Áramlastan könyv
-
Upload
marton-dobo -
Category
Documents
-
view
242 -
download
0
Transcript of Áramlastan könyv
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 1/195
%8'$3(67,06=$.,(*<(7(0
ÁRAMLÁSTAN TANSZÉK
LAJOS TAMÁS
A Z Á R A M L Á S T A N A L A P J A I
(/$'È6,-(*<=(7
B U D A P E S T
1 9 9 2
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 2/195
2
B E V E Z E T É S
(] D MHJ\]HW HJ\ NpWHV NLPHQHWHO NtVpUOHWQHN LV WHNLQWKHW VLNHUO-e mintegy kétszáz
oldalon úgy összefoglalni az emberi tudás egy nagy szegmensének, az áramlástannak a
OpQ\HJHV UpV]HLW KRJ\ D] ROYDVy HOHJHQG VHJtWVpJHW NDSMRQ DQQDN PHJpUWpVpEHQ
elsajátításában és ami a legfontosabb, megszeretésében és a mérnöki alkotómunkában való
eredményes felhasználásában.
0LQWPLQGHQLVPHUHWN|]OpVDMHJ\]HWtUiVLVD]ÄHOKDOOJDWiVPYpV]HWH´D]WQHKp]XJ\DQLV
meghatározni, hogy mi az, amit nem szükséges leírni, megtanítani és megtanulni. Az
érdekes és fontos ismeretek nagy mennyisége és a terjedelmi korlátok közötti ellentmondást
neKp] IHOROGDQL QHKH]HQ NHUOKHW HO D Yi]ODWRVViJ )LJ\HOHPEH YpYH D]RQEDQ KRJ\ H
jegy]HW D] HODGiVRNNDO D WDQWHUPL pV ODERUDWyULXPL J\DNRUODWRNNDO HJ\WW VHJtWL D
felkészülést, és bízva az olvasó |QiOOyPXQNiMiEDQD V]HU] YiOODOWD D NHYpVEp UpV]OHWHV
kifejtés kockázatát.
$]iUDPOiVWDQ RO\DQ LVPHUHWHNNHO IRJODONR]LN DPHO\HNQHPFVDN DPV]DNLDONRWiVRND
PpUQ|NL IHODGDWRN QDJ\ UpV]pEHQ MiWV]DQDN G|QW V]HUHSHW GH KR]]iVHJtWHQHN DKKR] LV
hogy mHJpUWVN D] pO pV pOHWWHOHQ WHUPpV]HW V]iPRV MHOHQVpJpW $ UHSOpVEHQ D
hajózásban, az energetikában, a közúti közlekedésben, a szállításban, a vízépítésben, a
környezetvédelemben, a vegyiparban, az épületgépészetben és az emberi tevékenység
számos más területén fontos szerepe van a közegek áramlásával kapcsolatos ismereteknek.Ugyanakkor a meteorológia, az orvostudomány, a biológia, a hidrológia, az oceanográfia
PYHOpVH VHP NpS]HlKHW HO D] iUDPOiVWDQ DONDOPD]iVD QpONO ,JHQ VRN WHUPpV]HWL
jelenség,DPHO\VLGNyWDPHJUDJDGMDD]HPEHUNpS]HOHWpWD OiQJRNORERJiVD D IRO\yN
YL]pQHN iUDPOiVD D WHQJHU KXOOiP]iVD D IHOKN MiWpND D V]pO VXVRJiVD PLQG-mind a
közegek áramlásával vannak kapcsolatban, mutatva a lehetséges változatok végtelen
számát, az áramlási jelenségek bonyolultságát.
Az áramlástant sokan azért is tartják figyelemreméltó tantárgynak, mert igen szépen és
érdemben kapcsolja össze a fizikai jelenségek leírását a matematikai ismeretek alkalmazá-
sával és a gyakorlati mérnöki feladatok megoldásával. Ilymódon ez a tantárgy
hozzájárulKDW HJ\ RO\DQ PpUQ|NL KDELWXV NLDODNXOiViKR] DPHO\ D J\DNRUODWL PV]DNL
feladatok igéQ\HVHOPpOHWLDSSDUiWXVELUWRNiEDQW|UWpQ PHJROGiViWUpV]HVtWLHOQ\EHQDKRO
az elmélet és a gyakorlat szerves kapcsolata valósul meg.
Megköszönve Kristóf Gergely doktorandusz kolléga lelkes munkáját az ábrák
elkészítésé EHQpVD]DQ\DJV]HUNHV]WpVpEHQDV]HU]NLWDUWiVWpVWUHOPHWNpUYHHUHGPpQ\W
és örömet kívánva az olvasó jóindulatába ajánlja a jegyzetet.
Budapest, 1994 tavasz Lajos Tamás
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 3/195
1. Az áramlástan tárgya, a folyadékok
sajátosságai
1.1. A folyadékok és a szilárd anyagok összehasonlítása
Az áramlástan nyugvó és mozgó folyadékok egyes sajátosságaival ill. e sajátosságok
J\DNRUODWL PV]DNL DONDOPD]iViYDO IRJODONR]LN 1\XJYy IRO\DGpNWHUHNEHQ iOWDlában a
nyomásmegoszlás meghatározása a feladat, míg áramló közegekben a nyomásmegoszlás
mellett legtöbbször a folyadék sebességének eloszlására vagyunk kíváncsiak.
$ÄIRO\DGpNRN´HWDQWiUJ\EDQHJ\DUiQWMHOHQWLNDFVHSSIRO\yVpVDOpJQHP KDOPD]-
állapotú közegeket,tJ\OHJW|EEV]|UDOHYHJYHOpVDYt]]HOPLQWDPV]DNLJ\DNRUODWEDQlegJ\DNUDEEDQHOIRUGXOyIRO\DGpNRNNDOIRJODONR]XQN
0L NO|QE|]WHWL PHJ D IRO\DGpNRNDW D V]LOiUG WHVWHNWO" 9pJH]]QN HO HJ\ JRQGRODWL
kisérletet. Az 1.1. ábrán bal oldalon két síklap közé helyezett, lapos szilárd testet
1.1. ábra
látunk, amelyet alul és felül a lapokhoz ragasztunk. Jobb oldalon a két párhuzamos lap
között folyadékréteg (pl. olaj) van. A szilárd test és a folyadékréteg lappal párhuzamos
keresztmetszete A. AzDOVyODSU|J]tWHWWDIHOV|QPDJiYDOSiUKX]DPRVDQHOPR]GtWKDWy
Hassunk F HU YHO D IHOV ODSUD $]W WDSDV]WDOMXN KRJ\ D V]LOiUG DQ\DJEDQ NHOHWNH]
τ = F A csúsztatófeszültség hatására a szilárd anyag deformálódik. A deformációra
MHOOHP] γ szög egy határig arányos a τ csúsztatófeszültséggel (Hooke-W|UYpQ\-HOHQWV
deformáció általában csak az anyag szerkezetének tönkremenetelével valósítható meg.
A folyadékrétegetN|]UHIRJyODSRNN|]ODIHOVUHFHU YHOKDWYDDIHOVODSXVHEHVVpJ
mozgásba jön, a IRO\DGpNLGEHQIRO\DPDWRVDQGHIRUPiOyGLN +DNO|QE|]QDJ\ViJ~F
HU WIHMWQNNLYDJ\NO|QE|]ANHUHV]WPHWV]HWV]LOiUGWHVWHNNHOYDJ\IRO\Ddékrétegekkel
kísérletezünk, azt tapasztaljuk, hogy amíg a szilárd testnél a γ deformáció, a folyadéknál
a deformáció sebessége, a dγ /dt arányos egyenesen a τ csúsztatófeszültséggel.
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 4/195
4
A kísérlet során azt tapasztalnánk, hogy D V]LOiUG IDOODO pULQWNH] I olyadék sebessége
közvetlenül a falnál megegyezik a fal sebességével. Ezt az általánosan alkalmazott
tapasztalatot a tapadás törvényének szoktuk nevezni.
5DM]ROMXN IHO iEUD D NpWSiUKX]DPRVVtNRW|VV]HN|WD]RNUDPHU
OHJHVH HJ\HQHV
mentén a sebesVpJPHJRV]OiVW D]D] D]RQ VHEHVVpJYHNWRURN YpJSRQWMDLW |VV]HN|W
görbét, amelyek talppontjai az e egyenesen vannak! A tapadás törvénye következtében
D]iOOyODSKR]OHJN|]HOHEEOpYIRO\DGpNUpV]HNVHEHVVpJH Y [ = PtJDIHOVODSN|]vetlen
közelében a sebességHJ\HQODODSXVHEHVVpJpYHO0LO\HQDVHEHVVpJPHJRV]OiVDNpWODS
között?
1.2. ábra
(NpUGpVPHJYiODV]ROiViKR]HOV]|UKDWiUR]]XNPHJDγ és a v x közötti kapcsolatot!
Megjegyzés: A differenciálhányados szokásos matematikai értelmezése egy
differenciálható y=y(x) függvény egy rögzített pontjában, ha ∆ y a ∆ x növekményhez tartozó
függvényérték megváltozás:
OLP ∆
∆
∆[
\
[
G\
G[\ WJ
→= = =
α ,
ha α DU|J]tWHWWSRQWEDQD]pULQW KDMOiVV]|JHDSR]LWtY[WHQJHO\W OPpUYH$d y
d xitt egy
szimbolikus jelöléseDKDWiUpUWpNQHNpVQHPDV]iPOiOypVQHYH] KiQ\DGRVD
(OV VRUEDQ D P V]DNL WXGRPiQ\RN WHUOHWpQ V]RNiVRV Dd y
d xkifejezés egy másik
értelmezése:
OLP ∆
∆
∆[
\
[\ WJ
G\
G[→= = =
α ,
DPLDOiWV]DWWDOHOOHQWpWEHQHOYLOHJNO|QE|]LND]HO ] IHOtUiVWyO(V]HULQWDKDWiUpUWpNiOWDO
U|J]tWHWWpULQW LUiQ\WDQJHQVNpWNLFVLQ\GH összetartozó dx és dy érték hányadosával is ki-
IHMH]KHW $NLFVLQ\MHO] D]WMHOHQWLKRJ\H]HQpUWpNHNDJ|UEHRO\DQNLFVLV]DNDV]iQDNYe-
WOHWHLDPHO\HOHJHQG HQMyO közelíti az y=y(x) függvényt a rögzített pont környezetében.
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 5/195
5
Így értelmeztük a dy és dx differenciálokat, melyeknek hányadosa, szorzata stb. is értelme-
zett.
A jelen jegyzetben ez utóbbi értelemben kezeljük a differenciálokat, illetve
differenciálhányadosokat.
Az 1.2. ábrán az y helyen látható egy dy vastagságú folyadékréteg. A csak az y-WyOIJJ
Y [ sebességkomponens y irányú változását a GY G\[ differenciálhányados jellemzi.
*RQGRODWEDQ IHVVNPHJD]iUDPOiVEDQD]0 MHOG\KRVV]~ViJ~V]DNDV]WpVYL]VJiOMXN
PHJ KRJ\ GW LG DOatt milyen dγ V]|JJHO IRUGXO HO $] 0 V]DNDV] IHOV UpV]H
Y GY G\ G\[ [+ 1 6 , alsó része Y [ VHEHVVpJJHOPR]RJ$V]DNDV]IHOVUpV]HGWLGWDUWDP
alatt GY G\ G\ GW[1 6 ⋅ -vel távolabbra jut, mint az alsó rész (ld. 1.2. ábra$GWLGWDUWDPUD
jutó elfordulást, dγ -t a fenti szorzat dy-nal való osztásával kapjuk meg. $]HJ\VpJQ\LLGUH
jutó szögelfordulás, azaz a deformációsebesség a dt-vel való osztás után adódik:
G
GW
GY
G\
[γ =
$PLQWD]WD]HO]JRQGRODWNtVpUOHWEHQPHJiOODStWRWWXNDGγ /dt deformációsebesség és a τ
csúsztatófeszültség között egyenes arányosság van. Ezért az (1.1)-et figyelembe véve
felírható Newton viszkozitási törvénye:
τ µ µγ
[\
[GY
G\
G
GW= =
(A τLQGH[HLN|]OD]HOVD τ-t tartalmazó sík normálisának irányát, a második a τ irányát
jelenti. τyx WHKiW D] \ QRUPiOLV~ VtNRQ pEUHG [ LUiQ\~ IHV]OWVpJHW MHO|OL $ V~UOyGiVRV
közegek tárgyalásánál látni fogjuk, hogy általános esetben a τxy kifejezésében más
sebességkomponens hely szerinti deriváltja is szerepel. Megjegyezzük továbbá, hogy a
súrlódásos közegek deformációjánál a csúsztatófeszültségek mellett húzófeszültségek is
keletkezhetnek, amelyekkel a 9. fejezetben foglalkozunk.)
Az (1.2)-ben µ egy, a folyadék tulajdonságaitól IJJ pUWpN DUiQ\RVViJL WpQ\H] D
dinamikai viszkozitás, amelynek mértékegységét a µHJ\HQOHWEOW|UWpQNLIHMH]pVH
után az alábbi módon határozzuk meg:
µ τ=
!
"
$# = =
G\
GY
NJ P
V P
P
P V
NJ
P V[
Definiáljuk a kinematikai viszkozitást, mint a dinamikai viszkozitás és a ρ [kg/m3]
VUVpJKiQ\DGRViW:
νµ
ρ= P V
(1.1)
(1.2)
(1.3)
(1.4)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 6/195
6
Az (1.2) ismeretében már megválaszolhatjuk a sebességmegoszlás alakjára vonatkozó kér-
dést. Esetünkben a τ csúsztatófeszültség az e egyenes mentén, azaz a két lap között állandó,
így (1.2)- EODGyGyDQGYx /dy is állandó, azaz a sebességmegoszlás lineáris.
Ha megvizsgáljuk az (1.2) kifejezést, további következtetéseket vonhatunk le: ha a defor-mációsebesség zérushoz tart, akkor a csúsztatófeszültség is elWQLN (]W ~J\ V]RNWXN
mondani, hogy – a szilárd anyagokkal ellentétben – a folyadékok nyugvásbeli súrlódása
zérus. (Ezért lehet – persze csak igen lassan – eltolni kézzel a parttól egy több tonnás
hajót.)
Másrészt, ha a τ csúsztatyIHV]OWVpJ ]pUXVWyO NO|QE|]LN D] |VV]HIJJpVEO
GY G\[ ≠ következik, azaz nyugvó folyadékban nem tartható fenn tartósan
Q\tUyIHV]OWVpJ D Q\tUyIHV]OWVpJ KDWiViUD D IRO\DGpN LGEHQ IRO\DPDWRVDQ
deformálódik. Ez az egyik fontos sajátosság, amely a folyadékokat a szilárd anyagoktól
megkülönbözteti. További különbség, hogy szemben a szilárd anyagokkal a folyadékok
WHWV]OHJHVPprWpNEHQGHIRUPiOKDWyNEHOVV]HUNH]HWNPHJYiOWR]iVDQpONO
Itt jegyezzük meg, hogy a folyadékok és a szilárd anyagok közötti éles különbségtétel sok
DQ\DJ HVHWpQ QHP N|QQ\ IHODGDW 9DQQDN RO\DQ N|]HJHN XJ\DQLV DPHO\HN HJ\DUiQW
UHQGHONH]QHN D IRO\DGpNRN pV D V]LOiUG DQ\DJRN MHOOHP]LYHO 9DQQDN WRYiEEi RO\DQ
folyadékok is, amelyeknél a csúsztatófeszültség és a deformációsebesség között az (1.2)-WO
HOWpU NDSFVolat áll fenn. Ezeket nem-newtoni közegeknek nevezzük, és sajátosságaikat
NpV EEDI ejezetben tárgyaljuk.
1.2 A folyadékok néhány tulajdonsága
Az 1.3. ábránOiWKDWyGXJDWW\~YDOOH]iUWKHQJHUEHQJ ]YDQDPHO\QHN9 m3 térfogatát és
m [kg] tömegét ismerjük, így ezek hányadosaként számolható a v m kg3 fajtérfogat,
HEEO SHGLJ D ρ=1/v kg m3 VU VpJ $ GXJDWW\~ PR]JDWiViYDO D J] WpUIRJDWiW
változtatjuk, miközben mérjük p [Pa] nyomását. A T >.@ KPpUVpNOHWHW HJ\ KFVHUpO
VHJtWVpJpYHOKEHYH]HWpVVHOYDJ\HOYRQiVVDOiOODQGypUWpNHQWDUWMXN
.O|QE|] 7=áll. mellett mozgassuk a dugattyút balfelé és mérjük a v fajtérfogat
függvényében a p nyomást, majd a mérési eredményeket ábrázoljuk az 1.3. ábrán látható
diagramban.
$GRWWiOODQGyKPpUVpNOHWPHOOHWWFV|NNHQWYHDJ ]WpUIRJDWiWDQ\RPiVNH]GHWEHQQ|YHk-
V]LNPDMGiOODQGyYiYiOLN(NNRUDKHQJHUEHQIRO\DGpNFVHSSHNMHOHQQHNPHJD]D]DJ]
|VV]HQ\RPiV PpUWpNpWO IJJUpV]e kondenzálódik. Tovább csökkentve a térfogatot az
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 7/195
7
ösV]HVJ]NRQGHQ]iOyGLNpVFVDNFVHSSIRO\yVIi]LVOHV]DKHQJHUEHQDPHO\NLVWpUIRJD t-
csökkenésre nagy nyomás növekedéssel reagál, azaz a görbék igen meredekek lesznek.
1.3. ábra
$NO|QE|]7=áll. mellett kapott görbék két helyen törnek. E töréspontok összekötésével
a diagram bal és jobb oldalán egy-HJ\KDWiUROyJ|UEpWNDSXQNDPHO\HN D GLDJUDP IHOV
részén egy u.n. kritikus pontban találkoznak. A görbék között a közeg mind cseppfolyós
PLQG SHGLJ OpJQHP D]RNWyO EDOUD FVDN FVHSSIRO\yV MREEUD SHGLJ FVDN OpJQHP
halmazállapotban van.
Van egy olyan 7NULW Ji]KPpUVpNOHWDPHO\QpODOpJQHP-FVHSSIRO\yViWDODNXOiVUHMWHWWK
felszabadulása nélkül megy végbe a S NULW nyomáson és Y NULW fajtérfogaton, és amelynél
PDJDVDEEKPpUVpNOHWHQQHPOHKHWD]DGRWWJi]WFVHSSIRO\yVtWDQL9t]UH 7NU = 647 K, S NU
= ⋅ Pa.)
Az 1.3. ábra MREE ROGDOiQ HOKHO\H]NHG KDWiUROyJ|UEpQ pV D &6/ MHO WHUOHWHQ D J]
telítettD]D]DJ]DWpUIRJDWYiOWR]isára halmazállapot változással reagál. A jobb oldali
KDWiUROyJ|UEpWO MREEUD DQQDN N|]HOpEHQ OpY SRQWRNNDO MHOOHP]HWW iOODSRWRNQiO
túlheví WHWWJ]UOPtJDKDWiUROyJ|UEpWOWiYROSO 7 7NULW>> esetén gázról beszélünk.
$OHYHJW DONRWy 2 és 1 esetén a 7NULW rendre>.@pV>.@WHKiWDPV]DNL
DONDOPD]iVRNQiO V]RNiVRV KPpUVpNOHWHNQpO 7 7NULW> > .ËJ\DOHYHJJi]QDNWHNLQWKHW
amelyre jó közelítéssel érvényes az ideális gázra vonatkozó gáztörvény:
SY = S
57ρ
= ,
ahol 5 5 0X=
az adott gáz gázállandója, ami az univerzális gázállandó (Ru = 8314.3 J/kg/K) és aPROW|PHJ0NJNPROKiQ\DGRVD/HYHJUH0>NJNPRO@WHKiW5-NJ.$]
(1.5)
(1.6)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 8/195
8
1.3. ábrán látható, hogy a CS+L-lel jelölt területen (ahol a gáz telített állapotban van) a
7 iOO= görbék vízszintesek, azaz egyDGRWW7KPpUVpNOHWKH]DGRWWWHOtWHWWJ]Q\RPiVSg
tartozik. Rajzoljuk fel a a vízre vonatkozó 7 S J− u.n. tenziógörbét: 1.4. ábra!
1.4. ábra
$ GLDJUDPEyO OiWKDWy KRJ\ NLV KPpUVpNOHWHQ LV OpWUHM|KHW J]Ii]LV D]D] D IRO\DGpNIRUUiVEDM|KHWKDHOHJHQGHn kicsiny a nyomás. A nyomás csökkenését okozhatja pl. az
iUDPOiVL VHEHVVpJ PHJQ|YHNHGpVH (OIRUGXOKDW WHKiW KRJ\ D] iUDPOy IRO\DGpNEDQ D
nyomás a telí WHWW J]Q\RPiVLJ FV|NNHQ H]pUW J]EXERUpNRN NHOHWNH]QHN $PLNRU H
buborékok nagyobb nyomású helyre kerOQHN D J] NRQGHQ]iOyGLN D EXERUpNRN
összeroppannak és a közelük EHQ OpY V]LOiUG DQ\DJ IHOOHWpQ SO V]LYDWW\~ ODSiWMiQ
MHOHQWVURQFVROiVWRNR]QDN$Jz EXERUpNRNNpS]GpVpWpV|VV]HURSSDQiViWkavitációnak,
a roncsolást kavitációs eróziónak nevezzük.
$FVHSSIRO\yVpVOpJQHP KDOPD]iOODSRW~N|]HJHNN|]|WWLOHJIRQWRVDEENO|QEVpJHN
EHPXWDWiVDpUGHNpEHQUDM]ROMXNI|ODPROHNXOiNN|]|WWKDWyHU WDN|]|WWNOpYGWiYROViJ
függvényében: 1.5. ábra.
A diagramból látható, hogy a molekulák között
DGWiYROViJWyOIJJHQYRQ]iVpVWDV]tWiVHJy-
aránt felléphet. A G „semleges” távolság,
DPLNRUD]HU ]pUXVHJ\V]HU PROHNXOiNQiOi l-
talában − ⋅ − [m], ami kb. a molekulák
átmér MpYHO HJ\HQO A cseppfolyós halmazál-
lapotú közegek molekulái egymáshoz viszony-
lag közel vannak: G G≈ . A távolság csökkené-
se eseWpQ PHUHGHNHQ Q|YHNHG WDV]tWiV PHg-
magyarázza, hogy miért növekszik olyan rohamosan a nyomás, ha csökkentjük a cseppfo-
lyós halmazállapotú közegek térfogatát. (vö.: 1.3. ábra)
A molekulák távolításakor kHOHWNH]YRQ]yHU QDJ\REEWiYROViJHVHWpQURKDPRVDQ
G−
-QHODUiQ\RVDQFV|NNHQ0LXWiQDJi]RNVU VpJHNEQDJ\ViJUHQGGHONLVHEEPLQWDfolyadékoké, a molekulák közötti átlagos távolság gázoknál a cseppfolyós közegeknél ér-
1.5. ábra.
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 9/195
9
vényes ≅ G távolságnak kb. tízszerese. Ezért – szemben a cseppfolyós halmazállapotú kö-
zegekkel – a gázoknál a molekulák közötti vonzó-YDJ\WDV]tWyHUD]WN|]pVHNWOHl-
tekintve elhanyagolható.
$ OpJQHP pV FVHSSIRO\yV N|]HJHN YLV]NR]LWiViQDN HUHGHWpW YL]VJiOYD MHOHQWVkülönbséget tapDV]WDOXQN7XGMXNKRJ\DN|]HJHNEHOV HQHUJLiMDDPLWDKPpUVpNOHWWHO
jellemzünk) a közeget alkotó molekulák rendezetlen mozgásával függ össze. A OpJQHP
közeg molekuláiD]WN|]pVHNWOHOWHNLQWYHHJ\PiVWyOIJJHWOHQOPR]RJKDWQDND G -hoz
képest jelentVWiYROViJRWV]DEDG~WKRVV]DWPHJWpYHNpWWN|]pVN|]|WW$]iUDPOyJi]RN
tehát viszonylag nagy sebességgel, rendezetlenül mozgó molekulákból álló halmazok,
amelyek a rendezetlen molekula-sebességhez képest általában egy-két nagyságrenddel
lassabban mozognak az áramlás irányában. Amit mi a gáz sebességének tekintünk (pl. Y [ a
(1.2) összefüggésben), az a gyorsan mozgó molekulák sebességének vektoriális átlaga.
Tételezzük fel, hogy a Y [ változik az y mentén, azaz az egymás mellett haladó gázrétegek
sebessége NO|QE|] $ UHQGH]HWOHQ KPR]JiV N|YHWNH]WpEHQ D QDJ\REE VHEHVVpJ
UpWHJEO D NLVHEE VHEHVVpJ EH iWMXWy PROHNXOiN J\RUVtWMiN D] H UpWHJEHQ KDODGy
PROHNXOiNDWPtJDNLVHEEVHEHVVpJHNDQDJ\REEVHEHVVpJUpWHJEHMXWYDODVVtWMiND]WA
NO|QE|] VHEHsséJ UpWHJHN N|]|WW D Ji]PROHNXOiN UHQGH]HWOHQ PR]JiVD
N|YHWNH]WpEHQOpWUHM|YPolekuláris impulzuscsere a gázok viszkozitásának forrása.
+DQDJi]KPpUVpNOHWHD]D]QDPROHNXOiNUHQGH]HWOHQPR]JiViQDNVHEHVVpJHQDNO|QE|] UpWHJHN N|]|WW iWOpS PRlekulák száma, ezért Q D YLV]NR]LWiV. Ha adott
KPpUVpNOHW PHOOHWW D nyomás növekszik, nem várható a viszkozitás változása, ami a
követke]NpSSHQ PDJ\DUi]KDWy $ Q\RPiV D] HJ\VpJQ\L IHOOHWHQ LUiQ\W YiOWR]WDWy
PROHNXOiNiOWDODIHOOHWHQNLIHMWHWWHU DPLDGRWWKPpUVpNOHWD]D]DJi]PROHNXOiNDGRWW
rendezetlen se EHVVpJH HVHWpQ D WpUIRJDWHJ\VpJEHQ OpY PROHNXOiN V]iPiWyO D]D] D
VU VpJWOIJJ1aJ\REEQ\RPiVHVHWpQDJi]QDJ\REEVU VpJHN|YHWNH]WpEHQDUiQ\RVDQ
W|EEPROHNXODOpSiWXJ\DQD]HOWpU VHEHVVpJUpWHJEHGHDQDJ\REEPROHNXOD-VU VpJ
miatt rövidebb az ütközések között megtett út (a szabad úthossz), ezért kisebb mélységben
KDWROQDNEHD]HOWpU VHEHVVpJUpWHJEHD]D]NLVHEEDPROHNXOiNN|]|WWLLPSXO]XVFVHUH
A cseppfolyós halmazállapotú közegek PROHNXOiL XJ\DQFVDN YpJH]QHN KPR]JiVW
amelynek úthossza a molekulák közötti lényegesen kisebb távolság következtében sokkal
csekélyebb, mint a gázoknál. A molekulák közötti kisebb távolság következtében a mole-
NXOiNN|]|WWLHUQHNMHOHQWVV]HUHSHYDQ a viszkozitás kialakulásában. Ezt indokolja
az a körülmény, hogy – ellentétben a gázokkal – DKPpUVpNOHWQ|YHNHGWpYHODFVHSSI o-
lyós közegek viszkozitása csökken 1|YHNY KPpUVpNOHW XJ\DQLV LQWHQ]tYHEE
KPR]JiVWDPROHN ulák közötti távolság növekedését éVDN|]|WWNKDWyYRQ]yHU FV|NN e-
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 10/195
10
nését eredményezi. Cseppfolyós közegek – mint láttuk – igen kevéssé összenyomhatók,
tehát a nyomásnak ezeknél sincs gyakorlati befolyása a viszkozitásra.
)RJODOMXN|VV]HDFVHSSIRO\yVpVOpJQHP KDOPD]iOODSRW~N|]HJHNNHONDpcsolatos megálla-
pításokat!
cseppfolyós OpJQHP
Molekulák közötti távolág kicsi≈/ nagy≈10/
0ROHNXOiNN|]|WWLHU V]HUHSH nagy⇒szabad felszínt kicsi⇒kitölti a
képez rendelkezésre
álló teret
Nyomás növekedés hatása kicsi⇒1000 bar 5% nagy ⇒ T=áll. esetén
a térfogatra térf. csökkenést v az 1/p-vel
okoz arányos (1.5)
A viszkozitás forrása molekulák közötti PROHNXOiNKPR]JiVD
YRQ]yHU miatti impulzuscsere
A viszkozitás
DKPpUVpNOHWQ|YHNHGWpYHO csökken Q
a nyomástól nem függ nem függ
1.3. Az ideális folyadék
$IHQWLJRQGRODWPHQHWEOOiWKDWyKRJ\MHOHQWVNO|QEVpJYDQDFVHSSIRO\yVpVOpJQHP
közegek felépítése, szerkezete között. Mégis, ha az áramlástani feladatok megoldása szem-
pontjából tekintjük e közegeket, igen sok egyezést tapasztalunk. Így például az (1.2) össze-
függéssel leírt Newton viszkozitásiW|UYpQ\DOHJJ\DNUDEEDQHOIRUGXOyFVHSSIRO\yVpVOpg-
QHPKDOPD]iOODSRW~N|]HJHNUHHJ\DUiQWpUYpQ\HV
(]pUWYROWOHKHWVpJDIRO\DGpNJ\ MWIRJDORPEHYH]HWpVpUHYDODPLQWDNO|QE|] KDOPDz-
állapotú folyadékokra egyaránt érvényes áramlástani összefüggések meghatározására.
$YDOyViJRVFVHSSIRO\yVpVOpJQHPKDOPD]iOODSRW~IRO\DGpNRNPRGHOOH]pVpUHEHYH]Ht-
ték az ideális folyadék fogalmát, amelynek legfontosabb sajátosságait a valóságos folyadé-
kokkal összehasonlítva adtuk meg.
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 11/195
11
Valóságos folyadék Ideális folyadék
PROHNXOiULVV]HUNH]HW homogén (kontinuum)
súrlódásos (µ ≠ 0) súrlódásmentes (µ = 0)
összenyomható (ρ ≠ áll.) összenyomhatatlan (ρ = áll.)
$ N|YHWNH] IHMH]HWHNEHQ W|EE D] LGHiOLV IRO\DGpNRNUD pUYpQ\HV |VV]HIJJpVW IRJXQN
meghatározni, amelyek meghatározott esetekben jól használhatók valóságos folyadékok
áramláViQDNOHtUiViUDPV]DNLIHODGDWRNPegoldására. Ahhoz kell szilárd tudás és intuició,
KRJ\D]HJ\V]HU VtWIHOWHYpVHNDONDOPD]iViQDNOHKHWVpJpWKHO\HVHQKDWiUR]]XNPHJpVD]
elhanyagolások, közelítések hatását jól meg tudjuk becsülni. Becsléseink, feltevéseink he-
lyességét a kísérletek, a gyDNRUODWLWDSDV]WDODWRNPXWDWMiNPHJ.pV EEDV~UOyGiVPHQWHs-
ség és az összenyomhatatlanság feltételeit már nem kötjük ki és ezáltal egyre bonyolultabb,
de a valóságos közeg áramlását egyre tökéletesebben leíró megoldásokra jutunk.
Felmerül a kérdés, hogy PLpUW YDQ V]NVpJ LO\HQ ÄW|EEOpSFVV´PHJROGiVUD HOKDQ\Dgo-
lásokra és ezek hatásának becslésére. Azért, mert jelenlegi áramlástani ismereteink, a ren-
delkezésUHiOOyPDWHPDWLNDLHV]N|]WiUpVV]iPtWiVLNDSDFLWiViOWDOiEDQQHPHOHJHQGKRJ\
a természetben YDJ\DPV]DNLJ\DNRUODWEDQHOIRUGXOyiUDPOiVWDQLSUREOpPiNDWV]iPtWiVVDO
„pontoVDQ´PHJROGMXNËJ\SOPpJPLQGLJWiYROYDJ\XQNDWWyODOHKHWVpJWOKRJ\HJ\
személyauWyUDKDWyiUDPOiVLHUHGHW HU WV]iPtWiVVDODPV]DNLJ\DNRUODWV]HPSRQWMiEyO
szükséges – mondjuk ±2%-os relatív hibahatáron belül – kiszámoljuk.
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 12/195
2. Fizikai mennyiségek és leírásuk
2.1. Skalárterekkel leírható mennyiségek
6UVpJ
$ YDOyViJRV N|]HJ VU VpJH ρε
Y9
P
9NJ P=
⇒OLP
∆
∆
∆
, ahol ∆m a ∆9 WpUIRJDWEDQ OpY
közeg tömege, ε pedig egy, a vizsgált folyadéktér méreteihez képest kicsi, de a folyadék-
molekulák közötti távolsághoz képest nagy méret. (Ha ε a molekula-távolság nagyságrend-
MpEHHVPpUHWOHQQHDNNRUDVU VpJMHOHQWVHQLQJDGR]QDDWWyOIJJHQKRJ\pSSHQKiQ\
molekula tartózkodik a ∆V térfogatban.)
Az ideális folyadékot homogénnek tekintjük és ρVU VpJpWDPRGHOOH]HWWYDOyViJRVN|]HJ
ρvVU VpJpYHOYHVV]NHJ\HQOQHNDPLiOWDOiEDQD]rKHO\YHNWRUpVDWLGIJJYpQ\HA
VUVpJHW iOWDOiQRVDQ D ρ ρ U W skalártér, azaz a ρ ρ [ \ ] W négyváltozós
függvény írja le.
Nyomás
Vegyünk fel nyugvó folyadékban egy felületelemet ill. az azt jelOHP]∆A felületelem vek-
tortDPHO\PHU OHJHVDIHOOHWHOHPUHDEV]RO~WpUWpNHDUiQ\RVDIHOOHWHOHPQDJ\ViJiYDOpV
zárt felület esetén kifelé mutat). A ∆A felületelemre ∆FHU KDW
Nyugvó valóságos (súrlódásos) folyadékban az
(1.2) összefüggés értelmében nem tartható fenn
csúsztatófeszültség, ezért ∆F-QHN PHU OHges-
nek kell lennie a felületre. (Ugyanez érvényes
ideális közegben is, függetlenül attól, hogy
nyugszik-e vagy áramlik.)
$] HJ\VpJQ\L IHOOHWUH KDWy DUUD PHU OHJHV
HU W Q\RPiVQDN >1P2] ill. [Pa]) nevezzük,
DPLDNNRUSR]LWtYKDD]HU DIHOOHWEHEHIHOp
mutat. (Súrlódásos közegek áramlása esetén a folyadék deformáció következtében is kelet-
kezikIHOOHWUHPHU OHJHVHU ,O\HQNRUDQ\RPiVDIRO\DGpNWpUEHQNHOHWNH] I IHV]OWVpJHN
átlagának ellentettje, ld. 9. fejezet.)
9DOyViJRV N|]HJHNQpO D Q\RPiVD KPR]JiVW YpJ] PROHNXOiNpVD IHOOHW N|]|WWL N|l-
csönhatás következményeként jön létre.
2.1. ábra
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 13/195
13
Az 2.1. ábrán látható, a nyugvó folyadékban gondolatban elhatárolt, háromszög alakú kis
KDViEIHOOHWpQKDWyHU NHJ\HQV~O\EDQYDQQDNDPLNRUDKDViERWHJ\SRQWUD]VXJRUtWMXN
$KDViEUDKDWyWpUHU VVpJ/ SODV~O\HU /XJ\DQLVDIHOOHWLHU NK|]NpSHVWHOWQLNPLXWiQ
D]DMHOOHP]PpUHWN|EpYHOPtJDIHOOHWLHU DQQDNQpJ\]HWpYHODUiQ\RVDQFV|NNHQ(]W
D]HJ\HQV~O\WHJ\]iUyGyYHNWRUKiURPV]|JIHMH]LNLDPHO\QHNROGDODLPHU OHJHVHNDKDViE
odalaira, következésképpKDVRQOyDKDViEKiURPV]|JDODN~NHUHV]WPHWV]HWpKH](EEON ö-
vetkezik, hogy [∆Fi] rendre arányos ∆Ai -vel, azaz a nyomás értéke egy pontban a felület
irányításától független, skaláris mennyiség.
A nyomás áltaOiEDQDKHO\pVD]LGIJJYpQ\HWHKiWDSSr,t) skalártérrel azaz a p
=p(x,y,z,t) négyváltozós függvénnyel írható le.
Hasonlóan skalártérrel írható le a T=T(r,t) KPpUVpNOHW megoszlás is.
A skalártereket szintfelületekkel (szintvonalakkal) jellemezzük, amelyek a tér (ill. sík)
azon pontjait kötik össze, amelyekben a fizikai változó értéke azonos. (Pl. az izobárok az
állandó nyomású pontokat.)
A skalárterek hely szerinti változásának jellemzésére egy vektormennyiséget haszná-
lunk, amelynek x, y és z komponensei a leírt fizikai mennyiség x, y és z irányú változásá-
nak rohamosságával arányosak:
JUDG S S S[
L S\
M S]
N SU
DKRO[
L\
M]
N
= ∇ = + + =
∇ = + +
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
A gradiens vektor
– a skalártér legrohamosabb változásának irányával párhuzamos,
– a skalártér növekedésének irányába mutat,
– hossza arányos a változás rohamosságával,
–PHU OHJHVDV]LQWIHOOHWUHV]LQWYRQDOUD
+DDWpUNpWN|]HOOpY$pV%SRQWMiWD∆s vektor köti össze, amelynek talppontja az A
pontban van, a p skalártér ∆p változását a B és A pont között lineáris közelítésben a
∆ ∆ ∆ ∆ ∆ S S S JUDG S VS
[[
S
\\
S
]]% $= − ≅ = + +
∂
∂
∂
∂
∂
∂
skalárszorzat adja meg.
(2.1)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 14/195
14
2.2. Vektorterekkel leírható mennyiségek
Sebességtér
A sebesség vektor viOWDOiEDQDKHO\pVD]LGIJJYpQ\HH]pUWHJ\YHNWRU -vektor függ-vénnyel (vektortérrel) írható le:
Y Y L Y M Y N Y U W[ \ ]= + + = 1 6 .
A vektortér meghatározható a vx , vy és vz vektorkomponens leírásával, azaz három
skalártérrel is:
Y Y [ \ ] W Y Y [ \ ] W Y Y [ \ ] W[ [ \ \ ] ]= = = .
Tekintsük a 2.2. ábrát, ahol az r vektorhoz tartozó v vektort ábrá-
zoltuk. Hogyan változik a sebesség, ha ∆r-rel elmozdulunk? Ha-
tározzuk meg tehát a sebességvektortér ∆r-hez tartozó ∆v meg-
változását!
A feladat megoldására felhasználhatjuk a skalártér jellemzésére
tanult módszert, azaz képezhetjük az egyes vektorkomponensek,
mint skalárterek gradiensét, és ezek segítségével számolhatjuk a
v sebességvektor komponenseinek változását a ∆r elmozdulásvektor mentén:
∆ ∆ ∆ ∆ ∆Y JUDG Y U Y
[[
Y
\\
Y
]][ [
[ [ [≅ = + +∂
∂
∂
∂
∂
∂.
Hasonlóképpen felírva a Y \ és Y ] megváltozását, látjuk, hogy a ∆v sebesség változás vek-
tor az alábbi módon írható fel:
∆
∆ ∆ ∆
∆ ∆ ∆
∆ ∆ ∆
∆
∆
∆
Y
Y
[ [
Y
\ \
Y
] ]Y
[[
Y
\\
Y
]]
Y
[[
Y
\\
Y
]]
Y
[
Y
\
Y
]Y
[
Y
\
Y
]
Y
[
Y
\
Y
]
[
\
]
[ [ [
\ \ \
] ] ]
[ [ [
\ \ \
] ] ]
≅
+ +
+ +
+ +
!
"
$
#######
=
!
"
$
#######
!
"
$
###
∂
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
∆ ∆v D r≅ .
A sebességtér hely szerinti változását tehát a D deriválttenzorral jellemezhetjük,
amely – mivel három sebességkomponens változhat három koordináta irányban – kilencmennyiséget tartalmaz.
2.2. ábra
(2.2)
(2.3)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 15/195
15
A sebességteret két további mennyiséggel is jellemezhetjük. (Ezeket a deriválttenzor in-
variánsainak is szokták nevezni, hiszen koordináta-transzformáció esetén a D valamennyi
tagjának értéke változhat, de ezek egyes kombinációinak értéke nem.)
Az egyik ilyen (skalár) invariáns a vektortér divergenciája, GLYY Y
[
Y
\
Y
]
[ \ ]= + +∂∂
∂∂
∂∂
,
DPHO\QHNDN|YHWNH]IL]LNDLLQWHUSUHWiFLyWOHKHWDGQLDGLY v egy skalár mennyiség, amely-
nek értéke az áramlási tér adott pontjában megmutatja, hogy HJ\VpJQ\L LG DODWW
egységnyi térfogatból mennyivel több folyadéktérfogat lép ki, mint be.
Mértékegysége: GLY Y P V P V= = .
Tekintsük a 2.3. ábrán látható térben rögzített, zárt felületet, amelyen közeg áramlik át.
9L]VJiOMXNPHJKRJ\PiVRGSHUFHQNpQWPHQQ\LYHOW|EEN|]HJiUDPOLNNLDIHOOHWE OPLQW
be. A dA felületelem vektorral jellemzett felületen másodpercenként
GT Y G $ Y G $ P V= = FRV α
térfogatáram áramlik át. Ha v és dA közötti szög
α < 90°, akkor dq > 0, azaz a két vektor skaláris szorza-
ta kiáramlás esetén ad pozitív értéket. Ha kiszámol-
juk a Y G $$I integrált a teljes zárt felületre, akkor a ka-
pott q [m3 /s] mennyiség megmutatja, hogy másodper-
cenként mennyivel több folyadéktérfogat lépett ki az
$IHOOHWEOPLQWEH
Tekintsünk most egy dV térfogatelemet az A felület által határolt V térfogatban. A divv fi-
zikai interpretációjából adódóan d q d ivv d V= D]HOHPLWpUIRJDWEyOLGHJ\VpJEHQW|UWéQ
többletkiáramlás értékét adja meg. Képezve az egész térfogatra vonatkozó GLY YG9
9
I integ-
rált, ismét a másodpercenkénti többletkiramlás adódik. Ha az azonos mennyiségeket kifeje-
]LQWHJUiORNDWHJ\PiVVDOHJ\HQOYpWHVV]N
Y G $ GLY Y G9
$ 9
I I =
a v sebességtérre alkalmazott Gauss-Osztrogradszkij tételt kapjuk.
A derivált tenzor másik (vektor) invariánsa a rotv rotáció vektor, amelyet az alábbi de-
termináns formális kifejtésével képezhetjük:
2.3 ábra
(2.4)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 16/195
16
URW Y Y
L M N
[ \ ]
Y Y Y
Y
\
Y
]
Y
]
Y
[Y
[
Y
\
[ \ ]
] \
[ ]
\ [
= ∇ × = =
−
−
−
!
"
$
######
#
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
.
A rotv vektor szoros kapcsolatban van az áramlási tér fontos sajátosságával, a folyadékré-
szek forgási szögsebességével, Ω-val:
rotv = 2 Ω .
9HJ\QNIHOHJ\HJ\V]HUHVHQ|VV]HIJJ$IHOOHWHWDPHO\HWD*]iUWJ|UEHYHV]N|UO*
irányítása pozitív az A felület felöl nézve.) A rotv vektortér A felület mentén vett integrálja
és a vVHEHVVpJWpU$IHOOHWHWN|UOYHY*J|UEHPHQWLLQWHJUiOMDDΓ cirkuláció közötti
kapcsolatot a
Γ = =I I Y G V URW Y G $
* $
Stokes-tétel teremti meg.
A vektorterek, így a sebességtér leírásához – mint láttuk – általában három négyváltozós
IJJYpQ\UHYDQV]NVpJ/pQ\HJHVHJ\V]HU VtWpVWMHOHQWHQHKDDYHNWRUWpUOH írásához egy QpJ\YiOWR]yVIJJYpQ\VNDOiUWpULVHOpJOHQQH$JUDGLHQVPYHOHWVHJtWVpJpYHOEiUPHO\ϕ
GLIIHUHQFLiOKDWyVNDOiUWpUEOHOiOOtWKDWyD Y JUDG= ϕ vektortér. Létezik-e valamennyi vek-
tortér esetén olyan ϕ VNDOiUWpUDPLWSRWHQFLiOQDNQHYH]QNDPHO\E OD]DGRWWYHNWRr-
tér a gradvPYHOHWWHOOHtUKDWy" Sajnos nem. Tudjuk, hogy csak a vektorterek egy része, a
potenciálos vektorterek rendelkeznek ezzel a sajátossággal.
Matematikai tanulmányaink során megismertNKRJ\HJ\V]HUHVHQ|VV]HIJJWDUWRPiQy-
ban megadott vektortérre – esetünkben v sebességtérre – az alábbi három állítás ekvivalens:
– létezik potenciálfüggvény
– a cirkuláció bármely zárt G görbére Γ = =I Y*
G V
– a vektortér örvénymentes azaz rot v = 0 (ld. (2.7) Stokes-tétel).
(O]HNEODGyGyDQSRWHQFLiORVVHEHVVpJWpUHVHWpQDIRO\DGpNUpV]HNQHPIRURJQDN
(UWHUHN
Hasonlóképpen, vektorterek írják le a g HUWHUHNHW DPHO\HN YHNWRUDL D WpUHUVVpJ-
YHNWRURND]HJ\VpJQ\LW|PHJUHKDWyHUQDJ\ViJiWLUiQ\iWpVLUiQ\tWiViWPXWDW ják. A
(2.5)
(2.6)
(2.7)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 17/195
17
WpUHU VVpJPpUWpNHJ\VpJH D IHQWLHNDODSMiQ J 1 NJ P V= = . Kérdés hogy a Föld ne-
Kp]VpJL HU WHUH DPHO\QHNDEV]RO~W pUWpNHV]pOHVVpJLN|UQN|Q NE1NJ D]D]NJ
W|PHJUH1V~O\HU KDWSRWHQFLiORV-e? Határozzuk meg a J G V
*
I vonalintegrált tetsz
leges zárt G görbe mentén. Az integrál egy zárt görbe mentén mozgó egységnyi tömegen a
nehézVpJLHU WpUiOWDONLIHMWHWWPXQNDQDJ\ViJiWKDWiUR]]DPHJDPLQ\LOYiQYDOyDQ]pUXV
7HKiWD)|OGQHKp]VpJLHU WHUHPLQWW|EEPiVHU WpUSRWHQFLiORV
Jelöljük U [m/s]-val az HUWpUSRWHQFLiOMiWpViOODSRGMXQNPHJKRJ\DEEDQD]LUiQy-
EDQQ|YHNHGMpNDPHO\LN LUiQ\EDQ D]HUWpUHOOHQpEHQPXQNiWNHOO YpJH]QL KDHJ\
tömeget elmozdítunkSOD)|OG|QI|OIHOp(PHJiOODSRGiVEyODWpUHU VVpJ-vektor g és
az U potenciál között a
g gr a dU= −
kapcsolat következik.
$)|OGQHKp]VpJLHUWHUH felfelé mutató z koordináta mellett J = − J N J alakban írható,
ahol J J =9.81 N/kg. $QHKp]VpJLHUWpUU g potenciáljaDPLHJ\VpJQ\LW|PHJWHVWKHOy-
]HWLHQHUJLiMiYDOHJ\HQOHEEHQD]HVHWEHQ
8 J ] NRQVWJ J= +
DODNEDQtUKDWy+DD]IJJOHJHVNRRUGLQiWDOHIHOpPXWDWDNLIHMH]pVMREEROGDOiQD]HO jel
megváltozik.)
$WRYiEELNpWJ\DNUDQHOIRUGXOySRWHQFLiORVHU WpUUHOa tehetetlenségi és centrifugális
HUWpUUHOFVDNDNNRUNHOOV]iPROQLKDHJ\HQHVmentén gyorsuló vagy forgó koordiná-
WDUHQGV]HUEO YL]VJiOMXND MHOHQVpJHW (Nem az számít tehát, hogy a vizsgált folyadék
gyorsul vagy forog-HKDQHPDNRRUGLQiWDUHQGV]HUiOODSRWDDPHO\EODMHOHQVpJHWYL]VJil-
juk.)
Az x koordináta irányban a a i= gyorsulással mozgó koordinátarendszerben hat egy
avval ellentétes irányú és azonos nagyságú J D LW = − WHKHWHWOHQVpJLHUWpU(QQHNDSo-
WHQFLiOMiWDN|YHWNH]|VV]HIJJpVVHOV]iPtWKDWMXN
8 D [ NRQVWW = +
(2.8)
(2.9)
(2.10)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 18/195
18
Egy ω szögsebességgel forgó koordináta-rendszerben a cenWULIXJiOLVHUWpUWpUHUVVpJ
vektora sugár irányú vektor: J U F = ω . E vektortér potenciálját az
8U
NRVWF
= − +
ω
összefüggés írja le.
(2.11)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 19/195
3. Kinematika és a folytonosság tétele
3.1. A folyadék mozgás leírása
A kinematika a folyadékok mozgásával foglalkozik figyelmen kívül hagyva a folyadékra
KDWyHU NHW
A szilárd testek mozgását úgy írjuk le, hogy a test egy vagy több pontjának helyét adjuk
PHJD]LGIJJYpQ\pEHQA folyadékoknál analóg módon járhatunk el. Az egyes folya-
dékrészeket a t=0 pillanathoz tartozó helyzetükkel „jelöljük meg” (amelyet az V
helyYHNWRUKDWiUR]PHJpVDWLGIJJYpQ\pEHQPHJDGMXNDIRO\DGpNUpV]HNKHO\pW
U U V W= 4 9 .
A folyadékrész sebességét és gyorsulását az r LGV]HULQWLHOVpVPiVRGLNGLIIHUHQFLiOKá-
nyadosa adja meg rögzített V mellett:
YU
WD
U
W= =
∂
∂
∂
∂
.
Ezt a módszert Lagrange leírási módnak nevezzük. E módszer nehézkesnek mutatkozott,
ezért ritkán használják.
A továbbiakban a legelterjedtebb Euler-féle leírási módot alkalmazzuk, amely a fo-
lyadékrészek sebességét adja meg a hely (r)pVD]LGWIJJYpQ\pEHQ
Y Y U W1 6 .
$]iUDPOiVRNMHOHQWVUpV]pQpO– mint látni fogjuk – a sebességvektortér nem függ az idWO
VWDFLRQiULXViUDPOiVRN(J\HEHNPHOOHWWWHKiWD]pUWLVHJ\V]HU EEH]DOHtUiVLPyGPLQWD]
HO]PHUWVWDFLRQiULXViUDPOiVRNQiO ellentétben a Lagrange leírási móddal, a független
YiOWR]yNV]iPDDWHOWQpVpYHOHJJ\HOFV|NNHQ
3.2. Néhány meghatározás
$N|YHWNH]NEHQQpKiQ\J\DNUDQDONDOPD]RWWiUDPOiVWDQLIRJDOPDWKDWiUR]XQNPHJ
$IRO\DGpNUpV]SiO\iMDHJ\NLV]HPHOWSRQWV]HUIRO\DGpNUpV]HJ\PiVWN|YHWSLOODQD-
WRNEDQHOIRJODOWKHO\HLW|VV]HN|WJ|UEH
(3.1)
(3.2)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 20/195
20
Az áramvonal olyan görbe, amelyet egy adott pillanatban a sebességvektor minden
pontjában érint: Y GV× = , ahol dsD]iUDPYRQDOHOHPLKRVV]~ViJ~GDUDEMiWMHOOHP]
vektor. (Az áramvonal egy adott pillanatban a sebességvektorok burkológörbéje.)
A nyomvonal a tér egy pontján egymás után áthaladó folyadékrészeket egy adott pil-ODQDWEDQ|VV]HN|WJ|UEH,O\HQQ\RPYRQDOSODMiUPYHNV]pOFVDWRUQDNLVpUOHWHLQpOOpt-
rehozott füstcsík, vagy egy kémény EONLOpSIVW]iV]OyKDSRQWV]HU QHNWHNLQWMNDN é-
PpQ\NL|POQ\tOiViW
$]iUDPIHOOHWHW HJ\ NLMHO|OW YRQDOUD LOOHV]NHG iUDPYRQDODNDONRWMiN DPHO\HNHW D
sebességvektorok érintik. Ezért az áramfelületen nincsen átáramlás. Bármely áramlás-
ba helyezett felület, amelyen nincs átáramlás (pl. egy szilárd testé), áramfelület. Az áram-
FVVSHFLiOLViUDPIHOOHWDPHO\QpOD]iUDPYRQDODNHJ\]iUWJ|UEpUHLOOHV]NHGQHN (ld.
3.7. ábra)
3.3. Stacionárius és instacionárius áramlások
Az áramlások igen fontos sajátossága LGIJJpVND]D]KRJ\MHOOHP]LNVHEHVVpJQ\o-
PiVVU VpJIJJHQHN -HD]LGWO
6WDFLRQiULXVLGiOOyiUDPOiVEDQDMHOOHP]N Y S 7 QHPIJJHQHND]LGWO, így
a sebességteret a
Y Y U1 6
alakú vektortér írja le, azaz a sebességvektorok az áramlási tér egyes pontjaiban adott
koordináta-UHQGV]HUEOQp]YHLGEHQQHPYiOWR]QDN
,QVWDFLRQiULXViUDPOiVRNQiODVHEHVVpJWpUD]LGWOLVIJJ
Y Y U W1 6
(J\HV iUDPOiVRNDWWyO IJJHQ OHKHWQHNVWDFLRQiULXVDNYDJ\ LQVWDFLRQiULXVDNKRJ\
milyen koordináta-UHQGV]HUEO YL]VJiOMXND]okat. Így pl. egy tavon egyenletes sebes-
ségJHO KDODGy FVyQDN N|UOL iUDPOiV D] DEV]RO~W UHQGV]HUEO SO D SDUWUyO Qp]YH
instacionárius, hiszen a korábban nyugvó folyadékrészek a csónak közeledtére mozgásba
jönnek. Ha viszont az áramlást a csónakhoz rögzített koordináta-UHQGV]HUEO YL]VJiOMXN
akkor e mozgó koordináta-rendszer egyes pontjaiban a (csónakhoz képesti) relatív sebesség
LG EHQQHPYiltozik, azaz az áramlás stacionárius. Az instacionárius áramlás egyes ese-
tekben stacionáULXVViWHKHWDNRRUGLQiWa-rendszer helyes megválasztásával.
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 21/195
21
3.1. ábra
A 3.1. ábraHJ\JOLFHULQQHOW|OW|WWFV EHQVOO\HGJ|PEN|UOLiUDPOiVWPXWDWEHDPHO\HW
DIRO\DGpNEDQOHEHJHJ\NHVNHQ\IpQ\ViYYDOROGDOUyOPHJYLOiJtWRWWPDJQp]LXPUHV]HOpN
tesz láthatóvá. A bal oldali kpSHQ D KRVV]DEEH[SR]tFLyV LG
YHOP
N|G
IpQ\NpSH]
JpSHJ\WWPR]RJDJ|PEEHODMREEROGDOLNpSHQiOO$]iUDPOiVUDMHOOHP] NpV EEWiUJ\DOW
Reynolds-V]iPNLFVLD]D]DN|]HJPR]JiViWI NpQWDV~UOyGiVEyOV]iUPD]yHU NEHIRO\á-
VROMiN$J|PEWOMREEUDOitható fekete sáv a gömb árnyéka.)
Az expozíció alatt elmozduló szemcsék alkotta vonalak iránya és hossza az áramlási sebes-
ség irányát és nagyságát mutatja. Látható, hogy a koordináta-rendszer megválasztásától –
D]D]DWWyOKRJ\DIpQ\NpSH]JpSiOO-e vagy mozog –MHOHQWVHQIJJD]iUDPNpSpVD]
áramlás jellege is. Együttmozgó koordináta-rendszer esetén (bal oldali kép) az áramlás sta-
FLRQiULXVKLV]HQHJ\NpV EELLG SRQWEDQNpV]OWNpSXJ\DQLO\HQOHQQH$]iOOyNRRUGLQiWD -UHQGV]HUEOQp]YHD]iUDPOiVLQVWDFLRQiULXVDNpV EENpV]OWNpSHQDJ|PEpVDN|UO|WWH
OpYiUDPNpSOHMMHEEOiWV]yGQD
9DQQDNRO\DQiUDPOiVRNDPHO\HNQpODWpUNO|QE|]SRQWMDLEDQD]iUDPOiVLVHEHVVpJHJ\
LG EHQ iOODQGyN|]pSpUWpNN|UO LQJDGR]LN (]HNHWkvázistacionárius áramlásoknak ne-
vezzük.
Belátható, hogy stacionárius áramlás esetén az áramvonal, a pálya és a nyomvonal
egybeesik.(]D]HJ\EHHVpVDGOHKHWVpJHWDUUDKRJ\VWDFLRQiULXVHVHWEHQaz áramlás lát-hatóvá tételével végzett vizsgálatoknál az áramlásba bevezetett füstcsíkkal – ami egy
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 22/195
22
nyomvonal –YDJ\D]iUDPOyYt]IHOV]tQpQ~V]ySDUDIDGDUDEUyOKRVV]~H[SR]tFLyVLG YHO
készített képpel – ami a pályát mutatja –DEHQQQNHWOHJLQNiEEpUGHNOáramvonalakról
kapjunk felvilágosítást.
3.2. ábra
A 3.2. ábrán egy vízáramlásba helyezett szárnyprofil körüli áramlást tesznek láthatóvá a
V]iUQ\ HOWWL SRQWRNEDQ D] iUDPOiVED YH]HWHWW IHVWpNFVtNRN DPHO\HN D] HO]HN DODSMiQ
nyomvonalak. Tekintettel azonban arra, hogy az áramlás stacionárius, a nyomvonalak egy-
beesnek az áramvonalakkal és a pályával is.
Lehetnek olyan instacionárius áramlások, ahol az áramvonal, a pálya és a nyomvonal egy EHHVLNKDDVHEHVVpJYHNWRURNLUiQ\DLG EHQQHPYiOWR]LNSOHJ\HQHVFV EHQJ\RUVXOy
áramlás esetén), de e vonalak instacionárius áramlásban általában különE|]HN .
3.4. A potenciálos örvény
Eddigiekben megszerzett tudásunkat alkalmazzuk egy speciális áramlási formára, amelynek
MHOOHP]LiOODQGyVU VpJ|VV]HQ\RPKDWDWODQN|]HJVWDFLRQiULXVVtNiUDPOiVNRQFHQW-
rikus kör alakú áramvonalak (3.3. ábra).
Síkáramlásnak nevezzük azokat az áramláso-
kat, amelyeknél van olyan sík, amelyre mer-
leges sebességkomponens értéke zérus, és
amely síkkal párhuzamos valamennyi síkban
az áramkép azonos. Legyen ez a sík az (x, y)
sík. Ez esetben akkor beszélhetünk síkáram-
lásról, ha
3.3. ábra
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 23/195
23
Y pVY
]
Y
]]
[ \= = =
∂
∂
∂
∂
Mivel koncentrikus körök az áramvonalak (ill. koncentrikus hengerek az azok által alkotott
iUDPIHOOHWHND]D]DN|]|WWNOpY iUDPOiVLNHUHV]WPHWV]HWDNHUOHWPHQWpQiOODQGypV
ρ = iOODIRO\WRQRVViJNpV EEWiUJ\DOW) összefügJpVpEODGyGLNKRJ\DGRWWUVXJDU~
körön az áramlási sebesség abszolút értéke v v állandó= = . Tehát a sebesség abszolút ér-
téke csak a sugár (r) függvénye és nem függ a ϑNHUOHWLV]|JWOY Y U = .
9HJ\QNI|OHJ\UVXJiURQOpYHOHPLGUYDstagsággal és dϑ (3.3. ábra) középponti szög-
gel jellemzett dA elemi felületet, amelyre írjuk fel a Stokes-tételt (2.7)! A cirkuláció számí-
tásáQiODIHOOHWHOHPHWN|UOYHY*J|UEpW~J\MiUMXNN|UOKRJ\DWHUOHWDEDONH]QNIHOp
essen (pozitív körüljárási irány):
Y G V Y G V Y G V Y G V Y G V
*
I I I I I = + + +
= =
.
$EDOROGDOPiVRGLNpVQHJ\HGLNLQWHJUiOMD]pUXVpUWpN KLV]HQv⊥ds$]HOVLQWHJUiOHVe-
tén v és ds vektor α=0°-t zár be, a harmadik integrálnál pedig 180°-ot. Ezért az alábbi írha-
tó:
Y G V U GU G Y U GU U G Y U
*
I = + + −1 6 1 6 1 6ϑ ϑ .
Figyelembe véve, hogy Y U GU Y U GY
GU GU + = +1 6 1 6 EHKHO\HWWHVtWpVpVDPYHOHWHNHOYpJ]pVH
után a
Y G V U GGY
GU GU GU G Y U GU G
GY
GU GU
*
= + +I ≈
ϑ ϑ ϑ1 6
|VV]HIJJpVWNDSMXNDPHO\QHNMREEROGDOLKDUPDGLNWDJMDKDUPDGUHQGHQNLFVLQ\, ezért a
PiVLNNHWWWDJPHOOHWWHOKDQ\DJROKDWy
A Stokes-WpWHOMREEROGDOiQV]HUHSOLQWHJUiOHVHWQNEHQtJ\tUKDWy
URW Y G $ URW Y U G GU ]
G$
=I 1 6 ϑ .
(3.3)
(3.4)
(3.5)
(3.6)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 24/195
24
Itt jegyezzük meg, hogy ha a (2.5) determinánst a síkáramlásra tett (3.3) kikötések mellett
fejtjük ki, az adódik, hogy síkáramlásban a rotv vektornak csak az áramlás síkjára me-
UOHJHV]LUiQ\~NRPSRQHQVHNO|QE|]KHW]pUXVWyO
URW Y Y[
Y\]
\ [1 6 = −∂∂
∂∂ .
(Ugyanezt az eredményt kapjuk, ha meggondoljuk, hogy egy síkáramlásban milyen tengely
körül foroghatnak a folyadékrészek.)
A (3.5) és (3.6|VV]HIJJpVHNHWHJ\HQOYpWpYHpV r d dr⋅ ⋅ϑ -rel elosztva minkét oldalt adó-
dik:
URWY
GY
GU
Y
U ]1 6 = + .
A (3.8) összefüggés természetesen csak a levezetés elején felsorolt feltételek fennállása ese-
tén érvényes.
A (3.8) összefüggés alapján már meghatározható, hogy milyen Y Y U = sebességmegosz-
lás esetén örvénymentes URWY = az áramlás. Ez esetben ugyanis létezik sebességi po-
tenciál. Ezt az áramlást potenciálos örvénynek nevezzük.
7HJ\N HJ\HQOYp D |VV]HIJJpV MREE ROGDOiW ]pUXVVDO pV ROGMXNPHJ D GLIIHUHQ-
ciálegyenletet!
GY
Y
GU
U Y U .RQVW= − ⇒ = − + ⇒OQ OQ OQ Y
.
U =
.
$IHQWLNHUHWH]HWW|VV]HIJJpVQHNPHJIHOHOVHEHVVpJPHJRV]OiVRNHVHWpQD]iUDPOiV|UYp-
nyessége a tengely kivételével mindenütt zérus, ami a (2.6) összefüggés miatt azt is jelenti,
hogy a folyadékrészek a potenciálos örvény tengelyének kivételével nem forognak. (Ha ki-
HQJHGMNDYL]HWDNiGEyODNpV EEWiUJ\DODQGy&RULROLV-HU WpUN|YHWNH]WpEHQDOHIRO\yN ö-UOHJ\|UYpQ\DODNXONL+DHJ\NLVGDUDESDStUWD]|UYpQ\ÄWHQJHO\pW O´WiYRODEED]iUDm-
ló víz felszínére dobunk, láthatjuk, hogy miközben a lefolyót megkerüli a papírdarab, nem,
vagy csak kissé fordul el tengelye körül. Ez az áramlás tehát hasonló az imént meghatáro-
zott potenciálos örvényhez.)
(3.7)
(3.8)
(3.9)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 25/195
25
Vegyünk fel a középpont körül egy r sugarú kört és számítsuk ki rajta a (2.7) összefüggés-
ben definiált Γ cirkulációt, azaz a sebesség vonalintegrálját! Mivel a B kör (ld.3.3. ábra)
áramvonal, rajta Y GV :
Γ = = = = ≠I Y G V U Y U . U
.
%
π π π .
Ha a zárt görbe tartalmazza a középpontot, akkor Γ = π . , egyébként Γ = .
Milyen lehet a potenciálos örvény ϕ [m2 /s] sebességi potenciálja? Miután Y JUDG= ϕ , a
ϕ = iOO . szinWIHOOHWHNQHNDPHO\UHDNRQFHQWULNXVN|UDODN~iUDPYRQDODNDWpULQW VHEHs-
VpJYHNWRURNPHU OHJHVHNVXJiULUiQ\~D][\VtNUDPHU OHJHVVtNRNQDNNHOOOHQQLN/e-
gyen ϕ ϑ= . . Számítsuk ki a sebességi potenciál gradiensét!
Y JUDG]
HU
HU
H.
U H] U = = + + =ϕ
∂ϕ
∂
∂ϕ
∂
∂ϕ
∂ϑ ϑ ϑ
tehát visszakaptuk a potenciálos örvény sebességmegoszlását.
Merev test-V]HUHQIRUJyIRO\DGpNesetén az áramvonalak ugyancsak koncentrikus körök,
a sebességmegoszlást pedig a v r= ⋅ω összefüggés írja le. A (3.8) összefüggést alkalmazva
URWY]
1 6 = ω adódik, ami (ld. (2.6) összefüggés) várakozásainknak PHJIHOHOHQ
szolgáltatja a folyadékrészek forgási szögsebességét: Ω = ω .
3.5. Kis folyadékrész mozgása
A 3.4. ábrán láthatók a példaképpen felvett
Y \L= vektortérrel leírható áramlás áramvona-
lai és a sebességmegoszlás. Hogyan mozog a fo-
lyadékban gondoODWEDQ HOKDWiUROW HOHPL PpUHW
folyadékhasáb? Ehhez nyilvánvalóan tudnunkkell, hogy a hasáb csúcsai hogyan mozdulnak el a
középponthoz képest, azaz ha ismerjük Y U 1 6-et,
hogyan határozzuk meg Y U G U +1 6 értékét. Erre a
2.2. fejezetben látható módon a ' derivált tenzor
használható (ld. 2.2. ábra és (2.3) összefüggés):
Y U G U Y U ' G U + ≅ +1 6 1 6 .
(3.10)
(3.11)
3.4. ábra
(3.12)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 26/195
26
Írjuk fel ' derivált tenzor mátrixát az x,y,z koordináta -rendszerben:
'
Y
[
Y
\
Y
]
Y
[
Y
\
Y
]
Y
[
Y
\
Y
]
[ [ [
\ \ \
] ] ]
=
!
"
$
##
#####
∂
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
.
Végezzük el az alábbi átalakítást!
' ' ' ' '= + + −
4 9 4 9 ,
ahol 'DWUDQV]SRQiOWPiWUL[iEDQI iWOyUDWNU|]|WWGHULYiOWWHQ]or.
ËUMXNIHODMREEROGDOHOVV]LPPHWULNXVWDJMiWpVMHO|MN$ 6-sel:
A D D
v
x
v
y
v
x
v
z
v
xv
x
v
y
v
y
v
z
v
yv
x
v
z
v
y
v
z
v
z
S
x x y x z
y x y y z
z x z y z
= + =
+ +
+ +
+ +
!
"
$
#######
1
2
1
2
2
2
2
*4 9
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
.
A (3.14) összefüggés jobb oldalának második tagját jelöljük $Ω
-val.
A D D
v
y
v
x
v
z
v
xv
x
v
y
v
z
v
yv
x
v
z
v
y
v
z
x y x z
y x y z
z x z y
Ω= − =
− −
− −
− −
!
"
$
#######
1
2
1
2
0
0
0
*4 9
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
.
Látható, hogy a (3.16) tenzor mátrixának elemei a rotv vektor komponensei (ld. (2.5) össze-
függés):
$
URW Y URW Y
URW Y URW Y
URW Y URW Y
] \
] [
\ [
Ω=
−
−
−
!
"
$
####
1 6 1 61 6 1 61 6 1 6
.
(3.13)
(3.14)
(3.15)
(3.16)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 27/195
27
Ha elvégezzük az $ G U Ω
PYHOHWHW
$ G U URW Y G U Ω
= ×
vektorszorzat adódik. Tekintettel arra, hogy a sebességtér örvényessége és a folyadékrészek
forgási szögsebessége Ω között szoros kapcsolat van (ld. (2.6) összefüggés), a (3.17) ösz-
szefüggés az alábbi módon írható fel:
$ G U G U Ω
Ω= ×.
Alkalmazzuk a (3.15), (3.16) tenzorokat a 3.4. ábrán látható áramlásra (ami síkáramlás, így
DIHOWpWHOHNN|YHWNH]WpEHQDGHULYiOWWHQ]RUQDNFVDNQpJ\]pUXVWyONO|QE|] HOHPH
lehet):
' $ pV $6
=!
"$#
=!
"$#
=−
!
"$#
Ω.
3.5. ábra
Alkalmazzuk az $6
és az $ΩWHQ]RURNDWDQpJ\]HWNHUHV]WPHWV]HWIRO\DGpNKDViEWHQJe-
lyét a P1, P2, P3 és P4pOHNNHO|VV]HN|WHOHPL G U G[ L G\ M1 6
= + G U G[ L G\ M1 6
= − + stb.
vektorokra (ld. 3.5. ábra). Eredményül a G Y62 7
, G Y Ω2 7
elemi sebesség megvál-
tozás vektorokat kapjuk, amelyek megmutatják, hogy a hasáb éleinek sebessége mennyire
WpUHODWHQJHO\pQHNVHEHVVpJpWO3OD31MHOpOpVDKDViEN|]pSSRQWMiQDNVHEHVVpJHN ö-
zött az $6
és $Ω
tenzorok alkalmazásával az alábbi különbségek adódnak:
G Y G[G\
G\
G[62 7
=
!"$#!
"$# =
!
"$#
G Y G[G\
G\
G[Ω2 7
=
−!
"$#!
"$# =
−!
"$#
.
(3.17)
(3.18)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 28/195
28
A sebesség megváltozás vektorokat ábrázolva látjuk (3.5. ábra), hogy a G Y V2 7 vektorok ha-
tására a hasáb alakja megváltozik, eltorzul, ugyanakkor a G Y Ω2 7 vektorok a hasábot forgat-
ják.
$]HO]HNEHQPHJKDWiUR]RWW|VV]HIJJpVHNHWIHOKDV]QiOYDtUKDWy
Y U G U Y U $ G U $ G U 6
+ = + +1 6 1 6Ω
A (3.19) összefüggés a 3.5. ábraDODSMiQD]N|YHWNH]NpSSLQWHUSUHWiOKDWy
az áramlási térben a folyadékrész
− középpontjának pillanatnyi sebességvektorával párhuzamosan elmozdul (transz-
láció): Y U
− alakját és méretét változtatja (szögdeformáció és tágulás): $ G U 6
− merev test-V]HUHQHOIRUGXOURWiFLy$ G U Ω
A folyadékrész mozgásában játszott szerepe miatt $6
tenzort alakváltozási sebesség
tenzornak, $Ω
-t pedig örvénytenzornak nevezzük.
Ha a ' derivált tenzor szimmetrikus, akkor $ ' 'Ω
= − =
4 9 , azaz URWY = (a folya-
dékrészek nem forognak). Ebben az esetben létezik a v sebességtér ϕ potenciálja (ld. 2.2.
fejezet), amellyel Y JUDG= ϕ +DD]iUDPOyN|]HJVU VpJHρiOODQGyDNpV EELHNEHQWir-
gyalt folytonosság tételének (3.25) összefüggése értelmében GLYY = (azaz a derivált
WHQ]RUI iWOyMiEDQOpYHOHPHN|VV]HJH]pUXV(]HVHWEHQ
GLY JUDGϕ ϕ= =∆ , azaz
∂ ϕ
∂
∂ ϕ
∂
∂ ϕ
∂
[ \ ]+ + =
/DSODFHGLIIHUHQFLiOHJ\HQOHWtUMDOHDVHEHVVpJLSRWHQFLiOW$V]iPRVMHOHQVpJK YH]HWpV
szivárgás stb.) leírására használt egyenletet a peremfeltételek ismeretében megoldva meg-
határozható a ϕ sebességi potenciál, abból pedig a sebességtér.
(3.19)
(3.20)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 29/195
29
3.6. A folytonosság (kontinuitás) tétele
Lehet-HWHWV]OHJHVDIRO\DGpNUpV]HNPR]JiVD"0HJYDOyVtWKDWy -e a természetben bármilyen
Y Y U W= 1 6 sebességtér? Nyilvánvalóan nem: a folyadékrészek mozgásának eleget kell ten-
nie az anyagmegmaradás törvényének, amelyet az áramlástanban a folytonosság vagy kon-
tinuitás tételének nevezünk. E tétel azt a fontos tapasztalatot fejezi ki, hogy tömeg nem
keletNH]KHWpVQHPWQKHWHO
Tekintsük a 3.6. ábrán látható, az áramló közegben lé-
YDWpUEHQU|J]tWHWW]iUWA felületet, amelyen a közeg
átáramlik. Írjuk fel, hogy másodpercenként mennyivel
több tömeg áramlik ki a felületen, mint be (ld. 2.2. fe-
jezet divergenciával foglalkozó része):
T Y G $ NJ VP
$
= I ρ .
Nyilvánvaló, hogy a tömeg többletkiáramlás csak a térIRJDWEDQOpYW|PHJURYiViUDD]D]D
VU VpJFV|NNHQpVHPHOOHWWPHKHWYpJEH$]A felület által határolt VWpUIRJDWEDQOpYWö-
meg másodpercenkénti változását a
∂ρ
∂W
G9 NJ V
9
I
integrál adja meg.
Miután a dA felületi normális kifelé mutat, a (3.21) integrál pozitív értéke esetén – fogy a
tömeg a V térfogatban – a (3.22) integrálnak negatívnak kell lenni, tehát a (3.21) és (3.22)
integrál összege zérus. A (3.21) integrált a Gauss-Osztrogradszkij-tétel (2.4) alkalmazásá-
val alakítsuk át térfogati integrállá és a fentiek figyelembevételével tegyükHJ\HQOYpD
(3.22) integrál ellentettjével:
− = =I I ∂ρ
∂ρ
WG9 Y G $
9 $
GLY Y G9
9
ρ1 6I .
A (3.23) egyenlet keretezett része a folytonossági tétel integrál alakja.A bal oldalra hozva
a jobb oldali második integrált és figyelembe véve, hogy ugyanarra a V térfogatra végezzük
el az integrálást, írható:
∂ρ
∂
ρ
W
GLY Y G9
9
+
!
"
$#=
I 1 6 .
3.6. ábra (3.21)
(3.22)
(3.23)
(3.24)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 30/195
30
$IHQWLLQWHJUiOFVDNDNNRUOHKHW]pUXVWHWV]OHJHV9LQWHJUiOiVLWDUWRPiQ\HVHWpQKDD]
integrandusz zérus. Ilymódon megkaptuk a folytonosság tételét differenciális alakban:
∂ρ
∂ρ
WGLY Y+ =1 6
.
Alkalmazzuk a folytonosság tételét a 3.7. áb-
ránOiWKDWyiUDPFVUH/HJ\HQD]iUDPOiVVWa-
cionáULXV &pOV]HU HQ D IRO\WRQRVViJ WpWHOH
(3.23) összefüggésben megadott integrál alak-
ját használjuk. Miután feltevésünk szerint
∂ρ ∂ / t = 0, a (3.23) összefüggés bal oldala zé-
rus, ezért:
ρ Y G $
$
I =
,
ahol az A az áUDPFVSDOiVWMiEyO$p) valamint $ és $ be-pVNLOpSNHUHV]WPHWV]HWEO
iOO 0LXWiQ D] iUDPFV SDOiVWMD iUDPIHOOHW DPelyen nincs átáramlás (v ⊥ dA), ezért a
(3.26) összefüggés az alábbi módon írható:
ρ ρY G $ Y G $
$ $
I I + = .
Tekintettel arra, hogy Y G$ Y G $= FRV α , ahol α a két vektor által bezárt szög, (3.27)
összefüggéssel adódik:
ρ α ρ αY G $ Y G $
$ $
I I + =FRV FRV
Tételezzük fel, hogy a be-pVNLOpSNHUHV]WPHWV]HWEHQDVHEHVVpJPHU OHJHVD]$1 és A 2
felületre, azaz cosα a belépésnél –1, a kilépésnél 1, továbbá azt, hogy az $ keresztmet-V]HWEHQDVU VpJiOODQGyρ, ugyanígy az A 2 keresztmetszetben ρ . Ilyen feltételek mel-
lett a (3.28) összefüggés a
ρ ρ Y $ Y $=
alakra hozható, ahol Y és Y az átlagsebesség az $ és $ keresztmetszetben. A (3.29)
összefüggés azt fejezi ki, hogy stacionárius áramlás esetén a T NJ VP tömegáram az
áramFVEiUPHO\NHUHV]WPHtszetében azonos. Látható, hogy e gyakran használt összefüggés
használatához milyen sok feltételnek kell teljesülnie.
(3.25)
3.7. ábra
(3.26)
(3.27)
(3.28)
(3.29)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 31/195
31
ÈUDPFV|YHWDONRWQDNDPV]DNLJ\DNRUODWEDQDONDOPD]RWWFV|YHNKLV]HQEHOV IHOOHWN|Q
QLQFVHQIRO\DGpNiWOpSpV+DHJ\N|UNHUHV]WPHWV]HWFVNHUHV]WPHWV]HWpEHQD]iWODJVe-
besség Y pVDFViWPpU MH'-U O' -UHYiOWR]LND|VV]HIJJpVEODGyGyDQDv2
átlagsebesség a
Y Y'
'
=ρ
ρ
összefüggéssel számolható ki.
Ha a sebesség a keresztmetszetben válto-
zik, akkor a térfogatáramot (és abból a v
átlagsebességet) a sebességmegoszlás
NHUHV]WPHWV]HWHQ W|UWpQ LQWHJUiOiViYDOlehet meghatározni. Tekintsük a 3.8. áb-
rátDKROHJ\'iWPpU M, kör keresztmetV]HWFVOiWKDWyDPHO\EHQDVHEHVVpgmegoszlást
egy n-ed fokú forgási paraboloid írja le (a vmax és a v(r) különbsége az r sugár n-edik hat-
ványával arányos):
Y U Y U 5 Q1 6 1 6= −PD[ .
Hogyan lehetne kiszámítani a v átlagsebességet? Írható:
YT
'P VY=
π
,
ahol q m sv3 / DWpUIRJDWiUDPDFVNHUHV]WPHWV]HWHQHJ\VpJQ\LLGDODWWiWiUDPOyIRO\a-
déktérfogat). A térfogatáramot a 3.8. ábránOiWKDWyN|UNHUHV]WPHWV]HWFVHVHWpQD]DOiEEL
módon írhatjuk fel:
T U Y U 5 GU YQ
5
= −I
π PD[ 1 6 .
Az integrálást elvégezve
T 5 YQ
QY =
+
π PD[
adódik, azaz a
YQ
QY=
+ PD[ .
(3.34)
Másodfokú paraboloid (n = 2) esetén az átlagsebesség a maximális sebesség fele.
3.8. ábra
(3.30)
(3.31)
(3.32)
(3.33)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 32/195
32
-HOOHP]NORNiOLVpVNRQYHNWtYPHJYiOWR]iVD
A folytonosság kifejezésének második tagja a szorzat deriválási szabályai szerint fel-
bontható:
∂ρ
∂ρ ρ ρ
WY JUDG GLY Y+ + =1 6
ÉrtelPH]]N D |VV]HIJJpV HOV NpW WDJMiW
Tekintsük a 3.9. ábrát, ahol egy dV térfogatú elemi
folyadékrész látható. A folyadékrész v áramlási sebesség-
gel mozog. Jellemezze a P pontban az áramlási sebességet
a vYHNWRUDVU VpJKHO\V]HULQWLYiOWR]iViW pedig a 2.1.
IHMH]HWQHNPHJIHOHOHQDJUDGρ vektor.
Legyen instacionárius az áramlás, tehát ∂ρ ∂ / t ≠ 0. Vizsgál MXNPHJKRJ\GWLGHOWHOWpYHO
PHQQ\LWYiOWR]LND]HO~V]yHOHPLIRO\DGpNUpV]VU VpJH
A dρVU VpJYiOWR]iVNpWRNUDYH]HWKHWYLVV]D
a/ PLYHO D VU VpJ D] LGWO IJJ ∂ρ ∂ W ≠ D VU VpJ D 3 SRQWEDQ GW LG DODWW
GW
GWOρ∂ρ
∂= értékkel változik;
b/ D]HOHPLIRO\DGpNUpV]D]iUDPOyN|]HJJHOHJ\WWGWLGDODWWds v dt= utat tesz meg és
HJ\RO\DQ3¶KHO\UHMXWDKRODVU VpJ G JUDG GV JUDG Y GWN ρ ρ ρ= = értékkel tér el a P
SRQWEDQOpYWOOGIHMH]HW
$]DDODWWLVU VpJYiOWR]iVUDDNNRULVVRUNHUOQHKDDN|]HJQHPiUDPODQDD]D]DG9Wp r-
fogat a helyén maradna. Ezért a G Oρ -HW D VU VpJ lokális megváltozásának nevezzük,
amelynek csak akkor van szerepe, KD D VU VpJ LG EHQ YiOWR]LN D]D] KD D] iUDPOiV
instacionárius).
$EDODWWLVU VpJYiOWR]iVRNDD]HOHPLWpUIRJDWHOPR]GXOiVDHOiUDPOiVDHJ\RO\DQKHO\UH
DKRODVU VpJHOWpU H]pUWDG N ρ -WDVU VpJkonvektív megváltozásának nevezzük.
A folyadékrészVU VpJpQHNGWLGWDUWDPDODWWLWHOMHVPHJYiOWR]iVDWHKiW
G G GW
GW Y J UDG G WO N ρ ρ ρ∂ρ
∂ρ= + = +
(3.35)
3.9.ábra
(3.36)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 33/195
33
DPLEO
G
GW WY JUDG
ρ ∂ρ
∂ρ= +
$HJ\HQOHWEDOROGDOiQDNHOVNpWWDJMDWHKiWDG GWρ -WDIRO\DGpNUpV]VU VpJpQHN
LGV]HULQWLWHOMHVPHJYiOWR]iViWIHMH]LNL
$IL]LNDLMHOOHP]NORNiOLVpVNRQYHNWtv megváltozása az áramlástan fontos gondolata, ami
W|EEV]|UHOIRJNHUOQLDWRYiEELDNEDQ
(3.37)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 34/195
4. Euler-egyenlet, Bernoulli-egyenlet,
örvénytételek
4.1. A folyadékrészek gyorsulása
$ IRO\DGpNUpV]HNPR]JiViW D] D]RNUDKDWy HU NNHO |VV]HIJJpVEHQ D NLQHWLND tárgyalja.
MiXWiQ1HZWRQ,,D[LyPiMDV]HULQWDIRO\DGpNUpV]HNUHKDWyHU NNHOJ\RUVXOiVXNYDQNDp-
csolatban, e fejezetben a folyadékrészek gyorsulásának leírásával foglalkozunk.
$IRO\DGpNUpV]J\RUVXOiViWNLIHMH] |VV]HIJJpVWIHOtUKDWMXNDIHMH]HWEHQ tanult felbon-
WiVIHOKDV]QiOiViYDOOG|VV]HIJJpV(J\VNDOiUWpUUHOOHtUKDWyMHOOHP]RWWDVU
ség, itt az áramlási sebesség Y Y[ \ vagy Y ] NRPSRQHQVH HJ\VpJQ\L LGUH YRQDWNR]y
megváltozását a lokális és a konvektív megváltozás összegeként az alábbi módon írhatjuk
fel:
GY
GW
Y
WY JUDG Y[ [
[= +∂
∂ .
$|VV]HIJJpVDIRO\DGpNUpV][LUiQ\~VHEHVVpJNRPSRQHQVpQHNHJ\VpJQ\LLG UH
jutó megváltozását, azaz x irányú gyorsulását fejezi ki. Az összefüggés jobb oldalának
HOVWDJMDDlokális gyorsulás, a második a konvektív gyorsulás.
Hasonló összefüggés írható fel vy és vz sebességkomponensekre is. Elvégezve a (4.1) össze-
függés jobb oldalán a két vektor skalár szorzását, a folyadékrészek gyorsulásának x,y és z
komponensét az alábbi módon írhatjuk fel:
GY
GW
Y
WY
Y
[Y
Y
\Y
Y
]
[ [[
[\
[]
[= + + +∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
GY
GW
Y
W Y
Y
[ Y
Y
\ Y
Y
]
\ \
[
\
\
\
]
\
= + + +
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
GY
GW
Y
WY
Y
[Y
Y
\Y
Y
]
] ][
]\
]]
]= + + +∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Felismerjük, hogy a gyorsulásvektor (4.2) összefüggésben megadott alakja a
d v
dt
v
tDv= +
∂
∂
kifejezéssel ekvivalens.
(4.1)
(4.2)
(4.3)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 35/195
35
Határozzuk meg a dv/dt folyadékrész gyorsulást egy más meggondolással is. A v
sebességvektortér az r KHO\ pV W LG IJJYpQ\H WHOMHV GLIIHUHQFLiOMiW WHKiW D
d vv
tdt
v
rd r= +
∂
∂
∂
∂összefüggés adja meg. Vonatkoztassuk a folyadékrész sebességének
PHJYiOWR]iViWHJ\VpJQ\LLGUHD]D]RVV]XNHODNLIHMH]pVWGW-vel:
d v
dt
v
t
v
r
d r
dt= +
∂
∂
∂
∂ .
A (4.4) kifejezés jobb oldalának második tagja fejezi ki a folyadékrész sebességének
NRQYHNWtYHOiUDPOiVPLDWWLPHJYiOWR]iViW$]HWDJEDQV]HUHSOGrGWWpQ\H]v sebesség-
JHOHJ\HQOPHUWD]WD]XWDWNHOOKRJ\PHJDGMDDPHO\HWDIRO\DGpNUpV]HJ\VpJQ\LLG DODWW
tesz meg (mivel a dv/dt is az elúszó folyadéNUpV]VHEHVVpJpQHNLGV]HULQWLPHJYiOWR]iViW
fejezi ki). Miután ∂ ∂v r D / = , e meggondolás is a (4.3) összefüggésre vezetett.
$ IRO\DGpNUpV] J\RUVXOiVD WHKiWNpWUpV]EO iOOD∂
∂
v
tlokális gyorsulásból és a 'Y
konvektív gyorsulásból.
A lokális gyorsulás akkor különbö]KHW]pUXVWyOKDDVHEHVVpJWpUDWLGWOLVIJJDz-
az az áramlás instacionárius. A konvektív gyorsulás nincs kapcsolatban az áramlás id
függésével, értéke stacionárius és instacionárius áramlás esetén egyaránt lehet zérustól elté-
U Konvektív gyorsulás akkor létezik, ha a folyadéktér sebességének nagysága és/vagyiránya a folyadékrész mozgásának irányában (azaz az áramlás irányában) változik.
Hogyan lehetne a konvektív gyorsulást másként kifejezni? Bontsuk fel a ' deriválttenzort
az alábbi módon:
' ' ' '= + − 4 9 ,
tehát a konvektív gyorsulás:
D ' Y ' Y ' ' YNRQY = = + −
4 9 .
7HNLQWVNDNLIHMH]pVMREEROGDOiQDNHOVWDJMiW
' Y
Y
[
Y
[
Y
[Y
\
Y
\
Y
\
Y
]
Y
]
Y
]
Y
Y
Y
YY
[Y
Y
[Y
Y
[
YY
\Y
Y
\Y
Y
\
YY
]Y
Y
]Y
Y
]
[ \ ]
[ \ ]
[ \ ]
[
\
]
[[
\
\
]]
[[
\
\
]]
[[
\
\
]]
=
!
"
$
#######
!
"
$###
=
+ +
+ +
+ +
!
"
$
#######
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
(4.4)
(4.5)
(4.6)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 36/195
36
=
+ +
+ +
+ +
!
"
$
##########
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
[
Y Y Y
\
Y Y Y
]
Y Y Y
JUDGY
[ \ ]
[ \ ]
[ \ ]
.
A ' ' G U −4 9 NLIHMH]pVU O NRUiEEDQ PHJiOODStWRWWXN OG pV |VV]HIJJpVe-
ket), hogy az URW Y G U × -UHOHJ\HQO+DVRQOyDQ
' ' Y URW Y Y Y URW Y− = × = − ×4 9
(A 4.7 összefüggés jobb oldalán a félreértések elkerülése végett cseréltük meg a vektorok
VRUUHQGMpWPHJYiOWR]WDWYDDV]RU]DWHO MHOpW
Végül eredményként azt kapjuk, hogy a folyadékrész gyorsulása:
G Y
GW
Y
WJUDG
YY URW Y= + − ×
∂
∂
.
4.2. Az Euler-egyenlet
$PLQW D]W D] HO] IHMH]HWEHQ PHJiOODStWRWWXN D IRO\DGpNUpV]HN PR]JiViQDN OHtUiViQiO
Newton II. axiómája alkalmazható, DPHO\ D IRO\DGpNUpV]HNUH KDWy HU pV PR]JiV-
mennyiVpJN LG V]HULQWLPHJYiOWR]iVDN|]|WW WHUHPWNDSFVRODWRW+DQ\DJROMXNHO D
közeg súrlódásának hatásait, tekintsük a közeget súrlódásmentesnek!
A folyadékrészekre általábDQNpWIDMWDHUKDWDW|PHJUHKDWyWpUHUSODV~O\HUpV
DIRO\DGpNUpV]IHOOHWpQKDWyIHOOHWLHU +DDN|]HJV~UOyGiVPHQWHVDIHOOHWLHU QHN
nincsen felülettel párhuzamos komponense (a csúsztatófeszültség zérus), csak a felületre
meU OHJHVQ\RPiVEyOV]iUPD]yHU KDW
Tekintsük a 4.1. ábrát! Az ábrán a JUDG S nyomásgradiens
YHNWRUWWQWHWWNIHOpVHJ\G$DODSWHUOHW GV magassá-
gú hengert, amelynek tengelye párhuzamos a gradp vek-
torral. Vizsgáljuk meg, hogy milyen nagyságú, nyomásból
szármD]yHU KDWDKHQJHUUH0LXWiQDKHQJHUIHGODSMiQD
nyomás p+dp, az alaplapon p, a hengerre ható, nyomásból
(4.7)
(4.8)
4.1. ábra
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 37/195
37
származó G ) S HU WD
G ) G$ GSG V
G V S = −
vektor fejezi ki, amely ellentétes irányítású a ds vektorral.
Tekintve, hogy GS JUDGSGV= valamint JUDGS és GVPHJHJ\H]LUiQ\~pVLUiQ\ítású, tehát
GS JUDG S G V= , a (4.9) összefüggés a ρ VU VpJJHOYDOyV]RU]iVpVRV]WiV XWiQD]DOiEEL
módon írható:
G ) JUDGS G V G$G V
G V S = −
ρρ
.
Miután ρ d s dA dm= , az elemi folyadékrész tömege és esetünkben a JUDGSGV
GVJUDGS= ,
a (4.10) összefüggés mindkét oldalának dm-PHOW|UWpQRV]WiVa után az egységnyi tömegre
KDWyQ\RPiVEyOV]iUPD]yHUW kapjuk:
G )
GPJUDGS
S= −
ρ .
$IRO\DGpNUpV]HJ\VpJQ\LW|PHJpUHKDWyHUWD]HUWpU J WpUHUVVpJYHNWRUiYDOIHMHz-
hetjük ki:
G )
GPJ
J=
.
Newton II. axiómája értelmében adott (esetünkben egységnyi) tömegre ható HU NNHOHJ\e-
zik meg a tömeg és a dv/dt gyorsulás szorzata:
d v
dt g gradp= −
1
ρ .
A (4.13) összefüggést Euler-egyenletnek nevezzük, amely a valóságos közegben általában
IHOOpSsúrlódás elhanyagolása esetén érvényes.
Az Euler-egyenlet tehát egy mozgásegyenlet, amely a súrlódás elhanyagolása esetén
|VV]HIJJpVWWHUHPWDIRO\DGpNUpV]J\RUVXOiVDpVDIRO\DGpNUpV]UHKDWyHU NN|]|WW
A (4.8) összefüggés figyelembevételével kifejtve a (4.13) összefüggés bal oldalát az Euler-
egyenlet gyakran alkalmazott vektoriális alakját kapjuk:
(4.9)
(4.10)
(4.11)
(4.12)
(4.13)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 38/195
38
∂
∂ ρ
Y
WJUDG
YY URW Y J JUDGS+ − × = −
.
+DDVU VpJDQ\RPiVIJJYpQ\Hρ ρ= S , a (4.14) egyenlet jobb oldalának utolsó tagja
az alábbi módon írható:
− = − I
ρ ρ SJUDG S JUDG
GS
S S
S
1 6 1 6 .
$OiQFV]DEiO\V]HULQWHOMiUYDXJ\DQLVDYiOWR]yIHOV KDWiU~LQWHJUiOWNHOOHOV]|UDIHOV
határ szerint differenciálni – ami az 1/ ρ primitív függvényt eredményezi.Ezt kell szorozni a
válWR]yIHOVKDWiUKHO\V]HULQWLGLIIHUHQFLiOKiQ\DGRViYDO JUDGS-vel.)
A (4.2) összefüggés figyelembevételével felírható az Euler egyenlet x,y és z irányú kompo-
nens egyenlet formájában:
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ ρ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ ρ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ ρ
∂
∂
Y
WY
Y
[Y
Y
\Y
Y
]J
S
[
Y
WY
Y
[Y
Y
\Y
Y
]J
S
\
Y
WY
Y
[Y
Y
\Y
Y
]J
S
]
[[
[\
[]
[[
\
[
\
\
\
]
\
\
][
]\
]]
]]
+ + + = −
+ + + = −
+ + + = −
$|VV]HIJJpVEOMyOOiWKDWyD]DGRWWNRRUGLQiWDLUiQ\~VHEHVVpJNRPSRQHQVLGV]e-ULQWLPHJYiOWR]iVD D] DGRWW LUiQ\~J\RUVXOiV pVD] DGRWWNRRUGLQiWDLUiQ\~HU NN|]|WWL
kapcsolat.
Határozzuk meg az Euler-egyenletet más módon! Tekintsük a
4.2. ábrát, ahol egy gondolatban elhatárolt (mondjuk kékre
festett), a folyadékkal együtt úszó V térfogatú folyadékrész
látható. A folyadékrész A felülete u.n. folyékony felület, hi-
szen a folyadékkal együtt mozog, rajta nincs átáramlás. A V
térfogat alakját és nagyságát is változtathatja (hiszen a közegVU VpJHRGpEE~V]iVN|]EHQYiOWR]KDWGHD WpUIRJDWEDQOpY
0 W|PHJ QHP YiOWR]LN ËUMXN IHO D WpUIRJDWEDQ OpY tömeg
PR]JiVPHQQ\LVpJpQHN HJ\VpJQ\L LGUH MXWy PHJYiOWR]áViW DPL HJ\HQO D IRO\DGpk-
rpV]UHKDWyHUN|VV]HJpYHO
(]HND]HU N
− DW|PHJUHKDWyHU WpUEOV]iUPD]yHU
− DIHOOHWHQKDWyHU DPHO\DV~UOyGiVPHQWHVVpJPLDWWDIHOOHWUHPHU OHJHVQ\RPiVEyO
V]iUPD]yHU UHNRU látozódik.
(4.14)
(4.15)
(4.16)
4.2. ábra
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 39/195
39
G
GWY G9 J G9 S G $
9 9 $
ρ ρI I I = −.
$MREEROGDOHOVWDJMDDWpUHU EOV]iUPD]yW|PHJUHKDWyHU WDPiVRGLNWDJDIHOOHWHQ
KDWyQ\RPiVEyOV]iUPD]yHU WIHMH]LNL(]XWyEELHO MHOHD]pUWQHJDWtYPHUWDG A felület-HOHPYHNWRUNLIHOpPXWDWtJ\QHJDWtYHO MHOHVHWpQDGyGLNDIRO\DGpNUpV]UHKDWyHU
$ODNtWVXNiWD|VV]HIJJpVEDOROGDOiQOpY WDJRW9HJ\NILJ\HOHPEHKRJ\D]L n-
tegUiOiVpVGLIIHUHQFLiOiVVRUUHQGMHIHOFVHUpOKHW(]LWWD]WMHOHQWLKRJ\XJ\DQD]WD]HUH d-
ményt kapjuk, ha az egész folyadékrész mR]JiVPHQQ\LVpJpQHNLG EHQLYiOWR]iViWYL]VJil-
juk, mint abban az esetben, ha az egyes elemi folyadékrészek mozgásmennyiségének meg-
változását összegezzük. Figyelembe kell továbbá venni azt is, hogy amíg a V integrálási
WDUWRPiQ\LOODG9HOHPLWpUIRJDWDVU VpJYiOWR]iVDPLDWWLG EHQYiOWR]KDWDGGLJD]0
folyadéktömeg ill. annak GP G9= ρ W|PHJHOHPHLG EHQQHPYiOWR]LN)HQWLHNILJ\HOHPEH
YpWHOpYHOD]DOiEELiWDODNtWiVRNYpJH]KHWNHO
G
GWY G9
G
GWY G9
G Y
GWG9 Y
G
GWG9
9 9 9 9
I I I I = = +
=
ρ ρ ρ ρ1 6 1 6 1 6
.
$IHQWLiWDODNtWiVD]WMHOHQWLKRJ\D]LG EHQYiOWR]yWpUIRJDWEDQOpYW|PHJPR]JiVPHny-
nyiVpJpQHNYiOWR]iViWLG EHQYiOWR]DWODQHOHPLW|PHJHNpVJ\RUVXOiVXNV]RU]DWDNpQWKDWá-
roz]XNPHJD]D]DMREEROGDOHOVLQWHJUiOMiEDQOpY Gv/dt a folyadékrész gyorsulása,
DPHO\HWD]HO]IHMH]HWEHQWiUJ\DOWXQNOGpV|VV zefüggések).
Térjünk vissza a (4.17) összefüggéshez, amely jobb oldalának második tagját szeretnénk
térIRJDWLLQWHJUiOOiDODNtWDQL9HJ\QNIHOHJ\WHWV] OHJHVb=konstans vektorteret és szoroz-
zuk meg e vektortérrel a p nyomást. Ezzel az integrandusz vektortérré válik, amelyre al-
kalmazható a Gauss-Osztrogradszkij-tétel:
E S G $ GLY E S G9 S GLY E E JUDGS G9
$ 99
I I I = = +1 6 1 6.
Tekintettel arra, hogy E iOO= = GLY E pV E D]LQWHJUiOMHOHOpNLYLKHW
E S G $ E JUDG S G9
$ 9
I I =.
Tekintettel arra, hogy bWHWV]OHJHVLUiQ\~YHNWRUDNpWLQWHJUiOHJ\HQOHJ\PiVVDO
Fentiek figyelembevételével írható:
(4.17)
(4.18)
(4.19)
(4.20)
(4.21)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 40/195
40
G Y
GWG9 J G9 JUDGS G9
9 9 9
ρ ρI I I = −.
Valamennyi tagot bal oldalra hozva és figyelembe véve, hogy az integrálási tartomány
megHJ\H]LNH]pUWN|]|VLQWHJUiOMHODOiYLKHWN
ρ ρG Y
GWJ JUDG S G 9
9
− +
=I
.
$]LQWHJUiOpUWpNHWHWV]OHJHV9-nél zérus, ami csak akkor lehet, ha az integandusz zérus.
Átrendezés és az egyenlet ρ-val való osztása után a (4.13) összefüggés adódik:
d v
dtg gradp= −
1
ρ.
4.3. Euler-egyenlet természetes koordinátarendszerben
Legyen az áramlás stacionárius, a súrlódást
hanyagoljuk el és vegyünk fel egy áramvo-
nalhoz rögzített, „természetes” koordináta-
rendszert (ld. 4.3. ábra(GHUpNV]|JNRRr-
dináta-rendszer az áramvonal P pontjára il-
leszkedik, és az e pULQW LUiQ\~ NRRUGLQiWD-
tengelye érinti az áramvonalat. Az n normális
irányú koordináta-tengely a P pontot az áram-
YRQDO*J|UEOHWLN|]pSSRQWMiYDO|VV]HN|WHJ\HQHVEHHVLN$ b binormális koordináta az e
és n koordinátákkal jobbsodrású rendszert alkot. Vegyük fel a 4.3. ábrán látható, db, dn és
de élhosszakkal jellemzett elemi folyadékhasábot és írjuk fel az arra ható eLUiQ\~HU N
egyensúlyát! Miután a súrlódást elhanyagoltXNDKDViEUDD]HU WpUpVDQ\RPiVEyOV]iUP a-
]yHU KDW
G) S GE GQ SS
HGH GE GQ GE GQ GH JH H= − +
!
"$# +
∂
∂ρ
,
ahol geDWpUHU VVpJHLUiQ\~YHWOHWH
(]D]HU D dm db dn de= ρ W|PHJIRO\DGpNUpV]WJ\RUVtWMD7HNLQWHWWHODUUDKRJ\NLN|Wé-
sünk szerint az áramlás stacionárius, csak konvektív gyorsulás létezik. A (4.2) összefüggés
HOVVRUpVWDJMiQDN|VV]HJHDGMDD][LUiQ\~NRQYHNWtYJ\RUVXOiVW(VHWQNEHQD] e
koordináta-tengely irányú gyorsulást keressük, figyelembe véve, hogy Y YQ E= = . Ezesetben:
(4.22)
4.3. ábra
(4.23)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 41/195
41
D YY
HNRQY =
∂
∂.
A fentiek alapján a (4.23) figyelembe vételével írható:
ρ∂
∂
∂
∂ρGEGQGH Y
Y
H
S
HGH GE GQ GE GQ GH J H= − +
.
$]HOHPLW|PHJJHOYDOyHJ\V]HU VtWpVXWiQDGyGLNa természetes koordinátarendszerben
felírt Euler-HJ\HQOHWpULQWLUiQ\~NRPSRQHQVHJ\HQOHWH
YY
H
S
HJ H
∂
∂ ρ
∂
∂= − +
Tekintsük most a normális irányú egyensúlyt! Ahhoz, hogy a dm tömeg v sebességgel
mozogjon az R görbületi sugarú áramvonalon, a görbületi középpont felé mutató GPY
5
QDJ\ViJ~FHQWULSHWiOLVHU QHNNHOODW|PHJUHKDWQLD(]D]HU LVPpWDQ\RPiVEyOV]iU -
PD]yDIRO\DGpNUpV]IHOOHWpQKDWyHU pVDW|PHJUHKDWyWpUHU VVpJ|VV]HJpYHOHJ\HQO
− = − +
!
"$# +ρ
∂
∂ρGHGEGQ
Y
5 S GE GH S
S
QGQ GE GH GH GE GQ J Q
$]HJ\HVWDJRNHO MHOpWD]QNRRUGLQiWDpVD]HU NLUiQ\tWiViQDNILJ\HOHPEHYpWHOpYHOKDW á-
UR]WXN PHJ (J\V]HU VtWpV XWiQ DGyGLN D természetes koordinátarendszerben felírt
Euler-egyenlet normális irányú komponens egyenlete:
− = − +Y
5
S
QJ Q
ρ
∂
∂
A binormális irányú komponens egyenlet – mivel ebben az irányban nincsen gyorsulás –
DQ\RPiVEyOpVDWpUHU VVpJEOV]iUPD]yHU NHJ\HQV~O\iWIHMH]LNL
= − +ρ
∂
∂
S
EJ E
Az Euler-HJ\HQOHWNO|QE|]NLIHMH]pVHLWYL]VJiOYDHJ\QDJ\RQHJ\V]HU IL]LNDLLQWHUSUHWá-
ció adódik. Súrlódásmentesség feltételezése mellett a folyadékrészekre a nyomásból és a
WpUHU VVpJEOV]iUPD]yHU KDW+DHNpWIDMWDHU NLHJ\HQOtWLHJ\PiVWDN|]HJQHPJ\RUVXO
YDJ\iOOYDJ\HJ\HQHVYRQDO~HJ\HQOHWHVVHEHVVpJPR]JiVWYpJH])RUGtWYDLVLJD]KDD
közeg áll, a nyRPiVEyOV]iUPD]yHU HJ\HQV~O\EDQYDQD]HU WpUEOV]iUPD]yHU YHO
+DDNpWHU QHPHJ\HQOtWLNLHJ\PiVWDNNRUDN|]HJJ\RUVXO$]HU WpUDWpUHU VVpJYHk-
WRUUDOPHJHJ\H]LUiQ\~pVLUiQ\tWiV~J\RUVXOiVWHUHGPpQ\H]$Q\RPiVYiOWR]iVDHVHWpQD
(4.24)
(4.25)
(4.26)
(4.27)
(4.28)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 42/195
42
folyadékréV]HNDFV|NNHQQ\RPiVLUiQ\iEDQDQ\RPiVJUDGLHQVVHOSiUKX]DPRVDQGHHl-
lentétes irányítással) gyorsulnak.
$WpUHU VVpJKDWiVDVRNHVHWEHQILJ\HOPHQNtYOKDJ\KDWyLOOHOKDQ\DJROKDWy,O\HQHVHWEHQ
D]iUDPNpSU
ODQ\RPiVPHJRV]OiVUDLOODQ\RPiVPHJRV]Oisról az áramképre következtet-KHWQN,J\SODIRO\DGpNUpV]HNFV|NNHQQ\RPiVLUiQ\iEDQJ\RUVXOQDNSOKDNO|QE|]
Q\RPiV~WHUHNHW|VV]HQ\LWXQNDQDJ\REEQ\RPiV~WpUE ODNLVHEEQ\RPiV~WpUEHiUDPOLND
N|]HJ(J\iUDPOiV LUiQ\iEDQ V]NO FV EHQ NRQI~zorban), amelyben a folytonosság
PLDWWJ\RUVXODN|]HJD]iUDPOiVLUiQ\iEDQFV|NNHQDQ\RPiVÈUDPOiVLUiQ\iEDQEYO
FVQpOGLII~]RUQiOODVVXOD]iUDPOiVpVHQQHNPHJIHOHO HQQ|YHNHGQ\RPiVWDSDV]WDOKa-
tó. (A mozgó folyadéknak le kell lassulnia és a ODVVtWyHU W–V~UOyGiVpVWpUHU KLiQ\iEDQ–
csak a nyomás áramlás irányú növekedése okozhatja.)
Az eddigi példákban a közeg sebességének nagysága változott a nyomásmegoszlás hatásá-ra. Vannak esetek, amikor a nyomás változása nem a sebesség nagyságát, hanem irányát
változtatja meg. Igen jól használható összefüggés a természetes koordináta-rendszerben
felírt Euler-egyenlet normális irányú komponens egyenlete (ld. (4.27) összefüggés).
Szorozzuk meg a (4.27) egyenlet mindkét oldalát (–1)-el és tekintsünk el a téreU VVpJKDWá-
ViWyO(]HVHWEHQD]N|YHWNH]|VV]HIJJpVWNDSMXN
Y
5
S
Q
=
ρ
∂
∂
D]DOiEELN|YHWNH]WHWpVHNHWYRQKDWMXNOHD]|VV]HIJJpVEO
a/ ha az áramvonalak párhuzamos egye-
nesek (R=∞ DNNRU D]RNUD PHUOHJHVHQ
nem változik a nyomás;
b/ ha az áramvonalak görbültek, akkor
D]RNUD PHUOHJHVHQ D Q\RPiV YiOWR]LN D
J|UEOHWLN|]pSSRQWWyONLIHOpKDODGYDQ (A
Q\RPiVEyOV]iUPD]yFHQWULSHWiOLVHU NpQyszeríti körpályára a folyadékrészeket.)
A 4.4. ábrán látható személyautó karosszériáján kialakuló nyomásmegoszlás jellegét a fenti
meggondolásokkal meg lehet határozni: az áramvonalak görbületi középpontjából kifelé
mutató nyilak a nyomás növekedését mutatják. A + és − jelek a zavartalan áramláshoz tar-
tozó nyomáshoz NpSHVWLW~OQ\RPiVWLOOGHSUHVV]LyWNOVK|]NpSHVWNLVHEEQ\RPiVWMHOö-
lik. Látható, hogy a homlokfal alatti spoiler csökkenti a nyomást, ezáltal csökken a felhaj-
WyHU $PRWRUKi]WHWpVDV]pOYpGWDOiONR]iViQiOD]iUDPYRQDODNJ|UEOHWpEOOiWKDWyDQ
túlnyoPiVYDQH]pUWLWWYH]HWLNEHDV]HOO]OHYHJW
4.4. ábra
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 43/195
43
4.4. A Bernoulli-egyenlet
Az Euler-egyenlet (ld. (4.13), (4.14), (4.16) összefüggéseket) egy differenciálegyenlet,
DPHO\NDSFVRODWRWWHUHPWDIRO\DGpNJ\RUVXOiVpVDIRO\DGpNUDKDWyHU NN|]|WW– a folyadék
V~UOyGiViQDNHOKDQ\DJROiViYDO$PV]DNLIHODGDWRNPHJROGiViQiOiOODQGyVU VpJIHOWpWe-
lezése mellett általában a vx, vy, vz és p a meghatározandó ismeretlenek. E négy ismeretlen
meghatározásához szükséges 4 egyenletet az Euler-egyenlet három komponens egyenlete
OG|VV]HIJJpVpVDIRO\WRQRVViJWpWHOHV]ROJiOWDWMD0V]DNLIHODGDWRNPHg-
oldhatók a fenti differenciálegyenletek megoldásával adott peremfeltételek mellett.
Az Euler-egyenlet megoldásának egy igen hatékony módja a (4.14) alakban felírt egyenlet
tagjainak az áramlási tér két (pl. 1-gyel és 2-YHOMHO|OWSRQWMiW|VV]HN|WYRQDOPHQWLKHO\
szerinti) integrálása:
∂
∂ ρ
Y
WG V JUDG
YG V Y URW Y G V J G V JUDGS G V
, ,, ,,, ,9 9
I I I I I + − × = − .
Vizsgáljuk meg, hogy a legáltalánosabb alakban felírt Bernoulli-egyenlet milyen feltételek
teljesülése eVHWpQKR]KDWyHJ\V]HU EEDODNUD
a/ Miután (ld. (2.1) összefüggés)
JUDG I G V I I
I = − ,
D,,MHOLQWHJUiOPLQGHQWRYiEELIHOWpWHOQpONODY Y
−alakra hozható.
b/ (]DYRQ]yiWDODNtWiVD,9MHOLQWHJUiORQLVHOYpJH]KHWKDD J HUWpUSRWHQFLiORV
(ld. 2.2. fejezet, 2.8 összefüggés). A J JUDG8= − helyettesítéssel és az integrálás el-
végzésével a (4.29) Bernoulli-HJ\HQOHW,9MHOWDJMD-(U2- U1) alakú lesz.
c/ $]HJ\HQOHW,MHOWDJMD]pUXVKD ∂
∂vt
= 0, azaz ha az áramlás stacionárius.
d/ $,,,MHOWDJV]iPtWiVDiOWDOiEDQQHKp]VpJHW okozna, ezért törekszünk zérussá tételére.
(WDJ]pUXVpUWpN KD
− a v sebesség zérus,
− a rotv=0, azaz az áramlás potenciálos,
− a ds a v és rotv vektor által kifeszített síkba esik
− a ds v, azaz áramvonalon integrálunk,
− a ds rotv, azaz örvényvonalon (ld.4.5.fejezet) integrálunk,
(4.29)
(4.30)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 44/195
44
− v rotv, u.n. Beltrami áramlás.
e/ Az V tagban ρ = iOO. esetén a S ρ gradiensét kell vonal mentén integrálni, ami a
−− S S
ρ
eredményre vezet. Ha ρ ρ= S , akkor a (4.15) összefüggés felhasználásá-
val az V integrál aGS
S S
S
ρ1 6
I alakra hozható.
Ha a Bernoulli-HJ\HQOHWHWKDV]QiOMXNDN|YHWNH]NpUGpVHNHWFpOV]HU IHOWHQQLpVDYiOa-
V]RNDODSMiQDOHKHWVpJHVHJ\V]HU VtWpVHNHWYpJUHKDMWDQL
− Stacionárius-e az áramlás? Ha nem, van e olyan (pl. együtt mozgó) koordináta-
UHQGV]HUDPHO\EOVWDFLRQiULXVViWHKHW"
−Potenciálos-e az áramlás? Ha nem, lehet-e áramvonalon integrálni?
− Potenciálos-HD]HU WpU"
− Állandó-HDVU VpJ" Ha nem, csak a nyomástól függ-e?
$PV]DNLJ\DNRUODWEDQOHJJ\DNUDEEDQHOIRUGXOyHVHWHNEHQ az áramlás stacionárius, le-
KHWiUDPYRQDORQLQWHJUiOQLD]HUWpUD)|OGQHKp]VpJLHUWHUHDPLSRWHQFLiORVDV
UVpJSHGLJiOODQGy Ilyen esetben a Bernoulli-egyenlet az alábbi, jól ismert alakban írható
fel:
Y S 8 Y S 8
+ + = + +
ρ ρ
DKRO8D)|OGQHKp]VpJLHU WHUpQHNSRWHQFLiOMDDPLIHOIHOpPXWDWy]NRRUGLQiWDHVHWpQD]
8 J ]J= összefüggéssel írható le.
A (4.31) összefüggés azt fejezi ki, hogy a fenti feltételek fennállása esetén a
v p U2 2 + +ρ4 9 Bernoulli-összeg egy áramvonal mentén állandó. (Potenciálos áramlás
esetén a Bernoulli-összeg az egész áramlási térben – és nemcsak áramvonal mentén – ál-
landó.)
4.5. Örvénytételek
(EEHQDIHMH]HWEHQWDOiQW~OHOPpOHWLQHNWQ|VV]HIJJpVHNHWIRJXQNPHJKDWározni, ame-
O\HNQHND]RQEDQHOPpOHWLMHOHQWVpJNPHOOHWWIRQWRVJ\DNRUODWLV]HUHSNLVYDQ$]DOiEE i-
akban tárgyalt |UYpQ\WpWHOHNDV~UOyGiVPHQWHVVpJIHOWpWHOH]pVpYHOYH]HWKHWNOH.
(4.31)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 45/195
45
Tekintsük a 4.5. ábrátDKROHJ\*MHO]iUWIRO\é-
kony vonalat tüntettünk fel. (A folyékony vonal a
közeggel együtt úszik el.) Kérdés, hogyan változik a
Γ = I Y G V
*
FLUNXOiFLy pUWpNH D] LG IJJYpQ\pEHQ
azaz
G
GW
G
GWY G V
*
Γ = =I "
+DQHPtUMXND]HOOHQNH] MpWDN|UOMiUiVLLUiQ\PLQGLJSR]LWtY9L]VJiOMXNPHJY GV LG
szerinti megváltozását! A szorzat deriválási szabályait alkalmazva:
G
GW
Y G VG Y
GW
G V YG
GW
G V1 6 1 6= +
.
A (4.32) összefüggés azt fejezi ki, hogy a Y GV V]RU]DW LG V]HULQWL PHJYiOWR]iVD D
sebességWpUpVDIRO\pNRQ\YRQDOHOHPLGV]HULQWLPHJYiOWR]iViUDYH]HWKHWYLVV]D
A 4.5. ábra alapján írható:
G
GWG V
GWY G Y GW Y GW G Y ' G V1 6 1 6= + − = =
.
A ds folypNRQ\YRQDOHOHPPHJYiOWR]iViWYpJSRQWMDLQDNNO|QE|]VHEHVVpJHRNR]]D(]Wa sebességkülönbséget a (2.3) összefüggés alapján a derivált tenzor segítségével határozzuk
PHJ+RJ\DQOHKHWQHDEHKHO\HWWHVtWpVXWiQDMREEROGDOiQPHJMHOHQ Y ' G V szorza-
tot PiVNpQWNLIHMH]QL"$]HJ\V]HU VpJNHGYppUWV]RUtWNR]]XQNVtNiUDPOiVUD
Y ' G VY
Y
Y
[G[
Y
\G\
Y
[G[
Y
\G\
[
\
7[ [
\ \=
!
"$#
+
+
!
"
$
####
=
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
= + + + =YY
[G[ Y
Y
\G\ Y
Y
[G[ Y
Y
\G\[
[[
[\
\
\
\∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
+
+
!
"
$
######
!
"$# =
∂
∂
∂
∂
[
Y Y
\
Y Y
G[G\
JUDGY
G V
[ \
[ \
.
4.5. ábra
(4.32)
(4.33)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 46/195
46
Mivel a súrlódásmentesség feltételezésével éltünk, a G Y G W folyadék gyorsulást az Euler-
egyenlet alapján fejezhetjük ki. A (4.32) összefüggésbe helyettesítve a (4.13) és (4.33) ösz-
szefüggéseket, írható:
GGW
Y GV J JUDGS JUDG Y G V
* *I I = − +! "
$##
ρ .
Ha a J HU WpUSRWHQFLiORVpVKDDVU VpJiOODQGyDNNRUDSρ, a v2 /2 és a -U gradienseit
kell zárt G görbe mentén integrálni. Figyelembe véve a (4.30) összefüggést, valamint azt,
hogy zárt göUEHHVHWpQD]LQWHJUiOiVLWDUWRPiQ\IHOV pVDOVyKDWiUDHJ\EHHVLND|sz-
V]HIJJpV MREE ROGDOiUD ]pUXV pUWpN DGyGLN +DD VU VpJ FVDN D Q\RPiV IJJYpQ\H D
(4.15) alapján ugyanez az eredmény adódik.).
A Thomson (Lord Kelvin) tétel értelmében – ha a]HUWpUSRWHQFLiORVpVDV~UOyGi s-
PHQWHVN|]HJVUVpJHiOODQGyYDJ\FVDNDQ\RPiVIJJYpQ\H– a sebességtér zárt fo-
O\pNRQ\YRQDOPHQWLYRQDOLQWHJUiOMDDFLUNXOiFLyD]LG IJJYpQ\pEHQQHPYiOWozik:
G
GWY G V
*
I =
Tekintettel arra, hogy a cirkuláció és a sebességtér örvényessége között a Stokes-tétel (2.7)
értelmében szoros kapcsolat van, a Thomson-tétel alapján megállapítható, hogy súrlódás-
mentes közegben a fenti feltételek fennállása esetén örvényesség nem keletkezhet. Másként
megfogalmazva: súrlódásmentes közeJQ\XJYyWpUEOYDJ\SRWHQFLiORViUDPOiVEyOHUHG
áramlása potenciálos. Valóságos közeg esetén a folyadéksúrlódás következtében pl. szilárd
IDOPHOOHWWNHOHWNH]LN|UYpQ\HVVpJgUYpQ\HVVpJHWKR]KDWOpWUHD]LVKDD]HU WpUQHPSo-
tenciálos, például a Coriolis-HU WpUQHNV]HUHSHYDQWRUQiGyNFLNORQRNNLDODNXOiViEDQ
Definiáljuk az örvényvonalat az alábbi mó-
don: az örvényvonalat minden pontjában
érinti a rotv vektor, azaz ha G V az örvényvo-nal eleme, akkor URW Y G V× = . Definiáljuk
továbbá az örvényfelületet, amely örvény-
vonalakból áll, és amelyet a rotv vektorok
érintenek: URWYG$ = , ld. 4.6. ábra. Ve-
gyünk fel egy, az áramló folyadékkal együtt mozgó A folyékony örvényfelületet (4.6. ábra)
és azon jelöljünk ki egy G folyékony vonalat. Tekintettel arra, hogy az örvényvektorok
érintik a felületet, azoknak a G által határolt felületre vett felületi integrálja zérus. Ekkor vi-
szont a (2.7) összefüggéssel megadott Stokes-tétel értelmében a folyékony felületen felvett
G zárt folyékony vonalon a sebesség vonalintegrálja, a cirkuláció zérus. Ha fennállnak a
Thomson-WpWHO OHYH]HWpVpQpO WHWWNLN|WpVHN V~UOyGiVPHQWHV iOODQGyVUVpJ N|]HJ
(4.34)
(4.35)
A
4.6. ábra
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 47/195
47
SRWHQFLiORVHUWpU, akkor a Thomson-tétel (4.35) értelmében a cirkuláció a G görbe men-
tén zérus értéN LVPDUDG.|YHWNH]pVNpSSHQ egy folyékony örvényfelület mindig meg-
tartja örvényfelület jellegét.
Belátható, hogy két folyékony örvényfelület örvényvonal mentén metszi egymást, amely azHO]HN V]HULQW PHJWDUWMD |UYpQ\YRQDO MHOOHJpW $ PHWV]pVYRQDORQ OpY IRO\DGpNUpV]HN
mindkét folyékony felület részei, ezért mindig a metszésvonal részei maradnak. A metszés-
YRQDOWHKiWPLQGLJXJ\DQD]RNEyODIRO\DGpNUpV]HNE OiOO
A Helmholz I tétele szerint egy örvényvonal, amely két örvényfelület metszésvonala,
PLQGLJXJ\DQD]RNEyODIRO\DGpNUpV]HNEOiOO
Tekintsük a 4.7. ábrát, ahol egy IRO\pNRQ\|UYpQ\FV (csövet
DONRWy|UYpQ\IHOOHWOiWKDWy$]|UYpQ\FV
SDOiVWMiQYHJ\Nfel az S zárt folyékony vonalat, amely S1,S26¶pV6´UpV]HNEO
áll. Miután a zárt vonal az örvényfelületen van, a sebesség vo-
nalintegrálja e vonal mentén a Stokes-tétel értelmében zérus.
Írjuk fel a cirkulációt az S mentén, figyelembe véve, hogy a
sebesség vonalintegrálja S'’n és S'”n éppen kiejti egymást:
Y G V Y G V Y G V
6 6 6
I I I = + =
.
4.7. ábra
(4.36)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 48/195
48
A körüljárási irányokat az A1 és A2 keresztmetszetekhez képest adtuk meg (azaz a (4.36)
jobb oldalán a második integrál körüljárási iránya negatív). Azonos (pozitív) körüljárási
irány esetén az S2J|UEpUHYRQDWNR]yLQWHJUiOWSR]LWtYHO MHOOHODPiVLNROGDOUDYLKHWMNiW
Y G V Y G V6 6
I I = ,
azaz a Stokes-tétel értelmében:
URW Y G $ URW Y G $
$ $
I I =.
Fentiek alapján megfogalmazható +HOPKRO],,WpWHOH$]|UYpQ\FVKRVV]DPHQWpQEir-
mely metszetében U RWYG$
$
I pUWpNHiOODQGypVLGEHQVHPYiOWozik.
4.8. ábra
Következmény: D]|UYpQ\FVQHPIHMH]GKHWEHD]iUDPOyN|]HJEHQ9DJ\]iUWJ\UW
alkot, vagy az áramlási tér határáig ér. (Különben $ ⇒ URW Y ⇒ ∞ következne a tétel-
EO+HOPKROW],,W|UYpQ\HpUWHOPpEHQ]iUWJ\U DIVWNDULNDDPHO\+HOPKROW],. törvé-
Q\H pUWHOPpEHQ ÄHJU]L D EHQQH OpY IVW|W D]D] LG EHQ XJ\DQD]RNEyO D IRO\DGpNU é-
szek EOiOOOG4.8. ábra).
Az örvénytételeknél alkalmaztuk az Euler-egyenletet, tehát e tételek valóságos közegeknél
addig és olyan mértékben érvényesek, ameddig és amilyen mértékben az Euler-egyenlet.
Látni fogjuk a súrlódásos áramlások tárgyalásánál, hogy valóságos közeg áramlása esetén
számos esetben jó közelítés a súrlódás hatásának elhanyagolása. Ezért az örvénytételek sok
(4.37)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 49/195
49
esetben jó közelítésként, más esetekben a tendenciák meghatározására eredményesen hasz-
nálhatók.
$ UHSOJpS V]iUQ\DNUD IHOKDMWyHU KDW
ami annak a következménye, hogy a szárny
alatt a nyomás nagyobb, mint felette. Ez a
nyomáskülönbség akkor jöhet létre, ha a
szárny fölött az áramlási sebbesség na-
gyobb mint alatta, azaz a szárny körül fel-
vett zárt görbén a sebesség vonalintegrálja, a Γ FLUNXOiFLy]pUXVWyOHOWpU $IHMezetben
mutat MXNEHKRJ\HJ\V]iUQ\UDKDWyIHOKDMWyHU HJ\HQHVHQDUiQ\RVDV]iUQ\N örüli cirkulá-
cióval. A szárny (pl. egy repüOJpSV]iUQ\WHKiWRO\DQiUDPNpSHWKR]OpWUHPDJDN|Ul,
mintha egy örvény lenne. Vegyük körül a nyugvó szárnyat a 4.9. ábrán látható módon egy
]iUWJ|UEpYHODPLQDFLUNXOiFLyQ\XJYyOHYHJpViOOyV]iUQ\HVHWpQ]pUXVpVD7KRPVRQ-tétel (4.35 összefüggés) értelmében zérusnak kell maradnia, hiszen a szárnytól távol felvett
G görbe környezetében az áramlási sebességek kicsinyek, így a Thomson-tétel érvényessé-
gét "„lrontó"”súrlódás hatása elhanyagolható. Ha mozgásba jön a szárny (elindul a repül
gép), körülötte Γ cirkuláció alakul ki, ami csak akkor lehetséges, ha egy azonos nagyságú,
de ellentétes irányban forgó u.n. indulási örvény keletkezik a szárny mögött (ld. 4.9. ábra).
Hasonlóan belátható, hogy a szárny megállításakor is egy örvény, a megállási örvény válik
le a szárnyról.
A Helmholtz II tétel értelmébenYLV]RQWH]HNQHPIHMH]GKHWEHD]iUDPOiVLWpUEHQ0LO\HQ
mechanizmus eredményeként adódik a zárt örvény hurok?
4.10. ábra
Tekintsük a 4.10. ábrát, ahol egy áramlási térbe helyezett szárny látható felülnézetben. Lát-
ható, hogy a szárny mindkét végén folyamatosan úszik le egy-egy ellentétesen forgó ör-
vény, amelyek körüli cirkuláció, megegyezik a szárny körüli cirkulációval. Ezek az örvé-
4.9. ábra
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 50/195
50
nyek kötik össze a szárnyat, ill. annak megállása után a megállási örvényt) az indulási ör-
vénnyel, a Helmholtz II törvény értelmében zárt örvényhurkot alkotva. A szárnyvégi örvé-
nyek keletkezését mutatja a 4.11. ábra is amely Ma=1.1 Mach-V]iPPDOOGNpV EEMHl-
OHP]HWWiUDPOiVEDKHO\H]HWWUHSOJpSPRGHOON|UONLDODNXOyiUDPOiVWOiWXQN$V]iUQ\Yé-
JHNHQNHOHWNH]|rYpQ\HNHWDPHO\HNEHQDQ\RPiVpVtJ\DVU VpJLVNLVHEEDN|UQ\H] e-
WLQpODV]iUQ\YpJKH]FVDWODNR]yDUHSOJpSKRVsztengelyével párhuzamos sötétebb vona-
lak mutatják. (A kép többi részét a gázdinamika fejezet tárgyalásánál értelmezzük.)
4.11. ábra
$ V]iUQ\YpJU O OH~V]y |UYpQ\HN NHOHWNH]pVpW HOHPL iUDPOiVWDQL PHJIRQWROiV DODSMiQ LV
megérthetjük: a szárnyon úgy keletke]LN IHOKDMWyHU KRJ\DOXODQ\RPiVQDJ\REEPLQW
IHOO(Q\RPiVNO|QEVpJKDWiViUDDV]iUQ\YpJHLWPHJNHUO iUDPOiVDODNXONLDPHO\D
szárny körüli áramlással összeadódva két örvényt alkot.
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 51/195
5. Alkalmazások: hidrosztatika, úszás
5.1. Hidrosztatika
E fejezetben azokat az eseteket vizsgáljuk, amelyeknél létezik olyan koordináta-rendszer,
DPHO\EOQp]YHDIRO\DGpNQHPJ\RUVXOD]D]DpUWHOPpEHQDWpUHU VVpJEOpVDQ\o-
PiVEyOV]iUPD]yHU NLHJ\HQOtWLHJ\PiVW1HPJ\RUVXODN|]HJKDD]DGRWWNRRUGLQita-
rendszerben áll, vagy egyenesvonalú, egyenletes mozgást végez. Ez utóbbi esetben viszont
egy együttmozgó koordináta-rendszerrel „megállíthatjuk” a közeget. Ezért azon feladato-
kat, amelyeknél a folyadék gyorsulása G Y GW = hidrosztatikai feladatoknak nevezzük.
Tekintsük az Euler-egyenlet (4.13) összefüggésben megadott alakját:
G Y
GWJ JUDGS= −
ρ .
Miután a folyadékrészek sebessége zérus, hidrosztatikai feladatoknál az Euler-egyenlet
valóságos (súrlódásos) közegben is elhanyagolás nélkül alkalmazható. Nyugalomban
léY QHZWRQL N|]HJEHQ XJ\DQLV QHP OpSQHN IHO FV~V]WDWyIHV]OWVpJHN OG IHMH]HW
(1.2) összefüggés):
Az (5.1) egyenlet bal oldalára zérust írva, átrendezve és ρ-val átszorozva megkapjuk a hid-rosztatika alapegyenletét:
JUDGS J= ρ
A hidrosztatika alapegyenlete alapján megállapítható, hogy
– a nyomás leggyorsabb változásának (növekedésének) iránya és irányítása megegyezik az
HU WpUWpUHU VVpJYHNWRUiQDNLUiQ\iYDOpVLUiQ\tWiViYDO
–DQ\RPiVYiOWR]iViQDNPpUWpNHDWpUHU VVpJDEV]RO~WpUWpNpYHOpVDN|]HJVU VpJpYHO
arányos.
+DD]HU WpUSRWHQFLiORVD]D]J JUDG8= − , az (5.2) egyenlet átalakítható:
JUDG S JUDG 8= −ρ,
D]D] D] D]RQRV Q\RPiVVDO MHOOHPH]KHW S iOO= felületek (izobárok) és az 8 iOO=
ekvipotenciális felületek egybeesnek.
A hidrosztatikai feladatok megoldásánál az (5.2) vagy (5.3) differenciálegyenletet kell in-
WHJUiOQL(]WPiUD]HO]IHMH]HWEHQPHJWHWWNDPLNRUD](XOHU -egyenlet vonal menti
(5.1)
(5.2)
(5.3)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 52/195
52
integrálásával megkaptuk a Bernoulli-egyenletet. A hidrosztatikai feladatok megoldásánál
tehát a Bernoulli-egyenlet tárgyalásániOPHJKDWiUR]RWWHJ\HQOHWHNHWFpOV]HU KDV]nálni az-
]DOD]HJ\V]HU VtWpVVHOKRJ\DVHEHVVpJHWLOOJ\RUVXOiVWWDUWDOPD]yWDJRN]pUXVpUWpN ek.
ËJ\SOKDD]HU
WpUSRWHQFLiORVKLGURV]WDWLNiEDQFVDNLO\HQHNNHOIRJXQNWDOiONR]QLpVDN|]HJVU VpJHiOODndó, akkor a Bernoulli-egyenlet (4.29) összefüggésben megadott legál-
talánosabb alakjából a (4.31) alakot kapjuk, természetesen a sebesség tagok nélkül:
S8
S8
ρ ρ+ = +
Tekintsük az 5.1. ábrátDKROD)|OGQHKp]VpJLHU WHUpEHQ OpYWDUWiO\OiWKDWyDPHO\EHQ
ρ = NJ P VU VpJYt]YDQ+DWiUR]]XNPHJDQ\RPiVYiOWR]iViWDWDUWiO\EDQ
(J\LNPHJROGiVL OHKHWVpJNpQW LQGXOMXQN NLD
KLGURV]WDWLND DODSHJ\HQOHWpEO Legyen z
lefelé mutató koordináta. Ebben a koordináta-
rendszerben J J N = , ahol g N kg= 9 81. . Az
(5.2) egyenletet kifejtve:
∂
∂
∂
∂
∂
∂ρ
S
[L
S
\ M
S
]N J N + + =
adódik.
$]|VV]HIJJpVEO OiWMXNKRJ\DQ\RPiVDYiUDNR]iVQDNPHJIHOHOHQFVDNDIJJOHJHV
koordináta mentén változik. Ezért írható: GS G] J = ρ . A differenciálegyenlet megoldása
után a
S J ] .RQVW= +ρ
összefüggést kapjuk, azaz a nyomás lefeléOLQHiULVDQQ A Konst. integrálási állandót úgy
határozzuk meg, hogy a folyadéktér egy olyan pontjára írjuk fel az (5.6) összefüggést, ahol
ismert a nyomás. Ilyen pont a felszín, ahol írható: ha ] = , akkor S S= . Behelyettesítve
.RQVW S = adódik, tehát
S S J ]= + ρ.
Ha a tartály alján keressük a nyomást, ] += -t kell az (5.7) egyenletbe helyettesíteni.
Másik megoldásként alkalmazzuk a Bernoulli-egyenlet (5.4) alakját. (esetünkben az er
WpUSRWHQFLiORVDN|]HJVU VpJHiOODQGy$%HUQRXOOL-egyenlet alkalmazásánál igen fontos
(5.4)
5.1. ábra (5.5)
(5.6)
(5.7)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 53/195
53
és HVHWHQNpQWWDOiOpNRQ\ViJRWLJpQ\OIHODGDWDNpWSRQWIHOYpWHOHDPHO\N|]|WWLYRQDORQD]
egyenlet az Euler-egyenletet „integrálja”. Általában jól használható az a módszer, amely
szerint az egyik pontot ott vegyük fel, ahol mindent ismerünk, a másikat pedig ott,
DKRONHUHVQNYDODPLWpVDOHJW|EEMHOOHP]WLVPHUMN
Legyen tehát az egyik pont (ahol mindent ismerünk) a felszínen felvett 1 pont, a másik a
tartály alján z=+KHO\HQOpYSRQWDKRODQ\RPiVWNHUHVVN/HIHOpPXWDWy]NRordináta
HVHWpQD)|OGQHKp]VpJLHU WpUSRWHQFLiOMDOGIHMH]HW8 J]= − alakú. Az (5.4) egyen-
OHWHJ\HVWpQ\H]LWV]iPEDYpYH
S S ] S ] + = = = = " .
Behelyettesítés és átrendezés után: S S J + − = ρ adódik.
Ha a 2 pontot nem a tartály alján, hanem valamely z változó mélységben vesszük föl, az
(5.7) összefüggésre jutunk.
Hogyan kell eljárnunk, ha a tartály felfelé gyorsul a gyorsulással? Abszolút (a Földhöz
U|J]tWHWWUHQGV]HUEOYL]VJiOYDDMHOHQVpJHWD]VHPPLNpSSHQQHPWDUWR]LNDKLGURV]WDWLND
N|UpEHDIRO\DGpNPR]RJVWJ\RUVXOYDPRzog, tehát az áramlás instacionárius. Szerencsé-
re találunk egy olyan koordináta-UHQGV]HUWDPHO\EOQp]YHDN|]HJiOOH]DWDUWiOO\DOIHOI e-
lé együtt gyorsuló koordináta-rendszer. Ha a koordináta-rendszer gyorsul, akkor abban
WRYiEELHUWpUMHOHQLNPHJ (ldIHMH]HW(VHWQNEHQH]D]HU WpUDWHKHWHWOHQVpJLHU
tér, amelynek potenciálja a (2.10) összefüggés alapján 8 D ]W = − , hiszen felfelé gyorsuló
koordináta-rendszerben felfelé kell munkát végezni, ha elmozdítunk egy tömeget, azaz fel-
IHOpFV|NNHQ]-k irányában) kell növekednie az 8 W -nak.
$ WDUWiO\ DOMiQ OpY Q\RPiVW XJ\DQ~J\ NHOO V]iPROQL PLQW D] HO EE GH
8 8 8 J D ]J W= + = − + $ |VV]HIJJpVWNHOOKDV]QiOQLD]HU WpUSRWHQFLiOMiUD(UHGPpQ\O
a S S J D + − = +ρ $ kifejezést kapjuk, tehát a tartály felfelé gyorsulása a folyadékra ható
V~O\HU WPLQtegy megnövelte.
$IHOIHOpJ\RUVXOyWDUWiO\IHOV]tQpU OD]WWpWHOH]WNIHOKRJ\QHPYiOWR]LNDJ\RUVXOiVKDWá-
ViUDÒJ\pUH]]ND]RQEDQKRJ\SOJ\RUVXOyWHKHUDXWyQOpYWDUWiO\EDQOpYFVHSSIRO\yV
közeg felszíne nem marad „vízszintes”. Milyen kapcsolat vDQDWpUHUVVpJpVDIHOV]tQ
között?
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 54/195
54
Vegyük a hidrosztatika (5.2) alapegyenletének rotációját. Miután URW JUDG $ = , a bal ol-
dal zérus lesz. Ezért írható – figyelembe véve a szorzat deriválási szabályait:
URW J URWJ JUDG Jρ ρ ρ" ' = + × = .
0LXWiQDKLGURV]WDWLNDLSpOGiLQNEDQHOIRUGXOyHU WHUHNSRWenciálosak, URWJ = (EEON ö-
vetkezik, hogy JUDG Jρ × = D]D]DVU VpJ OHJURKDPRVDEEYiOWR]iViQDN LUiQ\D SiU hu-
]DPRVDWpUHU VVpJYHNWRUUDO$N|]HJVU VpJHDIHOV]tQUHPHU OHJHVHQYiOWR]LNDOHJUR-
hamosabban, WHKiWNpWNO|QE|] VUVpJN|]HJHWHOYiODV]WyKDWiUROyIHOület (felszín)
minGHQSRQWMiEDQPHUOHJHVD]HUWpUHUHGWpUHUVVpJYHNWRUiUD Ez azt is jelenti,
hogy a felszín egybeesik valamely ekvipotenciális felülettel. (Ez utóbbi megállapítás
közvetlenül belátható, ha meggondoljuk, hogy az 8 iOO= IHOOHWHNLVPHU OHgesek J -re.)
0HJiOODStWRWWXNKRJ\YiOWR]yV U VpJHVHWpQDVU VpJ OHJJ\RUVDEEYiOWR]iViQDN LUiQ\D
SiUKX]DPRVDWpUHU VVpJYHNWRUUDO.pUGpVKRJ\HYHNWRULUiQ\iEDQHOPR]GXOYDFV|NNHQ
YDJ\QDVU VpJ%L]RQ\tWKDWyKRJ\PLQGNpWHVHWOHKHWVpJHVGHcsaNDWpUHUVVpJLUá-
Q\iEDQQ|YHNYVUVpJHVHWpQVWDELODUpWHJ]GpV.
Térjünk vissza a felszín helyzetéhez. Az 5.2. áb-
rán egy jobbra gyorsuló kocsit és egy hengeres
HGpQQ\HOHJ\WWPHUHYWHVWV]HU HQIRUJyIRO\a-
dékot látunk. Milyen alakú a felszín és hol he-
lyezkedik el? Ha ugyanis e kérdésekre választ
tudunk adni, fel tudjuk írni a Bernoulli-
egyenletet a felszín egy pontja és a folyadéktér
HJ\PiVLNDNHUHVHWWMHOOHP]WWDUWDOPD]ySRQWMD
között. Gyorsuló kocsi esetén együtt gyorsuló
koordináta-rendszert veszünk fel, ezért a tehetetOHQVpJLHU WpUUHOJ D LW = − ) is kell számol-
QLD)|OGQHKp]VpJLHU WHUHJ J N J = − PHOOHWW$]DONDOPD]RWWHO MHOHND]5.2. ábrán fel-
vett koordináta-rendszerhez igazodnak.)
$]HUHGHU WpUSRWHQFLiOMDDNpWHU WpUSRWHQFLiOMiQDN|VVzege. A folyadék felszíne vala-
mely ekvipotenciális felülettel esik egybe. E felületek egyenletét az 8 J] D [ iOO= + +
összefügJpVEONDSKDWMXN
]D
J[ . = − +
$J\RUVXOyNRFVLEDQOpY IRO\DGpNIHOV]tQH WHKiWVtNDPHO\D −D J LUiQ\WpQ\H] EO N ö-
YHWNH]HQPHU OHJHVD J HUHG HU WpU vektorra. Azt, hogy az ekvipotenciális felületsereg
melyik elemével esik egybe a felszín, a folyadékmennyiség állandósága dönti el. Köny-
5.2. ábra
(5.8)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 55/195
55
nyen beOiWKDWyKRJ\iOODQGyV]pOHVVpJNRFVLHVHWpQDKRVV]IHOpEHQOpY"tengely" körül
"billen el" a felszín, ha nem vág be a kocsi aljába. (Ezért érdemes a koordináta-rendszer
origóját itt felvenni.)
A forgó edénybenOpYPHUHYWHVWV]HU HQIRUJyIRO\DGpNRWD]HJ\WWIRUJyUHQGV]HUE O
célV]HU YL]VJiOQL DPLNRU D )|OG QHKp]VpJL HU WHUpKH] D FHQWULIXJiOLV HU WpU MiUXO $ 2.2.fejezetben foglaltak alapján felírható az ekvipotenciális felületek egyenlete:
8 J]U
iOO D]D] ]U
J. = − = = − +
ω ω
.
/iWKDWyKRJ\D]HNYLSRWHQFLiOLVIHOOHWHNpVD]HJ\LNNHOHJ\EHHVIHOV]tQLVPiVRGIRN~
forgási paraboloidok.
Ebben az esetben is a folyadék térfogatának állandósága szabja meg, hogy az
ekvipotenciális felületsereg melyik eleme a felszín, azaz, hogy egy adott koordináta-
rendszerben mennyi a K értéke. A 3.6. fejezetben meghatároztuk egy n-ed fokú forgási
SDUDERORLGDODWWOpYWpUIRJatot. Ha n=2, ez a térfogat a befoglaló henger térfogatának a fele
(ld. 5.2. ábra(EEON|YHWNH]LNKRJ\DIRUJyHGpQ\EHQDIHOV]tQHUHGHWLIRUJiVHOWWLIHl-
színhez képesti legnagyobb lesüllyedése és felemelkedése egymással megegyezik:
∆P 5 J= ω $ .
+DHOHJHQGWDSDV]WDODWRWV]HU]QNKLGURV]WDWLkai feladatok megoldásában, a nyomásokat
HJ\HJ\V]HU PHJIRQWROiVVDOLVV]iPROKDWMXN7XGMXNKRJ\D]HU WpUHNYLSRWHQFLiOLVIHOOe-
WHLHJ\EHHVQHND]iOODQGyQ\RPiV~IHOOHWHNNHOOG+DD]HUHG HU WpUW|EEHU WpU
|VV]HJHNpQW DGyGLN D] HJ\HV HU WHrek "s„ját" ”kvipotenciális felületükön nem okoznak
Q\RPiVQ|YHNHGpVW+DWHKiWD]HJ\LNHU WpU -|VV]HWHYHNYLSRWHQFLiOLVIHOOHWpQPR]GXOXQN
el, a máVLNHU WpU|VV]HWHYRNR]KDWQ\RPiVQ|YHNHGpVW
Az ekvipotenciális felületek megtalálása általában nem okoz nehézséget: a Föld nehészségi
HU WHUHHVHWpQYtV]LQWHVDWHKHWHWOHQVpJLHU WpUHVHWpQDWpUHU VVpJYHNWRUUDPHU OHJHVVí-
NRNFHQWULIXJiOLVHU WpUHVHWpQDIRUJiVWHQJHOO\HOPHJHJ\H] WHQJHO\KHQJHUHN+DD)|OG
QHKp]VpJLHU WHUpYHOYDJ\DWehetetlenségi HU WpUWpUHU VVpJYHNWRUiYDOPHJHJ\H]LUiQ\EDQés irányítással ∆ ∆V LOO VJ D távolságot mozdulunk el állandó ρVU VpJN|]HJEHQ
∆ ∆ ∆ ∆ S J V LOO S D VJ J D D= =ρ ρ
nyomásnövekedés adódik (ellentétes irányban nyomáscsökkenés). Ha ω szögsebességgel
forgó koordinátarendszerben, ρVU VpJN|]HJEHQU 1 sugárról egy nagyobb r2 sugárra me-
gyünk át, a nyomás ∆ S U U F = −ρ ω
" ' érWpNNHOQDFHQWULIXJiOLVHU WpUKDWiViUD
Felhasználva a fentieket az 5.2. ábránOpYHVHWHNEHQKDWiUR]]XNPHJD%pV$SRQWEDQ lé-
YQ\RPiVNO|QEVpJpW
(5.9)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 56/195
56
− a gyorsuló kocsinál: S S J V D V% $ J D− = +ρ ρ∆ ∆
− a forgó edénynél: S S J V 5 % $ J− = +ρ ρ ω∆ .
Az eddigiekben vizsgált esetekben a ρ = iOO feltételezéssel éltünk, ami cseppfolyós hal-mazállapotú közegeknél a valóságnak iJHQMyOPHJIHOHO$Ji]RNVU VpJHD]RQEDQDQ\o-
PiVQDJ\REEYiOWR]iVDHVHWpQMHOHQW VHQYiOWR]KDW$]Ji]W|UYpQ\pUWHOPpEHQDρs
U VpJ7iOOHVHWEHQDQ\RPiVVDODUiQ\RV0LDWHHQGDNNRUKDDVU VpJQ\RPiVYiOWo-
zása miatti változása nem hanyagolható el pl. meghaladja a 10%-ot?
+DDVU VpJDQ\RPiVIJJYpQ\HDNNRUKDV]QiOKDWyD%HUQRXOOL-egyenlet általános alakja
(4.29) a bal oldal zérus értéke mellett figyelembe véve a (4.15) átalakítást. Potenciálos er
tér feltételezésével:
8 8GS
S S
S
− + =1 $ $ρ .
Általánosságban (pl. ha a ρ nem a p-WOIJJKa-
QHP SO PpJ D KPpUVpNOHWWO pV D QHGves-
ségtartalomtól is), a hidrosztatika (5.2) alapegyenle-
téhez (azaz az Euler-HJ\HQOHWKH] FpOV]HU YLVV]D-
nyúlni. /HJ\HQ D IHODGDW D] DWPRV]IpUiEDQ OpYQ\RPiVPHJRV]OiV PHJKDWiUR]iVD iOODQGy OHYHJ-
KPpUVpNOHW7 iOO= ) mellett. Vegyünk fel egy fel-
felé mutató z koordinátát (ld. 5.3. ábra). E koordináta-UHQGV]HUEHQD)|OGQHKp]VpJLHU WHUH
J J N = − vektortérrel írható le.
Alkalmazzuk a hidrosztatika (5.2) alapegyenletét:
∂
∂
∂
∂
∂
∂
ρ S
[
LS
\
MS
]
N J N + + = − $ .
Ismét látjuk, hogy a nyomás csak a z koordináta függvénye, ezért írható:
GS
G] S J= −ρ $ ,
ahol az (1.5) gáztörvény értelmében ρ SS
57 $ = .
(5.10)
5.3. ábra
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 57/195
57
Behelyettesítés és a differenciálegyenlet szétválasztása után az alábbi integrálás elvégzé-
sével határozhatjuk meg a keresett S S ]= függvénykapcsolatot:
GS
S
J G]
5 7
S
S
J ]
5 7
]
S
S
= − ⇒ = − ⇒
1 1 OQ
S S H
J
5 7]
=−
Az 5.3. ábrába felvittük az (5.11) nyomásváltozást, amelynek a kezdeti ( ] = -hoz tartozó)
pULQW MHPHJHJ\H]LND]iOODQGyVU VpJIHOWpWHOH]pVpYHODGyGyQ\RPiVYiOWR]iVHJ\HQHVé-
vel.
0HJMHJ\H]]NKRJ\DYDOyViJEDQDKPpUVpNOHWIHOIHOpKDODGYDiOWDOiEDQFV|NNHQ
5.2. Testek úszásaAz Euler-egyenlet levezetésénél láttuk (ld. 4.2. fejezet), hogy ha egy ∆V térfogatú testet
egy JUDGS nyomásgradienssel jellemzett térbe helyezünk, akkor arra ∆ ∆) JUDG≅ − S 9
HU KDW$KLGURV]WDWLNDDODSW|UYpQ\pWEHKHO\HWWHVtWYH∆ ∆) J 9= −ρ adódik, azaz a ρ
sU VpJN|]HJEHPHUtWHWt ∆9WpUIRJDW~WHVWUHKDWyHU LUiQ\tWiVDHOOHQWpWHVD]HU WpUYHNWRU
irányításával, nagysága pedig megegyezik a ∆9WpUIRJDW~IRO\DGpNUDKDWyHU WpUEOV]iU -
mazó erYHO$)|OGQHKp]VpJLHU WHUpEHQÄIHOKDMWyHU U O´EHV]pOKHWQNDPHO\QDJ\ViJD
megegye]LNDÄNLV]RUtWRWWIRO\DGpNV~O\iYDO 8J\DQLO\HQÄIHOKDMWyHU ´PR]JDWMDJ\RUVXOy
autóbuV]RQDKLGURJpQQHOW|OW|WWOpJJ|PE|WHOUHDYH]HWIONHIHOp
+DHJ\9WpUIRJDW~WHVWHWD)|OGQHKp]VpJLHU WHUpEHQρ VU VpJFVHSSIRO\yVYDJ\Opg-
QHPIRO\DGpNEDPHUtWQNDUUD) J 9I = ρ IHOKDMWyHU KDWDPLWWiPDV]WyHU QHNLVQHYHz-
QHN $ WiPDV]WyHU iWPHJ\ D N|EWDUWDORPN|]pSSRQWRQ DPLD KRPRJpQ W|PHJHORV]OiV
esetén megegyezik a súlyponttal.
(J\WHVWDNNRU~V]LNKDiWODJRVVU VpJH
megegyezik a cseppfolyós közeg ρVU sé-gével, vagy kisebb annál. Utóbbi esetben
csak addig merül a vízbe a test, amíg a
EHPHUOUpV]iOWDONLV]RUtWRWWIRO\DGpNVú-
lya megegyezik a test súlyával. A súlyHU
pVDIHOKDMWyHU HJ\HQV~O\DPHOOHWWD]~V]y
test stabilitásának YDQ MHOHQWVpJH DPLW
az úszó test az elfordulással szemben mu-
tat.
(5.11)
5.4. ábra
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 58/195
58
Nyilvánvaló a test stabilitása, ha SV~O\SRQWMDDN|]HJEHPHUOUpV]K térfogatközéppontja
alatt van (ld. 5.4. ábra). Ekkor elfordulás esetén egy, az elfordulást csökNHQWM nyomaték
keletkezik.
$WHVWDODNMiWyOIJJ
HOIRUGXOiVLV]|JLJVWDELOLVOHKHWDQQDNDWHVWQHNSOKDMyQDND]HJ\H n-súlya is, amelynél az S súlypont a kiszorított térfogat K középpontja felett van. (Ezt kezdeti
VWDELOLWiVQDNQHYH]]NPHUWDYLV]RQ\RNWyOIJJ pUWpNQpOQDJ\REENLWpUpV HVHWpQDKDMy
felborul.) Tekintsük az 5.5. ábrát!
Az ábrán látható hajótest szimmetria-VtNMDDIJJOHJHVKH]
képest szöggel tért ki. Az ábrán láthatók az S súlyponton és
a KWpUIRJDWLN|]pSSRQWRQiWPHQ GV~O\HU pV)I felhajtó-
HU DKDMyNLWpUpVHHOWWLKHO\]HWUHYRQDWNR]WDWYD$NLWpUpV
KDWiViUD D V~O\SRQW pV D V~O\HU YDODPLQW D IHOKDMWyHU
nagysága nem változott megGHDIHOKDMWyHU WiPDGiVYRQa-
la eltolódott. A kitérés hatására ugyanis a hajótest AMHOpN
DODN~UpV]HNLNHUOWDYt]EODBMHOYLV]RQWEHOemerült.
$]HUHGHWLNLWpUpVHOWWLKHO\]HWKH]NpSHVWWHKiWHJ\HU SiUNHOHWNH]HWW(]HOWROWDDIHOKD j-
WyHU Wamelynek támadásvonala az M metacentrumban metszi a szimmetriasíkot. Ha az S
súlypont az M metacentrum alatt van, akkor a hajó egyensúlyi helyzete stabil, hiszen
NLWpUpVHVHWpQHJ\D]]DOHOOHQWpWHVYLVV]DWpUtWQ\RPDWpNNHOHWN ezik.
5.5. ábra
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 59/195
6. Alkalmazások: súrlódásmentes áramlások
elemzése, számítása
Ebben a fejezetben példaként néhány feladatot oldunk meg, felhasználva az eddig tanulta-
kat. Az áramló közeg súrlódásmentes és összenyomhatatlan.
6.1. Áramlás konfúzorban
Tekintsük a 6.1. ábrát, ahol egy konfúzor lát-
ható, amelyben víz áramlik. Mekkora a
nyomásgradiens a tengely A pontjában, W W=
SLOODQDWEDQ KD D EHOpS VHEHVVpJ
Y Y W = +4 9 függvény szerint változik?
Miért változik a nyomás a konfúzorban? Az
iUDPOy IRO\DGpNUpV]HNJ\RUVXOQDN DPLFVDN HU KDWiViUDPHKHW YpJEH 7HNLQWHWWHO DUUD
KRJ\ D V~UOyGiV QHP MiWV]LN V]HUHSHW pV D V~O\HU D] iUDPOiVUDPHU OHJHV WHKiW FVDN D
nyomás hely szerinti változása gyorsíthatja a közegrészeket.
A gyorsulás és a nyomásgradiens között az Euler-egyenlet teremt kapcsolatot (4.13),
DPHO\EONLIHMH]YHDQ\RPiVJUDGLHQVW
JUDGSG Y
GW= −ρ
|VV]HIJJpVDGyGLN$WpUHU VVpJQHNQLQFVen vízszintes irányú komponense, ezért nem be-
folyásolja a nyomás változását.) A G Y GW folyadékrész gyorsulása a (4.3) összefüggés sze-
ULQWORNiOLVpVNRQYHNWtYUpV]EOiOO
G Y
GW
Y
W' Y= +
∂
∂.
A fenti összefüggés kifejtése komponensegyenletekben a (4.2) kifejezésben látható. Miután
a konfúzor tengelyében Y Y\ ]= = és ∂ ∂ ∂ ∂Y [ Y [\ ] = = DNLIHMH]pVEOPHJil-
lapítható, hogy
G Y
GW
Y
WY
Y
[L
$
[
$
[$[
$
= +
∂
∂
∂
∂ .
6.1. ábra
(6.1)
(6.2)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 60/195
60
A vx VHEHVVpJNRPSRQHQVKHO\ pV LG V]HULQWL YiOWR]iViQDN V]iPtWiViQiO IHOKDV]QiOMXND
folytonosság tételének (3.29) alakját, ami a ρ VU VpJillandósága miatt (ami víz esetén
igen jó közelítés) a
Y ' Y [ ' [
= 1 6 1 6
összefüggésbe megy át.
$WHQJHO\EHQOpYYxVHEHVVpJHWHJ\HQOQHNYHVV]NDY átlagsebességgel. Ezért valamely
x koordinátához tartozó vx sebesség a
' [ '' '
/[ = -
-
|VV]HIJJpVVHONLIHMH]KHWNRQI~]RUiWPpU LVPHUHWpEHQDpVDODSMiQIHOtUKDWy
YY W '
'' '
/[
[ =
+
-
-
.
$NLIHMH]pVWHOV]|UWPiVRGV]RU[V]HULQWGLIIHUHQFLiOYD[KHO\pEHPLQGNpWNLIHMH]p s-
nél xA-t, t helyébe t1-t helyettesítve majd az így kapott értékeket a (6.2) összefüggésbe beír-
va meJNDSMXNDNHUHVHWWJ\RUVXOiVW(EEODQ\RPiVJUDGLHQVD|VV]HIJJpVEHYDOyK e-
lyettesítéssel adódik.
6.2. Nyomás változás forgó edényben
Tekintsük a 6.2. ábrát, ahol egy henger alakú, vízzel töltött,
w V szögsebességgel forgó edény látható.$]HGpQ\IHOVODp-
MiQDIRUJiVWHQJHO\EHQOpYQ\tOiVN|WL|VV]HDPHUHYWHVWNpQWIRr-
gó folyadékot a környezettel. Határozzuk meg az ASRQWEDQOpY
Q\RPiVpVDNOVS0 nyomás különbségét.
+iURPNO|QE|]PyGV]HUWDONDOPD]XQNDIHODGDWPHJROGiViUD
a/ együttforgó koordináta-rendszerrel „megállítjuk” a folyadékot, majd alkalmazzuk a
hidrosztatika módszereit;
b/ az álló koordináta-rendszerben áramló közegre felírjuk a Bernoulli-egyenletet;
c/ az álló koordináta-rendszerben áramló közegre alkalmazzuk a természetes koordiná-
ta-rendszerben felírt Euler-egyenletet.
(6.3)
(6.4)
(6.5)
6.2. ábra
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 61/195
61
a/ A folyadék együttforgó koordináta-UHQGV]HUEOYL]VJiOYDiOOXJ\DQDNNRU– mivel a ko-
ordináta-rendszer forog –ILJ\HOHPEHNHOOYHQQLDFHQWULIXJiOLVHU WHUHW$O pontból az A
SRQWED D )|OG QHKp]VpJL HU WHUpQHNHNYLSRWHQFLiOLV IHOOHWpQ KDODGKDWXQN H]pU t az nem
okoz nyomásnövekedést. Alkalmazva a O és A pont között az (5.4) összefüggést és figye-
OHPEHYpYHDFHQWULIXJiOLVHU WpUSRWHQFLiOMiQDNNLIHMH]pVpWDQ\RPiVNO|QEVpJUHD
S S$ − = − − = − − −
=ρ ρω
8 85
$
1 6 ρ
ω5
összefüggés adódik, ahol ρDYt]VU VpJH
b/ Írjuk fel az abszolút rendszerben a Bernoulli-egyenlet (4.29) összefüggéssel megadott
legáltalánosabb alakját!
∂
∂ ρ
v
tds grad
vd s v rot v ds g d s gradp d s
I II III IV V
A A A A A
0
2
0 0 0 02
1I I I I I + − × = −
.
(VHWQNEHQD]DEV]RO~WVHEHVVpJWpUVWDFLRQiULXVH]pUWD],LQWHJUiO]pUXVpUWpN $,,LQWHg-
rál Y Y$
−4 9 alakra hozható. (ld. 4.4 fejezet$,,,LQWHJUiOWQHPWHKHWMNHJ\HQOYp]é-
russal (4.4. fejezet), hiszen az áramlásban a URW Y nem zérus, és – mivel az áramvonalak
koncentrikus körök – nem lehet O-ból áramvonalon A-ba jutni. A IV tagnál figyelembe
kell venni, hogy –PLYHOD]iOOyUHQGV]HUEO vizsgáljuk a jelenséget – csak a Föld nehézségi
HU WHUHMiWV]KDWV]HUHSHW J D]RQEDQPHU OHJHVGV-re, ezért a IV integrál esetünkben zérus
értéN 7HNLQWHWWHO DUUD KRJ\ D N|]HJ |VV]HQ\RPKDWDWODQ D]9 LQWHJUiO − − S S$ 1 6 ρ
alakra hozható.
Ezek figyelembevételével:
S S Y URW Y G VY Y
$
$
$− = × −−
I
ρ ρ
.
Abszolút rendszerben az áramlás koncentrikus kör alakú áramvonalakkal jellemzett sík-
áramlás, ahol a sebesség csak a sugár függvénye: Y U = ω . Ebben az esetben a URW Y-nek
csak forgástengellyel komponense van, amelyet a (3.8) összefüggéssel lehet meghatároz-
ni: URW Y GY GU Y U ]
1 6 = + (EEOHVHWQNEHQ URW Y]
1 6 = w adódik. Keressük az egymás-
UDPHU OHJHV Y , URW Y és GV vektorok vegyes szorzatát. Tekintettel arra, hogy e három vek-
tor jobbsodrású rendszert alkot és GV GU = DNLIHMH]pVEHQV]HUHSOLQWHJUiOHJ\V]HU
en átalakítható. Figyelembe véve továbbá, hogy Y 5 pV Y$ = =w , a (6.8) összefüggés
a (6.6)-WDOPHJHJ\H]DODNUDKR]KDWy
(6.7)
(6.8)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 62/195
62
S S$ − = ρ ω ω ρω
ρ ω ρω
U GU 5
5 5
5
1 6
I − = − = ρω5
.
F /pQ\HJHVHQ HJ\V]HU EE PHJROGiV LV YDQD] DEV]RO~W UHQGV]HUEHQ ËUMXN IHO D](XOHU -
egyenlet normális irányú komponens egyenletét természetes koordináta-rendszerben (ld.4.3. fejezet, (4.27) összefüggés)
Y
5
S
QJ
JQ
= −
ρ
∂
∂ .
Az 5 J iUDPYRQDOJ|UEOHWLVXJDUDHVHWQNEHQHJ\HQODN|UDODN~iUDPYRQDOUVXJDUiYDO
a dn normális irányú elemi elmozdulás esetünkben dr-UHOHJ\HQOPHUWD]iUDPYRQDODN
koncentrikus körök). A J Q esetünkben zérus értéN )HQWL PHJJRQGROiVRNNDO iWtUYD
szétváODV]WYDPDMGLQWHJUiOYDDGLIIHUHQFLiOHJ\HQOHWHWDN|YHWNH]DGyGLN
GSY
U GU U GU
5
S
S 5
= = ⇒I I I ρ ρ ω
S S5
$ − =
ρ
ω
.
6.3. Kiömlés tartálybólTekintsük a 6.3. ábrát, ahol egy tartály látható, amelyben víz van. (A vízfelszínt tekinsük
végtelen nagynak, azaz hanyagoljuk el a süllyedését.) A tartály hengeres falának alsó ré-
V]pEOHJ\/KRVV]~ViJ~iOODQGyNHUHV]WPHWV]HWFVQ\~OLNNLDPHO\QHNYpJpQHJ\FVDS
van, amelyet „hirtelen” (rövid – elvileg zérus –LGWDUWDPDODWWNLOHKHWQ\LWQL1\LOYiQY aló,
hogy a folyadék nem a nyitás pillanatában éri el a stacionárius kiáramlási sebességet, ha-
QHPFVDNEL]RQ\RVLGP~OYD+RJ\DQOHKHWQHDMHOHQVpJHWOHtUQL"
Írjuk fel a Bernoulli-egyenlet (4.29) összefüggésben megadott legáltalánosabb alakját:
∂
∂ ρ
v
tds grad
vds v rot v d s g ds gradp ds
I II III IV V1
2 2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1I I I I I + − × = −
.
(6.9)
(6.10)
(6.11)
(6.12)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 63/195
63
6.3 ábra
Vizsgáljuk meg a 4.4.fejezetben leírtak alapján, hogy hogyan lehetne a (6.12) összefüggést
HJ\V]HU VtWHQL
Az I integrál nyilvánvalóan nem zérus, hisz éppen a folyadék gyorsulását kívánjuk megha-
tározni, és nincs is olyan koordináta-rendszer, amHO\EOQp]YHD]iUDPOiVVWDFLRQiULXVViW e-
heW
A II integrálon hajtsuk végre a szokásos átalakítást, amelynek eredményeként
Y Y
−4 9 adódik.
A III integrálYL]VJiODWDHOWWG|QWVNHOKRJ\KRJ\DQYHVV]NIHOD]pVSRQWRNDWDP e-
lyek között az integrálást véJUHKDMWMXN$] HJ\LN SRQW OHKHWVpJ V]HULQW RWW OHJ\HQDKROPLQGHQWWXGXQNOHJFpOV]HU EEDIHOV]tQHQ$PiVLNSRQWRWRWWYHVV]NIHODKROD]LVPHUHt-
len fi]LNDLPHQQ\LVpJHWNHUHVVNpVOHKHWOHJPLQpOW|EEYiOWR]ypUWpNpWLVPHUMNH]DSRQW
célV]HU HQDFVYpJHDNL|POpVKHO\HDKRODKHO\pVDQ\RPiVLVPHUWpVDVHEHVVpJHWpV
gyorVXOiVWNHUHVVN$]pVSRQWIHOYHKHW ~J\KRJ\HJ\iUDPYRQDORQOHJ\HQH]pUWD
III integrál]pUXVpUWpN 9DOyViJEDQD]¶pVSRQWRNN|]|WWiUDPYRQDORQLQWHJUiOXQN ’
és 1 között pedig –DPLQWD]WNpV EEOiWMXN- Y ≅
Figyelembe véve, hogy az abszolút (Földhöz rögzített) koordináta-UHQGV]HUEOYL]VJiOMXND
MHOHQVpJHWtJ\FVDND)|OGQHKp]VpJLHU WHUpYHONHOOV]iPROQXQNDPLSRWHQFLiORV(]pUWD
IV integrál a − −8 8 1 6 alakra hozható.
7HNLQWHWWHODUUDKRJ\D]iUDPOyN|]HJYt]DPHO\QHNVU VpJHiOODQGyD]V integrál a
− − S S 1 6 ρ összefüggésbe alakítható át.
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 64/195
64
A fentiek figyelembe vételével (6.12) az alábbi alakra hozható:
∂ ∂ ρ vt
d s v p U+ + + !
" $ # # = I
2
1
2
1
2
20
.
A (6.13) összefüggést szándékosan írtuk fel ebben a szokatlan alakban, mert így világosan
OiWV]LN KRJ\ D] ÄLQVWDFLRQiULXV WDJRW D] LQWHJUiO IHOV KDWiUiKR] WDUWR]y %HUQRXOOL-
összeghez kell hozzáadni. Esetünkben 8 J]= , mert a z koordináta felfelé mutat és tudjuk,
hogy a potenciálnak abban az irányban kell növekednie, amerre munkát végzünk, ha egy
testet elmozdítunk.
+DWiUR]]XNPHJD]HJ\HVWDJRNpUWpNpWDFV YpJpQOpYFVDSNLQ\LWiVDXWiQAz 1-es pont-
EDQpVDWDUWiO\EDQDVHEHVVpJ]pUXVQDNWHNLQWKHWDNL|POpVN|UQ\H]HWpWOHOWHNLQWYH
meUWDWDUWiO\IHOV]tQHNHUHV]WPHWV]HWHRO\DQQDJ\DFVNHUHV]WPHWV]HWpKH]NpSHVWKRJ\a folyadékfelszín süllyedési sebessége elhanyagolható. Ugyanitt S S = , ] += , ha a
] = szintet a 2-es pont magasságában vesszük fel (ld. 6.3. ábra). A 2-es pontban ] = és
a keresett sebesség Y Y W = 1 60HNNRUDDQ\RPiVDNL|PONHUHV]WPHWV]HWWHQJHO\é-
ben? Erre a kérdésre a természetes koordináta-rendszerben felírt Euler-egyenlet ismereté-
EHQDGKDWXQNYiODV]W0LXWiQHJ\FV EONL|POIRO\DGpNVXJiUEDQIHOOU OQp]YHD]iUDm-
vonalak párhuzamos egyenesek, a (4.27) egyenlet bal oldalának nevez MpEHQV]HUHSO 5
áramvonal görbületi sugara ∞H]pUWDQ\RPiVYt]V]LQWHVHQD]iUDPYRQDODNUDPHU OHJHVHQ
nem változik. Így a NL|PO NHUHV]WPHWV]HWEHQ D Q\RPiVD NOV Q\RPiVVDO HJ\HQO: S S = . (OlGDOUyOQp]YHDVXJiUDV~O\HU pVQHPDQ\RPiVNO|QEVpJKDWiViUDKDMOLNOH
A gyorsulás vonalintegrálját az alábbi megfontolások alapján fejezzük ki. Ha a tartály ele-
JHQGHQQDJ\DNNRUEHQQHDVHEHVVpJHOKDQ\DJROKDWyGHDNNRUDJ\RUV ulás is jó közelítés-
sel zérus. Ezért az integrálási útvonalat két részre osztjuk: 1-1’ és 1’- 2 szakaszra:
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Y
WG V
Y
WG V
Y
WG V
I I I = +
.
$MREEROGDOHOVWDJMDPHUWDYpJWHOHQQDJ\QDNWHNLQWHWWWDUWiO\EDQDN|]HJJ\RUVXOiViW
elhanyagolhatjuk. A jobb oldal második tagjának meghatározásához tegyünk néhány meg-
állapítást. A ∂ ∂Y W gyorsulásvektor, amelynek abszolút értékét a-val jelöljük, párhuzamos
a GV YHNWRUUDODFVWHQJHO\pEHQOpYLQWHJUiOiVL~WYRQDORQ+DDJ\RUVXOiVQDNOHQQHFV
WHQJHO\UHPHU OHJHVNRPSRQHQVHDNNRUFVWHQJHO\UHPHU OHJHVVHEHVVpJNRPSRQHQVÄN e-
OHWNH]QH´DPLV]LPPHWULDRNRNEyOQHPOHKHWVpJHV7pWHOH]]NIHOKRJ\HOUHQHPLVPHr-
jük a folyadékgyorsulás irányítását. Ilyen esetben felveszünk egy pozitívnak feltételezett
LUiQ\tWiVWpVD]HUHGPpQ\HO MHOHPXWDWMa meg a gyorsulás tényleges irányítását. Vegyük fel SR]LWtYQDNDFVNL|PONHUHV]WPHWV]HWHLUiQ\iEDPXWDWyJ\RUVXOiVW7HNLQWYHKRJ\D
(6.13)
(6.14)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 65/195
65
∂ ∂Y W és a GV vektor iránya és irányítása megegyezik, az integrandusz az (a ds) alakban ír-
ható, ahol GV GV= .
Hogyan változik aFVKRVV]DPHQWpQDJ\RUVXOiV"+Dρ=iOODNRQWLQXLWiVEyON|YHWNH] HQ
DFVEiUPHO\NHUHV]WPHWV]HWpEHQHJ\DGRWWSLOODQDWEDQD]RQRVQDNNHOOOHQQLHDWpUIRJD t-áramnak: Y $ Y $ = (EEON|YHWNH]LNKRJ\
D $ D $ =,
ugyanis belátható, hogy a keresztmetszet-viszonnyal fordítottan arányos sebességviszony
csak hasonlóan fordítottan arányos lokális gyorsulás-YLV]RQ\HVHWpQM|KHWOpWUH(EEON ö-
YHWNH]LNKRJ\iOODQGyVU VpJN|]HJORNiOLVJ\RUVXOiVDiOODQGyNHUHV]WPHWV]HWFV EHQ
QHPYiOWR]LNDFVKRVV]PHQWpQ(]pUWD|VV]HIJJpVD]DOiEELDNV]HULQWDODNtWKDWy
át:
∂
∂
Y
WG V D GV D /= =I I
.
Helyettesítsük (6.16) összefüggést (6.13)-ba, figyelembe véve, hogy v csak t függvénye:
GY
GW/
Y S SJ ++ + = +
ρ ρ .
Stacionárius esetben GY
GW= felírva a Bernoulli-egyeQOHWHWpVSRQWN|]|WWHJ\V]HU Ví-
tés után adódik:
YJ +VW
=
,
ahol vstDVWDFLRQiULXViUDPOiVKR]WDUWR]yVHEHVVpJDFV EHQ
A (6.18) összefüggést (6.17)-be helyettesítve és a differenciál-egyenletet szétválasztva kap-
juk:
GY
Y Y
GW
/VW
−= .
(6.15)
(6.16)
(6.17)
(6.18)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 66/195
66
Átalakítás után integrálhatunk:
dv
v
v
v
v
Ldtst
st
stt
vvst
1
220 0
−
=I I .
Integrálás után az DUWKY
Y
W Y
/VW
VW=
összefüggés adódik. Bevezetve a τ = /
Y VW
jelölést, ahol τ
D]D]LGWDUWDPDPLDODWWDFVKRVV]NpWV]HUHVHYstVHEHVVpJJHOPHJWHKHW
Fenti jelöléssel:
Y
YWK
W
VW
=τ
.
A (6.20) függvénykapcsolatot a 6.4. ábra mutatja be. Lát-
ható, hogy a kiáramlás sebessége a stacionárius sebessé-
get aszimptotikusan közelíti.
A 6.3. ábránIHOWQWHWWNDFVWHQJHO\pEHQpVDWDUWiO\EDQ
DQ\RPiVPHJRV]OiViWDFVDSNLQ\LWiVDHOWWLpVXWiQLSLl-
lanatokban. A csap nyitiVDHOWW W < 1 6 a nyomás mindenütt S J+ + ρ . A csap nyitásának
pillanatában W = 1 6 a teljes ρJ+Q\RPiVNO|QEVpJDFV EHQOpYIRO\DGpNRVzlop gyorsítá-
ViUDÄIRUGtWyGLN´$KRJ\WHOLND]LG W > 1 6, a ρgH nyomáskülönbség egyre nagyobb része
V]NVpJHVDWDUWiO\EDQOpYIRO\DGpNYVHEHVVpJUHW|UWpQIHOJ\RUVtWásához és egyre keve-
sebb jut a folyadékoszlop gyorsításáUD(OYLOHJYpJWHOHQLGHOWHltével a kiömlési sebesség
eléri a Y J+VW = értéket.
7HUPpV]HWHVHQDYDOyViJEDQDFV EHQIHOOpSV~UOódás következtében a nyomás stacionárius
iOODSRWEDQVHPOHV]iOODQGyDFVKRVV]DPHQWpQ
6.4. A statikus-, a dinamikus, és az össznyomás
Ha ρiOODQGyVU VpJS∞ nyomású közeg v∞ sebesség-
gel áramlik és az áramló közegbe egy szilárd testet helye-
zünk el (6.5. ábra), a testen találunk egy olyan pontot – a
torlópontot – ahol az áramlási sebesség zérus, azaz a
torlópontba tartó áramvonalon a folyadékrészek teljesen
OHIpNH]GQek. Írjuk fel a Bernoulli-egyenletet az 1 és a t (torló)pont közé. (Az 1 pontban a
zavartalan v∞VHEHVVpJXUDONRGMpNDPLDWHVW]DYDUyKDWiVDN|YHWNH]WpEHQDWHVWHOWWHOYi-
(6.19)
(6.20)
6.4. ábra
t
ρ
6.5. ábra
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 67/195
67
OHJFVDNYpJWHOHQWiYROViJEDQLJD]*\DNRUODWLODJHOHJHQGDWHVWHOWWDWHVWiUDPOiVUDPe-
U OHJHVPpU etének kb. öt-tízszerese távolságba elhelyezni az 1 pontot ahhoz, hogy a test
HOUHKatása elhanyagolható legyen.)
$]iUDPOiVVWDFLRQiULXViUDPYRQDORQLQWHJUiOXQND)|OGQHKp]VpJLHU
WHUpEHQYDJ\XQNde J PHU Oeges az integrálási útvonalra, ρ=áll., ezért a (4.31) alakú Bernoulli-egyenletet
alkalmazzuk ρ-val való átszorzás után, azaz nyomás mértékegységben:
S Y S SW |∞ ∞+ = =
ρ
.
Látható, hogy a torlópont EDQOpYSQ\RPiVQDJ\REEPLQWD]DYDUWDODQiUDPOiVEDQXUD l-
kodó p∞ statikus nyomás. A torlóponti nyomást össznyomásnak nevezzük és pö -vel
jelöljük. Az össznyomás és a statikus nyomás különbsége:
S YG =∞
ρ
,
amit dinamikus nyomásnak nevezünk.
Össznyomásnak (pö) megállított közeg nyomását nevezzük. Látható, hogy az
össznyomás a potenciált tartalmazó taggal (ρU) különbözik a (4.31) összefüggés kapcsán
definiált Bernoulli-összeg ρ-szorosától. Ha tehát a közeg súrlódásmentes, az áramlás
stacionáriXVD]HUWpUKDWiViWyOHOWHNLQWQNpVDVUVpJiOODQGyDNNRUD%HUQRXOOL -
egyenlet azt fejezi ki, hogy
− potenciálos áramlásban az össznyomás állandó, vagy
− örvényes áramlásban az össznyomás egy áramvonal mentén állandó. (Az
össznyomás örvényes áramlásban áramvonalról áramvonalra változik. Példaként te-
kintsük az 1.2. ábrán látható áramlást, ahol a párhuzamos egyenes áramvonalakra me-
U Oegesen a természetes koordináta-rendszerben felírt Euler-egyenlet értelmében nem
változik a nyomás (ld. (4.27) összefüggés). Miután azonban a sebesség minden áram-
vonalon más, a (6.21) összefüggéssel definiált össznyomás változik az áramvonalakra
PHU OHJHVLUiQ\EDQ
A közeg megálOtWiVDNRU PHJILJ\HOKHW Q\RPiVQ|YHNHGpV UHiOLV PROHNXOiULV V]HUNH]HW
N|]HJHNEHQD]DOiEELPyGRQPDJ\DUi]KDWy$PROHNXOiNPLQWD]HOVIHMH]HWEHQHPOttet-
WN UHQGH]HWOHQ KPR]JiVW pV HUUH V]XSHUSRQiOyGy iOWDOiEDQ VRNNDO ODVVDEE UHQGH]HWW
mozgást végeznek, amit a közeg sebességének nevezünk. Ha feltesszük, hogy a közeg és a
környezeWHN|]|WWQLQFVHQK
FVHUHDNNRUDODVVXOyiUDPOiVEDQOpY
PROHNXOiNUHQGH]HWWVHEHVVpJNFV|NNHQpVHUpYpQQ|YHOLNUHQGH]HWOHQVHEHVVpJNHWD]D]Q DN|]HJKPpU -
(6.21)
(6.22)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 68/195
68
séklete pVD]HJ\VpJQ\LIHOOHWUHKDWyDPROHNXOiNWN|]pVpEOV]iUPD]yHU D]D]DQ\o-
más.
6.5. Radiális ventilátor, Euler-turbinaegyenlet
Tekintsük a 6.6. ábrát, ahol egy radiális ventilátor vázlata látható.
6.6. ábra
A súrlódásmentesnek tekintett közeg az (szMHO V]tYyFVRQNRQ MXW EH D JpSEH HJ\ iOOy
konfúzor (k) vezeti a forgó járókerékhez ( j), amely az (m) motor (t) tengelyére van rögzít-
ve. A közeg radiális irányba fordul és áthalad a járókerék (l) lapátjai között. A motor M
[Nm] nyomatékot fejt ki az ω [1/s] szögsebességgel forgó járókerékre. E nyomaték hatására
a járókeréken áthaladó közeg forgás irányában eltérül. Bejut a (csMHOFVLJDKi]EDPDMGD
(ny) nyomócsonkon keresztül hagyja el a gépet.
A ventilátorok feladata a szállított közeg össznyomásának növelése$]HO]HNV]HULQWD]
össznyomásnövekedés a
∆ S S S S Y S Y| Q\| V]|
Q\ V]
= − = +
− +
ρ ρ
|VV]HIJJpVEOV]iPROKDWy
A ventilátor hasznos teljesítményét (ami súrlódásmentes esetben a bevezetett teljesítmény-
Q\HOHJ\HQOD
3 T SY |= ∆
összefüggés fejezi ki, ahol qv[m3 /s] a ventilátor által szállított térfogatáram.
A fogalmak meghatározása után vizsgáljuk meg, hogy hogyan lehetne az össznyomásnö-vekedést a Bernoulli-egyenlet alkalmazásával kiszámolni! Írjuk fel az egyenletet a lapátrács
(6.23)
(6.24)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 69/195
69
HOWWL1 és az utáni 2 pont között. Abszolút rendszerben a lapátok mozgása következtében az
áramlás instacionárius, ezért a relatív (együttforgó) rendszerben – ahol az áramlás stacioná-
rius – alkalmazzuk a Bernoulli-egyenletet.
6.7. ábra
Tekintsük a 6.7. ábrát, ahol a lapátok eOWWLpVP|J|WWLSRQWEDQIHOUDM]ROWXNDv ab-
szolút, w relatív és u szállító (kerületi) sebesség vektorokat. Írjuk fel a relatív rendszerben a(4.29) összefüggésben megadott Bernoulli-egyenletet:
∂
∂ ρ
w
tds
w ww rot w ds g d s gradp d s
I II III IV V1
222
12
1
2
1
2
1
2
2
1I I I I +−
− × = − .
Az I integrál zérus, miután a w relatív sebességtér stacionárius. A III integrál is zérus, mert
1 és 2 pontok lehetnek azonos relatív áramvonalon. Hamarosan látni fogjuk, hogy ha nem
iUDPYRQDORQLQWHJUiOXQNGHDYHQWLOiWRUQ\XJYyN|]HJE OV]tYD,,,WDJNLHVLN$]9LQWHg-
rált ρ=áll. következtében − − S S ρ alakra hozhatjuk.
A IV integrál kifejtése némi megfontolást igényel. Miután a koordináta-rendszerünk forog,
DFHQWULIXJiOLVHU WpUUHONHOOV]iPROQXQN(]OpQ\HJHVHQPHJKDODGMDD)|OGQHKp]VpJLHU We-
rét, ezért ez utóbbit elhanyagoljuk. Tudjuk továbbá, hogy ha forgó rendszerben egy tömeg
elmozdul, arra a Coriolis-HU WpUKDWDPHO\D
J Z&RU
= × ω
|VV]HIJJpVVHO tUKDWy IHO )LJ\HOHPEH YpYH KRJ\ D FHQWULIXJiOLV HU WpU SRWHQFLiORV
J JUDG8F F= − továbbá 8
U F = −
ω, a IV integrál az alábbi alakra hozható:
J G VU U
Z G V
I I = −
+ ×
ω ωω
,
ahol ω a koordináta-rendszer forgási szögsebessége, ami megegyezik a járókerék szögse-
EHVVpJpYHO$|VV]HIJJpVEOOiWKDWyKRJ\D&RULROLV -HU WpUYRQDOPHQWLLQWHJUiOMD
zérus, ha áramvonalon integrálunk: Z GV.
(6.25)
(6.26)
(6.27)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 70/195
70
Tételezzük föl, hogy nem áramvonalon integrálunk. Ebben az esetben a (6.26) összefüggés
,,, LQWHJUiOMD QHP ]pUXV pUWpN 7pWHOH]]N I|O WRYiEEi KRJ\ D] DEV]RO~W VHEHVVpJWpU
örYpQ\PHQWHViUDPOiVEyOSOQ\XJYyWpUE OHUHGWHKiWD7KRPVRQ-tétel (4.35) értelmében
az abszolút sebességtér örvénymentes is marad. Miután az abszolút, relatív és szállító
sebességekre fennáll: Y Z X= + , URWY = esetén írható: URW Z URW X= − . Az X
szállítósebesVpJDVXJiUUDPHU OHJHVpVDEV]RO~WpUWpNH X U = ω alakban írható fel, ezért
rotu a (3.8) összefüggés alapján ω -YDOHJ\HQO
Mindezt beírva a III integrálba
− × = − × − = ×I I I Z URW Z G V Z G V Z G V
ω ω1 6
adódik, azaz a Coriolis-HU WpUYRQDOPHQWLLQWHJUiOMiYDOPHJHJ\H]DODNUDMXWXQNDPLNLHMWL
azt.
A fentieket összefoglalva:
− ha a relatív sebesség forgó koordináta-rendszerben nem zérus, akkor a centrifugális
ertér mellett a Coriolis-HU WpULVILJ\HOHPEHYHHQG
− ha áramvonalon integrálunk akkor a Coriolis-HU WpUYRQDOLQWHJUiOMD]pUXV
− ha nem tudunk áramvonalon integrálni, de az abszolút áramlás örvénymentes áramlási
WpUEO HUHG DNNRU D &RULROLV-HU WHUHW WDUWDOPD]y WDJ D %HUQRXOOL-egyenlet III
integráljával együtt kiesik.
Most térjünk vissza az eredeti feladathoz, és írjuk fel a Bernoulli-egyenletet az 1 és 2 pont
között!
Z S U Z S U
+ − = + −
ρ
ω
ρ
ω
Miután Z Y X Z Y X X Y= − ⇒ = + −
Fenti átalakítást figyelembe véve (6.28) összefüggés felírható mint:
Y XY X
U Y XY X
U S S
+ − − − − + + +
−=
ω ω
ρ (6.29)
(6.28)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 71/195
71
Mivel X U = ω DIHQWLHJ\HQOHWHJ\V]HU VtWKHWPDMGD]|VV]Q\RPiVQ|YHNHGpVD]DOiEEL
PyGRQIHMH]KHWNL
∆ S S S S Y S Y
Y X Y X
| | |= − = +
− +
=
= −
ρ ρ
ρ2 7
Tekintettel arra, hogy Y X Y XX = , ahol Y D YX vektor kerületi sebesség irányú vetü-
lete. Ezzel az Euler-turbinaegyenlet ventilátorokra, szivattyúkra is érvényes alakja:
∆ S Y X Y X| LG X X= −ρ
Az Euler-WXUELQDHJ\HQOHWQHPFVDNUDGLiOLVGHD[LiOLViW|POpV iUDPOiVWHFKQLNDLJpSHNUHLV
érvényes.
Tekintettel arra, hogy a súrlódásmentességet feltételeztük, a létesített össznyomás-növe-
kedést –KRJ\PHJNO|QE|]WHVVNDV~UOyGiVRVHVHWWO– ideális össznyomás-növekedésnek
szoktuk nevezni és ∆ S | LG -sal jelöljük.
+D D YHQWLOiWRU Q\XJYy WpUEO V]tY D 7KRPVRQ-tétel értelmében Y X = , tehát írható:
∆ S Y X| LG X= ρ . Látható, hogy az áramlástani gépek a közeg perdületének (a kerület irá-
Q\~VHEHVVpJ|VV]HWHYpVD VXJiUV]RU]DWDPHJYiOWR]WDWiViYDOYHQWLOiWRUV]LYDWW\~HVHWpQ
növelésével, turbina esetén csökkentésével) adnak át energiát az áramló közegnek, vagy
nyernek energiát abból.
(6.30)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 72/195
7. A felületi feszültség
$]IHMH]HWEHQPHJLVPHUWND IRO\DGpNPROHNXOiNN|]|WWDN|]WNOpYWiYROViJIJJ-
YpQ\pEHQIHOOpSWDV]tWy-YDJ\YRQ]yHU W&VHSSIRO\yVKDOPD]iOODSRW~N|]HJHNQpODPROH-
kuláNN|]HOYDQQDNHJ\PiVKR]H]pUWDYRQ]yHU LWWDJi]RNNDOHOOHQWpWEHQV]HUHSHWMiW-
V]LN$PtJDIRO\DGpNEHOVHMpEHQOpYPROHNXOiNUDPLQGHQROGDOUyOKDWQDNDV]RPV]pGRV
moleNXOiNDGGLJDKDWiUROyIHOOHWHQOpYPROHNXOiNQiODV]RPV]pGPROHNXOiNKDWiVDN i-
egyensúlyozatlan. Ezért a cseppfolyós halmazállapotú közegek felülete rugalmas hártya-
ként viVHONHGLNDNLHJ\HQV~O\R]DWODQPROHNXOiULVHU NDOHKHWOHJNLVHEEUHÄDNDU ják” ösz-
V]HK~]QL D IHOOHWHW (]pUW WDUWMD PHJ D Yt] IHOV]tQH SO D EH]VtUR]RWW WW H]pU t szalad-
gálhatnak rovarok a víz felszínén.
Tekintsük a 7.1. ábrát ahol egy huzalból készült keretet látunk, amelynekegyik oldala elmozdítható. Mártsuk pl. szappanos vízbe a keretet! A kialaku-
OyKiUW\DNpWROGDOiQNHOHWNH]IHOOHWLIHV]OWVpJ csökkenteni akarja a hártya
QDJ\ViJiW$]HOPR]GXOy/KRVV]~ViJ~KiUW\iWROGDOW)HU WDUWMDHJ\HQV~Oy-
ban, azaz írható: ) / &= , ahol C [N/m] az egységnyi hosszra jutó, felüle-
WLIHV]OWVpJEOV]iUPD]yHUDPLWDIHOOHWLIHV]OWVpJiOODQGyMiQDNQ evezünk. Ez az
iOODQGyDIRO\DGpNpVDKDWiUIHOOHWHQD]]DOpULQWNH] V]LOiUGWHVWYDJ\N|]HJWXODMGRQViJD i-
WyOIJJ/HYHJYHOpULQWNH]Yt]HVHWpQ& 1 P= > @.
Tekintsük egy folyadékfelszín 7.2. ábrán látható elemét. A
felszín P pontjában a görbületet két, egymásra PHU OHJHV
metszetben megadott R1 és R2 görbületi sugarakkal hatá-
rozhatjuk meg. A felszínelem GV 5 G = α és
GV 5 G = α hosszúságú oldalain felületi feszültség ébred,
DPHO\EOV]iUPD]yHU NQHNOG7.2. ábra) van az elemi mé-
UHW IHOV]tQUH PHU OHJHV NRPSRQHQVH 0LXWiQ D IHOV]tn
HJ\HQV~O\EDQYDQH]WD]HU WDKiUW\DNpWROGDOiQOpYQ\R-
PiVNO|QEVpJpEOV]iUPD]yHU HJ\HQV~O\R]]DNL
S S GV GV & GV G & GV G − = +α α .
$]HOHPLV]|JHNHWDPHJIHOHOGVpV5pUWpNHNNHONLIHMH]YHEHKHO\HWWHVtWpVpVHJ\V]HU Vítés
után adódik:
∆ S S S &5 5
= − = +
7.1. ábra
7.2. ábra
(7.1)
(7.2)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 73/195
73
Ha a felület hártya, akkor a (7.2) összefüggés jobb oldalán egy kettes szorzó jelenik meg,
hiszen két felületen lép fel a felületi feszültség. Ha a felület gömb alakú 5 5 5 = = .
Ezért gömb alakú folyadékcsepp belsejében a nyomás ∆ S & 5 = ill. buborékban
∆ S & 5 = összefüggéssel számolható.
Háromféle folyadék (pl. leves, zstUFVHSSpVOHYHJpULQWNH]pVpWPu-
tatja a 7.3. ábra$NO|QE|]IRO\DGpNRNDWHOYiODV]WyIHOOHWHNHQI e-
OOHWL IHV]OWVpJHN pEUHGQHN DPHO\QHN iOODQGyL D] pULQWNH] IRO\D-
dékok sajátosságaitól függenek. Vegyünk fel a három folyadék talál-
kozási vonalában egy D] iEUiUD PHU OHJHV GV KRVV]~ViJ~ YRQDO-
HOHPHWDPHO\Q\XJDORPEDQYDQWHKiWDUHiKDWyHU NHJ\HQV~O\EDQ
vannak (a vektorháromszög záródik). Ha pl. & & & > + , akkor nem állhat fenn
egyensúly, az 1 folyadék a 2 és 3 folyadék határolófelületén szétterjed (mint pl. az ásvány-olaj a víz felszínén).
Ha a szilárd fal és két folyadék esetét vizsgáljuk, akkor a
7.4. ábrán látható viszonyokat tapasztaljuk. Ekkor víz-
szintes irányban az egyensúly feltétele:
& GV & GV & GV = + FRVα .
A C13IJJOHJHVNRPSRQHQVpWDV]LOiUGIDOpVDIRO\DGpNN|]|WWIHOOpSIJJOHJHVHU
egyensúlyozza ki.
+DDIRO\DGpNOHYHJD]D]HJ\V]LOiUGIHOOHWHQOpYFVHSSHVHWpWYL]VJiOMXND& he-
O\pEHDIRO\DGpNpVDV]LOiUGDQ\DJN|]|WWIHOOpS DIHOOHWLIHV]OWVpJKH]KDVRQOyDQKDWy
adhézió lép.
Fejezzük ki cosα –WDHJ\HQOHWEOFRV α = −& & & .
Ha & &
> ⇒ < °α , azaz a csepp alakja hasonló lesz a 7.4. ábrán láthatóhoz (pl víz-
FVHSS HJ\ ID ODSRQ (OOHQNH] HVHWEHQ α > ° (pl. a higanycsepp a padlón). Ha
& & & > + , a folyadék szétterjed a felületen: pl. a petróleum „kimászik” az üveg-
EOKDQHP]iUMXNEHJRQGRVDQ
7.3. ábra
7.4. ábra(7.3)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 74/195
74
Vékony csövekben (kapillárisokban) a felületi feszült-
ség a folyadékoszlop felemelkedését vagy lesüllye-
dését okozhatja. Tekintsük a 7.5. ábrát$]MHO I o-
lyadékba mártott 2 jelUVXJDU~FV EHQOpYIRO\Ddék
felszínét tekintsük egy R sugarú gömbsüvegnek. A p0 NOV Q\RPiV pV D]A SRQWEDQ OpYQ\RPiVD
összefüggés értelmében:
S S & 5 & U $ − = = FRV α .
Az A SRQWEDQ DNNRU OHKHW D NOV Q\RPiVQiO NLVHEE Q\RPiV KD D IRO\DGpNRV]ORS
S S J P$ − = ρ |VV]HIJJpVEl számolható m magasságra felemelkedik. A kapilláris
felemelkedés a
P&
J U =
ραFRV
|VV]HIJJpVEO V]iPROKDWy hYHJ Yt] OHYHJ NRPELQiFLy HVHWpQ α < ° ezért fel-
emelkedést (P > WDSDV]WDOXQNYHJKLJDQ\OHYHJHVHWpQα > ° , ezért a higanyszál a
felületi feszültség hatására lesüllyed ( P > ). Ez a felemelkedés ill. lesüllyedés pl. a folya-
dékoszlop kitérésen alapuló nyomásmérésnél okozhat hibát. Itt is megjegyezzük, hogy a
C23DIHOOHWLIHV]OWVpJKH]KDVRQOyVDMiWRVViJRNNDOEtUyDGKp]LyVHU
7.5. ábra
(7.4)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 75/195
8. Az impulzustétel és alkalmazása
8.1. Az impulzustétel
(EEHQDIHMH]HWEHQDIHMH]HWKH]KDVRQOyDQDIRO\DGpNPR]JiVpVDIRO\DGpNUDKDWyHU N
közötti kapcsolatot vizsgáljuk, kikötve a súrlódásmentességet. Ellentétben a 4. fejezettel,
ahol differenciálegyenlet adódott, itt a mozgásegyenlet integrál alakját határozzuk meg. Is-
mét Newton II axiómájából indulunk ki, amely szerint a tömeg mozgásmennyiségének
LGV]HULQWLYiOWR]iVDHJ\HQODW|PHJUHKDWyHUNNHO(J\IRO\DGpNUpV]UHNpWIDMWDHU
hatKDWDW|PHJUHKDWyWpUHUVVpJpVDIHOOHWHQKDWyHU Ez utóbbinak súrlódásmentes
HVHWEHQFVDNIHOOHWUHPHU OHJHVNRPSRQHQVHYDQDQ\RPiVEyOV]iUPD]yHU ËUMXNIHOLs-
PpWDPR]JiVPHQQ\LVpJLG
EHQLYiOWR]iVpVDIRO\DGpNUpV]UHKDWyHU
NNDSFVRODWiWNLIHMH]
egyenletet:
G
GWY G9 J G9 S G $
9 W 9 W $ W
ρ ρ= −I I I
,
ahol V(t) a folyadék gondolatban elkülönített, az A(t)
felülettel határolt részének térfogata (ld. 8.1. ábra).
8J\DQHEEO D] HJ\HQOHWEO LQGXOWXQN NL D] (XOHU -
egyenlet levezetésénél, ld. (4.17) összefüggés.) A fo-lyadékrész ∆WLGDODWWRGpbbúszik, és az A(t+∆t) felü-
lettel jellemzett helyre kerül, miközben mozgás-
menQ\LVpJH HJ\UpV]W D VHEHVVpJWpU LGIJJpVH PLDWW
változhat meg (instacionárius áramlás esetén, ld. 4.1. fejezet), másrészt azért, mert a folya-
dékrész odébbúV]YDRO\DQKHO\UHNHUODKRODVHEHVVpJHOWpU )HMH]]NNLD|VV]e-
függés bal oldalát a 8.1. ábra figyelembevételével!
G
GW Y G9 W Y G9 Y G99 W
W W W
9 W W
W
9 Wρ ρ ρ
OLP
I I I = −
!
"
$##→ ++
∆ ∆∆
∆
1 6 1 6
$MREEROGDOL]iUyMHOD]HOPR]GXOWIRO\DGpNUpV]pVDNLLQGXOyKHO\]HWEHQOpYIRO\DGpNUpV]
mozgásmennyiségének különbségét tartalmazza. Vonjuk le és adjuk hozzá a zárójelben lé-
YWDJRNKR]D]WDPR]JiVPHQQ\LVpJHWDPHOO\HOD]$W ∆t) felülettel határolt térrészben lé-
YIRO\DGpNW|PHJWSLOODQDWEDQUHQGHONH]LN
(8.1)
8.1. ábra
(8.2)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 76/195
76
d
dtv dV
tv dV v dV
v dV v dV
V tt t t
V t tt
V t t
t
V t t
t
V t
ρ ρ ρ
ρ ρ
( ) ( ) ( )
( ) ( )
limI I I
I I
= −
!
+
+ −"
$
##
→ ++ +
+
∆ ∆∆ ∆
∆
∆0
1 1 6 1 6
1 6 1 6
$MREEROGDOLNLIHMH]pVHOVNpWLQtegráljának integrálási tartománya megegyezik, ezért írha-
tó:
OLP OLP
∆ ∆
∆ ∆∆
∆∆ ∆
∆W W W
9 W W
W
9 W WW
W
9 W WW
Y G9 Y G9W W
Y G9 W→ +
+ +→
+
I I I −
!
"
$##
=
ρ ρ
∂
∂ρ1 6 1 6 .
∆t-YHOYDOyHJ\V]HU VtWpVXWiQNpSH]YHD∆W → határátmenetet a
OLP
∆ ∆
∆ ∆∆W W W
9 W W
W
9 W W 9W
Y G9 Y G9W
Y G9→ +
+ +
I I I −!
"$##
=
ρ ρ
∂
∂ρ1 6 1 6
összefüggést kapjuk, amely megengedi, hogy a ρ Y vektortérnek szakadása legyen a V tér-
fogaton belül.
$|VV]HIJJpVMREEROGDOiQOpY KDUPDGLNpVQHJ\HGLNLQWHJUiONO|QEVpJpQHNV]i -
PtWiVDPHJJRQGROiVWLJpQ\HOKLV]HQD]LQWHJUiOiVLWDUWRPiQ\NO|QE|] 6]HUHQFVpVN ö-
UOPpQ\KRJ\XJ\DQDKKR]DWLG SRQWKR]WDUWR]yPHQQ\LVpJHNHWWDUWDOPD]QDND]LQWHJU á-
lok. A két integrál különbsége úgy adódik, hogy a 8.1. ábránMHOOHOMHO|OWWpUUpV]EHQOpY
mozgásPHQQ\LVpJEOOHNHOOYRQQLD–MHOOHOMHO|OWEHQOpYWKLV]HQDN|]|VUpV]NLHMWLHJy-
mást.
Vegyünk fel a G$ felületelem vektorral jellemzett felületelemet, amely ∆WLGDODWWDY se-
besség irányában Y W∆ távolságot mozdul el (és az A(t+∆t) felület részévé válik). Az el-
mozduló elemi felület a 8.1. ábrán vonalkázott Y W G $∆ térfogatelemet határoz meg, amely-
EHQOpYHOHPLW|PHJ mozgásmennyisége: Y Y W G $ρ ∆ . Ha Y és G$ tompaszöget zárnak
be ( – jellel jelölt térrészben), akkor a mozgásmennyiség a skalárszorzat sajátosságai követ-
kezté EHQQHJDWtYOHV](]WD]LJHQNHGYH]N|UOPpQ\WNLKDV]QiOYDtUKDWy
OLP OLP
∆
∆∆∆ ∆
∆W W
9 W W
W
9 WW
$ $W
Y G9 Y G9W
Y Y W G $ Y Y G $→
+→I I I I −
!
"
$##
= =
ρ ρ ρ ρ1 6 1 6 1 6
A jobb oldal utolsó integráljá EDQ HJ\ ]iUyMHO MHOHQWPHJ DPHOO\HO HJ\pUWHOPYp WHWWN
hogy a mozgásmennyiség-megváltozás vektor a sebesség vektorral párhuzamos.
(8.3)
(8.4)
(8.5)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 77/195
77
A (8.1), (8.3), (8.4) és (8.5) összefüggéseket figyelembe véve felírható az impulzustétel:
∂
∂ρ ρ ρ
WY G9 Y Y G $ J G9 S G $
9 $ 9 $
1 6 1 6I I I I + = −.
Az impulzustétel egy PR]JiVHJ\HQOHW DPHO\ D IRO\DGpNUD KDWy HUN pV D IRO\DGpN
mozgásállapota között teremt kapcsolatot. Amíg az Euler-egyenlet differenciálegyenlet
az im SXO]XVWpWHOLQWHJUiORNDWWDUWDOPD]DPHO\HNNLV]iPtWiVDXWiQHU YHNWRURNDGyGQDN$]
impulzustétel alkalmazásánál egy, a koordinátarendszerünkhöz képest rögzített, zárt A felü-
letet, D]HOOHQU]IHOOHWHW kell felvenni (amely a V térfogatot körülveszi), és ki kell szá-
PROQLD]LQWHJUiORNDW$]LPSXO]XVWpWHOLJHQQDJ\HO Q\HKRJ\MREEiUDIHOOHWLLQWHJUiORNDW
tartalmaz. A két térfogati integrál közül a bal oldali – amelynek számítása általában megle-
KHWVHQERQ\ROXOW–]pUXVpUWpN KDD]iUDPOiVVWDFLRQiULXV(]pUWD]LPSXO]XVWpWHOWiOWDOá-
EDQVWDFLRQiULXVYDJ\NYi]LVWDFLRQiULXVLG EHQiOODQGyLG EHOLiWODJN|Ul ingadozó) áram-
OiVUDIRJMXNDONDOPD]QL$MREEROGDOLWpUIRJDWLLQWHJUiOD]HOOHQU]IHOOHWEHQOpYIRO\a-
GpNUDKDWyWpUHU WSOV~O\HU WIHMH]LNLDPHO\QHNV]iPtWiVDiOWDOiEDQYLV]RQ\ODJHJ\V]e-
U
Helyezzünk egy szilárd testet áramló közegbe (ld. 8.2. ábra)!
9HJ\NIHOD]HOOHQU]IHOOHWHW~J\KRJ\D]$bÄEHOV´
felülettel rekesszük ki a szilárd testet a V térfogatból, ami
így az Ak és Ab közötti térfogat. Legyen az áramlás stacioná-
rius. Írjuk fel az impulzustételt!
∂
∂ρ ρ ρ
ρ
WY G9 Y Y G $ Y Y G $
J G9 S G $ S G $
9 $ $
9 $ $
N E
N E
1 6 1 6 1 6I I I I I I
+ + =
= − −
$]HOVLQWegrál zérus, mert az áramlás megállapodásunk szerint stacionárius. A harmadik
LQWHJUiOXJ\DQFVDN]pUXVKLV]HQDV]LOiUGWHVWIHOOHWpQpVtJ\D]HOOHQ U]IHOOHWHQNHUHVz-
tül nincsen átáramlás ( Y G$⊥ $MREEROGDOLXWROVyLQWHJUiODEHOVIHOOHWHQDIRO\DGpkra
KDWyQ\RPiVEyOV]iUPD]yHU W|VV]HJ]L%HOiWKDWyKRJ\D]LQWHJUiOiVHUHGPpQ\HNpQWDG ó-
GyHU PHJHJ\H]QDJ\ViJ~pVLUiQ\~GHHOOHQWpWHVLUiQ\tWiV~PLQWDIRO\DGpNUyODV]LOiUG
WHVWUHKDWyHU DPLW5 vektorral jelölünk. Ha tehát stacionárius áramlás esetén a felvett el-
OHQU]IHOOHWEHQV]LOiUGWHVWYDQDNNRUD|VV]HIJJpVD]DOiEELDODNEDQtUKDWyIHO
Y Y G $ J G9 S G $ 5
$ 9 $
ρ ρI I I = − −1 6 .
Azért szerepel az 5 az impulzustétel fenti alakjában, mert a mérnöki gyakorlatban legtöbb-
V]|UDV]LOiUGWHVWHNUHKDWyHU NUHYDJ\XQNkíváncsiak. Az 5 YHNWRUHOWWLQHJDWtYHO MHOUH
(8.6)
8.2. ábra(8.7)
(8.8)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 78/195
78
D]pUWYDQV]NVpJPHUWD]LPSXO]XVWpWHOEHQDV]LOiUGWHVWU ODIRO\DGpNUDKDWyHU WNHOOV]e-
repeltetni. (Az 5 alkalmazására természetesen csak akkor kerül sor, ha a szilárd test az el-
OHQU]IHOOHWHQEHOOYDQpVQHPUHNHV]WMNNLD]HOOHQU]IHOOHWHJ\HOHPpYHO+DYa-
OyViJRVV~UOyGiVRVN|]HJHNUHDONDOPD]]XND]LPSXO]XVWpWHOWpVD]HOOHQ U]IHOOHWHQDI o-
O\DGpNUDKDWyV~UOyGiVEyOV]iUPD]yHU NHWPHJWXGMXNKDWiUR]QLDNNRUH]HNHUHG MpW– 6
vektort – az impulzustétel (8.6) vagy (8.8) összefüggéssel megadott kifejezésének jobb ol-
dalához kell adnunk.
Végül felírható az impulzustétel legáltalánosabb alakja, amelynek jobb oldalán az el-
OHQU] IHOOHWEHQ OpY IRO\DGpNUD KDWy HUNHW |VV]HJH]]N pV HJ\HQOYp tesszük
ugyanezen folyadék mozgásmennyiségének az egyenlet bal oldalán kifejezett egység-
Q\LLGUHHVPHJYiOWR]iViYDO
∂
∂ρ ρ ρ
WY G9 Y Y G $ J G9 S G $ 5 6
9 $ 9 $
1 6 1 6I I I I + = − − +
8.2. Az impulzusnyomatéki tétel
$IHMH]HWEHQHJ\]iUW$IHOOHWEHQOpYIRO\DGpNUDtUWXNIHOD]HU NpVDPR]JiVPHQQ\i-
ség-megYiOWR]iVHJ\HQV~O\iW+DVRQOyPyGRQIHOtUKDWyH]HQHU NDWpUDGRWW3SRQWMiUDYo-
natkozó nyomatéka valamint a mozgásmennyiség-megváltozás-vektorok nyomatékának
HJ\HQOVpJpWNLIHMH]impulzusnyomatéki tétel:
∂
∂ρ ρ ρ
WU Y G9 U Y Y G $ U J G9 U S G $ 0 0
9 $ 9 $
V× + × = × − × − +I I I I 1 6 1 6
ahol U a tér kijelölt P pontjából a dV térfogatelemhez ill. G$ vektor talppontjához húzott
vektor, 0 DIRO\DGpNUyOD]HOOHQU]IHOOHWEHQOpYV]LOiUGWHVWUHiWDGyGyQ\RPDWpN0V
SHGLJD]HOOHQU]IHOOHWHQKDWyV~UOyGyHU NQ\RPDWpND
8.3. Az impulzustétel néhány alkalmazása
Mozgó sík lap
Tekintsük a 8.3. ábrát, amelyen egy sík lap látható, amely
áll, vagy u sebességgel jobbra mozog. A sík lap egy víz-
VXJDUDWWpUtWHODPHO\QHNWHQJHO\HPHU OHJHVDODSUD]a-
vartalan sebessége v, keresztmetszete pedig A0LO\HQHU
hat az álló és a mozgó lapra?
(8.9)
(8.10)
u
8.3. ábra
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 79/195
79
$IHODGDWPHJROGiVDD]LPSXO]XVWpWHOQpONOQHPOHQQHN|QQ\NLNHOOHQHV]iPROQLD]Hl-
WpUO Yt]VXJiU iUDPNpSpWPDMG DQQDN LVPHUHWpEHQ D VtN ODS IHOOHWpQ NHOHWNH] pV D]
iUDPYRQDODNJ|UEOHWHDODSMiQU|JW|QIHOLVPHUKHWW~OQ\RPiVWD]D]DN|rnyezetinél na-
J\REEQ\RPiVW(QQHNLQWHJUiOMDDGQiDNHUHVHWWHU W$]LPSXO]XVWpWHOOHOD]iUDPOiVUpVz-
OHWHLQHNLVPHUHWHQpONOSXV]WiQDIL]LNDLPHQQ\LVpJHNHOOHQ U]IHOOHWHQW|UWpQYL]VJiOa-tával megválaszolható a kérdés.
(OV]|U is vegyük fel az ellHQU]IHOOHWHW(QQpONpWWDQiFVRWFpOV]HU PHJIRJDGQL
− KDV]LOiUGWHVWUHKDWyHU WNHUHVQNDWHVWHWYHJ\NEHOHD]HOOHQU]IHOOHWEHpV
− DKROiUDPOiVYDQRWWD]HOOHQU]IHOOHWOHJ\HQPHU OHJHVD]iUDPOiVLVHEHVVpJUHYDJ\
legyen azzal párhuzamos.
Esetünkben a fentiek szerint eljárva a 8.3. ábránOiWKDWyHOOHQU]IHOOHWDGyGLN
Másodszor írjuk fel az impulzustételt (8.9.összefüggés) és állapítsuk meg, hogy mely
tagjait kell az adott feladat megoldásánál figyelembe venni!
∂
∂ρ ρ ρ
tv dV v v dA g dV p dA R S
I II III IV V VIV A V A
1 6 1 6I I I I + = − − +
Az I integrál zérus, ha az áramlás stacionárius. Ha a lap áll, ez a feltétel fennáll, hiszen aYt]VXJiULUiQ\DVHEHVVpJHLG EHQQHPYiOWR]LN+DYLV]RQWPR]RJDODSD]iUDPOiVD]iOOy
rendszerben instDFLRQiULXVViYiOLNDWpUHJ\DGRWWSRQWMiEDQDPR]JyODSKHO\]HWpW OIJJD
sebesség. Ha viszont a koordináta-UHQGV]HUQNHWpVD]HOOHQ U]IHOOHWHWDPR]JyODSKR]
rögzítjük, akkor az áramlás stacionáriussá válik, azaz az I integrál értéke ebben az esetben
LV]pUXVViWHKHW
$,,LQWHJUiOQHPOHKHWHOHYH]pUXVKLV]HQIRO\DGpNOpSiWD]HOOHQ U]IHOOHWHQ
$,,,LQWHJUiOpUWpNHHVHWQNEHQ]pUXVPHUWDYt]VXJiUUyODIJJ OHJHVODSUDKDWyHU WDYtz-VXJiUV~O\DQHPEHIRO\iVROMD$Yt]UHKDWyV~O\HU PLDWt változik a körben sugárirányban
leOpSYt]VHEHVVpJHH]WD]RQEDQHOKDQ\DJROMXN(]pUWtUWXQNDOXOUDpVI|OOUH G, -t.
$,9LQWHJUiOD]HOOHQU]IHOOHWHQKDWyQ\RPiVEyOV]iUPD]yHU WIHMH]LNL$PLQWH]WN o-
rábban láttuk, a nyomás a párhuzamos, egyenes áUDPYRQDODNUDPHU OHJHVHQQHPYiOWR]LN
D]D]HJ\IRO\DGpNVXJiUEDQiOODQGypVPHJHJ\H]LNDNOVQ\RPiVVDO(PLDWWD8.3. ábrán
OiWKDWyHOOHQU] IHOOHWHQD Q\RPiVPLQGHQWW D]RQRV WHKiWD IHOOHWHQKDWyQ\omásból
V]iUPD]yHU NHUHG MH]pUXV
Az V tag neP]pUXVKLV]HQYDQV]LOiUGWHVWD]HOOHQU]IHOOHWHQEHOO
(8.11)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 80/195
80
A VI tag zérus, hiszen a súrlódást elhanyagoltuk. (Ez esetben ez az elhanyagolás nem okoz
hibát.)
$]HO]PHJJRQGROiVRNNDODHJ\HQOHWMHOHQWVHQHJ\V]HU V|G|WW
Y Y G $ 5
$
ρI = −1 6 .
Harmadszor, határozzuk meg az integrálok (esetünkben egy integrál) értékeit álló lap ese-
WpQ$]HJ\V]HU VpJNHGYppUWDWHOMHV]iUW$HOOHQU]IHOOHWUHYRQDWNR]yLQWHJUiOWW|EEI e-
lületrészen számolt integrál összegeként határozzuk meg. A (8.12) összefüggés bal oldalán
OpYLQWHJUiOLQWHJUDQGXV]D]pUXVDKROQLQFVIRO\DGpNiWOpSpVDIHOOHWHQYDJ\D]pUWPHUW
Y = , vagy mert Y G$⊥ ), ezért esetünkben csak azokon a felületrészeken kell integrálni,
DKRON|]HJOpSiWD]HOOHQU]IHOOHWHQD]$1
és A2
keresztmetszeten. E keresztmetszetek-
ben a sebesség állandó: Y ill. Y pVPLYHOD]HOOHQU]IHOOHWHWD]iUDPOiVLVHEHVVpJUHPe-
U OHJHVHQYHWWNIHO Y G$ (OV]|UWHNLQWVND]$1 keresztmetszetet, ahol a közeg belép a
felületbe. Miután a sebesség és a felületelem-vektor irányítása ellentétes ρ Y G $ < . Zé-
rusnál kisebb számmal szorozva a vYHNWRUWHJ\D]]DOPHJHJ\H]LUiQ\~GHHOOHQWpWHVLU á-
Q\tWiV~YHNWRUWNDSXQN0LXWiQD]LQWHJUDQGXV]EDQV]HUHSO VU VpJpVVHEHVVpJD]$1 felü-
let mentén állandó, írható:
, Y Y G $ Y $ Y Y
$
= = −
I ρ ρ1 6 4 9 ,
ahol , a mozgásmennyiség-megváltozás (impulzusáram) vektor.
Határozzuk meg az , pUWpNpW D KHQJHUSDOiVW DODN~ NLOpSNHUHV]WPHWV]HW Gϑ középponti
szöghöz tartozó dA2 IHOOHWHOHPpQ $] HOOHQU] IHOOHWEO YDOy NLOpSpVQpO Y G $ > ,
H]pUWDEDOROGDOiQOpYLQWHJUiOLQWHgrandusza a Y YHNWRUUDOPHJHJ\H]LUiQ\~pV
irányítású vektor:
G , Y G$Y
Y
= ρ
Arra az érdekes eredményre jutottunk, hogy az , mozgásmennyiség-vektorok (amelyekkel
a (8.11) összefüggés II integráljának egyes felület szakaszokra vonatkozó értékeit jelöltük)
− PLQGLJSiUKX]DPRVDNDVHEHVVpJYHNWRUUDOWHKiWKDD]HOOHQU]IHOOHWHWDVHEHVVpJUH
PHU OHJHVHQYHWWNIHODNNRUD]HOOHQU]IHOOHWUHPHU OHJHVHN
− NLIHOHPXWDWQDNDIHOOHWEOpV
(8.12)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 81/195
81
− DEV]RO~W pUWpNN D NHUHV]WPHWV]HW PHQWpQ iOODQGy VHEHVVpJ pV VU VpJ HVHWpQ
, Y $= ρ .
Az , pV G , vektorokat ábrázoltuk a 8.3. ábrában.
Negyedszer vegyünk fel egy koordináta-rendszert és koordináta irányonként írjuk fel az
HU N HJ\HQV~O\iW 6]LPPHWULD RNRNEyO PHJ D]pUW LV PHUW D ODSRQ FVDN DUUD PHU OHJHV
Q\RPiVEyOV]iUPD]yHU KDWFVDN[WHQJHO\LUiQ\~HU YHOV]iPROKDWXQNH]pUWHEEHQD]
HVHWEHQFVDND][LUiQ\~HJ\HQV~O\WtUMXNIHO)LJ\HOHPEHYpYHKRJ\DYHNWRUPHJHJ\H]
vagy ellentétes irányítású az x tengely pozitív irányításával, az egyes vektorok (esetünkben
az , YHNWRURN DEV]RO~W pUWpNHLW YDJ\ SR]LWtYYDJ\ QHJDWtY HO MHOOHONHOOEHtUQLD
HJ\HQOHWPHJIHOHOROGDOiUD
x irányú egyensúly:
− = − − = − = −, 5 D]D] Y $ 5 5 [ [
ρ
D]D]D]iOOyODSUDKDWyHU D]5 Y $= ρ
NpSOHWEO számolható.
(Fenti összefüggésekben a vektorjel nélküli mennyiségek az abszolút értéket jelentik.)
+RJ\DQKDWiUR]]XNPHJDODSUDKDWyHU WDNNRUKDDODS X sebességgel x irányban mozog?
A mozgó laphoz rögzített koordináta-UHQGV]HUpVHOOHQ
U]
IHOOHWHVetén ugyanígy kell el- járni, mint álló lapnál, csak a Y sebesség helyett a Z Y X = − relatív sebességgel kell
számolni:
5 Y X $= −ρ
1 6 .
(Ha a lap a sugárral szemben mozogna, a relatív sebesség Y X + lenne.)
9DQQDNKDVRQOyIHODGDWRNDKRODNLOpS IRO\DGpNVXJiUUDOLVV]iPROQLNHOO Hogyan hatá-
rozható meg v1 és A1 ismeretében v2 és A2 ? Írjuk fel a Bernoulli-HJ\HQOHWiOODQGyVU VpJkö]HJVWDFLRQiULXViUDPOiViUDYRQDWNR]yiUDPYRQDORQW|UWpQLQWHJUiOiVHVHWpQpUYpQ\HV
(4.31) alakját az 1 és 2 keresztmetszet között, elhanyagolva a f RO\DGpNUDKDWyV~O\HU W
Y S Y S
+ = +
ρ ρ
0LXWiQDYt]VXJiUEDQDQ\RPiVDNOVQ\RPiVVDOHJ\HQOIHQQiOO S S = , tehát Y Y = .
A folytonosság tételét figyelembe véve pedig $ $ = . Ugyanez vonatkozik mozgó lapra
is de itt a relatív sebességekre.
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 82/195
82
A Borda-féle kifolyónyílás
A 8.4.a. ábrán egy tartály látható, amelyben víz van. A tartályon egy speciális u.n. Borda-
IpOHNLIRO\yQ\tOiVWNpSH]QNNLDPHO\DNL|PO NHUHV]WPHWV]HWSHUHPpKH]U|J]tWHWWDWDr-
WiO\EDEHQ\~OyFV
GDUDE+DQLQFVLO\HQFV
DNNRUDNL|PO
Q\tOiVN|]HOpEHQIRNR]DWRVDQfelgyorVXODN|]HJpVDWDUWiO\IDOiQDNL|POQ\tOiVN|]HOpEHQFV|NNHQD S S− túlnyomás
(ld. 8.4.b. ábra MMHOQ\RPiVPHJRV]OiV$%RUGD-IpOHNL|POQ\tOiVDONDOPD]iVDHVHWpQD
NL|POQ\tOiVN|]HOpEHQDWDUWiO\IDOiQDQ\RPiVPHJHJ\H]LND]DGRWWPDJDVViJEDQD tar-
tály faláQDNPiVSRQWMDLQOpYQ\RPiVVDOOGNMHOQ\RPiVPHJRV]OiV
p-p0
8.4. ábra
Alkalmazva a Bernoulli-egyenlet (4.31) alakját az adódik, hogy a víz a H magasságkülönb-
ség hatására
Y J +=
VHEHVVpJJHOiUDPOLNNLDWDUWiO\EyO$NL|POYt]VXJiUDWDSasztalatok szerint nem tölti ki
teljesen az A [m2@NL|PONHUHV]WPHWV]HWHW+DWiUR]]XNPHJ D Yt]VXJiU |VV]HK~]yGiViUD
MHOOHP]
α = $ $6
ú.n. NRQWUDNFLyVWpQ\H] értékét a Borda-kifolyónyílás esetén, ahol AS a vízsugár kereszt-
metszete a kiömlés helyén.
Alkalmazzuk az impulzustételt! Vegyük föl a 8.4.a. ábránOiWKDWyHOOHQU]IHOOHWHWDPLWD8.4.c. ábránNO|QNLUDM]ROWXQN,WWMHJ\H]]NPHJKRJ\D]HOOHQ U]IHOOHWFpOV]HU IHOYé-
tele – hasonlóan a Bernoulli-egyenlet integrálási határainak célirányos kijelöléséhez – a fel-
DGDWRNVLNHUHVPHJROGiViWMHOHQWVHQEHIRO\iVROyLQWXLFLyWpVQpPLJ\DNRUODWRWLJpQ\OWe-
vékenység.) Alkalmazzuk az impulzustétel (8.9) összefüggéssel megadott alakját:
∂
∂ρ ρ ρ
tv dV v v dA g dV p dA R S
I II III IV V VIV A V A
1 6 1 6I I I I + = − − + .
(8.13)
(8.14)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 83/195
83
Az I integrál értéke esetünkben zérus, mert elhanyagolva a víz felszínének süllyedését az
iUDPOiVVWDFLRQiULXV$,,,WDJJDOQHPNHOOIRJODONR]QLPHUWHOUHOiWKDWyKRJ\Yt]V]LQWHV
LUiQ\EDQtUMXNIHOD]HJ\HQV~O\LHJ\HQOHWHWH]pUWDIJJ OHJHVV~O\HU DEEDQQHPMiWV]LN
szerepet.
(OWpU HQD]HO] DONDOPD]iVWyO a IV tag nem hagyható el, mert a nyomásból származó
HUHGHU YiUKDWyDQQHP]pUXV$]HOOHQU]IHOOHWHQEHOOQLQFVV]LOiUGWHVWLOODV~UOyGiVW
elKDQ\DJROWXNDYDOyViJEDQVHPMiWV]LNMHOHQWVV]HUHSHWH]pUWD]9pV9,WDJ]pUXV
A nyomásból származyHU NHWNLIHMH],9LQWHJUiOWKDVRQOyPyGRQV]iPROMXNPLQWD] ,
vektorokat: a teljes AHOOHQU]IHOOHWUHKDWyQ\RPiVEyOV]iUPD]yHU WD]A felület egyes
részein kiszámolt 3 Q\RPiVEyOV]iUPD]yHU YHNWRURN|VV]HJHNpQWtUMXNIHO$ 3 vektorok
– miután − SG$ integrálása révén adódtak, és a G$ NLIHOHPXWDWDIHOOHWEO– befelé mu-
WDWQDNDIHOOHWEHpVDIHOOHWUHPLQGLJPHU OHJHVHN$8.4.c. ábránDNL|POpVKHO\pQOpY
HOOHQU]IHOOHWUpV]UHpVD]D]]DOÄV]HPEHQ´OpY XJ\DQFVDNA nagyságú felületrészre vo-
natkozó nyomás integrálokat (3 pV 3 YHNWRURNDWWQWHWWNFVDNIHOPHUWD]HOOHQ U]IHOü-
OHWW|EELUpV]pQOpYQ\RPiVEyOV]iUPD]yHU NNLHJ\HQOtWLNHJ\PiVW(J\KHO\HQDNL|m-
OpVQpOOpSiWDYt]D]HOOHQ U]IHOOHWHQH]pUWHJ\PR]JiVPHQQ\LVpJ-megváltozás-vektort
( , ) vetWQNIHODPLD]HO]HNV]HULQWNLIHOpPXWDWD]HOOHQU]IHOOHWEOpVSiUKX]DPRV
az áramlási sebességgel.
Vegyük fel a jobbra mutató x tengelyt, majd az egyes vektorok x-hez képesti irányítását fi-gyelembe véve írjuk fel az impulzustételt: , 3 3= − . Az I helyébe ρ Y $ V
-t, P helyébe
S $ W − 3¶ KHO\pEH SHGLJ D IHOV]tQ DODWW +PpO\VpJEHQ OpY Q\RPiVW ILJ\HOHPEHYpYH
S J + $ + ρ1 6 helyettesítve ρ ρY $ S J + $ S $V
= + −1 6 HJ\HQOHWDGyGLN(J\V]HU Ví-
tés és a (8.13) összefüggés behelyettesítése után ρ ρJ + $ J + $V = DGyGLN DPLEOD
NRQWUDNFLyV WpQ\H] α = =$ $V , azaz a vízsugár keresztmetszete fele a Borda-féle
NLIRO\yNHUHV]WPHWV]HWQHN,WWMHJ\H]]NPHJKRJ\DNRQWUDNFLyVWpQ\H]SOHJ\pOHVV]pO
nyílás esetén a α ≅ 0LQpOMREEDQOHNHUHNtWMNDNL|POQ\tOiVWDQQiOMREEDQPHJN|]e-
lítjük az α = értéket.
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 84/195
84
A Pelton-turbina
Tekintsük a 8.5. ábrát, ahol egy Pelton-turbina váz-
lata látható. Az A1NHUHV]WPHWV]HWY1VHEHVVpJYt]-
sugár az u kerületi sebességgel forgó kanalakon vál-tozWDW LUiQ\W $ NDQDODN NLOpS pULQW MH D UDGLiOLV
irányhoz képest zárjon be ϑ szöget. Vizsgáljuk meg,
hogy melyik koordináta-rendszerben stacionárius az
áramlás. Az álló koordináta-rendszerben nem, hiszen
a la SiWRN KHO\]HWpWO IJJHQ YiOWR]LN D] iUDPOiVL
WpU$]HJ\WWIRUJyUHQGV]HUEOQp]YHXJ\DQFVDNLQVWDFLRQiULXVKD lehet ezt fokozni, „még
instacionáriusabb”) az áramlás. Ezért térjünk vissza az abszolút (álló) koordináta-
rendszerbe, ahol a lapátváltás periodikussága következtében az áramlás kvázistacionárius,
D]D]D]iUDPOiVLVHEHVVpJHNpVD]HU NN|]pSpUWpNHNN|UOLQJDGR]QDN$NHUOHWLHU N ö-
]pSpUWpNHN|]HOtWHQDKKR]DKHO\]HWKH]WDUWR]LNDPLNRUDYt]VXJDUDWHOWpUtWODSiWRWDIRr-
JiVWHQJHOO\HO|VV]HN|WHJ\HQHVpSSHQPHU OHJHVDYt]VXJiUUDOG8.5. ábra).
+DWiUR]]XNPHJDWXUELQiUDKDWyNHUOHWLHU WpVDPD[LPiOis teljesítményhez tartozó u ke-
rületi sebességet!
9HJ\QNI|OHJ\HOOHQU]IHOOHWHW6]LOiUGWHVWUHKDWyHU WNHUHVQNH]pUWD]HJpV]NHU e-
ket körülvesszük a felülettel, ahol pedig víz lép át a felületen, ott a sebesség irányára mer
legesen vesszük fel a]HOOHQU]IHOOHWHW7HNLQWVND|VV]HIJJpVW$],LQWHJUiO] é-
rus, mert az áramlást stacionáriusnak tekintjük, a III ugyancsak, mert a víz súlya nem ját-
V]LNV]HUHSHWDNHUOHWLHU EHQD,9LQWHJUiOLV]pUXVKLV]HQD]HOOHQ U]IHOOHWHQDYt]Vu-
JDUDNEDQLVDQ\RPiViOODQGyPHJHJ\H]LNDNOVQ\RPiVVDOD,9WDJ]pUXVPHUWD]Hl-
OHQU]IHOületen a súrlódás nem játszik szerepet.
Ezek szerint csak az , vektorokat kell felrajzolni (ld. 8.5. ábra) és keressük a turbinára ha-
tó 5 HU NHUOHWLLUiQ\ú komponensét. Írjuk föl az x (kerületi) irányban az impulzustételt:
− + = −, , 5 X X , ahol u indexszel jelöltük a kerületi irányt., Y $ , Y $X
= =ρ ρ β FRV , ahol β D Y és a kerületi irány által bezárt szög. Miu-
tán a folytonosság tételé EOρ ρY $ Y $ = írható:
5 Y $ Y YX X= −ρ 1 6,
ahol Y YX = FRVβ DNLOpSVHEHVVpJNHUOHWLUiQyú komponense.
$|VV]HIJJpVD]DOiEELN|YHWNH]WHWpVUHYH]HWKDDQ\RPiVEyOV]iUPD]yHU pVD
V~O\HU ]pUXVDNNRUDV]LOiUGWHVWUHKDWyHU HJ\HQODN|]HJW|PHJiUDPiQDNρ Y $ ) és a
NHUHVHWWHU YHOSiUKX]DPRVVHEHVVpJNRPSRQHQVPHJYiOWR]iViQDN Y Y X −1 6 szorzatával.
8.5. ábra
(8.15)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 85/195
85
A v2u értékét a 8.5. ábránOiWKDWyDNLOpSYt]VXJiUUDYRQDWNR]yVHEHVVpJLKiURPV]|JEO
határozhatjuk meg. A Z UHODWtYVHEHVVpJKH]DPHO\QHNLUiQ\DSiUKX]DPRVDODSiWNLOpS
pULQW MpYHOKR]]iDGYDD]X kerületi (szállító) sebességet megkapjuk a Y NLOpSDEV]RO~W
sebességet. Ennek kerületi irányú komponense Y X ZX = − VLQϑ . Felírva gondolatban az
együttforgó rendV]HUEHQDODSiWHOWWpVP|J|WWOpYSRQWRNN|]pD%HUQRXOOL-egyenletet az
LQVWDFLRQiULXVWDJDV~O\HU pVDFHQWULIXJiOLVHU WpUHOKDQ\DJROiVDPHOOHWt Z Z = adó-
dik, miután a nyomás mindenütt állandó. Belátható, hogy a beOpS UHODWtY VHEHVVpJ
Z Y X = − .
Mindezeket behelyettesítve a (8.15) összefüggésbe rendezés után adódik:
5 Y $ Y XX = − +ρ 1 61 6VLQϑ
$NHUOHWLHU PD[LPXPiWβ = ° -nál éri el. Vizsgáljuk meg, hogy milyen kerületi sebes-
ségnél maximális a Pelton turbina teljesítménye, amelyet az alábbi összefüggéssel fejezhe-
tünk ki (ϑ = ° esetén):
3 Y $ Y X X= − ρ 1 6. . (8.17)
.HUHVVNDWHOMHVtWPpQ\V]pOVpUWpNpWXIJJYpQ\pEHQD]D]NpSH]]N ∂ ∂3 X -t és tegyük
HJ\HQOYp]pUXVVDO
∂
∂ρ
3
XY $ Y X X= − − = 1 6 , amLEO X Y= adódik a maximális teljesítményhez
tartozó kerületi sebességre. Ezt az eredményt visszahelyettesítve (8.17) összefüggésbe
3 Y $ YPD[ = ρ
kifejezést kapjuk, azaz ebben az optimális esetben a Pelton-turbina a víz teljes mozgási
energiáját hasznosítja.
A s]iUQ\UiFVUDKDWyHU
A 8.6. ábránHJ\IJJOHJHVLUiQ\EDQIHOIHOppVOHIHOp
egymástól t osztás távolságra végtelen sokszor ismét-
OGV]iUQ\DNEyOiOOyV]iUQ\UiFVOiWKDWyDPHO\DUiFVUD
PHU OHJHV[WHQJHOO\HOα szöget bezáró Y hozzááram-
lási sebességet eltéríti: a Y sebesség α szöget zár be
D] [ WHQJHOO\HO $ IRO\WRQRVViJ WpWHOpEO N|YHWNH]LN
hogy Y Y[ [ = = Y [ . Határozzuk meg a szárnyrács egy
(8.16)
(8.18)
8.6. ábra
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 86/195
86
HOHPpQHNODSUDPHU OHJHVHQP hosszúságú szakaszáUDKDWyiUDPOiVLHU W,VPpWHOWHQD]
impulzustételt hívjuk segítséJOHPHJOHKHWVHQERQ\ROXOWNpUGpVPHJYiODV]ROiViKR]
9HJ\QNIHOHJ\HOOHQU]IHOOHWHWDPHO\DNpUGpVHVV]iUQ\DWN|UOYHV]L(OOHQWpWHVHQD]
HGGLJLHNNHODIHOOHWHWQHD]iUDPOiVLVHEHVVpJUHPHU
OHJHVHQYHJ\NIHOKDQHPD]\NRR r-dinátával párhuzamosaQLOONpWHJ\PiVWyOWRV]WiVQ\LUDOpYiUDPYRQDOPHQWpQ$WRVz-
WiVDV]iUQ\DNWiYROViJiYDOHJ\HQO$]HOOHQU]IHOOHWODSUDPHU OHJHVPpUHWHP.
Ismét a (8.11) összefüggésben megadott impulzustételt alkalmazzuk stacionárius, súrló-
dásmentes áramláVUD pV ILJ\HOHPEH YpYH KRJ\ D V~O\HU QHN QLQFVHQ V]HUHSH H]pUW D]
HJ\HQOHW,,,,pV9,WDJMDNLHVLN5DM]ROMXNIHODVHEHVVpJJHOSiUKX]DPRVpVD]HOOHQ U]I e-
OOHWEONLI elé mutató , pVDIHOOHWUHPHU OHJHVDEEDEHIHOpPXWDWy3 vektorokat. Az
áramvonaOODOHJ\EHHVIHOOHWHNHWHJ\RV]WiVWiYROViJEDQYHWWNIHOH]pUWDUDMWXNNLDODNXOy
nyomásmegRV]OiVWHOMHVHQPHJHJ\H]LNËJ\D]H]HNHQNHOHWNH]Q\RPiVEyOV]iUPD]yHU N
kiejtik egymást. E felületeken nincsen folyadék átlépés, ezért ezeken , = .
Írjuk fel x és y irányban az impulzustételt!
− + = − − − + = −, , 3 3 5 pV , , 5 [ [ [ \ \ \
Miután , Y W Y[ = ρ (tömegáram × sebesség) és , Y W Y[ = ρ valamint
3 S W pV 3 S W = = , 5 UH pV 5 UD[ \− − az alábbi összefüggések adódnak:
5 S S W Y W Y Y[ [= − + − 1 6 1 6ρ α αFRV FRV
5 Y W Y Y\ [ \ \= −ρ 3 8.
$|VV]HIJJpVPiVRGLNWDJMiEDQOpY ]iUyMHODIRO\WRQRVViJWpWHOHN|YHWNH]WpEHQ] é-
UXVD]HOVWDJMiWD%HUQRXlli-egyenlet felhasználásával határozzuk meg a Y Y[ [ = figye-
lembe vételével:
S S Y Y Y Y\ \
− = − = −
ρ ρ4 9 4 9 .
Fentiek alapján a (8.19) összefüggés átalakítható:
5 Y Y W Y Y[ \ \ \ \= − +ρ
3 8 3 8
A 8.20 és 8.21 kifejezésekben szerepel a Γ = −Y Y W\ \ 3 8 kifejezés, ami az áramlási se-
EHVVpJHOOHQU]IHOOHWUHLOOHV]NHG*]iUWJ|U be mentén vett vonalintegrálja, a cirkuláció.$]iUDPYRQDODNUDLOOHV]NHGNpWYRQDOV]DNDV]RQDVHEHVVpJYRQDOLQWHJUiOMDpSSHQNLHMWL
(8.19)
(8.20)
(8.21)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 87/195
87
HJ\PiVW,WWDKDJ\RPiQ\RNQDNPHJIHOHOHQDV]RNiVRVVDOHOOHQWpWHVHQYHWWNI|ODSR]i-
tívnak tekintett körüljárási irányt. Írjuk fel az 5 vektor két komponensét!
5 Y Y
5 Y[
\ \
\ [= −+
=ρ ρΓ Γ
,
5 5 5 YY Y
[ \ [
\ \= + = +
+
ρ Γ
.
Az 8.6 ábra és a (8.22) összefüggések alapján belátható, hogy a szárnyra ható 5 HU PHU
leges a Y ∞ zavartalan áramlási sebesség vektorra ( Y ∞ lenne a sebesség, ha a szárnyrács
nem lenne az áramlásban). Felismerve, hogy a gyökjel alatti mennyiség a 8.6. ábrán Y ∞-nel
jelölt „átlagos” sebesség abszolút értéke, írható:
5 Y 1 P= ∞ρ Γ ,
azaz DV]iUQ\UiFVHJ\V]iUQ\iQDNODSUDPHU OHJHVPKRVV]~ViJ~V]DNDV]iUDKDWyHU
DVUVpJD]ÄiWODJVHEHVVpJ´pVDV]iUQ\N|UOLF irkuláció szorzataként adódik.
„Hígítsuk” minden határon túl a szárnyrácsot, azaz W → ∞ , miközben Y Y\ \ − → úgy,
hogy Γ = − =W Y Y iOO\ \ 3 8 , azaz a szárnyrácsból egy egyedülálló szárny lesz, ami termé-
szetesen nem képes eltéríteni az egész áramló közeget, azaz Y Y Y → → ∞ . Egyedülálló
szárny esetpQWHKiWDV]iUQ\UDKDWyHUPHUOHJHVD]DYDUWDODQDV]iUQ\WyOWiYROpr-
YpQ\HViUDPOiVLVHEHVVpJUH$V]iUQ\PKRVV]~V]DNDV]iUDKDWyHUWD]
5 Y= ∞ρ Γ
|VV]HIJJpVEOV]iPROKDWMXN.XWWD-Zsukovszkij-tétel).
Itt jegyezzük meg, hogy a szárny körül csak akkor alakul ki cirkuláció, ha az áramló közeg
súrlódásos. Mindazonáltal az általunk is használt tárgyalásmód, amely a súrlódást csak a
cirkuláció kialakulásáig veszi figyelembe, egyébként pedig súrlódásmentes közeg feltétele-
zésével vizsgálja az áramlást, a gyakorlatban is jól hasznosítható eredményekre vezetett. A
szárnyrácsok vizsgálatának az áramlástechnikai gépek tervezésénél van gyakorlati jelent
sége, hiszen pl. egy radiális ventilátor járókerekében (ld. 6.6. ábra) bármely irányban is já-
UXQNN|UODODSiWRNYpJWHOHQVRNV]RULVPpWOGQHN(J\LO\HQ~QN|UUiFVQDNDOHNpSH zé-
sével juthatunk a 8.6. ábrán látható egyenes rácshoz.
(8.22)
(8.23)
(8.24)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 88/195
9. A súrlódásos közegek és mozgásegyenletük
Az 1. fejezetben bevezettük az ideális közeg fogalmát. Az ideális közeg a valóságossal el-
lentétben homogén, súrlódásmentes és összenyomhatatlan. Ebben és néhány további feje-
zetben feladjuk a súrlódásmentesség kritériumát: olyan áramlásokkal foglalkozunk, ame-
lyekben a súrlódásos közeg deformációjának hatására csúsztatófeszültségek és húzó-
feszültségek is ébrednek.
9.1. A nemnewtoni közegek
Az 1. fejezetben már foglalkoztunkDIRO\DGpNEDQNHOHWNH]FV~V]WDWyIHV]OWVpJpVDIRO\ a-
dék deformáció kapcsolatával, és megállapítottuk, hogy a csúsztatófeszültség a
deformációsebességgel arányos:
τ µ µγ
\[[GY
G\
G
GW= =
Megállapítottuk továbbá, hogy az aláhúzott Newton-féle viszkozitási törvény a folyadékok
nagy részére, az u.n. newtoni folyadékokra vonatkozik. Newtoni folyadékok a mérnöki
J\DNRUODWEDQOHJW|EEV]|UHOIRUGXOyN|]HJHNDYt]DOHYHJDJi]RNSzámos olyan fo-
lyadék van azonban, amelyeknél a csúsztatófeszültség nem egyenesen arányos a
deformációsebességgel. Ezeket a folyadékokat nemnewtoni folyadékoknak nevezzük.
A nemnewtoni közegekkel a reológia foglalkozik.
Tekintsük a 9.1. ábrát$GLDJUDPRQDNO|QE|]N|]e-
gek reológiai görbéi láthatóak, amelyek a folyadékban
NHOHWNH]τ csúsztatófeszültség és a dγ /dt-vel jellemzett
deformációsebesség kapcsolatát mutatják meg. Az 1 je-
OJ|UEHHJ\QHZWRQLN|zegre vonatkozik, a 2MHOSe-
dig egy plasztikus folyadékra, amelynél egy meghatá-rozott τ K határ-csúsztató feszültség elérése után kezd a
közeg folyamatosan deformálódni:
τ τ µγ
= + ∞K
G
GW
ahol µ ∞ DN|]HJVDMiWRVViJDLWyOIJJiOODQGy$SODV]WLNXVIRO\DGpNRNUDiOWDOiEDQYDODP i-
O\HQWpUKiOyVV]HUNH]HWDMHOOHP] DPHO\QHN τ K KDWiViUD EHN|YHWNH]|VV]HRPOiVDXWiQ
kezd áramlani a közeg. Plasztikus közeg pl. az olajfesték és a fogpép.
9.1. ábra
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 89/195
89
A 3 és 4MHOJ|UEpND]~Qhatványfüggvény közegekre vonatkoznak, amelyeknél a csúsz-
tatófeszültség és a deformációsebesség közötti kapcsolatot egy hatványfüggvény írja le:
τ γ = N G GWQ
1 6 .
n < 1 esetén a 3MHOUHROyJLDLJ|U be a plasztikus közegekéhez hasonlít, ezért ez egy ún.
pszeudoplasztikus közegre vonatkozik. Ezek a közegek általában hosszú láncú mole-
NXOiNDWWDUWDOPD]QDN(PROHNXOiNÄHOUHQGH]GpVpLJ´DGHIRUPiFLyVHEHVVpJDGRWWQ|YHNH-
déséhez nagy csúsztatófeszültség-viOWR]iVWDUWR]LNNpV EENLVHEE
Az n > 1KDWYiQ\NLWHYYHOUHQGHONH]4MHO~QdilatálóN|]HJHNNLVVHEHVVpJGHIRU má-
FLyMiKR]YLV]RQ\ODJNLVFV~V]WDWyIHV]OWVpJWDUWR]LNQ|YHNYGHIRUPiFLyVHEHVVpJURKDPo-
VDQQ|YHNYFV~V]WDWyIHV]OWVpJHWLJpQ\HO,O\HQN|zeg pl. az ásványi porokat tartalmazó
zagy.
Az 5MHOJ|UEHtixotrop közegre vonatkozik. A tixotrop közegek fontos tulajdonsága, hogy
UHRORJLDL J|UEpLN DODNXOiVD IJJ D N|]HJ PHJHO] GHIRUPiFLyMiWyO ,O\HQ N|]HJ SO D
nyersolaj.
9.2. A mozgásegyenlet
Az áUDPOyN|]HJJRQGRODWEDQHOKDWiUROWUpV]pUHNpWIpOHHU DW|PHJUHKDWyWpUHUsség
pVDIHOOHWHQKDWyDV]RPV]pGRVIRO\DGpNUpV]HNUOiWDGyGyHUKDW(]HNQHND]HUN -
QHND]HUHG MHYiOWR]WDWMDPHJD]iUDPOyN|]HJPR]JiVPHQQ\LVpJpWD]D]J\RUVtWMDD
gondolatban elhatárolt folyadékrésztËUMXNIHOH]WDJRQGRODWRWHJ\VpJQ\LW|PHJIRO\a-
dékrészre:
dv
d tg F= +
A g D]HU WpU WpUHU VVpJ YHNWRUD D]D]D]HJ\VpJQ\L
W|PHJUHKDWyHU D]F SHGLJD]HJ\VpJQ\LW|PHJI o-
O\DGpNUpV]IHOOHWpQKDWyHU NHUHG MH(A 4.2. fejezet-
ben láttuk, hogy a súrlódás elhanyagolása esetén
) JUDGS= −
ρ.) A súrlódásos közegekben a gondo-
latban elhatárolt folyadékrész felületén az arra me-
UOHJHVQ\RPiVEyOV]iUPD]yHUQNtYODIHOOHWUH
PHUOHJHV D IRO\DGpN GHIRUPiFLyMiYDO |VV]HIJJ K~]yIHV]OWVpJEO pV D IHOOHWWHO
párhuzamos, csúszWDWyIHV]OWVpJEOV]iUPD]yHUNLVpEUHGQHN A 9.2. ábrán egy elemi
pOKRVV]~ViJ~ NRFNiQ PXWDWMXN EH D] [ LUiQ\~ HU NHW HOLGp] IHV]OWVpJeket. A τ 3D
(9.1)
9.2. ábra
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 90/195
90
csúsztatófeszültségek és a σ 3D (az eddig tárgyalt nyomást is tartalmazó) húzó-
feszültVpJHNDWpUEHQYiOWR]QDN(]DYiOWR]iVRNR]]DDIHOOHWHQKDWyHUNEOV]irma-
]yD]HOHPLIRO\DGpNUpV]WJ\RUVtWyHUHGHUW
ËUMXNIHODNLVNRFNiUDKDWy[LUiQ\~HUHGHU WPDMGRVV]XNHODNLVNRFND ρ G[G\G] tö-megével, hogy az egységnyi tömegre ható F HU [NRPSRQHQVpWNDSMXN
)G[G\G]
[ G[ [ G\ G] \ G\ \ G[ G]
] G] ] G[ G\
[ [ [ \[ \[
][ ][
= + − + + −
+ + −
ρσ σ τ τ
τ τ
1 6 1 6 1 6 1 6J
1 6 1 6 C(9.2)
$]LQGH[HNN|]|WWD]HOVDQQDNDVtNQDNDQRUPiOLViWMHO]LDPHO\HQD]DGRWWIHV]OWVpJ
ébUHGDPiVRGLNSHGLJDIHV]OWVpJLUiQ\iW+DHNHWWHJ\EHHVLNDNNRUFVDNHJ\LQGH[HW
használtunk.)
Tekintettel arra, hogy pl. σ σ∂σ
∂x x
xx dx xx
dx+ = +1 6 1 6 , a (9.2) összefüggés átalakítás után
az alábbi alakra hozható:
)[ \ ]
[[ \[ ][= + +
ρ
∂σ
∂
∂τ
∂
∂τ
∂ .
Jelöljük Φ -vel a feszültségtenzort, amelynek mátrixa:
Φ =
!
"
$
###
σ τ τ
τ σ τ
τ τ σ
[ \[ ][
[\ \ ]\
[] \] ]
.
pV|VV]HYHWpVpEOOiWKDWyKRJ\D] HJ\VpJQ\LW|PHJIRO\DGpNUDKDWy F HU D
feszültségtenzorból az
) = ∇
ρΦ
|VV]HIJJpVVHOIHMH]KHWNLDKRO∇ = + +∂
∂
∂
∂
∂
∂[L
\ M
]N a szokásos nabla (vektor) differen-
ciáloperátor.
$IRO\DGpNUDKDWyHUNpVDPR]JiViOODSRWN|]|WW|VV]HIJJpVWWHUHPW (9.1) mozgás-
egyenlet tehát így írható:
G Y
GWJ= + ∇
ρΦ
(9.3)
(9.4)
(9.5)
(9.6)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 91/195
91
Figyelembe véve a folyadékrész gyorsulás tárgyalásánál tanultakat (4.2), a mozgásegyenlet
x irányú komponens egyenlete az alábbi módon írható fel:
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ ρ
∂σ
∂
∂τ
∂
∂τ
∂
Y
W
YY
[
YY
\
YY
]
J
[ \ ]
[[
[\
[]
[[
[ \[ ][+ + + = + + +
.
A (9.6) ill. (9.7) mozgásegyenleteket nem tudjuk használni mindaddig, amíg a feszültség-
iOODSRWUyOQLQFVLQIRUPiFLyQN$]HO]HNEHQPiUPHJLVPHUWNDIRO\DGpNRND]RQVDMiWRV-
ságát, hogy a csúsztatófeszültség és a deformációsebesség között kapcsolat van. Így tehát le
lehet vezetni a feszültségállapotot a mozgásállapotból és a (9.6) és (9.7) összefüggés jobb
oldalára a σ és τ helyett a sebességkomponenseket tartalmazó kifejezéseket lehet írni. Ezál-
WDOD]HJ\HQOHWHNEHQOpYLVPHUHWOHQHNV]iPDUDGLNiOLVDQFV|NNHQWKHW
Szorítkozzunk newtoni közegekre, amelyeknél a csúsztatófeszültség a tapasztalatokszerint arányos a G GWγ deformációsebességgel. A kis folyadékrész mozgásának elemzé-
sénél (3.5. fejezet) megismertük, hogy a folyadékrész mozgását párhuzamos eltolódásra,
forgásra, tágulásra és alakváltozásra lehet felbontani. Ezek közül az utolsó, az alakváltozás
van kapcsolatban a feszültségállapottal.
Tekintsük a 9.3. ábrát, ahol egy, az áramló közegben gon-
GRODWEDQHOKDWiUROWHOHPLPpUHWKDViEOiWKDWy9L]Vgáljuk
meg, hogy a γ V]|JLGV]HULQWLYiOWR]iVDKRJ\DQIJJD
KDViEGHIRUPiFLyMiQDNVHEHVVpJpWOD]D]DODSVtNMiEDHV
sebességkomponensek hely szerinti változásától. A dx
hosV]~ViJ~ROGDOGWLGDODWWGα szöget fordul el, mert a
YpJSRQWMDLQDN\LUiQ\~VHEHVVpJHNO|QE|]GWLGDODWWD
végpontok által megtett út különbsége:∂
∂
Y
[G[GW
\. Az dα elfordulási szöget úgy kapjuk,
hogy ezt elosztjuk dx-szel. Tekintettel arra, hogy G G Gγ α β= + írható:
G G G Y[
GW Y\
GW\ [γ α β ∂∂
∂∂
= + = +.
$]HJ\VpJQ\LLGUHMXWyV]|JHOIRUGXOiVWD]D]DGHIRUPiFLyVHEHVVpJHWDGLQDPLNDLYLV]ko-
]LWiVVDO PHJV]RUR]YD D GHIRUPiFLyW HOLGp] τ [\ pV D] H]]HOPHJHJ\H] τ \[ csúsztató-
feszültségeket kapjuk:
τ µ∂
∂
∂
∂τ[\
\ [\[
Y
[
Y
\= +
=.
+DVRQOyDQNLIHMH]KHWDW|EELFV~V]WDWyIHV]OWVpJNRPSRQHQVLV
(9.7)
9.3. ábra
(9.8)
(9.9)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 92/195
92
$ IHOOHWUH PHUOHJHV σ IHV]OWVpJNRPSRQHQVHN NpW UpV]EO WHYGQHN |VV]H D PiU
PHJLVPHUWQ\RPiVEyOpVD]DODNYiOWR]iVEyODGyGyK~]yIHV]OWVpJE O A nyomást a tér P
pontjában úgy tekint MNPLQWHJ\3N|]pSSRQW~UVXJDU~J|PEIHOOHWpQDIHOOHWUHPHU -
leges feszültségek átlagát r → 0 esetén:− = + + S [ \ ]
σ σ σ3 8 . A σ húzófeszültségek a
Q\RPiVWQHJDWtYHO MHOOHOIRJMiNWDUWDOPD]QLKLV]HQD]DNNRUSR]LWtYKDDIHOOHWEHEHIHOp
PXWDWy HU W HUHGPpQ\H] Az alakviOWR]iV HUHGPpQ\HNpQW OpWUHM|Y FV~V]WDWyIHV]OW-
VpJHNN|YHWNH]WpEHQIHOOHWUHPHUOHJHVσ húzófeszültségek is keletkeznek, azaz pl. a
IRO\DGpNEDQ NHOHWNH] σ húzófeszültség x irányú komponensére írható: σ σx xp= − + ' A
deforPiFLyN|YHWNH]WpEHQNHOHWNH]IHV]OWVpJHNmeghatározása érdekében tekintsük a
9.4.a. ábrátDKROHJ\KDViERWOiWKDWXQN$ODSUDPHU OHJHVHQ
9.4.a. ábra 9.4.b. ábra
egységnyi hosszúságú, négyzet alapú hasáb ∆D ⋅ IHOOHW ROGDOain ható τ csúsztató-
feszültségeket az átlóval kijelölt sík mentén ható σ húzófeszültség tartja egyensúlyban. A
lapra meU OHJHVHQ HJ\VpJQ\L KRVV]~ViJ~ KDViEUD KDWy HU N HJ\HQV~O\iW IHOtUYD
∆ ∆D Dτ σ= DPLEOσ τ µ γ = = GGW adódik.
A 9.4.b. ábrán látható a hasáb deformálódása, amely az x irányú sebességkomponens x irá-
Q\~YiOWR]iViUDYH]HWKHWYLVV]D$]iWOyPHJQ\~OiVDGWLGDODWW 33 . Ennek fele a Gγ
szögelfordulást meghatározó, az x tengellyel 4 5° -ot bezáró 33 szakasz x irányú vetülete.
A 33 szakasz hossza tehát:∂
∂
Y
[D GW[ ∆ DPLEOD
G Y
[GW[γ ∂
∂= . Fentiek figyelembevéte-
lével írható:
σ µγ
µ∂
∂1 2x
xd
dt
v
x' = = . Hasonlóan σ µ
∂
∂σ µ
∂
∂1 12 2y
yz
zv
yés
v
z' '= = .
$NLIHMH]pVHN|VV]HIJJpVWWHUHPWHQHNHJ\DGRWWNRRUGLQiWiUDPHU OHJHVVtNRQpEU e-
GD]DODNYiOWR]iVPLDWWNHOHWNH]K~]yIHV]OWVpJHNpVDVtNUDPHU OHJHVVHEHsségkompo-
nensek adott koordináta irányú megváltozása között.
Ha viszont ρ ≠ iOO esetén mindhárom koordináta irányban egyformán „tágul” a közeg,
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Y
[
Y
\
Y
]
[ \ ]
= = , akkor a folyadékrész növekszik, de nincsen alakváltozás (
G
GW
γ
= ).
(9.10)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 93/195
93
Miután
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Y
[
Y
\
Y
]GLY Y[ \ ]+ + =
valamennyi irányban azonos WHP ÄWiJXOiV´ HVHWpQ SO∂
∂
Y
[GLY Y[ =
. A húzófeszült-
VpJHNNHOHWNH]pVpWHUHGPpQ\H]GHIRUPiFLyWWHKiWQHPD∂
∂
Y
[
[ , hanem a∂
∂
Y
[GLY Y[ −
ki-
fejezés értéke jellemzi. Ezért a deformáció miatti húzófeszültségre írható,
σ µ∂
∂[
[Y
[GLYY = −
, azaz a σ [ D]DOiEELPyGRQIHMH]KHWNL
σ µ∂
∂µ[
[ SY
[GLYY= − + −
.
A (9.9) és (9.12) összefüggések figyelembevételével az alábbi módon írható fel a sebesség-
komponensek deriváltjaival a feszültségtenzor mátrixa:
Φ =
− + − +
+
+
− + − +
+
+
− + −
!
"
$
####
####
SY
[GLYY
Y
[
Y
\
Y
]
Y
[
Y
[
Y
\
SY
\
GLYYY
]
Y
\Y
]
Y
[
Y
]
Y
\ S
Y
]GLYY
[ \ [ [ ]
\ [ \ \ ]
[ ] \ ] ]
µ∂
∂µ µ
∂
∂
∂
∂µ
∂
∂
∂
∂
µ∂
∂
∂
∂
µ∂
∂
µ µ∂
∂
∂
∂
µ∂
∂
∂
∂µ
∂
∂
∂
∂µ
∂
∂µ
(9.13)
Látható, hogy a feszültségtenzor szimmetrikus mátrixa a D deriválttenzor (3.28) és transz-
ponáltja segítségével az alábbi módon írható fel:
Φ = − −
+ S GLY Y ( $
6
µ µ
,
ahol E az egységtenzor, $ ' '6
= +
4 9 az alakváltozási sebesség tenzor (ld. (3.15) ösz-
szefüggés). A (9.14) kifejezés szépen mutatja a feszültségek és a deformációsebesség lineá-
ris kapcsolatát, amely a newtoni folyadékok sajátossága. A (9.14) összefüggéshez hasonló
V]HUNH]HWGHERQ\ROXOWDEENLIHMH]pVHNHWOHKHWIHOtUQLDNO|QE|] QHPQHZWRQLIRO\DGpNRN
esetén a deformációsebesség és a feszültségállapot között.
Most már képezhetjük a Φ ∇ -t és fel tudjuk írni a mozgásegyenlet (9.6) kifejezését az
egyes koordináták irányában. Az x irányú komponens egyenlet:
(9.11)
(9.12)
(9.14)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 94/195
94
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ ρ
∂
∂ ρ
∂
∂µ
∂
∂µ
∂
∂µ
∂
∂
∂
∂
∂
∂µ
∂
∂
∂
∂
Y
WY
Y
[Y
Y
\Y
Y
]J
S
[ [
Y
[GLYY
\
Y
[
Y
\ ]
Y
]
Y
[
[[
[\
[]
[[
[
\ [ [ ]
+ + + = − + −!
"$#
+%&'
+ +
!
"$##
+ +
!
"$#()K*K
Hasonlóképpen felírva a mozgásegyenlet legáltalánosabb alakját y és z koordináta irány-ban, 3 egyenletet kapunk, amelyekben hat ismeretlen: Y Y Y S[ \ ] ρ µ szerepel. Negye-
dik egyenletként felírható a folytonosság tétele a (3.25) összefüggés alakjában. A ρ és µ
meghaWiUR]iViKR]V]NVpJHVHJ\KHWHGLNLVPHUHWOHQD7K PpUVpNOHWEHYH]HWpVHgW|GLN
egyenletünk a sU VpJDQ\RPiVpVDKPpUVpNOHWNDSFVRODWiWIHMH]LNLSOJi]HVHWpQD]
Ji]W|UYpQ\DKDWRGLNHJ\HQOHWSHGLJNDSFVRODWRWWHUHPWDYLV]NR]LWiVpVDK Pprséklet
N|]|WW$KLiQ\]yKHWHGLNHJ\HQOHWD]HQHUJLDHJ\HQOHWDPHO\DEHOV HQHUJLDKPpUVpk-
let), a mozgási energia valamint a közeg által és a közegen végzett munka között teremt
kapcsolatot. Elvileg tehát rendelkezésre áll az ismeretlenek számával megeJ\H] V]iP~egyenletet tartalmazó legáltalánosabb egyenletrendszer, amelynek analitikus megoldása
azonban csak korláto]RWWV]iP~HJ\V]HU HVHWHNEHQ LVPHUWQXPHULNXVPHJROGiVD SHGLJ
LJHQVRNHVHWEHQPpJQHPOHKHWVpJHV(]pUWHJ\V]HU VtWIHOWHYpVHNHWWHV]ünk.
9.3. A Navier-Stokes-féle egyenlet
Tételezzük fel, hogy µ = iOO és ρ = iOO azaz az áramló közeg dinamikai viszkozitása és
VUVpJHiOODQGy Figyelembe véve, hogy ρ = iOO esetén a folytonosság (3.25) tétele ér-
telmében divv = 0 , e feltételezéssel a (9.15) összefüggés jobb oldaOiQOpYNDSFVRV]iU ó-
MHOEHQOpYNLIHMH]pVD]DOiEELDODNUDKR]KDWy
µ
ρ
∂
∂
∂
∂
∂
∂ ∂
∂
∂
∂
∂ ∂ ν
∂
∂
∂
∂
∂
∂
ν∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Y
[
Y
\
Y
[ \
Y
]
Y
] [
Y
[
Y
\
Y
]
[
Y
[
Y
\
Y
]
[ [ \ [ ] [ [ [
[ \ ]
+ + + +
= + +
+
+ + +
Miután az egyenlet jobb oldalán álló második tag a divv x szerinti deriváltja, amely
divv = 0 következtében zérus, IHOtUKDWyD]iOODQGyVUVpJpVYLV]NR]LWiVHVHWpQpUY é-
nyes mozgásegyenlet a Navier-Stokes-féle egyenlet, amelyet Navier 1827-ben, majd
Stokes 1845-ben vezetett le:
(9.15)
(9.16)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 95/195
95
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ ρ
∂
∂ ν
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ ρ
∂
∂ ν
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ ρ
∂
∂ ν
Y
WY
Y
[Y
Y
\Y
Y
]J
S
[
Y
[
Y
\
Y
]
Y
WY
Y
[Y
Y
\Y
Y
]J
S
\
Y
[
Y
\
Y
]
Y
WY
Y
[Y
Y
\Y
Y
]J
S
]
[[
[\
[]
[[
[ [ [
\
[
\
\
\
]
\
\
\ \ \
][
]\
]]
]]
+ + + = − + + +
+ + + = − + + +
+ + + = − +
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Y
[
Y
\
Y
]
] ] ]+ +
A négy ismeretlen ( Y Y Y[ \ ] és p) meghatározásához szükséges negyedik egyenlet a foly-
tonosság egyenlete, amely ρ = iOO esetén a
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Y
[
Y
\
Y
]
[ \ ]+ + =
alakban írható fel.
Vektoriális írásmódban a Navier-Stokes-féle egyenlet:
G Y
GW
Y
WJUDG
YY URW Y J JUDGS Y= + − × = − +
∂
∂ ρ ν
∆
Látható, hogy a Navier-Stokes-egyenlet a jobb oldal utolsó tagjával a ν ∆ Y taggal külön-
bözik a súrlódásmentes esetre levezetett Euler-HJ\HQOHWWOOG|VV]HIJJpV$V~ r-
OyGiVKDWiViWNLIHMH]WDJEDQV]HUHSO ∆ v felbontható: ∆v g ra dd iv v r o tr o tv= − . Miután
divv = 0 írható:
G Y
GWJ JUDG S URW URW Y= − −
ρ ν
.
A (9.20) egyenlet jól mutatja az áramlás örvényessége és a súrlódás közötti kapcsolatot. Po-
tenciálos áramlás rotv = 01 6VWiOODQGy|UYpQ\HVVpJiUDPOiVHVHWpQDV~UOyGiVQDNQLQFV
szerepe, a Navier-Stokes-egyenlet az Euler-egyenletbe megy át.
(9.17)
(9.18)
(9.19)
(9.20)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 96/195
96
9.4. Alkalmazások
Couette-áramlás
Tekintsük a 9.5. ábránOiWKDWy$MHOVHEHVVpJPHJRV]Ois-sal jellemzett ún. Couette-áramlást, amely hasonlít a szi-
lárd fal mellett a valóságban kialakuló áramlásra. Legyen
ρ = iOO , és µ = iOO , az áramlás pedig legyen stacionárius
síkáramlás (ld. 3.4.fejezet). Ennél az áramlásnál
Y Y \ Y[ [ \= =1 6 . Következéskép∂
∂
∂
∂
Y
[
Y
[
[ \= = .
Mivel divv = 0 , a (9.13) feszültségtenzor az alábbi alakban írható fel:
Φ =!
"$#
=
−
−
!
"
$
####
σ τ
τ σ
µ∂
∂
µ∂
∂
[ \[
\[ \
[
[
SY
\
Y
\ S
,
azaz a tananyag legelején tárgyalt, Newton-féle viszkozitási törvény adódott a τ [\ -re.
Határozzuk meg a Φ ∇-t!
Φ ∇ =
+
+
!
"
$
####
=
− +
−
!
"
$
#####
∂σ∂
∂τ∂
∂τ
∂
∂σ
∂
∂∂
µ ∂∂
µ∂
∂ ∂
∂
∂
[ \[
[\ \
[
[
[ \
[ \
S[
Y\
Y
[ \
S
\
.
7HNLQWVQNHOD)|OGQHKp]VpJLHU WHUpWOpVtUMXNIHODPR]JiVHJ\HQOHW[pV\LUiQ\~
komponens egyenletét!
GY
GW
S
[
Y
\
GY
GW
S
\
Y
[ \
[ [
\ [
= − +
= − +
ρ
∂
∂ ν
∂
∂
ρ
∂
∂ ν
∂
∂ ∂
Miután a folyadékrészek gyorsulása és a sebesség x irány mentén képzett deriváltjainak ér-
WpNH]pUXVDPiVRGLNHJ\HQOHWEO∂
∂
S
\= eredményre jutunk, azaz a párhuzamos egyenes
iUDPYRQDODNUDPHU OHJHVHQ QHPYiOWR]LN D Q\RPiV OG PpJ(XOHU -egyenlet természetes
koordináta-UHQGV]HUEHQ$IHOVHJ\HQOHWEOSHGLJD∂
∂µ
∂
∂
S
[
Y
\
[=
eredmény adódik.
9.5. ábra
(9.21)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 97/195
97
Ha a sebességmegoszlás lineáris (ld. 9.5. ábra%MHOJ|UEHDNNRUDz áramlásban elképzelt
KDViEDODN~NLVIRO\DGpNUpV]IHOVpVDOVyODSMiQD1HZWRQYLV]NR]LWiVLW|UYpQ\pUWHl-
mében ugyanakkora, de ellentétes irányítású csúsztatófeszültség alakul ki, amely kiegyen-
súlyozza egymást. Ezért az áramlás fenntartásához nincs szükség nyomáskülönbségre.
UgyanH]DGyGLND]HUHGPpQ\ONDSRWWPR]JiVHJ\HQOHWEOLVPLYHO Y [ y szerinti második
deriváltja lineáris sebességmegoszlás esetén zérus és a folyadékrészek nem gyorsulnak.
+DDVHEHVVpJPHJRV]OiVD]$MHO J|UEpQHNIHOHOPHJDkkor a második derivált negatív,
D]D][LUiQ\EDQFV|NNHQQ\RPiVHVHWpQWDUWKDWyIHQQD]iUDPOiV(EEHQD]HVHWEHQXJ\D n-
LVDNLVKDViEIHOVODSMiQNLVHEEτ keletkezik, mint az alsón, ezért a csúsztatófeszültségek
HUHG MH -x irányítiV~HU OHV]DPLWDQ\RPiVNO|QEVpJEOV]iUPD]yHU QHNNHOOHOOHQVú-
lyoznia.
/DPLQiULVUpWHJHViUDPOiVFVEHQ
Tekintsük a 9.6. ábrátDPHO\HJ\N|UNHUHV]WPHWV]HWHJ\HQHVFV EHQOpYNLDODNXOWKHn-
gerszimmetrikus áramlást mutat be. (Azt az áramlást nevezzük kialakult áramlásnak,
amely EHQDVHEHVVpJPHJRV]OiVDFVKRVV]DPHQWpQQHPYiOWR]LN Y U = ,∂
∂
1 6]
= .)
9.6. ábra
9HJ\QNIHOHJ\DFVWHQJHO\pYHONRQFHQWULNXVUVXJDU~G]KRVV]~ViJ~KHQJHUWpVtUMXN
IHOD]HUUHKDWyHU NHJ\HQV~O\iW7HNLQWHWWHODUUDK ogy e folyadékhenger nem gyorsul, a rá
haWy HU NQHN NL NHOO HJ\HQV~O\R]QLRN HJ\PiVW $ KHQJHUUH D] DODS- pV IHGODSMiQ OpY
nyomáVRN NO|QEVpJpEO V]iUPD]y HU pV D SDOiVWRQ NHOHWNH] FV~V]WDWyIHV]OWVpJEO
V]iUPD]y HU
KDW 9HJ\N IHO D ] NRRUGLQiWD WHQJelyt és pozitív irányításánakfigyelembevéWHOpYHOtUMXNIHOD]HU NHJ\HQV~O\iW
U S U S GS U G] π π π τ− + + =1 6.
Behelyettesítés és egyszerüsítés után τ G] U GS= DGyGLNDPLEOD1HZWRQ-féle viszkozitá-
si törvényt felhasználva:
τ µ= =
U
GS
G]
GY
GU
]
(9.22)
(9.23)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 99/195
99
ill. a nyomásveszteséget kifejezve:
∆ SY O
5 =
µ
.
$ FV~V]WDWyIHV]OWVpJ D |VV]HIJJpVEO D IDOQiO τ IDO S 5
O= − ∆
értéket vesz fel.
8J\DQH] DGyGLN KD HJ\HQOYp WHVV]N D] iUDPOiVW DNDGiO\R]y FV~V]WDWyIHV]OWVpJEO
származó 5 O IDOπ τ HU pVD]iUDPOiVWIHQQWDUWyQ\RPiVEyOV]iUPD]y 5 S π ∆ HU |sz-
szegét zérussal (mivel nem gyorsul a közeg) és kifejezzük a τ IDO értékét.
(9.28)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 100/195
10. Lamináris és turbulens áramlások,
határrétegek
Ebben a fejezetben a valóságos (súrlódásos) közegek sajátosságaival foglalkozunk. Az itt
tanult, többnyire kvalitatív ismeretek segítségünkre lesznek abban, hogy gyakorlati áram-
lástani jelenségeket értelmezni tudjunk, közelebb kerülve ezáltal megoldásukhoz.
10.1. A Reynolds-féle kísérlet, lamináris és turbulens
áramlások
$P~OWV]i]DGKDUPDGLNKDUPDGiEDQYpJH]WHDODSYHWNtVpUOHWHLW5H\QROGV$10.1. ábrán
OiWKDWyWDUWiO\EyOV]DEiO\R]KDWyPHQQ\LVpJYt]iUDPOLNNL$]YHJEONpV]OW
10.1. ábra
NLIRO\yFVWHQJHO\pEHHJ\PiVLNYpNRQ\DEEFV|Y|QNHUHV]WOPHJIHVWHWWIRO\Ddék (pl. kék
WLQWDYH]HWKHWEH+DDIRO\DGpNVHEHVVpJHNLFVLDIHVWHWWIRO\DGpNV]iOYpJLJK~]yGLNDFV
WHQJHO\pEHQMyOPHJNO|QE|]WHWKHWHQD]iWOiWV]yYt]WOOGIHOVNpS(EEHQD]HVH tben
lamináris (= réteges) áramlásról beszélhetünk, amelyben az egymás mellett áramló fo-
lyadékrétegek anyaga csak a molekuláris diffúzióval keveredik egymással. A sebesség-
YHNWRUDFVEiUPHO\SRQWMiQLGEHQQHPYiOWR]LND]iUDPOiVVWDFLRQiULXVKDDN i-
ömOIRO\DGpNPHQQ\LVpJLGEHQQHPYiOWR]LN
Növelve a folyadék VHEHVVpJpWDIHVWHWWIRO\DGpNV]iOLGQNpQWLPHJ]DYDUiViWWDSDV]WDOKDt-
MXN OG N|]pSV NpS DPL D VHEHVVpJ Q|YHNHGpVpYHO HJ\UH J\DNRULEE OHV] PtJQHP D]
áramlás teljes egészére kiterjed és állandósul ez a megzavart áramlási állapot (ld. alsó kép).
Még nagyREEVHEHVVpJQpODFV EHQiUDPOyN|]HJHJ\HQOHWHVYLOiJRVNpNV]tQ WHKiWDIHs-
WpNWHOMHVHQHONHYHUHGLNDFV EHQiUDPOyN|]HJJHO(]DWDSDV]WDODWD]WEL]RQ\tWMDKRJ\D]
áramlásEDQ LGOHJHVHQ MHOHQWV FVWHQJHO\UH PHUOHJHV VHEHVVpJNRPSRQHQV LV YDQ,
ameO\ D IHVWpNV]HPFVpNHW D WHOMHV FVNHUHV]WPHWV]HWEHQHONHYHUL +D D NL|PO IRO\DGpN -
mennyiség idben nem is változik, az áramlási tér pontjaiban a sebesség iránya és nagysága
LG EHQHJ\N|]pSpUWpNN|UOLQJDGR]LN az áramlás kvázistacionárius. Megvizsgálva az
áramlás struktúráját megállapíthatjuk, hogy abban kisebb nagyobb örvények keletkeznek,
HJ\PiVVDOKHO\HWFVHUpOQHN|VV]HROYDGQDNHONHYHUHGQHNHOW QQHN . Az áramlási tér egy
adott pont MiEDQDVHEHVVpJYHNWRULQJDGR]iVDD]HJ\PiVXWiQiWKDODGyNO|QE|] PpUHWpV
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 101/195
101
intenzitású örvényekkel magyarázható. Ezt az örvényekre szétbomló, igen bonyolult
áramlást turbulens áramlásnak nevezzük.
5H\QROGVNLGHUtWHWWHKRJ\DFViUDPOiVODPLQiULVEyOWXUEXOHQVEHYDOyiWDODNXOiVDQHPFVX -
SiQ D Y iWODJVHEHVVpJWOKDQHPa Y G ρµ
GLPHQ]LyWODQFVRSRUWpUWpNpWO LVIJJDPHO\HW
Reynolds-V]iPQDNQHYH]QNpVDPHOO\HONpV EEEHKDWyDQIRJODONR]XQN
5H =Y G ρ
µ .
+DDFVLOOH]iOWDOD]iUDPOiVUH]JpVHNQHN]DYDUiVQDNYDQNLWpYHDNNRUDlamináris-tur-
bulens átalakulás 5H ≅ körül megy vpJEH +D NHOOHQ ]DYDUPHQWHVVp WHVV]N D]
áramlást, ennél lényegesen nagyobb Reynolds-szám értékek mellett is lamináris maradhat
D]iUDPOiVGHLO\HQHVHWEHQPiUHJ\NLV]DYDUiVUDLVUREEDQiVV]HU HQYpJEHPHJ\D]iWDOa-
kulás (átcsapás).
$] LG EHOL iWODJpUWpN ekre vonatkozóan stacionárius turbulens áramlásban a Y sebesség-
vektor úgy írható fel, mint az LGEHOLiWODJVHEHVVpJ
Y7
Y GW
7
= I
és a sebességingadozás Y összege:
Y Y Y= + .
$7>V@iWODJROiVLLGWDUWDPKDODGMDPHJOpQ\HJHVHQD]WD]LGWDUWDPRWDPLDODWWHJ\ örvény
a tér egy pontján áthalad.)
$V]WRFKDV]WLNXVDQYiOWR]yLQJDGR]yVHEHVVpJLG EHOLiWODJiUDtUKDWy
Y7
Y GW7
= =I
A turbulens áramlásban a nyomás is ingadozik: S S S= + .
A turbulencia mértékének jellemzésére a turbulenciafokot használjuk, amely a sebesség-
ingadozások iWODJRVPpUWpNpWYLV]RQ\tWMDD]LG EHQLiWODJVHEHVVpJKH]
(10.1)
(10.2)
(10.3)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 102/195
102
7XY
Y
Y Y Y
Y
[ \ ]= =
+ + 1 6
$]LGEHQLiWODJRNUDYRQDWNR]yPR]JiVHJ\HQOHW
$]HO]IHMH]HWEHQOHYH]HWHWWPR]JiVHJ\HQOHWLOOD]iOODQGyVU VpJpVYLV]NR]LWiV
esetén érvényes (9.17) ill. (9.19) Navier-Stokes-egyenlet helyesen írja le a newtoni közegek
áramlását – függetlenül attól, hogy az áramlás lamináris vagy turbulens. A turbulens áram-
OiVRNLJHQERQ\ROXOWVWUXNW~UiMDLGIJJpVHNpUGpVHVVpWHV]LKRJ\WDOiOXQN -e olyan mód-
szereket, amelyekkel ezek az áramlások teljes bonyolultságukban számíthatók lennének.
(]pUW5H\QROGVOHYH]HWWHD]LG EHQLiWODJRNUDYRQDWNR]yPR]JiVHJ\HQOHWHW
9pJH]]NHOPLLVXJ\DQH]WDIHODGDWRW/HJ\HQDVU VpJρ=áll. Írjuk fel a Navier-Stokes-
egyenlet x irányú komponens egyenletét (ld. (9.17) összefüggés) úgy, hogy a bal oldalhoz
adjunk hozzá Y GLY Y[ = -t:
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
ρ
∂
∂ ν
∂
∂
∂
∂
∂
∂
YW
Y Y[
Y Y\
Y Y]
Y Y[
Y\
Y]
JS
[
Y
[
Y
\
Y
]
[[
[\
[]
[[
[ \ ]
[[ [ [
+ + + + + + =
= − + + +
$EDOROGDORQHOYpJH]YHDPYHOHWHWD]DOiEELNLIHMH]pVWNDSMXN
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ ρ
∂
∂ ν
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Y
W
Y
[
Y Y
\
Y Y
]J
S
[
Y
[
Y
\
Y
]
[ [ [ \ [ ]
[[ [ [+ + + = − + + +
4 9 3 8 1 6
Helyettesítsük be a (10.3) alapján felírható Y Y Y[ [ [= + stb. kifejezéseket a (10.6) egyen-
OHWEH pV H]W N|YHWHQNpSH]]N D HJ\HQOHW PLQGNpW ROGDOiQDN LG EHOL iWODJiW DPL PHg-
egye]LND]HJ\HVWDJRNLG EHOLiWODJiQDN|VV]HJpYHOLOONO|QEVpJpYHO$]LG EHOLiWODJRW
D|VV]HIJJpVQHNPHJIHOHOHQGHILQLiOMXNpVD]HGGLJLHNQHNPHJIHOHOHQIHOOYRQis-
VDOMHO|OMN$]HJ\V]HU VpJNHGYppUWFVDND]HJ\HVWLSLNXVWDJRNUDPXWDWMXNEHD]HOMárást:
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Y
W
Y
W
Y
W
Y
W
[ [ [ [= + =
,
(10.4)
(10.5)
(10.6)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 103/195
103
PLYHODN|]pSVNLIHMH]pVPiVRGLNWDJMD]pUXV$]LG EHOLiWODJROiVXJ\DQLVLG V]HULQWLLn-
tegrálást jelent (ld. (10.2) összefüggés), az integrálás és a differenciálás sorrendje pedig fel-
FVHUpOKHW(]pUW
∂∂
∂∂
YW
YW
[ [ = = .
A∂
∂
v
tx pUWpNH ]pUXV KD D] LG EHOL iWODJVHEHVVpJ KRVV]DEE LGWDUWDPRW ILJ\HOHPEHYpYH
LG EHQiOODQGy$]LG EHOLiWODJVHEHVVpJYiOWR]KDWSOKDWXUEXOHQViUDPOiVHVHWpQDFV Yé-
JpQOpYFVDSRWIRNR]DWRVDQNLQ\LWMXN(]HVHWEHQDIHQWLGLIIHUHQFLiOKiQ\DGRVpUWpNH]pUX s-
tól elWpU
Írható továbbá:
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
v
x
v
x
v v
x
v
xx x x x x1 6 4 9 1 6 4 92 2 2
2= + +' '
,
DKRODIHQWLHNDODSMiQDMREEROGDOPiVRGLNWDJMDXJ\DQFVDN]pUXVpUWpN +DVRQOyDQtUKDWy
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Y Y
\
Y Y
\
Y Y
\
Y Y
\
Y Y
\
[ \ [ \ [ \ [ \ [ \3 8 3 8 3 8 3 8 3 8= + + +
,
ahol a jobb oldal második és hDUPDGLNWDJMD]pUXVKLV]HQLWWHJ\LG EHQiOODQGyiWODJVHbes-
ségkomponenssel – konstanssal – szorozva szerepelnek az ingadozó sebességkomponensek
LG EHOLiWODJDL
∂
∂
∂
∂
∂
∂
S
[
S
[
S
[= +
,
ahol a jobb oldal második tagja zérus.
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Y
[
Y
[
Y
[
[ [ [= +
,
ahol a jobb oldal második tagja ismét zérus.
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 104/195
104
A fentiek alapján a (10.6) összefüggés az alábbi alakban írható:
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ ρ
∂
∂ ν
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
v
t
v
x
v v
y
v v
zg
p
x
v
x
v
y
v
z
v
x
v v
y
v v
z
x x x y x zx
x x x
x x y x z
+ + + = − + + +
−
− − −
2 2
2
2
2
2
2
2
14 9 3 8 1 6
4 9 3 8 1 6' ' ' ' '.
A bal oldal második, harmadik és negyedik tagjában elvégezve a deriválást, megkapjuk a
Y GLYY[ = tagot, amit elhagyunk. Ha tehát egy turbulens, kvázistacionárius áramlásra
írjuk fel a Navier-Stokes-egyenlHWHWD]LGEHOLVHEHVVpJ- és nyomásátlagokra egy tel-
jesen hasonló egyenletet kapunk, csak az egyenlet jobb oldalán a sebességingadozások
KDWiViWNLIHMH]D]LQJDGR]yVHEHVVpJHNQpJ\]HWHLQHNLOOV]RU]DWiQDNLGEHOLiWODJDLW
tartalmazó tagok jelennek meg.
Vizsgáljuk meg az impulzustétel segítségével ezeknek a tagoknak
a jelentését! Tekintsük a 10.2. ábrátDKROHJ\WHWV]OHJHV$HOOHn-
U]IHOOHWd A vektorral jellemzett felületeleme látható. A vektor
talppontjában ebben a pillanatban a sebességingadozás v' , amely
normáOLVpVpULQWLUiQ\~NRPSRQHQVHNUHY pV YQ W ) bontható fel.
LeJ\HQD]LG EHOLiWODJVHEHVVpJ Y stacionárius. Felírva az impul]XVWpWHOWD]HO]PHJIRQ-
tolások alapján beláthatóan az alábbi kifejezés adódik:
Y Y G $ S G $ J G9 Y Y G $
$ $ 9 $
ρ ρ ρI I I I = − + − .
A jobb oldal utolsó tagja fejezi ki a sebességingadozás hatását. Figyelembe véve, hogy
Y Y YQ W = + és a Y G $W = ill. Y G $ Y G$ Y G$Q Q Q = = , írható:
− = − −I I I v v dA v v dA v v dAA
n n
At n
A
' ' ' ' ' 'ρ ρ ρ .
$MREEROGDOLHOVLQWHJUiODIHOOHWUHPHU OHJHVHU YHNWRUWHUHGPpQ\H]H]pUWD|sz-
szefüggés az alábbiak szerint írható fel:
v v dA p v dA g dV v v dAA
n
A V
t nA
ρ ρ ρ ρI I I I = − +
!
"$# + −' ' '2 4 9
A kvázistacionárLXViUDPOiVUDIHOtUWLPSXO]XVWpWHOWHKiWiWPHQWHJ\LGEHOLiWODJRNUD
YRQDWNR]yNLIHMH]pVEHDPHO\EHQPHJMHOHQWDVHEHVVpJLQJDGR]iVRNKDWiViWNLIHMH] NpW
tag. (]HNHWDWDJRNDWDPHO\HNHWD]HOOHQU]IHOOHWHQNHOOLQWHJUiOQXQNlátszólagos nyo-
másnövekedés és látszólagos csúsztatófeszültség tagoknak nevezzük. A
(10.7)
10.2. ábra
(10.8)
(10.9)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 105/195
105
S YQl
= ρ 3 8
DOiWV]yODJRVDVHEHVVpJLQJDGR]iVRNN|YHWNH]WpEHQOpWUHM|Y Q\RPiVQ|YHNHGpVD
τ ρl = − Y YW Q 4 9
pedig a látszólagos csúsztatófeszültség. (A kifejezésekben az "„"”index jelzi, hogy látszó-
lagos IHV]OWVpJHNU OYDQV]y$]HGGLJLHNDODSMiQIHOLVPHUMNDHJ\HQOHWMREEROG a-
lán a látszólagos húzófeszültség és a látszólagos csúsztatófeszültségek x komponensének
hely szerinti deriváltjait:
−
− − = + +
∂
∂
∂
∂
∂
∂ ρ
∂ σ
∂
∂ τ
∂
∂ τ
∂
Y
[
Y Y
\
Y Y
] [ \ ]
[ [ \ [ ][ \[ ][
4 9 4 9l l l .
Ha hasonlóképpen átalakítjuk a másik két komponensegyenletet, akkor rájövünk, hogy a
jobboldal egyenletenként három utolsó tagja egy Φl
látszólagos feszültségtenzor és a ∇
V]RU]DWDD]D]DNYi]LVWDFLRQiULXViUDPOiVUDD]LG EHOLiWODJRNNDOIHOtUWPR]JiVHJ\HQOHWOG
(9.6) összefüggés) így írható:
G Y
GWJ= + ∇ + ∇
ρ ρΦ Φ
l
ahol
Φl
l l l
l l l
l l l
=
−
− −
− −
−
− − −
!
"
$
######
=
!
"
$
###
ρ ρ ρ
ρ ρ ρ
ρ ρ ρ
σ τ τ
τ σ τ
τ τ σ
Y Y Y Y Y
Y Y Y Y Y
Y Y Y Y Y
[ [ \ [ ]
[ \ \ \ ]
[ ] \ ] ]
[ \[ ][
[\ \ ]\
[] \] ]
4 9 4 9
4 9 4 9
4 9 4 9
.
A (10.10) és (10.11) összefüggéssel megadott feszültségeket és a Φl
látszólagos feszült-
ségtenzor elemeit Reynolds-feszültségeknek nevezzük. A Reynolds-feszültségek beveze-
tése igen hasznos volt a turbulencia hatásának megértése és a turbulens áramlások köze OtW
számítása szempontjából egyaránt. Az instacionárius Navier-Stokes-egyenlet ugyanis he-
lyesen írja le a legbonyolultabb turbulens áramlásokat is.6]iPtWiVXNHJ\HOUHD]RQEDQ
reménytelen teljes komplexitásukban, ezért megelégszünk a sebesség és a nyomás LGEHOL
átlagainak meghatározásával. Ez úgy történik, hogy felírjuk D]LGEHOLiWODJRNUDYRQDt-
kozó Navier-Stokes-egyenletet és kiegészítjük azt a sebességingadozások hatását kife-
MH]WDJRNNDO, amelyek a látszólagos (az instacionárius turbulens áramlásban valóságban
QHPOpWH]Q\RPiVQ|YHNHGpVLOOK~]yIHV]OWVpJ -növekedés) és a látszólagos csúsztatófe-
szültség komponensek (a Reynolds-feszültségek) hely szerinti deriváltjai. A turbulens in-
(10.10)
(10.11)
(10.12)
(10.13)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 106/195
106
gadozásokból adódó látszólagos feszültségek a folyadékrész átlagsebességgel számolt
deformációjából adódó feszültségeknél általában egy-két nagyságrenddel nagyobbak,
ezért fontos lenne viszonylag pontos számításuk. A Reynolds-feszültségek bevezetése a
turbulens áramlások számításával kapcsolatos problémákat nem oldotta meg teljesen, mert
még ma sem ismeretes olyan univerzális összefüggés, amely általánosságban leírná azegyes Reynolds-feszültségeket, azaz megoldhatóvá tenné a turbulens áramlásokat leíró
egyenletUHQGV]HUW6]iPRVPRGHOOOpWH]LNDPHO\HNNHON|]HOtWV]iPtWiVRNYpJH]KHWN-e-
lenleg az áramlástani kutatások egyik legfontosabb területe ezeknek a feszültségeknek a
PHJKDWiUR]iVDOHtUiVD(]pUWLVYiOWDNLJHQIRQWRVViD]RNDPpUpVLPyGV]HUHNSODKGU ót
méréstechnika), amelyekkel a turbulens ingadozások meghatározhatók.
10.3. Határrétegek, keveredési úthossz, univerzális faltörvény
$PpUQ|NLIHODGDWRNERQ\ROXOWDEEiYiOiVDSODUHSOpVIHMOGpVHV]NVpJHVVpWHWWHRO\DQ
számítási eljárások kidolgozásiW DPHO\HNNHO ERQ\ROXOW WXUEXOHQV iUDPOiVRN MHOOHP]L My
közelítéssel meghatározhatók. A teljes áramlási tér leírása pl. egy szárny körül
megoldhatatODQ QHKp]VpJHW MHOHQWHWW D V]iPtWyJpSHN PHJMHOHQpVH HOWW 3UDQGWO QpPHW
áramlástan professzor évszázadunkHOVpYHLEHQD]DOiEELPHJIRQWROiVWWHWWHKDHJ\V]LOiUG
testet teszünk az áramlásba, falán a sebesség (a tapadás törvénye értelmében) zérus, a
sebesség a fal közelében, attól távolodva rohamosan növekszik. Ebben a rétegben a
súrlódásnak nagy szerepe van $ V]LOiUG WHVWWO WiYRO SHGLJ D V~UOyGiV HOKDQ\DJROKDWy
Tehát ha a súrlódás hatása szempontjából vizsgáljuk a teret, az két részre osztható
(ld.10.3. ábra):− egy fal melletti viszonylag vékony rétegre, az ún.
határrétegre, ahol a sebesség a fal közvetlen köze-
OpEHQpUYpQ\HV]pUXVpUWpNUODIDOWyOWiYRODEEpUYp -
Q\HVVHEHVVpJUHQpVDKRODV~UOyGiVQDNG|QW V]e-
repe van,
− a faltól távolabbi áramlási térre, ahol a súrló-
dás hatása elhanyagolható (azaz jó közelítéssel érvé-
nyes az Euler-egyenlet).
Hasonlóképpen osztanánk fel a teret két részre az áramló közegbe helyezett felmelegített
VtNODSN|UOLKPpUVpNOHWHORV]OiVV]HPSRQWMiEyOLV$PHOHJVtNODSWiYRODEELVIHOPHOHgíti
D]iUDPOyN|]HJHWH]D]RQEDQHOKDQ\DJROKDWyDODSN|]HOpEHQEHN|YHWNH]IHOPHOHJHGps-
KH]NpSHVW(]pUWD]iUDPOiVLWHUHWDODSN|]HOpEHQOpYQDJ\REEKPpUVpNOHWWHOpVKPpr-
VpNOHWJUDGLHQVVHOMHOOHPH]KHW~QKPpUVpNOHWLKDWiUUpWHJUHpVD]D]RQNtYli térre oszthat-
MXNDKRODKPpUVpNOHWHWiOODQGyQDNWHNLQWMN,WWMHJ\H]]NPHJKRJ\DK
PpUVpNOHWLKa-
WiUUpWHJEHQOHMiWV]yGyKiWDGiVLIRO\DPDWRNpVD]iUDPOiVLKDWiUUpWHJEHQOpY LPSXl-
10.3. ábra
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 107/195
107
zuscsere DIDOKR]N|]HOHEEOpYDIDOKDWiViUDOHODVVXOWIRO\DGpNU észek fékezik a távolabbi
gyorsabb folyadékrészeket) gyakorlatilag ugyanannak a mechanizmusnak az eredmé-
nye: a molekuláris méretekben a molekulák ütközése, turbulens áramlások esetén
ezen kívül az örvények egymásrahatása, keveredése okozza a fenti jelenségeket.
A határréteg és azon kívüli áramlás felosztását indokolhatjuk a Navier-Stokes-egyenlet
(9.20) alakban felírt változata alapján. Belátható, hogy a fal közelében az áramlás örvé-
nyessége (URWY QHP |VV]HWpYHV]WHQG D WXUEXOHQFLiYDO QDJ\ pV D KHO\ IJJYpQ\pEHQ
J\RUVDQYiOWR]LN WHKiWD V~UOyGiV KDWiViW NLIHMH] ν URW URW Y értéke viszonylag nagy. Ha
IHOWHVV]NKRJ\DWHVWN|UOLiUDPOiVQ\XJYyWpUE OYDJ\|UYpQ\PHQWHViUDPOiVEyOV]ir-
mazik (pl. repüOJpp-V]iUQ\HVHWpQDNNRUD]iUDPOiVEiUPHO\KDWiUUpWHJHQNtYOHV SRQt-
jában a ν URW URW Y értéke zérus.
$KDWiUUpWHJMHOOHP]LWD1DYLHU -Stokes-egyenlet segítségével számolhatjuk, ahol az alábbi
feltételezésekkel szoktunk élni (ld.10.3. ábra):
− a határrétegáramlás síkáramlás (Y]
] = = ∂
∂
1 6),
− Y Y\ [<< ,
−
∂
∂
∂
∂
1 6 1 6x y<< ,
− az áramlás stacionárius,
− DWpUHU KDWiViWILJ\HOPHQNtYOKDJ\MXk.
Lamináris áramlás esetén a határréteg sajátosságai a Navier-Stokes-egyenlet (9.17) alak-
jából származtatott síkáramlásra vonatkozó alábbi egyenletrendszer (pl. numerikus) megol-
dásával határozható meg:
YY
[Y
Y
\
S
[
Y
[
Y
\
YY
[Y
Y
\
S
\
Y
[
Y
\
S
\
[[
\[ [ [
[
\
\
\ \ \
∂
∂
∂
∂ ρ
∂
∂ ν
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ ρ
∂
∂ ν
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+ = − + +
≅
+
≅
= − +
≅
+
≅ ≅
⇒ ≅
A (10.14) összefüggés több tagjánál ≅ -val jelöltük, hogy azokat a feltevéseinknek megfe-
OHOHQDW|EELWDJKR]NpSHVWHOKDQ\DJROWXN$PiVRGLNHJ\HQOHWEOD]DGyGRWWKRJ\a ha-
tárrétegen belül a nyomás az adott x metszetben a határrétegen kívüli nyomással egye-
(10.14)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 108/195
108
zik meg jó közelítéssel. A határrétegen kívül viszont a súrlódás elhanyagolható, ezért az
Euler-HJ\HQOHWEODGyGyDQtUKDWy
− =
ρ
∂
∂
S
[9
G9
G[ ,
ahol V [m/s] a határrétegen kívüli áramlási sebesség.
%HKHO\HWWHVtWYHD|VV]HIJJpVWDIHOVHJ\HQOHWpEHPHJNDSMXND]~Qha-
tárréteg-egyenletet DPHO\ D] iOODQGy VU VpJ HVHWpQ pUYpQ\HV NRQtinuitás egyenlettel
HJ\WWDONRWMDD]WDNpWHJ\HQOHWEOiOOySDUFLiOLVGLIIHUHQFLiOHJ\HQOHW-rendszert, amely a pe-
remfeltételek ismeretében (pl. numerikusan) megoldható:
Y
Y
[ Y
Y
\ 9
G9
G[
Y
\
Y
[
Y
\
[[
\[ [
[ \
∂
∂
∂
∂ ν
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+ = +
+ =
Turbulens határrétegek számítására elvileg rendelkezésre áll az instacionárius tagot tar-
talmazó Navier-Stokes egyenlet. Ezt azonban – mint említettük – még nem tudjuk megol-
daQLDERQ\ROXOWLQVWDFLRQiULXViUDPNpSUH(]pUWD]LG EHOLiWODJRNUDIHOtUW1DYLHU -Stokes-
HJ\HQOHWHWDONDOPD]]XND]HJ\HQOHWMREEROGDOiQPHJMHOHQ DVHEHsségingadozások hatását
NLIHMH] OiWV]yODJRV FV~V]WDWyIHV]OWVpJHN ILJ\HOHPEHYpWHOpYHO $ WXUEXOHQV KDWiUUpWHJHN
számítására szolgáló egyenletet a már megismert elhanyagolások (ld. 10.14) alkalmazásával
kapjuk oly módon, hogy a lamináris határrétegekre kapott (10.16) egyenlet jobb oldalát a
+
ρ
∂τ
∂
\[
\
l
WDJJDOEYtWMN(EEHQD]HJ\HQOHWEHQpVDWXUEXOHQViUDPOiVRNWRYiEELWiUJ\DOiVDVRUiQD
IHOOYRQiVQpONOLVHEHVVpJHNLG EHOLiWODJVHEHVVpJHNHWMHOHQWHQHN$WXUEXOHQVLQJDGR]á-
VRNKDWiViWILJ\HOHPEHYHY τ\[l
látszólagos csúsztatófeszültség számítására többféle mo-
dell létezik. Ezek közül az igen szemléletes, klasszikus Prandtl-féle keveredési úthossz mo-
dellt fogjuk megismerni.
Prandtl a gázok µ viszkozitását okozó molekuláris impulzus-
csere analógiáját (ld. 1.fejezet) alkalmazta a turbulens határ-
rétegekre, ahol nem molekulák, hanem kisebb-nagyobb mé-
UHWIRO\DGpNUpV]HN|UYpQ\HNPR]RJQDNDNO|QE|]VHEHs-
VpJIRO\DGpNUpWHJHNN|]|WW(]HQIRO\DGpNUpV]HNiOWDORN o-
zott impulzuscsere a látszólagos viszkozitás okozója. Tekint-
(10.15)
(10.16)
10.4. ábra
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 109/195
109
sük a 10.4. ábrát, ahol egy turbulens határréteg Y \[ 1 6 sebességmegoszlása látható. Bejelöl-
tük a határréteg δ vastagságát is, amelynél a Y[ megegyezik a határrétegen kívüli V sebes-
VpJJHOLOOHOtUWPpUWpNEHQSO-ra megközelíti azt). Berajzoltunk egy kis „folyadék-
FVRPDJRW´SOHJ\|UYpQ\WDPHO\DI iUDPOiVLLUiQ\UDPHU OHJHVHQ l [m] ún. keveredési
úthosszat képes megtenni v’y ingadozási sebességgel (ld. (10.3)).
A látszólagos csúsztatófeszültségre vonatkozóan írható (ld. (10.11) és (10.13) össze-
függések):
τ ρ\[ [ \Y Yl
= −
Amikor a „folyadékcsomag” l WiYROViJEDQHOPR]GXOHJ\DVDMiWMiWyOHOWpU VHEHVVpJU é-
tegbe kerül, ahol Y [ sebességingadozást okoz. Az ingadozás abszolút értéke függ a sebes-
VpJSURILOPHUHGHNVpJpWOpVDNHYHUHGpVL~WKRVV]WyO
YY
\[
[ ≅ l∂
∂ .
.RQWLQXLWiVLPHJIRQWROiVRNDODSMiQN|]HOtWHQtUKDWy
Y Y\ [ ≅.
Tekintsük a 10.4. ábrát. MegálODStWKDWMXNKRJ\\LUiQ\EDQQ|YHNY Y[
sebességek esetén
Y Y[ \ < , mert ha Y \ > , azaz a „folyadékcsomag” felfelé mozdul el, akkor Y [ < , miu-
tán sebessége kisebb a helyi sebességnél. Hasonlóan ha Y \ < , akkor Y [ > . Ennek alap-
ján írható:
τ τ ρ∂
∂
∂
∂µ
∂
∂= = =\[
[ [W
[Y
\
Y
\
Y
\l
l
.
A (10.19) összefüggés akkor is helyesen fejezi ki a τHO MHOpWKDQHPPRQRWRQQ|YHNYD
sebességmegoszlás. A µ W D]HO]HNEHQPHJLVPHUWÄDQ\DJMHOOHP] YLV]NR]LWiV´DQDOyJLá-
jára bevezetett „turbulens viszkozitás”, DPHO\HOVVRUEDQQHPDN|]HJIL]LNDLVDMiWRVVi -
gaLWyOKDQHPD]iUDPOiVMHOOHP]LWOIJJ
µ ρ∂
∂W
[Y
\= l
.
A látszólagos csúsztatófeszültség (10.19) kifejezése alkalmazható a turbulens határrétegek
számításánál.
$ONDOPD]]XN3UDQGWOQpKiQ\N|]HOtWI|OWHYpVpW
(10.17)
(10.18)
(10.19)
(10.20)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 110/195
110
− A fal közvetlen közelében a fal jelenléte miatt a keveredési úthossz zérus, távolabb a
fal hatása egyre kevésbé érvényesül, ezért l Q
− /HJ\HQDNHYHUHGpVL~WKRVV]HOVN|]HOtWpVEHQOLQHiULVIJJYpQ\HD]\QDN l ≅ κ \ .
− $IDON|]HOpEHQOpYUpWHJEHQDFV~V]WDWyIHV]OWVpJMHOHQWVHQQHPYiOWR]KDW7pWHOHz-
]NIHO N|]HOtWHQKRJ\ τ τ\1 6 ≅ D]D]D FV~V]WDWyIHV]OWVpJ N|]HOtWHQiOODQGy pV
HJ\HQOτ 3D ODO− DIDORQpEUHG~Qfali csúsztatófeszültséggel.
− A határréteg falhoz közeli részén∂
∂
Y
\
[ > .
A fenti feltevésekkel (10.19) átalakítható:
τ ρ κ ∂
∂
τ
ρκ
∂
∂
=
⇒ =\Y
\\
Y
\
[ [ .
Bevezetve az XP
V
=!
"$#
τ
ρ
ún. súrlódási sebesség fogalmát és szétválasztva a fenti dif-
ferenciálegyenletet írható:
GY
X
G\
\
[
=
κ DPLEOLQWHJUiOiVXWiQDGyGLN
Y
X
\ .RQVW[
OQ = +
κ
Alakítsuk át az egyenlet jobb oldalát:
Y
X
\ X X.RQVW[
OQ OQ = − +
κ ν κ ν
A határréteg egy adott metszetében X állandó, ezért a fenti egyenlet két utólsó tagja egy K
konstansba fogható össze:
Y
X
\ X. [
OQ= +
κ ν .
A (10.21) összefüggést univerzális (logaritmikus) faltörvénynek nevezzük, amely állan-
dóira κ = és . = adódott aNtVpUOHWHNEO(]D]HJ\V]HU pVQ\LOYiQYDOyDQGXUYDN ö-
]HOtWpVHNNHOOHYH]HWHWW|VV]HIJJpVPHJOHS HQSRQWRVDQtUMDOHDWXUEXOHQVKDWiUUpWHJHNIDl-
hoz közeli rétegében a sebességmegoszlást.
Turbulens határrétegeknél a fal jelenléte megakadályozza a közvetOHQN|]HOpEHQ OpY U é-
WHJEHQD]|UYpQ\HNNHOHWNH]pVpWIDOUDPHU OHJHVLUiQ\~PR]JiViW0LYHOHUpWHJEHQDYLV z-
koziWiVGRPLQiODIDON|]YHWOHQN|]HOpEHQOpY UpWHJHWviszkózus (vagy gyakran lamináris)
(10.21)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 111/195
111
alaprétegnek nevezzük. E rétegben Newton viszkozitási törvénye (1.2) értelmében
τ τ µ∂
∂= =
Y
\
[ , azaz µ ρ ν= figyelembe vételével: XY
\
[ = ν
∂
∂adódik. A differenciál-
egyenletet szétválasztva:GY
X
XG\[
=
ν
összefüggést kapjuk.
Integrálás után adódik:Y
X\
X&[
= + ν
. Ha \ Y [= = , ezért & = .
Mindezekkel a fal melletti viszkózus alaprétegben a sebességmegoszlást a
Y
X
\ X[
= ν
összefüggés írja le. Tekintsük a 10.5. ábrát, ahol a dimen-
ziótlan faltávolság\ X
νfüggvényében vittük fel a
Y
X
[
dimenziótlan sebességet.
A fél-logaritmikus diagramban a kis faltávolságoknál ér-
vényes, a (10.22) összefüggéssel leírt lineáris sebesség-
megoszlás egy görbét ad, amely\ X
ν≅ és 30 között átmegy a (10.21) logaritmikus fal-
törvényt leíró egyenesbe. \ X
ν> értékeknél a sebességmegoszlás eltér az egyeQHVWO
Látható tehát, hogy a viszkózus alapréteg vastagsága\ X
ν≅ alapján számolható, az
univerzális faltörvény érvényességi tartománya pedig ≤ ≤\ X
ν. A határUpWHJNOV
UpV]HLQ|UYpQ\HVVHEHVVpJPHJRV]OiVOHtUiViUDNO|QE|] HPSLULNXVYDJ\IpOHPSLULNXV|sz-
szefüggések szolgálnak.
10.5. ábra
(10.22)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 112/195
112
10.6. ábra
A 10.6. ábraNO|QE|] \\ X+ =
νpUWpNHNQpOPXWDWMDD]iUDPOiVMHOOHP]LW$EDO oldali
képen (y + =DYLV]Ny]XVDODSUpWHJUHMHOOHP]iUDPNpSDN|]pSVQ y + =101) kiala-
kult turbulens áramlás látható. A jobb oldali kép ( y + =407) a logaritmikus faltörvény érvé-
nyességi határán kívüli rendezett áramlást mutatja, amelyet csak helyenként zavar meg a
turbulens zónából származó nagy örvény.
Annak érdekében, hogy érzékeljük a határréteg méreteit, a sebességnövekedés rohamos-
ságát, számítsuk ki egy ' PP= iWPpU MKHQJHUHVFV EHQDIDOPHOOHWWNLDODNXOyYLVz-
kózus alapréteg vastagságát és az univerzális faltörvény érvényességi tartományát. (A szá-PtWiVVRUiQIHONHOOKDV]QiOQLQpKiQ\IRJDOPDWpV|VV]HIJJpVWDPHO\HWFVDNNpV EEWir-
J\DO D MHJ\]HW (]HNHWPHJNO|QE|]WHWpVO ]iUyMHOEH WHVV]N$ FV EHQ OHYHJ iUDPOLN
ρ =
NJ
P, ν = ⋅ −
P
V, átlagsebessége legyen Y
P
V= . (A Reynolds-szám értéke
5H = =Y '
ν, a λ FVV~UOyGiVLWpQ\H]pλ = (J\HQOYpWpYHHJ\/KRVV]~Vágú
HJ\HQHVFV EHQNHOHWNH]D|VV]HIJJpVVHOV]iPROKDWy∆ S nyomásveszteség és a
FVNHUHV]WPHWV]HWV]RU]DWiWD τ IDOLFV~V]WDWyIHV]OWVpJpVD]/KRVV]~ViJ~FVIDOIHOOHWé-
nek szorzatával kiszámítható a fali csúsztatófeszültség értéke: τρ λ
= =
Y3D .
Ezekkel a súrlódási sebesség értékére X P V = adódik. A viszkózus alapréteg vas-
tagságára\ X
ν= értékhez PP-t kapunk. A viszkózus alapréteg határán a sebesség a
|VV]HIJJpVEOV]iPROYDPV Az univerzális faltörvény (10.21) összefüggése
\ PP= − intervallumban érvényes. Ezen intervallum szélén, a faltól 6.3 mm távol-
ságban a sebesség 13.7 m/s.
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 113/195
113
A fenti számításból néhány érdekes következtetés vonható le:
− A fali csúsztatófeszültség viszonylag kicsiny3DDFV EHQOpYiWODJVHEHVVpJJHO
számolt ρY
dinamikus nyomás 0,0044 szerese
− A viszkózus alapréteg igen vékonyYDVWDJViJDDFVVXJDUiQDN-a, de e rétegben
az áramlási sebesség igen meredeken növekszik, a vékony réteg határán eléri az átlag-
sebesség csaknem felét.
− $]XQLYHU]iOLVIDOW|UYpQ\pUYpQ\HVVpJHDFVNHUHV]WPHWV]HWYLV]RQ\ODJNLVUpV]pUHD
sugár 12%-ára) terjed ki, de az érvényességi tartomány határán a sebesség csaknem
PHJHJ\H]LND]iWODJVHEHVVpJJHOD]D]DIDOpVDFVWHQJHO\N|]|WWLVHEHVVpJQ|YHNHGpV
MHOHQWVUpV]HDYLV]Ny]XVDODSUpWHJEHQpVLWWMiWV]yGLNOH
Tekintsük a 10.7. ábrát, ahol a sugár függvényében jelleg-
re helyesen vittük fel lamináris és turbulens áramlás ese-
WpQDKHQJHUHVFV EHQNLDODNXOyVHEHVVpJPHJRV]OiVRNDWpV
a csúsztatófeszültség megoszlását. Lamináris esetre, ami-
kor a sebességmegoszlás másodfokú forgás-paraboloid a
9.6. ábrában már bemutattuk ezeket a megoszlásokat. A
csúsztatófeszültség sugármenti változásának jellege füg-
getlen attól, hogy az áramlás lamináris vagy turbulens. Tételezzük fel, hogy a τ 0 fali csúsz-
tatófeV]OWVpJ pUWpNH D] iEUi]ROW ODPLQiULV pV WXUEXOHQV FViUDPOiV HVHWpQ XJ\Dnakkora.
HRJ\DQPDJ\DUi]KDWyDVHEHVVpJPHJRV]OiVRNDODNMiQDNNO|QE|]VpJH"$WHQJHO\LUiQ\~
sebesség sugár menti változásának rohamossága és a csúsztatófeszültség közötti kapcsolatot
lamináris esetben (és a viszkózus alapréteg esetén) a (9.23) összefüggés adja meg:
τ µ∂
∂=
Y
U
[ , turbulens áramlásra pedig a (10.19) értelmében a τ µ∂
∂= W
[Y
U kifejezés, ahol µ W
a turbulens viszkozitás (ld.(10.20) összefüggés).
A fal mellett a lamináris áramlásban ill. a turbulens áramlás viszkózus alaprétegében nagy
rohamosViJJDOQDVHEHVVpJDIDOWyOWivolodva, hiszen csak így jöhet létre az (1.2) össze-
függés alapján viszonylag kis viszkozitás mellett nagy csúsztatófeszültség. A faltól beljebb
haODGYDD VHEHVVpJPHJRV]OiVRN MHOOHJH WHOMHVHQHOWpU OHV]/DPLQiULVHVHWEHQWRYiEEUDLV
viszonylag rohamosDQQDVHEHVVpJDIDOWyOWiYRORGYDÄFV~FVRV´DVHEHVVpJPHJRV]OiV
Turbulens esetben viszont a sebességmegoszlás „ellaposodik”, azaz azonos τ csúsztató-
feszültséghez a sebességprofil sokkal kisebb meredeksége tartozik. Ez azt mutatja, hogy a
µ W turbulens viszkozitás sokkal (ténylegesen egy-két nagyságrenddel) nagyobb, mint az
anyagUDMHOOHP] µ GLQDPLNDLYLV]NR]LWiV$WXUEXOHQViUDPOiV IDOWyOWiYRODEEOpY
10.7. ábra
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 114/195
114
részein az áramlás olyan sajátosságokat mutat, mintha egy lényegesen nagyobb (és a
hely függvényében változó) viszkozitású közeg áramolna.
$KDWiUUpWHJHNiUDPOiVLUiQ\~YiOWR]iViUDLOODFViUDPOiVNLDODNXOiViUDYRQDWNR]yDQQé-
hány megjegyzést teszünk:
− Ha az áramlásba egy szilárd testet helyezünk, akkor annak áramlással szembefordított
felületén torlópont alakul ki. A torlóponttól kiindulóan lamináris határréteg kelet-
kezik – függetlenül attól, hogy a test körüli áramlás lamináris vagy turbulens. A torló-
ponttól távolodva a lamináris határréteg egy átmeneti zóna mögött általában turbu-
lenssé válik. Amint láttuk, a turbulens határréteg „alján” viszkózus alapréteg van. A
turbulens határréteg kialakulásának távolsága az áramlási se EHVVpJWODN|]HJYLV]N o-
]LWiViWyODNOViUDPOiVWXUEXOHQFLDIRNiWyODIHOOHWpUGHVVpJpWOVWEIJJ$ODPLQá-
ris-WXUEXOHQV iWDODNXOiVW HOLGp]KHWMND] iUDPOiV PHJ]DYDUiViYDO SO D IHOOHWHQ D]
áramOiVUDPHU OHJHVHQHOKHO\H]HWWKX]DOODOWXUEXOHQFLDJenerátorral).
− A határrétegben áramló közeg mennyisége az áramlás irányában folyamatosan
QKLV]HQHJ\UHW|EEN|]HJUHKDWDYLV]NR]LWiVUpYpQDV]LOiUGIDOIpNH] KDWiVDA ha-
WiUUpWHJ YDVWDJViJD LVQ – HUVHQJ\RUVXOyiUamlások kivételével – az áramlás
irányában.
− /HNHUHNtWHWWEH|POQ\tOiVRQNHUHV]WOHJ\FV EHEHiUDPOyN|]HJpVDFVIDON|Ocsön-
KDWiVDN|YHWNH]WpEHQDFVEHOVHMpEHQDIDORQKDWiUUpWHJDODNXONL$KDWiUUpWHJD]HO
]HNEHQ bemutatott módon vastagszik és meghatározott feltételek fennállása esetén
WXUEXOHQVVpYiOLN0LN|]EHQDKDWiUUpWHJV]pOHDFVKRVV]DQ|YHNHGWpYHODIDODNLU á-
Q\iEyON|UEHQN|]HOtW D FV WHQJHO\H IHOpDSRWHQFLiORVQDNWHNLQWKHWEHOViUDPOiV
(amelyet a s~UOyGiVKDWiVDD]D]DKDWiUUpWHJPpJQHPpUWHOVHEHVVpJHDFV KRVV]D
mentén állanGyDQ Q $ EH|POpVWO WiYRORGYD XJ\DQLVHJ\UH QDJ\REED FVNHUHV]W-
metszet azon része, ahol az áramlási sebesség a súrlódás következtében lecsökkent,
ugyanakkor a folytonoVViJ WpWHOHPLDWW D]iWODJVHEHVVpJ QHP YiOWR]KDWD FV KRVV]D
mentén. Tovább távoORGYDDEH|POpVWODKDWiUUpWHJHOpULDFV
WHQJHO\pWpVDFV
EHQ
adott távolságon belül kialakul az a lamináris vagy turbulens áramkép, amely az egye-
nes és állandó keresztmetV]HW FV KRVV]D PHQWpQ WRYiEEPiU QHP YiOWR]LN (]W D]
áramképet kialakult lamináULV YDJ\ WXUEXOHQV FViUDPOiVQDN nevezzük és azt a
FVKRVV]DW DPHO\UH V]NVpJ YDQ D NLDODNXOW FViUDPOiV OpWUHM|WWpKH] kezdeti cs
hossznak (O PN QHYH]]NDPHO\QHNGFViWPpU K|]YLV]RQ\tWRWWKRVV]D
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 115/195
115
− lamináris áramlás esetén:O
G
N = 5H ,
− turbulens áramlás esetén:O
G
N = 5H .
A Re (Reynolds szám) definícióját a (10.1) összefüggésben adtuk meg.
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 116/195
11. A határrétegek sajátosságai, hatásuk
$]HO]IHMH]HWEHQGHILQLiOWXNDKDWiUUpWHJHWa szilárd fal melletti áramlásban a súrló-
GiVKDWiViUDOpWUHM|YUpWHJDPHO\EHQDVHEHVVpJDIDOPHOOHWWpUYpQ\HV]pUXVUyODIDl-
WyOWiYRO pUYpQ\HV ~Q KDWiUUpWHJHQNtYOLVHEHVVpJUHQ$KDWiUUpWHJEHQD V~rló-
dásnak nagy szerepe van, azon kívül a súrlódás hatása általában elhanyagolható. Eb-
ben a fejezetben a határrétegek legfontosabb hatásait tárgyaljuk.
11.1. A határréteg „kiszorít”
$IDOPHOOHWWNLDODNXOyUpWHJEHQOHIpNH]GLNDN|]HJH]il-
tal a fal közelében adott térfogatáram kisebb átlagsebes-
séggel vastagabb sávban áramlik át. A határréteg létrejötte
tehát a határrétegen kívüli áramlást mintegy „kiszorítja”,
olyan hatást gyakorol rá, mintha a test „kövérebb” lenne.
A 11.1. ábrán egy határréteg sebességmegoszlása látható.
A határréteg vastagsága δ. Jelöljük δ -gyel az ún. kiszorí-
tási vastagságot, amelynek értéke megmutatja a zavartalan áramlás határréteg miatti „el-
mozdításának” mértékét. A δ értékét abból a megfontolásból kiindulva határozzuk meg,
hogy a fal és a határréteg széle között a határréteg EHQiWiUDPOyWpUIRJDWiUDPRWHJ\HQOYp
tesszük azzal a térfogatárammal, amely a határrétegen kívüli V sebességgel a ( δ δ− ) vas-
tagságú rétegen áramlana át. Tehát δ-gyel vékonyabb rétegben áramlana át ugyanannyi
súrlódásmentes közeg.
δ δ δ
δ δ
− = ⇒ = −I I
1 6 1 69 Y G\ 9 9 Y G\[ [ ,
DPLEODNLV]RUtWiVLYDVWDJViJ
δ
δ
= −
I Y
9G\[
.
Csak a nagyságrend érzékeltetésére: egy személygépkocsi hátsó részén a határréteg vastag-
sága néhányszor tíz mm, a kiszorítási vastagság pedig ennek kereken tizede, néhány mm.
$KDWiUUpWHJEHQKpVDQ\DJiWDGiVMiWV]yGLNOH
$PV]DNLIHODGDWRNMHOHQWVUpV]pQpOD]iUDPOyN|]HJJHOpULQWNH]V]LOiUGWHVWpVDN|]HJ
N|]|WWQHPFVDNV~UOyGyHU OpSIHOGHDV]LOiUGIHOOHWpVDN|]HJN|]|WWKLOODQ\DJ is
11.1. ábra
(11.1)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 117/195
117
átadódhatJRQGROMXQNDKFVHUpONUHpVDV]iUtWiVIRO\DPDWiUD$]LPSXO]XV-DK- és az
anyagátadás mechanizmusa igen hasonló, különösen turbulens határrétegekben a viszkózus
DODSUpWHJHQ NtYODKRO D] LG EHOLiWODJVHEHVVpJUHPHU OHJHVHQ HOPR]GXOy„folyadékcso-
PDJRN´|UYpQ\HNIHOHOVHNPLQGKiURPPHQQ\LVpJHJ\WWOH]DMOyWUDQV]SRUWMipUW Egy
„folyaGpNFVRPDJ´HJ\LNUpWHJEOHJ\HOWpU VHEHVVpJKPpUVpNOHWpVNRQFHQWUiFLyM~U é-tegbe elmozdulva e rétegben impulzus-K- és koncentráció-változást okoz. Ezért a határré-
WHJDKPpUVpNOHWLpVDNRQFHQWUiFLy-határréteg vastagsága turbulens esetben nem sokkal
különbözik egymástól. Láttuk azonban, hogy a turbulens impulzustranszportra („veze-
WpVUH´MHOOHP]µ W örvényviszkozitás egy-két nagyságrenddel nagyobb a µ-nél, ugyan-
tJ\DWXUEXOHQVKYH]HWpVLOOGLII~]LyLVHJ\-két nagyságrenddel intenzívebb a moleku-
OiULVIRO\DPDWRNiOWDOHOLGp]HWWKYH]HWpVQpOpVGLII~]LyQiO, amelyek a lamináris határré-
tegben dominálnak.
11.3. A határrétegben csúsztatófeszültségek keletkeznek
Tekintettel arra, hogy a határrétegben változik a legrohamosabban a sebesség, itt a leg-
nagyobb a deformációsebesség, ezért itt kell a legnagyobb csúsztatófeszültségekkel számol-
nunk. A csúsztatófeszültségek nagyságrendjéreMHOOHP]D τ fali csúsztatófeszültség, ame-
lyet a F I helyi V~UOyGiVLWpQ\H]YHO szoktunk jellemezni:
F9
I =
τ
ρ
,
azaz a helyi fali csúsztatófeszültséget a határrétegen
kívüli sebességgel számított dinamikus nyomáshoz
viszonyítjuk. A 11.2. ábrán egy síklap esetén látható
F I a Reynolds-szám függvényében, amelynél az L
jellem]PpUHWDYL]VJiOWKHO\pVD VtNODSiUDPOiVVDO
szembeIRUGtWRWW~QEHOpSpOHN|]|WWLWiYROViJ$ORJ-
log diagramon látható a lamináris és a turbulens határrétegre vonatkozó két egyenes, azaz a
F I -Re kapcsolatot hatványfüggvények írják le. A legfontosabb tanulság, ami a diagramból
levonható az, hogy a fali csúsztatófeszültségek igen kicsik, F I a néhány ezred, azaz a τ
D GLQDPLNXV Q\RPiV QpKiQ\ H]UHOpNH $ KHQJHUHV FVUH YRQDWNR]y számításunknál
τ = 3D értéket kaptunk, amelyhez F I ≅ tartozik.) A csúsztatófeszültségek kis
pUWpNHLEO DUUD D WpYHVN|YHWNH]Wetésre juthatunk, hogy a súrlódás kis szerepet játszik pl.
HJ\DXWyUDKDWyHU V]HPSRQWMiEyOKLV]HQD]iWODJRVτ -lal megszorozva az autó teljes fe-
lüOHWpWWpQ\OHJFVDNQpKiQ\1HU WNDSXQN0pJMREEDQPHJHU V|GLNEHQQQNH]DJRQGR-
11.2. ábra
(11.2)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 118/195
118
lat, ha a szokásos F I értékeket összehasonlítjuk pl. egy, az áramlásba helyezett test felüle-
WpQNHOHWNH]Q\RPiVUDMHOOHP]F S Q\RPiVWpQ\H] jellem]pUWpNHLYHO
F S S
9 S =
−
ρ
$Q\RPiVWpQ\H]PD[LPiOLVpUWpNpWF S PD[ = ) a torlópontban veszi fel, legkisebb értéke
szokásos körülmények között F S PLQ = − körüli. A F S értékek tehát szokásosan 2-3 nagy-
ságrenddel haladják meg a F I értékeket, azaz ugyanilyen arányban nagyobbak a nyo-
másból sziUPD]yHUNDFV~V]WDWyIHV]OWVpJHNEOV]iUPD]yHUNQpO0pJLVDFV~V]WD-
tóIHV]OWVpJHNQHNG|QWMHOHQWVpJNYDQPHUWD]H]HNEOV]iUPD]yNLVHUNDKDWiU-
réteg leválását okozzák OGN|YHWNH]DOIHMH]HWpVH]iOWDODODSYHWHQPHJYiOWR]WDtják
az áramkéSHWDWHVWHQNHOHWNH]Q\RPiVPHJRV]OiVWpVtJ\DWHVWUHKDWyHUW. A súrló-
GiVDODSYHWKDWiVDWHKiWiOWDOiEDQHJ\ERQ\ROXOWPHFKDQL]PXVRQD]iUDPNpSpVH]iOWDOD
nyomásmegoszlás megváltozásán keresztül, és nem közvetlenül érvényesül, pl. egy áram-
lásbaKHO\H]HWWWHVWUHKDWyHU WHNLQWHWpEHQ
11.3. ábra
A 11.3. ábraSOHJ\iUDPOiVVDOSiUKX]DPRVWHQJHO\KHQJHUP|J|WWLOHYiOiVLEXERUpNRWpV
Q\RPRWPXWDWEH$OHYiOiVLEXERUpNEDQDQ\RPiVN|]HOtWOHJiOODQGypVN|]HOPHJHJ\ezik
azzal a nyomással, amit egyDOHYiOiVLEXERUpNRWNLW|OWDKHQJHUKH]FVDWODNR]yWHVWIHO-
színén mérnénk.
(11.3)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 119/195
119
11.4. A határréteg leválik
A 11.4. ábrán egy klasszikus kísérlet eredményét vázoljuk. A bal oldalon egy síkáram-
OiVEDQD]iUDPOiVLVHEHVVpJUHPHU OHJHVHQHOKHO\H]HWWODSKDW ására kialakuló ún. torlópont-
áramlást látunk. Ha a torlópontbaYH]HWHJ\HQHViUDPYRQDODNiOWDONLMHO|OWVtNEDHJ\Yé-
kony szilárd lapot helyezünk a falhoz, az áramkép váratlan drámai változását figyelhetjük
meg: ld. jobb oldali ábra. Mi okozhatta a szilárd falon a visszaáramlás kialakulását?
11.4. ábra
A fal fölötti áramkép részletei a 11.5.a. ábrán láthatók:
11.5. ábra
$WRUOySRQWiUDPOiVI MHOOHJ]HWHVVpJHKRJ\DN|]HJnyomásnövekedéssel szemben áram-
lik és a nyomástér hatására lassul. A falhoz közel lpY IRO\DGpNUpV]HNHW QHPFVDN D
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 120/195
120
nyomásnövekedés, hanem a falsúrlódás is lassítja. Ezért áramlás irányban rohamosan
lasVXOQDNDJ\RUVDQYDVWDJRGyKDWiUUpWHJEHQOpYIRO\DGpNUpV]HN+DD]ÄHJpV]VpJHV´Nl-
ViUDPOiVQHPNpSHVLPSXO]XVFVHUHUpYpQPR]JiVEDQWDUWani a határrétegben áramló folya-
dékrészeket, akkor azok megállnak és a nyomáskülönbség hatására a fal mellett vissza-
áramló folyadékrészek a határrétegben áramló közeget elválasztják a faltól és az áramlásitér belsejébe terelik: a határréteg leválik. (ld. 11.5.a. ábra)
A határréteg leválásnak tehát két szükséges feltétele van:
− fal közelsége,
− iUDPOiVLUiQ\iEDQQ|YHNYQ\RPiV
A 11.5.b./ és c./ábra a határrétegben láthatóvá tett áramlást mutatja be két esetben. A b./
áramkép áramlás irányában FV|NNHQQ\RPiVKR] tartozik, azaz az áramlás gyorsul. Ebben
az esetben a határréteg vékony marad (esetleg vékonyodik, és a turbulens határréteg lami-
nárissá válhat.) A c./ esetben áramlás irányában QDQ\RPiV, amelyhez a határréteg vasta-
godása, majd leválása tartozik. A képen jól látható, hogy a határréteg láthatóvá tett közeg-
részei „leválnak” a falról, és az áramlási tér belseje felé áramlanak.
Tekintsük a 11.6. ábrát, ahol egy síkáramlásba helyezett
henger körüli áramképet vázoltuk: az ábra alsó felén a súr-
lódásmentes áramlás esetén érvényes áramképet, felül pe-dig a határréteg leválás folyamatát. Súrlódásmentes közeg
eseWpQ QHP KDW HU D KHQJHUUH, a sebesség- és
nyomásmegRV]OiVDIJJOHJHVWHQJHO\UHV]LPPHWULNXV$]
áramvonaODN J|UEOHWpEO OG D WHUPpV]HWHV NRRUGLQiWD-vonaODNJ|UEOHWpEOOGDWHUPpV]HWHVNRRUGLQiWD-rendszerben felírt Euler-egyenlet (4.27)
normális irányú komponens egyenlete) is látható, hogy a közeg a henger áramlással szem-
EHQp]KRPORNIDOiQFV|NNHQQ\RPiVLU ányában gyorsulva áramlik. Itt tehát akkor sincs
leválási veszély, ha az áramló közeg súrlódásos. A henger hátsó részén azonban a fal mel-
OHWWL N|]HJUpV]HN Q|YHNY Q\RPiV LUiQ\iEDQ iUDPRlnak és súrlódásos közeg esetén a
11.5.a./ábrán is látható módon határréteg leválás következik be. A leválás miatt módosul az
áramkép és könnyen beláthatóan a lassuló áramlás kezdete és így a leválás helye is az óra-
mutató járásával ellentétesen mozdul el a henger felületén. Egyensúlyi állapot alakul ki,
ahol a leválás helye kb. ° -NDODIJJOHJHVitPpU ÄHOWW´iOODQGyVXO(]D]iUDPNpS–
DPLQWD]WNpV EEOiWQLIRJMXN–DUUDD]HVHWUHYRQDWNR]LNDPLNRUDKHQJHUKRPORNIDOiQOpY
határréteg lamináris.) A henger körüli áramképet mutatja be a 11.7. ábra bal oldali része. A
képen a henger két oldalán felváltva, periodikusan leúszó örvények (Kármán-féle örvény-
sor) egyikének keletkezése látható. E jelenséggel a 14. fejezetben foglalkozunk részletesen.
Az ábra jobb oldaOiQOiWKDWyDKHQJHUIHOOHWpQOpYQ\RPiVYiOWR]iVDDN|]pSSRQWLV zög
11.6. ábra
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 121/195
121
függvényében: az A görbe a súrlódásmentes esetre, a B görbe pedig az általunk tárgyalt
iUDPNpSKH]WDUWR]LN$&J|UEHWiUJ\DOiViUDNpV EEYLVV]DWpUQN
11.7. ábra
$Q\RPiVNHUOHWPHQWLYiOWR]iViWYL]VJiOYDQpKiQ\PHJiOODStWiVWHKHW
− V~UOyGiVPHQWHVN|]HJiUDPOiVDHVHWpQDKHQJHUPHJI~YiVLLUiQ\UDPHU OHJHViWPpU -
jének végpontjában a sebesség Y ∞ H]pUW D Q\RPiVWpQ\H] pUWpNH D %HUQRXOOL-
HJ\HQOHWEOOiWKDWyDQ–3
− ahol az áramlás gyorsul, ott a valóságos, súrlódásos közeg áramképe általában
csak kissé tér el az ideálisétól DPL D Q\RPiVPHJRV]OiVRN QDJ\PpUWpN KDVRQOy-ságából látható;
− D KDWiUUpWHJ OHYiOiVD D V~UOyGiVPHQWHV iUDPOiVKR] NpSHVW DODSYHWHQ megvál-
toztatta az áramképet, ami a henger hátsó részére vonatkozó nyomásmegoszlások kü-
O|QE|]VpJpEOOiWV]LN
− a leválás hatására kialakuló térben, amelyet leválási buboréknak is nevezünk, a
Q\RPiVLGEHOLiWODJDN|]HOtWleg állandó.
− a nyomásmegoszlás a leválás következtében nagy mértékben aszimmetrikussá vált,
H]pUWDKHQJHUUHiUDPOiVLHUHGHWHU KDW
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 122/195
122
-HOOHP] SpOGDNpQW YL]VJiOMXN PHJ D] iUDPOiVW HJ\
diffúzorban, amely egy, az áramlás irányában nö-
vekY NHUHV]WPHWV]HW FVGDUDE (ld. 11.8. ábra) Le-
J\HQDN|]HJVU VpJHiOODQGy6~UOyGiVPHQWHVHVHWben
DGLDJUDPRQOiWKDWyIRO\WRQRVYRQDOQDNPHJIHOHOOHn-QHDN|]HJODVVXOiViYDO|VV]HIJJQ\RPiVnövekedés.
A Bernoulli-egyenlet alkalmazásával:
S S Y YLGHiOLV
− = −1 6 4 9ρ
Valóságban a diffúzor fala közelében a nyomásnövekedéssel szemben áramló folya-
dékrészek a súrlódás következtében még rohamosabban lassulnak mint a faltól távoliak, a
határréteg gyorsan vastagodik, esetleg leválás következik be. Emiatt a NL|PONHUHV]Wmet-
szetben nem egyenletes a sebességmegoszlás (amit a (11.4) összefüggés felírásánál feltet-
tünk), a fal közelében vagy visszaáramlás (ld. 11.9. ábra), vagy jobb esetben is kiterjedt, ki-
VHEEVHEHVVpJJHOMHOOHPH]KHW]yQDYDQ$GLII~]RUN|]pSVUpV]pQSHGLJDGLII~]RUN e-
resztmetszet viszonyából számolható Y átlagsebességnél nagyobb a nyomás szempontjá-
ból mértékadó sebesség, azaz a S SYDOy −1 6 valóságos nyomásnövekedés nem éri el a súr-
OyGiVPHQWHViUDPOiVHVHWpQV]iPtWRWWDW$GLII~]RUPN ödését az ηGLII diffúzor hatásfokkal
szoktuk jellemezni:
ηGLII YDOy
LG
S S
S S=
−
−
1 61 6 .
11.9. ábra
11.8. ábra
(11.4)
(11.5)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 123/195
123
$ KDWiUUpWHJ KDVRQOy OHYiOiVD RNR] MHOHQWV iUDPNpS YiOWR]iVW SO HJ\ QDJ\ iOOiVV]|J
V]iUQ\IHOVUpV]pQHJ\V]HPpO\DXWyKiWVyUpV]pQHJ\tYHOWFV-könyökben stb.
A határréteg lHYiOiVDVRNHVHWEHQNHGYH]WOHQ+RJ\DQOHKHWQHDOHYiOiVWPHJDNDGiO\R]QL"
− $]HJ\LNOHKHWVpJ– inkább csak kuriózumként – a fal mozgatása együtt az áramlás-
sal.
− Gyakorlati szempontból fontos módszer a nyomásnövekedés rohamosságának (ezál-
tal a határrétegben áramló közeg lassításának) csökkentése (pl. a diffúzor kúpszö-
JpQHNYDJ\DV]iUQ\iOOiVV]|JpQHNFV|NNHQWpVHDFVtYJ|UEOHWLVXJDUiQDNQ|YHOpVH
a karosszéria éleinek lekerekítése, a hátsó rész fokozatos „összehúzása” stb.)
− 7RYiEELOHKHWVpJa falhoz közel áramló közegrészek sebességének növelése:
• a lelassult közegrészek eltávolításával: határréteg-elszívás,
• a közegrészek gyorsításávalQDJ\VHEHVVpJVtNOHYHJVXJiUbefúvása a fal mel-
lett,
• a határrétegen belüli impulzuscsere növelésével: a lamináris határréteg turbu-
lenssé tételével ill. a turbulencia növelésével.
Itt térünk vissza a 11.6. ábránOiWKDWyiUDPNpSKH]LOO&MHOJ|UEpKH]+DDKHQJHUKRPORk-felületén lamináris határréteg alakul ki, viszonylag kis nyomásnövekedés már a határréteg
leválását eredményezi. Ha a Reynolds-szám növelésével, vagy az áramlás megzavarásával
tur EXOHQVVpWHVV]NDKDWiUUpWHJHWD]DEEDQYpJEHPHQnagyságrendekkel nagyobb tur-
buOHQVLPSXO]XVFVHUHHOHJHQGHQHUJLiWV]iOOtWDKDWiUUpWHJDOVyUpV]pEHDKKR]KRJ\D
haWiUUpWHJEHQ OpY IRO\DGpNUpV]HNWRYiEE OHV]QHN NpSHVHN nyomásnövekedés ellené-
ben áramolni(]WNU|]GLND11.6. ábránpVD&MHOJ|UEpEOOiWKDWyKRJ\DOHYiOiVOé-
nyegesen hátrább következik be, emiatt a leválási buborék sokkal kisebb, és a henger hátsó
UpV]pQDOHYiOiVLEXERUpNEDQOpYQ\RPiVVRNNDOQDJ\Rbb, mint lamináris határréteg ese-
tén. A haWiUUpWHJEHQEHN|YHWNH]ODPLQiULV-WXUEXOHQViWDODNXOiV DKHQJHUUH KDWyHU KDr-
madára csökkenését eredményezi.
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 124/195
124
A 11.10. ábra egy ívelt felületen kialakuló, láthatóvá tett lamináris és turbulens határréteget
mutat be. Amíg a lamLQiULVKDWiUUpWHJIHOVNpSDOHJPDJDVDEESRQWXWiQU|JW|QOHYiOLN
addig a turbulens határréteg jó darabig képes nyomásgradienssel szemben áramolni, és csak
azután válik le.
11.10. ábra
11.5. A határréteg szekunder áramlást okoz
Ha fel akarjuk keverni a cukrot a teában, akkor a kanál mozgatásával egy
N|UN|U|ViUDPOiVWKR]XQNOpWUHDSRKiUEDQ0LKR]]DIHODWHDIHOVUpWH-
geihez a cukrot, ha az általunk létrehozott áramlásban körpályán mo-
zognak a folyadékrészek? Vizsgáljuk meg a nyomás változását a sugár
mentén. Alkalmazzuk a természetes koordináta-rendszerben felírt Euler-
egyenOHW QRUPiOLV LUiQ\~NRPSRQHQVHJ\HQOHWpW DPHO\ D WpUHU
elhanyagolása esetén a;
#
5
3
=ρ
∂
∂ DODNEDQ tUKDWy IHO $ SRKiUEDQ OpY iUDPOiVEDQ D]
áramYRQDODNN|]HOtWHQN|UDODN~DN UiMXNPHU OHJHVHQ VXJiULUiQ\EDQD Q\RPiVD IHQWL
összeIJJpVEOOiWKDWyDQQ(]pUWPagasabb a folyadékfelszín a pohár szélén, mint közé-
pen.) A nyomásmegoszlást a pohárban forgó, és a pohár alja által le nem fékezett folyadék
sebességmegoszlása határozza meg. A pohár alsó részéhez közel azonban egy határréteg
DODNXONLDPHO\EHQD VHEHVVpJHN NLVHEEHNPLQW DPDJDVDEEDQ OpY IRO\Ddékrészeké. A
lassabban forgó folyadékrészek kisebb nyomáskülönbséget hoznak létre, mint ami a pohár-ban kialakul, azaz a pohár alján a határrétegben egy spirálishoz hasonló, befelé irányuló
áramlás indul meg (ami a tealaveleket tapasztalataink szerint középre, a cukrot pedig a tea
felV UpWHJHLEHYLV]L OG11.11. ábra). A pohár alja közelében a tengely irányában befelé
áramló közeg pótlására a fal mellett lefelé áramlás, középen pedig felfelé áramlás indul
meg, amely hozzáadódik a körköU|V ÄI áramláshoz” (ld. 11.11. ábra). Ezt a domináns
áramlásra szuperponáló áramlást szekunder áramlásnak nevezzük. A határréteg léte az
ismertetett példához hasonló okokból szekunder áramOiVWRNR]SOFVtYEHQYDJ\IRO\yka-
nyarban. Ez utóbbi esetben a homorú partról a domború felé irányuló szekunder áramlás
hordja át a földet a homorú partról a szemköztire aminek következménye a folyókanyarok
öblösödése.
11.11. ábra
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 125/195
12. Az áramlások hasonlósága
A 9. és 10. fejezetben foglalkoztunk a Navier-Stokes-egyenlettel és megállapítottuk, hogy
az – különösen turbulens áramlás esetén – igen nehéz, általában lehetetlen megoldani.
UgyanDNNRU D PV]DN i feladatok megkövetelik, hogy meghatározott kérdésekre választ
ad MXQN $ GLIIHUHQFLiOHJ\HQOHWHN PHJROGiVD PHOOHWW D PV]DNL IHODGDWRN PHJROGiViQDN
fontos eszköze a kísérlet, amelyet technikai és költségkimélési okokból is gyakran az
eredeti berendezés kismintáján hajtunk végre. Így pl. ha meg kell határozni egy hajó
PRWRUMiQDNHOtUWVHEHVVpJHOpUpVpKH]V]NVpJHVWHOMHVtWPpQ\pWYDJ\DNRUUHNWV]LOiUGViJL
méreWH]pVKH] LVPHUQL NHOO HJ\ V]HUNH]HWUH YDJ\ pSOHWUH KDWy V]pOHU W FVDN
kismintakísérletek jöhetnek szóba.
(J\ NLVPLQWDNtVpUOHWQHN FVDN DNNRU YDQ pUWHOPH KD HUHGPpQ\H PHJIHOHO EL]WRQViJJDOátYLKHWIHOKDV]QiOKDWyDQDJ\NLYLWHOQpO(]DIHOWpWHODNNRUYDOyVXOPHJKDD kisminta és
a nagy kivitel körüli áramlás hasonló. Vizsáljuk meg az áramlások hasonlóságának
feltételeit összenyomhatatlan közegek esetén.
A 12.1. ábrán egy hajó és kismintája látható. Az
iUDPOiVUDMHOOHP]VHEHVVpJpVPpUHWOHKHWSOD]a-
vartalan sebesség v0 és v0m ill. a hajó és a modell
hossza l 0 és l 0m $ MHOOHP]PpU et és sebesség
KiQ\DGRVD HJ\ MHOOHP] LGW HUHGPpQ\H]
tv
ill tvm
m
m0
0
00
0
0
= =l l
. . Írják le a sebesség-meg-
oszlást és a nyomásmegoszlást a nagy kivitelben az alábbi függvények, amelyekben mind a
IJJHWOHQPLQGDIJJYiOWR]yNGLPHQ]Lytlanok:
v
vf
x y z t
tés
p
vF
x y z t
t0 0 0 0 0 02
0 0 0 0
=
=
l l l l l l
, , , , , ,ρ .
A kisminta körüli áramlás akNRUKDVRQOy DQDJ\ NLYLWHOpKH] KDPHJHJ\H]IJJYé-
nyek írják le a sebesség és nyomásmegoszlást WHUPpV]HWHVHQ D NLVPLQWiUD MHOOHP]
v és t melm m m0 0 0, ,l − dimenziótlanított formában. Mi ennek a feltétele? Mikor azo-
nos a dimenziótlan sebességet és nyomást leíró függvény a nagy kivitelnél és a kismin-
tánál? Nyilván akkor, ha ugyanaz a dimenziótlan differenciálegyenlet-rendszer írja le és
ugyanazok a kezdeti- és peremfeltételek a dimenziótlan hely-pVLGNRRUGLQiWiNEDQ
Írjuk fel a Navier-Stokes-egyenlet x irányú komponens egyenletét a (9.17) összefüggés
alapján!
12.1. ábra
(12.1)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 126/195
126
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ ρ
∂
∂ ν
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Y
WY
Y
[Y
Y
\Y
Y
]J
S
[
Y
[
Y
\
Y
]
[[
[\
[]
[[
[ [ [+ + + = − + + +
6]RUR]]XNEHDHJ\HQOHWPLQGNpWROGDOiQOpY WDJRNDWl0
02v
tel− , azaz dimenziótlanít-
suk a Navier-Stokes-egyenlet x komponens egyenletét:
∂
∂
∂
∂
∂ρ
∂
ν∂
∂
v
v
tv
v
v
v
v
x
g
v
p p
v
x v
v
v
x
x
x
x
x
x
0
0 0
0
0
0
0
02
0
02
0
0 0
2
0
0
2
+
+ = −
−
+
+
l l
l
l
l
l /
.... .... .
$KDVRQOyV]HUNH]HWWDJRNEyOFVDNHJ\QHN -egynek mutattuk be a dimenziótlanítását.) A
nyomást egy S állandó vonatkoztatási nyomáshoz viszonyítottuk, amellyel a hely szerinti
differenciálhányados nem változott. Hasonlóképpen fel lehet írni a dimenziótlanított
Navier-Stokes-egyenlet y és z komponens egyenletét, valamint a kontinuitás dimenziótlaní-
tott formáját, figyelembe véve, hogy a Navier-Stokes-egyenlet alkalmazásakor már eldön-
töttük, hogy ρ = iOO feltételezéssel élünk. Ez esetben a folytonosság egyenlete GLYY =
alakot ölti, ami dimenziótlanítva:
∂
∂
∂
∂
∂
∂
v
v
x
v
v
y
v
v
z
x y z
0
0
0
0
0
0
0
+
+
=
l l l
.
A három Navier-Stokes komponens egyenlet és a folytonosság egyenlete egy parciális
differenciálegyenlet-rendszert alkot, amelyet adott kezdeti- és peremfeltételekhez egy
megoldást ad a négy ismeretlenre (a három sebességkomponens és a nyomás dimenzi-
ótlan alakjára).
Két áramlás hasonló, ha
a/ azonos dimenziótlan differenciálegyenlet írja le mindkét áramlást, ami azt jelenti,
KRJ\ D |VV]HIJJpVEHQ pV D WRYiEEL NpW NRPSRQHQV HJ\HQOHWEHQ V]HUHSO
álODQGyQDN pV HJ\WWKDWyQDN D]RQRV pUWpN QHN NHOO OHQQLH D NpW iUDPOiVUD
vonatkozóan. A nagy kivitel és a modell esetén ez azt jelenti, hogy
g
v
g
v
x xm m
m
l l0
02
0
02
=
, és
(12.2)
(12.3)
(12.4)
(12.5)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 127/195
127
ν ν
v vm
m m0 0 0 0l l
=;
b/ és ha azonosak a kezdeti és peremfeltételek. Ezt a feltételt általában a modell és a
nagy kivitel geometriai hasonlóságával, az áramlási tér peremén hasonló viszo-nyok biztosításával pV D] LQVWDFLRQiULXV KDWiVRN PHJIHOHO PRGHOOH]pVpYHO OG N é-
Vbb) valósíthatjuk meg.
$pV|VV]HIJJpVEHQV]HUHSONLIHMH]pVHNKHO\HWWDKDJ\RPiQ\RNQDNPHJIHOe-
OHQD]RNUHFLSURNiWLOODQQDNJ\|NpWKDV]QiOMXNDPHO\HNQHNQHYHL
Froude-szám: Frv
g= 0
0l
Reynolds-szám: Re =v0 0l
ν
A két áramlást leíró dimenziótlan differenciálegyenlet rendszer tehát a Reynolds-szám
és a Froude-szám azonossága esetén egyezik meg. A Froude- és Reynolds-számot más,
hasonlóan dimenziótlan mennyiségekkel együtt hasonlósági számoknak is szoktuk nevez-
ni.
A Froude-szám és a Reynolds-sziPD]RQRVViJiQDNHJ\LGHM EL]WRVtWiVDiOWDOiEDQ QHKp]
YDJ\OHKHWHWOHQIHODGDW/HJ\HQDPRGHOONtVpUOHWWiUJ\DHJ\DXWyOpSWpN PRGHOOMH0Lu-
WiQDV]pOFVDWRUQiEDQiUDPOyOHYHJ ν viszkozitása megegyezik az autót körüláramló leve-
JYLV]NR]LWiViYDOD5H\QROGV-V]iPD]RQRVViJDIHOWpWHOEO
Re Remm
m
m
m
v
v= ⇒ = =0
0
0
0
0
0
l
l
l
l
ν
νadódik. A Fr Frm = IHOWpWHOEOSHGLJ
v
vm m0
0
0
0
=l
l
, miután g gm = .
Látható, hogy a Re azonosságát a sebesség négyszeresére növelésével, a Fr azonosságát pe-
dig felére csökkentésével lehet megvalósítani. Vizsgáljuk meg, hogy ebben az esetben
szükség van-HPLQGNpWIHOWpWHOHJ\LGHMEHWDUWiViUD"
+DD]iUDPOiVLWHUHWNLW|OWLD]iUDPOyN|]HJPLQWD]HO EELSpOGiQNQiOD]DOiEELPHJIRn-
toOiVRN WHKHWN ÈOOy N|]HJ HVHWpQD1DYLHU -Stokes-HJ\HQOHWEO OG |VV]HIJJpV
01
= −g gradpáρ
aODN~NLIHMH]pVPDUDG+DH]WOHYRQMXND]HUHGHWLHJ\HQOHWE OD1DYLHU -
Stokes-HJ\HQOHWRO\DQYiOWR]DWiWNDSMXNDPHO\QHPWDUWDOPD]]DDWpUHU VVpJHWXJ\DQDNNRU
DWpUHU VVpJRNR]WDpá nyomásmegoszláshoz képesti különbségek szerepelnek benne:
(12.6)
(12.7)
(12.8)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 128/195
128
dv
dtgrad p p vá= − − +
1
ρ ν1 6 ∆
.
A (12.9) alakú Navier-Stokes-HJ\HQOHWWHO YpJUHKDMWYD D] HO]HNEHQ EHPXWDWRWW
dimenziótlanítást a Froude-szám (ill. négyzetének reciproka) nem jelenik meg az egyenlet-
rendszerben, tehát ha az áramló közeg kitölti a teret, a Froude-szám azonos értéken
tartása nem feltétele a hasonlóságnak.
Hajómodellek vizsgálatánál viszont, ahol a hullámkeltés mértéke (a hullámellenállás)
LJHQMHOHQWVPpUWpNEHQEHIRO\iVROMDDKDMyWHVWUHKDWyHUWD)URXGH-szám azonos ér-
téken tartása igen fontos követelmény. Belátható ugyanis, hogy a hullámok keletkezésé-
QpODDV~O\HU QHNG|QWV]HUHSHYDQ
Ha a peremfeltételek instacionáriusak, akkor gondoskodni
NHOODUUyOKRJ\H]HNVDMiWLGOpSWpNNEHQ D]RQRVDQ Yil-
tozzanak. Legyen pl. a feladat egy, az áramlásba helyezett,
vízszintes tengely körül periodikusan oda-vissza mozga-
tott lapra (ld. 12.2. ábraKDWyHU PHJKDWiUR]iVDPRGHOl-
kísérletekkel. Legyen a modell léptéke 1:3. Miután a teret
kitölti az áramló közeg, az áramlások hasonlóságának egyik feltétele a Reynolds-szám azo-
nosViJD(EEOD]HO]HNDODSMiQD]DGyGLNKRJ\DPRGHOOPHJI~YiVLVebességének há-
romszor akkorának kell lennie, mint a nagy kivitel megfúvási sebessége. Milyen legyen a
modell lap mozgatásának periódusideje, ha az eredetinél ez W S volt? Nyilvánvalóan akkor
járunk el helyesen, ha
t
t
t
tazaz
t v t vpm
m
p pm m
m
p
0 0
0
0
0
0
= =l l
.
Figyelembe véve, hogy tf p =1
, ahol f s
1!
"$#DIUHNYHQFLDEHYH]HWKHWD
Strouhal-szám: Str f v
= l0
0
,
amelynek azonos értéke szükséges az azonos kezdeti- és peremfeltételek biztosításához.
(12.9)
12.2. ábra
(12.10)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 129/195
129
9DQQDN HVHWHN DPLNRU D] iUDPOiV SHUHPpQNHOO PHJIHOHO nyomásértéket, mint perem-
feltételt biztosítani. Ez esetben az
Euler-szám: Eup p
v=
− 0
0
2ρ
D]RQRVViJDNDSV]HUHSHWËJ\SONLVKXOOiPRNHVHWpQDIHOOHWLIHV]OWVpJMHOHQWVV]HUHSHW
MiWV]LNDKXOOiPRNDODNXOiViEDQ8J\DQH]DKHO\]HWSODFVHSSHNNpS]GpVpQpO a porlasz-
tásnál.) Ilyen esetben a (12.11) kifejezés számlálójába a nyomáskülönbség helyébe a (7.2)
összefüggés alapján a ∆pC
R
C~ ~
l0
kerül, ahol &1
P
!
"$#
a felületi feszültség állandója, R a
felszín görbületi sugara, amely nyilvánvalóan arányos az lMHOOHP]KRVV]DO,O\Pódon az
Euler-számból egy új hasonlósági számot kapunk:
Weber-szám: WeC
v=
ρ l0 02
A Weber-szám azonos értéke különösen fontos azon modellkísérleteknél, amelyekben a
felüOHWLIHV]OWVpJQHNIRQWRVV]HUHSHYDQSOFVHSSNpS]GpVYL]VJiODWiQiO
Itt jegyezzük meg, KRJ\ D YL]VJiOW MHOHQVpJWO IJJHQ D] (XOHU -szám és a Strouhal-szám
kiIHMH]pVHIJJLOOIJJHWOHQYiOWR]yNpQWLVV]HUHSHOKHWDGLPHQ]LyWODQ1DYLHU -Stokes-
egyenletünkben. Így pl. az Euler-szám azonossága egy autó és modellje felületének adott helyénnem követelmény, hanem következmény, a két áramlás hasonlóságának következménye.
$] iUDPOiVED KHO\H]HWW KHQJHUU O DPHO\ N|UOL iUDPOiVVDO D] HO] IHMH]HWEHQ PiU
foglalkozWXQNSHULRGLNXVDQYiOQDNOHLQWHQ]tY|UYpQ\HNKDDKRPORNIDORQNHOHWNH] KD-
tárréteg lamináris (11.7. ábra B görbe). (Ennek az ún. Kármán-féle örvénysornak a le-
írásával nagy érdemeket szerzett Kármán Tódor, egyetemünk volt hallgatója és rövid ideig
oktatója, majd díszdoktora, aki századunk egyik legismertebb áramlástan kutatója.) A kis-
mintánál és a nagy kivitelnél a hasonlósági feltételek betartása esetén az örvényleválás
frekvenciájával számolt Strouhal-V]iPD]RQRVDPLD]HO]HNV]HULQWDNpWiUDPOiVKDVRQ-lóságából következik.
$KDVRQOyViJLV]iPRNPHJKDWiUR]KDWyNHJ\VpJQ\LW|PHJ IRO\DGpNUpV]UHKDWyHUN
hányadosaiként is: 1 kg tömegre ható
WHKHWHWOHQVpJLHU: Fv
T ~ 02
0l
(hiszen az áramkép egyes pontjaiban a sebesség a v0-lal arányos, az áramvonal görbületisugara pedig az l0 -lal.)
(12.11)
(12.12)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 130/195
130
V~O\HU: ) J* a
Q\RPiVEyOV]iUPD]yHU: Fp p p p
P ~−
=−0 0
2
03
0
0
1 6 1 6l
l lρ ρ
(felírtuk a jelOHP]IHOOHWV]RU]DWiWDQ\RPiVNO|QEVpJJHOpVRV]WRWWXNDMHOOHP]PpUHt-
hez tartozó tömeggel, hogy a folyadék 1 kg- MiUDYRQDWNR]yHU WNDSMXN
V~UOyGiVEyOV]iUPD]yHU: Fv v
S ~ ρ νρ
ν0
0
02
03
0
02
l
l
l l
=
(a Newton-féle viszkozitási törvényt (1.2) használtuk fel a csúsztatófeszültséggel arányos
PHQQ\LVpJ NLIHMH]pVpUH DPLW D MHOOHP] IHOOHWWHOV]RUR]WXQNPDMG D MHOOHP] PpUHWKH]
tartozó tömeggel osztottunk)
IHOOHWLIHV]OWVpJEOV]iUPD]yHU: FC C
F ~l
l
l l0
02
03
02ρ ρ
=
LWWKDVRQOyDQMiUWXQNHOPLQWDQ\RPiVEyOV]iUPD]yHU HVHWpQGHDQ\RPiVNO|QEVpJK e-
lypEHDIHOOHWLIHV]OWVpJRNR]WDQ\RPiVNO|QEVpJNLIHMH]pVpYHO|VV]KDQJEDQOpYNLIHMe-
zést tettünk).
.pSH]]ND]HJ\VpJQ\LW|PHJUHKDWyHU NKiQ\DGRVDLW
Re ~ ~ /
/
tehetetlenségi erõ
súrlódásból származó erõ
F
F
v
v
vT
S
= =02
0
0 02
0 0l
l
l
ν ν
Frtehetetlenségi erõ
súlyerõ
F
F
v
g
v
gT
G
~ /
= = =02
0 0
0
l
l
Eunyomásból származó erõ
tehetetlenségi erõ
F
F
p p
v
p p
vP
T
~ ~ / /
/ =
−=
−0 0
0
2
0
0
0
2
1 6 ρ
ρ
l
l
Wefelületi fesz bõl származó erõ
tehetetlenségi erõ
F
F
C
v
C
vF
T
~.
~ / /
/
−= =
l
l l
02
02
0 02
0
ρ
ρ
$KDVRQOyViJLV]iPRNHU NKiQ\DGRVDNpQWW|UWpQHOiOOtWiVDLJen szemléletesen mutatja az
áramlást befolyásoló egyes hatások viszonyát. Így pl. ha a Reynolds-szám értéke nagy,
akkor ez a (12.13) alapján azt jelenti, hogyDV~UOyGyHUNKDWiVDYLV]RQ\ODJNLFVLDWHKe-
WHWOHQVpJL HUNK|] NpSHVW (Ez természetes, hiszen a dimenziótlan Navier-Stokes-
HJ\HQOHWEHQDV~UOyGiVWNLIHMH]XWROVyWDJHJ\WWKDWyMDD5HUHFLSURNDOG(]pUWminél nagyobb a Re értéke, annál kisebb számmal szorozzuk ezt a tagot.) Ezzel mindjárt
(12.13)
(12.14)
(12.15)
(12.16)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 131/195
131
értheWYpYiOLND]DWDSDV]WDODWKRJ\D5HQ|YHNHG ésével turbulenssé válik az áramlás. A
V~UOyGyHU N XJ\DQLV FVLOODStWMiN D UHQGH]HWOHQPR]JiVRNDW FV|NNHQWLND URKDPRVWpUEHOL
sebességváltozásokat, így a súrlódás viszonylagos hatásának csökkenése a turbulencia ke-
letkezéséhez vezet. Ha viszont kicsi a Reynolds-szám értéke (pl. egy kis porszem süllyed a
OHYHJ EHQYDJ\QDJ\YLV]NR]LWiV~N|]HJiUDPOLNHJ\FV EHQDNNRUDV~UOyGiVGRPLQDQF i-ájával, lamináris áramlással számolhatunk.
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 132/195
13. Hidraulika
Ebben a fejezetben a csövekben, csatornákban áramló közeJHNiUDPOiViQDNMHOOHP]LWWiU -
gyaljuk. A mérnöki gyakorlat szempontjából talán ez a fejezet a legfontosabb része a jegy-
zetnek. A hidraulika az emberi tudás egyik igen régóta alkalmazott és fejlesztett területe, hi-
szen az öntözésnél, a folyók szabályozásánál, a vízvezetékek építésénél sok nehézséget kel-
lett megoldani eleinknek, akik ennek folytán nagyon sok gyakorlati ismeretet halmoztak
IHO8J\DQDNNRUD]iUDPOiVWDQDODSW|UYpQ\HLQHNOHYH]HWpVHD]iUDPOiVWDQDODSYHWL|VV]H-
függéseinek kutatása évszázadokon keresztül a hidraulika gyakorlatától elszigetelve folyt.
Csak a XIX. évszázadban találkozott össze az elméleti áramlástan és a gyakorlatra orientált
hidraulika.
13.1. A súrlódási veszteség
Tekintsük a 13.1. ábrát, ahol egy vízszintes, egyenes, állandó kerHV]WPHWV]HWFVOiWKDWy
l
13.1. ábra
$ FV EHQ iOODQGy VU VpJ N|]HJ iUDPOLN $] iUDPOiV OHJ\HQ VWDFLRQiULXV D] LGfüggvényében nem változik a térfogatáram). Ha felírjuk a Bernoulli-egyenlet erre az esetre
alkalmazható (4.31) alakját a ρ VU VpJJHOYpJLJV]RUR]YDD]D]Q\RPiVGLPHQ]LyEDQD]
egy áramvonalon egymástól l WiYROViJUDOpYpVSRQWN|]|WWD]DGyGLNKRJ\ S S = ,
D]D] D Q\RPiV D FV KRVV]D PHQWpQ D %HUQRXOOL-egyenlet alkalmazásával a
súrlódásmentességet feltételezve) nem változik. Valóságos közeg áramlása esetén
azonban S S < , azaz az 1 és 2 pontban nem azonos a Bernoulli-összeg:
ρ ρ ρ ρ
v
p U
v
p U12
1 122
2 22 2+ + > + + .
(A Y és Y D F V DGRWW NHUHV]WPHWV]HWpEHQ pUYpQ\HV iWODJVHEHVVpJ DPL D J\DNRUODW
szempontjából elfogadható közelítés.) A Bernoulli-összeg tehát a súrlódás következtében
az áramlás irányában csökken. $QQDN pUGHNpEHQ KRJ\ D HJ\HQOWOHQVpJEO
egyenlet legyen, D] iUDPOiV LUiQ\iEDQ WiYRODEE OpY SRQWUD YRQDWNR]y %HUQRXOOL-
összeget meg kell növelni a két pont közötti Bernoulli-összeg csökkenéssel, amit ∆ S -
vel jelölünk és súrlódási veszteségnek nevezünk:
ρ ρ ρ ρv
p Uv
p U p12
1 122
2 22 2+ + = + + + ∆ '
(13.2)
(13.1)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 133/195
133
A (13.2) összefüggést veszteséges Bernoulli-egyenletnek nevezzük.
$N|YHWNH]NEHQD ∆p' veszteség meghatározásának módjával foglalkozunk. Ebben igen
fontos szerepe voOWpVYDQDNtVpUOHWH]pVQHN(]pUWDN|YHWNH]DOIHMH]HWDQHPFVDNiUDP-
lásWDQL NtVpUOHWL PXQNiW QDJ\PpUWpNEHQ PHJN|QQ\tW GLPHQ]LyDQDOt]LVW YDJ\Buckingham-féle Π elméletet) ismerteti.
13.2. A dimenzióanalízis
Legyen a feladatunk a 13.1. ábrán láthatóFV EHQEHN|YHWNH]∆ S súrlódási veszteség álta-
lános kísérletiYL]VJiODWD(OV]|UPHJNHOOKDWiUR]QLD]RNDWDIL]iNDLMHOOHP]NHWDPHO\HN
befolyásolhatják a ∆p Pa' pUWpNpWFVKRVV]l m , viszkozitás, µ kg m s / / , az áramló
N|]HJVU VpJHρ kg m / 3 FViWPpU d m , átlagos áramlási sebesség, v m s / . Felté-
WHOH]]NKRJ\DFVEHOVIDODVLPDH]pUWD]pUGHVVpJJHOQHPIRglalkozunk (ld. KéV EE
A feladat tehát a
∆p f d v' , , , ,= l µ ρ1 6
függvénykapcsolat meghatározása mérésekkel.(]SO~J\YpJH]KHWHOKRJ\D]|WIg-
getlen változó közül négynek rögzített értékénél az ötödiket változtatjuk és mérjük a változ-
WDWiVKDWiViWDYHV]WHVpJUH(]WN|YHW
HQDQpJ\YiOWR]yN|]OYDODPHO\LNpUWpNpWPHJYil-toztatjuk és ismét végigmérjük az ötödik változásának hatását a ∆ S -re. Belátható, hogy va-
lamennyi változó koPELQiFLyNLPpUpVHLJHQKRV]~LGHLJWDUWDQD(]pUWNHGYH]KRJ\YDQ
HJ\RO\DQPyGV]HUDGLPHQ]LyDQDOt]LVDPLYHODYiOWR]yNV]iPiWMHOHQW VHQFV|NNHQWKHt-
jük.
Az általunk vizsgált feladatoknál a mértékrendszerünk három alap fizikai mennyiségét
alkalmazzuk: D W|PHJHW >NJ@ D KRVV]DW >P@ pV D] LGW >V@ Kiindulásként feltesszük,
KRJ\YDODPHQQ\L4PHFKDQLNDLPHQQ\LVpJGLPHQ]LyV]HPSRQWMiEyOHOiOOtWKDWyD]DODSI i-
zikai mennyiségek hatványainak szorzataként: Q kg m s= α β γ . Adott n > 3 fizikai meny-
nyiség: Q Q Qn1 2, , ......, . (Mint pl. a mi fenti n = 6 fizikai mennyiségünk.) Keressük mé-
réssel a F Q Q Qn1 2 0, , ......,1 6 = ismeretlen függvényt.
(13.3)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 134/195
134
$4IL]LNDLPHQQ\LVpJHNPpUWpNHJ\VpJHLDIHQWLHNV]HULQWHOiOOtWKDWyND]DOiEELPyGRQ
Q kg m s
Q kg m s
Q kg m s
a a a
a a a
a a an n n
1
2
1
11 21 31
12 22 32
1 2 3
=
=
=.........
Az a i j, NLWHYNHWLVPHUMNKLV]HQLVPHUWHNDMHOHQVpJEHQV]HUHSHWMiWV]yIL]LNDLPHQQ\LVé-
gek. Létezik-e
Π = Q Q Qk knk n
1 21 2 ....
DODN~DIL]LNDLPHQQ\LVpJHNKDWYiQ\DLQDNV]RU]DWDNpQWHOiOOtWKDWyGLPHQ]LyWODQNLIHMH]pV
és ha igen, hány egymástól független van? Írjuk fel a (13.5) összefüggés dimenzió egyenle-tét figyelembe véve (13.4) kifejezéseket:
Π = =kg m s kg m s kg m s kg m sa a a k a a a k a a a kn n n
n0 0 0 11 21 311
12 22 322
1 2 34 9 4 9 4 9... .
$HJ\HQOHWDODSMiQKiURPHJ\QOHWEOiOOyHJ\HQOHWUHQGV]HUKDWiUR]KDWyPHJ
a k a k a k
a k a k a ka k a k a k
n n
n n
n n
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
31 1 32 2 3
0
00
+ + + =
+ + + =
+ + + =
.....
.....
.....
A k k k n1 2, , ..... , QGDUDELVPHUHWOHQUHHJ\HJ\HQOHWEO iOOy OLQHiULV HJ\HQOHWUHQGV]HUW
kaptunk. Képezzük az ismert D L M NLWHYNEODGLPHQ]LyPiWUL[RW
a a a
a a a
a a a
n
n
n
11 12 1
21 22 2
31 32 3
...
....
....
!
"
$
###
A dimenziómátrix rangja r, ha létezik r-HGUHQG ]pUXVWyO NO|QE|] DOGHWHUPLQiQVD GH
nem létezik r+1-HG UHQG QHP QXOOD pUWpN DOGHWHUPLQiQVD ÈOWDOiEDQ U D] DODS IL]LNDL
PHQQ\LVpJHNV]iPiYDOHJ\HQOHVHWQNEHQU+DDGLPHQ]LyPiWUL[UDQJMDUD]HJ\Hn-
letrendszernek n-r független megoldása van (ennyi összetartozó k k k n1 2, ,.... pUWpNHNEOil-
ló csoport létezik), azaz n-r dimenziótlan ΠFVRSRUWNpSH]KHW(]D]WMHOHQWLKRJ\a kísér-
letileg vizsgálandó változók száma általában az alap fizikai mennyiségek számával,
HVHWQNEHQKiURPPDOFV|NNHQWKHW
(13.4)
(13.5)
(13.6)
(13.7)
(13.8)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 136/195
136
Most vegyünk fel ismét k1, k2, k3 értékeket:
1 0 00 1 0 2− ⇒ =Π ' / l d
A harmadik felvételre adódik:
0 10 1 1 1 13− − − ⇒ = =Π ' / / Reµ ρd v1 6
A dimenziótlan csoportokat kombinálhatjuk, szorozhatjuk konstanssal, vehetjük a recip-
URNXNDWVWE(]pUWFpOV]HU DΠ -k helyett az azokból képezett alábbi csoportok bevezetése:
Π∆
Π Π12
2 3
2
= = = =p
vd és
v d', / Re
ρ νl .
A kísérletek során tehát nem a (13.3) függvénykapcsolatot kell meghatározni, hanem a
F Π Π Π1 2 3
0, ,
1 6= függvényt (azaz nem kell olyan változatokat vizsgálni, amelyek ugyan-
azon Π értékeket adnak).
$FVV~UOyGiVLYHV]WHVpJ
Végezzünk el kísérleteket a 13.1. ábrán látható csövön an-
QDNpUGHNpEHQKRJ\DFV EHQNHOHWNH]YHV]WHVpJNO|Q-
E|] WpQ\H]NWO OG |VV]HIJJpV való függését,
azaz a Π Π Π1 2 3
= f ,
1 6függvényt megismerhessük. A kí-
sérletek eredménye a 13.2. ábrán látható, ahol a Π2 =l
d
függYpQ\pEHQYLWWNIHONO|QE|]iOODQGyΠ3 = Re érté-
keknél a Π∆
=S
Y
ρPpUWpUWpNHLW$KRJ\DQYiUKDWyYROWDYHV]WHVpJDFV KRVV]l d függ-
YpQ\pEHQOLQHiULVDQQ
Ezért írható:
∆p
v d
'Re
ρλ
22
= 1 6 l,
ahol a λ a 13.2. ábránOiWKDWyHJ\HQHVHNLUiQ\WpQ\H] MHDPLD5H\QROGV-szám függvénye.
λ − t FVV~UOyGiVLWpQ\H]QHN nevezzük.
l
13.2. ábra
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 138/195
138
Eredményül a 13.3. ábrán látható görbéket kapjuk. Látható, hogy lamináris áramlás ese-
WpQD]pUGHVVpJQHNQLQFVHQKDWiVDDFVV~UOyGiVLWpQ\H]UH7XUEXOHQViUDPOiV5H!
HVHWpQYLV]RQWD]pUGHVVpJKDWiVDMHOHQW V: ak
dáll= .J|UEpNQ|YHNY5HHVHWpQ
egy adott Reh határ Reynolds-szám értékig azonos görbén futnak, Re Re> h esetén elvál-QDNHJ|UEpWOpVYt]V]LQWHVEHPHQQHNiW(EEHQD5H\QROGV-szám tartományban λ tehát
csak ak
dIJJYpQ\H$]WDJ|UEpWDPHO\EODNO|QE|]pUGHVVpJFV|YHNKH]WDUWR]yJ|r-
bék kiágaznak, az
12 0 8
λλ
turbturb= −lg Re .4 9
összefüggés írja le. Egy adott, Re Re<h
Reynolds-szám esetén (amikor a λ értékét a
|VV]HIJJpVVHOOHtUWJ|UEpQWDOiOMXNPHJWHKiWKLiEDFV|NNHQWMNDFVIDOiQDNpr-
dességét, a λ értéke változatlan marad. (J\FVDGRWW5H\QROGV-számon hidraulikailag
VLPDKDFV|NNHQWYHD]pUGHVVpJHWDFV VXUOyGiVLWpQ\H]pUWpNHQHPYiOWR]LNA hidra-
uOLNDLODJVLPDFV|YHNFVV~UOyGiVLWpQ\H] MpWD5H\QROGV-szám ismeretében a (13.12) ösz-
szeIJJpVEOYDJ\D]H]WD4000 105≤ ≤Re tartománybDQMyON|]HOtW Blasius-képlettel:
λ turb =0 3164
.
Re
határozzuk meg.
13.3 ábra
$FVIDOpUGHVVpJHO]HNEHQOHtUWKDWiViWD]DOiEELPyGRQPDJ\DUi]KDWMXNPHJ/iWWXN
hogy a lamináris áramlásban az érdességnek nem volt befolyása a λ értékére. Korábban
megállapítottuk, hogy a turbulens határrétegek alján egy viszkózus alapréteg van (ld.
10.3.fejezet), amelynek yv vastagsága fordítottan arányos az u* fali csúsztatófeszültséggel,
hiszeny uv
*
ν= 10 érvényes a réteg vastagságára, azaz
yu
v = 10ν*
. (13.14)
(13.12)
(13.13)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 139/195
139
Másrészt egy l KRVV]~ViJ~FV EHQiUDPOyIRO\DGpNUDIHOtUKDWyDQ\RPiVNO|QEVpJE OV]ir-
PD]yHU pVDτ0 IDOLFV~V]WDWyIHV]OWVpJEOV]iUPD]yHU HJ\HQV~O\D
∆pd
v
d
dd'
22
2
0
4 2 4
π ρλ
πτ π= =
ll
DPLEO
τρ λ
02
2 4= v
.
Figyelembe véve (13.14) összefüggést és hogy u* =τ
ρ0 , a viszkózus alapréteg vastagsá-
gára átalakítások után adódik:
y
dv =
20 2
λ Re .
λ helyébe a Blasius-NpSOHWHWtUYDDFViWPpU K|]YLV]RQ\tWRWWYLV]Ny]XVDODSUpWHJYDVWDg-
ságra kapjuk:
y
d
Konstv =.
Re / 7 8 .
A viszkózus alapréteg vastagsága a Reynolds-szám növekedésével csökken, tehát egy
adott határ Reynolds-szám (Reh I|O|WWDFVIDOpUGHVVpJpQHNPpUHWHPHJKDODGMDD]
yv -WD]D]D]pUGHVVpJFV~FVRNÄNLOyJQDN´DYLV]Ny]XVDODSUpWHJEOpVHNNRUDFVIDO
érdessége befolyásolja a λ értékét. Ha Re Re< h D]D]DFVKLGUDXOLNDLODJVLPDDNNRU
az érdesség cV|NNHQWpVpQHND]HO]HNEOEHOiWKDWyRNRNPLDWWQLQFVEHIRO\iVDD λ értéké-
re.
Nem homokszemcsékkel érdesített csövek, pl. acélcsövek esetén az érdesség mérete válto-
zó, tehát a Reynolds-szám növekedésével fokozatosan egyre több érdességcsúcs kerül ki a
viV]Ny]XVDODSUpWHJEO(]pUWD]pUGHVVpJD5H\QROGV-szám növekedésével fokozatosan nö-
YHNYPpUWpNEHQEHIRO\iVROMDDFVV~UOyGiVLWpQ\H]pUWpNpW0LXWiQD]pUGHVVpJPpUWpNH
V]pOHVKDWiURNN|]|WWQHPIJJDFV iWPpU WOFVDNDFVJ\iUWiVWHFKQROyJLiMiWyOD relatív
pUGHVVpJMHOOHP]pVpUHDFViWPpUWKDV]QiOKDWMXN : minél nagyobb d, adott érdességnél
annál kisebb a relatív érdesség. Egy adott technológiával készült acélcsövekre vonatkozó
λ − Re görbéket kétszer logaritmikus diagramban a 13.4. ábra mutatja.
(13.15)
(13.16)
(13.17)
(13.18)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 140/195
140
1HP N|U NHUHV]WPHWV]HW FV|YHN YHV]WHségé-
QHN V]iPtWiViUD D] HJ\HQpUWpN iWPpUW Ye-
zetjük be:
d AKe = 4
ahol A A m2 D FVNHUHV]WPHWV]HW QDJ\ViJD
K m az ún. nedvesített kerület, azaz a ke-
resztmetszet kerülete azon szakaszának hossza, ahol az áramló közeg az álló fallal
érintkezik.+DD]iUDPOiVNLW|OWLDFVNHUHV]WPHWV]etet, akkor K a teljes kerület, az árokban
IRO\yYt]HVHWpQSHGLJDWpQ\OHJHVHQÄQHGYHVtWHWW´NHUOHW$FVV~UOyGiVLYHV]WHVpJHWQHP
kör keresztmetV]HW FV|YHNHVHWpQLV D |VVzefüggéssel számoljuk azzal a különb-
séggel, hogy a d csiWPpUKHO\pEHDGH HJ\HQpUWpN iWPpUN erül:
∆p vd e
' Re=ρ
λ2
2 l 1 6, ahol
Re =v de
ν
(Fenti összefüggésekben v m s / DYDOyViJRVFVNHUHV]WPHWV]HWWHOV]iPROWiWODJVHEHVVpJ
A Reynolds-szám ismeretében a λ FVV~UOyGiVLWpQ\H]WD5HpUWpNpWOIJJHQD
vagy (13.13) összefüggéssel vagy λ − Re diagram használatával határozhatjuk meg.
+DDFVWpJODODSNHUHV]WPHWV]HWpVD]ROGDOYLV]RQ\UDIHQQiOOa
b< 0 5. , akkor a λ számí-
tásához a Reynolds-szám értékét a Re = Φv de
νösszefüggéssel számolt Reynolds számmal
határozzuk meg a szokott módon, ahol Φ ≅ + −
2
3
11
242
a
b
a
b.
$IHMH]HW YpJpQ GHILQLiOWXND NLDODNXOW FViUDPOiVW pVD]W D] l NH]GHWLFVKRVV]DW
DPHO\PHQWpQDFV EHW|UWpQEH|POpVWN|YHWHQDNLDODNXOWiUDPOiVOpWUHM|Q$NLDODNXOW
FViUDPOiV OpWUHM|WWpKez a tapasztalat szerint nagyobb nyomásesésre van szükség, mintamennyi az adott Reynolds-számnál az adott lk egyenes csövön kialakult áramlás esetén
keletkezik. Ezt a többlet veszteséget ∆p be' beömlési veszteségnek nevezzük és a
∆p vbe be' =ρ
ζ2
2
összefüggéssel határozhatjuk meg, ahol ζbe a EH|POpVL YHV]WHVpJWpQ\H] DPHO\QHN
számértéke megmutatja, hogy az átlagsebességgel számolt dinamikus nyomás hány-
szorosa a beömlési veszteség.$ODPLQiULVFViUDPOiVHVHWpQζbe ≅ 1 2. , turbulens esetben
a beömlési veszteség lényegesen kisebb (ζbe ≅ 0 05. ), ezért azt általában elhanyagolják.
13.4. ábra
(13.19)
(13.20)
(13.21)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 141/195
141
A ζYHV]WHVpJWpQ\H]WLJHQJ\DNUDQDONDOPD]]XN+DHJ\DGRWWJHRPHWULiM~pUGHVVpJ FV
LGRP YHV]WHVpJpQHN IJJpVpW YL]VJiOMXN D] D]W EHIRO\iVROy WpQ\H]NWO DNNRU D
∆p F v d' , , ,= ρ µ1 6 függvénykapcsolatot kívánjuk felderíteni. Ha a 13.2. fejezetben bemuta-
tott dimenzióanalízist erre az esetre alkalmazzuk, ahol 5 dimenziós változó van, 5 3 2− =
GLPHQ]LyWODQFVRSRUWRWiOOtWKDWXQNHO
Π∆
Π12
2
2
= = = =p
vés
v d'Re
ρζ
ν .
$]DGRWWFVLGRPYHV]WHVpJpWWHKiWDζ ζ= Re1 6 összefüggés megadásával lehet jellemezni,
D]D]DGRWWFVLGRPYHV]WHVpJWpQ\H] MHFVDND5H\QROGV-szám függvénye, de a szokott Re
WDUWRPiQ\EDQUHQGV]HULQWiOODQGyQDNWHNLQWKHW
&VLGRPRNiUDPOiVLYHV]WHVpJH
$]HO]IHMH]HWEHQD]HJ\HQHVFVV~UOyGiVLYHV]WHVpJpWWHNLQWHWWNiWHEEHQpedig a kü-
O|QE|]FVLGRPRNpW
Borda-Carnot átmenet
Tekintsük a 13.5. ábrát, ahol egy hirtelen ke-
resztmetszet növekedéssel jellemzett ún.Borda-Carnot átmenetet mutatunk be. A
berajzolt áramvonalak a valóságos áramlás-
hoz közelálló áramképet mutatják be. Alkal-
mazzuk az impulzustételt annak érdekében,
hogy a Borda-Carnot átmenet veszteségét, az ún. Borda-Carnot veszteséget: ∆p BC' meg-
határozzuk. Legyen az áramlás stacionáULXVD]iUDPOyN|]HJVU VpJHSHGLJiOODndó. Raj-
]ROMXNIHOD]HOOHQU]IHlületet, valamint a P és I YHNWRURNDW$]HOOHQU]I elületen ható,
V~UOyGiVEyO V]iUPD]y HU NHW HOKDQ\DJROMXN $ IHMH]HWEHQ WDQXOWDN DODSMiQ tUKDWy− + = −I I P P1 2 1 2 , azaz
− + = − +ρ ρv A v A p A p A12
1 22
2 2 2 1 2 .
(A jobb oldal utolsó tagja felírásánál azt a kísérleti tapasztalatot használtuk fel, hogy a
teQJHO\UHPHU OHJHVN|UJ\U DODN~IHOOHWHQDQ\RPiVMyN|]HOtWpVVHOiOODQGypVPHJHJ\ e-
zik az A1 keresztmetszetben uralkodó nyomással.)
Tekintettel arra, hogy a kontinuitás következtében ρ ρv A v A1 1 2 2= , behelyettesítés és azegyenlet mindkét oldala A2 -vel való osztása után adódik:
(13.22)
13.5. ábra
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 142/195
142
p p v v vBC2 1 2 1 2− = −1 6 1 6ρ
.
Ha az áramlás súrlódásmentes volna, akkor a Bernoulli-egyenlet alkalmazásával számol-
hatnánk az „ideális” nyomáskülönbséget:
p p v vid2 1 1
222
2− = −1 6 4 9ρ
.
Az „ideális” és a valóságoshoz közelálló, (13.23) összefüggéssel megadott nyomás-
különbség különbsége a súrlódás következtében létrejöv~Q Borda-Carnot veszteség:
∆p p p p p v v v v vBC id BC' = − − − = − − −2 1 2 1 1
222
2 1 221 6 1 6 4 9 1 6ρ
ρ ,
DPLEOHJ\V]HU VtWpVHNpViWDODNtWiVRNXWiQDGyGLN
∆p v vBC' = −ρ
2 1 221 6
A Borda-Carnot veszteség az egyik legfontosabb veszteségforrás, amelynek hatását
V]iPRVPiVFVLGRPEDQLVIHOIRJMXNIHGH]QL
Kilépési veszteség
A Borda-&DUQRWYHV]WHVpJHJ\LNJ\DNUDQHOIRUGXOyVSH-
ciális esete a kilépési veszteség, amely akkor keletkezik,
KDDN|]HJHJ\FVEOQDJ\WpUEHSOHJ\WDUWiO\EDiUDm-
lik (ld. 13.6. ábra). Alkalmazzuk a Borda-Carnot veszteség
(13.24) kifejezését, figyelembe véve, hogy v2 0= , azaz a tar-
WiO\EDQ OpY VHEHVVpJD N|]HJ V~UOyGiV PLDWWL OHIpNH]GpVH
következtében zérus:
∆p ki' = −ρ
201
2v1 6 =
ρ
2 12v.
(13.23)
(13.24)
13.6. ábra
(13.25)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 143/195
143
Szelepek, tolózárak, csappantyúk
A szelepek, tolózárak, csappantyúk (ld. 13.7. áb-
ra) vesztesége is nagyrészt a Borda-Carnot veszte-
VpJUHYH]HWKHW
YLVV]DH]HNHOPR]GXOyHOHPHLOe-V]NtWLND]iUDPOiVLNHUHV]WPHWV]HWHWH]iOWDOKLUWe-
OHQ NHUHV]WPHWV]HWQ|YHNHGpVM|Q OpWUH D OHV]NOW
keresztmetszet után. A szelepek, tolózárak áramlási
veszteségét is ζsz veszteségténye]YHO jellemez-
zük, amely a ∆p sz' YHV]WHVpJpVYDODPHO\MHOOHP]
sebességgel számolt dinamikus nyomás hányadosa.
A 13.7. ábraMHO|OpVHLWDONDOPD]YDHPHOMNNLD|VV]HIJJpVEODY2 -t,
∆p vv
vazaz
A
Asz sz' ,≅ −
≅ −
ρζ
21 12
2 1
2
22
1
2
.
Egy szelep (pl. a vízcsap) forgatása esetén a szelep és a szeleptányér közötti rést (azaz az
A1 keresztmetszetet) változtatjuk, ezáltal változik a ζsz YHV]WHVpJWpQ\H]pUWpNHLV3OD
csap zárása esetén A1HJpV]HQD]pUXVLJFV|NNHQPLN|]EHQDYHV]WHVpJWpQ\H] PLQGHQKa-
WiURQW~OQ$]HJ\UHQDJ\REEYHV]WHVpJWpQ\H]PLDWWDYt]YH]HWpNUHQGV]HUEHQOpYQ\o-
más hatására egyre kisebb v2 sebességgel áramlik ki a víz, azaz (teljes zárásig zérusra)
csökken a térfogatáram.
Hirtelen keresztmetszet-csökkenés
Tekintsük a 13.8. ábrát, ahol egy hirtelen keresztmet-
szet-csökkenés látható. A vázolt áramvonalaknak görbü-
lete alapján meghatározható a fal mellett a nyomás válto-
zása (az ábrán a nyilak a nyomás fal menti növekedése
irányába mutatnak). A bal oldali nyíl által jellemzett
nyomásnövekedés oka, hogy a közeg a „sarok” felé áram-
lik, aholWRUOySRQWDODNXONLDPHO\EHQDQ\RPiVQDJ\REEPLQWDWRUOySRQWHOWWLWpUEHQ$
KLUWHOHQNHUHV]WPHWV]HWFV|NNHQpVKHO\pQDWHQJHO\UHPHU OHJHVN|UJ\U DODN~IDOpVDN i-
sebb átméU MFVWDOiONR]iViQiODÄVDURN´N örül az áramlás felgyorsul, a nyomás lecsök-
NHQ$VDURNXWiQiUDPOiVLUiQ\iEDQKDODGYDDVHEHVVpJFV|NNHQWHKiWDQ\RPiVQ$
11.4.fejezetben láttuk, hogy az áramlás iráQ\iEDQ Q|YHNHG Q\RPiV HVHWpQ OHYiOKDW D]
áramlás.
Általánosságban megállapítható, hogy az áramlást határoló szilárd felület hirtelen
irányváltozásainál („sarkok” közelében) fal melletti, áramlás irányú nyomásnöve-
kedéssel és így határréteg leválás esélyével számolhatunk. Ha a sarok „homorú” (ld.
13.7. ábra
(13.26)
13.8. ábra
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 144/195
144
13.8. ábra$DNNRUD]LUiQ\YiOWR]iVHOWWKDÄGRPERU~´OG13.8. ábra B) az irányváltozás
után jöhetnek létre a határréteg leválás feltételei.
Az adott esetben két helyen következik be határréteg leválás: az A-val és a B-vel jelölt he-
O\HQ$]XWyEELOHYiOiVN|YHWNH]WpEHQDNLVHEEiWPpU
M
FV
HOHMpQD]ÄHJpV]VpJHV´ áram-lási kerHV]WPHWV]HW OHV]NO PDMG XWiQD %RUGD-Carnot átmenethez hasonló sebes-
ségkiHJ\HQOtWGpVPHJ\YpJEH, ami – mint láttuk –MHOHQWVYHV]WHVpJJHOMiU$NHUHV]W -
PHWV]HWOHV]NOpVHLOOD]H]WMHOOHP]α =A
A
'1
1
NRQWUDNFLyVWpQ\H]pUWpNHDNHUHV]Wmet-
szetviszony (A
A1
0
) függvénye, ami a tapasztalatok szerint α ≅ +
0 6 0 4 1
0
2
. .A
A, azaz minél
nagyobb a keresztmetszetek hányadosa, annál jobban összehúzódik az áramlás. A hir-
WHOHQNHUHV]WPHWV]HWFV|NNHQpVYHV]WHVpJpQHNW~OQ\RPyUpV]pWDNLVHEEiWPpU M FV EHQ
beN|YHWNH]%RUGD-Carnot veszteség teszi ki, tehát írható (ld.(13.24) összefüggés):
∆p v v vhk' '= − = −
ρ ρ
α2 2
111 1
212
2
1 6.
(Általánosságban megállapítható, hogy gyorsuló áramlások vesztesége általában ki-
csiny. A lassuló áramlásoknál lehet nagyobb veszteségekkel számolni. Lassuló áram-
lások az áramlási keresztmetszet növekedése, vagy az áramlási irány változása követ-
keztében jöhetnek létre.)
$ |VV]HIJJpVEO OiWKDWy KRJ\ D KLUWHOHQ NHUHV]WPHWV]HW FV|NNHQpV YHV]WHség-
WpQ\H] MHDNLVHEENHUHV]WPHWV]HWFV EHQOpYiWODJVHEHVVpJJHOV]iPROWGLQDPLNXVQ\R-
másra vonatkoztatva):
ζα
hk = −
11
2
.
,O\HQYHV]WHVpJNHOHWNH]LNSOHJ\WDUWiO\EyOHJ\FV EHW|UWpQEHiUDPOiVQiOKDDWDUWiO\I a-
ODpVFVN|]|WWLiWPHQHWQLQFVHQOHNHUHNtWYH$IHMH]HWEHQWiUJ\DOW%RUGD-féle kifolyó-
nyílás esetén pl. α = 0 5. , tehát e veszteséget jellemzζhk = 1+DDFVQHPQ\~OLNEHD
tarWiO\EDD]DIHQWLNLIHMH]pVpEOA
A1
0
0≅ -hoz α ≅ 0 6. NRQWUDNFLyVWpQ\H]WDUWR]LNDPLYHO
ζhk = 0 44. .
Diffúzor
$] iUDPOiV LUiQ\iEDQ EYO FVWROGDWRNDW QHYH]]N GLII~]RURNQDN V]HPEHQ D NRQI~-
zorokkal, amelyek keresztmetszete az áramlás irányában csökken). A diffúzorokban áram-
OiVLUiQ\iEDQFV|NNHQDVHEHVVpJQDQ\RPiV$IHMH]HWEHQOiWWXNKRJ\LO\HQHVHt-
(13.27)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 145/195
145
ben a fal mellett kialakuló határréteg rohamosan vastagszik, ill. leválhat. Tekintsük a 11.8.
ábrát, ahol egy diffúzor és alatta a diffúzor tengelye menti nyomásmegoszlás látható súrló-
dásmentes („ideális”) és valóságos esetben. A (11.5) összefüggéssel definiált ηG
diffúzorhatásfok ismeretében valamint (11.4) összefüggés figyelembevételével a diffúzor
súrlódási vesztesége ∆p diff ' meghatározható. A veszteség ugyanis az „ideális” és valósá-
gos nyomásnövekedés különbsége:
∆p diff ' = − − −p p p pid val2 1 2 11 6 1 6 = − −1
2 12
22η
ρd v v1 6 4 9
,WWMHJ\H]]NPHJKRJ\DGLII~]RUYHV]WHVpJHMHOHQWVPpUWpNEHQIJJDGLII~]RUEDEHOpS
VHEHVVpJPHJRV]OiVMHOOHP]LWO+DDIDON|]HOpEHQOpYiUDPOiVLVHEHVVpJHNPiUDEHOp -
pésnél viszonylag kicsik („csúcsos” a sebességprofil), a határréteg hamar levál LNpVDNLOpS
NHUHV]WPHWV]HWMHOHQWVUpV]pQOHV]YLVV]DiUDPOiV(]D]WMHOHQWLKRJ\DGLII~]RUVRNNDON e-vésbé lassítja le az áramlást, mint az a geometriai viszonyokból adódna. Ezért a valóságos
nyomásnövekedés sokkal kisebb, mint a keresztmetszetviszony alapján számolt érték, azaz
ηd kicsi és a (13.28) összefüggéssel számolt diffúzor súrlódási veszteség nagy.
$GLII~]RUEyONLOpSN|]HJVHEHVVpJPHJRV]OiVDDIHQWLHNEON|YHWNH]HQiOWDOiEDQHJ\Hn-
OWOHQ+DDGLII~]RUNLOpSNHUHV]WPHWV]HWHHJ\FV EHQIROytaWyGLNHEEHQD]HJ\HQOWOHQ
iUDPOiVLVHEHVVpJNLHJ\HQOtWGLN(]DVHEHVVpJNLHJ\HQOtWGpVKDVRQOyD%RUGD-Carnot át-
menetben (13.5. ábraWDSDV]WDOKDWyMHOHQVpJKH]DQ\RPiViUDPOiVLUiQ\iEDQQ GHNHYps-
EpPLQWD]DVHEHVVpJFV|NNHQpVpEOYHV]WHVpJPHQWHVHVHWEHQDGyGQDD]D]MHOHQWVYHV]We-
ség keletkezik. Mégis ez a nyomásnövekedés növeli a diffúzor hatásfokát.
&VtYHNN|Q\|N|N
A csövekben áramló közegek irányYiOWR]iVDLQiODFVtYHNEHQN|Q\|kök EHQMHOHQWVV~r-
lódási veszteségek keletkezhetnek, amelyeket ugyancsak ζ veszteVpJWpQ\H]YHO MHOOHm-
zünk. A veszteségek okai között a fali
csúsztatófeszültség általában alárendelt
szerepet játV]LN 1DJ\REE MHOHQWVpJH
van a 13.9. ábrán vázolt és a
11.5.fejezetben tárgyalt szekunder
áramlás keletkezésének, hiszen a több-
let mozgási energia létrehozásához
többlet nyomáskülönbségre van szük-
VpJpVD]tJ\NHOHWNH]PR]JiVLHQHr-
gia nem hasznosul: legnagyobb része a
súrlódás követNH]WpEHQ KYp DODNXO
Nagy veszteséget okozhat a határréteg
(13.28)
13.9 ábra
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 146/195
146
leválás következtében létrejöYN eUHV]WPHWV]HWV]NOpVPLDWWL%RUGD-Carnot veszteség. Az
HO] PHggondolások alapján a 13.9. ábrán felrajzoltuk a fal mellé a nyomásnövekedést
mutató nyilakat, és berajzoltuk a határréteg leYiOiVDIRO\WiQOpWUHM|Y~Qleválási buboré-
kokat és az azok által okozott keUHV]WPHWV]HWV]NOpVHNHW/iWKató, hogy az irányváltás
XWiQLOHYiOiVRNR]KDWMHOHQWVYHVzWHVpJHW$FVtYHNN|Q\|N|NYHV]WHVpJpWNpWIpOHNpSSHQszokták csökkenteni: az átmenetek lekerekítésével ill. az R/d relatív görbület (ld. 13.9. ábra)
Q|YHOpVpYHO YDJ\ WHUHOODSiWRN Dlkalmazásával, amelyekkel naJ\REE UHODWtY J|UEOHW
rész-íveket ill. rész-könyököket hozunk létre.
$ IHQWLHNEHQ iWWHNLQWHWW IRQWRVDEE FVLGRPRNRQ NtYO W|EEPiV LWW QHP WiUJ\DOW YHV]-
teségforrás vaQSO]VDOXNFVHOiJD]iVRNDPHO\HN YHV]WHVpJWpQ\H]LW V]DNN|Q\YHNEO
katalóJXVRNEyOJ\iUWPiQ\LVPHUWHWNEOOHKHWNLYHQQL
Itt jegyezzük meg, hogy a ζYHV]WHVpJWpQ\H]NpVDλFVV~UOyGiVLWpQ\H]V]iPolt vagy
kaWDOyJXVEyOV]DNLURGDORPEyONLYHWWpUWpNHLDYDOyViJRVDONDOPD]iVRNQiOFVDNN|]HOtWHQ
helyesek, hiszen a képletek ill. mért értékek nem veszik figyelembe a súrlódási veszteség-
források egymásrahatását. Belátható, hogy a (13.11) vagy (13.13) összefüggéssel számolt
értékWOHOWpUDQQDNDFVQHNDλFVV~UOyGiVLWpQ\H] MHDPHO\HOWWHJ\KLUWHOHQNHUHV]t-
metszet növekedés (Borda-Carnot átmenet) van, hiszen a λ – legalábbis a kezdeti szakaszon
– függ a FV EHYDOyEHiUDPOiVMHOOHP]LWO8J\DQFVDNQHPN|]|PE|VHJ\FVtYζ veszte-
ségtényez jének értéNHV]HPSRQWMiEyOKRJ\HOWWHHJ\HQHVFVYDJ\HJ\PiVLNFVtYYDQ
(]XWyEELHVHWEHQSOD]LVMHOHQWVHQEHIRO\iVROKDWMDDPiVRGLNFVtYζ veszteségtényez jének értékét, hogy a a két ív U vagy S alakot ír le.
$FVLGRPRNHJ\PiVUDKDWiVDiOWDOiEDQHO UHQHPV]iPROKDWyH]pUWSOFVYH]HWpNHNPpUH-
tezésénél a számítással ill. táblázatok alkalmazásával kapott eredményeket csak közelítés-
QHNWHNLQWKHWMN(]HQW~OPHQHQFVDNV]DEYiQ\RVFViWPpU WYiODV]WKDWXQND]D]iOWDOá-
EDQ HONHOO WpUQQND V]iPtWRWW pUWpNWO$GRWW iWiUDPOy WpUIRJDW HVHWpQ SHGLJ D iUDPOiVL
YHV]WHVpJDFViWPpU N|]HOKDWYiQ\iYDODUiQ\RVWHKiWDWWyOLJHQHU VHQIJJ(]pUWD
WHUYH]pVQpOHJ\UpV]WpVV]HU WDUWDOpNRWSODV]iPtWRWWQiOYDODPLYHOQDJ\REEWHOMHVtWPpQ\
YHQWLOiWRUW pV EHiOOtWiVL V]DEiO\R]iVL OHKHWVpJHW NHOO EHpStWHQQN D UHQGV]HUEH KRJ\ D
számítás pontatlansága miatt szükségessé váló korrekciót a rendszer felépítése után végre
tudjuk hajtani. Vigyázni kell ugyanakkor arra, hogy ez az utólagos beállítás, szabályozás ne
okozzon fölösleges energiaveszteséget. Hibás megoldás például, ha egy óvatosságból na-
gyon túlméretezett ventilátor légszállítását egy csappantyú, (azaz egy többlet súrlódási
veszteség forrás) beiktatásával csökkentjük a kívánt értékre. Ilymódon ugyanis a csappan-
W\~QNHOHWNH]DUHQGV]HUIXQNFLyMDWHNLQWHWpEHQI|O|VOHJHVYHV]WHVpJQ|YHOLDYHQWLOiWRU
hajtásához szükséges energia költségét.
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 147/195
147
gVV]HQ\RPKDWyN|]HJiUDPOiVDFVEHQ
$] HGGLJLHNEHQ IHOWpWHOH]WN KRJ\ D FVYH]HWpNEHQ iUDPOy N|]HJ VU VpJH iOODQGy (z
FVHSSIRO\yVN|]HJHNHVHWpQDV]yEDM|KHWQ\RPiVRNHVHWpQpVDNDYLWiFLyWNL]iUYDJi]RN
esetén pedig az abszolút nyomás 10%-át meg nem haladó nyomásváltozások esetén igen jó
N|]HOtWpV*i]RNKRVV]~FV|YHNEHQW|UWpQiUDPOiVDHVHWpQD]RQEDQHOIRUGXOKDW hogy a
YHV]WHVpJN|YHWNH]WpEHQDQ\RPiVD]DEV]RO~WQ\RPiVKR]NpSHVWMHOHQW VHQFV|NNHQH]]HO
HJ\WWFV|NNHQDVU VpJQDVHEHVVpJ7LSLNXVSpOGiLHQQHND]HVHWQHNDVUtWHWWOHYHJ
YH]HWpNUHQGV]HUHN+RJ\DQNHOOHEEHQD]HVHWEHQV]iPROQLDFVV~UOydási veszteséget?
Tekintsük a 13.10. ábrát, ahol egy L m hosszúságú, D m iWPpU M FVYH]HWpN HJ\
13.10. ábra
szakasza látható. Hanyagoljuk el a súrlódási veszteséghez képest a gáz felgyorsításához
V]NVpJHV Q\RPiVNO|QEVpJHW $ FV G[ KRVV]~ViJ~ V]DNDV]iQ D FVV~UOyGiVL YHV]WHVpJ
miatti nyomásváltozás (nyomáscsökkenés):
− =dp vdx
D
ρλ
2
2
.
$EDOROGDORQDQHJDWtYHO MHOUHD]pUWYDQV]NVpJPHUWDQ\RPiVD][WHQJHO\PHQWpQ
csökken.) Fejezzük ki az átlagsebességet:
vq
Am=
ρ ,
ahol qkg
sm
!
"
$
# D FV EHQ iUDPOy Ji] W|PHJiUDPD AD
=2
4
π D FV NHUHV]WPHWV]HWH $
(13.30) kifejezést (13.29)-be helyettesítve és a gáztörvény ρ =p
R Talakját a ρ kifejezésére
IHOKDV]QiOYDHJ\V]HU VtWpVXWiQDGyGLN
− =dpq R T
p A Ddxm
2
22
λ,
ami szétválasztás és integrálás után a
(13.29)
(13.30)
(13.31)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 148/195
148
− =I I p dpq R T
A Ddx
p
pm
L
1
2 2
20
2
λ
alakra hozható. A jobb ROGDOLLQWHJUDQGXV]WpQ\H]LU OD7KPpUVpNOHWpVDλFVV~UOyGiVL
WpQ\H]NLYpWHOpYHOEHOiWKDWyKRJ\DFVKRVV]DD][PHQWpQQHPYiOWR]LN$FVIDORQ
NHUHV]WOW|UWpQKiWDGiVPLDWWD]iUDPOyJi]7KPpUVpNOHWHDWDSDV]WDODWV]HULQWDFV
hossz mentéQMyN|]HOtWpVVHOiOODQGy$FV V~UOyGiVLWpQ\H]λ DFVIDOUHODWtYpUGHVVpJpV
a Reynolds-V]iPIJJYpQ\H(O EELDFVKRVV]PHQWpQiOODQGy$5H\QROGV-szám kifeje-
zése a (13.30) felhasználásával átalakítható:
Re = = =v D q D
A
q D
Am m
ν ρ ν µ.
Tekintettel arra, hogy a dinamLNDL YLV]NR]LWiV FVDN D KPpUVpNOHW IJJYpQ\H OG
1.2.fejezet) és T áll≅ . D FVKRVV] PHQWpQ Re .≅ áll és λ ≅ áll. eredményre jutunk. A
(13.31) összefüggés az integrálás után és ρ12 -tel szorozva és osztva:
A gáztörvényt valamint (13.30) összefüggést figyelembe véve írható:
p p p v LD
1
2
2
2
1 1 122 2− = ρ λ
,
DKRODMREEROGDORQIHOLVPHUMND]|VV]HQ\RPKDWDWODQN|]HJHVHWpUHDFVHOHMpQOpYiOOa-
potra vonatkozó ∆p ink' kifejezést, amellyel írható:
p pp p ink
12
22
12
−= ∆ '
+DLVPHUMNDFVHOHMpQD]SRQWEDQDYLV]RQ\RNDWDFVYpJpQDSRQWEDQDQ\RPiVD
(13.33) összefüggéssel kiszámítható.
ÈUDPOiVQ\tOWIHOV]tQFVDWRUQiNEDQ
A 13.11. ábrán egy csatorna látható, amelyben víz fo-
lyik egyenletes sebeséggel (kialakult áramlás), azaz a
FVDWRUQDHVpVHPLDWWDYt]UHKDWyV~O\HU FVDWRUQDLU á-
nyú komponensével éppen egyensúlyt tart a folyadék
iUDPOiViW IpNH] V~UOyGiV /HJ\HQ D] l csatorna-hosszra jutó, a ∆p' iUDPOiVLYHV]WHVpJQHNPHJIHOHOYt]V]LQWPagasságkülönbség ∆h' , ami
p p q R T L
A Dm1
222 2
212
122 2
−=
λ ρ
ρ.
(13.32)
(13.33)
(13.34)
13.11. ábra
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 149/195
149
D]HO]HNV]erint éppen a súrlódási veszteséget fedezi. A nem kör keresztmetV]HWFV|vek
áramlási veszteségére felírt (13.20) összefüggés mindkét oldalát ρg-vel osztva írható:
∆hv
g de
' =2
2
lλ
,
ahol dA
Ke =4
HJ\HQpUWpN iWPpU OG|VV]HIJJpV(VHWQNEHQ$D]iUDPOiVLN e-
UHV]WPHWV]HW.SHGLJD]iUDPOyYt]PHGHUUHOpULQWNH]NHUOHWHOG13.11. ábra). Vezessük
be az ih
=∆ '
l
esést és helyettesítsük be a (13.35) összefüggésbe, majd fejezzük ki az átlag-
sebességet:
v
g d
i C d i ahol C
gee= = =
2 2
λ λ, .
A (13.36) összefüggést Chézy-képletnek szoktuk nevezni. λ = 0 02 0 03. ~ . közötti értékkel
C ≅ 25.
13.7. Alkalmazási példák
A veszteségek számításának bemutatására két feladat megoldását vázoljuk.
Házi vízellátó rendszer szivattyújának kiválasztása
A 13.12. ábrán HJ\N~WOiWKDWyDPHO\EHHJ\V]LYDWW\~KR]FVDWODNR]yFVQ\~OLNEH
13.12. ábra
$V]LYDWW\~XWiQHJ\N|Q\|N|NEOV]HOHSEOpVHJ\HQHVFVV]DNDV]RNEyOiOOyYH]HWpNN ö-
vetkezik, amely egy diffúzoron keresztül csatlakozik a tartályhoz. A tartályban víz van, fe-
lette pedig a p0 NOVQ\RPiVQiOQDJ\REELVPHUW túlnyomás: S W $V]LYDWW\~HOWWLFV
szakasz elején egy lábszelep van, amely megakadályozza, hogy a szivattyú leállása után a
YH]HWpNEODN~WEDYLVV]DIRO\MpNDYt]
(13.35)
(13.36)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 151/195
151
∆p vdsz
'∑ = +
ρζ λ
22
11
1l
.
ρ ρ ρ ρv
p Uv
p U pny
ny ny ny
222
2 22 2+ + = + + + Σ∆ '
ahol
∆p vd d d d
v v v
ny k sz k k
d D D
'
.
=∑ + + + + + + +
+
+ − − +
ρλ ζ ζ λ ζ λ ζ λ
ηρ ρ
2
12 2
2 22
33
44
55
2 2 2
l l l l
1 6 4 9
A (13.42) összefüggés jobb oldalának utolsó tagja a tartály EDYDOyEHiUDPOiVQiONHOHWNH]
kilépési veszteség.
A (13.39) összefüggés jobb oldalán és a (13.41) összefüggés bal oldalán a szívó és a nyo-
móoldali össznyomást ismerjük fel. Figyelembe kell venni, hogy ; ; = = ,
U U g z zny sz ny sz− = −3 8, U U g h h2 1 2 1− = −1 6, p p1 0= , p p t2 = és miután a Reynolds-
V]iPYDODPHQQ\L FVszakaszban megegyezik, a λ λ λ1 2= = =. .. . . A (13.41) összefüggés
bal oldalából vonjuk ki a (13.39) összefüggés jobb oldalát! Átrendezés után kapjuk:
∆
Σ
p p p p p g h h g z z
v d v v v
ö nyö szö t ny sz
l sz k i d D D
= − = − + − − − +
+ + + + + − − +
0 2 1
2 2 2 22 3 1 2 2
ρ ρ
ρ ζ ζ ζ λ η ρ ρ
1 6 3 8
1 6 4 9l
.
ANRQWLQXLWiVW|UYpQ\pEO v d v DD2 2= . A λ FVV~UOyGiVLWpQ\H]W a Reynolds-szám
Re =v d
νNLV]iPtWiVDXWiQDQQDNpUWpNpWOIJJHn a (13.11) vagy a (13.13) összefüggéssel
KDWiUR]KDWMXNPHJKDDFVKLGUDXOLNDLODJVLPD+DQHPDNNRUWiEOi]DWRWYDJ\GLDJUDPRW
használunk a λ meghatározására.
$ pV |VV]HIJJpVEO OiWKDWy KRJ\a szivattyú szállítómagassága a tar-
tályban OpYQ\RPiVpVDNOVQ\RPiVNO|QEVpJpQHNYDODPLQWDPDJDVViJNO|Qb-VpJQHNDOHJ\]pVpUHIRUGtWyGLNpVIHGH]LD]|VV]HViUDPOiVLYHV]WHVpJHWA hálózati tel-
jesítményigény a PP
hálh
sz m
=η η
|VV]HIJJpVEOV]iPROKDWyDKROD]ηsz és ηm a szivattyú
és az azt hajtó motor hatásfoka.
ÈUDPOiVWDUWiO\RNDW|VV]HN|WFVEHQ
$]HO]IHODGDWQiODFViWPpU MHpVDFV EHQiUDPOyWpUIRJDWiUDPDGRWWYROWtJ\D]iUDP -
OiVLVHEHVVpJDFV EHQLVPHUWYROW(]]HODVHEHVVpJJHOV]iPROKDWWXND5H\QROGV -számot,aminek ismerete szükséges vROWDFVV~UOyGiVLWpQ\H]PHJKDWiUR]iViKR]0LDWHHQGKD
(13.40)
(13.41)
(13.42)
(13.43)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 152/195
152
az áramlási sebesség az ismeretlen? A 13.13. ábrán két tartály látható,
l
13.13. ábra
amelyeket egy ismert d iWPpU M és l hosszúságú FVN|W|VV]H$FV EHQWROy]iUYDQ
amelynek ismerjük a ζ t vHV]WHVpJWpQ\H] MpW. Mekkora az egyik tartályból a másikba
áramló qm
sv
3!
"$# térfogatáram KD HOKDQ\DJROMXN D WDUWiO\RNEDQ OpY Yt]IHOV]tQ VOO\H-
dését ill. emelkedését. Írjuk fel a (13.2) veszteséges Bernoulli-egyenletet a tartályokIHOV]tQpQOpYpVSRQWN|]|WW!
ρ ρ ρ ρv
p Uv
p U p12
1 122
2 22 2+ + = + + + Σ∆ '
.
Miután p p és p pt1 2 0= = , U g z= és z2 0= , z H1 = , v v1 2 0= = és a
Σ∆p vdsz be t' = + + +
ρζ ζ λ
212 l
, ahol ζ -0
a belépési veszteség. Mindezeket figyelembe
véve kapjuk:
p p g H vdt be t− + = + + +
0
2
21ρ
ρζ ζ λ
lDPLEONLIHMH]KHWDYVHEHVVpJ
vp p g H
d
t
be t
=− +
+ + +
2
1
0
ρ
ρ
ζ ζ λ1 6 l .
A (13.45) összefüggésben a λ NLYpWHOpYHO PLQGHQ LVPHUW $ FVV~UOyGiVL WpQ\H]
számításához viszont ismernünk kell a Reynolds-számot, ahhoz pedig a sebességet. Látjuk,hogy a feladat iterációval oldható meg (QQHN PHJN|QQ\tWpVH pUGHNpEHQ FpOV]HU D]
ismert mennyiségeket behelyettesíteni, kiszámolni és a (13.45) összefüggést az alábbi
alakban felírni:
vA
B C=
+ λ .
$PHJROGiVHOVOpSpVHNpQWYHJ\NIHO λ ' .= 0 02 értéket. ( A ’-k száma az iterációs lépések
VRUV]iPiWMHO]L7HWV]OHJHVHQIHOYHKHWQNPiVλ ' − t is, a számítás igen gyorsan konvergál.
λ ' − t behelyettesítve (13.46) összefüggésbe megkapjuk v t' − , ezzel kiszámolható
(13.44)
(13.45)
(13.46)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 153/195
153
Re''
=v d
νértéke. Ha Re' < 2300, akkor a (13.11) összefüggéssel kiszámolhatjuk λ ' ' − t . Ha
Re' ≥ 2300DNNRUDFVIDOpUGHVVpJpQHNIJJYpQ\pEHQWiEOi]DWEyOYDJ\GLDJUDPEyOYHsz-
szük ki a λ ' ' pUWpNpW YDJ\ KLGUDXOLNDLODJVLPDFV HVHWpQ D |VV]HIJJpVEOV]i-
mítjuk ki. A λ ' ' LVPHUHWpEHQHOOU ONH]GMNDIHQWLV]iPtWiVWPLQGDGGLJDPtJNpWHJ\PiV
utáni iterációs lépésben kapott λ érték közötti különbség nem halad meg egy általunk fel-
vett értéket. Az iteráció eredményeként kapott v sebesség ismeretében a q vd
v =2
4
π
összefüggéssel számoljuk ki az egyik tartályból a másikba áramló térfogatáramot.
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 155/195
155
(ld. (8.8) összefüggés): − + = − −I I P P Rx1 2 1 2 D] HO]HN DODSMiQ Rx = 0 adódik.
Eredményként azt kaptuk, hogyV~UOyGiVPHQWHVN|]HJEHQHOKHO\H]HWWWHVWUHQHPKDWHU
9DOyViJRViUDPOiVHVHWpQDWHVWN|]HOpEHQOpYiUDPvonalak mentén a Bernoulli-összeg a
súrlódás következtében csökken, ezért a test mögött egy áramlási nyom keletkezik,amelyben a sebesség (és elvileg a nyomás is) eltér a zavartalantól (ld. 14.1. ábra $MHOJ|r-
be). A WHVWUHKDWyHUUH tehát nemcsak a testIHOOHWpQNHOHWNH]Q\RPiV- és csúsztatófe-
szültség megoszlásból, hanem DWHVWP|J|WWLQ\RPMHOOHP]LEOLVOHKHWN|YHWNH]WHWQL
+DDQ\RPEDQMHOHQWVDÄVHEHVVpJKLiQ\´YDJ\KDDWHVWP|J|WWD]DYDUWDODQVHEHVVpJJHO
SiUKX]DPRVWHQJHO\|UYpQ\HNNHOHWNH]QHk, amelyekben a statikus nyomás lecsökken, ak-
NRUYiUKDWyDQQDJ\OHV]DWHVWUHKDWyKR]]iiUDPOiVVDOSiUKX]DPRVHU ,O\HQ|UYpQ\HNYi-
]HV ~WRQ KDODGy DXWyN P|J|WW ILJ\HOKHWN PHJ +D D WHVW P|J|WW D Q\RPEDQ D
sebességvekWRURN LUiQ\D HOWpU D WHVW HOWWL iU amlási iránytól, akkor a hozzááramlási
sebességre merOHJHVWHVWUHKDWyHU NRPSRQHQVVHONHOOV]iPROQXQN
$KHQJHUUHKDWyiUDPOiVLHU
Egy l m hosszúságú, d m iWPpU MN|UKHQJHUUHKDWyD]DYDUWDODQKR]]iiUDPOiVLVHEHs-
séggel, Y∞ -nel párhuzamos F Ne ellenálliVHU pVD]D]WEHIRO\iVROyPHQQ\LVpJHNNDSFV o-
latát az f F v de , , , , ,∞ =ρ µ l1 6 0 függvénykapcsolat határozza meg.
Alkalmazva a dimenzióanalízist (ld. 13.2.fejezet) 6-3=3 független dimenziótlan csoport ha-
tározható meg:
Π
= cF
v de
e=
∞
ρ
22
l
HOOHQiOOiVWpQ\H]
Π
= Re = ∞v d
νReynolds-szám,
Π3 =l
drelatív hossz.
6]RUtWNR]]XQNHOV]|UDN|UKHQJHUN|UOLsíkáramlásraDKRODKHQJHUWHQJHO\pUHPHU OHJHV
valamennyi síkban azonos az áramkép. (Ilyen áramkép Π3 = = ∞l
d-hez tartozik) Ezeket a
szakirodalomban „kétdimenziós” (2D) áramlásnak nevezik, megkülönböztetve azokat a
térbeli (3D) áramlásoktól. Ebben az esetben a Π Π1 2= f 1 6 azaz a c f e = Re1 6 függvény
meghatározása a feladatunk. Ábrázoljuk e kísérlet útján meghatározott függvénykapcsolatot
kétszer logaritmikus diagramban (ld. 14.2. ábra).
(14.1)
(14.2)
(14.3)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 160/195
160
korláWR]RWWUpV]pQILJ\HOKHWPHJpVD WHVWP|J|WWNLDODNXOyiUDPOiVLQ\RPLVYLV]RQ\ODJ
kis keUHV]WPHWV]HW7RPSDWHVWHNDKi]DNDWRUQ\RND]DXWyNPtJiUDPYRQDODVWHVWHNSO
a re SOJpSHNpVDKDMyNYt]EHPHUOUpV]HL
Jellegzetes áramvonalas test a 14.5. ábrán látható szárny
LV DPHO\QHN QDJ\ MHOHQWVpJH YDQ D UHSOpVEHQ pV D]
áramlástechnikai gépekben is. Az impulzustétel tárgyalá-
sánál már levezettük a Kutta-Zsukovszkij tételt (ld.
8.3.fejezet, (8.24) összefüggés), amely szerint súrlódás-
mentes közeg esetén a szárny egységnyi hosszúságú sza-
NDV]iUDKDWyHU D] R vN
m=
!
"$#
∞ρ Γ összefüggéssel számolható, ahol vm
s∞
!
"$#
a szárnytól
távoli zavartalan áramlási sebesség, Γ m
s
2
!
"
$# pedig a szárny körüli cirkuláció. A leveze-
WpVEOD]LVDGyGRWWKRJ\DV]iUQ\UDKDWy R HU PHU OHJHVDv∞ sebesség vektorra. Való-
sáJRVV~UOyGiVRVN|]HJEHQDV]iUQ\UDKDWyHU NpWNRmponensre bontható: a zavartalan
(megfúvási) sebességUHPHUOHJHV F Ne IHOKDMWyHUUH (ami megfelel a súrlódásmentes
esetre levezetett RN
m!
"$#
és az l m szárny-hossz szorzatának) és a v∞ -nel párhuzamos
F Ne elOHQiOOiVHUUH$|VV]HIJJpVVHODQDOyJPyGRQEHYH]HWKHWDV]iUQ\UDYo-
natkozó IHOKDMWyHUWpQ\H]pVHOOHQiOOiVWpQ\H]:
cF
v Af
f =
∞
ρ
22
cF
v Ae
e=
∞
ρ
22
Amíg az eddig tiUJ\DOWWRPSDWHVWHNQpOD]HU WpQ\H]NLIHMH]pVpQHNQHYH] MpEHQOpYMHl-
OHP]IHOOHWDWHVW]DYDUWDODQiUDPOiVUDPHU OHJHVOHJQDJ\REENHUHV]WPHWV]HWHYROWDGGLJ
DV]iUQ\DNQiOH]DMHOOHP]IHOOHWD]DODSWHUOHWDV]iUQ\h m húrhosszának és a szárny
l m hosszának a szorzata: A h= l
'HILQLiOKDWyWRYiEEiD]iUDPOiVLHU NQHNDV]iUQ\HJ\DGRWWSOD3 -vel jelölt) pontjára vett
nyomatéka: M N m , valamint a .
Q\RPDWpNLWpQ\H]. (P az ábrán az orrpont):
cM
v A hM =
∞
ρ
2
2
14.5. ábra
(14.5)
(14.6)
(14.7)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 162/195
162
$V]iUQ\DNMHOOHP]DGDWDDsiklószámDPHO\DIHOKDMWyHU WpQ\H]pVD]HOOHQiOOiVWpQ\H]
hányadosa:c
cf
e
(J\YLWRUOi]yUHSOJpSVLNOyV]iPDPHJDGMDKRJ\KiQ\PpWHUWWHV]PHJ
a gép vízszintesen siklásban, miközben 1 métert süllyed.) A siklószám általában 10 és 50
N|]pHVLN$V]iUQ\DNDWH]DWXODMGRQViJXNWHV]LLJHQpUWpNHVVpDGRWWHOOHQiOOiVHU ÄiUiQ”DQQDNVRNV]RURViWNLWHYIHOKDMWyHU NHOHWNH]LNUDMWXN
+DViEUDKDWyiUDPOiVLHU
Tekintsük a 14.7. ábrát, ahol egy t m élhosszúságú négyzet alapú,
l m hosszúságú hasáb látható, amelyet hossztengelyével párhuzamos
áramlásba helyezünk. A hDViEUDKDWy HOOHQiOOiVHU DKRPORNIDORQ
pVDKiWIDORQNHOHWNH]Q\RPiVPHJRV]OiVEyOpVD]ROGDOIDODNRQN e-
letNH]FV~V]WDWyIHV]OWVpJEOWHYGLN|VV]H
c c ct
ce pf pb f = − + 4l
'.
$]|VV]HIJJpVMREEROGDOiQV]HUHSOHOVNpWWDJKDVRQOyPHJIRQWROiVRNDODSMiQDGyGRWW
mint a |VV]HIJJpV D] XWROVy WDJ SHGLJ D] ROGDOIDODNRQ NHOHWNH]
csúsztatófeszültséJHNEOV]iUPD]yWHQJHO\LUiQ\~HU WIHMH]LNLOG|VV]HIJJpV$
KDViE N|UO WpUEHOL ' iUDPOiV DODNXO NL DPHO\QHN HJ\LN MHOOHP] MH D KRPORNIDO pOHV
kerületén (a EHOpSpOHQNHOHWNH]KDWiUUpWHJOHYiOiVpVD]HQQHNN|YHWNH]WpEHQDEHOpSpO
mögötti oldalfalszakasz mellett kialakuló leválási buborék.
9L]VJiOMXN PHJ KRJ\ KRJ\DQ IJJ D KDViE HOOHQiOOiVWpQ\H] MH D] l hosszúságtól! A
mérések szerint l t = 0 (négyzet alakú síklap) és l t = 5 esetén a ce értéke rendre 1.1 és
0.8. Látjuk, hogy a hasáb hosszának növekedése esetén a c e MHOHQWVHQFV|NNHQSHGLJD
(14.8) összeIJJpV V]HULQW Q|YHNY KRVV] HVHWpQ D] ROGDOIDOL FV~V]WDWyIHV]OWVpJEO
V]iUPD]yHU HJ\UHQDJ\REE8J\DQDNNRUEHOiW ható, hogy a hasáb hosszának növelése nembefolyásolhatja lényegesen a cpf átlagos homlokfali túlnyomás értéket. A ce csökkenését
tehát a hátfali nyomás növekedése okozhatja.
A hasáb hátfala leválási buborékban van, amelynek két tulajdonságát emeljük ki:
− a leválási buborékban a sebességek viszonylag kicsinyek, a v ∞ 20%-át általában nem
haladják meg, ezért DQ\RPiVDOHYiOiVLEXERUpNEDQQHPYiOWR]LNMHOHQW VHQ;
l
14.7. ábra
(14.8)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 163/195
163
− D OHYiOiVL EXERUpNEDQ OpY N|]HO iOODQGy Q\RPiVW D KDWiUUpWHJ-OHYiOiV KHO\pQ OpY
nyomás határozza meg. Jól használható tapasztalat:
minél nagyobb a v∞ ésDOHYiOiVKHO\HN|]HOpEHQOpY
határrétegen kivüli áramlási sebesség-vektor között be-
zárt szög, (β ϕ= 2 ld. 14.8. ábra) annál kisebb a nyo-
más a leválási buborékban, tehát annál nagyobb az
HOOHQiOOiVWpQ\H]
Ezekkel az ismeretekkel megmagyarázható a ce csökkenése. Ha a hasáb rövid, akkor
hátfaODDEEDQDOHYiOiVLEXERUpNEDQYDQDPLDEHOpSpOHNP|J|WWNHOHWNH]LN0LXWiQLWWD
leválás helyéhez közeli, határrétegen kívüli sebesség jó közelítéssel 90°-os szöget zár be a
v∞ -nel, a leválási buborékban viszonylag nagy depresszió van. Emiatt a (14.8) kifejezésben
léY cpb viszonylag nagy negatív érték, a c e SHGLJQDJ\+DDKDViEKRVV]iWHOHJHQGHQ
megnövel MNDEHOpSpOQpONHOHWNH]OHYiOiVLEXERUpND]ROGDOIDORQEHIHMH]GLNa levált
határréteg visszafekszik pV D KiWIDODW N|UOYHY ~Q NLOpSpOHQ NHOHWNH]LN D KiWIDO
mögötti leválási buborékot létrehozó határréteg-leválás. Itt azonban a határrétegen kívüli
sebesség és a v∞ kö]|WW EH]iUW V]|J D] HO]QpO MyYDO NLVHEE β ≈ °0 , tehát a nyomás
nagyobb, mintD]HO]HVHWEHQ7RYiEEQ|YHOKHWDKiWIDOLQ\RPiVD]D]FV|NNHQWKHWce )
a β szög további csökkentésével, azaz a hasáb hátsó részének „összehúzásával”.
$KDViEUDKDWyHOOHQiOOiVHUMHOHQW
VUpV]pWWHV]LNLDKRPORNIDORQNHOHWNH]
W~OQ\R-
másból származó HU. A nyomás a Bernoulli egyenlet értelmében az áramlási sebesség
Q|YHOpVpYHO FV|NNHQWKHW(]DKRPORNIDODW N|UOYHY pOHN 14.9. ábrán látható lekere-
kítésével pUKHW HO $ KRPORNIDO N|]pSV UpV]pQ NHOHWNH] W~OQ\RPiVEyO V]iUPD]y
ellenálOiVHU WWHOMHV egészében is képes ellensúlyozni a homlokfal kerületén, a lekerekítés
helyén keOHWNH]GHSUHVV]Ly$]iUDPOiVKLGURJpQEXERUpNRNNDOW|UWpQ OiWKDWyYiWpWHOpYHO
NDSRWW iUDPNpSHQ D]ROGDOIDOPHOOHWW NHOHWNH] OHYiOiVL EXERUpNPXWDWMD KRJ\ HEEHQD]
esetben DKRPORNIDOUDKDWyHU QHP]pUXV
14.9. ábra
$] HO]HNEHQ WiUJ\DOW l t = 5 KRVV]~ViJ~ KDViE HOOHQiOOiVWpQ\H] MpW NE QHJ\HGpUH
c = 0.2e pUWpNUH OHKHW FV|NNHQWHQL D KRPORNIDOEHOpSpOHLQHNPHJIHOHO PpUWpN OHNHUH-
kítésével.
β
14.8. ábra
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 165/195
165
Írjuk fel a ρI VU VpJN|]HJEHQVOO\HGρ S VU VpJSRUV]HPFVpUHKDWyHU NHJ\HQVú-
lyát:
dg d wp
p f p s
3
6
3π
ρ ρ π µ− =! & ,
DPLEOD süllyedési sebesség:
wd g
sp p f
=−2
18
ρ ρ
µ
! &.
+DDN|]HJOHYHJDNNRUρf elhanyagolható ρp mellett. Pl. Egy d mp = 5µ iWPpU MFe-
PHQWV]HPFVHVOO\HGpVLVHEHVVpJHOHYHJ EHQPPVDRep értéke pedig 7 10 4. − .
(14.11)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 167/195
167
A (15.1) kifejezés bal oldalán a gondolatban elhatárolt, V térfogatú gázrész mozgási és bel-
VHQHUJLiMiQDNLGV]HULQWLGLIIHUHQFLiOKiQ\DGRVDD]D]HJ\PiVRGSHUFUHMXWyPHJYiOWR]á-
VDYDQDPHO\HJ\HQODQ\RPiViOWDOD]$IHOOHWHQPiVRGSHUFHQNpQWYpJ]HWWPXQNiYDO
(−p dA D]HOHPLIHOOHWUHKDWyHU HQQHN v sebességgel való szorzata a teljesítményt ad-
ja.) A (15.1) összefüggés bal oldalára vonatkozóan írható:
d
dt
vc T dV
t
vc T dV
vc T dVv
Vt
v
V t t
v
V t
2
0
2 2
2
1
2 2+
= +
− +
!
"
$##I I I →
+
ρ ρ ρlim∆
∆∆ 1 6 1 6
$MREEROGDOiQOpYV]|JOHWHV]iUyMHOEHQD15.1. ábrán + és – jellel jelölt térfogatok-
EDQOpYJáztömeg energiájának különbsége van, (hiszen – miután stacionárius áramlást té-
telezünk fel – a közös rész energiája kiesik), amit az impulzustétel levezetésénél (ld.8.1.fejezet) alkalmazott módszer felhasználásával az alábbi módon írhatunk fel:
d
dt
vc T dV
vc T v dAv
V
v
A
2 2
2 2+
= +
I I ρ ρ .
A (15.1) összefüggés jobb oldalán ρ-val szorozva és osztva:
vc T v dA
pv dA
vA A
2
2+
= −
I I ρ
ρρ .
Bal oldalra rendezve az integrálokat és kihasználva, hogy az integrálási tartomány meg-
egyezik:
vc T
pv dA
vc T v dAv
A
p
A
2 2
2 20+ +
= +
=I I ρρ ρ
.
A (15.3) kifejezés felírásakor figyelembe vettük, hogy
c Tp
h c Tv p+ = =ρ ,
ahol h [J/kg] az entalpia és cp [J/kg/K] az iOODQGyQ\RPiVRQYHWWIDMK.
(15.2)
(15.3)
(15.4)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 168/195
168
Alkalmazzuk a Gauss-Osztrogradszkij-tételt a (15.3) kifejezés felületi integráljára:
YF 7 Y G $ GLY
YF 7 Y G9
JUDG Y F 7 Y Y F 7 GLY Y G9
S
$
S
9
S S
9
+
= +
!
"
$##
=
= + + +
!
"$##
=
I I
I
ρ ρ
ρ ρ1 6
A folytonosság (3.6) összefüggése értelmében div vt
ρ∂ρ
∂1 6 = − és miután az áramlás stacio-
nárius∂ρ
∂t= 0. Ennek figyelembe vételével a (15.5) összefüggés:
gradv
c T v dVp
V
2
20+
=I ρ
alakra hozható.
$] LQWHJUiO WHWV]OHJHV 9 WpUIRJDW HVHWpQ DNNRU ]pUXV KD D] LQWHJUDQGXV] ]pUXV $]
integrandusz akkor zérus, hav
c Tp
2
2+
az egész térben állandó, vagy ha változik, a
gradv
c Tp
2
2+
PHU OHJHV D Y sebességvektorra, azaz av
c Tp
2
2+
egy áramvonal
mentén állandó.
$]HQHUJLDHJ\HQOHWV~UOyGiVPHQWHVKV]LJHWHOWN|]HJVWDFLRQiULXViUDPOiVDHVHWpQD]W
fejezi ki, hogy a gáz kinetikai energiájának és az entalpiájának összege az áramvonal
mentén állandó:
vc T állp
2
2+ = .
Osszuk végig a (15.7) egyenletet cp -vel:
Tv
cT áll
pö+ = =
2
2.
ahol T (vagy Tst ) [K] a VWDWLNXVKPpUVpNOHW, Tv
cKd
p
=2
2[ ] a GLQDPLNXVKPpUVpNOHWD
NHWW|VV]HJHSHGLJDT Kö [ ]|VV]KPpUVpNOHW
Az energiaegyenlet (15.8) alakja tehát úgy is megfogalmazható, hogy súrlódásmentes, h
szigetelt közeg stacionárius áramlása esetén áramvonDORQD]|VV]KPpUVpNOHWiOODQGy.
(15.5)
(15.6)
(15.7)
(15.8)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 169/195
169
Alkalmazzuk az energiaegyenletet egy tartálybólNLiUDPOyOHYHJVXJiUUDOG15.2. ábra).
$WDUWiO\EDQDKPpUVpNOHWT0 DOHYHJVHEHVVpJH]pUXV
+HO\H]]QN HO D OHYHJVXJiUEDQ HJ\ ~Q torlySRQWKPpUW,
DPHOO\HODPHJiOOtWRWWOHYHJKPpUVpNOHWHD7 . W > @ torlópont-KPpUVpNOHWPpUKHWËUMXNIHOD]HQHUJLDHJ\HQOHWDODNMiW
DWDUWiO\EDQOpYpVDWRUOySRQWKPpU EHQOpYWSRQWN|]|WWD
0 és a t pont egy áramvonalon van):
7Y
F7
Y
F SW
W
S
+ = + .
Miután Y Y W = = , adódik, hogy 7 7W = , azaz a WRUOySRQWKPpUDWDUWiO\KPpUVpNOe-
tet méri.+DSODWRUOySRQWKPpU WOHYHJPVVHEHVVpJiUDPOiViEDKHO\H]]ND]D]
iUDPOyOHYHJVWDWLNXVKPpUVpNOHWpQpO. -QHOQDJ\REEKPpUVpNOHWHWPpUKLV]HQDOe-
YHJ F - NJ . S = állandó nyRPiVRQ YHWW IDMK MpYHO V]iPROYD 7G = .
(LeveJHVHWpQDGLQDPLNXVKPpUVpNOHW7 YG = $ kifejezéssel számítható.)
15.2. A Bernoulli-egyenlet összenyomható gázokra
Írjuk fel a Bernoulli-egyenletet (4.29) alakját áramvonal mentén, súrlódásmentes és h
szigetelt közeg staFLRQiULXViUDPOiViUDDWpUHUVVpJKDWiViQDNHOKDQ\DJROiViYDO0Lu-
WiQ V~UOyGiVPHQWHV pV KV]LJHWHOW D N|]HJ D EHQQH OHMiWV]yGy IRO\DPDWRN L]HQW-
ropikusak. ,]HQWURSLNXViOODSRWYiOWR]iVHVHWpQDVU VpJpVQ\RPiVNDSFVRODWiUDIHQnáll:
SiOO
S
ρ ρκ κ
= =
ahol κ =F
F
S
Y
azaz aVU VpJFVDNDQ\RPiVIJJYpQ\HNpQWLVNLIHMH]KHW (]WLVILJ\HOHPEH
véve (ld. 4.4.fejezet) a Bernoulli-egyenlet:
v v dp
pp
p22
12
21
2−
= − 1 ρ $
alakban írható fel.
15.2. ábra
(15.9)
(15.10)
(15.11)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 170/195
170
Kifejezve ρ − W D |VV]HIJJpVEO pV EHKHO\HWWHVtWYH D |VV]HIJJpV MREE
oldalába
Y Y S GS
S
S S
S S S
S
S
S
S
S
−= − = −
−
=
=−
−
!
"
$
###
−
− −I
κ
κ
κ κ
κ
κ
κ κ
κ
ρ
κ
κ ρ
κ
κ ρ
A (15.12) összefüggés rendezése után eljutottunk a végeredményhez:
Y YS S
S
= +
−−
!
"
$
##
#
−
κ
κ ρ
κ
κ
Legyen adva egy áramvonalon az 1 és a 2 pont. Tételezzük fel, hogy az áramlás stacioná-
ULXVV~UOyGiVPHQWHVpVQLQFVK YH]HWpV/HJ\HQLVPHUWD]SRQWEDQD sebesség, a p1
nyomás és a T1 KPpUVpNOHW+RJ\DQKDWiUR]]XNPHJD]iUDPOyN|]HJMHOOHP]LWDSRQt-
ban, ahol ismerjük a p2 Q\RPiVW"$V~UOyGiVPHQWHVVpJpVDKV]LJHWHOWVpJIHOWpWHOpEODGó-
dik, hogy az áramló gázban az 1 és 2 pont között lejátszódó állapotváltozás izentrop, azaz a
Q\RPiV pV D VU VpJ NDSFVolatára a (15.10) összefüggés, a sebességekre a Bernoulli-
egyenlet alapján kapott (15.13) összefüggés érvényes. Ezért ez utóbbi kifejezésben p1
1ρ he-
lyett a gáztörvény alapján 57-HWtUYDDSRQWEDQOpYVHEHVVpJUHtUKDWy
v v RTp
p2 12
12
1
1
2
11= +
−−
!
"
$
###
−
κ
κ
κ
κ
$]SRQWEDQpUYpQ\HVVU VpJHWDJi]W|UYpQ\EOV]iPtWKDWMXN
ρ11
1
=p
R T.
A gáztörvény és az izentropikus állapotváltozást leíró (15.10) kifejezés felhasználásával
meghatározható a KPpUVpNOHWYLV]RQ\:
p
p
p T R
R T p2
1
2
1
2 1
2 1
= = ⇒ρ
ρ
κ
κ
κ κ κ
κ κ κ
T
T
p
p2
1
2
1
1
=
−κ
κ
(15.12)
(15.13)
(15.14)
(15.15)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 171/195
171
A nyomásviszonyból a VUVpJYLV]RQ\DNLIHMH]pVDODSMiQNLIHMH]KHW
ρ
ρ
κ 2
1
2
1
1
=
p
p .
$pVNLIHMH]pVHNEODVUVpJYLV]RQ\pVDKPpUVpNOHWYLV]RQ\NDSFVROa-
ta határozható meg:
ρ
ρ
κ 2
1
2
1
1
1=
−T
T .
Helyettesítsük be a (15.13) összefüggésbe ismét az RT1 kifejezést és a (15.15) összefüg-
gést! Eredményül kapjuk:
v v R TT
T22
12
12
1
2
11= +
−−
!
"$#
κ
κ .
Miután2
12
κ
κ κ
Rc a
c
cpp
v−= = felhasználásával, T1-gyel való beszorzás után a
v v c T Tp22
12
1 22= + −1 6
NLIHMH]pVDGyGLNDPLEOiWDODNtWiVXWiQD]HQHUJLDHJ\HQOHWOHYH]HWpVpQpONDSRWW|sz-
szeIJJpVVHOPHJHJ\H]NLIHMH]pVQ\HUKHW
c Tv
c Tv
p p112
222
2 2+ = +
Ha a gáz tartályból áramlik ki izentrópikusan, akkor a (15.14|VV]HIJJpVEOY1=0 fi-
gyelembe vételével a kiáramlási sebességre a
v R Tp
pte
t
=−
−
!
"
$
###
−
2
11
1κ
κ
κ κ
ún. izentrópikus kiömlési képletet kapjuk, ahol a ’t’ index a tartályra utal, az pe pedig az
u.n.HOOHQQ\RPiVDWDUWiO\EyONLiUDPOyJi]VXJiUEDQOpYQ\RPiV.
(15.16)
(15.17)
(15.18)
(15.19)
(15.20)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 172/195
172
15.3. A hang terjedési sebessége
A
A e
A e
15.3. ábra
A 15.3. ábrán egy csövet látunk, amelynek a bal oldali végére egy gumihártyát (membránt)
HU VtWQN$FV EHQYDOyViJRV|VV]HQ\RPKDWyJi]SOOHYHJ YDQ+DHKiUW\iUDUiWQN
DNNRUDKiUW\DHOPR]GXOiViQDNHOV GWLGWDUWDPDDODWWD]DKKR]OHJN|]HOHEEOpYOHYHJU é-
V]HNGYVHEHVVpJPR]JiVEDM|QQHNDOHYHJQ\RPiVDVU VpJHHOHPLPpUWpNEHQPHJQ
Belátható, hogy a gázállapot és -VHEHVVpJQHPHJ\V]HUUHYiOWR]LNPHJD]HJpV]FV EHQKa-
QHPHJ\DGRWW[NRRUGLQiWiQiOOpY NHUHV]WPHWV]HWEHQDNNRUYiOWR]QDNPHJHMHOOHP] NKD
a jobbra a m s / terjedési sebességgel mozgó hullám az adott keresztmetszetet eléri (ld.
15.3. ábra). AKDQJHOHPLQHNWHNLQWKHWQ\RPiVKXOOiPRNVRUR]DWD ezért a tárgyalt hul-
lám terjedési sebessége a hang terjedési sebességével egyezik meg, amit a-val a m s= / 2 7
jelölünk.
Határozzuk meg az impulzustétel segítségével, hogy milyen sebességgel halad a nyomás-
hullám. Vegyük fel az A e HOOHQU]IHOOHWHWD]iEUiQOiWKDWyPyGRQ$NNRUWHNLQWKHWD]
áramlás stacionáriusnak, ha az elleQU]IHOOHWMREEUDPR]RJDKXOOiP a m s / sebességé-
YHOPHJHJ\H]VHEHVVpJJHO(]HVHWEHQD]HOOHQU]IHOOHWEHMREEROGDORQ a m s / sebes-
séggel lép be a ρVU VpJN|]HJpVEDOROGDORQD ρ ρ+ d VU VpJJi]D-dv sebességgel
lép ki, hiszen a hulláPGYVHEHVVpJiUDPOiVWKR]OpWUH$ 15.3. ábrán felvitt I és P vekto-
rok egyensúlyát felírva adódik: I I P P1 2 2 1− = − , azaz
ρ ρ ρa A d a dv A p dp A pA2 2− + − = + −1 61 6 1 6 ,
DPLEODNLMHO|OWPYHOHWHNHOYpJ]pVHpVHJ\V]HU VtWpVHNYDODPLQWDPiVRG- és harmadren-
den kicsiny tagok elhagyása után a
2 2a dv a d dpρ ρ− = (15.21)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 173/195
173
összefüggést kapjuk. Írjuk fel a folytonosság tételét: a dv d a− + =1 61 6ρ ρ ρ DPLEO
ρ ρdv a d= (]WEHKHO\HWWHVtWYHDNLIHMH]pVEDOROGDOLHOVWDJMiEDD] a d dp2 ρ =
ösV]HIJJpVUHMXWXQNDPLEOa hullám terjedési sebessége, a hangsebesség:
adp
d=
ρ
A (15.22) összefüggés teljesen általánosan írja le az elemi hullám terjedési sebességét egy
álló, összenyomható közegben, amire vonatkozóan eddig semmilyen kikötést nem tettünk.
*i]EDQ D] HOHPL KXOOiPRN WHUMHGpVHNRU EHN|YHWNH] iOODSRWYiOWR]iV My N|]HOtWpVVHO
izentropikus. Miután ez esetben a (15.10) alapján
S
S GS
G
S
= =
−
ρ ρ ρ ρ κ ρκ
κ
κ
κ
, amibe behelyettesítve a (15.10) összefüggést
és a gáztörvényt,
dp
dρ= a R T= κ
kifejezés adódik a hang terjedési sebességére.
)LJ\HOHPUHPpOWyKRJ\DKXOOiPWHUMHGpVLVHEHVVpJHHJ\DGRWWJi]EDQFVDNDKPpUVpNOHt-WOIJJ7HNLQWHWWHODUUDKRJ\YDOyViJRVJi]RNUHQGH]HWOHQKPR]JiVWYpJ]PROHNXOiL
ÄWRYiEEtWMiNDMHOHW´LO\HQMHOOHKHWD]KRJ\DFVYpJpQOpYKiUW\DPR]JiVDHUHGPpQ\e-
NpQWDJi]PROHNXOiNRQYpJ]HWWPXQNDUpYpQPHJNHOOQQLHD]RNÄUHQGH]HWW´YpVUHQGe-
zetlen sebességének (D]D]KPpUVpNOHWpQHNpVQ\RPiViQDN(PHJIRQWROiVpUWKHW YpWHV]L
KRJ\PLpUWDFVDNDJi]KPpUVpNOHWpWOD]D]DJi]PROHNXOiNUHQGH]HWOHQPR]JiViQDNVe-
bességéWOIJJDKDQJWHUMHGpVLVHEHVVpJH
15.4. Áramlások hasonlósága összenyomható közegek eseténA 12. fejezetben foglalkoztunk az áramlások hasonlóságával és megállapítottuk, hogy két
áramlás hasonló, ha az azokat leíró dimenziótlan differenciálegyenletek azonosak, és a
SHUHPIHOWpWHOHNLVPHJHJ\H]QHNDGLPHQ]LyWODQKHO\pVLG NRRUGLQiWiNEDQ A 12. fe-
jezetben az összenyomhatatlan közegek áramlására határoztuk meg a hasonlóság feltételeit,
hiszen a Navier-Stokes-egyenlet ρ = áll. esetén érvényes. Ebben a fejezetben összenyomha-
tó gázok áramlására vonatkozóan határozzuk meg a hasonlóság további feltételeit.
A (12.2) összefüggés jobb oldalának második tagját a differenciálegyenletet a 12. fejezet- EHQOHtUWDNWyOHOWpU HQGLPHQ]LyWODQtWMXN–ILJ\HOHPEHYpYHKRJ\DVU VpJLVYiOWR]LN
(15.22)
(15.23)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 174/195
174
− =
1 10
02
0
0
0
0
0 02ρ
∂
∂ ρ
ρ
∂
∂ρ
p
x
l
v
pp
xl
p
v .
A differenciálegyenlet azonosságának feltétele tehát az
Eup
v= 0
0 02ρ
Euler-szám azonossága a kismintánál és a nagy kivitelnél.
A (15.6) összefüggés alapján a
vgrad v c Tp2
20+
=
alakban is felírható az energiaegyenlet. Ha kifejtjük a (15.26) összefüggést, a
vx
vc T v
y
vc T v
z
vc Tx p y p z p
∂
∂
∂
∂
∂
∂
2 2 2
2 2 20+
+ +
+ +
=
adódik az energiaegyenletre. Dimenziótlanítsuk a (15.27) összefüggéstl0
0
3
v
-nel végig-
szorozva az egyenletet:
v
v x
v
v
v
v
v
v
c T
v
T
Tx x y z p
0
0
0
2
0
2
0
20
02
0
1
20
∂
∂l
+
+
!
"
$## +
%&K
'K
()K
*K+ =....
A dimenziótlan energiaegyenlet akkor azonos a kismintánál és a nagy kivitelnél, ha a
c Tv
azonosp 0
02
= .
(15.24)
(15.25)
(15.26)
(15.27)
(15.28)
(15.29)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 175/195
175
A (15.25) kifejezés átalakítható:
p
v
R T
v
R T
v
a
vazonos0
0 02
0
02
0
02
0
0
21
ρ
κ
κ κ = = =
=.
Ha a (15.25) és (15.29) kifejezések értékei azonosak a nagy kivitelnél és a kismintánál, ak-
kor hányadosuk értéke is:
p
v
v
c T
RT
c T
c c
cazonos
p p
p v
p
0
0 02
02
0
0
0
11 1
ρ κ
κ
κ = =
−= − =
−=
.
A (15.30) és (15.31) feltétel akkor teljesül, ha
κ = azonos és a Mach szám Ma = = azonos.
v
a0
0
Az áramlások hasonlóságának feltételeként a 12. fejezetben felsoroltak mellett a κ és a
Mach-szám azonosságát is biztosítani kell.
15.5. Gázok kiömlése tartályból, a Laval-FV
A (15.20) kifejezés stacionárius, izentrópikus áramlás esetén kapcsolatot teremt a tartályból
W|UWpQNLiUDPOiVYVHEHVVpJHDWDUWiO\EDQOpYJi]7tKPpUVpNOHWHpVSt nyomása, vala-mint a kiáramlás helyén a gázVXJiUEDQOpYSQ\RPiVN|]|WW
v R Tp
ptt
=−
−
!
"
$
###
−
2
11
1
κ
κ
κ
κ .
Ábrázoljuk adott pt tartálynyomás esetén a v kiáramlási sebesség függvényében a p ellen-
nyomást!
15.4. ábra
(15.30)
(15.31)
(15.32)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 176/195
176
A p-v görbe a 15.4. ábrán látható. A maximális kiáramlási sebesség (vmax ) p = 0-hoz tar-
tozik:
v R Ttmax =
−
2
1
κ
κ
Vizsgáljuk meg a p-v görbe pULQWLW! A természetes koordináta-rendszerben az áramvonal
pULQW MHLUiQ\iEDQIHOtUW(XOHU -HJ\HQOHWEONLIHMH]KHW
dp
dvv= −ρ
.
A 15.4. ábrán látható görbének v = 0-nál és v = vmax -nál van Yt]V]LQWHVpULQW MH (utóbbi
helyen p = 0, ezért ρ = 0). Közben a
GS
GY -nek minimumának kell lennie. Keressük a -
dp
dv
maximumát a v függvényében! Differenciáljuk a (15.34) kifejezés jobb oldalát v szerint, és
WHJ\NHJ\HQOYp]pUXVVDOd v
dvv
d
dv
ρ ρρ
1 6= + = 0. A láncszabály alkalmazásával:
vd
dp
dp
dv
ρρ+ = 0DPLEODEHKHO\HWWHVtWpVpYHOpVρ kiemelése után a
ρ
ρ
ρ1 1 02 2
2−
!
"
$# = −
!
"
$# =
v
dp d
v
a /
kifejezés adódik, miután a (15.22) kifejezés alapján felismertük, hogy a zárójel második
WDJMiQDNQHYH] MpEHQD]DKDQJVHEHVVpJQpJ\]HWHV]HUHSHO$dp
dv-nek tehát v = a, azaz
M a = 1HVHWpQYDQV]pOVpUWpNHD]D]DKROD]iUDPOiVLVHEHVVpJHJ\HQO D]DGRWWKHO\HQ
OpYJi]KPpUVpNOHWKH]WDUWR]yKHO\LKDQJVHEHVVpJJHO
Vizsgáljuk meg, hogy milyen A csatornakeresztmetszet felel meg az adott áramlási vi-
szonyoknak? Az áramlás stacionárius, ezért a kontinuitás összefüggése a (15.34) figyelem-bevételével az alábbi módon írható fel:
q v Adp
dvA állm = = − =ρ .
$KROWHKiWYt]V]LQWHVD]pULQWDJ|UEH v = 0 és p = 0 értékekhez tartozó helyein), a ke-
resztmetszet A → ∞ . Az A keresztmetszetnek ott van minimuma, ahol a −dp
dv-nek ma-
ximuma van, azaz a p-v görbe inflexiós pontjánál, ahol a v sebesség a helyi hang-
sebesVpJJHOHJ\HQO Egy adott q kg sm / tömegáramhoz felrajzolható az A csatornake-
resztmetszet változása a p függvényében (ld. 15.4. ábra). Az adott áramlási sebesség, nyo-
(15.33)
(15.34)
(15.35)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 177/195
177
PiVpVVU VpJYiOWR]iVEyOHJ\ DFV|NNHQQ\RPiVRNLUiQ\iEDQHOV]|UV]NOPDMG
EYONHUHV]WPHWV]HWFVWROGDWDGyGLN
9L]VJiOMXNPHJD]iUDPOiVMHOOHP]LWDV]NO- EYOFVV]DNDV]PHQWpQ,VPpWDWHUPé-
szetes koordináta-UHQGV]HUEHQ D] iUDPYRQDO pULQW
MH LUiQ\iEDQ IHOtUW (XOHU -HJ\HQOHWE
O(4.25) indulunk ki:
vv
e
p
e
p
ea
e
∂
∂ ρ
∂
∂ ρ
∂
∂ρ
∂ρ
∂ ρ
∂ρ
∂= − = − = −
1 1 1 2
.
Miután a kontinuitásból ρ v A áll= . , d v Aρ1 6 = 0 , azaz d v A dv A v dAρ ρ ρ+ + = 0DPLEO
d dv
v
dA
A
ρ
ρ+ + = 0
adódik.
$|VV]HIJJpVEO vdv ad
= − 2 ρ
ρ. A
dρ
ρ-WNLIHMH]YHNLIHMH]pVEOpVEHKe-
lyettesítve kapjuk
v dv ad
adv
v
dA
A= − = +
2 2ρ
ρ .
ÈWDODNtWiVXWiQD|VV]HIJJpVEONDSMXN
v
a
dv
v
dv
v
dA
A
2
2= + ,
DPLEO
Madv
v
dA
A2 1− =4 9
.
A|VV]HIJJpVEOD]DOiEELN|YHWNH]WHWpVHNYRQKDWyNOH
α / HaMa < 1, akkor dv / v > 0 -hoz azaz gyorsuló áramláshoz dA / A < 0 , azaz
iUDPOiV LUiQ\iEDQ FV|NNHQ NHUHV]WPHWV]HW NRQI~]RU ODVVXOy iUDPOiVKR]
(dv / v < 0 SHGLJQ|YHNYNHUHV]WPHWV]HWGLII~]RU , dA / A > 0 ) tartozik. Ebben
az esetben a nyomás és a sebesség kapcsolatát a 15.4. ábrán látható p-v görbe inflexiós
SRQWWyOEDOUDHVUpV]HtUMDOH
β / HaM a > 1DNNRUQ|YHNYVHEHVVpJKH]Q|YHNYNHUHV]WPHWV]HWGLII~]RUWDUWR]LN
Ez az állapotMHOOHP]LDJ|UEHLQIOH[LyVSRQWWyOMREEUDHVV]DNDV]iW
(15.36)
(15.37)
(15.38)
(15.39)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 179/195
179
v p pt e= −2
ρ1 6
Tovább csökkentve a peHOOHQQ\RPiVWDJi]VU VpJHRO\DQPpUWpNEHQYiOWR]LNDNL|POpV
során, hogy a ρ = áll. feltevés már nagy hibát okoz. Ekkor a (15.20) összefüggéssel szá-molható a kiömlési sebesség.$]|VV]HIJJpVEOOiWKDWó, hogy a pe ellennyomás csökken-
tésével növelhetjük a kiáramlási sebességet. Amikor a p / pe t csökkenve eléri a 0.53 értéket
(κ =1.4 HVHWpQD]HO]PHJJRQGROiVDLQNpUWHOPpEHQD kiáramlási sebesség eléri a helyi
hangsebességet:
Y D 5 7 = = κ ,
DKRODOHJV]NHEENHUHV]WPHWV]HWEHQOpY KPpUVpNOHW D |VV]HIJJpVpUWHOPpEHQ
7 7W = . Tovább csökkentve a pe ellennyomást azt tapasztaljuk, hogy a kiömlési
sebesség nem növekszik tovább, a kilépési keresztmetszetben a gázsebesség és a gáz ál-
ODSRWMHOOHP]LYiOWR]DWODQRN$OHJPHJOHSEEMHOHQVpJD]KRJ\D S DOHJV]NHEEN i-
OpSNHUHV]WPHWV]HWEHQOpYQ\RPiVQHPHJ\H]LNPHJD pe ellennyomással, nagyobb
annál, a (15.42) összefüggés értelmében S S W . Mi lehet ennek a jelenségnek az
oka? A tartályból kiáramló közeg a p t és a pe nyomások különbsége hatására gyorsul. Ha
FV|NNHQWMND]HOOHQQ\RPiVWDWDUWiO\RQNtYOU OHJ\KXOOiPLQGXODNL|POQ\tOiVRQN e-
resztül a tartályba, megváltoztatva a nyomásmegoszlást a kiömlés környezetében. A meg-változott nyomásmegoszlás hatására a közeg nagyobb méUWpNEHQJ\RUVXOD]D]DNLOpSVe-
EHVVpJ Q +D HOpUMN D KHO\L KDQJVHEHVVpJJHO PHJHJ\H] VHEHVVpJHW D OHJV]NHEE N e-
resztmetszetben, az ellennyomás további csökkenésével kapcsolatos „információ”,
amely egy nyomáshullám alakjában éppen hangsebességgel terjed, nem képes átjutni
a legszkebb keresztmetszeten. Az ellennyomás változása tehát nem tudja módosítani
a nyomásPHJRV]OiVWDWDUWiO\pVD NL|POpVOHJV]NHEENHUHV]WPHWV]HWHN|]|WW A gáz
HEEHQD]HVHWEHQQHPWXGDOHJV]NHEENHUHV]WPHWV]HWLJÄOHH[SDQGiOQL´DWDUWiO\EDQOpY
Q\RPiVUyODNOVHOOHQQ\RPiVUD$]WDSe /pt nyomásviszonyt, amelynél a kiömlési se-
EHVVpJDOHJV]NHEENHUHV]WPHWV]HWEHQHOpULDKHO\LKDQJVHEHVVpJHW kritikus nyomásvi-
szonynak nevezzük. Ennek értéke κ =1.4 esetén a (15.42) értelmében (p / p ) = 0.53e t kr .
Öss]HIRJODOyDQ PHJiOODStWKDWMXN KRJ\ HJ\V]HU NL|POQ\tOiV HVHWpQ KD
p / p (p / p )e t e t krit≥ D Ji] Q\RPiVD D NLOpS NHUHV]WPHWV]HWEHQ PHJHJ\H]LN D] HOOHn-
nyomással: S S H = , a kiömlési sebességet a (15.20) összefüggéssel számolhatjuk. Ha a
nyomásviszony éppen megegyezik a kritikus nyomásviszonnyal, akkor a gáz sebessége a
legszkebb keresztmetszetben eléri a helyi hangsebességet, ezért a (15.45) összefüggés is
használható a Y meghatározására (ami természetesen ugyanazt az eredményt adja, mint a
(15.44)
(15.45)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 180/195
180
(15.20) összefüggés). S S S S H W H W NULW≥ HVHWpQDNLOpSNHUHV]WPHWV]HWEHQOpY VU
VpJpVKPpUVpNOHWDpV|VV]HIJJpVHNILJ\HOHPEHYpWHOpYHOV]iPROKDWy
7
7
S
S
S
SW
H
W W
H
W
=
=
−κ
κ κ ρ
ρ
.
Ha S S S S H W H W NULW≤ , DNL|POpVLOHJV]NHEENHUHV]WPHWV]HWEHQD]iUDPOiVLVHEHs-
ség megegyezik a helyi hangsebességgel, ami a (15.45) összefüggéssel számolható. (Ter-
mészetesen továbbra is érvényes a (15.20) kiömlési képlet, de a peKHO\pEHDNL|PO N e-
UHV]WPHWV]HWEHQYDOyViJEDQOpYQ\RPiVW κ =1.4 esetén 0.53 p t -t kell helyettesíteni.) A
Ji]iOODSRWMHOOHP]LDpV|VV]HIJJpVVHOV]iPROKDWyN
$ PV]DNL DONDOPD]iVRN V]HPSRQWMiEyO NHGYH-
]WOHQKRJ\DJi]WQHPWXGMXND]HOOHQnyomásnak
PHJIHOHOpVD|VV]HIJJpVVHOV]iPROKDWy
sebességre felgyorsítani. Ezért a 15.4. ábrával
kapcsolatos meggondolások alapján a 15.5. ábrán
látható V]NOFVWROGDWRWHJ\EYOFVYHOHJé-
szítjük ki, amivel a 15.6. ábrán látható Laval-
csövet kapjuk. Az ábrán a Laval-FVDWDUWiO\WHJ\
másik tartállyal köti össze, amelyben az ellennyo-
más a kiáramló gáz mennyiségének változtatásával
változtatható. A Laval-FV DODWWL GLDJUDPEDQ IHl-
WQWHWWNDQ\RPiVYiOWR]iViWDFVWHQJHO\pEHQ
Írjuk fel az adott $ és A ki OHJV]NHEEpVNLOpSNHUHV]WPHWV]HWUHD kontinuitás törvé-
nyét!
T Y $ Y $P NL NL NL= =ρ ρ
$OHJV]NHEENHUHV]WPHWV]HWUHYRQDWNR]yPHQQ\LVpJHNHWDpV15.47) ösz-
V]HIJJpV IHOKDV]QiOiViYDO IHMH]KHWMN NL$ NLOpS NHUHV]WPHWV]HWUH YRQDWNR]y PHQQ\L-
ségeket pedig annak a feltételezésével, hogy a közeg a pe ellennyomásra leexpandál a tar-
tály és az A ki keresztmetszet között. Ebben az esetben a (15.15) és a (15.20) összefüggések
használhatók:
ρ κ ρκ
κ
κ
κ
κ
W W NL WH
WW
H
W
5 7 $ $ S
S5 7
S
S=
−
−
!
"
$
###
−
(15.46)
15.6. ábra
(15.47)
(15.48)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 183/195
183
soló „nyomásjelek” Mach-szög alatt terjednek és változásokat eredményeznek a se-
besség nagyságában és irányában, valaPLQWDJi]iOODSRWMHOOHP]LEHQ
Tekintsük a 15.9.a. ábrát, ahol a egy szilárd fal hirtelen irányváltozása (pl. a 15.6. ábra
15.9. ábra
NL|PONHUHV]WPHWV]HW N|UOL UpV]H OiWKDWy /HJ\HQ D IDO PHOOHWWL iUDPOiV VHEHVVpJH Qa-
gyobb, mint a hangsebesség, M a > 1, a nyomás itt legyen p1 .
Az a/ esetben a sarok mögött a nyomás legyen kisebb: S S (]D]HVHWDNNRUiOOHO
Laval-FVHVHWpQKDD S S S$ H %≤ < , ld.15.6. ábra$VDURNKR]N|]HOtWIRO\DGpNUpV]HN
FVDNDNNRUÄYHV]QHNWXGRPiVW DVDURNMHOHQOpWpU OKDD]iEUiQEHUDM]ROWDIDOODOSiUKX]a-
mos áramvonalakkal α1 Mach-szöget bezáró ferde szíváshullámot elérik. A szíváshullá-
mon áthaladva D KXOOiPUDPHUOHJHV Q\RPiVFV|NNHQpV D KDWiViUD D N|]HJUpV]HN D
hulOiPVtNMiUDPHUOHJHVLUiQ\EDQJ\RUVXOQDN 0LYHOQD0DFV|NNHQD0DFK-szög,
és így az α értéke (α α < ). További szíváshullámok indulnak a sarokról, amelyek hatásá-
ra az áramló közeg iránya tovább változik. (A valóságban elemi szíváshullámok indulnak asarokról, és hatásukra folyamatosan változik a sebesség iránya és nagysága. Az ábrán látha-
tó véJHVLUiQ\YiOWR]iVWRNR]yKXOOiPRNHOHPLKXOOiPRN|VV]HJ]pVHNpQWNpS]HOKHW NHO
A b/ esetben legyen p p2 1> , azaz a sarok mögött nagyobb a nyomás, mint az áramló közeg
nyomása, ami a 15.6. ábrán a S S S% &< < HVHWQHNIHOHOPHJ$VDURNIHOpN|]HOtWN|]Hg-
részek egy α1 Mach-V]|JDODWWWHUMHGD15.9. ábrán A-val jelölt nyomásnövekedési hul-
OiPRQ iUDPODQDNNHUHV]WO DPHO\ VDMiWPDJiUDPHUOHJHVHQ ODVVtWMD D N|]HJHW D]
áramlás iránya felfelé térül el, a Ma értéke a hullám után kisebb, az αQ/HKHW-e a sa-
rokról induló további olyan hullámot rajzolni, amely áramvonallal bezárt szöge nagyobb,
PLQWDKXOOiPHOWWL0DFK-szög, azaz α α > ? Az ábrán láthatóan ilyen hullámot csak az
$MHOKXOOiPWyOEDOUDWXGXQNUDM]ROQL%MHOKXOOiPDPi természetesen a valóságban nem
jöhet létUH$Q\RPiVQ|YHNHGpVLKXOOiPRNPLQWHJ\Ä|VV]HVU V|GQHN´HJ\ igen vékony
lökéshullámot alkotnak (ld. 15.9.b. ábra&MHOKXOOiPDPHO\HQNHUHV]WODMHOOHP]N
VHEHVVpJLUiQ\QDJ\ViJQ\RPiVVWEXJUiVV]HU Yiltozása következik be. Ez az „ösz-
V]HVU V|GpV D]DOiEELPyGRQLVEHOiWKDWy$15.9. ábrán látható, abszolút rendszerben ál-
ló hullámok az áramló közeghez képest hangsebességgel mozognak az áramlással szemben.
$KDQJVHEHVVpJV]tYiVKXOOiPHVHWpQDQ|YHNYVHEHVVpJiUDPOiVLUiQ\iEDQFV|NNHQPi-
YHODQ\RPiVpVDKPpUVpNOHWLVFV|NNHQ(]pUWDV]tYiVKXOOiPRNOHJ\H]V]HU HQV]pWWe-
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 185/195
16. Akusztikai alapismeretek
$]DNXV]WLNDHJ\LNQDJ\IHMH]HWHDFVHSSIRO\yVpVOpJQHP KDOPD]iOODSRW~N|zegekben ke-
OHWNH] KDODGypVHOKDOyKDQJKXOOiPRN OHtUiViYDO IRJODONR]LN (] UpV]EHQ D]iUDPOiVWDQ
alapegyenleteinek felhasználásával lehetséges, ami mutatja az áramlástan és az akusztika
közötti szoros kapcsolatot.
16.1. A hullámegyenlet
Ebben a fejezetbeQDQ\XJYyN|]HJEHQWHUMHGKDQJQpKiQ\VDMiWRVViJiYDOIRJODONR]XQN
+DQJQDN D YLYN|]HJ VDMiWRVViJDLQDN HOHPL LQJDGR]iViW QHYH]]N DPHO\ KXOOiP
alakjában terjed. A hang esetén a tér pontjaiban a részecske sebesség v m s / , a nyomás
p Pa pVDVU VpJρ kg m / 3 változik azLGIJJYpQ\pEHQ$KDOOiVNV]|EQHNPHJIHOHO
HIIHNWtYQ\RPiVGHILQtFLyMiWOGNpV EE 2 10 5. − Pa , 20 Pa pedig már fájdalmat okoz,
tehát a nyomásingadozások a 105 Pa atmoszférikus nyomáshoz képest jó közelítéssel
elemiQHNWHNLQWKHWN
$]HO]IHMH]HWEHQOiWWXNKRJ\D hang terjedési sebességére írható:
adp
d= ρ ,
amely gázok esetén izentropikus állapotváltozást feltételezve az
a R T= κ
kifejezéssel határozható meg. Szilárd testekben a nyomás (negatív húzófeszültség) válto-
zása és a dl l relatív megnyúlás között az E [Pa] rugalmassági modulusz teremt kapcsola-
WRW)LJ\HOHPEHYpYHDPHJQ\~OiVpVDVU VpJYiOWR]iVDN|]|WWLNDSFVRODWRWHJ\GLPHQ]LyV
eset feltételezésével írható:
dp Ed
Ed
= − =l
l
ρρ ,
DPLEODKDQJWHUMHGpVLVHEHVVpJHDV]LOiUGWHVWEHQ
adp
d
E= =
ρ ρ .
(16.1)
(16.2)
(16.3)
(16.4)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 187/195
187
A (16.6) és (16.7) összefüggések bal oldalának második tagjai a többi taghoz képest elha-
nyagolhatóan kicsik a v részecskesebesség kis értéke miatt. A ρ’-vel szorzott tagok ugyan-
csak elhanyagolhatóak a ρ0-YDOV]RU]RWWDNPHOOHWW$|VV]HIJJpVE OtJ\NDSRWWNLI e-
jezésben a∂ρ
∂
∂ρ
∂
∂
∂
∂
∂t p
p
t a
p
t= =
1
2
iWDODNtWiVWHOYpJH]YHPDMGDNLIHMH]pVPLQGNpWROGDOiWLG
szerint differenciálva kapjuk:
10
2
2
2 0
2
a
p
t
v
t x
∂
∂ρ
∂∂ ∂
+ = .
(Az a KDQJVHEHVVpJ LG V]HULQWL GLIIHUHQFLiOKiQ\DGRViW HOKDQ\DJROWXN 'LIIHUHQFLiOMXk a
IHQWLPHJJRQGROiVRNDODSMiQHJ\V]HU VtWHWW|VV]HIJJpVPLQGNpWROGDOiW[V]HULQW
ρ ∂∂ ∂
∂∂
0
2 2
2 0vx t
px
+ = .
0LQGNpW|VV]HIJJpVEONLIHMH]YHD]D]RQRVDODN~WDJRWpVHJ\HQOYpWpYHPHJNDSMXND]
egydimenziós akusztikai hullámegyenletet:
12
2
2
2
2a
p
t
p
x
∂
∂
∂
∂=
A hullámegyenlet általános megoldása a
p x t f x a t g x a t p,1 6 1 6 1 6= − + + + 0
függvény, ahol p0D]LG EHQ pV WpUEHQiOODQGyHJ\HQV~O\L VWDWLNXV Q\RPiV $ NtQiONR]y
V]iPRVOHKHWVpJN|]OYiODVV]XNPRVWDWHUPpV]HWEHQJ\DNUDQHO IRUGXOyKDUPRQLNXVKX l-
lámot leíró függvényt:
0px2
tT
2cospp +
λπ
±π
=,
ahol T s perióGXVLG, λ m hullámhossz. Bevezetve az f T s
= !
"$#
1 1 frekvencia,
km
= !
"$#
2 1πλ
hullámszám, ω π= !
"$#
21
f s
körfrekvencia jelöléseket írható:
( ) 0pxktcospp +±ω=.
(16.8)
(16.9)
(16.10)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 188/195
188
Vizsgáljuk meg, hogy milyen tulajdonságai vannak ennek
a függvénynek: Tekintsük az ω t k x− esetet. Ábrázolja
t = 0 pillanatban a nyomáshullámot a 16.2. ábra. A ma-
ximális nyomás az x = 0 helyen van, miután t = 0 -hoz és
x = 0-hoz a cosinus függvény zérus argumentuma tartozik.
Annak érdekében, hogy t t= 1 pillanatban ugyanazt a
nyomást kapjuk, a függvény argumentumának ugyanakkorának kell lennie: ω t k x1 1 0− = ,
DPLEO
x
t k
f a1
1 2
2
2= = = =
ω ω λπ
π λπ ,
mivel f a m sλ = / hangsebesség $ |VV]HIJJpVEO OiWKDWy KRJ\ a hullám a
hang a terjedési sebességével (ld. (15.23) összefüggés) PHJHJ\H] VHEHVVpJJHO KDODG
jobbra (ld. 16.2. ábra). Ugyanezzel a sebességgel balra haladó hullámot kapunk, ha az
ω t k x+ argumentum esetét vizsgáljuk.
16.2. Hangteljesítmény, intenzitás
3HULRGLNXVJHUMHV]WpVHVHWpQDYLY N|]HJSHULRGLNXVPR]JiViEDQpVHJ\PiVWN|YHWNRPp-
ressziók és expanziók formájában jelentkezik a hang, amely terjedése során energiát szállít.
Ha p Pa nyomás ellenében V m3 térfogatnyit „kiszorítunk” p V J munkát végzünk.
(]pUWV]DEDGWpUEHQWHUMHGVtNKXOOiPHVHWpQDhangteljesítményre írható:
P t A v t p t1 6 1 6 1 6=.
A (16.5) összefüggést figyelembe véve írható: p v a= ρ DPLEO
vp
a=
ρ
(16.13) kifejezést (16.12)-be helyettesítve kapjuk:
P t Ap
a1 6 =
2
ρDPLEOD]átlagos teljesítmény: P A
p
a=
2
ρ.
16.2. ábra
(16.11)
(16.12)
(16.13)
(16.14)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 189/195
189
A (16.10) kifejezéssel leírt harmonikus hullám négyzetét 0-tól T-ig integrálva és T-vel el-
RV]WYD NpSH]KHWMN D Q\RPiV QpJ\]HWpQHN LG EHOL iWODJiW2
pp
22 = . Az effektív hang-
nyomás tehát
2
ppeff = . Ezzel az effektív hangteljesítmény:
Pp
aAeff =
2
ρ
A mérések során a p eff 2 -et határozzuk meg.
Az 1 2m keresztmetszetre jutó hangteljesítményt intenzitásnak nevezzük:
I pa
eff = 2
ρ
16.3. Szintek
A hangteljesítmény igen széles skálán mozog: a csendes beszédé 10 9− W, egy nagy telje-
sítPpQ\UDNpWipSHGLJ107W is lehet. Milyen skálát használjunk, hogy ezt az igen széles
tartományt átfoghassuk? Használjuk ki az emberi érzékelés azon sajátosságát, hogy az
érzékelt változás mértéke (∆é) az inger változás (∆i) és az inger (i) hányadosával ará-nyos: ∆ ∆é i i~ / 0 DPLEOD]pU]pNHOpVpVD]LQJHUNDSFVRODWiUDDGyGLN é i i~ ln / 01 6 . Az
átfogott skála szélessége és az érzékelésünk sajátosságai indokolják, hogy az akusztikában
alkalmazott fizikai mennyiségek jellemzésére az alábbi szinteket alkalmazunk:
Hangteljesítményszint: LP
PdBW = 10
0
lg ,
Intenzitásszint: LI
I
dBI = 100
lg ,
Hangnyomásszint: Lp
pdB=
10
0
2
lg ,
ahol a dB (decibel) a szintek mértékegysége. (Itt jegyezzük meg, hogy a fentieken kívül
PiVWHOMHVtWPpQ\WNLIHMH]PHQQ\LVpJHNQpOLVKDV]Qáljuk a dB mértékegységet.)
(16.15)
(16.16)
(16.17)
(16.18)
(16.19)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 190/195
190
A p0 vonatkozási nyomásnak a hallásküszöböt választották: p Pa052 10= ⋅ − .
ρ akg
s m1 6
0 2400= és A m0
21= vonatkozási értéket választva a (16.15) és (16.16) össze-
függés alapján I
p
a
W
m0
02
0
12
210= =−
ρ1 6 ill. P W0
12
10=−
.
+RJ\DQV]iPtWMXNNLNpWHJ\HQOL W KDQJWHOMHVtWPpQ\KDQJIRUUiVL Weredõ eUHGKDQJWHl-
jesítményét?
LP
P
P
PL dBWeredõ W= = + = +10
210 10 2 3
0 0
lg lg lg .
+D NpW NO|QE|] L P P és L P PW W1 1 0 2 2 010 10= =lg / lg / KDQJWHOMHVtWPpQ\ KDQJ-
IRUUiVHVHWpQNHUHVVND]HUHGLWe hangteljesítményt, akkor az alábbi módon járunk el:
LP P
PWe
L L L L Lw w w w w
=+
= +
!
"
$##
= +
!
"
$
##
−
10 10 10 10 10 10 1 101 2
0
10 10 10 101 2 1 2 1
lg lg lg
$NLMHO|OWPYHOHWHWHOYpJH]YHHUHGPpQ\ONDSMXN
L L LWe W W= +1 ∆
, ahol
∆LW L Lw w= +
−
10 11
101 2
10
lg
.
A 16.3. ábrán látható nomogram meg-
könnyíti a ∆LW számítását: megmu-
tatja, hogy a hangteljesítmény-szintek
közötti különbség (L LW W1 2− ) függ-
vényében mennyivel kell a nagyobbik
(LW1) hangteljesítmény-szintet megnö-
YHOQL KRJ\ D] HUHGW PHJNDSMXN Látható, hogy L L dBW W1 2 10− ≥ különbség esetén már el lehet hanyagolni a kisebb telje-
VtWPpQ\KDQJIRUUiVSODKiWWpU]DMKR]]iMiUXOiViWD]HUHGKDQgteljesítményszinthez.
16.4. A zaj spektrális jellemzése
$ KDQJWpUDGRWW SRQWMiEDQ D KDQJQ\RPiV LG EHOL OHIXWiViQDN LVPHUHWpEHQHOiOOtWKDWy D]
igen informatív hangszínkép (hangspektrum), amely megmutatja, hogy milyen frekven-
FLiM~pVDPSOLW~GyM~KDUPRQLNXV|VV]HWHYNEOiOOtWKDWyHOD]HUHGHWLQ\RPiV-LGIJg-YpQ\ ËJ\ SO D WLV]WD ]HQHL KDQJ VSHNWUXPD GE KDUPRQLNXV |VV]HWHYW WDUWDOPD] OG
(16.20)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 191/195
191
16.4.a. ábra). A gyakorlatban a hang jellemzésére pl. oktávsávos spektrumot használunk.
(Egy oktáv az f Hza alsó és f Hz f f a= 2 IHOVIUHNYHQFLDN|]|WWLIUHNYHQFLiNDWIRJMD
át.) A középfrekvencia: f f f f k a f a= = 2 .
16.4. ábra
A 16.4.b. ábra egy mérés eredményét mutatja, ahol az egyes oktávsávokban mért hangtelje-
VtWPpQ\V]LQWHNHWD]DGRWWN|]pSIUHNYHQFLiNKR]YLWWNIHO$]HPEHULpU]pNHOpVHOWpU HQU e-
aJiODNO|QE|]IUHNYHQFLiM~KDQJRNUDDPpO\KDQJRNUDSO+]YLV]RQ\ODJpU]pNHt-
OHQPtJN|]HOtWOHJ+]-nél a legérzékenyebb. Az emberi érzékelés „torzítását” speci-
iOLVV]U YHOOHKHWILJ\HOHPEHYHQQLD]tJ\DGyGypUWpNHNHWG%$ -val jelöljük.
16.5. Irányítottság
Egy nagy térben elhelyezett, 3KDQJWHOMHVtWPpQ\ SRQWV]HU KDQJIRUUiVW IHOWpWHOH]YH,
amely minden irányban egyformán bocsájt ki hanghullámokat, az r sugarú gömb felületén
érvényes intenzitásra írható:
IP
r
p
agg= =
4 2
2
π ρ .
+DSRQWV]HU KDQJIRUUiVXQNDWYiOWR]DWODQKDQJWHOMHVtWPpQ\PHOOHWWDKDWiURODWODQV]DEDG
WpUEOYDODPLO\HQKDWiUROWWpUEHKHO\H]]NDWpUHJ\DGRWWSRQWMiEDQD]LQtenzitás megvál-
tozását a 'LUiQ\tWiVLWpQ\H]YHOfejezhetjük ki:
DI
I
p
a
p
a
p
a
r
Pg g= = =
2
2
2 24ρ
ρ
ρπ
.
Ha egy minden irányban egyforma intenzitású hanghullámokat kibocsájtó hangforrást nagy
térben helyezünk el, D = 1 érték adódik. Ha a hangforrást egy síkra tesszük, ami a hangot
visszaveri, D = 2 -t kapunk. Ha két sík metszésvonalába tesszük, akkor D = 4 , ha pedig be-
tesszük a sarokba, akkor csak a tér egy-nyolcadába bocsájtja ki a hangteljesítményt, ekkor
D = 8.
9L]VJiOMXNPHJKRJ\DGRWWWHOMHVtWPpQ\V]LQWKDQJIRUUiVPLO\HQKDQJQ\RPiVV]LQWKDQg-
teret hoz létre, azaz mekkora lesz adott helyen a hangnyomásszint. Legyen a tér kiválasztott
(16.21)
(16.22)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 192/195
192
SRQWMiEDQD]LUiQ\tWiVLWpQ\H]LVPHUW'pUWpN $pV|VV]HIJJpVHNIHl-
használásával írható:
I D I DP
r
p
a
g= = =
4
2
2
π ρ.
A vonatkozási intenzitás az alábbi módon írhDWyIHOD]HO]HNDODSMiQ
Ip
a
P
rahol r m0
02
0
0
02 0 1= = =
ρ1 6, .
Fejezzük ki az I I / 0 hányadost a (16.23) és (16.24) segítségével:
I
I DP
r
r
P
p
a
a
p02 0
2
0
2
0024= =π ρ
ρ1 6
(16.25)- EOIHMH]]NNLDKDQJWHOMHVtWPpQ\HNYLV]RQ\iW
P
P
p
p
a
a
r
r D0
2
02
02
02
4 1=
ρ
ρπ1 6
Vegyük a (16.26) összefüggés mindkét oldalának tízszeres logaritmusát:
LP
P
p
p
a
a
r
rDW = =
+ + +
−10 10 10 10 4 10 10
0 0
20
0
2
lg lg lg lg lg lgρρ
π1 6
DPLEOILJ\HOHPEHYpYHKRJ\ ( )ρ ρa a0 ≅ DNLMHO|OWPYHOHWHNXWiQNDSMXN
L L r DW = + − +20 10 11lg lg.
Ha tehát a hangforrástól r m távolságban L dB hangnyomásszintet mérünk és ismerjük a
'LUiQ\tWiVLWpQ\H]pUWpNpWD|VV]HIJJpVVHOV]iPROKDWyDKDQJIRUUiVKDQJWHOM e-
sítményszintje.
(16.23)
(16.24)
(16.25)
(16.26)
(16.27)
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 193/195
Ajánlott irodalom
9iORJDWiVDPDJ\DUQ\HOYHQKR]]iIpUKHWV]DNLURGDORPEyO
1. Dr. Gruber József, Dr. Blahó Miklós:
Folyadékok mechanikája; Tankönyvkiadó Budapest, 1973.
2. L.D.Landau, E.M.Lifsic:
Elméleti fizika VI. Hidrodinamika; Tankönyvkiadó, Budapest, 1980.
3. )L]LNDLNp]LN|Q\YPV]DNLDNQDN,N|WHW+LGURPHFKDQLND
I V]HUNHV]W'U$QWDOO-iQRVIHMH]HWV]HU]N'U&]LEHUH7LERU'U6]DEy-iQRV
Mszaki könyvkiadó, Budapest, 1980.
4. Dr. Szentmártony Tibor, Dr. Kurutz Imre:
$PV]DNLDNXV]WLNDDODSMDL--970 kézirat, Tankönyvkiadó, Budapest, 1981.
5. Willi Bohl:
0V]DNLiUDPOiVWDQ0V]DNLN|Q\YNLDGy%XGDSHVW
6. Dr. Szentmártony Tibor:
Folyadékok mechanikája I.; J4 -920 kézirat, Tankönyvkiadó, Budapest, 1984.
7. Dr. Litvai Elemér:
Alkalmazott áramlástan (A vegyipari gépészek részére); J4 -730 kézirat, Tankönyvkiadó,
Budapest, 1986.
8. Dr. Litvai Elemér, Dr. Bencze Ferenc:
Áramlástan II.; J4 -906 kézirat, Tankönyvkiadó, Budapest, 1987.
9. Dr. Bobok Elemér:
ÈUDPOiVWDQEiQ\DPpUQ|N|NQHN0V]DNL.|Q\YNLDGy%XGDSHVW
10. 0V]DNLK- és áramlástan I-1., I-2., II. kötetek, J7 -724, J7 -724-a, J7 -725, az
Aero- és Termotechnika Tanszék Munkaközössége; kézirat, Tankönyvkiadó, Budapest,
1988.
$MiQORWWLGHJHQQ\HOYV]DNLURGDORP
11. Klaus Oswatitch:Gasdynamik; Springer -Verlag, 1952.
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 194/195
195
12. Ludwig Prandtl:
Führer durch die Strömungslehre; Friedr.Vieweg & Sohn Braunschweig 1965.
13. E. Truckenbrodt:
Strömungsmechanik; Springer -Verlag, 1968.
14. Dr. Jürgen Zierep:
Grundzüge der Strömungslehre; G.Braun Kalsruhe.
15. Dr. Jürgen Zierep:
Ähnlichkeitsgesetze und Modellregel der Strömungslehre; G.Braun Kalsruhe, 1972.
16. Robert W.Fox, Alan T.McDonald:
Introduction to Fluid Mechanics; John Wiley & Sons, 1978.
17. Dr.Werner Albring:
Element arvorgänge fluider Wirbelbewegungen; Akademie -Verlag Berlin, 1981.
18. A.P.Dowling, J.E.Ffowcs Williams:
Sound and Sources of Sound; Ellis Horwood Limited, 1983.
19. Victor L. Streeter, E.Benjamin Wylei:
Fluid Mechanics; McGraw -Hill Book Company, 1985.
20. Philip M.Gerhart, Richard J.Gross:
Fundamentals of Fluid Mechanics; Addison -Wesley Publishing Company, 1985.
21. Rolf H.Sabersky, Allan J.Acosta, Edward G.Hauptmann:
Fluid Flow; Macmillan Publishing Company, 1989.
22. M.B.Abot, D.R.Basco:
Computational Fluid Dynamics An Introduction for Engineers; Longman Scientific &
Technical, 1989.
23. Werner Albring:
Angewandte Strömungslehre; Akademie -Verlag Berlin, 1990.
24. W.J.Duncan, A.S.Thom, A.D.Young:
Mechanics of Fluid; Edward Arnold, 1990.
25. Merle C.Poter, David C.Wigger:
Mechanics of Fluid; Prentice -Hall Internacional, Inc., 1991.
8/8/2019 Áramlastan könyv
http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 195/195
26. John D.Anderson, Jr.:
Fundamentals of Aerodynamics; McGraw -Hill, Inc.1991.
27. Dr. Jürgen Zierep: Theoretische Gasdynamik; G.Braun Kalsruhe, 1991.
28. Charles Hirsch:
Numerical Computation of Internal and External Flows; Volume 1, 2, John Wiley & Sons,
1991.
29. C.A.J.Fletcher:
Computational Techniques for Fluid Dynamics; Volume 1, 2, Springer -Verlag, 1991.