Arhimede 2006 2007 Et3 Bar 3-12.pdf

26
&RQFXUVXOQD LRQDOGHPDWHPDWLF $5+,0(’( (WDSDILQDO PDL 6ROX LLFODVDD,,,D D = = = = = = - = = + + + = + = + × H G F E D E&RQVWDW PF > = + + + + + $œDGDUVXPDSRDWHILHJDO FX QXPDLGDF GRX QXPHUHFRLQFLGXQXOGLQQXPHUHV ILHvQORFXLWFXDQWHULRUXOV X D = + = = = + = + = + + + E D E D E D D E E D E = = = - = - = - - + E D E D E D D E E D = + = - + = - + = = + + = = + + = = + + = + + = = + + = + + = + + = + + H D F E G G G D D H H 6 F F D D E E D D 6HFRQVLGHU F GDF EHVWHQXP UXOE LH LORUœLIQXP UXOIHWHORUDWXQFL = × + × I SUXQH E SUXQH YHULILF XUPDWRDUHOHVLWXD LL E LH LIHWH E LH LIHWH E LH LIHWH E LH LIHWH ’DF LQHPFRQWF QXP UXOE LH LORUHVWHPDLPLFGHFkWDOIHWHORUvQVHDPQ F vQJUXS VXQWE LH LœLIHWH 1XPDUXOPHUHORUYDILDœDGDU = + = × + ×

Transcript of Arhimede 2006 2007 Et3 Bar 3-12.pdf

Page 1: Arhimede 2006 2007 Et3 Bar 3-12.pdf

&RQFXUVXO�QD LRQDO�GH�PDWHPDWLF �$5+,0('(�(WDSD�ILQDO �����PDL������

6ROX LL�FODVD�D�,,,�D���D���

��������������������������

�����������������

======−=

=+++=+=+×

HGFED �

�E��&RQVWDW P�F ��� �������������� >=+++++ ��$úDGDU��VXPD�SRDWH�IL�HJDO �FX����QXPDL�GDF �GRX �QXPHUH�FRLQFLG���XQXO�GLQ�QXPHUH�V �ILH�vQORFXLW�FX�DQWHULRUXO�V X�������D���

�����������������

������

=+==⇒=+=+

=+++

EDEDED

DEED�

E���

�������

�����

==⇒=−=−

=−−+

EDEDED

DEED�

����

���������������������������������������

���������������������������������

=+=−+=−+=⇒=++=⇒=++

=⇒=++⇒=++==⇒++=++=⇒++=++

HDFEGGGDD

HH6FFDDEEDD

���6H�FRQVLGHU �F �GDF �E�HVWH�QXP UXO�E LH LORU�úL�I�QXP UXO�IHWHORU��DWXQFL������ =×+× ISUXQHESUXQH �YHULILF �XUPDWRDUHOH�VLWXD LL��

��E LH L����IHWH���E LH L����IHWH����E LH L����IHWH����E LH L����IHWH�'DF � LQHP�FRQW�F �QXP UXO�E LH LORU�HVWH�PDL�PLF�GHFkW�DO�IHWHORU��vQVHDPQ �F �vQ�JUXS�VXQW���E LH L�úL���IHWH��1XPDUXO�PHUHORU��YD�IL��DúDGDU�� ���������� =+=×+× ���

Page 2: Arhimede 2006 2007 Et3 Bar 3-12.pdf

&RQFXUVXO�QD LRQDO�GH�PDWHPDWLF �$5+,0('(�(WDSD�ILQDO �����PDL������

&ODVD�D�,9�D��

��D��1XP UXO������vPS U LW�OD���G �FkWXO�����úL�UHVWXO����$úDGDU��QXP UXO�F XWDW�HVWH����������� �

RULGH ���������� �

E�� 1XP UXO����vPS U LW�OD���G �FkWXO���úL�UHVWXO����1XP UXO�F XWDW�YD�IL�������������D�� DDDDDD =⇒×=⇒= ��������� ��'HFL�RULFH�QXPDU�GLIHULW�GH�]HUR�������E��3UHVXSXQHP�F �WRDWH�QXPHUHOH�VXQW�GLIHULWH��'DF ��

������������������++++

=++++=6 �5H]XOW �F ��� ���������������

��×=+++= �� ���

RULGH6 ���������� =×=6 �

������� =− �'HFL�XQ�QXP U�GLQ�VXP �WUHEXLH�PLúFDW�FX����1XP UXO���QX�SRDWH�IL�PLúFDW�GHRDUHFH�QXPHUHOH�VXQW�QHQXOH��2ULFH�DOW�QXP U�PLFúRUDW�FX���QH�G �XQ�QXP U�HJDO�FX�DOWXO�GLQ�VXP �����D��3URGXVXO� �� �× �DUH�XOWLPD�FLIU ����GHFL� �HVWH���VDX���'DU ��� �� × �HVWH�XQ�QXP U�FX���FLIUH��GHFL���QX�H�EXQ��5 PkQH�F �vQPXO LWRUXO�HVWH����'LQ�vQPXO LUHD�

� � ��� �� =× �VH�YHGH�F � �GLQWUH���VL���WUHEXLH�V �ILH���VDX���

������������� =+=× �ÌQ�DFHVW�FD]��vQPXO LUHD�GHYLQH��

������������������×

FDUH�FRQYLQH�

FRQGL LLORU�SUREOHPHL��ÌQ�DO�GRLOHD�FD]�

������������������×

FDUH�QX�FRQYLQH���

E��6WXGHQWXO�,�vQ���K��VWXGHQWXO�,,�vQ���K PDFKHWD�����6WXGHQWXO�,�vQ���K��VWXGHQWXO�,,�vQ��K PDFKHWD�����6WXGHQWXO�,�vQ��K�VWXGHQWXO�,,�vQ��K �

PDFKHWD= �

����6WXGHQWXO�,�vQ��K��6WXGHQWXO�,,�vQ��K PDFKHWD��

= ����6WXGHQWXO�,�vQ���K��K��VWXGHQWXO�,,�vQ��K PDFKHWD�⇒ �VWXGHQWXO�,�vQ����RUH �

PDFKHWD= �

��6WXGHQWXO�,�vQ����RUH �PDFKHWD���6WXGHQWXO�,�vQ����RUH� �

PDFKHWD= ⇒ �VWXGHQWXO�,,�HIHFWXHD] � �

� �GLQ�PDFKHWD�vQ����RUH��'HFL�DO�GRLOHD�VWXGHQW�WHUPLQ �VLQJXU�PDFKHWD�vQ� RUH������� =⋅ ��

Page 3: Arhimede 2006 2007 Et3 Bar 3-12.pdf

���2EVHUYD LD����6 �FRQVWDW P�F �VXPD�FLIUHORU�SH�ILHFDUH�OLQLH��FRORDQ �úL�GLDJRQDO �WUHEXLH�V �ILH��������������������� ���� ������2EVHUYD LD����3 WU LFD�GLQ�FHQWUXO�FDUHXOXL�WUHEXLH�V �FRQ LQ �FLIUD����ÌQWU�DGHY U��GDF �DU�FRQ LQH�FLIUD����DWXQFL�SH�R�S WU LF �YHFLQ �YD�H[LVWD�FLIUD���FHHD�FH�DU�DQWUHQD��SHQWUX�FRPSOHWDUHD�OLQLHL�VDX�FRORDQHL�UHVSHFWLYH��GLQ�QRX�FLIUD��������� �����FHHD�FH�QX�HVWH�SHUPLV����� �� �����6LWXD LD�HVWH�VLPLODU �vQ�FD]XO�FLIUHL��������������������������� ��'DF �vQ�FHQWUX�DU�IL�FLIUD����VDX����DWXQFL�DU�H[LVWD�R�VLWXD LH�GH�WLSXO����� �� "�,DU�OLQLD�QX�PDL�SRDWH�IL�FRPSOHWDWD�FX�FLIUH�GH�OD���OD�����ÌQ�FD]XO�FLIUHL����VDX�PDL�PDUH����DMXQJHP�OD�VLWXD LL�LPSRVLELOH��GH�WLSXO������ �� "�$úDGDU��OLQLD��VDX�FRORDQD�FDUH�FRQ LQH�FHQWUXO�FDUHXOXL�FD�úL�GLDJRQDOHOH��DUH�XQD�GLQ�IRUPHOH����� �� ����� �� ����� �� ����� �� ���6H�DMXQJH�OD�VROX LD���� �� ���� �� ���� �� ��6DX�URWD LL�DOH�DFHVWHLD��ÌQ�WRWDO���VROX LL��

����� �� ���� �� ���� �� ���

��� �� ���� �� ���� �� ���

�� �� ��

�� �� ���� �� ���� �� ��

Page 4: Arhimede 2006 2007 Et3 Bar 3-12.pdf

6ROX LL��&ODVD�D�9�D��,�� D�� ��������

������������ =⋅=⋅

=++++ �E��'DF �SULQ�UHGXFHUH�OD�DEVXUG�OH�DP�SXWHD�JUXSD�DU�vQVHPQD�F �VXPD�QXPHUHORU�GLQ�ILHFDUH�JUXS �DU�IL�XQ�QXP U�SDU� => VXPD�WXWXURU�QXPUHORU�GH�OD���OD����HVWH�XQ� QU�� SDU�� GDU� =⋅=++++ ������������ QXP U� LPSDU=> QX� SXWHP� JUXSD�QXPHUHOH�GLQ�$�DYkQG�SURSULHWDWHD�GLQ�HQXQ ��

,,�� D� =>++−− ���������������������������� DDDDD � VXPD� ORU� D⋅= ���� �� LDX���������=D LPSDU��

E�� ( ) ���������� ����������������������� ++++=++++=⋅− ��( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )������������������� �������������������� EEEEEE ++++==>== ��

,,,�� UDQ += � �� UEQ += �� �� UFQ += �� �� �<U �� ���++= FED => �������� +

−+

−=

− UQUQUQ => ( ) ������

���

��

=

−−− UQ => �

( ) ����������

=⋅− UQ => ����=− UQ => UQ += ���� => { }����������∈Q �,9�� D��

������������

������

⋅++

⋅+

⋅<D => ��

���������

���

−++−<D => ���

���

−<D =>

���

<D => � �����<D ��� ���

����

��������

����

+−++−>D => ����

���

���

+−>D �=> ����

������

+>D => �������>D �=> �SULPHOH�GRX �]HFLPDOH�VXQW���úL����� E�� ������ ��

����

���

������

����� =<=⋅<

+ �

� ������ ���

���

���

������

����� =<=⋅<

+ �

� ««««««««««««««�� ������ ��

����

���

������

����� =<=⋅<

+ � => ED <� �

��

����� ����

��

���

���

��

������

�����

>⇔>⋅=⋅>

+ �

��

����� ����

��

���

���

��

������

�����

>⇔>⋅=⋅>

+ �

� «««««««««««����

������ ��

����

���

���

��

������

�����

>⇔>⋅=⋅>

+ �

Page 5: Arhimede 2006 2007 Et3 Bar 3-12.pdf

� 'HRUHFH� ������

�����������

��������

��=>>=>= � => HVWH� VXILFLHQW� V � DU W P� F �

����

��

> �

� � !� ������� > � �$� !� DE �< � !� ��

��

<< ED �� �

Page 6: Arhimede 2006 2007 Et3 Bar 3-12.pdf

6ROX LL��&ODVD�D�9,�D��

,�� D�� 'LQ� E������ �� F������ �� ��� � úL� ���������� =++ FED � DYHP� D��� ��( ) ���� = ��UH]XOW �F � D�� ��� 'LQ� D�� �UH]XOW �F � .D �= �� =. ∈ ������� FDFE ����������� +−=+ � � !� DFFE ���������� −=+ �=> ( ) DFFE ������� −=+ �

� => ( )DF ������� − �=> SDF ������ =− �� =S∈ ������ ( )DFDQ �� −= ������ ÌQORFXLQG�����úL�����vQ�����DYHP��� SNQ ⋅= ����� �� =SN ∈�� �=> � Q����� ��� E��

( )����

��

��������

����

����

�����=

+⋅++

⋅+

⋅+

[[�

<=>

( )

�����

�������

���

����

�����=

+⋅

++⋅

+⋅

+⋅

[[<=> �

<=> �����

�������

��

��

��

��

��

����=

+−++−+−+− [[

� => �����

����=

+[[ � <=> �

( ) [[ ⋅=+⋅ ��������� �<=> �<=> � [[ ������������ =+ �<=> � ����=[ �

,,��� 'XS �R�RSHUD LH�GH�WLSXO�GLQ�HQXQ ��VH�vQORFXLHVF�QXPHUHOH� P� �úL� S� �� ( )SP > �FX�QXP UXO� SP−� ��

7HUPHQXO�XOWLP�FDUH�VH�RE LQH�DUH�IRUPD� !� LDU�XOWLPD�FLIU �D�DFHVWXL�QXP U�YD�IL���VDX���GXS �FXP�H[SRQHQWXO�! �HVWH�SDU�VDX�LPSDU��(VWH�HYLGHQW�F � ( )��������� +±±±±= Q! �úL�GHRDUHFH�QXPHUHOH� SP + �úL� SP − �DX�DFHHDúL�SDULWDWH�UH]XOWD�F �SDULWDWHD�H[SRQHQWXOXL��

( )������� +±±±±= QK HVWH�DFHHDúL�FX�SDULWDWHD�OXL ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) �������

������������ +∈+⋅+=+⋅+

=++++ 1QQQQQ GHFL�H[SRQHQWXO�HVWH�LPSDU��'HRDUHFH�! �HVWH�LPSDU�UH]XOW �F �XOWLPD�FLIU �D�QXP UXOXL�UH]XOWDW�SULQ�RSHUD LD�GLQ�HQXQ �HVWH����

Page 7: Arhimede 2006 2007 Et3 Bar 3-12.pdf

,,,�� D��

≡≡≡≡

∠≡∠≡∠

$3$0$6$4$1$5

3$41$06$5⇒ � ( ) 3465/8/$43$56 ≡⇒∆≡∆ �� �

� E�� &56$&6$&5$&0$&6$&1$&5 ��⇒∠≡∠⇒

∠≡∠∠≡∠ �FROLQLDUH��

� $QDORJ�4�3�%�FROLQLDUH��( ) ⇒>⋅>+=∠+∠ �� ������ÖÖ� &%3%&6&% � ����<′∠+′∠ 4&%6%& �XQGH�

6′ úL� 4′ � VXQW� VLPHWULFHOH� OXL� 6� úL� 4� ID � GH� &� UHVSHFWLY� %�� ⇒ � 6&� úL� 4%� VH�LQWHUVHFWHD] �vQ�7��$�úL�7�VXQW�GH�R�SDUWH�úL�GH�DOWD�D�OXL�%&��

� F�� ⇒∆≡∆ $43$56 � DX� vQ O LPLOH� FRQJUXHQWH�( ) ( ) ∈⇒=⇒ $34$G65$G �� ELVHFWRDUHL� 573∠ ��

,9�� )LH� ( )$%) ∈′ � D�v�� ( ) )%&)%&P ′∆⇒=′ ��� � LVRVFHO� ( ) &%)&% ≡′⇒= ���Ö � �����'DU� (%&∆ �HVWH�LVRVFHO��XQJKLXULOH�FRQJUXHQWH�DX������ %&(& ≡⇒ ������'LQ� ��� úL� ��� )&(& ′≡⇒ �� 'DU� ( ) &)(&()P ′∆⇒=′ ��� � HVWH� HFKLODWHUDO�

&)() ′≡′⇒ �úL� )))&)( ′=⇒≡ �GHRDUHFH� )) ′� �DSDU LQ�PHGLDWRDUHL� [ ](& �úL�ODWXULL�[ ]$% )(&∆⇒ �HFKLODWHUDO��

Page 8: Arhimede 2006 2007 Et3 Bar 3-12.pdf

6ROX LL��&ODVD�D�9,,�D��

,�� D�� (FXD LD� GLQ� HQXQ � HVWH� HFKLYDOHQW � FX�( ) ( ) ( ) ( )( )���\��VL������� ���� ==−⇔=−+− \[\\[ � VDX�( ) ( )( )����VL���� �� =−=− \\[ ��

� &D]XO�,�� ( ) �� � =− \[ �� � �� ( ) �� � =−\ �� 5H]XOW �F � ( )����VL��� =−= \\[ �VDX� ( )����VL��� −=−= \\[ ���� 2E LQHP�VROX LLOH�

==��

\[ ���

==��

\[ �

� &D]XO�,,�� ( ) ( ) ����VL���� �� =−=− \\[ �� 'LQ� ( ) �� � =−\ �RE LQHP�\ ��úL�FXP� ( ) �� � =− \[ �UH]XOW � ( ) �� � =−[ �FX�VROX LLOH�

����� == [[ ��� $YHP�VROX LLOH�

==��

\[ ��

==��

\[ �

� ( ) ( ) ( ) ( ){ }������������������=6 ��� E�� &RQVLGHU� ]\[ ≤≤ � FHOHODOWH� FD]XUL� VH� WUDWHD] � VLPLODU�

( ) ( )������� ������� +<++≤⇒+<+≤++≤ ]\[]]]]]\[]] �� FXP� \[] ��� ++ � HVWH� S WUDW� SHUIHFW� \[]] ���� ++=⇒ � VDX�( ) \[]] ��� �� ++=+ ��� &D]XO� ,��

==

⇒=+⇒++= �������

\[\[\[]] �� 'HFL� ]� � S WUDW� SHUIHFW�

ℵ∈=⇒ N���� �N] �&D]XO� ,,�� ( ) \[]\[]] ������� �� +=+⇒++=+ � FRQWU�� �LPSDU� � SDU��

( ) ( ) ( ){ }ℵ∈= NNNN6 ������������������ ��� �,,��� D��'DF � ������� �� +=++=⇒+= SNNQNQ ��

3UHVXSXQHP� F � SXWHP� DYHD� R� DVHPHQHD� DúH]DUH� ⇒SH� ILHFDUH� OLQLH� VXPD�QXPHUHORU�YD�IL�SDU �⇒ VXPD�WXWXURU�QXPHUHORU�YD�IL�SDU ��

� 3H� GH� DOW � SDUWH� VXPD� WXWXURU� QXPHUHORU� YD� IL� ( )( ) ( )( )���������

++=++ SSSS �

LPSDU�⇒ FRQWUDGLF LH��

Page 9: Arhimede 2006 2007 Et3 Bar 3-12.pdf

� 'HFL�SHQWUX�Q�LPSDU�SUREOHPD�QX�DUH�VROX LL��� E��'DF �Q�HVWH�SDU��� ��� SQ �= �� ��������������������������� ����������������������«������N�� �N������N������N������N�����««««��� «««««««««««««««���� «««««««««««««««������N���� ���'DF � �� += NQ �� �≠N SUREOHPD�YD�DYHD�VROX LH�� �� �� �� �� �� �� ��N���� ��N���� ��N���� ��N�����«��� �� �� �� ��� ��� ��� ««««««««««««««««««««««���� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ««««««««««««««««««««««���� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ««««««««««««««««««««««���� ««««««««««««««««««««««««««««««««««««««««���� ««««««««««««««�� ��N���««««««««««««««««««««««���,,,�� D��9RP�DU WD�F �FHOH�GRX �DILUPD LL�VXQW�HFKLYDOHQWH�FX�DILUPD LD��

����WULXQJKLXULOH�VXQW�DVHPHQHD������⇔ ����� FED

FED$%& FKEKDKFKEKDK$ ==⇒===∆ ��� ��

� � FEDFED

&%$ KFKEKDKFKEKD$ ′′′′′′

′′′∆ ′=′=′⇒′

=′

=′

= ��� �

F

F

E

E

D

D

F

F

E

E

D

DKK

KK

KK

FF

EE

DD

KFFK

KEEK

KDDK

′′′′′′

==⇔′

=′

=′

⇒′

=′

=′

⇒ � ��⇒ �HYLGHQW��� �� ⇒ �'LQ�IRUPXOD�GH�FDOFXO�D�PHGLDQHL�

⇒ � ( )( )

( )( )

( )( ) NFED

FEDEFDEFD

DFEDFE

FEDFED

=′+′+′

++=

′−′+′−+

=′−′+′

−+=

′−′+′−+

������

������

������

������

��

��

�� �

⇒ � NFF

FEDFEDFEDFEDN =

′⇒

′+′−′−′+′+′+−−++

= ��

������������

���������� �

$QDORJ� FF

EE

DDND

DEE

′=

′=

′⇒=

′=

′ ��

�� ��

Page 10: Arhimede 2006 2007 Et3 Bar 3-12.pdf

� E��&RQIRUP�WHRUHPHL�PHGLDQHL�DYHP��� ( )

�� ���� %&$&$%$' −+

= � úL� ( )�

� ���� $&%&$%%( −+= �� &RQIRUP� HQXQ XOXL�

DUH�ORF�UHOD LD�� ( ) ( ) ���������� ��

��

��� $%$&%&$%%&$&$%$%%($' =−+

+−+

⇔⋅=⋅+ �⇔ �

� ⇔ � ������� ������� $%$&%&$%%&$&$% =−++−+ �⇔ �� ⇔ � ����� ������ $%%&$%%&$% =⇔=+ �⇔ �� �$%%& = ⇔ �⋅= $%%& �� $��� (�� %��� '�� &� �

,9�� D��'DF �6�HVWH�PLMORFXO� VHJPHQWXOXL�$7��GLQ� WULXQJKLXULOH�GUHSWXQJKLFH�$71�úL�$70�UH]XOW ��� ��$76061 == ��DGLF �SXQFWXO�6�VH�DIO �SH�PHGLDWRDUHD�VHJPHQWXOXL�01��� )LH� 710 ′′′ �� �VLPHWULFHOH�SXQFWHORU� 710 �� �ID �GH�ELVHFWRDUHD� $' �D�XQJKLXOXL�$��(YLGHQW� $&1$%0 ∈′∈′ ��� ��'LQ�PRWLYH�GH�VLPHWULH� 1331 ′= �úL� 0330 ′= ������LDU�SDWUXODWHUHOH� 1077 ′′ �úL� 0177 ′′ VXQW�WUDSH]H�GUHSWXQJKLFH��� &XP�3�HVWH�PLMORFXO�OXL� �77 ′ UH]XOW �F � 1330 ′= �úL� 0331 ′= �� ����� 'LQ� ���� úL� ���� UH]XOW � 3130 = �� DGLF � SXQFWXO� 3� VH� DIO � SH� PHGLDWRDUHD�VHJPHQWXOXL�01��� ÌQ�FRQFOX]LH��SXQFWHOH�6��3�úL�PLMORFXO�OXL�01�VXQW�FROLQLDUH��� � $����� �� 0���������������������������������������������0 ′ �����6�� � � � � � � �� � � � � � � 1 ′ ��� 3� 7 ′ ���������������������������� 1��� %��������������7������������������'����������������������������������������&�� �

Page 11: Arhimede 2006 2007 Et3 Bar 3-12.pdf

� E��1RW P� ��� FEDG ++= ��$WXQFL�

� ( )�

�����

��

����

�����

DGGGGDDDG

GDGGD

DGGGD

FED

−+−−−=

−+

−−

=−

+−=

+�

� 'HFL��

( ) ( )∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑=

−+−−≥

−+−−−=

−+++−=

+ ����

�����

�����

��� �����

DGGGDDGGGGDDGGGGDDFED

��

�������������� ����

��

���

���� 66EDDEDDDGDGGD ==

+−=

++−=+−=+−−= ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑

Page 12: Arhimede 2006 2007 Et3 Bar 3-12.pdf

6ROX LL��&ODVD�D�9,,,�D��

,�� ������D��3UHVXSXQHP� DEED �� + �⇒ ��� ≤+⇒≤+ DE

EDDEED ��'DU� �≥+ D

EED �FRQWUDGLF LH�

FX�SS��I FXW � DEED _�� /+⇒ �� E��3S�� 1DE

EDEDDE ∈+

⇒+���� � Ν∈+⇒ D

EED�� ��

� )LH� ∆⇒−=∆⇒=+−⇒∈=+⇒∈⇒= ���� �� QQ[[1Q[[4[ED[ �S WUDW�

SHUIHFW��� ( )( ) ⇒=+−⇒=−⇒ �� �� NQNQNQ ��

=+=−��

NQNQ � �

=+=−��

NQNQ �

� �� =Q IDOV�� �=Q �� �=N �⇒ � EDDE

ED

=⇒=+ � �FRQWUDGLF LH�����'LQ� �� −=++ D]\[ �UH]XOW �VXFFHVLY��( ) ( ) ( ) ����������� ����������� −=−−+++⇔+−=+++++⇔+−=++ DD\[D]\[DD][\][\]\[DD]\[�

( ) ( ) ⇔+−=+−+−⇔+−=−−++⇔ ���������� �������� DD]\[DD\[]\[ �( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ��������

��������� ]\[DDD]\[

+−+−=−⇒+−=+−+− �� � �

� ��'LQ� �� −=++ D]\[ � ( ) ( ) ���� −=+−+−⇒ D]\[ �� � �� � ��(VWH�HYLGHQW�F � ( ) ( ) ( ) ���� ≥−+−+− γβγαβα �� ( ) 5∈∀ γβα ���� ��FX�HJDOLWDWH�QXPDL�SHQWUX� γβα == ��FDUH�GHYLQH�� ( ) ( )����� γβαγβα ++≥++ ��'DF �vQ�DFHDVW �XOWLP �LQHJDOLWDWH�IDFHP�VXEVWLWXLULOH��

]\[ =−=−= γβα �������� �úL� LQHP�FRQW�GH�UHOD LLOH�� ��úL�� ��VH�RE LQH��( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )�������� �������������� −=−=+−+−≥+−+−=+−=− DD]\[]\[DDD

��GHFL��W]W\W[WQRW]\[ =+=+=⇒=−=− ������������� ��LDU�GLQ�SULPD�UHOD LH�GLQ�LSRWH] �

UH]XOW �� �−= DW ��GHFL� D\ = �� �−= D] ��

Page 13: Arhimede 2006 2007 Et3 Bar 3-12.pdf

,,�� D��)RORVLP�LQHJDOLWDWHD� ( )YX\[

Y\

X[

++

≥+��� �úL�JUXS P�DVWIHO�

( )( ) �

���� ��

���

���

�>

++

≥+

++ FD

FDDF

FFD

D ��� $QDORJ�FHOHODOWH�úL�SULQ�vQVXPDUH�⇒ �LQHJDOLWDWHD�GRULW ��� E��0HWRGD����)RORVLP�FXQRVFXWHOH�LQHJDOLW L��� DEED ��� ≥+ ��� 5ED ∈∀ ��� �úL�� EFDFDEFED ++≥++ ��� ��� 5FED ∈∀ ���� �� $YHP�SH�UkQG���

( ) ( ) ( ) ( )��������������� �������������� +=++=⋅++≥+++=++++=++ DDDDDDDDDDDD��

( ) ( ) ( ) ≥+++=+++++≥++++++++ ������������� ������������ ]\[]\[]]\\[[�� ���� =+=+++≥ \][][\ ��� 0HWRGD����)RORVLP�LQHJDOLWD LOH��� ��

�� EDED +≥

+ �� 5ED ∈∀ ��� �� úL� EFDFDEFED ++≥++ ��� �� 5FED ∈∀ ���� ��� $YHP��

( ) ( ) �����

����

�������� ��������� +=

++≥

++=

++=++ DDDDD[[ �HWF��

� (JDOLWDWH�DYHP�SHQWUX��� ( ) ( ) ( ){ }������������� −−−∈]\[ �,,,�� D��1RW P� D2$ = �� E2% = �� F2& = �� P%& = �� Q$& = �� S$% = ��� ⇒=+⇒⊥ ��� 0&2&202&20 �GLQ�WHRUHPD�PHGLDQHL�

⇒−+

=+−+

���

��� ������ SQPFSED �

� ����� �FEDQP ++=+ � ����$QDORJ�� ����� �EFDSP ++=+ � ����� ����� �DFESP ++=+ � ����� 'LQ�����úL����� ⇒−=−⇒ ���� EFSQ �GLQ����

( ) ������� ����� =⇒+=⇒+= $2&PFDQDFQ ���� $QDORJ� ( ) ���=$2%P �úL� ( ) ���=%2&P ��� E��)RORVLQG�WHRUHPD�PHGLDQHL� ���� 9'9%9&9$ +=+⇒ ���

Page 14: Arhimede 2006 2007 Et3 Bar 3-12.pdf

� 3UHVXSXQHP�F �9$�HVWH�PXFKLD�ODWXUDO �GH�OXQJLPH�PD[LP �( )���� 9'9%9'9%9$ +<+<⇒ �

� 9'9%9$9'9%9$ ��⇒+<⇒ �VXQW�OXQJLPLOH�ODWXULORU�XQXL�WULXQJKL��,9��D��([LVW �XQ�SODQ�FDUH�QX�HVWH�SDUDOHO�FX�QLFL�XQD�GLQWUH�GUHSWHOH�IRUPDWH�GH�RULFDUH�GRX �GLQWUH�FHOH������GH�SXQFWH�GDWH��) U �D�PLFúRUD�JHQHUDOLWDWHD��SXWHP�SUHVXSXQH�F �FHOH������GH�SXQFWH�VH�DIO �GH�DFHHDúL�SDUWH�D�DFHVWXL�SODQ��'HSODV P�DFHVW�SODQ�SDUDOHO�FX�HO�vQVXúL�vQ�VHPLVSD LXO�LQ�FDUH�VH�J VHVF�FHOH������GH�SXQFWH��'LQ�PRGXO�vQ�FDUH�D�IRVW�DOHV�SODQXO��SXQFWHOH�VXQW�LQWHUVHFWDWH�XQXO�FkWH�XQXO��QHILLQG�SRVLELO�FD�GRX �SXQFWH�GLVWLQFWH�V �VH�J VHDVF �VLPXOWDQ�vQ�DFHHDúL�SR]L LH�WUDQVODWDW �D�SODQXOXL�UHVSHFWLY��'XS �FH�VXQW�LQWHUVHFWDWH�SULPHOH���SXQFWH��FRQVWUXLP�WULXQJKLXO�IRUPDW�GH�DFHVWHD��$SRL�FRQWLQX P�V �PLúF P�SULQ�WUDQVODWD LH�SODQXO�SkQ �FkQG�LQWHUVHFWHD] ��XQXO�FkWH�XQXO��DOWH�WUHL�SXQFWH��&RQVWUXLP�WULXQJKLXO�IRUPDW�GH�DFHVWHD�úL�FRQWLQX P�PLúFDUHD�GH�WUDQVOD LH�ú�D�P�G��ÌQ�DFHVW�PRG�VXQW�FRQVWUXLWH�FHOH������GH�WULXQJKLXUL�LDU�SURFHGHXO�GH�PDL�VXV�JDUDQWHD] �F �RULFDUH�GRX �GLQWUH�DFHVWH�WULXQJKLXUL�QX�DX�QLFL�XQ�SXQFW�FRPXQ���E���

��������

�������������������

����

FP9OOOO99999

O9

=⇒=⇒=⇒⋅+++=+++=

=

Page 15: Arhimede 2006 2007 Et3 Bar 3-12.pdf

6ROX LL��&ODVD�D�,;�D��

�,�� L��1RW P�FX�6�DULD�WULXQJKLXOXL�$%&�úL�FX� D6 �� E6 �� F6 �DULLOH�WULXQJKLXULORU�3%&��3$&��3$%��$WXQFL�� 6

6DKDG

KG D

D

D

D

D == �� 66

KG E

E

E = �� 66

KG F

F

F = �

� 3ULQ�XUPDUH�� �=++

=++ 6666

KG

KG

KG FED

F

F

E

E

D

D �� LL�� ,QHJDOLWDWHD� GH� OD� SXQFWXO� LL�� UH]XOW � LPHGLDW� GLQ� LQHJDOLWDWHD� FXQVFXW �( ) ( )���� � ]\[]\[ ++≥++ �,,� ���'DF � ( ) �≥QQ[ HVWH�R�SURJUHVLH�JHRPHWULF ��DWXQFL� ��������� �

�� >≥∀⋅= − [NT[[ N

N �úL����� ≠> TT ��DWXQFL��

( ) ( ) ( ) ( )T

T[[

TTT

TT[T[T[[[[[[[ Q

QQ

NN

Q

N NN ������

���������

��

����

���

� ����

��

��

� ���

�� −

−=−

−⋅⋅−=−=−

−−

=−

= +∑∑ �

��GHFL�� ( ) ( )

��

��

��

���

��

� ���

��

�Q

Q

Q

QQ

N NN [[[[[

[[[T[[[[ −

=−

⋅=− ∑−

= +

��

���'DF � ( ) ( ) ( ) ������� ��

��

��

��

���

� ���

�� ≥∀

−=

−=− ∑

= +

Q[[

[[

[[[[[

[[[[QQ

QQ

N NN��VFULHP�UHOD LD�

úL�SHQWUX� �+Q �úL�RE LQHP� ( )

−=−

+

= +∑

��

���

� ���

�� ��

Q

Q

N NN [[

[[

[[[[ ��6F GHP�FHOH�GRX �

UHOD LL�úL�RE LQHP� ( )

=−

++

��

��

��

���

��

�QQQQ [[

[[

[[

[[[[ ��6F GHP�FHOH�GRX �

UHOD LL��RE LQHP���Q

Q

Q

Q

QQ

QQ[[

[[

[[

[[

[[[[

[[[[ ��

��

��

���

��

��

�� ++

+

+ −=−⇔−

=− ��GH�XQGH��

���[[

[[

Q

Q =+ � VDX����[[

[[

Q

Q −=+ �� &XP� �≥N[ �� RE LQHP����[[

[[

Q

Q =+ �� ( ) �� ≥∀ Q � úL� GHFL�

( ) �≥QQ[ �HVWH�R�SURJUHVLH�JHRPHWULF �FX�UHOD LD���[[T = ��

,,,��� D��9RP�GHPRQVWUD�XUP WRDUHOH�DILUPD LL��

Page 16: Arhimede 2006 2007 Et3 Bar 3-12.pdf

� $ILUPD LD����'DF � ��� ≥∈ Q1Q �úL� ( )���∈[ �DWXQFL� [Q[QQ ++−<−�� �� 'HPRQVWUD LH��5LGLFkQG�OD�S WUDW�LQHJDOLWDWHD�SUHFHGHQW �RE LQHP��

����������������� �������� +>⇔−<+−⇔−<−⇔−+<− [Q[QQQ[QQ[QQQ�� 8OWLPD�LQHJDOLWDWH�HVWH�DGHY UDW �GHRDUHFH� �≥Q �LPSOLF � �������� � +>>≥ [Q �� $ILUPD LD����'DF � ( )���∈[ �DWXQFL� [ ] ��� =−++ [[ ��� 'HPRQVWUD LH��2EVHUY P�F ��� ���������� � =+<−+=−++<+< [[[[ � vQ� FRQVHFLQW �[ ] ��� =−++ [[ ��� $ILUPD LD����'DF � ���� ≥∈ Q1Q �úL� ( )���∈[ �DWXQFL�[ ] [ ]�� −=−++ Q[Q[Q �� 'HPRQVWUDWLH��'LQ�DILUPD LD���UH]XOW � [Q[QQ ++−<−�� �� 1RW P� [ ]�� −= QK ��5H]XOW � ��� +<−≤ KQK ��GHFL� ( )�� ��� +<−≤ KQK �� 'HRDUHFH�QXPHUHOH�GH� IRUPD� �� −Q � úL� �� −Q � QX�SRW� IL� S WUDWH�SHUIHFWH�� UH]XOW �

( )��� +≤ KQ ��'LQ� LQHJDOLW LOH� [ ] ������ �� +≤<−+=−++<−= KQ[QQ[Q[QQK �

UH]XOW �F ��[ ] [ ]�� −==−++ QK[Q[Q ��E�� &XP� [ ] [ ] P\P\ +=+ �� 5\ ∈∀� � úL� ( ) =P∈∀ � �� QRW P� [ ] =S[ ∈= ��{ } [ )���∈= α[ �VLVWHPXO�GH�PDL�VXV�GHYLQH��

�[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ )

∈=++

=+

������

��

ααααα

ααα��� DGLF ��

[ ] [ ][ ] [ ] [ ]

[ )

∈=+

=

������

��

αααα

αα��VDX�

[ ] [ ][ ] [ ]

[ )

∈=⋅

=

������

��

ααα

αα� ⇔

[ ] [ ]

=

αα

α

�������

����� �

�3HQWUX�

∈ �

����α �� DYHP @�>��@�>� αα =≠= �� LDU� SHQWUX�

∈ �

���α �DYHP @�>�@�>� αα == ��GH�XQGH��

∈ �

���α ��'HFL�VLVWHPXO�DUH�VROX LLOH� α+= S[ �� =S∈ �úL�

∈ �

���α ��

Page 17: Arhimede 2006 2007 Et3 Bar 3-12.pdf

,9�� 9RP�GHPRQVWUD�F � ]]\[ ��� FRVFRV��FRVFRV +−≤+ � ����6 � REVHUY P� F � LQHJDOLWDWHD� ���� HVWH� HFKLYDOHQW � FX�

( ) ( )\[\[\[ +++−≥+ ��� FRVFRV��FRVFRV �VDX�FX��( ) \[\[\[\[\[\[ ������ VLQVLQFRVFRVVLQVLQ�FRVFRVFRVFRV�FRV� +−+−−≥+

� ����,QHJDOLWDWHD�����HVWH�HFKLYDOHQW �FX��

( ) \[\[\[\[ VLQVLQFRVFRV�VLQVLQ�FRV� �� −≥+ � VDX� FX�( ) ( )\[[\[ +−≥+ FRVVLQVLQFRV� � FDUH� HVWH� HYLGHQW � GHRDUHFH� �VLQ ≤[ � úL��VLQ ≤\ ��

'LQ� LQHJDOLWDWHD� ���� UH]XOW � ]\[ FRV�FRVFRV −≥+ ����'HFL� ∑ ≥�FRV [ �����6XPkQG� LQHJDOLWDWHD� ���� úL� DQDORDJHOH� SULQ� VLPHWULH� RE LQHP�∑ ∑ ∑+−≥ [[[ �� FRVFRV��FRV� �VDX�∑ ∑∑ =−≥ [[[ �� VLQFRV�FRV� � � ����

'LQ�����UH]XOW �∑ ∑≥ [[ �VLQ��FRV � ����

'LQ�����úL�����UH]XOW �LQHJDOLWDWHD�GLQ�HQXQ ���

6ROX LL��&ODVD�D�;�D��,�� D��6 �FRQVLGHU P�IXQF LD� 55I →� �� ( ) ��� −++= [[I [[ ��� 6H�REVHUY �F �IXQF LD�I�HVWH�VWULFW�FUHVF WRDUH�FD�VXP �GH�IXQF LL�VWULFW�FUHVF WRDUH��

'HFL�I�HVWH�R�IXQF LH�LQMHFWLY ��'HRDUHFH� ( ) �� =I VH�REVHUY �F �HFXD LD�GLQ�HQXQ �VH�PDL�VFULH� ( ) ( )�I[I = ��5H]XOW � �=[ HVWH�VROX LD�HFXD LHL�GDWH���

� E��6 �REVHUY P�F �HFXD LD�GLQ�HQXQ �VH�PDL�VFULH� ( )( ) ������� =−++−− [[[[[ ��

'DF � ���� =−− [[ DWXQFL� UH]XOW � ��� += [[ � VDX� HFKLYDOHQW� ���

��

=

+

[[��

9RP� FRQVLGHUD� IXQF LD� 55J →� � ( )[[

[J

+

= �

��� �� )XQF LD� J� HVWH� VWULFW�

GHVFUHVF WRDUH� FD� VXP � GH� IXQF LL� VWULFW� GHVFUHVF WRDUH�� 'HFL� J� HVWH� LQMHFWLY � ��'HRDUHFH� ( ) �� =J � UH]XOW � F � HFXD LD� ��� += [[ � VH�PDL� VFULH� ( ) ( )�J[J = �� 'HFL�

�=[ �GHRDUHFH�J�HVWH�LQMHFWLY �� LQkQG�VHDPD�GH�SXQFWXO�D��UH]XOW � { }���=6 ��

Page 18: Arhimede 2006 2007 Et3 Bar 3-12.pdf

,,�� D�� 'HRDUHFH� ��� >+ DE � HFXD LD� ��� =−+ E[D[ � DUH� U G FLQLOH� UHDOH� �� [[ ≠ � úL�

NN [ED[ �

=+ �� ( )���=N ��( ) ( ) ( ) D[EI[DI[IEDD[EI[DIED[IED

NNNNNN +

+

+⇒+

+

≥++

��������� �� �⇒ �

� ��� �≤

N[ID � ⇒ ���

��=

=

[I[I � ⇒ � I�QX�HVWH� LQMHFWLY ��GHFL�SUREOHPD�

QX�DUH�VROX LL��� E��3UHVXSXQHP�F �WRDWH�QXPHUHOH� Q

QQQ &&& ���

�� �������� �VH�GLYLG�FX�����DWXQFL�GLQ��

� ��

��

��

��� ����� −+− == Q

QQQQ

QQ &&&& �úL�VXPD� �������

�� −=−== ∑

=

QQQ

N

NQ&6 �VH�GLYLGH�FX������

'DU�( ) =−+=−= − ������ ��

�NN

N6 PXOW��������=−⋅=+ ������

NN6 PXOW�������

=−⋅=+ �������N

N6 PXOW�������DGLF � �≡/Q6 �PRG�����

,,,�� D��)LH� �� =]\[ ∈ �R�VROX LH�vQ�QXPHUH�vQWUHJL�D�VLVWHPXOXL��'HRDUHFH�QXPHUHOH�\�úL� ��� \+ �VXQW�SULPH�vQWUH�HOH�UH]XOW �F �\�GLYLGH�SH�[��$QDORJ�J VLP� \] _ �úL� ][ _ ��� 'HFL� ][\][\ ≤≤≤ ������ ��'LQ�LQHJDOLW LOH�SUHFHGHQWH�UH]XOW � ]\[ == ��� 2EVHUY P�F �QXPHUHOH�[�\�]�DX�DFHODúL�VHPQ��5H]XOW �F � ]\[ == �� LQkQG�VHDPD�

GH�DFHVW�OXFUX�GLQ�SULPD�HFXD LH�D�VLVWHPXOXL�UH]XOW � ( ) ( )��� �� +=+ [[[[ �FHHD�FH�LPSOLF � { }�����−∈[ ��

� 'HFL�VLVWHPXO�DUH�vQ�PXO LPHD�QXPHUHORU�vQWUHJL���VROX LL� ( ) ( ) ( )������������������� −−− ��� E�� )LH� ( )]\[ �� � R� VROX LH� D� VLVWHPXOXL� FX� &]\[ ∈�� � FDUH� HVWH� GLIHULW � GH� FHOH� ��

VROX LL�GH�PDL�VXV���� 2EVHUY P� F � VLVWHPXO� VH�PDL� SRDWH� VFULH� DVWIHO� ��

��

++

= \\\[ � � � � � � � ��

��

++

= ]]]\ �������

���

��

++

= [[[] � ����

� LQkQG�FRQW�GH�����VLVWHPXO�VH�PDL�SRDWH�VFULH�VXE�IRUPD�

Page 19: Arhimede 2006 2007 Et3 Bar 3-12.pdf

��

��

��

−+

=−+

\\

[[ ��

��

��

−+

=−+

]]

\\ ��

��

��

−+

=−+

[[

]] �

� )LH� {} && →− ��ϕ �� ( ) ��

−+

= WWWϕ �� �≠W ��

� $WXQFL� VXQW� DGHY UDWH� XUPDWRDUHOH� HJDOLW L��� ( ) ( )�\[ ϕϕ = �� � ( )�]\ ϕϕ = ����( ) ( )�[] ϕϕ = �

� 5H]XOW � F � ( ) ( )[[ ϕϕ =�� � FHHD� FH� HVWH� HFKLYDOHQW� FX� ( ) ( )[ ] ���� =−[[ ϕϕ �� 'LQ�( ) �=[ϕ �RE LQHP��

� ���

=−+

[[ ��GHFL� �−=[ �VROX LH�RE LQXW �DQWHULRU��

� 'LQ� ( ) ��� =[ϕ �RE LQHP� ( ) K[ ωϕ = �XQGH�� ��

�VLQ���FRV ππω KLK

K += ��� �������������=K ��

� 'LQ� ( ) KK[ ωϕ = �UH]XOW � KK

K[[ ω=

−+�� ���GHFL� ��� πKFWJL[K −= �'LQ� ( ) �

KK] ωϕ = �RE LQHP�

���� πKFWJL] K −= �

������������'LQ� ( ) �KK\ ωϕ = �RE LQHP� ��

�� πKFWJL\K −= ��'HFL�VROX LLOH�VLVWHPXOXL�vQ�&�VXQW����

( ) ( ) ( ){ }

=

−−−∪−−−= �����������������������

���������������������������� KKFWJLKFWJLKFWJL6 πππ

��,9�� 6 �FRQVLGHU P���

NNN [[[

N[[[\

+++−+++= ���

���������

��� { }QN ��������∈ �

� $YHP�( )

=+++

+−−−−++++

+−++++=−

+++

NNNNNNNN [[[

N[[[[[[[

N[[[[\\ ���

������������������

��

�����

����

�� ( ) ( )( )

( )( ) �������������

����

����

�����

���

��

�≥

++++++++−

+=+++

+−

++++=

+

+

+++ NNN

NN

NNNNN [[[[[[[N[N

[[[[N

[[[N

[�� { }��������� −∈ QN ��������

� 6 � FRQVLGHU P� IXQF LD� ( ) 5I →∞��� � ( ) [[I �= � úL� V � QRW P� N

[[[ N++=

����� � úL�

�+= N[\ ����� { }������� −∈ QN �

Page 20: Arhimede 2006 2007 Et3 Bar 3-12.pdf

5HOD LD� ���� VH� PDL� VFULH� ( ) ( ) ( )\I[NIN\N[IN +≤

++

+ �� � FDUH� HVWH� DGHY UDW �GHRDUHFH�I�HVWH�FRQYH[ ��'HFL�DP�GHPRQVWUDW�F � Q\\\ ≤≤≤ ������ �5H]XOW � �

�����

��

������

������� \[[[[[[Q

[[[\QQ

Q =+

−+≥++

−+++= �

'HFL� ( )( )MLML

MLQMLQQ [[[[

[[[[

Q[[ +

−≥

++−++

≤≤

���

�PD[���

����� �

Page 21: Arhimede 2006 2007 Et3 Bar 3-12.pdf

6ROX LL��&ODVD�D�;,�D��,�� D��ÌQ�XUPD�GH]YROW ULL�� ( ) ( )]SD]D]D]$], =+++=+ ��

��

��GHW �

&DDD ∈��� �� ��9RP�DU WD�F � ���� === DDD ��)LH� ��� �� εεε U G FLQLOH�GH�RUGLQXO���DOH�OXL���úL� ��� �� ωωω �U G FLQLOH�GH�RUGLQXO���DOH�OXL�±���$WXQFL�

� ( ) ( ) ( ) ( )����� ���� DDSSS +=+=++ εεε �LDU�� ( ) ( ) ( ) ( )����� ���� DDSSS +−=+−=++ ωωω �� GH�XQGH�VH�RE LQH�� �� � ≤+ D �� �� � ≤+− D �� 'DF � FHO� SX LQ� XQD� GLQ� LQHJDOLW L� HVWH� VWULFW �� FRQIRUP� LQHJDOLW LL� PRGXOXOXL�RE LQHP��� ���� �� <+−++≤ DD �� GH�XQGH�UH]XOW �F ��� ��� �� =+−=+ DD �� 'DU� ( )��

��

�� ���� DDD +=++− �

� GH�XQGH�VH�RE LQH �� =D �VDX� �� =D �� $WXQFL�VH�REVHUY �F ��� &]]D]D] ∈∀≤++ ������

� �GH�XQGH�� �����������

��

� =∈∀≤++ ]FX&]D]D] �3URFHGkQG� DQDORJ� VH� UHGXFH� GLQ� QRX� JUDGXO� SROLQRPXOXL� RE LQkQGX�VH�

����������� =∈∀≤+ ]FX&]D] �úL�DSRL�VH�RE LQH� �� =D �ÌQ�FRQVHFLQ � ( ) �]]S = �E��&DOFXO P��

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

+++++++++

=

=

F]F\F[E]E\E[D]D\D[

]\[]\[

FFEEDD

$%VLQVLQVLQVLQVLQVLQVLQVLQVLQ

���VLQVLQVLQFRVFRVFRV

�FRVVLQ�FRVVLQ�FRVVLQ

�'H�DLFL�� ��GHWGHWGHW =⇒=⋅= G%$$% �$YHP�� ( ) ������

� ≥∀≤+ Q[[ QQ � VDX� ( )( ) ( ) �������� ≥∀≤+− ++ Q[[[[ QQQQ ��'H�DLFL� UH]XOW ��( ) ������� ≥∀≤−+ Q[[ QQ ��

Page 22: Arhimede 2006 2007 Et3 Bar 3-12.pdf

'HRDUHFH� úLUXO� ( ) �≥QQ[ � HVWH� GHVFUHVF WRU� úL�( ) ( ) ������ � ≥∀≥⇒≥∀≥+≥ + QD[QD[[[ QQQQ ��'HFL�úLUXO� ( ) �≥QQ[ �HVWH�FRQYHUJHQW��

,,�� 'DF � ( ) ( ) 5[[JI\ ∈∀+

=⇒= �������� �� � úL� WUHFkQG� OD� OLPLW � FkQG� ∞→[ � UH]XOW �

( ) �� =I ��� 'DF � �=[ UH]XOW � ( ) ( ) 5\����� ∈∀= \JI úL� FXP� ( ) �� =I � UH]XOW �

( ) 5\���� ∈∀=\J ��� $WXQFL����GHYLQH����� ( ) ( ) ( ) 5\�[��� ∈∀+=+ \I[I\[I ���

ÌQ����� ( ) ��� =⇒== I\[ �LDU�GDF � ( ) ( ) 5�[�� ∈∀−=−⇒−= [I[I[\ ��'H�DVHPHQHD�SULQ�LQGXF LH� ( ) ( ) 1Q5[[QIQ[I ∈∀∈∀= ������ ��)LH� DFXP� �>[ � úL� úLUXO� ( ) ∞→=≥ QQQQ \Q[\\ ��������� � úL� GLQ� ��� ( ) D\

\IQQ

Q∞→

→ �� 'DU�( ) ( ) ( )

[[I

Q[Q[I

\\IQ

Q == ���

3ULQ�XUPDUH� ( ) D[[I

= �úL�GHFL� ( ) ��[��� >∀= D[[I ��'DF � �<[ � DWXQFL� ( ) D[[I[ −=−⇒>− � � úL� FXP� I� HVWH� LPSDU � UH]XOW �

( ) ���� <∀= [D[[I ��&XP� ( ) �� =I UH]XOW �F � ( ) 5[D[[I ∈∀= ���� ��

,,,�� D��&RQFOX]LD�UH]XOW �LPHGLDW�GLQ�DSOLFDUHD�IRUPXOHL�OXL�/HLEQL]�� ( )( ) ( ) ( )LKL

K

L

LK

K JI&JI −

=∑=�

$ �� E��'DF � ( ) [WJ[I �= ��DWXQFL� ( ) ( ) �� � ≥+=′ [I[I ��

( ) ( ) ( ) �� ≥′=′′ [I[I[I �� 'LQ� HJDOLWDWHD�( )( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )( ) ( )( )[I[I&[I[I[I KQK

Q

K

KQ

QQ −−−

=−

− ∑=′= ��

��

� �� � úL� GLQ� SULQFLSLXO� LQGXF LHL�FRPSOHWH�UH]XOW �F �I�DUH�WRDWH�GHULYDWHOH�SR]LWLYH��'LQ�D��UH]XOW �F �úL�I��DUH�WRDWH�GHULYDWHOH�SR]LWLYH��

� F��9RP�DSOLFD�WHRUHPD�OXL�&DQFK\�IXQF LLORU�� ( ) ( )

[[I[I =� �� � ( ) [[I �

� = �� � [ ] 5II →����� �� �

� $YHP� ( )( ) ( ) ( ) ( )

[[[I[I[

[[[I[[I

[I ���

��

−′=

−′=′ �

Page 23: Arhimede 2006 2007 Et3 Bar 3-12.pdf

� � ( ) ( )( )

( ) ( ) [[[[[I[[I

[I[I

[[[I ���

��

��� ⋅

′−=

′⇒

−=′ �

� ([LVW � ( )���∈F � Dv� ( ) ( )( ) ( )

( )( )FIFI

IIII

��

��������

′′

=−− � ⇔ �

( ) ( )( ) ( )FIFFI

II′−=

− ���

�� �

���

� ⇔ �

( ) ( ) ( ) ( )FIFIFII −′=− ���� �,9�� 6 � SUHVXSXQHP� F � { }���∈Q � úL� Q2$% ≠ �� 'LQ� WHRUHPD� OXL� 6\OYHVWHU� UH]XOW �

�== UJ%UJ$ ��� 'HFL�H[LVW � ( )&Q0YX\[ ����� ×∈ �Dv�� 7[\$ = �úL� 7XY% = ��� 'LQ� Q2%$ == �� �UH]XOW � �== YX\[ 77 ��� $YHP� 7777

Q [\XYXY[\%$$%2 +=+= � GH� XQGH� SULQ� vQPXO LUH� OD� GUHDSWD� FX� Q�RE LQHP� �=X[\XY 77 ��� 'HRDUHFH� �≠X �UH]XOW � ( )( ) �=X\[Y 77 �� 'DF � �=[Y7 �DWXQFL� Q2%$ = �FHHD�FH�FRQWUD]LFH� Q2$% ≠ ��� 'DF � �=X\7 DWXQFL� Q2$% = �FHHD�FH�FRQWUD]LFH� Q2$% ≠ ��� 'HFL�$% %$ 2Q��� 3HQWUX�Q ��FRQVLGHU P��

=

����������������

�$ � �

−−−−−−

=

����������������

�% �

� $YHP� ���������

�� %$2$%%$%$ ≠=+== ��

� 'DF � �≥Q FRQVLGHU P�

=

−���

�Q

Q 2$$ �

=

−���

�Q

Q 2%% �

� $YHP� QQQQQQQQQ %$2$%%$%$ ≠=+== �� ��� 5H]XOW �F �DILUPD LD�GLQ�HQXQ �HVWH�DGHY UDW �GDF �úL�QXPDL�GDF � { }���∈Q ��

Page 24: Arhimede 2006 2007 Et3 Bar 3-12.pdf

6ROX LL��&ODVD�D�;,,�D��,�� D�� $YHP� ( ) ( )( ) ( ) ���

�ÖÖ�Ö��ÖÖÖ

��ÖÖ�Ö�ÖÖÖ

��ÖÖÖ

=

++⇔

++=

+ QQQQQQQQ � VDX�

( ) �Ö��Ö�Ö

��ÖÖÖ

=−

⋅+ QQQ ��

� 'HFL� ( ) �Ö��ÖÖÖ �

=−QQ �� $YHP� ( ) NQQQ ��� =− � =N ∈ �5H]XOW � ��+= 0Q � úL�

��+= 0Q �� E�� { }��Ö�������Ö��Ö��Ö=6 ��,,�� ��� 3RUQLQG� GH� OD� LQHJDOLWDWHD� FXQRVFXW � 5WWW

∈≤≤− ����FRV�� � � RE LQHP�LQHJDOLWDWHD�� WW

WWW

�FRV�

�≤≤− �vQ�FD]XO� �>W � � � � � � ����

� ,QWHJUkQG�LQHJDOLWDWHD�SUHFHGHQW �GH�OD� D[W = �OD� E[W = �FX�[!��RE LQHP��� D

EGWWW[DE

DE E[

D[OQFRV

�OQ ���≤≤

−− ∫ � � � � � � ����

� 7UHFkQG�OD�OLPLW �FkQG� �→[ �vQ������ � � � � �>[ � �� RE LQHP� ∫ =

>→

E[D[

[[ D

EGWWW OQFRVOLP

���

� ���)LH�)�R�SULPLWLY �D�IXQF LHL� ( ) ��FRV≠= WW

WWI ��� 8WLOL] P�WHRUHPD�OXL�O¶+RVSLWDO���

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

��FRVFRVOLP

�OLPOQ

OLPOQVLQVLQ

OLP��

������

ED\

D\E\\

D\)DE\)E\

DED\)E\)

[DE[D)[E)

\

\\[[

−=

−=

=′−′

=−−

=−−

→→>→ �

,,,�� D��6H�DSOLF �LQHJDOLWDWHD�&DXFK\�6FKZDU]��� &RQIRUP�FX�LQHJDOLWDWHD�&DXFK\�%XQLDNRYNL�6FKZDU]��DYHP���� ( ) ( )

���

���

⋅−≥⋅− ∫∫ G[JIG[JI λλ ��� ( )5∈∀λ �

� (IHFWXkQG�FDOFXOHOH��DYHP��

Page 25: Arhimede 2006 2007 Et3 Bar 3-12.pdf

�( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

⋅−

⋅+

≥⋅+⋅− ∫ ∫∫∫∫∫∫

��

��

���

����

��

����

��

� �� G[[JG[[IG[[JG[[IG[[JG[[J[IG[[I λλλλ

�� ⇔

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) �� ��

��

���

���

��

���

���

� ≥

−+−

⋅−⋅

− ∫ ∫ ∫∫∫∫ ∫ G[[JG[[IG[[J[IG[[JG[[IG[[JG[[J λλ

�� �DYHP�XQ�SROLQRP�GH�JUDGXO���vQ�λ �úL�FRHILFLHQWXO�OXL�D�HVWH�SR]LWLY�GLQ�&�%�6��� $YHP��

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

−−

=∆ ∫ ∫∫ ∫∫∫∫

��

���

���

���

���

���

�� �� G[[IG[[IG[[JG[[JG[[J[IG[[JG[[I

�� 9RP� RE LQH�

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ≤

+

∫∫∫∫∫∫

���

��

��

��

���

��� � G[[J[IG[[J[IG[[JG[[IG[[JG[[I

�� � ��������

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )��

���

��

����

��

����

��

���

⋅+

≤ ∫ ∫∫∫∫∫∫∫ G[[JG[[IG[[IG[[JG[[JG[[IG[[JG[[I

�� )RORVLQG�LSRWH]D�SUREOHPHL��LQHJDOLWDWHD�GH�PDL�VXV�VH�UHGXFH�OD��� ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ��

����

���

����

��

���

� ≥

∫∫∫∫∫∫ G[[IG[[JG[[JG[[IG[[JG[[I ��⇔ �

����� � ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+

∫∫∫∫∫∫

��

����

��

����

��

���

� G[[IG[[JG[[JG[[IG[[JG[[I �

'DF � ( )∫ ≠��

� �G[[I �úL� ( )∫ ≠��

� �G[[J ��$VWIHO��LQHJDOLWDWHD�����HVWH�HFKLYDOHQW �FX��

( )

( )

( )

( )��

��

���

��

��� ≤

+

∫∫

∫∫

G[[JG[[J

G[[IG[[I

� � ����

1RW P� FX�( )

( )∫∫

= ��

���

G[[IG[[I

$ � úL�( )

( )∫∫

= ��

���

G[[JG[[J

% �'HFL�� DP� RE LQXW� F � �≤+ %$

� ����$FXP��FRQFOX]LD�SUREOHPHL�VH�UH]XP �OD�D�GHPRQVWUD�F � �� ≤$% �,QWU�DGHY U��WRWXO�UH]XOW �GLQ� ( ) �� � ≤+≤ %$$% ��IRORVLQG������

Page 26: Arhimede 2006 2007 Et3 Bar 3-12.pdf

'DF � ( ) ���

� =∫ G[[I �VDX� ( ) ���

� =∫ G[[J UH]XOW �F �LQHJDOLWDWHD�����HVWH�DGHY UDW ��,9�� 3HQWUX� *D∈ �YRP�QRWD�FX� ( ) { }D[*[D5 Q

Q =∈= �� 6 �SUHVXSXQHP�SULQ�DEVXUG�F �H[LVW � Q+++ ������ �� �VXEJUXSXUL�SURSULL�DOH�JUXSXOXL�*�FX�SURSULHWDWHD�F ��� Q+++* ∪∪∪= ������ �úL��

Q

LNN

N *+≠=

≠�

� )LH� ( )Q+++D ∪∪∈ ���? �� �ùL� �� ? ++E∈ ��$YHP� ( ) ( )QN ++++D5 ∪∪⊆ ���? ��� ����( ) �≥∀ N ��������������ÌQWU�DGHY U�vQ�FD]�FRQWUDU�H[LVW � �≥N �úL�H[LVW � ( ) ( )QN +++D5[ ∪∪∪∩∈ ����� �� 'HFL�H[LVW � { }QM ��������∈ �DVWIHO�vQFkW� M+[∈ �úL� M

N +[D ∈= �)$/6�� )LH� ( )��+= QP ����� ( )D5\ P∈ �úL� E\[ M

M = �SHQWUX�RULFH� { }Q\ ��������∈ �� (YLGHQW� ( )��? ++*E\[ M

M ∪∈= �GHRDUHFH� �� ? ++\ M ∈ �úL� �� ? ++E∈ ��� 'HFL� Q

M ++E\ ∪∪∈ ���� �� 'DF � H[LVW � { } ML����������� >∈ QML � úL� { }QN �����∈ � DX� NML +[[ ∈� � DWXQFL�

NML

ML +\[[ ∈= −−� ��� 'HRDUHFH� ( ) N

SML +\D ∈= − �FX� ( )ML

QS−+

=�� �UH]XOW �FRQWUDGLF LH��

� 'HFL�*�QX�VH�SRDWH�VFULH�FD�R�UHXQLXQH�ILQLW �GH�VXEJUXSXUL�SURSULL���