ESCUELA SUPERIOR

POLITÉCNICA DE CHIMBORAZO

FACULTAD DE

INFORMÁTICA Y ELECTRÓNICA

ESCUELA DE TELECOMUNICACIONES

Y REDES

INVESTIGACION OPERATIVA

TEMA:

ÁRBOL DE COSTO MÍNIMO

OBJETIVOS GENERAL:

• Investigar acerca del tema árbol de costomínimo y los algoritmos que pueden darsolución a este problema.

OBJETIVOS ESPECIFICOS:

• Conocer los conceptos básicos acerca de grafos y del árbol de costo mínimo.

• Diferenciar los algoritmos de árbol de costo mínimo y ejemplos de cada uno, para tener una mejor comprensión del tema.

• Dar a conocer las aplicaciones que tienen el árbol de costo mínimo en nuestra vida diaria.

ÁRBOL DE COBERTURA MÍNIMO

• GRAFOS

Es una estructura que se puede

representar gráficamente la cual

permite interrelacionar elementos

dentro de un sistema.

Está formado por un conjunto de

elementos denominados nodos o

vértices y un conjunto de aristas o

arcos que permiten la unión entre

vértices

• Notación

Los grafos suelen utilizar la notación:

G=(V,A)

Donde:

V es el conjunto de vértices

A es el conjunto de aristas

• Utilidad

Los grafos sirven para representar de

manera grafica a las relaciones entre

un grupo de elementos comunes,

por ejemplo:

La distancia entre elementos

Representar redes de computadoras

Tipos de grafos

• Grafos dirigidos • Grafos no dirigidos

Grafos no dirigidos

• Son aquellos grafos cuyas aristas no tienen una

dirección definida, en este caso podemos observar

que la unión entre los vértices está dada únicamente

por aristas en las cuales el flujo puede tomarse según

nuestra facilidad para analizar el camino o recorrido

que toma.

• Es lo mismo decir la arista A-B que la arista B-A,

citando como caso particular.

ÁRBOLES

Definición

Es una estructura de datos que

puede ser representada gráficamente,

que está compuesta por dos

conjuntos similares a los estudiados

en grafos, es decir, presenta vértices

y aristas.

Características

• Se distingue un único nodo

en el cual inicia el árbol, el

cual es llamado nodo raíz,

éste nodo es padre de los

nodos que le siguen y están

conectados a él, y a su vez

estos nodos son padres de

los nodos que les siguen, así

de forma sucesiva.

• Los nodos resultantes o de

inferior rango se denominan

nodos hijos.

• Los últimos nodos se

denominan nodos hojas

• Los árboles poseen en cada nodo un nombre quelo identifica del resto y cada arista puede tenerun valor representativo de algún tipo demagnitud.

• Esta forma de analizar los árboles, nos permiteutilizarlos para diferentes fines, sin embargo sonutilizados frecuentemente para representarestructuras jerárquicas.

Organigrama de una empresaEstructuras de redes

Clasificación

• Árboles dirigidos

• Árboles binarios

• Árboles B

• Árboles rojo negro

• Árboles no dirigidos

De forma análoga a los grafos

no dirigidos, los arboles no

dirigidos se caracterizan por

no tener una dirección en sus

aristas lo que permite que el

flujo se lo realice en cualquier

dirección.

Esto implica que cualquier

nodo puede asumir el rol de

raiz

• Dado un grafo no dirigido, un árbol de cobertura mínimo de ese grafo es un subgrafo que tiene que ser un árbol y contener todos los vértices del grafo inicial.

• Cada arista tiene asignado un peso, que es un número representativo de algún objeto, distancia, etc.; y se usa para asignar un peso total al árbol de cobertura mínimo computando la suma de todos los pesos de las aristas del árbol en cuestión.

• Un árbol de cobertura mínima es un árbol recubridor que pesa menos o igual que otros árboles recubridores.

Problema árbol de cobertura mínima

• Este problema surge de la necesidad de

encontrar dentro de un grafo no dirigido, un

árbol que recorra todos los nodos del grafo, y

cuya suma de los peso o valores de las aristas

sea menor entre todos los arboles que se

puedan formar en el grafo en cuestión.

• El árbol resultante es el llamado:

“Árbol de cobertura mínima”

Ejemplo del problema

• Podemos encontrar dentro del grafo, el árbol de

cobertura mínima, puesto que observamos que el

numero de arboles que se pueden generar es

significativo.

ALGORITMO DE PRIM

• El algoritmo de Prim es un algoritmo

perteneciente a la teoría de los grafos para

encontrar un árbol de cobertura mínimo dentro

de un grafo no dirigido.

• En otras palabras, el algoritmo encuentra un

subconjunto de aristas que forman un árbol con

todos los vértices, donde el peso total de todas

las aristas en el árbol es el mínimo posible.

Ejercicio:

• Primero elegimos un nodo que

tomara la función de nodo raíz y

lo señalamos

• Luego se encuentran las aristas

que estén conectadas al nodo raíz

• De las aristas encontradas se

procede a determinar cual es la

que tiene menor peso y se la

señala.

• En el caso de encontrarse con

aristas que tengan el mismo peso

se procede a seleccionar una de

ellas de forma aleatoria.

• Se procede a marcar el nodo al

cual se encuentra conectada la

arista anteriormente seleccionada.

• Luego se vuelve a comparar los

pesos entre los nodos

relacionados, en este caso A-C,

como los pesos son iguales se

puede escoger cualquier arista.

• Se vuelve a marcar el nodo que

resulto estar conectada a la arista y

se repite de forma continua los

mismos pasos asta tener un árbol

que una todos los vértices.

• Finalmente podemos observar que todos los nodos están unidos, es

decir, el árbol de cobertura mínimo para el nodo raíz A, esta dado por la

siguiente figura:

ALGORITMO DE KRUSKAL

• De igual forma el algoritmo de kruskal es un

algoritmo de la teoría de grafos, que es utilizado para

encontrar el árbol de cobertura mínimo dentro de un

grafo determinado.

• Es decir, busca un subconjunto de aristas que,

formando un árbol, incluyen todos los vértices y

donde el valor total de todas las aristas del árbol es el

mínimo.

Ejercicio:

• Se tiene un grafo inicial del cual

partimos:

• Primero procedemos a

determinar de entre todos las

aristas, cuál es la arista que tiene el

menor peso y la seleccionamos

• Procedemos a señalar la arista y

los vértices que une tomando en

cuenta lo explicado anteriormente.

• Realizamos el mismo

procedimiento, encontramos el

valor menor de los pesos y

marcamos los vértices que una

dicha arista.

• Se debe tomar en cuenta que lo

que se desea es encontrar un

árbol, es decir, que no deben

existir recorridos cerrados.

• Podemos observar que el siguiente

valor de arista a tomar debe ser el

número 3, pero en ese caso

estaríamos generando un

recorrido cerrado así que

tomamos el siguiente valor que en

este caso será el 4.

• Si podemos observar, se vuelve a

generar el inconveniente anterior

así que elegimos el valor que le

sigue.

• En el caso de que el valor que le

siga se repita, se puede escoger

cualquiera de las dos aristas,

tomando en cuanta que no se

debe generar un lazo cerrado.

• En la grafica se puede observar

que las dos aristas coinciden en un

punto, pero es necesario aclarar

que no se genera un lazo cerrado

ya que solo son trayectorias que

están pasando por un lugar en

común más no están en ningún

momento en intersección.

• El árbol expandido que se genera

es el siguiente:

APLICACIONES COBERTURA MÍNIMA

• La aplicación de estos problemas de

optimización dentro de nuestra especialidad y

nuestro diario vivir se ubica en las redes de

comunicación eléctrica, telefónica, carretera

ferrovía, aérea, marítima, etc., donde los nodos

representan puntos de consumo eléctrico,

teléfonos, aeropuertos, computadoras, y las

aristas podrían ser de alta tensión, cable de

fibra óptica, rutas aéreas, etc.

GRACIAS

POR SU ATENCIÓN

Por:

Marilin Carrión Ángel Ortega

Jhonattan Illapa Iván Armijo

Cristian Jacho Alex Yautibug

Franklin López John Tene

Cristian Colala Alex Segura

Jairo Arce