ÁREAS
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Matemática 3-WA: 2014 -4
ÁREAS
Si f es continua tal que f ( x, y ) 1 para todo 2( x, y ) R , entonces la integral
doble representa el área de la región plana R , es decir
Ejemplo 1. Calcular el área comprendida por la gráfica de las funciones ( ) 1y sen x e
( ) 1y cos x en el intervalo 5
,4 4
.
Solución. Como podemos observar en la gráfica, se trata de una región Y- simple.
Entonces para el cálculo del área emplearemos la integral relacionada a este tipo de región.
5 5
( ) 14 4( ) 1
cos( ) 1
cos( ) 1
4 4
5
54
4
4
4
( ) 1 2 1 2
2 ( ) ( ) 2 cos( ) ( ) 4 2
sen xsen x
xDx
Area D dA dy dx y dx
sen x cos x dx x sen x
Ejemplo 2. Calcular el área de la región D comprendida por la gráfica de las funciones
y x e 2(2 )y x y 0y .
R R
A( R ) f ( x, y )dA dA
Solución. A continuación representaremos gráficamente el área que queremos calcular.
Para ello, en primer lugar encontraremos los puntos de intersección de las funciones que
delimitan el dominio a integrar. Igualando las funciones se tiene
2 2(2 ) 5 4 0 1 4x x x x x x
Luego los puntos que delimitan el dominio son : 1 2 3(0,0) , (1,1) , (2,0)P P P
Por lo tanto el dominio D sobre el que tenemos que integrar es una región x-simple de la
siguiente forma:
( , ) 0 1 , 2D x y y y x y
2
1 2 1
0 0
13 2 2
1
0
0
1 1
5(2 ) 2 2 2
3 2 6
x yy
yx yD
y
y
Á dA dx dy x dy
y yy y dy y
rea D
Ejemplo 3. Encontrar el área de una flor de cos(2 )r .
Solución
4 cos2
0 0
42
0
44
00
2
[cos 2 ]
1 cos 4 1 s 4
2 2 4
1
2 4 8
Área de una flor r dr d
end
Ejemplo 4 Encontrar el área de la región R que se encuentra entre las curvas 2 sin3r
y 4 cos3r .
Solucion
4 cos (3 )
22 4 cos(3 ) 2
'
0 2 (3 ) 02 (3 )
22 2
0
2
0
1.2
1(4 cos 3 ) (2 3 )
2
1(12 8cos 3 cos 6 4 3
2
12
sensen
rA rea r dr d d
sen d
sen d
Ejemplo 5. Encontrar el área de la región R en el primer cuadrante acotado por las curvas
, 2 , 1 , 4x y x y xy xy .
Solución
Hacemos el cambio de variable u x y y v x y . Entonces la región por las desigualdades
1 2 , 1 5u v . Para integrar en el espacio ,u v , tenemos que encontrar el Jacobiano.
Primero resolvemos las ecuaciones para x e y en términos de ,u v , obteniendo:
,v
x u v xu
Asi
2
1 1 1( , )
4 4 2
v vuJ u v
u v u uv u
Luego , 2 5 2
1 1 1
1 1( ) 2 2ln 2
2R
duArea R dx dy dv du
u u
PROBLEMAS DE AREAS
1. Calcular el área de la región limitada por las líneas 2 2 24 2y x x , y x (fuera de
la parábola)
2. Calcular el área de la región limitada por las líneas 2 2 0x y y , x y .
3. Hallar el área de la región limitada por las líneas 2 2 24(1 ) , 4y x x y .(fuera de
la parábola)
4. Hallar el área de la región encerrada por las graficas de
2 24 , 4 , 3 , 3x y y x x y y
5. Hallar el área de la región limitada por 3 32 , 6y x x y x x .
6. Hallar el área de la región limitada por 2 29 , 9 3y x y x .
7. Hallar el área de la región limitada por , ln , 1 , 2xy e y x x x .
8. Hallar el área de la región limitada por las curvas
2 2 2 22 1 2 4 2 5x y ; x y ; y x; y x (Figura .1)
9. Hallar el área de la región limitada por las curvas 2 24 4 3 3x y, y x, x y , y
( Figura 2)
Figura 1 Figura 2
10. Calcular el área de la región D, siendo este el recinto acotado por las circunferencias
2 2 2 2x y 2x; x y 4x y las rectas 0y x; y (Figura 3)
11. Calcular el área limitada por la curva 4 4r cos sen (Figura 4)
Figura 3 Figura 4
12. Calcular el área de la región limitada por una hoja de la rosa 3r sen . (Fig.5)
13. Calcular el área de la región ubicada dentro de la cardioide 2(1 )r sen (Fig.6).
14. Calcular el área de la región ubicada dentro de la cardioide 1r cos y fuera del
círculo 3
2r .(Fig 7)
15. Calcular el área de la región ubicada fuera del cardioide 1r cos y dentro del
círculo 3
2r .(Fig7)
16. Hallar el área de la región dentro de 3 2sinr y fuera del circulo 2r (Fig. 8).
17. Encontrar el área que se encuentra fuera de la curva 2 3r sen y dentro de la curva
3 3r sen . (Fig 9)
18. Una región R está limitada por la recta en coordenadas polares 3
4
y por la curva
3 3cos( )r .Hallar su área en el primer cuadrante. (Fig.10)
Figura 5 Figura 6
Figura 7 Figura 8
0.2
0.4
0.6
0.8
1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
1
2
3
4
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
0.5
1
1.5
2
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
1
2
3
4
5
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
Figura 9 Figura 10