Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Andragradskurvor

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Andragradskurvor

1 av 19

NÅGRA VIKTIGA ANDRAGRADSKURVOR: CIRKEL, ELLIPS, HYPERBEL OCH PARABEL

CIRKEL

Definition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är

konstant.

1. Cirkelns ekvation

Cirkeln med centrum i , och radien

har ekvationen

Cirkelns ekvation på parameterform:

tapx cos

taqy sin , där 20 t (*)

Anmärkning1 : Med hjälp av "trigonometriska ettan " ser vi att punkter definierade med (*) uppfyller

1sincos 2222

tta

qy

a

px dvs 122 qypx

som är ekvationen för cirkeln med radien a och centrum i punkten (p,q).

Anmärkning 2: Cirkelns ekvation definierar två explicita funktioner ( och därmed två

funktionskurvor) som vi får genom att lösa ut y ur ovanstående ekvation:

22222 )()()( pxaqypxaqy

Övre halvcirkeln ges av 22 )( pxaqy

medan 22 )( pxaqy är ekvationen för nedre halvan

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

Härledning av cirkelns ekvation: Låt P(x,y) vara en punkt på cirkeln med centrum i , och

radien . Eftersom avståndet mellan P och C är lika med a har vi:

aqypx 22 )()( . Om vi kvadrerar båda leden får vi

222 )()( aqypx .

Armin Ha

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

Anmärkn

Anmärkn

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

De inre p

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

För de yt

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

‐‐‐‐‐‐‐‐

Uppgift

Lösning:

Vi kvadra

Om vi jä

2,

eller

2,

Alltså C(‐

Uppgift

alilovic: EXTR

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

ning 3. Enda

ning 4. Ingen

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

punkter (me

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

ttre punkter

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

1. Rita cirke

:

atkomplette

mför med cir

,

, 1

‐2,1) är cent

2. Rita följa

RA ÖVNINGA

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

ast en punkt(

n punkt satis

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

d randpunkt

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

r (med rand

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

eln

erar

4

rkelns ekvati

1

3

rum och a=3

nde punktm

AR

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

(0,0) satisfier

sfierar ekvati

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

ter) uppfyller

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

punkter) gäl

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

2 4

⇒ 2

ion

9

3 är cirkelns r

ängd i xy‐pla

2 av 19

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

ra ekvatione

ionen

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

r villkoret

‐‐‐‐

ler

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

4 2

⇒ 2

2 1

radie.

anet

C(-2

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

en

1.

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

‐‐‐‐

4.

4

1 9

, s

, ,1)

O

a=3

- 2

1

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

0

‐‐

1 1

ser vi att

Andragr

1

x

y

‐

4

radskurvor

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

Armin Ha

A= {(x,y)

Svar:

Uppgift

a) x 2

b) x 2

c) x 2

d) x 2

e) x 2

f) x 2

Tips: Kur

Svar:

a) Cirkel

a)

d)

Notera a

alilovic: EXTR

2R : x2+y

D

A

3. Rita följa

tcos2 , y tcos2 , y tcos2 , y tcos2 , y tcos2 , y tcos2 , y

rvorna beskr

n med radie

att kurvan i f

RA ÖVNINGA

y2 ≤ 9 }

A

3

nde kurvor g

tsin2 ,

tsin2 ,

tsin2 ,

tsin2 ,

tsin2 ,

tsin2 ,

river en cirke

n r=2 och ce

b)

e)

f är samma s

AR

givna i param

där 0 t

där 0 t

där 2/

där 2/

där 2/

där 2/

el eller en de

ntrum i origo

som den i e m

3 av 19

meterform.

2

2/

t

2/3 t

2/5t

2/9t

el av cirkeln.

o.

f

men punkten

c)

n (x,y) genom

mlöper kurva

Andragr

an två gånge

radskurvor

r.

Armin Ha

Uppgift

a) x 2

b) 2x c) 2x d) 2x

Lösning:

a)

b) Bet

Om

c) Betec

Om 2/

alilovic: EXTR

4. Rita följa

tcos2 , y )2cos(2 t , y

)3cos(2 t , y

)4cos(2 t ,

:

eckna v 2

t2/

ckna tv 3 .

t2 då

RA ÖVNINGA

nde kurvor g

tsin2 ,

2sin(2 ty 3sin(2 ty 4sin(2 ty

t2 . Ekvatione

då gäller

. Ekvation

å gäller /3

AR

givna i param

där t2/

) , där ) , där )t , där

er blir då x

2 v . D

er blir då x

32/ v

4 av 19

meterform.

t

t2/

t2/

t2/

vcos2 ,

Därmed får

vcos2 ,

. Därmed få

vy sin2

vi nedanståe

vy sin2

år vi nedanst

.

ende kurva

.

tående kurva

Andragr

a

radskurvor

Armin Ha

d) Betec

Om

Uppgift

Paramet

c) Ange

d) Ange

i) Enhets

ii) Enhet

iii) Cirke

Lösning:

i)

a) x cb) cx

c) 2 yx

d) cx

ii)

a) x 2

b) 2x

alilovic: EXTR

ckna tv 4 .

t2/

5.

trisera neda

också en ekv

en ny param

scirkeln kring

scirkeln krin

ln med radie

tcos , y s)cos( t , y

12 y

)2cos( t , y

tcos2 , y

)cos(2 t ,

RA ÖVNINGA

Ekvationer

då gäller 2

nstående ci

vation ( med

metrisering f

g origo

g punkten (2

en r=5 och ce

tsin , 0

)sin( t ,

)2sin( ty

ty sin3 s3y

AR

blir då x 2

4 v

rklar a) mot

d rektangulär

ör cirklarna m

2,‐3)

entrum i pun

2 t

20 t

, 0 t

t , 0 t

)sin( t ,

5 av 19

vcos2 , y

. Därmed få

turs, b) med

ra x,y koordi

med ett ann

nkten C=(‐4,8

2

1

2

20 t

vsin2 .

r vi hela cirk

durs

nater för var

at paramete

8)

eln

rje cirkel. )

ersinterval (t

Andragr

ex 10 t

radskurvor

1 ).


6 av 19

c) 1)3()2( 22 yx

d) )2cos(2 tx , )2sin(3 ty , 10 t

iii)

a) tx cos54 , ty sin58 , 20 t

b) )cos(54 tx , )sin(58 ty , 20 t

c) 25)8()4( 22 yx

d) )2cos(54 tx , )2sin(58 ty , 10 t

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

Parametrisering av en cirkel (eller en del av cirkeln) över en given intervall 21 ttt kan vi göra på

flera sätt. Ett sätt är att först använda en (enkel) parametrisering med parameter v där 21 vvv

och därefter använda den linjära substitutionen

)( 112

121 tt

tt

vvvv

(jämför med linjens ekvation genom två punkter).

Då svarar 21 ttt mot 21 vvv .

Med andra ord: Om t varierar från 1t till 2t då varierar v från 1v till 2v .

Uppgift 6.

Parametrisera cirkeln med radien r=3 och centrum i punkten C=(2,7) med parametern t så att

53 t ,

a) moturs, b) medurs

Lösning:

a) Först anger vi en (enkel) parametrisering med parametern v (moturs)

vx cos32 , vy sin37 , 20 v

Nu använder vi substitutionen )( 112

121 tt

tt

vvvv

,

Vi vill att t=3 svarar mot v=0 och t=5 mot v= 2 .

)3(35

020

tv

dvs )3( tv

(Notera att t=3 svarar nu mot v=0 och t=5 mot v= 2 .)

Vi har slutligen den sökta parametrisering över intervallet 53 t :

))3(cos(32 tx , ))3(sin(37 ty , 53 t .

Armin Ha

b) Först

2x

Nu anvä

0 v

(Notera

Vi har slu

2 x

Uppgift

Bestäm e

a) motu

b) medu

c) Använ

d) Använ

Lösning:

a) Noter

x co2

b) Vi kan

Den sökt

co2x

alilovic: EXTR

anger vi en (

)cos(3 v ,

nder vi subst

(35

02

t

att t=3 svara

utligen den s

(cos(3 t

7.

en parametr

urs

rs

nd intervallet

nd intervallet

ra att cirkelns

vos , y 2

n använda ne

ta parametri

)os( v , y

RA ÖVNINGA

(enkel) para

si37y

titutionen v

)3 dvs v

ar mot v=0 o

sökta param

))3 , y

risering av de

t 10 t fö

t 10 t f

s radie är 2 o

vsin ,

egativa vinkla

isering (med

)sin(2 v

AR

metrisering

)in( v ,

2

21 t

vv

)3( t

ch t=5 mot v

etrisering öv

sin(37

en delen av c

ör parametri

ör parametr

och att centr

v2/

ar (dvs negat

urs) är

, v

7 av 19

med parame

20 v

)( 11

1 ttt

v

,

v= 2 .)

ver intervalle

))3( t ,

cirkeln som v

isering motu

risering medu

rum är i origo

.

tiv rotation)

2/3 .

etern v (m

et 53 t :

53 t .

visas i nedan

urs.

urs

o. Den sökta

:

medurs)

nstående figu

parametrise

Andragr

ur,

ering (motur

radskurvor

s) är


8 av 19

Notera att om v växer från till 2/3 då v avtar från till 2/3 ,

dvs. ekvationen beskriver den sökta delen av cirkeln med parametrisering medurs.

c) Nu använder vi substitutionen )( 112

121 tt

tt

vvvv

,

där 01 t , 12 t svarar mot 21

v resp. 2v .

Alltså ttv22

)0(12

2

.

Detta substitueras i vx cos2 , vy sin2 , v2/ (Kolla a‐delen) .

Vi får )22

cos(2 tx

, )22

sin(2 ty

, 10 t .

d) Enligt delen b har vi följande parametrisering medurs:

)cos(2 vx , )sin(2 vy , 2/3 v .

Först skriver vi en enkel parametrisering medurs i en annan parameter t.ex v. (Vi använder lösningen

i b, men skriver parameter v)

vx cos2 , vy sin2 , 2/3 v .

Vi inför en ny parametriserin och vill att

01 t , 12 t svarar mot 1v resp. 2/32 v .

Vi använder igen en linjär substitution

tttttt

vvvv

2)0(

1

2/)( 1

12

121

Därmed är

)2

cos(2 tx , )

2sin(2 ty

, 10 t .

den sökta parametrisering (medurs).

===========================================================


9 av 19

2. ELLIPS

Definition. En ellips är mängden av de punkter i planet vars avstånd till två givna punkter,

brännpunkterna, har en konstant summa.

Ellipsen med centrum i origo (0,0) och halvaxlarna ,

har ekvationen

1.

Om 0y får vi ax .

Om 0x får vi by .

Arean av en ellips vars halvaxlar är a och b är abA .

Om )0,(1 cF och )0,(2 cF är ellipsens brännpunkter då gäller

222 cba

Anmärkning 5: Ellipsen med centrum i origo, 12

2

2

2

b

y

a

x, kan anges med två ekvationer på

parameter form:

tax cos

tby sin , där 20 t (**)

( Med hjälp av "trigonometriska ettan " ser vi att 1sincos 2222

tt

b

y

a

x dvs

punkter som uppfyller (**) satisfierar ellipsens ekvation 12

2

2

2

b

y

a

x)

Anmärkning 6: Ekvationen 12

2

2

2

b

y

a

x definierar två explicita funktioner:

22 xaa

by ( + tecken för övre halvan )


10 av 19

Härledning av ellipsens ekvation: Vi betraktar en ellips som har brännpunkterna F1(–c, 0) och F2(c, 0)

som består av de punkter vars sammanlagda avstånd till två brännpunkterna, har en konstant

summa d1 + d2 = 2a. Låt P(x,y) vara en punkt på

ellipsen.

Från d1 + d2 = 2a har vi aycxycx 2)()( 2222

Vi flyttar en rot till den vänstra sidan 2222 )(2)( ycxaycx

och kvadrerar båda sidor :

2222222 )()(44)( ycxycxaaycx

Efter förenkling har vi cxaycxa 44)(4 222

Vi delar med 4 och igen kvadrerar båda leden ( för att eliminera roten) och därefter förenklar

ekvationen : 2224222 2])[( xccxaaycxa

2222242222 2]2[ xcxcaayccxxa

22242222222 22 xccxaayacacxaxa

)()( 22222222 caayaxca

Vi inför beteckningen 222 bca och får ellipsens ekvation 222222 bayaxb

Om vi delar med 22ba har vi ellipsens ekvation på formen

12

2

2

2

b

y

a

x .

Därmed har vi härlett ellipsens ekvation 12

2

2

2

b

y

a

x.

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

Anmärkning 7: Ett sätt att få ekvation för en ellips är att i cirkelns ekvation 1 göra variabelbyte / , / (med andra ord ändrar vi skalan på x respektive y‐axeln). Vi får

1.


11 av 19

Anmärkning 8: Om ellipsens centrum ligger i punkten C(p,q) då har ellipsen följande

1 .

Samma ellipsen kan skrivas på parameterform:

tapx cos

tbqy sin , där 20 t (***)

( Med hjälp av "trigonometriska ettan " ser vi att 1sincos 2222

ttb

qy

a

px dvs

punkter som uppfyller (***) satisfierar ellipsens ekvation 1)()(

2

2

2

2

b

qy

a

px)

Anmärkning 9: Endast en punkt(0,0) satisfierar ekvationen 0

Anmärkning 10: Ingen punkt satisfierar ekvationen 1.

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

Uppgift 8. Rita elipsen vars ekvation är 44 22 yx

Lösning: För att skriva ellipsen på formen 12

2

2

2

b

y

a

x delar vi med 4 ekvationen 43 22 yx

och får

4

4

4

3

4

22

yx

som vi kan skriva på följande sätt

13/44

22

yx

Om vi jämför med 12

2

2

2

b

y

a

x får vi:

242 aa och 3/43/42 bb

Alltså har ellipsen halvaxlarna 2a och 15.13/4 b .

Armin Ha

Uppgift

a) x 4

b) x 2

Svar a)

b) Svar.

Uppgift

y>0.

Lösning:

212 y

Vi derive

yx 42

I punkte

alilovic: EXTR

1

o

9. Rita följa

tcos4 , y tcos2 , y

Elipsen me

10. Bestäm

: Vi substitue

3 22 yy

erar båda led

yyy 0

n P= (1,1) ha

RA ÖVNINGA

2o

nde kurvor g

tsin2 ,

tsin4 ,

ed halvaxlar

m tangenten

erar x=1 i el

12 y

den i implicit

y

xy

2

.

ar vi )( Py

AR

givna i param

där 0 t

där 0 t

a=4 och b= 2

till elipsen v

lipsens ekva

1 . Efterso

t definierade

2

1 .

12 av 19

meterform.

2

2/

2.

vars ekvation

tion:

om, enligt an

e funktionen

n är 22 yx

tagande y>0

2 22 yx

32 y i punk

0 tar vi 1y

3 och får

Andragr

kten P= (1, y

1.

radskurvor

) där


13 av 19

Tangentens ekvation blir: )1(2

1)1(

xy eller efter förenkling 32 yx .

Svar: 32 yx

Uppgift 11. Visa att ellipsen 12

2

2

2

b

y

a

x har arean abA .

Lösning: Från 12

2

2

2

b

y

a

x får vi två explicita funktioner 22

2

2

1 xaa

b

a

xby .

Vi bestämmer arean av fjärde delen av ellipsen som ligger i första kvadranten.

a

dxxaa

bA

0

22

4

2/

0

222 cossin

dvvavaaa

b

2/

0

coscos

dvvavaa

b

0

2/]

2

)2sin([

22

2cos1cos

2/

0

2/

0

2 vv

abdv

vabdvvab

)00()02/(2

)2

)0sin(0()

2

)sin(2/(

2

abab

4

ab .

Från 44

abA har vi abA (vilket skulle bevisas) .

Uppgift 12. Rita följande punktmängd i xy‐planet

b) }114

:),{(22

2 yx

RyxM

Svar: Området begränsas av ellipsen 114

22

yx

. Från 42 a och 12 b får vi halvaxlarna

2a och 1b .

Substitutionen vax sin där 2

0

v

ger vdvadx cos

Gränser: 00sin0 vvax

21sinsin

vvavaax


14 av 19

Uppgift 13. Rita följande punktmängder i xy‐planet

a) }114

:),{(22

21

yxRyxM

b) }114

:),{(22

22

yxRyxM

c) }114

:),{(22

23

yxRyxM

d) }0,114

:),{(22

24 x

yxRyxM

e) }0,114

:),{(22

25 x

yxRyxM

f) }0,114

:),{(22

26 x

yxRyxM

Svar:

a)

b) Randpunkter tillhör inte mängden 2M

2

1

2

1 c)

o

A

B

C

d)

o

A

B

C f)

o

A

B

C

e)


15 av 19

================================================================

Uppgift 14. En ellips har ( den horisontella) halvaxeln 5a och brännpunkter )0,3(1 F och

)0,3(2F . Bestäms ellipsens ekvation.

Tips: använd sambandet 222 bca där a, b är halvaxlarna och brännpunkterna ges av F1(–c, 0)

och F2(c, 0).

Lösning: Från sambandet 222 bca har vi 169252 b .

Ellipsens ekvation 12

2

2

2

b

y

a

x blir då 1

1625

22

yx

Svar: 11625

22

yx

3.HYPERBEL

Definition. En hyperbel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till två givna

punkter, brännpunkter har en konstant skillnad.

( Ekvationen för en hyperbel härleder vi på liknande sätt som för en ellips.)

Två ofta förekomande är följande ekvationer:

1 (har 2 skärningspunkter med x‐axeln)

och 1. (har 2 skärningspunkter med y‐axeln)

Anmärkning 11: Ekvationen 12

2

2

2

b

y

a

x definierar två explicita funktioner:

22 axa

by ( + tecken för övre halvan ) .

Härav får vi definitionsmängden 022 ax dvs ),[],( aax och

två sneda asymptoter enligt formlerna:

T ex för 22 axa

by och x har vi

a

b

xx

ax

a

b

x

axa

b

x

xfk

xxx

2

222 1||

limlim)(

lim

Armin Ha

a

b

n

x

x

lim

lim

lima

b

x

konstant

Därmed

På samm

På liknan

höger) ti

Om (1F

Anmärk

och därm

alilovic: EXTR

ax

kxxf

22

))((m

22

22

ax

ax

t).

är xa

by

ma sätt får vi

nde sätt visa

ill nedre dele

)0,c och F

kning 12. Ek

med punkter

0

RA ÖVNINGA

a

bx

a

b

x

x

lim

lim)

lim2

x

x

x

0 en sned

att a

by

r vi att y

en av hyperb

)0,(2 eF är hy

kvationen

0.

r som satisfie

0 .

AR

ax

a

bax

22

22

1

22

2

ax

a

a

b

d asymptot ti

xa

b är en vän

xa

b och y

beln.

yperbelns brä

a

0 k

erar ekvatio

16 av 19

x

xx

xa

b

2

2

02

2

x

ill a

by

nster asympt

xa

by är

ännpunkter

22 cba

kan faktorise

nen ligger p

xa

xa2

2

( nämnaren

22 ax d

tot till y

r sneda asym

då gäller

2

eras och skri

på två linjer

n går mot

då x .

22 axa

b

mptoter ( vän

vas som

Andragr

, täljaren =

2 då x

nster respek

radskurvor

.

tive

Armin Ha

Uppgift

Lösning:

på form

Vi delar

Därför ä

Vi ritar a

med hjä

skisserar

=======

4. PARA

Här är tv

Exempe

=======

Definitio

(direktri

alilovic: EXTR

15. Rita hype

: För att be

men

ekvationen 2

1 ⇒

r 2 h

asymptoter o

älp av en rekt

r vi hyperbel

===========

ABLER

vå ofta förek

l 3.

===========

on. En parab

s) och en giv

RA ÖVNINGA

erbeln 2

estämma a oc

1.

2 8

2

yperbelns as

och,

tangel ( se b

n.

===========

omande ekv

( där 0

===========

bel är mängd

ven punkt br

AR

8 8.

ch b skriver

8 med 8 o

1.

symptoter.

ilden),

===========

vationer:

) och

===========

en av de pun

rännpunkt ä

17 av 19

vi ekvatione

och får

==========

==========

nkter i plane

är lika.

en

==========

( dä

=========

et vars avstån

=========

är 0 )

nd till en give

Andragr

en linje, styr

radskurvor

linje


18 av 19

Anmärkning 13: Parabelns vertex , ( toppunkt) ligger i mitten av vinkelrät sträckan från

brännpunkten till direktrisen.

Den reda linjen i figuren ovan är parabelns styrlinje, F betecknar brännpunkt (fokus) och V är

parabelns vertex (toppunkt)

Uppgift 16. Bestäm ekvationen för den parabel vars avstånd till linjen ax och punkten

)0,(aF är lika.

Lösning:

P(x,y)

F(a,0)

Q(-a,y)

(-a,0) Ox

y

Låt P(x,y) vara en punkt på parabeln. Avståndet mellan P och direktrisen ( styrlinjen) är axd 1

medan avståndet mellan P och brännpunkten är 222 )( yaxd .

Från leden)båda (kvadrera )( 2221 yaxaxdd

22222222 22)()( y aaxx aaxxyaxax


19 av 19

axy 4 2

Svar: axy 4 2

Uppgift 17. Bestäm ekvationen för den parabel som har brännpunkten )5,1(F och vertex V(1.6).

Lösning: Genom brännpunkten )5,1(F och vertex V(1.6) går parabelns symmetrilinje medan

direktrisen (styrlinjen) skär vinkelrät symmetrilinjen i den punkt D som uppfyller kravet att

avståndet mellan D och V är lika med avståndet mellan V och F. Direktrisens ekvation är därmed

7y . (Se figuren.)

För en punkt P(x,y) på parabeln har vi

2221 )5()1()7( yxydd (kvadrera båda leden)

2510121449

)5()1()7(222

222

yyxxyy

yxy

4

232

23242

2

xxy

xxy

Svar: 4

2322

xxy

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Andragradskurvor

Documents

Transcript of Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Andragradskurvor