidas a seus pontos essenciais. A formação de um cânonese descreve, portanto, não como um processo de crescimento, mas comoum processo de filtração. Desta perspectiva, o que é necessário explicarnão é como certas respostas pré-canônicas chegaram a incluir-se nainterpretação canônica, mas por que algumas foram abandonadas.” [BONTA, 1977: p.162]3

3 “...es el resultado acumulativo de muchas respuestas previas, destiladaspor repetición y reducidas a sus pontos esenciales. La formación de uncanon há de describirse, por lo tanto, no como un proceso de crecimiento,sino como un proceso de filtración. Desde esta perspectiva, lo que necesitaexplicarse no es cómo ciertas respuestas precanónicas llegaron a incluirseen la interpretación canónica, sino porqué algunas fueron abandonadas.”[BONTA, 1977: p.162]

4 «Una de las fuerzas que gobiernan el proceso de filtración de respuestases la necesidad de limar aspectos contradictorios entre las diversasapreciaciones iniciales. En la etapa de las respuestas precanónicas puedencoexistir una vadiedad de enfoques conflictivos. La interpretación canónicasurge a medida que una cantidad de repuestas inconexas se vanacomodando gradualmente hasta dar lugar a una imagen consistente.»[BONTA, 1977: p.162]

Se as interpretações pré-canônicas têm a qualidade da vanguarda e, por isso mesmo,

correm um maior risco de incorreções e superficialidade, o cânone, representando o

conhecimento acumulado poderia tender à generalização:

“...uma das forças que governa o processo de filtração de respostas é anecessidade de limar aspectos contraditórios entre as diversas apreciaçõesiniciais. Na etapa das respostas pré-canônicas pode coexistir uma variedadede enfoques conflitivos. A interpretação canônica surge à medida que umaquantidade de respostas desconexas vai se acomodando gradualmenteaté dar lugar a uma imagem consistente.” [BONTA, 1977: p.162] 4

Em meio à diversidade de manifestações inerentes a um período de intensas

transformações, a produção arquitetônica do séc. XX moveu-se a participar da

constituição-construção da Modernidade que se expressaria, nos vários campos da

produção e reflexão humanas. Diversidade que agrega alguns casos que antecipariam

paradigmas de parte da produção arquitetônica e artística contemporânea de vanguarda,

realizando não a superação da Arquitetura Moderna, mas o que seria uma Arquitetura

Moderna ampliada.

1:24

Está presente no conceito de Modernidade - à qual estão vinculados os diversos

entendimentos sobre a Arquitetura Moderna - a noção de crise que, em suas diversas

constituições, atinge o ser humano e a cidade, e a necessidade de sua superação por

meio da razão que, no caso, também se efetiva em outras manifestações humanas,

nas ciências e pela tecnologia. Essa ação de superação, que ainda se faz necessária, é

um dos motos da contínua investigação do “estado da arte” nos mais variados campos

de conhecimento em que se expressa a razão humana. Se o vínculo com a razão

permanece, alteram-se os pontos de contato.

1.2 arquitetura ampliada _ procedimentoshistoricos

,

5 «Cada objecto, cada acto, aspira adefinir un territorio en el cual controlalas variables de su entorno, debiendoacompañarse cada uno de ellos de lasnormas que ordenam el juego. Elespacio se pauta para cada acto, paracada performance. Quizá sea ésta laconsecuencia más radical de laactividad de las vanguardias: el puentode partir del cual cada obra producidaes un comienzo de cero y se acompanãde la escritura de sus propias reglas.»[CASTRO, 1999: p.04]

A arquitetura contemporânea, não só para suprir a defasagem em que

se encontra em relação a outras áreas de produção, mas para se efetivar

como ciência aplicada, tem cada vez mais se inserido em campos

multidisciplinares lançando mão de conceitos e tecnologias das ciências.

O contato com as inovações científicas da Física, Química, Biologia e

Matemática tem recebido maior espaço junto à Arquitetura pelo fato da

ciência atual estar validando uma conceituação mais complexa da

realidade, ao apresentar na bagagem entre outros, a Física Quântica, a

Teoria do Caos, os fractais e a Topologia, em oposição aos esquemas

lineares causais com os quais a objetividade científica revolucionou o

conhecimento [CASTRO, 1999: p.04]

Parece corresponder à incorporação pelas ciências de novas descobertas

que colocam em xeque as próprias metodologias científicas, um

movimento análogo na arquitetura: a ampliação da chamada Arquitetura

Moderna, que se daria pela incorporação desse pensamento racional

alterado pelas inovações do presente. Por essa ótica não haveria a

superação do moderno, mas sua ampliação, ampliação dos meios

disponíveis para a sua constituição. Para Luis Rojo de Castro, na arquitetura

contemporânea,

“cada objeto, cada ato, aspira definir um território no qualcontrola as variáveis de seu entorno, devendo cada um seracompanhado das normas que ordenam o jogo. O espaço seestabelece para cada ato, para cada performance...(e) cadaobra é um começo do zero e traz consigo o texto de suaspróprias regras.” [CASTRO, 1999: p.04] 5

fg12_01 – seqüência DNA

1:25

Já em 1915, o filósofo Henri Bergson6 e, em 1925, o matemático e filófoso Alfred

North Whitehead7 pediam atenção ao fato das ciências biológicas - química, física e

biologia - e as ciências exatas estarem dando conta de conceituações mais complexas

da realidade que, depois de muito tempo embasadas em sistemas mecânicos de

apreensão e tradução, estavam investindo no desvendamento de combinações orgânicas

presentes no universo. Como modelos teóricos, a um universo estático e determinístico,

imerso em um espaço-tempo absoluto e linear, composto por objetos inertes com

localizações específicas neste mesmo espaço-tempo, onde não há interação entre seres

observados e observadores, contrapõe-se um universo dinâmico e envolvente, composto

por vários espaços-tempos não-lineares e multidimensionais, constituído por objetos

sem localizações fixas e que mantém intensa participação e criação entre objeto e

observador [HO, 1997: p. 44-51].

6 Henry Bergson (Paris,1859 -1941), filósofo francês, recebeu oprêmio Nobel de Literatura em 1927. É considerado um dos grandespensadores que alteraram o ponto de vista mecanicista da existência.Seus escritos tinham em comum o desenvolvimento de sua tese deque a intuição é mais profunda que o intelecto; em Matter andMemory (1896) e Creative Evolution (1907) intentou integrar asdescobertas em ciências biológicas com a teoria da consciência.Seu livro Duration and Simultaneity (1922) exerceu forte influênciaem A. N. Whitehead e Henri Poincaré (importante topólogo citadomais adiante neste trabalho). Para maiores detalhes ver URL:www.kirjasto.sci.fi/bergson.htm e URL: www.personal5.iddeo.es/jorcor/bergson.htm

7 Alfred North Whitehead (Isle of Thanet, Kent, Inglaterra,1861 -Cambridge, Massachusetts, USA,1947), matemático e filósofo, éconhecido principalmente como co-autor de Bertrand Russell emPrincipia Mathematica, importante obra de filosofia da matemática.Sua obra marcada por uma significante continuidade que perpassaseu pensamento pode ser dividida em três partes. A primeira, seuperíodo como professor em Cambridge (1884-1910) em quetrabalhou primordialmente em lógica e matemática; a segunda,que contempla o período que permaneceu em Londres (1910-1924)e se dedicou à filosofia da ciência; e a terceira já como professorem Havard a partir de 1924 (onde permanece até 1937), em quetrabalha no campo da filosofia e desenvolve um sistema metafísicocompreensível que veio a ser conhecido como filosofia processual(process philosophy). Em seu estudo The Principle of Relativity (1922),Whitehead apresenta uma alternativa às proposições de Einstein.Com Science and the Modern World (1925), uma série deconferências, introduz seus estudos metafísicos e com Process andReality (1929), considerada sua obra-prima, apresenta o conceitode substância como categoria metafísica básica e introduz a noçãode ocasião atual (actual occasion) que não é uma substânciapermanente (enduring substance), mas um processo de constituição(process of becoming). Assim também, considera que os objetosnão são simples locações espaciais, mas campos que têm extensõestemporais e espaciais, propondo que cada objeto deve ser entendidocomo uma série de eventos e processos; e o processo e a substânciacomo fundamentos metafísicos do mundo. Para maiores detalhesver URL: http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Whitehead.html

Anteriormente, as classificações eram aceitas

pela determinação científica como ferramentas

fundamentais para o conhecimento e análise -

os classificadores introduziam a ordem por meio

da comparação de estruturas visíveis,

estabelecendo relações entre seres homogêneos,

propondo como consequência um quadro geral

em que todos os elementos conhecidos ou não,

se encaixariam. Em sintonia com as

transformações nas ciências, algumas figuras

paradigmáticas das humanidades, Marcel

Duchamp, entre os artistas, e Jorge Luis Borges,

Roland Barthes e Jean-Francois Lyotard, em meio

aos pensadores, para citar alguns, têm colocado

em xeque, há algum tempo, em suas reflexões

sobre o pensamento, qualquer validade dos

sistemas classificatórios ou critérios de certeza.

A coexistência de Movimentos Modernos

diversos em Arquitetura, se evidencia ao se

observar arquitetos-obras-teorias pouco

considerados pela historiografia oficial ou pelo

que se entende freqüentemente como “o

Movimento Moderno”, que pelo seu número

configuram um quadro significativo de

realizações modernas que antecipariam alguns

discursos e proposições atuais. Construir um

panorama de arquitetos relevantes únicos em

1:26

suas manifestações, excluídos de correntes hegemônicas e aqueles que, vinculados a

correntes, produziram algumas obras díspares e ainda, arriscar aproximá-los dos traços

contemporâneos que prefiguraram, sem traçar um perfil parcial, é tarefa de monta e

que não cabe a este trabalho. O que segue é apenas um breve selecionado, construído

por meio de referências pessoais, que, neste momento, pode se mostrar útil para

demonstrar aquela diversidade.

Grosso modo, o interesse se volta para a percepção de um fazer e um objeto

arquitetônico que se investe, quer seja teórica, intuitiva ou empiricamente como suporte

de conhecimentos interdisciplinares e dessa maneira, expressam formal, funcional ou

estruturalmente tais conceitos. Um procedimento que já podia ser encontrado em

manifestações germinais do Movimento Moderno e que hoje é impulsionado pela

rapidez das transformações por que passam a ciência, a tecnologia e os meios de

comunicação – e para citar alguma das mais próximas da arquitetura, a diversidade de

interfaces entre a sua área e a telemática.

Giulio Carlo Argan, citando a construção do Palácio de Cristal e da Torre Eiffel em seu

livro A Arte Moderna, relata a ocorrência, no século XIX, de uma distinção de interesses

entre a arquitetura praticada pelos arquitetos e a dos engenheiros. Em sintonia com os

avanços científico-tecnológicos, os engenheiros realizavam uma arquitetura preocupada

com o que era estrutural e tecnicamente funcional, contrapondo a uma arquitetura

“dos estilos”, conservadora, decorativa e alienada dos arquitetos:

“Existiam dois níveis muito distintos: o útil e o decorativo. Para a mentalidadeda burguesia, o banco devia ter a aparência externa de um paláciorenascentista, e a casa de campo a de um castelo feudal. Essa hipocrisiaencontra sua condenação junto aos construtores com formação científicaséria. Se a arte é ecletismo dos ‘estilos’, a arquitetura renunciará a ser arte,será engenharia. Não existem dois níveis, o artístico e o utilitário: existeapenas a função, ao mesmo tempo da estrutura do edifício e de sua razãode ser no espaço urbano.” [ARGAN, 1992: p.90]

fg12_02 - Iteração deuma mesma forma

geométrica/perfil deManhattan

fg12_03 - Ligaçõestermodinâmicas em

Sólidos-Mecânica deFraturas, Caos, Sistema de

funções iterativas não-lineares, Fractal

fg12_04 - Sistemasdinâmicos de altas

dimensões

1:27

fg12_05 - Organizaçãoem uma gota de leite.Darcy Thompson - OnGrowth and Form, 1917

fg12_06 - Galeria dasMáquinas, Paris. 1998.Victor Constantin eFernidand Dutert

Um paralelo parece ser possível, passados quase dois séculos. Frente a um número

significativo de arquitetos que a partir da década de 1960 professava a Complexidade

e Contradição em Arquitetura8 , uma parcela significativa da produção contemporânea

procura aliar-se ao estado da arte na filosofia e nas ciências de base: matemática, física

e química; uma arquitetura que estabelece sua teoria e prática sobre o conhecimento.

Algo que não é fato exclusivo dos tempos atuais, mas que, como já frisado, recebeu

grande influência do significativo desenvolvimento dessas áreas e da facilidade ao acesso

às informações decorrente da multiplicação dos meios de comunicação e informação.

Cabe retroceder novamente com Argan, agora ao séc. XVIII, quando os dois grandes

teóricos da arquitetura neoclássica Boullée e Ledoux afrontam o formalismo estilístico

do Rococó, projetando edifícios em forma de esfera: a Casa dos Guardas Campestres e

o Cenotáfio de Newton. Para Argan, seu procedimento seguiria o princípio tipológico:

“a busca de conteúdos inerentes à formado edifício como coisa em si, cuja funçãoespecífica se insere num sistema de valores:a natureza, a razão, a sociedade, a lei. Acidade não é mais o cenário do drama davida... Boullée e Ledoux não projetam maisatravés de plantas e seções (sempre relativasa uma representação do espaço), e sim porentidades volumétricas, individuando nossólidos geométricos a síntese entre idéia ecoisa, isto é, a forma típica por excelência.O tipo não é um modelo, mas um esquemaque traz em si a possibilidade de variantessegundo as necessidades contingentes “[ARGAN, 1992: p.37]

8 VENTURI, Robert.Complexidade eContradição emArquitetura. São Paulo:Martins Fontes, 1995.

1:28

A arquitetura de Boullée e Ledoux parte da essencialidade matemática para alcançar a

coisa arquitetônica em si; o sólido geométrico, integral, não traz consigo nenhuma

significação adjacente, além de suas relações geométricas internas que o qualificam a

espacializar as necessidades de cada caso. E a esse objeto arquitetônico concebido em

totalidade, corresponde um processo projetual que não faz uso de projeções

bidimensionais, mas de entidades volumétricas. Sem desejar avançar sobre as questões

centrais deste trabalho, pode-se considerar certas proximidades entre o procedimento

projetual relatado por Argan e alguns encontrados em manifestações arquitetônicas

que se vinculam à Topologia: se para Boullée e Ledoux o tipo era, nesse caso a esfera,

que trazia em si a possibilidade de variação de acordo com as necessidades do projeto,

para a “arquitetura topológica” o plano-superfície é o tipo-esquema a partir do qual

serão moldados os mais variados objetos a partir de um processo projetual que procura

não fazer uso de plantas e cortes, mas modelar planos elásticos que configuram, por

meio de uma entidade bidimensional - como a superfície da esfera -, a

tridimensionalidade da obra, possibilitando o abrigo de multifunções. Isso fica evidente

em comentário do arquiteto holandês Rem Koolhaas sobre seu projeto de intervenção

urbana na Baía de Yokohama, desenvolvido no final do século XX:

“Nós pensamos que podemos ajustar o estacionamento - criar um simplesplano deformado que pode ser às vezes rodovia, às vezes rampa, às vezesestacionamento, e às vezes cobertura e que pode acomodar infinitosprogramas que nós desejamos inserir em uma prática amorfa e informal”[KOOLHAAS, MAU, 1997: p.1223] 9

9 “We thought we could adjust the parking lot– create a single warped plane would be some-times highway, sometimes ramp, sometimesparking, and sometimes roof and that could ac-commodate the endless programs that wouldinsert in an amorphous and informal manner.”[KOOLHAAS, MAU, 1997: p.1223]

Erich Mendelsohn, em 1920, parecia fazer uso dessas superfícies-

tipo maleáveis e moldáveis quando do projeto de sua Torre Ein-

stein construída em Postdam. Uma obra que descende de seus

estudos expressionistas sobre a “arquitetura das dunas”: formas

fluidas e cambiantes constantemente refeitas pelo vento. Para

Argan, Mendelsohn,

fg12_07 - Projeto paraCenotáfio de Newton.

1780. Étienne-LouisBoullée

fg12_08 - Casa dosGuardas Campestres em

Maupertuis. 1780. Claude-Nicolas Ledoux

1:29

«... a partir da função, modelou o bloco daalvenaria exatamente como um escultor; a partirdo gesto da figura, modela as massas plásticas...O edifício já não é concebido como umacombinação de planos, e sim como um blocounitário plasmado e escavado.» [ARGAN, 1992:p.246-247]

Dentro da matriz da Arquitetura Moderna, Le Corbusier,

segundo Argan, daria uma guinada em sua obra, quando em

1950 projeta a Capela de Nôtre-Dame-du-Haut, em Rochamp,

“tornando o edifício um núcleo plástico duro ecompacto, pleno de força expansiva contida que,no entanto, revela-se na anomalia geométrica daplanta, na saída brusca de esporões edificados,no volume em forma de barco da coberturaexageradamente grande, na força dos contrastesde luz.” [ARGAN, 1992: p.387-388]

Oito anos mais tarde, com Edgar Varèse10 e o músico Yannis

Xenakis11 Le Corbusier projetaria e construiria um edifício

surpreendente, mas pouco citado: o Poeme Eletronique,

pavilhão da Phillips para a Exposição Internacional de 1958.

Uma obra centrada na interdisciplinaridade, integrando

Arquitetura, Matemática, Música e Tecnologia; formalmente

o edifício era composto por duas superfícies, dentre elas um

parabolóide hiperbólico e, internamente, por uma exposição

dinâmica de imagens e sons. Em estudo sobre a forma, o

arquiteto e pesquisador português Victor Consiglieri

10 Varese, Edgar (1883-1965), compositor naturalizado americano, nascido na França, é considerado um dos pioneiros da músicaeletrônica, com um estilo baseado em complexos princípios teóricos e sonoros que quebravam a distinção entre música e ruído,dissonância e consonância. Estudou ciências e matemática, apresentando como títulos de suas obras, alguns termos dessa última:Hyperprism (1923), Octandre (1923) e Intégrales (1925). Foi amigo de, entre outros, Villa-Lobos, Duchamp, Picasso e Erik Satie. Aconvite de Le Corbusier, participou do Pavilhão Phillips compondo a obra sonora-visual Poeme Electronique, desenvolvida nosLaboratórios Phillips de Eindhoven, com acessoria de engenheiros e técnicos da empresa. Poeme Electronique , composição de 480segundos, foi tocada por 450 alto-falantes com projeção simultânea de fotografias, pinturas, montagens e textos expondo mitologia,ciência, notícias, arte e cultura popular em uma espécie de evento multimídia.

11 Yannis Xenakis (1922-2001), músico grego, naturalizado francês, deu origem ao chamado estilo de composição “estocástico”,que fazia uso de seqüências randômicas de notas segundo probabilidades matemáticas, tendo entre outros critérios a ocorrência denotas anteriores. Com o computador, ele também fez uso desse sistema para determinar a duração, a velocidade e a intensidade desuas composições. Estudou engenharia na Politécnica de Atenas e trabalhou no escritório de Le Corbusier de 1947 a 1959, tendocolaborado em diversas obras. É possível encontrar textos que defendem ser Xenakis o grande autor do Pavilhão Phillips, sendo queLe Corbusier teria apenas se concentrado em questões pontuais. (Ver: http://www.lib.umd.edu/ARCH/honr219f/1958brus.html) Éinteressante notar que, no período de projeto da Catedral de Ronchamp - obra considerada por muitos historiadores como aquelaque marca a reviravolta na trajetória de Le Corbusier e que tem proximidades formais com o Pavilhão - Xenakis já era colaborador doescritório. Se houve sua participação no projeto é informação de difícil acesso, mas que merece investigação.

fg12_09 - Arquitetura dasdunas. Erich Mendelsohn

fg12_10 - Torre Einstein,Potsdam. 1919-23. ErichMendelsohn

1:30

[CONSIGLIERI, 1995: P.320-21] considera que com o Pavilhão, Le Corbusier passa da

poética do ângulo reto para a poética eletrônica que, para ele, seria um conjunto de

investigações matemáticas e de pensamentos científicos como determinantes da imagem

e da linguagem artística, às quais se agrega a intuição sensorial, o que torna o edifício

resultado, mais do que de uma expressão espontânea, de uma expressão de estudo

racional e de determinação matemática.

Na mesma época, em 1959, o artista-arquiteto romeno-americano Frederick Kiesler

projetaria sua Endless House - casa sem fim. Marcada pelo contraste entre sua grande

inventividade arquitetônica e a dificuldade com que foi construída, sua obra tem recebido

atualmente alguns reestudos devidos ao interesse causado pela espacialidade de seus

edifícios e uma possível aproximação com a arquitetura contemporânea vinculada à

Topologia. Sua obra projetada e representada com poucos recursos técnicos e materiais12 ,

frente às técnicas informáticas de projeto e modelação atuais, apresenta um alto grau

de complexidade espacial. O arquiteto holandês Ben van Berkel, interessado na

aproximação da arquitetura aos campos da ciência, ao comentar a

obra de Kiesler, diz:

“A investigação, as técnicas e os efeitos são os três passoscentrais da arquitetura. Quando a imaginação éestimulada por algo externo a arquitetura, essas técnicasterão que ser desenvolvidas para conseguir estes efeitosem termos de substância arquitetônica. Procuramosaplicar a capacidade para o interminável que podemosreconhecer em Kiesler e no manimal13 , de maneira queuma estrutura incorpore todos os aspectos de um edifício- o tempo, a distribuição do programa, a construção -em um único gesto.”[BERKEL, BOS, 1999: p.94]14

12 a maquete da End-less House, porexemplo, foi produzidacom uma tela metálicarecoberta comcimento.

13 ser indefinido em suaidentidade que nãooferece informaçãoalguma sobre seusc o m p o n e n t e soriginais.

14 “La investigación, las técnicas y losefectos son los tres pasos centrales dela arquitectura. Cuando la imaginaciónes estimulada por algo externo a laarquitectura, estas técnicas tendrán queser desarrolladas para conseguir estoseffectos en términos de sustanciaarquitectónica. Intentamos aplicar lacapacidad para lo interminable quepodemos reconecer en Kiesler y en elmaninal, de manera que una estructuraincorpore todos los aspectos de unedificio - el tiempo, la distribución delprograma, la construcción - en un únicogesto.” [BERKEL, BOS, 1999: p.94]

fg12_11 – Capela deCapela de Nôtre-Dame-

du-Haut, Ronchamp.1950-53. Le Corbusier.

fg12_12, fg12_13 -desenhos e vista do

Pavilhão Philips ExposiçãoUniversal . 1957 . Bruxelas.

Le Corbusier

1:31

E o próprio Kiesler em manifesto menciona características de sua casa que são requeridas

atualmente por alguns arquitetos vinculados à chamada “Arquitetura Topológica”,

como, por exemplo, a continuidade espacial:

“A Endless House (casa sem fim) se chama assim porque todos os lados seunem sem solução de continuidade. É infinita como o corpo humano; nãotem início nem fim. A Endless (sem fim) é bastante sensual, mais parecidacom o corpo feminino, contrastando com a angulosa arquitetura masculina.Todos os extremos se encontram na Endless como o fazem na vida mesmo.Os ritmos na vida são cíclicos. Todos os extremos do viver se encontram aolongo de vinte e quatro horas, de uma semana, de uma vida. Tocam-seuns aos outros com o beijo do tempo. Dão-se as mãos, permanecem,despem-se, regressam através da mesma porta, ou de outras, vão e vematravés de conexões múltiplas, secretas ou evidentes, ou através doscaprichos da recordação (...) As casas da era da máquina são divisões decubículos. Uma caixa ao lado da outra, uma caixa embaixo da outra, umacaixa em cima da outra, até que se convertem em tumores de arranha-céus. A chegada da Endless House é inevitável em um mundo que estáchegando a seu fim. É o último refúgio do homem como tal.” [KIESLER,1966apud Quaderns d’Arquitectura i Urbanisme, Espirales, 1999: p.98.] 15

15 «La Endless House (casa sin fin) se llama así porque todos los lados se unem sin solución de continuidad. Es infinita como el cuerpohumano; no tiene princípio ni final. La Endless (sin fin) es bastante sensual, más parecida al cuerpo feminino, contrastando com laangulosa arquitectura masculina. Todos los extremos se encuentram en la Endless tal como lo hacen en la vida misma. Los ritmos dela vida son cíclicos. Todos los extremos del vivir se encuentram a lo largo de veinticuatro horas, de una semana, de una vida. Se tocanunos a otros com el beso del tiempo. Se dan la mano, permanecen, se despiden, regresan a través de la misma puerta, o de otras,van y vienen a través de conexiones múltiples, secretas o evidentes, o a través de los caprichos del recuerdo. Los acontecimientos dela vida son tu huéspedes. Tienes que ser el mejor de los anfitriones posibles; de lo contrário, la multitud de acontecimientos seconvertirá en fantasmas. Lo hará. Si, puede hacerlo, pero no en la Endless House. En ésta, los aconteciminetos son la realidad porquelos recibes com los brazos abiertos, y pasan a formar parte de ti. Se funden en ti y te ves así reforzado en tu autosuficiencia. Eresrealmente un hombre acaudalado, rico em acontecimientos sin fin. Las casas de la era de la máquina son divisiones de cubículos. Unacaja al lado de la outra, una caja bajo outra, una caja encima de outra, hasta que se convierten en tumores de rascacielos. La llegadade la Endless House es inevitable en un mundo que está llegando a su fin. Es el último refugio del hombre como tal.» [KIESLER,1966apud Quaderns d’Arquitectura i Urbanisme, Espirales, 1999: p.98.]

fg 12_14, fg 12_15 -Endless House. FrederickKiesler. maquete edesenhos p/ exposição noMOMA, 1959

1:32

Nas Artes, merece ser destacado Marcel Duchamp, o qual, em na “descoberta” e no

desenvolvimento dos readymades, recebeu influência dos trabalhos realizados pelo

matemático Henri Poincaré – importante topólogo citado mais adiante - e de seus

livros publicados na primeira década do séc. XX sobre as alterações de conceitos

provocadas pela descoberta do raio X, o fenômeno da radioatividade, o rádio, o elétron

e suas leis [MINK, 1996]. Em 1913-14, Duchamp construiu um objeto que marca a

ruptura com a arte como era entendida até então: as 3 Paragens Padrão que parece

seguir Poincaré, em seu texto Escola da Linha16 ; a obra não se filiava nem à escultura

nem à pintura, era uma caixa que apresentava “uma idéia, uma aplicação dessa idéia e

a ‘lei’ que daí resulta”. Duchamp realizou uma experiência com três pedaços de linha

de costura de um metro de comprimento, as quais deixou cair de uma altura de um

metro sobre superfícies de telas pintadas; após três aterrisagens sucessivas num mesmo

local, colava-as com verniz sobre as telas em preto-azulado, posteriormente fixadas em

chapas de vidro. Segundo Janis Mink [MINK, 1996: p.45] as 3 Paragens Padrão

“tornaram-se ferramentas para medir e criar outras linhas, à semelhançado metro padrão em platina conservado no Bureau Internacional des Poidset Mesures de Sèvres. (...) Ele usou-as imediatamente para determinardistâncias e localizações de outras obras, como Redes de Paragens Padrão”.

16 Ver: MINK, Janis - Duchamp. Köln:Taschen, 1996.

17 Ver: The Marcel Duchamp StudiesOnline Journal. URL: http://www.toutfait.com/issues/volume2/is-sue_4/articles/girst/girst1.html

A produção artística como resultado de um signo novo, da des-

habitualização das significações cotidianas, baseia-se numa

ciência que procura conhecer as relações entre as coisas e não as

coisas:

“Todos os pontos de vista, as suas estruturas emovimentos têm de ser revistos. As físicas entraramnum estágio de desenvolvimento que Poincarécaracterizou como ‘um desmoronamento geral dosprincípios’, como um ‘período de dúvida’ e uma ‘criseséria’ da ciência... a dúvida fundamental sobre apossibilidade do conhecimento científico objetivo...As coisas em si mesmas não são o que a ciência podealcançar..., mas apenas as relações entre as coisas.Fora destas relações, não há uma realidadeconhecida.” [MINK, 1996: p.43]

É conhecido o fato de que Duchamp e Kiesler participavam do

mesmo círculo artístico e de exposições conjuntas como a Expo-

sition Internationale du Surrealisme na Galeria Maeght em Paris,

em 194717 . Como Duchamp também manteve contato com o

trabalho de Poincaré, renomado matemático também por seus

fg12_16 – Rede deParagens Padrão (1914)

Marcel Duchamp – óleo elápis s/ tela

1:33

trabalhos em Topologia, é possível considerar a hipótese de que o próprio Kiesler, com

suas investigações sobre “continuidade espacial”, possa ter recebido alguma influência

da Topologia, o que viria a se somar às similaridades materiais do modelo da Endless

House (1950) com alguns modelos realizados em Topologia para representação de

superfícies, como o da Superfície de Boy desenvolvida pelo matemático Werner Boy

em 1903.

Na matriz russa, a vinculação da arte à ciência coube fundamentalmente a Anton Pevsner

e Naum Gabo. Filhos de um engenheiro – pertencente à restrita burguesia técnica – e

influenciados pelo viés ideológico da intelectualidade progressista russa, trilharam sua

obra no sentido de associar uma avançada pesquisa estética à pesquisa científica com

o objetivo de demonstrar que entre ciência e arte existe não uma relação, mas uma

continuidade [ARGAN, 1992: p. 454]. E dentre as ciências, desenvolvem uma pro-

funda predileção pela investigação geométrica. Investigação essa que Argan remete

especificamente à Topologia, a qual, em seguida, difere com propriedade da Geometria

Euclidiana:

“A morfologia plástica de Pevsner e Gabo é geométrica (...) Do pontonasce a linha, das linhas os planos, dos planos os volumes: não se trata deverdades dadas, e sim um processo contínuo. A geometria a que se referemPevsner e Gabo não é a geometria euclidiana (que supõe a prioridade dasidéias sobre os fenômenos e, assim, ainda é ‘hierárquica’), mas a topologia,isto é, a ciência que pensa as formas geométricas como fenômenos que,tendo um desenvolvimento no tempo, definem o devir, não mais o ser doespaço. Um retângulo ou um círculo que não sejam entidades geométricasabstratas, porém formas talhadas numa matéria elástica e infinitamentedeformável, perdem a propriedade de dividir o espaço em porçõesincomunicantes e adquirem a de assumir outras configurações a partir doespectro de variações próprio da forma originária.”

fg 12_17- Endless House(protótipo) . FrederickKiesler

fg 12_18, fg 12_19, fg12_20 - superfície de Boy

1:34

Também nas artes plásticas, o escultor Max Bill, conhecido pela aplicação de conceitos

matemáticos em suas esculturas, dentre elas a renomada Unidade Tripartida (1948/49)

em que realiza, segundo investigação de Washington Marar, orientador desta pesquisa,

a fusão de três Fitas de Möbius (Ver no Capítulo 2, item 2.2.2.1, a descrição de uma

Fita de Möbius), escreve, em 1950, importante texto intitulado O pensamento

matemático na arte de nosso tempo em que, além de citar o desenvolvimento de

novas geometrias por Riemann18 e Lobachevsky19 , credita à aproximação da arte com

a matemática uma grande possibilidade de criação do novo:

18 Georg Friedrich Bernhard Riemann (Hanover, atual Alemanha, 1826 – Selaca,Itália,1866) realizou sua tese de doutorado sob orientação de Gauss,estudando a teoria de variáveis complexas e, particularmente, o que hoje sãochamadas Superfícies Riemannianas. Completando seu pós-doutorado,desenvolveu as famosas Hipóteses de Riemann (Über die Hypothesen welcheder Geometrie zu Grunde liegen – Sobre as hipóteses que residem nosfundamentos da geometria), extendendo as funções zeta de Euler. Na primeiraparte de seu trabalho coloca o problema da definição de um espaço n-di-mensional, conferindo-lhe uma definição hoje conhecida como espaçoRiemanniano; na segunda desenvolve questões sobre o relacionamento en-tre a geometria e o mundo vivencial, perguntando-se qual a dimensão doespaço real e qual geometria descreve este espaço. Para maiores informaçõesver URL: http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Riemann.html

“O aparecimento desta nova arte é o resultado de uma visão, que se movenuma zona que, num sentido, não oferece muita segurança, mas que, emoutro, é um convite ao desconhecido, ao descobrimento de novos camposde visão e de percepção sensível. A diferença entre a idéia tradicional dearte e a definida por nós pode ser, mais ou menos, a mesma que aquelaexistente entre as leis de Arquimedes e a astrofísica de hoje. Arquimedes éainda decisivo em muitos casos, mas não já em todos. Fídias, Rafael, Seuratcriaram obras de arte de seu tempo com os meios de seu tempo. Masaquele campo de visão se ampliou hoje: a arte toca já regiões antesproibidas. Uma destas se serve do pensamento matemático que, apesar deseus elementos racionais tem componentes da visão universal capazes delevar-nos aos limites do inexplicável.” [BILL, 1950]

fg 12_21 - ConstruçãoDinâmica. 1947. Anton

Pevsner.Estanho oxidadosobre masonite.

fg12_22 - Construção noespaço. O cristal. 1937.

Naum Gabo. Perpex.

fg12_23, fg12_24 –Unidade Tripartida. 1948-

49. Max Bill

19 Nikolai Ivanovich Lobachevsky (Nizhny Novgorod,Russia,1792 - Kazan, Russia, 1856) escreveu, em1826, um artigo intitulado A concise outline of thefoundations of geometry (Um breve sumário sobreos fundamentos da geometria) que viria a influenciarseus primeiros trabalhos sobre geometriahiperbólica, publicados como geometria não-euclidiana, sendo considerada como a primeiraaparição do termo em uma publicação, em 1929.Seu maior trabalho, Geometriya , finalizado em1823 só foi publicado em sua forma original em1909. Para maiores informações ver URL: http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathemati-cians/Lobachevsky.html

1:35

As realizações brevemente comentadas participam da construção da Modernidade em

seu sentido mais amplo, sendo inegável a investigação que realizam para a constituição

da emancipação do ser humano à qual associam-se, a seu modo, por meio de

procedimentos teóricos ou projetivos distintos daqueles considerados pela historiografia

do que seja o Movimento Moderno na arquitetura e nas artes e que, por esse mesmo

fato, podem apresentar-se como ampliação do seu sentido corrente. A investigação

das descobertas científicas de seu tempo, a ação de projeto por meios que possibilitam

a representação e compreensão da totalidade do espaço arquitetônico e a incorporação

do dinâmico e do mutável, tanto no projeto quanto no objeto arquitetônico/objeto

artístico, são características que podem ser apontadas nessas realizações e que

prefiguram, de certo modo, algumas realizações arquitetônicas contemporâneas,

fundamentalmente, aquelas que se aproximam da Topologia.

1.3 arquitetura e topologia - procedimentosinterdisciplinares contemporaneos^

Como início de construção de um pensamento, o tópico anterior, baseado na

reconsideração da dicotomia estanque entre Arquitetura Moderna e Arquitetura

Contemporânea e no registro do trânsito de arquitetos e artistas em outros campos do

conhecimento, procura, ao retroceder em casos do passado, dirimir qualquer possível

associação direta de que a Arquitetura e a Arte Contemporâneas sejam as primeiras a

buscar aproximação com as ciências pós-newtonianas - dentre elas a Topologia - e que

a Arquitetura Moderna corresponderia ao mundo mecanicista e ao arcabouço teórico

da Geometria Euclidiana e à aplicação de suas leis.

É certo que a familiarização com conceitos recém desenvolvidos em qualquer disciplina

demanda tempo para que possam não só ser aceitos pela comunidade científica a que

dizem respeito, mas para que retroalimentem suas áreas de ação, fatos que por si só já

desencadeiam a inércia da sua aproximação a outros campos disciplinares. Inércia que

é diminuída por investigações que estão situadas entre ou além dos campos disciplinares,

pelo contato entre pesquisadores de áreas distintas como nos casos Le Corbusier-Varèse-

Xenakis, Duchamp-Poincaré, Max Bill-Riemann, ou de pura intuição e sensibilidade

para com seu tempo como nos casos de Boullé, Ledoux, Mendelsohn e Kiesler. Mais do

que uma secção, a incorporação das novas ciências pela arquitetura enfocada atualmente

em livros e periódicos de renome - dentre eles o exemplar da revista Architectural

Design sob o tema New Science = New Architecture? (1997) – pode ser lida como uma

ampliação gradual dos horizontes da disciplina arquitetura o que, no caso da relação

com as geometrias é reforçado, como será visto no capítulo seguinte deste trabalho –

em item dedicado a conceituações topológicas -, pelo fato de a todo “objeto” poder

se atribuir uma geometria e uma topologia.

1:36

Para além dos procedimentos interdisciplinares, muito se tem escrito sobre a

transdisciplinaridade, a qual se situaria em um estágio acima da primeira e se coloca

como um dos grandes meios almejados para a construção do conhecimento humano

contemporâneo. A possibilidade dos diversos campos construírem conhecimentos

transdisciplinares tem suas repercussões no meio arquitetônico e já sugere o

aparecimento de novos conceitos como, por exemplo, o de transarquitetura do arquiteto

Marcos Novak - a ser tratado em momento oportuno neste capítulo.

Este trabalho, adotando o termo interdisciplinaridade coloca a intenção clara de diálogo

entre duas disciplinas, Arquitetura e Matemática, tendo como horizonte, a abertura

para tentar compreender a transdisciplinaridade - e seus desdobramentos -, conceito

proposto pela Carta de Transdisciplinaridade elaborada por Lima de Freitas, Edgar Morin

e Basarab Nicolescu, adotada no Primeiro Congresso Mundial de Transdisciplinaridade

(Convento de Arrábida, Portugal, 2-6 novembro, 1994) :

“Artigo 3: A transdisciplinaridade é complementar à aproximação disciplinar:faz emergir da confrontação das disciplinas dados novos que as articulamentre sí; oferece-nos uma visão da natureza e da realidade. Atransdisciplinaridade não procura o domínio sobre as várias outrasdisciplinas, mas a abertura de todas elas àquilo que as atravessa e asultrapassa. Artigo 4: O ponto de sustentação da transdisciplinaridade re-side na unificação semântica e operativa das acepções através e além dasdisciplinas. Ela pressupõe uma racionalidade aberta por um novo olhar,sobre a relatividade das noções de definição e objetividade. O formalismoexcessivo, a rigidez das definições e o absolutismo da objetividadecomportando a exclusão do sujeito levam ao empobrecimento. Artigo 5: Avisão transdisciplinar está resolutamente aberta na medida em que elaultrapassa o domínio das ciências exatas por seu diálogo e sua reconciliaçãonão somente com as ciências humanas mas também com a arte, a literatura,a poesia e a experiência espiritual.” 20

20A primeira vez que se tem notícia daexpressão transdisciplinaridade é com JeanPiaget, em 1967: “Enfim, à etapa das relaçõesinterdisciplinares, pode-se esperar ver sucederuma etapa superior que será ‘transdisciplinar’,que não se contentará de atender asinterações ou reciprocidades entre ciênciasespecializadas, mas situará estas ligações nointerior de um sistema total sem fronteirasestáveis entre as disciplinas”. O texto deMorin, está disponível na íntegra, entre outrossites, em www.cfh.ufsc.br/~let/carta.htm .

21 É possível ver algumas destas ocorrênciasem http://www.nexusjournal.com , sitio dearquitetura e matemática.

Com isso posto, faz-se necessário apresentar os contornos do

mapeamento que se pretende brevemente realizar, pois, quer

partam de uma ou outra disciplina, as aproximações entre a

Arquitetura e a Topologia mostram-se variadas e delineiam diversos

pontos de interseção. Deixando à parte as ações de aproximação

de matemáticos para o campo da arquitetura21 , o que já caberia

uma pesquisa de monta e de grande interesse, este trabalho intenta,

neste momento, em movimento de investida na Topologia a partir

da Arquitetura e em retorno a ela, apresentar alguns trabalhos em

Arquitetura, projetos ou conceituações, de anos recentes, sob

motes de ação principais. A existência de pesquisas arquitetônicas

que possibilitam um amplo espectro de relações, além ou através

1:37

de critérios de classificação, por si só já eliminam qualquer possibilidade desta ação

sem que estejam presentes em mais de um dos grupos elencados.

Alguns critérios pautaram a seleção dos trabalhos a figurarem neste breve panorama.

Procurou-se apresentar assuntos que são campos de estudo por arquitetos ou por grupos

de pesquisa em arquitetura de universidades, que por seu reconhecimento já figuraram

ou são citados em livros e periódicos de arquitetura de considerável circulação e que,

por isso, são minimamente conhecidos. Sua inclusão não se pautou por inferência,

mas por referência por parte do trabalho de intenção em estabelecer diálogo com a

Topologia, ou pelo uso de termos ou conceitos desta última – procurando, quando

necessário, a fim de clarificar uma ação que por vezes se mostra nebulosa, delinear

seus limites. Por fim, mais do que exaurir a quantidade crescente de trabalhos

arquitetônicos que procuram diálogo com a Topologia, procurou-se pontuar algumas

interfaces recorrentes, desde aquelas que resultam em aplicações algébricas diretas

quanto as que se desdobram em desenvolvimento teórico ou projetivo intuitivo a partir

de conceitos.

Forma e estrutura, situadas dentre os paradigmas da arquitetura, são protagonistas de

discussões entre correntes arquitetônicas ao longo da história, que ensejam por sua

associação ou dissociação. Em se tratando da forma como elemento tradutor de um

arcabouço teórico ou resposta a um dado contexto colocado ao arquiteto, esta tem

sido vinculada à geometria pelos próprios arquitetos, grosso modo, pelos elementos

que dela fazem uso. Mesmo não estando a forma dentro das questões fundamentais

da Topologia, mas as características invariantes sob alteração da forma - como será

frisado no próximo capítulo - o uso de formas complexas ou de superfícies não-planares

22 René Descartes (La Haye, atualmente Descartes,Touraine, França, 596 – Estocolmo, Suécia, 1650),filósofo francês que se tornou importantepersonagem da matemática ao escrever LaGeómétrie, no qual introduz relações dereciprocidade entre álgebra e geometria e é semi-nal do campo da matemática posteriormentedenominado Geometria Cartesiana. Descartesapresenta um sistema de eixos ou de cordenadas(sistema cartesiano), pelo qual todo e qualquerobjeto geométrico pode ser representado pormeio da simples aplicação dos pares ou triosordenados nas equações que regem o objeto. Paramaiores detalhes ver URL: http://www-gap.dcs.st-a n d . a c . u k / ~ h i s t o r y / M a t h e m a t i c i a n s /Descartes.html

tem sido diretamente vinculada à “topologização” da

arquitetura, assim como o uso das formas ortogonais está à

Geometria Euclidiana. Situada dentre as Geometrias Não-

Euclidianas (Ver no Capítulo 2, item 2.2.2.1, os conceitos de

Topologia, Geometria Euclidiana, Geometrias Não-

Euclidianas), a Topologia estuda as propriedades invariantes

fora do plano euclidiano, fornecendo instrumental para o

entendimento de superfícies ditas não triviais, fugindo de seu

escopo, porém, a reciprocidade entre a linguagem algébrica e

a linguagem geométrica. Esta surge com Descartes22 e o

desenvolvimento da Geometria Cartesiana ou Analítica, a partir

do qual toda forma pode ser decodificada também por uma

1.3.1 forma e estrutura _ a modelagem algebrica,

1:38

linguagem algébrica que corresponde reciprocamente à sua linguagem geométrica.

Por meio desse campo da Matemática, é realizada a obtenção do código de qualquer

porção do espaço tridimensional como as superfícies – parabolóides hiperbólicos,

hiperbolóides elípticos, conóides, catenóides, etc – e os sólidos, ou do espaço

bidimensional – pontos, linhas, figuras geométricas e planos - que permite o seu desenho

e representação em estruturas materiais.

Na arquitetura contemporânea, é possível distinguir arquitetos que fazem uso da

modelagem algébrica no processo de obtenção do binômio forma-estrutura. Dentro

dessa vertente em que forma e estrutura não se dissociam, lêem-se proposições dentro

do que se chamará de “forma estrutural” e de “estrutura formal”, pela especificidade

de vínculos entre os dois termos. Em uma como na outra, expressam-se no objeto

arquitetônico pela hipertrofia da cobertura-vedação, que ganha ares de totalidade do

objeto. São também distintos os momentos em que a modelagem algébrica participa

do projeto, seja como método ou simplesmente como parte do processo, mas

inegavelmente ganham destaque estes meios de modelação da forma/estrutura que se

situam nos limites entre a Matemática e a Física, ou ainda, indiretamente relacionados

à Matemática pela Física.

Dentre os primeiros, a arquitetura que se constrói por uma “forma estrutural”, a pesquisa

inicia-se no campo estrangeiro, da Matemática e da Física, na procura de formas e

perfis de mínima energia, como os catenóides, que podem ser representados por

modelos em bolhas de sabão, ou de superfícies curvas que pela tensão estrutural superam

grandes vãos. Nesse grupo o padrão da forma é conhecido e o ferramental algébrico

torna-se fundamental para a obtenção da forma para cada caso, no qual o desenho

preciso propicia a melhor estrutura. Nele podem ser incluídas as estruturas tencionadas

de Frei Otto, com o uso de parabolóides hiperbólicos, ou as treliças espaciais geodésicas

de Buckminster Füller.

fg131_01 - CúpulaGeodésica do Pavilhão

norte-americano naExposição Universal de

Montreal. 1967. RichardBuckminster Fuller

fg131_02 - AeroportoInternacional, Denver.

1994. Horst Berger.

1:39

No outro grupo, a arquitetura que se realiza por uma “estrutura formal”, situam-se os

trabalhos recentes de Frank Gehry e Peter Eisenman em que a pesquisa inicia-se no

próprio campo arquitetônico por meio da modelagem da forma, associada ou não a

referências conceituais de outras áreas. No caso do Museu Guggenhein de Bilbao de

Frank Gehry, o desenho da forma inicia-se por meio de referências visuais livres – a flor,

o navio – trabalhadas tridimensionalmente por modelagem em maquetes materiais.

Em processo de engenharia reversa, com auxílio de scanner tridimensional e software

CAD/CAM, o modelo é transferido para o computador e as curvas são reorientadas a

partir de seus pontos de controle, conformando perfis posteriormente transformados

em linguagem algébrica, calculados e testados pelo método de elementos finitos,

processo que retorna para possíveis reconcepções parciais da forma. Nesse caso, mesmo

que seja co-responsável pela forma, a estrutura é estudada a poste-

riori e atua como suporte cenográfico para a vedação de placas de

titânio. A modelagem algébrica torna-se resultante da modelagem

geométrica computadorizada da forma, esta por sua vez, iniciada

em modelos materiais.

Em projetos recentes de Eisenman, como a Max Reinhardt Haus

(1992), o BFL Software Ltd. Headquarters Building (1996), o Staten

Island Institute of Arts and Sciences (1997), a forma é modelada por

meio da parceria arquiteto-computador: a introdução e seleção de

parâmetros pelo arquiteto na rotina de programação de softwares,

com referenciais conceituais externos à arquitetura: dobra, fractal,

caos [GALOFARO, 1999]. A grande diferença no caso de Eisenman

fg131_03, fg131_04,fg131_05, fg131_06,fg131_07 - MuseuGuggenhein Bilbao.Frank Gehry. Modelo emcomputador; Vistaexterna; Modelo emcomputador; Vistaexterna; Modelo virtuale concreto

1:40

para o grupo chamado de “forma estrutural” seria que para estes o padrão da forma

é previamente conhecido, sendo a modelagem algébrica apenas responsável pelo

desenho estrutural otimizado e, para ele forma e estrutura não são conhecidas, mas

resultado direto da modelagem matemática computadorizada a partir da seleção de

variáveis estratégicas pelo arquiteto. Se em Gehry a modelagem algébrica é resultado

da modelagem geométrica, em Eisenman, a geométrica é resultante da algébrica. Tanto

em um como em outro, não prevalece o caráter estrutural da forma, mas a forma em

si, sob a qual existe uma estrutura que lhe dá suporte.

fg131_08, fg131_09 -Max Reinhardt

Haus.1992. PeterEisenman. modelo;

diagramas

fg131_10 - BFLSoftware Ltd. Head-

quarters Building.1996. Peter Eisenman.

modelo

fg131_11 - StatenIsland Institute of Arts

and Sciences .1997.Peter Eisenman.

modelo

A Topologia, grosso modo, é uma geometria cujos objetos podem ser

imaginados como que construídos com materiais perfeitamente elásticos -

podendo, como resultado determinar a congruência, isto é, a similaridade

entre formas geométricas tão distintas quanto o círculo e o triângulo, ou até

mesmo dois polígonos quaisquer. Uma propriedade topológica é aquela que

é preservada por transformações contínuas que podem ser continuamente

desfeitas, também conhecidas como homeomorfismos. Por homeomorfismo,

uma superfície plana ao ser deformada preserva todas as suas características

topológicas, alterando apenas suas características topográficas23 . Como já

exposto, interessa à Topologia menos a forma, que estaria vinculada à

topografia e mais as relações existentes entre os pontos dessa forma, o que

torna evidente certa vulgarização da Topologia no meio arquitetônico a partir

da qual ela se expressaria apenas por meio de formas complexas, deformadas

ou retorcidas. Em Arquitetura, forma e organização espacial são termos

1.3.2 continuidade espacial _ a modelagem desuperficies

,

23 CARTER ,J. Scott, Howsurfaces intersect in space:an introduction to topol-ogy, World Scientific, Sec-ond edition, 1995.

1:41

freqüentemente indissociáveis; em Topologia, investiga-se a organização espacial que

se mantém atrás das formas, dentre elas a continuidade espacial entre regiões ou porções

da superfície.

Ao desenharmos o território da cidade e da arquitetura como um conjunto de superfícies

com relações de continuidade e descontinuidade, parece se fazer presente a interseção

da Arquitetura com a Topologia. Sem enveredar pelo uso de modelagens algébricas no

desenvolvimento da forma, o objeto arquitetônico resultante da modelagem de

superfícies é tomado por este trabalho como resultado de uma ação intuitiva de

manipulação de superfícies delgadas através de recortes, dobras e deformações,

atentando menos para as características métricas e mais para as relações de continuidade

espacial construídas. O arquiteto francês Bernard Cache [CACHE, 1995], explicita essa

questão ao identificar que a geometria fundamental da Arquitetura representada pelo

quadrado, o círculo e o triângulo, a partir de então, seria substituída pela superfície, o

vetor e a inflexão.

As arquiteturas de superfícies que constróem

continuidades espaciais e se constróem por meio

delas colocam-se teoricamente como alternativa

à fragmentação das estruturas, extensamente

conceituada por parte da Filosofia contemporânea

e traduzida em Arquitetura por alguns arquitetos

contemporâneos. De um lado, desde a valorização

imagética das fachadas do objeto arquitetônico

tridimensional com a inserção de luzes, imagens

e informações, passando pelo projeto de

estruturas deconstruídas, até o vislumbre de

cabines individuais em que o acesso à realidade é

intermediado por uma gama de equipamentos

fg132_01 BibliotèquesJussieu. 1992 . Paris,França . OMA - maquete ediagrama

fg132_02 - Parkhouse,Amsterdam. 1996. NLArchitects

1:42

eletrodomésticos, o cenário que, por um lado se diagnostica e por outro se alimenta e

estetiza, é o da desestruturação e fragmentação: da cidade, da arquitetura, da sociedade.

Por outro, é possível identificar pesquisas e projetos de arquitetura e de desenho urbano

que abordando a continuidade espacial, a partir das estruturas urbanas dadas e da

condição do homem de habitante do espaço das cidades, procuram repensar o espaço

urbano – e a arquitetura - levantando temáticas situadas além das classificações

geralmente utilizadas: projetos que intencionam propor novas formas de cidade, ou

melhor, novas vivências urbanas e que, de certa forma, resgatam o conceito de habitar

a cidade: o espaço urbano como abrigo privilegiado de sociabilidades existentes e

emergentes.

Algumas abordagens privilegiam não só a interdisciplinaridade do fazer e do produto

arquitetônico, mas também procuram promover um religamento da arquitetura com o

que a contém - a cidade - e o que contém em si - o ser humano e suas relações

dinâmicas. O próprio termo arquitetura relacionado normalmente a pequenas escalas,

acaba ganhando novas dimensões, associando-se com a prática do urbanismo como

uma atividade em continuidade.

A revisão dos limites entre Arquitetura e Urbanismo passa então por uma revisão de

suas atividades e a noção de fronteiras e limites ganha novas formulações. A continuidade

espacial em Arquitetura com base na Topologia tem freqüentemente se baseado nas

superfícies não-orientáveis [BERKEL, BOS, 1999], isto é, aquelas que em seu processo

de construção, perdem a noção da dicotomia anterior - que seria o dentro e o fora -

aparecendo um terceiro objeto contínuo, sem fim. A fita de Möebius, popularizada nas

artes plásticas pelo matemático Escher é o exemplo mais próximo desse objeto não-

orientável24 ; uma fita-diagrama que, além de alimentar novas formulações espaciais,

tem motivado o questionamento de dicotomias sobre as quais são projetadas e

caracterizadas as arquiteturas: público-privado, interno-externo, vertical-horizontal,

24 De fato, uma superfície é não-orientável se, e somente se, contémao menos uma Faixa de Möbius.

fg132_03 - YokohamaTerminal. 1995. FOA

fg132_04 - Dobraduras –Albers, Bauhaus

1:43

forma-função, estrutura-vedação, edifício-solo, estático-dinâmico, zoneamento-

entrecruzamento; objetivando que não sejam elementos construtores da fragmentação

espacial e social, mas de sua superação pela fluidez e pela continuidade espacial.

Para Rem Koolhaas, um dos arquitetos que podem ser identificados junto às questões

colocadas, a cidade se realizaria sobre o híbrido, no estreito contato ou superposição

entre programas e espaços distintos como propõe, por exemplo, em seu projeto para o

concurso da Biblioteca de Jussieu que é designado por ele como uma network (rede) -

o edifício torna-se uma rede intrincada de usos e caminhos em continuidade com o

solo urbano. A noção de fronteiras, regiões de contatos entre extremos proporcionando

a aparição de elementos híbridos, heterogêneos, se coloca como alternativa à

segmentação física imposta por barreiras que dificultam o contato entre diversidades.

A continuidade espacial a ser pensada pretende ser mais que a continuidade visual

entre um dentro e um fora como propôs o Movimento Moderno em arquitetura, mas

a possibilidade de acesso físico e contato heterogêneo em superfícies urbanas pensadas

como territórios ou regiões contínuas.

Ao redor dessa temática figuram em sua maioria alguns arquitetos que compõem uma

chamada vanguarda holandesa contemporânea. Além do já citado Rem Koolhaas e

seu escritório OMA (Office for Metropolitan Architecture) - espaço decisivo na trajetória

profissional de arquitetos relativamente jovens que integram este grupo -, o escritório

MVRDV formado por Winy Maas, Jacob van Rijs e Nathalie de Vries, dos quais os dois

primeiros trabalharam no OMA; e UN Studio (United Network) composto por Ben van

Berkel & Caroline Bos. Além desses, sediado em Londres, destaca-se o escritório FOA

(Foreign Office Architects) da dupla Alejandro Zaera Polo - também com passagem

pelo OMA - e Farshid Moussavi. Esse selecionado de certa maneira com origem comum,

sob considerável influência dos primeiros trabalhos com superfícies contínuas de

Koolhaas e de um procedimento projetual que com freqüência utiliza modelos físicos

de papéis cortados e vincados mostra, em meio à riqueza conceitual e diversidade de

obras que lhes são inerentes, um paradigma construtivo: a dobra.

fg132_05 - AzadiMultiplex Cinema. Teerã,Irã. 1997. FOA

1:44

Embora historicamente a construção material do objeto arquitetônico esteja intimamente

relacionada a um modo construtivo aditivo, isto é, que acrescenta material a material -

distinto do processo em escultura que também admite o processo subtrativo - a geração

da forma arquitetônica, em estágio cognitivo de visualização de um objeto tridimen-

sional, pode fazer uso dos dois processos projetivos: o aditivo e o subtrativo. E as obras

arquitetônicas, resultantes do processo, depois de construídas constituem registro de

tal ação. Em abstrato, uma quantidade de material que possui certa forma pode ser

representada essencialmente por um sólido; o objeto arquitetônico então, se não

representa o sólido geométrico platônico sem interferências, denota um sólido escavado

ou uma soma de sólidos – em Topologia, designada por soma conexa, operação que

pode alterar a topologia dos elementos iniciais(Ver no Capítulo 2, item 2.2.2.1, o conceito

de Soma Conexa).

A dobra como paradigma projetivo parte, para a geração da tridimensionalidade, de

outras bases, nem de um processo aditivo ou subtrativo, nem de uma matéria-prima

geométrica tridimensional. O objeto arquitetônico é resultado da manipulação de uma

entidade bidimensional, a superfície, a qual não se submete a operações extrínsecas de

adição ou retirada de elementos, mas a operações intrínsecas de dobraduras, onde

ficam implícitas a extensão ou retração de suas dimensões, designadas em Topologia

por homeomorfismos, operações que não alteram topologia (Ver, no Capítulo 2, item

2.2.2.1, o conceito de Homeomorfismo). A dobra permite à superfície a possibilidade

de gerar um objeto tridimensional em que a caracterização básica é a continuidade

material.

Com a autonomia da ação de projeto arquitetônico em relação à obra construída,

adquirida após Filippo Brunelleschi e a concepção da cúpula da Igreja de Santa Maria

Del Fiore em Florença nas primeiras décadas do século XV, o uso das projeções

bidimensionais e dos modelos tridimensionais torna-se o código privilegiado para projeto

e representação da Arquitetura e seu estudo ganha destacada importância como um

campo específico dentro da disciplina arquitetônica. Dentre os distintos usos que

arquitetos fazem desses meios ao longo da história, pode-se destacar três modos

recorrentes: a utilização de desenhos e modelos de maneira associada em projeto, o

uso de desenhos para projeto e modelos para representação e ainda, apenas de desenhos

para projeto e representação, não sendo raro esse meio de projeto por meio de projeções

bidimensionais de arquiteturas geradas, na linguagem usada em Topologia, por somas

fg132_06 -Topografical

Overpass. Atlanta,EUA. 1994.

1:45

conexas de entidades geométricas tridimensionais. Quanto à Arquitetura gerada por

dobras de superfície, mais do que uma opção pela utilização de um ou outro meio

projetual, traz intrinsecamente consigo a solicitação de sua projetação e representação

por modelos tridimensionais pois, em última instância, é o plano que pela dobra ganha

o espaço tridimensional.

A aproximação de procedimentos projetuais e de objetos arquitetônicos a propriedades

topológicas vem incrementando discussões sobre novas espacialidades e permitindo

novas possibilidades de projetação. A coletânea de projetos identificados nesta pesquisa

sob o mote de modelagens de superfícies com fins de continuidade espacial, em grande

parte, se sobrepõe ao grupo daqueles selecionados para desenvolver o tema da realização

de metarquiteturas por meio de procedimentos projetuais por diagramas. A obra

arquitetônica, nesses casos, pode ser lida como último estágio da ação de manipulação

da superfície inicial e registro de seu processo, podendo-se considerá-la como o último

diagrama do processo, isto é, uma obra diagramática.

As relações que se estabelecem entre lugares, quer visuais ou de acessibilidade, denotam,

em grande medida, o modo de utilização de determinado espaço. Mais do que a forma,

o arranjo espacial é preponderante para a construção de relações, onde se colocam as

questões e implicações da fragmentação e da continuidade espacial em arquitetura.

Uma significativa parcela da dimensão comportamental humana no habitar está

intimamente ligada à distribuição espacial, uma ordem aparentemente invisível sob a

dimensão imagética em que muitas vezes a arquitetura se reduz.

1.3.3 continuidade espacial _ a teoria dos grafos

fg132_07 - Estádio Töölö -Ocean NO+UV

fg132_08 – El Águila -Soriano-Palacios

1:46

Seqüências espaciais, gradações de qualificações - como, por exemplo, do público ao

privado, do aberto ao fechado - aberturas ou contenções visuais compõem uma ordem

que participa da especificidade da ação do arquiteto, o manejo do espaço; e essas

relações criadas podem, sob alguns aspectos, ser entendidas topologicamente. Doug-

las de Aguiar, professor do curso de pós-graduação em Arquitetura da Universidade

Federal do Rio Grande do Sul que desenvolve pesquisas sobre essas questões em um

campo denominado Sintaxe Espacial afirma [AGUIAR, 2002: p.03]:

“A busca de uma arquitetura implica por definição na busca de umaordenação, mais simples ou mais complexa, mas em qualquer caso, nabusca de algum tipo de ordem mesmo em meio à fragmentação doambiente contemporâneo. Ao longo da história da arquitetura o conceitode ordem é quase que invariavelmente associado à geometria e maisprecisamente às noções de regularidade, repetitividade ou coordenaçãomodular. A utilização desses elementos de geometria muito embora possaproduzir uma aparência de ordem não implica necessariamente na obtençãode uma ordem espacial. Tal ordenação transcende à ordenação geométricae se refere ao modo de utilização da edificação. Trata-se de fato de umaordem topológica. Entende-se, no contexto disciplinar arquitetônico,topologia como o estudo de relações espaciais que independem de formae tamanho. Topologicamente o que conta é a condição relacional, aarticulação ou inflexão, a proximidade ou distanciamento, enfim, o modocomo os espaços de uma edificação se relacionam ou se articulam.”

As pesquisas sobre articulações espaciais em

Arquitetura que se aproximam do campo da

Topologia, basicamente o fazem por esta

centrar foco em relações espaciais invariantes

quando da alteração da forma, o que em

Arquitetura permitiria atentar para as relações

espaciais estruturais que em projeto são prévias

à seleção da forma ou dela independem. Para

o estudo dessas relações, a Topologia provê

os conceitos de conectividade, continuidade e

proximidade (Ver no Capítulo 2, item 2.2.2.1,

os conceitos de Conectividade,

Continuidade, Proximidade) que se aplicam

a pontos ou regiões de qualquer objeto

geométrico, como uma superfície ou porções

dela e, no campo de origem, são focados pelo

menos por duas áreas que, por esses conceitos

se intersecionam, a Topologia Geométrica e a

Teoria dos Grafos.

fg133_01 - Passagem doorganograma para aplanta arquitetônica

1:47

No grupo anterior, a modelagem de superfícies

com vistas à continuidade espacial tem

similaridades de ação mais estreitas com a

Topologia Geométrica e com esta foi vinculada

neste trabalho, mas como qualquer outro

conjunto espacial, poderia ser lida por meio de

conexões e articulações com que se ocupa a

Teoria dos Grafos. Como será desenvolvido com

maior vagar adiante neste trabalho, um grafo é

uma representação gráfica que utiliza pontos e

segmentos de reta, para denotar, com os

primeiros, elementos que estão em relação e, com

os segundos, as relações entre os elementos.

Um grafo tem a característica de, ao ser

submetido a certas operações que implicam em

mudança de forma, manter as conexões

inicialmente estabelecidas, sendo, por excelência,

uma representação da Topologia entre os

elementos em relação. Cabe à teoria que investiga

os grafos a definição de suas propriedades e das

operações a que podem ser submetidos – um campo que tem as mais variadas aplicações,

dentre elas a arquitetura.

A tradução de uma planta arquitetônica ou de um mapa urbano para um grafo, ou a

sua concepção por meio dele, tem como qualidade a representação de, apenas e tão

somente, todas as conexões espaciais estabelecidas, as quais podem ser avaliadas

segundo conceitos e critérios desenvolvidos pela Teoria dos Grafos. A utilização de

conceitos dessa teoria em projeto ou leitura de espaços arquitetônicos mostra-se segundo

três procedimentos: um que será distinguido como geométrico-algébrico, outro como

geométrico-intuitivo e, por fim, o que resulta de uma mescla dos dois primeiros.

A investigação por via geométrico-algébrica, denominada por pesquisadores de Sintaxe

Espacial, opera a partir de duas ferramentas básicas, o traçado geométrico de grafos e

o cálculo de coeficientes resultantes a partir de proporções entre as relações criadas,

segundo conceitos definidos como integração, distributividade, simetria, entre outros.

Por esse procedimento, o caráter topológico do grafo cede lugar a sua condição

geométrica, pois são de fundamental importância para os cálculos, além das conexões

estabelecidas, as distâncias entre os pontos conectados e, segundo os pesquisadores

na área, os conceitos medidos pelo método podem traduzir as maneiras de sociabilidade

que os espaços projetados induzem.

fg133_02 – Grafo –sistema e subsistema devariáveis em design–Christopher Alexander

1:48

Para tanto, a mesma teoria defende que “a integração é a chave para poder entender

o conteúdo social da arquitetura mostrando como prédios e lugares funcionam em

nível de coletividade” [HANSON, 1998, apud FRANÇA, 1999: p.01], medida revelada

pela “distância relativa de um espaço em face de todos os outros do sistema. É obtida

em função de quantos espaços temos minimamente de percorrer para ir de uma dada

posição à outra” [HOLANDA, 1999: p.03 apud FRANÇA, 1999: p.02]. Por

distributividade, é considerado se o edifício “constrói fortes barreiras entre as várias

pessoas e/ou práticas que usam os seus espaços” [HOLANDA, 1999: p.09 apud FRANÇA,

1999: p.05]; dessa forma, quanto maior a medida de distributividade menores são as

fortes barreiras que cria. Por simetria, entende-se a hierarquização de espaços presente

no edifício, ou seja, “o grau em que o edifício classifica, mais ou menos fortemente, as

pessoas e/ou práticas que organiza” [HOLANDA, 1999: p.09 apud FRANÇA, 1999:

p.05], sendo o valor inversamente proporcional a hierarquização do sistema. Finalmente,

por entropia entende-se o grau de variação entre os valores de integração, isto é, “se

no sistema existem simultaneamente espaços extremamente integrados e espaços

extremamente segregados” [FRANÇA, 1999: p.04], sendo a diferenciação sintática

proporcional aos valores encontrados (entre 0 e 1).

Como ferramenta de leitura de ambientes urbanos, o método permite a comparação

entre diversas estruturas físicas e a avaliação de seu desempenho quanto a vários fatores,

como exemplo, acessibilidade centro-periferia e transportes. E em leitura de projetos

arquitetônicos, tem sido utilizado com vistas à compreensão de concepções espaciais

propostas por arquitetos relevantes por meio da comparação entre os resultados obtidos

de suas obras.

Com o desenvolvimento de softwares baseados no método, tem sido incrementada

sua utilização como ferramenta de projeto, permitindo a manipulação simultânea e

reciprocidade de dados geométricos e algébricos sobre as conexões entre os espaços

arquitetônicos e ou urbanos. Boa parte de sua utilização em projeto, ao centrar o

estudo nas conexões entre ambientes construídos, tem visado a otimização dos espaços

e suas relações, fundamentalmente por meio da redução de conflitos passíveis de

existência nos sistemas espaciais, quanto mais complexos eles forem. Como decorrência

da experiência no uso do método, a reincidência de determinados tipos de conexões

permitem sua organização segundo padrões de conexões pelos quais são analisados.

O conceito de padrão – pattern – foi extensamente estudado e desenvolvido pelo

arquiteto norte-americano Christopher Alexander nas décadas de 60 e 70 do séc. XX

em livros como Notes on Synthesis of Form e The Structure of the Environment, que

resultam da observação e análise da recorrência de determinadas relações nas formas

dos ambientes construídos e que culminam na proposição de uma aproximação projetual

via patterns:

1:49

“Os átomos da estrutura do meio ambiente são relações. Asrelações são patterns geométricos. São os patternsgeométricos mais simples em um edifício que,funcionalmente, podem ser corretos ou incorretos. Uma listadas relações que se requerem em um edifício reposiciona oproblema do desenho (ou instruções) e as primeiras etapasde croquis.” [ALEXANDER, 1971] 25

25 “Los átomos de la estructura del medioambiente son relaciones. Las relaciones son pat-terns geométricos. Son los patterns geométricosmás simples en un edifício que, funcionalmente,puede ser correcto o incorrecto. Una lista de lasrelaciones que se requieren en un edifícioreemplaza el programa de diseño (o brief) y lasprimera etapas de croquis.” [ALEXANDER, 1971]

26 No Brasil, dentre aqueles que desenvolvem pesquisa na área, encontram-se pelo menos dois pesquisadores que, não por acaso,têm parte de sua formação vinculada à Bartlett School – University College London. O já citado prof. Dr. Douglas Vieira de Aguiar,que realizou seu doutorado na Barttlett School em 1991, é professor da disciplina Sintaxe Espacial do programa de pós-graduaçãoda Universidade Federal do Rio Grande do Sul e membro do grupo de pesquisa em Estudos Configuracionais Urbanos que tem comotemáticas de pesquisa a Morfologia Urbana e Redes de Serviço, e a Simulação do Processo Configuracional Urbano. E o Prof. Dr.Frederico Rosa Borges de Holanda, professor de, entre outras disciplinas, Espaço e Organização Social do Programa de Pós-Graduaçãoda Universidade de Brasília, que realizou mestrado pela Barttlett School of Architecture and Planning, em 1977 e doutorado pelaBartlett School of Graduate Studies, em1997.

fg133_03 – Grafo –Pattern de interaçõesurbanas – ChristopherAlexander

fg133_04 – Grafo –Interações entre campusuniversitário e cidade,Cambridge– ChristopherAlexander

Dentre os mais destacados pesquisadores contemporâneos da área estão os professores

Julienne Hanson e Bill Hillier, coordenadores do Spacial Sintax Laboratory da Bartlett

Faculty of the Built Environment da University College London26 e professores do MSc.

Graduate Diploma Built Environment – Advanced Architectural Studies dessa escola.

Hanson, professora da disciplina Forma da Habitação e Cultura, centra seu interesse

nas configurações espaciais da habitação - a qual considera a construção culturalmente

mais complexa - e em grupos com novas necessidades habitacionais. Escreveu sobre o

tema em Decoding Homes and Houses (1998), livro referência na área da sintaxe

espacial, ao lado de dois livros de autoria de Hillier, The Social Logic of Space (1984 -

com J. Hanson) e Space is the Machine (1988). Hillier, professor da disciplina Arquitetura

e Morfologia Urbana, deu origem à área de pesquisa intitulada sintaxe espacial, com a

qual tem se focado nos seguintes objetivos:

1:50

“Primeiro, no desenvolvimento de uma nova teoria da estrutura micro-espacial dos ambientes construídos com referência especial à análise decampos visuais e como eles relacionam experiência humana e atividade,segundo, no desenvolvimento de uma teoria ‘configuracional’ da relaçãoentre sociedade e espaço, e terceiro, na aplicação do conceito de‘configuração’ arquitetônica para problemas em outras áreas.” 27

27 “…first, in the development of a newtheory of the micro-spatial structure of builtenvironments with special reference to theanalysis of visual fields and how they relateto human experience and activity, secondin the development of a ‘configurational’theory of the relation between society andspace, and third in the application of theconcept of architectural ‘configuration’ toproblems in other fields.” URL: http://www.bartlett.ucl.ac.uk/graduate/pro-grammes/msc_be/aas_overview.htm

A investigação de conexões espaciais em Arquitetura pela via

geométrico-intuitiva não objetiva a obtenção de resultados estritos

que podem ser mensurados, parte do que caracteriza o método

geométrico-algébrico. A caracterização qualitativa das conexões –

que é intrinsecamente ligada à Topologia - não é associada, nesse

caso, à mensuração quantitativa que diz respeito às características

geométricas. Opta-se por sua identificação como geométrico-intuitiva

pelo fato de fazer uso apenas de representações gráficas planares

associadas a conceitos construídos historicamente em Arquitetura

que, de certo modo, encontram ressonância em conceitos

matemáticos que embasam a representação por grafos ou por regiões

– delimitadas por curvas fechadas, caracterizadas pelo matemático

francês Camille Jordan em seu célebre Teorema da Curvas (Ver no

Capítulo 2, item 2.2.2.1, um breve comentário sobre o Teorema

das Curvas de Jordan).

Esse procedimento constitui invariavelmente, mesmo que de maneira inconsciente,

parte do processo projetual ou da leitura de qualquer espaço arquitetônico – como

será desenvolvido adiante, no capítulo dedicado aos diagramas. Conceitos arquitetônicos

intuitivos como acessibilidade, gradações de acessibilidade, proximidade, percurso,

continuidade e descontinuidade, dentro e fora, barreiras, limites e fronteiras, figuram

dentre as questões primeiras a partir dos quais os dispositivos arquitetônicos – aberturas,

coberturas, vedações, materiais etc – qualificam o espaço.

Em Arquitetura, o uso direto de representações por grafos na construção de

organogramas/fluxogramas ou por regiões delimitadas que dizem menos sobre forma

e mais sobre posição relativa no espaço e que se constituem como prospecção de

ligações espaciais e são identificadas comumente como croquis, encontra estruturação

matemática nos conceitos de proximidade e conectividade por caminhos (Ver no Capítulo

2, item 2.2.2.1, os conceitos de Proximidade, Conectividade).

De maneira mais efetiva e com grande reconhecimento na arquitetura contemporânea,

o arquiteto holandês Herman Hertzberger desenvolve uma investigação geométrico-

intuitiva sobre arranjos espaciais e gradações de acessibilidade por meio de grafos, ou

por desenhos que podem ser traduzidos em grafos, em seu processo projetual e que

1:51

ilustra extensamente em seu livro Lições de Arquitetura [HERTZBERGER, 1996]. Conceitos

geométrico-intuitivos como demarcação, diferenciação e zoneamento territorial,

intervalo, demarcação, estrutura em espinha dorsal gerativa, grelha, articulação e

“espaço habitável entre as coisas” são desenvolvidos a partir das noções de regiões

abertas e fechadas, conectividade e continuidade espacial.

Como instrumento de leitura de projetos,

grafos e regiões delimitadas são utilizados

pelo arquiteto português e professor do

Programa de Pós-Graduação em

Arquitetura da Universidade Lusíada de

Portugal em seu livro A Morfologia da

Arquitetura [CONSIGLIRI, 1995]. Após

elucidar distinções entre três modos de

leitura do espaço, a Gestalt, a

Fenomenologia e a Topologia, Consiglieri

discorre verbal e graficamente sobre as

“comunicabilidades topológicas” por meio

de “esquemas de regiões” tendo como

objeto obras de Andrea Palladio, Alvar

Aalto, Le Corbusier e Frank Lloyd Wright.

Entre o terreno das duas vias de investigação sobre conexões espaciais anteriormente

expostas, a geométrico-algébrica e a geométrico-intuitiva, movem-se as pesquisas

realizadas pelo arquiteto Pierre Pellegrino em busca de uma linguagem espacial. Pro-

fessor do Departamento de Geografia da Universidade de Genebra (Suíça), coordenador

do Centre de Recherche en Architecture et Architecturologie – CRAAL, que tem como

temáticas de pesquisa, geografia urbana, semiótica do espaço e planejamento urbano:

infraestrutura das cidades. Escreveu, dentre outros livros, Le sens de l’espace: la

dynamique urbaine [PELLEGRINO, 2000], que trata fundamentalmente sobre o espaço

urbano com aporte da geografia e da semiótica.

A investigação do espaço por meio de uma linguagem espacial sugere a aproximação

entre campos de estudo sobre o espaço e sobre a linguagem, ou ainda, que, a seu

modo, tratem do espaço como linguagem: a matemática e a semiótica. A reciprocidade

matemática entre a linguagem algébrica e a linguagem geométrica instaura a

transferência e manipulação de dados sobre o espaço em modos distintos de

representação espacial. A reciprocidade semiótica entre objeto e signo instrumentaliza

a transferência das representações mentais e sociais sobre o espaço habitado.

fg133_05 – Diferenciaçãoterritorial – HermanHertzberger

1:52

fg133_06 – Limitesabertos e encerrados .

Victor Consiglieri

fg133_07 –Comunicabilidades

topológicas.Victor Consiglieri

1:53

Tendo esse aporte, as pesquisas do CRAAL como as transcritas no livro Arquitectura e

Informática [PELLEGRINO, CORAY, 1999] contam com a colaboração entre arquitetos e

matemáticos. Além de Pellegrino, é co-autor desse livro o matemático Daniel Coray,

professor do Departamento de Matemática da Universidade de Genebra, especialista

em análise espacial, numérica e geométrica, e que tem desenvolvido pesquisas sobre a

conceituação do espaço em arquitetura para o Fundo Nacional Suíço de Investigação

Científica.

Ao tratar o espaço como um todo formado por partes conectadas, os autores o

aproximam da linguagem e procuram desvendar sua gramática, isto é, seus elementos

constituintes e seus modos de conexão. Para tanto, por meio dos conceitos arquitetônicos

de tipologia, composição e estilo, são identificados tanto os “elementos estáveis de

uma planta arquitetônica” quanto a “pluralidade de soluções” para um projeto. Por

esse viés, trazem da Semiótica e da Matemática os elementos para estruturar tal

conceituação; da Semiologia e da Semiótica discorrem sobre os conceitos de sintagma

e paradigma como eixos de seleção e combinação da linguagem, sobre os códigos e

processos de tradução, a relação conteúdo e continente entre significado e significante,

sobre texto e contexto, dados culturais e interpretação; e da Matemática apresentam

tópicos da teoria dos grafos e os conceitos de invariantes métricas e topológicas. E na

Informática os autores vêem a possibilidade de imbricação das duas áreas, que por

meio do binômio imagem e informação, potencializaria a reciprocidade entre continente

e conteúdo, e geometria e álgebra.

fg133_08 – Traduçãode uma planta emgrafo. PierrePellegrino

fg133_09 – Modelo,contexto epossibilidades a partirde Palladio. PierrePellegrino

1:54

Após a tradução de plantas arquitetônicas em grafos, as noções de gramática, estilo ou

invariância assim como de contexto e variância, ganham formato passível de estudo

comparativo, são representados essencialmente por elementos em conexão com outros

elementos. As escolhas projetuais representadas pelos grafos são também traduzidas

em linguagem algébrica por algoritmos, códigos de operações que permitem novas

recombinações projetuais sob as regras iniciais. E como aplicação em estudos de caso,

os autores apresentam invariantes da obra de Palladio e propõem “jogos estilísticos”

de projeto à maneira de Louis Kahn, Frank Llloyd Wright e de Le Corbusier.

A possibilidade de imaginação da construção de espaços que excedam as três dimensões

x-y-z da realidade cotidiana, em que os objetos são apreendidos e usados apenas a

partir da corporeidade humana, tem impulsionado pesquisas de diversos arquitetos em

direção às arquiteturas ampliadas por novas mídias ou às arquiteturas virtuais de

existência em ambientes de dimensão não igual a três, que pretendem estimular uma

certa reconsideração dos conceitos sobre os quais a arquitetura se instala, entre eles,

sua efetivação somente na materialidade da obra e na fruição espacial a partir apenas

da existência física humana.

A Geometria Euclidiana sempre foi o bastante como suporte para as arquiteturas em

terceira dimensão e a elas forneceu instrumental para projeto e construção. Para a

concepção de objetos de n+3 dimensões, situados em ambientes não usuais, arquitetos

têm procurado se apropriar da Topologia, campo privilegiado para o estudo de

formulações de objetos em espaços de quatro ou mais dimensões e de representações

desses objetos em dimensões menores. Paralelamente ao aporte topológico,

contribuindo para a mudança do paradigma arquitetônico quanto à construção do

espaço, os meios telemáticos – associação de tecnologias de informática e

telecomunicações – têm se constituído, nas experimentações em curso, suporte ou

meio de existência das chamadas “arquiteturas virtuais”.

1.3.4 arquitetura, concreta e virtual _as 3+n dimensoes espaciais-

É perceptível o enorme avanço ocorrido nas últimas décadas

no desenvolvimento de ambientes gráficos para a

modelagem geométrico-algébrica de sólidos e de

superfícies, de ambientes interativos de simulação e

comunicação e de meios de construção física e virtual de

protótipos; fato que além de requisitar revisões sobre

procedimentos projetuais sedimentados historicamente,

fg134_01 - Pavilhão daExposição “Realscape in

Quicktime”. Un Studio(Berkel & Bos)

1:55

exige reconsideração dos limites da disciplina

Arquitetura. E, dentro de novos limites, a pesquisa

de ambientes virtuais e interativos, e de interfaces

entre os ambientes físicos e os virtuais que fazem

uso dessas novas tecnologias surge também como

resposta à crescente virtualização das relações

humanas propiciada por esse mesmo

desenvolvimento tecnológico - principalmente dos

meios de comunicação à distância.

Com o incremento de novas tecnologias de

comunicação e informação no território real das

cidades, a este se soma seu duplo, uma espessa

camada virtual capaz de interconectar milhares

pessoas em múltiplos lugares colocando-as

simultaneamente num mesmo espaço, que

instantaneamente cria circuitos de diálogos, redes

de serviços, tramas de informações, dutos de

circulações, sessões de co-presença que em muito

espelham o território urbano e se aglutinam numa

chamada urbanização virtual, mais fluida e veloz

que a primeira. Para Milton Santos,

“o território passa a ser comandado a partir da capacidade de informaçãoe são os fluxos de informação que são estruturadores do espaço... Oscircuitos espaciais da produção criam movimento de matéria e os circuitosde cooperação criam fluxos de informação, que são os novos estruturadoresdo espaço.” [SANTOS, 1991: p.82]

É possível então a leitura do território como lugar de fluxos: aos materiais - de

mercadorias, de pessoas - somam-se os imateriais, formados por gigantescas quantidades

de informações que circulam entre unidades físicas terminais, interfaces entre os dois

mundos. Essa nova urbanização amplia o território, estende sua malha de contatos

invisíveis à totalidade do território material trazendo outras complexidades para o

entendimento filosófico, social, econômico, cultural e jurídico da sociedade. A chamada

urbanização virtual que potencialmente pode conectar-se a todo o território físico e

atingir qualquer cidadão, tem a capacidade de tornar-se ferramenta para gerência do

território urbano - físico e virtual - a qual se faz basicamente pelo processamento e

circulação de informações.

fg134_02 - HypersurfacePanel Studies - StephenPerrela.

1:56

A arquitetura dos sistemas de serviços urbanos telemáticos passa

pelo design do ambiente cognitivo/comunicativo, isto é, as interfaces

entre o concreto e o virtual: uma arquitetura constituída de hard-

ware e software, de superfícies materiais como suporte para fluxos

de informação; unidades terminais das redes de informação presentes

no espaço urbano que constróem virtualmente uma nova

territorialidade e fisicamente novos lugares de centralidade nas

cidades. São vitais os sistemas operacionais que movimentam todos

os dados dessas redes urbanas de serviços e informações, mas

tratando-se do campo da Arquitetura, é o espaço arquitetônico con-

creto e virtual e, em última instância, são as superfícies que, como

suporte dos fluxos imateriais, ganham destaque.

28 “The globalized liquid ‘softarchitectures’os digital media flow over,under and through the local, concreteand ‘hard architectures’of our contem-porary cities, creating an indeterminate,‘floating’environment, an interface be-tween public and private, collective andsubjective, provincial and planetary.”[ZELLNER, 1999: p.11]

Peter Zellner, autor de recente livro - Hybrid Space: new forms in

digital space - sobre arquiteturas virtuais e arquiteturas de interface

sugere que:

“As ‘arquiteturas fluídas’ líquidas globalizadas das mídiasdigitais fluem sobre, sob e através das “arquiteturasmaciças’, concretas e locais das nossas cidadescontemporâneas, criando um ambiente ‘flutuante’,indeterminado, uma interface entre público e privado,coletivo e subjetivo, provincial e planetário”. [ZELLNER,1999: p.11] 28

Apesar de evidenciado o estreitamento da relação entre álgebra

(informação) e geometria (imagem-espaço) nas arquiteturas virtuais,

as quais têm os meios computadorizados não apenas como

ferramentas, mas como meios de existência, o que demandaria sua

consideração também sob o tema da modelagem algébrica, optou-

se, porém, por privilegiar o que se mostra como a maior área de

contato que parecem estabelecer com a Topologia: a imaginação de

ambientes que excedem as três dimensões e sua representação em

ambientes de duas ou três dimensões.

Novos meios computadorizados de projeto, representação e fruição do espaço

arquitetônico associados ao que vem se chamando em Arquitetura de “novas

geometrias”, tornadas mais acessíveis por esses mesmos meios - mais em sentido in-

strumental que conceitual – delineiam novas fronteiras com outras disciplinas como a

Informática, a Matemática, a Psicologia, a Sociologia e a Filosofia, e compõem porção

do território arquitetônico que mais se ampliou em épocas recentes.

fg134_03 – Möbius House:Hypernurban Architecture.

Stephen Perrela

1:57

Em meio ao número significativo de pesquisas que vem sendo realizadas na área, duas

ressalvas devem ser feitas quanto à citação da Topologia e que, em alguns casos,

realizadas de modo recorrente, contribuem não só para a restrição de suas atribuições,

mas para sua mitificação. A citação gráfica estaria no primeiro caso, aproximando a

Topologia apenas de formas “curvas” ou “complexas” imersas na “quarta dimensão”

e a citação verbal estaria no segundo caso agregando outra semântica a termos

topológicos que, no limite, inviabilizam a sua citação, pois o nome traduzido perde o

seu conceito original. Alguns desses casos serão discutidos oportunamente no item 1.4

deste capítulo.

O livro de Peter Zellner [ZELLNER, 1999], uma das publicações referência em se tratando

da veiculação do panorama das pesquisas na área, pretendendo não ser extensivo ao

todo das pesquisas realizadas, apresenta doze arquitetos/equipes em sua maioria de

destaque no cenário arquitetônico contemporâneo. Dos Estados Unidos, Kolatan/Mac

Donald Studio, Morphosis, Stephen Perrela, Winka Dubbeldam/Archi-tectonics,

Reiser+Umemoto, Marcos Novak, Greg Lynn/FORM; da França, dECOi ; da Holanda,

Oosterhuisassociates, NOX, UN Studio; da Inglaterra-Eslovênia-Finlândia, OCEAN.

Dentre esses, serão destacadas algumas das teorias de dois dos mais importantes

arquitetos-pesquisadores que atualmente investigam as possibilidades colocadas pela

quarta dimensão para a arquitetura (Ver o conceito de Quarta Dimensão no item

2.2.2.1 do Capítulo 2)29 , Stephen Perrela e Marcos Novak, mantendo a apropriação

livre que fazem dos termos topológicos. Atestando a grande circulação de suas idéias,

Perrela e Novak também são presença constante – e referência em artigos de outros

autores – na série elaborada pela revista inglesa Architectural Design dedicada à

Arquitetura e novas mídias, entre 1997 e 2000 (Architects in Cyberspace I e II, New

Science = New Architecture?, Hypersurface Architecture I e II, Sci-Fi Architecture,

Architecture + Film I e II).

fg134_04 – The Institutefor Electronic Clothing.Stephen Perrela

29 Ver também “Flatland– A romance of many di-mensions”, de Edwin A.Abott (1838-1926). URL:h t t p : / /www.geom.umn.edu/~banchoff/Flatland/, queapresenta os conceitosrelativos a dimensõesespaciais de modointuitivo e romanceado.

1:58

Em linhas gerais, Perrela propõe a ampliação da arquitetura a partir da relação entre

elementos reais e virtuais e Novak a possibilidade de arquiteturas de 4D e seus possíveis

intercâmbios com a realidade em 3D. O elemento chave para Perrela é a hipersuperfície

que surge da agregação de novos conceitos à superfície material da arquitetura. A

hipersuperfície seria capaz de resolver em si a esquizofrenia contemporânea colocada

pelas dicotomias real/virtual, objeto/imagem, estrutura/significado30 e, emergindo de

novas condições culturais e arquitetônicas, seria a junção dinâmica de uma cultura

midiatizada a uma arquitetura topológica.

30 O que nas palavras de Jean-FrançoisLyotard seria a posição em que seencontram o Moderno e o Pós-Moderno,a “sublime relação entre o apresentávele o concebível”. Se um apresenta ainadequação da faculdade deapresentação, o outro falha na faculdadede conceber. Ver: NOVAK, Marcos -“Transarchitectures and Hypersurfaces”In: Architectural Design - HypersurfaceArchitecture. vol.68 n.5/6, may-jun 98,pp.85-93. Londres.

31 “Hypersurface is a reconsideration ofoften dichotomous relationchips existingin the environment. These binaries in-clude: image/form, inside/outside, struc-ture/ornament, ground/edifice and soforth; not as separate and hence staticentities but as transversally-constitutedfabrics or planes of immanence.”[PERRELA, 1998: p.08]

32 “‘Hyper’ implies human agencyreconfigured by digital culture, and‘surface’is the enfolding of substancesinto differentiated topologies...‘Hyper’suggests an existentialeventualisation of the consumer-subjectand ‘surface’entails the new conditionsof an object-in-relation.” [PERRELA,1998: p.10]

A hipersuperfície seria uma resposta conjunta à autodestruição do

sujeito colocada pelos modos de produção capitalista e pelas

tecnologias que proliferam a instrumentalidade da Economia e da

Arquitetura que com sua tradição formal mostra-se inexperiente em

responder ao sujeito consumidor desterritorializado. A hipersuperfície

seria a união da arquitetura da topologia com a do pixel, unindo

forma e imagem, não como a aplicação de uma imagem - ornamento

- a uma forma, mas uma imagem superposta que cria uma forma

semi-autônoma e incompleta, co-presença do material e da imagem

sobre uma superfície-membrana-substrato sem o domínio de nenhum

dos dois elementos, assim como no corpo humano: superfícies

côncavas e convexas por onde passam fluxos de sensações. Imagem

e forma seriam partes uma da outra e parte de outras lógicas maiores

que criariam continuidade e promoveriam uma fluidez de relações:

“Hipersuperfície é a reconsideração da maioria dasrelações dicotômicas existentes no meio ambiente. Essesbinários incluem: imagem/forma, interior/exterior,estrutura/ornamento, solo/edifício e assim por diante;não como entidades estáticas e separadas, mas comotecidos transversalmente constituídos ou planos deimanência.” [PERRELA, 1998: p.08] 31

Segundo Perrela, na Matemática, uma hipersuperfície é uma superfície no hiperespaço

- um espaço de quatro ou mais dimensões - conceito ao qual ele associa noções

complexas de espaço-tempo-informação:

“‘Hiper’ implica ação humana reconfigurada pela cultura digital, e‘superfície’ é o entrecruzamento de substâncias em topologias diferenciadas.O termo hipersuperfície não é um conceito que contém significado, mas éum evento; algo com uma dimensão material... ‘Hiper’ sugere umaeventualização existencial do sujeito consumidor e ‘superfície’ supõe no-vas condições de um objeto-em-relação.” [PERRELA, 1998: p.10] 32

1:59

Segundo ele, o incremento da Topologia na forma arquitetônica estaria constituindo

uma preparação para a recepção de fluxos de dados procedentes das atividades culturais

contemporâneas; a mesma tecnologia que possibilita a maleabilidade de formas e

programas impulsionando a “arquitetura topológica”, também inunda as diversas

facetas da cultura. Os fluxos da tecnologia digital interconectados com outras

transformações nas práticas econômicas, sociais e científicas globais, cultivariam em

resposta manifestações fluidas e contínuas de morfogênesis arquitetônicas. A Topologia

na arquitetura seria um início de ativação de suas superfícies [PERRELA, 1998: p.11].

Por seu lado, Marcos Novak, também sensível às condições culturais e tecnológicas

contemporâneas, propõe a consideração do termo transarquitetura para o ofício do

arquiteto, o qual seria mais que disciplinar, multidisciplinar ou interdisciplinar, seria

transdisciplinar, associado a novas ciências que ao pesquisar condições sem precedência

histórica, fariam a ligação de um estágio de modernidade para outro de virtualidade.

Entre esses dois estágios estaria cruzando transversalmente o estágio atual, a

transmodernidade, época de “transmutações em espaços conceituais não preditos,

em novos estados de ser”, distintos da modernidade, que seria caracterizada por

colagens e justaposições, e da pós-modernidade, por misturas, combinações e dobras.

Na transmodernidade, a tela - screen - destaca-se como suporte ou anteparo das

realizações humanas, dentre elas, a projeção (cinema), a proteção (sistemas câmera-

vídeo) e a seleção (computador), estando presentes em todos os meios de informação

fg134_05, fg134_06 –Data-Driven Forms.Marcos Novak

1:60

e comunicação. Para Novak, a tela e a hipersuperfície lançam a distinção de cinco graus

de virtualidade. Luz e sombra, projeções de presença e ausência, espelhos. Amostragens

e estatísticas: construções da continuidade para a descontinuidade, conotação para

denotação: cinema, televisão, som digital, conversões analógico-digital e digital-

ananalógico. Inversão: computação e epistemologia, simulações, programas gráficos,

efeitos especiais. Imersão: alteração, ciberespaço, realidade virtual, lançar o real no

virtual. Eversão: lançar o virtual no real [NOVAK, 1998: p.86].

Novak contrapõe dois movimentos: a imersão como a transição do espaço da

materialidade para o ciberespaço e a eversão como o seu contrário; a possibilidade de

eversão seria a manifestação da época atual, a de um espaço-tempo ampliado que

pressupõe a existência dos outros quatro graus de virtualidade. Como exemplo de

espaço-tempo ampliado, Novak apresenta os monitores de computadores que seriam

para ele espaços inteligentes, protótipos bidimensionais de um espaço tridimensional

que em sua extensão fixa poderá se constituir por partições e funções que mudam por

meio da necessidade ou do desejo.

A transarquitetura seria então a união de todas as possibilidades colocadas para a

Arquitetura nos tempos atuais, o que seria a concepção algorítmica (morfogênesis),

modelagem numérica (prototipagem rápida), construção robotizada (novas tectônicas),

habitação interativa (espaço inteligente), telecomunicação instantânea (pantopicon),

informações imersivas (arquiteturas líquidas), sociabilização não-local (domínio público

não-local) e eversão virtual (transarquiteturas). E para Novak:

fg134_07 – Data-DrivenForms. Marcos Novak.

1:61

“’Arquitetura de hipersuperfície’ e‘transarquiteturas’ são conceitos complementares.Ainda que não sejam idênticos, buscam umaproximar-se do outro. Transarquiteturas sãopermeadas por hipersuperfícies em ambossentidos, literal e metafórico, e teorizando epraticando arquitetura de hipersuperfície conduziráa transformações radicais as quais o construto‘transarquiteturas’ articula para a concepçãoevolutiva da arquitetura.” [NOVAK, 1998: p.87]33

E quanto à sua produção arquitetônica relata:

“Minhas explorações algorítmicas de produçõestectônicas são menos preocupadas com amanipulação de objetos e mais com a manipulaçãode relações, campos, maiores dimensões, eeventualmente, a própria curvatura do espaço.Desde que a arquitetura de objetos foi posta delado favorecendo uma arquitetura de relações, asnoções de hiperespaço e hipersuperfície tornam-se naturais. (...) Genericamente, eu computo ouencontro um campo de forças ou dados, exploro-o por isosuperfícies, extrudo as isosuperfícies dedimensões superiores, transformo o novohiperobjeto de dimensões superiores nohiperespaço, projeto o objeto em um espaço demenores dimensões – uma hipersuperfície dohiperespaço – e, então, finalmente, deformo aprópria matriz espacial em uma nova curvatura doespaço.” [NOVAK, 1998: p.89] 34

fg134_08 – Variable DataForms. Marcos Novak

33 “’Hypersurface architecture’ and‘transarchitectures’ are complementary con-cepts. While they are not identical, pursuing onesoon leads to the other. Transarchitectures arepermeated by hypersurfaces in both literal andmetaphoric senses, and theorizing and practicinghypersurface architecture would lead to the radi-cal transformations that the construct‘transarchitectures’ articulates for the evolvingconception of architecture.” [NOVAK, 1998:p.87]

34 “My algorithmic explorations of tectonic production are concernedless with the manipulation of objects and more with the manipulationof relations, fields, higher dimensions, and eventually, the curvature ofspace itself. Once the architecture of objects has been set aside in fa-vour of an architecture of relations, the notions of hyperspace andhypersurface become natural. (…) Typically, I compute or find a field offorces or data, scan it for isosurfaces, extrude the isosurface of higherdimensions, transform the new higher dimensional hyperobjects in thehyperspace, project the object in a espace of fewer dimensions – ahypersurface of the hyperspace – and then, finally, warp the spatialmatrix itself into a new curvature of space.” [NOVAK, 1998: p.89]

1:62

As proposições identificadas sob este tema não constituem grupo que tem vinculações

quanto ao objeto de investigação, mas a partir de um certo grau de aproximação,

apresentam temáticas comuns: cada um a seu modo procura introduzir ao caráter

físico prioritariamente estático das formalizações arquitetônicas - pelo qual

historicamente são fruídas - a noção de movimento. O conceito físico de movimento

aproxima duas variáveis, espaço e tempo; a incorporação do movimento no espaço

permite a consideração de novas variáveis arquitetônicas, que constituem os motes das

investigações que se seguem: arquitetura movente no espaço e no tempo.

O tempo é variável determinante para o gradiente de transformações do espaço de

forma mutável (movimento do espaço), assim como o é para as conexões realizadas

pelo acontecimento ou evento no espaço (movimento no espaço). Por um lado, pede-

se a reconsideração do valor da permanência e do equilíbrio como elementos de

valoração; por outro, o posicionamento do caráter – cada vez mais - dinâmico do

habitar como construtor da paisagem, agente e interagente das configurações espaciais

– seja por meio da relação habitante-espaço habitado, seja pela fusão espaço-mídias.

O evento é a questão central nas investigações e projetos realizados pelo arquiteto

Bernard Tschumi, professor da Graduate School of Architecture, Planning and Preser-

vation at Columbia University. Em dois livros, o primeiro como apresentação de sua

prática projetual e de suas obras, Event-Cities (Praxis), de 1994, o segundo como reedição

de textos teóricos escritos entre 1975 e 1989, Architecture and Disjunction, de 1996,

centra foco no evento como propulsor dos movimentos que tomam lugar no espaço

arquitetônico, como gerador de possibilidades de uso e indutor de configurações

espaciais:

1.3.5 arquitetura, mutavel e efemera _ o evento^,

35 “Architecture is as much about theevents that take place in spaces as aboutthe spaces themselves (…) the static no-tions of form and function long favoredby architectural discourse need to be re-placed by attention to the actions that oc-cur inside and around buildings – to move-ment of bodies, to activities, to aspira-tions…” [TSCHUMI, 1994: p.13]

“Arquitetura é tanto mais sobre os eventos que tomamlugar nos espaços quanto sobre os espaços em si (...) asnoções estáticas de forma e função favorecidaslongamente pelo discurso arquitetônico, precisam sersubstituídas pela atenção às ações que ocorrem dentroe ao redor dos edifícios – para o movimento dos corpos,para atividades, para aspirações...” [TSCHUMI, 1994:p.13] 35

Naturalmente, ao investigar os eventos Tschumi não se atém às propriedades da

forma, mas ao locus dos acontecimentos; do espaço, investiga as propriedades.

Ação que, dentre seus escritos, está mais diretamente presente em Questions of

Space [TSCHUMI, 1996: p. 53-62], no qual constrói extensiva seqüência de questões

sobre o caráter ontológico e epistemológico do espaço, que invariavelmente

1:63

adentram para o campo da matemática e mais precisamente da Topologia. Algumas

que mais diretamente referenciam ao campo da Topologia cabem ser citadas –

estas, como as outras questões que conformam o capítulo do livro de Tschumi, por

sua vez, pedem considerações pormenorizadas que fogem ao âmbito deste trabalho,

mas que sem dúvida, promoveriam excelentes trabalhos de pesquisa.

“Se o espaço tem contornos, há outro espaço fora desses contornos? Se oespaço não tem contornos, as coisas então se estendem infinitamente?Como toda extensão do espaço é infinitamente divisível (visto que todoespaço pode conter espaços menores), pode uma coleção infinita de espaçosentão formar um espaço finito? (...) Se o espaço euclidiano é restrito a umpedaço de matéria tridimensional, o espaço não-Euclidiano é restrito auma série de eventos no espaço-tempo quadridimensional? Se outrasgeometrias dão um maior entendimento do espaço que a geometriaEuclidiana, o próprio espaço mudou com a construção de espaços com d-dimensões? A topologia é uma construção mental em direção à teoria doespaço?” [TSCHUMI, 1996: p. 53-62] 36

36 “If space has boundaries, is there another space outside thoseboundaries? If space does not have boundaries, do things thenextend infinitely? As every finite extent of space is infinitely divis-ible (since every space can contain smaller spaces), can an infinitecollection of spaces then form a finite space? (…) If Euclideanspace is restricted to a three-dimensional lump of matter, is non-Euclidean space to be restricted to a series of events in four-di-mensional space-time? If other geometries give a clearer under-standing of space than Euclidean geometry, has space itselfchanged with the construction of spaces with d-dimensions? Istopology a mental construction toward a theory of space?”.[TSCHUMI, 1996: p. 53-62].

fg135_01 – “Part 4: TheBlock” from The Manhat-tan Transcripts. BernardTschumi

1:64

Tomando o espaço como um conjunto de sub-espaços ou como uma seqüência

espacial construída para e pelos eventos que nela tomam lugar, ele vê estes mesmos

eventos como passíveis de serem elaborados em projeto arquitetônico:

37 “For if architects could self-con-sciously use such devices as repeti-tion, distortion, or juxtaposition inthe formal elaboration of walls,couldn’t they do the same thing interms of the activities that occurredwithin those very walls?”[TSCHUMI, 1996: p. 146]

“Se arquitetos podem auto-conscientemente usardispositivos tais como repetição, distorção, oujustaposição na elaboração formal de paredes, nãopodem eles realizar o mesmo em termos de atividadesque ocorrem entre essas diversas paredes?” [TSCHUMI,1996: p. 146] 37

E nesse sentido, conexão e desconexão ou disjunção e continuidade, entre

programa, espaço e uso são as relações que historicamente constróem a

essencialidade da arquitetura: seqüências de espaços e eventos podem ser

desconectadas (indiferença entre considerações formais e utilitárias), conectadas

(aproximação funcionalista de interdependência, uma é condição de existência para

a outra) ou conflitivas (uma seqüência transgride a lógica interna da outra). Assim

sendo, o sentido final de qualquer seqüência é dependente da relação espaço/evento/

movimento [TSCHUMI, 1996: p. 159-162]. Utilizando um conceito topológico,

eventos podem estabelecer conectividades por caminhos por meio de movimentos

numa determinada seqüência espacial (Ver no Capítulo 2, item 2.2.2.1, o conceito

de Conectividade).

Para Tschumi, qualquer seqüência arquitetônica é formada por três tipos de relações. A

primeira, seqüência transformacional, diz respeito a dispositivos e procedimentos

projetuais - objeto central da última aproximação entre Arquitetura e Topologia a ser

identificada pelo presente trabalho; a segunda, seqüência espacial, é composta pelos

tipos e infinitas variâncias formais ao longo da história; e a terceira, seqüência

programática, é formada pelas conotações simbólicas e sociais que caracterizam o

espaço arquitetônico [TSCHUMI, 1996: p.154].

De outro modo, pela associação de novas mídias, a incorporação do movimento ao

objeto arquitetônico é temática de investigação em franco desenvolvimento tanto por

arquitetos quanto no meio artístico. A concepção de espaços arquitetônicos como

interface entre o mundo concreto e o mundo virtual, entre local e distante por meio da

interação entre matéria e movimento, tem lugar de destaque na investigação de dois

arquitetos holandeses, Lars Spuybroek do escritório NOX e Kas Oosterhuis do escritório

Oosterhuisassociates. Contratados pelo Ministério Holandês dos Transportes, Obras

Públicas e Gerenciamento da Água, conceberam respectivamente os pavilhões interativos

FreshH2O eXPO e Saltwater Pavillion, situados na ilha artificial Neeltje Jans, ao sul de

Roterdã, em 1997.

1:65

Próximos à água, fazendo uso das tecnologias de informação e comunicação e

tematizando sua fluidez, os dois pavilhões multimídia por um instante fazem lembrar o

Poeme Eletronique, pavilhão da Phillips para a Exposição Internacional de 1958, de Le

Corbusier e Yannis Xenakis. Após o que, a distinção se apresenta na relação construída

entre espaço arquitetônico e as mídias expostas. Enquanto no pavilhão de 1958, a

arquitetura é suporte para as imagens e sons transmitidos à revelia dos transeuntes,

nos dois pavilhões holandeses, as imagens e sons programados por computador

respondem aos eventos que ocorrem em seu interior, tornando o usuário, não o

finalizador da obra, pois que esta sempre se altera, mas aquele que após a sua

materialização no espaço pelo arquiteto, realiza a obra pelo movimento (espaço-tempo).

Para os autores, a arquitetura deixa de ser suporte para se fundir às mídias que

dinamicamente alteram o espaço; o limite entre o movimento no espaço e o movimento

do espaço. Peter Zellner comenta o assunto citando o próprio Spuybroek:

“Alguns enfaticamente argumentam que pelo fato da arquitetura seressencialmente estática, ela não pode incorporar ou personificar cinemática,animações ou outra forma de movimento ou energia transformativa. MasLars Spuybroek responde que ‘Mídia é um modo de tempo habitado... ummovimento conectado com nossos próprios movimentos... nós conservamosna mente que arquitetura foi a primeira máquina, a primeira mídia aconectar comportamento e ação ao tempo...’” [ZELLNER, 1999: p.15] 38

38 “Some might argue that because architecture is ultimately static, it cannot incor-porate or embody kinematics, animation or any other form of movement ortransformative energy. But Lars Spuybroek would respond that ‘Media are a way toinhabit time… a movement connected with our own movements… we should keepin mind that architecture was the first machine, the first medium to connect behaviorand action to time…’” [ZELLNER, 1999: p.15]

fg135_02, fg135_03 -FreshH2O eXPO. Nox-LarsSpuybroek. Interior;Exterior e interior

1:66

Avançando na questão, para criar uma experiência pública que pudesse captar a inter-

relação entre estruturas físicas e virtuais, Oosterhuis em associação com Marcos Novak,

concebe o transPORTs2001, uma estrutura performática para portos ao redor do mundo,

que poderia ser manipulada em um website e ter sua forma alterada evolutivamente

em tempo real.

Para Lars Spuybroek, a inter-relação entre movimento no e do espaço inicia na

consideração, em projeto, da coexistência de eventos programáticos com outros mais

fluidos, caracterizados por “tendências de eventos” ou “eventos tendenciais”, os quais

tem a capacidade de dinamizar usos e caracterizações espaciais. Em certa medida, ao

propor a flexibilidade do espaço por meio do suporte a novas ocorrências, pretende a

superação do conceito de “evento acidental” de Bernard Tschumi que designa

comportamentos não previstos que tomam lugar nos espaços pensados

programaticamente. O trabalho de Spuybroek passa então a ser projetar estruturas

flexíveis aos fluxos de movimentos que, por sua vez, criam outras flexibilidades:

“ Flexibilidade é traduzida em movimento e movimento em flexibilidade.(…) Então, o pressuposto movimento de pessoas, seu movimento potencialé abstraído em linguagem arquitetônica, e este movimento abstrato retornae se relaciona novamente com o movimento de pessoas (…) O que eu façoé ler a tendência dos corpos humanos para mudar sua mentalidade, serconsciente mais do que apenas de suas intenções momentâneas; Eu leiosua tendência em ser flexível diretamente na arquitetura.” [SPUYBROEK,

39 “Flexibility is translated into movement andmovement into flexibility. (…) So, the pre-supposed movement of people, their poten-tial movement is abstracted into languageof architecture, and that abstract movementloops back and relates again to people’smovement (…) what I do is read the ten-dency of human bodies to change theirmind, to be aware of more then just theirmomentary intentions; I read their tendencyto be flexible directly into architecture.”[SPUYBROEK, 2002: p. 244]

fg135_04, fg135_05 -Saltwater Pavillion. Kas

Oosterhuis. Exterior;Interior

2002: p. 244] 39

E cita seu projeto V2_Lab, para um laboratório de mídias em

Roterdã, como exemplo. O processo de concepção parte da

interação mediada por computador de forças ou tendências entre

cinco linhas paralelas, decorrentes da leitura do edifício existente

e da pretendida orientação geral do programa. A partir de então,

1:67

“ … todos os movimentos no edifício são “inseridos” namáquina: ao redor da mesa, ao redor das portas, entrando,saindo etc. Todos esses movimentos agem sobre as linhas comoforças, e como as linhas têm propriedades materiais nocomputador (como elasticidade), elas começam a torcer, vibrar,e todos os movimentos interagem entre si. (…) Então as linhas‘interpretam’ o programa como fornecido pelo cliente: mesa,corredor, parede, ambiente etc. Assim, todas as linhas dãoum pequeno perfil de cada um destes elementos. E como elessão conectados no modelo ‘elástico’ (...) a mesa se funde como corredor, um eixo fornece uma clara definição de ‘mesa’, ooutro eixo uma clara definição de ‘corredor’, mas entre elesnós obtemos uma forma que não é de nenhum ou de am-bos… Isto é um movimento que é agora abstrato, ummovimento arquitetônico, uma mudança qualitativa, umamutação de mesa em corredor, e vice-versa. (…) O movimentode pessoas implicado, o trabalho, o caminhar, é mapeado nospróprios elementos arquitetônicos, por meio de um conjuntoflexível de linhas onde ele cria primeiro uma linguagem demovimento, uma flexibilidade de uso e forma entre dadoelemento arquitetônico (mesa, corredor) que é então atualizadopor possíveis diferentes movimentos de pessoas. Na realidadeisso significa pessoas andarem sobre a mesa, ou elas tomaremseu chá nela; é um comportamento informal, conectado aocomportamento formal, mais solto, mais livre. É umaarquitetura que não só articula comportamentos planejados eprevistos (trabalhar à mesa, andar pelo corredor), ela tambémestimula comportamentos não previstos.” [SPUYBROEK, 2002:p. 244-245] 40

40 “… all the movements in the building are ‘putin’ that machine: around the table, around thedoors, coming in, leaving etc. All these move-ments act upon the lines as forces, and becausethe lines have material properties in the compu-ter (like rubber), they start twisting, vibrating, andall movements interact with each other. (…) Thenthe lines are ‘read throught’ the program as givenby the client: table, corridor, wall, room etc. So,all the lines give a bit of profile to each of theseelements. And because they were connected inthe ‘rubber’ model (…) the table merges with thecorridor, one edge gives a clear ‘table’ definition,the other edge a clear ‘corridor’ definition, but inbetween we get a form that is neither or both…It is a movement that is now abstract, an archi-tectural movement, a qualitative change, amorphing of table into corridor, and vice versa.(…)The implied movement of people, the work-ing, the walking, is mapped on to the architec-tural elements themselves, through a flexible setof lines where it creates a language of movementfirst, a flexibility of use and form between givenarchitectural element (table, corridor) that is thenactualised by different possible movements ofpeople. In the real it means people walk up thetable, or they drink their tea there; it’s informalbehavior, connected to formal behaviour, moreloose, more free. It’s an architecture that not onlyarticulates planned and foreseen behaviour (work-ing at table, walking through corridor), it alsostimulates unforeseen behaviour.” [SPUYBROEK,2002: p. 244-245]

fg135_06 – V2_Lab. Nox-Lars Spruybroek. vista

1:68

A última ocorrência a ser destacada neste item sobre

a temática do movimento insere-se integralmente na

mobilidade do espaço. O arquiteto Greg Lynn do

escritório Form é autor do conceito “animate forms”,

“definido pela co-presença de movimento e força no

momento da concepção formal. Força é uma condição

inicial, a causa de ambos, movimento e as inflexões

particulares de uma forma”, o qual materializa em

formas topológicas chamadas por ele de “Blobs” –

bolhas. [LYNN apud ZELLNER, 1999: p.138] 41

1.3.6 metarquitetura _ o procedimento projetual pordiagramas

O último agrupamento de aproximações diz respeito essencialmente a processos de

criação e representação em arquitetura que de algum modo expressam interfaces

com os processos de geração de superfícies em Topologia; de outro modo, as possíveis

similaridades entre o uso de diagramas em Arquitetura e Topologia. Como constitui o

objeto central deste trabalho, a questão será apenas sugerida neste momento, de

modo a não avançar em assuntos que serão mais adiante desenvolvidos.

Concebendo a forma como um medium de movimento e força, duas noções entram

em cena, potência e evolução. Toda forma atual pode se constituir potencialmente

em outras formas, ela é virtualmente muitas outras e a passagem entre elas não se

dá por mudança brusca de uma imagem estática à outra, mas por transformação ou

evolução. A forma torna-se um frame em um movimento em seqüência.

Sendo o movimento uma das questões fundantes de sua obra, representativa

fundamentalmente de seu processo projetual, seu procedimento torna-se

paradigmático do item a ser tratado a seguir, o uso de diagramas em projeto

arquitetônico, e o faz figurar dentre aqueles que mais adiante novamente serão

citados.

41 “is defined by the co-presence of motion and forceat the moment of formal conception. Force is an initialcondition, the cause of both motion and the particularinflections of a form.” [LYNN apud ZELLNER, 1999:p.138]

fg135_07, fg135_08– Embryo House.

Greg Lynn.Instalação de peças

de resina; ModeloVirtual

1:69

Tomado em seu sentido mais genérico, o diagrama sugere ser o denominador

comum dos outros agrupamentos desenvolvidos até aqui (Forma e estrutura – a

modelagem algébrica; Continuidade Espacial – a modelagem de superfícies;

Continuidade Espacial – a teoria dos grafos; Arquitetura concreta e virtual – as 3+n

dimensões espaciais; e Arquitetura, mutável e efêmera – o evento). E em seu sentido

mais específico, o de diagrama processual topológico, é mais seletivo, mas pode

ainda, de certo modo, ser aproximado a procedimentos específicos dentro de cada

um dos outros agrupamentos. Sendo assim, considera-se este item “Metarquitetura”

não só mais um agrupamento de aproximações da Arquitetura com a Topologia,

mas o que constrói uma possível síntese da aproximação entre os dois campos.

A questão, que se envolve da construção mental da arquitetura, pode ser colocada

dentro de um quadro de crescente investigação da ação de projetar e de sua valorização

como meio de aplicação e produção de conhecimento, ocorrida principalmente após

os anos 1960. Processos heurísticos, resolução de problemas e sistemas de representação,

são assuntos centrais em livros paradigmáticos sobre o assunto como: Notes on Syn-

thesis of Form de Christopher Alexander (ALEXANDER, 1964) e Design Thinking de

Peter Rowe (ROWE, 1987). Fato que não está dissociado do desenvolvimento dos

primeiros sistemas computacionais eficientes em resolução de problemas e dos primeiros

sistemas CAD (Computer-Aided Design).

O próprio desenvolvimento dos sistemas computadorizados tem ampliado o espectro

de possibilidades de enfrentamento dos problemas projetuais, apresentando outros

meios de representação do objeto arquitetônico. Como instrumento de tomadas

de decisão, tem-se o avanço dos chamados iCAD’s (“CAD’s inteligentes”) que além

de compreenderem entidades construtivas - não somente as entidades geométricas

fg136_01 - SingularidadeH2 de David Mond. 1993.Washington L. Marar

fg136_02 - Virtual House.1997. FOA

1:70

primitivas – são capazes de apresentar possíveis

soluções para problemas colocados. E como meio para

investigações intuitivas espaciais e formais, o largo

desenvolvimento de softwares gráficos, a partir dos anos

1980, tem ampliado os modos para concepção do

espaço arquitetônico.

A ênfase dada aos processos de geração da arquitetura,

por um lado, se apresenta como estruturação teórico-

operativa do campo disciplinar arquitetônico e, por outro,

como largo território para tentativa de incorporação de

conceitos advindos das ciências contemporâneas. Em

direção à Topologia, compreendendo-a como uma

disciplina operativa, o foco é ajustado para os processos

de geração de superfícies que sugerem similaridades com

certos processos de construção projetual do objeto

arquitetônico em arquitetura contemporânea.

Ampliando o foco sobre as operações utilizadas em

Topologia para a criação de superfícies, ganha destaque

o meio pelo qual as operações se realizam, o diagrama

processual topológico. Mais que suporte representacional

para as operações, o diagrama topológico é construção

que está imersa no mesmo conjunto de regras

geométricas e topológicas definidas para o objeto a

que remete; assim sendo, o diagrama quer seja uni, bi

ou tridimensional condensa em si representação e

construção, é simultaneamente processo e produto.

Alguns breves esclarecimentos tornam-se necessários. O uso de diagramas em projeto e leitura de

projetos arquitetônicos não remonta à época atual. Nem todo diagrama utilizado em Arquitetura pode

ser considerado similar àquele utilizado em Topologia. Nem todo diagrama utilizado em Arquitetura

que ,de algum modo, faz referência àqueles característicos da Topologia, o fazem de modo consciente

ou a partir de considerações conceituais da Topologia.

O diagrama topológico ao incrementar a criação arquitetônica, alterando o paradigma representacional

arquitetônico a partir de projeções bidimensionais, parece ter congruência com os processos de geração de

objetos por modelagem; em ambos, o objeto é produto de uma seqüência de ações e, neste caso, passam a

ser indissociáveis. Em sentido inverso, o diagrama pode ser meio para reconstrução do processo de

formação do objeto ou para a construção de releituras. A ação define o objeto e este é validado por

aquela.

fg 136_03 - Snake House –Dirk Alten

1:71

É sintomático que o termo “operação” passe a ter um significado arquitetônico

que designa ações projetuais e que o processo seja apresentado em forma de

seqüência de diagramas – que evidencia todas as operações - tendo um peso similar

ao projeto. O mote da forma que segue a função (“form follows function” ) - criado

pelo arquiteto norte-americano Louis Sullivan e tornado engrenagem-mestre do

que se convencionou Arquitetura Moderna - cede lugar a outro; para essas

arquiteturas construídas por diagramas, a forma segue a operação (“form follows

operation”). A obra arquitetônica, nesses casos, pode ser lida como último diagrama

do processo de operações realizado pelo arquiteto e registro de seu processo: o

diagrama torna-se uma meta-arquitetura e a arquitetura uma obra diagramática.

Neste selecionado, pela crescente ênfase que tem sido dada aos processos de projetação

e a investigação da incorporação de novas geometrias, diversos arquitetos poderiam

figurar. No entanto, como critério de recorte para este grupo tem-se a menção do uso

do diagrama com similaridades ao diagrama topológico como meio de projeto e

representação, seja ele acompanhado de referências diretas, seja associado a citações

da Topologia sem referências diretas a eles.

Por outras interfaces que intencionam com o campo da Topologia, os arquitetos que

aqui são alinhados já figuraram em grupos anteriores. Um dos arquitetos que com

mais ênfase desenvolve investigações projetuais e teóricas por diagramas, é Peter

Eisenman; ação que extensamente apresenta e discute o livro Peter Eisenman Diagram

Diaries de R. E. Somol [SOMOL, 1999], dedicado à sua obra recente, no qual encontra-

se quadro que aponta as operações realizadas para a modelagem de algumas obras.

Eisenman tece várias considerações sobre a porção construtiva do diagrama; dentre

elas:

fg136_04 - Très GrandeBibliothèque, Paris, França,Concurso, 1989. OMA

fg136_05 - Pavilhão Suíçona Expo Hannover 2000.Jauslin-Vehovar

1:72

“Como um dispositivo criativo em um processo de design, o diagrama étambém uma forma de representação. Mas diferentemente das formastradicionais de representação, o diagrama como um gerador é umamediação entre o objeto palpável, um edifício real, e o que pode serchamada interioridade arquitetônica...O diagrama não é somente umaexplanação, como algo que vem depois, mas também age comointermediário no processo de geração do espaço-tempo real.” [SOMOL,1999: p.27-28] 42

42 “As a generative device in a processof design, the diagram is also a form ofrepresentation. But unlike tradicionalforms of representation, the diagramas a generator is a mediation betweena palpable object, a real building, andwhat can be called architecture’sinteriority… The diagram is not only anexplanation, as something that comesafter, but it also acts as an intermedi-ary in the process of generation of realspace and time.” [SOMOL, 1999: p.27-28]

Os arquitetos já identificados nesta pesquisa sob o mote de

modelagens de superfícies com fins de continuidade espacial, em

grande parte, se sobrepõem a este grupo, notadamente em algumas

obras. Rem Koolhaas (OMA) com a Très Grand Bibliotèque de Jussieu,

a equipe MVRDV com a Villa KBWW, Ben van Berkel (UN Studio)

com a Möbius House e Alejandro Zaera Polo (FOA) com o Yokohama

Terminal. E todos de alguma forma também procuram apresentar os

conceitos e meios que conformam seus processos projetuais com a

publicação de livros como o fizeram Rem Koolhaas com S,M,X,XL

[KOOLHAAS, MAU, 1997] e Ben van Berkel com MOVE [BERKEL,

BOS, 1999], ou em monografias de editoras sobre uma de suas obras

como MVRDV en Villa VPRO sobre este trabalho de MVRDV [ACTAR,

1999], ou The Yokohama Project sobre esta obra do FOA [ACTAR,

2002].

fg136_07 – Ferramentasformais – Peter Eisenman

1:73

43 “The diagram is not a metaphor or para-digm, but an ‘abstract machine’ that isboth content and expression. This distin-guishes diagrams from indexes, icons andsymbols. The meanings of diagrams are notfixed. The diagrammatic or abstract ma-chine is not representational. It does notrepresent an existing object or situation,but it is instrumental in the production ofnew ones.” [BERKEL, BOS, 1999: p.21]

Em MOVE, livro de Berkel tem-se a seguinte referência sobre os diagramas:

“O diagrama não é uma metáfora ou paradigma, mas uma‘máquina abstrata’ que é simultaneamente conteúdo e expressão.Isto distingue diagramas de índices, ícones e símbolos. Os sentidosdos diagramas não são fixos. A máquina diagramática ou abstratanão é representacional. Não representa um objeto ou situaçãoexistente, mas é instrumental na produção de novos.” [BERKEL,BOS, 1999: p.21] 43

Em S,M,X,XL, livro que intensamente expõe o trabalho – e o ambiente de trabalho

- de Rem Koolhaas (OMA), os diagramas de seus projetos são amplamente

reproduzidos. De modo geral, são representações gráficas de referências projetuais,

informações programáticas – do programa arquitetônico – e características urbanas

e sócio-econômicas do território de inserção da obra, meios visuais que evidenciam

e condensam dados a serem manipulados em projeto. Como exemplo, em seu

projeto de intervenção urbana para Yokohama, denominado Programmatic Lava,

Koolhaas mapeia as intensidades de uso do sítio durante as 24 horas diárias e

desvenda quando e como os espaços são utilizados. Graficamente, estrutura como

programas contíguos ou não relacionados podem passar a se relacionar, quer

sobrepondo-se, quer ocupando o mesmo espaço em tempos distintos. Os diagramas,

então, passam a ser meios que tornam evidentes novas possibilidades de conexões

entre espaços e programas, as quais são posteriormente investigadas com o uso

de superfícies contínuas que permitiriam a desejada fusão de programas ou “lava

programática”.

Concepção de diagrama que diretamente influencia o trabalho do escritório MVRDV,

do qual dois sócios trabalharam junto ao OMA. No MVRDV, o processo de projeto por

diagramas se desenvolve sob o conceito de “datascape”, que corresponde a uma

paisagem de dados, isto é, dados e eventos conformam elementos dinâmicos que

transformam a paisagem arquitetônica – e, em última instância, em uma paisagem de

dados. E o processo de projeto passa, por essa concepção, a centrar-se na iteração de

dados correlacionados a eventos que ocorrem no espaço arquitetônico.

Por fim, dentre os arquitetos que trabalham sobre a temática da incorporação do

movimento na arquitetura, três tem destacada importância neste agrupamento referente

ao processo projetual por diagramas exatamente pela investigação do movimento:

como parâmetro projetual e de representação, em Bernard Tschumi e Lars Spuybroek,

e como ferramenta projetual, em Greg Lynn. A noção de diagrama em Tschumi

está diretamente associada aos eventos que a arquitetura suporta e às operações

projetuais em que eles são sugeridos:

1:74

“…se a leitura de arquitetura inclui os eventos que nelatomam lugar, deve ser necessário dispor de modos paranotação destas atividades. Diversos modos de notaçãoforam inventados para suprir as limitações de plantas,cortes ou axonometrias. Notação de movimento derivade coreografia, e marcações simultâneas derivam danotação musical que foi elaborada para propósitosarquiteturais.Se notação de movimento usualmente procede de nossodesejo de mapear o movimento presente dos corpos noespaço, ele crescentemente torna-se um signo que nãonecessariamente refere-se a estes movimentos, mas levaà idéia de movimento – uma forma de notação que estálá para relembrar que arquitetura é também sobre omovimento de corpos no espaço, que sua linguagem ea linguagem das paredes são em última instânciacomplementares. Usando notações de movimento comoum meio de relembrar questões tem o intuito de incluircódigos novos e estereotipados em desenhosarquitetônicos e, por extensão, em sua percepção:sobreposição, justaposição e superposição de imagenspropositalmente enevoam as relações convencionaisentre planta, convenções gráficas e seus sentidos noambiente construído. Crescentemente os desenhos têmse tornado simultaneamente a notação de umarealidade arquitetônica complexa e desenhos (obras dearte) em seu próprio sentido, com seu próprio campode referência, deliberadamente colocando-se à partedas convenções de plantas e cortes arquitetônicos.” [TSCHUMI, 1996: p.148] 44

44 “... if the reading of architecture was toinclude the events that took place in it, itwould be necessary to devise modes ofnotating such activities. Several modes ofnotation were invented to supplement thelimitations of plans, sections, oraxonometrics. Movement notation derivedfrom choreography, and simultaneousscores derived from music notation wereelaborated for architectural purposes.If movement notation usually proceededfrom our desire to map the actual move-ment of bodies in spaces, it increasinglybecame a sign that did not necessarily re-fer to these movements but racher to theidea of movement – a form of notationthat was there to recall that architecturewas also about the movement of bodiesin space, that their language and the lan-guage of walls were ultimately comple-mentary. Using movement notation as ameans of recalling issues was an attemptto include new and stereotypical codes inarchitectural drawing and, by extension,in its perception; layerings, juxtaposition,and superimposition of images purpose-fully blurred the conventional relationshipbetween plan, graphic conventions andtheir meaning in the built realm. Increas-ingly the drawings became both the nota-tion of a complex architectural reality anddrawings (art works) in their own right,with their own frame of reference, delib-erately set apart from the conventions ofarchitectural plans and sections.”[TSCHUMI, 1996: p.148]

E especificamente quanto à incorporação do movimento na representação

aproxima-se do cinema:

“Analogias com filmes são convenientes, desde quando,pela primeira vez, o mundo do cinema introduziudescontinuidade – um segmento do mundo no qual cadafragmento mantém sua própria independência,permitindo assim uma multiplicidade de combinações.Em um filme, cada frame (ou fotograma) é colocado emcontínuo movimento. Inscrevendo movimento por meioda rápida sucessão de fotogramas forma-se ocinegrama. (...) Continuidade e superposição decinegramas são dois aspectos da montagem.Montagem, como uma técnica, inclui semelhantesdispositivos como repetição, inversão, substituição einserção” [TSCHUMI, 1996: p.196-197]45

45“Film analogies are convenient, since theworld of the cinema was the first to intro-duce discontinuity – a segment world inwhich each fragment maintains its ownindependence, thereby permitting a mul-tiplicity of combinations. In film, eachframe (or photogram) is placed in continu-ous movement. Inscribing movementthrough the rapid succession ofphotograms constitutes the cinegram. (…)Continuity and superimposition ofcinegrams are two aspects of montage.Montage, as a technique, includes suchother devices as repetition, inversion, sub-stitution, and insertion” [TSCHUMI, 1996:p.196-197]

1:75

O diagrama, para Lars Spuybroek, é uma estrutura organizacional de dados

selecionados que mantém relações dinâmicas entre si – em movimento. Conceito

que em muito se aproxima do conceito de diagrama processual topológico que será

desenvolvido adiante, no Capítulo 2:

46 “What I do is building a machine,almost always in the computer, whatone should call a ‘virtual whole’, amatrix, a geometric system where allrelations are set but not fixed, andthen all the information is processedover time. Sometimes in an animation,sometimes in a machine-like proce-dure of interlocking steps, like a se-ries of algorithms. The whole is like amatrix: it’s a system of relations and ifone changes one thing, the restchanges too.” [SPUYBROEK, 2002:p.244]

“ O que eu faço é construir uma máquina, quase sempre nocomputador, a qual deve evocar um ‘conjunto virtual’, uma matriz,um sistema geométrico no qual todas as relações estãoselecionadas mas não fixas, e então toda a informação éprocessada continuamente. Algumas vezes em uma animação,algumas vezes em um procedimento de passos interdependentessimilar a uma máquina, como uma série de algorítmos. Oconjunto é como uma matriz: é um sistema de relações e seuma coisa se altera, o resto se altera também.” [SPUYBROEK,2002: p.244] 46

Em Greg Lynn, o diagrama é o frame, instante formado por energia potencial e cinética

que, por conseguinte, origina outros frames e no todo, suas Animate Forms. A

aproximação que faz do diagrama topológico se realiza, quando num dado momento,

faz distinção entre a simples incorporação do movimento e aquela que gera a evolução

fg136_08 – Fireworks forla Vilette, Paris. 1991.Bernard Tschumi

1:76

e que compõe seu conceito de animação:

fg136_09 – Parc laVilette: Programmatic

deconstruction: thelargest common

denominator = the folie.Bernard Tschumi

47 “Animation is a term that differsfrom, but is often confused with,motion. While motion implies move-ment and action, animation impliesthe evolution of a form and its shap-ing forces; it suggests animalism, ani-mism, growth, actuation, vitality andvirtuality.” [LYNN, apud ZELLNER,1999: p. 138]

“Animação é um termo que difere de, mas é muitasvezes confundido com, movimento. Se movimentoimplica deslocamento e ação, animação implica aevolução de uma forma e suas forças formadoras; istosugere animalismo, animismo, desenvolvimento,atualização, vitalidade e virtualidade.” [LYNN, apudZELLNER, 1999: p. 138] 47

Em linhas gerais, para o momento, pode-se considerar que o diagrama topológico

possui dois caracteres em sua genealogia - e com esta dimensão deve ser

investigado. Um caráter construtivo-representacional que excede a sua filiação

topológica e diz respeito a sua constituição como diagrama, de onde vem grande

parte de sua estrutura enquanto linguagem. E um caráter construtivo-

representacional que, para além de seu caráter de diagrama, diz respeito à sua

constituição como topologia, que em pequena parte se sobrepõe ao primeiro, mas

em muito o amplia, tanto pela introdução de operações quanto de conceitos

topológicos (Ver no Capítulo 2, item 2.2.2.1, os conceitos de Homeomorfismo,

Soma conexa, Continuidade, Conectividade).

1:77

As transformações por que passam as sociedades e culturas contemporâneas,

primordialmente pela crescente introdução de interfaces computadorizadas que

realizam a mediação entre pessoas-e-pessoas e pessoas-e-objetos, têm, segundo

alguns dos diversos autores que as diagnosticam e conceitualizam como o urbanista

e filósofo Paul Virilio e o também filósofo francês Pierre Lévy, alterado radicalmente

os parâmetros pelos quais a realidade é apreendida. Velocidade, virtualidade,

interatividade, desterritorialização são alguns dos conceitos mais requeridos para a

compreensão da contemporaneidade e que são extensamente desenvolvidos em

obras como O Espaço Crítico [VIRILIO, 1993], O que é o Virtual? [LÉVY, 1996] e

Cibercultura [LÉVY, 1999].

Para Virilio, a Arquitetura, imersa nesse contexto, estaria mudando radicalmente de

paradigmas:

“Privado de limites objetivos, o elemento arquitetônico passa a estar àderiva, a flutuar em um éter eletrônico desprovido de dimensões espaciais,mas inscrito na temporalidade única de uma difusão instantânea.” [VIRILIO,1993: p.09-10]

A sensibilidade para algumas decorrentes transformações nos limites da disciplina

arquitetura tem movido arquitetos a uma necessária reflexão sobre a (re)inserção de

sua atividade no panorama que se diagnostica, a investigar novas fronteiras em uma

realidade movente. Ação que - como já desenvolvido no início deste capítulo -

historicamente constitui movimento da humanidade a compreender a si mesma, e da

disciplina a co-participar das questões que configuram o seu tempo presente. O contato

com outras áreas do conhecimento acaba por gerar zonas de inter-relação e influência,

favorecendo a incorporação e apropriação de conceitos e/ou terminologias externos

na prática arquitetônica.

A reflexão de vanguarda tem simultaneamente o mérito de, em primeira mão, apontar

as questões do próximo presente e a complexidade de lançar mão de conhecimentos

ainda não sedimentados. Fatos que levantam a responsabilidade que recai sobre si

por colocar-se não como conhecimento trivial e sedimentado, mas como ensaio,

conhecimento em construção. Sensível a este duplo entre mérito e reponsabilidade

especificamente no campo arquitetônico, o crítico Charles Jencks lança algumas

questões relevantes em número da revista Architectural Design dedicado à

aproximação da arquitetura às “novas ciências”.

1.4 topologia apropriada - uma leitura criticade outras leituras

,

1:78

“Cada um levanta questões críticas sobre o papel dametáfora em arquitetura: que é, escolher e modificaruma linguagem em variação contínua e descobrir novossignificados inerentes ao uso. Nova ciência = novalinguagem = novas metáforas. Arquitetura não sóreflete um paradigma diferente de pensamento, masela mesma torna-se uma disciplina de conhecimentoem desdobramento (...) isso também pode tomarresponsabilidade sobre invenções metafóricas. Outraquestão é se o paradigma é conscientementeprocurado ou não: estamos observando apenas umparalelo entre ciência e arquitetura ou algo maisprofundo? É somente uma questão de utilização decomputadores e projetar edifícios curvos – um modismo– ou mudança na paisagem mental? (...) Sendoespecífico: quanto os arquitetos entendem de fractais,teorias emergentes, dobras, não-linearidade e sistemasauto-organizáveis? Quanto isto é uma tendênciaformalista? Podem eles fornecer uma novaiconografia, um novo estilo e conjunto designificados?” [JENCKS, 1997: p.07] 48

48 “Each one raises critical questionsabout the role of metaphor in architec-ture: that is, choosing and modifying alanguage in continuous variation anddiscovering new meanings inherent inthe use. New Science = new language =new metaphors. Architecture not onlyreflects a different paradigm of thoughtbut itself becomes a discipline of unfold-ing knowledge. (…) Another issue iswhether the paradigm is consciouslypursuit or not: are we seeing merely aparallel between science and architectureor something deeper? Is it only a ques-tion of using computers and designingcurved buildings – a fashion – or changein the mental landscape? (…) To be spe-cific: how much do architects understandfractals, emergence theory, folding,nonlinearity and self-organization sys-tems? How much is this a formalisttrend? Can they furnish a new iconog-raphy, a new style and set of meanings?”[JENCKS, 1997: p.07]

O arquiteto, em sua atividade, é uma espécie de tradutor, um transcriador. Mesmo

quando não se dá conta, faz uso de linguagens as mais diversas, das não-verbais às

verbais e vice-versa, e a arquitetura assim produzida condensa conteúdo: as seqüências

dinâmicas de traduções que se fundem no objeto. Da Matemática, por exemplo, vem

não só o suporte da geometria como ferramenta de projeto, mas também, associada

a outros critérios de análise, alguns instrumentos de decodificação do objeto

arquitetônico, desde os níveis de percepção da forma até o empréstimo de termos de

sua área para a produção do discurso sobre o objeto.

Eixos, linha, superfície, prisma, volume, projeção... Mesmo passíveis de incorreções

ou generalidades em seu uso, diversos termos de geometria estão há muito incorporados

no meio arquitetônico. Com o recente estreitamento de relações da Arquitetura com a

Topologia - um campo específico da geometria - um movimento similar pode ser

observado: começa a fazer parte não só do repertório formal, mas do repertório verbal

do arquiteto conceitos utilizados em Topologia. E podem ser apontados os fatores que

contribuem para que esse uso por parte dos arquitetos careça de maior aprofundamento

teórico.

De antemão, a Topologia é uma disciplina instigante, mas está longe de ser trivial, mesmo

para os matemáticos. Para os arquitetos, então, qualquer diálogo com essa área do

conhecimento demanda não só criterioso estudo teórico como também alguma

experimentação empírica. Além desse fato, ela fornece ferramental para o entendimento

e manipulação de relações espaciais invariantes sob alteração da forma, algo caro aos

1:79

arquitetos na investigação do novo não só para o projeto do objeto arquitetônico,

mas para a reflexão teórica. Porém a tradução da forma, como imagem, se realiza

instantaneamente, o que não é possível com o conteúdo, que demanda tempo e

decantação. A mudança da paisagem mental - usando as palavras de Jencks – denota

necessariamente a associação entre imagem e conteúdo, o que de contrário, pela

imagem torna-se formalismo e pelo conteúdo mera retórica.

Procurando trazer maior embasamento às traduções construídas neste trabalho, buscou-

se em todo o processo mesclar percursos: a observação do meio onde aparecem signos

estrangeiros e sua decodificação, fazendo referência ao campo da Arquitetura e a

construção do conhecimento prévio mínimo do campo estrangeiro, para então levar

contribuições. O desejo por rigor na construção de diálogos entre os dois campos,

fazendo com que todo e qualquer termo ou conceito mantenha seu significado

inicial e que ele seja explicitado ao leitor, permite ao trabalho fazer frente a outros

trabalhos encontrados na pesquisa – alguns serão citados aqui – que, mesmo tendo

o mérito da vanguarda, não sustentam os significados originais ou utilizam conceitos,

fiéis ou não, a partir do pressuposto de que fazem parte do repertório do leitor, o

que quase sempre não é verdade. Duas ações que contribuem para tornar a

Topologia um falso senso comum na Arquitetura e em nada auxiliam para a

desmitificação do tema.

49 Além de Jacques Derrida, Jean-FrançoisLyotard e Michel Serres que são comentadosno livro, alguns autores recebem capítulos aparte no livro de Sokal, dentre eles estãoJacques Lacan (cap. 1), Julia Kristeva (cap. 2),Luce Irigaray (cap. 4), Bruno Latour (cap. 5),Jean Baudrillard (cap. 7), Paul Virilio (cap. 9),Gilles Delleuze e Félix Guattari (cap. 8); sãoautores que não se autodenominam pós-modernos, mas sobre os quais é construído odiscurso pós-moderno: “o fato de estesautores abusarem de termos e conceitostécnicos das ciências físicas e da matemáticapara defenderem certas teses filosóficas epolíticas pode, pelo menos, lançar algumassuspeitas sobre a honestidade intelectual dacorrente pós-moderna” (...) Em suma, Sokal eBricmont propõem-se desconstruir a reputaçãoque estes textos têm de que são difíceis porquesão profundos. Afinal, se muitas vezes elesparecem incompreensíveis talvez seja porquenão dizem realmente nada” .[BIZARRO, 1999].Dentre os autores citados cabe destacarJacques Lacan pelo extenso uso que fez datopologia para a explicação de conceitos dapsicanálise e que foram transcritos no livroGRANON-LAFONT, Jeanne. A Topologia deJacques Lacan. Rio de Janeiro: Jorge Zahar,1990.

Nesse sentido, este trabalho se pautou pelo entendimento

de que mais vale estabelecer um menor número de relações,

que realizar um maior número de pontes que, se testadas

em um dos seus lados, não se sustentam. O trabalho

intenta, então, seguir ao largo do uso superficial de conceitos

das ciências exatas para o embasamento de teorias das

ciências humanas, para o qual alertam os físicos Alan Sokal

e Jean Bricmont em seu livro Imposturas Intelectuais 49 [SOKAL,

BRICMONT,1999] que, apesar de todos os debates

acalorados sobre seu trabalho, faz pelo menos, levantar

suspeitas sobre os critérios e a profundidade de parte da

produção filosófica pós-moderna. Sara Bizarro [BIZARRO,

1999], em comentário sobre as Imposturas, destaca aquelas

que os autores citam como as mais freqüentes:

1:80

“1. Os autores usam uma terminologia científica sem saberem bem o que elasignifica.2. Os autores importam noções das ciências exatas sem darem a mínimajustificação empírica ou conceptual para essa importação.3. Os autores exibem uma erudição superficial atirando sem pudor palavrascomplicadas à cara do leitor em contextos em que essas palavras não têmqualquer pertinência A finalidade é provavelmente a de impressionar eintimidar o leitor que não tem conhecimentos científicos.4. Os autores manipulam frases sem sentido e usam indiscriminadamentejogos de palavras provocando uma verdadeira intoxicação verbal combinadacom uma indiferença soberba pelo significado que essas palavras possamter.”

Muito similar ao que Jorge Almeida [ALMEIDA, 1997: p.70] destaca das afirmações de

David Harvey sobre a construção do texto pós-moderno:

“Harvey apresenta várias manifestações, discursos, práticas e estilos pós-modernistas, em diversos campos, que seriam suas características, como, entreoutras: o efêmero, o fragmento, a auto-ironia, a indeterminação, a dispersão,a antinarrativa, o estético em prejuízo do ético, a colagem/montagem, adesconstrução e a dupla leitura de textos, o pastiche, a sátira, o humor, aanarquia e quebra de hierarquias, o rompimento de fronteiras do gêneroliterário, o rizoma (superfície) e não a raiz (profundidade), a mutação eesquizofrenia, a performance e interpretação recombinada da obra, o mar-keting, o espetáculo, etc”.

Com a mesma preocupação, a da crescente superficialidade de uso dos conceitos

matemáticos em sua época – no caso, pelos próprios matemáticos –, Sir Thomas L.

Heath, na introdução da edição dos Elementos de Euclides para a língua inglesa [HEATH,

1906] , remonta a Aristóteles, que há pelo menos vinte séculos já apresentava um

elenco de requisitos para a construção de uma definição científica e critérios de verificação

de uma definição não-científica. Dois excertos auxiliam a compreensão dos requisitos e

critérios de Aristóteles; o primeiro referente a uma definição científica:

50 “... a definition must be expressed interms of things which are prior to, andbetter known than, the things defined.This is clear, since the object of a defi-nition is to give us knowledge of thething defined, and it is by means ofthings prior and better known that weacquire fresh knowledge…” [HEATH,1906: p.146-148]

51 “... there is a complete circle throughthe unconscious use in the definitionitself of the notion to be defined thoughnot of the name.” [HEATH, 1906:p.146-148]

“... uma definição deve ser expressa em termos deelementos que lhe são prévios, e melhores conhecidosque as coisas definidas. Isto é evidente, desde que o objetode uma definição seja nos dar conhecimento sobre a coisadefinida, e é por significados prévios e melhoresconhecidos de coisas que nós adquirimos novoconhecimento...” [HEATH, 1906: p.146-148] 50;

e o segundo a respeito de uma definição não-científica: “é aquela

na qual há uma circularidade em torno do uso inconsciente da própria

definição da noção a ser precisada, todavia não do nome.” [HEATH,

1906: p.146-148] 51 Em 1950, o escultor Max Bill, aponta para um

1:81

fato correlato acontecendo nas artes plásticas:

“O conceito se esclarece se se pensar que uma grande parte das obrasatribuídas a influências matemáticas distam muito de ser exemplares emseu gênero, tudo parece focalizá-las mais como resultado de aspiraçõesespontâneas em circunstâncias especiais que como consequência de umadepurada compreensão dos meios usados. Creio que é possível desenvolveruma arte de ampla base matemática”. [BILL, 1950]

Algumas desconexões entre as referências de arquitetura contemporânea consultadas

e os estudos no campo da Topologia realizados durante o percurso desta pesquisa – e

que apresentam-se sistematizados no Capítulo 2 em item dedicado à conceitos da

Topologia (2.2.2.1) -, mostraram a pertinência, após a apresentação de um breve pano-

rama das traduções Arquitetura-Topologia, da realização de uma leitura crítica de

algumas apropriações da Topologia realizadas por arquitetos. Não se pretende aqui

exaurir os comentários críticos sobre as obras em questão, o que não constitui o objeto

desta pesquisa. Apenas, com a seleção de algumas poucas, consideradas de relevância,

apontar para a necessidade de uma leitura cuidadosa do que é produzido na área,

evitando-se a simples e direta aceitação, sem avaliação crítica, de teorias arquitetônicas.

O termo hipersuperfície é talvez uma das principais referências à Topologia em

Arquitetura Contemporânea. A conceituação utilizada descende de pesquisas (entre

elas o doutorado) desenvolvidas pelo arquiteto Stephen Perrella, presidente do

HyperSurface Systems, Inc. (New York, NY), empresa de design de tecnologia para

Internet criada para explorar novas interfaces arquitetônicas. Como já citada neste

capítulo, sua Hypersurface Theory [PERRELA, 1998] procura delinear novas condições

contemporâneas que condensam na superfície arquitetônica novos paradigmas

culturais e, dentre eles, o que chama a ativação das superfícies por meio da

“topologização da forma arquitetônica”. Seu conceito de hipersuperfícies tem então

filiação direta da conceituação topológica, que procura “ampliar” em termos culturais

e arquitetônicos e da qual se refere da seguinte maneira:

52 “In mathematics, a hypersurface is a surface inhyperspace but in the context of this journal themathematical term is existentialised. Hyperspaceis four + dimensional space, but herehypersurfaces are rethought to render a morecomplex notion of space-time-information. Thisreprogramming is motivated by cultural forcesthat have the effect of superposing existentialsensibilities onto mathematical and material con-ditions, especially the recent topological explora-tions of architectural form.” [PERRELA, 1998:p.08]

“Em matemática, uma hipersuperfície é uma superfícieno hiperespaço, mas no contexto deste artigo o termomatemático é existencializado. Hiperespaço é umespaço 4 + dimensional, mas aqui hipersuperfícies sãoreconsideradas para dar uma noção maior do espaço-tempo-informação. Esta reprogramação é motivada porforças culturais que tem o efeito de sensibilidadesexistenciais superpostas sobre condições matemáticase materiais, especialmente as recentes exploraçõestopológicas da forma arquitetônica.” [PERRELA, 1998:p.08] 52

1:82

Antes de propor a consideração do termo hipersuperfície em termos existenciais, Perrela

procura apresentar o conceito matemático, o que faz de maneira equivocada. Em

Topologia, uma hipersuperfície não é “uma superfície no hiperespaço”, mas apenas e

tão somente é qualquer superfície – entidade de dimensão 2 – em um ambiente tridi-

mensional, onde apresenta apenas um grau de liberdade, o que não seria possível num

espaço com quatro ou mais dimensões, onde apresentaria mais de um grau de liberdade.

O conceito de hipersuperfície deixa então de ter qualquer conotação “fora do comum”,

associada ao hiperespaço – como se poderia supor - e pode ser representada por qualquer

superfície no espaço cotidiano, como uma folha de papel ou uma caixa de papelão.

Após apresentar parte do seu campo de referência, o texto continua:

“O próprio sentido matemático do termo hipersuperfícieé discutido aqui como sendo alterado por uma dinâmicasubversiva inerente ao capitalismo Enquanto emmatemática, hipersuperfície existe em ‘maiores’ ouhiperdimensões, a abstração dessas dimensõesmatemáticas está se mudando, desertando, outransferindo para dentro de nosso contexto cultural ha-bitual. Situada neste renovado contexto, hipersuperfícievem definir uma nova condição para ações humanas,de pós-humanismo: a qual resulta dos mecanismosinternos da cultura de consumo, transformando assimcondições prévias de uma estabilidade assumida. Aoinvés de significar maior em um contexto abstrato, osignificado de ‘Hiper’ alterou-se. Em ambos contextos,abstração ideal e mundo cotidiano, operação está emrelação com o espaço tridimensional normal (x, y, z).Em matemática há direção, progressões lógicas demaiores a menores dimensões. Em um contextoexistencial, hiper deve ser entendido como resultadode um mundo cotidiano conflituoso assim como elemuda as dimensões normativas do espaçotridimensional, dentro do construto dominante queorganiza a cultura. No espaço matemático abstrato nóstemos construtos ‘dimensionais’, em termos culturaisnós temos configurações ‘existenciais’; mas adominância do modelo matemático está começando ase contaminar, pois o domínio abstrato não pode maisser mantido em isolamento. A deserção do significadode hipersuperfície, conforme ele muda para um maiorsentido cultural/existencial, acarreta uma releitura damatemática. (Isto é similar ao que motivou Deleuze areler Leibniz). Esta deserção é uma desconstrução deum domínio simbólico para um outro habitado; não porum sentido casual: ela surge e é sintomática da falênciade nossos sistemas operantes para negociar asdemandas colocadas sobre ela. Se for possível descrever

53 “The proper mathematical meaning ofthe term hypersurface is discussed hera asbeing challenged by an inherently subver-sive dynamic within capitalism. While inmathematics, hypersurfaces exist in‘higher’, or hyperdimensions, the abstract-ness of these mathematical dimensions isshifting, defecting or devolving into ourlived cultural context. Situated in this newlyprepared context, hypersurface comes todefine a new condition of human agency,of post-humanism: one that results fromthe internal machinations of consumer cul-ture, thereby transforming prior conditionsof an assumed stability. Instead of mean-ing higher in an abstract sense, ‘Hyper’means altered. In both contexts, ideal ab-straction and the life-world, operation is inrelation to normal three-space (x,y,z). Inmathematics there are direct, logicalprogressions from higher to lower dimen-sions. In an existencial context, hyper mightbe understood as arising from a lived-worldconflict as it mutates the normative dimen-sions of three-space, into the dominantconstruct that organises culture. In abstractmathspace we have “dimensional’ con-structs, in cultural terms we have ‘existen-tial’ configurations; but the dominance ofthe mathematical model is becoming con-taminated because the abstract realm canno longer be maintained in isolation. Thedefection of the meaning of hypersurface,as it shifts to a more cultural/existencialsense, entails a reworking of mathemat-ics. (This is similar to what motivatesDeleuze to reread Leibniz.) This defectionis a deconstruction of a symbolic realm intoa lived one; not through any casual means:it arises and is symptomatic of the failureof our operative systemics to negotiate thedemands placed upon it. If one could de-scribe an event whereby cultural activitiescould act upon abstractions so as to com-

1:83

um evento por meio de atividades culturais que podem agir sobreabstrações assim como comutar a normativa, de um contextoetimológico para um contexto de dinâmicas vividas, que atividadetem esta capacidade? Ao termo hipersuperfície não ésimplesmente atribuído um novo significado, mas em vez dissoresulta de uma deserção catastrófica do domínio de umalingüística idealizada (matemática). Se imaginados, como sãotomados em um domínio lingüístico, não podem mais suportarou sustentar sua pureza e dissociação, então estes termos esignificados começam, em efeito, a ‘despencar do céu’. Isto épara descrever a deterritorialização da idealização em um realmais material. No novo sentido de hipersuperfície, ‘hiper’ nãoestá em uma relação binária com a superfície, é uma leitura quedescreve uma condição complexa dentro das superfíciesarquitetônicas em nosso mundo cotidiano contemporâneo.”[PERRELA, 1998: p.08] 53

A transcrição desse longo trecho do texto “Hypersurface Theory: Architecture >< Cul-

ture” de Perrela se justifica por ser nele que o autor apresenta as “definições matemáticas”

dos termos a partir dos quais, além de outras referências, inicia a construção de seu

conceito de hipersuperfície. Pode-se considerar esta parte do texto como aquela em que

apresenta os dados com que desenvolverá seu raciocínio: seu campo de reflexão – a

imbricada relação entre Arquitetura e Cultura no mundo contemporâneo –; seus aportes

teóricos – explicitamente, a Matemática e, implicitamente, a Filosofia -; seus objetos de

leitura e inferência – a Ciência, a Cultura e a Arquitetura sob influência do capitalismo.

A estrutura do trecho pode ser esquematicamente montada em três atos: a seleção,

dentro do aporte teórico, de um termo base de significação; a construção de um contexto

cultural em constante transformação que exige e propõe novos termos e significados

que acompanhem essas mesmas transformações; e finalmente a reelaboração do

significado do termo inicial e a proposição de seu novo campo de significação. Dentro da

estrutura montada pelo autor, cabem breves considerações sobre alguns de seus aspectos

conceituais, intentando contribuir para o esclarecimento da validade do aporte matemático

utilizado. Muito se tem escrito sobre o contexto cultural atual e seus reflexos no pensar/

fazer e no objeto arquitetônicos; complexidade e velocidade são alguns dos paradigmas

da atualidade que parecem pedir uma reconsideração da Arquitetura. Complexidade das

relações do mundo contemporâneo e complexidade dos eventos naturais apresentada

pelas ciências; velocidade suportada pelas novas tecnologias de telemática e promovida

pelo sistema econômico globalizado vigente.

A resposta, ou incorporação, que parece vir da Arquitetura, - também já comentada por

alguns autores, dentre eles Perrela – é a da reconsideração da forma, e o mesmo Perrela

vai além, da superfície, que seria anterior à própria forma como primeiro ambiente

mute the normative, etymological contextinto a context of lived dynamics, what ac-tivity has thart capability? The termhypersurface is not simply attributed newmeaning, but instead results from a cata-strophic defection from a realm of linguis-tic realm (mathematics). If ideals, as theyare held in a linguistic realm, can no longersupport or sustain their purity and disasso-ciation, then such terms and meaningsbegin, in effect, to ‘fall from the sky’. Thisis to describe the deterritorialisation of ide-alization, into a more material real. In thenew sense for hypersurface, ‘hyper’is notin binary relation to surface, it is a new read-ing that describes a complex conditionwithin architectural surfaces in our contem-porary life-world” [PERRELA, 1998: p.08]

1:84

comunicativo. Complexidade e velocidade são, seguindo esse pensamento, incorporados

pela superfície por meio de sua ‘hipertrofia’ promovida pela incorporação de

“características topológicas” e dos meios telemáticos. Ambos promoveriam uma

“ativação das superfícies” arquitetônicas, em profundidade – espessura – e em superfície

– dobra e continuidade.

O repensar o objeto arquitetônico sugerido pelo texto de Perrela a partir do contexto

colocado se faz simultaneamente à reelaboração contemporânea da teoria da

arquitetura, na qual seu texto se insere, pela incorporação desses mesmos paradigmas,

complexidade e velocidade, em duas instâncias já citadas, profundidade e superfície.

Para superar essas e outras relações dicotômicas – imagem/forma, dentro/fora, estrutura/

ornamento –seria necessária, para Perrela, a (re)consideração do termo hipersuperfície,

transferindo-o da Topologia, um campo abstrato, para a Arquitetura, um campo

existencial; ação que tem como pano de fundo a motivação pela construção da teoria

da Arquitetura, como um campo disciplinar autônomo em sintonia com o “espírito do

tempo”.

Complexidade e velocidade normalmente têm induzido a teoria arquitetônica ao binômio

“de fora”/ “novo” e colocam um desafio: a necessidade de um conhecimento mínimo

das áreas envolvidas na transferência de conceitos o que, em se tratando das ciências,

representa trabalho de monta. O texto de Perrela procura ser inclusivo quanto a

referências que vão da Matemática à Filosofia e atento ao contexto cultural

contemporâneo, respondendo a esse contexto complexo com complexidade retórica.

E pelo menos quanto à Topologia, encobre certa superficialidade do emprego dos

conceitos, fazendo lembrar as colocações de Alan Sokal quanto à construção do

conhecimento pós-moderno [SOKAL, BRICMONT, 1999]. Em relação à Topologia, caberia

em seu texto o delineamento de conceitos básicos para possibilitar o entendimento, à

luz desses conceitos, do que seja “topologização da forma arquitetônica”(topologising of

architectural form - p.11), “topologia arquitetural” (architectural topology - p.11) ou

“topologia material” (material topology – p.13), entre outros, além, é claro, da correta

definição do conceito de hipersuperfície na Topologia, de onde toma o termo.

Alguns questionamentos a partir do texto de Perrela são então possíveis: se uma teoria

autônoma se constrói com embasamento em outro campo disciplinar e o faz a partir

de conceitos tomados com incorreção ou com certo grau de generalidade, como se

dão os critérios de validade? Se a ampliação de significação de um termo conceitual

após a transposição de fronteiras disciplinares é realizada por sucessivas aproximações

entre um campo abstrato, onde seu significado de origem tomado não é correto, e um

campo existencial, essa ampliação se efetiva? Se determinado conceito após tradução

interdisciplinar, perde qualquer vínculo com sua significação de origem, é ainda o mesmo

1:85

conceito e deve ainda fazer referência ao seu campo de atuação primeiro? Mais

especificamente, a consideração correta dos termos topológicos poderia implicar

numa reconsideração de sua “teoria das hipersuperfícies” como um todo ou em

parte? Pelo viés da proposição da deterritorialização e desconstrução dos termos e

a contaminação do abstrato pelo existencial citados pelo autor, a consideração

incorreta do conceito de hipersuperfície em Topologia, já pertence a essas ações e

passa a ter validade?

Algo correlato encontra-se na descrição que faz Marcos Novak a respeito de seu

procedimento projetual e que será novamente citada:

“Minhas explorações algorítmicas de produções tectônicas sãomenos preocupadas com a manipulação de objetos e mais coma manipulação de relações, campos, maiores dimensões, eeventualmente, a própria curvatura do espaço. Desde que aarquitetura de objetos foi posta de lado favorecendo umaarquitetura de relações, as noções de hiperespaço ehipersuperfície tornam-se naturais. (...) Genericamente, eucomputo ou encontro um campo de forças ou dados, exploro-opor isosuperfícies, extrudo as isosuperfícies de dimensõessuperiores, transformo o novo hiperobjeto de dimensõessuperiores no hiperespaço, projeto o objeto em um espaço demenores dimensões – uma hipersuperfície do hiperespaço – e,então, finalmente, deformo a própria matriz espacial em umanova curvatura do espaço.” [NOVAK, 1998: p.89]54

Nesse texto encontra-se uma seqüência de imprecisões quanto ao uso de conceitos

topológicos. Após uma interessante introdução a respeito de uma arquitetura de

relações, o arquiteto julga serem do domínio comum os conceitos de hiperespaço

e hipersuperfície, o que mais adiante se mostra um equívoco. O próprio autor ao

usar a expressão “uma hipersuperfície do hiperespaço”, não leva em conta a

impossibilidade de sua ocorrência. Como já descrita, uma superfície só é considerada

uma hipersuperfície num ambiente de dimensão 3, distinto do hiperespaço que

denota maiores dimensões. Fica pois evidente que a concepção de hipersuperfície

usada por Novak é aquela exposta por Perrela à qual encontra paralelo com seu

trabalho: “’Arquitetura de hipersuperfície’ e ‘transarquiteturas’ são conceitos

complementares. Quando não são idênticos, buscam um aproximar-se do outro…”

[NOVAK, 1998: p.87] 55

54 “My algorithmic explorations of tectonicproduction are concerned less with the ma-nipulation of objects and more with the ma-nipulation of relations, fields, higher dimen-sions, and eventually, the curvature of spaceitself. Once the architecture of objects hasbeen set aside in favour of an architecture ofrelations, the notions of hyperspace andhypersurface become natural. (…) Typically, Icompute or find a field of forces or data, scanit for isosurfaces, extrude the isosurface ofhigher dimensions, transform the new higherdimensional hyperobjects in the hyperspace,project the object in a espace of fewer dimen-sions – a hypersurface of the hyperspace – andthen, finally, warp the spatial matrix itself intoa new curvature of space.” [NOVAK, 1998:p.89]

55 “’Hypersurface architecture’ and‘transarchitectures’ are complementary con-cepts. While they are not identical, pursuingone soon leads to the other.“[NOVAK, 1998:p.87]

1:86

Contribuiria para o entendimento de seu trabalho a explanação do termo

“isosuperfície” que não encontra significado em Topologia e o que realmente pode-

se entender pela ação de “deformação” da “matriz espacial em uma nova curvatura

de espaço”. Afora essas imprecisões, o seu trabalho - do que se torna compreensível

– pode apresentar certas proximidades com o desenvolvido por topólogos quando

do estudo de singularidades em superfícies, o qual pode ser descrito de modo mais

simples. Diz respeito à manipulação de dados que correspondem a superfícies em

ambientes de dimensões maiores que 3, espaços onde, na linguagem usada em

Topologia, estas mergulham, isto é, não apresentam auto-interseções e

singularidades (Ver os conceitos no item 2.2.2.1 do Capítulo 2). Após o que o objeto

é projetado em um espaço de menores dimensões, como o espaço tridimensional.

Algo análogo seria a transferência de dados de um objeto inserido em um ambiente

de dimensão 2 para um ambiente de dimensão 3, onde pode-se observá-lo sem

possíveis interferências e manipulá-lo com maior grau de liberdade e, então, retorná-

lo ao seu ambiente de origem - o que pode encontrar paralelo entre a representação

bi e tridimensional de um cubo.

A respeito de conceitos encontrados no referenciado livro sobre arquiteturas virtuais

Hibrid Space New Forms in Digital Space, de Peter Zellner, duas são, pelo menos, as

considerações necessárias. Compõe o livro um glossário de termos técnicos

elaborado a partir de conceitos desenvolvidos pelo arquiteto holandês Kas Oosterhuis

e de termos extraídos diretamente do The Art & Architecture Thesaurus Browser

(http://shiva.pub.getty.edu/aat_browser/). A referência à palavra topologia é a

seguinte [ZELLNER, 1999: p.191]: “Topologia estuda estranhas superfícies que podem

ser transformadas sem colapsar ou quebrar.” 56

56 “Topology studies strangesurfaces that can be trans-formed without collapsing orbreaking”

Se, à primeira vista, a definição não apresenta nenhuma incorreção,

o autor, ao usar as palavras “estranhas superfícies”, imprime certo

juízo de valor, de sentido vago, com pouco ou nenhum significado

científico e que contribui para a mitificação da Topologia e pouco

a esclarece. Do mesmo modo, a transformação de uma superfície

com colapso ou quebra é citada em Topologia e chama-se

deformação que altera topologia (Ver Deformação que altera a

topologia – de uma superfície no item 2.2.2.1 do Capítulo 2).

No mesmo glossário encontra-se afirmativa incorreta sobre a classificação topológica

de superfícies, exemplificada por distinções entre a esfera e o toro:

1:87

“Por exemplo, se um pedaço de fio for preso ao redor de umaesfera e forem encolhidas a esfera e a curva de fio,eventualmente a curva se reduzirá a um ponto. Encolhendo aesfera não se previne o colapso da curva; uma esfera, portanto,não é um objeto topológico. Por outro lado, se um pedaço defio for preso ao redor de um toro – em qualquer direção – eforem encolhidos o toro e a curva, a curva nunca se encolheráa um ponto: o furo do toro protege a curva do colapso. O toroé então um objeto topológico.” [ZELLNER, 1999: p.191] 57

57 “For instance, if one tied a piece of stringaround a sphere and shrunk the sphere and theloop of the string, eventually the loop would di-minish to a point. Shrinkinking the sphere willnot prevent the collapse of the loop; a sphere istherefore not a topological object. On the otherhand, if one tied a loop of string around a dough-nut (torus) – in any direction – and shrank thedoughnut and the loop, the loop would nevershrink to a point: the doughnuts hole would pre-vent the loop from collapsing. A torus is thus atopological object.” [ZELLNER, 1999: p.191]

Aqui é preciso de antemão separar as superfícies das operações que com elas são

realizadas. Tanto a esfera quanto o toro são superfícies fechadas orientáveis mas com

características topológicas distintas, como por exemplo, o fato de no toro,

diferentemente da esfera, ser possível desenhar uma curva fechada ao redor da superfície

sem dividí-la em duas partes. Quanto às operações com superfícies, distingüem-se em

homeomorfismos e transformações que podem alterar a topologia de uma superfície

(dentre elas soma conexa e identificação). A operação citada por Zellner para embasar

sua afirmativa encontra-se neste último grupo, a qual também poderia ser realizada

com o toro (tomando-se uma curva que circunde a seção circular do cilindro que o

gerou) ou mesmo um plano projetivo ou uma garrafa de Klein. (Ver Orientável/

Não–orientável – superfície, Homeomorfismo, Soma Conexa de Superfícies,

Deformações que alteram topologia - de uma superfície, Plano Projetivo,

Garrafa de Klein, no item 2.2.2.1 do Capítulo 2).

Outros dois livros que encontram ampla difusão em se tratando de novas práticas

arquitetônicas e que procuram ampla base topológica são auto-biográficos: MOVE,

de Ben van Berkel e Caroline Bos [BERKEL, BOS, 1999] e Animate Forms, de Greg

Lynn [LYNN, 1999]. MOVE, livro dividido em três volumes dedicados ao que os autores

sugerem como os paradigmas contemporâneos da atuação do arquiteto:

imaginação, técnicas e efeitos, há a ocorrência da utilização de termos topológicos,

dentre outros, em sentido vago ou em uma nova significação, sem a devida

referenciação conceitual:

58 “The re-thinking of organisational structures isat issue. The objective of finding a model thatembodies the inclusive approach in combinationwith the use of new computational techniquesresults in the manipulation of architectural ingre-dients as malleable, orientable and non-orientablestructures. The surface as the object oftransformative strategies is being replaced bythree-dimensional, at times even four-dimen-sional.” [BERKEL, BOS, 1999: p.18. Part 1].

“O re-pensar as estruturas organizacionais está em questão.O objetivo de encontrar um modelo que incorpore aaproximação inclusiva em combinação com o uso de novastécnicas computacionais resulta na manipulação de ingredientesarquitetônicos como estruturas maleáveis, orientáveis e não-orientáveis. A superfície como o objeto de estratégiastransformativas está sendo substituída por princípiostridimensionais, e até algumas vezes, quadridimensionais”[BERKEL, BOS, 1999: p.18. Part 1] 58

1:88

e:

“O volátil, aspectos diferenciados de tempo contribuempara o potencial de nós topológicos para arquitetura.Topologia, como o estudo do comportamento deestruturas superficiais em deformação, é a hibridizaçãodo espaço diferencial e tempo diferencial (…) não-orientabilidade matemática é relacionadaarquiteturalmente a diferenças contínuas baseadas emtempo, que inibem orientações de programas –movimento é o programa e o programa está semovendo.” [BERKEL, BOS, 1999: p. 19,134, Part 3] 59

59 “The volatile, differentiated aspects of timecontribute to the potential of topologicalknots for architecture. Topology, as the studyof the behaviour of superficial structuresunder deformation, is the hybridisation ofdifferential space and differential time.(…)mathematical nonorientability is paral-leled architecturally by time-based contiuousdifference, which inibits the fixed orienta-tion of programmes – movement is the pro-gramme and the programme is moving.”[BERKEL, BOS, 1999: p. 19, 134. Part 3]

ou ainda, quanto à consideração incorreta de invariância topológica na

transformação de um toro em uma Faixa de Möbius – que influenciará a

conceituação de sua obra Möbius House (brevemente comentada no item 3.1 do

Capítulo 3):

“A mesma informação pode ser proporcionada dediversos modos sem alterar nenhum de seus parâmetrosestruturais, da mesma maneira que um toro pode sertorcido em uma Faixa de Möbius sem perder suasproporções originais.” [BERKEL, BOS, 1999: p. 224-225.Part 1] 60

Em Animate Form, dentre outros trechos, têm-se este em que o autor não distingue

o que diz respeito diretamente à Topologia e o que é sua apropriação – como, por

exemplo, “componente temporal da topologia”, e “inflexão” como “imbricação

de múltiplas forças no tempo” que diz respeito à alteração da forma e não à relações

espaciais invariantes, entre outras:

“Os dois princípios que são centrais ao componente tem-poral da topologia são (1) as curvaturas imanentes queresultam da lógica combinatória de equaçõesdiferenciais e (2) a causa matemática da curvatura.Porque entidades topológicas são baseadas em vetores,eles são capazes de incorporarem sistematicamentetempo e movimento em sua forma como inflexão.Inflexão, ou curvaturas contínuas é o modelo gráfico ematemático para a imbricação de múltiplas forças notempo. (…) Superfícies topológicas que guardam forçanas inflexões de sua forma comportam-se comopaisagens em que as inclinações que são geradasguardam energia na forma de orientadas, ou melhor,neutras superfícies.” [LYNN, 1999: p.23, 30] 61

60 “The same information can be propor-tioned in numerous ways without alteringany of the structuring parameters, in thesame way that a donut can be twisted into aMöbius strip without losing its original pro-portions.” [BERKEL, BOS, 1999: p. 224-225.Part 1]

61 “The two linked principles that are centralto the temporal component of topology are(1) the immanent curvatures that result fromthe combinatorial logic of differential equa-tions and (2) the mathematical cause of thatcurvature. Because topological entities arebased on vectors, they are capable of sys-tematically incorporating time and motioninto their shape as inflection. Inflection, orcontinuous curvature is the graphical andmathematical model for the imbrication ofmultiple forces in time. (…) Topological sur-faces that store force in the inflections oftheir shape behave as landscapes in that theslopes that are generated store energy in theform of oriented rather than neutral sur-faces.” [LYNN, 1999: p.23, 30]

1:89

A Morfologia da Arquitetura 1920-1970 e As Significações da Arquitetura (1920-1990)

são títulos de dois livros de teoria de Arquitetura em que se encontra referências à

Topologia como instrumento de análise espacial. São de autoria do arquiteto

português Victor Consiglieri, professor do módulo do Espaço Semiótico/Semiológico

e Neopositivista Pós-Estruturalista do curso de pós-graduação de Teoria da Arquitetura

da Universidade Lusíada em Portugal. As muitas referências encontradas nos livros

dariam margem a igual número de comentários; serão, porém, escolhidas apenas

aquelas que tocam conceitos mais abrangentes. No primeiro livro [CONSIGLIERI, 1995],

o autor define Topologia do seguinte modo:

“a topologia estuda as propriedades das figuras deformadas, as propriedadesinalteradas pela deformação, ou seja, as propriedades das superfícies curvascontínuas deformadas ou deformáveis, e não de superfícies comunsachatadas ou destituídas de ângulos, como é o caso da esfera”.

Sendo a Topologia a geometria que considera os objetos “construídos” por “material”

elástico, qualquer elemento geométrico é passível de deformação, deste modo, não

é objeto da Topologia o estudo das propriedades das “figuras deformadas”, mas as

propriedades geométricas que se mantém inalteradas pela mudança da forma. As

propriedades não dizem respeito ao estado (deformado), mas sim à sua manutenção

entre duas conformações da figura, sendo assim propriedades relacionais (Ver item

2.2.2.1 do Capítulo 2).

Essa primeira consideração já invalida em seqüência a afirmação de que a Topologia

se ocupa de “superfícies curvas contínuas deformadas” e não de “superfícies comuns

achatadas ou destituídas de ângulos”. Afora o fato de a afirmativa carecer de todo

tipo de elementos referenciais a respeito dos termos empregados, uma superfície é

sempre uma entidade bidimensional (Ver Superfície, no item 2.2.2.1), sendo curva

ou “comum” (plana), e é de forma incondicional objeto de estudo da Topologia.

Descartar as “(superfícies) destituídas de ângulos”, diz respeito a um critério não

topológico, a forma, e evidencia a não consideração de uma forma mutável. Por fim,

contra a última afirmativa, se traduzida a expressão “(superfícies) destituídas de

ângulos”, por superfícies sem bordo (Ver Com Bordo/Sem Bordo – Superfície, no

item 2.2.2.1 do Capítulo 2), tem-se a esfera como o grande exemplo de superfície

fechada orientável (Ver Orientável/Não-orientável – Superfície, no item 2.2.2.1 do

Capítulo 2).

No mesmo livro encontra-se:

“... o espaço topológico não é mais do que o espaço fluido, resultante doagrupamento de pequenos espaços com as suas subdivisões, as suaspropriedades, conjugadas pelos fatores do movimento e das tensões do

1:90

objeto, dando ao observador, através do percurso, ambientes dereferências.” [CONSIGLIERI, 1995: p.190]

Nesse trecho o autor procura traduzir o conceito de espaço topológico para a apreensão

do espaço arquitetônico. Para melhor entendimento seria necessária uma maior

explanação do conceito matemático, por exemplo, quanto às subdivisões ou

subconjuntos (Ver item 2.2.2.1 do Capítulo 2), e o desenvolvimento dos significados

para a frase dos termos movimento, tensões do objeto e ambientes de referências,

agregados à definição, mas que não dizem respeito à Topologia.

Sobre a operação com superfícies em Arquitetura, Consiglieri afirma:

“A topologia arquitetônica iniciou-se com as experiências mais elementares,englobando as superfícies curvas agregadas a volumes com expressõeseuclidianas.” [CONSIGLIERI, 1995: p.321]

Afora a necessidade de conceituação do termo “topologia arquitetônica” empregado,

para o autor a introdução da Topologia na Arquitetura deu-se por meio da utilização

de superfícies curvas somadas a volumes euclidianos. Por um lado, deixa implícita uma

visão restritiva, pois as superfícies dos volumes como o cubo, o cilindro, os prismas,

entre outros, isto é, as “cascas” que os envolvem possuem características topológicas.

E por outro, uma visão conceitualmente oposta à Topologia, se o termo “curva” estiver

correlacionado à forma. A frase do autor é representativa de um entendimento

generalizado, mas incorreto, de que a superação de uma “arquitetura euclidiana”

por uma “arquitetura topológica” se faria pela utilização de superfícies curvas.

O autor faz uso ainda de alguns conceitos como conectividade, superfície e dimensão

espacial, e a referência à transposição de um “objeto” entre ambientes de dimensões

espaciais distintas, tencionando sua tradução para o processo de comunicação homem/

ambiente resultando em texto confuso, distante de uma relação adequada entre o

conceito topológico de conectividade e o de continuidade espacial em Arquitetura, e

por isso cabe ser transcrito:

“O espaço topológico não se entende já como um espaço convencional detrês dimensões, mas como um espaço de comunicação, devido ao seusistema estrutural de conexões, de regiões e de limites, embora tudo issoseja tridimensional. Para se compreender este espaço, é necessário organizá-lo em torno da comunicação; caso contrário, cairíamos no espaço vazio econfuso. A solução é dividí-lo em diferentes planos e níveis, a que chamamos‘superfícies’, segundo linhas e pontos de ação fixos, de acordo com osnossos objetivos e necessidades. Assim, ele adquire novas dimensõespsicológicas que tendem a superar o caráter descritivo do espaçopluridimensional e exprime-se numa relação entre planos e níveis horizontais

1:91

e verticais. O objetivo deste espaço topológico é encontrar umaconfiguração em que haja um relacionamento de regiões, uma ligaçãoentre diversos compartimentos num ou mais níveis. Esse relacionamentoé assegurado por outros compartimentos onde a função se torna dúbia,mas nos quais é sempre possível identificar a função da comunicação.Essa comunicação ou locomoção consiste em atravessar fronteiras dediversos tipos por meio de conexões.” [CONSIGLIERI, 1995: p.168]

No segundo livro [CONSIGLIERI, 2000], resultante do curso de pós-graduação ministrado

pelo autor, este utiliza termos derivados da palavra Topologia em uma rápida comparação

entre estruturalismo e pós-estruturalismo sem a devida referência prévia aos seus

significados ou recortes, o que pode tanto deixar em aberto quanto impossibilitar a

compreensão do texto:

“Em toda esta fase do pós-estruturalismo, a geometria da composiçãoarquitectônica corresponde a sistemas topológicos simbólicos, que não sedefinem por realidades preexistentes, nem por conteúdos conceituais quelhe conferem uma significação. Inicialmente, os elementos de uma estruturasimbólica, segundo o conceito de Lévi-Strauss, possuíam um sentidocaracterizado pela ‘posição’ que ocupavam, não num sentido real mas simde concepções imaginárias, onde os sítios e lugares estruturais seassinalavam topologicamente, isto é, a estrutura era um espaço inexistente,constituído gradualmente através de referências, prolongando-se numdeterminado sentido, em efeitos de ótica, de linguagem ou de posição. Aambição científica do estruturalismo não era quantitativa, mas topológicae racional simbólica”. [CONSIGLIERI, 2000: p.293]

Características partilhadas pela totalidade do material encontrado na pesquisa que,

pelo menos, tangencia a aproximação entre Arquitetura e Topologia são citações ao

campo da Topologia pressupondo-o assunto pré-concebido pelo leitor – encontrando-

se quando muito pequenas definições – e a referência imprecisa a seus conceitos

frequentemente associada a termos que não tem significação topológica ou que

não constituem seu objeto de estudo: força, gravidade, quarta dimensão denotando

tempo, formas e curvas complexas, entre outras.

Tratando-se de obras de vanguarda, que procuram captar as recentes transformações

por que passa a prática arquitetônica, predominam nelas, nas palavras de Bonta [BONTA,

1977], as significações pré-canônicas, que desafiam a imaginação e a intuição. Por

outro lado, o conjunto formado por um número considerável de obras, acaba por

resultar em movimento mais ou menos coeso em que os temas relacionados à Topologia

apropriada pelos arquitetos tornam-se “imagens consistentes” próprias das significações

canônicas. Sem a devida referência conceitual. O que motiva a questão de que é por

meio destas e de outras obras de grande ressonância entre arquitetos que o assunto

Topologia, com todas as inflexões possíveis, tem inserção no meio arquitetônico.

2:93

#2

diagrama topologico _ construcao deum conceito

. -,

fg2

- M

ater

ial E

last

ômer

o

2:95

diagrama topologico _ construcao deum conceito

. -,

“O misterioso da problemática matemática e o indeclarável do espaço, aproximidade ou a distância do infinito, a surpresa de um espaço que começae termina de forma diferente, a limitação sem limites exatos, a multiplicidadeque, apesar de tudo, forma uma unidade, a igualdade de forma que variacom o aparecimento de um único acento, o campo de força composto devariáveis, as paralelas que se cruzam e a infinitude que torna a si mesmacomo presença e ao lado novamente, o quadrado com todos os seusfundamentos, a reta que não é perturbada por nenhuma relatividade e acurva que em cada um de seus pontos forma uma reta: todas estas coisas,que aparentemente não têm nenhuma relação com a vida diária do homem,são apesar de tudo, de fundamental importância. São forças que manejamoscomo forças primitivas, às quais está sujeita toda a ordem humana, contidasem toda ordem reconhecível.” [BILL, 1950]

Deve ser inerente à construção de similaridades entre campos do conhecimento, para

além da escolha entre as áreas que momentaneamente serão objeto de entreolhar

mútuo, a consideração dos pontos nodais destas disciplinas que, ao serem selecionados,

permitem não só o entendimento de suas questões estruturais, como também uma

melhor aproximação ao seu caráter ontológico. Longe da procura por definições,

enunciados fechados com pretensão de denominações e limitações de campos de

atuação, o trabalho procura por identificações.

Identificar o ser pela identificação de sua alteridade. Identificar é ação que pressupõe

reconhecimento: reconhecer como conhecer novamente demanda um conhecimento

prévio sobre a realidade que se refaz constantemente por meio da construção de pon-

tes entre conhecimentos; reconhecer como análise e síntese de produções que

continuamente se apresentam, demanda classificações e relações entre elementos. A

identificação mostra-se então não como condição estática, mas como processo dinâmico

de aproximações e distanciamentos segundo critérios recorrentes a determinados tempo

e lugar. Identificar, além de pressupor reconhecimento, induz a classificação: relações

de similaridades e oposições originam classes, gêneros, estilos, nomenclaturas; certa

racionalização que para atingir a síntese e manter sua sustentação recorrentemente

exige certos graus controlados de aproximação.

Identificar o ser e seu outro mantém delineações que compõem uma totalidade

demarcada, como o preto justaposto ao branco. O trabalho procura ir além, ampliar o

ser pela construção de similaridades com sua alteridade. Construir pontes, alinhavar

costuras, são ações que pressupõe intenção de avançar sobre territórios, de andar -

2:96

muitas vezes efetivado pelo tatear - sobre o novo e inicialmente desconhecido. A costura

e a ponte não são em si nenhuma de suas margens; suas pontas a elas se conectam,

sobre as quais se amarram e sustentam criando um terceiro, desenho de território

novo, território inter. São ligaduras que em si são específicas e que permitem

distanciamento desde as margens e um olhar a elas: entreolhar.

Para McLuhan:

“O híbrido, ou o encontro de dois meios, constitui um momento de verdadee revelação, do qual nasce a forma nova (...) O momento do encontro dosmeios é um momento de liberdade e libertação do entorpecimento (...)que eles impõem aos nossos sentidos.” [McLUHAN, 1995: p.75]

O trabalho toma então metonimicamente as duas áreas em questão, Arquitetura e

Topologia, como quem escolhe o terreno para a construção. A parte pelo todo toma

como a parte elementos nodais, centralidades em suas disciplinas: a saber, a criação ou

o ato criativo - tanto de objetos quanto de discursos sobre estes mesmos objetos.

Tomar a criação como elemento similar demanda considerá-la genérica como a criação

em arquitetura ou a criação em Topologia. O que não é o caso, a criação é plural, são

as criações, pois são plurais os processos criativos, os objetos criados. São diversos os

objetos criados em Arquitetura e também o são as superfícies possíveis em Topologia;

assim também, são diversos os processos projetuais em arquitetura como em Topologia.

Como em uma estrutura ramificada, cabe seguir e tomar novas partes. Em meio à

diversidade, o recorte se estabelece: a similaridade de ferramentas projetuais utilizadas

em processos de projeto e leituras projetuais, tanto em Arquitetura como em Topologia:

os diagramas.

O estudo dos diagramas em Topologia e das similaridades com o seu uso em Arquitetura

se propõe inicialmente a perscrutar o conceito e só então se dirigir à sua utilização; a

Topologia e a Arquitetura serão os terminais do caminho a ser trilhado. Os outros

campos consultados visam a construção do entendimento do conceito em um sentido

mais amplo e, com esta amplitude, referenciar a utilização dos diagramas na Topologia

e na Arquitetura. Não é propriamente campo da Topologia o estudo dos diagramas,

mas quando de seu uso especialmente particular, em operações topológicas, agregam

à sua porção diagramática, outra topológica. Uso este que, ao ser trazido para o campo

da Arquitetura como ferramenta operativa e objeto de reflexão, vem incrementar um

campo relativamente recente de exploração: o estudo e aplicação de diagramas em

arquitetura.

2.1 aproximacoes aos diagramas -conceituacoes preliminares

.-.

-

2:97

Diagramas ou desenhos diagramáticos podem ser considerados uma das formas mais

antigas de comunicação humana: as inscrições pré-históricas registraram acontecimentos

por meio de gestos concisos ricos em simbologia; quer individualmente ou em seqüência,

constituíam narrativas de ações humanas. Posteriormente, como suporte para o

desenvolvimento humano e como uma de suas maiores evidências, as linguagens diversas

criadas e aprimoradas pelo homem, propiciam não só a comunicação interpessoal,

mas constituem-se como instrumentos efetivos para o pensamento humano e seu

registro.

A interdependência entre pensamento e linguagem, estudada em diversos campos do

conhecimento, na filosofia (Wittgenstein), na lógica/semiótica (Peirce), na lingüística/

semiologia (Saussure), na matemática (Russell), entre outros, é questão central para a

atuação do arquiteto, a saber, o intrincado relacionamento entre projeto e desenho,

entre pensamento e representação, de necessária reflexão em tempos de incremento

de diversas possibilidades projetuais e representacionais que são colocadas pelos meios

telemáticos. Centrando na Lógica - elemento a partir do qual podem ser lidos os

processos de pensamento desenvolvidos nas outras áreas citadas - as relações

pensamento/linguagem e cognição/representação se apresentam como chaves de leitura

para o diagrama.

Para compor seu raciocínio, o ser humano contemporâneo tem à sua disposição a

possibilidade de envolver informações obtidas em mais de um meio, o que recentemente

tem instigado cientistas de diversas áreas - filósofos, psicólogos, lógicos, matemáticos

e cientistas da computação - para a importância do raciocínio multimeios, com ênfase

para os sistemas representacionais não-simbólicos – ou não apenas simbólicos - ou

diagramáticos, focando em seu caráter lógico e qualidade representacional, em sua

diversidade e em seu papel na cognição humana. As pesquisas em raciocínio multimeios

são divididas atualmente em três grupos segundo suas ênfases: as realizadas pela filosofia

da mente e ciência da cognição sobre o raciocínio humano e representações mentais

que envolvem formas não-lingüísticas; as realizadas por lógicos que mostram a

inexistência de diferenças entre sistemas simbólicos e diagramáticos, em seus aspectos

lógicos, refutando suposições de que os diagramas seriam inerentemente desorientados;

e finalmente as empreendidas pelos cientistas computacionais em assuntos como

representação do conhecimento, design de sistemas e programação visual [SEP, p.01].

2.1.1 aproximacao pela ciencia cognitiva^. -

2:98

Dentro deste sucinto mapa das pesquisas em raciocínio multimeios, no qual se insere o

uso de diagramas em processos de pensamento/representação humanos, há a ocorrência

de dois entendimentos distintos - mas para este trabalho correlatos - da palavra diagrama,

discriminados por Chandrasekaran [CHANDRASEKARAN, 1995 apud SEP, p. 02]:

diagrama como representação mental interna e diagrama como representação externa

em um meio. Para o momento, a compreensão da existência de correlações entre

diagramas internos e externos advém de dois textos sobre o desenho - em momento

oportuno no terceiro capítulo, será discernido o diagrama do desenho, ou melhor, o

diagrama como uma espécie de desenho. O primeiro, sobre a prática artística, A Dúvida

de Cézanne de Merleau-Ponty [MERLEAU-PONTY, 1980], e o segundo, uma das obras

fundantes do entendimento do desenho relacionado à atuação do arquiteto, O Desenho

de Vilanova Artigas [ARTIGAS, 1999], que comentamos em texto dedicado ao desenho

em matemática:

“Por este viés, do desenho condensado de essência, poderíamos considerar

como uma nova proposição do ato de desenhar aquela exposta por Merleau-

Ponty, quando escreve sobre o procedimento pictórico de Cézanne: ‘A

‘concepção’ não pode preceder a ‘execução’ ’, então o Desenho só se realiza

com ‘a mão que pensa e a cabeça que desenha’. Um jogo de inversões, como

aquele na construção de uma faixa de Moëbius, transferindo para a mão um

desenho inteligente que guarda estruturas espaciais e para o cérebro um

pensamento projetivo-desenhador (aqui o oposto de desenhista), imaginativo

de novos mundos... Lema ou leme para desenhadores na constante superação

de um processo composto por um projeto que é a apresentação do

entendimento e um desenho que se torna representação do mesmo. Um

projeto intelectual e um desenho mecânico... Em matemática, o desenho

condensa o entendimento, é metadesenho. Novamente do inglês, o termo

design agrega as noções de projeto e desenho; é termo prenhe de significações

que inexiste em português, separação que traz da linguagem um

distanciamento de procedimentos que se constituem como um só: projetar-

desenhar como captar a essência, construir, design-ificar, enfim, design-ar

como propôs o arquiteto Artigas: ‘ ...se de um lado é risco, traçado, mediação

para expressão de um plano a realizar, linguagem de uma técnica construtiva,

de outro é desígnio, intenção, propósito, projeto humano no sentido de

proposta do espírito.’” [MARAR, SPERLING, 2001]

A correspondência entre representações internas e externas se mantém pelo

entendimento do diagrama como interrelação entre linguagem e imagem. Vários

cientistas cognitivos, dentre eles Howell [HOWELL, 1976 apud SEP, p.12] e Sober [SO-

BER, 1976 apud SEP, p.12] têm se concentrado nas funções das imagens ou diagramas

2:99

nas mais diversas atividades cognitivas, dentre elas algumas que podem ser

correlacionadas com o processo projetual em arquitetura: memória, imaginação,

percepção, navegação ou senso de orientação, inferência e resolução de problemas.

Para os pesquisadores da psicologia nem todas as representações mentais se utilizam

de imagens, que são uma das várias formas para manipulação da informação na mente.

Já o debate contemporâneo sobre as imagens na ciência cognitiva centra-se no

entendimento de como tais imagens se constituem e se estruturam na mente.

Duas são as correntes divergentes: para os pictorialistas, boa parte das imagens mentais

humanas são, em vários aspectos, como quadros ou espécies de fotografias em uma

forma linear de linguagem - como as linguagens naturais. Já os descricionistas

questionam a posição das imagens mentais como filmes e sugerem que elas são formadas

a partir de descrições estruturadas e não são as unidades básicas da cognição. No

primeiro caso, as imagens são unidades básicas às quais se subordinam os

encadeamentos entre elas (a imagem sobre a linguagem), no segundo caso as imagens

se subordinam às estruturas pré-existentes de descrição (a linguagem sobre a imagem).

De qualquer modo, sem entrar no mérito de subordinações, a maioria dos trabalhos

realizados assumem a existência de imagens mentais formadas, segundo Pylyshyn

[PYLYSHYN, 1981 apud SEP, p. 07], como estruturas de uma linguagem e, constituem-

se, tanto diagrama mental quanto diagrama externo de dois níveis:

fg211_01 – Desenhar,litografia, 1948 – M.C.Escher

2:100

“Para qualquer sistema de representação, quer sejasentencial ou diagramático, nós podemos debater sobredois níveis, um nível sintático e um semântico. O que ainferência via de regra nos diz é como manipular umadada unidade, seja simbólica ou diagramática, paraoutra.” [SEP, p.07]1

Sintática e semântica, código e conteúdo, significante e significado

são pares de instâncias do diagrama, e participam, na teoria de

Sausurre, do conceito de linguagem que, traduzido por Teixeira

Coelho,

1 “For any representation sys-tem, whether it is sentential ordiagrammatic, we can discusstwo levels, a syntactic and asemantic level. What inferencerules tell us is how to manipu-late a given unit, whether sym-bolic or diagrammatic, to an-other.” [SEP, p.07]

“é uma rede de relações: mais do que elementos que demarcam umalinguagem (monemas, fonemas etc.) interessam as relações entre eles.Assim, linguagem é a relação língua/fala, significante/significado, notação/conotação etc.” [COELHO, 1999: p.26]

A essas relações podemos acrescentar a existente entre paradigma e sintagma, a qual

será explorada adiante quando tratado o conteúdo semiótico do diagrama. Para o

estudo, no momento, destaca-se a relevância dos pensamentos por imagens, uma

linguagem estruturada constituída por imagens, inerente ao processo projetual em

arquitetura. Por sua própria constituição estabelece maior continuidade com um sistema

de representação externa por diagramas - também uma linguagem estruturada

constituída por imagens –, algo mais distante de se realizar entre um pensamento

visual e uma linguagem simbólica ou verbal.

O estudo do raciocínio e da natureza da representação tem lugar privilegiado nos

trabalhos realizados por Charles Sanders Peirce (1839-1914), estudioso da lógica e

filósofo norte-americano, dentre outras áreas em que construiu sua investigação. Ao

estender sua observação a diversas áreas do conhecimento e das ciências aplicadas -

química, matemática, biologia, geologia, lingüística, psicologia, história e arquitetura,

dentre outros - objetivava a construção de um esquema geral de funcionamento da

investigação humana, a relação que se estabelece entre mente e matéria. Para Peirce,

a diversidade de aproximações entre mente e matéria poderia ser estruturada, por

2.1.2 aproximacao pela logica - semiotica,

. -,

2 “...from the intellectualperspective on experi-ence, a theory of mind.”e “...all experience is amatter of signs.”[ZEMAN, J., 2002B: p.01]

similaridades, em uma teoria da experiência, ou, “de uma perspectiva

intelectual da experiência, uma teoria da mente”2 [ZEMAN, J., 2002B: p.01],

o que seria o propósito da lógica. Ao considerar “toda experiência como uma

questão fundada sobre os signos”, a lógica das linguagens ou semiótica

(semiose=semeion=signo), construída por Peirce, apresenta o ponto de contato

entre mente e matéria, traduzido do seguinte modo por Santaella:

2:101

“A polaridade entre o mundo da mente e o da matéria, interior e exterior,psíquico e físico, só pode ser superada no momento em que se introduz oúnico elemento mediador, o signo, através do qual esses dois mundos seinterseccionam.” [SANTAELLA, 1992: p.102]

Seguindo o raciocínio, toda entidade perceptível ou imaginável, chamada por Peirce de

objeto, pode ser representada por um signo e este, substituindo-o, ao ser traduzido

gera o interpretante. Relação entre três elementos: signo, representante do objeto,

gerador do interpretante; objeto, representado pelo signo, traduzido por um

interpretante; interpretante, significado, mediador do signo e do objeto:

Em sua investigação sobre a experiência em si, considerando como experenciável todo

ser, coisa ou acontecimento que aparece à mente, Peirce dedica-se à fenomenologia

(phainomenon - aquilo que aparece) ou teoria das aparências, desenvolvendo três

categorias as quais estariam submetidos todos fenômenos: primeiridade, segundidade

e terceiridade, categorias em relação de predominância uma com as outras duas em

qualquer fenômeno [PEIRCE, 1974: p.23]. Peirce associa a esta fenomenologia uma

gramática dos signos na qual, conforme a relação estabelecida entre o signo e seu

objeto, os signos são divididos em ícone, índice e símbolo, cada um tendo como

predominância as características de uma das três categorias fenomenológicas.

Estão associadas à categoria de primeiridade do fenômeno as características de acaso,

qualidade, originalidade, possibilidade, liberdade. Como pura qualidade, sem qualquer

parâmetro de comparação ou de condição, é mera possibilidade e se expressa na

multiplicidade. O ícone, associado ao instante de primeiridade, é signo de acaso, de

possibilidade, com caráter em si mesmo.

“Um signo, ou representâmen, é aquilo que,sob certo aspecto ou modo, representa algopara alguém. Dirige-se a alguém, isto é, cria,na mente dessa pessoa, um signoequivalente, ou talvez, um signo maisdesenvolvido. Ao signo assim criadodenomino interpretante do primeiro signo.O signo representa alguma coisa, seu objeto.Representa esse objeto não em todos os seusaspectos, mas com referência a um tipo deidéia que eu, por vezes, denomineifundamento do representâmen.” [PEIRCE,1999: p.46]

fg212_01 – Alfabetouniversal, Bauhaus,1926 – Herbert Bayer

2:102

“Ícone é um signo que tem alguma semelhança com o objeto representado.Exemplos de signo icônico: a escultura de uma mulher, uma fotografia deum carro, e mais genericamente, um diagrama, um esquema.” [COELHO,1999: p. 58]

As características de concretude de existência, temporalidade, causalidade, reação, estão

associadas à categoria de segundidade. Assim como depende da existência do primeiro,

a partir do qual há a reação, não depende de um terceiro ou lei condicionante para a

relação entre si e o primeiro. Ação e reação, sujeito e alteridade, sem qualquer mediação.

O índice, associado ao instante de segundidade é signo de fato, que mantém relação

existencial com o objeto.

“Índice é um signo que se refere ao objeto denotado em virtude de serdiretamente afetado por esse objeto. O signo inicial tem alguma qualidadeem comum com o objeto e, assim, não deixa de ser um certo tipo de ícone,um ícone especial, embora não seja isto que o torna um signo mas, sim, ofato de ser modificado pelo objeto. Ex.: fumaça é um signo indicial defogo, um campo molhado é índice de que choveu...” [COELHO, 1999: p.58]

Finalmente, à categoria de terceiridade, estão associadas às características de

representação, mediação, continuidade, regra, lei. O terceiro, depende para sua

existência da existência do primeiro, pura qualidade, e do segundo, reação sobre o

primeiro. Associado ao instante de terceiridade, o símbolo é signo de razão que mantém

relação com a continuidade do interpretante.

“Símbolo é um signo que se refere ao objeto denotado em virtude de umaassociação de idéias produzida por uma convenção. O signo é marcadopela arbitrariedade...Ex.: qualquer das palavras de uma língua, a cor verdecomo símbolo de esperança etc.” [COELHO, 1999: p. 58]

fg212_02 – Bicho .alumínio, 60cm – Ligia

Clark

2:103

No pensamento triádico de Peirce, os instantes fenomenológicos da criação e produção

do conhecimento seriam: o icônico, estabelecimento de sinapses, instante primeiro de

conexões qualitativas; o indicial, a relação entre o primeiro, instantâneo, e seu mundo

de atuação, momento de verificação; e o simbólico, o ambiente do conhecimento

produzido e adquirido.

Descritas sucintamente as três categorias presentes na lógica de Peirce, cabe trazê-las

ao encontro do conceito de diagrama, ou melhor, do conceito de diagrama por ele

apresentado que está inerentemente ligado as conexões que via entre lógica, matemática

e raciocínio. Na década de 1890, Peirce desenvolveu o que chamou de “Grafos

Existenciais” (Existential Graphs) os quais declarou serem sua “obra-prima” [PEIRCE,

1933: p. 4.191 apud ZEMAN, 2002B: p.04]. Ao considerar a lógica como o estudo do

processo de raciocínio e a construção de um sistema representacional de tal processo

algo vital para seu desenvolvimento, Peirce experimentou por meio desses Grafos a

transferência da representação algébrica para notações gráficas. Seria possível distinguir,

num primeiro momento, os dois sistemas representacionais quanto às suas características,

denominando de simbólico o primeiro e icônico o segundo, a partir do entendimento

de que as representações icônicas têm maior proximidade com o instante criativo,

retentor de qualidades do fenômeno, pois um signo icônico é aquele que representa

seu objeto principalmente por similaridade. Mas como denominador comum, Peirce os

aproxima como sistemas representacionais dependentes do ícone:

“O único meio de transmitir diretamente uma idéia é por via de um ícone;e todo método indireto de comunicar uma idéia deve depender, para seuestabelecimento, do uso de um ícone. Consequentemente, toda asserçãodeve incluir um ícone ou conjunto de ícones ou conter signos cujasignificação só é explicável por meio de ícones. [PEIRCE, 1975: p.117]

fg212_03 –Locomoção Humana,Chapa 616, 1887 –Eadweard Muybridge

2:104

E os divide da seguinte maneira:

“Aqueles que participam de simples qualidades ou Primeiras Primeiridades,são imagens; aqueles que representam as relações - principalmente relaçõesdiádicas ou relações assim consideradas - das partes de uma coisa,utilizando-se de relações análogas em suas próprias partes, são diagramas;aqueles que representam o caráter representativo de um Representamem,traçando-lhe um paralelismo com algo diverso, são metáforas.” [PEIRCE,1975: p.117]

Assim, para Peirce, mesmo que não haja qualquer semelhança sensível entre um

diagrama e seu objeto, ele o considera um ícone por existir uma analogia entre as

relações existentes entre as partes de cada um, objeto e diagrama. E é nesse sentido

que caminha sua consideração das expressões algébricas como icônicas, mesmo que

auxiliadas por normas convencionais:

“...uma fórmula algébrica é um ícone, tornado tal pelas regras decomutação, associação e distribuição de símbolos. Poderá parecer, à primeiravista, que se está fazendo uma classificação arbitrária ao chamar de íconeuma expressão algébrica e que ela poderia igualmente bem, ou de maneiraainda melhor, ser vista como um signo convencional composto. Entretanto,assim não ocorre. Com efeito, importante propriedade característica doícone é a de que, observando-o diretamente, podem ser descobertas outrasverdades concernentes a seu objeto, além daquelas que bastam paradeterminar sua elaboração... Dado um signo convencional ou outro signogeral de um objeto, para deduzir qualquer outra verdade além daquelaque ele explicitamente traduz, faz-se necessário, em todos os casos,substituir aquele signo por um ícone. Essa capacidade de revelar umaverdade inesperada é precisamente aquilo em que consiste a utilidade dasfórmulas algébricas, de modo que o caráter icônico é o prevalecente. Emverdade, toda equação algébrica é um ícone, na medida em que indica,por meio de signos algébricos (que em si mesmo não são ícones), as relaçõesdas quantidades em causa” [PEIRCE, 1975: p.117-119]

Por outro lado, se tanto expressão algébrica quanto diagrama têm como característica

básica a representação das relações existentes entre as partes do seu objeto através da

construção de relações análogas entre as partes que os constituem, algumas distinções

parecem claras. No que diz respeito a sua constituição, as expressões algébricas são

formadas por signos de convenção que entre si estabelecem relações icônicas, o que

também ocorre, segundo Peirce, com o diagrama, um “ícone de relações inteligíveis

(...) auxiliado a ser como tal por convenções” [PEIRCE, 1933: p. 4.418]; uma aparente

similaridade se for considerada, por exemplo, a constituição aberta de um diagrama

arquitetônico formado simplesmente por traços retos em algumas direções. No processo

criativo são ainda possibilidades, tanto em sua forma e direção, quanto em sua

materialidade, não apresentando qualquer restrição por convenções; o diagrama é

2:105

apenas um “vir a ser”. Daí a possibilidade de considerar os

diagramas formados por signos, de modo geral, icônicos

que estabelecem entre si relações icônicas - estes signos

tem em si maiores características de qualidade do que de

convenção, como poderemos perceber mais adiante nos

diagramas propostos por Euler. Em consequência os dois

sistemas condicionam suas leituras: uma expressão

algébrica, além de determinar maiores conhecimentos de

convenções, pressupõe uma leitura linear; um diagrama,

mesmo dependente de um código ou um contrato entre

construtor e leitor, apresenta-se como uma totalidade que

permite leitura simultânea de suas partes.

Do caráter de iconicidade de um diagrama depende o seu

funcionamento, pois ao promover relações análogas ao

objeto representado, torna-se ferramenta não só de

representação do pensamento, mas meio para o próprio pensamento. Quanto a

iconicidade do diagrama, Peirce reforça: “Um diagrama deve ser tão icônico quanto

possível, isto é, deve representar relações, por relações visíveis, análogas a elas” [PEIRCE,

1933: p. 4.433]. Uma ferramenta heurística que apresenta duplo sentido, é locus do

pensamento e registro de seu acontecimento; ao participar do raciocínio criativo instaura

novas relações, ao participar de sua representação estabelece comunicação.

O diagrama se notabiliza por ser um sistema de representação flexível, fato resultante

do caráter múltiplo do signo diagramático, ou melhor, da sua condição triádica - a

relação que mantém com os três níveis de classificação dos signos proposta por Peirce.

Constitui-se predominantemente por um aspecto icônico presente na similaridade das

relações entre suas partes e as existentes entre as partes do objeto a partir do qual foi

construído, tornando-se meio de criação; aspecto ao qual associam-se outros dois: um,

indicial, traduzido nas marcas de partes do objeto que nele foram incorporadas, o que

lhe confere a característica de meio indicador deste objeto; e outro, simbólico, que

figura nas regras sobre as quais foi construído, conferindo-lhe um caráter de meio de

comunicação.

A interrelação entre diagramas mentais e externos - aqueles impressos de algum modo

em um meio material - apresenta-se também em Peirce no binômio observação-

inferência. Um diagrama externo poderá ser a representação de algo já observado,

buscando sua compreensão - o que também ocorre entre diagramas mentais como

seqüências representacionais: a intelecção de uma nova relação entre elementos de

um diagrama em análise tem como suporte a construção de outro diagrama. Peirce

fg212_04 – DuchampDescendo uma escada– Elliot Elisofon

2:106

refere-se ao uso do diagrama pelo geômetra na criação

matemática, como possibilidade de compreensão de partes

ainda obscuras:

“O geômetra desenha um diagrama, que se nãofor exatamente uma ficção, é, ao menos, umacriação, e por meio da observação do diagramapode sintetizar e mostrar relações entre elementosque antes pareciam não ter conexão necessária.”[PEIRCE, 1933: p. 1.383]

Por meio da manipulação de diagramas torna-se possível a

obtenção de situações/organizações correspondentes às

relações do objeto ainda não percebidas. Um diagrama externo

poderá designar novos aspectos do seu objeto, configurando-

se em veículo de descobertas, uma ferramenta heurística de

inferências, que tem afinidades com os diagramas mentais

em processo, justamente por seu aspecto icônico:

“...uma importante propriedade peculiar ao íconeé a de que, através de sua observação direta,outras verdades relativas a seu objeto podem serdescobertas além das que bastam para determinarsua construção.” [PEIRCE, 1933: p. 2.279]

O binômio observação-inferência intrínseco ao processo de criação se apresenta na

construção de diagramas mentais e externos, sem ordem pré-estabelecida de ocorrência.

São diversos os percursos seqüenciais entre os dois modos de diagramas; um processo

criativo pode se iniciar tanto por uma imagem mental quanto pelo traçado de um

diagrama.

Em seqüência, é possível encontrar sobreposição entre o modus operandi do diagrama

e a própria construção de raciocínios lógicos: o conceito de diagrama proposto por

Peirce apresenta similaridades com a atuação da intuição no “princípio lógico da

construtividade” de que trata Newton da Costa, importante logicista brasileiro propositor

das lógicas paraconsistentes:

“1.) visão direta dos objetos com que se trabalha. (...) A intuição sensívelnos ajuda, mas é a intuição intelectual que impera, idealizando e ampliandoo material inicialmente fornecido pela sensibilidade. Existe uma visualizaçãodotada de certa evidência, de situações idealizadas, insinuadas pela intuiçãosensível; 2.) conhecimentos imediatos, concernentes a objetos e relações,e possuindo determinado grau de evidência e clareza.” [COSTA, 1980:p.51]

fg212_05 – Nudescendo uma

escada (n.2), 1912 –Marcel Duchamp

2:107

Para a lógica, os fenômenos são, então, captados pela intuição sensível e processados

pela intuição intelectual, as quais propiciam uma “visualização dotada de certa evidência”

das experiências que permite a aquisição de “conhecimentos imediatos, concernentes

a objetos e relações” ou “a visão direta dos objetos com que se trabalha”, funcionamento

que se sobrepõe ao do signo diagramático na mente por meio do qual as relações

inerentes aos objetos são representadas por “relações visíveis análogas a elas”.

Peirce confronta dois tipos de raciocínio via diagramas, os quais denomina de raciocínio

por teorema e raciocínio por corolário.3 Da matemática, o teorema é uma proposição

resultante de uma verdade já demonstrada, e o corolário é um caso particular de

proposição resultante da mesma verdade já demonstrada. Colocando-se os dois frente

a frente, é possível considerar a existência de uma relação de dependência do corolário

para com o teorema. Se num certo sentido, um corolário é um caso particular do

teorema, no avanço do conhecimento, um teorema poderá ser considerado corolário

de outro teorema, isto é, caso particular de outro caso mais geral. Algo similar à

superação do corolário-teorema por um outro teorema é o que se encontra em Peirce

quando coloca a criação e o hábito como antípodas do pensamento, sendo a criação a

subversão do hábito [PEIRCE, 1975: pp:49-70]. Assim, o primeiro raciocínio por

diagramas, associado à criação e ao teorema aceita a introdução de elementos

imprevistos ao processo de raciocínio na forma de ícones que serão “experimentados

pela imaginação” [ZEMAN, 2002A: p.02] e o segundo, associado ao corolário e a uma

verdade já constituída (hábito) requer a não introdução de novos ícones ou construções4 .

Construindo um paralelo com o processo de projeto em arquitetura, o primeiro sistema

de utilização dos diagramas - que pode ser considerado aberto - torna-se mais próximo

do raciocínio arquitetônico do que o segundo - fechado -, ou melhor, o raciocínio

arquitetônico pode ser descrito como uma seqüência de inferências que seguem do

início ao término do projeto transformando coisas em coisas, teoremas em corolários

fg212_06 - Fita deMöbius

fg212_07 - Fita deMöbius por Hilbert

3 theorematic reason-ing e corollarial rea-soning

4 o termo construções,no caso, refere-se aconstruções deproposições dageometria Euclidiana.

2:108

em direção à construção de novas relações. De uma situação de abertura a diversas

possibilidades de escolhas para um encaminhamento de fechamento de decisões em

meio a um espectro de possibilidades menor, o projeto arquitetônico em processo é

aberto, e, enquanto tal, constitui-se ao seu fim, como corolário, caso particular de um

próximo teorema. Para Peter Eisenman, arquiteto que reconhecidamente já há algum

tempo vem desenvolvendo reflexões sobre o processo de constituição da forma, “um

edifício é talvez a mera representação de uma idéia primeiramente colocada em um

desenho” 5 [SOMOL, 1999: p.102], o edifício é um estágio do processo de investigação

arquitetônica que não culmina nele, mas objetiva a continuidade da própria investigação.

5 “Building may be the mere repre-sentation of an idea first stated in adrawing.” Peter Eisenman em[SOMOL, 1999: p.102]

Outra aproximação possível ao par teorema-corolário da matemática

é a dupla de eixos da linguagem sintagma-paradigma proposta por

Saussure. Na linguagem, qualquer construção parte de uma seleção

de elementos que serão combinados linearmente segundo as regras

do código e o sentido da construção. O eixo dos paradigmas é aberto e regido por

relações de similaridade entre seus componentes, já o eixo dos sintagmas é fechado e

regido por relações de contiguidade - determinadas por convenções - entre suas partes.

O sintagma tem compromissos, pois é a montagem de seqüência linear e irreversível,

fruto de escolhas e combinações, realizada a partir de paradigmas. Estes são um conjunto

de dados sem hierarquia presentes no ato de seleção e que potencializam novas seleções

e combinações. O sintagma se presentifica como uma possível atualização dos

paradigmas e os paradigmas permanecem como virtuais sintagmas. Os teoremas como

virtuais corolários. As inferências projetuais como virtuais obras arquitetônicas.

fg212_08 – House11a. 1978 – Peter

Eisenman

2:109

Além de desvendar conceitualmente um sistema de representação

não-sentencial e desenvolver trabalhos sobre diagramas, Peirce

foi um dos primeiros pesquisadores a propor regras de

transformação em um sistema de representação não-sentencial

[SEP: p. 06], tomando as regras como permissões sob condições

estritamente definidas [PEIRCE, 1933: 4.361 apud SEP: p.06]

visando a consistência do sistema representacional. Dentre suas

proposições sobre o seu uso, destaca-se a ampliação dos diagramas

de John Venn, matemático do século XIX, que por sua vez estendeu

uma pequena parte das pesquisas de Leonhard Euler6 , importante

matemático que viveu no século XVIII e apresentou o primeiro

sistema gráfico representacional conhecido, os Círculos de Euler.

6 Leonhard Euler (Basel, Suíca, 1707 – SãoPetesburgo, Rússia, 1783) completou seusestudos em filosofia em 1723, após os quaisingressou no estudo da matemática,formando-se em 1726 na Universidade deBasel. Realizou grandes contribuições emáreas como geometria, cálculo e teoria dosnúmeros (incluindo sua prova do famosoTeorema de Fermat para o caso n=3), sendoum dos matemáticos mais prolíficos até os diasde hoje. Sua primeira grande obra, foi o livroMechanica (1736-37) onde apresenta, pelaprimeira vez, extensivamente a dinâmica deNewton na forma de análise matemática. Jádispondo de grande reputação, recebe oGrande Prêmio da Academia de Paris em duasocasiões, 1738 e 1740. Para maiores detalhesver URL: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Mathematicians/Euler.html

Uma apresentação, mesmo que sucinta dos diagramas propostos por Peirce, deve ser

feita após a introdução dos trabalhos de Euler e Venn, pela condição de interdependência

que mantém, o que será desenvolvido então no tópico que diz respeito aos diagramas

em Matemática.

O conceito de diagrama tem sido desenvolvido na filosofia contemporânea

fundamentalmente pelo filósofo francês Gilles Deleuze em suas obras “Francis Bacon:

Logique de la Sensation” [DELEUZE, 1981], “Foulcault” [DELEUZE, 1986] e “Mil Platôs”

[DELEUZE, GUATTARI, 1995], o qual descende do conceito semiótico de diagrama de

Charles Sanders Peirce e recebe ainda outras conformações.

Embora o diagrama tal como conceituado por Deleuze venha recebendo considerável

destaque em arquitetura contemporânea, sendo citado por arquitetos como Rem

Koolhaas, Peter Eisenman, Ben van Berkel e Greg Lynn, entre tantos outros, optou-se

aqui apenas por realizar breves menções a seu respeito com o intuito de não adentrar

levianamente em campo tão árido e vasto e intensamente apropriado pela arquitetura

- o que do contrário demandaria a abertura do objeto de pesquisa para Arquitetura x

Topologia x Filosofia –, resguardando-se o recorte de estudo às relações entre Arquitetura

e Topologia, por meio dos diagramas.

Sendo muito comum a ocorrência da dupla citação à Topologia e ao conceito filosófico

de diagrama – e de seu correlato, o rizoma, conceituado por Deleuze e Guattari - em

segmentos da arquitetura contemporânea, vê-se pertinência no desenvolvimento fu-

2.1.3 aproximacao pela filosofia. -

2:110

turo de pesquisa que realize um mapeamento das

interrelações possíveis entre o diagrama topológico e tais

conceitos filosóficos. E ainda, havendo algumas claras

distinções quanto ao caráter operativo-representacional do

diagrama – o que intuitivamente aqui se acredita –

confrontá-las com o uso simultâneo e amalgamado,

corrente em arquitetura. Caminhos de pesquisa que se

encontram fora do escopo desta.

Em “Mil Platôs”, os autores, no que se aproxima ao que

desenvolveu Peirce, identificam o diagrama como uma

máquina abstrata rizomática que funciona por similaridades

e multiplicidades em oposição à uma estrutura arborescente

ditada pela unidade que, por sua vez, seria estruturada

por contiguidades. O conceito de rizoma, ao qual

relacionam o diagrama, segue, por sua vez, seis princípios:

conexão, heterogeneidade, multiplicidade, ruptura a-

significante, cartografia e decalcomania.

“ Oposto ao grafismo, ao desenho ou à fotografia, oposto aos decalques,o rizoma se refere a um mapa que deve ser produzido, construído, sempredesmontável, conectável, reversível, modificável, com múltiplas entradas esaídas, com suas linhas de fuga.” [DELEUZE, GUATTARI, 1995. Vol.1: p.32-33]

Na mesma obra, sob a denominação de “máquina abstrata”, encontra-se:

“Uma máquina abstrata em si não é mais física ou corpórea do quesemiótica, ela é diagramática (ignora ainda mais a distinção do artificial edo natural). Opera por matéria, e não por substância; por função, e nãopor forma. As substâncias, as formas, são de expressão ‘ou’ de conteúdo.Mas as funções não estão ainda ‘fisicamente’ formadas. A máquina abstrataé a pura Função-Matéria – o diagrama, independente das formas e dassubstâncias, das expressões e dos conteúdos que irá repartir. (…) Umdiagrama, com efeito, não tem nem substância nem forma, nem conteúdonem expressão. (…) Existe diagrama cada vez que uma máquina abstratasingular funciona diretamente em uma matéria.Eis então que, no nível diagramático ou no plano de consistência não existemnem mesmo regimes de signos propriamente falando, já que não há maisforma de expressão que se distinguiria realmente de uma forma deconteúdo. O diagrama só conhece traços, pontas, que são ainda deconteúdo, dado que são materiais, ou de expressão, por serem funcionais,mas que arrastam uns aos outros, se alternam e se confundem em umadesterritorialização comum: signos-partículas, partisignos.” [DELEUZE,GUATTARI, 1995. Vol.2: p. 99-101]

fg213_01 – Mão comesfera refletora,

litografia, 1934 –M.C. Escher

2:111

Ainda no mesmo volume:

“ Um regime de signos não tem apenas dois componentes. Há, de fato,quatro componentes, que constituem o objeto da Pragmática. O primeiroé o componente gerativo, que mostra como a forma de expressão, em umestrato de linguagem, recorre sempre a vários regimes combinados (…) Osegundo componente, transformacional, mostra como um regime abstratopode ser traduzido em um outro, se transformar em um outro e, sobretudo,ser criado a partir de outros (…) o terceiro componente é diagramático:consiste em tomar os regimes de signos ou as formas de expressão paradeles extrair signos-partículas que não são mais formalizados, masconstituem traços não-formados, combináveis uns com os outros. Eis aí, oauge da abstração, mas igualmente o momento no qual a abstração setorna real (…) Enfim, um último componente propriamente maquínicodeve mostrar como as máquinas abstratas se efetuam em agenciamentosconcretos, que dão precisamente uma forma distinta aos traços deconteúdo.” [DELEUZE, GUATTARI, 1995. Vol.2: p.104-105]

7 “all mathematical reasoningis diagrammatic, and all neces-sary reasoning is mathematicalreasoning, no matter how sim-ple it may be.” [EISELE, 1976:p.4,47, apud ZEMAN, 2002B]

As operações matemáticas se notabilizam por duas características, lógica e

síntese, sobre as quais baseiam-se. E tal fato é ressaltado por Peirce: “todo

raciocínio matemático é diagramático, e todo raciocínio essencial é um

raciocínio matemático, não importando o quão simples ele parece ser”7

[EISELE, 1976: p.4,47, apud ZEMAN, 2002B]. A lógica presente no raciocínio

permite estabelecer inferências relacionando dados por meio de deduções ,

induções e abduções, almejando o percurso essencial - o que faz com que

muitos teoremas sejam superados por outros, tornando-se corolários dos

segundos. Do mesmo modo, a síntese almejada na representação, quer seja

por expressões algébricas ou diagramas, é sempre icônica, isto é, análoga às

relações constituintes do objeto que representa, permitindo a fidelidade das

inferências.

A consideração da Matemática como um campo privilegiado da linguagem,

primordialmente pelas relações de reciprocidade que estabelece entre sistemas

representacionais algébricos e geométricos, realiza um movimento de confluência para

o que foi desenvolvido até aqui. Ou, poder-se-ia dizer que muito do que aqui se

desenvolveu ao serem tratados assuntos como processos de pensamento e de

representação, tomando pensamento e representação como operações realizadas por

meio de relações, indiretamente dela se tratou. A linguagem matemática é puramente

relacional, ou melhor, é relacional por ser linguagem e como tal, processos de raciocínio

e representação são imbricados, são tão somente uma única operação por meio de

relações.

2.1.4 aproximacao pela logica - matematica. -, ,

2:112

A correspondência entre raciocínio e representação se estende à correspondência en-

tre os sistemas de representação utilizados pelo geômetra. Há um canal contínuo entre

o raciocínio lógico e a construção dos diagramas e sentenças: é operação comum o

desenvolvimento de um teorema por vias simultâneas, diagrama e expressão algébrica

sobrepõem-se e complementam-se. Linguagem gráfica espacial e linguagem gráfica

linear em grande medida correspondem-se:

“...O desenho tem uma relação de interdependência com o que está situadoalém do sinal de igual (=): à uma reta, diagrama sintético, corresponde asua equação, uma descrição com variáveis de análise. Alteram-se as variáveis,e o desenho da reta sofre suas alterações; um novo desenho da reta e sãonovos os seus pares ordenados... Na correspondência entre a representaçãoalgébrica e a geométrica é necessário, por parte do geômetra, o domíniodo código-linguagem do desenho...” [MARAR, SPERLING, 2001]

O entendimento da linguagem - e da matemática - como uma rede de relações encontra

seu rebatimento com o funcionamento do diagrama e das expressões algébricas, os

quais promovem tanto uma rede de relações internas a si, como com outros diagramas

e expressões e com outros objetos. No entanto as relações existentes entre objetos

encontram nos diagramas maior continuidade ou similaridade do que nas linguagens

seqüenciais. Se os diagramas recebem o mesmo status lógico que sentenças, há entre

eles diferenças claras. Para Bertrand Russell [RUSSELL, 1923: p.145-154 apud: SEP,

2002: p.08] as relações espaciais entre objetos em um diagrama podem ser utilizadas

para representar relações entre objetos em outro domínio, no caso deste trabalho na

arquitetura, o que ocorre de maneira limitada nas linguagens seqüenciais. Uma

aproximação que já se permite entre a representação por diagramas e o processo

projetual em arquitetura, além da ocorrência do pensamento e da representação

estruturada constituída por imagens, é a utilização de um sistema de representação

baseado em relações espaciais para traduzir outro domínio que trabalha sobre relações

espaciais, a arquitetura.

fg214_01 – Reta eparábola

2:113

“Linguagens seqüenciais (por exemplo, lógica simbólica,linguagens naturais), porém, usam somente a relação deconcatenação para representar relações entre objetos. O peculiaruso representacional de relações espaciais no caso dos diagramasé direto e intuitivo... A idéia é que linguagens verbais são baseadasem sinais acústicos que são seqüenciais por natureza, e entãodevem ter uma sintaxe complexa compensatória necessária paraexpressar certas relações - sendo que os diagramas, entidadesbidimensionais, são capazes de mostrar certas conexões sem aintervenção de sintaxes complexas... Diagramas exploram essapossibilidade - o uso de relações espaciais para representar outrasrelações.” [SEP, p.08] 8

8 “Sequential languages (e.g., symbolic log-ics, natural languages), however, use onlythe relation of concatenation to representrelations between objects. The peculiar rep-resentational use of spatial relations in thecase of diagrams is direct and intuitive... Theidea is that sentential languages are basedon acoustic signals which are sequential innature, and so must have a compensatinglycomplex syntax in order to express certainrelationships - whereas diagrams, being two-dimensional, are able to display some rela-tionships without the intervention of a com-plex syntax. Diagrams exploit this possibility- the use of spatial relations to representother relations.” [SEP, p.08]

Os diagramas têm larga utilização em matemática, tanto como sistemas

representacionais quanto como ferramentas de investigação, desde a simples

representação de uma reta no plano cartesiano até, algo de maior dificuldade para

visualização, a simulação de autointerseções de uma superfície em um ambiente de

três dimensões. Associando os já citados Russell, Peirce e Costa, os diagramas podem

ser entendidos como ferramentas operativas e representacionais que manipulam relações

em três níveis. O primeiro deles é formado por relações aqui nomeadas de trans-

diagramas, isto é, aquelas que realizam traduções entre signo e objeto, entre os

diagramas internos do pensamento para o diagrama externo e vice-versa, transcendendo

sua própria execução no sentido da criação. O segundo nível é formado por relações

intra-diagramas, aquelas inerentes aos seus elementos formadores e que dizem respeito

a própria constituição do diagrama. O terceiro nível é formado pelas relações inter-

diagramas; relações quer de encadeamento lógico seqüencial estabelecendo percursos

de continuidade, quer de aproximação de diagramas, estabelecendo relações de

similaridade/contiguidade. Deste modo, um diagrama de uma reta no plano cartesiano,

dialoga no primeiro nível com o raciocínio que elabora a imagem mental da reta; no

segundo nível, coloca seus elementos em relação, a reta com o eixo das abcissas, a reta

com o eixo das ordenadas, distâncias e ângulos; no terceiro nível permite distinguir-se

de um diagrama de uma curva, ou apresentar similaridades com o diagrama de uma

reta com coordenadas distintas.

A utilização de diagramas como ferramentas heurísticas na matemática remonta às

ilustrações de silogismos realizadas por Leonhard Euler no século XVIII. Utilizando curvas

fechadas, Euler conseguiu representar quatro categorias de relações, duas universais e

duas de declarações existenciais. Para as declarações universais, o sistema adota relações

entre círculos de uma forma intuitiva: se o círculo denominado “A” está incluído no

circulo denominado “B”, então o diagrama representa a informação que todo A é B.

Na outra possibilidade, se não há sobreposição entre os dois círculos, o diagrama traduz

a informação que A não é B. Representações que seguem a seguinte convenção: A

2:114

todo objeto x no domínio é atribuída uma única posição, dita l(x), no plano tal que l(x)

está na região R se e somente se x é um componente da seleção que a região R

representa.

A visualização direta permitida pelo sistema traduz-se em inferência igualmente direta.

A representação de caracterizações espaciais e posições ocupadas por objetos em relação

a regiões fechadas faz uso apenas do desenho de círculos, sem a adição de quaisquer

convenções e por analogia, relações que exercem influência sobre objetos podem ser

expressas e afirmadas por meio das mesmas relações sobre os círculos que os

representam.

Já os dois casos de declarações existenciais não são passíveis de representação por

meio dos Círculos de Euler sem certa ambigüidade - o que o próprio Euler inicialmente

considerava possível, por meio de inferência visual que algo em A é contido também

em B desde que parte da área A esteja contida na área B. No diagrama referente a

“Algum A é B” não somente uma parte do círculo A é contido pela área B - como Euler

descreveu - mas também outras três são as ocorrências: parte do círculo B é contido

pela área A; parte do círculo A não é contido no círculo B; e parte do círculo B não é

contido pelo círculo A . Daí, o diagrama “Algum A é B” poder ser lido também como

“Algum B é A”, “Algum A não é B” e “Algum B não é A”. As mesmas conclusões

fg214_02 – Diagramasde Euler


2:115

podem ser retiradas dos seguintes exemplos, quando se ampliam os números de regiões;

nos dois primeiros casos, de declarações universais, as inferências são diretas e não

passíveis de erros. No primeiro, Todo A é B, Todo C é A. Por consequência, Todo C é B.

No segundo Nenhum A é B. Todo C é B. Portanto, nenhum C é A.

Com a introdução de declarações existenciais, o sistema novamente incorre em

ambigüidades. Euler apresenta a proposição “Nenhum A é B”, “Algum C é A”, e por

conseqüência “Algum C não é B” que poderia ser lida nos seguintes três casos de

diagramas. A possibilidade da leitura de tal proposição está distante de ser visualmente

clara, o que pode sugerir “Nenhum C é B”, no primeiro caso e “Todo B é C”, no

segundo.

A característica de consistência, que possibilita certo sistema representacional representar

relações de modo claro, confiável e sem ambigüidades é, pois, condição essencial para

seu uso, o que determina a escolha do sistema representacional frente às relações que

irá representar:


9 “ ...an Euler Circles diagram ventures to cap-ture relationships between sets using topologi-cal relationships between plane regions in sucha way that that it depicts all the possible waysthat a certain collection of set-theoretic state-ments could be true. This has two importantconsequences: (1) if a certain diagram cannotbe drawn then the described situation must beimpossible (termed “self-consistency”), and (2)if a certain relationship between diagram ob-jects must be drawn, then the correspondingrelation can be inferred as logically valid. Thisstyle of diagrammatic reasoning is thus depend-ent on a particular representational use of dia-grams - that they represent classes of models.If a particular class of models cannot be repre-sented by a diagrammatic system, then thosecases will not be taken into account in infer-ences using the system, and incorrect inferencesmight be drawn. This fact makes the represen-tational adequacy of diagrammatic systems,restricted by their spatial nature...” [SEP, p.08]

“... um diagrama de Círculos de Euler se propõe a capturarrelações entre grupos usando relações topológicas entre regiõesplanas do mesmo modo que descreve todas as possíveismaneiras em que um certo conjunto de grupos de declaraçõesteóricas poderiam ser verdadeiros. Isso tem duas conseqüênciasimportantes: (1) se um certo diagrama não pode ser desenhadoentão a situação descrita deve ser impossível (chamada‘consistência própria’), e (2) se uma certa relação entre objetosde diagramas deve ser concluída, então a relaçãocorrespondente pode ser inferida como logicamente válida.Este estilo de raciocínio diagramático é deste modo dependentede um uso representacional particular de diagramas – no qualeles representam classes de modelos. Se uma classe particularde modelos não pode ser representada por um sistemadiagramático, então esses casos não poderão ser consideradosem inferências que usam o sistema, e inferências incorretaspoderiam ser concluídas. Esse fato torna a adequaçãorepresentacional de sistemas diagramáticos restrita por suanatureza espacial...” [SEP, p.08] 9

2:116

Apesar das limitações representacionais do sistema proposto por Euler referentes à

própria limitação colocada pelo uso de elementos mínimos - apenas regiões fechadas -

as duas condições anteriores decorrentes dos Círculos de Euler devem ser destacadas,

pois podem remeter ao projeto em arquitetura. Das duas decorre a interdependência

entre objeto, diagrama e inferência lógica - como a tríade proposta por Peirce, objeto,

signo, interpretante -; na primeira, a consistência do raciocínio é dependente da

possibilidade de execução do desenho; este, como síntese, é parâmetro de existência

do objeto; na segunda, se algo é passível de desenho, é passível de ser inferido. O

diagrama é então ferramenta criadora, a partir da qual o raciocínio é validado e da qual

o objeto toma forma. Diagrama como medium entre raciocínio e objeto.

fg214_05 – Diagramasprimários de Venn

10 John Venn (Hull, Inglaterra, 1834 – Cambridge,Inglaterra, 1923) foi M.A. Fellow and Lecturer inMoral Science do Caius College, Cambridge.Publicou dois grandes trabalhos na área de lógica:Symbolic Logic , em 1881, e The Principles of Em-pirical Logic, em 1889. Os diagramas de Vennforam introduzidos por ele no artigo On the Dia-grammatic and Mechanical Representation ofPropositions and Reasonings, editado na Philo-sophical Magazine and Journal of Science S. 5.Vol. 9. No. 59. July 1880. Para maiores detalhesver URL: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/his-tory/Mathematicians/Venn.html

Considerando os pontos fracos dos Círculos de Euler, John

Venn10, um século após, propõe a ampliação de seu sistema

por meio dos chamados Diagramas de Venn com o qual

informações parciais poderiam ser representadas. A grande

diferença entre os dois sistemas é a proposição por Venn dos

Diagramas Primários, que poderiam representar as diversas

relações possíveis entre um número determinado de regiões,

sem a afirmação de qualquer compromisso existencial entre

elas.

Sem avançar sobre o trabalho de Euler nos casos de declarações

existenciais, Venn introduz um novo elemento sintático para

representar compromissos existenciais em declarações universais

- aquelas já suportadas pelos Círculos de Euler. Venn propõe o

sombreamento de áreas apropriadas como visualização de áreas

vazias, proposição que permite a representação de duas

informações compatíveis trazendo maior flexibilidade aos

diagramas, como se mostra a seguir. No primeiro diagrama

duas informações são combinadas, “Todo A é B” e “Nenhum

A é B”, o que transmite a informação “Nada é A”. No segundo

“Todo A é B” e “Todo B é A” são traduzidos claramente que

“A é o mesmo que B”.

Peirce, por volta de vinte anos depois dos trabalhos de Venn,

propõe representações diagramáticas para declarações

existenciais, os chamados Grafos Existenciais, após observar as

limitações dos diagramas de Venn referentes às declarações

existenciais, informações disjuntivas, probabilidades e relações.

Centrando foco nas duas primeiras questões, sua proposição

2:117

parte de três dispositivos: A susbstituição do sombreamento de Venn que significa

vazio por um novo símbolo, a letra ‘o’; a introdução do símbolo ‘x’ para importância

existencial; e a introdução de um símbolo linear ‘-’ que conecta ‘o’ e ‘x’, para informações

disjuntivas.

A substituição do sombreamento pelo símbolo ‘o’ para representar vazio responde a

necessidade de conexão entre duas condições, vazio e significância existencial, o que

não seria possível de conectar por meio de sombras ou sombras e ‘x’s. O diagrama

abaixo representa algo que os sistemas de Euler e Venn não o fariam em apenas um

diagrama, a declaração “Todo A é B ou Algum A é B”. Aumentando a complexidade

da proposição, o diagrama seguinte representa: “Ou Todo A é B e Algum A é B, ou

Nenhum A é B e Algum B não é A”.

Para alcançar a expansão do potencial expressivo do diagrama, Peirce lança mão da

adição de novos símbolos, o que em contrapartida diminui a clareza visual da leitura

fg214_06 –Diagramas de Venn

fg214_07 – Diagramasde Peirce

2:118

direta possível por meio do uso de círculos e sombreamentos dos sistemas anteriores

ao seu. Ler os diagramas de Peirce requer mais do que uma simples leitura visual, mas

a iniciação do leitor em um número maior de regras e convenções, pois a introdução de

símbolos aumenta o grau das convenções presentes no diagrama, distanciando-o de

seu caráter icônico, passível de ser captado visualmente. A leitura do diagrama icônico

que é realizada de modo simultâneo de suas partes cede lugar a um diagrama que

necessita de uma leitura seqüencial, próxima a uma expressão algébrica.

O desenvolvimento de sistemas representacionais por diagramas segue até os dias atuais

como os realizados por Shin a partir da década de 1990 [SHIN, 1991 apud SEP, 2002: p.

06], restaurando a clareza visual dos diagramas de Peirce, mas trazendo consigo uma

perda de seu poder expressivo. Para o que se pretende, a retenção de algumas

características de funcionamento dos diagramas em lógica matemática, os exemplos

citados até aqui se apresentam suficientes.

Como já frisado, característica intrínseca ao diagrama é o seu caráter icônico que permite

não só a representação de relações do objeto por relações análogas a ele, mas a leitura

simultânea de suas partes, como em uma imagem sintética. De seu caráter de síntese

- tanto sintática quanto semântica - decorre seu potencial expressivo sendo que a

introdução de símbolos, ao aumentar seu potencial de representação, o distancia do

objeto, além de trazer convenções à leitura que passa a ser linear e hierarquizada. A

clareza visual de um diagrama é inversamente proporcional à introdução de símbolos

para a representação.

Segundo Russell [RUSSELL, 1923 apud: SEP, 2002], o diagrama exerce função de

representamen primordialmente de relações espaciais. Nos diagramas chamados de

silogismos, são apresentadas certas condições iniciais a partir das quais são inferidas

outras relações existentes; nos casos específicos dos diagramas de Euler aos de Peirce,

são as relações entre regiões ou áreas fechadas, e entre áreas fechadas e seus

componentes. As primeiras podem subdividir-se em compartilhamento que pode ser

parcial - em matemática denominado interseção - e total - denominado sobreposição -

, e não compartilhamento ou não relação, quando duas regiões não se tocam não

apresentando elementos comuns. Das segundas, entre as regiões e seus componentes,

ou entre continente e conteúdo, decorrem as situações de cheio ou vazio. Relações de

compartilhamento ou não-relação entre regiões, e entre regiões e componentes -

continente e conteúdo - de cheios e vazios são análogas a situações encontradas em

arquitetura. Para além dos casos dicotômicos, os casos híbridos ou de declarações

existenciais, apresentam ainda maior interesse se consideradas as qualificações espaciais

arquitetônicas como gradações entre os extremos: do aberto ao fechado, do amplo ao

restrito, do público ao privado.

2:119

Em Topologia, duas são as áreas que, por possíveis interrelações com processos de

representação em Arquitetura e por algumas conexões que mantém entre si, serão

percorridas: a Topologia de Redes e a Topologia Geométrica, sendo que nesta última

encontra-se a especificidade do diagrama que se investiga: o diagrama processual

topológico.

2.2 o diagrama em topologia

O início dos estudos sobre Grafos remonta novamente a Euler (séc XVIII), que dentre

sua numerosa produção científica, formulou o primeiro problema do que seria chamada

posteriormente a Teoria dos Grafos, a partir de uma questão relevante para a arquitetura,

mais especificamente ao planejamento urbano. O problema das pontes de Königsberg

(atualmente Kaliningrado) na Prússia apresentava a seguinte questão: na cidade, cortada

pelo rio Nagel, formada por duas margens e duas ilhas centrais unidas por sete pontes,

seria possível passar pelas quatro áreas iniciando em um ponto qualquer, cruzando

todas as pontes apenas uma vez e voltar ao ponto inicial? Tendo como elementos

centrais para a resolução do problema as quatro áreas e as sete pontes, Euler construiu

um diagrama simplificado em que as quatro partes da cidade são representadas por

pontos e as pontes por linhas unindo estes pontos. Partindo do fato de que para cada

ponto da cidade deve haver uma chegada e uma partida e que elas devem ser distintas,

pois se deve cruzar uma ponte ou passar por cada linha do grafo uma única vez, só

haverá uma rota possível se o número de ligações incidindo em cada um dos pontos for

constante. O que não ocorre no caso das pontes de Königsberg e, como Euler

demonstrou, o problema não tem solução.

Como o problema proposto por Euler foi inicialmente considerado sem aplicações

práticas, como apenas uma charada matemática, novas incursões no campo da Teoria

2.2.1 em topologia de redes _ o grafo

fg221_01 - pontes deKönigsberg e arepresentação emgrafos

2:120

dos Grafos foram realizadas somente um século depois em áreas tão distintas como a

química (por Cayley), a biologia (por Jordan) ou a engenharia elétrica (por Kirchoff), o

que dificultou a sintetização dos dados obtidos. O estudo dos grafos vem a ter um

grande desenvolvimento com a invenção do computador - sem o qual muitas de suas

aplicações não seriam possíveis - por meio de sua utilização em problemas de otimização

organizacional, dentro do campo da pesquisa operacional. Uma vez “descoberta” a

teoria, foram diversas as suas aplicações tanto no campo das ciências físicas como nas

humanas, o que pode ser considerado recente se forem tomadas as datas do surgimento

do primeiro livro específico da área, a década de 1930, e do surgimento da imensa

maioria das publicações na área, a partir de 1970 [BOAVENTURA, 1996, p.03]. Desde

então, grafos têm sido usados nas ciências humanas em áreas como o estudo científico

sobre tomadas de decisão, e igualmente para representar a estrutura das organizações

humanas [MARCH, 1971: p. 243].

Euler, partindo da observação de um problema, transferiu as relações existentes entre

suas partes para uma representação esquemática a fim de torná-las visíveis, isto é,

claramente inteligíveis; substituiu os objetos do problema por pontos, atualmente

chamados de vértices, sobre os quais incidem as relações, e estas, as substituiu por

segmentos de reta, chamados de arestas. A ação de Euler de desvendar relações entre

objetos por meio da construção de grafos análogos ao problema encontrado já prenuncia

o campo de atuação da Teoria dos Grafos, o estudo das relações existentes entre diversos

objetos de análise, e apresenta a ferramenta para tal procedimento: o Grafo.

Representação gráfica de relações existentes entre elementos de dados, o grafo pode

ser descrito, num espaço euclidiano de n dimensões, como um conjunto finito V de

pontos deste espaço chamados vértices e um conjunto finito A de curvas contínuas ou

arestas que unem pares estratégicos de vértices de modo que qualquer par de vértices

distintos determine pelo menos uma aresta. Aos grafos podem ser aplicadas operações

que representam as operações que sofrem os seus componentes – os dados -, tais

como: inserção ou retirada de arestas ou vértices, rotação, fusão, inversão, união,

intersecção.

fg221_02 – grafocompleto

2:121

Pelo modo como os vértices são conectados têm-se

a classificação dos grafos em Grafo Completo e

Grafo Completo Bipartido. O primeiro é aquele que

tem cada vértice unido a todos os outros vértices

por uma aresta (um grafo completo de n vértices é

denotado por Kn). O segundo é aquele em que cada

vértice de um de seus dois grupos é unido por uma

aresta a cada um dos vértices do outro grupo, mas

em que os vértices de um mesmo grupo não são

unidos entre si (um grafo de m e n vértices é

denotado por Km,n). Um determinado grafo A pode

ainda ser considerado um Sub-grafo de um outro

grafo B, se cada vértice de A corresponder a um

vértice de B e cada aresta de A a uma aresta de B.

Ainda quanto a correspondência entre grafos têm-

se duas classificações. Dois grafos, G1 e G2, são

considerados Grafos Isomorfos se seus vértices

podem ser colocados em correspondência um-a-um

de modo que um par de vértices de G1 esteja unido

por uma aresta se e somente se o par correspondente

de vértices em G2 também esteja unido por uma

aresta. Ou ainda, dois grafos G e H, são ditos Grafos

Homeomorfos se são isomorfos ou se cada grafo

pode ser obtido de um terceiro grafo J pela

introdução de novos vértices nas arestas de J, isto é,

se têm uma mesma matriz. (Ver o conceito de

Homeomorfismo aplicado às superfícies no item

2.2.2.1)

fg221_03 – grafocompleto bipartido

fg221_04 – subgrafo

fg221_05 – grafosisomorfos

fg221_06 – grafoshomeomorfos

2:122

Da definição de grafo, dois são seus

elementos constituidores, o objeto (vértice)

e a relação (aresta), seguidos de um elemento

condicional para a sua representação, o

espaço euclidiano. Dada a sua característica

topológica de guardar relações mesmo que

alterada sua forma, os grafos são

representações não regidas por

condicionantes métricas e formais, apenas

por relações topológicas entre seus pontos;

os vértices podem ser posicionados em

qualquer parte do espaço representacional

e as curvas não necessitam seguir dimensões

fixas, já que posição no espaço e dimensão

métrica não são relevantes. A forma se altera

e as relações permanecem.

A forma na representação por grafos é,

então, algo secundário, relevante apenas na

procura por maior concisão e clareza na

transmissão das relações entre objetos. É

possível, por exemplo, a construção de um

grafo com curvas cruzadas, algo, porém, não

desejável por não permitir total clareza de

leitura; a não existência de cruzamentos de

linhas em um grafo, ou a redução de um

grafo a esta condição - o equivalente a uma

nova projeção do ambiente 3D para o 2D -

confere-lhe a condição de grafo planar, isto

é, pode ser representado no plano

11 Considerar o aumento de uma dimensão aos diagramas,isto é, a construção de diagramas tridimensionais seria umgrande incremento em sua capacidade representacional emcasos de maior complexidade espacial, o que no campoespecífico da arquitetura poderia resultar na construção dediagramas tridimensionais análogos aos objetos arquitetônicostridimensionais ou, apenas n-1 dimensional em relação aarquiteturas de dimensão 4.

bidimensional sem gerar dubiedades. Isto não ocorrendo, o grafo é denominado não-

planar, o que o torna claro apenas se representado em 3 dimensões. Relações com um

certo nível de complexidade -como as encontradas nos grafos K5 ou K3-3 - necessitam

da terceira dimensão para a sua resolução, o que de certa forma traz limitantes às

propriedades espaciais - topológicas e geométricas - que os grafos planares podem

representar11 .

Algo decorrente do conceito de Mergulho – que se refere também a superfícies. Um

grafo G é considerado mergulhado em uma superfície M, quando é possível desenhá-

lo de tal modo que duas arestas não se toquem, exceto em um vértice. Em decorrência,

fg222_07 – grafomergulhado

fg222_08 – grafosmergulhados na Fita de

Möbius

2:123

um grafo é dito planar se pode ser mergulhado em um plano; se isto não ocorrer ele é

dito não-planar, como por exemplo os grafos K5 e K3,3 - o Teorema de Kuratowski, por

exemplo, define que um grafo é planar se e somente se não possui um subgrafo

homeomorfo a K5 e K

3,3. Porém os grafos K

5 e K

3,3 (respectivamente, cada um dos

vértices unido aos outros quatro e três vértices unidos a outros três), não-planares, isto

é, que não mergulham em uma superfície orientável, pois seus eixos se cruzam fora

dos vértices, mergulham em uma superfície não-orientável como a Faixa de Möbius,

onde a resolução do entrecruzamento de eixos é realizada pela torção presente na fita.

O grafo prima por ser uma representação sintética de seu objeto de análise, traduzindo

as suas partes e as relações existentes entre elas, de modo análogo, por meio de inscrições

sintéticas: pontos e linhas como elementos e conexões que constituem a especificidade

do objeto; o grafo torna-se seu mapa, apresenta-se na qualidade de diagrama. As

qualificações apresentadas para o (ou extraídas do) diagrama são passíveis de serem

totalmente transferidas para os grafos, pois estes são diagramáticos, e como diagramas

podem ser encarados. Possibilidade que se apresenta em dois excertos selecionados:

“A representação esquemática de grafos... apresenta a vantagem da fácil apreensão

pela percepção global no que se refere a alguns de seus aspectos topológicos.”

[BOAVENTURA, 1996, p.16] e “O valor do grafo consiste na capacidade que possui em

revelar a estrutura essencial de um conjunto de relações”.[MARCH, 1971: P.243]12

12 “The value of thegraph lies in the capac-ity it has for showing upthe essential structure ofa set of relationships.”[MARCH, 1971: p. 243]

A “fácil apreensão” e a “percepção global” destacadas por

Boaventura refletem o caráter icônico do grafo, como representamen

de relações do objeto por relações análogas: o grafo apreende o

objeto em sua totalidade (ou globalidade) e permite ao seu leitor a

extração direta dos dados por meio de sua leitura simultânea, pois

seus dados se apresentam simultaneamente ao leitor. Em March,

apreensão e percepção aparecem como revelação, como algo que

antes obscurecido passa a ser desimpedido de obstáculos ao olhar e

à intelecção. Outra aproximação entre os dois textos é o objeto da

representação que é descrito de modo diverso, mas sinônimo:

“aspectos topológicos” e “estrutura essencial de um conjunto de

relações” são, na verdade, o mesmo objeto de representação do

grafo. O grafo-diagrama apresenta então um caráter icônico e um

caráter topológico que sugerem aproximação, pois ambos podem

ser descritos como uma “estrutura essencial de um conjunto de

relações”. De tal fato, pode-se sugerir que a Topologia do objeto só

é representada iconicamente pelo diagrama topológico e uma

representação só usufrui a condição de ser diagrama topológico se e

somente se representa a Topologia do objeto.

2:124

Em Topologia geométrica situa-se o objeto central de estudo deste trabalho, um tipo

específico de diagrama: o diagrama de processo de geração de superfícies em Topologia.

A construção desse capítulo, ao reservar certo espaço para algumas reflexões

desenvolvidas sobre os diagramas no campo da lógica – quer pela semiótica, quer pela

matemática – e ainda em um campo correlato, a Topologia de Redes, se apresenta

como fruto do entendimento de que o diagrama de processo em Topologia constitui

um específico dentro de uma condição geral, reportando-se a ela por ser diagrama, e

reportando-se à Topologia, pela condição de diagrama topológico. Deste modo,

considera-se que desde o início desse capítulo o diagrama topológico já tem sido objeto

de análise em sua porção diagrama, à qual convergirá sua especificidade processual

topológica no item que se inicia.

Antes, porém, faz-se necessária a construção de um contexto, a delimitação de um

pequeno arcabouço de conceitos primordiais da Topologia que de algum modo se

correlacionam à noção de diagrama topológico. De modo que a noção a ser precisada

encontre não só maior embasamento teórico, quanto traga consigo maiores informações

do campo da Topologia, ao qual diz respeito, e, se possível, contribua para sua melhor

compreensão junto à Arquitetura.

2.2.2 em topologia geometrica _ o diagrama topologico,,

Selecionados os conceitos pertinentes, aqueles que

introduzem o campo da Topologia e que convergem para a

compreensão do diagrama topológico, estes conformam

extensão considerável que acaba por constituir um

necessário parênteses de teoria referente à Topologia.

Evitando quando possível a construção de um texto denso

e a utilização de expressões algébricas, procurou-se

apresentar os conceitos de forma sistematizada e intuitiva,

para que de maneira intuitiva possam ser entendidos pelo

leitor, estruturando uma certa ordem de construção do

pensamento, de termos mais gerais aos mais específicos,

que dependem dos primeiros. Parte-se, não de uma intuição

algébrica, mas de outra, de natureza distinta, que, como

disse Henry Poincaré13 [POINCARÉ apud GRANON-LAFONT,

1990: p. 38], importante topólogo do início do século XX,

^

13 Jules Henri Poincaré (Nancy, Lorraine, França, 1854– Paris, França, 1912) publicou seu estudo intituladoAnalysis Situs em 1895, considerado a primeirapesquisa sistemática sobre topologia. Além damatemática, Poincaré contribuiu para diversas áreascomo: mecânica celestial, mecânica de fluidos, teoriada relatividade e filosofia da ciência, sendo pormuitos considerado o último universalista emmatemática. Na conferência ministrada no InstitutGénéral Psychologique em Paris (1908) entituladaMathematical invention, Poincaré volta-se para oseu próprio processo de pensamento que o levou asuas maiores descobertas matemáticas. Foi diretordo Psychology Laboratory of l’Ecole des HautesEtudes em Paris. Em matemática aplicada estudouótica, eletricidade, telegrafia, capilaridade,elasticidade, termodinâmica, teorial potencial, teoriados quantuns, teoria da relatividade e cosmologia.Escreveu em Mathematical definitions in education(1904): “É pela lógica que provamos, é pela intuiçãoque inventamos”. Para maiores detalhes ver URL:http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Math-ematicians/Poincare.html

2.2.2.1 uma (necessaria) referencia a conceitos datopologia

,

2:125

traz à Topologia seu diferencial: “O que se faz de interesse para nós nesta analysis situs

(nome dado à topologia no início de sua existência) é que é aí que intervém

verdadeiramente a intuição geométrica.” . Método de investigação que João Sampaio

[SAMPAIO, 2000: p. 01] procura esclarecer:

“Para citar um exemplo onde tal método é empregado, tomemos, porexemplo, a teoria dos conjuntos. Sabemos que grande parte daspropriedades das operações e relações entre conjuntos pode ser deduzidaatravés dos chamados diagramas de Venn. Os diagramas de Venn fornecemevidências intuitivas dessas propriedades, mas não constituemdemonstrações matemáticas das mesmas.”

A conceituação da Topologia passa pela consideração anterior do campo onde se insere,

a Geometria - mais especificamente entre as Geometrias Não-Euclidianas -e das noções

interrelacionadas de transformação e invariância que estruturam e diferenciam as

geometrias. A Geometria é o campo da matemática que estuda relações de equivalência

entre objetos por meio de transformações, as quais definem subcampos de estudo

segundo as suas especificidades. A grande questão geral da geometria, sintetizada por

Felix Klein14 em 1872, pode ser descrita do seguinte modo: dado qualquer elemento

geométrico, superfície, sólido etc. e dado também um conjunto de transformações

deste elemento ou do espaço que o contém, encontrar todas as propriedades do

elemento dado que são invariantes sob as transformações do conjunto.

14 Felix Christian Klein (Düsseldorf, Prússia,atualmente Alemanha, 1849 - Göttingen,Alemanha, 1925) foi presidente da ComissãoInternacional sobre Ensino de Matemática noCongresso Internacional de Matemática emRoma, em 1908. Sua síntese da geometriacomo o estudo de propriedades do espaçoque são invariantes sob um certo grupo detransformações, conhecida como ErlangerProgramm (1872), exerceu grande influênciano posterior desenvolvimento da matemática.“Transformações” é um assunto de granderelevância em matemática moderna, ao qualKlein contribuiu mostrando que propriedadesessenciais de uma dada geometria podem serrepresentadas por um grupo detransformações que preservam taispropriedades. Klein também foi responsávelpela descoberta de uma das superfícies não-orientáveis básicas da topologia, a Garrafa deKlein (Ver Garrafa de Klein). Para detalhesver URL: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Mathematicians/Klein.html

A Geometria Euclidiana, fundada sobre os Postulados e Axiomas

(noções comuns) de Euclides, estuda as propriedades geométricas

que são invariantes sob transformações rígidas ou isométricas

(ie. que preservam distâncias entre pontos). Portanto, em

Geometria Euclidiana, duas figuras são consideradas equivalentes

ou congruentes se uma pode ser obtida de outra por uma ou

mais isometrias, quais são translação e rotação, em ambiente

bidimensional, e translação, rotação e reflexão, em ambiente

tridimensional.

Em 300 a.C., Euclides escreveu os agora conhecidos como Os

Elementos de Euclides e que contém diversas Proposições

divididas em treze livros: os seis primeiros sobre geometria plana

elementar, do sexto ao nono sobre teoria dos números, o décimo

sobre os incomensuráveis e os três últimos primordialmente sobre

geometria no espaço. Dentre os seus conceitos fundamentais,

como o ponto e a linha, encontra-se o Plano Euclidiano, uma

superfície plana sem bordo e infinita onde são válidos os Axiomas

2:126

de Euclides. E dentre os postulados são fundamentais o quinto, conhecido como o

postulado das retas paralelas (que na sua versão moderna estabelece que dados um

ponto P em um plano e uma linha reta L não passando pelo ponto P, apenas uma linha

reta L’ pode ser desenhada no plano passando por P, tal que L e L’ nunca se cruzem) e

a proposição da constante da soma dos ângulos internos de um triângulo (180o), dos

quais são subordinadas diversas construções na geometria euclidiana. Em seu campo,

dimensões métricas e angulares, e proporções são critérios de classificação das figuras

geométricas e dados básicos para o cálculo de suas propriedades internas, tais como

área, perímetro, alturas, lados do polígono, raio, entre outras.

Em Geometria de Similaridades são estudadas as propriedades preservadas sob

transformações isométricas além de expansão e contração, como por exemplo, relação

entre distâncias, regularidade dos polígonos, figuras parabólicas e paralelismo. Nesta

geometria duas figuras são equivalentes se uma pode ser obtida de outra por uma ou

mais similaridades. Neste caso, figuras congruentes são equivalentes, como também

figuras similares são equivalentes entre si, porém nem todas figuras equivalentes são

congruentes.

Em Geometria de Afinidades, além das operações para similaridades são permitidas

outras duas operações, deslizamento e tensão, as quais não preservam distância, área,

ângulos e eventualmente forma, mas sob as quais as seguintes propriedades são

invariantes: proporcionalidade na divisão de retas em semi-retas, manutenção de

configurações finitas, manutenção de paralelismos.

15 Giovanni Girolamo Saccheri (San Remo, Itália, 1667 – Milão, Itália, 1733) ingressou na ordem jesuíta em1685, onde desenvolveu seus estudos em filosofia, teologia e matemática, lecionando posteriormente nastrês áreas em alguns colégios italianos. Em Euclides ab Omni Naevo Vindicatus (1733), seu último trabalho,desenvolveu importantes considerações sobre as geometrias não-euclidianas. Trabalhou também comlógica matemática – em Logica Demonstrativa (1697) trata a lógica com definições, postulados edesmonstrações, seguindo a maneira de Euclides em Os Elementos. Para detalhes ver URL: http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Saccheri.html

Em oposição à Geometria Euclidiana, as Geometrias Não-Euclidianas

estudam as transformações e invariâncias que não se verificam no

Plano Euclidiano. Historicamente, denominam-se Geometrias Não-

Euclidianas as geometrias onde não se verifica o quinto postulado

de Euclides. O matemático Girolamo Saccheri15 mostra que isso

equivale a negar que a soma dos ângulos internos de um triângulo é

igual a 180o. Têm-se, assim, duas possibilidades: maior que 180o ou

menor que 180o , onde no primeiro caso a geometria é denominada

Geometria Esférica (ou Elíptica) e no segundo Geometria

Hiperbólica.

fg222_01 –Geometrias Euclidiana

e não-Euclidiana

2:127

Dentre as Geometrias Não-Euclidianas, a Topologia

caracteriza-se pelo estudo de propriedades de figuras

geométricas invariantes sob transformações topológicas (que

para o momento podem ser exemplificadas por ações de

encolher, esticar, deformar etc., chamados adiante de

homeomorfismos).

A invenção do termo Topologia - logos (estudo), topos (lugar)

- é atribuída ao matemático alemão Listing16 , para a qual deu

a seguinte definição:

“Por topologia nós entendemos a teoria dascaracterísticas modais dos objetos, ou das leis deconexão, de posições relativas e de sucessão depontos, linhas, superfícies, corpos e suas partes,ou agregados no espaço, sempre sem consideraros problemas de medidas ouquantidade.” [LISTING apud O’CONNOR, J. J. ,ROBERTSON, E. F., 2000] 17

fg222_02 - MaterialElastômero

16 Johann Benedict Listing (Frankfurt, Alemanha,1808 - Göttingen, Germany, 1882) inicia seusprimeiros estudos em topologia influenciado porseu contato direto com Gauss. Atribui-se a List-ing a invenção da Faixa de Möbius 20 anos antesque o próprio Möbius a apresentasse! (Tambémem 1930, Max Bill com sua escultura de mármorebranco, Faixa sem Fim, acredita ter descoberto aFaixa de Möbius. Em seu livro Surfaces eleposteriormente se desculpa pela ignorância.) Éem uma carta que Listing escreve a um de seusprofessores com o sumário de suas reflexões sobreo tópico que a palavra “topologia” aparece pelaprimeira vez, sendo que a primeira publicação emque o termo aparece é seu livro Vorstudien zurTopologie (1847). São dele também outros termosutilizados atualmente como: ”fenômenoentrópico”, “pontos nodais”, “luzhomocêntrica”, “sistema telescópico” além de“um mícron” como a milionésima parte do metro.Para detalhes ver URL: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Mathematicians/Listing.html

17 “By topology we mean the doctrine of themodal features of objects, or of the laws of con-nection, of relative position and of succession ofpoints, lines, surfaces, bodies and their parts, oraggregates in space, always without regard tomatters of measure or quantity.” [LISTING apudO’CONNOR, J J , ROBERTSON, E F, 2000].

2:128

A Topologia foi inicialmente chamada por Poincaré de analisys situs

e por Leibniz18 de “geometria de posição”. Qualquer dos nomes

preserva em seu sentido a atividade fundamental desta área da

geometria: o estudo das propriedades geométricas não afetadas por

mudanças de forma. Pela mudança da forma, subentende-se que os

“objetos” geométricos em Topologia são construídos com “materiais

perfeitamente elásticos” - que são normalmente representados por

meio de materiais físicos elásticos como pedaços de borracha. Para a

Topologia, se uma superfície for esticada ou encolhida, certas

propriedades dela se mantém inalteradas, podendo como resultado

determinar a congruência, isto é, a similaridade entre formas

geométricas tão distintas quanto o círculo e o triângulo, ou até mesmo

dois polígonos quaisquer. Interessa à Topologia menos a forma, que

estaria vinculada à topografia e mais as relações existentes entre os

pontos desta forma, o que torna um círculo mais próximo das

características de um quadrado do que de um círculo do qual foi

retirado um ponto.

18 Gottfried Wilhelm Leibnitz (Leipzig,Alemanha, 1646 – Hanover, Alemanha,1716) tem destaque na história da filosofiaassim como na história da matemática. Em1676 teve contato com Spinoza, fato quecontribuiu grandemente para odesenvolvimento original de seu trabalho.Também desenvolveu métodos de cálculoinfinitesimal e inventou o cálculo diferenciale o cálculo integral em 1674, os quais setornaram sistemas consistentes apenas em1677 e publicados em 1684. Em seusartigos introduz pela primeira vez termoscomo “co-ordenadas” e “eixos de co-ordenadas”. Para maiores detalhes verURL: http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Leibniz/RouseBall/RB_Leibnitz.html

O objeto de estudo da Topologia - as propriedades invariantes sob alteração da forma

– demandam a sistematização de sua ação segundo quatro agrupamentos. Seu estudo

pressupõe conceitos relacionados primeiramente às Características das Variedades ou

Superfícies (variedades bidimensionais) que se pretendem Invariantes; em segundo

lugar, às Variedades ou Superfícies, aos Nós e ao Ambiente ou Espaço onde se

encontram - e ao relacionamento entre si. Em terceiro, à procedimentos ou Operações

sob as quais se investiga a invariância; e, em quarto, às Classificações de Superfícies

decorrentes de relações internas e externas (em relação ao Ambiente).

fg222_03, fg222_04- A cobra e o

elefante ISaint-Exupéry

fg222_05–Congruência de

regiões geométricas

2:129

No primeiro agrupamento, as Características Invariantes - Proximidade, Conectividade

por Caminhos entre pontos de uma Variedade e Continuidade - são intrínsecas à

própria noção de Espaço Topológico. O Espaço topológico ou Topologia de um

Conjunto é definido como um conjunto S, mais uma coleção não vazia ð de subconjuntos

de S, chamados conjuntos abertos, satisfazendo os seguintes quatro axiomas: 1. O

conjunto vazio é um elemento da coleção (Ø ð); 2. O conjunto S é um elemento da

coleção (S ð); 3. A união de quaisquer elementos da coleção é um elemento da

coleção; 4. A interseção finita de elementos da coleção é um elemento da coleção.

[OPEN UNIVERSITY, 1971]

A Proximidade entre dois pontos é definida pela Topologia dos conjuntos como a

situação que tem como exigência qualquer aberto (aberto = elemento de uma topologia)

que contém um destes pontos conter também o outro, ou, equivalentemente, a não

existência de dois abertos disjuntos contendo cada um deles – o que corresponderia à

Desconexão. A Continuidade entre dois conjuntos de pontos é a relação, preservada

por transformações contínuas, que associa pontos próximos do primeiro conjunto,

chamado domínio da relação, a pontos próximos do segundo conjunto, chamado

contradomínio da relação. De outro modo, pontos adjacentes devem manter-se

adjacentes, relações de vizinhança não devem ser perturbadas.

Outro invariante sob transformações topológicas é o número de curvas fechadas (Ver

adiante o Teorema das Curvas de Jordan) que podem ser desenhadas em uma

superfície sem separá-la, correspondente à noção de Conectividade por Caminhos

que denota o modo de conexão entre pontos de uma superfície. Uma região ou superfície

S é dita conexa se quaisquer dois pontos dela podem ser unidos por um arco contínuo

situado inteiramente em S. Se S é conexa e todo contorno fechado C em S separa S em

duas partes conexas, das quais uma tem C como seu bordo, S é dita conexa por

caminhos. Um arco que une dois pontos do bordo (bordo = linha de limite da superfície)

de uma superfície conexa por caminhos S divide S em duas superfícies conexas por

caminhos.

fg222_06 –Proximidade

fg222_07 –Desconexão

fg222_08 –Continuidade

2:130

Intuitivamente, o conceito de conectividade por caminhos pode ser entendido tomando-

se dois discos circulares (Ver Disco), um sem furos e outro com furos, com as seguintes

características: o primeiro possui uma borda simples formada pela circunferência do

disco, o segundo além desta borda possui as bordas dos diversos furos. No primeiro

disco, dito conexo por caminhos, qualquer curva fechada simples (Ver Teorema das

Curvas de Jordan) pode ser reduzida a um ponto sem passar fora da região delimitada

pela borda do disco. No segundo disco isto não é sempre possível como no caso de

uma curva envolvendo um dos furos em que ela não se reduz além da borda deste

furo. Para se reduzir a um ponto, a curva deve passar pelo furo e, portanto, fora da

região limitada pelas bordas dos furos.

No segundo agrupamento, das relações intrínsecas à Superfície decorrem o próprio

conceito de Superfície, as noções de Propriedade Local/Global, e Topologia e

Geometria Intrínsecas. E das relações da Superfície com seu Ambiente decorrem as

noções de Topologia e Geometria Extrínsecas, de Hipersuperfície e os conceitos de

Mergulho e Nó. Além de outros dois, correlatos entre si: Quarta Dimensão e Hipercubo.

A Superfície é uma entidade geométrica bidimensional que não existe no mundo real

(como qualquer outro objeto matemático!). Uma caracterização básica sua é possuir

largura e comprimento sem apresentar espessura ou altura; ou de outro modo, qualquer

“habitante” fictício de uma superfície, como um ponto, move-se apenas com dois

graus de liberdade, “para frente-para trás” e “direita-esquerda”, sendo impossibilitado

de mover-se “para cima-para baixo”. Sua existência se condiciona à imaginação

geométrica platônica e sua representação física se ampara em objetos que possuem

duas dimensões com grandeza proporcionalmente muito maior que a terceira, como

uma folha de papel, e que no limite, são ditos bidimensionais. Embora já apareça nos

elementos de Euclides, uma definição matemática moderna de superfície seria a de

uma Variedade de dimensão 2. Da mesma forma, o espaço de um sólido é uma

variedade tridimensional de pontos. Assim, superfícies são matéria-prima dos estudos

da Topologia em dimensão 2, a partir dela são realizadas operações e de suas variantes

topológicas são extraídas classificações.

fg222_09 –Conectividade por

Caminhos

fg222_10 – Superfície

2:131

Uma Propriedade Local é aquela observável em uma pequena região da variedade e,

opostamente, uma Propriedade Global requer a consideração da variedade como um

todo. Os termos local e global são usados em expressões como ”geometria local” e

”topologia global”. Por exemplo, um toro plano - ou o diagrama plano (Ver item 2.2.2.2)

de um toro - e um toro têm a mesma topologia global, mas diferentes geometrias

locais. No entanto, um toro plano e um plano têm a mesma geometria local, mas

diferentes topologias globais.

A Topologia Intrínseca de uma superfície diz respeito à Conectividade de seus pontos,

sendo que duas superfícies possuem a mesma topologia intrínseca se, considerados

fictícios habitantes bidimensionais destas superfícies, estes não distinguem uma da

outra; e a Geometria Intrínseca de uma variedade diz respeito às suas propriedades

métricas internas. Por sua vez, a Topologia Extrínseca de uma superfície denota o

modo como a superfície está imersa no ambiente, sendo que duas superfícies possuem

a mesma topologia extrínseca se uma pode ser deformada na outra dentro do espaço

ambiente (Ver Superfícies Homeomorfas). E a Geometria Extrínseca considera as

propriedades métricas da variedade em relação ao ambiente onde está inserida - como

exemplo, tomadas sobre uma mesa uma folha de papel plana e outra curvada formando

um semi-cilindro, tem-se a mesma geometria intrínseca (e.g. a dimensão da folha),

mas distintas geometrias extrínsecas (e.g. a forma).

O conceito de Hipersuperfície, diferentemente do de Superfície não se centra nas

características do objeto em si mesmo, denota uma relação entre o objeto e seu

ambiente: condição em que a dimensão (não como métrica, mas geométrica) do objeto

em relação à dimensão de seu ambiente difere em uma unidade. Assim, todo objeto

de dimensão n num espaço de dimensão n+1, é uma hipersuperfície, não importando

se este objeto está ou não mergulhado neste ambiente (Ver Mergulho). Deste modo,

toda e qualquer superfície, uma entidade bidimensional, num ambiente tridimensional

é uma hipersuperfície. O prefixo hiper associado à superfície denota que o objeto em

fg222_11– Topologiaintrínseca/extrínseca

fg222_12– Geometriaintrínseca/extrínseca

2:132

questão é aquele de maior dimensão geométrica a possuir

algum grau de liberdade dentro do ambiente. Por analogia,

tem-se que uma linha num plano é uma hipersuperfície. Outra

característica de uma hipersuperfície algébrica (isto é, que

pode ser descrita por equações algébricas) é o fato de ser o

objeto de descrição algébrica mais simples para um dado

ambiente. De fato, assim como uma reta no plano, uma

superfície algébrica no espaço tridimensional pode ser

representada por uma única equação, o que não acontece

com uma reta no espaço tridimensional que deve ser descrita

por duas equações que são respectivas aos dois planos que

se encontram gerando como interseção a referida reta.

Mergulho é a terminologia apropriada para denotar que um

objeto “vive” em um dado espaço n-dimensional, condição

na qual não apresenta nenhuma auto-interseção,

singularidade (autointerseção específica, como uma cúspide),

pontos duplo ou triplo (respectivamente o encontro de dois e

19 Sobre este assunto ver o textoSuperfícies Singulares, de Ton Marar,que se encontra no endereço URL: http://www.icmc.sc.usp.br/%7Ewalmarar/topo.html.

três planos), características comuns em uma projeção. Essa condição se traduz em um

teorema profundo de H. Whitney (1945) conhecido como o Teorema do Mergulho,

para o qual toda e qualquer superfície (portanto dimensão 2) mergulha ou apresenta-

se de modo integral num espaço de dimensão 4. Como uma entidade bidimensional,

uma superfície necessita para sua concepção apenas de um plano; porém dependendo

de como este plano está curvado, torcido, esticado, passa a necessitar de um ambiente

de maior grandeza dimensional para sua apresentação integral, sem auto-interseções

ou singularidades19 . Esta apresentação integral é chamada de Mergulho. Em outras

palavras, localmente uma superfície mergulhada é homeomorfa a um disco (Ver

Homeomorfismo).

fg222_13 –Hipersuperfíciefigura do autor

fg222_14 – Mergulho

2:133

O estudo dos Nós, definidos como toda curva fechada (Ver Teorema das Curvas de

Jordan) que, em um plano, não pode ser deformada em uma curva fechada simples,

isto é, sem auto-interseções, realizado em Matemática pela Teoria dos Nós, revela, por

meio da compreensão de seu comportamento, características de superfícies no espaço

tridimensional, o que por extensão, permite sua compreensão no espaço 4D. A condição

de toda superfície mergulhar em um espaço quadridimensional faz com que neste

ambiente todas as auto-interseções e singularidades desapareçam; deste fato, todo nó

em um espaço 4D pode ser transformado em uma curva fechada simples.

Como exemplo de um nó tem-se o nó Trefoil, a mais simples das curvas enodadas, cuja

projeção genérica no plano é formada por três folhas. Seu modelo pode ser construído

tomando-se um fio e formando inicialmente um laço; em seguida tomam-se as duas

pontas do fio unindo-as após transpasse pela região do laço. O nó Trefoil é homeomorfo

a uma curva fechada simples, pois é possível passar de um ao outro, no espaço euclidiano

tridimensional, por uma operação de corte e colagem. Por outro lado não são

considerados isótopos, pois a condição de isotopia não aceita a referida operação que

simula a resolução de auto-interseções na quarta dimensão e, por isso, não se caracteriza

como operação num “mesmo ambiente” (Ver Superfícies Homeomorfas e Superfícies

Isótopas). O nó Trefoil pode ser obtido como bordo resultante de uma Fita de Möbius

com três semi-torções (Ver Fita de Möbius).

fg222_15 – Nó 1070

“as rope”

fg222_16 – Nó 1070

“as rope”

fg222_17 – NóTrefoil, diagrama

fg222_18 – NóTrefoil, prototipagemrápida

2:134

A Quarta Dimensão, em Geometria, é um Ambiente ou Espaço que pode ser

representado pela adição aos eixos cartesianos x,y,z de outro eixo, por exemplo, w com

ângulo de 90o em relação aos outros três eixos; sendo, portanto, espacial e não tempo-

ral como na Física. A Quarta Dimensão (ou dimensões superiores) é utilizada em Topologia

para a resolução de auto-interseções e singularidades de superfícies. Requer, para sua

visualização intuitiva, a analogia do cubo representado em uma folha de papel: como

o cubo possui uma dimensão além do ambiente representacional da folha de papel, é

possível, por exemplo, a representação de um objeto da Quarta Dimensão no ambiente

tridimensional cotidiano ou mesmo no plano (2-D). Metonimicamente a representação

da Quarta Dimensão é realizada por meio da representação do Hipercubo, cubo que

mergulha num espaço de dimensão 4.

Assim como um segmento de reta é um pedaço de uma reta, um quadrado é um

pedaço de plano e um cubo um pedaço do espaço tridimensional, o Hipercubo é um

pedaço do espaço 4D. Constrói-se o hipercubo tomando o cubo 3D e adicionando a

cada um dos vértices uma outra aresta a 90o em relação a cada uma das arestas de

cada vértice, unindo-as posteriormente com quadrados. O hipercubo construído,

formado por oito cubos, será uma entidade representada “em perspectiva” em um

ambiente de dimensão 3 - como na folha de papel, a “outra” dimensão possui

defasagem na representação. Analogamente, o Hipercubo pode ser representado num

ambiente de dimensão 2 como a folha de papel, demandando apenas uma maior

capacidade de visão espacial, já que duas dimensões separam o objeto representado

de seu ambiente de mergulho.

fg222_19 – QuartaDimensão

fg222_20 – Hipercubo

2:135

No terceiro agrupamento, relativo às Operações com Superfícies têm-se o conceito da

operação de Classe de Homeomorfismo ou topologia de uma superfície e os conceitos

decorrentes de Superfícies Isotópicas e Superfícies Homeomorfas; e das Deformações

que alteram a topologia, como por exemplo, Identificação e Soma Conexa de superfícies.

E, ainda, as sequências transformacionais Reidemeister Moves e Roseman, Homma-

Nagase Moves.

Apesar de serem entidades imateriais, utilizam-se termos como operação ou manipulação,

para denotar ações de transformação das superfícies que podem ser de três tipos:

homeomorfismo, identificação e soma conexa. As superfícies em Topologia são decorrência

de uma ou mais operações, homeomorfismos, ou somas conexas, a partir de algumas

superfícies básicas como a esfera, o toro e o plano projetivo, estas, por sua vez, resultantes

da identificação estratégica das arestas de um disco (Ver Disco, Esfera, Toro, Plano

Projetivo).

Uma propriedade topológica, chamada de Classe de Homeomorfismo ou topologia de

uma superfície, é aquela que é preservada por Homeomorfismos, isto é, por

transformações contínuas que podem ser continuamente desfeitas. Por homeomorfismo,

uma superfície plana ao ser deformada preserva todas as suas características topológicas,

alterando apenas suas características topográficas (isto é, geométricas) [CARTER, 1995].

É o conjunto de aspectos topológicos da superfície que, segundo o topólogo João Sampaio

[SAMPAIO, 2000: p.02-04], não se alteram quando é aplicada a ela qualquer uma das

quatro operações citadas a seguir: A. Esticar ou inflar a superfície ou parte dela. B. Encolher

a superfície ou partes dela. C. Entortar a superfície ou partes dela. D. Cortar a superfície

gerando bordas que serão coladas novamente, resgatando a superfície original.

fg222_21–Homeomorfismo

fg222_22 –Diagramas deNós-Homeomorfismos

2:136

A partir do conceito de Homeomorfimo, duas superfícies são ditas Superfícies Isotópicas

quando uma é obtida de outra por meio de uma combinação qualquer das três primeiras

transformações listadas acima. A última operação, de corte e colagem, não é considerada

neste caso, pois a relação de similaridade que promove entre as superfícies inicial e

final só pode ser verificada dependendo da dimensão do espaço ambiente onde estão

inseridas [SAMPAIO, 2000: p.02-04]. Como exemplo tem-se o toro e um toro enodado

que são homeomorfos e, embora não sejam isótopos no espaço 3D, o são em 4D (Ver

Toro). E, duas superfícies são ditas Superfícies Homeomorfas, se uma é obtida de

outra por uma combinação qualquer das transformações listadas acima. O que, por

conseqüência, define que superfícies isotópicas são homeomorfas.

Em contrapartida, João Sampaio [SAMPAIO, 2000: p.03-04] aponta algumas

Deformações que alteram a topologia de uma superfície, isto é, que resultam em

superfícies não homeomorfas à superfície original. São elas: A. Cortar a superfície,

gerando bordas e não tornar a colá-las uma na outra. B. Realizar colagens arbitrárias

de modo que dois ou mais pontos, originalmente separados, tornem-se um só ponto

da superfície. C. Encolher a superfície, ou algumas de suas regiões, fazendo com que

pontos originalmente separados se aglutinem num só ponto. Fazem uso de algumas

destas ações as operações de Soma Conexa e Identificação.

fg222_23, fg222_24 –plano/superfície,

homeomorfismo –prototipagem rápida.

David Sperling

fg222_25 –Deformações quealteram topologia

A Soma Conexa de superfícies pode ser considerada

uma operação descontínua, em oposição à continuidade

promovida pelo homeomorfismo. É realizada pela

junção de uma ou mais superfícies separadas e sem

pontos em comum do seguinte modo: corte e remoção

de região circular de cada uma delas, seguidos de

aproximação e colagem dos bordos resultantes. A

Identificação é a ação de “colagem” estratégica de

2:137

pares de arestas de regiões poligonais planas, com o objetivo de “construir” superfícies

específicas. A colagem, em Topologia, é ação que desfaz as linhas das arestas, tornando

o objeto contínuo. Intuitivamente, poder-se-ia unir em uma superfície retangular plana

a “parte de cima” com a “debaixo” e o “lado direito” com o “esquerdo” gerando

uma superfície sem bordo (Ver Toro). A identificação orientada ou inversamente

orientada é a ação responsável, respectivamente, pelas superfícies orientadas e não-

orientadas (Ver Faixa de Möbius). Um exemplo comum de identificação é a colagem

dos lados de um cubo planificado para a sua construção tridimensional.

Estão ainda relacionados à noção de transformação contínua intrínseca ao conceito de

homeomorfismo as sequências de movimentos transformacionais chamados “moves”,

dois dos quais serão mencionados brevemente, pois que demandam maiores

aprofundamentos que não estão no escopo deste trabalho. O Teorema de Reidemeister,

relativo aos Reidemeister Moves, afirma que dois diagramas de nós que representam

o mesmo nó podem ser transformados um no outro por uma seqüência de movimentos

que podem ser de cinco tipos. Dentre eles o nascimento e morte de uma curva simples

fechada não enodada, onde nascimento corresponde a um máximo local do

comprimento da superfície e morte corresponde a um mínimo local; e operação de

fusão de dois componentes em um ou fissura de um componente em dois. A seqüência

de nós, configurando camadas de curvas, representa a topologia da superfície a que

dizem respeito. E similarmente aos movimentos dos Reidemeister Moves para diagramas

de nós, os Roseman, Homma-Nagase Moves mostram as ações necessárias para mover

superfícies mergulhadas num espaço quadridimensional. Se duas superfícies podem

ser deformadas no espaço quadridimensional em uma outra e elas recebem diagramas

tridimensionais diferentes, então seus diagramas (Ver item 2.2.2.2) podem ser

transformados em outro por uma seqüência de movimentos. Cada uma das “cenas”

dos movimentos corresponde a um corte da superfície por hiperplanos que são paralelos

ao horizonte.

fg222_26 – SomaConexa

fg222_27 –Identificação

2:138

Ao quarto agrupamento correspondem os conceitos relativos à Classificação de

superfícies quanto a propriedades intrínsecas e extrínsecas, quais são: Superfície Com

Bordo/Sem Bordo, Superfície Fechada (e seu teorema de fundamentação, o Teorema

das Curvas de Jordan), Superfície Orientável/Não-Orientável e Superfícies Básicas.

A partir destas classificações são apresentadas as principais superfícies topológicas

conhecidas: Disco, Esfera,Toro, Faixa de Möbius, Garrafa de Klein, Plano Projetivo,

Superfície de Boy, Superfície Romana, Cross Cap, Guarda-chuva de Whitney.

Grande parte do estudo em Topologia em dimensão 2 é destinado à classificação de

superfícies segundo critérios que não dizem respeito à grandeza, mas a ocorrências

internas a si, como furos, bordos e orientação. São também identificadas superfícies

básicas que, por homeomorfismo e ou soma conexa, dão origem a todas as outras

superfícies.

fg222_28 -Reidemeister Moves

fg222_29 -Roseman, Homma-

Nagase Moves

fg222_30 –“Movie” do toro

fg222_31 –“Movie” da Garrafa

de Klein

2:139

Uma superfície pode ser classificada como Superfície Com Bordo/Sem Bordo a partir

da existência ou não de bordo (linha de demarcação do limite da entidade e que possui

vizinhança não inteiramente contida nesta entidade). As superfícies sem bordo

caracterizam-se por possuírem apenas pontos interiores com vizinhanças inteiramente

contidas na superfície. As superfícies com bordo possuem pontos interiores e pontos

de bordo ou de fronteira, com vizinhanças não inteiramente contidas na superfície.

A classificação como Superfície Fechada denota uma superfície sem bordo e com-

pacta, isto é, que pode ser subdividida em um número finito de pedaços triangulares

ou, de outro modo, que tem cobertura S por abertos, ie S = Ui IAi, possui subcobertura

finita, ie S = Uni=1Ani. O que determina que a distância geodésica - linha de menor

distância entre dois pontos traçada sobre uma superfície - entre quaisquer dois de seus

pontos nunca será maior que uma certa distância máxima. São exemplos de superfícies

fechadas a esfera, o toro, a garrafa de Klein, o plano Projetivo (Ver Esfera, Toro, Garrafa

de Klein e Plano Projetivo). Um retângulo, por outro lado, é compacto, mas tem

bordo, não satisfazendo uma das condições para ser uma superfície fechada. E o Plano

Euclidiano não possui bordo, porém, não é compacto e, conseqüentemente, não-

fechado, pois não possui uma cobertura finita, ou seja, tomando-se a distância geodésica

entre quaisquer dois de seus pontos, sempre haverá outros dois pontos situados nele

separados por uma distância geodésica maior que aquela fixada.

20 Marie Ennemond Camille Jordan (LaCroix-Rousse, Lyon, França, 1838 - Paris,França, 1922), professor da EcolePolytechnique de Paris, foi um matemáticoque contribuiu com as diversas áreas damatemática em que estudou como, porexemplo, grupos finitos, álgebra linear emultilinear, teoria dos números, topologiade poliedros e equações diferenciais. ATopologia (naquela época chamada analy-sis situs) passa a ter destaque em seutrabalho logo em seus primeiros estudosmotivados pela pesquisa sobre as estruturasde cristais. Seu trabalho ganha renomeinternacional a partir da visita que recebede Félix Klein (1870) a fim de realizaremestudos conjuntos, sendo que seu interesseem grupos de transformações euclidianasno espaço tridimensional influenciou asteorias de Klein sobre grupos contínuos edescontínuos. O Teorema das Curvas deJordan surge pela primeira vez entre 1909e 1915, na terceira edição do seu Coursd’analyse de l’Ecole Polytechnique ,publicado em três volumes, sendo aprimeira edição de 1882-87. Para maioresdetalhes ver URL: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Mathema-ticians/Jordan.html

Uma superfície fechada mergulhada – como uma esfera, por exemplo

- separa o espaço tridimensional em duas regiões. Este teorema que

se aplica ao espaço tridimensional decorre do Teorema das Curvas

de Jordan20 , segundo o qual uma curva fechada simples, isto é, sem

auto-interseção, situada em um plano separa este plano em duas

partes: uma interior e uma exterior, sendo que o interior é,

topologicamente, sempre um disco.

As Superfícies Básicas, por sua vez, são as superfícies fechadas não

decomponíveis em outras superfícies fechadas. São elas: a esfera, o

toro, a garrafa de Klein e o plano projetivo (Ver Esfera, Toro, Garrafa

de Klein e Plano Projetivo). Da esfera, do toro e do plano projetivo,

a partir de um número finito de somas conexas, originam-se todas

as outras superfícies fechadas, as quais podem ser classificadas em

dois grupos: A. Toda superfície orientável é uma esfera ou um toro,

ou uma soma conexa de dois ou mais toros; B. Toda superfície não-

orientável é um plano projetivo, ou uma soma conexa de dois ou

mais planos projetivos.

2:140

A classificação de uma superfície como Superfície Orientável/

Não-Orientável toma por base a existência ou não de orientação

quanto a lados interno e externo de uma superfície. Uma superfície

é dita orientável quando é possível distinguir dois lados, como em

um plano, uma esfera ou em um toro. Uma superfície é dita não-

orientável quando possui um caminho fechado que inverte

orientação, isto é, um objeto ao percorrer este caminho, tem como

ponto final o início, em relação ao qual está posicionado de forma

invertida. A faixa de Möbius é o exemplo primordial de superfície

não-orientável e, destas, é a primária; sendo assim, é não-orientável

toda superfície que contém dentro de si uma faixa de Möbius (Ver

Faixa de Möbius).

A partir dos critérios que se seguiram são então classificadas as

superfícies. Segundo Euclides, o Disco é a mais elementar das

figuras; superfície orientável, limitada por um círculo (bordo),

conformando uma região circular - o que é apenas uma

característica de elementaridade, podendo adotar qualquer outra

forma que resguarde sua topologia. O disco é a única superfície

com a propriedade de ao ser dividida por um arco entre dois pontos

de sua borda resultar em duas partes congruentes à superfície

inicial, o que significa que a soma mantém as características

topológicas do disco.

A Esfera é superfície orientável fechada resultante da identificação

de todos os pontos do bordo de uma região poligonal plana em

um ponto fora desta região. Em um diagrama plano a esfera é

representada como um círculo com setas de mesma orientação

(Ver Diagrama Plano, no item 2.2.2.2).

O Toro, também chamado de donnut, é também uma superfície

orientável fechada; resultante da identificação orientada das arestas

opostas de um retângulo. Em um diagrama plano o toro é

representado por um retângulo com duas arestas opostas com

setas simples de mesma orientação e outras duas arestas opostas

com setas duplas de mesma orientação. Representação que requer

a recomposição mental do percurso de um diagrama seqüencial,

no qual parte-se de um retângulo, identifica-se duas de suas arestas

opostas gerando um cilindro, seguido da identificação dos seus

bordos, gerando o toro. O toro, a partir de soma conexa a outro

fg222_32– Superfícieorientável/não-orientável

fg222_33 – Disco

fg222_34 – Esfera

2:141

fg222_35 – ToroGenus 1, 2, 3

21 August Ferdinand Möbius (Schulpforta, Saxônia,atualmente Alemanha, 1790 - Leipzig, Alemanha,1868) foi professor de astronomia na Universidadede Leipzig. Seu nome está associado, além da Fita,a várias outras realizações. Introduziu umaconfiguração atualmente chamada “möbius net”que teve grande destaque no desenvolvimentoda geometria projetiva, apresentou a funçãoMöbius, introduzida em seu artigo Über einebesondere Art von Umkehrung der Reihen (1831)e a fórmula de inversão de Möbius, como tambémantecipou problemas de vizinhança na coloraçãode mapas com a utilização de quatro cores (1840).Para detalhes ver URL: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Mathematicians/Mobius.html

toro, pode gerar o toro de genus 2 ou bi-toro, e este, somado

a outro toro, pode gerar o toro de genus 3 ou tri-toro. Já a

soma conexa de um toro a uma esfera produz, posteriormente

por homeomorfismo, o mesmo toro.

A Faixa de Möbius é a mais elementar superfície não-orientável;

tem a particularidade de possuir apenas um único e contínuo

bordo. Um modelo desta superfície pode ser obtido

identificando-se os lados opostos de um retângulo de papel

após um giro de 180 graus, isto é, uma semi-torção, que pode

ser para a direita ou para a esquerda. Criada em 1858 por List-

ing (o mesmo que inventou a palavra Topologia), embora tenha

sido atribuída a Möbius21 (que apresentou sua versão da

superfície 20 anos depois), é o primeiro exemplo de superfície

não-orientável e critério de classificação das superfícies

orientáveis e não-orientáveis: uma superfície é não-orientável

fg222_36 – Faixa deMöbius - diagrama

fg222_37 – Faixa deMöbius - prototipagemrápida

fg222_38 – Faixa deMöbius - prototipagemrápida

2:142

se, e somente se, possui uma faixa de Möbius. Em um diagrama plano, a Faixa de

Möbius é representada por um retângulo com duas de suas arestas identificadas cada

uma com uma seta, uma invertida em relação à outra. A faixa de Möbius é para as

superfícies não-orientáveis o correspondente ao cilindro para as orientáveis, sendo que

diferem em outra particularidade: o cilindro possui bordo desconexo, já a faixa, como

já dito, possui uma única componente de bordo.

Duas curiosidades a respeito da Faixa dizem respeito a cortes que podem ser realizados

em seu modelo de papel. A primeira delas é que, tomado o ponto médio de sua largura

e traçado um corte em toda a extensão do comprimento da faixa, ela cederá lugar a

uma faixa orientável, duas vezes maior, com quatro semitorções. A segunda é que,

tomado 1/3 da largura e traçado um corte em toda a extensão até encontrar seu início

– serão duas voltas -, a fita cederá lugar a uma faixa orientável, duas vezes maior, com

quatro semitorções, enodada, como elo de corrente, com uma Faixa de Möbius de

mesmo tamanho que a original, apenas 2/3 mais estreita.

Criada pelo matemático Felix Klein, em 1884, a Garrafa

de Klein é também uma superfície não-orientável, porém

fechada, resultante da identificação dos bordos de duas

Faixas de Möbius, uma com uma semi-torção à direita e

outra com uma semi-torção à esquerda.

fg222_39 – Garrafade Klein - diagrama

fg222_40 – Garrafade Klein

fg222_41 – Garrafade Klein (outra

parametrização)

2:143

22 conforme Marar, Washington L. Comunicaçãoparticular, 2002.

23 Werner Boy encontrou um modelo do planoprojetivo sem singularidades exatamente quandoprocurava, a pedido de seu orientador, DavidHilbert, provar a sua inexistência. David Hilbert,(Königsberg, Prussia, atual Kaliningrado, Russia,1862 - Göttingen, Germany, 1943), foi professorna Universidade de Berlim, e é um dos nomes demaior destaque no campo da topologia.

fg222_42– PlanoProjetivo - diagrama

fg222_43– Superfície deBoy

fg222_44– SuperfícieRomana

fg222_45– Cross Cap

O Plano Projetivo é outra superfície não-orientável fechada;

resultante da identificação de um disco no bordo de uma Faixa

de Möbius. Pode ser concebida também por meio de uma esfera,

na qual seus pontos antipodais são identificados – o plano

projetivo está para as superfícies não-orientáveis, como a esfera

está para as orientáveis. Possui três representações no espaço

3D, cada qual com distintas particularidades. Uma delas, a

Superfície de Boy é a representação do Plano Projetivo

(certamente projeção de um espaço de dimensão maior que 4

no espaço 3D22 ), proposta pelo matemático Werner Boy23 , em

1903, em que revela ser possível a supressão de duas

singularidades pela adição de um ponto triplo. Outra, a

Superfície Romana: é a projeção do plano projetivo no espaço

3D proposta pelo matemático Jacob Steiner em 1844, que possui

seis singularidades e um ponto triplo. E ainda, o Cross Cap,

representação do Plano Projetivo no espaço 3D, com exatamente

2 pontos singulares.

2:144

Por fim, tem-se o Guarda-chuva de Whitney como a singularidade pri-

mordial de superfícies no espaço 3D, que tem esse nome em homenagem

a Hassler Whitney24 . Um modelo pode ser construído com uma folha de

papel: faz-se um corte em sua metade até atingir verticalmente o meio da

folha; realiza-se duas dobras horizontais a partir do final do corte, girando

cada uma das abas em uma direção; ao final cola-se as abas ao longo de

uma linha vertical imaginária que representa a auto-interseção.

24Hassler Whitney (Nova York, EUA,1907 - Mount Dents Blanches, Suiça,1989) foi professor na University ofHarvard (a partir de 1946) e no Insti-tute for Advanced Study at Princeton(a partir de 1952). Grande parte deseu trabalho se desenvolveu emtopologia, particularmente em teoriade singularidades, tendo trabalhadotambém com teoria dos grafos,variedades algébricas e teoria deintegração.

fg222_46– Guarda-chuvade Whitney

fg222_47– Operações erelações de equivalência

entre as superfícies

2:145

Em Topologia Geométrica são identificados, pelo menos, três modos de representação

de superfícies: o diagrama plano, o diagrama de processo e a palavra, comentados a

seguir. Sendo que os três, de algum modo, se interrelacionam – além, é claro, da

reciprocidade entre meios geométricos e algébricos de representação inerente à

matemática, a saber, entre o desenho e a equação que descreve uma variedade.

2.2.2.2 o diagrama e o processo, o diagrama comoprocesso

25 “As an icon, it will repre-sent by resemblance: it pro-vides a mapping to theprocess it studies.”[ZEMAN, 2002B: p. 07]

Tanto diagrama plano quanto diagrama de processo, quanto palavra, são

ferramentas operativas e representacionais – os quais serão, por enquanto,

chamados genericamente de diagramas. Como ferramentas operativas, são

neles aplicadas as operações topológicas para a construção da superfície. E

como ferramentas representacionais são signo da superfície e de seu processo

de formação. O que conflui para o pensamento de J. Jay Zeman, destacado

filósofo e pesquisador em semiótica norte-americano para quem o diagrama,

“como um ícone, representa por semelhança: ele provê um mapeamento do

processo que investiga” [ZEMAN, 2002B: p. 07]25 . Afirmação em que se

encontra a simultaneidade temporal de ações do diagrama: provê – representa

- um mapeamento do processo ao mesmo tempo em que o investiga.

Nesta afirmação de Zeman também temos a confluência das várias qualidades do

diagrama expostas até aqui: o caráter icônico e analógico do qual se remete Peirce, o

caráter analógico-sintético e espacial-relacional reforçado por Russell, o caráter de

visibilidade direta do objeto em manipulação, por Newton da Costa, a percepção glo-

bal de aspectos topológicos, por Boaventura, e de revelação de uma estrutura de

relações, por March. A grande novidade a ser destacada em Zeman, já prenunciada em

Newton da Costa, é o caráter de investigação processual do diagrama, focado pelo

autor como um metaprocesso: ferramenta processual que reflete sobre si mesma,

investiga e mapeia o próprio processo.

fg222_48 –Homeomorfismo deum toro em umacaneca

2:146

Os três níveis de relações desenvolvidos pelos diagramas de modo geral, trans-diagramas

(entre diagramas internos e externos), intra-diagramas (inerentes aos elementos

formadores) e inter-diagramas (encadeamento lógico e relações de similaridade e

contiguidade) sobrepõem-se a seu caráter triádico primordialmente icônico (analogias

com o objeto) associado a seus aspectos indicial (marcas indicadoras do objeto) e

simbólico (regras de construção), sendo a topologia da superfície o objeto de operação

e representação do diagrama topológico. Ao investigarem e representarem as superfícies

e as operações topológicas, os diagramas, por analogia espacial, colocam-se como o

próprio meio para a ocorrência das operações: neles e por meio deles são realizados

homeomorfismos e somas conexas ou identificação entre partes da superfície.

Para melhor delineamento das operações topológicas, realiza-se aqui certa classificação

com base nas suas características de ação. A operação de homeomorfismo, relatada no

item anterior, pressupõe sempre a manutenção da continuidade espacial da superfície

inicial mesmo sob a alteração da forma e se caracteriza por ser uma operação contínua

e intrínseca à superfície, isto é, sem interferência em sua topologia por elementos

fg222_49 –Transformação de

uma Fita deMöbius em umaGarrafa de Klein

fg222_50 –Seqüência da

Garrafa de Klein epartição em 2

Faixas de Möbius

2:147

externos. A operação de soma conexa, também já descrita, pode ou não alterar a

topologia da superfície, mas sempre altera a proximidade entre os pontos vizinhos à

operação. Caracteriza-se por ser uma operação descontínua e extrínseca, isto é, com

interferência externa à superfície - como corte e colagem, por exemplo.

Em uma ou outra operação, nos diagramas planos, nos diagramas de processo ou nas

palavras representacionais, explícita ou implicitamente, são registradas a superfície inicial,

a superfície final e as operações realizadas, como será visto a seguir. E a relação de

equivalência entre diferentes seqüências de operações permite a obtenção de uma

superfície por distintas vias - evidenciadas por seqüências de diagramas também distintas.

Como exemplo, uma Garrafa de Klein pode resultar tanto da identificação de duas

Fitas de Möbius, quanto da identificação com orientação apropriada das bases de um

cilindro.

Em Topologia, todas as superfícies, orientáveis ou não-orientáveis, fechadas ou não,

direta ou indiretamente provêm do disco – a superfície mais elementar - e a ele podem

ser recompostas. Equivalentemente, introduzindo em um disco seqüências estratégicas

de operações obtêm-se todas as demais superfícies.

O diagrama processual se notabiliza por representar “quadro a quadro” a modelagem

de uma superfície, seja por identificação e homeomorfismo a partir de uma região

poligonal plana, seja por soma conexa e homeomorfismo de superfícies básicas fechadas.

O diagrama processual não centra a representação isoladamente na superfície inicial

ou na final, mas no processo da qual são partes integrantes como origem e como

estágio final em que determinadas relações almejadas foram estruturadas. Assim como

possui um caráter propositivo que avança da superfície inicial até a configuração final,

fg222_51 – Diagramaprocessual

2:148

possui um caráter prospectivo que reconstrói os possíveis caminhos e operações

realizadas para a modelagem da superfície. Colocam-se possíveis caminhos, pois, como

já explicitado, de modo geral uma superfície pode ser resultante de seqüências distintas

de operações: quando por homeomorfismo, por “movimentos elásticos” diversos a

partir de uma mesma superfície e, quando por soma conexa, composta por diferentes

superfícies básicas. Dessa maneira, a superfície torna-se vinculada ao diagrama como o

produto está ao processo.

O diagrama plano de uma superfície fechada tem a especificidade de centrar sua

representação na superfície inicial, um disco – região poligonal plana – que por meio

de analogia espacial é representada por uma curva fechada que delimita uma porção

de área onde está sendo desenhado. A cada lado da região desenhada são acrescidos

sinais convencionais (-, =, >, <, a, b, c etc) em pares que indicam os lados da superfície

a serem identificados, além da designação de sua direção (+ ou -), do que depende a

orientação ou não-orientação de uma superfície. As operações subseqüentes de

identificação e homeomorfismo que se realizam a partir da colocação estratégica dos

pares de sinais, e o desenho da superfície final são, então, construídos mentalmente

pelo leitor. O alto grau de síntese do diagrama plano, possibilitado pelo maior uso de

fg222_52 – diagramaplano do toro (toro

plano) e toro

fg222_53, fg222_54,fg222_55 - V&A

Museum, Londres.1999. Daniel

Libeskind. diagramaplano; diagrama

processual; maquete

2:149

convenções, demanda do leitor não só um maior conhecimento da Topologia e suas

propriedades, mas igualmente uma visão espacial desenvolvida. Após isto, percebe-se

que não há representação geométrica mais sintética tanto da superfície, quanto das

ações que determinam sua constituição. O diagrama plano pode ser entendido como

um diagrama processual sintético a ser inferido e finalizado mentalmente.

Do diagrama plano decorre a chamada palavra representação de uma superfície fechada.

A palavra não faz uso de nenhuma representação geométrica, apenas de sinais algébricos

específicos, isto é, letras que são encadeadas estrategicamente. A construção da palavra

segue um sentido, horário ou anti-horário, de percurso das arestas da região poligonal,

realizando uma volta completa. Cada letra corresponde a uma aresta e seu sinal, positivo

ou negativo, ao sentido de percurso do movimento em relação à orientação da aresta

identificada no diagrama plano, por exemplo, por setas > ou <. Como exemplo, uma

aresta “b”, percorrida no sentido da seta, é nomeada “b”, e em sentido contrário “b-

1”. Assim o toro, superfície orientável, é designado pela palavra ab-a-b, e a garrafa de

Klein, o corresponde ao toro para as superfícies não-orientáveis, por ab-ab. A esfera,

superfície orientável, é representada por aa-1 ou 1 denotando a identidade fundamen-

tal, e o plano projetivo, seu correspondente para as superfícies não-orientáveis, por aa,

ou melhor, 2a.

Realizando a síntese do diagrama plano, constitui-se entre todas as representações

geométricas ou algébricas da superfície e de seu processo de construção como a mais

sintética. Sem o apoio visual do diagrama plano, sua escrita e leitura exigem um alto

fg222_56 –Conformação final,diagrama plano epalavra das superfíciesfechadas

2:150

grau de familiaridade com o procedimento, decorrentes da pouca clareza visual inicial

e do grande uso de simbologias. Necessita, ainda mais que o diagrama plano, ser

inferida e finalizada mentalmente: o número de letras correspondendo ao número de

arestas, o número de pares ao número de identificações, os sinais dos pares de letras

no sentido de encaminhamento ao modo de orientação da superfície. O número de

letras de uma palavra corresponde ao número de arestas da região poligonal plana a

ser representada.

Os três meios de operação/representação de superfícies, diagramas de processo,

diagrama plano e palavra são denominados diagramas, pois, como já visto, guardam

as relações entre as partes do objeto por meio da representação de relações análogas a

elas. Por outro lado, podemos distinguí-los segundo o modo como representam as

partes em si – e não as relações entre as partes – da superfície. Pode-se afirmar, com

base nas evidências mostradas até aqui, ser o grau de similaridade visual do diagrama

processual com o processo que investiga o maior existente, seguido do diagrama plano

que representa em parte o processo deixando índices de sua continuidade para fins de

complementação mental, e por fim, a palavra, que exige alfabetização e se coloca em

matriz distinta da superfície: simbologia algébrica representando regiões geométricas.

No diagrama processual, as três instâncias de relações, trans, intra e inter-diagramas,

comparecem construindo integralmente o “mapeamento do processo” de que fala

Zeman. Cada quadro estabelece a relação entre o diagrama interno do pensamento e

o diagrama externo (trans-diagrama), entre objeto, inferência e representação, por

meio de similaridades estruturais. Constrói as relações internas a si, inerentes aos seus

elementos constituidores (intra-diagrama) que promovem a visibilidade direta das

relações em operação, análogas às relações presentes no objeto. E participa, finalmente,

de um movimento “quadro-a-quadro” de encadeamento lógico que representa a

seqüência do processo (inter-diagrama).

Ou, de outro modo, associando as referências de Russell, Peirce, Newton da Costa,

Zeman, Boaventura e March às três instâncias presentes no diagrama processual

topológico (trans, intra, inter), estas passam a designar as três variáveis fenomenológicas

com que lida este diagrama. A primeira, trans-diagrama, remete-se ao próprio

pensamento, às diversas possibilidades de constituição do ser ainda como vir-a-ser,

suas representações mentais e físicas (Peirce, Boaventura, Newton da Costa, March). A

segunda, intra-diagrama, remete-se ao espaço, aos elementos espaciais contituintes

do diagrama e às relações existentes entre si (Russell, Boaventura, March) . A terceira,

inter-diagrama, remete-se ao tempo, inerente ao processo de construção da superfície

a que diz respeito (Newton da Costa, Zeman).

2:151

O diagrama processual topológico pode ser considerado como um meio de investigação

e percepção, criação e representação de relações topológicas (espaço), sob

transformação processual da forma (tempo), que se realiza simultaneamente, num

fluxo de duas vias, ao processo de concepção mental (pensamento). Pensamento e

relações espaciais guiadas no tempo por relações de similaridade - proximidades

estruturais entre elementos – e não por relações de contiguidade - aproximações

convencionais entre elementos.

Processo e diagrama sobrepõem-se. Como ocorre com o processo e seu resultado.

Agregando a si pensamento, espaço e tempo, o diagrama torna-se o próprio processo

e é, em potência, a própria superfície - decorrente de uma dada relação espacial que se

concebe em processo. A superfície resultante, é tanto produto ou último diagrama de

uma seqüência processual, quanto diagrama de outra que de si potencialmente é a

continuidade.

3:153

#3

diagrama -a arquitetura na (da) topologia/a topologia na (da) arquitetura

fg3_

01 –

Nó

Tref

oil –

pro

totip

agem

ráp

ida

3:155

“Pois dizer que duas coisas são desconectadas, não é mais do que dizer queelas se conectam de um modo diferente daquele que está sob contemplação.Pois tudo está em alguma relação com cada outra coisa.” Charles SandersPeirce [PEIRCE, 1933: p. 4.319] 1

diagrama -a arquitetura na (da) topologia/a topologia na (da) arquitetura

O conceito de diagrama processual topológico desenvolvido no

capítulo anterior – e, indiretamente, no capítulo inicial – será neste

aproximado a referências ao diagrama e ao seu uso realizados em

Arquitetura Contemporânea por alguns arquitetos paradigmáticos.

A imbricação entre Arquitetura e Topologia, para além daquela

inerente às relações espaciais de continuidade e descontinuidade,

pelas quais seus objetos podem ser analisados, é possível de se realizar

por meio do diagrama processual topológico: uma “arquitetura” de

criação da Topologia, geratriz de “arquiteturas” na Topologia, que

pode se mostrar como um “meio topológico” de criação da

Arquitetura, investigador de relações topológicas na Arquitetura.

O tema da continuidade-descontinuidade espacial e visual em Arquitetura tem seus

desdobramentos nas mais diversas formalizações, em duas instâncias da fruição

arquitetônica: sua porção formal ou estética (aspecto formal) e seu arranjo espacial ou

modo de utilização (aspecto espacial). Instâncias que em uma obra arquitetônica podem

conformar-se de maneira associada ou dissociada.

,

. -^

1 “For to say that two thingsare disconnected is but to saythat they are connected in away different from the wayunder contemplation. For eve-rything is in some relation toeach other thing.” [PEIRCE,1933: p. 4.319]

Como uma aproximação indireta do diagrama processual topológico à Arquitetura,

será desenvolvido brevemente o que pode ser um entendimento da transposição de

um conceito fundamental da Topologia - e inerente a uma topologia representada

pelos diagramas -, a conectividade, para o campo da Arquitetura. Também como

aplicação em Arquitetura, serão esboçadas diferenciações entre o diagrama geométrico

e o diagrama topológico e entre desenho e diagrama. Após o que o diagrama processual

topológico será aproximado criticamente a ocorrências do diagrama processual em

Arquitetura.

3.1 caracteristicas topologicas em espacosarquitetonicos _ (des)conectividade comoqualificacao espacial fundamental

.,

3:156

O mote “a forma segue a função” proposto por Louis Sullivan, paradigmático do que

se convencionou designar como o Movimento Moderno em Arquitetura denota

associação direta entre os aspectos espacial e formal, em situação de hierarquia em

que o primeiro conduz o segundo. Grandes obras Modernas como o Pavilhão Alemão

na Exposição de Barcelona de Mies van der Rohe (1929) ou a Casa de Vidro de Phillip

Johnson (1949), dentre outras, apresentaram e potencializaram a associação entre as

continuidades espacial e visual. Dos cinco pontos da arquitetura propostos por Le

Corbusier que configuraram boa parte do arcabouço projetual sobre o qual se moveu

a Arquitetura Moderna, três - pilotis, planta livre, estrutura independente da vedação –

convergem para a continuidade espacial-visual seja ela entre ambientes internos, seja

entre interior e exterior, um outro - terraço-jardim – converge para a continuidade

espacial entre exterior e interior, e outro ainda - janelas em extensão – converge para a

continuidade visual entre ambientes internos e entre interior e exterior.

A chamada “Arquitetura Pós-Moderna” desenvolvida a partir dos anos 1960, germinada

nos escritos de Robert Venturi, se caracterizou por intensa dissociação entre os aspectos

formal e espacial da arquitetura, acompanhado da grande prevalescência do primeiro

– associado à fruição leiga - em detrimento do segundo – associado à fruição culta. Em

decorrência, a temática do espaço e a continuidade-descontinuidade não compuseram

a pauta em discussão, formada apenas pela continuidade visual a ser promovida pela

arquitetura realizada pelos arquitetos por meio da replicância das estruturas

comunicativas construídas pelo mercado de consumo e a indústria cultural.

Mais adiante, na “Arquitetura Deconstrutivista”, que em grande medida intencionou

realizar a tradução arquitetônica do conceito de “deconstrução” desenvolvido pelo

filósofo contemporâneo Jacques Derrida, o tema da continuidade-descontinuidade das

estruturas torna-se central. Não implicando sempre em associação direta entre os

aspectos espaciais e formais, e com maior foco nas questões formais, a deconstrução

se traduziu na elegia do “fragmento” em detrimento ao “todo”.

fg31_01 – HansSchmitz Haus (Glas

Pavillion), Alemanha,2001 – Jörg Hieber e

Jürgen Marquardt

fg31_02 – VillaSavoye, 1928-31 – Le

Corbusier

3:157

Atualmente, a questão da associação entre os aspectos espacial e formal da arquitetura,

pelo mote da continuidade das estruturas, encontra ampla base de representação nos

procedimentos aqui comentados sob o tema da Continuidade Espacial – a modelagem

de superfícies, no Capítulo 1, e que metonimicamente podem ser citadas por meio da

Biblioteca de Jussieu (1992) de Rem Koolhaas ou das Piscinas Sloterpark (1994) do

grupo MVRDV. Nestes casos tanto arranjo espacial quanto forma decorrem da

modelagem da superfície, sendo esta, em última instância aquela que, pela dobra,

promove a continuidade espacial e a unidade formal/material – normalmente revelada

externamente por panos de vidro. Forma e arranjo espacial se apresentam, nestes casos,

de maneira fortemente associada, mas não em relação hierarquizada como no

Movimento Moderno. São produtos de uma negociação entre si, promovida pela ação

de modelagem, que por homeomorfismos, atende à necessidade de conexão entre

elementos ao mesmo tempo em que delineia a forma.

A questão da continuidade espacial e visual em arquitetura pode ser diretamente

vinculada ao conceito de conectividade por caminhos em Topologia (Ver item 2.2.2.1,

no capítulo anterior), de onde uma região ou superfície é dita conexa por caminhos se

quaisquer dois pontos dela podem ser unidos por um arco contínuo situado inteiramente

nela. Inversamente, pode-se ter o conceito de desconexão, como a reunião de abertos

disjuntos, isto é, conjuntos cuja interseção é vazia. Um teorema estabelece que conexão

por caminho implica em conexão, mas não a recíproca, ie, um espaço pode ser conexo

sem ser conexo por caminhos. Uma superfície ainda pode ser simplesmente conexa se

fg31_03 – Estudos deFachadas, 1977 –Robert Venturi

fg31_04 – Ampliaçãodo Museu Judaico deBerlim – DanielLibeskind

3:158

não há limitação de conexões entre seus pontos impostas, por exemplo, por furos,

como em uma esfera, opostamente a um toro que possui o vão central.

A representação do conceito de conectividade por caminhos em Topologia pode ser

realizada em Arquitetura pela construção de um grafo que registra as conexões espaciais

entre ambientes internos, as conexões visuais entre interior e exterior, ou ainda os

percursos que se estabelecem desde o exterior e entre os ambientes do interior. Em

uma arquitetura, conectividade e desconectividade em superfícies, longe de promoverem

uma relação binária, criam, por meio da sobreposição dos grafos de conexão espacial

com os grafos de conexão visual, as relações entre os ambientes que são intuitivamente

denominadas de fronteiras, limites e barreiras. Grosso modo, poder-se-ía considerar as

fronteiras como pontos de interseção espacial e/ou visual pertencentes a dois conjuntos

distintos, os limites como pontos de borda que demarcam a extensão dos conjuntos

sem impedir a conexão espacial e/ou visual, e barreiras, os pontos de bordo que não

permitem a conexão espacial e/ou visual.

A conectividade por caminhos em Arquitetura reduz todas as possíveis superfícies,

quanto à conexão espacial e visual que permitem, em apenas duas: superfícies por

onde, aquelas que de alguma forma permitem a conexão espacial e/ou visual entre

ambientes, e, por contrário, superfícies contra, que não permitem a conexão espacial

e/ou visual entre ambientes. As arquiteturas resultantes da modelagem de superfícies

contínuas, superfícies por onde, podem ser traduzidas como grafos conexos compostos

não por arestas (entidades unidimensionais), mas por superfícies (entidades

bidimensionais), em que a dobra é a porção da superfície que permite a conectividade

vertical.

fg31_05 -Bibliotèques Jussieu.

1992 . Paris, França .OMA. Modelo

eletrônico.

fg31_06 - VirtualHouse. 1997. FOA

3:159

Do modo de conexão entre pontos numa região, em Topologia, decorre, por exemplo,

a classificação de uma superfície ser orientável ou não-orientável (Ver item 2.2.2.1, no

capítulo anterior). Por esta classificação, tem-se que uma superfície, no primeiro caso,

tem dois lados, em cima_ou_embaixo, dentro_ou_fora, os quais não tem conectividade

por caminhos entre si; no segundo caso, a superfície tem um único lado contínuo, em

cima_e_embaixo, dentro_e_fora, que se constitui como a continuidade espacial entre

interior e exterior. Em Arquitetura, investigações sobre não-orientabilidade, que

freqüentemente tomam a Fita de Möbius e a Garrafa de Klein como referência projetual,

estão presentes em projetos como: House 11a, de Peter Eisenman, Möbius House e

Pavilion Triennal, do UN Studio, Virtual House, do FOA, Projeto para o Yokohama

Ocean Terminal, de Winka Dubbeldam e o projeto teórico Möbius House: Hyperurban

Architecture de Stephen Perrela e Rebecca Carpenter. Estes últimos comentam sua

obra:

“A Möbius House não é nem um espaço interior nem uma forma exterior,mas uma membrana transversal que reconceitualiza a relação convencionalentre interior e exterior em uma superfície conectora continuamentedeformada” [ZELLNER, 1999: p.46] 2

Quando se considera, em Topologia, o fato de uma operação topológica

alterar ou não a topologia do objeto em questão, implicitamente o que se

coloca é a manutenção ou não da continuidade por caminhos – além da

2 “Möbius House is neither an in-terior space nor an exterior form,but a transversal membrane thatreconceptualizes the conventionalrelationship between interior andexterior into a continuously de-formed bridging surface.”[ZELLNER, 1999: p.46]

continuidade e proximidade entre seus pontos. Em Arquitetura, a ação de projetar

considerando características topológicas reposiciona como algo central o que constitui

a especificidade da Arquitetura, o manejo do espaço. As arquiteturas modeladas por

superfícies têm o potencial, por meio da articulação e construção de arranjos espaciais

- ou por meio da ação simultânea de arranjo espacial e formal que a modelagem

condensa, mais do que a investigação isolada da forma freqüentemente valorada -, de

realizar a conectividade entre estruturas urbanas.

Sob a ótica da continuidade espacial um edifício tem duplo valor, é tanto um elemento

conectado, interna e externamente, quanto um elemento (des)conector, que pode

propiciar a (des)conexão entre partes urbanas antes em inversa condição. São

paradigmáticos da questão colocada dois edifícios projetados por Rem Roolhaas, da

última década do século XX: a Biblioteca de Jussieu, na França e o Kunshall, na Holanda.

O primeiro, grande exemplo de seu conceito de “urbanidade interior”, condensa além

da biblioteca, outros serviços normalmente presentes na cidade e que são interiorizados

numa rede horizontal-vertical composta por uma superfície contínua. O edifício não

conecta pontos da cidade, mas os transfere para si, reconectando-os em continuidade.

O segundo tem a qualidade de conector de elementos do entorno por meio de superfícies

de piso que caracterizam lugares de passagem e de estar (ou simultaneamente, como

3:160

o anfiteatro). Entre parque e via pública, elementos transversos ao edifício separados

por cotas distintas, é construído um hall que, por meio de uma superfície contínua com

inflexões e dobras, propicia o contato entre ambos e destes com as atividades internas

ao edifício.

Dentre as arquiteturas que fazem uso de superfícies topológicas para referenciar a

noção de continuidade em Arquitetura Contemporânea, um dos exemplos mais

conhecidos, é a Möbius House, de Ben van Berkel e Caroline Bos (UN Studio), localizada

em Het Gooi, Holanda, residência com 550m2, projetada e construída entre 1993-

1997. Nesta residência para um casal, tanto a Faixa de Möbius, quanto o bi-toro (soma

conexa de dois toros), estruturas espaciais, foram tomadas como “orientação sugestiva,

instrumental e experimental, com uma possível organização espacial e/ou uma substância

(…) como uma máquina abstrata, a qual pode gerar diversas maneiras de trabalhar,

em vez de ser utilizada como uma metáfora ou uma referência” [BERKEL, 1999: p.75],

para a concepção de uma estrutura temporal de uso do espaço, a qual acaba por

desenhar um encadeamento espacial de ambientes em um ciclo contínuo. As atividades

que conformam o período de um dia são dispostas seqüencialmente em quatro áreas,

trabalho, vida social, vida familiar e momentos privados. Os dois habitantes, em

movimento ao longo da volta, encerram, cada um, um ciclo diário. Nas palavras do

arquiteto:

fg31_07, fg31_08,fg31_09 - Möbius

House - vista externa;vista externa; diagrama

de tempo/espaço

3:161

“ O diagrama do bi-toro exprime a organização de doiscaminhos interceptados, que desenham como duas pessoaspodem viver juntas, e ao mesmo tempo separadas,encontrando-se em certos pontos, que tornam-se espaçoscompartilhados. A idéia de duas entidades percorrendo suaspróprias trajetórias mas compartilhando certos momentos,possivelmente também mudando papéis em certos pontos, éampliado para incluir a materialização do edifício e suaconstrução. Como uma representação de 24 horas da vidafamiliar, o diagrama adquire uma dimensão espaço-temporal,que conduz à implementação da faixa de Möbius. Igualmenteo terreno e sua relação com o edifício são importantes para oprojeto. O terreno conforma dois hectares, que são divididosem quatro áreas distintas no caráter. Conectando estes com aorganização interna da faixa de Möbius transforma-se o habitarna casa em um caminhar na paisagem.O modelo matemático da faixa de Möbius não é literalmentetransferido para o edifício, mas é conceitualizado e pode serencontrado em ingredientes arquitetônicos, como a luz, asescadas, o modo como as pessoas movem-se ao longo da casa.Assim, como o diagrama de Möbius introduz aspectos deduração e trajetória, o diagrama é trabalhado no edifício emuma forma mutante.A instrumentalização deste simples desenho emprestado é achave. As duas linhas interconectadas são sugestivas daorganização formal do edifício, mas, isto é somente o início:arquitetura diagramática é um processo de desdobramento eprincipalmente de liberação. O diagrama libera a arquiteturada linguagem, da interpretação e da significação” [BERKEL,BOS, 1999: p. 40. Part 2] 3

A instrumentalização de superfícies topológicas como o bi-toro e a Fita de

Möbius, segundo o arquiteto, vem de encontro a algumas questões

projetuais: a imagem da trajetória de duas entidades (os habitantes) com

histórias distintas e que compartilham pontos em comum –– também

expressa na utilização de dois materiais que se revezam na casa, concreto

3 “The diagram of the double-locked torus con-veys the organisation of two intertwining paths,wich trace how two people can live together, yetapart, meeting at certain points, wich becomeshared spaces. The idea of two entities runningtheir own trajecties but sharing certain moments,possibly also reversing roles at certain points, isextended to include the materialisation of thebuilding and its construction. As a graphic repre-sentation of 24 hours of famile life, the diagramacquires a time-space dimension, which leads tothe implementation of the Möbius band. Equallythe site and its relationship to the building areimportant for the design. The site covers twohectares, which are divided into four areas dis-tinct in character. Linking these with the internalorganisation of the Möbius band transforms liv-ing in the house into a walk in the landscape.The mathematical model of the Möbius band isnot literally transferred to the building, but is con-ceptualised and can be found in architectural in-gredients, such as the light, the starcases, andthe way in which people move through the house.So, while the Möbius diagram introduces aspectsof duration and trajectory, the diagram is workedinto the building in a mutated way.The instrumentalisation of this simple, borroweddrawing is the key. The two interlocking lines aresuggestive of formal organisation of the build-ing, but, that is only the beginning: diagrammaticarchitecture is a process of unfolding and ulti-mately of liberation. The diagram liberates archi-tecture from language, interpretation and signi-fication.” [BERKEL, BOS, 1999: p. 40. Part 2]

fg31_10 - MöbiusHouse- diagrama detempo/espaço

3:162

(opaco) e vidro (verde transparente) -, a continuidade temporal entre elementos opostos

no ciclo diário, como o dia e a noite, e a continuidade na implantação espacial, entre

residência (interior) e território (exterior). As três instâncias, sociológica, temporal e

espacial, denotadas no uso das superfícies topológicas para a tematização do edifício

merecem ponderações frente à conectividade espacial nele construída.

Quanto à uma possível continuidade interior-exterior entre edifício e paisagem inspirada

na fita de Möbius, esta se traduz na obra pelo zoneamento da casa em quatro áreas

(trabalho, vida social, vida familiar e momentos privados) que são replicadas na área

externa. O que faz com que a obra então, metaforicamente – e não espacialmente -,

seja continuidade do território.

O diagrama do bi-toro é tomado como algo que sugere “duração e trajetória”, composto

por “duas linhas interconectadas” que direcionam a “organização formal do edifício”.

Por “trajetória” e “organização formal” pode-se subentender a conectividade referente

ao bi-toro que procura-se representar na obra, e por “duas linhas interconectadas”,

tanto aos dois toros conexos da superfície, quanto em termos existenciais, à vida dos

(dois) habitantes. Nestes termos, pode-se considerar a trajetória diária como um ciclo

pessoal encerrado que ao cruzar com outros ciclos, abstratamente com estes

“desenham” não apenas um bi-toro, mas n-toros - algo inerente ao binômio

aproximação/distanciamento entre seres humanos que independe de uma dada estrutura

espacial.

fg31_11, fg31_12,fg31_13, fg31_14 -

Möbius House- plantapavimento inferior;

térreo; 2. pavimento;cobertura

pavimento inferior01. estocagem02. hóspedes03. banho04. circulação

térreo01. dormitório02. escritório (01)03. circulação04. banho05. wc06. rampa07. garagem08. estocagem09. sala de jantar10. circulação11. cozinha12. varanda13. sala14. chaminé

2. pavimento01. vazio02. estocagem03. dormitório04. circulação05. dormitório06. banho07. escritório 02

3:163

Ainda para o arquiteto, a aquisição de uma dimensão espaço-temporal pelo diagrama

do bi-toro, conduziria à faixa de Möbius – algo que em termos topológicos não se

verifica pela oposição quanto à orientabilidade que possuem. Apenas em um sentido

metafórico – contrariando a intenção de não-metáfora do arquiteto – a similaridade

das duas superfícies pode ser induzida: somente o fato de ambas proporcionarem a

continuidade de dois elementos antes desconexos como os dois toros do bi-toro e os

dois lados da Fita pode levar a uma aproximação.

Se a Fita de Möbius e o bi-toro se prestam à metáfora sociológica de continuidade

existencial entre duas pessoas no espaço arquitetônico, a referência à continuidade

temporal de um ciclo diário expressa na residência pela conectividade construída entre

os ambientes sugere, porém, outra metáfora. Considerando o diagrama de conectividade

resultante do percurso completo pela residência, tem-se, nem a conectividade referente

à Faixa, nem a do bi-toro, mas a conectividade referente ao toro (superfície orientável,

fg31_15 - MöbiusHouse - maquete emodelo digital. 1993.Holanda. Ben vanBerkel

fg31_16 - MöbiusHouse - Diagrama

3:164

composta pela identificação dos bordos de um cilindro), superfície, como tantas outras,

na qual podem conectar-se ou interceptar-se as diversas trajetórias diárias. Diagrama

que aparece na residência de forma enodada, mas que por homeomorfismo, pode ser

reconstituído em sua representação essencial. Há, então, uma clara distinção entre o

aspecto formal da residência e seu aspecto espacial; o que metafórica e formalmente

quer sugerir tanto a Fita de Möbius quanto o bi-toro (!), espacialmente corresponde ao

toro. O que seria uma residência com pátio central, este não tão claro devido às auto-

interseções da projeção escolhida.

A essas considerações, soma-se a leitura de um dos diagramas da obra referente à Fita

de Möbius - que também no nome e no texto acima, compõe a tematização da

residência. Observando-se atentamente, percebe-se que a representação da Fita

(superfície não-orientável não-fechada que possui uma única componente de bordo),

é formada por três linhas ou curvas fechadas simples, sugerindo as trajetórias dos dois

habitantes e outra comum aos dois. Estas linhas são unidas no diagrama por superfícies,

que visualmente podem remeter à Fita, mas que, de fato, compõem dois cilindros

enodados, sendo o cilindro uma superfície orientável não fechada com dois bordos

desconexos. Superfícies opostas quanto à conectividade, portanto. A primeira, não

distingüe dentro e fora, conformando um único e contínuo “lado”, a segunda, possui

a demarcação entre dentro e fora, como lados que tem conectividade intrínseca, porém,

desconexos entre si. O diagrama formalmente quer sugerir a não-orientabilidade, mas

espacialmente se mostra orientável.

A comparação entre obra e “metáfora”, além de aproximar criticamente os meios

conceituais e representacionais de arquitetura em relação a ela mesma, exemplifica a

questão desenvolvida por este item da pesquisa: a topologia como um instrumental

para o manejo do espaço, ou em outras palavras, a (des)conectividade como qualificação

espacial topológica fundamental. Esta que, em muito, pode qualificar a vivência no

espaço.

fg31_17, fg31_18,fg31_19, fg31_20 -

Möbius House- vistasinternas

3:165

Se tomadas somente as condicionantes propostas por Peirce, de iconicidade, relação e

analogia, e por Russell, de relação espacial, o uso de diagramas em Arquitetura remonta

há muito tempo. O diagrama, explicitado por meio de seu funcionamento genérico

como uma estrutura de relações entre elementos análoga à estrutura encontrada no

objeto, é ferramenta que se identifica com o modo de estruturação do campo que

representa.

Os diagramas quando utilizados para representarem características geométricas –

referentes à geometria euclidiana – a elas reportam sua estrutura; neste caso as

propriedades geométricas que dizem respeito à forma estão em relação: medidas lineares

e angulares, área, volume e proporções entre suas várias partes. O uso intuitivo destes

diagramas em Arquitetura remonta diretamente à história da construção e ao

conhecimento construtivo adquirido historicamente, tanto como resposta às

necessidades objetivas de resistência construtiva, quanto às necessidades subjetivas do

belo ou da representação de ordens metafísicas.

É notória a ilustração realizada por Leonardo da Vinci para a publicação “De Divina

Proportione” de Luca Pacioli (1509) em que da relação proporcional, bela e harmoniosa

do corpo humano, supostamente se extraem relações geométricas, ou então, em que

se encontra a beleza da perfeição no corpo humano ao inscrevê-lo em uma ordem

geométrica. O círculo e o quadrado emprestam suas propriedades para colocar os

membros humanos em relação, uma relação proporcional somente possibilitada pela

geometria.

3.2 diagrama em arquitetura. 0 diagramaprocessual topologico em arquitetura

,

fg32_01 – HomemVitruviano –“DeDivina Proportione”- Leonardo da Vinci

Mas é na autonomização do projeto em relação à construção, com

seu marco inicial em Filippo Bruneleschi, que a ação humana objetiva

de antever os novos problemas construtivos é potencializada, pela

qual o diagrama geométrico passa a se tornar o instrumento

privilegiado para o projeto arquitetônico: plantas, cortes, elevações

e perspectivas. Projeções do objeto como representação de relações

geométricas intrínsecas a ele.

Da mesma genealogia do esquema de Leonardo da Vinci, outros

dois diagramas que vinculam uma ordem natural a uma ordem

geométrica tiveram grande profusão no meio arquitetônico. A seção

áurea, chamada “sectio aurea” pela primeira vez pelo próprio

Leonardo, e que pode ser encontrada em sua ilustração do Homem

3:166

Vitruviano, vincula as dimensões da divisão de um segmento de reta

AB por um ponto M em outros dois, tais que: V/U = U/V-U. Diz-se

que o segmento está dividido em média e extrema razão, ou seja,

em razão áurea, na proporção de 1,61803 (número áureo, o

equivalente a 1+raiz quadrada de 5 sobre 2) entre os segmentos

resultantes. Com esse segmento são construídos duas figuras

geométricas básicas, o retângulo e o triângulo áureos.

A seção áurea há muito tempo tem sido extraída, com um certo grau de aproximação,

de elementos da natureza, como folhas, sementes, conchas, entre outros e o próprio

corpo humano. Para alguns mais místicos seria a representação de uma ordem cósmica,

na qual a arquitetura deveria se inserir por meio da adoção da proporção áurea. Foi

empregada pelos gregos antes do tempo de Euclides, que a usavam na arquitetura e

nas artes em geral, mas passou a ser mais conhecida a partir da Idade Média, com o

lançamento do “Livro do Ábaco”, do matemático italiano Leonardo Fibonacci , em

1202 – livro em que desenvolve a seção áurea e uma sequência numérica (seqüência

de Fibonacci), progressão de números naturais que começa com 0 e 1, sendo o próximo

número a soma dos dois anteriores: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13.... Demonstra-se que, se F(n)

denota o n-ésimo termo da sequência de Fibonacci, então a razão entre F(n) e F(n-1)

tende ao número áureo quando n tende ao infinito.

Outro diagrama de proporções geométricas conhecido é o Modulor, criado por Le

Corbusier entre 1942 e 1948, a partir da abstração da dimensão de um homem ideal,

a qual é aplicada a seção áurea e a seqüência de Fibonacci. Le Corbusier cria a partir da

altura máxima de ocupação de espaço pelo corpo humano - por ele designada como a

distância do chão às pontas dos dedos com o braço levantado - e da metade dessa

altura (até o plexo solar), duas séries de valores em relação áurea, obtidas a partir da

divisão harmônica desses comprimentos, que compõem uma variedade de medidas

humanas.

fg32_02 – seção áurea

fg32_03 - coneflowers

fg32_04 - pinha

3:167

A série vermelha diz respeito a duas alturas humanas, 183 e 175cm, e a série azul

considera a altura do homem com o braço levantado, 216 ou 226cm. Destas séries

decorrem três medidas-base de seu sistema em proporção áurea: 113, 70 e 43cm. Um

todo dividido em partes proporcionadas às quais corresponderiam todas as estruturas

criadas para o ser humano, o homem como a medida de todas as coisas. A partir deste

diagrama, Le Corbusier desenvolveu boa parte de suas grandes obras como a Unidade

de Habitação de Marselha (1946-52).

Na tradição arquitetônica japonesa, o tatami, superfície têxtil retangular que recobre o

piso das construções, é um diagrama de relações geométricas baseadas nas dimensões

humanas - 6-6.7 x 3-3.3 ‘sha-ku’ equivalentes a 1829-2042 x 914-1006mm - na

proporção de 2:1, que mensura os ambientes segundo o número de peças e sua

disposição, estruturando as relações que neles ocorrem, como a cerimônia do chá, por

exemplo. Essa proporção, de 2:1, numa corda (de violão, por exemplo), é aquela com

a qual se obtém a mesma nota musical, uma oitava acima (como primeiro observou

Pitágoras).

De modo análogo, o diagrama quando aplicado às características

topológicas, delas toma o modo de funcionamento, a saber, o registro

de certas invariantes geométricas sob alteração da forma, como por

exemplo, a continuidade espacial. O uso intuitivo de desenhos, para

representar regiões em Arquitetura, sem a consciência do que seriam

características topológicas, remonta aos primórdios da civilização

humana, quando da execução de esquemas de aldeias ou da própria

noção de interioridade de um abrigo.

fg32_05, fg32_06 –Modulor. Le Corbusier

fg32_07 - Tatami

3:168

Em processo de projeto, relações hierarquizadas entre ambientes arquitetônicos são

comumente organizadas, mesmo que de maneira intuitiva, por meio de organogramas,

espécie de diagrama ou grafo de espacialização de um dado programa. Do sentido da

palavra organograma vem a noção da construção de uma gramática de organização,

em que dados são conectados uns aos outros por meio de relações de hierarquia e

interdependência. A característica puramente relacional da atividade projetual do

arquiteto é enfatizada por Pellegrino:

4 “Cuando está proyectando, el arquitecto reflexionaoriginariamente a escala global. Se esfuerza enrelacionar diferentes dependencias del futuro edifíciodimensionadas grosso modo. A continuación traza uncroquis más o menos veraz que implanta en el terrenoy si las habitaciones tienen una mala orientaciónrespecto al mismo, volverá al organigrama y actuaráen el ordem de aparición de aquéllas. Su principalpreocupación radica en la sintaxis y en la gramática,mediante las que añade ‘palavras’ para formar ‘frases’,edificios que son combinaciones de habitaciones.”[PELLEGRINO, 1999: p.50]

“Quando está projetando, o arquiteto refleteoriginariamente numa escala global. Esforça-se em relacionar diferentes dependências dofuturo edifício dimensionadas grosso modo. Emcontinuidade traça um croqui mais ou menospreciso que implanta no terreno e se osambientes tem uma má orientação em relaçãoa ele, voltará ao organograma e atuará naordem de aparição daqueles. Sua principalpreocupação está na sintaxe e na gramática,mediante as quais une ‘palavras’ para formar‘frases’, edifícios que são combinações deambientes.” [PELLEGRINO, 1999: p.50] 4

Há situações em que o uso intuitivo dos grafos pelo arquiteto

apresenta uma situação simultaneamente próxima e distante

da noção de diagrama topológico. O arquiteto aproxima-

se da representação diagramática ao construir o

organograma para projetar as relações a existir no objeto,

mas por outro lado, quando ignora as características

topológicas do diagrama, o próprio organograma passa a

regrar diretamente a criação arquitetônica: do organograma cristaliza-se a planta - forma

bidimensional - da qual é extrudado o volume - forma tridimensional. O diagrama passa

a regrar o que não está em seu escopo, a forma; o organograma deixa de ser um diagrama

topológico para ser um geométrico. Quando considerado em sua totalidade, suas

características topológicas e icônicas também são consideradas; quando tomado apenas

em parte, perde sua real potencialidade, que é a representação de relações pertencentes

ao objeto independentemente de sua forma.

Grosso modo, poder-se-ia vincular o uso de diagramas em Arquitetura segundo duas

grandes vertentes: a investigação de seu aspecto formal por meio de diagramas que

representam a geometria e a investigação do aspecto espacial da arquitetura por meio

de diagramas que direta ou indiretamente representam a topologia. Como exemplo do

uso do diagrama no segundo caso ainda na matriz Moderna, Le Corbusier, para além da

fg32_08 - De umgrafo, duas plantas

3:169

construção do diagrama geométrico do Modulor,

desenhou um dos diagramas topológicos que

estruturaram seu pensamento arquitetônico, o

Esquema Construtivo da Maison Dom-ino, que põe

em relação elementos como lajes, pilares e acessos,

sem a valoração de medidas e proporções. Outro

exemplo em sua obra, dentre outros, são os modelos,

diagramas tridimensionais, da Unidade de Habitação

de Marselha que representam as conexões entre

habitações.

fg32_09 – EsquemaConstrutivo da MaisonDom-ino. Le Corbusier.1914

Muito se têm investigado em arquitetura contemporânea sobre o papel dos diagramas

como uma ferramenta de design e um instrumento heurístico de análise de condições

projetuais, como por exemplo, por Peter Eisenman em Peter Eisenman Diagram Diaries

[SOMOL, 1999], Ben van Berkel em Diagram Work: Data Mechanics for a Topological

Age [BERKEL, BOS, 1998] e MOVE [BERKEL, BOS, 1999] e Greg Lynn em Animate Form

[LYNN, 1999]. As menções ao diagrama processual, com suas diversas nuances, nem

sempre denotam diretamente um diagrama processual topológico, pois seus objetos

de operação são, em alguns casos, relações geométricas, isto é, alterações da forma

em processo de projeto, independentes das (in)variâncias topológicas. Fato que delineia

fronteiras entre o uso do diagrama processual em Topologia e em Arquitetura: na

primeira, a forma é sempre subordinada ao processo de arranjo espacial, na segunda,

o arranjo espacial é freqüentemente subordinado à investigação da forma.

5 “is defined by the co-presence of motion andforce at the moment offormal conception. Forceis an initial condition, thecause of both motionand the particular inflec-tions of a form.” [LYNNapud ZELLNER, 1999:p.138]

Como já desenvolvido no item anterior relativo à (des)conectividade, os

aspectos formais e os espaciais são instâncias pelas quais um objeto

arquitetônico é fruído. Se o uso de diagramas processuais geométricos em

Arquitetura potencializam explorações formais – e formalismos -, o uso do

diagrama processual topológico foca o que é o específico da disciplina, o

manejo de relações espaciais.

O que aponta, como instigação à reflexão, para o trabalho de Greg Lynn - do

escritório Form, forma –, talvez o arquiteto contemporâneo que mais faça

menção à Topologia. Em seu livro Animate Form [LYNN, 1999], o conceito

homônimo é definido “pela co-presença de movimento e força no momento

da concepção formal. Força é uma condição inicial, a causa de ambos,

movimento e as inflexões particulares de uma forma” [LYNN apud ZELLNER,

1999: p.138] 5 . Se em seu conceito de “formas animadas” estão presentes as

variáveis do tempo e da concepção processual próprios do diagrama processual

topológico, a variável que diz respeito ao espaço foca especificamente a

3:170

transformação da forma, que sob ação do conceito físico de

força, seria dotada de movimento e inflexões. Somente a pos-

teriori da transformação formal, escopo de seu trabalho, as

transformações espaciais a ela subordinadas – e as possíveis

decorrentes alterações em sua topologia que não são

mencionadas - poderiam ser investigadas.

Do mesmo modo, instigando maior proximidade com a

investigação de relações espaciais próprias do diagrama

processual topológico – mais que da forma – por parte de

procedimentos projetuais por diagramas em Arquitetura, as

operações projetuais realizadas por Peter Eisenman poderiam

ser deslocadas para um enfoque operativo destas relações. O

processo projetual de Eisenman, composto por uma série de

operações impressas na forma em parceria com meios

computadorizados de modelagem, e que decorrem em

transformações formais de suas obras em processo de projeto,

poderiam ser vinculadas, por critérios topológicos de

continuidade e descontinuidade, a operações que não alteram

topologia (homeomorfismos) e deformações que alteram

topologia.

Elencadas em quadro do livro Peter Eisenman: Diagram Diaries

[SOMOL, 1999: 238-239] podem ser aproximadas de

homeomorfismos, isto é, transformações intrínsecas e contínuas

que não alteram topologia, as operações de: torção, extensão,

mutação, torque, distorção, aninhamento, empenamento,

transferência, escalamento, transformação, deslizamento,

fg32_10 – Metablobs.Greg Lynn

dobragem.6 Somando-se a elas têm-se operações relativas à relações entre a variedade e seu ambiente de

inserção como: projeção, deslocamento, rotação, mapeamento.7 E, de maneira oposta, com transformações

extrínsecas que alteram topologia, podem ser vinculadas: extrusão, entretecimento, desmontagem, corte,

interferência, interseção, superposição, repetição, impressão, duplicação, inversão, escavação artificial, enxerto,

delineamento, delimitação, estratificação, montagem, esvaziamento, decomposição, ofuscamento,

estriamento, enredamento.8

Dentre às referências à Topologia realizadas por arquitetos contemporâneos, algumas afirmações de Ben van

Berkel quanto ao diagrama, ainda que em meio a citações topológicas de sentido vago já comentadas,

encontram-se em uma matriz menos formal e mais organizacional – mesmo que com freqüência suas obras

processadas diagramaticamente, como a Möbius House, resvalem em certos formalismos. Como resposta a

um contexto contemporâneo simultaneamente complexo e mediatizado, propõe técnicas inclusivas de projeto,

6 Twisting, extension, morphing, torquing, dis-tortion, nesting, warping, shifting, scaling, trans-formation, slippage, folding.

7 Projection, displacement, rotation, mapping.

8 Extrusion, interweaving, disassembling, shear,interference, intersection, superposition, repeti-tion, imprinting, doubling, inversion, artificial ex-cavation, grafting, tracing, marking, layering,montage, voiding, decomposition, blurring, stria-tion, gridding.

3:171

a saber a associação de imagens diversas que, em sua acepção, tornam-se diagramas

ao serem instrumentalizadas no processo projetual, tanto no sentido de “máquinas

abstratas” de Deleuze, quanto, no de estruturas topológicas organizacionais:

9 “In short, in the inclusive organisation blob orbox are the same. Made of the same substance,mobilising ingredients on material, temporal, vir-tual and constructional levels, the distinction hasbecome meaningless. (…)Blob or box – it doesn’t matter anymore. To rede-fine organisational structures in an inclusive waymeans to proportion all information at the basisof the project in one, comprehensive system. Timeand construction are compressed into one organi-sational structure. Rationality and fantasy coin-cide. The inclusive organisation absorbs all aspectsof a project; ist material and virtual systems andits underlying values are all taken into the equa-tion. As values shift, the proportions change. (…)Topologically inspired diagrams like the springstructure, Seifert surface, Möbius band and Kleinbottle are not applied to architecture in a strin-gent mathematical way, but they are not meremetaphors or themes either. These orientable andnonorientable organisation provide unifying, ab-stract, three-dimensional models that can bewholly or partially projected onto real-life loca-tions to integrate the imagination and the policyat the basis of the project and its programmes,with tecniques, organisation and public utility.”[BERKEL, BOS, 1999: p.221. Part1, p.21. Part 3]

“Em resumo, na organização inclusiva, bolha ou caixa são omesmo, feitos da mesma substância, mobilizando ingredientesnos níveis material, temporal, virtual e construtivo, a distinçãose torna sem sentido. (…)Bolha ou caixa – isto não importa mais. Redefinir estruturasorganizacionais em um modo inclusivo significa proporcionartodas as informações na base do projeto em um sistemacompreensível. Tempo e construção são comprimidos em umaestrutura organizacional. Racionalidade e fantasia coincidem.A organização inclusiva absorve todos os aspectos do projeto;seus sistemas materiais e virtuais e seus valores de base sãotodos considerados na equação. Quando os valores se alteram,as proporções mudam. (…)Diagramas inspirados topologicamente como a estrutura demola, a superfície de Seifert, a Faixa de Möbius e a Garrafa deKlein não são aplicados em arquitetura em um estrito sensomatemático, mas eles não são meras metáforas ou temasquaisquer. Estas organizações orientáveis e não-orientáveisprovêem modelos tridimensionais, abstratos, unificadores, quepodem, total ou parcialmente projetados em situações da vidareal, integrar a imaginação e a política na base do projeto eseu programa, com técnicas, organização e utilidade pública.”[BERKEL, BOS, 1999: p.221, 225. Part1, p.21. Part 3.] 9

fg32_11 - DreamHouse-esquemas de circulação

3:172

De modo similar, para Lars Spuybroek, o conceito de diagrama é

uma matriz organizacional e não formal. A forma em seus

trabalhos, porém, é um nível privilegiado de tradução de seus

conceitos de movimento e flexibilidade, além da incorporação de

conceitos das “novas ciências”10 , como ocorre em trabalhos de

Eisenman, Lynn ou Berkel. Em nível diagramático, o arquiteto op-

era relações estruturais dinâmicas entre dados que representam

interações homem-ambiente:

“Em minhas técnicas diagramáticas eu uso sistemasinterativos flexíveis (…) ‘Flexíveis’ porque eles não sãorígidos, eles não conhecem apenas uma solução,‘interativos’ porque todos são conectados em umsistema: um parâmetro muda tudo. Eu estou tentandomover a arquitetura na direção da teoria dos sistemas.”[SPUYBROEK, 2002: p.244] 11

Em meio a diversidade de proposições, de todo modo, a tônica de

um meio de investigação e registro processual – o diagrama -

sensível à incorporação de variáveis que implicam em alterações

do objeto – quer da forma, quer das relações espaciais - em processo

de concepção é, sem dúvida, o grande diferencial que propõem

algumas pesquisas em procedimentos projetuais em Arquitetura

Contemporânea. Para Greg Lynn, por meio do diagrama,

fg32_12 - V2_Lab.Nox-Lars Spuybroek.

Diagrama demovimentos

fg32_13 - PortAuthority Gateway.

Greg Lynn. Simulaçõesde movimentos

10 “… algorítmos genéticos, caos,fractalização, lógica fuzzi etc.etc. – Ondeestá a arquitetura em tudo isso? Para mim –somando isso tudo – é absolutamenteirresponsável prosseguir com a implantaçãode cubos pelo mundo (uma linguagemgeométrica de 3.000 anos atrás!) em umtempo em que temos matemáticas e físicaslidando com processo, tempo ecomplexidade./… genetic algorithms, chaos,fractalisation, fuzzy logic etc. etc. – Whereis architecture in all this? To me – to sum itall up – it is absolutely irresponsible to keepon throwing cubes into the world (a geo-metrical language of 3,000 years ago!) in atime where we have mathematics and phys-ics dealing with processes, time and com-plexity.” [SPUYBROEK, 2002: p.247]

11 “In my diagramming techniques I useflexible interactive systems (…) ‘Flexible’because they are not rigid, they don’t knowjust one solution, ‘interactive’ because all areconnected into one system: one parameterchanges everything. I’m trying to move ar-chitecture in the direction of systemstheory.” [SPUYBROEK, 2002: p.244]

3:173

“A forma pode ser conformada pela colaboração entre uminvólucro e o contexto ativo no qual está situada. (...) Destemodo, topologia leva em conta não somente a incorporaçãode um único momento, mas antes uma multiplicidade devetores, e conseqüentemente, uma multiplicidade de tem-pos, em uma única superfície contínua. (...) A superposiçãode uma seqüência de frames produz memória na forma desimultaneidade espaço-temporal. (...) Em nosso tempopresente, o espaço virtual dentro do qual a arquitetura éconcebida está sendo agora repensado pela introdução deferramentas avançadas de movimento e uma constelaçãode novos diagramas baseados em computador. (...) Assim,o uso do termo virtual aqui refere a um esquema abstratoque tem a possibilidade de tornar-se atualizado, muitas vezes,em uma variedade de possíveis configurações.” [LYNN, 1999:p.10, 11, 16] 12

Para Peter Eisenman,

“O diagrama não é somente uma explanação, como algoque vem depois, mas ele também age como umintermediário no processo de geração do espaço-tempo real(...) O diagrama então é simultaneamente forma e matéria,o visível e o articulável (...) As condições de presentidadecomo a condição do tempo arquitetônico, ou arquiteturacomo a condição do ato, estão presentes no diagrama vistocomo um signo indicial. O signo indicial, que sempre implicauma condição de ausência, sugere uma idéia de tempo nodiagrama.” [SOMOL, 1999: p.28, 30, 73] 13

Para Ben van Berkel, com o diagrama valoriza-se

“… a natureza generativa, complexa e não-hierárquica deum processo integral de design que toma consigo todos osaspectos da arquitetura. Insights complexos em vários níveissão apresentados em um modo acelerado e comprimido.Com estas novas visualizações, uma nova forma de controlese abre. (...) Há três estágios para o diagrama: seleção,aplicação e operação, permitindo à imaginação estender-sea matérias externas a si e concluí-las dentro, alterando-seno processo. (...) A inserção do diagrama no trabalho emúltima instância aponta para o papel do tempo e da açãono processo de design. Intermediando tempo e ação faz-sea transformação possível, como em um romance onde alonga narrativa se enrola em torno de buracos negros dentroda estória (...) A estória é uma combinação intrínseca depersonagem, lugar, evento e duração.” [BERKEL, BOS, 1999:p.223. Part1, p.19, 25. Part2] 14

12 “Form can be shaped by the collabo-ration between an envelope and the ac-tive context in which it is situated. (…) Inthis way, topology allows for not just theincorporation of a single moment butrather a multiplicity of vectors, and there-fore, a multiplicity of times, in a single con-tinuous surface. (…)The superimpositionof a sequence of frames producesmemory in the form of spatio-temporalsimultaneity. (…) In our present age, thevirtual space within which architecture isconceived is now being rethought by theintroduction of advanced motion toolsand a constellation of new diagramsbased on the computer . (...)Thus, use ofthe term virtual here refers to an abstractscheme that has the possibility of becom-ing actualized, often in a variety of possi-ble configurations.” [LYNN, 1999: p.10,11, 16]

13 “The diagram is not only an explana-tion, as something that comes after, butit also acts as an intermediary in the proc-ess of generation of real space andtime(…) The diagram then is both formand matter, the visible and the articulable(…) The conditions for presentness as acondition of architectural time, orachitecture as a condition of act, arepresent in the diagram seen as an indexi-cal sign. The indexical sign, which alwaysimplies a condition of absence, suggestsan idea of time in the diagram.” [SOMOL,1999: p.28, 30, 73]

14 “… the non-hierarchical , complex,generative nature of an integral designprocess that takes on board all aspectsof architecture. Complex insights onmany levels are presented in an acceler-ated and compressed way. With thesenew visualizations, a new form of con-trol opens up. (…)There are three stagesto the diagram: selection, application andoperation, enabling the imagination toextend to subjects outside it and drawthem inside, changing itself in the proc-ess (…) The insertion of the diagram intothe work ultimately points to the role oftime and action in the process of design.Interweaving time and action makestransformation possible, as in novelswhere long narrative lines coil aroundblack holes within the story (…) The storyis an intrinsic combination of character,place, event and duration.” [BERKEL,BOS, 1999: p.223-Part1, p.19, 25-Part2]

3:174

E ainda para Lars Spuybroek, o diagrama ao construir e investigar o processo constitui-

se em metadesign, noção que converge para a qualificação proposta por Zeman de

investigação processual do diagrama, exposta no Capítulo 2:

“… em um nível tecno-cultural, diagramar significa ummovimento em diração ao metadesign. Metadesign jáacontece muito em design gráfico e desenho industrial,e basicamente significa projetar com ‘templates’: outrospodem usar o template para projetar um produto atual.Projetar o próprio caminho do projeto.” [SPUYBROEK,2002: p.243] 15

Ampliando-se a noção que define o escopo da Topologia, o estudo de relações estruturais

invariantes entre elementos sem consideração da variância métrica, em direção ao estudo

das estruturas espaciais arquitetônicas e a interação humana, os diagramas podem se

constituir como instrumentos que permitem, por exemplo, a investigação de certas

estruturas arquitetônicas e urbanas invariantes [ALEXANDER, 1964, 1971], o estudo

da interação homem-ambiente pela psicologia ambiental [HANSON, 1998], da ocorrência

de eventos nos espaços arquitetônicos [TSCHUMI, 1996], dos parâmetros selecionados

e operações realizadas em processo de projeto arquitetônico [BERKEL, BOS, 1998, 1999;

SOMOL, 1999; LYNN, 1999; SPUYBROEK, 2002].

Genericamente, uma área de interseção se constitui entre as duas áreas, Topologia e

Arquitetura, quando são designadas por meio dos termos espaço, estrutura e relação:

a topologia como relações espaciais estruturais, isto é, como relações que estruturam o

espaço, e a arquitetura como estruturas espaciais relacionais, ou seja, como porções do

espaço em relação e com vocação relacional. De onde uma topologia é constituída por

uma arquitetura e uma arquitetura é estruturada por uma topologia. Para Mimram

[MIMRAM, 1983],

“Um dos objetos da topologia é o de apresentar osprincípios fundamentais que estão na base das restriçõesgeométricas regendo as estruturas, de mostrar oconjunto das relações que as ligam, e como elas podemser transformadas mutuamente. Se designamos estruturade uma configuração, o conjunto das relações entre asentidades desta configuração, então a topologia dizrespeito à estrutura das estruturas.” [MIMRAM, 1983:p.31] 16

15 “… on a techno-cultural level, diagram-ming means a move towards metadesign.Metadesign already happens a lot in graphicdesign and industrial design, and basicallymeans designing with ‘templates’: otherscan use the template to design an actualproduct. Designing the way of designingitself.” [SPUYBROEK, 20002: p. 243]

16 “L’un des objets de la topologie est deprésenter les principes fondamentaux quisont à la base des contraintesgéométriques régissant les structures, demontrer l’ensemble des relations les liant,et comment elles peuvent êtretransformées mutuellement. Si l’onnomme structure d’une configuration, lensemble des relations entre les entités decette configuration, alors la topologie serapporte à la structure des structures.”[MIMRAM, 1983: p.31]

Para o mesmo autor, a topologia, além de ser concernente às conexões espaciais, está

etimologicamente associada aos processos combinatórios mentais:

3:175

“A topologia é a maneira de aproximação mais globaldas estruturas espaciais, a mais pertinente. Seconsideramos a arquitetura como uma ciênciacombinatória dos arranjos espaciais, então retornamosao senso etimológico do termo topologia. Na origem,esta geometria era considerada como um procedimentomnemônico onde o fio do raciocínio comporta váriasalternativas, no curso de um passeio meditativo, eraassimilada nas bifurcações dos sentidos percorridos. Umatal ligação entre uma geometria de posição e umprocesso intelectual é fundamental na evolução de nossopensamento estrutural”. [MIMRAM, 1983: p.31]17

17 “La topologie est le mode d’approche des structuresspatiales le plus global, le plus pertinent. Si l’onconsidère (...) l’architecture comme une sciencecombinatoire des arrangements spatiaux, alors onretrouve le sens étymologique du mot topologie. Al’origine, cette géometrie était considérée comme unprocédé mnémonique où le fil du raisonnementcomportant plusieurs alternatives, au cours dune prom-enade meditative, était assimilé aux fourches dessentiers parcourus. Une telle liaison entre une géométriede position et un processus intellectuel est fondamentaldans l’évolution de notre pensée structurale.“[MIMRAM, 1983: p.31]

O que passa a ser de extrema relevância para este

trabalho ao confluir para a conceituação desenvolvida

até o momento sobre os diagramas topológicos e seu

uso em processo de projeto em Arquitetura, isto é, em

investigações espaciais. Pelos aspectos icônico-

analógico-relacional (Peirce), analógico-sintético e

espacial-relacional (Russell), revelador de relações

topológicas (Boaventura e March), de investigação

processual (Newton da Costa e Zeman), o diagrama

processual topológico ao representar ou investigar uma

topologia compõe uma topologia análoga. Quer em sua

constituição espacial, quando coloca os elementos em

relação, quer em sua dinâmica temporal, quando

acompanha as operações topológicas em processo.

Como uma topologia, o próprio diagrama, é então “um

procedimento mnemônico onde o fio do raciocínio

comporta várias alternativas”, é interface entre espaço

e pensamento, “ligação entre uma geometria de posição

fg32_14 -2 Bibliotèques Jussieu.1992 . Paris, França .OMA - diagramas

e um processo intelectual”. Mimram fortalece de forma inegável a confluência de três

variáveis no diagrama processual topológico: o pensamento, o espaço e o tempo

processual, aproximando-as, pela noção de topologia, da arquitetura, “ciência

combinatória de arranjos espaciais”.

fg32_15 - Très GrandBibliothèque, Paris,França, Concurso,1989. OMA

3:176

A partir das conceituações construídas até aqui, algumas possíveis imbricações e

diferenciações entre o diagrama e o desenho são pertinentes de serem pontuadas.

Tomar-se-á como diagrama, o diagrama topológico representativo de regiões fechadas

ou superfícies, ou ainda os grafos de conexão entre elementos.

Diagrama e desenho estão entre os signos não-verbais, que em oposição aos verbais,

têm a especificidade de representarem o objeto de maneira analógica, por meio de

similaridades, com menor intervenção de sinais convencionais que ao intermediarem a

relação entre objeto e interpretante interpõem maior distância. Fato que contribui para

que sejam privilegiadas ferramentas heurísticas, projetuais ou de investigação de idéias,

como ressalta Massironi :

“os pesquisadores de quase todas as disciplinas que, chegados adeterminados limites nos próprios conhecimentos expressos pela palavra,encontram com um sinal não verbal a possibilidade de irem mais além...”[MASSIRONI, 1982: p. 17]

Posteriormente, ressaltando a maior proximidade que estabelecem as imagens com a

percepção da realidade exterior, Massironi contrapõe as ações de codificação e

decodificação presentes na estruturação das imagens – entre as quais se inserem os

diagramas e desenhos – e nos códigos verbais:

“Efetivamente, a percepção pode ser assimilada a um processo de‘decodificação’ da realidade exterior ao observador; esta comporta umaatribuição de sentido e uma aquisição de significado que coexistencialmentetem a ver com a estruturação das imagens. A representação concreta, pelocontrário, pode ser vista como uma ‘postura em código’, isto é, um processoatravés do qual se escolhem, se constróem e se justapõem os sinais gráficoscom a finalidade de atingir esse significado; ou seja, trata-se da formalizaçãode uma mensagem visiva cuja decodificação esteja prevista dentro de umlimite preciso.” [MASSIRONI, 1982: p.20]

A matemática, que por um ponto de vista, é uma linguagem que se constrói, em parte

e após Descartes, na correspondência entre expressões algébricas e signos geométricos,

na intensa relação de codificação-decodificação entre signo verbal e não-verbal:

“Esta codificação aproxima o desenho da mais pura linguagem matemática.O desenho tem uma relação de interdependência com o que está situadoalém do sinal de igual (=): à uma reta, diagrama sintético, corresponde asua equação, uma descrição com variáveis de análise. Alteram-se as variáveis,e o desenho da reta sofre suas alterações; um novo desenho da reta e são

3.2.1 diagrama e desenho

3:177

18 esta afirmação traduz um teoremaprofundo de H. Whitney (1945)conhecido como o teorema domergulho.

novos os seus pares ordenados... Na correspondência entre a representaçãoalgébrica e a geométrica é necessário, por parte do geômetra, o domíniodo código-linguagem do desenho para que possa subverter os limites dosuporte-ambiente de apresentação-representação. Deste modo, o códigoganha dimensões de ponte entre o que é visto e o que é compreendido: apercepção de uma existência n-dimensional se liga à compreensão de seucaráter representacional num meio, digamos, 2n-dimensional18 . De outromodo, para o pensamento abstrato, a percepção da apresentação de umcachimbo de Magritte, segundo determinados códigos da pintura, permitea compreensão da existência do objeto cachimbo num dado ambiente, daqual a representação, por estes mesmos códigos, se aproxima. Elos entrepercepção e compreensão como meios para produção de uma concepçãoestética da vida... O método cartesiano permite, por assim dizer, enxergaruma expressão tão pura e precisa quanto uma expressão algébrica…”[MARAR, SPERLING, 2001]

Shimojima [SHIMOJIMA, 1996A,1999 apud SEP: p.09], apresenta a questão de forma

mais geral, atribuindo o potencial de inferência de um sistema representacional à

correspondência entre as restrições representacionais e as do objeto representado:

“Representações são objetos no mundo, e como tal elas obedecem a certasrestrições estruturais que governam sua possível formação. A variação nopotencial de inferência de diferentes modos de representação é de maneirageral atribuível às diferentes possibilidades em que essas restriçõesestruturais de representação correspondem às restrições dos objetos darepresentação.” [SHIMOJIMA, 1996A,1999 apud SEP: p.09] 19

19 “ Representations are objects inthe world, and as such they obeycertain structural constraints thatgovern their possible formation. Thevariance in inferential potential ofdifferent modes of representation islargely attributable to different waysin which these structural constraintson representations match with theconstraints on targets of represen-tation” [SHIMOJIMA, 1996A,1999apud SEP: p.09]

fg321_02 – Diagramade conexões, Conjuntohabitacional – MosheSafdie

fg321_01 – A Fortaleza– habitações eescritórios, Céramique– croquis – Mario Botta

3:178

Aqui então se iniciam as diferenciações entre diagrama e desenho: o que representam

do objeto e como, e que inferências deles podem ser retiradas. Um desenho de

arquitetura – uma planta, um corte, elevação, perspectiva – de modo geral, tem como

objeto de representação a obra de arquitetura de modo integral e, de acordo com o

receptor-alvo, segundo padrões que correspondem a repertórios estabelecidos: o

desenho entre arquitetos, o desenho para o leigo, o desenho para a construção. E

dentre os sinais convencionais dirigidos a cada receptor têm grande relevância os signos

representativos da materialidade e construtibilidade.

O desenho de arquitetura se desenvolve então sobre duas instâncias da fruição

arquitetônica já mencionadas: a questão formal ou estética (aspecto formal) e o arranjo

espacial ou modo de utilização (aspecto espacial). Instâncias que comparecem em maior

ou menor grau nas peças gráficas, como uma planta que elucida melhor o arranjo

espacial e contém os aspectos estéticos implícitos, e uma perspectiva que apresenta

primeiramente o aspecto formal, ao qual segue o aspecto espacial.

Previamente à execução de um desenho de representação de arquitetura que, de maneira

geral, constrói analogias formais e espaciais com a obra representada, o croqui – realizado

em qualquer meio ou suporte – é ferramenta e peça gráfica de investigação das duas

instâncias arquitetônicas que nele não necessariamente comparecem de maneira

associada; sua aproximação vai sendo construída no processo.

fg321_03 – Diferentesestudos volumétricos/

tipológicos parahabitações – Neutelings

& Riedijk

3:179

O croqui, quando se constitui como ferramenta processual que se atém aos arranjos

espaciais arquitetônicos – a partir dos quais são definidas as questões formais - estabelece

maior semelhança com o diagrama topológico que o desenho de representação de

arquitetura. Se o diagrama usa o desenho enquanto traço, o desenho torna-se diagrama

topológico quando se despe do que não representa a topologia.

O croqui, tomado como diagrama topológico, possui um caráter processual investigativo

das relações espaciais entre regiões, e um caráter representacional analógico destas

mesmas relações. Para Bertin [BERTIN, 1967 apud MASSIRONI, 1982: p.114], “a

construção gráfica é um diagrama quando as correspondências no plano se podem

estabelecer entre uma divisão de uma componente e uma divisão de uma outra

componente”, correspondências topológicas como continuidade-descontinuidade,

proximidade e conectividade. O que fora disto fica, não diz respeito ao diagrama

topológico e o croqui de outras investigações se investe: as proporções geométricas, o

material etc.

Os croquis/diagramas topológicos, exercem papel fundamental para a construção de

relações e extração de inferências que compõem o mapeamento dos problemas a re-

solver, estruturando a base do raciocínio arquitetônico:

20 “Logical reasoning with diagrams is often car-ried out in virtue of their depiction of all possiblemodels of a situation, up to topological equiva-lence of the diagrams (this, of course, dependson the particular diagrammatic system in use). Asingle diagram is often an abstraction over a classof situations, and once a suitable diagram hasbeen constructed, inferences can simply be read-off the representation without any further ma-nipulation. In some diagrammatic systems (e.g.,Euler Circles) inference is carried out by construct-ing diagrams correctly and reading informationoff them.” [SEP: p. 08.]

“Raciocínio lógico com diagramas é muitas vezessobrecarregado em virtude de sua representação de todospossíveis modelos de situações, até a equivalência topológicade diagramas (isso, é claro, depende do particular sistemadiagramático em uso). Um único diagrama muitas vezes éuma abstração sobre uma classe de situações, e uma vez umdiagrama apropriado vai sendo construído, inferências podemser simplesmente destacadas da representação sem nenhumaadicional manipulação. Em alguns sistemas diagramáticos (porexemplo, os Círculos de Euler) a inferência é obtidaconstruindo corretamente diagramas e lendo suasinformações.” [SEP: p.08]20

fg321_04 –Ampliação doInstituto da Ciênciade Cranbrook,diagrama de Atratorde Lorenz – StevenHoll

fg321_05 –Ampliação doInstituto da Ciênciade Cranbrook,maquete – StevenHoll

3:180

O que sugere que a interrelação entre concepção e execução que se extrai da inversão

‘a mão que pensa e a cabeça que desenha’ proposta por Merleau-Ponty é própria da

investigação por croquis/diagramas topológicos, de onde boas inferências podem ser

extraídas de desenhos estrategicamente construídos:

O termo “narrativa” não pressupõe linearidade, mas o ato simultâneo de construção e

descrição de ações ou acontecimentos, operação e tradução do construído por

(des)continuidade e encadeamento. O termo narrativa superpõe as três instâncias do

diagrama (trans, intra, inter-diagramas) às três variáveis que operam e registram: os

processos de pensamento, as relações espaciais (ou, em alguns casos em Arquitetura,

os aspectos formais), as seqüências temporais.

Dos três diagramas utilizados em Topologia para a representação da modelagem de

superfícies: diagrama processual, diagrama plano e palavra, é no primeiro, como já

escrito, que se encontra maior visibilidade do processo que se investiga e em que as

operações topológicas são investigadas quadro-a-quadro. Uma superfície resultante

passa a ser um diagrama do processo, do qual é decorrência intrínseca. É

simultaneamente resultado das operações e seqüências selecionadas até ela e, em

“Restrições espaciais, entidades peculiares a sistemasdiagramáticos, podem ser consideradas como umaimportante fonte de seu poder e fragilidade... Umaspecto particular dos diagramas é que eles obedecema restrições ‘normativas’ ou ‘intrínsecas’ devido aouso de superfícies planas como meio derepresentação... A complexidade de uso de regrasde inferência em lógica simbólica é, nesses casos,substituída pelo problema de desenhar diagramasespecíficos corretamente.” [SEP: p.08] 21

E por fim, quanto ao mapeamento do processo que investigam, a última especificidade

que se destaca, no que diz respeito ao caráter analógico, é que um croqui/diagrama

topológico se estrutura como um metadiagrama, isto é, um diagrama que se volta

sobre si mesmo, pois representa uma topologia compondo uma topologia análoga. O

que não ocorre com um desenho de um projeto a construir - isto é, que representa

uma construção - que, mesmo formado por partes que estabelecem uma analogia

uma a uma com a construção, não se efetivam nela própria.

21 “ Spatial constraints, being peculiar to dia-grammatic systems, can be expected to be animportant source of both their strengths andweaknesses... A particular distinguishing fea-ture of diagrams is that they obey certain“nomic” or “intrinsic” constraints due to theiruse of plane surfaces as a medium of represen-tation... The complexity of using inference rulesin a symbolic logic is, in these cases, replacedby the problem of drawing particular diagramscorrectly.” [SEP: p.08]

3.2.2 diagrama como narrativa arquitetonica -(re)construcao de um processo. -

^

3:181

fg322_01 – Folded andUnfold Strip, CentroUrbano Leidschenveen,1997 – MVRDV

potência, qualquer superfície que por meio de operações dela decorra. Processo e

produto em processo são indissociáveis e equivalentes.22

22 A continuidade de processos e aindissociabilidade entre processo eproduto também é comentada porZellner: “Arquitetura não necessita maisser gerada pelas convenções estáticas deplanta, corte e elevação. Em vez disso,edifícios podem agora ser completamentecriados em softwares, interfaces ehardwares de modelagem, perfilagem,prototipagem e manufaturatridimensionais, portanto colapsando osestágios entre concepção e fabricação,produção e construção.” (“Architectureneed no longer be generated through thestatic conventions of plan, section andelevation. Instead, buildings can now befully formed in three-dimensionalmodeling, profiling, prototyping andmanufacturing softwares, interfaces andhardwares, thus collapsing the stages be-tween conceptualization and fabrication,production and construction.”) [ZELLNER,1999: p. 12]

A seleção de um quadro, frame, ou diagrama do processo como

aquele que para o caso atinge certas relações almejadas, tanto em

Topologia quanto em Arquitetura, responde à dialética entre a

identidade processual do diagrama e sua identidade individual: cada

um é composto pelo idêntico ao diagrama precedente e por algo

novo que diz respeito a si – o equivalente ao diagrama precedente

sob influência da última operação. Cada diagrama, simultaneamente

existente/novo, atinge condições anteriormente não alcançadas,

como ressalta Granon-Lafont [GRANON-LAFONT, 1990: p.23]:

“Existe toda uma dialética entre a preparação de umasuperfície por transformação contínua de seu desenho,até a brusca aparição de um acontecimento, de um ato,de uma operação, de uma mudança de estrutura destasuperfície e de seu espaço criado pelo mergulho. Estadialética entre a continuidade do idêntico até o idênticopor uma ruptura estrutural é essencial à nossaabordagem da topologia.”

E também Deleuze:

“É como a emergência de um outro mundo. (...) Odiagrama é a possibilidade do fato – não é o fato elemesmo.” [DELEUZE, 1993 apud SOMOL, 1999: p.23] 23

23 “It is like the emergence of anotherworld. (…) The diagram is the possibilityof fact – it is not the fact itself.” [DELEUZE,1993 apud SOMOL, 1999: p.23]

3:182

fg322_02 – Igreja emBarendrecht, 1997 –

diagramas eperspectivas – MVRDV

A noção de narrativa associada ao procedimento projetual por diagramas

também é cara a Bernard Tschumi, a qual denomina seqüência transformacional.

Baseado em seqüências cinematográficas e nos procedimentos de colagem e

montagem que as conformam – “Formas de composição: colagens seqüenciais

(colisões) ou montagens seqüenciais (progressões)” 24 -, Tschumi vê nos cinegramas,

os diagramas cinematográficos, uma ferramenta adequada para operar a relação

espaço-tempo inerente à aproximação arquitetura-evento que propõe. Para Tschumi

qualquer trabalho habitual em Arquitetura é composto por uma seqüência

transformacional de representações:

24 “Forms of composition:collage sequences (colli-sions) or montage se-quences (progressions)”.[TSCHUMI, 1996: p.165]

3:183

“Um modo habitual de desenhos arquitetônicos já implica umaseqüência transformacional. Sucessivos layers de papéis paradesenho transparentes são colocados um sobre o outro, cada umcom suas respectivas variações, ao redor de um tema básico oupartido. Cada subseqüente retrabalho encaminha para ou refinao princípio de organização. O processo é geralmente baseado emintuição, precedentes, e hábito.” [TSCHUMI, 1996: p.154] 25

Ao qual vê a necessidade de utilização e desenvolvimento de um sistema

claro de notação para melhor operar e registrar as transformações

arquitetônicas em projeto:

“Esta seqüência pode também ser baseada em um preciso, racionalconjunto de regras transformacionais e elementos arquitetônicosdiscretos. A transformação seqüencial então torna-se o resultado,onde a soma das transformações conta pelo menos mais que oresultado da transformação final. Seqüências transformacionaistendem a contar com o uso de dispositivos, ou regras detransformação, tais como compressão, rotação, inserção etransferência. Elas podem também mostrar conjuntos particularesde variações, multiplicações, fusões, repetições, inversões,substituições, metamorfoses, anamorfoses, dissoluções. Estesdispositivos podem ser aplicados à transformação de espaços assimcomo de programas.” [TSCHUMI, 1996: p.154] 26

fg322_03 – BusinessPark, Chartres. 1991.diagramas.

fg322_04 –Conjunto ResidencialPrinsenhoek, 1992-95 – maquete ediagramas –Neutelings & Riedijk

25 “One customary mode of architecturaldrawing already implies a transformational se-quence. Successive layers of transparent trac-ing paper are laid one upon another, eachwith its respective variations, around a basictheme or parti. Each subsequent reworkingleads to or refines the organization principle.The process is generally based on intuition,precedents, and habit.” [TSCHUMI, 1996:p.154]

26 “This sequence can also be based on a pre-cise, rational set of transformational rules anddiscrete architectural elements. The sequen-tial transformation then becomes the result,while the sum of transformations counts atleast as much as the outcome of the finaltransformation. Transformational sequencestend to rely on the use of devices, or rules oftransformation, such as compression, rota-tion, insertion, and transference. They can alsodisplay particular sets of variations, multipli-cations, fusions, repetitions, inversions, sub-stitutions, metamorphoses, anamorphoses,dissolutions. These device can be applied tothe transformation of spaces as will as pro-grams.” [TSCHUMI, 1996: p.154]

3:184

fg322_05 –Bibliotheque de L’IHUEI

– Peter Eisenman -diagramas

E avança diferenciando as seqüências abertas das fechadas,

concorrendo para a não-linearidade e não-fechamento da

narrativa intrínseca à relação diagrama-superfície em

Topologia, na qual uma superfície é simultaneamente

diagrama de processos diversos, tanto anteriores quanto

posteriores a si:

“Há seqüências fechadas de transformaçõesassim como abertas. Seqüências fechadas têmum fim prognosticável porque as regrasescolhidas em última instância implicam naexaustão de um processo, sua circularidade,ou sua repetição. As abertas são seqüênciassem fechamentos, onde novos elementos detransformação podem ser adicionados àvontade, de acordo com outro critério, assimcomo seqüências justapostas ou concorrentesde outra ordem – dita, uma estruturaprogramática ou narrativa, justaposta àestrutura transformacional formal.” [TSCHUMI,1996: p.154-155] 27

Em Topologia, o diagrama como narrativa de operações topológicas

está diretamente relacionado – como já exposto – às operações que

manipula, as quais são de dois tipos: operações intrínsecas e

contínuas, homeomorfismos, e operações extrínsecas e descontínuas,

somas conexas e identificações. Processos mistos de conformação

da superfície, isto é, que fazem uso de homeomorfismos e somas

conexas/identificações, como por exemplo, o processo de construção

de uma Garrafa de Klein por meio da soma conexa de dois Planos

Projetivos e posterior homeomorfismo, pode encontrar similaridades

com alguns procedimentos projetuais em Arquitetura. A operação

de homeomorfismo é similar à modelagem arquitetônica de

superfícies por meio da dobra (termo em uso no campo arquitetônico),

que tem se apresentado como alternativa ao paradigma construtivo

combinatório de variedades tridimensionais, decorrentes de extrusão,

e posterior montagem, colagem, justaposição, conexão, adição,

subtração, repetição... de variedades tridimensionais, operações que

tradicionalmente compõem o arcabouço projetual da disciplina.

27 “There are closed sequences of transfor-mation as well open ones. Closed se-quences have a predictable end becausethe chosen rules ultimately imply the ex-haustion of a process, its circularity, or itsrepetition. The open ones are sequenceswithout closures, where new elements oftransformation can be added at will accord-ing to other criteria, such as concurrent orjuxtaposed sequences of another order –say, a narrative or programmatic structure,juxtaposed to the formal transformationalstructure.” [TSCHUMI, 1996: p.154-155]

Como possível exemplo de procedimento misto, isto é, por homeomorfismos, que não

alteram topologia, e por operações que alteram topologia - furos -, em Arquitetura, é

3:185

o realizado pelo FOA no projeto vencedor para o Yokohama Ocean Liner Terminal

(Foreign Office Architects – Alejandro Zaera Pólo & Farshid Moussavi) e que remete à

construção de um origami, dobradura japonesa realizada em papel por meio de cortes,

furos e dobraduras [FOA, 1995: p. XIX]. No comentário de Charles Jencks:

28 “Their landscape-building for Japan is a long, low horizontalfolded plate of steel that will undulate across the wate. Its struc-tural strength is provided by the self-similar folds and the gentleundulations of the plates – flowuing forms which are obviousmetaphors of the sea. (…) The multi-layered topography forYokohama achieves both diversity and unity, disjunction and con-tinuity. (…) a system they describe as ‘continuous but not uni-form’”. [JENCKS, 1997: p.23]

29 Cabe destacar que a oportunidade do concurso para o terminal,quer pela intrínseca proximidade exigida com o mar e asdecorrentes metáforas advindas daí, quer pelo auge das discussõesem arquitetura sobre modelagens de superfícies – além da grandedisseminação de equipamentos para tanto – levou boa parte das660 propostas a apresentar uma arquitetura com “referênciastopológicas”.

“Seu edifício-paisagem para o Japão é umalonga chapa de aço dobrada e curvadahorizontalmente que se ondulará por sobrea água. Sua robustez estrutural é provida pordobras auto-similares e mansas ondulaçõesdas chapas – formas flutuantes que sãometáforas óbvias do mar. (...) A topografiamulti-camadas para Yokohama realizasimultaneamente diversidade e unidade,disjunção e continuidade. (...) um sistema quedescrevem como ‘contínuo, mas nãouniforme’” [JENCKS, 1997: p.23]28 29

Este projeto e o de Winka Dubbeldam, também para o concurso do Yokohama Ocean

Liner Terminal, são exemplares de outra similaridade com diagramas em Topologia: a

incorporação de seqüências transformacionais, que associam o tempo do fruir o espaço

por meio do movimento à alteração seqüencial do próprio espaço. O seqüenciamento

de seções transversais das obras apresenta quadro-a-quadro a transformação das relações

espaciais a ser descortinada pelo movimento; cada quadro funciona como um diagrama

que corresponde ao seu antecessor adicionado de movimento. Em Topologia, como

apresentados em item do capítulo anterior, são conhecidos os Reidemeister Moves que

registram por meio de seqüências de nós, o nascimento e morte de uma curva fechada

simples ou dos Roseman, Homma-Nagase Moves compostos por cenas de cortes de

superfície que representam sua topologia. Diagramas que fundamentalmente registram

seqüências transformacionais do espaço pelo movimento neste mesmo.fg322_06 - YokohamaTerminal. 1995. FOA

3:186

Avançando na questão da narrativa transformacional por meio de diagramas, Greg

Lynn acredita que a metáfora do modelo cinemático, baseado em quadros estáticos

que simulam o movimento por meio da repetição, poderá ceder lugar ao que introduz

seu conceito de Animate Forms: diagramas animados compostos por movimento e

energia potencial, acessíveis pelo uso de modelagens computadorizadas. Algo utilizado

similarmente em Topologia, por meio de softwares como Maple, que permitem a

construção dinâmica de superfícies e a visualização de características como auto-

interseções ou singularidades. Greg Lynn comenta:

“O modo dominante para discussão de movimento emarquitetura tem sido o modelo cinemático, no qual amultiplicação e seqüenciamento de fotogramas estáticossimulam movimento. O problema com a imagem-movimento é que a arquitetura ocupa o papel do frameestático por meio dos quais o movimento progride. Força emovimento são eliminados da forma e são introduzidossomente depois do fato do design, por meio de conceitose técnicas de seqüenciamento ótico. (...) Em contraste,animate design é definido pela co-presença de movimentoe força no momento da concepção formal. Força é umacondição inicial, a causa tanto de movimento quanto dasinflexões particulares da forma. (...) Questões de força,movimento e tempo, que tem permanentemente escapadoda descrição arquitetônica devido a sua ‘vaga essência’,podem ser agora experimentadas pela suplantação dasferramentas tradicionais de exatidão e estática pelasferramentas de gradientes, invólucros flexíveis, fluxostemporais e forças.” [LYNN, 1999: p.11, 17] 30

30 “The dominant mode for discussing mo-tion in architecture has been the cinematicmodel, where the multiplication andsequencing of static snap-shots simulatesmovement. The problem with the motion-pic-ture analogy is that architecture occupies therole of the static frame through which mo-tion progresses. Force and motion are elimi-nated from form only to be reintroduced, af-ter the fact of design, through concepts andtechniques of optical procession. (…) In con-trast, animate design is defined by the co-pres-ence of motion and force at the moment offormal conception. Force is an initial condi-tion, the cause of both motion and the par-ticular inflections of a form. (...)Issues of force,motion and time, which have perenniallyeluded architectural description due to their“vague essence,” can now be experimentedwith by supplanting the traditional tools ofexactitude and stasis with tools of gradients,flexible envelopes, temporal flows andforces.” [LYNN, 1999: p.11, 17]

fg322_07 - Dobraduras– Albers, Bauhaus

fg322_08 - seçõesTerminal de Yokohama

– FOA

fg322_09 – “Movie”da Garrafa de Klein

fg322_10 - Terminal deYokohama, diagramas –

Winka Dubbeldam

3:187

A idéia de diagrama como narrativa coloca então duas das variáveis do diagrama

topológico, os processos mentais e as relações espaciais em direta correlação com a

sua outra variável, as seqüências temporais. Tomando-se um diagrama/obra, pode-se

investigar o percurso realizado em caminho retrospectivo e prospectivo ou dar seqüência

a outros diagramas em caminho propositivo. Para Peirce, esta característica decorre de

seu caráter relacional, do fato de propiciar mudanças inesperadas, novas relações ou

insights:

fg322_11, fg322_12,fg322_13 - VillaKBWW . MVRDV -diagramas; vistaexterna; perspectiva

31 “one can make exact experimentsupon uniform diagrams; and when onedoes so, one must keep a bright out-look for unintended and unexpectedchanges thereby brought about in therelations of different significant parts ofthe diagram to one another. Such op-erations upon diagrams, whether exter-nal or imaginary, take the place of theexperiments upon real thing that areperformed in chemical and physical re-search... experiments upon diagrams arequestions put to the nature of the rela-tions concerned.” [PEIRCE, 1933: p.4.530, apud ZEMAN, 2002B: p. 08]

“Pode-se realizar experimentos precisos comdiagramas uniformes; e quando assim se faz,deve-se manter um olhar atento para mudançasnão intencionais e não esperadas geradas nasrelações de diferentes partes significantes dodiagrama para um outro. Tais operações comdiagramas, sejam externas ou imaginárias,tomam o lugar dos experimentos com coisasreais que são executadas em investigaçõesquímicas e físicas... experimentos comdiagramas são questões colocadas sobre anatureza das relações a que dizem respeito.”[PEIRCE, 1933: p. 4.530, apud ZEMAN, 2002B:p. 08] 31

Esta afirmação pode ser tomada para discernir duas noções de diagrama correntes em

Arquitetura, sendo uma delas similar ao que ocorre em Topologia. A primeira diz respeito

ao desvendamento (retrospectivo) de uma ordem ou um tipo ou à sua aplicação em

uma obra (propositivo), relativo à seqüência fechada relatada por Tschumi. A segunda,

similar ao diagrama processual topológico, refere-se a um movimento não centrado

3:188

em uma origem, mas no processo, quer seja em desvendamento de diagramas anteriores,

tornando-se não mais retrospectivo, mas prospectivo, quer seja em desenvolvimento,

propositivo, construindo a seqüência aberta de que fala Tschumi. Para Somol,

fg322_14 - VillasPalladianas,diagramas

geométricos – RudolfWittkower

32 “The first repetition relies on an ideal of the originor model, an economy of identity, and can be thoughtof as typologically driven (the vertical imitation of time-less precedents). In contrast, the second sets in mo-tion divergent series and exists as a continual processof differentiating. One points back to a static momentof being, while the other advances through modes ofbecoming.” [SOMOL, 1999: p.9]

“A primeira repetição se baseia no ideal daorigem ou modelo, uma economia deidentidade, e pode ser considerada comotipologicamente orientada (a imitação ver-tical de tempos precedentes). Em contraste,a segunda corresponde a ‘series demovimentos divergentes e existe como umcontínuo processo de diferenciação. Umaretorna para um estático momento do ser,quando a outra avança por modos de vir aser.” [SOMOL, 1999: p.9] 32

Dentro da primeira noção inserem-se trabalhos

historicamente paradigmáticos que remontam a Andrea

Palladio, no século XVI e a Antoine Chrystosome

Quatremère de Quincy, no século XVIII. Em 1570,

Palladio, redesenhou todas as suas obras construídas

para compor o livro Quattro Libri dell’Architettura

reconcebendo-as, isto é, os desenhos não conformam

plantas e elevações dos edifícios reais, mas abstrações

que realizam a construção crítica de sua obra. Os

edifícios constituem aproximações a uma ordem

sintetizada a posteriori, a qual conforma um diagrama

abstrato intuitivamente presente no ato criativo.

No século XVIII, o teórico de arquitetura Quatremère

de Quincy desenvolveu sua teoria das origens

arquitetônicas, de onde retira sua noção de tipologia.

Equivalente a um diagrama de origem, a tipologia seria

uma estrutura de relações configurada pela

especificidade de um tipo. Em seu estudo identifica três

tipologias, a caverna, a tenda e a cabana, associando a

primeira e a última ao tipo primordial vúlvico e fálico,

respectivamente, cabendo à tenda temporária romper

com a dicotomia, sendo simultaneamente interior e

exterior, pesada e leve, ereta e frouxa, escura e clara

[COWAN, 2001: p.6].

3:189

Ainda relativo à seqüência fechada retrospectiva, Rudolf Wittkower empreende ao

redor dos anos 1950 em Architectural principles in the Age of Humanism [WITTKOWER,

1968], um estudo exaustivo sobre a obra de Palladio, a fim de aclarar os diagramas de

origem de villas palladianas, os quais então se baseavam fundamentalmente em

proporções geométricas harmônicas e uma ordenação espacial definida:

33 “… exigía un vestíbulo en el eje central, y unaabsoluta simetria de las habitaciones más pequeñas,a ambos lados. (…) El rasgo más característico delos palacios y villas de Palladio era a sistematizaciónde la planta. (…) El análisis de unas quantas plantastípicas, que abarcam un período de unos quinceaños, demostrará que derivan de una sola fórmulageométrica. (...) Palladio puso el mayor cuidadoem emplear cocientes armónicos, no sólo dentrode cada habitación, sino también en la relación deunashabitaciones con otras; es precisamente estaexigencia de un cociente justo la medula de laconcepción palladiana de la arquitectura.”[WITTKOWER, 1968: p. 74,76,77]

“... exigia um vestíbulo no eixo central e uma absolutasimetria dos ambientes menores em ambos os lados. (...) Oponto mais característico dos palácios e villas de Palladioera a sistematização da planta. (...) A análise de umasquantas plantas típicas, que abarcam um período de unsquinze anos, demonstrará que derivam de uma só fórmulageométrica. (...) Uma vez que encontrou o modelogeométrico básico para resolver o problema ‘villa’, oadaptou com a maior clareza e simplicidade possíveis àsnecessidades particulares de cada situação. (...) Palladio teveo maior cuidado em empregar quocientes harmônicos nãosó dentro de cada ambiente, mas também na relação deuns ambientes com outros; é precisamente esta exigênciade um quociente justo a medula da concepção palladianada arquitetura.” [WITTKOWER, 1968: p. 74,76,77] 33

A partir da década de 1960, o uso de diagramas tipológicos em Arquitetura é

impulsionado pelo desenvolvimento paralelo da teoria da comunicação e da semiótica

e sua inserção no meio arquitetônico. Entre a arquitetura e a informação, o diagrama

aparece como uma instância de operação e notação entre a forma e a palavra [SOMOL,

1999: p.8]. São deste período as obras, Notes on Synthesis of Form de Christopher

Alexander (1964) e A City is not a tree (1965), The mathematics of the Ideal Villa, de

Colin Rowe (publicação em 1976) que fazem uso dos diagramas e de algum modo

refletem sobre eles.

34 Sobre a procura de um diagramageométrico de origem e a seção áureanos trabalhos de Rudolf Wittkower ede Colin Rowe ver comentário críticono artigo “Under Siege: The GoldenMean in Architecture”, de Michael J.Ostwald, professor do Departamentode Arquitetura da Faculdade deArquitetura, Construção e Design daUniversidade de Newcastle, Austrália,no Nexus Network Journal, URL: http:// w w w . n e x u s j o u r n a l . c o m /ostwald.html.

Na genealogia dos estudos de Wittkower sobre as Villas de Palladio,

Colin Rowe estabelece comparações e distinções entre a Villa Garches

de Le Corbusier e a Villa Malcontenta de Palladio. O trabalho de Rowe,

assim como o de Wittkower empreende mais uma investigação da

permanência formal, isto é, das proporções geométricas por meio da

“aderência a regras”, que a da continuidade das relações espaciais –

embora esta venha em decorrência. Entre o diagrama geométrico e o

diagrama topológico, Rowe investiga os paradigmas formais – de onde

vêm os espaciais - que constituem as obras de um e outro arquiteto

procurando por similaridades, e neste sentido, está interessado em

encontrar a gênese, seu diagrama geométrico de origem.34

3:190

O sentido de diagrama como origem também pode ser encontrado nos trabalhos de

Christopher Alexander, mas por um outro viés. Se Rowe e Wittkower identificam

situações formais originárias, Alexander identifica as situações operacionais originárias:

“A idéia de um diagrama, ou pattern, é muito simples.Ele é um padrão abstrato de relações físicas que solucionaum pequeno sistema de forças interativas e conflituosas,e é independente de todas as outras forças, e de todosos outros possíveis diagramas.” [ALEXANDER, 1964: p.I] 35

Para Alexander, todo processo de projeto deve começar pelo elenco

das “forças interativas e conflituosas” que compõem as necessidades

e os programas; dados que devem ser estrategicamente iterados,

relacionados uns com os outros nos chamados patterns que dirigem

a criação da forma. A forma que seria a resposta exata para todos os

anseios colocados. Neste sentido, os tipos não são formais, mas

operacionais, sendo que o designer “...pode criar novas formas pela

combinação destes padrões...” [ALEXANDER, 1964: p.II] 36 :

“A composição hierárquica destes diagramas conduziráao objeto físico cuja estrutura hierárquica é a exatacontrapartida da hierarquia funcional estabelecida du-rante a análise do problema; como o programa clarificaas componentes originais da estrutura da forma, assimsua realização, em paralelo, de fato começará a definir aforma dos componentes físicos e sua organizaçãohierárquica.” [ALEXANDER, 1964: p.131] 37

35 “The idea of a diagram, or pattern, is verysimple. It is an abstact pattern of physicalrelationships which resolves a small systemof interacting and confliting forces, and isindependent of all other forces, and of allother possible diagrams.” [ALEXANDER,1964: p. I]

36 “… can create new forms by free com-bination of these patterns…” [ALEXAN-DER, 1964: p.II]

37 “The hierarchical composition of thesediagrams will then lead to a physical ob-ject whose structural hierarchy is the exactcounterpart of the functional hierarchy es-tablished during the analysis of the prob-lem; as the program clarifies the compo-nent sources of the form’s structure, so itsrealization, in parallel, will actually beginto define the form’s physical componentsand their hierarchical organization.” [AL-EXANDER, 1964: p.131]

fg322_15 – Pattern deinterações urbanas –

Christopher Alexander

3:191

Se em Alexander o processo e os dados nele manipulados são fatores determinantes,

tanto em sua fase analítica quanto propositiva, a proposição é fundamentalmente

decorrência da escolha de um tipo ou padrão operacional que responde às questões

colocadas. A uma dada problemática – iteração de conflitos - deve corresponder um

padrão ou tipo formal e a proposição, num certo sentido, torna-se retrospectiva em

direção a ele.

As primeiras noções de diagrama como seqüência aberta são encontradas em trabalhos

de Peter Eisenman, contemporâneos às obras citadas que se baseiam em diagramas

tipológicos. Sua concepção de diagrama processual, em boa parte elaborada em sua

tese de doutorado (1963), configura-se como uma resposta crítica à concepção proposta

pela tese de Christopher Alexander e ao uso que fazem Wittkower e Rowe. Para

Eisenman, o diagrama seria a liberação do potencial de formas que registram as forças

em emergência em um processo de design, enquanto para Alexander o diagrama

constituiria a determinação do ajuste ou correção da forma [SOMOL, 1999: p.7] e para

Wittkower e Rowe, conformaria um paradigma formal.

Em 1970, Eisenman, realiza um estudo distingüindo a prática projetual de Corbusier e

Terragni. Eisenman, incorporando conceitos da lingüística estrutural de Noam Chomsky,

sugere que enquanto Corbusier trabalha sobre a semântica do objeto, criando novos

sentidos por meio da iconografia, Terragni trabalha revelando a sintática – estrutura e

espaço - da linguagem arquitetônica [SOMOL, 1999: p.15]. Um movimento das

qualidades estéticas e perceptivas para as relações conceituais que tornam possíveis

qualquer tipo de arranjo espacial – as quais posteriormente serão investigadas em sua

série Houses. Deste modo, por meio de diagramas prospectivos, Eisenman está mais

interessado nas ações e operações que dizem respeito a uma forma em processo do

que em uma dada condição estática inicial geradora da forma:

fg322_16 – protótipode prisão, 1993 –maquete e diagramas –Neutelings & Riedijk

3:192

fg322_17, fg322_18– CMRI, diagramas;

modelo – PeterEisenman

“Previamente, diagramas formais raramentediscutem linearidade ou relações em espaço e tempo.Quando eles tratam com formas tão bem como comfunções, tais diagramas tornam-se abstraçõesgeométricas redutivas (...) Meu uso do diagramapropõe uma racionalidade diferente, que pode sertão mais lógica como mais envolvida com umprocesso de arquitetura, algo distante do processode design do autor-arquiteto tradicional. Assim alógica não pode ser encontrada na própria forma,mas antes em um processo diagramático que tem opotencial para descobrir a diferença entre a relaçãoforma/conteúdo em arquitetura e outras disciplinas,particularmente as outras disciplinas plásticas dapintura e escultura.” [SOMOL, 1999: p.49-53] 38

38 “Previously, formal diagrams rarely dis-cussed linearity or relationships in space andtime. When they dealt with form as well asfunction, such diagrams became reductivegeometric abstractions (…) My use of thediagram proposed a different rationale, onethat could be both more logical and moreinvolved with a process of architecture some-what distant from the design process of thetraditional author-architect. Such a logiccould not be found in form itself, but ratherin a diagrammatic process that had the po-tential to open up the difference betweenthe form/content relationship in architectureand other disciplines, particularly the otherplastic disciplines of painting and sculpture.”[SOMOL, 1999: p.49-53]

Enquanto no uso dos diagramas em Rowe ainda há a concepção neutra e homogênea

do espaço moderno com a figuração da forma, em Eisenman há o questionamento da

estabilidade da forma pelo seu entendimento como uma construção ficcional, um signo.

Apropriando-se do termo “formalismo”, desloca-o para a idéia de um “trabalho sobre

linguagem” [SOMOL, 1999: p.14]:

“Eisenman pretende sujeitar a própria ‘forma’ a umaperpétua revisão por meio de uma exaustivaseqüência de operações: transformação,decomposição, enxerto, escala, rotação, inversão,superposição, transferência, dobragem, etc. E é ocatálogo desses procedimentos que se torna a matériada arquitetura, uma pré-condição disciplinar para umaaproximação diagramática.” [SOMOL, 1999: p.15] 39

39 “Eisenman would subject ‘form’ itself toperpetual revision through an exhaustivesequence of operations: transformation,decomposition, grafting, scaling, rotation,inversion, superposition, shifting, folding,etc. And it is the catalogue of these proce-dures that becomes the subject matter ofarchitecture, a disciplinary precondition toa diagrammatic approach.” [SOMOL, 1999:p.15]

3:193

Operações em que o diagrama exerce papel fundamental, em que é o “caminho para

tanto procurar por um processo como explicar o que foi encontrado” ou ainda em que

é “substância e ação” [SOMOL, 1999: p.55, 73]. Processo onde a obra construída é

apenas mais um diagrama de um processo aberto:

“Os diagramas transformacionais serialmente numerados (...) sugeremque as estruturas construídas ‘finais’ são meros signos indiciais queapontam para um processo maior do qual elas são apenas uma parte.“[SOMOL, 1999: p.16] 40

40 “The serially numbered transformationaldiagrams (…) suggest that the ‘final’ builtstructures are merely indexical signs thatpoint to a larger process of which they areonly a part.” [SOMOL, 1999: p.16]

ou ainda, tomando como exemplo o projeto da House VI, Eisenman considera:

“Os projetos para a House VI são simbióticos com esta realidade; acasa não é um objeto no sentido tradicional – que é o resultado finalde um processo – mas mais acuradamente um registro do processo.A casa, como um conjunto de transformações diagramáticas sobre oqual o projeto é baseado, é uma série de filmes silenciosamentecompostos no tempo e espaço.” [SOMOL, 1999: p.25] 41

Avançando nas transformações diagramáticas, para Greg Lynn, apenas com os meios

computadorizados de projeto e modelação é que o objeto arquitetônico pode ser

manipulado em sua total complexidade, algo que as projeções parciais somadas a

maquetes não permitiam. A fragmentação presente no processo de projeto pode ser

substituída por uma continuidade de visualização e ação, onde os diagramas são

resultantes da junção dos parâmetros escolhidos pelo arquiteto à rotina do computador

– procedimento que compõe também a especifidade do trabalho de Eisenman. O objeto,

na fase de projeto não passa mais por uma montagem seqüencial de seu conjunto,

mas por uma modelagem de seu todo, um procedimento que, além de alterar a ação

de projetar e representar, lança novos conceitos ao objeto arquitetônico: à ação contínua

de modelagem realizada por três propriedades fundamentais, topologia, tempo e

parâmetros, corresponde um espaço fluido [LYNN, 1999: p. 19,20].

Convergindo para o entendimento dos diagramas como operações investigativas abertas

propostos por Tschumi, Eisenman e Lynn, Ben van Berkel conceitua o diagrama como

uma ferramenta visual utilizada para a compressão da informação com vistas para a

produção de objetos – mais do que para a representação de existentes. Porém, quanto

41 “The designs for House VI are symbioticwith this reality; the house is not an ob-ject in the tradicional sense – that is theend result of a process – but more accu-rately a record of a process. The house,like the set of diagrammatic transforma-tions on which its design is based, is a se-ries of film stills composed in time andspace.” [SOMOL, 1999: p.25]

fg322_19 - Concursopara a nova sede IUAV -Veneza. No WhereArchitects. diagramas

3:194

a estruturação do processo diagramático, coloca-se próximo a

Tschumi, divergindo de Eisenman e Lynn, para os quais o

diagrama é composto fundamentalmente por seqüências

transformacionais lineares, exemplificadas pelos diagramas da

série Houses de Eisenman e qualquer um dos diagramas

animados de Lynn. Assim como definiu Peirce, para Berkel o

diagrama é uma ferramenta que tem a peculiaridade de

transformar radicalmente o curso do projeto, por construir

sentidos não estáticos ou fixos, numa narrativa não-linear

composta por ações e reações sobre diversos diagramas

[BERKEL, BOS, 1999: p.19,21- Part2]. A inclusividade de

conexões do diagrama

“(…) diz respeito à natureza não hierárquica,complexa e generativa de um processo integral dedesign que incorpora em si todos os aspectos daarquitetura. (…) Transferir entre layers de sentidostambém significa que o modelo inclusivo é ahibridização de múltiplas origens; o projeto não éfundado em conceitos isolados desenvolvidos emum processo linear. Neste sentido inclusividadeimplica pensamento anti-processual. Oprocedimento de design inclusivo envolve umaforma de pensamento analítico combinatório.”[BERKEL, BOS, 1999: p.224 - Part1] 42

A afirmação acima de Berkel é, em muito, similar às

considerações possíveis quanto a estrutura não-linear do uso

de diagramas por Rem Koolhaas – apesar de Berkel conceituar

seus diagramas como imagens instrumentalizadas distingüindo-

as do que seriam para ele as imagens referenciais ou “objets

trouvés”43 de Koolhaas. No OMA, os diagramas condensam

informações programáticas e referenciais a serem operadas em

um processo de projeto extremamente aberto a influências

externas e que se desenvolve simultaneamente por diversas

alternativas que, por vezes se mesclam, por vezes se sobrepõem,

mas somente em estágios finais do projeto se excluem. Como

comentam Philipp Oswald e Matthias Hollwich, ex-

colaboradores do OMA, no artigo OMA at work, originalmente

escrito para a revista holandesa de arquitetura ARCHIS:

fg322_20 – ArnheinCerter Infraestructure– Ben van Berkel (UnStudio) – diagrama,

wireframe,perspectiva

42 “Inclusiveness applies to the non-hierarchical,complex, generative nature of an integral designprocess that takes on board all aspects of archi-tecture (…) Switching between layers of mean-ing also means that the inclusive model is thehybridization of multiplicitous sources; the projectis not founded on isolated concepts being workedout in a linear process. In that sense inclusivenessimplies anti-process thinking. The procedure ofinclusive design involves a form of combinativeanalytical thinking. “ [BERKEL, BOS, 1999: p.222-224 - Part1]

43 objetos encontrados, recolhidos.

3:195

“É ambição do escritório estruturar o processo de projeto detal modo que o máximo número de influências, critérios eidéias são incluídas. Nada deve ser excluído ou fixado muitorapidamente. Isto é muito mais uma questão de descobrirpossibilidades e investigar seu potencial. Na prática projetual,isto significa que uma multiplicidade de alternativas para cadaproblema é desenvolvida e investigada. (…) Odesenvolvimento de alternativas cria a base para um processode projeto quase evolucionário. Os possíveis desenvolvimentosde uma atividade projetual são mostrados e o conhecimentosobre o problema (programa, sítio, restrições da tecnologiaetc) progride. Isto provê o fértil terreno do qual as idéias reaismuitas vezes emergem espontaneamente. (…) A decisão épostergada tanto quanto possível, porque ela sempre implicaa perda de outras possibilidades, limitação. (…) Uma vez umaidéia básica foi encontrada, a nova conformação do projetonão procede dela em uma modelagem linear e conseqüente”[OSWALD, HOLLWICH, 1998: p.03-05] 44

44 “It is the ambition of the office to structurethe design process in such a way that the maxi-mum number of influences, criteria and ideasare included. Nothing should be excluded orfixed too quickly. It is much more a question ofdiscovering possibilities and investigating theirpotential. In design pratice, this means that amultiplicity of alternatives for each problem isdeveloped and investigated. (…) The develop-ment of alternatives creates the basis for a quasievolutionary design process. The possible de-velopments of a design task are shown andknow-how about the problem (programme, site,technology restrictions etc.) is developed. Thisprovides the fertile ground out of which the realideas often emerge spontaneously. (…) Thedecision is postponed as long as possible, be-cause it always implies the loss of the other pos-sibilities, limitation. (…) Once a basic idea hasbeen found, the further shaping of the projectdoes not proceed from this in a linear and con-sequent fashion.” [OSWALD, HOLLWICH, 1998:p.03]

Os mesmos arquitetos creditam o desenvolvimento simultâneo de diversas possibilidades

de respostas projetuais no OMA, a um processo que se baseia em meios visuais, em

detrimento de construções verbais teóricas que tenderiam à restrições propositivas:

“… não havia muita discussão, mas principalmente produção:croquis, modelos, desenhos, colagens, diagramas, faxes,perspectivas computadorizadas. (...) Rem não promovediscursos teóricos no escritório, provavelmente porque elereceie que uma aproximação teórica possa restringir oprocesso de projeto ao invés de expandí-lo. Uma maneirateórica de proceder leva a categorias não ambíguas, estruturasmonocausais e conclusões lineares, que contradizem asintenções do OMA.” [OSWALD, HOLLWICH, 1998: p.06-07]45

45 “ … there was not much discussion, but prin-cipally production: sketches, models, drawings,collages, diagrams, faxes, computer perspec-tives. (…) Rem does noot promote theoreticaldiscourse within the office, probably becausehe fears that a theoretical approach would re-strict the design process rather than open it up.A theoretical manner of procceding usually leadsto unambiguous categories, monocausal struc-tures and linear conclusions, which contradictsthe intentions of OMA.” [OSWALD, HOLLWICH,1998: p.06-07]

fg322_21 – ProgrammaticLava - Yokohama.diagrama programático –OMA, 1992

3:196

Neste processo aberto desenvolvido no OMA, os modelos são parte decisiva, tanto

como tradução tridimensional dos diagramas - ou diagramas tridimensionais -, quanto

como meios para, a partir dos diagramas, realizar o desenvolvimento do aspecto for-

mal da obra. Modelos-diagramas tridimensionais em que a forma é definida a partir

das relações topológicas construídas:

fg322_22 – Kunsthall.perspectiva – OMA,

1992

fg322_23 –Bibliotèques Jussieu.

“Modelos conceituais são preparados a partir das idéiasutilizáveis, muitas vezes estes modelos representam umatradução direta de um diagrama na terceira dimensão.(…) Formas ocasionalmente resultam da tradução de umdiagrama em um modelo conceitual que é então vistocomo um modelo concreto com dimensões e proporções.(…) Rem ama modelos. Ele pode tocá-los, tomá-los emsuas mãos, manipulá-los. Os modelos processuais podemser mudados, partes podem ser adicionadas ou retiradase, nesse sentido, muitas idéias são desenvolvidas nomodelo. Rem se desconcerta se elementos no modeloestão já colados no lugar, sugerindo finalização, emboraeles ainda estejam em discussão. O modelo é aferramenta na qual a soma de idéias são investigadasem suas mútuas influências e em relação ao contexto,com quais proporções e relações espaciais é testado.”[OSWALD, HOLLWICH, 1998: p.07-08] 46

46 “Concept models are prepared from theusable ideas; often these models representa direct translation of a diagram into thethird dimension. (…) Forms occasionallyarise out of translating a diagram into aconcept model which is then seen also aconcrete model with dimensions and pro-portions. (…) Rem loves models. He cantouch them, take them in his hands, ma-nipulate them. The working models can bechanged, parts can be added or taken awayand in this way many ideas are developedon the model. Rem put off if elements inthe model are already glued in place, sug-gesting finality although they are still un-der discussion. The model is the tool inwhich the sum of the ideas are investigatedin their mutual influences and in relationto the context, with which proportions andspatial interrelations are tested.”[OSWALD, HOLLWICH, 1998: p.07-08]

Na mesma direção, das seqüências diagramáticas abertas, Lars Spuybroek, utilizando

um sistema diagramático de aproximação –com o qual procura reposicionar o processo

3:197

de projeto como uma série de ações sobre um meio visual - investiga as ordens e

estruturas que organizam os movimentos no espaço. O que para ele difere seu

procedimento com diagramas do trabalho de Greg Lynn sobre a transformação linear

da forma e do escritório MVRDV sobre transformação interrelacionada de dados e

eventos (conceito de “datascape”) em uma forma pré-determinada:

“Porque eu estou interessado em movimento e mudança. Eu estouinteressado em sistemas que são criados e estruturados pelatransformação, por exemplo, de sistemas líquidos fluidos. (…)Movimento tem de tornar-se estrutural; movimento tem de serestruturalmente absorvido em um sistema. Em todas estas técnicasdiagramáticas que eu uso, você vê que quando a maior flexibilidadeestá deixando o sistema a maior estrutura é alcançada. É por issoque eu resisto simultaneamente ao conceito de ‘datascape’e pura‘animate form (…) Com o primeiro, a informação entra em umaforma pré-selecionada (muitas vezes um cubo); com o segundotoda a informação é diretamente materializada como uma forma.Eu trabalho muito mais com a interação entre informação e forma.Basicamente eu estou interessado apenas na estruturação, noefeito de modelagem entre os dois. É por isso que eu tendo emdireção ao processo interativo, a metodologias de procedimentosseqüenciais, porque cada vez que a forma é mudada ela absorvediferentemente a informação.” [SPUYBROEK, 2002: p.248] 47

47 “Because I’m interested in systems that arecreated and structured by change, for in-stance, liquid fluid systems. (…) Movementhas to become structural; movement has tobe structurally absorbed into a system. In allthese diagramming techniques that I use, yousee that the more flexibility is leaving the sys-tem the more structure is gained. That is whyI’m resisting both the concept of ‘datascape’and pure ‘animation form’ (…). With the first,information enters a preset form (often acube); with the second all information is di-rectly materialised as a form. I work muchmore with interaction between informationand form. Basically I’m only interested in thestructuring, the patterning effect in-betweenthe two. That’s why I tend towards iterativeprocesses, stepwise methodologies, becauseevery time the form is changed it absorbs theinformation differently.” [SPUYBROEK,20002: p.248]

Uma seqüência diagramática aberta não-linear parece guardar mais similaridade com

um processo de projeto efetivo em que um grande número de dados são manipulados

no processo, pois este não se compõe de camadas unioperacionais estanques e

subseqüentes, mas é aberto à inclusão de novos dados que surgem no e do processo,

como a retroalimentação proveniente de operações realizadas. Uma seqüência

diagramática aberta linear parece então, por contraposição, se colocar como uma pós-

racionalização do processo. E, no limite, pode se aproximar de uma seqüência

diagramática fechada, pois que, se não atinge um fim prognosticável que se referencia

a um início tipológico, o percurso se estrutura em regras controladas sem a inclusão de

interferências não previstas. Se no primeiro processo, o diagrama corresponde a uma

rede, em que cada elemento pode ser conectado com todos os outros, no segundo

remete a uma estrutura linear em que descontinuidades não são registradas.

Como ponderação crítica, em meio a um contexto de investigação de ações teóricas e

operativas em projeto - que tem se constituído como um dos crescentes campos de

pesquisa em Arquitetura, no qual inserem-se os diagramas - e de certa valoração de

processos lógicos de projeto, a reconstrução de um processo a posteriori pode tornar-

se a validação do objeto projetado. Por meio de certa racionalização de um processo

de projeto que não se compõe de uma estrutura linear como a que se torna revelada,

constrói-se uma “after-theory”, como expõe a seguir Patrik Schumacher, professor da

3:198

Architectural Association, em Londres, e arquiteto associado de Zaha Hadid:

fg322_24, fg322_25–Piscinas Sloterparck-

MVRDV, 1994 –seqüências

papirofléxicas,seqüência deconstrução e

perspectiva; modelo

48 “The a posteriori documentation andrationalization of this process becomes themedium to convert and explorative experi-ment – with all its leaps, bounds and loops– into a reproducible professional reper-toire. Through such reflection the projectis able to legitimize itself as an effectivematerial contribution to a given site as wellas an innovative contribution to the cul-ture of architectural research… The emer-gent rationality of this process, i.e. a struc-tured, reproducible method, can only bereconstructed retrospectively by cuttingthe dead ends, short-circuiting the loops.”[SCHUMACHER, 1999: p.1-3]

“A documentação a posteriori e a racionalização desteprocesso tornam-se o meio para converter umexperimento exploratório – com todos os seus saltos,limites e voltas – em um repertório profissionalreprodutível. Por meio de tal reflexão o projeto se habilitaa legitimar-se como um material de contribuição efetivaa determinado lugar mais do que como uma contribuiçãoinovadora para a cultura da pesquisa arquitetônica... Aemergente racionalidade deste processo, isto é, ummétodo estruturado e reproduzível, pode somente serreconstruído retrospectivamente cortando os finaismortos, curto-circuitando as voltas.” [SCHUMACHER,1999: p.1-3] 48

3:199

O que acaba por tornar pertinente um dos questionamentos lançados na chamada de

artigos para a revista de arquitetura alemã UmBau n.19, sob o tema “Diagrams, Types,

Algorithms”, a guisa de fomentar reflexões,

49 “Is there a difference between reading andwriting? In other words, can the notions of type,algorithm and diagram be more instrumentalin the production of interpretations and analy-ses than in the production of artifacts?“ URL:http://www.aneta.at/oegfa/publikationen/UmBau/neu/UmBau_19_cfp_en.html

“Há diferença entre ler e escrever? Em outras palavras, podem asnoções de tipo, algoritmo e diagrama ser mais instrumentais naprodução de interpretações e análises que na produção deartefatos?” 49

Em algumas exposições de projetos arquitetônicos em publicações especializadas certos

diagramas mais do que responsáveis pela geração do projeto, compõem uma

interpretação narrativa deste. Como a apresentação de obras do grupo holandês MVRDV

que, com freqüência, se faz por meio da associação de diagramas compostos por

seqüências lineares de modelagens à projeções convencionais de representação de

arquitetura – planta, cortes e elevações. Se por um lado, o objeto resulta de uma série

de operações de homeomorfismo - corte, dobra e extensão – aplicadas a uma superfície

plana que por elas vai sendo modelada, o movimento efetivo de idas e vindas do

processo de homeomorfismo-concepção, de operações realizadas e posteriormente

desfeitas, próprias de um processo de projeto, não são registradas. Os diagramas

expostos parecem ser, então, estágios de um processo maior e mais difuso que, pós-

projeto, se mostraram como aqueles que indicaram para a resolução final. Dentre os

projetos assim representados podem ser destacados as Piscinas Sloterpark (1994), a

Villa KBWW (1995) e a Igreja em Barendrecht (1997).

O diagrama como reconstrução do processo, como leitura de projeto, configura-se

então como uma nova construção, do processo de projeto e de seus elementos

formadores. Tanto em construção quanto em reconstrução de um processo, as limitações

ou horizontes de seu uso mostram-se co-dependentes das intenções que movem este

mesmo uso. Ao centrar-se na edição e registro de material propositivo/retrospectivo,

pode confirmar – ou criar - interdependências estritas entre processo e produto. Ao

focar-se em sua porção exploratória, característica fundante de um diagrama propositivo/

prospectivo pode se efetivar como contribuição à pesquisa arquitetônica em direção à

investigação de conexões diversas entre processos de pensamento, ações projetuais e

objetos arquitetônicos.

A introdução em Arquitetura da investigação de diagramas como meios

simultaneamente operativos e representacionais que permitem a estruturação de

narrativas de (re)construção do objeto em seqüências transformacionais abertas, participa

da busca da disciplina por maior compreensão dos processos heurísticos em projeto e

maior visualização – no tempo - dos processos de conformação espacial com que estão

interrelacionados.

4:201

#4

consideracoes finais. -

fg4_

01, f

g4_0

2 –

plan

o/su

perf

ície

, hom

eom

orfis

mo

– pr

otot

ipag

em r

ápid

a. D

avid

Spe

rling

4:203

Reflexões humanísticas, descobertas científicas de outros campos do conhecimento e

desenvolvimentos tecnológicos exteriores à Arquitetura historicamente instrumentalizam

a disciplina com referências conceituais e imagéticas. A Topologia, entre as exterioridades

arquitetônicas mais referenciadas na contemporaneidade, tem sido vinculada à algumas

temáticas recorrentes que inegavelmente tem transformado o panorama da pesquisa

de vanguarda no tocante a processos de projeto e espacialidades arquitetônicas. Neste

cenário, são seis as recorrências que o trabalho identifica: forma e estrutura - a

modelagem algébrica; continuidade espacial - a modelagem geométrica; a continuidade

espacial – a teoria dos grafos; arquitetura, concreta e virtual – as 3+n dimensões espaciais;

arquitetura, mutável e efêmera – o evento; metarquitetura – o procedimento projetual

por diagramas.

Ao ser introduzida em Arquitetura, por meio da concepção de diagrama processual

topológico, sendo o diagrama um possível denominador das recorrências, requer a

reconsideração de alguns paradigmas que cotidianamente conformam a disciplina

arquitetônica - como a permanência, o fixo e estático. E conflui, criticamente em alguns

aspectos, na direção de reconsiderações propostas por alguns arquitetos

contemporâneos de referência. Este trabalho, longe de ser conclusivo a respeito de

novas definições arquitetônicas a partir da aproximação com a Topologia, objetiva a

compreensão de um meio operativo-representacional de projeto que lança outros

paradigmas de qualificação espacial.

A construção do conceito de diagrama de modo interdisciplinar, desde as Ciências

Cognitivas até a Lógica, considera a Topologia como última camada que, aos caráteres

relacional, analógico e icônico do conceito, adiciona o caráter processual investigativo

e representativo de relações espaciais característico de um processo de modelagem

topológico. O diagrama processual topológico em Arquitetura instrumentaliza a

articulação das operações mentais inerentes ao processo de projeto - as quais são

investigadas pelas Ciências Cognitivas, a saber memória, imaginação, percepção,

navegação ou senso de orientação, inferência e resolução de problemas - por meio de

signos icônicos, que mantém relações de similaridade com as transformações espaciais.

A noção de diagrama processual topológico, composta por três instâncias, trans-

diagramas, intra-diagramas e inter-diagramas que operam três variáveis, pensamento,

espaço e tempo, apresenta-se para a Arquitetura como um meio operativo-

representacional fundamentalmente de relações espaciais estruturais que são as bases

topológicas de interpretação/significação/percepção/uso dos espaços arquitetônicos.

consideracoes finais. -

4:204

Se a noção corrente em Arquitetura Contemporânea de diagrama provê a inserção do

tempo e do movimento (espaço no tempo) como variáveis de um processo projetual, a

consideração integral do diagrama processual topológico em Arquitetura transfere as

duas variáveis, tempo e movimento, das transformações formais do objeto arquitetônico

para a investigação dos aspectos espaciais não referentes à forma, a topologia do

objeto.

A leitura crítica de arquitetos de referência associada à apresentação de conceitos da

Topologia realizada por este trabalho evidencia que a consideração corrente de

transformações formais ao invés das invariâncias espaciais sob transformações formais

é, sem dúvida, a maior defasagem na interpretação da Topologia realizada por arquitetos.

O que termina por influenciar não só a produção de arquitetura mas especificamente,

a conceituação de um processo diagramático “baseado” em diagramas topológicos

que objetiva apenas explorações formais e não se ocupa de organizações espaciais.

Ao centrar-se nas organizações espaciais, o diagrama processual topológico, pede a

reconsideração da valoração do aspecto formal da arquitetura em detrimento de seu

aspecto espacial. Como meio de projeto que investiga relações espaciais, o diagrama

processual topológico posiciona o aspecto formal da arquitetura sob seu aspecto espacial,

alterando conseqüentemente as bases da concepção espacial, da ação de projeto e de

interpretação/significação/percepção/uso dos espaços arquitetônicos para o que lhes é

específico, tanto do diagrama quanto do processo de projeto, o manejo do espaço -

mais que a especulação da forma.

A imbricação das variáveis do pensamento, do espaço e do tempo no diagrama

processual topológico, por meio da construção de uma topologia análoga à topologia

do objeto, ao borrar as fronteiras entre representação e objeto, poderia ainda conduzir

como pesquisa em arquiteturas virtuais, à investigação do habitar o diagrama ou ainda,

à incorporação pelo espaço, como um diagrama processual topológico, dos movimentos

e dos fluxos de pensamento-existência do arquiteto-habitante.

O binômio “ação e substância”, paradigma identificado por Somol [SOMOL, 1999:

p.55, 73] no processo de trabalho de Eisenman e que é extensivo às pesquisas de

vanguarda em Arquitetura que visam a incorporação do movimento remonta,

originalmente, ao matemático e filósofo Alfred North Whitehead, co-autor de Bertrand

Russell em Principia Mathematica. Em sua obra-prima Process and Reality (Processo e

Realidade), de 1929, apresenta os conceitos de substância e processo como categorias

metafísicas básicas do mundo e introduz a noção de ocasião atual (actual occasion)

como um processo de constituição (process of becoming) e não como uma substância

permanente (enduring substance). Considera, a partir deste conceito, que os objetos

4:205

não são simples locações espaciais, mas campos que têm extensões temporais e espaciais,

como uma série de eventos e processos em direta relação com uma substância.

Sob este mote, o que a noção de diagrama processual topológico fundamentalmente

favorece e evidencia em Arquitetura é a dimensão dinâmica que compõe uma concepção/

obra arquitetônica. Antes de uma situação fixa de existência é um processo de

constituição de pensamentos em pensamentos, pensamentos em arquiteturas,

arquiteturas em arquiteturas. Instâncias que têm uma dimensão heurística, espacial e

temporal. Substância e processo. Trans, intra, inter-diagramas.

[Arquiteturas contínuas e topologia: similaridades em processo.

1. Aproximação entre os dois campos que se processa contemporaneamente ; 2.

Processos similares de modelação do objeto; 3. Uso de similaridades - iconicidade

- em processo de concepção.]

5:207

whiteheadsomolzemantschumi

carterpeirce

costa

#5

êreferencias^whitehead

zeman carter

5:209

referencias^

introducao

fg0_01 – plano/superfície, homeomorfismo – prototipagem rápida. David Sperling

modelo prototipado no Laboratório de Desenvolvimento do Produto do Centro de

Pesquisas Renato Archer – Campinas, SP, fotografia por Luciano Costa e pelo autor




capitulo 1

fg01 - Atrator de Lorenz - Edward Norton Lorenz

Revista Quaderns d’Arquitectura i Urbanisme. Spirals/Espirales, n.222. Barcelona: Font i

Prat, 1999. p.153.

fg12_01– seqüência DNA


Prat, 1999. p.153.

fg12_02- Iteração de uma mesma forma geométrica/perfil de manhattan


Prat, 1999. p.110-111.

fg12_03 –Ligações termodinâmicas em Sólidos-Mecânica de Fraturas, Caos, Sistema de funções

iterativas não-lineares, Fractal

http://www.chaos.cornell.edu/

http://www.cg.tuwien.ac.at/research/vis/dynsys/NDimViewer/

http://www.webcom.com/duane/fract.html

fg12_04 –Sistemas dinâmicos de altas dimensões

http://www.cg.tuwien.ac.at/research/vis/dynsys/NDimViewer/

fg12_05 –Organização em uma gota de leite. Darcy Thompson (On Growth and Form, 1917)

http://www.eng.vt.edu/fluids/msc/gallery/misc/crown.htm

http://www.math.toronto.edu/~drorbn/Gallery/Misc/MilkDrops/

fg12_06 – Galeria das Máquinas, Paris. 1998. Victor Constantin e Fernidand Dutert.

ARGAN, Giulio Carlo. Arte Moderna. São Paulo: Companhia das Letras, 1992. p.87.

fg12_07 - Projeto para Cenotáfio de Newton. 1780. Étienne-Louis Boullée


iconografia

. -

,

5:210

fg12_08 - Casa dos Guardas Campestres em Maupertuis. 1780. Claude-Nicolas Ledoux


fg12_09 – Arquitetura das dunas. Erich Mendelsohn

ZEVI, Bruno. Erich Mendelsohn. Barcelona: Gustavo Gili, 1996. Coleção Estudiopaperback.

p.37.

fg12_10 – Torre Einstein, Potsdam. 1919-23. Erich Mendelsohn


fg12_11 – Capela de Capela de Nôtre-Dame-du-Haut, Ronchamp. 1950-53. Le Corbusier.


fg12_12 - Desenhos Pavilhão Philips Exposição Universal . 1957 . Bruxelas. Le Corbusier

BOESINGER, Willy. Le Corbusier. Barcelona: Gustavo Gilli, 1985. p.128.

fg12_13 - Pavilhão Philips Exposição Universal . 1957 . Bruxelas. Le Corbusier

BOESINGER, Willy. Le Corbusier. Barcelona: Gustavo Gilli, 1985. p.129.

fg 12_14 - Endless House (maquete) . Frederick Kiesler

Revista Quaderns d’Arquitectura i Urbanisme., Spirals/Espirales, n.222. Barcelona: Font i

Prat, 1999. p. 96.

fg 12_15 - Endless House (desenhos p/ exposição no MOMA, 1959) . Frederick Kiesler


Prat, 1999. p. 99.

fg12_16 – Rede de Paragens Padrão (1914) Marcel Duchamp – óleo e lápis s/ tela

MINK, Janis. Duchamp. Köln: Taschen, 1996. p.48.

fg 12_17- Endless House (protótipo) . Frederick Kiesler


Prat, 1999. p. 100.

fg 1.2_18 - superfície de Boy

HILBERT, D., COHN-VOSSEN, S. Geometry and the Imagination. New York: Chelsea Pub-

lishing Company, 1952.p.320

fg 12_19 - superfície de Boy



fg 12_20 - superfície de Boy



fg 12_21 - Construção Dinâmica. 1947. Anton Pevsner.Estanho oxidado sobre masonite.


fg12_22 - Construção no espaço. O cristal. 1937. Naum Gabo. Perpex.


fg12_23 – Unidade Tripartida. 1948-49. Max Bill

http://www.icmc.sc.usp.br/~walmarar/artmat/maxbill.html

fg12_24 – Unidade Tripartida. 1948-49. Max Bill

http://www.icmc.sc.usp.br/~walmarar/artmat/maxbill.html

5:211

fg131_01 - Cúpula Geodésica do Pavilhão norte-americano na Exposição Universal de Mon-

treal. 1967. Richard Buckminster Fuller


fg131_02 - Aeroporto Internacional, Denver. 1994. Horst Berger.

Revista Arquitetura Têxtil, 2001, p.11.

fg131_03 - Museu Guggenhein Bilbao. Frank Gehry. Modelo em computador.

See how IBM modeling tools helped build Spain’s new Guggenhein Museum in: http://

www.ibm.com/news/1997/10/ls971013.html

fg131_04 - Museu Guggenhein Bilbao. Frank Gehry. Vista externa.

Revista El Croquis Frank Gehry

fg131_05 - Museu Guggenhein Bilbao. Frank Gehry. Modelo em computador.

See how IBM modeling tools helped build Spain’s new Guggenhein Museum in: http://

www.ibm.com/news/1997/10/ls971013.html

fg131_06 - Museu Guggenhein Bilbao. Frank Gehry. Vista externa.


fg131_07 - Museu Guggenhein Bilbao. Frank Gehry. Modelo virtual e concreto.


fg131_08 - Max Reinhardt Haus.1992. Peter Eisenman. modelo

SOMOL, R.E. Peter Eisenman Diagram Diaries. London: Thames & Hudson, 1999. p.232.

fg131_09 - Max Reinhardt Haus.1992. Peter Eisenman. diagramas


fg131_10 - BFL Software Ltd. Headquarters Building. 1996. Peter Eisenman. modelo


fg131_11 - Staten Island Institute of Arts and Sciences .1997. Peter Eisenman. modelo


fg132_01 Bibliotèques Jussieu. 1992 . Paris, França . OMA - maquete e diagrama

KOOLHAAS, Rem, MAU, Bruce. S,M,X,XL, Amsterdam: Evergreen, 1997, p.1312-1313.

fg132_02 - Parkhouse, Amsterdam. 1996. NL Architects

Revista Quaderns d’Arquitectura i Urbanisme. Loops/Bucles. Barcelona: Font i Prat,

1999.encarte.

fg132_03 - Yokohama Terminal. 1995. FOA


1999.encarte.

fg132_04 - Dobraduras – Albers, Bauhaus

WHITFORD, Frank. Bauhaus. London: Thames and Hudson, 1984.p.135.

fg132_05 - Azadi Multiplex Cinema. Teerã, Irã. 1997. FOA

Revista Quaderns d’Arquitectura i Urbanisme. Topografias Operativas. n.220. Barcelona:

Font i Prat, 1999. p. 41.

fg132_06 - Topografical Overpass. Atlanta, EUA. 1994. Kelly Shannon

Revista Quaderns d’Arquitectura i Urbanisme. Topografias Operativas. Barcelona: Font i

Prat, 1999. n.220, p.51.

5:212

fg132_07 - Estádio Töölö - Ocean NO+UV


Prat, 1999. p. 37.

fg132_08 – El Águila - Soriano-Palacios

Revista Quaderns d’Arquitectura i Urbanisme. n .219. Barcelona: Font i Prat, p.81.

fg133_01 - Passagem do organograma para a planta arquitetônica

PELLEGRINO, Pierre, CORAY, Daniel et al. Arquitetura e Informática. Barcelona: Gustavo

Gili, 1999, p.75.

fg133_02 – Grafo – sistema e subsistema de variáveis em design– Christopher Alexander

ALEXANDER, Christopher. Notes on Synthesis of Form. Cambridge: Havard University

Press, 1964. p. 65.

fg133_03 – Grafo – Pattern de interações urbanas – Christopher Alexander


Press, 1964. p.153.

fg133_04 – Grafo – Interações entre campus universitário e cidade, Cambridge– Christopher

Alexander

ALEXANDER, Christopher. La estructura del medio ambiente. Barcelona: Tusquets, 1971.

p. 43.

fg133_05 – Diferenciação territorial – Herman Hertzberger

HERTZBERGER, Herman. Lições de Arquitetura. São Paulo: Martins Fontes, 1996. p.21.

fg133_06 – Limites abertos e encerrados

CONSIGLIERI, Victor. A Morfologia da Arquitetura 1920-1970. Lisboa: Estampa, 1995.

p.176.

fg133_07 – Comunicabilidades topológicas


p.197.

fg133_08 – Tradução de uma planta em grafo


Gili, 1999. p.71.

fg133_09 – Modelo, contexto e possibilidades a partir de Palladio


Gili, 1999. p.80.

fg134_01 - Pavilhão da Exposição “Realscape in Quicktime”. Un Studio (Berkel & Bos)


Prat, 1999. p. 37.

fg134_02 – Hypersurfaces Panel Studies. Stephen Perrela.

ZELLNER, Peter. Hibrid Space New Forms in Digital Space. Londres: Thames & Hudson,

1999. p.48.

fg134_03 – Möbius House: Hypernurban Architecture. Stephen Perrela.


1999. p.46.

5:213

fg134_04 – The Institute for Electronic Clothing. Stephen Perrela.


1999. p.52.

fg134_05 – Data-Driven Forms. Marcos Novak.


1999. p.130.



1999. p.130.



1999. p.130-31.

fg134_08 – Variable Data Forms. Marcos Novak.


1999. p.132.

fg135_01 – “Part 4: The Block” from The Manhattan Transcripts.

TSCHUMI, Bernard. Architecture and Disjunction. Cambridge: MIT Press, 1996. p. 150.

fg135_02 - FreshH2O eXPO. Nox-Lars Spuybroek. Interior.


Prat, 1999. p.108.

fg135_03 - FreshH2O eXPO. Nox-Lars Spuybroek. Exterior e interior.


1999. p.118.

fg135_04 - Saltwater Pavillion. Kas Oosterhuis. Exterior.


1999. p.78.

fg135_05 - Saltwater Pavillion. Kas Oosterhuis. Interior.


1999. p.79.

fg135_06 – V2_Lab. Nox-Lars Spruybroek. vista


1999. p.125.

fg135_07 – Embryo House. Instalação de peças de resina. Greg Lynn.


1999. p.138.

fg135_08 – Embryo House. Modelo Virtual. Greg Lynn.


1999. p.140.

fg136_01 - Singularidade H2 de David Mond. 1993. Washington L. Marar

http://www.icmc.sc.usp.br/~walmarar

fg136_02 - Virtual House. 1997. FOA

Revista Quaderns d’Arquitectura i Urbanisme. Topografias Operativas. n.220,. Barcelona:

Font i Prat, 1999. p.42.

5:214

fg 136_03 - Snake House – Dirk Alten

Revista Quaderns d’Arquitectura i Urbanisme. n.219. Barcelona: Font i Prat, 102.

fg136_04 - Très Grand Bibliothèque, Paris, França, Concurso, 1989. OMA

KOOLHAAS, Rem, MAU, Bruce. S,M,X,XL. Amsterdam: Evergreen, 1997. p. 658-659.

fg136_05 - Pavilhão Suíço na Expo Hannover 2000. Jauslin-Vehovar


Prat, 1999. p. 70.

fg136_06 - Pavilhão Suíço na Expo Hannover 2000. Jauslin-Vehovar. diagramas


Prat, 1999. p. 70.

fg136_07 – Ferramentas formais – Peter Eisenman

SOMOL, R.E. Peter Eisenman Diagram Diaries. London: Thames & Hudson, 1999.

fg136_08 – Fireworks for la Vilette, Paris. 1991.


fg136_09 – Parc la Vilette: Programmatic deconstruction: the largest common denominator =

the folie.


capitulo 2

fg2_- Material Elastômero

Revista Quaderns d’Arquitectura i Urbanisme. Loops/Bucles. Barcelona: Font i Prat, 1999.

p. 01.

fg2.1.1_01 – Desenhar, litografia, 1948 – M.C. Escher

ERNST, Bruno. O espelho mágico de M.C. Escher. Köln: Taschen, 1978. p. 26.

fg212_01 – Alfabeto universal, Bauhaus, 1926 – Herbert Bayer

BRITO, Ronaldo. Neoconcretismo. Vértice e ruptura do projeto construtivo brasileiro. São

Paulo: Cosac & Naify, 1999, p.20.

fg212_02 – Bicho . alumínio, 60cm – Ligia Clark

BRITO, Ronaldo. Neoconcretismo. Vértice e ruptura do projeto construtivo brasileiro. São

Paulo: Cosac & Naify, 1999, p.91.

fg212_03 – Locomoção Humana, Chapa 616, 1887 – Eadweard Muybridge


fg212_04 – Duchamp Descendo uma escada – Elliot Elisofon


fg212_05 – Nu descendo uma escada (n.2), 1912 – Marcel Duchamp


fg212_06 - Fita de Möbius

figura do autor

fg212_07 - Fita de Möbius por Hilbert

HILBERT, D. COHN-VOSSEN, S. Geometry and the imagination. New York: Chelsea, 1952.

fg212_08 – House 11a. 1978 – Peter Eisenman

SOMOL, R.E. Peter Eisenman Diagram Diaries. London: Thames & Hudson, 1999. p. 74,

220.

,

5:215

fg213_01 – Mão com esfera refletora, litografia, 1934 – M.C. Escher

ERNST, Brun.– O espelho mágico de M.C. Escher. Köln: Taschen, 1978. p.74.

fg214_01 – Reta e parábola

figura do autor

fg214_02 – Diagramas de Euler

desenho do autor com base em [SEP] Stanford Encyclopedia of Philosophy. URL: http://

plato.stanford.edu/entries/diagrams







fg214_05 – Diagramas primários de Venn



fg214_06 – Diagramas de Venn



fg214_07 – Diagramas de Peirce



fg221_01 - pontes de Königsberg e a representação em grafos

MARCH, Lionel, STEADMAN, Philip. The Geometry of Environment. London: Methuen &

Co, 1971. p.242.

fg221_02 – grafo completo

figura do autor

fg221_03 – grafo completo bipartido

figura do autor

fg221_04 – subgrafo

figura do autor

fg221_05 – grafo mergulhado

figura do autor

fg221_06 – grafos mergulhados na Fita de Möbius

figura do autor

fg221_07 – grafos isomorfos

figura do autor

fg221_08 – grafos homeomorfos

figura do autor

fg222_01 – Geometrias Euclidiana e não-Euclidiana

figura do autor

5:216

fg222_02 - Material Elastômero


p. 02.

fg222_03- A cobra e o elefante I

SAINT-EXUPÉRY, Antoine de. “Le Petit Prince”. Paris: Gallimard, 1946. In: Revista ElCroquis.

Barcelona: El Croquis Editorial, 1994, n.65/66.p.42.

fg222_04 - A cobra e o elefante II

SAINT-EXUPÉRY, Antoine de. “Le Petit Prince”. Paris: Gallimard, 1946. In: Revista ElCroquis.

Barcelona: El Croquis Editorial, 1994, n.65/66.p.43.

fg222_05– Congruência de regiões geométricas

figura do autor

fg222_06 – Proximidade

figura do autor

fg222_07 – Desconexão

figura do autor

fg222_08 – Continuidade

figura do autor

fg222_09 – Conectividade por Caminhos

figura do autor

fg222_10 – Superfície

figura do autor

fg222_11– Topologia intrínseca/extrínseca

figura do autor

fg222_12– Geometria intrínseca/extrínseca

figura do autor

fg222_13 – Hipersuperfície

figura do autor

fg222_14 – Mergulho

figura do autor

fg222_15 – Nó 1070

“as rope”

URL: http://www.pims.math.ca/knotplot/various/rayt.html

fg222_16 – Nó 1070

“as rope”

URL: http://www.pims.math.ca/knotplot/knot-theory/twist-spun-knot.html

fg222_17 – Nó Trefoil

SAMPAIO, João. Introdução à Topologia das Superfícies - XXII Encontro Brasileiro de

Topologia/UFF. São Carlos: UFSCar, 2000. p. 04.

fg222_18 – Nó Trefoil – prototipagem rápida



fg222_19 – Quarta Dimensão

figura do autor

fg222_20 – Hipercubo

figura do autor

5:217

fg222_21 – Homeomorfismo

CARTER ,J. Scott. How surfaces intersect in space: an introduction to topology, World

Scientific, Second edition, 1995. p. 28.

fg222_22 - Diagramas de nós - homeomorfismos


Prat, 1999. p. 79.

fg222_23 – plano/superfície, homeomorfismo – prototipagem rápida

design pelo autor, modelo prototipado no Laboratório de Desenvolvimento do Produto

do Centro de Pesquisas Renato Archer – Campinas, SP, fotografia por Luciano Costa e

pelo autor

fg222_24 – plano/superfície, homeomorfismo – prototipagem rápida

design pelo autor, modelo prototipado no Laboratório de Desenvolvimento do Produto

do Centro de Pesquisas Renato Archer – Campinas, SP, fotografia por Luciano Costa e

pelo autor

fg222_25 – Deformações que alteram topologia


Scientific, Second edition, 1995. p. 12

fg222_26 – Soma Conexa

figura do autor

fg222_27 – Identificação

figura do autor

fg222_28 - Reidemeister Moves



fg222_29 - Roseman, Homma-Nagase Moves



fg222_30 – “Movie” do toro



fg222_31 – “Movie” da Garrafa de Klein



fg222_32– Superfície orientável/não-orientável

figura do autor

fg222_33 – Disco

figura do autor

fg222_34 – Esfera

figura do autor

fg222_35 – Toro Genus 1, 2, 3

SAMPAIO, João. Introdução à Topologia das Superfícies - XXII Encontro Brasileiro de

Topologia/UFF. São Carlos: UFSCar, 2000. p. 11.

5:218

fg222_36 – Faixa de Möbius - diagrama

figura do autor

fg222_37 – Faixa de Möbius



fg222_38 – Faixa de Möbius



fg222_39 – Garrafa de Klein - diagrama


lishing Company, 1952.p.308-310

fg222_40 – Garrafa de Klein

BOURKE, Paul. Klein Bottle. URL: http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/geometry/klein/

fg222_41 – Garrafa de Klein (outra parametrização)

BOURKE, Paul. Klein Bottle. URL: http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/geometry/klein/

fg222_42– Plano Projetivo

figura do autor

fg222_43– Superfície de Boy

BOURKE, Paul. Klein Bottle. URL: http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/geometry/boy/

fg222_44– Superfície Romana

URL: http://mint.ms.u-tokyo.ac.jp/models/KummerRoman.html

fg222_45– Cross Cap

BOURKE, Paul. Klein Bottle. URL: http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/geometry/

crosscap/

fg222_46– Guarda-chuva de Whitney

figura do autor

fg222_47– Operações e relações de equivalência entre as superfícies

figura do autor

fg222_48 – Homeomorfismo de um toro em uma caneca

http://www.ds.arch.tue.nl/education/courses/7m690/QuoteZone/Lynn/Lynn_ani.stm

fg222_49 – Transformação de uma Fita de Möbius em uma Garrafa de Klein

http://www.ds.arch.tue.nl/education/courses/7m690/QuoteZone/Lynn/Lynn_ani.stm

fg222_50 – Seqüência da Garrafa de Klein e partição em 2 Faixas de Möbius


lishing Company, 1952.p.308-310

fg222_51 – Diagrama processual



fg222_52 – Diagrama Plano

figura do autor

fg222_53 - V&A Museum, Londres. 1999. Daniel Libeskind. diagrama plano


Contracapa

5:219

fg222_54 - V&A Museum, Londres. 1999. Daniel Libeskind. diagrama processual


p.56.

fg222_55 - V&A Museum, Londres. 1999. Daniel Libeskind, maquete


1999.encarte.

fg222_56 – Conformação final, diagrama plano e palavra das superfícies fechadas

figura do autor

capitulo 3

fg3_01 – Nó Trefoil – prototipagem rápida


Pesquisas Renato Archer – Campinas, SP, fotografia por Luciano Costa

fg31_01 – Hans Schmitz Haus (Glas Pavillion), Alemanha, 2001 – Jörg Hieber e Jürgen Marquardt

Revista Glass Today. Milão: Elsevier. Abril, 2002, p. 62.

fg31_02 – Villa Savoye, 1928-31 – Le Corbusier

Guia da 4. Bienal Internacional de Arquitetura de São Paulo. São Paulo: Prolivros, 1999,

p11.

fg31_03 – Estudos de Fachadas, 1977 – Robert Venturi

STROETER, Rodolfo. Arquitetura & Teorias. São Paulo: Nobel, 1986, p. 202.

fg31_04 – Ampliação do Museu Judaico de Berlim – Daniel Libeskind

Revista Arquitetura & Urbanismo. São Paulo: Pini. n.36, jun/jul 1991, p.53.

fg31_05 - Bibliotèques Jussieu. 1992 . Paris, França . OMA. Modelo eletrônico.

Revista ElCroquis. Rem Koolhaas. N.79, 1996. p.136.

fg31_06 - Virtual House. 1997. FOA

Revista Quaderns d’Arquitectura i Urbanisme. Topografias Operativas. n.220,. Barcelona:

Font i Prat, 1999. p.42.

fg31_07 - Möbius House- vista externa

Architecture and Urbanism A+U. Rem & Ben. Tokyo: A+U, 1999:03. n.109.

fg31_08 - Möbius House- vista externa


fg31_09 - Möbius House- diagrama de tempo/espaço


Prat, 1999. p. 76.

fg31_10 - Möbius House- diagrama de tempo/espaço


Prat, 1999. p. 84-85.

fg31_11 - Möbius House- planta pavimento inferior


Prat, 1999. p. 89.

,

5:220

fg31_12 - Möbius House- planta térreo


Prat, 1999. p. 89.

fg31_13 - Möbius House- planta 2. pavimento


Prat, 1999. p. 89.

fg31_14- Möbius House- planta cobertura


Prat, 1999. p. 89.

fg31_15 - Möbius House (maquete). 1993. Holanda. Ben van Berkel


Prat, 1999. p. 83.

fg31_16 - Möbius House- diagrama


fg31_17 - Möbius House- vista interna


Prat, 1999. p. 91.



Prat, 1999. p. 91.

fg31_19- Möbius House- vista interna


Prat, 1999. p. 90.



Prat, 1999. p. 90.

fg32_01 – Homem Vitruviano –“De Divina Proportione” - Leonardo da Vinci

http://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/EMAT6680.2001/Youn/EMAT6690/Essay%201/

Goldenratio%20in%20Art%20.html

fg32_02 – seção áurea

http://www.vicenzoberti.com.br/ararangua/a_forma.htm

fg32_03 - coneflowers

http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html#petals

fg32_04 - pinha

http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html#petals

fg32_05 – Modulor. Le Corbusier

http://www.mat.uel.br/geometrica/4tarq.htm

fg32_06 – Modulor. Le Corbusier

http://www.mat.uel.br/geometrica/4tarq.htm

fg32_07 - Tatami

http://www.swifty.com/apase/charlotte/@A4.html

fg32_08 - De um grafo, duas plantas


Gili, 1999, p.75.

5:221

fg32_09 – Esquema Construtivo da Maison Dom-ino. Le Corbusier. 1914


fg32_10 – Metablobs. Greg Lynn


142.

fg32_11 - DreamHouse- esquemas de circulação


Prat, 1999. p. 82.

fg32_12 - Port Authority Gateway. Greg Lynn. Simulações de movimentos


148.

fg32_13 - V2_Lab. Nox-Lars Spuybroek. Diagrama de movimentos


122.

fg32_14 - 2 Bibliotèques Jussieu. 1992 . Paris, França . OMA - diagramas

KOOLHAAS, Rem, MAU, Bruce. S,M,X,XL, Amsterdam: Evergreen, 1997, p.1310-1311.

fg32_15 - Très Grande Bibliothèque, Paris, França, Concurso, 1989. OMA

KOOLHAAS, Rem, MAU, Bruce. S,M,X,XL. Amsterdam: Evergreen, 1997. p. 658-659.

fg321_01 – A Fortaleza – habitações e escritórios, Céramique – croquis – Mario Botta

Revista Óculum. Campinas: FAU-Puccamp, nov. 1997. n.10-11, p.79.

fg321_02 – Diagrama de conexões, Conjunto habitacional – Moshe Safdie

Revista Óculum. Campinas: FAU-Puccamp, abr. 1996. n.7-8, p.55.

fg321_03 – Diferentes estudos volumétricos/tipológicos para habitações – Neutelings & Riedijk

Revista El Croquis Neutelings & Riedijk. n.94. Barcelona, 1999. p.11.

fg321_04 – Ampliação do Instituto da Ciência de Cranbrook, diagrama de Atrator de Lorenz –

Steven Holl

Revista El Croquis Steven Holl. n. 78. Barcelona, 1996, p.173.

fg321_05 – Ampliação do Instituto da Ciência de Cranbrook, maquete – Steven Holl

Revista El Croquis Steven Holl. n. 78. Barcelona, 1996, p.173.

fg322_01 – Folded and Unfold Strip, Centro Urbano Leidschenveen, 1997 – MVRDV

Revista El Croquis MVRDV 1991-1997. n.86. Barcelona, 1997, p.166.

fg322_02 – Igreja em Barendrecht, 1997 – diagramas e perspectivas – MVRDV


fg322_03 – Business Park, Chartres. 1991. diagramas.


fg322_04 – Conjunto Residencial Prinsenhoek, 1992-95 – maquete e diagramas – Neutelings &

Riedijk


fg322_05 – Bibliotheque de L’IHUEI – Peter Eisenman - diagramas

SOMOL, R.E. Peter Eisenman Diagram Diaries. London: Thames & Hudson, 1999. p. 87.

fg322_06 - Yokohama Terminal. 1995. FOA


1999.encarte.

5:222

fg322_07 - Dobraduras – Albers, Bauhaus

WHITFORD, Frank. Bauhaus. London: Thames and Hudson, 1984.p.135.

fg322_08 - seções Terminal de Yokohama – FOA

Architectural Design. vol.65, n. 5/6, may-jun 95, XIX. Londres.

fg322_09 – “Movie” da Garrafa de Klein


Scientific, Second edition, 1995. p. 95

fg322_10 - Terminal de Yokohama, diagramas – Winka Dubbeldam


1999. p.93.

fg322_11 - Villa KBWW - diagramas

Revista Archis. n.11. Rotterdam: NAI, C. Misset Publishers, 1997. p.30.

fg322_12 - Villa KBWW - vista externa


fg322_13 - Villa KBWW – perspectiva


fg322_14 - Villas Palladianas, diagramas geométricos – Rudolf Wittkower

Desenho do autor sobre WITTKOWER, Rudolf. La arquitectura en la edad del Humanismo.

Buenos Aires: Nueva vision, 1968, p.75.

fg322_15 – Pattern de interações urbanas – Christopher Alexander


Press, 1964. p.153.

fg322_16 – protótipo de prisão, 1993 – maquete e diagramas – Neutelings & Riedijk


fg322_17 – CMRI, diagramas – Peter Eisenman


fg322_18 – CMRI, modelo – Peter Eisenman


fg322_19 - Concurso para a nova sede IUAV - Veneza. No Where Architects. diagramas


Prat, 1999. p. 66.

fg322_20 – Arnhein Certer Infraestructure – Ben van Berkel (Un Studio) – diagrama, wireframe,

perspectiva


1999. p.174.

fg322_21 – Programmatic Lava - Yokohama. diagrama programático – OMA, 1992

KOOLHAAS, Rem, MAU, Bruce. S,M,X,XL. Amsterdam: Evergreen, 1997. p. 1219

fg322_22 – Kunsthall. perspectiva – OMA, 1992


fg322_23 – Bibliotèques Jussieu. maquete - OMA, 1992


fg322_24 – Piscinas Sloterparck, 1994 – seqüências papirofléxicas, seqüência de construção e

5:223

perspectiva - MVRDV


fg322_25 – Piscinas Sloterparck, 1994 – modelo - MVRDV


consideracoes finais







. -

5:224

bibliografia

arquitetura e linguagem

ALEXANDER, Christopher. Notes on Synthesis of Form. Cambridge: Havard University Press,

1964.

______________________. La estructura del medio ambiente. Barcelona: Tusquets, 1971.

AGUIAR, Douglas Vieira de. “Alma espacial”. In: Arquitextos. Texto especial 121. URL: http://

www.vitruvius.com.br/arquitextos/arq000/bass/texto121.asp

ARTIGAS, Vilanova. “O Desenho”. In: Caminhos da Arquitetura. São Paulo: Cosac & Naify,

1999.

BILL, Max. “O pensamento matemático na arte de nosso tempo”. In: Ver y Estimar, n.17. Bue-

nos Aires:1950.

COELHO Netto, J. Teixeira. Semiótica, Informação e Comunicação. São Paulo: Perspectiva, 1999.

5.ed. p. 26.


_________________. As Significações da Arquitetura 1920-1990. Lisboa: Estampa: 2000.

COWAN, Gregory. Diagrams and Horizontality. (2001). URL: http://gregory.cowan.com/nomad/

DUARTE, Fábio. Crise das matrizes espaciais. Arquitetura, cidades, geopolítica, tecnocultura.

São Paulo: Perspectiva, Fapesp, 2002.

FRANÇA, Franciney C. de. Análise Sintática de Espaços Domésticos no Distrito Federal (1999).

URL: http://www.unb.br/fau/pos_graduacao/cadernos_eletronicos/analise_sintatica/

analise_sintatica.htm

HANSON, Julienne. Decoding Homes and Houses. Cambridge: Cambridge University Press, 1998.

HILLIER, Bill, HANSON, Julienne. The Social Logic of Space. Cambridge: Cambridge University

Press, 1984.

HILLIER, Bill. Space is the Machine. Cambridge: Cambridge University Press, 1998.

LANDA, Manuel de. Deleuze and the use of the genetic algorithm in architecture. URL: http://

boo.mi2.hr/~ognjen/tekst/delanda2001.html

MARCH, Lionel, STEADMAN, Philip. The Geometry of Environment. London: Methuen & Co,

1971.

MASSIRONI, Manfredo. Ver pelo Desenho. São Paulo: Martins Fontes, 1982.

McLUHAN, Marshall. Os Meios de Comunicação como Extensões do Homem. Trad. Décio

Pignatari. 10 ed. São Paulo: Cultrix, 1995.

MIMRAM, Marc. Structures et Forms. Étude appliquée à l’oeuvre de Robert Lê Ricolais. Paris:

Dunod, Ponts et Chaussées, 1983.

OSTWALD, Michael J. Under Siege: The Golden Mean in Architecture. URL: http://

www.nexusjournal.com/ostwald.html

PANG, Alex Soojung-Kim. Visual Representation and Post-Construtivist History of Science. URL:

http://www.relevanthistory.com/writing/visual/text.html

PEIRCE, Charles. S. Collected Papers. Cambridge. Harvard University Press, 1933.

________________. “Escritos Coligidos”. In: Pensadores. Trad. Armando Maia D’Oliveira e Sérgio

Pomeramgblum. São Paulo: Abril Cultural. p. 07-199.

5:225

________________. Semiótica Charles Sander Peirce. Trad. José Teixeira Coelho Neto. São Paulo: Perspectiva, 1999.

______________. Semiótica e Filosofia. introdução, seleção e tradução de Octanny Silveira da Mota e Leonidas

Hegenberger. São Paulo: Cultrix e Edusp, 1975.

PELLEGRINO, Pierre, CORAY, Daniel et al. Arquitetura e Informática. Barcelona: Gustavo Gili, 1999.

PELLEGRINO, Pierre. Le sens de l’espace : la dynamique urbaine. Paris: Anthropos: Diffusion Economica, 2000.

ROWE, Colin. “The mathematics of the Ideal Villa de Colin Rowe”. In: The mathematics of the Ideal Villa and Other

Essays. Cambridge: MIT Press, 1976.

ROWE, Peter G. Design Thinking. Cambridge: Mit Press, 1997.

SANTAELLA, Lucia. Cultura das Mídias. São Paulo: Razão Social, 1992.

SANTOS, Milton. “Meio Técnico-Científico e Urbanização: Tendências e Perspectivas”. In: Revista Resgate, n.3, Campinas:

UNICAMP, 1991.

SCHUMACHER, Patrik. “Rational in Retrospect - Reflections on the Logic of Rationality in Recent Design”. Unedited

version. Edited in: AA files 38, Annals of the Architectural Association School of Architecture, Spring 1999. URL:

http://freespace.virgin.net/patrik.schumacher/Rational.htm

WITTKOWER, Rudolf. La arquitectura en la edad del Humanismo. Buenos Aires: Nueva vision, 1968.

filosofia

ALMEIDA, Jorge. “O Trote de Alan Sokal nos pós-modernistas”. In: Revista Teoria e Debates. São Paulo: Perceu Abramo,

1997. n.36. pp.67-71.

BIZARRO, Sara Farmhouse. “Imposturas Intelectuais, de Alan Sokal e Jean Bricmont”. In: Disputatio , n.6, maio 1999.

URL: http://www.terravista.pt/Nazare/5474/Articles/book63.html

DELEUZE, Gilles. Francis Bacon: Logique de la Sensation. Paris: ed. De la Différence, 1981.

_____________. Foulcault. Paris: Minuit, 1986.

DELEUZE, Gilles, GUATTARI, Félix. Mil Platôs – Capitalismo e Esquizofrenia. São Paulo: 34, 1995.

FREITAS, Lima de, MORIN, Edgar, NICOLESCU, Basarab. Carta de Transdisciplinaridade. Primeiro Congresso Mundial de

Transdisciplinaridade (Convento de Arrábida, Portugal, 2-6 novembro, 1994). URL: www.cfh.ufsc.br/~let/carta.htm

GRANON-LAFONT, Jeanne. A Topologia de Jacques Lacan. Rio de Janeiro: Jorge Zahar, 1990.

LÉVY, Pierre. O que é o Virtual?. Rio de Janeiro: 34, 1996.

__________. Cibercultura. Rio de Janeiro: 34, 1999.

MERLEAU-PONTY, Maurice. “A Dúvida de Cézanne”. In: Textos Selecionados / Maurice Merleau-Ponty; seleção de

textos Marilena de Souza Chauí. São Paulo: Abril Cultural, 1980. - (Os Pensadores).

NICOLESCU, Basarab. O manifesto da transdisciplinaridade. Tradução: Lúcia Pereira de Souza. São Paulo: Triom, 1999.

[SEP] Stanford Encyclopedia of Philosophy. URL: http://plato.stanford.edu/entries/diagrams

SOKAL, Alan, BRICMONT, Jean. Imposturas Intelectuais. São Paulo: Record, 1999.

VIRILIO, Paul. O Espaço Crítico. Rio de Janeiro: 34, 1993.

WEIL, Pierre, D’AMBRÓSIO, Ubiratan, CREMA, Roberto. Rumo à nova transdisciplinaridade. 2.ed. São Paulo: Summus,

1993.

WHITEHEAD, Alfred North. Process and Reality. New York: Macmilan, 1929.

ZEMAN, J. Jay. Peirce on Abstraction. URL: http://www.clas.ufl.edu/users/jzeman/peirce_on_abstration.htm (2002A)

Texto presente na revista The Monist 65 (1982), pp.211-229 e no livro The Relevance of Charles Peirce, ed.

Eugene Freeman, La Salle, Illinois: Monist Library of Philosophy, 1983, pp.293-311.

5:226

___________ . Peirce’s Philosophy of Logic. URL: http://www.clas.ufl.edu/user/jzeman/

csphiloflogic.htm (2002B) Texto preparado inicialmente para a conferência “The Birth of

Mathematical Logic” no Fredônia College, SUNY, em março de 1983, transcrito nas “Trans-

actions of the Charles S. Peirce Society 22 “(1986), pp. 01-22.

historiografia arquitetura/arte

ARANGO, Sílvia. “Crítica da crítica: o provincianismo de sentir-se centro”. In: Projeto. São Paulo,

1989. n.118. p. 121-126.

ARANTES, Otília. O lugar da Arquitetura depois dos modernos. São Paulo: Edusp, 1995.

ARGAN, Giulio Carlo. A Arte Moderna. São Paulo: Companhia das Letras, 1992.

BONTA, Juan Pablo. Sistemas de significación en arquitectura. Barcelona: Gustavo Gili, 1977.

MINK, Janis. Duchamp. Köln: Taschen, 1996.

logica

COSTA, Newton. C. A. Ensaio sobre os Fundamentos da Lógica. São Paulo, Hucitec/

Edusp, 1980.

geometria/topologia

BELL, Eric Temple. Mathematics Queen & Servant of Science. Redmond: Tempus,

1987.BOAVENTURA Netto, Paulo O. Grafos - Teoria, Modelos, Algoritmos. São Paulo: Edgard Blücher,

1996.

CARTER ,J. Scott. How surfaces intersect in space: an introduction to topology, World Scientific,

Second edition, 1995.

FIRBY, P.A., GARDINER, C.F. Surface Topology. West Sussex: Ellis Horwood, 1982.

Grafos. URL: http://www.ulbra.tche.br/~danielnm/ed/B/polB.html

HEATH, Sir Thomas L. (introduction and commentary) The Thirteen Books of Euclid’s Elements.

New York: Dover, 1906.

HILBERT, D. COHN-VOSSEN, S. Geometry and the imagination. New York: Chelsea, 1952.

MARAR, Washington L. Superfícies Singulares. URL: http://www.icmc.sc.usp.br/%7Ewalmarar/

topo.html

MARAR, Washington L, SPERLING, David . “Em Matemática, Metadesenhos”. In: Disegno.

Desenho. Desígnio. São Paulo: Iluminuras, (2002), Edith Derdyk (org.) (no prelo)

O’CONNOR, J J , ROBERTSON, E F. URL: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Mathema-

ticians/ (2000)

http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Listing.html

,

5:227

THE OPEN UNIVERSITY. Topology. Mathematics Foundation Course Unit 35. Bletchley, 1971.

PIMENTEL, Graça. Teoria dos Grafos. URL: http://www.icmsc.sc.usp.br/~sce183/gfint.html

______________ . Complemento de um Grafo. URL: http://www.icmsc.sc.usp.br/~sce183/

gfcomp.html

SAMPAIO, João. Introdução à Topologia das Superfícies - XXII Encontro Brasileiro de Topologia/

UFF. São Carlos: UFSCar, 2000.

[SEP] Stanford Encyclopedia of Philosophy. URL: http://plato.stanford.edu/entries/diagrams

WILKINS, D. R. URL: http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Leibniz/RouseBall/

RB_Leibnitz.html a partir de: BALL, W. W. Rouse. A Short Account of the History of

Mathematics, 1908.

WEEKS, Jeffrey R. The Shape of Space. New York: Marcel Dekker, 1985.

vanguardas arquitetonicas

ACTAR. MVRDV en Villa VPRO. Barcelona, 1999.

______. The Yokohama Project. Barcelona: 2002.

BERKEL, Ben van. “Entre el ideograma y la imagem-diagrama”. In: Quaderns d’Arquitectura i

Urbanisme, Espirales. Barcelona: Font i Prat, 1999. p.74-79.

BERKEL, Ben van, BOS, Caroline (edit). Diagram Work: Data Mechanics for a Topological Age.

New York: Anycorp, 1998.

_______________________________. MOVE. Amsterdam: Un Studio & Goose Press, 1999.

______________________________. “Una capacidad para lo Interminable”. In: Quaderns

d’Arquitectura i Urbanisme, Espirales. Barcelona: Font i Prat, 1999. p.92-95

BOGNER, Dieter. “En el interior de la Endless House”. In: Quaderns d’Arquitectura i Urbanisme,

Espirales. Barcelona: Font i Prat, 1999.p.100.

CACHE, Bernard. Earth Moves. The Furnishing of Territories. Cambridge: MIT Press, 1995.

CASTRO, Luis Rojo de. “(El)Informe”. In: El Croquis - En Processo. vol.III/IV, n. 96/97, 1999,

pp.04. Barcelona.

FOA. “Yokohama International Port Terminal”. In: Architectural Design. vol.65, n. 5/6, may-jun

95, p.XIX. Londres.

GALOFARO, Luca. Digital Eisenman: an Office of the electronic era. Basel; Boston; Berlin:

Birkhäuser, 1999.

HERTZBERGER, Herman. Lições de Arquitetura. São Paulo: Martins Fontes, 1996.

HO, Mae-Wan. “The New Age of the Organism”. In: Architectural Design - New Science = New

Architecture?. vol.67, n. 9/10, set-oct 97, 44-51. Londres.

JENCKS, Charles. “Nonlinear Architecture. New Science = New Architecture?”. In: Architectural

Design - New Science = New Architecture?. vol.67, n. 9/10, set-oct 97, 07-09. Londres.

KOOLHAAS, Rem, MAU, Bruce. S,M,X,XL. Amsterdam: Evergreen, 1997.

LOOSTMA, Bart. Diagrams in Costumes. In: Architecture and Urbanism A+U. Rem &

Ben. Tokyo: A+U, 1998. n.342.

^

5:228

LYNN, Greg. Animate Form. New York: Princeton University Press, 1999.

NOVAK, Marcos. “Transarchitectures and Hypersurfaces” In: Architectural Design -

Hypersurface Architecture. vol.68 n.5/6, may-jun 98, pp.85-93. Londres.

OSWALT, Philipp, HOLLWICH, Matthias. OMA at work. Edited by: ARCHIS n.7, 1998.

URL: http://www.azw.at/aust/de/10171/10171_zusatz23.htm

PERRELA, Stephen. “Hypersurface Theory: Architecture><Culture” In: Architectural

Design - Hypersurface Architecture. vol 68 n.5/6, may-jun 98, p. 07-15.

Londres.

______________ “Bernard Cache/Objectile - Topological Architecture and the

Ambiguous Sign” In: Architectural Design - Hypersurface Architecture. vol

68 n.5/6, may-jun 98, p.60. Londres.

PETRESIN, Vesna, ROBERT, Laurent-Paul. The Double Möbius Strip Studies. In: Nexus

Network Journal (outono 2002). URL: http://www.nexusjournal.com/

PetRob.html

SOLÀ-MORALES, M. Espacios Colectivos, (trabalho não publicado, transcrição de

palestra proferida no Seminário Internacional Centro XXI), São Paulo, 1995.

SOMOL, R.E. Peter Eisenman Diagram Diaries. London: Thames & Hudson, 1999.

SPUYBROEK, Lars. “Diagramming”. Interview by Cho Im Sik. Edited in: Virtual

Architecture + Digital Urbanism - Sarai Reader 2002: The Cities of Everyday

Life. p.243-248. URL: http://www.sarai.net/journal/02pdf/09virtual/

03diagramming.pdf

TSCHUMI, Bernard. Event-Cities (Praxis). Cambridge: MIT Press, 1994.

____________ . Architecture and Disjunction. Cambridge: MIT Press, 1996.

ZELLNER, Peter. Hibrid Space New Forms in Digital Space. Londres: Thames &

Hudson, 1999.

periodicos

L’Arca. n.140, set 1999. Milão.

Architectural Design – Architects in Cyberspace. vol.65, n. 11/12, 1995. Londres.

__________________- Hypersurface Architecture. vol.68 n.5/6, 1998. Londres.

_________________ - Architects in Cyberspace II. vol.68, n. 11/12, 1998. Londres.

__________________ - Sci-Fi Architecture. vol.69 n.3/4, 1999. Londres.

__________________ - Hypersurface Architecture II. vol.69 n.9/10, 1999. Londres.

__________________ - Architecture + Film II. vol.70 n.1, 2000. Londres.


L’Architecture d’Aujourd’Hui. n. 321, mar 1999. Paris.

_________________________. n. 325, dec 1999. Paris.

Arquitectura Digital. n.7, set. 1999. Buenos Aires.

El Croquis - Worlds Two/Mundos Dos. n. 91, 1998. Barcelona.

_________ - En Processo. vol.III/IV, n. 96/97, 1999. Barcelona.

,

5:229

Quaderns d’Arquitectura i Urbanisme. Land Arch. n.217. Font i Prat, 1997. Barcelona.

________________________________. (Re)Activa/(Re)Active Architecture. n.219. Font i Prat,

1998. Barcelona.

________________________________. Topografias Operativas/Operative Topographies. n.220.

Font i Prat, 1998. Barcelona.

________________________________. Espirales/Spirals. n. 222. Font i Prat, 1999. Barcelona.

________________________________. Bucles/Loops. n. 223. Font i Prat, 1999. Barcelona.

2G. Foreign Office Architects. Barcelona: Gustavo Gili, 2001. n.16.

musicografia (trilha sonora do processo]

BACH, Johann Sebastian. Brandenburg Concerto 4, 5, 6, Violin Concerto 2. Movieplay, s/d.

COODER, Ry. The end of violence. Score, 1997.

MILES, Robert. Dreamland. Deconstruction/BMG, 1996.

____________. 23AM. Arista, 1997.

MONK, Thelonious. The Definitive Thelonious Monk. Sony, 2000.

SATIE, Erik. Pianoworks 1866-1925. Movieplay, s/d.

WATERS, Roger. In the Flesh. Sony, 2000.

arquiteturas continuas e topologia - USP€¦ · têm-se público x privado, dentro x fora, opaco x...

Documents

Transcript of arquiteturas continuas e topologia - USP€¦ · têm-se público x privado, dentro x fora, opaco x...