Apuntes de Teoremas Fundamentales

El Teorema de Green

Una curva dada por r(t) = x(t) i + y(t) j, , se dice simple si no se corta consigo misma, es decir,

bta ≤≤dc si )d(r)c(r ≠≠ .

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Curva orientada

positivamente Curva simple Curva no simple

La curva C está orientada positivamente cuando al recorrerla, la región R que conforma se ve siempre a la izquierda (sentido antireloj). Teorema de Green: Sea R una región del plano cuyo contorno es una curva C cerrada, simple, suave a trozos y orientada positivamente. Si M y N tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene a R, entonces

dAyM

xN NdyMdx

RC ∫∫∫ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

=+

La notación ∫ +C

NdyMdx se utiliza, a veces, para indicar que la

integral de línea se calcula usando la orientación positiva de la curva cerrada C. Observaciones: (1) El Teorema de Green hace más fácil el cálculo de ciertas

integrales de línea. Por ejemplo, calcule la integral

∫ −+−C

22 dy)xy6y4(dx)y8(3x , donde C es el contorno del

camino de (0, 0) a (1, 1) por y = x2 seguido por xy = desde (1, 1) a (0, 0).

(2) El Teorema de Green no es aplicable a todas las integrales de línea, recuerde que la curva C debe ser cerrada, simple, suave a pedazos y orientada positivamente.

(3) Si el campo vectorial F = M i + N j es conservativo, yM

xN

∂∂

=∂∂

y

0dAyM

xNNdyMdx

RC

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

=+ ∫∫∫

Por ejemplo, 0dyxy3dxyC

23 =+∫(4) Si usamos el Teorema de Green de derecha a izquierda podemos

obtener un modo de calcular el área de la región R:

dA(R) AreaR∫∫= . Se debería tener 1

yM

xN

=∂∂

−∂∂ y para esto

hay varias posibilidades, a saber,

∫∫∫∫ −=+−=−==C2

1C 2

x2y

CCydxxdydydxydxxdy(R) Area

Por ejemplo, calcule el área de la elipse 1b

y

a

x2

2

2

2=+ mediante

una integral de línea. (5) El Teorema de Green se extiende a regiones no simplemente

conexas pero que son uniones finitas de regiones simplemente conexas. Por ejemplo, calcule , ∫ −++

C2y2 dy)xe(dx)yxarctg(

donde C es el camino que se muestra en la siguiente figura


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(6) Finalmente, el Teorema de Green se extiende a regiones con agujeros como la siguiente:

Ejercicios:

1. Use el Teorema de Green para evaluar , donde

C es el segmento de recta que va de P(-2, 0) a Q(2, 0) seguido por la parte superior del círculo x

∫ +C

2dyx2xydx

2 + y2 = 4. 2. Una partícula da una vuelta completa a un círculo de radio 3

estando sometida a un campo de fuerza F(x, y) = y3i + (x3 + 3xy2)j

Calcule el trabajo realizado por el campo de fuerza F.

Rotacional y Divergencia Sea F = Mi + Nj + Pk un campo vectorial. El rotacional de F es el campo vectorial definido por:

kyM

xNj

zM

xPi

zN

yPFFrot ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

=×∇=

Por ejemplo, si F(x, y, z) = (yz, xz, xy), entonces rot F = 0. ¿Cuál es rot F si F(x, y, z) = xy j + xyz k? La divergencia de F es el campo escalar definido por:

zP

yN

xMFFdiv

∂∂

+∂∂

+∂∂

=•∇=


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Observaciones: (1) Si f es una función de tres variables con derivadas parciales de

segundo orden continuas, entonces 0)f(rot =∇ . En efecto,

0k)ff(j)ff(i)ff(f )f(rot xyyxxzzxyzzy =−+−−−=∇×∇=∇

(2) En consecuencia, si F es un campo de vectores conservativo , 0f)(rot Frot y fF =∇=∇= . Este resultado lo podemos

enunciar también así: 0Frot ⇒≠ F no es conservativo (3) El recíproco de ( F conservativo 0 Frot =⇒ ) también es

válido pero su demostración requiere del Teorema de Stokes que veremos más adelante. No obstante esto, lo enunciaremos:

Teorema: Sea F un campo de vectores definido sobre 3ℜ cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas. Entonces ( rot F = 0 ⇒ F conservativo )

(4) Existe una relación entre la divergencia y el rotacional:

Si F = Mi + Nj + Pk es un campo vectorial sobre y las funciones componentes M, N, P tienen derivadas parciales de segundo orden continuas, entonces

3ℜ

0)Frot(div =

Forma vectorial del Teorema de Green para regiones en el plano

Supongamos que la región R, su curva frontera C y las funciones M y N componentes escalares del campo vectorial F = Mi + Nj satisfacen las hipótesis del Teorema de Green. Entonces tenemos que,

dAyM

xN NdyMdxdrF

RCC ∫∫∫∫ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

=+=•


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Pero en este caso, kyM

xNk

yM

xNj0i0Frot ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

+−= , lo

que nos conduce a yM

xN k F rot

∂∂

−∂∂

=• y a expresar el Teorema así:

dA k) F rot(drFR

C ∫∫∫ •=•

Una segunda forma vectorial del Teorema de Green es

dA y) F(x, divds nFR

C ∫∫∫ =•

que involucra la componente normal de F a lo largo de C.

Superficies paramétricas De manera similar a la que r(t) describe una curva C en el

espacio, podemos describir una superficie mediante una función vectorial r(u, v) de dos parámetros u y v.

Sean x, y, z funciones de u y v continuas en un dominio D del plano uv. Al conjunto de puntos (x, y, z) 3ℜ∈ dados por:

r(u, v) = x(u, v) i + y(u, v) j + z(u, v) k se le llama superficie paramétrica S y las ecuaciones x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v) son las ecuaciones paramétricas de S. Ejemplos 1) La superficie dada por r(u, v) = 3 cos(u) i + 3 sen(u) j + v k, con

, es un cilindro circular recto, con eje el eje Z, de radio 3 y altura igual a 6.

6v0 y 2u0 ≤≤π≤≤

2) Determinemos ecuaciones paramétricas para el cono 22 yxz += .

Podemos usar a x e y como parámetros y representar al cono

por r(x, y) = x i + y j + 22 yx + k. _______________________________________________________________________ Cálculo Vectorial – Prof. Isabel Arratia Z.

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Área de una superficie paramétrica Si una superficie paramétrica suave S está dada por r(u, v) =

x(u, v) i + y(u, v) j + z(u, v) k, con (u, v) en D, y si S se cubre sólo una vez conforme (u, v) recorre el dominio paramétrico D, entonces el área de la superficie S es

dA rr)S(AD

vu∫∫ ×= ,

donde ru = xu i + yu j + zu k y rv = xv i + yv j + zv k. Para el caso de una superficie S con ecuación z = f(x, y), con (x, y) en D y f con derivadas parciales continuas, podemos tomar a x e y como parámetros y la expresión para el área de S se transforma en

dA ff1)S(AD

2y

2x∫∫ ++=

ya que quedaría rx = i + fx , ry = j + fy k y rx x ry = - fx i – fy j + k. Ejercicios: 1) Calcule el área de la parte del cilindro dada por

r(u, v) = a cos(u) i + a sen(u) j + v k, con bv0 ,2u0 ≤≤π≤≤ . Rta. ab2π

2) Calcule el área de la parte del plano x + 2y + z = 4 que está dentro del cilindro x2 + y2 = 4.

Rta. π64

3) Calcule el área de la parte del paraboloide hiperbólico z = y2 – x2 que está entre los cilindros x2 + y2 = 1 y x2 + y2 = 4.

Rta. )551717(6 −π


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Integrales de superficie Caso 1: La superficie S está dada por z = g(x, y). Si R es la proyección de S sobre el plano XY y g, gx, gy son continuas en R y f es continua en S, la integral de superficie de f(x, y, z) sobre S está dada por:

dA))y,x(g())y,x((g1y)) g(x, y, f(x,dS z) y, f(x,R

2y

2x

S∫∫∫∫ ++=

Cuando resulta más conveniente proyectar S sobre el plano YZ o sobre el plano XZ, se hacen los siguientes ajustes.

dA))z,y(g())z,y((g1z)) y, z),f(g(y,dS z) y, f(x,R

2z

2y

S∫∫∫∫ ++=

dA))z,x(g())z,x((g1z)) z), g(x, f(x,dS z) y, f(x,R

2z

2x

S∫∫∫∫ ++=

Ejemplo: Calculemos donde S es la porción, en el

primer octante del plano 2x + y + 2z = 6.

∫∫ +S

2 dS 2yz)(y

La superficie S está dada por z = g(x, y) = yx321−− . Además,

232

y2x gg1 =++ . Por lo tanto,

2243

3

0

2x-6

0

R23

212

S

2

dx dy xy)-(3y 3

dA y))-x-2y(3(ydS 2yz)(y

=

=

+=+

∫ ∫

∫∫∫∫


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Caso 2: La superficie S está dada por r(u, v) = x(u, v) i + y(u, v) j + z(u, v) k, con (u, v) en D, D región del plano uv.

La integral de superficie de f(x, y, z) sobre S está dada por:

dArr ) v) g(u, f(dS z) y, f(x,D

vuS

∫∫∫∫ ×=

Ejemplo: Calculemos ∫∫ donde S es la porción del primer

octante del cilindro y

+S

dS z)(x

2 + z2 = 9 entre x = 0 y x = 4.

Una parametrización de la superficie S es,

20 y 4x0 con k, )3sen( j )3cos( ix ) ,x(r π≤ϑ≤≤≤ϑ+ϑ+=ϑ .

En este caso, k )3sen( - j )cos(3rrx ϑϑ−=× ϑ , y la integral queda:

3612

ddx ))3sen(3(x

dA sen99cos ))3sen((xdS z)(x

20

4

0

D

22

S

+π=

ϑϑ+=

ϑ+ϑϑ+=+

∫ ∫

∫∫∫∫π

Ejercicios:

1. Calcule , donde S es la parte del cilindro

x

∫∫ +S

22 dS )zy(x

2 + y2 = 9 entre los planos z = 0 y z = 2. Rta. π16

2. Calcule , donde S es la superficie con ecuaciones

paramétricas x = u v, y = u + v, z = u – v, u

∫∫S

dS z)y(

2 + v2 1. Rta. 0 ≤


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Caso 3: Integrales de superficie de campos vectoriales.

Existen superficies orientadas, es decir, que tienen dos caras; también hay superficies no orientadas, por ejemplo la Cinta de Möbius.

Una superficie se dice orientable si se puede definir en cada uno

de sus puntos un vector normal unitario N, de manera tal que estos vectores normales varíen continuamente sobre la superficie S.

Si S es una superficie orientable dada por z = g(x, y), considerando G(x, y, z) = z – g(x, y), S se puede orientar mediante cualquiera de los vectores normales unitarios:

GGN

∇∇

= GGN

∇∇

=

Si la superficie orientable S está dada en forma paramétrica

r(u, v) = x(u, v) i + y(u, v) j + z(u, v) k , los vectores normales son

vu

vurrrr

N××

= y uv

uvrrrr

N××

=

Una de las principales aplicaciones de la forma vectorial de una integral de superficie se refiere al flujo de un fluido a través de una superficie S. Definición: Sea F = M i + N j + P k un campo de vectores con funciones componentes M, N, P con derivadas parciales continuas sobre la superficie S orientada por un vector normal unitario N. La integral de flujo de F a través de S se define como ∫∫ •

SdS NF


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¿Cómo calcular una integral de flujo?

1) Si la superficie S está dada por z = g(x, y), R es la proyección de S sobre el plano XY y S está orientada hacia arriba,

[ ] ∫∫∫∫∫∫ +−=+•=•R

yxR

yxS

dA P)g N-g M( dA kjg-ig-FdS NF

Y si S está orientada hacia abajo,

[ ] ∫∫∫∫∫∫ −+=+•=•R

yxR

yxS

dA P)g Ng M( dA k-jgigFdS NF

2) Si la superficie S está dada por r(u, v) = x(u, v) i + y(u, v) j +

z(u, v) k , con (u, v) en D,

∫∫∫∫∫∫ ×•=×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

××

•=•D

vuD

vuvu

vu

SdA )rr(F dA rr

rrrr

FdS NF

Ejemplo: Determine el flujo del campo vectorial F(x, y, z) = z i + y j + x k por la esfera unitaria x2 + y2 + z2 = 1. Parametrizamos la esfera con π≤ϑ≤π≤φ≤φ+ϑφ+ϑφ=ϑφ 20 ,0 ,kcosjsensen i cossen) ,(r

kcossenjsensen i sco)) ,(r(F ϑφ+ϑφ+φ=ϑφ

k cossen j sensen i cossenrr 22 φφ+ϑφ+ϑφ=× ϑφ

34dA sensencoscos(2sendS NF

D

232

S

π=ϑφ+ϑφφ=• ∫∫∫∫


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El Teorema de la divergencia

El Teorema de la divergencia amplia el Teorema de Green a campos vectoriales en : 3ℜ

Sea Q una región sólida acotada por una superficie cerrada S orientada por vectores unitarios dirigidos hacia el exterior de Q. Si F es un campo vectorial cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas en Q, entonces

dV F divdS NFQS∫∫∫∫∫ =•

Si F = M i + N j + P k, dV )zP

yN

xM(dS NF

QS∫∫∫∫∫ ∂

∂+

∂∂

+∂∂

=•

Ejemplo: Sea Q la región acotada por la esfera S de ecuación

. Calcule el flujo del campo vectorial F(x, y, z) =

que atraviesa la esfera hacia afuera.

4zyx 222 =++

kz2jy2ix2 333 ++

El flujo ∫∫∫∫∫∫∫∫ ++==•=ηQ

222

QS

dV)z6y6(6x dV F divdS NF

57682

04

2

0 042

0 0

2

04

d2 12

ddsen26dddsen6

π

ππ π

=ρρπ=

ρφφπρ=ρφϑφρ=

∫

∫ ∫∫ ∫ ∫


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El Teorema de Stokes

Sea S una superficie orientada con vector unitario N, acotada por una curva cerrada simple C suave a trozos. Si F es un campo vectorial cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene a S y C, entonces

dS NF)(rot drFSC∫∫∫ •=•

Ejemplo: Sea C el triángulo orientado de vértices de (3, 0, 0) a (0, 3, 0) , de (0, 3, 0) a (0, 0, 6) y de (0, 0, 6) a (3, 0, 0) contenido en el plano 2x + 2y + z = 6. Calcule la integral si F es el

campo vectorial F(x, y, z) = -y

∫ •C

drF

2 i + z j + x k. En este caso rot F = -1 i - 1 j + 2y k.

Sea z = g(x, y) = 6 – 2x – 2y; entonces,

9-

dydx 4)-(2y

dA k) 2j (2ik) 2y j - (-i

dA k]jg-ig[k) 2y j - (-i

dS Nk) 2y j - (-idrF

3

0

y-3

0

R

Ryx

SC

=

=

++•+=

+−•+=

•+=•

∫ ∫

∫∫

∫∫

∫∫∫


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Apuntes de Teoremas Fundamentales

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