f } SpringerWienNewYork

S p r i n g e r W i e n N e w Y o r k

H e l m u t P o t t r n a n n , A n d r e a s A s p e r l , M i c h a e l H o f e r , Axel K i l i a n

A r c h i t e k t u r g e o m e t r i e

•B e n t l e yI n s t i t u t e Press

Pro£ Dr. H e l m u t P o t t m a n n

T e c h n i s c h e U n i v e r s i t a t W i e n , O s t e r r e i c h ,

u n d King A b d u l l a h U n i v e r s i t y o f Science a n d T e c h n o l o g y , Saudi A r a b i e n

Dr. A n d r e a s Asperl

T e c h n i s c h e U n i v e r s i t a t W i e n , O s t e r r e i c h

Dr. M i c h a e l H o f e r

T e c h n i s c h e U n i v e r s i t a t W i e n , O s t e r r e i c h ,

u n d W i e n e r W i s s e n s c h a f t s - , F o r s c h u n g s - u n d T e c h n o l o g i e f o n d s ( W W T F ) ,

W i e n , O s t e r r e i c h

D i p l . - I n g . Axel Kilian, P h D ( M I T )

D e s i g n I n f o r m a t i c s , T e c h n i s c h e U n i v e r s i t a t Delft, N i e d e r l a n d e

Die d e u t s c h e Ausgabe b a s i e r t a u f der im e n g l i s c h e n e r s c h i e n e n e n P u b l i k a t i o n

" A r c h i t e c t u r a l G e o m e t r y " ( B e n t l e y I n s t i t u t e Press, 2 0 0 7 ) . Sie w u r d e von den A u t o r e n

h i n s i c h t l i c h der V e r w e n d u n g als L e h r b u c h i i b e r a r b e i t e t .

Diese Ausgabe ist n u r in den L a n d e r n D e u t s c h l a n d , O s t e r r e i c h , Schweiz u n d

L u x e m b u r g e r h a l t l i c h . A u g e r h a l b dieser L a n d e r k a n n das Buch bei B e n t l e y I n s t i t u t e

Press b e s t e l l t w e r d e n : I S B N 9 7 8 - 1 - 9 3 4 4 9 3 - 0 5 - 2 .

Das W e r k ist u r h e b e r r e c h t l i c h g e s c h i i t z t .

Die d a d u r c h b e g r i i n d e t e n Rechte, insbesondere die der O b e r s e t z u n g , des Nachdruckes,

der F u n k s e n d u n g , der W i e d e r g a b e auf p h o t o m e c h a n i s c h e m oder a h n l i c h e m Wege und

der Speicherung in D a t e n v e r a r b e i t u n g s a n l a g e n , bleiben, auch bei nur auszugsweiser

Verwertung, vorbehalten. Die W i e d e r g a b e von G e b r a u c h s n a m e n , H a n d e l s n a m e n , Waren­

b e z e i c h n u n g e n usw. in diesem Buch b e r e c h t i g t auch ohne besondere K e n n z e i c h n u n g n i c h t

zu der A n n a h m e , dass solche N a m e n im Sinne der Warenzeichen- u n d Markenschutz­

Gesetzgebung als frei zu b e t r a c h t e n waren und daher von j e d e r m a n n b e n u t z t werden diirfen.

P r o d u k t h a f t u n g : S a m t l i c h e A n g a b e n in dies em F a c h b u c h e r f o l g e n t r o t z sorgfiltigerB e a r b e i t u n g u n d K o n t r o l l e o h n e Gewahr. Eine H a f t u n g der A u t o r e n o d e r des

Verlages aus dem I n h a l t dieses Werkes ist ausgeschlossen.

© 2 0 1 0 S p r i n g e r - V e r l a g / W i e n

© 2 0 1 0 B e n t l e y Systems, I n c o r p o r a t e d

P r i n t e d in the U S A

S p r i n g e r W i e n N e w Y o r k ist ein U n t e r n e h m e n von

S p r i n g e r Science + Business M e d i a

springer. at

L e k t o r a t : E r i c h Lag

Layout: E l i s a b e t h Kaziz- H i t z , Eva R i e m e r

G e d r u c k t a u f s a u r e f r e i e m , c h l o r f r e i g e b l e i c h t e m Papier

S P I N 1 2 6 6 6 7 3 7

M i t z a h l r e i c h e n f a r b i g e n A b b i l d u n g e n

B i b l i o g r a f i s c h e I n f o r m a t i o n der D e u t s c h e n N a t i o n a l b i b l i o t h e k

Die D e u t s c h e N a t i o n a l b i b l i o t h e k v e r z e i c h n e t diese P u b l i k a t i o n in der D e u t s c h e n

N a t i o n a l b i b l i o g r a f i e ;d e t a i l l i e r t e bibliograf1.sche D a t e n s i n d im I n t e r n e t iiber h t t p : / / d n b . d - n b . d e a b r u f b a r .

I S B N 9 7 8 - 3 - 2 1 1 - 9 9 7 6 5 - 9 S p r i n g e r W i e n N e w Y o r k

I

V o r w o r tDie G e o m e t r i e spielte in der A r c h i t e k t u r stets eine wichtige Rolle, sowohl in der

A u s b i l d u n g der S t u d i e r e n d e n als auch in der Praxis. Beide Bereiche w u r d e n d u r c h die

Verfiigbarkeit von 3 - D - M o d e l l i e r u n g s - und V i s u a l i s i e r u n g ssofrware r e v o l u t i o n i e r t .

Die ser U m b r u c h hat zu einer Verlagerung der w e s e n t l i c h e n g e o m e t r i schen

I n h a l t e g e f i i h r t . War friiher alleine s c h o n die D a r s t e l l u n g g e o m e t r i s c h e i n f a c h e r

E n t w i i r f e ein k o m p l i z i e r t e s u n d z e i t r a u b e n d e s U n t e r f a n g e n , so stellen sich h e u t e

neue H e r a u s f o r d e r u n g e n , zum Beispiel in der p r a k t i s c h e n U m s e t z u n g komplexer,

digital e r z e u g t e r G e o m e t r i e n . D a m i t liegt nun der 5 c h w e r p u n k t der a k a d e m i s c h e n

Au s b i l d u n g a u f der V e r m i t t l u n g jene s g e o m e t r i schen Basiswissens, das fiir einen g u t e n

O b er b l ick iiber die Vielfalt der v o r h a n d e n e n ( d ig i t a l en) Werkzeuge u n d fiir deren

efIizienten Einsatz n o t i g isr.

A n g e s i c h t s dieser E n t w i c k l u n g e n h a b e n wir im Jahr 2 0 0 7 das Buch " A r c h i t e c t u r a l

G e o m e t r y" v e r o f l e n t l i c h r . Das i n t e r n a t i o n a l e Echo a u f dieses m e h r als 7 0 0 5 e i t e n

st arke Buch , da s einen Bogen von den e i n f a c h s t e n G r u n d l a g e n bis hin zur akruellen

a r c h i t e k t u r g e o m e t r i s c h e n F o r s c h u n g span nt, war sowohl von A r c h i r e k r i n n e n und

A r c h i c e k t e n als auch von a k a d e m i s c h e n L e h r e r i n n e n u n d L e h r e r n sehr positiv. Das

Buch e r h i e l t in der Fachwelt h o c h s t e s Lob, ist aber fiir den L e h r b e t r i e b etwas zu

u m f a n g r e i c h . M i t einer d e u t s c h e n Version, die speziell a u f die Bedurfnisse in der

Lehre e i n g e h t , wollen wir zur graBen T r a d i t i o n in der G e o m e t r i e - A u s b i l d u n g im

d e u t s c h s p r a c h i g e n Raum b e i t r a g e n . Die a u f das g e o m e t r i sche Basiswissen r e d u z i e r t e ,

leichtere deuts che Fassung b i e t e t eine k o s t e n g i i n s t i g e r e A l t e r n a t i v e zum e n g l i s c h e n

O r i g i n a l fiir den L e h r b e t r i e b .

Die v o r l i e g e n d e d e u t s c h e Version ist als G r u n d l a g e fiir E i n f i i h r u n g s v o r l e s u n g e n

in die G e o m e t r i e fiir S r u d i e r e n d e von A r c h i t e k r u r u n d Design k o n z i p i e r t . Sie g e h t

vom t r a d i t i o n ellen , a u f der D a r s t e l l e n d e n G e o m e t r i e b e r u h e n d e n C u r r i c u l u m aus

und stellt eine a u f die m o d e r n e n M e d l e n hin a u s g e r i c h t e t e Form der G e o m e t r i e ­

Au s b i l d u n g vor. D a b e i werden w e s e n t l i c h e g e o m e t r i s c h e I n h a l t e der alren Schule n i c h t

vernachlassigt, aber w i c h t i g e neue K o n z e p t e mit e i n g e b u n d e n .

Das Buch ist aber auch fur den Einsatz in der A r c h i t e k t u r - P r a x i s gedacht, z u m i n d e s t

fiir P r o j e k t e mit einer n i c h t allzu h o h e n g e o m e t r i s c h e n K o m p l e x i t a t . All jenen,

die tiefer in da s s p a n n e n d e G e b i e t der A r c h i t e k t u r - G e o r n e t r i e e i n d r i n g e n wollen,

e m p f e h l e n wir w e i t e r h i n , a u f die englische O r i g i n a l a u s g a b e z u r i i c k z u g r e i f e n .

Bei den Le s e r i n n e n u n d Le sern die ses Buche s w i r d keine iib er di e iibl ichen

S c h u l k e n n t n i sse h i n a u s g e h e n d e m a t h e r n a t i sche Au s b i l d u n g vo r a us ges e t z t . Z u r

E r i n n e r u n g a n die S c h u l m a t h e m arik u n d zur E r l e i c h t e r u n g de s Ver s t a n d n i sses h a b e n

wir einige z e n t r a l e Tat sach en au s elernen t a r er u n d an al yti scher G e o m e t r i e im A n h ang

zu s a m m e n g e s t e l l t . Die d a b e i g e t r o f f e n e Au swahl der I n h a l t e ist s u b j e k t i v u n d k a n n

a u f g r u n d der g e b o t e n en Kiirz e a u c h n i c h r voll s t a n d i g se i n .

D i e V e r m i t d u n g d e r I n h a l t e st ii r z t s ic h a u f eine Fiille von A b b i l d u n g en , die F r e u d e an

d e r G e o m e t r i e u n d e i n e r s o l i d e n G e o m e t r i e a u s b i l d u n g v e r m i t t e l n so ll e n . W i r h o f f en,

d a ss die ses L e h r b u c h der A r c h i t e k t u r - G e o m e t r i e auch d a d u r c h l e i c h t le sbar u n d g u t

v e r s t a n d l i c h ist u n d s o m i t eine w i l l k o m m e n e G r u n d l a g e fiir E i n f i i h r u n g s v o r l e s u n g e n

an U n i v e r s i t a t e n d a r s t e l l t .

DanksagungG a n z b e s o n d ers m o c h t e n wir un s n o c h e i n m a l bei all j e n e n b e d a n k e n , die uns bei

d e r A r b e i t an der e n g l i s c h e n O r g i n a l a u s g a b e u n t e r s t i i t z t h a b e n . Bei der d e u t s c h e n

O b e r s e t z u n g h a b e n un s vo r allem B e r n h a r d B l a s c h i t z ( K o r r e k t u r l e sen), M a r t i n

Reis ( H i l f e b e i m La y o u t ) , o n l i n e l e k t o r a t @ a o n . a t ( L e k t o r a t ) , Eli s a b e t h K a z i z - H i t z

u n d Eva R i e m e r (La y o u t ) se h r p r o f e ssionell g e h o l f e n ; allen d a f i i r e i n au f r i c h t ig es

D a n k e s c h o n l U n ser D a n k g e b i i h r t a u ch B u d d y Cle v e l a n d u n d ] e f f K elly vo n Bentle y,

we lch e die O b e r s e t z u n g v o n S e i t e n de s Verlags b e s t m o g l i c h u n t e r s t i i r z t h a b e n . Ein

h e r z l i c h e s D a n k e g e b u h r r auch w i e d e r un seren F a m i l i e n (z w e i K i n d e r m e h r als bei der

e ng l isc h e n O r i g i n a l a u s g a b e ) fiir ihre Liebe u n d die i m m e r w a h r e n d e U n t e r s t i i t z u n g

un serer A k t i v i t a t e n !

I I

I n h a l tK a p i t e l l : E r z e u g u n g e i n e s d i g i t a l e n 3 - D - M o d e l l s 1E r z e u g u n g eines d i g i t a l e n 3 - D - M o d e l l s 3M o d e l l i e r u n g des W i n t o n - G a s t e h a u s e s 5Kugeln, K u g e l k o o r d i n a t e n u n d E x r r u s i o n s t l a c h e n 17

K a p i t e l 2 : P r o j e k t i o n e n 23P r o j e k t i o n e n 25Perspektive 35Licht, S c h a t t e n u n d R e n d e r i n g 49N o r m a l e u n d schiefe A x o n o m e t r i e 57N i c h t l i n e a r e A b b i l d u n g e n 67

K a p i t e l 3 : P o l y e d e r u n d p o l y e d r i s c h e F l a c h e n 73Polyeder u n d p o l y e d r i s c h e Flachen 75P y r a m i d e n u n d P r i s m e n 77P l a t o n i s c h e K e r p e r 81E i g e n s c h a f t e n p l a t o n i s c h e r K e r p e r 87D e r g o l d e n e S c h n i t t 89A r c h i m e d i s c h e K e r p e r 93G e o d a r i s c h e K u p p e l n 97R a u m f i i l l e n d e Polyeder 103

Polyedrische Flachen 105

K a p i t e l 4 : B o o l e s c h e O p e r a t i o n e n I I IBoolesche O p e r a t i o n e n 113V e r e i n i g u n g , D i f f e r e n z u n d D u r c h s c h n i t t 115T r i m m e n u n d S p l i t t e n 119F e a t u r e - b a s i e r t e s M o d e l l i e r e n : ein effizienter Z u g a n g zum F o r m d e s i g n 127

K a p i t e l 5: E b e n e T r a n s f o r m a t i o n e n 141Ebene T r a n s f o r m a t i o n e n 143S c h i e b u n g , D r e h u n g u n d Spiegelung in der Ebene 145S k a l i e r u n g u n d S c h e r u n g 153PB.asterungen u n d P a k e t t i e r u n g e n 155

K a p i t e l 6 : R a u m t r a n s f o r m a t i o n e n 165R a u m t r a n s f o r m a t i o n e n 167S c h i e b u n g , D r e h u n g u n d Spiegelung im Raum 169S c h r a u b u n g 179Stetige B e w e g u n g u n d A n i m a t i o n 187Affine T r a n s f o r m a t i o n e n 193

I I I

Kapitel 7: Kurven und Flachen 201Kurven und Flachen 203Kurven 207Kegeischnitte 223Flachen 229Schnittkurven von Flachen 237

Kapite18: Freiformkurven 245Freiformkurven 247B e z i e r - K u r v e n 251B-Spline-Kurven 261NURBS-Kurven 267Unterteilungskurven 271

Kapite19: T r a d i t i o n e l l e F l a c h e n k l a s s e n 277Traditionelle F l a c h e n k l a s s e n 279Drehtlachen 281Schiebflachen 297Regeltlachen 303Abwickeibare Flachen 315Schraubflachen 327Rohrtlachen 333

K a p i t e l l O : O f f s e t s 335Offsets 337Offsetkurven 339Ofisettiachen 345Trimmen von Offsets 351Anwendungen von Offsets 355

K a p i t e l l l : F r e i f o r m f l a c h e n 363F r e i f o r m t l a c h e n 365B e z i e r - F l a c h e n 369B-Spline-Flachen und NURBS-Flachen 383Netze 387U n t e r t e i l u n g s f l a c h e n 405

K a p i t e l 1 2 : D i e E r s t e l l u n g von M o d e l l e n im K o n t e x t der A r c h i t e k t u r 423Die Erstellungvon Modellen im Kontext der Architektur 425Fabrikationstechniken 435Schneidebasierte Prozesse 437Additive Verfahren: schichtbasierte Fabrikation 439Subtraktive Verfahren 443Herausforderungen beim Frasen und Rapid Prototyping 447Zusammenbau 451

Anhang - Geometrische Grundiagen 455Literatur 465Index 467Bildnachweis 471

IV

K a p i t e l lE r z e u g u n g e i n e sd i g i t a l e n 3 - D - M o d e l l s

E r z e u g u n g e i n e sd i g i t a l e n 3 - D - M o d e l l s

W i r aile h a b e n schon digitale A r c h i t e k t u r m o d e l l e von groBer K o r n p l e x i t a t in

v e r s c h i e d e n e n D a r s t e l l u n g s f o r m e n gesehen. Aber wie b e g i n n e n wir? Wie k o n n e n wir

unsere Ideen mit Hilfe eines C o m p u t e r s v e r w i r k l i c h e n ? Was sind die g e o m e t r i s c h e n

G r u n d l a g e n , die es uns e r r n o g l i c h e n , ein digitales d r e i d i m e n s i o n a l e s ( 3 - D - ) M o d e l l

zu erzeugen? Viele Werkzeuge u n d P r o z e d u r e n fur die E r s t e l l u n g von 3 - D - M o d e l l e n

w e r d e n von m o d e r n e n C A D - S y s t e m e n ( C A D s t e h t als A b k i i r z u n g fur C o m p u t e r ­

aided Design) zur Verfugung gestellt . Urn die existierende Software effizient

e i n z u s e t z e n - u n d urn d a r i i b e r h i n a u s g e h e n zu k o n n e n - ist ein gutes g e o m e t r i s c h e s

Wissen n o t w c n d i g .

N a t i i r l i c h b e g i n n t die E n t w u r f s a r b e i t eines A r c h i t e k t e n lange vor dem g e o m e t r i s c h e n

M o d e l l i e r c n . F r a n k O. G e h r y zu Folge kam seine I n s p i r a t i o n fur das

W i n t o n - G a s t e h a u s in Wayzata, M i n n e s o t a , von den S r i l l l e b e n - C e r n a l d e n von

G i o r g i o M o r a n d i . Als er in den 1 9 8 0 e r J a h r e n g e b e t e n wurde, ein G a s t e h a u s fur einen

K l i e n t e n zu bauen, e n t s c h i e d er sich fur einen K o n t r a p u n k t zum H a u p t h a u s , das

bereits 1952 von Philip J o h n s o n g e b a u t w o r d e n war.

3

G e h r y e m w a r f das G a s t e h a u s als eine groBe Fr eilufi:skulptur , in d er je de r Raum ein

ei gens ta n di ges M i n i a r u r - C eb aud e d a rsr ellt (A b b . 1.1). Ba s i e r e n d a u f Skizzen w u r d en

sk alie rt e ph ysische 3 -D -M o de lle u n d Pl a n z e i c h n u n g e n m anu ell e rs te l l t. In d iesem

K ap ir el lern en w ir ein di g it al es 3 - D -Mo d el l d i eses Geb aud es zu erze uge n .

Abb. 1.1(oben) Das W i n t o n - G a s t e h a u s vonFrank O. Gehry: Skizzen,( u n t e n links) s k a l i e r t e physikal ischeModelle,( u n t e n r e c h t s ) Foto des Gebaudes,

4

x y - Eb e n e

Abb. 1.2Ein k a r t e s i s ches K o o r d i n a t e n s y s t e mm i t den dre i Koord inaten ( x p, YP' zp)eines Punktes P i m 3 - D - R a u m . EinK o o r d i n a t e n w e g , der den Ursprung 0m i t dem Punkt P v e r b i n d e t , l i e g t aufdem Ko o r d i n a t e n q u a d e r m i t Lange x p ,Breit e YP und H6he z p.

zx- Ebe n e

M o d e l l i e r u n g d e sWi n t o n - G a s t e h a u s e s

K a r t e s i s c h e K o o r d i n a t e n . G e o m e t r i sche O b j ekt e k o n n c n a ls ci ne An s a m m l u n g

vo n P u n k r c n bc s c h r i e b c n we rd en , wclche die Fo rm de s O b j ckt cs b e s t i m m en. Um di e

P o s i t i o n cin es P u n k t c s P im d r e i d i m e n sion alen R a u m (3 - D - Ra u m) z u bc s t i m r n c n ,

ve r w e n d e n wir e in g eo rdn et es Tripcl vo n Z ahlen, di e a ls Koordi n aten b e ze i c h n e t

we rden, D ies e K o o r d i n at en m essen wi r in B ezu g a u f ei n gewa h l tes Koordinatensy stem.

Ei n k a r t esi sches K o o r d i n a t en system ( A b b . 1.2 ) i st d u r ch d rei p a a r wc is e o r t h o g o na le

o r ien t i e r te Ac hse n gege b e n , d i e als x -, y - u n d z- A c hs e b e z e i c h n et wer den , D i e d r e i

A c hse n t r e f f en ei na n de r in ei ne m ge m e i n s a m e n Pu n k t 0 , d e m Koordinatenu rsprrmg

( k ur z : Ursprrmg ) . A u f j e d e r K o o rd in at cn a ch s e v e r w e n de n wi r di es clb e Ei n h e i t s ­

l a n g e . B e zo g en a u f e i n b c sr i r n m t es K o o rd i n ar cn s y st c m h at d a n n ei n P un kt P

im d r e i d i m en si o n al e n R a um di e d r e i ka r t e s i s c he n K o or d in at cn (x p ,}p , z p ) . Sie

w e r de n x -Koordinate x p , y -Koord i n a te YP u n d z -K oord i n a t e z p ge n a n n t . D i e p o s it iv e n

K o o r d i n at en li e g en i m me r a u f je ne n H a l b g e r a d e n , w el ch e i m U r s p r u n g b e gi nn en

u n d i n A c h s c n r i c h t u n g ve rla u fe n .

U m yo m Ur s p r u n g 0 m i t d en K o o r d in at en ( 0, 0 , 0 ) z u e i n e m P u n k t P m it den

K o o r d i n a t e n (x p , YP ' zp ) zu g ela n ge n, g i b t es sec hs ve rsc h i e de ne Koordin ate ruoe ge, d ie

a ile a u f einern Koordin at enqu ad er d e r L ange x p , B r e i t e YP u n d H o h e zp li egen . D i e ac h r

E c k e n des K o o r d i n a t e n q u ad er s be sitz en di e Ko o r d i n a t en ( 0, 0 , 0 ), (x p , 0, 0 ),

(O, y p, 0 ), ( 0 , 0 , z p) , (x p 'Y P' 0 ) , (x p , 0 , z p), ( O, y p, z p) u n d (x p , y p' zp) . ] ed es P a ar von

K o o r d i n at en a ch sen spa n n t c i ne Eb en e a u f , di e al s Koordi n at en eben e b e ze ichn er w ir d .

W i r c r h a l t en d ah er di e xy- Eben e, di e y z - E b en e u n d di e z x -E b ene. W i r m e rk cn n o ch a n,

d a ss in jed e r K o o r d i n at cn eb e n e d u r ch d ie b eid en K o o rd in a t en ach s en a u c h e i n

ka r tesisc hes 2 - D - Koo r di na te n sys te m fes tg cleg t ist ,

v z - E b e n e

/y

5

R e c h t s - u n d l i n k s h a n d i g e K o o r d i n a t e n sy s t e m e . W i r v e r w e n d e n d as k a r t esisch e

Ko o r d i n at en system i n A b b ild ung 1.3. Blicken wir e nt gegen de r z - Ri c h t u n g au f di e xy ­

E b ene, d an n fii h r t eine po sitive 90 - Gra d - Dre h u ng ( d. h . gegen d e n

U h rzeige rsinn ) d ie x -Ach se in d ie y -Ach se iib er. E i n so lch es rechtshiindi ges kar tesi sch es

Ko o rd in at en syst em ka n n mi t de n er s t en d re i F in gern d er r e c h t en H and einfac h

n ach g eb ild et w er de n .

Beginn en d m it der z ur Fau st g eb allt en r echt en H and . s t rec ke n wi r d en D aum en i n

R i c h t u n g d er x- A chse u nd d en Z e i g d i n g e r i n R i c h t u n g d er y -A c hs e. D ann k o n n e n

wi r d en M i t t e l f i n g er so offn en . d ass er in R i c h t u n g der z -A ch se ei n es re cht sh andigen

k art e sisch en Ko o r d i n a t en syst em s ze ig t . A n d ern wi r di e O r i e n t i e r u n g de r z -A ch se,

er h alt en w i r ein linkshiindiges k a r t esische s K o o r d i n a t e n syst ern, d a s mit D a u m en,

Zeige - u n d M i t t e l f i n g e r d er l ink en H and v isu al isiert w erd en kann. Es g ib t also zwei

mogl ich e O r i e n t i e r u n g en fiir ei n k a r t esische s 3 - D - K o o r d i n at en system.

Irn ge samt en Buch ve r w e n d e n wir - w ie in der G e o m e t r i e iibl ich - r e cht s h a n d i g e

Ko ord in at en systeme. Fiir d en D aren au st au sch zw ische n ve rsch iede ne n

C A D - S yst emen ist es w ich ti g , d ass di e O ri e n t i e r u n g d er Ko o r d i n aten systeme

di eselb e ist , A nso nste n wer de n z .B. b ei d e r O b e rtra g u ng aile O b j e k t e a n der xy -E be n e

gespieg el t .

zr e c h t e Hand

Abb . 1.4Modellierung de r be iden Quader desKamins im W i n t o n - G a s t e h a u s ( l i n k s ) .Der u n t e r e Teil i st annahernd einWurfel ( r e c h t s ) , und der Kam in

Abb. 1.3Rechtshand iqes kartesischesR e c h t s k o o r d i n a t e n s y s t e m .

ist ein Quader m it quad r a t i s c h e rGrundflache.Dre i Ecken des Quadrats sind diePunkte P2, P 3 und P 4 •

P 1 ( 3 5 3 / 3 5 7 10 )h i = 335

P 2 ( 1 2 3 1 6 1 1335)P 3 ( 2 2 9 1 ° 1335)P . ( 2 9 0 1106 1335)n, = 4 1 5

Q u a d e rQ u a d e r

6

F l a c h e n m o d e l l

V o l u m e n m o d e l l

~ader. W ahrend ein Wtirfel sechs kongruent e quadr atische Flachen besitzt, besteht

ein Quader aus drei Paaren jeweils kongruent er R echrecke, die in pa arweise

zueinander orthogonalen Ebenen liegen. Die geometrischen Grundelemente eines

Quaders sind sein e 8 Ecken, 12 Kanten und 6 ebenen Flachen. Wir kon struieren nun

den Kamin im W i n t o n -G astehaus, der aus zwei Quadern besteht .

Fur das Modellieren zweckmali ig, wahlen wir die xy-Ebene horizontal und die z-Achse

nach oben zeigend. Wi r platzieren den ersten Quader so, dass drei Kanten mit den

Koordinatenachsen und eine Ecke mit dem Ursprung eines kartesischen Koordinaten­

systems iibereinstimmen (Abb. 1.4, links). Dazu wahlen wir den Ursprung als eine

Ecke und definieren dann Lange und Breite des Basisrechtecks in Richtung der x - und

y-Achse. Schlielslich geben wir noch die Hohe hI d es ersten Quaders ein . Urn einen

Wurfel zu erhalten, mussten wir Lange, Breite und Hohe gleich g r o f wahlen.

Ein wesentliches C A D - K o n s t r u k t i o n sprinzip ist, dass wir digital immer mit den

tarsachlichen MatSen konstruieren. Daher verwenden wir die Originalabmessungen

des Q u a d ers, Den zweiten Quader, der den Kaminschlot darstellt, positionieren wir in

de r Deckllache des ersten Quaders. W ir zeichnen dazu das Basisquadrat in der

Decktlache, von dem wir die Koordinaten von drei Ecken kennen : Pz, P 3 und P 4

(Abb. 1.4, rech ts) . Dann definieren wir d ie Hohe h z des Kamins und erh al t en den

zweiten Quader,

Flachen- und V o l u m e n m o d e l l e . Ein geometrisches Objekt mit derselben

Berandung kann entweder ein Fldchenmodell (vorzustellen als eine diinne Haut)

oder ein Volumenmodell (vorzustellen als massives gefiilltes Modell ) sein, wie in

Abbildung 1.5 fur einen Quader illustriert. Urn den Unterschied zwischen Flachen­

und Volum enmodell zu verdeutlichen, ziehen wir einen Vergle ich zu Kunst und

Modedesign. Ein Bildhauer beginnt mit einem Block aus Stein od er Holz (einem

Volum enmodell) und ent fern t Material, urn die gewunschte Skulptur zu erhalten . Im

Gegensatz dazu verwendet ein Moded esigner Stoffstucke (also Flachenrnodelle) , urn

ein Kleidungsstiick zu formen .

Abb . 1.5Hacnen- und Volumenmodell i l l u s t r i e r tan Hand eines Quaders m i t einemh e r a u s g e s c h n i t t e n e n Teil.

Abb. 1.6( l i n k s ) Parallelextrusion eines Polygonserzeugt ein Prisma.( r e c h t s ) Z e n t r a l e x t r u s i o n einesPolygons erzeugt eine Pyramide .

7

W ir a r b eit en vo rla u fig mit a bs t ra k te n geom e t r i s c h e n O b jekt en u n d er ze u ge n nur die

G r u n d f o r m e n , o h n e Wand - u n d De cken st ark en od er Fen st er- u n d Tiir o f l n u n g e n zu

b erii ck si c h t i g e n . In Kapitel 4 l ern en w i r d ann Werk z euge zur we i tere n Bearb e i t u n g

di eser geo m e t r i schen M o d e l l e kenn en . Z u n ach st be sch r ank en w i r un s a u f die

geome tr ische n G r u n d f o r men , o ft in de r Form eine s Vol u m en mo de lls.

E x t r u s i o n . D er u n t e r e Teil d es W o h n z i m m e r s im W int o n - Gas t eha us ist k ein Q u a d er,

d a d ie Bas isfla che kein Re chte ck ist , De r R aum be sit zt j e d o ch sen kre ch te W ande.

M it H i l f e von P a r a l l e l e x t r u sion erz eugen w i r e i n Prisma , ind em wi r ei n Pol ygon

in die g ewii ns ch t e H o h e ext r u d iere n (sieh e au ch K a p i t e l 3 ) . W a hr en d ein Polygon

ei n geschlo ssenes O b j e k t ist , ist e ine Polyl inie " o ffen" in d em Sinn , d ass sie zwe i

E n d p u n k t e be sirzt , die d u r c h eine Folg e von Strcck en m i t e i n a n d e r v e r b u n d e n si n d .

Parallel e x t r u sion ein er Polylini e p e rze u g t eine Prism enfii cbe (A b b . 1.6, l i n k s).

Ein ver w an d t es W e r k z e u g ist d ie Z e n t r a l e x t r u sion . Dab ei wird ein Polygon p zu einem

ein zigen P u n k t S im Raum ext r u d ier t , u n d w i r erzeugen d a m i t ein e Pyramide (siehe

au ch Kap itel 3 ) . Verwend en wir ei ne Pol ylini e, d a n n erzeu gen wir e i ne

Py ramidenfidche (A b b . 1.6, re c h t s ). Z u r K on s t r u k t ion d es u nte re n Teils d es

W o h nzi m me rs im W i nt o n - G aste ha us als Pr ism a zei chn en w i r d a s Basisv ier eck in der

xy -E be ne m i t d en v ie r E ck p u n k re n P s , P 6 , P 7 u n d P g u n d ext ru d ie re n die ses d ann in

z - Ri ch r u n g b is zu r gewiin s c h t en H oh e h 3 (A b b. 1.7 ).

Abb. 1.7Der untere Teil des Wohnzimmersim W i n t o n - G a s t e h a u s i st ein Prisma ,e r z e u g t durch Paralle l e x t r u s i o n .

Abb . 1.8aDie v ier ebenen Vierecke, d ie dasWohnzimmerdach bilden, werden m itHilfe von lokalen Koord i n a t e n s y s t e m e nk o n s t r u i e r t ( b e s c h r i f t e t m i t "BKS ").Gezeigt wird d ie K o n s t r u k t i o n fO r zweider v i e r Dachebenen.

P s( - 2 7 4 1 3 5 7 10)P 6 ( 2 6 6 13 5 7 10 )P 7 ( 2 7 0 19 6 9 10 )P a ( - 3 0 9 18 6 1 10 )

P g ( 2 6 6 13 5 7 12 4 4 ) = (01010)P,o(270 19 6 91 2 4 4 )P l l ( 3 8 1 18 3 6 10 )P 12 ( 3 0 4 18 3 6 10 )

8

Pr i s m a

99 °

P g ( I o k a l e r U r s p r u n g )

Abb. 1.8bDie beiden anderen Dachebenenwerden analog m o d e l l i e r t . LokaleKoordinaten werden andersfarblqd a r g e s t e l l t und sind i m m e r auf dasb e s c h r i f t e t e lokale K o o r d i n a t e n s y s t e mbezogen .

Abb. 1.9Ein lokales K o o r d i n a t e n s y s t e m m i tUrsprung P17 wird v e r w e n d e t , um daserste S c h l a f z i m m e r m i t Hilfe einerParallelextrusion zu erzeugen . DerPunkt P l 7 Iiegt auf der Geraden P 6 P 7

und hat eine lokale y - K o o r d i n a t e von753 Einheiten.

P 13 = P lQ = (0 1010)P 14 ( - 3 0 9 18 6 1 1244 )P l s ( 3 5 1 18 5 0 10 )P l 6 = r ..

G l o b a l e und lokale K o o r d i n a t e n s y s t e m e . Bis j e t z t h a b e n wir in einemglobalen

(Welt- , absoluten) K o o r d i n a t e n s y s t e m g e a r b e i t e t . Dieses System ist i i b l i c h e r w e i s e

ein r e c h t s h a n d i g e s kartesisches K o o r d i n a t e n s y s t e m . Fur das g e o m e t r i s c h e Design

ist es aber ott w i i n s c h e n s w e r t , auch lokale (benutzerdefinierte , Hilfs-, relative)

K o o r d i n a t e n s y s t e m e e i n z u s e t z e n , urn M o d e l l i e r a u f g a b e n zu v e r e i n f a c h e n . W e n n

wir lokale K o o r d i n a t e n in ein C A D - S y s t e m eingeben, werden diese a u t o r n a t i s c h in

gIobale K o o r d i n a t e n u m g e r e c h n e t .

D e r obere Teil des W o h n z i m m e r s im W i n t o n - G a s t e h a u s ist kein P y r a m i d e n s t u m p f

( b e s p r o c h e n in K a p i t e l J) . D a h e r ist die Z e n t r a l e x t r u sion n i c h t das passende

Werkzeug, u n d wir w a h l e n einen a n d e r e n M o d e l l i e r z u g a n g . Jede der vier D a c h f l a c h e n

ist ein ebenes Viereck, das wir mit Hilfe eines lokalen B e n u t z e r k o o r d i n a t e n s y s t e m s

(BKS) m o d e l l i e r e n (Abb . 1.8) . Z u s a m m e n formen die vier Vierecke ein F l a c h e n r n o d e l l

fur das Dach des W o h n z i m m e r s .

Das erste S c h l a f z i m m e r im W i n t o n - G a s t e h a u s h a t eine p r i s m a t i s c h e Form, die wir mit

Parallel e x t r u s i o n erzeugen. Fur diesen Zweck d e f i n i e r e n wir ein lokales kartesisches

K o o r d i n a t e n s y s t e r n mit einer W a n d des W o h n z i m m e r s als lokaler xy-Ebene

(Abb. 1.9). D a n n z e i e h n e n wir ein Basispolygon in der lokalen xy-Ebene u n d

e x t r u d i e r e n dieses in Iokaler z- R i c h t u n g , urn das g e w u n s c h t e Prisma zu e r h a l t e n .

P I 7 ( 2 7 3 1 6 6 3 1 0 ) = (01010)P l s ( 4 5 4 10 10 )P I 9 ( 4 5 4 13 2 3 10 )P 2o ( 0 14 6 3 10 ) ti , = 7 4 7

9

P o l a r k o o r d i n a t e n . Ne be n d en e be ne n kartesis c he n Koo rdi na te n gi b t es ei ne

a l te r n a t ive Mo g l ich kei t, ebene Koo r d i nate n zu d efin i e r e n. Po larkoo rdinaten (r, cp)

eines P u n k t es P ge be n d en A bs ta n d r d es P u n k t es P zum U rsp ru n g 0 u n d d en W in kel

o s cp < 3 60 0 zur Polarachse a n (A b b. 1.10 , lin ks) . D ie P ol ar ach se w i r d ii b l ic he rw eise

al s d ie po sit ive H a l b g er ad e d er x-Achse ge w ahlt. W ahr end e be ne k a r t esisch e

K o o r d i n at en den Ab st and zu zw e i o r t h o g on alen Ach sen m essen , sind d i es b ei Polar ­

koo r d i n at en d er Ab st and r zum Ur s p r u n g u n d der W in kel zwi s chen d e r P ol a r achs e

u n d d e r H alb ger ad en P O.

P olar ko o r d i n at e n kon ne n b e im M o d e l l i e re n mi t e inem C A D -Syst em seh r hil fr ei ch

s ei n, i ns b eso n de r e fu r d i e Ei nga be vo n Ko o rd in at en i n l ok alen K o o r d i n at en system en,

D ie k arr e sischen K o o rd in at en d er P u n k t e e i nes Kr e ises m i t M i r t e l p u n kt i m Ur s p r u n g

u n d R ad iu s r s i n d (r.c oscp, r -s i nrp) . W i e in Abb i l d u n g 1.10 ( re c h ts) gez eigt , ve rw e n de n

wir die s, urn von Pol ark o o r d i n aten ( r, rp ) a u f ka rt esische K o o r d i n a t e n (x,y) wi e folgt

u m z u r e chn en:

x = r·coscp,

y = r -si n rp,

Di e K iich e u n d d i e G a r ag e d es W i m o n -Gas te ha us es b ild e n z usa m m e n e i n wei t e r es

Pri sm a. W i r k e n n e n d en W i n kel, d en eine Wa n d de s W o h nzi m me rs m it ein e r Wa n d

der Kiich e e i ns ch l ieli t , W eit e r s k enn en wir die Lang e d es C e b aud es. D a m i t k o n n e n w ir

da s Basi spol ygon m it H ilfe vo n l o k a l en Pol ark o o r d i n at en k on s t r u i e r en (A b b . 1.11 ) .

W i r verwe n de n d a z u e in l ok al es Po l a rk o o rdin aten syst em in d er glob alen xy- E be n e .

E in e K ame d es W o h n z i m me rs lieg t a u f d er lokal en Pol ar ach se . Mi t P ar allele x t r u s ion

d es Bas isp ol ygon s in g lo ba ler z- Ri c h t u ng ( b is z ur g ewiin scht en H o h e) er ze uge n wir

da s ge wiin s c h t e Pri sm a.

Abb . 1.10Ebene P o l a r k o o r d i n a t e n und i h r eUmwand lung i n ebene kartesischeKoordinaten.

Abb. 1. 11Das Basispolygon p (P 2 11 P 2u P 2 3t

P 2 4 ) der K Oche und der Garage wirdim lokalen P o l a r k o o r d i n a t e n s y s t e mgeze ichnet . Parallel e x t r u s i o n von p inz - R i c h t u n g b is zu e iner H5he h s er z e u g tein Prisma.

P z 1 ( - 1 1 6 / 8 9 7 1 0 ) = ( 0 1 0 ° )Pn ( r n l q> zz) = ( 1 4 6 9 1 1 0 1 ° )P n (1 5 1 0 111 5 ° )P z 4 ( 3 5 5 11 8 0 0 ) h 5 = 4 2 1

y = r ·sin q>

X•

P

oL 0 f f _ --L.l.. o - - - - - - - - - .P o l a r a c h s e x = r-ees e

Po l a r a c h s e

10

Abb . 1 . 1 2Zy l i n d e r koord inaten ( r , !p , z ) s ind ebenePolar koo rd inaten ( r , !p ) , e rwei t e r t umd ie k a r t e s i s c h e z-Koord inate .

Abb . 1 . 1 3( l i n k s ) Ein Drehzyl i n d e r kann durchP a r a l l e l e x t r u s ion e ines Kreises kde r Ebene E e r z e u g t werden. DieE x t r u s ions r ic htu ng i st o r t h o g o n a l zu E.( r e c h t s ) Eine a l t e r n a t ive Konst r u k t i o ni st d ie Drehung einer Erzeugenden eum e ine parallele Achse a.

Z y l i n d e r k o o r d i n a t e n . Eng verwan dt mit e be ne n Pol ar k o o r d i n at en sin d di e

r aurn lich en Zy linderkoordina ten (r, q>, z), Di ese sin d n i cht s an deres als e be ne

P ol ark o o r d i n at en in d er xy-E b en e, er w e i t er t urn di e z - Ko o r d i na te ( A b b . 1.12 ).

1m U n rerschie d zu e i ne m ka rtes ische n 3 - D - K o o r d i n at en syst em e rse t zen w ir b ei

Z yl in d e rk o o rd i n at en die ka r tes ischen x- u n d j - K o o r dina ten d ur ch d ie p ol ar e n

r - u nd rp- K o o rd i n a t en . Die U mwa n d lung v o n Z yli nd er k o o rdin at en in ka r te sische

K o ord in at en fo lgt d ern P r in z ip d e r o be n b eschri eb en en U m rec h n u n g vo n

P ol ark o ord in at en und p assiert w ic folgt :

x = r -cosrp,

y = r-sinrp ,

z = z .

M it H i l f e vo n Zy li n de rko o r di na t en k o n n e n w i r Po siti o n e n au f D re h zyl i n d e rn leicht

b es t imrn en.

Drehz y l i n d e r . Ei n D rehzylinder ist di e Me nge a ll er P u n k t e i m 3- D- Ra u m , d ie

k on st ant en A bs ta n d vo n ei n er G er ad en (ge na n nt seine D re hac h se) a u f weisen . Ei n

D rch zylind cr ka n n dur ch Parallel extrus ion ein es Kr eises k d er Eb en e E erze ug t w er de n

(A b b. 1.13 , link s). D ab ei ist d ie Ex t r u sion sric h r u n g o rt ho go na l zu E. Ail e G cra de n

a u f ei ne m D r eh z ylind er wer den Erz eugend e gena n nt . Ei nc alt e rna tive Erzeugu n g e in es

D r ch zyli nd er s e r f o l g t durc h R ot ati o n ei ner Er zeu g en den e urn cine d azu p a r allele

Ac h se a (A b b. 1.13 , rec h ts) ,

/ '/

I ~

~ *- I ~e !- I ~- - !- - - .......

I . "­--9;.-t.."...~

11

Drehz ylinder sind G r u n d k o r p e r , die in C A D - S ystemen e n t h a l r e n sind . Sie werden

iiblicherweise durch einen Basiskreis und ih re H o h e definiert. Im W i n t o n - G i stehau s

k o m m t eine drehz ylindrische Saule vor, die den D a c h b o d e n iiber der Kiiche stiitzt

(A b b . 1.14 ). W i r verwenden globale karte sische K o o r d i n a t e n , urn den M i t t e l p u n k r P 2S

des Basiskreises einzugeben.

F a n g f u n k t i o n e n . F angfimktion en u n t e r sriitzen das exakte Kon s t r u i e r e n von

C A D - M o d e l l e n . Beim M o d e l l ieren mit einem C A D - S ystem reichr es n i c h t , mit

Hilfe eines Eingabegerate s (z.B. der C o m p u t e r m a u s) die Position eines P u n k t e s nur

u n g e f a h r anzugeben. Es ist von f u n d a m e n t a l e r B e d e u t u n g , dem C A D - S ystem

. m i t z u t e i l e n " , dass der gewiin schte Punktgpmgen werden soil. Er st diese

T e c h n i k g a r a n t i e r t , dass unsere Kon s t r u k t i o n e n exakt werden. Eine Vielfalt von

F a n g f u n k t i o n e n wird i i b l i c h e r w eise zur Verfiigung gestellt. Die Au swahl fiir Punkre

i n k l u d i e r t das Fangen von E n d p u n k t e n , M i t t e l p u n k t e n , S c h n i r t p u n k t e n , bel iebigen

K u r v e n p u n k t e n u n d der verschi e d e n e n S c h w e r p u n k t e der O b j e k t e .

Selb stver s t a n d l i c h gibt es au ch F a n g f u n k t i o n e n , die auf G e r a d e n , Krei se und so

w e i t e r a n g e w e n d e t werden k o n n e n . W i r v e r w e n d e n j e t z t eine F a n g f u n k t i o n , urn den

D a c h b o d e n (einen Q u a d e r ) so zu po sit ioni eren, das s er genau a u f d er Kiiche und der

z y l i n d r i schen Saule zu liegen k o m m t ( A b b . 1.15) . W i r verw end en dazu ein lokale s

K o o r d i n a t e n system m it Ur s p r u n g im M i t t e l p u n k t P 26 de s oberen R a n d k r e i ses k de s

D r e h z yl i n d e r s. W i r fangen d en M i t t e l p u n k t mit der ent s p r e c h e n d e n F a n g f u n k t ion

u n d m a c h e n i h n zum U r s p r u n g e i n e r l o k a l e n x y - E b e n e , die d en Kr ei s k e n t h a l t ,

P 2 s ( - 6 6 3 1 9 9 1 1 0 )Z v t t n d e r r e d t u s = 30h 6 = h s = 4 2 1

Abb. 1 . 1 4Ein D r e h z y l i n d e r wird als s t u t z e fur denDachboden uber der KOche v e r w e n d e t .

12

D e r W i n k e l zwischen der globalen u n d der lokalen x-Achse ist im G r u n d r i s s

a n g e g e b e n . N u n k o n n e n wir das Basispolygon des Q u a d e r s z e i c h n e n (Abb . 1.15) u n d

seine H o h e e i n g e b e n . Eine f o r t g e s c h r i t t e n e Form des "Fangens" ist das a u t o m a t i s c h e

S p e i c h e r n der sich aus den e i n z e l n e n M o d e l l i e r s c h r i t t e n e r g e b e n d e n A s s o z i a t i o n e n .

D a m i t b l e i b e n die Z u s a m m e n h a n g e (z.B. die gegenseitige Lage) der e i n z e l n e n Teile

e r h a l t e n , auch wenn wir sparer deren GrolSe o d e r Lage v e r a n d e r n (rnehr Details dazu

im A b s c h n i t t . F e a t u r e b a s i e r t e s M o d e l l i e r e n " in K a p i t e l 4 ) .

Griffe. G e o m e t r i s c h e O b j e k t e in C A D - S y s t e m e n h a b e n iiblicherweise einige

mit i h n e n v e r k n i i p f t e Grijfi. Diese e r l a u b e n a u f u n k o m p l i z i e r t e A r t u n d Weise

eine einfache M o d i f i k a t i o n der O b j e k t e . V e r w e n d e n wir Griffe g e m e i n s a m m i t

F a n g f u n k t i o n e n , d a n n k o n n e n wir g e o m e t r i s c h e O b j e k r e leicht verlagern o d e r

v e r a n d e r n . Griffe sind i i b l i c h e r w e i s e jene speziellen P u n k t e , die uns eine Form zu

d e f i n i e r e n helfen.

Typische Griffe eines Q u a d e r s sind seine E c k p u n k t e u n d sein S c h w e r p u n k t .

Klicken wir a u f einen der E c k p u n k t e , d a n n k o n n e n wir den Q u a d e r i n t e r a k t i v

v e r a n d e r n . Klicken wir a u f den S c h w e r p u n k t , d a n n k o n n e n wir den gesamten Q u a d e r

in eine a n d e r e R a u m p o s i t i o n v e r s c h i e b e n . Typische Griffe von D r e h z y l i n d e r n sind

jene zwei Punkre, die A n f a n g u n d Ende der Achse d e f i n i e r e n , sowie ein w e i t e r e r P u n k t

zur D e f i n i t i o n des Radius .

P2 6 ( - 6 6 3 1 9 9 1 1 4 2 1 ) = ( 0 1 0 1 0 )P 27 ( 19 8 1 - 4 6 10 )P 2s ( - 4 6 13 5 1 10 ) h 7 = 2 3 0

Abb. 1.15Mit der Fangfunktion " M i t t e l p u n k t "p o s i t i o n i e r e n wir den Ursprungeines lokalen K o o r d i n a t e n s y s t e m sim Punkt P261 dem M i t t e l p u n k t desDeckkreises der d r e h z y l i n d r i s c h e nSaute. Der Winkel zwischen derglobalen und lokalen x - A c h s e ist m i t-32 Grad gegeben. In diesem lokalenK o o r d i n a t e n s y s t e m erzeugen wir jenenQuader, der den Dachboden uber derKuche d a r s t e l l t .

/B K S

X9'Obd'~ -v/~ X /ok. ,

13

M o d e l l i e r u n g d e s z w e i t e n S c h l a f z i m m e r s . N un wer de n wir das zwe i te Sch lafzi m me r

m it g e k r i i m m te r O be r dac h u n g m o d ell ier en (A b b . 1.16 ). £ i ne geo me t rische

A na lyse zei gt , d ass zwe i ver schie de ne D r eh z yl i n d er in d e r K o n s t r u k t ion i nvo lv iert

s i n d . Ein Teil d es e rs te n D rehz yl i nd er s ge ho rt zur ve r tika le n M a u e r, e in Teil d es

zw ei te n D rehz y l i n d e rs b ild et da s D ac h. W i r erze ug e n d a s zwe i t e Sc h l a f z i mme r a ls

D u r c h sch n i t t zweie r Volume n k o r p e r ,

D azu k o n s t r u i e ren wir z u nachs t in de r xy -E be ne d ie G r u n d f l ach e u n d ext ru d ie re n

d ies e i n ei ne be s t i m m t e H oh e. D ann ve rwe n de n w i r ein l ok al es K o o r d i n ate n system

m it d er lok al en xy- E be n e in d er R iickw and d es Schl afz im m e r s. D er l ok al e Ur s p r u n g i st

d er P u n k t P 29' Die lokal e x-Ac hse l ieg e e n r g e g enge set zt z ur glo ba le n y - Ri ch tu n g, u n d

d ie lokal e y -A c hs e liegt p arall el z ur global en z -A ch se. In d er l okal en xy -E be n e z e i c h n en

wi r d ie B as i s f o r m d es zwei te n Volu m e n k o r p e rs - d ie w ir d ann in lo kal e z - Ri c h t u n g

ext r u d ieren .

D er D u r c h s c h n i t t d er be id en Vol u me n ko r pe r ( s iehe K a p i t e l 4 ii ber Bo ol esche

O p er at ion e n) l i e f e r t un s d as gewii ns c h te ge o m e t r isc he M od ell d es z w e it en

Sc h lafz i m m e rs. S o m i t h ab en w i r a Ile ii b e r d er E r d e li e g e n d en G r u n d k o r p er d es

W i nr o n- Gas te ha uses k o n s t r u iert.

P 29( - 6 6 0 1 5 4 2 1 0) = (01010)P 3 o ( - 6 6 0 1 - 2 3 21 0) = ( 7 7 4 1 0 1 0 )P 3 1 . . . M i t t e l p u n k t des K r e i s b o g e n sP 3 2 = P sP 3 3 ( - 2 8 4 150110)P 3 4 ( 77 4 12 6 6 10 )P 3s ( 3 8 7 14 5 7 10 )P 3 6 ( 0 12 6 6 10 ) r = 582

14

Abb . 1 . 1 6Wir modellieren das zweiteSchlafz i m m e r , indem w ir zweimal einePa r a l l e l e x t r u s i o n anwenden und diebe iden so erzeugten V o l u m e n m o d e l l edanach m i t e i n a n d e r verschne iden .Die Grundflache des erstenVolumenmodells bes i t z t d ie EckenP29, P 3 0 , P 32 u nd P 3 3 • Dabei h at derKre isbogen m i t Endpunkten P 3 0 und P 32

den M i t t e l p u n k t P 3 1 und Radius r. Wi re x t r u d i e r e n i h n i n eine Hohe von 500Einhe iten. Die Basisflache des zwe itenVolumenmodells wird durch die PunkteP 29, P 3 0 , P 3 4 , P 3 S und P 3 6 f e s t g e l e g t ,wobe i d ie letzten dre i Punkte e inenKreisbogen defin ieren . Wir e x t r u d i e r e nin lokale z - R i c h t u n g bls zu einer H6hevon 400 Einhe iten. Das S c h n i t t v o l u m e nder belden Volumenmodelle l i e f e r tuns ein V o l u m e n m o d e l l des zweitenSchlafzimme rs .

Abb. 1 . 1 7Wir verwenden einen weiteren Layer,in dem wir die Fenster und Turen imW i n t o n - G a s t e h a u s m o d e l l i e r e n .

Layer. Layer sind eine weitere g r u n d l e g e n d e C A D - T e c h n i k , welche die digitale

K o n s t r u k t i o n s a r b e i t sinnvoll u n t e r s t i i t z t , Ein B l a t t Papier k a n n als ein Layer ( S c h i c h t ,

A n s i c h t s e b e n e , ...) angesehen werd en, a u f dem wir a r b e i t e n . I n d e m wir Blatter aus

T r a n s p a r e n t p a p i e r i i b e r e i n a n d e r legen, k o n n e n wir weitere Layer erzeugen , wobei j e d e r

Layer u n t e r s c h i e d l i c h e I n f o r m a t i o n e n e n t h a l r e n kann. In einem C A D -System ist j e d e r

Layer eine 3 - D - K o p i e des gesamten M o d e l l i e r r a u m e s , die exakt an d e r s e l b e n Stelle des

globalen K o o r d i n a t e n s y s t e m s liegt.

U n t e r s c h i e d l i c h e Layer k o n n e n u n t e r s c h i e d l i c h e O b j e k t t e i l e e n t h a l t e n , u n d wir

k o n n e n diese einfach ein- o d e r a u s b l e n d e n . D i e s e r Z u g a n g e r l a u b t uns, nur die

aktuell b e n o t i g t e n I n f o r m a t i o n e n a n z u z e i g e n . Dazu muss der B e n u t z e r nur die

e i n z e l n e n g e o m e t r i s c h e n O b j e k t e den g e w i i n s c h t e n Layern zuweisen. W t i r d e n wir die

M o d e l l i e r u n g des W i n t o n - G a s t e h a u s e s fortserzen, d a n n k o n n t e n wir zum Beispiel

eine Kopie der Basisformen a u f e i n e m eigenen Layer speich ern u n d die Fenster u n d

Tiiren i n einem w e i t e r e n Layer k o n s t r u i e r e n (Abb . 1.17).

Das R o h r s y s t e m u n d die E l e k t r o i n s t a l l a t i o n e n w i i r d e n a u f z u s a t z l i c h e n Layern

k o n s t r u i e r t werden . W i r d ein 3 - D - C A D - M o d e l l sparer auch fur W a r t u n g s z w e c k e

eines C e b a u d e s v e r w e n d e t , d a n n v e r e i n f a c h t eine sinnvolle L a y e r s t r u k t u r auch das

M a n a g e m e n t des C e b a u d e s nach seiner F e r t i g s t e l l u n g .

w t n t o n - G e s t e h e u s m i t F e n s t e r - L a y e r

IS

F a r b e , T e x t u r u n d M a t e r i a l i e n . Zu Beginn eines Designs a r b e i t e n wir oft mit einem

Drahtgittermodell unserer g e o m e t r i s c h e n Formen. Dieses zeigt uns n u r gewisse

G e r a d e n und Kurven unserer O b j e k t e (Abb. 1.18, links). Dabei k o n n e n wir d u r c h das

O b j e k t h i n d u r c h s e h e n wie bei einem R o n r g e n a p p a r a t , u n d wir b e n c t i g e n

raumliches Vorstellungsverrnogen, urn m e n t a l ein vollstandigeres Bild zu erzeugen.

Eine Darstellung ohne verdeckte Kanten liefert uns bereits ein besseres Bild , bei dem die

vom jetzigen B l i c k p u n k t aus v e r d e c k t e n O b j e k t t e i l e n i c h t gezeigt werden, s o n d e r n nur

die s i c h t b a r e n Ecken, K a m e n und Flachen (Abb . 1.18, M i t r e ) .

Eine A l t e r n a t i v e ist , s i c h t b a r e L i n i e n als d u r c h g e z o g e n e K a m e n zu zeichnen,

verdeckre K a m e n als s r r i c h l i e r t e K a m e n , und sichrbare Flachen e i n z u f a r b e n

(Abb. 1.18, rechts). Urn die v e r s c h i e d e n e n O b j e k t e visuell besser u n t e r s c h e i d e n zu

k o n n e n , farben wir sie v e r s c h i e d e n ein . Urn sie realistischer aussehen zu lassen, k o n n e n

wir sie "digital verputzen" o d e r Farbe a n b r i n g e n sowie z.B. ein O b j e k t als Ziegelwand

u n d ein anderes als B e t o n w a n d d a r s t e l l e n . Dies erreichen wir d u r c h mit H i l f e von

Texturen und M a t e r i a l i e n (Abb. 1.19). Das Erzeugen eines Bildes m i t Hilfe des

C o m p u t e r s wird oft als Rendern b e z e i c h n e t .

In dies em Buch d i s k u t i e r e n wir n u r die g e o m e t r i s c h e n Aspekte des Renderns ( K a p i t e l

2) . Fur die E r s t e l l u n g eines f o t o r e a l i s t i s c h e n Bildes b e n o t i g e n wir gutes W i s s e n

iiber Farbe, Texturen, M a t e r i a l i e n , B e l e u c h t u n g und verschiedene wcitere F a k t o r e n .

L i c h t q u e l l e n sind n o r w e n d i g , d e n n o h n e Licht ware das digitale Bild einfach n u r

schwarz. In K a p i t e l 2 s t u d i e r e n wir die g e o m e t r i s c h e n G r u n d l a g e n der v e r s c h i e d e n e n

B e l e u c h t u n g s m o d e l l e u n d R e n d e r v e r f a h r e n , die in der C o m p u t e r g r a f i k enrwickelt

w u r d e n .

16

Abb. 1.18Verschiedene D a r s t e l l u n g e n derselbeng e o m e t r i s c h e n Form:( l i n k s ) D r a h t g i t t e r m o d e l l ,( M i t t e ) L i n i e n d a r s t e l l u n g ohneverdeckte Kanten,( r e c h t s ) und m i t durchgezogenensichtbaren Kanten, s t r i c h l i e r t e nverdeckten Kanten, sowie e l n q e f a r b t e nsichtbaren Flachen.

Abb . 1.19Ein f o t o r e a l i s t i s c h e s ,c o m p u t e r e r z e u g t e s Bild desWinton-Gastehauses.

K u g e l n ,K u g e l k o o r d i n a t e n undE x t r u s i o n s f l a c h e n

Kugel. Eine Kugel ( g e n a u e r Kugelflache) m i t MittelpunktM u n d Radius r ist die

Menge aller P u n k t e im 3- D- Raum, die k o n s t a n t e n A b s t a n d r vom M i t t e l p u n k t M

h a b e n (Abb. 1.20). Das V o l u m e n m o d e l l einer Kugel m i t Mittelpunkt M u n d Radius r

ist die Menge aller P u n k t e im 3 - D - R a u m , die einen A b s t a n d k l e i n e r o d e r gleich r v o m

M i t t e l p u n k t M aufweisen. W o r i n liegt der U n t e r s c h i e d z w i s c h e n dem Flachen- u n d

V o l u m e n m o d e l l e i n e r Kugel? Das F l a c h e n m o d e l l e i n e r Kugel b i l d e t den R a n d des

V o l u m e n m o d e l l s d e r s e l b e n Kugel.

1st der R a d i u s gleich der E i n h e i t s l a n g e (r = 1), d a n n s p r e c h e n wir von e i n e r

Einheitskugel . Jede ebene Kurve a u f e i n e r Kugel ist ein Kreis . S t i m m t der

K r e i s m i t t e l p u n k t m i t dem K u g e l m i t t e l p u n k t iiberein, so s p r e c h e n wir von e i n e m

Groflkreis; alle a n d e r e n Kreise h e i l i e n Kleinkreise (Abb . 1.20).

Abb. 1.20Eine Kugel lst durch M i t t e l p u n k t M undRadius r festgelegt. Aile ebenen Kurvenauf einer Kugel sind Kreise. Jene m i tM i t t e l p u n k t M heiBen GroBkreise. Aileanderen sind Kleinkreise.

K l e i n k r e i s e~

K u g e l t e i l alsV o l u m e n m o d e l l

K u g e l t e i l alsF l s c h e n m c d e l l

GroBkreise

17

K u g e l k o o r d i n a t e n . Neben den kartesischen K o o r d i n a t e n und den Zylinder­

k o o r d i n a t e n sind Kugelkoordinat en (r, cp , 8) eine weitere M o g l i c h k e i t , den 3 - D - R a u m

analytisch zu b e s c h r e i b e n (Abb. 1.21). Sie b e s t e h e n aus einer p o s i t i v e n Zahl r u n d zwei

W i n k e l n rp und 8. K u g e l k o o r d i n a t e n werden wie folgt d e f i n i e r t : W i r fixieren eine

Ebene E (zurn Beispiel die x y - E b e n e eines k a r t e s i s c h e n K o o r d i n a t e n s y s t e m s ) , wahlen

darin einen U r s p r u n g 0 und legen eine H a l b g e r a d e in R i c h t u n g der positiven x-Achse

fest.

Die erste K u g e l k o o r d i n a t e r ist eine positive reelle Zahl und gibt den A b s t a n d des

P u n k t e s P zum U r s p r u n g 0 an. Die zweite K u g e l k o o r d i n a t e ist ein o r i e n t i e r t e r

W i n k e l cp ( - 1 8 0 ° < rp s 180°), gernessen zwischen der x-Achse und einer h o r i z o n t a l e n

H a l b g e r a d e n d u r c h den U r s p r u n g u n d den P u n k t P '. D e r P u n k t P ' e n t s t e h t d u r c h

N o r r n a l p r o j e k t i o n von P (siehe Kapitel Z) auf die Ebene E. Die d r i t t e K u g e l k o o r d i n a t e

ist der o r i e n t i e r t e W i n k e l 8 ( - 9 0 ° < 8 s 90°), gemessen zwischen den H a l b g e r a d e n

O P ' u n d O P .

Urn K u g e l k o o r d i n a t e n (r, rp , 8) in kartesische K o o r d i n a t e n (x, y, z ) urnzuwandeln,

gehen wir wie irn Fall der P o l a r k o o r d i n a t e n vor. Die Lange der Strecke OP ist r.

M i t Hilfe von W i n k e l f u n k t i o n e n finden wir die Langen der Srrecken OP ' und P P '

als r- cos8 u n d r : s i n f = z . D u r c h nochrnaliges A n w e n d e n von W i n k e l f u n k t i o n e n

e r h a l t e n wir s c h l i e f l i c h die x- und y- K o o r d i n a r e mit:

x = r : cosrp. cos8,

y = r- sinrp . cos8 ,

z = r · s i n 8 .

Die so d e f i n i e r t e n K u g e l k o o r d i n a r e n e n t s p r e c h e n den geografischen K o o r d i n a t e n , die

wir irn F o l g e n d e n kurz erklaren.

18

r -coso

p

z = r - s l n n

r- - - - - - . .

p '

Abb. 1.21K u g e l k o o r d i n a t e n (r, Ip , 8) eines Punktesund i h r e Umwandlung in kartesischeKoordinaten (x p, Y P I zp) i l l u s t r i e r t anHand des Punktes P.

p

"/y = r - s l n c - c o s e

Abb. 1 . 2 2G e o g r a f i s c h e K o o r d i n a t e n des W i n t o n ­c a s t e h e u s e s (bis zu s e i n e m " U m z u g "im Jahr 2 0 0 8 / 0 9 ) .

Abb. 1.23( l i n k s ) Z y l l n d e r f l a c h e , e r z e u g t durchPara l I e l e x t r u s i o n .( r e c h t s ) K e q e l f l a c h e , e r z e u g t d u r c hZ e n t r a l e x t r u s i o n .

G e o g r a f i s c h e s K o o r d i n a t e n s y s t e m . Die O b e r f l a c h e unseres P l a n e t e n Erde k a n n

d u r c h das F l a c h e n m o d e l l e i n e r Kugel m i t dem R a d i u s r = 6 3 7 0 krn gut a n g e n a h e r t

w e r d e n . Urn die globale P o s i t i o n P a u f u n s e r e m P l a n e t e n zu b e s c h r e i b e n ,

v e r w e n d e n wir geografische K o o r d i n a t e n (Abb. 1.22) . Diese s i n d ein Spezialfall der

K u g e l k o o r d i n a t e n m i t k o n s t a n t e r K o o r d i n a t e r u n d den l a u f e n d e n K o o r d i n a t e n

geografische Lange cp undgeografische Breite 8. Die g e o g r a f i s c h e B r e i t e ist der W i n k e l

z w i s c h e n der Aquatorebene u n d der H a l b g e r a d e n OP, die geografische Lange ist

der W i n k e l zwischen der E b e n e d u r c h den Nullmeridian (der d u r c h G r e e n w i c h ,

G r o B b r i t a n n i e n , verlaufi) u n d der E b e n e des M e r i d i a n s d u r c h P.

Urn die P o s i t i o n P a u f der E r d o b e r f l a c h e exakt zu d e f i n i e r e n , b e n o t i g e n wir eine d r i t t e

K o o r d i n a t e , die so g e n a n n t e Seehbbe. Die S e e h o h e w i r d als v e r t i k a l e r A b s t a n d von P

zu e i n e r R e f e r e n z f l a c h e gem essen, die i i b l i c h e r w e i s e a u f m i t t l e r e m M e e r e s n i v e a u liegt.

D u r c h V e r w e n d e n eines s a r e l l i r e n b a s i e r t e n , g l o b a l e n P o s i t i o n i e r u n g s s y s t e m s k o n n e n

die geografische Lange, geografische Breite u n d die S e e h o h e mit h o h e r G e n a u i g k e i t

b e s t i m m t w e r d e n .

Die geografischen K o o r d i n a t e n von Wayzata , M i n n e s o t a - wo das W i n t o n - G a s t e h a u s

bis 2 0 0 8 / 0 9 s t a n d - s i n d N44°S8', W 9 3 ° 3 0 ' . D a b e i sreht N fur n o r d l i c h des A q u a t o r s

u n d W fiir w e s t l i c h von G r e e n w i c h . Die S e e h o h e von Wayzata b e t r a g t 287 m iiber

d e m M e e r .

Z y l i n d e r - u n d K e g e l f l a c h e n , Parallel e x t r u s i o n e i n e r g l a t t e n Kurve e r z e u g t eine

Zylinderflache (Abb . 1.23, links). Z e n t r a l e x t r u s i o n e i n e r g l a t t e n Kurve e r z e u g t eine

Kegelflache (Abb . 1.23, rechts) . Beide F l a c h e n k l a s s e n t r a g e n G e r a d e n , die Erzeugende

g e n a n n t w e r d e n . Bei e i n e r Z y l i n d e r f l a c h e s i n d diese G e r a d e n alle z u e i n a n d e r parallel.

Bei einer Kegelflache gehen alle E r z e u g e n d e n d u r c h e i n e n g e m e i n s a m e n P u n k t , die

Spitze S. D e n D r e h z y l i n d e r als Spezialfall e i n e r Z y l i n d e r f l a c h e h a b e n wir bereits

k e n n e n g e l e r n t . Drehkegel ( g e n a u e r D r e h k e g e l l l a c h e n ) w e r d e n d u r c h Z e n t r a l e x t r u s i o n

eines Kreises zu e i n e m P u n k t S a u f der Kreisachse hin e r z e u g t .

19

Abb. 1.24( l i n ks ) Ein Drehk eg el e n t ste h t, we n nw i r e i ne Erzeug ende e um ei neschn eidende Achse a dr eh en .

Die Drehachse eines Kreises ist jene Gerade durch den Kreismittelpunkt, die orthogonal

auf die Tragerebene des Kreises steht , Ein Drehkegel kann auch durch Drehung einer

Erzeugenden e urn eine schneidende Achse a erzeugr werden (Abb. 1.24, links). Der

Schnittpunkt der beiden Geraden ist die Kegelspitze S. Ist e parallel zu a, dann erhalten

wir einen Drehzylinder. Ist e nicht orthogonal zu a, dann ist der Drehkegel sogarein

Doppelkeg e l - der aus zwei Teilen besteht: einem oberen und einem unteren Kegel (mit

derselben Achse und in der gemeinsamen Spitze aneinandersrolsend) , Unter einem

Drehkegel verstehen wir iiblicherweise nur einen Teil eines Doppelkegels.

Aus praktischen Grunden wird ein Drehkegel zusatzlich noch durch einen Kreis

begrenzt, der in einer Ebene orthogonal zur Drehachse liegr (und mit dem Mittelpunkt

auf der Achse) . So ein Drehkegel ist dann definiert durch den Mittelpunkt M , den

Radius r des Basiskreises sowie die Hohe b, die den Abstand von M zur Spitze S misst

(Abb. 1.24, rechts). Wir bemerken, dass wir nicht nur Flachenmodellc von Kegeln und

Zylindern erzeugen konnen, sondern auch Volumenmodelle. Die Abbildungen 1.25 und

1.26 illustrieren Anwendungen von Kegeln und Zylindern in der Architekrur,

( r e c h t s ) Wir d e f i n i e r e n einen Drehkegeldurch den M i t t e l p u n k t M und Radius rdes Basiskreises sowie s e i n e r Hbhe h.

Abb. 1.25Ein g e n e i g t e r D r e h k e g e l imGlasmuseum in Tacoma ( 1 9 9 8 - 2 0 0 2 )von A r t h u r Erickson.

Ausblick. K egel ste he n in ei ne m offen sichtli ch en Zu s a m m e n h ang mit P y ramid en.

Ver feine rn w i r d as Basisp ol yg on ein er P y r a m i d e , so erh alten wir ein e glatt e Kur ve ( u n d

di e ver fei n erte Flach e wi r d zu ei ne r K egelflach e). P y r a m i d en we r de n in

K apitel 3 b esp roch en , u n d d er Zu samm e n h ang zw ischen d iskreren u n d g l a t t en

Flach en ist e i nes d er Th em en i n K ap irel 11.

E be ne S c h n i t t e vo n D r e h k e geln h ei f e n K egelschnitt e, es sin d d ies Ell ip se, Par abel u n d

H yp e rbel. Di ese Kur ven wa ren scho n in d er A n t i k e b ek a n n t u n d sin d auch h e u t e

n o c h vo n Bed e u t u n g . W i r we rde n in d en Kap it eln 6, 7 und 8 w ied er a u f si e treffen .

Ke gel- u n d Z yl ind erflach en sin d zw ei der drei existie r en de n T ypen v o n a bwickel baren

Fl dch en, die wi r in K apit el 9 b e s p r e c h e n . 1m re stlich en Buch l e r n e n wir vo n K apitel

zu Kap it el komple xer e geo me t r isch e Modelle kenn en u n d sie fu r a rchi t ek t o n isch e

Zw ecke einzus etz en .

Abb . 1.26Das IKMZ ( 1 9 9 8 - 2 0 0 4 ) i n Cottbus vonHerzog & de Meuron hat die Form einesallgeme inen Zyl inders.

- - - - - - - - - - -

..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .....

..... ..... .....---_ .......- ..............\I

/

'"",'"- ' "------- - - -- - - - - - - - - - - - - -

-----,

K a p i t e l 2P r o j e k t i o n e n

~, . . ., ,, , ,, , ,, , ,, , ,

L.~;;"';' # ', ' ,, ,. ,,,,,,,

,,,,,,,,,,,,,,,,

ProjektionenVor dem Z e i t a l t e r der C o m p u t e r g r a f i k war eine gute K e n n t n i s iiber P r o j e k t i o n e n

Voraussetzung, urn d r e i d i m e n s i o n a l e R a u m o b j e k t e g e o m e t r i s c h richtig abbilden zu

k o n n e n (Abb. 2.1). H e u t z u t a g e i i b e r n e h m e n C A D - S y s t e m e ( C A D = C o m p u t e r ­

aided Design), die alle klassischen D a r s t e l l u n g s v e r f a h r e n in E c h t z e i t b e r e c h n e n

k o n n e n , die z e i t i n t e n s i v e A r b e i t des Abbildens. D e n n o c h ist auch h e m e n o c h ein

t h e o r e t i s c h e s G r u n d l a g e n w i s s e n iiber P r o j e k t i o n e n e r f o r d e r l i c h , urn die verfiigbaren

D a r s t e l l u n g s v e r f a h r e n und deren P a r a m e t e r besrmoglich zur V i s u a l i s i e r u n g

r a u m l i c h e r O b j e k r e einsetzen zu k o n n e n . Zu diesem Basiswissen gehoren u n t e r

a n d e r e m auch das g e o m e t r i s c h richtige Skizzieren von R a u m o b j e k t e n u n d das

H e r s t e l l e n von p e r s p e k t i v e n Bildern.

A b b . 2 . 1Ein H o l z s c h n i t t von A l b r e c h t DOrer( 1 4 7 1 - 1 5 2 8 ) zeigt ein we it v e r b r e i t e t e sH i l f s m i t t e l zur Herstellung p e r s p e k t i v e rBilder. Mit Hilfe e ines rechteckigenRahmens, in den mit Faden ein Raster

gespannt ist, g e l i n g t es dem KOnstler,das liegende Modell richtig inPerspektive d a r z u s t e l l e n . In derAbbildung rechts sehen wir dasAktmodell aus der Sicht des Zeichners.

25

. // , /

G eom etr ische M o d e l l e vo n Li c h t und S c h a t t en sin d Sp e z ialfalle vo n Pr o j e k t i o n en.

Di ese E r k e n n m i s ver h ilft un s z u ei ne m b esseren Ver s t a n d n i s , wie Lic h t u n d Sch arren

d as Er sch e i n u n gsbild vo n a rc h i tek ro n ische n Szen en be einflu ssen (A b b . 2 .2) . D u r c h

d as S t u d i u m d iver ser R end er-Ve r f a h r en u n d - m e r h o d e n (w ie konstan t e Scha ttierung.

Gou raud -Schattierung u n d Ph ong- Schatt i erung , a be r a u ch R ay t raci ng u nd akt ue ller

Me t h o d e n wie Radi o sit y ) le rn en w ir un ser e V isu a l isie ru ngsfa h igke ite n zu ve r b essern.

A m E n d e de s K a p i t el s b esch afi igen w i r un s n o c h m i t ge om e t r i sch k o m p l exeren

A b b i l d un gsver f a h r e n . Kiin s d e r i sch r i c h t i g einge s e t z t , e rwei te rn di es e n i c h d i n e ar en

A b b i l d u n g s v e r f a h r en d ie P ra senr a t i o n smo g l i c h k e i t e n vo n A r c h i re k r ur p roje k te n. M it

e i n e m Au sbli ck a u f den E in s at z d ie ser A b b i l d u n g sver fahr en in d e r m o d e r n en Kun st

b e e n d en wir da s K a p i t el.

P r o j e k t i o n e n . Vor d em A u f k o m m en l ei s t u n g s s t a r k e r C A D - S o f t w ar e w u r d en

R a u m o b j ekt e m it H i l f e z w e id i m e nsio na l e r Kon s t r u k t i on s z e i c h n u n g e n e n tw ick e l r,

D a b e i w u r d e n a l l g e m e i n e A n s i c h t en zur Vi suali si e r u n g d e r r a u r n l i c h e n O b j ekt e

einge s e t z t , w a h r e n d spez ie lle Ri ss e zur Fesd e g u n g d er D i m en s ion i e r u n g u n d

B em a l5ung d ie ser O b j e k t e di e n t en. Die s e Kon s t r u k t i o n sz e i c h n u n g en wa re n ein

wic h t ig es H i l f sm i t t e l , urn D esign id e en ge eign et k o m m u n i z ier en zu k o n n e n .

D ah er wa re n e in e x t e n sive r E i nsa rz versc hie de n e r Pr o j e k t i on s m e t h od en u n d e ine

p r o f u n d e K en n t n i s ii b e r d ie E igen sch aft en d ieser P r o j e k t i o n e n ei n wic h t ige r

Best a n d t eil j e d es De s i g n p r o z esse s. Di e D a rst ellend e Geometrie be sch a ft igt sich m it d en

G r u n d l ag en u n d Eige ns ch aft en vo n Pro j e k t i o n en - s ie w u r d e d ah er zum wic h ti gs te n

K o m m u n i k at ion sm ed ium zwis c h e n De s i g n e r n u n d Kon s t r u kt eur e n .

H eut e wi r d d ie E n t w i c k l u n g vo n 3- D - O b j e k t e n mei st m it d e r U n t er s t i i t z u n g l ei s t u n g s­

s ta r k e r C A D - S o f t w ar e a u sg e f i i h r t . D e n n o ch ist es a uc h h e ut e n o ch n ot w e n d i g ,

g e o m e t r i sch e M o d e l l e o d e r r a u m l i c h e S i t u a t i o n e n r asch a u f e ine m B l a t t P apier

skizz i e re n zu k o n n e n , G r u n d k e n n t n i sse iiber P r o j e k t i o n en sind d a s n o t w e n d i g e

Rii stz eug dafiir, D a m i t s i n d w ir in d er L age, g e o m e t r i sch e Skizzen ri c h t i g h e r z u s t ellen

u n d un sere D e s i g n i d e e n k o m m u n i z i er en zu k o n n en,

Abb . 2 . 2(a) Zur Visual is ierung einer raumllchenS i t u a t i o n (z.B. ein Detail einesDachstuhls) e ignet sich eine allgemeineAnsicht am besten . Be; Verwendungspezieller N o r m a l r isse lassen sich diemaBgeblichen Dimens ionen derS t r u k t u r l ei cht ablesen .

. '

26

(b) Moderne CAD-Systeme errnoqllcheneine we itaus r e a l i s t i s c h e r e Da r s t e l l u n gdes Ob j e k t s .

E ine n i n t u iti ven Zug ang zu P roj ekt i o n e n verrn i t t e l t un s d a s Stud ium der vo n Sonn en ­

l icht erze u g te n Sch a t t e n ( A b b. 2 .3 a ). D u r c h je d en Pu n k t P ein es O b j e k t s

legen w i r e inen L icht strahl ( P roje kt io ns str ah l) l p. D e n Schn i t t p u n k t die ses Proj e k t i o n s­

st ra h ls mit der Bildebene IT b ezei chn en w i r a ls Bildpunkt ( Riss) P " von P. Verlaufen a ile

P r o j e k t i o n sstr ahlen z ue i na n d er p arallel , so s p r e c h e n wir von einer Parallelproj ektion.

In di esem Fall n enn en w ir den P u n k t p P (in der Bildeb ene IT ) den Parallelriss d es

R a u m p u n k t es P, wo b e i der Index p au f die P ar a l l e l p r o j e k t i o n hin wei sen so il.

Ne be n der Parallelproj ektion ( geo me tr isches Modell der B e l e u c h t u n g mit

So nn enli c h t ) g ib t es n och die Z ent ralp rojektion ( A b b . 2.3b ). H i e r gehen aile

Licht s t r a h l e n ( P ro jektio nsst ra h len) vo n einem festen P u n k t L au s. D ies kann als

g eom etri sche s M od ell Hir d ie Bel e u c h t u n g m it e ine r p u n k t f o r m i g en L i c h t q u e l l e oder

d a s Aufn ehm en e ine s Foto s m it ein er Kamer a int erp r et ie rt werden. Irn U n t e r schied

zu r Par allelproj ekt ion bezeichn en w ir den B i l d p u n k t P ' als d en Z entralr iss de s P u n k t es

P und ver we n d en a ls A b b i l d u n g szeiger den Ind ex C.

Bevor wi r un s e i n gehe n de r mit P roj e k t i o n e n ausei na n de rset zen , e r wa h n en w i r

n o ch , d ass vo m geo me t r ische n St a n d p u n k t aus zw isch en d en Begriffen Proj ektion

und R iss klar u n t er sch ied en wi r d : Unt er e ine r Proj ektion ve rste he n wi r den r aum ­

lichen Abb ildun gsvorg ang, w ahr end e in R iss da s ( zw e id i m e ns io na le) Ergebni s ein er

A b b ild u n g ist . H aufig wird a us G r u n d e n e in e r leichteren Lesbarkeit die B e z e i c h n u n g

Proj e k t i o n sowohl fur den raurnlich en A b b i l d u n g s v o r g a n g als auch fiir das in d er

Z ei cheneb en e liegende E r g e b n i s ve r w e n d e t .

L

~: ,.--: : ::' . . :" .

1t

""...." "

,,' : .......• I • •

• I • •

.: p: '. '.: .

A b b . 2 . 3Der B i l d p u n k t (Riss) eines Punktes Pwird als S c h n i t t p u n k t des Lichtstrahls t»durch P m it der Bildebene IT e r m i t t e l t .(a) 1m Faile paralleler Lichtstrahlenerhalten wir den Parallelriss P P.(b) Verlaufen aile Lichtstrahlen durcheinen festen Punkt L, so sprechen wirvon einer Z e n t r a l p r o j e k t i o n . Der Punktp c heiBt Z e n t r a l r iss des Punktes P.

27

Paralle1projektion. Wenn wir den S c h a t t e n w u r f eine s O b j e k t s bei S o n n e n ­

b e l e u c h t u n g e i n g e h e n d e r b e t r a c h t e n , k o n n e n wir leicht folgende , wichtige Eigen­

schaften der P a r a l l e l p r o j e k t i o n h e r l e i t e n (Abb. 2.4):

• D e r Parallelriss einer r a u m l i c h e n G e r a d e n a ist im Allgemeinen wieder eine

Gerade a P • Liegt eine Gerade c allerdings parallel zum P r o j e k t i o n s s t r a h l

( L i c h t s t r a h l ) I , so e r s c h e i n t deren Parallelri ss c P p u n k t f o r m i g . W i r b e z e i c h n e n

G e r a d e n , die parallel zu den P r o j e k t i o n s s t r a h l e n verlaufen, als proji zierende

G e r a d e n .

• Die Parallelri sse a P , b Pvon allgemeinen (niche p r o j i z i e r e n d e n ) parallelen

G e r a d e n a , b sind parallel.

• Das Verhaltnis von Ab s t a n d e n a u f einer Strecke z u e i n a n d e r b l e i b t bei einer

P a r a l l e l p r o j e k t i o n e r h a l t e n . Teilt z.B. ein P u n k t F eine raumliche Strecke DE

in einem b e s t i m m t e n Verhaltnis, so teilt der B i l d p u n k t FP die Bildstrecke

D P E P im selben Verhaltnis . Als S o n d e r f a l l die ser Eigen schaft e r k e n n e n wir:

D e r M i t t e l p u n k t M e i n e r Strecke wird auf den M i t t e l p u n k t M P der Bildstrek­

ke a b g e b i l d e t .

• Parallele , gleich lange Strecken im Raum werden a u f parallele und gleich

lange Strecken a b geb ild e t .

Die m e i s t e n Bilder und A b b i l d u n g e n in die sem Buch, ob h a n d i s c h o d e r m i t

U n t e r s t i i t z u n g einer C A D - S o f t w a r e erzeugt , sind Parallelrisse von r a u m l i c h e n

S i t u a t i o n e n . Sie w u r d e n aIle u n t e r B e a c h t u n g der v o r h e r aufgelisteten Eigenschaften

ersrellt. Fiir die meisten I l l u s t r a t i o n e n v e r w e n d e n wir Parallel risse, da im U n t e r s c h i e d

zur Z e n t r a l p r o j e k t i o n die Parallelirar von G e r a d e n auch im Bild e r h a l t e n bleibt,

O b w o h l perspektive Bilder a u f den B e r r a c h t e r wesentlich v e r t r a u t e r wirken, kann der

Verlust der P a r a l l e l i t a t ein g r o g e r N a c h t e i l sein , sp ez iell d a n n , wenn wir g e o m e t r i s c h e

Eigenschaften von r a u m l i c h e n O b j e k t e n illu strieren wollen (Abb. 2 .S). W i r e m p f e h l e n

daher, w a h r e n d des M o d e l l i e r u n g s - u n d D e s i g n p r o z e s ses in Parallelrissen zu a r b e i t e n

u n d perspektive Bilder erst bei der P r a s e n t a t i o n fertiger O b j e k t e e i n z u s e t z e n . M i t

p e r s p e k t i v e n Bildern ( Z e n r r a l r i s s e n ) werden wir un s im A b s c h n i t t iiber die Z e n t r a l ­

p r o j e k t i o n a u s f i i h r l i c h e r a u s e i n a n d e r s e t z e n .

28

Abb . 2 . 4Wichtige Eigenschaften einerP a r a l l e l p r o j e k t i o n .

Abb . 2 . 51m Aligemeinen veranschaulichenParallelrisse g e o m e t r i s c h eEigenschaften besser als Z e n t r a l r i s s e(Taipei Tower [ 1 9 9 9 - 2 0 0 4 ] in Taipeivon C. Y. Lee). Man beachte, dass daslinke Foto aus gro13er Distanzaufgenommen wurde und daher einemParallelriss recht nahe k o m m t .

A b b . 2 . 6Zwei windschiefe Geraden im Raum,deren Parallelrisse zueinander parallelIiegen. Das Wissen um diese raurnllche

A b b . 2 . 7Abhangig von der Position der Sonnew i r f t ein O b j e k t verschiedeneSchattenbilder. Irn Aligemeinen werdendie GraBen von Winkeln beiP a r a l l e l p r o j e k t i o n nicht e r h a l t e n .Ausnahme sind lediglich j e n e Winkel,die an Objekten in Ebenen parallel zurBildebene a u f t r e t e n .

W ie wir gesehen h a b e n , s i n d die Bilder p a r a l l e l e r G e r a d e n bei P a r a l l e l p r o j e k t i o n

w i e d e r z u e i n a n d e r parallel. A l l e r d i n g s gilt die U m k e h r u n g n i c h t : S i n d in e i n e m

Riss die Bilder zw e ie r G e r a d e n z u e i n a n d e r parallel, so k o n n e n diese Bilder auch von

zwei z u e i n a n d e r w i n d s c h i e f e n ( n i c h t p a r a l l e l e n u n d n i c h t s c h n e i d e n d e n ) G e r a d e n

s t a r n m e n (Abb. 2 .6). Diese r a u m l i c h e K o n s t e l l a t i o n w i r d m a n c h m a l von K i i n s t l e r n

v e r w e n d e t , urn Bilder von s c h e i n b a r u n m o g l i c h e n O b j e k t e n zu e r z e u g e n .

In den meisten Fallen ist der ParallelrissAPBP einer S t r e c k e A B langer oder kiirzer als die

tarsachliche Lange der StreckeAB im Raum . Das Verhalmis v = dist(AP,BP) :dist{A,B) der

Lange der B i l d s t r e c k e A P BP zur Lange der r a u m l i c h e n Strecke AB w i r d als

Verzerrungsfaktor der Strecke AB b e z e i c h n e r , D i e s e r V e r z e r r u n g s f a k t o r legt d a m i t fest,

ob der Parallelriss einer Strecke langer o d e r kiirzer als die R a u m s t r e c k e ist ,

W e n n wir den S c h a t t e n w u r f b e i S o n n e n b e l e u c h t u n g b e t r a c h t e n , e r k e n n e n wir, dass

der V e r z e r r u n g s f a k t o r j e d e n b e l i e b i g e n p o s i t i v e n W e r t a n n e h m e n k a n n . Je h o h e r die

S o n n e iiber dem H o r i z o n t s t e h t (zur M i t t a g s z e i r ) , desto kiirzer w e r d e n die S c h a t t e n .

U m g e k e h r t werfen O b j e k t e am sparen N a c h m i t t a g (wenn die S o n n e nahe am

H o r i z o n t sreht) sehr lange S c h a t t e n (Abb. 2.7).

D e r V e r z e r r u n g s f a k t o r v e r u r s a c h t auBerdem die V e r z e r r u n g von Flachen u n d

W i n k e l n . D a h e r w e r d e n im A l i g e m e i n e n bei P a r a l l e l p r o j e k t i o n die G r a B e n von

Flachen u n d W i n k e l n niche e r h a l t e n . N u r die Parallelrisse j e n e r O b j e k t t e i l e , die in

E b e n e n p a r a l l e l zur B i l d e b e n e liegen, b e h a l t e n ihre Form bei.

S i t u a t i o n wurde von M. C. Eschera u s g e n u t z t , um scheinbar unrnoqllcheObjekte d a r z u s t e l l e n .

29

D e r V e r z e r r u n g s f a k t o r wi r k t sich a u ch b ei d er Da r st ellu n g vo n Kr eisen aus: D er

Pa rallel ri ss ei n es allg em ein lieg e n d e n Kr eises ( K r eise b e ne l iegt nic h t p ar allel zur

Bild eb en e) ist kein K reis, d a u n t erschi edli ch e D u r c h m esser str eck en u n t e r ei ne r

Parallelp ro j e k t i on ve rsch ied e n v e r z e r r t w er de n (A b b. 2 .8 ) . O h n e Bewei s s t el le n w i r

fest , da ss P arallelri sse von Krei sen u n d Ku geln i m Allg em ein en Ellip sen si n d

(vgl. K a p i t e l 6 , 7 u n d 8 ). D a e l l i p t i sch e Kre is - u n d K u g e l b i l d er d er n a t i i r l i c h e n

Seh er f a h r u n g ei nes geom etr isch w e n i g ve rsier te n Betr a c h t er s w iders p r ec he n, wirken

Bilder , die vo n allg em e in en P a r a l l e l p r o j eke i o n e n sta m m e n , eher w e n ig re alit at snah,

A x ono metrisch e R isse b a sier en a u f d en G eset z m a Bigk eit en de r P ar all elp ro je kti on .

Sie w e r de n unre r Ve rwe n d u n g d es Par all elri sses ei n es K o o r d in at en syst ern s u n d der

Verz e r r u n g s f a k t o r en d er Ko o r d i n a t e n ach s en herge stellt. Vor d em Aufk om m en vo n

C A D - S o f t w a r e w u r d e n s i e h aufig zur D ar st ellung u n d P r asenr a t i o n r aurnl i ch e r

O b j e k t e e in g ese t z t. M it d iese r g r u n d l e g end en Z e i c h e n t e c h n i k k o n n en m i t t r a d i t i o ­

nell en Z eich e n i n s t r u m e n t e n br a u c h b a r e Vi suali si e r u n g en vo n R a u m o b j ekt en u n d

r a u r n l i c h e n Situ a t i o n e n rel ati v ei n f ac h, we n n a u ch z eit au f w a n d i g , h er g est ellt w e rden

(A b b . 2 .9) .

D iese Ver fa h r e n sin d sehr h i l f r ei ch b ei d e r E n t w ickl ung vo n Fre i h a n d skizzen u n d

bei d er Vis ua lis ie ru n g vo n D e s i g n i d e en. Bes o n d er s im R ahm en vo n Pr a sent ari o n e n ,

w e n n n i c h t al l ta g l ic h e A n s i c h t en eine s Pr oj ekt s erwiin s c h t si n d , k o n n en di ese

Ze ich e n t e c h n i k en v o r t eilh aft e in g ese t z t w e r d e n . E in e zw e c km a f ige Vorgang swei se z ur

H e r s t e l l u n g ax o n o m e t r isc h e r Risse stell en wir etwa s spa re r in dies em K a p i t el vor.

3 0

A b b . 2 . 8Im Aligeme inen sind die Parallelrissevon Kreisen und Kugeln Ellipsen.

Abb . 2 . 9A x o n o m e t r ische Risse basieren auf denGesetzmaBigkeiten von Pa r a l l e l p r o j e k ­t ionen . Sie konnen relat iv einfachhandlsch h e r g e s t e l l t werden. Siewerden daher manchmal zu Prasen­t a t i o n s z w e c k e n e i n g e s e t z t . ORF­Landesstud io ( 1 9 6 8 - 1 9 7 2 ) i n Salzburgvon G. Peichl ( l i n k s ) . Moller-Haus( 1 9 2 7 - 1 9 2 8 ) in Wien von A. Loos( r e c h t s ) .

A b b . 2 . 1 0Die P r o j e k t i o n s s t r a h l e n einerN o r m a l p r o j e k t l o n verlaufen norma l zurBildebene. 1m Unterschied zurallgemeinen P a r a l l e l p r o j e k t i o n ist derNormalriss elner Kugel i m m e r eln

N o r m a l p r o j e k t i o n . Verl a u fe n di e Pr o j ekt i on sst r a h l e n e i n e r P a r a l l e l p r o j e k t i o n n o r m al

z ur Bild eb en e, s o sp re c h e n wi r von ei n er Nonna l proje kti on (A b b . 2 . 1 0 ). N o r m alri ss e

s i n d So n d e rfa l le vo n P ar allelr issen, u n d es g el t e n d ah er d iesel b en E igen schaft en wi e fUr

P ar a l l e l p r o j ekti on en . Z u satzli ch gilt , dass d er N o r m alriss ein er Kugel i m m e r e in Krei s

ist ,

Z um N a c h we is die s e r T a t sach e b et r a c h t en wir a lle P r o j e k t i o n s s t r a h l e n , die eine

Ku gel u m h i i l l e n ( A b b . 2 .1 0) . Di ese P r o j e k t i on ss tr ahl en b e r i i h ren die Kugel lang s eine s

Kre ise s k , de ss en Tr a ge r e b e n e n o r m al zu den P r o j e k t i o n s s t r a h l e n liegt. D e r Krei s k

li e gt a lso p ar all el z ur Bildeb e n e n. E r wir d d ahe r a ls ei n Kre i s a bg e b ild e t, de ss en

R ad iu s gl eich d em K u g e l r a d i u s ist, D ies ist e i n e r d er G r ii n de, wa ru m N o r m alri sse

we i t au s n a t u rli ch er wi r ke n a ls a llge mei n e P a r a llelri sse.

Kre is . Man beachte, dass dlese IIlustrie ­rende Abbildung eine D a r s t e l l u n g einerR a u m s i t u a t i o n 1st; das Blld des Kreisesin der Bildebene i t ersche i n t daher alsEllipse.

/

31

W i e s c h o n e r w a h n r , sind Parallelri sse, die a u f den G e s e t z m a/Sigk e i t e n vo n Parallel­

pro j e k t i o n en b e r u h e n , ein gute s H i l f s m i t t e l , urn r a u m l i c h e Situ a t i o n en u n d

De s i g n i d e e n zu v isu a lisie ren . Z u r Ang abe vo n Bema/Sungen u n d z ur Fe s t l e g u n g v o n

O b j e k t d i m e n si o n i e r u n g e n verwe n d e n wir h ingegen N o r m a l r isse . AIle Str ecken und

O b j ektr eile in E b e n e n n o r m al zu d en Pro j e k t i o n sstrahl en li eg en p ar allel zur Bildebene.

Sie w e rd en d a h e r u n t er ei n er No r m a lp ro j ekt i o n unv erz e r r t a b ge b ilde t.

M i t j edem kartesi schen R a u m k o o r d i n aten system ( m it l o t r e c h t cr z -A ch se ) si n d drei

N o r m a l p r o j e k t i o n e n in n atiirl icher We ise verkniipft, d ie w i r a ls Hauptrisse

be z e i c h n e n (A b b . 2.11 ).

• Die l o t r e c h t e N o r m alproj e k t i o n mit den P r o j e k t i o n sstr ahl en S I (ent geg en g e­

setzt zur R i c h r u n g der z -A chs e ) l iefert den Grundriss (A nsicht v on oben) eines

Objekrs,

• Die h orizonral en N o r m a l p r o j e k t i o n e n mit den Projekt ion sstrahl en S2 u n d S3

erzeugen den Auftiss (A nsic h t v on v orne) bzw. den Kreuzriss (Ansich t v on

r echts ) de s O b j e k t s,

Kreuzriss

A b b . 2 . 1 1Drei Normalrisse ( H a u p t r i s s e ) sind m i tj e d e m kartesischen K o o r d i n a t e n s y s t e mi n n a t U r l i c h e r Weise verknUpft.

Aufriss

Abb. 2 . 1 2Dre i weitere Hauptans ichten einesObjekts.

IA n s i c h t von links

32

IA n s i c h t von rechts

A n s i c h tvon u n t e n

A n s i c h t von links A n s i c h t von rechts

W e n n w ir zu sat zli ch d ie N o r m a l p r o j e k t i o n e n in R i c h t u n g der K o o r d i n a t e n a c h sen

b e t r a c h t e n , erh a l t e n wir drei w eit er e H a u p t r i sse de s O b j e k t s. D i e se Ri sse

( A b b . 2 . 1 2 ) z eig en d a n n d ie Ansicht von unten (Projekrion s srrahl -s-), die An sicht von

hi nt en (- 52) u n d die A nsich t von links ( -53)' T e c h n i sche Z e i c h n u n g en b e s t e h e n m ei st

a us G r u n d r i ss, A u f r i ss u n d Kr eu zri ss , d a die F o r m u n d d ie Au sm ali e eine s O b j e k t s

d u r ch di e An g abe von d r e i H a u p t r i ssen mei st a u sre ic h e n d b e schri eb en w e r de n .

In t e c h n i s c h en Z e i c h n u n g en w e r d en die H a u p t r i sse oft so a n ge o r d n e t, das s d er

I n f o r m a t i o n str an sfer zwi sch en je zwei Ri ssen e in fa ch e r m o g l i c h w i r d . A b h a n g i g vo n

der " his to r ische n E n t wi c k l u n g d er D ar s t e l l e n d e n C e o r n e r r ie" u n t e r s c h e i d e n w i r

z w is ch e n zw e i h aufig ve rw e n d e t e n A n o r d n u n ge n :

Abb . 2 . 1 3FOr die Platzierung der Hauptrisse amZeichenb l a t t sind zwe i verschiedeneA n o r d n u n g e n Ob li ch.

• D er A u f riss w i r d d i rekt o be r ha l b d e s G r u n d r i sse s pl arz ierr , u n d der Kr euzri ss

l i e g t l i n k s vom A u f r i ss (A b b. 2.13, l i n k s ). Diese in E u r o p a i i b l i c h e An or­

d n u n g k a n n von d er in Abb. 2.11 illu str i e r t e n R a u m s i t u a t i on a b g e l e i t et

w e r de n .

• B e n u t z t m a n ei ne A r t v o n " P ro je kt io ns q ua de r " (A b b . 2.1 3 , r ech ts ) , d er d as

ab z u b i l d e n d e O b j e k t u m f a sst, so liegt es n a h e , d e n G r u n d r i ss d i r e k t o b e r h a l b

d es A u f r i sses u n d d e n Kr eu zri ss r e c h t s vo m Aufri ss a n z u o r d n e n .

z'"

A m e r i k e n i s c h e A n o r d n u n g

y " » :

P " r :

0 '"

• . . . . . . . . .~--~

z "

...- - "'yr

"""\... ~

p '

"" x '

0 "

0 '

y "

P"

. ...- - - "'yr

"""\... ..J

p '

"" x'

0 '" 0 "0 '

z'"p ' " . . - - - - - - - - i

x '"

EuropiHsche A n o r d n u n g

K r e u z r i s s

G r u n d r iss / "

33

Bei der Verwendung von C A D - S y s t e m e n k a n n der B e n u t z e r die Hauptrisse beliebig,

seinen i n d i v i d u e l l e n B e d i i r f n i s s e n angepasst, p l a t z i e r e n . Bei der W e i t e r g a b e u n d

V e r t e i l u n g von Bau- u n d K o n s t r u k t i o n s p l a n e n h i n g e g e n rniissen h a u n g die

offiziellen S t a n d a r d a n o r d n u n g e n b e r u c k s i c h r i g r w e r d e n .

W i r e r i n n e r n n o c h m a l s daran, dass der H a u p t g r u n d fur die V e r w e n d u n g von

m e h r e r e n H a u p t r i s s e n d a r i n b e s t e h t , dass m i t deren Hilfe s a m t l i c h e O b j e k t ­

a b m e s s u n g e n u n v e r z e r r t abgelesen werden k o n n e n . D a h e r ist es w i c h t i g , das z u g r u n d e

liegende K o o r d i n a t e n s y s t e m dem O b j e k t g e e i g n e t anzupassen, das h e H k dass

w e s e n t l i c h e O b j e k t t e i l e in E b e n e n parallel zu den K o o r d i n a t e n e b e n e n liegen.

In den l e t z t e n J a h r e n verlor - b e d i n g t d u r c h das v e r m e h r t e A u f k o m m e n von

F r e i f o r m g e o m e t r i e n - die V e r w e n d u n g von H a u p t r i s s e n zur Festlegung von

O b j e k t d i m e n s i o n e n etwas an B e d e u t u n g . Anstelle von a u s g e d r u c k t e n Planen h a b e n

sich digirale, m o d e l l b a s i e r t e F o r m a t e v e r m e h r t d u r c h g e s e t z t . Diese d i g i t a l e n F o r m a t e

e n t h a l t e n d e r a i l l i e r t e I n f o r m a t i o n e n iiber die G e o m e t r i e u n d die A b m e s s u n g e n der

b e t e i l i g t e n O b j e k t e . Sie k o n n e n d i r e k t zur m a s c h i n e l l e n H e r s t e l l u n g von

3 - D - O b j e k t e n v e r w e n d e t w e r d e n .

Als ein Beispiel fiir den E i n s a t z von d i g i r a l e n Planen sei das von F r a n k O. G e h r y

e n t w o r f e n e Srata C e n t e r am M I T in C a m b r i d g e (Abb. 2.14) e r w a h n t . Das

S t a t a C e n t e r war eines der e r s t e n Projekre, bei dem ein digitales D a t e n m o d e l l

a u s g e d r u c k t e B a u p l a n e zur Ganze als r e c h t l i c h e G r u n d l a g e ersetzte.

A b b . 2 . 1 4Stata C e n t e r des MIT ( 1 9 9 9 - 2 0 0 3 ) inCambridge von F. Gehry.

P e r s p e k t i v eBisher h a b e n wir uns m it Parallel- u n d N o r m a l p r o j e k t i o n e n a u s e i n a n d e r g e s e t z t .

Sie s i n d r e c h t b r a u c h b a r e W e r k z e u g e , urn D e s i g n i d e e n zu visualisieren, g e o m e ­

t r i s c h e E i g e n s c h a f t e n von R a u m o b j e k t e n zu i l l u s t r i e r e n u n d urn die A b m e s s u n g e n

von O b j e k t e n f e s t z u l e g e n . Urn a l l e r d i n g s n a r i i r l i c h w i r k e n d e Bilder h e r z u s t e l l e n ,

miissen wir uns m i t d e r Z e n t r a l p r o j e k t i o n u n d den d a m i t e r z e u g b a r e n Z e n t r a l r i s s e n

b e s c h a f t i g e n .

D i e er stcn An satze, exakte p e r s p e k t i v e Bilder h e r z u s t e l l e n , g e h e n a u f das

16. J a h r h u n d e r t z u r i i c k . Z u dieser Z e i t v e r s u c h t e n vor allem i t a l i e n i s c h e K i i n s t l e r u n d

Arch i t e k t e n wie Filippo Brunelleschi, Leon B a t t i s t a A l b e r t i u n d Piero della Francesca

einige g r u n d l e g e n d e Regeln u n d M e t h o d e n f e s t z u l e g e n , urn r e a l i s t i s c h w i r k e n d e

Bilder m a l e n zu k o n n e n .

Eine dieser M e r h o d e n zur H e r s t e l l u n g p e r s p e k t i v e r B i l d e r b e s t a n d in der

V c r w e n d u n g e ines H o l z r a h m e n s m i t e i n g e s p a n n t e m F a d e n g i t t e r (Abb. 2.1). Ein

von den O b j e k t p u n k t e n zum Auge des Kiin stlers g e s p a n n t e r Faden d i e n t e d a b e i als

P r o j e k t i o n s s t r a h l , u n d die B i l d e b e n e w u r d e in F o r m des H o l z r a h m e n s reali siert. Die

O b e r t r a g u n g der B i l d p u n k t e in der ( l o t r e c h t e n ) B i l d e b e n e a u f ein ( h o r i z o n t a l e s )

Z e i c h e n b l a t t w u r d e m i t U n t e r s t i i t z u n g eines Q u a d r a t r a s t e r s d u r c h g e f i i h r t .

D iese rec h t pr a k t i k a b l e M eth od e d er alten Me ist er so ll un s n u n als V o r b i l d fur ei n

ei nfa ches Verfah r en zur Er zeu g u n g vo n Z e n t r a l r i ssen d ien en. In Abb. 2. 1 5 h aben w i r

d en H o l z r ahm en dur ch e i ne l o t r e c h t e Bild eb ene :It erse t z t, u n d a ns t e lle de s gesp an nr en

Faden s ve rwe n d en w i r ei ne n P rojekt i on sstr ahl s d u r c h e i ne n festen A u g p u n k t 0 .

W i r e r m i t t el n d ann den Z e n r r alriss P ' e ine s O b j e k t p u n k t s P a l s Schn i t t p u n k t d es

P r o j e k t i o n sstrahls mit der B i l d e b e n e n ,

E s gibt g en au ei n en P rojekti on sstrahl d u r c h den Au g p u n k t 0 , der n orm al zur

B i l d e b e n e :It verla u fi , D ieser P r o j e k t i o n sstr a h l l e g t d ie opt isc be Ac bse d er Z enrr al­

pro jekti on fe st. D e n Sc h n i t t p u n k t d er o p t ische n A ch se m it d er Bildeb en e

beze ichn en w i r als H auptpunkt d er Per sp ekti ve. Die h o r i z o n t ale Eb en e d u r c h d en

A u g p u n k t ° e n r h alt di e o p t ische Ach se und sch n ei d e t die Bild eben e :It l an g s e i n er

Ger ad en h.

Abb . 2 . 1 5Z e n t r a l p r o j e k t i o n : Wir sehen d ie raurn­liche S i t u a t ion wah rend der Konstruk­tlon (oben).Z e n t r a l r i s s : Das Ergebnis der Z e n t r a l ­p r o j e k t i o n - der Tisch aus der Sichteines B e t r a c h t e r s , der vom Punkt 0aus i n Richtung der optlschen Achseschaut ( u n t e n ) .

I t

, , o p t i s c h e, Achse

'" ". ' j , /..... / " /... ... .. ... . .. < ·· ·s· ·· · :-: : ~ . 0. .. . . .. . . . .. . . . . . . . . . ~ .. . .. : : : : : : : : : : : . '. ·.·.·.,:,~o

· . . · · · · · 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .

h

36

Fixieren wir n u n da s Auge eines B e t r a c h t e r s im A u g p u n k t 0 u n d lassen ihn l angs der

o p t i s c h e n Achse a u f das Bild schauen, d a n n v e r m i t t e l t das p e r s p e k t i v e Bild d e n s e l b e n

E i n d r u c k , wi e ihn der B e t r a c h t e r in der ur s p r i i n g l i c h e n R a u m s i t u a t ion harte

(Abb. 2 .15, u n t e n ) . Die h o r i z o n r a l e Gerade h wiirde dabei dem H o r i z o n t - der G r e n z e

zwisch en der " h o r i z o n t a l e n E r d o b e r f l a c h e " u n d dem H i m m e l - ent s p r e c h e n . W i r

b e z e i c h n e n d a h e r die G e r a d e h d u r c h den H a u p t p u n k t H als Horizont.

Dieselbe Raum s i t u a t i o n b e s t e h r au ch beim F o t o g r a f i e r e n eines Objekrs (Abb. 2.16).

D a b e i wird die Kamera im A u g p u n k t 0 p o s i t i o n i e r t u n d die o p t i s c h e Achse der

K amera wird a u f den H a u p t p u n k t H hin au s g e r i c h t e t . D a h e r w ird der A u g p u n k t 0

h aufig auch als Kameras t andpunkt u n d der H a u p t p u n k t H als Kameraz ielpunkt

b e z e i c h n e t .

Nach der A u f n a h m e des Bildes mit der K a m e r a k o m m t d er H a u p t p u n k t H im

M i t t e l p u n k t de s a u f g e n o m m e n e n Bild es zu liegen . In Abb . 2.16 k o n n e n wir einen

w e i t e r e n , w o h l b e k a n n t e n Aspekt bei p e r s p e k t i v e n Bildern e r k e n n e n : Die Z e n t r a l r i sse

p a r a l l e l e r , h o r i z o n t a l e r G e r a d e n sch n e id en e i n a n d e r o f f e n s i c h d i c h a u f dem H o r i z o n t .

A b b . 2 .16Raumsituat ion ( Z e n t r a l p r o j e k t i o n ) und2 - 0 - E r g e b n i s ( Z e n t r a l r i s s ) beimFotografieren eines Hauses.

h

3 7

Abb. 2.17 i l l u s t r i e r t den Beweis dieser Tat sache. Urn d en Z e n t r a l r i s s g C e i n e r

a l l g e m e i n e n G e r a d e n g zu e r m i t t e l n , miissen wir die d u r c h die G e r a d e g u n d d en

A u g p u n k t 0 aufge s p a n n t e Ebene Em it der Bildeb ene Jt sc h n e id e n (Abb. 2.17, links) .

B e t r a c h r e n w ir n u n zwei beliebige, h o r i zonrale G e r a d e n g, u n d g z, die z u e i n a n d e r

p a r a l l e l l i e g e n (Abb. 2.1 7, M i n e ) . Z u r K o n s t r u k t i o n i h r e r Z e n t r a l r i s s e g l u n d gzv e r b i n d e n wir beide G e r a d e n m i t dem A u g p u n k t 0 u n d e r h a l t e n d a m i t die b e i d e n

E b e n e n E 1 u n d Ez . Die S c h n i t t g e r a d e g f d ieser b e i d e n E b e n e n e n t h a l t den A u g p u n k t 0

u n d v e r l a u t i p a r a l l e l zu den G e r a d e n g ] undg z. D e r S c h n i t t p u n k t Fg-der G e r a d e n t J

m i t der B i l d e b e n e Jt liegt d a h e r a u f dem H o r i z o n t h . W i r b e z e i c h n e n den P u n k t Fg- als

Fluchtpunkt aller zu gf p a r a l l e l e n G e r a d e n .

Diese P u n k r e s i n d bei der h a n d i s c h e n K o n s t r u k t i o n p e r s p e k t i v e r Bilder von groBer

B e d e u t u n g . 1m A l l g e m e i n e n gilt, dass die Z e n t ralrisse b e l i e b i g e r p a r a l l e l e r G e r a d e n k]u n d k z e i n a n d e r im F l u c h t p u n k t P, der G e r a d e n k, u n d k 2 s c h n e i d e n . W i r e r h a l r e n den

F l u c h r p u n k r F kal s S c h n i t t p u n k t der H i l f s g e r a d e n kfmit der B i l d e b e n e Jt, wobei die

G e r a d e k f eine zu k] a n d k z p arallele G e r a d e d u r c h den A u g p u n k t 0 ist , W i r e r k e n n e n ,

dass im U n t e r s c h i e d zur P a r a l l e l p r o j e k t i o n bei der Z e n t r a l p r o j e k t i o n d ie Parallelitac

von G e r a d e n u n d Verhalmisse von S t r e c k e n l a n g e n z u e i n a n d e r im A l l g e m e i n e n n i c h t

e r h a l t e n w e r d e n .

A b b . 2 . 1 7K o n s t r u k t i o n von F l u c h t p u n k t e n

38

D e r A b s t a n d de s A u g p u n k t s 0 zum H a u p t p u n k t H ( a u f dem H o r i z o n t h) legt a u ch

d ie E n t f e r n u n g des A u g p u n k t s 0 von der B i l d e b e n e Jt fest. W i r b e z e i c h n e n diesen

Ab s t a n d als Distanz der Perspektive . Eine A n d e r u n g der D i s t a n z w i r k t sic h niche a u f

das A u s s e h e n des Z e n t ralrisses au s, sie v e r u r s a c h t l e d i g l i c h eine Vergr o B e r u n g o d e r

V e r k l e i n e r u n g de s per s p e k t i v e n Bildes (Abb. 2.18, o b e n ) . A n d e r e r s e i t s k a n n

j e d o c h ein Verschieben der K a m e r a langs der o p t i s c h e n Achse groBe A u s w i r k u n g e n

a u f das Au ss e h e n de s Z e n t r alrisses h a b e n (Abb . 2 .18, u n t e n ) .

Abb . 2 .18Zentralrisse einer Modellfigur der"Endlosen Treppe" (1991 , Ludwigshafen)von Max Bill. Mit festem A u g p u n k t 0

und v a r i a b l e r Distanz (oben).Mit f e s t e r Distanz und bewegtemA u g p u n k t ( u n t e n ) .

Bild 3Bild 2Bild 1

' ''to' :~: : :'':' ' ' 0to ' - 0

D i s t a n z

' -

v e r s c h i e d e n e Bildebenen

"- .. -

1t l~< . 1tz J1 < .

.. _ - - 06" - " - " - 0

A u g p u n k t wird b e w e g t

rt

Bild 4

1t

Bild 5 Bild 6

39

horizontalen und vertikalen Absrande d hund d, des P u n k t e s P c zum H a u p t p u n k t

H. D e r h o r i z o n t a l e Ab srand d h kann da ­

bei u n v e r z e r r r aus dem G r u n d r i s s als

A b s t a n d der P u n k t e H' und PC' iiber­

n o m m e n werden. D e n verrikalen Ab­

st an d d; finden wir im Aufri ss als Ab­

s t a n d des P u n k t e s pc "vom H o r i z o n t h.M i t dieser e i n f a c h e n K o n s t r u k t i o n s v o r ­

schrifi k o n n e n wir die Bilder aller

Obj e k t p u n k t e e r m i r r e l n u n d e r h a l t e n

d a m i t d en Z e n t r a l r i ss des O b j e k r s.

A b b . 2 . 1 9Handlsche K o n s t r u k t i o n der Perspektiveeines v e r e i n f a c h t e n Hausmodells. DieK o n s t r u k t i o n wurde in zweiu n t e r s c h i e d l i c h e n Rissanordnungen imMaf3stab 1 : 600 d u r c h g e f U h r t (oben) .Das Ergebnis ist im Maf3stab 1 : 300wiedergegeben ( u n t e n ) .

- ,

p '

B i l d p u n k t e s P ' als S c h n i t t p u n k t des

P r o j e k t i o n s s t r a h l s OP m i t der Bildebene

n. Urn den in der Bild ebene n liegenden

Z e n t r a l r i s s des O b j e k t s unverzerrr zu se ­

hen, i i b e r r r a g e n wir die k o n s t r u i e r r e n

B i l d p u n k t e in eine Z e i c h e n e b e n e . Die­

ser Transfer e r f o l g t u n t e r Beachrung der

K o n s t r u k t i o nim MaBstab1 : 6 0 0

.----- - - - - - -----QQ '

" .. .. IP " . · · ·· .. · · i,O'· · ··l d. .. .... 0 "_ _ _ _ _ _ pc _ _ - - 0 - - :..-c-· · · ~o -

h " H" ~Qc"

Q"" ' ~0 '

' .

K o n s t r u k t i o nim MaBstab 1 : 6 0 0

- ,

p" ' 0 - ·_ _ _ p c"

h " I

p '

Beispiel:

H a n d i s c h e K o n s t r u k t i o n der Perspe­

ktive eines Hauses. Zur handischen

Kon s r r u k t i o n ein er Perspekti ve o r d n e n

wir G r u n d - und Aufri ss der raurnlichen

S i t u a t i o n zweckmaliigerweise wie in Ab­

b i l d u n g 2.19 an. In dieser A u f s t e l l u n g

e r m i t r e l n wir G r u n d - und Aufri ss ei n es

40

Ergebnis im MaBstab 1 : 3 0 0

h

h _

- ----~---- y C

F. '.Q" e:R"

A m e r i k a n i s c h e A n o r d n u n gF. "

g ,, '~ d .1 " ' - - - - - -"1h " H"

-- o~

0 "

Wir verbinden den Bildpunkt P' mit dem

Fluchtpunkr F, und iibertragen dann nur

noch die horizontalen Abstande db, die

wir unverzerrt irn Grundriss ablesen kon­

nen. In analoger Art und Weise konstru­

ieren wir die Zentralrisse von Punkren , die

auf x-p arall elen Kanten liegen, indem wir

den Fluchtpunkt F, verwenden.

y "6 - - - - 6 - - . . a . . . . o - . . .

z"

- - =F.

y "Q " e:

Ergebnis in d o p p e l t e r GroBe

R"

EuropiUsche A n o r d n u n g

h " _

Die Verwendung von Fluchtpunkten er­

bOht die Genauigkeit der Konstruktion

und verringert gleichzeitig die Anzahl

der benorigten Konstruktionslinien . 50

finden wir beispidsweise die Zentralrisse

der Punkre Q und R , die beide auf einer

y-parallelen Geraden durch den schon

konstruierten Punkr P l iegen, wie folgt :

x '

d"

Beispiel:

Verwendung von F l u c h t p u n k t e n bei

der handischen K o n s t r u k t i o n von

Perspektiven. Die punkrweise Kon­

struktion einer Perspektive kann durch

die Verwendung von Pluchtpunkren

wie folgc verbessert werden (Abb. 2.20):

Wir konstru ieren Grund- und Aufriss

des Fluchtpunkrs fig einer beliebigen

Geraden g als 5chnittpunkt von gf mit

der Bildebene n . Die dazu benotigte

Gerade g f e r m i t t d n wir a1s eine zu g par­

allele Gerade durch den Augpunkt O.Die Position des Fluchtpunkts fig in der

Zeichenebene erhalten wir dann durch

Obertragen der Abstande d, und db wie

oben beschrieben .

A b b . 2 . 2 0Handlsche Konstrukt ion elnerPerspektive m i t Verwendung vonFluchtpunkten. Die K o n s t r u k t ion e r f o l g tin zwe l u n t e r s c h i e d l i c h e nRissanordnungen (oben).

I P'41

W i r m e r k e n n o e h an, dass die b e s e h r i e b e n e K o n s t r u k t i o n s m e t h o d e gut fur das

A b b i l d e n von O b j e k t e n m i t au ssehlieBlieh e b e n e n S e i r e n f l a c h e n g e e i g n e t ist, Die

A n w e n d u n g dieser M e t h o d e a u f die H e r s t e l l u n g p e r s p e k t i v e r Bilder von Z y l i n d e r n ,

Kugeln o d e r O b j e k t e n m i t g e k r u m m t e n O b e r l l a c h e n ist im A l l g e m e i n e n w e s e n t l i c h

k o m p l i z i e r t e r u n d z e i t a u f w a n d i g e r ,

Das k o n s t r u k t i o n s t e e h n i s e h a u f w a n d i g e A b b i l d e n von Kreisen u n d Kugeln war ein

w e s e n t l i c h e r I n h a l t der t r a d i t i o n e l l e n D a r s t e l l e n d e n G e o m e r r i e , w o r a u f wir in diesem

Bueh n i e h t w e i t e r e i n g e h e n w e r d e n , T r o t z d e m ist es h i l f r e i c h , w e n n man in der

Lage ist, p e r s p e k t i v e Bilder von e i n f a e h e n O b j e k r e n (wie o b e n b e s c h r i e b e n ) r i c h t i g

skizzieren zu konnen, Weiters h e l f e n uns beim M o d e l l i e r e n m i t C A D die v o r g e s t e l l t e n

G r u n d k e n n t n i s s e iiber die Z e n t r a l p r o j e k t i o n be im Festlegen g e e i g n e t e r p e r s p e k t i v e r

A n s i c h r e n .

H i n w e i s e f i i r d a s E r z e u g e n n a t i i r l i c h w i r k e n d e r B i l d e r . Per spektive Bilder

s i n d b e s o n d e r s fur P r a s e n t a t i o n e n g e e i g n e t , da sie das einaugige B e t r a c h r e n einer

m o d e l l i e r t e n Szene s i m u l i e r e n . Z u r H e r s t e l l u n g realistiseh w i r k e n d e r B i l d e r k o n n e n

n o e h folgende T i p p s r e c h t h i l f r e i c h sein (Abb . 2.21 u n d 2 . 2 2 ) . Abb . 2 . 2 1Geneigte opt ische Achsen( K a m e r a s t a n d p u n k t und Kameraziel­p u n k t befinden sich auf u n t e r s c h i e d ­lichen Hohen) erzeugen stOrzendez-Kanten .

o ,.

A b b . 2 . 2 2Der Sehkegel und die Sehpyramidebegrenzen den sichtbaren Bereich .

s i c h t b a r e r Bereich s i c h t b a r e r Bereich

S e h p y r a m i d e

/; ;

42

A b b . 2 . 2 3Bilder einer Szene m i t verschiedenenS e h p y r a m i d e n : Ein Winkel a k l e i n e r als30 Grad e r g i b t realistisch wirkendeBilder, wahrend Bilder m i t grOBeren

W i r s o l l t e n uns i m m e r in E r i n n e r u n g rufen, dass die K a m e r a p o s i t i o n die Lage

des Auges eines B e t r a c h t e r s fesdegt. Die P o s i t i o n des A u g p u n k t e s sollte d a h e r

vorzugsweise zwischen l.S u n d 2 m o b e r h a l b der eben en S r a n d l l a c h e a n g e n o m m e n

w e r d e n .

• Die Wahl e i n e r h o r i z o n t a l e n o p t i s c h e n Achse 0 l H 1 b e w i r k t p e r s p e k t i v e

Bilder, in d e n e n die z - p a r a l l e l e n G e r a d e n als l o t r e c h t e , p a r a l l e l e G e r a d e n

e r s c h e i n e n . D a h e r s o l l t e n K a m e r a s t a n d p u n k r u n d K a m e r a z i e l p u n k t

dieselbe z- K o o r d i n a t e h a b e n .

• Falls der K a m e r a z i e l p u n k t h o h e r liegt als der K a m e r a s t a n d p u n k t , so zeigt die

opcische Achse OzH z nach o b e n . D e r F l u c h t p u n k t F, liegt d a h e r o b e r h a l b des

H o r i z o n t s , u n d wir e r h a l t e n s t i i r z e n d e z - p a r a l l e l e K a n r e n b i l d e r .

• Liegt h i n g e g e n der K a m e r a s t a n d p u n k t 0 3 h o h e r als der K a m e r a z i e l p u n k t , so

e r h a l t e n wir ebenfalls s t i i r z e n d e z - K a n t e n , wobei in diesem Fall der F l u c h t ­

p u n k t F; u n t e r h a l b des H o r i z o n t s liegt.

• D e r s i c h t b a r e Bereich, den das m e n s c h l i c h e Auge o h n e Bewegen w a h r n e h ­

men kann, wird durch den so g e n a n n r e n Sehkegel begrenzt. D e r W i n k e l az w i s c h e n den E r z e u g e n d e n des Sehkegels u n d seiner Achse b e t r a g t beim

M e n s c h e n etwa 30 G r a d (Abb . 2 .22) . Bei der V e r w e n d u n g eines

C A D - S y s t e m s o d e r e i n e r F o t o k a m e r a t r i t t anstelle dieses Sehkegels eine

Sehpyramide. Die m e i s t e n C A D - S y s t e m e stellen H i l f s m i t t e l bereit, die ein

A n p a s s e n der S e h p y r a m i d e e r l a u b e n . W i e in Abb . 2 .23 i l l u s t r i e r t , sollte man

zur H e r s t e l l u n g realistisch w i r k e n d e r Bilder die GroBe des W i n k e l s a m i t 30

G r a d b e s c h r a n k e n .

Werten fOr a u n g e w o h n t wirken.Allerdings kann dieser Effekt auchgezielt fOr k u n s t l e r i s c h e Zweckee i n g e s e t z t werden.

a = 3 0 0I

a = 4 0 oI

a = 5 0 oI

a = 6 0 o

43

Erzeugung von o p t i s c h e n I l l u s i o n e n . Bisher haben w ir di e Z e n t r a l p r o j e k t i o n

eing esetzt, urn den d r e i d i m e n sional en R aum moglich sr r ealisti sch au f einem Bild

w ie d e r zu g eb e n . A l l e r d i n g s kann man d ie Ge serzmali igkeiren d er Perspektive auch

n u t z en , urn den o p t i schen Sinn e in es B e t r a c h t e r s bewu sst zu t au schen.

Die z u g r u n d e l i e g e n d e g e o m e t r i s c h e Idee zur H e r s t e l l u n g

dieser o p t i s c h e n T a u s c h u n g e n ist das W i s s e n , dass aIle P u n k t e ,

die a u f d e m s e l b e n P r o j e k t i o n sstr ahl s li egen , in einen e i n z i g e n

B i l d p u n k t a b g e b i l d e t w e r d e n . W a h r e n d der l e t z t e n j a h r h u n ­

d e r t e w u r d e diese M o g l i c h k e i t vo n M alern u n d A r c h i t e k t en

haufig g e n u t z t , urn a u f e be ne n W a n d e n o d e r K u p p e l n da s

V o r h a n d e n s e i n von r a u m l i c h e n O b j e k t e n tau sch end e c h t zu

s i m u l i e r e n . Ein e i n d r u c k svolles Beispiel dafiir b e f i n d e t sic h

in der K i r c h e des HI. Ign atiu s in Rom. D o r t bernalte in den

J a h r e n 1 6 8 4 u n d 1685 A n d r e a Pozzo eine ebene D e c k e so ,

da ss die se als p e r f e k t e d r e i d i m e n s ionale K u p p e l er sch e i n t

( A b b . 2 .24) .

44

"'

Abb . 2 . 2 4Nutzung der Eigenschaften derZ e n t r a l p r o j e k t i o n in der Architektur, imBOhnenbau und bei der StraBenmalerei.Die von Andrea Pozzo ( 1 6 2 1 - 1 6 8 5 )g e s t a l t e t e ebene Decke der Kirche desHI. I g n a z i u s in Rom zeigt eine p e r f e k t eScheinkuppel ( l i n k s ) . 1m BOhnenbauwird die Perspektive b e n u t z t , umgr5Bere BOhnenaufbauten vorzu­tauschen. Zu sehen sind zweiu n t e r s c h i e d l i c h e Ansichten einesBOhnenmodells ( M i t t e ) . Der KOnstlerJulian Beever n u t z t die Zentral­p r o j e k t i o n recht k r e a t i v beim Bemalenvon Gehsteigen ( u n t e n ) .( G e h s t e i g b e m a l u n g : © Julian Beever) .

Betrachten wir ein en Wlirfel und ein allgemeines Polyeder ( Polyed er werd en im

Kapitel3 b ehandelt ) , d ie so zueinander liegen, dass jed es Paar zugeordnet er Punkte

aufje einem Projektionsstrahl durch den Augpunkt 0 liegt. In Abb. 2.25 (l inks) wird

diese gegenseitige Lage an h and vo n Projektionsstrahlen durch d ie Punkte PI ' P z und

P 3 ( auf dem Polyeder) und den Wurfeleckpunkten Qh 0. und 0 illustriert. In diesem

Fall werden beide Raumobjekte auf da sselbe Bild abgebildet.

Aus p sychologischen G runden erkennt das menschliche Gehirn regelma Bige Objekt e

(wie einen Wlirfel) leichter als unregelmali ige, Eine Person , die vo m Punkt 0 aus in

orthogon aler Richtung auf die Bildeben e J"[ blickr, wird daher beim Betr acht en der

Bild6gur d avon ausgehen , d ass es sich urn d as Bild eines Wlirfels und n ich t urn d as

Bild eines allgemein en Polyeders h and elt , Aus der Abb. 2 .25 ( lin ks) erken n en w ir

weit ers, d ass die Bildgeraden P IP 2 und Ql Q2 vo n je zwei zugeordneten Raumgeraden

P1P Z und Q IQ Z einander im Fluchtpunkt F; sch neid en . Eb enso seh en w ir, dass die

Gerad en P Z P 3 und Q z 0 d ie Bildebene im Fluchtpunkt F, sch n eid en.

A b b . 2 . 2 5Wie man die menschl iche Wahrneh ­mung tauschen kann. Ein Betrachter,der vom Punkt 0 auf das allgemeinePolyeder bl ickt, m e i n t einen WOrfel zusehen (l inks).

Der Polyeder aus der Sicht desB e t r a c h t e r s ( M i t t e ) . Die Geometrieh i n t e r den Stra13enmalereien von JulianBeever ( r e c h t s ) .

46

. .~_r · · .. ·".··.

:::::::~';;'::L ...00

~=Q~

-: :< ~:-: 'T ::: :-'~' .: ::: :: :: .Fy., .. , I ; . . . F.

- - 0 1 i ; : ; : : : : : .. . : ' : ' : ',,:, . 1 :.:... .::::: :::::::::::::::::: .:.: : :.:.. :.. l 0 -

In der Abb . 2.25 (rechrs) v e r w e n d e n wir zwei v e r s c h i e d e n e B i l d e b e n e n : eine l o r r e c h t e

E b e n e Jt (sie e n t h a l t ein Bild der g e w u n s c h t e n Szene) u n d eine h o r i z o n t a l e E b e n e Jtl

(z.B. die O b e r f l a c h e eines G e h s t e i g s , der als Z e i c h e n f l a c h e d i e n t ) . J e d e r P u n k t R a u f

dem P r o j e k t i o n s s t r a h l OP hat dasselbe Bild R' = P ' in der v e r t i k a l e n B i l d e b e n e n;

D a h e r e r z e u g t der S c h n i t t p u n k r P , des P r o j e k t i o n s s t r a h l s OP m i t der h o r i z o n t a l e n

Z e i c h e n e b e n e Jt 1 dasselbe Bild P ' wie der P u n k t P a u f e i n e m realen O b j e k t .

Yom g e o m e t r i s c h e n S t a n d p u n k t aus miissen wir zur H e r s t e l l u n g s o l c h e r StraBenmale­

reien lediglich alle P u n k t e der g e w i i n s c h t e n Szene (in der l o t r e c h r e n Bildebene n) in

eine andere Ebene Jtl projizieren . E n r f e r n e n wir d a n n die l o r r e c h t e Bildebene Jt u n d

p o s i t i o n i e r e n das Auge des B e t r a c h t e r s im P u n k t 0 , so g l a u b t der B e t r a c h t e r die

O r i g i n a l s z e n e zu sehen, w a h r e n d er a u f das v e r z e r r t e Bild (blaue L i n i e n ) a u f dem

G e h s t e i g b l i c k t .

«o:

47

48

->:.'...~\I

,. ... "~_ ...... ...... '

-- --

F a l l - o f f - B e r e i c h

Licht, S c h a t t e n undR e n d e r i n g

D e r g e s c h i c k t e E i n s a t z der Z e n t r a l p r o j e k t i o n ist eine der w e s e n t l i c h e n Voraus­

s e t z u n g en, um A r c h i t e k t u r u n d D e s i g n in e i n e r realistisch w i r k e n d e n A r t u n d

Weise p r a s e n t i e r c n zu k o n n e n , Aber o h n e g e e i g n e t e B e l e u c h r u n g w e r d e n unsere

m o d e l l i e r t e n O b j e k t e n u r "Bach" u n d n i c h t r a u m l i c h wirken . Fiir w i r k l i c h

h e r v o r r a g e n d e V i s u a l i s i e r u n g e n miissen wir uns d a h e r m i t v e r s c h i e d e n e n L i c h t a r t e n

u n d B i l d w i e d e r g a b e v e r f a h r e n b e s c h a l i i g e n . Da auch im d e u t s c h s p r a c h igen Raum

ansrelle von . B i l d w i e d e r g a b e " i i b l l c h e r w e i s e das W o r t " R e n d e r i n g " o d e r . R e n d e m "

v e r w e n d e t wird, b e n u t z e n wir es auch in diesern Buch .

L i c h t a r t e n , Vom g e o m e t r i s c h e n S t a n d p u n k t aus b e t r a c h t e t , sind die Parallel­

beleuchtung (entferntes Licht) u n d die Zentralbeleuchtung (Punktlicht) die G e g e n s t i i c k e

zur P a r a l l e l p r o j e k t i o n u n d zur Z e n t r a l p r o j e k t i o n . Diese B e l e u c h t u n g s m e t h o d e n

weisen d a h e r d i e s e l b e n E i g e n s c h a f t e n a u f wie die i h n e n e n t s p r e c h e n d e n P r o j e k t i o n e n .

A b b . 2 . 2 6Beleuchtungen m i t e n t f e r n t e m Licht,P u n k t l i c h t und S c h e i n w e r f e r erzeugenscharfe S c h a t t e n k a n t e n .

A b b . 2 .27S p o t l i g h t

Z u s a t z l i c h zu den g e o m e t r i s c h e n E i g e n s c h a f t e n miissen wir n o c h b e r i i c k s i c h t i g e n , dass

bei P a r a l l e l b e l e u c h t u n g ( S o n n e n l i c h r ) ein gleichmalSig helles L i c h t v e r w e n d e t wird,

w a h r e n d bei P u n k t l i c h t e r n die L i c h t s t a r k e m i t der E n t f e r n u n g a b n i m m t (Abb. 2 .26).

] e w e i t e r das O b j e k t von der L i c h t q u e l l e e n t l e r n t liegt, desto w e n i g e r L i c h t e r n p f a n g t

es. Dieses g r a d u e l l e A b n e h m e n der L i c h r s t a r k e , oft auch als Fading b e z e i c h n e t , wird

von der R e n d e r i n g - S o f t w a r e v e r e i n f a c h r so s i m u l i e r t , dass die L i c h t s t a r k e mit dem

Q u a d r a t der E n t f e r n u n g a b n i m m t ,

B e l e u c h t u n g e n m i t e i n e m S c h e i n w e r f e r (Spotlight) s i n d eine S o n d e r f o r m der

B c l e u c h t u n g m i t e i n e m P u n k t l i c h t . Im G e g e n s a t z zum P u n k t l i c h t w i r d in diesem Fall

n u r ein d u r c h e i n e n Kegel b e g r e n z t e r Bereich a u s g e l e u c h t e t . Diese B e l e u c h t u n g e i g n e t

sich d a h e r h e r v o r r a g e n d , w e n n wir b e s t i m m t e Teile eines O b j e k t s h e r v o r h e b e n wollen.

Z u s a t z l i c h k o n n e n wir bei e i n e m S p o t l i g h t m i t Hilfe eines w e i t e r e n , k o a x i a l e n Kegels

den so g e n a n n t e n Fall-off Bereich regeln . I n n e r h a l b dieses Kegels h a b e n wir die volle

L i c h t s r a r k e , w a h r e n d sic aulSerhalb des Kegels gleichmalSig bis zum b e g r e n z e n d e n

Lichtkegel hin a b n i m m t (Abb. 2 .27) .

49

S ch a t t e n g r e n z en , die v o n einer ein zeln en e m f e r n t e n L i c h t q u e i l e od er ei n em

P u n k t l icht e r z e u g t w erden , si n d seh r sch a r f ( p l o t zl ich er O b e rga ng vo n vo lle r

Au sleu c h t u n g zu a bs o lute r Dunkelheit), D ah er wirken Szenen mit n u r e iner di eser

L i c h t q u ellen n icht seh r r eal isti sch . U rn d ie s zu v er m ei de n u n d urn ei n en san fi:e n

O b e rga n g vo n b e l e u c h t e t e n zu a bge d u n k el re n Bereich en zu erzie len, set ze n wi r e in e

gro Bere Anz ahl v o n P u n k r l i c h t ern bz w. S c h e i n w erfern e in, d ie w i r n ah e a ne inan de r

po s i t i o n i e r e n .

Die se B i i n d e l a n o r d n u n g vo n einzeln en L i c h t e r n e r ze u g t zw ar r e c h t re alisti sch e

Sch a t t e n , a l l e r d i n g s au f Ko sten s t a r k s t e ig en de r B e r e c h n u n g szeit en . D esh alb

s t elle n R e n d e r p r o g r a m m e auch Li c h r q u e l l en wie Lini en- u n d Fld cb enlichter z ur

V e r f i i g u n g , die a u f der Ide e der Biindel a n o r d n u n g ba sieren. So kann bei spielsweise

d a s Lini e n l i c h t als eine Menge von P u n k t l i c h r e r n aufgefa sst werd en , die h n g s ei ne r

Streck e a n g e o r d n e t sind . Die se regeim aBig v e r t e i l t e n P u n k t l i c h t er sen d en d a n n L i c h t

gle i c h f o r m i g in all e R i c h t u n g en aus ( A b b . 2 .28 ) .

Abb . 2 .28Linien- und Flachenlichter konnen alsMengen von S p o t l i g h t s aufgefasstwerden, die langs einer Strecke oderinnerha lb eines Polygons gleichmaBigv e r t e i l t sind.

A b b . 2 . 2 9Linien- und Flachenllchter werdenhaufig bei der Beleuchtung vonI n n e n r a u m s z e n e n eingesetzt.

Platzieren wir die einzelnen Lichtquellen gleichmaBig innerhalb eines ebenen

Polygons , so erhalten wir das Modell fur ein Flachenlichr. Linien- und Flachenlichter

sind hervorragend zum Visualisieren von Innenraumen geeignet, wo in der Realitar

ublicherweise Leuchtsroffr6hren oder Lichtpaneele Verwendungfinden (Abb. 2.29).

Zwei weitere wichtige Lichtquellen, die jede Rendering-Software zur Verfugung

stellt, sind das Umgebungslicht (ambient light) und das Blitzlicht (/lash light). Das

Umgebungslicht dient dabei nur zum Verandern der Grundhelligkeit der Szene,

wahrend das Blitzlicht ein spezielles Punktlicht isr, das genau in der Position der

Kamera platziert ist, Eine Anderung der Lichtstarke des Blitzlichts erhellr bzw.

verdunkelt nur jene Flachenreile, die von der Kameraposition aus sichtbar sind.

Umgebungslicht und Blirzlicht erzeugen keine sichtbaren Schatten, sie dienen

lediglich zur Steuerung der Helligkeit der gesamten Szene.

R e n d e r - M e r h o d e n , Urn q u a l i t a t i v h o c h w e r t i g e Bilder zu erzeugen, miissen wir

unseren O b j e k r e n zusarzlich n o c h Texturen u n d M a t e r i a l i e n zuweisen. Verschiedene

Beleuchtungsmodelle, welche die I n t e r a k t i o n zwischen Licht u n d O b e r i l a c h e n ­

b e s c h a f f e n h e i t beschreiben, e r m o g l i c h e n erst die D a r s t e l l u n g n a n i r l i c h w i r k e n d e r

Texturen. Diese B e l e u c h t u n g s m o d e l l e b e r u c k s i c h t i g e n dabei zahlreiche g e o m e t r i s c h e

und physikalische Fakroren, welche die Farbe jedes einzelnen O b j e k t p u n k t e s festlegen.

Urn das n a t i i r l i c h e V e r h a l t e n des L i c h t s zu s i m u l i e r e n , miissen beispielsweise

p h y s i k a l i s c h e Effekte wie Reflexion, T r a n s p a r e n z o d e r S p i e g e l u n g in die marhe­

m a t i s c h e B e s c h r e i b u n g der B e l e u c h t u n g s m o d e l l e einllielsen . Diese m a r h e r n a t i s c h e n

M o d e l l e v e r s u c h e n m i t m i n i m a l e m R e c h e n a u f w a n d die in der R e a l i t a t v o r h a n d e n e n

L i c h t v e r h a l m i s s e r n o g l i c h s t gut a n z u n a h e r n . Eine tiefere B e h a n d l u n g dieser

T h e r n a t i k w i i r d e den R a h m e n des Buches s p r e n g e n . W i r b e s c h r a n k e n uns d a h e r a u f

die B e s c h r e i b u n g e i n i g e r g r u n d l e g e n d e r T a t s a c h e n .

Im W e s e n t l i c h e n u n t e r s c h e i d e n wir z w i s c h e n lokalen u n d globalen Beleuchtungs­

modellen (Abb . 2 . 3 0 ) .

• Lokale B e l e u c h t u n g s m o d e l l e b e r i i c k s i c h t i g e n n u r die I n t e r a k t i o n z w i s c h e n

L i c h t u n d O b j e k t . Sie s i n d einfache, aber g u t e A p p r o x i m a t i o n e n von ratsach­

l i c h e n L i c h t v e r h a l t n i s s e n u n d w e r d e n d a h e r fiir schnelle B i l d d a r s t e l l u n g e n

m i t konstanter Schattierung o d e r Phong-Schattierung (wird im F o l g e n d e n

erklart) e i n g e s e t z t .

• G l o b a l e B e l e u c h t u n g s m o d e l l e s i n d viel genauere S i m u l a t i o n e n der R e a l i t a r .

Sie b e r i i c k s i c h t i g e n p h y s i k a l i s c h e E i g e n s c h a f t e n , die I n t e r a k t i o n zwischen

L i c h t u n d O b j e k t sowie die I n r e r a k t i o n zwischen den O b j e k t e n . Diese

M o d e l l e e r l a u b e n d a h e r auch die D a r s t e l l u n g von Spiegelungs- u n d L i c h t ­

b r e c h u n g s e f f e k t e n . Sie schlie Ben bei der B e r e c h n u n g des F a r b t o n s jedes

e i n z e l n e n O b j e k r p u n k t e s s a m r l i c h e O b j e k t e der d a r g e s t e l l t e n Szcne ein .

T y p i s c h e R e n d e r - M e t h o d e n , die a u f g l o b a l c n B e l e u c h t u n g s m o d e l l e n

basieren, s i n d die als Ray tracing bzw. Radiosity b e z e i c h n e t e n Verfahren.

A u f g r u n d der K o m p l e x i t a t der z u g r u n d e l i e g e n d e n m a t h e m a r i s c h e n M o d e l l e

b e n 6 t i g e n diese R e n d e r - M e t h o d e n w e s e n t l i c h m e h r R e c h n e r l e i s t u n g als jene,

die l e d i g l i c h a u f l o k a l e n B e l e u c h t u n g s m o d e l l e n b e r u h e n .

52

A b b . 2 . 3 0Lokale B e l e u c h t u n g s m o d e l l e (wiekonstante S c h a t t i e r u n g , links) imGegensatz zu globalen Beleuchtungs­modellen (wie Raytracing, rechts).

A b b . 2 . 3 1Der Reflexionswinkel legt denZusammenhang zwischen einemLichtstrahl und einer O b j e k t f a c e t t e fest.

L i c h t q u e l l e

A b b . 2 . 3 2Polygonales Modell einer Kugel samtden Polygonnormalen.

Abb . 2 .33Bei Verwendung einer p u n k t f 6 r m i g e nLichtquelle t r e t e n versch iedeneReflexionswinkel in jedem einzelnenPunkt einer Ebene auf.

Urn die v e r s c h i e d e n e n M eth o d e n zur B i l d w i e d e r g a b e ( Re n d e r- Me t h o de n) zu

ve rste he n , b e t r a c h t e n wi r vo re rs t n u r die lokale I n t e r a k t i o n zw isch en einer L i c h t q u e l l e

u n d einer ei n zel n e n Fac e t t e eine s O b j e k r s ( A b b . 2 .31 ) . W i r s t u d ie re n dazu die

Reflexion eine s e in zelnen Li cht str ahl s I an e iner Eb ene n, Sei n eine G e r a d e d u r c h den

P u n k t P, we lche n o r m a l zur E be ne Jrs t e h t . D a s aus d er Ph ysik b e k a n n r e

R eflex ion sgesetz b esagt nun , d a ss der e i n f a l l e n d e Li cht str ahl Z, der r e l l e k t i e r t e

L i ch t s t r a h l Z u n d di e Eb en e n n o r m ale n in ein er E be n e liegen .

We iter s gilt , d a ss der W in k el zwisch e n Ie u n d n gleich gro g w ie der W i n k e l zwi schen n

u n d IT ist . Sei nun s ein b eli ebig er Seh s t r a h l d u r c h d a s Aug e eine s B e t r a c h t e r s . D a n n

b est i m m t der W i n k e l zw isch e n IT u n d s die Inren sitat de s r e f l e k t i e r e n d e n L i c h t st rahl s s,

der i n R i c h t u n g der K amer a ve rl au fi . Falls s u n d IT zu s a m m e n f a l l e n , wird das

Max imum an L i c h t zum B e t r a c h t e r hin retl ekti ert, B e r u c k sichrigr man nun die se

Ge ser z m a i i i g k e i t u n d l asst m an n o c h die Eigen schaften d e s ve r w e n d e t en M a t e r i a l s

e i n f l i e f e n , so kann ein pa s s e n d e r F a r b t o n b e r e c h n e t werd en. Die se Farbe wird d a n n

dem O b j e k t p u n k t P zugewie sen.

Z u r V e r e i n f a c h u n g de s Bere c h n u n g sproze sses n e h m e n w i r zu sat zlich an , da ss alle

R a u m o b j e k t e d u r c h pol ygonal e M o d e l l e m i t eben en Fac e t t en repr a s e n t i e r t werd en

(A b b. 2.32 ) . W ie wir bere it s gesehen h a b e n , ist die L age d er N o r m alen n in Bezug z ur

Lic h t q u el l e u n d zum Betr acht er von ents che i de n d er Bed e u t u n g. D a h e r werden im

er st en Schr itt di e N orm alen sam t l ich er e b en e r Pol yg one b er e c h n e t .

A n h and d er A b b i l d u n g 2 .33 e rk e n n en wi r, das s in vers chie de ne n P u n k t e n ein er

ein zeln en Fac e t t e d er W in k el zwisch en e i n f a l l e n d e m Lichr str ahl u n d d er Polygon ­

n orm alen va r i iere n kann , o bwo h l die Pol y g o n n o r m alen in all en Fla c h e n p u n k r en

z u e i n a n d er parallel sin d . Folgl ich r ellekt iert j ed er P u n k t der Flach e den ein fallend en

L icht s t r a h l in e in e a n de re Ri c h t u n g . Jed er Fl a c h e n p u n k r schei nt d aher ein e a n d e r e

Farb e zu haben.

' "

:4:.

B·· ..

53

Die B e r e c h n u n g der Farbe jedes e i n z e l n e n P u n k t e s ( B i l d s c h i r m p i x e l ) der g e s a m t e n

Szene ist d a h e r auBerst komplex u n d zeiraufwandig, D a h e r miissen V e r e i n f a c h u n g e n

g e t r o f f e n werden, urn b r a u c h b a r e R e s u l t a t e in angemessener Z e i t zu e r h a l t e n . Je nach

A r t dieser V e r e i n f a c h u n g u n t e r s c h e i d e n wir zwischen f o l g e n d e n R e n d e r - M e t h o d e n :

• Konstante Schattierung: Allen P u n k t e n eines Polygons wird dieselbe

Farbe z u g e o r d n e t . Bei diesem s c h n e l l e n A l g o r i t h m u s ist die Q u a l i t a t des

Ergebnisses allerdings n i c h t i i b e r r a g e n d , da man die R a n d e r der e i n z e l n e n

F a c e t t e n r e c h t klar e r k e n n e n kann:

• Gouraud-Schattierung (Abb. 2.34): Die HelIigkeit des Lichts ( L u m i n a n z )

wird in den Ecken des Polygons b e r e c h n e t , u n d daraus werden die F a r b w e r t e

i n diesen P u n k t e n e r r n i r t e l r . M i t Hilfe eines l i n e a r e n I n t e r p o l a t i o n s p r o z e s s e s

(siehe auch im A n h a n g " G e o m e t r i s c h e G r u n d l a g e n " ) werden d a n n die

F a r b w e r t e fUr j e d e n P u n k r (Pixel) einer F l a c h e n f a c e r r e b e r e c h n e t . D a z u

w e r d e n z u n a c h s t die F a r b w e r t e langs der K a n t e n des Polygons i n t e r p o l i e r t .

D a b e i a n d e r t sich beispielsweise langs der Kante DA die Farbe von Blau

in G r i i n , u n d langs der K a n t e DB w e c h s e l t die Farbe g r a d u e l l von Blau

in Rot. A n s c h l i e f e n d w i r d mit Hilfe einer l i n e a r e n I n t e r p o l a t i o n e n d a n g

einer S c a n l i n i e EF der F a r b w e r t eines F l a c h e n p u n k r e s P e r m i t t e l t . Dieses

Verfahren zur B e r e c h n u n g der F a r b w e r t e ist z e i r a u f w a n d i g e r als die k o n s t a n t e

S c h a t t i e r u n g , allerdings w i r d die ~alitat der r e s u l t i e r e n d e n Bilder d e u t l i c h

verbessert. Bei diesem Verfahren miissen die N o r m a l e n in den Ecken einer

F l a c h e n f a c e t t e e r m i t t e l t w e r d e n . Z u r E r k l a r u n g dieses Vorgangs b e r r a c h t e n

wir n o c h m a l s die A b b i l d u n g 2.34. In der Ecke D treffen e i n a n d e r vier

F a c e t t e n mit vier v e r s c h i e d e n e n F l a c h e n n o r r n a l e n . Urn einen g l a t t e n

O b e r g a n g zwischen diesen F a c e t t e n zu e r h a l t e n , v e r w e n d e n wir den

Vektor n = 1;4(n\ + n2 + n3 + n 4)' der als a r i t h m e t i s c h e s M i t t e l aller b e t e i l i g t e n

Vekroren b e r e c h n e t wird.

Abb . 2 . 3 4G o u r a u d - S c h a t t i e r u n g : Ausgehend vonden Farbwerten in den Ecken einesPolygons wird die Farbe eines jedenPunktes durch Iineare I n t e r p o l a t i o ne r m i t t e l t .P h o n g - S c h a t t i e r u n g : Zuerst wird m i tderselben linearen I n t e r p o l a t i o n ausden Normalen in den Polygonecken fOrjeden Flachenpunkt eine Normaleberechnet. Erst dann wird der Farbwertim Punkt P mit Hilfe dieser Normalenausgewertet.

Prinzip d e r G o u r a u d - S c h a t t i e r u n g Prinzip d e r P h o n g - S c h a t t i e r u n g

A

54B

• Phon g-S ch atti erung: Bei die ser M e t h o d e wird die line are I n t e r p o l a t i o n n i c h t

au f die F a r b w e r t e , so n d er n a u f die F l a c h e n n o r m a l e n selbst a u s g e u b t . D e r

I n t e r p o l a t i o n s p r o z e ss verlauft gleich wie bei der G o u r a u d - S c h a t t i e r u n g mit

dem U n t e r s c h i e d , das s wir n u n im F l a c h e n p u n k t P einen i n t e r p o l i e r t e n

N o r m a l v e k t o r n p e r h a l t e n . M i t Hilfe von n p wird d a n n die Farbe des Flachen­

p u n k t e s er rn i t t el t . Dieser A l g o r i t h m u s e r f o r d e r t n o c h m e h r R e c h e n l e i s t u n g ,

liefert allerdings auch eine bessere Q u a l i t a t . Speziell bei der V e r w e n d u n g

von gl anz e n d e n Mar erialien e r z e u g t die P h o n g - S c h a t t i e r u n g rechr gute

Erg ebn isse bei relat iv kur zen R e c h e n z e i t e n .

In A b b i l d u n g 2.35 werden die U n t e r schiede u n d G r e n z e n die ser lokalen S c h a t t i e ­

r u n g s v e r f a h r e n a n h an d eine s e i n f a c h e n g e o m e t r i schen O b j e k t s ( R i n g t o r u s )

aufgezeigt. Die se e i n f a c h e n M e t h o d e n l i e f e m a k z e p t a b l e N a h e r u n g e n der Realitat,

sie k o n n e n aber keine physikali schen Effekte wie Spiegelung o d e r L i c h t b r e c h u n g

w i e d e r g e b e n . Z u r E r z e u g u n g f o t o r e a l i s t i s c h e r Bilder miissen wir d a h e r globale

M e t h o d e n wie Ra y t r a c i n g o d e r Radio sit y ein setzen.

Da s Raytra cin g- Ve rfah ren (St rahlruck ve rfO lgung ) ba siert a u f dem S c a n n e n ( A b t a sten )

d er Bild s c h i r m p i xel. D a b e i werden d u r c h jeden P u n k t des B i l d s c h i r m s ( P ixel) Seh­

st r ah l en d u r c h den A u g p u n k t gelegt. D a n n wird j e d e r die ser Seh s t r a h l e n s d u r c h

die gesamte Szen e solange z u r i i c k v e r f o l g t , bi s er a u f eine L i c h t q u e l l e triftt. W a h r e n d

dieser R i i c k v e r f o l g u n g wird jeder L i c h t s t r a h l nach den G e s e t z e n der Physik in allen

S c h n i t t p u n k t e n mit den O b j e k t e n an deren O b e r f l a c h e r e t l e k t i e r t bzw. g e b r o c h e n

r e f l e k t i e r t u n d dabei in diverse Teil s t r a h l e n zerlegt (Abb . 2.36 ).

A b b . 2 . 3 5Die S i l d q u a l i t a t hangt vom Render­Verfahren abo Wahrend die k o n s t a n t eS c h a t t i e r u n g m i t wenig Rechenaufwandeher bescheidene Silder l i e f e r t ,erzeugen Gouraud- und Phong­S c h a t t i e r u n g recht brauchbare Silderauf Kosten e r h o h t e r Rechenzeit.

A b b . 2 . 3 6Raytracing: Ein Sehstrahl 5 wird vomAuge zu den Lichtquellen r u c k v e r f o l q t ,

k o n s t a n t eS c h a t t i e r u n g

Gouraud­S c h a t t i e r u n g

Phong­S c h a t t i e r u n g

A u g p u n k t 0 Pixel

55

Die dabei e n t s t e h e n d e n , n e u e n T e i l s t r a h l e n w e r d e n wie die Au s g a n g s s t r a h l e n

behandelt , Das h e i E t , s ie w e r d e n ebenfalls d u r c h die gesamte Szene bis zu e i n e r

L i c h t q u e l l e z u r i i c k v e r f o I g t u n d k o n n e n dabei w i e d e r in we itere T e i l s t r a h l e n a u f g e t e i l t

w e r d e n . Szenen m i t vielen s p i e g e l n d e n O b j e k r o b e r f l a c h en k o n n e n d abei eine riesige

A n z a h l von S t r a h l e n e r z e u g e n , die vo n vielfachen S p i e g e l u n g e n o d e r L i c h t b r e c h u n g e n

h e r r i i h r e n . Das R a y t r a c i n g - V e r f a h r e n ist d a h e r auEerst r e c h e n i n t e n s i v , e r z e u g t d a f i i r

aber r e c h t e i n d r u c k s v o l l e Bilder.

Das Radios ity-Verfthren ist eine n o c h komplexere M e t h o d e zur E r z e u g u n g p h o t o ­

realistischer BUder. Die R e c h e n z e i t steigt n o c h m a l s e n o r m an , d a a u f w a n d i g e

m a t h e m a t i s c h e Verfahren v e r w e n d e t werden . Allerdings l o h n t sich der R e c h e n a u f w a n d

speziell d a n n , wenn man diese M e t h o d e beim R e n d e r n von I n n e n r a u m s z e n e n einsetzt,

urn auch diffuse Reflexionen darstellen zu k o n n e n (Abb. 2.3 7) .

W ir h a b e n uns h i e r n u r m i t den G r u n d l a g e n von B e l e u c h t u n g s m o d e l l e n u n d

R e n d e r - M e t h o d e n beschattigt , Fiir e in intensive s S t u d i u m dieser Thernarik verweisen

wir a u f die einschlagige L i t e r a r u r aus der C o m p u t e r g r a f i k .

Ray t r a c i n g

56

R a d i o s i t y

A b b . 2 . 3 7Dieselbe Szene d a r g e s t e l l t m i t demRay t r a c i n g - und dem Rad i o s i t y ­Verfahren. In der Szene wird nur eineinziges Flachenlicht (in Form einesDreiecks an der Decke des I n n e n ­raums) v e r w e n d e t , um die Unter­schiede der beiden Render-Verfahrenzu i l l u s t r i e r e n . Mit Hilfe des Radiosity­Verfahrens g e l i n g t es sogar, diffuseReflexionen darzustellen . ( B i l d e r m i tf r e u n d l i c h e r Genehmigung vonAlexander Wilkie und Andrea Weidlich.)

v

N o r m a l e und s c h i e f eA x o n o m e t r i e

Die Mog l i c h k e i t , au ssagekrafiige Skizzen f r e i h a n d i g zu z e i c h n e n , ist fur j e d e n

D e s i g n e r u n d A r c h i t e k t en eine g r o f e Hilfe, da viele D e s i g n k o n z e p t e u n d D e s i g n i d e e n

nur schwer mit W o r t e n allein b e s c h r e i b b a r sind. Eine rasch erstellre H a n d s k i z z e k a n n

bei der V e r m i t d u n g dieser De s i g n i d e e n h i l f r e i c h sein . Die B e a c h t u n g der wenigen

Eigen schaften einer P a r a l l e l p r o j e k t i o n , die wir am Beginn dieses Kapi tels h e r g e l e i t e t

h a b e n , reichen sch o n a us, urn allgemeine An s i c h t e n vo n R a u r n o b j e k t e n r i c h t i g

skizzier en zu k o n n e n ,

Geg eben se ien jew e ils di e V e r z e r r u n g s f a k t o r e n v x ' v y u n d V z der drei Ach sen x , y und z

eine s k a r t e sischen K o o r d i n a t en syst ems sow ie die Bilder x P,yP, z P dieser K o o r d i n a t e n ­

ach sen (A b b. 2.38 ) . M i t die ser A n g a b e sind wir n u n in der Lage, die Parallelris se der

E i n h e i t s p u n k t e E A 1,0,0), E r ( 0, 1,0) u n d E z (0,0 ,1 ) in der Z e i c h n u n g e i n z u t r a g e n .

Legen wir n u n d u r c h die Bilder die ser E i n h e i t s p u n k t e achs e n p a r all ele G e r a d e n , so

e r h a l t e n wir den Parallelr iss eine s Wtirfels mit der K a n t e n l a n g e 1. Dieser E inheits­

wurfel d i e n t uns als v isuelle Hilfe , urn festzusrellen , ob e ine beliebig g e w a h l t e Angabe

auch cine b r a u c h b a r e A n s i c h t l iefert .

D e r Parallelris s eine s a l l g e m e i n e n P u n k t e s Q m it den K o o r d i n a t e n xQ' y Q u n d z Q wird

d a n n , wie in A b b i l d u n g 2.38 gezeigt, e r m i t r e l t , Die K o o r d i n a t e n von Q werden mit

den jeweiligen Verzerrung s f a k t o r e n m u l t i p l i z i e r t u n d m i t H i lfe achs e n p a r a l l e l e r

G e r a d e n in d as Bild e in g etr ag en .

A b b . 2 . 3 8

Parallelr iss eines a l l g e m e i n e n Punktes

QCO.512/2) .

t z "E" z

0 "o E " "~

z "

~-~y"

. . . . . .. . . . . ,.: -:

" ,

oQ '"

57

V o t e r d e r A n n a h m e , dass j e d e b e l i e b i g e W a h l fur die V e r z e r r u n g s f a k t o r e n u n d die

B i l d e r der K o o r d i n a t e n a c h s e n zulassig ist , e r m o g l i c h t die se K o n s t r u k r i o n s v o r s c h r i f i

das r i c h t i g e E i n z e i c h n e n eines j e d e n P u n k t e s des d r e i d i m e n s i o n a l e n R a u m s . Bei der

F e s t l e g u n g der V e r z e r r u n g s f a k t o r e n u n d der B i l d e r x ", y P u n d zP h aben w ir al so eine

v o l l k o m m e n freie Wahl.

D e n n o c h miissen wir uns im K l a r e n sein, dass eine u n g e e i g n ete A u s w a h l zwar

ein g e o m e t r i s c h r i c h t i g e s , a b e r visuell u n b r a u c h b a r e s E r g e b n i s l i e f e r n k a n n . W i r

zeigen d a h e r in A b b i l d u n g 2.39 e i n i g e gelaufige u n d b r a u c h b a r e A n n a h m e n fur die

V e r z e r r u n g s f a k t o r e n v x ' v y u n d V z sowie fur die P a r a l l e l r i s s e x ", y P u n d z ".

v x = l ; v y = O. 5 ; v z = lz P

B e i s p i e l :

P a r a l l e l r i s s e i n e r U b e r d a c h u n g , Gege­

ben s i n d G r u n d - u n d Aufriss einer ver ­

e i n f a c h r e n O b e r d a c h u n g , die Parallelrisse

des K o o r d i n a t e n s y s t e m s sowie die Verzer­

r u n g s f a k t o r e n ( A b b . 2.40a). W i r begin­

nen m i t dem E i n z e i c h n e n des A c h t e c k s

in der x y - E b e n e u n d b e r u c k s i c h t i g e n da­

bei die V e r z e r r u n g s f a k t o r e n sowie die

P a r a l l e l i t a t g e g e n u b e r l i e g e n d e r Seiten.

A b b . 2 . 3 9Gut gewahlte Vorgaben fOr dieV e r z e r r u n g s f a k t o r e n und fOr dieParallelrisse x", yP und z" derKoordinatenachsen erzeugen realistischwirkende Bilder.

58

v x = l ; v y = O. 7 5 ;

v z = 1 z "

v x = O. 5 ; v y = l ;

v z = l z "Abb. 2.40A x o n o m e t r i s c h e r Riss eines verein­fachten Modells einer Oberdachung.(a) Gegeben sind Grund- und Aufrissder Oberdachung, das K o o r d i n a t e n ­system und die V e r z e r r u n g s f a k t o r e n .(b) K o n s t r u k t i o n des Achtecks und derl o t r e c h t e n Saulen.(c)Einzeichnen der Oberdachung.(d) E r m i t t l u n g der Verschneidung derOberdachung m i t einer quadratischenPyramide.(e) F e r t i g s t e l l u n g der Zeichnung .

Dann zeichnen wir die vertikalen Saulen

ein (Abb. 2.40b). Verbinden wir nun die

Bilder dieser Endpunkte mit dem Punkr S,

so erhalt en w ir den Parallelriss der Ob er­

d a c h u n g ( A b b . 2.40c).

Nun w o lle n wir eine weitere , qu a­

d rat isch e P yramide mit dem Leitpol y­

g a n A, B , C,D kon s t r u i e r e n , welch e die

bereit s exist ierende O b e r d a c h u n g durch­

d r i n g t ( A b b. 2 . 4 0 d ) . W i r wahlen ein e

(a)

v x = O. 5v y = lv, = l

10

passende Hohe (1 S Einheiten) und tragen

den Parallelriss P der P yramidenspitze in

un serer Zeichnung ein. Die aultretenden

S c h n i t t k a n t c n konn en wir nun direkr im

Bild konstruieren.

Die Kamen A T und IS liegen in der ­

selb en Ebene. W i r e r h a l t e n d a m i t d i r e k t

den S c h n i t t p u n k t E. Di e Seirenflache

A B T der P yramide sch n eid et die lot­

rechte Eb en e durch di e Kam e 2S langs

( b )

. . . . .Z ' . . J J~ . ' # . . . .

der H i l f sgeraden h. M i t Hilfe dieser

Geraden errnitteln wir den P u n k t G, den

S c h n i t t p u n k t der Kame 2S mit der Pyra­

rnide , Di e restlichen S c h n i t r k a n t e n und

S c h n i t t p u n k t e k o n n e n nun in analoger

Weise kon s t r u i e r t werden. Alrernariv

dazu k o n n e n wir zur Fertigstellung der

Kon s t r u k t i o n auch die Symmetrien de s

Objekrs ausn ut zen (A b b . 2.40e).

U'l....,j "x ,M

y '

y "

S9

Sichtbarkeit von O b j e k r e n . In den meisten Fallen skizzieren wir unsere Designideen

und Raumobjekte so, dass wir sie von oben b e t r a c h t e n k o n n e n (das h e i / k wir sehen

die Oberseite der xy-Ebene). Manchmal kann es aber auch n6tig sein, Zeichnungen zu

erstellen, welche die Objekte von u n t e n zeigen. In diesem Fall rniissen wir eine Ansicht

erzeugen, welche die U n t e r s e i t e der xy-Ebene zeigt.

Bereits die Wahl der gegenseitigen Lage der Parallelrisse xP,y P und zP der K o o r d i n a t e n ­

achsen x, y und z legt fest, von welcher Seite das abzubildende Objekt zu sehen sein wird.

Der G r u n d dafiir ist, dass wir bei der Herstellung unserer Zeichnungen immer ein

kartesisches Rechrskoordinarensysrern voraussetzen. Aus den Abbildungen 2 A l a und b

erkennen wir, dass bei einer Ansicht von oben (wenn wir die Oberseite der x y- Ebene

sehen) die 9 0 - G r a d - D r e h u n g der x-Achse in die y-Achse immer im Gegenuhrzeigersinn

erscheint. Andererseits erscheint dieselbe Drehung im Uhrzeigersinn, wenn wir die

Unterseite der xy-Ebene b e t r a c h t e n (Abb. 2.41c).

W i r k o n n e n daher eine einfache Regel zur Bestimmung der richtigen S i c h t b a r k e i t

herleiten . Falls die "kurzere" D r e h u n g (Drehwinkel kleiner als 180 Grad) der

x" -Achse in die yP -Achse im Gegenuhrzeigersinn (diese R o t a t i o n wird als mathe­

matisch positiv b e z e i c h n e t ) v e r l a u f i , dann sehen wir das Objekt von oben (Obersicht).

1m Falle einer D r e h u n g im Uhrzeigersinn liegt eine Ansicht vor, die das O b j e k t von

u n t e n zeigt (Untersicht) . W i r k o n n e n daher, nur durch Betrachten der Bilder der

Koordinatenachsen, bereits feststellen, welche Ansicht vorl iegt . Abb. 2.42 illustriert

diese Regel a n h a n d einiger Beispiele.

( a ) ( b ) (c) Abb. 2.41Die g e g e n s e i t i g e Lage der Parallelrissex", yP und z" legt fest, ob ein O b j e k tvon oben (a , b) oder unten (c)gesehen w ird.

A b b . 2 . 4 2Obersicht und U n t e r s i c h t .

O b e r s i c h t U n t e r s i c h t Un t e r s i c h t O b e r s i c h t O b e r s i c h t

60

S c h a t t e n k o n s t r u k t i o n e n . M a n c h m a l l a s s e n h a n d i s c h erstclltc Z e i c h n u n g e n eine

raumliche W i r k u n g vermissen. Eine L6sung fur dieses Problem ist das H i n z u f i i g e n

von S c h a t t e n . D u r c h Einsatz einer p a s s e n d e n P a r a l l e l b e l e u c h t u n g (die aussagekraftige

S c h a t r e n wirft) k o n n e n wir unsere Z e i c h n u n g e n mit wenig A u f w a n d verbessern.

Urn die e n t s t e h e n d e n S c h a t t e n g e o m e t r i s c h richtig k o n s t r u i e r e n zu k o n n e n ,

b e n 6 t i g e n wir einige G r u n d k e n n t n i s s e iiber B c z c i c h n u n g e n u n d Eigenschaften einer

P a r a l l e l b e l e u c h t u n g (Abb. 2.43).

W i r u n t e r s c h e i d e n zwischen O b j e k t t e i l e n , die dem L i c h t z u g e w a n d t sind, u n d jenen,

die dern Licht a b g e w a n d t sind. Die Grenze zwischen diesen O b j e k r r e i l e n b e z e i c h n e n

wir als Eigenschattengrenze . N u r jene P u n k t e des Objekts, welche der E i g e n s c h a t t e n ­

grenze a n g e h o r e n , sind K a n d i d a t e n fur die K o n s t r u k t i o n der Schlagschattengrenze. Die

S c h l a g s c h a t t e n g r e n z e w i e d e r u m t r e n n t b e l e u c h t e r e Bereiche von Bereichen, die im

Schlagschatten liegen.

Z u r E r m i t t l u n g der S c h l a g s c h a t t e n g r e n z e legen wir d u r c h die P u n k t e der Eigen­

s c h a t t e n g r e n z e L i c h t s t r a h l e n und s c h n e i d e n diese m i t jenen E b e n e n u n d Flachen­

teilen, a u f welchen S c h l a g s c h a t t e n a u f t r e t e n k o n n e n . W i r merken hier n o c h an, dass

aIle dem Licht a b g e w a n d t e n O b e r f l a c h e n u n b e l e u c h t e t sind; sie bilden den so

g e n a n n t e n Eigenschatten. Z u r Verbesserung des r a u m l i c h e n E i n d r u c k s e m p f e h l e n wir

aulserdcm, die E i g e n s c h a t t e n in der Z e i c h n u n g ctwas heller als die S c h l a g s c h a t t e n

e i n z u f a r b e n .

Abb. 2.43Einige G r u n d b e g r i f f e und einfacheRegeln, die zur geometrisch r i c h t i g e nK o n s t r u k t i o n von Schatten beiParallelbeleuchtung nbtig sind .

Bei P a r a l l e l b e l e u c h t u n g l i n d e n wir den S c h l a g s c h a t t e n P ' eines P u n k t e s P in einer

h o r i z o n t a l e n Ebene n als S c h n i t t p u n k t des L i c h r s t r a h l s I p mit dessen G r u n d r i s s I p'(Abb. 2.43, u n t e n ) . A u f g r u n d der Tatsache, dass aIle L i c h t s t r a h l e n z u e i n a n d e r parallel

sind, k o n n e n wir die S c h l a g s c h a t t e n aller P u n k t e der E i g e n s c h a t t e n g r e n z e leicht

e r m i t t e l n .

W e n d e n wir auch die am Beginn dieses Kapitels e i n g e f i i h r t e n Eigenschaften der

P a r a l l e l p r o j e k t i o n an, d a n n k o n n e n wir die K o n s t r u k t i o n der S c h l a g s c h a t t e n n o c h

verbessern. So gilt beispielsweise, dass die zur Ebene n parallele Strecke PQ einen zu

P Q p a r a l i e l e n S c h l a g s c h a t t e n p SQ ' gleicher Lange w i r t t ,

S c h l a g s c h a t t e n

E i g e n s c h a t t e n ­g r e n z e

b e l e u c h t e t

L i c h t s t r a h l/

/r - :

E i g e n s c h a t t e n /

S c h l a g s c h a t t e n

E i g e n s c h a t t e n -g r e n z e I

II

61

Beispiel:

H a n d i s c h e S c h a t t e n k o n s t r u k t i o n .

Gegeben sind der a x o n o m e t r i s c h e Riss

eine s e i n f a c h e n g e o m e t r i s c h e n ModeIls

und die R i c h t u n g der Licht s t r a h l e n .

W i r zeichnen aIle sichrbaren Sch atten

in dies em Bild ein (Abb. 2.44) . U n t e r

Beachtung der d u r c h a x o n o m e t r ischen

Riss und a x o n o m e t r i s c h e n G r u n d r i s s

gegebenen L i c h t r i c h r u n g errnitreln wir

zuer st die E i g e n s c h a t t e n a u f dem Q u a d ­

er und die E i g e n s c h a t t e n g r e n z e a u f dern

gesamten O b j e k t (griine Linien). Wie

in Abb. 2.43 gezeigt, k o n s t r u i e r e n wir

dann die P r o j e k t i o n der Eigenschatten­

grenze und d a m i t den S c h l a g s c h a t t e n in

der h o r i z o n t a l e n Ebene 11:.

D a n n fahren wir mit der K o n s t r u k t i o n

der S c h l a g s c h a t t e n der l o t r e c h t e n

Kame k in der sc h r agen Ebene E fort.

Dazu kon s t r u i e r e n wir den D u r c h ­

sto/Spunkt 1 der l o t r e c h r e n Kame k mit

der schragen Ebene E. Der Schlagschat­

ten von k i st dann durch die P u n k t e 1

und 2 be s t i m m t , Er e n d e t im Schlags­

c h a t t e n P ' de s Punktes P. Nun e r m i t t e l n

wir noch den S c h l a g s c h a t t e n der hori-

zontalen Kame PQ in der Ebene e, in­

dem wir den D o p p e l s c h a t t e n p u n k t D b

verwenden. D L2 ist der S c h l a g s c h a t t e n

zweier v e r s c h i e d e n e r P u n k t e D 1 ( a u f der

h o r i z o n t a l e n Kame durch A ) und D 2

( a u f der Kame PQ). D u r c h Riickprojek­

tion von D b a u f die h o r i z o n t a l e Kame

durch A e r h a l t e n wir den Punkr D 1 • W i r

merken noch an , das s der P u n k t 3, der

D u r c h s t o l s p u n k t der Kame PQ mit der

Ebene E, ebenfaIls zur K o n s t r u k t i o n de s

Schlag s c h a t t e n s von PQ v e r w e n d e t

werden kann.

A b b . 2 . 4 4Handische S c h a t t e n k o n s t r u k t i o n .

62

Abb. 2.45S c h n i t t d a r s t e l l u n g e n sind gut geeignet,urn Details irn I n n e r e n eines Objektsd a r z u s t e l l e n .

S i c h t l i n i e •.- ..... x

S c h n i t t d a r s t e l l u n g e n . M a n c h m a l sind w i c h t i g e T e i l b e r e i c h e der i n n e r e n S t r u k t u r

eines O b j e k r s in den H a u p t r i s s e n niche e r s i c h t l i c h . In diesen Fallen v e r w e n d e n wir

Schnittdarstellungen, urn diese D e t a i l s h e r v o r z u h e b e n . In A b b i l d u n g 2.45, links ist

ein O b j e k t m i t zwei S c h n i t t e b e n e n in Perspekrive dargesrellt. In der d a z u g e h o r i g e n

S c h n i t t d a r s t e l l u n g (Abb. 2.45, rechts) s i n d jene O b j e k t t e i l e , bei d e n e n die Schnier­

e b e n e n das O b j e k t d u r c h d r i n g e n , m i t e i n e r S c h r a f f u r g e k e n n z e i c h n e t .

W i r sehen auch, dass bei S c h n i t t d a r s t e l l u n g e n v e r d e c k t l i e g e n d e K a n t e n n i c h t dar­

gestellt w e r d e n , w a h r e n d h i n g e g e n alle d i r e k t e i n s e h b a r e n O b j e k r t e i l e u n d K a n t e n

e i n g e z e i c h n e t sind. S c h n i t t d a r s t e l l u n g e n sind d a h e r oft l e i c h t e r lesbar . Sie t r a g e n auch

dazu bei, N o r m a l r i s s e zu v e r e i n f a c h e n , die s o n s t wegen zu vieler v e r d e c k t l i e g e n d e r

L i n i e n u n d D e t a i l s u n v e r s t a n d l i c h waren, Als E r g a n z u n g zu den H a u p t r i s s e n s i n d

S c h n i t t d a r s t e l l u n g e n ein n i i t z l i c h e s I n s t r u m e n t , urn die A b m e s s u n g e n u n d die

g e o m e t r i s c h e S t r u k t u r eines O b j e k t s festzulegen.

x"

63

H a n d i s c h e s Z e i c h n e n von K u r v e n u n d K r e i s e n . Die h a n d i s c h e Kon s t r u k t i o n vo n

Parallelri ssen von G e r a d e n und O b j e k t e n m i t ebenflachig b e g r e n z t e n Seiten ist relativ

einfach, wenn wir die weiter ob en festgelegten Regeln beach ten. Z u m Ze i c h n e n von

Kur ven tragen wir eine ausreich ende A n z a h l von P u n k t e n sam t T a n g e n t e n ( T an gent en

werden im Kapitel 7 b e h a n d e l t ) in den Parallelriss ein. D u r c h die Parallelrisse dieser

P u n k t e legen wir d a n n eine g l a t t e Kur ve. Dabei beachren wir , da ss die Kurve die Risse

der T a n g e n t e n in den e n t s p r e c h e n d e n P u n k t e n b e r i i h r t ( A b b . 2.46 ) .

5

Abb. 2.46Der Parallelriss der K u r v e n t a n g e n t e nberGhrt den Parallelriss der Kurve .

' 0. ... -, . k P. . . . .. " . ~

• • • • • • " ' ' 0 ····o~

-, Q P=R P

' 0

.. .. .... ~ < > :

_.-- ---~--~

I · l

64

2 : {2

Beispiel:

H a n d i s c h e s Zeichnen einer Wurfel­

uhr. D e r Parailelriss eines Koordinarensys­

terns ist wie in A b b i l d u n g 2.47 oben gege­

ben . Z u r Vereinfachung der K o n s t r u k t i o n

legen wir fur aile Verzerrungsfaktoren den

Wert 1 fest. W i r errnitteln den Parailelriss

des Gehauses - es hat die Form eines ab­

gesturnpften Wtirfels (vgl. Kapitel 3) - so

wie im Beispiel .Parallelriss einer Uber­

dachung" beschrieben (Abb . 2 .40).

Abb. 2.47K o n s t r u k t i o n eines a x o n o m e t r i s c h e nRisses eines Kreises.

Die E c k p u n k t e der den Kreisen um­

s c h r i e b e n e n A c h t e c k e liegen a u f den

S e i t e n eines Wiirfels. W i r finden d e r e n

K o o r d i n a t e n d u r c h B e r e c h n u n g der Ab­

s t a n d e zu den E c k p u n k t e n des Wiirfels

(Abb . 2.47, un ten rechts). Die Seiten

dieser A c h t e c k e b e r i i h r e n den einge­

s c h r i e b e n e n Kreis jeweils in i h r e m M i t ­

t e l p u n k t . D a m i t h a b e n wir fiir j e d e n

Kreis acht P u n k t e samt T a n g e n t e n -

eine a u s r e i c h e n d e A n z a h l , urn beispiels­

weise den Parallelriss k P als glatte Kurve

e i n z u t r a g e n . O h n e Beweis v e r m e r k e n

wir n o c h , dass der Parallelriss eines Krei­

ses k im A l l g e m e i n e n eine Ellipse k P ist ,

y "

65

Wie wir leicht erkennen, wird das Verhaltnis dist(A,B) : dist( C,D) = 2 : 2 + 2 . { i "'" 4: 9 .666 ...

r e c h t g u t d u r c h das V e r h a l t n i s 4 : 10 a n g e n a h e r r . Diese Tarsache ist beim f r e i h a n d i g e n

Skizzieren von K r e i s b i l d e r n von Vorteil. W i r teilen die Seiten des u m s c h r i e b e n e n

Q u a d r a t s im Verhaltnis 3 : 4 : 3 u n d e r h a l t e n d a d u r c h eine grafisch a u s r e i c h e n d genaue

A n n a h e r u n g fur die P u n k r e A u n d B (Abb. 2.48). W e n n wir n u n H i l f s g e r a d e n p a r a l l e l

zu den D i a g o n a l e n de s Q u a d r a t s v e r w e n d e n , d a n n k o n n e n wir ein u m s c h r i e b e n e s

A c h t e c k u n d dam i t die Ellipse k P e i n f a c h e i n z e i c h n e n .

H a n d i s c h e s Zeichnen v o n Kugelbildern. Die g e o m e t r i s c h k o r r e k t e K o n s t r u k t i o n

des Parallelrisses e i n e r Kugel ist im A l i g e m e i n e n s c h w i e r i g e r als das A b b i l d e n von

Kreisen . 1m d r e i d i m e n s i o n a l e n R a u m b i l d e n aIle P r o j e k t i o n s s t r a h l e n , die eine Kugel

b e r i i h r e n , e i n e n D r e h z y l i n d e r (Abb . 2 .8) . D i e s e r Z y l i n d e r b e r i i h r t die Kugel langs

eines GroBkreises k. D e r Parallelriss k P des Kreises k l i e f e r t d a n n das Bild der Kugel.

Bei N o r m a l p r o j e k t i o n ist die Sachlage r e c h t einfach (Abb. 2.10). D e r Kreis k liege

d a n n in eine r Ebene p a r a l l e l zur B i l d e b e n e . Das K u g e l b i l d w i r d d a h e r von e i n e m zu

k k o n g r u e n t e n Kreis b e r a n d e r . Bei e i n e r a l l g e m e i n e n P a r a l l e l p r o j e k t i o n h i n g e g e n

ist die S i t u a t i o n s c h w i e r i g e r ( A b b . 2 .8) . 1m A l i g e m e i n e n liegt d a n n der Kreis k i n

e i n e r zur B i l d e b e n e g e n e i g t e n Ebene. D e r Parallelriss k P de s Kreises k ( u n d d a m i t der

P a r a l l e l u m r i s s der Kugel) ist d a h e r eine Ellipse.

I •

j

66

A b b . 2 . 4 8Freihandskizze eines Kreises u n t e rVerwendung zweier u m s c h r i e b e n e rQuadrate .

Nichtlineare AbbildungenParallel- u n d Z e n t r a l p r o j e k t i o n e n si n d h e r v o r r a g e n d e Werkzeuge z ur H e r s t e l l u n g

f o t o r e a l i s t i s c h e r Bilder . Beiden P r o j e k t i o n s a r t e n ist gemein , da ss G e r a d e n ("lineare

Elernente") im Allgeme inen wieder a u f G e r a d e n a b g e b i l d e t werden. W i r n e n n e n

sie d a h e r lin eare A bbild ungen . D u r c h V e r a l l g e m e i n e r u n g des von der Parallel - u n d

Z e n t r a l p r o j e k t i o n b e k a n n t e n K o n z e p t s iiber P r o j e k t i o n e n erlangen wir einige neue

E r k e n n t n i s se, die wir fur De signzwecke n u t z e n k o n n e n .

W i r rufen un s n o c h m a l s die E i n f i i h r u n g der Z e m r a l p r o j e k t i o n in E r i n n e r u n g

(A b b . 2 .15 ) . D o r t haben wir eine B i l d e b e n e 11: u n d e in en A u g p u n k t 0 v e r w e n d e t .

Urn einen P u n k t P a bz u b il de n, h aben wir den Projekt ion sst r ahl s = OP m i t der Bild­

e b en e 11: ges c h n i t t e n . Die se B i l d e b e n e 11: er setzen w i r nun d u r c h ei n en Bildz y l i n d e r

( P ro jekt io nszyli n d er) Z mit l o t r e c h t e n E r z e u g e n d e n (A b b. 2.49 ) .

Abb. 2.49P r o j e k t i o n eines WOrfels a u f einea l l g e m e i n e Z v l i n d e r f l a c h e .

Das Bild P " eine s P u n k t e s P wird dabei a u f die selbe A r t e r m i t t e l t , wie bei Parallel- u n d

Z e n t r a l p r o j e k t i o n be s c h r i e b e n . Auch da s Bild einer G e r a d e n g w i r d nach derselben

Kon s t r u k t i o n s v o r schrifi er ze u g t : W i r v er b i n d en den A u g p u n k t 0 mit der G e r a d e n g

zu einer E b e n e n E, die wir mit dem P r o j e k t i o n s z y l i n d e r Z s c h n e i d e n . D a b e i e r k e n n e n

wir, dass die Bilder l o t r e c h t e r G e r a d e n w i e d e r l o t r e c h t e G e r a d e n si n d, w a h r e n d die

Bilder s' allgemein l i e g e n d e r G e r a d e n g ebene S c h n i t t k u r v e n des Bildzylinders sind .

Die L i n e a r i t a t g e h t bei die ser A r t von A b b i l d u n g verloren ; wir n e n n e n sie d a h e r eine

nichtlineare Abbildung.

67

N i c h t l i n e a r e A b b i l d u n g e n k o n n e n als V e r a l l g e m e i n e r u n g e n von Z e n t r a l p r o j e k t i o n e n

aufgefasst w e r d e n , bei d e n e n die B i l d e b e n e d u r c h einen Z y l i n d e r o d e r eine Kugel

e r s e t z t wird. In den f o l g e n d e n Beispielen u n t e r s u c h e n wir die A b b i l d u n g von

P u n k t e n des d r e i d i m e n s i o n a l e n Raumes a u f eine r a u m l l c h e P r o j e k r i o n s f l a c h e . Die viel

schwierigere Aufgabe, daraus ein ebenes Bild zu e r z e u g e n , b e h a n d e l n wir im A n s c h l u s s

d a r a n .

T a t s a c h l i c h s c h e i n t ja die V e r w e n d u n g e i n e r k u g e l f o r m i g e n P r o j e k t i o n sflache eine

rechr a u g e n s c h e i n l i c h e Idee zu sein, da das m e n s c h l i c h e Auge auch e h e r k u g e l f o r r n i g

als eben ist, N e b e n z y l i n d r i s c h e n u n d k u g e l f o r m i g e n B i l d l l a c h e n k o n n e n n a t u r l i c h

auch w e s e n t l i c h k o m p l e x e r e F l a c h e n t y p e n einge setzt w e r d e n , urn n o c h i n t e r e s s a n t e r

w i r k e n d e Bilder a u f k r u m m e n Flachen zu g e n e r i e r e n .

P r o j e k t i o n a u f e i n e Z y l i n d e r f l a c h e . G e g e b e n sei eine D r e h z y l i n d e r f l a c h e Z m i t

z - p a r a l l e l e r Achse (Abb. 2 . 5 0 ) . Die Bilder l o t r e c h t e r G e r a d e n des d r e i d i m e n s i o n a l e n

Raumes sind d a n n die E r z e u g e n d e n des D r e h z y l i n d e r s . Alle G e r a d e n ( u n d Kurven), die

in der ho r i z o n t a l e n E b e n e n d u r c h den A u g p u n k t 0 Iiegen , w e r d e n in den H o r i z o n t h,

e i n e n w a a g r e c h t l i e g e n d e n Kreis , a b g e b i l d e t . M i t A u s n a h m e der P r o j e k t i o n s s t r a h l e n

h a b e n alle a n d e r e n G e r a d e n ein e l l i p s e n f o r r n i g e s Bild.

1m G e g e n s a t z zur Z e n t r a l p r o j e k t i o n s c h n e i d e n e i n a n d e r die Bilder zweier p a r a l l e l e r

G e r a d e n [1 u n d [ 2 in zwei F l u c h t p u n k t e n F 1 u n d F 2 , u n t e r der A n n a h m e , dass der

A u g p u n k t 0 i n n e r h a l b des P r o j e k t ionsz y l i n d e r s liegt . Diese F l u c h t p u n k t e e r h a l t e n wir

als S c h n i t t p u n k t e der G e r a d e n gf m i t Z (vgl. diese Tarsache m i t der K o n s t r u k t i o n der

F l u c h r p u n k r e bei e i n e r Z e n t r a l p r o j e k t i o n ) .

Die A n n a h m e , dass der A u g p u n k t 0 i n n e r h a l b des Zylinders liegt, ist dabei eine

wesentliche Voraussetzung. A n d e r n f a l l s wiirde es viele R a u m p u n k t e geben , die u n t e r

dieser P r o j e k t i o n n i c h t a u f den Z y l i n d e r a b g e b i l d e t werden konnen, Eine weitere

b e m e r k e n s w e r t e T a t s a c h e ist , dass im A l l g e r n e i n e n die Bilder k * v o n Kre isen k keineKegel s c h n i t t e s i n d . W i r e r h a l t e n d e r e n Bilder als S c h n i t t k u r v e n von Kegeln m i t dem

P r o j e k t i o n s z y l i n d e r (vgl. K a p i t e l 7 ) .

68

Abb . 2 . 5 0P r o j e k t ion eines WOrfels auf eineD r e h z y l i n d e r f l a c h e .

Abb . 2 . 5 1Sphar lsche Projektion eines WGrfels.Der A u g p u n k t Iiegt i m M i t t e l p u n k t derKugel.

A b b . 2 . 5 2Ein Projekt i o n s z y l i n d e r wird in eineEbene abgewickelt.

P r o j e k t i o n a u f e i n e K u g e l ( s p h a r i s c h e P r o j e k t i o n ) . N u n e r s e t z e n wir die Bild­

e b e n e I t d u r c h eine P r o j e k t i o n skugel K (Abb. 2.51). W ir p o s i t i o n i e r e n den

A u g p u n k t 0 w i e d e r i n n e r h al b der Kugel, urn aIle R a u m p u n k t e a b b i l d e n zu k o n n e n .

N u n si n d - m i t Au s n a h m e der P r o j e k t i o n s s t r a h l e n d u r c h den A u g p u n k t 0 - die

B i l d e r alIer G e r a d e n Krei se. D i e Bilder p a r a l I e l e r G e r a d e n sind d a n n Kreise, die

e i n a n d e r in zwei F l u c h t p u n k t e n F 1 u n d F 2 s c h n e i d e n .

Auch hier sin d die K r e i s b i l d e r im A l i g e m e i n e n keine Kreise, s o n d e r n d ie

S c h n i t t k u r v e n eines Kegels (Spirze in 0 ) mit der Bildkugel K (vgl. Kapitel 7) . W e n n

w ir den A u g p u n k t 0 im M i t t e l p u n k t der Kugel platzieren, erhalten wir einen Sonderfall,

be i dem jede s Paar von F l u c h t p u n k t e n F, und F 2 e i n a n d e r a u f der Kugel gegeniiber liegt.

Z u s a t z l i c h sin d die Bilder aller Kreise, deren D r e h a c h sen den K u g e l m i t t e l p u n k t

e n t h a l t e n , wiede r Kreise .

H e r s t e l l u n g e b e n e r B i l d e r . B isher h a b e n wir uns noch n i c h t mit dem P r o b l e m

besch afiigt, wie man da s dr e id i m e n s i o n a l e Bild a u f d er P r o j e k t i o n s f l a c h e in eine

Z e i c h e n e b e n e i i b e r t r a g t . Im FaIle eine s P r o j e k t i o n szylinders k a n n die ser einfach

in eine Ebene abgewickelt werden . All erdings w e r d e n bei diesem Proze ss die

g e k r i i m m t e n Bilder s: der R a u m g e r a d e n g ein weiteres Mal v e r z e r r t ( A b b . 2 .52).

Dieser A b w i c k l u n g sproze ss is t eine wei tau s k o m p l i z i e r t e r e Abb i l d u n g , a u f die wir im

Kapitel 9 gen auer e i n g e h e n werden .

69

Eine Kugel h i n g e g e n k a n n n i c h t in eine E b e n e a b g e w i c k e l t w e r d e n . Urn ein e b e n e s

Bild zu e r h a l t e n , f i i h r e n wir d a h e r eine w e i t e r e , n i c h t l i n e a r e A b b i l d u n g ein, die

stereografische Projektion (Abb. 2 . 5 3 ) . Sie b i l d e r aile P u n k t e e i n e r Kugel ( m i t Aus­

n a h m e de s A u g p u n k t e s 0 ) a u f die P u n k t e e i n e r E b e n e Jt abo W i r w a h l e n das Projek­

t i o n s z e n t r u m P ( d e n n e u e n A u g p u n k t ) a u f der Kugel (z.B. d e n N o r d p o l ) u n d die n e u e

B i l d e b e n e Jt n o r m a l zur G e r a d e n MP, w o b e i M d e r M i t t e l p u n k t d e r Kugel ist,

O h n e Beweis s t e l l e n wir fest, dass aile Kreise, die a u f der K u g e l l i e g e n , in Kreise o d e r

G e r a d e n der B i l d e b e n e Jt a b g e b i l d e t w e r d e n . D i e K o m b i n a t i o n e i n e r s p h a r i s c h e n

P r o j e k t i o n m i t e i n e r s t e r e o g r a f i s c h e n P r o j e k t i o n b i l d e t d a h e r G e r a d e n des

d r e i d i m e n s i o n a l e n R a u m e s in Kreise o d e r G e r a d e n der B i l d e b e n e abo W i r h a b e n

d a m it ein p e r f e k t e s W e r k z e u g , urn i n t e r e s s a n t w i r k e n d e B i l d e r zu e r z e u g e n .

B e m e r k e n s w e r t ist n o c h , dass die s t e r e o g r a f i s c h e P r o j e k t i o n auch zur H e r s t e l l u n g von

L a n d k a r t e n ( A b b i l d u n g der E r d o b e r f i a c h e a u f eine e b e n e K a r t e ) V e r w e n d u n g f i n d e t ,

da sie die G r o B e n v o n W i n k e l n e r h a l t ,

A b b . 2 . 5 3Elne s t e r e o g r a f i s c h e P r o j e k t i o n tst dasg e e i g n e t e Werkzeug, um Punkte elnerKugel In elne Ebene abzubilden.

s t e r e o g r a f i s c h eP r o j e k t i o n

2

3 5

.. ' .. ,

s p h e r i s c h e ;P r o j e k t i o n f

~~i2::~-~;::

I t

7 0

A b b . 2 . 5 4(a) Pieter Neefs der JUngere benutztein seiner Malerei " I n n e r e s derKathedrale von A n t w e r p e n " (um 1650)eine n i c h t l i n e a r e Abbildung, um denSehkegel zu e r w e i t e r n (Abb . m i t f r e u n d ­licher Genehmigung der Residenz­galerie Salzburg).(b) Ein mit einem F i s c h a u g e n o b j e k t i va u f g e n o m m e n e s Foto samtM o d i f i k a t i o n ( m i t f r e u n d l i c h e rGenehmigung von Georg Glaeser).

N i c h t l i n e a r e A b b i l d u n g e n k o n n e n auch v e r w e n d e t w e r d e n , urn den Sehkegel

zu v e r g r o f e r n . W o l l e n wir O b j e k t e d a r s t e l l e n , d ie auGerhalb des Sehkegels o d e r

der S e h p y r a r n i d e liegen, so v e r w e n d e n wir zur Verb esse r u n g des B i l d e i n d r u c k s

n i c h t l i n e a r e A b b i l d u n g e n . Weiters s i n d n i c h t l i n e a r e A b b i l d u n g e n auch g u t geeignet,

urn den E i n s a t z von F i s c h a u g e n o b j e k t i v e n zu s i r n u l i e r e n (Abb . 2.54).

71

K a p i t e l 3

Polyeder undpolyedrische FUichen

A b b . 3 . 1Polyeder und p o l y e d r i s c h e Flachen inder A r c h i t e k t u r .Links: die 6 f f e n t l i c h e B i b l i o t h e k inSeattle ( 1 9 9 8 - 2 0 0 4 ) von RemKoolhaas und Joshua Ramus.Rechts: Teil des Glasdachs im DubaiFestival Centre ( 2 0 0 3 - 2 0 0 7 ) von JerdePartnership und HOK (Bild f r e u n d l i c h e r ­weise zur VerfOgung g e s t e l l t vonWaagner-Biro Stahlbau AG).

Polyeder u n d p o l y e d r i s c h e Flachen sind g e o m e t r i s c h e Objekre, die d u r c h ebene

Facetren b e g r e n z t w e r d e n . Sie sind von f u n d a m e n t a l e r B e d e u t u n g fur viele

M o d e l l i e r z w e c k e u n d werden auch gerne in der A r c h i t e k t u r v e r w e n d e t (Abb. 3.1).

T a r s a c h l i c h e n r h a l r e n die me isten a r c h i r e k r o n i s c h e n Werke p o l y e d r i s c h e Flachen,

d e n n e b e n f l a c h i g b e g r e n z t e Teile lassen sich l e i c h t e r bauen als g e k r u m m t e . W i r

b e g i n n e n mit k1assischen Polyedern, wie P y r a m i d e n u n d Prism en, die d u r c h E x t r u s i o n

eines Polygons e r z e u g t werden k o n n e n . Urn zu v e r s t e h e n , w a r u m n u r wenige Polyeder

mit laurer k o n g r u e n t e n , r e g u l a r e n P o l y g o n e n g e b a u t w e r d e n k o n n e n , s r u d i e r e n wir

p l a t o n i s c h e u n d a r c h i m e d i s c h e K o r p e r u n d ihre Eigenschaften. Einige a r c h i m e d i s c h e

K o r p e r k o n n e n auch e r z e u g t w e r d e n , i n d e m wir die Ecken von p l a t o n i s c h e n

K o r p e r n a b s c h n e i d e n . Einer der p l a t o n i s c h e n Kerper, das Ikosaeder, d i e n t uns als

G r u n d p o l y e d e r , mit dessen Hilfe wir g e o d a t i s c h e K u p p e l n erzeugen.

G e o d a t i s c h e K u p p e l n , die a u f e i n e m I k o s a e d e r basieren, haben i i b l i c h e r w e i s e nur

dreieckige F a c e t t e n . Die V e r w e n d u n g p o l y e d r i s c h e r Flachen ist in der A r c h i t e k t u r

h o c h a k t u e l l , i n s b e s o n d e r e bei der R e a l i s i e r u n g von F r e i f o r m f i a c h e n (z.B. als Stahl­

G l a s - K o n s t r u k t i o n e n m i t e b e n e n G l a s p a n e e l e n ) .

P o l y e d e r und p o l y e d r i s c h e Flachen, Ein Polyeder ist ein 3 - D - O b j e k t , das aus e b e n e n

Facetten (Flachen), g e r a d l i n i g e n Kanten u n d Ecken (Eckpunkten) b e s t e h t . j e d e K a m e

g e h o r t zu genau zwei F a c e t t e n , u n d in j e d e r Ecke treffen e i n a n d e r m i n d e s t e n s drei

K a m e n u n d drei F a c e t t e n (Abb . 3.2a) . Das vom P o l y e d e r e i n g e s c h l o s s e n e Volumen

w i r d m a n c h m a l als Teil des Polyeders a n g e s e h e n , ein P o l y e d e r ist j e d e n f a l l s i m m e r ein

geschlossenes O b j e k t .

Eine polyedrische Flache ist die V e r e i n i g u n g von e n d l i c h vielen, e b e n e n P o l y g o n e n

( w i e d e r Facetten o d e r Flachen g e n a n n t ) , die n i c h t n o t w e n d i g e r w e i s e ein V o l u m e n

u m s c h l i e B e n (Abb. 3 .2b). Eine p o l y e d r i s c h e Flache k a n n auch Ecken h a b e n , die n u r

zu e i n e r o d e r zwei Flachen g e h 6 r e n , u n d Randkanten, die n u r zu e i n e r e i n z i g e n Flache

gehoren .

Bevor wir P o l y e d e r g e n a u e r s t u d i e r e n , stellen wir n o c h fest, dass der B e g r i f f Polyeder

i i b l i c h e r w e i s e s o w o h l fur V o l u m e n m o d e l l e als auch fiir F l a c h e n m o d e l l e von K o r p e r n

v e r w e n d e t wird, die a u s s c h l i e f l i c h d u r c h ebene F a c e t t e n b e g r e n z t s i n d . Dasselbe gilt

im F o l g e n d e n a u c h fur den B e g r i f f Polygon (siehe A n h a n g ) , den wir ab n u n s o w o h l fur

P o l y g o n e als auch fur P o l y l i n i e n v e r w e n d e n .

(a)

P o l y e d e r

K a n t e n

( b )

P o l y e d r i s c h e Flache

(c)

A b b . 3 . 2Die g e o m e t r i s c h e n Teile eines(a) Polyeders und einer(b) p o l y e d r i s c h e n Flache sind Facetten,Kanten und Ecken.(c) Die Spitte/auer wonnnsuser ( 2 0 0 4 ­2 0 0 5 ) in Wien von Zaha Hadid.( d ) Ole Booster-Pumpenstation Ost( 2 0 0 3 - 2 0 0 5 ) im A m s t e r d a m Ost vonB e k k e r i n g Adams.

(d)

76

P y r a m i d e n und P r i s m e nP yramiden . Ei n wic h ti ger T yp vo n Pol yed er, d er in d e r Ar ch it e k t u r v er w e n d et wi r d,

ist di e Pyramid e. D a s Basisp o lygon ein er ag ypt isch en P yr am id e ist ii b li c h e rw eise ei n

Q u ad r at , u n d ih re vie r Se it entl ach en si n d D r ei e ck e. E in e allge me i ne P yr amid e b est eht

a us ei ne m Ba sisp ol ygon p i n ei ne r Basiseb ene B , d as m it dreiec k igen Se i t e n tlac he n

z ur Sp i t ze S ( n ic h t in B) hin ver bu n de n w ir d (A b b. 3.3 ). D aher ist der Mante l M

ei ne r P yr am id e eine p ol yed risch e Flache mi t a ussch lielslic h dr e iecki ge n Face t t e n . W i r

e r ha lte n ei ne n Py ra midenstumpf, i n de m w i r d en obe r en Teil ei ne r P yr amid e mi t e ine r

E be ne E p ar allel zu B a b sch nei den . D e r u nt er e Teil ei n es Obelisks is t ei n Be isp iel fur

ei ne n P yr amid en st u mp f ( A b b . 3.3 ) .

Abb . 3 . 3Eine Pyramide besteht aus einemBasispolygon p, das durch dre ieckigeHachen mi t der Spitze 5 verbunden ist.Schneiden wir die Pyramide m i t elnerEbene E parallel zur Basisebene B,

dann erha lten wir einenP y r a m i d e n s t u m p f . Setzen w ir einePyram ide auf einen Pyram i d e n s t u m p f ,so e r h a l t e n wir einen Obelisk .

P y r a m i d e P y r a m i d e n s t u m p f Obelisk

77

P r i s m e n , Ein P risma ist ein Polyed er, de ssen k o n g r u ente G r u n d - u n d D e ckflach e i n

par allelen E b e n e n liegen u n d du rch eine Sch i e b u n g ausei n an de r her v o r g e h e n

(Abb . 3 .4) . Die E c k p u n k t e der G r u n d - u n d Deckfla ch e werden mit parallel en Strecken

ver b u n de n . D a h e r sind die Seit enfl achen ein es Pr ism as Par allelo g r am me , u n d der a us

i h n e n be s t e h e n d e M antel ist ei n e p ol yedr isch e Flach e, Ist die Schi eb richr un g , w elch e

d ie G r u n d f l a ch e m it d e r Basisflach e zur D eckung brin gt , o rt h o go na l zur Basiseb en e,

d a n n e rh alte n wi r d en Spe zial fall e in es geraden Prismas, bei dem aIle Se it enfl achen

Rechtecke sin d. Ein sp e zielles gerade s Prism a ist der Q u a d e r , den wir bere it s in Kapitel l

k e n n e n g e l e r n t hab en.

B e i s p i e l :

M o d e l l i e r u n g von P y r a m i d e n u n d P r i s ­

m e n m i t t e l s E x t r u s i o n . Spezielle P yra ­

mid en und Prismen sin d oft als G r u n d ­

korp er in C AD-S yst emen en t hal te n , Urn

ei ne P yramid e od er ein P r ism a m it ei ne m

beli ebigen Basispol ygon p zu m od ellie­

ren , ver we n d en wir da s Werkz eug Ext ru ­

sio n (A b b, 3 .4 ) . Dazu kon strui er en wir

zun ach st d as Polygon p in ein er E be n e

P a r a l l e l e x t r u s i o n

( z.B. d er xy-E be ne) und ext ru d ieren es

d ann. Di ese Parall elextrusion versch ieb t

da s P rofilpolygon p entlang von Ger ad en.Isr die Extru sion s r i c h t u n g o rt ho go n al z ur

Referen zeb en e, d ann erh al te n w ir ein

gera des Prisma. And ernfall s (wen n d ie

Extru sion s r i c h t u n g n i c h t p arallel zur R e­

ferenzeb en e ist ) erz eu gen w ir ein sch iefts

Prisma. Eine Z entralextrusion ext ru dier t

Z e n t r a l e x t r u s i o n

d as Profilpolygon p entl ang vo n Gerad en

zu ei n er Sp it ze S (A b b , 3.4 ) . D ah er

erzeugt eine Z entrale xtru sion eine P yra ­

mide o d er ei ne n P yr arn iden s r u r n p f d er en

Form vo n p u n d der Lage d er Sp i rze S a b ­

hau gen . Beisp iele vo n P yr am id en u n d

Pri smen in d er Ar c h i t e k t u r zeigen die

A b b i l d u n g en 3.5 u n d 3 .6.

A b b . 3 . 4 .Prismen und Pyramiden k6nnen durchParallel- bez iehungsweiseZ e n t r a l e x t r u s i o n eines ebenen Polygonse r z e u g t werden .

Prism a g e r a d e s Prism a P y r a m i d e n

78

(a)

Abb . 3 . 5Pyra m iden i n der Arch i t e k t u r :(a) Die antiken a g y p t ischen Pyram idenv on Gi zeh ( u m 2500 v , Chr.) .( b) Die L o u v r e-Pyram ide ( 1989) i nParis v on 1. M. Pei. I hr Basisquadrathat e i ne Seiten lanqe von 35 Meter u n dsie e r re icht ei ne H6he vo n 20 ,6 Meter.( c) Die Tran s a m e r i ca-Py ramide ( 1 9 6 9 ­72 ) in San Francisco von Wi lliamPerei ra i st eine vi er sei ti g e, schlankePyram ide m it einer H6he von 260Met er. Sie hat zwei " F IU g el" au fgegen Uberfiegenden Se l t e n f l a c h e n , d ieden Liftschacht und e in St iegenhause n t h a l t e n .(d) Der Taipei 101 (1999 - 2 0 0 4 ) inTaipei von C. Y. Lee. Der 508 Mete rhohe Wol k e n k r a t z e r ist ausu m g e k e h r t e n PyramidenstUmpfenz us am m e ng eset zt .

( c)

(b )

(d )

(a)

( b )

80

A b b . 3 .6Prisrnen in der A r c h i t e k t u r :(a) Das Castel del Monte in Bari desromlsch-deutschen Kaisers Friedrich I I(urn 1 2 4 0 ) .(b) Das Judische Museum in Berlin( 1 9 9 8 - 2 0 0 1 ) von Daniel Libeskind .

P l a t o n i s c h e K o r p e rEin Wiirfel ist ein spezieller Quader, dessen Facetten kongrueme Q u a d r a t e sind.

Geometrisch ist ein Wiirfel ein Polyeder mit 6 quadratischen Flachen, 12 Kamen und

8 Ecken. In jeder Wiirfelecke treffen einander drei Q u a d r a t e . AIle Flachenwinkel (die

W i n k e l zweier b e n a c h b a r t e r F l a c h e n , die sich in einer gemeinsamen Kame treffen)

sind gleich 90 Grad. Auf einen Wiirfel konnen mehrere Spiegelungen und D r e h u n g e n

(siehe K a p i t e l 6 ) angewandt werden , die den Wiirfel auf sich selbst abbilden. Ein

Wiirfel besitzt auch die Eigenschafi:, ein konvexes Polyeder zu sein.

M a t h e m a t i k :

Konvexe Bereiche. Ein Bereich ist konvex, wenn er mit

jedem enthalrenen Punktepaar auch die dazwischen liegende

Strecke enthalt (Abb. 3.7). Ein Polygon oder ein Polyeder

sind konvex, wenn sie einen konvexen Bereich beranden.

A b b . 3 . 7Konvexe und n i c h t - k o n v e x e Bereiche in20 und 3D.

Die Ecken eines reguliiren Polygons sind regelmagig auf einem Kreis verteilt, und die

einander niche iiberlappenden Kamen sind aile gleich lang . Beispiele von regularen

Polygonen sind das gleichseitige Dreieck , das Q u a d r a t und das r e g e l m a l s l g e Fiinfeck.

Aile regularen Polygone sind konvex. Pyramiden und Prismen mit einem reguIaren

Polygon als Grundflache sind konvexe Polyeder. Ist die Grundflache ein nicht­

konvexes Polygon, dann sind die dazugeh6rigen Pyramiden oder Prismen nichr­

konvexe Polyeder.

k o n v e x n i c h t - k o n v e x k o n v e x n i c h t - k o n v e x

2 0

3D

81

N u n wollen wir uns der folgenden Frage w i d m e n : G i b t es n e b e n dem Wiirfel n o c h

weit er e kon vexe Pol yeder mit lau t er k o n g r u e n t e n regula ren Pol ygonen al s F a c e t t e n ,

so dass in j ed e r Ecke gleich viele Flachen a u f e i n a n d e r treffen? Die A n r w o r t ist ja, u n d

es kann gezeigt werden, da ss es genau fiinf so Ich e Polyeder gibt. Die se werden nach

dem a n t i k e n , griechi schen Philo s o p h e n Plato ( c i r ca 4 0 0 v. Chr. ) a ls platonis cbeKdrper

(Abb . 3 .8 ) b e z e i c h n e t . D ie fiinf p l a r o n i schen K e r p e r sin d u n t e r den N a m e n T e t r a e d e r ,

H e x a e d e r (Wiirfel ), O k t a e d e r , D o d e k a e d e r u n d I k o s a e d e r b e k a n n t . Die Vorsilbe in

den gri e c h i s c h e n N a m e n b e s c h r eibt dabei die A n z a h l der Flachen: tet ra heilSt v ier,

hexa se ch s, acta acht, dod eca zw a l f u n d icos a zwanzig . N a c h d e m allgemeine Polyeder

mit der selben A n z a h l von Flachen gleich b e z e i c h n e t werden , wird bei p l a t o n i s c h e n

K o r p e r n zur U n t e r s c h e i d u n g ott n o c h das W o r t regular zum N a m e n h i n z u g e f i i g t .

In diesem A b s c h n i t t m e i n e n wir m i t . T e t r a e d e r " i m m e r ein regul ares Tetraeder,

u n d das Gleiche gilt fiir die a n d e r e n p l a t o n i s c h e n K e r p e r , W i r woll en n u n m i t der

K o n s t r u k t i o n von P a p i e r m o d e l l e n der p l a t o n i s c h e n K o r p e r b e g i n n e n .

A b b . 3 . 8Die fOnf platonischen K6rper sind dasTetraeder, der Wurfel, das Oktaeder,das Dodekaeder und das Ikosaeder.Wir k6nnen sie aus Papier m i t Hilfe dergezeigten Ausschneideb6genh e r s t e l l e n .

I k o s a e d e r

D o d e k a e d e r

O k t a e d e r

T e t r a e d e r

WOrfel

P a p i e r m o d e l l e von p l a t o n i s c h e n K o r p e r n . W i r k o n n e n P a p i e r m o d e l l e der

pl a t o n i schen K e r p e r erzeugen , i n d e m wir zuerst die F a c e t t e n a u f einem Blatt Papier

wie in A b b i l d u n g 3.8 gezeigt a n o r d n e n . Die se . v e r e b n e r e n " Polyeder w e rd e n d a n n au s

Pap i er o d e r K a r t o n ausgeschn i t t e n , Iang s der K a n t e n g e f a l t e t u n d zu s a m m e n g e k l e b t .

Fiir ein T e t r a e d e r b e n o t i g e n wir v ie r gleichseitige Dreiecke , fiir e in en Wtirfel sechs

Q u a d r a t e , fur ein O k t a e d e r achr gleichseitige Dreiecke, fiir ei n D o d e k aeder z w o l f

regulare Fiinfecke u n d fiir ein Iko saed er zwanzig gleichseitige Dreiecke. N a t i i r l i c h gibt

es u n t e r s c h i e d l i c h e M o g l i c h k e i t e n , di e Flachen eine s p l a t o n i schen Korpers a u f e i n e m

Ausschne i d e b o g e n a n z u o r d n e n .

82

W i e e r h a l t e n w i r d i e f i i n f p l a t o n i s c h e n K o r p e r ] Ein konvexes P o l y e d e r ist ein

p l a t o n i s c h e r Korper, w e n n die b e i d e n f o l g e n d e n K r i t e r i e n zugleich gelten.

• ABe Flachen s i n d k o n g r u e n t e , regulare Polygone.

• In j e d e r Ecke treffen e i n a n d e r dieselbe A n z a h l von Flach en.

In j e d e r Ecke S muss en e i n a n d e r m i n d e s t e n s drei P o l y g o n e ( u n d K a m e n ) eines

Polyeders treffen. AIle diese Flachen u n d K a m e n b i l d e n die so g e n a n n t e

Eckenpyramide. Diese E c k e n p y r a m i d e b e s t e h t dabei n u r aus dem M a n t e l e i n e r

P y r a m i d e , die e v e n t u e l l ein n i c h t e b e n e s Basispolygon a u f w e i s t (Abb. 3.9). Eine

Polyederecke ist konvex, wenn die Sum me der W i n k e l zwischen b e n a c h b a r t e n K a m e n

k l e i n e r als 3 6 0 G r a d ist . Das ist bei e i n e m W u r f e l e i n d e u t i g der Fall (Abb . 3.10), d e n n

fur die drei Q u a d r a t e , die e i n a n d e r in j e d e r Ecke treffen, gilt : 3 . 90 G r a d = 270 G r a d .

H a n g e n wir vier Q u a d r a t e in einer Ecke z u s a m m e n , d a n n e r h a l t e n wir e i n e n W i n k e l

von 4 . 90 G r a d = 360 G r a d , u n d die Figur schlielst sich n u r d a n n , w e n n aIle vier

Q u a d r a t e in d e r s e l b e n E b e n e liegen . D a m i t e r g i b t sich kein r a u m l i c h e s Polyeder mehr.

Dasselbe gilt fur f i i n f o d e r m e h r Q u a d r a t e , D a h e r ist der Wurfel der einzige

p l a t o n i s c h e K e r p e r , der aus Q u a d r a t e n bestehr. W i r v e r w e n d e n n u n s t a r t Q u a d r a t e n

gleichseitige Dreiecke.

• Eine E c k e n p y r a m i d e aus drei g l e i c h s e i t i g e n D r e i e c k e n ( 3 · 6 0 = 180 G r a d )

f u h r t a u f das Tetraeder. D a z u muss en wir n u r n o c h ein viertes gleichseitiges

D r e i e c k h i n z u f i i g e n (Abb. 3.10). Das r e s u l t i e r e n d e Polyeder hat i n s g e s a m t

vier F a c e t t e n , vier Ecken u n d sechs K a n t e n . Es erfiillt die o b i g e n K r i t e r i e n

u n d ist d a h e r ein p l a t o n i s c h e r K e r p e r ,

• Eine E c k e n p y r a m i d e aus vier g l e i c h s e i t i g e n D r e i e c k e n ( 4 . 6 0 = 240 G r a d )

f i i h r t a u f das Okraeder, D a z u muss en wir b l o f zwei solche E c k e n p y r a m i d e n

g e e i g n e t z u s a m r n e n h a n g e n (Abb . 3.10) . W i e d e r s i n d die b e i d e n o b i g e n

K r i t e r i e n erfiillr, u n d wir h a b e n einen w e i t e r e n p l a t o n i s c h e n K e r p e r

h e r g e l e i t e t . Er b e s t e h t aus 8 F a c e t t e n , 6 Ecken u n d 12 K a m e n .

Eckenpyramiden im 3-D-RaumA b b . 3 . 9Die Eckenpyramide einer Polyederecke5 wird aus allen Kanten und Flacheng e b i l d e t , die e i n a n d e r in 5 t r e f f e n . EineEckenpyramide ist konvex, flach odern i c h t - k o n v e x , wenn die Winkelsummekleiner, gleich oder groBer als 360 Gradist. Das wird besonders deutlich, wennwir die Eckenpyramide in eine Ebenea u s b r e i t e n .

konvex

5

flach

<1>n i c h t - k o n v e x

In die Ebene a u s g e b r e i t e t e Eckenpyramiden

w e n i g e r als 360 0 360 0 m e h r als 360 0

83

• Eine Eckenpyramide aus fiinf gleichseitigen D r e i e c k e n ( 5 · 6 0 = 300 G r a d )

f t i h r t a u f da s I k o s a e d e r . N u n k o n n e n wir j e d o c h n i c h t einfa ch zwei solche

E c k e n p y r a m i d e n Iangs ihrer fiinfeckigen Basispolygone z u s a m m e n k l e b e n .

( D a n n ware das K r i t e r i u m , dass e i n a n d e r in j e d e r Ecke gleich viele F a c e t t e n

u n d K a m e n treffen, niche e r f u l l t . ) S t a t t d e s s e n v e r b i n d e n wir zwei solche

E c k e n p y r a m i d e n m i t einem Band aus 10 w e i t e r e n g l e i c h s e i t i g e n D r e i e c k e n

(Abb. 3.10). W i e d e r sind beid e K r i t e r i e n e r f u l l t , u n d wir h a b e n den v i e r t e n

p l a t o n i s c h e n K e r p e r g e f u n d e n . Ein Ikosaeder hat 20 Flachen , 12 Ecken u n d

30 K a m e n . W i r b e m e r k e n , dass wieder alle 12 E c k e n p y r a m i d e n k o n g r u e m

sind .

Eine E c k e n p y r a m i d e aus sechs glei c h s e i t i g e n D r e i e c k e n ist eben ( 6 · 6 0 = 360 G r a d ) .

D a m i t k a n n kein p l a t o n i s c h e r K e r p e r g e b i l d e t w e r d e n . W i r h a b e n d a m i t alle aus

g l e i c h s e i t i g e n D r e i e c k e n b e s t e h e n d e n p l a r o n i s c h e n K e r p e r g e f u n d e n , u n d es k a n n

auch keine w e i t e r e n geben.

W a r f e l

r 2 7 0 0

T e t r a e d e r

\ l \ /

Abb . 3 .10Die H e r l e i t u n g der fOnf platonischenKerper Ober ihre Eckenpyramiden.

I k o s a e d e r

O k t a e d e r

D o d e k a e d e r

84

Das nachste regulare Polygon, das wir in Betrachr ziehen, ist das regulare Fiinfeck mit

fimf Kanten und einem Innenwinkel von 108 Grad. Nachdem 3 . 108 = 324 < 360 Grad

ist, konnen wir eine Eckenpyramide aus drei gleichseitigen Fiinfecken bilden. Verbinden

wir vier solche Eckenpyramiden aus je drei kongruenten Fimfecken, dann erhalten wir

das Dodekaeder (Abb. 3.10). Beide Kriterien sind erfiillt, und wir haben den fiinfienp l a t o n i s c h e n Kerper gefunden. Er hat 12 Flachen, 20 Ecken und 30 Kanten.

Hangen wir vier Funfecke zusammen, so erhalten wir bereits einen Winkel von

4 . 1 0 8 = 4 3 2 > 360 Grad, womit eine daraus gebildete Eckenpyramide nicht mehr

konvex sein kann.

Gibt es weitere platonische Kerper, deren S e i t e n r l a c h e n keine Dreiecke, Quadrare oder

Fiintecke sind? Die A n t w o r t lautet nein, und der Grund dafiir ist folgender: Fur ein

regelmafSiges Sechseck b e t r a g t der I n n e n w i n k e l 1 2 0 Grad, daher ist eine Eckenpyramide

aus drei regelmaBigen Sechsecken bereits eben ( 3 · 1 2 0 = 360 Grad) . Da die Innenwinkel

von regelmaliigen 7-Ecken, 8-Ecken und so weiter immer graBer werden, konnen wir

dam it keine konvexen Eckenpyramiden formen . Wir haben daher aIle platonischen

Kerper gefunden.

Geschichte:

P l a t o n i s c h e K d r p e r in h o h e r e n D i m e n s i o n e n . Der

Mathematiker Ludwig Schlafli zeigte 1852, dass es im

4-D-Raum genau sechs Polyeder mit denselben Eigen­

schaften wie jene der plaronischen Kerper gibe, In Raumen

der Dimension n = 5 oder holier gibr es dann nur noch drei

solche Polyeder. Die platonischen Kerper, die in jeder Dimen­

sion existieren, sind der Hyperwurftl (n-dimensionaler

Wurfel) , das Simplex (n-dimensionales T e t r a e d e r ) und das

A b b . 3 . 1 1Fete eines 3 - D - B i l d e s des 6 0 0 - Z e l l s ander Technischen U n l v e r s l t a t Wien.

Kreuzpolytop (n-dimensionales Okraeder). 1m 3-D-Raum

haben wir zusatzlich das D o d e k a e d e r und das Ikosaeder,

wahrend es im 4-D-Raum noch das 24-Zell, das 120-Zell

und das 600-Zell gibt, Wie schauen diese Objekte aus? W i r

sind alle daran gewahnt, 2-D-Bilder von 3 - D - O b j e k t e n zu

sehen. Ganz ahnlich konnen wir 3-D-Bilder von 4 - D - O b ­

jekten erzeugen. Ein soIches 3-D-Bild eines 600-ZeIls ist in

Abbildung 3 .11 zu sehen.

85

K o n v e x e P o l y e d e r , d e r e n F l a c h e n l a u t e r g l e i c h s e i t i g e D r e i e c k e s i n d . W i r b e m e r k e n

noch , dass es acht v e r s c h i e d e n e konvexe Polyeder gibt, die au s l a u t e r k o n g r u e n t e n

g l e i c h s e i t i g e n D r e i e c k e n b e s t e h e n . Drei davon sind die p l a t o n i s c h e n K o r p e r T e t r a e d e r ,

O k t a e d e r u n d Ikosaeder. Die a n d e r e n f i i n f si n d n i c h t m e h r regular u n d b e s t e h e n

aus 6 , 10, 12, 14 u n d 16 gleich seitigen D r e i e c k e n (Abb. 3 .12 ) . W i r k o n n e n sie wie

folgt erzeugen:

V e r b i n d e n wir zwei Eckenp y r a m i d e n eines Tetraeders, so e r h a l r e n wir da s erste

Polyeder. Das V e r b i n d e n von zwei E c k e n p y r a m i d e n eines D o d e k a e d e r s e r g i b t den

zweiten Kerper. Teilen wir ein T e t r a e d e r in zwei Teile u n d v e r b i n d e n wir diese m i t

einem Band aus acht g l e i c h s e i t i g e n D r e i e c k e n , so e n t s t e h t das d r i t t e . V e r w e n d e n

wir ein dreiseitiges Prisma als H i l f s o b j e k t ( n u r das Basis- u n d D e c k d r e i e c k tragen

zum e n d g i i l t i g e n O b j e k t bei), u n d v e r b i n d e n wir drei E c k e n p y r a m iden aus je vier

g l e i c h s e i t i g e n D r e i e c k e n m i t den q u a d r a t i s c h e n S e i r e n f l a c h e n des Prismas, d a n n

e r h a l t e n wir das vierte. Das f i i n h e Polyeder ergibr sich d u r c h V e r b i n d e n von zwei

E c k e n p y r a m i d e n ( b e s t e h e n d aus je vier g l e i c h s e i t i g e n D r e i e c k e n ) m i t Hilfe eines

Bandes aus acht g l e i c h s e i t i g e n D r e i e c k e n .

T e t r a e d e r4

A b b . 3 . 1 2Die acht v e r s c h i e d e n e n konvexenPolyeder, deren s e t t e n t t a c h e nk o n g r u e n t e g l e i c h s e l t i g e Dreiecke sind.Nur drei davon sind p l a t o n i s c h e Korper.

1 6 I k o s a e d e r

86

A b b . 3 . 1 3Platonische K6rper und ihre dualenK6rper. Das Tetraeder ist selbstdual.Der Wurfel und das O k t a e d e r sindz u e i n a n d e r dual. Dasselbe g i l t fur dasI k o s a e d e r und das Dodekaeder.

I

- - \ 0

E i g e n s c h a f t e np l a t o n i s c h e r K o r p e r

Die Flachen eines p l a t o n i s c h e n Korpers sind k o n g r u e n t e , gleichseitige Dreiecke

( T e t r a e d e r , O k t a e d e r , Ikosaeder), k o n g r u e n t e Q u a d r a t e (Wlirfel) o d e r k o n g r u e n t e

regulare Funfecke ( D o d e k a e d e r ) . Tabelle 1 gibe einen O b e r b l i c k iiber die A n z a h l von

Flachen ( j ) , Ecken ( e ) u n d K a n t e n ( k ) der p l a t o n i s c h e n Kerper.

Tabelle 1. A n z a h l der Flachen, Ecken u n d K a n t e n der p l a t o n i s c h e n K e r p e r

P l a t o n i s c h e r K o r n e r r e kT e t r a e d e r 4 4 6Wtirfel 6 8 12O k t a e d e r 8 6 12D o d e k a e d e r 12 20 30I k o s a e d e r 20 12 30

Eulersche P o l y e d e r f o r m e l . Fur die f l i n f p l a t o n i s c h e n K o r p e r k o n n e n wir mit Hilfe

von Tabelle l l e i c h t veritizieren, dass die A n z a h l der Ecken e m i n u s der A n z a h l der

K a n r e n k plus der A n z a h l der Flachen f i m m e r den W e r t 2 ergibt:

e - k + f = 2 .

Diese P o l y e d e r f o r m e l w u r d e vom M a r h e r n a t i k e r L e o n h a r d Euler ( 1 7 0 7 - 1 7 8 3 )

g e f u n d e n u n d gilt fur aIle Polyeder o h n e Locher. W i r u b e r p r i i f e n sie zum Beispiel

fur eine P y r a m i d e mit q u a d r a t i s c h e r Basis: e - k + f = 5 - 8 + 5 = 2. Weitere

I n f o r m a t i o n e n zur E u l e r s c h e n P o l y e d e r f o r m e l u n d w e i t e r e n so g e n a n n t e n

t o p o l o g i s c h e n Eigenschafi:en von g e o m e t r i s c h e n O b j e k t e n finden sich in Architectural

Geometry , Chapter 14.

87

P l a t o n i s c h e K e r p e r und ihre dualen Korper, Die Flachenrnirtelpunkre jedes

plaronischen Korpers bilden die Ecken eines weiteren platonischen Korpers, Die beiden

so in Zusammenhangstehenden Korper werden als zueinander dual bezeichnet

(Abb. 3.13). Wir beginnen mit dem Tetraeder. Jede der vier Eckenpyramiden besteht aus

drei gleiehseitigen Dreiecken. Wegen der Symmetrieeigenschaften eines T etraeders

bilden die drei Flachenmitrelpunkte einer Eck enpyramide wieder ein gleiehseitiges

Dreieck. Daher erhalten wir wieder ein konvexes Polyeder aus vier kongruenten

gleiehseitigen Dreiecken. Der zu einem Tetraeder duale Korper ist somit wieder ein ­

inn en liegendes "kleineres " - Tetraeder.

Wir woilen nun herausfinden, welcher Kerper zum Wiirfel dual ist,Jede Eckenpyrarnide

eines Wtirfels besteht aus drei kongruenten Quadraten . Verbinden wir d ie Mittelpunkte

dieser drei Quadrate, erhalren wir ein gleichseitiges Dreieck. Daher fiihrt jede Wtirfel ­

ecke auf ein gleichseitiges Dreieck (eine Hache im dualen Polyeder), und jede Wtirfel­

Bache fiihrr auf eine Ecke des dualen Polyede rs (den Mittelpunkr des Quadrats). Der

zum Wtirfel duale Korper besteht daher aus acht gleichseitigen Dreiecken und ist ein

Oktaeder, Wir folgero daraus auch, dass die Anzahl der Ecken eines platonischen

Korpers der Anzah! von Flachen seines dualen Korpers entsprichr. Die Anzahl der

Kanten ist fUr beide gleieh (siehe auch Tabeile 1). Damit ergibt sich, dass auch Dodeka­

eder und Ikosaeder zueinander dual sind.

Mit den p l a t o n i s c h e n K o r p e r n zusammenhangende Kugeln. Es gibe drei Kugeln mit

demselben Mittelpunkr, die auf natiirliche Art und Weise mit den platonischen Korpern

verbunden sind (Abb. 3.14). Die erste Kugel enthalt aile Ecken (die Umkugel), die zweite

Kugel beruhrt aile Flachen in deren Mittelpunkten (die Inkugel) und die dritte Kugel

beriihrt aile Kanten in ihren Kantenmittelpunkten,

S y m m e t r i e - E i g e n s c h a f t e n . Die Eckenpyramiden eines platonischen Korpers sind

jeweils zueinander kongruent, alle Flachen sind kongruente regulare Polygone, und

daher sind aile Kanten gleich lang. Fiir die Konstruktion eines platonischen Korpers

haben wir also zusammenfassend folgende Vorteile .

• Wir benotigen nur eine Art vori Plache .

• Aile Kanten sind gleich lang.

• Aile Winkel zwischen benachbarten Flachen sind gleieh groK

• Aile Eckenpyramiden sind kongruent.

Abb . 3 . 1 4Jeder platonische K6rper hat dreiassoziierte Kuqelflachen mit demselbenM i t t e l p u n k t . Wir zeigen hier jeweils dieUmkugel und die I n k u g e l .

88

D e r g o l d e n e S c h n i t tDer g o l d e n e S c h n i t t . Der goldene Schnitt (auch al s da s goldene Teilverhiiltnis o d e r die

gottliche Teilungbekannt) ist die Z a h l

$ = ( l + V S ) / 2 , . . 1 . 6 1 8 0 3 3 9 8 9 .. .

W i r e r h a l t e n den golden en S c h n i t t , i n d e m wir eine Strecke so in zwei Teile teilen

(einen g r a g e r e n mit Lange c, u n d einen k l e i n e r e n mit Lange d), dass das Folgende gilt

(Abb . 3.15) : Das V e r h a l t n i s von c zu d ist gleich jenem von c + d zu c. In a n d e r e n

W o r t e n , " g r a g e r e r zu kleinerem Teil wie Ganzes zu g r a g e r e m Teil". Formal s c h r e i b e n

wir

c : d = (c + d) : c.

F i i h r e n wir fiir c/ d die Variable $ ein , d a n n folgt darau s: $ = 1 + 1/$. W i r e r h a l t e n

eine q u a d r a t i s c h e G l e i c h u n g $2- $ - 1 = 0, deren positive Losung (1 + V S ) / 2 genau

der goldene S c h n i t t ist, Intere ssanterweise kann der goldene S c h n i t t d u r c h das Verhaltnis

von je zwei a u f e i n a n d e r folgenden Fibonacci-Zahlen 1,1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 1 3 , 2 1 , 3 4 , .. .

a n g e n a h e r t werden. Es ist zwar 3 : 2 = 1,5 erst eine grobe A p p r o x i m a t i o n von $, aber

bereits 5 : 3 = 1,666 ... ist d e u t l i c h besser. Fahren wir so fort , e r h a l t e n wir eine i m m e r

bessere A n n a h e r u n g , Z u m Beispiel s t i m m t der W e r t 13 : 8 = 1,625 bereits bis a u f 1 %

A b w e i c h u n g mit dem g o l d e n e n S c h n i t t i i b e r e i n .

Das g o l d e n e Rechteck. Die A b m e s s u n g e n eines g o l d e n e n R e c h t e c k s s t e h e n im

g o l d e n en Verhaltnis $ : 1 z u e i n a n d e r . Urn ein goldenes R e c h t e c k zu k o n s t r u i e r e n ,

b e g i n n e n wir mit einem Q u a d r a t der S e i t e n l a n g e c. W i e in A b b i l d u n g 3.1 5 gezeigt ,

e r h a l t e n wir daraus ein g r a g e r e s goldenes Rechteck m i t A b m e s s u n g e n (c + d ) : c, u n d

ein kleineres m i t A b m e s s u n g e n c : d.

Die F i b o n a c c i - S p i r a l e , W i r fiihren die obige Kon s t r u k r i o n wie folgt weiter. W i r

u n r e r t e i l e n das klein ere g o l d e n e R e c h t e c k in ein Q u a d r a t der S e i t e n l a n g e d u n d

ein weitere s goldenes R e c h t e c k m i t den A b m e s s u n g e n d : (c - d). Setzen wir diese

K o n s t r u k t i o n fort , d a n n e r h a l t e n wir ein spiralartiges Q u a d r a t m u s t e r , V e r b i n d e n wir

d i a g o n a l g e g e n i i b e r l i e g e n d e Ecken jedes Q u a d r a t e s mit einem V i e r t e l k r e i s b o g e n , so

e r h a l r e n wir die so g e n a n n t e Fibonacci-Spirale (Abb. 3.15).

89

Geschichte:

Der goldene Schnitt in Kunst und A r c h i t e k r u r , In der

K u n s t f i n d e n wir den g o l d e n en S c h n i t t b e r e i t s in verschie­

dens ten g r i e c h i s c h e n S k u l p t u r e n , u n t e r a n d e r e m in j e n e n

von P h i d i a s (funfres J a h r h u n d e r t v. C h r .), dessen N a m e

die W a h l des B u c h s t a b e n s <p als S y m b o l fur den g o l d e n e n

S c h n i t t m o r i v i e r t e , D e r g o l d e n e S c h n i t t r a u c h t auch in Bil­

dern von L e o n a r d o da V i n c i s Mona Lisa ( 1 5 0 3 ) bis h i n zu

M o n d r i a n s Komposition mit Rot, Gelb und Blau ( 1 9 2 1 ) auf.

In der A r c h i t e k t u r w u r d e der g o l d e n e S c h n i t t in B a u w e r k e n

wie der Cheops-Pyramide (urn 2 5 9 0 - 2 4 7 0 v. C h r .) in G i z e h ,

im Parthenon-Tempel ( 4 4 7 - 4 3 2 v. Chr.) in Arhen, im Pantheon

(118-125) in Rom , in v e r s c h i e d e n e n Triumphbogen o d e r in

der Fassade der Kathedrale Notre Dame (1163-1345)

in Paris b e r u c k s i c h r i g t , 1m z w a n z i g s t e n J a h r h u n d e r t h a t

Le C o r b u s i e r , b a s i e r e n d a u f dem g o l d e n e n S c h n i t t , sein m o ­

dulares System fur a r c h i t e k t o n i s c h e P r o p o r t i o n e n enrwickelt,

u n d in seinem beriihmren Gebaude Unite d'Habitation (1952)

in M a r s e i l l e u m g e s e t z t (Abb . 3 . 1 6 ) .

A b b . 3 . 1 5Der goldene S c h n i t t , das goldeneRechteck und die Fibonacci-Spirale.

G o l d e n e r S c h n i t t Goldenes R e c h t e c k F i b o n a c c i - S p i r a l e

d

c - d

c

d

/

~c/2

do

1 0 . 6 1 . . .o 0

c

0_ - - - - --0- - - -

- - - - - - - - . y - - - - -c + d

0_ - - - - --0- - - _ 0

A b b . 3 .16Unite d'Habitation ( 1 9 5 2 ) vonLe Corbusier.

90

M o d e l l i e r u n g d e r p l a t o n i s c h e n K e r p e r . In C A D - S o f t w a r e sind p l a t o n i s c h e K e r p e r

oft als C r u n d k o r p e r e n t h a l t e n . Ist dies n i c h t der Fall, k o n n e n die f t i n f p l a t o n i s c h e n

K e r p e r wie folgt k o n s t r u i e r t w e r d e n (dabei ist die K o n s t r u k t i o n des Ikosaeders u n d

seines dualen Korpers, des D o d e k a e d e r s , am a u f w e n d i g s t e n - allerdings hat diese

K o n s t r u k t i o n einen s c h o n e n Z u s a m m e n h a n g zum g o l d e n e n S c h n i t t ) :

• E i n e n Wiirfel m o d e l l i c r e n wir z.B. tiber P a r a l l e l e x t r u s i o n eines Q u a d r a t e s m i t

S e i t e n l a n g e 5 bis zu einer H o h e 5 (die E x t r u s i o n s r i c h t u n g ist dabei o r t h o g o n a l

zur Q u a d r a r l l a c h c ) .

• Ein Tetraeder k o n n e n wir aus einem Wtirfel ausschneiden (siehe Abb. 3.17) .

Die vier e b e n e n S c h n i t t e erzeugen dabei ein Polyeder, dessen sechs K a n t e n

D i a g o n a l e n der sechs k o n g r u e n t e n Wiirfelflachen u n d d a m i t gleich lang sind.

D ie vier Flachen des n e u e n Polyeders sind k o n g r u e n t e , gleichseitige Dreiecke.

Das erzeugte Polyeder ist also ein Tetraeder.

• Urn ein O k t a e d e r zu m o d e l l i e r e n (Abb . 3 .17), w a h l e n wir seine sechs Ecken

als E i n h e i t s p u n k t e a u f den Achsen cines k a r t e s i s c h e n K o o r d i n a t e n s y s t e m s :

(11010), (01110), (-11010) , (01-110), (01011), (0101-1). Eine a n d e r e Moglich­

keit ware, das O k t a e d e r aus e i n e m Wtirfel a u s z u s c h n e i d e n (was leicht

m o g l i c h ist, da die beiden K e r p e r z u e i n a n d e r dual s i n d ) .

A b b . 3 . 1 7(a) Modellierung eines Tetraeders durchAusschneiden aus einem WOrfel.(b) Modellierung eines Oktaeders: wirwahlen seine sechs Ecken in denE i n h e i t s p u n k t e n auf den Achsen eineskartesischen K o o r d i n a t e n s y s t e m s :(11010), (01110), ( - 1 1 0 1 0 ) , ( 0 1 - 1 1 0 ) ,(01011), ( 0 1 0 1 - 1 ) .

(a)

S c h n i t t - - - - .".. - r;7ebenen V

/~ ( / / /

L¥ '-

WOrfel

z

91

• Fur die Modellierung eines Ikosaeders verwenden wir drei kongruente,

goldene Rechtecke, von denen je zwei zueinander orthogonal stehen und

deren Mittelpunkt e im Koordinatenursprung liegen, siehe Abbildung 3 .18.

Die zwolf Ecken der drei goldenen Rechtecke haben die kartesischen

Koordinaten (±</>1±110) , (01 ±</>I±I) , (±llol ±</» und sind die Ecken eines

Ikosaeders mit Scirenlange s = 2.

• Wir modellieren ein Dodekaeder als dualen Kerper zum Ikosaeder

(Abb. 3.18). Die zwanzig Fl achenmittelpunkre des Ikosaeders sind dann die

Ecken des Dodekaeders.

Der Wtirfel ist der am weitesten verbreitete platonische Kerper in der Architektur.

Eine erwas unorthodoxe Verwendung zeigt Abbildung 3 .19a. Aber auch das Tetraeder

kommt in der Architektur vor (Abb. 3.19b). Irn Folgenden werden wir noch lernen,

geodatische Kuppeln aus einem Ikosaeder herzuleiten. Zunachst beschafiigen wir uns

aber mit den archimedischen Korpern,

I k o s a e d e r m i t Kantenlange 5 = 2

I k o s a e d e r

( c j > I - I I O )

z D o d e k a e d e r

(a)

z

( b )

y

A b b . 3 . 1 8(Links) M o d e l l i e r u n g eines I k o s a e d e r sder K a n t e n l a n q e 5 = 2 : Die Eckend r e i e r k o n g r u e n t e r , g o l d e n e r Rechteckeder Breite 2 und Lange 2cj> d e f i n i e r e ndie z w o l f Ecken des I k o s a e d e r s .(Rechts) Modellierung eines Dodekaedersals dualer Kbrper eines Ikosaeders.

A b b . 3 . 1 9(a) Die Baumhauser (1984) in Rotterdamvon Piet Blom bestehen aus WOrfeln,die in Richtung einer Raumdiagonalevertikal i n sechsseitigen Prismen stecken.(b) Der K u n s t t u r m ( 1 9 9 0 ) in Mito vonArata Isozaki kann als ein Stapel vonTetraedern m o d e l l i e r t werden.

92

A b b . 3 . 2 0Die zwei Arten von E c k e n s c h n i t t e neines reqularen Polygons, die w i e d e r u mein requlares Polygon erzeugen . Wiri ll ust r ie r e n die Schn i t t e fOr dasg l e i c h s e i t i g e Dre ieck, das Quadrat unddas regelma13ige FUnfeck.

A r c h i m e d i s c h e K e r p e rA r c h i m e d i s c h e K e r p e r si n d konvexe Pol yeder , die aus zw ei o d e r m e h r e r e n T y p e n von

r e g u l a r e n Pol y g o n e n be srehen, be i den en ab er alle K a m e n dieselbe Lange be sitzen.

Die se s p e z i e l l e n Po lyeder w aren s c h o n dem a n t i k e n G e n i e A r c h i m e d e s vor iiber 2 0 0 0

J a h r e n b e k a n n t , W i e auch i m Fall der p l a t o n ischen K e r p e r sin d all e Eckenp y r a m i d e n

eines a r c h i m e d i s c h e n K o r p ers z u e i n a n d e r k o n g r u e m . D a h e r ist der h a u p t s a c h l i c h e

U n t e r s c h i e d , dass a r c h i m e d i s c h e K e r p e r m e h r als eine A r t von e b e n e n F a c e t t e n

aufweisen. T r o t z d e m mu ss jede e i n z e l n e Facette n o c h i m m e r ein regulares Pol ygon

sein, aber n i c h t alle muss en z u e i n a n d e r k o n g r u e n t sein .

E c k e n von p l a t o n i s c h e n K o r p e r n abschneiden. I n d e m wir die Ecken von

p l a t o n i s c h e n K o r p e r n a u f die richtige Weise a b s c h n e i d e n , k o n n e n wir einige der

a r c h i m e d i schen K e r p e r e r z e u g e n . Urn die r n o g l i c h e n S c h n i t t e besser zu v e r s t e h e n ,

e r k l a r e n wir z u n a c h st die a n a l o g e n S c h n i t t e ( e n t l a n g v o n G e r a d e n ) Hir regulare

Pol ygone . J e d e m r e g u l a r en Pol ygon k o n n e n d ie Ecken a u f zwei ver s c h i e d e n e A r t e n so

a b g e s c h n i t t e n w e r d e n , dass w i e d e r ein regulares Pol ygon e n t s t e h t (Abb . 3.20):

• Typ 1: S c h n i t t e , die ein r e g u l a t e s Polygon m i t d e r s e l b e n A n z a h l von K a m e n

e rz e u ge n .

• T yp 2 : S c h n i t t e , die e in r e g u l a t e s Polygon m i t d o p p e l t so v ielen K a m e n

e rz e u ge n.

E c k e n s c h n i t t e Typ 1

E c k e n s c h n i t t e Typ 2

93

D er e rste T yp vo n S c h n i t t e n geh t d u r ch d ie K a n t enrn i t r e l p u n k t e. D er zwe i t e T yp vo n

S c h n i t t en mu ss so ausgefUhrt we r de n, d ass d as e r ze u gte Pol ygon m i t d o p p elt so vielen

K a n t en w iede r r egul ar ist. W i r k o n n en di e se S c h n i t t e in ve rg leich bare r A rt u n d We ise

au c h bei den pl a t o n isch en Ko r pe r n a nw en de n u n d so ei n ige d er a rch i me dis che n

K e rp er e rze u ge n . D ab e i we r de n Teil e d er ur s p r u n g l i c h e n E c ke n p y r a m i d e n

weggesch ni t t e n .

E c k e n s c h n i t t e v o m Typ 1. W i r be g inn en m i t den S c h n i t t en d u r ch d ie K a n t e n m i t t el­

p u n k t e ( A b b . 3. 21 ).

• Bei ein em Tetr aed e r sc h nei de n w ir vier kle in ere, e be nfa lls regul ar e Tetr aeder

weg , u n d ein O k t aed er ble ibt ubrig, Dabei e r h a l t e n w ir wieder einen plato­

ni schen K e r p e r und k ein e neue A r t von Polyeder.

• M i t d en selben S c h n i t t en e r ha lt e n w i r aus ein em Wti rfel ein Kubokt aede r, das

a us sec hs k o n g r u e n t e n Q u adr at en (vo n den sechs Sei te n flach e n d es Wtirfel s)

u n d au s a c h t k o n g r u e n t en gleich seitig en Drei ecken ( b leibe n von den ac h t

E cken de s Wtirfel s u b r ig ) b esteht.

• Schn eiden w i r d ie ach t Ecken e ines O k t aeder s a u f di e richti ge Weise ab , d a n n

e r h alt en wi r ein P ol yed er, d essen Seit enti ach en ach t ko ng ru e nt e g leic hs e it ige

D r ei eck e (je eines fUr d ie je des Dre ieck d es O kt aed er s) und sec hs k o n g r u e n t e

Q u a d r a t e (je eines pro O k r aed ere cke) sin d . Die ses Pol yed er ist w ied e r e in

K u b o k t a e d e r, w ie b erei ts im Fall d es W ti rfels. Ta tsach lich gilt fur Eck e nsc h n i t te

d urch d i e K ant enm itr e l p u n k t e vo n zue in an de r du alen pl a t o n ischen K o r p e r n ,

d ass d a m i t ein und d asselb e Polyed er erzeugt wi rd . D ies gilt d a m i t a u ch fur d as

D o d e k a e d e r und d as Ik o s aed e r.

• M i t ebenen S c h n i t t e n d u r c h di e K a n r e n m i t t e l p u n k r e eines D o d e k a e d e r s

e r ha lte n w i r ein Pol yed e r, d essen Flachen 12 k o n g r u e m e regul are Funfe cke (je

eine s fur jede der zwo lf Flach en d es D o d e k a eder s) u n d 20 k o n g r u ente gle ich ­

se i t i ge D r eieck e (j e ei n es f ur j ede d er 20 Ecken de s D o d e k a e d e r s) sin d. D a s

neue Pol y e d e r w i r d als Ikosid odekaeder b e z e i c h n e t . Sein N am e v e r r a t b e r e i t s

die T a t s a c h e , d a ss es a u c h a us e i ne m Ik o saeder a bg elei te t we r de n k a n n ; w ie ­

d e r d u r c h Ec ken s chn i t t e d u r ch d ie K a n t e n m i t t e l p u n k t e (A b b. 3. 2 1) .

Abb. 3.21Neue Polyeder entstehen, indem wir d ieEcken der platonischen k o r p e r m itSchnitten durch d ie Kantenm i t t e l p u n k t eabschneiden .

T e t r a e d e r WOrfel O k t a e d e r D o d e k a e d e r I k o s a e d e r

•, Eckenabschneiden

Eckent abschneiden ~

Oktaeder

94

Ikosidodekaeder

~~

A b b . 3 . 2 2Von den 13 a r c h i m e d i s c h e n K6rpernk6nnen die sieben n a m e n t l i c hb e z e i c h n e t e n durch E c k e n s c h n i t t e ausp l a t o n i s c h e n K6rpern h e r g e s t e l l twerden . Der klassische FuBbal1 ist e i n e rdavon.

E c k e n s c h n i t t e v o m T y p 2. M i t E c k e n s c h n i t t e n vom z w e i t e n Typ k o n n e n wir

aus j e d e m der f i i n f p l a r o n i s c h e n K e r p e r einen w e i t e r e n a r c h i m e d i s c h e n K e r p e r

h e r l e i t e n (Abb. 3 .22). A b b i l d u n g 3 .20 zeigt an H a n d e i n e r e i n z e l n e n Facette, wie

die S c h n i t t e zu e r f o l g e n h a b e n . Da wir uns diesen E n t s t e h u n g s p r o z e s s auch als eine

A r t " A b s t u m p f e n « der Ecken p l a t o n i s c h e r K e r p e r v o r s t e l l e n k o n n e n , h e i f e n die so

e n t s t e h e n d e n a r c h i m e d i s c h e n K e r p e r abgestumpftes Tetraeder, abge stumpfter Wurfel,abge stumpftes Oktaeder , abgestumpftes Dodekaeder u n d abge stumpftes Ikosaeder.

Das a b g es t u rnp fi e Iko saeder is t sehr w a h r s c h e i n l i c h der b e k a n n t e s t e a r c h i m e d i s c h e

Korper, d enn er g i b t dem klas sischen Fujball seine m a r k a n t e F o r m (Abb. 3 .22) .

Dasselbe Polyeder w u r d e von C h e m ikern auch als Buckm inster-Fulleren b e z e i c h n e t ,

d e n n es hat si e an die g e o d a t i schen K u p p e l n von B u c k m i n s t e r Fuller e r i n n e r t , die wir

im n a c h s t e n A b s c h n i t t s t u d i e r e n . W i r e r h a l r e n das a b g e s t u r n p f i e Ikosaeder, i n d e m wir

E c k e n s c h n i t t e so a u s f u h r e n , dass an j e d e m K a n t e n e n d e 1 / 3 der K a n t e w e g f a l l t . D a m i t

e r z e u g e n w ir fiir jede der 12 Ecken des Ikosaeders ein r e g u l a t e s Fiinfeck u n d fiir jedes

der 20 D r e i c c k e ein regulares Scchs eck . Ecken a b s c h n e i d e n ist eine g r u n d l e g e n d e Idee

fiir die E r z e u g u n g n e u e r F o r m e n aus b e s t e h e n d e n . W i r w e r d e n die ser Idee in a n d e r e n

K a p i r e l n w i e d e r begegn en, wie zum Beispiel in K a p i t e l S (iiber F r e i f o r m k u r v e n ) u n d

K a p i t e l 1 1 ( u b e r P r e i f o r m f l a c h e n ) .

N e b e n speziellen F o r m e n von P r i s m e n u n d A n t i p r i s m e n (vgl. das folgende Bespiell)

g i b t es in sgesamt 13 v e r s c h i e d e n e a r c h i m e d i s c h e K e r p e r (Abb . 3 .22) . D r e i dieser

a r c h i m e d i s c h e n K e r p e r b e s t e h e n sogar aus je drei v e r s c h i e d e n c n A r t e n von r e g u l a r e n

Poi y g o n t l a c h e n .

K u b o k t a e d e r

,

I k o s i d o d e k a e d e rI, ~----'-

Ia b g e s t u m p f t e sO k t a e d e r

a b g e s t u m p f t e rWOrfel

a b g e s t u m p f t e sD o d e k a e d e r

a b g e s t u m p f t e s~_______ T e t r a e d e r

a b g e s t u m p f t e sI k o s a e d e r(FuBball)

95

Bemerkung. Wir bemerken noch, dass die klassische Definition eines archimedischen

Korpers auch noch von einem 14. Polyeder erfiillt wird. Es wurde 2000 Jahre nach

Archimedes von J.c.P. Miller und V.G. Ashkinuze entdeckr, Dieses Polyeder erhalten

wir aus einem Rhombenkuboktaeder (dem mit einem • markierten Polyeder in Abbil­

dung 3.22), indem wir es in zwei kongruente Teile zerschneiden, einen urn 45 Grad nach­

drehen und dann die beiden Teile w ieder zusammenkleben .

Manche archimedische Korper sind bereits sehr kugelf6rmig (wie z.B. der FulSball) und

haben den zusarzlichen Vorteil, dass aile Kanten gleich lang sind. Aus den platonischen

Korpern leiten wir weitere Polyeder her, die eine Kugel noch besser approximieren. Diese

sind die so genannten geodatischen Kuppeln.

Beispiel:

P r i s m en u n d A n t i p r i s m e n , die a u c h

a r c h i m e d i s c h e K e r p e r s i n d . Ein

Prisma, dessen Grund- und Decktlache

kongruente regulare Polygone, und des­

sen Seirenflachen Quadrate sind , ist ein

archimedischer Kerper (Abb. 3.23, oben),

Wir erinnern uns, dass bei einem archi-

medischen Kerper aile Kanten gleich

lang sind. EinAntiprisma hat kongruente,

regulare Polygone als Grund- und Deck­

£lache. Jedoch ist im Gegensatz zu einem

Prisma die Deckliache eine gedrehte

und verschobene Kopie der Grund­

Hache . Diese beiden sind nicht wie beim

Prisma durch Quadrate verbunden, son­

dern durch Dreiecke. Sind diese Drei­

ecke gleichseitig , dann erfiillt auch ein

Antiprisma jene Eigenschafien, die

archimedische Kerper aufweisen

(Abb. 3.23, unten) .

A b b . 3 . 2 3Beispiele von Prismen und A n t i p r i s m e n ,die archimedische Korper sind.

PrismenWiirfel

@ I

I I) - - -~ ~

I I' - - - l ~

~

O k t a e d e r A n t i p r i s m e n

® ' I '\ \_\C- - . ~

/ \/ I- - -

96

G e o d a t i s c h e KuppelnEine geod iitis che Kupp el ist ein Polyeder m i t k u g e l a h n l i c h e r S t r u k t u r (Abb. 3.24). D e r

N a m e l e i t e t sich von der Tatsache ab, dass

• aile Ecken a u f e i n e r g e m e i n s a m e n Kugel K liegen u n d

• gew isse Ecken a u f GrolSkreisen von K l i e g e n .

Die GrolSkreise e i n e r Kugel si n d die kiirze sten Wege, die zwei ver s c h i e d e n e P u n k t e

e n t l a n g der K u g e l o b e r l l ache m i t e i n a n d e r v e r b i n d e n . Solche kiirze sten Wege a u f e i n e r

H a c h e werd en au ch als G eoddt is che b e z e i c h n e t . D aher h eilsen die Pol yeder , die wir in

die sem Ab s c h n i t t s t u di e re n , g e o d a r i sche K u p p e l n . Ail e Flachen einer g e o d a t i schen

Kuppel s i n d D r e i e c k e , a be r n i c h t aile da von s i n d z u e i n a n d e r k o n g r u e n t . In der

A r c h i t e k t u r w e r d e n oft nur Teile vo n g e o d ati schen K u p p e l n ver w e n d e t

( A b b . 3.25 ). G e b a u t e K u p p e l n v a r i ie r e n in ihrer GrolSe von fast v o l lst a n d ig en

g e o d a t i s c h e n K u p p e l n bi s zu h a l b k u g e l f o r m i g e n .

Geschichte:

R . Buckmin ster Fuller hat 1954 als Er ster eine geodarische

Kuppel au sgestellt - auf der Triennale in M a i l a n d , einer inter­

nat ionalen A u s s t e l l u n g iiber i n n o v a t i v e E n t w i c k l u n g e n in

A r c h i t e k t u r , D e s i g n , H a n d w e r k u n d S t a d t p l a n u n g . Fullers

12 ,6 M e t e r hohe g e o d a t i s c h e Kuppel a us K a r t o n erregte

w e l r w e i t e A u f m e r k s a m k e i t , u n d Fuller g e w a n n den GroBen

G e o d e t i s c h e K u p p e l

Preis der Triennale. B u c k m i n s t e r Fuller baure mehrere solche

K u p p e l n , u n t e r a n d e r e m die grolSe geodatische Kuppel in

M o n t r e a l (Abb . 3.25), die als U S - A u s s t e l l u n g s r a u m fiir die

Expo 196 7 d i e n t e . Fuller hat auch Plane vorgelegt, Teile von

M a n h a t t a n m i t e i n e r K u p p e l von 3,2 K i l o m e t e r S p a n n w e i t e

zu i i b e r d a c h e n .

H a l b k u g e l f o r m i g e q e o d s t i s c h e K u p p e l

Abb . 3 .24Eine qeodatische Kuppel und eineh a l b k u g e l f 6 r m i g e , geodatische Kuppel.

-l '

J

97

(a)

(b)

Abb . 3 .25(a) Die q e o d t i t iscne Kuppel ( 1 9 6 7 ) inMontreal von Richard B u c k m i n s t e rFuller u m f a s s t drei Viertel einer Kugel.Die auBere Hulle b e s t e h t aus Dreieckenund ist m i t einer i n n er e n Hulle ausSechsecken verbunden.(b) Die qeodatlsche Kuppel. R e u m s c n i t t Erde" ( 1 9 8 2 ) in Orlandou m f a s s t annahernd eine gesamteKugel.(c) Die W u s t e n k u p p e l ( 1 9 9 9 - 2 0 0 2 ) inOmaha ist halbkugelfOrmig.

(c)

A u s g e h e n d von den p l a t o n i s c h e n K o r p e r n k o n n e n wir v e r s c h i e d e n e A r t e n von

g e o d a t i s c h e n K u p p e l n m i t f o l g e n d e m i t e r a t i v e n Prozess h e r l e i t e n : W i r u n t e r t e i l e n

z u n a c h s t jede S e i t e n f i a c h e in ein regulares M u s t e r von D r e i e c k e n u n d p r o j i z i e r e n

a n s c h l i e f c n d alle neu e i n g e f i i g t e n Ecken vom M i t t e l p u n k t a u f die U m k u g e l des

p l a t o n i s c h e n Korpers, Aus der o b i g e n D i s k u s s i o n iiber p l a t o n i s c h e K e r p e r folgt, dass

eine g e o d a t i s c h e K u p p e l n i c h t aus [ a u t e r k o n g r u e n t e n d r e i e c k i g e n F l a c h e n g e b a u t

w e r d e n kann. T r o t z d e m v e r s u c h e n wir m i t m o g l i c h s r w e n i g e n v e r s c h i e d e n e n Teilen

a u s z u k o m m c n .

G e o d a r i s c h e Kuppeln aus e i n e m I k o s a e d e r : M e t h o d e 1. Da das I k o s a e d e r seine

U m k u g e l bereits gut a p p r o x i m i c r t , w i r d es oft fur die H e r l e i t u n g von g e o d a t i s c h e n

K u p p e l n v e r w e n d e t . W i r b e g i n n e n m i t e i n e r U n t e r t e i l u n g der d r e i e c k i g e n Flachen

in k l e i n e r e D r e i e c k e (Abb. 3 . 2 6 b ) . Ein gleichseitiges D r e i e c k k a n n in vier klein ere

gleichseitige D r e i e c k e u n t e r t e i l t w e r d e n , i n d e m wir die K a n r e n m i t r e l p u n k t e als

neue Ecken e i n f i i g e n u n d diese m i t drei n e u e n K a n t e n ( p a r a l l e l zu den b e s t e h e n d e n

D r e i e c k s s e i t e n ) v e r b i n d e n .

A b b . 3 . 2 6U n t e r t e i l u n g eines Dreiecks in kleinereDreiecke: Durch Aufteilen j e d e r Kantein 2, 3 bzw. 4 gleiche Teile erhalten w i r4, 9 bzw. 16 kleinere Dreiecke. IrnAllgemeinen erzeugt ein Aufteilen in ngleiche Teile n 2 kleinere Dreiecke.

W i r fiihren diese U n t e r t e i l u n g fur alle 20 F a c e t t e n des Ikosaeders d u r c h u n d e r h a l t e n

i n s g e s a m t 80 (= 20 . 4) D r e i e c k e . N u n p r o j i z i e r e n wir die 30 neu e i n g e f i i g r e n Ecken

(die K a n t e n m i t t e l p u n k t e der 30 K a n t e n des Ikosaeders) aus dem M i t t e l p u n k t des

Ikosaeders a u f seine U m k u g e l (Abb . 3 .27). Von den 80 D r e i e c k e n dieser g e o d a t i s c h e n

Kuppel sind n o c h i m m e r 20 gleichseitig und z u e i n a n d e r k o n g r u e n t . Die a n d e r e n 60 sind

nur m e h r gleichschenkelig. D a m i t k a n n diese geodatische Kuppel aus n u r zwei A r t e n

von D r e i e c k e n hergestellt werden (verschieden gef<irbt in A b b i l d u n g 3.28, Stufe I).

A b b . 3 . 2 7Projektion der K a n t e n m i t t e l p u n k t eeines 1kosaeders auf seine Umkugell i e f e r t eine geodatische Kuppel.

(a) ( b ) (c) ( d )

I k o s a e d e r

--u n t e r t e i l e

j e d e s D r e i e c k

Geodetische Kuppel

--p r o j i z i e r e neue

Ecken a u f die U m k u g e l

99

Wollen wir eine gr6gere geodatische Kuppel b auen, dann kann es vort eilhaft sein, ein e

gr6 gere Anzahl vo n Dreiecken zu verwen den, urn d ie ein zeln en Flachen n icht zu grog

werden zu lassen. Wieder erzeugen wir ein e so Iche geodatische Kuppel ausgehend vo n

ein em Ikosaeder. W ir unt ert eilen zun achst jed e Kam e des Ikosaeders in drei gleich

lange Teile und erhalten so fur jed es Dr eieck des Ikosaed ers n eun kleinere gleichseitige

Dr eiecke (ansrat t vier wie zuvor ; Abb . 3.26c). Dann pro jizieren wir d ie 8 0 n euen

Ecken (2 aufj ed er der 30 Kamen und d ie 20 Flachenmitr elpunkt e) vo m M itt elp un kt

d es Ikosaeders aus auf sein e U m kugel.

D ie so erhal ren e geodarische Kuppel besitzt insgesam t 92 Ecken, 20 · 9 = 180

Dreiecke und 270 Kamen (Ab b. 3.28, Stufe 2 ) . Es folgt aus d er Kon struktion, da ss aIle

Dreiecke gleich schenkeligsin d , und es d avon zwei Typen gibt : 60 kongru eme, weIche

die aus je 5 Dreiecken bestehend en 12 Eckenpyramiden urn di e 12 Ikosaederecken (die

auch Ecken der geodatische Kuppel sin d ) bilden, und 120 kongruem e, weIche die aus

je 6 Dr eiecken bestehenden Eckenpyramiden der 20 verlager te n Flachenrnittelpunkte

der Ikosaederdreiecke bilden.

Wir bemerken, dass nur dr ei versch ied en e Kantenlangen auftreten. Unterteilen wir

jed es Dreieck eines Ikosaeders in 16 klein ere Dr eiecke (Abb . 3.26d ) und projizieren

w ir die neuen Ecken auf di e Umkugel, dann erhalten w ir eine geodatische Kuppel der

Stufe 3 mit 20 . 16 = 320 D reiecken (Ab b . 3.28, Stufe 3 ). Ein e Um ert eilung der

Dreiecke de s Ikosaeders auf diese Art und Weise fiihrt auf eine geoda t ische Kuppel der

Stufe k mit 20 . ( k+ 1)2 Dr eiecken.

Geodatische Kuppeln aus einem Ikosaeder: Methode 2. Eine alternative Method e zur

Erzeugung von geodatischen Kuppeln aus Ikosaedern unt ert eilt jedes Dr eieck der

vo rigen Stufe wieder in vier kleinere Dr eiecke und projiziert d ann di e n eu eingefUgten

Ecken auf die Umkugel (Abb. 3.29). Die erst e Unterteilung s srufe ergibt genau die selbe

geodatische Kuppel mit 20 · 4 = 80 Dr eiecken wie zuvor. Aber bereits Stufe 2 unci Stufe 3

erzeugen geodatische Kuppeln mit 20 . 16 = 320 beziehungswei se 20 · 64 = 1280

Dr eiecken. Allgemein liefert diese Methode ein e geodati sche Kuppel der Stufe k mit 20 . 4 k

Dreiecken. Wahrend beide Methoden dieselbe geodati sche Kuppel der Stufe 1 liefern,

erhalten wir fUr hohere Srufen geometrisch unterschiedlich e Ergebnisse, denn die

Reihenfolge , in der unterteilt und p rojiziert wird, ist versch ieden .

Abb . 3 .28Geodatlsche Kuppeln, die durchU n t e r t e i l e n der Dreiecke einesIkosaeders und Projekt ion der neuenEcken (aus dem M i t t e l p u n k t desIkosaeders auf die U m k u g e l ) e r z e u g twerden (Methode 1):(a) In der Stufe 1 e r h a l t e n w i r 80Dreiecke m i t zwei u n t e r s c h i e d l i c h e nTypen (20 g l e i c h s e i t i g e , 60gle i c h s c h e n k l i g e ; in verschiedenenFarben) .(b) In der Stufe 2 erhalten w ir 180gle ichschenklige Dreiecke. Die beidenverschieden D r e i e c k s t y p e n sind wiede rv e r s c h l e d e n f a r b iq m a r k i e r t .(c) I n der Stufe 3 erha lten w ir 320Dre iecke fOnferle i Art . Nur 20 vond iesen s i nd gleic hseit ig , aile ande rensind gle ichschenkelig.

Ikosaeder q e o a e t i s c n e Kuppel S t u f e 1 q e o d s t i s c n e Kuppel S t u f e 2 q e o d i i t i s c h e Kuppel S t u f e 3

100

Abbildung 3.30 zeigt einen Kreisbogen und die u n t e r s c h i e d l i c h e n Ergebnisse, die eine

Vertauschung von Unterteilungs- und Projektionsreihenfolge bewirkt, O b w o h l also

eine geodatische Kuppel der Stufe 2, 3, 4, ... (erzeugt mit der zweiten M e t h o d e )

dieselbe Anzahl von Dreiecken hat wie eine gcodacische Kuppel der Stufe 3, 7, 15, ...

(erzeugt mit der ersten Methode) , sind die Objekte geometrisch voneinander

verschieden . D u r c h Variation des Prozesses ( U n t e r t e i l u n g und Projektion) konnen wir

noch zu sarzlich e Varianten von geodatischen Kuppeln erzeugen.

B e m e r k u n g . Eine geodarische Kuppel enrhalt noch immer die 12 Ecken des urspriing­

lichen Ikosaeders, aus dem sie erzeugt wird . Die 12 zugeh6rigen Eckenpyramiden

bestehen aus je 5 Dreiecken . Aile anderen Eckenpyramiden bestehen aus 6 Dreiecken,

worau s sich eine natiirliche Beziehung zu Sechsecken ergibt, die rund urn diese Ecken

gebildet werden konnen. In neueren A r c h i t e k t u r p r o j e k t e n (wie z .B, "Eden" von

Grim shaw und Partnern) kommen auch grolle kugelf6rmige Dacher mit Sechseck­

netzen vor (fur Details siehe K a p i t e l 1 1 ) .

A b b . 3 . 2 9Geodatische Kuppeln (Methode 2): Inj e d e r Stufe werden die Dreiecke dervorigen Stufe wieder in vier kleinereDreiecke u n t e r t e i l t und die neuenEcken aus dem M i t t e l p u n k t auf dieUmkugel des Ikosaeders p r o j i z i e r t .

I k o s a e d e r q e o d e t i s c t i e Kuppel S t u f e 1 q e o d e t i s c h e Kuppel S t u f e 2 q e o d e t i s c h e Kuppel S t u f e 3

Abb . 3 .30Die Reihenfolge der U n t e r t e i l u n g s - undP r o j e k t i o n s s c h r i t t e ist von Bedeutung,wie hier anhand elnes Kreisbogensi l l u s t r i e r t wird .

Methode 1

o

- v ,

2

Methode 2

o

o

" .

101

Rhornbendodekaeder Bienenwaben

Abb. 3.31Beispiele von raumfUllenden Polyedern :R h o m b e n d o d e k a e d e r und Bienenwaben.

102

B a u r n f u l l e n d e P o l y e d e rKl are rwe ise ist d er Wiirfel ei n r a u m f i i l l e n d e s Pol yed er. Di es b ed e u t e t , das s wir

k o n g r u e n t e Wiirfel so n eb e n- u n d iibe re i n a n d e r sta p el n k o n n e n , dass wir d a m i t den

g es a m t en 3-D -R aum fiill en. T at sachl ich ist der Wiirfel d er e inz ige p l a t o n i sche K e r p e r

m i t di eser Eig ensch aft. E s gi b t j ed och a n d er e P ol yed e r, d i e d iese Eige nsch aft be sitzen ,

wie zum Beispiel da s fo lge n de : W i r fiigen zu e ine m W tir f el d er K ant e n l a n g e s au f

je der Sei te n fiache ei ne P y r a mid e d e r H ohe s/2 h i n z u u n d e r ha lt e n ein so ge na n ntes

Rhombendodekaeder (A b b . 3.3 1) . A lle Flach en im R h o m b e n d o d ek aed er si n d

k o ng ru e nte Rh o m b en ( n ich t-reg u la re Pol ygon e m it l am er g leich l ang en K ant en ) .

W i r u n t e r su chen nun , o b das Rh omb e n d o d e k a ed e r ebe nfa lls ra u m f u llen d ist. D azu

erset zen w i r in eine r rau m full en d en An o r d n u n g von W tirfeln jede n zwe ite n W tir fel (i n

ei ne r 3 -D -sc ha ch b retta rt igen A rt und We ise) d u r ch sechs P yr amid en m it gem ei nsam e r

Spitz e im M i t te l p u n k t d es Wtir fels u n d d en sechs Q u ad rat e n als Basisflachen , Vere inige n

w ir nun j eweils ei ne n Wtir fel m it sei ne n sechs b en achb art en P y r a m i d e n , so ent sreh en

l aut er R h o m b end od e ka ed er, di e w ied e r d en gesamt en R aum full en . R aumfiill ende Pol y­

e de r k o m m en in d e r N aru r vo r, z.B. als r cgul ar e sechsseitig e P rism en , w ie es di e einze l ­

n en Bauteile ein er Bien enw ab e si n d (A b b. 3.3 1).

Abb. 3 .32RaumfOliende T e t r a e d e r(Bild freund l i c h e r w e i s e zur VerfOgungg e s t e l l t von P i e r r e All iez) . ·

N a t i i r l i c h kann der 3 - D -R aum a u c h m i t n icht z u e i n a n d er k o n g r u e n t e n P o l y e d e r n

gefiillt werd en , wo be i es d ann schwie ri ge r w ird , di es a u f sin nvo lle A r t u n d W eise zu

run . Fiir p r a k t i s ch e A n we n d u n ge n ist es m a n c h m al n or w end ig , ein V o l u m en m i t

P ol y e d e r n zu f ii lle n . Im Ber ei ch d er M o d elli e r u n g u n d Simul a t i o n w e r de n d a f u r o ft

T et r aeder verw en de t (A b b . 3 .32) . E i n a k rue lles Beisp iel in d er A rc h i t ek t u r, da s

103

raumfiillende Polyeder unt ersch iedlicher Gestalt verwend et , ist das N ationale

Sch wimmz entrum in Peking (Abb. 3.33). Polyeder, d ie aus so genan n t en

Vo ronoi-Zellen (Arc hi tec tural Geome try, Chapter 1 7) abgeleitet wurden, fi nden sich

im Archi tekt urdesign vo n Ab bild ung 3.34 .

A b b . 3 . 3 3RaumfOllende Polyeder i n derA r c h i t e k t u r : NationalesS c h w i m m z e n t r u m in Peking.

Abb . 3 .34Ein a r c h i t e k t o n i s c h e s Design basie rendauf unrege lma13 igen raumfOllendenPolyedern (Bild f r e u n d l icherwe ise zurVerfUgung g e s t e l l t von BenjaminS c h n e i d e r ) .

P o l y e d r i s c h e F l a c h e nW i r d eine g l a t t e H a c h e d u r c h eine p o l y e d r i s c h e R i c h e a p p r o x i m i e r t , s p r e c h e n wir von

e i n e r diskreten Fliiche. In der A r c h i t e k t u r sind d i s k r e t e Flachen oft von b e s o n d e r e m

Interesse in der U m s e t z u n g eines Designs.

Approximation von Zylindern und Kegeln durch polyedrische Flachen, Am

e i n f a c h s t e n w i r d eine glarre Z y l i n d e r f l a c h e d u r c h ein S r r e i f e n m o d e l l e r s e t z t

(Abb. 3.3Sa). W i r k o n n e n z u s a t z l i c h n o c h j e d e n 5 t r e i f e n in e i n z e l n e ebene Vierecke

zerlegen. Dasselbe gilt fur Kegelflachen. A b b i l d u n g 3.3Sb zeigt ein 5 t r e i f e n m o d e l l

u n d ein M o d e l l m i t e b e n e n V i e r e c k e n . W i r b e m e r k e n , dass die Vierecke deswegen

eben sind, weil zwei g e g e n i i b e r l i e g e n d e K a n t e n a u f g r u n d der K o n s t r u k t i o n in ein u n d

d e r s e l b e n Ebene liegen .

(c)

A b b . 3 . 3 5A p p r o x i m a t i o n von Zylindern undKegeln durch polyedrische Flachen.(a) Einfache S t r e i f e n m o d e l l e .(b) Die einzelnen Streifen sind nochw e i t e r in ebene Vierecke u n t e r t e i l t .(c) Seit 1991 wird der S c h r o t t u r m inMelbourne von einem 84 Meter hohendrehkegelfOrmigen Glasdach von Kish6Kurokawa u b e r d a c h t ,

( b )

S t r e i f e n m o d e l l e m i t eben en,n i c h i - k o n q t u e n t e n Vierecken

(a)

S t r e i f e n m o d e l l e

105

Abb. 3 .36 _.. berdachung der(a) Die Innenh.~f U ( 2 0 0 3 ) von Ewart-. . N e u m u n s t e rAbtel In A ch i t e k t e n wurdeHaagen & Lorang- rvon RFR gebaut.

B e i s p i e l :

M o d e l l des i i b e r d a c h t e n I n n e n h o f s d e r

A b t e i in N e u m i i n s t e r , Die vorige Idee

fiihrte auf die O b e r d a c h u n g eines recht­

winkligen Bereichs mit einem ge­

k r i i m m t e n D a c h , das au s l a u t e r e b e n e n

Gla sp aneel en b esceht (A b b . 3.36a ) . Das

Dach hat dabei drei Teile: einen Z ylin­

derteil in der Mitre und zwei k o n g r u e m e

Kegelteile an den beiden Seiten . Der

Kteisbogen k i st die gemeinsame Kurve

(b) Ein Design, das nur dieErzeugenden der Z y l i n d e r und Kegelverwendet.

(b)

von zwei b e n a c h b a r t e n Flachen. Eine

P a r a l l e l e x t r u s i o n von k e r z e u g t den

Z y l i n d e r t e i l und eine Z e n t r a l e x t r u s i o n

mit Spitze S e r z e u g t einen d er beiden

Kegelteile . Die Z ylinderfiache k a n n

d u r c h V e r w e n d e n der Z y l i n d e r e r z e u ­

g e n d e n mit k o n g r u e m e n e b e n e n Vier­

ecken a p p r o x i m i e r t werden.

Verwenden wir die Kegelerzeugenden fiir

eine analoge A p p r o x i m a t i o n der Kegel-

(c) Ein a l t e r n a t i v e s Design, bei dem diek e g e l f 6 r m i g e n Teile in Dreiecke zerlegtwurden.

(c)

Z y l i n d e r t e i l

teile - wieder durch ebene Vierecke - ,

d a n n ist das Ergebnis wohl u n e r w i i n s c h t

(Abb. 3 . 3 6 b ). V e r w e n d e n wir j e d o c h

eine andere Z e r l e g u n g in Vierecke, d a n n

sind diese n i c h t m e h r eben. Urn also den

K egelteil mit ebenen Paneelen zu reali­

sie re n, miissen wir jede s n i c h t e b e n e

Viereck in zwei Dreiecke u n t e r t e i l e n

( A b b . 3 .36c).

107

1m Allgem ein en ist d ie A p p r o x i m a t i o n ein er Freifo r m flache dur ch D r eieck e viel

e i n f ach er als d u r ch eben e Polygone mit m e h r als drei Se it en. D iese T at sach e wir d vor

a lle rn in d er C o m p u t e r g r afik i n t e n siv g e n u t z t , wo j ed es O b j ekt i n D r e ie cke ze rleg t

wird ( u n t er a n d ere m zum R e n d e r n , sieh e K a p i t e l 2 ). In der Arch it e k t u r werden

F r e i f o r m f l a c h e n z u n e h m end p o p u l arer, Fur d as D esign von O b e rd ach u n g en, di e a ls

S t a h l - G l as-Kon s t r u k t i o n e n mit eben en Gla spaneelen r eali siert werden, si n d D r eieck e

di e ein fach st en Pol ygone (A b b. 3 .37).

A b b . 3 . 3 7Die Z l o t e Tarasy (Polnisch fur "GoldeneTerrassen") in Warschau von JerdePartnership I n t e r n a t i o n a l wurde 2007e r o f f n e t , Das Fre i f o r m f l a c h e n d a c h istg e o m e t r isch gesehen eine polyedrischeFlache aus lau te r Dre iecken (B ildf r e u n d l i c h e r w e i s e zur Verfugung g e s t e l l tvon Waagner -Biro Stahlbau AG) .

W a h r e n d die drei Ecken eines D r e i e c k s im R a u m i m m e r in e i n e r e i n z i g e n Ebene

e n t h a l t e n sind , muss dies fiir vier o d e r m e h r P u n k t e n i c h t der Fall sein. Das D e s i g n

von p o l y e d r i s c h e n F r e i t o r m f i a c h e n m i t e b e n e n F a c e t t e n , die n i c h t D r e i e c k e sind, ist

eine schwierige Aufgabe u n d n o c h ein a k t u e l l e s F o r s c h u n g s t h e m a . W i e in A b b i l d u n g

3 .38 gczeigt, g i b t es in der C o m p u t e r g r a f i k b e r e i t s A l g o r i t h m e n fiir die A p p r o x i ­

m a t i o n b e l i e b i g e r F o r m e n d u r c h p o l y e d r i s c h e Flachen . Diese M e t h o d e n e r z e u g e n

j c d o c h eine V i e l z a h l von u n t e r s c h i e d l i c h g c f o r m t e n P o l y g o n e n u n d l i e f ern n i c h t

u n b e d i n g t eine o p t i m a l e L o s u n g im Sinne der A r c h i t e k t u r . In Architectural Geometry ,

Chapter 19 wird eine m o g l i c h e L o s u n g dieser A u f g a b e n s t e l l u n g d i s k u t i e r t , die besser

a u f a r c h i t e k r o n i s c h e Bediirfnisse R i i c k s i c h t n i m m t .

A b b . 3 . 3 8F o r m - A p p r o x i m a t i o n durch polyedrischeFlachen am Beispiel eines d i g i t a l e nModells von Michelangelos David (Bildf r e u n d l i c h e r w e i s e zur Verfuqunq g e s t e l l tvon Pierre Alliez) .

109

Kapitel4B o o l e s c h e O p e r a t i o n e n

Abb . 4 . 1(a) Trimm - und S p l i t t e c h n i k e n sindv e r g l e i c h b a r e Werkzeuge zurManipulation von Flachenmodellen.

B o o l e s c h e O p e r a t i o n e nBish er hab en wir die g e o m e t r i s c h e n G r u n d k o r p e r k e n n en g e l e r n t . N u n w o l l e n wir uns

m i t e i n i g e n elem e n t a r e n O p e r a t i o n e n a u s e i n a n d e r s e t z e n , die un s e rl a u b e n, aus die sen

G r u n d k o r p e r n k o m p l e xere O b j e k t e zu e r z e u g e n . Fur V o l u m e n m o d e l l e w e r d e n wir

dab ei die B o o l e s c h e n O p e r a t i o n e n V e r e i n i g u n g ( e n t s p r i c h t dem Z u s a m m e n k l e b e n ) ,

D i f f e r e n z u n d D u r c h s c h n i t t v e r w e n d e n , w a h r e n d wir fur F l a c h e n m o d e l l e T r i m m - u n d

Spl i r r e c h n i k e n e i n f i i h r e n w e r d e n (Abb . 4.1).

D u r c h die K o m b i n a t i o n verschi e d e n er B o o l e s c h e r O p e r a t i o n e n e r l e d i g e n

C A D - S y s t e m e a u f w a n d i g e r e O p e r a t i o n en wie z .B. L o c h e r b o h r e n , Ecken o d e r K a n t e n

v e r r u n d e n , o d e r N u t f r a s e n in e i n e m A r b e i t s s c h r i t t . V e r a n d e r n wir a n s c h l i e f e n d die

Lage von O b j e k t t e i l e n , so e r h a l t e n feature-basierte C A D - S y s t e m e sogar die u r s p r i i n g ­

l i c h e n Z u s a r n r n e n h a n g e zwi s c h e n die sen F e a r u r e - O p e r a t i o n e n u n d den O b j e k r c e i l e n .

B o h r l o c h e r , V e r r u n d u n g e n u n d w e i t e r e feature - b a s i e r t e O p e r a t i o n e n w e r d e n d a b e i

a u t o m a t i s c h dem g e a n d e r t e n O b j e k t a n g e p a s s t . Bei der V e r w e n d u n g f e a t u r e - b a s i e r t e r

C A D - M o d e l l e k a n n der De s i g n e r d a h e r ver s c h i e d e n e D e t a i l a b m e s s u n g e n eine s

O b j e k t s e i n f a c h a n d e r n , o h n e die g e o m e t r i s c h e G r u n d s r r u k r u r des O b j e k t s zu

z e r s r o r e n , Es b l e i b e n aIle g e o m e t r i s c h e n B e z i e h u n g e n wie z .B. die relative Lage von

Tiiren o d e r Fen srern erh a l t e n . Ein feacure-b asiertes C A D - S y s t e m i st d a h e r ein ideales

K o n s t r u k t i o n s w e r k z e u g , urn ver s c h i e d e n e M o d e I l v a r i a n t e n ra sch zu t e s t e n u n d d a m i t

die b este L o s u n g zu find cn.

Abb . 4 .1(b) Boolesche Operat ionen s indmacht iqe Werkzeuge zum Modifiz ie renvon V o l u m e n m o d e l l e n .

A b b . 4 . 2Vereinigung, D u r c h s c h n i t t und beideDifferenzen zweier Mengen A und B.

V e r e i n i g u n g , D i f f e r e n zund D u r c h s c h n i t t

W i r b e g i n n e n mit zwei M e n g e n A u n d B i n der Ebene . Die Menge A b e s t e h t dabei aus

allen P u n k t e n i n n e r h a l b des roten, T - f o r m i g e n Randes . Alle P u n k t e i n n e r h a l b des

blauen, m o n d f o r r n i g e n Randes legen die Menge B fest . Die ausgefiillren Flachenreile

in der A b b i l d u n g 4.2 i l l u s t r i e r e n nun v e r s c h i e d e n e M o g l i c h k e i t e n , die b e i d e n M e n g e n

m i t e i n a n d e r zu k o m b i n i e r e n :

• Die Menge aller P u n k t e , die aus allen P u n k t e n der Menge A u n d allen

P u n k t e n der Menge B ( u n d s o n s t n i c h t s ) bestehr, h e i g t die Vereinigung von A

u n d B .

• Als Durchschnitt von A u n d B b e z e i c h n e n wir die Menge genau j e n e r P u n k t e ,

die g l e i c h z e i t i g der Menge A u n d der Menge B a n g e h o r e n ,

• Die Difftrenz A \B der Mengen A und B enrhalt nur jene P u n k t e der Menge A,

die n i c h t g l e i c h z e i t i g der Menge B a n g e h o r e n . Analog gilt, dass die

D i f f e r e n z B\A der M e n g e n B u n d A aus all j e n e n P u n k t e n der Menge B

bestehr, die n i c h t g l e i c h z e i t i g in der Menge A e n t h a l r e n sind.

V e r e i n i g u n g

A

D u r c h s c h n i t t D i f f e r e n z A \B D i f f e r e n z B\A

A

us

N u n erw ei t er n w i r die ses Konz ept au f O bje k t e im 3 - D - R aum . Abb i l d u n g 4 .3 ze igt

di e - d u r c h An w e n d u n g der selb en O p e r at i o n e n au f einen W ii r fel und e in e Kugel

- e rz e u g te n Obj ekt e:

• D ie Verei n igung fasst b e id e O b j ekte z u e ine m ein z igen O b j ekt zusam m en .

W i r k o n n e n d ah er di e Verei n igu n g als Zu samm enkl eb en o der Versch m elzen

d er b eiden Au sgang sk o rp er au ffassen . Urn P rob lem e b e i d er p r ak ti schen

M o d e l l i e r u n g zu ve r me id e n, ach t en wi r d ar au f d a ss d ie b e t e i l i g t en Obj ekt e

gem e in sam e r a u m l i c h e P u n k t m eng en haben , o d er d ass sie sich z umi n des t

en tl an g zw ei er O b e r f l ach en b er i i h r en .

• D er Du r ch s chn itt er ze ug t ei n Obj ekt , da s au s j enen Pu n k t en b est eht , d ie

i n n e rha l b b e i d e r Au sgang skorp er liegen .

• Di e Differen z e n t f e r n t j eweil s vom er sten O b j e k t j en e Teil e, di e auch dem

zw e i t e n O b j e k t ang eh o re n . M an k a n n d a h e r da s Bilden d er D i f f erenz auch

als Wegfrasen de s zwe it en Obj ekt s vom er st en O b jekt int e r p r e t ie ren. Bei

der Verw e n d u n g d er D i f f er enz so l l te man sich imm er b ewu sst sein, da ss die

Au sw a h l r e i h e n f olg e d er Obj ekt e d a s E r g e b n i s wesen tli ch be e influ sst .

Kugel und WarfelAbb . 4 .3Anwendung der BooleschenOperationen auf einen WOrfel und eineKugel. Zum besseren v e r s t a n d n l swurden d ie ursprOnglichen Farben derbete iligten Objekte be ibehalten.

116

V e r e i n i g u n g D u r c h s c h n i t tD i f f e r e n zKugel \ Warfel

/ r - - - - _/ I ....,

/ I

~--;----I II II II II /

/

D i f f e r e n zWOrfel\Kugel

D ie o b i ge n O p er at i o n e n w er de n als B oolesche Operati onen b ez e i c h n e t . Sie k o n n en

n i c h t n u r a u f zw ei O b jekr e, so n d e r n a uc h gleic hzei tig au f m eh rer e O b jekre

a ngewe n d e t wer de n. Ein e gesch ickt e An w e n d u n g der Bool eschen O p e r a t ion e n

e r rn o gli c h t e ine effiz ie n re und z eit sp a r e n d e H er st e l l u n g au fw and iger geom etri scher

M o d elle. E in ige d ieser Mo gl i c h k e i t en werd en in den A b b i l d u n g e n 4.1 u n d 4.4 ge z eigt .

Geschichte:

Die se wichtigen C A D - T echnik en werde n zu Ehren d es eng­

lischen Mathernatikers George Boole (1815-1864) Bool esche

O p e r at ion en g en a n n t . G e o r g e Bool e u n t e r r i c h r e t e a m

Q u een s C o l l ege in C o r k ( Irla n d ) und fii h rte ein L o g ikkalkiil

ei n, d a s h e u t e n o ch viel e An w e n d u n g en im Bereich d er

Ele ktr o n i k sow ie d er C o m p u t e r - H ard - u n d -Soft w ar e hat.

( a )

A b b . 4 . 4(a) Durch Anwendung von BooleschenO p e r a t ionen auf zwe i Extrus ionskorper,d e r e n Profile aus B u c h s t a b e n b e s t e h e n ,e r h a l t e n wir i n t e r e s s a n t e Logos.(b) Um ein CAD-Mode ll e i n e rB a d e w a n n e o d e r e i n e s Swimmingpools" mit Wasser z u fQll e n" konnen wireinen p a s s e n d e n "Wa s s e rq u a d e r" unddie Boolesche Differenz v e r w e n d e n .(c) Mit zwe i k o n g r u e n t e nExtrus i o n s k o r p e r n . bas ierend aufg e e i g n e t e n Profilen und demBooleschen Durchschn itt , modellierenwir rasch das Modell e i n e s Turms.

( b ) (c)

. ..' "

' " ' "

117

In der M a t h e m a t i k s i n d die B o o l e s c h e n O p e r a t i o n en V e r e i n i g u n g u n d D u r c h s c h n i t t

k o m m u t a t i v e O p e r a t i o n e n . Das heilSt: Vertau scht man die R e i h e n f o l g e , in der die

Au s g a n g s o b j e k t e g e w a h l t w e r d e n , e r h a l t man t r o t z d e m dasselbe E n d e r g e b n i s . Bei der

V e r w e n d u n g in e i n e m C A D -System ist dies n i c h t der Fall , d e n n h i e r b e e i n f l u s s r die

A u s w a h l r e i h e n f o l g e sehr w o h l das E n d e r g e b n i s . Zwar ist die Form des n e u e n , d u r c h

B o o l e s c h e O p e r a t i o n en e r z e u g t e n O b j e k t s von der A u s w a h l r e i h e n f o l g e u n a b h a n g i g ,

j e d o c h w e r d e n dem n e u e n O b j e k t aile A t t r i b u t e (wie z.B. die Farbe) des z u e r s t

a u s g e w a h l t e n A u s g a n g s o b j e k t s zugewiesen.

M a n c h m a l s c h e i n t ein C A D - S ystem a u f u n e r k l a r l i c h e Weise n i c h t in d er Lage zu se in,

B o o l e s c h e O p e r a t i o n e n durchzufiihren . W a r u m ist das w i c h t i g , u n d w ie k o n n e n wir

dieses P r o b l e m im D e s i g n p r o z e s s r n o g l i c h s t v e r m e i d e n ? D e r G r u n d , w a r u m Boolesche

O p e r a t i o n e n m a n c h m a l versagen, liegt d arin, da ss ein C A D - S y s t e m bei d e r e n Aus­

f i i h r u n g m e h r e r e Prozes se h i n t e r e i n a n d e r d u r c h l a u f e n muss. Im W e s e n t l i c h e n w e r d e n

folgende Prozesse d u r c h g e f i i h r t :

• B e r e c h n u n g der D u r c h d r i n g u n g s k u r v e n ,

• Z e r l e g u n g aller b e t e i l i g t e n O b j e k t e i n E i n z e l t e i l e e n t l a n g der

D u r c h d r i n g u n g s k u r v e n ,

• L o s c h e n j e n e r E i n z e l t e i l e , die n i c h t zum E n d e r g e b n i s g e h o r e n u n d

• V e r e i n i g u n g der v e r b l e i b e n d e n E i n z e l t e i l e zu e i n e m G e s a m t o b j e k t .

M e i s t ver sagen die B o o l e s c h e n O p e r a t i o n e n , weil a u f G r u n d m a n g e l h a f i e r

M o d e l l i e r u n g bei der B e r e c h n u n g der D u r c h d r i n g u n g s k u r v e n . K u r v c n m i t

L o c h e r n " e n t s t e h e n , die das C A D -System d a n n n i c h t m e h r s c h l i c f e n k a n n . Z u r

V e r m e i d u n g dieser P r o b l e m e beach ten wir d a h e r bei der M o d e l l i e r u n g m i t B o o l e s c h e n

O p e r a t i o n e n folgende R a t s c h l a g e :

• W i r v e r I a n g e r n F r a s o b j e k t e u b e r die O b e r f l a c h e d es zu b e a r b e i t e n d e n

M o d e l l s h i n a u s.

• W i r v e r m e i d en die K o m b i n a t i o n von O b j e k t e n m i t k o m p l a n a r e n

Flachenreilen .

• W i r v e r m e i d e n die V e r w e n d u n g von C A D - M o d e l l e n m i t fa st t a n g e n t i a l e n

Flachen .

Zylinder

I,

118

Splitten eines Torus m i t einemZ y l i n d e r

A b b . 4 . 5Splitten wir einen Torus m i t einemZylinder, so erhalten wir vier Teile( g e k e n n z e i c h n e t durch verschiedeneFarben). Splitten wir hingegen denZ y l i n d e r m i t dem Torus, so erzeugenwir vier andere O b j e k t e : einen Z y l i n d e rmit drei t.ochern und dreikappenfOrmige Teile. Zum besserenVerstandnls haben wir diese Teile ausder Originallage verschoben .

S p l i t t e n eines Z y l i n d e r sm i t einem Torus

( )

T r i m m e n und S p l i t t e nBoolesche O p e r a t i o n e n sind machcige Werkzeuge zur B e a r b e i t u n g von Volumen­

m o d e l l e n . W e n n wir diese Werkzeuge allerdings a u f Fldchen a n w e n d e n , miissen wir

fesrstellen, dass das K o n z e p t der B o o i e s c h e n O p e r a t i o n e n niche die g e w i i n s c h t e n

Ergebnisse liefert. Als Beispiele b e t r a c h t e n wir die Boolesche D i f f e r e n z u n d den

B o o l e s c h e n D u r c h s c h n i t t zweier Plachen. Die D i f f e r e n z e r z e u g t Iediglich eine Kopie

der ersten Flache, aus der n u r die S c h n i t t k u r v e e n t f e r n t wurde. U n d der D u r c h s c h n i t t

der b e i d e n Flachen liefert keinen F l a c h e n t e i l , s o n d e r n nur deren S c h n i t t k u r v e .

Beim A r b e i t e n mit V o l u m e n m o d e l l e n ist i m m er klar, welche Objekneile i n n e r h a l b o d e r

aulserhalb eines C A D - M o d e l l s Iiegen. D e s h a l b k a n n z.B. der Boolesche D u r c h s c h n i t t

zweier V o l u m e n m o d e l l e relativ einfach als Menge aller P u n k t e , die i n n er h al b b e i d e r

O b j e k t e Iiegen, b e r e c h n e t werden . Bei n i c h t g e s c h i o s s e n e n F l a c h e n r e i l e n h i n g e g e n ist

eine U n t e r s c h e i d u n g zwischen I n n e n - u n d A u f c n r e i l e n oft n i c h t rnoglich . Als Folge

davon k o n n e n Boolesche O p e r a t i o n e n a u f F l a c h e n m o d e l l e n i c h t sinnvoll a n g e w e n d e t

w e r d e n .

Anstelle der B o o l e s c h e n O p e r a t i o n e n b e n u t z e n wir d a h e r beim M o d e l l i e r e n mit

Flachen Trimm- u n d Splittechniken . W e n d e n wir diese T e c h n i k e n a u f Flachen an, so

w e r d e n die S c h n i t t k u r v e n der b e t e i l i g t e n Flachen b e r e c h n e t , u n d die Flachen w e r d e n

e n t l a n g dieser S c h n i t t k u r v e n zerlegt . Die dabei e n t s t e h e n d e n F l a c h e n s t u c k e k o n n e n

d a n n e n t w e d e r als v o n e i n a n d e r u n a b h a n g i g e E i n z e l o b j e k t e ( S p l i t t e c h n i k ) w e i t e r bear­

b e i t e t w e r d e n , o d e r sie w e r d e n a u r o r n a t i s c h geloscht ( T r i m m t e c h n i k ) . Beim T r i m m e n

von Flachen w e r d e n die von einer S c h n i t t k u r v e b e r a n d e t e n Teile einer Flache wegge­

s c h n i t t e n , w a h r e n d beim S p l i t t e n die Ausgangsflache langs der S c h n i t t k u r v e mit der

zweiten Flache in Teilflachen zerlegt wird. Die A b b i l d u n g 4 .5 i l l u s t r i e r t das Splinen von

Z y l i n d e r - u n d T o r u s f l a c h e n . W i r e r k e n n e n , dass das S p l i t t e n - so wie die Boolesche

D i f f e r e n z - keine k o r n m u t a t i v e O p e r a t i o n ist , da die A u s w a h I r e i h e n f o l g e das End­

ergebnis b e e i n f l u s s t .

119

Beim T r i m m en vo n Fl ach en ist ni cht nur d ie Au swahl r eih e n f olg e ents che i den d .

H i e r mu ss d er B e n u t z e r z usa rz l i ch n och entsc h ei d en, w elche Flach e n t eil e nach dem

Tr i mm vo r g an g erh a l t e n bl eib en so lle n . Abb i l d u n g 4 .6 z e igt die s an ha n d e i n iger

E rge b nisse, d ie b eim T r i m m en eines Ellipsoi ds u nd ei ner D r eh zyli nd e rflach e erz eu gt

wer d en ko n ne n.

Bei m D u r ch fiih ren der Tri mm o p e r at ion ber e chn et d as C A D -Syst em d ie Sch ni tt k urve

der b eteili gt en Flachen, D iese Schn i t t k u r ve k a n n dah er a Is eigen es Obj ekt

g e n e r i e r r u n d d a n n aIs eigens tiind ig es Profil zur Erz e u g u n g ne uer Flach en- o d e r

V o l u m e n m o d e l l e ve rwe n d e t we r de n ( A b b . 4 .6 d) .

(a)

Z y l i n d e r

E l l i p s o i d

(b)

Z y l i n d e r g e t r i m m t m i te i n e m E l l i p s o i d

A b b . 4 . 6Trimmen eines Zyl inders und einesEllipso ids . Der Reihe nach zeigen d ieBilder(a) beide Objekte vor dem Trimmen ,(b) den Z y l i n d e r g e t r i m m t m i t demEllipsoid und(c) u m g e k e h r t das Ellipsoid g e t r i m m tm it dem Zylinde r.(d) Die dabe i berechnete S c h n i t t k u r v ekann auch als P r o f i l k u r v e fUr eineIUckenlos ansch liel3ende Flachev e r w e n d e t werden .

(c)

E l l i p s o i d g e t r i m m t m i teinem Z y l i n d e r

120

( d )

E x t r u s i o n s t i e c h e

Viele C A D - S y s t e m e stellen auch ein W e r k z e u g zum . Z u s a m m e n k l e b e n " (Vereinigen)

von getr i m m t e n F l a c h e n t e i l e n zur Verfugung , die eine g e m e i n same R a n d k u r v e

( S c h n i t t k u r v e ) h a b e n . Diese Stitch-Operation (Abb . 4. 7) fur F l a c h e n m o d e l l e

e n t s p r i c h t der Bool eschen V e r e i n i g u n g bei V o l u m e n m o d e l l e n . Bei der A n w e n d u n g

d er S t i t c h - O p e r a t i o n a u f Flachen we rden die F l a c h e n t e i l e n i c h t n u r l angs der

g e m e i n s a m e n S c h n i t t k u r v e v e r b u n d e n . Die meisten C A D -Systeme v e r s u c h e n auch ,

die F l a c h e n n o r r n a l e n der ei nz el n en O b j e k t t e i l e so a u s z u r i c h t e n , da ss alle O b j e k t t e i l e

dieselbe O r i e n t i e r u n g h i n s i c h t l i c h Vorder- u n d Riickseite h a b e n . Falls die v e r w e n d e t e

C A D - S o f t w a r e diese F u n k t i o n a l i t a t n i c h t b e s i t z t , sollte man v e r s u c h e n , die

F l a c h e n o r i e n r i e r u n g v o r der S t i t c h - O p e r a t i o n m a n u e l l v o r z u n e h m e n . Spate sten s bei

der Belegung der vere i n i g t e n F l a c h e n t e i l e m i t " o r i e n t i e r t e n M a t e r i a l i e n " wird sich der

U n r e r s c h i e d b e m e r k b a r m a c h e n .

A b b . 4 . 7" Z u s a m m e n k l e b e n " z w e i e r Flachen:(a) Mit derselben O r i e n t i e r u n gh i n s i c h t l i c h Vorder- und ROckseitee r h a l t e n w i r eine f o r t l a u f e n d e Textur.(b) Versch iedene Or i e n t i e r u n g e n derz u s a m m e n g e s e t z t e n Flachen IiefernD l s k o n t l n u t t a t e n bei V e r w e n d u n g vono r i e n t i e r t e n M a t e r i a l e n .

121

Trimm- und Splittechniken konnen auch verwendet werden, wenn man ein Volurnen­

modell mit einer Flache trimmen mochre, Dies setzen wir mit Vorteil beim

Modellieren ein, wenn wir ein Volumenmodell mit einer Freiformoberflache (siehe

Kapitel l l ) erzeugen mochten . Abbildung 4.8 illustriert eine Anwendung dieser

Technik anhand eines sechsseitigen Prismas, das von einer sartelforrnigen Flache

berandet wird.

Beim Design von Objekten miissen haufig Volumen- oder Flachenrnodelle mit einer

Zylinderflache getrimmt werden. Da ein Zylinder durch eine Leitkurve und die

Erzeugendenrichtung festgelegt ist, reicht in diesem Fall die Angabe einer Kurve und

der Trimmrichtung aus, wobei die Trimmrichtung mit Hilfe des Weltkoordinaten­

systems, eines Benutzerkoordinatensystems, einer Referenzebene oder eines beliebigen

Richtungsvektors festgelegt werden kann. In all diesen Fallen berechnet das CAD­

System dann die Projektion der Kurve (entlang der vorgegebenen Richrung) auf die

Ausgangsflache. Abhangig von der Benutzerauswahl wird dabei entweder ein Loch aus

der Oberflache gestanzt (entsprichr dem Trimmen) oder die Flache wird entlang der

projizierten Kurve in Einzelteile zerlegt (entspricht dem Splitten) . Die Abbildung 4 .9

zeigt diese Technik anhand eines Loches, das aus einem hyperbolischen Paraboloid

(Kapirel v) gestanzt wird.

A b b . 4 . 8Ein regelmaBiges sechsseitiges Prismaw ird mit einer s a t t e l f o r r n l q e n Flacheg e t r i m m t , um ein Volumenmodell miteiner d o p p e l t g e k r u m m t e n Berandungzu erzeugen.

A b b . 4 .9Die Projektion eines Kreises k auf einParaboloid stanzt ein Loch in dieHache. Dieser Vorgang kann auch als

~I k

122

Trimmen eines Paraboloids m i t einerExtrusionsflache ( P r o f i l k u r v e k)i n t e r p r e t i e r t werden.

A b b . 4 . 1 0Die Tangenten aller Flachenkurven ineinem allgemeinen Punkt P bilden dieTanqentialebene r, Die Tangentialebene 1:

berOhrt die Flache im Punkt P und s t e h tnormal zur Flachennorrnalen n.

" P r o j e k t i o n einer Kurve in R i c h r u n g der F l a c h e n n o r m a l e n . Als S o n d e r f a l l dieser

T e c h n i k b e t r a c h t e n wir die P r o j e k t i o n einer Kurve a u f eine Flache, wobei wir als

T r i m m r i c h t u n g die F l a c h e n n o r m a l e n v e r w e n d e n . Urn diese T e c h n i k besser zu

v e r s t e h e n , b e n 6 t i g e n wir einigc G r u n d k e n n t n i s s e iiber F l a c h e n n o r r n a l e n (Abb. 4.10).

D a z u b e t r a c h r e n wir einen a l l g e m e i n e n P u n k t P a u f einer Flache 4> u n d eine

F l a c h e n k u r v e k d u r c h den P u n k t P. A u f der Kurve k, die zur Ganze in der Flache 4>

liegt, w a h l e n wir einen P u n k t Q in der N a h e von P. Die P u n k t e P u n d Q legen eine

G e r a d e g fest. N u n bewegen w ir den P u n k t Q e n t l a n g der Kurve k in R i c h t u n g unseres

A u s g a n g s p u n k t s P.

In der Grenzlage, w e n n der P u n k t Q mit dem P u n k t P z u s a m m e n f i l l r , wird d a n n aus

der G e r a d e n g die Tangente t der Kurve k. Diese T a n g e n t e b e r i i h r t sowohl die Kurve k

als auch die Flache 4> im P u n k t P. B e t r a c h r e n wir n u n alle F l a c h e n k u r v e n d u r c h den

P u n k t P u n d deren T a n g e n t e n in P. Falls alle T a n g e n t e n in einer gemeinsamen Ebene t

liegen, so n e n n e n wir T die Tangentialebene der Flache 4> im P u n k t P. Die

T a n g e n t i a l e b e n e b e r u h r t die Flache 4> im P u n k t P. Die Fldchennormale n der Flache 4>

im P u n k t P ist d a n n die e i n d e u t i g festgelegte N o r m a l e der T a n g e n r i a l e b e n e t im P u n k t

P. Fiir die f o l g e n d e n A u s f i i h r u n g e n rcicht dieses v e r e i n f a c h t e K o n z e p t der

F l a c h e n n o r r n a l e n aus ; eine a u s f i i h r l i c h e r e B e h a n d l u n g dieser Begriife findet sich im

K a p i t e l 7 .

Projizieren wir n u n eine Kurve in R i c h t u n g der F l a c h e n n o r m a l e n , d a n n b e s t e h t die

e r z e u g t e S c h n i t r k u r v e a u f der Flache aus j e n e n P u n k t e n , deren F l a c h e n n o r m a l e n

die P r o j e k t i o n s k u r v e trefien. Urn zu v e r s t e h e n , was ein C A D - S y s t e m t a t s a c h l i c h

b e r e c h n e t , stellen wir uns diesen Vorgang als D u r c h d r i n g u n g der Ausgangsflache m i t

einer speziellen Regelflache (Kapirel S) vor. Die E r z e u g e n d e n dieser H i l f s t l a c h e sind

dabei die F l a c h e n n o r r n a l e n der Ausgangsflache langs der S c h n i t t k u r v e .

123

R e g e l f l a c h e

B e i s p i e l :

L o c h a u f einer D r e h f l a c h e (Abb. 4.11).

AIle F l a c h e n n o r m a l e n einer D r e h f l a c h e

s c h n e i d e n die Drehachse. D a h e r ist die

beim Ausstanzen eines Loches beteiligte

D r e h t i s c n e

124

Hilfsflache eine spezielle Regelflache,

narnlich ein Konoid (Kapitel 9). 1m

Fall einer Kugel verlaufen aIle Flachen­

n o r m a l e n durch den M i t r e l p u n k t der

Kugel. Deshalb ist die bei der Berech­

nung beteiligte Regelflache ein Kegel,

dessen Spitze S der M i t t e l p u n k t der

Kugel ist.

A b b . 4 . 1 1Trimmen einer Drehflache m i t e i n e rKurve in Richtung der Flachen­normalen. Dieser Vorgang kann auchals Trimmen der Drehflache m i t einerRegelflache (in diesem Fall, einemKonoid) a u f g e f a s s t werden. 1st dieDrehflache eine Kugel, dann wird ausder b e t e i l i g t e n Reqelflache ein Kegelm i t Spitze S.

M i t A u s n a h m e dieser beiden S o n d e r f a l l e n e h m e n die b e t e i l i g t e n Regelflachen recht

komplexe F o r m e n an. Als Folge dessen k a n n die e n t s r e h e n d e S c h n i t t k u r v e z i e m l i c h

u n e r w a r t e t e F o r m e n aufweisen.

W i e s c h o n bei den B o o l e s c h e n O p e r a t i o n e n e r w a h n t , miissen wir auch bei den

Trimm- u n d S p l i t t e c h n i k e n a u f einige B e s o n d e r h e i t e n a c h t e n . Diese T e c h n i k e n

versagen, wenn die b e r e c h n e t e n S c h n i t t k u r v e n n i c h t geschlossen sind o d e r L o c h e r

aufweisen. Z u r Verme i d u n g u n e r w i i n s c h r e r R e s u l t a t e ist d a h e r das Wissen, wie diese

T e c h n i k e n a r b e i t e n , von grolSer B e d e u t u n g .

H i u f i g n e h m e n die S c h n i t t k u r v e n von g e k r i i m m t e n Flachcn relativ k o m p l i z i e r t e

F o r m e n an, selbst d a n n , wenn die b e r e i l i g r e n Flachen eher einfache Flachen wie Kegel

u n d Z y l i n d e r sind (Abb . 4.12a). A l l e r d i n g s k o n n e n wir d u r c h spezielle Wahl der

gegenseitigen Lage u n d der die O b j e k t e d e f i n i e r e n d e n P a r a m e t e r auch einfache, ja

sogar ebene S c h n i t t k u r v e n erzwingen. Die A b b i l d u n g e n 4 . l 2 b u n d c i l l u s t r i e r e n dies

a n h a n d zweier D r e h z y l i n d e r mit s c h n e i d e n d e n Achsen u n d gleichen R a d i e n . W i r

e r h a l t e n d a m i t G e w o l b e f o r r n e n m i t e b e n e n D u r c h d r i n g u n g s k u r v e n .

A b b . 4 . 1 2(a) Irn Aligemeinen ist die S c h n i t t k u r v ezweier Zylinder eine Raumkurve k .(b,c) Durch Trimmen zweier k o n g r u e n t e r

H a l b z y l i n d e r m i t schneidenden Achsenerhalten wir ein Kreuzgew61be m i teben en S c h n i t t k u r v e n .

. ...- - .... ...... - 0 :""" _...... "'- - - .. _ --

(c)( b )

12S

Diese S c h n i t t k u r v e n liegen in den S y m m e t r i e e b e n e n der b e i d e n e i n a n d e r

s c h n e i d e n d e n Z y l i n d e r a c h s e n . Spiegelt man einen Z y l i n d e r an e i n e r dieser E b e n e n , so

e r h a l t man den zweiten bereiligren Z y l i n d e r . D a h e r zerfallt die S c h n i t t k u r v e in zwei

Teile, die aus Ellipsen b e s t e h e n . D i e s e r w o h l b e k a n n t e Effekt w u r d e von A r c h i t e k t e n

u n d Baumei s t e r n tiber j a h r h u n d e r t e h i n w e g g e n u t z t , urn n i c h t nur o p t i s c h

i n t e r e s s a n t e , s o n d e r n auch s t a t i s c h r e c h t stabile K i r c h e n g e b a u d e zu bauen . Erst die

V e r w e n d u n g von K r e u z g e w o l b e n e r m o g l i c h t e die O b e r d a c h u n g groBer H a l l e n m i t

relativ wenigen t r a g e n d e n Saulen .

A b b . 4 . 1 2Verschiedene Formen von Gewolbenwerden seit J a h r h u n d e r t e n in derA r c h i t e k t u r verwendet.(d) A b t e i von F o n t e v r a u l t (gegrOndet1099 von Robert d'Arbrissel) .(e) Das Danische Jiidische Museum( e r o f f n e t 2004) in Kopenhagen vonDaniel Libeskind.

(d)

126

(e)

F e a t u r e - b a s i e r t e sModellieren: ein effizienterZugang zum Formdesign

M i t Hilfe Boole scher O p e r a t i o n en k o n n e n wir u n t e r V e r w e n d u n g der zur Verfiigung

st e h e n d en G r u n d k o r p e r m i t wenig en Mausklicks n eue O b j e k t e e n t w e r f e n . Die dabei

e n t s r e h e n d e n O b j e k t e werden von der C A D - S o f t w a r e b e r e c h n e t und d a n n lediglich

als Kerper, meist o h n e Z u s a t z i n f o r m a t i o n , g e s p e i c h e r t . Bei einem p a r a m e t e r g e s t i i t z t e n

C A D - S y s t e m hingegen werden auch die Eltern ( G r u n d k d r p e r , aus denen die O b j e k t e

bestehen) und die Ent stehungsg esch ichte mit ab g esp eic h e rt . D a m i t k o n n e n beispiels­

weise, auch nach A n w e n d u n g der Booleschen O p e r a t i o n e n , d ie A b m e s s u n g e n der

b e t e i l i g t e n O b j e k t e o d e r deren gegenseitige Lage v e r a n d e r t werden . In alteren " n i c h t

f e a t u r e - b a s i e r t e n " C A D - S y s t e m e n ist so eine n a c h t r a g l i c h e A n d e r u n g n i c h t - oder n u r

mit viel A u f w a n d - rnoglich .

Das kann fiir einen A r c h i t e k t e n oder Designer zu einem teuren Problem werden , D a h e r

st elle n m o d e r n e C A D - S y s t e m e verbesserte Versionen der Booleschen O p e r a t i o n e n

zur Verfiigung . Sie weisen diesel ben F u n k t i o n a l i t a t e n wie die klassischen Booleschen

O p e r a t i o n e n auf, speichern aber gleichzeitig auch die E n t s t e h u n g s g e s c h i c h t e mit dern

M o d e l l ab oIn K o m b i n a t i o n mit p a r a m e t r i s c h e n C r u n d k o r p e r n haben wir d a n n die

M o g l i c h k e i t , die D i m e n s i o n e n u n d di e relative Lage alle r b e t c i l i g t e n O b j e k r e w a h r e n d

de s gesamten D esignprozesses zu s t e u e r n .

Urn n o c h m e h r Flexibilitar zu e r h a l t e n , erlaub en m a n c h e C A D - S y s t e m e auch die

M a n i p u l a t i o n der Booleschen O p e r a t i o n e n und das n a c h t r a g l i c h e Ersetzen von

P r o f i l k u r v e n . D a m i t k o n n e n wir d a n n sogar die Reihenfo lge, in der die Booleschen

O p e r a t i o n e n a n g e w a n d t w u r d e n , im N a c h h i n e i n a n d e r n . Selbst nach F e r t i g s t e l l u n g

d es M o d e l l s k o n n e n wir Boolesche O p e r a t ion en loschen, deren Typ a n d e r n o d e r auch

die e r z e u g e n d e n Kurven d u r c h neue ersetzen.

127

Urn die Vorteile dieser A r b e i t s t e c h n i k a n h a n d eines e i n f a c h e n Beispiels zu illustrieren,

b e t r a c h t e n wir ein wiirfelformiges M o d e l l m i t drei B o h r u n g e n , a b g e r u n d e t e n K a n t e n

u n d einem d r e h z y l i n d r i s c h e n Sockel (Abb. 4.13a). W i r n e h m e n dabei an, dass das

M o d e l l m i t folgenden A r b e i t s s c h r i t t e n m o d e l l i e r t wurde:

• P o s i t i o n i e r e n des Wiirfels

• A b r u n d e n der K a n t e n

• A n b r i n g e n der B o h r u n g e n

• P o s i t i o n i e r e n des d r e h z y l i n d r i s c h e n Sockels

• Boolesche Vereinigung

W i i r d e n wir m i t n o r m a l e n ( n i c h t f e a t u r e - b a s i e r t e n ) B o o l e s c h e n O p e r a t i o n e n a r b e i t e n ,

hat ten wir keine Probleme, den D u r c h m e s s e r der B o h r l o c h e r zu v c r g r o l s c r n . D a z u

miissten wir lediglich m e h r M a t e r i a l m i t t e l s einer B o h r u n g m i t grolSerem Radius aus

dem W i i r f e l t e i l e n t f e r n e n . U m g e k e h r t ware allerdings das Verkleinern der B o h r r a d i e n

m i t viel A u f w a n d v e r b u n d e n , da wir bereits e n t t e r n t e s M a t e r i a l n i c h t einfach

w i e d e r h e r s t e l l e n k o n n e n . Bei V e r w e n d u n g eines f e a t u r e - b a s i e r t e n C A D - S y s t e m s

k o n n e n wir h i n g e g e n die A n d e r u n g der B o h r l o c h d u r c h m e s s e r j e d e r z e i t recht einfach

v o r n e h m e n . In diesem Fall s p e i c h e r t die Software n i c h t nur die P a r a m e t e r sarntlicher

b e t e i l i g t e r O b j e k t e sowie deren E n t s t e h u n g s g e s c h i c h t e , s o n d e r n sie b e r e c h n e t auch

alle O p e r a t i o n e n neu, die von den g e a n d e r t e n P a r a m e t e r n beeinflusst w e r d e n

( A b b . 4 . 1 3 b ) .

VergrolSern wir n u n den D u r c h m e s s e r des d r e h z y l i n d r i s c h e n Sockels, so s t e h e n wir vor

einem n e u e n Problem: W i r miissen die H o h e des Zylinders ebenfalls anpassen, urn

eine iibergangslose V e r b i n d u n g m i t dem Wiirfelteil zu g e w a h r l e i s t e n (Abb. 4 . l 3 c ) .

G l e i c h z e i t i g sehen wir aber, dass das Anpassen der H o h e m i t g r o g e r S o r g f a l t

d u r c h g e f i i h r t werden muss.

W i r d die H o h e zu klein gewahlt, erzeugen wir u n g e w o l l t e Flachenteile, die von der

Deckflache des Zylinders s t a m m e n . A n d e r e r s e i t s s t e h e n Teile des Zylinders in den

h o h l e n I n n e n t e i l der w i i r f e l f o r m i g e n S k u l p t u r , falls wir die Hohe zu grolS a n n e h m e n .

Die A b b i l d u n g 4 . 1 3 d zeigt diesen Effekt, der sich beim A u s g a n g s o b j e k t einstellt, wenn

wir die Z y l i n d e r h o h e vergrolSern. Da bei der u r s p r i i n g l i c h e n M o d e l l i e r u n g des

Modells die Boolesche Vereinigung als l e t z t e r A r b e i t s s c h r i t t a u s g e f i i h r t wurde,

betreffen die B o h r u n g e n nur den w i i r f e l t o r m i g e n Teil u n d n i c h t den z y l i n d r i s c h e n

Sockel. Ein feature-basiertes C A D - S y s t e m e r l a u b t auch im N a c h h i n e i n die

V e r a n d e r u n g der Reihenfolge der A r b e i t s s c h r i t t e (Boolesche Vereinigung wird vor

dem B o h r e n der L o c h e r a u s g e f i i h r t ) , w o d u r c h wir die b e s c h r i e b e n e n Probleme

v e r m e i d e n k o n n e n , N u n k o n n e n wir den D u r c h m e s s e r des Sockels unseren

D e s i g n i d e e n anpassen, o h n e a u f die H o h e des Zylinders R i i c k s i c h t n e h m e n zu miissen

( A b b . 4 . l 3 e ) .

128

A b b . 4 . 1 3F e a t u r e - b a s i e r t e CAD-SystemeunterstOtzen nicht nur die Anderungder O b j e k t a b m e s s u n g e n , sondern auchdie Neuanordnung der E n t s t e h u n g s ­geschichte.

W a h r e n d des Des i g n v o r g a n g s p l a t z i e r e n wir haufig O b j e k t e u n d w e n d e n a n s c h l i e l i e n d

d a r a u f B o o l e s c h e O p e r a t i o n e n an . Urn beispielsweise ein Loch aus e i n e m v o r h a n d e n e n

M o d e l l zu frasen, miissen wir zuerst einen Z y l i n d e r an der r i c h t i g e n Stelle pos itio ­

n i e r e n u n d d a n a c h die Boolesche D i f f e r e n z a n w e n d e n . M o d e r n e C A D -Systeme

k o m b i n i e r e n diese b e i d e n A r b e i t s s c h r i t t e in e i n e m einzigen, z e i t s p a r e n d e n Werkzeug.

So ein . B o h r l o c h w e r k z e u g " k a n n sogar n o c h effizienter wirken, wenn auch die relative

P o s i t i o n des B o h r z y l i n d e r s zum Au s g a n g s o b j e k t o d e r zu einem b e n u t z e r d e f i n i e r t e n

H i l f s k o o r d i n a t e n s y stem b e r i i c k s i c h t i g t u n d a u t o m a t i s c h m i t g e s p e i c h e r t wird. E r l a u b t

das C A D - S y s t e m d u r c h Spe ichern der E n t s t e h u n g s g e s c h i c h t e auch eine nachcragliche

A n d e r u n g der D i m e n s i o n i e r u n g e n u n d der relativen P o s i t i o n , so e rl an g en wir eine

zusarzliche Flex i b i l i r a t im D e s i g n p r o z e s s .

Diese Techn ik wirdfeature-ba siertes (oder parametrisches) M o d e l l i e r e n g e n a n n t . Ein

C A D - M o d e l l wird dabei mit Hilfe so g e n a n n t e r Features e r z e u g t , wobei wir u n t e r

Features " f u n k t i o n a l z u s a m m e n h a n g e n d e O b j e k r t e i l e " ver s t e h e n wollen . D e r D e s i g n e r

legt beim M o d e l l i e r e n n i c h t nur die G e o m e t r i e u n d die Form des Modells fest ,

s o n d e r n auch relevante I n f o r m a t i o n e n iiber t e c h n o l o g i s c h e u n d f u n k t ionale Aspekte .

W i r k o n n e n Features in etwa in folgende Klassen e i n t e i l e n :

• K e r p e r - F e a t u r e s ( p a r a m e t r i s c h e G r u n d o b j e k t e wie Wtirfel, Kugeln,

E x t r u s i o n s k o r p e r , Fr e i f o r m k o r p er, ...)

• Form-Fe atures (L o c h e r , Tasch en, A u s s t i i l p u n g e n , .. . )

• O p e r a t i o n s - F e a t u r e s ( V e r r u n d u n g e n , A b s c h r a g u n g e n , Offsets, ...)

(a) (b) (c) ( d ) (e)

129

Beispiel:

B o h r l o c h - F e a t u r e . Angenommen, wir

haben ein Modell vorliegen, das aus einer

H a l b k u g e l und e i n e m kegelforrnigen

Teil (be ides als K e r p e r - Features er­

stellt) b e s t e h t , Die b e i d e n O b j e k t t e ile

w u r d e n zu satzlich n o c h v e r e i n i g t . Die

i n n e r e n Bereiche w u r d e n ebenfalls mit

einem Kegel und einer Kugel model­

l i e r t und mit H i l f e der B o o l e s c h e n

D i f f e r e n z e n r f e r n r . A b s c h l i e l s e n d wur­

de die a u f t r e t e n d e S c h n i t t k u r v e v e r r u n -

130

det ( O p e r a t i o n s - F e a t u r e ) . Urn L o c h e r

aus dem O b j e k t zu fr asen, w e n d e n wir

nun ein Bohrlochfeature an (Abb. 4 . l 4 a ) .

• Die b e i d e n L o c h e r a u f der H a l b k u g e l

erzeugen wir in Bezug a u f zwei ver­

sc h ie d en e K o o r d i n a t e n s y sreme. Die

B o h r a c h s e des blauen Lochs im h o c h s­

ten P u n k t der H a l b k u g e l verlaufi dabei

parallel zur z-Ach se de s W e l t k o o r d i n a ­

tensystems . Die B o h r a c h s e des g r i i n e n

Lochs liegt parallel zur y -A ch se des

Weltkoordlnatensystem

y

Benutzerkoordlnatensystem

b e n u r z e r d e f i n i e r r e n H i l f s k o o r d i n a t e n ­

systems, das wir im I n n e r e n der Kugel

sehen k o n n e n ,

• Die r e s t l i c h e n , v i o l e t t e n B o h r l o c h e r

am Kegel und im Bereich der Verrun­

d u n g b r i n g e n wir jeweils in R i c h r u n g

der F l a c h e n n o r r n a l e n an. Urn den

De signer beim exakten J u s t i e r e n der

B o h r u n g e n zu u n t e r s t i i t z e n , b e r e c h n e t

ein b e n u t z e r f r e u n d l i c h e s C A D - S y s t e m

die F l a c h e n n o r m a l e n ( schwarze Pfeile)

A b b . 4 . 1 4(a) Bei der Anwendung des Form­features . B o h r i o c h " gibt es verschiedeneM 6 g l i c h k e i t e n , die B o h r r i c h t u n g f e s t z u ­legen (z .B. parallel zur z-Achse desW e l t k o o r d i n a t e n s y s t e m s oder parallelzu den Flachennormalen). Diese Richtun­gen werden wahrend des D e s i g n v o r ­gangs a n g e z e i g t .

in Echt zeit und zeigt sie wa h rend d es

M od elli erung sproze sses an .

Fe arure -b asiert e C A D -Soft w ar e sp ei­

ch ert nun di e gesamt e G e om etr i e so ­

w ie aile f u n kt io n ale n In form at ion en.

D esh alb bl eibt d ie Fun kt ion ali r at der

Bohrlo ch er au ch beim n a c h t r a gl ich en

Verla ge rn d er B o h r u n g en e r ha lten . D as

b ed e ut er , d ass a uc h d ie relati ve Lage d er

Bohr ac h sen z u d en b et e iligt en Fla ch en

b ez iehun gsw e ise zu den verwe n de te n

Koo r d i n a t e n syst em en e rha lte n bl e ibt.

D ie A b b i l d u n g 4 . 14 b ill ustr ier t di esen

E ffe k t.

• D as bl au e L o ch w ur de a u f d er Ob er ­

Hach e d er H albkugel verscho be n. Wa h­

re n d d ieser Bew e gun g bl e ibt d ie Achse

d es Bohr zylind er s im me r p ar allel zur

z- A ch se d es W el t k o o r dina tens yste ms .

• D as grtin e Loch w urde sogar tibe r

di e H albku gel h in au s a u f d e n kegel fo r ­

mige n T eil gesch ob en. Tro tzdem b leibt

di e Richtung, i n der gebohrr wird , weirer­

hin z ur y- Achse de s benutzerdefin iert en

Ko o r d i n at en systerns parall el.

• W eit er s w ur d e die L age e i nes d er

v io le t re n L och er ver an d e r t, wo bei di e

I n f o r m ati on tib er d ie B o h r r i c h t u n g ( i n

Ri c h t u n g d er Flach ennorrn alen ) eb e n­

falls er ha lte n bl eibt.

A b b . 4 .14(b) Drei der . B o h r lcch t-Features werdenam O b j e k t ver l a g e r t . Wahrend diese rNeuposit ion ierung bleibt d ie I n f o r m a t ionuber die B o h r r i c h t u n g e r h a l t e n .

W e l t k o o r d i n a t e n s y s t e m

131

Das F o r m - F e a t u r e . B o h r l o c h " k a n n als K o m b i n a t i o n f o l g e n d e r A k t i o n e n b e t r a c h r e t

werden: P o s i t i o n i e r e n eines D r e h z y l i n d e r s u n d A n w e n d e n der B o o l e s c h e n Differenz.

Ersetzen wir die Boolesche D i f f e r e n z d u r c h die Boolesche Vereinigung, so e r h a l t e n wir

ein weiteres F o r m - F e a t u r e , das man als "Vorsprung" o d e r " Z a p f e n " b e z e i c h n e n k o n n t e .

Es f u n k t i o n i e r t in der gleichen A r t u n d Weise wie das F o r m - F e a t u r e . B o h r l o c h " ,

allerdings m i t dem U n t e r s c h i e d , dass n i c h t M a t e r i a l w e g g e n o m m e n , s o n d e r n

h i n z u g e f i i g t wird. W i e wir in A b b i l d u n g 4.15 sehen, fiillt dieses Feature auch e v e n t u e l l

a u t i r e t e n d e L o c h e r zwischen den a u f g e s e t z t e n D r e h z y l i n d e r n u n d den b e t e i l i g t e n

O b e r l i a c h e n . Als z u s a t z l i c h e F u n k r i o n a l i t a t b i e t e t dieses Feature oft auch eine

g l e i c h z e i t i g e V e r r u n d u n g der a u f i r e t e n d e n S c h n i t t k a n t e n an.

Eine weitere M o g l i c h k e i t , die F u n k t i o n a l i r a t der b e i d e n F o r m - F e a t u r e s " B o h r l o c h "

u n d "Vorsprung " zu e r w e i r e r n , b e s r e h t d a r i n , die D r e h z y l i n d e r d u r c h allgemeine

Z y l i n d e r ( m i t a l l g e m e i n e n P r o f i l k u r v e n ) zu ersetzen. In K o m b i n a t i o n mit w e i t e r e n

F u n k r i o n a l i t a r e n , wie beispielsweise dem VerIangern der B o h r l o c h e r o d e r Vorspriinge

n u r bis zu den n a c h s t g e l e g e n e n Flachen, sind diese Features h e r v o r r a g e n d e Werkzeuge

beim E n t w e r f e n u n d M o d e l l i e r e n k o m p l e x e r Objekre ,

y

132

A b b . 4 . 1 5Das V o r s p r u n g - F e a t u r e k o m b i n i e r t diePositionierung eines Zylinders mit derBooleschen Vereinigung. Die b e n u t z e r ­d e f i n i e r t e A u s r i c h t u n g kann vom Welt­k o o r d i n a t e n s y s t e m oder von denFlachennormalen abhangig g e m a c h twerden.

Beispiel:

S r i e g e n g e l a n d e r , Als ein A n w e n d u n g s ­

beispiel dieser T e c h n i k zeigen wir da s

H e r s t e l l e n v e r s c h i e d e n e r M o d e l l v a r i a n ­

ten eines Stiegengelanders . W i r model­

lieren die Stiegen als E x t r u s i o n s k o r p e r

und den H a n d l a u f mit Hilfe der Extru­

sion eines Kreises langs eines Strecken­

zuges. A n s c h l i e f e n d werden die beiden

Teile m i t der Booleschen Vereinigung

zusammengefasst. Z u r K o n s t r u k t i o n der

lorrechren Steher b e r e i t e n wir ein kreis-

formiges Profil fur das F o r m - F e a t u r e

"Vorsprung" sowie e inige H i l f s l i n i e n zur

l e i c h t e r e n P o s i t i o n i e r u n g der S t e h e r vor

(Abb . 4 . l 6 a , b ) .

N u n wenden wir das Form- Feature "Vor­

sprung" auf den H a n d l a u f und die Stie­

gen mit versch iedenen O p t i o n e n an.

Z u e r s t solI der Vorsprung in beide Rich­

t u n g e n aIle b e t e i l i g t e n Flachen inkludie­

reno In diesem Fall werden die S t e h e r

aurornatisch oben bis zum H a n d l a u f und

(a)

unten bis zum FulSboden (Unterseite der

ersten Stufe) verlangert (Abb. 4 . l 6 c ) .

Wenn wir die Verlangerung nach u n t e n

m i t der n a c h s t g e l e g e n e n Flache be­

schranken, e r h a l t e n wir das M o d e l l aus

A b b i l d u n g 4.16d. Ersetzen wir n o c h das

kreisforrnige Profil d u r c h ein regel­

malSiges Sechseck, so erzeugen wir einen

S t e h e r t y p , der bei g e e i g n e t e r Beleuch­

t u n g s c h a r f ere E i g e n s c h a t t e n g r e n z e n

bewirkt.

A b b . 4 . 1 6Modellierung eines S t i e g e n g e l a n d e r su n t e r Verwendung eines Vorsprung­Features. Die Auswahl diverser Optionene r r n o q l i c h t rasche A n d e r u n g e n imDesign.

( b )

(c) (d) (e)

133

N e b e n den Form-Features e rleich t e rn u n d b e s c h l e u n i g e n O p e r a t i o n s - F e a t u r e s wie das

A b r u n d e n , A b s c h r a g e n o d e r Verjiingen von O b j e k t e n (Abb. 4.1 7) den Designprozess .

A b h a n g i g von den K a p a z i t a t e n der v e r w e n d e t e n C A D - S o f t w a r e k o n n e n die se

Features m i t e r w e i t e r t e n F u n k r i o n a l i t a r e n ausgesrattet sein.

M i t unserem jetzigen W i s s e n s s t a n d sind wir n o c h n i c h t in der Lage, den

g e o m e t r i s c h e n und m a t h e m a t i s c h e n H i n t e r g r u n d dieser T e c h n i k e n zu verstehen.

So wissen wir bei spielsweise n o c h zu wenig iiber F l a c h e n n o r m a l e n o d e r iiber

jene Flachen , die be im V e r r u n d e n von Flachen enrsrehen. O h n e ein p r o f u n d e s

H i n t e r g r u n d w i s s e n werden diese ausgefeilten Werkzeuge ofimals m i t u n g e e i g n e t e n

o d e r g e o m e t r i s c h u n m o g l i c h e n E i n s t e l l u n g e n a n g e w e n d e t , so d ass die C A D - S o f t w a r e

die g e w i i n s c h t e n A k t i o n e n n i c h t ausfiihren k a n n .

Abb . 4 .17An Hand eines dreiseitigen Prismas alsAusgangsobjekt i l l u s t r i e r e n wir dieFormfeatures "Ve rj l.i n g en ", .A bsch r a q en "(oder "Fasen") und . A b r u n d e n " , Diedabei entstehenden Formen tretenhaufig in der A r c h i t e k t u r auf .

(a) Die Handels- und I n d u s t r i e k a m m e r( 1 9 9 1 - 1 9 9 5 ) in Dubai von NikkenSekkei (Foto m i t freundl icherGenehmigung von Martin Reis).

..... / - - - -, ,

(a)

134

A b b . 4 . 1 7(b , c) Ab r u n d u n g e n u n d Fasen angebaute r Arch i t e k t u r .(d) Das Hotel Q ( 2 0 0 3 - 2 0 0 4) i n Berlinvon GRAFT weist v iele A b r u n d u n g e n auf.

( b )

I rt II - ...

r

( c )

( d)

Die A b b i l d u n g 4.18 zeigt eines dieser P r o b l e m e a n h a n d der A b r u n d u n g eines

Z y l i n d e r s . Das A b r u n d e n des R a n d k r e i s e s k i s t p r o b l e m l o s m o g l i c h , solange

n u r der A b r u n d u n g s r a d i u s k l e i n e r als der Z y l i n d e r r a d i u s ist, In diesem Fall

b e r e c h n e t die C A D - S o f t w a r e a u t o r n a t i s c h die n o r w e n d i g e n P a r a m e t e r u n d die

r i c h t i g e P l a t z i e r u n g eines R i n g t o r u s , der sowohl die D e c k f l a c h e als auch die

M a n t e l t l a c h e b e r i i h r t . Diese B e r e c h n u n g k a n n auch so i n t e r p r e t i e r t w e r d e n , dass

jene R o h r f l a c h e ( K a p i t e l 9 ) e r r n i t t e l t w i r d , die bei B e w e g u n g e i n e r K u g e l l a n g s

eines Kreises e n t s t e h t , wobei s t a n d i g die Deck- u n d M a n t e l f l a c h e des Z y l i n d e r s

b e r i i h r t w e r d e n ( K u g e l r a d i u s ist gleich grog wie der A b r u n d u n g s r a d i u s ) . Falls der

A b r u n d u n g s r a d i u s gleich dem Z y l i n d e r r a d i u s g e w a h l t wird, e n t s t e h t ein Z y l i n d e r

m i t a u f g e s e t z t e r H a l b k u g e l . Eine g r o g e r e Wahl des A b r u n d u n g s r a d i u s ist d a n n

a l l e r d i n g s n i c h t m e h r m o g l i c h .

" V e r r u n d u n g s f l a c h e n . Die E n t s t e h u n g der V e r r u n d u n g s t l a c h e zweier

a l l g e m e i n e r F l a c h e n k a n n in f o l g e n d e r Weise e r k l a r t werden (Abb. 4 . 1 9 a ) : Fur

e i n e n g l a t t e n O b e r g a n g z w i s c h e n zwei F l a c h e n bewegen wir eine Kugel mit

g e g e b e n e m V e r r u n d u n g s r a d i u s e n t l a n g der S c h n i t t k u r v e der b e i d e n b e t e i l i g t e n

F l a c h e n . W a h r e n d dieser B e w e g u n g b e r i i h r t die Kugel s t a n d i g beide F l a c h e n

langs der K u r v e n k 1 u n d k 2 • Die Kugel i i b e r s r r e i c h t dabei e i n e n Teil e i n e r

R o h r f l a c h e (vgl. K a p i t e l 9 ) .

A b b . 4 . 1 8Solange der A b r u n d u n g s r a d i u s k l e i n e rals der Z y l i n d e r r a d i u s q e w a h l t wird, istein Abrunden des Randkreises k rnoqllch.Verwendet man gleiche Radien, so ent­steht eln h a l b k u q e l t o r m l q e r Abschluss.

- - - - - ---

136

. " . . . - - - - - -'" .....

/ . . , . . . - - - - - - ......... / ..... - - - - - - .........

A b b . 4 . 1 9(a) Eine Kugel, die entlang einer Kurve kbewegt wird, erzeugt die Verrundungs­flache langs der S c h n i t t k u r v e von <PIund <P2' Die v e r r u n d u n q s f l a c h e wirddabei von den BerOhrkurven k , und k 2

b e r a n d e t .

(a)

D i e B a h n k u r v e des K u g e l m i t t e l p u n k t e s k a n n als S c h n i t t k u r v e z w e i e r

P a r a l l e l f l a c h e n ( K a p i r c l 10) b e r e c h n e t w e r d e n . E n r s t e h t w a h r e n d dieses

B e w e g u n g s v o r g a n g e s a u c h n u r e i n e e i n z i g e S i t u a t i o n , bei d e r die b e w e g t e K u g e l

n i c h t b e i d e F l a c h e n b e r u h r t , so k a n n die V e r r u n d u n g s f l a c h e n i c h t e r z e u g t

w e r d e n . Als V e r a l l g e m e i n e r u n g d i e s e r M e t h o d e w e r d e n o f t a u c h v e r a n d e r l i c h e

V e r r u n d u n g s r a d i e n e r l a u b t , Yom g e o m e t r i s c h e n S t a n d p u n k t aus e n t s p r i c h t dies

e i n e r b e w e g t e n Kugel, d e r e n R a d i u s im V e r l a u f d e r B e w e g u n g v e r a n d e r r w i r d

( A b b . 4 . 1 9 b ) .

Urn P r o b l e m e b e i m M o d e l l i e r e n s c h o n im V o r f e l d zu v e r m e i d e n , b e n o t i g e n wir

t i e f e r g e h e n d e K e n n t n i s s e u b e r die E i g e n s c h a f t e n von F r e i f o r r n f l a c h e n ( K a p i t e l l l ).

D i e s e s W i s s e n e r l a u b t uns d a n n , g e e i g n e t e F o r m p a r a m e t e r fur die e i n g e s e t z t e n

F e a t u r e s a u s z u w a h l e n . A b h a n g i g vorn E n t w u r f s p r o z e s s gibe es i m m e r w i e d e r al­

t e r n a t i v e K o n s t r u k t i o n s w e g e , urn ein u n d d a s s e l b e M o d e l l zu e r z e u g e n . A u f d e n

e r s t e n B l i c k s c h e i n en diese M o d e l l e g l e i c h w e r t i g zu sein. Yom g e o m e t r i s c h e n

S t a n d p u n k t aus s i n d sie das a l l e r d i n g s n i c h t . A n d e r n w i r die P a r a m e t e r d e r b e t e i ­

l i g t e n O b j e k t e im N a c h h i n e i n , so e r k e n n e n wir, dass u n r e r s c h i e d l i c h e g e o r n e t ­

r i s c h e H e r a n g e h e n s w e i s e n a u c h zu u n t e r s c h i e d l i c h e n M o d e l l e n m i t v e r s c h i e ­

d e n en F u n k t i o n a l i t a r e n f u h r e n , w o m i t a u c h u n t e r s c h i e d l i c h e A n d e r u n g s m o g ­

l i c h k e i t e n v e r b u n d e n s i n d .

(b) Wird der Radius der Kugel wahrendder Bewegung k o n t i n u i e r l i c h g e a n d e r t ,erhalten wir eine Verrundung m i tv e r a n d e r l l c h e m V e r r u n d u n g s r a d i u s .

(b)

k

137

Z u r M o d e l l i e r u n g des f o l g e n d e n B e i s p i e l s v e r w e n d e n w i r j e w e i l s n u r zwei

K o r p e r - F e a t u r e s u n d ein F o r m - F e a r u r e . Es lasst d e n n o c h s c h o n die V i e l f a l t d e r

M o g l i c h k e i t e n e r k e n n e n , die f e a t u r e - b a s i e r t e C A D - S y s t e m e e r l a u b e n . D u r c h

E r w e i t e r u n g u n s e r e s W i s s e n s i i b e r K u r v e n , F l a c h e n u n d F o r m e n ( i n d e n

f o l g e n d e n K a p i t e l n ) u n d d u r c h E i n s a r z dieses W i s s e n s b e i m f e a r u r e - b a s i e r t e n

M o d e l l i e r e n w e r d e n w i r in d e r Lage sein , a u c h u m f a n g r e i c h e P r o j e k t e e f f i z i e n t zu

m e i s t e r n .

Beispiel:

Variationen e i n e s einfachen M o d e l l s

einer U b e r d a c h u n g . W i r m o d e l l i e r e n

die k u g e l f o r m i g e O b e r d a c h u n g e i n e r

p r i s m a t i s c h e n Halle a u f zwei u n t e r ­

s c h i e d l i c h e A r t e n . E i n m a l e r z e u g e n wir

das M o d e l l als B o o l e s c h e n D u r c h ­

s c h n i t t eines Q u a d e r s m i t e i n e r Kugel

(Abb. 4 . 2 0 a ) . V e r w e n d e n wir eine H a l b ­

kugel, die wir d u r c h D r e h e n eines Vier -

(a )

r e d u z i e r t e rD u r c h m e s s e r

(c)

telkreises urn die z -A c h se e r z e u g e n u n d

s c h n e i d e n wir von dieser die vier lot­

r e c h t e n S e i t e n f l a c h e n m i t H i l f e eines

S c h n i t t f e a r u r e s weg, so e r h a l r e n wir ein

zweites, gleich a u s s e h e n d e s M o d e l l der

O b e r d a c h u n g (Abb. 4 . 2 0 b ) . O b w o h l

beide M o d e l l e a b s o l u t b a u g l e i c h sind,

weisen sie a u f G r u n d v e r s c h i e d e n e r Enr­

s t e h u n g s g e s c h i c h t e n u n t e r s c h i e d l i c h e

reduzierteH6he

( d )

F u n k t i o n a l i t a t e n u n d V e r a n d e r u n g s ­

m o g l i c h k e i t e n auf. W i r wollen dies an­

h a n d e i n f a c h e r V a r i a t i o n e n u n t e r s u c h e n ,

wobei wir d a r a u f a c h t e n , n u r jene A n d e ­

r u n g e n d u r c h z u f i i h r e n , welche die Syrn­

m e t r i e n des O b j e k t s e r h a l t e n .

D u r c h V e r k l e i n e r n des K u g e l d u r c h m e s ­

sers k o n n e n wir aus dem e r s t e n M o d e l l

beispielsweise da s O b j e k t aus Abbil-

138

d u n g 4.20c erzeugen . R e d u z i e r e n wir

die H o h e des Quaders, e r h a l t e n wir das

M o d e l l aus A b b i l d u n g 4 .20d. Das zwei­

te Modell, bei dem wir Profile verwen­

det h a b e n , e r l a u b t viel weiter r e i c h e n d e

A n d e r u n g e n , wenn wir die v o r h a n d e n e n

Profile d u r c h neue ersetzen . 50 k o n n e n

wir das M o d e l l aus A b b i l d u n g 4.20e

erzeugen , wenn wir das Q u a d r a t d u r c h

ein regelmaSiges A c h t e c k ersetzen . W i r

k o n n e n sogar das O b j e k t aus A b b i l d u n g

4 . 2 0 f aus unserem M o d e l l ableiten , ob­

wohl es keinerlei A h n l i c h k e i t zum Aus­

gangsmodell zu haben scheint . W i r tau­

schen dazu lediglich das Profil des Dreh­

korpers (Viertelkreis k) aus und verwen­

den eine neue Profilkurve p, die aus einer

Strecke und zwei Kreisbogen besrehr.

z 'I

Cj~

P r o f it p A c hteckan st a tt

Aans tatt

P ro fit k Quad r a t

I \( f ) r (e)

( b )A b b . 4 . 2 0Zwei k o n g r u e n t e CAD-Modelle m i t ver­schiedenen g e o m e t r ischen Entstehungs­geschichten wei sen u n t e r s c h i e d l i c h eFunktlonalttaten auf und erlaubendaher u n t e r s c h i e d l i c h e A n d e r u n g s ­r n o q l i c h k e l t e n .

139

KapitelSE b e n eT r a n s f o r m a t i o n e n

,,,,,,,,

. . -- . .. -~ -

, , ,•

E b e n eT r a n s f o r m a t i o n e n

N e b e n den Booleschen O p e r a r i o n e n und den Trimm- und S p l i r t e c h n i k e n fiir Flachen

sind die T r a n s f o r m a t i o n e n ein weiteres wichtiges Werkzeug zur E r z e u g u n g geomet­

rischer u n d a r c h i t e k t o n i s c h e r O b j e k t e . W i r befassen uns mit den linearen Trans­

f o r m a t i o n e n in der Ebene ("linear" b e d e u t e t dabei, dass G e r a d e n wieder a u f G e r a d e n

a b g e b i l d e t w e r d e n ) , Neben die ser " G e r a d e n t r e u e " werden wir weitere Eigenschaften

der ebenen linearen T r a n s f o r m a t i o n e n h e r l e i t e n und sie an H a n d dieser auch

k l a s s i f i z i e r e n .

W i c h t i g e , e l e m e n t a r e T r a n s f o r m a t i o n e n sind die K o n g r u e n z t r a n s f o r m a t i o n e n

( S c h i e b u n g , D r e h u n g , Spiegelung ). Sie erhalren die an den O b j e k t e n a u f t r e t e n d e n

Langen und W i n k e l g r o B e n . Ein wenig allgemeiner sind dann die A h n l i c h k e i t s t r a n s ­

f o r m a t i o n e n , welche zwar die W i n k e l u n v e r a n d e r t lassen, j e d o c h aile Langen urn

d e n s e l b e n Fakror vergroBern oder verkleinern. AuBerdem werden wir die S c h e r u n g

kennen lernen, die den F l a c h e n i n h a l t der b e t e i l i g t e n O b j e k r e u n v e r a n d e r t lasst,

SchlieBlich h a b e n wir n o c h die Skalierung, die mehr F r e i h e i t e n beim F o r m e n d e s i g n

erlaubt, aber noch immer eine lineare A b b i l d u n g isr.

Die Werke von M. C. Escher i l l u s t r i e r e n h e r v o r r a g e n d die v e r s c h i e d e n e n Typen der

T r a n s f o r m a t i o n e n . Er n u t z t e seine Kenntnisse iiber die ebenen T r a n s f o r m a t i o n e n

meisterlich aus, urn w u n d e r v o l l e , n i c h t triviale P 6 a s t e r u n g e n zu erzeugen. W i r

s t u d i e r e n einige seiner b e m e r k e n s w e r t e n A r b e i t e n , urn mehr iiber Fliesen zu erfahren.

Dieses Wissen ist bei der G e s t a l t u n g v o n i n t e r e s s a n t e n Fassaden und beim Verfliesen

von Flachen iiberaus niitzlich (Abb, 5.1) .

A b b . 5 . 1(a) K o n g r u e n z t r a n s f o r m a t i o n e n , wieSchiebungen und Drehungen, sind vong r u n d l e g e n d e r Bedeutung bei derErzeugung von Pflasterungen.

143

Abb. 5.1(b) V e r s c h i e d e n e F l i e s e n m u s t e r ane inem Gebaude in U s b e k i s t a n (Foto m i tf r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von M a r t inReis) .

(b)

(c) Sechseckige Fliesen i n e i n e rE i s e n b a h n s t a t i o n der V e r k e h r s b e t r i e b evo n San Francisco .(d) Eine u n r e q e l m a f n q e P f l a s t e r u n g ane i n e r Fassade in M e l b o u r n e .

(c)

(d)

S c h i e b u n g , D r e h u n g undS p i e g e l u n g in d e r E b e n e

Zwe i Dreiecke A B C u n d AlB] C] m i t gleich langen Seiten haben dieselben W i n k e l . Sie

sind d a h e r von exakt gleicher Gestalt, und wir b e z e i c h n e n sie als kongruente Dreiecke.

A n d e r e r s e i t s miissen zwei allgemeine Polygone, die keine Dreiecke sind, n i c h t

k o n g r u e n t sein, selbst d a n n n i c h t , wenn alle e i n a n d e r e n t s p r e c h e n d e n Seiten dieselbe

Lange aufweisen (Abb . 5.2) .

A b b . 5 . 2( l i n k s ) Dreiecke m i t jeweils gleichlangen Seiten sind k o n g r u e n t ,( r e c h t s ) wahrend andere geometrischeFiguren m i t jeweils gleich langen Seitennicht k o n g r u e n t sein rnussen.

Das D r e i e c k A B C (das U r b i l d ) k a n n a u f das DreieckA]B]C] (das Bild) d u r c h

A n w e n d e n einer K o n g r u e n z t r a n s f o r m a t i o n a b g e b i l d e t werden . Diese K o n g r u e n z ­

t r a n s f o r m a t i o n a n d e r t n i c h t die A b s t a n d e zwischen zwei P u n k t e n des Dreiecks. D a h e r

b e z e i c h n e n wir K o n g r u e n z t r a n s f o r m a t i o n e n auch als isometrisch.

A b b . 5 . 3Zwei kongruente Dreiecke k6nnen durcheine g l e i c h s i n n i g e oder eine gegen­sinnige K o n g r u e n z t r a n s f o r m a t i o na u f e i n a n d e r a b g e b i l d e t werden.

Igegensinnigkongruent

i,

c

~A B

Igleichsinnigkongruent ,nicht

kongruentI,

BI

k o n q r u e n t

A I

145

1m A l i g e m e i n e n e r h a l t e n K o n g r u e n z t r a n s f o r m a t i o n e n die A b s t a n d e zwischen zwei

b e l i e b i g e n P u n k t e n der b e r e i l i g t e n Objekte, K o n n e n zwei g e o m e t r i s c h e Figuren d u r c h

eine K o n g r u e n z t r a n s f o r m a t i o n a u f e i n a n d e r a b g e b i l d e t werd en, d a n n s p r e c h e n wir von

kongruenten Objekren , W e n n w ir ein zu einem g e g e b e n e n D r e i e c k A B C k o n g r u e n t e s

D r e i e c k A I B I C 1 k o n s t r u i e r e n wollen, e r k e n n e n wir, das s es zwei u n t e r s c h i e d l i c h e

L 6 s u n g e n g i b t (Abb. 5.3).

• Falls der U m l a u f sinn der D r e i e c k e A B C u n d A I B I C l i i b e r e i n s t i m m t (das

heiGt, B e s c h r i f r u n g der E c k p u n k t e be ide Male im U h r z e i g e r s i n n o d e r gegen

den U h r z e i g e r s i n n ) , d a n n liegt eine gleich sinnige Kongruenztransformation

vor .

• Bei gegenlaufigen U m l a u f s i n n e n s p r e c h e n wir von einer gegensinnigen

Kongruenztransformation.

Zu den g l e i c h s i n n i g e n K o n g r u e n z t r a n s f o r m a t i o n e n in der Ebene g e h o r e n die

S c h i e b u n g ( T r a n s l a t i o n ) , die D r e h u n g ( R o t a t i o n ) u n d als Spezialfall die I d e n t i t a t - die

S p i e g e l u n g u n d die G l e i t s p i e g e l u n g sind h i n g e g e n gegensinnige K o n g r u e n z t r a n s ­

f o r m a t i o n e n . W i r s t u d i e r e n n u n einige Eigenschafren dieser e b e n e n K o n g r u e n z t r a n s ­

f o r m a t i o n e n u n d lei ten auch deren rnarhern atische B e s c h r e i b u n g h e r .

( b)

b

P(x, y) ~----:::--f---'

146

Abb. 5.4(a) Eine Schiebung wird durch einenS c h i e b v e k t o r t festgelegt.(b) Die Koordinaten des verschobenenPunktes PI konnen durch Addition derVektoren p und t berechnet werden.

Abb . 5 . 5Eine Drehung wird durch einDrehzentrum Z und einen Drehwinkel pb e s t i m m t .

S c h i e h u n g ( T r a n s l a t i o n ) Eine Schiebung wird durch einen Schiebvektor t festgelegt,

der die Richtung und den Abstand angibr, Wie wir der A b b i l d u n g 5.4a e n t n e h m e n

konnen, sind das U r b i l d g u n d das B i l d g l einer Geraden zueinander parallel.

Zur H e r l e i t u n g einer mathernatischen Beschreibung bezeichnen wir den O r t s v e k t o r

eines Punktes P mit P - wobei der O r t s v e k t o r vom Ursprung 0 zum P u n k t P(x,y)zeigt (Abb . 5.4b) . Berrachren wir nun eine durch den Schiebvektor t = (a,b)

bestimmte Sch iebung, die den P u n k t P auf einen P u n k t PI abbildet. W i r erhalten den

Ortsvekror PI = (Xl,yl) einfach durch A d d i t i o n der Vektoren t und P = (x,y). Daher

berechnen wir die K o o r d i n a t e n des Bildpunktes P I mit (x + a, y + b), und eine

Schiebung kann wie folgt beschrieben werden:

Xl = x + a ,

yl = y + b.

D r e h u n g ( R o t a t i o n ) . W i r legen eine D r e h u n g durch einen festen Punkt Z (das

Drehzentrum) und einen Drehwinkel p fest. Abbildung 5 .5 zeigt , dass ein P u n k t P und

sein B i l d p u n k t PI denselben Abstand d zum D r e h z e n t r u m haben. Weiters erkennen

wir, dass der Winkel zwischen zwei z u g e o r d n e t e n Geraden g und gl gleich dem

Drehwinkel p ist,

Betrachten wir nun die Abbildung 5 .6, in welcher der Punkt P(x,y) urn den Ursprung 0

in den Punkt PI (XI,yI) gedreht wird. W i r bezeichnen den Drehwinkel wieder mit p .

Zur Berechnung der K o o r d i n a t e n von PI benutzen wir das Rechteck OAPB und sein

gedrehtes Bild OAIPIB I. Die Koordinaten v o n A I ( x · cos(p),x. sin(p)) u n d B I( - y . sin(p),

y. cos(p)) berechnen wir nun mit Hilfe einfacher t r i g o n o m e t r i s c h e r Formeln (siehe

A n h a n g ) . Schlielilich erhalten wir den Vektor PI durch A d d i t i o n der O r t s v e k t o r e n al

und hi und damit die Koordinaren des Punktes Pi mit (x. cos(p) - y . sin(p) , x- sin(p)

+ y . cos(p)). Eine D r e h u n g mit dem D r e h z e n t r u m im Ursprung 0 und dem

Drehwinkel p wird daher durch

XI = x · cos(p) - y . sin(p)

YI = x - sin(p) + y . cos(p)

A b b . 5 . 6Drehung eines Punktes P um denUrsprung O.

beschrieben.

p

147

S p i e g e l u n g . Bei j e d e m Blick in e i n e n Spiegel k a n n man ein exaktes, aber spiegel­

v e r k e h r t e s A b b i l d (ein S p i e g e l b i l d ) von sich selbst sehen. W i r e r k e n n e n daher, dass die

S p i e g e l u n g an e i n e r G e r a d e n a, der Spiegelachse, die O r i e n t i e r u n g a n d e r t , Eine

S p i e g e l u n g ist deshalb eine g e g e n s i n n i g e K o n g r u e n z t r a n s f o r m a t i o n . A b b i l d u n g 5.7

zeigt die S p i e g e l u n g eines D r e i e c k s A B C an e i n e r Spiegelachse a. W i r sehen, dass zwei

z u g e o r d n e t e P u n k t e B u n d B] gleich weit von der Spiegelachse a e n t f e r n t liegen. Die

Spiegelachse a ist d a h e r die S t r e c k e n s y m m e t r a l e jedes Paares z u g e o r d n e t e r P u n k t e .

Weiters e r k e n n e n wir, dass das U r b i l d g u n d sein S p i e g e l b i l d gl e i n a n d e r a u f der

Spiegelachse a s c h n e i d e n .

Als Spezialfall u n t e r s u c h e n wir die S p i e g e l u n g an den K o o r d i n a t e n a c h s e n (Abb. 5 .8).

Spiegeln wir e i n e n P u n k t A(xJ') an der x-Achse, so miissen wir n u r das V o r z e i c h e n der

y - K o o r d i n a t e a n d e r n , urn die K o o r d i n a r e n von A, zu e r h a l t e n . D a h e r b e s c h r e i b e n wir

eine S p i e g e l u n g an der x-Achse m i t

x ] = x ,

y ] = - y ,

u n d a n a l o g e r h a l t e n wir die S p i e g e l u n g an der y-Achse m i t

Y2=y,

A

a

Abb. 5.7Eine Spiegelung an einer Geradena n d e r t den U m l a u f sinn.

148

G1eitspiegelung. Eine Gleitspiegelung (Abb. 5.9) ist die Zusammensetzung einer

Schiebung mit ein er Spiegelung, wobei der Schiebvektor zur Spiegelachse a parallel ist,

Wenn wir entlang einer Geraden a wandern, dann ist der Zu sammenhang zwischen den

Abdriicken des linken und des rechten Fuges in etwa eine Gleitspiegelung . Verbinden

wir entsprechende Punkte P und P I> so erkennen wir, dass die Mirtelpunkre dieser

Strecken auf der Sp iegel achse liegen.

Fur eine mathematische Beschreibung nehmen wir an, dass die Spiegelachse mit der

x -Ach se zusammen fallr. Wir erhalten dann die Koordinaten eines Punkres Pi durch

Addition des S chiebvektors t = (r.O) zum Ortsvektor von Pi (x,-y) und damit schllefslich

X2 = x + t,

Y2 = -Yo

M a t h e m a t i k :

Aile Transformationen, die wir b isher kennen gelernt ha­

ben , sin d Sonderfalle einer ebenen affinen Transformation.

Eine allgemeine Beschreibung einer affinen Transformation

lautet :

Xl =a · x + b-y +e,

y. = e -x + d .y + f

wobei a, b, c, d und e beliebige reelle Zahlen

(mit a-d - b-e '" 0) sind. Jede affine Transformation bildet

Geraden in Geraden ab, und das Streckenverhaltnis dreier

kollinearer Punkte ist gleich dem Streckenverh almis der zu­

gehorigen Bildpunkte (vergleiche die Anmerkungen iiber

die Parallelprojektion im Kapitel Z) .

/ .:

B

· .· .· .· .· .· ..., .. , ." .f / ._ '." : C

. ... :::::::: :- ..: : c,

A k x , - y )

a

~" ' "

A b b . 5 . 8Die Z u s a m m e n s e t z u n g der S p i e g e l u n ­gen an der x-Achse und der y-Achsee n t s p r i c h t einer Halbdrehung um denK o o r d i n a t e n u r s p r u n g . Sie b i l d e t z.B,den Punkt A a u f den Punkt A 2 abo

A b b . 5 . 9Elne Gleitspiegelung 1st die Z u s a m m e n ­setzung einer Spiegelung und einerSchiebung parallel zur Spiegelachse.

149

Z u s a m m e n s e t z u n g von K o n g r u e n z t r a n s f o r m a t i o n e n . In A b b i l d u n g 5.8 k a n n das

DreieckAzBzC z auch als Bild des DreiecksABC aufgefasst w e r d e n , w e n n wir das

DreieckABC e i n e r 1 8 0 - G r a d - D r e h u n g urn den U r s p r u n g u n r e r w e r f e n , W i r e r k e n n e n ,

dass der S c h n i t t p u n k t der b e i d e n S p i e g e l a c h s e n das D r e h z e n t r u m dieser Halbdrehung

ist u n d dass der D r e h w i n k e l d o p p e l t so g r o g wie der von den Spiegelachsen einge­

schlossene W i n k e l ist . Es s t e l l t sich heraus, dass dies ein Spezialfall eines S a c h v e r h a l t e s

ist, der in A b b i l d u n g 5.10 i l l u s t r i e r t w i r d :

]ede Zusammensetzung zweier Spiegelungen mit schneidenden Achsen ist eine Drehung.

Das Drehzentrum ist dabei der Schnittpunkt der beiden Spiegelachsen, und der

Drehwinkel ist doppelt so g r o f wie der von den Spiegelachsen eingeschlossene Winkel.

Liegen die S p i e g e l a c h s e n z u e i n a n d e r parallel, so ist die Z u s a m m e n s e t z u n g dieser

S p i e g e l u n g e n eine S c h i e b u n g . D e r S c h i e b v e k t o r t verlaufi dabei o r t h o g o n a l zu den

S p i e g e l a c h s e n , u n d seine Lange ist d o p p e l t so grog wie der A b s t a n d d der be idenS p i e g e l a c h s e n .

Z u zwei g e g e b e n e n g l e i c h s i n n i g k o n g r u e n t e n O b j e k t e n k o n n e n wir i m m e r eine

e i n z e l n e D r e h u n g o d e r S c h i e b u n g a n g e b e n , die das erste O b j e k t in das zweite

i i h e r f i i h r t ( o d e r u r n g e k e h r t ) . A b b i l d u n g 5.11 zeigt, wie das D r e h z e n t r u m Z als

S c h n i t t p u n k t von zwei S t r e c k e n s y m m e t r a l e n e n t s p r e c h e n d e r P u n k t e PiP, u n d ~Ql

g e f u n d e n w e r d e n k a n n . W e n n wir die b e i d e n kongruenten O b j e k t e als zwei

v e r s c h i e d e n e Lagen eines e i n z i g e n O b j e k t s auffassen, d a n n h a b e n wir folgende,

w i c h t i g e T a t s a c h e iiber B e w e g u n g e n verifiziert:

Gegeben sei en zwei ver schiedene Lagen eines festen Objekts . Dann gibt es immer eine

einzige Drehung odereine einzige Schiebung, die das Objekt von der Au sgangslage in die

Endlage iiberJUhrt.

Abb. 5.10Die Zusammensetzung zweierSpiegelungen ist i m m e r eine einzelneDrehung oder eine einzelne Schiebung.

150

Bisher haben wir nur d ie Z u s a m m e n s e t z u n g zweier Spiegelungen s t u d i e r t , wobei wir

die beiden T r a n s f o r m a t i o n e n d u r c h jeweils eine einzige D r e h u n g o d e r eine einzige

S c h i e b u n g ersetzen k o n n t e n . Allgemeiner k o n n e n wir sagen , dass die Z u s a m m e n ­

s e t z u n g zweier g l e i c h s i n n i g e r K o n g r u e n z t r a n s f o r m a t i o n e n o d e r zweier g e g e n s i n n i g e r

K o n g r u e n z t r a n s f o r m a t i o n e n immer eine gleichsinnige K o n g r u e n z t r a n s f o r m a t i o n

ergibr.

A n d e r e r s e i t s liefert d ie Z u s a m m e n s e t z u n g einer gleichsinnigen K o n g r u e n z t r a n s f o r ­

m a t i o n m i t einer gegensinnigen K o n g r u e n z t r a n s f o r m a t i o n ( u n d u m g e k e h r t ) i m m e r

eine gegensinnige K o n g r u e n z t r a n s f o r m a t i o n . In A b b i l d u n g 5.12 werden zwei

verschiedene Z u s a m m e n s e t z u n g e n von zwe i K o n g r u e n z t r a n s f o r m a t i o n e n gezeigr. W i r

e r k e n n e n , dass die Reihenfolge, in der die T r a n s f o r m a t i o n e n a u f ein O b j e k t wirken, die

E n d p o s i t i o n bee influssr.

pA b b . 5 . 1 1Zwei gleichsinnig kongruente Objektekbnnen i m m e r durch eine einzigeDrehung oder Schiebung i n e i n a n d e ru b e r q e f u h r t werden.

p

A b b . 5 . 1 2Irn Allgemeinen ist d ie Endpositioneines Objekts von der Reihenfolge derangewandten Kongruenztrans­f o r m a t i o n e n abhangig.

S p i e g e l u n g+ D r e h u n g

D r e h u n g+ S p i e g e l u n g

l S I

Abb. 5 . 1 3Eine zentrische Ahn lichke it e r h a l t aileWinke l und d a m i t d ie Form der O b j e k t e .

BS c f - - - - - - - - ----6 -1..- - - - - - - - - __ e ..............

152

S k a l i e r u n gund S c h e r u n g

K o n g r u e n z t r a n s f o r m a t ion en erh alten die Ge st alt d er O b j e k t e u n d d ie Ab s t a n d e

zwi schen P u n k t e n . Sie si n d dah er w e s e n t l i c h e W erkzeug e , urn O b j e k r e in v e r s c h i e d e n e

Po s i t i o n e n z u verlagern, o h ne dabei deren Ge stalt zu a n d er n . Wenn wir allerdings

un sere Obj ekr e modifi zi er en wollen , b e n o t i g e n wir m e h r F r e i h e i t e n , urn auch ihre

G e s t a l t zu and ern. D aher be schaftigen wir un s j e t z t mit T ran sform at ionen, d ie n icht

gleichze it ig die G esta l t und di e Ab st ande von Obj ekrreil en e rha lt en .

Abb . 5 . 1 4Eine zentrische A h n l i c h k e i t w ird durcheinen Ahnl i c h k e i t s f a k t o r( S k a l i e r u n g s f a k t o r ) f festgelegt. Eine(allgeme ine) Skalierung m itv o n e i n a n d e r unabhanqiqenS k a l i e r u n g s f a k t o r e n f x und f y a n d e r t d ieGestalt des Objekts.

Skalierung. E in e z ent rische A hnlichkeit ( St r eck u n g) w i r d d u r c h ei n A hnlic hkei ts­

z ent rum (St r ec kzent rum) S u n d e inen A hnlichkei tsfa ktor (Ska lierung sfa ktor) festgelegt

(A b b. 5 .13 ) . D ab ei ist d as A h n l i c h k e it s z e n t r u m jener R efer e n z p u n k t , au s d em da s

O b jekt ge s t r e c k t o d e r gest au c h t wi rd , w a h re n d d er Skal i e r u n g sfakt o r d a s Verh altni s

zwi schen ents p re ch en de n Srr e ckenl angen A IB l u n d A B b eschr eibt, AIle Str ahl en

d u r c h ent s p r e c h e n d e P u n k t e A u n d A I verlaufen d ur ch d as Ah n li ch k e itsze nt ru m, u n d

aIle Paare e nts p re c he n der G er aden g u n d g l lieg en zu ein and er parallel.

Sei nun f de r Skali e r u n g sfa k t o r u n d d er K o o r d i n at e n u r s p r u n g 0 d as A h n l i c h k eit s­

z e n t r u m (A b b . 5.1 4 , links ). D ann b e r e c h n e n wir d as Bild P I eines P u n k t e s P(x J') mit

l f x , f y) . D a h e r w i r d e i ne z ent r isch e A h n l i c h k e i t mit

x I =f · x,

Y I = f y

be schri eben.

z e n t r i s c h e A h n l i c h k e i t S k a l i e r u n g

Px l =f x'x

X

....... --------J~ __

o

PIX I = f . x

Xo

153

Obwohl bei der zentrischen Ahnlichkeit die Abstande zwischen Objekrpunkren

geandert werden, bleiben die Winkel erhalren, und somit bleibr auch die Gestalt der

Objekre gleich. Das Ausgangsobjekt und das transformierte Objekr sind zueinander

ahnlich. Die Streckung ist daher eine spezielleAbnlichkeitstransJormation. W i r

bemerken, dass eine allgemeine Ahnlichkeitsrransformation immer aus einer zentrischen

Ahnlichkeit und einer Kongruenztransformation zusammengesetzt werden kann.

Die zentrische Ahnlichkeit (Streckung) wird im CAD oft nur als Spezialfall einer

Skalierungangesehen . Wenn wir anstelle eines einzigen SkalierungsfaktorsJzwei vonein­

ander unabhangige Skalierungsfaktoren.!x und h jeweils fur die x- und y-Koordinaten

verwenden, so erhalten wir eine (allgemeine) Skalierung (Abb. 5.14, rechts), Die Zusam­

mensetzung einer Skalierung mit einer Schiebung oder Drehung ist die allgemeinste

Form einer Transformation, die Geraden auf Geraden abbildet und gleichzeitig die

Streckenverhaltnisse erhalr, W a h l e n wir insbesondere die beiden Skalierungsfaktoren so,

dass.!xl; = 1 gilt, so wird der Flacheninhalt wahrend der Transformation nicht geandert.

Scherung. Die Scherung erhalt auch den Flacheuinhalt, andere aber gleichzeitig die

Gestalt der Objekre, Eine Scherung wird durch eine Fixgerade a und einen Winkel a

festgelegt . Entsprechende Punkre P und PI liegen auf Geraden parallel zur Fixgeraden a,

wahrend zugehorige Geraden g und gl einander auf a schneiden. Diese Transforma­

tionen werden vor allem zur Erzeugung von Objekten mit gleichen F l a c h e n i n h a l t e n

eingesetzt.

Urn eine mathematische Beschreibung herzuleiten, legen wir die Fixgerade in die

x-Achse. Aus A b b i l d u n g 5.15 e n t n e h m e n wir, dass der Ortsvekror PI als Summe der

Vekroren P = (xV') und v berechnet wird, wobei v = (y.tan(a),O) parallel zur festen

x-Achse liegt. W i r erhalten daher

XI = X + y . t a n ( a ) ,

Y I = y ,

a

154

x y · t a n ( a )

x 1 = x + y · t a n ( a )- - - - - - - - '

Abb. 5.15Eine Scherung a n d e r t z w a r die Formeines O b j e k t s , e r h a l t aber g l e i c h z e i t i gdessen F l a c h e n l n h a l t , Sie ist eineebene, a f f i n e T r a n s f o r m a t i o n . DieScherung b i l d e t d a h e r Geraden w i e d e ra u f Geraden ab, und sie e r h a l t diev e r h a l t n l s s e zwischen S t r e c k e n l a n q e n .

A b b . 5 . 1 6Die Kunst des Fliesendesigns i st sehralt und we it v e r b r e i t e t .(a) Die Fliesen am FuBboden destOrkischen Bades i n Harrogate wurdenEnde des 19. J a h r h u n d e r t s von einemitalien ischen H a n d w e r k e r v e r l e g t .( b ) , (c) Fliesen in der Alhambra i nGranada, Spanien .(d) Fliesen i n einem Gebaude inUsbekistan (Foto mit freundl icherGenehmigung von Mart in Reis).

P f l a s t e r u n g e n undP a k e t t i e r u n g e n

Bisher h aben wi r e be ne Tr an s f o r m a t i o n en als effizie nte Werkzeu ge zum Po sit ioni er en

von Obj ekt en in der Eb ene k e n n e n g e l e r n t . Sie si n d a b e r au ch seh r niitzl ich im Zu sam­

m e n h a n g m it d er Er ze ug u n g r eg u l ar e r Fliesen u n d Ptl a st e r u n gen der E be n e. M i t H i l f e

d er in s t r u k t i ven Ar bei te n von M. C. Esche r st u di ere n wir verschie d en e T ypen vo n

Pa rk e t t i e r u n g en u n d eig ne n un s d ab ei ein ige g r u n d l egend e K e n n t n i sse tib er d as

D esign vo n Fliesen a n . Ta t sach lic h h at d as E n t w e rfen vo n Fl iesen , M o saik en u n d

M us t e rn ei ne l ang e Tr adit ion , u n d dah er si n d di e zu g r u n d e li eg en d e n K e n n t n i sse u n d

Te ch n ik en r echt gut au sgerei ft (A b b . 5.16 ).

(a)

(b) (c ) ( d )

ISS

R e g u l a r e und h a l b r e g u l a r e PHasterungen. G r o b g e s p r o c h e n ver s t e h e n wir u n t e r

e i n e r Pfla sterung das liickenlose A u s f i i l l e n der g e s a m t e n E b e n e m i t k o n g r u e n t e n

F o r m e n , wobei diese F o r m e n e i n a n d e r n i c h t i i b e r l a p p e n diirfen. M a n c h m a l

v e r w e n d e n wir auch den Au~druck Parkettierung, der fiir eine spezielle p f l a s t e r u n g

s t e h t , bei der n u r ebene P o l y g o n e v e r w e n d e t w e r d e n . ( W i r m e r k e n hier n o c h an, dass

die Begriffe p f l a s t e r u n g u n d P a r k e t t i e r u n g haufig als g l e i c h b e r e c h t i g t b e t r a c h t e t

w e r d e n u n d in d iesem S i n n da sselbe b e s c h r e i b e n .)

W a h r e n d die ges a m t e E b e n e m i t b e l i e b i g e n , a l l g e m e i n e n D r e i e c k e n u n d V i e r e c k e n

liickenlos ausgefiillt w e r d e n k a n n (Abb. 5 .17) , ist eine P a r k e t t i e r u n g m i t b e l i e b i g e n

Fiinfecken n i c h t m e h r rnoglich . Es s i n d allerdings 14 v e r s c h i e d e n e Klassen von

konvexen, f i i n f e c k i g e n Fliesen b e k a n n t , m i t d e n e n die Ebene g e p f l a s t e r t w e r d e n k a n n .

N e b e n den r e g e l m a l i i g c n S e c h s e c k e n g i b t es n o c h drei w e i t e r e Klassen von unregel­

maSigen S e c h s e c k e n , die ebenfalls zur p f l a s t e r u n g e i n e r E b e n e h e r a n g e z o g e n w e r d e n

k o n n e n . Einige dieser Fliesen w e r d e n in A b b i l d u n g 5.18 v o r g e s t e l l t .

W e n n wir bei e i n e r p f l a s t e r u n g n u r k o n g r u e n t e , regelmaSige P o l y g o n e zulassen, so

s p r e c h e n wir von e i n e r regul aren Parkettierung. Ange sichts der Tatsache, dass der

I n n e n w i n k e l der r e g e l m a l i i g e n F l i e s e n p o l y g o n e ein Teiler von 3 6 0 G r ad sein muss,

e r k e n n e n wir, da ss es n u r drei r e g u l a r e P a r k e t t i e r u n g e n gibe, n a m l i c h jene m i t gleich­

s e i t i g e n D r e i e c k e n , Q u a d r a r e n u n d r e g e l m a S i g e n Sechsecken (Abb. 5.19) .

A b b . 5 . 1 7Eine Ebene kann m i t j e d e m beliebigenDreieck oder Viereck luckenlos gefUlitwerden.

m i t Dreiecken

1 5 6

m i t Vierecken

AB = BC = CD = EA<;.B+2<1:£ = 3 6 0 0

<l:C+2<;.D = 3 6 0 0

B

a l l g e m e i n e fOnfeckige Fliesen

AB = EA-9:A = -9:C = 90 0

BC =ED<toE+<toC = 1 8 0 0

~~~~E A~~ 8

B

C

~)

Abb . 5.18Einige Beispiele f u r P a r k e t t i e r u n g e n m i ta l l g e m e i n e n , konvexen fUnfeckigen undsechseckigen Fliesen. Die Form dereinzelnen Fliesen wird durch dieangegebenen Langen und Winkelf e s t g e l e g t .

a l l g e m e i n e s e c h s e c k i g e Fliesen F

A

FA = A B , B C = CD, D E = EF<;.A = <to C = ~ E = 1 2 0 0

Abb. 5.19Es e x i s t i e r e n n u r dre i requ lareP a r k e t t i e r u n g e n m i t j e w e ilsgleichse itigen Dreiecken, Quadratenoder regelma13igen Sechsecken .

_. - - - - "

' - -'- --

157

W i r b e t r a c h t e n nun P f l a s t e r u n g e n , bei den en m e h r e r e u n t e r s c h i e d l i c h e , r e g u l a r e

Polygone v e r w e n d e t w e r d e n . H i e r fiihren wir z u s a t z l i c h die Vorschrifi ein, dass in

j e d e r Ecke dieselbe E c k e n k o n f i g u r a t i o n a u f i r i t t . Das b e d e u t e t , dass in j e d e r Ecke exakt

dieselbe A n z a h l u n d dieselbe R e i h e n f o l g e von k o n g r u e n t e n , regelmalsigen P o l y g o n e n

v o r k o m m e n . Solche P a r k e t t i e r u n g e n b e z e i c h n e n wir d a n n als halbreguliir.

E r i n n e r n wir uns an die Polyeder: D o r t h a t t e n wir auch die f l i n f p l a t o n i s c h e n P o l y e d e r

( m i t n u r e i n e m Typ von S e i r e n f l a c h e n ) u n d die 13 h a l b r e g u l a r e n a r c h i m e d i s c h e n

P o l y e d e r ( m i t u n t e r s c h i e d l i c h e n T y p e n von S e i t e n t l a c h e n ) . In der Ebene h a b e n wir

n u n n e b e n den drei r e g u l a r e n P a r k e t t i e r u n g e n n o c h 8 T y p e n h a l b r e g u l a r e r P a r k e t t i e ­

r u n g e n , die wir in A b b i l d u n g 5.20 zeigen. Z u r B e s c h r e i b u n g der e i n z e l n e n T y p e n ist es

iiblich, ihre E c k e n k o n f i g u r a t i o n a n z u g e b e n . So s c h r e i b e n wir beispielsweise fiir eine

P f l a s t e r u n g , bei der in j e d e r Ecke ein Q u a d r a t , ein regelmaBiges S e c h s e c k u n d ein

regelmaBiges Z w o l f e c k a u f e i n a n d e r treffen, l e d i g l i c h 4,6,12.

A b b . 5 . 2 0Die acht halbreqularen Parkettierungenwerden nach i h r e r Eckenkonfigurationbezeichnet.

3 , 3 , 3 , 4 , 4

3 , 3 , 4 , 3 , 4

3 , 1 2 , 1 2

158

3 , 6 , 3 , 6

3 , 3 , 3 , 3 , 6

4 , 6 , 1 2

4 , 8 , 8

3 , 4 , 6 , 4

Abb . 5 . 21Dr eh u nge n und Sch ieb u n ge n e r ha ltend i e St r u k t ur ei ner Pa r ket t i er u ng .

1/ • II

P 8 a s t e r u n g e n und K o n g r u e n z t r a n s f o r m a t i o n e n . A b b i l d u n g 5. 21 zeigt e ine

Pll ast e r u n g , bei d e r M. C. E sch er ei n e m e n s c h l i c h e F igur ve rw e n d e t hat , urn die E b e n e

liickenl o s zu Fullen . Z u sarzlich ist die z u g r u n d e l i e g e n d e geom etri sch e S t r u k t u r in

F o r m ei n es D r ei eck s g i t t er s ei n ge t ra g e n . W i r b e t r a c h t e n nun jene K o n g r u e n z t r a n sfor­

m a t i o n e n , die d as M us te r un v e r a n d e r t lassen. Versch ieb e n w i r z.B. da s g esamte M u s t er

vo m P u n k t A i n d en P u n k t B (o de r d en P u n k t C), d ann ble i b t d ie Pll a s t e r u n g als

G a n z es e r h alte n .

D a s s e l b e g i l t , we n n w i r da s M u s t e r e i n e r D r e h u n g urn d en P u n k t D m it e i n e m

D r e h w i n k e l v o n 120 o de r 2 40 G r a d u n r e r w e r f en. W i r er k e n n e n , da ss da s

A n w e n d e n j e d e r Z u s a m m en s e t z u n g d ie s er S c h i e b u n g en u n d D r e h u n g e n da s

ge s a m t e Mu s t e r unv er a n d e r t la sst, W i r h a b e n d a h er e i n e u n e n d l i c h e A n z a h l an

m o g l i c h e n K o n g r u e n z t r a n s f o r m a t i o n e n , w e l c h e di e pfl a s t e r u n g al s G a n z e s e r ha l t ,

T r o t z d e m k o n n e n a ll die se T r a n s f o r m a t i o n e n d u t c h s u kz e ss iv es K o m b i n i e r e n von

l e d i g l i c h zw ei S c h i e b u n g e n u n d e i n e r D r e h u n g erz e u g t w e r d e n .

.~

159

S c h i e b u n g e n , D r e h u n g e n , S p i e g d u n g e n u n d G l e i t s p i e g d u n g e n s i n d die e i n z i g e n

T r a n s f o r m a t i o n e n , die wir a u f P a r k e t t i e r u n g e n a n w e n d e n k o n n e n , o h n e d e r e n

S t r u k t u r zu z e r s t o r e n , E i n i g e P a r k e t t i e r u n g e n b l e i b e n n u r bei A n w e n d u n g von

S c h i e b u n g e n e r h a l t e n , w a h r e n d a n d e r e w i e d e r u m m it a l l e n A r t e n von K o n g r u e n z ­

t r a n s f o r m a t i o n e n v e r r r a g l i c h s i n d . A b h a n g i g von d e r A n z a h l u n d A r t d e r

r n o g l i c h e n K o n g r u e n z t r a n s f o r m a t i o n e n , die ein g e g e b e n e s Mu s t e r n i c h t a n d e r n ,

u n t e r s c h e i d e n w i r z w i s c h e n 17 v e r s c h i e d e n e n P a r k e t t i e r u n g e n (ebene k r i s t a l l o ­

grafische Gruppen , Wandmustergruppen) . Ais e ine i n t e r e s s a n t e T a t s a c h e b e r n e r k e n

wir n o c h , dass all diese M o g l i c h k e i t e n , e i n e E b e n e zu p f l a s t e r n , in d e n A r b e i t e n

v o n M. C. E s c h e r a u f t r e t e n .

W i e e r z e u g t m a n n i c h r - t r i v i a l e F l i e s e n ? W e i t i n t e r e s s a n t e r als die t h e o r e t i s c h e n

K e n n t n i s s e i i b e r die v e r s c h i e d e n e n T y p e n d e r k r i s t a l l o g r a f i s c h e n G r u p p e n ist die

p r a k t i s c h e F a h i g k e i r , i n t e r e s s a n t e F l i e s e n zu des i g n e n . D a z u b e g i n n e n wir m i t d e r

D e f i n i t i o n von T - L i n i e n u n d C - L i n i e n , die als Teile v o n v i e l e n F l i e s e n a u f t r e r e n .

D i e k o n g r u e n t e n K u r v e n AB u n d D C s i n d Teile d e r B e r a n d u n g e i n e r Fliese v o n

M. C. E s c h e r , die e i n e n fl i e g e n d e n Fisch d a r s r e l l t ( A b b . 5 . 2 2 ) . D i e R a n d k u r v e

AB k a n n d u r c h e i n e T r a n s l a t i o n in die R a n d k u r v e D C i i b e r g e f i i h r t w e r d e n . W i r

b e z e i c h n e n d a h e r diese K u r v e n als T-Linien u n d s c h r e i b e n d a f u r TAB u n d T DC '

W i r b e m e r k e n , dass die r e s t l i c h e B e r a n d u n g des f l i e g e n d e n F i s c h e s e b e n falls aus

d e n k o n g r u e n t e n T - L i n i e n TAD u n d T BC b e s t e h r . W e n d e n wir n u n w i e d e r h o l t

S c h i e b u n g e n m i t d e n S c h i e b v e k t o r e n u u n d v a u f diese T - L i n i e n an , so e r h a l t e n

w i r die g e s a m t e P a r k e t t i e r u n g d e r E b e n e . Das e n t s r e h e n d e M u s t e r b l e i b t l e d i g l i c h

bei A n w e n d u n g v o n S c h i e b u n g e n e r h a l t e n , j e d e a n d e r e K o n g r u e n z t r a n s f o r ­

m a t i o n w i i r d e das M u s t e r z e r s t o ren . W i r m e r k e n n o c h an, da ss die z u g r u n d e

l i e g e n d e g e o m e t r i s c h e S t r u k r u r aus e i n e m P a r a l l e l o g r a m m g i t t e r b e s t e h t .

A b b . 5 . 2 2Die Randkurven der Fliese ( " F l i e g e n d e rFisch" von M. C. Escher) b e s t e h tausschlieBlich aus T-Linien.

o

160

A b b . 5 . 2 3Z e n t r a l s y m m e t r i s c h e C-Linien sind dieRandkurven von EschersS c h m e t t e r l i n g s f l i e s e n .

B e t r a c h t e n wir n u n die B e r a n d u n g e i n e r Fliese, die aus drei v e r s c h i e d e n g e f a r b t e n

S c h m e t t e r l i n g e n b e s r e h t (Abb. 5.23), so finden wir h i e r keine T - L i n i e n , die

i m m e r p a a r w e i s e a u f t r e t e n . S t a t t d e s s e n e r k e n n e n wir, dass die R a n d k u r v e CAB

m i t t e l s e i n e r H a l b d r e h u n g urn den M i t t e l p u n k r M AB der S t r e c k e AB in sich

i i b e r g e f i i h r t w e r d e n k a n n . Eine soIche Kurve CAB b e z e i c h n e n wir als C-Linie. Sie

ist z e n t r a l s y m m e t r i s c h b e z i i g l i c h ihres M i t t e l p u n k t e s . W i e d e r u m s i n d bei d i e s e r

Fliese aIle R a n d k u r v e n vorn selben Typ, n a m l i c h C - L i n i e n (Abb. 5 . 2 3 ) .

Lassen wir die B e m a l u n g aulSer A c h t , so sehen wir, dass die g e s a m t e P f l a s t e r u n g

d u r c h w i e d e r h o l t e s A n w e n d e n von S c h i e b u n g e n m i t den S c h i e b v e k t o r e n u u n d v

e r z e u g t w e r d e n k a n n . Dieses M u s t e r e r l a u b t a l l e r d i n g s auch D r e h u n g e n urn die

Ecken der D r e i e c k e A B C sowie urn d e r e n K a n t e n r n i t t e l p u n k t e . Dieses M u s t e r

g e h o r t d a h e r zu e i n e r a n d e r e n k r i s t a l l o g r a f i s c h e n G r u p p e als das vorige.

B

161

D i e l e r z r e Fliese w u r d e d u r c h E r s e t z e n d e r S e i t e n e i n e s D r e i e c k s d u r c h C - L i n i e n

erzeugt. Von friiher wissen wir, dass ein beliebiges, allgemeines V i e r e c k zur Parker­

t i e r u n g einer Ebene v e r w e n d e t w e r d e n kann. W i r k o n n e n d a h e r die Seiten eines

a l l g e m e i n e n Vierecks d u r c h C - L i n i e n ersetzen, urn einen n e u e n Fliesentyp zu

e r h a l t e n . Escher hat diesen Fliesentyp im Z u s a m m e n h a n g mit einer w e i t e r e n ,

f i s c h f 6 r m i g e n Fliese b e n u t z t (Abb. 5.24a).

W e n n wir eine P a r k e t t i e r u n g m i t Q u a d r a t e n zu G r u n d e Iegen, miissen wir n i c h t

einrnal T - L i n i e n u n d C - L i n i e n b e n u t z e n , urn pass en de Fliesen zu erzeugen. So k o n n e n

wir beispielsweise zwei g e g e n i i b e r l i e g e n d e Seiten eines Q u a d r a t e s d u r c h beliebige

Kurven ersetzen . W e n d e n wir d a n n a u f diese Kurven jeweils eine V i e r t e l d r e h u n g urn

die E c k p u n k t e B b e z i e h u n g s w e i s e D an, so e r h a l t e n wir einen w e i t e r e n Fliesentyp, der

ebenfalls in Eschers A r b e i t e n A n w e n d u n g findet (Abb. 5.24b) .

o

c

A b b . 5 . 2 4Einige weitere Fliesentypen, die mehrG e s t a l t u n g s m o g l i c h k e i t e n bieten.

162

Eine a h n l i c h e Idee w i r d in A b b i l d u n g S.24c v e r w e n d e t , wo eine r e g u l a r e Parker­

t i e r u n g m i t Sech seck en al s G r u n d m u s t e r d i e n t , W i e d e r u m w e r d e n d r e i , jeweils

n i c h t b e n a c h b a r t e S eit en de s S e c h s e c k s d u r c h b e l i e b i g e K u r v e n e r s e t z t u n d

jeweil s e i n e r 120 - G r ad - D r e h u n g um die E c k p u n k t e A, C u n d E u n t e r w o r f e n ,

M i t d i e s e n g r u n d l e g e n d e n K e n n t n i ssen i i b e r T - L i n i e n u n d C - L i n i e n so w ie i i b e r

di e u n r e r s c h i e d l i c h e n T ypen von P a r k e t t i e r u n g e n s i n d w i r n u n i n der Lage,

i n t e r e s s a n t e Flie sen zu er z e u g e n . Insge s a m t g i b t e s 28 v e rs ch i e d e n e T y p e n von

Flie sen. Da s W issen um die se v i el fal t ig e n M o g l i c h k e i r e n k a n n uns bei spiel swei se

b ei d e r P l a n u n g von i n t e r e ss a n t e n Fas saden b e h i l f l i c h se i n .

163

K a p i t e l 6

R a u m t r a n s f o r m a t i o n e n

R a u m t r a n s f o r m a t i o n e nEin gutes V e r s t a n d n is von R a u m t r a n s f o r m a t i o n e n ist sehr h i l f r e i c h beim P o s i t i o n i e r e n

d r e i d i m e n s i o n a l e r O b j e k t e . W i r b e g i n n e n m i t der V e r a l l g e m e i n e r u n g e b e n e r

K o n g r u e n z t r a n s f o r m a t i o n e n a u f i h r e r a u m l i c h e n Gegenstiicke. Irn 3 - D - R a u m gibt es

aber zu sat zl ich e T r a n s f o r m a t i o n e n (wie die S c h r a u b u n g ) , die von k e i n e r e b e n e n

K o n g r u e n z t r a n s f o r m a t i o n abgel e i t e t werden k o n n e n . W i r werden zeigen, dass es

i m m e r eine einzige S c h r a u b u n g , D r e h u n g o d e r S c h i e b u n g gibe, die zwei Lagen eines

3- D - O b j e k t s i n e i n a n d e r iiberfiihrt - eine Eigenschaft, die in der Praxis haufig g e n u t z t

wird.

Al s eine w i c h t i g e A n w e n d u n g der T r a n s f o r m a t i o n e n fiihren wir die K o n z e p t e iiber

Schlii sselbilder u n d A n i m a t i o n s s k r i p t e zur H e r s t e l l u n g b e w e g t e r A r c h i t e k t u r m o d e l l e

ein . W i r setzen uns mit j e n e n m a t h e m a t ischen G r u n d l a g e n auseinander, die eine

w e s e n t l i c h e V o r a u s s e t z u n g fiir das Erzeugen g l a t t e r Bewegungen u n d A n i m a t i o n e n

b i l d e n .

N e b e n den K o n g r u e n z t r a n s f o r m a t i o n e n , welche die Form u n d die A b m e s s u n g e n der

3 - D - O b j e k t e e r h a l r e n , gibr es eine Reihe a n d e r e r T r a n s f o r m a t i o n e n , die bei der

V e r f o r m u n g von O b j e k t e n eine Rolle sp ielen . W i r fiihren die affinen T r a n s f o r m a ­

t i o n e n ein, urn T r a n s f o r m a t i o n e n von e in em erwas a l l g e m e i n e r e n S t a n d p u n k t aus

b e t r a c h t e n zu konnen, Aus den m a t h e m a t i s c h e n B e s c h r e i b u n g e n dieser T r a n s f o r m a ­

t i o n e n w e r d e n wir e r k e n n e n , dass viele der bis d a h i n d i s k u t i e r r e n T r a n s f o r m a t i o n e n

lediglich S o n d e r f a l l e von affinen T r a n s f o r m a t i o n e n sind.

- - -

S c h i e b u n g , D r e h u n g undS p i e g e l u n g im R a u m

E b en e S c h i e b u n g e n , D r e h u n g en u n d Spiegelung en k o n n e n dir ekr in den 3-D - R a u m

v e r a l l g e m e i n e r t werden. Die se R a u m t r a n s f o r m a t i o n e n besitz en di eselben Eigen­

sch a li en wie ihre zweidimens i o n a l e n Gegen stiick e. Sie e r h a l t en die Ge stalt u n d die

Abme ssungen der b e t e i l i g t e n O b j e k t e u n d si n d d ah er rdumli che Kongruen zt rans­

[orm a ii o nen . W ie in der Eb en e unter scheiden w ir au ch im Raum zwischen gleich sinnig en

u n d g egen si n n i g en K o n g r u e n z t r an sform a t i o n e n (A b b ild u n g 6.1 ).

In d iesem Sinne w i r d j e d e K o n g r u e n z t r a n sform a t i o n , di e ein r echr s h a n d i g e s K o o r d i n a ­

t en system in ei n r e c h t s h a n d i g es K o o r d i n a t en systern a b b i l d e t , als gleich sinn ig

be zeichner. Eine g e g e n s i n n i g e K o n g r u e n z t r a n s f o r m a t i o n and ert h i n g e g e n den T yp de s

K o o r d i n a t e n s y stem s. Da s bed eutet, dass ein r e c h t s h a n d i g e s K o o r d i n a t e n system in ein

l i n k shandige s K o o r d i n a t e n system ( b zw. u m g e k e h r t ) a b g e b i l d e t wird.

zy

~

A b b . 6 . 1Gleichsinnige K o n g r u e n z t r a n s f o r m a t i o ­nen erhalten die " H a n d i g k e i t " desK o o r d i n a t e n s y s t e m s , wahrend gegen­sinnige K o n g r u e n z t r a n s f o r m a t l o n e nd iese andern. e

y -z

A/

•u n g l e i c h s i n n i g eK o n g r u e n z ­t r a n s f o r m a t i o n

O r i g i n a l f i g u r

g l e i c h s i n n i g eK o n g r u e n z ­

t r a n s f o r m a t i o n

169

Wenn wir un s mit gleich s i n n i g en K o n g r u e n z t r an sform a t i o n e n b esch aftig en, rn iissen

w ir zw ischen der Tr an sform ati on u n d der mit ihr assoziiert en ste t igen Be w e g u n g

u n t e r sch eiden, W i r h a b e n ei ne rse i ts d ie Tr an s f o r m a t i o n , di e m a n c h m a l au ch als

diskrete Bewegung b ez e ichn et wird. Sie b eschr eibt di e rel ativ e Lage d e s U r b i l d s zum

Bild eine s d r e i d i m e n sion al en O b j e k t s. A n d erer seits be schr e ibt d ie asso z iierte , s t e t ige

Bewegung den B e w e g u n g s v o r g a n g , der e i n en s t a r r e n K e r p er aus e i n e r Au sgang slage in

ei n e E n d l age iib e r f d h rt (A b b . 6.2 ).

Im F o l g e n d e n wollen w ir di e r a u m l i c h en Ko n g r u e n z t r an sfo rm ati o n e n im D etail

st u d ieren .

S c h i e b u n g ( T r a n s l a t i o n ) . In An alogi e zum e b ene n Fall w i rd e i n e r au m l ich e

S c h i e b u n g d u t c h einen Schi ebv e k t o r t b est immt. Die ser V e k t o r legt d ie R i c h t u n g u n d

den Ab s t a n d der S c h i e b u n g fest . Da s Ver schi eben eines P u n k t e s bed eut et d aher das

A d d i e r e n de s Schi e b v e k t o r s zum O r t svektor de s P u n k t e s . D a m i t beschr eibt

XI = x + a ,

ZI = z + c,

eine Sch i e b u n g mit dem Sch ieb v e k t o r t = (a, b ,c) . D e r P u n k t P, = ( X I J ' l > Z l ) ist d er

B i l d p u n k t de s P u n k r e s P = (x,y,z). W i e in der Ebene si n d eine G e r a d e g u n d ihr e

B i l d g e r a d e gl zue i n a n d er p ar allel. Zu satzlich g ilt im 3-D -Raum, das s auch j e d e Ebene E

zu ihr er Bild ebene E, p a r a l l e l l i egt (A b b . 6 .3 ) .

Abb . 6 .2( l i n k s ) Eine Abbildung b e s c h r e i b t denZusammenhang zwischen zwei ver­sch iedenen Lagen e ines Objekts.( r e c h t s ) Eine Bewegung ist der k o n t l ­nuierliche Prozess, der ein O b j e k t auseiner Ausgangs lage i n e ine EndlageOberfOhrt.

)• . c - > : :- v , ...... ..

" .

s t e t i g e Bewegung Yteines s t a r r e nK o r p e r s

(/

/z

K o n g r u e n z ­t r a n s f o r m a t ion( d i s k r e t eB e w e g u n g )

~x

" . ... . ..... . . -----.170

Dr ehung ( R o t a t i o n ) . W a h r e n d b e i ei n e r e bene n R o t at i on ein O b j e k t u rn ei ne n fes t e n

P u n kt g e d r e h t wir d , r o t i e r t im 3 - D - Ra um ein O b j ekt urn eine feste Ge r ade, d ie

D r ehach se (Rotat ionsach se). Z u sat zl i ch rn iissen wir noc h d en D r eh win kel p a nge ben .

W a h re n d e i ne r D r e h b ew eg un g b esch r e i b t j ed e r P u n k t P ei nen Kr e is k p , d essen

Tr ag e r e b e n e o rt ho g o na l z ur D r eh ach se li egt. D er S c h n i t t p u n k t di e ser E b e n e m it d er

D reh ach s e a ist d er M i t t e l p u n k t M» d e r kr e i sfo r rn igen B ahn kur ve d e s P u n k t es P. D e r

D r eh w i n k el p tr i t t au c h a ls W i n kel zw isc he n M pP u n d M PP I a u f Z u r ei n de u tige n

Fes d e g u ng d er D r e h r i c h t u n g rn iiss en wir n o ch d ie D r eh ach se a mi t ein e r Orientierung

u nd d e n W i n k e l p m i t ei nem Vor ze ich e n versehe n . Bl i cken wi r n u n e ntgege n ge se tz t

zur orie n t ie r te n D r eh ach se a, so sehe n wir d en ri c h t i g o r i e n t i e r t e n D r eh w i n k el p

(A b b . 6 .4 ) .

Ei ne R ot ati o n u rn di e z- Ac hse l as st d i e z -K oo r d i na t e n un v er a n d err, Irn G r u n d ri ss

ver hal t si c h d ie se D r e h u n g w i e e i ne e b e ne D r e h u n g urn d en Ur s p r u n g . W i r h aben

d ah e r f olg e n d e m arh em at i sch e Bes c h r e i b u n g fur ei n e D r e h u n g u rn d ie z -A ch s e m i t

d e m D r eh w inkel p ge f u n d e n:

X l = x -cos P - j -sin p,

YI = x -sin p + y ·co s p,

Anal og werd en d ie D r e h u n gen urn di e x- Ach se u n d urn die y - A ch se wie folgt b eschrieben :

Xl = x,

YI = y ·cos P - z -s in p,

XI = x-cos P + z -sin p,

YI =y ,

A b b . 6 .3Eine Schiebung wird du rch einenSch i e b v e k t o r (auch Translations ­v e k t o r ) t festgelegt.

ZI = y .si n p + z -c o s p , Zl = - x-sin p + z -cos p .

Abb . 6 . 4Eine Drehung ist durch elne o r i e n t i e r t eAchse a und einen o r i e n t i e r t e n Dreh­w inkel p best i m m t .

Z

0 . .

" .

t.. a. i - > : \ . .

PI . •.•.• ' Z I

. » >.. ,

. .

171

B e i s p i e l :

R e k o n s t r u k t i o n e i n e r a l l g e m e i n e n

D r e h a c h s e . A n g e n o m m e n , wir k e n n e n

zwei Lagen 5 1 u n d 52 e i n e r Strecke, D i e

E n d p u n k t e dieser S t r e c k e in d en jewei­

ligen Po s i t i o n e n seien m it A I> B I bezie­

h u n g s w e i s e A 2 , B 2 b e z e i c h n e t (Abb, 6.5 ).

W i e im e b e n en Fall lasst s ich d a n n im-

mer eine e i n z i g e D r e h u n g ( o d e r Schie ­

b u n g ) t i n d e n , die 5 1 in 51 a b b i l d e t .

A u f g r u n d der Tatsache, dass Al u n d A 2 ,

b e z i e h u n g swei se B I u n d B 2 jeweils

d e n s e l b e n Ab s t a n d zur D r e h a c h s e a

h a b e n , mu ss die D r e h a c h se in den b e i d e n

S y m m e t r i e e b e n e n d e r P u n k t e p a a r e A I>

A 2 u n d BI> B 2 e n t h a l r e n sein. D i e

D r e h a c h s e a k a n n d a h e r als S c h n i t t ­

gerade der b e i d e n S y m m e t r i e e b e n e n

k o n s t r u i e r t w e r d e n . D e n D r e h w i n k e l p

k o n n e n wir als W i n k e l z w i s c h e n den

G e r a d e n M AA I u n d M A A 2 able sen.

S p i e g e l u n g ( R e f l e x i o n ) . Eine r n o g l i c h e V e r a l l g e m e i n e r u n g e i n e r e b e n e n S p i e g e l u n g

ist die r a u m l i c h e Spiegelung an einer Geraden 5, der so g e n a n n t e n Spiegelach5e. Als

A l t e r n a t i v e dazu k o n n e n wir ein O b j e k t a b e r auch an e i n e r S p i e g e l e b e n e a sp ie gel n

(A b b. 6.6) . W i e im e b e n e n Fall h a b e n j e d e r P u n k t P u n d se i n B i l d p u n k t PI d e n s e l b e n

A b s t a n d von der festen S p i e g e l g e r a d e n o d e r der festen S p i e g e l e b e n e , u n d die Verbin ­

d u n g s g e r a d e n z u g e h o r i g e r P u n k t e P P l l i e g e n stets o r t h o g o n a l z u r S p i e g e l g e r a d e n 5

b e z i e h u n g s w e i s e zur S p i e g e l e b e n e a.

O b w o h l beide S p i e g e l u n g s t y p e n d i e s e l b e n E i g e n s c h a f r e n a u f w e i s e n , g i b t es d o c h e i n e n

w e s e n t l i c h e n U n t e r s c h i e d : D i e S p i e g e l u n g an der E b e n e a b i l d e r ein r e c h t s h a n d i g e s

K o o r d i n a t e n s ystern in ein l i n k s h a n d i g e s abo D a h e r ist die se A r t der S p i e g e l u n g eine

g e g e n s i n n i g e K o n g r u e n z t r a n s f o r m a t i o n . Irn U n r e r s c h i e d dazu e r h a l t die S p i e g e l u n g an

e i n e r G e r a d e n die H a n d i g k e i t de s K o o r d i n a t e n s y s t e m s . Sie ist d a h e r eine g l e i c h s i n n i g e

K o o r d i n a t e n t r a n s f o r r n a t i o n . W i r h a b e n so g a r n o c h mehr. D i e S p i e g e l u n g an e i n e r

G e r a d e n 5 l i e f e r t n a m l i c h exakt dasselbe E r g e b n i s wie eine 1 8 0 - G r a d - D r e h u n g

( H a l b d r e h u n g ) urn die S p i e g e l a c h s e 5.

172

A b b . 6 . 5Die Drehachse a lst die S c h n i t t g e r a d ezweier S y m m e t r i e e b e n e n .

". \k~ " "" " " ' r 8 2

\

Z u r H e r l e i t u n g e i n e r m a t h e r n a t i s c h e n B e s c h r e i b u n g b e t r a c h t e n wir die S p i e g e l u n g an

den K o o r d i n a t e n e b e n e n . In A n a l o g i e zu den e b e n e n S p i e g e l u n g e n muss en wir n u r da s

Vorzeichen e i n e r e i n z i g e n Ko o r d i n a t e a n d e r n . W i r e r h a l r e n d a h e r folgende

Ab b i l d u n g sgle ich u n g e n :

Spie gelung a n d er

xy - E b e n e : yz -E b e n e : zx - E b en e:

XI =X, XI = - x , Xl =X,

YI = y, Y I =Y' YI = -Y'

Z l = - z. Z l = z. Z l = z.

Fur die A b b i l d u n g s g l e i c h u n g e n der S p i e g e l u n g e n an den K o o r d i n a t e n a c h s e n er setzen

wir in diesen A b b i l d u n g s g l e i c h u n g e n den D r e h w i n k e l p d u r c h 180 G r a d . U n t e r

B e a c h t u n g v o n s i n ( 1 8 0 0) = 0 u n d cos(1800) = - 1 e r h a l t e n wir d a h e r die f o l g e n d e n

G l e i c h u n g e n :

S p i e g e l u n g an der

x-Achse: y -A c h se: z -A c hs e :

X I = X, XI = - x , XI = - x ,

Y I = - y , YI =Y' Y I = - y ,

Z l = - z. ZI = - z. ZI = z.

Bei der Spi e g e l u n g an ein er Ko o r d i n a t e n a c h s e rniissen wir also zwei Vorzeichen

a n d e r n , w a h r e n d be i der Sp iegelung an e i n e r K o o r d i n a t en ebene nur ein Vorzeichen zu

a n d e r n ist . Die s dr iickr auch di e Tatsache au s, da ss die S p i e g e l u n g an e i n e r

K o o r d i n a t e n a c h s e als Zu s a m m e n s e t z u n g zweier S p i e g e l u n g e n an K o o r d i n a t e n e b enen

i n t e r p r e t i e r t w e r d e n kann.

A b b . 6 . 6Die Splegelung an einer Geraden s tsteine g l e i c h s i n n i g e K o n g r u e n z t r a n s ­f o r m a t i o n , wah rend die Spiegelung aneiner Ebene 0 eine g e g e n s i n n i g eK o n g r u e n z t r a n s f o r m a t i o n ist .

Z

.. , ~

Z! s! 1 8 0 0

~/I

I

::-----I----- ~ Z I

-. ' - ' 4. y -~

~ T~ ~-----+- ..... )1

- ,

173

Gleitspiegelung. Auch hier v e r s u c h e n wir z u n a c h s t den z w e i d i m e n s i o n a l e n Fall zu

v e r a l l g e m e i n e r n : Die Z u s a m m e n s e t z u n g einer Spiegelung an einer G e r a d e n m i t einer

S c h i e b u n g parallel zur Spiegelachse ist die Z u s a m m e n s e t z u n g einer H a l b d r e h u n g m i t

einer S c h i e b u n g . Das ist eine g l e i c h s i n n i g e K o n g r u e n z t r a n s f o r m a t i o n u n d ein

Spezialfall einer S c h r a u b u n g , die wir sparer in diesem Kapitel s t u d i e r e n wollen . D a h e r

k o n z e n t r i e r e n wir uns n u n a u f eine a n d e r e V e r a l l g e m e i n e r u n g der e b e n e n Gleit­

s p i e g e l u n g : W i r setzen die S p i e g e l u n g an e i n e r Ebene m i t einer S c h i e b u n g parallel zur

Spiegelebene a z u s a m m e n u n d e r h a l t e n eine gegensinnige K o n g r u e n z t r a n s f o r m a t i o n ,

welche dieselben E i g e n s c h a f t e n wie die ebene G l e i t s p i e g e l u n g aufweist (Abb. 6.7).

Fiir eine m a t h e m a t i s c h e B e s c h r e i b u n g der G l e i t s p i e g e l u n g n e h m e n wir die xy- Ebene

als Spiegelebene. D a n n muss der S c h i e b v e k t o r t parallel zur xy-Ebene liegen, da s h e i l k

dass die z - K o o r d i n a e e von t == (a,b,O) N u l l sein muss. K o m b i n i e r e n wir die

G l e i c h u n g e n , die eine S p i e g e l u n g u n d eine S c h i e b u n g b e s c h r e i b e n , so e r h a l t e n wir

XI ==x+ a,

yl == Y + b,

z. == -z.

R a u m l i c h e K o n g r u e n z t r a n s f o r m a t i o n e n sind wichtige Werkzeuge beim M o d e l l i e r e n

von O b j e k t e n . W e n n wir r a u m l i c h e S y m m e t r i e n an den O b j e k t e n e r k e n n e n u n d die

e n t s p r e c h e n d e n T r a n s f o r m a t i o n e n a n w e n d e n , k o n n e n wir den D e s i g n p r o z e s s haufig

b e s c h l e u n i g e n . A b b i l d u n g 6.8 zeigt a n h a n d i n t e r e s s a n t e r A r c h i t e k r u r einige

A n w e n d u n g e n der r a u m l i c h e n K o n g r u e n z t r a n s f o r m a t i o n e n .

t

A b b . 6 . 7Eine G l e i t s p i e g e l u n g ist die Z u s a m m e n ­setzung einer Spiegelung an einer Ebene am i t e i n e r S c h i e b u n g p a r a l l e l zu d i e s e rEbene .

Abb . 6 . 8(a) Die E i s e n b a h n s t a t i o n Atocha(eri:iffnet 1 9 9 2 ) in Madrid von JoseRafael Moneo b e s t e h t aus vie len k o n g r u ­enten Teilen. Diese ki:innen durchSchiebungen a u f e i n a n d e r a b g e b i l d e twerden.(b) Mittels einer Schiebbewegung kannein Teil des Daches des Palacio V i s t a l e g r eArena (2000 von Jaime Perez) in Madridgei:iffnet bzw. geschlossen werden.

(a)

174

(b) (c)

(c)

A b b . 6 . 8(c) Das Chateau de Chambord ( 1 5 1 9 ­1547) ist s p i e g e l s y m m e t r i s c h bezOglicheiner l o t r e c h t e n Ebene.

A b b . 6 .9(a) Ein Rhombendodekaeder kanndurch HinzufOgen von sechs k o n g r u ­enten Pyramiden an die sechs Seiten­flachen eines WOrfels erzeugt werden.

B e i s p i e l :

R h o m b e o d o d e k a e d e r . In K a p i t e l 3

haben wir das R h o m b e n d o d e k a e d e r

kennen gelernt, mit dem wir den drei­

d i m e n s i o n a l e n Raum liickenlos fiillen

k o n n e n . Zur K o n s t r u k t i o n eines

R h o m b e n d o d e k a e d e r s s t a r t e n wir mit

einem Wiirfel und fiigen sechs kongru­

ente P y r a m i d e n an den Seitenflachen an

(Abb. 6.9a). Die H o h e dieser P y r a m i d e n

muss dabei gleich groB wie die halbe

K a n t e n l a n g e des Wtirfels sein, D a n n

liegen je zwei D r e i e c k s f a c e t t e n benach­

b a r t e r P y r a m i d e n in derselben Ebene.

(b, c) Die Anwendung g e e i g n e t e rDrehungen v e r e i n f a c h t denK o n s t r u k t i o n s p r o z e s s .

Z u r Vereinfachung des Modellierungs­

prozesses k o n s t r u i e r e n wir nur eine

Pyramide und kopieren diese in die an­

deren f i i n f P o s i t i o n e n . Dazu wenden wir

D r e h u n g e n urn die beiden Symmetrie­

achsen a, u n d a 2 des Wiirfels an. SchlieB­

lich vereinigen wir aile sechs P y r a m i d e n

mit dem Ausgangswiirfel. Die Abbil­

dungen 9 b - d zeigen eine Sequenz dieses

Modelliervorgangs.

(d) Wenden wir die BoolescheVereinigung auf den WOrfel und diesechs Pyramiden an, so e r h a l t e n wirein Rhombendodekaeder.

(a) (b) (c) (d)

175

Z u s a m m e n s e t z u n g von T r a n s f o r m a t i o n e n . W i e im z w e i d i m e n s i o n a l e n Fall e r g i b t

die Z u s a m m e n s e t z u n g zweier gleich s i n n i g e r o d e r zweier g e g e n s i n n i g e r K o n g r u e n z ­

t r a n s f o r m a t i o n e n eine g l e i c h s i n n i g e K o n g r u e n z t r a n s f o r m a t i o n . Die Zu s a m m e n ­

se t z u n g einer g l e i c h s i n n i g e n mit einer g e g e n s i n n i g e n K o n g r u e n z t r a n s f o r m a t i o n

r e s u l t i e r t h i n g e g e n in einer gegen s i n n i g e n K o n g r u e n z t r a n s f o r m a t i o n . W i r illu s t r i e r e n

diesen S a c h v e r h a l t a n h a n d einiger Beispiele (A b b . 6.10 ).

• Die Z u s a m m e n s e t z u n g zweier S p i e g e l u n g e n an n i c h t parallel en Spiegel­

e b e n e n OJ u n d 0 2 ist eine D r e h u n g urn eine Achse a, die wir als S c h n i t t g e r a d e

der b e i d e n S p i e g e l e b e n e n e r h a l t e n . W i r merken n o c h an , dass der

D r e h w i n k e l d o p p e l t so grog ist wie der von den S p i e g e l e b e n e n OJ u n d 0 2

eingeschlossene W i n k e l (vergleiche die im Kapitel 5 b e s c h r i e b e n e n , a n a l o g e n

S a c h v e r h a l t e fur den e b e n e n Fall) .

z

y

' .

( a )

. .. . .. ... . · I····.Y~:/:~~·,·"'. ::: .. :::· ·o.V· · · · · ·~ '.

'.~ __ -- 1-a-,~--=.c:.... :..:.. . . ..... 0, . , / -- ' '~"""""""" " a' 2" "" " '~~ : ~'•. :','. . . .. !. .. . .. .. . .. .". » >~ I " ' : : ': ..> , i · ···· z

. <p ; >~ : .: :.:· ·· ·· ····· ·· ·· r : : : : : : : .. ···· ·oP

' i ", ,,'. i - : e ,5 " "/ ?," . I ,

I , , , , , , , , ,

.. ,

( b )

176

• Zwei D r e h u n g e n m i t s e h n e i d e n d e n D r e h a e h s e n al u n d a2 k o n n e n d u r e h e in e

e i n z i g e D r e h u n g urn e ine neue D r ehachse a er setzt w e r d e n . D e r S c h n i t t ­

p u n k t S der D r e h a c h s e n al u n d a2 a n d e r t bei A n w e n d u n g b e i d e r D r e h u n g e n

sein e Lag e n i c h r . Er muss d a h er auch ein F i x p u n k t der zus a m m e n g e s e t z t e n

A b b i l d u n g sein . Folglich e n t h a l t d ie neue D r e h a c h s e a auch den S c h n i t t ­

p u n k t S .

• Die Z u s a m m e n s e t z u n g einer D r e h u n g m it einer Spiegelung a n einer Ebene a ,bei der die Spiegelebene a die D r e h a c h s e a e n t h a l t , erzeugt eine einzelne

Spiegelung an ein er n euen Spiegelebene 0 1' Samtliche P u n k r e der D r e h a c h s e a

bleiben bei A n w e n d u n g beider A b b i l d u n g e n fest. Die neue Sp iegelebene 01 der

z u s a m m e n g e s e t z t e n A b b i l d u n g e n t h a l t d a h e r die D r e h a c h s e a.

1m l e t z t e n Beispiel h a t t e n wir ein e spezielle, gegen seitige Lage der S p i e g e l e b e n e u n d

der D r e h a c h s e . D a h e r k o n n t en wir die Z u s a m m e n s e t z u n g der b e i d e n T r a n s f o r m a ­

t i o n e n d u r e h eine e i n z e l n e S p i e g e l u n g an e iner E b e n e e r s e t z e n . W i e man zeigen k ann,

ergibr im Allgeme inen die Z u s a m m e n s e t z u n g ei n e r S p i e g e l u n g m i t e i n e r D r e h u n g eine

G l e i t s p i e g e l u n g o d e r eine S p i e g e l u n g a n e i n e r E b e n e .

( e)

A b b . 6 . 1 0Z u s a m m e n s e t z u n g von g l e i c h s i n n i g e nund g e g e n s i n n i g e n K o n g r u e n z t r a n s ­f o r m a t ionen .(a) Zwei S p i e g e l u n g e n konnen durcheine einzige Drehung e r s e t z t werden .( b ) Zwe i D r e h u n g e n m i t s c h n e i d e n d e nAchsen ergeben eine einzelne D rehung.(c) Eine D r e h u n g und elne Spiege­lung, bei der die S p i e g e l e b e n e 0 dieDrehachse a e n t h a l t , kann durch eineeinzige Sp iegelung e r s e t z t werden .

.~.· .-· .· .o

cr : 0

. . . . . . . . . . . . . ..." " , z

177

B e t r a c h t e n wir den allgemeinen Fall des zweiten Beispiels (die Zu s a m m e n s e t z u n g

zweier D r e h u n g e n m i t w i n d s c h i e f e n D r ehach sen ) , so s t ell t sich h er aus, d a ss diese

Zu s a m m e n s e t z u n g weder d u r c h e ine einzelne D r e h u n g n o c h d u r c h e ine S c h i e b u n g

er setzt werden kann. Da sselb e gilt fur die Zu s a m m e n s e t z u n g e in e r S c h i e b u n g u n d

einer D r e h u n g . Tarsachlich k o n n e n diese Z u s a m m e n s e t z u n g en d u r c h ei n e einzelne ,

w e it er e gleich sinnige K o n g r u e n z t r a n s f orm a t i o n er setzt werd en , di e w ir bi sher n o c h

ni cht s t u d ie r t haben. Bevor wir un s eingeh ender m i t die ser T r a n s f o r m a t i o n be schaf­

rigen , b e t o n e n w i r n o c h m a l s d ie wichtige T at sache , da ss die R e i h e n f o l g e , in der wir die

A b b i l d u n g e n a n w e n d e n , die Endl age de s tran s f o r m i e r t e n Objekr s w esen t l ich beein ­

flusst (A b b. 6 .11 ).

( a)

· .· ..· .0" . .

.. ~ ... '

( b )

178

. :

y/

/

/

/

/ a

I

Spiegelung +Drehung

/ a

D r e h u n g +S p i e g e l u n g

A b b . 6 . 1 1Unterschiedliche Reihenfolgen bei derAusObung von Transforrnationen ergebenuntersch iedliche, zusarnrnengesetzteTransforrnationen .(a) Das O b j e k t wird z u e r s t an derEbene a g e s p i e g e l t und dann urn d ieGerade a g e d r e h t .(b) Hier wird das O b j e k t zuerst urn dieGerade a g e d r e h t und anschlieBend ander Ebene a g e s p i e g e l t .

S c h r a u b u n gDie a l l g e m e i n s t e g e g e n s i n n i g e R a u m t r a n s f o r m a t i o n ist die G l e i t s p i e g e l u n g , eine

Z u s a m m e n s e t z u n g e i n e r S p i e g e l u n g u n d e i n e r s p e z i e l l e n S c h i e b u n g . Die S c h r a u b u n g

ist - als das g l e i c h s i n n i g k o n g r u e n t e G e g e n s t u c k dazu - eine Z u s a m m e n s e t z u n g e i n e r

D r e h u n g urn die S c h r a u b a c h s e a m i t e i n e r S c h i e b u n g p a r a l l e l zur S c h r a u b a c h s e

(Abb . 6.12). Sie ist die a l l g e m e i n s t e g l e i c h s i n n i g e K o n g r u e n z t r a n s f o r m a t i o n im R a u m .

1m K a p i t e l 5 iiber ebene T r a n s f o r m a t i o n e n h a b e n wir g e l e r n t , dass es i m m e r eine

e i n z e l n e D r e h u n g (oder S c h i e b u n g ) gibt, die ein O b j e k t aus e i n e r g e g e b e n e n

Ausgangslage in eine b e s t i m m t e E n d l a g e bewegt. W e n n wir S c h i e b u n g e n u n d

D r e h u n g e n als Spezialfalle von S c h r a u b u n g e n auffassen, d a n n k o n n e n wir eine

a h n l i c h e Aussage fur den 3 - D - R a u m treffen , die b e s o n d e r s beim S t u d i u m von

R a u m b e w e g u n g e n von grofSer B e d e u t u n g ist,

Zu zwei verschiedenen, gegebenen (gleichsinnigen) Lagen eines starren Kiirpers gibt es

immer genau eine einzelne Schraubung, die das Objekt von der Ausgangslage in die

Endlage uberfUhrt.

a .//

-t-/

, . •• • • =;=

/

/

I Y'. /. ~

..~ .../ ' "

A b b . 6 . 1 2Eine Schraubung ist die Z u s a m m e n ­setzung einer Drehung um eine Achse aund einer Schiebung parallel zu dieserAchse.

179

Urn ein O b j e k t o d e r ein b eliebig es K o o rd i n a t e n system v o n e iner P o sitio n in ein e

an de r e z u verlagern , k o n n en w i r imm er ei n e e inz el n e S c h r a u b u n g a nwe n de n . Gl u ck­

li che rwe ise ste l l en die m eist en C AD -Systeme eigen e Werk zeuge zur Verfiig u n g ,

welch e d ie Ang abe die ser Schra u bun g erl eich t er n . T at sachli ch r e icht es aus, d ie b eiden

L ag en AI B I C l und A 2 B 2 C 2 ei ne s D r eieck s A B C, da s mi t d em O b j ekt ve rkn u p ti ist,

fe s t z u l e g e n (A b b. 6 . l 3 a ) . In d e r Pr a xis ver fah re n wir, w ie i m folg end en Be ispiel

be schr ieben.

B e i s p i e l :

V e r l a g e r u n g e i n e s O b j e k t s . G eg eb en

ist ein O b j e k t im dr e i d i m e n sion alen

R aum in all g em e in er Lag e (A b b . 6 .13b ).

W i r w o llen n u n da s O b j e k t so ve rlage rn,

d ass d ie O b j e k r p u n k t e A , B u n d C in der

Eb en e E z u liegen k o m m en.

Bei d er Verw e n d u n g eines C A D - S ystem s

legen w ir inr erakriv der Reih e n ach d en

P u n k t A als Ur sprung und di e G erad e A B

als x- A ch se eine s H ilfsko o r d i n a t en­

syst ems fest . D u r c h Au swahl eines d r i t t e n

Punktes C fixieren w ir d ie xy-E b ene u n d

die R i c h t u n g d er y -Ac hse . D amit ist auch

d ie z -A chse d ieses H i l fsko o r d i n a t e n ­

syste ms b e s t i m m t . Z u m Verla ge rn d es

O b j ekt s mii ssen w i r nun n o ch di e neue

Lage d ieses H i l f s k o o r d i n at en systems

d efin ieren .

W i e d e r l egen wir der R eih e n ach di e

n eu e P o sit i on A ' von A, einen P u n k t 1

au f d er neu en x -A ch se und ein en P u n k t 2

in d er Eb ene E fest. D ie Ang abe di eser

sechs P u n k t e b e s t i m m t n u n j en e Schr au­

b u n g , d ie d as D r eieck AB C in d a s D r ei­

e ck A 'B' C' abbildet, Abh an g ig vo n der

Wa h l de s P u n k t es 2 ( r e ch cs od er lin k s

vo n de r x - A c hse) liegt d ann d as O b jekt

ob erh alb o der u n t erhalb d er Eb en e E .

z'

(a)

( b )

A b b . 6 . 1 3(a) Eine gleichsinnige Kongruenztrans­f o r m a t i o n kann i m m e r durch zwe iLagen AlB1C l und A 2 B 2 C 2 eines Dre i ­ecks A B C f e s t g e l e g t werden .(b) Zur Verlagerung eines Objekts imd r e i d i m e n s i o n a l e n Raum verwendenw i r drei, m i t dem O b j e k t v e r k n u p f t ePunkte A, B und C, urn ein Hilfskoord i­n a t e n s y s t e m festzu legen. Die neueLage des Hilfskoo rd i n a t e n s y s t e m s w irddurch die Punkte A', 1 und 2 best l m m t .

180

B e i s p i e l :

R e k o n s t r u k t i o n d e r S c h r a u b a c h s e .

W i r n e h m e n an, dass wir zwei Lagen

AIBIC l und AzB z C: eines D r e i e c k s A B C

kennen. W i r wollen nun die S c h r a u b ­

ach se, den D r e h w i n k e l und den Schieb­

vektor der d a d u r c h b e s t i m m t e n Schrau­

b u n g rekon s t r u i e r e n .

D e r Vektor a = a z - a l (fest g eleg t d u r c h

die b e i d e n Po s i t i o n e n AI u n d A z de s

E c k p u n k t s A ) k a n n al s S u m m e de s

Translations- oder Schiebvekror s t und

eines Vekrors f a aufgefasst werden, wo b e i

t parallel und f a o r t h o g o n a l zur Schraub­

achse liegen ( A b b i l d u n g 6 . l 4 a ).

Das gilt fUr aile drei Vektoren a, b u n d c,

die jeweils d u r c h die beiden Lagen der

E c k p u n k t e des Dreiecks b e s t i m m t sind

(Abb . 6.14b). D a h e r ist, wie die einfache

R e c h n u n g

a - b = r a + t - (r , + r ) = r a - f b zeigt,

die Differenz von jedem Paar dieser

Vektoren ein Vektor o r t h o g o n a l zu t.

Fixieren wir nun die Vektoren a, b und c

im U r s p r u n g 0 , dann konnen wir sie als

O r t s v e k t o r e n von drei P u n k t e n P , Q und

R i n t e r p r e t i e r e n , die eine Ebene E bestim ­

men (A b b . 6 . l 4c ). Die Seiten d ieses Drei­

ecks definieren dann die Differenzen­

vek t o r en a - b, b - c und c - a. D a h e r

sin d aile Seiten de s D reiecks PQR normal

zum Schiebvektor t , und d a m i t ist die

gesamte Eben e E o r t h o g o n a l zu t. W i r

finden die R i c h t u n g der Schraubachse als

eine Normale der H i l f sebene E. Weiters

legt der A b s t a n d der Ebene E vom

U r s p r u n g die Lange de s Schiebvektors

fest.

Nun verschieben wir mit Hilfe des nega­

tiven Schiebvektors - t das Dreieck

A zB1C Z in die Zwischenlage AoBoC o , die

aus der Originallage durch eine einfache

D r e h u n g hervorgeht. Die Achse dieser

D r e h u n g ist dann die gesuchte Schraub­

achse. W i r finden diese Drehachse und

damit den ebenfalls gesuchten Drehwin­

kel als S c h n i t t g e r a d e zweier Symmetri c­

ebenen (verg leich e das Beispiel "Rekon s­

t r u k t i o n einer allgemeinen Drehachse"),

Folgende Spezialfalle konnen im Verlauf

der Kon s t r u k t i o n aufireren:

• Falls die Vektoren a , b und c zueinander

parallel sin d , dann miissen sie auch gleich

lang sein. In diesem Fall vereinfacht sich

die Tr an sformation zu einer Schiebung

mit dem Schiebvektor a = b = c .• Falls die Ebene E d e n U r s p r u n g 0 ent­

halt , dann v e r s c h w i n d e t der Schieb­

anteil , u n d wir haben eine D r e h u n g (die

wir schon in einem friiheren Beispiel

u n t e r s u c h t haben).

A b b . 6 . 1 4R e k o n s t r u k t i o n der Schraubachse elnerallgemeinen, gleichsinnigen Kongruenz­t r a n s f o r m a t i o n .

( a)S c h r a u b ­achse

i /t j;

Ii D r e h -i w i n k e l

V

c ,

( b) (c)

o

181

Schraubbewegung. Die Verlagerung eines starren Korpers von einer Position in eine

andere kann durch eine einzige Transformation, die (diskrete) Schraubung bewerk­

srelligr werden, Diese Abbildung konnen wir in einen stetigen Bewegungsablauf, der

Schraubbewegung, e i n b e t r e n , Dabei wird ein O b j e k t k o n t i n u i e r l i c h um die Schraub­

achse gedreht und gleichzeitig langs dieser Achse so verschoben, dass die Schiebstrecke

p r o p o r t i o n a l zum Drehwinkel P ist ,

Wir wollen diese Bewegung nun eingehenderbetrachten. Angenommen der Punkt Q wird

mittels einer Drehung urn die Achse a (Drehwinkel PI) und einer Schiebung parallel zu a in

die Position 2 verlagert. Die Lange der Schiebstrecke bezeichnen wir mit S I, wobei wir S I

mit einem Vorzeichen versehen (positiv, wenn die Schiebungin Richtung der orientierten

Drehachse ausgefuhrt wird, andernfalls negativ). Wir konnen nun dieselbe (diskrere)

Schraubungimmer wieder anwenden, urn die Punkte Q2J Q;, und so weiter zu erhalren. Wir

bemerken noch, dasswir Q2 auch aus Q durch eine (diskrete) Schraubungmit dem

Drehwinkel P2 = 2'PI und der Schiebsrrecke r, = 2,s l erzeugen konnen,

Die n-te Position Qn hangt dann mit dem P u n k t Q durch eine D r e h u n g mit

Drehwinkel n- PI und einer Schiebung mit Schiebstrecke n . SI zusammen . Wenn wir

nun diesen Prozess verfeinern und aIle dadurch e n t s t e h e n d e n Zwischenpositionen

beriicksichtigen, erhalten wir eine (sretige) Schraubbewegung (Abb. 6.15) . Je zwei

verschiedene Lagen eines starren Korpers, auf den eine Schraubbewegung ausgeiibt

wird, hangen durch eine D r e h u n g um die Achse a und eine Schiebung parallel zu a

zusammen. Die Schiebstrecke ist dabei ein Vielfaches p . p des Drehwinkels p. Der

Faktor p bleibt dabei konsrant . Er kann aus zwei beliebigen Lagen (z.B., aus Q und QImit p = S/PI) b e r e c h n e t werden, und wir bezeichnen ihn als Schraubparameter .

S c h r a u b l i n i e

A b b . 6 . 1 5Wahrend e i n e r Schraubbewegung lauftein Punkt Q auf einer Schraubllnie .

a

.. .' . .," ' .

- ,

. . ,.. '

. . '

.. ,

I

j a,. ... ! .I

~ ::: : !:::: ::::.~......... __ L

I

I

..... ... . . . . . . . . . . . . . .

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... ...

182

A b b . 6 . 1 6Einige b e m e r k e n s w e r t e Eigenschaftenelner Schraublinie.

Entsprechend unserer Vorzeichenkonvention hat p ein positives Vorzeichen, wennbei positivem Drehwinkel p die Schiebung in Richtung der o r i e n t i e r t e n Schraub­

achse a ausgefiihrt w ird. Andernfall s ist p negativ. Im FaIle e in es positiven Schraub­

parameters (p > 0) sprechen wir von einer rechtsgdngigen Schraubung, wahrend ein

negativer Schraubparameter (p < 0) zu einer linksg dngigen Schraubung g e h o r t , Fur

p = 0 erhalten wir eine Drehbewegung und p = oo("unendlich") liefert die st e t ige

Schiebung parallel zu a - ein Grenzfall der Schraubbewegung.

Wahr end einer Schraubbewegung durchlauti jeder Punkt Q aulserhalb der Schraubachse

eine Bahnkurve, die wir als Schraublinie bezeichnen. Nach einer vollen Umdrehung

erreicht der Punkt P die Position R. Die zugehorige Schiebstrecke nennen wir die

GanghOh e h der Schraubung. Der Schraubparameter p h angt nun mit der Canghohe h

iiber die Gleichungp = h l(2rr,) zusammen, wobei wir den Winkel im BogenmaB messen.

]e nach Vorzeichen des Schraubparameters unterscheiden wir auch bei Schraublinien

zwischen rechtsgangig und l inksgangig, Wir merken hier noch an, dass eine rechts­

gangige Schraublinie weder durch eine Drehung urn eine horizonrale Gerade noch urn

eine allgemeine Gerade in eine link sgangige iibergefiihrtwerden kann .

Schraublinien haben eine Menge bemerkenswerter Eigenschaften , die sie zu interes­

santen Objekten fur Architektur und Design machen (Abb. 6 .17). Einige dieser Eigen­

sch afien sin d in Abbildung 6 .16 illustriert.

• ]ede Schraublinie liegt zur Ganze auf einem Drehzylinder <1>. Die Achse

dieses Tragerzylinders ist die Schraubachse.

• Der von allen Kurventangenren und einer zur Schraubachse norm alen Ebene

eingeschlossen e Winkel a ist konstant.

• Als eine Folge dieser Eigenschafi: konnen wir den Tragerzylinder hngs einer

Erzeugenden (parallel zur Schraubachse) au fsch n eiden, ihn in d ie Ebene

ausbreiten und erhalten eine Gerade cd als Bild der Schraublinie c in der

Abwicklung <1> d.

• Bei Anwendung einer Schraubung au f eine Schraublinie geht diese als Ganzes

in sich uber, Di ese Eigenschaft ist die Ursache fur die Arbeitsweise von

Schrauben.

N o r m a l e b e n e d e r S c h r a u b a c h s e a

183

Mathematische Beschreibung. Fur eine mathernatische Beschreibung der

Schraubung legen wir die Schraubachse in die z-A ch se. D a n n mussen wir lediglich eine

D r e h u n g urn die z-Achse mit einer Schiebung parallel zur z -Achse kombinieren.

Xl = x ·cos P - y .sin p,

Yl = x -sin p + y·cos p,

Z l = z + p.p.

In die sen Abbildungsgleichungen beschreibt p den Drehwinkel und p den Schraub­p a r a m e t e r . Fur einen festen Wert p erhalt en wir die (diskrete) Schraubung . N i m m t

h ingegen p alle Werte innerhalb eines gegebenen Intervalls an, so beschreiben die

Abbildungsgleichungen eine (stetige) Schraubbewegung.

( a )

A b b . 6 . 1 7Anwendungen von Schraublinien i nA r c h i t e k t u r und Design.(a) Ein Stiegenaufgang imSchloss H a r t e n f e l s in Torgau .(b) Ein St iegenhaus desWaddesdon Landhauses ( 1 8 7 4 - 1 8 8 9 )in Buckinghamsh ire, England .(c) Ein St iegenaufgang i mVatikanischen Museum i n Rom.

(b )

(a) (b)

Abb . 6 . 1 8Drei Grundszenarien beim Erstellen vonA n i m a t i o n e n :(a) s t a t ische Kamera und bewegtesO b j e k t ,(b) bewegte Kamera und statischesO b j e k t und(c) bewegte Kamera und bewegtesObjekt.

186

(c)

Die H e r s t e l l u n g qualitativ h o c h w e r t i g e r Bilder und professioneller A n i m a t i o n e n ist eine

wesentliche Voraussetzung fur die erfolgreiche P r a s e n t a t i o n von A r c h i t e k t u r p r o j e k t e n .

Bewegte O b j e k t e u n d Kameras driicken die I n t e n t i o n e n u n d Ideen eines A r c h i r e k r e n

meist besser aus als statische Bilder. M i t den bereits e r l e r n t e n Kenntnissen iiber diskrete

T r a n s f o r m a t i o n e n u n d ihren assoziierten , stetigen Bewegungen sind wir nun in der Lage,

uns mit den G r u n d k o n z e p t e n zur Erzeugung von A n i m a t i o n e n auseinanderzusetzen.

Urn den Prozess der A n i m a t i o n s e r z e u g u n g zu v e r s t e h e n , versetzen wir uns in die Lage

eines Regisseurs. Dieser hat im W e s e n t l i c h e n i m m e r mit den f o l g e n d e n drei Szenarien

zu t u n (Abb. 6.18):

• Eine feste K a m e r a filmt bewegte Akreure u n d O b j e k t e ,

• Eine bewegte K a m e r a n i m m t statische E l e m e n t e a u f .

• Eine bewegte K a m e r a filmt bewegte A k t e u r e u n d O b j e k t e ,

In A n a l o g i e dazu erzeugen wir A n i m a t i o n e n , die a u f d e n s e l b e n Szenarien b e r u h e n .

Aber a n s t a t t m i t einer realen K a m e r a zu filmen, w e n d e n wir passende T r a n s f e r ­

m a t i o n e n a u f unsere d i g i t a l e n M o d e l l e u n d / o d e r v i r t u e l l e n Kameras an. D a n n stellen

wir eine Reihe von leicht u n t e r s c h i e d l i c h e n E i n z e l b i l d e r n her, urn die Illusion e i n e r

g l a t t e n Bewegung zu erzeugen. Diese Einzelbilder, die a u t o m a t i s i e r t von der C A D ­

Software b e r e c h n e t w e r d e n , b e z e i c h n e t man oft in der F a c h s p r a c h e als Frames (aus

dem E n g l i s c h e n ) . Fur eine w i r k l i c h i i b e r z e u g e n d e Illusion einer g l a t t e n B e w e g u n g

sollte der Film d a n n mit etwa 30 E i n z e l b i l d e r n pro S e k u n d e abgespielt w e r d e n .

187

Di e m eist en C A D - S ystem e s te l le n ei n e Reih e a us ge fe il t e r We r k ze u ge z ur Ver fiig un g,

w elc h e di e H e r st e l l u n g e iner Se r i e vo n E inz el b ilde rn verei nfac h e n. U n t er di esen

We r k ze u gen 6 n d e n sic h au ch jen e, wel c he di e U mse t zu ng d er dr ei fo lge n de n G ru n d­

kon zept e unter stiitz en.

• Fe scle g u n g von Sc hlusse lbil dern (e ng !. Key Frames), we lc he d i e L ag e vo n

Obj ek t en zu gege bene n Z e i r p u n k c en d e 6 n i e r e n . Di e So ft w a r e b e r echn et

d an n d ar au s Z wi sch enl ag en d e r O b j ekr e .

• Fescl e g u n g von P f t d en , a u f d e n en die O b jekte od er K am er as b e w egt w er d e n .

• Fesd e g u n g v o n R a u m p o s i t i o n en sow i e der b est i r n m e n d en P a r a m e t er von

O b j e k r e n , Kam er a s u n d Li c h t e r n m i t Hilfe m ath em ati sch e r Beschre i b u n g en.

Die s g e s c h i e h t d u r ch Scri pten ( Besc h r e ib en) de s g e s a m t e n Pro ze sses, der d ie

p aram etris ch e Bew e g u n g s te ue r t

D u r c h K o m b i n a t i o n di eser M e t h o d e n k o n n e n w ir anim ierte Pr asent ati on en un serer

d i g i t alen M o d e l l e he rst ellen.

Einsatz von S c h l i i s s e l b i l d e r n . D er Ein s atz vo n Schlii s s e l b i l d e r n zur E rze ug u n g vo n

A n i m ati o n e n ist r e c h t e i n f ach. D i e G r u n d id ee ist dabe i, ve rsch iede ne P o s i t i o n e n e ines

O b jekcs ( d i e Schliis s e l b i l d e r , eng!. Key F ra mes) zu definie ren u n d die Soft w ar e d a n n

die Z wi s c h e n l agen d ieses O b j ekr s b e r e c h n en zu l a ssen. In A b b il d u ng 6.19 ze ige n wi r

d i es e T e c h n i k a n h a n d de r Z erl e g u n g d e r " Z ET A -S k u lp t u r " vo n E R . Briid erlin . H i e r

legen w i r z .B. vi e r Po s it ion en (Sc h l ussel p os i tio ne n) f est , d ie d e r b r a u n e Teil im Ve rla u f

sei ne r Bew e g u n g e i n n i m m t .

Z ur Simulation eine r st e ti gen Bew egung m uss die Softwar e we it ere L agen zwische n je zwei

aufein a n d e r f o l g e n d e n ScWiisselpositionen b erechnen . D ie Bere c h n u n g d er in te r ­

polier end en Objekcpo sition en zwische n zwei ScWiisselposit ionen w ird gro Bte ils mit H i l f e

vo n Q u arerni onen und d er Vektorr e c h n u n g d u r c h g e f i i h r t . Quare rni on e n werd en h aufig

b e n u t z t , urn raumliche Bewegungen in ein er k o m p a k t e n Form zu beschreiben. Sie sin d ein

mathematisch es Konzept, das di e komple xen Zahlen (s iehe A n h an g ) ve rallgem ein ert .

» >S c h l i i s s e l b i l d e r

188

Z w i s c h e n l a g e n

Sc h Ws s e l b il d e r

/

II

I

I

Abb . 6 . 1 9Bei der Zerlegung der " Z E T A - S k u l p t u r "werden SchlOsselbilder v e r w e n d e t , urndie Bewegung des braunen Teils zudefin ieren. Die Software berechnetdu rch I n t e r p o l a t ion der SchlOssel­posit ion en weite re ZW ischenlagen desOb j e k t s .

Urn beim A r b e i t e n m i t S c h l i i s s e l b i l d e r n gute Ergebnisse zu e r z i e l e n , legen wir die Lage

un serer O b j e k r e zu b e s o n d e r s k r i t i s c h e n Z e i t p u n k t e n fest . O b w o h l die Software die

G e s a m t b e w e g u n g k o n r r o l l i e r t , hat der B e n u t z e r z u m i n d e s t die M 6 g l i c h k e i t , diese

B e w e g u n g in den k r i t i s c h e n S i t u a t i o n e n zu b e e i n f l u s s e n . In A b b i l d u n g 6 .19 ist die

B e w e g u n g de s b r a u n e n Teils aus e i n e r nach o b e n v e r l a u f e n d e n S c h i e b u n g , einer d a r a u f

f o l g e n d e n , a l l g e m e i n e n B e w e g u n g (die das O b j e k t a u f den K o p f stellt) u n d e i n e r

ab s c h l i c l s e n d e n , nach u n t e n v e r l a u f e n d e n S c h i e b u n g (die das O b j e k t w i e d e r in die

S t a n d e b e n e v e r l a g e r t ) z u s a m m e n g e s e t z t . Urn diese B e w e g u n g festzulegen, h a b e n wir

die S c h l i i s s e l b i l d e r jeweils am Beginn u n d am E n d e der S c h i e b u n g e n (das s i n d ja auch

die S c h l i i s s e l p o s i t i o n e n der B e w e g u n g ) d e f i n i e r t .

Z u s a m m e n f a s s e n d stellen wir fest, dass das A r b e i t e n m i t S c h l i i s s e l b i l d e r n eine schnelle

u n d e i n f a c h e M e t h o d e zur H e r s t e l l u n g von A n i m a t i o n e n ist . Sie f u n k t i o n iert r e c h t

gut, so lange wir n i c h r die volle K o n r r o l l e iiber die B e w e g u n g h a b e n miissen .

A n i m a t i o n m i t p f a d e n . Ein a n d e r e r , e i n f a c h e r Z u g a n g zu A n i m a t i o n e n b e s t e h t im

Festlegen von P f a d e n , a u f d e n e n sich die O b j e k t e bewegen. D a z u miissen wir l e d i g l i c h

eine Kurve e r z e u g e n u n d das O b j e k t an diese a n h a n g e n , D a n n folgt das O b j e k t dieser

B a h n k u r v e u n d e r z e u g t s o m i t eine glatte B e w e g u n g (Abb . 6.20). Die m e i s t e n

C A D - S y s t e m e e r l a u b e n z u s a t z l i c h die F e s t l e g u n g de r G e s c h w i n d i g k e i t , m i t der das

O b j e k t langs der g e g e b e n e n B a h n k u r v e b e w e g t wird. D a z u geben wir zu j e d e m

Z e i t p u n k t die genaue P o s i t i o n eines P u n k t e s a u f der B a h n k u r v e an (Abb . 6 .21). Das

O b j e k t k a n n s t o p p e n , sich r i i c k w a r t s bewegen o d e r auch vor- u n d z u r i i c k f a h r e n .

A b b . 6 . 2 0Der zweite Teil der ZETA-Skulptur wirdlangs eines pfades bewegt.

(a) a l l g e m e i n e B e w e g u n g l a n q s e i n e s pfades

A u s g a n g s l a g e

A u s g a n g s l a g e

II

. · · · · · 0 · .

:. B a h n k u r v e

' 0 - ,

o B e b n k u r v e :

t r a n s l a t o r i s c h e B e w e g u n g l a n g s e i n e s pfades(b)Z e i t

A b b . 6 . 2 1Mit Hilfe eines G e s c h w i n d i g k e i t s ­oder Weg - Z e i t - D i a g r a m m e s k6nnenw i r die G e s c h w i n d i g k e i t im V e r l a u fder Bewegung s t e u e r n .

189

D as Festlegen der B a h n k u r ve eines ei n zigen P u n k t e s P reicht alle rd i ngs n i cht au s, di e

Be wegun g d es ge s a m t e n Korp er s exakt zu b es chreiben . U rn d i esen Sachve r ha lt b esser zu

verste he n, ve rseh e n w i r d as b ew egt e O b j ekt mi t ei ne m lok alen K o ord in at en syst em m it

U rsp ru ng im P u n k t P. Kl ar er w eise b esch reibt di e Po siti on d es U rsp ru ngs allein n i c h t d ie

L age d es g esamt en Koordinarensystems, W i r b enorig en dah er no ch zu sarzlich die

Au sr ic h t u ng der K o o r d i n a t e n ach sen , welche d ie Orient i erung d es star re n Korp er s

festl egen . Ei n O b j e k t k a n n d esh alb b ei d er Bew egung lang s ei nes P f ad es e nrw ede r

a u t o ma risch be i einer Ri c h t u n gsand erun g d e r B a h n k u r ve m itg e d r eht we rde n

(A b b. 6.20 a) o d e r es w ir d lan g s der B a h n k u r ve o h n e D r e h u n g versch o be n (A b b . 6 .20b ) .

Im zwe i te n Fall h a n d e l t es sic h urn ein e re in e S c h i e b u n g l ang s d es P f ad es, di e haufig auch

als . r r an slatori sche Bewegung " b e z e i c h n e t w i rd .

A n i m a t i o n s s k r i p t e . D a s A rb eit en m i t Schlii s s e l b i l d e r n u n d P f ad en e r rno g l ic h t ein

r asch es u n d ei n fac h es H e r st ell en von A n i m a t i o n e n . Aber d iese T e c h n i k en e rla u be n

n i c h t di e K o n t r o l l e iib er j e d es D e t ail ei n e r Be w e g u n g . Di e Erz eu g u n g k o m p l e x e r

A n i m a t i o n en e r f o r d e r t dah er au sg e f eilt er e M e t h o d en, di e es uns e r rnog lic h e n, die

P o sit io n (vo n R e f e r e n z p u n k t en ) und di e O r i e n t i e r u n g d er O b j ekt e als F u n k t i o n d er

Z e it a nz u gebe n . D a di e jewe il ige n Be w e g u n g en m eist a u f e i n zel ne O b j ekte o d er

O b j e k t t e i l e b eschr a n k t si n d, ar bei ten w ir m i t l ok alen K o o r d i n a t en sys r em en , die wir

m it d en be w e g t e n Teilen ver kn iip fen (A b b . 6. 2 2 ).

W i r b esch re ib e n (skri p t en) d a nn d as Verha lt e n u n d d i e Be we g u n g a lle r b e w eglich en

T eil e m it H i l f e m ath em at isch er Gl eich un g e n. Di e C A D -So ft w ar e u n rersr u tz t u ns be i

d e r D e f i n i t i on die ser Gl ei c h u n g en d u r ch d as Ber eitstell en ein geb aut er Varia b len u n d

m a th em a ti sch er F u n k t i on en.

lokale K o o r d i n a t e n ­s y s t e m e d e r A k t e u r e

190

g l o b a l e sK o o r d i n a t e n ­s y s t e m

y

A b b . 6 .22Die Bewegung des Wurfels wird inBezug auf lokale K o o r d i n a t e n s y s t e m e ,die m i t den bewegten O b j e k t e nv e r k n u p f t s ind, f e s t g e l e g t .

Beispiel:

Bewegung eines Werbewiirfels. Ein Wer­

bewiirfe1 wird innerhalb von 12 Sekun­

den einmal urn eine horizontale Stange

gedreht, wahrend er gleichzeitig mit

d o p p e l t e r Geschwindigkeit urn seine

Raumdiagonale AG r o t i e r t (Abb. 6.23).

Zur Erzeugung einer passenden Anima­

tion definieren wir zwei lokale Koordina­

tensysteme, die wir der rotierenden Stan­

ge und dem Wiirfe1 geeignet anpassen.

Dann legen wir die Drehung der horizon­

talen Stange durch ein Skript fest, wobei

wir den Drehwinke1 mit der Numme­

rierung der Einze1bilder verkniipfen. Bei

einer Bildrate von 30 Einze1bildern pro

Sekunde muss die Stange je Einzelbild

urn genau ein Grad gedreht werden, urn

die volle D r e h u n g innerhalb von 12 Se­

kunden zu vollenden ( 1 2 ' 30 = 360) .

W i r hangen den Wiirfel, der sich mit der­

selben Geschwindigkeit urn die horizon­

tale Achse drehr, an die rotierende Stan­

ge an. Zur Fesdegung der Eigendrehung

des Wiirfels um seine Raumdiagonale

"skripten" wir diese Bewegung mit der

d o p p e l t e n Geschwindigkeit (zwei Grad

pro Einzelbild).

A b b . 6 . 2 3Ein WerbewOrfel wird zweimal um seineRaumdiagonale g e d r e h t , wahrend ergleichzeitig um eine h o r i z o n t a l e Achser o t i e r t .

Bild 0

Bild 180

Bild 75

Bild 216

Bild 109

Bild 280

Bild 166

Bild 305

191

Bei A n i m a t i o n e n mit komplexer en A n o r d n u n g e n muss die B e w e g u n g j e d e s Teils

d u r c h eine eigene G l e i c h u n g be schrieben werden. Kamera s, welche die vi rt u elle Szene

a u f n e h m e n , werden wie n o r m ale, b ewegliche Teile b e h a n d e l t . Sie k o n n e n mit

den selben, oben besch riebenen M e t h o d e n a n i m i e r t werden . D a m i t k o n n e n Kamera­

f a h r t e n festgelegt werden, die ein en gut en U b e r b l i c k iiber die gesamte virtuelle Szen e

e r m o g l i c h e n . D u r c h praz ises Steuern der K a m e r a b e w e g u n g u n d weitere Kamera ­

e i n s t e l l u n g e n erlauben A n i m a t i o n e n d aher eine umfa ssende D a r s t e l l u n g de s ge samten

De signs .

Wenn wir geeignete, lokale K o o r d i n a t e n s ysteme b e n u t z e n und die m a r h e m a t i s c h e n

Be s c h r e i b u n g e n der R a u m t r a n s f o r m a t i o n e n (die wir in die sem Kapitel kennen gelerm

haben) geschickt einsetzen , sind wir in der Lage, i n s t r u k t i v e A n i m a t i o n e n herzu­

stellen. Die bisher b e s c h r i e b e n e n G r u n d t e c h n i k e n zur E r z e u g u n g von A n i m a t i o n e n

si n d h e r v o r r a g e n d geeignet, r a u m l i c h e Bewegungen zu visualisieren. Urn j e d o c h

A n i m a t i o n e n zu p r o d u z i e r e n , bei d e n e n O b j e k t e auch ihre Form andern, ist meist der

Einsatz e i n e r speziellen A n i m a t i o n s s o t i w a r e n o t w e n d i g . Die C A D - M o d e l l e werden in

die se Software i m p o r t i e r t u n d d o r t T e c h n i k e n wie z.B. dem Morph ing o d e r TVarping

u m e r w o r f e n . A u f diese A r t u n d Wei se e r h a l t e n wir A n i m a t i o n e n , die beispielsweise

die D e f o r m a t i o n eine s Hause s illu s t r i e r e n (A b b . 6.24 ).

Z u m Abschluss dieses Teilkapitels w eisen wir d a r a u f h i n , da ss eine gee ignete

B e l e u c h t u n g auch bei der Er s t e l l u n g von A n i m a t i o n e n eine Schlii sselrolle sp iel t ,

G e k o n m e i n g e s e t z t e L i c h t e f f e k t e tr agen v iel zur Atmo sphare und S t i m m u n g einer

vi r tu elle n Szene bei. Sie sin d ein wesem l ich er F a k t o r bei der H e r s t e l l u n g au ssage­

krattiger A n i m a t i o n e n m i t as t he risch e r und visueller Q u a l itar .

192

A b b . 6 . 2 4E i n s c h l a g i g e A n i m a t i o n s s o f t w a r e s t e l l to f t auch W e r k z e u g e zu VerfOgung, dieauch die D e f o r m a t i o n von O b j e k t e nz u l a s s t , Hier zeigen w ir v i e r Szenenaus der A n i m a t i o n P l u m b e r von RedRover S t u d i o s .

A f f i n e T r a n s f o r m a t i o n e nIn K a p i t e l 5 (iiber ebene Tran s f o r m a t i o n e n ) h a b e n wir neb en den gest alts - u n d

a b s t a n d s e r h a l t e n d e n K o n g r u e n z t r a n s f o r m a t i o n e n n o c h w e i t e r e i n t e r e s sante Trans­

f o r m a t i o n e n k e n n e n gelernt. Urn einige dieser T r a n s f o r m a t i o n e n g e n a u e r zu s t u d i e r e n ,

fiihren wir e i n e n etwas a I l g e m e i n e r e n , m a t h e m a t i s c h e n Z u g a n g zu den l i n e a r e n Trans­

f o r m a t i o n e n ein . Aile b i s h e r b e t r a c h t e r e n , r a u r n l i c h e n A b b i l d u n g e n k o n n e n von dem

f o l g e n d e n , a I l g e m e i n e n Typ a b g e l e i t e t w e r d e n .

X I = a·x + b -y + [·z + u ,

] , = d-x + e-y + j z + u,

z, = g·x + b-y + i-z + w.

(A)

A b b . 6 . 2 5Eine a l l g e m e i n e a f f i n e T r a n s f o r m a t i o nwird auf einen WOrfel und einenZ y l i n d e r ausgeObt.

Di e Pa r a m e t e r a, b, ..., i legen d ie D e f o r m a t i o n fest , w a h r e n d die P a r a m e t e r u, v u n d w

den S c h i e b v e k t o r t = (u,v,w) b e s t i m m e n . AIle diese P a r a m e t e r s i n d gegebene (reeIle)

Z a h l e n . Eine T r a n s f o r m a t i o n vom T yp (A) w i r d als affine Transformation b e z e i c h n e t ,

W i e die A b b i l d u n g 6.25 zeigt, weisen aIle affinen T r a n s f o r m a t i o n e n folgende Eigen­

schaften a u f :

• G e r a d e n w e r d e n w i e d e r a u f G e r a d e n a b g e b i l d e t .

• E b e n e n w e r d e n a u f E b e n e n a b g e b i l d e t .

• Parallele G e r a d e n ( E b e n e n ) w e r d e n a u f paraIlele G e r a d e n ( E b e n e n )

a b g e b i l d e t .

• Das V e r h a l t n i s zweier S t r e c k e n a u f p a r a l l e l e n G e r a d e n bleibc u n t e r der Trans­

f o r m a t i o n e r h a l t e n .

z

193

Di ese Eigen sch aften ( ab gesehe n vo n jenen , die Eb en en b etr e f i en ) eri n ne rn un s an di e

Par alleip rojekt ion. Und tat sachl ich ist d ie Par alleip ro jekti on ein So n de rfall ei ne r

affine n T ra n s f or m at io n , w o be i de r dre idim en sion ale Raum a u f eine Eben e abg eb ilde t

wir d. E rset zen w i r di e ler zt e Zei le der A b bi ld u n gsg leich u nge n (A) dur ch

ZI = ° (g = h = i = w = 0) , d ann e r ha l te n w i r e ine allgemei ne Beschr e ib u n g e i ner

Pa r alleip rojekt ion m it d er xy -E be ne als Bild eben e .

W ir wer de n nun d ie ei n zeine n Pa r amet er i n ( A) d u r c h spe z ielle We rre e rset zen , urn

e in ige ne ue R a u m t r an sfor m at i o n e n her zu leiten. Z u r Ve rei nfac h u ng u nse re r U nt er­

su ch u n gen n ehm en w ir an , da ss es kein en Schie b a nt eil gibt (das he i l k d er Sch ieb­

vek to r ist d u r c h t = ( 0, 0,0) gegeb en ) .

S k a l i e r u n g . Al s eine Ver allg emein e r u n g d er ebe n en , zentri sch en A h n l i c h k e i t e r h a l t e n

wir di e r iiumlich e, z en t rische ; fh nlichkeit ( S t r e c k u n g ) . Sie wird d u r c h e in A 7m lichkeits­

zen t rum Z (wir wahl en Z i m Ur s p r u n g (0,0,0) ) und e ine m einz igen A hnlichkeitsfakt or

(Skalieru ngsfa k t or) festg elegt ( A b b . 6 .26 ) . Di e z e n t r ische A h n l i c h k eit hat die selben

E ige n scha fte n w ie ihr zweidim en sional es A n a l o g o n . Verwend en wir vo ne i na n de r

un abh ang ige Skal i e r u n g sf a k t o r en fur je de K o o r d i n a t e , so e rha l te n w i r e ine ( allge ­

m ein e ) Skalierung, di e d u r c h

XI = a·x ,

YI =e-y,

b e schrieb en we r d en kann .

z

Orig in al

z

A b b . 6 . 2 6Eine raumllche, zentr ische A h n l i c h k e i ta n d e r t die Objektd imensionen p r o p o r ­tional, wahrend die Form des Objektse r h a l t e n bleibt. Eine Skalierung a n d e r tauch d ie Form des Objekts.

194

z z e n t r i s c h eA h n l i c h k e i t( a = e = i = 0 . 7 5 )

a l l g e m e i n e S k a l i e r u n g(a = 0 . 5 , e = 1 . 5 , i = 0 . 7 5 )

S k a l i e r u n g e n w e r d e n haufig v e r w e n d e t , urn O b j e k t e langs der K o o r d i n a t e n a c h s e n zu

d e f o r m i e r e n . W e n d e n wir eine S k a l i e r u n g a u f eine Kugel an, so e r h a l t e n wir ein

Ellipsoid. Bei dieser T r a n s f o r m a t i o n w e r d e n die m e i s t e n Kreise der Kugel a u f E l l i p s e n

(des Ellipsoids) a b g e b i l d e t (Abb. 6.27). W o l l e n wir beispielsweise das M o d e l l eines

Turms s t r e c k e n , o h n e dabei die Basis zu v e r a n d e r n , d a n n w e n d e n wir ebenfalls eine

S k a l i e r u n g an (a = e = 1, i = 1.5).

(a)

D r e h e l l i p s o i d

A b b . 6 . 2 7Anwendungen der Skalierung.(a) Eine Kugel wird in Ellipsoide abge­bildet.(b) Ein Turm wird g e s t r e c k t .(c) Das Chryslergebaude ( 1 9 2 8 - 1 9 3 0 )in New York von William Van Alen.(d) Die Pagode im Kew Garden ( 1 7 5 7 ­1762) in London von William Chambers.

K u g e l Ellipsoid

( b )

a = 1, e = 1, i = 2

(c)

a = O . 7 5 , e = 1 . 5 , i = 1

(d)

195

S c h e r u n g , Nun studieren wir Transformationen vorn Typ

XI = x+ c -z,

ZI =z,

urn die raumliche Scherungzu erhalten. Wir erkennen, dass diexy-Ebene (z = 0) unter

dieser Abbildung fest bleibt, wahrend ein Punkt P( 0,0,1) auf den Punkr PI (cf,l)abgebildet wird. Die Fixpunktebene E und ein Paar zugeordneter Punkre P , PI legen

diese Transformation fest (Abb. 6 .28). Die dritte Gleichung (z, = Z ) bewirkt, dass d ie

z-Koordinaren unter einer Scherung nicht verandert werden. Entsprechende

Punkte P, P I liegen daher auf Geraden parallel zur Fixpunktebene. In Analogie zum

ebenen Fall schneiden einander zugeordnete Geraden und Ebenen in der F i x p u n k t e b e n e ,

Eine Anwendung der Scherung in der Architektur wird in der Abbildung 6.29 illustriert.

A b b . 6 . 2 8R a u m l l c h e Scherung .

O r i g i n a l

z /P(O,O,l)

Scherung

196

Abb . 6 . 2 9Anwendung der r a u m l l c h e n Scherung .Der Puerta de Europa ( e r o f f n e t 1996)in Madrid von Pedro Senteri Cardillound J o h n s o n / B u r g e e .

Spiralung. W i r v e r a l l g e m e i n e r n n u n die S c h r a u b u n g , i n d e m wir eine D r e h u n g urn

eine Achse a m i t e i n e r z e n t r i s c h e n A h n l i c h k e i t k o m b i n i e r e n , w o b e i wir das A h n l i c h ­

k e i t s z e n t r u m Z a u f der Achse a wahlen , Z u r V e r e i n f a c h u n g der m a t h e m a t i s c h e n

B e s c h r e i b u n g n e h m e n wir n u n an, dass das A h n l i c h k e i t s z e n t r u m Z im U r s p r u n g liegt

u n d die Achse a in die z-Achse WIt. D a n n b e s i t z t die S p i r a l u n g folgende m a t h e ­

m a t i s c h e B e s c h r e i b u n g :

Xl = k ( p ) . x . c o s P - k ( p ) . y . s i n p,

Yl = k ( p ) -x-sin p + k ( p ) ·y ·cos p,

Zl =k(p).z.

m i t k ( p ) = e PP •

( b)

A b b . 6 . 3 0(a) Die Bahnkurve eines Punktes Pwahrend einer k o n t i n u i e r l i c h e n Spiral­bewegung lst eine ( r a u m l l c h e ) Spirale c.Sie liegt auf einem Drehkegel undschneidet aile Erzeugenden des Dreh­kegels u n t e r festem Winkel. Die Nor­m a l p r o j e k t i o n c ' in die Basisebene E isteine l o g a r i t h m i s c h e Spirale, die aileGeraden durch das Zentrum Z u n t e rk o n s t a n t e m Winkel schneidet.(b) Irn Verlauf einer Spiralbewegungwird ein O b j e k t um eine Achse g e d r e h tund gleichzeitig s k a l i e r t .

c

( a )

Lassen wir p alle reelle Z a h l e n i n n e r h a l b eines v o r g e g e b e n e n I n t e r v a l l s d u r c h l a u f e n ,

e r h a l t e n wir dam it die B e s c h r e i b u n g e i n e r " S p i r a l b e w e g u n g " , die ein O b j e k t k o n t i n u ­

ierlich s k a l i e r t u n d g l e i c h z e i t i g urn eine Achse r o t i e r t (Abb. 6 .30) . Eine r a u m l i c h e

Spirale w i r d d u r c h eine S p i r a l b e w e g u n g e r z e u g t . Sie liegt a u f e i n e m D r e h k e g e l ,

s c h n e i d e t die E r z e u g e n d e n dieses Tragerkegels u n t e r k o n s r a n t e m W i n k e l , u n d sie w i r d

u n t e r e i n e r Spiralung (zur Ganze) a u f sich a b g e b i l d e t . Diese E i g e n s c h a f t e n k o n n e n als

V e r a l l g e m e i n e r u n g e n der E i g e n s c h a f t e n e i n e r S c h r a u b l i n i e , die ebenfalls die Erzeu­

g e n d e n ihres T r a g e r z y l i n d c r s u n t e r k o n s t a n t e m W i n k e l s c h n e i d e t u n d u n t e r e i n e r

S c h r a u b u n g a u f sich a b g e b i l d e t wird, a n g e s e h e n w e r d e n .

!aI

I.I

1~

c

197

Die S p i r a l u n g hat in der G e o m e t r i e folgende w i c h t i g e B e d e u t u n g : Es gibt i m m e r eine

einzige r a u m l i c h e S p i r a l u n g , die ein R a u m o b j e k t in ein dazu gleichsinnig iihnliche s

O b j e k t i i b e r f i i h r t .

Einige n a n i r l i c h e W a c h s t u m s p r o z e s s e b e r u h e n a u f der E x p o n e n z i a l f u n k t i o n . D a h e r ist

es niche w e i t e r i i b e r r a s c h e n d , dass Spiralen in der N a t u r h aufig auftreten, So sind z .B.

M u s c h e l s c h a l e n o d e r S c h n e c k e n h a u s e r r e c h t gute A n n a h e r u n g e n von S p i r a l f l a c h e n

(Flachen, die bei einer S p i r a l b e w e g u n g v o n P r o f i l k u r v e n i i b e r s t r i c h e n werden

[ A b b . 6 . 3 1 ] ) .

(a)

198

A b b . 6 . 3 1Spiralen in der A r c h i t e k t u r und in derNatur.(a) Eine Kirche in Texing, Osterreich.

Abb . 6 . 3 1( b ) Ein Tempel in I n d e p e n d e n c e ,M i s s o u r i , USA.(c) Das Gehause einer N a u t i l u s s c h n e c k e .(d) Das Gehause e i n e r W e i n b e r g ­s c h n e c k e , d r e i d i m e n s i o n a l e D a t e n ­p u n k t e a u f d e r O b e r f l a c h e des O b j e k t s ,die m i t Hilfe eines L a s e r s c a n n e r s e r m i t ­t e l t w u r d e n , und ein C A D - M o d e l l .

"~ I

( b )

( c)

(d)

199

/

K a p i t e 1 7K u r v e n und F l a c h e n

Kurven und F l a c h e nKur ven und Flach en tr et en in vielfa l t ige r W eise in Arc h i te k t u r, Kunst und D e sign au f

(A b b. 7 .1) . D ie K e n n t n i s g r u n d l egender K on zept e fur Kur ven und Flache n ist a ue h

f u r d as Ver st a n d n i s d e r fol gend en K apir el seh r w ieh t ig . A us d idakti sch en G r u n de n

w oll en wir d ab e i zu e rst Kur ven st u die re n , ei nsc h lielil ich ih re r m athern ati sch en

Beseh re ibu n g .

(a)

A b b . 7 .1Kurven und Flaehen s indG r u n d e l e m e n t e der Areh i t e k t u r .(a ) 30 S t r e e t Mary Axe ( 1 9 9 7 - 2 0 0 4 ) inLondon von Norman Foster.

(b)

A b b . 7 . 1(b) Spline Chair von Unto This Last.(c) Ben P i m / o t t Build ing (2003 - 2 0 0 5 )in London von Will Alsop .(d) Down/and Gridshel/ ( 2 0 0 0 - 2 0 0 2 ) inSingleton von Edward Cullinan.

A b b . 7 . 2Tangenten von Kurven undTangentialebenen von Flachen sindwichtige Konzepte fur das Studium vonKurven und Flachen.

Wir besprechen u.a. Tang enten von Kurven (Abb. 7 .2.a), die Krummungvon Kurven

sowie Wendepunkte. Kurven konnen als Profile zur Erzeugungvon Flachen verwendet

werden. Dabei beeinflusst meist die Form der Profilkurve die Gestalt der entstehenden

Flache ganz wesentlich. Daher legen wir besonderen Wert auf das Studium haufig

verwendeter Profile wie etwa der Kegelschnitte .

D ie Diskussion von Kurven fuhrt in ganz natiirlicher Weise zum Studium von

Flachen. In Verallgemeinerung ent sprechender Konzepte fur Kurven stellen wir zwei

Formen der mathematischen Beschreibung von Flachen vor und st u d ier en Begriffe wie

Tangentialebene und Fldchennormale (Abb. 7 .2b) .

Bei der Darstellung ein er beleuchreren Flache ist man gelegentlich an der Grenze

zwischen beleuchteten und dem Licht abgewandten Teilen int er ess iert . Dieselbe

Frage tritt bei der Entscheidung der Sichtbarkeit und der Bestimmung des Umrisses

einer Flache in einer Projektion auf. Hier spielt die Lage der Tangentialebenen

eine ent sch eid en d e Rolle. Zum Abschluss des Kapitels befassen wir uns noch mit

Schnittkurven von Flachen und beschreiben auch kurz kla ssische geometrische

Methoden zur Bestimmungvon Punkten und Tangenten dieser Kurven. Ebenso

di skutieren wir int eressante Phanornene im Zusammenhang mit Schnittkurven. Dieses

W issen kann beim Design mit Flachen seh r n iitzlich sein.

(b)

(a)

T a n g e n t e

205

S c h r a u b l i n i e

206

Abb . 7 . 3Eine Schraublinie ist eine echteRaumkurve. Sie passt in keineEbene. Wir zeigen hier verschiedeneSchraublin ien . In der A r c h i t e k t u rkonnen Schraublinien u.a, aufzylindrischen Saulen a u f t r e t e n :(a) Schraublinien auf saulen derKathedrale von Durham ( 1 0 9 3 - 1 1 3 3 )und(b) Schraublinien auf den zwei Saulenvor der Karlskirche ( 1 7 1 5 - 1 7 3 7 ) inWien von Johann Bernhard Fischer vonErlach.

Kurven1m Verlauf der vorigen K a p i t e l sind bereits v e r s c h i e d e n e spezielle K u r v e n wie erwa

G e r a d e n , Kreise, S c h r a u b l i n i e n u n d K e g e l s c h n i t t e a u f g e t r e t e n . W i r k o n n e n eine

Kurvc als z u s a m r n e n h a n g e n d e e i n d i m e n s i o n a l e P u n k t m e n g e erklaren, W i e wir b e r e i t s

bei der H y p e r b e l gesehen haben, k a n n diese P u n k t m e n g e aus m e h r e r e n Teilen (As ten

o d c r Zweigen) b e s t e h e n .

Kurven, deren s a m t l i c h e P u n k t e in ein u n d d e r s e l b e n Ebene liegen, heiBen ebene

K u r t e n ; Kreise o d e r K e g e l s c h n i t t e s i n d Beispiele h i e r f i i r . 1m G e g e n s a t z dazu s p r e c h e n

wir von Raumkurven, wenn sie in k e i n e r E b e n e Platz h a b e n . R a u m k u r v e n (zurn

Beispiel die S c h r a u b l i n i e n [Abb. 7.3]) b r a u c h e n also w i r k l i c h den 3-d i m e n s i o n a l e n

R a u m . 1m F o l g e n d e n s t u d i e r e n wir w i c h t i g e Begriffe fur ebene K u r v e n u n d

R a u m k u r v e n . Diese w e r d e n w e i t g e h e n d in rein g e o m e t r i s c h e r u n d a n s c h a u l i c h e r

Weise e i n g e f i i h r t , aber an w i c h t i g e n Stellen d u r c h den m a r h e m a r i s c h e n H i n t e r g r u n d

erganzr. W i r b e g i n n e n m i t drei A r t e n der m a t h e m a t i s c h e n B e s c h r e i b u n g von K u r v e n .

(a) (b)

207

P a r a m e t e r d a r s t e l l u n g . D i e K o o r d i n a t e n d e r P u n k t e e i n e r p a r a m e t r i s i e r t e n

K u r v e c s i n d F u n k t i o n e n e i n e s P a r a m e t e r s t. E i n e R a u m k u r v e k a n n also d u r c h

c(t) = (x(t),y(t), z(t)) d a r g e s t e l l r w e r d e n , w o r i n man fur t alle Werre eines gewissen

I n t e r v a l l s I e i n z u s e t z e n hat. W i r k o n n e n eine Kurve auch als E r g e b n i s eine r s t e t i g e n

A b b i l d u n g eines I n t e r v a l l s I in die E b e n e o d e r den 3 - d i m e n s i o n a l e n R a u m a n s e h e n

(Abb. 7.4). Bei dieser A b b i l d u n g w i r d j e d e r reellen Z a h l tvon I e in K u r v e n p u n k t P(t)

z u g e o r d n e t . O f t ist es h i l f r e i c h , sich t als Z e i t v o r z u s t e l l e n , o b w o h l t n i c h t die Z e i t sein

muss . Die F u n k t i o n e n x(t), y(t) u n d z(t) h e i f e n Koordinatenfunktionen u n d c( t) eine

Param etrisierung o d e r Pa rameterdarstellung von c.

z

( a)

\\JI

I

} - : ~t I

( b)

A b b . 7 . 4Ein I n t e r v a l l I wird auf eine Kurve c desd r e i d i m e n s i o n a l e n Raumes abgeb ildet.

Abb. 7 .5Der Kreis als p a r a m e t r i s i e r t e Kurve.(a) Ein Kreis in a l l g e m e i n e r Lage.(b) Der Einheitskreis.

y

o

k ( n:/2)

k ( 3 n: / 2 )

I

E i n h e i t s k r e i s

x

208

o t 2 n:

Beispiel:

P a r a m e t e r d a r s t e l l u n g eines Kreises.

Aus M i t t e l p u n k t M(xm,ym) u n d Radius r

eines Kreises k o n n e n wir die K o o r d i n a ­

ten von P u n k t e n P(x,y) des Kreises d u r c h

A d d i t i o n der Vektoren

m = (xm,ym) u n d n(t) = (r-costz), r.sin(t))

finden, wobei t der W i n k e l zwischen der

x- R i c h t u n g u n d dem R a d i a l s t r a h l MP ist.

D i e s e r W i n k e l w i r d im B o g e n m a f (d.h.

als B o g e n l a n g e a u f dem E i n h e i t s k r e i s )

gemessen. D a h e r w e r d e n K r e i s p u n k t e

P(x,y) b e s c h r i e b e n d u r c h

x(t) = X m + r.cos(t),y(t) = Ym + r.sin(t).

Da die Position eines Kreispunktes

k(t) = (x(t),y(t)) von einem Parameter t

abhangt, sprechen wir von einer Parame-

terdarstellungdesKreises (Abb. 7.S). Wenn

der Parameter t das Intervall [O,2Jt] durch­

laufi, erhalten wir alle P u n k t e des Kreises k.D u r c h Wahl eines geeigneten Intervalls

fur den Parameter t kann man eine mathe­

matische Beschreibung jedes beliebigen

Kreisbogens gewinnen (Abb. 7.6).

Das Beispiel zeigt, dass sich d u r c h E i n s c h r a n k u n g des I n t e r v a l l s , in dem der

K u r v e n p a r a m e t e r t lautt, eine T e i l m e n g e der Kurve c e r g i b t (oft als Kurvensegment

b e z c i c h n c t ) . Falls die P a r a m e t r i s i e r u n g n u r P o l y n o m f u n k t i o n e n e n t h a l t , so s p r i c h t

m a n von e i n e r Polynomkurve. Die h o c h s t e in den K o o r d i n a t e n f u n k t i o n e n a u f t r e t e n d e

P o t e n z von t heiBt Grad der P o l y n o m k u r v e .

A b b . 7 . 6Einige Krelsboqen m i t v e r s c h i e d e n e nO f f n u n g s w i n k e l n .

MkeD)

k ( 3 n / 2 ) k( - n / 3 ) k( 4 n / 3 ) k( - n / 3 )I I I IH ~ ~ ~ ~ ~o n / 4 n 3 n / 2 - n / 3 2 n / 3 - n / 3 4 n / 3

209

k( n) 0 - - - - - - - - - 0 M

B e i s p i e l :

P a r a b e l u n d k u b i s c h e R a u m k u r v e . Ein

einfaches Beispiel ein er ebenen Poly­

n o m k u r v e ist d u r c h die Parabel mit der

P a r a m e t e r d a r s t e l l u n g p(t) = (t, l ) gege­

ben. Wenn fur den Parameter t alle re­

ellen Zahlen eingesetzt werden, ergibt

sich die gesamte Parabel. Durch Ein­

schrankung a u f da s Intervall 1= [ - 3,3 ]

erhalten wir das in A b b i l d u n g 7 .7 a darge­

stellte Segment, das im P u n k t P o( - 3,9)s t a r t e t und in P 1 ( 3 , 9 ) endet . Die Parabel

p geht durch den Ur s p r u n g 0 ; er ist der

K u r v e n p u n k t zum P a r a m e t e r t = O. Der

h o c h s t e E x p o n e n t , mit dem der Parame­

ter t a u f t r i t t , isr 2 . Die s geschieht in der

K o o r d i n a t e n f u n k t i o n y(t) = i ' , W i r sa­

gen daher, d ass die P a r a m e t r i s i e r u n g

vom Grad 2 ist. Man kann zeigen, da ss

eine P o l y n o m k u r v e vom Grad 2 im AII­

gemeinen eine Parabel ist, In Sonderfal­

len k a n n sie aber in ein G e r a d e n s t i i c k

e n t a r t e n .

Die K o o r d i n a t e n f u n k t i o n e n

x(t) = 12t - 12t 2 , y ( t ) = 6t - 6t2 + 4t 3

und z(t) = 12t - 24t 2 + 16t 3 defini eren

eine Raumkurve c. Bei B e n u t z u n g des

Intervalls [0,1] fur den P a r a m e t e r t er­

h a l t e n wir ein Kurvensegment, da s ganz

i n n e r h a l b des in A b b i l d u n g 7 .7b ge­

zeigten Wtirfels verlauft. Die hochste

O r d n u n g (3) des P a r a m e t e r s t t r i t t in

den K o o r d i n a t e n f u n k t i o n e n y(t) und

z(t) a u f . D a h e r liegt eine P o l y n o m k u r v e

vorn Gr ad 3 vor. AIle P o l y n o m k u r v e n

vom Grad 3 werden als kubis che Kurven

(Kubiken) b e z e i c h n e t . Ein anderes Bei­

spiel einer kubischen Kurve ist di e in

A b b i l d u n g 7.7c i l l u s t r i e r t e Kurve

d(t) = (t ,t 2 ,t 3) .

A b b . 7 .7(a) Parabeln sind Polynomkurven vomGrad 2.(b,c) Zwei kubische Raumkurven.

(c)

y

x

( b )y ( t ) = t 2

( a )

x ( t ) = t_ . . . . . . . _-~~----'---.

210

B e i s p i e l :

R a t i o n a l e k u b i s c h e K u r v e ,

K o o r d i n a t e n f u n k t i o n e n der Form p(t)/ q(t), m i t P o l y n o m e n p(t) u n d q(t),

k e n n z e i c h n e n die Klasse der rationalen Kurven. W i r b e n u t z e n ein gemeinsames

N e n n e r p o l y n o m q(t) fur aIle K o o r d i n a t e n f u n k t i o n e n . Auch hier heiBt die h o c h s t e in

einem der Zahierpolynome o d e r dem N e n n e r p o l y n o m a u f t r e t e n d e P o t e n z von t der

Grad der Kurve. P o l y n o m k u r v e n sind beim Design von Fre i f o r m k u r v e n

allgegenwanig. Ihre E r w e i t e r u n g zu r a t i o n a l e n Kurven b i l d e t den g r u n d l e g e n d e n

Baustein fur das so g e n a n n t e N U R B S - F r e i f o r m d e s i g n s c h e m a (siehe K a p i t e l 8 ) .

E x p l i z i t e D a r s t e l l u n g : G r a p h e n . Die im vorigen Beispiel s t u d i e r t e

Parabel p(t) = (t,t 2) e r f u l l t auch die G l e i c h u n g y = x 2 (Abb. 7.9). Diese Parabel k a n n

zur V i s u a l i s i e r u n g der F u n k t i o n f(x) = x 2 dienen. Zu jedem x tragen wir als

y- K o o r d i n a t e den F u n k t i o n s w e r t f(x) = X 2 auf. W i r n e n n e n eine D a r s t e I l u n g der Form

y = f(x) cine explizite Darstellung einer (ebenen) Kurve . Die Kurve wird auch als

Graph der Funktion f b e z e i c h n e t ; sie ist die Menge aIler P u n k t e (xl(x)) der xy- Ebene .

A b b i l d u n g 7 . 1 0 zeigr einige Beispiele fur F u n k t i o n s g r a p h e n .

ist die P a r a m e t e r d a r s t e I l u n g einer ebe­

nen r a t i o n a l e n Kurve yom G r a d 3 . Man

beachte, dass die h o c h s t e P o t e n z (3) des

Parameters t n u r im Z a h l e r t(4t 2- 1)

der K o o r d i n a t e n f u n k t i o n y(t) auftritt.

y

c

x

A b b . 7 . 8Beispiel einer ebenen rat ionalen Kurvevorn Grad 3.

A b b . 7 . 9Parabel als Graph der Funktion f ( x ) = x 2 •

A b b . 7 . 1 0Graphen von(a) f ( x ) = s i n ( x ) , f ( x ) = c o s ( x ) ;(b) f ( x ) = c o s h ( x ) , f ( x ) = s i n h ( x )(c) f ( x ) = e x p ( x ) , f ( x ) = I n ( x ) .

( b ) Y

x

x

x

211

I m p l i z i t e D a r s t e l l u n g . W i r k o n n e n die explizite D a r s t e l l u n g auch in der Form y

- fix) = 0 schreiben. D a n n ist die linke Seite y - fix) eine sp ez ielle F u n k t i o n F (x,y ) von

zwei Variablen , was uns zu folgender V e r a l l g e m e i n e r u n g der expliziten D a r s t e l l u n g

f u h r t , Wenn die K o o r d i n a t e n (x ,y) der P u n k t e einer ebenen Kurve c eine G l e i c h u n g

der Form F(x,y) = 0 erfiillen, so n e n n e n wir c eine implizite ebene Kurve u n d F(x,y) = 0

eine implizite Darstellungvon c.

B e i s p i e l :

D e r K r e i s in i m p l i z i t e r D a r s t e l l u n g .

Ein Kreis m i t M i t t e l p u n k r M(xm,ym)und Radius r ist die Menge aller P u n k t e

P(x,y) der Ebene, die den gleichen Ab ­

st an d r zum M i t r e l p u n k t M aufweisen.

Eine analytische F o r m u l i e r u n g dieser

g e o m e t r i s c h e n D e f i n i t i o n b e n u t z t den

e u k l i d i s c h e n A b s t a n d zweier P u n k t e

(Abb. 7 . 1 1) . Nach dem p y t h a g o r a i s c h e n

Lehrsatz b e r e c h n e t sich das Q u a d r a t r 2

des A b s t a n d e s der beiden P u n k t e P(x ,y)

und M(xm,ym) zu

? = (x - X m )2 + (y - Ym)2.D a h e r liegen alle P u n k r e (x,y) , welche

die G l e i c h u n g

F(x,y) = (x - x m ? + (y - Y m? - r 2 = 0

erfiillen , a u f dem Kreis k.

V e r w e n d e t man fur F(x,y) nur P o l y n o m e in den Variablen x und y, so e r h a l t man

eine so g e n a n n t e algebraische Kurve. Irn A l l g e m e i n e n wird es n i c h t moglich sein, Fin

der Form y - f ( x) zu schreiben, und d a h e r kann die implizite D a r s t e l l u n g v i e l mehr

F o r m e n b e s c h r e i b e n als die explizite.

W i e das Beispiel des Kreises zeigt , k o n n e n einige Kurven sowohl in i m p l i z i t e r als auch

in p a r a m e t r i s i e r t e r D a r s t e l l u n g erfasst werden. Ferner kann man aus einer P a r a m e t e r ­

d a r s t e l l u n g einer Kurve u n e n d l i c h viele weitere P a r a m e t r i s i e r u n g e n derselben Kurve

h e r l e i t e n . Wenn man sich den K u r v e n p a r a m e t e r t als Z e i t vorsrellt, so u n t e r scheiden

sich diese P a r a m e t r i s i e r u n g e n d u r c h den Z e i t p l a n ( G e s c h w i n d i g k e i t s p r o f i l ) beim

y

A b b . 7 . 1 1Die i m p l i z i t e Darstellung des Kreisesb e r u h t auf seiner Definition als Mengealler Punkte mit festem Abstand zumM i t t e l p u n k t .

x

212

D ur ch fah r en de r Kur ve. A uc h d ie impl iz it e D a rst ellun g ist n icht e i n de utig, weil es

u n e n d l i c h viele F u n k t ionen von zwei Ve ra n derlic hen gib r, d ie in den P u n k t en einer

gegebene n Kurve d en We rt Nu ll a nne h me n .

Das fo lg en de B eispi e l l eit et ei ne wei tere P ar am et e rd ar st ell un g ei nes K reises aus d essen

impli zite r Form h er. Vergleiche n wir d a s E r geb n is de s vo r igen Beispiels mit d em d es

Bei sp iels . P a r am e r erd ar st ellung e ines Kr eises", so er ke n n en w i r, d a ss die sel b e Kur ve

verschie de ne Parame te r da rs te llu nge n b esi t zt.

B ei sp iel:

I m p l i z i t e D a r s t e l l n n g u n d P a r a m e t ­

ri si e r u n g e i ne s K r e i s e s. Abbil dun g

7 .12 zeig t e inen Kreis k m it Mi t te l p u n k t

im U rsp ru ng un d R ad iu s 1. ABe Pun kt e

von k erfii llen die G l e i c h u n g

F(x,y) = x 2 + y 2 - 1 = 0 . W i r versuchen

nu n da raus eine D a r st ellun g von k m it­

t els ei nes Pa r am et er s t ab zu leite n. J ed er

P u n k t Q (t, O) d e r x -Achse k ann m it d em

"S u d p o l" 5( 0 , - 1) d es Kr eise s k ver b u n ­

d en wer de n (A b b. 7 .12a) . [ ede di eser

Verbin du ngsgerade n sch nei de r d en

K reis i n 5 u nd i n einem weiteren Pu n k t

P = p (t ) = (x(t),y(t) ). Wenn sich Q e nr ­

lang d er x -Ac hse b ew egt , so t i utt d er

ents p re che n de Pu n k t P auf d em K re is.

Au f d iese A rt k o n n e n wi r a ile P u n k t e

d es Kre ises mi t A usna h me d es Su d po ls

5( 0 , - 1) erfassen . L erzte r er erga be sich

d ur ch d en t -Wert . u n end l ich ".

D ie Ver bi nd ungsgerade d es Siidpols 5

mi t dem Pu nkt Q h at d i e G leichu ng

x = t · y + t . Set z t man d ie se G leich u ng in

d ie im p lizi te D a rst ellung d es Kreises ei n

und la st di e d a r au s r esulti er end e qu a­

d r at ische G leichu ng fu r y, so e rgebe n

sich zwei L o sun g en f u r y: Ei ne L o sun g

is t y = - 1, d a jede Ge rade durc h 5 geh t .

Als zwei te L o su n g erhalt m an

y = ( 1 - t 2 ) / ( 1 + t 2 ) . W i r d d ies i n

x = t ·y + t (d ie Gl ei c h u n g d er Ge r ad en )

ei n geset z t, so erg i b r sic h x = 2t / (1 + t 2 ) .

So mi t h ab en w i r ei ne rationa le Pa r am et­

r isierun g d es K re ises k h er gele it e t (A b b .

7 .1 2 d) . We n n t aile reellen Z a h len a n ­

n imm t, ergi b r sich d er g esam te Krei s m i t

A us na h me von 5 - h in g egen erha lt en

wi r b ei Verwe n d u ng d es Inr er vall s [0 , 1]

n ur einen Vie r te l kre is (A b b . 7 . 12 b) .

M an b e acht e , d a ss ein gl ei c h f a r m ig es

D urchl auf en des Par amet er int er valls b ei

versch iede ne n Pa r am etri sierun g en z u

u nters chie d lichen D ur ch lau fu n g en de r

Kur ve fii h re n kann (Ab b. 7 . l 2 c u n d d ) .

Abb . 7 . 1 2(a ,b ) Her le it ung eine r r ati o nal enParametr isie rung des Kre ises ausseiner i m p li zi t en Darste llung .(c ,d ) Verschiedene Parametr is ierungenergeben unte rsch ied licheGeschw ind i g k e i t s p r o f i le beimDurchlaufen der Kurve.

( a )

(c)

y

y

( b )

. > :/ ~

-~

Q X ( I , D ) x

~5

(d ) Y

x x

2 13

M i t der e x p l i z i t e n o d e r i m p l i z i t e n D a r s t e l l u n g k o n n e n n u r ebene K u r v e n erfasst

w e r d e n . Z u r B e s e h r e i b u n g von R a u m k u r v e n isr die P a r a m e t e r d a r s t e l l u n g der geeignete

Z u g a n g . Dies ist einer der G r i i n d e dafiir, dass die P a r a m e t e r d a r s t e l l u n g die am m e i s t e n

v e r w e n d e t e B e s e h r e i b u n g von Kurven ist, Ein w e i t e r e r G r u n d liegt darin, dass es sehr

einfaeh ist, eine Kurve a u f Basis der P a r a m e t e r d a r s t e l l u n g zu z e i c h n e n . Dies ist m i t der

i m p l i z i t e n D a r s t e l l u n g k o m p l i z i e r t e r . Im F o l g e n d e n w e r d e n alle K o n z e p t e fiir K u r v e n

d a h e r n u r u n t e r V e r w e n d u n g der P a r a m e t e r d a r s t e l l u n g d i s k u t i e r r .

K u r v e n t a n g e n t e . W i r k o n n e n eine glatte Kurve c in einem P u n k t P lokal d u r e h eine

Gerade, die T a n g e n t e T, a n n a h e r n . Z u r V e r m e i d u n g einer V e r w e e h s l u n g m i t dem

K u r v e n p a r a m e t e r t b e z e i c h n e n wir die T a n g e n t e m i t dem G r o B b u e h s t a b e n T. Die

T a n g e n t e k a n n d u r e h f o l g e n d e n G r e n z i i b e r g a n g (Abb. 7 .13a) g e f u n d e n werden . W i r

w a h l e n a u f c, nahe an P, einen P u n k t Q u n d verb in den die b e i d e n P u n k t e P u n d Q zu

e i n e r G e r a d e n g . Die G e r a d e g heiBt aueh Sehne (Sekante} von c. D a n n lassen wir Q a u f

c i m m e r n a h e r an P riicken. In der G r e n z e fallt Q mit P z u s a m m e n u n d g n i m m t eine

G r e n z l a g e ein, n a r n l i c h die T a n g e n t e Tvon c in P. T b e r i i h r t c im P u n k t P.

M i t t e l s dieses G r e n z i i b e r g a n g s leiten wir aueh die m a t h e r n a t i s c h e B e s e h r e i b u n g der

T a n g e n t e her . Sei c(t) = (x(t) ,y(t), z(t)) eine P a r a m e t e r d a r s t e l l u n g der Kurve c u n d

P = c(t) der b e t r a e h t e t e K u r v e n p u n k t , erfasst m i t einem festen P a r a m e t e r w e r t t .

Ein P u n k t Q n a h e bei P k a n n d a n n d u r e h c(t + h) m i t einem e n t s p r e e h e n d kleinen

W e r t h erfasst w e r d e n . S o m i t h a t die V e r b i n d u n g s g e r a d e von P u n d Q den R i e h t u n g s ­

v e k t o r c(t + h) - c(t). D i e s e r Vektor k o n v e r g i e r t gegen den N u l l v e k t o r , w e n n wir Qgegen P (d.h. h gegen N u l l ) gehen lassen . D a h e r v e r w e n d e n wir besser einen a n d e r e n

R i c h t u n g s v e k t o r , narnlich [c(t + h) - c(t)]lh. N u n lassen wir Q g e g e n P riicken ,

also h gegen 0 gehen. Aus der D e f i n i t i o n der ersten A b l e i t u n g einer F u n k t i o n folgt,

dass der G r e n z v e k t o r des R i e h t u n g s v e k t o r s [c(t + h) - c(t)]/h v o n g f i i r h ~ 0 der

erste A b l e i t u n g s v e k t o r

c'(r) = (x' (t),y' (t), z'(t))

ist. W i r h a b e n also gezeigt, dass der erste A b l e i t u n g s v e k t o r ein R i c h t u n g s v e k t o r der

K u r v e n t a n g e n t e ist, Eine P a r a m e t e r d a r s t e l l u n g der K u r v e n t a n g e n t e im P u n k t c(t)

l a u t e t also

T : x(u) = c(t) + u -c ' (t).

214

(a)

c

~- 9

Q

(b)

c

A b b . 7 . 1 3(a) Eine Tangente T berOhrt eineKurve c. Sie kann m i t Hilfe einesGrenzObergangs oder durchBerechnung des erstenA b l e i t u n g s v e k t o r s c'(r) derP a r a m e t e r d a r s t e l l u n g c ( t ) gefundenwerden.(b) Die Normalen einer Kurveschneiden diese u n t e r rechtem Winkel.

H i e r b e i ist u d er P ar a m e t e r zur Be s c h r e i b u n g d er P u n k t e vo n T. Di e Normale n e in e r

eb en e n Kur ve ist di e N o r m al e a u f die T a n g e n t e im B e r i i h r p u n k t P (A b b . 7 . l 3 b) .

Ein e R a u m k u r ve be s i t z t ein e N o r m aleben e in je d e m i h r e r P u n k t e , W i r w e r de n sp a re r

se h e n , da ss es i n d i eser Eb en e zwe i N o r m a l en g ib r, di e be s o n d ere B e a c h t u n g ve r d ie n e n .

B e i s p i e l :

Tangenten einer S c h r a u b l i n i e . Z ur Be­

sti m m u n g der T a n g e n t e n T der S c h r a u b ­

lin i e c(t ) = (r ' cos( t), r ·sin(t ), p · t ) (vgl.

den Ab s c h n i t t iib er d ie Schra u b u n g in

K a p i t e l 6 ) b er e chn en w i r d en e rs te n Ab ­

l e i t u n g svekt or a ls c ' (t ) = ( - r ' sin (t ),

r- cost z), p ). D e r A b l e i t u n g s v e k t o r h a t

fiir aile t die selbe Lange ~r2+p2. F e r n e r

e r ke n n e n wir, da ss der W i n k e l zwi schen

den Tang e n t e n u n d der z -A c h se kon s­

rant ist, d a d as Sk al a r p r o d u k t vo n c ' (t)

u n d z = ( 0 ,0 , 1) ebenfalls ei ne n k on stan -

ten W e r t (= p ) hat . Di es b ed e u t e t auch,

das s sa m t l ich e T a n g e n t e n einen kon stan ­

ten N e i g u n g swinkel gegen d ie xy-E b en e

a u fweise n .

Abb. 7 .14Tangenten einer S c h r a u b l i n i e .

K u r v e n p u n k t e m i t e i n e r eind e u t i g b e s t i r n m r e n T a n g e n t e h e i l l e n regulare Punkte. Aile

P u n k t e , in den e n der T a n g e n t e n v e k t o r c ' (t ) ni c h t v e r s c h w i n d et , s i n d regulare P u n k t e .

Kur v e n p u n k t e , in d e n e n c ' (t) d er N u l l vekt or 0 ist, heifsen sin gulare Punkte.

S c h r a u b l i n i e

x y -Ebene

215

B e i s p i e l :

S i n g u l a r e Punkre, A b b i l d u n g 7.15 zeigt

zwei Kurven mit singularen P u n k t e n . Die

ebene Kubik m i t der Pararneterdarstel­

lung c(t) = (t 2 , t 3) , wobei t jeden reellen

Wert a n n e h m e n kann, hat den ersten Ab­

l e i t u n g s v e k t o r c ' (t) = (2t,3t 2) . AuBer an

der Stelle t = ° ist dieser Vektor nie der

Nullvektor. D a h e r ist der P u n k t P(O,O)

der einzige singulare P u n k t - aile anderen

P u n k t e sind regular .

Die Kurve d(t) = (sin 3 (t ), cos 3 (t )) wird

aufgrund ihres sternformigen Aussehens

Astroide genannt. Fur t im Inrervall [0, 2p]

erhalten wir die gesamte geschlossene

Kurve. Sie b e s i t z t vier S p i t z e n . Diese sin­

g u l a r e n P u n k t e liegen a u f S y m m e t r i e ­

achsen der Kurve. W i r e r h a l t e n sie aus

der G l e i c h u n g d ' (t) = ( 3 · sin 2 (t ) . costr),

- 3· cos 2 ( t ) . s i n ( t ) ) = 0 , deren L o s u n g e n

in [0,2:n:) die P a r a m e t e r w e r t e t = 0, t =

:n:/2 , t = :n: u n d t = 3:n:/2 sind.

D i s k r e t e K u r v e n . Urn einen E i n b l i c k in die G e o m e t r i e der Kurven o h n e V e r w e n d u n g

der Analysis zu v e r m i t t e l n , v e r w e n d e n wir den so g e n a n n t e n diskreten Z u g a n g

(Abb. 7 . 1 6 ) . Sei pc ein Polygon m i t den Ecken P" P 2 , P 3 usw., u n d mit k o n s t a n t e r

S e i t e n l a n g e d. Sofern die Kurve c u n d die Lange d gegeben sind, k o n n e n wir ein

solches Polygon mit Ecken a u f c leicht k o n s t r u i e r e n . Das Polygon wird als diskrete Kurve

b e z e i c h n e t . In vielen p r a k t i s c h e n B e r e c h n u n g e n sind Kurven eigentlich Polygone, d.h .

diskrete Kurven.

xP(O,O):...¢il;-<>-----1~

t = 0 x

t = 31t/2

A b b . 7 . 1 5Slnqulare Punkte von Kurven.

A b b . 7 . 1 6Eine d i s k r e t e Kurve ist ein Polygon p.,das eine g l a t t e Kurve c a n n a n e r t . Beig e e i g n e t e r Verfeinerung k o n v e r g i e r tPc gegen eine g l a t t e Kurve c, dieSeiten von p; werden in der Grenze zuTangenten von c.

216

A b b . 7 . 1 7Definition von Schmiegebene undKrOmmungskreis einer Raumkurvem i t t e l s einer Annaherunq durch einPolygon Pc .

D i s k r e r e K u r v e n k o n n e n auch zur H e r l e i t u n g u n d V i s u a l i s i e r u n g von t h e o r e t i s c h e n

E r g e b n i s s e n tiber K u r v e n v e r w e n d e t w e r d e n . Z u v o r h a t t e n wir gesehen, dass

P o l y g o n s e i t e n zu K u r v e n t a n g e n t e n w e r d e n , w e n n das P o l y g o n v e r f e i n e r t w i r d (also

d gegen N u l l g e h t ) . D a b e i ist es eigentlich n i c h t n o t i g , dass alle K a n t e n dieselbe Lange dhaben . M a n b r a u c h t n u r a u f h i n r e i c h e n d glelchmaliige V e r f e i n e r u n g e n zu a c h t e n .

S c h m i e g e b e n e und K r i i m m u n g s k r e i s . Urn e i n e n S c h r i t t jenseits von T a n g e n t e n

zu m a c h e n , b e t r a c h t e n wir eine d i s k r e t e R a u m k u r v e ( P o l y g o n ) pc (Abb. 7 .17). Je

drei a u f e i n a n d e r folgende Ecken von pc (w ie etwa C\> C 2 u n d C 3) b e s i t z e n eine

V e r b i n d u n g s e b e n e 02' N u n h a l t e n wir den P u n k t C 2 fest, n e n n e n ihn P, u n d v e r f e i n e r n

das Polygon, i n d e m wir die S e i t e n l a n g e d gegen N u l l gehen lassen. D a n n e r h a l t e n wir

als G r e n z l a g e der V e r b i n d u n g s e b e n e 02 die so g e n a n n t e Schmiegebene 0 der g l a t t e n

Kurve c im P u n k t P.

L a u t K o n s t r u k t i o n n a h e r t die S c h m i e g e b e n e die gegebene Kurve lokal gut an, u n d sie

e n t h a l t die T a n g e n t e von c in P. Die r n a t h e r n a t i s c h e B e s c h r e i b u n g des G r e n z t i b e r g a n g s

zeigt, das s die S c h m i e g e b e n e im P u n k r c(t) vom e r s t e n A b l e i t u n g s v e k t o r c (t) u n d

dem z w e i t e n A b l e i t u n g s v e k t o r c"(t) a u f g e s p a n n t w i r d .

D u r c h drei a u f e i n a n d e r folgende Ecken des Polygons P. k a n n m a n einen Kreis k 2legen, der n a t u r l i c h in der V e r b i n d u n g s e b e n e 0 2 l i e g t . Die D r e h a c h s e a2 des Kreises

ist die S c h n i t t g e r a d e der S y m m e t r i e e b e n e n <1>12 von C 1 C 2 u n d <1>2 3 von C 2C 3 . Irn Zuge

des V e r f e i n e r u n g s p r o z e s s e s laufen die P u n k t e C 1 u n d C 3 i m m e r n a h e r z u e i n a n d e r , urn

schlieBlich in der G r e n z e m i t C 2 = P z u s a m m e n z u f a l l e n . Als G r e n z l a g e des Kreises k 2e r h a l t e n wir den Krummungskreis k der Kurve c im P u n k r P.

217

Un sere H e r l e i t u n g zeigt , d ass d er Kr i i m m u n g skre is in der Sc h m iege be n e li egt u n d c im

P u n k r P b e r i i h r t . Er sch m ieg t sich ab er be sser an d ie Kur ve a n a ls d ie Ta n ge nt e. Di e

A ch se a vo n k , die G r e n z l a g e vo n a 2, sch ne ide t die S c h m i e g eb en e im Mi tt elp u n k t d es

Kr i i m m u n g skr e ises, d er au ch K r i i m m ungsm it telpu n k t gen a n n t wi r d . Falls r d en R ad iu s

d es Kr i i m m u n g skrei ses (Krummungsradius) b e zeichn et , so h e i Bt d e r K eh r w ert K = 1/r

di e K rummu ngvo n c im P u n k t P.

K = x ' (t )y" (t ) - x" (t)y'(t)[x' V? + y'(t?P/2

K r i i m m u n g au ch ber e c h n et we r de n

m i t t e l s

Bei e be ne n Kur ven c (t ) = (x(t)J'(t))kann m an d er K r i i m m u n g ei n Vorze i­

che n g eb en u n d ve rwe n de t d ann di e

Fo r m el

Beispiel:

Berechnung d e r Krfunmung. M i t a2

als W i n k e l der Polygons eiten in d er Ec ke

C 2 (Abb. 7 .l 8 a) b e r e c h n e t si ch d er R a­

d iu s r: vo n k 2 m ittel s elem e n t a r er Trig o­

n o m e t r i e als

r: = d/(2 ' s in (a 2 / 2 ) ) ;

r i ist d er di skr et e K r i i m m u n g sradi u s in

C 2 . Sein Keh rw ert K2 = 1/r2 kann als d is­

kr ete Kr ii rnrnu n g ang eseh en we rd en .

We n n w ir nu n P = C 2 Iest hal ten u n d d

gegen Null geh en l assen , so konver giert k 2gegen d en K r i i m m u n gskreis k vo n c im

P u n k t P, r i kon verg iert gegen d en Kriirn­

mung sr ad iu s r und K 2 gegen d ie Kr iim­

rnung x vo n c in P (A b b . 7 . l 8 b ) .

Eine e i n f ach ere G r enzw e r t f o r m e l fur d ie

K r u m m u ng k ann m an w ie folgt gewin­

nen . W i r be ach ten, d a ss fur kleine W in­

kel ~ (A b b . 7 . l 8 c ) d er W ert ~ seh r nah e

a n s in( ~) li egt ( gena ue r : ~/(sin ~) g e h t

g egen 1, we n n ~ gege n 0 g eht ). Di e s

zeigt , d ass di e K riimrnu ng au ch so be ­

re chn et we rde n ka n n ,

K = lim ( 1/ r ) = l im ( 2 ' s in (a / 2 ) / d) = lim

a i d, f u r d ~ 0 ,

wo be i a d en Seit en win k el i n P be zei ch­

n et. S o m i t m isst di e Kr i i m m u n g d ie

lokale Richrun gsand erung d er Tang ent e.

W e n n e i n e Par am e t e r d ar st e l l u n g c (t )

der Kur v e c g eg eb en ist , so k a n n d ie

K = Il c'(t} x c"(t }11Ilc' (t}W

218

c

(c)

Ab b . 7 .1 8He r l e i tun g e i n e r F o r m e l fOr d e nd i s k r e t e n Kr Om m u ng s radi u s . Wenndie d i s k r et e Kurve d u r c h Ve rfe i n e r u ngg e g e n eine g l a t t e Kurve c konve r g i e r t ,so k o n v e r g i e r t d e r dis k r e t eK r O m m u n g s r a d i u s g eg e n den Radiusr des KrOmmun g s k r eises k v on c. DerKehr w e r t K = l / r i st die K r O m m u n g .

W e n d e p u n k t u n d S c h e i t e l . K r i i m m u n g s k r e i s u n d K r i i m m u n g sind n i i t z l i c h e

Werkzeuge zum S t u d i u m u n d zur Analyse von Kurven. Im A l l g e m e i n e n b e r u h r t

eine ebene Kurve e d e n K r i i m m u n g s k r e i s im P u n k r P u n d w e c h s e l t d o r t die Seite

des Kreises k (Abb. 7 . l 9 a ) . Ein P u n k t S e i n e r Kurve c, in dem die K r i i m m u n g einen

lokal m a x i m a l e n o d e r m i n i m a l e n W e r t a n n i m m t , heiBt Scheitel. In dies em F a l l l i e g t

die Kurve lokal ganz a u f d e r s e l b e n Seite des K r i i m m u n g s k r e i s e s (Abb. 7 . 1 9 b ) . Solche

speziellen P u n k t e liegen zum Beispiel a u f e v e n t u e l l e n S y m m e t r i e a c h s e n der Kurve c.

Weitere i n t e r e s s a n t e K u r v e n p u n k t e sind die Wendepunkte. In diesen P u n k t e n e n t a r t e t

der K r i i m m u n g s k r e i s in eine Gerade, narnliche die K u r v e n t a n g e n t e T. In einem

W e n d e p u n k t W i s t die K r i i m m u n g gleich Null, u n d die Kurve wechselt d o r t die

Seite der T a n g e n t e (Abb. 7 . l 9 c ) . Es gibt auch P u n k t e (so g e n a n n t e F l a c h p u n k t e )

m i t v e r s c h w i n d e n d e r K r i i r n r n u n g , in d e n e n die Kurve n i c h t die Seite der T a n g e n t e

wechselt. Dies passiert, wenn sich die T a n g e n t e lokal b e s o n d e r s g u t an die Kurve

a n s c h m i e g t . M a t h e m a t i s c h lassen sich d e r a r t i g e P h a n o m e n e u n t e r V e r w e n d u n g

h o h e r e r A b l e i t u n g e n b e s c h r e i b e n , w o r a u f wir aber v e r z i c h t e n , weil es den R a h m e n des

v o r l i e g e n d e n Textes sprengen wiirde .

( a )

A b b . 7 . 1 9(a) 1m Allgemeinen berUhrt eine Kurvee d e n KrUmmungskreis k und wechseltd o r t die Seite von k .(b) Ein Scheitel 5 ist ein Punkt m i tlokal e x t r e m e r KrOmmung. In einemgenerischen Scheitel b l e i b t derKrOmmungskreis k lokal auf derselbenSeite der Kurve.(c) In einem Wendepunkt W wechselteine Kurve c die Seite der Tangente. ( b )

c

219

Evolute. Die M e n g e der K r i i m m u n g s m i t t e n e i n e r e b e n en K u r v e c h e i / h E vo/ute e

von c. D i e Evolure e i n e r e b e n e n K u r v e k a n n a u c h als H i i l l k u r v e der K u r v e n n o r m a l e n

e r z e u g t w e r d e n .

D i e s e T a t s a c h e ist l e i c h t r n i t t e l s e i n e r d i s k r e t e n K u r v e pc ( A b b . 7 . 2 0 , l i n k s ) e i n z u s e h e n .

W i r b e t r a c h t e n die S y m m e t r a l e n b 12 , b Z3 ' .. . , der S e i t e n C j C z , C z C 3 usw, Aufe i n a n d e r

f o l g e n d e S y m m e t r a l e n (wie e t w a b 12 u n d b Z3 ) s c h n e i d e n e i n a n d er im M i t t e l p u n k t K z

des Kreises d u r c h Cl> C z u n d C 3 ) d e r eine d i s k r e t e V e r s i o n eines K r i i m m u n g skreises

ist (siehe vorige D i s k u s s i o n ) . D a h e r b i l d e n aIle S y m m e t r a l e n die S e i t e n g e r a d e n

eines P o l y g o n s p" dessen Ecken die d i s k r e t e n K r i i m m u n g s m i t t e n K z , K 3 usw. der

g e g e b e n e n d i s k r e t e n K u r v e pc s i n d . V e r f e i n e r n wir n u n pc zu e i n e r g l a t t e n K u r v e c

( A b b . 7 .20 , r e c h t s ) , so w e r d e n die S y m m e t r a l e n die N o r m a l e n v o n c u n d s o m i t

k o n v e r g i e r t das P o l y g o n pc zur Evolure e. D a die S y m m e t r a l e n a u c h S e i t e n g e r a d e n von

pc s i n d , k o n v e r g i e r e n sie zu T a n g e n t e n der E v o l u t e e. D a h e r s i n d die N o r m a l e n der

A u s g a n g s k u r v e c d ie T a n g e n t e n i h r e r Evolure e.

Es sei v e r m e r k t , das s zu e i n e m S c h e i t e l der A u s g a n g s k u r v e c eine S p i t z e der Evolure e

g e h o r t . A b b i l d u n g 7.21 i l l u s t r i e r t diese Eigenschafi: a n h a n d e i n e r Ellipse . N e b e n b e i

b e m e r k e n w i r , dass die Evolure e e i n e r Ellipse aus e i n e r A s t r o i d e ( s i e h e Beispiel

"singuLire P u n k t e " ) d u r c h eine affine T r a n s f o r m a t i o n h e r v o r g e h t . Die Evolure w i r d in

K a p i t e l 1 0 i i b e r O f f s e t s eine w i c h t i g e Rolle s p i e l e n ,

Pc

220

cAbb . 7 .20( r e c h t s ) Die Evolute e einerebenen Kurve c lst die Menge ihrerK r u m m u n g s m i t t e l p u n k t e und auch dieHullkurve i h r e r Kurvennormalen.(links) Dies e r k e n n t man leicht anhandeiner diskreten Kurve.

A b b . 7 . 2 1Die Evolute einer Ellipse ist eineaffin t r a n s f o r m i e r t e Astroide. Dievier Spitzen der Evolute sind dieKrummungsm i t t e l p u n k t e in denScheiteln der Ellipse.

F r e n e t - B a s i s einer Raumkurve. W a h r e n d eine ebene Kurve eine e i n d e u t i g b e s t i m m t e

N o r m a l e in einem P u n k t P besitzt, hat eine R a u m k u r v e c u n e n d l i c h viele N o r m a l e n in

P, die alle in der N o r m a l e b e n e V von c in P liegen. N o r m a l e b e n e V u n d Schmieg­

ebene a s c h n e i d e n e i n a n d e r in der Hauptnormalen n der Kurve (Abb. 7.22). D i e

H a u p t n o r m a l e triffi die Achse a des Kriimmungskreises im K r i i m m u n g s m i t t e l p u n k t K

Die Gerade b ( d u r c h den K u r v e n p u n k t P), die n o r m a l a u f der S c h m i e g e b e n e as t e h t u n d parallel zur Achse a des K r i i m m u n g s k r e i s e s verlauft, s c h n e i d e t sowohl die

H a u p t n o r m a l e als auch die T a n g e n t e T u n t e r r e c h t e m W i n k e l . Diese G e r a d e heiBt

Binormale b der Kurve c im P u n k t P.

T a n g e n t e T, H a u p t n o r m a l e n u n d B i n o r m a l e b b e s t i m m e n ein r e c h t w i n k l i g e s

D r e i b e i n , die so g e n a n n t e Frenet-Basis im P u n k t P. Das d a d u r c h b e s t i m m t e

kartes ische K o o r d i n a t e n s y s t e r n ist mit der R a u m k u r v e in ganz n a t i i r l i c h e r Weise

v e r b u n d e n u n d spielt d a h e r eine w i c h t i g e Rolle in der T h e o r i e der R a u m k u r v e n .

Die K o o r d i n a t e n e b e n e n der Frener -Basis sind die S c h m i e g e b e n e 0 ( = Tn), die

N o r m a l e b e n e V ( = nb) u n d die rektifizierende Ebene p (= Tb).

A b b . 7 . 2 2Die Frenet-Basis einer Raumkurvec besteht aus der Tangente T, derH a u p t n o r m a l e n und der Binormale b.T und n liegen in der Schmiegebene a.

v

k

I

i aI

- - ::::: 1:::::I

p !I

I- - - - - i, / .

/ I' K

221

Beispiel:

Frenet-Basis und Normalprojektio­

nen, Z u r I l l u s t r a t i o n der V e r a n d e r u n g

der K r i i m m u n g bei P r o j e k t i o n e n stu d ie­

ren wir P r o j e k t i o n e n parallel zu den

Ach sen der Frenet-Basis (Abb. 7 .2 3 ) .

W ir b e n u r z e n dazu die K u b i k c(t) =

( 12t · ( 1 - t ), 2t· (3 - 3t + 2 l ) , 4t· (3 - 6t

+ 4t 2) ) au s dem Beispiel " P a r a b e l u n d

kubische Raurnkurve".

Die Tangente im P u n k t P = c ( Y2 ) = (3, 2 , 2 )

ist parallel zur y -A ch se u n d die Schmieg-

ebene a ist parallel zur xy-Ebene. D a h e r

sind die N o r m a l e b e n e u n d die rekrifizie­

rende Ebene parallel zur x z -Ebene bzw.

y z-Ebene. D e r G r u n d r i ss ( resu lt ier en d

aus der N o r m a l p r o j e k t i o n in eine Ebene

parallel zur Schmie gebene) zeigt den

K r i i m m u n g s k r e i s k im P u n k t P o h n e

Verzerrung, w a h r e n d Aufri ss u n d Kreuz­

riss K u r v e n e" u n d e'" sind , die einen

W e n d e p u n k t P" b zw. eine Spitze P'"

aufweisen.

222

y

A b b . 7 . 2 3Frenet-Basis in einem Punkt einerKubik c und N o r m a l p r o j e k t ionen inRichtung der Achsen der Frenet-Basis. Die N o r m a l p r o j e k t i o n parallelzur Tangente ( K r e u z r i s s ) hat eineSpitze . Die Projektion parallel zurH a u p t n o r m a l e ( A u f r i s s ) l i e f e r t einenWendepunkt der Bildkurve. Das lokaleVerha lten der p r o j i z i e r t e n Kurve kanndurch B e t r a c h t u n g des Bildes desKrOmmungskre ises verstanden werden .

K e g e l s c h n i t t e

I I I

Kegelschnitte werden meist als ebene Schnittevon Drehkegeln eingefuhrt (siehe Abb. 7.49).

NW1 wollen wir weitere Erzeugungsmoglichkeiten W1d Eigenschafi:en von Kegelschnitten

mit Hilfe der soeben vorge stellten mathematischen Konzepte illustrieren.

Irnplizite Darstellung. Die einfachste implizit definierte ebene Kurve ist die Gerade,

die durch eine lineare Gleichung beschrieben wird: a - x + b.y + c = a. Einen Kegel­

schnitt konnen wir mittels einer quadratischen Gleichung definieren,

a - x ' + b . x . y + c · l + d-x + e ·y + f= a.

Verschiedene Wahlen fur die konstanten Parameter a, b, ... , j f u h r e n zu verschiedencn

Kegelschnitten. Natiirlich bewirkt eine Multiplikation aller Parameter mit demselben

Faktor A nur eine Multiplikat ion der impliziten Gleichung mit A und hat daher keinenE influss auf die Losungsmenge. Daher ist nur das Verhaltnis a : b: ... : f der Parameterwirklich wichtig. Abhangig von der Wahl dieses Verhaltnisses erhalten wir Kreise,

Ellipsen, Parabeln oder Hyperbeln (sowie gewisse Entartungsfalle wie Geradenpaare).

Ellipse. Eine quadratische Gleichung der Form

b 2 2 2 2 2 b 2 a·x + a . y - a · =

beschreibt cine Ellipse mit dem Koordinatenursprung als Mittelpunkt und den Koor­

dinatenachsen als S ymmetrieachsen. Die Parameter a und b sind die Abstande der vier

Scheitel vom Mittelpunkt (Abb. 7 .24). Unter der Voraussetzunga>b sind die Koordina­

ten der Hauptscheitel (a ,a) , (-a,a) , und die der Nebenscheitellauten (a,b) und (a,-b).

y

( D,b ) AAbb . 7 . 2 4Eine Ellipse hat v i e r Scheitel. Siekann durch eine g e e i g n e t e S k a l i e r u n g( A f f t n l t a t ) in einen Kreis t r a n s f o r m i e r twerden.

( - a i D)

x

, (D , -b ) ,,(D,-a )

223

D ie Ska lie ru n g (affin e Tran sform at ion ) (x J' ) ~ (XIJ'I) = ( xJ" a ] b) h alt d ie

H aupt sch eitel fest u n d b i l d e t d ie Neb en sche it el a u f die P u n k t e ( O,a) u n d (O,-a) a bo

E in set zen d er A b b i l d u n g sgle ichu nge n x = X h Y = YI . bl a in d ie D a r st ellun g der Ellip se

liefert ( nac h Di vision d u r c h b 2 ) die Gl ei c h u n g x / + y/ - a 2 = 0 , w elche ei ne n Krei s

vo m R adiu s a b eschr eibr . D ah er tr an sform iert die Skali e r u n g d ie Ell ip se in d iesen

Kr e is ( H a u pts ch e i t elkr eis). Kr e is u n d Ellip se ko n n en auc h ii ber and er e Skal ie r u n g e n

in Bezi e h u n g gese tz t we r de n . Z u m Beispiel b ildet di e Skal ie r u n g .e, = a -x , YI = b .y

d en Kr eis vo m R a d i u s 1 (~ + l = 1) a u f un sere Ell ip se a b o

Ein e Ell ip se h a t zw ei Br ennp unkte F 1 (e, O) u n d F 2 ( - e ,O ) a u f d er H a u p t ach se. D e r e n

Ab st and e (Ex zentrizitat ) vo m M i t t e l p u n k t e r re ch n e t si ch aus a u n d b dur chi = a 2 - b 2 (Abb. 7.25). Die s zeigt u n m i t t e l b a r , dass d er Ab s t a n d d e r N eb ensch eitel

von F 1 u n d F 2 gl eich a ist , was ei ne n S o n d e r f a l l der f o l g e n d e n Ei gen sch aft darst ellc ,

Di e S u m m e der A b s t a n d e dist(P,F 1 ) + dist(P,F 2 ) von den b eiden Br e n n p u n k t e n ist fur

aIle P u n k t e P ei n er Ellip se kon srant ( na rn l ich gleich 2. a ).

D ah er k ann ein e Ell ip se m i t t els e i nes i n d en B r e n n p u n k t e n b efe stigren g e s p a n n t e n

Fad en s ge ze i c h n e t w e rd en (A b b . 7.25). Ein an alyti sch er Bew eis se t zt P = (xJ') ' u n d

r e d u z i e r t di e B e d i n g u n g

d ist ( P , F I ) + di st ( P , F 2) = v ( x - eY + / + = -{[X+ e)2 + / = 2a

dur ch ei nfache U m f o r m u n g e n a u f d ie Gl e i c h u n g b 2 x 2 + ay - a 2 b 2 = ° d er Ell ip se. Beid er Fad e n k o n s r r u k r ion e r ge be n di e g le iche n Zu g sp a n n u n g en i n P ein e resu ltie r en d e

Kr aft in der W inkel symm et r alen von PF 1 u nd PF 2 • D a h er k ann si ch d er P u n k t P nur

o r t h o g o n al zu d ieser Symm etr alen b ew eg en . A n d e r s ausge d r iickt ist also d ie T a n g e n t e

der Ell ip se in P die a ul5 e re Symm etr ale d er b eiden . B r e n n l i n i en" PF 1 u n d PF 2 • Ein vo n

ein em Br e n n p u n k t ausgesen de t e r L i c h t st r ahl w i r d dah er n ach Refle xion an d er Ell ip se

d u r ch den a n d e r e n B r e n n p u n k t geh en .

A b b . 7 . 2 5Die F a d e n k o n s t r u k t i o n der Ellipsebed ingt die folgende Eigenschaft :Von einem B r e n n p u n k t ausgesendeteStrahlen gehen nach Reflexion an derEllipse durch den anderen B r e n n p u n k t .

( - a , D )

22 4

(b ,D )

( - b , D)

y

(-b,D) 1

y

A b b i l d u n g 7 .2 6 z e igt ein e ei nfa che Kon s t r u k t i o n der M i r t e l p u n k r e der K r i i m m u ng s­

kr ei se i n den S c h e i t e l n d er Ellip se . Di ese Kr eise sin d fiir da s Z e i c h n en vo n Ellip sen

niitzl ich . Z u r A b l e i t u n g ei ne r Pa r a m e t e r d a r st ellung ein er Ellip se w e n d en w ir di e

Skal ier ung x, = a ·X,Y l = b. y a u f den E i n h e i t skre is c(t) = (si n (t ), cos(t)) an u n d

e r h alt en

c.(t) = (a .sin(t ), b .cos(t)).

An alog find et m an ei ne rati on ale Param etri si e r u n g einer Ellip se d er Fo rm

d ( ) - ( 2t b I - t 2)i t - a · - - , ' - - .

l + r 1+t 2

d u r c h Anw e n d u n g d e r selb en Sk ali e r u n g a u f di e r a t i o n ale D a r s t e l l u n g d es

Einh eit skre ises. Ellip sen er ha l t m an au ch al s e be n e S c h n i t t e von D r e h z y l i n d ern , wa s

e i n h iiufiges A u tt re te n in der A r c h i t e k t u r b ew irkt (siehe Abb . 7. 27 ) .

Abb . 7 . 2 6Die K r O m m u n g s m i t t e l p u n k t e derScheitel konnen durch eine einfacheK o n s t r u k t ion e r m i t t e l t werden .

Abb . 7 .27Ellipsen und e l l i p t ische Bogen t r e t e n inArch i t e k t u r und Design auf.(a) Der H a n g a r 7 ( 1 9 9 9 - 2 0 0 3 ) inSalzburg von Volkmar Burgstalle r. Derzentrale Baukorper ist ein geneigtesEllipsoid m i t e l l i p t ischen Bogen alsTragstruktur.(b) Das Tycho Brahe P l a n e t a r ium( 1 9 8 8 - 1 9 8 9 ) i n Kopenhagen von KnudMunk .

(b)

x

(a)

225

Hyperbe1. Durch Anderung eines einzigen Vorzeichens in der impliziten Darstellung

einer Ellipse erhalten wir mittels

b 2 2 2 2 2 b 2 a- x - a ' J - a · =

eine Gleichung, die eine Hyperbel beschreibr. Der Mittelpunkt der Hyperbel ist der

Ursprung 0, und die zwei Hauptscheitel haben die Koordinaten (a,a) und (-a,a). Die

Punkte (a,b) und (0, -b) liegen nicht auf der Hyperbel, aber auf dem Achsenrechteck,

dessen Diagonalen die so genannten Asymptoten u und v sind. Eine Hyperbel hat zwei

Aste. ]eder von ihnen nahert sich bei zunehmender Entfernung vom Mittelpunkt beliebig

nahe an die Asymptoten an, ohne sie zu beriihren. Die Asymptoten sind fur das richtige

Skizzieren von Hyperbeln wichtig. Man kann Brennpunkte F 1 (e,O) und F 2 ( -e,O)

definieren, mit i = a 2 + b 2 (Abb. 7 .28), und zeigen, dass die Differenz der Abstande

Idist(P,F 1 ) - dist(P,F 2 ) I fur aIle Punkre der Hyperbel denselben Wert (= 2a) annimmt.

y

(c)

/

A b b . 7 . 2 8Eine Hyperbel hat zwei Scheitel undzwei A s y m p t o t e n .

Abb. 7.29ParabelbOgen in der A r c h i t e k t u r .(a, b) Der Botanische Garten ( 1 9 9 1 ­1995) in Graz von Volker Giencke istaus k o n g r u e n t e n parabolischen Bogena u f g e b a u t (Foto m i t f r e u n d l i c h e rGenehmigung von Walter O b e r m a y e r ) .(c) Unter der Beach Park B o u l e v a r dBrOcke in Foster City (Foto m i tf r e u n d l i c h e r Genehmigung von PeterKaminski).

(a)

A b b . 7 . 3 0Eine Parabel und ihre R e f l e x i o n s e i g e n ­schaft.

Parabel. P a r a b e l n u n d P a r a b e l b o g e n sind w i c h t i g e Kurven zur E r z e u g u n g

i n t e r e s s a n t e r Plachen (siehe Kapitel 9 [tiber t r a d i t i o n e l l e Flachcnklassen] u n d

K a p i t e l l l [tiber Freiforrnflachenj) . Z u s a t z l i c h t r e t e n sie a u f g r u n d ihrer s t a t i s c h e n

Eigenschaften haufig in der A r c h i t e k t u r a u f (Abb. 7.29) . In e i n e m a n g e p a s s t e n

K o o r d i n a t e n s y s t e m l a u t c t die q u a d r a t i s c h e G l e i c h u n g einer Parabel

Diese Parabel h a t i h r e n einzigen Scheitel im U r s p r u n g . Die y-Achse ist die einzige

S y m m e t r i e a c h s e u n d wird als Achse der Parabel b e z e i c h n e t . D e r Brennpunkt

F = (0,p /2) liegt a u f der Achse, u n d die Evolute e hat nur eine Spitze . Eine Parabel

k a n n ebenfalls leicht m i t t e l s einer A b s t a n d s e i g e n s c h a f t c r k l a r t w e r d e n (Abb. 7.30) .

W i r d e f i n i e r e n die Leitlini e I:y = -p/2. Sie verlaufi n o r m a l zur Achse im A b s t a n d p

zum B r e n n p u n k t F. D a n n ist fUr j e d e n P u n k t Q der Parabel der A b s t a n d d i s t ( 2 F )

zum B r e n n p u n k t gleich dem A b s t a n d dist(21) zur L e i d i n i e .

Urn die s anal ytisch nachzuweisen, setzen wir Q=(xJ')' f o r m u l i e r e n die

A b s t a n d s b e d i n g u n g d i s t ( 2 F ) = dist(21) als Yx 2 +0' - p/2?) = [y + q/2l, q u a d r i e r e n

diese u n d e r h a l t e n nach e i n f a c h e n U m f o r m u n g e n die G l e i c h u n g v ' - 2py = 0 der

Parabel. In enger B e z i e h u n g zur A b s t a n d s e i g e n s c h a f t s t e h t die folgende Tatsache: Vom

B r e n n p u n k t F ausgehende S t r a h l e n verlaufen nach e i n m a l i g e r Reflexion an der Parabel

parallel zur Achse (Abb . 7.30).

Es sei h e r v o r g e h o b e n , dass je zwei P a r a b e l n z u e i n a n d e r a h n l i c h u n d P a r a b e l n mit

d e m s e l b e n P a r a m e t e r p sogar k o n g r u e n t sind. Im Beispiel . P a r a b c l u n d r a u m l i c h e

Kubik" zu Beginn dieses Kapitels h a b e n wir eine einfache P a r a m e t e r d a r s t e l l u n g

c(t) = ( t i ) der Parabel mit p = 1/2 angegeben . Eine P a r a m e t r i s i e r u n g der

Parabel x ' - 2py = 0 l a u t e r o f f e n s i c h t l i c h c(t) = ( t , l / (2p )).

p / 2

p / 2

p / 2- - - - - - - - - / - - - - - - - - 0 - - I

227

D i e F a d e n k o n s t r u k t i o n der P a r a b e l . G e g e b e n seien zwei L i n i e n e l e m e n t e (d.h. ,

P u n k r e m i t T a n g e n t e n [B o, To] u n d [B 2 , T 2 ] , wie in A b b i l d u n g 7 .31). W i r w o i l e n

e i n e n P a r a b e l b o g e n k o n s t r u i e r e n , der in B o m i t der T a n g e n t e To s t a r t e r u n d in B 2 m i t

der T a n g e n t e T 2 e n d e t . D u r c h V e r b i n d u n g g e e i g n e t e r " k o r r e s p o n d i e r e n d e r " P u n k t e

a u f den b e i d e n g e g e b e n e n T a n g e n t e n e r h a l t e n wir w e i t e r e P a r a b e l t a n g e n t e n . Die

E i n f a c h h e i t dieser K o r r e s p o n d e n z ist b e m e r k e n s w e r t . Urn sie zu e r k l a r e n , b e z e i c h n e n

wir den S c h n i t t p u n k t der b e i d e n T a n g e n t e n To u n d T 2 m i t B I •

W i r b e n u t z e n l i n e a r e I n t e r p o l a t i o n , urn P u n k t e P u n d Q zu b e s t i m m e n , welche die

b e i d e n S t r e c k e n (Bo,Bl) u n d (B j ,B2) im selben V e r h a l m i s t : (1 - t) teilen (siehe Abb.

7 .31). D a n n s i n d die P u n k t e P u n d Q k o r r e s p o n d i e r e n d e P u n k t e u n d die G e r a d e

(P,Q) ist eine T a n g e n t e der Parabel. E r s t a u n l i c h e r w e i s e e r h a l t e n wir n u n auch n o c h

den B e r i i h r p u n k r R d u r c h T e i l u n g der Strecke (P,Q) im selben V e r h a l t n i s t: (1 - t).

D u r c h V e r a n d e r u n g des Wertes von t e r g e b e n sich aile P u n k t e u n d T a n g e n t e n der

Parabel.

W i r geben n o c h die m a t h e m a t i s c h e B e s c h r e i b u n g dieser K o n s t r u k t i o n an . A u s g e h e n d

von den drei P u n k t e n B o, B l u n d B 2 u n d d e r e n K o o r d i n a t e n v e k t o r e n h o , b . , u n d b,

b e r e c h n e n w i r z u e r s t die P u n k t e P = p(t) = ( 1 - t ) . h o + t . h l u n d Q = q(t) =

( 1 - t). hi + t- h 2 a u f den G e r a d e n (Bo,Bl) u n d (B I,B2)' D a n n e r h a l t e n wir den

P u n k t R a u f (P,Q) u b e r r l r ) = ( 1 - t ) . p ( t ) + t.q(t). N u n setzen w i r d i e zuvor

g e f u n d e n e n A u s d r i i c k e fur p(t) u n d q(t) ein u n d e r h a l t e n r(t) = (1 - t). [( 1 - t). h o

+ t- hi] + t- [(1 - t) . hi + t- h 2 ] . Dies k a n n w e l t e r v e r e i n f a c h t w e r d e n zu f o l g e n d e r

P a r a m e t e r d a r s t e l l u n g des P a r a b e l b o g e n s ,

Bei Variation des P a r a m e t e r s t i m I n t e r v a l l [0,1] ergeben sich aile P u n k t e des

Parabelbogens. Urn n o c h zu beweisen, dass PQ die T a n g e n t e in R ist, differenzieren wir

r(t) nach t u n d e r h a l t e n r ' (r) = 2 · [ - ( 1 - t)b o + (1 - 2t)b l + tb 2 ] = 2 · [(1 - t)(b l - b o )

+ t(b 2 - h i ) ] = 2 · [q(t) - p(t)]. Dies zeigt , dass q(t) - p(t) ein R i c h t u n g s v e k t o r der

T a n g e n t e u n d s o m i t die V e r b i n d u n g von P u n d Q die T a n g e n t e in R ist,

Die F a d e n k o n s t r u k t i o n der Parabel ist ein Spezialfall des A l g o r i t h m u s von de

C a s t e l j a u fur B e z i e r - K u r v e n . Diese e i n f a c h s t e n u n d g r u n d l e g e n d s t e n F r e i f o r m k u r v e n

w e r d e n im n a c h s t e n K a p i t e l d i s k u t i e r t .

228

A b b . 7 . 3 1Die F a d e n k o n s t r u k t i o n e r z e u g t m i t t e l sw i e d e r h o l t e r l i n e a r e r I n t e r p o l a t i o n(siehe Anhang) Punkte undTangenten einer Para bel, von der zweiL i n i e n e l e m e n t e (B o, To) und (B 2 , T 2 )gegeben sind.

A b b . 7 .32Die P a r a m e t e r d a r s t e l l u n g b e s c h r e i b teine Abbildung eines Bereichs Rder ( u , v ) - P a r a m e t e r e b e n e auf einFlachenstOck <I> im d r e i d i m e n s i o n a l e nRaum.

FlachenIn V e r a l l g e m e i n e r u n g der fur K u r v e n v o r g e s t e l l t e n K o n z e p t e w e n d e n wir uns

n u n dem S t u d i u m von Flachen zu. W a h r e n d wir eine Kurve als e i n d i m e n s i o n a l e

P u n k t m e n g e e r k l a r t h a b e n , sehen wir Flachen ais eine A r t z w e i d i m e n s i o n a l e H a m im

R a u m an. Freilich ist diese g r o b e B e s c h r e i b u n g keine Basis fur ein genaueres S t u d i u m

der Flachen. D a h e r w e r d e n wir uns w i e d e r m i t der m a t h e m a t i s c h e n B e s c h r e i b u n g ,

i n s b e s o n d e r e m i t P a r a m e t r i s i e r u n g e n sowie m i t e x p l i z i t e n u n d i m p l i z i t e n

D a r s t e l l u n g e n befassen.

P a r a m e t e r d a r s t e l l u n g . 1m G e g e n s a t z zu K u r v e n p u n k t e n h a n g e n die K o o r d i n a t e n

eines F l a c h e n p u n k t e s von zwei v e r s c h i e d e n e n P a r a m e t e r n u u n d v ab o D a h e r k a n n

eine parametrisierte Fldche <P d u r c h p(u,v) = (x(u,v),y(u,v), z(u,v)) b e s c h r i e b e n

w e r d e n , w o r i n die P a r a m e t e r u u n d v a l l e W e r t e (d.h. P u n k t e (u,v)) aus e i n e m

z w e i d i m e n s i o n a l e n Bereich R der u v - P a r a m e t e r - E b e n e a n n e h m e n k o n n e n

(Abb. 7.32) . A n s t e l l e einer A b b i l d u n g eines e i n d i m e n s i o n a l e n I n t e r v a l l s I in den

Raum ( K u r v e n f a I l ) h a b e n wir n u n eine stetige A b b i l d u n g eines z w e i d i m e n s i o n a l e n

Bereichs R in den Raum. Das E r g e b n i s dieser A b b i l d u n g ist die Flache <P.

v

t - - - - - - ' - , R

.-----l~

U

U = u ;

229

] ede s Paar von P a r a m e t ern u u n d u, d as ein en P u n k t (u ,v) im Par amet erber eich R

b esch reibt , w i r d a u f ein en Flach e n p u n k r P(u,v ) mit dem Ko o r d i n at en vekt or p (u ,v)

abgebild et. W ie bei den Kur ven n e n n en wir die Fun kti on en x(u,v),y(u,v) u n d z( u,v)

Koordinatenfi mktionen und p (u,v) eine Parametrisi eru ng ( Parameterdars te llung) von <1> .

We n n w i r d en Par a m e t e r u = Uo fesrha l re n, ab e r v va ri iere n, so e rha lte n w i r e i ne

u- Parame terku rue o d er o-Linie s; a uf de r Flache, D ie Bez e i c h n u n g v-Li nie d r iickt di e

T at sache aus, d ass v va r iiert, also v d e r Kur venp ar am et er ist .

An alog er gi b t sich eine u -Parame ter-Kurue o de r u -L in i e S u au f der Flach e <1> , we n n

w i r d en P a r a m e t e r v fe s t h a l t en und nur u vari ie re n . P a r a m e t e r l i n i en sin d o ft zur

Ver sta rkung d er r aumlich en W i rk u n g einer Flache n iitzl ich . Sie k o n n en au ch als

Design -Element in der Ar c h i t e k t u r ei ng eset zt werden (vg l. Abb . 7 .33) .A b b . 7 . 3 3P a r a m e t e r k u r v e n unterstUtzen dieraurnliche Wirkung von Flachen.(a) Dieselbe Flache m i t und ohneParameterlin ien.(b) Parameterlinien in der A r c h i t e k t u ranhand der Fachergewolbe der King 'sCollege Kapelle ( 1 4 4 6 - 1 5 1 5 ) i nCambridge.

( b )

230

v - L i n i e

Beispiel:

Parameterdarstellung einer Kugel.

Gege be n is t ei ne K ug el m i t M i t te lp u nk t

M(O,O,O ) u nd R ad iu s r. Au s A b b ild u ng

7 .34 l esen wir die K o o rd in at e n eines

P un kt es P de r Kugel wie fol gt a b,

p (u,v ) = (r.cos(u).cos(v), r.co s(u ). s i n (v ),

r.sin(u )).

Abb . 7 . 3 4Eine P a r a m e t e r d a r s t e l l u n g ei n e rKugel k a n n aus Kugel koord inatenabge le i t e t werden , d .h , aus dergeografischen Bre ite u und Lange v .Die Meri di a nk r eis e v er l a uf e n durchNord - u nd S Od po l de r Kugel. DerRollende Ball ( 1 9 9 2 ) i n s e y r ing v onRi char d KO nz.

W enn d ie P a r am et e r u un d v a lle W err e

im Bere ich R = ( - n I2 , n/2 ] x (-n,n ] a n ­

ne h me n, e r ha l ten wir die gesam te Ku gel.

Da m i t sin d di e v-Linie n Kreise ( m i t kon ­

scan te r geografisch er Breite u) in Ebene n

p ara llel zu r xy -Ebe ne . Die u -Lin ien sin d

Meri dia n kreise ( m i t ko ns t a n t e r geografi­

sc h e r Lange v) durc h d ie beiden P ol e.

(a )

SOdp ol

p

z = r · s i n ( u )

~

(b)

p

• Ix = r · co s ( u ) · c o s ( v )

y = r · c o s ( u ) · s i n ( v)

23 1

Beispiel:

Zylinder. Eine Flache mit einer Parame­

t e r d a r s t e l l u n g der Form p(u,v) = (x(u),

y(u), v) ist ein a l l g e m e i n e r Z y l i n d e r m i t

c = c(u) = (x(u),y(u), 0) als Basiskurve

in der xy-Ebene. AIle u - L i n i e n sind kon­

g r u e n t zu c u n d liegen in E b e n e n parallel

zur xy-Ebene. Die E r z e u g e n d e n des Zy-

232

linders sind die v-Linien . Sie sind paral­

lel zur z -Achse. A b b i l d u n g 7.35 zeigt

zwei Beispiele, m i t c(u) = ( 2 . s i n ( u ) ,

3·cos(u),0) bzw. d(u) = (2.cos(u) +2· c o s ( 2 . u), 2· sin(u) + 2· s i n ( 2 . u) ,O)als u - K u r v e n in der xy-Ebene .

Beispiel:

TangentenfHiche. Wenn c(t) eine Para­

m e t e r d a r s t e l l u n g einer R a u m k u r v e c ist,

so wird die K u r v e n t a n g e n t e im P u n k t

c(t) d u r c h c(t) + u · c '(r) beschrieben.

Wenn wir n u n t im P a r a m e t e r i n t e r v a l l

der Kurve variieren, so e r h a l t e n wir die

Menge aller T a n g e n t e n von c. Diese so

g e n a n n t e TangentenfHiche (Abb . 7.36)

hat die P a r a m e t e r d a r s t e l l u n g p(u,t) =

c(t) + u· c'[z). Die u - L i n i e n (t = const)

sind die T a n g e n t e n . T a n g e n t e n f l a c h e n

h a b e n wichtige g e o m e t r i s c h e Eigen­

schaften , die wir in Kapitel 9 b e s p r e c h e n

werden.

A b b . 7 . 3 5x Zylinder m i t ebenen u-Linien.

A b b . 7 . 3 6Eine Flache, die von den Tangenteneiner Raumkurve gebildet wird.

E x p l i z i t e u n d i m p l i z i t e D a r s t e l l u n g . Ein e Flach e <P k ann auc h als Menge vo n

P u n k t e n au fgefasst w e r d en, d eren K o o r d i n at en (xJ"z) ein e Bed i n g u n g d e r

Form z = f(xJ' ) od er F(xJ' ,z) = 0 er fiille n . W i r n enn en die Flach enbe s c h r e i b u n g

z = f(xJ') ein e explizite Darst ellu ng und F(x J" z ) = 0 ei ne impliz it e Dar stellung.

Di e explizite D a r stellung z = f (x J') wird haufig zur Visuali si e r u n g ei n er F u n k t i on

f (x J') vo n zwei Var iablen he range zogen. Ein e so lch e Flache w ird auch als Graph der

F u n k t i on f(xJ') b ezeichn et . N a t u r l i ch ist die exp li z i te D a r st ellung ei n Spezi alf all einer

i m p li z i t e n D ar stellun g.

Ai s Bei sp iele zeig t A b b i l d u n g 7 .37 ein h yp erboli sch es Par a b o l o i d (vg l. K apir el S ) m i t

der exp l iz i te n D a rst ellung z = 2x 2- 3l und die " St u h l"- Flache mit der impli zit en

G le ich u n g (x 2 + l + Z2 - ak 2) 2 - b[(z - k )2 - 2x 2] • [(z + k )2 - 2l] = 0 , m i t k = 5 ,

a = 0.95 und b = 0.8.

T a n g e n t i a l e b e n e u n d F l a c h e n n o r m a l e , W enn wir fur di e Par am et er u und v in

d er Pa ram et e rd ar st ellung ein er Fla ch e F u n k t ion en ei ne r Ve r and erlichen u(t ) bzw.

v(t ) e i ns et zen, so er ha l t e n wi r eine Kur ve c(t ) = (x(t),y( t), z (t )) au f d er Flach e <P .

Kur ven a uf einer Flache <P h ei fsen au ch Fl dc h enku roen. W i r ko n n t en auch sagen, d a ss

ver rno ge d er Par am et r isierung eine Kur ve (u(t),v(t)) in der Par am et er eb ene a u f eine

Fla c h e n k u r ve ab gebi ld et w i rd . D ie Tang ent e t , e ine r so lche n Kur ve in einem P u n k t P

hei Gt Flii ch entangent e.

A b b . 7 . 3 7Hyperbolisches Paraboloid und einean e inen Stuhl e r i n n e r n d e Flachedienen h ier als Beisp ie le fur Flachen inexpl iz i t e r bzw. i m p li z it er Darstellung .

Abb . 7 .38In einem reqularen Punkt P spannend ie Tangenten der Parameterkurvendie Tangentialebene auf. Jede durch Pgehende Flachenkurve hat d o r t eineTangente, die in der Tangentialebeneliegt.

h y p e r b o l i s c h e sP a r a b o l o i d " S t u h l "

233

In einem r e g u l a r e n P u n k t P einer Plache liegen aIle F l a c h e n t a n g e n t e n in einer

Ebene, der Tangentialebene von <I> i m P u n k t P. In diesem Fall b e s t i m m e n bereits die

T a n g e n t e n t u u n d t v der P a r a m e t e r l i n i e n d ie T a n g e n t i a l e b e n e (Abb. 7 .3 8 ). Fur die m i t

den n o t i g e n Begr iffen der Analysis v e r t r a u t e n L eser sei v e r m e r k t , dass die p a r t i e l l e n

A b l e i t u n g e n von p(u ,v) b e z u g l i c h u u n d v R i c h r u n g s v e k r o r e n von t u bzw. tv sind . Die

Flddiennormale n g e h t d u r c h P u n d ist n o r m a l zur T a n g e n t i a l e b e n e .

F l a c h e n p u n k t e , wie etwa die Spitze eines Kegels, in welchen keine e i n d e u t i g e

T a n g e n t i a l e b e n e ex i s t i e r t , h eiBen singular e Punkte.

Beispiel:

W h i t n e y U m b r e l l a . Die H a c h e m i t der

P a r a m e t e r d a r s t e l l u n g p ( u ,v) = (u, v 2, uv)

ist in A b b i l d u n g 7 .3 9 a b g e b i l d e t . Langs

der j -Achse b e s i t z t diese Flache eine

S e l b s t d u r c h d r i n g u n g . In j e d e m P u n k t

der p o s i t i v e n y-Achse h a t die Flache zwei

Whi t n e y u m b r e l l ax

v e r s c h i e d e n e T a n g e n t i a l e b e n e n . D a h e r

sind aIle P u n k t e der F l a c h e n k u r v e

c(v) = (0,v 2 ,0) m i t k o n s t a n t e r n Parame­

ter u = 0 s i n g u l a r e P u n k t e . AIle a n d e r e n

P u n k t e erweisen sich als regular.

Beispiel:

Flache mit vielen S i n g u l a r i t a t e n . Ab­

b i l d u n g 7 .40 zeigt eine b e m e r k e n s w e r t e

H a c h e m i t einer i m p l i z i t e n D a r s t e l l u n g

F(x,y,z) = 0, wobei F e i n gewisses Poly­

n o m vom G r a d 7 ist , D iese als Labs -Sep­

tik bek a n n t e Flache t r a g t 99 si n g u l a r e

P u n k t e ,

A b b . 7 .39Der W h i t n e y Umbrella t r a q t eineGerade von sinqularen Punkten.

Abb . 7.40Blick in den inneren Teil der LabsS e p t i k (Bild m i t f r e u n d l i c h e rGenehmigung von Oliver Labs.)

234

Selbst in der N ahe des Beriihrpunkr es P kann die Tangentialebene weitere Flachenpunkre

en rhalt en. Abbildung 7.41 illustriert drei wese n cl ich ver schieden e Art en des lokalen

Ve rh alt ens der Tangent ialeben e in einem Fla chenpunkt, Je nach dieser Lage unterscheiden

wir zwischen ellip tisc hen, hyp erbolis ch en und pa rabol isc hen Fla ch enp unkt en. Diese Typen

von Punkren sind auch fur das Ver srandnis des lokalen Kriimmung sverhalten s einer Riche

we senclich.

Kontur und Umriss. Wenn wir eine R i che s kizz ieren oder ein CAD -Programm ein Bild

einer Fl ache ersrellt, ben6tigr man den Um riss u t der Fl ache , urn zwischen sicht baren und

verdeckten Flachenreilen unterscheiden zu konnen.

Urn den Umriss zu erhalten , defin ieren wir zuerst d ie Kontur u als M enge all jener Punkte P

auf der Flache <I>, deren Tangential ebene't den Sehstrahl (Projekt ionss tr ahl) durch P ent­

halt (Abb . 7.42). Bei einer Zentralprojektion heiJSt dies, dass t durch das Projekrionszen­

trurn geht. 1m Fall der Parallelprojekt ion ist t parallel zur Sehstrahlr ichtung. Man kann d ies

auch so formuli eren: AIle Sehstrahlen, welche die Fl ache <I> beriihren, bilden einen K egel

(bei Zentralprojektion ) oder einen Zylinder (im Falle der Parallelpro jektion). Dann ist d ie

Kontur die Beriihrkurve dieses Seh kegels bz w. Sehzylinders mit der Hache <I> .

A b b . 7 . 4 1Elliptischer, h y p e r b o l i s c h e r undparabolischer Flachenpunkt und dasVerhalten der Tangentialebene indiesen Punkten .

D as Bild der Kontur u unter der vo rliegen cle n Projekrion ist der Umriss u '. D as Bild cines

Punktes P von u ist ein Punkt P ' auf dem Umriss u ' , Da P auf der Kontur liegt, ist d as Bild

der Tangent ialebene 't von P eine Gerade. Diese Gerade 't 'i st die Tangente des Umrisses

i n P ' (Abb.7.4 2).

E l l i p t i s c h e r F l a c h e n p u n k t H y p e r b o l i s c h e r F l a c h e n p u n k t Parabolischer Flachenpunkt

A b b . 7 . 4 2Der Umr iss u' i st das Bild der Konturu . Die l e t z t g e n a n n t e Kurve wird vonall jenen Flachenpunkten P gebildet,i n denen ein Sehstrahl d ie Flache <IJberuhrt,

~ P r o j e k V o n s z y l i n d e r

235

A b b i l d u n g 7.43 i l l u s t r i e r r i n t e r e s s a n t e E i g e n s c h a f t e n im Z u s a m m e n h a n g mit Umriss

u n d F l a c h e n k u r v e n . W e n n die T a n g e n t e t , einer F l a c h e n k u r v e c in e i n e m P u n k t P

der K o n t u r kein P r o j e k t i o n s s t r a h l ist, so b e r i i h r r die B i l d k u r v e c' den Umriss im

P u n k r P ' (Abb . 7.43a). W e n n h i n g e g e n die T a n g e n t e td einer F l a c h e n k u r v e d ein

P r o j e k t i o n s s t r a h l ist, so b e s i t z t die B i l d k u r v e d ' im P u n k r P ' eine Spitze (Abb. 7 . 4 3 b ) .

Da K o n t u r e n bereits m i t t e l s P r o j e k t i o n s s t r a h l e n e r k l a r t sind , welche die Flachen

b e r i i h r e n , ist es gar n i c h r so selten , dass ein P r o j e k t i o n s s t r a h l die K o n t u r b e r u h r t ,

D a h e r weist der Umriss einer Flache oft S p i t z e n a u f In e i n e r Spitze k a n n der Umriss

vorn s i c h t b a r e n in den v e r d e c k t e n Bereich wechseln (Abb. 7.43c).

(a)

Abb. 7.43Das Verhalten von FI1khenkurven u n t e rP r o j e k t i o n e n .(a) 1m Aligemeinen berOhrt dieBildkurve c' den Umriss u',(b) Wenn ein P r o j e k t i o n s s t r a h l dieKurve d berOhrt, weist die Bildkurve d'eine Spitze auf .(c) Spitzen des Umrisses rOhren vonP r o j e k t i o n s s t r a h l e n her, welche dieKontur berOhren.

(b)

P' ... S p i t z e von d ' a u f u '

c ' b e r u b r t u ' in P'

(c)

236

S c h n i t t k u r v e n vonF l a c h e n

In K a p i t e l 4 (iiber T r i m m e n und S p l i t t e n ) haben wir uns bereits mit S c h n i t t k u r v e n

von Flachen befasst. Es w u r d e n d a r t geeignete C A D - W e r k z e u g e zur K o n s t r u k t i o n

von S c h n i t t k u r v e n vorgestellt, ohne j e d o c h die g r u n d l e g e n d e n T a t s a c h e n iiber deren

E r z e u g u n g k e n n e n zu lernen . Ausgeriistet mit einem besseren Verstandnis von Kurven

u n d Flachen wollen wir nun den g e o m e t r i s c h e n H i n t e r g r u n d iiber S c h n i t t k u r v e n

etwas genauer d u r c h l e u c h t e n . Dabei werden wir auch verstehen lernen , warum

eine stabile I m p l e m e n t i e r u n g von S c h n i t t k u r v e n eine H e r a u s f o r d e r u n g bei der

E n t w i c k l u n g j e d e s C A D - P r o g r a m m s darstellt, Es sollte auch unser V e r s t a n d n i s fiir

ein gelegentliche s Versagen dieser A l g o r i t h m e n e r h o h t werden. O b e r d i e s wollen wir

einige n i i t z l i c h e Hinweise zum r i c h t i g e n Skizzieren von S c h n i t t k u r v e n geben.

K o n s t r u k t i o n von P u n k t e n mittels H i l f s e b e n e n . Urn P u n k t e der S c h n i t t k u r v e t n )

zweier Flachen zu b e s t i m m e n , kann man eine Menge von H i l f s e b e n e n h e r a n z i e h e n .

Eine H i l f s e b e n e schne idet die gegebenen Flachen in Kurven Cl und C2. Die

g e m e i n s a m e n P u n k t e die ser ebenen Kurven sind P u n k t e der S c h n i t t k u r v e c.

Sofem es uns gelingt, geeignete H i l f s e b e n e n zu 6 n d e n , die beide Flachen in einfachen

Kurven C\ und C2 schneiden, sind wir in der Lage, mit dieser M e t h o d e P u n k t e der

S c h n i t t k u r v e zu k o n s t r u i e r e n . Allerdings lassen sich n u r fur sehr spezielle Flachen

geeignete H i l f s e b e n e n 6 n d e n .

A b b i l d u n g 7.44a illustriert diese M e t h o d e der Flachenver s c h n e i d u n g fUr den Fall zweier

Zylinder. H i e r sind Ebenen, die parallel zu den Erzeugenden beider Z ylinder verIaufen, als

Hilfsebenen geeigner, da sie be ide Zylinder in G e r a d e n schneiden. Die B e s t i m m u n g v o n

S c h n i t t p u n k t e n der beiden Z ylinder laufi: dann a u f das Schneiden von Geraden hinaus.

Die selbe M e t h o d e k a n n auch zur K o n s r r u k t i o n der S c h n i t t k u r v e e i n e r Kugel u n d

eines Kegel s v e r w e n d e t w e r d e n . W i e in A b b i l d u n g 7 .44 b gezeigt wird , k o n n e n

P u n k t e der S c h n i t t k u r v e als gemeins ame P u n k t e zweier G e r a d e n u n d eine s Kreises

g e f u n d e n w e r d e n . Die H i l f s e b e n e n w e r d e n d u r c h die Kegelspitze gelegt. Sie sc h n e id e n

d a n n im A l l g e m e i n e n den Kegel in zwei G e r a d e n u n d die Kugel in e i n e m Krei s. Au s

b e i d e n Beispielen e r k e n n t man, d a ss die M e t h o d e der H i l f s e b e n e n g e e i g n e t ist , s o f e r n

Z y l i n d e r , Kegel o d e r Kugeln am S c h n i t t b e t e i l i g t sind.

D i e V e r w e n d u n g v o n H i l f s k u g e l n . P u n k t e der S c h n i t t k u r v e eine s D r e h z y l i n d e r s

u n d eines D r e h k e g e l s m i t s c h n e i d e n d e n Achsen k o n n e n auch m i t t e l s H i l f s k u g e l n

g e f u n d e n w e r d e n . Kugeln, die ihren M i t t e l p u n k t im S c h n i t t p u n k t M der b e i d e n

A c h s e n a u n d b h a b e n , s c h n e i d e n Kegel u n d Z y l i n d e r in Kreisen . D e r e n g e m e i n s a m e

P u n k t e g e h o r e n der S c h n i t t k u r v e C an (Abb. 7 .4 5 ) .

Die se M e t h o d e f u n k t i o n i e r t stets g u t bei D r e h f l a c h e n (siehe K a p i t e l 9 ) m i t

s c h n e i d e n d e n Ach sen. In A b b i l d u n g 7 .4 6 b b e n u t z e n wir eine N o r m a l p r o j e k t i o n a u f

die V e r b i n d u n g s e b e n e der b e i d e n D r e h a c h sen . D a n n s i n d die Bilder CI' u n d Cl ' der

Krei se CI u n d Cl g e r a d l i n i g e S t r e c k e n u n d d ie P u n k r e des Bildes c ' der S c h n i t t k u r v e

k o n n e n als g e m e i n s a m e P u n k t e von Cl' u n d Cl' e r m i t t e l t w e r d e n .

(a)

238

(b)

(a)

Abb . 7.44Punkte e i n e r S c h n i t t k u r v e k6nnene v e n t u e l l m i t t e l s g e e i g n e t e rHilfsebenen k o n s t r u i e r t werden.

Abb . 7.45K o n s t r u k t i o n von Punkten einerS c h n i t t k u r v e m i t t e l s Hilfskugeln.

Abb. 7.46Der Einsatz einer Projektion normalzu beiden Drehachsen v e r e i n f a c h tdie p u n k t w e i s e K o n s t r u k t i o n derS c h n i t t k u r v e zweier Drehflachen .

(b)

Tangenten von S c h n i t t k u r v e n . Beim h a n d ischen Skizzieren einer S c h n i t t k u r v e

ist es oft besser, n u r wenige P u n k t e sam t d e r e n T a n g e n t e n zu b e s t i m m e n , als b l o f

viele P u n k t e o h n e T a n g e n t e n zu e r m i t t e l n . Die T a n g e n t e n der S c h n i t t k u r v e liegen

in den jeweiligen T a n g e n t i a l e b e n e n der am S c h n i t t b e t e i l i g t e n Flachen (Abb. 7.38) .

D a h e r ist die T a n g e n t e t p in einem P u n k t P der S c h n i t t k u r v e die S c h n i t t g e r a d e der

T a n g e n t i a l e b e n e n 1:1 u n d 1:2 der b e i d e n Flachen im P u n k t P (Abb. 7.47a) .

(a) (c)

Abb . 7.47(a) Die Tangente der S c h n i t t k u r v e l i e g tin den Tangentialebenen T1 und T2 derbeiden Hachen .(b) S c h n i t t k u r v e n beim Tonnengew61beder MOnchner Residenz ( 1 5 6 9 - 1 5 7 1 ) .(c) Modell eines Gew6lbes.

(b)

239

Diese K o n s t r u k t i o n versagt, falls die beiden Flachen diesel be T a n g e n t i a l e b e n e

im P u n k t P be sitzen . D e r artige B e r i i h r u n g s p u n k t e der Flachen fiihren mei st a u f

D o p p e l p u n k t e der S c h n i t t k u r v e . A b b i l d u n g 7 .4 8 zeigt ein Beispiel: Die gemeinsamen

P u n k t e der be iden Ellipsen, d ie als S c h n i t t d er be iden D r e h z ylinder au fir e t en, sin d

gen au die gemeinsamen B e r i i h r u n g spunkte.

B e i s p i e l :

D r e h z y l i n d e r m i t s c h n e i d e n d e n A c h ­

sen und g l e i c h e m R a d i u s . W i r betrach­

ten zwei D r e h z y l i n d e r 2 1 und 2 2 mit

sch n eid e n d en Ach sen al und a i und

gleichem Radius r. Die Ach sen m6gen

in der yz- Ebene liegen (Abb. 7 .4 8 ) . Un ­

t er V e r w e n d u n g von H i l f skugeln zur

Kon s t r u k t i o n der S c h n i t t k u r v e erken­

nen wir, d ass der Aufris s der S c h n i t t k u r ­

ve au s zwe i G e r a d e n stiicken e l' und e ;"

be steht. Diese G e r a d e n s t i i c k e sind Teile

der W i n k e l s y m m e t r a l e n von aj 'und a ;".

D a h e r bestehr die S c h n i t t k u r v e aus zwei

ebenen Kurven el und e 2.

A u f g r u n d der Tat sache , dass die eben en

S c h n i t t e eines D r e h z y l i n d e r s Ellipsen

sind, b e s t e h t d ie vollsrandige Schnier ­

kurve aus zwei Ellip sen el und e2 in or­

t h o g o n a l e n Ebenen. Die se Ebenen sind

die S y r n m e r r i e e b e n e n e, und s, der Ach­

sen al und a 2 ' Sp iegelt man einen der

beiden Z ylinder an einer so lch en Sym-

metrieebene, so erhalt man den anderen

Zylinder. Somit Iiegr die S c h n i r t k u r v e

einer S y m m e t r i e e b e n e mit einem Z ylin­

der au ch auf dem anderen Zylinder und

g e h o r t d a h e r zur S c h n i t t k u r v e der bei­

den Zylinder. Die se O b e r l e g u n g kann

au ch zum Ver s t a n d n i s a n d e r e r sym m e t ­

ri sch er K o n f i g u r a t i o n e n zweier Flachen

b e i t r a g en .

Ab b . 7 . 4 8Die v o l l s t a n d l qe Sc h n i t t k u rv e z w e i e rD r e h z y l i n d e r m i t s c h n e i d e n d e n Achsenund gle ichen Radien b e s t e h t aus zwe iEll ipsen in zue i n a n d e r r e c h t w inke l igenEbenen .

240

Abb. 7.49Kegelschn i t t e als ebene S c h n i t t e vonD r e h k e g e l n .

Ebene Schnitte vo n Drehkegeln. S c h n e i d en wi r ei ne n D r eh keg el mit ein e r E be n e,

so erha lten wir a b ha n g i g v o n d er gegens ei tigen La ge d e r Sch n i t t eb en e zu m D r eh k egel

ve rschie de ne T yp en vo n ebe ne n S c h n i t t k u r v en (A b b . 7 .4 9) . E n t ha l t di e Schn it t eb en e

d ie Sp itze d es D r eh k egels, so h ab en w i r fol gende dre i Falle:

• Eb en en H, d ie d en D r e h k egel n ach zwe i E r ze u g e n de n sch nei d en ,

• E be ne n P, d ie d en D r e h k e g e l l iings ei ne r E r z eug end en b e r iihren, u n d

• Eb en en E, d ie n ur d ie Sp it ze mit dem D r ehk egel g em e in sam h ab en .

Fu r allgeme i n l iegen d e S c h n i t t eb en en , we lche di e Ke gelsp i tze ni cht en t hal ten,

er ha lte n wi r fol gen d e n i c h t zerfalle n d e K egels c h n i t t e:

• All e E bene n p ar allel zu H sch n ei de n d en D r ehk egel n ach ei n er H yp erb el.

• All e E b ene n parallel zu P sch n e i d en d en D r e h k egel n ach ei n er Parab el.

• All e E be ne n parallel zu E sch nei de n den D r ehkegel n a ch ei ne r Elli pse.

L iegt die Sch ni tte bene n orm al zu r D r e h ach se, so en ts te h t a ls Sch ni t t k urv e e in Kr eis

k. In d iesem Fall e n t h al t d ie zu r Sch ni tte bene p a r allele H il fseb en e nur di e Sp itz e d es

D r eh kegels. Da he r k o n n e n wir d e n K r eis als Spez ialfall ei ne r Ellip se au ffassen .

241

K e g e l s c h n i t t e als S c h n i t t k u r v e n . Kegel s c h n i t t e t r e t e n als S c h n i t t k u r ven bei

ver s c h i e d e n e n A n w e n d u n g e n im Bauwesen und in der Technik a u f Die s wurde bei

der K o n s t r u k t i o n von speziellen G e w o l b e f o r m e n intensiv a u s g e n u t z t (Abb. 7 .5 0 ) . D e r

z u g r u n d e liegende g e o m e t r i sche Sachverhalt kann wie folgt v e r a l l g e m e i n e r t werden:

Wenn z wei Drehzylinder oder Dr ehkeg el einer Kugel beriihrend ums chrieben si n d, dann

z e r:fii llt ihr Scbnitt in z wei K egels chnitte oder in ei nen Kegel schnittund ei n e Er zeugende.

A b b i l d u n g 7 .5 1 i l l u s t r i e r t ebene S c h n i t t k u r v e n zweier Drehkegel. W i r werden eine

n o c h allgemeinere Fassung dieser Eigenschafi in Kapitel 9 im Zu s a m m e n h a n g m i t

S c h n i t t k u r v e n von Q u a d r i k e n k e n n e n lernen,

Raumkurven als S c h n i t t k u r v e n a l l g e m e i n e r Zylinder. Am Beginn dieses Kapitels

h a b e n wir die P a r a m e t e r d a r s t e l l u n g von R a u m k u r v e n s t u d i e r t . Bei ebenen Kurven

h a b e n wir auch die explizite u n d i m p l i z i t e D a r s t e l l u n g k e n n e n g e l e m t . Was ist also

tiber die i m p l i z i t e D a r s t e l l u n g v o n R a u m k u r v e n zu sagen?

Als Beispiel fUr eine explizite D a r s t e l l u n g einer eben en Kurve haben wir die

P a r a b e l g l e i c h u n g c: y = x 2 b e n u t z t , die au s der P a r a m e t e r d a r s t e l l u n g c(t) = ( t / )

a b g e l e i t e t wurde. A n a l o g erfiillt die raumliche kubische P o l y n o m k u r v e d(t} = (t, l l )sogar z wei u n a b h a n g i g e G l e i c h u n g e n , y = x 2 und z = x 3.

A b b . 7 . 5 0Ein Kreuzgew61be bei einemGebaudeelnqanq (Foto m i t f r e u n d l i c h e rGenehmigung von Martin Reis)

Abb . 7.51Die S c h n i t t k u r v e von zwei Drehkegeln,die einer Kugel beruhrend umschriebensind, z e r f a l l t in zwei Kegelschnitte.

g e m e i n s a m ee i n g e s c h r i e b e n e

K u g e l

242

A bb . 7.5 2Ei ne k u b ische Po l y n o m ku rve a lsSchn i t t ku rve e ines pa rabo lis che n unde in e s kub isch en Z yl i n d e r s .

Abb. 7 .53Die Kubik au s Fig u r 7 . 5 2 alsSchn i t t k u rv e eine s parabol i schenZyl i n d er s u nd ei ne s a n d e r e nk u bi sch en Z y li n ders. Hie r b e s t e h t de rvo l l s t a n d i qe Sc hn it t au s zwei kub isc h enRa u mku rve n.

d

y

D i es e zw ei Glei c h u n g e n b esc h r ei b en zwei Z y l i n d e r Zl> Z2 m i t E rz eug e n d e n p a r allel

z ur z -A c h se b zw. zur y -A c h se . Ih re Basi skur v e n i n d en Ko or d i na te ne be n e n z = 0 u n d

y = 0 s i n d d ie P ar abel y = x 2 b zw. d ie Kub ik z = x 3• S o m i t k a n n d ie ra u m lic h e Kub ik

als S c h n i t t k u r ve d er beid en Z ylind er i n t e r p r e t i e r t we rd e n (A b b. 7 . 5 2 ) . D i eses Bei sp iel

zeigt , d ass ein e R a u m k u r v e n u r d u r c h m i n d e sten s zwe i i mp l izi t e G l e i c h u n g e n

b es c h r e i b b a r ist , Es k o n n en j ed o c h wegen u n e r w i i n schter zusatzl ich er Be s t a n d t e i l e so ga r

m ehr als zw ei G leich u n gen zur ei n de ut ige n Festlegung einer R a u m k u r ve n o t ig sein .

D ies se h e n wir a u s d em selb e n Be ispiel , we n n w ir di e G l e i c h u n g z = ~ d u r c h di e

Gle i c h u ng l = i e rsetze n . Sic wi rd e be nfa ll s vo n d er Kub ik (t, l l ) e rfiillt u n d

b eschr e i b t ei ne n Z y l i n d er Z 3 mi t E rze u gen de n p a r allel zur x-Ac hse u n d einer

kubi sch en Ba s iskur ve ( mi t e i ne r Sp i tze ; A b b . 7 . 5 3 ) i n de r y z -E be ne . U ns e re ra u m l ic h e

kub ische P ol yn o m k u r ve c ist a lso a u c h Sc h n i t t k u r ve d es p ar aboli sch en Z ylind er s Z I

u n d d es k ubi sch en Z y l i n d er s Z 3' J e d o c h b esr e h t d er vo l lst a n d ige Sc h n i t t die ser beld en

Z ylind er a us zwe i b eziigl ich d er y z-E b e n e spi egel b ild l i ch l ieg e n d en K u b i k e n , d er

K u b i k c u n d ei ner w ei t e re n K u b i k d.

x~

zy = x '

243

K a p i t e 1 8

F r e i f o r m k u r v e n

Abb. 8 .1F r e i f o r m k u r v e n im Design:(a) Bez l e r - K u r v e ,(b) B - S p l i n e - K u r v e und(c) NURBS-Kurve zu k o n g r u e n t e nK o n t r o l l p o l y g o n e n .

F r e i f o r m k u r v e nG e o m e t r i s c h e Kon s t r u k t i o n en mit Krei sen o d e r Kegel s c h n i t t e n h a b e n im De sign

ei n e l ange Trad ition. Gl atte Fre i f o r r n k u r v e n , deren Form mit einigen wenigen

K o n t r o l l p u n k t en g est eu ert w i rd , si n d im Vergleich dazu rel ati v neue Werkzeuge ,

di e ers t seit den 19S0er J a h r e n en t w i ck el t werd en. G r u n d l egende K e n n t n i sse iiber

E rze u g u n g u n d Eig en sch aft en vo n F r e i f o r m k u r v en erla u be n d er De signerin o d e r dem

De signer , geeign et e Kur ven fur die z u lo send e Aufgab e a uszuwa h len u n d effiz ient

e i n zuse t zen . Ein g ut es Ver sr a n d n is vo n Fre i f o r r n k u r ven ist au ch g ru n d leg en d f u r d a s

Mo de ll iere n m it Freiforrnfl ach en ( Ka p ite l l l ).

Bezier-Kur ven (A b b . 8 . l a ) geho ren zu d en am h aufigsren ve rwe n d e t en Freiforrn­

kur ven. W i r d iskuti e ren b a sier end au f dem Alg o r i t h m u s vo n d e C asteljau ihr e

g e o m e t r i seh e Kon s r r u k t i on u n d ei n ige E igen sch aften. Fur d a s De sign vo n k o m p l e xen

Kur ven pr asenti er en w ir di e m achti geren B-Splin e-Kur ven (A b b. 8 . 1b), d ie b ereit s

lokale F o r m k o n t roll e erl aub en. B -Splin e-Kur ven k o n n en au ch d u r c h w i e d e r h olr e s

Verfeinern ei n es Pol ygon s e rze u g t werden, ein Proz ess, d er als Kur venuntert eiLung

b ek a n n t ist . N i c h t - u n i f orrn e r atio n ale B - S p l i n e - K u r ven ( k u rz: N U R B S - K u r ven )

( A b b. 8 . l e ) haben einen w eit eren D e s i g n p a r a m e r e r , di e so g e n a n n t e n G e w i c h t e ,

die mit den K o n t r o l l p u n k t e n as s o z i i e r t sind . N U R B S - K u r ven ve r w en d en wir,

urn komplexe eben e u n d r a u m l i c h e F r e i f o r m k u r v en , ab er auch alle Typen von

Kegelsehn i t t e n zu kon s t r u i e r e n .

B e z l e r - K u r v e

K o n t r o l l p o l y g o n

K o n t r o l l p u n k t

B - S p l i n e - K u r v e N U R B S - K u r v e

247

Wie entwerfen wir mit Freiformkur ven? Beim Ire i h a n d i g e n Zeic h nen h an gt di e

Q u a l i t ar einer Kur ve vo n d en manue ll en Fahig kei t e n und Fertig kei te n d es D esign er s

sow ie vo n even r ue ll verwe n de te n mec ha nis che n H i l f smit teln a b oM it eine m Sti ft

skizzieren wir e i n e Kur ve, i nde m wir di e H a nd zi elstre big iib er d as Papi er fuhr en. Urn

langere Kur ven zu z e ich n en , miissen w i r b er eit s d en g an z en A rm b ew eg en. D adur ch

wi rd es sc h w ier ig er, d iese Kur ven gla t t zu zeich ne n. D ah er h ab en D esig n e r scho n

lang e vo r d em C o m p u r erz eit alt er m ech an isch e H ilfen er fu n de n , d ie d as Z e ichn en

von lan g en g lat te n K ur ven erla u be n. S oIch e Hil fsm itt el wu r de n a ls Spl ines b eze ichn et.

Sie wa re n o ft d i i n n e bi egsam e Srab e au s H ol z o de r M er all , d eren Form d u r ch e ini ge

w enige fix ierte P u n k t e be s t i m m t w ur de ( A b b. 8 .2 a ) .

Freifo r m k u r ven in C A D - P a k et en i mi t iere n di esen Z u g a n g : Bezier- , B-Spline-

u n d N U R B S-Kurven werd en iib er w eni ge K ontrollpunkt e gest eue rt , die zu e i ne m

Ko ntrollp olygon v e r b u n d e n si n d (A b b . 8.2 b ) . Zu den K o n t r o l l p u n k t en wird d a n n

n a ch einem ge o m e t r i schen Alg o r i t h m u s auto ma t isch ei ne gl att e Ku r ve be r e chn et .

Di e Bez e i c h n u n g Kontr ollpo lygon ve rd eut li chr, da ss w ir d am it d ie G est alt d er Kur ve

k o n t rollier en k o n n e n , Ver and ern w i r di e G e stalt de s K o n t r o l l p ol ygon s, so ve ra n d er t

sich auc h die G e s t a l t der da von ab ha n gigen Fre i f o r m k u r ve ( A b b. 8 .2 b) .

Wi r bem e rk en , d a ss es d e utlich e ffizient er ist, die L age e in iger wenig e r K o n t r o l l p u n k t e

fest zule g en u n d d ann eine n Al g o r i t h m u s dazu ei ne glatte Kur ve b e r e c h n en zu la ssen ,

als h u n d ert e o de r tau send e von K ur ve n p u n kt en ein zel n zu m ani pul ier en . Falls w i r

im Na c h h i n e in d ie G est alt d e r Ku r ve vera nde r n mo c h t en , ist es auc h wesen tlic h

ei nfac he r, di e Po sit ion we niger K o n t r o l l p u n kte zu m odifi zier en , a ls m anu ell h u n d ert e

A b b . 8 . 2Spline-Werkzeuge, wie sie vonDesignern v e r w e n d e t werden.(a) Trad i t i o n e l l ( m a n u e l l ) , wobeiphysische Gewichte zur F o r m k o n t r o l l ev e r w e n d e t werden .(b) Modern ( d i g i t a l ) , wobei die Formder F r e i f o r m k u r v e durch ein ige wen igeKontro l l p u n k t e g e s t e u e r t wird.

K o n t r o l l p o l v q o n

~7ij:J .'J !\,/ d

•, j

c a r

~'K.·c d

liliiii\ , '

fftjlO .~ .

• h

248

von K u r v e n p u n k t e n zu verlagern. Es g i b t zwei vom P r i n z i p h e r l e i c h t u n t e r s c h i e d l i c h e

Z u g a n g e zum i n t e r a k t i v e n D e s i g n von K u r v e n m i t t e l s K o n t r o l l p u n k t e n :

• Interpolation: W i r d e f i n i e r e n eine g e o r d n e t e Folge v o n K o n t r o l l p u n k t e n

( u n d r n o g l i c h e r w e i s e z u g e h o r i g e T a n g e n t e n r i c h t u n g e n ) u n d s u c h e n eine

Kurve, die exakt d u r c h diese P u n k t e verlauft, d.h . sie " i n t e r p o l i e r t " .

• Approximation: W i r d e f i n i e r e n die g r o b e K u r v e n g e s t a l t i i b e r das z u g e h o r i g e

K o n t r o l l p o l y g o n u n d fragen nach e i n e r Kurve, die diese G e s t a l t a n n a h e r t ,

d .h . sie " a p p r o x i m i e r t " .

I n t e r p o l a t i o n . D e r D e s i g n e r d e f i n i e r t einige wenige P u n k t e , u n d ein A l g o r i t h m u s

b e r e c h n e t a u t o m a t i s c h eine Kurve, die exakt d u r c h diese P u n k t e v e r l a u t i ( d . h . sie

" i n t e r p o l i e r t " ) . Weil es u n e n d l i c h e viele i n t e r p o l i e r e n d e K u r v e n d u r c h eine g e g e b e n e

P u n k t f o l g e g i b t (Abb . 8.3), miissen wir z u s a t z l i c h e V o r g a b e n m a c h e n . Urn dem

C o m p u t e r g e n a u e r zu sagen, welche K u r v e n g e s t a l t wir a n s t r e b e n , geben wir z u s a t z l i c h

K u r v e n t a n g e n t e n in den zu i n t e r p o l i e r e n d e n P u n k t e n an . Die K u r v e in

A b b i l d u n g 8.4a w u r d e d u r c h f u n f I n t e r p o l a t i o n s p u n k t e (1, 3, 5, 7, 9) u n d f u n f w e i t e r e

P u n k t e (2 , 4 , 6 , 8 , 1 0 ) fur die T a n g e n t e n r i c h t u n g e n (also i n s g e s a m t 10 M a u s k l i c k s )

festgelegt. N o r m a l e r w e i s e ist die R e i h e n f o l g e , in der diese P u n k t e e i n g e g e b e n w e r d e n ,

die f o l g e n d e : K u r v e n p u n k t , T a n g e n t e n p u n k t , K u r v e n p u n k t , T a n g e n t e n p u n k t u n d

so w e i t e r , W i r b e m e r k e n , dass es t r o t z d e m n o c h i m m e r viele M o g l i c h k e i t e n gibr, zu

P u n k t e n u n d T a n g e n t e n eine i n t e r p o l i e r e n d e Kurve zu b e r e c h n e n .

A b b . 8 . 3Verschiedene F r e i f o r m k u r v e n , diedieselben fOnf Punkte i n t e r p o l i e r e n .

I n t e r p o l i e r e n d eK u r v e 1

o

o

I n t e r p o l i e r e n d eK u r v e 3

o

o

oI n t e r p o l i e r e n d eK u r v e 2

I n t e r p o l i e r e n d eK u r v e n 1, 2, 3

249

A p p r o x i m a t i o n . In diesem Fall d e f i n i e r t ein D e s i g n e r ein K o n t r o l l p o l y g o n , u n d

ein A l g o r i t h m u s b e r e c h n e t d a n n eine glatte F r e i f o r m k u r v e , welche die G e s t a l t des

K o n t r o l l p o l y g o n s im G r o b e n a n n a h e r r , In A b b i l d u n g 8 .4b zeigen wir eine Kurve, die

ein K o n t r o l l p o l y g o n m i t 10 K o n t r o l l p u n k t e n a p p r o x i m i e r t . W i r e r k e n n e n , dass n u r

der erste u n d der letzte K o n t r o l l p u n k t von der Kurve i n t e r p o l i e r t w e r d e n .

M i t Hilfe von I n t e r p o l a t i o n u n d A p p r o x i m a t i o n ist es rnoglich, a h n l i c h e (oder sogar

i d e n t i s c h e ) F o r m e n zu erzeugen. A b h a n g i g vorn Ziel wird e n r w e d e r der eine o d e r der

andere Z u g a n g b e v o r z u g t . W i r b e m e r k e n , dass ein b l o f e s A u f z e i c h n e n der B a h n k u r v e

eines E i n g a b e g e r a t e s (z.B. der C o m p u t e r m a u s ) fur das Z e i c h n e n von F r e i f o r m k u r v e n

n i c h t e m p f e h l e n s w e r t ist. A b b i l d u n g 8.4c i l l u s t r i e r t das Ergebnis eines bloSen

" A u f z e i c h n e n s " als eine Folge von v e r b u n d e n e n D a t e n p u n k t e n . Auch w e n n die grobe

G e s t a l t der Kurve den b e i d e n vorigen E r g e b n i s s e n a h n l i c h ist, e r h a l t e n wir d o c h eine

d e u t l i c h wen iger glatte Kurve.

(a)

I n t e r p o l i e r e n d e Kurvem i t vorgegebenen T a n g e n t e n r i c h t u n g e n

Abb. 8.4Vergleich von F r e i f o r m k u r v e n ahnllcherForm, die mit drei verschiedenenMethoden k o n s t r u i e r t wurden.(a) Die erste Kurve wurde durch fOnfPunkte und fOnf Tangentenrichtungenb e s t i m m t , die von der Kurvei n t e r p o l i e r t werden.(b) Die zweite Kurve a p p r o x i m i e r t einKontrollpolygon mit 10 K o n t r o l l p u n k t e nund erzeugt eine ahnllche Form.(c) Die d r i t t e Kurve ist das Ergebnisder Spuraufzeichnung einerComputermaus wahrend eines ebenenBewegungsvorgangs. Diese Kurve istnicht g l a t t , und das Ergebnis ist wenigzufrieden stellend.

Punkt

T a n g e n t e n r i c h t u n g( b )

A p p r o x i m i e r e n d e Kurve

(c)

F r e i h a n d - K u r v e

250

IK o n t r o l l p o l y g o n

B e z i e r - K u r v e nW i e bereits oben e r w a h n t , geh6ren Bezier-Kurven zu den am haufigsren v e r w e n d e t e n

F r e i f o r m k u r v e n . Sie besitzen eine i n t u i t i v e g e o m e t r i s c h e K o n s t r u k t i o n mit dem

Algorithmus v on de Cast eljau , der a u f w i e d e r h o l t e r linearer Interpolation basiert .

Lineare I n t e r p o l a t i o n wird im A n h a n g erklart. Sie ist g r u n d l e g e n d fur die E r z e u g u n g

von vielen F r e i f o r m k u r v e n , die wir in die sem Buch besprechen. D u r c h die Angabe

eines K o n t r o l l p o l y g o n s sind Bezier-Kurven v o l l s t a n d i g d e f i n i e r t . In A b b i l d u n g 8.5

illustrieren wir drei verschiedene Bezier-Kurven samt ihren K o n t r o l l p o l y g o n e n . Z u r

E r i n n e r u n g an Pierre Bezier, einer der E r f i n d e r der Bezier-Kurven, b e z e i c h n e n wir die

K o n r r o l l p u n k t e m i t dem B u c h s t a b e n B .

G e s c h i c h t e :

E n t d e c k u n g d e r B e z i e r - K u r v e n , Ab den 1 9 5 0 e r Jahren

w u r d e n in den D e s i g n a b t e i l u n g e n der A u r o r n o b i l - und

F l u g z e u g i n d u s t r i e komplexere F r e i f o r m k u r v e n als Parabeln

(oder den a n d e r e n K e g e l s c h n i t t e n Kreis, Ellipse u n d Hyper­

bel) b e n 6 t i g t . I m J a h r 1959 hat der Franzose Paul de Castel­

jau (fur C i t r o e n ) die Fadenkonstruktion der Parabel zu ei­

nem A l g o r i t h m u s v e r a l l g e m e i n e r t , der h e m e u n t e r dem

N a m e n Algorithmus von de Casteijau b e k a n n t ist. Seine

Idee kann wie folgt b e s c h r i e b e n werden: Starr mit drei

K o n t r o l l p u n k t e n B o , B 1 u n d B 2 (wie im Fall der Parabel)

b e g i n n e n wir mit n K o n t r o l l p u n k t e n B o , Bl> ..., B n •

A b b . 8 .5Drei verschiedene Bezier-Kurven mitvier, f u n f bzw. sechs K o n t r o l l p u n k t e n .

A u f dieses K o n t r o l l p o l y g o n w e n d e n wir eine g e o m e t r i s c h e

K o n s t r u k t i o n an, die m i t w i e d e r h o l t e r linearer I n t e r p o l a ­

t i o n einen K u r v e n p u n k t erzeugt. D u r c h Variieren des Para­

meters t e r h a l t e n wir die gesamte Bezier-Kurue , b e n a n n t

nach ihrem M i t e r f i n d e r Pierre Bezier - der diese Kurven

1962 bei R e n a u l t u n a b h a n g i g von de Casteljau g e f u n d e n

hat . Ihm wurde f r u h e r als Paul de Casteljau erlaubt, seine

"streng geheimen" E r k e n n t n i s s e zu p u b l i z i e r e n - der G r u n d ,

warum di ese Kurven h e m e als Bezier-Kuruen b e k a n n t sind .

k u b i s c h e B e z i e r - K u r v e m i te i n e r S c h l e i f e

B e z i e r - K u r v e vom Grad 4 B e z i e r - K u r v e vom Grad 5

B ,Q- - - - Q

0 - - - - - - - < > B4

251

A l g o r i t h m u s von de C a s t e l j a u . W i r i l l u s t r i e r e n d e n A l g o r i t h m u s v o n de C a s t e l j a u

( A b b . 8.6) a n h a n d e i n e r Bezier-Kurve m i t vier K o n t r o l l p u n k t e n B o , BJ, B 2 u n d B 3 ; die

O r t s v e k t o r e n der P u n k t e heifen b . , hJ, h 2 u n d b., D i e s e vier K o n t r o l l p u n k t e k o n n e n

in e i n e r E b e n e o d e r im 3- D - R a u m liegen. 1m e r s t e r e n Fall e r h a l t e n wir eine ebene

Bezier- Kurve, im l e t z t e r e n eine rdumliche Bezier- Kurve. W i r b e z e i c h n e n m i t t e i n e n

P a r a m e t e r im I n t e r v a l l [0,1].

S c h r i t t 1. 1m e r s t e n S c h r i t t w e n d e n w i r eine line are I n t e r p o l a t i o n n a c h e i n a n d e r a u f

Paare b e n a c h b a r t e r K o n t r o l l p u n k t e an, urn drei n e u e P u n k t e B 6(t), B ~(t) u n d B i(t)

a u f d e n S e i t e n des K o n t r o l l p o l y g o n s zu e r h a l t e n (wir r e c h n e n m i t d e n O r t s v e k t o r e n ) .

bJ (t) = (1 - t) . b o + t· b 1

b ~ (t) = (1 - t) . b 1 + t· b 2

bi (t) = (1 - t) . b 2 + t· b,

S c h r i t t 2. W i r w e n d e n e r n e u t die l i n e a r e I n t e r p o l a t i o n ( z u m s e l b e n P a r a m e t e r t) a u f

die im S c h r i t t 1 e r z e u g t e P u n k t f o l g e an, urn zwei n e u e P u n k t e B 6(t) u n d B i(t) m i t d e n

f o l g e n d e n O r t s v e k t o r e n zu e r h a l t e n .

b6(t) = (1 - t) . b6(t) + t· b~(t)

bi(t) = (1 - t) ·b~(t) + t · b i ( t )

S c h r i t t 3. L i n e a r e I n t e r p o l a t i o n m i t d e n b e i d e n z u l e t z t g e w o n n e n e n P u n k t e n l i e f e r t

uns d e n K u r v e n p u n k t B ( t ) m i t d e m O r t s v e k t o r b ( t ) .

b(t) = (1 - t) . b6(t) + t· bi(t).

Urn die g e s a m t e Bezier- K u r v e z w i s c h e n B o u n d B 3 zu e r h a l t e n , w i e d e r h o l e n w i r diese

K o n s t r u k t i o n fur alle P a r a m e t e r w e r t e t i m I n t e r v a l l [0,1]. D a b ( 0) = B o u n d b ( 1)

= B 3 gilt, v e r l a u t t eine Bezicr- K u r v e d u r c h d e n e r s t e n u n d l e t z t e n K o n t r o l l p u n k t

( A b b . 8.6). W i r f o r m e n n u n die G l e i c h u n g aus S c h r i t t 3 so urn, dass sie n u r m e h r die

O r t s v e k t o r e n der K o n t r o l l p u n k t e e n t h a l t (die bei der K o n s t r u k t i o n v e r w e n d e t e n

Z w i s c h e n p u n k t e fallen w e g ) .

W i r b e m e r k e n , dass d e r G r a d des P a r a m e t e r s t h o c h s t e n s 3 ist. D a h e r s p r e c h e n w i r

a u c h v o n e i n e r Bezier-Kurue vom Grad 3 o d e r v o n e i n e r kubischen Bezier-Kurue.

W i r s e h e n , dass w i e d e r h o l t e l i n e are I n t e r p o l a t i o n das f o l g e n d e S c h e m a v o n P u n k t e n

e r z e u g t .

B o

B 1 B6(t)

B 2 B~(t)

B 3 Bi(t)

B6(t)

Bi(t) B(t)

252

B e m e r k u n g . Urn einen Punkt einer Bezier-Kurve mit n Kontrollpunkten zu erzeugen,

miissen wir im Algorithmus von de Casteljau n - 1 Schritte durchlaufen.

T a n g e n t e n von B e z i e r - K u r v e n , Der Algorithmus von de Casteljau liefert auch

die Kurventangente im PunktB(t) (Abb. 8.6). Sie ist durch die Gerade [B~(t),

Bi(t)] bestimmt. Von speziellem Interesse ist, dass fur t = 0 die Gerade [Bo,B l ] die

Kurventangente im ersten Kontrollpunkt B o ist, und analog fur t = 1 die Gerade

[B 2 , B 3 ] die Tangente im letzten Kontrollpunkt B 3 • Urn uns von dieser Tatsache zu

uberzeugen, brauchen wir nur den Algorithmus von de Casteljau fur t = 0 und t = 1

anzuwenden und erhalten [B~(O),Bi(O)] = [Bo ,B j ] sowie [B~( 1), Bi( 1)] = [B 2 ,B 3 ] .

M a t h e m a t i k :

B e r e c h n u n g der K u r v e n t a n g e n t e n . Wir beweisen die

Tangenteneigenschaft durch eine Rechnung. Aus der Diffe­

rentialrechnungwissen wir, dass der Tangentenvektor einer

Kurve durch den ersten Ableitungsvektor bestimmt ist

(Kapitel 7). Damit finden wir den ersten Ableitungsvektor

der Bezier-Kurve

b(t) = ( 1 - t ? · b o + 3 ' ( 1 - t)2· t·b j + 3 ' ( 1 - t) · r ·b 2 + f · b 3

als

b(t)' = 3 · [-( 1 - t f · b o + (-2 · (1 - t) . t + (1 - r ) ) b l

+ (-r + 2· (1 - t).t) . b 2 + r· b 3 ] .

S c h r i t t 1

K o n t r o l l p o l y g o n

Wir berechnen nun den Vektor b i ( t ) - b6(t) und erhalten

folgenden Zusammenhang zum Tangentenvektor b(t)':

b i(t) - b ~(t) = 1/3 · b(t)'.

Daher ist die Gerade [B~(t), Bi(t)] tarsachlich die Kurven­

tangente im PunktB(t).

T a n g e n t e in BCt)

K u r v e n p u n k t zumP a r a m e t e r t

k u b i s c h e B e z i e r - K u r v e

T a n g e n t e in e, B 3

S c h r i t t 3A b b . 8 . 6I l l u s t r a t i o n des A l g o r i t h m u s von deCasteljau anhand einer kubischenBezier-Kurve .

253

D i e B e d e u t u n g d e r v i e r K o n t r o l l p u n k t e . Fur eine kubi sche Bezier - Kurve ist

die B e d e u t u n g der v ier K o n t r o l l p u n k t e klar (Abb . 8,7 ) . D e r er ste und der letzte

K o n t r o l l p u n k t B o u n d B 3 sin d di e beiden E n d p u n k t e d er Kur ve. Di e b eiden m i t t l e r e n

K o n t r o l l p u n k t e B 1 u n d B 2 " k o nt ro ll ie ren" d ie T a n g e n t e n i n den E n d p u n k t e n . W e i t e r s

g ilt fiir eine r a u m l i c h e Bezi er -Kur ve, d ass di e er sten drei K o n t r o l l p u n k t e B o , B 1 u n d

B 2 die Sch miege bene (sieh e K apitel 7 ) im er sten K o n t r o l l p u n k t B o aufs pa n n en . D ie

l e t z t e n dr ei K o n t r o l l p u n k t e B h B 2 u n d B 3 sp a n n e n die S c h m i e g e b e n e im l e t z t en

K o n t r o l l p u n k t B 3 a u f

U n t e r t e i l u n g v o n B e z i e r - K u r v e n , Der Algorithmu s von de C asteljau . n n r e r t e i l t " eine

Bezier-Kurve in zwei Bezier-Kurven mit den Komrollpolygonen Co, ,.. , C; und Do} ... } D;

( A b b . 8.8a ). W i e d e r h o l e n wir den Algor i t h m u s fur die n e u e n K o m r o l l p o l ygone, u n d

iter ieren wir das Verfahren, d a n n e r h a l t e n wir ein v e r f e i n e r t e s Polygon , das eine g u t e

N a h e r u n g der Bezier-Kurve dar stellt (Abb . 8.8b). Die ser Pro zess wird auch als Ecken

abschn eiden b e z e i c h n e t . Das A b s c h n eiden von Ecken ist eine g r u n d l e g e n d e Idee, urn

aus e i n e r g r o b e n Form d u r c h V e r f e i n e r u n g eine glatte Kurv e zu erzeugen. In dies em

Kapitel di s k u t i e r e n wir die U m e r t e i l u n g s a l g o r i t h m e n v o n C h a i k i n u n d

L ane-Rie senfeld , i n Kapitel l l b e t r a c h t e n wir d a n n d ie V m e r t eilung s a l g o r i t h m e n von

D o c - S abin u n d C a t m u l l - C l a r k ,

S c h l e i f en u n d S p i t z e n . Kubi sche Bezier-Kur ven sin d be reit s Hex ibel genug, urn

Kur ven m i t genau e i n e r Schleife o d e r m i t gen au einer Spitz e zu ent w erfen. Eine

Sc hleife kann g e z e i c h n e t werden , i n d e m die K o n t r o l l p u n k r e ann ah e r n d so po s i t i o n i e r t

w e r d e n , wie in A b b i l d u n g 8.5 gezeigt. Eine Spitz e ist ein Kur v e n p u n k t , in dem die

Kur vent a n g e n t e n i c h t d e f i n i e r t ist (d.h. , der er ste Abl e i t u n g sv e k t o r versch w i n d e t ) ,

Fur kubi sche Bezier-Ku r ven wi ssen wir, da ss der er ste A b l e i t u n g svektor b (t)' in e i n e m

K u r v e n p u n k t B(t) genau d a n n ver s c h w i n d e t , w e n n der Vektor B i(t ) - B 6 (t) = 0 [d.h.,

w enn die P u n k t e B i(t ) unci B 6(t ) z u s a m m e n f a l l e n ] .Abb . 8 . 7

Ebene k u b i s c h e B e z i e r - K u r v e

Die B e d e u t u n g d e r v i e r K o n t r o l l p u n k t ee i n e r kubischen B e z i e r - K u r v e . Dererste und l e t z t e K o n t r o l l p u n k t s ind dieE n d p u n k t e d e r Kurve. Die be idenm i t t l e r e n K o n t r o l l p u n k t e b e s t i m m e n d ieK u r v e n t a n g e n t e n in den Endpunkten derKurve. Wir i1lustrieren auchS c h m i e g e b e n e n f u r eine r a u m l l c h ek u b i s c h e B e z i e r - K u r v e .

S c h m i e g e b e n e imA n f a n g s p u n k t e,

R e u m l i c b e k u b i s c h e Bez i e r - K u r v e

B3, , ' " • • • • • • • • • • • • • .. . . . . . . . . .. .......... .. :~

: .... s~hmiegebene~'----.-""- im E n d p u n k t B 3

.... . .. ...

.... : . . . . . . B" 2

..Bo0 0 ' • _ _ ,-!!!~_~

E n d p u n k t

B OA

IA n f a n g s p u n k t

K o n t r o l l p u n k t e t i i rTan g e n t e n r i c h t u n gen - - ...... B

2

Q!~sfir~.

9'o§~

254

A u f den e r s t e n Blick s c h e i n t es e i n f a c h zu sein, eine Spitze zu e n r w e r f e n , W e n n

wir j e d o c h d ie Kurve n a h e r b e r r a c h t e n , sehen wir oft, dass es sich n u r urn eine

A u s b u c h t u n g o d e r Schleife h a n d e l t u n d n i c h t urn eine e c h t e Spitze. Ein e i n f a c h e r

Weg zu e i n e r e c h t e n Spitze ist die A n o r d n u n g der K o n t r o l l p u n k t e in den Ecken cines

R e c h r e c k s (Abb. 8.9). D a m i t ist g a r a n t i e r t , dass der K u r v e n p u n k t B(Yz) w i r k l i c h eine

Spitze isr.

Bezier - K u r v e n b e s i t z e n m e h r e r e n i i t z l i c h e E i g e n s c h a f t e n , von d e n e n wir die konvexe

Hidle u n d die affine Invarianz a u s f i i h r l i c h e r d i s k u t i e r e n , Das K o n z e p t des konvexen

Bereichs h a b e n wir b e r e i t s in K a p i t e l 3 k e n n e n g e l e r n t . Die konvexe H i i l l e isr ein

spezieller konvexer Bereich, der im F o l g e n d e n e r k l a r t w i r d .

U n t e r t e i / u n g s e i g e n s c h a f tvon B e z i e r - K u r v e n

Ecken a b s c h n e i d e n

A b b . 8 . 8(a) Der A l g o r i t h m u s von de Casteljauu n t e r t e i l t eine kubische Bezler-Kurvemit Kontrollpolygon B OI . " , B 3 in zweiBezier-Kurven zu denKontrollpolygonen Co, c., C 2 und C 3

sowie Do, 0 1 1 O 2 und 0 3,

(b) Nach zwei U n t e r t e i l u n g s s c h r i t t e n istdas v e r f e i n e r t e Kontrollpolygon bereitseine gute Naherunq der s e z t e r - k u r v e .

A b b . 8 .9Die Konstruktion einer beliebigen ebe­nen kubischen Bezier-Kurve mit einerSpitze e r f o r d e r t einiges an g e o m e t r i ­schem Wissen. Wahlen wir jedoch dievier K o n t r o l l p u n k t e als Ecken einesRechtecks, dann hat die Kurve eineSpitze im K u r v e n p u n k t B { 1 / 2 ) .

B 2Q - - - - - - - - ----p

A u s b u c h t u n g

B)

B 2 B 1 B 2 B 1

.. .. .... .. . . . . . . . . . . ," ' 1'"

111. 1I · · · · . .... ....

i " . 1I· · · · . " .

S c h l e i f eI1 S p i t z e1

B 3

255

K o n v e x e - H i i l l e - E i g e n s c h a f t v o n B e z i e r - K u r v e n . Bezier- K u r v e n b e s i t z e n die

Eigenschaft, dass sie i m m e r zur Ganze in der konvexen Hidle ihrer Kontrollpunkte

(Abb. 8 .11) e n t h a l r e n sind . Diese Eigenschaft folgt u n m i t t e l b a r aus der K o n s t r u k r i o n

mit dem A l g o r i t h m u s von de C a s t e l j a u ( w i e d e r h o l t e l i n e a r e I n t e r p o l a t i o n m i t

einem P a r a m e t e r t in [0,1] e r z e u g t keine P u n k t e a u g e r h a l b der konvexen H i i l l e der

K o n t r o l l p u n k t e ) . Die Tatsache, dass das K o n t r o l l p o l y g o n bereits j e n e n Bereich

d e f i n i e r t , in dem die Bezier- Kurve liegt, ist w i c h t i g fiir D e s i g n z w e c k e . Ein spezieller

Fall der K o n v e x e - H i i l l e - E i g e n s c h a f t ist die so g e n a n n t e lineare Priizision von Bezier­

Kurven. Sind die K o n t r o l l p u n k t e einer Bezier-Kurve in einer G e r a d e n e n r h a l t e n , d a n n

ist auch die Bezier-Kurve selbst Teil dieser G e r a d e n .

M a t h e m a t i k :

K o n v e x e H i i l l e . Die konvexe Hiille einer e b e n e n P u n k t -

menge e r h a l t e n wir i n t u i t i v wie folgt : W i r stellen uns die

P u n k t e als Nagel in einem H o l z b r e t t vor. D a n n legen wir ein

G u m m i b a n d urn alle Nagel u n d lassen es los . Die Form des

eng a n l i e g e n d e n G u m m i b a n d e s l i e f e r t uns die konvexe Hiil­

Ie der P u n k t m e n g e (Abb . 8 . l 0 a ) . Die konvexe Hiille einer

e b e n e n P u n k t m e n g e ist ein konvexes Polygon, u n d die kon­

vexe Hiille einer r a u m l i c h e n P u n k t m e n g e ist ein konvexes

Polyeder (Abb . 8 . l 0 b ) . Es k a n n gezeigt werden, dass die

konvexe Hiille der R a n d des k l e i n s t e n konvexen Bereichs

ist , der eine gegebene P u n k t m e n g e zur Ganze e n t h a l t .

eben reumlich

A b b . 8 . 1 0Die konvexe Hulle von(a) ebenen und(b) r a u m l l c h e n P u n k t m e n g e n .

ebene Kurven

Abb . 8 . 1 1Bezler-Kurven sind in der konvexen Hulleihrer K o n t r o l l p u n k t e e n t h a l t e n . Fur eineraurntlche Kurve ist die konvexe Hulle einkonvexes Polyeder. Eines der Beispielei I I u s t r i e r t den Spezialfall der linearen

Prazlslon: Liegen aile K o n t r o l l p u n k t e aufderselben Geraden, so ist die Bezler­Kurve zur Ganze in dieser Geradene n t h a l t e n .

r e u m l i c b e Kurve

c

256

P a r a b e l b o g e n sind quadratische B e z i e r - Kurven. W i r e r i n n e r n uns an die

F a d e n k o n s t r u k t i o n der Parabel in K a p i t e l 7 . Diese ist ein Spezialfall des A l g o r i t h m u s

von de C a s t e l j a u fur drei K o n t r o l l p u n k t e . D a h e r s i n d P a r a b e l b o g e n q u a d r a t i s c h e

B e z i e r - K u r v e n . M i t w e n i g A u f w a n d k o n n e n wir e i n f a c h e F o r m e n e r z e u g e n , die

d u r c h q u a d r a t i s c h e B e z i e r - K u r v e n b e g r e n z t w e r d e n (Abb. 8.13a). Q u a d r a t i s c h e

u n d k u b i s c h e B e z i e r - K u r v e n w e r d e n auch v e r w e n d e t , urn TrueType- u n d P o s t s c r i p t ­

S c h r i f i a r t e n (Abb. 8 . 1 3 b ) zu d e f i n i e r e n , u n d sie g e h o r e n zu den S t a n d a r d w e r k z e u g e n

in vielen S o f t w a r e p a k e t e n .

Mathematik:

Affine Invarianz. Eine B e z i e r - K u r v e ist affin i n v a r i a n t m i t

i h r e m K o n t r o l l p o l y g o n v e r b u n d e n . Beispiele affiner Abbil­

d u n g e n i n k l u d i e r e n S c h i e b u n g e n , D r e h u n g e n , A h n l i c h k e i ­

ten u n d P a r a l l e l p r o j e k t i o n e n (Kapirel 6). Affine I n v a r i a n z

von B e z i e r - K u r v e n heilir, dass das affine Bild e i n e r Bezier-

Kurve mit jener Bezier-Kurve i i b e r e i n s t i m m t , welche wir zum

affinen Bild ihres K o n t r o l l p o l y g o n s e r h a l t e n (Abb . 8.12).

W i r b e a c h t e n , dass eine Z e n t r a l p r o j e k t i o n n i c h t e r l a u b t ist, da

diese keine affine A b b i l d u n g ist .

A b b . 8 . 1 2Eine raurnllche Bezier-Kurve und ihrParallelriss i l l u s t r i e r e n die Eigenschaftder affinen I n v a r i a n z zwischen derKurve und ihrem K o n t r o l l p o l y g o n .

A b b . 8 . 1 3(a) Eine einfache Form berandet durchzwei quadratische s e z t e r - x u r v e n .

(b) Der Buchstabe a e iner Postscript­S c h r i f t wird durch mehrere kubischeBezier-Kurven berandet .

(a)

.. '

257

B e i s p i e l :

D e s i g n e i n e s P a r a h e l h o g e n s zu gege­

h e n e r A c h s e n r i c h t u n g u n d S c h e i t e l .

Urn die s r a t i s c h e n E i g e n s c h a f t e n eines

P a r a b e l b o g e n s v o r t e i l h a l i zu n u t z e n ist

es w i c h t i g , die Achsen- u n d S c h e i t e l p o ­

si ri o n zu k e n n e n . 1m a r c h i t e k t o n i schen

D e s i g n w e r d e n i i b l i c h e r w e i s e Parabel­

b o g e n m i t v e r t i k a l e r A c h s e n r i c h t u n g

v e r w e n d e t . W e n n wir drei K o n t r o l l ­

p u n k r e B o , B 1 u n d B 2 als Ecken eines

g l e i c h s c h e n k l i g e n D r e i e c k s mit Basis

BoB2 w a h l e n , d a n n ist die A c h s e n r i c h ­

t u n g der Parabel d u r c h jene G e r a d e

gegeben, die B 1 u n d den M i t t e l p u n k t M

von B o u n d B 2 v e r b i n d e t (Abb . 8 . l 4 a ) .

Der Scheitel einer Parabel ist der einzige

Parabelpunkt auf der Achse. Wegen der

symmetrischen Aufstellung linden wir den

Scheitel (mit dem A l g o r i t h m u s von de

Casteljau) als K u r v e n p u n k t zum Para­

meter t = 1 / 2 . W i r bemerken, dass die

Umerteilungseigenschaft des Algorithmus

von de Ca steljau (fur t = 1 / 2 ) den gro ­

Geren Bogen in zwei Parabelbogen teilt ,

deren gemeinsamer P u n k t der Parabel­

scheitel ist,

Aus der vo rigen K o n s t r u k t i o n lernen wir

eine einfache M e t h o d e , einen Parabel­

bogen zu gegebenem Scheitel S und

A c h s e a z u k o n s t r u i e r e n (Abb. 8 .14b) . W i r

nehmen den Scheitel S als den ersten Kon­

t r o l l p u n k t B o . D a n n zeichnen wir ein e

Gerade g durch den Scheitel S normal zur

Achse a . N u n wahlen wir einen beliebigen

Punkr B 1 auf g. D a n n ist g = [BO,Bl] die

Scheiteltangeme. Spiegeln wir nun den

P u n k t B o an B 1, erhalten wir einen Hilfs­

p u n k t P auf g. Schlussendlich wahlen w ir

den d r i t t e n K o n r r o l l p u n k t B 2 beliebig auf

jener Geraden durch P, die parallel zur

Achse a verlaufr. Das liefert uns den

Parabelbogen mit Scheitel S, Achse a und

K o n t r o l l p u n k r e n B o = S, B ; B 2 • D u r c h

Spiegeln dieses Bogens an a erhalren wir

einen symmetrisch liegenden Parabel­

bogen mit demselben Scheitel S und der­

selben Achse a.

A b b . 8 . 1 4(a) Parabelbogen m it v e r t i k a l e r Achse aals q u a d r a t i s c h e B e z l e r - K u r v e m i tK o n t r o l l p u n k t e n 8 0 , 8 1 und 8 2 , Wegender U n t e r t e i l u n g s e i g e n s c h a f t wird d e rgroBe Bogen in zwei Parabelb6gen

g e t e i l t , die im Scheitel 5 = 8 ( 1 / 2 )z u s a r n r n e n h a n q e n ,(b) K o n s t r u k t i o n eines Parabelbogenszu g e g e b e n e m Scheitel 5 und Achse a.

Io

I/-::: -rI

I.Ij a

Io

.¢ •• o '

... I " .

. ' i ···.• 0 •

.... I . ....' i '.

./ 5 = 8 0 . . . . . " )ooj-C---~

258

E i n s c h r a n k u n g e n v o n B e z i e r - K u r v e n . B e z i e r - K u r v e n sind d u r c h ihre K o n t r o l l ­

p u n k t e v o l l s t a n d i g festgelegt. Eine Bezier-Kurve m i t n + 1 K o n t r o l l p u n k t e n hat den

G r a d n (das ist der G r a d der P o l y n o m e , die in der m a t h e m a t i s c h e n B e s c h r e i b u n g

v o r k o m m e n ) . Dies f u h r t zu den f o l g e n d e n b e i d e n E i n s c h r a n k u n g e n von Bezier­

Kurven.

• Eine Bezier-Kurve m i t einer g r o f e n A n z a h l von K o n t r o l l p u n k t e n ist fur

D e s i g n z w e c k e u n b r a u c h b a r . D e r G r u n d dafiir ist, dass m i t einem h o h e n

G r a d der Kurve ihre Form i m m e r weniger der Form ihres K o m r o l l p o l y g o n s

e n t s p r i c h t (Abb. 8.1 Sa).

• Die K o n t r o l l p u n k t e h a b e n globale K o n t r o l l e iiber die Form der Kurve. Das

b e d e u t e t , mit j e d e m H i n z u f i i g e n eines n e u e n K o n t r o l l p u n k t e s o d e r d u r c h

Verlagern bereits eines einzigen K o n t r o l l p u n k t e s v e r a n d e r t sich die gesamte

(globale) Form der Kurve. Dieser Effekt (Abb . 8.1Sb) ist fur D e s i g n z w e c k e

u n e r w u n s c h t , W e n n wir mit der Form der Kurve in einem T e i l b e r e i c h

z u f r i e d e n sind, sollre sich die Form d o r t n i c h t m e h r a n d e r n , auch w e n n

in e i n e m a n d e r e n K u r v e n a b s c h n i t t der eine o d e r a n d e r e K o n t r o l l p u n k r

g e r i n g f u g i g verlagert wird.

A b b . 8 .15(a) Eine Bezler-Kurve hohen Gradese n t f e r n t sich zu stark von ihremK o n t r o l l p o l y g o n .(b) Verlagern eines einzelnenK o n t r o l l p u n k t e s einer Bezler-Kurvev e r a n d e r t die gesamte K u r v e n f o r m .

259

B e i s p i e l :

S t i i c k w e i s e B e z i e r - K u r v e n . Z u r Kon­

s t r u k t i o n von l a n g e r e n F r e i f o r m k u r v e n

k o n n e n wir m e h r e r e B e z i e r - K u r v e n von

n i e d r i g e m G r a d (2 o d e r 3) zusamrnen­

h a n g e n , An den V e r k n u p f u n g s p u n k r e n

verlangen wir, dass die b e i d e n e i n a n d e r

t r e f f e n d e n K u r v e n s t i i c k e dieselbe Tan­

gente (das Beste, was wir fur q u a d r a t i ­

sche B e z i e r - K u r v e n e r r e i c h e n k o n n e n )

u n d dieselbe K r u m m u n g (falls wir kubi­

sche o d e r B e z i e r - K u r v e n h o h e r e n Gra­

des v e r w e n d e n ) b e s i t z e n .

Fur eine stuckweise q u a d r a t i s c h e Bezier ­

Kurve k o n n e n wir den e r s t e n P a r a b e l b o ­

gen o h n e E i n s c h r a n k u n g e n wahlen, Fiir

alle w e i t e r e n a n z u h a n g e n d e n Parabel­

bogen gilt die N e b e n b e d i n g u n g , dass

wir nur m e h r einen K o n t r o l l p u n k t frei

w a h l e n k o n n e n , da die gewiinschre Tan­

g e n t e n s t e t i g k e i t zum vorigen Bogen be­

reits die P o s i t i o n der beiden a n d e r e n

K o n t r o l l p u n k t e festlegt (Abb. 8 .16a).

Fiir stiickweise k u b i s c h e Bezier- Kurven

w i r d dies n o c h schwieriger. W i r wissen

bereits, w o r a u f wir achten miissen, d a m i t

benachbarte Kurvenstiicke dieselbe Tan­

gente im Verkniipfungspunkt besitzen

(Abb . 8 . l 6 b ) . Wie miissen wir jedoch die

K o n r r o l l p u n k t e wahlen, d a m i t benachbar­

te Kurvensnicke im Verkniipfungspunkt

auch dieselbe K r i i m m u n g besitzen? Urn

solche Einschrankungen von Bezier-Kur­

yen und stiickweisen Bezier-Kurven zu

beseitigen, haben Wissenschafter B-Spli­

ne-Kurven erfunden (mit denen wir uns

im nachsten A b s c h n i t t befassen).

A b b . 8 . 1 6StOckweise(a) q u a d r a t i s c h e und(b) kubische B e z t e r - K u r v e n m i t s t e t i g e nTangenten. Die q u a d r a t i s c h e n undkubischen Teilkurven sind v e r s c h i e d e n ­farbig g e k e n n z e i c h n e t .

260

B - S p l i n e - K u r v e nB - S p l i n e - K u r v e n s i n d F r e i f o r m k u r v e n , welche B e z i e r - K u r v e n vom selben G r a d m i t

g r o B t m o g l i c h e r G l a t t h e i t an d e r e n E n d p u n k t e n z u s a m m e n f u g e n (d.h., dieselbe

T a n g e n t e , dieselbe K r u r n m u n g [falls m o g l i c h ] u n d so w e i t e r ) . Es ist b e m e r k e n s w e r t ,

dass B - S p l i n e - K u r v e n dieses Z u s a m m e n h a n g e n von B e z i e r - K u r v e n a u t o m a t i s c h

b e w e r k s t e l l i g e n .

Dasselbe Z u s a m r n e n k n u p f e n h a n d i s c h zu e r r e i c h e n ist viel m i i h s a m e r (Abb. 8.16),

f e h l e r a n f a l l i g u n d e r s c h w e r t eine spatere M o d i f i k a r i o n der Kurve . Ein w e i t e r e r Vorteil

(speziell fur das D e s i g n l a n g e r e r B - S p l i n e - K u r v e n ) ist, dass B - S p l i n e - K u r v e n die Form

ihres K o n t r o l l p o l y g o n s viel besser a n n a h e r n als B e z i e r - K u r v e n . B - S p l i n e - K u r v e n

b e s i t z e n d i e s e l b e n n i i t z l i c h e n E i g e n s c h a f t e n wie B e z i e r - K u r v e n , u n d wir k o n n e n

L e t z t e r e als Spezialfalle von B - S p l i n e - K u r v e n auffassen.

Geschichte:

Spline. D e r B e g r i f f Spline k o m m r von e i n e m W e r k z e u g ,

das S c h i f f b a u e r v e r w e n d e n , urn lange g l a t t e K u r v e n a u f

Papier zu z e i c h n e n (Abb . 8 .2a) . Dieses W e r k z e u g ist ein

d u n n e r , flexibler, h o l z e r n e r o d e r m e t a l l e n e r Stab, der in die

b e n o t i g t e F r e i f o r m k u r v e n f o r m g e b o g e n w i r d . Irn g e o m e t r i ­

schen M o d e l l i e r e n ist eine Spline-Kurve eine Kurve, die aus

m e h r e r e n K u r v e n s e g m e n t e n b e s t e h r , die u n t e r B e r u c k s i c h ­

t i g u n g g l a t t e r O b e r g a n g e z u s a m m e n g e s e t z t w e r d e n .

B-Spline. D e r B e g r i f f B-Spline w u r d e vom r u m a n i s c h e n

M a r h e r n a t i k e r Isaac S c h o e n b e r g zum e r s t e n Mal v e r w e n d e t .

D a b e i s t e h t der B u c h s t a b e B fur "Basis:' W i r k o n n e n den

B u c h s t a b e n B a u c h als M e r k h i l f e v e r w e n d e n , dass eine

B-Spline-Kurve aus m e h r e r e n Bezier-Kurven-Segmenten be­

steht .

2 6 1

Definition einer B-Spline-Kurve. Eine B-Spline-Kurve ist d e f i n i e r t d u r c h

• m + 1 K o n t r o l l p u n k r e ,

• den G r a d n u n d

• den K n o t e n v e k t o r .

Die Kontrollpunkte b e z e i c h n e n wir m i t den B u c h s t a b e n D o, ..., D m , urn s ie von den

B e z i e r - K o n r r o l l p u n k t e n zu u n r e r s c h e i d e n . Sie w e r d e n v e r w e n d e r , urn die g r o b e Form

der Kurve festzulegen.

D e r Grad ( m i t dem Symbol n) e i n e r B - S p l i n e - K u r v e ist d e f i n i e r t als der G r a d der

b e r e i l i g r e n B e z i e r - K u r v e n , die - g e e i g n e t z u s a m m e n g e s e t z t - die B - S p l i n e - K u r v e

b i l d e n . W i r b e m e r k e n , dass fur eine B - S p l i n e - K u r v e aIle B e z i e r - K u r v e n - S e g m e n r e

d e n s e l b e n G r a d n b e s i t z e n (Abb . 8.17).

D e r K n o t e n v e k t o r s a m m e l t die . K n o t e n " (d.h. P a r a m e t e r w e r t e ) , an d e n e n die

e i n z e i n e n B e z i e r - K u r v e n z u s a m m e n t r e f f e n . O b l i c h e r w e i s e w e r d e n in e i n e r

C A D - S o f t w a r e diese K n o t e n g l e l c h f c r m i g verteilr. B - S p l i n e - K u r v e n m i t gleich­

f o r m i g e n K n o t e n w e r d e n m a n c h m a l als gleichftrmige B - S p l i n e - K u r v e n b e z e i c h n e t , urn

sie von den nicht-gleichftrmigen K u r v e n zu u n t e r s c h e i d e n . Fur das D e s i g n w e s e n d i c h

s in d a l l e r d i n g s n u r die zwei i n t u itiven D e s i g n p a r a m e t e r e i n e r B - S p l i n e - K u r v e : die

K o n t r o l l p u n k t e u n d der G r a d der Kurve.

A b b . 8 . 1 7Eine B - S p l i n e - K u r v e vom Grad n = 3m i t m = 7 K o n t r o l l p u n k t e n 001 . . . , 0 6b e s t e h t aus v i e r kubischen Bezler­Kurven - Se g men ten .

262

o.

r;;;;--~-.....~n:....=.:2O.

Bei s p i e l :

S k i z z i e r e n von q u a d r a t i s c h e n B - S p l i n e ­

K u r v e n zu g e g e b e n e n K o n t r o l l ­

p o l y g o n e n . Zu e i ne m gegeben en Kon ­

t rollp ol yg on ski zz ie r en wi r eine qu a­

dr ati sch e B-Splin e-Ku r ve w ie fo lg t : W i r

m ar ki er en einfac h d ie Mirr e l p u n k r e d e r

i n nere n Ka n te n d es K o n t rollpol ygo n s

(A b b . 8 .19 ) und ski z z ier en da zu d ie

e in zelnen qu ad r ati sch en Bezier- Ku r ven ­

Segme nte ( Pa r ab elb o g en) .

O r - ~n_=.:l3

O.

Irn Aligem ein en gilt , d ass eine B -Spline­

Kurve vom Gra d n mi t m + 1 K onr roll ­

punkr en D o, Db ..., D m aus m + 1 - n

Bez ie r-Ku r vcn- Segm ent en vom G r ad n

zu sam me ngesetz t ist . De r m axima l er ­

reich ba re Gra d ist n = m , in d ie se m Fall

is t d ann d ie B - Sp lin e- Kur ve gen au d ie

Bezi e r-Ku r ve zu m selb en Kon troll­

po lygo n .

Abb . 8 . 1 8Eine l i n ear e, quad rat ische, k u bische undeine B-Spl i n e - K u r v e von ma x imalemGrad sleben zu k o n g r u e n t e n Kontro llpoly­gonen m it acht Kontrol l p u n k t e n . Wirb e m e r k e n , dass die B-Sp l i n e - K u r v e vomhochsten erreichbaren Grad e ine Bezler­Kurve ist.

A b b . 8 . 1 9B-Spl ine- und Bezler - K o n t r o l l p u n k t e einerq u a d r a t ischen B - S p l i n e - K u r v e .

B ei s p i e l :

D er E influs s des G r a d e s a u f e i n e B­

S p l i n e - K u r v e. W ir wahl en ein festes

Ko ntr ollp olygon mi t ach t K o n t rollpunk­

t en un d variieren n ur d en Gra d de r zuge­

h or igen B-Splin e-Kur ve (A b b. 8.18 ).

• Grad n = 1. Ei ne li neare B-Spli n e­

Kurve is t genau da s Ko ntro ll po lygo n.

• Gradn = 2. Eine quadrat i sch e B- Spl in e­

Kur ve m i t ach t Kon tro ll p u n k t e n b est eht

au s sechs q u a d r a tisc he n Bezier - Ku r ven­

Segme nten .

• Grad n = 3. Eine kubisch e B -Spl in e­

K urve m i t ach t Ko nt r o ll p u n k te n b e st eht

aus fiin f k u bi sche n Be z ie r -Kur ven -Seg­

m enten,

• Max imal er Gra d n = 7. Die B -Splin e­

Kur ve ist ein e Bezier-Kurve vorn Gr ad 7 .

D a w ir minde sten s ein Kur vens egm ent

wo llen, kon ne n wi r d en Gra d d e r

B- Splin e-Ku r ve n icht w ei te r e rho h en.

263

L o k a l e K o n t r o l l e v o n B - S p l i n e - K u r v e n . B - S p l i n e - K u r v e n b e s i t z e n lokale K o n t r o l l e ,

d.h. Verlagem eines e i n z e l n e n K o n t r o l l p u n k t e s v e r a n d e r t die Form der Kurve n u r

in einem T e i l b e r e i c h (Abb. 8 .20) . W i r e r i n n e r n d a r a n , dass die Form einer Bezier­

Kurve von allen K o n t r o l l p u n k t e n a b h a n g t , Fur eine B - S p l i n e - K u r v e ist dies anders :

N u r die Kurven s e g m e n t e in einer gewissen Einflusszone r u n d urn den v e r l a g e r t e n

K o n t r o l l p u n k t v e r a n d e r n ihre Form. D a r u m s p r e c h e n wir von " l o k a l e r K o n t r o l l e "

e i n e r B - S p l i n e - K u r v e m i t t e l s ihrer K o n t r o l l p u n k t e .

O f f e n e und g e s c h l o s s e n e B - S p l i n e - K u r v e n . B - S p l i n e - K u r v e n k o n n e n in zwei

v e r s c h i e d e n e n M o d i g e z e i c h n e t werden: als offene Kurve m i t zwei E n d p u n k t e n o d e r

als eine einzige glattegeschlossene Kurve (Abb. 8.21). Eine offene B - S p l i n e - K u r v e

i n t e r p o l i e r t den ersten u n d l e t z t e n K o n t r o l l p u n k t , Eine geschlossene B - S p l i n e - K u r v e

h a t ein geschlossenes K o n t r o l l p o l y g o n , das von der Kurve als Ganzes geglatrer wird.

Es isr w i c h t i g , den U n t e r s c h i e d zwischen offenem u n d geschlossenem M o d u s

einer B - S p l i n e - K u r v e zu v e r s t e h e n . Eine B - S p l i n e - K u r v e zu einem g e s c h l o s s e n e n

K o n t r o l l p o l y g o n im offenen M o d u s hat eine scharfe Ecke in jenem P u n k r , wo die

b e i d e n E n d p u n k t e z u s a m m e n f a l l e n (Abb . 8.21). Eine geschlossene B - S p l i n e - K u r v e

vorn G r a d n m i t m + 1 K o m r o l l p u n k t e n be s t e h t i m m e r aus m + 1 Bezier-Kurven, jede

vom G r a d n . Die s wird in A b b i l d u n g 8 .22 fur lineare , q u a d r a t i s c h e u n d kubische

B - S p l i n e - K u r v e n zu k o n g r u e n t e n K o n t r o l l p o l y g o n e n m i t vier B - S p l i n e - K o m r o l l ­

p u n k t e n i l l u s t r i e r t . D e r maximale G r a d ist n = 3. Im A l i g e m e i n e n gilt n = m.

0 6

u n v e r e n d e r t e rTeil d e r K u r v e

A b b . 8 . 2 0Lokale Kontrolle von B - S p l i n e - K u r v e n .

Abb . 8 . 2 1Offene und geschlossene B-Spline­Kurven . Beachte, dass eine B-Spline­Kurve im offenen Modus zu einemgeschlossenen K o n t r o l l p o l y g o n einescharfe Ecke im z u s a m m e n f a l l e n d e nersten und letzten K o n t r o l l p u n k t hat.

264

o f f e n e rModus

D.g e s c h l o s s e n e rModus

0 4

B e i s p i e l :

D i e B e z i e r - K o n t r o l l p u n k t e e i n e r k u b i ­

s c h e n B - S p l i n e - K u r v e . Fur eine geschlos­

sene kubische B-Spline-Kurve u n t e r t e i l e n

wir zuerst alle Kanten des Kontroll­

polygons in drei gleiche Teile. D u r c h

Verbinden dieser P u n k t e schneiden wir die

Ecken des B - S p l i n e - K o n t r o l l p o l y g o n s abo

D a n n fugen wir fur jede a b g e s c h n i t t e n e

Ecke den K a n t e n m i t t e l p u n k t dieser "Poly­

gonsehnen" ein (Abb. 8 .23). Zusarnrnen

mit dem vorigen S c h r i t t erhalten wir so die

Menge der K o n t r o l l p u n k t e der Bezier­

Kurven- Segmente .

Die n o t w e n d i g e n M o d i f i k a t i o n e n fur

eine offene k u b i s c h e B - S p l i n e - K u r v e

sind f o l g e n d e : Es w e r d e n a u f der e r s t e n

u n d l e t z t e n K a n t e des K o n t r o l l p o l y g o n s

keine n e u e n P u n k t e e i n g e f u g t , A u f der

z w e i t e n u n d v o r l e t z t e n K a n t e fugen wir

die K a n t e n m i t t e l p u n k t e ein, u n d aIle an-

d e r e n K a n t e n w e r d e n w i e d e r g e d r i t t e l t

(Abb. 8 .23). D u r c h V e r b i n d e n der einge ­

f i i g t e n P u n k t e s c h n e i d e n wir w i e d e r

Ecken des B - S p i i n e - K o n t r o l l p o l y g o n s

abo Fur j e d e a b g e s c h n i t t e n e Ecke fugen

wir n o c h den K a n r e n r n i r r e l p u n k t dieser

" P o l y g o n s e h n e n " ein. Z u s a m m e n m i t

den b e r e i t s v o r h e r e i n g e f u g r e n P u n k t e n

u n d dem e r s t e n u n d l e t z t e n B -Spline­

K o n t r o l l p u n k t e r h a l r e n wir so die M e n g e

der B e z i e r - K o n t r o l l p u n k t e e i n e r o f f e n e n

k u b i s c h e n B - S p l i n e - K u r v e .

A b b . 8 . 2 2Geschlossene B-Spl ine-Kurven vomGrad 1, 2 und 3 zu k o n g r u e n t e nK o n t r o l l p o l y g o n e n m i t vierK o n t r o l l p u n k t e n . Die v i e r Bezler­K u r v e n - S e g m e n t e der B - S p l i n e - K u r v e nsind v e r s c h i e d e n f a r b i q m a r k i e r t .Weiters sind die Bezier­K o n t r o l l p o l y g o n e eingezeichnet.

n=2

. : o

A b b . 8 .23Bez i e r - K o n t r o l l p u n k t e von B-Spline­Kurven im offenen und geschlossenenModus.

265

W a r u m s i n d k u b i s c h e B - S p l i n e - K u r v e n so b e l i e b t ] W e n n wir eine S p l i n e k u r v e

b e t r a c h t e n , die . m a n u e l l " aus m e h r e r e n Kurven stiicken zu s a m m e n g e s e t z t w u r d e

(Abb. 8.24) , d a n n e n t d e c k t das m e n s c h l i c h e Auge so fo rt Kn icke ( d o r t wo die

K u r v e n t a n g e n r e sich a b r u p t a n d e r t ) u n d Krummungsunstetigk eiten ( d o r t , wo sich die

K r u r n r n u n g p l o t z l i c h andere). Urn S p l i n e k u r ven zu e r h a l t e n , die dem m e n s c h l i c h e n

Auge gefallen, sind B -Spline - K u r v e n so k o n s t r u i ert, das s die z u g r u n d e l i e g e n d e n

m a t h e r n a t i s c h e n P r i n z i p i e n e i n m o g l i c h s t glattes Z u s a m m e n setzen der e i n z e l n e n

B e z i e r - K u r v e n gar a n t i e r e n . Fiir kubische B-Spline - K u r v e n e r r e i c h e n wir bereits

glatte T a n g e n t e n u n d stetige K r u r n m u n g s i i b e r g a n g e an den K n o t e n p u n k t e n , wo die

e i n z e l n e n K u r v e n s e g m e n t e v e r b u n d e n werden. Das ist einer der G r i i n d e , w a r u m

k u b i s c h e B - S p l i n e - K u r v e n fiir D e s i g n z w e c k e bestens g e e i g n e t sind .

W a r u m w o l l e n w i r t r o t z d e m m e h r ? A u s g e s t a t t e t m it einem tieferen Ve r s t a n d n i s

iiber B - S p l i n e - K u r v e n u n d ihre V e r w e n d u n g im Design stellt sich die b e r e c h t i g r e

Frage , w a r u m wir n o c h m e h r wollen. D e r G r u n d dafiir ist ein e i n f a c h e r : W i r h a b e n

zwar ein ausgefeiltes W e r k z e u g zum Z e i c h n e n von k o m p l i z i e r t e n F r e i f o r m k u r v e n , die

eine Vielzahl n i i t z l i c h e r E i g e n s c h a f t e n (inklusive lokaler K o n r r o l l e ) aufweisen, aber

B - S p l i n e - K u r v e n h a b e n auch den f o l g e n d e n g r a v i e r e n d e n N a c h t e i l :

Klassische Kurven wie Kreis , Ellip se o d e r H y p e r b e l k o n n e n wir m i t B-Spl ine-

K u r v e n n i c h t d a r s t e l l e n . U n t e r den K e g e l s c h n i t t e n ist n u r die Parabel eine spezielle

B - S p l i n e - K u r v e ( g e n a u e r , sogar eine Bezier-Kurve) . Wei! aber K e g e l s c h n i t t e oft fiir

D e s i g n z w e c k e v e r w e n d e t w e r d e n , b e s p r e c h e n wir im F o l g e n d e n eine E r w e i t e r u n g von

B - S p l i n e - K u r v e n . Diese F r e i f o r m k u r v e n heifsen N U R B S - K u r v e n , u n d sie e r l a u b e n

uns m i t e i n e m e i n z i g e n W e r k z e u g die K o n s t r u k t i o n von Kreis, Ellipse u n d H y p e r b e l

- u n d n a t i i r l i c h vieler w e i t e r e r F r e i f o r m k u r v e n .

T a n g e n t e n u n s t e t i g k e i t/

K r i i m m u n q s ­uns t e t i g k e i t

266

A b b . 8 . 2 4Tangenten- und K r u m m u n g s u n s t e t i g ­keit in den V e r k n u p f u n q s p u n k t e n dereinzelnen K u r v e n s e g m e n t e einermanuell z u s a m m e n g e s e t z t e n Spline­Kurve.

A b b . 8 . 2 5Eine ebene NURBS-Kurve k i s t derZ e n t r a l r i s s einer r a u m l i c h e n B-Spline­Kurve k * .

N U R B S - K u r v e nW i e bereits zu Beginn des Kapitels e r w a h n t s t e h t die A b k i i r z u n g N U R B S fur Nicbt­

unifOrme rationale B-Spline. W i r wissen bereits, dass N U R B S also B - S p l i n e - K u r v e n

m i t e i n e m (im Allgeme inen) n i c h r - g l e i c h f o r m i g e n K n o t e n v e k t o r sind. A l l e r d i n g s

ist das N U in N U R B S ein wenig i r r e f i i h r e n d , da N U R B S - K u r v e n d u r c h a u s

einen g l e i c h f o r m i g e n K n o t e n v e k t o r h a b e n konnten, D e r Begriff " r a t i o n a l " ist das

w i r k l i c h N e u e an N U R B S . D e r A u s d r u c k rational k o m m t von der m a t h e m a t i s c h e n

B e s c h r e i b u n g dieser K u r v e n (vergleiche K a p i t e l Z): g e w o h n l i c h e B - S p l i n e - K u r v e n

s i n d p o l y n o m i a l - ein Spezialfall von " r a t i o n a l " .

Die E i g e n s c h a f t von N U R B S , r a t i o n a l zu sein, l i e f e r t einen z u s a t z l i c h e n Form­

p a r a m e t e r in G e s t a l t der so g c n a n n t e n Gewichte. Diese G e w i c h t e sind den K o n t r o l l ­

p u n k t e n z u g e o r d n e t . W i r wollen n u n eine N U R B S - Kurve u n d ihre G e w i c h t e

g e o m e t r i s c h h e r l e i t e n . W i r w e r d e n sehen, dass eine N U R B S - K u r v e in einem R a u m

der D i m e n s i o n d n i c h t s a n d e r e s ist als die Z e n t r a l p r o j e k t i o n einer regularen B-Spline­

Kurve aus dem Raum mit D i m e n s i o n d + 1.

e b e n e N U R B S - K u r v e

267

G e o m e t r i s c h e H e r l e i t u n g v o n N U R B S - K u r v e n . W i r b e g in n en m it m + 1

K o n t r o l l p u n k r en Do, Db ..., D m in de r E be ne z = 1 ( das ist e i ne E be ne p ar all el z ur

xy- E bene, e ine Ei n hei t d a riib e r ) eine s r a u m l i c h en k a r t es i sch en K o o r d in at en syst ern s.

Da nn zeic h ne n wi r G e r a den g o, gb ... ,g m vo rn Ur s p r u n g z u d en K o n t r o l l p u n k t en D j ,

D 1 , . .. , D m • Be w e g e n wi r n u n die Ko n tro l l p u n k t e D , e n d an g d e r G e r a d e n g j in neue

Po sit io n en D , *, d a n n e r z e u g e n wir d as Ko n r r o llpo lygo n e i n e r ra u m li c he n B -Spline­

K urve k * (A b b . 8.25).

Z u m A bsc h l uss li efert ei ne Ze n r r a l p r o jek tio n d er K u rve k * i n d i e E be ne z = 1

( m i t d em Ur s p r u n g a ls P r oj ekti on sz e n t r u m ) ei n e eben e N U RB S -K urve k zu

d en K o n t r o l l p u n k t en Do, Db ..., D m • D am it h aben wi r e i ne n b em erk en sw e r t en

Z u s a m m e n h a n g z w isch e n B -Splin e - K u r ven u n d N U R B S - K u r v e n: e i ne e be ne

N U R B S -Kur ve i st d er Z e n r r alri ss e i n e r ra u m l i ch e n B-Spl i n e - K u r v e. A n a l o g ist e ine

r aurnli che N U R B S - K u r ve d er Ze n tra l riss e i n e r B - S p l i n e - K u r ve , di e im 4 - D - R a u m

lie gt.

G e w i c h t e . N a c h d em w i r j e t zt w issen, wie N U R B S-K ur ven e rze ug t we rde n, w o l l e n

w i r d i e R oll e d e r G e w i c h t e e r kla re n. Di e Gewi ch te ui , zu d en K o n t r o l l p u n k t en D ,

e i n e r eb en en N U R B S-Ku r v e k sind ni cht s a n deres a ls d i e z - K o o rd i n a t e n d e r K o n t r oll ­

p u n kte D , * d er zu ge hOrig e n r auml ich e n B- S p l i n e - K u r ve k ". D i es g il t a na log f iir

N U R B S - K u r ven in Ra ume n ho here r D im e n s ion . W i r wolle n n u n d e n Ei n fluss d er

C e w i c h te a u f d ie Kur v en f o r m u n t er su ch en (A b b . 8.26). E r ho he n w ir das G e wi chr to ,

eines Ko n t r o l l p u n k t es Di, so wir d d ie Ku r ve z u d i ese m Kon rro ll p un kt h i n g ezo gen;

ve rmi n de rn wir d a s G e w ichr , d a n n b e w egt sich d i e K ur v e vo n d iesem Ko n tro ll p u n kt

weg .

Di es es Ver ha lt e n ist in t ui tiv, u n d d ah er sin d d i e G ew i c h t e e i n si n nvo ller

D esignp a r a m et er. Au s d er g e o m et r i sch en H e r l e i t u n g folgt s o f o r t, d ass di e

Ve r a n d e r u n g de s Ge w i c h t s e i n es ei nz ige n K o n r r o l l p u n k t es bl o B lokalen E influ ss

a u f die Kur v e n f o r m h at ( Ver and e rn e i nes C e w ic h t es b ed e u t et ja V e r l a g e r n ei n es

K o n t r o l l p u n k t es d e r zug e h 6 r i g en r a u m l i ch en B - S p l i n e-Kur ve) . U n d w i r wi ssen

b e r eit s , d a ss Verlagern eine s K o n t r o l l p u n k r es eine r B - S p l i n e -Kur ve n u r l ok al en

Ei n fluss a u f die Kur v e n f o rm h at .

Abb . 8 . 2 6Gewichte als F o r m p a r a m e t e r .

i d e n t ische Gewichte

2 6 8

0 4

e m o b t e s G e w i c h t in 0 1 v e r m i n d e r t e s G e w i c h t in 0 1

B e r n e r k u n g . W i r e r l a u b e n au s s c h l i e f l i c h n i c h t - n e g a t i v e G e w i c h r e , urn F e r n p u n k t e in

der N U R B S - K u r v e zu v e r m e i d e n . Die E r k l a r u n g dafiir ist die folgende: Bei negativen

G e w i c h t e n w i i r d e n K o n t r o l l p u n k t e der r a u m l i c h e n B - S p l i n e - K u r v e u n t e r h a l b der

xy-Ebene (z = 0) liegen , u n d die r a u m l i c h e B - S p l i n e - K u r v e wiirde die xy-Ebene

s c h n e i d e n . Die Z e n t r a l r i s se von K u r v e n p u n k t e n der x y - E b e n e ( m i t dem U r s p r u n g als

P r o j e k t i o n s z e n t r u m u n d der Ebene z = 1 als B i l d e b e n e ) waren d a n n F e r n p u n k t e .

B - S p l i n e - K u r v e n s i n d s p e z i e l l e N U R B S - K u r v e n . Eine B - S p l i n e - K u r v e ist eine

spezielle N U R B S - K u r v e , fur die aIle G e w i c h t e den gleichen W e r t h a b e n . 1m e b e n e n

Fall geben wir die folgende g e o m e t r i s c h e I n t e r p r e t a t i o n : Gleiche G e w i c h t e b e d e u t e n ,

dass die K o n t r o l l p u n k t e der assoziierten r a u m l i c h e n B - S p l i n e - K u r v e k * aIle dieselbe

z - K o o r d i n a t e haben. D a h e r liegen sie in einer w a a g r e c h t e n Ebene in H o h e z = w

(Abb. 8.27). In diesem Fall ist j e d o c h die Z e n t r a l p r o j e k t i o n der r a u m l i c h e n B-Spline­

Kurve k * in die Ebene z = 1 blof eine Ahnl ichkeit (eine spezielle affine A b b i l d u n g )

zwischen k * u n d k.

W i r wissen bereits, dass B - S p l i n e - K u r v e n die E igenschaft der aiJinen Invarianz

h a b e n (da B-Splin e-Kurven aus B e z i e r - K u r v e n z u s a m m e n g e s e t z t s i n d ) , u n d d a h e r

ist die Kurve k wieder eine B - S p l i n e - K u r v e . D a m i t e r h a l t e n wir eine e c h t e N U R B S ­

Kurve n u r d a n n , wenn sich der W e r t von z u m i n d e s t einem G e w i c h t von den u b r i g e n

u n t e r s c h e i d e r .

x

.... ::::: ::: ..... .,' :::::::< .

<,~; ' •• ~ .

A b b . 8 . 2 7B - S p l i n e - K u r v e n als spezielle NURBS ­Kurven m i t identischen Gewichten.

269

D e s i g n p a r a m e t e r . Aus unserer H e r l e i t u n g w i r d bereits klar, dass jede Bezier-Kurve

u n d jede B - S p l i n e - K u r v e eine spezieIle N U R B S - K u r v e ist. Die folgende TabeIle fasst

die D e s i g n p a r a m e t e r fiir B e z i e r - K u r v e n , B - S p l i n e - K u r v e n u n d N U R B S - K u r v e n

z u s a m m e n .

K o n t r o l l p u n k t e G r a d G e w i c h t e

Bezier-Kurve . /B-Spline- Kurve . / . /

N U R B S - Kurve . / . / . /

Die TabeIle solI wie folgt gelesen werden: Das S y m b o l . / b e d e u t e r , dass dieser

D e s i g n p a r a m e t e r vom B e n u t z e r v e r w e n d e t w e r d e n k a n n . Eine Bezier-Kurve k a n n

n u r iiber die K o n t r o l l p u n k t e g e s t e u e r t werden, der G r a d folgt bereits aus der A n z a h l

der K o n t r o I l p u n k t e , u n d aIle G e w i c h t e sind gleich 1. Fiir eine B - S p l i n e - K u r v e k a n n

der B e n u t z e r die P o s i t i o n der K o n r r o l l p u n k t e u n d den G r a d wahlen, aber wieder

sind aIle G e w i c h t e gleich 1. N u r fiir eine echre N U R B S - K u r v e k a n n der B e n u t z e r

aIle drei D e s i g n p a r a m e t e r e i n s e t z e n . N U R B S - K u r v e n i i b e r n e h m e n die n i i t z l i c h e n

E i g e n s c h a f t e n von B - S p l i n e - K u r v e n (wie lokale K o n t r o l l e u n d die Konvexe-Hiille­

Eigenschaft) .

K e g e l s c h n i t t e als s p e z i e l l e N U R B S - K u r v e n . Fiir die D a r s t e l l u n g von K e g e l s c h n i t t e n

als spezielle N U R B S - K u r v e n (Abb. 8.28), v e r w e n d e n wir drei K o n t r o I l p u n k t e Do, D I

u n d D 2 z u s a m m e n mit g e e i g n e t e n G e w i c h t e n w o , WI u n d W2' W i r e r h a l t e n Parabel-,

H y p e r b e l - , Ellipsen- u n d K r e i s b o g e n zu den G e w i c h t e n aus der f o l g e n d e n TabeIle.

Wo WI W2

P a r a b e l b o g e n 1 1 1

H y p e r b e l b o g e n 1 > 1 1

E I l i p s e n b o g e n 1 < 1 1

K r e i s b o g e n 1 sin( cp/2) 1

D a m i t h a b e n wir unser Ziel e r r e i c h t , mit einer e i n z i g e n K u r v e n a r t sowohl

k o r n p l i z i e r t e F r e i f o r m k u r v e n als auch e i n f a c h e t r a d i t i o n e l l e Kurven darsteIlen zu

k o n n e n . Es i i b e r r a s c h t d a h e r n i c h t , dass N U R B S - K u r v e n rasch der 1 n d u s t r i e s t a n d a r d

fur die K u r v e n d a r s t e I l u n g in C A D - o d e r D e s i g n - S o f t w a r e w u r d e n .

A b b . 8 . 2 8K e g e l s c h n i t t e als spezielle NURBS­Kurven.

P a r a b e l b o g e n H y p e r b e l b o g e n E l l i p s e n b o g e n K r e i s b o g e n

0 ,

270

0 ,

UnterteilungskurvenU n t e r t e i l u n g s k u r v e n werden d u r c h w i e d e r h o l r e s Verfeinern eines K o n t r o l l p o l y g o n s

erzeugt, sodass s c h l u s s e n d l i c h eine g l a t t e Kurve e n t s t e h r . Bereits beim A l g o r i t h m u s

von de C a s t e l j a u fur die E r z e u g u n g e i n e r Bezier-Kurve sind wir zum ersten Mal a u f

das U n t e r t e i l u n g s p r i n z i p gestoGen. W i r e r i n n e r n uns, dass wir d u r c h w i e d e r h o l t e s

U n t e r t e i l e n des K o n t r o l l p o l y g o n s einer Bezier-Kurve eine Folge von Polygonen

e r h a l t e n , die sich der Kurve rasch i m m e r besser anpassen . Dies k a n n auch als ein

. E c k e n a b s c h n e i d e n " - P r o z e s s a n g e s e h e n werden, da wir in j e d e m S c h r i t t die Ecken des

a k t u e l l e n Polygons a b s c h n e i d e n .

Was i s t e i n e U n t e r t e i l u n g s k u r v e ? Eine U n t e r t e i l u n g s k u r v e ist ein Polygon, das

d u r c h zwei A n g a b e n d e f i n i e r t wird: die K o n t r o l l p u n k t e u n d die U n t e r t e i l u n g s t i e f e .

Urn also eine U n t e r t e i l u n g s k u r v e genau zu spezifizieren, s p r e c h e n wir von

einer . U n t e r t e i l u n g s k u r v e der Tiefe k, gegeben d u r c h ihr K o n t r o l l p o l y g o n " .

In diesem A b s c h n i t t u n t e r s u c h e n wir a p p r o x i m i e r e n d e u n d i n t e r p o l i e r e n d e

U n t e r t e i l u n g s a l g o r i t h m e n ( U n t c r t e i l u n g s f l a c h e n werden in Kapirel I I b e s p r o c h e n ) .

W i r b e g i n n e n m i t dem A l g o r i t h m u s vo n C h a i k i n fur di e Erz eu gung vo n

qu adr at ischen B-Splin e-Kurv en . D er Alg o r i t h m u s vo n Lan e -R ie se nfeld ist e i ne

Vera ll gem e i ne ru n g de s A l g o r i t h m u s von C h aikin und e r z e u g t n ach un e n d l i c h

vielen U n t erte ilung sschr i t t en e i ne gl e i c h f o r m i ge B-Splin e-Kur ve vo m G ra d n . Zum

A bsc h l uss d i s k u t i e r en w ir da n n n och d a s Vie r -P u n kte - Sche ma (das i n te r p o l i e r e n de

U n te r re il u ngs k u rv en er zeu gt ).

Geschichte:

Ecken a b s c h n e i d e n . Die Idee, Ecken ein e s Polygon s abzu­

schne id en, urn glatte Kurven zu e rz e u ge n, ist bere it s vie]

al t e r a ls der Alg o r i t h m u s vo n d e C a stelj au und g e h t au f

G. de Rh am zu r iick. E r h at 194 7 d en e rs te n . D r itceln'l - U n t er­

t e i l u n g s a l g o r i t h m u s f u r Kur ven be sch rieb en, der E cken bei

1 / 3 und 2 / 3 ab schn eidet. Sp ar er b eschri eb e r ei ne n U n t e r­

t eilung salgor i t h m u s, d e r di e E cken b e i 1 / 4 u n d 3 / 4 a b ­

sch ne ide t (Abb, 8 .2 9). G . d e Rh am h at sei ne Erg eb ni sse

vo r der E n t w i c k l u n g d er C o m p u t e r g r afik g e f u n d e n . Al s

G . C h a i k in 197 4 den selben U n t e r t e i l u n g salgor i t h m u s ­

Ecken ab schn eid en b ei Y! und % - fur da s ra sch e Z eichn en

vo n gla r re n Kur ven au f C o m p u t erbild s c h i r m e n e b e n f alls

e n rw ic kel t e ( o h ne d e Rh am s E rge b niss e zu kenn en ) , h at

d e r Alg o r i t h m u s rasche Verbre it u n g gefu nd en und w ur de

n a ch C h aikin b en a n n t .

A b b . 8 .29Ecken abschneiden m it dem A l g o r i t h m u svon de Rham und Chaik in .

--

272

A b b . 8 . 3 0Chaikins U n t e r t e i l u n g s a l g o r i t h m u s furoffene und geschlosseneK o n t r o l l p o l y g o n e .

A l g o r i t h m u s von C h a i k i n . G e g e b e n sei ein K o n t r o l l p o l ygon wie in A b b i l d u n g 8.29

u n d 8.30 darge s t d l t . In jedem U n r e r t e i l u n g s s c h r i r t sch n e id en wir Ecken de s Polygons

ab. Zu dies em Z weck u n t e r t e i l e n wir d ie K a n t e n de s a k t u e l l e n Pol ygons nach lJI und %

ihrer Lange m i t H i l f e linear er I n t e r p o l a t i o n zu den Param e t e r w e r t e n t = lJI u n d t = %.

D iese n e u e n P u n k t e we rd en d a n n v e r b u n d e n , urn ein neue s Polygon zu e r h a l t en , das

die Z i d k u r ve bereits be sser a n n ah er t . Fur ein o.ffen es K o n t r o l l p o l y g o n mii ssen wir d en

A l g o r i t h m u s vo n C h a i k i n a u f der ersten u n d l e t z t en K ante d es Pol ygons m o d i f i z i e r e n ,

A n s t a t t die se beid en K a n t e n zwe i m al zu u n t e r t e ilen , tun wir da s n u r einmal in den

jeweiligen K a n r e n m i t t e l p u n k r e n .

W i r w i e d e r h o l e n die sen Vorgang u n d erzeugen d a m i t eine Folge von P o l y g o n e n , die

nach u n e n d l i c h vielen U n t e r t e i l u n g s s c h r i t t e n eine g l e i c h f o r m i g e B - S p l i n e - K u r v e mit

dem A u s g a n g s p o l y g o n als K o n t r o l l p o l y g o n ergibt, D e r A l g o r i t h m u s von C h a i k i n

e r z e u g t eine U n r e r t e i l u n g s k u r v e , die das gegebene Polygon a p p r o x i m i e r t , D a h e r

s p r e c h e n wir auch von einem a p p r o x i m i e r e n d e n U n t e r t e i l u n g s s c h e m a .

273

A l g o r i t h m u s vo n L a n e - R i e s e n f e l d . D er Algori t h m us vo n C h a i k i n kann ni cht

nur a ls P ro zess d es Eck en -Absch ne iden s in ter pr et ier t we rde n , so n d ern auch a ls ein

P ro z ess d es . T eilen s und Mi t rel ns " (A b b. 8.3 1). In j ed em U n ter te il u ngssch ri n w er de n

zue rs t di e Kante n in ih re n M i t te l pun k te n getei lt und d ie se P u n k t e zu einem neue n

Po lyg on ver b u n d en. Im M i t t e l n -Schri tt wer den d ann d ie M i t tel pu nkte d es n eu en

Pol yg o n s berec h n e r, u nd d iese b ild e n die Ecken de s Po lyg o n s fur d e n n ach s t e n

V n te rte il u ngsschri tt.

Im J ahr 19 80 h aben L an e un d Ri e sen feld erka n n r, d a ss d ie Ve ra llgeme i ne ru ng d iese s

Vorga n gs von "Te ilen u n d l -rnal M i t te ln" zu "Te ilen u n d 2- ma l M it te l n" ein e U n t er­

t e i l u n g skur ve e r ze u g t, di e n a ch un e n d l i ch en v iel e n Sch r i t t en e i n e gl ei ch form ige

kubi sch e B - Splin e -Kur ve erg ib t ( A b b . 8.3 2). 1m Allgem ein en g ilt , d a ss die U n t er ­

t e i l u n g sstr ategie . T eilen u n d n -m al Mi t te l n" na ch un e n d l i ch en v iele n Sch r i t t en eine

gl e ich form ig e B - S p l i n e - K u r ve vo m Gr ad n + 1 ergib t (e i n niitzli che s E r g e b n i s) .

S c h r i t t 1 S c h r i t t 2

Teilen l - m a l M i t t e l n Teilen l - m a l M i t t e l n

S c h r i t t 1

S c h r i t t 2

A b b . 8 . 3 1Chaik ins U n t e r t e i l u n g s a l g o r i t h m u s als.Tellen und 1 - m a l Mitteln ".

A b b . 8 . 3 2Lane-RiesenfeldsUnterte ilungsa l g o r i t h m u s als "Teil e nu nd 2-mal Mitte l n " erzeugt nachunend l iche n v ie lenU n t e r t e i l u n g s s c h r itte n e i neg le ichfOrm ige k ub ische B-Spl ine-Kurve .

Teilen

274

Erstes M i t t e l n Z w e i t e s M i t t e l n

D a s Vi e r - P u n k te - S c h e m a . Gege be n ist ei ne M enge von P u n k t en , z u den en wi r

w ie d e r ei ne Fo ige vo n P ol yg on en erze uge n, d ie nach un end li ch v ielen U nt e rte il u ngs ­

schri tte n e in glatte Kur v e e rge be n . W i r ford ern d iesm al , das s d ie Kurve d ie gegebene n

P u n k t e int e rpo li ert . D u buc ( 1986) h at a ls E rsre r ge zeig t, das s d ie Berechn un g ei ne s

n e u e n K u r ven pu nkt es P t ' u au s vier alte n Kur v e n p u n k t en Pi. 1> P i, P i + l u n d P i + 2 sch l us ­

sen d lich zu einer glatte n, i n t e r poliere n den U n t e r t e i l u ng skur ve fii hr t (A b b . 8.33 ) .

Form al w i rd d er neue P un kt wie fo l g t b er echn et (Pi ist d ab ei d er O rt svekt or d es

P u n k t es P ;) :

p t ' U = -1 /16 Pi. l + 9/16 Pi + 9/16 pi+l - 1/1 6 Pi +2 '

W i r b em erk en , d a ss sich di e K o effiz ie n t e n au f 1 su m mie ren , (- 1 + 9 + 9 - 1) / 16 = 1,

ei ne w i c h t i g e E igen scha ft fiir ei n U n t ert e ilung ssch em a , urn geo m e t ri sch sin nvo ll zu

sein . N a t i i r l i c h h at D ubu c d ie K o effizi e n t e n ni cht ei nfa ch b eliebig a n g e n o m m e n ,

so n de rn sie m it H ilfe d er ei n de ut igen kubi sch en inte r po l iere n de n Kur ve dur ch v ier

P u n k t e m ath em ati sch h er geleit et . E in J a h r spa te r h ab en D yn e t al. ( 1987) d a s V ier­

P u n k t e-Schern a wi e fol gt v er all g em e in ert :

pt '" = - W·Pi. l + ( 1/ 2 + w) . Pi + (1/ 2 + w). Pi+l - W' p i+2'

Fiir W = 1/1 6 erha l te n wi r da s ur spriingli ch e Vier- P u n k t e-Sch em a. W i r b em erken n o ch ,

d ass n icht aile We rte vo n W sch l ussen dl ich eine glat te Kur ve erze uge n (A b b. 8 .34 ).

Abb . 8 .33Das V i e r - P u n k t e -Schema von Dubuc .

p ,neu

o

o

o

o

,~W~1/3~(

~

" W~ ln)

A b b . 8 . 3 4Das ve ra l l g e m e i n e r t e Vler -Punkte ­Schema von Dyn et al. Zu beachteni st , dass nlcht jedes Gewicht wschlussendlich eine g l a t t e Kurveerze ugt .

27 5

,t ,

I 1 ,, 1 ,

, 1 ,

, 1 ,

, 1 ,I 1 ,

I 1 ,, 1 ,

" 1 ,

' - - _ I ' _---~

Kapite19

TraditionelleFlachen klassen

T r a d i t i o n e l l eF l a c h e n k l a s s e n

W ir befa ssen un s in di e sem K a p i t e l m i t j e n e n T yp e n vo n Fl a c h e n , die vor aHem a u f

G r u n d e i n e r " k i n e m a t i sch en " E r z e u g u n g e i n e r k o n s r r u k t i v e n B e h a n d l u n g rel at iv l e i c h t

zug a n g l i c h si n d . S ie w erd en von e i n e r P r o f i l k u r v e i i b e r s t r i c h en, di e e i n e r r a u m l i c h en

B e w e g u n g u n t e r w o r f e n ist, Z u m Beisp iel e r h a l t en wir Ex t r usi o ns flac h e n ( a llg e me ine

Z yl i n d e r t l a c h e n : s ieh e K a p i t el l ) , we n n eine Kur ve lan g s e i n e r G e r a d e n ver s c h o b e n

wi r d . D r ehll ach en wie d e r u m e n t s t e h e n d u r c h D r e h u n g e ine r Pr ofi l k u r v e ( z. B . e ine r

B-Spl in e - K u r ve; sie he K a p i t e l 8 ) urn e ine Ac hs e u n d S ch r aubfl a c h e n d u r c h An wen ­

d u n g e i n er S c h r a u b u n g a u f e i ne Kur ve (s iehe A b b . 9 .1 ) .

A b b . 9 .1Durch Schiebung einer Kurve c l a n g seiner Geraden e n t s t e h t eine Z y l i n d e r ­flache ( l i n k s oben), wahrend durchSchiebung derselben Kurve langs ei n e randeren Kurve d eine s c h t e b t l e c h ee n t s t e h t ( r e c h t s oben) . Eine D r e h f l a c h ewird durch Drehung von c u m eineAchse a e r z e u g t ( links u nt en ) , wah rendeine Reqelflache durch Bewegung e ine rGeraden lanqs der Kurve c e n t s t e h t( r e c h t s u n t e n ) .

E x t r u s i o n s f l a c h e S c b i e b t l e c h e

R e q e l t l s c b e

d

279

~I

I

S c h i e b f l a c h e n e n t s t e h e n d a d u r c h , dass eine Kurve in g e e i g n e t e r Wei se langs e i n e r

a n d e r e n Kurve b e w e g t w i r d , wah rend Regelflachen d u r c h B e w e g u n g e i n e r G e r a d e n

e r z e u g t w e r d e n . D a R e g e l t l a c h e n eine Familie von G e r a d e n t r a g e n , w e r d e n sie gerne

bei S t a h l b e t o n k o n s t r u k t i o n e n o d e r im H o l z b a u v e r w e n d e t . W i r s t u d i e r e n dabei auch

b e m e r k e n s w e r t e S o n d e r f a l l e wie R e g e l f l a c h e n , die zwei S c h a r e n vo n G e r a d e n t r a g e n

u n d Vorteile bei S c h a l e n k o n s t r u k r i o n e n aufwei sen, o d e r a b w i c k e l b a r e Flachen, die

etwa dem Werk von F r a n k O. G e h r y zu G r u n d e liegen u n d d a m i t auch eine

V e r b i n d u n g zur F r e i f o r m a r c h i t e k r u r her stellen.

I· aI

~!---I ,I

I ,I

280

Abb . 9 . 2D r e h f l a c h e n werden durch Drehunge i n e r Kurve c um eine Achse a erzeug t .

II

/

D r e h f l a c h e n

,\\

~- - - - - - - -

Abb . 9 .3D r e h f l a c h e n t r e t e n in der A r c h i t e k t u rhaufiq auf.(a) Die Kirche der V e r k l a r u n q desHeilands ( 1 7 1 4 ) in Kischi, Russland.

Drehflachen (Rotationsflachen) e n t s t e h e n d u r c h D r e h u n g einer ( e b e n e n o d e r

r a u m l i c h e n ) Kurve cum eine Achse a (Abb . 9.2) . J e d e r P u n k t P der e r z e u g e n d e n

Kurve c b e s c h r e i b t einen Kreis c p ' dessen T r a g e r e b e n e n o r m a l zur Achse a liegt.

S o m i t t r a g t jede D r e h l l a c h e eine Schar koaxialer Kreise in p a r a l l e l e n E b e n e n , welche

Parallelkreise g e n a n n t w e r d e n .

D u r c h d ie Achse a g e h e n d e E b e n e n Il s c h n e i d e n die D r e h f l a c h e in k o n g r u e n t e n

e b e n e n Kurven m, den so g e n a n n t e n Meridiankurven. Die T r a g e r e b e n e n o, der

Parallelkreise c p u n d die M e r i d i a n e b e n e n Il der M e r i d i a n k u r v e n m sind o r t h o g o n a l .

Ebenso s c h n e i d e n e i n a n d e r M e r i d i a n k r e i s e u n d Parallelkreise u n t e r rechtern W i n k e l .

Sie b i l d e n ein o r t h o g o n a l e s K u r v e n n e t z a u f der Hache .

Das E r z e u g u n g s p r i n z i p von D r e h f l a c h e n ist seh r einfach . D a h e r v e r w u n d e r t es n i c h t ,

dass diese se i t j a h r t a u s enden in Kun s t h a n d w e r k , Design u n d A r c h i t e k r u r a u i t r e t e n

( A b b . 9 . 3 ) .

(a)

//

.•

(b)

(c)

282

A b b . 9 . 3(b) Der Royal Pavilion ( 1 8 1 5 - 1 8 2 3 ) inBr ighton, UK, von John Nash.(c) 30 St Mary Axe ( 1 9 9 7 - 2 0 0 4 ) inLondon von Foster + Partners.(d) Der Torre Agbar ( 2 0 0 0 - 2 0 0 5 ) inBarcelona von Jean Nouvel.

(d)

A b b . 9 . 4Die H a c h e n n o r m e l e n einer Drehflachet r e f f e n die Drehachse .

Di e Ta nge mia le be ne ' t p in ei ne m P u n k t P ei ner D r e h l l a c h e wi rd vo n d er T an g e m e t ,

d es Parall elkr e ises c p u n d d e r T an g e m e t m d er Me ri d ia n k urve m a ufges p a n m. In je de m

P u n k t P ste h t di e Flach e n n o r r n ale n p o r t h o g on al zur Kr eist an g e m e t .. D a h er l i egt n p in

d e r M er idi a n eb ene fl u n d sc h nei de r d ie A ch se a ( A b b . 9 .4 ) o de r is t zu di eser p ar all el.

D er S c h n i t t p u n k t Sp von Fla c h e n n o r m a l e u n d D r e h ach s e a ist d er M i t t e l p u n k t ei ne r

Kugel d u r c h d en Fl a c h e n p u n k t P. Di ese Kugel b e r i i h r t die D r e h f l a c h e l ang s d es

g es amt en P a r allelkr eis es C po

Meri dian kurve n drii cken di e en dgii l rige Form eine r D rehfl ach e b esser a us als allgemei ne

e r zeugen de Kur ven. D a h e r e m pfe h len w ir d ie Verw e n d u n g vo n Me ridian k urve n zur

Mo dellieru n g v o n D r ehfl ach en. D i e M e rid ia n kurv e n sin d sym me trisc h be ziiglich d er

D r eh ach se. J ed e r d er b eid en symm et risch en Teile, e in so gen a n m e r Halbm erid ian, o der

d er g esamt e M er idi an k o n n e n zu r Erze u gu n g d er selben Flache ver we n de t we rde n. Bei

V e r w e n d u n g ein es H a l b m e r i d ians r o t i e r e n wir urn den vollen W i n k e l von 360 Gr ad ,

wa hr e n d be i R ot ati on de s gesa mten Meridi an s ei n W inkel vo n 180 G r ad ausreic h t .

W e n n di e Meri dian k urv e n di e Ach se in e i ne m vo n 90 G r ad versc hie de ne n W in k el

sc h n e id en , so en t ste h t a n di es er S te lle ei n si ng u la re r P u n k t der D r ehfi ach e (A b b. 9.5 ).

Solc he si ng ula re n P u n k t e k o n n en i m Ve rIaufe d er Mo d eIIie ru n g d iverse Probl e m e

b e reit en , so d ass ma nc he C A D - S yst em e h ier a n ihre G ren z en s t o f e n .

!a

A b b . 9 . 5Stelle n , i n denen Merid i a n k u r v e n dieDrehac hse in einem von 90 Gradverschiedenen Winkel schne iden, sindsinqulare Punkte der erzeugten Dreh­flache.

a

s i n q u l s r e rP u n k t

283

M a t h e m a t i s c h e B e s c h r e i b u n g . Eine P a r a m e t e r d a r s t e l l u n g e i n e r D r e h f I a c h e e r g i b t

sich d u r c h A n w e n d u n g e i n e r k o n t i n u i e r l i c h e n D r e h u n g urn eine Achse a u f die

e r z e u g e n d e Kurve c. N a c h K a p i t e l 6 w i r d eine D r e h u n g urn die z-Achse b e s c h r i e b e n

d u r c h

Xl = x . c o s u - y . s i n u ,

yl = x · s i n u +y·cosu,

Z l =z.

S e t z e n wir h i e r i n fiir x.y u n d z die P a r a m e t e r d a r s t e l l u n g c(v) = (x(v),y(v), z(v)) der

e r z e u g e n d e n K u r v e ein, so e r h a l t e n w ir

x(u,v) =x(v).cos u - y(v).sin u,

y(u ,v) = x(v).sin u + y(v) -cos u,

z(u,v) = z(v).

D u r c h l a u l i d e r D r e h w i n k e l u aIle W e r t e im I n t e r v a l l 0 5 u 5 2Jt (bei V e r w e n d u n g des

Bogenmafses), so f i i h r t die e r z e u g e n d e K u r v e eine volle U m d r e h u n g aus . Bei

B e n u t z u n g e i n e r in der x z - E b e n e g e l e g e n e n M e r i d i a n k u r v e m(v) = (x(v), 0, z(v)) als

e r z e u g e n d e K u r v e v e r e i n f a c h t sich die P a r a m e t e r d a r s t e l l u n g zu

x(u,v) = x(v) . cos u,

y(u,v) = x(v). sin u,

z(u,v) = z(v).

W i r n e n n e n dies die S t a n d a r d d a r s t e l l u n g e i n e r D r e h l l a c h e .

D i s k r e t e D r e h f l a c h e n , G l a t t e D r e h t l a c h e n w e r d e n im i n d u s t r i e l l e n D e s i g n h a u h g

v e r w e n d e t . H i n g e g e n k o n n e n sie fiir die B a u a u s f i i h r u n g eines a r c h i t e k t o n i s c h e n

E n t w u r f s u n g e e i g n e t sein. Fiir die e i g e n t l i c h e P r o d u k t i o n b e n 6 t i g e n wir oft d i s k r e t e

M a d e l l e , welche die m i t C A D - S o f t w a r e e n r w o r f e n e n g l a t t e n F l a c h e n h i n r e i c h e n d

g u t a n n a h e r n , D a b e i e r s e t z e n wir g l a t t e F l a c h e n (Abb. 9.6a) d u r c h P a n e e l e aus ein­

f a c h e r e n , oft e b e n en u n d d a h e r l e i c h t e r u n d b i l l i g e r h e r s t e l l b a r e n Flachen,

(a)

284

(b) (c)

A b b . 9 . 6Ersetzen wir den Meridian durch einPolygon, so e r h a l t e n wir eine ausKegel- und Z y l i n d e r s t r e i f e n g e b i l d e t eFlache. Wenn wir auch die Drehungselbst d i s k r e t i s i e r e n , e r h a l t e n wir einep o l y e d r i s c h e Flache ( d i s k r e t e Dreh­flache),

Z u r H e r s t e l l u n g e i n e r d i s k r e t e n D r e h f l a c h e s t a r t e n wir m i t e i n e m P o l y g o n d, das die

e r z e u g e n d e Kurve c a u s r e i c h e n d g u t a n n a h e r t , Bei V e r w e n d u n g dieser Polylinie d a i s

e r z e u g e n d e r Kurve e r h a l t e n wir eine D r e h l l a c h e , die aus Teilen von D r e h k e g e l n u n d

D r e h z y l i n d e r n b e s t e h t (Abb. 9.6b). Diese H a c h e mag b e r e i t s e i n e n g e e i g n e t e n

Ersatz fiir die u r s p r i i n g l i c h e H a c h e d a r s t e l l e n , da alle ihre Teile in die E b e n e

a b w i c k e l b a r s i n d (vgl. den A b s c h n i t t iiber a b w i c k e l b a r e F l a c h e n in diesem K a p i t e l ) ,

Z u r E r z e u g u n g e i n e r N a h e r u n g aus e b e n e n Flachen ( P a n e e l e n ) r o t i e r e n wir die

Polyline d in d i s k r e t e r Weise k-mal urn die D r e h a c h s e a m i t e i n e m D r e h w i n k e l

von 360 o /k . D u r c h V e r b i n d u n g e n t s p r e c h e n d e r P u n k t e (z.B.AJ,A 2 u n d S], B 2 ) in

a u f e i n a n d e r f o l g e n d e n Lagen (db d 2 ) der Polylinie e r h a l t e n wir ebene Flachen

(Abb. 9 .6c), da die V e r b i n d u n g s g e r a d e n p a r a l l e l s i n d .

Z u s a m m e n f a s s e n d laufi: der Vorgang der D i s k r e t i s i e r u n g a u f den Ersatz der erzeu­

g e n d e n Kurve d u r c h ein Polygon u n d die A n w e n d u n g e i n e r d i s k r e t e n Version der

D r e h b e w e g u n g h i n a u s . Ein a h n l i c h e r Vorgang k a n n auch bei a n d e r e n d u r c h

B e w e g u n g einer P r o f i l k u r v e e r z e u g t e n Flachen e i n g e s e t z t w e r d e n .

W i r h a b e n d a m i t ein einfaches u n d rnachtiges W e r k z e u g , urn g l a t t e Flachen d u r c h

d i s k r e t e M o d e l l e zu e r s e t z e n . Es sollte j e d o c h b e t o n t w e r d e n , dass sich h i e r b e i n i c h t

i m m e r ebene Flachen im d i s k r e t e n M o d e l l e r g e b e n . ] e m e h r wir das e r z e u g e n d e

Polygon u n d die disk rete B e w e g u n g v e r f e i n e r n , desto besser w i r d das d i s k r e t e M o d e l l

die g l a t t e H a c h e a n n a h e r n (Abb . 9.7).

Spezielle D r e h f l a c h e n . S p e z i e l l e F o r m e n von D r e h l l a c h e n t r e t e n in der A r c h i t e k t u r

h a u f i g auf. K u g e l n , Z y l i n d e r , Kegel u n d Tori s i n d b e k a n n t e V e r t r e t e r dieser F l a c h e n ­

klasse. Sie e n t s r e h e n , w e n n wir als M e r i d i a n e i n e n Kreis o d e r eine G e r a d e w a h l e n . ] e

nach Lage des Kreises o d e r der G e r a d e n zur D r e h a c h s e e r h a l t e n wir die f o l g e n d e n

F l a c h e n ( A b b i l d u n g e n 9.8 u n d 9.9). Ein Z y l i n d e r e n t s t e h r , w e n n die e r z e u g e n d e

G e r a d e p a r a l l e l zur D r e h a c h s e a liegt.

A b b . 9 . 7VergroBerung der Zahl der Ecken desM e r i d i a n p o l y g o n s und der Anzahl sei­ner Lagen fOhrt uns i m m e r naher aneine g l a t t e Flache heran .

A b b . 9 . 8Drehzylinder, Drehkegel und Kugel sinddie e i n f a c h s t e n Orehflachen.

285

• Eine G e r a d e , welche die D r e h ach se a ( ni c h t r e c h t w i n k l i g ) s c h nei de t, e r z e u g t

ein en D r e h k egel. D e r Schn i t t p u n k t w i r d d ie Sp i t ze S d es Keg els.

• D u r c h D r e h u n g e in es Krei ses c urn e in en sei ne r D u r c h m e sser e n ts t e h t ein e

Kugel.

• W i r e r h alt e n einen Torus d u r c h D r e h u n g eine s Krei ses c urn eine b eliebige

G erade a. J e d o c h mu ss die D r e h ach se in der Eb ene des Kreise s lie gen . Je nach

der A n z a h l der S c h n i t t p u n k t e vo n c u n d der D r e h ach se u n t er sch eiden wir

drei T ypen vo n T o r u sflach en ( A b b . 9.9a ).

Beispiele fur d as Auftreten d es Torus in d e r A r c h i t e k r u r werde n in den A b b i l d u n g e n 9 .9b

und 9 .9c gezeigr.

(a)

D o r n t o r u s 5 = r

(b)

Ringtorus 5 > r S p i n d e l t o r u s 5 < r

I

286

A b b . 9 . 9(a) Die drei v e r s c h i e d e n e n Typen desTorus .(b) Die G r u n d f o r m der TGV-Station( 1 9 9 8 - 2 0 0 1 ) in Avignon e n t s t e h t durchVerschneidung zweier Ringtori (Bild :RFR).(c) Ein I n d u s t r i e q e b a u d e in M a r c h e - e n ­Famenne ( e r o f f n e t 1 9 9 5 ) von Samynand Partners, dem ein Tell eines Toruszu Grunde Iiegt, ze i g t das Netz ausMerid iankre isen und Parallelkreisenganz deutl ich.

(c)

Bei spiel: .

Parameterdarst ellung eine s Torus.

Ei n Kr eis c in d e r x z -E be ne m it R adius

r u n d d em M i tt e l p u n k t au f d er x -A chs e

wir d urn d ie z- A ch se ged reh t. Bei dieser

D r e h u ng b esch relbt d ie M i t r e von c ein en

Kreis vom R ad iu s s. D a m it ka n n d er

Kreis c dur ch c(v) = (s + r -cos u, 0, r -sin v)

pa ra me t r isiert wer de n, u n d w ir er ha l te n

ei ne Par am et erd a r stellung d es To rus in

d er Form

x(u,v ) = (s + r -cos v) .cos u,

y( u,v) = (s + r - c o s v) .sin u,z(u,v) = r - s in v.

H i erb ei l a u f en d ie Par am et er u.u im In ­

t e r vall [0,2n] . Die dr ei ve rschie de ne n

Type n d es Toru s h an g en vo n de n rela ­

t iven G raBen der R ad ien r un d s a b

(A b b . 9 .9 a) .

• s > r kennzeic hne t eine n R i ng t orus.

• s = r ke nnz eich net e ine n Dorntorus.

• s < r ( m i t s > 0 ) ge ho r t zum Spindel­

torus, b e i d em e i n inn er er s pi n de l for mi ­

ge r Teil l ang s zw e ie r si n g u larer P u n k t e

an ei ne n a ulSere n " a p f e l f a r m igen" Teil

an sch lieb r .

Bei spiel:

Villarceau-Kreise auf dem Ringtorus.

U n t er d en dr ei To rusa rt e n h at d e r Ring­

t o ru s folgen de b em erk en sw ert e E igen ­

sch a ft : Zu sat zl i ch zu d en Meri dia n ­

kr eisen u nd d en Pa r all elkr e isen t rag t er

zwei wei tere Scharen v on Krei sen . J ed e

D opp elta ng en t ial eben e ( d.h ., E be ne , di e

d en To rus in zwei vers chie de ne n Pu n k­

t en b e r u h r t ) sch nei d e t d en Rin g t o r u s

in zwei Kr eisen. Di ese w er de n zu Eh ren

ihres E n t de cke rs, d em franzosisc he n

M a t herna tiker u n d In g en ie ur Yvon

V illar ceau ( 1 8 13 - 18 8 3) , als Villarceau ­

Kr eise b ezeichne t. Som it gehen durc h je­

de n Pu n kt P ei ne s Ring t o r u s vier Kre ise

( A b b . 9 . 10 ).

A b b . 9 . 1 0Durch jeden Punkt P eines R i n g t o r u sgehen v ier auf dem Torus liegendeKre ise; zwei von ihnen li eg en in einerD o p p e l t a n g e n t i a l e b e n e des Torus undwerde n Vi llarceau-K re ise gena nnt.

287

In allen bislang g e n a n n t e n Fallen war die e r z e u g e n d e G e r a d e o d e r der e r z e u g e n d e

Kreis ein M e r i d i a n der D r e h f l a c h e . W i r s t u d i e r e n n u n D r e h f l a c h e n m i t b e l i e b i g e n

e r z e u g e n d e n Kreisen o d e r G e r a d e n .

W i r b e g i n n e n m i t e i n e m Kreis c, dessen A c h s e b die D r e h a c h s e a in e i n e m

P u n k t M s c h n e i d e t . A u f g r u n d des r e c h t w i n k l i g e n D r e i e c k s m i t E c k e n P, M u n d

N h a t j e d e r P u n k t des Kreises c vom S c h n i t t p u n k t M d e n s e l b e n A b s r a n d

d = d i s t ( P , M ) =..r;r+7l" (Abb. 9.11a). D a h e r i i b e r s t r c i c h t der Kreis c bei der D r e h u n g

urn a einen von zwei Kreisen b e r a n d e t e n Teil einer Kugel.

Bei Verwendung eines Kreises c, dessen Achse zur Drehachse w i n d s c h i e f l i e g t , erhalten

wir D r e h f l a c h e n , die m i n d e s t e n s drei Scharen von Kreisen e n t h a l t e n . Zwei dieser

Scharen sind n a n i r l i c h die Parallelkreise u n d die von c erzeugte D r e h s c h a r k o n g r u e n t e r

Kreise (Abb. 9.11 b). Da eine D r e h f l a c h e beziiglich jeder M e r i d i a n e b e n e symmetrisch

( a )

!b"

A b b . 9 . 1 1U n t e r V e r w e n d u n g e ines Kreises i na l l g e m e i n e r Lage als er z e u g e n d e Kurvee r h a l t e n w i r(a) e in S t u c k e i n e r Kug el , sofern dieKreisachse b die Drehachse a s c h n e i d e to d e r(b) e ine a l l g e m e ine D r e h f l a c h e , falls aund b windsch i e f sind. Auf diesenD r e h f l a c h e n liegen m i n d e s t e n s dreiScharen von Kre isen .

l a "

e "

PI

II

II

I

d "II

I

r/ o M• I

/ 0

I

! a~-----!----~

I

I

( b )

288

A b b . 9 . 1 2Eine Drehflache, die fUnf Kreisscharene n t h a l t ,

A b b . 9 . 1 3Ein einschaliges D r e h h y p e r b o l o i d ent­halt zwei Scharen von Geraden. DieM e r i d i a n k u r v e n sind Hyperbeln.

ist, k o n n e n wir c an e i n e r b e l i e b i g e n M e r i d i a n e b e n e E spiegeln u n d e r h a l t e n einen a u f

d e r s e l b e n D r e h f l a c h e liegenden Kreis d. D u r c h R o t a t i o n von d e n t s t e h t n u n die d r i t t e

Kreisschar.

Viele der so e r z e u g t e n D r e h f l a c h e n tragen sogar zwei weitere S c h a r e n von Kreisen ,

die A n a l o g a zu den V i l l a r c e a u - K r e i s e n des R i n g t o r u s d a r s t e l l en. Sie liegen ebenfalls in

D o p p e l t a n g e n t i a l e b e n e n (Abb. 9.12).

E ine zur D r e h a c h s e a windschiefe ( u n d n i c h t o r t h o g o n a l e ) G e r a d e g e r z e u g t bei

D r e h u n g urn a ein so g e n a n n t e s e inschaliges Drehhyperboloid (Abb . 9 .13). Spiegeln wir

die e r z e u g e n d e G e r a d e g an einer M e r i d i a n e b e n e , so e r h a l r e n wir eine ebenfalls a u f

dem H y p e r b o l o i d liegende G e r a d e h. Daraus e r k e n n e n wir , dass ein einschaliges

D r e h h y p e r b o l o id sogar zwei S c h a r e n von G e r a d e n rragt ,

289

D as ei ns cha l ige H yp erb ol oid ist ei n So n der fal l d er R egelti a ch en , die am E n de di eses

K apit els b eh a n d e l t w er d en . O h n e Bew e is b em erk en wi r, d a ss ein ei nsc ha l iges D r eh ­

h yp erb ol oid au ch dur ch D r e h u n g ei ne r H yp erb el urn ih re N eb en ach se erze ug t wer de n

ka n n. Teile einscha li g e r H yp erb oloid e tr et en an vers chie de ne n Ste l le n in A rch i te k t ur

und D esig n a u f (A b b . 9.14 ).

(a)

(c)

290

(b)

(d)

A b b . 9 . 1 4Einschalige D r e h h y p e r b o l o i d e in Archi ­t e k t u r und Design.(a) Der erste als Hyperboloid ausgebil­dete Wasserturm der Welt wurde 1896i n Nischni Nowgorod , Russland, vonWladim ir s c h u c h o w gebaut .(b) Der Aspire Tower ( 2 0 0 5 - 2 0 0 7 ) i nDoha, Qatar, von Hadi s lrnaan ist e in318 Meter hohes Gebaude (Bild m itfreund l icher Genehm igung von Cra igund Steph Tanner).(c) Eine Kathedrale (er 6 f f n e t 19 7 0 ) i nBrasil ia von Oscar Niemeye r.(d ) Der H a f e n t u r m in Kobe, Japan.(c) Eine s t ru k t u r in de r Mediathe k( 1 9 9 8 - 2 0 0 1 ) in Sendai , Japan, vonToyo I t o.

(e)

D r e h q u a d r i k e n . Das einschalige D r e h h y p e r b o l o i d g e h o r t zu j ener Klasse von

Drehfl achen , di e durch D r e h u n g eine s Kegelschnitt s urn eine se in e r Ach sen e n t s t e h e n

und als Drehquad r iken b e z e i c h n e t werden (Abb . 9.15) .

G e s c h i c h t e :

Die interessante Tatsache, dass durch Drehung einer Hyperbel

oder einer zur Drehachse wind schiefen Geraden dieselbe

R i c h e e r z e u g t w erden k ann , war schon dem e n g l i s c h e n

A r c h i t e k t e n u n d M a t h e m a t i k e r C h r i s t o p h e r W r e n

( 16 3 2 - 172 3 ) b e k a n n t . W r e n ist vor aHem d u r c h den Bau

der St. Paul' s C a t h e d r a l in L o n d o n b e r i i h m t g e w o r d e n .

A b b . 9 . 1 5Durch Drehung von Kegelschnitten umihre Achsen entstehen D r e h q u a d r i k e n .Zusatzlich zum einschal igen Dreh­hyperboloid erhalten wir zweischaligeD r e h h y p e r b o l o i d e , eifOrmige Dreh­ellipsoide, a b g e p l a t t e t e Drehellipsoideund Drehparaboloide .

einschaliges D r e h h y p e r b o l o i d

z w e i s c h a l i g e s D r e h h y p e r b o l o i d

e i t i u m i q e s D r e h e l l i p s o i d

a b g e p l a t t e t e s D r e h e l l i p s o i dI

D r e h p a r a b o l o i dI

~---I---­o

I

291

Zu satzl ich zum e i n s c h a l i g en D r e h h yp e r b o l o i d e r h a l t e n w i r d as z weischalige Dr eh ­

hype rboloid d u r c h D r e h u n g e i ne r H yperbel urn ihre H a u p t ach se. E s ist aber zu

b each t en, da ss nur d as ein sch alige D r ehh ype r b o l o i d G e r a d e n tr a gt , E n t sp r e c h e n d

der Tat sa che, da ss eine Elli pse zwei Ach sen h at , ergeben si ch auc h zwe i Var ia n t en

v o n D r e h e l l i p soiden: da s a bge plattete Dr eh ellip so id (e r zeu g t d u r c h D r e h u n g ei n e r

Ellip se urn di e N e b e n a ch se) u n d d as eift rmige Dr eb e llip soid. L erzt er es en ts te h t dur ch

D r e h u n g e i n e r Ell ip se urn ih r e H a u p t a ch se.

E i n Dr ehp araboloid erg ibt sich dur ch R o t a t i o n ein er Par abel urn ihr e Ach se.

D r e h q u a d r i k e n sin d w i c h t i g e G r u n d f o r m e n in diver sen E n t w u r f sp ro zessen . W i r

woll en auch n o c h ihre Gl e i c h u n g e n ( i m p l izir e D a r s t e l l u n g en ) in ge eign et an gep asst en

k a r t e sischen K o o r d i n a t e n sy s t e m e n ang eb en.

• A b g e p l a t t e t e s D r e h ellip so id:

x 2 / a 2 + l la 2 + z 2 / 1 = 1 (a 2 > c 2 )

• Eif6rmiges D r e h e l l i p s o i d :

21a 2 + l l a 2 + z 2 / 1 = 1 (a 2 < I )

• Z weischaliges D r e h h yp erbol oid:

2 I a 2 + l I a 2 - i l l = -1

• E in schal iges D r e h h yp erb ol o id:

2 1a 2 + l la 2- z 2 / 1 = + 1

• D rehp ar abol o id :

z = a. (2 + l )Die Gl e i c h u n g e n d er ver schi eden en T yp en vo n Ellip soiden u n d H yp e r b o l o i d e n

u n t er sch eiden sich n u r in gewi ssen Vorz eichen. Da aIle D r e h q u adriken d u r c h

qu ad r ati sche G l e i c h u n g e n be schrieb en w e r d e n , sin d die S c h n i t t k u r v en m it Eb enen im

a llge m ei n en Kegel s c h n i t t e, so fern iiberh aupt e i n S c h n i t t au fi r i t t (A b b . 9.16 ).

Abb . 9 .16Die ebenen S c h n i t t e von Drehquadr ikensind im Aligemeinen Kegelschnitte.

292

A b b . 9 . 1 7(a) Allgemeine Ellipsoide,(b) Hyperboloide und(c) e l l i p t i s c h e Paraboloide sind requlareQuadriken. Sie k5nnen aus Dreh­quadriken durch Anwendung einerunabhanqlqen Skalierung gewonnenwerden .

Beide A r t e n von E l l i p s o i d e n w e r d e n von E b e n e n n u r in Ellipsen g e s c h n i t t e n , w a h r e n d

P a r a b o l o i d e in Ellipsen o d e r P a r a b e l n ges c h n i t t en w e r d e n k o n n e n . Als ebene S c h n i t t e

von H y p e r b o l o i d e n k o n n e n alle A r t e n von K e g e l s c h n i t t e n a u f t r e t e n , Ellipsen ,

H y p e r b e l n u n d P a r a b e l n . M a n b e a c h t e , dass der S c h n i t t eines e i n s c h a l i g e n D r e h h y p e r ­

b o l o i d s m i t e i n e r T a n g e n t ialebene au s zwei G e r a d e n be s t e h t ,

D u r c h A n w e n d u n g u n a b h a n g i g e r S k a l i e r u n g e n e r g e b e n sich aus D r e h q u a d r i k e n

a l l g e m e i n e r e T y p e n v o n Flachen, Sie g e h o r e n zur Klas se der r eguliirenf2.!:!:adriken

(Abb. 9.17). Z u s a r z l i c h zu den von D r e h q u a d r i k e n a b l e i t b a r e n Q u a d r i k e n g i b t es eine

weite re A r t : das h y p e r b o l i s c h e P a r a b o l o i d ( b e h a n d e l t im f o l g e n d e n Ab s c h n i t t tiber

Schi e b f l a c h e n ) . Die d u r c h u n a b h a n g ige S k a l i e r u n g aus e inem D r e h p a r a b o l o i d ent­

s t e h e n d e n Flachen w e r d e n als elliptische Paraboloide (Abb. 9.1 7c) b e z e i c h n e t .

] e d e A r t vo n Q u a d r i k en b e s i t z t m i n d e s t e n s zwei ( z u e i n a n d e r o r t h o g o n a l e )

S y m m e t r i e e b e n e n . H y p e r b o l o i d e u n d E l l i p s o i d e h a b e n so g a r drei p a a r w e i s e

o r t h o g o n a l e S y m m e t r i e e b e n e n . I h r Schn i t t p u n k t M i st dah er ein S y m m e t r i e z e n t r u m

der Flache u n d w i r d als Mittelpunkt b e z e i c h n e t . Z u s a t z l i c h zu den S y m m e t r i e n

b e m e r k e n w ir noch, das s di e S c h n i t t k u r v en m it u n t e r e i n a n d er p arallelen E b e n e n

z u e i n a n d e r a h n l i c h sind. D a h e r k a n n m a n eine Q u a d r i k m i t Familien a h n l i c h e r

Kegel s c h n i t t e iiberz iehen.

(a)

293

Spiegelt man eine solche K e g e l s c h n i t t s c h a r an e i n e r S y m m e t r i e e b e n e , so e r g i b t sich a u f

der H a c h e s a g a r ein N e t z a h n l i c h e r K u r v e n (Abb. 9.18) . E n t s p r e c h e n d der w e i t e n

V e r b r e i t u n g d e r K e g e l s c h n i t t e finden sich auch Q u a d r i k e n ( i n s b e s o n d e r e D r e h ­

q u a d r i k e n ) in der A r c h i t e k t u r (Abb. 9 .19).

D u r c h u n a b h a n g i g e S k a l i e r u n g w e r d e n e b e n e S c h n i t t e ( K e g e l s c h n i t t e ) w i e d e r a u f

K e g e l s c h n i t t e desselben Typs a b g e b i l d e t , w a h r e n d die P a r a l l e l k r e i s e a u f Ellipsen

a b g e b i l d e t w e r d e n . D a h e r t r a g e n aIle von D r e h q u a d r i k e n d u r c h S k a l i e r u n g abgelei­

t e t e n Flachen Ellipsen. J e d o c h g i b t es viel m e h r Ellipsen a u f dies en Q u a d r i k e n als n u r

die Bilder der D r e h k r e i se. U n r e r all dies en Ellipsen gibe es auch Krei se. Im F o l g e n d e n

wollen wir zeigen, wie man diese Kreis e finden k a n n .

A b b . 9 . 1 9Teile von Ellipsoiden in der A r c h i t e k t u r .(a, b) Norman Fosters Reichstag-Kup­pel ( e r 6 f f n e t 1999) in Berlin hat dieForm eines hal ben Drehellipsoids (Fotom i t f r e u n d l i c h e r Genehm igung vonWaagner - B i r o ) .

A b b . 9 . 1 8Quadriken k6nnen m i t einem Netzu n t e r e i n a n d e r a h n l l c h e r Kegelschn i t t euberzoqen werden .

(c) Das Cornell Medical College ( e r 6 f f ­net 2004) in Qatar von Arata Isozaki,Perkins & Will .

(a) ( b )

( c)

29 4

S c h n i t t k u r v e n v o n ~adriken. In Kapirel 7 h a b e n wir uns m i t g r u n d l e g e n d e n

E i g e n s c h a f t e n von S c h n i t t k u r v e n befasst u n d dabei auch D o p p e l p u n k t e von

S c h n i t t k u r v e n d i s k u t i e r t . Diese t r e t e n auf, w e n n die b e i d e n Flachen <I> u n d 'II e i n a n d e r

in einem P u n k t P b e r i i h r e n . Abb. 9.20 i l l u s t r i e r t dies an H a n d zweier D r e h q u a d r i k e n .

Das a b g e p l a t t e t e D r e h e l l i p s o i d 'II b e r u h r t das einschalige H y p e r b o l o i d <I> in zwei

P u n k t e n PI u n d P 2' Wie aus Abb. 9 .20 e r s i c h t l i c h ist, b e s t e h t die S c h n i t t k u r v e aus

zwei e b e n e n Kurven . Da diese Kurven a u f dem E l l i p s o i d 'II liegen, sind sie Ellipsen.

Fur Designzwecke k a n n das A u f f i n d e n e b e n e r V e r s c h n e i d u n g e n v o r t e i l h a f t sein. D e r

O b e r g a n g von einer Flache zur a n d e r e n k a n n d a n n e i n f a c h e r r e a l i s i e r t werden. D a h e r

wollen wir das folgende K r i t e r i u m fur ebene V e r s c h n e i d u n g e n zweier Q u a d r i k e n

f o r m u l i e r c n , das eine V e r a l l g e m e i n e r u n g des in Abb . 9.20 gezeigten Beispiels d a r s t e l l r :

W e n n zwei Q u a d r i k e n e i n a n d e r in zwei Punkcen b e r i i h r e n , so zerfallr ihre

S c h n i t t k u r v e in zwei ebene Kurven (im A l l g e m e i n e n K e g e l s c h n i t t e ) .

D r e h z y l i n d e r u n d D r e h k e g e l sind spezielle ( n i c h r - r e g u l a r e ) Q u a d r i k e n , u n d d a h e r

ist das gerade f o r m u l i e r t e K r i t e r i u m a u f sie ebenfalls a n w e n d b a r . Eine A n w e n d u n g

dieses g e o m e t r i s c h e n Sachverhalts ist in Abb. 9.21 d u r c h die S c h n i t t k u r v e eines

e l l i p t i s c h e n P a r a b o l o i d s u n d eines D r e h k e g e l s i l l u s t r i e r t , W e n n wir dasselbe K r i t e r i u m

a u f eine Q u a d r i k u n d cine Kugel a n w e n d e n , so e r h a l t e n wir ebenfalls zwei ebene

S c h n i t t k u r v e n . Da diese a u f der K u g e l l i e g e n muss en, sind sie Kreise. S o m i t h a b e n wir

einen aIlgcmeinen Z u g a n g zur K o n s t r u k t i o n von Kreisen a u f Q u a d r i k e n g e f u n d e n .

A b b . 9 . 2 0Zwei Drehquadriken m i t ebenenS c h n i t t k u r v e n .

A b b . 9 . 2 1Ein Drehkegel, der ein elliptischesParaboloid in zwei Punkten b e r u h r t ,schneidet das Paraboloid in zweiebenen Kurven.

295

Im Falle eines E l l i p s o i d s k a n n eine d o p p e l t b e r u h r e n d e Kugel im M i t t e l p u n k t des

E l l i p s o i d s z e n t r i e r t w e r d e n (Abb. 9.22) . Die B e r u h r p u n k t e s i n d S c h e i t e l des Ellipsoids

(sie liegen in zwei S y m m e t r i e e b e n e n ) . Die S c h n i t t k u r v e b e s t e h t aus zwei Kreisen k,u n d k z in den E b e n e n E, bzw. Ez.

Jede S c h n i t t k u r v e des E l l i p s o i d s m i t e i n e r zu E, o d e r Ez p a r a l l e l e n E b e n e ist zu k,bzw. k z a h n l i c h u n d d a h e r ebenfalls ein Kreis . D a h e r t r a g t ein allgemeines E l l i p s o i d

zwei S c h a r e n von Kreisen, w a h r e n d es a u f e i n e m D r e h e l l i p s o i d n u r die S c h a r der

Parallelkreise gibt. In a h n l i c h e r Weise lassen sich Kreise a u f H y p e r b o l o i d e n u n d

e l l i p t i s c h e n P a r a b o l o i d e n f i n d e n (Abb. 9.23).

Abb . 9 . 2 2Ein Ellipsoid und eine konzentrischeKugel, die e i n a n d e r in zwei Punktenberuhren, haben zwei Kreise gemeinsam.

(a)

A u f r i s s

(b)

A u f r i s s

296

K r e u z r i s s

K r e u z r i s s

A x o n o m e t r i s c h e r Riss

A x o n o m e t r i s c h e r Riss

A b b . 9 . 2 3Quadriken m i t zwei Kreisscharen.(a) Elliptisches Paraboloid.(b) Einschaliges Hyperboloid.

III

IIIIII

.A//~. / / . /

/ . / -- / -:/ . / /

/ . / /. / /

. //

//

S c h i e b f l a c h e nWir betrachten zwei Kurven k und 1 durch einen gemeinsamen Punkt O. Durch

Verschiebung der Profilkurve k langs der Leitkurve 1 erzeugen wir eine Schiebflache

(Abb. 9 .24a). Daher enthalt eine Schiebflache eine Schar von Kurven k p , die zurProfilkurve k kongruent sind (aus dieser durch Schiebung hervorgehen).

Jede der Profilkurven k p schneidet die Leitkurve 1 in eincm Punkt P.

Wir erhalren einen allgemeinen Punkt X der Flachenkurve k p durch Verschiebung~

eines Punktes Q der Profilkurve k mit dem Vektor p=OP. Die vier Punkte OPXQ

bilden die Ecken eines Parallelogramms (Abb. 9 .24) . Der P u n k t X k a n n also auch~

durch Addition des Vektors q = O Q zu P erhalten werden. Addition von q zu

allen Punkten der Bahnkurve 1 bewirkt eine Verschiebung in eine zu 1 kongruenteFlachenkurve I q (Abb. 9.24b). Wir sehen also, dass die Rollen von Profilkurve und

Leitkurve zur Erzeugung einer Schiebtlachevertauscht werden k o n n e n ,

A b b . 9 . 2 4(a) Durch Verschiebung einer Profil­kurve k lanqs einer anderen Leitkurve Ierhalten w i r eine Schlebflache,(b) Verschiebung der L e i t k u r v e langsder Profilkurve erzeugt dieselbe Flache.

Wir erhalten offenbar einen beliebigen Punkt X der Schiebflache durch Addition von zwei

Ortsvekroren p und q, die Punkte auf den erzeugenden Kurven beschreiben. Dies liefert

eine mathematische Beschreibung von Schiebflachen. Seien die Kurven k und 1 durch ihre

Darstellungenk(u) undl(v) mit Pararnetem u bzw. verfasst (und Oder Ursprungdes

Koordinarensystems), so kann ein beliebiger P u n k t X der Schiebflache beschrieben werden

durch

x(u,v) = k(u) + l(v). (5)

( a )

o

297

Die T a n g e n t i a l e b e n e im P u n k t X w i r d von den T a n g e n t e n t k u n d t t an die b e i d e n

e r z e u g e n d e n K u r v e n a u f g e s p a n n t . Langs der P a r a m e t e r k u r v e k(u) = k x s i n d die

T a n g e n t e n an die a n d e r e Familie von P a r a m e t e r k u r v e n u n t e r e i n a n d e r p a r a l l el. Sie

b i l d e n d a h e r e i n e n Z y l i n d e r m it der P r o f i l k u r v e k x • D i e s e r Z y l i n d e r b e r i i h r r die

S c h i e b r l a c h e langs der Kurve k; (siehe Abb . 9.25) . Wegen der V e r t a u s c h b a r k e i t der

RoUen von Leit- u n d P r o f i l k u r v e gilt Analoges fiir die P a r a m e t e r k u r v e I x.

Die e i n f a c h e E r z e u g u n g v o n S c h i e b f l a c h e n u n d die Tatsache, dass sie zwei S c h a r e n

jeweils k o n g r u e n t e r K u r v e n t r a g e n , m a c h e n sie fiir das Bauwesen i n t e r e s s a n t . Es g i b t

eine Reihe von B a u w e r k e n , bei den en S c h i e b f l a c h e n V e r w e n d u n g g e f u n d e n h a b e n

(siehe z.B. Abb. 9 . 2 6 ) .

A b b . 9 .26s c n t e b n a c h e n in d e r A r c h i t e k t u r .( a ) Das £ 5 0 Hotel ( 1 9 9 8 - 2 0 0 2 ) a u fdem Cerro Paranal von A u e r + W e b e r .

(a)

Ab b . 9 .25Ail e Sc h i eb t an g e n t en la n q s e iner erzeu­ge nden Kurve bil d e n e i ne d ie Schieb­flache be ruh r e n d e Z v l l n d e r f l a c h e .

( b ) Der Japanische Pavilion bei d e rExpo 2000 in Hannover, D e u t s c h l a n d ,von S h i g e r u Ban und Frei O t t o .

( b )

298

Abb . 9 . 2 7 .(a) App ro x i m a t io n e ine r S c h i e b f l a c h edurch Verschieb ung v on Polygo nen.(b ) D ie Glash Olle des F l u s s p f e r d h a u s e s( 19 9 6 ) i m Ber l i n e r Zoo von J. Gr ibl( Fot o : Schla ich B e r g e r m a n n & Partne r ) .

Ans te l le g l a t t er K urve n kan n man Po lygo ne als erzeuge nde Kurve n verwe n de n .

So e r ha lten wir di skre re Schie b flache n m it e b e n e n V i e r e c k e n ( P a r all el o g r a m m e n)

als Sei tenilac h e n , d ie a ls G r u n d lage fu r S ra hl - C l a s -Ko nst r uk tio ne n gu t geeign et s in d

( A b b . 9. 27) .

Sp ezi ell e S c h i e b f l a c h en, S e h r e i n f a c h e Beispiele fu r Schie b flache n sin d di e

Z y l i n d e rflach en , Urn di ese a ls Sc hi eb flachen zu er zeugen, wa h lt ma n ei ne der

be ide n e r z e u g e n d e n Kur ven als Ge ra de (vg l. A bb . 9 .1) . In A n w e n du nge n v e r w e n d e t

man gerne ebene Kurven i n z u e i n a n d e r o r t h o g o n a l e n Ebe nen zur E rze ug u ng von

Schieb flac hen, Sie e ro ffn e n einen ei nfac h e n kon s t r u k t i v e n Z u g a n g zu ei ne m relativ

br e it en Fo rm e n sp e k t r u m.

o

( b )

B e i s p i e l :

D a s D r e h p a r a b o l o i d als S c h i e b f l a c h e ,

Im A b s c h n i t t tiber D r e h f l a c h e n h a b e n

wir die G l e i c h u n g eines D r e h p a r a b o l o i d s

in der Form z = a- (~ + / ) angege­

ben. Die Flache wird d u r c h D r e h u n g

der Parabel z = ~.~ urn die z -A ch se des

K o o r d i n a t e n sysrerns erzeugt. W i r fiihren

nun P a r a m e t e r u = x u n d v = y ein u n d

e r h a l t e n folgende P a r a m e t e r d a r s t e l l u n g

des Paraboloids

(xJ',z) = ( u , v , a . u 2 + a . v 2) = (u ,O,a .u 2

)

+ (O, v, a . v 2) .

Dies ist offen bar ein S o n d e r f a l l von Glei­

c h u n g (S) und zeigt, dass die Flache d u r c h

Verschiebung der (in der x z - E b e n e lie­

genden) Parabel k ( u ) = (u,O,a.u 2) lang s

der (in der y z - E b e n e liegenden) Parabel

I(v) = (O,v,a . v 2) e n t s t e h t . S o m i t kann ein

D r e h p a r a b o l o i d auch aIs S c h i e b t l a c h e er­

zeugt werden. Als erzeugende Kurven

w a h l t man k o n g r u e n t e Parabeln in or­

t h o g o n a l e n E b e n e n (A b b . 9.28 ). Es ist

zu beachten, das s aile diese Parabeln nach

derselben Seite hin g e 6 f f n e t s in d .

E l l i p t i s c h e P a r a b o l o i d e . W i r haben gesehen , dass D r e h p a r a b o l o i d e aIs Schiebflachen

e r z e u g b a r sind . D u r c h A n w e n d u n g einer u n a b h a n g i g e n S k a l i e r u n g a u f ein D r e h ­

p a r a b o l o i d ergibt sich ein elliptisch es Paraboloid. Die b e i d e n k o n g r u e n t e n Profilparabeln

in o r t h o g o n a l e n E b e n e n werden a u f zwei n i c h t mehr k o n g r u e n t e Parabeln tran s f o r m i e r t .

J e d o c h k o n n e n diese Parabeln dazu verwend et werden , das sk ali ert e P a r a b o l o i d

ebenfalls als Schiebflache zu erzeugen. D e m liegt die Tatsache zu G r u n d e , dass eine

u n a b h a n g i g e S k a l i e r u n g (als spezielle Affinitat) p a r a l l e l e n t r e u ist u n d d a h e r ein N e t z von

S c h i e b k u r v e n w ieder a u f ein Netz von S c h i e b k u r v e n abbildet,

Die das s k a l i e r t e P a r a b o l o i d e r z e u g e n d e n P a r a b e l n s i n d nach d e r s e l b e n Seite h i n

g e 6 f f n e t , u n d sie liegen (bei g e e i g n e t e r S k a l i e r u n g ) ebenfall s in o r t h o g o n a l e n E b e n e n .

Als i n t e r e ssante Eigenschafi: v e r m e r k e n wir, da ss aIle e b e n e n S c h n i t t e P a r a b e l n o d e r

Ellipsen s i n d . Die gesamte Flache tragr n u r e l l i p t i s c h e F l a c h e n p u n k t e . D a h e r wird die

H a c h e als elliptisches P a r a b o l o i d b e z e i c h n e r . Das e l l i p t i sche P a r a b o l o i d b e s i t z t zwei

S y m m e t r i e e b e n e n , die e i n a n d e r in der Achse des P a r a b o l o i d s s c h n e i d e n .

300

A b b . 9 . 2 8Ein Drehparaboloid kann auch alsSchiebflache erzeugt werden.

II/// I/ I

/ // /

/ /

Diese Achse ist p arallel zu den ' I r a g e r e b e n e n der e r z e u g e n d e n Pa rabeln . D e r S c h n i t t ­

p u n k t der Achse m i t d er Flache h e i g t S c h e i t e l S (Abb . 9 .29) . Die T a n g e n t i a l e b e n e des

Scheitels verlauti o r t h o g o n al zur Ach se, u n d d aher ist die Achse die F l a c h e n n o r r n a l e

im Scheitel.

D ie S c h n i t t k u r ve eine s ell i p t i s c h e n P a r a b o l o i d s m i t ei n e r Ebene ist eine Parabel,

sofern die Ebene pa rallel zur Achse liegt . A n s o n s t e n t r e t e n als ebene S c h n i t t e Ellipsen

a u f - v o r a u s g e s e t z t , dass die Ebene das P a r a b o l o i d i i b e r h a u p t sch n e id et (Abb. 9 .30) .

H y p e r b o l i s c h e s P a r a b o l o i d . W e n n wir vor der Verschieb ung eine der b e i d e n

e r z e u g e n d e n P a r a b e l n an ihrer S c h e i t e l t a n g e n t e spiegeln , e r h a l t e n w ir einen a n d e r e n

Typ einer Schi ebtlache, d ie ebenfalls zwei Scharen von jeweils s c h i e b u n g s g l e i c h e n

P a r a b e l n t r a g t (Abb . 9.31). Diese Flache w ird als hyperbolisches Paraboloidbezeichnet.

N e b e n b e i b e m e r k e n wir , dass beide A r t e n von P a r a b o l o iden zur Klasse der Q u a d r i k e n

g e h 6 r e n , die bercits bei den D r e h f l a c h e n a n g e s p r o c h e n w u r d e . W a h r e n d das

ell i p t i s c h e P a r a b o l o i d d u r c h u n a b h a n g i g e S k a l i e r u n g aus dem D r e h p a r a b o l o i d

g e w o n n e n werden k a n n , ist dies beim h y p e r b o l i s c h e n P a r a b o l o i d n i c h t der Fall.

A b b . 9 . 2 9Ein e l l i p t i s c h e s Paraboloid e n t s t e h tdurch Verschiebung einer Parabel langsei n e r anderen Parabel. Beide Parabelnhaben parallele Achsen und sind nachderselben Seite hin g e 6 f f n e t . Die Achsedes e l l i p t i s c h e n Paraboloids i st dieSchn i t t g e r a d e seiner beiden S y m m e t r i e ­ebenen .

..,.. '

'.

..... ..

\ .\

· "I .· \........... ! ". L- _ ---"I .· \I .

_._._._._.-.~._._ ._.-

\ .

\

\ .\

\

\ .

. '

.. ......

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \....-- --.- ,

Abb . 9 . 30Die eben e n Sc h n i t t kurv en ei nes e ll i p­t isc he n Paraboloid s si n d entw ed erPa rab eln o der Ellip sen .

301

Ein h y p e r b o l i s c h e s P a r a b o l o i d e n t h a l t n u r h y p e r b o l i s c h e F l a c h e n p u n k r e . A n d e r s

f o r m u l i e r t heiBt dies, dass j e d e r n o c h so kleine Teil der H a c h e s a r r e l f o r r n i g ist,

A n a l o g zum e l l i p t i s c h e n P a r a b o l o i d b e z e i c h n e t man die S c h n i t t g e r a d e der b e i d e n

S y m m e t r i e e b e n e n als Achse des h y p e r b o l i s c h e n P a r a b o l o i d s (Abb . 9 .31) . D e r

S c h e i t e l ist der S c h n i t t p u n k t der Achse m i t der Hache, u n d die T a n g e n t i a l e b e n e im

S c h e i t e l verlaufi n o r m a l zur Achse. Beim S t u d i u m der e b e n e n S c h n i t t e h a b e n wir dre i

v e r s c h i e d e n e Falle zu u n t e r s c h e i d e n (Abb. 9 .32).

• W i e beim e l l i p t i s c h e n P a r a b o l o i d s c h n e i d e n E b e n e n , die p a r a l l e l zur Achse

liegen, die H a c h e in P a r a b e l n .

• T a n g e n t i a l e b e n e n s c h n e i d e n die H a c h e in zwei G e r a d e n .

• AIle a n d e r e n E b e n e n s c h n e i d e n langs H y p e r b e l n .

D i e Tarsache, dass jede T a n g e n t i a l e b e n e die Flache in zwei G e r a d e n s c h n e i d e r , hat

zur Folge, dass es a u f dem h y p e r b o l i s c h e n P a r a b o l o i d zwei S c h a r e n von G e r a d e n

gibt, S o m i t ist das h y p e r b o l i s c h e P a r a b o l o i d auch eine Regelflache, u n d dies sogar a u f

zweifache Weise. AIs S c h i e b t l a c h e m i t e i n f a c h e n P r o f i l k u r v e n (die n o c h dazu d u r c h

B e w e g u n g e i n e r G e r a d e n e r z e u g b a r isr) war das h y p e r b o l i s c h e P a r a b o l o i d stets eine

w i c h t i g e G r u n d f o r m des Bauwesens. A u f g r u n d seiner h a u f i g e n V e r w e n d u n g f i n d e t

m a n d o r t fur das h y p e r b o l i s c h e P a r a b o l o i d eigene B e z e i c h n u n g e n wie H y p a r s c h a l e n

o d e r HP-Flachen.

Es sei n o c h h e r v o r g e h o b e n , dass die s t a t i s c h e n E i g e n s c h a f t e n einer H P - F l a c h e

b e s o n d e r s d a n n v o r t e i l h a f i sind, w e n n die Achse l o t r e c h t g e w a h l t w i r d .

Abb. 9.31Ein h y p e r b o l i s c h e s Paraboloid wirddurch Verschiebung zweier Parabelnm i t parallelen Achsen erzeugt. Diebeiden Parabeln sind nach v e r s c h i e ­denen Seiten hin g e o f f n e t . Die Achsedes h y p e r b o l i s c h e n Paraboloids ist dieS c h n i t t g e r a d e s e i n e r belden S y m m e t r i e ­ebenen.

Abb. 9.32H y p e r b o l i s c h e Paraboloide werden vonEbenen in Parabeln, Hyperbeln oderGeradenpaaren g e s c h n i t t e n . Ein h y p e r ­bolisches Paraboloid t r a g t keine Ellipsen.

Parabeln alsS c h n i t t k u r v e n

Hyperbeln als S c h n i t t k u r v e n S c h n i t t m i t e i n e rTangentialebene

302

A b b . 9 . 3 3Reqelflachen in der A r c h i t e k t u r .(a) Die neue S t a a t s g a l e r i e in S t u t t g a r t( 1 9 7 7 - 1 9 8 3 ) von James Sti rling .(b) Das P l a n a i - S k i t e r m i n a l in Schlad­ming ( 2 0 0 6 ) von H o f r i c h t e r - R i t t e r(Foto: Hofr i c h t e r - R i t t e r ) .

(a)

R e g e l f l a c h e nZy l i n der , Kegel, ei nsc ha lige H yp e rb ol o id e un d h yp erb oli sch e P a r ab o l oi d e si n d

F lach en , d ie Scha ren vo n Ge ra de n tr age n . D ah e r k o nn e n s ie a uc h d u r ch Be w eg un g

ei ner Gera de n im R a um e rze u g t we rde n . I rn Fo lge n d e n s ru d ie re n w ir d ie K la sse a ll

jene r Fl ach en , d i e d ur ch Be w egun g e ine r G e ra de n e rze ug bar s in d . Di es e Fl ac hc n

we rd e n a ls Regelfldchen b ezei ch n et . L au t D efin i t ion tr ag e n s ie ei ne ste t ige Scha r vo n

Ge ra d en , di e m an Erze ugende n e n n t ( A b b . 9.33 ) .

W i r w e r d e n v e r s c h i e d e n e M o g l i c h k e i t e n der F e s t l e g u n g e i n e r B e w e g u n g ciner

G e r a d e n k e n n e n lern en . Jede dieser E r z e u g u n g s w e i s e n hat gewi sse Vorteile, aber

m a n c h e von i h n e n s c h r a n k e n die V i e l f a l t der d a m i t m o d e l l i e r b a r e n RegelfJ.achen

ein. Vom g e o m e t r i schen S t a n d p u n k t aus e r s t r e c k t sic h cine Regelflache i m m e r ins

U n e n d l i c h e , weil die s b ereits fur ihre Erzeug e n d e n gilt . Au s p r a k t isch en G r u n d e n

b e n u r z e n wir oft n u r g e r a d l i n i g e St recken als E r z e u g e n d e , die d a n n e n d l i c h e

Au s s c h n i t t e von Regelflachen gene rieren .

(b)

303

E r z e u g u n g v o n R e g e l t l a c h e n durch B e w e g u n g eine r G e r a d e n l a n g s e i n e r L e i t k u r v e .

W i r geben eine Kurve ( 1 vor , die wir Leitkurve n e n n e n , u n d bewegen einen Pu n k t

einer G er ad en ( bzw. e i ne s Ge ra denseg me nt s) e l an g s d ieser K urv e. E in ein zelner P u n k t

b e s t i m r n t n o ch ni cht d ie L ag e ei ne r G e r a d en. W i r m u ssen auc h ih re Rich t u n g

fe stleg en . Di e Ri c h t u n g so il sich b eim D u r chl aufen d er Lei tk urve ( 1 ste tig vera n d e r n

(A b b. 9.34).

Di ese Erz eugun g ein er R eg elflach e ist u n r n i t t elb ar in e i ne m ath ernati sch e D ar st ellung

um set zb a r. Sei c(u ) ei ne Par a m et er d ar st ellun g d er Le i t k u r ve ( 1 u n d d (u) d er l an g s

d er L ei tk ur ve ste ti g v a r iieren de (un d d ah e r auc h vom Kur ve np a r a m et e r u a b ha ng ige)

R i c h t u n gsvekt o r der b ew egr en G era de n . D ann b er e chn et sich d er Ko o rd in at en vekt o r

ei nes beli eb ig en P un kt e s X d e r erze ug te n R egelAa ch e dur ch A d d it ion d er Vek to re n

c ( u ) u n d v . d ( u). S o m i t e rgi b t si ch fol gende Pa ramet erd a r st ellung e i ne r R egelAach e ,

x (u,v) = c(u) + v ·d (u ).

Al s S o n d e r f all e rh al te n wir Z y l i n d e r b ei Wa h l e in es k o ns ta n te n Ri c h t un g svekt o r s d.

X ( U , v )_ _ _ - - n

(a)

3 04

A b b . 9 .34Du rch Bewegung eines Punktes e i n e rGeraden langs e i n e r Kurve C1 undg l e i c h z e i t i g e r V e r a n d e r u n q i h r e r Rich­tung en t s t e h t eine Reqelflache,

Abb . 9 .35(a) Konoide w e r d en von Geradengeb ildet , d ie eine Lei t k urve C 1 r ech t­w ink lig schne ide n .(b) Die Winzerei Ysios ( 1 9 9 8 - 2 0 0 1 ) i nLaguard ia, Spanien , von Sant iagoCalatrava.(c ) Das Japanische Kunst- und Techno­log iezent r um ( e r t i f f n e t 1995) inKrakau, Polen, von Arata Isozak i.

(c)

Beispiel:

K o n o i d . W i r b e n u t z e n eine geradl inige

Leitkurve (1 und E r z e u g e n d e n e, die ( I un­

ter rechtern W i n k e l treffen (Abb . 9.35 ).

W i r werd en di ese D efiniti on der Ko­

noide sparer etwas erweit ern ,

V o t e r Verw e n d u n g d er z -A c hs e als L eit ­

gerade ( 1 k a n n ihr e Par am et e r d a r stel­

lung als c (u ) = (O,O, u) ge w a h l t w e r d e n

(so fern w ir Fail e wi e den in Abb. 9.49

d a r g e s t e l l t e n a ussc h l i e f e n, wo die Le it­

kurve m e h r fach d u r c h l a u f e n wird u n d

sich Selb st s c h n i t t e l ang s der L e i t k u r ve

e rgeben ) . D a die E r z e u g e n d e n o r t h o g o ­

nal zur z -A c hs e sei n so l le n , h at ihr Rich­

rung svekt or d (u ) e ine vers c hw i n d e n d e

z - K o o r d i n a te , Fur un sere Be ispiele set­

zen wir d (u) = (c os(f( u)), s i n (g(u ) ), 0).

H i e r i n s i n d f(u ) u n d g(u) F u n k t i o n e n

de s P a r a m e t e r s u ( H 6 h e ) langs der Leit­

ger a d e n . S o m i t l a u t e t die P a r a m e t e r ­

d a r s t ellung der e r z e u g t e n Regelflachen

x (u,v) = v . cos (f( u)),

y (u,v) = v . s i n (g(u ) ) ,

z( u,v) = u.

A b b i l d u n g 9.36 illu s t r i e r t e lOige d ie­

ser Flachen . M i t k o n s t a n r e n F u n k t i o n e n

f(u) u n d g ( u ) e r h a l t e n wir n u r die Para­

m e t e r d a r stellung einer Ebene, w a h r e n d

sic h mit i d e o t ischen linea ren F u n k t i o n e n

J( u) = g(u ) = a -u + b so g e n a n n t e Wen­

delflachen ergeben, die wi r sp arer als

be sondere Schraubfl achen diskurieren

werden .

A b b . 9 .36Die Funktionen feu) und g ( u ) steuerndie Var iation der E r z e u g e n d e n r i c h t ungund best immen daher ganz wesent lichdie Form des Konoids .(a) feu) = g ( u ) = u.(b) feu) = u, g ( u ) = u 2

.

z

305

Beispiel:

Mobiusband, In Verallgemeinerung des

vorigen Beispiels verwenden wir nun einen

Kreis Cl als Leitkurve. Wir bewegen ein

Geradensegmem e so langs c" dass es stetig

wn c\ rotiert und dabei orthogonal zu c\

bleibt, Wenn das Geradensegment nach

einmaligen Umlauf des Leitkreises wieder

im Anfangspunkt angelangc ist, soli es sich

um 180 Grad gedreht haben. Daher Hillt

die Endlage der gesamten Geraden e m i t

der Anfangslage zusammen .

Zur Bestimmung einer Parameter­

darstellung passen wir das Koordinaten­

system unserer Angabe entsprechend

Abb. 9.37 an . Dann kann der Leitkreis

durch c(u) = (r-cosl«), r'sin(u), 0) er­

fasst werden. Die Rotation der Erzeugen­

den in der Normalebene des Leitkreises

erfolgt mit dem Drehwinkel u/2. So er­

halten wir mit d(u) = (cos(u/2) 'cos(u),

cos(u/2) -sinl«), s i n ( u / 2 ) ) eine Parame­

terdarstellung des Mobiusbandes:

x(u,v) = r 'cos(u) + v'cos(u/2) 'cos(u),

y(u,v) = r'sin(u) + v'cos(u/2) ' sin ( u ) ,

z(u,v) = v ·sin(u/2).

Bereits aus der Farbgebung in Abb. 9.37 geht hervor, dass das Mobiusband eine einseitige

Hache ist; man kann nicht zwischen einer Aufsenhaut und einer Innenhaut unterscheiden.

Ahnlich zurn Beispiel .Konoid" konnen wir den Term u/2 durch eine beliebig e Funkrion

f i u) ersetzen, um die Vielfalt der erfassten Flachen zu erhohen (siehe Abb. 9.38).

z

(a) (b) (c)

A b b . 9 . 3 7Modellierung eines M6biusbands durcheine Reqelflache,

A b b . 9 . 3 8Reqelflachen m i t k r e i s f 6 r m i g e r Leitkurve.Die Funktion f ( u ) b e e i n f l u s s t die Formder Reqelflache.(a) f(u) = 3 ·u.(b) f ( u ) = u>.(c) f(u) = sin(3 · u ) .

306

A b b . 9 . 3 9Ein einschaliges D r e h h y p e r b o l o i d kanndurch Verbindung e n t s p r e c h e n d e rPunkte auf zwei Kreisen Cl und C2

erzeugt werden.

A b b . 9 . 4 0RegelfUichen k6nnen durch Verbindungvon Punkten m i t demselben Parameter­w e r t auf zwei p a r a m e t r i s i e r t e n Kurvengewonnen werden. Verschiedene Para­m e t r i s i e r u n g e n Iiefern im Allgemeinenu n t e r s c h i e d l i c h e Regelflachen .

E r z e u g u n g v o n R e g e l f l a c h e n d u r c h zwei k o r r e s p o n d i e r e n d e L e i t k u r v e n . Eine

G e r a d e ist d u r c h zwei P u n k t e festgelegt , u n d da s g ilt auch fur die E r z e u g e n d e n

einer Regelflache . W i r gelang en so zu einer w e i t e r e n E r z e u g u n g s m o g l i c h k e i t von

Regeltlachen, die zuerst an H a n d eines seh r e i n f a c h e n Beispiels i l l u s t r i e r t w e r d e n

soll : Im vo rig en Ab s c h n i t t h a b e n wir das einschalige D r e h h y p e r b o l o i d d u r c h

D r e h u n g einer G e r a d e n urn ein e Achse erzeugt. W i r k o n n e n aber die E r z e u g u n g a u f

e in e weiter e A r t i n r e r p r e t i e r e n (Abb . 9.39): Die E r z e u g e n d e n ergeben sich d u r c h

V e r b i n d u n g e n t s p r e c h e n d e r P u n k t e zweier Kreise (1 u n d ( 2'

D iese Erzeugungsweise k a n n leichr verallgemein ert werden , i n d e m man zwei

beliebige R a u m k u r v e n ( L e i r k u r v cn) ([(u) u n d ( 2(U) vors c h r e i b t u n d jeweil s die

zum selben P a r a m e t e r w e r t u g e h o r e n d e n ( " k o r r e s p o n d i e r e n d e n ") K u r v e n p u n k t e

v e r b i n d e t . A b h a n g i g von der P a r a m e t r i s i e r u n g der beiden Kur ven ( 1 u n d ( 2 ergeben

sich so v e r s c h i e d e n e Regelflachen zu d e n s e l b e n L e i t k u r v e n ( 1 u n d ( 2 (Abb. 9.40).

A u s g e h e n d von P a r a m e t e r d a r s t e l l u n g e n c](u) u n d C 2(U) der L e i r k u r v e n , e r g i b t

sich ein R i c h t u n g s v e k t o r der E r z e u g e n d e n als d(u)= C 2(U) - C1 (u) u n d so die

P a r a m e t e r d a r s t e l l u n g der Regelflache als

307

Da wir h i e r n a h e z u keine E i n s c h r a n k u n g e n in der Wahl der L e i t k u r v e n u n d ihrer

P a r a m e t r i s i e r u n g e n h a b e n , e r o f f n e t dieser Z u g a n g eine groBe F o r m e n v i e l f a l t

(Abb , 9.41). Spezielle L e i t k u r v e n u n d P a r a m e t r i s i e r u n g e n fiihren zu b e m e r k e n s w e r t e n

Flachen, von d e n e n im F o l g e n d e n einige v o r g e s t e l l t werden sollen.

H l t - P l a c h e n , H l - F l a c h e n ( h y p e r b o l i s c h e P a r a b o l o i d e ) werden im S c h a l e n b a u gerne

v e r w e n d e t . B e s o n d e r e s t a t i s c h e E i g e n s c h a f t e n (die vor allem bei l o t r e c h t e r Achse der

Hl--Flache a u f i r e r e n ) e r l a u b e n die K o n s t r u k t i o n von Schalen mit g r o f e n S p a n n w e i t e n

u n d vergleichsweise g e r i n g e r S c h a l e n d i c k e . H P - F l a c h e n sind l e i c h t zu b e n u t z e n d e

G r u n d e l e m e n t e fiir den a r c h i t e k t o n i s c h e n E n t w u r f u n d v i e l f i l t i g im D e s i g n e i n s e t z b a r

(Abb . 9 . 4 2 ) .

Z u s a t z l i c h zur E r z e u g u n g als S c h i e b t l a c h e k a n n eine H P - F l a c h e wie folgt als

Regelflache erfasst w e r d e n (Abb. 9.43): W i r b e g i n n e n mit zwei w i n d s c h i e f e n .

G e r a d e n s t i i c k e n AB u n d DC u n d b e n u t z e n eine line are P a r a m e t e r d a r s t e l l u n g zur

D e f i n i t i o n k o r r e s p o n d i e r e n d e r P u n k r e P(u) u n d Q(u) a u f AB bzw. DC. D u r c h

V e r b i n d u n g von P(u) u n d Q(u) e r h a l t e n wir d a n n eine E r z e u g e n d e e( u) der

H P - F l a c h e .

(a)

A b b . 9 . 4 1Reqelflachen, e r z e u g t durch V e r b i n d u n ge n t s p r e c h e n d e r Punkte a u f p a r a m e t r i ­s i e r t e n Kurven.

Abb. 9 . 4 2HP-Flachen lrn Bauwesen.(a) Der Pengrowth Saddledome ( e r o f f n e t1 9 8 3 ) in Calgary von Graham McCourtg i l t als HP-Betonschale m i t der groBtenS p a n n w e i t e . Die g e o m e t r i s c h e Forme n t s t e h t durch S c h n i t t eines h y p e r ­bolischen Paraboloids m i t einer Kugel.(b) S p o r t h a l l e einer Schule in Houston,USA.

(b)

308

Rein geometrisch kann man korrespondierende Punkte durch Teilung von AB und

DC im selben Verhaltnis dist(A,P) : dist(P,B) = dist(D,Q) : dist(Q,C) erhalten. Eine

Parameterdarstellung grundet sich auf die Orrsvektoren der Punkte P und Q, namlich

p(u) = a + u.(b - a) = ( 1 - u ) . a + u · b und q(u) = ( 1 - u ) . d + u -c. Damit errechnet

sich ein allgemeiner Punkt der Erzeugenden e(u) als

x = (1 - v).p + u- q = ( 1 - v) .[(1 - u ) . a + u.b] + u- [(1 - u). d + u -c],

Das Resultat lautet schlieBlich:

x(u,v) = ( 1 - v ) . ( l - u ) . a + ( 1 - v ) . u . b + v . ( 1 - u ) . d + a - u - c .

Wenn die Parameter v und u nur Werre zwischen 0 und 1 annehmen, erhalten wir

jenes Stuck der H f - F l a c h e , welches durch das windschiefe ViereckABCD begrenzt

wird . Wenn wir auch Werre gri:iBer als 1 oder kleiner als 0 zulassen, beschreiben wir

Punkte der Hlt -Flache auBerhalb dieses Vierecks.

Die Parameterdarstellung einer H l - F l a c h e ist linear in den beiden Parametern v und

u . Wir konnen sie auch so schreiben:

x(u,v) = (1 - u). [(1 - v) . a + v.d] + u.[(l - v) .b + v .c].

Wenn wir nun r(v) = (1 - v).a + u- d und s(v) = (1 - v). b + v·c als Ortsvekroren von

Punkten R und S auffassen, erkennen wir, dass es auf der Flache eine zweite Scharvon

Geraden f( v) gibt, die durch Teilung der gegenuberliegenden Viereckseiten A D und BC im

gleichen Verhalrnis und Verbindung der Teilungspunkte entstehen (Abb. 9.44).

(b)

A b b . 9 . 4 3K o n s t r u k t i o n von Erzeugenden einerHP-Flache durch Verbindung e n t s p r e ­chender Punkte auf linear p a r a m e t r i ­sierten g e r a d l i n i g e n Strecken.

A b b . 9 . 4 4Eine HP-Flache t r a g t zwei Scharen vonGeraden.(a) K o n s t r u k t i o n der zweiten Schar.(b) Verwendung in einem Gartenpavillon.

( a )

D

B

309

H f - P l a c h e n und einschalige Hyperboloide tragen zwei verschieden Scharen von

Erzeugenden ex und.fx. Je zwei Geraden derselben Schar sind windschief, wahrend

Geraden verschiedener Scharen einander schneiden. Somit konnen HP-Flachen und

einschalige Hyperboloide in zweifacher Weise als Regelflachen aufgefasst werden.

Man bezeichnet sie daher gelegendich als doppelte Regelfldchen. Durch jeden Punkr

X einer doppelten Regelflache gehen zwei verschiedene Erzeugenden ex und.fx . Diese

Erzeugenden spannen die Tangentialebene im P u n k t X auf (Abb. 9.45). Man kann

beweisen , dass die Hlt-Flachen und die einschaligen Hyperboloide die einzigen Typen

doppelrer Regelllachen sind.

Im Gegensatz zum einschaligen Hyperboloid sind bei der HP- Flache die Erzeugenden

derselben Schar jeweils parallel zu einer Ebene, die Richtebene genannt wird. Genauer

formuliert ist die Situation so: Jede Ebene E, die zu zwei verschiedenen Erzeugenden

derselben Schar parallel isr, isr auch zu allen anderen Erzeugenden dieser Schar parallel ;

E gehorr einer Menge paralleler Ebenen an, von denen jede als Richtebene anzusehen ist,

Es gibt genau eine Tangentialebene der Hlt-Flache, die orthogonal zu den Richrebenen

beider Scharen ist . I h r Beruhrpunkt S ist der Scheitel der HP-Flache und die (zu beiden

Richtebenen parallele) Flachennormale im Scheitel ist die Achse (Abb. 9.46).

:

Richte bene 1: 2

/

A b b . 9 . 4 5HP-Flachen und e inschal ig e Hyp erbolo ­ide t ragen zwe i vers c h iedene Scha renvon Erzeugenden .

A b b . 9 . 4 6D ie Ri c h t e b e n e n de r be iden Erzeugen ­d e n s c h a r e n e i n e r HP-Flache si n dpara llel zu r Ach se . Daher b i l d e t e ineParalle lpro j e k t ion i n R i c h t u n g de r Achsed ie be iden Scharen auf zw ei Mengenparalle ler Geraden abo

. .. . . . . . . . « ; '

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . :.

!: '2

310

Abb. 9.47Eine HP-Flache kann als Reqelflacheoder als Schiebflache erzeugt werden.

A b b . 9 . 4 8Aile Erzeugenden eines Konoids sind zueiner Richtebene E parallel und t r e f f e neine Leitgerade C l '

E b e n e n p a r a l l e l zur Achse, die keine R i c h t e b e n e n sind, s c h n e i d e n die H f - F l a c h e in

P a r a b e l n ; sie k o n n e n zur E r z e u g u n g der Flache als S c h i e b f l a c h e v e r w e n d e t w e r d e n .

A b b i l d u n g 9.47 i l l u s t r i e r t beide E r z e u g u n g s w e i s e n - e i n e r s e i t s als Regelflache u n d

a n d e r e r s e i t s als Schiebflache.

K o n o i d e . W i r b e t r a c h t e n n u n eine V e r a l l g e m e i n e r u n g der H l t - F l a c h e n , n a m l i c h

Regelflachen , d e r e n E r z e u g e n d e zu e i n e r R i c h t e b e n e E p a r a l l e l s i n d u n d eine G e r a d e

( 1 treffen (Abb. 9 .48). Teile s o l c h e r K o n o i d e w e r d e n gerne zum E n t w u r f von S c h a l e n

o d e r S h e d d a c h e r n v e r w e n d e t (Abb . 9.35). O b w o h l die F o r m der z w e i t e n L e i t k u r v e ( 2

b e l i e b i g w a h l b a r ist, h a b e n wir a u f die richtige P a r a m e t r i s i e r u n g zu a c h t e n , d a m i t die

E r z e u g e n d e n auch p a r a l l e l zur R i c h t e b e n e sind.

~ /,

. / 1-f// 2/ .. c

/, : -=---

//

-

311

Beispiel:

P l t i c k e r - K o n o i d . A b b i l d u n g 9.49 zeigt

ein Beispiel mit der xy-Ebene als Richt­

ebene und der z -Achse als Leitgerade.

Die zweite Leitkurve (2 wurde als Ellipse

gewahlt ; sie liegt a u f einem D r e h z y l i n ­

der d u r c h die z-Ach se und ist symme­

tri sch zur y z - E b e n e ; ein H a u p t s c h e i t e l A

z

-­/(f-.

..... - ---

312

liegt also auf der z-Achse, In Abb. 9.49

ist das so erzeugte Pliak er-Konoid durch

die S c h n i t t k u r v e mit einem koaxialen

D r e h z y l i n d e r b e r a n d e t . Es sei hier noch

erwahnt, dass jeder D r e h z ylinder d u r c h

die z-Achse das Plucker - K o n o l d in einer

Ellipse sch n e id et .

z

A b b . 9 . 4 9Das PIOcker-Konoid e n t h a l t z u s a t z l i c hzu den E r z e u g e n d e n auch e ine Mengevon Ellipsen.

z

A b b . 9 . 5 0Die Tangentialebene in einem Punkt Peiner n i c h t - t o r s a l e n Erzeugenden eb e r u h r t die Regelflache nur in P.Verschiedene Punkte derselben Erzeu­genden haben verschiedene T a n g e n t i a l ­ebenen.

Abb . 9 . 5 1Eine windschiefe Regeflache m i t v i e rt o r s a l e n Erzeugenden el, , e4-

T a n g e n t i a l e b e n e n von Regelllachen. Die Tangemialebene in einem beliebigen Punkt

P ein er Regelflache enthalt die durch P gehende Erzeugende e. Wie in Abb. 9.50

darge stellt, beriihrt diese Ebene die Regeltlache in einem einzigen Punkt P. Wenn der

Punkt P eine Erzeugende e durchlaufi, dreht sich dabei seine Tangentialebene urn e.

Wir haben diese s Verhalten der Tangem ialebene bereits bei der HP-Fliiche kennen

gelernt.

Andererse its konnen Regeltlachen (wie etwa Zylinder oder Kegel) Erzeugenden

enthalten, langs denen die Tangentialebene langs d er gesamten Erzeugenden beriihrt.

Solche Erzeugenden heilsen torsale Erz eug enden, im Unterschied zum allgemeinen

Fall der ni cht-torsal en Er zeugenden (Abb. 9.50). Aile in den Abbildungen 9.48, 9.49,

und 9.51 dargestellten Konoide tragen zumindest eine tor sale Erzeugende.ln diesen

Beispiel en liegen die tor salen Erzeugenden in Symmetrieebenen der jeweiligen Hache.

313

Regelflachen , die n u r t o r sale E r z e u g e n d e n e n t h a l r e n , w e r d e n abwick elbar e Regelfliichen

g e n a n n t , w a h r e n d Regelflachen, d ie - abge sehen von e i n z e l n e n tors alen E r z e u g e n ­

den - vo r w iege n d n i c h t - t o r s a l e E r z e u g e n d e n t r a g e n , als windschi efe Regelfl iichen

bez e i c h n e t w e r d e n . Z y l i n d e r , Kegel u n d T a n g e n t e n f l a c h e n vo n R a u m k u r v e n

(A b b . 9.52 ) s in d abwickelbare Regelflachen , j a in gewi sser Wei se so ga r di e einzigen,

wie wir n o c h g e n a u e r au s f i i h r e n w e r d e n . Ab w i c k e l b a r e R e g e l f l a c h e n si n d B e s t a n d t e i l e

der all ge m ei n e n a b w i c k e l b a r e n Flachen, die v e r z e r r u n g sfrei in die Ebene a u s g e b r e i t e t

( a b g e w i c k e l t ) w e r d e n k o n n e n u n d in der Foige g e n a u e r b e t r a c h t e t w e r d e n so ll e n .

314

A b b . 9 . 5 2Be i e i ner a bw ickel b ar e n Reg el fl a ch eber u h r t je de Tan g e n t ial eb en e j e w e il sl a n q s e i ner gan zen Erzeug en d en .Plache n diese r A rt s ind die Zylinder, d ieKegel un d di e v on d e n Tan ge nten e i n e rR a u m k u r v e ge b ild et en Flachen. A il ed ie se Fl ac h e n k o n n e n v e r z e r r u n g s f r e ii n d ie Ebene a u sg eb r e it e t w e r d e n .

A b b . 9 . 5 3Walt Disney Concert Hall, Los Angeles,1 9 9 9 - 2 0 0 3 von Frank O. Gehry.

, .." .

A b w i c k e l b a r e FlachenDie B e d e u t u n g der a b w i c k e l b a r e n Flachen in der A r c h i r e k r u r hat v e r s c h i e d e n e

U r s a c h e n : Im M o d e l l b a u k o r n m t man zwangslaufig zu diesen Flachen, da sie die

e i n z i g e n sind, die man aus e i n e m S t u c k Papier o d e r K a r t o n leichr h e r s t e l l e n k a n n . Dies

liegr an der E x i s t e n z der A b w i c k l u n g , e i n e r v e r z e r r u n g s f r e i e n A b b i l d u n g e i n e r s o l c h e n

Flache in die Ebene. Au s d e m s e l b e n G r u n d lassen s i c h abwickelbare Flachen leichr m i t

Blech o d e r a n d e r e n M a t e r i a l e n m i t e i n e m a h n l i c h e n B i e g e v e r h a l t e n verkleiden. Die

Exi s t e n z von g e r a d l i n i g en E r z e u g e n d e n e r l e i c h t e r t ebenso den Bau dieser Fl achen .

Irn H i n b l i c k a u f die vielen Vorteile im Z u s a m m e n h a n g m i t der F e r t i g u n g ist es niche

i i b e r r a s c h e n d , da ss man ab wickelbare Flachen in e i n e r Re ihe w i c h r i g e r A r c h i t e k t u r ­

P r o j e k t e finder. In s b e s o n d e r e F r a n k O. G e h r y hat die se Flachen i m m e r w i e d e r

v e r w e n d e t (Abb, 9.53 ; s i e h e [Sh el d e n 2 0 0 2 ] ) .

F l a c h e n , d i e aus P a p i e r g e f o r m t w e r d e n k o n n e n , Ein B l a t t Papier nimrnt bei

Verbiegung eine Form an, die eine abwickelbare H a c h e d a r s t e l l t . D e n n die ebene

Ausgangslage u n d die erzielte Form s t e h e n o f f e n b a r in einer K o r r e s p o n d e n z , bei der

e n t s p r e c h e n d e Kurven gleich lang sind; ferner h a b e n e n t s p r e c h e n d e Bereiche gleichen

F l a c h e n i n h a l t u n d die S c h n i t t w i n k e l e n t s p r e c h e n d e r K u r v e n s t i m m e n iiberein. Eine

soIehe K o r r e s p o n d e n z w i r d als Isometrie (isometrische Abbildung) b e z e i c h n e t .

Abwickelbare Fliichen S sind dadurch gekennzeichnet, dass sie isometrisch, also

verzerrungsfei, in die Ebene abgebildet werden konnen .

Das ebene i s o m e t r i s c h e Bild sa w i r d alsAbwicklung (oder Verebnung) von S

b e z e i c h n e t . In der A b w i c k l u n g sind die Langen von Kurven, die S c h n i t t w i n k e l von

Kurven u n d F l a c h e n i n h a l r e von B e r e i c h e n jeweils u n v e r z e r r t , also i d e n t i s c h m i t den

e m s p r e c h e n d e n G r a g e n a u f der O r i g i n a l f l a c h e . Die I s o m e t r i e zur Ebene hat ein

spezielles K r i i m m u n g s v e r h a l t e n von S zur Folge, u n d dam it k a n n man beweisen,

dass es n u r drei G r u n d t y p e n von a b w i c k e l b a r e n Flachen gibt, Diese sind spezielle

R e g e l l l a c h e n (Abb. 9.52), die n u r torsale E r z e u g e n d e n t r a g e n u n d n u n g e n a u e r

b e t r a c h t e t w e r d e n soIlen .

Z y l i n d e r . Eine Z y l i n d e r f l a c h e Z wird von einer Schar p a r a l l e l e r G e r a d e n gebildet.

Z u r M o d e l l i e r u n g eines Z y l i n d e r s k a n n man von einer P r o f i l k u r v e p ausgehen

u n d diese e i n e r parallelen Extrusion u n t e r w e r f e n . Falls die P r o f i l k u r v e n o r m a l zur

E x t r u s i o n s r i c h r u n g r verlauti, h e i g t sie Normalschnitt. Aile E r z e u g e n d e n sind n a t i i r l i c h

parallel zu r.

Z u m besseren V e r s t a n d n i s der A b w i c k l u n g b e t r a c h t e n wir zuerst ein diskretes

M o d e l l , n a m l i c h ein Prisma. W i r e r h a l t e n das Prism a d u r c h Wahl eines Polygons als

N o r m a l s c h n i t t (Abb .9 .54).

r

r •~I'-

ph

p '

316

Abb . 9 . 5 4Ein Prisma und seine A b w i c k l u n g : EinN o r m a l s c h n i t t des Prismas wird aufeine g e r a d l i n i g e Strecke abgebildet.Die parallelen Prismenkanten er­scheinen auch in der Abwicklung alsparallele Geraden.

W e n n das N o r m a l s c h n i t t p o l y g o n p zu einer g l a t t e n Kurve v e r f e i n e r t wird, e r h a l t e n

wir in der Grenze einen Z y l i n d e r Z mit p a l s N o r m a l s c h n i t t k u r v e . Die A b w i c k l u n g

des Prismas wird in der Grenze zur A b w i c k l u n g des Zylinders. Die A b w i c k l u n g j r '

der Profilkurve p ist ein G e r a d e n s t i i c k . Aile E r z e u g e n d e n von Z sind u n t e r e i n a n d e r

parallel. Sie e r s c h e i n e n auch in der A b w i c k l u n g als G e r a d e n , wobei nariirlich der

rechte W i n k e l zum N o r m a l s c h n i t t auch in der A b w i c k l u n g a u f t r i t t (Abb . 9.55).

A b b . 9 . 5 5Eine Z y l i n d e r f l a c h e Z und ihre Abwick­lung: Ein N o r m a l s c h n i t t p von Z wirdauf ein GeradenstOck p. abgebildet.

Beispiel:

Drehzylinder und Schraublinien.

A b b i l d u n g 9 .56 zeigt die A b w i c k l u n g

eines D r e h z y l i n d e r s Z. D e r Basiskreis pdes Z y l i n d e r s hat den Radius R u n d da ­

her die Lange L = 2'JtR. Se ine Abwick -

Die Erzeugenden von Z werden aufparallele Geraden in der Abwicklungt r a n s f o r m i e r t .

l u n g pa ist so m i t ein G e r a d e n s t i i c k der

Lange L. Da der Z y l i n d e r geschlossen

ist, s c h n e i d e n wir ihn zuerst langs e i n e r

E r z e u g e n d e n a u f u n d b r e i t e n ihn d a n n

in die Ebene aus .

Ap

~---..,z

A· p.A

p.

A b b . 9 . 5 6Abwicklung eines D r e h z y l i n d e r s Z :Geraden s" der Abwicklung, die nichtparallel oder normal zu den verebnetenErzeugenden sind, rOhren von Schraub­linien 5 auf Z her. U m g e k e h r t hat jede

Schraublinie auf dem Z y l i n d e r einegeradlinige Abwicklung. Daher v e r l a u ­fen kOrzeste Wege auf dem D r e h z y l i n ­der entlang von Schraublinien, Kreisenoder Erzeugenden.

z

1

p.

B·

I ~~d

317

In der Abwicklung betrachten wir nun eine Gerade s'. Siesei g egeniib er der Basislinie lunter dem W inkel a geneigt; a soil n i che Null und auch kein rechter W inkel sein. Wir

wollen uns die Aufwi cklung naher ansehen (d.h., die Originalkurv e s auf dem Zylinder Z):D ie Gerade t schn eider die erste und letzte Erzeugende der Abwicklung (die zur

selben Erzeugenden vo n Z gehort ) in Punkten A d und E . A d h at einen gewisse n Abstand d

von der Basisliniel und E liegt in der H ohe d + h iiber pd.

A u f Z l i egen die Punkt e A undB auf derselben Erzeugenden, und zwar im Absrandh.

Wir betrachten nun den M ittelpunkt M" vo n Ad und E. Seine H ohe ist d + h/2 , und dies

ist auch die Hohe vo n M iiber dem Basi skrei s p. M enrsteh t ausA durch Dr ehung urn die

Z ylinder achse durch den W inkel vo n 180 Grad und durch Schiebungp arallel zur Achse urn

die Str eckenlang e i n:

Wenn wir allgemeiner A urn einen Bruchteil360 / N des vollen Winkels dr ehen und

in die Hohe d +h / N verschieben, so erh alten wir einen Punkr X, der au f s liegt (da der

enrsprechende Punkt X" auf t liegt) , Di es l asst un s die Kurve s als Schraublinie

erkennen. Viele ihrer Eigenschaften folgen unmittelbar aus der Abwicklung : t bildet den

konst ant en W in kel 90 ° - a mit d en verebneten Erzeugenden und wegen d er

W inkeltreue der Abwicklung sch neid et auch d ie Schraublinie s die Erzeugen den

des Z ylinders Z unt er dem fest en Win kel 90 °- a . Daher bilden die Tangenten der

Schrau blin ie den festen W in kel a mit d er Ebene des Basiskreises.

AIle Tangenten d er Schraublinie h aben einen festen Neigungswinkel bzw. eine feste

St eigung. D ah er ist die Schr aubl in ie ein Beispiel einer Kurve konstant er S teigu ng

(Bosch ungslin ie). Kiirz esre Wege (so genannte Geo d i t ische) auf dem Zylinder Z

entsprech en kiirze sten Wegen in der Abw icklun g. Da Letztere geradlinig sind, verlaufen die

kiirzesten Wege auf dem Dr ehzylinder auf Schraublinien , Kreisen oder E rzeug enden.

Abbildung 9.57 zeigt die Abwi cklung r! einer Ellipse e auf einem Dr ehzylinder Z. Die

Kurve r! auf Z d ist keine Ellipse! Man beachte, d ass der Schnit twinkel zwischen der

Ellips e und den Erzeugenden des Zylind ers variiert. Wegen der Erhaltungvon Winkeln

bei einer Abwicklung haben wir die selbe Variation des Winkels in der V erebnung . Auch

die Wendepunkte der Abwicklung konnen damit erklart werden. D as in Abbildung 9.57

dargest ellte Objekt enthalt neben dem Z ylinder stiickauch zwei ebene Flachen (begrenzt

von der Ellipse bzw. dem Basi skrei s). In der mit einem CAD -System erstellten Ab wicklung

(U nfo ld-O peration) des Objekts linden sich auch die un verze rrten Kopien dieser ebenen

Fl ache n,

318

A b b . 9 . 5 7Ellipsen e eines Drehzyl inders werdenbei dessen Abw icklung nicht auf Ellip ­sen abgeb ildet. Die Abwicklung e a einerEllipse e ist eine Sinus lin ie m i t Wende­punkten C', £Y , d ie von j e n e n PunktenC und 0 auf e h er rO h r en , i n denen d ieTangentialebene des Zy l i nders normalauf die Ebene der Ellipse steht.

z a

B e i s p i e l :

A b w i c k l u n g eines s c h i e f e n K r e i s z y l i n ­

d e r s . W i r b e t r a c h t e n eine Z ylinderfJ.ache

Z mit Basiskreis p, deren E r z e u g e n d e n

nicht o r t h o g o n a l zur Ebene des Basiskrei­

ses p si n d . Ein solcher Zylinder wird als

sch iefer Kreis zylinder bezeichnet. H i e r

wird der Basiskreis n i c h t a u f ein Geraden ­

st u ck abgebildet , d a p kein N o r m a l s c h n i t t

des Z ylinder s ist, W i r k o n n e n leicht die

Abb. 9.58Abwicklung eines schiefen K r e i s z y l i n ­ders: Dem Basiskreis p e n t s p r i c h t dieKurve p' i n der Abwicklung . JedemN o r m a l s c h n i t t des Z y l i n d e r s (Ellipse)e n t s p r i c h t eine g e r a d l i n i g e Strecke inder Abwicklung.

Variation des S c h n i t t w i n k e l s zwischen pund den E r z e u g e n d e n feststellen, die

auch in der Abwicklung ersichtlich wird

(Abb. 9.58 ) . Die N o r m a l s c h n i t t e von Z

sind Ellipsen. Diese Ellipsen werden bei

Abwicklung zu G e r a d e n s t u c k e n . W i e d e r

e r k e n n e n wir: Jene Punkte C, D vo n p, in

denen die T a n g e m i a l e b e n e von Z normal

zur Ebene von p steht , werden zu Wende-

p u n k t e n C' u n d D" der Abwicklung p-.A b b i l d u n g 9.58 zeigt eigentlich die Ab ­

wicklung einer N a h e r u n g des Zylinders

durch ein Prisma, das durch Approxima­

tion des Basiskreises mit einem Polygon

ent steht . Eine so lch e Abwicklung kann

von einem C A D - S ystem sehr einfach

mittel s der U n f o l d - O p e r a t i o n erstellt

werden.

319

Kegel. Rufen wir uns die Definition eines allgemeinen Kegels in Erinnerung:

Gegeben sind eine Profilkurve p und ein Punkt S; dann besteht der Kegel aus allen

Verbindungsgeraden von S mit Punkten von p. Wir konnen diese Flache auch

durch zentrale Extrusion erzeugen. Mit einem Polygon p a l s Profil erhalren wir eine

Pyramidenfldche . Pyramiden sind als diskrete Madelle glatter Kegel aufzufassen, so wie

Prismen diskrere Madelle von Zylindern darstellen.

Das Verstandnis der Abwicklung eines Kegels wird erleichtert, wenn wir zuerst

die Abwicklung einer Pyramide betrachten (Abb. 9.59). Die einfachsten

Referenzpolygone q auf einer Pyramide im Zusammenhang mit deren Abwicklungsind jene, deren Ecken im konstanten Abstand r zur Spitze S liegen. Sie sind die

Gegenstiicke zu den Normalschnitten eines Prismas . Naturlich liegen die Ecken der

Abwicklung rt von q auf einem in sa zentrierten Kreis vom Radius r.

Wir fiihren nun den Obergangzu glatten Kegeln durch. Dazu stellen wir uns vor, dass das

Profilpolygon p verfeinert wird und in der Grenze zu einer glatten Kurve wird (Abb. 9.60).

Aus der Pyramide wird dadurch ein Kegel K Das Polygon q im konstanten Abstandrvon S

wird in der Grenze die Schnittkurve von K mit einer in S zentrierten Kugel vom Radius r.

Die Abwicklung dieser Kurve ist ein Kreisbogen if mit Mirtelpunkr S' und Radius r . Die

Kurven q und rt sind selbsrversrandlich gleich lang.

A b b . 9 . 5 9Pyramidenflache und ihre Abwicklung:Einem Polygon q auf der Pyramide, des­sen Ecken einen k o n s t a n t e m Abstand rvon der Spitze 5 haben, e n t s p r i c h t in derA b w i c k l u n g ein Polygon, dessen Eckena u f einem Kreis m i t Mitte sa undRadius r liegen.

A b b . 9 . 6 0Abwicklung eines Kegels: Die S c h n i t t k u r ­ve q des Kegels m i t einer in der Spitze 5z e n t r i e r t e n Kugel vom Radius r schnei­det die Erzeugenden des Kegels u n t e r

r e c h t e m Winkel. I h r e A b w i c k l u n g qa istTeil eines Kreises m i t M i t t e sa undRadius r.

320

Als Beispiel zeigt Abbildung 9.61 die Abwicklungeines Drehkegelstumpfes. Wie bei

den Zylindern erfolgt die Abwicklung mit der Unfold-Operation.

Streifen ans ebenen Vierecken. Die in den Abbildungen 9.57 und 9.58 dargestellten

Zylinder sind eigenclich Naherungsflachen in Form von Prismen, und analog ist der

Kegel in Abbildung9.61 eigenclich eine Pyramide. In allen Fallen ist die abwickelbare

Hache aus (schmalen) ebenen viereckigen Seitenflachen aufgebaut. ]edoch sind diese

Srreifen von ebenen Vierecken insofern speziell, als die Kamen, Iangs denen die Vierecke

zusammenhangen, cnrweder parallel sind oder durch einen festen Punkt S gehen.

Wir wollen nun den allgemeinen Typ von Streifen aus ebenen Vierecken studieren und

nennen diese Objekte ebene Vierecksstreifen oder kurzEV-Streifen (Abb. 9.62). Die

zwei Randpolygone des Streifens seien PI> P 2, ... und QI> Q2 und so fort . Als Kamen

des Srreifens bezeichnen wir die Verbindungsstrecken P1QI> P~2' ..., hngs den en

aufeinander folgende Vierecke zusammenhangen.

Aufeinander folgendc Kamengeraden sind koplanar und schneiden daher in Punkten

R], R 2 und so weiter. Diese Punkte bilden die Ecken eines Polygons , das als

singulares Polygon des Streifenmodells bezeichnet wird. Wir konnen das singulare

Polygon als diskrete Raumkurve auffassen. Die Kamen dieses Polygons sind die

diskreten Gegenstiicke zu den Tangemen einer Raumkurve. Daher haben wir eine

diskrere Version der Menge der Tangenten einer Raumkurve (TangentenJlache einer

Raumkurve) .

Kanten sind k o p l a n a r und s c h n e i d e nd a h e r in P u n k t e n R 1 1 R 2 und so f o r t .Diese P u n k t e b i l d e n die Ecken des sog e n a n n t e n s l n q u l a r e n Polygons desS t r e i f e n m o d e l l s .

?oSI., ' .,. .,10 • • '

t~ ~ .:.

l,' : tt:_,..... . : .. ... ~.' . . ..

"", ".",".", "". '" , '

Abb . 9 . 6 2Ein von ebenen V i e r e c k e n g e b i l d e t e rS t r e i f e n ( E V - S t r e i f e n ) ist ein d i s k r e t e sModell e i n e r a b w i c k e l b a r e n Hache , DieVierecke hangen lanqs e i n e r Foige vonKanten z u s a m m e n . A u f e i n a n d e r f o l g e n d e

Abb . 9 .61Ein von e inem Kre is und e i n e r Ellips eb e r a n d e t e r D r e h k e g e l s t u m p f und se ineA b w i c k l u n g .

321

W i r rniissen hier etwas p r a z i s e r sein: U n s e r EV-Streifen e n t s p r i c h t n i c h t der g e s a m t e n

d i s k r e r e n T a n g e n t e n f l a c h e , s o n d e r n ist b l o f j e n e r Teil, der von den P o l y g o n e n p u n d qb e g r e n z t wird. D a h e r e r h a l t e n wir bei V e r f e i n e r u n g eines EV-Streifens in der G r e n z e

ein S t u c k e i n e r T a n g e n r e n f l a c h e e i n e r R a u m k u r v e (Abb. 9 . 6 3 ) .

EV-Streifen m i t e i n e m s i n g u l a r e n P o l y g o n s i n d die a l l g e m e i n e F o r m von

EV-Streifen. S t r e i f e n a u f P y r a m i d e n h a b e n n u r e i n e n s i n g u l a r e n P u n k t (die

Spitze S), u n d P r i s m e n h a b e n k e i n e n s i n g u l a r e n P u n k t , Diese B e o b a c h t u n g d e u t e t

s c h o n an, dass die T a n g e n t e n t l a c h e n von R a u m k u r v e n die a l l g e m e i n s t e Form

a b w i c k e l b a r e r RegeAachen sind. W i r w e r d e n sie d a h e r g e n a u e r s t u d i e r e n u n d k o n n e n

dabei a u f die S t r e i f e n m o d e l l e z u r i i c k g r e i f e n ,

U n t e r t e i l u n g s a l g o r i t h m u s z u r V e r f e i n e r u n g e i n e s E V - S t r e i f e n s . Es ist sehr e i n f a c h ,

die V e r f e i n e r u n g eines EV-Streifens im G e d a n k e n v o r z u n e h m e n . In der Praxis ist dies

n i c h t so. M a n muss n a m l i c h bei der V e r f e i n e r u n g dafiir Sorge tragen, dass die Vierecke

eben b l e i b e n . G e n a u das ist der s u b t i l e Teil. Liu et al. ( 2 0 0 6 ) h a b e n einen A l g o r i t h m u s

e n r w i c k e l t , der folgendermaiSen ablaufi : Ein g e g e b e n e r EV-Streifen wird e i n m a l

m i t t e l s eines g a n g i g e n U n r e r t e i l u n g s a l g o r i r h m u s wie etwa dem von C h a i k i n o d e r

Lane- R i e s e n f e l d ( K a p i t e l 8) v e r f e i n e r t . U n t e r t e i l u n g heiiSt hier A n w e n d u n g a u f die

b e i d e n R a n d p o l y g o n e u n d V e r b i n d e n e n t s p r e c h e n d e r Ecken . L e i d e r w i r d bei e i n e m

U n t e r t e i l u n g s s c h r i t t die P l a n a r i t a r e i n e r Reihe von Flachen zerstort, Dies wird d u r c h

e i n e n n a c h f o l g e n d e n O p t i m i e r u n g s s c h r i t t k o r r i g i e r t . D a n n u n t e r t e i l t man e r n e u r ,

o p t i m i e r t (d.h. p l a n a r i s i e r t ) w i e d e r , u n d so fort . H i e r a u s e r g i b t sich ein sehr n i i t z l i c h e s

M o d e l l i e r u n g s w e r k z e u g fur a b w i c k e l b a r e P l a c h e n s t r e i f e n (siehe Abb. 9 .63 u n d 9.64).

A b b . 9 . 6 3Verfeinerung eines EV-Streifens ( l i n k soben) m i t dem kubischen U n t e r t e i ­l u n g s a l g o r i t h m u s von Lane-Riesenfeld ,wobei auf jeden U n t e r t e i l u n g s s c h r i t tein P l a n a r i s i e r u n g s s c h r i t t e r f o l g t .

Dieser ist n o t w e n d i g , weil die reineU n t e r t e i l u n g die Ebenheit e i n i g e r Vier­ecke z e r s t o r t , Wir zeigen hier dasErgebnis nach ein, zwei und dreiS c h r i t t e n von U n t e r t e i l u n g undPlanarisierung.

A b b . 9 . 6 4Abwickelbares Mobiusband in der Formeines Knotens, k o n s t r u i e r t m i t t e l s derin Abb. 9.63 e r k l a r t e n Kombination vonU n t e r t e i l u n g und Planarisierung.

322

Abb . 9 . 6 5Diskretes Modell /);r e i n e r a b w i c k e l ­baren Flache, d e f i n i e r t durch einPolygon P r: Eine a l l g e m e i n e Ebene £

s c h n e i d e t diese p o l y e d r i s c h e Hache /); ,in einem Polygon, das einen scharfen

A b b . 9 . 6 6Verfeinerung des d i s k r e t e n Modells ts;(wie in Abb. 9 . 6 5 ) l i e f e r t in der Grenzedie Tanqentenflache t , einer Raum­kurve r. Tanqentenflachen von Raum­kurven sind abwickelbare R e q e l f l a c h e n ,Die Kurve r ist eine sinqulare Kurve aufder Hache und wird als Gratliniebezeichnet. Die Gratlinie ist einescharfe ROckkehrkante, was man etwaim S c h n i t t m i t einer Ebene e r k e n n t , derim S c h n i t t p u n k t m i t der Gratlinie eineSpitze aufweist.

Tangentenflachen von Raumkurven. Sei Pr ein Polygon mit Ecken RJ, R 2 , R 3 und so

fort (Abb. 9 .65). Aus diesem Polygon erhalten wir (wie oben beschrieben) ein diskretes

Modell einer Tangententlache, Je zwei aufeinander folgende Ecken R 1R 2, R 2R 3 , . .. ,

bestimmen eine Kante des Modells, und je drei aufeinander folgende Ecken R 1R 2R 3 ,

R2R~4"'" bestimmen eine Seircntlachenebene des Modells.

Wenn wir die gesamten Kantengeraden und die von diesen in den Seirenflachen

begrenzten doppelkeilformigen Bereiche betrachten, so ergibt sich eine polyedrische

Hache I1 r , die das Polygon pr als singulares Polygon in folgendem Sinn enrhalr: Schnitt

der Hache I1 r mit einer allgemeinen Ebene E liefert ein Polygon, das im Schnittpunkt von

e mit dem singularen Polygon Pr einen scharfen Riickkehrpunkt besitzt,

Wenn aus Pr bei Verfeinerung in der Grenze eine glatte Kurve r wird, werden die

Kanten R t R 2, R 2R 3 , . . . des Modells I1 r die Tangenten von r, und daher entsteht aus

dem diskreten Modell in der Grenze die Tangentenflache T, von r (Abb. 9.66).

Die Seitenfiachenebenen von I1 r werden in der Grenze zu Tangentialebenen

von T,. Als Grenzlagen der Verbindungsebenen von drei aufeinander folgenden

Polygonecken erkennen wir die Tangentialebenen als Schmiegebenen von r. Wir

sehen auch, dass eine Tangenrenflache T, eine spezielle Regelflache ist, da sie von ihren

Tangentialebenen jeweils langs der gesamten Erzeugenden beriihrt wird. In der oben

eingefiihrten Terminologie ist somit T, eine tarsale Regelflache. Die Kurve r ist auf

der Tangentenflache eine scharfe Riickkehrkante und wird daher auch als Gratlinie

bezeichnet. In vielen Anwendungen wird man nur solche Stucke von Tangentenflachen

verwenden , die keine Teile der Gratlinie enthalten.

Die Abwickelbarkeit von T, folgt aus der offensichtlichen Abwicklung des diskreten

Modells I1 r •

ROc kkeh rpunk t (von de r Art ei n e rSpit ze) im Schnit t p u n k t von p , und £

au f w e ist . Dahe r w i r d p , als sl nq u l a re sPolygon von {j" be ze ichn et .

323

Dies sind aile abwickelbaren Flachen. AIle drei oben diskutierten elementaren Typen

von abwickelbaren Flachen (Zylinder, Kegel, Tangentenflachen von Raumkurven)

haben folgende Eigenschaften gemeinsam: Sie sind spezielle Regeltlachen , die nur

torsale Erzeugenden tragen. Dies bedeutet, dass die Tangentialebene jeweils langs

der gesamten Erzeugenden beriihrt. Oberdies tragen diese Flachen nur parabolische

Punkte oder Flachpunkte (vgl. K a p i t e l 7 ) .

Man kann zeigen, dass wir dam i t eigentlich aIle abwickelbaren Flachen im folgenden

Sinn beschrieben haben: Jede abwickelbare Flache ist aus Flachen dieses Typs und

eben en Stiicken zusammengesetzt. Man beachte, dass ebene Flachen als Sonderfall

jedes Grundtyps aufgefasst werden konnen: als Kegel oder Zylinder mit geradlinigem

Profil und als Tangententlachen ebener Kurven. Abbildung 9.67 a zeigt als Beispiel

ein Modell eines Blatt Papiers, das aus einem ebenen Stuck und vier abwickelbaren

Regelflachen modelliert ist, Die Schrifi (Texrur) kann auf einer abwickelbaren Hache

verzerrungsfrei aufgebracht werden. Ebenso konnen abwickelbare Flachen einfach mit

Blechbahnen oder Paneelen eingedeckt werden (Abb. 9.67b).

A b b . 9 . 6 7(a) Mittels der Abbildung von derAbwicklung auf die O r l q l n a l f l a c h e kannman eine Textur v e r z e r r u n g s f r e i aufeine abwickelbare Flache a u f b r i n g e n( B i l d e r : P. Bo und W. Wang).(b) Man kann so auch sehr einfach dieBedeckung einer abwickelbaren Flache<I> mit Blechbahnen oder Paneelen ent­werfen.

324

( b) M o d e l l m i t a b w i c k e / b a r e n B / e c h b a h n e n

M o d e l l m i t s e c h s e c k i g e n Panee/en

A b b . 9 .68Das Netz eines Polyeders weist beij e d e r elliptischen Ecke eine Spalte auf.Da die Summe der Eckenwinkel k l e i n e rals 360 Grad ist, kann das Netz jedesEckensterns z u s a m m e n M n g e n d ausge­f u h r t werden.

B e m e r k u n g e n zur U n f o l d - O p e r a t i o n . Da wir bei der k o n s t r u k t i v e n D u r c h f i i h r u n g

der A b w i c k l u n g m i t H i l f e eines C A D - S y s t e m s m e h r m a l s a u f die U n f o l d - O p e r a t i o n

verwiesen h a b e n , seien hier n o c h kurz einige w i c h t i g e Effekte u n d T a t s a c h e n iiber

diese O p e r a t i o n b e s c h r i e b e n , auch w e n n dies den Fluss des v o r l i e g e n d e n Kapitels in

gewisser Weise kurz u n t e r b r i c h t .

Jede Flache k a n n m i t b e l i e b i g e r G e n a u i g k e i t d u r c h ein Polyeder, also eine aus e b e n e n

F l a c h e n s t u c k e n a u f g e b a u t e Flache a n g e n a h e r t w e r d e n . A u f solche p o l y e d r i s c h e

Flachen k a n n die U n f o l d - O p e r a t i o n a n g e w e n d e t w e r d e n . Das E r g e b n i s dieser

O p e r a t i o n w i r d g e l e g e n t l i c h als Netz o d e r sogar auch als A b w i c k l u n g des Polyeders

b e z e i c h n e t ; es liegt in der E b e n e u n d zeigt jede einzelne S e i t e n f l a c h e des Polyeders in

der w a h r e n G r o g e u n d Form. Jede Flache des Netzes ist k o n g r u e n t zur e n t s p r e c h e n d e n

Flache des Polyeders, was beim Bau eines M o d e l l s v e r w e n d b a r ist ,

Es e r h e b t sich n u n die Frage, w a r u m n i c h t jede Flache a b w i c k e l b a r im u r s p r i i n g l i c h e n

S i n n ist, w e n n man d o c h stets ein ebenes N e t z eines N a h e r u n g s p o l y e d e r s h e r s t e l l e n

k a n n . Die A n t w o r t ist aus dem in Abb . 9.68 g e z e i g t e n Beispiel u n m i t t e l b a r e r s i c h t l i c h .

U n f o l d e r z e u g t einen s t a r k z e r k l i i f t e t e n e b e n e n Bereich, der z a h l r e i c h e Liicken

( " S p a l t e n " ) aufweist. Je feiner die p o l y e d r i s c h e N a h e r u n g a u s g e b i l d e t wird, desto

m e h r S p a l t e n e n t s t e h e n . Wegen des m a n g e l n d e n Z u s a m m e n h a n g s des e b e n e n N e t z e s

k a n n es n i c h t als A b w i c k l u n g gesehen w e r d e n , z u s a m r n e n h a n g e n d e Polygone a u f dem

O r i g i n a l w e r d e n in viele T e i l s t r e c k e n des N e t z e s zerlegt, und d a h e r k a n n man n i c h t

von L a n g e n t r e u e s p r e c h e n . Man vergleiche Abb. 9 .68 m i t den v o r h i n b e s p r o c h e n e n

A b w i c k l u n g e n , wo d e r a r t i g e S p a l t e n n i c h t a u f t r e r e n , Es sei n o c h h e r v o r g e h o b e n ,

dass das N e t z n i c h t e i n d e u t i g b e s t i m m t isr, weil es z a h l r e i c h e F r e i h e i t s g r a d e fiir die

Z u s a m m e n f i i g u n g der S e i t e n f l a c h e n in der E b e n e gibe (siehe K a p i t e l S).

U n f o l d - O p e r a t i o n---------~

325

Bei etwas g e n a u e r e r B e t r a c h t u n g o d e r beim Spielen m i t der U n f o l d - O p e r a t i o n wird

man sch n ell feststellen , da ss die S p a l t e n n i c h t der s c h l i m m s t e Effekt sind. E s wird auch

v o r k o m m e n , da ss das N e t z gar n i c h t zu s a m m e n h a n g e n d ist (siehe Abb. 9.69). W i r

wollen n o c h versuchen , die sen Effekt et was besser zu verstehen,

W i r b e t r a c h t e n zuer st eine ellipti sc he Ecke P eines Polyed er s (A b b . 9 .68). Dies ist

ein E c k p u n k t , in dem die Summe der bei U m l a u f der Ecke g e m e s s e n e n W i n k e l

a u f e i n a n d e r f o l g e n d e r K a m e n k l e i n e r als 360 G r a d ist, Urn den " St ern " von

S e i t e n f l a c h e n , die in P z u s a m m e n l a u f e n , in die Ebene a u s z u b r e i t e n , mii ssen wir

lang s ( r n i n d e s r e n s ) einer der K a m e n a u f s c h n e i d e n ; dies f i i h n zu e i n e r der oben

a n g e s p r o c h e n e n Spalten.

Die S i t u a t i o n ist in einer hyperbolischen Ecke viel s c h l i m m e r : H i er ist die

E c k e n w i n k e l s u m m e groBer als 360 G r a d (Abb. 9.69). Z u r V e r m e i d u n g von

O b e r l a p p u n g e n in der A b w i c k l u n g b r a u c h e n wir n u n zwei S c h n i t t e langs K a m e n

des E c k e n s t e r n s urn P, u n d d a h e r z e r f a l l t sein Nerz in zwei Teile. Da dies fiir j e d e n

h y p e r b o l i s c h e n Ecken stern gilt, k a n n da s N e t z in sehr viele Teile zerfallen.

Ellipti sche u n d h y p e r b o l i s c h e Ecken sind G e g e n s t i i c k e zu den in K apitel 7

ang e s p r o c h e n e n e l l i p t i s c h e n u n d h y p e r b o l i schen F l a c h e n p u n k t e n einer g l a t t e n

Flache, W e n n wir also die U n f o l d - O p e r a t i o n a u f ein N a h e r u n g spolyeder e i n e r Flache

anw e n d e n , die h y p e r b o l i sche (sa t r el fo r m ig c) Bereiche e n t h a l t , b e w i r k t dies einen

Z e r f a l l de s N e t z e s in w o m o g l i c h sehr viele Teile (sieh e Abb . 9.69 ). G l i i c k l i c h e r w e i se

gibr es heure g u t e T e c h n i k en , die es un s erl auben, 3 - D - M o d e l l e h e r z u stellen , o h n e

das s wir a u f N e t z e u n d M o d e l l e aus K a r t o n o d e r Papier z u r i i c k g r e i f e n mii ssen (siehe

Kapirel l Z),

U n f o l d - O p e r a t i o n-----'-----~

326

Abb . 9 .69Die Anwendun g e in e r Unfol d - Operat ionau f e i n Polye der b i rg t b ei eine r hvp erbo ­lischen Ecke Pro b le me . Da die Winke l­s u m m e in eine r so lchen Eck e gro Ber als360 Gr a d ist, muss e i n Ober lappungs­f reie s Netz des Eck en st ern s in zwei Tei leze rl eg t werden. Daher zerf a llt d a s Netzeiner po ly ed r ischen Flac he, d ie e ineHac h e m i t h y p e r b oli sche n ( loka l sattel ­fOrmi gen ) Bereich en a n nah ert , i n vieleTeile.

A b b . 9 . 7 0Eine Schraubflache wird durch Anwen­dung einer stetigen Schraubung aufeine Kurve c erzeugt.

S c h r a u b f l a c h e nWenn wir eine R a u m k u r v e c einer s t e t i g e n S c h r a u b u n g u n r e r w e r f e n , so i i b e r s t r e i c h t sie

dabei cine Schraubflache (Abb . 9.70). 1m Laufe der S c h r a u b u n g d u r c h l a u f i ein P u n k t P

der e r z e u g e n d e n Kurve c eine S c h r a u b l i n i e b p ( B a h n s c h r a u b l i n i e ) . D a h e r wird die

S c h r a u b f l a c h e von e i n e m N e t z aus S c h r a u b l i n i e n u n d einer Schar zu c k o n g r u e n t e r

Kur ven i i b e r z o g e n . Die T a n g e n t i a l e b e n e in einem beliebigen F l a c h e n p u n k t Q wird

d u r c h die P r o f i l t a n g c m e t , u n d die T a n g e m e t b an die B a h n s c h r a u b l i n i e a u f g e s p a n m .

A n a l o g zu den D r e h t i a c h e n werden S c h n i t t e m i t E b e n e n d u r c h die S c h r a u b a c h s e als

Merid iane m b e z e i c h n e t .

327

M e r i d i a n e o d e r Q u e r s c h n i t t e in E b e n e n n o r m a l zur S c h r a u b a c h se w e r d e n gerne zur

Festle g u n g vo n SchraubfHi c h e n h e r a n g e z o g e n ( A b b . 9.71). E s ist wich rig, zu e r k e n n e n,

das s ein e Schraubflache bei A n w e n d u n g d er e r z e u g e n d e n S c h r a u b u n g (als G anze s)

in s i ch tr an s f o r m i e r t w i r d . D a h e r k a n n d ie Schraublla che auch d u r ch Ver s c h r a u b u n g

ein es Me ridi an s o d e r e ines Q u e r schn i t t s erze u g t we r d e n .

M a t h e m a t i s c h e B e s c h r e i b u n g . B e i K e n n t n is der Par a m e t e r d a r s t e l l u n g c(v) = (x(v),

y(v), z(v)) de s e r z e u g e n d en Profil s set z e n w ir die se in d ie Gl e i c h u n g en ein er ste t ig e n

S c h r a u b u n g m i t d em P a r a m e t er p ( vgl. K a p i t e l 6 ) ,

X l = x · cos U - y . s in u,

Yl = x -si n u + y ·cos u,

Z j < z-r p-u,

ein u n d e r h a l t e n eine P a r a m e t e r d a r s t e l l u n g der Schr aubflach e in d er F o r m

x (u,v) = x (v).cos u - y( v) .sin u,

y( u,v) = x(v) .sin u + y(v) .cos u,

z (u, v) = z(v) + r «Un ter V e r w e n d u n g e i n e r M eridi a n k u r ve m ( v) = (x(v), O,z(v)) i n d er xz -Ebene a ls

erzeu gen d e K u r ve verein f a c h t sic h di e P ar am e t e r d a r s t e l l u n g zu

x ( u,v) = x(v). cos u,

y( u,v) = x ( v ) . s i n u,

z (u,v) = z( v) + p.u.

A b b . 9 .71Schraubflachen ktinnen auch durchVerschraubung eines Meridians odere ines Q u e r s c h n i t t s e r z e u g t werden.

328

M e r i d ian Que r s c h n i t t

Sp e zielle Schraubflachen, Ei nfac he u n d h aufi g ve r we n d e t e Sonderfalle von

Sc hrau bflac h e n sin d je ne , b ei den en ein gera d l i n i g e s o de r k r e l s fo rm ig e s P r o fil

ve rs ch r au b t w ird. Ma n ka n n sc h l a u c h a rt ige Sch ra u bflac he n d u t ch Wa h l eine s

Kreise s als M e r i d i a n o de r Q u e rs c h n i rt e r ze uge n . W a h l t m a n a ls erze uge n de K urve

eine n Krei s c so, d ass seine Eb en e n o r m a l a u f di e Ta n ge n t e a n di e Sc h ra u b ba h n

se ines M i t t elpu n k t s ste h r , d an n erz e u g t c ei ne Sch r a u b r o h rfla ch e (A b b. 9 .72 ). D i e

l et zt gen a n n t e Fl ach e geh o r t d er Kl asse d er R oh rfl ach en an, m i t d er wir un s am E n de

dieses K ap it el s n o ch ge na uer b e f assen we r den .

T r i i q e r e b e n e des erzeugenden Kreises n o r m a l z u r Schraubachse

A b b . 9 .72Schraubflachen m i t Kreisen alserzeugende Kurve n.

erzeugende Kreise in Meridianebenen

Treqerebene des erzeugenden Kreises n o r m a l z u r M i t t e n s c h r a u b l inie

329

A n w e n d u n g e i n e r S c h r a u b u n g a u f ein g e r a d l i n i g e s Profil e r z e u g t eine S c h r a u b r e g e l ­

flache . D e r e i n f a c h s t e u n d w i c h t i g s t e Fall ist j e n e r der Schraubwendeljidche (oft

auch n u r als Wendeljidche b e z e i c h n e r ) (Abb. 9.73). Diese Flache w i r d von e i n e r

G e r a d e n u b e r s t r i c h e n , welche die S c h r a u b a c h s e r e c h r w i n k l i g t r i f t t . Die g e r a d l i n i g e n

E r z e u g e n d e n s i n d n o r m a l zur S c h r a u b a c h s e u n d b e s i t z e n d a h e r eine R i c h t e b e n e :

n a t i i r l i c h ist jede zur S c h r a u b a c h s e n o r m a l e E b e n e als R i c h t e b e n e v e r w e n d b a r .

D a m i t e r k e n n e n wir die W e n d e l f l a c h e als K o n o i d m i t der S c h r a u b a c h s e a als Leitgerade

u n d einer B a h n s c h r a u b l i n i e s als weitere L e i t k u r v e (Abb . 9 .74). W e n d e l f l a c h e n t r e t e n im

A r c h i r e k t u r b e r e i c h haufig in Z u s a m m e n h a n g m i t W e n d e l t r e p p e n a u f (Abb. 9.75) .

o

cJ~ i

/ / ' .I

, , / .1

1 - - # - _ -

I1.II

i~,~e"l: 1-

?R i c h t e b e n e E "

330

A b b . 9 . 7 3Die Wendelflache ist eine Schraubflache,deren g e r a d l i n i g e Erzeugenden dieSchraubachse r e c h t w i n k l i g schneiden.

A b b . 9 . 7 4Eine Wendelflache kann auch als Konoide r z e u g t werden.

Die Frage nach den abwickelbaren SchraubJlachen ist l e i c h t g e k l a r t . Schliefst man den

Fall eines S c h r a u b z y l i n d e r s (d .h ., eines m i t der S c h r a u b a c h s e k o a x i a l e n D r e h z y l i n d e r s )

aus, so b l e i b t n u r n o c h eine T a n g e n t e n l l a c h e u b r ig . Da eine S c h r a u b l i a c h e bei

A n w e n d u n g der e r z e u g e n d e n S c h r a u b u n g in sich i i b e r g e h e n muss, gilt dies auch

fur die s i n g u l a r e Kurve ( G r a t l i n i e ) der T a n g e n t e n f l a c h e . Also muss die G r a t l i n i e

eine S c h r a u b l i n i e sein , u n d d a h e r s i n d die a b w i c k e l b a r e n S c h r a u b f l a c h e n die

TangentenJlachen von Schraublinien (Abb. 9 .76).

A b b . 9 . 7 5Wendelflachen bei einer W e n d e l t r e p p e .

A b b . 9 .76Bei V e r s c h r a u b u n g der Tangente e i n e rS c h r a u b l i n i e e n t s t e h t eine a b w i c k e l b a r eS c h r a u b f l a c h e .

331

332

A b b . 9 . 7 7Eine Rohrflache kann als Hullflachek o n g r u e n t e r Kugeln mit Mitten aufeiner gegebenen Kurve c ( l i n k s ) oderauch als Menge kongruenter, in denNormalebenen von c Iiegender und aufc z e n t r i e r t e r Kreise ( r e c h t s ) erzeugtwerden .

R o h r f l a c h e nEine Rohrflache ist die Hiillflache einer Schar von Kugeln, deren M i t t e n a u f einer

Kurve c, der so g e n a n n t e n M i t t e n l i n i e , liegen u n d die einen festen Radius r h a b e n

(Abb. 9.77). Einfache S o n d e r f a l l e sind der D r e h z y l i n d e r ( m i t g e r a d l i n i g e r M i t t e n ­

linie) und der Torus , der als Rohrflache m i t einem Kreis als M i t t e n l i n e aufgefasst

werden kann. Eine Rohrflache ist d u r c h ihre M i t t e n l i n i e und den Radius r

festgelegt . Sie wird auch von einer Schar von Kreisen vom Radius r gebildet, die in

den N o r m a l e b e n e n von c liegen u n d ihre M i n e auf c haben.

Urn k u r v e n a r t i g e S t r u k t u r e n in e i n e m D e s i g n zu r e a l i s i e r e n , muss man i h n e n eine

Dicke geben. Die h a l b e D i c k e k a n n dabei als R a d i u s e i n e r R o h r f l a c h e a u f g e f a s s t

w e r d e n . In der Praxis k a n n man M e t a l l r o h r e in eine g e e i g n e t e Form biegen

(Abb. 9 . 7 8 ) , w o b e i die p r a z i s e F e r t i g u n g s o l c h e r R o h r e eine H e r a u s f o r d e r u n g

d a r s t e l l r .

A b b . 9 . 7 8Die "Shoal f l y - b y " - S k u l p t u r von SIAL,i n s t a l l i e r t in den Hafenanlagen vonMelbourne.

lZapite\ 10o f f s e t s

O f f s e t sDas englische W o r t Offiet hat viele ve r s ch ie d e n e B e d e u r u n g e n : Ab s t a n d , Ausgleich ,

V e r s c h i e b u n g , Versatz sind n u r einige U b e r s e r z u n g s m o g l i c h k e i r e n . 1m g e o m e t r i s c h e n

Zu s a m m e n h a n g me inen wir d a m i t Par a l l e l k u r v e n u n d P a r a l l e l l l a c h e n . Beim

M o d e l l i e r e n m i t C A D - S o f t w a r e w e r d e n n e b e n den V o l u m e n m o d e l l e n oft auch

F l a c h e n r n o d e l l e g e o m e t r i scher O b j e k r e ve r w e n d e t . Da ein F I a c h e n m o d e l l keine D i c k e

h at , muss dieses in der A r c h i t e k r u r u n d im Bauwesen d u r c h eine Schale erserzt w e r d e n

(Abb . 10 .1) . Urn dies bereits be im v i r t u e l l e n M o d e l l d u r c h f i i h r e n zu k o n n e n , g i b t es in

C A D - S y s t e m e n die O f f s e t - F u n k t i o n . D a m i t k a n n meist ein S c h a l e n m o d e l l k o n s t a n t e r

Dicke a u t o ma t isc h h e r g e s t e l l t w e r d e n ( u n d im K u r v e n f a l l ein Streifen kon s t a n t e r

Breite).

Abb. 10.1Das Dach des K o n f e r e n z z e n t r u m s derDG Bank ( 1 9 9 5 - 2 0 0 1 ) in Berlin vonFrank O. Gehry.

Bei der Diskussion von Offsets sehen wir rasch, dass die Offser-Funktion

rnoglichcrweise Selbstschnitte erzeugt. Weiters konnen Teile des Offsets naher beim

Originalobjekt liegen als es die Offsetdistanz erlaubr. Diese unerwiinschten Teile von

Parallelkurven und Paralleltlachen entfernen wir durch Wegtrimmen. Wir werden

uns mit den Offsets von ebenen Kurven und gckrumrnren Flachen be schafiigen.

Wir beschliefen das Kapirel mit verschiedenen Anwendungen von Offsets, wie

zum Beispiel deren Einsatz fur die Erzeugung von Ausrundungs/lachen oder fur die

Konstruktion von Dachausmittlungen.

Abb. 10 .2Eine g l a t t e ebene Kurve hat in jedemK u r v e n p u n k t eine e i n d e u t ige Tangenteund eine e i n d e u t i g e Normale. DerAbstand zur Kurve wird lanqs derK u r v e n n o r m a l e n gemessen.

338

(b)

-\ "I, , \ , , , ' I......... -~ "

......... I

....... I-- "- - , - - . . - ---I '

I ,, .., .. .. ..

, ..-/ ' ,I ,,-..&.._ ..

/

, , I, ../ " ..- - ..

Abb. 10.3Offsets von g l a t t e n eben en Kurven.

(c)

O f f s e t k u r v e nIn jedem Punkt P einer glatten ebenen Kurve k gibt es eine eindeutige Tangente t und eine

eindeutige Kurvennormale n (Kapitel7). Die zur Tangente t orthogonale Kurvennormale

wird verwendet, urn den Normalabstand eines Punktes von der Kurve zu messen . Auf

jeder Kurvennormalen n gibt es genau zwei Punkre QI und Q2 die zum Kurvenpunkt P

die Entfemung d besitzen . Wir £lnden diese Punkte zum Beispiel alsSchnittpunkte eines

Kreises (Mitre P und Radius d) mit der Kurvennormalen (Abb. 10.2).

Offsets von g l a t t e n e h e n e n Kurven. Fiir eine glatte ebene Kurve k definieren wir die

Offsetkurve k d im Abstandd (der Kiirze wegen oft auch b l o f als Offset bezeichnet) wie

folgt: Aufjeder Kurvennormalen markieren wir die beiden Punkte, die den Abstand dzur Kurve k besitzen. Die Menge dieser Punkte bildet das Offset k d (Abb. 10.3a).

Wir sehen, dass Offsetkurven dieselben Kurvennormalen aufweisen wie die

Ausgangskurve. Damit sind aber auch die Tangenten der Kurven k and k d in

zugeordneten Punkten zueinander parallel. Dies erklart, warum Offsetkurven oft auch

als Parallelkurven bezeichnet werden. Abbildung 10.3 illustriert, wie Offsetkurven

auch als Einhiillende einer Menge von Kreisen mit Radius d und Mitten auf der Kurve k

erzeugt werden konnen.

Durch Variieren des Abstandes d erhalten wir rasch eine Familie von Offsetkurven.Fiir eine geschlossene konvexe Kurve besteht das Offset aus genau zwei

Kurvenzweigen, einem aufjeder Seite der Ausgangskurve k (Abb. 10.3b). Im FaIle

einer offenen Kurve (d.h., einer Kurve mit Anfangs- und Endpunkt) gibt es zumindest

zwei verschiedene Moglichkeiten , das Offset in den beiden Endpunkten A und B zu

definieren. Einerseits konnen wir zwei nicht zusamrnenhangende Zweige konstruieren

(Abb. 10.3c). Andererseits kann das Offset zusammenhangend sein, wobei jeder der

beiden Endpunkte einen Halbkreis zum Offset beitragr (Abb. 1 0 J d ) .

(d)

339

M a t h e m a t i k :

B e r e c h n u n g e i n e r O f f s e t k u r v e . W i r b e r e c h n e n eine O f f s e t ­

k u r v e wie folgt. W i r v e r w e n d e n

k(t) = (x(t),y(t))

als P a r a m e t e r d a r s t e l l u n g einer e b e n e n Kurve . Diese Kurve soli

nach z u n e h m e n d e n W e r r e n des Parameters t o r i e n r i e r t sein,

W i r b e r e c h n e n z u n a c h s t die E i n h e i t s n o r m a l v e k r o r e n n(t).

D i e V e k t o r e n n(t) e r h a l t e n w i r d u r c h eine D r e h u n g der ori­

e n t i e r t e n T a n g e n r e n v e k t o r e n k' (t) = (x' (t)J" (t)) urn 90 G r a d

gegen d e n U h r z e i g e r s i n n . A n s c h l i e f e n d n o r m i e r e n wir die

g e d r e h t e n V e k t o r e n , i n d e m w i r jede K o o r d i n a r e d u r c h d ie

Lange v o n k'(z) d i v i d i e r e n ,

(-y'(t),x'(t))n(t) - ~~==;::7~- Yx'(t)2 + y ' ( t f

Fiir die O f f s e t k u r v e kAt) im Absrand d zur K u r v e k(t) erhal­

ten w i r d a m i t die P a r a m e t e r d a r s t e l l u n g

k d(t) = k(t) ± d · n(t).

B e i s p i e l :

O f f s e t s e i n e s K r e i s e s und e i n e r E l l i p s e .

Fiir e i n e n Kreis m i t M i t r e M u n d Ra­

d i u s r e r z e u g e n w i r die O f f s e t k u r v e im

Abstand d. Das O f f s e t besreht aus ei­

n e m P a a r v o n K r e i s e n m i t d e m s e l b e n

Z e n r r u m M u n d R a d i e n r + d bzw r - d

( A b b . 1 0 . 4 a ) . Bei e i n e m Kreis s i n d aIle

O f f s e t s w i e d e r Kreise. Aile diese Kreise

h a b e n d i e s e l b e n K u r v e n n o r m a l e n u n d

p a r a l l e l e T a n g e n t e n in e i n a n d e r e n r s p r e ­

c h e n den P u n k t e n . 1m A I I g e m e i n e n gilt

allerdings, dass das O f f s e t e i n e r e b e n e n

K u r v e niche vom s e l b e n Typ ist,

Das gilt b e r e i t s fiir den Fall der Ellipse.

Das O f f s e t k d e i n e r Ellipse k i s t kein Paar

v o n E l l i p s e n . A u f d e n e r s t e n Blick er-

s c h e i n r das i i b e r r a s c h e n d zu sein, d e n n

fiir eine k l e i n e O f f s e t d i s t a n z d s c h a u t

das O f f s e t e i n e r Ellipse n o c h i m m e r ellip­

s e n a h n l i c h aus . V e r g r o S e r n wir j e d o c h

den A b s t a n d d, so s e h e n wir sehr rasch,

dass die P a r a l l e l k u r v e n keine E l l i p s e n

s i n d , da der i n n e r e Teil S e l b s t s c h n i r t e

a u f w e i s t ( A b b . 1 0 . 4 b ) .

Abb. 10.4(a) Die Offsets eines Kreises sindkonzentrische Kreise.(b) Die Offsets e l n e r Ellipse sind vona l l g e m e i n e r e r Natur und keine Ellipsenmehr .

3 4 0

K u r v e , O f f s e t u n d E v o l u t e . W ir er i n ne rn uns an Kapitel Z, wo w ir die Evolute e einer

eben en Kurve k als die O r t slinie der M i t t e n aller K r i i m m u n g skreise von k e r k l a r t

haben. Die Evolute ist auch die E i n h i i l l e n d e aller K u r v e n n o r m a l e n . W i r n e h m e n an:

K(t) ist die K r i i m m u n g u n d r(t) = I 1IK(t) I der K r i i m m u n g s r a d i u s im K u r v e n p u n k t

P = k(t) . D e n k l e i n s t e n W e r t u n d den gr6Gten W e r t des K r i i m m u n g sradius

b e z e i c h n e n wir m i t r min = 11 / K min l b e z i e h u n g s w e i s e mit r max = 11 / Km axl. Die

gemein samen K u r v e n n o r m a l e n von k u n d k d si n d die T a n g e n t e n der Evolute e. Eine

P a r a m e t e r d a r s t e l l u n g der Evolute b e r e c h n e t sich als

e(t) = k(t) + 11K (t) . n(t ).

Ein Zweig des O f f sets k d im A b s t a n d r min :S d : s r max h a t Sp itzen a u f der Evolute e

(Abb. 10.5a) . Die Spitzen sind jene K u r v e n p u n k t e k i t ) m i t d = r(t), d .h. , die

k o n s t a n t e O f f s e t d i s t a n z d s t i m m t m i t dem v a r i i e r e n d e n K r i i m m u n g s r a d i u s r(t)

iibere in . In e i n e r Spitze setzt die O f f s e t k u r v e n o r m a l a u f der Evolute a u f

B e i s p i e l :

S p i t z e n im O f f s e t e i n e r E l l i p s e . W i r

beach ten, dass das innere O f f s e t einer

Ellipse S p i t z e n hat, falls die D i s t a n z dgr 6Ger ist als der m i n i m a l e K r i i m m u n g s ­

radius r min u n d k l e i n e r als der maximale

K r i i m m u n g s r a d i u s r max' Fiir eine Ellipse

sin d r min und r max die K r i i m m u n g s r a d i e n

in den H a u p t - und N e b e n s c h e i t e l n . We­

gen der Symmetrie hat das inn ere Offset

e n t w e d e r zwei oder vier Spitzen , die je­

weils a u f der Evolute e liegen (Abb . 10.Sb

und Abb. 10.Se). W i r erhalten zwei Spit­

zen hoherer O r d n u n g fur d = r min oder d =r max und vier Spitzen fur r min < d < r max '

Abb. 10.5(a) Ein Zweig des Offsets kd(t) hatSpitzen auf der Evolute e ( t ) der ebe­nen Kurve k ( t ) , falls der KrUmmungs­radius r ( t ) von k ( t ) denselben Wert hatwie die k o n s t a n t e O f f s e t d i s t a n z d.

(b) Der innere Teil des Offsets k 1 einerEllipse im Abstand a, = r m l n hat zweiSpitzen h6herer Ordnung.(e) Das Offset k d im Abstandr mi n < d < r ma x hat vier Spitzen, die aufder Evolute e von k liegen.

(c)( b )

I Sp i t z e n d e r P a r a l l e l k u r v e

I,

(a)

341

B e i s p i e l :

U m r i s s e i n e s T o r u s b e i N o r m a l p r o ­

j e k t i o n . Die Offsets e i n e r Ellipse t r e t e n

zum Beispiel als Umriss eines T o r u s bei

N o r m a l p r o j e k t i o n a u f Ein Torus ist die

H u l l l i a c h e e i n e r Kugel K vo n kon stan ­

tern Radius r = d , d e r e n M i t t e l p u n k t

entl ang eines Kre ises k b e w e g t wird. D e r

N o r m a l r i s s des M i t t e n k r e i s e s k de s Torus

ist im A l l g e m e i n e n eine Ellip se It'. D e r

Umriss der K u g e l K u n t e r e i n e r N o r m a l ­

p r o j e k t i o n ist ein Kreis K" m i t R adiu s d

und M i t t e a u f It'. D a h e r finden wir den

T o r u s u m r i s s bei N o r m a l p r o j e k t i o n als

H i i l l k u r v e e i n e r Familie von Kreisen m i t

R a d i u s d u n d M i t t e l p u n k t e n a u f It'. D e r

Umriss ist d a h e r das O f f s e t der Ellipse k n

(Abb. 10.6).

W i r geben eine weitere g e o m e t r i s c h e

I n t e r p r e t a t i o n der o b i g e n Tatsache, E n t ­

lang jedes M e r i d i a n k r e i s e s m i t M i t t e M

wird der T o r u s von e i n e m D r e h z y l i n d e r

Z b e r i i h r t . Z h a t den R a d i u s d, u n d seine

Ach se a ist die T a n g e n t e des M i t t e n ­

kreises k im P u n k r M. D e r Umriss von

Z b e s r e h t au s zwei G e r aden p a r a l l e l zur

P r o j e k t i o n a n der Ach se a (die t a n g e n ­

tial zur Ellip se It' liegt). Die ses Paar von

G e r a d e n h i i l l t ebenfalls den Umriss des

Torus ein. Weil diese G e r a d e n zu den

T a n g e n t e n von It' p a r a l l e l sind ( m i t kon-

s t a n t e m A b s t a n d d), e r k e n n e n wir, dass

der Umriss des Torus t a t s a c h l i c h eine

P a r a l l e l k u r v e zur Ellipse It' im A b s t a n d

dist.

Die U m r i s s p u n k t e liegen a u f den Kur­

v e n n o r m a l e n von It'. D e r aufSere Teil de s

Umrisses ist i m m e r eine ovale Kurve. Die

Ge st alt der i n n e r e n P a r a l l e l k u r v e h a n g t

vo m N e i g u n g s w i n k e l der T o r u s a c h s e

zur B i l d e b e n e ab oDiese Kurve k a n n von

ovaler Ge s t a l t , eine Kurve m i t zwei Spit ­

zen h o h e r e r O r d n u n g o d e r eine Kurve

m i t vier S p i t z e n sein (siehe Abb. 10.5b

u n d Abb. io.se;

A b b . 1 0 . 6Der Umriss eines Torus beiN o r m a l p r o j e k t i o n ist das Offset j e n e rEllipse, die als Bild des M i t t e n k r e i s e sa u f t r i t t .

Torus keine S p i t z e nz w e i S p i t z e n

h o t t e r e r O r d n u n g v i e r S p i t z e n

342

Abb. 10.7Offsets ebener Polygone. FOr j e d e Eckee n t h a l t das Offset einen Kreisbogen.

O f f s e t s e h e n e r P o l y g o n e . W i r b e t r a c h r e n n u n Offsets Pd von e b e n e n P o l y g o n e n p.W a h r e n d jede K a n t e (d .h. g e r a d l i n i g e Strecke) eines Polygons eine einzige N o r m a l e

h a t , g e h o f t zu j e d e r Ecke ein g a m e r Facher von N o r m a l e n (Abb, 10.7). D a m i t b e s t e h t

das Offset Pd im k o n s t a n t e n A b s t a n d d aus Strecken (zu den K a n t e n von P g e h o r e n d )

u n d K r e i s b o g e n (zu den Ecken von P g e h o r e n d ) .

343

344

d

Abb. 10.8Eine Offsetflache F d einer g l a t t e nFlache F hat den k o n s t a n t e n Abstandd z u F.

O f f s e t t l a c h e nD ie D e f i n i t i o n ei ner O ffserflac h e ist ana lo g z ur D efiniti on vo n O ffs e t k u r ven . D en

A b s ta n d vo n e iner F lac h e m essen w ir n un l a ng s d e r F lach enn or m a len . Fur ei ne

g latt e Flachc F d cfini er cn wi r d ah er di e Offs etflache F d im A bstand d ( k urz Offs et)

w ie fo lg t (A b b . 10. 8 ) . A u f jed er Flach en n o r rnalen m arki er en w ir di e b e id en P u n k t e

im kon st ant cn A b sra nd d z ur Fl ach e F . D ie M en g e all di ese r so er h a l re ne n Pu n k t e

bild er di e O ffs e d h ch e F d • A na log zu d en O f f se tkur ven kann m an ze ige n , d ass di e

Flache F u n d a Ile ih re O ffse tflach en F d i n k o r resp o n d i e r end en P u n k t en d ieselb e

Fl achenn orm ale b esi t zen .

D am it sin d a uc h di e Ta nge nt iale be ne n vo n F u n d F d in z ugeor d ne ren P u n k t en

p a r allel. O ffsed h ch e n wer de n de s ha l b o ft auc h als Par allel Aac he n b e ze ich n e t, Wie b ei

d en O ffset s e b e n e r Kur ven k o n n en wi r auc h d as Offse t vo n Flache n als Ei n hii l lende

vo n Ku g eln vorn fesren R ad iu s d m it Mi t te n a u f d er Flache F er ha lte n . In d en

folg end en A b bi l d unge n ze igen wir jeweils nur ei ne n Te il de r Par all elflach e , um di e

Lesb a rk e i t d e r Abb ildu n gen zu er ho he n.

Mathematik:

B e r e c h n u n g e i n e r O f f s e r f l a c h e . W i r b e r e c h n e n ei n e O f f set­

Aache wie folgt: W i r ve r w en d e n

F (u, v) = (x (u,v), y (u,v ), z (u,v))

als Par a m e t e r d a r s t e l l u n g einer gl a t t e n Flache i m d r e i d i r n e n ­

sio n al en R aum . W i r b e r e c h n e n zu n ach st d ie No rm alvek­

w r en d er Flach e mit Hilfe de s Kr euzpr o d u k t e s d er p a r t i e l l e n

A b le i tu n gsvek to r en Fu(u,v) u n d F.(u,v). D iese n o r m i e r e n

wir d a n n zu E i n h e i t s n o r m a l v e k t o r en n(u,v) . AnschlieB end

ori e n t i e r e n wir die se Vekroren so , dass sie aIle a u f die selbe

S eit e d er Flache zeigen . D a m i t erha l t en wir eine P a r a m e t er­

dar s t e l l u n g der O f f setAache F i u,v) im Ab s t a n d d zur Flache

F(u,v) mit

F i u,v) = F(u,v) ± d· n (u,v).

N u r wenige, spezielle Flachen haben die Eigenschafi, dass ihre Offsets wieder vom

selben T yp sind . Dies gilt zum Beispiel fur Z ylinder- und Drehflachen, Fur praktische

Anwendungen ist diese Eigenschafi niirzlich, da sie eine ein fach e Erzeugung von

Parallelflachen erlaubt (wie in den folgenden Beispielen illustriert wird ).

Beispiel:

Offsets von Kugelflachen und D r e h ­

Aachen. Aile Flachennormalen einer

Kugelflache schneiden einander im Mit­

telpunkt M der Kugelflache, Tragen wir

daher auf diesen Flachennormalen (nach

inn en und auBen) jeweils den kon stanten

Abstand d a b , so liegen die so erhalten en

P u n k t e wied er gleich weit vorn

M i t t e l p u n k t M emferm. D as Offset

eine r Kugelflache besteht daher aus zwei

konzentrischen Kugelflachen mit Radien

r + d b z w . r - d ( A b b . 1 O .9a).

Fur einen Drehz ylinder Z mit Achse a

und Radiu s r (Abb. 10.9b) besrehr d as

Offset aus zwei Drehz ylindern Z d mit

(a)

k o n z e n t r i s c h e K u g e l n

Radien r + d beziehungsweise r - d und

derselben Achse wie Z. Die Flachen Z

und Z d besitzen dieselben Flachennor­

malen, welche die Drehachse a rechrwin­

kelig sch n eid en.

AIIgemein gilt , dass die O f f set s F d von

Drehfla chen F wieder Drehflachen

sin d . Eine Drehflache kann durch Dre­

hung einer eben en Profilkurve k urn

eine Achse a , di e in der Tragerebene

von k liegt , erzeugt wer d en (Kapitel 9 ).

Die Kurvennormal en der Profilkur ve

sind auch die F l a c h e n n o r m a l e n der

Drehflache (aIle Flachennormalen

schneiden die Drehachse a). Somit er-

Abb. 10 .9(a) Die Offsetflachen einer Kugel sindkonzentrische Kugeln.(b) Die Offsetflachen von D r e h z y l i n d e r nsind koaxiale Drehzyl inder.

halten wir die Parallelflache F d wie folgt.

Zuerst erzeugen wir eine ebene O f f set­

kurve k d der Profilkurve k. An schlieBend

drehen wir k d urn die Achse a und er­

halt en die Oflsetflache F d als koaxiale

Dr ehflache (A b b . 10.9c).

Ein Torus ist eine sp ezielle Dr ehtlache,

die von einer Kugel, deren M i t t e l p u n k t

emlang eines Kreises laufi, eingehiillt

wi rd. Die O f f sets der Kugel sind wie­

der Kugeln, daher sind d ie O f f sets ein es

Torus ebenfalls TOri mit derselben Achse

und dem selben Mittenkre is (Abb. 10 .9d ).

Abbildung 10.10 illustriert O f f sets sp ezi­

elIer Flachen in der Architektu r.

(c) Die Offsetflachen von Drehflachensind koax iale Drehflachen,(d) Die Offsetflachen eines Torussind Tori m i t derselben Achse unddemselben M i t t e n k r e i s .

(b)

k o a x i a l e D r e h z y l i n d e r

346

.l a

Ii k

t )~1 --'

(d)

Tori

A b b . l 0 . l 0Offsetflachen von Kugelteilen in derArch i t e k t u r .(a) Teile k o n z e n t r i s c h e r Kugelschalenfinden wir in der Jubilee Church ( 1 9 9 6 ­2003) in Rom von Richard Meier.(b) Das I m p e r i a l War Museum North( 2 0 0 0 - 2 0 0 2 ) in Manchester, England,von Daniel Libeskind .

(b)

(a)

Bei spiel:

Offsets von Zyl i n d e r f l a c h e n . Ein e

Z ylind erflache Z kann d u r c h E x t r u sion

ein er glatt en eben en Kur ve k (i n d er Eb­

en e E) in ein e r zu E n o r m alen Ri c h t u n g

e rzeu gt werde n . Jede zu E p a r allele Eb en e

sch ne ide t Z l an g s eine r zu k ko ngrue nte n

Kurve . Beachte , d ass alle Fla c h e n n o r ­

malen von Z par allel zu r Eb en e E l iegen .

Die Par allelflach e Z d d es Z ylind er s Z

erhal t en wir dah er w ie folgt : Z u n achst

er zeu gen wir d ie Par allelkur ve kd von k i m

Ab st and d i n d er Eb en e E. D ann e x t r u -

d ier en w i r k d • S o m i t ist d as O f f set ei ne r

Z ylind erflach e wieder ei n e Z ylind er­

Bach e. O f f set s vo n Z ylind ern k o m m e n in

d er Arch irek tur h aufig vor (A b b. 10.11 ).

Abb. 10. 11( a) Das Off se t e i ne r Z yll n d e rfl a c h e i s teben fa lls e i ne Zyl inde r f l a c h e ,( b) D ie b e iden l o t r e c h t e n Tei le de rHo l z s t iege von Sev il Peach e n t s t e h e ng e o m e t r isch als O f f s e t e i n e rZv l i n d e r f l a c h e . De r Sti e g e n a u f g a n gbefin d e t s ich i m N o v a r t i s - P h a r m a -

( b)

3 4 8

Ha u p t q u a r t ie r ( 2 0 0 3 - 2 0 0 5 ) von Di e n e r& D i e n e r i n Basel , Sch we iz .( c ) Tr iad ( 2 0 0 0 - 2 0 0 2 ) i n Hoda ka vonFum ih iko Ma ki.( d ) S e r p e n t ine G a l l e r y Pa v il i o n ( 2 0 0 3 )i n London von Oscar N i e m e y e r .

(c)

( d)

Die O f f s e t f l a c h e n der o b i g e n Beispiele sind aIle vom selben Typ wie die

A u s g a n g s f l a c h e n . Diese Eigenschafr gilt auch fur R o h r f l a c h e n , d e n n diese F l a c h e n

k o n n e n d u r c h B e w e g u n g einer Kugel langs der M i t t e n k u r v e e r z e u g t w e r d e n

(Abb. 10.12) . A n d e r n wir den Radius der b e w e g r e n Kugel von r a u f r + d, so andere sich

der F l a c h e n t y p n i c h t . D a h e r sind die Offsets von R o h r f l a c h e n w i e d e r R o h r f l a c h e n .

W i r b e m e r k e n , dass eine R o h r f l a c h e i m m e r als O f f s e t i h r e r M i t t e n k u r v e a n g e s e h e n

w e r d e n k a n n . T r o t z d e m gilt n i c h t fur aIle k l a s s i s c h e n F l a c h e n , dass i h r O f f s e t w i e d e r

vom s e l b e n Typ ist, Fur eine a l l g e m e i n e K e g e l f l a c h e - kein D r e h k e g e l - g e h o r e n die

O f f s e t s b e r e i t s zu e i n e r a n d e r e n F l a c h e n k l a s s e (wie im f o l g e n d e n Beispiel i l l u s t r i e r t

w i r d ) .

( a )

O f f s e t F d e i n e r K e g e l f l i k h e F i s t eine a b w i c k e l b a r e Flache

B e i s p i e l :

O f f s e t s v o n K e g e l f l a c h e n , Eine Kegel­

Hache F e n t s t e h t , i n d e m wir eine e b e n e

Kurve k d u r c h G e r a d e n ( g e n a n n t Er­

z e u g e n d e ) m i t der Spitze S v e r b i n d e n .

Da F in der Spitze S n i c h t glatt ist , gibt

es d o r t keine e i n d e u t i g e F l a c h e n n o r m a l e ,

Srartdessen stellen wir uns ein ganzes BOO­

del von F l a c h e n n o r m a l e n in S vor. D a m i t

ist das Offset Sd der Spitze S in einer

Kugelllache K e n t h a l t e n (Abb. l 0 . 1 3 a ) .

W i e v e r h a l t sich das O f f s e t der Kegel-

Abb. 10.12Die Offsets einer Rohrflache sindwieder Rohrflachen.

Abb. 10.13(a) Das Offset einer Keqelflache Fbesteht aus einem Kugelteil K undeiner abwickelbaren Flache F d •

Hache selbst? Die F l a c h e n n o r r n a l e n langs

einer E r z e u g e n d e n e der Kegelflache s i n d

z u e i n a n d e r parallel. D e s h a l b ist auch das

O f f s e t ed j e d e r E r z e u g e n d e n w i e d e r eine

G e r a d e .

D i e s e G e r a d e n ed b i l d e n die O f f s e t f l a c h e

u n d b e r i i h r e n die K u g e l f l a c h e K e n t l a n g

e i n e r K u r v e Sd . Irn A l i g e m e i n e n s c h n e i ­

d e n e i n a n d e r die G e r a d e n ed j e d o c h

n i c h t m e h r in e i n e m e i n z i g e n P u n k t .

S o m i t ist das O f f s e t keine K e g e l l l a c h e .

(b) Das Offset eines Drehkegels istwieder ein Drehkegel, m i t einemKugelteil fur die Spitze.

Die A u s n a h m e b i l d e n h i e r D r e h k e g e l ,

d e r e n O f f s e t w i e d e r D r e h k e g e l s i n d ­

w o b e i die S p i t z e extra b e h a n d e l t w e r d e n

muss (Abb. I 0 . 1 3 b ) . B e m e r k e n s w e r t ist

j e d o c h , dass auch im a l l g e m e i n e n Fall

die F l a c h e n n o r r n a l e n v o n F d e n t l a n g

j e d e r E r z e u g e n d e n ed z u e i n a n d e r p a r a l ­

lel s i n d . D a h e r (vgl . K a p i t e l 9) s i n d die

O f f s e t s von K e g e l f l a c h e n abwickelbare

Fldchen .

(b)

O f f s e t eines D r e h k e g e l s

349

B e i s p i e l :

O f f s e t s v o n h y p e r b o l i s c h e n P a r a b o ­

l o i d e n . Aus K apitel 9 wissen wi r, dass ein

hyperbolisches P a r a b o l o i d F (Hl'-Plsche)

eine spezielle Regelflache ist, di e zwei

Farnilien von E r z e u g e n d e n tragt, Urn ein

Offset F d im k o n s t a n t e n A b s t a n d d zu er-

zeugen , priifen wir zun achst, was mit den

E r z e u g e n d e n passiert. Bewegen wir uns

entlang einer E r z e u g e n d e n der H P - Flache,

so a n d e r t die F l a c h e n n o r m a l e st an dig ihre

Richrung, S o m i t ist der Teil von F d , der

von einer E r z e u g e n d e n e s t a m m t , eine

R a u m k u r v e a u f F d u n d keine Gerade m e h r

(Abb . 10.14) . Das weist bereits d a r a u f h i n ,

dass das Offset einer H l ' - F l a c h e keine H P ­

Flache m e h r ist,

O f f s e t s v o n p o l y e d r i s c h e n Flachen, Bis j e t z t h a b e n wir g l a t t e F l a c h e n als

G r u n d o b j e k t e fur d ie O f f s e t - O p e r a t i o n g e n o m m e n . N u n w o l l e n wir uns den

p o l y e d r i s c h e n P l a c h e n w i d m e n . Aus K a p i t e l 3 wissen wir, d ass eine p o l y e d r i s c h e

Flache F aus e b e n en F a c e t t e n , g e r a d e n K a m e n u n d Ecken b e s t e h t , J e d e e b e n e F a c e t t e

h a t eine e i n d e u t i g e N o r m a l e u n d d a h e r ein w o h l d e f i n i e r t e s O f f s e t . A b e r fur K a m e n

u n d Ecken ist das n i c h t d e r Fall .

J e d e K a m e b e s i t z t e i n e n F a c h e r von N o r m a l e n , u n d j e d e Ecke b e s i t z t sogar ein

B i i n d e l von N o r m a l e n . D a h e r be s t e h t da s O f f s e t F d e i n e r p o l y e d r i s c h e n Flache F im

k o n s t a n t e n Ab s t a n d d aus e b e n en F a c e t t e n , Teilen von D r e h z y l i n d e r n (zu den K a m e n

von F g e h o r e n d ) u n d T e i l e n von K u g e l n (zu den Ecken von F g e h o r e n d ) .

A b b i l d u n g 10.15 i l l u s t r i e r t O f f s e t s von konvexen p o l y e d r i s c h e n Fl achen,

Abb . 1 0 . 1 4Die O f f s e t f l a c h e e i n e r HP-Flache istkeine HP-Flache .

Abb . 1 0 . 1 5Das O f f s e t eines Polyeders b e s t e h taus ebenen Facetten, Teilen vonD r e h z y l i n d e r n und K u g e l t e i l e n .

350

Abb. 10 .16Das Offset einer g l a t t e n eben enKurve vor und nach dem Trimmen.Wir i l l u s t r i e r e n lokales und globalesTrimmen .

Trimmen von OffsetsIn e i n i g e n A n w e n d u n g e n w e r d e n n u r b e s t i m m t e Teile von Offsets r a t s a c h l i c h

b e n o t i g t . W i r e r i n n e r n an das Beispiel " S p i t z e n im O f f s e t e i n e r Ellipse" u n d d a r a n ,

dass der innere Teil des Offsets e i n e r Ellipse S e l b s r s c h n i r t e aufweisen kann. T r e t e n

S e l b s t s c h n i t t e auf, d a n n g i b t es im O f f s e t P u n k t e , die n a h e r bei der Ellipse liegen

als die O f f s e t d i s t a n z d. D a h e r b e s t e h t in p r a k t i s c h e n A n w e n d u n g e n m a n c h m a l die

N o t w e n d i g k e i t , diese u n e r w i i n s c h r e n Teile des Offsets zu e n t f e r n e n . D i e O p e r a t i o n

dafiir heilSt Trimmen.

In vielen C A D - P a k e t e n folgt a u f die O f f s e t - O p e r a t i o n ein T r i m m e n , das a u t o m a t i s c h

die i i b e r l a p p e n d e n Teile e n t f e r n t . A b b i l d u n g 10.16 zeigt die O f f s e t k u r v e zu e i n e r

g l a t t e n Kurve vor u n d nach dem T r i m m e n . W i r b e m e r k e n , dass s o w o h l l o k a l e s als

auch glob ales T r i m m e n n o t w e n d i g ist ,

Beim lokalen Trimmen w e r d e n jene Teile des Offsets e n r f e r n r , die sich i i b e r l a p p e n , weil

das O f f s e t die Evolute der A u s g a n g s k u r v e s c h n e i d e t . Globales Trimmen ist n o t w e n d i g ,

urn jene Teile des Offsets zu e n t f e r n e n , welche sich i i b e r l a p p e n , aber von u r s p r i i n g l i c h

n i c h t b e n a c h b a r t e n Teilen der A u s g a n g s k u r v e s t a m m e n (Abb. 1 0 . 1 6 ) .

Offsets Offsets nach /oka/em Trimmen Offsets nach g/oba/em Trimmen

351

T r i m m e n von Offserflachen, Das Trimmen von O f f setflachen ist eine schwierige

Operation, da das Offset sehr kompliziert sein kann. M o g l i c h e r w e l s e besteht die

Offserflache aus vielen iiberlappenden und sich gegenseitig schneidenden Teilen.

D aher ist sowohllokal es al s auch globales Trimmen norwend ig (Abb. 10.17).

Trimmen wird anhand von numerischen Berechnungen durchgetiihrt. Falls ein

CAD-Paket eine getrirnmte Offsetflache niche erzeugen kann, ist die durchzufiihrende

Operation moglicherweise fiir die im CAD -Paket implemencierten Methoden zu

komplex und scheitert daher. Fur spezielle Flachen haben wir oben gelernt, dass das

Offset wieder zur selben Flachenklasse gehort. Urn unnotiges Trimmen zu vermeiden,

sollten wir dieses geometrische Wissen einsetzen . Wir illustrieren diesen Zugang anhand

einer Zylinderflache mit Profilkurve k. Anstatt die Offsetflache zu trimmen, ist es

deutlich einfacher, zuerst die Offsetkurve k d zu trimmen und anschliefend die getrimmte

Kurve zu extrudieren, urn d ie getrimmte Offsetflache zu erhalten (Abb. 10.18).

O f f s e t s

O f f s e t snacht a k a / e mT r i m m en

Abb . 10 . 17Das O f f s e t ein er gla t t en Ha che v or undn ac h dem Trimm en . Wi r i ll ust rie r e nlo kal e s u n d globa les Tr imm en.

O f f s e t snachg / a b a / e mT r i m m en

Abb. 1 0 . 1 8I n t e l l i g e n t e E r z e u g u n g von g e t r i m m t e nO f f s e t s von Z y l i n d e r f l a c h e n .

352

O f f s e t s

Z y / i n d e r - O f f s e t s

Parabe/

G e t r i m m t e O f f s e t s

Diskrete Offsets von ebenen Polygonen. Einige C A D - P a k e t e b i e t e n fur die

E r z e u g u n g von Offsets e b e n e r P o l y g o n e m e h r e r e A l t e r n a t i v e n an. A n s t a t t eine Ecke

des Polygons p im O f f s e t d u r c h einen K r e i s b o g e n zu e r s e t z e n , k a n n das O f f s e t an

dieser Stelle eine Ecke b e s i t z e n . Bei dieser A l t e r n a t i v e ist also das O f f s e t Pd eines

Polygons P w i e d e r ein Polygon . A l l e r d i n g s sind n u n einige P u n k t e von Pd w e i t e r

e n t f e r n t von p a l s die O f f s e r d i s t a n z d.

W i r e r z e u g e n ein solches diskretes Offsetwie folgt: W i r z e i c h n e n G e r a d e n p a r a l l e l zu

den K a n t e n von P im A b s t a n d d ein und v e r l a n g e r n b e n a c h b a r t e Paare von G e r a d e n

jeweils bis zu ihren S c h n i t t p u n k t e n (Abb . 1O.19a) . Verfeinern wir das Polygon P (z.B.

mit e i n e m U n t e r t e i l u n g s a l g o r i t h m u s aus K a p i t e l 8 ) , d a n n e r h a l t e n wir in der G r e n z e

eine g l a t t e Kurve .

D u r c h so e i n e n V e r f e i n e r u n g s p r o z e s s k o n v e r g i e r t das d i s k r e t e O f f s e t d a n n gegen

das g l a t t e ( g e t r i m m t e ) O f f s e t (Abb. l O . l 9 b ) . Die u n t e r s c h i e d l i c h e n A l t e r n a t i v e n fur

Offsets e b e n e r P o l y g o n e w e r d e n bei V e k t o r g r a f i k e n b e s o n d e r s gut e r s i c h t l i c h , w e n n

v e r s c h i e d e n e O p t i o n e n fur Ecken u n d E n d p u n k t e zur A u s w a h l s t e h e n (Abb. 1O.19c).

(a) (b)

II, V e r f e i n e r n von p u n d O f f s e t

I ., V e r f e m e r n von p u n d O f f s e t

Abb. 10.19(a) A l t e r n a t i v e s Offset einesPolygonzugs.(b) U n t e r t e i l u n g und Offset einesPolygons .(c) V e k t o r g r a f i k e n von Linien m i tverschiedenen Optionen fur Ecken undEndpunkte.

(c)

353

D i s k r e t e Offsets von polyedrischen Flachen, Das diskrete Fliich enoffset eines

Polyeders P ist w i e d e r ein Polyeder Pd. W i r k o n s t r u i e r e n da s d i s k r e t e Flachenoffser P dwie folgt: Z u e r s t werden O f f s e t e b e n e n im Ab s t a n d d fiir jede ebene Facette b e r e c h n e t ,

u n d a n s c h l i e f e n d werden b e n a c h b a r t e O f f s e t e b e n e n m i t e i n a n d e r pa ssend

v e r s c h n i t t e n (Abb. 10.20).

W i r beach ten , dass d a n n m a n c h e P u n k t e des Offset P d w e i t e r von P e n t f e r n t

liegen als die O f l s e r d i stanz d. D a f i i r ist das Offset w i e d e r ein Polyeder. Dies ist

m a n c h m a l p r a k t i k a b l e r als die E r z e u g u n g des zwar g e o m e t r i s c h r i c h t i g e n , dafiir aber

k o m p l i z i e r t e r e n Offsets. Falls wir ein " ech t es" g e o m e t r i s c h e s O f f s e t b e n 6 t i g e n u n d das

v e r w e n d e t e C A D - P a k e t eine soIehe O p e r a t i o n n i c h t zur Verfiigung srellt, gehen wir

wie folgt vor: W i r e r z e u g e n z u n a c h s t ein Polyederoffset P d wie oben b e s c h r i e b e n u n d

v e r r u n d e n d a n n die Ecken u n d K a m e n mit g e e i g n e t e n W e r k z e u g e n .

A b b . 1 0 . 2 0D i s k r e t e s F l a c h e n o f f s e t einesPolyeders.

354

Abb. 10.21A u s r u n d u n q s f l a c h e vom Radius rentlang einer scharfen Kante.(a) Die M i t t e n k u r v e k der Rohrflacheist die S c h n i t t k u r v e der beidenOtfsetflachen F[ und Ff,(b) Nur ein k l e i n e r Teil der Rohrflachew ird fO r d ie Ausrundung v e r w e n d e t .

A n w e n d u n g e nvon O f f s e t s

N eben den bi sher erwa h n te n An w e n d u n g en ko m me n O f f set s unte r a n d e r e m au ch b ei

der Er z e u g u n g von Au s r u n d u n g sflach en u n d b ei D ach au sm i t d u n g e n vor .

A u s r u n d u n g s f l a c h e n , Z u r Ve r m e i d u n g scha r fer K am en erse t ze n w i r die se d u r ch

a bge ru n d e t e K am en. E n t st eht ei n e scha r fe K ame dur ch d en S c h n i t t zweier Fl ach en ,

so w i rd die se scha r fe K am e o ft: dur ch ei ne Au s r u n d u n g sflach e e rsetz t ( Kapi t e l 4 ) . Fii r

d iese A us ru n du ngs flache n we rden gern e Teile vo n R ohrfl ach en verwe n de t ( Ka p i t el 9).

D ie R oh rflach e wir d d ab e i d urch RoUen eine r Kugel v o rn R ad iu s r "en da n g

d er Sch n i r rka n te" erze u g t - d abe i b er i i h r t d ie K ug el im mer b e id e Fl ach en , Di e

Mi tte nk urve k di eser R o h rflach e er h al te n wi r d als Sch ni t t kurve zweier O ffserflach en

Fr u n d F 5. im k on st ant en Ab st and r ( A b b . 1O. 2I a ) . Fur d ie A us r u n d u n gsfiache

verwe n de n wir d en zwisch en d e n B e r i i h r k ur v en k 1 und k 2 liege n de n Teil d er

R o h r f l a c h e (A b b. I O. 2 I b ) .

355

D a c h a u s m i t t l u n g . Die g e o m e t r i s c h e Form von D a c h e r n wird u n t e r a n d e r e m d u r c h

A b f l u s s b e d i n g u n g e n fur das Regenwasser, d u r c h den G r u n d r i s s des Hauses u n d d u r c h

stilistische O b e r l e g u n g e n beeinflusst . Diese O b e r l e g u n g e n f i i h r r e n zu einer Reihe

von t r a d i t i o n e l l e n D a c h f o r m e n (Abb . 10.2 2), sie w e r d e n aber auch a u f n e u e ­

m o g l i c h e r w e i s e weniger regulare - F o r m e n von D a c h e r n a n g e w a n d t . H i e r i l l u s t r i e r e n

wir, wie Offsets in der D a c h a u s m i t t l u n g e i n g e s e t z t werden k o n n e n .

Zu Beginn erklaren w ir n o c h f u n d a m e n t a l e Begriffe im Z u s a m m e n h a n g m i t der

D a c h a u s m i t t l u n g . D e r H a u p t z w e c k eine s Dachs ist es, den d a r u n t e r l i e g e n d e n

G e b a u d e t e i l zu schiirzen (z.B , vor Regen o d e r urn W a s s e r a n s a m m l u n g e n

zu v e r m e i d e n ) . Die N e i g u n g der D a c h f l a c h e n zu den n a c h s t l i e g e n d e n

C e b a u d e o b e r k a n t e n hin b e w i r k t dabei das A b r i n n e n des Wassers. Da die

rneisten D a c h e r aus m e h r e r e n e b e n e n Flachen be s t e h e n , sind v iele C e b a u d e vom

g e o m e t r i s c h e n S t a n d p u n k t aus b e t r a c h t e t im W e s e n t l i c h e n Polyeder. Z i m m e r e r

v e r w e n d e n fur die K a n t e n u n d Flachen von D a c h e r n folgende N a m e n (Abb . 10.23):

S a t t e l d a c h W a l m d a c h K t u p p e l ­w a l m d a c h M a n s a r d e n ­

dachS h e d d a c h

Abb. 10. 22Versch iedene Dachfo rmen f u r e inq u a d e r f O r m i g e s Gebaude: S a t t eldach ,Walmda ch, Kr Oppe l w a l m d a c h ,Mansard endach und Sheddach.

A b b . 1 0 . 2 3B e z e i c h n u n g e n f u r die Kanten undFlachen eines Daches.

356

T r a u f e n

F i r s t

Abb. 10 .24Das Winchesterhaus in Kalifornien hatungefahr e i n h u n d e r t Z i m m e r und vieleverschachtelte u a c h e r ,

• Ein First ist eine obere ( u b l i c h e r w e i s e h o r i z o n t a l e ) R a n d k a n r e einer

g e n e i g t e n D a c h e b e n e .

• Eine Traufi ist eine u n t e r e ( i m m e r h o r i z o n t a l e ) R a n d k a n t e einer g e n e i g t e n

D a c h e b e n e .

• Ein Grat ist eine S c h n i t t g e r a d e zweier D a c h e b e n e n , bei d e n e n der G r a t

u n d die b e i d e n b e t e i l i g t e n T r a u f e n e i n a n d e r in e i n e r konvexen Ecke treffen

( a u s s p r i n g e n d e Ecke im T r a u f e n p o l y g o n ) .

• Eine Ichse o d e r Kehle ist eine S c h n i t t g e r a d e von zwei D a c h e b e n e n , bei d e n e n

die Ichse u n d die b e i d e n T r a u f e n e i n a n d e r in e i n e r n i c h t k o n v e x e n Ecke

treffen ( e i n s p r i n g e n d e Ecke im T r a u f e n p o l y g o n ) .

Die K o r n p l e x i t a t e i n e r D a c h a u s m i t t l u n g h a n g t auch vom G e b a u d e g r u n d r i s s abo

A b b i l d u n g 10 .24 zeigt als Beispiel ein G e b a u d e m i t etwa e i n h u n d e r t Z i m m e r n

u n d vielen v e r s c h a c h t e l t e n D a c h s t r u k r u r e n . Fur die E r z e u g u n g von D a c h e r n

g i b t es d a h e r spezielle Software, die A r c h i t e k t e n beim E m w e r f e n von D a c h e r n

u n t e r s t i i t z t . N i c h t s d e s t o t r o t z e r l a u b e n uns b e r e i t s wenige g e o m e t r i s c h e Ideen u n d

G r u n d k e n n t n i s s e iiber Offsets das Des ign von s i n n v o l l e n D a c h e r n .

E n t w u r f von D a c h e r n k o n s t a n t e r N e i g u n g . W i r n e h m en z u na chs t ail e

D a e h e b e n e n gl eich g e n e i g t an . Di e g r u n d l e g e n d e g e o m e t r i sehe Idee ist n u n , da ss die

O f f s e t p o l ygone de s T r a u f e n p o l ygon s ( g e b ild e t von den Traufen ) genau die G r u n d r i sse

der H o h e n s c h i c h t e n l i n ien de s D aeh s sin d ( A b b . 1O.25a ) . Di e H o h e n sch icht e n l i n i e n

erh a l t e n w i r d u r e h Sehn itt de s Daeh s mit h o r i z o n t alen Eb enen.

Da w i r zu Beginn nur d en C e b a u d e g r u n d r i ss zur Verfugung h ab en - und n i c h t da s

fert ige D aeh - , rniissen wir die Vorgang sweise u m k e h r e n . W i r b eginn en d aher mit der

K on s t r u k t i o n der G r u n d r i sse der H o h e n s c h i c h t e n l i n i e n . W i r erzeug en sie m i t H ilfe

der O f f s e t - O p e r a t i o n u n d g e e i g n e t e n Ab s t a n d e n zum T r a u f e n p o l ygon. M i t Hilfe

die ser O f f s e t p o l y g o n e e r m i t t e l n w ir d a n n die G r u n d r i s se der G r a t e, Kehlen u n d Firste

de s Daehs. A b s c h l i e f e n d k o n s t r u i e r e n w i r da s D a e h selbst , indem wir di e - sieh aus

der D a e h n e i g u n g e r g e b e n d e - H 6 h e n i n f o r m a t i o n h i n z u f i i g e n .

W i r b e s c h a t i i g e n uns zuerst m i t j e n e m Fall, in welchem aile Traufen in d e r s e l b e n

H o h e liegen . M i t Hilfe von O f f set s Iinden wir z u n a c h s t die G r u n d r i sse der Grate,

Kehlen u n d Firsre. D a z u arb eiten wir in der T r a g e r e b e n e der Traufen. W i r erzeugen

g e t r i m m t e Offsets Pd in w a e h s e n d em Ab s t a n d d zum T r a u f e n p o l ygon p so lange, bi s

der Bereich i n n e r h a l b vo n p k o m p l e t t au sgefiillt ist . D a b e i fiihren wir Bueh , wann

K a n t e n von p d v e r s e h w i n d e n od er zu s a m m e n f a l l en. M i t H ilfe der so e r h a l t e n e n

G r u n d r i sse der H o h e n s c h i c h t e n l i n i e n de s D aehe s £lnden wir die G r u n d r i sse der

S e h n i t t g e r a d e n von j e zwei ben a e h b a r t e n D a e h e b e n e n u n d d ie S e h n i t t p u n k t e von je

dr ei , in einer Eeke zu s a m m e n t r e f f e n d e n , D a e h e b e n e n . Die se Erk e n n t n i sse ver w en d en

w i r n u n wie folgt :

(a)

H o b e n s c b l c h t e n t l n i e n

358

D ie St r e cke n du r ch korre spo ndie re n de Eck en de r Fam ilie von Offse t po lygone n

si n d G r u n d r i s se d er G r a t e u n d K eh len d es D a ch s (A b b. l O.25b ). D a alle

D ach eb en en gleiche N e igun g h ab en , m iissen di e G r u n d ri sse de r G r a te u nd Keh len

die W i nk els y m m e t r alen d e r b en achb a r t e n T r au fen k a m en sei n . Falls zwei Ka m e n

de s O f f s e t p o l ygons z u s a m m e n f a llen , sta mme n sie vo n p ar all elen Trau fen, u n d wir

h abe n d en G r u n d r i s s eine s Fir st s g e f u n d e n . Fall s eine K a m e de s O ffse t p o lyg o n s

ve rschw in d et , w er d en d ie bei den angre n z e n d e n Ka me n z u ne ue n Nac h b a r n . 50 ein

Ereign is mar kie rt eine n Pu n k t , in dem d r ei ver schie dene D a ch eb en en e in ande r t r e ffen.

So b ald w ir de n G r u n d r iss d es D ach s er mi t tel t h ab en , k o n n en wir d as D ach sel b st

ko n st ru ieren .

D ie H oh en je ne r Pun kt e, in d en en d ie einz eln en G ra te, Ke h le n u n d First e

z usa m me nt re ffen , ko n ne n w ir vo n ei n em ei n fache n D iagr amm a b lesen (A b b. l O.25 c).

A b h a n g i g vo m N eigun gsw inkel a d er D ach eb en e f i i h r t ei ne O f f s e t d i s t a n z d zu ei ner

H oh e h a in d er Dac he b ene . Z ur selbe n O f f setd ist an z d resu lti ert aus einem and er en

Nei gun g s w i n k el ~ eine an dere H oh e h~ .

(b ), , ,

//

/

, ,

/

/

/

e r

/S ch n i t t g e r a d ez w ei er Da ch eb e n e n

h

d

/

/

'" C,,-

g eme i nsa me r/ S chn i t t p u n k t d r e i

/ Dach eb en en

p P o/ \/

/

:

It ~

/

/

(c)

Abb. 10 .25Dachausm i t t lung m it gle ich gen e igtenDachebenen, bei der a il e Traufen inder se lben H6 h e Iie g e n.(a) Die H6hensch ichtenl i n ien einesDaches.(b) Die Gru n dr isse de rH6 h en schi c ht e nli ni e n si nd d ie d iskretenOf fse ts Po des Tr auf enp ol y g o ns p.( c) Die selbe Offse td ista nz d a be runtersc h ie dlic he Neig u ngsw i n ke la t ~ de r Dachebene n v eru r s ach e nv e r schi e den e H6hen ti; h~.

h

359

N a t i i r l i c h k o n n e n wir auch D a c h e r k o n s t a n t e r N e i g u n g zu k r u m m l i n i g e n Traufen

k o n s t r u i e r e n . D a n n ist das D a c h Teil einer a b w i c k e l b a r e n Flache k o n s t a n t e r N e i g u n g

( K a p i t e l 9 ) . A b b i l d u n g 10.26 zeigt ein Beispiel mit e l l i p s e n f o r m i g e r Traufe. In diesem

Fall k o n s t r u i e r e n wir die G r u n d r i s s e der H o h e n s c h i c h t e n l i n i e n als Offsets einer

Ellipse.

D e n G r u n d r i s s des g e k r i i m m t e n Firsts finden wir als Strecke zwischen den

K r i i m m u n g s k r e i s m i t t e l p u n k t e n E 1 u n d E z der H a u p t s c h e i t e l der Ellipse . W i r

b e a c h t e n , dass die N o r m a l e n des Offsets die Ellipse r e c h t w i n k l i g s c h n e i d e n . D a h e r

r i n n t das Wasser vorn D a c h e n t l a n g der E r z e u g e n d e n der a b w i c k e l b a r e n Flache abo

B a u g r u b e n k o n n e n analog zu D a c h e r n k o n s t r u i e r t werden. D a z u muss bloB ein

D a c h an einer h o r i z o n t a l en E b e n e gespiegelt werden - u n d s c h o n e r h a l t e n wir eine

B a u g r u b e .

A b b . 1 0 . 2 6D a c h a u s m i t t l u n g fUr einee l l l p s e n f o r m l q e T r a u f e n k u r v e .

T r i m m l i n i e t u r O f f s e t k u r v e nI

Ig e t r i m m t e O f f s e t k u r v e n s i n dG r u n d r i s s e d e r H o b e n s c b i c b t e n t l n t e n

g e k r O m m t e r F i r s tI

~tan(a)1

u n g e t r i m m t e Flache F

3 6 0

Abb. 10.27D a c h a u s m i t t l u n g fOr Dachebenen m i tu n t e r s c h i e d l i c h e n Neigungen.

y

ay

a

D e s i g n v o n D a c h e r n n i c h t - k o n s t a n t e r N e i g u n g . A n a l o g zu o b e n k o n s t r u i e r e n wir

n u n D a c h e r , deren einzelne D a c h e b e n e n v e r s c h i e d e n e N e i g u n g aufweisen. W i e d e r

n e h m e n wir an, dass aile Tr aufen i n derselb en H o h e liegen. W a r e dies n i c h t der Fall,

w i i r d e n wir m i t einem H i l f s p o l ygon a r b e i t e n , in dem aile H i l f s t r a u f e n in d e r s e l b e n

H o h e liegen. Fur jede Traufe k e n n e n wir d ie N e i g u n g a, ~ o d e r y der die Traufe

e n t h a l t e n d e n D a c h e b e n e .

Aus dem D i a g r a m m in A b b i l d u n g 1 O . 2 7 l e s e n wir die O f f s e t d i s t a n z e n d U J dr. u n d d y

ab, die zu einer k o n s t a n r e r H o h e h u n d v e r s c h i e d e n e n N e i g u n g e n a, ~ u n d y g e h o r e n ,

So e r h a l t e n wir wieder die G r u n d r isse der H o h e n s c h i c h t e n l i n i e n des Dachs, das wir

k o n s t r u i e r e n wollen . W i r b e a c h t e n , das s die G r u n d r i s s e j e t z t n u r als Offsets von

Strecken u n d n i c h t als Offset des ges a m t e n T r a u f e n p o l y g o n s e r z e u g t w e r d e n k o n n e n .

Die w e i t e r e n S c h r i t t e zur K o n s t r u k t i o n des D a c h e s verlaufen d a n n wie oben

b e s c h r i e b e n .

zL - L - b ha, d , d ,

361

K a p i t e l l lF r e l t o r m t l a c h e n

F r e i f o r r n t l a c h e nDi e klassischen Flach en wi e Z ylind er, K egel , Ku g el, D r ehf lach en u n d Regelli a ch en

w eisen oft keine au sreich e n d e Flexibilit at beim E n t w u r f v on 3 - D - F o r m en a u f

Fr e i f o r m f l a c h e n b esitz en w esenrlich m ehr Fre ih eit sgr ade u n d d a h e r au ch v iel m e h r

G est a l t u n g smogli chkeir en b eim Fl ach en enr w u r f In die sem K apit el s te ll en wi r

zu ers t Bezie r-Fl dch en u nd B-Splin e-F la ch en a ls natiirli ch e u n d l eicht ve rst an d l ich e

Vera llgemei ne ru ng der ems p re chen de n Frei f o r m k u r ven (Ka p i t e l 8 ) vo r.

Die Bezi er- u n d d ie B -Spl in e-M eth od e we isen s tarke E insc h ra n k u nge n h in si c h d ich

de r e rze ug bare n t o p o logische n T yp en von Flach en a u f . D ieses P robl em wir d von d en

Untert eilungsflachen i n ei nfac her und elega n te r Wei se u mga ngen (A b b . I L l ) . Ih r

E insa tz b eg a nn in d e r An im at io n si n d u stri e , wa h rend h em e Un te r teil u ngs flache n in

ei ne r Reih e vo n D esig n - u n d Arc hi te k t u r a nwe n d u nge n Ver w e n d u n g find en .

Abb . 1 1. 1Bez i e r -, B - S p l i n e - u nd Unte rte i l u n g s ­fl a c h e n s ind eng v e r w a n d t e Konzep tez u m Ent w u r f von F r e i f o r r n f l a c h e n. IrnGr unde s ind Bez ler - u nd B-Spl ine­Flache n spe z ie lle U n t e r t e i l u n q s f l a c h e n .Oben: e ine Bez i e r - und e ine B- Sp l i n e ­flache m it dem j e w e i l i g e n K o n t r o l l n e t z .U n t e n : U n t e r t e i lun g s a l g o r i t h m e nv e r f e i n e rn ein g r o b e s Ei n g ab e n e t zdu rch wiede rh o lte A n w e n d u n g eln­fa che r Verfei ner u n g s regeln .

Bezie r -F l s c b e

grobes E i n g a b e n e t z

B-Sp lin e -Fl ache

die beiden ersten S c h r i t t eeines U n t e r t e i l u n g s a l g o r i t h m u s

365

2 (a,b)

3 (a,b)

Geschichte der Freiformflachen in der Architektur. Kom­

plexe geometrische Formen und Freiformfiachen linden sich

schon sehr friih in der Archirektur, erwa in kuppelartigen Be­

hausungen, die schon vor 400.000 jahren aus Holz und Lehm

gefertigt wurden. Doppelt gekriimmte Flachen in Kuppeln und

skulpturalen Elementen von Gebauden gab es zu allen Zeiten.

Im 19. J a h r h u n d e r t gaben Industrialisierung und verbes­

serte Baumaterialien wie Eisen, Stahl und Stahlbeton den

Architekten neue Freiheiten in ihren Gestalrungsmoglich­

keiten und ihrer Formensprache (vgl. Francois Coignet,

B i t o n A g g l o m ire, 1855).

Antoni Gaudf ( 1 8 5 2 - 1 9 2 6 ) erreichte ein tiefes Versrand­

nis von Starik und Geometrie von Freiforrnflachen durch

die Entwicklung von Formfindungstechniken anhand

physischer Modelle. Seine Sagrada Familia ( 1 8 8 2 - h e u t e )

und das Casa Mila ( 1 9 0 5 - 1 9 0 7 ) sind die prominentesten

Beispiele aus seinem Werk (Abb. 11.2).

Hermann Finsterlin (188 7 - 1 9 73) schuf zwischen 1918

und 1924 Hunderte von Zeichnungen, Aquarellen und

3-D-Modellen einer phantastischen plastischen Architektur

(Abb. 11.3a). Leiderkonnte er aber kein groBeres Projekt urn­

setzen . Zur selben Zeit baute Erich Mendelsohn (Abb. 11.3b)

den relariv kleinen aber skulp tu ral beeindruckenden Einstein

Turm ( 1 9 2 0 - 1 9 2 1 ) in Potsdam.

A b b . 1 1 . 2FrOher Einsatz von F r e i f o r m f l a c h e ndurch Antoni Gaudi in den berOhmtenWerken Casa Mila ( 1 9 0 5 - 0 7 ) undLa S a g r a d a Familia ( 1 8 8 2 - h e u t e ) .

Der Einsatz von Stahlbeton, als gute Losungfur den Bau skulp­

turaler Formen und die ErzielunggroBer Spannweiten, erreich­

te seinen Hohepunkt in den 1960ern . Beriihmte Beisp iele sind

u.a. Notre Dame du Haut (1950-1955) von Le Corbusier und

das TU'l/ Terminal (1956-1962) am ]FK International Air­

port von Eero Saarinen (Abb. 11.4) . Man erkannte jedochbald

die Grenzen des Stahlbetons hinsichtlich Gewicht, Kosten und

Arbeits aufwand . Friihe Versuch e zur Gewichtsr eduktion bein­

halten die Zerlegung der gewiinschten Flache in strukturelie

Teile und Verkleidungselemente .

4 (a)

4 (b)

Abb . 11.3(a) Nicht gebautes A r c h i t e k t u r m o d e l l( 1 9 2 0 ) von Hermann Finsterlin.(b) Der Einste in Turm ( 1 9 2 0 - 2 1 ) vonErich Mendelsohn (Foto: m i t Freund­Iicher Genehmigung des a s t r o p h y s i k a ­lischen I n s t i t u t s Potsdam) .

Abb.11.4Einsatz von Stahlbeton zum Bau FreierFormen: Notre Dame du Haut ( 1 9 5 0 - 5 5 )von Le Corbusier, und das TWA T e r m i ­nal ( 1 9 5 6 - 6 2 ) von Eero Saarinen.

Abb. 11 .5Das O p e r n h a u s von S y d n e y ( 1 9 5 7 - 7 3 )von Jern Utzen.

Ein e r f o l g r e i c h e s Beispiel von V o r f e r t i g u n g sind die

spharischen Schalen, die das D a c h des Opernhauses von

Sydney ( 1 9 5 7 - 1 9 7 3 , von j e r n Utzen) b i l d e n (Abb. 11.5).

A n h a n d von P r o j e k t e n wie der O p e r von Sydney w u r d e

klar, dass k o m p l e x e F r e i f o r m g e o m e t r i e n a u s g e f e i l t e Tech­

n i k e n zur g e o m e t r i s c h e n B e s c h r e i b u n g b e n o r i g e n u n d dass

die b a u l i c h e U m s e t z u n g auch die I n t e g r a t i o n s t r u k t u r e l l e r

P r i n z i p i e n u n d der F e r t i g u n g s t e c h n i k n o t w e n d i g macht,

Als e i n e r der e r s t e n A r c h i t e k t e n s e t z t e F r a n k O. G e h r y

M e t h o d e n des C o m p u t e r - a i d e d G e o m e t r i c D e s i g n

( C A G D ) zum Bau von Preiforrnflachen ein . Er ist b e k a n m

fur die V e r w e n d u n g n a h e z u a b w i c k e l b a r e r Flachen (vgl.

K a p i t e l 9) in s e i n e n E n r w i i r f e n (Abb. 11.6a). Das K u n s t ­

haus G r a z ( 2 0 0 2 - 2 0 0 3 ) w u r d e von P e t e r C o o k u n d C o l i n

F o u r n i e r als b i o m o r p h e F r e i f o r m e n t w o r f e n ( A b b . 1 1 . 6 b ) .

G e s c h i c h t e d e r F r e i f o r m f l a c h e n im C A G D . Die E n r w i c k ­

lung m a t h e m a r i s c h e r M e t h o d e n zur B e s c h r e i b u n g von Frei­

f o r m g e o m e t r i e n entstand in den 1 9 4 0 e r n u n d 1 9 5 0 e r n aus

p r a k t i s c h e n A n f o r d e r u n g e n in der Automobil- u n d Flug­

z e u g i n d u s t r i e . Z u r Losung von P r o b l e m e n wie der d i g i t a l e n

S p e i c h e r u n g von F l a c h e n e n r w i i r f e n o d e r der K o r n m u n i k a ­

tion einer e n r w o r f e n e n Flache an eine c o m p u t e r g e s t e u e r t e

Frasrnaschine b e n o t i g t e man geeignete m a t h e m a t i s c h e Algo­

r i t h m e n , die in den C o m p u t e r e i n g e g e b e n w e r d e n k o n n e n .

R. L i m i n g u n d J. F e r g u s o n von B o e i n g , S. C o o n s am M I T ,

M. Sabin vo n der B r i t i s h A i r c r a f t C o r p o r a t i o n , P. de C a s t e l ­

jau von C i t r o e n u n d P. Bezier von R e n a u l t e n t w i c k e l t e n

Losungen dieser P r o b l e m e . 1m Fall des C A G D t r i e b e n die

A n f o r d e r u n g e n in der F e r t i g u n g die M a t h e m a t i k v o r a n u n d

dies f u h r t e zur E m w i c k l u n g von mathernarischen Kalkiilen,

die F o r m e n b e s c h r e i b e n k o n n e n , die wir h e u t e in zahl­

r e i c h e n P r o d u k t e n v o r f i n d e n .

(a)

Abb. 11.6(a) Das G u g g e n h e i m Museum in Bilbao( 1 9 9 1 - 9 7 ) von Frank O. Gehry.

(b)

(b) Das K u n s t h a u s Graz ( 2 0 0 2 - 0 3 ) vonPeter Cook und Colin Fournier.

368

-- .,...,.,...,\1.,...,.,...,r.,...,,

, , 0 -.,...,.,...,~

B e z i e r - F l a c h e nB e z i e r - S c h i e b f l a c h e n , Wie kon nen w ir Bezier-Flachen aus Bezier-Kurven erzeugen?

Urn dies besser ver standlich zu machen, beginnen wir mi t einem sehr einfachen

Beispiel (Abb. 11.7 ). Wir betrachten zwei Bez ier-Kurven : eine vorn Grad 2 und

ein e andere yo m Gr ad 3 . Urn auch gleich mit der Doppelinde x-Notat ion , die fur

di e allgem eine Theorie zweckmaliig ist , vert r aut zu werden, bezeichnen wir die dr ei

Kontr ollpunkte der quadrat ischen Bezier-Kurve b 2 mit B oo, B IO , B 20 und die vier

Kontrollpunkte der kubischen Kurve b 3 mit B oo, B o !> B o 2, und B o 3.

Wir beacht en, dass d ie beiden Kurven einen gemeinsamen Endpunkt Boo haben und

so m i t als Profilkurven zur Er zeugung einer S ch i ebfl a ch e geeignet sin d . Di ese Flache

tragt ein e Schar qu adr at ischer Bezier-Kurven ( jed e di eser quadr atischen Bezier­

Kurven geht aus b 2 durch eine geeignere Schiebung h ervor). D ie Flache tragr au chein e Schar kubischer Kurven, d ie aus b 3 durch Schiebung her vorgehen. Es ist wichtig,

zwischen den Paramet ern der belden Bezier-Kurven zu unrerscheiden, und daher

b ezeichn en wir den Kurvenparameter auf b 2 mit u und d en Parameter langs b 3 mit v.

Urn d a s kub isch e Profil b 3 in ei ne n eu e L age zu b r i n g en , ber e chn en wi r zu e r st ei n e n

P u n k t b 2 (u) a u f d er qu adr at isch en Kur ve - u n t e r Verw e n d u n g d es Alg ori t h m u s vo n

d e Casteljau, D ann ve rla ge rn wir b 3 m i t t els j e n e r Sch i e b u n g , w elc he d en P u n k t Boo

n ach b 2 (u) b r i n g t . D er Schie bvek ror ist w = b 2 (u) - boo. D ie K o n t r ol l p u n kte d er

re sult i e r e n d en Kur ve s in d b 2 (u) =b oo + W , b OI + W , b 0 2 + w u n d b 0 3 + w. H i e r u nd im

Folg e n d e n u n t e r sch eid e n wi r d e r ei n fac he n Sp r ech w eise h alb er ni ch t i m m e r zwische n

ei ne m P u n k t ( z. E. Boo) u n d seine m O rt svekt or (b o o).

W i r k o n n en di ese P u n k t e a uc h a u f ein em a n der e n Weg erh alt en. W ir ve rsch i e b e n

di e Ko n t r o l l p u n k r e d er qu a d r a t i sch en K ur ve b 2 s o, d a ss Boo nach B Ol g el a ng t . Da s

re s u l t i e r ende Pol ygon n e n n en w i r BOl> B l l> B 2! ' W i r n e n n en ei n so le hes Pol ygon

ein Spal ten po lygo n, gen aue r jen es m i t dem S p a l t e n i n d e x (z wei te n Ind e x ) 1.

D ern e n t spr ech e n d ist da s g egeb en e K o m r o l l p o l y g o n vo n b 2 da s Sp alt enp ol ygon m i t

Ind e x O. In der selben W ei se kon s t r u i er en wir die S p a l t e n p o l ygon e vorn Index 2 u n d 3.

Insge samt h a b e n wir n u n v ier Sp alte n p o lyg o n e - jede s m i t dr e i K o n t r o l l p u n k t e n , N u n

seh en wi r j ed es S p a l t e n p o l ygon als K o n r r ollp ol ygon e i n e r q u a d r ati sch en Bezi e r - K u r ve

a n u n d b er e c h n e n den Kur v e n p u n k t zu m s elbe n Par am et er w ert u . N achd em w ir d ies

f u r aIle Sp alten d u r c h g e f i i h r t h ab en , lie g en g e na u di e K o n t r o l l p u n k t e boo + W, b OI+ W , b 02 + w , u n d b 03 + w d er ob e n b eschri eb e n e n k u b i schen Bez i e r - K u r ve vo r. W i r

n enn en ei ne so le h e k u b i s ch e K ur ve e in e u-Kurue, d a u der Kur v e n p a r am et er l ang s ihr

ist (vgl. d i e ma t h e rn a t ische Be s c h r e i b u n g von Fl a c h e n im K ap it el 7 ) . D ie gege be ne

Abb . 11.7Bezler-Schiebflache, erzeugt durchSchiebung einer Bezier-Kurve vomGrad 3 langs einer Bezier-Kurve vomGrad 2. Die K o n t r o l l p u n k t e elner Lageder kubischen Bezler-Kurve, einer

sogenannten v -Kurve , konnen m i t demA l g o r i t h m u s von de Casteljau e r z e u g twerden: Er muss dazu auf jedes derv ier S p a l t e n p o l y g o n e zum selben Para­m e t e r u a n g e w e n d e t werden .

S p a l t e n p o l y g o n ev - K u r v en

Z e i le n p o l y g o ne

/u - K u t v e

kub ische Bezie r - K u t v e b'

q u a d r a t i s c h e B e z i e r -Ku rve b 2

370

Kurve b 3 ist ebenfalls eine v-Kurve; namlich jene zu u = O. Ihr Kontrollpolygon ist das

Zeilenpolygon mit Zeilenindex (erstem Index) O. Das Zeilenpolygon B 20 , •••, B 23 mit

Zeilenindex 2 bestimmt auch eine v- Kurve.

Hingegen bestimmt das Zeilenpol ygon B IO , . . . , B l3 keine v-Kurve. Die entsprechende

Kurve liegt nicht auf der Schiebflache. Analog definieren auch nur zwei Spalten­

polygone (namlich jene m it Spaltenindex 0 und 3) Bezier-Kurven a u f der Flache,

Die Spaltenpolygone B o !> e.; B 2I sowie BO b B 12 , B 22 bestimmen k ein e Flachenkurven!

Bislang haben wir die Schiebflache durch Bewegung der kubischen Kurve langs der

quadratischen Kurve erzeugt. Dies lieferte die Schar der v-Kurven. Ihre Kontroll­

p u n k t e liegen au f den vier quadrati schen Hilfs-Bezier-Kurven, die durch die

Spaltenpol ygone bestimmt werden ,

Analog konnen wir die quadratische Kurve b 2 langs der kubischen Kurve b 3

verschieben (vgl. die dopp elre Erzeugung von Schiebflachen im Kapitel 9 und

Abb . 11.8). Eine Lage einer solchen Kurve ist durch einen P u n k t b 3 (v) auf b 3 bestimmt

und ihr K u r v e n p a r a m e t e r ist u . Daher wird sie als eine u-Kurue bezeichnet. Die

Konrrollpunkre ciner u-Kurve sind Punkte a u f j e n e n Bezier-Kurven, die durch d ie

Zeilenpolygone definiert und zum selben Parameter v konstru iert werden .

Abb. 11.8Die Scnlebflache aus A b b i l d u n g 11.7kann auch durch Schiebung e i n e rB e z l e r - K u r v e vom Grad 2 langs e i n e rB e z l e r - K u r v e vom Grad 3 e r z e u g t wer ­den. Die K o n t r o l l p u n k t e e i n e r Lage derq u a d r a t i s c h e n Bez t e r - K u r v e , e i n e r

u - K u r v e , k6nnen m i t dem A l g o r i t h m u svon de Casteljau b e r e c h n e t w e r d e n ,indem d i e s e r a u f die drei Z e i l e n p o l y ­gone m i t d e m s e l b e n P a r a m e t e r v ange­w e n d e t wird .

B e z i e r - K u r v e b 'vom G r a d 3

B e z i e r - K u r v e b 2

vom G r a d 2

II)!O~I ~~~-<1

B 0 2

v - K u r v e

371

A l l g e m e i n e B e z i e r - F l a c h e n . Die E r w e i t e r u n g unseres Beispiels a u f den a l l g e m e i n e n

Fall e r s c h e i n t n u n ganz einfach. Die Angabe einer Bezier-Flache ist ihr Kontrollnetz. Es

b e s t e h t aus einer g i t t e r a r t i g e n A n o r d n u n g von P u n k t e n , v i s u a l i s i e r t als V i e r e c k s n e t z

m i t Z e i l e n p o l y g o n e n u n d S p a l t e n p o l y g o n e n .

W i r v e r w e n d e n zwei Indizes fur j e d e n Konrrollpunkr, D e r erste Index n i m m t die

W e r t e 0,1 ,. .. ,m an u n d gibt die Zeile an. D e r zweite Index hat die W e r t e 0 ,1, ... , n u n d

legt die Spalte fest. D a h e r gibt es (m + 1 )(n + 1) K o n t r o l l p u n k t e .

Die Flache tragr zwei Scharen von Bezier-Kurven : eine Schar von u-Kurven vom G r a d m

u n d eine S c h a r von v- K u r v e n vom G r a d n. Man s p r i c h t d a h e r von einer Bezier-Fldche

vom Grad im, n). A n a l o g zum Fall einer S c h i e b f l a c h e wird eine u-Kurve wie folgt

k o n s t r u i e r t (siehe auch Abb . 11.9).

• W e n d e den A l g o r i t h m u s von de C a s t e l j a u a u f j e d e s Z e i l e n p o l y g o n zum

selben P a r a m e t e r w e r t v a n . Dies l i e f e r t m+ 1 P u n k r e Ro, ... ,Rm'

• Die Bezier-Kurve m i t K o n t r o l l p u n k t e n Ro, ...,R m ist die g e w i i n s c h t e u-Kurve.

A n a l o g wird eine v-Kurve m i t t e l s der S p a l t e n p o l y g o n e k o n s t r u i e r t . Es ist e i n f a c h

zu e r k e n n e n , dass die S c h a r e n der u - K u r v e n u n d v-Kurven r a t s a c h l i c h a u f d e r s e l b e n

Flache liegen.

Im vorigen Beispiel e i n e r B e z i e r - S c h i e b f l a c h e waren alle Vierecke des K o n t r o l l n e t z e s

P a r a l l e l o g r a m m e u n d d a h e r eben. Bei a l l g e m e i n e n B e z i e r - F l a c h e n b r a u c h e n j e d o c h die

M a s c h e n des K o n t r o l l n e t z e s n i c h t eben zu sein.

S p a l t e n p o l y g o n

372

Abb. 11.9Bezier-Flache vom Grad ( 2 , 2 ) und dieK o n s t r u k t i o n elner u - K u r v e m i t Hilfei h r e r K o n t r o l l p u n k t e . Diese liegen aufden durch die Z e i l e n p o l y g o n e be­s t i m m t e n Bezler-Kurven.

A b b . 1 1 . 1 0Die R a n d p o l y g o n e des K o n t r o l l n e t z e ssind die B e z i e r - P o l v q o n e d e r Randkurvend e r Bezler-Flache.

Abb. 11.11Eine Bezier-Flache l i e g t zur Ganze i n n e r ­halb der k o n v e x e n HOlle ihres K o n t r o l l ­netzes.

E i g e n s c h a f r e n v o n B e z i e r - F l a c h e n , Jedes Randpolygon des Kontrollnetzes d e f i n i e r t

eine Bezier-Kurve, die eine Randkurve des entworfenen Bezier-Fldchenstiicks ist

(Abb. 11.10) . Die R a n d p o l y g o n e sind die einzigen Zeilen- u n d S p a l t e n p o l y g o n e , die

F l a c h e n k u r v e n b e s t i m m e n . A u f g r u n d der o b e n b e s c h r i e b e n e n K o n s t r u k t i o n , die ganz

i n n e r h a l b der konvexen Hiille des K o n t r o l l n e t z e s ablaufi, liegt das gesamte Bezier­

Flachenstuck in der kon vexen Hulle seines Kontrollnetzes (Abb . 11.11) .

Die B e z i e h u n g zwischen dem K o n t r o l l n e t z u n d der Flache ist fur das Design g u t

g e e i g n e t - v o r a u s g e s e t z t , wir v e r w e n d e n h i n r e i c h e n d n i e d r i g e G r a d e m u n d n , Dies

wird d u r c h die Tarsache nahe gelegt, dass wir die K o n s t r u k r i o n fur B e z i e r - K u r v e n in

u- u n d v - R i c h t u n g a n w e n d e n .

D a h e r ist es ist l o h n e n d , einige B e z i e r - F l a c h e n n i e d r i g e n Grades genauer zu

b e t r a c h t e n . Sie e r s c h e i n e n fur den Einsatz in der A r c h i t e k t u r g u t geeignet. AuBerdem

werden wir dabei i n t e r e s s a n t e V e r b i n d u n g e n m i t den im K a p i t e l 9 s t u d i e r t e n

Flachenklassen h e r s t e l l e n k o n n e n ,

------ ""Rand-p o l y g o n B 2 0

» >R a n d -k u r v e

Rand­p o l y g o n

B e z i e r - F l e c h eu n d K o n t r o l l n e t z

k o n v e x e HOlledes K o n t r o l l n e t z e s

B e z l e r - H e c n e u n d k o n v e x eHOlle des K o n t r o l l n e t z e s

373

B e z i e r - F l a c h e n vom Grad ( 1 , 1 ) . Ein B e z i e r - P l a c h e n s r i i c k vom G r a d (1,1) hat n u r ein

V i e r e c k als K o n t r o l l n e t z (Abb. 1 1 . 1 2 ) . Die Flache t r a g t zwei S c h a r e n von Bezier­

K u r v e n vom G r a d 1, d.h. G e r a d e n s t i i c k e . K o n s t r u i e r e n wir eines dieser G e r a d e n s t i i c k e

(z.B. eine u-Kurve): D a z u b e r e c h n e n wir z u e r s t m i t d e m s e l b e n P a r a m e t e r w e r t v die

P u n k t e ro, r, a u f den Z e i l e n p o l y g o n e n . Dies sind die P u n k t e ro = (1 - v)b oo + vb ol u n d

rl = (1 - v)b lO + vb l l , die g e g e n i i b e r l i e g e n d e S e i t e n BooRol u n d BloRll des

K o n t r o l l v i e r e c k s im selben V e r h a l t n i s (1 - v) :v t e i l e n . Die u-Kurve ist das

G e r a d e n s t i i c k R o R l ' Dies zeigt, dass die Flache Teil eines h y p e r b o l i s c h e n P a r a b o l o i d s

ist ( o d e r Teil e i n e r Ebene , s o f e r n das K o n t r o l l v i e r e c k eben ist). Urn die B e r e c h n u n g

f o r t z u f i i h r e n , w i r d das G e r a d e n s e g m e n t RoRl m i t t e l s u als (1 - u)ro + uri

p a r a m e t r i s i e r t . E i n s e t z e n der D a r s t e l l u n g e n fiir R o , R l l i e f e r t s c h l i e l i l i c h den

Flachenpunkr B(u,v) mit

b(u,v) = (1 - u)(1 - v)b oo + (1 - u)vb Ol + u(I - v)b lO + U V b 11 •

W e n n u u n d v jeweils im I n t e r v a l l [0 ,1] variieren, liefert diese Formel alle P u n k t e der

Flache, W i r h a b e n d a m i t eine P a r a m e t e r d a r s t e l l u n g der H l ' - F l a c h e (vgl. K a p i t e l 7 ) . Als

O b u n g k a n n man leicht verifizieren, dass die u- Kurven, die ebenfalls g e r a d l i n i g sind,

dieselbe Flache b e s t i m m e n (siehe auch K a p i t e l 9 ) . A u s w e r t u n g der m a r h e m a t i s c h e n

B e s c h r e i b u n g b(u,v) fur beliebige Werte u u n d u, n i c h t nur fur jene zwischen ° u n d 1,

liefert das gesamte h y p e r b o l i s c h e Paraboloid. Es sei hier vermerkt, dass wir Bezier­

Flachen, wenn nichts anderes v e r m e r k t ist, n u r fur Werte u.u aus [0,1] auswerten.

/- ­i ' ' /

v - L i n i e n

374

A b b . 1 1 . 1 2Ein Bezier-Flachenstuck vern Grad ( 1 , 1 )ist Teil eines hyperbolischen Pa raboloids.Die u - K u r v e n und v - K u r v e n sind g e r a d ­linige Strecken.

A b b . 1 1 .13Bezler-Plachen, bei denen ein Gradgleich 1 ist, sind Regelflachen.

Abb. 11.14Ein StOck einer allgemeinen Z y l i n d e r ­flache kann als Bezier-Flache m i t einemGrad gleich 1 e n t w o r f e n werden . Dabeihaben wir mehr Freiheiten bei der Ge­s t a l t u n g der Randkurven als bei Ver­wendung einer Parallelextrusion.

Abb. 11.15Allgemeine Keqelflachen ki:innen eben­falls als Bezler-Flachen e r z e u g t werden.

B e z i e r - R e g e l f l a c h e n . W i r b e t r a c h t e n n u n eine B e z i e r - F l a c h e vom G r a d (I,n ). I h r e

u -Lin ien s in d B e z i e r - K u r v e n vo m G r a d 1 u n d d a h e r G er ad en s t u c k e, S o m i t ist e ine

so lc he Flache eine Reg elfl a ch e - e i n g e s p a n n t zwi s c h e n z wei Bezi e r - K u r ven vo m G r ad n

(A b b . l L l 3) .

Die se T at sache zei gt e i n e n seh r g u t e n Z u g ang zur K o n s t r u k t i o n v o n Regelflach en

m i r t el s C A D - S yst em en auf. W i r fiig en n o c h zwei Sonder fill e h i n z u . W e n n a Ile

Sp a l t e n s t r ecken de s K o n t r o l l n e t z e s p a r a l l e l s in d (A b b . 1 L l 4 ) , s o e r h a l t e n wir e i n e

a llge m e i n e Zylind erfl a ch e. Di e M o d e l l i e r u n g allgem e i n e r Z y l i n d e r al s Bezier-Fl a c h e n

v o m G r a d ( I ,») b i e t e t v i el e Fr e i h e i t e n b e i m E n r w u r f der R a n d k u r ven , die i n d i e s e m

Fall ni c h t k o n g r u e n t se i n mii ssen , Dies s te h t im G e g e n s at z z ur E r z e u g u n g v o n

Z y l i n d e r n d u r c h P a r a l l e l e x t r u sion (vg l. K a p i t e l l ) e i n e r B e z i e r - K u r v e .

K o n t r o l l p u n k t e d i i r f e n auch zu s a m m e n f a l l e n . W e n n a Ile K o n t r o l l p u n k t e e i n e r Zeile

in d e n s e l b e n P u n k t S = B oo = ... = B on fallen , e r g i b t sich ein S t u c k e i n e r Kegelfla che m i t

S p i t z e S (A b b . I L l 5 ) .

Z y l i n d e r t t e c bea ls E x t r u s ions t i s c h e

Z v l i n d e r t t e c t i e n s t u c kals Be z i e r - F t s c h e

375

Beispiel:

Flachen aus P a r a b e l n m i t l o t r e c h t e n

A c h s e n , A u f g r u n d ihrer s t r u k t u r e l l e n

Effizienz werden Bogen von Ketten­

linien und ihre A p p r o x i m a t i o n e n durch

Parabelbogen gerne im Bauwesen ein ­

gesetzt. Zur Ausschopfung de s st r u k­

turellen Potenzials muss dabei die Parabel­

achse l o t r e c h t gewahlt werden.

Al s Beispiel fur die M o d e l l i e r u n g mit ­

tels Bezier-Flachen zeigen wir nun , wie

man eine Be zier-Fldche aus P arab elbogen

erzeugen kann. Z u r Erzielung st atisch e r

Vorteile wollen wir aIle u-Kurven der

s y m m e t r i s c h e r Fall

zParabelachse i

!B,

x ...

376

Flache als Parabeln mit l o t r e c h r e r Achse

ausbilden. Als Vereinfachung verwenden

wir ein K o o r d i n a t e n s y s t e r n mit lotrech­

ter z-Achse,

Es erhebt sich zuerst die Frage, wie man

die drei K o n t r o l l p u n k r e einer Bezier­

Kurve 2. Grade s (Par ab elb o gen ) wahlen

muss, damit die Ach se lorrecht ist, Ab­

bildung 11.16 zeigt die Losung, W i r be­

trachten den G r u n d r i ss in der xy-Ebene

und st ellen sicher, dass der Grundriss de s

inneren Konrrollpunktes der Minelpunkr

der Grundrisse der E n d p u n k t e ist,

a l l g e m e i n e r Fall

z

Die s liefert eine erste Losung unseres

F l a c h e n p r o b l e m s : W i r verwenden ein

K o n t r o l l n e t z einer Bezier-Flache vom

Grad (2,n), dessen G r u n d r i s s ein rechr­

eckiges G i t t e r ist (Abb. 11.17). Fur n = 2

e r h a l t e n wir eine Flache, deren v-Linien

ebenfalls Parabeln sind. Im Allgemeinen

ist eine solche Flache kein P a r a b o l o i d

(Letztere s ergibt sich, wenn alle Maschen

de s Kontrollnetzes Parallelogramme

sind ).

A b b . 1 1 . 1 6Lage der K o n t r o l l p u n k t e eines Parabel­bogens m i t l o t r e c h t e r Achse.

A b b . 1 1 . 1 7Flachen, die eine Schar von Parabeln m i tl o t r e c h t e r Achse t r a g e n , konnen ubereinem G i t t e r in einer h o r i z o n t a l e n Ebenea u f g e b a u t werden. Die Flachen a u f derrechten Seite haben Parallelogramme als

Settentlachen des K o n t r o l l n e t z e s ; es sinddies spezielle B e z l e r - S c h l e b f l a c h e n , undzwar ein e l l i p t i s c h e s und ein h y p e r ­bolisches Paraboloid.

Bezier-Fliiche vom Grad ( 2 , 2 )

B e z t e r - F l e c h e vom Grad ( 2 , 3 )

Bezier-Flache vom Grad ( 2 , 2 )= e l l i p t i s c h e s Paraboloid

Bezier-Flache vom Grad ( 2 , 2 )= h y p e r b o l i s c h e s Paraboloid

377

D e r Beweis dieser K o n s t r u k t i o n n i i t z t die Tatsache, dass wir die G r u n d r i s s e

der K o n t r o l l p u n k t e einer u-Kurve d i r e k t im G r u n d r i s s d u r c h A n w e n d u n g des

A l g o r i t h m u s von de C a s t e l j a u k o n s t r u i e r e n k o n n e n (affine Invarianz von Bezier­

Kurven; vlg. K a p i t e l 8 ) . D e r s e l b e Beweis k a n n auch a u f eine viel allgemeinere

S i t u a t i o n a n g e w e n d e t werden (Abb. 11.18). W i r stellen sicher, dass der G r u n d r i s s des

K o n t r o l l n e t z e s u n s e r e r Bezier- R i c h e vorn G r a d (2,n) S p a l t e n p o l y g o n e hat, die das

K r i t e r i u m in A b b i l d u n g 11.16 erfiillen (drei k o l l i n e a r e P u n k r e gleichen A b s t a n d s im

G r u n d r i s s ) .

Die Essenz des Beweises ist bereits fur n = 1 v o r h a n d e n u n d in A b b i l d u n g 11.18

( u n t e r e Reihe) i l l u s t r i e r t : Fur ein festes v k o n s t r u i e r e n wir die drei K o m r o l l p u n k t e

einer u- Kurve u n d e r k e n n e n , dass sie ebenfalls das K r i t e r i u m aus A b b i l d u n g 11.16

erfiillen u n d d a m i t einen P a r a b e l b o g e n m i t l o t r e c h t e r Achse d a r s t e l l e n .

G r u n d r i s s e

378

Abb. 11.18Bezier-Flachen, die eine Schar vonParabeln m i t l o t r e c h t e r Achse tragen.Die Einschrankungen auf den Grundrissdes K o n t r o l l n e t z e s ( l i n k s ) stellen sicher,dass jede u - K u r v e eine Para bel mitl o t r e c h t e r Achse ist .

. . . . . . : . : ••0 8B 2303

Abb. 11.19Das K o n t r o l l n e t z einer Bezier-Flache Fe n t h a l t K o n t r o l l n e t z e von Regelflachen R,die F langs der Randkurven b e r u h r e n .

B e z i e r - F l a c h e n glatt a n e i n a n d e r g e f u g t . G l a t t e V e r b i n d u n g e n zwischen

F l a c h e n s t i i c k e n sind w e s e n t l i c h schwerer zu e r r e i c h e n als glatte V e r b i n d u n g e n von

K u r v e n s t u c k e n . Es gibt j e d o c h eine K o n s t r u k t i o n fur einen g l a t t e n O b e r g a n g zweier

B e z i e r - F l a c h e n s n i c k e , der Ieicht v e r s t a n d l i c h u n d in der Praxis r e c h t niirzlich ist,

A b b i l d u n g 11.19 zeigt eine Bezier-Flache F v o m G r a d ( 3 .3 ) , bei der ein R a n d p o l ygon

so w ie das b e n a c h b a r r e Pol ygon des K o n t r o l l n e t z e s h e r v o r g e h o b e n sind.

Diese b e i d e n Z e i l e n p o l y g o n e b i l d e n das K o n t r o l l n e t z einer Bezier-Regelflache R vom

G r a d (1,3 ). D e r allgemeine A l g o r i t h m u s fur die K o n s t r u k t i o n von u - L i n i e n zeigt,

da ss die E r z e u g e n d e n von R die E n d t a n g e n t e n der u - L i n i e n sind. D a h e r b e r i i h r t R die

Flache F langs einer R a n d k u r v e .

W i r b e t r a c h t e n nun zwei Bezier-Flachen F 1 u n d F 2 , d e r e n K o n t r o l l n e t z e ein

gemeinsames R a n d p o l y g o n ( Z e i l e n p o l y g o n ) haben. Dieses Polygon d e f i n i e r t eine

Bezier-Kurve (v-Kurve) b. Die Flachen F 1 u n d F 2 h a u g e n langs b z u s a m m e n , aber

die beiden Flachen werden im A l i g e m e i n e n v e r s c h i e d e n e T a n g e n t i a l e b e n e n in den

P u n k t e n von b aufweisen. Die z u s a m m e n g e s e t z t e Flache hat also eine e v e n t u e l l

u n e r w i i n s c h t e sch ar fe Kante langs b.

die R e q e t t i e c b e R s c h l i e B t e n t l a n gi h r e r R a n d k u r v e t a n g e n t ial an

die B e z i e r - F l e c h e F a n .

K o n t r o l l p o l y g o n ed e r R e q e l t l e c h e n R

die E r z e u g e n d e n d e r R e g e l f l a c h e Rs i n d die E n d t a n g e n t e n d e r

u - L i n i e n von F

379

W i r e r r e i c h e n e i n e n g l a t t e n U b e r g a n g , w e n n die b e i d e n b e r i i h r e n d e n Regelflachen­

s t r e i f e n R l u n d Rzlangs b a u f d e r s e l b e n Regelflache R liegen . D a drei o- K u r v e n

e i n e r Bezier- Regelflache R vom G r a d (L,») K o n t r o l l p u n k t e h a b e n , die dasselbe

T e i l v e r h a l t n i s a u f den S p a l t e n s t r e c k e n des K o n t r o l l n e t z e s b e s t i m m e n , e r h a l t e n

wir die in A b b i l d u n g 11.20 d a r g e s r e l l t e K o n s t r u k t i o n m i t t e l s g l e i c h e r S t r e c k e n ­

v e r h a l t n i s s e a : ~.

A b b . 1 1 . 2 0( l i n k s ) K o n s t r u k t i o n eines glatten Ober­gangs zwischen zwei Bezier-Flachen.Der Beweis wird auf der rechten Seitei l l u s t r i e r t : Drei v-Kurven langs dersel­ben Bezier-Regelflache R vom Grad( 1 , 3 ) bestimmen dasselbe Teilverhalt­nis auf den Spaltenstrecken.

d r e i v - L i n i e n von R 8 0 3

380

G r u n d r i s s

B e i s p i e l :

G l a t t e r U b e r g a n g z w i s c h e n e i n e m

p a r a b o l i s c h e n Z y l i n d e r u n d e i n e r

E b e n e . Als A n w e n d u n g diese r Kon ­

st r u k t i o n b e s p r e c h e n wir den E n t w u r f

e iner g l a t t e n O b e r g a n g s f l a c h e zwischen

e i n e m p a r a b o l i s c h e n Z y l i n d e r Z u n d

einer Ebene E (Abb . 11.21) . Als U b e r ­

gangsfHiche w a h l e n wir eine Bezier-

Abb . 1 1 . 2 1Bez le r - Flache , d ie einen g l a t t e n U b e r ­gang z w i sc h e n ei n e m parabol i sch enZyli n de r und e i n e r Ebene he r s t e l l t .

Fl a c h e B vom G r a d (2,3), die eine Rand­

p a r a b e l PI von Z m i t einer in E l i e g e n d e n

Parabel P2 v e r b i n d e t .

Di e Spaltenpolygone mit Index 0 und 3

aus dem K o n t r o l l n e t z von B sind mit den

Kontrollpolygonen der Parabeln PI und P2idemisch. Die Spalte mit Index 1 kann ver­

mage der K o n s t r u k t i o n mit gleichen Teil-

g l a t t e r B e z i e r - U b e r q e n q

a

a

verhalmissen (wie in Abb. 11.20) ermittelr

werden. Das Spaltenpolygon mit Index

2 mu ss ganz in der Eben e E liegen, denn

dadurch liegt die langs P2 beriihrende

Regelflache ganz in E und es ergibt sich ein

glatter Obergang von B und E. Dies lasst

sogar noch Gestaltungsmoglichkeiren fur

d ie Obergangsflache offen.

: p

: p

381

382

Verrin g e r t e s

GeWiCht

B- SPline-Flache NURBS-Fliiche

-­e r h 6 h t e sG e w i c h t

B - S p l i n e - F l a c h e n undN U R B S - F l a c h e n

Da B e z i e r - F l a c h e n aus S c h a r e n von B e z i e r - K u r v e n a u f g e b a u t sind, h a b e n sie auch die

g l e i c h e n N a c h t e i l e wie die B e z i e r - K u r v e n : S o b a l d ein G r a d zu h o c h ist, folgen sie der

Form des K o n t r o l l n e t z e s n u r schwach, das N e t z w i r d zu sehr g e g l a t t e t . U b e r d i e s hat

die V e r a n d e r u n g eines e i n z i g e n K o n t r o l l p u n k r e s eine globale A u s w i r k u n g , was den

E n t w u r f s p rozess e r s c h w e r t .

Z u r V e r m e i d u n g dieser P r o b l e m e k a n n man B-Splines zur F l a c h e n d e f i n i t i o n

v e r w e n d e n . Eine solche BrSpline-Fldclu: ist ebenfalls r n i t t e l s eines viereckigen

K o n t r o l l n e t z e s d e f i n i e r t . J e d o c h k a n n man z u s a t z l i c h den G r a d der u- u n d v- K u r v e n

v o r s c h r e i b e n . Die A u s w i r k u n g e n des G r a d e s a u f die G l a t t h e i t der H a c h e s i n d vollig

a n a l o g zu dem, was wir s c h o n von den B - S p l i n e - K u r v e n wissen ( K a p i t e l 8 ) .

Eine w e i t e r e d i r e k t e V e r a l l g e m e i n e r u n g ist die V e r w e n d u n g von NURBS-Flachen , die

ein G e w i c h t m i t ihren K o n t r o l l p u n k t e n v e r b u n d e n h a b e n . Die A u s w i r k u n g e n der

Veranderung eines Gewichts sind die gleichen wie bei den N U R B S - K u r v e n ( A b b . l 1 . 2 2 ) .

Abb. 1 1 . 2 2Gewichte als F o r m p a r a m e t e r von NURBS­Flachen: Erh6hung eines Gewichts ziehtdie Flache zum e n t s p r e c h e n d e n K o n t r o l l ­p u n k t . V e r r i n g e r u n g des Gewichts schiebtdie Hache vom K o n t r o l l p u n k t weg.

B - S p l i n e - F l a c h e

383

W i r w e r f e n n o c h e i n e n Blick a u f einige Beispiele (Abb. 11.23) . D i e H a c h e F] h a t den

G r a d (1,3) u n d ein K o n t r o l l n e t z aus 2 - m a 1 6 P u n k t e n . D a h e r s i n d die u - K u r v e n

g e r a d l i n i g u n d die H a c h e ist eine Regelflache. D i e H a c h e F 2 h a t eben falls den

G r a d (1,3), a b e r 4 - m a 1 6 K o n t r o l l p u n k t e . D a h e r w i r d die H a c h e von drei

R e g e l f l a c h e n s t r e i f e n g e b i l d e t , die Iangs s c h a r f e r K a n t e n z u s a m m e n h a n g e n .

Die H a c h e F 3 ist vom G r a d ( 3 , 3 ) , w o d u r c h die S t e t i g k e i t der K r i i m m u n g b e w i r k t w i r d .

Eine tiefere D i s k u s s i o n der F l a c h e n k r u m m u n g f i n d e t sich in Architectural Geometry,

Chapter 14. D o r t w i r d auch a u f e i n e n w i c h t i g e n o p t i s c h e n Effekt h i n g e w i e s e n : G l a t t e

( g l a n z e n d p o l i e r t e ) F l a c h e n zeigen n u r d a n n g l a t t e R e f l e x i o n s l i n i e n , w e n n sie sogar

k r i i m m u n g s s t e t i g sind. A u f den e r s t e n Blick mag es i i b e r r a s c h e n d e r s c h e i n e n , dass dies

n i c h t auch fiir eine H a c h e gilt, die i i b e r a l l eine e i n d e u t i g b e s t i m m t e T a n g e n t i a l e b e n e

a u f weist ( k e i n e s c h a r f en K a n t e n b e s l t z t ) .

O f f e n e r u n d g e s c h l o s s e n e r M o d u s . B - S p l i n e - K u r v e n u n d N U R B S - K u r v e n konnen

im o f f e n e n u n d im g e s c h l o s s e n e n M o d u s k o n s t r u i e r t w e r d e n . Im l e t z t g e n a n n t e n

Fall muss das K o n t r o l l p o l y g o n g e s c h l o s s e n sein. Eine B - S p l i n e - H a c h e tragt zwei

S c h a r e n von B - S p l i n e - K u r v e n : die u - K u r v e n u n d die v - K u r v e n , die im o f f e n e n o d e r

g e s c h l o s s e n e n M o d u s v o r l i e g e n konnen, Dies l i e f e r t drei w e s e n d i c h v e r s c h i e d e n e

A r t e n des Z u s a m m e n h a n g s der Flache ( A b b . 1 1 . 2 4 ) .

Abb. 11.23Einige B - S p l i n e - F l a c h e n , die den Ein­fluss des Grades i l l u s t r i e r e n .

R e g e l f l a c h e

3 8 4

d r e i R e g e l f l a c h e n B - S p l i n e - F l a c h e vom Grad ( 3 , 3 )

A b b . 1 1 . 2 4Drei v e r s c h i e d e n e Arten des Zusam­menhangs einer NURBS-Flache, je nachdem Modus (offen oder geschlossen)i h r e r u- und v - K u r v e n .

• O f f e n e r M o d u s fur u- u n d v-Kurven l i e f e r t ein von vier Kurven b e r a n d e t e s

F l a c h e n s t u c k .

• G e s c h l o s s e n e r M o d u s in e i n e r R i c h t u n g (u o d e r v), offener M o d u s in der

a n d e r e n R i c h t u n g : eine solche Flache sieht wie ein (evenruell sehr stark)

d e f o r m i e r t e s S t u c k eines Rohres aus .

• G e s c h l o s s e n e r M o d u s in b e i d e n R i c h t u n g e n : Die Flache h a t die Form eines

d e f o r m i e r t e n Torus.

Diese drei Typen sind V e r t r e t e r v e r s c h i e d e n e r t o p o l o g i s c h e r A r t e n . M i t t e l s

K o n t r o l l n e t z e n , bei d e n e n ein o d e r mehrere R a n d p o l y g o n e in e i n z e l n e P u n k t e

e n t a r t e n (Abb. 11.25), k o n n e n wir auch Flachensrucke m i t w e n i g e r als vier

R a n d k u r v e n m o d e l l i e r e n . W i r k o n n e n auch die T o p o l o g i e einer ( d e f o r m i e r t e n )

Kugel e r r e i c h e n . H i n g e g e n sind k o m p l i z i e r t e r e t o p o l o g i s c h e A r t e n - wie etwa

die geschlossene Flache in A b b i l d u n g 11.1 ( u n t e n ] - d u r c h eine einzige B-Spline­

Flache n i c h t d a r s t e l l b a r . Die Z u s a m m e n f u g u n g m e h r e r e r B-Spline- Flachen zu einer

k o m p l i z i e r t e r e n g l a t t e n Flache isr schwer u n d u n p r a k t i s c h . Dieses t o p o l o g i s c h e

D i l e m m a wird von den U n t e r t e i l u n g s f l a c h e n gelosr. Bevor wir diese b e s p r e c h e n ,

wollen wir noch einige andere n i i t z l i c h e F l a c h e n b e s c h r e i b u n g e n der g e o m e t r i s c h e n

M o d e l l i e r u n g v o r s t e l l e n .

F l a c h e n s t i i c k m i t e i n e r R a n d k u r v e

F l e c b e n s t u c k m i t d r e i R a n d k u r v e n//

\ /B 2 V- - ­/

\ /B I X, /

, /

Plecnenstiick: m i t z w e i R a n d k u r v e n

Abb. 1 1 . 2 5Ein ige B - S p l i n e - F l a c h e n m i t e n t a r t e t e nK o n t r o l l n e t zen .

385

I n t e r p o l i e r e n d e S p l i n e - F l a c h e n . Bezier- und B - S p l i n e - F l a c h e n besitzen eine groEe

Vielfalt m o g l i c h e r F o r m e n . Sie k o n n e n i n t e r a k t i v d u r c h E d i t i e r e n des K o n t r o l l n e t z e s

e n r w o r f e n werden . Es gibt aber auch andere M e t h o d e n , diese Flachen zu definieren

und einzusetzen. Zum Beispiel kann man verlangen, dass die Flache d u r c h eine

gegebene Menge von P u n k t e n h i n d u r c h g e h t .

Dieses Interpolations problem ist in seiner a l l g e m e i n s t e n Form schwierig . H i n g e g e n ist

die Losung der folgenden Aufgabe einfach u n d in fast jeder 3 - D - M o d e l l i e r u n g s ­

software i m p l e m e n t i e r t : W i r legen eine B-Spline-Flache d u r c h eine Menge von

P u n k t e n , die in einem V i e r e c k s n e t z (wie in einem K o n t r o l l n e t z ) a n g e o r d n e t sind

(Abb. 11.26).

In A r c h i t e c t u r a l G e o m e t r y , C h a p t e r 17, wird die A n n a h e r u n g von M e s s d a t e n aus

3 - D - S c a n n e r n m i t t e l s S p l i n e - F l a c h e n d i s k u t i e r t . Diese . F l a c h e n r u c k f i i h r u n g " wird

in der Praxis vielfach v e r w e n d e t u n d ist auch bestens geeignet, ein a r c h i t e k t o n i s c h e s

Modell einer k o m p l i z i e r t e n Form in eine digitale D a r s t e l l u n g zu b r i n g e n .

V i e r e c k s n e t z

386

i n t e r p o l i e r e n d e B- S o l i n e - P t s c h e

Abb. 11.26B-Spline-Flachen k6nnen auch zurI n t e r p o l a t i o n der Ecken eines Vierecks­netzes v e r w e n d e t werden. Dieses Netzist aber nicht das K o n t r o l l n e t z .

NetzeWir haben b ereit s viele Ar ten glatter Flachen kennen gelernt. Abgesehe n von einigen

sehr einfachen Typen , wie etwa d en Zylin de rn ode r Kegel n, sp reng t di e Verwe n d ung

solcher Flachen in d er Arch itek t ur oft die fina nz icllcn Mogl ich kcitcn. Es erhe b t sich

also die Frage, wie man einen auf einer f reien Fo rm b eruh en d en Entw urf umsetzen

ka n n. Eine rnog liche An twor t ka n n die Verwe n du ng von Ne t zen sein . Es gib t eine

Reih e versc hie de ne r Ar ten von Netze n und einige von ihnen sind v ielvers p reche n de

Kan dida ten fu r d en Einsarz in de r Arch ite kt ur.

Grab gesprochen ist ein Netz eine Menge von Punkten (Ecken), die in Grund­

clemente, so genanme Maschen (oder Fldchen) gegliedert sind. Die Maschen sind von

Polygonen begrenzt. Meist domin iert eine Art von Maschen (z.B. Dreieck, Viereck,

Sechseck) . Sie hangen entlangvon Kamen zusammen und beschreiben grab die Form

einer glatten Flache (die allerdings nichr-glatte Merkmale wie scharfe Kamen oder

Ecken auf weisen kann) .

Abb. 1 1 . 2 7Es gibt verschiedene Typen von Netzen:D r e i e c k s n e t z e , Vierecksnetze oder auchSechsecksnetze. Abgesehen von denDreiecksnetzen haben diese Netze imAllgemeinen keine ebenen Maschen.Die Maschen sind lanqs g e r a d l i n i g e rKanten a n e i n a n d e r g e f O g t . Die hiergezeigten Netze wurden m i t einer vonErgun Akleman e n t w i c k e l t e n S o f t w a r ee n t w o r f e n .

Fast alle sch ein bar glatten Flachen in Animationen oder Computerspielen sind nur

geeignet gerenderte Netze (vgl. die Rendering-Methoden in Kapitel Z), Netze sind in der

Computergraphik allgegenwartig und werden auch fUr Simulationen in Naturwissen­

schaft und Technik h aung verwendet. Abbildung 11.27 zeigt einige Beispiele von

Netzen. Ihr Einsatz in der Archirekrur erfreut sich zunehmender Beliebtheir , was die

Abbildungen 28 d - f anh and einiger Beispiele aus jiingerer Zeit illustrieren .

387

Geschichte der Netze in der A r c h i t e k t u r , Die P r o d uk­

t i o n s m e t h o d e n fur G l a s p a n e e l e , die im f r u h e n 20. j a h r ­

h u n d e r t e n t w i c k e l t w u r d e n , b e d e u t e t e n einen Mellen­

stein fur die R e a l i s i e r u n g freier F o r m e n in der A r c h i t e k ­

t u r ( I r v i n g C o l b u r n , 1905; Emile F o u r c a u l t , 1913 ; Max

B i c h e r o u x , 1919) . I m J a h r 1 9 1 4 v e r w e n d e t e der d e u t s c h e

A r c h i t e k r B r u n o T a u t ( 1 8 8 0 - 1 9 3 8 ) S t a h l b e t o n r r a g e r als

T r a g s t r u k t u r fur seinen G l a s - P a v i l l o n (Abb. 11.28a), und

G l a s b a u s t e i n e der Firma Luxfer zur Verglasung.

D e r O b e r g a n g von Eisen zu S t a h l e r o f f n e t e neue

M o g l i c h k e i t e n der V o r f e r t i g u n g u n d des Z u s a m m e n ­

baus sowie n e u a r t i g e M a t e r i a l k o m p o s i t i o n e n zur H e r ­

s t e l l u n g k o m p l e x e r , j e d o c h l e i c h t e r T r a g s r r u k r u r e n .

P i o n i e r e waren B u c k m i n i s t e r F u l l e r ( b e r u h m t fur seine

g e o d a r i s c h e n K u p p e l n ) , V. G. Suchov u n d Frei O t t o

( b e k a n n t fur ihre H a n g e k o n s t r u k r i o n e n , Abb . 11.28b)

sowie H . S c h o b e r u n d J. S c h l a i c h m i t i h r e n K a b e l n e t z e n

u n d G i t t e r s c h a l e n . (Abb. 1 1 . 2 8 c ) .

A l l g e m e i n e r o f f n e t g e o m e t r i s c h e s W i s s e n , k o m b i n i e r t

m i t n e u e n M e t h o d e n der s t r u k t u r e l l e n B e r e c h n u n g ,

neue Z u g a n g e zum Bau von F r e i f o r m f l a c h e n . Ein

Beispiel ist das Sage G a t e s h e a d ( 1 9 9 4 - 2 0 0 4 ) von F o s t e r

u n d P a r t n e r n (Abb. 1 1 . 2 8 d ) , ein G e b a u d e , dessen D a c h

aus g e o m e t r i s c h e r Sichr ein V i e r e c k s n e t z ist,

D r e i e c k s n e t z e w u r d e n in der A r c h i t e k t u r v e r w e n d e t ,

wenn keine a n d e r e A u f l o s u n g in ebene Paneele m o g l i c h

schien. j i i n g e r e Beispiele sind etwa die relativ kleine

M u r i n s e l ( 2 0 0 3 ) in Graz von V i t o A c c o n c i (Abb . 1 1 . 2 8 e )

u n d Teile des riesigen G l a s d a c h s der M a i l a n d e r Messe

( 2 0 0 2 - 2 0 0 5 ) von M a s s i m i l i a n o Fuksas (Abb. 1 1 . 2 8 f ) .

(a)

Abb. 1 1 . 2 8(a) Der G l a s - P a v i l l o n ( 1 9 1 4 ) von BrunoTaut.(b) Das M D n c h n e r O l y m p i a - S t a d ion( 1 9 7 2 ) von Frei Otto.(c) Das Glasdach des F l u s s p f e r d h a u s e sim B e r l i n e r Zoo ( 1 9 9 6 ) von SchlaichB e r g e r m a n n und Partnern ist ein Vier­ecksnetz m i t eben en Maschen.(d) Das Sage G a t e s h e a d ( 1 9 9 4 - 2 0 0 4 )von Foster und Partnern hat ein als Vier­ecksnetz a u s g e b i l d e t e s Dach .(e) Die M u r i n s e l ( 2 0 0 3 ) von Vito Acconcib e r u h t auf einem Dreiecksnetz.( f ) Das Dach der Mailande r Messe( 2 0 0 2 - 0 5 ) von Massimiliano Fuksas istein ries iges, aus Dreiecken und ebenenVierecken a u f g e b a u t e s Netz.

(c)

(d)

(e)

( f )

389

G e o m e t r i e und K o n n e k t i v i t a t . Wenn w i r un s m it N e t z en b e f a ssen , solIten w i r

vo r erst ihr e Konnektivitiit di skutieren, di e geleg e n t l i c h auch als " N etz to po lo gi e"

b e z e i c h n e t wird . G r o b gesp ro chen b e d e u t e t K o n n e k r i vit at , da ss wir di e Ecken mit

Marken ( N u m m ern) ve rsehe n und w issen, wie sie m i t e i n a n d e r ver b u n de n w e rd en , urn

K a n t e n und Ma schen zu bild en. Eine prazisere B e s c h r e i b u n g w i r d n o c h angegeben.

Nerze mit i d e n t i s c h e r Konnekrivirar k o n n e n seh r ver schied ene Formen dar stellen.

W ir b r a u c h e n nur die K o o r d i n a t e n d er Ecken ( i n n e r h alb sin n vo ller G r e n z e n ) zu

v e r a n d e r n und die K o n n e k t i virar s i n f o r r n a r i o n b e i z u b e h a l t e n (A b b . 11.29 ).

Je groBer d ie A n z a h l de r Flach en, de sto m ehr Fr e i h e i t sgrade h aben w i r in un serem

E n r w u r f Di es kann j e d o c h au ch zu ei ne r Bela s t u n g au sarten , und d aher br auchen wir

geeignete M e r h o d e n zur Erz e u g u n g von Netzen, Bei un serer Suche n ach g e e i g n e t e n

S t r a t e g i e n spielt die A s r h e t i k eine zentrale Rolle. A b b i l d u n g 11.30 zeigt zwei Netze,

welche die selbe Form be schreiben, aber ein Netz ist offen sichtlich ausgeglichener als

das andere.

Urn die selb e Form m it einem astheri scheren N e t z zu be schre iben, mu ss m an

g e l e g e n t l i c h die K o n n e k t i v i t ar a n d e r n , Viele A l g o r i t h m e n de s N e t z e n t w u r f es sin d im

We sentlich en ein geschickt es Wech selspiel zwi schen dem Ent werfen bzw. A. n d ern von

K o n n e k r i virat und G e o m e t r i e .

Abb. 11.29Diese beiden Dreiecksnetze habendiese lbe Konnektlv l t a t , beschreibenaber verschiedene Formen .

Abb. 11.30Zwei Dreiecksnetze konnen diesel beForm annahern und doch sehr ver ­schiedene K o n n e k t l v l t a t haben. Dieshat einen Einfluss auf d ie optischeWirkung des Netzes .

390

Urn G e o m e t r ic u n d K o n n e k t i vit at sa u be r b eh a n d e l n zu k o n n en , br a u c h e n w i r

ci ne A rt d er d i g i t a l en S p e i c h e r u n g d e r we s e n t l i ch en I n f o r m ati o n en. U n t e r d en

vo r h a n d e ne n D a r e i - F o r m a r e n w i r d d a s h aufig ve rwe n d e te O B J - F o r m at di esem

A ns p ru c h g er e c h t .

• D e r er ste Teil die ses F o r m a t s b e s t e h t au s e i n e r L i s t e v o n K o o r d i n a t e n t r i p e l n

(x,y, z) . Di e se Liste i st c i n e g e o r d n e t e Folge , u n d d ie K o o r d i n a t e n

b e s c h r e ib en d ie E cken d e s N e t z e s. D i e Ko o r d i n a t en t r a g en we s e n t l i c h z u r

G e o m et ri c be i , E s s t eck t j e d o c h m e h r I n f o r m a t i o n d a r i n - n a m l i c h d ie

R e i h e n f o l g e i n d er List e, D a s an erster S t el le v o rk o m me n d e T r i p e l (Ecke)

k o n n en w i r un s m i t d e r N u m m e r 1 ve rse he n vo rs t el le n , da s nach st e Tr ipel h a t

di e N u m me r 2 , u n d so f o r t . Di e t at sachli che Re ih e n f olg e m ag w e de r m it d e r

G e o m e t r i c n o c h m i t d e r K o n n e k t ivit at in Z u s a m m e n h ang st eh e n. D i e

c i n z i g e w e s e n t l i c h e Ein s i c h t ist , d ass j ede Ecke d u r c h di e g e o r d n e t e Li st e m i t

ei ne r N ummer ve r se he n w ird .

• D i e n a ch st e I n f o r m ati o n i n ein er O B J - D a t e i sin d die Maschena nweisunge n .

S ic l e g en Po lygon e fe st , we lc h e d ie M a sch en ( Flachen) de s Nerzes bild en.

S e h en w i r u n s d azu e in Be ispiel an (A b b . 11.31 ): ( f 1 3 6 4 ) bed eut et , d a ss d i e

Ec ke n m i t d en N u m m e r n 1, 3 , 6 u n d 4 ci n e vie r e c ki ge M a sche b i l d e n ; ( f 2 4 6 )

wi ed e r u m d efini e r t c ine D r e i e c k sflache m it d e n E c k en 2 , 4 u n d 6 . E r n e u t ist

m e h r I n f o r m a t i o n in d iesen A n w e i s u n g e n i n t e g r i e r t . Di e R e i h e n f o l g e d er

E c k e n (w i e e t w a 1 3 6 4 ) d e f i n i e r t aIle K a n t en d er Fla ch e : c i n e V e r b i n d u n g s ­

k a n t e vo n 1 u n d 3 , di e K a n t e 36 , die K a n t e 6 4 u n d di e K a n t e 4 1. W i r

sch l iefe n j e weil s e i n M a s c h e n p o l y g o n . N anirlich k a n n di e selbe Flache m it

d er An w ei s u n g ( f 3 6 4 1) erfass t w er d e n . A l l e r d in g s m a c h t ( f 4 6 3 1) e i ne n

U n t e r s c h ie d : M a n n i m m t narnlich an , d a s s die z u g ru n de lieg e n d e Flache c i n e

I n n en se it e u n d c ine A ulSe ns ei t e h a t u n d d a ss ( w e n n w i r vo n d er A ulS e nse ite

a u f d ie Flache b l i c k e n ) d e r D u r c h l a u f s i n n gegen d en U h r z e i g e r s i n n verlaufi,

W e r f e n w i r n o c h ein en Blick a u f zw ei Fl ach en, die h n g s e i n e r K a n t e

zu s a r n m c n h a n g en, wi e e t w a 46 u n d 64 in uns e r c m Bei spiel. Weg en de r

A n n a h m e u b e r di e O r i e m i e r u n g wi r d die K a m e fur di e b e i d e n Fl a ch en in

e m g e g e ng ese tz tc n R i c h t u n g en d u r c h l a u f e n . Bei d e r V ie re c ks m asc he durch ­

l a u f en wi r si c al s 6 4 ( g e h e vo n 6 n ach 4 ), u n d b eim D r ei e ck d ur chl a u f e n w i r

s ic a ls 4 6 . L e d i g l i c h di e K a n t e n a m R a n d de s N etze s w e r de n n u r e i n m al

d u r c h l au fen; i n n er e K a m en t reten zwe ima l au f, u n d zwa r m i t e n t g e g en­

ge s e t z t en O r i e n t i e r u n g en . A n d e r n f all s ist die D ar st e l l u n g n i c h t kon sist ent .

Abb. 11.31Die Maschenanweisungen ( f 1 3 6 4 )und ( f 2 4 6) sagen uns : Eine Vierecks­masche, d u r c h l a u f e n gegen denUhrze igersinn bei Betrachtung von derAuBenseite, hat Ecken m it den Num­mern 1, 3, 6 und 4 . Sie schl ieBt lanqseiner gemeinsamen Kante m it Ecken 4und 6 an eine Drelecksflache m i tEckennummern 2, 4 und 6 an .

1

3

4

6 2

391

Das ist alles, was man zur B e s c h r e i b u n g von K o n n e k r i v i t a t u n d G e o m e t r i e b e n 6 t i g t .

Eine n i i t z l i c h e Ein s c h r a n k u n g isr g e l e g e n t l i c h von Vorteil , n a m l i c h der Ausschluss von

T-Ecken ( h a n g e n d c n K n o t e n ) , wo zwei Plachen dieselbe K a n t e e i n e r a n d e r e n H a c h e

treffen (siehe Abb. 11.32) .

E b e n s o wollen wir entartete Dre iecke (d .h., D r e i e c k e , d e r e n Ecken a u f d e r s e l b e n

G e r a d e n liegen u n d d a m i t T - E c k e n e r z e u g e n ) v e r m e i d e n . E n r a r t e t e D r e iecke

b e s t i m m e n keine E b e n e u n d s i n d d a h e r eine p o t e n z i e l l e U r s a c h e fiir das F e h l s c h l a g e n

a n d e r e r P r o g r a m m e , die das N e t z als E i n g a b e v e r w e n d e n .

W i r h a b e n h i e r n u r d ie G r u n d l a g e n b e s p r o c h e n . P r o g r a m m e k o n n e n auch w e i t e r e

I n f o r m a t i o n e n s p e i c h e r n (z.B. F l a c h e n n o r m a l v e k r o r e n , T e x r u r i n f o r m a t i o n ,

M a t e r i a l e i g e n s c h a f t e n usw.), die fiir gewisse A n w e n d u n g e n , wie etwa das R e n d e r i n g ,

b e n 6 t i g t w e r d e n .

N e t z e s i n d so g e n a n n t e diskrete Flachendarstellungen. Sie v e r a l l g e m e i n e r n die

Tatsache, dass ein Polygon als d i s k r e t e D a r s t e l l u n g einer Kurve ange sehen w e r d e n

k a n n . D e r S c h r i t t von K u r v e n zu Plachen ist aber ein groBer. D a h e r ist es n i c h r der

Fall, dass man l e i c h t aIle w e s e n t l i c h e n E i g e n s c h a f t e n von F l a c h e n (wie erwa das

K r i i m m u n g s v e r h a l t e n ) m i r t e l s N e t z e n h e r l e i t e n k a n n .

Bei den K u r v e n war dies sehr e i n f a c h . H i n g e g e n v e r w e n d e t man bei Flachen a n d e r e

W e r k z e u g e . Irn F o l g e n d e n w e r d e n wir die g r u n d l e g e n d e n N e t z t y p e n u n d A r t e n zur

E r z e u g u n g o p t i sch a n s p r e c h e n d e r N e t z e k e n n e n l e r n e n .

392

Abb. 11. 32T-Ec ken ( h a n q e n de K n o t e n) s i nd o ftun er wun scht , w er d e n a be r v o nCAD - P r o g r a m m e n gel eg entl ich i ngro Ber Za h l gen er i e r t .

V i e r e c k s n e t z e . Urn a s t h e r i s c h e N e t z e zur F l a c h e n b e s c h r e i b u n g zu e r h a l t e n , wollen

wir zuerst ebene N e t z e b e t r a c h t e n , Die e i n f a c h s t e Art, die Ebene m i t Vierecken

zu p f l a s t e r n (vgl. Kapitel S), ist die regelmaBige A n o r d n u n g v o n Q u a d r a t e n (oder

R e c h t e c k e n ) , H i e r b e i treffen vier M a s c h e n ( Q u a d r a r e ) in e i n e r g e m e i n s a m e n Ecke

z u s a m m e n (Abb . 11.33, links) .

Ein w o h l g e f o r m t e s V i e r e c k s n e t z hat dieselbe K o n n e k r i v i t a r wie dieses spezielle ebene

N e t z . l n einer i n n e r e n Ecke (d .h ., einer Ecke, die n i c h t a u f dem R a n d des Netzes liege)

treffen e i n a n d e r genau vier M a s c h e n ( u n d vier K a n t e n ) , W i r s p r e c h e n von e i n e r Ecke

mit der Valenz 4 . 1m A l l g e m e i n e n b e z e i c h n e t die Valenz e i n e r i n n e r e n Ecke die Zahl

der einmundenden Kanten (diese ist gleich der Z a h l der M a s c h e n d u r c h diese Ecke).

In einem V i e r e c k s n e t z heiBt eine innere Ecke der Valenz 4 eine reguliire Ecke. Falls die

Valenz von 4 v e r s c h i e d e n ist , s p r e c h e n wir von einer irreguliiren Ecke. B e t r a c h t e n wir

einmal ein sehr einfaches V i e r e c k s n e t z , den Wiirfel. Jede seiner Ecken hat die Valenz 3.

D a h e r sind aIle Ecken i r r e g u l a r - was zuerst i i b e r r a s c h e n mag . Dies ist aber d a d u r c h

leicht erklarbar, dass der Wiirfel keine gute A p p r o x i m a t i o n einer g l a t t e n Flache ist ,

A b b i l d u n g 11.34 zeigt V i e r e c k s n e t z e m i t nur r e g u l a r e n Ecken . Diese Typen e r i n n e r n

an die m o g l i c h e n T o p o l o g i e n von B - S p l i n e - F l a c h e n . 1st ein v o l l s t a n d i g regulates

V i e r e c k s n e t z , das eine Kugel a n n a h e r r , v o r s t e l l b a r ? Die A n r w o r t fallt negativ aus

(sieheArchitectural Geometry, Chapter 14).

Urn die t o p o l o g i s c h e n E i n s c h r a n k u n g e n zu r e d u z i e r e n , k o n n e n wir irregulare Ecken

e i n f i i h r e n o d e r auch einige n i c h t - v i e r e c k i g e Flachen in das N e t z e i n b a u e n (Irn l e t z t ­

g e n a n n c e n Fall s p r i c h t man d a n n von einem vierecksdominanten N e t z ) .

A b b . 1 1 . 3 3In einer reqularen PfJasterung derEbene m i t Quadraten t r e f f e n genauv i e r Maschen in einer gemeinsamenEcke zusammen ( l i n k s ) . Eine requlareEcke eines Vierecksnetzes hat dieselbeEigenschaft ( r e c h t s ) .

A b b . 1 1 . 3 4Vierecksnetze m i t durchwegs reqularenEcken zeigen Einschrankungen hin­sichtlich i h r e r Topologie.

" a l l g e m e i n e s F l a c h e n s t i l c k " " Z y l i n d e r " " T o r u s "

393

Ehe wir uns a n d e r e n N e t z e n z u w e n d e n , sollten wir noch b e a c h t e n , dass die Vierecke

in einem V i e r e c k s n e t z n i c h t eben zu sein b r a u c h e n (obwohl ebene Maschen fiir die

A r c h i t e k t u r sehr niitzlich waren). W i r h a b e n bereits einige spezielle V i e r e c k s n e t z e mit

e b e n e n Maschen im Z u s a m m e n h a n g mit d i s k r e t e n D r e h f l a c h e n oder Schiebflachen

k e n n e n gelernt. Die i n t e r e s s a n t e T h e m a t i k allgemeiner V i e r e c k s n e t z e m i t ebenen

Flachen wird in Architectural Geometry, Chapter 19, a u s f i i h r l i c h d i s k u t i e r t und ist auch

n o c h G e g e n s t a n d akrueller F o r s c h u n g e n .

D r e i e c k s n e t z e . Ein D r e i e c k s n e t z besrehr ausschlielllich aus D r e i e c k e n . W i e d e r

b e t r a c h t e n wir zuerst ein ebenes D r e i e c k s n e t z , u n d zwar eine PAasterung der Ebene

mit gleichseitigen D r e i e c k e n (Abb. 11.35).

O f f e n s i c h t l i c h lassen sich genau sechs Dreiecke urn einen E c k p u n k t a n o r d n e n .

Dieselbe K o n n e k r i v i r a t e r h a l t e n wir, wenn wir in eine ebene Q u a d r a t p f l a s t e r u n g eine

Schar p a r a l l e l e r D i a g o n a l e n e i n f u g e n (Abb. 11.36).

U m g e k e h r t e r h a l t e n wir eine PAasterung mitrels P a r a l l e l o g r a m m e n d u r c h E n t f e r n u n g

einer Schar p a r a l l e l e r G e r a d e n aus einem regularen eben en D r e i e c k s n e t z . Eine regulate

innere Ecke eines D r e i e c k s n e t z e s hat die Valenz 6 (Abb. 11.35), u n d die a n d e r e n

i n n e r e n Ecken werden i r r e g u l a r g e n a n n t .

D r e i e c k s n e t z e sind u.a. wegen der E b e n h e i t ihrer Maschen flir die A r c h i t e k t u r

i n t e r e s s a n t , A n d e r e r s e i t s werden wir u n g e f a h r d o p p e l t so viele Dreiecke wie Vierecke

zur D a r s t e l l u n g derselben Form b e n 6 t i g e n (vgl. Abb. 11.36).

Abb. 11.36Die Konversion eines Vierecksnetzes inein Dreiecksnetz und u m g e k e h r t wirdhier in der Ebene i l l u s t r i e r t , f u n k t i o n i e r taber analog in reqularen Abschnittenvon Netzen, die g e k r u m m t e Flachenbeschreiben

Abb. 11.35In einer Pflasterung der Ebene m i tgleichseitigen Dreiecken ( l i n k s ) stoBensechs Dreiecke in e i n e r gemeinsamenEcke zusammen. Gleiches g i l t fur einerequlare Ecke eines allgemeinen Drei­ecksnetzes ( r e c h t s ) .

I

r e q u l s r e Ecke

V i e r e c k s n e t z D r e i e c k s n e t z r e g u l a res ebenesD r e i e c k s n e t z

V i e r e c k s n e t z

---~

394

S e c h s e c k s n e t z e . Lasst sich die Ebene mit a n d e r e n regelmalSigen P o l y g o n e n als

mit Q u a d r a t e n o d e r D r e i e c k e n pflastern? Da die E c k e n w i n k e l der in einer Ecke

a n e i n a n d e r s t o l S e n d e n Polygone e i n a n d e r zu 360 G r a d a d d i e r c n miissen, b l e i b t nur

n o c h cin weiterer Fall : Sechsccke (Abb . 11.37) . N a t i i r l i c h trcffen drei Scchsecke einer

solchen . B i e n e n w a b e n p t l a s t e r u n g " in einer Ecke z u s a m m e n , dies wird d a h e r bei

S e c k s e c k s n e t z e n als der regulare Fall angesehen (Abb. 11.38).

A b b . 1 1 . 3 7P f l a s t e r u n g e n d e r Ebene m i t r e g e l ­maBigen Sechsecken hangen eng m i tregelmaBigen D r e i e c k s p f l a s t e r u n g e nz u s a m m e n ; man beachte die analogeD u a l i t a t zwischen p l a t o n i s c h e n Korpern,

Abb. 1 1 . 3 8S e c h s e c k n e t z e in d e r A r c h i t e k t u r( N i c h o l a s G r i m s h a w , Eden P r o j e k t ) .

P f l a s t e r u n g e n m i tr e g e l m a B i g e n Sechsecken

P f l a s t e r u n g m i tr e g e l m a B i g e n D r e i e c k e n

N e t z v e r f e i n e r u n g . G e l e g e n t l i c h ist es v o r t e i l h a t i , ein Nerz zuerst grob auszulegen

und d a n n d u r c h geeignete V e r f e i n e r u n g s m e t h o d e n die e n d g i i l t i g e Form u n d

Maschengrolse zu erreichen. Die sparer d i s k u t i e r t e n U n t e r t e i l u n g s f l a c h e n gehen diesen

Weg. W i r wollen aber n o c h vor der B e h a n d l u n g von U n r e r t e i l u n g s t l a c h e n einige

g r u n d s a t z l i c h e Fakten zur U n t e r t e i l u n g a n s p r e c h e n . Es ist niitzlich, die Verfeinerung

als zweistufige P r o z e d u r zu b e t r a c h t e n : v e r a n d e r e die K o n n e k t i v i t a t ( Z a h l der Ecken

sowie die A r t ihrer V e r b i n d u n g ) u n d verandere d a n n die G e o m e t r i e (die O r t s v e k t o r e n

der Ecken), An dieser Stelle e r s c h e i n t es niitzlich, sich die E r z e u g u n g g e o d a r i s c h e r

K u p p e l n in E r i n n e r u n g zu rufen ( K a p i t e l 3 ) .

U n t e r s u c h e n wir zuerst die D r e i e c k s n e t z e : W e n n wir alle K a n t e n m i t t e n einfiigen und

wie in A b b i l d u n g 11.39 v e r b i n d e n , e r h a l t e n wir ein feineres Netz, das genau viermal so

viele Dreiecke hat wie das grobe N e t z . Jede Flache wird in vier Teiltlachen aufgeteilt.

An dieser Stelle ist die G e o m e t r i e n o c h dieselbe .

N u n aber a n d e r n wir auch n o c h die Ecken so, dass sie der E n t w u r f s i d e e folgen. Dies

mag sehr viel m a n u e l l e n A r b e i t s a u f w a n d b e d e u r e n , und d a h e r werden wir sparer in

diesem Kapitel geeignete A l g o r i t h m e n zur a u t o m a t i s c h e n Verlagerung d i s k u t i e r e n .

N a t u r l i c h g e h t mit der e r h o h t e n Z a h l der Ecken auch eine E r h o h u n g der F l e x i b i l i t a t

einher, u n d wir haben mehr C h a n c e n , ein N e t z zu generieren, das eine glatte Flache

annahert,

A b b . 1 1 . 3 9Verfeinerung eines Dreiecksnetzesdurch EinfOgen der K a n t e n m i t t e n ver­v i e r f a c h t die Anzahl der Maschen.

D r e i e c k s n e t z - -EinfOgen vonK a n t e n m i t t e n

_ _ v e r f e i n e r t e s D r e i e c k s n e t z

396

Abb . 11 .40Ein fUgen de r Schwe r p un kte in d ie D re i ­ecksflachen und Verb indung m i t denEcke n ze r s t o r t aile requ laren Ecken,mag aber eine n opt isch i n t er essa nt e nEffe k t e rz ie len. Durch Verbindung derS c h w e r p u n k t e m it den Kanten m itte nlasst sich ein Vie rec ks net z erzeugen.

Da s Ei n f iigen vo n K a n t e n m i t t e n ist nich t d ie einzige A r t d e r Verfeine ru ng, aber sie

ha t d en g roge n Vortei l , da ss d a d u r c h k e in e ne ue n i r reg ularen Ecken e r z e u g t werde n.

Ha t t e n wir in jede s Dre ieck de n Schwer p u n k t ei ngefiigt u n d mit d e n d r e i Ecken

ver b u n de n (A b b . 11.40 ) , so ware d adur ch d ie R egul a r i rat ii bera ll zer st o r t wor d en .

N u r im Aus n a h m efall, wenn das De sign gena u dies en o r n a m e n t a l e n C h a r a k t e r

aufwei sen so ll , wird man der artige Netze verwe n d e n . Ma n kann d u r ch Ver b i n d u n g d e r

Schwer p u nkte m it Ka nte nmi tte n aus ei nem D re ie ck s n et z auch le ich t ein Viereck sne tz

er zeuge n ( A b b . 1 1.4 0 ) .

Bei der Ver f e i n e r u n g von V ierecksne tze n kann ma n ei n en a naloge n Weg gehen . Wie

in A b bil d ung 11.41 illust rie rt , kon ne n wir d ie Mi tte n gegenii berliege n der Sei ten

einer Masc he m it e i n and er verb in de n. D iese Verbi ndu ngen sch nei de n e i n a n der im

Ec kensc h we r p u n kt de r Masc he . D adurch w i rd je des V iereck in vier Teilvier e cke

zerleg t , d er en Sei te n au f d em selb en h yp erb oli sch en Pa r ab ol oid li egen (ver gle iche

auc h mit d er Besp re ch un g von Be z ie r-Flach en vom Gra d ( 1, 1) [Abb . 11.12 ]). Di ese

Ko ns t r u k t io n er ha l t di e R eg u l a r it at vo n Ecken und ka n n als Ausgangs p u n kt fii r

we i te re Ed i t i e r - O pe ra tione n d er Ecke n d ien en.

l r r e q u l s r e s D r e i e c k s n e t z

V i e r e c k s n e t z

Abb. 11 .41Ei n V iereck kann du rch Ein fUgen derSeitenm i t t e n und des Sch werpunk tsu n t e r t e il t we rden. Dabei w ird jedeswinds chiefe V ie reck i n vier Teilv ie r eckezer l egt, deren Kanten a uf demselbenhyperbol ischen Parabolo id l iegen.

V i e r e c k s n e t z v e r f e i n e r t e sVierecksnetz

397

Es gibt eine weitere au f den K a n t e n m i t t e n beruhende Verfein erung eines

V ierecksn et zes (A b b. 11.42 ) . In d iesem Fall ver b in d en wir ein fach di e Kanrenmitt en

zu einem neuen V iereck . Es ist leicht zu b eweisen, da ss d ieses Viereck st ets ein

Parallelogramm ist (der Beweis ist in d er unt eren Reihe vo n Abbildun g 11.42

illusr riert). W ir h aben jedoc h n o ch vier Dr eiecke in den Ecken jeder alte n Masch e

iibrig,

Wir fassen aIle urn ein e Ecke en ts t eh en den Dreiecke zu ein em einz igen Polygon

zusammen. Wen n d ie Ecke regular isr, so en tste h r d adurch ein V iereck. Leider ist

di eses im Allgemeinen nichr eben. Abgesehen vo n einzelnen am Rand e st eh en

bleibenden Dreiecken wird durch d as Mirr eneinfiigeschema di e Z ahl d er V ierecke

ungefahr verdoppelt. Wenn wir d ieselbe Kon struktion m it eine m regularen

Q u adratner z in der Ebene d u r c h f iihren , er h alt en wir wieder ein regulares Q u adrat­

net z. D abei werden aIle Flachen mit d em Faktor 1/v'2 skaliert und urn 4 5 Grad

gedr eht.

Abb . 1 1 . 4 2Ein V i e r e c k s n e t z kann auch durch Ein­fUgen der K a n t e n m i t t e n v e r f e i n e r t wer­den. Beachte, dass d ie i n den einzelnenMaschen e n t s t e h e n d e n M i t t e n v iereckestets P a r a l l e l o g r a m m e s ind, u n a b h a n q i qvon der Ebenheit der Ausgangsmasche .

Die obere Reihe l i e f e r t eine g e o m e t r ischeE r k l a r u n q d a f u r : G e g e n u b e r liegendeSeiten des M i t t e n v ierecks sind j e w e i l s zueiner Diagonale des A u s g a n g s v i e r e c k sparallel.

windschiefes Viereck ---J.~ M i t t e n p a r a l l e l o g r a m m --~ Diagonalen des Vierecks

Vierecksnetz

398

E i n f i l g e n vonK a n t e n m i t t e l p u n k t e n

---J.~ v e r f e i n e r t e s Vierecksnetz

Es ist auch inrer ess a n t , d as M i t t e n e i n f tigen der zw e i te n A r t ein zweites Mal

an zu w e n d en (A b b . 11.43) . W ir k o n n e n di e Regel au s A b b i l d u n g 11.42 a b er auch

m e h r f a c h a n w e n d e n u n d erh alten in der G r e n z e eine gl atte Flache . D ies ist wohl da s

e i n f achste Beispiel eine s U m e r t e i l u n g salgo r i t h m u s zur E r z e u g u n g g l a t t e r Flach en : es

w u r d e von J. P e t e r s u n d U. R eif s t u d i e r t u n d ist au ch s c h o n bei d en a r c h i m e d i schen

K o r p e r n in K a p i t e l 3 v o r g e k o m m e n .

V e r f e i n e r u n g s m e t h o d e n ftir Sechs e c k s n e t z e k o n n en tiber di e V e r b i n d u n g zu

Dreie ck snetz en herge stellt werden .

N e t z d e z i m i e r u n g . O b w o h l a u f d en er st en Blick n i c h t u n m i t t e l b a r klar , ist die

u m g e k e h r t e O p e r a t i o n zur V e r f e i n e r u n g (die N et z d ezim ierun g ) ebenfall s wichtig.

Z u m Beispiel k a n n ein ei n fach e r A l g o r i t h m u s zur N e t z d e z i m i e r u n g " g eeig n e te " Eck en

(be s t i m m t vo m A l g o r i t h m u s a u f g r u n d d er lokalen G e o m etrie ) e m f e r n e n u n d die

u b r i g e n Ecken in k o n s i s t enr er W eise v e r b i n d e n . Di eses Th ema ist j enseit s der Ziele

un ser er Di skussion.

Abb. 11.43Verfe inerung gemaB Abb. 11.42 zwei­mal , dreimal und v lermal a n g e w e n d e t .So f o r t f a h r e n d , e r h a l t e n w ir i n derGrenze eine g l a t t e Flache.

V e r f e i n e r u n g eines Netzes durch EinfOgen von K a n t e n m i t t e l p u n k t e n

S t a r t n e t z Stufe 1 S t u f e 2 Stufe 3 S t u f e 4

.. .. .... .. .. .. .. .. .... : ....": ~";

. . .......

399

Ein r e c h t n i i t z l i c h e r A s p e k t ist in A b b i l d u n g 11.44 i l l u s t r i e r t . Diese zeigt drei

D r e i e c k s n e t z e , eines m i t e i n e r d e u t l i c h groBeren A n z a h l von D r e i e c k e n als die

a n d e r e n b e i d e n . Sie b e s c h r e i b e n j e d o c h alle dre i die g e o m e t r i s c h e Form seh r gut.

Die d e z i r n i e r t e n N e t z e wird man aber kaum in einer A r c h i t e k t u r - A n w e n d u n g h a b e n

wollen, in der die K a m e n als s i c h r b a r e S t a h l t r a g e r a u s g e f i i h r t sind . J e d o c h ist die in

A b b i l d u n g 11.44 dargesrellre P r o z e d u r ein w i c h t i g e r S c h r i t t zur D a t e n r e d u k r i o n ,

die eine B e s c h l e u n i g u n g n a c h f o l g e n d e r B e r e c h n u n g e n ( S i m u l a r i o n e n , schnelles

R e n d e r i n g u sw.) b e w i r k e n k a n n .

Abb . 11.44N e t z d e z i m i e r u n g auf einem Dreiecks­netz. Die r e d u z i e r t e n Netze konnen dieGeometrie i m m e r noch so g u t beschrei­ben, dass der Unterschied in dens c h a t t i e r t e n Bildern gar nicht beson­ders stark auffallt ,

O r i g i n a l n e t z r e d u z i e r t e Netze

400

" S c h l e c h t e " Netze, O b ein N e t z " g u t " o d e r " s c h l e c h t " ist, h a n g t von dessen

V e r w e n d u n g abo Die v isuelle W i r k u n g mag ein A s p e k t sein . Z u viele i r r e g u l a r e Ecken

in unregelmafsiger A n o r d n u n g k o n n t e n die a s t h e t i s c h e W i r k u n g s t a r k b e e i n r r a c h t i g e n .

Es ist aber n o c h ein a n d e r e r A s p e k t zu b e a c h t e n , i n s b e s o n d e r e w e n n das N e t z fur eine

S i m u l a t i o n (z .B, V e r h a l t e n u n t e r v e r s c h i e d e n e n B e l a s t u n g e n ) m i t t e l s der M e t h o d e der

f i n i t e n E l e m e n t e ( F E M ) d i e n e n soll . M a n k a n n zeigen, dass n u m e r i s c h e A l g o r i t h m e n

fur F E M - B e r e c h n u n g e n e v e n t u e l l n i c h t die e r f o r d e r l i c h e G e n a u i g k e i t erzielen, w e n n

das N e t z zu s c h m a l e D r e i e c k e aufweist. Ein schmales D r e i e c k h a t m i n d e s t e n s e i n e n

sehr klein en W i n k e l . A n d e r s a u s g e d r u c k t hat der Inkreis e i n e n viel k l e i n e r e n Radius

als der U m k r e i s . C A D - S o f t w a r e p r o d u z i e r t g e l e g e n d i c h solche D r e i e c k e in groBer

Z a h l (siehe Abb. 11.45). Ein weiteres haufig a u f t r e t e n d e s P r o b l e m bei n a c h f o l g e n d e n

B e r e c h n u n g e n s i n d L o c h e r in N e t z e n , die zum Beispiel gerne in der N a h e von

V e r s c h n e i d u n g e n a u f t r e t e n .

A s t h e t i k v o n N e t z e n u n d R e l a x a t i o n . Ein l o h n e n d e r e s T h e m a isr es, iiber g u t e

M e t h o d e n zur Verbesserung der a s t h e t i s c h e n W i r k u n g eines Netzes n a c h z u d e n k e n .

O b w o h l die B e u r t e i l u n g eines Netzes subjektive K o m p o n e n t e n e n t h a l t , k o n n e n wir

d o c h einige H i n w e i s e zur E r z i e l u n g e i n e r a u s g e g l i c h e n e n E c k e n v e r t e i l u n g geben .

Eine g r u n d l e g e n d e Idee ist es, alle Ecken des Netzes so zu p o s i t i o n i e r e n , dass das

r e s u l t i e r e n d e N e t z n a h e z u regelmaBige Polygone als M a s c h e n hat . Exakte regulare

Flachen (z.B. gleichseitige D r e i e c k e ) sind im A l l g e m e i n e n n i c h t erz ielbar .

Abb . 45Beispiel e i n e r T r i a n g u l i e r u n g e i n e r Fla­che, wie sie von gewissen C A D - s y s t e ­men a u t o m a t i s c h g e n e r i e r t wird. DiesesNetz weist selbst an solchen Stell en( k r e i s f o r r n l q e Grund- und Deckflache)

lange schmale Dreiecke auf, wo sie ausg e o m e t r i s c h e r s i c h t n i c h t n o t w e n d i gerscheinen. Diese langen schmalen Drei­ecke konnen die Ursache fur ungenaueBerechnungen in s i m u l a t i o n e n sein.

401

Eine v e r w a n d t e Idee ist eine p h y s i k a l i s c h e I n t e r p r e t a t i o n , die ein System von Masse­

p u n k t e n (Ecken) u n d F e d e r n ( K a n t e n ) b e n u t z t . D a b e i fixiert man einige Ecken (z.B.

jene a u f dem R a n d ) u n d lasst die a n d e r e n Ecken frei bewegen, bis das System eine

G l e i c h g e w i c h t s l a g e e i n n i m m t .

Diese T e c h n i k heifst Relaxation. M a n k a n n d a m i t i n t e r e s s a n t e m e m b r a n a r t i g e F o r m e n

erzielen. W e n n m a n n a h e an e i n e r g e g e b e n e n Flache v e r b l e i b e n will, so p r o j i z i e r t

m a n die Ecken n a c h j e d e m R e l a x a t i o n s s c h r i t t a u f die gegebene Flache zuriick. D a m i t

b e w e g e n sich die Ecken e i g e n t l i c h n u r a u f der R e f e r e n z f l a c h e u n d erzielen d a r a u f eine

G l e i c h g e w i c h t s l a g e .

Bei A n g a b e eines D r e i e c k s n e t z e s v e r l a g e r t eine e i n f a c h e Variante der R e l a x a t i o n jede

Ecke P in den S c h w e r p u n k t der M e n g e der d i r e k t e n (d.h. m i t P d u r c h eine K a n t e

v e r b u n d e n e n ) N a c h b a r e c k e n . A u c h h i e r k a n n m a n eine R i i c k p r o j e k t i o n a u f die Flache

d u r c h f i i h r e n . Dies w i r d i m m e r w i e d e r d u r c h g e f i i h r t , bis schliefslich die V e r l a g e r u n g e n

u n t e r e i n e r v o r g e g e b e n e n S c h r a n k e liegen. R e l a x a t i o n w u r d e von C h r i s W i l l i a m s bei

der O p t i m i e r u n g des D r e i e c k s n e t z e s fur N o r m a n Fosters G e s t a l t u n g der I n n e n h o f ­

O b e r d a c h u n g des B r i t i s c h e n M u s e u m s in L o n d o n v e r w e n d e t (Abb. 11.46).

Netz v o r d e r Relaxation Netz nach d e r Relaxation

1\

I II

1 7'1 .Af\JV""-I"J""I~~V\/\/\/\ 1'\ \I , , " V V V V ' V ' V " " - ' ' ' ' I : > K ' K :>K..V l / \ / \ / v v v v . / . / \

1\

\

402

Abb. 1 1 . 4 6Wir vergleichen zwei Ansichten desNetzes vor und nach der Relaxationund i l l u s t r ieren dadurch, welch groBenEinfluss kle ine Verlagerungen derEcken auf die optische Wirkung des

Netzes haben konnen, Foto ( u n t e n )und Rendering ( o b e n ) des Glasdachsdes Brit ischen Museums ( d a n k e n s w e r ­t e r w e i s e von Chris Williams zur Verfu­gung g e s t e l l t ) .

403

V e r f e i n e r u n g nach D o o - S a b i n

Abb. 11.47U n t e r t e ilungsflachen verwenden ein­fache Verfeinerungsregeln fur Netzeund wenden diese w i e d e r h o l t an . Diesl i e f e r t elne g l a t t e Grenzflache, aberunser I n t e r e s s e k o n z e n t r i e r t sich aufgeeignete Zwischenergebnisse dieses

Verfeinerungsprozesses. Es gibt elnegroBe V i e l f a l t von V e r f e i n e r u n g s ­schemen, von denen einige hier lllus ­t r i e r t sind: Doo-Sabin, Catmull-C1arkund Loop.

V e r f e i n e r u n g nach Catmull-C1ark

V e r f e i n e r u n g nach Loop

404

U n t e r t e i l u n q s t l a c h e nM o t i v a t i o n . W i r sind bislang in unserem Studium von B - S p l i n e - H i c h e n und bei der

Diskussion von Vierecksnetzen mit nut regularen Ecken (d.h., Ecken der Valenz 4) an

mindestens zwei Stellen topologischen Einschrankungen begegnet: Es besteht

nanirlich ein enger Zusammenhang zwischen den beiden geometrischen Objekren, da

die K o n t r o l l n e t z e von B-Spline-Flachen Vierecksnetze sind. Wenn wir mehrfache

Konrrollpunkre (wie etwa in Abbildung 11.25) ausschlieBen, so sind die K o n t r o l l n e t z e

regular (Abb. 11.24 und Abb . 11.34).

W i r werden im Folgenden sehen, dass eine B-Spline-Flache als Ergebnis eines

Verfeinerungsprozesses ( U n t e r t e i l u n g s a l g o r i t h m u s ) aufgefasst werden kann, welche

die Regularitat von Vierecksnetzen erhalr . Der Verfeinerungsprozess erzeugt immer

feinere Netze, wobei wir in der Grenze die glatte B-Spline-Flache erhalten.

Dieser Vorgang andere die Topologie niche, Wenn wir also Flachen mit allgemeinerer

Topologie modellieren wollen (wie etwa jene in Abbildung I L l , u n t e n ) , miissen wir

K o n t r o l l n e t z e verwenden, die auch irregulare Ecken aufweissen, W i r miissen auch

wissen, wie wir sie verfeinern konnen (genau das machen Unterteilungsflachen) . Die

u n t e r e Reihe von Abbildung I L l und Abbildung 11.47 zeigen einige Schritte der

Verfeinerung.

Der Schwerpunkt unserer Aufmerksamkeit liegt nicht nut auf den glatten Flachen,

die wir durch wiederholte Verfeinerung als Grenzformen erhalten . Eigentlich wird

man in der A r c h i t e k t u r vie! eher an geeignet verfeinerten Netzen mit Maschen der

gewiinschten GroBe interessiert sein.

Daher sollte man U n t e r t e i l u n g s a l g o r i t h m e n als eine ejfiziente Methode zur Erzeugung

visuell ansprechender Netze sehen. Zum Gliick ist dieses groBartige Werkzeug bereits

in einigen 3-D-Modellierungssystemen implernentiert. Ein erschopfender O b e r b l i c k

isr weit jenseits des Ziels dieses Buches, aber wir sollten mit den grundlegenden

Eigenschaften und einigen besonders wichrigen U n t e r t e i l u n g s a l g o r i t h m e n v e r t r a u r

werden . Der " Z o o der Unterteilungsschemen" ist ebenso dicht bevolkert wie der " Z o o

der Splines". Abbildung 11.47 zeigt einige Arten .

405

G e s c h i c h t e d e r U n t e r t e i l u n g s f l a c h e n . 1m J a h r 1978

v e r o f f e n t l i c h t e n D . D o o u n d M . Sabin e i n e n U n t e r t e i l u n g s ­

a l g o r i t h m u s fur Flachen, der , a u s g e h e n d von regularen N e t ­

zen , B - S p l i n e - F l a c h e n vom G r a d (2,2) l i e f e r t . Z u r selben

Z e i t e r w e i t e r t e n E. C a t m u l l u n d ], C l a r k B -Spline - F l a c h e n

vom G r a d (3,3) zu Untcrteilungstlachen. Beide Algorirh­

men v e r a l i g e m e i n e r n also die " r e c h t e c k i g e n " B - S p l i n e ­

Flachen u n d a r b e i t e n a u f v i e r e c k s d o m i n a n t e n Netzen.

198 7 e n t w i c k e l t e C. L o o p den e r s t e n a u f D r e i e c k s n e t z e n

o p e r i e r e n d e n U n t e r t e i l u n g s a l g o r i t h m u s . Bei all diesen

S c h e m e n approx imiert das v e r f e i n e r t e N e t z das u r s p r u n g -

liche N e t z , Z u r selben Z e i t w u r d e ein int erpolierend es U n t e r ­

t e i l u n g s s c h e m a (bei dem das v e r f e i n e r t e N e t z jeweils aile

Ecken des g r a b e n Netzes e n t h a l t ) von N. D y n , ] . G r e g o r y

u n d D. Levin v e r o f i e n t l i c h r .

A u f g r u n d von P r o b l e m e n m i t der G l a t t h e i t ( K r i i m m u n g s­

v e r h a l t e n ) in der U m g e b u n g von i r r e g u l a r e n Ecken des

E i n g a b e n e t z e s war der Einsarz von Unterteilungstlachen

in der A u t o r n o b i l - u n d F l u g z e u g i n d u s t r i e se h r b e g r e n z t . In

d e n 1 9 9 0 e r n leistete Pixar P i o n i e r a r b e i t fur die V e r w e n d ­

ung von U n t e r t e i l u n g s f l a c h e n in der A n i m a t i o n s i n d u s t r i e

(siehe Abb. 11.48).

Abb. 11.48M. Sabin, E. Catmull, C. Loop und T. deRose gehoren zu den Pionieren derEntw icklung von U n t e r t e i l u n g s f l a c h e n .

Plxar" leistete Pionierarbe it beim Ein­satz von U n t e r t e l l u n q s f l a c h e n in3 - D - c o m p u t e r a n i m i e r t e n Filmen.

Tony de Rose Malcom Sabin Edwin Catmull Charles Loop

4 0 6

Abb. 1 1 . 4 9Ein S c h r i t t des A l g o r i t h m u s von Chaikin( o b e n ) . Anwendung dieser U n t e r t e i l u n gauf die S p a l t e n p o l y g o n e v e r f e i n e r t dieS p a l t e n p o l y g o n e und fUgt neue Zeilenpo­Iygone ein (links u n t e n ) . Danach wendenwir Chaikin auf die Zeilenpolygone an,wodurch diese ebenfalls v e r f e i n e r t wer-

~adratische B-Spline-Flachen m i t t e l s Unterteilung. W i r rufen uns den

U n t e r t e i l u n g s a l g o r i t h m u s von C h a i k i n ( K a p i t e l 8 ) zur E r z e u g u n g v o n q u a d r a t i s c h e n

B - S p l i n e - K u r v e n in E r i n n e r u n g (Abb. 11.49 , oben), H i e r fugt man a u f j e d e r Seite zwei

neue P u n k t e ein, welche die Seite im V e r h a l t n i s 1 : 3 bzw. 3 : 1 teilen. D a n n w e r d e n

diese n e u e n P u n k t e v e r b u n d e n . Dies ist insgesamt ein U n t e r t e i l u n g s s c h r i t t , der d a n a c h

i t e r i e r t wird. Man beachte, dass wir bei der U n t e r r e i l u n g stets von dies em einen

g r u n d l e g e n d e n V e r f e i n e r u n g s s c h r i t t s p r e c h e n : W i e g e l a n g t man von der a k t u e l l e n

Version zur n a c h s t f e i n e r e n A u t l o s u n g ] Urn dieselbe Idee a u f B - S p l i n e - F l a c h e zu

u b e r r r a g e n , mus sen wir die V e r f e i n e r u n g a u f ein regulares V i e r e c k s n e t z anstelle eines

einzigen Polygons a n z u w e n d e n (Abb. 11.49, unten) .

W i e bei der D i s k u s s i o n von Bezier-Flachen f u n k t i o n i e r t der D b e r g a n g v o n Kurven zu

Flachen wie folgt: Z u e r s t wird die U n t e r t e i l u n g nach C h a i k i n a u f die Z e i l e n p o l y g o n e

des K o n t r o l l n e t z e s a n g e w e n d e t . D a n n w e r d e n die n e u e n P u n k t e v e r b u n d e n . D a n a c h

w e n d e n wir C h a i k i n a u f die bereits e r h o h t e Z a h l der Z e i l e n p o l y g o n e an. Die Rolle

von Z e i l e n u n d Spalren k a n n dabei v e r t a u s c h r w e r d e n . D ies l i e f e r t schliefslich ein

V i e r e c k s n e t z m i t u n g e f a h r viermal so vielen M a s c h e n wie das u r s p r u n g l i c h e Netz.

den und neue Spalten entstehen (rechtsu n t e n ) . Dies ist i n s g e s a m t als ein S c h r i t teines U n t e r t e i l u n g s a l g o r i t h m u s zu sehen .Das v e r f e i n e r t e Vierecksnetz hat unge­fahr viermal so viele Maschen wie dasursprQngliche Netz (die genaue Zahl derMaschen h a n g t vom Rand ab).

Chaikins A l g o r i t h m u s

.'.

"""'"~~-~ ...... :; ....

' , '

."

, ."

neue R e i h e n p o l y g o n e neue S p a l t e n p o l y g o n e

407

Die Aufspaltung des Obergangs von einem Netz zur nachstfeineren Version ist

unschon, W i r wollen daher den Obergang in einem einzigen Schritt formulieren, was

sich als sehr einfach erweist , Urn dies zu verstehen, b e t r a c h t e n wir ein einziges Viereck

mit Ecken A , B, C, D und verfolgen seine Veranderung (Abb. 11.50).

W i r teilen die S t r e c k e A B im V e r h a l t n i s 1 : 3 bzw. 3 : 1, machen dasselbe mit der

Strecke D C und verbinden entsprechende Punkte , Nun teilen wir noch diese

Verbindungsstrecken im Verhaltnis 1 : 3 bzw. 3 : 1 - das ist auch schon alles. Wenn das

Viereck w i n d s c h i e f i s t , bestimmt es ein hyperbolisches Paraboloid (eine Bez ier-Flache

vorn Grad (1,1)) . Aile Geraden in dieser Konstruktion (und natiirlich alle

auftretenden Punkte) liegen auf diesem hyperbolischen Paraboloid.

Dies ist auch einfach zu programmieren , wie die folgenden Formeln zeigen werden.

Seien a , b , c, d die Ortsvektoren der Ecken des grogen Vierecks. Teilung von A B im

Verhaltnis 1 : 3 l i e f e r t a' = (3 / 4 ) a + (1 / 4 ) h . W i r machen da s Gleiche mit der Strecke

D C und erhalten d' = (3 / 4 ) d + ( 1 / 4 ) c . T e i l u n g v o n A ' D 'im Verhaltnis 1 : 3 l i e f e r t

schlielslich die neue Ecke

al = (3 / 4 ) a ' + ( 1 / 4 ) d ' = ( 9 / 1 6 ) a + (3 / 1 6 ) h + ( 3 / 1 6 ) d + (1/16)c.

W i r miissen also nur die Koordinatenvektoren der alten Ecken mit den Koeffizienten

9 / 1 6 , 3 / 1 6 und 1/16 m u l t i p l i z i e r e n und dann die entstehenden Vektoren addieren .

Nur die Koeffizienten sind wichtig, und daher werden Unterteilungsalgorithmen oft

grafisch durch Hinzuschreiben der Koeffizienten zu jenen alten Ecken illustriert, die

eine neue Ecke liefem (siehe Abb. 11.50, rechrs),

Zusammenfassend berechnen wir mit der Regel aus Abbildung 11.50 pro Viereck

vier neue Punkte, die Ecken des verfeinerten Netzes sind . Dies hat noch immer einen

N a c h t e i l : W i r k o n n e n nur spezielle Topologien modellieren. Dafiir gibr es aber einen

iiberraschend einfachen Ausweg, namlich die Unterteilung nach D o c -Sabin .

3 / 1 6 1 / 1 6

0 C

B@ A ,

A B

9 / 16 3 / 16

Abb. 11.50Die Konstruktion der neuen Ecken ineiner Vierecksmasche beim Unter­te i l u n g s a l g o r i t h m u s fur quadratisches - s p u n e - H e c h e n ( l i n k s ) . Die Berech­nung m u l t i p l i z i e r t die Koordinatenvek­toren der Ecken des alten Vierecks mitgewissen Koeffizienten und addiertdann die resultierenden Vektoren; dasDiagramm auf der rechten Seite zeigt,welche Koeffizienten mit den j e w e i l i g e nEcken v e r k n u p f t werden, um die her­vorgehobene neue Ecke A, zu erhalten.

a , = ( 9 / 1 6 ) a + ( 3 / 1 6 ) b + ( 3 j 1 6 ) d + ( l j 1 6 ) c

408

Abb. 11.51Die U n t e r t e i lung nach Doo -Sab in i ste ine Erwe i t e r u n g der U n t e r t e ilung f u rq u a d r a t i s c h e B-Splines, b e h a n d e l t aberauch die Tatsache, dass l r r eq u l a r eEcken (Valenz ungleich 4) auBer­g e w o h n l i c h e Maschen e r z e u g e n , d iekeine Vierecke sind. Diese Maschenw e r d e n gemaB Abb. 1 1 . 5 2 u n t e r t e i l t .

U n t e r t e i l u n g n a c h D o c -Sabin, D ieser Al g o r i t h m u s geht in je de m Vi ere ck gena u

wie so eb en b esch ri eb en vor . W en n w ir also a n ne hme n , d a ss un se r Eing aben et z n u r

Vie rec ke en t ha l t - wa ru m we nde n w ir d ann n icht e i n fach die ses Schema an ? D ie

D o o-S abin- Unr err eilung t u t d ie s. Man hat j e d o c h zu b e a c h t e n , d ass ein e Ecke d er

Valenz 3 e in D r e ie ck d es ver fei ne rt en N e t z e s gen er iert, o d e r e i n e Ecke der Valen z 5 ein

Fiinfeck e r z e u g t u sw. (siehe Abb . 11.51). D a h er rniissen wir no ch klar en , wi e so Iche

a ulSerg ewo h n li ch e M asch en im d a r a u f folg end en S c h r i t t b e h a n d e l t werd en so lle n .

Wie i n eine m Viere ck b e stehr au ch h ier d ie R egel a us d er M u lt ip l ika t io n d er

Ko o rd i n at en vek to ren d e r Ecke n mi t geeig ne ten K o effizient en u n d a ns ch lielSen de r

A d d i t i on d er r esulti er end en Ve k t o r en . Di e K o effizi e n t e n si n d hi e r etwas

k o m p l i z i ert e r, a b e r d er Voll st and igk ei t h alber ste lle n wir fur den m ath emati sch

int er essierten L eser die B e r e c h n u n g in A b b i l d u n g 11.52 grafisch d ar. W enn di e

au lSe rg ewo h n lic h e Ma sche ein regelm alSige s eb en es Polygon m i t k Ecken u n d M itte M

ist , so ist d as neu e P ol ygon eben fall s e i n regelm alSig es k - Eck m it M i t t e M . Es ist je do ch

m it d em Fakt or 1/ 2 verkl e i n e r t .

O p erat ion en , di e fur ei ne erfo lg re iche Impl e m e n t i e r u n g eb en falls n otig si n d ( h ie r abe r

ni chr b eh a nd elt werde n ), s c h l i e f e n ei n e g e eign et e Beh a n d l u n g vo n R and e rn u n d die

E r z e u g u n g scha r fer K a n t e n ei n .

S t u f e 1 S t u f e 2 S t u f e 3

c

S t u f e 4

Abb. 1 1 . 5 2Regel zur Unterteilung e iner auBerge­wohnllchen Masche nach dem A l g o r i t h ­mus von Doo-Sab in: das Diagramm gibtjene Gewichte der Ecken an, d ie zurBerechnung des hervorgehobenenPunktes benot iqt werden . Die Figur zeigteine Flache m it 5 Kanten ( k = 5 ) , aber dieFormel g ilt fOr beliebige Anzahlen vonKanten k .

o

A

B

a t = c oa + c .b + C 2 C + c 3 d + c 4 e

c o = 1 / 4 + 5 / ( 4 k )

c ; = (3 + 2 c o s ( 2 n i / k ) ) / ( 4 k ) , i = 1 , .. . , k - 1

409

Bislang haben wir nur einen einzigen Unterteilungsschritt behandelt. Urn eine

Unterteilungsjlache zu erhalten, haben wir diesen Verfeinerungsschr itt immer wieder

anzuwenden (unendlich oft). Es liegt jenseits des Ziels unseres Buches , einen Beweis fur die

Glattheit der als Grenzformen entstehenden Flachen anzugeben. Da die Unterteilung nach

Doo-Sabin quadratische B-Splines verallgemeinert, ist es nichr zu erwarten, dass die

entstehenden Flachen bessere Glattheitseigenschaften haben als die quadratischen

B-Spline- Kurven . Sie sind glatt im Sinne eindeutig definierter Tangentialebenen, haben

aber keinen stetigen Kriimmungsverlauf

Die Unterteilungsflache gibr die Form des urspriinglichen Eingabenetze s sehr gut wieder.

Ein Indikaror dafiir ist die folgende Tatsache: Wenn wir ein Viereck Q immer wieder

unterteilen, so verbleiben wir dabei auf demselben hyperbolischen Paraboloid P ( oder in

derselben Ebene P im Fall eines ebenen Vierecks), aber das Viereck zieht sich dabei zum

Eckenschwerpunkt das Ausgangsvierecks hin zusammen (Abb. 11.53) .

Jedes dieser Vierecke liegt auf einer Verfeinerungsstufe der Folge von Netzen, die durch

die Unterteilung nach Doo-Sabin erzeugtwird. Da die Viereckseiten zu Tangenten der

Crenzflache konvergieren, beriihrt die in der Grenze entstehende Unrerteilungsflache das

Paraboloid (oder die Ebene) P im Eckenschwerpunkt des Ausgangsvierecks (Abb. 11.54).

Dies zeigt auch, dass das Eingabenetz im Laufe der Unterteilung nicht stark schrumpft.

D o o - S a b i n U n t e r t e i t u n q s t l s c b e

410

Abb. 1 1 . 5 3W i e d e r h o l t e D o o - S a b i n - V e r f e i n e r u n geines V i e r e c k s Q I i e f e r t in d e r Grenzeden S c h w e r p u n k t von Q . Wenn Q w i n d ­s c h i e f ist, b e s t i m m t es ein h y p e r ­bolisches Paraboloid, das e b e n f a l l saile durch U n t e r t e i l u n g e n t s t e h e n d e nVierecke t r a q t . Wenn das A u s g a n g s ­v i e r e c k in e i n e r Ebene l i e g t , so g i l t diesauch fOr die bei U n t e r t e i l u n g e n t s t e ­henden V i e r e c k e .

Abb. 1 1 . 5 4Eine D o o - S a b i n - F t a c h e g e h t durch dieE c k e n s c h w e r p u n k t e j e d e r Masche desK o n t r o l l n e t z e s und b e r u h r t d o r t dasdurch die Masche b e s t i m m t e h y p e r ­bolische Paraboloid ( o d e r die Ebene derMasche).

Abb. 11.55Ein S c h r i t t der Unterteilung fur kubischeB-Splines nach Lane-Riesenfeld e r f o r ­d e r t das EinfUgen der S e i t e n m i t t e n undzwei anschlieBende Runden der M i t t e l ­bildung (die erste Runde erzeugt diePunkte der U n t e r t e i l u n g nach Chaikin).Die Abbildung zeigt auch die Koeffizi­enten der Ecken fur die Berechnungder h e r v o r g e h o b e n e n Ecke des ver­f e i n e r t e n Polygons.

Von kubischen B-Splines zur Unterteilung nach C a r m u l l - C l a r k . Die v o r h i n

a n g e w a n d t e Strategie zur H e r l e i t u n g eines U n t e r t e i l u n g s a l g o r i t h m u s aus der

U n t e r t e i l u n g s r e g e l ftir q u a d r a t i s c h e B - S p l i n e - K u r v e n ( C h a i k i n - A l g o r i t h m u s )

f u n k t i o n i e r t auch fiir k u b i s c h e B -Splines. Die E r z e u g u n g k u b i s c h e r B-Spline ­

K u r v e n m i t t e l s U n r e r t e i l u n g b e r u h t a u f dem A l g o r i t h m u s von L a n e - R i e s e n f e l d

( K a p i t e l R): Fiige die S e i t e n m i t t e n in d as aktuelle Polygon ein u n d ftihre d a n a c h zwei

M i t t e l u n g s r u n d e n d u r c h (siehe Abb . 11.55) .

In gewisser Weise haben wir zwei Art en neuer Punkte: die S e i t e n m i t r e n u n d jene

Punkte, die als verlagerte Ecken des g r a b e n Polygons angesehen werden k o n n e n . W i r

k o n z e n t r i e r e n uns nun a u f die zuletzt g e n a n n t e n P u n k t e u n d b e z e i c h n e n die neue Lage

der Ecke B mit B; Die linken und rechten Nachbare cken von B sollen B, u n d B, h e i f en

(Abb. 11.55). Offen sichtlich ist B; der M i t t e l p u n k t von zwei C h a i k i n - P u n k t e n C" C, mit

K o o r d i n a r e n v e k r o r e n c , = 1 / 4 b , + 3 / 4 b, c r = 3 / 4 b + 1 / 4 b ; Er hat d a h e r den

K o o r d i n a t e n vektor

W ir b e t r a c h t e n n u n ein regulare s Vierecksn etz (d.h. , die U n t e r t e i l u n g ftir kub ische

B - S p l i n e - F t i c h e n ) . Dies wird uns zu den U n t e r t e i l u n g s r e g e l n von C a t m u l l - C l a r k im

r e g u l a r e n Bereich ein es Netzes fiihren. Z u r H e r l e i t u n g dieser Regeln w e n d e n wir die

U n t e r t e i l u n g nach Lan e-Riesenfeld zuerst a u f die Spalten u n d d a n n a u f die Z e i l e n

( o d e r u m g e k c h r r ) an.

B

411

A u s g e d r i i c k t in einer einzigen U n t e r t e i l u n g s r e g e l ergeben sich die in A b b i l d u n g 11.56

(samt Koeffizienten) i l l u s t r i e r t e n Falle, Die Koeffizienten h a u g e n davon ab, wie

S e i t e n m i t t e n ( a b h a n g i g von zwei alten Ecken) m i t v e r l a g e r t e n Ecken ( a b h a n g i g von

drei alten Ecken) k o m b i n i e r t werden. K o m b i n a t i o n der S e i t e n m i t t e n liefert den

E c k e n s c h w e r p u n k t des b e t r o f f e n e n Vierecks.

Wenn eine S e i t e n m i t t e m i t einer v e r l a g e r t e n Ecke k o m b i n i e r t wird, e r h a l t e n wir eine

neue Ecke, die als verlagerte K a n t e n m i t t e des g r o b e n Netzes angesehen werden k a n n

(die B e r e c h n u n g e r f o r d e r t 2 x 3 = 6 alte Ecken). Die Koeffizienten sind die

P r o d u k t e 1 / 2 · 3 / 4 u n d 1 / 2 . 1 / 8 , also 3 / 8 bzw. 1 / 1 6 . Schliefslich e r f o r d e r t die

K o m b i n a t i o n zweier v e r l a g e r t e r Ecken ( K o e f f i z i e n t e n 3 / 4 u n d 1 / 8 ) die E i n b e z i e h u n g

von 3 x 3 = 9 Ecken. Ihre Koeffizienten sind 3 / 4 · 3 / 4 = 9 / 1 6 , 3 / 4 . 1 / 8 = 3 / 3 2 , u n d

1 / 8 . 1 / 8 = 1 / 6 4 .

Abb. 11.56Die Regeln zur U n t e r t e i l u n g nachC a t m u l l - C l a r k (= U n t e r t e i l u n g s r e g e l nfur kubische B-Spline-Flachen) im re­qularen Bereich eines Netzes. Es g i b tdrei Faile: F l a c h e n s c h w e r p u n k t e wer­den eingefOgt ( l i n k s ) , K a n t e n m i t t e n

werden v e r l a g e r t ( M i t t e ) , und jedeEcke des alten Netzes wird in eine neueLage g e b r a c h t ( r e c h t s ) . Die Abbil­dungen zeigen auch die Koeffizientenfur die Berechnung.

F E1 / 1 6 1 / 1 6

U n t e r t e i l u n g nachC a t m u l l - C l a r k

p 1 / 6 4 3 / 3 2 1 / 6 40 C 0 c C

1 / 4 1 / 4 3/8 3/8

0 59 / 1 6

3 / 3 2 a 3 / 3 2S c h w e r p u n k t K a n t e n m i t t e l p u n k t Ecke

1 / 4 1 / 4B A

1 / 1 6 1 / 1 6A B

1 / 6 4 3 / 3 2 1 / 6 4

412

Die B e r e c h n u n g einer verlagerten Ecke gilt n u r bei Valenz 4. Fur irregulare Ecken

(Valenz k ungleich 4) ist die spezielle, in A b b i l d u n g 11.57 illustrierte Regel zu verwenden .

Die G l a t t h e i t von C a t m u l l - C l a r k - U n t e r t e i l u n g s f l a c h e n ist a u f e r h a l b der i r r e g u l a r e n

Ecken holie r als die der D o o -Sab i n - F l a c h e n (auch die Reflexionsl i n i e n s i n d g l a t t ) .

J e d o c h ist das V e r h a l t e n in der N a h e der i r r e g u l a r e n Stellen n i c h t so g l a t t wie in

m a n c h e n A n w e n d u n g e n e r f o r d e r l i c h (z.B. beim D e s i g n von A u t o m o b i l k a r o s s e r i e n ) .

W i e b e r e i t s e r w a h n t , w i r d die G l a t t h e i t in der A r c h i t e k t u r wegen der U m s e t z u n g a u f

e i n e r se h r graBen Skala ( u n d der V e r w e n d u n g e i n e r Z w i s c h e n s t u f e der U n t e r t e i l u n g ,

also eines Nerzes) e v e n t u e l l keine so b e d e u t e n d e Rolle spielen. D a bei der U n r e r t e i l u n g

nach C a t m u l l - C l a r k m e h r M i t t e l b i l d u n g e n v e r w e n d e t w e r d e n als bei der M e t h o d e

von D o c - S a b i n , sin d die C a t m u l l - C l a r k - F l a c h e n w e i t e r von i h r e m K o n t r o l l n e t z

e n t f e r n t als die D o o - S a b i n - F l a c h e n (Abb. 1 1 . 5 8 ) .

i r r e q u t e r e Ecke

Abb. 1 1 . 5 7Regel zur Behandlung i r r e q u l a r e r Eckenin der U n t e r t e i l u n g nach Catmull-C1ark :die angegebenen Zahlen sind die Koef­fizienten zur Berechnung der neuenEcke. Dabei lst k die Valenz der Ecke( k = 7 in der A b b i l d u n g ) .

Abb. 1 1 . 5 8Vergleich der O n t e r t e t l u n q s f l a c h e vonDoo-Sabin ( l i n k s ) m i t der von C a t m u l l ­Clark ( r e c h t s ) . Letztere ist glatter, dam e h r M i t t e l b i l d u n g e n in der Berech­nung a u f t r e t e n ; genau deswegen istdie C a t r n u l l - C l a r k - F l a c h e auch w e l t e rvom Ausgangsnetz e n t f e r n t als dieD o o - S a b t n - F l a c h e .

D o o - S a b i n

1 / ( 4 k 2)

i r r e q u l e r e Ecke

EinfOgen v o nK a n t e n m i t t e l p u n k t e no @ 0

1 / 2 1 / 2

V e r l a g e r n d e r v o r h a n d en e nE c k p u n k t e

o @ 0

1 / 8 3 / 4 1 / 8

C a t m u l l - C l a r k

413

W a r n u n g vor w i n d s c h i e f e n V i e r e c k e n . Selbst w e n n wir m i t e i n e m N e t z st a r r e n , das

n u r e b e n e V i e r e c k e als M a s c h e n b e s i t z t , w i r d die U n t e r t e i l u n g w i n d s c h i e f e V i e r e c k e

e r z e u g e n . K e i n e r der a u f V i e r e c k e n a r b e i t e n d e n U n t e r t e i l u n g s a l g o r i t h m e n , die a u f

e i n f a c h e n Lin e a r k o m b i n a t i o n e n b e r u h e n (wie die o b e n b e s c h r i e b e n e n V e r f a h r e n ) ,

e r h a l t die E b e n h e i t aller V i e r e c k e eines N e t z e s .

Es gibt j e d o c h . P l a n a r i s i e r u n g s a l g o r i t h m e n ", die m i t der U n t e r t e i l u n g v e r b u n d e n

w e r d e n k o n n e n , urn die E b e n h e i t der M a s c h e n zu g e w a h r l e i s t e n ( siehe Liu et al ., 2 0 0 6 ) .

Ein Beispiel fu r die A u s w i r k u n g eines so lc h e n A l g o r i t h m u s ist in A b b i l d u n g 11 .59

illu str i e r t . D i e s e fur die A r c h i t e k t u r i n t e r e s s a n t e T h e m a t i k w i r d a u s f u h r l i c h e r in

Architectural G eometry, Chapter 19, b e h a n d e l t .

A b b . 1 1 . 5 9S t a n d a r d - A l g o r i t h m e n zur U n t e r t e i l u n gerzeugen viele nicht-ebene Vierecke,selbst wenn man m i t einem Netzs t a r t e t , das nur ebene Vierecke alsMaschen aufweist (z .B. der Doo-Sabin­A l g o r i t h m u s , obere Reihe) .

Man kann jedoch nach jedem U n t e r t e i ­l u n g s s c h r i t t eine O p t i m i e r u n g s p r o z e d u ranschlieBen, welche die Ebenheit derMaschen wieder h e r s t e l l t .

S t u f e 0 S t u f e 1 S t u f e 2 S t u f e 3

w i n d s c h i e f e Vierecke

414

ebene Vierecke

U n t e r t e i l u n g s f l a c h e n zu D r e i e c k s n e t z e n . S e l b s t w e n n ein D r e i e c k s n e t z u n g e f a h r

d o p p e l t so viele Flachen wie ein V i e r e c k s n e t z b e n 6 t i g t , urn eine g l a t t e Flache m i t

v e r g l e i c h b a r e r Q u a l i t a t a n z u n a h e r n , h a t es d e n groBen V o r t e i l , dass die e i n z e l n e n

M a s c h e n e b e n sind.

L e i d e r k o n n e n wir a u f D r e i e c k s n e t z e n b e r u h e n d e U n t e r t e i l u n g s a l g o r i t h m e n

n i c h t so e i n f a c h aus U n t e r t e i l u n g s v e r f a h r e n fur K u r v e n a b l e i t e n , wie dies o b e n fur

V i e r e c k s n e t z e g e s c h e h e n ist, D a h e r s e h e n wir v o n j e d e r H e r l e i t u n g ab u n d w e i s e n

d i r e k t a u f das p r o m i n e n t e s t e Beispiel h i n , die U n t e r t e i l u n g n a c h L o o p . D e r e n R e g e l n

s i n d in A b b i l d u n g 11.60 i l l u s t r i e r t , u n d A b b i l d u n g 11.61 zeigt einige d a m i t e r z i e l t e

E r g e b n i s s e . D i e G l a t t h e i t der d a m i t e r h a l t e n e n F l a c h e n ist m i t j e n e r der

C a t m u l l - C l a r k - F l a c h e n v e r g l e i c h b a r .

Abb. 11.60Regeln zur U n t e r t e i l u n g eines D r e i e c k s ­netzes nach C. Loop.

~----oc

c

c = l / k ( 5 / 8 - ( 3 / 8 + 1 / 4 c o s ( 2 n / k ) ) 2 )1 / 1 6

1 / 1 61 / 1 6

1 / 1 6

1 / 1 6 0 - - - - - - - - 1 ,....--------0 1 / 1 63/8

1 / 8

1 / 8

3/8

K a n t e n m i t t e l p u n k t Ecke i r r e q u l e r e Ecke

415

ABe hier v o r g e s t e l l t e n U n t e r t e i l u n g s v e r f a h r e n b e r u h e n a u f der N etzglattung, Die

re sult i e r e n d e n Flachen geh en n icht d u r c h die Eck en de s E ing a b e n e t z es. E s gibe aber

M e t h o d en der U n t e r t e i l u n g , die Flach en d u r c h d ie Ecken d es St a r t n et zes e r zeugen,

h i n s i c h d ich d er en Beschr e i b u n g ve rwe isen w i r all er d i n gs a u f di e L it er atur,

M u l t i s k a l e n m o d e l l i e r u n g . M an m ag bi slang den E i n d r u ck g ew o n n e n h aben , da ss

d ie U n t e r t eilung eine M a schine ri e ist, die d urch ein Eing ab e net z ak t ivier t w i r d u n d

dan ach vo l l ig a u t o m a t i sch u n d o h n e Einflu ss de s D esigner s a b la u fen m uss - die s wa re

a lle rd i n gs e i n e vo l l ig falsche Int e r p r e t at i on!

Wir k iinnen in j eder Z wischenstu f t Edi ti er-Op eration en a u f das akt uelle Netz an wend en.

Die resulti er ende G r e n z f l a c h e ist auch d a n n n o c h glatt: W i r b r a u c h e n ja nur da s letzte

edicierte N e t z als S t a r t n e t z fu r eine d ann aut o m atis ch n ach den R egeln d es jewei li g en

S c h e m a s a b l a u f ende U n t e r t e i l u n g zu d e u t en .

Abb. 1 1 . 6 1Netze, die m i t dem U n t e r t e i l u n g s ­a l g o r i t h m u s von Loop e r z e u g t wurden .

Stufe 1

Stufe 1 Stufe 2

Stufe 2

i r r e q u l ere Ecken

Stufe 3 Stufe 4

4 16

• .,.

" J

I "7'--.),7 " \ . 1 ' - ....-1~' \ . . A . 1 -

'"'" ~'~ ~

Es mag v o r t e i l h a f i sein, einige g r u n d l e g e n d e Fakren iiber N e t z e in v e r s c h i e d e n e n

Aufl o s u n g s s t u f e n (Skalen) zu s a m m e l n . W e n n w ir m i t e i n e m g r a b e n N e t z sr a r t e n u n d

einen U n t e r t e i l u n g s a l g o r i t h m u s ( i r g e n d e i n e V e r f e i n e r u n g s r e g e l ) a n w e n d e n , e r h a l t e n

wir d a d u r c h eine ganze H i e r a r c h i e von N e t z e n , von e i n e r g r a b e n Variante h i n zu

i m m e r f e i n e r e n . A u f j e d e r Stufe dieser H i e r a r c h i e k o n n e n wir E d i t i e r - O p e r a t i o n e n

a n w e n d e n , b e v o r wir zur nach s r f e i n e r e n Stufe w e i t e r g e h e n .

W a r u m h a t dies e i n e n Sinn, u n d w a r u m ist es n i c h t g l e i c h g u l t i g , in w e l c h e r Stufe wir

eine V e r a n d e r u n g v o r n e h m e n ? Urn dies zu klaren , w erfen wir e i n e n Blick a u f die

A b b i l d u n g 11 .62 , welche zeigt , dass A n d e r u n g e n in der A n f a n g s p h a se einen viel

grolSeren E i n f l u s s b e r e i c h h a b e n als A n d e r u n g e n a u f f e i n e r e n S t u f e n . Urn diese

B e h a u p t u n g zu beweisen, rniissen wir n u r an die N a c h b a r p u n k t e d e n k e n , die zur

B e r e c h n u n g der Ecken de s v e r f e i n e r t e n N e t z e s h e r a n g e z o g e n w e r d e n

( A b b i l d u n g e n 1 1 . 5 2 , 1 1 . 5 6 u n d 11.60) .

A b b . 1 1 . 6 2U n t e r t e i l u n g s a l g o r i t h m e n k6nnen mitEditier-Operationen verbunden werden:Die auf einer groben Stufe gemachtenAnderungen beeinflussen e inen gr6Beren

Bere ich als A n d e r u n g e n a u f feinerenS t u f e n . Dies ist das Prinzip d e r M u l t i ­s k a l e n m o d e l l i e r u n g . , U n t e r t e i l u n g

A n d e r u n g in d e r 'A n f a n g s p h a s e

~....

A n d e r u n g e n a u ff e i n e r e n S t u f e n

e d i tie r e n u n du n t e r t e i l e n

417

Daher sollte man die grundlegenden Tendenzen der Form einer Flache bereits

im Startnerz modellieren. GroBflachige Veranderungen sind in groben Stufen

vorzunehmen, wahrend feinere Details erst in entsprechend feine Stufen des Netzes

eingebaut werden sollten. Diese Technik nennt man Multiskalenmodellierung. Sie ist ein

rnachtiges Werkzeug fur das Design komplexer geometrischer Formen (Abb. 11.63).

Rationalisierung freier Formen. Die in CAD -Systemen implernenrierten Methoden zur

Erzeugungvon Freiformflachen stellen zwareine Fi.ille von Enrwurfsrnoglichkeiren fur die

Architekrur bereit, es ist aber zu bedenken, dass diese Werkzeuge fur ganz andere Anwen­

dungsbereiche entwickelt wurden (Automobil- und Flugzeugindustrie, Computergrafik,

Animation). Man kann viel Zeit und Geld in den Bau eines Formwerkzeugs fur ein

Karosserieteil eines Aurornobils investieren, weil damit Tausende von Teilen gefertigt

werden konnen, Es ist aber kaurn Iinanzierbar, fur jedes Paneel einer als Unikat anzu­

sehenden freigeforrnten Hiille eines Bauwerks ein eigenes Formwerkzeug zu frasen.

A b b . 1 1 .63Die M u l t i s k a l e n m o d e l l i e r u n g e r w e i s tsich als e f f e k t i v e s Werkzeug fur dasDesign g e o m e t r i s c h e r Formen.

S c h r i t t 1

S c h r i t t 3

418

S c h r i t t 2

S c h r i t t 4

Id e al ware die E n t w i c k l u n g n eu e r, a u f die An fo rde ru nge n in d e r Arc h i t ek t ur

ab g est im m t e r M eth od en zu m E n tw u r f frei er Form en . Di ese m iisst en mit ei ne r

Aufreilung in Pan eele e i n h c rg eh e n , einer Au slegung d er U n t erk on s t r u k t i on und

so f o r t . Sie si n d au ch sehr st a rk vo rn verwe n de te n M at erial und d er Techn ol ogie

zur Fert igun g d er einz cIne n Pa n eele abha ngig , H ier b efind en wi r u n s m i t t en in der

a k t u elle n For sch ung . D e r a rt ige Werkzeuge si n d e r st in A nsa tze n vor h an de n . Al s

Be isp iel k ann di e b er e it s a n g espro che ne Er z e u g u n g von V iereck sne t zen m i t eb ene n

M a sch en ( Pa n e elen ) m irt els einer Komb in ati on ein e s U n t e r t eilung salgo r i t h m u s und

e i n e r O p timi e r u n g ( Pla n a risieru n g der Masc he n) di en en (siehe Abb. 11.64 ) . Fiir

dera rtige Netze w ur de n au ch Met h o de n zur A u sleg u n g eine r Trag s t ru kt ur m i t so

gena n nten t orsionsfreien Knot en en twi cke lt (sieh e A b b . 11.64 sowie Liu e t a l., 2 0 0 6

und P o t t m a n n et al ., 2 0 0 7 ) .

Abb . 1 1 . 6 4Rationalisie rung einer freien Formdurch v iereckige ebene Paneele. DieseFigur zeigt auch eine Anordnung derTrager m it geomet risch optim ierten

Knoten; in j e d e m Knoten gehen dieMittenebenen der pr ismat ischen Tragerdurch eine Gerade, die so genannteKnotenac hse (siehe Detail).

- - - -

Solange es keine speziell fiir die A r c h i t e k t u r e n r w i c k e l t e M o d e l l i e r u n g s software

gibt , die auch n o c h die zum Ein sarz k o m m e n d e n M a t e r i a l i e n u n d T e c h n o l o g i e n

b e r i i c k s i c h t i g t , k o m m t der so g e n a n n t e n R ation alisierung einer mit h e u t i g en

M e t h o d e n m o d e l l i e r t e n F r e i f o r m l l a c h e be s o n d e r e B e d e u t u n g zu . U n r e r Rarionali­

si eru n g ver s t e h t man eine A n n a h e r u n g einer v o r h a n d e n e n Form d u r c h eine einfach er

u n d ko s t e n g i i n stiger her s t e l l b a r e Form . R a t i o n ali s i e r u n g b e d e u t e t seh r oft eine

A u f t e i l u n g in kleinere Elemenre ( Pa n e el e) , die mit der v o r h a n d e n e n T e c h n o l o g i e

aus dem g e w i i n s c h t e n M a t e r i a l (bei AulSenhiillen z .B. Gla s, glasfaser ver s t a r k t e r

B e t o n , M e t a l l : im I n n e n a u sbau u.a . auch glasfaserversrarkre Gip s-Paneele o d e r H o l z )

moglich st k o s t e n g i i n stig h e r s t e l l b a r s i n d.

N a r i i r l i c h sind ebene Paneele in allen M a t e r i a l i e n am e i n f a c h s t e n h e r z u s t e l l e n .

Z y l i n d r i s c h e o d e r allgemeinere abwickelbare (= einfach g e k r i i m m t e ) Paneele weisen

mei st Vorteile g e g e n i i b e r d o p p e l t g e k r i i m m t e n (d.h. n i c h t a b w i c k e l b a r e n ) Paneelen

a u f . D a h e r ist eine erste Variante der R a t i o n a l i s i e r u n g eine A u f t e i l u n g in Paneele, von

den en m o g l i c h s t viele eben , weniger einfach g e k r i i m m t u n d n o c h weniger zweifach

gekr i i m m t si n d (Abb. 11.65 ).

Abb. 1 1 . 6 5Unten : Dongdaemun Design Plaza undPark in Seoul von Zaha Hadid Architects(Bild: ZHA) .

Oben: Aufteilung in ebene Paneele( g r u n ) , einfach g e k r l i m m t e Paneele( b l a u ) und andere d o p p e l t g e k r u m m t ePaneele ( g r a u ) sowie D e t a i l a n s i c h t d e rP a n e e l - A u f t e i l u n g( B i l d e r : Evolute) .

Abb. 11.66Oben: E n t w u r f eines Z e n t r u m s furzeitgen6ssische Kunst in Cagliari (ZahaHadid A r c h i t e c t s ) .Unten: Rationalisierung groBer Teileder Fassade durch Reqelflachen (Bild:Evolute).

Z u m Bau von g e k r u m m t e n Paneelen aus g l a s f a s c r v e r s t a r k r e m B e t o n w e r d e n

S r y r o p o r - F o r r n e n b e n u t z t , die vorzugsweise d u r c h eine H e i l s d r a h t s c h n e i d e m a s c h i n e

aus einem Block S t y r o p o r g e s c h n i t t e n werden (vgl. Kap, 12). A u f g r u n d dieser

H e r s t e l l u n g der F o r m e n sind Regeltlachen die idealen g e k r u m m t e n Paneele, sie

b r a u c h e n n i c h t u n b e d i n g t einfach g e k r u m m t zu sein. Regelflachen sind auch fur die

U n t e r k o n s t r u k t i o n v o r t e i l h a f i e i n s e t z b a r . Eine teilweise g r o g f l a c h i g e R a t i o n a l i s i e r u n g

einer freien Form d u r c h Regelflachen ist in A b b i l d u n g 11.66 i l l u s t r i e r t .

Fur ein t i e f e r g e h e n d e s V e r s t a n d n i s der R a t i o n a l i s i e r u n g sind bessere K e n n t n i s s e iiber

Flachen notig. Diese werden - z u s a m m e n mit w e i t e r e n A n w e n d u n g e n wie etwa der

d i g i t a l e n R e k o n s t r u k t i o n , der F o r m o p t i m i e r u n g u n d der K o n s t r u k t i o n von N e t z e n

aus e b e n e n Paneelen - in der englischen O r i g i n a l a u s g a b e dieses Buches d i s k u t i e r t . Die

R a t i o n a l i s i e r u n g k o m p l i z i e r t e r F o r m e n (wie etwa der in den A b b i l d u n g e n 11.65 u n d

11.66 gezeigten) ist eine Aufgabe fur S p e z i a l i s t e n ( G e o m e t r i e - K o n s u l e n t e n ) .

Als w e i t e r f i i h r e n d e L i t e r a t u r zum Thema . R a r i o n a l i s i e r u n g von F r e i f o r m f i a c h e n "

seien n o c h g e n a n n t : AAG 2008; P o t t m a n n et al. 2008; S h e l d e n 2002.

421

K a p i t e l 1 2D i e E r s t e l l u n g v o nM o d e l l e n i m K o n t e x td e r A r c h i t e k t u r

D i e E r s t e l l u n g vonM o d e l l e n im K o n t e x td e r A r c h i t e k t u r

Das A r c h i r e k r u r m o d e l l ist ein i m e g r a l e r Besrandteil der a r c h i t e k t o n i s c h e n

E n t w u r f s e n t w i c k l u n g . Modelle spielen sowohl in der E m w i c k l u n g des E n t w u r f s als

auch in der R e p r a s e n t a t i o n des v o l l e n d e t e n E n t w u r f s in u n t e r s c h i e d l i c h e n M a f s r a b e n

eine Rolle. Die digirale F a b r i k a t i o n k o m m t eng v e r b u n d e n mit dem d i g i t a l e n

M o d e l l i e r e n zum Einsatz. W a h r e n d wir uns in den ersten e l f K a p i t e l n mit der

E r z e u g u n g d i g i t a l e r Modelle beschaftigt haben, w i d m e n wir uns nun der H e r s t e l l u n g

physischer Modelle aus digitalen D a t e n .

Fur F r e i f o r m g e o m e t r i e n sind die digirale F a b r i k a t i o n u n d das Rapid P r o t o t y p i n g

besonders wichtig , weil die E r s t e l l u n g eines prazisen A r t e f a k t s aus der d i g i t a l e n

I n f o r m a t i o n sehr viel schwieriger ist als bei r e c h r w i n k l i g e n G e o m e t r i e n . Dies

h a n g t mit den t r a d i t i o n e l l v e r w e n d e t e n W e r k z e u g e n zusammen u n d dem dam it

v e r b u n d e n e n Registrieren u n d Messen der Bauteile. Urn ein ebenes Viereck im Raum

zu b e s c h r e i b e n , b e d a r f es nur der vier E c k p u n k t e , Fur eine frei g e f o r m t e Flache sind fur

denselben Zweck leichr mehrere H u n d e r t P u n k t e n o t w e n d i g .

In einem m a n u e l l e n Prozess ist dies n i c h t eflizienr und auch n i c h t verlasslich

w i e d e r h o l b a r . Bei den d i g i t a l e n A l t e r n a t i v e n kann man generell u n r e r s c h e i d e n

zwischen Rapid P r o t o t y p i n g (bei dem digitale T e c h n i k e n b e n u t z t werden, urn

schnell f u n k t i o n a l e P r o t o t y p e n einer Idee zu erstellen; oft n i c h t in O r i g i n a l g r o l l e ) ,

der digitalen F a b r i k a t i o n ( P r o d u k t i o n von U n i k a r e n oder klein en S t i i c k z a h l e n in

Originalgrolse), u n d der digitalen F e r t i g u n g im i n d u s t r i e l l e n MaBstab.

Die digital u n t e r s t i i r z t e n T e c h n i k e n k o n n e n w i e d e r u m grob in zwei G r u p p e n

u n t e r t e i l t werden : Einerseits gibt es die s u b r r a k t i v e n Techniken wie das C o m p u t e r ­

n u r n e r i c a l l y - c o n t r o l l e d -Frasen ( C N C M i l l i n g ) , bei dem Material von einem soliden

M a t e r i a l b l o c k mit W e r k z e u g e n e n t f e r n t wird, urn das gewiinschte O b j e k t zu erzeugen.

U n d andererseits die a d d i t i v e n Techniken, wie zum Beispiel das Fuse D e p o s i t i o n

M o d e l i n g (FD M) , bei der Material schichtweise a u f einer P l a t t f o r m aufgebaut wird,

urn das g e w u n s c h t e O b j e k t zu erzeugen .

425

Bei einer A b h a n d l u n g iiber Modellbau muss auch das Thema des MaSstabs zur Sprache

kommen. In der Renaissance lieS Michelangelo wahrend der Entwurfsphase fiirden Petersdom in Rom ein enormes, iiber f i i n f M e t e r hohes S c h n i t t m o d e l l in Holz

erstellen, urn daran den E n t w u r f zu srudieren und die K o n s t r u k t i o n s g e o m e t r i e n zu

testen. Ein Modell dieser GroSe war notwendigerweise aus Einzelteilen zusarnmen­

gesetzt - handgefertigt und zum Ganzen zusammengefiigt (Abb. 12.1) . Der Mafstab

eines Modells ist, bis hin zur 1: l-Umsetzung, wiederum das Hauptkriterium fur die Wahl

seines Abstraktionsniveaus. Die gleiche Grundgeometrie kann als Ausgangspunkt fur die

Entwicklungvon Modellen in allen Mafsraben dienen (Abb.12.2).

G e s c h i c h t e .

Die Wurzeln der digitalen Fabrikation reichen zuriick in die

1950er-Jahre, als mit der Erfindung von Numerically-con­

rrolled-Maschinen Alternativen zur manuellen Dateneingabe

benorigt wurden, Die ersten Versuche, Formen in nurnerischen

Daten fur diese Maschinen umzuwandeln, basierten auf dem

Nachziehen von physischen Zeichnungen. Es wurde bald klar,

dass eine mathematische Form, Geometrie zu beschreiben,

norwendig war, urn wirkliche Forschritte zu erzielen . Die Enr­

wicklung von mathematischen Beschreibungen von Freitorm-

426

kurven und Freiformflachen (zurn Beispiel Bezier-Kurven,

siehe Kapitel8) erlaubte es, CNC-Maschinen sowohl fur den

Modellbau als auch fur die Fabrikation effizienter einzusetzen.

Es dauerte trotzdem noch einige jahrzchnre, bis diese Prozesse

im Architekruralltag FuS gefasst harten. Der Modellbau wird

heute zunehmend von digital produzierten Bauteilen domi­

niert (ermoglicht durch den allmahlichen PreisrUckgang fur

Maschinenanschaffung und -laufzeiten), und gebaute Archi­

tektur isr zunehmend auf digitale Fabrikation fur die Umset­

zung komplexer Geometrien angewiesen.

Abb. 12.1Ein uber f u n f Meter hohes h61zernesModell des Petersdoms in Rom ist einBeispiel eines frOhen, beeindruckendenA r c h i t e k t u r m o d e l l s . Es d e m o n s t r i e r tdie Rolle des Modells sowohl zurRepresentation einer E n t w u r f s i d e e alsauch als Prototyp, um die K o n s t r u k t i o ndes Gebaudes zu testen. VonMichelangelo ( 1 4 7 5 - 1 5 6 4 ) in Auftraggegeben, wurde die Modellstudie desPetersdoms von 1 5 5 8 - 1 5 6 1 in Holze r s t e l l t (Bild Fabbrica di San Pietro desVatikan, Rom).

D u r c h di g i t a le Fabrika t i o n s p r o z e sse verwischr sich die Grenze zw isch en M o d e l l b au

u nd g e b a u t e r Arc hirekrur, D ieselbe I n fo r m at io n , die fur den M o d e l l b a u verwen det

wir d, kan n auc h die Ba sis fu r die E rstell ung de s C e b a u de s sei n. In den mei sten

Fallen iibers teig t die G r a g e arc h itekto nisc her Baut e ile im vo llen M a f s ta b b e i

wei tem die Dime n sio ne n de r Fa b r i k a t i ons maschine n - was die U nte rte ilu ng d er

Geo me trie zur H e rst ellun g u nd d en d a r au f fo lgen de n Zu sam m e nb au zu e i ne m

essenziellen P ro zesssch r i t t mac h t ( A b b . 12.2e ) . D ies b e d i n g t z usa rzlic h e geome tri sche

H e r au sfo rd e ru n g en u nd Sc h w i e r i g k e i t e n b ei d er P rozessentwic kl u ng fu r die Zerleg ung

und Kom po sitio n der Teile . In diesem Kapi rel werden wir d ie Vor- un d Nach teile de r

ve rsch ie d en en er wahn ten Te ch n iken und Me tho den eror tern.

Abb . 12 .2Das Ver ha lt n is zwi sc hen Ma f3 st ab u ndGeometr ie in Arch i t e k t u rmodellen wi r ddurch das gewah lte Niveau derA b s t r a k t ion best i m m t . Es g ibt vieleFo r m en der Abst raktion i m E n t w u r f . Einschemat isches Beisp ie l ze i gt versch ie ­d e n e Abst r a kt ionsgrade e i n er Ent wu rf s­g e o m e t r ie. Die gle i che zu GrundeIie g e n d e Geometr ie k ann zu r Ers t e l l u n gv o n v e r schi ed e n en Deta i ll ie r u ngs ­g rade n eines Ma ssen m odell s ( a) , e i ne rForm -Stud ie (b) , eines Geschoss­mod ells (c) , eines Oberflachenpanee len­modells ( d ) und eines voll deta i ll iertenFassadenmodells ( e ) v e r w e n d e twerden .

427

Vom S t a n d p u n k t des a r c h i t e k r o n l s c h e n E n t w u r f s spielen die Wahl der H e r s t e l l u n g s­

t e c h n i k u n d der M a t e r i a l i e n eine wichtige Rolle im E n t w u r f s p r o z e ss u n d fiir die

A s t h e t i k des E n d p r o d u k t s . Die Wahl des H e r s t e l l u n g s p r o z e s s e s u n d der dafiir n o t ­

w e n d i g e n g e o m e t r i s c h e n O b e r s e t z u n g des E n t w u r f s kann zu e i n e r b e s o n d e r e n Asche­

tik des E r s c h e i n u n g s b i l d s fiihren (Abb . 12.3) . Dieser O b e r s e t z u n g s p r o z e ss k a n n sich

komplex g e s t a l t e n .

Die Wahl des H e r s t e l l u n g s p r o z e s s e s b e e i n f l u ssr auch die D a r s t ellung des E n t w u r f s ,

u n d die v e r s c h i e d e n e n H e r a n g e h e n s w e i s e n e r f o r d e r n v e r s c h i e d e n e A b s t r a k t i o n s ­

prozesse der G r u n d e n r w u r f s i d e e . Es stellen sich b e s o n d e r e H e r a u s f o r d e r u n g e n an das

G e o m e r r i e v e r s t a n d n i s , da die L o s u n g iiber die E r s t d l u n g von B i l d s i m u l a t i o n e n auch

r o b u s t genug sein muss , urn F a b r i k a t i o n s i n f o r m a t i o n e n zu e x t r a h i e r e n u n d urn die

E n t w u r f s g e o m e t r i e m i t C N C - b a s i e r t e n M a s c h i n e n b a u b a r zu m a c h e n .

Es lassen sich grob drei FaIle d e f i n i e r e n : (1) R e p r a s e n t a r i o n s m o d e l l e , die den E n t w u r f

g e o m e t r i s c h malSstababhangig a b s t r a h ieren, (2) R a p i d - P r o t o t y p i n g - M o d e l l e , die zur

O b e r p r i i f u n g der m a t e r i e l l e n U m s e t z u n g des G e s a m t e n r w u r f s b e n u r z t werden u n d

dabei die t a t s a c h l i c h e n M a t e r i a l i e n ver w en d en u n d eins zu eins o d e r nahe am vollen

MalSstab e r s t e l l t w e r d e n , u n d (3) die digitale F a b r i k a t i o n , in der ein ganzes G e b a u d e

m i t Hilfe von C N C - b a s i e r t e n M a s c h i n e n eins zu eins herge stellt wird . Aile drei

A n s a t z e b e d i i r f e n a h n l i c h e r g e o m e t r i s c h e r T e c h n i k e n u n d C N C - M a s c h i n e n , h a b e n

(a)

(b)

Abb. 12.3(a) Die E n t w u r f s g e o m e t r i e kann geo­metrisch unterschiedlich i n t e r p r e t i e r twerden . Ein Schalenmodell bedingteine andere Leseart im Vergleich zueinem p a r a m e t e r l i n i e n b a s i e r t e nS t r e i f e n m o d e l l oder einem horizontalgeschnittenen Schichtenmodell. Jededer geometrischen Abstraktionenb e t o n t andere Eigenschaften der zuGrunde liegenden Geometrie.(b) Die O r i e n t i e r u n g der geometrischenElemente b e t o n t unterschiedlicheAspekte der Form. In diesem Fall wur­de eine Annaherunq an eine doppeltgekrOmmte Oberflache m i t einfachgekrOmmten, abwickelbaren, denu- und v - P a r a m e t e r l i n i e n folgendenStre ifen e r s t e l l t .

428

Abb. 12.43 - D - D r u c k e r sind in der Lage, raurnllchkamplexe, klelnmafsstabllche Madellemeistens aus einem Material herzu­stellen. Die me isten dieser g e d r u c k t e nMadelle sind r e p r a s e n t a t l v , aber m i tder r i c h t i g e n Behandlung konnendaraus auch w l d e r s t a n d s f a h l q e Prata­typen werden . Ais rein r e p r e s e n t a t iveMadelle helfen sie wen ig im Verstand­n is des K a n s t r u k t iansprazesses (scr ipt­gener iertes R a u m f a c h w e r k ) .

aber jew eils ver s c h i e d e n e Ziel s e t z u n g e n . Ein e we i t e re w ich t ige M o d e l l v a r i ante, d ie h i e r

n i c h t w e i t e r im D e t ail e rla u te r t wi rd, ist da s E n t w u r f s p r o z es s m o d e l l , d as am A n f a n g

de s E n t w u r f sp roz esses d er F o r m u l i e r u n g der er st en Id een d i ent.

I n den fol g e n d e n Ab sch n i t t en pr a s e n t i e r en w i r di e o be n er w a h n t en drei Falle in i h r e m

Bezug zur Ar ch ir e k t u r ( Re p r ase n t a t io ns mo de lle, R a p i d - P r o t o t y p i n g - M o d elle u n d

d igit ale Fabr ik a t i o n srn od ell e ) .

R e p r a s e n t a t i o n s m o d e l l e . D ie A r e h i t e k r u r bl ickr a u f e in e l ange C e sch ichre de s Modell­

baue s fUr repr asent arive Z weeke zuriick. Di e malsstablichen M o d elle b e t o n e n so w o h l den

K o n z e p t e h a r a k t er als au e h d ie P r o p o r t i o n en u n d di e E i n b i n d u n g in den Ge s a m t k o n t e x t

i n den verseh ie d e n e n Mag st aben. M o d e l l e fung ieren t r a d i t i o n e l l aueh als Tesrplatt­

formen fur k o m p l exe Fo rmen und als Referenz fur alle B e t e i l i g t e n im Bauproze ss. A u f

G r u n d d er grogen D i m e n s i o n e n der g e b a u t e n A r c h i t e k t u r werden R e p r a s e n r a t i o n s­

modelle im klein en M ag st ab erstellt, was d ie A n z a h l der D etails r e d u z i e r t .

Di e A b s t r a k t i o n der D e t ails u n d der M aterialien sp iel t d a m i t eine wichtige Rolle im

Areh i t e k r u r m o d e l l b a u . Die Wa h l der A b s t r a k r ion wi rd von den H a u p t aspekren

beeinflu sst, die im M odell d arg estellt werden so llen. G eom erri sch e Eigen seh aften der

M ateri alien w ie z.B. ih re Abw iekelb arkeit s in d dabe i im K o n t e xt der Er stellung d er

G e o m e t r i e r n i t u n t er w ic h t iger a ls e ine r ealita t s n a h e Er s e h e i n u n g . Z u m Beispiel w ird

K art on h aung fU r di e D a r s t e l l u n g abwiekelb ar e r Flach en in m a g st abl iehen M odell en

ve rwe n d e r .

D i e Ma te r ia lwa h l im M o de ll b a u w i r d s ta r ke r vo m M o d ellk o n z e p t bee influ sst als v o n

eve n t u e lle n wi r kl ie he n M ar er ialien , die sie r epr as enri er en. 3- D - D rue k e r b iet en d ie

Pra zi sion u n d D et ailg en a u i g k eit fur d e t a i l l i e r t e A r e h i t e k t u r m o d e l l e (A b b . 12. 4 ). A u f

G r u n d de s D r u e k p r o z esses mu ss in klein -rn a f stabli c h e n M o d e l l e n die G e o m e t r i e an

die D r u e k e r a n f o r d e r u n g e n angepas st w e r d e n .

(b)

(c)

(a)

Abb. 12.SDas Arch itekturbOro Morphosis machtwah rend des Entwurfsprozesses i nt e n ­siven Gebrauch von 3 - D - D r u c k e r n , so­wohl fur Reprasentat ionsmodelle alsauch zur E n t w u r f s e n t w i c k l u n g .(a) das P h a r e - T u r m - P r o j e k t imLa - D e f e n s e - V i e r t e l , Paris (Foto: Unibail- Morphos is);(b) ein 1:S00 -Modell des Phare-Turmshat sehr viel w e n i g e r Details als(c) ein grol3mal3stabliches 1: 200 -Modell(1: SOO-Modell, Foto m it f r e u n d l i c h e rG e n e h m i g u n g von John C a r p e n t e r ;1 : 2 0 0 - M o d e l l (Foto m i t f r e u n d l i c h e rG e n e h m i g u n g von Nicolas Buisson,M o r p h o s i s ) .

Abb. 12.6Die Projekte von d e s i g n t o p r o d u c t i o nsind gute Beispiele fUr die Aussagekraftdes i n t e l l i g e n t e n , e n t w u r f s k o h a r e n t e nEinsatzes von F a b r i k a t i o n s t e c h n i k e n .ZipShape ist ein Produkt, das einfachgekrUmmte Flachen aus zwei reil3ver­schlussahnlichen, v e r z a h n t e n , speziellgefrasten Flachen e r s t e l l t ( A b b i l d u n g :d e s i g n t o p r o d u c t i o n , Konzept: designto ­p r o d u c t i o n GmbH, CNC-Produktion :Bach Heiden AG (Patent pending), Ver­wendung der Abbildung m i t f r e u n d l i c h e rG e n e h m i g u n g ) .

D a h e r b e d a r f es auch bei M o d e l l b a u t e c h n i k e n , die bei der P r o d u k t i o n keine

g e o m e t r i s c h e n L i m i t a t i o n e n h a b e n , einer m a l i s r a b a b h a n g i g e n A n p a s s u n g der

G e o m e t r i e . Das A r c h i r e k t u r b i i r o M o r p h o s i s in Los Angeles hat groBe E r f a h r u n g e n

im Einsatz von 3 - D - D r u c k e r n in allen Phasen des E n t w u r f s p r o z e s s e s gesammelt

u n d passt M o d e l l g e o m e t r i e n m a B s t a b a b h a n g i g an die E n t w u r f s e n t w i c k l u n g u n d das

M o d e l l d r u c k e n an (Abb . 12.5). A n d e r e , sehr viel groBere Bures wie zum Beispiel

Foster + P a r t n e r s h a b e n die T e c h n i k i n z w i s c h e n ebenfalls b i i r o w e i t i n t e g r i e r t .

Rapid Prototyping. D e r B e g r i f f R a p i d P r o t o t y p i n g sreht fur die nachste Stufe im

Ein satz von C N C - M a s c h i n e n . Ein schnell e r s t e l l t e r P r o t o t y p ist ein teilweise o d e r

voll f u n k r i o n s f a h i g e r P r o t o t y p im M a f s t a b 1 : 1, der m i t C N C - M a s c h i n e n e r s t e l l t

wird. D a b e i miissen die M o d e l l e h o h e r e S t a n d a r d s in Bezug a u f physische R o b u s t h e i t

u n d T o l e r a n z e n erfiillen. Sie k o m m e n zum GroBteil im Bereich von M a s c h i n e n b a u

u n d I n d u s t r i e d e s i g n zur A n w e n d u n g , urn komplexe G e o m e t r i e n zu visualisieren

u n d zu b e u r t e i l e n . In der A r c h i t e k r u r k o m m t diese A n w e n d u n g fur D e t a i l e n r w i i r f e

beispielsweise bei F a s s a d e n v e r b i n d u n g e n zum Einsatz. Z u n e h m e n d h a l t e n diese

T e c h n i k e n j e d o c h auch Einzug in die P r o d u k t i o n von fertigen P r o d u k t e n wie im Fall

von Z i p S h a p e von der d e s i g n t o p r o d u c t i o n G m b H (Abb . 12 .6) .

431

Rapid Manufacturing ist eine erweiterte Form von Rapid Proto typing, in der die Teile,

die mit Hilfe von C N C - M a s c h i n e n hergesrellr werden, direkt als funktionierende

Bauteile zum Einsatz kommen und die Massenproduktion ersetzen. In der Architektur

gibt es zur Zeit nur sehr wenige Beispiele von Rapid Manufacturing, da digirale

Fabrikationstechniken in Bezug auf T e i l g r 6 l k Bauzeit und Kosten fur Cebaude

immer noch zu begrenzt sind. Architektur ist dariiber hinaus ein Sonderfall, da die

meisten Cebaude nur einmal gebaut werden.

Man konnte behaupten, dass jedes Konstrukt auch gleichzeitig ein Prototyp im Vergleich

zu anderen Industriezweigen ist, Mit frei geformter Geometrie wird dies zu einer noch

grogeren Herausforderung, da sogar die Bauteile innerhalb eines Cebaudes sich nicht

wiederholen und einer gesondener Herstellung bediirfen, Dies ist in der Architektur

immer haufiger der Fall mit vielen Beispielen von CNC-gefrasten Fassadenknotenpunkten,

in denen jedesTeil direkt an Hand von CAD~Daten ersrellt wird. Ein experimenteller

Einsatz einer gefrasten Srruktur ist der Swissbau-Pavillon , enrwickelt vom

caad.designtoproduction Team an der ETH Zurich (Abb. 12.7) und die Fumrepolis­

Installation von Studio Daniel Libeskind an der Universitat St. Gallen (Abb. 12.8).

432

Abb . 12.7Die Firma d e s i g n t o p r o d u c t i o n w a r ane i n e r Anzahl von P r o j e k t e n b e t e i l i g t , indenen a l g o r i t h m i s c h g e n e r i e r t e undv e r w a l t e t e E n t w u r f e d i r e k t b e n u t z tw u r d e n , um F a b r i k a t i o n s i n f o r m a t i o nf u r CNC-Maschinen zu e r s t e l l e n . DieKugel des S w i s s b a u - P a v i l l o n ist einea l g o r i t h m i s c h g e n e r i e r t e G e o m e t r i e ,b e s t e h e n d aus einem Netz von Balken,die im Wechselspiel m i t d u r c h v o r b e ­s t i m m t e O f f n u n q e n g e g e b e n e n Rand­b e d i n g u n g e n (sowie der S c h n i t t - G e o ­m e t r i e ) und d i r e k t u b e r eine 5 - A c h s e n ­Frase h e r g e s t e l l t w u r d e ( A b b i l d u n g :C o n t e c t AG, G e o m e t r i e , B e r a t u n g undE n g i n e e r i n g : ETH Z u r i c h , caad . d e s i g n ­t o p r o d u c t i o n , C N C - P r o d u k t i o n : BachHeiden AG, V e r w e n d u n g der A b b i l d u n gm i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g ) .

Abb. 12.8F u t u r o p o l i s ist eine k o m p l e x e S k u l p t u rf u r die Hochschule von St. Gallen(HSG), e n t w o r f e n vom S t u d i o DanielL i b e s k i n d . Sie b e s t e h t aus t a u s e n d e n ,m i t Hilfe eines f u r die s-Achsen-Prasee n t w i c k e l t e n D e t a i l s prazise i n e i n a n d e rv e r s c h r a n k t e r Teile ( A b b i l d u n g : caad.d e s i g n t o p r o d u c t i o n , G e o m e t r i e , Bera­t u n g und E n g i n e e r i n g : ETH ZUrich,c a a d . d e s i g n t o p r o d u c t i o n , CNC-Produk­t i o n : Bach Heiden AG, V e r w e n d u n g derA b b i l d u n g m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i ­g u n g ) .

Abb. 12.9Digital u n t e r s t u t z t e Z u s a m m e n s e t z u n gvon v o r f a b r i z i e r t e n Fassadenelementenauf der Baustelle u n t e r Z u h i l f e n a h m evon d r e i d i m e n s i o n a l e n D a t e n p u n k t e nd i r e k t aus einem digitalen Master-Model.Auf diese Weise kbnnen U n t e r s c h i e d ezwischen den H e r s t e l l u n g s t o l e r a n z e nder v e r s c h i e d e n e n H e r s t e l l u n g s b e d i n ­gungen ausgeglichen werden.

Digitale Fabrikation und Zusammenbau. Die digitale Herstellungder einzelnen Bauteile

ist natiirlich nur ein Aspekt des Gesamtergebnisses. In der Architektur spielt der Zusam­

menbau der vorfabrizierten Bauteile eine ebenso bedeurende Rolle. Irn Vergleich zur Auto­

produktion, bei der die Montage der Fahrzeuge in einem kontrollierten Umfeld passiert,

wird Architektur zum GrolSteil auf der Baustelle zusammengefugr und ist dem Wetter und

anderen unvorhersehbaren Veranderungen ausgesetzt. Laser-Messgerate helfen bei der

prazisen Positionierung von Baureilen im Zusammenhangmit einem digitalen Modell

auch unter widrigen Bedingungen und bei unterschiedlichen Bautoleranzen der Gewerke .

Das Srata Center von Frank Gehry ist ein gutes Beispiel der Kombination von digital

fabrizierten Bauteilen. In diesem Fall wurden die frei geformten Fassadenteile in der Zahner­

Fabrikin Kansas City hergestellt und dann per Lasrwagen zur Baustelle transportiert. Der

Zusammenbau der Elemente orientiertesich an Koordinatenpunkren (basierend auf einem

lokalen K o o r d i n a t e n s y s t e m ) , die mit Laser-Messgeraten eingemessen wurden.

Durch die Verwendung von anpassbaren Befestigungspunkten war es trotz des relativ

ungenauen Betonrohbaus rnoglich, einen hohen Prazisionsgrad in der Positionierung der

Paneele zu erreichen. Sowohldie Daten fur die digitale Fabrikat ion der Paneele als auch die

Positionierungsdaten wurden einem zentralen CATIA-Mastermodell (CATIA ist eine

parametrisches CAD-Programm), das von den Architektenerstellt wurde, entnomrnen

(Abb. 12.9).

E x p e r i m e n t e l l e r ist die Anw e n d u n g vo n R ob o t e r n b eim Zu s amm enb au vo n

Baute ilen, Z u m Beisp iel w u r d e n in e i n e m Pro jekt vo n Fabio G r amaz io u n d

M a t t h i a s K o h l e r an der ET H Z u r i ch Back st e ine v o n ein em R o b o t e r a r m in genau

vor a us b est i m m te Po sit i o n e n ge setzr (A b b . 12 .10 ). D er E i ns a t z ei ne r C N C - M a c h i n e

f ur d en Z u s a m m e n b au er6 ffne t int eressa nt e neu e Szen ari en f ur d en Ge b rauc h vo n

tr aditi on ell en B a u k o m p o n e n t en . C o n t o u r C r aft ing vo n D r . B e h r o k h K h o shne vi s

ist ei n wei t er es Beispiel , h ier in d er Ko m b i na tio n vo n B e t o n u n d C N C - T e c h n i k .

Za h fliissiger B e t o n w i r d dab e i Sc h ic h t fu r Sch i c h t zum Aufb au ei n e r Beron w a n d

a u f g etr ag en , o h n e Sch alun g selem e n t e ( A b b. 12.11 ).

434

Abb . 1 2 . 1 0R o b o t e r g e s t U t z t e r Zusammenbau vonNormziegeln . Gramazio & Kohler von derETH Z Orich e n t w i c k e l t e n d ie Anwendungeines Roboterarms f u r den a l g o r i t h m ischg e n e r i e r t e n Z i e g e l v e r b a n d i m MaBstab1 : 1. Die Eleganz des Ansatzes liegt i nder Gener ierung eines n e u a r t i g e n , pro­g r a m m ierten Z i e g e l v e r b a n d s aus Norm ­te ilen allein durch die Umsetzung desa lgor i t h m i s c h e n Prozesses (Abbildung :Gramazio & Kohler, A r c h i t e k t u r unddig itale Fabrikation, ETH Zurich, Verwen­dung der Abbildung m i t f r e u n d l i c h e rGenehm i g u n g ) .

Abb . 12.11C o n t o u r Craft ing ist e ine Technik , be ider Beton aus d ig ital g e s t e u e r t e n DOsena u f g e b r a c h t wird , um 3 - D - B e t o n - S t r u k ­tu ren ohne zusatzllche Scha lungs­e l e m e n t e h e rz u st ell en. C o n t o u r Craft ingwurde von Dr. Behrokh Khoshnevis vonder Univers i t y of S o u t h e r n Californ iaentw i c k e l t .

F a b r i k a t i o n s t e c h n i k e nU b e r b l i c k , Es gibt eine A n z a h l an F a b r i k a t i o n s m e t h o d e n , die heute bei der d i g i t a l e n

H e r s t e l l u n g zum Einsatz k o m m e n . Sie k o n n e n grob a u f Basis der zu G r u n d e

li e g e n d e n P r i n z i p i en k a t e g o r i s i ert w erden . Z u m Teil basieren die Prozesse a u f der A r t

von M a t e r i a l i e n , die v e r a r b e i t e t w e r d e n (z.B , flache M a t e r i a l p l a t t e n im G e g e n s a t z

zu v o l u m e t r i s c h e n Blocken) . Ein weiteres K r i t e r i u m ist, ob M a t e r i a l h i n z u g e f i i g t

o d e r e n t f e r n t wird , urn das Werk stiick zu formen. Aus g e o m e t r i s c h e r Sieht ist ein

w e i t e r e r A s p e k t von B e d e u t u n g : Es g i b t viele H e r stellungsprozesse, in den en die

M o d e l l g e o m e t r i e a n n a h e r u n g s w e i se aus Voxeln a u f g e b a u t wird. A n d e r e Prozesse

basieren a u f der D b e r s e t z u n g der O b e r t l a c h e n g e o r n e r r i e in r a u m l i c h e W e r k z e u g p f a d e ,

die von M a s c h i n e n m i t einer h o h en A n z a h l von F r e i h e i t s g r a d e n a b g e f a h r e n w e r d e n .

Die v e r s c h i e d e n e n A n s a t z e beeinflussen sowohl die A s t h e t i k als auch die Q u a l i r a t u n d

P r o d u k t i o n s z e i t der Bauceile, Fiir C e s a m t g e b a u d e im MaBstab 1 : 1 g i b t es n u r einige

wenige e x p e r i m e n t e l l e F a b r i k a t i o n s m e t h o d e n .

Die meisten F a b r i k a t i o n s p r o z e s s e in der A r c h i t e k t u r b e r u h e n a u f dem Zu sammen­

setzen von Teilen, d ie s e p a r a t h e r g e s t e l l t werd en. Di e M a s c h i n e n , die in der

C N C - F a b r i k a t i o n zum Einsatz k o m m e n , k o n n e n a n h a n d der F r e i h e i t s g r a d e

klassifiziert werden . Ein F r e i h e i t s g r a d ( F H G ) ist hier bezogen a u f die g e o m e t r i s c h e

D e f i n i t i o n der m o g l i c h e n B e w e g u n g e n e n t w e d e r e n t l a n g einer Achse im Raum o d e r

einer R o t a t i o n urn eine Achse im Raum. 1m d r e i d i m e n sionalen Raum gibt es sechs

F r e i h e i t s g r a d e : drei T r a n s l a t i o n s f r e i h e i t s g r a d e (in X -, y- u n d z- R i c h t u n g ) u n d drei

R o t a t i o n s f r e i h e i t s g r a d e (urn die x- , y - u n d z- Achse), D a m i t ware eine M a s c h i n e mit

drei F r e i h e i t s g r a d e n bereits a u s r e i c h e n d , urn j e d e n m o g l i c h e n K o o r d i n a t e n p u n k t im

Raum zu e r r e i c h e n . J e d o c h ware eine M a s c h i n e mit m i n d e s t e n s sechs F r e i h e i t s g r a d e n

e r f o r d e r l i c h , urn ein W e r k z e u g zusatzlich auch im Raum zu o r i e n t i e r e n .

Viele C N C - M a s c h i n e n h a b e n zwei bis f i i n f F r e i h e i t s g r a d e , da m i t der A n z a h l

der Freiheit sgrade auch die Kosten der M a s c h i n e u n d die K o r n p l e x i t a t ihrer

K o n t r o l l e steigen . Z u s a t z l i c h addi eren sich die T o l e r a n z e n der G e l e n k e a u f - was

bei gleicher M a s c h i n e n t e i l q u a l i t a r m i t j e d e m F r e i h e i t s g r a d zu n i e d r i g e r e r P r a z i s i o n

beim Einsatz f i i h r t . Die e i n f a c h s t e M a s c h i n e im Bezug a u f F r e i h e i t s g r a d e ist cine

S t a n d b o h r m a s c h i n e mit einer e i n z i g e n Bewegungsachse in z-Richrung,

435

D e r G ebrau ch vo n Schn eid em asch in en m i t zwei Freih eit sgr ad en ist sehr ver b r ei t e t .

Beisp iele sin d L aser c u t t er , Wasserj e t cut te r u n d Frasen , d ie a Ile m it Bew egung en

in Ri c h t u n g der x - u n d y -Achse a r bei te n, urn d en W e rkz e u gko p f im R aum zu

po siti o nie r en . Di e Sch em en i n A b b . 12.1 2 ge be n ein e d er a ill ie rr e re U be rsich t iiber

d ie verschie de nen Be arb e i t u n g san sat ze u n d ihr e je w eilig en M asch in en g e om e t r i e n

u n d Freiheit sgr ade . D ie m ech an isch e Um setzu ng de r Freih e it sgr ad e bri n gt gewi sse

Lirn it a t i o n en i n den mogli ch en Bew egung en m i t sich . D ie Summ e der t at sachl ich

a ns t e uer bare n P u n k t e be im Ei n satz a Ile r Fre i h e i t sgr ade wi rd in der R ob ot ert echn ik a ls

m axim al err eichb arer Bereich b ez eichn et .

Im M od ellbau be s t e h e n zusa tz lic he Z w ang e , Z u m Beispi el k a n n ei n dr e iachsiger,

pul verba si e r t e r 3 - D - D r u c k er j ede bel iebig e Form a d d i t i v krei er en - soga r

vo ll k o m me n in e i n a n d e r g e s c h a c h t e l t e , g eschlo ssene Form en . Ein sehr v iel komplex er er

Fra srob ot er m i t se chs F r e i h e i t sgr ad en w ar e dazu - au f G r u n d d er K oIl i s i o n e n

des W erkzeug s m i t d en auBeren M o d ellt e ilen beim B e a r b e i t e n der inn eren Teile

- ni cht in de r L age. D ahe r si n d die Fre i h e i t sgr ade n icht d a s einzi ge en ts che i de n de

Krit erium , d as d ie Viel seit igke it ei nes Pro z esses b e s t i m m t . E s is t di e K o m b i n a t i o n

vo n F a b r i k a t i o n st e c h n i k en u n d Freih eit sgr aden , welch e die Um set zun g vo n

Geo me t rie i n p h ysisch e Form er rnog lic h t . Im folgend en A bsc h ni t t b err acht en wi r

versch iede ne T e c h n i k en in d e r Fab r ikat ion u n d di e d am it ver bu n de ne n g eom etri schen

H er au sford eru ng en .

Abb . 12.12D i a g r a m m a r t iger Ob er b l i ck uber u n t e r ­schiedliche Fabrikat ionsmaschinen i mZusammenhang m i t der Zahl der Frei­he itsgrade (FHG) . Die unterschied ­lichen Farben stellen die verschiedenenBewegungs - und Rotationsachsen dar.

436

S c h n e i d e b a s i e r t eP r o z e s s e

P l a t t e n b a s i e r t e Schneidetechniken. Plattenbasierte 2 -D-Schneideprozes se gehoren zu den

einfachsten C N C -Fabrikationsprozess en, wenn man vorn Lochbohren ab siehr, Einfache

Modellekonnen durch das Stapeln von Schnittrnustem erstelltwerden (Abb. 12.13). Es sind

schn elle und ver lass lich e Prozes se, und sie verwenden billiges , in grogen Mengen erhaltlichesMaterial. Plattenbasierte Her stellungsprozesse passen in ihren Eigenschafren auch zu vielen

ob erflachenbasierten Geometrien.

Facettierte Modelle konnen aus Dreiecken oder anderen ebenen Polygonen aus Material ­

platten hergestellt werden (Abb. 12.13b). Sogar einfachgekriimmte, abwickelbare Formen

konnen aus Teilen gebaut werden, die mit plattenbasierten Schneidetechniken hergestellt

wurden (Abb. 12.13f). Vor allem fur die Fabrikationvon Gebauden im M a f stab 1 : 1

spielen d ie Wirtschafrlichkdt und die Materialkosten eine wichtige Rolle. Die Arbeit mit

plattenbasierten Schne idetechniken ist relativ iiblich. Enrwerfer sind auch relativ vertraut

mit Facettierungsprozessen und konnen diese in den Arbeitsablauf eingliedern. Der Modell­

b au wechselt langsam auf3- D- Druckprozesse, doch b isher sp ielen plattenbasierte Techniken

weiterhin eine wichtige Rolle in der Erstellungvon Reprasentarion smodellen .

Abb. 1 2 . 1 3(a) Ein diagrammatisehes Beispiel einesSehiehtenaufbaus zur Annaherunq vonFreiformgeometrie. Abhangig von derSehiehtdieke und der Lage der Sehiehtenzueinander variiert die Aufl6sung desModells.(b) Die Facettierung einer Form ist eineweitere Standardoption.(e) Zur Verdiekung der Paneele bedarf eseiner Strategie fur den Versatz derFlaehen oder(d) gekantete Verbindungen.(e) Wenn man von einer frei geformtenPaneel-Geometrie ausgeht, stellt dieVerdickung der Paneele auf dieMaterialdicke eine Herausforderung dar,wei! die Topologie des versetztenNetzwerks nieht zwanqslaufiq identischmit derjenigen des Ausgangsnetzwerksist. In dem hier geze igten Fall erzeugt dieOberall gleiehmaBg versetzte Geometrieeine H-f6rmige Schnittstelle anstelle derX-f6rmigen Kreuzung des Original­Netzes. Dies ist durch die verschiedenenWinkel der Facetten zueinander bedingtund fOhrt zu mehreren Sehnittpunktenanstelle des einzelnen Schnittpunktes(h ier mit dem roten Keil verdeutlicht).(f) Die Verwendung von einfachgekrOmmten Oberflachen anstelle vonplanaren Flachen erlaubt eine genauereA n n a h e r u n q an die gekrOmmteGeometrie und trotzdem noch dieVerwendung von planarenSchnittmethoden bei der Herstellung .

( a )

(c)

(d)

(b)

437

Laser- und Plasmaschneider. Laserschneider sind Teil der am meisten verbreiteten Rapid­

Prototyping-Maschinen. Sie basieren auf den iiblichen x- und y-Translationsachsen fUr den

Schneidkopf, der mit einem Spiegelsatz ausgeriistet ist, der den Laserstrahl vom hinteren

Bereich der Maschine vertikal auf das Schnittmaterial richtet. Die Hitze des Strahls brennt

das Material wegund hinterlassr einen Schnittpfad oder eine Brandmarkierung im Material,

je nach der Materialbeschaffenheit und -dicke und Strahlsrarke ,

Zusatzlich zurn Schneiden sind begrenzt T iefenschichtmodelle moglich, in denen

mehrere Schnitte nacheinander gesetzt werden, urn Materialschichten zu emfemen. Die

Schnitttiefe ist jedoch durch die limitiette Tietenscharfe des Laserstrahl s begrenzt . Ahnliche

Maschinen existieren in der Stahlindustrie mit sehr starken Lasem fUr den Stahlzuschnitt.

Fiir Stahlplatten kann der Laser auch durch einen Plasmaschneider ersetzt werden, der auch

mehrere ZemimeterStahl durchtrennen kann. Kostengiinstige Plasmaschneider machen

diese Technik relativ preisgiinstig .

Wasserschneider. Wasserschneider arbeiten mit Wasserabrasivstrahlen, bei dem ein

Hochdruckwasserstrahl durch eine sehr kleine Diise schieBt, mit einem abrasiven Additiv

versetzt wird und dann praktisch jedes Material durchrrennen kann, so z .B. mehrere

Zentimeter starken Stahl, Holz, Plastik oder Glas. Der Schnittprozess passiert, wahrend

die Teile mit Wasser bedeckt sind, urn iibermaBige Gischt zu vermeiden. Der Prozess

ist auf Grund des laufenden Verbrauchs an Additiven und der notwendigen schweren

Konstruktion des Gerats relativ teuer (Abb. 12.14) .

Folienschneider. Eine der einfachsten Schnitttechniken beniitzt Schneidemesser aufPapier

oder dimnen Folien. Diese Technik wird iiberwiegend fiir die Schilderherstellung oder

einfache Papierschnitte verwendet . Experirnemelle Anwender benutztensiezurn Schneiden

von diinnen Kupferbogen fur flexible Schaltkreise. Einige GroBformatdrucker haben

Papierschneider imegriert.

A b b . 1 2 . 1 4(a) Schneiden m i t einem Wasser­j e t s c h n e i d e r . Das ballistische Prinzipe n t f e r n t Material durch das BeschieBendes Materials m i t einern Hochdruck­Wasserstrahl v e r m e n g t m i t Schleif­sand. W a s s e r j e t s c h n e i d e r ben5tigenzusatzllche G e o m e t r i e v e r a r b e i t u n g desS c h n i t t p f a d s , urn den M a t e r i a l v e r l u s tdurch den Pfadversatz zu kompen­sieren und um Anfangs- undEndpunkte und Materiaidurchst5Be zugenerieren. Diese Prozesse sind in denrnelsten S o f t w a r e t r e i b e r n i n t e g r i e r t .(b) Ein Entwurf, h e r g e s t e l l t alsPrototyp in A l u m i n i u m , durch einenWasserschneider (Model Axel Kilian,Concept Car Design m i t der SmartCities Group, MIT Media Lab).

438

A d d i t i v e V e r f a h r e n :s c h i c h t b a s i e r t eF a b r i k a t i o n

Die s c h i c h t b a s i e r t e H e r s t e l l u n g s t e c h n i k b i e t e t eine w e i t e B a n d b r e i t e an M a t e r i a l i e n

u n d P r o z e s s e n . Sie s i n d p r i n z i p i e l l t r a d i t i o n ellen, h a n d w e r k l i c h e n A u f b a u t e c h n i k e n

a h n l i c h (z .B, TongefaBe) . Eine F o r m w i r d d u r c h a u f e i n a n d e r l i e g e n d e

M a t e r i a l s c h i c h t e n a u f g e b a u t .

Weil das G e w i c h t j e d e r S c h i c h t v o n der v o r a u s g e h e n d e n g e t r a g e n w e r d e n muss u n d

sich d a h e r z u m i n d e s t in e i n e n Teil des " F u B a b d r u c k s " des V o r g a n g e r s i i b e r s c h n e i d e n

muss, k o n n e n niche aIle F o r m e n d i r e k t e r s r e l l t w e r d e n . Es g i b t m e h r e r e Prozesse, die

a u f spezieIles M a t e r i a l als T r a g s t r u k t u r z u r i i c k g r e i f e n . A n d e r e w i e d e r u m v e r f e s t i g e n

P u l v e r o d e r F l i i s s i g k e i t e n i n n e r h a l b eines M a t e r i a l v o l u m e n s , aus d e m das fertige

W e r k s t i i c k d a n n e n t n o r n m e n w i r d .

Eine H a u p t l i r n i r a t i o n d e r s c h i c h t b a s i e r t e n T e c h n i k e n ist die f e h l e n d e F l e x i b i l i r a t

in der l o k a l e n A d j u s t i e r u n g der S c h i c h t o r i e n t i e r u n g in Bezug a u f die G e o m e t r i c

des Bauteils, M a n c h e T e c h n i k e n s i n d a n f a I l i g fiir S c h i c h t s e p a r i e r u n g en d a n g

der S c h i c h t g r e n z e n , welche die S t a r k e u n d E r s c h e i n u n g des W e r k s t i i c k s n e g a t i v

b e e i n f l u s s e n .

439

Fus e D e p o s i t i o n M o d e l i n g ( F D M ) . Beim F D M wer d e n Pl a sr i k s t r an ge aus

A c r y lo n i t r i l e - B u ta d i e n e - S ty re ne - P las t i k (A B S) b is k u r z vor d em S c h m elz p u n kt

er hi tz t, d u r ch ei n e D iis e ge pres s t u n d e n tla ng v o r h e r b er e c h n e t er K ur v en so

ii b e r e i n a n d e r a ufge t r a g e n , d a ss s c h l uss e n d l i ch d er gew ii n sc h te B a u t e il e n ts t e h t,

A u f G r u n d d er H i t ze ve rsc h m e l z e n die ne u h i n z u g e f iig t en Pl a sr ik s t r a n g e mi t

je ne n d e r da ru n t e r li e g e n d en S ch i c h t ( A b b. 12.1 5) . D er We rk z e u g k o p f w i r d

wa h r e n d d e s A u fba us de r j e w e i l i g e n Sc hi c h t l a n g s d e r x - u n d y- Ac hse be w egt,

un d di e B a u t e i l p l a r r f o r m e n tla ng d er z -A c h se , urn d ie n a ch st e Sc h ic h t z u

e rr e i c h en - w o mi t di e M a s c h i n e d r e i Fr e ih e it sg r a d e be sit zt.

A B S - P las ti k- D ru c k e r be n iit z en be s o n d e r e s S t i i t z m a t eri al , urn d a s P r o b l e m

vo n au skr a g e n d e n B a u t e il en z u l o sen . D a s Stiir zm at eri al k o m r n t a us e i ne r

zwei t e n D i i se p a r a l l e l zum A u f b au d e s e i g e n tl i c h e n M a t eri al s , urn w ei te r o b e n

au s k r a g e n d e Teile n a ch un t en a bz us t ii t ze n u n d w i r d s pa re r e n t fe r n t , D a d u r c h

r u h e n d ie se U b er st a n d e a u f St ii tz rn a te r ia l, u n d da s A u f t r e t en vo n V e r f o r m u n g en

o d er g ar da s K o l l a b i er en d e s B a u t e il s w i r d v e r h i n d e r t , D a s St iit zm a t e r i al w i r d

m ei st in e i n e r au r ge los re n, brii chi g en F o r m au f ge b aut, urn d a s s pa te re E n t fe r n e n

zu e rle i c h t e rn , o h n e d a s B a u t eil zu b e sch ad ig en, E s g ibr auc h Var i a n t en , i n d en en

sic h d a s S r i i r z m a rer i al in ei ne m U l t r a sch a l l b a d aufl o sen l a ssr .

D i e se r D r u c kp r oze ss is t ge ne re ll rob u st u n d b i e t e t ein en r el ari v p r ei s w e r t en Weg ,

A B S - Plas t ik- basie r t e M o d e l l e zu er s telle n, d ie c a . 80 % d er St a rk e v on S p r i t z -

g us s t e i l e n e r reic h e n u n d fiir fu n k t i o n s tiic h tige Pr o r o t yp e n mi t me c h a n i sc h e n

Eige n sc ha f te n ve rw e n de t we r de n k o n n en , D er g r 6Bte Nac h te i l is t d er r el at ive

h o h e A nsc h a f f u ngs p reis d er Ma sc h i ne n u n d d ie l ang e D a u e r d e s D r u c k v or g an g s.

440

Abb. 12 .15(a ) Add itive Prozesse w ie FuseDeposition Modeling (FDM) erstellenABS-Plastik-Baute ile d i r e k t vond igita len G e o m e t r i e d a t e n in einemSchichtaufbau aus P l a s t i k s t r a n q e n . Umdie Formen , d ie hier gezeigt sind , zue r s t e l l e n , wird S t u t z r n a t e r t a l ben6t igt(das s p a t e r e n t f e r n t w i r d ) , um d ieu b e r h a n q e n d e n Teile zu unterstUtzen .(b) Eine S k u l p t u r von Carlo H. Sequinals Beispiel von feinte iligen, i n e i n an d e rv e r s c h a c h t e l t e n , durch m a t h e m a t ischeFormeln b e s t i m m t e G e o m e t r i e n .Solche Formen waren a n d e r w e i t ig sehrschwer baubar (Foto m it freund licherGenehmigung von Carlo H. Sequin) .

P u l v e r b a s i e r t e P r o z e s s e . Eine weitere G r u p p e an Prozessen b e n i i t z t g i p s a r t i g e Pulver,

wie z.B. das Verfahren, das von der Firma Z c o r p e n t w i c k e l t w u r d e (Abb. 12 .16). Irn

Vergleich zu den d u r c h die P l a s t i k s t r a n g e v e r u r s a c h t e n R i p p e n bei F D M e r r n o g l i c h t

das Pulver ein h o m o g e n e r e s , weniger t e x t u r i e r t e s E r s c h e i n u n g s b i l d . Das feine Pulver

verfestigt sich d u r c h das A u f b r i n g e n eines Hiissigcn B i n d e r s a u f die e n t s p r e c h e n d e n

Bereiche . D e r E i n s a t z von T i n t e n s t r a h l d r u c k e r t e c h n i k fur die A p p l i k a t i o n des B i n d e r s

e r m o g l i c h t auch farbige D r u c k e .

D e r Prozess b e n i i t z t zwei p a r a l l e l e P u l v e r r e s e r v o i r s m i t e i n e m K o l b e n u n t e r j e d e r der

P u l v e r s a u l e n , m i t der die P u l v e r h o h e a d j u s t i e r t wird. In e i n e m R e s e r v o i r b e 6 n d e t

sich das zum E i n s a t z k o m m e n d e Pulver, in dem a n d e r e n w i r d das M o d e l l , e i n g e b e t t e t

im n i c h t b e n u t z t e n Pulver , a u f g e b a u t . Am A n f a n g w i r d der K o l b e n , der das M o d e l l

t r a g t , ganz nach o b e n g e f a h r e n , u n d das R e s e r v o i r e n t h a l t n u r die P l a t r f o r r n . M i t j e d e r

B e w e g u n g des D r u c k k o p f s w i r d etwas Pulver von e i n e m R e c h e n von der o b e r s t e n

S c h i c h t des P u l v e r r e s e r v o i r s a u f das M o d e l l r e s e r v o i r u m g e s c h i c h t e t .

Diese neue P u l v e r s c h i c h t ist die D r u c k s c h i c h t , A u f dem Weg z u r i i c k w i r d der

e n t s p r e c h e n d e S c h n i t t des Bauteils in das Pulver g e d r u c k t . W e n n die S c h i c h t k o m p l e t t

ist, w i e d e r h o l t sich der Prozess m i t der n a c h s t e n S c h i c h t . M i t j e d e m D u r c h l a u f des

D r u c k k o p f s s c h i e b t sich der K o l b e n des P u l v e r r e s e r v o i r s h o c h , urn die n a c h s t e S c h i c h t

b e r e i t z u s t e l l e n . G l e i c h z e i t i g s c h i e b t sich der M o d e l l t r a g e r nach u n t e n , urn Platz fur die

n a c h s t e M o d e l l s c h i c h t zu s c h a f f en.

Abb. 1 2 . 1 6(a) Ein Zcorp 3 - D - D r u c k e r m i t a u t o m a t i ­s i e r t e m Pulverlader und Recycling ( A b b i l ­dung von Zcorp, Gebrauch m i t f r e u n d ­licher G e n e h m i g u n g ) .(b) Pulverbasierte, additive Prozessearbeiten m i t einer g i p s a r t i g e n Substanz,um das Modell aufzubauen. Es e r u b r l q tsich der Einsatz von StOtzmaterial, dadas Modell vollstandlq von Pulver einge­schlossen ist und davon u n t e r s t u t z t wird.Ahnliche Geometrien wie im FDM sindmoqllch , es stehen aber eine b r e i t e r eSpanne an O b e r f l a c h e n b e h a n d i u n q e n zurVerfugung, die dem E n d p r o d u k t u n t e r ­schiedliche Eigenschaften verleihen. Eineweitere e r r e c h n e t e S k u l p t u r von Carlo H.Sequin, g e d r u c k t in einem p u l v e r b a s i e r ­ten Verfahren (Foto m i t f r e u n d l i c h e rG e n e h m i g u n g von Carlo H. Sequin).

441

A m E n d e des Prozesses ist das fertige M o d e l l in P u l v e r e i n g e b e t t e t im M o d e l l f a c h .

Es w i r d e n t f e r n t , i i b e r s c h i i s s i g e s P u l v e r w i r d a b g e s a u g t ( u n d k a n n w i e d e r v e r w e n d e t

w e r d e n ) , u n d das e n d g i i l t i g e M o d e l l e r s c h e i n t . P u l v e r b a s i e r t e M o d e l l e s i n d

z e r b r e c h l i c h u n d b e d i i r f e n e i n e r N a c h b e h a n d l u n g m i t Wachs o d e r Epoxy, urn die

auBerste S c h a l e zu h a r t e n .

Stereolithografie. Eines der f r i i h e s t e n 3 - D - D r u c k v e r f a h r e n ist die S t e r e o l i t h o g r a f i e

( A b b . 1 2 . 1 7 ) . H i e r b e i w i r d ein fliissiges M a t e r i a l in e i n e m Bad s e l e k t i v d u r c h e i n e n

L a s e r s t r a h l geharrer, D a b e i w i r d die eine S c h n i t t s c h i c h t des zu e r s t e l l e n d e n M o d e l l s

an d e r O b e r f l a c h e a b g e f a h r e n . Eine a b g e r a u c h t e P l a t t f o r m t r a g t die g e h a r r e r e n Teile,

u n d m i t j e d e m S c h r i t t v e r s i n k t sie w e i t e r in der Fliissigkeit, urn Platz fiir die n a c h s t e

S c h i c h t zu s c h a f f en. D i e s e r Prozess p r o d u z i e r t die d e r z e i t am h o c h s t e n d e t a i l l i e r t e n

M o d e l l e , ist a b e r auch s e h r z e i t a u f w e n d i g u n d t e u e r ,

442

Abb . 1 2 . 1 7S t e r e o l i t h o g r a f i e war eines der ersten3 - D - D r u c k v e r f a h r e n . Sie b e n u t z t einflLissiges Materialbad, in dem ein Laserdie FIOssigkeit Schicht f u r Schichterhartet, Das e n t s t e h e n d e Bauteil wirdvon einer P l a t t f o r m getragen, die m i tj e d e r Schicht w e i t e r im Bad v e r s e n k twird. Dieser Prozess p r o d u z i e r t sehrd e t a i l l i e r t e Modelle ( A b b i l d u n g : 3-D­System-Printer, Gebrauch m i t Erlaubnis).

S u b t r a k t i v e V e r f a h r e nD a s F r a s e n v o n M o d e l l e n . S u b t r a k t i v e Ver f a h r e n e r s t e l l e n M o d e l l e d u r c h d as

E n t f e r n e n von M a t erial von ei n e m s o l i d e n W e r k b l o c k o d e r e iner Pl atte. S c h i c h t e n von

M a t e r i a l werd en e n t f e r n t , bi s die Z i e l o b e r f l a c h e e r r e i c h t ist. Die se T e c h n i k hat d en

Vorteil, da ss ein e groB e B a n d b r eit e a n fra sb ar en M a t e r i a l i e n (w i e H o l z o d e r St ein ) in

ihr er n a t i i r l ichen Form b e a r b e i t e t we r de n k a n n . G e f r a s t e B a u t e i l e sind me ist

w i d e r s t a n d sf a h i g e r al s so Ich e, di e m it a d d i t i ven Ver f a h r e n er stellr w ur d e n. ] e d o ch

st e l le n s ic h a uc h be s o n d e r e H er au sf o r d e r u n g e n beim Frasen d es M a t e r i a l b l o c k s da r.

Di e Kratte, die d u r c h di e F i i h r u n g de s W e r k z eug s ent s t e h e n , k o n n en se h r h o c h sei n ,

u n d d a h e r mu ss da s G e r a t v e r wi n d u n g ss t e i f se in . D a m i t w e r d e n F r a s r n a s c h i n e n aber

a u c h sehr teuer. D e r F r a s k o p f mu ss m i t h o h e r G e n a u i g k e i t der Zielg e o m e t r i e de s

W e r k stiick s folgen k o n n e n . D afiir s i n d in den m ei s t e n Fallen m i n d e s t e n s drei, fur

k o m p l e x e Baut eile bi s zu f u n f F r eih e it sgrade n o t w e n d i g . D ie K o m b i n a t i o n vo n h o h e n

K r afien u n d viel e n Fre ihe it sg r aden rn a c h t so lc he M a sch i n e n se h r sc hw e r, u n d e s b e d a r f

t e u r e r K o m p o n e n t e n , die s elbs t m i t h o h er Prazi sion g e f e r t i g t we r de n rniis sen.

In den mei sten Fall e n la sst s ic h ein k o m p l e x es M odell n i c h t au s e i n e m e i n z e l n en

M a t e r i a l b l o c k Ira sen. Selbst bei k I e i n e n M o d e llen la ssen sich inn en l i e g e n d e

O b e r f l a c h e n oft n i c h t e r r e i c h en , o h n e da ss es zu K o l l i s i o n e n de s W e r k z e u g s m it dem

W e r k s t u c k k o m m e n wiirde , D a n n ist die U n t e r t e i l u n g de s M o d e l l s i n fra sb ar e Teile

ein w i c h t i g er Schrier , d er p a r a l l e l m i t der Wa h l d es Verf a h r e n s e r fo lg t .

Fr asrn a s c h i n e n m it 2, 5 Ach sen ( 2 , 5 , w ei l d ie z -Ac hs e n u r o b e r h alb de s Baute ils

be f a h r e n w erd en k a n n ) k o n n e n kein e U n t er schn e i d u n g en fr asen . SoIl ein M o d e l l m i t

so e i n e r Ma schin e g e f r a s t w e rd e n, d a n n mu ss es so a u f g e t e i l t we r d e n , das s aIle Flac h e n

vo n o b e n e r r e i c h b ar si n d , o h n e d ass der Fra s k o p f mit dem Re s t m o d e ll ko l l i d i e r t ,

Selb st m i t F i i n f -Ach sen -Fras en sind nic h t aIle O b e r f i a c h e n f ra sbar , Z u s a t z lich

mu ss das W e r k s t i i c k auc h fixie rt w e r d e n . W e n n ein M o d e l l gew e n d e t wird, urn d ie

Riick seite zu b e a r b e i t e n , e r n p f i e h l t es s ic h , ein e N e g a t i v f o r m zu e rs t e l l e n, in d er d as

ge w e n d e t e M o d e l d a n n ver a n k e r t w i rd .

Frasen, Es gibt eine weite B a n d b r e i t e von F r a s m a s c h i n e n , v a r i i e r e n d s o w o h l in der

G r o g e als auch in der A n z a h l der Achsen. Die e i n f a c h s t e n C e r a t e b e n u r z r e n

2,5 Achsen, urn den W e r k z e u g k o p f zu bewegen. M a s c h i n e n m i t 2 bis 3 Achsen

b e n i i t z e n S c h n e i d e r i s c h e , urn das M a t e r i a l zu fixieren, u n d w e r d e n h a u p r s a c h l i c h fiir

die B e a r b e i t u n g von P l a t t e n m a t e r i a l o d e r Blockcn von g e r i n g e r Tiefe e i n g e s e t z t . D e r

W e r k z e u g k o p f w i r d m i t e i n e m s c h n e l l r o t i e r e n d e n F r a s w e r k z e u g fiir s e i t l i c h e n

V o r s c h u b a u s g e s t a t t e t (Abb. 12.18).

Fraswerkzeuge k o m m e n zum Einsatz, w e n n W e r k s t i i c k e in m e h r als zwei D i m e n ­

s i o n e n b e a r b e i t e t w e r d e n . Frasen m i t m e h r als 2 ,5 Achsen w e r d e n m e c h a n i s c h sehr

a u f wen dig, u n d die z u s a r z l i c h e n F r e i h e i t s g r a d e e r h o h e n die K o r n p l e x i t a t der Werk­

z e u g p f a d - G e n e r i e r u n g . Die W e r k z e u g s p i t z e e n t l a n g der Z i e l o b e r f l a c h e zu fiihren ist

n u r ein Teil des P r o b l e m s . Die Frase muss dem W e r k z e u g p f a d folgen, o h n e in

B e r i i h r u n g m i t dem W e r k s t i i c k o d e r sich selbst zu k o m m e n . Z u s a t z l i c h w i r d das

Frasen in h a r t e n M a t e r i a l i e n wie A l u m i n i u m o d e r S t a h l d u r c h die h o h e n Krafie u n d

V i b r a t i o n e n e r s c h w e r t .

Diese Krafie miissen bei der S i c h e r u n g des W e r k s t i i c k s b e r i i c k s i c h t i g t w e r d e n , was die

e r r e i c h b a r e n Bereiche des W e r k s t i i c k s w e i t e r v e r r i n g e r t . S e h r g r o g e Frasen existieren

fiir die A n w e n d u n g in der A u r o r n o b i l i n d u s t r i e , urn S c h a u m s t o f f m o d e l l e fiir K o n z e p t ­

a u t o s im vollen M a b s t a b a n z u f e r t i g e n . Diese Frasen k o n n e n w e n i g e r massiv ausfallen,

da sie g e r i n g e r e n K r a f i e n a u s g e s e t z t s i n d als M e r a l l f r a s e n , u n d ihr A r b e i t s b e r e i c h k a n n

d a h e r relativ e i n f a c h v e r g r o g e r t w e r d e n .

Abb. 1 2 . 1 8(a) S u b t r a k t i v e Verfahren e n t f e r n e nMaterial von einem solid en M a t e r i a l b l o c kwie S c h a u m s t o f f , Holz o d e r Metal!.(b) Die W e r k z e u g p f a d e h i n t e r l a s s e n einbesonderes Muster, das die L e s b a r k e i td e r G e o m e t r i e u n t e r s t O t z t .

444

A b b . 1 2 .19Frasen k6nnen dank eines Roboterarmsm i t einer hohen Anzahl an FHG einebessere O b e r f l a c h e n q u a l i t a t m i t w e n i g e rWerkzeug-Passagen erzielen. Mit denh6heren FHG k6nnen auch Uberstandeg e f r a s t werden, die m i t einer 3-Achsen­Frase n i c h t mtiglich waren,(a) Ein Roboterarm im Fraseinsatz an derTU Wien.(b) Eine gefraste Oberflache e r s t e l l t m i tdem Roboterarm ( 3 - D - M o d e l l e n t w o r f e nvon Norman Hack).

S c h a u m s t o f f s c h n e i d e r . Schaumstoffschneider beniitzen aufgeheizten Draht, urn

durch extrudierten Polystyrenschaum zu schneiden . Sie sind sehr schnell. Es gibt

Maschinen mit mehreren Freiheitsgraden, die das Erstellen von 3 -D -Formen erlauben.

Der Einsatz von gekriimmten S c h n i r t d r a h t e n ist rnoglich, bedarf aber der Herstellung

eines neuen Drahtes fUr jede Form und beschrankt die rnoglichen Formen auf

Extrusionsflachen. Die von einem geradlinigen D r a h t herausgeschnittenen Flachen

sin d Regelflachen (siehe K a p i t e l 9 ) .

R o b o t e r f r a s e n . Ein neuer Trend ist die Kombination von Roboterarmen und Frasen,

Wie in anderen Fallen zuvor, hat die A u t o m o b i l i n d u s t r i e hier Pionierarbeit geleistet

und Roboterarme fiir die N a c h b e a r b e i t u n g zur G r a t e n t f e r n u n g von Spritzgussformen

entwickelt.

Robotcrfrasen nutzen die hochenrw ickelte Mechanik und Steuerungssoftware von

Roboterarmen aus dem Automobilbau mit sechs Freiheitsgraden und mehr. Die

Roboterarme bieten einen groSeren Aktionsrad ius als ihre eigene GroSe und

iiberwinden damit eine der grolSten Beschrankungen anderer Fabrikationsmaschinen.

Durch das Hinzufiigen einer Verschiebeplattform wird der Aktionsradius zusatzlich

v e r g r o f e r r (Abb. 12.19). Normalerweise ist die WerkstiickgrolSe gleich wie oder

kleiner als die Maschine, die zum Einsatz kommr, weil die Maschine das Werkstiick

umschlielsen muss, urn alle Punkte zu erreichen.

Solche Roboterarme haben ein grolSes MaS an Bewegungsmoglichkeiren und einen

hohen Grad an Flexibilitat in der Art, wie sie Punkte im Raum ansteuern konnen .

Wenn sie mit einem Fraskopf ausgeriistet sind, konnen solche Arme zur Bearbeitung

von Schaumsroff aber auch von harteren Materialien beniitzt werden.

44S

446

Abb . 1 2 . 2 0A r c h i t e k t e n wie Greg Lynn habenF r a s o b e r t l a c h e n e f f e k t e als asthettschesA u s d r u c k s m i t t e l in i h r e r E n t w u r f s a r b e i tbenOtzt . Die Geometrie der Oberflachewird durch die S c h n i t t p f a d e b e t o n t undv e r b i n d e t das E n d p r o d u k t m i t demH e r s t e l l u n g s v e r f a h r e n . Gezeigt ist hierdie Alessi Coffee and Tea Towers Series,e n t w o r f e n von Greg Lynn FORM. JedeKaffeekanne ist einmalig in i h r e r Form,und fOr j e d e s Set w ird eine eigene Forme r s t e l l t . Die Spuren des Frasprozesseswerden bewusst erhalten ( A b b i l d u n g :Carlo Lavatori, Gebrauch m i t Erlaubnis) .

H e r a u s f o r d e r u n g e nb e i m F r a s e n und RapidP r o t o t y p i n g

Ge o m e t r i s c h e H e r a u s f o r d e r u n g e n in V e r b i n d u n g m i t Fra sen u n d R a p i d P r o t o t y p i n g

g i b t es viele. C N C - M asch in en b e n o t i g e n D aten , d ie vo n d i g i t a l en M o d e l l e n g e n e r i e r t

wer de n , urn die Frasb e w egunge n zu k o n t r o l l i eren. D ie R a n d b e d i n g u n g en der

M a s c h i n en b e s c h r a n k en die m o g l i c h e n O p e r a t i o n e n . D ab ei k ann es s ic h urn e i n e n

W e r k z e u g p f ad fur die S c h n i t t k a n t e e i n es W e r k stu ck s h a n d e l n o d e r urn das raurnl iche

N a c h f a h r e n e i ne r O b j e k r o b erfl ach e. D i e raurnl iche Au s r i c h t u n g de s W e r k z eug s a n d e r

Z i elg e o m e t r ie ist a u f G r u n d d e r h o h e r e n A n z ahl a n Fre ihe it sgr aden k o m p l exer. D es

We i te re n mii ssen b ei d er P f adpl a n u n g Kolli sion en z wi sch en d en zu fra s e n d en Teilen

u n d d e m We r k z e u g sow ie rn o g l i c h e Selb stk oll ision en d e r M as c h i n e e r k a n n t u n d

ve r m i e d e n w e rd e n . W a h re n d d em Fra s v o r g a n g ver and e r t s ic h di e Si t ua t i o n a u f G r u n d

de s E n t f e r n e n s vo n M aterial sta n dig. D i e O r i e n t i e r u n g de s W e r k z e u g s b e i n f l u sst di e

e r re ich b a re O b erfl ach e n q u alit at u n d die B e a r b e i t u n g szeit.

Die GroB e der W e r k stu ck e w i r d fur die m e i s t e n Ma s c h i n e n d u r c h die D i m e n s i o n e n

d es B e a r b e i r u n g sb e n s be s t i m m t , das n o r m a l e r w e i se klein er al s die M a s c h i n e ist,

M o b i l e R o b o t e r a r m e e r r n o g l i c h e n groBere B e a r b e i t u n g s d i m e n s i o n e n , dies aber auch

a u f Ko sten von Pr az ision u n d Ge s c h w i n d i g k e i t . L e t z t e n d l i c h ist in der A r c h i t e k t u r

der Zu s a m m e n b au vo n T eilen mei st u n v e r m e i d l i c h . D e r Zu s a m m e n b a u von m ehr er en

gef ra s t e n Te ilen fur groBm aBst a b l i c h e Teil e ist u n t er Bau stell e n b e d i n g u n g e n sc h w ie ri g .

E i ne w e i t e re H er au sf o r d e r u n g ist die A u fte ilu n g der ur sp r i i n g l i c h e n G e o m e t r ie

in s i n nv o lle T eile u n d d as Sich er stellen , da ss di es e Teil e m it d em geg eb e n e n

Ve r f a h r e n h e r g est ellt we rden k o n n e n. Eine we i te re g e om etri sch e Sch w i e r i g k e it i st

d ie Sc ha ch tel u ng vo n k o m p l exen Sc h ni tt m us te rn a u f d en S c h n i t r b o g e n , urn d en

Ma t e ri a l be d a r f z u mi n i m ie re n . 3 -D -Sc h ach tel u n g v on Bauteil en in e i n e m Volum en ist

n och wese n t l ic h k o m p l e xer.

447

D i e A s t h e t i k v o n d i g i t a l f a b r i z i e r t e r G e o m e t r i e . In der A r c h i t e k t u r hat die

V e r w e n d u n g von Rapid- P r o t o t y p i n g - V e r f a h r e n E n r w e r f e r n die a s t h e t i s c h e n

M o g l i c h k e i t e n von C N C - F a b r i k a t i o n d e u d i c h e r vor Augen g e f u h r t . Z u m Beispiel

i n r e g r i e r r e Greg Lynn die S c h n i t t s p u r e n a u f den S c h a u m s t o f f f o r m e n fur die E r s t e l l u n g

der T i t a n i u m b l e c h e in die A s t h e t i k seiner Coffee and Tea Towers Serie fur Alessi

(Abb. 12.20) . Die U n v o l l e n d e t h e i t des S c h n i t t m u s t e r s b e t o n t die E i n m a l i g k e i t

jedes Sets d u r c h da s Frasen eines nur e i n m a l v e r w e n d e t e n F o r m w e r k z e u g s . Diese

S c h a u m s t o f f f o r m g e h t im V e r f o r m u n g s p r o z e s s des Bleches d u r c h eine k o n t r o l l i e r t e

E x p l o s i o n verloren. Urn die Fraszeiten zu v e r r i n g e r n - u n d aus a s t h e t i s c h e n

G r u n d e n - , bleibr der u n v o l l e n d e t e C h a r a k t e r der O b e r t l a c h e e r h a l t e n . Es g i b t viele

M o g l i c h k e i t e n , W e r k z e u g p f a d e fur eine gegebene G e o m e t r i e zu erstellen . A h n l i c h

dem T e x t u r i e r e n beim R e n d e r n e r z e u g t ein W e r k z e u g p f a d eine in dies em Fall physisch

spiirbare Texrur, die e i n g e s e t z t werden k a n n , urn g e o m e t r i s c h e E i g e n s c h a f i e n in

e i n e m O b j e k t zu b e t o n e n . B e s o n d e r s M a s c h i n e n m i t einer h o h e r e n A n z a h l von

F r e i h e i t s g r a d e n e r l a u b e n h i e r u n t e r s c h i e d l i c h e C e s t a l r u n g s m o g l i c h k e i t e n .

Abb. 12.21Beziehung zw ischen geometrischenEigenschaften von abwickelbaren Fla­chen, die m i t d i g i t a l e n und physischenModellen e n t w o r f e n und v e r f e i n e r twurden, und der gebauten Architektur.Frank O. Gehrys Walt Disney ConcertHall zeigt die Richtung der Oberflachen­k r u m r n u n q in den Fassadenplatten­randern der Metallfassade.

In a h n l i c h e r Weise w e r d e n die E r z e u g e n d e n der a b w i c k e l b a r e n F l a c h e n g e n u t z t ,

urn e i n f a c h g e k r i i m m t e F l a c h e n zu s t r u k t u r i e r e n . F r a n k O. G e h r y s W a l t D i s n e y

C o n c e r t H a l l zeigt m e i s t e r h a f t , wie die g e s a m t h e i t l i c h e g e o m e t r i s c h e P e r f e k t i o n in

der K o n t r o l l e der F a b r i k a t i o n s - u n d E n t w u r f s g e o m e t r i e die s k u l p t u r a l e L e s b a r k e i t

u n t e r s t i i t z t (Abb. 12.21). Ein i n t e g r a l e r B e s t a n d t e i l dieser L e s b a r k e i t ist der Malsstab

der b e n u t z t e n K o m p o n e n t e n u n d die R e f l e x i o n s e i g e n s c h a f t e n des M a t e r i a l s . Die

M e t a l l b l e c h e h e l f e n b e i m A b l e s e n der G e o m e t r i e u n d s t r u k t u r i e r e n die groBen

Fassaden in kleinere, erfassbare Teile auf.

D i e W a h l des M a t e r i a l s i m Z u s a m m e n h a n g m i t d e n g e o m e t r i s c h e n E i g e n s c h a f t e n .

W i e bereits in v o r h e r i g e n K a p i t e l n d i s k u t i e r t , b i e t e t der G e b r a u c h von a b w i c k e l b a r e n

Flachen eine d i r e k t e A r t , e i n f a c h g e k r i i m m t e , p a p i e r b a s i e r t e M o d e l l e zu erstellen.

Einige A r c h i t e k r u r b u r o s (z.B. G e h r y P a r t n e r s LLP) b e n i i t z e n dies en A n s a t z ausgiebig

bei der E n t w i c k l u n g von E n t w i i r f e n u n d b e i m Testen u n d A n p a s s e n von d i g i t a l e n

G e o m e t r i e n in p h y s i s c h e r F o r m sowie fur die E n t w i c k l u n g der p h y s i s c h e n M o d e l l e

als S t a r t p u n k t fiir d i g i t a l e M o d e l l e . D e r E i n s a t z von Papier d i e n t auch als Test fur die

B a u b a r k e i t m i t b l e c h a r t i g e n M a t e r i a l i e n im w i r k l i c h e n Cebaude,

Z u s a t z l i c h e M a t e r i a l z w a n g e s i n d m i t H o l z v e r b u n d e n , bei dem die M a s e r u n g s r i c h t u n g

in V e r b i n d u n g m i t der K r u m m u n g b e r i i c k s i c h t i g t w e r d e n muss. Fiir d o p p e l t

g e k r u m m t e O b e r t l a c h e n k a n n e n t w e d e r das M a t e r i a l aus e i n e m Block gefrast o d e r

M e t a l l b l e c h e k o n n e n in negativ u n d p o s i t i v g e f r a s t e n S t a h l p r e s s e n g e f o r m t w e r d e n .

G l a s s c h e i b e n k o n n e n iiber g e k r i i m m t e F o r m e n m i t H i t z e v e r f o r m t w e r d e n .

1m S c h i f f s b a u w e r d e n S t a h l p l a t t e n in e i n f a c h g e k r u m m t e Oberflachen g e r o l l t u n d

p a r t i e l l e r h i t z t , urn d o p p e l t g e k n l m m t e O b e r l i a c h e n zu p r o d u z i e r e n . Die m e i s t e n

H e r s t e l l u n g s v e r f a h r e n im C e b a u d e r n a f s t a b b e d u r t e n i m m e r n o c h m a n u e l l e r

U n t e r s t i i t z u n g , wei! es keine U n i v e r s a l m a s c h i n e n zur Glas- u n d S t a h l f o r m u n g gibt.

J e d o c h k o m m t d i g i t a l e I n f o r m a t i o n auch in den H y b r i d l o s u n g e n zur A n w e n d u n g .

W e r k z e u g e fiir die F o r m p r e s s e w e r d e n d i g i t a l e r r e c h n e t u n d C N C - g e f r a s t , u n d sogar

m a n u e l l e Prozesse b e d i e n e n sich d i g i t a l e r D a t e n als A n l e i t u n g u n d zur U b e r p r u t u n g

der Ergebnisse.

449

I m p l i k a t i o n e n fur die S t a n d a r d i s i e r u n g . M i t dem E i n s a t z d i g i t a l e r F a b r i k a t i o n

v e r s c h i e b t sich das K o n z e p t der S t a n d a r d i s i e r u n g . An die Stelle des V e r s t a n d n i sses

von S t a n d a r d s als V e r e i n b a r u n g e n b a s i e r e n d a u f D i m e n s i o n e n , d ie d u r c h F a b r i k a r i o n s ­

m e t h o d e n seit der industrie1len R e v o l u t i o n entwicke1t w u r d e n , t r e t e n S t a n d a r d s ,

b a s i e r e n d a u f sich a n p asse n d e n V e r b i n d u n g e n von B a u t e i l e n , D a Bauteile a u f B e d a r f

f a b r i z i e r t w e r d e n , k o n n e n D i m e n s i o n e n u n d G e o m e t r i e n an den E i n s a t z k o n t e x t

a n g e p a s s t w e r d e n .

Dies e r m o g l i c h t da s E r s e t z e n v o n d i m e n s i o n s b a s i e r t e n S t a n d a r d s d u r c h die

S t a n d a r d i s i e r u n g der Rege1n in i h r e n D i m e n s i o n e n var iabler , j e d o c h z u e i n a n d e r

p a s s e n d e r Bauteile (Abb . 12 .22) . S o l a n g e ein Bauteil m i t seinem N a c h b a r n

z u s a m m e n p a s s t , k o n n e n D i m e n s i o n e n frei a d j u s t i e r t w e r d e n , b a s i e r e n d a u f a n d e r e n

F a k t o r e n wie K r a f i v e r l a u f M a t e r i a l e i g e n s c h a f t e n u n d g e o m e t r i s c h e m Konrext,

450

Abb. 12.22Das Erzeugen von V e r b i n d u n g s d e t a i l sbasierend auf dem g e o m e t r ischenK o n t e x t fUr l a s e r g e s c h n i t t e n eK a r t o n s t r e i f e n ( P r o j e k t : Axel Kilian,1999, in AutoLISP p r o g r a m m i e r t undper Laser aus Karton g e s c h n i t t e n ) .

Z u s a m m e n b a uZusammenbau mit Verbindungen. Der Gebrauch von Verbindungselementen fur den

Zusammenbau hat eine lange Tradition, wie z.B. beim Gebrauch von Holz und

Merallnageln und auch Schrauben. Obwohl die Standardisierung von Verbindungs­

elementen und von Prazisionsfrasen zur Rationalisierung und besseren statischen

Berechenbarkeit von Bauteilgruppen gefiihrr hat, fiihrte diese Standardisierung auch zu

einer ubermaBigen Simplifizierung vieler Details.

Digitale Fabrikation erhoht die Prazision des Zusammenbaus, und oft ist keinerlei

Anpassung der Baureile notwendig. Dies gilt sowohl Rir Metalle als auch fur Holz.

Sowohl die Bauteilgeometrie als auch die Bohrungen fur Verbindungselemente konnen

prazise direkt von CAD-Daten gefrasr werden. Mit dem Gebrauch von Freiform­

geometrien gibt es weitere Moglichkeiten, traditionelle Verbindungstechniken aus dem

Holzbau wiederzubeleben, zum Beispiel durch die Verwendung von raumlich

verzahnren Teilen.

45 1

Z u s a m m e n b a u durch B a u t e i l g e o m e t r i e . D e r G e b r a u c h von g e o m e t r i s c h e n

K o n f i g u r a t i o n e n o h n e V e r b i n d u n g s e l e m e n t e hat eine n o c h langere T r a d i t i o n . Sie

s p a n n t sich von Web- u n d F l e c h t t e c h n i k e n bis zu T i s c h l e r e i v e r b i n d u n g e n u n d

S t e i n m e t z a r b e i r e n , bei den en die a u f e i n a n d e r a b g e s t i m m t e G e o m e t r i e Teile

z u s a m m e n h a l t . A u f l a n g e Sieht s c h e i n e n g e o m e t r i s c h e Gefiige eine langere

L e b e n s d a u e r zu h a b e n als Gefiige , die a u f zusatzliche V e r b i n d u n g e n o d e r

F i i l l m a t e r i a l i e n angewiesen sind .

Beispiele von H o l z v e r b i n d u n g e n lassen sich in j a p a n i s c h e n u n d c h i n e s i s c h e n T e m p e l n

finden, u n d einige Inkas b a u t e n m i t i n d i v i d u e l l i n e i n a n d e r gepassten S r e i n q u a d e r n ,

die iiber j a h r h u n d e r t e E r d b e b e n w i d e r s t a n d e n (Abb . 12.23). Die S t a n d a r d i s i e r u n g

von B a u t e i l e n , v o r a n g e t r i e b e n d u r c h die i n d u s t r i e l l e R e v o l u t i o n , hat zur

V e r e i n f a c h u n g der K o n s t r u k t i o n s g e o m e t r i e n zu G u n s t e n von p r e i s w e r t e n , sich

w i e d e r h o l e n d e n B a u t e i l e n b e i g e t r a g e n u n d h a n d w e r k l i c h a n g e f e r t i g t e komplexe

E i n z e l t e i l e v e r d r a n g t ,

In frei g e f o r m t e n G e o m e t r i e n h a b e n s t a n d a r d i s i e r t e Bauteile dagegen wenig Vorreile,

weil s r a n d a r d i s i e r r e Bauteile h i e r a u f w e n d i g angepasst w e r d e n miissen. D a m i t

r e d u z i e r t sich der Vorteil von S t a n d a r d i s i e r u n g iiber k o m p l e t t neu g e f e r t i g t e Bauteile,

u n t e r a n d e r e m auch d u r c h die Verfiigbarkeit von s c h n e l l e r e n u n d effektiveren

M a s c h i n e n (Abb . 12.6). Parallel dazu muss W i s s e n iiber die E n t w i c k l u n g v o n

k o m p l e x e n Gefiigen g e l e h r t w e r d e n . Es h a n d e l t sich h i e r b e i n i c h t urn das B e s c h w o r e n

der Riickkehr des t r a d i t i o n e l l e n H a n d w e r k s , s o n d e r n v i e l m e h r urn die W e r t s c h a t z u n g

der E r f a h r u n g , die in vielen t r a d i t i o n ellen V e r b i n d u n g s t e c h n i k e n s t e c k t (z .B.

j a p a n i s c h e s S c h r e i n e r h a n d w e r k ) .

E n t w i i r f e reagieren a u f viele A n f o r d e r u n g e n wie L a n g l e b i g k e i t , A s t h e t i k u n d

W i d e r s t a n d s f a h i g k e i t . M i t der E i n f i i h r u n g von f o r t g e s c h r i t t e n e n F a b r i k a t i o n s ­

t e c h n i k e n k o n n t e n einige der t r a d i t i o n e l l e n T e c h n i k e n in a n g e p a s s t e r Form in der

m a n u e l l e n A r b e i t d u r c h diese e r s e t z t w e r d e n (Abb. 12.24) .

---

r -

A b b . 1 2 . 2 3Komplexe G e o m e t r i e n haben schonlange eine Rolle im Bauwesen gespielt,sagar schon bei den S t e i n q u a d e r w a n d e nder I n k a . UnregelmaBig g e f o r m t e Fels­blocke m i n i m a l anzupassen, so dass siem i t ihren Nachbarn z u s a m m e n p a s s e n ,s c h a f f t e i n s g e s a m t einen stabilen Ver­band, der es v e r m o c h t e , Erdbeben undden Elementen fur J a h r h u n d e r t e zuw i d e r s t e h e n .

452

Abb. 1 2 . 2 4Ein Stuhl , zusammengesetzt aus unge­fahr 150 Teilen, geschnitten aus planarenSperrholzplatten. Form und Stabilttatwerden allein durch Verzahnung undohne Klebemittel erre icht. Aile Bauteilewerden allein durch die Verzahnung beimZusammenbau gekrOmmt gehalten, wasdurch den M a t e r i a l w i d e r s t a n d der Ge­s a m t s t e i f i g k e i t h i l f t und ein k o n t i n u i e r ­Iiches Erscheinungsbild erzeugt( A b b i l d u n g : B i l d r e c h t e FRAC C e n t e rMarseille, S t u h l e n t w u r f e x p e r i m e n t AxelKilian) .

R o b o t e r u n t e r s t i i t z t e r Z u s a m m e n b a u . In einem vorher ber eit s e r w a h n t e s Projekt

von Fabio G r a m a z i o u n d M a t t h i a s K o h l e r an der E T H Z u r i c h w u r d e der Einsatz

vo n R o b o t e r n stu d iert , urn S t a n d a r d b auteile in c o m p u t e r g e n e r i e r t en M u s t e r n zu

arrangieren. Die s ist eine intere ssante K o m b i n a t i o n von Basis- und H o c h t e c h n o l o g i e .

D as be s o n d e r e Er s c h e i n u n g sbild wird ohne Fra s a u f w a n d allein d u r c h das prazise

Setz en de r Baut eile e r r e i c h t .

M e h r kreative Varianten des Ein satzes von R o b o t e r t e c h n i k werden wohl mit der Z e i t

g esch affen werden. Friihere A n s t r e n g u n g en foku ss i e r t e n a u f das A u t o m a t isieren vo n

st a n d a r disi e rt en Bauprozessen , urn die Kosteneffizienz zu steigern . N u n ist es das Ziel ,

diese Technologie a u f k r e a t i v e A r t e i n z u s e t z e n , urn a r c h i t e k t o n i s c h e E n t w u r f e zu

realisieren, die vorher o h n e die se T e c h n o l o g i e u n d e n k b a r waren. O b w o h l m o m e n t a n

die B e t o n u n g a u f formalen A s p e k t e n liegt, werd en p erformative Aspekte z u n e h m e n d

wichtig werden. G e o m e t r i e kann auch hier einen w i c h t i g e n Beitrag leisten.

453

Anhang - G e o m e t r i s c h e G r u n d l a g e nIn diesem A n h a n g geben wir sowohl kurze u n d p r a g n a n t e B e s c h r e i b u n g e n einiger

g r u n d l e g e n d e r g e o m e t r i s c h e r K o n z e p t e als auch E r l a u t e r u n g e n zur im Buch verwende­

ten m a t h e m a t i s c h e n N o t a t i o n .

N o m e n k l a t u r

W i r b e z e i c h n e n Punkte mit kursiv geschriebenen, latei­

n i s c h e n GrolSbuchstaben, Geraden und Kurven mit kursiv

geschriebenen, l a t e i n i s c h e n K l e i n b u c h s t a b e n . Dabei ver­

w e n d e n wir in den meisten Fallen den ersten B u c h s t a b e n

T a n g e n t e

i A c h s e a

Ii M i t t e l p u n k t Ebene! --z L!/ r:M

des b e s c h r e i b e n d e n Namens . Zum Beispiel b e z e i c h n e n wir

einen P u n k t m i t dem B u c h s t a b e n P, eine Gerade mitg, eine

T a n g e n t e mit t und eine Achse m i t a.

1m d r e i d i m e n s i o n a l e n Raum h a b e n wir auch Ebenen und

allgemeine , k r u m m e Fldchen. Diese werden mit late in ischen

GrolSbuchstaben (kursiv gesetzt) oder griechischen Klein­

b u c h s t a b e n b e z e i c h n e t . Z u m Beispiel wird eine Ebene m i t

E oder E u n d eine Zylinderflache mit Z b e z e i c h n e t .

In Kapitel 7 (uber Kurven u n d Flachen) u n d in Kapitel 8

(uber F r e i f o r m k u r v e n ) b e z e i c h n e t der Buchstabe t den Para­

m e t e r . Urn in diesen K a p i t e l n Verwechslungen zwischen

P a r a m e t e r und T a n g e n t e zu vermeiden, b e z e i c h n e n wir d o r t

eine T a n g e n t e m i t dem GrolSbuchstaben T.

Als B e z e i c h n u n g fur eine Menge von P u n k r e n , die zu ein

und demselben g e o m e t r i s c h e n O b j e k t gehoren, v e r w e n d e n

wir den B u c h s t a b e n P z u s a m m e n mit einem Zdhlindex i,

den wir jeweils als Index h i n z u f i i g e n . Anstelle also P u n k t e

mit v e r s c h i e d e n e n B u c h s t a b e n P, {6 R zu b e z e i c h n e n ,

schreiben wir Po, PI> P 2 u n d so weiter. In der N o t a t i o n Pi

s t e h t P fur " P u n k t " und die kleine, tiefer gestellte Zahl i ist

der "Index" .

455

B o g e n m a 6

Ein Winkel a zwischen zwei Strecken, die einander in einem

Punkt P treffen, kann auch wie folgt gemessen werden:

Betrachten wir den Kreis k mit Mittelpunkt P und einem be­

liebigen Radius r. Der Winkel a bestimmt dann einen Bogen

auf dem Kreis k, dessen Lange wir s nennen. Dann ist das Ver­

haltnis a = s: r e i n Mag fur den Winkel (das so genannte

Bogenmaj!). Wir bemerken, dass dieses Verhaltnis nicht vom

Radius des Kreises abhangt. Ein Kreis vom Radius r besirzt

die Lange 2Jtr und daher hat ein Winkel von 360 Grad das

Bogenmaf 2Jt, ein Winkel von 90 Grad entspricht einem Bo­

genmag von n/2, und so weiter. Die Formel, die das Bogen­

mag a eines Winkels mit dem Wert aO in Grad in Verbin­

dungsetzt ist a = n . (ao/I80). Arbeiten wir mit orienrierten

Winkeln, dann hat das Bogenrnaf dasselbe Vorzeichen wie

fur die t positive und negative D r e h u n g erklart,

(;)1p

E b e n e n

Die analytische Darstellung von Ebenen im dreidirnensio ­

nalen Raum hat eine gewisse Ahnlichkeit zur Darstellungvon

t G e r a d e n , und daher empfehlen wir, die beiden Darstellun­

gen gemeinsam zu studieren. Eine Ebene e kann durch drei

Punkre P, 2 R aufgespannt werden, wenn diese ein Dreieck

bilden. Wirverwenden die Richtungsvekroren a = q - p und b

= r - p. Vielfache dieser Vektoren u . a und u- b sind parallel zur

selben Ebene, und daher ist x = P + u . a + o- b der Ortsvektor

eines PunktesX der Ebene. Damit erhaltenwir eine Parameter­

darstellung der Ebene. Die Parameter u und v sind reelle Zah­

len, die beliebig gewahlt werden konnen. Unterschiedliche

Parameter fiihren zu unterschiedlichen Punkten der Ebene.

Ein zur Ebene f normaler Vektor n kann mit HUfe des Kreuzpro ­

dukrs von a und b als n = ax b berechnet werden. Ein Orts­

vektor x beschreibt genau dann einen Punkt der Ebene E, wenn

der Vektor x - P normal zu n liege (d.h., das Skalarprodukt der

beiden Vektoren isr Null, n . (x - p) = 0). Damit erhalten w i t ne­

ben der obigen Parameterdarstellung auch eine implizite Glei­

chung, welche die Ebene E beschreibr, Als Beispiel berrachten w i t

eine Ebene mit dem Normalvektor n = (2 , -1, 3), die den Punkt

456

x = p + u · a + v ·b

9 1 und 9 2 sind p ar a ll e l

9 1 s c h n e i d e t 9 2 un d 9 3

ox = p + t · ( q - p )

P = (1, 0, 2) enthalt. Die implizite Gleichungerhalren wir dann

mit (2, - 1 , 3) · ( x - l , y , z - 2) = 0, d.h ., 2 x - Y + 3z - 8= 0. Aile

Punkte, deren Koordinaten (xJ',z) diese Gleichung erfiillen,

liegen in der Ebene E.

G e g e n s e i t i g e Lage von G e r a d e n

Im zweidimensionalen Raum sind Geraden enrweder zueinan­

der parallel oder einander schneidend. Im dreidimensionalen

Raum liegen zwei Geraden enrweder in derselben Ebene (also

sehneidend oder parallel) oder sie sind zueinander windschiif.

Im letzteren (allgemeinen) Fallliegen die beiden Geraden n i c h t

in einer gemeinsamen Ebene und bilden daher eine echte d u m ­

liehe Konfiguration.

G e r a d e n

Eine Gerade g kann mit Hilfe von zwei Punkren P und Q defi­

niert werden. Es seien P und q die Ortsvekroren dieser Punkre.

Dann ist v = q - P ein Riehtungsvektor dieser Geraden. Addie­

ren wir ein Vielfaehes t· (q - p) zu p , dann erhalten wir immer

den Ortsvekror x eines P u n k t e s X v o n g m i t x = P + t · ( q - p).

Wir n e n n e n x = P + t ·(q - p) o d e r x = p + t -v euvi Parameter­

darstellung der Geraden g und t einen Parameter. Versehiedene

Werte von t fuhren zu versehiedenen P u n k t e n auf der Geraden.

Falls t alle reellen Zahlen durchlaufi, dann erhalren wir die ge­

samte Gerade. Wir weisen auf den engen Zusammenhang zur

t l i n e a r e n I n t e r p o l a t i o n hin, denn es gilt: x = p + t · (q - p) =

(1 - t) . p + t· q. Diese Darstellung gilt im zwei- und im dreidi­

mensionalen Raum.

Im zweidimensionalen Raum gibt es noeh eine weitere Mag­

liehkeit, eine Gerade mathematiseh darzustellen. Gegeben ist n

= (nl>n2) alsein Normalvektorzum Riehtungsvektorv= (VVV2) '

Eine nahe liegende Wahl fur n ist z.B. n = (-V2,Vl)' Nun zeigt der

Ortsvekrorx auf einen Punkt X der Geraden g, wenn der Vektor

x - P ein Riehtungsvektor von g i s t (d.h., er ist normal zu n) .

Diese Tatsaehe kann mit Hilfe des Skalarprodukts formuliert

werden: n ' (x - p) = 0.

D a m i t erhalten wir eine implizite Gleichung einer Geraden .

Zum Beispiel s e i x = (xJ'),p = (1,2) u n d n = (3,-1). D a n n l a u t e t

die implizite Gleiehungder Geraden (3,-1) ' (x - IJ' - 2) = 0,

457

oder g l e i c h b e d e u t e n d 3· (x - 1) + (-1)· (y - 2) = O. Lerztere

Gleichung kann noch zu 3x - y - 1 = 0 vereinfacht werden,

W i r e r i n n e m daran, dass d ie Gerade g aus jenen P u n k t e n (xJ')

bestehr , welche diese Gleichung e r fiillen.

G r u n d l e g e n d e O p e r a t i o n e n m i t V e k t o r e n

D ie Addition zweier t V e k t o r e n a und b ergibr einen weiteren

Vektor c = a + b. Dieser entsteht, indem wir einen Vektor mit

seinem A n f a n g s p u n k t an den E n d p u n k t des anderen Vekrors

anhangen (Parallelogrammregel). Sind die K o o r d i n a t e n der

beiden Vektoren a = (a,,tlZ,tl3) und b = (b 1 ,b z,b 3) , dann hat der

S u m m e n v e k t o r die K o o r d i n a t e n c = (a, + b"az + bZ,a3 + b 3) .

DieMultiplikation eines Vekrors a = (a"aZ,a3) mit einer reellen

Zahl t ergibt wieder einen Vekror t - « = (t 'a" t'a z, t'a3) ' Das

heiSt , der urspriingliche Vekror wird mit dem Faktor t skaliert .

M u l t i p l i k a t i o n m i t e i n e r n e g a t i v e n Z a h l t andere die O r i e n ­

t i e r u n g des Vektors. N a c h d e m die A d d i t i o n zweier Vekro­

ren u n d die M u l t i p l i k a t i o n eines Vektors m i t einer Z a h l der

g e w o h n l i c h e n A d d i t i o n u n d M u l r i p l i k a t i o n der e i n z e l n e n

K o o r d i n a t e n e n t s p r e c h e n , g e l t e n auch b e k a n n t e Regeln wie

t ·(a + b ) = t 'a + t · b und (s + t)·a = s ' a + t·a.

I n t e r p o l a t i o n

Gegeben sei eine Folge von P u n k t e n . Das Ziel der i n t e r p o l a ­

tion ist es, eine Kurve zu Iinden, die alle gegebenen P u n k t e

e n t h a l t . Im A l l g e m e i n e n gibt es fur dieses Problem viele ver­

s c h i e d e n e Losungen, u n d wir miissen eine geeignete auswah­

len. Ein Spezialfall der I n t e r p o l a t i o n ist die t l i n e a r e I n t e r p o ­

l a t i o n , die zwei P u n k t e mit Hilfe einer G e r a d e n v e r b i n d e t .

gegebene P u n k t m e n g e i n t e r p o l i e r e n d e Kurveweitere i n t e r p o l i e r e n d eKurven

458

K o l l i n e a r

P u n k t e heiBen kollinear , w e n n sie aIle a u f ein u n d d e r s e l b e n

G e r a d e n liegen.

K o m p l e x e Z a h l e n

Eine komplexe Z a h l ist e in A u s d r u c k der Form a + b ·i.

Dabei ist i die imaginare Einheit , welche die Regel [1 = -1 er­

mIlt. a und b sind reelle Zahlen . W i r nennen a den Realteil und

b den Imaginart eil der komplexen Zahl. Komplexe Zahlen, de­

ren Imaginarteil gleich Null ist, sind reelle Zahlen . W i r konnen

komplexe Zahlen wie gewohnliche Terme addieren und multi­

plizieren, miissen dabei aber die Regel [1 = -1 beachten .

Z u m Beispiel : (3 + 2i) ·(1 - i) = 3 + 2i - 3i - 2[1= 3 + 2 i ­

3i - 2· (-1) = 5 - i .

Komplexe Z a h l e n k o n n e n als t O r t s v e k t o r e n von P u n k t e n

der Ebene ( d a n n Gauj1sche Ebene g e n a n n t ) angesehen wer­

den. D a b e i w e r d e n a u f der x-Achse der Realteil u n d a u f der

y -Achse der I m a g i n a r t e i l als K o o r d i n a t e n a u f g e t r a g e n . D e r

Betrag einer k o m p l exen Z a h l z ist als d ie Lange des z u g e h o ­

r igen O r t s v e k t o r s d e f i n i e r t . D e r Betrag wird m i t Hilfe des

t S a t z e s v o n P y t h a g o r a s als Izi = ";a 2 + b 2 b e r e c h n e t ,

Das Argument von z = arctan (b / a) ist der W i n k e l zwischen

der o r i e n t i e r t e n x-Achse u n d dem O r t s v e k t o r , Die konju ­

giert komplex e Zahl der komplexen Z a h l z = a + b - i ist als

Z = a - b . i d e f i n i e r t . Die beiden P u n k t e z u n d z liegen sym­m e t r i s c h zur x-Achse .

Beispiel: D ie komplexe Z a h l z, = 3 + 4i hat den Realteil 3

u n d den I r n a g i n a r t e i l - i . D e r Betrag ist 5 = ";3 2 + 4 2 u n d das

A r g u m e n t ist a r c t a n ( 4 / 3 ) , also u n g e f a h r 53,13°.

Die k o n j u g iert komplexe Z a h l von z, ist Zl = 3 - 4i.

y

x

K o o r d i n a t e n e i n e s V e k t o r s

Ein t V e k t o r a, aufgefasst als Ortsvektor, zeigt vom U r s p r u n g

a u f einen P u n k r m i t gewissen K o o r d i n a t e n (al> a2, a3)' Das

sind d a n n auch die K o o r d i n a t e n des Vektors a. Ein Rich­

tungsvektor k a n n seinen A n f a n g s p u n k t in einem b e l i e b i g e n

P u n k r ( v e r s c h i e d e n vom U r s p r u n g ) haben. Z u r Bestim­

m u n g seiner K o o r d i n a t e n v e r s c h i e b e n wir den R i c h t u n g s ­

v e k t o r so , dass sein A n f a n g s p u n k t im U r s p r u n g zu liegen

459

k o m m t . D a m i t k o n n e n seine K o o r d i n a t e n w i e d e r als Koor­

d i n a t e n der n e u e n E n d p u n k t p o s i t i o n abgelesen w e r d e n

(gleich wie beim O r t s v e k r o r ) . Klarerweise hat ein Vektor im

z w e i d i m e n s i o n a l e n Raum n u r zwei K o o r d i n a t e n .

K o p l a n a r

G e o m e t r i s c h e O b j e k t e w ie P u n k t e , G e r a d e n u n d Kurven

h e i l l e n koplanar, falls sie in d e r s e l b e n Ebene liegen.

K r e u z p r o d u k t z w e i e r V e k t o r e n

Im d r e i d i m e n s i o n a l e n Raum ist das K r e u z p r o d u k t zweier

t V e k t o r e n a u n d b wieder ein Vektor c = a x b . D ieser stehr

a u f beide Vektoren a u n d b n o r m a l . Das K r e u z p r o d u k t von

a = (aJ, aZ, a 3) u n d b = (bJ, b 2 , b 3) kann wie folgt b e r e c h n e t

werden :

c = (CJ,C2,C3)

= (a2' b 3 - a3 ' b 2, a3' b, - al ' b 3, al ' b 2 - a 2' bl)'

W i r b e m e r k e n , das s das K r e u z p r o d u k t zweier Vektoren wie­

der e i n e n Vektor ergibt, w a h r e n d das t S k a l a r p r o d u k tzweier Vektoren eine reelle Z a h l als E r g e b n is l i e f e r t .

L a n g e ( N o r m ) e i n e s V e k t o r s

B e t r a c h t e n wir einen Vekror als Pfeil , d a n n ist die Lange die­

ses pfeils die Lange ( o d e r Norm) des z u g e h o r igen Vektors ,

Ein Vektor a = (aJ, a 2, a 3) hat die Lange Iiall = val + ar + as .

L i n e a r e I n t e r p o l a t i o n

Gegeben sind zwei Punkte P und Q W i r wollen einen P u n k t R

bestirnmen, der P und Q i n t e r p o l i e r t und dabei die Strecke PQ

in einem gewissen Teilverhaltnis dist(P,R):dist(R,Q) = a :b

teilt, D a m i t gilt auch dist(P,R): dist(P,Q) = a: (a t b) u n d

wir finden die t O r t s v e k t o r e n p , q u n d r der b e t e i l i g t e n

P u n k t e als

r = p t a / ( a t b ) . ( q - p )

= ( 1 - a/( a t b)).p t a /(a t b) .q.

B e z e i c h n e n wir den B r u c h a/(a t b) mit dem B u c h s t a b e n t,

d a n n k o n n en wir die o b i g e n G l e i c h u n g auch wie folgt

s c h r e i b e n :

r = ( 1 - t ) . p t t . q .

460

Q

p

Urn anzudeuten, dass der Punkt R vom Parameter t abhangt,

schreiben wir oft R(t) statt R. Daher erhalten wir

r(t) = (1 - t) .p + r-q, (1)

n

Nimmt der Parameter t alle reellen Zahlen an , dann be­

schreibt R(t) die gesamte Gerade durch die beiden Punkt e P

und Q Die Gleichung (1) enthalt nur lineare Funktionen

von t, und daher bezeichnen wir diese Interpolation als lineare

Interpolation . Wir b emerken, dass fur Parameterwerte t im In­

tervall [0,1] genau die Strecke zwischen P (t = 0) u n d Q (t = 1)

beschrieben wird.

N o r m a l e einer Ebene

Die Normale einer Ebene e (oder einer ebenen polygonalen

Facette) ist jene Gerade, welche orthogonal auf alle Geraden

der Ebene e stehr , Die Richtung der Normalen n kann mit

Hilfe des t K r e u z p r o d u k t s zweier, zu e paralleler Vektoren

berechnet werden.

N u l l v e k t o r

Der Nullvektor ist der eindeutige Vektor, dessen Koordina ­

ten alle gleich ° sind (Anfangs- und Endpunkt fallen zusam­men) . Der Nullvektor im dreidimensionalen Raum ist

0 = ( 0 , 0 , 0 ) . Als [ O r t s v e k t o r stellt er den Ursprung 0 dar.

O r t s v e k t o r

Ein Ort svektorp ist ein t Vektor, der die Position eines Punk­

tes P relativ zum Ursprung beschreibr . Sein Anfangspunkt ist

der Ursprung und sein Endpunkt der Punkr P. Die Koordina­

ten des Ortsvektors p sind diesel ben wie jene des Punktes P.

A

D

B

c

P a r a l l e l o g r a m m

Ein Parallelogramm ist ein ebenes Viereck, bei dem gegen­

iiberliegende Seiten zueinander parallel sind. Daher sind

gegeniiberliegende Seiten auch gleich lang und gegeniiber­

liegende Winkel gleich groB.

461

p '

L - - _ - - - c

A

E

e

r e g u l a res FOnfeck

Q4

Ecken

r e q u l s r e s S e c h s e c k

p s

R e g u l a r e s o d e r regelmalliges P o l y g o n

Eine geschlossenes Polygon ist r e g u l a r (d.h., ein regulares n­

Eck), falls alle n Ecken a u f e i n e m Kreis liegen u n d benach­

b a r t e Ecken vorn K r e i s m i t t e l p u n k t aus jeweils u n t e r einem

W i n k e l von 360/n G r a d gesehen w e r d e n . D a h e r sind alle n

K a m e n gleich lang. D e r Innenwinkel eine s r e g u l a r e n n-Ecks

b e r r a g t 180'(n - 2)/n G r a d .

Positive u n d negative D r e h u n g

In zwei D i m e n s i o n e n e r f o l g t eine mathematisch positive

D r e h u n g gegen den U h r z e i g e r s i n n - u n d eine mathematisch

negative D r e h u n g im U h r z e i g e r s i n n .

R i c h t u n g s v e k t o r

Ein R i c h t u n g s v e k t o r kann als Pfeil veranschaulicht werden,

der in beliebige andere Positionen verschoben werden kann

(lauter parallele, gleich lange und gleich orientierte Pfeile).

Sein A n f a n g s p u n k t kann ein beliebiger P u n k t sein. Aus dem

Z u s a m m e n h a n g wird immer sofort klar sein, ob ein Vekror als

[ O r t s v e k r o r (cines Punkre s) oder als R i c h t u n g s v e k t o r (einer

Geraden) verwendet wird. Der Richtungsvekror v, der die

Punkte mit den Ortsvekroren a = (a I> aZ, a 3) und b = (bl> b 2 , b 3)

verbindet, isr der V e k t o r v = b - a = (b 1 - al> b 2- a 2, b 3 - a 3)'

P o l y g o n und P o l y l i n i e

Ein Polygon ( o d e r eine Polylini e) ist eine Figur, die aus l a u t e r

z u s a m r n e n h a n g e n d e n Strecken bestehr, die Kanten g e n a n m

werden. B e n a c h b a r t e K a m e n treffen sich in P u n k t e n , die

Ecken heiBen. W i r v e r w e n d e n den Begriff Polygon fur eine

geschlossene Figur u n d a n s o n s t e n den Begriff Polylinie.

A l l e r d i n g s k o n n e n wir diese Regel n i c h t vollig k o n s e q u e n t

a n w e n d e n , d e n n ein Kontrollpolygon (ein S t a n d a r d b e g r i f f

im g e o m e t r i s c h e n D e s i g n ) muss n i c h t geschlossen sein.

462

S a t z v o n P y t h a g o r a s

Der Satz von Pythagoras b e s c h r e i b t einen Z u s a m m e n h a n g

zwischen den drei Seiten eines r e c h t w i n k e l i g e n Dreiecks.

W i r b e z e i c h n e n mit ( d i e Lange der langsten Seite (der so ge­

n a n n t e n H y p o t e n u s e , die dem rechten W i n k e l gegeniiber­

liegt), u n d wir bezeichnen mit a u n d b die Langen der beiden

and eren Seiten (der so g e n a n n t e n K a t h e t e n , die den rechten

W i n k e l elnschl ieiien) . D a n n gilt fur diese drei Langen

a 2 + b 2 = ( 2 .

S a t z v o n T h a l e s

V e r b i n d e n wir die b e i d e n D u r c h m e s s e r e n d p u n k t e R u n d S

eines Kreises m i t einem beliebigen w e i t e r e n P u n k t P des

Kreises, d a n n e r h a l t e n wir zwei z u e i n a n d e r o r t h o g o n a l lie­

gende G e r a d e n . U m g e k e h r t ist die Menge aller P u n k t e P,

deren V e r b i n d u n g s l i n i e n m i t zwei festen P u n k t e n R u n d S

z u e i n a n d e r o r t h o g o n a l st eh en , einen Krei s. Sein M i t t e l ­

p u n k t ist der M i t t e l p u n k t der Strecke RS .

S k a l a r p r o d u k t z w e i e r V e k t o r e n

Das S k a l a r p r o d u k t ( i n n e r e P r o d u k t ) zweier t V e k t o r e n

a = (a l> az, a3) u n d b = (bl> b z , b 3) ist eine Zahl, die wie folgt

b e r e c h n e t wird:

a ' b = al -b, + az 'b z + a3 · b 3 .

S c h l i e f e n zwei Vektoren a u n d b m i t den t L a n g e n Iiall

bzw. IIbll einen W i n k e l a ein, d a n n erfiillt das S k a l a r p r o ­

dukt

a -b =llall · l l b l l · c o s ( a ) .

D e r W i n k e l zwischen zwei o r t h o g o n a l e n Vektoren a u n d b

ist a = 90°. Weil cos (90°) = 0 gilt, folgt, dass das S k a l a r p r o ­

d u k t zweier o r t h o g o n a l e r Vektoren gleich N u l l ist ,

463

V e k t o r

W i r v e r a n s c h a u l i c h e n e i n e n V e k t o r als Pfeil v o n e i n e m

A n f a n g s p u n k t zu e i n e m E n d p u n k t . Fallt d e r A n f a n g s p u n k t

m i t d e m U r s p r u n g des z u g r u n d e l i e g e n d e n K o o r d i n a t e n ­

s y s t e m s z u s a m m e n , d a n n k o n n e n w i r d e n Vektor a u c h

v e r w e n d e n , urn d e n E n d p u n k t P zu b e s c h r e i b e n . W i r spre­

chen d a n n von e i n e m O r t s v e k t o r p (siehe auch i K o o r d i n a t e ne i n e s V e k t o r s u n d i R i c h t u n g s v e k t o r ) . Im B u c h w e r d e n

V e k t o r e n m i t f e t t e r S c h r i f t h e r v o r g e h o b e n .

L i s t e v o n S y m b o l e n

E E l e m e n t v o n

$

nu\

<

>

0 0

[a,b]

(a,b)

[a,b)

IxlV

a · b

Ilvll1',1",f

464

k e i n E l e m e n t v o n

D u r c h s c h n i t t

V e r e i n i g u n g

D i f f e r e n z v o n M e n g e n : A \ B e n t h a l t alle E l e m e n t e v o n A, die n i c h t in B e n t h a l t e n s i n d

k l e i n e r als

g r o B e r als

k l e i n e r o d e r g l e i c h

g r o B e r o d e r g l e i c h

u n e n d l i c h

a b g e s c h l o s s e n e s I n t e r v a l ] : die M e n g e aller r e e l l e n Z a h l e n x z w i s c h e n a u n d b, i n k l u s i v e a u n d b

o f f e n e s I n t e r v a l l : die M e n g e aller r e e l l e n Z a h l e n x z w i s c h e n a u n d b, o h n e a u n d b

h a l b o f f e n e s I n t e r v a l l : die M e n g e aller r e e l l e n Z a h l e n x, die a s x < b e r f i i l l e n

A b s o l u t b e t r a g e i n e r r e e l l e n Z a h l x ( e n t i e r n t ein r n o g l i c h c r w e i s e v o r h a n d e n e s M i n u s z e i c h e n )

Q u a d r a t w u r z c l

K r e u z p r o d u k t z w e i e r V e k t o r e n a u n d b

L a n g e eines V e k t o r s v

erste u n d z w e i t e A b l e i t u n g e i n e r F u n k t i o n II n t e g r a l

L i t e r a t u rBucher

Elam, K. 2001. G eometry of De sign . Princeton Architectural Press.

Ernst, B. 1994. D er Zauberspiegel des M C E scher . Taschen Verlag .

Farin, G . 1994. Kurven und Fldcben im Computer Aided Geom etric D esign - Eine

praktisch e E infthrung. Vieweg, 2. Auflage.

Gray, A . 1994. DiJfirentialgeometrie - Klassische Theorie in moderner Darstellung.

Spektrum Akademischer Verlag.

Hilbert , D. und Cohn-Vossen, S. 1996. Anschaul iche Geometri e. Springer, 2. Auflage .

Hofsraedter, D. R. 1995. Godel, Escher, Bach - ei n Endloses Geflochtenes Band. Klett­

Cotta, 14. Auflage.

]odidio, P. , editor, 2001-2009. Architecture Now, Volumes 1-6, Taschen.

Klein, R. 2005. Algorithmische Geometrie - Grundlagen , Methoden, Anwendungen .

Springer, 2. Auflage.

Mitchell, D . 1999. Mathematical Origam i - Geometrical shapes by paperfolding.

Tarquin Publications .

Naredi -Rainer , P. 1995. Architektur & Harmonie - Zabl, M a j und Proportion in der

abendl dndiscben Baukunst. Dumont Buchverlag Koln, 4 ., iiberarbeitete Auflage.

Pillwein, G., Asperl, A ., Wischounig, M . und Miillner, R. 2006. Raumgeometrie

- Konstru ieren und Visualisieren. bBV.Verlag

Porrmann, H ., Asperl, A ., Hofer, M. and Kilian, A. 2007. Architectural Geometry .

Bentley Institute Press .

Prina, F. and Demartini, E. 2006. 1000 Years o/World Architecture- An Illustrated

Guide. Thames & Hudson.

Spuybroek, L. 2004. NOX: Machining Architecture. Thames & Hudson .

Weyl, H. 1981. Symmetrie. Birkhauser, 2. Auflage.

465

S o n s t i g e P u b l i k a t i o n e n

Botsch, M., Pauly, M., Kobbelt, L., Alliez, P., Levy, B., Bischoff: S. and Roessl, C.

2008. Geometric Modeling Basedon Polygonal Meshes. Eurographics Tutorial Notes,

Eurographics 2008, Crete, Greece.

Liu, Y., Pottmann, H., Wallner, H., Yang, Y.-L. and Wang, W. 2006. Geometric

modeling with conical meshes and developable surfaces. ACM Transactions on Graphics,

Vol. 25, No.3, 681-689.

Pottmann, H., Liu, Y., Wallner,]., Bobenko, A. and Wang, W. 2007. Geometry o f

multi-layer freeflrm structures f l r architecture. ACM Transactions on Graphics, Vol.

26, No.3, Article 65.

Pottrnann, H., Kilian, A. and Hofer, M., editors, 2008. Advances in Architectural

Geometry. Conference Proceedings, Vienna.

Pottrnann, H., Schiftner, A., Bo, P., Schmiedhofer, H., Wang, W., Baldassini, N. and

Wallner, J. 2008. Freeform surfaces from single curved panels. A e M Transactions on

Graphics, Vol. 27, No.3, Article 76.

Shelden, D. 2002. Digital surface representation and the constructability ofGehry's

architecture. PhD thesis, M.LT.

466

I n d e x

BBewegung 189ff, 413ffBezier-Flache 365ffBezier-Kurve 259ff- Grad einer 267- kubische 260- quadratische 265Binormale 229Bohrloch-Feature 128Boolesche Operation I l I f fBrennpunkt 2 0 7 , 2 3 2 , 2 3 4 , 2 3 5B-Spline-Flache 377ffB-Spline-Kurve 269ff- geschlos sene 272- Grad einer 270- offene 27- rationale 275ff

FFadenkonstruktion 236Fangfunktion 12Farbe ISFase 132Feature-basiertes Modellieren 125ff

95ff379276

145,1 7687ff54

221,241 , 4 4 21731

22937

365ff377ff289ff361ff

19 , 3 4 5 , 5 3 9377

341ff237

311ff, 370, 634329,345 , 3 5 1 , 4 7 8 , 5 5 7

305ff, 365, 557,636322ff,550

397ff1 9 , 3 4 4 , 5 3 6

7241241

228,492 ,50115638

s88ff361ff255ff580

229,422

Fibonacci-Spirale 87, 88Flache 237ff- abwickelbare322, 428, 498, 533ff, 634- Bezier-- B-Spline -- Dreh-- Freiform-- Kegel-- N U RBS-- Offset-- parametrisierte- Regel -- Rohr-- Schieb-- Schraub-- Unterteilungs-- Zylinder -FlachenrnodellFlachennorrnaleF l a c h e n t a n g e n t eFlachpunktFlieseF l u c h t p u n k tFrasenFreiformflacheFreiformkurveFreiheitsgradFrenet-Basis

GG e o d a r i s c h e Kuppelgeschlossener ModusGewichtGleitspiegelunggoldener SchnittGouraud -SchattierungGraphGroBkreisGrundriss

HHauptnormaleHauptpunkt

352ff260113ff577

386,426, 671ff22680ff93

101, 17715

289ff, 342315299

143, 172143, 172388,675

113ff

Dachausmittlungde-Casteljau-AlgorithmusDifferenzdigitale Fabrikationdiskrere Flachediskrete KurveDodekaeder- abgestumpftes- R h o m b e n -DrahrgirtermodellDrehflacheDrehhyperboloidDrehquadrikDrehungDrehwinkelDreiecksnetzDurchschnitt

EEcke 381, 385- irregulare 387- regulare 387,388Eckenpyramide 81Ecken-Abschneiden 9 1 , 2 6 2 , 2 8 0Einheit skugel 17Einheitskugel 17Ellipse 207,231,278,336 ,356 ,419,549Ellipsoid 197Elliptischer Flachenpunkt 243, 491Erzeugende 11, 19, 311- n i c h t - r o r s a l e 321- torsale 321Eulersche Polyederformel 85, 521ffEvolute 228,33 7 , 4 2 5 , 5 4 8explizite Darstellung 221, 241Extrusion 7

573

281, 399156

569ff

132ff, 351322 , 4 2 8 , 4 9 8 ,

533ff, 634195ff

149,1961961899425691ff225

207,2343236

57ff30

o3-D-Drucker

AAbrundungabwickelbare Flache

Affine TransformationAhnlichkeit- zentrischeAnimationAntiprismaApproximationArchimedischer K e r p e rAstroideAsymptoteAufrissAugpunktAxonometrieAxonometrischer Riss

CChaikin- AlgorithmusC-LinieCNC-Maschine

467

Horizont 37 - Zylinder- 11 Material 15HP-FHiche 310, 316ft: 346, 370 Koordinatensystem 5 Meridian 19Hyperbel 2 0 7 , 2 3 4 , 2 7 8 - globales 8 Meridiankurve 2 8 9 , 3 2 4hyperbolischer Flachenpunkt 243, 491 - kartesisches 5 Mobiusband 3 1 4 , 4 3 0 , 5 2 0hyperbolisches Paraboloid 3 0 9 , 3 4 6 , - linkshandiges 6370,681 -lokales 8 NHyperboloid 297 - polares 10 Netz 371ff

- r e c h t s h a n d i g e s 5 - dezimierung 3 9 3 , 6 2 2I - zylindrisches 11 - Dreiecks- 388Ikosaeder 80ft: 97ff Kreuzriss 32 - Sechsecks- 3 8 9 , 7 0 5Ikosidodekaeder 92 Kriimmung 2 2 7 , 4 8 7 - verfeinerung 390implizite Darstellung 222, 241, 441ft: Kriimmungskreis 227 - Vierecks- 387444 Kriimmungsradius 227 Normalprojektion 31Interpolation 2 5 6 , 3 8 0 K u b o k t a e d e r 92 NURBS-Flache 377

Kugel 17 - Gewicht einer 276K Kugeltlache 17 NURBS-Kurve 275ffKamerastandpunkt 37 Kugelkoordinaten 18Kamerazielpunkt 37 Kurve 217ff 0K a n t e 381, 385 - diskrete 226 offener Modus 379Kartesische Koordinaten 5 - kubische 2 2 0 , 2 5 0 Offset 333ft: 546Kegel 19 - Offset- 335ff - diskretes 349- Dreh- 1 9 , 2 0 , 2 0 8 , 5 4 0 - parameter 238 - Hache 341ff- Hache 1 9 , 3 4 5 , 3 7 1 , 5 3 9 - parametrisierte 218 - getrimmtes 348Kegelschnitt 207, 208, 2 3 1 f t 248, - Polynom- 219 - kurve 3 3 5 f t 548

2 7 8 , 3 0 2 - 3 0 4 - rationale 221 O k t a e d e r 80ffKleinkreis 17 - abgestumpftes 93kongruent 141 L optische Achse 37- gegensinnig 142 Lane- Riesenfeld- Algorithmus 282- gleichsinnig 142 Layer 15 PKongruenztransformation 141ff Leitkurve 312 Parabel 2 0 7 , 2 2 0 , 2 3 5 , 2 6 6 , 2 7 8 , 3 7 2K o n n e k t i v i t a t 384 Leitlinie 235 Parabolischer Flachenpunkt 2 4 3 , 4 9 2Konoid 3 1 3 , 3 1 9 Licht Paraboloid 300,373konstante Schattierung 5 2 , 5 4 - Blitz- 51 - Dreh- 3 0 0 , 3 0 8Kontrollpolygon 256 - e n t f e m t e s 49 - elliptisches 301,308Kontrollpunkt 256 - Flachen- 50 - hyperbolisches 3 0 9 , 3 4 6 , 3 7 0 , 6 8 1Kontur 243 - Linien- 50 Parallelkreis 289konvex 79 - Punkt- 49 Parameterdarstellung 2 1 8 , 2 3 7konvexe Hiille 264 - Umgebungs- 51 Parametrisierung 218,238Konvexe- Hiille- Eigenschaft 264 - quelle 49 pfad 190,415Koordinaten lineare Transformation 201 PHasterung 151ff- kartesische 5 Phong-Schattierung 52,54- Kugel- 18 M Platonischer K e r p e r 80ff- Polar- 10 Masche 3 8 1 , 3 8 5 Polarkoordinaten 10

468

Polyeder 73ff Schiebung 143,172 Vpolyedrische FHiche 73ft: 103ff Schliisselbilder 190 Valenz 387Polygon 7 Schmiegebene 226,559 Vereinigung 113ffPolylinie 7 Schnittdarstellung 61 V e r r u n d u n g s t l a c h e 1 3 4 , 3 5 1 , 3 7 6 , 6 3 2Polynomkurve 219 Schnittkurve 118, 123, 245ff Vierecksnetz 3 8 7 , 3 9 1 , 4 0 5 , 4 3 2 , 677ffPrisma 7 , 7 6 , 9 4 Schraubachse 183 Volumenmodell 7Projektion 25ff Schraubbewegung 184ff Vorsprung- Feature 130- auf eine Flache 120, 121 Schraubflache 322ft: 550- auf eine Zylinderflache 66 Schraublinie 1 8 4 , 2 2 5 , 5 3 7 W- nicht-lineare 65ff Schraubparameter 184 Wendelflache 326,651- Normal- 31 Schraubung 181ff Wendepunkt 228- Parallel- 27ft: 57ff Sechsecksnetz 389 Wiirfel 80ff- perspektive 35ff Sehkegel 43 Wiirfel, abgestumpfter 93- s p h a r i s c h e 67 Sehpyramide 43- stereographische 6 8 , 4 7 6 , 4 9 7 S i c h t b a r k e i t 59 Z- Zentral- 2 7 , 3 5 f f s i n g u l a r e r Punkt 2 2 5 , 2 4 2 , 2 9 1 Zapfen-Feature 130Punktlicht 49 Skalierung 149,196 Zeilenpolygon 367Pyramide 8,75 - allgemeine 196 Zusammenbau 595ff

Skalierungsfaktor 196 ZylinderQ Spaltenpolygon 366 - Dreh- 11,537Q u a d e r 6 Spiegelung 144,174 - Hache 1 9 , 3 4 4 , 3 7 1 , 5 3 6Q u a d r i k 299ff Spiralbewegung 199 - koordinaten 11

Spiralung 199R Spitze 3 3 7 , 4 2 0 , 4 2 5Radiosity 56 Spline 256Rapid Manufacturing 576 Splitten 117ffRapid Proto typing 575ff Stitch-Operation 119rationale Kurve 221Raytracing 52,56 TRegelflache 311ft: 370, 634 Tangente 224r e g u l a r e r P u n k t 225 T a n g c n t c n f l a c h e 2 4 0 , 5 4 4rektifizierende Ebene 230,558 T a n g e n t i a l f l a c h e 241Relaxation 3 9 4 , 6 2 2 , 6 6 3 Tetraeder 80ffrendern 1 5 , 5 2 f f Textur 15,479R o b o t e r f r a s e n 589 T-Linie 156Rohrflache 3 2 9 , 3 4 5 , 3 5 1 , 4 7 8 , 5 5 7 Torus 294Rotationsachse 174 Trimmen 117ft: 347ff

S UScheitel 228 Umriss 243,338Scherung 1 5 0 , 1 9 8 , 4 6 4 Unterteilung 2 6 2 , 3 9 7 , 5 4 2 , 6 8 4s c h i c h t b a s i e r t e Fabrikation 583ff Un terteilungsflache 397ffSchiebflache 305f( 365, 557, 636 Unterteilungskurve 279ff

469

B i l d n a c h w e i sS e i t e 3 - 4 / A b b . 1.1 - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von G e h r y P a r t n e r s , LLP; S e i t e 19 / A b b . 1 . 2 2 - m i t f r e u n d l i c h e r

G e n e h m i g u n g von G o o g l e E a r t h " M a p p i n g Service; S e i t e 20 / A b b , 1 . 2 5 - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von T a m a r a

Weikel / L i f e as A r t ; S e i t e 21 / A b b . 1 . 2 6 a - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von M a r c u s T s c h a u t : S e i t e 21 / A b b . 1 . 2 6 b ­

m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von Jens S h a u m a n n ; S e i t e 21 / A b b . 1 . 2 6 e - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von Seb a s t i a n

S c h u b a n z ; S e i t e 2 5 / A b b . 2.1 - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von T h e Tru stees o f the B r i t i s h M u s e u m ; S e i t e 2 8 / Abb,

2.5 - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von C h i a -yao T sao; S e i t e 2 9 / A b b . 2 . 6 - Moe. Escher's " A s c e n d i n g and D e s c e n d i n g " ©

2 0 0 7 T h e M . e . Escher C o m p a n y - H o l l a n d . All R i g h t s R e s e r v e d . w w w . m c e s c h e r .com ; S e i t e 30 / A b b . 2 . 9 v e r l i e f - m i t

f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von G u s t a v P e i c h l u n d © VBK W i e n , 2 0 1 0 ; S e i t e 30 / A b b . 2 . 9 r i e h t i g - m i t f r e u n d l i c h e r

G e n e h m i g u n g von Max Risselada and D i c k van G a m e r e n , o r i g i n a l l y p u b l i s h e d in " R a u m p l a n Versus Plan Libre " by D e l f t

U n i v e r s i t y Press , 1988; S e i r e 34 / A b b . 2 . 1 4 S p i t z e - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von Paul M o o d y ; S e i t e 34 / A b b . 2 . 1 4

B o d e n - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von M a t t h e w Buckley; S e i t e 44 / A b b . 2 . 2 4 a - m it f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von

G r a e m e P a r k e r w w w . d i g i - s r u d i o . c o .uk, S e i t e 45 / A b b . 2 . 2 4 e - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von Lars K r i s t e n s e n ; S e i t e 56

/ A b b . 2 . 3 7 - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von A l e x a n d e r W i l k i e u n d A n d r e a s W i e l a n d ; S e i t e 6 4 / A b b . 2 . 4 6 - m i t

f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von D aniel von C h a r m i e r ; S e i t e 66 / Abb. 2 . 4 8 - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von D a n i e l

von C h a r m i e r ; S e i t e 7 1 / Abb. 2 . 5 4 - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von F o t o S t u d i o U l r i c h G h e z z i , O b e r a l m © 2 0 0 7

R e s i d e n z g a l e r i e S a l z b u r g ; S e i t e 71 / A b b . 2 . 5 4 b - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von G e o r g G l a e s e r , W i e n ; S e i t e 75 / A b b .

3.1 l i n k s - m it f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von B a r t van den Berg ; S e i t e 7 5 / A b b . 3.1 r e e h t s - m i t f r e u n d l i c h e r

G e n e h m i g u n g von W a a g n e r -Biro S t a h l b a u AG ; S e i t e 7 6 / A b b . 3 . 2 e - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von B r u n o K l o m f a r ;

S e i t e 7 6 / A b b . 3 . 2 d - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von J e r o e n Mu sch; S e i t e 79 / A b b . 3 . 5 a - m i t f r e u n d l i c h e r

G e n e h m i g u n g von S a m u e l T a m a y o ; S e i t e 79 / A b b . 3 . 5 b - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von S h e i l a T h o m s o n ; S e i t e 7 9 /

A b b . 3 . 5 e - m i t fr e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von S t e f a n Reiss; S e i t e 7 9 / A b b . 3 . 5 d - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von

C a l v i n Kuo; S e i t e 80 / A b b . 3 . 6 a - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von A l b e r t o B i z z i n i ; S e i t e 80 / A b b . 3 . 6 b - m i t

f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von G u n t e r S c h n e i d e r ; S e i t e 85 / Abb. 3 . 1 1 - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von P i e r r e A l l i e z ;

S e i t e 90 / A b b . 3 . 1 6 - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von C i r o M i g u e l ; S e i t e 92 / A b b , 3 . 1 9 a - m i t f r e u n d l i c h e r

G e n e h m i g u n g v o n Dr. J a n o van H e m e r t ; S e i t e 9 2 / A b b . 3 . 1 9 b - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g v o n N a n a o W a g a t s u m a ;

S e i t e 98 / A b b . 3 . 2 5 a - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von C o l i n M u r t a u g h ; S e i t e 98 / A b b . 3 . 2 5 b - m i t f r e u n d l i c h e r

G e n e h m i g u n g von Ian M c H u g h ; S e i t e 9 8 / A b b . 3 . 2 5 e - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von A s t e n R a t h b u r n ; S e i t e 1 0 3 /

A b b , 3 . 3 2 - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von M a r t i n Reis; S e i t e 1 0 4 / A b b , 3 . 3 3 o b e n l i n k s - m i t f r e u n d l i c h e r

G e n e h m i g u n g von Xia M i n g ; S e i r e 1 0 4 / A b b . 3 . 3 3 O b e n r e c h t s u n d u n t e n d r e i - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von

P T W A r c h i t e c t s / a r u p /c scec ; S e i t e 1 0 4 / A b b . 3 . 3 4 - m i t fr e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g v o n B e n j a m i n S c h n e i d e r ; S e i t e 1 0 5 /

A b b . 3 . 3 5 e - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von L y n d o n M a h e r ; S e i t e 1 0 6 / A b b . 3 . 3 6 a - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g

von E U 2 0 0 S . l u / c c r n / M e n n _ B o d s o n ; S e i t e 108 / A b b . 3 . 3 7 - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g v o n W a a g n e r - B i r o S t a h l b a u

AG ; S e i t e 1 0 9 / A b b . 3 . 3 8 - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von P i e r r e Alliez ; S e i t e 1 2 6 / A b b . 4 . 1 2 d - m i t f r e u n d l i c h e r

G e n e h m i g u n g von Luke M. van G r i e k e n ; S e i t e 1 2 6 / A b b . 4 . 1 2 e - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g v o n J a n B i t t e r ; S e i t e 1 3 4

471

/ Abb. 4 . 1 7 a - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von M a r t i n Reis; Seite 135 / Abb. 4 . 1 7 b - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g

von M a r t i n Reis; Seite 135 / Abb. 4 . 1 7 d - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von H i e p l e r B r u n i e r ; Seite 144 / Abb, 5 . 1 b - m i t

f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von M a r t i n Reis; Seite 144 / Abb. 5.1e - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von D e l t a G P h o t o ,

w w w d e l t a g p h o t o . c o m ; Seite 1 4 4 / Abb. 5 . 1 d - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g v o n Kevan Davis; Seite 155 / Abb. 5 . 1 6 a ­

m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g v o n L e n o r a G e n o v e s e ; Seite 155 / Abb. 5 . 1 6 b - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g v o n M o n i c a

Shaw; Seite 155 / Abb. 5 . 1 6 e - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g v o n R o b i n K i m b a l l ; Seite 1 5 5 / Abb. 5 . 1 6 d - m i t

f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von M a r t i n Reis; Seite 159 / Abb. 5.21 - M . C . Escher's " S y m m e t r y D r a w i n g E21" © 2 0 0 7 T h e

M . C . E s c h e r C o m p a n y - H o l l a n d . All R i g h t s R e s e r v e d . w w w . m c e s c h e r . c o m ; Seite 160 / Abb. 5.22 - M . C . E s c h e r ' s

" S y m m e t r y D r a w i n g E73" © 2 0 0 7 T h e M . C . E s c h e r C o m p a n y - H o l l a n d . All R i g h t s R e s e r v e d . w w w . m c e s c h e r . c o m ; Seite 161

/ Abb. 5.23 - M . C . E s c h e r ' s " S y m m e t r y D r a w i n g E70" © 2 0 0 7 T h e M . C . E s c h e r C o m p a n y - H o l l a n d . All R i g h t s R e s e r v e d .

w w w . m c e s c h e r . c o m ; Seite 162 / Abb. 5 . 2 4 a - M . C . E s c h e r ' s " S y m m e t r y D r a w i n g E41" © 2 0 0 7 T h e M . C . E s c h e r C o m p a n y ­

H o l l a n d . All R i g h t s R e s e r v e d . w w w . m c e s c h e r . c o m ; Seite 162 / Abb. 5 . 2 4 b - M . C . Escher's " S y m m e t r y D r a w i n g E35" ©

2 0 0 7 T h e M . C . E s c h e r C o m p a n y - H o l l a n d . All R i g h t s R e s e r v e d . w w w . m c e s c h e r . c o m ; Seite 163 / Abb. 5.24e - M . C .

E s c h e r ' s " S y m m e t r y D r a w i n g E25" © 2 0 0 7 T h e M . C . E s c h e r C o m p a n y - H o l l a n d . All R i g h t s R e s e r v e d . w w w . m c e s c h e r . c o m ;

Seite 174 / Abb. 6 . 8 a - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von A r t u r Images; Seite 174 / Abb. 6 . 8 b - m i t f r e u n d l i c h e r

G e n e h m i g u n g von A r t u r Images; Seite 174 I Abb. 6.8e - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von G o d e f r o y Le G u i s q u e t ; Seite

184 / Abb. 6 . 1 7 a - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von Mevr. J. Z w e i s t r a ; Seite 185 / Abb. 6 . 1 7 b - m i t f r e u n d l i c h e r

G e n e h m i g u n g von Ricky Rew, www.easyrew.com; Seite 185 / Abb. 6 . 1 7 e - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von A n d r e a s

T i l l e ; Seite 192 / Abb. 6 . 2 4 - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von Red Rover S t u d i o s ; Seite 195 / Abb. 6 . 2 7 e - m i t

f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von C h a r l o t t e C l a e s o n ; Seite 195 / Abb. 6 . 2 7 d - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von K e i t h

S t e n h o u s e , w w w . f 1 i c k r . c o m / p h o t o s / k s t e n ; Seite 196 / Abb. 6.29 - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von R a m o n D u r a n ; Seite

198 / Abb. 6 . 3 1 a - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von H o f r a t F i s c h e r u n d D I O b l e s e r ; Seite 199 / Abb. 6 . 3 1 b - m i t

f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von P h i l P a l m e r k c m o ; Seite 203 / Abb. 7 . 1 a - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von R i c h a r d

Mayer; Seite 204 / Abb. 7 . 1 b - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g v o n U n t o T h i s Last; Seite 204 / Abb. 7.1e - m i t

f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g v o n A n d y S t a g g / V I E W ; Seite 204 / Abb. 7 . 1 d - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g v o n D e n n i s

G i l b e r t / V I E W ( E C A - D G ) ; Seite 207 / Abb. 7 . 3 a - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von B i l d a r c h i v M o n h e i m ; Seite 207 /

Abb. 7 . 3 b - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von B i l d a r c h i v M o n h e i m ; Seite 225 / Abb, 7 . 2 7 a - m i t f r e u n d l i c h e r

G e n e h m i g u n g von W a a g n e r - Biro S t a h l b a u AG; Seite 225 / Abb. 7 . 2 7 b - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von Nils J a k o b

D a r g e r ; Seite 226 / Abb. 7 . 2 9 a - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von W a l t e r O b e r m a y e r ; Seite 226 / Abb. 7 . 2 9 b - m i t

f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von W a l t e r O b e r m a y e r ; Seite 226 / Abb. 7 . 2 g e - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von P e t e r

K a m i n s k y ; Seite 230 / Abb. 7 . 3 3 b - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von E r i c h L e i s s i n g l A r t R e s o u r c e , NY; Seite 231 / Abb.

7 . 3 4 - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g v o n E r n s t M r a z e k ; Seite 234 / Abb. 7.40 - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g v o n O l i v e r

Labs; Seite 239 / Abb. 7 . 4 8 a - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von J o s t S c h i l g e n l AKG L o n d o n ; Seite 242 / Abb. 7.50 - m i t

f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von M a r t i n Reis; Seite 248 / Abb. 8.2 - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von H. N o w a k i ; Seite

472

248 / A b b . 8 . 2 a - mit f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von Edson I n t e r n a t i o n a l , New Bedford, MA USA; S e i t e 281 / A b b . 9 . 3 a ­

mit f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von Montse Gerones Lucea, Barcelona, Spain; S e i t e 282 / Abb, 9 . 3 b - mit f r e u n d l i c h e r

G e n e h m i g u n g von J o h n - P a u l Rowe; S e i t e 282 / A b b . 9 . 3 e - mit f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von Waagner-Biro S t a h l b a u

AG; Seite 282 / A b b . 9 . 3 d - mit f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von Federico Dosil: Seite 286 / A b b . 9 . 9 b - mit f r e u n d l i c h e r

G e n e h m i g u n g von RFR; S e i t e 286 / A b b . 9 . 9 c - mit f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von D o m i n i q u e Poncin; S e i t e 290 / A b b .

9 . 1 4 a - mit f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g v o n W i k i p e d i a . O r g ; Seite 290 / A b b . 9 . 1 4 b - mit f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g v o n

Craig Tanner; S e i t e 290 / A b b . 9 . 1 4 c - mit f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von Stephen D H a r p e r P h o t o g r a p h y ; Seite 290 /

A b b . 9 . 1 4 d - mit f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g v o n Tetsuya Kawamura, k13a.com; S e i t e 290 / A b b . 9 . 1 4 e - mit f r e u n d l i c h e r

G e n e h m i g u n g von Marcus Trimble; S e i t e 2 9 4 / A b b . 9 . 1 9 a - mit f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von Waagner-Biro S t a h l b a u

AG; S e i t e 2 9 4 / A b b . 9 . 1 9 b - mit f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von Mark K i r c h n e r ; Seite 298 / A b b . 9 . 2 6 a - mit f r e u n d l i c h e r

G e n e h m i g u n g von Roland H a l b e / A r t u r / V I E W ; S e i t e 298 / Abb, 9 . 2 6 b - mit f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von Roland

H a l b e / A r t u r / V I E W ; S e i t e 299 / A b b . 9 . 2 7 b - mit f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von Schlaich Bergermann & P a r t n e r ; S e i t e

303 / A b b . 9 . 3 3 a - mit f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von D i r k Heuer, Verden; S e i t e 303 / A b b . 9 . 3 3 b - mit f r e u n d l i c h e r

G e n e h m i g u n g von H o f r i c h t e r - R i t t e r A r c h i t e k t e n : S e i t e 304 / A b b . 9 . 3 5 b - mit f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von R o l a n d

H a l b e / A r t u r / V I E W ; Seite 305 / A b b . 9 . 3 5 c - mit f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von Ronan M c C a n n ; S e i t e 308 / A b b . 9 . 4 2 a

- mit f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von U l l r i c h Welling; S e i t e 308 / A b b . 9 . 4 2 b - mit f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von A n d r e w

Schile; S e i t e 337 / A b b . 10.1 - mit f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von Mike Gregory; S e i t e 347 / A b b . 1 0 . 1 0 a - mit

f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von Alan K a r c h m e r / E S T O ; S e i t e 347 / A b b . 1 0 . 1 0 b - mit f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von

H u f t o n + C r o w / V I E W ; S e i t e 348 / A b b . ro.i n- - mit f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g v o n C h r i s t i a n Richters; Seite 3 4 8 / A b b .

1 0 . 1 1 e - mit f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von T o s h i h a r u Kitajima; S e i t e 348 / A b b . 1 0 . 1 1 d - mit f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g

von R a f M a k d a / V I E W ; Seite 357 / A b b . 1 0 . 2 4 - mit f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g v o n W i n c h e s t e r Mystery House, San Jose

C a l i f o r n i a ; S e i t e 366 / A b b . 1 1 . 2 a - mit f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von Javier Novo R o d r i g u e z ; S e i t e 366 / A b b . 1 1 . 2 b ­

mit f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g v o n PawelJagiello; S e i t e 366 / A b b . 1 1 . 3 c - mit f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g v o n

A s t r o p h y s i k a l i s c h e s I n s t i t u t Potsdam; S e i t e 367 / A b b . 1 1 . 4 a - mit f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von D. R e y n o l d s / A . G a n z /

Typeoff.de; S e i t e 367 / A b b . 1 1 . 4 b - mit f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g v o n Ian A. D u n c a n ; S e i t e 367 / A b b . 11.5 - mit

f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von Bjarte Sorensen; S e i t e 368 / A b b . 1 1 . 6 a - mit f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von Hug Sargatal;

S e i t e 368 / A b b . 1 1 . 6 b - mit f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von L a u r e n t Massoptier, www.loloieg.free.fr; S e i t e 389 / A b b .

1 1 . 2 8 a - mit f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von W i k i p e d i a . o r g ; Seite 388 / A b b . 1 1 . 2 8 b - mit f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von

C h u n g - C h i Lo, w w w . f l i c k r . c o m / p h o t o s / l i n o l o / ; S e i t e 3 8 9 / A b b . 1 1 . 2 8 c - mit f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g v o n Schlaich

B e r g e r m a n n & P a r t n e r ; S e i t e 389 / A b b . 1 1 . 2 8 e - mit f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von Marlene M o n s c h e i n ; S e i t e 389 /

A b b . 1 1 . 2 8 £ - mit f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von Stefani Diego; S e i t e 395 / A b b . 1 1 . 3 8 - mit f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g

von D o r e e n G. D e n t o n ; S e i t e 4 0 3 / A b b . 1 1 . 4 6 - mit f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von Chris W i l l i a m s ; S e i t e 4 0 6 / A b b .

1 1 . 4 8 v e r l i e 6 - mit f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von D e b o r a h C o l e m a n / P i x a r ; S e i t e 4 0 6 / A b b . 1 1 . 4 8 M i t t e l i n k s - mit

f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von Malcolm Sabin; Seite 4 0 6 / A b b . 1 1 . 4 8 M i t t e r e c h t s - mit f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von

473

D e b o r a h C o l e m a n / P i x a r ; S e i t e 4 0 6 / A b b . 1 1 . 4 8 r i c h t i g - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von C h a r l e s L o o p ; S e i t e 4 0 6 /

A b b . 1 1 . 4 8 g e g e n i i b e r l i e g e n d e n S e i t e l i n k s - © 2 0 0 3 D i s n e y E n t e r p r i s e s , Inc. and Pixar; S e i t e 4 0 6 / A b b . 1 1 . 4 8

g e g e n i i b e r l i e g e n d e n S e i t e r e c h t s - © 2 0 0 6 D i s n e y E n t e r p r i s e s , Inc. a n d Pixar; S e i t e 4 2 6 / A b b . 12.1 - m i t f r e u n d l i c h e r

G e n e h m i g u n g von S c a l a / A r t R e s o u r c e , NY and A r c h i v i o F o t o g r a f i c o ; S e i t e 4 3 0 / A b b . 1 2 . 5 a - m i t f r e u n d l i c h e r

G e n e h m i g u n g von M o r p h o s i s ; S e i t e 4 3 0 / A b b . 1 2 . 5 b - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von M o r p h o s i s ; S e i t e 4 3 0 / A b b .

1 2 . 5 c - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von M o r p h o s i s ; S e i t e 431 / A b b . 1 2 . 6 - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von D e s i g n

to P r o d u c t i o n ; S e i t e 5 7 6 / A b b . 1 2 . 7 - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von D e s i g n to P r o d u c t i o n ; S e i t e 4 3 2 / A b b . 12.8 ­

m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von D e s i g n to P r o d u c t i o n ; S e i t e 4 3 3 / A b b . 1 2 . 9 - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von P e t e r

S c h m i t t ; S e i t e 4 3 4 / A b b . 1 2 . 1 0 - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von G r a m a z i o & K o h l e r , Z u r i c h ; S e i t e 4 3 4 / A b b . 1 2 . 1 1

- m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von Dr. B e h r o k h K h o s h n e v i s ; S e i t e 4 4 0 / A b b . 1 2 . 1 5 b - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g

von C a r l o s S e q u i n ; S e i t e 441 / A b b . 1 2 . 1 6 a - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von Z C o r p ; S e i t e 441 / A b b . 1 2 . 1 6 b - m i t

f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von C a r l o s S e q u i n ; S e i t e 4 4 2 / A b b . 1 2 . 1 7 - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von 3D Systems

C o r p o r a t i o n ; S e i t e 4 4 6 / A b b . 1 2 . 2 0 - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von G r e g L y n n / F O R M , P h o t o by C a r l o L a v a t o r i ;

S e i t e 4 5 2 / A b b . 1 2 . 2 3 - m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g von Tom C o u l s o n ; S e i t e 4 5 3 / A b b . 1 2 . 2 4 - m i t f r e u n d l i c h e r

G e n e h m i g u n g von Axel K i l i a n u n d F R A C c e n t r e , M a r s e i l l e ;

AIle i i b r i g e n A b b i l d u n g e n m i t f r e u n d l i c h e r G e n e h m i g u n g der A u t o r e n . Die A u t o r e n u n d der Verlag h a b e n g r o B t m o g l i c h e

B e r n i i h u n g e n bei der A b k l a r u n g der U r h e b e r r e c h t e fur die e n t h a l t e n e n A b b i l d u n g e n ( u n d T a b e l l e n ) a n g e s t r e b t u n d b i t t e n

urn V e r s t a n d n i s , s o l l t e n diese in E i n z e l f a l l e n o h n e E r g e b n i s g e b l i e b e n seine G e g e b e n e n f a l l s b i t t e n wir den Leser, sich m i t

dem Verlag in V e r b i n d u n g zu s e t z e n : B e n t l e y I n s t i t u t e Press, 685 S t o c k t o n D r i v e , E x t o n PA 1 9 3 4 1 , USA.

474