Concursul Revistei "Arhimede"Ediţia I, Bucureşti, 13.12.2003

 Clasa a V-a

I. 1) Puneţi paranteze în expresia E = 6·18+24:6+2 astfel încât rezultatul să fie un număr natural cât mai mic.2) Calculaţi: 20023–20022·2001–2002·2000–1999.II. Dacă împărţim un număr natural la 72 obţinem restul 68. Care este restul împărţirii acelui număr la 24?III. Determinaţi ultimele opt cifre ale numărului: A = 1·2·3·4·...·34·35.IV. Calculaţi suma cifrelor numărului: B = 42002·54007+280.  

Clasa a VI-aI. 1) Determinaţi numărul nN din egalitatea:

= 512.

2) Dacă x, y, z sunt cifre nenule în baza 10, determinaţi numărul A = , ştiind că A se divide cu 17.

II. Se consideră mulţimea M = {1; 2; 3; ...; 2002; 2003}. 1) Comparaţi suma elementelor pare din mulţimea M cu suma elementelor impare din mulţimea M. 2) Se poate elimina un element din mulţimea M astfel încât suma elementelor pare rămase să fie egală cu suma elementelor impare rămase?III. Pe o dreaptă d se iau punctele A, B, C,D astfel încât AB = a, BD = c, AC = b, BC = a+b, CD = a+b–c. Stabiliţi ordinea punctelor A, B, C, D pe dreapta d. IV. Aveţi la dispoziţie unghiuri cu măsura de 17. Descrieţi un procedeu de a pune în evidenţă un unghi cu măsura de 3. 

Clasa a VII-a

I. Dacă aQ şi bQ astfel încât , calculaţi valoarea

raportului .

II. Fie a1, a2, a3, ..., a9 o scriere a numerelor naturale 1, 2, 3, ..., 9 într-o altă ordine. Arătaţi că numărul A = (a1–1)·(a2–1)·(a3–1)·...·(a9–1) este par.III. Fie M un punct în interiorul paralelogramului ABCD. Arătaţi că se poate construi un patrulater convex xu aria egală cu jumătate din cea a paralelogramului ABCD şi ale cărui laturi au lungimile respectiv egale cu cele ale segmentelor MA, MB, MC, MD.

 IV. 1) Arătaţi că, într-un triunghi, mediana corespunzătoare oricărei laturi este mai mică decât semisuma lungimilor celorlalte două laturi.2) În ABC, (AD este bisectoarea unghiului A (D(BC)). Paralela prin B la AD intersectează dreapta AC în E. Fie AM perpendiculară pe EB (MEB). Arătaţi că: MC ≤ 1/2·PABC (PABC este perimetrul triunghiului ABC).  

Clasa a VIII-aI. Fie aR\Q şi bR\Q astfel încât a+bQ. Arătaţi că a·x+b·yR\Q, xQ şi yQ, x¹y.II. 1) Arătaţi că, dacă a,b,cR, atunci a2+b2+b2 ³ a·b+b·c+c·a. 2) Dacă x,y,zR+ astfel încât x2+y2+z2 = 2, determinaţi cea mai mică valoare a

expresiei .

III. Cubul ABCDA'B'C'D' are muchia de lungime a. Punctul M[A'B']

astfel încât distanţa de la C' la dreapta MB este egală cu .

IV. ABCD este un tetraedru în care AB^BD şi AC^CD. E şi F sunt mijloacele muchiilor [AD] şi respectiv [BC]. Arătaţi că, dacă EF^(BCD), atunci BD^CD. 

Clasa a IX-aI. Fie a,b,cR. Justificaţi inegalităţile: 1) a3+b3+b3 ³ 3a·b·c dacă a+b+c ³ 0; 2) (a2–b·c)3+(b2–a·c)3+(c2–a·b)3 ³ 3(a2–b·c)(b2–a·c)(c2–a·b); 3) a4+b4+b4

³ a·b·c·(a+b+c).

II. Dacă x1,x2,x3,x4R+, atunci: ≥

. (Sorin Rădulescu, Marius

Rădulescu) III. Aflaţi valorile lui mR\1, astfel încât ecuaţia (m+1)·x2+x+m–1 = 0 să admită cel puţin o rădăcină întreagă. (Ana-Maria Petriceanu) IV. În ABC, fie w centrul cercului lui Euler şi . Să se calculeze în

funcţie de următoarele sume: 1) + + ; 2) + + ; 3)

+ + . (Revista Arhimede, nr. 1/2000)  

Clasa a X-a

I. Fie zk = (2·k+1)2 +2·i, kN*. Calculaţi: , nN* (argz[0,2p)

este argumentul numărului complex z). (Costel Chiteş, D. Petriceanu)

II. Fie f,g:R®R, f(x) = 2x+ , g(x) = 4x+2 +

. Să se demonstreze că funcţiile f şi g sunt bijective.

(Sorin Rădulescu)III. Fie z1, z2 două numere complexe. Să se demonstreze că:

≥ ( )2. (Sorin Rădulescu, Marius

Rădulescu) 

IV. Determinaţi x,yR, ştiind că: = 4. (Dan Nedeianu)

Clasa a XI-aI. Fie A, B, CM2(ℝ). Atunci următoarele afirmaţii sunt adevărate:1°. Dacă A2 = O2, atunci tr(ACA) = 0.2°. Dacă C3 = O2, atunci C2 = O2.3°. Dacă A2 = B2 = AB = O2, atunci BA = O2. Am notat cu trA urma matricii A, adică suma elementelor de pe diagonala principală a matricii A. (Sorin Rădulescu şi Petruş Alexandrescu)II. Fie xo(0,1) şi (xn)n³0 un şir de numere reale care satisfac următoarea relaţie de recurenţă: xn+1 = xn–xn

2+xn3–xn

4+xn5–xn

6, n ³ 0. Atunci următoarele

relaţii sunt adevărate: 1°. xn(0,1), n ³ 0. 2°. = 1. (Marius

Rădulescu, Costel Chiteş)III. Să se rezolve în mulţimea numerelor complexe sistemul format din ecuaţiile: x1+x2+x3+x4 = 0; x1

2+x22+x3

2+x42 = 0; x1

3+x23+x3

3+x43 = 0;

x14+x2

4+x34+x4

4 = 0. (Radu Niculescu)IV. a) Să se demonstreze că există o infinitate de numere naturale k care

verifică inegalitatea |sink| < . b) Fie xn = . Să se arate că şirul

(xn)nℕ* nu este monoton, dar există . (Daniel Petriceanu)

Clasa a XII-aI. Să se calculeze următoarele integrale:

a) , x ; b) , x[–1,).

II. Fie :[0,2p]®ℝ, (x) = arcsin|sinx|. Să se determine primitivele funcţiei .III. Fie (G,) un grup. Pentru orice aG definim a:G®G, a(x) = axa–1. Să se arate că a este morfism bijectiv (automorfism al grupului G). Să se arate că {a|aG} formează grup în raport cu operaţia de compunere a morfismelor. Să se deducă din cele de mai sus că orice grup care are un singur automorfism este comutativ.IV. Fie aℝ şi :ℝ®ℝ o funcţie derivabilă cu derivata continuă. Dacă F este o primitivă a funcţiei astfel încât (F) = aF, să se demonstreze că F nu poate fi bijectivă. (Sorin Rădulescu)