UNIVERZITET U BEOGRADUMATEMATIČKI FAKULTET

A R H I M E D

SEMINARSKI RADMETODIKA NASTAVE MATEMATIKE II

PROFESOR STUDENT: Prof. dr Zoran Lučić Alija Zeković br. indeksa: 44506

April, 2008.god.

Seminarski rad Arhimed

Sadržaj:

1. Starogrčka matematika

2. Arhimed, život i delo

3. Problemi starogrčke matematike

4. Arhimedovi pronalasci

5. Arhimed kao matematičar:

O površini i kvadraturi krugaArhimedov broj

6. Zaključak

7. Literatura

2

2

Seminarski rad Arhimed

I STAROGRČKA MATEMATIKA

Vrlo se često tvrdi da je i najstarija grčka nauka samonikla i da nema veze s vavilonskom i egipatskom civilizacijom. Međutim, između rane grčke nauke i prvih civilizacija postoji jasna veza. Mnogi starogrčki tekstovi spominju putovanja grčkih znanstvenika i filozofa, posebno Talesa i Pitagore, u te zemlje, ističući da su ti znanstvenici tamo upoznali pojedina matematička znanja. Nisu Grci ponovno otkrili ona znanja koja su već bila poznata u Babilonu i Egiptu, oni su to znanje preuzeli i interpretirali ih na nov način. Do Grka matematika je bila pretežno „empirijska“ znanost. Stari

su Grci bili prvi koji su sebi, svesni toga što time čine, postavili zadatak da sva prijašnja i sva nova matematička znanja skupe i povežu u skladan i celovit sistem unutar kojeg će svaki teorem i svaka „formula“ biti dokazani. Prešlo se u matematici na apstraktna razmišljanja i dokaze.

U ovoj celini osvrnu}emo se na matematiku starih grka, na neke od najpoznatijih starogrčkih matematičara, njihova dostignuća i dela.

Među prvim starogrčkim matematičarima o kojima nešto znamo bio je Tales (rođen 624. godine prije n. e.) s otoka Mileta. Pošao je na studije matematike u Egipat gde je upoznao egipatsku matematiku, on ju je dogradio, prešao na apstraktno mišljenje i dokaz. Jednom su egipatski sveštenici zapitali Talesa bi li mogao odrediti visinu velike piramide. Tales je odgovorio da će pričekati dok Sunce na nebu ne zauzme takav položaj da njegova, Talesova, visina bude jednaka du`ini njegove senke, tada će visina piramide biti jednaka dužini senke piramide koju nije teško neposredno izmeriti. No, rekao je dalje, ako ne želim čekati taj trenutak, mogu visinu odrediti i nešto drugačije sada odmah: odnos moje visine i dužine moje senke ovaj je čas isti kao i odnos visine piramide i njene senke. Ako dakle izmerim svoju visinu i dužinu senka mene samog i piramide, odatle ću lako izračunati visinu piramide.          

I danas se po Talesu zove teorema koja kaže da je svaki ugao nad promerom kružnice s vrhom na kružnici uvek prav ugao.

Pitagora (582-496. p.n.e, grčki:Πυθαγόρας), bio je matematičar i filozof, najbolje poznat po Pitagorinoj teoremi. Poznat kao otac brojeva, on je bio uticajan u grčkoj filozofiji i religijskom učenju u kasnom 6.veku pre nove ere. Pošto legende

3

3

Seminarski rad Arhimedzamagljuju njegova učenja, čak i više nego što je to bio slučaj sa drugim pre-Sokratovcima, zna se malo sa sigurnošću o njegovom životu i učenju. Pitagora i njegovi studenti su verovali da je sve povezano sa matematikom, i verovali su da se sve može predvideti i izmeriti u ritmičkim ciklusima.

Pitagora ima reputaciju da je učio o reinkarnaciji. Njegova ostala učenja su bila u obliku simbola, pitanje-odgovor. Neka od ovih učenja su bila u jednostavnoj formi: "Šta je najmudrije?" "Broj"; "Šta je najistinitije?" Ve|ina ljudi su zli". Neka su bila više tajnovita: "Šta je proročište Delfi?" "Mesto gde sirene pevaju." Drugi simboli su se odnosili na seksualne, verske i druge tabue, uključujući i to kako zapaliti vatru i kako ostaviti cipele pre spavanja. Ideja da je Pitagora zabranio svojim učenicima da jedu grah je bila deo debate sadašnjih autora, koji misle da fraza, "Suzdržite se od graha" (kyamon apechete), odnosi se na meru praktične opreznosti, a ne na dijetu. Grah, crni i beli, su bili, prema ovom objašnjenju, načini glasanja u Magna Graciji (južnoistočna Italija), pa "Suzdržite se od graha" bi značilo, "Zaobilazite politiku".

Današnji prikazi Pitagore su različiti: njega portretiraju kao prizemljenog političkog reformatora, jednog od prvih naučnika ili kao šamansku figuru. Istina verovatno leži negde u sredini.

Euklid je najznamenitiji geometar svih vremena - i to nipošto ne bez razloga: hiljadama godina, ljudi koji su želeli da vide geometriju najpre su gledali kroz njegov prozor. Danas se on smatra junakom prve velike revolucije u poimanju prostora - začetnikom apstrakcije i dokaza.Pojam prostora proistekao je, sasvim prirodno, iz pojma mesta, našeg mesta, zemlje. Nikao je iz razvoja onoga što su Egipćani i Vavilonjani nazivali "merenje zemlje". Grčka reč za to jeste geometrija, ali ovo uopšte nisu iste stvari. Grci su prvi shvatili da se priroda može shvatiti primenom matematike - da geometrija može da posluži za otkrivanje, ne samo opisivanje. Razvijajući geometriju iz jednostavnih opisa kamena i peska, Grci su došli do ideala tačke, prave i ravni. Uklonivši s materije ono što je nebitno, otkrili su sklop koji se odlikovao lepotom ranije neviđenom u civilizaciji. Na vrhuncu ovih nastojanja da se zasnuje matematika stoji Euklid. Priča o Euklidu priča je o revoluciji. To je priča o aksiomu, teoremi, dokazu, priča o rođenju samog razuma.

Euklid je napisao brojna dela, od kojih neka nisu sačuvana i poznata su samo po naslovu. Sačuvana su dela: „Elementi“, „Data“, „Optika“ i dr. Negevo najčuvenije delo su "Elementi", koje je uticalo na zapadno akademsko mišljenje. Smatra se da su nastali oko 325-te godine pre n.e. dok je Euklid još živeo u Atini.

4

4

Seminarski rad Arhimed

II ARHIMED

Arhimed iz Sirakuze, navodno jedan od trojice najgenijalnijih matematičara svih vremena, bio je vrhunac helenske matematike i najveći fizičar starog veka. Rodio se 287. godine pre nove ere. Njegov je otac bio Fidija, astronom i matematičar, jedan od onih profesionalaca koji su bili bliži astrologiji nego matematici dok ga filozofija uopšte nije zanimala. U vreme Arhimedova rođenja Fidija je bio relativno siromašan građanin, kakvih je u Sirakuzi bilo mnogo. Međutim njegovo siromaštvo nije bilo dugog veka jer je uskoro njihov rođak Hijeron zavladao gradom. Fidija je svog sina naučio

svemu što je sam znao.

Fidija se izgleda rukovodio načelom: sinu treba dati znanje u ruke i neka on s njim čini što mu volja. Arhimed je brzo usvojio očeva znanja koja su za njega bila tek početak naukovanja. Njegov duh tražio je još znanja i učenja, a to mu niko nije mogao pružiti u Sirakuzi. Stoga je otišao u Aleksandriju (današnji Egipat) gdje su moćni Ptolomejevići osnovali čuvenu Aleksandrijsku biblioteku. U to vreme Aleksandrija je bila središte prirodnih znanosti, što je tada obuhvatalo astronomiju, matematiku, medicinu i filologiju. Arhimed u Aleksandriji nije postao ono što je mogao i što su najčešće postajali daroviti matematičari, pesnici i medicinari - dvorski čovek koji će kroz svoja dela veličati vladajuću kuću. Njega je pre svega i jedino zanimala matematika.

U Aleksandrijskoj biblioteci gde se njegovala filozofska svestranost i na najbezočniji način laskalo vladaru Ptolomeju i njegovoj supruzi Euergeti, radilo je mnogo mladih i sposobnih matematičara. Najsvestraniji je bio sjajni Eratosten, budući Arhimedov prijatelj. Nepisano pravilo je nalagao da svako otkriće pre objavljivanja mora biti poslano nekom drugom matematičaru na proveru. Tako su vršnjaci Arhimed i Eratosten sve do Arhimedove smrti izmenjivali brojna pisma u kojima su se nalazila gotovo sva otkrića i jednog i drugog. Vrativši se u Sirakuzu, Arhimed se u početku bavio astronomijom veoma ambiciozno, želeći odjednom sve. Sirakuza nije dugo mogla uživati svoju slobodu te se stoga Arhimed spremao za obranu svoga grada kako je znao i umio. Gradio je do tada neviđene mašine trošeći na tom poslu svoju veliku darovitost.

Koncentracija genija bila je tako velika kod Arhimeda da on u pojedinim trenucima ne vidi ništa drugo sem problema kojem se posveti. Stoga on zaboravlja na jelo i prilike u kojima je - crta po nauljenom telu, po pepelu vatre gradskog kupatila. Čini se danas sasvim nevažnom ona čuvena izreka: Heureka! Heureka! i trk iz gradskog kupatila kako bi se ideja primenila dok je još vruća. Skoro za tadašnju celu Sirakuzu Arhimed je bio lud, a on će sve

5

5

Seminarski rad Arhimedte ljude koji su ga okruživali obraniti od Rimljana i tako im sačuvati živote. Iako je bio i vrstan polemičar, vičan sarkazmu bio je i samokritičan. Nije propuštao ukazati na svoje greške i tako se izdizao iznad onih koji su ga oštro kritikovali. Arhimed se bavio običnim, praktičnim problemima, koji su bili primenjivani na mnogim mestima, od polja do rudnika, za razliku od nekih njegovih kolega. Najveću slavu stekao je svojim raspravama o zarobljenim geometrijskim telima, čiju je površinu i zapreminu izračunavao složenom metodom bliskom današnjem infinitezimalnom računu. Takođe je pronašao zakone poluge, položio osnove hidrostatici i odredio približnu vrednost broja Pi (3,14). Pored toga izumeo je tzv. Arhimedov vijak za podizanje velikih količina vode na veću visinu. Pronašao je i tzv. Arhimedov zakon, što mu je omogućilo da (uz poklik Heureka!) otkrije primene neplemenitih metala u kruni kralja Hijerona mereći je u vodi i izvan vode u poredbi s čistim zlatom i čistim srebrom.

Živeći u isto vreme kada i veliki matematičar Apolonije iz Perge, poznat po svojim radovima iz područja konusnih preseka, Arhimed se koristio svakom prigodom kako bi pecnuo svog savremenika kojeg nije trpeo. Netrpeljivost je, uostalom, bila obostrana. Parodirajući naslov Arhimedovog spisa Merenja kruga i dostignuća u njemu Apolonije je objavio djelo s naslovom Sredstvo za ubrzavanje porođaja. Arhimed mu nije ostao dužan nego je u jednom zadatku koji je uputio Eratostenu, napisanom savršenim epskim jezikom, apostrofirao Apolonija. Problem koji je postavio Arhimed - vezan uz broj bikova na ispaši, zaista je za ondašnje doba bio gotovo nerešiv jer upućuje na ogromne brojeve. Arhimed piše:

Koliko u Sunca krava i bikova ima, izračunaj stranče, Napregnuvši um, ako ti je zaista svojstvena mudrost.

...... Ako izračunaš koliko je tamo svega bilo stoke, Koliko je na livadama paslo mesnatih bikova, Koliko krava muzara i koliko od svake boje,

Nitko te više neće nazvati neznalicom, Ali i u mudrace te neće ubrojiti,

Ako uz to ne izračunaš i različite navike bikova: Ako se pomešaju crni bikovi s belim stadom,

Oni će u polju zauzeti pravi kvadrat Širine jednake dužini, i ova bezbrojna masa

Popuniće čitavo polje Trinakije. Ako se pak pokupe zajedno svi mrki i šareni

(A ostali će zasebno pasti, Ili je isto ako im dođu i svi ostali),

Tako da u prednjem redu stane jedan, a zatim U svakom daljem redu sve više, imaće figura,

Koju svi oni popunjuju, tri strane: Umeš li sve to naći i duhovnim pogledom Obuhvatiti veličinu stada i drugima preneti,

Gordo koračaj napred, kiteći se velikom pobedom: Znaj da si, prevazivši druge, po mudrosti prvi ti.

6

6

Seminarski rad ArhimedNaravno, problem je složen, i izražen u saremenim oznakama izgleda: t2 - 4.729.494 u2 = 1, a rešenje daje broj od 206.545 decimala, za čije bi zapisivanje bilo potrebno 60 stranica petita.

Arhimedova smrt, za vreme opsade Sirakuze, poznata je u okvirima koji su do nas stigli zahvaljujući Plutarhovom životopisu vojskovođe Marcela. Međutim izgleda da Plutarh stvari doteruje kada kaže da se Marcel ljutio i bio ogorčen na vojnika koji je ubio Arhimeda. Ali onu poznatu rečenicu koja se pripisuje Arhimedu: Noli turbare circulos meos (Ne diraj moje krugove) nije ostavio Plutarh nego istoričar Valerije Maksim. On je napisao: Smatrajući kako ove reči vređaju moć pobednika vojnik mu je odsekao glavu i Arhimedova krv poprskala je njegov znanstveni rad. Teško je poverovati da se Arhimed mogao

razumeti s Rimljaninom jer je on govorio grčki, a vojnik latinski. Pored toga Rimljani su zverski kažnjavali pobeđene, a naročito je Marcel u tome bio svirep. On je čak naređivao da se pobiju žene i deca kada bi neki grad "verolomno" narušio ugovor koji je imao s Rimom.

Sirakužani nisu smeli održavati grob svog velikog mislioca. Njega je jedva pronašao Ciceron i to zahvaljujući crtežu lopte i valjka koji se nalazio na spomeniku iznad nekoliko stihova urezanih velikom matematičaru u spomen. Odmah sam rekao predstavnicima Sirakuze koji su me pratili da je pred nama bez sumnje Arhimedov nadgrobni spomenik. I zaista, čim su pozvali ljude da iseku korov i da nam prokrče put i čim smo približili ovom stubu, videli smo u njegovom podnožju natpis. Deo uklesanih stihova mogao se još pročitati, sve ostalo je satrlo vreme. I tako, jedan od najslavnijih gradova Grčke, koji je nekada dao svetu toliko velikana, nije više znao

čak ni gde se nalazi grobnica najgenijalnijeg njegovog građanina se dok se nije pojavio čovek iz malog grada Arpina, da bi im pokazao taj grob!

No, Arhimedovu slavu nosili su dalje Arapi, Išak Ibn Hunan, prevodilac Arhimedova remek-djela O lopti i valjku, Tabit Ibn Kurah, prevodilac spisa Mjerenje kruga, zatim Almohtaso abil Hasan, al-Jalil as Sijzi, al-Kuhi, al-Mahani, al-Biruni, a naročito Omer Hajjam, pozati pjesnik Rubaija, te najveći arapski matematičar Muhamed Ben-Musa al-Horezmi. Za to vreme, Evropa šest vekova spava svoj srednjovekovni san.

Obim i važnost naučnog rada Arhimeda ćemo najbolje razumeti iz kratkog pregleda sačuvanih spisa; kojem treba dodati samo to da su njegova najveća dela u geometriji, gde je razvio metodu Eudoksa i sasvim sledio Euklida u čistoj geometrijskoj formi, do nekoliko slučajeva integracije, kako se to izlaže u uvodu savremenih udžbenika integralnog računa. Ta primedba stoji uz otkriće površine dela parabole (mehaničko rešenje) i za spiralu, površinu i zapreminu lopte i njenog odsečka i za zapremine bilo kojeg segmenta punog tela nastalog obrtanjem drugog stepena.

7

7

Seminarski rad ArhimedArhimed se najviše ponosio, od svih svojih rezultata, izracunavanjem površine valjka i lopte.

Slede postojeće rasprave:

1. O lopti i valjku je traktat u dve knjige, posvećen Dositeju, koji se bavi dimenzijama lopte, kupe, "čvrstog romba" i valjka, sve na strogo geometrijski način.

2. Merenje kruga je knjižica o tri predloga, glavni rezultat je postignut u predlogu 2, koji pokazuje da je obim kruga manji od 3+1/7 a veći od 3+10/71 njegova prečnika.

3. O konoidama i sferoidama je rasprava u 32 predloga, o čvrstim telima nastalim obrtanjem konusnih preseka oko njihovih osa, a glavni rezultat je odnos zapremina proizvoljnog (ravnog) odsečka i iste kupe.

4. O spiralama je knjiga sa 28 predloga. Predlozi 1-11 su preliminarni, 13-20 sadrže osobine tangenti krive poznate kao Arhimedova spirala i 21-28 daju izraz za površinu između proizvoljnog dela krive i radijus vektora do njenog kraka.

5. O ravnoteži u ravni ili gravitacionom centru ravnoteže ravnina se sastoji od dve knjige i može se nazvati osnovom teorijske mehanike, jer je prethodni doprinos Aristotela, u odnosu na ovaj, nejasan i nenaučan. U prvoj knjizi ima 15 predloga, sa 7 postulata; sa demonstracijama, od kojih su mnogi još uvek upotrebljivi, o težištima: (1) bilo koja dva tela; (2) proizvoljnog paralelograma; (3) proizvoljnog trougla; (4) proizvoljnog trapeza. Druga knjiga je u 19 predloga posvećena nalaženju gravitacionih centara: (1) odsečka parabole; (2) površi između dve paralele a unutar dela krive.

6. Kvadratura parabole je knjiga sa 24 predloga, sa dva dokaza da je površina proizvoljnog segmenta parabole jednaka 4/3 trougla koji ima istu osnovu i jednaku visinu kao dati segment.

Prvo izdanje Arhimedovih dela sa komentarima Eutokiusa je štampao Hervagius u Bazelu (1544.) na grčkom i latinskom jeziku. Jednu latinsku verziju je publikovao Isak

Barov 1675. Najbolje grčko izdanje je ostalo Torelijevo (1792.), sve do definitivnog objavljivanja teksta sa Eutokiusovim komentarima, latinski prevod, itd., od strane Heiberga (1800-81; 2. izdanje, 1910-15.) koje ga je zamenilo. T. L. Hit je objavio Arhimedove radove sa savremenom notacijom, sa uvodom, itd. (1897.) i takođe, kao dodatak, nedavno otkriven Metod (1912.). Savremeni prevode je dao F. Pedžard na francuskom (1808.); E. Nize, sa napomenama, na nemačkom (1824.); P ver Eke, Les Oeuvres Complètes (1921); A. Czwalina-Allenstein, Kugel und Zylinder (1922), Über Paraboloide, Hyperboloide und Ellipsoide (1923), Über Schwimmende Körper und die Sandzahl (1925).

8

8

Seminarski rad Arhimed

III PROBLEMI STAROGRČKE MATEMATIKE

Ovde je odabran relativno uski krug ideja, osoba i ostvarenja starogrčke matematike jer ona je toliko bogatija, svestranija, dublja i šira od svega što je prije toga u tom području ljudskog umovanja stvoreno negde drugde.

Treba spomenuti tri glasovita problema starogrčke matematike:

1. duplikacija kocke ( konstruirati kocku čiji je obim jednak dvostrukom obimu zadane kocke)

2. kvadratura kruga ( konstruirati kvadrat koji ima istu površinu kao i dati krug).

Problem kvadrature kruga bio je nedostatak nekog ortodoksnog pravila za konstrukciju pomo}u lenjira i šestara strane (s) kvadrata čija je površina tačno jednaka

9

9

Seminarski rad Arhimed

površini kruga. Ovde problem implicira s =r odakle je odnos s :r iracionalan broj .

Neka je OP radijus vektor tačke P i neka je T presečna tačka tangente spirale tački P i normale na OP u tački O. Tada je OP polarna subtangenta.

Ako je radijus vektor tačke P važi:

.

(Arhimed ovo dokazuje u knjizi O spiralama).

Ako je P na n-toj rotaciji spirale, prava OP opisuje ugao 2(n-1)+.Stoga je:

i .

Ako je p obim kruga poluprečnika OP (=), i ako krug seče inicijalnu liniju (nju Arhimed definiše kao polupravu kojoj pripada radijus vektor na početku rotacije) u tački K važi:

, mereno od K ka P. (arc – luk) U slučaju P kraj n-te rotacije to se svodi na:

OT = n(obim kruga poluprečnika OP), a u slučaju kada je P kraj prve rotacije:

OT = (obim kruga poluprečnika OP).

Sada pomoću spirale mogu}e je ‘ispraviti’ svaki krug. Kvadratura sledi direktno iz prvog stava knjige Merenje kruga koji glasi:

“površina kruga jednaka je povr{ini pravouglog trougla kod koga je jedna kateta jednaka poluprečniku, a druga obimu kruga”.

trisekcija ugla ( naći konstrukciju kojom se može svaki ugao razdeliti na 3 skladna

dela, odnosno trisecirati ga).

10

10

Seminarski rad Arhimed

Neka je AB bilo koja tetiva kruga sa centrom O. Produžimo AB tako da se duž BC bude jednaka poluprečniku kruga. CO seče krug u tačkama D i E. Tada je ugao AOE jednak trostrukom uglu BOD.

Neka je EF paralelna tetiva AB.Kako je BO = BC sledi:

.Sada:

.Sledi: ,odakle: .

Pogledajmo sada ukratko još jedno re{enje istog problema, koje se po svemu sudeći mo`e pripisati Arhimedu, pomoću spirale. Arhimed vrši trisekciju tako što konstruiše spiralu preko ugla i nalazi presečne tačke spirale i drugog kraka zadatog ugla. Potom nalazi trećinu te duži i opisuje luk tog poluprečnika (tj. R/3). U preseku sa spiralom dobija novu tačku, koju spoji sa temenom ugla i na taj način vrši trisekciju.

11

11

Seminarski rad Arhimed

IV ARHIMEDOVI PRONALASCI

Ključni doprinos razvoju antičke tehnologije dao je Arhimed iz Sirakuze (oko 290-212 p.n.e), grčki fizičar, matematičar, filozof i izumitelj, naučnik neverovatno plodan ne samo za svoje doba, a može se reći i genijalan gotovo kao Ajnštajn. Tri veka posle Talesa iz Mileta, kao i potonjih jonskih fizičara i pitagorejaca koji su već bili značajno razvili astronomiju i matematiku, Arhimed je zatečenu baštinu dopunio opusom koji je ogroman i raznorodan, i to samo po onom što je sačuvano do danas.

Arhimedov zavrtanj je mašina za podizanje vode za koju se smatra da je otkrio Arhimed da bi uklanjao vodu iz skladišta velikog broda sagrađenog za Kralja Hiera Drugog iz Sirakuze.

Sastoji se od, za vodu tesnih cilindara koji formiraju spiralu, otvorenog nižeg dela spuštenog ispod vode. Mehaničkim okretanjem se voda podiže.

Drugi oblici imaju zavojnicu koja se slobodno obrće oko ose cilindra. Isti princip je ponekad korišten za rukovanje pšenicom, itd.

 

Arhimed iz Sirakuze, skulptura u Nacionalnom muzeju, Napulj

12

12

Seminarski rad ArhimedArhimedova spirala, je transcendentna krivulja.Ona nastaje,kad tačka,polazeći iz odredišta,jednoliko obilazi odredište i jednoliko se udaljuje od njega.Udaljenost svake tačke Arhimedove spirale od odredišta proporcionalna je sa uglom zaokreta.

Nažalost, nije sačuvan nijedan spis o Arhimedovim praktičnim izumima i mašinama. Prema Plutarhu, Arhimed nije pisao o svojim praktičnih izumima. Ipak, legende o Arhimedu donekle svedoče da je zaista stvarao praktične mehanizme. Arhimedu se pripisuje izum pumpe koja, nalik na svrdlo, pod nagibom izvlači vodu. Navodno je istraživao upotrebu poluge i zupčanika za prenos i pojačavanje sila, a njemu se pripisuje i rečenica “Dajte mi polugu, pomeriću zemlju”.

Prema legendi, Arhimed je konstruisao i nekoliko ratnih mašina za odbranu Sirakuze od Rimljana. Koristio je sistem velikih sočiva kako bi zapalio galije na moru, a konstruisao je katapulte, velike praćke i bacače vrelog ulja. Navodno je konstruisao i dva mala mehanička planetarijuma koja su Rimljani otkrili posle osvajanja Sirakuze 212. godine pre nove ere. Rimski general Markus Kaludijus Marcelus doneo je u Rim dve sfere, jedna je bila zvezdana mapa, a druga mehanički uređaj koji je prikazivao kretanja Sunca, Meseca i planeta. Vrlo je moguće da ih je načinio Arhimed jer je on bio i astronom, njegova osmatranja ravnodnevnice koristio je slavni astronom Hiparh iz Nikeje (190-120 p.n.e), a Arhimedov prijatelj, Konon sa Samosa napravio je u Aleksandriji parapegmu, metereološki kalendar u kome su prikazani izlasci i zalasci sunca.

Arhimed lično nije pridavao značaj genijalnim mehaničkim napravama koje su ga učinile slavnim, držeći to nedostojnim čiste nauke i čak odbijajući da ostavi pisani trag o njima, osim u slučaju sphairopoiia ("pravljenja lopte"). Međutim, pošto su njegove mašine impresionirale maštu običnih ljudi, prirodno su ostale deo legende o Arhimedu. Tako je on napravio ratne sprave za Hierona, plašeći Rimljane koji su tri godine odlagali opsadu Sirakuze. Postoji priča da je pomoću sočiva od ogledala palio rimske brodove koji bi se previše približili zidinama. Verovatno je Arhimed i

13

13

Seminarski rad Arhimedkonstruisao neke od instrumenate za paljenje, ali je njihova veza sa uništavanjem rimske flote više nego sumnjiva.

Važnija od te je priča o Hieronovom zahtevu za proverom čistoće zlata krune koju je dobio na poklon — pitanje da li je sasvim zlatna ili je možda legura srebra. Arhimed je bezuspešno razmišljao o tom problemu do jednog dana, kada je, ulazeći u kadu iz koje se prelila voda, primetio da je potrebna veća zapremina lakše legure za izjednačavanje težina različitih kruna, te da bi mogao odvojeno meriti iste zapremine zlata i srebra u posudi sa vodom. Veoma ushićen ovim sretnim otkrićem istrčao je iz kupatila bez odeće, vičući "eureka, eureka" ("Našao sam, našao sam"). Slično, njegov pionirski rad u mehanici je ilustrovan pričom o izjavi "dajte mi oslonac i pomeriću zemlju". Hiero je tražio potvrdu tvrdnje da veliku težinu može pomeriti malom silom, pa se pričalo da je upotrebio polugu ispod natovarenog broda kojeg je pomerao lično Hiero; ali se izveštaji o toj demonstraciji razlikuju. Vodeni zavrtanj koji je pronašao koristi se čak i danas (1965.) u Egiptu za navodnjavanje.

Arhimedov zavrtanj danas

14

14

Seminarski rad Arhimed

V ARHIMED KAO MATEMATIČAR

Arhimed je izvanredan mehaničar, praktičar i teoretičar, ali osnovna stvar njegovog života bila je matematika.Citirajmo reči čuvenih francuskih matematičara Lagranža(1736-1813) I Dalambera(1717-1783):

“Arhimed se smatra najvećim genijem kiji se ikad posvetio matematici.Niko od geometara starog doba nije pronašao toliko mnogo i toliko značajnih rezultata.Mada svi geometri poznaju prednosti modernih metoda, ipak svaki od matematičara mora da se upozna sa suptilnim, originalnim i dubokim Arhimedovim razmatranjima pomoću kojih je on rešio toliko komplikovanih pitanja”.

U svojim matematičkim radovima Arhimed je vrlo oštroumno rešio niz problema u vezi sa izračunavanjem dužina krivih linija, površina ravnih figura, te površina i zapremina geometrijskih tela(u opštem slučaju).Ovo su problemi kojim se danas bavi takozvani integralni račun.

O POVRŠINI I KVADRATURI KRUGA

Bavio se problemom kvadrature kruga.Problem kvadrature kruga sastoji se u tome da se samo uz pomoć lenjira I šestara, konstruiše kvadratkoji će po površini biti jednak datom krugu.U delu “Merenje kruga” Arhimed za broj π tj. za odnos između obima kruga i njegovog prečnika daje procenu:

3 < π <3 .

Pri tome je upotrebio metod koji će kasnije matematičari koristiti dugi niz vekova.Naime, on je posmatrao niz upisanih i opisanih pravilnih mnogouglova sa 6, 12, 24, 48 i 96 stranica u krug, pa je određivao odnos njihovih obima prema prečniku kruga.Očigledno da je ln<C<Ln tj. ln/d<C/d<Ln/d, gde je d prečnik kruga, C njegov obim, a ln obim upisanog i Ln obim opisanog pravilnog mnogouglasa n stranica kod

15

15

Seminarski rad Arhimedistog kruga prečnika d.Time je Arhimed određivao donju i gornju granicu za odnos dužine kružnice prema njenom prečniku, postepeno približavajući ove granice.

Arhmed je našao da je:

3 d< C<3 tj. 3 < π <3

što znači da je = π 3,14.

Nastavljajući sa udvajanjem broja stranica upisanih i opisanih mnogouglova može se, koristeći Arhimedov metod, odrediti proizvoljan broj decimala broja π.

Ovim metodom (“metod iscrpljivanja”) Arhimed dokazuje još dva stava: 1) da je površina kruga jednaka površini pravouglog trougla kome je jedna kateta

jednaka dužini kružnice, a druga kateta poluprečniku tog kruga (slika 1). 2) da se površina kruga odnosi prema površini kvadrata, konstruisanog nad

njegovim prečnikom,približno kao 11:14 (slika 2).

Može izgledati da Arhimedov metod nije nov, jer su slično postupili neki geometri i pre Arhimeda.No, to nije lako.Dok su oni smatrali da se putem postepenog udvostručavanja broja stranica upisanih pravilnih mnogouglova može na kraju krajeva doći do same kružnice, odredivši njenu dužinu tačno, dotle Arhimed, s matematičkom istančanošću, za odnos dužine kružnice prema prečniku daje približnu vrednost, jasno shvativši da “iscrpeti” krug nije moguće, da će se površina kruga uvek

16

16

Seminarski rad Arhimedrazlikovati od površine upisanog (ili opisanog) mnogougla za neku konačnu veličinu, ma koliko da je veliki broj stranica takvog mnogougla.Tako je Arhimed zadatak o merenju duđine kružnice i površine kruga prvi postavio na potpuno naučnu osnovu, bio je prvi koji je shvatio da je problem kvadrature kruga pitanje aproksimacije, te je po tome preteča integralnog računa.

ARHIMEDOV BROJ -

U knjizi O merenju kruga nalaze se tri stava, od kojih je najinteresantniji treći, u kome je dat odnos obima kruga prema njegovom prečniku, tj. aritmetička aproksimacija vrednosti broja . Približnu vrednost broja Arhimed je našao upisujući i opisujući pravilne poligone oko kruga čiji je broj ivica udvostručavao. Upisujući i opisujući pravilan poligon od 96 strana, Arhimed utvr|uje aritmetičku vrednost broja .

Stav: Odnos obima nekog kruga i njegovog prečnika je manji od ali veći

od .

Odnosno < < .

U svom dokazu on koristi 3. stav VI knjige Euklidovih Elemenata koji kaže da: bisektrisa jednog ugla trougla seče suprotnu stranicu trougla tako da je odnos dobijenih delova stranice jednak odnosu preostale dve stranice trougla. Tako|e važi i obrnuto: ako je stranica trougla podeljena u odnosu jednakom odnosu izme|u preostalih stranica, poluprava čije je teme naspramno teme trougla i koja sadrži datu tačku (koja deli stranicu u datom odnosu), je bisektrisa ugla naspramnog datoj stranici.

BD : CD = BA : AC

(Na slici je pravougli trougao, ali ovo važi u opštemslučaju)

Pri dokazivanju on koristi aproksimacije nekih kvadratnih korenova, ali ne navodi kako je došao do njih; npr. za :

17

17

Seminarski rad Arhimed

.

Dokaz:I. Prvo razmatra slučaj poligona opisanog oko kruga.

Neka je AB prečnik kruga, O centar, AC tangenta u A i neka je ugao AOC jednak

pravog ugla. Neka je, zatim OD bisektrisa

ugla AOC, OE bisektrisa ugla AOD, OF bisektrisa ugla AOE i OG bisektrisa ugla AOF (tačke D, E, F i G pripadaju tangenti AC). Tačka H pripada AC tako da je AG = AH i tačke G i H su sa raznih strana tačke A.

Tada je ugao GOH jednak uglu AOF, odnosno jednak pravog ugla. Dakle

duž GH je stranica opisanog pravilnog poligona sa 96 stranica.Važi:

OA : AC > 265 : 153 (1)(OA : OC = : 1 ovde koristi gore navedenu aproksimaciju )

OC : CA = 2 : 1 = 306 : 153. (2)Kako je OD bisektrisa ugla COA va`i:

CO : OA = CD : DA(gore naveden stav iz Euklidovih Elemenata)

tako da: (CO + OA) : CA = OA : ADili (CO + OA) : CA = OA : AD.

(

)

Kako je:OA : AD > 571 : 153 (3)

(iz (1) i (2) sledi:

)

i(prema Pitagorinoj teoremi:

)

sledi:

. (4)

18

18

Seminarski rad Arhimed

(jo{ jedna Arhimedova aproksimacija: )

Slično prethodnom dobijamo:

(5)

(OE je bisektrisa ugla AOD pa prema Euklidovim Elementima VI.3 OD : OA = DE : EA,odakle je:

)

odakle:

. (6)

(

gde je: )

Tako|e:

(7)

(

prema (5) i (6))odakle:

. (8)

(

)

Zatim:

19

19

Seminarski rad Arhimed

.

(još jednom iz VI.3 iz Euklidovih Elemenata i (7) i (8):

)

Iz prethodnog imamo da je ugao AOG = pravog ugla. Ugao AOH = uglu

AOG i G i H su sa raznih strana tačke A i obe pripadaju AO, odakle sledi da je ugao

GOH = pravog ugla. Prema tome GH je stranica pravilnog poligona sa 96 stranica

opisanog oko datog kruga. Kako je:

,

dokAB = 2OA, GH = 2AG,

sledi da je

.

( )Ali

.

Odatle sledi da je odnos obima kruga (koji je manji od obima opisanog poligona) i

njegovog prečnika manji od .

(preciznije:

< < < )

II.Arhimed zatim koristi upisan poligon u krug.

Neka je AB prečnik kruga, i neka tačka C pripada krugu nad prečnikom AB tako da je ugao BAC jednak jednoj trećini pravog ugla. Neka je AD bisektrisa ugla BAC, AE bisektrisa ugla BAD, AF bisektrisa ugla BAE, AG bisektrisa ugla BAF i tačke

20

20

Seminarski rad ArhimedD, E, F, G pripadaju krugu. Neka je d presečna tačka du`i AD i BC. Tada je BG stranica 96-ostranog pravilnog poligona upisanog u dati krug. Tada:

AC : BC < 1351 : 780.

( ; )

Va`i:

(prva jednakost važi jer je AD bisektrisa ugla BAC, a druga jer su uglovi dAC i dBD uglovi nad istim lukom)

i uglovi kod temena D i C su oba pravi (uglovi nad prečnikom). Sledi da su trouglovi ADB, BDd i ACd slični.

Stoga:AD : BD = BD : Dd = AB : Bd = (AB + AC) : (Bd + Cd) = (AB + AC) : BC

(va`i i: AD : BD = BD : Dd = AC : Cd)ili (BA + AC) : BC = AD : DB.

Dakle:AD : DB < 2911 : 780. (1)

(iz AB : BC = 2 : 1 dobijamo:

)

Prema tome:

. (2)

(zbog , dobijamo:

;

kako je dobijamo:

)

Kako je AE bisektrisa ugla BAD važi:AE : EB < 5924 3/4 : 780 = 1823 : 240. (3)(isto kao i kod(1) dobijamo:

)

Stoga:

. (4)

(isto kao kod (2) imamo daiz sledi:

;

21

21

Seminarski rad Arhimed

kako je dobijamo:

)

AF je bisektrisa ugla BAE, pa je stoga:

. (5)

(iz (3) i (4):

)

Dakle:

. (6)

(iz slično kao ranije:

)

Kako je AG bisektrisa ugla BAF i seče krug u G, iz (5) i (6) dobijamo:

,

Stoga:

. (7)

(iz sli~no kao ranije:

;

rezultat dobijamo opet aproksimacijom kvadratnih korenova)BG je stranica upisanog pravilnog 96-ostranog poligona.

(Ugao BAC smo polovili 4 puta, pa je ugao BAG ugla BAC,

odnosno pravog ugla. Odavde je centralni ugao BOG pravog

ugla, tj. punog kruga.)

Iz (7) sledi:

.

(u stvari:

> > )

22

22

Seminarski rad Arhimed

Va`i i .

Dakle dokazali smo da važi tvr|enje: < < .

Q.E.D.

ZAKLJUČAK

Kao što vidimo u svim Arhimedovim delima zapaža se da je zadivljujuća originalnost mišljenja uklopljena u majstorsku tehniku i stroge dokaze. A Arhimed nije stvorio samo jedno remekdelo, već mnogo.Arhimed je morao sam da izmisli posebnu metodu za rešavanje svakog problema koji je postavio.Imao je sposobnost da svaki problem raščlani na niz pristupačnijih za rešavanje problema.Što se tiče problema koje ja sam istakao, Arhimed ja bio genijalan.On je u geometriji i mehanici stvorio temelj za modernu nauku.U dubini Arhimedovih istraživanja Plutarh kazuje sledeće:“U celoj geometriji nema težih i dubljih teorema nego što su Arhimedove.Kada sam se prvi put sretao sa njegovim matematičkim iskazima, činilo mi se da je njihov dokaz nedostižan umu čovečijem.Međutim, kada se vidi kako ih sam Arhimed dokazuje, onda se čoveku učini kao da je našao taj dokaz-toliko je on prost i lak.”Zanimljivo je reći da Plutarh i neki drugi autori matematičari nisu čitali Arhimedova dela, već su o veličini Arhimeda saznali od matematičara, te su ga opisivali kao idealnog naučnika i njime se oduševljavali.Međutim, iako je bio originalan genije, Arhimed je za čitanje dosta težak autor: on nikada nije prepričavao ono što su drugi pre njega otkrili i napisali, već se samo kratko pozivao na tuđa i svoja dela;neke

23

23

Seminarski rad Arhimed

elementarne delove u lancu svojih zaključaka jednostavno je ispuštao (obraćao se onima za koje je smatrao da imaju nešto matematičke intuicije i znanja), uz to teškoću čini dosta zapetljana i neobična ondašnja simbolika.Arhimedove ideje i metode skoro dve hiljada godina su bile ispred svog vremena.Tek se u XVII veku uvideo pravi značajArhimedovih dela.Od tada su ona imala ogroman uticaj na dalji razvoj matematike.Lajbnic (G.W. Leibniz, 1646-1716), jedan od tvoraca diferencijalnog i integralnog računa, pisao je: “Čitajući pažljivo Arhimedove radove, čovek prestaje da se divi svim najnovijim otkrićima geometara.”“U glavi Arhimeda bilo je više mašte nego u glavi

Homera.”Homer

LITERATURA

1) T.L.Heath, The Works of Archimedes, Dover, New York

2) E.T.Bell, Veliki matematičari, Nakladni zavod znanje, Zagreb, 1972, str. 41-47

3) A History of Greak Mathematics, volume I, Dover Publications, New York, 1981

4) Istorija filozofije Grčke i Rima, prevod Slobodan Zunjić, Beogradso izdavački-grafički zavod, Beograd, 1998

5) Euklid, Elementi, Naučna knjuga, Beograd, 19576) V.Buhvald, A.Holveg, O.Princ, Rečnih grčkih i latinskih pisaca

antike i srednjeg veka, Vuk Karadžić, Beograd, 19847) B.L.Van Der Waerden, Science Awakening, English traslation by

Arnold Dresden with additions of the author, Groningen, Holland, str. 208-228

8) Dirk J.Strajk, Kratak pregled istorije matematike, Zavod za udžbenike i nastavna sredstva, Beograd, 1991, str. 63-67

9) Lućano de Krešenco, Istorija grčke filozofije, 1-2 deo, Novi Sad, 1991

10) Opća Enciklopedija jugoslovenskog leksikografskog zavoda, Zagreb, 1977, knjiga prva

24

24

Seminarski rad Arhimed11) Naučno-popularni matematički list “Arhimedes”, za učenike

osnovne škole, klub “Arhimedes”,Beograd, 1973, broj 112) Zoran Lučić, Euklidska i hiperbolička geometrija, Total

Design, Beograd, 199713) Zoran Lučić, Ogledi iz istorije geometrije, Preliminarna

Verzija, 2005

25

25