Aritmética 3° sec. (iii y iv bimestres)

Mis datos personales

APELLIDOS Y NOMBRES : ………………………………………………………………….

DOMICILIO : ………………………………………………………………….

Nº TELEFÓNICO : …………………………………………………………………

COLEGIO : ………………………………………………………………….

Nº TELEFÓNICO EN CASO DE EMERGENCIA : …………………………………………………………………………

E-MAIL : ………………………………… @ …………………………

ARITMÉTICA 3RO DE SECUNDARIA

ARITMÉTICA Página 2

Este nuevo cuaderno de trabajo ha sido posible elaborarlo gracias

al trabajo en conjunto de todos los docentes del área de ciencias,

con el único propósito de servir cada día mejor a nuestros

estudiantes, que son la razón de nuestra labor docente.

Es nuestra preocupación formar estudiantes que respondan a las

expectativas de la sociedad en la que vivimos, por ello laboramos

permanentemente en la formación de estudiantes analíticos y

críticos, con sólidos conocimientos científicos y filosóficos, con una

base emocional capaz de sobresalir ante cualquier situación que se

le presente.

Este cuaderno de trabajo cumple un papel importante dentro de

todo este trabajo organizado que se realiza en la institución, nos

permitirá complementar y reforzar los contenidos de las unidades

programadas para este año.

Finalmente reconocemos la labor que realizan los padres de

familia que junto con los profesores, se esfuerzan día a día por

lograr una educación científica e integral en sus hijos.

Aprovechamos la oportunidad para reanudar nuestro

compromiso de servirlos cada día mejor, presentándoles mejores

propuestas educativas a la sociedad.



CONTENIDO – 2013

5

ta UNIDAD:

Descuento comercial (Dc)

6ta

UNIDAD: Descuento Racional (Dr)

7ma

UNIDAD: Estadística descriptiva

8va

UNIDAD: Medidas de posición

PROF.: LIVIO MISAJEL NAVARRETE



Los títulos de crédito son documentos que expresan un valor en dinero, entregados al acreedor para documentar una deuda, que a su vez pueden ser negociados durante el plazo que falta para su pago o vencimiento: LOS VALES: declaran una deuda de quien

lo firma, indican el importe y la fecha y el lugar de su pago.

LOS CHEQUES: dan a un Banco en que el

firmante tiene cuenta con fondos disponibles, una orden para que pague su importe a quien lo presente al cobro. Normalmente tienen validez de 15 días.

LOS CHEQUES DIFERIDOS: son cheques

que solamente pueden cobrarse a partir de una fecha posterior al día de su emisión.

LOS CONFORMES: son similares a los vales, pero indican que la deuda se origina en la compra de una mercadería.

LAS LETRAS DE CAMBIO: Es un documento

de crédito que se utiliza para resolver transacciones comerciales a plazo, en el cual una persona denominada deudor se compromete (mediante firma y datos) a pagar el importe a otra persona denominada acreedor al cabo de cierto tiempo.

LOS BONOS DE DEUDA PÚBLICA: son

emitidos por los gobiernos de los países para recibir dinero de los particulares a devolver en cierto plazo y pagando intereses en su transcurso.

LAS ACCIONES Y OBLIGACIONES: son

documentos emitidos por empresas privadas en forma similar a los bonos de los gobiernos.

Como regla general todos estos documentos son emitidos “al portador” en cuyo caso quien los tenga en su poder puede cobrarlos a su vencimiento; o “a la orden” de alguna persona que puede transferir su propiedad firmando al dorso, lo que se denomina “endoso”. Algunos de estos documentos son aceptados por las Bolsas de Valores para ser comprados y vendidos públicamente, en cuyo caso se establecen sus precios según los intereses que ofrecen, los plazos, y sobre todo la confianza en su pago, que se denomina cotización.

OBJETIVOS

Reconocer los elementos de la regla de descuento en una operación comercial.

Deducir las clases de descuento, con respecto al capital de referencia.

Deducir las propiedades que se cumplen a través de las relaciones matemáticas.



1. Del siguiente texto identifique todos los elementos que

intervienen colocando cada uno de ellos en el gráfico adjunto.

“El 12 de abril la Sra. Carmela se acerca a la casa comercial IRAOKA con el propósito de comprar un televisor LCD de 32 pulgadas que cuesta s/.1600, pero como Sra. Carmela sólo tiene 800 soles, establece con el representante de ventas de la casa comercial un compromiso de pago por la cantidad faltante, firmando para ello una letra de cambio por 960 soles, el cual deberá ser cancelado dentro de 240 días. Sin embargo Sr. Gamboa canceló la deuda el 09 de octubre; pagando s/.920”.

2. Del texto anterior determine la tasa de descuento

mensual.

3. Del texto anterior determine qué tanto por ciento de la

deuda original tendrá que pagar la señora Carmela por concepto de intereses, si cancela su deuda en la fecha de vencimiento.

ELEMENTOS DE LA REGLA DE DESCUENTO

EJEMPLO DIDÁCTICO:

El 23 de agosto, El Sr. Gamboa se acerca a la casa comercial “ELEKTRA” con el propósito de comprar una computadora que cuesta s/.1800, pero como Sr. Gamboa sólo tiene 1200 soles, establece con el representante de ventas de la casa comercial un compromiso de pago por la cantidad faltante, firmando para ello una letra de cambio por 840 soles, el cual deberá ser cancelado dentro de 120 días. Sin embargo Sr. Gamboa canceló la deuda el 21 de noviembre; pagando s/.798. Del texto anterior identifique los elementos que intervienen: IDENTIFICACIÓN DE LOS ELEMENTOS

LETRA DE CAMBIO: Es un documento comercial que se utiliza para resolver transacciones comerciales a plazos, en la cual una persona denominada DEUDOR se compromete (mediante firma y datos) a pagar el importe a otra persona denominada ACREEDOR al cabo de cierto tiempo.

TEMA(S):

RESOLUCIÓN:

RESOLUCIÓN:



1. Llena la siguiente letra de cambio con tus datos personales (como librado o deudor) la CAJA METROPOLITANA (como librador o acreedor)

VALOR NOMINAL (Vn) Es el valor que asume un documento comercial al momento de la firma, para ser cancelado en una fecha determinada. Por tanto, va escrito o impreso con claridad en una zona destacada del mismo documento.

VALOR ACTUAL (Va)

Es el valor que se paga por un documento comercial al hacerlo efectivo antes de la fecha de vencimiento.

FECHA DE VENCIMIENTO

Es la fecha límite que tiene una persona para hacer efectivo el documento comercial.

FECHA DE NEGOCIACIÓN

Es la fecha, antes de la fecha de vencimiento en la cual se hace efectivo el documento comercial

FECHA DE CONTRATO

Es la fecha donde se firma el documento comercial, para ser pagado después de un determinado tiempo.

DESCUENTO (D)

Es la cantidad de dinero que se deja de pagar por hacer efectivo el documento comercial, antes de su fecha de vencimiento.

TIEMPO DE DESCUENTO (t)

Es el periodo que existe entre la fecha de vencimiento y la fecha de negociación del documento comercial.



1. Se firma una letra por 3000 soles que vence dentro de 150 días, ¿cuánto se pagará si se desea cancelar dentro de 30 días, sabiendo que si se cancelara en 60 días antes del vencimiento, el descuento sería de 136 soles?

2. Noemí a firmado una letra de cambio por 6400 soles que

vence dentro de 16 meses, si se cancelara 5 meses antes del vencimiento, el descuento comercial sería 600 soles. ¿Cuánto se pagaría si se cancelara dentro de 7 meses?

3. José al comprar estantes para que pueda remodelar la

biblioteca de su colegio, firma una letra por 2800 soles, cuyo vencimiento es dentro de 8 meses. Si después de 3 meses se quiere cancelar la letra, ¿cuánto será el valor a pagar, sabiendo que la tasa de descuento es del 36%?

CLASES DE DESCUENTO

DESCUENTO COMERCIAL Es aquel descuento que toma como capital de referencia para su cálculo, al valor nominal del documento comercial. También se denomina descuento externo o descuento abusivo, ya que la deducción se hace sobre un valor futuro. DONDE:

Vn : Valor nominal T : tiempo de descuento r% : tasa de descuento EJEMPLO: Faltando 4 meses para el vencimiento de una letra de s/.4200 se cancela la misma. Calcule el valor actual de la letra y el descuento comercial, si la tasa de descuento es del 15%.

RESOLUCIÓN:

RESOLUCIÓN:

RESOLUCIÓN:

TEMA:

100

nc

V t rD

¡IMPORTANTE! El Dc es directamente proporcional al tiempo de descuento



4. Al comprar una colección de libros, se firmó una letra por 800 soles, cuyo vencimiento es en 12 meses. Si después de 4 meses se quiere cancelar la letra. ¿Cuánto sería el valor a pagar? (Considere una tasa del 24%)

5. Se firma una letra por 4500 soles que

vence dentro de 4 meses. Si dicha letra se cancela 30 días antes de su vencimiento, el descuento sería 45 soles. ¿Cuánto pagaría si se cancela dentro de 40 días?


vence dentro de 3 meses. Si dicha letra se cancela dentro de 40 días, el descuento sería de 120 soles. ¿Cuánto se pagaría si se cancela 25 días antes de su vencimiento?

7. Alberto firmó una letra por 3500 soles,

pagadera dentro de 8 meses. Si cancelara dicha letra 4 meses antes del vencimiento, pagaría 3060 soles. Si se canceló a los 2 meses, ¿cuánto pagó por dicha letra?

8. Al comprar una computadora, se firmó una

letra por 1600 soles, cuyo vencimiento es dentro de 18 meses. Si después de 10 meses se quiere cancelar la letra. ¿Cuánto sería el valor a pagar? (Considere una tasa del 15%)

RESOLUCIÓN:

RESOLUCIÓN:

RESOLUCIÓN:

RESOLUCIÓN:

RESOLUCIÓN:



1. El valor actual de una letra es de 1440

soles. Se conoce que el valor nominal de la letra y el descuento respectivo suman 1560 soles. ¿Dentro de cuánto tiempo vence la letra, si es descontada al 8% comercialmente?

2. Un banco descuenta dos letras a una

misma tasa anual. La primera por tres meses y la segunda por cuatro meses. El descuento de la primera fue de 420 soles. Si el valor nominal de la segunda es los 6/7 del valor de la primera. Indique cuánto fue el descuento de la segunda letra.

3. Danny se compromete a cancelar 6240 soles firmando para ello una letra de cambio que vence dentro de un año y tres meses. Calcule la tasa descuento de dicha letra, sabiendo que si se cancelara 5 meses antes del vencimiento, le descontarían 650 soles.

4. Los valores actuales que tendría una letra

dentro de 2 y 8 meses estarán en la relación de 11 a 17 respectivamente, y además suman 1960 soles. ¿Cuál es el valor nominal de la letra, si se sabe que vence dentro de 1 año?

TEMA:

RESOLUCIÓN:

RESOLUCIÓN:

RESOLUCIÓN:

RESOLUCIÓN:



5. Un empresario negocia una letra 6 meses antes del vencimiento y recibe el 86% de lo que recibiría en la fecha de vencimiento. Halle la tasa de descuento.

6. Una letra vence dentro de cinco meses. Si

el valor actual que tendría dentro de 48 días será 8/11 más que el valor que tiene hoy, además dentro de 2 meses el valor actual será 1050 soles. Calcule el valor nominal.


dentro de 2 y 8 meses se diferencian en 360 soles. Si la letra vence dentro de un año y medio, calcule el valor nominal si se descontó Comercialmente al 5% mensual.

8. Una persona vende una letra al banco y

recibe el 90% del valor de esta. Halle cuánto tiempo falta para su vencimiento si se aplicó una tasa del 15% de descuento.

RESOLUCIÓN:

RESOLUCIÓN:

RESOLUCIÓN:

RESOLUCIÓN:

¡QUE FÁCIL!



1. Se tiene una letra de cambio de 540 soles

que vence dentro de 4 meses. Si hoy negociamos la letra a una tasa de descuento del 5% mensual, ¿Cuál será el descuento que se realiza? Y ¿Cuál sería el valor actual de letra?

a) 108; 432 b) 125; 360 c) 150; 344 d) 205; 368 e) 120; 365


vence dentro de 150 días. ¿Cuánto se pagará si se desea cancelar dentro de 30 días, sabiendo que si se cancelara 60 días antes del vencimiento, el descuento sería de 136 soles?

a) s/. 3128 b) s/. 4258 c) s/. 2563 d) s/. 4710 e) s/. 3650

3. Al comprar un artefacto se firmó una

letra por 500 soles, cuyo vencimiento es en 10 meses. Si después de 2 meses se quiere cancelar la letra, ¿Cuánto será el valor a pagar? (Considere una tasa de descuento del 24%)

a) s/. 580 b) s/.360 c) s/. 420 d) s/.480 e) s/.520


vence dentro de 4 meses. Si dicha letra se cancela 20 días antes de su vencimiento, el descuento sería 25 soles. ¿Cuánto se pagaría si se cancela dentro de 40 días?

a) s/. 1450 b) s/. 2500 c) s/.3200 d) s/. 3650 e) s/. 2400

5. Nora a firmado una letra por 6500 soles

que vence dentro de 18 meses, si se cancelara 3 meses antes de su vencimiento, el descuento sería de 120 soles. ¿Calcule cuánto se pagaría si se cancelara dentro de 5 meses?

a) s/.3580 b) s/. 5980 c) s/.4850 d) s/. 3260 e) s/.5610

6. Al comprar una radio grabadora se firmó

una letra por 700 soles, cuyo vencimiento es en 18 meses. Si pasado 6 meses se quiere cancelar la deuda. ¿Calcule el valor que se tendría que pagar, si la tasa de descuento es de 36%?

a) s/. 448 b) s/. 360 c) s/.280 d) s/. 560 e) s/. 650

7. Ricardo ha firmado una letra por un valor

de 4000 soles que vence dentro de 6 meses. Si dicha letra se cancelara dentro de 100 días, el descuento que se obtendría sería de 160 soles. ¿Cuánto se pagaría si la letra se cancelara 20 días antes de su vencimiento? a) s/. 1250 b) s/. 3620 c) s/. 2500 d) s/. 3960 e) s/. 4800

1. Carmen, el 20 de junio del año pasado

canceló una deuda pagando el 60% del valor de la letra, pero si lo hubiese hecho el 19 de agosto del mismo año, habría pagado el 20% más de lo que pagó por la letra anteriormente mencionada. Determine cuándo fue la fecha de vencimiento de esa letra. A. 6 de enero de este año B. 24 de diciembre del año pasado C. 1 de enero de este año D. 30 de diciembre del año pasado. E. 4 de enero de este año.

2. Se negoció una letra 5 meses antes de su

vencimiento y se recibió el 85% de lo que se recibiría en la fecha de vencimiento. Señale la tasa de descuento.

a) 36% b) 14% c) 24% d) 48% e) 30%

3. El valor actual de una letra que vence

dentro de 2 meses, es de 526 soles. Si la letra se descontara dentro de 20 días, el descuento sería de 36 soles. Calcule el valor nominal de la letra.

a) s/. 580 b) s/. 620 c) s/. 650 d) s/. 540 e) s/. 490

problemas resuelto porel profesor en clase



4. Una persona recibe el 90% del valor nominal de una letra que ha sido descontada a una tasa del 15% anual. Indique cuánto tiempo faltaba para su vencimiento.

a) 10 meses b) 9 meses c) 5 meses d) 11 meses e) 10 meses

5. Alex firma una letra de cambio de 4735

soles el 8 de junio, pagadera el 17 de diciembre del mismo año. Se sabe que si lo cancelara 70 días antes del vencimiento, le descontarían 210 soles. Si él desea pagarla dentro de 3 meses y 7 días, ¿Cuál sería el valor de la letra?

a) s/. 3580 b) s/.2650 c) s/.4850 d) s/. 5000 e) s/. 4450

6. Si una letra de cambio la cancelamos 4

meses antes se pagaría 1438 soles, pero si se cancelara 7 meses antes, sólo se pagaría 1255 soles. ¿Cuál es valor nominal de la letra?

a) s/. 1682 b) s/.2310 c) s/.1580 d) s/. 1586 e) s/. 2180

7. Se negocia un pagaré 60 días antes del

vencimiento. Si el descuento fue el 5% del valor nominal, ¿Qué tasa de descuento anual se aplicó?

a) 30% b) 25% c) 28% d) 32% e) 40%

8. Se firmó una letra a pagar en un año a

una tasa del 30%. Si los valores actuales que tendría dicha letra dentro de 2 y 8 meses se diferencian ene 240 soles. Halle el valor nominal de la letra.

a) s/. 1280 b) s/.880 c) s/. 1600 d) s/. 1420 e) s/.1500

9. Un empresario negocia hoy una letra con

un banco, el cual la descuenta al 30% y además cobra el 3% por gastos administrativos. ¿Cuánto recibe por la letra el empresario si su valor nominal es de s/.60000 y vence dentro de medio año?

a) s/. 50640 b) s/.50820 c) s/.51200 d) s/.50100 e) s/.52200

10. Una letra de cambio vence dentro de 8 meses y su valor actual es de s/.8000. Si se cancelara 3 meses después el valor actual de la letra sería s/.8240. Halle el Vn de la letra.

a) s/. 9600 b) s/.8800 c) s/.9240 d) s/.8248 e) s/.8640

1. Faltando 4 meses para el vencimiento de

una letra de s/.1800 se cancela la misma. Calcule el valor actual de la letra y el descuento comercial, si la tasa de descuento es del 15%.

2. Una letra de cambio de s/.1200 fue

firmada el 12 de abril, pagadera el 18 de diciembre del mismo año. Si se cancela el 11 de junio, calcule el descuento y el valor actual, si es descontada al 10%.

3. María canceló una deuda el 20 de marzo

pagando el 60% del valor de la letra, pero si lo hubiera hecho el 31 de mayo habría pagado el 15% más de lo que pagó. Calcule la fecha de vencimiento de esta letra

4. Se firma una letra por s/.3000 que vence

dentro de 150 días. ¿Cuánto se pagará si se desea cancelar dentro de 45 días, sabiendo que si se cancela 35 días antes del vencimiento el descuento sería de s/.140.

5. Juan tiene una letra de cambio de s/.200

que vence dentro de 60 días y Luis tiene otra letra de s/.225 que vence dentro de 120 días. Si ambos intercambian sus letras y las cancelan en este momento, ¿Quién de ellos se perjudica? Considere que se aplica en ambos casos una tasa de descuento del 5% mensual.



¿QUÉ SON LOS CRÉDITOS?

CRÉDITO: Término utilizado en el comercio y finanzas para referirse a las transacciones que implican una transferencia de dinero que debe devolverse transcurrido cierto tiempo. Por tanto, el que transfiere el dinero se convierte en acreedor y el que lo recibe en deudor; los términos crédito y deuda reflejan pues una misma transacción desde dos puntos de vista contrapuestos. Finalmente, el crédito implica el cambio de riqueza presente por riqueza futura.

CLASES DE CRÉDITO

SEGÚN EL ORIGEN A.- Créditos comerciales: son los que los fabricantes conceden a otros para financiar la producción y distribución de bienes; créditos a la inversión, demandados por las empresas para financiar la adquisición de bienes de equipo, las cuales también pueden financiar estas inversiones emitiendo bonos, pagarés de empresas y otros instrumentos financieros que, por lo tanto, constituyen un crédito que recibe la empresa.

B.- Créditos bancarios. Son los concedidos por los bancos como préstamos, créditos al consumo o créditos personales, que permiten a los individuos adquirir bienes y pagarlos a plazos. C.- Créditos hipotecarios: concedidos por los bancos y entidades financieras autorizadas, contra garantía del bien inmueble adquirido. D.- Créditos contra emisión de deuda pública: Que reciben los gobiernos centrales, regionales o locales al emitir deuda pública. E.- Créditos internacionales: Son los que concede un gobierno a otro, o una institución internacional a un gobierno, como es el caso de los créditos que concede el Banco Mundial.

SEGÚN EL DESTINO A.- De producción: Crédito aplicado a la agricultura, ganadería, pesca, comercios, industrias y transporte de las distintas actividades económicas. B.- De consumo: Para facilitar la adquisición de bienes personales. C.- Hipotecarios: destinados a la compra de bienes inmuebles,

SEGÚN EL PLAZO:

A.- A corto y mediano plazo: Otorgados por Bancos a proveedores de materia prima para la producción y consumo. B.- A largo plazo: Para viviendas familiares e inmuebles, equipamientos, maquinarias, etc.

SEGÚN LA GARANTÍA:

A.- Personal: Créditos a sola firma sobre sus antecedentes personales y comerciales. B.- Real (hipotecas): Prendarias cuando el acreedor puede garantizar sobre un objeto que afecta en beneficio del acreedor.

OBJETIVOS

Deducir matemáticamente el descuento racional (Dr). Reconocer las propiedades que se cumplen entre el descuento comercial y racional.

Aplicar adecuadamente la regla de descuento en la solución de problemas diversos que involucren

situaciones del entorno real.



1. Una letra de cambio de s/.660 que vence dentro de 4

meses es negociada hoy, calcule el valor actual de la letra si es descontada racionalmente al 30%.

2. Una letra de cambio de s/.4830 fue firmada el 14 de

marzo y pagadera al 23 de diciembre del mismo año. Si se cancela el 24 de octubre, calcule el descuento, si es descontada racionalmente al 30%.

3. Una letra de cambio de s/.4240 fue firmada el 20 de

junio y pagadera el 18 de octubre del mismo año. Si se cancela el 19 de agosto, calcule el valor actual si es descontada racionalmente al 36%.

DESCUENTO RACIONAL

Es aquel descuento que toma como capital de referencia para su cálculo, al valor actual (Va) del documento comercial. También se denomina descuento interno o descuento matemático.

DONDE: Var : Valor actual racional

t : tiempo de descuento r% : tasa de descuento

OBSERVACIÓN:

Como Var = Vn – Dr

Remplazando en 100

arr

V t rD

( )

100

n rr

V D t rD

100 ( )r n rD V D t r

100 r n rD V t r D t r

100 r r nD D t r V t r

(100 )r nD t r V t r

TEMA(S):

RESOLUCIÓN:

RESOLUCIÓN:

RESOLUCIÓN:

100

aRR

V t rD

¡IMPORTANTE! El DR NO es directamente proporcional al tiempo de

descuento.

(100 )

nr

V t rD

t r



4. Una letra de cambio de s/.5720 fue firmada en el mes de julio y pagadera el 8 de diciembre del mismo año. Calcule el descuento, si es descontada racionalmente al 30% semestral el 9 de octubre.

5. calcule el valor actual de una letra de

cambio de s/.8480, que fue firmada el 20 de junio y pagadera el 18 de octubre del mismo año, si es descontada racionalmente al 9% trimestral el 19 de agosto.

6. Calcule el valor nominal de una letra que

vence dentro de un año, si los valores actuales que adquiere dicha letra dentro de 4 y 6 meses, luego de descontarla racionalmente al 6%, se diferencian en 25 soles.

7. Se compró un televisor al crédito y se firmó por ésta, una letra de cambio de 600 soles que vence dentro de un año. Si se desea cancelarla dentro de dos meses con un descuento racional del 24%, ¿Cuánto se pagará por la letra?

8. Se firmó una letra a pagar en un año a una

tasa del 30%. Si los valores actuales que tendría dicha letra dentro de 2 y 8 meses se diferencian en 240 soles. Halle el valor nominal de la letra, si se descontó racionalmente.

RESOLUCIÓN:

RESOLUCIÓN:

RESOLUCIÓN:

RESOLUCIÓN:

RESOLUCIÓN:



1. El señor Zapata tiene una letra de s/.4600 que vence dentro de 12 meses. Determine la diferencia entre el Dc y Dr que se obtendría si se deseara cancelar la letra 5 meses antes, a una tasa anual del 36%.

2. Calcule el valor nominal de una letra de

cambio que vence dentro de 4 meses, si al ser descontada comercialmente se obtendría 80 soles menos que si se descontara racionalmente. La tasa en ambos casos es del 20%

3. Piero firma una letra de cambio por

s/.5500, que vence dentro de 9 meses. Calcule la suma del Dc y el Dr, si dicha letra fuera cancelada 5 meses antes de su vencimiento a una tasa del 24% anual.

4. Calcule el valor nominal de una letra que vence dentro de 4 meses, si al ser descontada comercialmente al 36% se obtendría s/.117 menos que si se descontara racionalmente a la misma tasa.

5. Esther canceló una deuda el 27 de marzo

pagando el 75% del valor de la letra, pero si lo hubiera hecho el 25 de julio, habría pagado 20% más de lo que pagó. Calcule la fecha de vencimiento de esta letra.

6. Calcule el valor nominal de una letra de cambio que vence dentro de 90 días, si al ser descontada comercialmente al 32% anual se obtendría 48 soles menos que si se descontara racionalmente.

TEMA(S):

RESOLUCIÓN:

RESOLUCIÓN:

RESOLUCIÓN:

RESOLUCIÓN:

RESOLUCIÓN:

RESOLUCIÓN:



1. Un comerciante firmó una letra pagadera

dentro de 12 meses. Si luego de cuatro meses lo canceló, observando que el descuento comercial que le hicieron es dos quintos más que el descuento racional. Halle cuánto pagó por la letra, sabiendo que su valor nominal es 4900 soles.

2. Se firma una letra con cierto valor nominal

pagadera dentro de 8 meses. Si dentro de 3 meses se desea pagar la deuda y se observa que el Dc y el Dr están en la relación de 3 a 2 y estos suman 106 soles. Calcule le valor nominal.

3. El Dc y el Dr de una letra de cambio que

vence dentro de 10 meses están en la relación de 5 a 4. Si dentro de 2 meses el descuento será de s/.160. Calcule el valor nominal de la letra.

4. Si en una fecha determinada queremos cancelar una letra, nos pueden hacer un Dc o un Dr. Si la descuentan comercialmente se obtendría un descuento de s/.138 y si la descuentan racionalmente, el descuento sería s/.120. ¿Cuál es el valor nominal de la letra?

5. Calcule el valor nominal de una letra,

sabiendo que su descuento racional es el 75% del descuento comercial, además el descuento comercial es 5000 soles menos que el valor nominal.

6. El descuento comercial y el descuento

interno que sufre una letra de cambio pagadera a los 90 días son entre sí como 11 a 10. ¿Cuál fue la tasa anual de descuento a la que se descontó dicha letra?

TEMA(S):

RESOLUCIÓN:

RESOLUCIÓN:

RESOLUCIÓN: RESOLUCIÓN:

RESOLUCIÓN:

RESOLUCIÓN:



1. Una letra de cambio de 2860 soles fue firmada el mes de julio y pagadera el 8 de diciembre del mismo año. Si se cancela el 9 de octubre, calcule el valor actual, si se descontó racionalmente al 60%.

a) s/.2500 b) s/.2600 c) s/.3000 d) s/.2800 e) s/.2560

2. Roxana firmó una letra de cambio el 7 de abril por 4004 soles pagadera el 4 de noviembre del mismo año. Si ella cancela dicha letra el 7 de julio, calcule el valor actual de dicha letra, si es descontada racionalmente al 30%. a) s/.3500 b) s/.3640 c) s/.4800 d) s/.3800 e) s/.4280

3. Se compra una computadora a crédito y se firmó por esta, una letra de cambio de s/.4800 que vence dentro de un año. Se desea cancelar dentro de 2 meses con un descuento racional del 24%. ¿Cuánto se pagará por la letra?

a) s/. 4000 b) s/. 4800 c) s/.3200 d) s/.5200 e) s/.4500

4. Una letra de cambio de s/.10700 fue

firmada el 17 de abril y pagadera el 19 de octubre del mismo año. Si se cancela el 21 de julio, calcule el descuento, si fue descontada racionalmente al 28%.

a) s/. 6650 b) s/. 7200 c) s/.6530 d) s/.700 e) s/.7080


dentro de 2 y 8 meses se diferencian en 250 soles. Si la letra vence dentro de un año y medio, calcule su valor nominal, si se descontó racionalmente al 5% mensual.

a) s/.3200 b) s/.2580 c) s/.1840 d) s/.2500 e) s/.2250

6. Marina observa que los valores actuales que tendría una letra dentro de 7 y 13 meses se diferencian en 450 soles. Si la letra vence dentro de 2 años y 1 mes. Calcule su valor nominal, si se descontó racionalmente al 48% anual.

a) s/.5244 b) s/.4893 c) s/.4780 d) s/.5020 e) s/.4773

1. Calcule el valor nominal de una letra de cambio que vence dentro de 90 días, si al ser descontada comercialmente se obtendría 120 soles menos que si se descontara racionalmente. La tasa en ambos casos es del 32% a) s/.12580 b) s/.14520 c) s/.20250 d) s/.18520 e) s/.17500

2. Ricardo firma una letra de cambio por

s/.5300, que vence dentro de 7 meses. Calcule el exceso del Dc sobre el Dr, si dicha letra fuera cancelada 3 meses antes de su vencimiento a una tasa del 24% anual. a) s/.24 b) s/.3 c) s/.18 d) s/.40 e) s/.36

3. Calcule el valor nominal de una letra que

vence dentro de 4 meses, si al ser descontada comercialmente al 45% se obtendría s/.180 menos que si se descontara racionalmente a la misma tasa.

a) s/.6500 b) s/.9200 c) s/.7800 d) s/.7200 e) s/.6800

4. El señor José Fernández tiene una letra de

s/.5600 que vence dentro de 14 meses. Determine la diferencia entre el Dc y Dr

que se obtendría si se deseara cancelar la letra 4 meses antes, a una tasa anual del 36%.

a) s/.72 b) s/.48 c) s/.59 d) s/.74 e) s/.68

5. María canceló una deuda el 20 De marzo

pagando el 80% del valor de la letra, pero si lo hubiera hecho el 31 de mayo, habría pagado 15% más de lo que pagó. Calcule la fecha de vencimiento de esta letra.

problemas resueltos porel profesor en clase



a) 15 de agosto b) 11 de agosto c) 17 de julio d) 22 de junio e) 18 de Julio

7. Calcule el descuento comercial de una letra que, descontada por 8 meses al 6% da una diferencia de s/.13,17 entre el descuento comercial y el descuento racional.

a) s/.280,50 b) s/.256 c) s/.342,42 d) s/.324 e) s/.356,20

1. Se firma una letra con cierto valor nominal

pagadera dentro de un año. Si dentro de 3 meses se desea pagar la deuda y se observa que el Dc y el Dr están en la relación de 3 a 2 y estos suman 1000 soles. Calcule le valor nominal.

a) s/.4500 b) s/.2400 c) s/.3200 d) s/.2550 e) s/.1200

2. Si una letra es descontada racionalmente, el descuento sería 1/11 del valor nominal. Halle dicho valor nominal, sabiendo que descontada comercialmente, el valor actual sería 8100 soles.

a) s/.900 b) s/.9200 c) s/.9300 d) s/.9400 e) s/.9500

3. El descuento comercial y racional de una letra están en la relación de 5 a 6. ¿Qué tanto por ciento del valor nominal será el descuento comercial?

a) 20% b) 22% c) 23% d) 24% e) 25%

4. Un comerciante firmó una letra pagadera

dentro de 11 meses. Si luego de tres meses lo canceló, observando que el descuento comercial que le hicieron es un séptimo más que el descuento racional. Halle cuánto pagó por la letra, sabiendo que su valor nominal es 5600 soles.

a) s/. 4800 b) s/.5000 c) s/.5200 d) s/.4500 e) s/.5100

5. El Dc y el Dr de una letra de cambio que

vence dentro de 8 meses están en la relación de 5 a 4. Si dentro de 3 meses el descuento será de s/.9600. Calcule el valor nominal de la letra.

a) s/.61440 b) s/.56240 c) s/.48820 d) s/.45960 e) s/.54260

6. Si en una fecha determinada queremos

cancelar una letra, nos pueden hacer un Dc o un Dr. Si la descuentan comercialmente se obtendría un descuento de s/.138 y si la descuentan racionalmente, el descuento sería s/.120. ¿Cuál es el valor nominal de la letra? a) s/. 850 b) s/. 920 c) s/.960 d) s/.880 e) s/.900

7. Los descuentos racional y comercial de

una letra son entre sí como 11 a 12. Señale que tanto por ciento del valor nominal se recibe por ella con el descuento racional.

a) 12% b) 24% c) 15% d)18% e)N.A

8. Se tiene una letra que vence dentro de “t”

años y al ser descontada al 5% anual se observa que los descuentos están en la relación de 5 a 6. Halle “t” a) 4 años b) 3 años c) 6 años d) 2 años e) 8 años

SABÍAS QUE ……

La zona de México conocida como Yucatán viene de la conquista, cuando un español le pregunto a un indígena como llamaban ellos a ese lugar….. el indio le contesto: YUCATÁN, lo que el español no sabía era que le estaba contestando: “no soy de aquí” El 97% del agua está en los mares, el 3% es agua dulce. De este 3%, el 97% está en los polos congelada, el 2% está en las corrientes subterráneas y el1% es la que tenemos acceso. De este 1%, el 57% está en los lagos, el 38% pertenece a la humedad del medio, el 8% es vapor, el 1% está en los organismos vivos y el 1% está en los ríos. Esto nos deja el 0,02% de agua para toda la humanidad.



1. Halla el valor nominal de una letra, que

al ser descontada 9 meses antes de su vencimiento, al 16% anual, se ha recibido por ella S/.2640.

a) S/.2860 b) S/.3200 c) S/.2940 d) S/.3000 e) S/.2980

2. Halla el valor nominal de una letra si los descuentos internos y externos son 243 y 240 nuevos soles

a) S/.19480 b) S/.19420 c) S/.19450 d) S/.19 410 e) S/.19 440

3. Una persona debe pagar una letra de

S/.5000 el 13 de abril, pero lo paga el 4 de marzo S/.4950. ¿Cuál fue la tasa de descuento?

a) 9% b) 10% c) 12% d) 15% e) 16%

4. Al descontar una letra se recibió por ella

los 17/20 del valor nominal, luego se descontó:

a) 10% del valor nominal. b) 12% del valor nominal. c) 15% del valor nominal. d) 5% del valor nominal. e) 25% del valor nominal.

5. Se dispone de dos letras de

S/.36 000 c/u. ¿Cuál es la diferencia de sus valores efectivos si hoy se descuenta una y mañana la otra con una, tasa del 50% anual?

a) S/.150 b) S/.50 c) S/.200 d) S/.250 e) S/.350

6. Una letra vence dentro de 2 meses, hoy

día tiene un valor actual de S/4050. Si dicha letra se descontara dentro de 10 días, dicho descuento sería de S/.375. Halla el valor nominal de dicha letra.

a) S/.4500 b) S/.4800 c) S/.5600 d) S/.5000 e) S/.4200

7. El valor nominal de una letra es S/.4900 descontada racionalmente se obtiene por ella S/.4375 ¿cuánto se obtendría si el descuento fuese comercial y al mismo porcentaje?

a) S/.4220 b) S/.4300 c) S/.4324 d) S/.4312 e) S/.4336

8. El valor nominal de una letra es 3/5 del valor nominal de una segunda letra. Ambas se ha descontado al 25% por un mes y 12 días la primera, y por dos meses la segunda. Si al descuento de la segunda letra ha sido S/.1850, ¿cuál fue el descuento de la primera letra?

a) S/.777 b) S/.810 c) S/.102 d) S/.695 e) S/.1150

9. Una letra pagadera dentro de 2 meses se

va a descontar al 3% anual. ¿Cuál es el valor nominal de dicha letra sabiendo que la diferencia de los valores actuales bajo el descuento racional y comercial es de $5?

a) $100 000 d) $201 000 b) $151 000 e) $215 000 c) $197 000

10. Los valores nominales de dos letras son

entre sí como 4 es a 9, respectivamente. La primera descontada al 2% trimestral por 5 meses, mientras la segunda se descuenta a la misma tasa por 3 meses. Si el descuento de la segunda letra es 81 dólares, calcula el descuento de la primera letra.

a) $40 b) $45 c) $50 d) $55 e) $60



LECTURA: HISTORIA DE LA ESTADÍSTICA

La palabra Estadística procede del vocablo “estado”, pues era función principal de los Gobiernos de los Estados establecer registros de población, nacimientos, defunciones, impuestos, cosechas..., etc. La necesidad de poseer datos cifrados sobre la población y sus condiciones materiales de existencia han debido hacerse sentir desde que se establecieron sociedades humanas organizadas. Es difícil conocer los orígenes de la Estadística, desde los comienzos de la civilización han existido formas sencillas de estadística, pues ya se utilizaban representaciones gráficas y otros símbolos en pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas para contar el número de personas, animales o ciertas cosas. Su origen empieza posiblemente en la isla de Cerdeña, donde existen monumentos prehistóricos pertenecientes a los Nuragas, las primeros habitantes de la isla; estos monumentos constan de bloques de basalto

superpuestos sin mortero y en cuyas paredes de encontraban grabados toscos signos que han sido interpretados con mucha verosimilidad como muescas que servían para llevar la cuenta del ganado y la caza. Hacia el año 3.000 a.C. los babilonios usaban ya pequeñas tablillas de arcilla para recopilar datos en tablas sobre la producción agrícola y los géneros vendidos o cambiados mediante trueque. Los egipcios ya analizaban los datos de la población y la renta del país mucho antes de construir las pirámides. En los antiguos monumentos egipcios se encontraron interesantes documentos en que demuestran la sabia organización y administración de este pueblo; ellos llevaban cuenta de los movimientos poblacionales y continuamente hacían censos. Tal era su dedicación por llevar siempre una relación de todo que hasta tenían a la diosa Safnkit, diosa de los libros y las cuentas. Todo esto era hecho bajo la dirección del Faraón y fue a partir del año 3050 a.C. En China existían los censos chinos ordenados por el emperador Tao hacia el año 2.200 a.C. Posteriormente, hacia el año 500 a.C., se realizaron censos en Roma para conocer la población existente en aquel momento. Se erigió la figura del censor, cuya misión consistía en controlar el número de habitantes y su distribución por los distintos territorios.

OBJETIVOS:

Adquirir una visión descriptiva de un conjunto de datos organizados de acuerdo a un criterio determinado.

Interpretar correctamente la información estadística proveniente de hechos reales.

Afianzar la lectura de gráficos estadísticos.

1ra UNIDAD 3RO DE SECUNDARIA


1. En el conjunto de valores mostrados: 4; 3; 4; 2; 1; 3; 1;

2; 3; 1; 1; 2; 2; 1; 3; 2. Calcule la suma de la frecuencia del elemento 3 y la frecuencia del elemento 2.

2. A continuación se presentan las notas obtenidas en el

curso de aritmética por un grupo de 20 estudiantes en un examen bimestral. Complete la siguiente tabla de distribución de frecuencias. 12 10 6 8 18 13 12 11 13 18 7 13 13 16 19 19 7 17 12 13

Ii xi fi Fi hi Hi 100%hi

[ 6 ; 8 >

[ 8 ;10>

[10;12>

[12;14>

[14;16>

[16;18>

[18;20]

3. Construye una tabla de distribución de frecuencias para

los pesos dados de 50 alumnos elegidos aleatoriamente de un colegio. 46 45 44 45 48 41 48 40 50 51 49 50 55 43 56 56 56 60 60 56 61 63 63 62 57 58 62 62 64 65 70 71 71 69 69 69 70 65 73 80 48 62 70 40 52 72 80 56 70 65

La estadística, en general, es la ciencia que nos provee de un conjunto de métodos, pautas y procedimientos, para la recolección, organización, presentación, análisis e interpretación de datos numéricos en forma adecuada, para en base de ellos, tomar decisiones cuando existen situaciones de incertidumbre. Ejemplos: Estudiar la variación mensual

del precio del dólar durante los últimos 5 años, para averiguar qué mes del año es el más favorable para comprar dólares.

El grado de aceptación de un

producto por los consumidores para averiguar la rentabilidad de un negocio dedicado a tal producto.

Ii xi fi Fi hi Hi 100%hi

[40;48>

[48;56>

[56;64>

[64;72>

[72;80

total

TEMA(S):

CLASES DE ESTADÍSTICA

Descriptiva

Inferencial

RESOLUCIÓN:



CONCEPTOS BÁSICOS

4. El cuadro de distribución de frecuencias presenta las notas de 50 alumnos, con un ancho de clase constante e igual a 2. Determine la clase en la cual se encuentra el mayor tanto por ciento de alumnos, y cuál es dicho porcentaje.

Rpta:…………………………………

5. En la siguiente tabla de distribución de frecuencias se

desea mostrar en intervalos las edades de los trabajadores de una empresa. Complete la tabla e indique qué porcentaje de trabajadores tienen de 50 años a más. Si se sabe que f3 – f2 = 6

6. Se tiene la tabla de distribución de frecuencias

referente a las edades de 500 trabajadores. ¡Cuántos trabajadores tienen de 36 a 56 años?

<Li - Ls> fi Fi hi

[18; 30> 0,04

[30; 42> 220

[42; 54> 0,08

[54; 66>

[66; 78] 60

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Parte de la estadística que se ocupa de la recolección, organización, presentación, descripción y simplificación de datos. ESTADÍSTICA INFERENCIAL Es la parte de la estadística, que en base a los resultados y análisis de los datos aplicando las teorías necesarias, pretende inferir las peculiaridades y las leyes que gobiernan la población de la cual proceden los datos.

POBLACIÓN.- Es el objeto

de estudio sobre el cual se va a realizar el estudio. Es decir, es un conjunto de elementos relacionados entre sí con alguna característica de la cual se desea información. Ejemplo: Si nuestro objetivo es estudiar la desnutrición infantil en nuestro país, nuestra población será el conjunto formado por los niños peruanos.

MUESTRA.- Es un

subconjunto de la población, elegido convenientemente con el propósito de obtener información y conclusiones de la población del cual proviene. Se toman muestras cuando es difícil o costosa la observación de todos los elementos de la población. Ejemplo: De la población referida en el ejemplo anterior, podemos tomar como muestra: El conjunto de niños de la

sierra. El conjunto de niños del

departamento de Ica.

Ii xi fi Fi hi 100%hi

0,16

[8 ; 10 > 0,20

31

5

0,24

50

Ii xi fi hi

[10 - > 0,05

[ - > 25

[ - > 35 24 0,40

[ - 50 > 3

[ - > 55

RESOLUCIÓN:

RESOLUCIÓN:



7. Dada la siguiente tabla de distribución de frecuencias en base al ingreso familiar de 200 familias. ¿Cuántas familias tienen un ingreso comprendido entre 230 y 300 soles?

Ii fi Fi [ ; > 35

[ ; 240 >

[ ; > 45 120

[ ; > 157

[280 ; >

[ ; > 20

8. En una cierta comunidad se tiene un control de la cantidad de ganado por familia doméstica. Sabiendo

que f2/f4 = 0,6 Calcule el total de familias.

Ii fi hi Hi

[10 ; > 3 y y

[ ; >

[ ; > 0,1 0,45

[ ; 26>

[ ; > 0,25 x

Rpta:………………………………… 9. En la siguiente tabla de distribución de frecuencias se

presentan las edades de 100 integrantes de una comunidad. ¿Cuántos integrantes tienen edades comprendidas entre 38 y 53 años?

Ii fi

[10-20> 15

[20-30> 20

[30-40> 35

[40-50> 14

[50-60>

[60-70> 6

VARIABLE ESTADÍSTICA

Es una característica o cualidad que poseen los elementos de la población (o muestra) y que es de interés del investigador, pues le servirán como indicadores del estudio que se realiza. Ejemplo: Sea “x” la variable “estatura” de los alumnos de 4to de secundaria entonces “x” puede tomar los valores siguientes: x1 = 1,68 m. x2 = 1,66 m. x3 = 1,52 m. x4 = 1,85 m.

CLASIFICACIÓN DE VARIABLES

VARIABLE CUALITATIVA.- Son

aquellas cuyos “valores” expresan una cualidad, propiedad o atributo. Es decir, consisten en categorías de clasificación y no pueden expresarse numéricamente. Ejemplo:

Estadio civil

Sexo

Profesión

VARIABLE CUANTITATIVA.- Son aquellas cuyos valores se obtienen como resultado del conteo o medición; es decir, asume valores numéricos. Estos a su vez pueden ser:

A.- continua: Cuando su valor es

resultado de una medición, dando como resultado un número real.

Ejemplo: Peso, estatura, etc. B.- Discreta: Cuando su valor es el

resultado de un conteo de unidades (independientes), dando como resultado un número entero no negativo. Ejemplo: Edad, número de integrantes de una familia, etc.

RESOLUCIÓN:

RESOLUCIÓN:



10. La tabla de ancho de clase común muestra la distribución del ingreso familiar correspondiente a 600 familias. Complete y señale cuántas familias ganan sueldos mayores o iguales que 780 soles.

INTERVALO DE INGRESO

(S/.) fi Fi hi

[ - > 140

[ 760 - > 300

[ - > 0,20

[ - >

[ - 800 > 80

Rpta:…………………………………

11. En una prueba de aptitud académica se evaluaron a “n”

estudiantes y las notas obtenidas se clasificaron en una tabla de distribución de frecuencias como se muestra a continuación. ¿Qué porcentaje obtuvieron una nota menor que 60 puntos o, mayor o igual que 80 puntos?

Marca de

clase

Frecuencias relativas

45 k/50

55 3k/100

65 2k/25

75 3k/50

85 k/100

ETAPAS DE LA INVESTIGACIÓN ESTADÍSTICA

RECOLPILACIÓN DE DATOS Los métodos de recopilación de datos son diversos y dependen de las posibilidades de acceso que se tengan a los elementos a investigar, del tamaño de la muestra y de la oportunidad.

ORGANIZACIÒN DE DATOS Después de la recopilación de datos se procede a su organización, clasificación y tabulación, de modo que se facilite la presentación en tablas, cuadros y gráficos

PRESEENTACIÓN DE DATOS Luego de organizar los datos es necesario presentarlos de forma clara y precisa. Dicha presentación se realiza principalmente a través de tablas y gráficos.

ELEMENTOS DE UNA TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

Tamaño de muestra (n).-

Número total de datos

Alcances (A).- Intervalo cerrado definido por los datos de menor y mayor valor.

Rango (R).- También llamado “recorrido de los datos”. Es la diferencia entre el mayor y el menor de los valores que toma la variable.

Intervalo de clase (Ii).- Resulta de la subdivisión que se realiza al rango de los datos.

Límites de un intervalo de clase.- Todo intervalo de clase tiene un límite superior y un límite inferior.

Ancho de clase (Wi).- Es el tamaño de un intervalo determinado. Se calcula como la diferencia del límite superior y el límite inferior.

Marca de clase (xi).- Es el promedio de los datos de un intervalo; se calcula como la semisuma de los límites de un intervalo.

RESOLUCIÓN:



TEXTO: Para las próximas elecciones se ha realizado una encuesta para saber la opción de voto de las personas, de las cuales los que votan por B se dividen en tres clases socioeconómicas

1. ¿Qué porcentaje del total representan los que votaron

por “B” en clase media? 2. ¿A cuántas personas se encuestaron en total? 3. ¿Cuántas personas, no votarían por el candidato B?

TEXTO: La empresa “SILUET S.A.” ofrece un producto

en TELEMERCADO que garantiza que una persona podría bajar de 12 kg. hasta 20 kg. en 30 días. La empresa “Control” se encarga de analizar si el producto ofrecido cumple lo prometido, para lo cual contrata “n” personas y luego de sometidos al producto durante 30 días nos muestra los siguientes resultados:

Frecuencia absoluta (fi).-Se llama frecuencia absoluta de un valor de variable, al número de veces que se repite dicho valor en el conjunto de datos.

Frecuencia absoluta acumulada (Fi).- Es la suma de las frecuencias relativas correspondientes a los datos menores e iguales al dato en referencia.

Frecuencia Relativa (hi).- La frecuencia relativa es el cociente de su frecuencia absoluta entre el tamaño de la muestra.

Frecuencia Relativa Acumulada (Hi).- La frecuencia relativa acumulada es el cociente de su frecuencia absoluta acumulada entre el tamaño de la muestra Ejemplo didáctico: A continuación se muestra los ahorros mensuales de 50 personas elegidas al azar.

490 500 470 300 80 120 450

420 500 250 270 300 600 120

560 600 90 100 250 450 450

380 370 380 450 0 400 320

50 100 250 280 300 400 580

120 600 500 200 210 380 300

100 310 150 480 460 580 320

320

Elabora una tabla de distribución de frecuencias con 5 intervalos de clase y responde las siguientes preguntas: A. ¿Cuántas personas ahorran de

240 soles a más? B. ¿Qué tanto por ciento ahorra

menos de 240 soles al mes? C. ¿Cuántas personas ahorran de

120 a 480 soles mensuales? D. Halle f2 + f5 + F3

hi = if

n

Hi = n

fi

TEMA(S):

40% 30%

25%

5%

C

B

A

D

Clase Socioeconómica

Número de personas

24

36

60

Alta Medi

a

Baja

Solo votarían por

el candidato B

RESOLUCIÓN:

RESOLUCIÓN:

RESOLUCIÓN:



4. ¿Cuántas personas se sometiera a la prueba del

producto? 5. ¿Qué porcentaje de las personas bajaron más de 12 kg.? 6. ¿Cuál es la pérdida promedio de peso que se

experimentó en la prueba? 7. ¿Cuál es la diferencia entre la cantidad de personas que

bajaron más peso y las de menor peso?

8. ¿Qué porcentaje de personas bajaron de menos de lo prometido por el producto?

GRÁFICOS Y DIAGRAMAS

La presentación de los resultados es una etapa muy importante en el proceso de investigación, porque es el momento cuando el investigador muestra el producto de muchos meses e inclusive años de trabajo. Los cuadros y los gráficos estadísticos se han convertido en los medios clásicos para la presentación de los resultados de las investigaciones en todas las áreas científicas. Son muy simples de construir y fáciles de comprender y permiten, además, un mejor análisis de los datos y una mayor precisión de las conclusiones. Sin embargo, su amplio uso ha conducido a que, en muchas ocasiones, no se consideren los criterios técnicos en su construcción. Desde el punto de vista estético, el diseño de los cuadros y los gráficos estadísticos depende mucho del gusto de la persona que los construya; pero, para lograr la representación adecuada de los datos y una interpretación correcta de parte del lector, se requiere respetar las normas estadísticas que regulan su construcción. Con el propósito de que los cuadros y los gráficos estadísticos se utilicen apropiadamente en la presentación de datos, te detallamos algunos de los más usados en la estadística.

HISTOGRAMAS: Son diagramas

de barras o rectángulos cuyas bases representan los intervalos de clase y las alturas la frecuencias absolutas o relativas.

Kilos que bajaron N

úm

ero

de

per

son

as

24

16

32

10

5 3

4 8 12 16 20 4

RESOLUCIÓN:

RESOLUCIÓN:

RESOLUCIÓN:

RESOLUCIÓN:

RESOLUCIÓN:



TEXTO: El cuadro presenta el stock inicial y las ventas de un determinado producto en los meses de Julio a Diciembre:

9. ¿En qué mes se incrementó en mayor porcentaje el stock con respecto al mes anterior?

10. ¿Cuál fue la venta total de Julio a Diciembre?

11. ¿Cuál fue el incremento porcentual del stock en

Septiembre?

TEXTO: Con el fin de analizar la producción de tres talleres de la fábrica, un gerente realiza un estudio durante 8 semanas y obtuvo el siguiente resultado:

DIAGRAMA ESCALONADO: Son diagramas similares a los histogramas con la diferencia que las alturas, son frecuencias absolutas acumuladas o relativas acumuladas.

DIAGRAMA CIRCULAR: Son

diagramas que se emplean generalmente con fines comparativos.

A este tipo de representación gráfica también se le conoce como gráfico de sectores o del pastel.

LECTURA DE GRÁFICOS En los periódicos y en la televisión habrás visto que se ofrece información acerca de hechos; fenómenos o actividades mediante cuadros o tablas y gráficos. A continuación vamos a considerar como se representa e interpreta la información obtendrá como resultado de observar un fenómeno o actividad.

Mes Stock Ventas

Julio 900 5 000

Agosto 800 4 250

Septiembre 1 000 7 500

Octubre 1 150 7 300

Noviembre 1 200 6 800

Diciembre 1 360 7 900

RESOLUCIÓN:

RESOLUCIÓN:

RESOLUCIÓN:



12. Indique Ud. la mayor producción del taller “A” y por cuántas semanas la mantuvo. Rpta.:…………………………..

13. Indicar la más alta producción de cualquiera de los talleres y en qué semana sucedió: Rpta.:…………………………..

14. ¿En qué semana los tres talleres obtuvieron producciones similares y cuánto entre los tres?

Rpta.:…………………………..

15. Considerando a los tres talleres, en qué

semana(s) la empresa logró su mayor producción.

Rpta.:…………………………..

16. Tomando en cuenta los tres talleres, ¿en

qué semana la empresa tuvo su más baja producción y a cuánto ascendió? Rpta.:…………………………..

17. De los tres talleres, ¿cuál es el que logró

la mayor producción por las 8 semanas?

18. De los tres talleres, ¿cuál es el que logró

la producción más baja por las 8 semanas?

19. Indicar el taller que presenta la producción más homogénea (regular) durante las 8 semanas.

Rpta.:…………………………..

20. ¿Cuál es el taller que muestra una

producción heterogénea irregular (lo más posible), durante las 8 semanas?

Rpta.:…………………………..

21. ¿Cuál es la producción entre los talleres A y C, cuando el taller B tiene su más alta producción?

Rpta.:…………………………..

GRAFICO: El gráfico muestra en Nº de inscritos en una academia desde 1993 hasta el año 2000.

1. ¿Qué se deduce del cuadro?

a) Entre 1993 y 1664 hay menos inscrito que 1995.

b) Entre 1993 y 1995 hay igual número de inscritos que entre 1997 y 1999.

c) Entre 1993 y 1998 hay más inscritos que en el 2000.

d) Entre 1997 y 1998 hay menos inscritos que el promedio.

e) Ninguna de las anteriores. 2. ¿Cuáles son verdaderas?

I. La línea trazada de 30 representa el

promedio. II. Si a un profesor se le paga s/.2000 por año

y cada alumno paga s/.100, el 61,5% de lo recaudado es destinado a la paga de la plana docente.

III. Si la línea desde 1997 sigue su curso, entonces los inscritos en 2005 serán 100.

Rpta.:…………………………..

RESOLUCIÓN:

RESOLUCIÓN:



TEXTO: Un instituto que enseña tres idiomas elaboró la siguiente gráfica circular de estudiantes por idioma:

1. ¿Qué ángulo corresponde a las personas

que estudian francés? 2. Si 21 personas estudian francés, ¿cuántos

estudian inglés y cuántos estudian alemán, respectivamente?

3. Si el 15% de los que estudian inglés son 12

personas, ¿cuántas personas tiene el instituto?

4. Si 10 personas dejan de estudiar alemán

para estudiar inglés, siendo ahora el nuevo porcentaje de personas que

estudian alemán en 20%, hallar cuántas personas tiene el instituto.

5. El diagrama ha sido elaborado con la

estatura en centímetros de un grupo de jóvenes. ¿Cuántas personas tienen una estatura entre 144 y 168 cm?

6. se tiene el siguiente gráfico de sectores

referente a los cursos de aritmética (A), álgebra (X), geometría (G), trigonometría (T), física (F) y química (Q).

I. Determine qué tanto por ciento de los alumnos prefieren A y G.

II. Determine el ángulo correspondiente a X, T, Q.

TEMA(S):

RESOLUCIÓN

:

RESOLUCIÓN

:

RESOLUCIÓN

:

RESOLUCIÓN

:

RESOLUCIÓN:



7. En el pictograma mostrado:

Calcule: a+b-c

8. El siguiente diagrama ha sido elaborado con las estaturas en cm de un grupo de jóvenes. ¿Qué tanto por ciento tienen esturas mayores o iguales a 140 cm?

9. El siguiente pictograma muestra las

preferencias de 5 productos: A, B, C, D, y E.

Si fueron encuestados 440 personas, ¿cuántas prefieren el producto A o B?

10. En el siguiente cuadro nos muestra los resultados de una encuesta a un grupo de personas sobre la cantidad de veces que ha asistido al cine en el presente año. ¿Qué tanto por ciento de personas han ido más de 17 veces?

RESOLUCIÓN:

RESOLUCIÓN:

RESOLUCIÓN:

RESOLUCIÓN:



11. El siguiente diagrama muestra la

preferencia de 500 personas con respecto a cuatro productos: A, B, C y D. Calcular la diferencia entre los que prefieren los productos B y A.

12. En el siguiente diagrama escalonado se

muestra la distribución de ingreso por familia. Calcule el número toral de familias, si hay 190 familias cuyos ingresos son mayores o iguales a 600 soles.

13. Manuel hizo una encuesta entre 100

alumnos para averiguar cuál era su deporte favorito. ¿Qué ángulo tiene el sector circular correspondiente a vóley?

RESOLUCIÓN:

RESOLUCIÓN:

RESOLUCIÓN:

RESOLUCIÓN:



1. Halle el rango de los siguientes datos:

1; 3; 5; 2; 6; 4; 3; 5; 1; 2; 2; 7; 3; 5

a)3 b) 4 c) 6 d) 6,5 e) 7 2. Se tiene los promedios finales de una

sección determinada: 10,4; 12,2; 10,0; 10,4; 11,0; 14,0; 7,5; 11,5; 11,2; 10,5; 11,5; 11,3; 11,0; 7,0; 7,8; 11,3; 14,0; 12,3; 11,6; 12,1. Clasificar los datos para un ancho de clase común igual a 1. ¿Qué tanto por ciento de los estudiantes tiene notas inferiores a 12,6?

a) 84% b) 60% c) 72% d) 80% e) 90%

3. Completa la siguiente tabla de

distribución de frecuencias simétrica y calcule: a + f4 + F3

EDAD (años) fi Fi hi [ 20 ; > 12

[ ; > 0.15

[ ; 50 >

[ ; > 48

[ a ;

a) 120 b) 108 c) 98 d) 82 e) 65

4. El diagrama muestra una encuesta sobre

las preferencias de un producto en promoción. En la tabla de distribución de frecuencias simétrica, determine M+N.

Ii xi fi Fi hi [ 0 – 2 > 0,10

[ 2 – 4 > 3

[ 4 – 6 > 8 14

[ 6 – 8 > N M

[ 8 – 10 >

9

total 20

a) 14,50 b) 15,60 c) 18,20 d) 17,60 e) 19,50

5. Complete la siguiente tabla de distribución de frecuencias de las notas de 25 alumnos, si el ancho de clase común es 2. Si la nota aprobatoria es 10,5, ¿Qué tanto por ciento de los alumnos desaprobaron el curso?

Ii xi fi Fi xifi [ ; > 15

[ ; > 20

[ ; > 11 14

[ ; > 8

[ ; > 44

[ ; ]

a) 72% b) 74% c) 76% d) 78% e) 80%

6. Supongamos que la distribución de las

edades de 80 alumnos de un salón de la academia pre-universitaria “JIMY NEUTRON” está dada por:

clases fi Fi hi Hi [ x ; > 5

[ 18 ; > 0,5875

[ ; > a 0,925

[ ; 27> b

[ ; y ] 0,0375

Determine (x+y)(a+b) a) 4468 b) 4134 c) 7426 d) 4455 e) 1255 7. Completa la siguiente tabla, si se sabe

que f3=7f4. Determinar f2+F4 +a +b.

k Ii xi fi Fi hi Hi

1 [12- > 0,10

2 [ - > 0,28

3 [ a - >

4 [ - >

5 [ - b > 12

6 [ - 36] 8 50

8. Se tiene la siguiente tabla de distribución

simétrica, donde se observan los sueldos de 160 empleados de una fábrica.

SUELDOS fi hi

[400; 450> 5k

[450; 500>

[500; 550> 0,20

[550; 600> 3k

[600; 650




Determina cuántos empleados ganan menos de 500 soles.

a) 45 b) 48 c) 64 d ) 56 e) 60 9. En la siguiente tabla de distribución de

frecuencias se presentas las edades de 100 personas. ¿Cuántas personas tienen edades entre 38 y 53 años?

Ii fi

[ 10 – 20 > 15

[ 20 – 30 > 20

[ 30 - 40 > 35

[ 40 – 50 > 14

[ 50 – 60 > 10

[ 60 – 70 > 6

a) 24 b) 32 c) 20 d) 34 e) 25 10. De una tabla de distribución de

frecuencias con intervalos de clase de ancho común se tiene:

xi hi Hi

30 4m 5n

50 4n

x3 2m 6m+4n

90 6m+n

x5 2n

130 3n

De una población de 500, ¿cuántos datos pertenecen al intervalo [55-116]? a) 240 b) 270 c) 258 d) 272 e) 318 11. En una encuesta sobre los ingresos anuales

de un grupo de familias, se obtuvo la siguiente información:

Iix100 xi fi

[ 20 – 40 > 32

[ 40 – 60 > 2n-10

[ 60 – 80 > n

[ 80 –100 > 30

total 100

I.- Calcule el número de familias con un ingreso anual entre 3500 y 7500. II.- Calcule el tanto por ciento de familias con un ingreso menor que 8200 soles.

a) 41; 77% b) 33; 77,5% c) 48; 80% d) 42; 73% e) 36; 75%

TEXTO: En el siguiente histograma se

muestra el número de choques ocurridos en cinco años consecutivos.

1. El promedio de choques en los cinco años:

a) 3200 b) 380 c) 3700 d) 3600 e) 3400 2. La variación porcentual entre el primer y

quinto año (aprox.)

a) 92% b) 392% c) 292% d) 192% e) 302% TEXTO: En el siguiente gráfico se muestra

la población urbana y rural dada en los años 1970 y 2000.

Población: En 1970: 6 000 000 habitantes En 2000: 11 000 000 habitantes 3. ¿Cuál fue la variación porcentual

aproximada de la población del año 1970 al año 2000? a) 57% b) 64,3% c) 70,3% d) 83,33% e) 57,3%

Año

100%

70%

40%

1970 2000

Población

Urbano

Rural

1,2

2,9

3,7

4,5

4,7

95 96 97 98 99 Año

# de choques (miles)



4. ¿En qué tanto por ciento disminuye o aumenta la población rural del año 2000 con respecto al año 1970?

a) Aumenta en 4,76% b) Aumenta en 30% c) Disminuye en 20% d) Disminuye en 4,76% e) Disminuye en 3,5%

TEXTO: En una fábrica de un total de 200

vehículos se tiene la siguiente información:

5. ¿Cuántos vehículos corresponden a

tractores del grupo B? a) 6 b) 8 c) 10 d) 4 e) 12 6. Indicar cuales con correctas:

I. El número de camiones es igual al número de tractores de tipo B y D juntos.

II. El número de buses es igual que el número de tractores del tipo A.

III. El número de buses es mayor que los tractores del tipo A. a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y II e) I y III

TEXTO: El siguiente gráfico muestra la

producción anual de uvas de los países indicados.

7. indicar verdadero (V) o falso (F).

Si Turquía y España producen juntas 25 300 TM anuales, entonces Italia produce 21 200 TM al año.

México y Brasil producen juntos 3300 TM al año.

EE.UU. y Chile producen juntas al año 2200 TM menos que Argentina y Francia juntas. a) FFF b) FVV c) FVF d) VVF e) FFV

8. ¿Cuántas combinaciones de 3 países producen más de 50%? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

9. ¿Cuántos países producen menos del

promedio? a) 5 b) 6 c) 9 d) 7 e) 8

TEXTO: La siguiente tabla muestra el

crecimiento de la población en una ciudad.

10. ¿Durante qué período se produjo el menor

incremento porcentual de la población? a) de 1970 a 1975 d) de 1985 a 1990 b) de 1975 a 1980 e) de 1990 a 1995 c) de 1980 a 1985

11. ¿Cuál de los siguientes enunciados es

cierto? I. El mayor incremento porcentual se dio

en el período de 1970 a 1975. II. Se espera que la población para el

siguiente período de cinco años aumente.

III. El menor incremento se dio en el período de 1990 a 1995 a) Solo I c) Solo III e) Toda b) Solo II d) Solo I y II

12. Si en 1995 las personas de sexo femenino

son el 40% de la población, ¿cuál es el número de varones? a) 86 b) 129 c) 86000 d) 129 000 e) N.A.

Año 1970 1975 1980 1985 1990 1995

N° de habitantes

(miles)

152

166

181

196

205

215

Francia 19%

Chile 7%

Turquía 9%

España 14%

16% EE.UU.

6% Argentina

4% China

2% Brasil

1% México

Italia 22%

Camiones

60%

Buses 10%

Tractores 30%

A 10%

B 20%

D 30%

C 40%

TRACTORES VEHÍCULOS



TEXTO: La tabla muestra la distribución del sueldo mensual de los trabajadores de la empresa SENSEY S.A.

13. Calcular el porcentaje de los trabajadores

cuyo sueldo es al menos $ 620,00 y a la vez inferior a $ 700,00. a) 60% b) 65% c) 70% d) 75% e) 80%

14. ¿Qué porcentaje de los trabajadores tiene

un sueldo menor a $ 680,00? a) 66% b) 61,15% c) 66,25% d) 75,12% e) N.A.

Del gráfico: 15. El total de asistencia del día sábado es:

a) 600 b) 800 c) 1000 d) 1200 e) 1400

16. El número de mujeres que asistieron el

sábado entre el número de las mujeres que asisten el viernes es igual: a) 2,5 b) 2 c) 1,5 d) e) 0,5

17. El número de hombres que asisten el

sábado excede al número de hombres que asiste el viernes en: a) 100 b) 150 c) 200 d) 250 e) 300

TEXTO: La gráfica muestra la distribución de los gastos de un hogar (la canasta familiar). Si una familia gana S/. 3 000.

18. ¿Cuánto más se gasta en alimentos que en

salud? a) 300 b) 420 c) 500 d) 600 e) N.A.

19. ¿Qué ángulo central le corresponde a

salud? a) 60° b) 70° c) 52° d) 30° e) 72°

TEXTO: En la siguiente gráfica se muestran las preferencias de los alumnos de un colegio por los cursos de matemática (M), lenguaje (L), inglés (I), historia del Perú (HP), historia universal (HU) y geografía (G).Si a 84 alumnos les gusta la matemática:

1. ¿Cuántos alumnos tiene dicho colegio?

a) 1280 b) 1420 c) 1500 d) 1300 e) 1200 2. ¿A cuántos les gusta la geografía?

a) 180 b) 160 c) 115 d) 163 e) 120 3. ¿A cuántos alumnos más les gusta inglés

que lenguaje?

a) 128 b) 142 c) 120 d) 114 e) 110

Sueldo en dólares

N° de trabajadores

600,00 – 619,99 620,00 – 639,99 640,00 – 659,99 660,00 – 679,99 680,00 – 699,99 700,00 – 719,99

9 10 14 20 16 11

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

Viernes Sábado

Parejas Hombres solos Mujeres solas

Alimento

42%

Vestido 28%

Salud 20%

Otros



4. En el siguiente diagrama se muestra la preferencia por uno de los cursos: aritmética (A), álgebra (X), geometría (G), trigonometría (T), física (F) y química (Q); que se obtuvo en una encuesta a los alumnos del 3er sec. del colegio “Virgen de Guadalupe”.

Si a 144 alumnos escogieron física, ¿a cuántos alumnos les gusta aritmética o álgebra?

a) 320 b) 336 c) 263 d) 250 e) 330

5. Elaborar un diagrama circular o de pastel

con los resultados de una elección presidencial en un país de Sudamérica. Se tiene los siguientes datos:

El partido A obtuvo la mayoría absoluta con el 60% de los votos.

Los porcentajes obtenidos por los partidos B y C están en la relación de 5 a 7 respectivamente.

El ángulo correspondiente a los otros partidos políticos, los votos nulos y en blanco es en total 36°.

¿Cuál es el ángulo correspondiente al partido B?

a) 45° b) 58° c) 64,8° d) 45° e) 63°

6. En el siguiente diagrama nos muestra los

resultados de los gastos mensuales de 135 personas, realizado por una encuestadora.

¿Cuántas personas gastan desde 692 hasta 880 soles?

a) 71 b) 83 c) 120 d) 97 e) 85

7. En el siguiente diagrama se muestra la

preferencia de algunos diarios: La república (A); El Comercio (B); Expreso (C); Ojo (D); La razón (E) y La primera (F).

Si 90 personas prefieren leer La Razón, ¿Cuántas personas leen El Comercio?

a) 150 b) 120 c) 180 d) 100 e) 220

8. En el siguiente histograma, determine

cuántas personas tienen un ingreso mensual entre 450 y 1000 soles, si la muestra fue de 2480 personas.

a)1271 b)1183 c)1120 d)1397 e)1855

9. En el gráfico de sectores mostrado, se tiene las preferencias de 6000 personas con respecto a los canales c2; c4; c5; y c9.



¿Cuántas personas ven el canal 2 o el canal 9?

a)1320 b)1360 c)1400 d)1440 e)1560

10. ¿Qué tanto por ciento de las familias ganan menos de 480 soles según el histograma que se muestra a continuación

a) 53% b) 23% c) 27,5% d) 32,5% e) 18,80%

11. El histograma muestra la distribución de

frecuencias de las edades de los ingresantes a una facultad de la UNI.

Indique qué tanto por ciento de ingresantes tiene entre 17 y 21 años.

a) 20% b) 50% c) 70% d) 80% e) 60%

12. A continuación se muestra la ojiva

correspondiente a las notas obtenidas en el examen final de estadística.

¿Qué porcentaje de los alumnos obtuvieron una nota entre 9 y 14?

a) 31% b) 32% c) 39% d) 34% e) 35%

13. En el siguiente histograma, determine el

número de familias que tienen un gasto mensual entre 800 y 1300 soles mensuales, si la información es de 720 familias.

a) 250 b) 270 c) 300 d) 180 e) 320



1. Las notas de un grupo de 400 alumnos

fueron:

Notas Notas

Cantidad < 0 - 5 ] 100

< 5 - 10] 120

< 10 - 15] 120

< 15 - 20] 60

Indica qué porcentaje de alumnos obtuvo una nota comprendida en el intervalo <10;16] a) 32% b) 33% c) 34% d) 35% e) 36%

2. En el siguiente histograma

Determina el tamaño de la muestra. a) 140 b)141 c)142 d)143 e) 145

3. En el siguiente diagrama escalonado

referente a las edades de un grupo de personas.

¿Cuántas personas son mayores de 29 años? a) 32 b) 33 c) 34 d) 36 e) 38

4. Dado el siguiente cuadro estadístico sobre

los ingresos anuales de cierto número de personas.

Además 4

2

1 3

142 ;

3i i

i

fx f

f

Calcula el número de familias con ingresos no menos de 30 soles. a) 50 b) 60 c) 70 d) 80 e) 90

5. El siguiente histograma con ancho de clase

constante muestra los resultados de una encuesta.

Calcula: "a + b + c" y también el tamaño de la muestra. a) 40 y 30 b) 50 y 40 c) 60 y 30 d) 40 y 60 e) 60 y 25

6. La tabla muestra una distribución de

frecuencias de los salarios semanales en soles de 80 empleados de la compañía "SIBARITA S.A."

Salario (soles)

N°de empleados

(fi) Fi hi Hi

[100; 110> 8

[110; 120> 12 0,15

[120; 130> 0,20 0,45

[130; 140> 24

[140; 150> 14 74

[150; 160> 6



¿Qué tanto por ciento de los trabajadores ganan entre 135 y 150 soles? a) 30% b) 27,5% c) 32,5% d) 50% e) 35%

7. Dada la siguiente distribución de

frecuencias, respecto a las edades de empleados de una compañía:

Edades hi

19 21 0,15

22 24 0,25

25 27 0,40

28 30

31 33 0,10

¿Cuántos empleados tienen edades entre 22 y 30 años? Además: F5 = 300 a) 175 b) 225 c) 450 d) 360 e) 250

8. Dado el siguiente histograma de

frecuencias absolutas, tomados de una muestra de tamaño 40, halla: f1 + f4 + f5.

9. Completa el siguiente cuadro estadístico

siendo:

Ii Xi fi Fi hi Hi [ U ; > 2

[ ; 18> Y

[ > 0,3 0,6

[ > W X

[2 6; > V 4 0,2

Si los intervalos de clase son de igual ancho, hallar U + v + w + x + y a) 48,2 b) 60,3 c) 49,1 d) 60,2 e) 60,1

10. Se tiene las temperaturas observadas en el hemisferio norte durante 24 días.

°C fi hi [-19;-17 >

[-17;-15 > 2

[-15; -13> 8

[-13: -11> 0,125

[-11; -9 > 4

[- 9 ; -7 > 0,2083

¿Durante cuántos días se obtuvo una temperatura de - 16°C a -10°C? a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

Descartes, la mosca y las Coordenadas Cartesiana

Debido a la precaria salud que padecía desde niño, René Descartes tenía que pasar innumerables horas en cama. Aprovechaba para pensar en filosofía, matemáticas, divagar e incluso se permitía perder el tiempo mirando las musarañas. Teniendo su vista perdida en el techo de la estancia fue una mosca a cruzarse en su mirada, cosa que hizo que la siguiera con la vista durante un buen rato, mientras pensaba y se preguntaba si se podría determinar a cada instante la posición que tendría el insecto, por lo que pensó que si se conociese la distancia a dos superficies perpendiculares, en este caso la pared y el techo, se podría saber. Mientras le daba vueltas a esto se levantó de la cama y agarrando un trozo de papel dibujó sobre él dos rectas perpendiculares: cualquier punto de la hoja quedaba determinado por su distancia a los dos ejes. A estas distancias las llamó coordenadas del punto: acababan de nacer las Coordenadas Cartesianas, y con ellas, la Geometría Analítica.



LOS QUIPUS EN EL IMPERIO INCAICO

En el campo de la matemática los incas destacaron principalmente por su capacidad de cálculo en el ámbito económico. Los quipus y yupanas fueron señal de la importancia que tuvo la matemática en la administración incaica. Esto dotó a los incas de una aritmética sencilla pero efectiva, para fines contables, basada en el sistema decimal; desconocieron el cero, pero dominaron la suma, la resta, la multiplicación y la división. Los "quipu" contaban con múltiples cuerdas anudadas, de diferentes colores, que colgaban verticalmente de un soporte horizontal. Según el tipo de nudo y su posición en las cuerdas, cada uno representa una cifra diversa. El hecho de que los "quipu" fueran tan numerosos (algunos han sido encontrados incluso en tumbas) hace pensar que eran un elemento importante en el seno de la sociedad inca precolombina.

A lo largo del siglo XX, los "quipu" han proporcionado datos sobre el modo de vida del imperio inca, que se extendió desde el siglo XIII hasta el XVI. Tradicionalmente se atribuía a los "quipu" una eficaz función nemotécnica. Sin embargo, el estudio de los "quipu" analizados procedentes de Puruchuco, en la costa central de Perú, funcionaban como una suerte de inventario, en el que los administradores controlaban las producciones y las tareas de los trabajadores que abastecían a las distintas ciudades. Otro de los aspectos sorprendentes es que unían varias contabilizaciones, como el número de trabajadores y sus correspondientes cosechas.

OBJETIVOS:

Definir las principales medidas de tendencia central.

Obtener conclusiones basadas en los datos experimentales y las medidas de tendencia central.

http://es.wikipedia.org/wiki/Quipu

http://es.wikipedia.org/wiki/Yupana

http://es.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_decimal

http://es.wikipedia.org/wiki/Cero



)x( = ...1 2 3

a a a an

n

1

k

i i

i

x f

xn

1. A continuación se muestra las edades de 20 personas:

18 12 13 12 15

16 18 18 12 14

16 16 14 13 18

12 14 15 15 16

Determina la suma de la media aritmética ( ), la mediana (xm) y la moda (Mo) de dichos datos.

2. Calcule la mediana en cada uno de los siguientes

datos:2; 0; 2; 5; 7; 2; 0; 5; 5, 0; 2; 6; 3; 7; 9; 7; 7; 6, 5; 6; 1.

3. En un centro de meteorología se registra un verano

uniforme con 28 observaciones registradas tal como se indica. Calcule la media aritmética aproximadamente.

Temperatura fi [ 20 ; 22 > 2

[ 22 ; 24 > 10

[ 24 ; 26 > 8

[ 26 ; 28 > 6

[ 28 ; 30 > 2

Medidas de tendencia central

Existen diferentes tipos de promedios, entre ellos los más usuales son: La media aritmética o media. La mediana. La moda.

MEDIA ARITMÉTICA x o MA

Para datos no clasificados:

Sean los datos: a1, a2, a3, … , an

Donde: “n” indica el número de datos.

Ejemplo: Las edades de 5 personas son: 24; 36; 48; 50 y 64 años. Halle la edad promedio de ellos. Para datos clasificados:

Donde: Xi : Marca de clase fi : Frecuencia absoluta n : Número de datos.

Ejemplo 1: De la siguiente tabla, determine la media aritmética de los datos

TEMA(S):

RESOLUCIÓN:

RESOLUCIÓN:

RESOLUCIÓN:



12

m

m m m

m

nF

x L wf

OBSERVACIÓN: La clase mediana es aquella donde

se ubica la frecuencia absoluta

acumulada que sea igual a la

mitad del total de datos o mayor a

la mitad del total de datos por

primera vez.

4. Halle la de la tabla.

Ii xi fi Hi [ 10 – 20 > 15 3 0,06

[ 20 – 30 > 25 7 0,14

[ 30 – 40 > 35 12 0,24

[ 40 – 50 > 45 18 0,36

[ 50 – 60 > 55 10 0,20

5. En un huerto se tiene 80 plantas, las cuales

agrupándolas según su altura (cm) caen en ciertos rangos dados por la tabla adjunta. Calcule la mediana de la altura de todas las plantas.

Altura N° de

plantas [ 20 ; 30 > 15

[ 30 ; 40> 21

[ 40 ; 50> 33

[ 50 ; 60> 11

6. Dada la siguiente tabla de distribución de frecuencias,

calcule la suma de la media y la mediana.

Edades fi 10 6

11 7

12 8

13 4

14 12

15 3

Ii xi fi

[ 10 – 20 > 15 3

[ 20 – 30 > 25 7

[ 30 – 40 > 35 12

[ 40 – 50 > 45 18

[ 50 – 60 > 55 10

MEDIANA (Me ó mx )

La mediana de un conjunto de datos ordenados en forma creciente o decreciente es la cantidad que divide a los datos en dos grupos de igual número de elementos. Para datos no clasificados: Ejemplo 1: Sean los datos de los pesos de 6 productos: 3,8; 4, 6; 5,2; 9,0; 8,4; 3,6. Halle la mediana Ejemplo 2: dadas las notas de un alumno del 3ro Año: 08, 09, 12, 05, 14, 06, 08. Halle la mediana Para datos clasificados:

Donde: Lm : Límite inferior de la clase mediana Wm : Ancho de clase de la clase mediana Fm-1: Frecuencia absoluta acumulada de la clase anterior a la clase mediana fm : Frecuencia absoluta de la clase mediana.

RESOLUCIÓN:

RESOLUCIÓN:

RESOLUCIÓN:



1

1 2

o mo mo

dM L w

d d

OBSERVACIÓN: La clase modal es aquella donde la

frecuencia absoluta es mayor que todas las demás.

Un grupo de datos puede tener más de una moda.

7. Complete la tabla de distribución de frecuencias y calcule la moda.

Ii xi fi [ 25 ; 35 > 20

[ ; > 70

[ ; > 25

[ ; > 70

[ ; > 115

8. Calcule la moda en:

Ii fi

[ 20 ; 30 > 17

[ ; > 15

[ ; > 20

[ ; > 10

9. Calcule la moda en la siguiente tabla de distribución de

frecuencias de las edades de un grupo de personas.

Ii xi fi Fi [ 12 ; > 14 8

[ ; > 18 32

[ ; > 10

[ ; 28 > 26 5

Ejemplo: De la siguiente tabla, determine la mediana de los datos

Ii xi fi

[ 10 – 20 > 15 3

[ 20 – 30 > 25 7

[ 30 – 40 > 35 12

[ 40 – 50 > 45 18

[ 50 – 60 > 55 10

MODA (Mo)

Es aquel dato que presenta mayor frecuencia, es decir, es el dato que más se repite. Para datos no clasificados:

Ejemplo: Consideremos los siguientes datos: 10, 13, 11, 8, 9, 10, 13, 8, 10, 14, 11, 12. Halle la moda. Para datos clasificados:

Donde: Lmo : Límite inferior de la clase modal Wmo : Ancho de clase de la clase modal d1 : Diferencia de la frecuencia absoluta de la clase modal y la frecuencia absoluta de la clase anterior a la clase modal. d2 : Diferencia de la frecuencia absoluta de la clase modal y la frecuencia absoluta de la clase siguiente a la clase modal.

Ejemplo: De la siguiente tabla, determine la meda de los datos

Ii xi fi

[ 10 – 20 > 15 3

[ 20 – 30 > 25 7

[ 30 – 40 > 35 12

[ 40 – 50 > 45 18

RESOLUCIÓN:

RESOLUCIÓN:

RESOLUCIÓN:



1. Halle el valor de la mediana, a partir del siguiente diagrama.

2. Dado el polígono de frecuencias de una

distribución, halle la mediana.

3. Se tiene cuatro cantidades cuya moda es 3, su mediana es 5 y su media es 6. Calcule el producto de las dos cantidades mayores.

4. En una distribución simétrica de

frecuencias cuyos datos están clasificados en 5 intervalos de clase, se tiene que: h2=0,2; H4=0,9; F5=30; I4= [x; 50>. Si la mediana es 38, halle el ancho de clase, si este es común para todos los intervalos.

5. Halle la mediana de un conjunto de

datos si se tiene la siguiente información, con ancho de clase constante.

TEMA(S):

RESOLUCIÓN

:

RESOLUCIÓN

:

RESOLUCIÓN:

RESOLUCIÓN:



Sabiendo que; 15 1

14 2

x

p; A=24 u2.

6. En una compañía de M empleados, los

3/4 de ellos ganan un salario medio por hora de s/.300 y el resto ganan s/.x de salario medio. Calcule x, si la media del salario medio por hora es s/.275.

7. De un grupo de personas se hace una distribución con 5 intervalos, según sus edades, resultando ésta simétrica con ancho de clase común. Además: x2=23,5;

x4=37,5; w=fi; h5=0,14; 2

3

2

5

f

f

Determine la mediana de las edades de este grupo de personas.

8. Valeria mide cuidadosamente durante

una temporada el tiempo que tarda en llegar de su casa al colegio y encuentra los siguientes resultados:

25 min. En 2 ocasiones






31 min. En 2 ocasiones Calcule la suma de la media, la moda y la mediana.

RESOLUCIÓN:

RESOLUCIÓN

:

RESOLUCIÓN:

RESOLUCIÓN:



1. En el siguiente conjunto de valores mostrados: 1; 2; 1; 3; 2; 6; 3; 7; 1; 3; 2; 2; 5. ¿Cuánto es la mediana de estos valores? a)1 b) 2 c) 3 d) 6 e) 7

2. Se hizo una pequeña encuesta a 18

familias sobre la cantidad de hijos que tiene cada una, y se obtuvo la siguiente información:

2 4 0 2 3 1

0 2 3 4 4 2

1 1 2 3 2 0

Determine: x + xm + Mo

a) 5 b) 4 c) 8 d) 13 e) 6

3. Dada la distribución de frecuencias de

cierto número de niños.

EDADES 8 10 12 14

fi 5 25

Fi 12 25

Calcule la diferencia entre la mediana y la moda. a) 1 b) 0,3 c) 0,4 d) 0,5 e) 0,8

4. Dada la tabla de distribución:

x 20 22 24 26 28

fi 5 4 6 3 2

Determine el promedio aritmético entre la mediana y la moda.

a) 20 b) 22 c) 23 d) 24 e) 26 5. Complete la siguiente tabla de

distribución de frecuencias y calcule la moda.

Ii xi fi [ 20 ; 30 > 10

[ ; > 25

[ ; > 15

[ ; > 20

[ ; > 30

6. El cuadro muestra la distribución de las

edades de un grupo de personas. Halle la moda de dicha distribución.

Ii xi fi Fi

[ 10 ; > 12 8

[ ; > 16 32

[ ; > 10

[ ; 26 > 24 80

7. En la siguiente tabla de distribución

simétrica, se observa:

Ahorros mensuales

fi Fi

[ 200; > 13

[ ; >

[ ; >

[ ; 1000 >

Además: f3=8 Calcule la media aritmética

1. Se tiene la información de un grupo de personas.

Ahorros mensuales (s/.)

fi

[ 100 ; 200 > 6k

[ 200 ; 300 > 8k

[ 300 ; 400 > 2k

[ 400 ; 500 > 7k

[ 500 ; 600 ] 5k

Determine el ahorro promedio de dicho grupo de personas.

2. En cuadro de distribución de 4 intervalos

de igual ancho de clase, se sabe que: x1=12; x3=28; f2=45; h1=h3=0,25. Si en total hay 120 datos. Halle la moda




3. Dado el siguiente histograma.

Se pide determinar la nota promedio del curso.

4. Conocida la siguiente distribución de

frecuencias relativas acumuladas.

Ii Hi

[ 4 ; 6 > a

[ 6 ; 8 > 2a

[ 8 ; 10 > 4a

[ 10; 12 > 5a

[ 12 ; 14> 13a

Calcule la media aritmética de los datos. a) 11,15 b) 11,12 c) 12,5 d) 12,1 e) 13,25

5. Dado el siguiente histograma

Hall x, sabiendo que la mediana vale 40. 6. Se conoce los datos del peso de un

equipo de estudiantes:

L1=20kg ; L5=70kg; w=10; f4=5; h4=0,96; n=50; h2=0,4; f1=10

Calcule la media, la mediana y la moda a) 38; 37,5; 35 b) 38,8; 37,5; 35,88 c) 38,8; 37; 35 d) 38; 38; 35 e) 38; 35,88; 37,5

7. La familia Misajel Soria tiene 6 hijos, de

los cuales 3 son trillizos 2 mellizos. Si al calcular la media aritmética, la mediana y la moda de las edades de los seis, resultó los siguientes valores: 10; 11 y 12 respectivamente. Halle la edad del padre si se sabe que es igual al triple de la mayor de las edades más el doble de la menor de las edades.

8. Calcule la moda.

9. Una distribución con 5 intervalos y de

ancho de clase común, tiene como alcance [5 ; 55 >. Se conoce además que: f5=2f1; f3=10; f2/f4=2/3. Halle la media, si la moda es 33 y la mediana es 33,5.

a) 3 b) 5 c) 2 d) 10 e) 8



ENUNICIADO: Analiza las notas mostradas que obtuvieron 20 alumnos en el curso de aritmética: 3, 4, 8, 2, 11, 7, 10, 12, 16, 15 7, 11, 10, 6, 9, 9, 10, 13, 13, 14; construye una tabla de distribución de frecuencias con un ancho de clase común igual a 4 y responde las preguntas 1; 2; 3 y 4. 1. ¿Cuántos estudiantes aprobaron el curso

según los datos originales?

a) 4 b) 6 c) 8 d) 0 e) 12

2. Calcula la moda para los datos sin agrupar.

a) 11 b) 10 c) 12 d) 16 e) 13

3. Calcula la media para los datos sin agrupar.

a) 10,5 b) 10,2 c) 9,5 d) 19,8 e) 12,7

4. Calcula la mediana para los datos sin agrupar.

a) 9,5 b) 9,8 c) 9 d) 10 e) 10,5

5. Las edades de un grupo de personas asistentes a una reunión, tienen la siguiente distribución de frecuencias. Calcula la suma de la media aritmética, la mediana y la moda. a) 33

b) 45,2

c) 52,4

d) 47,4

e) N.A

6. Se muestra la nota de 11 alumnos en un examen de matemáticas: 10; 12; 09; 12; 08; 14; 12; 10; 11; 12; 08. Si el profesor decide aprobar a los alumnos cuya nota sea mayor o igual que la mediana, ¿cuántos aprueban?

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

7. Determina la moda de la siguiente distribución: a) 2,43

b) 2,35

c) 2,25

d) 2,65

e) 2,56

Dado la siguiente tabla de frecuencias respecto al sueldo diario de 20 empleados de una empresa. Determina la media de los sueldos diarios. a) 98,25

b) 92,50

c) 96,25

d) 102,25

e) 92,25

8. Las notas de 7 alumnos son: 08, 09, 10, 11, 08, 12, 14 un alumno aprueba si su nota es mayor que la media o que la mediana. ¿Cuántos aprobaron?

a) 3 b) 5 c) 2 d) 7 e) 4

9. Si (x - y)= 1

Halla la M.A.

a) 6,3

b) 5,8

c) 6,2

d) 5,7

e) 6,4

Conocida la siguiente distribución de frecuencias relativas acumuladas, Calcula la suma de la media aritmética, la mediana y la moda.

a) 37,4

b) 57,3

c) 52,5

d) 47

e) 44,4



10. De la siguiente ojiva de los sueldos de los empleados de una empresa, halla en qué proporción se encuentran la media y mediana.

a) 37/35

b) 35/34

c) 36/35

d) 47/45

e) 44/43

11. En el siguiente gráfico de frecuencias.

Si la M.A. es 11, 9; halla el valor de "a".

a) 13

b) 10

c) 11

d) 8

e) 6

12. El siguiente gráfico muestra el ranking de

notas de dos alumnos:

Son ciertas: I. Lutka tiene promedio 1587,5. II. Si el promedio para ingresar es 1700,

entonces Rubén ingresa. III. Rubén saca siempre más nota que

Lutka.

a) Sólo I b) Sólo II c) I y II d) I y III e) Todas

13. El siguiente cuadro muestra la ojiva de frecuencia relativa acumulada porcentual de las notas de un examen de ingreso a la UNI. ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvieron una nota entre 9 y 15?

a) 32,75%

b) 23,79%

c) 33%

d) 33,75%

e) 33,25%

14. La siguiente tabla de frecuencias muestra lo que necesitan los alumnos (en soles) para costear sus estudios universitarios, en una sección de la UNI. ¿Qué porcentaje de alumnos gastan menos de S/.95? ¿Qué porcentaje de alumnos gastan entre 120 y 180 soles?

a) 58%, 18%

b) 60%, 20%

c) 62%, 18%

d) 58%, 22%

e) 60%, 22%

Un empleado divide su sueldo de la siguiente manera, tal como se muestra en el diagrama adjunto. ¿Qué porcentaje de su sueldo gasta en alimentación y fiestas?

a) 42% b) 52% c) 56% d) 48% e) 47%

Aritmética 3° sec. (iii y iv bimestres)

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