Apuntes Fonaments Matemàtics de la FIB

7/25/2019 Apuntes Fonaments Matemtics de la FIB

1/50

Fonaments Matemtics (segona part)

Jos Luis RuizDepartament de Matemtica Aplicada II

Facultat dInformtica de Barcelona

Universitat Politcnica de Catalunya

Juliol 2015

Ruiz (MA2/FIB/UPC) Fonaments Matemtics (segona part) Juliol 2015 1 / 50
http://find/


2/50

Lanell dels nombres enters

Lanell dels enters

Nombre naturals: N = {0, 1, 2, . . .}Nombres enters: Z = {0, 1, 2, . . .}

Operacions amb entersLa suma i el producte de dos enters s un altre enter; s a dir, snoperacions binries internesen el conjunt Z:

+ : ZZ

Z,

: Z

Z

Z

http://goback/http://find/


3/50


Propietats de les operacions: la suma

La suma denters satisf les propietats:

Associativa: sia, b, c

Z, llavorsa+ (b+c) = (a+b) +c.

Commutativa: sia, b Z, llavorsa+b=b+a.Existncia delement neutre: sia Z, llavors 0+a=a.Existncia delement invers: sia Z, llavorsa+ (a) =0.



4/50


Propietats de les operacions: el producte

El producte denters satisf les propietats:

Associativa: sia, b, c Z, llavorsa(bc) = (ab)c.Commutativa: sia, b Z, llavorsab=ba.Existncia delement neutre: sia Z, llavors 1 a=a.

A ms, la suma i el producte denters satisfan la propietat distributiva:

Distributiva: sia, b, c

Z, llavorsa(b+c) =ab+ac.


L ll d l b
http://find/


5/50


Z s un anell

DefiniciUn anells un conjunt amb dues operacions que satisfan totes lespropietats anteriors.

Un coss un conjunt amb dues operacions que satisfan totes lespropietats anteriors i, a ms, lequaci ax =1 t soluci per a tota =0.

Exemples

Zs un anell amb lasumai elproducteusuals.

Qs un cos amb les operacions usuals.A Zno sempre hi ha inversos: lequaci ax=1 t soluci si, i nomssi,a=1 oa= 1.Per tant, Zno s uncos.


L ll d l b t
http://find/


6/50


Altres propietats de Z

Llei de cancel.laciPer a tota, b, c Z, sia c=b c ic=0, aleshoresa=b.

Relaci dordre

Sia, b Z, aleshores:a


7/50

Divisibilitat

La relaci de divisibilitat

Siguina, b Z.Definici

a divideix b si existeix un enter x Ztal que ax=b. s a dir, si ax =b tsoluci entera en x.

Tamb diem: as undivisordeb;bs unmltipleda;bsdivisibleper a.

Notaci: a | b. Siano divideix b, escrivima | b.

Observaci:

0 no divideix cap enter diferent de 0.


Divisibilitat
http://find/


10/50

Divisibilitat

Divisi euclidiana

Teorema de la divisi euclidiana

SiaZib

Z

{0}

, aleshores existeixen enters nics q irque satisfan:

a=bq+r, 0 r< |b|.

Els entersq ir sanomenen, respectivament, el quocientiel residude ladivisi entera de aper b.


Nombres primers i factoritzaci denters
http://find/


11/50

p

Nombres primers

DefiniciUn enter p>1 s primer si, i noms si, els nics divisors positius de psn1i p.

Un nombre enter n>1 s compost si no s primer.

Exemples

Els primers ms petits que 50 sn:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47

El primer conegut ms gran (gener de 2013) s: 2 57885161 1, que t17425170 digits decimals.




12/50

p

Propietats dels nombres primers

Teorema de factoritzaci denters (existncia)Tot enter n>1 s un nombre primer o un producte de nombres primers.

Teorema dEuclides

Hi ha infinits nombres primers.

Proposici

Tot enter compost N t un factor primer p N.

Test de primalitat

SiguiN>1 un enter. Si per a tot primer q Nse satisf q| N, llavorsNs primer.


http://find/


13/50

Garbell dEratstenes

N>3 enter. Trobar tots els primers p N.Garbell dEratstenes

SiguiLla llista dels enters senarsentre 3 iN. Els elements de Lpodenestar en 3 estats: marcats com a primers, eliminats, no eliminats.

1 Siguipel primer element deLque no est marcat com a primer niest eliminat.

2 Marquem pcom a primer. Si p>

N, acabem i marquem com aprimers els enters deLque encara no estan eliminats.

3 Sip N, eliminem els enters de Lque siguin mltiples de p.Tornem al pas 1.


http://find/


14/50

Primers < 100

Apliquem lalgorisme anterior a N=100.

3 5 7 9 11 13 15 17 19 2123 25 27 29 31 33 35 37 39 4143 45 47 49 51 53 55 57 59 6163 65 67 69 71 73 75 77 79 8183 85 87 89 91 93 95 97 99

Aix doncs, els primers ms petits que 100 sn:

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 3741 43 47 53 59 67 71 73 79 83 89 97


El mxim com divisor
http://find/


15/50

El mxim com divisor

Mxim com divisorPer definici: mcd(0, . . . , 0) =0.d Zsel mxim com divisordea1, . . . , an Z(no tots nuls) si, inoms si,dsatisf:

1) ds un divisor com dels enters a1, . . . , an;2) sid s un divisor com de a1, . . . , an, aleshoresd d.

Notaci: d=mcd(a1, . . . , an). Observem que d>0.

Enters primers entre ells:a, b Zsnprimers entre ellssi, i noms si, els nics divisors comuns d aidebsn1. s a dir, si mcd(a, b) =1.


El mxim com divisor
http://find/


16/50

Propietats del mcd

mcd(a, 0) = |a|.El mxim com divisor dun conjunt finit denters existeix i s nic.

El mxim com divisor no depn del signe:

mcd(a, b) =mcd(a, b) =mcd(a, b) =mcd(a, b).

Sia, b Z,b=0 ib | a, aleshores mcd(a, b) = |b|.Sid=mcd(a, b), llavorsa/d, b/dsn enters primers entre ells; s adir: mcd(a/d, b/d) =1.


El mxim com divisor
http://find/


17/50

Teorema dEuclides

Teorema

Si a, b Z, aleshoresmcd(a, b) =mcd(a b, b).

Conseqncia

Sia 0 ib>0 sn enters i a=bq+r, amb 0 r


18/50

Identitat de Bzout

TeoremaSi a, b Zi d=mcd(a, b), aleshores existeixen enters x i y tals que:

d=ax+by.

s a dir, el mxim com divisor de dos nombres enters s una combinacilineal, amb coeficients enters, daquests nombres.

Observaci

Els coeficientsx iyde la identitat de Bzout no sn nics. Per exemple, six iysatisfanax+by=d, llavors:

t Z(a(x bt) +b(y+at) =d)


La identitat de Bzout
http://find/


19/50

Conseqncies de la identitat de Bzout (1)

Proposici

Siguin a, b Z, d=mcd(a, b). Si d s un divisor com de a i b, llavorsd|d.

Definici alternativa del mcd

Siguina, b Zno nuls. Llavors d Zs el mxim com divisor de aibsi,i noms si:

1 d|aid|b;2 sid

|aid

|b, llavorsd

|d;

3 d>0.

Associativitat del mcd

mcd(mcd(a, b), c) =mcd(a, mcd(b, c)) =mcd(a, b, c).


La identitat de Bzout
http://goback/http://find/http://goforward/


20/50

Conseqncies de la identitat de Bzout (2)

Proposici

Siguin a, b Z. Llavors: a i b sn primers entre ells si, i noms si,existeixen x,y Ztals que ax+by=1.

Lema de Gauss

Sia, b, c Z,a | bc i mcd(a, b) =1, aleshoresa | c.

Lema dEuclides

Sips un primer i aibsn enters tals quep| ab, aleshoresp| aop| b.


Lalgorisme dEuclides


21/50

Algorisme dEuclides

Siguina 0 ib>0 nombres enters. Aplicant el teorema de la divisientera successives vegades, obtenim lesquema segent:

a=bq1+r1, q1 0, 0 r1


22/50

Organitzaci dels clculs

X x

1 =1 x0 =0 x1 x2 . . . xn

2 xn

1 xnY y1 =0 y0 =1 y1 y2 . . . yn2 yn1 ynQ q1 q2 q3 . . . qn1 qn qn+1R a b r 1 r2 . . . rn2 rn1 rn

r1 r2 r3 r4 . . . rn 0

xk+1 =xk1 qk+1xk, x1 =1, x0 =0,yk+1 =yk1 qk+1yk, y1 =0, y0 =1.

Proposici

Per a tot k 0, se satisf: rk=axk+byk. En particular:

rn =mcd(a, b) =axn+byn


Lalgorisme dEuclides
http://find/


23/50

Exemple

Clcul de mcd(4999, 1109)i de la identitat de Bzout.

X 1 0 1 1 2 65 522Y 0 1 4 5 9 293 2353Q 4 1 1 32 8 2

R 4999 1109 563 546 17 2 1563 546 17 36 1 0

2

Per tant:

mcd(4999, 1109) =1

4999 522+1109 (2353) =1


El mnim com mltiple
http://find/


24/50

El mnim com mltiple

Mnim com mltiple

Siguina1, . . . , an enters.Per definici, si algun dels enters aj=0, el mnim com mltiple s 0.

Si tots els enters a1, . . . , an sn no nuls, el mnim com mltiple mslentermtal que:

1) per a totj,aj| m;2) sir>0 i per a tot j,aj| r, llavorsm r;

3) m>0.Notaci: mcm(a1, . . . , an).


El mnim com mltiple


25/50

Propietats del mcm

El mnim com mltiple dun conjunt finit denters existeix i s nic.

El mnim com mltiple no depn del signe:

mcm(a, b) =mcm(a, b) =mcm(a, b) =mcm(a, b).

Sia, b Z,b=0 ib | a, aleshores mcm(a, b) = |a|.Sim=mcm(a, b)irs un mltiple com dai deb, llavorsm | r.Associativitat:

mcm(a, b, c) =mcm(mcm(a, b), c) =mcm(a, mcm(b, c)).

Clcul: mcm(a, b) mcd(a, b) = |ab|.


Teorema fonamental de laritmtica


26/50


Teorema

Tot enter n 2factoritza de manera nica com a producte de primers.(Llevat de lordre en qu escrivim els primers.)

Corol.lari

Tot enter n=0, 1es pot escriure de manera nica com:

n=

pa11 p

a22

parr ,

on = 1, r 1, ai>0 i els pisn primers diferents.


http://find/


27/50

Aplicacions

Siguinn, m

Z,n, m>0.

Escrivim la factoritzaci com: n=pe11 pe2

2 pett , onpisn primersdiferents i els ei>0.

Sin=pe11 pe22 pett , ambei >0, llavors els divisors positius de nsn

de la forma pf11pf22

pftt, amb 0

fi

ei.

El nombre de divisors positius de nst

i=1

(ei+1).

Sin=pe11 perr im=pf11 pfrr, on els exponents ei 0 i els fi 0,aleshores:

mcd(n, m) =pmin(e1,f1)1 pmin(er,fr)r ,mcm(n, m) =pmax(e1,f1)1 pmax(er,fr)r .


Equacions diofntiques
http://find/


28/50

Equacions diofntiques: lequaci ax+ by= c

Siguina, b, c Z,d=mcd(a, b).Teorema

1 Lequaci ax+by=c t soluci entera en x,y si, i noms si, d| c.2 Si(x0,y0)s una soluci, llavors totes les solucions sn de la forma:

x=x0 bd t

y=y0+a

dt

on t Zs arbitrari.


Equacions diofntiques

d f l
http://find/


29/50

Equacions diofntiques: exemple

ExempleTrobeu totes les solucions enteres de212x+400y=20.

mcd(212, 400) =4 | 20. Per tant, lequaci t solucions enteres.Identitat de Bzout: 400

(

9) +212

17=4.

Soluci particular: 400 (45) +212 85= 20.Soluci general:

x=85

400

4 t=85

100t

y= 45+ 2124

t= 45+53t

t Z.


La relaci de congruncia

L l d


30/50


Nombres congruents

m 1 enter. a, b Zsncongruents mdul m sim | b a. Notaci:a b (mod m)o b simplementa b(m).

s a dir:

a b (mod m) m | b a k Z :b=a+km residu deaper m=residu debper m.

Exemplesa, b Z a b (mod 1).n Zs parell n 0 (mod 2).n

Zs senar

n

1 (mod 2).



P i d l i (1)


31/50

Propietats de les congruncies (1)

Proposici

m 1enter. La relaci de congruncia mdul m s dequivalncia a Z. sa dir, si a, b, c Z:1) Reflexiva: a a (mod m).2) Simtrica: si a b (mod m), llavors b a (mod m).3) Transitiva: si a b (mod m)i b c (mod m), llavors a c (mod m).



P i d l i (2)
http://find/


32/50


ProposiciLes congruncies mdul un enter positiu m es poden sumar i multiplicarterme a terme. Concretament, si a b (mod m)i a b (mod m),llavors:

a+a b+b

(mod m), aa bb

(mod m).

Observaci

En general, no es pot simplificar un factor com dels dos membres duna

congruncia. s a dir:ra rb (mod m) no implica que a b (mod m).

Contraexemple: 5 12 5 18 (mod 10), per 12 18 (mod 10).



P i t t d l i (3)


33/50


Simplificaci de congruncies

m>1 enter. Si a, b, r

Zi mcd(m, r) =1, aleshores:

ra rb (mod m) a b (mod m).

Per tant, noms podem eliminar un factor com en una congruncia si sprimer amb el mdul.



P i t t ddi i l d l i (4)
http://find/


34/50

Propietats addicionals de les congruncies (4)

1 a b (mod m) ak bk (mod mk).2 Sia

b (mod m)id

|m, llavorsa

b (mod d).

3 Sia b (mod r)ia b (mod s), aleshoresa b (mod m), onm=mcm(r, s).

4 ra rb (mod m) a b (mod m/d), ond=mcd(r, m).


Classes de congruncia

Classes de congruncies


35/50

Classes de congruncies

Fixem un enter m 1.La relaci de congruncia mdul ms una relaci dequivalncia a Z.

Les classes dequivalncia sanomenenclasses de congruncia mdul m.

Sia Z, escrivim la seva classe de congruncia: a. Un elementqualsevol deaes diurepresentantde la classe.

a b (mod m) a=b.a= {x Z :x a (mod m)} = {x Z :k Z,x=a+mk}.

Notaci: Zm = {a :a Z}.Propietat: Zm = {0, 1, . . . , m 1}.


Classes de congruncia

Exemple: Z


36/50

Exemple: Z4

Determinem les classes de congruncia mdul 4:

0= {x:x 0 (mod 4)} = {4k:k Z} = {0, 4, 8, . . .}1= {x:x 1 (mod 4)} = {4k+1 :k Z} = {1, 3, 5, 7, . . .}

2= {x:x 2 (mod 4)} = {4k+2 :k Z} = {2, 2, 6, 6, . . .}3= {x:x 3 (mod 4)} = {4k+3 :k Z} = {3, 1, 7, 5, . . .}

En total hi ha 4 classes de congruncia mdul 4, que es corresponen ambels possibles residus de dividir un enter per 4. s a dir:

Z4 = {0, 1, 2, 3}.


Operacions amb clases de congruncia

Suma i producte de classes


37/50

Suma i producte de classes

m 2 enter.Definici

Definim la suma i el producte de classes mdul m per les frmules:

a+b:=a+b,a b:=ab.

Proposici

La suma i el producte de classes estan ben definides a Zm. s a dir, lesfrmules de les definicions no depenen dels representants triats.



Propietats de les operacions
http://find/


38/50

Propietats de les operacions

Teorema

Amb la suma i el producte de classes, el conjuntZm s un anell.

Aix vol dir que:

la suma satisf les propietats: associativa, commutativa, hi ha unaclasse neutra 0 i cada classe t una classe simtrica a+ a=0;el producte s associatiu, commutatiu i t element neutre: 1;

la suma i el producte satisfan la propietat distributiva.

En general, no podem dividir una classe per una altra; o dit duna altramanera, no sempre existeix la classe inversa duna classe respecte delproducte.



Exemple: Z6


39/50

Exemple: Z6

Fem les taules de la suma i el producte de Z6.

+ 0 1 2 3 4 50 0 1 2 3 4 51 1 2 3 4 5 0

2 2 3 4 5 0 13 3 4 5 0 1 24 4 5 0 1 2 35 5 0 1 2 3 4

0 1 2 3 4 50 0 0 0 0 0 01 0 1 2 3 4 5

2 0 2 4 0 2 43 0 3 0 3 0 34 0 4 2 0 4 25 0 5 4 3 2 1

Observem que 2 no t invers respecte del producte. s a dir, no hi ha capclassex Z6 tal que 2 x=1. O, equivalentment, la congruncia 2x 1(mod 6)no t soluci entera (proveu aix).Per tant, Z6 no s un cos.



Classes invertibles


40/50

Classes invertibles

Definici

Diem que a Zm s invertible (respecte del producte) si t un invers; s adir, si existeix b Zm tal que a b=1.

Notaci

Zm = {x Zm:xs invertible}.

Observaci

Si una classeas invertible, la seva classe inversa s nica. La denotem

per a1

.

Proposici

Una classe a Zm s invertible si, i noms si, mcd(a, m) =1.



Clcul de 61

a Z13


41/50

Clcul de 6 a Z13

ObservaciSia Zm, llavorsa1 es pot calcular aplicant lalgorisme dEuclides ests(identitat de Bzout) als enters aim.

6 Z

13, ja que mcd(6, 13) =1.Escrivim la identitat de Bzout de 6 i 13:

6 (2) +13 1=1.

Per tant: 6 2+13 1= 1. s a dir:61

= 2=11.



Quan s Zm un cos?


42/50

Quan s Zm un cos?

Recordem que un cos s un anell on cada element no nul t invers respectedel producte.

Teorema

LanellZm s un cos si, i noms si, lenter m s un nombre primer.

Observaci

Sips un nombre primer, aleshores el conjunt Zps un cos que t unnombre finit delements: s un cos finit. Per exemple: Z2, Z3 i Z13 sn

cossos finits. Per Z4, Z6 no sn cossos (noms anells).


Exponenciaci modular

Teorema petit de Fermat


43/50

Teorema petit de Fermat

Teorema

Si p s primer i p| a, llavors ap1

1 (mod p).

O b, en termes de classes: si a Zp ia =0, llavorsap1 =1.





44/50

po e c ac odu a

ProblemaDonats entersa,n 0,m 1, calcularan (mod m).

Expressem lexponent en binari: n=nknk1. . . n1n0(2).

Calculem, mdul m, els termes de la successi:b0 =a, b1 =b

20 =a

2, b2 =b21 =a

22 , . . . , bk=b2k1 =a

2k.

Multipliquem, mdul m, els termesbitals queni=1.

En efecte:an =a

k

i=0ni2i

=

ki=0

a2

ini

=

ki=0

bnii .



Exponenciaci modular: Exemple
http://find/


45/50

p p

Exemple

Calcular231690 (mod 350).

1690=11010011010(2).Calculem els bi,i=0, . . . , 10, mdul 350:

b0 =23 b1 =232 179 b2 1792 191b3 1912 81 b4 812 261 b5 2612 221b6 2212 191 b7 81 b8 261b9

221 b10

191

Finalment:

231690 =b1b3b4b7b9b10 179 81 261 81 221 191 179 81 149


Teorema xins dels residus

Teorema xins dels residus: motivaci
http://find/


46/50

Problema (Sun-Tsu, segle I)

Trobeu un nombre que al dividir per 3 dna residu 2, al dividir per 5 dnaresidu 3 i al dividir per 7 dna residu 2.

s a dir, una soluci del sistema de congruncies lineals:

x 2 (mod 3)x 3 (mod 5)

x 2 (mod 7)





47/50

Teorema

Siguin a1, . . . , akenters arbitraris i m1, . . . , mkenters positius primers entreells dos a dos. Llavors el sistema de congruncies lineals:

x a1 (mod m1). . .

x ak (mod mk)

t soluci en x i s nica mdul m =m1 mk.



Teorema xins dels residus (mduls arbitraris)


48/50

( )

Teorema

Siguin a1, . . . , akenters arbitraris i m1, . . . , mkenters positius. Si per acada i,j ,mcd(mi, mj) | (ai aj), llavors el sistema de congruncies lineals:

x a1 (mod m1). . .

x ak (mod mk)

t soluci en x i s nica mdul m =mcm(m1 mk).



Teorema xins dels residus: demostraci


49/50

SiguinMi = (m1 mk)/mi,i=1, . . . , k.mcd(mi, Mi) =1 Miy 1 (mod mi)t soluci.Siguiyiuna soluci: Miyi 1 (mod mi).Llavorsx=a1M1y1+ +akMkyks una soluci del sistema.

Finalment, donades dues solucions x,x del sistema, tenim:

(i : x x (mod mi)) x x (mod m)

onm=mcm(m1, . . . , mk) =m1 mk.



Teorema xins dels residus: exemple
http://find/


50/50

El sistema:

x 2 (mod 3), x 3 (mod 5), x 2 (mod 7)

t soluci perqu els mduls sn primers entre ells dos a dos.Organitzem els clculs:

M1 =5 7=35 35y 1 (mod 3) y1 =2M2 =3 7=21 21y 1 (mod 5) y2 =1M3 =3 5=15 15y 1 (mod 7) y3 =1

La soluci del sistema s:

xi

aiMiyi =2 35 2+3 21 1+2 15 1= 233 23 (mod 105)

http://find/

Apuntes Fonaments Matemàtics de la FIB

Documents

Transcript of Apuntes Fonaments Matemàtics de la FIB