2015

Rosa mara Estrella Montoya Francisco Muoz Apreza

APUNTES DE FUNDAMENTOS DE LGEBRA

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BIENVENIDA

Los apuntes de Fundamentos de lgebra te da la bienvenida a una

forma de aprender el lenguaje y los fundamentos de la ciencia

matemtica, en este caso la materia de Fundamentos de lgebra con

la confianza de que en cada una de sus lneas podrs encontrar una

forma comprensible de entender y asimilar los desarrollos lgicos

operativos que fundamentan sus postulados

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Introduccin

Todas las disciplinas del saber humano tienen que ser analizadas

desde la ptica del movimiento, en el caso particular de la ingeniera

el estudio del movimiento es fundamental, como lo es el lenguaje con

que los fenmenos se deben representar. Es precisamente la materia

de Fundamentos de lgebra la que nos va a posibilitar modelar

matemticamente, por un lado, materias de matemticas superiores

y obviamente las dems materias que integran el plan de estudios de

las ingenieras que requieren de su representacin de los escalares y

vectores, del lgebra de vectores, de matrices y determinantes y de

los sistemas de ecuaciones lineales para ser estudiadas y analizadas.

En el proceso enseanza aprendizaje el maestro y el alumno

necesita interrelacionarse a travs de un razonamiento riguroso,

analtico, lgico y crtico manejando un lenguaje riguroso para

modelar la naturaleza, en conclusin lo que el maestro va a ensear y

el alumno aprender ser precisamente este lenguaje sus fundamentos

y sus aplicaciones.

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Objetivo general

El alumno resolver problemas de lgebra aplicados a la ingeniera.

Objetivos particulares

El alumno resolver ejercicios que involucren nmeros

complejos usando operaciones bsicas de lgebra.

El alumno ser capaz de calcular las races y factorizar

polinomios.

El alumno aplicar las propiedades y operaciones de matrices y

determinantes para resolver problemas

El alumno utilizar los elementos de lgebra de vectores y sus

diferentes aplicaciones para resolver problemas.

El alumno emplear las propiedades de los espacios vectoriales

y las transformaciones en la aplicacin de la ingeniera.

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ndice

I .- Nmeros Complejos

II.- Sistema de Ecuaciones lineales

III.- matrices y determinantes

IV.- Vectores

V.- Introduccin a los espacios vectoriales y transformaciones

lineales.

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I.- Nmeros complejos

1 .- Introduccin.

a2.- historia y aplicaciones

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1.1.- Definicin de nmero complejo

8

1.2.- Representacin grfica de un nmero Complejo

8

1.3.- Operaciones entre Nmeros Complejos

9

1.4.- Ejemplos de (+ - multiplicacin y divisin con Nmeros

Complejos 9

1.5.- Definicin de un nmero Complejo

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1.6.- definicin del producto en forma polar de dos nmeros complejos

12

1.7.- definicin de potencia en forma polar de un nmero

12

1.8.- Potencias y Races de un nmero Complejo, frmula de Moivre.

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1.9.- Ejemplos de clculo de potencias y races en forma polar

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1.10.- Problemas propuestos 19

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a1 .- Introduccin.

Los nmeros complejos son una extensin de los nmeros reales,

cumplindose que . Los nmeros complejos representan todas

las races de los polinomios, a diferencia de los reales.

Los Nmeros complejos contienen a los nmeros reales y los

imaginarios puros y constituyen una de las construcciones tericas

ms importantes de la inteligencia humana. Los anlogos del clculo

diferencial e integral con nmeros complejos reciben el nombre de

variable compleja o anlisis complejo.

El objetivo del uso de los nmeros complejos se debe a la necesidad

de resolver problemas donde aparecen races negativas como 1

que en los nmeros reales no estn definidos, por lo que se ha creado

un sistema de los nmeros complejos C, que es el conjunto de todas

las parejas ordenadas (x, y) de nmeros reales con dos operaciones

binarias: la adicin + y la multiplicacin definidas como sigue:

),(),).(,(

),(),(),(

yuxvyvxuvuyx

vyuxvuyx

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a 1,2 .- Un poco de historia

Lucas Paciolo matemtico italiano Leonard Euler (1709 1783 ) matemtico ingles

Jean Robert Argand ( 1768 1822 ) Nicols Tartaglia ( 1499 1557)

Matemtico francs Matemtico italiano

http://www.google.com.mx/imgres?imgurl=http://2.bp.blogspot.com/_rOcNyG-DclM/RxLC-VR8l3I/AAAAAAAAAAo/ZRZ5jsi3jPQ/s1600-h/paciolistatua1.jpg&imgrefurl=http://renaissanceaccountant.blogspot.com/&h=427&w=320&tbnid=3TdSk83pCO5LoM:&zoom=1&docid=w3lzA7PVSyhJhM&ei=vYb2U6ndGqb58AGrpoFw&tbm=isch&ved=0CEcQMygZMBk&iact=rc&uact=3&dur=1984&page=2&start=21&ndsp=35http://www.google.com.mx/url?sa=i&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&docid=WiecK7jj6QKW7M&tbnid=iExaYbdNazEPUM:&ved=0CAgQjRw&url=http://www.s9.com/Biography/Argand-Jean-Robert&ei=_oj2U6uXMI_LsATFs4HQDg&psig=AFQjCNElp623Cnj320WZptDtKVs8cT0cfw&ust=1408752254842917http://www.google.com.mx/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&docid=mOnEQUncvHeoAM&tbnid=e-YvVy1svlHGjM:&ved=0CAUQjRw&url=http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Benjamin_Alvord_mathematician_-_Brady-Handy.jpg&ei=Q4j2U4nCL6ja8AGB6IGQAw&bvm=bv.73373277,d.b2U&psig=AFQjCNElrQTaUPTchZQw3LZbhBOabqBNrQ&ust=1408752057804444http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Imagen:Tartaglia.jpg

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El estudio de los nmeros complejos data desde los orgenes de la

historia de la humanidad ya como sociedad establecida en la India

cuando se les present el problema del clculo de la raz cuadrada de

un nmero negativo.

Pero no es sino hasta el siglo XVI cuando en Italia Paciolo, Crdan ,

Tartaglia y Bombelli inician el tratamiento formal de la aritmtica y el

lgebra de los nmeros complejos

Para el siglo XVII Leonard Euler ( 1709 a 1783 ) establece el

algoritmo

Y = = cos i sen

En el siglo XVIII El matemtico francs Argand ( 1768 1822) publica

el mtodo de representacin de los nmeros complejos en el plano.

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a 1, 3.- Aplicaciones

El trmino nmero complejo describe la suma de un nmero real y un

nmero imaginario (que es un mltiplo real de la unidad imaginaria,

que se indica con la letra i.

Los nmeros complejos se utilizan en todos los campos de las

matemticas, en muchos de la fsica (y notoriamente en la mecnica

cuntica) y en ingeniera, especialmente en la electrnica y las

telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas

electromagnticas y la corriente elctrica. Los nmeros complejos

son la herramienta de trabajo del lgebra ordinaria, llamada lgebra

de los nmeros complejos, as como de ramas de las matemticas

puras y aplicadas como variable compleja, aerodinmica y

electromagnetismo entre otras de gran importancia.

En matemticas, los nmeros constituyen un campo y, en general, se

consideran como puntos del plano: el plano complejo. La propiedad

ms importante que caracteriza a los nmeros complejos es el

teorema fundamental del lgebra, que afirma que cualquier ecuacin

algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas.

Los nmeros complejos se usan en ingeniera electrnica y en otros

campos para una descripcin adecuada de las seales peridicas

variables (ver Anlisis de Fourier). En una expresin del tipo

podemos pensar en como la amplitud y en como la fase de una

onda sinusoidal de una frecuencia dada. Cuando representamos una

corriente o un voltaje de corriente alterna (y por tanto con

comportamiento sinusoidal) como la parte real de una funcin de

variable compleja de la forma donde representa la

frecuencia angular y el nmero complejo z nos da la fase y la

amplitud, el tratamiento de todas las frmulas que rigen las

resistencias, capacidades e inductores pueden ser unificadas

introduciendo resistencias imaginarias para las dos ltimas (ver redes

elctricas). Ingenieros elctricos y fsicos usan la letra j para la

unidad imaginaria en vez de i que est tpicamente destinada a la

intensidad de corriente.

http://es.wikipedia.org/wiki/Electr%C3%B3nicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Telecomunicacioneshttp://es.wikipedia.org/wiki/Condensador_(el%C3%A9ctrico)

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1.1 Definicin de nmeros Complejos:

Definimos el nmero complejo z = a + bi donde a y b son nmeros

reales e i la parte imaginaria

En el plano complejo la parte real se encuentran en el eje de

coordenadas horizontal y la imaginaria en el eje vertical.

1.2 .- Representacin geomtrica de nmeros complejos.

Un nmero complejo se representa en forma binomial como:

Dos nmeros complejos son iguales z1=(x, y) y z2=(u, v) si x= u e y= v.

El conjugado de un nmero z es z y tiene la caracterstica de ser la

negativa de la parte imaginaria, por ejemplo: yixyxz ),( por lo

que yixyxz ),(

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1.3 Operaciones con nmeros Complejos

Sea