Apuntes de Mecánica Clásica. 2010. Fernando O. Minotti

Apuntes de Mecnica Clsica

Fernando O. Minotti

2do cuatrimestre de 2010

ndice general

1. Mecnica de Newton 31.1. Transformacin de Galileo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Sistema de varias partculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Teorema del Virial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2. Mecnica analtica 112.1. Deniciones bsicas y notacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2. Principio de los trabajos virtuales (D Alembert) . . . . . . . . 132.3. Ecuaciones de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3.1. Partculas en campos electromagnticos . . . . . . . . . 202.4. Principio de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4.1. Principio de Maupertuis . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.5. Invarianza de las ecuaciones de Lagrange y simetras . . . . . 26

2.5.1. Teorema de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.6. Accin como funcin de las qs . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3. Ecuaciones cannicas de Hamilton 343.1. Transformaciones cannicas y corchetes de Poisson . . . . . . 37

3.1.1. Transformaciones cannicas innitesimales . . . . . . . 393.1.2. Teorema de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.1.3. Corchetes de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4. Ecuacin de Hamilton-Jacobi 474.1. Variables ngulo-accin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2. Invariantes adiabticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5. Mecnica relativista 555.1. Cinemtica relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.1.1. Cuadrivectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.2. Dinmica relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.2.1. Leyes de conservacin en sistemas de varias partculas . 68

1

NDICE GENERAL 2

5.2.2. Desintegracin de partculas . . . . . . . . . . . . . . . 715.2.3. Choque de partculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6. Fuerzas centrales 756.1. Problema de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.2. Choque elstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.3. Dispersin (Scattering) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7. Pequeas oscilaciones 927.1. Modos normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997.2. Oscilaciones de sistemas aislados (molculas) . . . . . . . . . . 1007.3. Oscilaciones forzadas y amortiguadas . . . . . . . . . . . . . . 1017.4. Oscilaciones no lineales en una dimensin . . . . . . . . . . . . 107

8. Cuerpo rgido 1108.1. Cinemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

8.1.1. Matrices de rotacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1128.1.2. ngulos de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

8.2. Dinmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1188.2.1. Energa cintica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1188.2.2. Teorema de Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1218.2.3. Momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1228.2.4. Ejes principales del tensor de inercia . . . . . . . . . . 123

8.3. Ecuaciones de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1258.4. Movimiento del cuerpo slido libre . . . . . . . . . . . . . . . 127

8.4.1. Construccin de Poinsot . . . . . . . . . . . . . . . . . 1278.4.2. Otra representacin geomtrica . . . . . . . . . . . . . 1298.4.3. Estabilidad de la rotacin alrededor de los ejes principales1298.4.4. Elipsoide con simetra de revolucin . . . . . . . . . . . 131

8.5. Movimiento de trompos y girscopos . . . . . . . . . . . . . . 1348.5.1. Trompo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1348.5.2. Estabilidad del trompo vertical . . . . . . . . . . . . . 1408.5.3. Girscopo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Captulo 1

Mecnica de Newton

La mecnica de Newton (tambin llamada mecnica vectorial) se basa ensus tres leyes que adaptamos aqu a la nomenclatura de la materia:i) Un punto material (o partcula) sobre el que no actan fuerzas per-

manece continuamente en reposo o en movimiento rectilneo y uniforme.(Esta ley establece el marco de referencia en el que son vlidas las otrasleyes; se entiende que no actan fuerzas sobre el punto material si no existeningn agente que las ejerza, tal como otra partcula o cuerpo extenso, hilos,resortes, cuerpos muy masivos que produzcan atraccin gravitatoria, cuer-pos cargados y corrientes elctricas si el punto material tiene carga elctrica,etc.. Si en tales condiciones el punto permanece en reposo o se mueve convelocidad constante, entonces se est en el marco adecuado, que es el queconocemos como sistema de referencia inercial).ii) Si sobre la partcula actan fuerzas la tasa de cambio de la cantidad

de movimiento lineal de la partcula es igual a la fuerza total. (Se entiendepor cantidad de movimiento lineal al producto de la masa de la partcula porsu velocidad, y por tasa de cambio la variacin por unidad de tiempo; nteseadems que las fuerzas se dan por conocidas o determinables independiente-mente del cambio de estado de movimiento de la partcula)iii) Cuando dos partculas interactan la fuerza que la primera ejerce

sobre la segunda es igual en intensidad y direccin, pero opuesta en sentido,a la que la segunda ejerce sobre la primera.Para trabajar con estas leyes debemos denir los vectores involucrados;

en particular, el vector posicin de cada partcula respecto de algn origenconveniente. Llamamos xi al vector posicin de la partcula i y escribimosla segunda ley para cada partcula i (de masa mi y sobre la que acta unafuerza Fi) como (los puntos indican derivacin temporal y el nmero de ellosel orden de la derivada)

mixi = Fi:

3

CAPTULO 1. MECNICA DE NEWTON 4

1.1. Transformacin de Galileo

Si tenemos un sistema de referencia S en el que valen las leyes de Newtony elegimos describir la dinmica de un dado sistema de partculas desde otrosistema S 0 que se mueve respecto del primero con velocidad constante U,las coordenadas espaciales y temporal de cualquier partcula en S 0 estarnrelacionadas con las correspondientes en S por una transformacin de Galileoexpresada como (con notacin evidente y suponiendo que en t = 0 los orgenesde ambos sistemas coinciden)

x = x0 +U t0;

t = t0:

Esta transformacin es puramente cinemtica. La invarianza de las leyesde Newton frente a esta transformacin; esto es, la validez de las mismasleyes, expresadas de igual manera, pero ahora en trminos de objetos referi-dos al sistema S 0, requiere que las masas y fuerzas sean invariantes ante latransformacin. Esta ltima es una hiptesis bsica de la dinmica de New-ton que, de hecho, es vlida para transformaciones genricas, a sistemas dereferencia acelerados de manera arbitraria.

1.2. Sistema de varias partculas

Llamando pi mi _xi a la cantidad de movimiento de la partcula i, lacantidad de movimiento total P del sistema de N partculas es

P =

NXi=1

pi;

de la cual podemos decir que

dP

dt=

NXi=1

dpidt

=

NXi=1

Fexti +

NXi=1

Xj 6=ifij; (1.1)

donde se ha diferenciado entre las fuerza externa neta sobre cada partcula,Fexti , y la interna sufrida por la partcula i debida a la j, fij. Por la terceraley de Newton es fij = fji, por lo que la doble suma en (1.1) se anula yresulta entonces

dP

dt=

NXi=1

Fexti Fext: (1.2)


Usando adems que

dP

dt=

d

dt

NXi=1

mi _xi Md2XCMdt2

;

donde se ha introducido la masa total del sistemaM =PN

i=1mi, y la posicin

del centro de masasXCM =PN

i=1mixi

=M , puede escribirse la ecuacin

de movimiento del centro de masas como

Md2XCMdt2

= Fext:

Si denimos ahora la cantidad de movimiento angular (o momento angu-lar) respecto de un punto jo O,

Lo =NXi=1

xio pi; (1.3)

donde se entiende que xio es el vector posicin de la partcula i referido alorigen O. Tenemos entonces

dLodt

=NXi=1

_xio pi +NXi=1

xio _pi:

Dado que _xio es paralelo a pi cada trmino de la primera sumatoria es nulo,mientras que el segundo se escribe, usando la segunda ley de Newton

dLodt

=

NXi=1

xio Fexti +NXi=1

xio Xj 6=ifij:

Si escribimos quexjo = xio +xij;

al efectuar la doble sumatoria se tendrn pares de trminos de la forma

xio fij + xjo fji = xio fij + xio fji +xij fji= xio (fij + fji) + xij fji:

El parntesis del segundo rengln se anula por la tercera ley de Newton,mientras que si la fuerza interna fij tiene la direccin del vector que une las


partculas i, j (forma fuerte de la tercera ley) el ltimo producto vectorial seanula tambin, con lo que se obtiene nalmente

dLodt

=NXi=1

xio Fexti : (1.4)

Tenemos entonces de (1.2) y (1.4) que si no actan fuerzas externas sobrelas partculas del sistema, entonces P = cte y Lo = cte; la constancia de Loes vlida cualquiera sea el punto jo O considerado.Si, conocido el valor de Lo en un instante dado (no estamos pidiendo que

se conserve), queremos calcular el momento angular respecto de otro puntojo O0, basta escribir en (1.3) que xio = xio0 + Xo0 Xo, con Xo y Xo0 losvectores posicin de los puntos O y O0, respectivamente, para obtener

Lo =NXi=1

xio0 pi + (Xo0 Xo)NXi=1

pi

= Lo0 + (Xo0 Xo)P;con lo que

Lo0 = Lo (Xo0 Xo)P:Conocido el valor del momento angular Lo respecto del origen O de un

sistema de referencia S, se plantea ahora calcular el momento angular L0o0respecto del origen O0 de un sistema de referencia S 0que se mueve con veloci-dad arbitraria U (t) respecto de S. Si Xo0 (t) es la posicin de O0 respecto deO (por supuesto, es U (t) = _Xo0 (t)), tenemos

L0o0 =NXi=1

x0i mi _x0i =NXi=1

(xi Xo0)mi ( _xi U) ;

que, expandiendo los productos, se puede escribir como

L0o0 =NXi=1

xi mi _xi Xo0 NXi=1

mi _xi NXi=1

mi _xi

!U+Xo0

NXi=1

mi

!U

= Lo Xo0 PM XCM U+M Xo0 U:En particular, si se elige el CM como origen O0, la expresin se simplica a

L0CM = Lo XCM P;


que escrito en la forma ms cmoda

Lo = L0CM +XCM P;

nos indica que el momento angular de un sistema respecto de un puntocualquiera puede descomponerse en el momento respecto al centro de masas(llamado momento angular propio o de spin) ms el debido al movimientodel sistema de partculas como conjunto (momento angular orbital).Consideremos nalmente la variacin de energa cintica T de un sistema

de partculas (el punto indica producto escalar de vectores)

dT

dt=

d

dt

1

2

NXi=1

mi j _xij2!=

NXi=1

mi _xi xi;

que por la segunda ley de Newton es igual a

dT

dt=

NXi=1

_xi Fexti +NXi=1

_xi Xj 6=ifij:

Si las fuerzas entre pares de partculas derivan de un potencial (independientedel tiempo) Vij = Vji = V0 (jxi xjj) tenemos

fij = @Vij@xi

;

con lo que Xj 6=ifij = @

@xi

Xj 6=i

Vij = @V(i)

@xi;

donde V (i) Pj 6=i Vij. Si se dene adicionalmente V 12PNi=1 V (i) tenemosque, para cualquier i,

@V

@xi=@V (i)

@xi;

con lo que podemos escribir

NXi=1

_xi Xj 6=ifij =

NXi=1

_xi @V@xi

= dVdt;

y, nalmente,d

dt(T + V ) =

NXi=1

_xi Fexti :


As, si no existen fuerzas externas, la energa mecnica E T + V , sumade las energas cintica T y potencial V , se conserva. Ms an, si la fuerzaexterna deriva tambin de un potencial independiente del tiempo

Fexti = @V ext

@xi;

podemos deducir de manera semejante

d

dt

T + V + V ext

= 0.

1.3. Teorema del Virial

Si denimos la funcin virial de un sistema de partculas

V NXi=1

mi _xi xi;

tenemos que su variacin temporal se escribe

dVdt

=NXi=1

mi _xi _xi +NXi=1

mixi xi

= 2T +

NXi=1

xi Fexti +

Xj 6=ifij

!:

Si, como en el n del punto anterior las fuerzas entre partculas son derivablesde un potencial, y no existen fuerzas externas, se tiene

dVdt= 2T

NXi=1

xi @V@xi

:

Si, adems, el potencial V es una funcin homognea de grado k (k = 1para el potencial gravitatorio y k = 2 para el potencial elstico)

NXi=1

xi @V@xi

= kV;

con lo cualdVdt= 2T kV: (1.5)


Calculemos ahora el promedio temporal de esta variacin, denido comodVdt

l{m

!11

2

Z

dVdtdt = l{m

!1V () V ()

2:

Si ninguna partcula se aleja al innito, ni sus velocidades divergen, de ladenicin del virial, su valor ser nito siempre y tendremos por lo tanto

dVdt

= 0

con lo cual resulta el teorema del virial:

2 hT i = k hV i :Dado adems que no hay fuerzas externas,

hT i+ hV i = E;con lo que se concluye

hT i = kE2 + k

;

hV i = 2E2 + k

:

En el caso gravitatorio (k = 1), dado que T > 0, debe ser entoncesE < 0 y hV i = 2 hT i. En el caso elstico es hV i = hT i = E=2.Consideremos ahora una funcin auxiliar w denida como

w 12

NXi=1

mixi xi; (1.6)

que por derivacin directa da

dw

dt=

NXi=1

mi _xi xi = V ;

con lo que, volviendo a derivar, y usando (1.5),

d2w

dt2=dVdt= 2T kV:

En el caso gravitatorio tenemos entonces

d2w

dt2= 2T + V = T + E = E;


desigualdad que, al integrar dos veces resulta en

w = 12Et2 + _w (0) t+ w (0) :

De esta ecuacin se deduce que si la energa del sistema de partculas coninteraccin gravitatoria es positiva, entonces w ! 1 cuando t ! 1, loque signica, de la denicin (1.6) de w, que al menos una de las partculasse aleja indenidamente.

Captulo 2

Mecnica analtica

2.1. Deniciones bsicas y notacin

En muchos casos los vectores posicin no son los ms convenientes paradescribir el movimiento de las partculas de un sistema mecnico. Claramentees ms sencillo dar la ubicacin de un planeta por su distancia al sol y un parde ngulos apropiados que por las tres componentes cartesianas de su vectorposicin. Llamemos entonces q1, q2, ..., q3N a las 3N variables que sirven paradeterminar en forma completa el estado de un sistema mecnico formadopor N partculas. Determinar el estado de un sistema mecnico se entiendecomo dar las posiciones (en un dado instante) de todas las partculas dotadasde masa que lo conforman. Expresado en ecuaciones, para cada partculai (1 i N) podremos expresar su vector posicin como una funcinxi (q1; q2; :::; q3N).Las qk son llamadas coordenadas generalizadas y el espacio que determi-

nan se denomina espacio de conguracin. Al evolucionar el sistema en eltiempo las coordenadas generalizadas describen trayectorias qk (t) en el espa-cio de conguracin, por lo que podemos denir las velocidades generalizadas_qk (t). Las ecuaciones dinmicas que se deducirn permiten la determinacin(al menos en principio) de las trayectorias qk (t) e involucran funciones quedependen de las coordenadas y velocidades generalizadas y del tiempo.Cuando existen vnculos que ligan algunas o todas las partculas entre s

o con cuerpos externos, el sistema de N partculas sigue siendo descripto por3N coordenadas generalizadas, pero stas no son independientes; se hablaentonces de ligaduras o vnculos entre las variables.Si existen m ligaduras independientes entre las n variables se denomina

nmero de grados de libertad, o simplemente grados de libertad, al valor n =3N m . Este nmero es una propiedad del sistema y no de las variables que

11

CAPTULO 2. MECNICA ANALTICA 12

se utilizan.La pregunta es entonces si es posible trabajar con slo n variables qk. La

respuesta es que esto depende de si se puede, al menos en principio, usarlas ecuaciones de vnculo para escribir m de las variables en trminos de las3Nm restantes; cuando esto sucede se dice que los vnculos son holnomos.Los vnculos que no permiten esto se denominan no holnomos.Un ejemplo extremo es el de un cuerpo rgido (slido), que podemos

pensar como constituido por un nmero enorme de partculas ligadas porla condicin de que sus distancias relativas permanezcan constantes. Estasligaduras reducen el nmero de variables desde el impensable nmero 3N aslo 6; tres de las cuales son, por ejemplo, las coordenadas del centro de masadel cuerpo; las otras tres sern ngulos que determinan la orientacin.Si el slido est adems forzado a rotar alrededor de un eje jo, basta

con dar un solo ngulo para determinar su estado; las ecuaciones de lig-adura seran que dos de los ngulos que determinan la orientacin son josy que cada coordenada del centro de masa se puede escribir como funcindel tercer ngulo. Estas ligaduras son holnomas de manera que uno podraefectivamente hacer la reduccin de variables hasta slo una.Si el slido es una esfera que se mueve sobre una supercie horizontal la

altura de su centro es ja (ligadura holnoma), por lo que slo hacen faltados coordenadas para determinarlo; si adems rueda sin deslizar, su puntode contacto con la supercie est instantneamente en reposo, lo que vinculala velocidad instantnea de su centro con su velocidad de rotacin. Estoltimo corresponde a dos ligaduras no holnomas porque la ligadura de estasvelocidades no alcanza para determinar el vnculo entre las coordenadas delcentro y los ngulos de orientacin mismos, y no hace posible la eliminacinde unos en favor de otros (una esfera, partiendo del mismo lugar y con igualorientacin, puede llegar a un mismo punto con distintas orientaciones, segnel camino que haya seguido, aun respetando punto a punto la ligadura entrevelocidades; por otro lado, un cilindro que rodara sin deslizar tendra unanica relacin entre coordenada de su centro y ngulo rotado, por lo que eneste caso el vnculo dado por la rodadura es holnomo).As, para un slido no ligado es n = 6, para uno que gira sobre un eje

jo es n = 1; para una esfera que se mueve sobre una supercie deslizandolibremente es n = 5; si rota sin deslizar n = 3, pero se requieren 5 variables,ligadas por dos vnculos no holnomos, para describir el estado de la esfera.Finalmente, los vnculos (holnomos o no) pueden depender explcita-

mente del tiempo; por ejemplo, el eje alrededor del que es forzado a rotarun slido o la supercie sobre la que rueda una esfera pueden seguir unmovimiento prejado. Los vnculos dependientes del tiempo se denominanrenomos y los no dependientes del tiempo esclernomos.


2.2. Principio de los trabajos virtuales (D Alem-bert)

La introduccin de ligaduras en el sistema mecnico lleva al concepto defuerza de vnculo, que es justamente la que se ejerce sobre la partcula paraforzar el cumplimiento de la ligadura. Esta fuerza de vnculo se diferenciade la denominada fuerza aplicada que es aquella determinada independiente-mente de cualquier otra fuerza, dando slo las posiciones (y a veces tambinlas velocidades) de las partculas. As, si dos partculas estn ligadas por unresorte la fuerza que ejerce el resorte sobre una de ellas es una fuerza apli-cada, que depende de la posicin de ambas partculas; tambin son fuerzasaplicadas el peso, la fuerza elctrica sobre una partcula cargada, la fuerzamagntica (que depende de la velocidad), etc. Por otro lado, la fuerza queejerce un riel que gua el movimiento de una partcula es una fuerza de vn-culo, que no puede ser determinada sin conocer las otras fuerzas que actan.Una restriccin adicional que imponemos a las fuerzas de vnculo es que

puedan ser tan grandes en magnitud como fuera necesario para imponer laligadura, lo que es una idealizacin de los vnculos reales (los hilos se estiran,las varillas se doblan o se quiebran, pero trabajamos dentro de los lmites enlo que esto no pasa o su efecto puede despreciarse).Un problema con la condicin anterior lo dan las fuerzas de rozamiento. Si

las condiciones del problema son tales que el rozamiento es suciente para im-pedir que haya deslizamiento (rozamiento esttico), la fuerza de rozamientose considera entonces de vnculo. Si pudiera haber deslizamiento (rozamien-to dinmico) deberamos considerar al rozamiento como una fuerza aplicadaanmala (ya que no cumple con ser independiente de otras fuerzas dado quesu magnitud depende de la fuerza de vnculo normal), pero ya no puede serconsiderada fuerza de vnculo.Otro concepto fundamental es el de desplazamiento virtual, que es un

desplazamiento innitesimal de la posicin de una dada partcula, realizadoinstantneamente (de aqu la condicin de virtual, ya que no es posible re-alizarlo efectivamente); es decir, a velocidad innita, sin que transcurra eltiempo durante el desplazamiento. Aparte de ser instantneo, el desplaza-miento es arbitrario, no relacionado con el movimiento real de la partculaen el instante considerado. Sin embargo, los desplazamientos virtuales mstiles son los que respetan los vnculos; esto es, no violan las condicionesde ligadura del sistema (no sacan la partcula del riel que la gua, no defor-man los cuerpos rgidos, no estiran los hilos, etc.; sin embargo, aun as nocorresponden necesariamente al movimiento real). Estos desplazamientos sedenominan compatibles con los vnculos.


Es importante notar que si los vnculos fueran dependientes del tiempo,al ser instantneo el desplazamiento virtual, los vnculos permanencen en elestado en que se encuentran en el instante del desplazamiento, por lo quelos desplazamientos virtuales compatibles con los vnculos deben respetar lacondicin impuesta por stos en ese dado instante.El trabajo virtual de una fuerza es entonces el trabajo que ella realiza en

el desplazamiento virtual.Finalmente, el principio de los trabajos virtuales de D Alembert postula

que la suma de los trabajos virtuales de todas las fuerzas de vnculo deun sistema es nula, para cualquier conjunto de desplazamientos virtuales,compatibles con los vnculos, de las partculas del sistema.Es esencial incluir todas las fuerzas de vnculo en la suma, ya que el traba-

jo virtual de una dada fuerza de vnculo es en general no nulo; la cancelacinse da entre todos los sumandos. Ntese que las fuerzas aplicadas (no de vn-culo) producen un trabajo total no nulo en general; el principio se aplica sloa las fuerzas de vnculo.Algunos autores deducen este principio de la tercera ley de Newton,

aunque esta ley ms bien puede hacerlo plausible, vericando el principioen casos concretos, y no realmente probarlo de manera general.Notamos Ri a la fuerza de vnculo (total o neta) que acta sobre la

partcula i, y Fi a la fuerza aplicada (tambin total o neta) que acta sobreesta partcula. Si xi es el desplazamiento virtual de la partcula i, el prin-cipio de D Alembert asegura que (el punto simboliza el producto escalar devectores)

WR =NXi=1

Ri xi = 0;

para todos los xi compatibles con los vnculos.Nota histrica: El principio de los trabajos virtuales como es presen-

tado aqu es el resultado de muchas contribuciones a lo largo del tiempo.Inicialmente se aplic en forma elemental y medio velada a problemas deesttica comenzando por Aristteles (384-322 AC) y pasando por Stevinus(1598-1620) y Galileo (1564-1642). En su forma ms explcita y general (siem-pre en el caso esttico) fue dado por Juan Bernoulli (1667-1748) alrededorde 1717. Fue D Alembert (1717-1785) quien formul su principio, que diceen realidad que un problema dinmico puede reducirse a uno esttico en elque se han agregado a las fuerzas reales (de vnculo y aplicadas) las fuerzasde inercia, de expresin mixi, permitiendo as el uso del principio en ca-sos dinmicos. Denominar principio de D Alembert al presentado aqu esentonces no del todo correcto, aunque usual.


2.3. Ecuaciones de Lagrange

Si escribimos la ecuacin de movimiento de la partcula i denotando am-bos tipos de fuerzas actuantes

mixi = Ri + Fi; (2.1)

multiplicamos escalarmente esta ecuacin por el desplazamiento virtual xide la partcula y sumamos para todas las partculas, el principio de D Alem-bert nos dice que podemos escribir (pasando todo al lado izquierdo)

NXi=1

mixi xi NXi=1

Fi xi = 0 (2.2)

Como existen vnculos los desplazamientos de las distintas partculas no sonindependientes entre s (recurdese que aqu los desplazamientos virtualesdeben respetar los vnculos). Supongamos tener m vnculos holnomos entrelas partculas, que pueden escribirse como m relaciones entre las posicionesde las partculas

Gr (x1;x2; :::;xN ; t) = 0; 1 r m; (2.3)donde se ha puesto de maniesto que las relaciones de vnculo pueden de-pender explcitamente del tiempo, como se discuti ms arriba. La condicinde que los desplazamientos respeten los vnculos se escribe entonces

NXi=1

riGr xi = 0; 1 r m; (2.4)

donde ri representa el gradiente respecto de las coordenadas de partcula i.Si los vnculos no son holnomos, de cualquier manera pueden expresarse engeneral de forma diferencial como en (2.4), slo que en lugar deriGr apare-cer una cantidad vectorial Air (x1;x2; :::;xN ; t) que no puede ser expresadacomo el gradiente de una funcin respecto de las coordenadas xi. Escribimosentonces en general para vnculos holnomos o no las m condiciones sobrelos desplazamientos como (1 r m)

NXi=1

Air xi = 0: (2.5)

La idea es multiplicar cada una de las relaciones (2.5) por una funcinescalar desconocida r (x1;x2; :::;xN ; t) (multiplicador de Lagrange) y sumar


todas ellas para escribir (cambiando el orden de las sumatorias)

NXi=1

mXr=1

rAir

! xi = 0;

que a su vez podemos sumar a (2.2) para escribir (agrupando todo)

NXi=1

mixi Fi +

mXr=1

rAir

! xi = 0: (2.6)

Como existen las m relaciones (2.5) entre las 3N componentes de losdesplazamientos xi, podemos elegir 3N m de stas en forma arbitraria,y las m restantes estarn dadas como funcin de las anteriores (que sonindependientes). La idea entonces es elegir los r para que se satisfagan lasecuaciones

mixi Fi +mXr=1

rAir = 0; (2.7)

para los m componentes no independientes de los desplazamientos xi. Deesta manera, en (2.6) slo sobreviven las 3N m componentes independi-entes que, son por ser arbitrarias, indican que debe ser nulo cada uno de losfactores que las multiplica. As, para todas las partculas se debe satisfacerla ecuacin (2.7) que reescribimos

mixi = Fi mXr=1

rAir; 1 i N; (2.8)

denominadas ecuaciones de Lagrange de primera especie.En particular, si comparamos (2.8) con la ecuacin (2.1) vemos que las

fuerzas de vnculo estn dadas por

Ri = mXr=1

rAir:

Por supuesto, como se tienen m funciones incgnita r adicionales a lasN coordenadas xi, se requieren m ecuaciones adicionales. Si los m vnculosson holnomos, las ecuaciones adicionales son las (2.3). Si algunos vnculosson no holnomos stos estn dados por una expresin de la forma (2.5) queno es posible integrar para obtener una expresin que relacione a las xi; sinembargo, las ligaduras no holnomas son debidas en general a que se tieneuna relacin entre las velocidades de la forma genrica

NXi=1

Air _xi = ar;


que sirven entonces como las ecuaciones auxiliares (las (2.5) fueron deducidasde estas expresiones al multiplicar por t y luego tomar t = 0 considerandoque, por ser virtual el desplazamiento, es j _xij ! 1, de manera que xi = _xites no nulo, pero art = 0).Una forma mucho ms til de las ecuaciones de Lagrange se obtiene si se

usan coordenadas generalizadas y si, adems, los m vnculos son holnomos,de manera que pueden emplearse las relaciones de ligadura para eliminar mvariables y trabajar con n = 3Nm variables independientes. As, es posibleexpresar las posiciones de cada partcula por una funcin de n coordenadasgeneralizadas independientes

xi = xi(q1; q2; :::; qn; t); (2.9)

donde hemos incluido la posibilidad de que la relacin dependa explcita-mente del tiempo. As, para los desplazamientos virtuales se tiene (el tiempose mantiene jo, t = 0)

xi =nXk=1

@xi@qk

qk; (2.10)

que al reemplazar en (2.2) da

NXi=1

nXk=1

mixi @xi@qk

qk NXi=1

nXk=1

Fi @xi@qk

qk = 0: (2.11)

Escribimos ahora

xi @xi@qk

=d

dt

_xi @xi

@qk

_xi d

dt

@xi@qk

; (2.12)

y notamos que

_xi =@xi@t

+

nXk=1

@xi@qk

_qk;

de donde vemos que _xi es una funcin lineal de las velocidades generalizadas_qk que cumple

@ _xi@ _qk

=@xi@qk

: (2.13)

Por otro lado,

d

dt

@xi@qk

=

@2xi@t@qk

+

nXp=1

@xi@qp@qk

:qp =

@ _xi@qk

: (2.14)


Usando (2.13) y (2.14) escribimos entonces (2.12) como

xi @xi@qk

=d

dt

_xi @ _xi

@ _qk

_xi @ _xi

@qk

=d

dt

1

2

@ j _xij2@ _qk

! 12

@ j _xij2@qk

:

Usando que la energa cintica del sistema de partculas es

T =

NXi=1

1

2mi j _xij2 ;

y deniendo la fuerza generalizada

Qk NXi=1

Fi @xi@qk

;

podemos escribir la ecuacin (2.11) como

nXk=1

d

dt

@T

@ _qk

@T@qk

Qkqk = 0: (2.15)

Notemos que al ser las variaciones qk arbitrarias e independientes debeanularse el corchete para cada k, con lo que resulta la forma til de lasecuaciones de Lagrange

d

dt

@T

@ _qk

@T@qk

Qk = 0: (2.16)

Si las fuerzas aplicadas se derivan de un potencial independiente de lasvelocidades, Fi = riV , entonces

Qk = NXi=1

riV @xi@qk

= @V@qk

; (2.17)

por lo que, usando que @V=@ _qk = 0, podemos reescribir (2.16) como

d

dt

@L

@ _qk

@L@qk

= 0; (2.18)

donde se ha denido el lagrangiano L = T V . Las (2.18) se denominanecuaciones de Lagrange de segunda especie, o simplemente ecuaciones deLagrange.


Si algunos de los vnculos son no holnomos no es posible reducir elnmero de coordenadas generalizadas hasta el nmero de grados de libertadn. Supongamos que se han usado algunas de las ligaduras holnomas (perono necesariamente todas) para reducir en algo el nmero de coordenadas qky se tiene entonces s de ellas, con 3N s > n. Todas las deducciones quellevan desde (2.9) hasta (2.15) siguen siendo vlidas con s en lugar de n, sloque ahora las variaciones qk no son independientes entre s, sino que estnligadas por las sn ligaduras no usadas para reducir el nmero de variables(sea porque no se ha querido usarlas o porque las ligaduras son no holnomasy no es posible hacerlo). Las relaciones entre las ligaduras estarn dadas pors n expresiones del tipo

sXk=1

Bkrqk = 0; 1 r s n; (2.19)

donde las Bkr son de la forma @Gr=@qk slo si la ligadura r es holnoma.Usando el mtodo de los multiplicadores de Lagrange multiplicamos estasexpresiones por funciones desconocidas r y sumamos los s n expresionesa la (2.15) (en la que se ha reemplazado n por s) para obtener

sXk=1

"d

dt

@T

@ _qk

@T@qk

Qk +snXr=1

rBkr

#qk = 0:

Procediendo como se hizo con (2.6) se obtiene nalmente

d

dt

@T

@ _qk

@T@qk

= Qk snXr=1

rBkr; (2.20)

que deben completarse con las ecuaciones de vnculo no usadas

Gr (q1; q2; :::; qs; t) = 0;

en caso de vnculos holnomos, o

sXk=1

Bkr _qk = br;

en el caso de vnculos no holnomos.Si las fuerzas son derivables de un potencial (ver (2.17)), entonces podemos

reescribir (2.20) como

d

dt

@L

@ _qk

@L@qk

= snXr=1

rBkr: (2.21)


Nota histrica: Fue Lagrange (1736-1813) quien en su obra McaniqueAnalytique de 1788 desarroll la mecnica analtica, que denomin as porel uso que hace en ella del anlisis matemtico, junto con el mtodo demultiplicadores y tcnicas variacionales (a ver en el punto siguiente).

2.3.1. Partculas en campos electromagnticos

El caso de una partcula cargada en un campo electromagntico es unejemplo importante de existencia del lagrangiano para fuerzas dependientesde la velocidad. La fuerza electromagntica sobre la partcula de carga e yvelocidad u es (en unidades del SI)

F = e (E+ uB) ;donde E es el campo elctrico y B el magntico en la posicin de la partcula.En trminos de los potenciales escalar y vector es

F = e

r @A

@t+ u (rA)

:

Si desarrollamos explcitamente, se tiene para la componente cartesiana x

Fx = e

@@x @Ax

@t+ uy

@Ay@x

@Ax@y

uz

@Ax@z

@Az@x

:

Si a esta expresin le sumamos y restamos ux@Ax=@x, podemos escribirlacomo

Fx = e

@@x dAx

dt+

@

@x(u A)

;

dondedAxdt

=@Ax@t

+ ux@Ax@x

+ uy@Ax@y

+ uz@Ax@z

:

Tenemos as que podemos escribir en general

F = er ( u A) + dA

dt

:

Esta expresin nos lleva a proponer el potencial

V = e ( u A) ;de donde tenemos inmediatamente (con expresiones anlogas para las otrascomponentes)

d

dt

@V

@ux

@V@x

= Fx:


Para un conjunto de N partculas tenemos

V =NXi=1

ei (i _xi Ai) ; (2.22)

dondei (xi; t) ; Ai A (xi; t) :

As,

Fi =d

dt

@V

@ _xi

@V@xi

;

y

Qk =NXi=1

Fi @xi@qk

=NXi=1

d

dt

@V

@ _xi

@xi@qk

NXi=1

@V

@xi @xi@qk

=d

dt

NXi=1

@V

@ _xi @xi@qk

NXi=1

@V

@ _xi ddt

@xi@qk

NXi=1

@V

@xi @xi@qk

=d

dt

NXi=1

@V

@ _xi @ _xi@ _qk

NXi=1

@V

@ _xi @ _xi@qk

NXi=1

@V

@xi @xi@qk

=d

dt

@V

@ _qk

@V@qk

;

y es entonces posible denir L = T V , con el potencial (2.22).

2.4. Principio de Hamilton

Un punto extremadamente importante es que la forma de las ecuaciones(2.18) es la misma que las denominadas ecuaciones de Euler-Lagrange delclculo de variaciones.Un ejemplo caracterstico del clculo de variaciones es encontrar la funcin

y = f (x) que hace que la integral

I =

Z x2x1

F (y; y0; x) dx; (2.23)

sea extrema (mxima o mnima). En (2.23) F es una funcin conocida de sustres argumentos, la prima indica derivacin respecto de x, y se considera queen los lmites de integracin la funcin y toma valores dados y1, y2. Si parauna dada f (x) la integral es un extremo, cuando f (x) se reemplaza por una


funcin ligeramente modicada f (x)+" (x) (" es una constante innitesimaly (x) una funcin arbitraria que vale cero en x1, x2 para cumplir que el valorde y en los extremos est jado) la integral no debe variar a primer orden en". As

I =

Z x2x1

F (f + "; f 0 + "0; x) dxZ x2x1

F (f; f 0; x) dx = 0: (2.24)

Si escribimos desarrollando a primer orden en serie de Taylor para "

F (f + "; f 0 + "0; x) = F (f; f 0; x) +@F

@y" +

@F

@y0"0;

(donde se entiende que las derivadas de F se evalan en y = f (x), y0 = f 0 (x))podemos escribir (2.24) como

I = "

Z x2x1

@F

@y +

@F

@y00dx = 0: (2.25)

Dado que@F

@y00 =

d

dx

@F

@y0

ddx

@F

@y0

;

al integrar por partes el segundo trmino del integrando de (2.25) y usar que (x1) = (x2) = 0 podemos escribir

I = "

Z x2x1

@F

@y ddx

@F

@y0

dx = 0;

pero como (x) es una funcin arbitraria (podra en particular elegirse iguala la funcin que multiplica, con lo cual se tiene la integral de una magnituddenida positiva en todo punto) debe anularse el corchete y se tiene entoncesla ecuacin de Euler

@F

@y ddx

@F

@y0

= 0:

Si F es funcin de 2n variables yk, y0k: F (y1; y01; y2; y

02; :::; yn; y

0n; x) y deben

hallarse las n funciones yk = fk (x) que extreman la integral

I =

Z x2x1

F (y1; y01; y2; y

02; :::; yn; y

0n; x) dx;

con valores de las yk jos en los lmites de integracin, se tiene que al variarlas n funciones: fk (x)! fk (x) + "kk (x), la integral no vara, por lo que un


clculo anlogo al anterior (desarrollando ahora en Taylor en cada uno de los"k) lleva a

I =

Z x2x1

nXk=1

"k

@F

@yk ddx

@F

@y0k

kdx = 0: (2.26)

Si no hay ligaduras entre las funciones yk, los k son independientes (y arbi-trarios) por lo que puede elegirse a todos salvo uno igual a cero y, as comoantes, ver que debe ser para cada yk

@F

@yk ddx

@F

@y0k

= 0: (2.27)

Si hubiera m ligaduras de la forma

Gr (y1; y2; :::; yn; x) = 0; 1 r m; (2.28)

como tanto las fk como sus variaciones deben respetar las ligaduras, tenemos

Gr (f1; :::; fn; x) = Gr (f1 + "11; :::; fn + "nn; x) = 0; 1 r m;

Al desarrollar la segunda serie de ecuaciones en serie de Taylor a primer ordenen los "i (y usar tambin la primera serie de condiciones) se tiene

nXk=1

"k@Gr@yk

k = 0; 1 r m:

Usando el mtodo de los multiplicadores de Lagrange multiplicamos estasltimas ecuaciones por funciones a determinar r (y1; y2; :::; yn; x), y sumamoslas m ecuaciones a la (2.26) para obtenerZ x2

x1

nXk=1

"k

"@F

@yk ddx

@F

@y0k

+

mXr=1

r@Gr@yk

#kdx = 0:

Como siempre, elegimos los m multiplicadores r para que se anulen mtrminos de la sumatoria en k, por lo que sobreviven n m trminos quepodemos tomar entonces como independientes, con lo que el resultado nales que, para todas las yk, se tiene

@F

@yk ddx

@F

@y0k

+

mXr=1

r@Gr@yk

= 0; (2.29)

que deben completarse con las (2.28).


Es claro entonces que las ecuaciones (2.18) y (2.27) (o las (2.21) y (2.29);si las ligaduras fueran no holnomas la deduccin de (2.29) es equivalente ala dada, slo que en lugar de @Gr=@yk se tendra funciones Bkr no reduciblesa derivadas) son totalmente equivalentes si se identican

L $ Fqk $ ykt $ x

En otras palabras, las trayectorias del sistema en el espacio de congu-racin (las qk (t)) son las que extreman la integral

S =

Z t2t1

L (q1; _q1; :::; qn; _qn; t) dt; (2.30)

sujeta a la condicin que las qk tomen valores dados en los instantes t1 y t2.ste es el principio variacional de Hamilton, denominado tambin principiode mnima accin, y la integral S es denominada la accin del sistema.Notemos que S es una funcin de t1, t2, y de los valores de las coordenadas

en estos instantes; por otro lado S depende de la forma de las trayectoriasqk (t) en t1 t t2, esto es, distintas funciones qk (t) dan distintos valoresde S. Se dice entonces que S es una funcional de las qk (t).

2.4.1. Principio de Maupertuis

Para sistemas mecnicos en los que se conserva la energa mecnica E =T +V es posible escribir un principio variacional que determina directamentela forma geomtrica de las trayectorias del sistema, sin considerar cmo sonrecorridas al transcurrir el tiempo (el tiempo desaparece de la formulacin).Para ver esto usemos que L = T V , junto con E = T + V , para escribir laaccin (2.30) como

S =

Z t2t1

(2T E) dt =Z t2t1

2Tdt E (t2 t1) ;

y consideramos que T tiene la forma genrica (las aij dependen slo de lasqs)

T =1

2

Xi;j

aij _qi _qj =1

2dt2

Xi;j

aijdqidqj;

de donde podemos despejar el diferencial de tiempo

dt =

sPi;j aijdqidqj

2T;


y reescribir la accin como

S =

Z t2t1

s2TXi;j

aijdqidqj E (t2 t1) :

Como ya impusimos la constancia de E, el trmino E (t2 t1) no vara alvariar S, por lo que podemos descartarlo y considerar slo la primera integralque denominamos accin reducida S0

S0 =

Z t2t1

s2TXi;j

aijdqidqj;

y que podemos escribir en trminos de slo las qs al reemplazar T por EVy tomar a una de las qs, digamos la q1, como coordenada independiente (queintegramos entre valores jos arbitrarios q1 y q01)

S0 =

Z q01q1

s2 (E V )

Xi;j

aijdqidq1

dqjdq1

dq1:

Al tomar entonces variaciones arbitrarias de las qi (con i 6= 1 y con valoresjos en los lmites de integracin) e imponer S0 = 0 obtenemos las ecuacionesde la forma geomtrica de las trayectorias. ste es el principio de Maupertuis.Nota histrica: Los principios variacionales se usaron desde tiempos

remotos en forma ms o menos elemental, como por ejemplo en el problema dehallar el rea mxima encerrada por una curva de permetro dado (problemade Dido) conocido por los gemetras de la Grecia antigua. Su desarrollomoderno comenz con el planteo de Juan Bernoulli en 1696 del problema decul es la curva de descenso ms rpido (braquistocrona) entre dos puntosdados en un plano vertical, por la que desciende una partcula sin rozamientocon el peso como nica fuerza aplicada; problema que fue resuelto por Newtony Bernoulli en forma casi simultnea. Maupertuis en 1746 postul su principiode mnima accin en forma elemental (que formularon luego correctamenteEuler y Lagrange), al que consideraba como una expresin de la economade la Naturaleza. Lagrange en su Mcanique Analytique de 1788 desarrollla metodologa ms general de resolver problemas variacionales y utiliz elprincipio de mnima accin en la forma vista aqu. Previamente Euler (1707-1783) dedujo las ecuaciones que llevan su nombre y tambin consider unprincipio de mnima accin basado en lo que llamaramos hoy da energapotencial. Finalmente Hamilton en 1834 desarroll su dinmica (ver msadelante) considerando variaciones ms generales de la accin, en las quevaran tambin los valores en los extremos de integracin.


2.5. Invarianza de las ecuaciones de Lagrangey simetras

Un punto importante de las ecuaciones de Lagrange es que la forma delas ecuaciones es la misma en cualquier sistema de referencia. En efecto, sihacemos una transformacin de las coordenadas generalizadas, incluso de-pendiente del tiempo, y escribimos las coordenadas qk en trminos de otrascoordenadas Qk (no confundir con las fuerzas generalizadas, que no apare-cern de ahora en ms en estos apuntes)

qk = fk (Q1; :::; Qn; t) ; 1 k n; (2.31)

al reemplazar las variables originales por las variables nuevas en el lagrangianose obtiene ste en funcin de las nuevas variables; por supuesto, reemplazandotambin las velocidades generalizadas

_qk =@fk@t

+nXj=1

@fk@Qj

_Qj gkQ1; _Q1; :::; Qn; _Qn; t

;

para obtener eLQ1; _Q1; :::; Qn; _Qn; t. Transformaciones del tipo (2.31) sondenominadas de punto o de contacto. Sin embargo, el valor de L y de eL es elmismo en cada instante dado (slo que expresado en coordenadas transfor-madas unas de otras), por lo que la accin (2.30) se expresa de igual maneraen las nuevas coordenadas

S =

Z t2t1

eLQ1; _Q1; :::; Qn; _Qn; t dt;y las ecuaciones de Lagrange correspondientes obtenidas al extremar la accintienen igual forma

d

dt

@eL@ _Qk

! @

eL@Qk

= 0: (2.32)

Ntese que las nuevas coordenadas podran ser, por ejemplo, coordenadasdel sistema mecnico en un sistema de referencia no inercial y, sin embargo,no hay necesidad de incluir ninguna fuerza de inercia o algo equivalente(aqu se ve la ventaja de la formulacin variacional; si hubisemos usado elprincipio de D Alembert tendramos que haber calculado la aceleracin decada partcula y el trabajo virtual de las fuerzas de inercia para deducir (2.32)en un sistema no inercial).


Por otro lado, la covarianza de las ecuaciones de Lagrange nos permite us-ar las coordenadas mejor adaptadas al problema, siempre y cuando podamosexpresar la funcin lagrangiana L en trminos de ellas.Otro punto importante es que si a L se le suma una derivada total del

tiempo

L! L+ ddtM (q1; :::; qn; t) ; (2.33)

la accin cambia aS ! S + M jt=t2 M jt=t1 ;

pero como en la variacin de S se mantienen jos los valores de las coorde-nadas en los extremos, las ecuaciones obtenidas son exactamente las mismas;ambos lagrangianos llevan a las mismas ecuaciones de movimiento. As, porejemplo, trminos como C1 _q1 = d (C1q1) =dt, o C1q1 _q1 = d (C1q21=2) =dt, conC1 constante, sumados a L no aportan a las ecuaciones de movimiento. Trans-formaciones del tipo dado por (2.33) son denominadas de gauge.De enorme importancia son las transformaciones continuas a las variables

q0k, que son aquellas que pueden escribirse de la forma

qk = fk (q01; :::; q

0n; s; t) ; (2.34)

donde s es un parmetro que puede variarse continuamente desde, digamos,s0 tal que cuando s = s0 es fk = q0k, de manera que q

0k = qk en s = s0. De

esta manera podemos pensar que las coordenadas generalizadas son trans-formadas desde sus valores originales en forma continua al variar s.De las (2.34) deducimos la transformacin de las velocidades generalizadas

(para un s dado)

_qk = _fk =@fk@t

+nXj=1

@fk@q0j

_q0j;

por lo que al reemplazar en el lagrangiano L (q1; _q1; :::; qn; _qn; t) obtenemos uneL (q01; _q01; :::; q0n; _q0n; t), que en s = s0 coincide con el lagrangiano original. Con-sideremos ahora una variacin innitesimal s en el entorno de s = s0, que(a valores jos de las q0k) induce una variacin innitesimal en el lagrangianoque podemos escribir como

L =nXk=1

@L

@qk

@fk@s

s=s0

+@L

@ _qk

@ _fk@s

s=s0

!s; (2.35)

donde notamos que en s = s0 es eL = L, q0k = qk y _q0k = _qk. Ntese queel lagrangiano eL vara en general al variar s porque las qk varan como loespecica (2.34) aun manteniendo jas las q0k.


Si usamos que

@L

@ _qk

@ _fk@s

s=s0

=d

dt

@L

@ _qk

@fk@s

s=s0

! ddt

@L

@ _qk

@fk@s

s=s0

; (2.36)

y tenemos en cuenta las ecuaciones de Lagrange, podemos escribir a L como

L = sd

dt

nXk=1

@L

@ _qk

@fk@s

s=s0

!:

De esta expresin obtenemos un resultado de enorme importancia: si para al-guna transformacin continua de la forma (2.34) el lagrangiano es invariante(L = 0), entonces la magnitud

C =nXk=1

@L

@ _qk

@fk@s

s=s0

; (2.37)

es una constante de movimiento. Este resultado es una versin simplicadadel teorema de Noether (Emmy Noether (1882-1935), publicado en 1918);al nal de este punto veremos el teorema general. Cuando el lagrangiano esinvariante ante una transformacin continua se dice que posee una simetracontinua.Supongamos, por ejemplo, que el lagrangiano no vara si alguna coorde-

nada qr se incrementa en una cantidad arbitraria qr ! qr + s = q0k, por loque podemos escribir la transformacin como fr = q0r s (aqu es s0 = 0).La cantidad conservada ser entonces

@L

@ _qr= cte:

Por supuesto, que L no vare ante cambios arbitrarios de qr signica que esindependiente de esta coordenada, @L=@qr = 0, por lo que las ecuacionesde Lagrange nos dan inmediatamente la misma informacin (el teorema deNoether es, por supuesto, mucho ms general).La derivada de L respecto de una velocidad generalizada @L=@ _qr se de-

nomina impulso generalizado pr, y si el lagrangiano es independiente de unacoordenada generalizada se dice que sta es cclica. As, el impulso generaliza-do correspondiente a una coordenada cclica es constante durante la evolucindel sistema.Finalmente calculemos la derivada temporal total de L:

dL

dt @L

@t+

nXk=1

@L

@qk_qk +

@L

@ _qk

d _qkdt

;


que, usando@L

@ _qk

d _qkdt=

d

dt

@L

@ _qk_qk

_qk d

dt

@L

@ _qk

;

reescribimos como

dL

dt @L

@t+

"nXk=1

@L

@qk ddt

@L

@ _qk

#_qk +

d

dt

nXk=1

@L

@ _qk_qk

!;

y, usando las ecuaciones de Lagrange, (y escribiendo pk por @L=@ _qk) tenemos

dL

dt @L

@t+d

dt

nXk=1

pk _qk

!;

por lo que que si L no depende explcitamente del tiempo, @L=@t = 0, resulta

d

dt

nXk=1

pk _qk L!= 0:

As, la magnitud entre parntesis es constante durante la evolucin del sis-tema, y se identica con la energa de ste,

E =nXk=1

pk _qk L: (2.38)

Notemos que si para tal sistema es V (q1; :::; qn) y

T =1

2

Xi;j

fij (q1; :::; qn) _qi _qj;

entonces es inmediato ver que (2.38) corresponde a E = T + V , la energamecnica; pero si, por ejemplo, T no fuese bilineal en las velocidades general-izadas, la energa conservada no corresponde a la suma de la energas cinticay potencial.

2.5.1. Teorema de Noether

Veamos ahora la forma ms general del teorema de Noether. El punto esque la invarianza de L es a veces una condicin muy restrictiva. De hecho, unsistema mecnico posee tal o cual simetra si las ecuaciones de movimiento latienen, para lo que basta que la accin sea invariante, aunque el lagrangianono lo sea (la inversa no es cierta por la posibilidad de las transformaciones de


gauge vistas arriba (ver nal de este punto)). Adems, para generalizar anms el tipo de transformacin, permitamos que se efecte una transformacincontinua a la variable de integracin de la accin, esto es, al tiempo t, de laforma

t = f0 (q01; :::; q

0n; s; t

0) ;

tal que para s = s0 es f0 = t0, y escribimos la transformacin de las coorde-nadas en forma anloga a las (2.34)

qk = fk (q01; :::; q

0n; s; t

0) :

Como hicimos antes veamos cmo se altera la accin por un cambio inntes-imal s en el entorno de s = s0, de manera que

t = t0 + 0s; qk = q0k + ks;

donde se han denido

0 @f0@s

s=s0

; k @fk@s

s=s0

;

en las que, al estar trabajando a primer orden en s, sus argumentos se hantomado como los qk y t (en lugar de los q0k y t

0), por lo que podemos escribiren forma totalmente explcita la transformacin inversa (sta es una ventajade las transformaciones innitesimales)

t0 = t 0 (q1; :::; qn; t) s; q0k = qk k (q1; :::; qn; t) s; (2.39)Debe tenerse cuidado con las velocidades transformadas, ya que stas son

derivadas de las q0k respecto de t0 (y no de t), por lo que podemos calcular,

usando las (2.39) (evaluando todo a primer orden en s),

_q0k =dq0kdt0

=dq0kdt

1

dt0=dt=_qk _ks1 _0s

'_qk _ks

1 + _0s

' _qk +

_qk _0 _k

s: (2.40)

Por otro lado, la accin transformada se escribe en general

S 0 =Z t02t01

eL (q01; _q01; :::; q0n; _q0n; t0) dt0;en la que los lmites de integracin t01 y t

02 son los que corresponden a t1 y

t2 en las variables originales. De esta manera, en el cambio innitesimal decoordenadas se induce un cambio innitesimal de la accin dado por

S = S 0 S =Z t02t01

eL (q01; _q01; :::; q0n; _q0n; t0) dt0 Z t2t1

L (q1; _q1; :::; qn; _qn; t) dt:

(2.41)


Usando las (2.39) y (2.40) podemos escribir, desarrollando eL a orden uno ens en el entorno de s = s0,

eL = L+ @L@t(0s) +

nXk=1

@L

@qk(ks) + @L

@ _qk

_qk _0 _k

s

L+ L;

(2.42)y, adems,

dt0 =1 _0s

dt;

con lo que (2.41) se reescribe a primer orden en s (los lmites de integracinhan vuelto a ser t1 y t2 porque la integracin es en la variable t)

S =

Z t2t1

(L+ L)1 _0s

dt

Z t2t1

Ldt =

Z t2t1

L L _0s

dt; (2.43)

con el L denido en (2.42). En este punto integramos por partes el segundotrmino del integrando

s

Z t2t1

L _0dt = sL0jt2t1 sZ t2t1

0dL

dtdt;

donde, por supuesto, es

dL

dt=@L

@t+

nXk=1

@L

@qk_qk +

@L

@ _qk

d

dt_qk

:

Con esto, los pasos a seguir son directos y se dejan como ejercicio; se requiereusar la expresin de L dada en (2.42), integrar por partes algunos trminosy usar las ecuaciones de Lagrange, para poder nalmente escribir a S entrminos de slo expresiones evaluadas en los extremos de integracin

S = s

" nXk=1

@L

@ _qk_qk L

!0

nXk=1

@L

@ _qkk

#t2

t1

: (2.44)

Si tenemos entonces la informacin adicional que la accin es invariante antela transformacin, S = 0, el tmino entre corchetes debe valer lo mismo en t1y en t2, o sea, debe ser constante ya que t1 y t2 son arbitrarios. As obtenemosuna constante de movimiento dada por

C =

nXk=1

@L

@ _qk_qk L

!0

nXk=1

@L

@ _qkk: (2.45)


Ntese que si no hacemos ningn cambio en t, con lo que la invarianza deS equivale a la de L, es 0 = 0 y se reobtiene la (2.37). Si no hacemos cambiosde las coordenadas (o sea k = 0) y la accin no vara ante una translacintemporal t0 = t + s (lo que requiere que L no dependa de t), es 0 = 1y se recupera la constancia de la energa (2.38). Sin embargo, ms general-mente la accin puede ser invariante ante transformaciones combinadas delas coordenadas y del tiempo, en cuyo caso la utilidad de (2.45) es enorme.Una versin ms completa del teorema de Noether involucra directamente

la invarianza de las ecuaciones de movimiento mismas, lo que implica que laaccin S 0 diere de la S por slo una transformacin de gauge. El cambioinnitesimal de la accin ser entonces, S = " g (q1; :::; qn; t)jt2t1, con g unafuncin explcita de las coordenadas y el tiempo por lo que, usando (2.44),es (hacemos ahora " = s, ya que cualquier diferencia puede absorberse enla denicin de la funcin g (q1; :::; qn; t))

nXk=1

@L

@ _qk_qk L

!0

nXk=1

@L

@ _qkk g = cte: (2.46)

2.6. Accin como funcin de las qs

Mencionemos nalmente una interpretacin adicional de la accin queser til ms adelante. Sabemos que la accin denida por (2.30) fue denidaentre tiempos jos, y la nica dependencia libre es entonces respecto de lasfunciones qi (t), y decimos por esto que es una funcional de las qi. Podemosalternativamente denirla como

S =

Z tt0

L (q1; _q1; :::; qn; _qn; t0) dt0;

donde t0 es un tiempo jo en el que las qi tienen tambin valores jos. Ademsimponemos que las qi (t0) son las soluciones de las ecuaciones de movimiento,con valor inicial qi (t0) y valor nal qi (t). De esta manera S ser unafuncin de t y de las qi (t) (stas no ests jadas porque en t0 slo se danlos valores de las qi, pero no los de sus derivadas; la trayectoria real estentonces denida por los posibles valores nales qi (t)). De esta manera, simantenemos jo t y variamos los valores nales qi (t) (con lo que variaremos


las trayectorias) estaremos haciendo variaciones de S de la forma

S =

Z tt0

Xi

@L

@qiqi +

@L

@ _qi _qi

dt0

=

Z tt0

Xi

@L

@qiqi +

d

dt

@L

@ _qiqi

ddt

@L

@ _qi

qi

dt0

=Xi

@L

@ _qiqi =

Xi

piqi;

donde para pasar al ltimo rengln se us que las qi satisfacen las ecuacionesde movimiento, y que las variaciones de las qi son nulas en t0, donde estnjados sus valores. Deducimos as que

@S

@qi= pi: (2.47)

Por otro lado, si derivamos S respecto de t

dS

dt= L =

@S

@t+Xi

@S

@qi_qi;

de donde, usando (2.47) y (2.38),

@S

@t= L

Xi

pi _qi = E: (2.48)

Captulo 3

Ecuaciones cannicas deHamilton

La ecuaciones de Lagrange pueden ser transformadas en un sistema deecuaciones de primer orden en las derivadas temporales. Para esto analicemosuna transformacin muy importante descubierta por Legendre; comencemoscon una funcin de n variables independientes

F = F (u1; u2; :::; un) ;

y consideremos la transformacin desde las variables uk a nuevas variablesvk denidas por las derivadas de F

vk =@F

@uk: (3.1)

Sabemos del anlisis matemtico que para que las n variables vk sean in-dependientes entre s el Hessiano de la transformacin debe ser distinto decero; el Hessiano es el determinante de la matriz de n n formada por lasderivadas @vi=@uj; o sea

det

@2F

@ui@uj

6= 0: (3.2)

Si se cumple (3.2) las (3.1) pueden ser resueltas para hallar las us en funcinde las vs, con lo cual podemos denir una nueva funcin G de las n variablesvk como

G nXk=1

ukvk F: (3.3)

34

CAPTULO 3. ECUACIONES CANNICAS DE HAMILTON 35

Si calculamos el diferencial de G tenemos

dG =

nXk=1

ukdvk + vkduk @F

@ukduk

=

nXk=1

ukdvk;

donde se us la propia denicin (3.1) para cancelar los ltimos dos trminosde la sumatoria. Vemos entonces que

uk =@G

@vk; (3.4)

que al comparar con (3.1) nos indica la notable simetra (o dualidad) de latransformacin; dadas las variables uk y la F podemos pasar a las vk, y destas a las uk se puede volver con una transformacin equivalente a travs dela G.Si en la F tuviramos otras m variables wj que no entran en la transfor-

macin (variables pasivas)

F = F (u1; u2; :::; un; w1; w2; :::; wm) ;

las vk y la G se denen como antes, pero al calcular dG,

dG =nXk=1

ukdvk + vkduk @F

@ukduk

mXj=1

@F

@wjdwj

=nXk=1

ukdvk mXj=1

@F

@wjdwj;

de donde resulta, adems de (3.4),

@G

@wj= @F

@wj: (3.5)

La idea es aplicar una transformacin de Legendre tomando como vari-ables uk a las velocidades generalizadas _qk, como variables pasivas a las qk y altiempo t, y como funcin F al lagrangiano L. As, se denen las equivalentesde las vk, de (3.1),

pk =@L

@ _qk;

que son los impulsos pk. Como funcin G, de (3.3), se dene a la funcinhamiltoniana H (o hamiltoniano)

H =nXk=1

_qkpk L; (3.6)


de la que tenemos entonces, de (3.4),

_qk =@H

@pk; (3.7)

mientras que de las (3.5) es

@H

@qk= @L

@qk; (3.8)

y@H

@t= @L

@t: (3.9)

Si usamos las ecuaciones de Lagrange podemos escribir las (3.8) como

@H

@qk= d

dt

@L

@ _qk

= _pk;

que, junto con las (3.7), nos da un sistema de ecuaciones de primer ordenpara las 2n variables qk y pk, conocido como sistema de ecuaciones cannicaso de Hamilton, que reescribimos

_qk =@H

@pk; _pk = @H

@qk; (3.10)

en las que el hamiltoniano se calcula del lagrangiano a travs de la (3.6), luegode reemplazar las _qk en trminos de las pk (y de las qk), lo que es siempreposible si se cumple la condicin (3.2), que reescribimos en trminos de lasvariables de inters,

det

@2L

@ _qi@ _qj

6= 0:

Vemos de (3.9) que si el lagrangiano no depende explcitamente de ttampoco lo hace H. Recordemos que en tal caso se conserva justamente lacantidad que hemos denido como H, que identicamos en tal caso con laenerga del sistema E.Para concluir notemos que la accin S puede ser escrita, de (3.6), como

S =

Z t2t1

Ldt =

Z t2t1

nXk=1

pk _qk H!dt; (3.11)

en la que si hacemos una variacin arbitraria de las funciones pk (t) obtenemos

S =

Z t2t1

nXk=1

_qkpk @H@pk

pk

!dt = 0;


en virtud de las ecuaciones de la transformacin (3.7). Vemos entonces queuna variacin arbitraria de las pk no tiene efecto sobre S. De esta manera,podemos determinar las ecuaciones de Hamilton (3.10) al extremar la accinS (escrita como en la segunda igualdad de (3.11)) con variaciones arbitrariase independientes de las qk (t) y las pk (t). Si hacemos esto tenemos

S =

Z t2t1

nXk=1

pk _qk + _qkpk @H

@qkqk @H

@pkpk

dt;

que al integrar por partes, de la manera usual, el primer tmino entre parn-tesis (y usar que las variaciones son cero en los extremos) da

S =

Z t2t1

nXk=1

_pk @H

@qk

qk +

_qk @H

@pk

pk

dt;

de donde las ecuaciones de Hamilton resultan inmediatamente al pedir S =0.Nomenclatura: El espacio generado por las 2n variables qk, pk se de-

nomina espacio de fases del sistema, y se dice, para cada valor de k, que qky pk son variables conjugadas entre s.Nota histrica: Hamilton (1805-1865) public su trabajo On a General

Method in Dynamics en 1834, en el que deduce las ecuaciones presentadasaqu siguiendo un mtodo diferente, a travs de lo que l denomin funcinprincipal (ver ltimo punto de estos apuntes).

3.1. Transformaciones cannicas y corchetesde Poisson

Vimos que las transformaciones de punto no cambian la forma de lasecuaciones de Lagrange. Queremos ver ahora qu tipo de transformacioneshace lo propio con las ecuaciones de Hamilton. Si de las variables (qk; pk), enlas que el hamiltoniano es H, cambiamos a las variables (Qk; Pk), en las queel hamiltonano pasa a ser eH, la cuestin es cules transformaciones llevan aque en las nuevas variables las ecuaciones sean

_Qk =@ eH@Pk

; _Pk = @eH

@Qk: (3.12)

Una forma conveniente de proceder es a travs del principio variacionalde Hamilton en la forma (3.11). Es claro que se obtendrn ecuaciones de la


forma (3.12) si al transformar a las nuevas variables se tiene

nXk=1

pk _qk H =nXk=1

Pk _Qk eH + dMdt

; (3.13)

donde hemos tenido en cuenta que el agregado de una derivada total deltiempo dM=dt no modica la variacin de la accin.Si multiplicamos (3.13) por dt y reordenamos tenemos

dM =

nXk=1

pkdqk nXk=1

PkdQk + eH H dt; (3.14)

que nos dice que

pk =@M

@qk; Pk = @M

@Qk; eH = H + @M

@t: (3.15)

De esta manera, para una funcin arbitraria M (q1; :::; qn; Q1; :::; Qn; t) elprimer grupo de ecuaciones en (3.15) nos permite despejar la expresin delas Qs en funcin de las qs y las ps, que al ser reemplazadas en el segundogrupo nos da la expresin de las Ps. La funcin M es denominada funcingeneratriz.Podemos fcimente determinar relaciones como las (3.15) para funciones

generatrices que dependan de otro par de grupos de variables efectuandouna transformacin de Legendre (vista en el punto anterior) de la siguientemanera. A ambos lados de (3.14) sumamos (o restamos) un diferencial exacto;por ejemplo,

dM + d

nXk=1

PkQk

!= dM +

nXk=1

PkdQk +nXk=1

QkdPk

=nXk=1

pkdqk +nXk=1

QkdPk + eH H dt;

de donde, llamando

M 0 =M +nXk=1

PkQk;

tenemos

pk =@M 0

@qk; Qk =

@M 0

@Pk; eH = H + @M 0

@t; (3.16)

que dene la transformacin en trminos de una funcin generatriz nuevaM 0 (q1; :::; qn; P1; :::; Pn).


Si a ambos lados de (3.14) restamos d (Pn

k=1 pkqk) obtenemos de manerasimilar

qk = @M00

@pk; Pk = @M

00

@Qk; eH = H + @M 00

@t; (3.17)

con

M 00 =M nXk=1

pkqk:

Finalmente si a ambos lados de (3.14) sumamos d [Pn

k=1 (PkQk pkqk)]tenemos

qk = @M000

@pk; Qk =

@M 000

@Pk; eH = H + @M 000

@t; (3.18)

con

M 000 =M +nXk=1

PkQk nXk=1

pkqk:

De esta manera, a travs de las funciones generatrices obtenemos las posi-bles transformaciones que preservan la forma de las ecuaciones de Hamil-ton. Estas transformaciones se denominan transformaciones cannicas. Estametodologa nos permite generar transformaciones cannicas al precio quedebemos resolver ecuaciones algebraicas, en general complicadas, para obten-er la forma explcita de la transformacin.

3.1.1. Transformaciones cannicas innitesimales

Consideremos ahora transformaciones cannicas innitesimales genricas

Qi = qi+i (q1; :::; qn; p1; :::; pn; t) ; Pi = pi+i (q1; :::; qn; p1; :::; pn; t) ; (3.19)

donde i y i son funciones innitesimales. En relacin con esto la funcingeneratiz de la forma (3.16) es especialmente importante pues, entre todaslas posibles, contiene la transformacin identidad Qi = qi, Pi = pi, que esgenerada por

M 0 =nXk=1

qkPk:

La transformacin cannica innitesimal (3.19) ser entonces generada poruna funcin de la forma

M 0 =nXk=1

qkPk +W (q1; :::; qn; P1; :::; Pn; t) ;


con W una funcin innitesimal que, por (3.16), nos da

Qi = qi +@W

@Pi; pi = Pi +

@W

@qi;

de donde, comparando con (3.19), podemos identicar

i =@W

@Pi; i =

@W

@qi:

Por otro lado, como Pi diere innitesimalmente de pi yW es ya innitesimal,puede reemplazarse en W a Pi por pi y escribir entonces la transformacinininitesimal cannica general en forma explcita como

Qi = qi +@W

@pi; Pi = pi @W

@qi: (3.20)

Un punto importante es que si se toma W = Hdt, entonces

Qi = qi +@H

@pidt = qi + _qidt;

Pi = pi @H@qi

dt = pi + _pidt;

que nos dice que las variables Qi y Pi son en este caso los valores de qi y pievolucionados en un dt. De esta manera, podemos interpretar la evolucintemporal como una transformacin cannica generada por el hamiltonianomismo.

3.1.2. Teorema de Liouville

Consideremos un dado volumen en el espacio de fases

V =

ZU

dq1:::dqndp1:::dpn;

determinado por el conjunto de puntos contenidos en una regin U del mismo.Si tomamos cada conjunto de puntos (q1; :::; qn; p1; :::; pn) dentro de U comolas condiciones iniciales del movimiento de un sistema mecnico de hamilto-niano H, podemos preguntarnos cmo evoluciona este volumen al transcurrirel tiempo. En un dt los puntos dentro de U evolucionan y llenan otra reginU 0 de volumen

V 0 =ZU 0dq01:::dq

0ndp

01:::dp

0n;


donde las coordenadas de cada punto han evolucionado de acuerdo a

q0i = qi + _qidt = qi +@H

@pidt; (3.21a)

p0i = pi + _pidt = pi @H

@qidt; (3.21b)

que nos permite determinar el volumen V 0 a travs del jacobiano de la trans-formacin (3.21)

V 0 =ZU 0dq01:::dq

0ndp

01:::dp

0n =

ZU

J dq1:::dqndp1:::dpn; (3.22)

con el jacobiano dado por

J =@ (q01:::q

0n p

01:::p

0n)

@ (q1:::qn p1:::pn)= det

@X 0i@Xj

;

donde hemos denotado porX 0i yXi al conjunto (ordenado) de las coordenadas(q01; :::; q

0n; p

01; :::; p

0n) y (q1; :::; qn; p1; :::; pn) respectivamente, con 1 i 2n.

Con esta notacin podemos reescribir las (3.21) como

X 0i = Xi + hidt;

donde hi es el conjunto ordenado de valores@H

@p1; :::;

@H

@pn;@H

@q1; :::;@H

@qn

;

con lo cual

J = det

ij +

@hi@Xj

dt

;

donde ij es la delta de Kronecker, que vale uno si i = j, y cero si i 6= j.Si usamos ahora la relacin general (" es un factor innitesimal y Aij unamatriz cualquiera)

det (ij + "Aij) = 1 + " Traza (Aij) +O"2;

podemos escribir, a orden uno en dt,

J = 1 + dt Traza

@hi@Xj

= 1 + dt

2nXi=1

@hi@Xi

:

Pero es claro de las deniciones de las hi y Xi queP@hi=@Xi = 0, con lo

cual J = 1 y resulta entonces de (3.22) que V 0 = V . En otras palabras, el


volumen de una regin cualquiera del espacio de fases se conserva durantela evolucin de un sistema mecnico regido por una funcin de Hamilton.ste es el teorema de Liouville, de gran importancia en mecnica estadsticay teora de Caos.Notemos que de igual manera podemos deducir que una transformacin

cannica innitesimal arbitraria (3.20) preserva el volumen de una regincualquiera del espacio de fases (usando W en lugar de Hdt). Si pensamosadems en una sucesin de transformaciones innitesimales podemos ver queel volumen es preservado tambin por transformaciones cannicas nitas, quees una propiedad importante de stas.

3.1.3. Corchetes de Poisson

Pasemos ahora a considerar los denominados corchetes de Poisson. Sedene un corchete de Poisson de dos magnitudes f (q1; :::; qn; p1; :::; pn; t) yg (q1; :::; qn; p1; :::; pn; t) como

ff; gg nXk=1

@f

@qk

@g

@pk @f@pk

@g

@qk

= fg; fg : (3.23)

Veamos algunas propiedades importantes de estos corchetes. Es inmediatode la denicin que se tiene

fqi; qjg = fpi; pjg = 0; fqi; pjg = ij; (3.24)

Por otro lado, tambin es fcil ver que

fqi; fg = @f@pi

; fpi; fg = @f@qi

: (3.25)

Otras relaciones muy tiles que tambin se deducen de la sola denicin(3.23) son

ff1 + f2; gg = ff1; gg+ ff2; gg ;ff1f2; gg = f1 ff2; gg+ f2 ff1; gg ;@

@tff; gg =

@f

@t; g

+

f;@g

@t

;

cuya deduccin es inmediata, y la importante identidad de Jacobi entre tresfunciones cualesquiera

ff; fg; hgg+ fg; fh; fgg+ fh; ff; ggg = 0; (3.26)


cuya comprobacin puede hacerse por el siguiente argumento. Es fcil con-vencerse de que si se desarrollla (3.26) usando la denicin de los corchetesse tiene una suma de trminos, todos los cuales contienen alguna derivadasegunda de alguna de las funciones f , g, h. Sin embargo, si se consideran lostrminos que contienen derivadas segundas de slo una dada funcin, dig-amos f , se comprueba fcilmente que la suma de todos stos se anula. Comolo mismo pasa obviamente con cualquiera de las otras dos funciones, la sumade todos los trminos debe anularse, con lo que se comprueba la identidad.Veamos entonces los trminos que contienen derivadas segundas de f ; stosprovienen claramente de slo los dos ltimos trminos de (3.26), los cualespodemos desarrollar usando la propiedad de distribucin de la suma como

fg; fh; fgg =nXk=1

g;@h

@qk

@f

@pk

nXk=1

g;@h

@pk

@f

@qk

;

fh; ff; ggg =nXk=1

h;@f

@qk

@g

@pk

nXk=1

h;@f

@pk

@g

@qk

;

de los cuales los que contienen derivadas segundas de f son slo (por propiedadde distribucin del producto)

nXk=1

g;@f

@pk

@h

@qk

nXk=1

g;@f

@qk

@h

@pk;

nXk=1

h;@f

@qk

@g

@pk

nXk=1

h;@f

@pk

@g

@qk;

la suma de los cuales se ve fcilmente que se anula, con lo que probamos laidentidad.Consideremos ahora la derivada temporal de una funcin cualquiera f ,

que se expresa como

df

dt=

@f

@t+

nXk=1

@f

@qk_qk +

@f

@pk_pk

=

@f

@t+

nXk=1

@f

@qk

@H

@pk @f@pk

@H

@qk

=

@f

@t+ ff;Hg ; (3.27)

donde para pasar al segundo rengln se han usado las ecuaciones de Hamilton.


De esta manera, si la magnitud f es constante de movimiento del sistema(df=dt = 0) y, adems, no depende explctamente del tiempo (@f=@t = 0),entonces su corchete de Poisson con H es nulo

ff;Hg = 0;

que nos proporciona una manera de vericar si una funcin no dependiente enforma explcita del tiempo es constante de movimiento. Adems, un teoremadebido a Poisson nos dice que si dos magnitudes f y g son constantes demovimiento su corchete de Poisson ff; gg tambin lo es; lo que a veces permiteencontrar nuevas constantes de movimiento. La demostracin para el casoen que f y g no dependen explcitamente del tiempo es sencilla; usando laidentidad de Jacobi (3.26), con el hamiltoniano H en lugar de h, se tiene

ff; fg;Hgg+ fg; fH; fgg+ fH; ff; ggg = 0;

dado que por hiptesis ff;Hg = fg;Hg = 0, resulta inmediatamente quefH; ff; ggg = 0.Si f y/o g dependen explcitamente del tiempo basta calcular la derivada

total de ff; gg:d

dtff; gg = @

@tff; gg+ fff; gg ; Hg

=

@f

@t; g

+

f;@g

@t

+ fff;Hg ; gg+ ff; fg;Hgg

=

df

dt; g

+

f;dg

dt

;

donde para pasar al segundo rengln se us la identidad de Jacobi (3.26) ypropiedades anteriores. Como por hiptesis df=dt = dg=dt = 0, se prueba elteorema.Finalmente, veamos que los corchetes de Poisson no dependen de las vari-

ables usadas para calcularlos, siempre que estas variables correspondan atransformaciones cannicas de unas a otras; en otras palabras, los corchetesson invariantes ante transformaciones cannicas. Si llamamos,

ff; ggq;p =nXk=1

@f

@qk

@g

@pk @f@pk

@g

@qk

;

ff; ggQ;P =nXk=1

@f

@Qk

@g

@Pk @f@Pk

@g

@Qk

;


entonces ff; ggq;p = ff; ggQ;P si la transformacin Qk (q1; :::; qn; p1; :::; pn; t),Pk (q1; :::; qn; p1; :::; pn; t) es cannica. Para ver esto calculemos

fQi; ggq;p =nXk=1

@Qi@qk

@g

@pk @Qi@pk

@g

@qk

:

Si consideramos la transformacin cannica generada por una M 0 (q; P ) ten-emos

@Qi@qk

=@

@qk

@M 0

@Pi=

@

@Pi

@M 0

@qk=@pk@Pi

;

mientras que si la consideramos generada por una M 000 (p; P ) es

@Qi@pk

=@

@pk

@M 000

@Pi=

@

@Pi

@M 000

@pk= @qk

@Pi;

con lo que obtenemos

fQi; ggq;p =nXk=1

@pk@Pi

@g

@pk+@qk@Pi

@g

@qk

=

@g

@Pi= fQi; ggQ;P ;

donde para la ltima igualdad se us (3.25). Anlogamente se prueba que

fPi; ggq;p = fPi; ggQ;P :Ahora bien, en el entorno de cualquier punto (Q01; :::; Q

0n; P

01 ; :::; P

0n) del

espacio de fases podemos desarrollar a una funcin f de estas variables aprimer orden (no hace falta ms pues slo se requieren derivadas primerasen los corchetes) como

f (Q;P ) = fQ0; P 0

+

nXk=1

@f

@Qk

Qk Q0k

+

nXk=1

@f

@Pk

Pk P 0k

:

Evaluando ff; ggq;p en (Q01; :::; Q0n; P 01 ; :::; P 0n) con este desarrollo de f , y us-ando propiedades bsicas de los corchetes, y las relaciones recin deducidas,obtenemos nalmente

ff; ggq;p =nXk=1

@f

@QkfQk; ggq;p +

nXk=1

@f

@PkfPk; ggq;p

=nXk=1

@f

@QkfQk; ggQ;P +

nXk=1

@f

@PkfPk; ggQ;P

=

nXk=1

@f

@Qk

@g

@Pk

nXk=1

@f

@Pk

@g

@Qk= ff; ggQ;P ; (3.28)


que es lo que queramos probar.Procediendo a la inversa, si se verica (3.28) para cualquier par de fun-

ciones, basta reemplazar g con H y f con Qk o Pk para concluir que latransformacin de las qk, pk a las Qk, Pk es cannica. De hecho, basta convericarlo para slo las Qk y Pk, de las que se deduce (como se hizo para la(3.28)) que vale para cualquier f y g. As, de las (3.24), si se cumple

fQi; Qjgq;p = fPi; Pjgq;p = 0; fQi; Pjgq;p = ij;

la transformacin es cannica, que es un mtodo prctico de determinar siuna transformacin dada tiene esta propiedad.Finalmente, consideremos el cambio de una funcin ante una transforma-

cin cannica innitesimal (ver (3.20))

f =nXk=1

@f

@qkqk +

@f

@pkpk

=

nXk=1

@f

@qk

@W

@pk @f@pk

@W

@qk

= ff;Wg :

En particular, si se toma a f como el hamiltoniano,

H = fH;Wg :

Vemos entonces que si el hamiltoniano es invariante frente a la transforma-cin cannica innitesimal debe ser fH;Wg = 0; pero si W no dependeexplcitamente de t esto signica que W es constante de movimiento. Enotras palabras, analizando slo las propiedades de simetra de H pueden en-contrarse las constantes de movimiento del sistema considerado.

Captulo 4

Ecuacin de Hamilton-Jacobi

Las ecuaciones de Lagrange para un sistema descripto por n coordenadasgeneralizadas son n ecuaciones de segundo orden de derivacin en el tiem-po. El mismo sistema puede ser estudiado de acuerdo a Hamilton con 2necuaciones de primer orden. Existe una notable alternativa, la descripcin deHamilton y Jacobi, que se reduce a una nica ecuacin en derivadas parciales.Esto puede verse como sigue.Si se pudiera encontrar una transformacin cannica tal que el hamilto-

niano eH expresado en las nuevas variables Qk, Pk fuese una constante (queconviene, sin prdida de generalidad, tomar igual a cero), las ecuaciones deHamilton seran simplemente

_Qk =@ eH@Pk

= 0; _Pk = @eH

@Qk= 0;

con la solucin inmediata

Qk = k = cte; Pk = k = cte: (4.1)

De las relaciones (3.15) tenemos que la funcin generatrizM (q1; :::; qn; Q1; :::; Qn; t)que genera la transformacin buscada debe cumplir (tomamos eH = 0)

H (q1; :::; qn; p1; :::; pn) +@M

@t= 0:

Antes de continuar veamos que, de la ecuacin (3.13), teniendo en cuentaque eH = 0 y _Qk = 0, obtenemos

dM

dt=

nXk=1

pk _qk H;

47

CAPTULO 4. ECUACIN DE HAMILTON-JACOBI 48

de donde (consideramos, sin prdida de generalidad, que M (t0) = 0, con t0jo pero arbitrario)

M (t) =

Z tt0

nXk=1

pk _qk H!dt; (4.2)

que, al comparar con (3.11), nos indica que M no es otra cosa que la accinS del sistema, considerada como funcin del lmite superior de integracin, yen la que las qk (t) y pk (t) usadas en su evaluacin son las trayectorias realesdel sistema en el espacio de fases. De esta manera llamamos de aqu en msS a la funcin generatriz buscada. Con esto, si usamos adems (tambin de(3.15) o (2.47)) que

pk =@S

@qk; (4.3)

la (4.2) se reescribe como (vase la (2.48))

H

q1; :::; qn;

@S

@q1; :::;

@S

@qn

+@S

@t= 0: (4.4)

Esta ecuacin, denominada de Hamilton-Jacobi, resulta entonces ser unaecuacin diferencial para la la funcin generatriz S (q1; :::; qn; Q1; :::; Qn; t)que, por (4.1), es funcin de slo las qk y del tiempo t, con las Qk = k sloconstantes de integracin.Para resolver un problema de esta manera se procede entonces as:1) Se encuentra una solucin completa de la ecuacin (4.4); esto es, una

solucin que contenga n constantes de integracin k: S (q1; :::; qn; 1; :::; n; t).2) Usando, de (3.15) y (4.1), que @S=@Qk = Pk = k, derivamos par-

cialmente la solucin encontrada respecto de las constantes k y las igualamosa las constantes k:

@S

@k= k: (4.5)

3) Resolvemos las n ecuaciones (4.5) para hallar las qk en trminos de lasconstantes k, k y del tiempo t:

qk (1; :::; n; 1; :::; n; t) :

Con lo que se obtiene la solucin dinmica completa del problema ya quese encuentran las n coordenadas generalizadas como funciones explcitas deltiempo y de 2n constantes de integracin que permiten ajustar condicionesiniciales genricas.No existen mtodos generales para obtener soluciones completas de la

ecuacin de Hamilton-Jacobi; sin embargo, existen casos importantes en los


que es posible obtener una solucin completa de sta por el mtodo de sepa-racin de variables. Si consideramos hamiltonianos que no dependen explci-tamente del tiempo, sabemos que H = E, por lo que se propone

S (q1; :::; qn; 1; :::; n; t) = S0 (q1; :::; qn; 1; :::; n) E (1; :::; n) t; (4.6)donde hemos denido la accin reducida S0, que simplica la ecuacin deHamilton-Jacobi a

H

q1; :::; qn;

@S0@q1

; :::;@S0@qn

= E: (4.7)

Anlogamente, si H no depende de alguna coordenada (coordenada cclica),digamos q1, entonces se puede plantear

S (q1; :::; qn; 1; :::; n; t) = S0 (q2; :::; qn; 1; 2; :::; n; t) + 1q1;

que lleva a

H

q2; :::; qn; 1;

@S 0

@q2; :::;

@S 0

@qn

+@S 0

@t= 0

con una variable menos.Para coordenadas no cclicas la idea es proponer que la accin reducida

es de la forma

S0 = S1 (q1; 1; :::; n) + :::+ Sn (qn; 1; :::; n) ; (4.8)

y reemplazar en (4.7). La ecuacin resultante debe poder separarse en gruposque dependan de slo una coordenada cada uno. Como la suma de estosgrupos (o en general una combinacin ms complicada de stos) es igual a laconstante E para cualquier combinacin de las variables qk, esto es posibleslo si cada grupo es constante. As, igualamos el grupo que depende de cadaqk a la constante k, para escribir, por ejemplo, E = 1 + 2 + :::+ n (stees el caso ms sencillo; en general se obtiene una forma ms complicada).Por otro lado, cada grupo igualado al k correspondiente nos provee de unaecuacin diferencial ordinaria de primer orden, que puede entonces resolversepor cuadraturas. Ntese que las constantes de integracin (las k) provienende la separacin de variables y no de constantes de integracin de estascuadraturas, que no son esenciales ya que suman a una constante aditiva aS.

4.1. Variables ngulo-accin

Supongamos ahora que tenemos un sistema separable con accin del tipo(4.6), con S0 de la forma (4.8). Cada pk depende de slo su variable conjugada


qk, ya que pk = @S=@qk = @Sk=@qk. Adems, ocurre muy frecuentemente queel rango de variacin de cada par (qk, pk) es limitado; tpicamente porque qkcorresponde a un ngulo.Tambin ocurre habitualmente por lo siguiente; alser H cuadrtico en los impulsos, la condicin H = E junto a la condicin deseparabilidad de la ecuacin de Hamilton-Jacobi lleva a relaciones de la formap2k+f (qk) = cte, donde f es una funcin de slo qk; esta ecuacin cuadrticageneralmente tiene soluciones reales slo si qk vara dentro de ciertos rangos.Por la razn que fuera, al ser el rango limitado, en su evolucin temporal

cada par (qk, pk) repite su movimiento. Esto no implica que el movimientosea peridico ya que cuando qk y pk vuelven a tomar un valor dado, susvelocidades _qk y _pk son en general distintas porque stas dependen de losvalores de todas las otras variables (considere las ecuaciones de Hamilton),que no retoman sus valores en el mismo instante que el par considerado (salvocasos muy especiales).Suponemos entonces que todos los pares de variables conjugadas tienen

movimientos cclicos, lo que nos permite calcular las integrales

Jk =

Ipkdqk; (4.9)

para un ciclo completo de cada par de variables conjugadas. Pero como pk =@Sk (qk; 1; :::; n) =@qk, resulta

Jk = Jk (1; :::; n) ;

las cuales uno puede invertir para determinar

k = k (J1; :::; Jn) : (4.10)

que al reemplazarse en (4.8) nos da (usamos el mismo smbolo para la funcinS0, si bien la forma funcional ha cambiado)

S0 (q1; :::; qn; J1; :::; Jn) (4.11)

La idea es ahora tomar a la accin reducida (4.11) como una nueva funcingeneratriz; tenemos entonces que los Jk son las coordenadas Qk de la nuevatransformacin cannica, cuyas variables conjugadas Pk estn dadas por

Pk = @S0@Jk

;

a las que conviene denominar k=2, de manera que

k = 2@S0@Jk

: (4.12)


Como @S0=@t = 0, el nuevo hamiltoniano coincide con el original y, comoH = E, al reemplazar las (4.10) en la expresin de E (ver (4.6)) tenemos

eH = E (J1; :::; Jn) ; (4.13)de donde, consistentemente con lo hecho, las Jk resultan ser constantes,

_Jk = _Qk =@ eH@Pk

= 2 @E@k

= 0

mientras que las ecuaciones de evolucin de las k son

_k = 2 _Pk = 2 @eH

@Qk= 2

@E

@Jk= cte:

Si llamamos !k a estas constantes,

!k 2 @E@Jk

; (4.14)

las nuevas impulsiones tienen la ecuacin de movimiento

k (t) = k (0) + !kt: (4.15)

Pra ver el signicado de estas variables consideremos cunto vara una deellas, digamos i, cuando una de las coordenadas qk realiza un ciclo completo,manteniendo a las dems quietas,

i =

I@i@qk

dqk = 2@

@Ji

I@S0@qk

dqk = 2@

@Ji

Ipkdqk = 2

@Jk@Ji

= 2ik;

(4.16)donde se usaron las deniciones (4.9) y (4.12). Tenemos entonces que cuandoqk describe un ciclo la variable k vara en 2 mientras que el resto de lasj no son afectadas. Las k son naturalmente llamadas variables de ngulo,y las Jk variables de accin (ya que tienen dimensiones de accin). Las Jk yk son tambin conocidas como variables de Delaunay, por ser el astrnomofrancs Delaunay (1816-1872) quien las introdujo en 1848 en su estudio delmovimiento de la luna.De su denicin (4.12) es

k = k (q1; :::; qn; J1; :::; Jn) ;

que podemos invertir para obtener la solucin

qk = qk (1; :::; n; J1; :::; Jn)


con k (t) dado por (4.15). El hecho que cuando cada k vara en 2 la vari-able qk correspondiente vuelve a tener el mismo valor, indica que las qk sonfunciones peridicas de las variables de ngulo y por lo tanto expresablescomo serie mltiple de Fourier de senos y cosenos de argumentos

N11 +N22 + :::+Nnn;

donde los Nk son enteros. Por las expresiones (4.15) las qk dependen entoncesdel tiempo como serie de Fourier de senos y cosenos de argumento

(N1!1 +N2!2 + :::+Nn!n) t; (4.17)

lo que nos dice que el movimiento ser peridico slo si todas las frecuen-cias angulares !k dadas por (4.14) estn relacionadas entre s por factoresracionales (de esa manera existen valores de t nitos en los que todos losargumentos de la forma (4.17) dieren de los correspondientes a un t dadoen un nmero entero de veces 2). Si alguna o varias frecuencias estn enrelaciones irracionales con las otras esto no se cumple nunca y el movimien-to no es estrictamente peridico. Por otro lado, como los irracionales puedenaproximarse con tanta precisin como se quiera por nmeros racionales, dadoun t cualquiera existirn otros instantes en los que el sistema se acerque tantocomo uno quiera al estado que tena en t. De esta manera, al transcurrir eltiempo el sistema va llenandotodo el espacio de fases a su disposicin, loque no ocurre cuando el movimiento es estrictamente peridico.Es notable que esta informacin pueda ser obtenida por simples cuadrat-

uras (las integraciones en (4.9) para el clculo de las Jk), reemplazos alge-braicos para obtener E (J1; :::; Jn) (4.13), y derivaciones (4.14) para obtenerlas frecuencias angulares !k. ste es el gran mrito del mtodo de Delaunay.Nota histrica: La posibilidad de una descripcin semejante a la pre-

sentada fue demostrada por Hamilton, quien en su obra de 1834 utiliz paraeste n la denominada funcin principal (por analoga con la funcin carac-terstica introducida por l mismo en el tratamiento de la ptica en su obraTheory of Systems of Rays de 1832). Sin embargo, la funcin principal debesatisfacer dos ecuaciones diferenciales, lo que complica su uso. Fue Jacobi en1836 quien simplic y a la vez extendi el mtodo de Hamilton al desarrollarla descripcin que lleva el nombre de ambos. Sin embargo, las bondades delmtodo hamiltoniano no fueron reconocidas por la mayora de los fsicos sinohasta que Delaunay introdujo en 1848 las variables de ngulo-accin.

4.2. Invariantes adiabticos

Una propiedad importante de las variables de accin Jk es que si algnparmetro del sistema vara muy lentamente (en tiempos largos comparados


con los perodos del movimiento a parmetro jo), las Jk perman

Apuntes de Mecánica Clásica. 2010. Fernando O. Minotti

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