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10 SIGMA Nº 28 • SIGMA 28 zk.

SIGMA

32 ¿MEDIMOS?

Arantza Sasiain, Idoia Latasa y Pilar Lassalle (*)

"Alicia estaba sentada en un banco del parque que había al lado de su casa, con un libro y un cuaderno en el regazo y un bolígrafo en la mano. Lucía un sol espléndido y los pájaros alegraban la mañana con sus trinos, pero la niña estaba de mal humor. Tenía que hacer los deberes.

– ¡Malditas matemáticas! ¿Por qué tengo que perder el tiempo con estas ridículas cuen-tas en vez de jugar o leer un buen libro de aventuras? –Se quejó en voz alta–

– ¡Las matemáticas no sirven para nada!"

Malditas MatemáticasAlicia en el País de los Números. Carlo Frabetti

Siete de enero de 2008, primer día después de las vacaciones de Navidad. Jokine, Lander, Haizea, Julen..., los 19 niños y niñas de 4º de Primaria van a ver la que será su clase en el recién construido segundo piso de la escuela. Tras más de un curso de molestas obras por fin ha llegado el momento.

– ¡Es mucho más pequeña!– ¡Qué va, es mayor que la de abajo!– ¿Cabrán todas nuestras cosas?– El techo está más alto.– Y es más estrecha.– ¿Dónde pondremos el ordenador? – ¿Y nuestros casilleros?– ¡Tenemos que medir!

Rápidamente cogen las cintas métricas (tenemos bastantes y de diferentes medidas), la regla de madera de 1 metro, lápiz, papel y se ponen manos a la obra.

Intxaurrondo HegoaAlumnos y alumnas de 4º de Primaria

Sabemos que el ser humano construye su propia comprensión de la matemática resolviendo auténticas situaciones problemáticas, por eso, en nuestra escuela trabajamos el área a partir de contextos reales en las que los niños y las niñas interactúan con el medio físico, con otros niños y niñas y con los adultos avanzando en la adquisición de los conceptos matemáticos.

Sabemos también que nuestro rol fundamental como docentes es aprovechar situaciones espontáneas que se dan en clase y planificar otras que siendo significativas e interesantes para nuestros alumnos/as permitan desarrollar contenidos matemáticos relevantes.

Es necesario que se involucren afectiva e intelectualmente en la resolución de estos problemas reales que les llevan a desarrollar sus propias ideas elaborando estrategias de resolución a través de la experiencia y de la discusión con los demás.

Condición esencial es que estas situaciones supongan un auténtico desafío.

Llevamos a cabo la experiencia que vamos a relatar en enero de 2006.

(*) IntxaurrondoHegoaIkastetxea.

Neurtuko dugu? Arantza Sasiain, Idoia Latasa y Pilar Lassalle

Noviembre 2006 • 2006ko Azaroa 11

SIGMA

32NEURTUKO DUGU?

Arantza Sasiain, Idoia Latasa y Pilar Lassalle (*)

"Alicia bere etxe ondoan zegoen parkean eserita zegoen, liburu bat eta koadernoa maga-lean eta boligrafo bat eskuan zituela. Eguzkia distiratsu zegoen, eta txoriek beraien txo-rrotxioekin goiza pozten zuten, baina neskatila humore txarrez zegoen. Etxerako lanak egin behar zituen.

– Matematika madarikatuak! Zergatik galdu behar dut denbora alferreko eragiketa hauekin, jolastu edo abenturazko liburu on bat irakurri beharrean? –Ahots ozenez kexatu zen–

– Matematikak ez du ezertarako balio!"

Malditas MatemáticasAlicia en el País de los Números. Carlo Frabetti

2008ko urtarrilak 7, Gabonetako oporren osteko lehen eguna. Jokine, Lander Haizea, Julen, ..., Lehen Hezkuntzako laugarren mailako 19 neska-mutilak eraiki berria dagoen bigarren solairuko gela berria ikustera doaz. Obrengatik ikasturte astun eta gogor baten ondoren, azkenean momentua iritsi da.

– Askoz txikiagoa da!– Ez, behekoa baino handiagoa da!– Gure gauza guztiak sartuko ote dira?– Zapaia altuagoa dago!– Eta estuagoa da!– Non jarriko dugu ordenagailua? – Eta gure apalategiak?– Neurtu egin behar dugu!

Berehala zinta metrikoak hartzen dituzte (asko eta neurri desberdinetakoak ditugu), metro bateko egurrezko erregela, arkatza, papera, eta martxan jartzen dira.

Intxaurrondo HegoaAlumnos y alumnas de 4º de Primaria

Dakigunez, gizakiak benetako egoera problematikoak konponduaz bere ulerkortasun mate-matikoa eraikitzen du; horregatik gure eskolan, benetako egoeretatik abiatzen gara arlo hau lantzen dugunean, non ikasleak ingurumenarekin, beste ikasleekin eta helduekin interakzioan jarriaz, kontzeptu matematikoen bereganatzean aurreratzen duten.

Badakigu ere, irakasle bezala gure oinarrizko papera, ikasleentzat esanguratsuak eta interesga-rriak izango diren egoerak bilatzea eta aprobetxatzea dela eta hauetatik abiatuz, eduki mate-matikoak garatzea.

Beharrezkoa da afektiboki eta intelektualki sartzea arazo errealen aurrean. Arazo hauek beraien ideiak garatzen lagunduko diete besteekin esperientziak eta eztabaidak izanik ebazpen estrategiak landuaz.

2006ko urtarrilean, kontatuko dugun bizipena burutu genuen.

(*) IntxaurrondoHegoaIkastetxea.

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¿Medimos? Arantza Sasiain, Idoia Latasa y Pilar Lassalle

SIGMA Nº 32 • SIGMA 32 zk.

Una auténtica necesidad movilizó matemáticamente a casi toda la escuela. Sin duda se trataba de una situación matemática potencialmente muy poderosa.

Es costumbre para celebrar las fiestas de la Tamborrada y Caldereros realizar un desfile por las calles del barrio. Antes de comenzar nos colocamos delante de la escuela, en la calzada (en la Tamborrada para izar la bandera y tocar la marcha de San Sebastián, y en Caldereros para tocar la primera pieza).

Ya que la calle Baratzategi es una zona de aparcamiento, necesitábamos que justo la zona de delante de la escuela estuviera libre de vehículos. Para ello se contactó con el Ayuntamiento. El Departamento de Festejos del Centro de Atracción y Turismo nos envió el modelo oficial para realizar la solicitud.

En dicho impreso se nos pedía literalmente especificar lo siguiente:

"Indicar lugar, número de vehículos a retirar y metros de ocupación. También fechas".

Nos pareció una situación matemática estupenda. Llevamos la ficha enviada por el Ayuntamiento a todas las clases desde 3º curso de Infantil (5 años) hasta 3º de Primaria (en aquel momento los alumnos/as mayores de la escuela eran los de 4º y ellos se encargarían después de organi-zar la disposición de los niños y niñas en el patio).

Éstos fueron los objetivos que nos planteamos al comienzo de la actividad:

• Participar en las decisiones relativas a la organización del centro escolar.

• Utilizar el conocimiento matemático para resolver situaciones de la vida cotidiana.

• Diseñar y utilizar diferentes estrategias para medir.

• Conocer y utilizar diferentes instrumentos y unidades de medida.

• Fomentar el trabajo en grupo, la discusión y el intercambio.

Contenidos fundamentales que se trabajaron:

• Necesidad y función de la medida.

• Medidas de longitud.

• Unidades de medida no convencionales y convencionales. Equivalencia entre ellas.

• Estrategias diferentes para medir y calcular aproximada y exactamente.

• Operaciones aritméticas y algoritmos académicos para realizar estos cálculos.

RELATO DE LA ACTIVIDAD

Aulas de 5 años (las dos aulas juntas)

La profesora les lee la petición del Ayuntamiento. Los niños y niñas rápidamente dicen que hay que salir a la calle. Ya saben, por la experiencia del curso anterior, en qué lugar nos colocamos antes de empezar el desfile.

• Hay que quitar todos los coches que están al lado de la valla blanca de hierro que hay delante de la escuela. (Valla que protege o separa la acera de la calzada).

Bajan a la calle y cuentan los coches que en aquel momento estaban aparcados:

• Hay 6 coches y dos huecos. (Entre los coches dos huecos sin coches).



Benetako behar batek, eskola osoa matematikoki mobilizatu zuen. Dudarik gabe, indar han-diko egoera matematiko baten aurrean geunden.

Danborrada eta Kaldereroak ospatzen dugun egunetan, ohikoa da auzoko kaleetan zehar desfile bat egitea. Hasi baino lehen eskolaren aurrean kokatzen gara, galtzadan (Danborradan bandera igotzeko eta Donostiako Martxa jotzeko, eta Kaldererotan lehenengo pieza jotzeko).

Baratzategi kalean aparkalekuak daudenez, eskola aurreko ingurua ibilgailurik gabe egotea beharrezkoa zen. Honetarako Udaletxearekin harremanetan jarri ginen. Kultur eta Turismo Ekintzetxeko jai batzordeak eskaera egiteko eredu ofiziala bidali zigun.

Aipatutako inprimakian, ondoren datorrena zehaztea eskatzen zitzaigun.

"Lekua, mugitu behar diren ibilgailu kopurua eta okupazio metroak zehaztu. Datak ere bai".

Oso egoera matematiko ona iruditu zitzaigun. Udalak bidalitako fitxa gela guztietara eraman genuen Haur Hezkuntzako 3. mailatik (5 urte) Lehen Hezkuntako 3.mailaraino (momentu hartan eskolako ikasle zaharrenak 4. mailakoak ziren eta hauek aurrerago, patioko haurren kokapenaz arduratuko ziren).

Jarduera honen hasieran, planteatutako helburuak hauek ziren:

• Eskolako antolaketarekiko erabakietan parte hartu.

• Eguneroko bizitzako egoerak konpontzeko ezaguera matematikoak erabili.

• Neurtzeko estrategia desberdinak diseinatu eta erabili.

• Neurtzeko unitate eta tresna desberdinak ezagutu eta erabili.

• Taldeko lana bultzatu edo piztu, eztabaida eta elkarraldatzea.

Landutako oinarrizko edukiak:

• Neurriaren beharra eta funtzioa.

• Luzera-neurriak.

• Ez ohizko unitate-neurriak eta ohizkoak. Beraien arteko baliokidetza.

• Hurbilketaz eta zehazki kalkulatzeko estrategia desberdinak.

• Kalkulurako bakoitzak erabiltzen dituen prozedurak (estrategia pertsonalak).

• Eragiketa aritmetikoen eta ohizko algoritmoen erabilera kalkulu hauek egiteko.

JARDUERAREN KONTAKETA

5 Urteko gelak (biak elkartuta)

Irakasleak Udalaren eskaera irakurtzen die. Haurrak berehala esaten dute kalera atera behar direla. Badakite, aurreko ikasturteko esperientziagatik, desfilea hasi baino lehen zein lekutan kokatzen garen.

• Eskola aurrean dagoen burdinazko hesi zuriaren ondoan dauden ibilgailu guztiak kendu behar dira. (Espaloia galtzadatik babesten edo banatzen duen hesia).

Kalera jaisten dira eta momentu horretan aparkatuta zeuden ibilgailuak zenbatzen dituzte:

• 6 ibilgailu daude eta 2 hutsune. (Autoen artean 2 hutsune ibilgailurik gabe).

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En clase se les pide representar gráficamente lo que han visto.

No surge en ningún momento la necesidad de medir.

Representación del colegio: los dos pasos de cebra y los 6 coches

En este dibujo se ven claramente los 6 coches y los dos huecos en el lugar donde efectivamente

"no había coches aparcados"

1ºB

La profesora les plantea la situación y les pide una estimación tanto de coches como de metros.

La estimación es la habilidad mental para hacer conjeturas en cálculo y medida.

Para estimar (estimar o calcular aproximadamente no es adivinar) es necesario tener una refe-rencia para poder realizar rápidamente una comparación mental. La respuesta no tiene que ser exacta pero sí adecuada.

Es conveniente que los niños y niñas realicen estimaciones desde el comienzo de la escolaridad.

Ya que surgen diferentes cantidades tanto para el número de coches como de metros, llegan a la conclusión de que tienen que ir a la calle a medir el espacio que necesitamos.

¿Qué medimos? ¿Cómo medimos? ¿Con qué medimos?

Algunos niños y niñas quieren utilizar la cinta métrica, otros la cuerda para saltar que tienen en clase. Un tercer grupo quiere medir "a pies" y un cuarto dice que es suficiente con contar los coches que hay aparcados delante de la escuela.

Igualmente que los niños y niñas de Infantil, saben más o menos el espacio que se necesitará y lo que miden es esa zona de delante de la escuela.

Éstos son los resultados obtenidos:

47 metros 11 cuerdas 164 pies

Ante estas diferencias sienten la necesidad de dar la medida tomada con la cuerda y con pies en metros.

Miden la longitud de la cuerda con la cinta métrica: 1 cuerda son 4 metros. Realizan el cálculo sumando 11 veces 4 y así consiguen 44 metros.

El grupo "de los pies" intenta medir la longitud de un pie con la cinta métrica (de 1 metro) pero al ser mucho menor que un metro, van poniendo pies y observan que 4 pies completan un metro (no se plantean en ningún momento el diferente tamaño de los pies y la profesora no considera que en este momento sea pertinente cortar la actividad para reflexionar sobre este hecho).



Gelan ikusi dutena grafikoki adierazteko eskatzen zaie.

Momentu batean ere ez da sortzen neurtzeko beharra.

Ikastetxearen adierazpena bi zebrabideak eta sei kotxeak

Argazki honetan sei kotxeak eta bi hutsuneak oso ongi ikusten dira kotxeak aparkaturik ez zegoen

lekuan hain zuzen ere

LH 1.MAILA B

Irakasleak egoera planteatzen die eta ibilgailuen nahiz metroen estimazioa eskatzen die.

Estimazioa kalkuluan eta neurrian ustekizunak egiteko gaitasun mentala da, hau da buru-tre-betasuna.

Estimatzeko (estimatzea edo hurbilketaz kalkulatzea ez da asmatzea) beharrezkoa da errefe-rentzia bat izatea buruzko konparaketa azkar bat egiteko. Erantzuna ez da izan behar zehatza, baina bai egokia.

Komenigarria da haurrak eskolarizazioaren hasieratik estimazioak egitea.

Kopuru desberdinak sortzen direnez bai ibilgailu zenbaketan nahiz metroetan, behar izango dugun tartea neurtzeko kalera irten behar dutenaren ondoriora iristen dira.

Zer neurtzen dugu? Nola neurtzen dugu? Zertaz neurtzen dugu?

Haur batzuk zinta metrikoa erabili nahi dute, beste batzuk gelan salto egiteko duten soka. 3garren talde batek "oinekin" neurtu nahi du eta 4garren batek eskola aurrean aparkatuta dau-den ibilgailuak zenbatuz nahikoa izango dela esaten du.

HHko haurrek bezala, badakite, gutxi gora behera, behar izango duten tartea eta neurtzen dutena eskolaren aurreko aldea dela.

Emaitza hauek lortzen dituzte:

47 metro 11 soka 164 oin

Neurri desberdin hauen aurrean, sokarekin eta oinekin hartutako neurriak metrotan emateko beharra sentitzen dute.

Sokaren luzera neurtzen dute zinta metrikoarekin: soka bat 4 metro dira. 4 hamaika aldiz gehi-tuz edo batuz egiten dute kalkulua eta horrela 44 metro lortzen dituzte.

"Oinak" erabili dituzten taldea zinta metrikoarekin (metro batekoa) oin baten luzera neurtzen saiatu dira, baina metro bat baino askoz txikiagoa izaterakoan, oinak jartzen joaten dira eta 4 oinekin metro bat osatzen dutela ikusten dute (oinen neurri desberdina ez dute kontuan har-tzen, baina irakasleari ez zaio iruditzen honek momentu honetan garrantzia duenik).

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Dibujan los 164 pies y los van agrupando de cuatro en cuatro. Así consiguen 41 metros.

El grupo que decide contar coches cuenta 9. Al ver que los demás miden pies y cuerdas, miden un coche (aproximadamente 4 metros) y repiten 9 veces dicha medida.

Consiguen 36 metros. Tampoco se plantean si todos los coches o no tienen la misma longitud.

Con las soluciones de los cuatro grupos hacen un mural y aunque han conseguido cuatro resultados diferentes para una misma cuestión dicen que todas las medidas son parecidas y que la Policía Municipal no tendrá problemas.

Se pueden apreciar diferentes tipos de gratificaciones: representación real (dibujo de coches), representación esquemática (pasos), numerales y el algoritmo de la suma.

2º de PRIMARIA

Cuando la maestra les lee el impreso enviado por el Ayuntamiento, surge una conversación muy interesante:

– Si les decimos cuántos metros necesitamos ¿para qué quieren saber cuántos coches tienen que quitar?

– Además si contamos los coches que hay hoy aparcados y ese día hay coches más grandes o furgonetas ¿qué pasa?

– Mejor medimos y así quitan los coches del sitio que les digamos.

– ¿Cuántos vamos a salir en la tamborrada? ¿Los pequeños de dos años también?

– Es que este año somos más que el año pasado y el año pasado necesitamos casi toda la acera de delante del cole.

– No, la acera no, la carretera, vamos por la carretera.

– Ya, pero miden igual.

– ¿Y en cada fila cuántos iremos?

– No vamos en filas, vamos como queremos.

– No, eso fue en Caldereros, en la tamborrada sí nos ponemos en filas.

– Necesitamos casi toda la acera.

– Sí, pero este años somos más.

– Vale, pues nos apretamos porque luego viene la curva y la cuesta.



164 oinak marrazten dituzte eta launaka taldekatzen dituzte. Horrela 41 metro lortzen dituzte.

Ibilgailuak zenbatzea erabakitzen duen taldeak 9 zenbatzen ditu. Besteek oinak eta sokak neurtzen dituztela ikusterakoan, ibilgailu bat neurtzen dute (gutxi gora behera lau metro) eta neurri berdina 9 aldiz errepikatzen dute.

36 metro lortzen dituzte. Ez dira konturatzen ibilgailu desberdinen luzera desberdinetaz.

Lau taldeen irtenbideekin hormirudi bat osatzen dute, eta nahiz eta lau emaitza desberdin lortu, neurri guztiak berdintsuak direla eta Udaltzainek ez dutela arazorik izango esaten dute.

Grafikazio desberdinak ikusi daitezke: benetako errepresentazioa (ibilgailuen marrazkia), eske-mazko errepresentazioa (urratsak), numeralak eta batuketaren algoritmoa.

LH 2.MAILA

Irakasleak udaletxetik bidalitako inprimakia irakurri zienean, oso elkarrizketa interesgarria sortu zen:

– Zenbat metro behar ditugun esaten badiogu, zertarako jakin nahi dute zenbat ibilgailu kendu behar dituzten?

– Gainera, gaur aparkatuta dauden ibilgailuak zenbatzen baditugu eta egun horretan ibilgailu handiagoak edo furgonetak badaude, zer pasatzen da?

– Hobe izango da neurtzea eta horrela guk esandako lekutik ibilgailuak kenduko dituzte.

– Zenbat aterako gara Danborradan? Bi urtekoak ere bai?

– Aurten iaz baino gehiago gara! Eta iaz ia eskola aurreko espaloi guztia behar izan genuen.

– Ez, espaloia ez, errepidea, errepidetik joaten gara.

– Bai, baina berdin neurtzen dute!

– Eta ilara bakoitzean zenbat joango gara?

– Ez goaz ilaratan nahi dugun bezala joaten gara.

– Ez, hori Kaldereroetan izan zen. Danborradan ilaran jartzen gara.

– Ia espaloi osoa behar dugu.

– Bai, baina aurten gehiago gara. – Bale, baina estutu beharko gara, gero bihurgunea eta aldapa datozelako.

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De este diálogo surgen dos líneas de trabajo y la clase se divide en dos grupos.

Uno ve necesario saber cuántas personas saldrán en el desfile y cómo se agruparán para poder calcular el espacio necesario.

El otro quiere medir la calle, pero consideran que no es necesario salir: primero medirán el pasillo (atraviesa el edificio de un lado al otro) y luego le añadirán la longitud del "patio de arriba" que llega hasta el otro extremo de la acera.

El primer grupo pregunta a la directora del centro si los pequeños saldrán o no en el desfile. Les dice que los de dos y tres años nos esperarán en el patio, para tocar con nosotros pero no desfilarán. Saldremos desde las aulas de 4 años en adelante. También les dice que además de las tutoras de todas las aulas saldrán 8 profesores más en el desfile.

Comienzan a preguntar en cada clase cuántos son, pero pronto se dan cuenta de que en cada puerta está la lista de alumnos/as y de ahí extraen los datos.

Hacen la suma: saldremos 189 personas.

Piensan que es adecuado agruparnos en filas de "a cinco", o sea 5 personas en cada fila.

Utilizan diferentes estrategias para calcular el número de filas.

Varios niños necesitan dibujar las 189 personas agrupándolas después de 5 en 5 y luego cuen-tan las filas que salen.

Un niño cuando tiene hechos casi todos los grupos se da cuenta de que es más rápido poner 5 + 5 + 5... y luego va agrupando los 5 de dos en dos, hasta conseguir 37 filas.

Se ven dos tipos de expresión gráfica: una menos elaborada a través del dibujo y otra utilizando signos y algoritmos matemáticos.

Supone un conocimiento de la composición en sumandos.

La estrategia más sofisticada es la siguiente (realmente muy elaborada para un niño de segundo): la decena fija más aproximada a 189 es 190 que es igual a 19 x 10. Por lo tanto si en cada fila hubiera 10 personas serían 19 filas, pero como vamos de 5 en 5 tiene que ser el doble de filas, o sea 38 filas, aunque en una fila faltará una persona.



Elkarrizketa honetatik, bi lan ildo sortzen dira eta gela bi taldetan banatzen da.

Batek beharrezkoa ikusten du desfilean zenbat pertsona aterako diren eta beharrezkoa izango den tokia kalkulatzeko nola taldekatuko diren jakitea.

Besteak kalea neurtu nahi du, baina kanpora irtetea ez dela beharrezkoa pentsatzen dute: lehe-nengo barruko pasabidea neurtuko dute (eraikuntza alde batetik bestera zeharkatzen du) eta ondoren "goiko patioko" luzera erantsiko diote, espaloiaren beste muturreraino iristen dena.

Lehenengo taldeak: txikiak desfilean aterako diren ala ez galdetu diote zuzendariari, bi eta hiru urtekoak patioan gure zain egongo direla erantzuten die, gurekin jotzeko baina ez dutela desfilatuko. Lau urtekoetatik aurrera aterako dira. Gela bakoitzeko tutoreez gain, beste zortzi irakasle gehiago aterako direla desfilean ere esaten die.

Zenbat diren gela bakoitzean galdetzen hasi ziren, baina berehala konturatu ziren gela bakoi-tzaren atean ikasleen zerrenda zegoela eta hortik datuak atera zituzten.

Batuketa egin zuten: 189 pertsona aterako dira.

Bosteko ilaratan taldekatzea egokia dela pentsatzen dute, hau da, bost pertsona ilarako. Estrategia desberdinak erabiltzen dituzte zenbat ilara osatuko ditugun kalkulatzeko.

Haur batzuk 189 pertsonak marraztea beharrezkoa dute, gero bosnaka taldekatzeko, eta gero ateratzen diren ilarak zenbatzen dituzte.

Haur batek, ia talde guztiak eginak dituenean, 5 + 5 + 5 ... jartzea azkarragoa dela konturatzen da, eta gero bostekoak binaka taldekatzen ditu, 37 ilara lortu arte.

Bi grafikazio era ikusten dira: marrazkien bidez gutxiago lan-dua dagoen bat eta bestea ikur eta algoritmo matematikoak erabiliz.

Batugaien ezagutza suposatzen du.

Estrategiarik sofistikatuena ondorengoa da (egia esan, bigarren mailako haur batentzat oso landua): 189 zenbakiaren hamarreko hurbilena 190 da eta 190, 19 x 10 da. Beraz, ilara bakoitzean 10 pertsona egongo balira, 19 ilara izango lirateke, baina bosnaka doazenez, ilara kopurua bikoitza izan behar da, hau da, 38 ilara nahiz eta ilara batean pertsona bat faltatu.

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Es imprescindible la verbalización del procedimiento utilizado.

Está claro que el lenguaje ayuda a la ordenación del pensamiento.

Después consideran que entre dos filas tiene que haber por lo menos un metro de distancia, para no pegarnos con los tambores, por lo tanto necesitamos 38 metros (no se preocupan del espacio que ocupan las personas).

Salen a la calle con cintas métricas de diferentes medidas (una de 5 metros, dos de 3 metros, dos de 1,5 metros y varias de 1 metro, que regalan en un centro comercial de bricolaje) y miden la acera. De paso de cebra a paso de cebra hay un poco más de 38 metros. ¡Perfecto!

El segundo grupo mide el pasillo del colegio con una cinta métrica de 3 metros. Consiguen 53 m y 90 cm.

Continúan midiendo "el patio de arriba", pero como hay un espacio difícil de medir entre el edificio y el patio, y luego una bajada, consideran que es más fácil medir la calle.

Siguen utilizando la cinta de 3 metros.

Van apuntando 3 + 3 + 3 + 3...

Después agrupan los treses de 10 en 10 hasta conseguir 130 metros.

Necesidad de apuntar todas las veces que miden con la cinta de tres metros. Quizás necesitan reconstruir el objeto a través de la unidad de medida.

En clase comparan los dos resultados obtenidos: 38 m y 130 m. ¿Cómo es posible tanta dife-rencia? El grupo que ha conseguido 38 m explica que 130 son excesivos, que en 38 metros entramos todos, quizás un poco más para tener más espacio, pero nunca 130 metros. El segundo grupo se da cuenta de que no ha tenido en cuenta el número de personas, que han medido toda la acera de calle a calle.

Se quedan con 38 metros.



Ezinbestekoa da erabilitako proze-duraren berbalizazioa.

Argi dago hizkuntzak pentsamen-duaren ordenamenduan laguntzen duela.

Gero pentsatu zuten bi ilaren artean gutxienez metro bat beharko genuela, danborrekin elkar ez jotzeko, beraz, 38 metro behar ditugu (pertsonek hartzen duten lekuaz ez dira arduratzen).

Neurri desberdinetako zinta metrikoekin kalera ateratzen dira (bat 5 metrokoa, bi 3 metrokoak, bi 1,5 metrokoak eta metro bateko batzuk) eta espaloia neurtzen dute. Bi zebrabideen artean, 38 metro pasatxo daude. Oso ongi!

Bigarren taldeak, eskolako pasabidea 3 metroko zinta metriko batekin neurtzen du. 53 metro eta 90 zentimetro neurtzen du.

Ondoren "goiko patioa" neurtzen dute, baina neurtzeko zailtasunak dituen toki bat dagoenez eraikuntza eta patioaren artean, eta gero jaitsiera bat, kalea neurtzea errazagoa dela hausnar-tzen dute.

3 metroko zinta metrikoa erabiltzen jarraitzen dute.

3 + 3 + 3 + 3 ... apuntatzen joaten dira.

Jarraian, hiruak hamarnaka taldekatzen dituzte 130 metro lortu arte.

Arrazonamendu jarriaren berbalizazioa berriro ere ezinbestekoa da.

Gelan bi emaitzak alderatzen dituzte: 28 m eta 130 m nola daiteke halako desberdintasuna? 38 m lortu duen taldeak 130 m gehiegizkoak direla azaltzen didate, 28 metrotan denak sartzen garela, beharbada, pixka bat gehiago beharko genukeela, baina inoiz ez 130 metro. Bigarren taldea pertsona kopurua kontutan hartu ez dituztenaz ohartzen da, espaloi guztia kalez kale neurtu dutenaz.

38 metrorekin geratzen dira.

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3º A

La primera preocupación de esta clase también es saber cuántas personas saldrán en el desfile. Van a secretaría y le piden a Mariaje las listas de las clases de 4 años en adelante. Calculan que entre niños, niñas, profesores y profesoras seremos unas 190 personas.

Igual que al grupo anterior, les preocupa cuántos componentes tendrá cada fila y la distan-cia entre filas. La profesora sabe que 4º está trabajando en la misma línea y propone que les pregunten qué decisión han tomado. Lo hacen y la aceptan. Se ponen pues a trabajar con los mismos datos.

Para realizar los cálculos utilizan diferentes estrategias. Merece la pena mencionar la siguiente estrategia:

Si 100 personas son 20 filas (20 x 5= 100) , 200 personas serían 40 filas, pero al ser 190 per-sonas hay que quitar dos filas, o sea 38.

De nuevo es necesaria la verbalización del razona-miento seguido.

La mayoría coincide en 38 filas, por lo tanto 38 metros. Posteriormente salen a la calle a medir esos 38 metros.

Ya nadie dibuja muñequitos. Esquematizan cada persona utilizando círculos, rayas o marcando cada persona con un 1, algunos casos poniendo directamente 5 por cada fila e incluso en algún caso de esta forma 10, 20, 30 (incluyendo en cada número dos filas).

Agrupan de 10 en 10, luego de 20 en 20... hasta llegar a 190.

Posteriormente salen a la calle a medir eos 38 metros.

Al fijarse en la valla de hierro que hay delante de la escuela, a una niña se le ocurre medirla para comprobar si el resultado coincide. Ven que la valla está dividida en partes iguales y deciden medir una de ellas y multiplicar por el número de partes.

Una sección mide 1´62 cm y hay 27 secciones.



LH 3.MAILA A

Gela honen lehenengo buruhaustea ea desfilean zenbat pertsona aterako diren da. Idazkaritzara doaz eta Mariajeri 4 urtekoetatik aurrerako zerrendak eskatzen dizkie. Ikasle eta irakasleen artean 190 pertsona inguru izango garela kalkulatzen dute.

Aurreko taldeak bezala, ilarako pertsona kopurua eta ilaren arteko distantziak arduratzen ditu. Irakasleak badaki 4. mailakoak gauza berdina lantzen ari direla eta haien erabakia galdetzea proposatzen die. Egin eta onartzen dute. Datu berdinekin lanean hasten dira.

Kalkuluak egiteko estrategia desberdinak lantzen dituzte. Ondorengo estrategiak aipatua izatea merezi du:

100 pertsona 20 ilara badira (20 x 5 = 100), 200 pertsona 40 ilara izango dira, baina 190 per-tsona izaterakoan, bi ilara kendu behar dira, hau da 38.

Arrazonamendu jarriaren berbalizazioa berriro ere ezinbestekoa da.

Gehiengoak 38 ilaratan bat egiten du, beraz 38 metro dira. Geroago, kalera ateratzen dira 38 metro horiek neurtzera.

Jadanik ez ditu inork panpintxoak marrazten.

Pertsona bakoitza borobilen, marraken edo 1en bidez eskematizatzen dute, zenbait kasutan ila-rako 5 bat idazten dute eta kasuren batean 10, 20, 30 (zenbaki bakoitzean bi ilara sartuaz).

Hamarnaka batzen dituzte, gero hogeinaka, 190era iritsi arte.

Aurrerago 38 metro horiek neurtzera kalera ateratzen dira.

Eskola aurrean dagoen hesia ikusterakoan, ikasle batek emaitzak bat egiten duen ikusteko, hau neurtzea bururatzen zaio. Hesia hiru zati berdinetan zatitua dagoela ikusten dute, eta hauetako bat neurtzea eta zati kopuruekin biderkatzea erabakitzen dute.

Sekzio batek 1,62 cm neurtzen du eta 27 daude.

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Todavía no saben realizar el algoritmo de la multiplicación con números de dos cifras. Realizan diferentes intentos partiendo del concepto de multiplicación que tienen y del algoritmo que conocen:

62 x 7 x 20

27 x 2 + 27 x 6

Tampoco saben multiplicar con números decimales pero intentan resolverlo de la siguiente forma:

Descomponen 1´62 en su parte entera y su parte decimal.

Solucionan la parte entera:

1 x 27 son 27 metros

Luego trabajan con los decimales:

62 x 7 = 434

62 x 20 = 1.240

Sumando obtienen 1.764 y consideran que tienen que ser 17 m y 74 cm

Suman esta cantidad a los 27 m Y el resultado final es 43´74 metros

4º de Primaria

El grupo de 4º, una vez recogidos los datos, tenían que organizar la colocación de los niños y niñas en el patio del colegio después del desfile para tocar delante de las familias.

Miden el patio y lo dividen en 7 partes. Tienen en cuenta el orden de llegada y la altura de los niños y niñas.

Marcan los espacios con cinta aislante.

Posteriormente pasan por todas las clases con el esquema realizado explicando a cada grupo dónde se tienen que colocar.



Oraindik ez dakite biderketaren algoritmoa bi zifrekin egiten.

Saiakera desberdinak egiten dituzte beraien biderketaren kontzeptuan eta algoritmoan oina-rrituaz:

62 X 7 X 20

27 X 2 + 27 X 6

Ez dakite ere zenbaki hamartarrekin biderkatzen, baina horrela konpontzen saiatzen dira:

1,62 bere zati osoan eta hamartarrean deskonposa-tzen dute.

Zati osoa ebazten dute:

1 x 27 = 27 metro dira.

Gero hamartarrekin lan egiten dute:

62 x 7 = 434

62 x 20 = 1.240

Batuaz, 1.764 lortzen dute eta 17 m eta 74 cm dela suposatzen dute.

Kantitate hau 27 metroei batzen diete.

Azken emaitza 43,74 metro da.

LH 4.Maila

Behin datuak jasota, 4. mailako taldeak desfilearen ondoren familien aurrean jotzeko ikasleen patioko antolakuntza egin behar zuen.

Patioa neurtu eta 7 zatitan banatzen dute. Iristeko ordena eta ikasleen altuera kontutan hartzen dute.

Zintarekin espazioa markatzen dute.

Aurrerago non jarri behar duten adieraziz gela guztietatik eskemarekin pasatzen dira.

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CUADRO RESUMEN

GrupoResultados obtenidos

Estrategias utilizadas (cálculo y medida)

Tipo de graficación

5 años 6 coches y 2 huecos

Conteo.

No surge la necesidad de medir.

Dibujo.

1º 44 metros 36 metros 47 metros

Utilización de unidades no convencionales: cuerda y pies.

Paso de unidades no convencionales a convencionales.

Utilización directa de herramientas y unidades convencionales.

Dibujo de objetos reales (coches).

Dibujo esquemático (pies o pasos).

Numerales y algoritmo de la suma.

2º 38 metros 130 metros

Cálculo del número total de personas.

Agrupación de 5 en 5 (persona por fila).

Utilización de herramientas y unidades convencionales.

Dibujo de objetos reales pero de forma bastante esquemática (muñequitos).

Numerales.

Algoritmo de la suma (horizontal y vertical).

3º 38 metros 43´74 metros

Cálculo del número total de personas.

Diferentes tipos de agrupaciones sucesivas hasta llegar al total: 5 en 5, 10 en 10, 20 en 20.

No necesitan herramientas de medida, miden a través del cálculo.

Diferentes tipos de grafías: marcas, círculos, unos...

Algoritmo de la multiplicación.

CONCLUSIONES

Hemos visto que una buena forma de aprender matemáticas es "hacer matemáticas" y que en estas circunstancias los niños y las niñas son capaces de resolver problemas que requieren destrezas y contenidos matemáticos que aún no se les ha enseñado.

En el mundo real no basta con memorizar, hay que pensar y actuar. En matemáticas no se avanza mediante la repetición rutinaria de procedimientos aprendidos y los docentes tenemos que tener mucho cuidado con la enseñanza de algoritmos y reglas matemáticas que a veces no son comprendidas por los alumnos/as.

En la experiencia que hemos relatado, los niños y las niñas entienden el problema que tienen que resolver y quieren encontrar una solución: "necesitan encontrar la solución". Para ello diseñan un plan de acción, lo llevan a cabo, consideran si los resultados obtenidos son ade-cuados o no... Tenemos que constatar que los niños y niñas con dificultades de aprendizaje se involucran en este tipo de actividades.

De todas formas, en estas edades, tenemos que dar mucho más valor al proceso que a la res-puesta correcta, permitiendo que utilicen diferentes estrategias y tipos de graficación.

Es importante también la verbalización de sus ideas, puesto que esto ayuda a organizar y ordenar el pensamiento.



LABURPEN KOADROA

TaldeaJasotako emaitzak

Erabilitako estrategiak (kalkulua eta neurria)

Grafikazio mota

5 urte 6 ibilgailu eta 2 tarte

Zenbaketa.

Ez dago neurtzeko beharrik.

Marrazketa.

1. maila

44 metro 36 metro 47 metro

Unitate ez konbentzionalen erabilera: soka eta oinak.

Unitate ez konbentzionaletatik konbentzionaletara pasatzea.

Tresna eta unitate konbentzionalen erabilpen zuzena.

Gauza errealen marrazketa (ibilgailuak).

Marrazketa eskematikoa (oinak edo urratsak).

Numeralak eta batuketaren algoritmoa.

2. maila

38 metro 130 metro

Pertsona kopuru osoaren kalkulua.

Bosnako taldekatzea (pertsona ilarako.

Tresna eta unitate konbentzionalen erabilpena.

Gauza errealen marrazketa era nahiko eskematikoan (panpintxoak).

Numeralak.

Batuketaren algoritmoa (horizontala eta bertikala).

3. maila

38 metro 43´74 metro

Pertsona kopuru osoaren kalkulua.

Jarraikako taldekatze era desberdinak guztira iritsi arte: bosnaka, hamarnaka, hogeinaka.

Ez dute neurketa tresnen beharrik, kalkuluen bidez neurtzen dute.

Grafia mota desberdinak: markak, borobilak, batak, …

Biderketaren algoritmoa.

ONDORIOAK

Ikusi dugunez, Matematika ikasteko era on bat "Matematika egitea" dela, eta egoera hauetan ikasleak gai direla oraindik irakatsi ez zaien gaitasun eta eduki matematikoak erabiliz arazoak ebazteko gai direla.

Benetako munduan ez da memoriaz ikastea aski, pentsatu eta ekin behar da. Matematikan ez da aurreratzen lehendik ikasitako errutinazko errepikapenen bitartez eta irakasleok algo-ritmoen eta arau matematikoen irakaskuntzarekin kontu handiz ibili behar gara, batzuetan ikasleek ez dituztelako ulertzen.

Azaldu dugun esperientzian, ikasleek arazoak ebatzi eta konponbideak bilatu nahi dituzte: "konponbideak bilatu behar dituzte. Horretarako akzio plan bat diseinatu, hau aurrera eraman, lortutako emaitzak egokiak diren ala ez erabakitzen dute, ... Ikasketetan zailtasunak dituzten ikasleak jardueretan parte hartzen dutela ziurtatu behar dugu.

Dena den, adin hauetan, prozesuari garrantzi handiagoa eman behar diogu erantzun zuzenari baino, horretarako estrategia desberdinak eta grafikazio desberdinak onartu behar ditugu. Garrantzitsua da ere, ideien berbalizazioa, honek pentsamendua antolatzen eta ordenatzen laguntzen duelako.

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Por último vamos a recordar lo que nos dice el nuevo currículo de matemáticas:

"Las matemáticas son útiles. Miremos donde miremos, las matemáticas están ahí, las veamos o no. Se utilizan en la ciencia, en la tecnología, la comunicación, la economía y tantos otros campos. Son útiles porque nos sirven para reconocer, interpretar y resolver los problemas que aparecen en la vida cotidiana..."

BIBLIOGRAFÍA

Alonso, M. y otros, 2003: "La Jota de la Medida". Revista SIGMA nº 23.

Baroody, A. J., 1988: El pensamiento matemático de los niños. VISOR.

Chamorro, C., 1991: El aprendizaje significativo en el área de las matemáticas. Alambra Longman.

Frabetti, C, (2000: Malditas matemáticas. Alicia en el País de los Números. Alfaguara Juvenil.

Rowan, T. E.; Bourne, B., 1999: Pensando como matemáticos. Manantial S.



Azkenik, Matematikako Curriculum berriak esaten diguna gogorazi behar dugu:

"Matematika erabilgarria da. Begiratzen dugun tokira begiratzen digula, han dugu matematika, ikusi edo ez ikusi. Zientzian, teknologian, komunikazioan, ekonomian eta beste arlo askotan erabiltzen da. Matematika erabilgarria da, eguneroko bizitzako arazoak hautemateko, interpre-tatzeko eta horiei irtenbidea emateko balio baitigu.

BIBLIOGRAFIA:

Alonso, M. eta besteak, 2003: "La Jota de la Medida". SIGMA aldizkaria 23. zenbakia,.

Baroody, A. J., 1988: El pensamiento matemático de los niños. VISOR.

Chamorro, C., 1991: El aprendizaje significativo en el área de las matemáticas. Alambra Longman.

Frabetti, C., 2000: Malditas matemáticas. Alicia en el País de los Números. Alfaguara Juvenil.

Rowan, T. E.; Bourne, B., 1999: Pensando como matemáticos. Manantial SRL

Tetragonal Sixlink. Teo Geerinck

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