ARITMETICA BINARIA

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  • ARITMTICA BINARIA COMPUERTAS LGICAS LGEBRA DE BOOLE:

    Sistemas de Numeracin: Aritmtica Binaria

    Los objetos ms antiguos conocidos para representar nmeros, son huesos con

    muescas descubiertos en Europa occidental, que datan de hace unos 20.000 a 30.000 aos.

    Sistema decimal (Base 10)

    El sistema de numeracin decimal comnmente usado en la actualidad est basado

    en diez dgitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. El nombre decimal proviene del latn

    decem, que significa diez. Los smbolos usados para representar estos dgitos

    fueros llevados a Europa alrededor del siglo XIII de nuestra era por los rabes, quienes a su vez los habran copiado de los hindes. Dado que el sistema decimal

    est basado en diez dgitos, se dice que es base 10 o raz 10. Con excepcin de

    requerimientos especiales tales como la computacin, los sistemas de numeracin de base 10 han sido adoptados casi universalmente.

    El sistema decimal es un sistema numrico de valores posicionales, lo que

    significa que el valor de un dgito particular en un nmero de varios dgitos

    depende del dgito mismo y de su posicin en el nmero.

    Cada columna en un sistema numrico de valor posicional, tiene un peso asociado

    con la columna, y cada dgito debe ser combinado con el peso de su columna para determinar el valor final del nmero:

    El conteo en el sistema decimal comienza en 0 y progresa hasta 9, punto en el cual

    se han usado todos los dgitos disponibles. En consecuencia, el siguiente nmero del conteo

  • Hace que la primera columna pase a cero, y la

    segunda columna sea incrementada, dando como

    resultado el nmero 10. De manera similar, cuando el conteo alcanza 99, el siguiente nmero hace que

    la primer columna (de la derecha, por supuesto)

    pase a cero, y la segunda columna deba ser

    incrementada. Pero como la segunda columna tambin est en 9, el 1 que "se lleva" de la primera

    la hace pasar a cero y esto hace incrementar la

    tercera columna, resultado toda esta operacin en el nmero 100, como se observa en la figura

    Aunque el sistema decimal sea "anatmicamente" conveniente -pensando en la

    ayuda que nos proveen los dedos de la mano para contar-, un sistema de

    numeracin con cualquier otra base tiene las mismas ventajas, y no tiene tantos inconvenientes, como por ejemplo los nmeros de base 10 son solo divisibles por 2

    y por 5, mientras que por ejemplo los de base 12 son divisibles por 2, 3, 4 y 6.

    Desde este punto de vista sera ms conveniente un sistema de numeracin con base 12. En el pasado ha habido muchas culturas que han utilizado los sistemas de

    base 12, para el cual usaban las tres falanges de cuatro dedos de la mano,

    reservando el pulgar como sealador o apuntador.

    Otros sistemas de numeracin son el quinario (base 5), que no se usa; el sexagesimal (base 60), que ya usaban los Sumerios (siglo XXX a.c.) y despus los

    Babilonios (siglo XX a.c.), en la actualidad se usa tanto en la medicin de tiempos

    como de ngulos. Ntese que 60 es divisible por 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 y 30.

    Sistema Binario (Base-2)

    La unidad bsica de un dispositivo digital, lo constituye la compuerta lgica. Se

    puede decir que estn hechas de transistores, los que a su vez slo admiten dos estados (conducen o no conducen corriente elctrica). Consecuentemente, las

    computadoras estn obligadas a utilizar un sistema de numeracin que tenga slo

    dos dgitos. Los sistemas numricos de base 2 se llaman binarios y utilizan los dgitos 0 y 1.

    Es importante relacionar esta figura con la correspondiente del sistema decimal que

    se vio anteriormente: en ambos casos cada columna tiene un peso que depende de

    una potencia de la base, y cada dgito debe ser combinado con el peso de su

  • columna para determinar el valor final del nmero, tal como se observa en la figura

    anterior.

    Notar que aqu se est usando los subndices para notar la base del sistema: 101102 = 2210 (10110binario = 22decimal). El trmino "dgito binario" es conocido

    ampliamente como bit, de tal manera que, tal como se dice" el nmero 286710 es de

    cuatro dgitos", diremos "el nmero 101102 es de 5 bits". Esta es una forma de

    medir el ancho del nmero. Adems, a un grupo de 8 bits se le llama byte, y a un grupo de 4 bits se le llama nibble. Es decir que un byte est compuesto de dos

    nibbles u ocho bits.

    Contar en binario es muy sencillo, pero puede presentar algunas dificultades para comprender cmo se hace: Comenzamos en cero hasta que usamos todos los

    dgitos para la primer columna (es decir, cero y uno). El siguiente nmero, requiere

    incrementar la segunda columna en 1, haciendo pasar la primera a cero (que sera

    el nmero 210), y as sucesivamente como se observa en la figura siguiente:

    En forma similar a los dgitos de un nmero en sistema decimal, el bit de la derecha es el bit menos significativo (LSB), y el de la izquierda es el bit ms

    significativo (MSB).

    Haremos una generalizacin de los nmeros binarios: el vector de n bits que representa al nmero binario N es:

    N = an-1 an-2 an-3 a1 a0 Donde n = nmero de bits que representan a N

    y ai = 0 1 para 0 i n-1 Ejemplo:

    N = 11001111

    En este caso n = 8, y aqu a7 = 1; a6 = 1; a5 = 0;... a0 = 1

    El vector referido precedentemente est asociado en este sistema numrico con la raz o base 2 de la siguiente forma:

    V = an-1. 2n-1

    + + a2. 22 + a1. 2

    1 + a0. 2

    0

  • Este vector representa valores enteros positivos, y en el ejemplo dado

    anteriormente, se podr calcular el nmero N (en decimal) o tambin |N| (por ser

    entero y positivo), de la siguiente forma:

    Si aplicamos esta ecuacin al nmero binario dado como ejemplo encontramos que

    N = 207

    Veamos los valores extremos que puede tener un nmero binario de 8 bits:

    Nmin = a0 . B0 = 0

    En el caso de un sistema de 8 bits, Nmax = 255

    Aunque la matemtica binaria es bastante simple, los humanos la encontramos

    complicada pues los nmeros son demasiado largos y difciles de leer, adems de ser muy laborioso operar con ellos. Por ejemplo, el nmero 1101 00112 es

    relativamente difcil de contextualizar, mientras que el decimal equivalente 21110

    es mucho ms sencillo.

    Sistemas Octal (Base 8) y Hexadecimal (Base 16)

    Admitimos entonces que las computadoras no tienen otra alternativa que operar en

    el sistema binario, pero como ste no es agradable a los humanos, luego debemos pensar en otro sistema de base ms grande. Podra ser el decimal de uso tan

    difundido, pero ya vimos que tiene algunos inconvenientes, adems debemos elegir

    un sistema de numeracin que sea de fcil conversin al binario y viceversa. Para

    que la conversin sea sencilla, el sistema de numeracin adoptado debe tener una base que sea potencia de dos (2, 4, 8, 16, 32, etc.), lo que no cumple el sistema

    decimal. Por estos motivos, los ingenieros electrnicos utilizan tpicamente el

    sistema octal (base 8) y el sistema hexadecimal (base 16). Por ser un sistema de base 16, el hexadecimal requiere 16 smbolos individuales

    para representar todos sus dgitos. Esto constituye un problema, pues los smbolos

    arbigos son slo 10 (del 0 al 9). Para resolver el inconveniente, y no tener que

    crear nuevos smbolos, se opt por adoptar los seis smbolos faltantes como las primeras seis letras del alfabeto, de manera que el sistema hexadecimal qued

    como sigue:

    Se ha agregado tambin el decimal y el octal a los efectos de comparar los dgitos y sus valores.

  • La metodologa para contar, tanto en el hexadecimal como en el octal, es la misma

    que para los otros sistemas numricos de valores posicionales, o sea, cuando se

    agotan los dgitos de una columna, el siguiente nmero en el conteo hace cero a esa columna, e incrementa en una unidad la columna de la izquierda. Esto podemos

    analizarlo en la siguiente tabla: Decimal Binario Octal Hexadecimal

    00 0000 0000 000 000

    01 0000 0001 001 001

    02 0000 0010 002 002

    03 0000 0011 003 003

    04 0000 0100 004 004

    05 0000 0101 005 005

    06 0000 0110 006 006

    07 0000 0111 007 007

    08 0000 1000 010 008

    09 0000 1001 011 009

    10 0000 1010 012 00A

    11 0000 1011 013 00B

    12 0000 1100 014 00C

    13 0000 1101 015 00D

    14 0000 1110 016 00E

    15 0000 1111 017 00F

    16 0001 0000 020 010

    17 0001 0001 021 011

    .... ................... ..... .....

    Obsrvese en la tabla que los nmeros de los sistemas binarios, octal y

    hexadecimal tienen antepuesto uno o varios ceros para "rellenar". Este relleno de

    ninguna manera es necesario, pero se usa frecuentemente para indicar el nmero fsico de bits usado para representar un determinado valor dentro de la

    computadora.

    Ntese, en la tabla, que cada dgito octal requiere tres dgitos binarios para ser representado, mientras que cada dgito hexadecimal, requiere cuatro dgitos

    binarios para ser representado. (Obviamente, sin contar los ceros de relleno).

    En las primeras computadoras digitales, el transporte de datos se haca con

    frecuencia en anchos de 9 bits, 12 bits, 18 o 24 bits. Debido a que cada dgito octal requiere 3 bits para ser representado, era muy adecuado para ser representado en

    los anchos mencionados. Pero desde hace algo ms de una dcada, se han

    normalizado anchos que son mltiplos enteros