1

İşaretler ve SüzgeçlemeSüzgeçZaman Domeni

Vin VoutC

R

Genlik

Zaman

Frekans DomeniGenlik Geçen : f3 f4 f5

Yok edilen : f1 f2

Genlik

Frekansf1 f3f2 f4 f5 f1 f2 f3 f4 f5

2

Faz

Zaman

|A|

t

t

|A|

900 Faz kayması

1800 faz kayması

Non-linear faz yanıtı

MüzikVideoVeri haberleşmesi

İstenmez.

3

Analog SüzgeçlerH(ω) =

Vout

VinH(ω) =

R

R + 1jωC

Yüksek geçiren

VoutC

R

I

Im[H(ω)]

Re [H(ω)]

|A|

φ

ω = 2πfXC =

1jωC

-1j =

Kazanç= |A|= Re [H(ω)]2 + Im[H(ω)] 2Vin= I ( R + )1

jωC

= tan-1Faz =Im [H(ω)]

Re [H(ω)] φ

Vout = I*R

4

Yüksek –Geçiren Süzgeç yanıtıYüksek Geçiren

|A| = R

R 2 +1

(ωC)2

|A|

f

φ = tan-1( )ωRC

1

fc

fc

Faz (derece)

f0

fc =1

2πRCfc köşe frekansı |A| = (1/ ) |A|2

5

Alçak-Geçiren Süzgeç Yanıtı

Vin VoutC

R

|A| = 1

1 + ω2R2C2

H(ω) =R + 1

jωC

1jωC

|A|

ffc

fc

- 30

- 60

- 90

Faz (derece)

f

0 fc =1

2πRC

φ = tan -1( ) ωRC

6

f

Geçirme Bandı

Durdurma bandı

Geçirme bandıDalgalanması

Durdurma bandı Dalgalanması

3dB Noktası

Genlik Yanıtı

fc

3dB noktasında kazanç (fc frekansında) = |A|

2

fc = Kesim frekansı

20 log10 |A| = Kazanç dB

Performans Kriteri

Geçirme bandı dalgalanması istenmez

Dalgalanmasız tasarım mümkündür

Durdurma bandı dalgalanması çok önemli değildir.

Eğimi dB/Decade

Durdurma bandı zayıflatması

7

Faz yanıtı

f

φDoğrusal bir süzgecin faz yanıtı Faz yanıtı farklı frekanslarda farklı

gecikmeleri temsil eder.

Doğrusal faz yanıtı tüm frekans bileşenlerinin aynı biçimde gecikmesini gerektirir.

f1 vef2 frekanslarındaki zaman gecikmeleri eşittir

Doğrusal-Olmayan Faz yanıtıFarklı frekansları farklı miktarlarda geciktirir.Orijinal işaretin bozulmasına neden olur. Müzikte duyulabilir Görüntüde algılanabilir.

Doğrusal faz yanıtı yalnızca geçiş bandında önemlidir

Küçük non-lineerlikler göz ardı edilebilir.

f

Doğrusal Fazlı bir süzgeçinÜniform zaman gecikmesi

Zaman gecikmesi

f1 f2

f1 f2

8KÖTÜ İYİ

9

Analog Süzgeçler - Butterworth Süzgeci|A|

1.0

0.1

0.01

1 10f / fc

0.1

0f / fc

1.0 2.0

Gecikme

n=32 n=8

n=1

n=2n=4

|A|=

ffc

( )2n

1+

1

Maksimum düz genlik yanıtı

Kötü faz yanıtı

Yeterli egim için çok yüksek süzgeç dereceleri

10

Diğer Süzgeç Türleri

ChebyshevButterworth’dan daha iyi eğim

Geçirme bandında daha yüksek dalgalanma

Kötü faz yanıtı

BesselMaksimum düz faz yanıtı

Daha kötü eğim

11

Modifiye edilmiş bir Sallen-Keysüzgeci. k1 ve k2 parametrelerinin seçimi ile Butterworth, Chebysev ve Bessel süzgeçleri gerçeklenebilir.

1 Khz kesim frekanslı 6. derece Bessel süzgeci

Sayısal Süzgeçler•Aynı donanım , istenilen ihtiyaçlara göre biçimlendirilebilen yapı

•Maksimum düz faz yanıtı (yuvarlatma hataları sınırlar),

•Çok yüksek roll-off ‘a sahip süzgeçler. (analogda neredeyse imkansız)

Analog eşdeğeri yok

12

13

Sayısal süzgeçlerde, basamak yanıtının her iki ucunda taşma oluşur. Analogda sadece 1 uçta iki katı düzeyde bir taşma oluşur.

•Analog süzgeçler, sayısal süzgeçlere göre daha hızlıdır.

•Dinamik bölge açısından analog daha avantajlıdır. Örneğin düşük gürültülü bir opamp için dinamik bölge 10000000 dan büyük iken, 16 bitlik bir ADC için 65536 dır.

•Frekanstaki dinamik bölge analog sistemler için yine oldukça büyüktür. Örneğin bir opamp 0.01 Hz den 100KHz e kadar frekanslarısorunsuz işliyorsa (7 dekad’ a denk düşer) , aynı durumdaki bir sayısal sistem için 200KHz örnekleme frekansında, 0.01 Hz lik bir cycle’lı tamamlamak için 20000000 örnek saklamak gerekir. Bu nedenle sayısal süzgeçler daima lineer skalada , analoglar ise logaritmik skalada gösterilir.

14

Tipik Sayısal süzgeç

Σ Σ

Z-1Z-1

b0 b1 b2

x(n)x(n-1) x(n-2)

Tap

Ağırlık

Toplama noktası

Giriş

y(n) çıkış

x(n) örneklenmiş dalga şekli, x(0) t = 0, x(1) t = ts, x(2) t = 2 ts ...

ts = Örnekleme peryodu fs = örnekleme frekansı

bn = Ağırlıklar (Katsayılar)

Z-1 Birim zaman gecikmesi = Bir örnek aralığı

y(n) = b0 x(n) + b1 x(n - 1) + b2 x(n - 2)

15

Tipik DSP Algoritmaları:FIR Süzgeçler(Non-Recursive)

• Süzgeçler, istenmeyen frekansları yok ederek görüntü, işaret kalitesini artırırlar.

• Finite Impulse Response (FIR) Süzgeçler:

Burada– x giriş dizisi– y çıkış dizisi– h İmpuls yanıtı(filtre katsayıslar)– N Filtredeki katsayıların sayısı dır.

• Çıkış dizisi yalnızca giriş dizisi ve impuls yanıtına bağlıdır.

)(*)()()()(1

0nxnhkixkhiy

N

k=−= ∑

−

=

Σ

Z-1Z-1x(n)

y(n)

b0 b63

Σ

b1

64 taps

16

17

Pencerelenmiş SINC ile FIR süzgeç gerçeklenmesi

18Spektrumun yumuşatılması

19

Tipik DSP Algoritmaları:IIR Süzgeçler (Recursive)

• Infinite Impulse Response (IIR) Süzgeçler:

• Çıkış dizisi, giriş, geçmiş yada gelecekteki çıkış dizisi ve impuls yanıtına bağlıdır.

• FIR ve IIR Süzgeçlerin her ikiside– Çarpma ve toplama işlemleri gerektirir.– Sabit katsayılar kullanırlar

∑∑−

=

−

=−+−=

1

0

1

1)()()()()(

N

k

M

kkixkbkiykaiy

20

Giriş Çıkış

x(t) y(t)

Z-1

Z-1

Z-1

Z-1

b0

b1

b2

a1

a2

+

y(t) = b0x(t) + b1x(t - 1) + b2x(t - 2) + Moving Average kısmıa1y(t - 1) + a2y(t - 2) Auto Regressive kısmı

Geri besleme yoluDoğrusal olmayan faz yanıtıFIR’ göre daha az ağırlıkKararsızlığa dikkat

21

İKİNCİ DERECE IIR SÜZGECİN BIQUAD YAPIDA GERÇEKLENMESİ(KANONİK FORM)

22

BİRİNCİ DERECEDEN BİR FİLTRE ÖRNEĞİ VE GERÇEKLENMESİ

y(n)= αx(n) + (1- α)y(n-1)

23

Program yapısı (1.Derece LPF için)

LOOP:

Bufferleri işaretle

X’i A/D den ACC kayıtçısına al

X’i belleğe yaz

α* x i hesapla belleğe yaz (çarpım)

Son y(n-1) ‘i al

(1- α) yı hesapla

(1- α) yı y(n-1) ile çarp (çarpım)

α x i (1- α)y(n-1) ile topla

y (n) yi diğer döngü için belleğe yaz

y(n) yi D/A ye gönder

LOOP a git

≈

24

Burada dikkat edilirse 11 komut kullanılmaktadır. Günümüzde alt sınıftaki bir DSP için işlemci hızı 100 MIPS civarındadır. Bu durumda filtre çıkış hızı 8.8MS/s olacaktır.

16 bit bir yazılım çarpıcı, bir dizi öteleme ve toplama işlemi ile gerçekleştirilir.Bu da ortalama olarak 100 komut gerektirir (çevrimler dahil )yukarıdaki örneği dikkate alacak olursak 2 adet çarpım vardır.

Toplam komut sayısı 210 olacaktır. Böylece filtre çıkış hızı 480 KS/s leredüşer

25

•Tarak Süzgeçler

Giriş Çıkış

Z-1x(t) y(t)

a

Σ Z-1 Σw(t)

-1

k birim fecikme

y(t) = x(t) + aw(t–k) – w(t–k)

kazanç

ffs/k 2fs/k 3fs/k

Frekans Domeni, Fourier Serileri

Tp

Orijinal işaret xp(t) Fourier serisinin ilk 4 terimiİlk 4 terimin toplanması

orjinal xp(t)

Peryodik işaret sonsuz sayıda sinüsün toplamı ile ifade edilebilir

dtetxT

c

buradaectx

pT

tjkp

pk

k

tjkkp

∫

∑−

∞

−∞=

=

=

0

0

)(1

,)(

ω

ω

26

27

Fourier Dönüşümü

∫Ck =1Tp

Tp/2

-Tp/2

x(t) e-j(kω0t) dtBuradax(t) = ∑ Ckej(kω0 t)∞

k=- ∞

1Tp

=ω2π

dω2π

TP = Peryodu artır Τekrarlanma yokTP ∞

k ω0 ωAyrık frekans değişkeni sürekli olur

Ayrık katsayılar Ck sürekli olur C(ω)

∫x(t) e -jωt dt

∞

− ∞

C(ω)dω / 2π = X(ω) =

∫X(ω) e jωt dω

∞

− ∞

x(t) =1

2π

normalize

Ters

FT Çifti

C(ω) = dω2π ∫x(t) e-jω t dt

∞

− ∞

28

Ayrık zamanlı Fourier DönüşümüFourier Dönüşümü

Ayrık zamanlıFourier Dönüşümü

dte)t(x)(xtj∫

∞

∞−

− ω

=ω ∑∞

−∞=

− Ω

=Ωn

j n

e)n(x)(x

t , Tsn olurSürekli x(t) ayrık x(n) olur

Ayrık örnek değerleri integral yerine toplanır

ωωπ

= ∫∞

∞−

ω

de)(x21)t(x

tj ΩΩπ

= ∫π

π−

Ω

de)(x21)n(x

)n(j

Ters Fourier Dönüşümü

Ters Ayrık zamanlıFourier Dönüşümü

İntegrasyon sınırlarının ±p yi geçmesi gerekmez, çünküspektrum 2π ile peryodiktir

İntegrasyon ters dönüşümde korunur çünkü X(w) süreklidir

29

Tipik DSP Algoritmaları: Ayrık Fourier Dönüşümü

DTFT çiftini hatırlayalım:ΩΩ

π= ∫

π

Ω de)(X21)n(x

2

jn

∑∞

−∞=

Ω−=Ωn

jne)n(x)(X

Sonsuz sayıda zaman domeni örneği vardır.

Ω süreklidir

DTFT yi uygulanabilir hale getirmek için

Yalnızca N zaman domeni örneği alınır

Frekans domeni örneklenir, örneğin x(Ω) N ayrık noktada örneklenir. Noktalar arasında eşit boşluk vardır ∆Ω = 2π/N

Sonuç Ayrık Fourier Dönüşümü çiftidir:

30

Tipik DSP Algoritmaları:Ayrık Fourier Dönüşümü

•Ayrık Fourier Dönüşümü (AFD (DFT)) frekans domeninde spektral analizi sağlar.

•Aşağıdaki gibi hesaplanır

k = 0, 1, … , N-1, burada

x , zaman domenindeki giriş dizisi

y , frekans domenindeki çıkış dizisidir.

•Ters Ayrık Fourier Dönüşümü

şeklindedir.

•Hızlı Fourier Dönüşümü (FFT) , AFD nin hesplanması için etkin bir yol sağlar.

1 )()(21

0−===

−−

=∑ jeWnxWky N

j

N

N

n

nkN

π

1-n , ... 1, 0, n for ,)()(1

0== ∑

−

=

−N

k

nkN kyWnx

DFT İlişkileri

Frekans DomeniZaman domeni|x(k)|

N Örnek

00

Ts

12Ts

23Ts

3 N-1(N-1)Ts 1 2 N/2 N-2 N-1

31

00

NFs

NF2 s

2Fs

NF2 s−

NFs−

≈ ≈ ≈

N ÖrnekX(n)

t

n

k

f

32

Pratikteki durumlar

1Nk0,W)k(X)k(X1N

0n

knNnN −≥≤= ∑

−

=Standart DFT

8 noktalı bir DFT

7,...,2,1,0k,W)k(X)k(X7

0n

kn7nn == ∑

=

7,...,1,0k,W)7(x.......W)1(xW)0(x)k(X 7k7

1k7

0k7n =+++=

0k7W)0(x gibi herbir terim 8 çarpım gerektirir

Toplam çarpım sayısı 64 olur ve kompleks dir.

8-noktalı DFT 8 2 = 64 kompleks çarpım gerektirir1000-noktalı DFT 10002 = 1 milyon çarpım gerektirirve bütün bunlar toplanmalıdır

33

Hızlı Fourier Dönüşümü (FFT)kN

2/NkN WW −=+Simetri Özelliği

kN

NkN WW =+Peryodiklik özelliği

∑∑−

=

+

−

=

++=1

2N

0r

k)1r2(N

12N

0r

rk2NN W).1r2(xW).r2(x)k(XDFT yi iki parçaya ayırır

∑∑−

=

−

=

++=1

2N

0r

rk2N

12N

0r

kN

rk2NN )W).(1r2(xW)W).(r2(x)k(Xor

2/N

)2/N

2(j)2N2(j2

N WeeW ===π

−π

−Döndürme faktörü üzerinde oynayarak

Hızlı Fourier Dönüşümü

∑ ∑−

=

−

=

++=1

2N

0r

12N

0r

rk2N

kN

rk2Nn W)1r2(xWW)r2(x)k(X

34

Zaman Kazanımı

N/2 Çarpım

(N/2) 2 Çarpım (N/2) 2 Çarpım

∑∑−

=

−

=

++=1

2N

0r

rk2/N

kN

12N

0r

rk2/NN W)1r2(xWW)r2(x)k(x

8-noktalı bir FFT, 42 + 42 + 4 = 36 çarpım gerektirir. Bu da 64 - 36 = 28çarpım azaltır

1000 noktalı FFT, 5002 + 5002 + 500 = 50,500 çarpım. 1,000,000 - 50,500 = 945,000 çarpım kurtarır

Zaman kazanımı : 50ns cycle süresi için8-noktalı FFT de 1.2 µs1000-noktalı FFT de 47.25ms kurtarır

35

Zamanda Azaltma

Bir kere azaltma Radix-2 olrak adlandırılır, çünkü 2 ye bölünür

Orijinal seriyi ikiye bölmeye zamanda azaltma denir

n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 n = 0, 2, 4, 6 and 1, 3, 5, 7

N = 8 gibi kısa bir dizi alalım

tekrar azaltalımn = 0, 4 2, 6 1, 5 and 3, 7

Sonuç N2 – (N/2)log2N çarpımdan kurtarmadır

1024 noktalı DFT = 1,048,576 çarpım1024 noktalı FFT = 5120 çarpım

Zamanda azaltma matematiği basitleştirir, ancak daha fazla döndürme faktörü hesaplanmalıdır

36

4-Noktalı FFTx(n)

0X4(k) =∑ W4

kn3N=4 için bir örnek düşünelim:

zamanda azaltalımn = 0 , 2 and 1, 3

+x(2r)r=0

X4(k) =∑1 rk

W2 W4k

x(2r+1)r=0∑1 rk

W2

= [ x(0) + x(2) ] + [ x(1) + x(3) ]W2k

W4k

W2k

İki döndürme faktörü varilişkilendirirsek

WN = e2πN

-jk kHatırla:

2kW2k

= e2π2

-j k* = W4= e2π4

-j 2k*

= [ x(0) + x(2) ] + [ x(1) + x(3) ]W42k

W4k

W42kyeni FFT ifadesi:

37

Akış diyagramıİki DFT:

= [ x(0) + x(2) ] + [ x(1) + x(3) ], k=0,1,2,3W42k

W4k

W42k

X4(k)

Yalnızca k=0 için yazarsak

= [ x(0) + x(2) ] + [ x(1) + x(3) ]W40

W40 W4

0X4(0)

Akış diyagramı:x(0)

x(1)

x(2)

x(3)

X4(0)0

0

0x02

x13

0 W40

=

Bu diyagram tüm diyagramın 4 te biridir

38

Tam akış diyagramı

= [ x(0) + x(2) ] + [ x(1) + x(3) ]W42

W41

W42

= [ x(0) + x(2) ] + [ x(1) + x(3) ]W40

W42

W40

= [ x(0) + x(2) ] + [ x(1) + x(3) ]W42

W43

W42

= [ x(0) + x(2) ] + [ x(1) + x(3) ]W40

W40

W40

K nı tüm değerleri için yazarsak:hatırlayalım

W44

W40

2π4

-j= e *4

= 1 =

W46

W42

2π4

-j= e *6

= -1 =

x(0)

x(1)

x(2)

x(3)

X4(0)

X4(1)

X4(2)

X4(3)

0

2

0

2 3

2

1

0

Kelebek yapı ?

39

Kelebek yapısıDöndürme faktörleri

X1

X2x2 WNk

x1 x1X1 = + WNk

x2

x1X2 = – WNk

x2

Tipik kelebek

W43 = j

W42 = -1

W41

= -j

W40

= 1

yada4 noktalı FFT eşitlikleri

x

WNk

X0 = (x0 + x2) + W40

(x1+x3)

X1 = (x0 – x2) + W41

(x1–x3)

X2 = (x0 + x2) – W40

(x1+x3)

X3 = (x0 – x2) – W41

(x1–x3)

-1

Pratik bir örnek

X0=x0+ x2 +x1+x3

X1=x0–x2 + -j(x1–x3) = 1–0 + -j(0–1) = 1 + j

X2=(x0+ x2) – (x1+ x3) = (1 + 0) - (0 + 1) = 0

X3=(x0–x2)– -j (x1–x3) = (1–0)– -j(0–1) = 1– j

= 1 + 0 + 0 + 1 = 2

FFT hesabı

fs=10kHzTs= 100 uS

1NTs

=F =

xk = 1,0,0,1

Genlik

Zaman0

1

2

(nTs)0 1 2 3

Zaman DomeniGenlik

Frekans

1

2

kHz

√2√2

Frekans Domeni

03 1 220-2.5 2.5 5.0-5.0

Frekans aralığı

X1 in genliği = √12+j2 = √240

41

8 Noktalı DIT FFT diyagramı

42

FIR SÜZGEÇLERİN FFT İLE GERÇEKLENMESİ(FFT KONVOLÜSYON)

y(t)=x(t)*h(t) =IFFT[X(f).H(f)]

Hızdaki iyileşme, filtre çekirdeğinin uzunluğuna bağlıdır.

43

Tipik DSP Algoritmaları:Ayrık Kosinüs Dönüşümü

• Ayrık kosinüs dönüşümü (DCT) görüntü sıkıştırmada sıklıkla kullanılır (örneğin MPEG-2, MPEG-3).

• DCT ve Ters DCT (IDCT) aşağıdaki gibi hesaplanır.

burada e(k) = 1/karekök(2) dir. Eğer k = 0; diğer e(k) = 1. • N noktalı, 1D-DCT N2 MAC işlemi gerektirir.

1-N ... 1, 0, k for ,)(]2

)12(cos[)()(1

0=

+= ∑

−

=

N

nnx

Nknkeky π

1-N ... 1, 0, k for ,)(]2

)12(cos[)(2)(1

0=

+= ∑

−

=

N

kny

Nknke

Nnx π

44

Tipik DSP Algoritmaları:Uzaklık Hesaplamaları

• Uzaklık hesaplamaları, örüntü (Pattern) tanıma, kodlama, hareket kestirimi gibi uygulamalalarda sıklıkla kullanılır.

• Problem: Giriş vektörü x den minimum uzaklığa sahip rk vektörünün bulunması

• Uzaklık tipik olarak aşağıdaki şekilde tanımlanır:– Ortalama mutlak fark (L1 norm)

– Karesel Ortalama hata (MSE or L2 norm)

|)()(|1 1

0∑

−

=−=

N

ik irix

Nd

∑−

=−=

1

0

2)]()([1 N

ik irix

Nd

45

Tipik DSP Algoritmaları:Uyarlamalı Süzgeçler

Uyarlamalı süzgeçlerin en tipik örneklerinden, LMS algoritmasının işleyişi

46

Hesap Oranları• Gerekli donanımsal kaynakları belirleyebilmek için

aşağıdaki eşitlik kullanılabilir

Burada– Rc Hesap oranı– Rs Örnekleme hızı– nop Her bir örnek için ortalama işlem sayısı

• Örneğin , 1-B FIR nop = 2N ve Bir 2-B FIR nop = 2N2.

operasyon gerektirir.

opSC nRR ⋅=

47

FIR süzgeçleme için hesap oranları

İşaret Türü Frekans Tap Sayısı

Performans

Konuşma 8 kHz N =128 2 MOPs

Müzik 48 kHz N =256 24 MOPs

Video phone 6.75 MHz N*N = 81 1,090 MOPs

TV 12 MHz N*N = 81 1,94 MOPs

HDTV 144 MHz N*N = 81 23,300 MOPs