AritméTica Del Computador

ARITMÉTICA DEL COMPUTADOR

Priscila [email protected]


• Aritmética binaria– No es más que aquella aritmética que se da en el

sistema de numeración de base 2, y que es utilizada para construir los códigos del computador.

– Operaciones aritméticas:• suma, resta, multiplicación y división

ARITMÉTICA DEL COMPUTADOR: Sistemas de numeración

Sistemas de numeración• Conjunto de símbolos usados para representar

información numérica.• El número de símbolos de este conjunto

depende de la base del sistema de numeración.• Ejemplos:

Binario {0,1} Octal {0,1,2,3,4,5,6,7}

Decimal {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Hexadecimal {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}

ARITMÉTICA DEL COMPUTADOR: Sistemas de numeración

• Comúnmente: El sistema de numeración decimal.

• En computación los más utilizados son: el binario para efectuar operaciones aritméticas, el octal y hexadecimal para efectuar códigos intermedios que resultan más favorables que convertir decimales a binarios o al contrario.

ARITMÉTICA DEL COMPUTADOR: Sistema decimal

• Sistema decimal– Se combinan de una manera sistemática diez

símbolos (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9).– la forma general utilizada para representar

cualquier número de base “b”, la cual es:....S2S1S0.S-1S-2....

– Si tomamos como referencia el sistema decimal, S representaría un símbolo cualquiera de los 10 dígitos de este sistema y el subíndice indicaría la posición del símbolo con relación al punto decimal.


• Ejemplo:

N= 8253 se lo puede expresar en notación expandida como:

N10= 8 * 103 + 2 * 102 + 5 * 101 + 3 * 100

En donde 103 representa al 1000, y 8 * 1000 es igual a 8000 …, por lo que el obtendríamos que:

8253= 8000 + 200 + 50 + 3


• Cualquier valor fraccionario representado en el sistema decimal por una cadena de dígitos decimales junto con un punto decimal intercalado, puede expresarse también en notación expandida usando potencias negativas de 10.

• Específicamente el valor posicional de los dígitos a la derecha del punto decimal es respectivamente:

10-1 = 1/10 10-2 = 1/100 10-3 = 1/1000 ......


• Ejemplo:Expresar el número 837.526 en notación expandida.

• Solución:Haciendo uso de la forma general y la notación expandida obtenemos.

S2S1S0.S-1S-2 S-3

8 3 7. 5 2 6837.526= 8 * 102 + 3 * 101 + 7 * 100 + 5 * 10-1 + 2 * 10-2 + 6

* 10-3

837.526= 800 + 30 +7 + 5/10 + 2/100 + 6/1000


Ejercicios:Escribir en notación expandida los números:• 2468• 146.723

ARITMÉTICA DEL COMPUTADOR: Sistema binario

• Sistema binarioEl sistema de base 2 utiliza dos dígitos: 0 y 1, en el cual cada uno representa un bit de información.– Cualquier número binario está formado por una

sucesión de bits, donde aquellos que no tienen parte fraccionaria, es decir aquellos que no tienen un punto binario, se llaman enteros binarios.

ARITMÉTICA DEL COMPUTADOR: Sistema binario

Los valores de posición en el sistema binario son las potencias de la base 2.

20 21 22 23 .....• Los valores de posición de la parte fraccionaria

de un número binario son las potencias negativas.

2-1 2-2 2-3 .....


• En computación los números binarios no siempre representan una cantidad numérica. A veces son cierto tipo de código que representa información no numérica.Las computadoras pueden reconocer en un número binario cinco funciones:– Datos numéricos reales.– Números correspondientes a una dirección en la memoria.– Un código de instrucción.– Un código que representa caracteres alfanuméricos.– Información sobre las condiciones de dispositivos internos o

externos a la computadora”.

ARITMÉTICA DEL COMPUTADOR: Conversión entre sistemas de numeración

Conversión de decimal a binarioTransformar un número decimal a binario considerando los pasos:

1. Separar la parte entera de la parte fraccionaria.

2. Dividir la parte entera para 2 hasta que el último cociente sea 1. Este último cociente, seguidos de los sucesivos residuos leídos de derecha a izquierda, dan la forma convencional del número entero equivalente en binario.

Ejemplo: 40.75

40 +0.75

De esta operación obtenemos que: 40 = 101000

40 2 S0=0 20 2 S1=0 10 2 S2=0 5 2 S3=1 2 2 S4=0 1

ARITMÉTICA DEL COMPUTADOR: Conversión entre sistemas de numeración

3. Multiplicar la fracción decimal por 2 y la parte entera de este producto será la primera cifra de la fracción binaria. La parte fraccionaria del producto se multiplica nuevamente por 2 y la parte entera de este producto es la segunda cifra de la fracción binaria y así sucesivamente hasta que suceda una de las siguientes situaciones:

• Que la parte fraccionara del algún producto por 2 sea 0, en cuyo caso la fracción binaria es exacta, es decir tiene un número limitado de cifras.

Hacemos que: 0.7510 = 0.112

ARITMÉTICA DEL COMPUTADOR: Conversión de decimal a binario

• Que la parte fraccionaria del producto por 2 comience a repetirse individualmente o por grupos, en cuyo caso dará una fracción binaria periódica pura o mixta, donde las cifras se repitan indefinidamente.

• Que la parte fraccionaria de los productos por 2 se presente sin ningún orden, lo que da origen a una fracción binaria inexacta no periódica, es decir un número binario irracional.

La conversión completa quedaría:40.7510 = 101000.112

ARITMÉTICA DEL COMPUTADOR: Conversión de decimal a binario

EjerciciosConvierta los siguientes números decimales a

sus equivalentes en base 2.• 219• 1298.210

ARITMÉTICA DEL COMPUTADOR: Conversión de binario a decimal

Conversión de binario a decimalRepresentar el número en su forma expandida y simplificar utilizando la aritmética decimal, para obtener el número en la forma convencional.

Ejemplo:1010.1012 a base 10

1010.1012 =1 * 23 + 0 * 22 + 1 * 21 + 0 * 20 + 1 * 2-1 + 0 * 2-2 + 1 * 2-3

= 8 + 0 + 2 + 0 + 0.25 + 0 + 0.125 =10.625

Luego: 1010.1012= 10.62510

ARITMÉTICA DEL COMPUTADOR: Conversión de binario a decimal

Ejercicios:Convertir de binario a decimal los números:• 110110• 101.11

ARITMÉTICA DEL COMPUTADOR: Operaciones binarias

Operaciones binariasLas operaciones de: suma, resta, multiplicación y división que son procesadas en la ALU (Unidad Aritmético – Lógica) del computador y realizadas en códigos expresados en sistema binario.

Adición binariaEn una expresión intervienen elementos o números y el operador que especifica el procedimiento a seguir con aquéllos. En la adición los elementos reciben el nombre de sumando y el operador es el signo (+).

ARITMÉTICA DEL COMPUTADOR: Adición binaria

• La tabla de la adición binaria se representa :0 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 0, Llevando 11 + 1 + 1 = 1, Llevando 1

• La adición es conmutativa, es decir 1 + 0=1 y 0 + 1=1.• Observe que, la operación se realiza exactamente igual que en el

sistema de numeración decimal teniendo en cuenta que si se excede la base se lleva como acarreo una unidad en la siguiente cifra de orden superior.

• En la tabla se indica que 1 + 1 =10 y debe entenderse 10 en base binaria (102) que es el equivalente del 2 en el sistema decimal.


• Ejemplo :

• Sume la primera columna (la que está más a la derecha), en este caso: 1 + 1 = 0, con uno que se lleva. •El siguiente paso consiste en sumar: 1 + 1 + 0 = 0, con uno que se lleva.

• Sumamos 1 + 1 + 1 = 1, con 1 que se lleva.

• Luego 1 + 0= 1


• Ejercicios resueltos:

11011.01 101111+ 101.1101 10011110001.0001 + 11111

1110101


• EjerciciosRealizar las operaciones siguientes.a) 100111 + 11101b) 1101.01 + 101.01b) 101001011001.1111 + 1111100.00011

ARITMÉTICA DEL COMPUTADOR: Sustracción binaria

• Sustracción binaria– Recordar que la resta no es conmutativa y por

tanto deben distinguirse los elementos que intervienen en la misma. El minuendo es el elemento del cual se resta el sustraendo.

– Al igual que en el sistema de numeración decimal se tiene en cuenta que si se excede la base se lleva en la siguiente cifra una unidad de orden superior


0 - 0 = 0 1 - 0 = 1 1 - 1 = 0 0 – 1= 1, prestando un 1 de la siguiente columna.• En esta última se toma un 1 del número de la

izquierda, es decir de la columna de orden inmediato superior para conformar la operación 10 – 1= 1.

• Si el minuendo es negativo, la operación se convierte en una adición con el resultado negativo.


Ejemplos:

Observar que prestamos un 1 de la tercera columna debido a la diferencia de 0 – 1 en la segunda columna.


• Ejercicios:

Desarrollar las sustracciones:

a) 1101 - 110b) 111010.00100 - 1111.00001 c) 11101011 – 1011101

ARITMÉTICA DEL COMPUTADOR: Multiplicación binaria

Multiplicación binariaEn la multiplicación los elementos se llaman

multiplicando y multiplicador, y que el operador es el signo (*). La multiplicación binaria es conmutativa, asociativa y distributiva con relación a la suma.


0 * 0 = 0 0 * 1 = 0 1 * 0 = 0 1 * 1 = 1

Para multiplicar números que tienen parte entera y parte fraccionaria se opera igualmente como en el sistema decimal. Donde, para colocar el punto binario se cuenta la cantidad de cifras fraccionarias tanto en el multiplicando como en el multiplicador, y esta cantidad se separa en el producto o resultado.


Ejemplos:

Ejercicios:Efectuar las multiplicaciones indicadas:

a) 100111 * 101 b) 11.101 * 1.01

ARITMÉTICA DEL COMPUTADOR: División binaria

• En esta operación binaria los elementos son el dividendo y divisor. Como en la división decimal de enteros, un residuo es posible cuando un entero binario se divide por otro.

• Procedimiento:

Se toma el mismo número de cifras en el dividendo que las que tiene el divisor, si no alcanza se toma una más.

Se resta, se baja la siguiente cifra y se sigue el mismo procedimiento


• Así mismo, la división de fracciones binarias se maneja de la misma manera que la división de fracciones decimales; comprobémoslo revisando para ello el algoritmo:

•Desplazar el punto binario, tanto en el dividendo como en el divisor, hasta que el divisor sea un número entero.

•Cuando el número de cifras fraccionarias del divisor es mayor que las del dividendo, es necesario agregar a este último los ceros que se precisen.

•Luego, se determina si el número de cifras del divisor es igual o menor que el número de dígitos de la izquierda del dividendo. Si así sucede, se escribe un (1) en el cociente y el divisor se resta de esos dígitos, y a este residuo se le agrega la cifra siguiente del dividendo. Si, por el contrario, el divisor es superior a los dígitos

Ejemplo:

10.01 ÷ 1.1


• Ejercicios:

Efectuar las divisiones siguientes:

a) 1111 ÷ 101 b) b) 101.1011 ÷ 1.11

ARITMÉTICA DEL COMPUTADOR: Complementos binarios

Complementos binarios • Es posible reservar un bit para denotar el signo de

un número, 0 para números positivos (+) y 1 para números negativos (-).

• El sistema más empleado para representar números binarios con signo es el de complemento a 2. Para considerar este último sistema es necesario tener en cuenta el complemento a 1, el cual se obtiene cambiando cada bit del número por su complemento.


• El complemento a 2 de un número binario se obtiene tomando el complemento a 1 y sumándole una unidad al bit menos significativo.

• Ejemplo: Representar el número con signo +43 se agrega un bit 0 adelante del número binario puro, así:

43 = 101011+43= 0101011


• En cambio para obtener el número negativo –43 se encuentra el complemento a 2 del número

positivo:Número binario positivo: 0101011 Complemento a 1: 1010100

___ +1 Complemento a 2: 1010101

Por lo que: 1010101= -43


• El complemento a 2 de un número con signo cambia un número positivo por uno negativo y viceversa, es decir, que el complemento a dos cambia la polaridad del número.


• Ejercicios:Representar los siguientes números binarios con

signo:a) -13b) + 15c) -19

ARITMÉTICA DEL COMPUTADOR: Códigos del computador

Códigos del computador

Algunos de los códigos que utiliza el computador para la representación de texto son:

• ASCII (American Standard Code for Information Interchange, utiliza 7 bits y permite representar números, letras mayúsculas y caracteres de puntuación.

• EBCDIC (Extended Binary Coded Decimal Interchange Code), código alfanumerico de 8 bits, utilizado en grandes sistemas de computación.

ARITMÉTICA DEL COMPUTADOR: Códigos del computador

Tarea:Investigar los códigos más utilizados por el

computador para la representación de texto.

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