Aritmetica recreativa

Click here to load reader

  • date post

    21-Nov-2015
  • Category

    Documents

  • view

    66
  • download

    12

Embed Size (px)

description

aritmetica

Transcript of Aritmetica recreativa

Pietrani

Capitolul 1 Despre numere ................................................................................. 1Capitolul 2 Cum se scriau numerele odinioar i cum se scriu acum ........ 8

Capitolul 3 Ceva din istoria calculului numeric ............................................ 16

Capitolul 4 Curiozitile unor numere ntregi i ale unor fracii ........... 234.1 Numere cu caliti morale ........................................................ 23

4.2 Unele numere i curiozitile lor ............................................ 24

4.3 Ptrate i cuburi curioase ........................................................ 32

4.4 Numere trecute prin ciur ......................................................... 55

4.5 Curiozitile unor fracii .......................................................... 38

Capitolul 5 iruri de numere ........................................................................... 41

Capitolul 6 Probleme asupra numerelor ........................................................ 49Capitolul 7 Numere uriae ............................................................................... 52Capitolul 8 Diverse probleme recreative ..................................................... 58Capitolul 9 Jocuri aritmetice ...................................................................... 65Capitolul 10 Cum calculm rapid .................................................................... 76Capitolul 11 Cteva probleme celebre de aritmetic ............................... 83Capitolul 12 Numere aezate n figuri ......................................................... 8712.1 Probleme cu figuri magice ..................................................... 92

Capitolul 1 Despre numere1. Ceva despre unele numere cunoscutePmntul are o vrst de peste 2.000.000.000 de ani, iar viaa pe planeta

noastr exist de mai bine de 300.000.000 de ani. Pe planeta Mercur anul are 88 de zile pmnteti. Lumina nainteaz cu o vitez de aproximativ 300.000 de km/sec, n timp ce viteza sunetului este de aproape 1.050 km/or. Corpurile, n micarea lor, se freac de aerul nconjurtor i ca urmare li se ridic temperatura cu 25 la o vitez de 1.050 km/or. La o vitez de 2.100 km/or aceast temperatur ajunge la 157.

Iat numai cteva fenomene naturale astzi cunoscute, care au fost descoperite i cercetate de savani. i multe, nesfrit de multe alte fenomene naturale se mai petrec n jurul nostru dup anumite legi fizice, chimice, biologice, sociologice etc. ntre diversele fenomene naturale exist o serie de legturi, unele bine cunoscute, altele n curs de cercetare i multe nc nedescoperite.

Ce reprezint ns cele cteva numere citate o dat cu fenomenele artate? i, mai departe, ce reprezint marea imensitate de alte numere pe care gndul nostru nici nu le poate mcar cuprinde?

tiina numerelor ne nva c ele constituie mijlocul prin care noi reuim s exprimm, n anumite uniti de msur, relaiile cantitative ntre mulimea de fenomene care se petrec n natur sau ntre imensitatea de obiecte care ne nconjoar.

2. Cnd i de ce a nceput omenirea s numereS-ar putea crede c omul a tiut s numere de cnd exist. Pare s nu fie

chiar aa. Un lucru ns este adevrat: tiina numerelor este foarte veche i ea st la baza matematicii. Fr matematic nici nu vedem cum s-ar fi putut dezvolta toate celelalte ramuri ale tiinei i tehnicii. Fr matematic nu ar fi putut progresa nici fizic i nici chimia, nici astronomia i nici geografia.

Cele mai vechi documente tiinifice cunoscute ne dovedesc c ntr-o epoc destul de ndeprtat a existat la unele popoare - cum au fost sumerienii, egiptenii i chinezii antici - un nivel relativ ridicat de cunotine matematice.

Astfel, de la sumerieni (locuitorii Babilonului antic) ne-a rmas un text de matematic scris acum 4.000 de ani pe 44 de tblie de argil uscat. Pentru epoca n care a fost scris, acest text constituie o adevrat enciclopedie matematic.

ntr-un muzeu din Moscova exist un papirus numit chiar Papirusul din Moscova care a fost scris de egiptenii antici cu 19 secole .e.n. Un altul, cunoscut sub numele de Papirusul lui Rhind sau al lui Ahmes, a fost scris n urm cu 37 de secole. Dar cuprinsul acestui papirus nu aparine nici lui Rhind i nici lui Ahmes, deoarece englezul Rhind nu a fost dect proprietarul papirusului, iar egipteanul Ahmes nu a avut dect rolul unui scrib care a transcris lucrarea intitulat Modul de calcul pentru a ptrunde lucrurile, a cunoate tot ce este obscur i a nvinge orice dificultate. Aceast lucrare a fost alctuit de un autor necunoscut cu vreo 3

secole nainte de naterea lui Ahmes. Egiptenii vechi aveau i ei deci cunotine foarte naintate de matematic nc acum 4.000 de ani.

n vechile cronici chinezeti i hinduse se ntlnesc probleme care dovedesc

c aceste popoare stpneau cunotine profunde de matematic. Nivelul ridicat al cunotinelor matematice la greci apare de abia cu 500 de ani .e.n. La acea epoc ei au preluat o tiin avansat a numerelor de la babilonieni, egipteni, chinezi, hindui, fenicieni i alte popoare mai vechi. Despre modul cum numrau oamenii nainte de descoperirea scrierii nu avem date precise. Se tie numai c egiptenii efectuau recensminte nc acum 6.000 de ani. Dar de cnd a nceput omul s numere i pn la inventarea modului celui mai rudimentar de nsemnare n scris a rezultatului unei numrri, au trecut mii i mii de ani.

Un lucru este sigur. Oamenii s-au folosit de numere din timpurile cele mai ndeprtate, i anume cam de pe la sfritul perioadei comunei primitive. Oamenii care au trit la nceputul acestei perioade aproape c nu aveau de ce s numere. Felul lor de via nu le punea probleme a cror rezolvare s cear folosirea unor numere, i cu att mai puin cunoaterea noiunii de numr.

Dup ce omul a trecut la viaa de pstor i agricultor, el a simit nevoia s

nceap s numere. Dar el nu a nceput s numere din dorina de a ti cte stele sunt pe cer sau cte flori vede n jurul su. Numai necesitatea inerii unor socoteli ale animalelor, ale pieilor, ale rezervelor alimentare sau ale altor obiecte care intrau n posesia obteasc sau privat, 1-a condus pe omul din epoca primitiv la gsirea unui mijloc de exprimare a cantitilor i mrimilor cu ajutorul numerelor.

Omul nc nu inventase scrisul, i nici mcar nsemnarea pe rboj, cnd a simit nevoia de a cunoate lipsa unei vite din mica turm pe care o conducea. Acest om nu ar fi putut s spun cte oi sau ci reni are n grmada pe care o posed i nici cte fiare a ntlnit n calea lui, adic s efectueze o numrare. Nevoia de a controla dac n turm a rmas numrul de oi sau de reni pe care i-a avut n ajun l-a mpins la nceput pe om s deosebeasc numai o cantitate mai mic de una mai mare. Era un fel de numrare concret legat de anumite obiecte fr a putea exprima cantitatea prin numere.

Apoi muncile agricole trebuiau efectuate n anumite perioade ale anului i ntr- un anumit numr de zile. Omul nvase s cunoasc perioadele dup succesiunea anotimpurilor, dar ca s tie dac timpul prielnic muncilor agricole a trecut sau nu, el trebuia s numere zilele.

Aadar, nu matematicienii au fost descoperitorii numerelor, ci simpli pstori i agricultori, adic aceia care au simit cei dinti nevoia s numere.

3. Cum a ajuns omul la ideea de numrDac nu dispunem de documente aa de vechi care s corespund epocii la

care omenirea a nceput s numere, cum putem totui s aflm ceva despre modul n care omul a ajuns la ideea de numr? Sunt motive s presupunem c pn a ajunge la stadiul actual de civilizaie, oamenii au trecut prin faze similare cu acelea n care se gsesc unele popoare primitive din Africa i Oceania. Din studiul felului n care

numr aceste popoare, oamenii de tiin au tras concluzii care ne dau o idee asupra modului cum omenirea a putut s ajung la unele metode de numrare.

Omul primitiv nu cunoate noiunea abstract de numr, dar el poate s

stabileasc o coresponden ntre obiectele de numrat i degetele sale. Corespondene se pot stabili i ntre alte obiecte i obiectele de numrat. S presupunem, de exemplu, c avem o grmad de mere i un sac de nuci. Dac de fiecare dat n care lum un mr din grmad scoatem i o nuc din sac, putem spune c am stabilit o coresponden ntre numrul acestor nuci i merele luate din grmad. Adic am luat din grmad attea mere, cte nuci am scos din sac.

Corespondena ntre obiectele de numrat i degete s-a putut stabili pentru

c numrul degetelor unei mini este acelai la toi oamenii. Numai din aceast cauz degetele minii au devenit o unitate de msur pentru numrat. Numrarea la unii oameni primitivi nu se oprete la degete. Dac numrul obiectelor este mai mare dect zece ei merg mai departe la alte pri ale corpului: la pumn, cot, subsoar, umr, sn etc. ncep cu: organele prii stngi a corpului i apoi trec la partea dreapt. La urm ei i amintesc la ce parte a corpului au ajuns cu numrarea.

Ordinea numrrii i pierde deci importana, rmne numai ideea de

cantitate. Dar aceast idee rmne mult timp legat de obiectele numrate. Oamenii primitivi nu pot vorbi dect de obiecte numrate. Ei nu concep a exprima cinci fr a spune cinci copaci sau cinci oameni, cinci cai i aa mai departe. Numai cu timpul dup ce au observat c toate obiectele enumerate n acelai fel au o proprietate nou, comun tuturor grupurilor de cinci sau ase, oamenii primitivi au ajuns la noiunea abstract de numr. Ei au putut constata atunci c noiunea de

cinci, de exemplu, poate cuprinde n ea i cinci copaci i cinci oameni i cinci

cai, adic attea alte noiuni concrete. n felul acesta oamenii au trecut la o generalizare a denumirilor numerelor. Au nceput s numere: doi, trei, patru, cinci etc, fr s mai lege i obiectele de numere. Este interesant constatarea c denumirile primelor cinci numere au o origine comun la multe popoare, ceea ce nseamn c aceste denumiri s-au nscut probabil atunci cnd strmoii oamenilor ca