Arquitectura de Computadoras para Ingeniería -...
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Arquitectura de Computadoraspara Ingeniería
(Cód. 7526)1° Cuatrimestre 2016
Dra. Dana K. UrribarriDCIC - UNS
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Dana K. Urribarri AC Ing 2016 2
Multiplicadores
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Dana K. Urribarri AC Ing 2016 3
● Enteros– No signados
– Signados
Multiplicadores
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Dana K. Urribarri AC Ing 2016 4
● Dos números de n dígitos en base b– Multiplicador: X = xn-1 xn-2 ... x0 = ∑i=0
n-1 xi bi
– Multiplicando: A = an-1 an-2 ... a0
● El producto P (de 2n dígitos) será– P = X A = (∑i=0
n-1 xi bi) A
● El producto P (de 2n dígitos) en binario– P = X A = (∑i=0
n-1 xi 2i) A
● Se resuelve con n sumas de operandos de n bits. Por lo tanto, sería de O(n2)
Multiplicación de enteros no signadosMultiplicadores
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Dana K. Urribarri AC Ing 2016 5
Algoritmo secuencial● Parte de la expresión
P = X · A = (∑i=0n-1 xi 2i) A = ∑i=0
n-1 A xi 2i
Donde xi = 0 o xi = 1
● Arranca con el producto parcial en 0.● Consiste de n pasos, donde el paso j multiplica el
bit xj por A y lo suma al producto parcial acumulado.
Multiplicación de enteros no signados
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Dana K. Urribarri AC Ing 2016 6
Enteros no signados● El producto de dos enteros no signados de n bits,
puede dar como resultado máximo Pmax
(2n – 1)(2n – 1) = 22n – 22n+1 + 1 = 22n–1 + (22n–1 – 2n+1 + 1)
● Luego
22n – 1 < Pmax < 22n
● El resultado tiene como máximo 2n bits
<0 >0, n ≥ 3
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Dana K. Urribarri AC Ing 2016 7
Algoritmo secuencial● X = 13 = 1101● A = 6 = 0110
0 1 1 0
× 1 1 0 1 Suma parcial:
0 1 1 0 00000110
0 0 0 0 00000110
0 1 1 0 00011110
+ 0 1 1 0 01001110
0 1 0 0 1 1 1 0 Producto
Multiplicación de enteros no signados
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Dana K. Urribarri AC Ing 2016 8
Hardware del algoritmo secuencial● El registro Producto P es un registro doble A | MQ
– Donde A y MQ son registros de n bits
● La ALU suma los registros de n bits A y Multiplicando
A MQ
Multiplicación de enteros no signados
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Dana K. Urribarri AC Ing 2016 9
Hardware del algoritmo secuencial● Inicio: Copiar el multiplicador en el registro MQ
(parte derecha de P). Inicializar A (parte izq.) en 0.● Repetir n veces
– Paso 1: Si P0 = 0, ir al paso 3
– Paso 2: A ← A + Multiplicando
– Paso 3: Desplazar P 1 bit a derecha.
● El registro doble P contiene el resultado
A MQ
Multiplicación de enteros no signados
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Ejemplo0 1 1 0 Multiplicando
0 0 0 0 1 1 0 1Producto Multiplicador
Test = 1 → Sumar
0 1 1 0 1 1 0 1 Shift
0 0 1 1 0 1 1 0Shift
0 0 0 1 1 0 1 1
0 1 1 1 1 0 1 1
0 0 1 1 1 1 0 1
1 0 0 1 1 1 0 1
0 1 0 0 1 1 1 0
Shift
Shift
Test = 0 → No Sumar
Test = 1 → Sumar
Test = 1 → Sumar
X = 13A = 6
Resultado
Multiplicación de enteros no signados
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Hardware del algoritmo secuencial + carry● Las sumas parciales pueden generar carry-out.
● Agregar el carry en el hw básico
A MQ
C
Multiplicación de enteros no signados
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Dana K. Urribarri AC Ing 2016 12
A MQ
C
Hardware del algoritmo secuencial● Inicio: Copiar el multiplicador en el registro MQ.
Inicializar A en 0.● Repetir n veces
– Paso 1: Si P0 = 0, poner elcarry en ceroe ir al paso 3
– Paso 2: A ← A + Multiplicando
– Paso 3: Desplazar P 1 bit a derechaincluyendo el carry.
Multiplicación de enteros no signados
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Dana K. Urribarri AC Ing 2016 13
Ejemplo1 1 0 1 Multiplicando
0 0 0 0 1 0 1 1Producto Multiplicador
Test = 1 → Sumar
1 1 0 1 1 0 1 1 Shift
0 1 1 0 1 1 0 1
Shift0 0 1 1 1 1 0 1
1 0 0 1 1 1 1 0
0 1 0 0 1 1 1 1
0 0 0 1 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 1 1
Shift
Shift
Test = 1 → Sumar
Test = 1 → Sumar
Test = 0 → No Sumar
X = 11A = 13
Carry
0
0
0
0
1
0
1
0 Resultado
Multiplicación de enteros no signados
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● Si los números están en signo-magnitud– Calcular el producto sin signo
|p| = |X| · |A|
– Calcular el signo de forma separada
p2n-1 = xn-1 ⊕ an-1
● En el caso de complemento a 2 y complemento a uno.
Distinguir entre multiplicando A negativo y multiplicador X negativo
Multiplicación de enteros signadosMultiplicadores
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● Multiplicando negativo– A = 2n – |A|
– P' = X · A = X · (2n – |A|) = 2n X – X · |A|
– P = – X · |A|
Multiplicación de enteros signadosMultiplicadores
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Dana K. Urribarri AC Ing 2016 16
● Solución 1:– La diferencia entre P y P' es 2n X \ P = P' – 2n X
– Como P es un registro de 2n bits, – 2n X en 2 complemento es 22n – 2n X
– Corregir el resultado del algoritmo restando X de la parte más significativa del registro P (esto no requiere ALU de 2n bits).
Multiplicación de enteros signadosMultiplicadores
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● Solución 2:– Considerar A de doble precisión: A = 22n – |A|
– P' = X · A = X · (22n – |A|) = 22n X – X · |A|
– 22n X es mayor que la longitud del registro P \ es carry que se descarta.
– P' = X · A = 22n X – X · |A| ≡ 22n – X · |A|
– No implica ALU de 2n bits.
Multiplicación de enteros signadosMultiplicadores
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Dana K. Urribarri AC Ing 2016 18
● Multiplicando negativo: Solución 2 – Si solo el multiplicando es negativo, no hay necesidad
de cambiar el algoritmo.
– Se suma un número negativo.
– El hardware debe extenderse de forma tal que provea extensión de signo en el producto parcial.
● Antes de la primera suma, en la extensión de signo ingresa 0.
● Luego de la primera suma, en la extensión de signo ingresa an-1
Multiplicación de enteros signadosMultiplicadores
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Dana K. Urribarri AC Ing 2016 19
Ejemplo: complemento a 21 0 1 1 Multiplicando
0 0 0 0 0 0 1 1
Producto Multiplicador
Test = 1 → Sumar
1 0 1 1 0 0 1 1 Shift: extensión de signo
1 1 0 1 1 0 0 1
Shift: extensión de signo1 0 0 0 1 0 0 1
1 1 0 0 0 1 0 0
1 1 1 0 0 0 1 0
1 1 1 1 0 0 0 1
Shift: extensión de signo
Test = 1 → Sumar
Test = 0 → No sumar
Test = 0 → No Sumar
X = 3A = –5a
n-1 = 1
Resultado
Multiplicación de enteros no signados
Shift: extensión de signo
+ 1 0 1 1
+ 1 0 1 1
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Dana K. Urribarri AC Ing 2016 20
Ejemplo: complemento a 11 0 1 0 Multiplicando
0 0 0 0 0 0 1 1
Producto Multiplicador
Test = 1 → Sumar
1 0 1 0 0 0 1 1 Shift: extensión de signo
1 1 0 1 0 0 0 1
Shift: extensión de signo
0 1 1 1 0 0 0 1
1 1 0 0 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0 0 0
1 1 1 1 0 0 0 0
Shift: extensión de signo
Test = 1 → Sumar
Test = 0 → No sumar
Test = 0 → No Sumar
Resultado
Multiplicación de enteros no signados
Shift: extensión de signo
Carry
0
0
0
0
1
0
0
X = 3A = –5a
n-1 = 1
+1
1 0 0 0 0 0 0 10
+ 1 0 1 0
+ 1 0 1 0
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Dana K. Urribarri AC Ing 2016 21
● Multiplicador negativo– X = 2n – |X|
– P' = X · A = (2n – |X|) · A = 2n A – |X| · A
– P = – |X| · A
Multiplicación de enteros signadosMultiplicadores
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Dana K. Urribarri AC Ing 2016 22
● Solución 1:– La diferencia entre P y P' es 2n A \ P = P' – 2n A
– Como P es un registro de 2n bits, – 2n A en 2 complemento es 22n – 2n A
– Corregir el resultado del algoritmo restando A de la parte más significativa del registro P (esto no requiere ALU de 2n bits).
Multiplicación de enteros signadosMultiplicadores
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Dana K. Urribarri AC Ing 2016 23
● Solución 2:– Asumir X de doble precisión: X = 22n – |X|
– P' = X · A = (22n – |X|) · A = 22n A – |X| · A
≡ 22n – |X| · A
– ¿Problema?● Multiplicador de doble precisión implica el doble de
iteraciones.
● Multiplicador Negativo: Solución 1
Multiplicación de enteros signadosMultiplicadores
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Dana K. Urribarri AC Ing 2016 24
Ejemplo: complemento a 21 0 0 1 Multiplicando
0 0 0 0 1 0 1 1Producto Multiplicador
Test = 1 → Sumar
1 0 0 1 1 0 1 1 Shift: extensión de signo
1 1 0 0 1 1 0 1
Shift: extensión de signo0 1 0 1 1 1 0 1
1 0 1 0 1 1 1 0
0 1 1 0 0 1 1 1
Shift: extensión de signo
Test = 1 → Sumar
Test = 0 → No sumar
X = –5A = –7a
n-1 = 1
Resultado. Corregir + 7
Multiplicación de enteros signados
Shift: extensión de signo
1 1 0 1 0 1 1 1
1 0 1 1 0 0 1 1
Test = 1 → Sumar
0 0 1 0 0 0 1 1 Resultado = 35
+ 1 0 0 1
+ 1 0 0 1
+ 1 0 0 1
+ 0 1 1 1
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Dana K. Urribarri AC Ing 2016 25
Ejemplo: complemento a 21 0 1 1 Multiplicando
0 0 0 0 1 1 0 0Producto Multiplicador
Test = 0 → No Sumar
0 0 0 0 0 1 1 0
Shift: extensión de signo 0
0 0 0 0 0 0 1 1
Shift: extensión de signo 11 0 1 1 0 0 1 1
1 1 0 1 1 0 0 1
1 1 0 0 0 1 0 0
Shift: extensión de signo 1
Test = 1 → Sumar
Test = 1 → Sumar
X = –4A = –5a
n-1 = 1
Resultado. Corregir + 5
Multiplicación de enteros signados
1 0 0 0 1 0 0 1
0 0 0 1 0 1 0 0 Resultado = 20
+ 1 0 1 1
+ 1 0 1 1
+ 0 1 0 1
Test = 0 → No SumarShift: extensión de signo 0
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Dana K. Urribarri AC Ing 2016 26
Algoritmo secuencial● Casos especiales en función del multiplicador o
multiplicando negativo.
● Grandes secuencias de 1s en el multiplicador generan sumas sucesivas.
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Dana K. Urribarri AC Ing 2016 27
Reducir el número de productos parciales ● Examinar de a varios bits a la vez.● Requiere generar múltiplos del multiplicando● Examinar de a 2 bits:
– Reduce en 2 las sumas parciales
– Implica generar 0A, A, 2A, 3A, …
● Examinar de a c bits reduce en c los productos parciales.– Implica generar 0A, 1A, 2A, … , (2c-1) A
1101 × 0110 = 11 × 0110 + 01 × 0110 × 100
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Dana K. Urribarri AC Ing 2016 28
Algoritmo de Booth● Reduce la cantidad de productos parciales.● Se basa en que
● Genera secuencias de 1s como la resta entre dos operandos de un solo 1 cada uno.
1000 (8)
– 0001 (1)
0111 (7)
01000000 (64)
– 00001000 (8)
00111000 (56)
∑i=0
n−1
2i=2n−1
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Dana K. Urribarri AC Ing 2016 29
Algoritmo de Booth
27
26
25
24
23
22
21
20
0 0 1 1 1 0 0 0
0 +1 0 0 -1 0 0 0
56 = 25 + 24 + 23
56 = 26 – 23
56 = 01001000
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Dana K. Urribarri AC Ing 2016 30
Recodificación de Booth● Recorrer el multiplicador X de derecha a izquierda
(i = 0, 1 ... n – 1)
● Para cara par de bits consecutivos xixi–1 generar el multiplicando recodificado Y, de tal forma que
Asumir x–1 = 0
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Dana K. Urribarri AC Ing 2016 31
Recodificación de Booth● Para multiplicar X . |A|● Recodificar X y obtener Y● Multiplicar Y . |A|
● Los productos parciales se calculan:– Sumando multiplicando por cada dígito +1
– Sumando el complemento a 2 del multiplicando por cada dígito –1
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Dana K. Urribarri AC Ing 2016 32
Ejemplo: complemento a 21 0 0 1 Multiplicando
0 0 0 0 -1 1 0 -1Producto Multiplicador
Test = -1 → Sumar -A
0 1 1 1 -1 1 0 -1 Shift: extensión de signo -A
0 0 1 1 1 -1 1 0Shift: extensión de signo
0 0 0 1 1 1 -1 1
1 0 1 0 1 1 -1 1
0 1 0 0 0 1 1 -1
Shift: extensión de signo A
Test = 0
Test = 1 → Sumar A
X = –5A = –7
X = 1011Y = 1101
A = 1001a
n–1 = 1
A = 0111a
n–1= 0
Algoritmo de Booth
Shift: extensión de signo -A
1 1 0 1 0 1 1 -1
0 0 1 0 0 0 1 1
Test = -1 → Sumar -A
Resultado = 35
+ 0 1 1 1
+ 1 0 0 1
+ 0 1 1 1
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Dana K. Urribarri AC Ing 2016 33
Ejemplo: complemento a 20 1 1 1 Multiplicando
0 0 0 0 -1 1 0 -1Producto Multiplicador
Test = -1 → Sumar -A
1 0 0 1 -1 1 0 -1 Shift: extensión de signo -A
1 1 0 0 1 -1 1 0Shift: extensión de signo
1 1 1 0 0 1 -1 1
0 1 0 1 0 1 -1 1
1 0 1 1 1 0 1 -1
Shift: extensión de signo A
Test = 0
Test = 1 → Sumar A
X = –5A = 7
X = 1011Y = 1101
A = 0111a
n–1 = 0
A = 1001a
n–1= 1
Algoritmo de Booth
Shift: extensión de signo -A
0 0 1 0 1 0 1 -1
1 1 0 1 1 1 0 1
Test = -1 → Sumar -A
Resultado = -35
+ 1 0 0 1
+ 0 1 1 1
+ 1 0 0 1
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Dana K. Urribarri AC Ing 2016 34
Recodificación de Booth● El algoritmo secuencial con recodificación de
Booth:– Funciona correctamente con números en
complemento a 2.
– En el caso de números signados, se debe agregar un cero a la izquierda del multiplicador (xn = 0)
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Dana K. Urribarri AC Ing 2016 35
Algoritmo secuencial + Rec. de BoothDesventajas● Complican el diseño de un multiplicador
sincrónico:– La cantidad de sumas/restas es variable.
– La cantidad de desplazamientos entre sumas/restas es variable.
● Se vuelve ineficiente con unos aislados.– 0010101 se recodifica como 0111111. Requiere 3
sumas y tres restas en vez de solo tres sumas.
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Dana K. Urribarri AC Ing 2016 36
Recodificación de Booth● Recorrer el multiplicador X de derecha a izquierda
(i = 0, 1 ... n – 1)
● Para cara par de bits consecutivos xixi–1 generar el multiplicando recodificado Y, de tal forma que
Asumir x–1 = 0
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Dana K. Urribarri AC Ing 2016 37
Recodificación de Booth de varios bits ● Combinar la recodificación de Booth con la
recodificación de más de a un bit.● Existen dos formas de recodificación
– Mirando al futuro
– Mirando al pasado
● En cualquiera de los dos casos hay que mirar c + 1 bits.
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Dana K. Urribarri AC Ing 2016 38
Recodificación de Booth de a 2 bits● Mirando al pasado:
– Se dividen en grupos de 2
x7x6 | x5x4 | x3x2 | x1x0
– Y el anterior se usa de referencia.
– Para codificar xi+1 y xi, se usa xi-1 como referencia(i = 0,2,4,...)
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Dana K. Urribarri AC Ing 2016 39
Recodificación de Booth de a 2 bits
xi+1
xi
xi–1
yi+1
yi
Múltiplo
Entre dos cadenas 0 0 0 00 0A
Final de cadena de 1s 0 0 1 01 A
1 aislado 0 1 0 01 A
Final de cadena de 1s 0 1 1 10 2A
Principio de cadena de 1s 1 0 0 10 – 2A
0 aislado 1 0 1 01 – A
Principio de cadena de 1s 1 1 0 01 – A
Medio de una cadena 1 1 1 00 0A
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Dana K. Urribarri AC Ing 2016 40
Recodificación de Booth de a 2 bits● Mirando al futuro:
– Se dividen en grupos de 2
x7x6 | x5x4 | x3x2 | x1x0
– Y el siguiente bit se usa de referencia.
– Para codificar xi+1 y xi, se usa xi+1 como referencia(i = 0,2,4,...)
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Dana K. Urribarri AC Ing 2016 41
Recodificación de Booth de a 2 bits
xi+2
xi+1
xi
Múltiplo
Entre dos cadenas 0 0 0 00 0A
Final de cadena de 1s 0 0 1 10 2A
1 aislado 0 1 0 10 4A – 2A = 2A
Final de cadena de 1s 0 1 1 100 4A
Principio de cadena de 1s 1 0 0 100 – 4A
0 aislado 1 0 1 10 – 4A + 2A = – 2A
Principio de cadena de 1s 1 1 0 10 – 2A
Medio de una cadena 1 1 1 00 0A
No podemos generar una recodificación.Sí se generan los múltiplos de A que hay que sumar.
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Dana K. Urribarri AC Ing 2016 42
Recodificación de Booth de varios bitsEn la recodificación de a 2 bits se necesitan los múltiplos A: ● Sin recodificación de Booth
– 0A, A, 2A y 3A
● Con recodificación de Booth mirando al pasado– 0A, A y 2A
● Con recodificación de Booth mirando al futuro– 0A, 2A y 4A
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Dana K. Urribarri AC Ing 2016 43
EjemploX = 25 = 011001
Recodificación mirando al pasado.● Se necesitan considerar 1 bit antes del LSB.
A · 20
–2A · 22
2A · 24
= A= –8A= 32A
X · A = A – 8A + 32A
5 4 3 2 1 0 –1
0 1 1 0 0 1 0
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Dana K. Urribarri AC Ing 2016 44
EjemploX = 25 = 011001
Recodificación mirando al futuro.● Se necesitan considerar 2 bits antes del LSB y un
bit después de MSB.
–4A · 2–2
2A · 20
–2A · 22
2A · 24
= –A= 2A
= 32A= –8A
X · A = – A + 2A – 8A + 32A
6 5 4 3 2 1 0 –1 –2
0 0 1 1 0 0 1 0 0
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Dana K. Urribarri AC Ing 2016 45
Hardware de multiplicación
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Dana K. Urribarri AC Ing 2016 46
Hardaware algoritmo secuencial
Sumador paralelo(propaga carry)
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Dana K. Urribarri AC Ing 2016 47
Hardware usando un CSA● Se realizan las sumas
intermedias hasta obtener una única semisuma y un único carry.
● En el último paso se realiza la suma propagando carry.
● Realiza n iteraciones para multiplicar operandos de n bits.
CSA
Latchs
SumadorParalelo
carrySemisuma
xi · A · 2i
Control
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Dana K. Urribarri AC Ing 2016 48
Hardware usando un CSA
0
Multiplier
k
k
k-Bit CSA
k
Partial Product
k
Mux
k-Bit Adder
Mux
Multiplicand
Carry
Sum
Parte alta de P Parte baja de P
Shift a derecha
Semisuma
Carry
Semisuma
Carry
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Dana K. Urribarri AC Ing 2016 49
Niveles de CSACombina la semisuma y el carry del CSA con los múltiplos xiA y 2xi+1A
Mux
0 2a
0 a
Multiplier
CSA
Muxx i+1 x i
Adder
CSANew Cumulative Partial Product
Old Cumulative Partial Product
FF2-BitAdder
To the Lower Half of Partial Product
Shift de dos bits a derecha
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Dana K. Urribarri AC Ing 2016 50
Niveles de CSA● Con tres niveles de
CSA se puede combinar la semisuma y el carry con tres múltiplos del multiplicando:– xiA
– 2xi+1A
– y 4xi+2A
xiA2xi+1A4xi+2A
CarrySemisuma
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Dana K. Urribarri AC Ing 2016 51
● Con 2 niveles de CSA reduce en 2 a la mitad la cantidad de iteraciones (n).
● En cada iteración el camino más largo atraviesa los dos CSA.
● El retardo por los CSA es de 2n ΔCSA.
● Ocurre algo análogo para 3 CSA.● Con 4 o más CSA se puede lograr paralelismo
(Wallace tree).
Niveles de CSA
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Dana K. Urribarri AC Ing 2016 52
Niveles de CSA
● La cantidad de iteraciones se reduce en 4.
● En cada iteración se atraviesan hasta 3 CSA.
● En total el retardo por CSA es de 3/4 n ΔCSA.
M ultiplier
CSA CSA
CSA
CSA
Partial Product (Upper Half)
Mux
0 8a
Mux
0 4a
Mux
0 2a
Mux
0 a
x i+3
x i+2
x i+1
x i
Carry
Sum
4-Bit Shift
FF
To the Lower Half of Partial Product
3 4-BitAdder
4
4
4-bitrightshift
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Dana K. Urribarri AC Ing 2016 53
Árbol de CSA● Para maximizar el paralelismo se puede armar un
Wallace Tree de n operandos de n bits.● Para k = n operandos, los niveles de un Wallace
Tree son aprox.
● El resultado final requiere atravesar O(log(n)) CSA.
log2n
log23
=
logn2
log32
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Dana K. Urribarri AC Ing 2016 54
Wallace Tree
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Dana K. Urribarri AC Ing 2016 55
Velocidad vs. Tamaño
Basic binary
Adder
Adder
Next multiple
Partial product
...
Several multiples
Adder
. . .
All multiples
Small CSA tree Full CSA
tree
High-radix or partial tree
Full treeSpeed up Economize
Partial product
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Dana K. Urribarri AC Ing 2016 56
Árbol multiplicador● En su forma más general,
varios múltiplos de A– En binario
– Recodificación de varios bits
– Recodificación de Booth
● Un árbol de reducción (combinacional) genera los productos parciales.
● El resultado está en notación redundante.
● El resultado se convierte a binario.
Higher-order product bits
Multipliera
a
a
a. . .
. . .
Some lower-order product bits are generated directly
Redundant result
Redundant-to-Binary Converter
Multiple- Forming Circuits
(M ulti-Operand Addition Tree)
Partial-Products Reduction Tree
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Dana K. Urribarri AC Ing 2016 57
Array multiplier● El árbol de reducción
es una línea de CSA.● Al final un ripple adder.
● ¿Por qué es interesante este multiplicador tan lento?
0x ax ax a
x a
x a
CSA
CSA
CSA
CSA
Ripple-Carry Adder
012
3
4
ax
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Dana K. Urribarri AC Ing 2016 58
Array multiplier● Es un layout simple y eficiente para diseño VLSI.
– Estructura muy regular.
– Las conexiones son cortas (sólo hay que conectarse con el full adder adyacente vertical, horizontal o diagonal).
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Dana K. Urribarri AC Ing 2016 59
Array multiplier● Ninguna fila propaga carry.● Cada producto parcial consiste de sumas
intermedias y bits de carry.● Sólo en la última fila se
propaga el carry de forma horizontal.
● Se puede adaptara complemento a 2
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Dana K. Urribarri AC Ing 2016 60
Árbol binario redundante● Se generan los múltiplos del multiplicando y se
suman de a pares en dígito signado.● La última suma, que es el producto en dígito
signado, se convierte a binario.● Dígito signado {1, 0, 1} es notación redundante:
– 5 = 0101 = 0111 = 1101 = 1111 = 1011
● Esta redundancia permite sumar dos número binarios sin propagación de carry.
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Dana K. Urribarri AC Ing 2016 61
Árbol binario redundante● S = A + B = an–1an–2…a0 + bn–1bn–2…b0 = snsn–1…s0
● La suma sin propagación de carry se hace en dos pasos:
1) Primero, se determinan un carry y suma intermedios, de tal forma que (ai, bi, ci+1, si y di son dígitos signados):
ai + bi = 2ci+1 + di
– Se eligen ci+1 y di de forma que tal que no se genere carry en el próximo paso.
2) El el segundo paso, si se calcula sumando di y ci del nivel anterior: si = di + ci
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Árbol binario redundante● En ai + bi = 2ci+1 + di se eligen c y d de forma que
no haya carry en función de los a y b anteriores:
ai
1 1 1 0
+ bi
1 1 1 0
ci+1
di
10 00 10 00
ai
1 ai-1
+ bi
0 bi-1
ci+1
di
11 ai-1
≥ 0 y bi-1
≥ 0
01 Otro caso
ai
1 ai-1
+ bi
0 bi-1
ci+1
di
01 ai-1
≥ 0 y bi-1
≥ 0
11 Otro caso
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Árbol binario redundantePara multiplicar operandos de n bits:● No requiere convertir los operandos a dígito
signado.● El primer nivel tiene n/2 sumadores. El nivel k
tendrá n/2k sumadores.● Todos los sumadores operan en dígito signado.● En la última etapa, se debe convertir el dígito
signado a binario restando la parte negativa a la parte positiva.
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Árbol binario redundante● Tiene O(log(n))● Es apto para implementación VLSI
– Aunque tiene mayor lógica por bit (dígito signado requiere dos registros).
– Es regular y también tiene conexiones cortas (cada sumador se conecta solo con dos del nivel siguiente)
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Dana K. Urribarri AC Ing 2016 65
Bibliografía● Capítulo 3 y 6. Computer Arithmetic Algorithms. Israel
Koren, 2da Edición, A K Peters, Natick, MA, 2002.Adapted from Koren, UMass. Copyright 2008 Koren, UMass and A.K. Peters.
● Capítulo 10 y 11. Computer Arithmetic: Algorithms and Hardware Designs. Behrooz Parhami, 2nd edition, Oxford University Press, New York, 2002.
● Apéndice J. J. Hennessy & D. Patterson. Computer Architecture: A Quantitative Approach. Morgan Kaufmann Publishers INC. 2011, 5ta Ed.
Suplementaria● Capítulo 42. Editor Wai-Kai Chen. The VLSI Handbook.
CRC Press. (2da Ed. 2007)