Aritmetika – prima - student21.gjwprostejov.czstudent21.gjwprostejov.cz/uploads/NG01 Aritmetika -...

ARITMETIKA - PRIMA

Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově

Výukové materiály z matematiky pro nižší gymnázia

Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve

vyučování matematiky na gymnáziu

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

Prostějov 2009

Aritmetika – prima 2

Úvod

Vytvořený výukový materiál pokrývá předmět matematika, která je vyučována v osnovách a tematických plánech na gymnáziích nižšího a vyššího stupně. Mohou ho však využít všechny

střední a základní školy, kde je vyučován předmět matematika, a které mají dostatečné technické vybavení a zázemí.

Cílová skupina:

Podle chápání a schopností studentů je stanovena úroveň náročnosti vzdělávacího plánu a výukových materiálů. Zvláště výhodné jsou tyto materiály pro studenty s individuálním studijním plánem, kteří se nemohou pravidelně zúčastňovat výuky. Tito studenti mohou s pomocí našich výukových materiálů částečně kompenzovat svou neúčast ve vyučovaném předmětu matematika, formou e-learningového studia.


Obsah Přirozená čísla .......................................................................................................................... 12

Přirozená čísla a jejich znázornění ....................................................................................... 12

Přirozená čísla a jejich znázornění ................................................................................... 13

Varianta A ........................................................................................................................ 13


Varianta B ........................................................................................................................ 14


Varianta C ........................................................................................................................ 16

Přirozená čísla .......................................................................................................................... 18

Menší, větší, menší nebo rovno, větší nebo rovno. .............................................................. 18

Menší, větší, menší nebo rovno, větší nebo rovno ........................................................... 21

Varianta A ........................................................................................................................ 21


Varianta B ........................................................................................................................ 22


Varianta C ........................................................................................................................ 23

Přirozená čísla .......................................................................................................................... 25

Zápisy přirozených čísel ....................................................................................................... 25

Zápisy přirozených čísel ................................................................................................... 27

Varianta A ........................................................................................................................ 27


Varianta B ........................................................................................................................ 29


Varianta C ........................................................................................................................ 31

Přirozená čísla .......................................................................................................................... 32

Čísla a číslice ........................................................................................................................ 32


Čísla a číslice .................................................................................................................... 33

Varianta A ........................................................................................................................ 33

Čísla a číslice .................................................................................................................... 35

Varianta B ........................................................................................................................ 35

Čísla a číslice .................................................................................................................... 36

Varianta C ........................................................................................................................ 36

Přirozená čísla .......................................................................................................................... 39

Porovnávání čísel podle velikosti ......................................................................................... 39

Porovnávání přirozených čísel podle velikosti ................................................................. 41

Varianta A ........................................................................................................................ 41

Porovnávání přirozených čísel ......................................................................................... 43

Varianta B ........................................................................................................................ 43

Porovnávání přirozených čísel ......................................................................................... 44

Varianta C ........................................................................................................................ 44

Přirozená čísla .......................................................................................................................... 46

Zaokrouhlování přirozených čísel ........................................................................................ 46

Zaokrouhlování přirozených čísel .................................................................................... 48

Varianta A ........................................................................................................................ 48


Varianta B ........................................................................................................................ 49


Varianta C ........................................................................................................................ 50

Přirozená čísla .......................................................................................................................... 51

Sčítání přirozených čísel ...................................................................................................... 51

Sčítání přirozených čísel .................................................................................................. 52

Varianta A ........................................................................................................................ 52



Varianta B ........................................................................................................................ 54


Varianta C ........................................................................................................................ 56

Přirozená čísla .......................................................................................................................... 58

Odčítání přirozených čísel .................................................................................................... 58

Odčítání přirozených čísel ................................................................................................ 59

Varianta A ........................................................................................................................ 59


Varianta B ........................................................................................................................ 61


Varianta C ........................................................................................................................ 62

Přirozená čísla .......................................................................................................................... 64

Násobení přirozených čísel .................................................................................................. 64

Násobení přirozených čísel .............................................................................................. 66

Varianta A ........................................................................................................................ 66


Varianta B ........................................................................................................................ 68


Varianta C ........................................................................................................................ 69

Přirozená čísla .......................................................................................................................... 70

Dělení přirozených čísel ....................................................................................................... 70

Dělení přirozených čísel ................................................................................................... 71

Varianta A ........................................................................................................................ 71


Varianta B ........................................................................................................................ 73


Varianta C ........................................................................................................................ 74


Desetinná čísla a zlomky .......................................................................................................... 75

Zlomky ................................................................................................................................. 75

Zlomky ............................................................................................................................. 76

Varianta A ........................................................................................................................ 76

Zlomky ............................................................................................................................. 77

Varianta B ........................................................................................................................ 77

Zlomky ............................................................................................................................. 78

Varianta C ........................................................................................................................ 78


Desetinná čísla a jejich znázornění ...................................................................................... 80

Desetinná čísla a jejich znázornění .................................................................................. 82

Varianta A ........................................................................................................................ 82


Varianta B ........................................................................................................................ 83


Varianta C ........................................................................................................................ 84


Sčítání a odčítání desetinných čísel ...................................................................................... 85

Sčítání a odčítání desetinných čísel .................................................................................. 86

Varianta A ........................................................................................................................ 86


Varianta B ........................................................................................................................ 87


Varianta C ........................................................................................................................ 89

Desetinná čísla I ....................................................................................................................... 90

Tisíciny i miliontiny ............................................................................................................. 90

Tisíciny a miliontiny ........................................................................................................ 91


Varianta A ........................................................................................................................ 91


Varianta B ........................................................................................................................ 93


Varianta C ........................................................................................................................ 95

Desetinná čísla I ....................................................................................................................... 96

Porovnávání desetinných čísel ............................................................................................. 96

Porovnávání desetinných čísel ......................................................................................... 97

Varianta A ........................................................................................................................ 97

Porovnávání desetinných čísel ......................................................................................... 99

Varianta B ........................................................................................................................ 99

Porovnávání desetinných čísel ....................................................................................... 101

Varianta C ...................................................................................................................... 101

Desetinná čísla I ..................................................................................................................... 102

Zaokrouhlování desetinných čísel ...................................................................................... 102

Zaokrouhlování desetinných čísel .................................................................................. 103

Varianta A ...................................................................................................................... 103


Varianta B ...................................................................................................................... 104


Varianta C ...................................................................................................................... 105


Sčítání desetinných čísel .................................................................................................... 106

Sčítání desetinných čísel ................................................................................................ 107

Varianta A ...................................................................................................................... 107


Varianta B ...................................................................................................................... 108



Varianta C ...................................................................................................................... 109


Odčítání desetinných čísel .................................................................................................. 110

Odčítání desetinných čísel .............................................................................................. 111

Varianta A ...................................................................................................................... 111


Varianta B ...................................................................................................................... 112


Varianta C ...................................................................................................................... 113

Desetinná čísla II .................................................................................................................... 114

Násobení desetinného čísla přirozeným číslem.................................................................. 114

Násobení desetinného čísla přirozeným číslem.............................................................. 115

Varianta A ...................................................................................................................... 115


Varianta B ...................................................................................................................... 116


Varianta C ...................................................................................................................... 117


Násobení desetinného čísla desetinným číslem.................................................................. 118

Násobení desetinného čísla desetinným číslem.............................................................. 119

Varianta A ...................................................................................................................... 119


Varianta B ...................................................................................................................... 120


Varianta C ...................................................................................................................... 121



Dělení desetinného čísla přirozeným číslem ...................................................................... 122

Dělení desetinného čísla přirozeným číslem .................................................................. 124

Varianta A ...................................................................................................................... 124


Varianta B ...................................................................................................................... 125


Varianta C ...................................................................................................................... 126


Dělení desetinného čísla desetinným číslem ...................................................................... 127

Dělení desetinného čísla desetinným číslem .................................................................. 128

Variace A ........................................................................................................................ 128


Variace B ........................................................................................................................ 129


Variace C ........................................................................................................................ 130

Dělitelnost čísel ...................................................................................................................... 131

Dělitel ................................................................................................................................. 131

Dělitel ............................................................................................................................. 132

Varianta A ...................................................................................................................... 132

Dělitel ............................................................................................................................. 133

Varianta B ...................................................................................................................... 133

Dělitel ............................................................................................................................. 134

Varianta C ...................................................................................................................... 134


Násobek .............................................................................................................................. 135

Násobek .......................................................................................................................... 136

Varianta A ...................................................................................................................... 136


Násobek .......................................................................................................................... 137

Varianta B ...................................................................................................................... 137

Násobek .......................................................................................................................... 138

Varianta C ...................................................................................................................... 138


Dělitelnost deseti a pěti ...................................................................................................... 139

Dělitelnost deseti a pěti .................................................................................................. 140

Varianta A ...................................................................................................................... 140


Varianta B ...................................................................................................................... 142


Varianta C ...................................................................................................................... 144


Dělitelnost dvěma ............................................................................................................... 146

Dělitelnost dvěma ........................................................................................................... 147

Varianta A ...................................................................................................................... 147


Varianta B ...................................................................................................................... 149


Varianta C ...................................................................................................................... 151


Dělitelnost třemi ................................................................................................................. 153

Dělitelnost třemi ............................................................................................................. 154

Varianta A ...................................................................................................................... 154


Varianta B ...................................................................................................................... 156



Varianta C ...................................................................................................................... 158


Prvočísla a čísla sloţená ..................................................................................................... 159

Prvočísla a čísla sloţená ................................................................................................. 161

Varianta A ...................................................................................................................... 161


Varianta B ...................................................................................................................... 162


Varianta C ...................................................................................................................... 163


Společní dělitelé ................................................................................................................. 164

Společní dělitelé ............................................................................................................. 165

Varianta A ...................................................................................................................... 165


Varianta B ...................................................................................................................... 166


Varianta C ...................................................................................................................... 167


Společné násobky ............................................................................................................... 169

Společné násobky ........................................................................................................... 171

Varianta A ...................................................................................................................... 171


Varianta B ...................................................................................................................... 172


Varianta C ...................................................................................................................... 173


Přirozená čísla

Přirozená čísla a jejich znázornění

Přirozená čísla jsou čísla 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …

Určují nám počet věcí, předmětů, osob, zvířat, …

Znázorňujeme je na číselné ose, kde je i číslo nula.

Nula mezi přirozená čísla nepatří.

Úloha 1:

Z devíti přirozených čísel, která jsou seřazena podle velikosti, jsme pět vynechali. Která to

jsou? 198,?, 200, 201, ?, ?, 204, 205,? [199, 202, 203, 206]

Úloha 2:

Vyjmenuj přirozená čísla, která jsou vyznačena na číselné ose barevnými tečkami. Postupuj

od nejmenšího k největšímu (zleva doprava). [55, 57, 60, 61, 62]

Úloha 3:

Řekni přirozené číslo, které následuje hned za číslem 37. [38]

Které přirozené číslo je hned před číslem 32. [31]

Vyjmenuj všechna přirozená čísla, která jsou mezi čísly 32 a 37. [33, 34, 35, 36]

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

54 56 58 59 63

0 1 2 4 5 6 7 8 9 3



Varianta A

Mezi přirozenými čísly, která jsou seřazena podle velikosti od nejmenšího po největší, jsou

čtyři čísla nesprávně. Najdi je, oprav a zapiš celou řadu správně.

A 327, 328, 239, 330, 340, 332, 333, 344, 335, 436, 337

B 656, 657, 658, 569, 660, 670, 662, 683, 664, 566, 666

Výsledek řešení:

A: nesprávné čísla 239, 340, 344, 436,

B: nesprávné čísla 569, 670, 683, 566

A 327, 328, 329, 330, 331, 332, 333, 334, 335, 336, 337

B 656, 657, 658, 659, 660, 661, 662, 663, 664, 665, 666

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Příklady k procvičení:

1) Mezi přirozenými čísly, která jsou seřazena podle velikosti od nejmenšího po největší, jsou


A 289, 390, 291, 292, 233, 294, 295, 269, 297, 298, 199

B 734, 735, 756, 737, 738, 749, 740, 741, 724, 743, 754

A[290, 293, 296, 299], B[736, 739, 742, 744]

2) Mezi přirozenými čísly, která jsou seřazena podle velikosti od nejmenšího po největší, jsou


C 1 256, 1 257, 1 268, 1 259, 1 360, 1 261, 1 262, 1 233, 1 264, 1 275, 1 266

D 2 169, 2 270, 2 171, 2 172, 2 373, 2 174, 1 175, 2 176, 2 177, 2 178, 2 079

A[1 258, 1 260, 1 263, 1 265], B[2 170, 2 173, 2 175, 2 179]



Varianta B

a) Která přirozená čísla jsou mezi čísly 353 a 358?

b) Které přirozené číslo je hned vlevo od čísla 353?

c) Která přirozená čísla jsou vyznačena na obrázku vpravo od čísla 358?

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1)


b) Které přirozené číslo je vyznačena na obrázku hned vlevo od čísla 40?

c) Která přirozená čísla jsou vyznačena na obrázku vlevo od čísla 33?

a) [34, 35, 36, 37, 38, 39]

b) [39]

c) [31, 32]

33 40

353 358


a) 354, 355, 356, 357

b) 352

c) 359, 360, 361


2)


b) Které přirozené číslo je vyznačena na obrázku hned vlevo od čísla 87?

c) Která přirozená čísla jsou vyznačena na obrázku vpravo od čísla 93?

a) [88, 89, 90, 91, 92]

b) [86]

c) [94, 95]

3)

a) Která přirozená čísla jsou mezi čísly 1 239 a 1 244?

b) Které přirozené číslo je vyznačena na obrázku hned vlevo od čísla 1 239?

c) Které přirozené číslo je hned druhé za číslem 1 244 vyznačeným na obrázku?

a) [1 240, 1 241, 1 242, 1243]

b) [1 238]

c) [1 246]

4)

a) Která přirozená čísla jsou mezi čísly 1 506 a 1 511?

b) Které přirozené číslo je vyznačena na obrázku hned vpravo od čísla 1 511?

c) Které přirozené číslo je hned třetí za číslem 1 511 vyznačeným na obrázku?

a) [1 507, 1 508, 1 509, 1 510]

b) [1 512]

c) [1 514]

1 506 1 511

1 239 1 244

87 93



Varianta C

V řadě čísel 1, 3, 5, 7, … je zapsáno kaţdé druhé přirozené číslo.

a) Jak bude řada pokračovat do čísla 25?

b) Jaké budou čísla v řadě mezi čísly 25 a 37?

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1)

V řadě čísel 12, 14, 16, 18, … je zapsáno kaţdé druhé přirozené číslo.



a) [20, 22, 24, 26, 28]

b) [30, 32]

2)

V řadě čísel 9, 11, 13, 15 … je zapsáno kaţdé druhé přirozené číslo.



a) [17, 19, 21, 23, 25]

b) [27, 29]


a) 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25

b) 27, 29, 31, 33, 35


3)

V řadě čísel 9, 12, 15, 18, … je zapsáno kaţdé třetí přirozené číslo.

a) Jaké budou čísla v řadě mezi čísly 27 a 57?

b) Jaké budou čísla v řadě před číslem 9?

a) [30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54]

b) [1, 3, 6]

4)

V řadě čísel 12, 16, 20, 24… je zapsáno kaţdé čtvrté přirozené číslo.

a) Jaké budou čísla v řadě mezi čísly 44 a 80?

b) Jaké budou čísla v řadě před číslem 12?

a) [48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76]

b) [1, 4, 8,]


Přirozená čísla

Menší, větší, menší nebo rovno, větší nebo rovno.

Přirozená čísla mezi sebou porovnáváme pomocí znaků nerovnosti .

Tyto znaky nerovnosti vkládáme mezi přirozená čísla, a porovnáváme tak jejich velikost. Pro

grafické znázornění pouţíváme číselnou osu.

Úloha 4:

1, 2, 3, 4, 5

x menší neţ 6

7, 8, 9, 10, 11, …

x větší neţ 6

Pokud pouţijeme znaky nerovnosti krouţek, je prázdný.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9


1, 2, 3, 4, 5, 6

x menší nebo rovno neţ 6

6, 7, 8, 9, 10, 11, …

x větší nebo rovno neţ 6

Pokud pouţijeme znaky nerovnosti pak krouţek vyplníme.

Úloha 5:

Vypište všechna přirozená čísla, pro která platí: a zároveň .

Takovýto zápis můţeme zjednodušit: .

Výsledek: 24, 25, 26, 27, 28, 29

21 23 24 25 26 27 28 29 30 22

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9



Takovýto zápis můţeme zjednodušit:

Výsledek: 24, 25, 26, 27, 28



Výsledek: 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29



Výsledek: 23, 24, 25, 26, 27, 28

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

21 23 24 25 26 27 28 29 30 22

21 23 24 25 26 27 28 29 30 22

21 23 24 25 26 27 28 29 30 22


Menší, větší, menší nebo rovno, větší nebo rovno

Varianta A

Zapište všechna přirozená čísla x, pro která platí:

a) b) c) d)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Zapište všechna přirozená čísla x, pro která platí:

[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]


[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]


[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16]


[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18]


a) 1, 2, 3 b) 1, 2, 3, 4, 5 c) 1 d) 1



Varianta B

Zapište a znázorněte na číselné ose všechna přirozená čísla x, pro která platí:

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Zapište a znázorněte na číselné ose všechna přirozená čísla x, pro která platí:

[1101, 1102, 1103, 1104, 1105, 1106]

2) Zapište a znázorněte na číselné ose všechna přirozená čísla x, pro která platí:

[1046, 1047, 1048, 1049, 1050, 1051]

3) Zapište a znázorněte na číselné ose všechna přirozená čísla, která jsou větší neţ 257 a

zároveň menší neţ 265. [258, 259, 260, 261, 262, 263, 264]

4) Zapište a znázorněte na číselné ose všechna přirozená čísla, která jsou větší neţ 307 a

zároveň menší nebo rovny 313. [308, 309, 310, 311, 312, 313]

117 119 120 121 122 123 124 125 126 118

Výsledek řešení: 120, 121, 122, 123, 124, 125



Varianta C

Na obrázku je podtrţeno sedm čísel. Napište místo otazníků taková přirozená čísla, aby zápis

byl správný pro všechna podtrţená čísla a pro ţádná jiná neplatil:

a) b) c) d)


a) b) c) d)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Na obrázku je podtrţeno sedm čísel. Napište místo otazníků taková přirozená čísla, aby

zápis byl správný pro všechna podtrţená čísla a pro ţádná jiná neplatil:

a) b) c) d)

[a) b) c) d) ]

91 93 94 95 96 97 98 99 100 92

9 11 12 13 14 15 16 17 18 10


2) Na obrázku je podtrţeno šest čísel. Napište místo otazníků taková přirozená čísla, aby zápis

byl správný pro všechna podtrţená čísla a pro ţádná jiná neplatil:

a) b) c) d)

[a) b) c) d) ]

3) Napište místo otazníků taková přirozená čísla, aby byly správné všechny zápisy čísel a

vypište tato čísla:

a) b) c) d)

[16, 17, 18, 19, 20, 21, 22]

4) Napište místo otazníků taková přirozená čísla, aby byly správné všechny zápisy čísel a

vypište tato čísla:

a) b) c) d)

[57, 58, 59, 60, 61, 62, 63]

91 93 94 95 96 97 98 99 100 92


Přirozená čísla

Zápisy přirozených čísel

Přirozené číslo zapisujeme zkráceným zápisem čísla v desítkové soustavě, nebo rozvinutým

zápisem čísla v desítkové soustavě.

7 542 886 = 7. 1 000 000 + 5. 100 000 + 4. 10 000 + 2. 1 000 + 8. 100 + 8. 10 + 6. 1

Počet 7 5 4 2 8 8 6

milionů statisíců desetitisíce tisíce stovek desítek jednotek

Úloha 6:

Zapiš tato přirozená čísla:

A B

Tři tisíce třicet dva Devět set šedesát sedm tisíc osm set dva

Šest tisíc devět Sto dvacet tisíc padesát dva

Čtyři tisíce šest set sedmdesát Sto čtyři tisíc čtyři

Padesát dva tisíc dvě sta sedm Dvě sta třicet šest tisíc sedm set padesát osm

Třináct tisíc osmdesát osm Čtyři miliony pět set šedesát sedm tisíc tři sta dvacet devět


A B

3 032 967 802

6 009 120 052

4 670 104 004

52 207 236 758

13 088 4 567 329


Úloha 7:

Napiš v desítkové soustavě rozvinutý zápis těchto čísel:

a) 5 672 b) 298

c) 110 702 d) šest tisíc tři sta dvacet dva


a)

b)

c)

d)

Úloha 8:

Napiš zkrácený zápis těchto čísel:

a)

b)

c)


a) 3 421 b) 6 002 c) 222 740

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C



Varianta A

Zapiš slovy tato čísla:

a) 6 006 b) 6 060 c) 6 600

d) 12 200 e) 12 020 f) 12 002

g) 4 320 000 h) 4 320 002 i) 4 320 200

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Napište číslo sloţené:

a) ze sedmi tisíců, dvou stovek, pěti desítek a čtyřech jednotek

b) z jednoho desetitisíce, pěti tisíců, čtyřech stovek a osmi jednotek

c) z osmi jednotek, dvou stovek, tří tisíců a osmi miliónů

[a) 7 254, b) 15 408, c) 8 003 208]

2) Napište číslo sloţené:

a) ze tří statisíců, tří tisíců a šesti stovek

b) z pěti jednotek, jedné desítky, devíti tisíců a dvou desetitisíců

c) ze sedmi stovek miliónů, pěti statisíců a šesti tisíců

[a) 303 600, b) 29 015, c) 700 506 000]


a) šest tisíc šest b) šest tisíc šedesát c) šest tisíc šest set

d) dvanáct tisíc dvě sta e) dvanáct tisíc dvacet f) dvanáct tisíc dva

g) čtyři miliony tři sta dvacet tisíc

h) čtyři miliony tři sta dvacet tisíc dva

i) čtyři miliony tři sta dvacet tisíc dvě sta


3) Kolik jednotek je:

a) sedm desítek b) čtyřicet šest desítek c) dvě stovky

d) dvě sta třicet sedm stovek e) čtrnáct tisíc

[a) 70, b) 460, c) 200, d) 23 700, e) 14 000]

4) Kolik jednotek je:

a) pět desítek b) sto třicet devět desítek c) tři stovky

d) tisíc stovek e) devět tisíc

[a) 50, b) 1 390, c) 300, d) 100 000, e) 9 000]



Varianta B

Napiš v desítkové soustavě rozvinutý zápis těchto čísel:

a) 2 761 b) 8 007 c) 29 010 d) 10 001

e) 234 872 f) 760 980 g) 444 000 h) 2 050 307

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Napiš v desítkové soustavě rozvinutý zápis těchto čísel:

a) 3 102 b) 19 004 c) 234 987 d) 3 100 001

a) 12100100100013 102 3

b) 1410010000001900010100419

c) 171081009000140001030001002987234

d) 111001000000100001000001001000000130011003


a) 111061007000127612

b) 171001000000180078

c) 1010110000001900010201029

d) 1110010000001000010100110

e) 121071008000140001030001002872234

f) 101081009000100001060001007980760

g) 101001000000140001040001004000444

h) 171001003000100001050001000000000123070502


2) Napiš v desítkové soustavě rozvinutý zápis těchto čísel:

a) 4 012 b) 23 402 c) 340 207 d) 4 101 100

a) 12101100000014 012 4

b) 1210010040001300010240223

c) 171001002000100001040001003207340

d) 101001001000110001000001001000000141001014

3) Napište čísla a) desetkrát, b) stokrát, c) tisíckrát větší neţ číslo 37, 801, 1 098.

[a) 370, 8 010, 10 980 b) 3 700, 80 100, 109 800 c) 37 000, 801 000, 1 098 000]

4) Napište čísla a) desetkrát, b) stokrát, c) tisíckrát větší neţ číslo 53, 604, 2 908.

[a) 530, 6 040, 29 080 b) 5 300, 60 400, 290 800 c) 53 000, 604 000, 2 908 000]



Varianta C

Napiš zkrácený zápis těchto čísel:

a) 11106100500013

b) 17103100000014

c) 10101100500015000108

d) 121071000000140001000001007

e) 17100100000011000105000100200000013

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Napiš zkrácený zápis těchto čísel:

a) 16106100000010000015 [50 066]

b) 12100100700013000109000100000000014 [4 093 702]

2) Napiš zkrácený zápis těchto čísel:

a) 10106100000014000014 [44 060]

b) 141001000000150001090001008 [895 004]

3) Které číslo je a) desetkrát menší b) o deset menší neţ číslo 21 000? [2 100, 20 990]

4) Které číslo je a) desetkrát větší b) o deset větší neţ číslo 19 991? [199 910, 20 001]


a) 3 561 b) 4 037 c) 85 510 d) 704 072 e) 3 251 007


Přirozená čísla

Čísla a číslice

Čísla se skládají z číslic.

Číslice neboli cifry v desítkové soustavě.

0 … nula 5 … pětka

1 … jednička 6 … šestka

2 … dvojka 7 … sedmička

3 … trojka 8 … osmička

4 … čtyřka 9 … devítka

Přirozené číslo

JEDNOciferné 7 ČTYŘciferné 4 572

DVOJciferné 69 PĚTIciferné 15 890

TROJciferné 213 ŠESTIciferné 765 309

Úloha 9:

Přečti číslo 865 234 509. Pak vyjmenuj všechny číslice, které jsou v zápisu tohoto čísla.

Která číslice je na místě desítek?

Která číslice je na místě desetitisíců?

Která číslice je na místě milionů?


Osm set šedesát pět milionů dvě sta třicet čtyři tisíc pět set devět.

Na místě desítek je nula.

Na místě desetitisíců je trojka.

Na místě milionů je pětka.

Úloha 10:

Vypište všechna dvojciferná čísla, ve kterých jsou jenom číslice 2 a 8. Číslice se mohou

opakovat. [28, 82, 22, 88]

Úloha 11:

Vypište všechna trojciferná čísla x, pro která platí: .

[100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107]


Čísla a číslice

Varianta A

Vypiš z čísel 123, 65, 333, 4, 19, 980, 4 781, 98, 35 765, 5 000, 514, 32

a) všechna jednociferná čísla b) všechna dvojciferná čísla

c) všechna trojciferná čísla d) všechna čtyřciferná čísla

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Vypište z čísel 13, 465, 3 443, 5, 19, 3 980, 81, 198, 352 765, 53 010, 514, 2

a) všechna pěticiferná čísla b) všechna dvojciferná čísla

c) všechna trojciferná čísla d) všechna čtyřciferná čísla

[a) 53 010 b) 13, 19, 81 c) 465, 198, 514 d) 3 443, 3 980]

2) Vypište z čísel 745, 90, 873, 3 456, 23 753, 7, 87, 621, 0, 897 541, 6 579, 56 874

a) všechna jednociferná čísla b) všechna dvojciferná čísla

c) všechna šesticiferná čísla d) všechna čtyřciferná čísla

[a) 7, 0 b) 90, 87 c) 897 541 d) 3 456, 6 579]


a) 4 b) 65, 19, 98,

32

c) 123, 333, 980, 514 d) 4 781, 5 000


3) Zmenšete daná čísla o jednu: 5 000, 2 800, 40 000, 99 990, 600 840, 1 milion.

[4 999, 2 799, 39 999, 99 989, 600 839, 999 999]

4) Zmenšete daná čísla o jednu: 7 000, 5 810, 60 000, 96 900, 500 000, 1 miliarda.

[6 999, 5 809, 59 999, 96 899, 499 999, 999 999 999]


Čísla a číslice

Varianta B

Zapište všechna trojciferná čísla, která mají:

a) na místě jednotek číslici 7 a na místě stovek číslici 2,

b) na místě desítek číslici 4 a na místě stovek číslici 6,

c) na místě jednotek číslici 3 a na místě desítek číslici 8.


a) 2 7 [207, 217, 227, 237, 247, 257, 267, 277, 287, 297]

b) 6 4 [640, 641, 642, 643, 644, 645, 646, 647, 648, 649]

c) 8 3 [183, 283, 383, 483, 583, 683, 783, 883, 983]

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Zapište všechna čtyřciferná čísla, která mají na místě jednotek číslici 4, na místě stovek

číslici 2 a jsou tvořena pouze čísly 1, 2, 3, 4, 5, ţádná číslice se nesmí v čísle opakovat.

[1 234, 1 254, 3 214, 3 254, 5 214, 5 234,]

2) Zapište všechna čtyřciferná čísla, která mají na místě desítek číslici 4 a na místě stovek

číslici 6 a jsou tvořena pouze čísly 2, 3, 4, 5, 6 ţádná číslice se nesmí v čísle opakovat.

[2 643, 2 645, 3 642, 3 645, 5 642, 5 643]

3) Kolik je trojciferných čísel, která začínají dvojčíslím 24?

[240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249]

4) Kolik je trojciferných čísel, která končí dvojčíslím 55?

[155, 255, 355, 455, 555, 655, 755, 855, 955]


Čísla a číslice

Varianta C

a) Zapište všechna dvojciferná čísla, která lze sloţit z číslic 2, 8, 1, přitom se ţádná číslice

nesmí v čísle opakovat.

b) Zapište všechna trojciferná čísla, která lze sloţit z číslic 3, 6, 9 a 0, přitom se ţádná číslice

nesmí v čísle opakovat.


a)

2

8

1

8

1

2

1

2

8

28, 21

82, 81

12, 18


b)

3

6

9

0

6

9

6

9

0

9

6

0

0

3

9

3

9

0

9

3

0

0

3

6

3

6

0

6

3

0

306, 309

360, 369

396, 390

603, 609

630, 639

693, 690

903, 906

930, 936

963, 960


Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Zapište všechna dvojciferná čísla, která lze sloţit z číslic 3, 5, 1, přitom se ţádná číslice

nesmí v čísle opakovat. Které číslo má největší hodnotu?

[13, 15, 35, 31, 51, 53]

2) Zapište všechna dvojciferná čísla, která lze sloţit z číslic 6, 4, 8, přitom se ţádná číslice

nesmí v čísle opakovat. Které číslo má nejmenší hodnotu?

[46, 48, 64, 68, 84, 86]

3) Zapište všechna trojciferná čísla, která lze sloţit z číslic 1, 2, 9 a 0, přitom se ţádná číslice

nesmí v čísle opakovat. Které číslo má největší hodnotu?

[129, 120, 109, 102, 190, 192, 210, 219, 202, 209, 290, 291, 910, 912, 901, 902, 921, 920]

4) Zapište všechna trojciferná čísla, která lze sloţit z číslic 7, 5, 3 a 0, přitom se ţádná číslice

nesmí v čísle opakovat. Které číslo má nejmenší hodnotu?

[753, 750, 730, 735, 703, 705, 503, 507, 530, 537, 570, 573, 305, 307, 350, 357, 370, 375]


Přirozená čísla

Porovnávání čísel podle velikosti

Přirozená čísla o stejném počtu číslic porovnáváme takto:

Začneme porovnávat číslice od nejvyššího řádu, a jestliţe jsou číslice stejné, postupujeme

k řádům niţším.

1 256 1 2 5 6 1 2 5 6 1 2 5 6

1 293 1 2 9 3 1 2 9 3 1 2 9 3

počet tisíců: počet stovek: počet desítek:

stejný stejný 5 < 9, proto 1 256 < 1293

Úloha 12:

Napiš, které ze dvou čísel je větší:

a) 76, 176 b) 321, 312

c) 2 222, 1 679 d) 5 432, 15 432

[76 < 176, 321 > 312, 2 222 > 1679, 5 432 < 15 432]

Úloha 13:

Zkontroluj a napiš ano, nebo ne:

a) 347 > 345 b) 256 > 561

c) 12 309 < 12 039 d) 8 763 902 < 8 764 901

[ano, ne, ne, ano]


Úloha 14:

Tabulka znázorňuje různé druhy ovoce, a jejich mnoţství v kilogramech, které se prodalo

v uplynulém roce.

Banány 7 983 Mandarinky 1 007

Broskve 10 349 Meruňky 18 452

Citrony 878 Pomeranče 12 030

Hrušky 1 087 Švestky 23 459

Jablka 19 056 Třešně 10 321

Kterého ovoce se prodalo nejvíce? [švestka]

Kterého ovoce se prodalo nejméně? [citron]

Kterého ovoce se prodalo méně neţ 7 tisíc kilogramů? [citron, hruška, mandarinka]

Kterého ovoce se prodalo vice neţ 15 500? [jablko, meruňka, švestka]

Uspořádej druhy ovoce podle počtu prodaných kilogramů, od největšího k nejmenšímu.

[švestka, jablko, meruňka, pomeranč, broskve, třešně, banán, hruška, mandarinka, citron]

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


Porovnávání přirozených čísel podle velikosti

Varianta A

Uspořádejte následující čísla od nejmenšího po největší:

a) 1 725, 578, 1 239, 198, 1 701, 1 024, 602, 1 332

b) 2 348, 2 365, 20 034, 2 098, 23 204, 21 542, 2 549, 2 107

c) 7 435, 7 501, 5 689, 6 723, 5 986, 4 890, 6 893, 4 882

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Uspořádejte následující čísla od nejmenšího po největší:

5 725, 5 578, 1 239, 1 298, 1 291, 524, 602, 5 572, 435, 3 547, 607, 3 447

[435 < 524 < 602 < 607 < 1 239 < 1 291 < 1 298 < 3 447 < 3 547 < 5 572 < 5 578 < 5 725]

2) Uspořádejte následující čísla od nejmenšího po největší:

2 239, 367, 452, 2 238, 3 291, 124, 102, 3 572, 135, 3 574, 407, 1 367

[102 < 124 < 135 < 367 < 407 < 452 < 1 367 < 2 238 < 2 239 < 3 291 < 3 572 < 3 574]


a) 72517011332123910241602578198

b) 20423542210342054923652348210720982

c) 50174357893672369865689589048824


3) Firma Ferda a Syn rozváţí pečivo z Prostějova do čtyř měst, Brna, Olomouce, Ostravy a

Zlína.

a) Kolik kilometrů měří jejich cesty?

b) Která cesta je nejdelší?

c) Která cesta má vzdálenost mezi 100 km aţ 160 km?

Vzdálenost v km Brno Olomouc Ostrava Prostějov Zlín

Brno 0 78 165 54 96

Olomouc 78 0 93 24 63

Ostrava 165 93 0 117 104

Prostějov 54 24 117 0 150

Zlín 96 63 104 150 0

[b) Brno – Ostrava, c) Prostějov – Ostrava, Ostrava – Zlín, Prostějov - Zlín]

4) Firma Klubíčko a Dcery rozváţí vlnu z Prostějova do čtyř měst, Hodonín, Liberec, Písek,

Svitavy.

a) Kolik kilometrů měří jejich cesty?

b) Která cesta je nejdelší?

c) Která cesta má vzdálenost mezi 160 km aţ 240 km?

Vzdálenost v km Hodonín Liberec Písek Prostějov Svitavy

Hodonín 0 300 265 136 128

Liberec 300 0 207 238 172

Písek 265 207 0 276 202

Prostějov 136 238 276 0 95

Svitavy 128 172 202 95 0

[b) Hodonín – Liberec, c) Liberec – Písek, Liberec – Prostějov, Liberec – Svitavy, Písek -

Svitavy]


Porovnávání přirozených čísel

Varianta B

Zapiš všechna přirozená čísla, pro která platí: jsou větší neţ 325, menší neţ 352 a v jejich

zápisu je číslice 4.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Zapiš všechna přirozená čísla, pro která platí: jsou větší neţ 234, menší neţ 257 a v jejich


[235, 236, 237, 238, 239, 243, 253]

2) Zapiš všechna přirozená čísla, pro která platí: jsou větší neţ 438, menší neţ 487 a v jejich


[439, 443, 453, 463, 473, 483]

3) Napište nejmenší a největší pěticiferné číslo sloţené ze čtyř různých číslic, kdy jedna

číslice se opakuje.

[10 123, 99 876]

4) Napište nejmenší a největší šesticiferné číslo, v jehoţ zápisu jsou tři různé číslice.

[100 002, 999 987]


[334, 340, 341, 342, 343, 344, 345, 346, 347, 348, 349]


Porovnávání přirozených čísel

Varianta C

Vypiš všechna trojciferná čísla, která se dají sestavit z číslic 1, 7, 4, přitom kaţdá číslice smí

být v čísle pouze jednou. Uspořádej sestavená čísla podle velikosti od nejmenšího po největší.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Vypiš všechna trojciferná čísla, která se dají sestavit z číslic 2, 8, 6, přitom kaţdá číslice

smí být v čísle pouze jednou. Uspořádej sestavená čísla podle velikosti od nejmenšího po

největší.

[268 < 286 < 628 < 682 < 826 < 862]

2) Vypiš všechna trojciferná čísla, která se dají sestavit z číslic 9, 5, 3, přitom kaţdá číslice

smí být v čísle pouze jednou. Uspořádej sestavená čísla podle velikosti od nejmenšího po

největší.

[359 < 395 < 539 < 593 < 935 < 953]

3) Zapište nejmenší a největší pěticiferné číslo, které je větší neţ číslo 23 758 a jehoţ zápis

končí:

a) jednou nulou b) dvěma nulami

c) třemi sedmičkami d) čtyřmi jedničkami

[a) 23 760, 99 990, b) 23 800, 99 900, c) 23 777, 99 777, d) 31 111, 91 111]


741714471417174147


4) Zapište nejmenší a největší pěticiferné číslo, které je větší neţ číslo 45 865 a jehoţ zápis

končí:

a) jednou nulou b) dvěma nulami

c) třemi sedmičkami d) čtyřmi jedničkami

[a) 45 870, 99 990, b) 45 900, 99 900, c) 46 777, 99 777, d) 51 111, 91 111]


Přirozená čísla

Zaokrouhlování přirozených čísel

Přirozená čísla zaokrouhlujeme takto:

Před číslicemi 0, 1, 2, 3, 4 zaokrouhlujeme DOLŮ.

Před číslicemi 5, 6, 7, 8, 9 zaokrouhlujeme NAHORU.

Zaokrouhlujeme vţdy podle číslice, která následuje vpravo.

Zaokrouhlování:

Na desítky:

4 8 7 3 = 4 870 6 4 3 8 = 6 440

Na stovky:

4 8 7 3 = 4 900 6 4 3 8 = 6 400

Na tisíce:

4 8 7 3 = 5 000 6 4 3 8 = 6 000

Úloha 15:

Zaokrouhli postupně číslo 2 345 629 na stovky, tisíce, desetitisíce, statisíce.

2 345 6 29 = 2 345 600

2 34 5 629 = 2 346 000

2 3 4 5 629 = 2 350 000

2 3 45 629 = 2 300 000


Úloha 16:

Čísla jsou zaokrouhlena na desítky. Zkontroluj, zda je to správně.

a) 683 = 680 b) 456 = 460 c) 704 = 710

d) 1 236 = 1 250 e) 3 766 = 3 770 f) 32 015= 32 010

[ano, ano, ne, ne, ano, ne]

Úloha 17:

Číslo 750 vzniklo zaokrouhlením neznámého přirozeného čísla na desítky. Vypiš všechna

čísla, která mohla být tím neznámým číslem.

[745, 746, 747, 748, 749, 751, 752, 753, 754]

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C



Varianta A

a) Zaokrouhli na desítky: 234, 358, 492, 537, 1 673, 996

b) Zaokrouhli na stovky: 673, 1 972, 2 631, 12 784, 2 952, 32 098

c) Zaokrouhli na tisíce: 3 478, 502, 23 844, 8 545, 9 500, 323

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Zaokrouhli na desítky a stovky čísla: 21 548, 6 793, 40 176, 105 320, 885.

[desítky: 21 550, 6 790, 40 180, 105 320, 890]

[stovky: 21 500, 6 800, 40 200, 105 300, 900]

2) Zaokrouhli na desítky a stovky čísla: 99 611, 15 234, 419 907, 8 452, 329.

[desítky: 99 610, 15 230, 419 910, 8 450, 330]

[stovky: 99 600, 15 200, 419 900, 8 500, 300]

3) Zaokrouhli na stovky a tisíce čísla: 93 611, 54 234, 49 972, 82, 3 329.

[stovky: 93 600, 54 200, 50 000, 100, 3 300]

[tisíce: 94 000, 54 000, 50 000, 0, 3 000]

4) Zaokrouhli na stovky a tisíce čísla: 21 583, 3 739, 40 946, 105 606, 58.

[stovky: 21 600, 3 700, 40 900, 105 600, 100]

[tisíce: 22 000, 4 000, 41 000, 106 000, 0]


a) 234 = 230, 358 = 360, 492 = 490, 537 = 540, 1 673 = 1 670, 996 = 1 000

b) 673 = 700, 1 972 = 2 000, 2 631 = 2 600, 12 784 = 12 800, 2 952 = 3 000, 32 098 = 32 100

c) 3 478 = 3 000, 502 = 1 000, 23 844 = 24 000, 8 545 = 9 000, 9 500 = 10 000, 323 = 0



Varianta B

Zaokrouhli čísla 9 654 734 a 407 279 na stovky, tisíce a desetitisíce.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Zaokrouhli číslo 7 346 893 na stovky, tisíce a desetitisíce.

[7 346 900, 7 347 000, 7 350 000]

2) Zaokrouhli číslo 5 699 569 na stovky, tisíce a desetitisíce.

[5 699 600, 5 700 000, 5 700 000]

3) Zaokrouhli číslo 4 125 336 569 desetitisíce, statisíce a miliony.

[4 125 340 000, 4 125 300 000, 4 125 000 000]

4) Zaokrouhli číslo 2 533 256 762 desetitisíce, statisíce a miliony.

[2 533 260 000, 2 533 300 000, 2 533 000 000]

Stovky: tisíce: desetitisíce:

9 654 734 = 9 654 700 9 654 734 = 9 655 000 9 654 734 = 9 650 000

407 579 = 407 600 407 279 = 407 000 407 279 = 410 000



Varianta C

Napiš nejmenší a největší přirozené číslo, ze kterých po zaokrouhlení na stovky vznikne číslo

a) 800

b) 231 000.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Napiš nejmenší a největší přirozené číslo, ze kterého po zaokrouhlení na desítky vznikne

číslo 300. [295, 304]

2) Napiš nejmenší a největší přirozené číslo, ze kterého po zaokrouhlení na desítky vznikne

číslo 450. [445, 454]

3) Napiš nejmenší a největší přirozené číslo, ze kterého po zaokrouhlení na desetitisíce

vznikne číslo 20 000. [15 000, 24 999]

4) Napiš nejmenší a největší přirozené číslo, ze kterého po zaokrouhlení na desetitisíce

vznikne číslo 240 000. [235 000, 244 999]


a) nejmenší číslo: 750 největší: 849

b) nejmenší číslo: 230 950 největší: 231 049


Přirozená čísla

Sčítání přirozených čísel

Sčítáme-li přirozená čísla, pak tyto čísla nazýváme sčítance a jejich výsledek je součet.

234 + 1 866 = 2 100

sčítanec + sčítanec = součet

Pro všechna přirozená čísla a, b platí:

Kdyţ změníme pořadí sčítanců, součet se nezmění.

Pro všechna přirozená čísla a, b, c platí:

Sčítance můţeme libovolně sdružovat do skupin, součet se nezmění.

Pro kaţdé přirozené číslo a platí:

2 896 + 0 = 2 896

Velká čísla sčítáme pod sebou. Musíme dát pozor, abychom správně provedli zápis těchto

čísel pod sebou podle odpovídajících řádů.

749 8 452 2 386

356 4 378 64

1 105 12 830 2 450

419 2 809 77

3 890 789 673

56 11 98

4 365 3 609 2 001

2 849



Varianta A

Zvol vhodné pořadí sčítanců a vypočítej zpaměti:

a) 29 + 37 + 21 b) 123 + 85 + 27

c) 14 + 349 + 16 d) 543 + 125 + 75

e) 336 + 55 + 764 + 15 f) 89 + 302 + 61 + 108

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Sečtěte zpaměti.


a) 29 + 37 + 21 = 29 + 21 + 37 = 50 + 37 = 87

b) 123 + 85 + 27 = 123 + 27 + 85 = 150 + 85 = 235

c) 14 + 349 + 16 = 14 + 16 + 349 = 30 + 349 = 379

d) 543 + 125 + 75 = 543 + 200 = 743

e) 336 + 55 + 764 + 15 = 336 + 764 + 55 + 15 = 1 100 + 70 = 1 170

f) 89 + 302 + 61 + 108 = 89 + 61 + 302 + 108 = 150 + 410 = 560


2) Sečtěte zpaměti.

3) Sečtěte co nejvýhodněji zpaměti.

4) Sečtěte co nejvýhodněji zpaměti.



Varianta B

Sečti pod sebou čísla:

a) 78 324 + 794 b) 1 376 + 45 749

c) 2 148 + 76 + 58 983 d) 57 123 + 348 + 456 009

e) 66 + 6 666 + 666 + 66 666 f) 396 897 + 56 + 6 903 + 39 087

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


a) b) c)

79118

794

32478

12547

74945

3761

20761

98358

76

1482

d) e) f)

480513

009456

348

12357

06474

66666

666

6666

66

943442

08739

9036

56

897396



1) Sečtěte písemně.

a) b)

[a) 60 072, b) 106 074]


a) b)

[a) 100 237, b) 104 732]


a)

b)

[a) 789 189, b) 254 672]


a)

b)

[a) 670 156, b) 364 385]



Varianta C

Petr si šetří na počítač. Plánuje, kolik bude potřebovat peněz. Vybral si základní sestavu, která

je za cenu 23 990 Kč, za větší monitor připlatí 2 400 Kč, za DVD – RW zaplatí 3 200 Kč,

zvuková karta stojí 1 060 Kč a reproduktory 2 530 Kč.

Kolik bude Petra stát celé zařízení dohromady?

1) zápis úlohy

2) výpočet ceny celého počítače

3) odpověď

Základní sestava … 23 990 Kč

Příplatek za monitor … 2 400 Kč

DVD – RW … 3 200 Kč

Zvuková karta … 1 060Kč

Reproduktory … 2 530 Kč

Cena celé sestavy … x Kč

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

18033

5302

0601

2003

4002

99023

Cena celého počítačové sestavy je 33 180 Kč.



1) V továrně pracují na tři směny. V první směně pracuje 836 zaměstnanců, ve druhé směně

764 a ve třetí desetkrát méně neţ v první a druhé směně dohromady. Kolik zaměstnanců má

továrna? [1760 zaměstnanců]

2) Ve skladišti obchodu naloţili na dodávkové auto 10 beden po 25 kg, tisíc krabic po 200 g a

sto plechovek po 75 dkg. Kolik váţilo naloţené zboţí? [525 kg]

3) V roce 1978 byla průměrná roční spotřeba masa na jednoho obyvatele naší republiky 28 kg

90 dkg. V roce 1989 stoupla spotřeba o 1 320 dkg. V roce 1998 byla ještě o 12 kg 10 dkg

masa vyšší neţ v roce 1989. Jaká byla průměrná spotřeba masa na jednoho obyvatele v roce

1998? [54 kg 20 dkg ]

4) Pan Veselý si chtěl pořídit vlastní dům. Zjistil, ţe vyhlédnutý pozemek by stál 687 500 Kč.

Za stavbu domu „na klíč“ poţaduje stavební firma 1 350 000 Kč, za plot okolo pozemku a za

bezpečnostní zařízení by zaplatil asi 80 tisíc korun a úprava zahrady by stála přibliţně 65 000

Kč.

a) odhadni, zda by panu Veselému stačily na všechno 3 miliony

b) vypočítej, kolik by musel podle získaných informací celkem zaplatit.

[a) ano, b) 2 182 500 Kč]


Přirozená čísla

Odčítání přirozených čísel

Při odčítání přirozených čísel, nazýváme první číslo menšenec, druhé menšitel a výsledkem

je rozdíl.

756 – 76 = 680

menšenec – menšitel = rozdíl

680 + 76 = 756

Součet rozdílu a menšitele se rovná menšenci.

Velká čísla odčítáme pod sebou. Musíme dát pozor, abychom správně provedli zápis těchto

čísel pod sebou podle odpovídajících řádů.

749 8 452 2 386

- 356 - 4 378 - 64

393 4 074 2 322

Při odčítání přirozených čísel musíme dát pozor na pořadí čísel v zápisu.

Kdyţ změníme pořadí čísel, pak se rozdíl čísel změní.

Jestliţe při odčítání přirozených čísel se objeví znaménko minus před závorkou, pak se musí

při odstranění závorky všechna znaménka v závorce změnit v opačná.

Při sčítání můţeme závorky libovolně odstraňovat.



Varianta A

Zpaměti vypočítejte.

Zpaměti vypočítejte co nejvýhodněji.

a) b) c)


a)

b)

c)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C




1) Zpaměti vypočítejte.

2) Vypočtěte co nejvýhodněji.

[10, 300, 275]

3) Odečtěte a výsledek kontrolujte sčítáním.

4) Sečtěte a kontrolujte odečtením.



Varianta B

Odečtěte. Provádějte zkoušku sčítáním.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Odečtěte

[23 897, 12 036]

2) Odečtěte

[6 651, 103 043]

3) Vypočtěte menšitele, jestliţe menšenec je 1 010 101 a rozdíl 101 010.

[909 091]

4) Které číslo jsme odečetli od 119 103, jestliţe rozdíl je 18 025?

[101 078]


Zkouška:



Varianta C

Tatínek má průměrnou hrubou měsíční mzdu 22 830 Kč, maminka 19 960 Kč. Sečtěte a

odečtěte obě čísla. Co jste vypočítali?


22 830

19 960 42 790 Kč je celková hrubá mzda obou rodičů.

42 790

22 830

- 19 960 2 870 Kč je částka, o kterou má tatínek vyšší hrubou mzdu neţ maminka.

2 870

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C



1) Nejvyšší hora v Evropě je Elbrus je vysoká 5 633 m. Nejvyšší hora v Beskydech je o 4 309

m niţší neţ Elbrus a o 7 524 m niţší neţ nejvyšší hora světa Mount Everest.

a) určete výšku všech tří hor

b) vypočtěte, o kolik metrů je Mount Everest vyšší neţ Elbrus

c) znázorněte výšku hor úsečkami. (výšku 1 000 m = 1 cm)

[a) 5 633 m, 1 324 m, 8 848 m; b) 3 215 m]

2) Kdyţ vyjel autobus z města, bylo v něm 46 cestujících. Na první zastávce 9 cestujících

vystoupilo a 12 přistoupilo, na druhé zastávce 11 cestujících vystoupilo a 4 nastoupili. Kolik

cestujících pokračovalo v jízdě? [42]

3) Součet čísel 5 048 a 1 795 zmenšete o číslo, které je o 962 větší neţ rozdíl prvních dvou

čísel. [2 628]

4) Kdyţ k rozdílu čísel 1 704 a 654 přičtete rozdíl čísel 14 920 a 14 042, dostanete rok, ve

kterém byla vynalezena televize. Kolik roků znají lidé televizi?

[r.1928, 81 let]


Přirozená čísla

Násobení přirozených čísel

Přirozená čísla, která mezi sebou násobíme, nazýváme činitele, výsledek násobení nazýváme

součin.

200 . 40 = 8 000

činitel . činitel = součin

Pro všechna přirozená čísla a, b platí:

Kdyţ změníme pořadí činitelů, součin se nezmění.


Činitele můţeme libovolně sdruţovat, součin se nezmění.


Stejné činitele můţeme vytknout před závorku, součin se nezmění.

Pro kaţdé přirozené číslo a platí:

Násobení má přednost před sčítáním a odčítáním.


Násobení velkých čísel provádíme pod sebou.

814

. 692

1 6 2 8

7 3 2 6

4 8 8 4

5 6 3 2 8 8

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C



Varianta A

Vypočtěte.


Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Vynásobte zpaměti co nejvýhodněji:


2) Vynásobte zpaměti co nejvýhodněji:

3) Zručný pekař uplete ručně za hodinu 400 housek. Moderní stroj pracuje 25krát rychleji.

Kolik housek uplete za 4 hodiny stroj? [40 000]

4) Jaký výsledek dostanete, sečtete-li osmkrát číslo 35? [280]



Varianta B

Vynásobte písemně mezi sebou čísla 2 086 a 2 407.

Výsledek řešení

2 086

. 2 407

1 4 6 0 2

0 0 0 0

8 3 4 4

4 1 7 2

5 0 2 1 0 0 2

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Vynásobte písemně mezi sebou čísla 8 009 a 5 060. [40 525 540]

2) Vynásobte písemně mezi sebou čísla 92 307 a 54 026. [4 986 978 000]

3) Vypočtěte: [64 647]

4) Vypočtěte: [106 862]



Varianta C

Řidič autobusu najezdí týdně průměrně 427 km. Kolik kilometrů najezdil za rok, kdyţ měl 4

týdny dovolené a jindy v práci nechyběl?

1 týden … 427 km

1 rok … x km

4 týdny volna

1 rok = 52 týdnů

52 týdnů – 4 týdny = 48 pracovních týdnů

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Stavební firma potřebuje přivézt z nádraţí 45 ocelových nosníků. Kaţdý nosník má

hmotnost 82 kg. Stavbyvedoucí pro tento náklad můţe poslat malé auto, které uveze 3 tuny,

nebo větší, které uveze 8 tun. Které auto má pro náklad poslat, aby náklad přivezl najednou?

[3 690 kg, velké auto]

2) Na koncert bylo prodáno 178 vstupenek po 560 Kč, 239 vstupenek po 350 Kč a 613

vstupenek po 195 Kč. Jaká byla celková trţba za vstupenky? [302 865 Kč]

3) Ve školní jídelně obědvá 476 ţáků a 38 učitelů. Pro jednu osobu se počítá na oběd 90

gramů mouky a 70 gramů masa. Kolik kilogramů a dekagramů mouky a masa se spotřebuje

pro všechny strávníky na jeden oběd?

[mouky 46 kg a 26 dkg; masa 35 kg a 98 dkg]

4) Kolik korun by ušetřil za 15 let kuřák, který vykouří denně krabičku cigaret? Průměrná

cena krabičky cigaret je 60 Kč. [328 500 Kč]


Řidič autobusu najezdí za rok 20 496 km.


Přirozená čísla

Dělení přirozených čísel

Přirozená čísla, která mezi sebou dělíme, nazýváme dělenec, dělitel a výsledkem dělení je

podíl.

65 : 5 = 13

dělenec : dělitel = podíl

Součin podílu a dělitele se rovná dělenci.

Dělení má přednost před sčítáním i odčítáním.

Nulou se dělit nedá!

540 0 =

Dělení má přednost před sčítáním a odčítáním.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C



Varianta A

Vypočtěte:


Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Vypočtěte.


2) Vypočtěte.

3) Vypočtěte.

4) Vypočtěte.



Varianta B

Proveďte dělení čísla 501 číslem 29.

8

211

1729501

Při tomto dělení dostáváme neúplný podíl a zbytek.

Neúplný podíl = 17

Zbytek = 8

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Vypočtěte.

[43 zb.4; 65 zb.65]

2) Vypočtěte.

[50 zb.100; 722 zb.30]

3) Dělíme-li číslo 118 jistým dělitelem, dostaneme neúplný podíl 5 a zbytek 13. Jaké číslo je

dělitelem? [21]

4) Dělenec je jisté číslo, dělitelem je číslo 76, neúplný podíl je 105 a zbytek 37. Jaké číslo je

dělencem? [8 017]



Varianta C

Při spotřebě 1 litru benzinu ujede auto Škoda Octavia přibliţně 22 km. Kolik litrů benzinu

spotřebuje na cestě a) 154 km b) z místa školy do hlavního města?

1 litr … 22 km

x litrů … 154 km

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Tropická tráva bambus vyroste asi za 50 dní do výše aţ 20 metrů. Kolik centimetrů vyroste

přibliţně za den? [40 cm]

2) Na postavení cihlového domu je třeba 130 000 cihel. Cihly budeme přiváţet třemi auty, na

kaţdé z nich se vejde 850 cihel. Kolikrát musí přijet najednou všechny tři auta, aby dovezly

potřebné mnoţství cihel? [auta musí přijet 51x]

3) Z vesnice do města jsou 3 km. Cyklista dojel tam a zpět za 39 minut, přitom se v městě

zdrţel čtvrt hodiny. Jakou průměrnou rychlosti jel? [15 km/h]

4) V zahradnictví je ovocná zahrada, která obsahuje 65 jabloní, na podzim se průměrně

z kaţdé jabloně sklidilo 14 kg jablek. Zahradnictví si ponechalo 410 kg jablek a ostatní

prodali.

a) Kolik kilogramů jablek sadaři prodali?

b) Kolik korun dostali sadaři za jablka, jestliţe 1 kg prodali za 16 Kč?

[a) 500 kg, 8000 Kč]


Auto spotřebuje na vzdálenost 154 km 7 litrů benzinu.


Desetinná čísla a zlomky

Zlomky

Zlomek je speciální zápis čísla v podílovém tvaru. Zlomek nám vyjadřuje část celku. Zlomek

obsahuje čitatele a jmenovatele, kteří jsou od sebe odděleni zlomkovou čarou.

1 čitatel

zlomková čára

4 jmenovatel

Zlomky, které mají stejné jmenovatele, sčítáme tak, ţe čitatele sečteme a jmenovatele

opíšeme.

jeden celek

dvě poloviny celku

tři třetiny celku

čtyři čtvrtiny celku

pět pětin celku

deset desetin celku


Zlomky

Varianta A

Na místo otazníků napiš správná čísla.


Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Sečti zlomky

[

]

2) Sečti zlomky

[

]

3) Sečti zlomky a zjednoduš je.

[

]

4) Sečti zlomky a zjednoduš je.

[

]


Zlomky

Varianta B

Chlapec chodí do školy pěšky a cesta mu trvá 30 minut. Jakou část cesty ujde za 1 minutu, za

5 minut, za 20 minut.

Celá 1 cesta trvá 30 minut.

Část x ujde za 1 minutu, 5 minut, 20 minut


Chlapec za 1 minutu ujde

cesty, za 5 minut ujde

cesty a za 20 minut ujde

.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Ţákyně přečetla knihu za 7 dní. Jakou část knihy přečetla za den, jestliţe přečetla kaţdý

den stejný počet stran? [

]

2) Šestnáct kusů vajec je roven přesně 1 kilogramu. Vyjádřete v gramech průměrnou váhu

jednoho vejce. [

]

3) Celek jsme rozdělili na 15 stejných dílů. Zapište zlomkem 7 těchto dílů. [

]

4) Malá Veronika vybrala na dárky rodičů

úspor. Jaká část úspor jí ještě zbyla? [

]


Zlomky

Varianta C

Traktorista zoral obdélníkové pole za 6 hodin. Zvolte si vhodné měřítko a nakreslete pole a

vyznačte část, kterou zoral za 4 hodiny.


Traktorista za 4 hodiny zoral

pole.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Litrový hrnek je plný vody. Kolik litrů vody musíme vylít, aby jí v hrnku zůstalo

litru?

[

litru]

2) Vyjádřete menšími jednotkami.

[75 cm, 5 g, 140 m, 45 minut, 50 haléřů, 8 měsíců]

Zoraná část pole za 4 hodiny


3) Vyjádřete většími jednotkami.

56 cm, 7 kg, 30 minut, 1 měsíc, 127 m, 4 q

[

4) Kniha má 128 stran a Jitka ji chce přečíst za 2 dny. První den přečetla

knihy. Kolik stran

jí zbylo na druhý den? [48 stran]



Desetinná čísla a jejich znázornění

Desetinná čísla, jsou čísla, která ve svém zápise obsahují desetinnou čárku.

Kaţdý zlomek se dá vyjádřit desetinným číslem.

Zlomky Desetinná čísla

0,3 nula celá tři desetiny

0,47 nula celá čtyřicet sedm setin (nula celá čtyři desetiny sedm setin)

0,5 nula celá pět desetin

0,25 nula celá dvacet pět setin (nula celá dvě desetiny pět setin)

0,2 nula celá dvě desetiny

0,1 nula celá jedna desetina

0,01 nula celá jedna setina

Porovnávání desetinných čísel

Desetinná čísla mezi sebou porovnáváme podle velikosti, podobně jako čísla přirozená.

Které číslo je větší?

7,26 nebo 7,23

Jelikoţ počet setin se v desetinných číslech různí a platí, ţe , pak i .

7 , 2 6

7 , 2 3

Počet jednotek: stejný

Počet setin: různý Počet desetin: stejný


Zaokrouhlování desetinných čísel.

Desetinná čísla zaokrouhlujeme obdobným způsobem, jako čísla přirozená. Záleţí, na kolik

desetinných míst máme číslo zaokrouhlit.

Při zaokrouhlování na jednotky, rozhoduje číslo umístěné za desetinnou čárkou na místě

desetin.

kdyţ je na místě desetin číslice 0, 1, 2, 3, 4 zaokrouhlujeme DOLŮ

kdyţ je na místě desetin číslice 5, 6, 7, 8, 9 zaokrouhlujeme NAHORU

Pokud připíšeme nulu na konec čísla za desetinnou čárku, hodnota desetinného čísla se

nezmění.

0,4 = 0,40

0,236 = 0,2360

8,2 = 8,20

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C



Varianta A

Zapiš jako desetinná čísla:

A

B


A

B

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Zapiš pomocí zlomku se jmenovatelem 10, nebo 100.

a) 0,3 b) 0,6 c) 0,32 d) 0,05 e) 0,03 f) 0,75

[

]


a) 0,33 b) 0,7 c) 0,45 d) 0,25 e) 0,4 f) 0,99

[

]


a) 1,3 b) 10,6 c) 42,2 d) 3,05 e) 8,03 f) 1,75

[

]


a) 3,33 b) 2,7 c) 1,45 d) 5,25 e) 58,4 f) 6,99

[

]



Varianta B

Uspořádejte čísla podle velikosti od nejmenšího po největší:

4,8 3,65 2 2,2 4,68 3,54 4,07 2,09 3,44


Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Uspořádejte čísla podle velikosti od nejmenšího po největší:

1,8 1,65 1,2 2,02 2,68 4,54 5,07 3,09 3,41

[ ]

2) Uspořádejte čísla podle velikosti od nejmenšího po největší:

5,02 5,12 5,98 4,18 5,68 3,94 5,17 3,9 4,14

[ ]

3) Uspořádejte čísla podle velikosti od největšího po nejmenší:

123,56 145,69 85,96 536,04 138,29 145,91 123,87 147,09 535,99

[ ]

4) Uspořádejte čísla podle velikosti od největšího po nejmenší:

863,02 752,92 685,8 694,18 755,75 863,94 684,9 802,9 555,55

[ ]



Varianta C

1) Zaokrouhli na jednotky čísla:

5,42 18,23 1,78 10,81 109,8 17,49 83,7 619,09 14,77


[ ]

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C



5,02 8,2 12,98 6,8 105,68 13,94 25,17 69,9 14,14

[ ]


15,3 4,09 17,6 1,2 25,5 2,49 172,81 9,09 38,38

[ ]


123,56 145,69 85,96 536,04 138,29 145,91 123,47 147,09 535,99

[ ]


863,02 752,92 685,8 694,18 755,75 863,94 684,9 802,9 555,55

[ ]



Sčítání a odčítání desetinných čísel

Při písemném sčítání a odčítání desetinných čísel, musí být jednotky, desítky, stovky a také

desetiny, setiny, tisíciny pod sebou.

23,67 120,58 46,75 167,84

52,38 34,4 - 24,7 - 70,02

76,05 154,98 22,05 97,82

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C



Varianta A

Vypočítej zpaměti:

a) c) e)

b) d) f)


[a) 15,9 b) 12 c) 12,1 d) 13,8 e) 44,3 f) 22,1]

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Vypočítejte zpaměti:

a) b) c) d)

[a) 28,1 b) 10,1 c) 0,28 d) 0,32]


a) b) c) d)

[a) 8 b) 13,77 c) 1,05 d) 0,75]


a) b) c) d)

[a) 4,2 b) 1,4 c) 17,6 d) 4,2]


a) b) c) d)

[a) 6,1 b) 2,2 c) 4,7 d) 0,5]



Varianta B

Počítejte výhodně zpaměti:

a) b) c)


a)

b)

c)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Počítejte výhodně zpaměti:

a) b) c)

[a) 5 b) 6,6 c) 10]

2) Počítejte výhodně zpaměti:

a) b) c)

[a) 3,1 b) 1,42 c) 7,73]


3) Vypočítejte písemně.

a) b)

c) d)

[a) 6,27 b) 0,5 c) 4,6 d) 106,56]

4) Vypočítejte písemně.

a) b)

c) d)

[a) 25,03 b) 106,99 c) 18,51 d) 5,62]



Varianta C

Mosazný odlitek váţil 2,07 kg, píst z něho vybroušený váţil 1,65 kg. Kolik kilogramů mosazi

odpadlo broušením?

Odlitek … 2,07 kg

Píst … 1,65 kg

Odpad … x kg

Při broušení mosazného odlitku odpadlo 0,42 kg mosazi.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Kouřová roura do komína má délku 0,9 m. Jak dlouhou rouru dostaneme, spojíme-li čtyři

díly roury, kdyţ na zasunutí počítáme 0,09 m? [3,33 m]

2) Kolik kilogramů masa je v konzervě, je-li její čistá váha 800 gramů a konzerva obsahuje

0,05 kg tuku a 0,5 kg rýţe. [0,25 kg]

3) Stavební firma staví rodinný domek na parcele . Podle plánku bude dům na ploše

, chodník zabere a dvorek . Kolik metrů čtverečních zbude na zahradu?

[ ]

4) Ve dvou nádobách bylo dohromady 0,6 hl benzinu. Kdyţ přelili z první nádoby do druhé

0,05 hl, bylo v obou nádobách stejné mnoţství benzinu. Kolik hektolitrů benzinu bylo

původně v kaţdé nádobě?

[ ]


Desetinná čísla I

Tisíciny i miliontiny

0,1 nula celá jedna desetina

0,01 nula celá jedna setina

0,001 nula celá jedna tisícina

0,000 1 nula celá jedna desítitisícina

0,000 01 nula celá jeda stotisícina

0,000 001 nula celá jedna miliontina

4 523,967 281

Čtyři tisíce pět set dvacet tři celých devět desetin šest setin sedm tisícin dvě desítitisíciny osm

stotisícin jedna miliontina.

Čtyři tisíce pět set dvacet tři celých devět set šedesát sedm tisíc dvě sta osmdesát jedna

miliontin.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


Tisíciny a miliontiny

Varianta A

Zapiš slovy desetinné číslo:

0,03 0,008 0,58 0,045 0,000 2 0,000 12 0,000 007


0,03 – nula celá tři setiny

0,008 – nula celá osm tisícin

0,58 – nula celá padesát osm setin

0,045 – nula celá čtyřicet pět tisícin

0,000 2 – nula celá dvě desítitisíciny

0,000 12 – nula celá dvanáct statisícin

0,000 007 – nula celá sedm miliontin

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Zapiš slovy desetinné číslo.

0,8 0,006 5,78 0,005 1 1,025 2 0,000 04 0,000 032

[nula celá osm desetin, nula celá šest tisícin, pět celých sedmdesát osm setin, nula celá

padesát jedna desítitisícin, jedna celá dvě sta padesát dva desítitisícin, nula celá čtyři

stotisíciny, nula celá třicet dva miliontin]


2) Zapiš slovy desetinné číslo.

0,48 0,106 2,078 7,000 1 1,020 54 0,200 04 0,000 005

[nula celá čtyřicet osm setin, nula celá sto šest tisícin, dvě celé sedmdesát osm tisícin, sedm

celé jedna desítitisícina, jedna celá dva tisíce padesát čtyři statisícin, nula celá dvacet tisíc

čtyři statisícin, nula celá pět miliontin]

3) Zapiš slovy zlomek.

[šest desetin, čtyřicet osm setin, sedm setin, padesát tři tisíciny, osm set dvanáct desítitisícin,

devět set šedesát tři statisícin, jedenáct miliontin]

4) Zapiš slovy zlomek.

[čtyři desetiny, osmdesát osm setin, tři setiny, osmdesát tři tisíciny, dvě sta dvanáct

desítitisícin, sedm set třináct statisícin, devadesát jedna miliontin]



Varianta B

Přepiš zlomek do desetinného čísla.


[0,7; 0,12; 0,09; 0,078; 0,012 3; 0,003 56; 0,000 036]

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Přepiš zlomek do desetinného čísla:

[0,2; 0,42; 0,05; 0,065; 0,080 2; 0,005 73; 0,000 024]


[0,5; 0,22; 0,09; 0,035; 0,072 3; 0,002 53; 0,000 038]



[1,5; 2,32; 14,99; 1,365; 0,000 3; 0,224 15; 0,000 008]


[3,5; 3,32; 15,01; 1,005; 0,000 4; 0,260 15; 0,000 005]



Varianta C

Zapiš desetinné číslo pomocí zlomku.

a) 0,3 b) 0,75 c) 0,126 d) 0,205 e) 0,06 f) 0,008


a)

b)

c)

d)

e)

f)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Zapiš desetinné číslo pomocí zlomku.

a) 0,7 b) 0,62 c) 0,652 d) 0,005 e) 0,082

[a)

b)

c)

d)

e)

]


a) 0,41 b) 0,2 c) 0,262 d) 0,03 e) 0,009

[a)

b)

c)

d)

e)

]


a) 5,7 b) 12,2 c) 2,882 d) 5,005 e) 62,000 62

[a)

b)

c)

d)

e)

]


a) 2,41 b) 75,2 c) 82,002 d) 10,08 e) 2,009 4

[a)

b)

c)

d)

e)

]




Desetinná čísla znázorňujeme na číselné ose. Na číselné ose jsou čísla uspořádaná podle

velikosti, číslo vlevo je vţdy menší neţ číslo vpravo.

Desetinná čísla porovnáváme tak, ţe srovnáváme jejich jednotlivé řády.

Pokud připíšeme nulu na konec čísla za desetinnou čárku, hodnota desetinného čísla se

nezmění.

0,5 = 0,50

0,45= 0,450

12,26 = 12,260

Jelikoţ počet tisícin se v desetinných číslech různí a platí, ţe 7 > 0, pak i 8,237 > 8,23.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

8 , 2 3

8 , 2 3 7

Počet jednotek: stejný Počet tisícin: různý

Počet desetin: stejný Počet setin: stejný

45,46

45,45 45,47

45,5

45,53

45,54

45,55

45,56

45,57

45,58 45,48 45,6



Varianta A

Napiš místo otazníků takovou číslici, abys dostal nejmenší číslo, pro které platí:

a) c)

b) d)


a) c)

b) d)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Napiš místo otazníků takovou číslici, abys dostal nejmenší číslo, pro které platí:

a) c)

b) d)

[a) 7 b) 4 c) 9 d) 3 ]

2) Napiš místo otazníků takovou číslici, abys dostal nejmenší číslo, pro které platí:

a) c)

b) d)

[a) 6 b) 8 c) 3 d) 3 ]


3) Napiš místo otazníků takovou číslici, abys dostal největší číslo, pro které platí:

a) c)

b) d)

[a) 4 b) 5 c) 8 d) 0 ]

4) Napiš místo otazníků takovou číslici, abys dostal největší číslo, pro které platí:

a) c)

b) d)

[a) 4 b) 1 c) 7 d) 3 ]



Varianta B

Porovnávejte desetinná čísla podle velikosti

a) b) c)


a) b) c)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Porovnávejte desetinná čísla podle velikosti

a) b) c)

[a) b) c) ]


a) b) c)

[a) b) c) ]



a) b) c)

[a) b) c) ]


a) b) c)

[a) b) c) ]



Varianta C

Napište všechna přirozená čísla, která leţí na číselné ose mezi čísly 1,5 a 6,65.


Mezi desetinnými čísly 1,5 a 6,65 leţí tato přirozená čísla: 2; 3; 4; 5; 6

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Napište všechna přirozená čísla, která leţí na reálné ose mezi čísly 15,8 a 22,3.

[16; 17; 18; 19; 20; 21; 22]

2) Napište všechna přirozená čísla, která leţí na reálné ose mezi čísly 0,2 a 5,5.

[1; 2; 3; 4; 5]

3) Vypište všechna čísla, která jsou větší neţ číslo 3,36 a menší neţ číslo 3,42.

[3,37; 3,38; 3,39; 3,40; 3,41]

4) Vypište všechna čísla, která jsou větší neţ číslo 9,65 a menší neţ číslo 9,74.

[9,66; 9,67; 9,68; 9,69; 9,70; 9,71; 9,72; 9,73]

1 1,5 2 3 4 5 6 7 3,5 2,5 4,5 5,5 6,5 7,5

6,65



Zaokrouhlování desetinných čísel

Při zaokrouhlování desetinných čísel dodrţujeme stejný postup jako u přirozených čísel.

Zaokrouhlujeme vţdy podle číslice, která následuje vpravo.

Pokud chceme například zaokrouhlovat na setiny, je důleţitá číslice na místě tisícin.

Pokud má tato číslice hodnotu 0, 1, 2, 3, 4, pak číslo zaokrouhlujeme DOLŮ

Pokud má tato číslice hodnotu 5, 6, 7, 8, 9, pak číslo zaokrouhlujeme NAHORU

8, 2 3 7 6 .

8,24

8, 7 2 3 9.

8,72

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C



Varianta A

Zaokrouhli na jednotky čísla.

a) 2,3 b) 5,6 c) 18,6 d) 354,4 e) 159 f) 599,5


a) 2 b) 6 c) 19 d) 354 e) 159 f) 600

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Zaokrouhli na jednotky čísla.

a) 6,1 b) 98,7 c) 0,3 d) 892,8 e) 1,6 f) 289,6

[a) 6 b) 99 c) 0 d) 893 e) 2 f) 290]


a) 25,9 b) 9,7 c) 0,6 d) 89,6 e) 2,4 f) 20,6

[a) 26 b) 10 c) 1 d) 90 e) 2 f) 21]


a) 5,21 b) 9,63 c) 0,83 d) 59,08 e) 1,99 f) 2,62

[a) 5 b) 10 c) 1 d) 59 e) 2 f) 3]


a) 3,49 b) 5,07 c) 79,51 d) 18,38 e) 2,65 f) 0,62

[a) 3 b) 5 c) 80 d) 18 e) 3 f) 1]



Varianta B

Zaokrouhli na desetiny čísla.

a) 2,36 b) 5,67 c) 18,69 d) 354,42 e) 159,31 f) 599,52


a) 2,4 b) 5,7 c) 18,7 d) 354,4 e) 159,3 f) 599,5

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Zaokrouhli na desetiny čísla.

a) 6,19 b) 98,75 c) 0,38 d) 892,81 e) 1,66 f) 289,64

[a) 6,2 b) 98,8 c) 0,4 d) 892,8 e) 1,7 f) 289,7]


a) 25,93 b) 9,77 c) 0,68 d) 89,62 e) 2,44 f) 20,65

[a) 25,9 b) 9,8 c) 0,7 d) 89,7 e) 2,4 f) 20,7]


a) 5,216 b) 9,634 c) 0,893 d) 59,087 e) 1,999 f) 2,623

[a) 5,2 b) 9,6 c) 0,9 d) 59,1 e) 2 f) 2,6]


a) 3,498 b) 5,017 c) 79,515 d) 18,384 e) 2,655 f) 0,629

[a) 3,5 b) 5 c) 79,5 d) 18,4 e) 2,7 f) 0,6]



Varianta C

Zaokrouhli na setiny čísla.

a) 2,368 b) 5,672 c) 18,693 d) 35,472 e) 9,319 f) 99,995


a) 2,37 b) 5,67 c) 18,69 d) 35,47 e) 9,32 f) 100

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Zaokrouhli na setiny čísla.

a) 6,195 b) 98,754 c) 0,388 d) 82,812 e) 1,667 f) 9,643

[a) 6,2 b) 98,75 c) 0,39 d) 82,81 e) 1,67 f) 9,64]

2) Zaokrouhli na setiny čísla.

a) 25,938 b) 9,727 c) 0,698 d) 89,682 e) 2,496 f) 20,675

[a) 25,94 b) 9,73 c) 0,7 d) 89,68 e) 2,5 f) 20,68]

3) Zaokrouhli na tisíciny čísla.

a) 5,2167 b) 9,6348 c) 0,8396 d) 59,0807 e) 1,9099 f) 2,6235

[a) 5,217 b) 9,635 c) 0,84 d) 59,081 e) 1,91 f) 2,624]

4) Zaokrouhli na tisíciny čísla.

a) 3,4984 b) 5,0107 c) 79,5015 d) 18,3848 e) 2,6595 f) 0,6295

[a) 3,498 b) 5,011 c) 79,502 d) 18,385 e) 2,66 f) 0,63]



Sčítání desetinných čísel

Při písemném sčítání desetinných čísel musíme dbát na to, aby desetinné čárky byly pod

sebou. Pokud u některého desetinného čísla chybí řády za desetinnou čárkou, můţeme na

jejich místo dopsat nuly.

Úloha 1:

Sečti tato tři desetinná čísla, 6,8 + 29,36 + 0,005

6,8 6,8 0 0

29,36 29,3 6 0

0,005 0,0 0 5

? ? ? ? 36,1 6 5

Desetinou čárku ve výsledku umísťujeme přesně pod desetinné čárky jednotlivých čísel ve

sloupci.

Kdyţ změníme pořadí sčítanců, součet se nezmění.

Sčítance můţeme libovolně sdruţovat do skupin, součet se nezmění.

Smíšené číslo

Je to číslo, které se skládá ze zlomku a přirozeného čísla.

- tři a jedna čtvrtina

- pět a tři čtvrtiny



Varianta A

Sečti desetinná čísla:

a) b) c) d)


[a) b) c) d) ]

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Vypočítej:

a) b) c)

[a) 10,18; b) 14,43; c) 0,32]

2) Vypočítej:

a) b) c)

[a) 9,74; b) 1,33; c) 13,86]

3) Vypočítej:

a) b) c)

[a) 0,34; b) 5,972; c) 10,512]

4) Vypočítej:

a) b) c)

[a) 0,288; b) 44,25; c) 86,001]



Varianta B

Sečti co nejvýhodněji desetinná čísla:

a) b) c) d)


a)

b)

c)

d)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Vypočítej co nejvýhodněji desetinná čísla:

a) b) c)

[a) 16,7; b) 9,89; c) 11,12]

2) Vypočítej co nejvýhodněji desetinná čísla:

a) b) c)

[a) 11,72; b) 17,76; c) 9,86]

3 ) Vypočítej:

a) b) c)

[a) 819,186; b) 808,837; c) 18,983]

4) Vypočítej:

a) b) c)

[a) 709,78; b) 1 000,095; c) 1011,266]



Varianta C

Zapiš desetinnými čísly

a)

b)

c)

d)


a)

b)

c)

d)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Zapiš desetinnými čísly

a)

b)

c)

d)

[a) 27,2; b) 14,75; c) 10,5; d) 59,25]

2) Zapiš desetinnými čísly

a)

b)

c)

d)

[a) 12,25; b) 34,5; c) 15,75; d) 67,2]

3) Vypočítej:

a) součet čísel 3,45 a 1,09 zvětšený o číslo 0,7

b) součet čísel 7,38 a 0,013 zvětšený o číslo 1,02

[a) 5,24; b) 8,413]

4) Vypočítej:

a) součet čísel 9,76 a 8,14 zvětšený o číslo 0,04,

b) součet čísel 3,473 a 0,017 zvětšený o číslo 11,08

[a) 17,94; b) 14,57]



Odčítání desetinných čísel

Při písemném odčítání desetinných čísel musíme dbát na to, aby desetinné čárky byly pod

sebou. Pokud u některého desetinného čísla chybí řády za desetinnou čárkou, můţeme na

jejich místo dopsat nuly.

Zkoušku správnosti výsledku při odčítání provedeme sečtením rozdílu a menšitele, výsledkem

je pak menšenec.

Úloha 2:

Odečti tato dvě desetinná čísla, 36,8 - 9,36

36,8 36,8 0

- 9,36 - 9,3 6

? ? ? 27,4 4

Desetinou čárku ve výsledku umísťujeme přesně pod desetinné čárky jednotlivých čísel ve

sloupci.

Dvě rady pro odčítání:

I. Výrazy bez závorek počítáme postupně zleva doprava.

II. Výraz se závorkami počítáme tak, ţe nejprve vypočítáme výraz v závorce.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C



Varianta A

Odečti desetinná čísla zpaměti:

a) b) c) d)


[a) b) c) d) ]

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Odečti desetinná čísla zpaměti:

a) b) c) d)

[a) b) c) 6,01 d) 40,4]

2) Odečti desetinná čísla zpaměti:

a) b) c) d)

[a) b) c) 16,03 d) 1,2]

3) Odečti desetinná čísla:

a) b) c) d)

[a) b) c) 1,591 d) 9,92]

4) Odečti desetinná čísla:

a) b) c) d)

[a) b) c) d) ]



Varianta B

Vypočítej:

a) b) c)


a)

b)

c)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Vypočítej:

a) b) c)

[a) b) c) ]

2) Vypočítej:

a) b) c)

[a) b) c) ]

3) Vypočítej:

a) b)

[a) b) ]

4) Vypočítej:

a) b)

[a) b) ]



Varianta C

Vypočítej:


Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Vypočítej:

[8,87]

2) Vypočítej:

[8,39]

3) Vypočítej:

[46,162]

4) Vypočítej:

[15,42]


Desetinná čísla II

Násobení desetinného čísla přirozeným číslem


Vynásobíme obě čísla pod sebou, desetinnou čárku prozatím neumísťujeme.

Ve výsledku oddělíme odzadu tolik desetinných míst, kolik jich má desetinné číslo, které

násobíme: 62,5


Úloha 1:

Vynásob desetinné číslo přirozeným.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C



Varianta A

Počítej zpaměti:

a) b) c) d) e)


a) b) c) d) e)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Počítej zpaměti:

a) b) c) d)

[a) 3; b) 120; c) 21,2; d) 88]


a) b) c) d)

[a) 3; b) 120; c) 21,5; d) 77]


a) b) c) d)

[a) 56; b) 56; c) 49; d) 20,1]


a) b) c) d)

[a) 48; b) 48; c) 64; d) 8,2]



Varianta B

Napiš znak nerovnosti.

a) b) c)


a) b) c)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Napiš znak nerovnosti.

a) b) c)

[a) ; b) ; c) ]


a) b) c)

[a) ; b) ; c) ]


a) b) c)

[a) ; b) ; c) ]


a) b) c)

[a) ; b) ; c) ]



Varianta C

V továrně na výrobu ovocných kompotů vyrobí za rok 1 200 tun kompotů. Na 1 kg kompotu

spotřebují 0,48 kg cukru. Kolik metrických centů cukru spotřebovali na vyrobené ovocné

kompoty?

Za 1 rok … 1 200 tun = 1 200 000 kg

Na 1 kg … 0,48 kg cukru.

Celkem cukru … x kg

Za rok spotřebuje továrna 576 metrických centů cukru k výrobě 1 200 tun kompotu.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Kurzovní lístek eura ve směnárně je 1euro za 26,82 Kč. Kolik českých korun musím mít,

abych si mohl vyměnit 975 euro. Výsledek správně zaokrouhlete. [26 150 Kč]

2) Země se pohybuje kolem Slunce rychlostí 29,8 km/s. Jakou dráhu urazí Země kolem

Slunce za hodinu? [107 280 km]

3) Vypočtěte součet trojnásobku a sedminásobku čísla 37,029. [370,29]

4) Vypočtěte rozdíl čtrnáctinásobku a čtyřnásobku čísla 0,24. [2,4]



Násobení desetinného čísla desetinným číslem

Násobení desetinného čísla desetinným číslem:

Vynásobíme obě čísla pod sebou, desetinnou čárku prozatím neumísťujeme.

Desetinnou čárku umístíme tak, aby se počet desetinných míst v součinu rovnal součtu počtů

desetinných míst v činitelích:

Násobení desetinných čísel má stejné vlastnosti jako násobení přirozených čísel:

Kdyţ změníme pořadí činitelů, součin se nezmění.

Činitele můţeme libovolně sdružovat, součin se nezmění.

Stejné činitele můţeme vytknout před závorku, součin se nezmění.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C



Varianta A

Vypočítej zpaměti:

a) b) c) d) e)


a)

b)

c)

d)

e)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Vypočítej zpaměti:

a) b) c) d)

[a) 0,81; b) 0,9; c) 1,286; d) 0,003]

2) Vypočítej zpaměti:

a) b) c) d)

[a) 0,49; b) 1,3; c) 1,969; d) 0,0021]

3) Vypočítej co nejvýhodněji zpaměti:

a) b) c) d)

[a) 0,081; b) 0,06; c) 8,05; d) 0,0106]

4) Vypočítej co nejvýhodněji zpaměti:

a) b) c) d)

[a) 0,128; b) 1,004; c) 0,601; d) 5,05]



Varianta B

Vypočítej:


Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Vypočítej a zaokrouhli na setiny: [10529,33]

2) Vypočítej a zaokrouhli na jednotky: [33951]

3) Vypočítej a zaokrouhli na tisíciny: [0,314]

4) Vypočítej a zaokrouhli na tisíciny: [0,034]



Varianta C

Vypočítej povrch kvádru, který má rozměry . Výsledek zaokrouhli na

setiny.


Povrch kvádru je roven .

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Chceme vytapetovat obývací pokoj, jehoţ půdorys má tvar obdélníku s rozměry

výška stropu je . (strop a podlahu tapetovat nebudeme). Kolik metrů tapety

budeme potřebovat, jestliţe šířka tapety je . (výsledek zaokrouhlete) [44 m]

2) Chceme obloţit koupelnu dlaţdicemi, půdorys koupelny má tvar obdélníku s rozměry

výška stropu je . (strop obkládat nebudeme). Kolik metrů čtverečních dlaţdic

budeme potřebovat. (výsledek zaokrouhlete na jednotky) [ ]

3) Vypočítej:

a) b)

[a) 6 623,3; b) 46,016]

4) Vypočítej:

a) b)

[a) 2,4004; b) 13,975]



Dělení desetinného čísla přirozeným číslem

Dělení desetinného čísla přirozeným číslem:

Desetinnou čárku zapíšeme do podílu ihned potom, jakmile ji překročíme v dělenci:

Kontrola výsledků při dělení:

Kontrolu provedeme tak, ţe podíl vynásobíme dělitelem a výsledkem musí být dělenec.

dělenec dělitel podíl

podíl dělitel dělenec

Úloha 2:

Vypočtěte:

Podle potřeby při výpočtu doplňujeme za desetinnou čárkou nuly. Mezi dělencem a znakem

dělení si necháváme větší mezeru.


Dělení se zbytkem:

Počítáme podíl na JEDNOTKY

Počítáme podíl na DESETINY (na jedno desetinné místo)

Počítáme podíl na SETINY (na dvě desetinná místa)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C



Varianta A

Dělte zpaměti:

a) b) c) d) e)


a) b) c)

f) e)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Dělte zpaměti:

a) b) c) d) e)

[a) b) c) d) e) ]

2) Dělte zpaměti:

a) b) c) d) e)

[a) b) c) d) e) ]

3) Vypočítej a proveďte zkoušku násobením:

a) b) c) d) e)

[a) b) c) d) e) ]

4) Vypočítej a proveďte zkoušku násobením:

a) b) c) d) e)

[a) b) c) d) e) ]



Varianta B

Dělte a výsledek zaokrouhlete na setiny:


Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Dělte a výsledek zaokrouhlete na setiny: [86,24]

2) Dělte a výsledek zaokrouhlete na setiny: [36,82]

3) Dělte a výsledek zaokrouhlete na desetiny: [987,3]

4) Dělte a výsledek zaokrouhlete na desetiny: [652,3]



Varianta C

Tloušťka knihy bez desek je 2,4 cm, kniha má 457 stran. Jaká je přibliţná tloušťka jednoho

listu knihy (výsledek zaokrouhlete na desítitisíciny)?


Přibliţná tloušťka jednoho listu knihy je 0,005 2 cm.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Jeden list kancelářského papíru má hmotnost 80 mg. Kolik kusů listů papíru bude v balíku,

jehoţ hmotnost je 0,5 kg? [6 250]

2) Jeden list tvrdého papíru má hmotnost 125 mg. Kolik kusů listů papíru bude v balíku, jehoţ

hmotnost je 0,8 kg? [6 400]

3) Vypočtěte:

[134,14]

4) Vypočtěte:

[111,09]



Dělení desetinného čísla desetinným číslem

Dělence i dělitele násobíme takovým číslem (10, 100, 1 000, …), aby dělitel byl přirozené

číslo.

Kdyţ vynásobíme dělence i dělitel stejným číslem, podíl se nezmění.

Dělenec i dělitel jsou nyní stokrát menší neţ předtím. Proto bude zbytek také stokrát menší,

čili 0,04.

Zkouška:

Násobení a dělení má přednost před sčítáním a odčítáním.

Nejprve vypočítáme vţdy to, co je v závorkách.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C



Variace A

Dělte zpaměti:

a) b) c) d) e)


a) b) c)

d) e)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Dělte zpaměti:

a) b) c) d)

[a) b) c) d) ]

2) Dělte zpaměti:

a) b) c) d)

[a) b) c) d) ]

3) Dělte:

a) b) c) d)

[a) b) c) d) ]

4) Dělte:

a) b) c) d)

[a) b) c) d) ]



Variace B

Napište místo otazníku znak nerovnosti.

a)

b)


a)

b)

5

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Napište místo otazníku znak nerovnosti.

[ ]

2) Napište místo otazníku znak nerovnosti.

[ ]

3) Vypočti:

[ ]

4) Vypočti:

[ ]



Variace C

Vodovodním kohoutkem nateče za minutu 8,5 litrů vody. Za kolik minut se z tohoto kohoutku

naplní sud, do kterého se vejde 1 hl. (zaokrouhlete na desetiny)

1 minuta … 8,5 litrů

x minut … 1hl = 100 litrů

Vodovodním kohoutkem nateče 1 hl vody za 11,8 minut.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Po obou stranách cesty dlouhé 1,4 km byly vysázeny švestky na vzdálenost 7,5 m. Kolik

švestek je v aleji? (zaokrouhli na jednotky) [374]

2) Litr vzduchu váţí 1,299 g, litr vodíku váţí 0,0898 g. Kolikrát je vodík lehčí neţ vzduch?

(zaokrouhli na desetiny) [14,5 krát]

3) Určete, kolikrát je desetina čísla 539 větší neţ setina čísla 49. [110 krát]

4) Číslo 17,2 zmenšete o 5,98, rozdíl násobte deseti a součin dělte číslem 1,02. Jaké číslo

dostanete? [110]


Dělitelnost čísel

Dělitel

Jestliţe při dělení přirozeného čísla přirozeným číslem je zbytek nula, pak říkáme, ţe dělení je

beze zbytku.

Zbytek je nula, dělení proběhlo beze zbytku.

Říkáme:

Číslo 81 je dělitelné třemi.

Číslo 3 je dělitelem čísla 81.

Jestliţe dělení přirozeného čísla přirozeným číslem je s nenulovým zbytkem, pak říkáme, ţe

dělení je se zbytkem.

Zbytek není nula, dělení proběhlo se zbytkem.

Říkáme:

Číslo 71 není dělitelné třemi.

Číslo 3 není dělitelem čísla 71.

Kaţdé přirozené číslo větší neţ 1 má alespoň dva různé dělitele:

Číslo 1 a samo sebe.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


Dělitel

Varianta A

Zjisti a zapiš ta z čísel 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, která jsou děliteli čísla 648.


Děliteli čísla 648 jsou čísla, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Zapiš, kterými z čísel 2, 3, 4, 5, 6 je dělitelné číslo:

a) 45 b) 102 c) 72 [a) 3, 5 b) 2, 3, 6 c) 2, 3, 4, 6]


a) 88 b) 95 c) 156 [a) 2, 4 b) 5 c) 2, 3, 4, 6]


a) 960 b) 753 c) 691 [a) 2, 3, 4, 5, 6 b) 3 c) ţádným]


a) 435 b) 803 c) 244 [a) 3, 5 b) ţádným c) 2, 4]


Dělitel

Varianta B

Najděte všechna čísla, která dělí číslo 100.


Číslo 100 je dělitelné 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Najděte všechna čísla, která dělí číslo 81. [1, 3, 9, 27, 81]

2) Najděte všechna čísla, která dělí číslo 64. [1, 2, 4, 8, 16, 32, 64]

3) Najděte všechna čísla, která dělí číslo 140. [1, 2, 4, 5, 7, 10, 20, 28, 35, 70, 140]

4) Najděte všechna čísla, která dělí číslo 125. [1, 5, 25, 125]


Dělitel

Varianta C

K závodům na 60 m se přihlásilo 35 ţáků. Mají běţet ve stejně velkých skupinách. Kolik ţáků

můţe být ve skupině? (určete všechny moţnosti)


1 skupina … 35 ţáků

5 skupin … po 7 ţácích

7 skupin … po 5 ţácích

35 skupin … po 1 ţákovi

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Petr přečetl v průměru víc neţ jednu knihu za měsíc. Celkem jich za rok přečetl méně neţ

20 a jejich počet byl dělitelný šesti. Kolik knih přečetl za rok? [18]

2) V obci je postaveno víc neţ 150 a méně neţ 170 domů. Jejich počet je dělitelný 24. Kolik

domů má obec? [168]

3) V divadle jsou řady po 14 sedadlech. Celkový počet míst je větší neţ 320 a menší neţ 330.

Kolik je v divadle sedadel? [322]

4) Kolika ţákům můţeme rozdělit 34 listů papíru, chceme-li, aby všichni dostali stejný počet

celých listů? [2, 17, 34]



Násobek

jednonásobek čísla 6

dvojnásobek čísla 6

trojnásobek čísla 6

čtyřnásobek čísla 6

pětinásobek čísla 6

… …

Čísla 6, 12, 18, 24, 30, … jsou násobky šesti.

Číslo 36 je násobkem dvanácti, je totéţ, jako číslo 36 je dělitelné dvanácti.

Číslo 36 je násobkem tří, je totéţ, jako číslo 36 je dělitelné třemi.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


Násobek

Varianta A

Určete číslo, jehoţ

a) pětinásobek je 100

b) sedminásobek je 91

c) dvojnásobek je 118

d) trojnásobek je 156

a)

b)

c)

d)

Výsledek řešení: a) 20, b) 13, c) 59, d) 52

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Vypiš z čísel 6, 15, 24, 28, 30, 35, 40, 54, 64, 72 všechny násobky čísla 6.

[6, 24, 30, 54, 72]


[16, 32, 48, 64, 72]

3) Vypiš z čísel 9, 18, 28, 34, 45, 52, 54, 61, 67, 72, 82 všechny násobky čísla 9.

[9, 18, 45, 54, 72]


[14, 35, 42, 63, 84]


Násobek

Varianta B

Určete číslo, jehoţ

a) pětinásobek je 220

b) osminásobek je 128

c) dvojnásobek je 302

d) trojnásobek je 501

a)

b)

c)

d)

Výsledek řešení: a) 45, b) 16, c) 151, d) 167

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Napište všechny násobky 14, které jsou větší neţ 100 a menší neţ 200.

[112, 126, 140, 154, 168, 182, 196]

2) Napište všechny násobky 11, které jsou větší neţ 90 a menší neţ 160.

[99, 110, 121, 132, 143, 154]

3) Vypište všechna čísla mezi čísly 30 aţ 80, která jsou násobky tří a zároveň dvou.

[36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78]

4) Vypište všechna čísla mezi čísly 25 aţ 100, která jsou násobky čtyř a zároveň tří.

[36, 48, 60, 72, 84, 96]


Násobek

Varianta C

V bramborárně Beskyd, zasadili na jaře 5 680 kg brambor a sklidili 12krát více. Kolik tun

brambor zemědělci sklidili?

Zemědělci sklidili 68,16 tun brambor.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Které číslo je větší a o kolik, pětinásobek čísla 162, nebo šestinásobek čísla 135?

[jsou obě stejné]

2) Vypočítej rozdíl čtyřnásobku čísla 51 a devítinásobku čísla 19. [33]

3) Vypočítej součin trojnásobku čísla 37 a devítinásobku čísla 25. [24 975]

4) Vypočítej dvanáctinásobek čísla 40 a pětinásobek čísla 14. [480, 70]



Dělitelnost deseti a pěti

Dělitelnost deseti:

Čísla dělitelná deseti jsou všechna taková přirozená čísla, která mají na místě jednotek číslici

nula 0.

Například:

10, 20, 30, …, 830, 1 020, …

Dělitelnost pěti:

Čísla dělitelná pěti jsou všechna taková přirozená čísla, která mají na místě jednotek číslici

nula 0 nebo pět 5.

Například:

5, 10, 15, 20, 25, 30, …, 655, 660, …

Dělitelnost stem:

Čísla dělitelná stem jsou všechna taková přirozená čísla, která mají na místě desítek i na místě

jednotek číslici nula 0.

Například:

100, 200, …, 1 800, 1 900, …

Čísla, která nejsou dělitelná stem: 208, 409, 5 603, 789

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C



Varianta A

Zapiš všechna čtyřciferná čísla sestavená z číslic: 4, 5, 0, 1, která jsou dělitelná

a) deseti

b) jsou dělitelná pěti, nejsou dělitelná deseti


a) aby číslo bylo dělitelné deseti, musí mít na místě jednotek číslici nulu.

1 450, 1 540, 4 150, 4 510, 5 140, 5 410.

b) aby číslo bylo dělitelné pěti, a nedělitelné deseti, musí mít na místě jednotek číslici pět.

1 405, 1 045, 4 105, 4 015.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Zapiš všechna čtyřciferná čísla sestavená z číslic: 3, 5, 2, 0, která jsou dělitelná

a) deseti


[a) 2 350, 2 530, 3 250, 3 520, 5 230, 5 320 b) 2 305, 2 035, 3 205, 3 025]


a) deseti


[a) 7 950, 7 590, 9 750, 9 570, 5 790, 5 970 b) 7 905, 7 095, 9 705, 9 075]



a) deseti

b) nejsou dělitelná pěti, nejsou dělitelná deseti

[a) 1 250, 1 520, 2 150, 2 510, 5 120, 5 210

b) 1 052, 1 502, 2 051, 2 501, 5 102, 5 012, 5 201, 5 021]


a) deseti

b) nejsou dělitelná pěti, nejsou dělitelná deseti

[a) 8 450, 8 540, 4 850, 4 580, 5 840, 5 480

b) 8 054, 8 504, 4 058, 4 508, 5 804, 5 084, 5 804, 5 084]



Varianta B

Zapiš, která z čísel: 230, 405, 1 560, 9 002, 8 065, 10 100, 385, 2 700, 6 085, 75 jsou dělitelná

a) deseti

b) pěti

c) stem



230, 1 560, 10 100, 2 700

b) aby číslo bylo dělitelné pěti, musí mít na místě jednotek číslici pět nebo nulu.

230, 405, 1 560, 8 065, 10 100, 385, 2 700, 6 085, 75

c) aby číslo bylo dělitelné stem, musí mít na místě desítek a jednotek číslici nulu.

10 100, 2 700

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Zapiš, která z čísel jsou dělitelná:

3 203, 605, 6 500, 3 005, 8 752, 10 155, 975, 2 900, 6 089, 175, 6 005

a) deseti

b) pěti

c) stem

[a) 6 500, 2 900

b) 605, 6 500, 3 005, 10 155, 975, 2 900, 175, 6 005

c) 6 500, 2 900]


2) Zapiš, která z čísel jsou dělitelná:

5 205, 615, 6 006, 4 300, 2 652, 10 050, 1 405, 2 904, 4 051, 665, 6 500

a) deseti

b) pěti

c) stem

[a) 4 300, 10 050, 6 500

b) 5 205, 615, 4 300, 10 050, 1 405, 665, 6 500

c) 4 300, 6 500]

3) Zapiš, která z čísel nejsou dělitelná:

5 502, 656, 6 005, 300, 2 625, 13 050, 1 404, 9 900, 4 055, 5 877, 6 500

a) deseti

b) pěti

c) stem

[a) 5 502, 656, 6 005, 2 625, 1 404, 4 055, 5 877

b) 5 502, 656, 1 404, 5 877

c) 5 502, 656, 6 005, 2 625, 13 050, 1 40, 4 055, 5 877]

4) Zapiš, která z čísel nejsou dělitelná:

402, 635, 4 400, 1 304, 4 020, 15 000, 1 302, 5 905, 4 050, 9 757, 10 001

a) deseti

b) pěti

c) stem

[a) 402, 635, 1 304, 1 302, 5 905, 9 757, 10 001

b) 402, 1 304, 1 302, 9 757, 10 001

c) 402, 635, 1 304, 4 020, 1 302, 5 905, 4 050, 9 757,

10 001]



Varianta C

Zapiš nejmenší číslo, které je větší neţ 893 a je dělitelné

a) deseti

b) pěti

c) stem



900

b) aby číslo bylo dělitelné pěti, musí mít na místě jednotek číslici pět nebo nulu.

895

c) aby číslo bylo dělitelné stem, musí mít na místě desítek a jednotek číslici nulu.

900

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Zapiš nejmenší číslo, které je větší neţ 18 930 a je dělitelné

a) deseti

b) pěti

c) stem

[a) 18 940, b) 18 935, c) 19 000]



a) deseti

b) pěti

c) stem

[a) 10 900, b) 10 895, c) 10 900]

3) Zapiš největší čtyřciferné číslo, které je menší neţ 5 899 a je dělitelné

a) deseti

b) pěti

c) stem

[a) 5 890, b) 5 895, c) 5 800]

4) Zapiš největší čtyřciferné číslo, které je menší neţ 1 973 a je dělitelné

a) deseti

b) pěti

c) stem

[a) 1 970, b) 1 970, c) 1 900]



Dělitelnost dvěma

Dělitelnost dvěma:

Čísla dělitelná dvěma jsou všechna taková přirozená čísla, která mají na místě jednotek

některou z číslic 0, 2, 4, 6, 8.

Například:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, …, 324, 326, …

Pomocí dělitelnosti dvěma rozlišujeme čísla, zda jsou sudá, nebo lichá.

Čísla, která jsou dělitelná dvěma, se nazývají sudá.

Čísla, která nejsou dělitelná dvěma, se nazývají lichá.

Například:

Dělitelnost čtyřmi:

Čísla dělitelná čtyřmi jsou všechna taková přirozená čísla, která mají poslední dvojčíslí

dělitelné čtyřmi.

7 516 – je dělitelné čtyřmi.

8 254 – není dělitelné čtyřmi.

Dělitelnost osmi:

Čísla dělitelná osmi jsou všechna taková přirozená čísla, která mají poslední trojčíslí dělitelné

osmi.

7 696 – je dělitelné osmi.

8 523 – není dělitelné osmi.

SUDÁ 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 …

LICHÁ 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 …


Dělitelnost dvěma

Varianta A

Zapiš všechna čtyřciferná čísla sestavená z číslic: 7, 2, 0, 1, která jsou dělitelná

a) dvěma

b) jsou lichá


a) aby číslo bylo dělitelné dvěma, musí mít na místě jednotek číslici 0, 2, 4, 6, 8.

1 720, 1 270, 1 072, 1 702, 2 170, 2 710, 7 120, 7 102, 7 210, 7 012,

b) aby číslo bylo liché, nesmí být dělitelné dvěma.

1 207, 1 027, 2 107, 2 701, 2 071, 2 017, 7 201, 7 021,

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Zapiš všechna čtyřciferná čísla sestavená z číslic: 3, 5, 1, 0, která jsou dělitelná dvěma.

[1 350, 1 530, 3 150, 3 510, 5 130, 5 310]

2) Zapiš všechna čtyřciferná čísla sestavená z číslic: 9, 5, 7, 4, která jsou dělitelná dvěma.

[7 954, 7 594, 9 754, 9 574, 5 794, 5 974]


3) Zapiš všechna čtyřciferná čísla sestavená z číslic: 8, 5, 2, 0, která jsou dělitelná.

a) dvěma

b) čtyřmi

c) osmi

[a) 8 250, 8 520, 8 502, 8 052, 2 850, 2 580, 2 508, 2 058, 5 820, 5 280, 5 082, 5 028, 5 802,

5 208

b) 8 520, 8 052, 2 580, 2 508, 5 820, 5 280, 5 028, 5 208

c) 8 520, 5 280, 5 208]

4) Zapiš všechna čtyřciferná čísla sestavená z číslic: 6, 3, 4, 0, která jsou dělitelná.

a) dvěma

b) čtyřmi

c) osmi

[a) 6 430, 6 340, 6 304, 6 034, 4 630, 4 360, 4 306, 4 036, 3 640, 3 460, 3 064, 3 046, 3 604,

3 406

b) 6 340, 6 304, 4 360, 4 036, 3 640, 3 460, 3 064, 3 604,

c) 6 304, 4 360, 3 640, 3 064]


Dělitelnost dvěma

Varianta B


a) dvěma

b) čtyřmi

c) osmi


a) aby číslo bylo dělitelné dvěma, musí mít na místě jednotek 0, 2, 4, 6, 8.

280, 1 560, 9 002, 8 064, 10 100, 2 700, 6 084, 72

b) aby číslo bylo dělitelné čtyřmi, musí být poslední dvojčíslí dělitelné čtyřmi

280, 1 560, 8 064, 10 100, 2 700, 6 084, 72

c) aby číslo bylo dělitelné osmi, musí být poslední trojčíslí dělitelné osmi.

280, 1 560, 8 064, 72

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Zapiš, která z čísel:

3 240, 650, 6 504, 3 008, 8 752, 10 185, 972, 2 996, 6 088, 175, 6 105 jsou dělitelná

a) dvěma

b) čtyřmi

c) osmi

[a) 3 240, 650, 6 504, 3 008, 8 752, 972, 2 996, 6 088,

b) 3 240, 6 504, 3 008, 8 752, 972, 2 996, 6 088,

c) 3 240, 6 504, 3 008, 8 752, 6 088]



5 208, 616, 6 006, 4 300, 2 654, 10 050, 1 405, 2 904, 4 051, 665, 6 500 jsou dělitelná

a) dvěma

b) čtyřmi

c) osmi

[a) 5 208, 616, 6 006, 4 300, 2 654, 10 050, 2 904, 6 500

b) 5 208, 616, 4 300, 2 904, 6 500

c) 5 208, 616, 2 904]


5 504, 656, 6 005, 300, 2 628, 13 050, 1 404, 9 900, 4 055, 5 877, 6 436 nejsou dělitelná

a) dvěma

b) čtyřmi

c) osmi

[a) 6 005, 4 055, 5 877

b) 6 005, 13 050, 4 055, 5 877,

c) 6 005, 300, 2 628, 13 050, 1 404, 9 900, 4 055, 5 877, 6 436]


402, 635, 4 400, 1 304, 4 020, 15 000, 1 302, 5 905, 4 050, 9 757, 10 001 nejsou dělitelná

a) dvěma

b) čtyřmi

c) osmi

[a) 635, 5 905, 9 757, 10 001

b) 402, 635, 1 302, 5 905, 4 050, 9 757, 10 001

c) 402, 635, 4 020, 15 000, 1 302, 5 905, 4 050, 9 757, 10 001]


Dělitelnost dvěma

Varianta C

Zapiš nejmenší číslo, které je větší neţ 29 689 a je dělitelné

a) dvěma

b) čtyřmi

c) osmi


a) aby číslo bylo dělitelné dvěma, musí mít na místě jednotek 0, 2, 4, 6, 8.

29 690

b) aby číslo bylo dělitelné čtyřmi, musí být poslední dvojčíslí dělitelné čtyřmi

29 692

c) aby číslo bylo dělitelné osmi, musí být poslední trojčíslí dělitelné osmi.

29 696

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C



a) dvěma

b) čtyřmi

c) osmi

[a) 8 934, b) 8 936, c) 8 936]



a) dvěma

b) čtyřmi

c) osmi

[a) 6 898, b) 6 900, c) 6 904]

3) Zapiš všechny násobky 8, které jsou na číselné ose zobrazeny mezi čísly 232 a 268.

[240, 248, 256, 264]

4) Zapiš všechny násobky 4, které jsou na číselné ose zobrazeny mezi čísly 123 a 143.

[124, 128, 132, 136, 140]



Dělitelnost třemi

Dělitelnost třemi:

Čísla dělitelná třemi jsou všechna taková přirozená čísla, která mají ciferný součet dělitelný

třemi.

Ciferný součet.

Součet všech číslic (cifer) čísla je jeho ciferný součet.

659

6 + 5 + 9 = 20

892

8 + 9 + 2 = 19

10 001

1 + 0 + 0 + 0 + 1 = 2

Příklad čísel, dělitelných třemi:

3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, …, 342, …, 894, …

Dělitelnost devíti:

Čísla dělitelná devíti jsou všechna taková přirozená čísla, která mají ciferný součet dělitelný

devíti.

78 534 – je dělitelné devíti

18 082 – není dělitelné devíti

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


Dělitelnost třemi

Varianta A

Zapiš všechna čísla sestavená z číslic: 7, 2, 0, 1, která jsou dělitelná (čísla se nesmí opakovat)

a) třemi

b) devíti


a) aby číslo bylo dělitelné třemi, musí být ciferný součet číslic dělitelný třemi.

12, 21, 27, 72, 102, 120, 201, 210, 207, 270, 720, 702,

b) aby číslo bylo dělitelné devíti, musí být ciferný součet číslic dělitelný devíti.

27, 72, 207, 270, 720, 702,

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Zapiš všechna trojciferná čísla sestavená z číslic: 3, 5, 4, 0, která jsou dělitelná:

a) třemi

b) devíti

[a) 540, 504, 405, 450, 345, 354, 453, 435, 543, 534

b) 540, 504, 405, 450]

2) Zapiš všechna trojciferná čísla sestavená z číslic: 8, 0, 1, 5, která jsou dělitelná:

a) třemi

b) devíti

[a) 801, 810, 108, 180, 501, 510, 105, 150

b) 801, 810, 108, 180]


3) Zapiš všechna dvojciferná, trojciferná čísla sestavená z číslic: 4, 5, 6, 0, která nejsou

dělitelná pěti a zároveň jsou dělitelná.

a) třemi

b) devíti

[a) 54, 504, 456, 546, 564, 654,

b) 54]

4) Zapiš všechna dvojciferná, trojciferná čísla sestavená z číslic: 6, 3, 2, 1, která nejsou

dělitelná dvěma a zároveň jsou dělitelná.

a) třemi

b) devíti

[a) 63, 321, 123, 213, 231, 621, 261

b) 621, 261]


Dělitelnost třemi

Varianta B


a) třemi

b) devíti



180, 405, 1 560, 8 064, 10 101, 2 700, 6 084, 72

b) aby číslo bylo dělitelné devíti, musí být ciferný součet číslic dělitelný devíti.

180, 405, 8 064, 2 700, 6 084, 72

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C



3 240, 650, 6 504, 4 008, 8 742, 10 185, 972, 2 996, 6 088, 175, 6 105 jsou dělitelná

a) třemi

b) devíti

[a) 3 240, 6 504, 4 008, 8 742, 10 185, 972, 6 105

b) 3 240, 972]



5 208, 612, 6 006, 4 300, 2 654, 10 050, 1 305, 2 904, 4 051, 665, 6 501 jsou dělitelná

a) třemi

b) devíti

[a) 5 208, 612, 6 006, 10 050, 1 305, 2 904, 6 501

b) 612, 1305]

3) Zapiš, která z čísel jsou dělitelná dvěma a nejsou dělitelná:

5 504, 656, 6 005, 300, 2 628, 13 050, 1 404, 9 900, 4 055, 5 877, 6 436

a) třemi

b) devíti

[a) 5 504, 656, 6 436

b) 5 504, 656, 300, 6 436]

4) Zapiš, která z čísel jsou dělitelná dvěma a nejsou dělitelná:

402, 635, 4 400, 1 304, 4 020, 15 000, 1 302, 5 905, 4 050, 9 757, 10 001

a) třemi

b) devíti

[a) 4 400, 1 304

b) 402, 4 400, 1 304, 4 020, 15 000, 1 302]


Dělitelnost třemi

Varianta C

Zapiš nejmenší číslo, které je větší neţ 49 658 a je dělitelné dvěma a zároveň třemi.


aby číslo bylo dělitelné dvěma, musí mít na místě jednotek 0, 2, 4, 6, 8.

aby číslo bylo dělitelné třemi, musí být ciferný součet dělitelný třemi.

49 662

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Zapiš nejmenší číslo, které je větší neţ 10 974 a je dělitelné dvěma a zároveň třemi.

[10 980]

2) Zapiš nejmenší číslo, které je větší neţ 36 806 a je dělitelné dvěma a zároveň třemi.

[36 810]

3) Zapiš všechny násobky 3 a zároveň 4, které jsou na číselné ose zobrazeny mezi čísly 295 a

365.

[300, 312, 324, 336, 348, 360]

4) Zapiš všechny násobky 9 a zároveň 4, které jsou na číselné ose zobrazeny mezi čísly 154 a

265.

[180, 216, 252]



Prvočísla a čísla složená

Číslo 1 má jen jednoho dělitele a to je číslo 1.

Kaţdé přirozené číslo větší neţ 1 má aspoň dva dělitele, číslo 1 a samo sebe.

Čísla, která mají právě dva různé dělitele (číslo 1 a samo sebe), se nazývají PRVOČÍSLA:

Například: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …

Prvočíslo je dělitelné pouze číslem 1 a sebou samým.

Čísla, která mají více neţ dva dělitele, se nazývají SLOŢENÁ ČÍSLA:

Například: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, …

Kaţdé sloţené číslo se dá rozloţit na součin prvočísel.

Postup při rozkládání přirozeného čísla na součin prvočísel:

1) postupné dělení

2) sestavení „ţebříku“

72 2

36 2

18 2

9 3

3 3

1


3) sestupující „vodopád“

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

72

2 36

2 18

2 9

3 3

3 1



Varianta A

Rozhodni, která z čísel jsou prvočísla.

33, 35, 41, 42, 45, 49, 51, 53, 54, 57, 58, 59, 60.


Prvočíslo je číslo, které má pouze dva dělitele, 1 a samo sebe.

Prvočísla jsou: 41, 53, 59.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Rozhodni, která z čísel jsou prvočísla.

63, 67, 69, 75, 83, 89, 97, 101, 102, 104, 209, 894

[67, 83, 89, 97, 101, 209]

2) Rozhodni, která z čísel jsou prvočísla.

64, 68, 70, 71, 73, 77, 79, 81, 87, 93, 99, 103, 153

[71, 73, 79, 103]

3) Vypište všechna prvočísla, která leţí mezi čísly 10 aţ 25.

[11, 13, 17, 19, 23]

4) Vypište všechna prvočísla, která leţí mezi čísly 25 aţ 40.

[29, 31, 37]



Varianta B

Rozloţte číslo 30 a) na dva činitele, b) na tři činitele c) na součin prvočísel.


a)

b)

c)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Rozloţte číslo 40 a) na dva činitele, b) na tři činitele c) na součin prvočísel.

[a) , , b) , c) ]

2) Rozloţte číslo 50 a) na dva činitele, b) na tři činitele c) na součin prvočísel.

[a) , b) , c) ]

3) Rozloţte číslo 252 na součin prvočísel.

[ ]

4) Rozloţte číslo 264 na součin prvočísel.

[ ]



Varianta C

Najděte nejmenší číslo, které je moţno rozloţit:

a) na součin tří různých činitelů, z nichţ ani jeden není 1

b) na součin tří různých prvočísel

c) na součin čtyř různých prvočísel.


a)

b)

c)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Které největší dvojciferné číslo se dá rozloţit na součin dvou prvočísel?

[95]

2) Číslo 17 je prvočíslo. Záměnou jeho číslic dostanete číslo 71, které je rovněţ prvočíslo.

Najděte další dvojciferná čísla, která mají tuto vlastnost.

[11, 13, 31, 37, 73]

3) Rok Dantova narození je násobkem prvočísel 5, 11 a 23. Rok jeho úmrtí je prvočíslo, které

leţí mezi prvočísly 1 319 a 1 327. Určete rok narození a rok úmrtí.

[1 265, 1 321]

4) Součet tří po sobě jdoucích prvočísel je a) 31, b) 97. Která jsou to prvočísla?

[a) 7, 11, 13, b) 29, 31, 37]



Společní dělitelé

Úloha 1:

Najděte společné dělitele čísel 20 a 60.

1) Rozloţíme obě čísla na součin prvočísel.

2) Vypíšeme všechny dělitele čísel 20 a 70.

20 má dělitele 1, 2, 4, 5, 10, 20,

90 má dělitele 1, 2, 5, 6, 9, 10, 15, 30, 45, 90

Čísla 1, 2, 5, 10, jsou děliteli čísla 20 i čísla 90. Jsou to SPOLEČNÍ DĚLITELÉ čísel 20 a 90.

Číslo 10 je NEJVĚTŠÍ SPOLEČNÝ DĚLITEL čísel 20 a 90 značíme jej D(20, 90).

D(20, 90) = 10

Kaţdý společný dělitel čísel je dělitelem největšího společného dělitele těchto čísel.

Pokud největší společný dělitel čísel je číslo 1, pak čísla nazýváme nesoudělnými čísly.

D(27, 5) = 1.

Čísla 5 a 27 jsou nesoudělná čísla.

NESOUDĚLNÁ ČÍSLA jsou taková čísla, jejichţ největší společný dělitel je 1.

D(27, 15) = 3.

Čísla 15 a 27 jsou soudělná čísla.

SOUDĚLNÁ ČÍSLA jsou taková čísla, jejichţ největší společný dělitel je větší neţ 1.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C



Varianta A

Určete všechny společné dělitele čísel: 60, 80


Společní dělitelné čísel 60 a 80 jsou: 2, 4, 5, 10, 20.

Největší společný dělitel čísel 60 a 80 je 20.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Určete největšího společného dělitele čísel: 42 a 75. [3]

2) Určete největšího společného dělitele čísel: 27 a 90. [9]

3) Určete největšího společného dělitele čísel: 14, 24 a 34. [2]

4) Určete největšího společného dělitele čísel: 48, 66 a 78. [6]



Varianta B

Určete, které dvojice čísel jsou nesoudělné.

a) 11, 21 b) 31, 93 c) 19, 45 d) 24, 162 e) 14, 74 f) 27, 101


Nesoudělná jsou taková čísla, která mají společného dělitele pouze jedničku 1.

Nesoudělné dvojice čísel jsou: a) 11, 21 c) 19, 45 f) 27, 101

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Určete, které dvojice čísel jsou nesoudělné.

a) 3, 21 b) 30, 37 c) 15, 65 d) 45, 52 e) 48, 120 f) 23, 115

[b), d)]

2) Určete, které dvojice čísel jsou nesoudělné.

a) 13, 52 b) 22, 55 c) 16, 68 d) 54, 106 e) 41, 12 f) 21, 101

[e), f)]

3) Napiš všechna čísla, která jsou menší neţ 25 a jsou nesoudělná s číslem 56.

[3, 9, 11, 13, 17, 19, 23]

4) Napiš všechna čísla, která jsou menší neţ 25 a jsou nesoudělná s číslem 76.

[3, 5, 7, 11, 13, 17, 23]



Varianta C

Při závodech soutěţilo 210 sportovců na třech hřištích. Na prvním bylo 105 sportovců, na

druhém 60 a na třetím všichni ostatní. Na jednotlivých hřištích se sportovci rozdělili do

skupin, a to tak, ţe kaţdá skupina, ať soutěţila v kterékoliv disciplíně, měla stejný počet

členů. Vytvořené skupiny byly co největší. Kolik sportovců závodilo ve skupině?


1. hřiště … 105

2. hřiště … 60

3. hřiště … 45

Musíme najít největšího společného dělitele čísel 105, 60, 45.

V kaţdé skupině bylo 15 sportovců.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C



1) V květinářství dostali 72 bílých a 96 červených růţí. Kolik kytic nejvýše mohou svázat ze

všech těchto růţí, jestliţe kaţdá kytice má mít stejný počet bílých růţí a stejný počet

červených růţí? [24]

2) Na výletě rozdělovali dětem 252 jablek, 396 ořechů a 108 čokoládových tyčinek, rozdělili

je spravedlivě, tj. všechny děti dostaly stejný počet jablek, stejný počet ořechů a stejný počet

tyčinek. Vypočítejte, kolik dětí bylo na výletě, kdyţ víte, ţe jich bylo víc neţ 30. Co kaţdé

dítě dostalo? [36 dětí, 7 jablek, 11 ořechů, 3 tyčinky]

3) Ve třídě mají ţáci celkem 416 sešitů a 224 učebnic. Kaţdý ţák má stejný počet sešitů a

stejný počet učebnic. Určete, kolik ţáků je ve třídě, víte-li, ţe jich je víc neţ 30.

[32]

4) Máte 200 perníků, 240 bonbónů a 360 ořechů a chcete je rozdělit do balíčků tak, aby

všechny balíčky byly stejné. Kolik nejvýše stejných balíčků můţete připravit? Co bude v

kaţdém balíčku? [40 balíčků, 5 perníků, 6 bonbónů, 9 ořechů]



Společné násobky

Úloha 2:

Najděte společné násobky čísel 6 a 9, které jsou menší neţ 140.

Násobky 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96, 102, 108, 114, 120,

126, 132

Násobky 9: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, 117, 126, 135

Čísla 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126 jsou násobky čísla 6 a čísla 9.

Jsou to SPOLEČNÉ NÁSOBKY čísel 6 a 9.

Číslo 18 je NEJMENŠÍ SPOLEČNÝ NÁSOBEK čísel 6 a 9.

Nejmenší společný násobek čísel 6 a 9 značíme n(6, 9)

n(6, 9) = 18

Nejmenší společný násobek čísel je dělitelem kaţdého společného násobku těchto čísel.

Postup při hledání nejmenšího společného násobku.

n(36, 27)

1) rozloţíme obě čísla na součiny prvočísel:

2) nalezneme nejmenší součin prvočísel, který obsahuje rozklady obou čísel:

Číslo 108 je nejmenším násobkem čísel 27 a 36.


Dělitelnost šesti:

Čísla dělitelná šesti jsou všechna taková přirozená čísla, která jsou současně dělitelná dvěma

a třemi.

864 – je dělitelné šesti

890 – není dělitelné šesti

Nejmenší společný násobek nesoudělných čísel je součin těchto čísel.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


Společné násobky

Varianta A

Vypište všechny násobky čísla 8 menších neţ 100.


Násobky čísla 8 menších neţ 100 jsou: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Určete všechny násobky čísla 9 menších neţ 80: [9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72]

2) Určete všechny násobky čísla 7 menších neţ 65: [7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63]

3) Určete všechny společné násobky čísel: 4 a 6 menších neţ 90. [12, 24, 36, 48, 60, 72, 84]

4) Určete všechny společné násobky čísel: 3 a 7 menších neţ 90. [21, 42, 63, 84, 105 ]


Společné násobky

Varianta B

Určete nejmenší společný násobek čísel 16 a 28.


Nejmenší společný násobek čísel 16 a 28 je 112.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Určete nejmenší společný násobek čísel 18 a 32. [288]

2) Určete nejmenší společný násobek čísel 12 a 28. [84]

3) Určete nejmenší společný násobek čísel 6, 8 a 15. [120]

4) Určete nejmenší společný násobek čísel 6, 9 a 21. [126]


Společné násobky

Varianta C

Zapište, která z čísel:

240, 650, 604, 4 008, 842, 185, 92, 296, 2 088, 174, 6 105 jsou dělitelná

a) třemi

b) dvěma

c) šesti



240, 4 008, 2 088, 174, 6 105

b) aby číslo bylo dělitelné dvěma, musí být na místě jednotek číslice 0, 2, 4, 6, 8

240, 650, 604, 4 008, 842, 92, 296, 2 088, 174

c) aby číslo bylo dělitelné šesti, musí být dělitelné dvěma i třemi zároveň

240, 4 008, 2 088, 174

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Zapište, která z čísel jsou dělitelná šesti:

504, 656, 66, 300, 2 628, 357, 1 404, 900, 405, 877, 426

[66, 300, 2 628, 1 404, 900, 405, 426]

2) Zapište, která z čísel jsou dělitelná šesti:

208, 616, 6 006, 303, 684, 57, 140, 903, 451, 662, 552

[6 006, 303, 684, 57, 903, 552]

3) Jirka si chce koupit sešity po 18 korunách. Ani on, ani prodavačka nemají drobnější peníze

neţ desetikoruny. Kolik sešitů musel nejméně koupit, aby mohl zaplatit pouze

desetikorunami. [5 sešitů]

4) Třída je dlouhá 9 m. Šířka třídy je menší a lze ji přejít stejně dlouhými kroky délky 40 cm

nebo 55 cm. Určete šířku třídy. [8 m]

Aritmetika – prima - student21.gjwprostejov.czstudent21.gjwprostejov.cz/uploads/NG01 Aritmetika -...

Documents

Transcript of Aritmetika – prima - student21.gjwprostejov.czstudent21.gjwprostejov.cz/uploads/NG01 Aritmetika -...