Aritmeticki nizAritmeticki niz Zadatak 5: (str. 91) Koliko je prirodnih brojeva manjih od 500 koji...

Aritmeticki niz

Zadatak 5: (str. 91) Koliko je prirodnih brojeva manjih od 500 koji sudjeljivi s 11, a nisu djeljivi s 112?

Rjesenje: Brojeve djeljive s 11 mozemo prikazati pomocu aritmetickogniza (an) ciji je opci clan jednak:

an = 11n

Da bismo odredili koliko ima takvih brojeva manjih od 500 rijesit cemo sljedecunejednadzbu:

an < 500Ta nejednadzba nakon sto uvrstimo izraz za opci clan aritmetickog niza (an)poprima sljeci oblik:

11n

↓an < 500

11n < 500

Pomnozimo cijelu nejednakost s 111 , slijedi:

11n < 500/· 111

11n · 111 < 500 · 1

11Pokratimo sto se pokratiti dade, slijedi:

1��11n

1 · 1��111

< 500 · 111

n

1 <50011

Kako je 50011 jednako 45.4̇5̇, slijedi:

n < 45.4̇5̇

Kako n mora biti prirodan broj zakljucujemo da n mora biti manji ili jednak45, odnosno da brojeva djeljivih s 11, manjih od 500 ima tocno 45.

Na slican nacin pozabavimo se brojevima koji su djeljivi s 112. Prikazimo iharitmetickim nizom (bn) ciji je opci clan jednak:

bn = 112n

1

Kako jer 112 jednako 121, opci clan aritmetickog niza (bn) ima sljedeci oblik:

bn = 121n

Zanima nas koliko takvih brojeva ima manjih od 500. Da bismo odredili kolikoih ima rijesit cemo sljedecu nejednadzbu:

bn < 500

Dana nejednadzba nakon sto uvrstimo izraz za opci clan aritmetickog niza (bn)poprima sljeci oblik:

121n

↓bn < 500

121n < 500


121n < 500/· 1121

121n · 1121 < 500 · 1


1��121n

1 · 1��1211

< 500 · 1121

n

1 <500121


n < 4.1̇322314049586776859504̇

Kako n mora biti prirodan broj zakljucujemo da n mora biti manji ili jednak 4,odnosno da brojeva djeljivih s 121, manjih od 500 ima tocno 4.

Kako je svaki broj koji je djeljiv brojem 121 ujedno i djeljiv brojem 11, dabismo dobili tocan broj brojeva koji su djeljivi brojem 11, a nisu djeljivi brojem121 i manji su od 500 moramo od 45 oduzeti 4. Naime tocno 4 su broja djeljivai s 11 i s 121.

Dakle tocno je 41 broj manji od 500 djeljiv s 11, a nije djeljiv s 121. Timeje zadatak rijesen.

Y ] Z

2

Zadatak 6: (str. 91) Koliko je prirodnih brojeva manjih od 500 koji sudjeljivi s 11 ili s 13 (ili s oba ta broja)?


an = 11n


an < 500Ta nejednadzba nakon sto uvrstimo izraz za opci clan aritmetickog niza (an)poprima sljeci oblik:

11n

↓an < 500

11n < 500


11n < 500/· 111

11n · 111 < 500 · 1


1��11n

1 · 1��111

< 500 · 111

n

1 <50011


n < 45.4̇5̇


Na slican nacin pozabavimo se brojevima koji su djeljivi s 13. Prikazimo iharitmetickim nizom (bn) ciji je opci clan jednak:

bn = 13n

3

Zanima nas koliko takvih brojeva ima manjih od 500. Da bismo odredili kolikoih ima rijesit cemo sljedecu nejednadzbu:

bn < 500

Dana nejednadzba nakon sto uvrstimo izraz za opci clan aritmetickog niza (bn)poprima sljeci oblik:

13n

↓bn < 500

13n < 500


13n < 500/· 113

13n · 113 < 500 · 1


1��13n

1 · 1��131

< 500 · 113

n

1 <50013


n < 38.4̇61538̇


Ako bi sad zbrojiti broj brojeva manjih od 500 koji su djeljivi s 11 i broj onihkoji su djeljivi s 13 neke bi brojali dva put. Tocno one koji su djeljivi i s 11 i s13. Ti brojevi su zapravo djeljivi s 11 · 13, odnosno s 143. Te brojeve mozemoprikazati pomocu aritmetickog niza (cn) ciji je opci clan jednak:

cn = 143n


cn < 500Ta nejednadzba nakon sto uvrstimo izraz za opci clan aritmetickog niza (an)poprima sljeci oblik:

143n

↓cn < 500

4

143n < 500


143n < 500/· 1143

143n · 1143 < 500 · 1


1��143n

1 · 1��1431

< 500 · 1143

n

1 <500143


n < 3.4̇96503̇

Kako n mora biti prirodan broj zakljucujemo da n mora biti manji ili jednak 3,odnosno da brojeva djeljivih s 11 i s 13, manjih od 500 ima tocno 3.

Dakle da bismo odredili ukupan broj brojeva manjih od 500 i djeljivih bro-jem 11 ili brojem 13 odredit cemo tako da zbrojimo broj brojeva manjih od 500djeljivih s 11 s brojem brojeva manjih od 500 djeljivih s 13 i oduzmemo brojbrojeva manjih od 500 djeljivih s 11 i s brojem 13. Dakle takvih brojeva je:

N11|n ili 13|n i n<500 = 45 + 38− 3 = 80

Dakle brojeva s trazenim svojstvom jest 80. Time je zadatak rijesen.

Y ] Z

Zadatak 7: (str. 91) Koliki je zbroj svih prirodnih brojeva manjih od5000 djeljivih s 19?


an = 19n


an < 5000

5

Ta nejednadzba nakon sto uvrstimo izraz za opci clan aritmetickog niza (an)poprima sljeci oblik:

19n

↓an < 5000

19n < 5000


19n < 500/· 119

19n · 111 < 5000 · 1


1��19n

1 · 1��191

<5000

1 · 119

n

1 <500019


n < 263.1̇57894736842105263̇


Nas zadatak je zbrojiti ta 263 broja. Dakle nas zadatak je odrediti rezultatsljedece sume:

n∑k=1

ak = (?)

Imajuci na umu da je brojeva koje zbrajam tocno 263 te da je k-ti broj oblika19k, suma poprima sljedeci oblik:

263↓

(?) =n∑

k=1ak =

263∑k=1

19k = (??)↖

19k

Dobivena suma dade se raspisati na sljedeci nacin, slijedi:

(??) = 19 · 1 + 19 · 2 + 19 · 3 + ... + 19 · 263 = (? ? ?)

Izlucimo 19 iz svih clanova sume, slijedi:

(? ? ?) = 19 · (1 + 2 + 3 + ... + 263) = (♣)

6

Primjetimo da se u zagradi nalazi suma prva 263 prirodna broja. Prisjetimo seda se suma prvih n prirodnih brojeva racuna prema izrazu:

1 + 2 + 3 + ... + n = n (n + 1)2

Imajuci taj izraz na umu, suma poprima sljedeci oblik:

263 · (263 + 1)2↑

(♣) = 19 · (1 + 2 + 3 + ... + 263) = 19 · 263 · (263 + 1)2 = 19 · 263 · 264

2 = (♣♣)

Pokratimo sto se pokratiti dade, slijedi:

(♣♣) = 19 · 263 ·132��264�21

= 19 · 263 · 1321 = 19 · 263 · 132 = 659604

Dakle suma brojeva manjih od 5000 djeljivih s 19 jednaka je 659604. Time jezadatak rijesen.

Y ] Z

Zadatak 12: (str. 91) Dokazi da je niz (an) s opcim clanom an aritmeticki:

an = 3n + 25

Rjesenje: Prisjetimo se da je osnovno svojstvo aritmetickih nizova cin-jenica da je razlika nekog clana niza i njegovog neposrednog prethodnika uvijekjednaka, odnosno da za svaki n ∈ N mora vrijediti:

an+1 − an = d

Odredimo (n + 1)-vi clan danog artmetickog niza tako da zamijenimo n s n + 1u izrazu za opci clan niza (an), slijedi:

n + 1↓

an = 3n + 25 ⇒ an+1 = 3 (n + 1) + 2

5 = (?)↓

n + 1

Rijesimos se zagrade u brojniku te zbrojimo sto se zbrojiti dade, slijedi:

(?) = 3n + 3 + 25 = 3n + 5

5

Odredimo razliku (n + 1)-vi clana niza i njegovog neposrednog prethodnika,racunamo:

7

3n + 55↓

an+1 − an = 3n + 55 − 3n + 2

5 = 3n + 5− (3n + 2)5 = (♠)

↑3n + 2

5

Rijesimo se zagrade u brojniku nazivnika, slijedi:

(♠) = 3n + 5− 3n− 25 = (♠♠)


(♠♠) = ��3n + 5��−3n− 25 = 5− 2

5 = 35

Kako je razlika svakog clana niza i neposrednog prethodnika tog clana jednaka35 , dakle stalna je, zakljucujemo da je niz aritmeticki. Time je zadatak rjesen.

Y ] Z

Zadatak 19: (str. 91) Odredi nepoznanicu x tako da brojevi√

x + 1,√

5x + 9 i√

12x + 25 budu tri uzastopna clana aritmetickog niza.

Rjesenje: Prisjetimo se da je stvojstvo po kojem je zapravo aritmetickiniz dobio ime oblika:

2an = an−1 + an+1

Drugim rijecima ako su dana tri uzastopna clana aritmetickog niza, tada je sred-nji clan aritmeticka sredina onih koji su mu neposredni susjedi.Pretpostavimo da su dani izrazi tri uzastopna clana aritmetickog niza, pri cemuje izraz

√x + 1 prvi,

√5x + 9 drugi, a

√12x + 25 treci po redu medju njima.

Tada mora vrijediti:√

5x + 9√

12x + 25↓ ↓

2an = an−1 + an+1 ⇒ 2 ·√

5x + 9 =√

x + 1 +√

12x + 25↑√

5x + 9

Kvadriramo dobiveni izraz, slijedi:

2 ·√

5x + 9 =√

x + 1 +√

12x + 25/ 2

(2 ·√

5x + 9)2 =

(√x + 1 +

√12x + 25

)2

Lijevu stranu jednakosti raspisat cemo prema izrazu za mnozenje potencija istiheksponenata, odnosno prema an · bn = (a · b)n, dok desnu stranu jednakosti

8

raspisujemo prema izrazu za kvadrat binoma, odnosno prema(a± b)2 = a2 ± 2ab + b2. Vrijedi:

22 ·(√

5x + 9)2 =

(√x + 1

)2 + 2 ·√

x + 1 ·√

12x + 25 +(√

12x + 25)2

4 · (5x + 9) = x + 1 + 2 ·√

x + 1 ·√

12x + 25 + 12x + 25

Rijesimo se zagrade na lijevoj strani jednakosti te pozbrojimo sto se dade nadesnoj strani jednakosti, slijedi:

4 · 5x + 4 · 9 = 13x + 26 + 2 ·√

x + 1 ·√

12x + 25

20x + 36 = 13x + 26 + 2 ·√

x + 1 ·√

12x + 25

Prebacimo prva dva sumanda iz sume na desnoj strani jednakosti na lijevu,slijedi:

← ←p p20x + 36 = 13x + 26 + 2 ·

√x + 1 ·

√12x + 25

20x + 36− 13x− 26 = +2 ·√

x + 1 ·√

12x + 25

Zbrojimo sto se zbrojiti dade, slijedi:

7x + 10 = 2 ·√

x + 1 ·√

12x + 25

Izraz na desnoj strani jednakosti mozemo srediti prema izrazu za mnozenjekorijena istih stupnjeva, odnosno prema n

√a · n√

b = n√

a · b, slijedi:

7x + 10 = 2 ·√

(x + 1) · (12x + 25)

Kvadriramo cijelu jednakost, slijedi:

7x + 10 = 2 ·√

(x + 1) · (12x + 25)/

2

(7x + 10)2 =(

2 ·√

(x + 1) · (12x + 25))2

Desnu stranu jednakosti raspisat cemo prema izrazu za mnozenje potencija istiheksponenata, odnosno prema an · bn = (a · b)n, dok lijevu stranu jednakostiraspisujemo prema izrazu za kvadrat binoma, odnosno prema(a± b)2 = a2 ± 2ab + b2. Vrijedi:

(7x)2 + 2 · 7x · 10 + 102 = 22 ·(√

(x + 1) · (12x + 25))2

49x2 + 140x + 100 = 4 · (x + 1) · (12x + 25)

Rjiesimo se zagrade na desnoj strani jednakosti, slijedi:

49x2 + 140x + 100 = 4 · (x · 12x + x · 25 + 1 · 12x + 1 · 25)

49x2 + 140x + 100 = 4 ·(12x2 + 25x + 12x + 25

)9

Zbrojimo sto se zbrojiti dade na desnoj strani jednakosti, slijedi:

49x2 + 140x + 100 = 4 ·(12x2 + 37x + 25

)Rijesimo se zagrade na desnoj strani jednakosti, slijedi:

49x2 + 140x + 100 = 4 · 12x2 + 4 · 37x + 4 · 25

49x2 + 140x + 100 = 48x2 + 148x + 100

Prebacimo sve s desne strane jednakosti na lijevu, slijedi:← ← ←p p p

49x2 + 140x + 100 = 48x2 + 148x + 100

49x2 + 140x + 100− 48x2 − 148x− 100 = 0


x2 − 8x = 0

Izlucimo x iz oba clana sume na lijevoj strani jednakosti, slijedi:

x (x− 8) = 0

Ako je umnozak dvaju brojeva jednak nuli tada je barem jedan od njih jednaknuli, dakle vrijedi:

x (x− 8) = 0↙ ↘

→px1 = 0 x− 8 = 0

x2 = 8

Treba provjeriti zadovoljavaju li dobivena rjesenja ocetnu jednadzbu. Provjer-imo prvo jeli 0 zaista rjesenje pocetne jednadzbe, slijedi:

2 ·√

5x + 9 =√

x + 1 +√

12x + 25↑ ↑ ↑0 0 0

2 ·√

5 · 0 + 9 =√

0 + 1 +√

12 · 0 + 25

2 ·√

0 + 9 =√

1 +√

0 + 25

2 ·√

9 = 1 +√

25

2 · 3 = 1 + 5

6 = 6

Dakle x1 = 0 jest rjesenje pocetne jednadzbe. Isti postupak provodimo i zadrugo rjesenje x2 = 8, racunamo:

2 ·√

5x + 9 =√

x + 1 +√

12x + 25↑ ↑ ↑8 8 8

10

2 ·√

5 · 8 + 9 =√

8 + 1 +√

12 · 8 + 25

2 ·√

40 + 9 =√

9 +√

96 + 25

2 ·√

49 = 3 +√

121

2 · 7 = 3 + 11

14 = 14

Dakle i x2 = 8 jest rjesenje pocetne jednadzbe.

Zakljucujemo da ako je x jednak 0 ili 8 dani izrazi cinit ce tri uzastopna clanaaritmetickog niza. Time je zadatak rijesen.

Y ] Z

Zadatak 21: (str. 91) Za koje su realne vrijednosti broja x brojevi log 2,log (2x − 1) i log (2x + 3) tri uzastopna clana aritmetickog niza?


2an = an−1 + an+1

Drugim rijecima ako su dana tri uzastopna clana aritmetickog niza, tada je sred-nji clan aritmeticka sredina onih koji su mu neposredni susjedi.Pretpostavimo da su dani izrazi tri uzastopna clana aritmetickog niza, pri cemuje izraz log 2 prvi, log (2x − 1) drugi, a log (2x + 3) treci po redu medju njima.Tada mora vrijediti:

log(

2x − 1)

log(

2x + 3)

↓ ↓2an = an−1 + an+1 ⇒ 2 · log (2x − 1) = log 2 + log (2x + 3)

↑log 2

Lijevu stranu jednakosti raspisat cemo prema izrazu loga xr = r · loga x, dokcemo desnu stranu jednakosti raspisati prema izrazu za zbroj logaritama istihbaza, odnosno prema loga x + loga y = loga (x · y). Vrijedi:

log (2x − 1)2 = log [2 · (2x + 3)]

Nadalje prisjetimo se da vrijedi sljedeca tvrdnja:

loga x1 = loga x2 ⇔ x1 = x2

Dakle posljednja jednakost sada se svodi na sljedecu jednakost:

(2x − 1)2 = 2 · (2x + 3)

11

Uvest cemo supstituciju u za izraz 2x, odnosno u = 2x. Slijedi:

(2x − 1)2 = 2 · (2x + 3)↑ ↑u u

(u− 1)2 = 2 · (u + 3)

Lijevu stranu jednakosti raspisujemo prema izrazu za kvadrat binoma, odnosnoprema (a± b)2 = a2±2ab+b2, dok se na desnoj strani jednakosti rijesim zagrade,slijedi:

u2 − 2 · u · 1 + 12 = 2 · u + 2 · 3

u2 − 2u + 1 = 2u + 6

Prebacimo sve izraze s desne strane jednakosti na lijevu, slijedi:← ←p p

u2 − 2u + 1 = 2u + 6

u2 − 2u + 1− 2u− 6 = 0


u2 − 4u− 5 = 0

Rjesenja dobivene kvadratne jednadzbe trazimo pomoocu izraza:

u1,2 = −b±√

b2 − 4ac

2a

Racunam:

u1,2 =− (−4)±

√(−4)2 − 4 · 1 · (−5)

2 · 1

u1,2 = 4±√

16 + 202

u1,2 = 4±√

362

u1,2 = 4± 62

Odredimo prvo rjesenje, racunamo:

u1 = 4− 62 = −2

2


u1 =−1��−2�21

= −11 = −1

12

Dakle prvo rjesenje jednko je u1 = −1. Odredimo jos i drugo rjesenje, slijedi:

u2 = 4 + 62 = 10


u2 =5��10�21

= 51 = 5

Drugo rjesenje jednako je u2 = 5. Preostaje jos vratiti supstituciju, odnosnorijesimo sljedece dvije eksponecijalne jednadzbe:

−1 5↓ ↓

2x1 = u1 i 2x2 = u2

2x1 = −1 i 2x2 = 5

Lijeva jednadzba nema rjesenja zbog cinjenice da su vrijednosti eksponenci-jalne funkcije uvijek pozitivne. Preostaje samo rjesiti desnu eksponecijalnu jed-nadzbu:

2x2 = 5

Logaritmiramo cijelu jednakost s logaritmom po bazi 2, slijedi:

2x2 = 5 / log2

log2 2x2 = log2 5Prisjetimo se da vrijedi jednakost loga ax = x. Imajuci je na umu slijedi:

x2↑

log2 2x2 = log2 5

x2 = log2 5

Dakle za x = log2 5 tri broja dana u zadatku cine tri uzastopna clana aritmet-ickog niza. Time je zadatak rijesen.

Y ] Z

Zadatak 23: (str. 92) Brojevi 1, x, y uzastopni su clanovi niza. Odredi x

i y ako je x2 − 2 = 2y.


2an = an−1 + an+1

Drugim rijecima ako su dana tri uzastopna clana aritmetickog niza, tada je sred-nji clan aritmeticka sredina onih koji su mu neposredni susjedi.Pretpostavimo da su dani izrazi tri uzastopna clana aritmetickog niza, pri cemuje izraz 1 prvi, x drugi, a y treci po redu medju njima. Tada mora vrijediti:

13

x y

↓ ↓2an = an−1 + an+1 ⇒ 2 · x = 1 + y

↑1

Prebacimo 1 s desne na lijevu stranu jednakosti, slijedi:←p

2x = 1 + y

2x− 1 = y

Iz teksta zadatka citamo da vrijedi x2−2 = 2y. Dakle dobivamo sljedeci sustavjednadzbi: {

2x− 1 = yx2 − 2 = 2y

Primjenimo jednakost iz prve jednadzbe na drugu, slijedi:2x− 1↓

x2 − 2 = 2y

x2 − 2 = 2 · (2x− 1)

Rijesimo se zagrade na desnoj strani jednakosti, slijedi:

x2 − 2 = 2 · 2x− 2 · 1

x2 − 2 = 4x− 2


x2��−2 = 4x��−2

x2 = 4x

Prebacimo 4x s desne na lijevu stranu jednakosti, slijedi:←p

x2 = 4x

x2 − 4x = 0

Izlucimo x iz oba clana sume na lijevoj strani jednakosti, slijedi:

x · (x− 4) = 0

Ako je umnozak dvaju brojeva jednak nuli tada je barem jedan od njih jednaknuli, dakle vrijedi:

x (x− 4) = 0↙ ↘

→px1 = 0 x− 4 = 0

x2 = 4

14

Preostaje nam jos odrediti opdgovarajuce vrijednosti za y. Racunamo:

0 4↓ ↓

y1 = 2x1 − 1 y2 = 2x2 − 1

y1 = 2 · 0− 1 y2 = 2 · 4− 1

y1 = 0− 1 y2 = 8− 1

y1 = −1 y2 = 7

Dakle za sljedeca dva uredjena para (x, y), dakle za (0,−1), (4, 7), niz je arit-meticki. Time je zadatak rijesen.

Y ] Z

Zadatak 26: (str. 92) Zbroj triju uzastopnih clanova aritmetickog nizaiznosi 33. Njihov je umnozak jednak 1287. Odredi te brojeve.

Rjesenje: Neka su a1, a2 i a3 tri uzastopna clana aritmetickog niza. Tadavrijedi sljedeci sustav jednadzbi:{

a1 + a2 + a3 = 33a1 · a2 · a3 = 1287

Kako opci (n-ti) clan aritmetickog niza racunamo preko izraza:

an = a1 + (n− 1) d, n > 1

tada druga dva clana niza poprimaju sljedeci oblik:

2↓

an = a1 + (n− 1) d ⇒ a2 = a1 + (2− 1) d = a1 + d↑2

3↓

an = a1 + (n− 1) d ⇒ a3 = a1 + (3− 1) d = a1 + 2d↑3

Sada sustav jednadzbi poprima sljedeci oblik:

a1 + d a1 + 2d

↓ ↙{a1 + a2 + a3 = 33a1 · a2 · a3 = 1287↙ ↓

a1 + d a1 + 2d

15

{a1 + a1 + d + a1 + 2d = 33a1 · (a1 + d) · (a1 + 2d) = 1287

Usredotocimo se za pocetak na prvu jednadzbu:

a1 + a1 + d + a1 + 2d = 33

Pozbrojimo istovjetne potecncije, slijedi:

3a1 + 3d = 33

Izlucimo broj 3 iz oba clana sume na lijevoj strani jednakosti, slijedi:

3 · (a1 + d) = 33

Pomnozimo cijelu jednakost s 13 , slijedi:

3 · (a1 + d) = 33 / · 13

3 · (a1 + d) · 13 = 33 · 1


1�3 · (a1 + d)

1 · 1�31

=11��33

1 · 1�31

a1 + d

1 = 111

a1 + d = 11

Prebacimo izraz a1 s lijeve strane jednakosti na desnu, slijedi:→p

a1 + d = 11

a1 = 11− d

Nadalje pozabavimo se drugom jednadzbom:

a1 · (a1 + d) · (a1 + 2d) = 1287

Primjenimo cinjenicu da vrijedi a1 = 11− d, slijedi:11− d 11− d 11− d↘ ↓ ↙

a1 · (a1 + d) · (a1 + 2d) = 1287

(11− d) · (11− d + d) · (11− d + 2d) = 1287

Zbrojimo istovjetne potencije, slijedi:

(11− d) ·(11��−d + �d

)· (11 + d) = 1287

16

(11− d) · 11 · (11 + d) = 1287


(11− d) · 11 · (11 + d) = 1287 / · 111

(11− d) · 11 · (11 + d) · 111 = 1287 · 1


(11− d) ·1��11 · (11 + d)1 · 1

��111=

117��12871 · 1

��111

(11− d) · (11 + d)1 = 117

1(11− d) · (11 + d) = 117

Uocimo da je lijeva strana jednakosti zapravo rapisana razlika kvadrata kojusredjujemo prema sljedecem izrazu a2 − b2 = (a− b) (a + b). Dakle vrijedi:

112 − d2

↑(11− d) · (11 + d) = 117

112 − d2 = 117

121− d2 = 117

Prebacimo broj 121 s lijeve strane jednakosti na lijevu, slijedi:→p

121− d2 = 117

−d2 = 117− 121

−d2 = −4

Pomnozimo cijelu jednakost s −1, slijedi:

−d2 = −4 / · (−1)

−d2 · (−1) = −4 · (−1)

d2 = 4

Korijenujemo cijelu jednakost, slijedi:

d2 = 4/; /√

d1,2 = ±2Preostaje nam jos odrediti opdgovarajuce vrijednosti za a1. Racunamo:

17

−2 2↓ ↓

a11 = 11− d1 a12 = 11− d2

a11 = 11− (−2) a12 = 11− 2

a11 = 11 + 2 a12 = 9

a11 = 13

Dakle dva aritmeticka niza zadovoljavaju pocetne uvjete zadatka i to aritmetickiniz kojem je pocetni clan jednak 13, a difirencija −2 i aritmeticki niz kojem jepocetni clan jednak 9, a diferencija 2. Time je zadatak rijesen.

Y ] Z

Zadatak 27: (str. 92) Zbroj triju uzastopnih clanova aritmetickog nizaiznosi 27, a zbroj njihovih kvadrata jednak je 275. Koji je to niz?

Rjesenje: Neka su a1, a2 i a3 tri uzastopna clana aritmetickog niza. Tadavrijedi sljedeci sustav jednadzbi:{

a1 + a2 + a3 = 27a2

1 + a22 + a2

3 = 275

Kako opci (n-ti) clan aritmetickog niza racunamo preko izraza:

an = a1 + (n− 1) d, n > 1

tada druga dva clana niza poprimaju sljedeci oblik:

2↓

an = a1 + (n− 1) d ⇒ a2 = a1 + (2− 1) d = a1 + d↑2

3↓

an = a1 + (n− 1) d ⇒ a3 = a1 + (3− 1) d = a1 + 2d↑3

Sada sustav jednadzbi poprima sljedeci oblik:

a1 + d a1 + 2d

↓ ↙{a1 + a2 + a3 = 33a2

1 + a22 + a2

3 = 275↗ ↑

a1 + d a1 + 2d

{a1 + a1 + d + a1 + 2d = 27a2

1 + (a1 + d)2 + (a1 + 2d)2 = 275

18

Usredotocimo se za pocetak na prvu jednadzbu:

a1 + a1 + d + a1 + 2d = 27

Pozbrojimo istovjetne potecncije, slijedi:

3a1 + 3d = 27

Izlucimo broj 3 iz oba clana sume na lijevoj strani jednakosti, slijedi:

3 · (a1 + d) = 27


3 · (a1 + d) = 27 / · 13

3 · (a1 + d) · 13 = 27 · 1


1�3 · (a1 + d)

1 · 1�31

=9��271 ·

1�31

a1 + d

1 = 91

a1 + d = 9

Prebacimo izraz a1 s lijeve strane jednakosti na desnu, slijedi:→p

a1 + d = 9

a1 = 9− d

Nadalje pozabavimo se drugom jednadzbom:

a21 + (a1 + d)2 + (a1 + 2d)2 = 275

Primjenimo cinjenicu da vrijedi a1 = 9− d, slijedi:11− d 11− d 11− d↘ ↓ ↙

a21 + (a1 + d)2 + (a1 + 2d)2 = 275

(9− d)2 + (9− d + d)2 + (9− d + 2d)2 = 275


(9− d)2 +(9��−d + �d

)2 + (9− d + 2d)2 = 275

(9− d)2 + 92 + (9 + d)2 = 275

(9− d)2 + 81 + (9 + d)2 = 275

19

Prvi i posljednji clan sume na lijevoj strani jednakosti raspisujema prema izrazuza kvadrat binoma, odnosno prema (a± b)2 = a2 ± 2ab + b2, slijedi:

92 − 2 · 9 · d + d2 + 81 + 92 − 2 · 9 · d + d2 = 275

81− 18d + d2 + 81 + 81 + 18d + d2 = 275


81��−18d + d2 + 81 + 81 +��18d + d2 = 275

81 + d2 + 81 + 81 + d2 = 275


2d2 + 273 = 275

Prebacimo broj 273 s lijeve strane jednakosti na lijevu, slijedi:→p

2d2 + 273 = 275

2d2 = 275− 273

2d2 = 2


2d2 = 2 / · 12

2d2 · 12 = 2 · 1


1�2d2

1 · 1�21

=1�21 ·

1�21

d2

1 = 11

d2 = 1


d2 = 1 /√

d1,2 = ±1Preostaje nam jos odrediti opdgovarajuce vrijednosti za a1. Racunamo:

−1 1↓ ↓

a11 = 9− d1 a12 = 9− d2

20

a11 = 9− (−1) a12 = 9− 1

a11 = 9 + 1 a12 = 8

a11 = 10

Dakle dva aritmeticka niza zadovoljavaju pocetne uvjete zadatka i to aritmetickiniz kojem je pocetni clan jednak 10, a difirencija −1 i aritmeticki niz kojem jepocetni clan jednak 8, a diferencija 1. Time je zadatak rijesen.

Y ] Z

Zadatak 28: (str. 92) Cetiri broja cine aritmeticki niz, s njihov je zbroj

20. Zbroj njihovih reciprocnih vrijednosti iznosi 2524 . Koji su to brojevi?

Rjesenje: Niz od cetiri broja koja cine cetiri uzastopna clana aritmet-ickog niza zapisat cemo na poprilicno specifican nacin.

Neka je dan neki realan broj x. Difirencija danog niza oznacimo standard-nom oznaom d. Dva susjedna clana aritmetickog niza mozemo pomocu x i dzapisati na sljedeci nacin:

x− d

2 i x + d

2Promotrimo li malo dane izraze vidimo da se oni razlikuju tocno za diferencijud sto je u skladu s definicijom aritmetickog niza. Nadalje oduzmem li d odprvog od ta dva broja te dodam d drugom od ta dva broja dobit cemo josdva clana aritmetickog niza, odnosno sljedeci izrazi cine cetiri uzastopna clanaaritmetickog niza:

x− d

2 − d, x− d

2 , x + d

2 , x + d

2 + d

Sredimo krajnje clanove niza:

x− d

2 − d i x + d

2 + d

Svedemo na zajednicki nazivnik 2 posljednja dva clana sume kod obaju clanova,slijedi:

x + −d · 1− d · 22 i x + d · 1 + d · 2

2

x + −d− 2d

2 i x + d + 2d

2

x + −3d

2 i x + 2d

2

x− 3d

2 i x + 3d

2

21

Cijeli niz sada ima sljedeci oblik:

x− 3d

2 , x− d

2 , x + d

2 , x + 3d

2

Podatke dane u zadatku mozemo zapisati pomocu sljedeceg sustava jednadzbi:x− 3d

2 + x− d

2 + x + d

2 + x + 3d

2 = 20

1

x− 3d

2

+ 1

x− d

2

+ 1

x + d

2

+ 1

x + 3d

2

= 2524

Usredotocimo se na prvu jednadzbu:

x− 3d

2 + x− d

2 + x + d

2 + x + 3d

2 = 20


x��−3d

2 + x��−d

2 + x +��d

2 + x +��3d

2 = 20

x + x + x + x = 20


4x = 20


4x = 20 / · 14

4x · 14 = 20 · 1


1�4x

1 · 1�41

=5��201 ·

1�41

x

1 = 51

x = 5

Nadalje obratimo pozornost da drugu jednadzbu:

1

x− 3d

2

+ 1

x− d

2

+ 1

x + d

2

+ 1

x + 3d

2

= 2524

22

Primjenimo cinjenicu da vrijedi x = 5. Dakle jednakost poprima sljedeci oblik:

1

x− 3d

2

+ 1

x− d

2

+ 1

x + d

2

+ 1

x + 3d

2

= 2524

↑ ↑ ↑ ↑5 5 5 5

1

5− 3d

2

+ 1

5− d

2

+ 1

5 + d

2

+ 1

5 + 3d

2

= 2524

Pomnozimo cijelu jednakost s izrazom 24(

5− 3d

2

)·(

5− d

2

)·(

5 + d

2

)·(

5 + 3d

2

),

slijedi:

1

5− 3d

2

+ 1

5− d

2

+ 1

5 + d

2

+ 1

5 + 3d

2

= 2524

/·24(

5− 3d

2

)·(

5− d

2

)·(

5 + d

2

)·(

5 + 3d

2

)

1

5− 3d

2

· 24(

5− 3d

2

)·(

5− d

2

)·(

5 + d

2

)·(

5 + 3d

2

)+

+ 1

5− d

2

· 24(

5− 3d

2

)·(

5− d

2

)·(

5 + d

2

)·(

5 + 3d

2

)+

+ 1

5 + d

2

· 24(

5− 3d

2

)·(

5− d

2

)·(

5 + d

2

)·(

5 + 3d

2

)+

+ 1

5 + 3d

2

· 24(

5− 3d

2

)·(

5− d

2

)·(

5 + d

2

)·(

5 + 3d

2

)=

= 2524 · 24

(5− 3d

2

)·(

5− d

2

)·(

5 + d

2

)·(

5 + 3d

2

)Pokratimo sto se pokratiti dade, slijedi:

1

1��5− 3d

2

·24 ·

��

(5− 3d

2

)1 ·(

5− d

2

)·(

5 + d

2

)·(

5 + 3d

2

)1 +

+ 1

1��5− d

2

·24 ·

(5− 3d

2

)·�

��(

5− d

2

)1 ·(

5 + d

2

)·(

5 + 3d

2

)1 +

23

+ 1

1��5 + d

2

·24 ·

(5− 3d

2

)·(

5− d

2

)·�

��(

5 + d

2

)1 ·(

5 + 3d

2

)1 +

+ 1

1��5 + 3d

2

·24 ·

(5− 3d

2

)·(

5− d

2

)·(

5 + d

2

)·��

(5 + 3d

2

)1

1 =

= 251��24 ·

��241 ·(

5− 3d

2

)·(

5− d

2

)·(

5 + d

2

)·(

5 + 3d

2

)1

24 ·(

5− d

2

)·(

5 + d

2

)·(

5 + 3d

2

)1 +

24 ·(

5− 3d

2

)·(

5 + d

2

)·(

5 + 3d

2

)1 +

+24 ·

(5− 3d

2

)·(

5− d

2

)·(

5 + 3d

2

)1 +

24 ·(

5− 3d

2

)·(

5− d

2

)·(

5 + d

2

)1 =

=25 ·

(5− 3d

2

)·(

5− d

2

)·(

5 + d

2

)·(

5 + 3d

2

)1

24 ·(

5− d

2

)·(

5 + d

2

)·(

5 + 3d

2

)+ 24 ·

(5− 3d

2

)·(

5 + d

2

)·(

5 + 3d

2

)+

+24 ·(

5− 3d

2

)·(

5− d

2

)·(

5 + 3d

2

)+ 24 ·

(5− 3d

2

)·(

5− d

2

)·(

5 + d

2

)=

= 25 ·(

5− 3d

2

)·(

5− d

2

)·(

5 + d

2

)·(

5 + 3d

2

)Poredamo clanove produkta svakog sumanda na malo primjereniji nacin, slijedi:

24 ·(

5− d

2

)·(

5 + d

2

)·(

5 + 3d

2

)+ 24 ·

(5− 3d

2

)·(

5 + 3d

2

)·(

5 + d

2

)+

+24 ·(

5− d

2

)·(

5− 3d

2

)·(

5 + 3d

2

)+ 24 ·

(5− 3d

2

)·(

5− d

2

)·(

5 + d

2

)=

= 25 ·(

5− d

2

)·(

5 + d

2

)·(

5− 3d

2

)·(

5 + 3d

2

)

24

Iz prvog i posljednjeg clana sume na lijevoj strani jednakosti izlucimo 24 ·(5− d

2

)·(

5 + d

2

), dok iz drugog i treceg clana sume na lijevoj strani jed-

nakosti izlucimo 24 ·(

5− 3d

2

)·(

5 + 3d

2

), slijedi:

24 ·(

5− d

2

)·(

5 + d

2

)·(

5 + 3d

2 + 5− 3d

2

)+

+24 ·(

5− 3d

2

)·(

5 + 3d

2

)·(

5 + d

2 + 5− d

2

)=

= 25 ·(

5− d

2

)·(

5 + d

2

)·(

5− 3d

2

)·(

5 + 3d

2


24 ·(

5− d

2

)·(

5 + d

2

)·(

5 +��3d

2 + 5�

��−3d

2

)+

+24 ·(

5− 3d

2

)·(

5 + 3d

2

)·(

5 +��d

2 + 5��−d

2

)=

= 25 ·(

5− d

2

)·(

5 + d

2

)·(

5− 3d

2

)·(

5 + 3d

2

)24 ·

(5− d

2

)·(

5 + d

2

)· 10 + 24 ·

(5− 3d

2

)·(

5 + 3d

2

)· 10 =

= 25 ·(

5− d

2

)·(

5 + d

2

)·(

5− 3d

2

)·(

5 + 3d

2

)240 ·

(5− d

2

)·(

5 + d

2

)+ 240 ·

(5− 3d

2

)·(

5 + 3d

2

)=

= 25 ·(

5− d

2

)·(

5 + d

2

)·(

5− 3d

2

)·(

5 + 3d

2

)Primjetimo da se kod svakog sumanda kao dio produkta nalazi razlika kvadratakoju cemo srediti prema izrazu a2 − b2 = (a + b) · (a + b). Vrijedi:

52 −(

d

2

)252 −

(3d

2

)2

↑ ↑

240 ·(

5− d

2

)·(

5 + d

2

)+ 240 ·

(5− 3d

2

)·(

5 + 3d

2

)=

= 25 ·(

5− d

2

)·(

5 + d

2

)·(

5− 3d

2

)·(

5 + 3d

2

)↓ ↓

52 −(

d

2

)252 −

(3d

2

)2

25

240 ·[

52 −(

d

2

)2]

+ 240 ·[

52 −(

3d

2

)2]

= 25 ·[

52 −(

d

2

)2]·

[52 −

(3d

2

)2]

Drugi clan sume u svakoj od zagrada raspisujem prema pravilu za djeljenjepotencija istih eksponenata, odnosno prema an

bn=(a

b

)n

, slijedi:

240 ·(

25− d2

22

)+ 240 ·

[25− (3d)2

22

]= 25 ·

(25− d2

22

)·

[25− (3d)2

22

]

Nadalje izraz u brojniku drugog sumanda u drugim zagradama na lijevoj i desnojstrani jednakosti rapisujemo prema izrazu za mnozenje potencija istih ekspone-nata, odnosno prema an · bn = (a · b)n, slijedi:

240 ·(

25− d2

4

)+ 240 ·

(25− 32d2

4

)= 25 ·

(25− d2

4

)·(

25− 32d2

4

)

240 ·(

25− d2

4

)+ 240 ·

(25− 9d2

4

)= 25 ·

(25− d2

4

)·(

25− 9d2

4

)Dobiveni izraz zapisemo na malo drugaciji nacin, vrijedi:

240 ·(

25− d2

4

)+ 240 ·

(25− 9 · d2

4

)= 25 ·

(25− d2

4

)·(

25− 9 · d2

4

)

Uvodimo supstituciju d2

4 = w. Sada jednakost poprima sljedeci oblik:w w w w

↑ ↑ ↑ ↑

240 ·(

25− d2

4

)+ 240 ·

(25− 9 · d2

4

)= 25 ·

(25− d2

4

)·(

25− 9 · d2

4

)240 · (25− w) + 240 · (25− 9w) = 25 · (25− w) · (25− 9w)

Rijesimo se zagrada s obje strane jednakosti, slijedi:

240·25+240·(−w)+240·25+240·(−9w) = 25·[25 · 25 + 25 · (−9w) + (−w) · 25 + (−w) · (−9w)]

6000− 240w + 6000− 2160w = 25 ·(625− 225w − 25w + 9w2)


12000− 2400w = 25 ·(625− 250w + 9w2)


12000− 2400w = 25 · 625 + 25 · (−250w) + 25 · 9w2

12000− 2400w = 15625− 6250w + 225w2

26

Prebacimo sve s lijeve strane jednakosti na desnu, slijedi:→ →p p

12000− 2400w = 15625− 6250w + 225w2

0 = −12000 + 2400w + 15625− 6250w + 225w2


0 = 3625− 3850w + 225w2


0 = 3625− 3850w + 225w2/· 125

0 = 3625 · 125 − 3850w · 1

25 + 225w2 · 125


0 =145��3625

1 · 1��251−

154��3850w

1 · 1��251

+9��225w2

1 · 1��251

0 = 1451 − 154w

1 + 9w2

10 = 145− 154w + 9w2

Zamijenimo lijevu i desnu stranu jednakosti te poredamo potencije po stupnju,vrijedi:

9w2 − 154w + 145 = 0


w1,2 = −b±√

b2 − 4ac

2a

Racunam:

w1,2 =− (−154)±

√(−154)2 − 4 · 9 · 1452 · 9

w1,2 = 154±√

23716− 522018

w1,2 = 154±√

1849618

w1,2 = 154± 13618


w1 = 154− 1362 = 18

18

27


w1 =1��18��181

= 11 = 1

Dakle prvo rjesenje jednko je w1 = 1. Odredimo jos i drugo rjesenje, slijedi:

w2 = 154 + 13618 = 290

18


w2 =145��290��189

= 1459

Drugo rjesenje jednako je w2 = 1459 . Preostaje jos vratiti supstituciju, odnosno

rijesiti sljedece dvije kvadratne jednadzbe:145

91↓ ↓d2

14 = w1 i d2

24 = w2

d21

4 = 1 i d22

4 = 1459

Lijeve strane obje jednakosti sredimo prema izrazu za dijeljenje potencija istiheksponenanta, odnosno prema an

bn=(a

b

)n

. Imajuci na umu da vrijedi 4 = 22

jednakosti poprimaju sljedeci oblik:

d21

22 = 1 i d22

22 = 1459(

d1

2

)2= 1 i

(d2

2

)2= 145

9Korijenujemo obje jednakosti, slijedi:(

d1

2

)2= 1

/√ i

(d2

2

)2= 145

9

/√

d1

2 = ±1 i d2

2 = ±√

1459

d2

2 = ±√

1453

28

Dakle govorimo o sljedecim nizovima:

Prvi niz: x = 5,d

2 = −1

Drugi niz: x = 5,d

2 = 1

Treci niz: x = 5,d

2 = −√

1453

Cetvrti niz: x = 5,d

2 =√

1453

Time je zadatak rijesen.

Y ] Z

Zadatak 29: (str. 92) Zbroj cetiriju brojeva sto cine aritmeticki niz jed-nak je 1, a zbroj njihovih kubova iznosi 0.1. Koji su to brojevi?



x− d

2 i x + d


x− d

2 − d, x− d

2 , x + d

2 , x + d

2 + d


x− d

2 − d i x + d

2 + d


x + −d · 1− d · 22 i x + d · 1 + d · 2

2

x + −d− 2d

2 i x + d + 2d

2

x + −3d

2 i x + 2d

2

29

x− 3d

2 i x + 3d

2Cijeli niz sada ima sljedeci oblik:

x− 3d

2 , x− d

2 , x + d

2 , x + 3d

2Podatke dane u zadatku mozemo zapisati pomocu sljedeceg sustava jednadzbi:

x− 3d

2 + x− d

2 + x + d

2 + x + 3d

2 = 1

(x− 3d

2

)3+(

x− d

2

)3+(

x + d

2

)3+(

x + 3d

2

)3= 0.1

Usredotocimo se na prvu jednadzbu:

x− 3d

2 + x− d

2 + x + d

2 + x + 3d

2 = 1


x��−3d

2 + x��−d

2 + x +��d

2 + x +��3d

2 = 1

x + x + x + x = 1


4x = 1


4x = 1 / · 14

4x · 14 = 1 · 1


1�4x

1 · 1�41

= 11 ·

14

x

1 = 14

x = 14

Nadalje obratimo pozornost da drugu jednadzbu:(x− 3d

2

)3+(

x− d

2

)3+(

x + d

2

)3+(

x + 3d

2

)3= 0.1

30

Primjenimo cinjenicu da vrijedi x = 5. Dakle jednakost poprima sljedeci oblik:(x− 3d

2

)3+(

x− d

2

)3+(

x + d

2

)3+(

x + 3d

2

)3= 0.1

↑ ↑ ↑ ↑14

14

14

14(

14 −

3d

2

)3+(

14 −

d

2

)3+(

14 + d

2

)3+(

14 + 3d

2

)3= 0.1

Svaku zagradu raspisujemo prema izrazu za kub binoma, odnosno prema(a± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3, slijedi:(

14

)3− 3 ·

(14

)2· 3d

2 + 3 · 14 ·(

3d

2

)2−(

3d

2

)3+

+(

14

)3− 3 ·

(14

)2· d

2 + 3 · 14 ·(

d

2

)2−(

d

2

)3+

+(

14

)3+ 3 ·

(14

)2· d

2 + 3 · 14 ·(

d

2

)2+(

d

2

)3+

+(

14

)3+ 3 ·

(14

)2· 3d

2 + 3 · 14 ·(

3d

2

)2+(

3d

2

)3= 0.1

Pokratimo sto se pokratiti dade, slijedi:(14

)3

��−3 ·

(14

)2· 3d

2 + 3 · 14 ·(

3d

2

)2

��

��−(

3d

2

)3+

+(

14

)3

��

��

−3 ·(

14

)2· d

2 + 3 · 14 ·(

d

2

)2

��

��

−(

d

2

)3+

+(

14

)3+��

��3 ·(

14

)2· d

2 + 3 · 14 ·(

d

2

)2+�

��

(d

2

)3+

+(

14

)3+��

��

3 ·(

14

)2· 3d

2 + 3 · 14 ·(

3d

2

)2+��

��(

3d

2

)3= 0.1

(14

)3+ 3 · 1

4 ·(

3d

2

)2+(

14

)3+ 3 · 1

4 ·(

d

2

)2+

+(

14

)3+ 3 · 1

4 ·(

d

2

)2+(

14

)3+ 3 · 1

4 ·(

3d

2

)2= 0.1

31

Posljednji clan produkta u svakom drugom clanu sume na lijevoj strani jed-nakosti raspisujem prema pravilu za djeljenje potencija istih eksponenata, odnosnoprema an

bn=(a

b

)n

, slijedi:

164 + 3

4 ·(3d)2

22 + 164 + 3

4 ·d2

22 + 164 + 3

4 ·(3d)2

22 + 164 + 3

4 ·d2

22 = 0.1

164 + 3

4 ·(3d)2

4 + 164 + 3

4 ·d2

4 + 164 + 3

4 ·(3d)2

4 + 164 + 3

4 ·d2

4 = 0.1

Sve preostale zagrade raspisemo prema pravilu za mnozenje potencija istih ek-sponenata, odnosno prema an · bn = (a · b)2, slijedi:

164 + 3

4 ·32 · d2

4 + 164 + 3

4 ·d2

4 + 164 + 3

4 ·32 · d2

4 + 164 + 3

4 ·d2

4 = 0.1

164 + 3

4 ·9d2

4 + 164 + 3

4 ·d2

4 + 164 + 3

4 ·9d2

4 + 164 + 3

4 ·d2

4 = 0.1

164 + 27d2

16 + 164 + 3d2

16 + 164 + 27d2

16 + 164 + 3d2

16 = 0.1

Zbrojimo istovjetne potencije te decimalan broj na desnoj strani jednakostiprikazemo u obliku razlomka, slijedi:

1 + 1 + 1 + 164 + 27d2 + 3d2 + 27d2 + 3d2

16 = 110

464 + 60d2

16 = 110

Pomnozimo cijelu jednakost s 640, slijedi:

464 + 60d2

16 = 110

/· 640

41��64 ·

��64010

1 + 60d2

1��16 ·��64040

1 = 11��10 ·

��64064

1401 + 2400d2

1 = 641

40 + 2400d2 = 64Prebacimo broj 40 s lijeve na desnu stranu jednakosti, slijedi:

→p2400d2 = 64− 40

2400d2 = 24


2400d2 = 24/· 12400

32

2400d2 · 12400 = 24 · 1

2400Pokratimo sto se poktatiti dade, slijedi:

1��2400d2

1 · 1��24001

=1��241 ·

1��2400100

d2

1 = 1100

d2 = 1100


d2 = 1100

/√

d1,2 = ± 110


Prvi niz: x = 14 , d = − 1

10Drugi niz: x = 1

4 , d = 110


Y ] Z

Zadatak 30: (str. 92) Cetiri pozitivna broja uzastopni su clanovi arit-metickog niza s razlikom 2. Umnozak tih brojeva jednak je 19305. Koji su tobrojevi?



x− d

2 i x + d

2Promotrimo li malo dane izraze vidimo da se oni razlikuju tocno za diferencijud sto je u skladu s definicijom aritmetickog niza. Nadalje oduzmem li d odprvog od ta dva broja te dodam d drugom od ta dva broja dobit cemo jos

33

dva clana aritmetickog niza, odnosno sljedeci izrazi cine cetiri uzastopna clanaaritmetickog niza:

x− d

2 − d, x− d

2 , x + d

2 , x + d

2 + d


x− d

2 − d i x + d

2 + d


x + −d · 1− d · 22 i x + d · 1 + d · 2

2

x + −d− 2d

2 i x + d + 2d

2

x + −3d

2 i x + 2d

2

x− 3d

2 i x + 3d


x− 3d

2 , x− d

2 , x + d

2 , x + 3d

2

Nadalje primjenimo cinjenicu da je dana vrijednost diferencije (razlike) niza,d = 2, slijedi:

2 2 2 2↓ ↓ ↓ ↓

x− 3d

2 , x− d

2 , x + d

2 , x + 3d

2

x− 3 · 22 , x− 2

2 , x + 22 , x + 3 · 2


x− 3 · �21

1�2, x− �21

1�2, x + �21

1�2, x + 3 · �21

1�2

x− 31 , x− 1

1 , x + 11 , x + 3

1x− 3, x− 1, x + 1, x + 3

Posljednji podatak dan u zadatku mozemo zapisati pomocu sljedece jednadzbe:

(x− 3) · (x− 1) · (x + 1) · (x + 3) = 19305

Zamijenimo poredak zagrada, vrijedi:

(x− 1) · (x + 1) · (x− 3) · (x + 3) = 19305

34

Primjetimo da se u danoj jednakosti pojavljuju dvije razlike kvadrata koje cemosrediti prema izrazu a2 − b2 = (a + b) · (a + b). Vrijedi:

x2 − 12

x2 − 32

↑ ↑(x− 1) · (x + 1) · (x− 3) · (x + 3) = 19305(

x2 − 12) · (x2 − 32) = 19305(x2 − 1

)·(x2 − 9

)= 19305

Rijesimo se zagrade na lijevoj strani jednakosti, slijedi:

x2 · x2 + x2 · (−9) + (−1) · x2 + (−1) · (−9) = 19305

Zamijenimo svako pojavljivanje izraza x2 s g, odnosno uvodimo supstitucijux2 = g, vrijedi:

g g g g

↑ ↑ ↑ ↑x2 · x2 + x2 · (−9) + (−1) · x2 + (−1) · (−9) = 19305

g · g + g · (−9) + (−1) · g + (−1) · (−9) = 19305

g2 − 9g − g + 9 = 19305

Prebacimo broj 19305 s desne strane jednakosti na lijevu, slijedi:←p

g2 − 9g − g + 9 = 19305

g2 − 9g − g + 9− 19305 = 0


g2 − 10g − 19296 = 0


g1,2 = −b±√

b2 − 4ac

2a

Racunam:

g1,2 =− (−10)±

√(−10)2 − 4 · 1 · (−19305)

2 · 1

g1,2 = 10±√

100 + 771842

g1,2 = 10±√

772842

g1,2 = 10± 2782


g1 = 10− 2782 = −268

2

35


g1 =−134��−268

�21= −134

1 = −134

Dakle prvo rjesenje jednko je g1 = −134. Odredimo jos i drugo rjesenje, slijedi:

g2 = 10 + 2782 = 288

2


g2 =144

�2�21

= 1441 = 144

Drugo rjesenje jednako je g2 = 144. Preostaje jos vratiti supstituciju, odnosnorijesiti sljedece dvije kvadratne jednadzbe:

−134 144↓ ↓

x21 = g1 i x2

2 = g2

x21 = −134 i x2

2 = 144

Lijeva jednadzba nema realnih rjesenja pa se usredotocujemo na desnu jed-nadzbu:

x22 = 144


x22 = 144 /

√

x21,2 = ±12


Prvi niz: x = −12, d = 2Drugi niz: x = 12, d = 2


Y ] Z

Zadatak 31: (str. 92) Clanovi aritmetickog niza su cijeli brojevi. Dokazida je umnozak cetiriju uzastopnih clanova niza uvecan za cetvrtu potenciju ra-zlike niza, kvadrat cijelog broja.


36


x− d

2 i x + d


x− d

2 − d, x− d

2 , x + d

2 , x + d

2 + d


x− d

2 − d i x + d

2 + d


x + −d · 1− d · 22 i x + d · 1 + d · 2

2

x + −d− 2d

2 i x + d + 2d

2

x + −3d

2 i x + 2d

2

x− 3d

2 i x + 3d


x− 3d

2 , x− d

2 , x + d

2 , x + 3d

2

Nas je zadatak pokazati da je sljedeci izraz kvadrat cijelog broja:(x− 3d

2

)·(

x− d

2

)·(

x + d

2

)·(

x + 3d

2

)+ d4 = (?)

Poredajmo clanove produkta u prvom clanu sume na malo drugaciji, vrijedi:

(?) =(

x− d

2

)·(

x + d

2

)·(

x− 3d

2

)·(

x + 3d

2

)+ d4 = (??)

Primjetimo da se u danoj jednakosti pojavljuju dvije razlike kvadrata koje cemosrediti prema izrazu a2 − b2 = (a + b) · (a + b). Vrijedi:

37

x2 −(

d

2

)2x

2 −(

3d

2

)2

↑ ↑

(??) =(

x− d

2

)·(

x + d

2

)·(

x− 3d

2

)·(

x + 3d

2

)+ d4 =

=[

x2 −(

d

2

)2]·

[x2 −

(3d

2

)2]

+ d4 = (? ? ?)

Druge clanove suma u zagradama raspisujemo prema izrazu za djeljenje poten-cija istih eksponenata, odnosno prema an

bn=(a

b

)n

, slijedi:

(? ? ?) =[x2 − d2

22

]·

[x2 − (3d)2

22

]+ d4 =

=[x2 − d2

4

]·

[x2 − (3d)2

4

]+ d4 = (♠)

Izraz u brojniku drugog clana sume u drugoj zagradi produkta raspisujemoprema izrazu za umnozak potencija istih eksponenata, odnosno premaan · bn = (a · b)2, slijedi:

(♠) =[x2 − d2

4

]·[x2 − 32d2

4

]+ d4 =

[x2 − d2

4

]·[x2 − 9d2

4

]+ d4 = (♠♠)

Rijesimo se zagrada, slijedi:

(♠♠) = x2 · x2 + x2 ·(−9d2

4

)+(−d2

4

)· x2 +

(−d2

4

)·(−9d2

4

)+ d4 =

= x4 − 9d2

4 x2 − d2

4 x2 + 9d4

16 + d4 = (♠♠♠)

Pozbrojimo istovjetne izraze, slijedi:

(♠♠♠) = x4 − 10d2

4 x2 + 9d4

16 + 16d4

16 = x4 − 10d2

4 x2 + 25d4

16 = (♣)

Moj krajnji cilj je dobiveni izraz svesti na potpuni kvadrat. U tu svrhu dobiveniizraz zapisimo na malo drugaciji nacin, naime broj 10 u srednjem clanu izrazazapisimo kao 2 · 5, prvi clan sume zapisimo kao x2·2, dijelove posljednjeg clanasume na sljedeci nacin i to 25 kao 52, d4 kao d2·2 te 16 kao 42, slijedi:

2 · 5 52d

2·2

↑ ↖ ↗x2·2

↖(♣) = x4 − 10d2

4 x2 + 25d4

16 = x2·2 − 2 · 5 · d2

4 x2 + 52d2·2

42 = (♣♣)

↓42

38

Sredimo drugi clan sume, vrijedi:

(♣♣) = x2·2 − 2 · x2 · 5d2

4 + 52d2·2

42 = (♣♣♣)

Nadalje prvi clan sume i dio posljednjeg clana sume sredjujemo prema izrazuza potenciranje potencija, odnosno prema (an)m = an·m, slijedi:(

d2)2

↑(

x2)2

↖(♣♣♣) = x2·2 − 2 · x2 · 5d2

4 + 52d2·2

42 =(x2)2 − 2 · x2 · d2

4 +52 (d2)2

42 = (♦)

Brojnik posljednjeg clana sume sredimo prema izrazu za mnozenje potencijaistih eksponenata, odnosno prema an · bn = (a · b)n, slijedi:

(♦) =(x2)2 − 2 · x2 · 5d2

4 +(5d2)2

42 = (♦♦)

Preostaje nam jos posljednji clan sume srediti prema izrazu za djeljenje potencijaistih eksponenata, osnosno prema an

bn=(a

b

)n

, slijedi:

(♦♦) =(x2)2 − 2 · x2 · 5d2

4 +(

5d2

4

)2

= (♦♦♦)

Dakle dosli smo do oblika kojeg mozemo lako prepoznati kao kvadrat binoma,odnosno izraz (a± b)2 = a2 ± 2ab + b2, sliejedi:

(♦♦♦) =(

x2 − 5d2

4

)2

Zaista izraz s pocetka sveli smo na potpuni kvadrat. Jedino pitanje koje sepostavlja jest je li broj u zagradi nuzno cijeli. Primjetimo pritom da jedino stoznamo je da su clanovi danog niza cijeli brojevi. Dakle zadatak nam je dobiveniizraz prikazati pomocu izraza koji opisuju clanove niza.Sredimo malcice dobiveni izraz. Naime broj 5 mozemo zapisati kao 1 + 4. Tadavrijedi:

1 + 4↑(

x2 − 5d2

4

)2

=(

x2 − (1 + 4) d2

4

)2

= (◦)

Rijesimo se zagrade u brojniku razlomka unutar zagrade, slijedi:

(◦) =(

x2 − d2 + 4d2

4

)2

=(

x2 −(

d2

4 + 4d2

4

))2

= (◦◦)

Pokratimo sto se pokratiti daate te se se rijesimo unutarnje zagrade, slijedi:

(◦◦) =(

x2 −(

d2

4 +1�4d2

�4

))2

=(

x2 −(

d2

4 + d2

1

))2

=

39

=(

x2 −(

d2

4 + d2))2

=(

x2 − d2

4 − d2)2

= (◦ ◦ ◦)

Zapisimo broj 4 kao 22, slijedi:

(◦ ◦ ◦) =(

x2 − d2

4 − d2)2

= (¦)↑22

(¦) =(

x2 − d2

22 − d2)2

= (¦¦)

Drugi clan sume u zagradi sredimo prema izrazu za djeljenje potencija istiheksponenata, osnosno prema an

bn=(a

b

)n

, slijedi:

(¦¦) =(

x2 −(

d

2

)2− d2

)2

= (¦¦¦)

Prva dva clana sume pod zagradom prepoznajemo kao razliku kavadrata kojucemo raspisati prema izrazu a2 − b2 = (a + b) · (a + b). Vrijedi:

(¦¦¦) =(

x2 −(

d

2

)2− d2

)2

=[(

x− d

2

)·(

x + d

2

)− d2

]2= (a)

Prije svega uocavamo da je prvi dio izraza ispod zagrade zapravo jednak um-nosku dva clana danog aritmetickog niza. Preostaje jos diferenciju d prikazatipomocu izraza koji predstavlja neke od clanova niza. U tu svrhu oduzmimosljedeca dva izraza koji predstavljaju clanove niza:

x + d

2 −(

x− d

2

)= (v)

Rijesimo se zagrade, slijedi:

(v) = x + d

2 − x + d

2 = (vv)


(vv) = �x + d

2��−x + d

2 = d + d

2 = 2d

2 = (vvv)

Pokratimo sto se poktratiti dade, slijedi:

(vvv) =1�2d

�21= d

1 = d

40

Zakljucujemo da vrijedi:

d = x + d

2 −(

x− d

2

)Tada potpuni kvadrat poprima sljedeci oblik, slijedi:

(a) =[(

x− d

2

)·(

x + d

2

)− d2

]2={(

x− d

2

)·(

x + d

2

)−[x + d

2 −(

x− d

2

)]2}2

↑|x +

d

2−(

x−d

2

)Dakle potpuni kvadrat prikazali smo pomocu izraza koji predstavljaju clanoveniza koji su cijeli brojevi. Kako su cijeli brojeci zatvoreni na operacije zbrajanja,oduzimanja i mnozenja, broj ispod posljednje zagrade je cijeli broj. Time jezadatak rijesen.

Y ] Z

Zadatak 32: (str. 92) Krajnji clanovi aritmetickog niza od 7 clanova jed-naki su 11 i 35. Koliko clanova ima niz ciji su krajnji clanovi 38 i 13, ako sucetvrti clanovi ovih nizova jednaki?

Rjesenje: Neka su (an) s opcim clanom an i (bn) s opcim clanom bn

aritmeticki nizovi za koje vrijedi:

a1 = 11 i a7 = 35

b1 = 38 i bn = 13a4 = b4

Prvo cemo odrediti kako izgleda aritmeticki niz (an). Prisjetimo se da opci clanaritmetickog niza (an) odredjujemo prema izrazu:

an = a1 + (n− 1) · d

pri cemu su a1 pocetan clan tog niza, a d razlika (diferencija) niza (an). Tadasedmi clan niza a7 poprima sljedeci oblik:

an = a1 + (n− 1) · d ⇒ a7 = a1 + (7− 1) · d↑ ↑7 7 a7 = a1 + 6d

Trebamo rijesiti sljedeci sustav jednadzbi:{a1 = 11a7 = 35

Uvrstimo poznate cinjenice, slijedi:

41

{a1 = 11a7 = 35↑

a1 + 6d{a1 = 11

a1 + 6d = 35

Primjenimo cinjenicu da je prvi clan aritmetickog niza (an) jednak 11 u drugujednadzbu, slijedi:

11↓a1 + 6d = 35 ⇒ 11 + 6d = 35

Prebacimo broj 11 s lijeve na desnu stranu jednakosti, slijedi:→p

11 + 6d = 35

6d = −11 + 35

6d = 24


6d = 24/·16

6d · 16 = 24 · 1


1�6d

1 · 1�61

=4��241 ·

1�61

d

1 = 41

d = 4

Dakle razlika (diferencija) aritmetickog niza (an) jednaka je 4. Nadalje odred-imo cemu je jednak cetvrti clan aritmetickog niza (an). Racunamo:

an = a1 + (n− 1) · d ⇒ a4 = a1 + (4− 1) · d↑ ↑4 4 a4 = a1 + 3d

Uvrstimo poznate vrijednosti, slijedi:

11 4↘ ↙

a4 = a1 + 3d ⇒ a4 = 11 + 3 · 4

a4 = 11 + 12

a4 = 33

42

Dakle kako su cetvrti clanovi obaju aritmetickih nizova jednaki jasno je da moravrijediti b4 = 33. Odrediti kako izgleda aritmeticki niz (bn). Prisjetimo se daopci clan aritmetickog niza (bn) odredjujemo prema izrazu:

bn = b1 + (n− 1) · d

pri cemu su b1 pocetan clan tog niza, a d razlika (diferencija) niza (bn). Tadasedmi clan niza b4 poprima sljedeci oblik:

bn = b1 + (n− 1) · d ⇒ b4 = b1 + (4− 1) · d↑ ↑4 4 b4 = b1 + 3d

Trebamo rijesiti sljedeci sustav jednadzbi:{b1 = 11b4 = 33

Uvrstimo poznate cinjenice, slijedi:{b1 = 11b4 = 33↑

b1 + 3d{b1 = 38

b1 + 3d = 33

Primjenimo cinjenicu da je prvi clan aritmetickog niza (an) jednak 38 u drugujednadzbu, slijedi:

38↓b1 + 6d = 33 ⇒ 38 + 3d = 33

Prebacimo broj 11 s lijeve na desnu stranu jednakosti, slijedi:→p

38 + 3d = 33

3d = −38 + 33

3d = −5


3d = −5/·13

3d · 13 = −5 · 1


1�3d

1 · 1�31

= −51 ·

13

43

d

1 = −53

d = −53

Dakle razlika (diferencija) aritmetickog niza (bn) jednaka je −53 . Preostaje

jos samo odrediti koliko clanova ima aritmeticki niz (bn). To cemo uciniti izcinjenice da je n-ti clan tog niza jednak 13. Uvrstimo poznate cinjenice u izrazza opci clan aritmetickog niza (bn), slijedi:

−53

13 38↘ ↓ ↙

bn = b1 + (n− 1) · d ⇒ 13 = 38 + (n− 1) ·(−5

3

)13 = 38 + (n− 1) ·

(−5

3

)Prebacimo broj 38 s desne strane jednakosti na lijevu, slijedi:

←p13 = 38 + (n− 1) ·

(−5

3

)13− 38 = (n− 1) ·

(−5

3

)−25 = (n− 1) ·

(−5

3

)Pomnozimo cijelu jednakost s −3

5 , slijedi:

−25 = (n− 1) ·(−5

3

) /·(−3

5

)

−25 ·(−3

5

)= (n− 1) ·

(−5

3

)·(−3

5


−5��−251 ·

(− 3�51

)= (n− 1) ·

(−

1�5

1�3

)·(−�31

�51

)−51 ·

(−3

1

)= (n− 1) ·

(−1

1

)·(−1

1

)151 = (n− 1) · (−1) · (−1)

15 = (n− 1) · 1

15 = n− 1

Prebacimo broj −1 s desne na lijevu stranu jednakosti, slijedi:

44

←p15 = n− 1

15 + 1 = n

16 = n

Dakle aritmeticki niz (bn) ima 16 clanova. Time je zadatak rijesen.

Y ] Z

Zadatak 38: (str. 92) U aritmetickom nizu je 12 clanova. Zbroj onih naparnim mjestima je 186, a onih na neparnim mjestima 156. Kolika je razlikaniza?

Rjesenje: Neka je (an) s opcim clanom an aritmeticki niz opisan u za-datku. Taj niz mozemo podijeliti na nova dva aritmeticka niza, (bk) koji cesadrzavati samo clanove na neparnim mjestima i (ck) koji ce sadrzavati samoclanove na parnim mjestima.

aritmeticki niz (bk)↑

| | | | | |a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10, a11, a12

| | | | | |↓

aritmeticki niz (ck)

Prije svega uocimo da oba niza imaju tocno 6 clanova. Nadalje ako je razlikaniza (an) jednaka d tada razlike obaju novih nizova moraju biti duplo vece,odnosno 2d, jer uzimamo svaki drugi clan, dakle svaki put se pomaknemo zadvije diferencije od prethodnog clana.

Ako je b1 pocetan clan aritmetickog niza (bk), a d(bk) njegova diferencija, tadaopci clan bk ima oblik:

bk = b1 + (k − 1) · d(bk)

No kako je pocetan clan tog aritmetickog niza zapravo pocetan clan aritmetickogniza (an), a diferencija jednaka 2d, tada opci clan aritmetickog niza (bk) poprimasljedeci oblik:

a1 2d

↘ ↙bk = b1 + (k − 1) · d(bk) ⇒ bk = a1 + (k − 1) · 2d

Prisjetimo se da sumu prvih k clanova aritmetickog niza (bk) racunamo premaizrazu:

(bk)Sk = k

2 · (b1 + bk)

Primjenimo poznate cinjenice pa izraz poprima sljedeci oblik:

45

a1

↙(bk)Sk = k

2 · (b1 + bk) ⇒ (bk)Sk = k

2 · [a1 + a1 + (k − 1) · 2d]↑

a1 + (k − 1) · 2d


(bk)Sk = k

2 [2a1 + (k − 1) · 2d]

Izlucimo dva iz oba clana sume unutar zagrade, slijedi:

(bk)Sk = k

2 · 2 · [a1 + (k − 1) · d]


(bk)Sk = k

1�2· �2

1

1 · [a1 + (k − 1) · d]

(bk)Sk = k

1 ·11 · [a1 + (k − 1) · d]

(bk)Sk = k · [a1 + (k − 1) · d]U zadatku je zadana suma tog niza koji ima 6 clanova pa jednakost poprimasljedeci oblik:

6 6↓ ↓

(bk)Sk = k · [a1 + (k − 1) · d] ⇒ (bk)S6 = 6 · [a1 + (6− 1) · d]↑6

(bk)S6 = 6 · (a1 + 5d)

Kako je suma svih clanova niza (bk), odnosno (bk)S6 jednaka 156, jednakostpoprima sljedeci oblik:

156↓

(bk)S6 = 6 · (a1 + 5d) ⇒ 156 = 6 · (a1 + 5d)

Pomnozimo dobivenu jednakost s 16 , slijedi:

156 = 6 · (a1 + 5d)/·16

156 · 16 = 6 · (a1 + 5d) · 1


26��1561 · 1

�61=

1�6 · (a1 + 5d)

1 · 1�61

46

261 = (a1 + 5d)

126 = a1 + 5d

Isti postupak uz malo vise paznje na ponekim dijelovima ponovit cemo i zadrugi aritmeticki niz.

Ako je c1 pocetan clan aritmetickog niza (ck), a d(ck) njegova diferencija, tadaopci clan ck ima oblik:

ck = c1 + (k − 1) · d(ck)

No kako je pocetan clan tog aritmetickog niza zapravo drugi clan aritmetickogniza (an), a diferencija jednaka 2d, tada opci clan aritmetickog niza (ck) poprimasljedeci oblik:

a2 2d

↘ ↙ck = c1 + (k − 1) · d(ck) ⇒ ck = a2 + (k − 1) · 2d

Opci clan pocetnog aritmetickog niza (an) kojem je prvi clan a1, a diferencijajednaka d ima oblik:

an = a1 + (n− 1) · dTada je drugi clan a2 tog aritmetickog niza jednak:

2↓

an = a1 + (n− 1) · d ⇒ a2 = a1 + (2− 1) · d↑2

a2 = a1 + d

Dakle sada vijedi c1 = a2 = a1 + d, dok opci clan ck aritmetickog niza (ck)poprima sljedeci oblik:

a1 + d

↓ck = a2 + (k − 1) · 2d ⇒ ck = a1 + d + (k − 1) · 2d


ck = a1 + d + k · 2d− 2d


ck = a1 − d + k · 2d

Prisjetimo se da sumu prvih k clanova aritmetickog niza (ck) racunamo premaizrazu:

(ck)Sk = k

2 · (c1 + ck)

Primjenimo poznate cinjenice pa izraz poprima sljedeci oblik:

47

a1 + d

↙(ck)Sk = k

2 · (c1 + ck) ⇒ (ck)Sk = k

2 · [a1 + d + a1 − d + k · 2d]↑

a1 − d + k · 2d


(ck)Sk = k

2 [2a1 + k · 2d]

Izlucimo dva iz oba clana sume unutar zagrade, slijedi:

(ck)Sk = k

2 · 2 · [a1 + k · d]


(ck)Sk = k

1�2· �2

1

1 · [a1 + k · d]

(ck)Sk = k

1 ·11 · [a1 + k · d]

(ck)Sk = k · [a1 + k · d]U zadatku je zadana suma tog niza koji ima 6 clanova pa jednakost poprimasljedeci oblik:

6 6↓ ↓

(ck)Sk = k · [a1 + k · d] ⇒ (ck)S6 = 6 · [a1 + 6 · d]↑6

(ck)S6 = 6 · (a1 + 6d)

Kako je suma svih clanova niza (ck), odnosno (ck)S6 jednaka 186, jednakostpoprima sljedeci oblik:

186↓

(ck)S6 = 6 · (a1 + 6d) ⇒ 186 = 6 · (a1 + 6d)

Pomnozimo dobivenu jednakost s 16 , slijedi:

186 = 6 · (a1 + 6d)/·16

186 · 16 = 6 · (a1 + 6d) · 1


31��1861 · 1

�61=

1�6 · (a1 + 6d)

1 · 1�61

48

311 = (a1 + 6d)

131 = a1 + 6d

Time smo dobili sljedeci sutav jednadzbi:{25 = a1 + 5d31 = a1 + 6d

Oduzmemo prvu jednadzbu od druge, slijedi:{25 = a1 + 5d31 = a1 + 6d

/−

25− 31 = a1 + 5d− (a1 + 6d)


25− 31 = a1 + 5d− a1 − 6d

Pozbrojimo istovjetne potencije, slijedi:

−6 = −d

Pomnozimo cijelu jednakost s −1, slijedi:

−6 = −d / · (−1)

−6 · (−1) = −d · (−1)

6 = d

Time smo odredili diferenciju pocetnog aritmetickog niza (an) pa je zadatakrijesen.

Y ] Z

Zadatak 41: (str. 92) Koliko clanova ima aritmeticki niz ako jea2 + a4 + ... + a2n = 126, a2 + a2n = 42?

Rjesenje: Opci clan an aritmetickog niza (an) s prvim clanom a1 i difer-encijom d ima oblik:

an = a1 + (n− 1) · dDrugi clan aritmetickog niza (an) tada ima oblik:

2↓

an = a1 + (n− 1) · d ⇒ a2 = a1 + (2− 1) · d↑2

49

4↓

an = a1 + (n− 1) · d ⇒ a4 = a1 + (4− 1) · d↑4

I tako bi racunali do clana a2n. Razlike u zagradi ne odedjujemo iz razloga jercemo tako lakse srediti jednakosti dane u zadatku. Prvo cemo se pozabavitiprvom jednakoscu:

a2 + a4 + ... + a2n = 126Uocimo da suma na lijevoj strani jednakosti sadrzi n clanova. Taj podataktrebat ce nam kasnije. Imajuci na umu izvedene jednakosti prva jednakostpoprima sljedeci oblik:

a1 + (2− 1) · d a1 + (2n− 1) · d↘ ↙

a2 + a4 + ... + a2n = 126↑

a1 + (4− 1) · d

a1 + (2− 1) · d + a1 + (4− 1) · d + ... + a1 + (2n− 1) · d = 126

Poredamo clanove sume tako da clanove sume oblika a1 preselimo na pocetaksume, relativan poredak ostalih clanova ne mijenjam, slijedi:

a1 + a1 + ... + a1 + (2− 1) · d + (4− 1) · d + ... + (2n− 1) · d = 126

Dakle kako je lijeva strana jednakosti sadrzavala n clanova aritmetickog niza(an) to znaci da sada sadrzi n izraza oblika a1 koje zbrojimo, slijedi:

n · a1 + (2− 1) · d + a1 + (4− 1) · d + ... + a1 + (2n− 1) · d = 126

Izlucimo d iz svakog clana sume poslije prvog, slijedi:

n · a1 + (2− 1 + 4− 1 + ... + 2n− 1) · d = 126

Poredamo brojeve u zagradi na lijevoj strani sume tako da se prvo pojavljujuparni brojevi, a nakon toga sve −1, slijedi:

n · a1 + (2 + 4 + ... + 2n− 1− 1− ...− 1) · d = 126

Dakle parnih brojeva je sveukupno n kao i brojeva −1.

n · a1 + (2 + 4 + ... + 2n− 1− 1− ...− 1) · d = 126↓

n puta

Izlucimo broj 2 iz svih parnih brojeva, te zbrojimo sve −1, kako ih ima n rezultatje −n. Sada jednakost poprima sljedeci oblik:

50

n · a1 + [2 · (1 + 2 + ... + n)− 1− 1− ...− 1] · d = 126↓−n

n · a1 + [2 · (1 + 2 + ... + n)− n] · d = 126

Prisjetimo se da se suma prvih n prirodnih brojeva racuna prema izrazu:

1 + 2 + 3 + .. + n = n · (n + 1)2

Sada jednakost poprima sljedeci oblik:n · (n + 1)

2↑

n · a1 + [2 · (1 + 2 + ... + n)− n] · d = 126

n · a1 +[2 · n · (n + 1)

2 − n

]· d = 126


n · a1 +[ 1

�21 ·

n · (n + 1)�21

− n

]· d = 126

n · a1 +[

n · (n + 1)1 − n

]· d = 126

n · a1 + [n · (n + 1)− n] · d = 126

Rijesimo se unutarnje zagrade, slijedi:

n · a1 + (n · n + n · 1− n) · d = 126

n · a1 +(n2 + n− n

)· d = 126


n · a1 +(n2 +�n��−n

)· d = 126

n · a1 + n2 · d = 126

Izlucimo n iz oba clana sume na lijevoj strani jednakosti, slijedi:

n · (a1 + n · d) = 126

Nadalje pozabavimo se drugom jednakoscu:

a2 + a2n = 42

Imajuci na umu jednakosti izvedene na samom pocetku druga jednakost poprimasljedeci oblik:

a1 + (2− 1) · d a1 + (2n− 1) · d↘ ↙

a2 + a2n = 42

51

a1 + (2− 1) · d + a1 + (2n− 1) · d = 42

a1 + d + a1 + (2n− 1) · d = 42


a1 + d + a1 + 2n · d− 1 · d = 42

a1 + d + a1 + 2n · d− d = 42


a1 + �d + a1 + 2n · d��−d = 42

2a1 + 2n · d = 42

Izlucimo 2 iz oba clana sume na lijevoj strani jednakosti, slijedi:

2 · (a1 + n · d) = 42


2 · (a1 + n · d) = 42/·12

2 · (a1 + n · d) · 12 = 42 · 1


1�2 · (a1 + n · d)

1 · 1�21

=21��42

1 · 1�21

a1 + n · d1 = 21

1a1 + n · d = 21

Naposlijetku trebamo rijesiti sljedeci sustav jednadzbi:{n · (a1 + n · d) = 126

a1 + n · d = 21

Uocimo da je dio prve jednadzbe opisan drugom, slijedi:21↑

n · (a1 + n · d) = 126

21n = 126


21n = 126/· 121

52

21n · 121 = 126 · 1

21Pokratimo sto se pokratit dade, slijedi:

1��21n

1 · 1��211

=6��126

1 · 1��211

n

1 = 61

n = 6

Dakle dani niz ima 12 clanova, time je zadatak rijesen.

Y ] Z

Zadatak 43: (str. 92) U aritmetickom je nizu am+n = A i am−n = B.Odredi am i an.

Rjesenje: Opci clan ak aritmetickog niza (ak) s prvim clanom a1 i difer-encijom d ima oblik:

ak = a1 + (k − 1) · dSada (m + n)-ti clan i (m− n)-ti clan aritmetickog niza (an) imaju oblik:

m + n

↓an = a1 + (n− 1) · d ⇒ am+n = a1 + (m + n− 1) · d↑

m + n

m− n

↓an = a1 + (n− 1) · d ⇒ am−n = a1 + (m− n− 1) · d↑

m− n

Dobivene jednakosti cine sljedeci sustav jednadzbi, slijedi:{am+n = a1 + (m + n− 1) · dam−n = a1 + (m− n− 1) · d

Uvrstimo vrijednosti (m + n)-tog i (m− n)-tog clana aritmetickog niza (an) udobiveni sustrav jednadzbi, slijedi:

A

↑{am+n = a1 + (m + n− 1) · dam−n = a1 + (m− n− 1) · d↓B

53

{A = a1 + (m + n− 1) · dB = a1 + (m− n− 1) · d

Zbrojimo jednakosti iz sustava, slijedi:

A + B = a1 + (m + n− 1) · d + a1 + (m− n− 1) · d

Promijenimo poredak sumanada na desnoj strani jednakosti, slijedi:

A + B = a1 + a1 + (m + n− 1) · d + (m− n− 1) · d

Izlucimo d iz druga dva clana sume s desne stranje jednakosti, slijedi:

A + B = a1 + a1 + (m + n− 1 + m− n− 1) · d


A + B = a1 + a1 + (m +�n− 1 + m��−n− 1) · d

A + B = 2 · a1 + (2m− 2) · d

Izlucimo broj 2 iz oba clana sume u zagradi na desnoj strani jednakosti, slijedi:

A + B = 2 · a1 + 2 · (m− 1) · d

Izlucimo broj 2 iz oba clana sume na desnoj strani jednakosti, slijedi:

A + B = 2 · [a1 + (m− 1) · d]

Prepoznamo da se u zagradi zapravo nalazi izraz za m-ti clan aritmetickog niza(ak), slijedi:

am

↑A + B = 2 · [a1 + (m− 1) · d]

A + B = 2 · am


A + B = 2 · am

/·12

(A + B) · 12 = 2 · am ·

12


A + B

1 · 12 =

1�2 · am

1 · 1�21

A + B

2 = am

1

54

A + B

2 = am

Dakle m-ti clan clan aritmetickog niza (ak) ima oblik am = A + B

2 . Potrebnoje jos odrediti n-ti clan aritmetickog niza (ak). U tu svrhu obratimo ponovnopozornost na sustav jednadzbi:{

A = a1 + (m + n− 1) · dB = a1 + (m− n− 1) · d

Oduzmimo jednakosti iz sustava, slijedi:

A−B = a1 + (m + n− 1) · d− [a1 + (m− n− 1) · d]

Rijesimo se uglate zagrade na desnoj strani jednakosti, slijedi:

A−B = a1 + (m + n− 1) · d− a1 − (m− n− 1) · d

Pokratimo sto se poktatiti dade, slijedi:

A−B =��a1 + (m + n− 1) · d��−a1 − (m− n− 1) · d

A−B = (m + n− 1) · d− (m− n− 1) · d

Izlucimo d iz oba clana jednakosti na desnoj strani jednakosti, slijedi:

A−B = [m + n− 1− (m− n− 1)] · d

Rijesimo se unutarnje zagrade na desnoj strani jednakosti, slijedi:

A−B = (m + n− 1−m + n + 1) · d


A−B =(��m + n��−1��−m + n + �1

)· d

A−B = 2n · d

Pomnozimo cijelu jednakost s 12n

, slijedi:

A−B = 2n · d/· 12n

(A−B) · 12n

= 2n · d · 12n

Pokratimo sto se poktratiti dade, slijedi:

A−B

1 · 12n

=1��2n · d

1 · 1��2n1

55

A−B

2n= d

1A−B

2n= d

Naposlijetku se opet vracamo na sustav jednadzbi:{A = a1 + (m + n− 1) · dB = a1 + (m− n− 1) · d

Preostaje jos odrediti n-ti clan clan aritmetickog niza (ak), a odredit cemo prekoprve jednakosti:

A = a1 + (m + n− 1) · d

Clanove sume u zagradi ne desnoj strani jednakosti zapisimo drugim redoslije-dom te ih grupirano na specifican nacin, slijedi:

A = a1 + [(n− 1) + m] · d


A = a1 + (n− 1) · d + m · d

Prepoznamo da prva dva clana suma na desnoj strani jednakosti predstavljajun-ti clan aritmetickog niza (ak), slijedi:

an

↑A = a1 + (n− 1) · d + m · d

A = an + m · dNadalje primjenimo posljednju cinjenicu koju smo izveli, slijedi:

A− B

2n

↓A = an + m · d

A = an + m · A−B

2n

Prebacimo drugi clan sume na desnoj strani jednakosti na lijevu, slijedi:

A−m · A−B

2n= an

Svedemo izraze na lijevoj strani jednakosti na zajednicki nazivnik 2n, slijedi:

A · 2n−m · (A−B)2n

= an

Rijesimo se zagrade u brojniku razlomka na lijevoj strani jednakosti, slijedi:

A · 2n−m ·A + m ·B2n

= an

56

Izlucimo A iz prva dva clana sume u brojniku razlomka na lijevoj strani jed-nakosti, slijedi:

(2n−m) ·A + m ·B2n

= an

Dakle odredili smo i n-ti clan aritmetickog niza (ak) ciji je oblik an = (2n−m) ·A + m ·B2n

.Time je zadatak rijesen.

Y ] Z

Zadatak 44: (str. 92) Dokazi da je svaki clan aritmetickog niza, pocevsiod drugog, aritmeticka sredina dvaju clanova koji su od njega jednako udaljeni.

Rjesenje: Dakle ono sto moramo pokazati jest da vrijedi sljedeca jed-nakost:

am = am−k + am+k

2 , za m− k > 0

Drugim rijecima da je aritmeticka sredina dvaju clanova koji su udaljeni za kod m-tog clana aritmetickog niza (am) jednaka upravo tom clanu.

Opci clan an aritmetickog niza (an) s prvim clanom a1 i diferencijom d imaoblik:

an = a1 + (n− 1) · dSada (m− k)-ti clan i (m + k)-ti clan aritmetickog niza (an) imaju oblik:

m− k

↓an = a1 + (n− 1) · d ⇒ am−k = a1 + (m− k − 1) · d↑

m− k

m + k

↓an = a1 + (n− 1) · d ⇒ am+k = a1 + (m + k − 1) · d↑

m + km

↓an = a1 + (n− 1) · d ⇒ am = a1 + (m− 1) · d↑m

Jednakost koju moramo pokazati sada poprima sljedeci oblik, slijedi:

a1 + (m− k − 1) · d a1 + (m + k − 1) · d↘ ↙

am = am−k + am+k

2

am = a1 + (m− k − 1) · d + a1 + (m + k − 1) · d2

57

Nadalje zamijenimo poredak drugog i treceg clana sume u brojniku razlomkana desnoj strani jednakosti, slijedi:

am = a1 + a1 + (m− k − 1) · d + (m + k − 1) · d2

Izlucimo d iz druga dva clana sume u brojniku razlomka na desnoj strani jed-nakosti, slijedi:

am = a1 + a1 + (m− k − 1 + m + k − 1) · d2

Zbrojimo istovjetne potenicije, slijedi:

am =a1 + a1 +

(m��−k − 1 + m + �k − 1

)· d

2

am = 2 · a1 + (2m− 2) · d2

Izlucimo broj 2 iz oba clana sume u zagradi u brojniku razlomka na desnojstrani jednakosti, slijedi:

am = 2 · a1 + 2 · (m− 1) · d2

Izlucimo broj 2 iz oba clana sume u brojniku razlomka na desnoj strani jed-nakosti, slijedi:

am = 2 · [a1 + (m− 1) · d]2


am =1�2 · [a1 + (m− 1) · d]

�21

am = a1 + (m− 1) · d1

am = a1 + (m− 1) · d

Ono sto smo dobili na desnoj strani jednakosti jest upravo ono sto smo odredilipri pocetku rjesavanja zadatka. Time je zadatak rijesen.

Y ] Z

Zadatak 45: (str. 92) Dokazi da je u svakom aritmetickom nizuam + an = ap + aq ako i samo ako je m + n = p + q.

58

Rjesenje: Prije svega uocimo da trebamo pokazati sljedece dvije tvrd-nje:

I. tvrdnja: Ako vrijedi am + an = ap + aq onda mora vrijediti m + n = p + qII. tvrdnja: Ako vrijedi m + n = p + q onda mora vrijediti am + an = ap + aq

Kod pokazivanja obje tvrdnje koristit cemo izraz za opci clan an aritmetickogniza (an) s prvim clanom a1 i diferencijom d:

an = a1 + (n− 1) · d

Sada clanovi aritmetickog niza (an) iz tvrdnji imaju sljedeci oblik:m↓

an = a1 + (n− 1) · d ⇒ am = a1 + (m− 1) · d↑m

p

↓an = a1 + (n− 1) · d ⇒ ap = a1 + (p− 1) · d↑p

q

↓an = a1 + (n− 1) · d ⇒ aq = a1 + (q − 1) · d↑q

Prvo pokazujemo I. tvrdnju.Pretpostavimo da vrijedi am + an = ap + aq. Pokusajmo pokazati da tadavrijedi m + n = p + q. Sredimo danu jednakost prema jednakostima koje smoizveli pri samom pocetku, slijedi:

a1 + (m− 1) · d a1 + (p− 1) · d↘ ↙

am+an = ap+aq ⇒ a1 + (m− 1) · d + a1 + (n− 1) · d == a1 + (p− 1) · d + a1 + (q − 1) · d↗ ↖

a1 + (n− 1) · d a1 + (q − 1) · d

Rijesimo se zagrada na obje strane jednakosti, slijedi:

a1 + m · d− 1 · d + a1 + n · d− 1 · d = a1 + p · d− 1 · d + a1 + q · d− 1 · d

a1 + m · d− d + a1 + n · d− d = a1 + p · d− d + a1 + q · d− d


2a1 + m · d + n · d− 2d = 2a1 + p · d + q · d− 2d


��2a1 + m · d + n · d−��2d =��2a1 + p · d + q · d−��2d

m · d + n · d = p · d + q · d

59

Izlucimo d iz oba clana sume na obje strane jednakosti, slijedi:

d · (m + n) = d · (p + q)

Pomnozimo cijelu jednkost s 1d, slijedi:

d · (m + n) = d · (p + q)/·1d

d · (m + n) · 1d

= d · (p + q) · 1d


1�d · (m + n)

1 · 1�d1

=1�d · (p + q)

1 · 1�d1

m + n

1 = p + q

1m + n = p + q

Dakle pokazali smo da vrijedi m + n = p− q ako vrijedi am + an = ap + aq cimeje I. tvrdnja pokazana. Nadalje pokazujemo II. tvrdnju.Pretpostavimo da vrijedi m + n = p + q. Pokusajmo pokazati da tada vri-jedi am + an = ap + aq. Pokusajmo malo srediti lijevu stranu jednkosti kojutrebamo dobiti, slijedi:

a1 + (m− 1) · d↘

am + an = a1 + (m− 1) · d + a1 + (n− 1) · d = (?)↖

a1 + (n− 1) · d

Poredamo clanove sume tako da su clanovi koji sadrze d na kraju, slijedi:

(?) = a1 + a1 + (m− 1) · d + (n− 1) · d = (??)

Izlucimo d iz posljednja dva clana sume, slijedi:

(??) = a1 + a1 + (m− 1 + n− 1) · d = (? ? ?)

Grupiramo sumande u zagradi na malo drugaciji nacin, te primjenimo cinjenicuda prema pretpostavci vrijedi m + n = p + q, slijedi:

p + q

↑(? ? ?) = a1 + a1 + (m + n− 1− 1) · d =

= a1 + a1 + (p + q − 1− 1) · d = (♠)

Promijenimo poredak clanova sume u zagradi te ih pregrupiramo, slijedi:

(♠) = a1 + a1 + [(p− 1) + (q − 1)] · d = (♠♠)

60

Rijesimo se vanjske zagrade, slijedi:

(♠♠) = a1 + a1 + (p− 1) · d + (q − 1) · d = (♠♠♠)

Zamijenimo poredak drugom i trecem clanu sume, slijedi:

↓ ↓(♠♠♠) = a1 + a1 + (p− 1) · d + (q − 1) · d =

= a1 + (p− 1) · d + a1 + (q − 1) · d = (♣)Uocimo da prva dva clana sume zapravo prestavljaju p-ti, a druga dva clanasume q-ti clan aritmetickog niza (an), slijedi:

ap aq

↑ ↑(♣) = a1 + (p− 1) · d + a1 + (q − 1) · d = ap + aq

Dakle pokazali smo da vrijedi am + an = ap + aq ako vrijedi m + n = p− q cimeje II. tvrdnja pokazana.

No kako smo pokazali da vrijede obje tvrdnje zaparavo smo pokazali da vri-jedi tvrdnja dana u zadatku te je time zadatak rijesen.

Y ] Z

Zadatak 46: (str. 92) Pokazi da je aritmeticka sredina prvog i posljednjegclana aritmetickog niza jednaka aritmetickoj sredini svih njegovih clanova.

Rjesenje: Neka je (ak) aritmeticki niz koji ima ukupno n clanova. Izrazza opci clan ak aritmetickog niza (ak) s prvim clanom a1 i diferencijom d imaoblik:

ak = a1 + (k − 1) · d

Trebamo prikazati da vijedi:

a1 + an

2 = a1 + a2 + ... + an

n

Prisjetimo se da sumu prvih n clanova aritmetickog niza (ak) racunamo premaizrazu:

Sn = n

2 · (a1 + an)

Promotrimo li brojnik u razlomku desne strane jednakosti mozemo zakljucitida je to upravo zbroj prvih n clanova niza te mozemo primjeniti izraz za sumuprvih prvih n clanova aritmetickog niza. Tada jednakost poprima sljedeci oblik:

n

2(a1 + an)

↑a1 + an

2 = a1 + a2 + ... + an

n

61

a1 + an

2 =

n

2 · (a1 + an)

n

Pomnozimo izraze u brojniku razlomka desne strane jednakosti, slijedi:

a1 + an

2 =

n

2 ·a1 + an

1n

a1 + an

2 =

n · (a1 + an)2n

Sredimo desnu stranu jednakosti prema pravilu sredjivanja dvojnog razlomka,

odnosno prema

a

bc

d

) = a · db · c

, slijedi:

a1 + an

2 =

n · (a1 + an)2n

1

a1 + an

2 = n · (a1 + an)2 · n


a1 + an

2 =1�n · (a1 + an)

2 ·�n1

a1 + an

2 = a1 + an

2Kako je lijeva strana jednaka desnoj, tvrdnja je pokazana te je time zadatakrijesen.

Y ] Z

Zadatak 52: 3) (str. 93) Rijesi jednadzb:

x− 1 + x− 3 + ... + x− 27 = 70

Rjesenje: Uocimo de sa na lijevoj strani nalazi suma nekoliko clanovaaritmetickog niza. Odredit cemo opci clan tog niza i koliko zapravo clanova togniza se nalazi u sumi na lijevoj strani jednkosti. Oznacimo taj niz s (an), tadavrijedi:

a1 a2 an

↑ ↑ ↑x− 1 + x− 3 + ... + x− 27 = 70

62

Izraz za opci clan an aritmetickog niza (an) s prvim clanom a1 i diferencijom dima oblik:

an = a1 + (n− 1) · d

Pocetni clan a1 aritmetickog niza (an) jest poznat. Potrebno je odrediti cemuje jednaka diferencija. U tu svrhu prisjetimo se osnovnog svojstva aritmetickogniza. Naime znamo da mora vrijediti cinjenica da je razlika svakog niza i nje-govog neposrednog prethodnika stalna, odnosno da vrijedi:

an+1 − an = d

Za n jednak jedan taj izraz poprima sljedeci oblik:

an+1 − an = d ⇒ a1+1 − a1 = d↑ ↑1 1

a2 − a1 = d

Uvrstimo vrijednosti prva dva clana aritmetickog niza (an) u dobivenu jed-nakost, slijedi:

x− 3 x− 1↘ ↙

a2 − a1 = d

x− 3− (x− 1) = d

Rjiesimo se zagrade na lijevoj strani jednakosti, slijedi:

x− 3− x + 1 = d


�x− 3��−x + 1 = d

−3 + 1 = d

−2 = d

Dakle diferencija aritmetickog niza (an) jednaka je −2. Odredimo koliko seclanova aritmetickog niza (an) nalazi u sumi na lijevoj strani jednakosti. Tocemo uciniti pomocu opceg clana an aritmetickog niza (an):

an = a1 + (n− 1) · d

Uvrstimo poznate vrijednosti, slijedi:x− 27 − 2

↘ ↙an = a1 + (n− 1) · d ⇒ x− 27 = x− 1 + (n− 1) · (−2)


x− 27 = x− 1 + n · (−2) + (−1) · (−2)

x− 27 = x− 1− 2n + 2

63

Pokratimo sto se poktatiti dade, slijedi:

�x− 27 = �x− 1− 2n + 2

−27 = −1− 2n + 2

Prbacimo sve poznanice s desne strane jednakosti na lijevu, slijedi:

← ←p p−27 = −1− 2n + 2

−27 + 1− 2 = −2n

Zbrojim sto se zbrojiti dade, slijedi:

−28 = −2n

Pomnozimo cijelu jednakost s 1−2 , slijedi:

−28 = −2n

/· 1−2

−28 · 1−2 = −2n · 1

−2Pokratimo sto se pokratiti dade, slijedi:

14��−281 · 1

��−21=

1��−2n

1 · 1��−21

141 = n

114 = n

Dakle pocetnom jednakoscu dana je suma 14 clanova aritmetickog niza (an).Prisjetimo se nadalje da sumu Sn prvih n clanova aritmetickog niza (an) racu-namo prema izrazu:

Sn = n

2 · (a1 + an)


14↙70

↘Sn = n

2 · (a1 + an) ⇒ 70 = 142 · (x− 1 + x− 27)

↗ ↖x− 1 x− 27

Pozbrojimo istovjetne potencije u zagradi desne strane jednakosti, slijedi:

70 = 142 · (2x− 28)

64


70 =7��14�21· (2x− 28)

70 = 71 · (2x− 28)

70 = 7 · (2x− 28)


70 = 7 · (2x− 28)/·17

70 · 17 = 7 · (2x− 28) · 1


10��701 · 1

�71=

1�7 · (2x− 28)

1 · 1�71

101 = 2x− 28

110 = 2x− 28

Prebacimo sve poznanice s desne jednakosti na lijevu, slijedi:

←p10 = 2x− 2810 + 28 = 2x

38 = 2x


38 = 2x

/·12

38 · 12 = 2x · 1


19��381 · 1

�21=

1�2x

1 · 1�21

191 = x

119 = x

Dakle rjesenje dane jednadzbe jednako je 19. Time je zadatak rijesen.

65

Y ] Z

Zadatak 59: (str. 93) Koliki je zbroj prvih trinaest clanova aritmetickogniza ako je zbroj njegovih prvih sest clanova s parnim indeksima jednak 90.

Rjesenje: Neka je (an) aritmeticki niz. Sumu prvih n clanova tog nizaracunamo prema izrazu:

Sn = n

2 · (a1 + an)

Nadalje opci clan an aritmetickog niza (an) s prvim clanom a1 i diferencijom dima oblik:

an = a1 + (n− 1) · dSada izraz za sumu poprima sljedeci oblik:

a1 + (n− 1) · d↓

Sn = n

2 · (a1 + an) ⇒ Sn = n

2 · [a1 + a1 + (n− 1) · d]


Sn = n

2 · [2 · a1 + (n− 1) · d]

Suma prvih 13 clanova aritmetickog niza sada je jednaka:

Sn = n

2 · [2 · a1 + (n− 1) · d] ⇒ S13 = 132 · [2 · a1 + (13− 1) · d]

↑ ↑13 13

S13 = 132 · (2 · a1 + 12 · d)

Izlucimo broj 2 iz oba clana sume na desnoj strani jednakosti, slijedi:

S13 = 132 · 2 · (a1 + 6 · d)


S13 = 131�2· �2

1 · (a1 + 6 · d)1

S13 = 13 · (a1 + 6 · d)1

S13 = 13 · (a1 + 6 · d)

Prema tvrdnji II. razmatranoj u dodatku suma prvih k clanova na parnim pozi-cijama aritmetickog niza (an), pri cemu je a1 pocetan clan, a d diferencija,racuna se prema izrazu:

parnamjesta Sk = k · (a1 + k · d)

66

Sada je suma prvih 6 clanova na parnim pozicijama aritmetickog niza (an)jednaka:

parnamjesta Sk = k · (a1 + k · d) ⇒

parnamjesta S6 = 6 · (a1 + 6 · d)

↑ ↑ ↑6 6 6

Znamo da je ta suma jednaka 90 pa jednakost poprima sljedeci oblik:90

↙parnamjesta S6 = 6 · (a1 + 6 · d)

90 = 6 · (a1 + 6 · d)


90 = 6 · (a1 + 6 · d)/·16

90 · 16 = 6 · (a1 + 6 · d) · 1

615��90

1 · 1�61

=1�6 · (a1 + 6 · d)

1 · 1�61

151 = a1 + 6 · d

115 = a1 + 6 · d

Sada mozemo odrediti koliko iznosi suma prvih 11 clanova aritmetickog niza(an), jer uocavamo da je dio izraza upravo jednak jednkosti koju smo izveli,slijedi:

15↑

S13 = 13 · (a1 + 6 · d) ⇒ S13 = 13 · 15

S13 = 195

Dakle suma prvih 11 clanova aritmetickog niza (an) iznosi 195 cim je zadatakrijesen.

Y ] Z

Zadatak 60: (str. 93) Za n = 1, 2, ..., 10 neka je An zbroj prvih 40clanova aritmetickog niza s prvim clanom n i razlikom 2n − 1. Koliko jeA1 + A1 + A2 + ... + A10?

Rjesenje: Neka je (ak) aritmeticki niz kojem je prvi clan a1 jednak n,

67

a diferencija jednaka 2 · n − 1. Opcenito opci clan ak aritmetickog niza (ak)kojem je prvi clan a1, a diferencija d ima oblik:

ak = a1 + (k − 1) · d


n 2 · n− 1↘ ↙

ak = a1 + (k − 1) · d ⇒ ak = n + (k − 1) · (2 · n− 1)

Rijesimo se zagrada ne desnoj strani jednakosti, slijedi:

ak = n + k · 2 · n + k · (−1) + (−1) · 2 · n + (−1) · (−1)

ak = n + k · 2 · n− k − 2 · n + 1


ak = k · 2 · n− k − n + 1

Suma prvih k clanova aritmetickog niza (ak) racunamo prema izrazu:

Sk = k

2 · (a1 + ak)

Imajuci na umu izvedenu jednakost izraz za sumu poprima sljedeci oblik:

k · 2 · n− k − n + 1

↓Sk = k

2 · (a1 + ak) ⇒ Sk = k

2 · (n + k · 2 · n− k − n + 1)↑n


Sk = k

2 · (�n + k · 2 · n− k��−n + 1)

Sk = k

2 · (k · 2 · n− k + 1)

Sada je suma prvih 40 clanova aritmetickog niza (ak) jednako:

40↓

Sk = k

2 · (k · 2 · n− k + 1) ⇒ S40 = 402 · (40 · 2 · n− 40 + 1)

↑ ↑ ↑40 40 40

Zbrojimo sto se dade. slijedi:

S40 = 402 · (80 · n− 39)

68


S40 =20��40�21· (80 · n− 39)

S40 = 201 · (80 · n− 39)

S40 = 20 · (80 · n− 39)


S40 = 20 · 80 · n + 20 · (−39)

S40 = 1600 · n− 780

Dakle odredili smo sumu prvih 40 clanova aritmeticki niza (ak) kojem je prviclan a1 jednak n, a diferencija jednaka 2 ·n−1. Ta suma je u zadatku oznacenas An, dakle vrijedi:

An = 1600 · n− 780

Zadatak nam je odrediti sljedecu sumu:

AS10 = A1 + A2 + ... + A10

Promotrimo li izraz za An mozemo zakljuciti da je time za pravo dan opci clanaritmetickog niza, nazovimo ga recimo (An). Naime vidimo da kad n uvecamoza jedan vrijednost izraza se poveca za istu vrijednost i to za 1600. Zakljucujemoda tada danu sumu mozemo izracunati prema izrazu za sumu prvih n clanovaaritmetickog niza (An). Vrijedi:

ASn = n

2 (A1 + An)

Sada je suma prvih 10 clanova aritmetickog niza (An) jednaka:40↓

ASn = n

2 (A1 + An) ⇒ AS10 = 102 (A1 + A10)

↑ ↑10 10

Odredimo cemu su jednaki A1 i A10. Vrijedi:

An = 1600 · n− 780 ⇒ A1 = 1600 · 1− 780↑ ↑1 1

A1 = 1600− 780

A1 = 820

An = 1600 · n− 780 ⇒ A10 = 1600 · 10− 780↑ ↑10 10

A10 = 16000− 780

69

A10 = 15220Sada suma koju odredjujemo poprima sljedeci oblik:

15220↓

AS10 = 102 (A1 + A10) ⇒ AS10 = 10

2 (820 + 15220)↑

820AS10 = 10

2 · 16040


AS10 = 101�2·�

��160408020

1

AS10 = 10 · 80201

AS10 = 802001

AS10 = 80200

Dakle trazena suma jednaka je 80200 pa je time zadatak rijesen.

Y ] Z

Zadatak 63: (str. 93) U aritmetickom je nizu an = 1m, am = 1

n. Odredi

zbroj prvih mn njegovih clanova.

Rjesenje: Opcenito opci clan ak aritmetickog niza (ak) kojem je prviclan a1, a diferencija d ima oblik:

ak = a1 + (k − 1) · d

Pokusajmo odrediti taj niz. U tu svrhu zapisimo clanove aritmetickog niza an iam preko izraza za opci clan ak, slijedi:

n↓

ak = a1 + (k − 1) · d ⇒ an = a1 + (n− 1) · d↑n

m

↓ak = a1 + (k − 1) · d ⇒ am = a1 + (m− 1) · d↑m

Time dobivamo sljedeci sustav jednadzbi:{an = a1 + (n− 1) · d

am = a1 + (m− 1) · d

70

Uvrstimo poznate vrijednosti za clanove niza an i am, slijedi:1m↓{

an = a1 + (n− 1) · dam = a1 + (m− 1) · d↑1n1m

= a1 + (n− 1) · d

1n

= a1 + (m− 1) · d

Oduzmemo jednakosti iz sustava jednadzbi, slijedi:

1m− 1

n= a1 + (n− 1) · d− [a1 + (m− 1) · d]


1m− 1

n= a1 + (n− 1) · d− a1 − (m− 1) · d


1m− 1

n=��a1 + (n− 1) · d��−a1 − (m− 1) · d

1m− 1

n= (n− 1) · d− (m− 1) · d

Izlucimo d iz oba clana sume na desnoj strani jednakosti, slijedi:

1m− 1

n= [n− 1− (m− 1)] · d

Rijesimo se unutranje zagrade na desnoj strani jednakosti, slijedi:

1m− 1

n= (n− 1−m + 1) · d


1m− 1

n=(n��−1−m + �1

)· d

1m− 1

n= (n−m) · d

Svedemo razlomke na lijevoj strani jednakosti na zajednicki nazivnik m · n izbrojimo ih, slijedi:

1 · n− 1 · nm · n

= (n−m) · d

71

n−m

m · n= (n−m) · d

Pomnozimo cijelu jednakost s 1n−m

, slijedi:

n−m

m · n= (n−m) · d

/· 1n−m

n−m

m · n· 1

n−m= (n−m) · d · 1

n−m

Pokratimo sto se pokratiti dade, slijedi:1��n−m

m · n· 1��n−m1

=1��(n−m) · d

1 · 1��n−m1

1m · n

= d

11

m · n= d

Dakle diferenicija danog aritmetickog niza (ak) jednaka je d = 1m · n

. Preostajenam odrediti a1. Vratimo se na sustav jednadzbi:

1m

= a1 + (n− 1) · d

1n

= a1 + (m− 1) · d

Zbrojimo jednakosti iz sustava jednadzbi, slijedi:

1m

+ 1n

= a1 + (n− 1) · d + a1 + (m− 1) · d


1m

+ 1n

= 2 · a1 + (n− 1) · d + (m− 1) · d


1m

+ 1n

= 2 · a1 + (n− 1 + m− 1) · d

Zbrojimo sto se zbrojiti dade u zagradi na desnoj strani jednakosti, slijedi:

1m

+ 1n

= 2 · a1 + (n + m− 2) · d

Svedemo razlomke na lijevoj strani jednakosti na zajednicki nazivnik m · n izbrojimo ih, slijedi:

1 · n + 1 · nm · n

= 2 · a1 + (n + m− 2) · d

72

n + m

m · n= 2 · a1 + (n + m− 2) · d

Zamijenimo d s izrazom koji smo izveli, slijedi:1

m · n↓n + m

m · n= 2 · a1 + (n + m− 2) · d

n + m

m · n= 2 · a1 + (n + m− 2) · 1

m · nIzmnozimo izraze u zadnjem clanu sume na desnoj strani jednakosti, slijedi:

n + m

m · n= 2 · a1 + (n + m− 2)

1 · 1m · n

n + m

m · n= 2 · a1 + n + m− 2

m · nPrebacimo drugi clan sume na desnoj strani jednakosti na lijevu, slijedi:

←|n + m

m · n= 2 · a1 + n + m− 2

m · nn + m

m · n− n + m− 2

m · n= 2 · a1

n + m− (n + m− 2)m · n

= 2 · a1

Rijesimo se zagrade u brojniku razlomka na lijevoj strani jednakosti, slijedi:

n + m− n−m + 2m · n

= 2 · a1


�n +��m��−n��−m + 2m · n

= 2 · a1

2m · n

= 2 · a1


2m · n

= 2 · a1

/·12

2m · n

· 12 = 2 · a1 ·

12

Pokratimo sto se pokratiti dade, slijedi:1�2

m · n· 1�21

=1�2 · a1

1 · 1�21

73

1m · n

= a1

11

m · n= a1

Dakle pocetni clan danog aritmetickog niza (ak) jednak je a1 = 1m · n

. Sadaopci clan ak danog aritmetickog niza (ak) poprima sljedeci oblik:

1m · n

1m · n↘ ↙

ak = a1 + (k − 1) · d ⇒ ak = 1m · n

+ (k − 1) · 1m · n

Pomnozimo izraze u posljednjem clanu sume na desnoj strani jednakosti, slijedi:

ak = 1m · n

+ k − 11 · 1

m · n

ak = 1m · n

+ k − 1m · n

Zbrojimo razlomke na desnoj strani jednakosti, slijedi:

ak = 1 + k − 1m · n


ak = �1 + k��−1m · n

ak = k

m · n

Preostaje jos samo odrediti sumu prvih m · n clanova aritmetickog niza (ak).Sumu prvih k clanova aritmetickog niza (ak) racunamo prema izrazu:

Sk = k

2 · (a1 + ak)

Uvrstimo jednakosti koje smo izveli, sjedi:k

m · n↓

Sk = k

2 (a1 + ak) ⇒ Sk = k

2 ·(

1m · n

+ k

m · n

)↑1

m · n

Zbrojimo razlomke u zagradi desne strane jednakosti, slijedi:

Sk = k

2 ·1 + k

m · n

74

Sada je suma prvih m · n clanova aritmetickog niza (ak) jednaka:m · n m · n

↓ ↓

Sk = k

2 ·1 + k

m · n⇒ Sm·n = m · n

2 · 1 + m · nm · n↑

m · n


Sm·n =1��m · n

2 · 1 + m · n��m · n1

Sm·n = 1 + m · n2

Dakle odredili smo sumu prvih m · n clanova aritmetickog niza (ak) te je timezadatak rijesen.

Y ] Z

Zadatak 64: (str. 93) Odredi zbroj prvih m+n clanova aritmetickog nizaako je am = n, an = m.

Rjesenje: Opcenito opci clan ak aritmetickog niza (ak) kojem je prviclan a1, a diferencija d ima oblik:

ak = a1 + (k − 1) · d


n

↓ak = a1 + (k − 1) · d ⇒ an = a1 + (n− 1) · d↑n

m

↓ak = a1 + (k − 1) · d ⇒ am = a1 + (m− 1) · d↑m

Time dobivamo sljedeci sustav jednadzbi:{an = a1 + (n− 1) · d

am = a1 + (m− 1) · d

Uvrstimo poznate vrijednosti za clanove niza an i am, slijedi:

75

m

↓{an = a1 + (n− 1) · d

am = a1 + (m− 1) · d↑n{m = a1 + (n− 1) · dn = a1 + (m− 1) · d

Oduzmemo jednakosti iz sustava jednadzbi, slijedi:

m− n = a1 + (n− 1) · d− [a1 + (m− 1) · d]


m− n = a1 + (n− 1) · d− a1 − (m− 1) · d


m− n =��a1 + (n− 1) · d��−a1 − (m− 1) · d

m− n = (n− 1) · d− (m− 1) · d


m− n = [n− 1− (m− 1)] · d

Rijesimo se unutranje zagrade na desnoj strani jednakosti, slijedi:

m− n = (n− 1−m + 1) · d


m− n =(n��−1−m + �1

)· d

m− n = (n−m) · d

Pomnozimo cijelu jednakost s 1n−m

, slijedi:

m− n = (n−m) · d/· 1n−m

(m− n) · 1n−m

= (n−m) · d · 1n−m


m− n

1 · 1n−m

=1��(n−m) · d

1 · 1��n−m1

m− n

n−m= d

1

76

m− n

n−m= d

Izlucimo broj −1 iz oba clana sume u brojniku razlomka na lijevoj strani jed-nakosti, slijedi:

(−1) · (−m + n)n−m

= d

(−1) · (n−m)n−m

= d


(−1) ·1��(n−m)��n−m1

= d

−11 = d

−1 = d

Dakle diferenicija danog aritmetickog niza (ak) jednaka je d = −1. Preostajenam odrediti a1. Vratimo se na sustav jednadzbi:{

m = a1 + (n− 1) · dn = a1 + (m− 1) · d

Zbrojimo jednakosti iz sustava jednadzbi, slijedi:

m + n = a1 + (n− 1) · d + a1 + (m− 1) · d


m + n = 2 · a1 + (n− 1) · d + (m− 1) · d


m + n = 2 · a1 + (n− 1 + m− 1) · d

Zbrojimo sto se zbrojiti dade u zagradi na desnoj strani jednakosti, slijedi:

m + n = 2 · a1 + (n + m− 2) · d

−1↓

m + n = 2 · a1 + (n + m− 2) · d

m + n = 2 · a1 + (n + m− 2) · (−1)


m + n = 2 · a1 + n · (−1) + m · (−1) + (−2) · (−1)

m + n = 2 · a1 − n−m + 2

77

Prebacimo posljednja tri clana sume na desnoj strani jednakosti na lijevu, slijedi:←p← ←p p

m + n = 2 · a1 − n−m + 2

m + n + n + m− 2 = 2 · a1

Zbrojimo istovjete potencije, slijedi:

2 ·m + 2 · n− 2 = 2 · a1

Izlucimo broj 2 iz svih clanova sume na lijevoj strani jednakosti, slijedi:

2 · (m + n− 1) = 2 · a1


2 · (m + n− 1) = 2 · a1

/·12

2 · (m + n− 1) · 12 = 2 · a1 ·

12


1�2 · (m + n− 1)

1 · 1�21

=1�2 · a1

1 · 1�21

m + n− 11 = a1

1m + n− 1 = a1

Dakle pocetni clan danog aritmetickog niza (ak) jednak je a1 = m+n−1. Sadaopci clan ak danog aritmetickog niza (ak) poprima sljedeci oblik:

m + n− 1 − 1↘ ↙

ak = a1 + (k − 1) · d ⇒ ak = m + n− 1 + (k − 1) · (−1)


ak = m + n− 1 + k · (−1) + (−1) · (−1)

ak = m + n− 1− k + 1


ak = m + n��−1− k + �1

ak = m + n− k

78

Preostaje jos samo odrediti sumu prvih m + n clanova aritmetickog niza (ak).Sumu prvih k clanova aritmetickog niza (ak) racunamo prema izrazu:

Sk = k

2 · (a1 + ak)

Uvrstimo jednakosti koje smo izveli, slijedi:m + n− k

↓Sk = k

2 (a1 + ak) ⇒ Sk = k

2 · (m + n− 1 + m + n− k)↑

m + n− 1


Sk = k

2 · (2 ·m + 2 · n− k − 1)

Sada je suma prvih m + n clanova aritmetickog niza (ak) jednaka:

m + n

↓

Sk = k

2 ·(2 ·m + 2 · n− k − 1) ⇒ Sm+n = m + n

2 ·[2 ·m + 2 · n− (m + n)− 1]↑ ↑

m + n m + n

Rjesimo se unutarnje zagrade na desnoj strani jednakosti, slijedi:

Sm+n = m + n

2 · (2 ·m + 2 · n−m− n− 1)


Sm+n = m + n

2 · (m + n− 1)

Sm+n = m + n

2 · m + n− 11

Sm+n = (m + n) · (m + n− 1)2 ·

Dakle odredili smo sumu prvih m + n clanova aritmetickog niza (ak) te je timezadatak rijesen.

Y ] Z

Zadatak 67: (str. 93) U aritmetickim nizovima 17, 21, 25, 29, ... i 16, 21, 26, 31, ...

ima jednakih clanova. Ako redom ispisemo te clanove, oni ce cinit novi niz.Odredi zbroj prvih 100 clanova tog niza.

79

Rjesenje: Prvi niz oznacimo s (an), a drugi s (bn). Odredimo opce clanovetih nizova, krenuvsi s prvim nizom:

17, 21, 25, 29, ...

Opci clan an prvog aritmetickog niza (an) ciji je pocetni clan a1, a diferenicijad(an) ima oblik:

an = a1 + (n− 1) · d(an)

Oznacimo clanove danog niza:a1 a2 a3 a4↑ ↑ ↑ ↑

17, 21, 25, 29, ...

Pocetni clan mu je poznat i jednak je 17. Ono sto moramo odrediti jest njegovadiferencija. Prisjetimo se da je osnovno svojstvo aritmetickih nizova cinjenica daje razlika svakog clana niza i njegovog neposrednog prethodnika uvijek jednak,odnosno da vrijedi:

an+1 − an = d(an)

Odredimo koliko iznosi diferenicija niza (an), racunamo:

n = 1 ⇒ an+1 − an = d(an)↑ ↑1 1

a1+1 − a1 = d(an)

a2 − a1 = d(an)

Uvrstimo poznate vrijednosti, slijedi:21 17↓ ↓a2 − a1 = d(an) ⇒ 21− 17 = d(an)

4 = d(an)

Sada opci clan aritmetickog niza (an) poprima sljedeci oblik:

17 4↘ ↙

an = a1 + (n− 1) · d(an) ⇒ an = 17 + (n− 1) · 4

Odredimo nadalje opci clan drugog niza:

16, 21, 26, 31, ...

Opci clan bn prvog aritmetickog niza (bn) ciji je pocetni clan b1, a diferenicijad(bn) ima oblik:

bn = b1 + (n− 1) · d(bn)

Oznacimo clanove danog niza:

80

b1 b2 b3 b4↑ ↑ ↑ ↑

17, 21, 25, 29, ...

Pocetni clan mu je poznat i jednak je 17. Ono sto moramo odrediti jest njegovadiferencija. Prisjetimo se da je osnovno svojstvo aritmetickih nizova cinjenica daje razlika svakog clana niza i njegovog neposrednog prethodnika uvijek jednak,odnosno da vrijedi:

bn+1 − bn = d(bn)

Odredimo koliko iznosi diferenicija niza (bn), racunamo:

n = 1 ⇒ bn+1 − bn = d(bn)↑ ↑1 1

b1+1 − b1 = d(bn)

b2 − b1 = d(bn)

Uvrstimo poznate vrijednosti, slijedi:21 16↓ ↓b2 − b1 = d(bn) ⇒ 21− 16 = d(bn)

5 = d(bn)

Sada opci clan aritmetickog niza (bn) poprima sljedeci oblik:

16 5↘ ↙

bn = b1 + (n− 1) · d(an) ⇒ bn = 16 + (n− 1) · 5

Ustvari da bismo odredili novi niz koji sadrzi iste clanove obaju nizova bitne sunam samo njihove diferenicije. Naime sasvim je jasno da prvi clan tog niza jed-nak prvim clanovima koji se poklapaju, dakle 21. Diferencija novog niza bit cejednaka najmanjem zajednickom visekratniku diferencija dvaju pocetnih nizova.

Neka je cn opci clan aritmetickog niza (cn) koji se sastoji od identicnih clanova(an) i (bn). Tada vrijedi:

c1 = 21

d(cn) = NZV(d(an), d(bn)

)Odredimo diferenciju aritmetickog niza (cn), uvrstimo poznate vrijednosti, sli-jedi:

4 5↓ ↓

d(cn) = NZV(d(an), d(bn)

)⇒ d(cn) = NZV (4, 5)

Kako znamo da je najmanji zajednicki visekratnik bojeva 4 i 5 jednak 20, vrijedi:

d(cn) = 20

81

Opci clan an prvog aritmetickog niza (an) ciji je pocetni clan a1, a diferenicijad(an) ima oblik:

cn = c1 + (n− 1) · d(cn)

Sada opci clan aritmetickog niza (an) poprima sljedeci oblik:21 20↘ ↙

cn = c1 + (n− 1) · d(cn) ⇒ cn = 21 + (n− 1) · 20

Preostaje jos samo odrediti sumu prvih 100 clanova tog niza. Sumu prvih kclanova aritmetickog niza (an) racunamo prema izrazu:

Sn = n

2 · (c1 + cn)

Sada je suma prvih 100 jednaka:100↓

Sn = n

2 (c1 + cn) ⇒ S100 = 1002 (c1 + c100)

↑ ↑100 100

Odredimo cemu je jednak c100. Vrijedi:

cn = 21 + (n− 1) · 20 ⇒ c100 = 21 + (100− 1) · 20↑ ↑

100 100c100 = 21 + 99 · 20

c100 = 21 + 1980

c100 = 2001Sada suma koju odredjujemo poprima sljedeci oblik:

2001↓

S100 = 1002 (c1 + c100) ⇒ S100 = 100

2 (21 + 2001)↑21

S100 = 1002 · 2022


S100 = 1001�2·��20221011

1

S100 = 100 · 10111

S100 = 1011001

S100 = 101100

Dakle trazena suma jednaka je 101100 pa je time zadatak rijesen.

82

Y ] Z

Zadatak 69: (str. 93) U aritmetickom nizu (an) zbroj prvih n clanovajednak je Sn = 2 · n + 3 · n2 za svaki n ∈ N. Kako glasi opci clan niza?

Rjesenje: Kako bismo odredili opci clan opisanog niza moramo odred-iti njegov pocetni clan i diferenciju. Neka je to niz (an). Razmislimo li malomozemo zakljuciti da mora vrijediti sljedece:

S1 = a1

S2 = a1 + a2

Iz prve jednakosti mozemo direktno odrediti prvi clan niza (an), racunamo:

Sn = 2 · n + 3 · n2 ⇒ S1 = 2 · 1 + 3 · 12

↑ ↑ ↑1 1 1

S1 = 2 + 3 · 1

S1 = 2 + 3

S1 = 5

Odredimo i drugu jednakost, slijedi:

Sn = 2 · n + 3 · n2 ⇒ S2 = 2 · 2 + 3 · 22

↑ ↑ ↑2 2 2

S2 = 4 + 3 · 4

S2 = 4 + 12

S2 = 16

Da bismo odredili aritmeticki niz potrebno mu je jos odrediti diferenciju. Prisje-timo se da je osnovno svojstvo aritmetickih nizova cinjenica da je razlika svakogclana niza i njegovog neposrednog prethodnika uvijek jednak, odnosno da vri-jedi:

an+1 − an = d(an)

Odredimo koliko iznosi diferenicija niza (an), racunamo:n = 1 ⇒ an+1 − an = d(an)

↑ ↑1 1

a1+1 − a1 = d(an)

a2 − a1 = d(an)

Dakle trebamo odrediti cemu je jednak drugi clan niza. Uocimo da ako oduzmemoiznos prve sume od druge upravo cemo dobiti vrijednost drugog clana niza. Vri-jedi:

83

a1 + a2

↓S2 − S1 = a1 + a2 − a1 = a2

↑a2

Uvrstimo poznate vrijednosti, slijedi:16 5↓ ↓

a2 = S2 − S1 ⇒ a2 = 16− 5

a2 = 11Sada mozemo odrediti difereniciju niza d(an). Uvrstimo poznate vrijednosti,slijedi:

11 5↓ ↓a2 − a1 = d(an) ⇒ 11− 5 = d(an)

6 = d(an)

Preostaje jos odrediti opci clan opisnog aritmetickog niza. Opcenito opci clanan aritmetickog niza (an) kojem je prvi clan a1, a diferencija d(an) ima oblik:

an = a1 + (n− 1) · d(an)


6↓

an = a1 + (n− 1) · d ⇒ an = 5 + (n− 1) · 6↑5

Dakle opci clan an aritmetickog niza (an) ima oblik an = 5 + (n− 1) · 6. Timeje zadatak rijesen.

Y ] Z

84

Aritmeticki nizAritmeticki niz Zadatak 5: (str. 91) Koliko je prirodnih brojeva manjih od 500 koji...

Documents

Transcript of Aritmeticki nizAritmeticki niz Zadatak 5: (str. 91) Koliko je prirodnih brojeva manjih od 500 koji...