AREAS I

7/17/2019 AREAS I

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SEMANA 11

ÁREAS I

1. En un triángulo rectángulo BACrecto en A, el ángulo B mide 75° yla distancia de A a la hipotenusamide 6 2 cm. Calcule el área de laregin ABC.

A! 1"" cm2 B! #6 cm2

C! $% cm2 &! 1%%cm2 E! 72cm2

RESOLUCIÓN

Propiedad (75º; 75º)

BCA'

% =

→ AC 2% 2

∴ 2BAC

2% 2 6 2A 1%%cm

2= =

RPTA.: D

2. (os catetos AB y AC de untriángulo rectángulo ABC recto enA, miden 21cm y 2$cm. )etra*an las +isectrices C y A-, lascuales se cortan en el punto .Calcule el área de la regin C-.

A! 2"cm2 B! #" cm2

C! %5 cm2 &! 7"cm2 E! 75 cm2

RESOLUCIÓN

Propiedad de la Bisectriz:

7/ #5 → 0 5...

Teorema de Poncelet:21 2$ #5 2r

=

→ r 7 .

C-

%0 rA

2=

Remplazando y en:

∴ 2C-

7 2"A 7"cm

2= =

RPTA.: D

#. El triángulo ABC tiene como lados

AB 3 2"cm, AC 3 6 5 cm yBC 3 1"cm. )e tra*a la altura CEy por E se tra*a E4 perpendicular

aAC . Calcule el área de la reginE4C.

A! 1" cm2 B! 5,5 cm2

C! $ cm2 &! 7,2 cm2 E! 6,2 cm2

RESOLUCIÓN

Teorema de Euclides:2

2 21" 2" 6 5 2 2" AE

→ AE 12 → CE 6

AEC

5a 6 5→

6 5a

5

2E4C

2a aA a

2= =

∴

2

2E4C

6 5A 7,2cm

5

= =

RPTA.: D

a

4 a

6 5

1

2

3

1 2 3

45º45º

28I

P21

Q CB

K4k

αα

r

A

3 k

35

6 2

2% 2

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%. )e da un triángulo issceles ABCAB 3 BC!, en donde AC 3 5m yla altura A' mide %m. Calcule elárea de la regin B' siendo 89la interseccin de las alturas A' yB

A! 25:6 m2 B! 7 m2

C! 7:$ m2 &! %;:;6 m2

E! 1%m2

RESOLUCIÓN

A 5#<#7°

→ 15

$

BC 5#<#7°

15 2"50

$ 6=

→ 7

02%

..

→ 2

'B

#0 %0A 60

2= =

Reemplazando: a :

∴ 2

2'B

7 %;A 6 m

2% ;6

= =

RPTA.: D

5. En un triángulo ABC recto en B, setra*a la +isectri* interior A y enAC se u+ica el punto -, de modo=ue m<A- 3 %5°. Calcule el áreade la regin -C, si B!C!32"

u2.

A! 5 u2 B! 1" u2 C! 12,5 u2 &! 15 u2 E! 2" u2

RESOLUCIÓN

&ato a + 3 2"i

)e >ra*a' -C→ ' 3 B a ropiedad de la

+isectri*!

-C∆ sscelesC 3 -C 3 +

∴ 2-C

a+ 2"A 1"

2 2 µ

∆

= = =

RPTA.: B

6. En un triángulo ABC se tra*a lamediana B4, de modo =uem< B4A 3 %5°. Calcule el área dela regin ABC, si BC2 ? AB2 32"

u2

A! 5 u2 B! 7,5 u2 C! 1" u2 &! 12,5 u2 E! 15 u2

RESOLUCIÓN

Dato: 2 2a c 2"=

..Teorema de la proyección de lamediana

2 2a c 2 AC '4− = × ..

3

2C '4 2"× = AC B' 1"× =

∴ ABC!@rea 3 2AC B' 1"2 2×

= µ

53º

37º37º

3 KH

4 K

5/25/237º

A CP

B

53º

O

5 K

3

αα

;"A α

%5 α

%5 α

2ℓℓ

ℓ +

ℓ

1

2

1 2

I

II

II I

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( )2

ABC@rea 5= µ

RPTA.: A

7. En un triángulo ABC se tra*a la+isectri* interior C& y en eltriángulo &BC se tra*a la ceianaB4, de modo =ue m < CB4 3m < BAC. )i el área de la regin

4BC es 5 cm

2

y AC 3 2BC!,calcule el área de la regin B4A.

A! 5 cm2 B! 1" cm2 C! 15 cm2 &! 2" cm2 E! 25 cm2

RESOLUCIÓN

Propiedad de la Bisectriz:A& 3 2B&!

B4C A&C ∆ ∆∼ 2

2

5 a

2) 1" 2a

→ 2" 25 1"

→ ) 3 5∴ 2

A4BA # 5 # 5 15cm= = =

RPTA.: C

$. En un triángulo issceles ABCAB3BC!, se inscri+e un cuadradoel cual tiene un lado contenido en

la +ase AC del triángulo< calcule elárea de la regin ABC si el+aricentro de este es el centro delcuadrado y la +ase del triángulomide 6m.

A! 16 m2 B! 1% m2 C! $ # m2 &! ;m2 E! 1$m2

RESOLUCIÓN

Propiedad del Baricentro:2' B BD D ' a

→ = = =

B) ABC ∆ ∆∼

6 2a a 1#a a

→ =

2ABC

6 #a 6 # 1A ;m

2 2×

= = =

RPTA.: D

;. )e tiene un cuadrado ABC&< en laregin interior se u+ica un punto tal =ue m<BC 3 ;"< y en laprolongacin de B se u+ica alpunto - tal =ue m< -& 3 ;". )iB 3 %u y C 3 6u, calcule el áreade la regin A-&.

A! % u2 B! $ u2

C! 2 1# u2 &! 6 u2 E! 15 u2

RESOLUCIÓN

γ

θ

γ

ααθ

α α

αα

θα

α

θ

α θ

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BC &(C A)&≅

→ ( 2< -& 2 y A) %

∴ 2A-&

2 %A %

2 µ

∆

= =

RPTA.: A

1". )e tiene un triángulo rectánguloABC recto en B. (a mediatri* deBC es tangente a la circunFerenciainscrita cuyo centro es "< calculeel área de la regin AC si AB 36u

A! 2" u2 B! $ 2 u2

C! 6 # u2 &! 5 6 u2 E! 1" u2

RESOLUCIÓN

>C AuGiliar#72

Propiedad de la ediatrizB4 3 4C 3 2r

→ %r $ r 2

2AC

1" D 1" 2A 1"

2 2

µ∆

= = =

RPTA.: E

11. En un triángulo ABC, se u+ican lospuntos 849 en AB y 89 en laprolongacin de AC . 4 y BC seinterceptan en 89 tal =ue lasregiones 4B y C tienen igual

área y A4 3 4B. CalculeACC

A! 1:2 B! 1:% C! 1

&! 1:6 E! 1:5

RESOLUCIÓN

!e Traza: B→ 4B A4A A

∆

"ue#o: ABC BCA A∆ ∆=

AC G1

C y=

RPTA.: C

12. En un cuadrilátero coneGo ABC&,

se toma el punto medio 4 de ladiagonal AC. Calcule el área de laregin 4B& sa+iendo =ue lasáreas de los triángulos AB& y B&Cmiden 5"m2 y #"m2

A! 1" m2 B! ; m2

C! $ m2 &! 15 m2 E! 2" m2

RESOLUCIÓN

Piden B4&A G y=

A4 3 4C→ AB4 B4CA A

∆

A4& &4C&A A∆

Datos:A AB& 5" 2G 2y A B∆

= =

A B&C #" A B∆ = =

Destando 2" 2 G y

∴ G H y 3 1"RPTA.: A

y + B

x +

A

My

x

A

B

C

D A

B

r

B

r

r

O

A C

M

2 r

8

N10

6

r r

r #7

2#7

2

T

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1#. En un triángulo ABC se tra*a laaltura B' y en el triángulo B'C setra*a la +isectri* interior B&.)iendo # A&! 3 % &C!, '& 3 %uy BC 3 12u< calcule el área de laregin AB&.

A! $ µ2 B! 16 µ

2 C! #2 µ

2 &! 2% µ2

E! %" µ

2

RESOLUCIÓN

)e >ra*a &) BC → '&3 &) 3 % ropiedad de la

+isectri*!

Del Dato:

# A& % &C

AB 3 %0&C 3 #0

→ AB&A %)=

B&CA #)=

→ 12 %

#)2×

=

→ ) $

∴ 2AB&A %) % $ #2 µ

∆

= = =

RPTA.: C

1%. En la Figura, m 3 m ,encuentre la ra*n entre las áreade las regiones A y IE.

A! 2:#

B!

3 / 32 C! %:#&!

#:5

E! 6 / 3

RESOLUCIÓN

A

( ) ( )ℓℓ r =2

2 →

r 2ℓ

∴ A

IE

2A 2 #2A ##

2

ℓ

ℓ ℓ

∆

∆

= =

RPTA.: B

15. En un triángulo rectángulo ABCrecto en B, en AC se u+ica elpunto 89 y en el interior de laregin BC el punto 8&9. )iendom∠AB 3 m∠C&, BC 3 C yB 3 & 3 %cm< calcule el área dela regin B&.

A! % # cm2 B! % cm2

C! 2 # cm2 &! $ # cm2 E! $ cm2

RESOLUCIÓN

BEC∆ ssceles

→ m C& m &CB α= < =

→ & B& %

=

B&∆ E=uilátero

∴ 2

2B& % #A % # cm%

= =

RPTA.: A

α ; " α

αα

; " α

ℓ #ℓ

2ℓ

ℓ r 3

2 ℓ

ℓ

ℓ

αα

B

AH D C

3 4

4

!

12

4

4 K 3 K

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16. En la Figura, C 3 6 µ. Calcule alárea de la regin som+reada.

A! 1$ µ2

B! ; µ2

C! 1#,5 µ2

&! 21 µ2

E! 27 µ2

RESOLUCIÓN

C&

( )26 r a=

→ r a

∴

2AB

r a #6A 1$

2 2 µ

∆

= = =

RPTA.: A

17. En la Figura, AC 3 C&,m∠CB& 3 2m∠ B&A y el área dela regin triangular BC& es $µ

2,calcule el área de la regin

som+reada.

A! %µ2

B! 7µ2

C! #µ2

&! 5µ2

E! 6µ2

RESOLUCIÓN

i! BC&

a+A $ sen5#

2= = °

→ a+ 2"

ii! BCA

a+A sen#"

2= °

22" 152 2 µ

= =

RPTA.: D

1$. En la Figura # D-! 3 2 D! 3 Ay DC 3 BC. Calcular la relacin deáreas de las regiones A- y -DC.

A! 1:2 B! 1 C! 1:#

&! 1:% E! 2

RESOLUCIÓN

i! B D #0=

ropiedad de laBisectri*!

ii! DCA #)=

-DCA 2)=

Tam$i%n:

AC BCA 2 A∆ J 5) 2 #)

=

→ J )

αα

B

A D

C

a

a

30º

α#"A α

2 α

" 30º23º

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∴ A-

-DC

A ) 1A 2) 2

∆

∆

= =

RPTA.: C

1;. En un triángulo ABC en AB y BCse u+ican los puntos 89 y 8-9respectiamente de modo =ueA 3 2B! y B- 3 2-C!. Calcule

el área de la regin B-, si el áreade la regin ABC es %5cm2.

A! 5 cm2 B! 1" cm2 C! 15 cm2 &! 2" cm2 E! 25 cm2

RESOLUCIÓN

i! A- B-A 2 A∆

ii! A-B A-CA 2 A∆

→ A-CA #)=

&ato;s %5

→ ) 5

∴ B-A 2) 2 5= =

22 5 1" cm

RPTA.: B

2". En un triángulo ABC

AB 3 2 BC!31" cm. )e tra*a la+isectri* interior B y laperpendicular A- a B - en laprolongacin de B!. Calcule elárea de la regin ABC, si - 3 2cm.

A! 12 cm2 B! 1$ cm2 C! 2% cm2 &! #" cm2 E! #2 cm2

RESOLUCIÓN

i! )e construye ssceles!→ A- 3 ->ii! )e tra*a

CD 3 # >eorema de los puntosmedios!

→ CD> #7< 5#!→ -D 3 % y A- 3$

∴

ABC AB>

1A A

2 ∆

2ABC

1 16 6A 2%cm

2 2×

= =

RPTA.: C

α α

CE A>

AB> ∆

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