INGENIERÍA DE

CALIDAD

DISEÑO ROBUSTO

Un producto robusto es aquel que trabaja como se pretende sin importar la variación en el

proceso de manufactura, variación resultado de la deterioración y variación en el uso del

producto.

El diseño robusto o diseño paramétrico robusto (Robust Parameter Design, RPD) es un

principio que enfatiza la apropiada selección de niveles de factores de control ‘‘xi’’ en un

sistema, para hacer al producto robusto a la variabilidad introducida por un segundo grupo de

factores llamados factores de ruido ‘‘zi’’. El sistema puede ser un proceso o un producto.

Los factores de control son factores que son fáciles y baratos de controlar en el diseño del

producto; los factores de ruido son factores que podrían afectar la respuesta de interés pero que

son difíciles de controlar cuando el producto está siendo manufacturado o cuando está siendo

usado por el cliente (aunque pueden ser controlados para propósitos de experimentación). Estos

factores de ruido son a menudo funciones de condiciones ambientales, por ejemplo, humedad,

propiedades de materias primas, temperatura, etc.

Los diseños robustos son diseños construidos con un objetivo en mente: comprender que

parámetros de diseño de producto y proceso son críticos para el alcance de una característica de

desempeño con variación mínima. El diseño de experimentos puede ayudar a determinar estos

parámetros óptimos y por lo tanto ayuda a desarrollar un producto más robusto (Myers y

Montgomery, 2002).

Montgomery (2009) menciona que existen dos objetivos principales: asegurar que la

media de la respuesta este en cierto valor y asegurar que la variabilidad alrededor de este valor

sea tan pequeña como sea posible.

*Actividad por equipos

1.2 Metodología de Taguchi

Hay dos enfoques principales para experimentación robusta: El enfoque de Taguchi y el

enfoque tradicional (Box y Bisgaard, 1987). La metodología de Taguchi para el RPD fue

introducida a principios de los 80’s. Esta metodología gira en torno al uso de diseños ortogonales

donde un arreglo ortogonal que involucra variables de control se cruza con un arreglo ortogonal

que contiene a las variables de ruido.

Por ejemplo, en un 22×2

2 el

2

2 para las variables de control es llamado el arreglo interno

y el 22 para las variables de ruido se denomina el arreglo externo.

La metodología resultante genero mucha discusión y controversia. Parte de la

controversia surgió debido a que la metodología de Taguchi fue adoptada inicialmente (y

principalmente) por compañías en occidente, y el enfoque estadístico de dicha metodología no

había sido adecuadamente revisado.

Montgomery (2005) señala que aunque los conceptos ingenieriles de Taguchi y el

objetivo general de RPD están bien fundamentados, existen problemas substanciales con esta

estrategia de experimentación así como con los métodos de análisis de información. Detalles más

específicos en estos asuntos pueden ser encontrados en: Box (1988), Box, Bisgaard and Fung

(1988), Hunter (1985), Montgomery (1999), Myers y Montgomery (2002) y Pignatiello y

Ramberg (1992).

Myers y Montgomery (2002) mencionan que muchos de los diseños sugeridos por

Taguchi son diseños Plackett-Burman saturados o aproximadamente saturados que no permiten

al experimentador estimar los efectos de las interacciones entre las variables de control. La figura

1 muestra un arreglo cruzado que ha sido transformado a su forma estándar, note que ninguna

interacción de control × control puede ser calculada cuando se usa este enfoque.

Box (1988) declara que los métodos estadísticos de diseño y análisis recomendados por

Taguchi son a menudo innecesariamente ineficientes y complicados, y cuando sea posible,

deberían ser reemplazados por alternativas más simples y eficientes.

En forma adicional, Myers y Montgomery (2002) comentan que la metodología de

Taguchi podría estar sujeta a controversia, existen muchas situaciones de la vida real en que

funciona bien si uno está dispuesto a asumir que las interacciones entre las variables de control

no son significativas. En muchas áreas de aplicación esta es una asunción segura, sin embargo

hay muchas áreas en que estas interacciones proporcionan una enorme contribución al proceso

de modelación.

Montgomery (2009) menciona que existen dos objetivos esenciales en el RPD: (1)

asegurar que el valor promedio de la respuesta este en un nivel deseado o en un valor objetivo (2)

asegurarse de que la variabilidad alrededor de este valor objetivo sea tan pequeña como sea

posible. A menos que exista una interacción de control por ruido no hay un problema de diseño

robusto. Identificar y modelar estas interacciones es una de las claves para resolver el RPD.

Hubo varios resultados positivos de la controversia de Taguchi. Primero, los

experimentos diseñados se volvieron de uso común en la industria automotriz, aeroespacial, de

electrónicos y de semiconductores así como muchas otras industrias que habían hecho poco uso

de esta técnica. Segundo, la cuarta era del diseño experimental comienza, esta era incluye un

renovado interés en el diseño estadístico por investigadores y practicantes así como el desarrollo

de muchos nuevos enfoques para experimentación industrial. Dichos enfoques incluyen

alternativas a los métodos de Taguchi y permiten tomar su concepto ingenieril y aplicarlo

eficiente y efectivamente. Tercero, la educación formal en diseño experimental estadístico se

vuelve parte de muchos programas de ingeniería tanto a nivel licenciatura como en posgrado.

1.3. Diseños de arreglo cruzado

La metodología original de Taguchi para el problema RPD gira en torno al uso de un

diseño estadístico para las variables de control y otro diseño estadístico para las variables de

ruido. Después estos dos diseños se cruzan, lo que significa que cada combinación de

tratamientos en el diseño para las variables de control se corre para cada combinación de

tratamientos en el diseño de las variables de ruido. Este tipo de diseño experimental se denomina

diseño de arreglo cruzado.

1 2 3 4

Z1 - + - + Run X1 X2 X3 Z1 Z2 Z3 [Intercept] = Intercept+ X1X2X3 + Z1Z2Z3

Z2 - - + + 1 -1 -1 1 -1 -1 1 [X1] = X1 + X2X3

Z3 + - - + 2 -1 -1 1 1 -1 -1 [X2] = X2 + X1X3

X1 X2 X3 3 -1 -1 1 -1 1 -1 [X3] = X3 + X1X2

1 - - + * * * * 4 -1 -1 1 1 1 1 [Z1] = Z1 + Z2Z3

2 + - - * * * * 5 1 -1 -1 -1 -1 1 [Z2] = Z2 + Z1Z3

3 - + - * * * * 6 1 -1 -1 1 -1 -1 [Z3] = Z3 + Z1Z2

4 + + + * * * * 7 1 -1 -1 -1 1 -1 [X1Z1] = X1Z1 + X1Z2Z3 + X2X3Z1

8 1 -1 -1 1 1 1 [X1Z2] = X1Z2 + X1Z1Z3 + X2X3Z2

9 -1 1 -1 -1 -1 1 [X1Z3] = X1Z3 + X1Z1Z2 + X2X3Z3

10 -1 1 -1 1 -1 -1 [X2Z1] = X2Z1 + X1X3Z1 + X2Z2Z3

11 -1 1 -1 -1 1 -1 [X2Z2] = X2Z2 + X1X3Z2 + X2Z1Z3

12 -1 1 -1 1 1 1 [X2Z3] = X2Z3 + X1X3Z3 + X2Z1Z2

13 1 1 1 -1 -1 1 [X3Z1] = X3Z1 + X1X2Z1 + X3Z2Z3

14 1 1 1 1 -1 -1 [X3Z2] = X3Z2 + X1X2Z2 + X3Z1Z3

15 1 1 1 -1 1 -1 [X3Z3] = X3Z3 + X1X2Z3 + X3Z1Z2

16 1 1 1 1 1 1

Factors

Figura 1. El arreglo cruzado en forma estándar

Ejemplo: Considere un experimento en el que cinco factores fueron estudiados para

determinar su efecto sobre la altura libre de una suspensión automotriz. Los factores son: A

(temperatura de horneado), B (Tiempo de horneado), C (Tiempo de transferencia), D (Tiempo de

enfriamiento), E (Temperatura del aceite). Este es un problema robusto porque la temperatura del

aceite es una variable ruidosa.

La información para este experimento se muestra en la Tabla 1.el diseño para los factores

controlables es un factorial fraccionado 24-1

con generador D=ABC, este diseño se denomina

arreglo interno. El diseño para el único factor de ruido es simplemente un 21 y es llamado arreglo

externo. Note que cada uno de los 16 puntos del diseño esta replicado 3 veces, resultando en un

total de 48 observaciones.

Una importante característica del arreglo cruzado es que proporciona información sobre

las interacciones entre factores de control y factores de ruido. Estas interacciones son cruciales

para solucionar el problema RPD.

La Tabla 12.2 presenta otro ejemplo de un problema de RPD tomado de Byrne y Taguchi

(1987). Este problema involucra el desarrollo de un conector. Existe cuatro variables

controlables, cada una a tres niveles: A (interferencia), B(grueso de la pared del conector),

C(profundidad de inserción), D(porcentaje de adhesivo), y tres factores de ruido, cada uno dos

niveles E(tiempo de acondicionamiento), F(temperatura de acondicionamiento), G( humedad

relativa de acondicionamiento). Note que el diseño para las variables de control es un 34-2

y el

diseño para las variables de ruido es un 23.

1.3.1 Análisis del arreglo cruzado

Taguchi propuso resumir la información del arreglo cruzado con dos estadísticos, el

promedio de cada observación en el arreglo interno a lo largo de todas las corridas del arreglo

externo y un estadístico que intentaba combinar información sobre la media y varianza llamado

índice de señal-ruido. Los índices de señal a ruido están diseñados de tal forma que un valor

máximo del índice minimiza la variabilidad transmitida por las variables de ruido. Después un

análisis es realizado para determinar que niveles de los factores controlables resultan en una

media tan cercanamente posible al valor objetivo y un valor máximo del índice señal-ruido.

Los índices de señal a ruido son problemáticos porque pueden confundir los efectos de

localización y dispersión y con frecuencia no producen los resultados deseados.

Un análisis más apropiado para el arreglo cruzado es modelar la media y varianza

de la respuesta directamente, donde la media muestral y la varianza muestral para cada

observación en el arreglo interno son calculadas a lo largo de todas las corridas del arreglo

externo. Por lo tanto, escoger los niveles de los factores controlables para optimizar la media y

simultáneamente minimizar la variabilidad es un enfoque valido.

Para ilustrar este enfoque considere el experimento presentado en la Tabla 12.1, las

últimas dos columnas de esta tabla muestran La medias muéstrales iy y las varianzas muéstrales

2

is para cada corrida en el arreglo interno. La Figura 12.2 es el grafico de probabilidad

seminormal de los efectos para la media. Claramente los factores A, B y D tienen efectos

importantes. Dado que estos efectos están correlacionados con interacciones de tres factores es

razonable concluir que los efectos pertenecen a los factores A, B y D y no a las interacciones.

El modelo para la media está dado por:

1 2 47.63 0.12 0.081 0.044i

y x x x

Debido a que la varianza muestral no sigue una distribución normal (sino chi cuadrada),

es mejor analizar el logaritmo natural de la varianza. La Figura 12.3 es el grafico de probabilidad

seminormal de los efectos del 2( )iin s . El único efecto significativo es B.

El modelo para él 2( )iin s está dado por

2

2( ) 3.74 1.09iin s x

Después de realizar una optimización simultanea (Figura 12.4) se llega a la conclusión de

que el factor A debe ser colocado a nivel alto, el B a 0.63 y el D a nivel alto. Una desventaja del

enfoque de modelar la media y la varianza usando el arreglo cruzado es que no toma ventaja

directa de las interacciones entre variables de control y variables de ruido. En algunas situaciones

puede enmascarar estas relaciones. Además existe una alta probabilidad de que la varianza tenga

una relación no lineal con los efectos controlables y esto puede complicar el proceso de

modelado.

Figura 12.4 Optimización simultanea

1.4. Resolución Mixta

El enfoque tradicional modela ambas x (variables de control) y z (variables de ruido) en

el mismo modelo y ha sido llamado un enfoque de modelo de respuesta. Si las variables de

control son predominantemente continuas, es posible formar una superficie de respuesta dual en

que una superficie de respuesta para la media y una superficie de respuesta para la varianza del

proceso son generadas.

El enfoque tradicional también hace énfasis en la importancia de las interacciones de

control × ruido porque estas interacciones determinan la naturaleza de no homogeneidad de la

varianza del proceso que caracteriza el RPD (Myers y Montgomery, 2002). Una clase importante

de diseño de arreglo combinado es el diseño de resolución mixta. Considere un diseño robusto

con 6 factores a dos niveles, 3 de ellos son factores de control (A, B y C) y 3 de ellos son

factores de ruido (D, E and F). El diseño de resolución mixta es una fracción que es construida al

hacer una correcta selección de generadores de tal forma que una resolución más alta sea

otorgada a interacciones de control × ruido y control × control y una resolución más baja es

asignada a interacciones de ruido × ruido.

[Intercept] = Intercept

[x1] = x1 [x2] = x2 [x3] = x3 [z1] = z1 + z2z3 [z2] = z2 + z1z3 Resolution III [z3] = z3 + z1z2 [x1x2] = x1x2 + x3z1 [x1x3] = x1x3 + x2z1 [x2x3] = x2x3 + x1z1 [x1z2] = x1z2

[x1z3] = x1z3

[x2z2] = x2z2

[x2z3] = x2z3

[x3z2] = x3z2

[x3z3] = x3z3

Considere el caso de un diseño de resolución mixta que asigna resolución III a

interacciones de ruido × ruido. Y resolución IV al resto de las interacciones. Dicho diseño es

construido al hacer uso de la relación definidora I = X1X2X3Z1 = Z1Z2Z3 = X1X2X3Z2Z3. El diseño

y su estructura de aliases son mostrados en la Figura 2.

1.5 Selección de generadores

Borkowsky y Lucas (1997) proveen un catálogo de generadores de diseños de resolución

mixta (Tabla 1). El catalogo se usa de la siguiente manera: Suponga que un experimento con 4

factores de control (A, B, C, D) y 3 factores de ruido (E, F, G) va a realizarse. Debido a que el

diseño contiene 7 factores (K=7) y 4 de estos factores son control (C =4), el diseño 7B el cual es

un - debería ser usado y los generadores para construir esta fracción son: F = ABCD and G =

ABCDE. La columna ‘’resolución’’ se refiere a la resolución entre los factores de ruido (en este

caso resolución III indica que los efectos principales de los factores de ruido están confundidos

con las interacciones de ruido × ruido)

26−2

Figura 2. Un diseño de resolución mixta y su correspondiente estructura de aliases

Tabla 1. Generadores de Diseños de Resolución Mixta (Borkowsky and Lucas, 1997)

Ejercicio: Determine la resolución de los siguientes diseños (III, IV o V)

Recuerde:

Resolución III: ME están correlacionados con 2FI

Resolución IV: 2FI están correlacionadas con 2FI

Resolución V: 2FI están correlacionadas con 3FI

[Intercept] = Intercept + ABD + ACE

[A] = A + BD + CE

[B] = B + AD + CDE

[C] = C + AE + BDE

[D] = D + AB + BCE

[E] = E + AC + BCD

[BC] = BC + DE + ABE + ACD

[BE] = BE + CD + ABC + ADE

[Intercept] = Intercept

[A] = A + BCG + BDH + BEF + CDF + CEH + DEG + FGH

[B] = B + ACG + ADH + AEF + CDE + CFH + DFG + EGH

[C] = C + ABG + ADF + AEH + BDE + BFH + DGH + EFG

[D] = D + ABH + ACF + AEG + BCE + BFG + CGH + EFH

[E] = E + ABF + ACH + ADG + BCD + BGH + CFG + DFH

[F] = F + ABE + ACD + AGH + BCH + BDG + CEG + DEH

[G] = G + ABC + ADE + AFH + BDF + BEH + CDH + CEF

[H] = H + ABD + ACE + AFG + BCF + BEG + CDG + DEF

[AB] = AB + CG + DH + EF

[AC] = AC + BG + DF + EH

[AD] = AD + BH + CF + EG

[AE] = AE + BF + CH + DG

[AF] = AF + BE + CD + GH

[AG] = AG + BC + DE + FH

[AH] = AH + BD + CE + FG

[Intercept] = Intercept

[A] = A

[B] = B

[C] = C

[D] = D

[E] = E

[AB] = AB + CDE

[AC] = AC + BDE

[AD] = AD + BCE

[AE] = AE + BCD

[BC] = BC + ADE

[BD] = BD + ACE

[BE] = BE + ACD

[CD] = CD + ABE

[CE] = CE + ABD

[DE] = DE + ABC

[Intercept] = Intercept + AFJ + BGJ + CHJ + DEJ

[A] = A + FJ + BCE + BDH + BFG + CDG + CFH + DEF + EGH

[B] = B + GJ + ACE + ADH + AFG + CDF + CGH + DEG + EFH

[C] = C + HJ + ABE + ADG + AFH + BDF + BGH + DEH + EFG

[D] = D + EJ + ABH + ACG + AEF + BCF + BEG + CEH + FGH

[E] = E + DJ + ABC + ADF + AGH + BDG + BFH + CDH + CFG

[F] = F + AJ + ABG + ACH + ADE + BCD + BEH + CEG + DGH

[G] = G + BJ + ABF + ACD + AEH + BCH + BDE + CEF + DFH

[H] = H + CJ + ABD + ACF + AEG + BCG + BEF + CDE + DFG

[J] = J + AF + BG + CH + DE

[AB] = AB + CE + DH + FG + AGJ + BFJ + CDJ + EHJ

[AC] = AC + BE + DG + FH + AHJ + BDJ + CFJ + EGJ

[AD] = AD + BH + CG + EF + AEJ + BCJ + DFJ + GHJ

[AE] = AE + BC + DF + GH + ADJ + BHJ + CGJ + EFJ

[AG] = AG + BF + CD + EH + ABJ + CEJ + DHJ + FGJ

[AH] = AH + BD + CF + EG + ACJ + BEJ + DGJ + FHJ

[Intercept] = Intercept + ABC

[A] = A + BC

[B] = B + AC

[C] = C + AB

[Intercept] = Intercept

[A] = A + BCE + DEF

[B] = B + ACE + CDF

[C] = C + ABE + BDF

[D] = D + AEF + BCF

[E] = E + ABC + ADF

[F] = F + ADE + BCD

[AB] = AB + CE

[AC] = AC + BE

[AD] = AD + EF

[AE] = AE + BC + DF

[AF] = AF + DE

[BD] = BD + CF

[BF] = BF + CD

[ABD] = ABD + ACF + BEF + CDE

[ABF] = ABF + ACD + BDE + CEF

[Intercept] = Intercept

A

B

C

D

E

AB

AC

AD

AE

BC

BD

BE

CD

CE

DE

ABC

ABD

ABE

ACD

ACE

ADE

BCD

BCE

BDE

CDE

ABCD

ABCE

ABDE

ACDE

BCDE

ABCDE

Ejercicio: Crear el diseño de resolución mixta sugerido en la sección 4 (utilizar el software,

cambiar los generadores y crear el diseño)

Tarea para el jueves: Obtener la estructura de aliases de aberración mínima para este

diseño

Ejercicio: Mostrar cómo se haría en Excel

[Intercept] = Intercept + EFG

[A] = A

[B] = B

[C] = C

[D] = D

[E] = E + FG

[F] = F + EG

[G] = G + EF

[AB] = AB + CDF

[AC] = AC + BDF

[AD] = AD + BCF

[AE] = AE + AFG

[AF] = AF + AEG + BCD

[AG] = AG + AEF

[BC] = BC + ADF

[BD] = BD + ACF

[BE] = BE + BFG

[BF] = BF + ACD + BEG

[BG] = BG + BEF

[CD] = CD + ABF

[CE] = CE + CFG

[CF] = CF + ABD + CEG

[CG] = CG + CEF

[DE] = DE + DFG

[DF] = DF + ABC + DEG

[DG] = DG + DEF

[ABE] = ABE + CDG

[ABG] = ABG + CDE

[ACE] = ACE + BDG

[ACG] = ACG + BDE

[ADE] = ADE + BCG

[ADG] = ADG + BCE

A B C D E F G

-1 -1 -1 -1 -1 1 -1

1 -1 -1 -1 -1 -1 1

-1 1 -1 -1 -1 -1 1

1 1 -1 -1 -1 1 -1

-1 -1 1 -1 -1 -1 1

1 -1 1 -1 -1 1 -1

-1 1 1 -1 -1 1 -1

1 1 1 -1 -1 -1 1

-1 -1 -1 1 -1 -1 1

1 -1 -1 1 -1 1 -1

-1 1 -1 1 -1 1 -1

1 1 -1 1 -1 -1 1

-1 -1 1 1 -1 1 -1

1 -1 1 1 -1 -1 1

-1 1 1 1 -1 -1 1

1 1 1 1 -1 1 -1

-1 -1 -1 -1 1 1 1

1 -1 -1 -1 1 -1 -1

-1 1 -1 -1 1 -1 -1

1 1 -1 -1 1 1 1

-1 -1 1 -1 1 -1 -1

1 -1 1 -1 1 1 1

-1 1 1 -1 1 1 1

1 1 1 -1 1 -1 -1

-1 -1 -1 1 1 -1 -1

1 -1 -1 1 1 1 1

-1 1 -1 1 1 1 1

1 1 -1 1 1 -1 -1

-1 -1 1 1 1 1 1

1 -1 1 1 1 -1 -1

-1 1 1 1 1 -1 -1

1 1 1 1 1 1 1

Función Taguchi de Pérdida (Fuente 1)

En los años ochenta, el Dr. Genichi Taguchi desarrolló en Japón un método

aproximado para calcular las pérdidas que ocasiona a la sociedad un producto

de mala calidad. En su definición de la calidad deja claro este concepto: "la

pérdida que un producto causa a la sociedad después de embarcarlo, excepto

las pérdidas causadas por funciones intrínsecas".

Para Taguchi, la pérdida de la sociedad incluye;

los costos incurridos por no cumplir el producto con las expectativas del cliente

los costos por no cumplir el producto con las características de funcionamiento

los costos causados por los efectos peligrosos secundarios causados por el producto.

En las empresas de manufactura, la Función Taguchi de Pérdida también se puede aplicar en el

"cumplimiento de las especificaciones" de un producto.

1.7.1 Modelo Tradicional de los costos asociados en el cumplimiento de las especificaciones

Muchas empresas, quedan satisfechas o conformes cuando las características de calidad

de un producto quedan dentro de las especificaciones. Según este modelo, erróneamente se

piensa que mientras estamos dentro de la tolerancia, no existen pérdidas asociadas. Supongamos,

por ejemplo, que las especificaciones de un determinado producto es 0,600 ± 0,003. Veamos

ahora como se refleja esto en el siguiente gráfico:

1.7.2 Modelo Función Taguchi de Pérdida

Pero la realidad, según Taguchi, es que mientras menor sea la variación con respecto al

valor objetivo, mejor será la calidad. La pérdida aumenta, como función cuadrática, cuando uno

se aleja más del valor objetivo. La siguiente gráfica ilustra este concepto:

La Función de Pérdida está representada por la siguiente ecuación:

donde; L(x) es la función de pérdida, x es cualquier valor de la característica de la calidad, T el

valor deseado y, k una constante.

Nota: El término intrínseco denota una propiedad de alguna cosa o acción que es esencial para

esa cosa o acción y que es totalmente independiente de cualquier otro objeto, acción o

consecuencia.

1.7.3 Función Taguchi de Pérdida (Fuente 2)

En una forma simple, la función de pérdida es una forma de mostrar como una parte no

perfectamente manufacturada resulta en una perdida para la compañía.

Una definición más técnica comprende: Representación parabólica que estima la pérdida

de calidad expresada en forma monetaria, que resulta cuando la característica de calidad se

desvía del valor objetivo. El costo de esta deviación se incrementa en forma cuadrática si la

característica de calidad se aleja del valor nominal.

Note que la perdida debida a la variación es proporcional al cuadrado de la desviación de

la característica de desempeño de su valor nominal multiplicado por una constante

La pérdida puede ser cuantificada por parte. El poder medir la perdida nos motiva a

enfocarnos en reducir la variación dado que comprendemos que una mínima desviación del valor

nominal resulta en una perdida. La tendencia seria tratar de mantener el producto y el proceso tan

cercanos al valor nominal tanto como sea posible. Esto es lo beneficial de la metodología de

Taguchi, nos mantiene enfocados en la necesidad de la mejora continua.

Ejemplo de aplicación de la función de costo (tarea de investigación)

Optimización:

Muchos problemas de superficie de respuesta involucran el análisis de varias respuestas.

Simultánea consideración de múltiples respuestas involucra construir un modelo de superficie de

respuesta apropiado para cada repuesta y después tratar de encontrar un conjunto de condiciones

de operación que optimicen todas las respuestas o que al menos las mantiene dentro de los

rangos deseados. Suponga que un experimentador está interesado en optimizar 2 respuestas de un

experimento que contiene 3, y selecciona las respuestas y2 y y3, que corresponden a viscosidad y

peso molecular respectivamente. Los modelos para la viscosidad y peso molecular están dados

por:

Las superficie de respuesta para la viscosidad está dada por:

La superficie de respuesta para el peso molecular está dada por:

Un enfoque relativamente sencillo para optimizar varias respuestas que funciona bien

cuando hay solo unas pocas variables es sobreponer los gráficos de contornos.

3025

3205

3386

3566 3746

Viscosidad

Peso Molecular

Por ejemplo, si se deseara maximizar la viscosidad pero que el peso molecular no

rebasara un valor de 3210 grados, entonces una región apropiada seria usar un tiempo de 80.29 y

una temperatura de 174

Un enfoque popular es formular y resolver el problema como un problema de

optimización con restricciones. Podríamos formular el problema como:

Max y2

Sujeto a:

y3 3210

Hay varias técnicas numéricas que podrían solucionar este problema. Algunas veces

estas técnicas son llamadas métodos de programación no lineal.

Otro enfoque útil para optimización de respuestas múltiples es el uso de la técnica de

optimización simultánea popularizada por Derringer y Suich (1980). Su procedimiento hace uso

de funciones de deseabilidad. El enfoque general es primero convertir cada respuesta yi a una

función de deseabilidad individual di que varía sobre el rango.

Si la respuesta yi está en su valor deseado, entonces di =1, y si la respuesta está fuera de la

región de aceptación, entonces di =0. Después las variables son escogidas para maximizar la

deseabilidad general que se define de la siguiente manera

Las funciones individuales de deseabilidad están estructuradas como se muestra en las

siguientes figuras. Si el objetivo T para la respuesta es un valor máximo, entonces

Cuando el peso r es igual a 1, la función de deseabilidad es lineal. Al escoger r >1 se pone más

énfasis en estar cerca del valor objetivo T y al escoger 0 < r < 1 se hace menos importante estar

cerca de dicho valor nominal. Si la el valor objetivo para la respuesta es mínimo entonces

tenemos

La función de deseabilidad de 2 lados asume que el valor objetivo está localizado entre

los límites bajo (L) y alto (U) y se define como:

Design Expert puede ser usado para optimizar experimentos (Optimización Numérica)

a) Mayor es mejor b) Menor es mejor

c) Valor nominal es mejor

EXPERIMENTACIÓN SECUENCIAL

ANTECEDENTES

La experimentación secuencial es una estrategia sumamente efectiva cuando se realiza diseño

experimental ya que provee un elemento de eficiencia que es requerido para tener éxito. Sin la

experimentación secuencial muchos experimentos serian infactibles debido a las obvias restricciones en

costos, o un desperdicio de dinero y recursos si un experimento completo descubre que no hay factores

significativos. Esta importante área de investigación se dedica a encontrar las mejores formas de

combinar las corridas de dos o más experimentos para formar un diseño de mayor tamaño que sea capaz

de estimar los efectos de factores e interacciones de interés.

El experimento inicial es generalmente una fracción que funciona como un experimento

exploratorio en el que el objetivo es determinar las variables que rigen el sistema. El segundo

experimento tiene como objetivo resolver ambigüedades al clarificar la estructura de aliases del diseño

combinado. La forma en que las corridas de la segunda fracción son seleccionadas depende de la

información obtenida a partir del diseño inicial, de los objetivos del experimento, de la forma en que la

fracción inicial fue seleccionada (resolución) y de restricciones en costos. Por lo tanto, una rica variedad

de esquemas de experimentación secuencial existen.

La práctica común cosiste en correr una fracción inicial de la más alta resolución posible

construida usando el criterio de aberración mínima. La segunda fracción es comúnmente construida

usando una técnica de aumento estándar conocida como foldover (Box and Hunter (2005), Neter (1996),

Wu and Hamada (2000), Montgomery (2009). El foldover revierte los signos de uno o más factores del

diseño inicial en la segunda fracción Planes de foldover (grupos de columnas cuyos signos deben

invertirse) para un solo factor fueron discutidos inicialmente por Box (1978), estos planes tenían como

propósito desacoplar un factor específico de sus aliases.

Aunque el foldover probó ser una técnica de aumento popular entre experimentadores, varios

autores señalaron sus deficiencias y comenzaron a desarrollar técnicas más eficientes, enfocándose en

reducir el número de corridas del foldover mientras obtenían la misma información del sistema, como

resultado el semifold (correr la mitad de un foldover) y el quarterfold (aproximadamente la cuarta parte de

un foldover) fueron desarrollados.

Las lecciones aprendidas de los quarterfolds desarrollados para resolución IV fueron extendidas a

otros tipos de diseños como resolución III, diseños robustos y diseños de niveles mixtos (Ríos, 2009).

Extender la investigación iniciada para estos tipos de diseños es el principal objetivo de esta

investigación. A continuación se presentará a detalle el trabajo realizado en esta área hasta la fecha así

como la justificación para seguir investigado este importante aspecto del diseño experimental.

El foldover es una técnica de experimentación secuencial empleada para desacoplar términos

específicos o para incrementar la resolución de un diseño inicial (usualmente una fracción) al añadir una

segunda fracción o un grupo pequeño de corridas que es obtenido al cambiar los signos de una o más

columnas (diseños de dos niveles) o al rotar una o más columnas (diseños de 3 niveles y de niveles

mixtos) en el diseño inicial. (Box, Hunter, & Hunter (2005), Neter (1996), Wu and Hamada (2000),

Montgomery (2005)).

La noción de foldover apareció a principios de los 50s, un claro ejemplo es el artículo publicado

por Box y Wilson (1951). En la terminología de los autores, un diseño de tipo B (foldover) puede ser

obtenido al duplicar con signos invertidos la matriz de variables independientes para el diseño de tipo A

(fracción inicial). En 1961 Box y Hunter introdujeron la palabra ‘‘foldover’’ para nombrar a esta técnica y

en 1978 Box, Hunter and Hunter extendieron el concepto a ‘‘plan de foldover’’ que es el conjunto de

columnas de la fracción inicial cuyos signos son invertidos en la fracción de foldover. La estrategia de

foldover es diferente dependiendo de la resolución de la fracción inicial (III o IV), por esa razón, todos los

posibles casos necesitan ser explicados.

El primer caso es el foldover de columna simple para fracciones de resolución III. Montgomery

(2005) presenta un ejemplo de un foldover parcial aplicado a una fracción de resolución III. El foldover es

parcial porque los signos son invertidos para una sola columna (Factor D) y es aplicado a un diseño de

resolución III con 6 factores. Box, Hunter y Hunter (2005) presentan la misma técnica aplicada a un

diseño de resolución III con 7 factores, al igual que en el ejemplo de Montgomery, la columna invertida

corresponde al factor D.

El ejemplo proporcionado por Box será mencionado aquí brevemente para ilustrar el uso de la

técnica. La fracción inicial era una dieciseisava parte de un diseño factorial con 7 factores y con relación

definidora I = ABD = ACE = BCF = ABCG. El experimento reveló que las columnas [B] y [D] eran

estadísticamente significativas. El experimentador estaba interesado en estimar el efecto del factor D libre

de sus aliases y decidió correr una segunda fracción con los signos para el factor D invertidos. En general,

cuando una fracción con los signos de un factor invertido es añadida a un diseño factorial fraccional de

resolución III o más alta, el diseño combinado proporcionara estimaciones del efecto de ese factor

principal así como de todas sus interacciones de 2 factores (Montgomery, 2009). Las dos fracciones son

combinadas para formar un diseño en que cada fracción es tratada como un bloque. La relación definidora

completa para el diseño combinado puede ser obtenida usando la regla para foldover 1 desarrollada por

Montgomery y Runger (1996).

El segundo caso es el foldover de columna múltiple para fracciones de resolución III. Cuando se añade

una segunda fracción con todas las columnas invertidas a una fracción de resolución III se rompen las

correlaciones entre los efectos principales y las interacciones de 2 factores. Esta estrategia fue llamada

foldover de columna múltiple por Box et.al. (2005) y foldover completo por Li and Lin (2003). Cuando el

foldover de columna múltiple es aplicado a un diseño de resolución III, la combinación de las dos

fracciones es al menos resolución IV.

Aunque el foldover de columna múltiple es el método preferido para aumentar diseños de

resolución III, mejoras a esta técnica han sido hechas. Li y Mee (2002) describen una familia de diseños

de resolución III en que la recomendación usual de invertir todos los factores no es necesariamente la

mejor opción. Para diseños de esta familia fracciones de foldover alternativas no sólo incrementan la

resolución a IV sino que también separan algunas de las interacciones de 2 factores. Es importante estar

conscientes de que existen diseños de resolución III para los que más de una fracción de foldover

incrementará la resolución de III a IV y cuando esto sucede la fracción de foldover obtenida al invertir

todas las columnas es un diseño inferior.

En forma adicional Miller and Sitter (2005) realizaron foldovers de fracciones eficientes no

ortogonales de resolución III y obtuvieron diseños no ortogonales de resolución IV, después compararon

estos diseños con sus competidores (diseños de resolución III ortogonales de igual tamaño tales como

factoriales fraccionados y diseños Placket Burman). Estos diseños se desempeñaron tan bien o mejor que

sus competidores en términos de selección del modelo correcto cuando unas pocas interacciones de 2

factores estaban presentes y se desempeñaron significativamente peor que los diseños de resolución III en

términos de identificar correctamente los efectos principales.

El tercer caso involucra el foldover de columna simple para diseños de resolución IV.

Montgomery y Runger (1996) mencionan que un foldover de un diseño de resolución IV puede tener los

siguientes objetivos: Romper tantas cadenas de interacciones de 2 factores como sea posible, romper

todas las interacciones de dos factores en una cadena específica y romper las interacciones de dos factores

que involucran un factor específico. Para diseños de resolución IV podemos estimar los efectos

principales y todas las k-1 interacciones de dos factores para un factor al revertir ese factor.

El cuarto caso es el foldover de dos columnas para diseños de resolución IV. Montgomery y

Runger (1996) consideraron foldovers generados al invertir los signos de dos factores. En su análisis ellos

descubrieron que al cambiar los signos de dos columnas en lugar de una, tiene el potencial para

desacoplar más interacciones de dos factores y afirman que revertir los signos de dos columnas puede

reducir el número de términos correlacionados en un 50%. Es claro que cuando el objetivo es desacoplar

más interacciones de dos factores este método debería ser preferido. En forma adicional algunos paquetes

de software consideran diferentes estrategias. Por ejemplo, RS/Discover sugiere revertir los signos del

factor si el generador en el que dicho factor está involucrado es una palabra impar (Li y Lin, 2003).

Como un comentario adicional se ha mencionado abundantemente en la literatura que un foldover

para resolución IV no necesariamente separara todas las interacciones de dos factores. Si la fracción

original posee una estructura de aliases con más de dos interacciones de dos factores en cualquier cadena

de aliases el foldover no separara todas las interacciones de dos factores. Para diseños de resolución IV la

estrategia de invertir los signos de todas las columnas no es directamente aplicable porque el diseño

combinado resultante tendrá el mismo número de palabras de 4 letras (Li y Lin, 2003).

El cuarto caso lo constituye el semifold para diseños de resolución IV. El correr un foldover

completo genera un diseño combinado completamente ortogonal pero planes de foldover completamente

ortogonales son con frecuencia ineficientes en el sentido de que sólo la mitad de los grados de libertad

pueden ser usados para estimación de efectos principales e interacciones (Daniel, 1962). Daniel discutió

un amplio rango de esquemas de experimentación secuencial que incluyen fracciones adicionales que son

más pequeñas que la fracción inicial. El sugirió aumentar una fracción de 8 factores resolución IV con 8

corridas adicionales para estimar las siete interacciones de dos factores que involucraban a un factor

específico. Esta estrategia particular fue llamada semifold por Barnett, Czitrom, John y Leon (1997)

porque involucraba correr la mitad de la fracción de foldover.

Montgomery (2001) señala que un foldover completo para un diseño de resolución IV es

usualmente innecesario porque generalmente hay solo una o dos (o muy pocas) interacciones

correlacionadas que son de potencial interés. Estas interacciones pueden ser fácilmente desacopladas al

añadir un número pequeño de corridas a la fracción inicial, una técnica conocida como foldover parcial.

Mee y Peralta (2000) consideran que los diseños de foldover que siguen a una fracción de resolución IV

son generalmente ineficientes en términos de grados de libertad porque en la mayoría de las situaciones,

añadir una segunda fracción de tamaño n de la misma familia, proveerá menos que n/2 grados de libertad

adicionales para interacciones de dos factores. El semifold involucra dos pasos, escoger la fracción de

foldover y seleccionar la mitad de las combinaciones de tratamientos para ser corridas.

Barnett et. al. (1997) presenta un caso de estudio en que un semifold es aplicado a una fracción

resolución IV de 6 factores; se encontró que la interacciones AF+DE, AD+EF, AC+BE, y AE+BC eran

significativas. Dado que el factor A estaba involucrado en las cuatro interacciones, la fracción de foldover

se obtuvo al revertir los signos de este factor. Después sólo 8 corridas adicionales en las que el factor era

positivo fueron utilizadas para crear el semifold. Debe recalcarse que foldovers completos para fracciones

de resolución IV son dignos de consideración si precisión de los estimadores de los efectos es requerida

pero son una mala opción para aumentar diseños cuando el objetivo es estimar más efectos.

El quinto caso es el semifold para fracciones de resolución III. Mee y Peralta (2000) no

recomiendan el semifold como una estrategia útil para estimar más efectos después de haber corrido una

fracción de resolución III, en su lugar ellos prefieren el semifold como el primer paso de una estrategia de

confirmación. Si los resultados de la fracción de semifold no son los esperados, la otra mitad puede ser

corrida, esto aplica también a fracciones de resolución IV.

Li y Lin (2003) estudiaron planes de foldover óptimos para diseños regulares ortogonales con

respecto al criterio de aberración mínima del diseño combinado. Li, Lin and Ye (2003) extendieron el

análisis a diseños ortogonales no regulares usando una herramienta matemática conocida como la función

indicadora. Guo (2006) desarrolló planes de foldover óptimos para diseños de niveles mixtos.

En algunas situaciones en las que hay cadenas simples correlacionadas, el desacoplamiento puede

ser alcanzado en menos corridas que un semifold. Misra (2006) presentó un método conocido como

Quarterfold que se enfocó en añadir corridas a un experimento factorial fraccional resolución IV de dos

niveles. Las corridas fueron añadidas hasta que las cadenas de aliases bajo investigación se separaron.

Simulación Monte Carlo fue usada para generar información simulada, 5000 sets de información fueron

simulados para cada modelo usando SAS versión 9.1. Un modelo conocido fue usado para comparar el

desempeño de los tres métodos (quarterfold, semifold y foldover) bajo 3 condiciones de ruido.

Un procedimiento fue diseñado para añadir corridas haciendo énfasis en mantener las columnas

del diseño tan ortogonales como fuese posible. Las columnas de interacciones que necesitaban

desacoplarse fueron identificadas y corridas adicionales fueron añadidas para desacoplar estas cadenas en

lugar de los efectos principales, en esta forma el énfasis fue puesto en las columnas de interacciones de

dos factores que necesitaban ser desacopladas. Una vez que las corridas para las columnas

correlacionadas fueron determinadas, un algoritmo fue proporcionado para añadir los signos a las

columnas de efectos principales en el diseño. Esta investigación mostró que en algunas situaciones, el

modelo correcto puede ser encontrado usando menos corridas que un semifold.

Los procedimientos hasta ahora descritos usan secuencias de fracciones adicionales de la misma

familia, En forma adicional, Miller y Sitter (2001) estudiaron foldovers de diseños Placket Burman, un

tipo de diseño no regular. Recientemente, Miller y Sitter (2005) examinaron el uso de diseños de foldover

no ortogonales y Daniel (1962) estudio secuencias de fracciones adicionales de familias diferentes pero

equivalentes.

La parte previa de estos antecedentes se ha enfocado en experimentación secuencial aplicada a

diseños regulares de dos niveles. Sin embargo existe otro tipo de diseño que juega un papel importante en

la experimentación industrial. Los diseños factoriales de niveles mixtos son diseños cuyos factores tienen

diferentes números de niveles. Estos diseños son ampliamente usados en experimentos que involucran

factores cuantitativos y cualitativos. Los diseños de niveles mixtos presentan el mismo problema que los

de dos niveles, que es, cuando el número de factores y niveles de factores se incrementa, el número de

corridas se incrementa dramáticamente. En forma adicional, mantener la propiedad de balance requiere

demasiadas corridas en algunas situaciones.

Existen investigaciones que se ha enfocado en desarrollar fracciones ortogonales o

aproximadamente ortogonales de diseños de niveles mixtos factoriales. Guo (2003) uso un nuevo criterio

de optimalidad llamado coeficiente de balance para evaluar la propiedad de balance de la matriz del

diseño y criterio de optimalidad J2 modificado que puede ser usado para medir el grado de ortogonalidad

de matrices de diseño desbalanceadas. Estos criterios fueron combinados en una función objetivo a ser

optimizada. Un algoritmo genético fue utilizado para construir fracciones eficientes.

El propósito básico del algoritmo genético fue escoger un subgrupo de n corridas de una matriz

que contenía todas las posibles combinaciones. Estas corridas constituyen un apropiado diseño de niveles

mixtos que optimiza la función objetivo. Existe una rica literatura sobre construcción de diseños de

niveles mixtos. Para una revisión completa de los diferentes algoritmos de construcción propuestos por

diferentes autores vea Guo (2003).

La técnica de foldover comúnmente utilizada para diseños de dos niveles no puede ser

directamente aplicada a los diseños de niveles mixtos porque estos diseños contienes factores con

diferentes números de niveles. Un método para crear foldovers para este tipo de diseños consiste en rotar

los niveles de los factores. La rotación cambia cada nivel de factor a un nivel diferente y después la

fracción original y la fracción de foldover se juntan para crear un diseño combinado Guo (2006) uso un

criterio llamado índice de balance general o simplemente GBM para evaluar y comparar diseños. Con el

criterio de GBM los planes de foldover óptimos fueron encontrados al avaluar todas las alternativas

posibles. Un plan de foldover es una combinación de columnas a ser rotadas.

Note que esta investigación es similar a la realizada por Montgomery para los diseños de

resolución IV en la que recomendaciones para cambiar los signos de una o más columnas son

proporcionadas. En este caso no cambiamos las columnas sino que las rotamos. Guo (2006) menciona que

mejores resultados podrían ser obtenidos al buscar corridas adicionales del diseño factorial completo.

En lo que respecta a diseños robustos la literatura actual no contenía ningún trabajo sobre

estrategias de experimentación secuencial para diseños robustos. La mayoría del trabajo realizado en esta

área se enfocaba en la metodología de Taguchi el enfoque de superficie de respuesta o en resolución

mixta, sin embargo la experimentación secuencial nunca había sido parte del análisis. Ríos (2009)

presenta un trabajo que proporciona las bases para realizar experimentos secuenciales de diseños

robustos, éste y otras técnicas serán explicadas a continuación.

DEFINICIÓN DE FOLDOVER

Foldover: Técnica de experimentación secuencial empleada para desacoplar términos

correlacionados específicos o para incrementar la resolución de un diseño inicial (usualmente una

fracción) al añadir una segunda fracción o un grupo más pequeño de corridas que es obtenido al invertir

los signos de una o más columnas (diseños de 2 niveles) o al rotar una o más columnas (diseños de 3

niveles o diseños de niveles mixtos) en el diseño inicial. Un diseño es un diseño foldover si la matriz de

diseño X puede ser representada como:

(

)

Donde el diseño inicial es una matriz de n × k cuyos elementos toman valores de ±1 para

diseños de 2 niveles, {0,1,2} para diseños de 3 niveles o {0,1,2,3,4…} para diseños de niveles mixtos y

es una matriz de m ≤ n renglones y k columnas obtenida al cambiar los signos de 1 ≤ ≤ k columnas

en D si el diseño inicial contiene factores con 2 niveles o al rotar 1 ≤ ≤ k columnas in D si el diseño

inicial contiene factores con más de 2 niveles.

La noción de foldover apareció a principios de los 50’s, un claro ejemplo es el artículo publicado

por Box y Wilson (1951). En la terminología de los autores ‘‘Un diseño de tipo B puede ser obtenido al

duplicar con signos invertidos la matriz de variables independientes para el diseño de tipo A’’. La técnica

no se llamaba foldover pero el concepto es claramente el mismo. En 1961 Box y Hunter introdujeron la

palabra foldover y en 1978, Box, Hunter y Hunter extendieron el concepto a plan de foldover que es, el

grupo de columnas cuyos signos se invierten.

Basados en esta información podemos concluir que la técnica de foldover emergió a principios de

los 50’s, el concepto de foldover fue formalmente introducido en 1961 y los planes de foldover fueron

introducidos en 1978.

Box, G. E. P. & Wilson, K. B. 1951, "On the Experimental Attainment of Optimum Conditions", Journal of the

Royal Statistical Society.Series B (Methodological), vol. 13, no. 1, pp. 1-45.

Box, G. E. P. & Hunter, J. S. 1961, "The 2k-p

Fractional Factorial Designs Part I", Technometrics, vol. 3, no. 3, pp.

311-351.

Box, G. E. P., Hunter, J. S., & Hunter, W. G. 1978, Statistics for Experimenters, 2 edn, John Wiley and Sons, Inc.,

Hoboken, New Jersey.

ROTACIÓN

‘‘Para una columna con l niveles, los niveles de factor son rotados al reemplazar el i-th nivel por i + p si

i ≤ l – p y por i + p – l si i > l – p, donde 1 ≤ p ≤ l – 1. Por ejemplo, Figura 1 muestra la rotación de un

factor de 5 niveles usando diferentes valores p’’ (Guo, 2006, p. 44).

Figura 1 Rotación de un factor de 5 niveles (Guo, 2006)

CLASIFICACIÓN DE LOS FOLDOVERS

En general, los foldovers pueden ser clasificados usando un enfoque de clasificación bidimensional

(Figura 2) en el que el eje horizontal representa el número de columnas que son invertidas o rotadas en la

fracción de foldover y el eje vertical representa el número de corridas adicionales añadidas al diseño

inicial.

Figura 2 Diferentes tipos de foldovers

MOTIVACIÓN, PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA, OBJETIVOS

Motivación

Correr un foldover completo para un diseño - hace al diseño combinado completamente

ortogonal pero planes completamente ortogonales son con frecuencia ineficientes en el sentido de que

solo la mitad de los grados de libertad pueden ser usados para estimar efectos principales e interacciones

(Daniel, 1962)

Varios autores señalaron esta deficiencia y realizaron investigación enfocada en reducir el

número de corridas del foldover completo mientras obtenían la misma información y mantenían tanto

balance y ortogonalidad como fuese posible. Como resultado, el semifold (correr la mitad de un foldover)

y el quarterfold (menos corridas que un semifold) fueron desarrollados.

El conocimiento obtenido en esfuerzos previos de investigación fue extendido a otros tipos de

diseños y técnicas más eficientes fueron desarrolladas. La técnica de aumento para diseños de resolución

IV desarrollada por Misra (2006) fue adaptada para satisfacer los requerimientos particulares de una

fracción de resolución III, lo que dio lugar a la creación del algoritmo R3. Este algoritmo también puede

ser usado para aumentar diseños robustos de resolución mixta.

Un enfoque de experimentación secuencial se concentra en los efectos que son significativos o

importantes y tiene el potencial para reducir el número total de corridas del diseño combinado mientras

mantiene buenos niveles de balance y ortogonalidad, creando un diseño igualmente efectivo pero aún más

eficiente.

En forma adicional los planes de foldover óptimo actuales para diseños de niveles mixtos pueden

ser reducidos a la mitad para crear semifolds óptimos que poseen buen nivel de la propiedad de balance

para efectos principales e interacciones de 2 factores. Mostrare mejores de desarrollar experimentación

secuencial para estos 3 tipos de diseños (resolución III, niveles mixtos y diseños robustos) es el objetivo

de esta unidad.

Planteamiento del problema

La literatura en esta área del diseño experimental muestra una tendencia en el desarrollo de

técnicas de experimentación secuencial cada vez más eficientes. Un progreso significativo ha sido hecho

desde el temprano desarrollo de la técnica clásica de foldover. Sin embargo, todavía existen algunas áreas

en las que el mejoramiento es aún posible. Esta unidad se concentrara en presentar las estrategias de

experimentación secuencial más recientes para diseños de resolución III, de niveles mixtos y robustos.

El primer algoritmo consiste en una seria de pasos estructurados para aumentación secuencial de

fracciones de resolución III , hasta años recientes solo técnicas generales de aumentación estaban

disponibles (foldover y semifold). Una de las desventajas de los métodos generales es que son incapaces

de desacoplar interacciones de 2 factores unas de otras cuando son aplicados a fracciones de resolución

III, además, requieren demasiadas corridas. Un algoritmo para aumentación secuencial es capaz de

realizar desacoplamiento simultaneo de efectos principales de interacciones de 2 factores y de

interacciones de 2 factores de otras interacciones de 2 factores usando un pequeño grupo de corridas

mientras se enfoca en mantener la propiedad de balance y ortogonalidad en el diseño combinado.

Otra área de oportunidad son los diseños de niveles mixtos, los cuales contienen factores con

diferentes números de niveles. Estos diseños requieren un número muy grande de corridas para mantener

balance. La técnica de aumentación actual para este tipo de diseños es el plan de foldover óptimo (Guo,

2006). La principal desventaja del plan de foldover óptimo es que requiere un número demasiado grande

de corridas. Si la fracción inicial contiene 20 corridas por ejemplo, el diseño combinado contendrá 40

corridas. El plan de semifold óptimo es capaz de reducir el número de corridas a la mitad mientras se

mantienen buenos niveles de balance y ortogonalidad para efectos principales e interacciones de 2

factores.

Para diseños robustos es posible combinar el enfoque de experimentación secuencial basado en el

algoritmo R3 con la técnica de resolución mixta en un intento de crear experimentos más eficientes.

Objetivos de la unidad

Presentar el algoritmo R3 el cual es un algoritmo que es capaz de agregar corridas en forma

secuencial a una fracción de resolución III con el objeto de desacoplar términos de interés usando

un número mínimo de corridas mientras se mantiene tanto balance y ortogonalidad en el diseño

combinado como sea posible

Mostrar como el algoritmo R3 es capaz de desacoplar términos de interés usando menos corridas

que un semifold

Mostrar una comparación entre los resultados que podríamos esperar al usar este algoritmo y los

resultados que se obtendrían al usar las técnicas generales de aumentación (foldover y semifold)

Obtener conocimiento sobre cuánto debe bajar la correlación entre dos términos para poder

estimar dichos términos en forma separada

Mostrar los planes de semifold óptimos para diseños de niveles mixtos y explicar el concepto de

índice de balance general

Proporcionar una metodología para aumentación de diseños robustos usando el algoritmo R3 y

proporcionar lineamientos para maximizar el desacoplamiento de interacciones de controlruido

MÉTODOS DE AUMENTO

Foldover de columna simple para fracciones de resolución III

Considere una fracción inicial 472

III con relación definidora I = ABD = ACE = BCF = ABCG. La

tabla 2 presenta la estructura de aliases. El experimento revelo que las columnas [B] y [D] son

estadísticamente significativas. El experimentador está interesado en estimar el efecto del factor D libre

de aliases y decide correr una segunda fracción con los signos para el factor D invertidos Las Tablas 3 y 4

muestran la segunda fracción y la estructura de aliases con los efectos correspondientes.

Tabla 1. 472

III Fracción inicial Tabla 2. Estructura de aliases y efectos

Tabla 3. Foldover de columna simple Tabla 4. Estructura de aliases y efectos

Response

Run A B C D E F G y

1 - - - + + + - 69

2 + - - - - + + 52

3 - + - - + - + 60

4 + + - + - - - 83

5 - - + + - - + 71

6 + - + - + - - 50

7 - + + - - + - 59

8 + + + + + + + 88

Factors

Response

Run A B C D E F G y

1 - - - - + + - 47

2 + - - + - + + 74

3 - + - + + - + 84

4 + + - - - - - 62

5 - - + - - - + 53

6 + - + + + - - 78

7 - + + + - + - 87

8 + + + - + + + 60

Factors

1/2 ( ℓI + ℓI') = average = 67.3

1/2 ( ℓI - ℓI') = block effect = -0.8

1/2 ( ℓA + ℓA') = A + CE + FG = 2.1

1/2 ( ℓB + ℓB') = B + CF + EG = 11.1

1/2 ( ℓC + ℓC') = C + AE + BF = 1.9

1/2 ( ℓD + ℓD') = D = 24

1/2 ( ℓE + ℓE') = E + AC + BG = -0.6

1/2 ( ℓF + ℓF') = F + BC + AG = -0.6

1/2 ( ℓG + ℓG') = G + BE + AF = 0.87

1/2 ( ℓA - ℓA') = BD = 1.4

1/2 ( ℓB - ℓB') = AD = 0.9

1/2 ( ℓC - ℓC') = DG = -0.9

1/2 ( ℓD - ℓD') = AB + EF + CG = -1.4

1/2 ( ℓE - ℓE') = DF = 1.1

1/2 ( ℓF - ℓF') = DE = 1.6

1/2 ( ℓG - ℓG') = CD = 1.6

El análisis del diseño combinado se hace al tomar el promedio de las sumas y diferencias de las

combinaciones lineales asociadas con los efectos (Tabla 5).

Tabla 5. Análisis del diseño combinado

En general, si una fracción con los signos de un factor invertidos es añadida a un diseño factorial

fraccional de resolución III o más alta, el diseño combinado producirá estimaciones del efecto principal y

de las interacciones de 2 factores que contengan a dicho factor. En forma alternativa las 16 corridas

pueden ser combinadas para formar un experimento combinado en el que cada una de las fracciones (la

inicial y el foldover) son tratados como bloques. La relación definidora para el diseño combinado puede

ser calculada usando la regla 1 para foldover desarrollada por Montgomery (1996).

Regla 1 para foldover: ‘’La relación definidora para el diseño combinado consiste de aquellos

efectos en la relación definidora de la fracción inicial que no cambian de signo en la nueva fracción’’

La relación definidora completa para la fracción original es I = ABD = ACE = AFG = BCF =

BEG = CDG = DEF = ABCG = ABEF = ACDF = ADEG = BCDE = BDFG = CEFG = ABCDEFG y la

relacion defindora para la nueva fraccion es I = ACE = AFG = BCF = BEG = –ABD = –CDG = –DEF =

ABCG = ABEF =CEFG = –ACDF = –ADEG = –BCDE = –BDFG = –ABCDEFG. De acuerdo a la regla

1 para foldover la relacion definora del diseno combinado es: I = ACE = AFG = BCF = BEG = ABCG =

ABEF = CEFG.

Foldover de columna múltiple para fracciones de resolución III

Agregar a un factorial fraccional de resolución III una segunda fracción con todas las columnas

invertidas rompe las uniones entre los efectos principales y las interacciones de 2 factores. La tabla 6

muestra un ejemplo proporcionado por Montgomery (2009). En este caso las dos fracciones fueron

combinadas en un experimento en 2 bloques. Los resultados muestran que después de agregar la segunda

fracción, los efectos principales están completamente desacoplados de las interacciones de 2 factores.

Cuando el foldover de columna múltiple es aplicado a un diseño de resolución III, la combinación de las

dos fracciones resulta en un diseño que es al menos de resolución IV.

Tabla 6. El 472

III más foldover Tabla 7. Estructura de aliases del diseño

de columna múltiple combinado

Foldover de columna simple para fracciones de resolución IV

Para resolución IV podemos estimar los efectos principales y todas las k-1interacciones de 2

factores para un factor al revertir ese factor. La Tabla 8 muestra un foldover de columna simple aplicado a

u. . La Tabla 9 muestra la estructura de aliases para el diseño combinado. Note que la cambiar los

signos de la columna [A], es posible estimar el efecto de este factor y de todas las interacciones de dos

factores en que [A] está involucrado.

Tabla 8. El 482

IVmás foldover de columna simple Tabla 9. Estructura de aliases del diseño combinado

Run Block A B C D E F G

1 Block 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1

2 Block 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1

3 Block 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1

4 Block 1 1 1 -1 1 -1 -1 -1

5 Block 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1

6 Block 1 1 -1 1 -1 1 -1 -1

7 Block 1 -1 1 1 -1 -1 1 -1

8 Block 1 1 1 1 1 1 1 1

9 Block 2 1 1 1 -1 -1 -1 1

10 Block 2 -1 1 1 1 1 -1 -1

11 Block 2 1 -1 1 1 -1 1 -1

12 Block 2 -1 -1 1 -1 1 1 1

13 Block 2 1 1 -1 -1 1 1 -1

14 Block 2 -1 1 -1 1 -1 1 1

15 Block 2 1 -1 -1 1 1 -1 1

16 Block 2 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1

Factors Factors/Aliases

[Intercept] = Intercept

[Block 1] = Block 1 + ABD + ACE + AFG + BCF + BEG + CDG + DEF

[Block 2] = Block 2 - ABD - ACE - AFG - BCF - BEG - CDG - DEF

[A] = A + BCG + BEF + CDF + DEG

[B] = B + ACG + AEF + CDE + DFG

[C] = C + ABG + ADF + BDE + EFG

[D] = D + ACF + AEG + BCE + BFG

[E] = E + ABF + ADG + BCD + CFG

[F] = F + ABE + ACD + BDG + CEG

[G] = G + ABC + ADE + BDF + CEF

[AB] = AB + CG + EF

[AC] = AC + BG + DF

[AD] = AD + CF + EG

[AE] = AE + BF + DG

[AF] = AF + BE + CD

[AG] = AG + BC + DE

[BD] = BD + CE + FG

Run Block A B C D E F G H

1 Block 1 - - - - - - - -

2 Block 1 + - - - - + + +

3 Block 1 - + - - + - + +

4 Block 1 + + - - + + - -

5 Block 1 - - + - + + + -

6 Block 1 + - + - + - - +

7 Block 1 - + + - - + - +

8 Block 1 + + + - - - + -

9 Block 1 - - - + + + - +

10 Block 1 + - - + + - + -

11 Block 1 - + - + - + + -

12 Block 1 + + - + - - - +

13 Block 1 - - + + - - + +

14 Block 1 + - + + - + - -

15 Block 1 - + + + + - - -

16 Block 1 + + + + + + + +

17 Block 2 + - - - - - - -

18 Block 2 - - - - - + + +

19 Block 2 + + - - + - + +

20 Block 2 - + - - + + - -

21 Block 2 + - + - + + + -

22 Block 2 - - + - + - - +

23 Block 2 + + + - - + - +

24 Block 2 - + + - - - + -

25 Block 2 + - - + + + - +

26 Block 2 - - - + + - + -

27 Block 2 + + - + - + + -

28 Block 2 - + - + - - - +

29 Block 2 + - + + - - + +

30 Block 2 - - + + - + - -

31 Block 2 + + + + + - - -

32 Block 2 - + + + + + + +

Factors Factors/Aliases

[Intercept] = Intercept

[Block 1] = Block 1

[Block 2] = Block 2

[A] = A

[B] = B + CDE + CFH + DFG + EGH

[C] = C + BDE + BFH + DGH + EFG

[D] = D + BCE + BFG + CGH + EFH

[E] = E + BCD + BGH + CFG + DFH

[F] = F + BCH + BDG + CEG + DEH

[G] = G + BDF + BEH + CDH + CEF

[H] = H + BCF + BEG + CDG + DEF

[AB] = AB

[AC] = AC

[AD] = AD

[AE] = AE

[AF] = AF

[AG] = AG

[AH] = AH

[BC] = BC + DE + FH

[BD] = BD + CE + FG

[BE] = BE + CD + GH

[BF] = BF + CH + DG

[BG] = BG + DF + EH

[BH] = BH + CF + EG

[CG] = CG + DH + EF

[ACH] = ACH + ABF + ADG

8 42IV

Foldover de dos columnas para fracciones de resolución IV

Montgomery y Runger (1996) consideraron foldovers generados al invertir los signos de 2

columnas. En su análisis descubrieron que cambiando los signos de 2 columnas en lugar de una tiene el

potencial para desacoplar más interacciones de dos factores y afirman que el cambiar los signos de dos

factores puede reducir el número de interacciones de 2 factores que están correlacionadas en un 50%. La

Tabla 10 muestra un aumentado con un foldover de dos columnas. La Tabla 11 muestra la estructura

de aliases del diseño combinado

Tabla 10. El 482

IVmás foldover de dos columnas Tabla 11. Estructura de aliases del diseño combinado

Es claro que cuando el objetivo es desacoplar más interacciones de dos factores, este método debería ser

preferido. La Tabla 12 muestra los foldover recomendados para desacoplar el máximo número posible de

interacciones de 2 factores. Es importante recordar que un foldover para resolución IV no necesariamente

separara todas las interacciones de 2 factores. Si la fracción original tiene una estructura de aliases que

contiene más de 2 interacciones de 2 factores en cualquier cadena de aliases, el foldover no separara todas

las interacciones de 2 factores.

Tabla 12. Algunos foldovers recomendados para diseños pk

IV

2 (Montgomery y Runger, 1996)

8 42IV

Run Block A B C D E F G H

1 Block 1 - - - - - - - -

2 Block 1 + - - - - + + +

3 Block 1 - + - - + - + +

4 Block 1 + + - - + + - -

5 Block 1 - - + - + + + -

6 Block 1 + - + - + - - +

7 Block 1 - + + - - + - +

8 Block 1 + + + - - - + -

9 Block 1 - - - + + + - +

10 Block 1 + - - + + - + -

11 Block 1 - + - + - + + -

12 Block 1 + + - + - - - +

13 Block 1 - - + + - - + +

14 Block 1 + - + + - + - -

15 Block 1 - + + + + - - -

16 Block 1 + + + + + + + +

17 Block 2 + + - - - - - -

18 Block 2 - + - - - + + +

19 Block 2 + - - - + - + +

20 Block 2 - - - - + + - -

21 Block 2 + + + - + + + -

22 Block 2 - + + - + - - +

23 Block 2 + - + - - + - +

24 Block 2 - - + - - - + -

25 Block 2 + + - + + + - +

26 Block 2 - + - + + - + -

27 Block 2 + - - + - + + -

28 Block 2 - - - + - - - +

29 Block 2 + + + + - - + +

30 Block 2 - + + + - + - -

31 Block 2 + - + + + - - -

32 Block 2 - - + + + + + +

Factors Factors/Aliases

[Intercept] = Intercept

[Block 1] = Block 1

[Block 2] = Block 2

[A] = A + BCG + BDH + BEF

[B] = B + ACG + ADH + AEF

[C] = C + ABG + DGH + EFG

[D] = D + ABH + CGH + EFH

[E] = E + ABF + CFG + DFH

[F] = F + ABE + CEG + DEH

[G] = G + ABC + CDH + CEF

[H] = H + ABD + CDG + DEF

[AB] = AB + CG + DH + EF

[AC] = AC + BG

[AD] = AD + BH

[AE] = AE + BF

[AF] = AF + BE

[AG] = AG + BC

[AH] = AH + BD

[CD] = CD + GH

[CE] = CE + FG

[CF] = CF + EG

[CH] = CH + DG

[DE] = DE + FH

[DF] = DF + EH

[ACH] = ACH + ADG + BCD + BGH

[CDE] = CDE + CFH + DFG + EGH

Design Sign Reversal for Foldover Design Sign Reversal for Foldover

1) 26-2

one factor, any 6) 29-3

one factor from ADHJ only

2) 27-2

one factor from CEFG only 7) 29-4

two factors, exvept E, or the pairs, AF, BG, CH, DJ

3) 27-3

one factor, any 8) 210-4

two factors needed

4) 28-3

one factor, except E or H 9) 210-5

two factors needed

5) 28-4

two factors, any

Design Sign Reversal for Foldover Design Sign Reversal for Foldover

1) 26-2

one factor, any 6) 29-3

one factor from ADHJ only

2) 27-2

one factor from CEFG only 7) 29-4

two factors, exvept E, or the pairs, AF, BG, CH, DJ

3) 27-3

one factor, any 8) 210-4

two factors needed

4) 28-3

one factor, except E or H 9) 210-5

two factors needed

5) 28-4

two factors, any

Para diseños de resolución IV la estrategia de invertir los signos de todos los factores no es directamente

aplicable porque el diseño combinado resultante tendrá el mismo número de palabras de 4 letras. Por lo

tanto un foldover de columna múltiple es completamente inútil para fracciones de resolución IV

Semifold para fracciones de resolución III

Mee y Peralta (2000) no recomiendan el semifold como una estrategia para estimar mas efectos

despues de un . En su lugar ellos prefieren usar el semifold como el primer paso en una estrategia de

confirmacion. Si los resultados obtenidos despues de correr la fraccion de semifold no son los esperados,

la mitad restante de la fraccion de foldover puede ser añadida (esto aplica tambien a fraciones de

resolucion IV). La Tabla 13 muestra un aumentado con un semifold. El semifold se construyo al

invertir la columna [A] y selccionar los signos positivos en dicha columna. La Tabla 14 muestra la

estructura de aliases del diseno combinado

Tabla 13. El 7 42III

más semifold en [A] Tabla 14. Estructura de aliases del diseño combinado

Semifold para fracciones de resolución IV

Mee y Peralta (2000) consideran que diseños de foldover aplicados a fracciones son

generalmente ineficientes en términos de grados de libertad porque en la mayoría de las situaciones añadir

una segunda fracción de tamaño n de la misma familia, proporcionara menos que n/2 grados de libertad

adicionales para interacciones de 2 factores. Barnett et al. (1997) presentan un estudio en el que un

semifold fue aplicado a un y significancia fue encontrada en las interacciones AF+DE, AD+EF,

AC+BE, y AE+BC. Dado que el factor A estaba involucrado en las 4 cadenas de aliases la fracción de

semifold se obtuvo al invertir los niveles de este factor, después, solo las 8 corridas en que A era positivo

fueron usadas. La Tabla 15 muestra el diseño y la Tabla 16 muestra la estructura de aliases del diseño

combinado.

Es importante mencionar que foldovers completos para diseños de resolución IV son válidos de

considerar si incremento en la precisión de los estimadores es importante, pero son opciones pobres para

experimentación secuencial cuando el objetivo es estimar más efectos.

2k p

III

Factors/Aliases

[Intercept] = Intercept - BD - CE - FG

[Block 1] = Block 1 + BD + CE + FG

[Block 2] = Block 2 - BD - CE - FG

[A] = A + BD + CE + FG

[B] = B + AD + CF + EG

[C] = C + AE + BF + DG

[D] = D + AD + CG + EF

[E] = E + AE + BG + DF

[F] = F + AG + BC + DE

[G] = G + AG + BE + CD

[AB] = AB - AD

[AC] = AC - AE

[AF] = AF - AG

Run Block A B C D E F G

1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1

2 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1

3 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1

4 1 1 1 -1 1 -1 -1 -1

5 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1

6 1 1 -1 1 -1 1 -1 -1

7 1 -1 1 1 -1 -1 1 -1

8 1 1 1 1 1 1 1 1

9 2 1 -1 -1 1 1 1 -1

10 2 1 1 -1 -1 1 -1 1

11 2 1 -1 1 1 -1 -1 1

12 2 1 1 1 -1 -1 1 -1

Factors

7 42III

2k p

IV

6 22IV

Tabla 15. El 262

IVmas semifold en [A] Tabla 16. Estructura de aliases del diseño combinado

Algoritmo R4

Considere la fracción descrita en la tabla 17 y asuma que la cadena de aliases [AB] = AB + CD

resulto ser significativa.

En el algoritmo R4 cada interacción presente en la cadena de interés es llamada columna ‘‘i’’, donde i =

{1, 2, 3, 4}. Por ejemplo, si la cadena de interés es [AB] = AB + CD, entonces AB podría ser nombrada

columna 1 y CD podría ser nombrada columna 2.

Tabla 17. La fracción

Run Block A B C D E F

1 Block 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1

2 Block 1 1 -1 -1 -1 1 -1

3 Block 1 -1 1 -1 -1 1 1

4 Block 1 1 1 -1 -1 -1 1

5 Block 1 -1 -1 1 -1 1 1

6 Block 1 1 -1 1 -1 -1 1

7 Block 1 -1 1 1 -1 -1 -1

8 Block 1 1 1 1 -1 1 -1

9 Block 1 -1 -1 -1 1 -1 1

10 Block 1 1 -1 -1 1 1 1

11 Block 1 -1 1 -1 1 1 -1

12 Block 1 1 1 -1 1 -1 -1

13 Block 1 -1 -1 1 1 1 -1

14 Block 1 1 -1 1 1 -1 -1

15 Block 1 -1 1 1 1 -1 1

16 Block 1 1 1 1 1 1 1

17 Block 2 1 -1 -1 -1 -1 -1

18 Block 2 1 1 -1 -1 1 1

19 Block 2 1 -1 1 -1 1 1

20 Block 2 1 1 1 -1 -1 -1

21 Block 2 1 -1 -1 1 -1 1

22 Block 2 1 1 -1 1 1 -1

23 Block 2 1 -1 1 1 1 -1

24 Block 2 1 1 1 1 -1 1

Factors [Intercept] = Intercept - BCE - DEF

[Block 1] = Block 1 + BCE + DEF

[Block 2] = Block 2 - BCE - DEF

[A] = A + BCE + DEF

[B] = B + ACE + CDF

[C] = C + ABE + BDF

[D] = D + AEF + BCF

[E] = E + ABC + ADF

[F] = F + ADE + BCD

[AB] = AB - ACE

[AC] = AC - ABE

[AD] = AD - AEF

[AE] = AE - ABC - ADF

[AF] = AF - ADE

[BC] = BC + DF + ABC + ADF

[BD] = BD + CF + 0.333 * ABD + 0.333 * ACF - 0.333 * BEF - 0.333 * CDE

[BE] = BE + ABE

[BF] = BF + CD + 0.333 * ABF + 0.333 * ACD - 0.333 * BDE - 0.333 * CEF

[CE] = CE + ACE

[DE] = DE + ADE

[EF] = EF + AEF

Figura 3. Estructura de aliases

142

IV

Si la cadena de aliases significativa tuviese la forma [AB] = AB + CG + DH + EF como en el

caso de un diseno 372

IV, entonces AB podria ser llamada columna 1, CG columna 2, DH columna 3 y EF

columna 4. El siguiente paso es determinar las coriidas adicionales que necesitan ser anadidas al diseno

inicial con el objeto de desacoplar estas columnas. Estas corridas han sido predefinidas y se muestran en

la Figura 4. Note que si la cadena de aliases contiene 2 columnas, entonces 2 corridas adicionales seran

requeridas para mantener balance, pero si la cedena contiene 3 o mas columnas, entonces 4 corridas seran

necesraias para mantener la propiedad de balance.

Estas corridas son agregadas en pares, primero loas corrida1 y 2 y despues (si son reuqeridas) las

corridas 3 y 4. Despues de cada aumento un analisis es realizado y el experimentador decide si desea

continuar desacoplando la misma cadena (en este caso anadira las corridas 3 y 4) o si comenzara el

procedimeinto desde el principio con una nueva cadena (en este caso anadira las corridas 1 y 2 para la

neuva cadena) El procedimiento se repite hasta que el modelo correcto ha sido identificado. En la mayoria

de los casos solo 4 corridas son requeridas para desacoplar una cadena pero si una quinta corrida es

necesitada (para el caso en que estamos desacoplando 3 o 4 columnas), esta puede ser agregada como la

imagen espejo de la tercer corrida, la sexta puede ser agregada como la imagen espejo de la cuarta corrida

y asi sucesivamente.

Una caracteristica importante de este algoritmo es que no dice como asignar signos a los efectos

principales en la matriz de diseno. Por ejemplo, considere el experimento descrito en la Tabla 17.

Suponga que 2 corridas adicionales se requieren para desacoplar la cadena [AB] = AB + CD, en la que

AB es considerada la columna 1 y CD es considerada la columna 2. Después de que estas 2 corridas son

añadidas, los signos para los efectos principales se determinan de la siguiente manera:

Para el ‘‘-’’ de la columna AB, asigne ‘‘-’’ a la columna A y ‘‘+’’ a la columna B, para el ‘‘+’’

de la columna AB asigne ‘‘-’’ a la columna A y ‘‘-’’ a la columna B. Para el ‘‘-’’ de la columna CD

asigne ‘‘-’’ a C y ‘‘+’’ a D y para el ‘‘-’’ de la columna CD asigne ‘‘-’’ a la columna C y ‘‘-’’ a la

columna D. Si la misma cadena necesita más desacoplamiento, entonces las corridas3 y 4 son agregadas

con los signos invertidos.

Para el ‘‘-’’ de la columna AB asigne ‘‘+’’ a la columna A y ‘‘-’’ a la columna B; para el ‘‘+’’ de

la columna AB asigne ‘‘+’’ a la columna A y ‘‘+’’ a la columna B; para el ‘‘-’’ de la columna CD asigne

‘‘+’’ a C y ‘‘-’’ a D y para el ‘‘-’’ de la columna CD asigne ‘‘+’’ a la columna C y ‘‘+’’ a la columna D.

Si existen efectos principales cuyos signos no dependen de los signos previamente determinados,

entonces los signos para estos efectos principales se agregan en orden estándar

Algunas características importantes de este algoritmo incluyen:

Soluciona una cadena a la vez

Considera cada termino en la cadena como una columna individual

Posee una manera estructurada de añadir corridas adicionales para desacoplar cadenas con 2, 3 o

4 columnas.

Figura 4. Corridas adicionales para desacoplar 2, 3 o 4 columnas

Runs Column 1 Column 2

1 -1 1

2 1 -1

2 ColumnsRuns Column 1 Column 2 Column 3

1 -1 1 -1

2 1 -1 -1

3 -1 1 1

4 1 -1 1

3 Columns

Runs Column 1 Column 2 Column 3 Column 4

1 -1 1 -1 1

2 1 -1 -1 1

3 -1 1 1 -1

4 1 -1 1 -1

4 Columns

4 12IV

Agrega las corridas en pares

Después de cada aumento se analiza el experimento y se determina si la cadena anterior necesita

más desacoplamiento o si una nueva cadena necesita ser desacoplada.

La Figura 5 muestra la secuencia de pasos en que un aumento típico de una fracción resolución IV es

realizada

Figura 5. Determinación de los signos para las columnas A, B, C y D en base a los signos de AB y CD

Run A B C D AB CD

1 -1 -1 -1 -1 1 1

2 1 -1 -1 1 -1 -1

3 -1 1 -1 1 -1 -1

4 1 1 -1 -1 1 1

5 -1 -1 1 1 1 1

6 1 -1 1 -1 -1 -1

7 -1 1 1 -1 -1 -1

8 1 1 1 1 1 1

Additional Run 1 -1 1 -1 -1 -1 1

Additional Run 2 -1 -1 -1 1 1 -1

142

IV

142

IV

142

IV

Figura 6. Estructura de aliases

Algoritmo R3

El algoritmo R3es una extensión del algoritmo R4 aplicada directamente a fracciones de resolución III. El

método es también llamado ‘’una cadena a la vez’’ porque en cada aumento se enfoca en desacoplar la

cadena de aliases más larga o más significativa. Una cadena es desacoplada al considerar cada elemento

en la cadena como una columna individual y al añadir corridas adicionales de acuerdo al algoritmo R4.

Una vez que los signos para los efectos principales y las interacciones de 2 factores involucrados o

contenidos en la primera cadena han sido determinados, movemos nuestra atención a la segunda cadena y

repetimos el procedimiento.

Cuando se utiliza este método, un balance perfecto no puede ser alcanzado en los pasos iniciales. Sin

embargo cuando nuevos grupos de corridas son agregados, los signos para estas nuevas corridas se

determinan de tal forma que el anterior desbalance sea corregido, de esta manera el balance del diseño se

mejora significativamente. En la mayoría de los casos balance aproximado puede ser alcanzado después

de realizar el segundo aumento. Experimentación ha demostrado que en la mayoría de los casos la

primera cadena es suficiente para determinar signos para la mayoría de los efectos y la segunda cadena (y

alguna veces una tercera) pueden ser desacopladas al usar los efectos restantes como ‘’factores

auxiliares’’ (nos ayudan a desacoplar estas cadenas)

Después de cada aumento las cadenas de aliases significativas son identificadas y priorizadas y corridas

adicionales son determinadas en base a la nueva estructura de aliases del diseño combinado. El

procedimiento se repite hasta que todos los términos importantes han sido desacoplados y pueden ser

estimados en forma separada. El algoritmo R3 está compuesto de los siguientes pasos:

1) Identifique la cadena más larga, la más importante, o la más significativa y la que sigue de esta.

Por ejemplo, considere la fracción con generadores D=AB, E=AC y F=BC (ver Tabla 20) y

asuma que los factores [B], [C] y [F] resultan significativos. Dado que todas las cadenas tienes la

misma longitud, podemos nombrar cadena 1 y 2 a cualquiera de ellas.

2) Nombre las columnas en cada cadena de acuerdo al algoritmo R4, un efecto principal es siempre

nombrado columna 1 y las interacciones de 2 factores columna 2, 3, o 4 respectivamente. El

algoritmo R3 puede realizar desacoplamiento simultáneo de efectos principales de interacciones

de 2 factores y de interacciones de 2 factores de otras interacciones de 2 factores. Este algoritmo

también puede enfocarse en desacoplar un factor específico, digamos un efecto principal, de sus

Tabla 20. La fracción con cadenas significativas [B], [C] y [F]

362

III

6 32III

Tabla 22. La fracción aumentada con 2 corridas para desacoplar la Cadena 1

Figura 7. Asignación de signos a la matriz de diseño

interacciones de 2 factores. Este desacoplamiento es hecho al fijar el efecto principal en la

columna 1 y al nombrar columna 2 en cada aumento a la interacción más fuertemente

correlacionada con este efecto principal. La razón de esto es que el desacoplamiento será más

fuerte entre las columnas 1 y 2 y más débil para cualquier otra combinación de columnas. La

Tabla 21 muestra el nombramiento de columnas para el experimento descrito en la Tabla 20.

3) Agregue 2 corridas adicionales de acuerdo al algoritmo R4 para desacoplar la primera cadena (si

esta cadena es igual a la cadena previa, entonces las corridas 3 y 4 de la Figura 4 son agregadas

para mantener balance, de lo contrario las corridas 1 y 2 de la Figura 4 son añadidas) y use la

interacciones de 2 factores para determinar los signos de los efectos principales asociados con

estas interacciones. Los signos para los efectos principales son asignados en la misma forma que

en el algoritmo R4. La Tabla 22muestra las corridas adicionales y la Figura 7 muestra los signos

para los efectos principales.

6 32III

Column 1 Column 2 Column 3

Chain 1 B AD CF

Chain 2 C AE BF

Tabla 21. Nombramiento de columnas cuando las cadenas significativas son: [B],[C] y [F]

A B C D E F AF AD CF

-1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1

1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1

-1 1 -1 -1 1 -1 1 1 1

1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1

-1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1

1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1

-1 1 1 -1 -1 1 -1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

-1 1 -1

1 -1 -1

362

III

A B C D E F AF AD CF

-1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1

1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1

-1 1 -1 -1 1 -1 1 1 1

1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1

-1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1

1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1

-1 1 1 -1 -1 1 -1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

-1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1

-1 1 1 1 -1 1 -1 -1

362

III

Tabla 23. Matrices de correlaciones y términos significativos después del primer aumento de la fracción

4) Determine si la segunda cadena puede ser desacoplada o si un factor auxiliar puede ser utilizado.

Note que para el diseño los signos de A, D, C y F fueron determinados al usar los signos

asignados a AD y CF y sol el factor E continúa sin ser asignado. En algunos casos el

desacoplamiento de la segunda cadena es realizado directamente al asignar signos a sus

respectivas columnas. La asignación directa es posible cuando las cadenas bajo estudio son cortas

y queda espacio para determinar signos. En otros casos, el desacoplamiento de la segunda cadena

es realizado en forma indirecta al usar un efecto principal para crear un contraste entre sus

columnas (Figura 8).

Para este caso en particular, asignar signos en orden estándar a E crea un contraste entre C, AE y BF, sin

embargo el orden estándar no debería ser usado como una regla general. El experimentador deberá

intentar con diferentes combinaciones y escoger la más apropiada.

5) Realice el experimento para las nuevas corridas, determine términos significativos y cree matrices

de correlaciones cuyos elementos son , para representar las correlaciones (Tabla 23)

6 32III

Figura 8. Desacoplamiento de la Cadena 2 al usar E como factor auxiliar

A B C D E F AF AD CF AE BF BC DE

-1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1

1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1

-1 1 -1 -1 1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1

1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1

-1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1

1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1

-1 1 1 -1 -1 1 -1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

-1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 1

-1 1 1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 1

362

III

i jx x

n

AB AC AD AE AF BC BD BE BF CD CE CF DE DF EF

A 0 0 0 0 0 -0.2 0.6 -0.2 0.2 -0.2 0.6 0.2 -0.2 0.2 0.2

B -0.2 -0.2 0.6 -0.2 0.2 0 0 0 0 0 0 0.8 0 0 0

C -0.2 -0.2 -0.2 0.6 0.2 0 0 0 0.8 0 0 0 0 0 0

D 0.6 -0.2 -0.2 -0.2 0.2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.8

E -0.2 0.6 -0.2 -0.2 0.2 0 0 0 0 0 0 0 0 0.8 0

F 0.2 0.2 0.2 0.2 -0.2 0.8 0 0 0 0 0 0 0.8 0 0

AB AC AD AE AF BC BD BE BF CD CE CF DE DF EF

AB 1 0.2 0.2 0.2 -0.2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.8

AC 0.2 1 0.2 0.2 -0.2 0 0 0 0 0 0 0 0 0.8 0

AD 0.2 0.2 1 0.2 -0.2 0 0 0 0 0 0 0.8 0 0 0

AE 0.2 0.2 0.2 1 -0.2 0 0 0 0.8 0 0 0 0 0 0

AF -0.2 -0.2 -0.2 -0.2 1 0 0 0.8 0 0.8 0 0 0 0 0

BC 0 0 0 0 0 1 0.2 0.2 -0.2 0.2 0.2 -0.2 1 -0.2 -0.2

BD 0 0 0 0 0 0.2 1 0.2 -0.2 0.2 1 -0.2 0.2 -0.2 -0.2

BE 0 0 0 0 0.8 0.2 0.2 1 -0.2 1 0.2 -0.2 0.2 -0.2 -0.2

BF 0 0 0 0.8 0 -0.2 -0.2 -0.2 1 -0.2 -0.2 0.2 -0.2 0.2 0.2

CD 0 0 0 0 0.8 0.2 0.2 1 -0.2 1 0.2 -0.2 0.2 -0.2 -0.2

CE 0 0 0 0 0 0.2 1 0.2 -0.2 0.2 1 -0.2 0.2 -0.2 -0.2

CF 0 0 0.8 0 0 -0.2 -0.2 -0.2 0.2 -0.2 -0.2 1 -0.2 0.2 0.2

DE 0 0 0 0 0 1 0.2 0.2 -0.2 0.2 0.2 -0.2 1 -0.2 -0.2

DF 0 0.8 0 0 0 -0.2 -0.2 -0.2 0.2 -0.2 -0.2 0.2 -0.2 1 0.2

EF 0.8 0 0 0 0 -0.2 -0.2 -0.2 0.2 -0.2 -0.2 0.2 -0.2 0.2 1

Tabla 25. Segundo aumento de la fracción para desacoplar la Cadena 1

A B C D E F BC DE

-1 -1 -1 1 1 1 1 1

1 -1 -1 -1 -1 1 1 1

-1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1

1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1

-1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1

1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1

-1 1 1 -1 -1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

-1 -1 -1 -1 -1 1 1 1

-1 1 1 1 1 -1 1 1

-1 -1 -1 1 -1 1 -1

-1 1 1 -1 1 -1 -1

A B C D E F BC DE BF AE

-1 -1 -1 1 1 1 1 1 -1 -1

1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1

-1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 -1 -1

1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1

-1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1

1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1

-1 1 1 -1 -1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

-1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1

-1 1 1 1 1 -1 1 1 -1 -1

-1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1

1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1

A B C D E F BC DE

-1 -1 -1 1 1 1 1 1

1 -1 -1 -1 -1 1 1 1

-1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1

1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1

-1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1

1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1

-1 1 1 -1 -1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

-1 -1 -1 -1 -1 1 1 1

-1 1 1 1 1 -1 1 1

-1 1 -1

1 -1 -1

La Tabla 23 muestra las matrices de correlaciones las cuales proporcionan tres tipos de información: Los

términos que pueden ser estimados en el modelo de regresión ([A], [B], [C], [D], [E], [F], y [AF]), los

términos significativos reportados después del análisis ([B], [C] y [F]) y los términos que están

fuertemente correlacionados con estos términos significativos (AD y CF con [B], AE y BF con [C] y BC

y DE con [F]). Note que la adición de solo dos corridas no permite la estimación de términos adicionales

porque las interacciones de 2 factores aún están fuertemente correlacionadas con efectos principales. En

forma adicional, la cadena de aliases más fuertemente correlacionada es [F] porque contiene las dos

correlaciones más latas de 0.8 cada una. Por lo tanto, deberemos seguir desacoplando [F] de BC y DE.

6) Repita el procedimiento comenzando desde el paso 1 hasta que un modelo apropiado sea

encontrado.

Para este caso en particular decidimos continuar desacoplando [F]. Estudios han demostrado que si

continuamos desacoplando una cadena previa, un diseño más balanceado es alcanzado, pero el

desacoplamiento general es menos efectivo. Por otro lado, si movemos nuestra atención a la cadena más

fuertemente correlacionada, el desacoplamiento es más efectivo, pero se produce solo un diseño

cercanamente balanceado. Básicamente depende del experimentador el cómo proceder.

También es muy importante considerar las corridas añadidas en pasos anteriores cuando se seleccionen

los signos para las nuevas corridas.

362

III

Column 1 Column 2 Column 3

Chain 1 F BC DE New chain

Chain 2 C AE BF

Tabla 24. Nombramiento de columnas cuando las cadenas a desacoplar son [F] y [C]

Figure 9. Asignación de signos a la matriz de diseño

Figura 10. El uso de A como factor auxiliar para crear un contraste entre

C, AE and BF

362

III 362

III

Tabla 26. Matrices de correlaciones y términos significativos después del segundo aumento de la fracción

A B C D E F

A 1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

B 1 0.17 0.17 0.17 -0.17

C 1 0.17 0.17 -0.17

D 1 0.17 -0.17

E 1 -0.17

F 1

AB AC AD AE AF BC BD BE BF CD CE CF DE DF EF

A -0.17 0.00 0.00 0.00 0.00 -0.33 0.33 0.00 0.00 -0.17 0.50 0.17 -0.17 0.17 0.17

B -0.17 -0.33 0.33 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -0.17 0.17 0.50 0.17 -0.17 0.17

C -0.33 -0.17 -0.17 0.50 0.17 -0.17 -0.17 0.17 0.50 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

D 0.33 -0.17 -0.17 -0.17 0.17 -0.17 -0.17 0.17 -0.17 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.67

E 0.00 0.50 -0.17 -0.17 0.17 0.17 0.17 -0.17 0.17 0.00 0.00 0.00 0.00 0.67 0.00

F 0.00 0.17 0.17 0.17 -0.17 0.50 -0.17 0.17 -0.17 0.00 0.00 0.00 0.67 0.00 0.00

AB AC AD AE AF BC BD BE BF CD CE CF DE DF EF

AB 1.00 0.17 0.17 0.17 -0.17 0.17 0.17 -0.17 0.17 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.67

AC 0.17 1.00 0.33 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.17 -0.17 0.17 -0.17 0.83 -0.17

AD 0.17 0.33 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.17 -0.17 0.83 -0.17 0.17 -0.17

AE 0.17 0.00 0.00 1.00 -0.33 0.00 0.00 0.00 0.67 -0.17 0.17 -0.17 0.17 -0.17 0.17

AF -0.17 0.00 0.00 -0.33 1.00 0.00 0.00 0.67 0.00 0.83 -0.17 0.17 -0.17 0.17 -0.17

BC 0.17 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.33 0.00 0.00 0.17 0.17 -0.17 0.83 -0.17 -0.17

BD 0.17 0.00 0.00 0.00 0.00 0.33 1.00 0.00 0.00 0.17 0.83 -0.17 0.17 -0.17 -0.17

BE -0.17 0.00 0.00 0.00 0.67 0.00 0.00 1.00 -0.33 0.83 0.17 -0.17 0.17 -0.17 -0.17

BF 0.17 0.00 0.00 0.67 0.00 0.00 0.00 -0.33 1.00 -0.17 -0.17 0.17 -0.17 0.17 0.17

CD 0.00 0.17 0.17 -0.17 0.83 0.17 0.17 0.83 -0.17 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -0.33

CE 0.00 -0.17 -0.17 0.17 -0.17 0.17 0.83 0.17 -0.17 0.00 1.00 -0.33 0.33 -0.33 0.00

CF 0.00 0.17 0.83 -0.17 0.17 -0.17 -0.17 -0.17 0.17 0.00 -0.33 1.00 -0.33 0.33 0.00

DE 0.00 -0.17 -0.17 0.17 -0.17 0.83 0.17 0.17 -0.17 0.00 0.33 -0.33 1.00 -0.33 0.00

DF 0.00 0.83 0.17 -0.17 0.17 -0.17 -0.17 -0.17 0.17 0.00 -0.33 0.33 -0.33 1.00 0.00

EF 0.67 -0.17 -0.17 0.17 -0.17 -0.17 -0.17 -0.17 0.17 -0.33 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00

ME vs ME

ME vs 2FI

2FI vs 2FI