UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCANorte de la Universidad PeruanaSECCIN JANFACULTAD DE INGENIERA

INTEGRALES MULTIPLESComo anteriormente se trato sobre el rea comprendida entre la grfica de una funcin positiva: y = f(x), el eje OX y las rectas x = a, x = b.Dicha rea se representaba como .

INTEGRALES DOBLES SOBRE UN RECTANGULO

INTEGRALES DOBLES

Teorema: Cualquier funcin continua sobre un rectngulo es integrablePROPIEDADES DE LA INTREGRAL DOBLE

INTEGRAL DOBLE SOBRE REGIONES MAS GENERALES

Sea D una regin de tipo I, II III. Sea z = f(x,y) una funcin continua.Consideremos una regin del tipo I. Entonces:

Anlogamente consideremos una regin del tipo II, se tiene:

INTEGRAL TRIPLE

Definicin:

Propiedades de las integrales triples

CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES DOBLES

Teorema del cambio de variable para integrales dobles

CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES TRIPLESJACOBIANO

COORDENADAS CILNDRICAS

Cambio a Coordenadas Cilndricas

Diferencial de Volumen en Coordenadas Cilndricas

Integrales Triples en Coordenadas Cilndricas

COORDENADAS ESFERICAS

Cambio a Coordenadas Esfricas

Diferencial de Volumen en Coordenadas Esfricas

Integrales Triples en Coordenadas Esfricas

APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLESA. Masa de un Slido

B. Momentos de Primer Orden

C. Centro de Masa

D. Momentos de Inercia de una Regin Slida

Propiedades

PRACTICA N 01 ANALISIS MATEMATICO III1) Hallar el valor de las siguientes integrales.a)

Solucin:

1 grfica:

Sea: -2

I=

b)

Solucin:

-

Z=z..

ZGrafica:

YX

, S limitado por los tres coordenados, z=.Solucin:1 grafica:

2desarrollando la integral:

e), siendo z la regin entre y ,

a) Grafica:

ZYXb) transformacin

, S es el slido limitado por las superficies:

Transformando a cilndricos:

Entonces:

, entonces

Donde:

De:

g), S limitado por: STransformando a cilindricos.

2) Calcular el rea de la regin acotada por las curvas: y2 = 2x y x2 + y2 4y =0

Desarrollando la integral tenemos:

3) Calcular el rea de la regin limitada por las curvas:

1 Transformado a coordenadas polaresx = r.cosy = r.senRepresentan un lemniscata y una circunferencia2 Integrando

4) Calcular el rea de la regin limitada por las curvas: xy=4; xy=8; xy3=15; xy3=5

5) Calcular el volumen del solido limitado por las superficies:

6) Calcular el volumen del slido limitado por las superficies:

18) Hallar el volumen del solido comn a las dos esferas: = 2 = 2cosSOLUCIONX = sencos y = sensen z = cosE1: = 2 + + = 4E2: = 2cos + + = 2 z + + = 2Interceptando Grafica = 2 = 2cos y = TRANSFORMANDO =

2 PARA E1 0

E1 E2 0 0 0PARA E2 = 2cos = 2 0 2 x

0E1 U E2= ddd + ddd = (16 - 6 )= (16 - 6 )

19) Hallar el volumen del solido comn a la esfera = a y al cono , donde 0SOLUCIONX = sencos y = sensen z = cos zE1: = + + = : tag = = = 00, pero 0 y0= ddd= x

20) Hallar el volumen del solido limitado por la superficie con ecuacin: = , aSOLUCIONX = sencos y = sensen z = cos

REMPLAZAMOS EN LA ECUACION = =

x : 00 0 0= ddd= 21) Hallar el volumen por encima del cono + = y dentro de la esfera = 2cosX = sencos y = sensen z = cos z + + = 2a z + += 0 0 0 y= ddd= x

22. Hallar el centroide de la regin limitada por la parte superior de la elipse 25x2 + 16y2 = 400 y por la parte superior por el eje X.

Como es simtrico respecto al eje y, el centro ser:C (4/3; 0)

23. Hallar el centro de masa del slido dentro del paraboloide x2 + y2 = z y fuera del cono x2 + y2 = z2. La densidad del volumen es constante.

1. En forma cartesiana resulta

2. Transformado a Coordendas Cilndricas:

3. Como existe simetra respecto al eje x, y. Adems son nulos.Es decir C (0, 0, z)

a) Para:

Por lo tanto, C = (0; 0; 0.5)

24. Hallar el centro de masa del slido limitado por las superficies: z2 = x2 + y2, x2 + y2 + z2 = a2 sobre el cono, la densidad des constante.

1. Existe simetra respecto al eje x, y.Entonces; C (0, 0, z)

2. Puntos de interseccin:

De la grfica:

3. Transformando a coordenadas esfricas

Para:

C (0; 0 ; 0.212a)

ANALISIS MATEMATICO IIIPgina 1Lic. Eladio Snchez Culqui