Apuntes de Estadistica
101
UNIVERSIDAD POLITECNICA SALESIANA FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRÓNICA PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA ING. WILLAM CAIZA
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APUNTES DE PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA
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UNIVERSIDAD POLITECNICA SALESIANA
FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRÓNICA
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
ING. WILLAM CAIZA
CAPÍTULO 1 Conjuntos e Inducción Matemática
1.1 CONJUNTOS
Un conjunto es la agrupación de ciertos objetos unidos por un criterio en común.
Ejemplo1:
𝐴 = 𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢 𝐴 = 𝑙𝑎𝑠 𝑣𝑜𝑐𝑎𝑙𝑒𝑠
𝐵 = 1
𝑥 / 𝑥 Є N, x < 5 𝐵 =
1
1,1
2,1
3,1
4
Los conjuntos se pueden definir por extensión y comprensión.
Un conjunto se define por extensión cuando se enumera cada uno de los
elementos del conjunto.
Un conjunto se define por comprensión cuando se describe la característica
que debe cumplir dicho conjunto.
Ejemplo2:
Dado el conjunto 𝐴 = x/xЄ R y x3 − x =0 , definido por comprensión, expréselo por
extensión
𝑥3 − 𝑥 = 0
𝑥 (𝑥2 − 1) = 0
𝑥 (𝑥 + 1)(𝑥 − 1) = 0
𝑥 = 0 𝑣 𝑥 + 1 = 0 𝑣 𝑥 − 1 = 0
𝑥 = 0 𝑣 𝑥 = −1 𝑣 𝑥 = 1
Ejemplo 3:
Dados los intervalos 𝐴 = [3,5] ; 𝐵 = [4,7] encontrar:
a) A ∪ B
b) A Ú B
3 4 5 7
a) A ∪ B = [3,7]
b) A Ú B = [3,4) ∪ (5,7]
1.2 OPERACIONES CON CONJUNTOS
Unión de conjuntos
Definición
𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑥/𝑥 ∈ 𝐴 𝜎 𝑥 ∈ 𝐵
Intersección de conjuntos
Definición
𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑥/𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 𝑥 ∈ 𝐵
Diferencia entre dos conjuntos
Definición
𝐴/𝐵 = 𝑥 / 𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 𝑥 𝑛𝑜 𝑒𝑠 ∈ 𝐵
Está formado por todas las x tal que x sea elemento de A y x no sea elemento de B
Ejemplo 4:
𝐴 = 1,3,5
𝐵 = 2,9
Encontrar:
𝐴/𝐵 = 1, 3, 5 𝐵/𝐴 = 2, 9
Complemento de un conjunto
El complemento de A, está formado por todos aquellos elementos que no pertenecen a
A, es decir: 𝐴𝐶 = 𝑈/𝐴
Diferencia Simétrica de dos conjuntos
𝐴 ∆ 𝐵 = (𝐴/𝐵) ∪ (𝐵/𝐴)
Dado los conjuntos A y B, el conjunto C diferencia simétrica está constituido por todos
los elementos del conjunto A que no pertenecen al conjunto B, unidos a todos los
elementos del conjunto B que no pertenecen al conjunto A, se llaman diferencia
simétrica de los conjuntos A y B.
Ejemplo 5:
𝑀 = 1, 3, 6, 8, 9 𝑁 = 2, 4, 6, 8
𝑀 ∆ 𝑁 = 1, 2, 3, 4, 9
𝑀/𝑁 =1, 3, 9 𝑁/𝑀 = 2, 4
1.3 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON CONJUNTOS
1) Idempotencia
𝐴 ∪ 𝐴 = 𝐴
𝐴 ∩ 𝐴 = 𝐴
2) Conmutativa
𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴
𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴
3) Asociativa
(𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶 = 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶)
(𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶 = 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)
4) Distributiva
𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)
𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶)
5) Identidad
𝐴 ∪ ∅ = 𝐴 𝐴 ∪ 𝑈 = 𝑈
𝐴 ∩ ∅ = ∅ 𝐴 ∩ 𝑈 = 𝐴
6) Complemento
𝐴 ∪ 𝐴𝐶 = 𝑈 (𝐴𝐶)𝐶= A ∅𝑐 = 𝑈
𝐴 ∩ 𝐴𝐶 = ∅ 𝑈𝑐 = ∅
7) De Morgan
(𝐴 ∪ 𝐵)𝐶 = 𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝐶
(𝐴 ∩ 𝐵)𝐶 = 𝐴𝐶 ∪ 𝐵𝐶
8) Diferencia
𝐴𝐵⁄ = A ∩ 𝐵𝐶
Ejemplo 6:
1) Demostrar que (A U B) \ C = ( A U B U C) \ C
Primera Forma
(A U B U C)\C Hipótesis
(A U B U C) ∩ C’ Definición de diferencia
((A U B) U C) ∩ C’ Asociativa
((A U B) ∩ C’) U (C ∩ C’) Distributiva
((A U B) ∩ C’) U ɸ Complemento
(A U B) ∩ C ‘ Identidad
(A U B)\C Diferencia
Segunda Forma
(A U B)\C Hipótesis
(A U B) ∩ C’ Definición de Diferencia
((A U B) ∩ C’) U ɸ Identidad
((A U B) ∩ C’) U (C ∩ C’) Complemento
((A U B) U C) ∩ C’ Distributiva
(A U B U C) ∩ C’ Asociativa
(A U B U C) \C* Diferencia
2) Demuestre que [(A U C)\B] U [(B U C)\A]=( A U B U C)\(A ∩ B )
(A U B U C)\(A ∩ B) Hipótesis
(A U B U C) ∩ (A ∩ B)’ Diferencia
(A U B U C) ∩ (A’ U B’) Ley de Morgan
[(A U B U C) ∩ A’] U [( A U B U C) ∩ B’] Distributiva
[(A U ( B U C)) ∩ A’]U [ (B U (A U C)) ∩ B’] Conmutativa, Asociativa
[(A ∩ A’) U ((B U C) ∩ A’)] U [ (B ∩ B’) U ((A U C) ∩ B’)] Distributiva
[ɸ U ((B U C) ∩ A’)] U [ɸ U ((A U C) ∩ B’)] Complemento
[(B U C) ∩ A’] U [(A U C) ∩ B’] Identidad
[(B U C)\ A] U [(A U C)\ B] Diferencia
[(A U C)\ B] U [(B U C)\ A] Conmutativa
3) Demuestre (A’∩ C) U (B ∩ B’)=[C\(A U B)] U [(B ∩ C)\(A ∩ B ∩ C)]
[C\(A U B)] U [(B ∩ C) \ (A ∩ B ∩ C)] Hipótesis
[C ∩ (A U B)’] U [(B ∩ C) ∩ (A ∩ B ∩ C)’] Diferencia
[C ∩ (A’ ∩ B’)] U [(B ∩ C) ∩ (A’ U B’ U C’)] Morgan
[(C ∩ A’) ∩ B’] U [(B ∩ C) ∩ (A’ U (B ∩ C)’] Conmutativa Morgan
[(A’ ∩ C’) ∩ B’] U [(B ∩ C) ∩ A’] U ɸ Complemento
[(A’ ∩ C) ∩ B’] U [A’ ∩ C] ∩ B] Identidad
(A’ ∩ C) U (B ∩ B’) Distributiva
EJERCICIOS PROPUESTOS. Tomados del Libro de Walpole R., Myers R., Myers
D.(1999). Probabilidad y estadística para ingenieros. (sexta edición).
1. Liste los elementos de cada uno de los espacios muestrales siguientes.
a) El conjunto de enteros entre 1 y 50 divisibles entre 8.
b) El conjunto S=𝑥| 𝑥2 + 4𝑦 − 5 = 0
2. Un experimento implica lanzar un par de dados, 1 verde y 1 rojo , y registra los
números que salen. Si x es igual al resultado en el dado verde e y es el resultado
en el dado rojo, describe el espacio muestral S.
a) Mediante la lista de los elemento (x,y)
b) Mediante el uso del método de la regla
3. Para el espacio muestral del ejercicio anterior.
a) Liste los elementos que corresponden al evento A de que la suma sea mayor a 8
b) Liste los elementos que corresponden al evento B de qeu ocurra un 2 en cualquiera
de los dos lados.
c) Liste los elementos qeu corresponden al evento C de que salga un número mayor
qeu 4 en el dado verde
d) Liste los elementos que corresponden al evento 𝐴 ∩ 𝐶
e) Liste los elementos que corresponden al evento 𝐵 ∩ 𝐶
f) Liste los elementos que corresponden al evento 𝐴 ∩ 𝐵
Construya un diagrama de Venn para ilustrar las intersecciones y uniones de los eventos
A,B y C
4. Si S=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 y A=0,2,4,6,8, B=1,3,5,7,9, C=2,3,4,5 y D=1,6,7,
liste los elementos de los conjuntos que corresponden a los siguientes eventos.
a) 𝐴 ∪ 𝐶
b) C´
c) (C´ ∩ D) ∪ B
5. Demostrar que [A-(A∩B)] ∪[B-(A∩ 𝐁)] ∪(A∩B)=A∪B
CAPÍTULO 2
INDUCCIÓN MATEMÁTICA
La demostración o afirmación de que se cumplen una expresión matemática función de
m, se puede demostrar mediante el principio de inducción matemática.
La inducción matemática nos permite verificar si la expresión matemática verdadera
siempre y cuando dicha expresión sea función de 1 número natural los pasos para la
demostración mediante inducción matemática
1. Se comprueba la validez de la afirmación para n=1
2. Se supone la validez de esta afirmación para n=k
3. Se demuestra la validez de esta afirmación para n=k+1 tomando en
consideración su validez su puesto para n= después de lo cual se saca la
conclusión de que la afirmación es válida para cualquier número natural n
Ejemplos:
1) Demostrar que para todo número natural se verifica toda igual
1 + 2 + 3 + 4 … … … + 𝑛 =𝑛(𝑛 + 1)
2= 𝑆𝑛
1. Se verifica el cumplimiento para n=1
1 =(1 + 1)
2=
2
2= 1
1 + 2 + 3 =3(3 + 1)
2=
12
2= 6
6 = 6
2. Suponer que para n=k es verdadera
1 + 2 + 3 + 4 … … … + 𝑘 =𝑘(𝑘 + 1)
2 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠 𝐼𝑛𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎
3. Se debe demostrar para n=k+1 la expresión es verdadera
1 + 2 + 3 + 4 … … … + 𝑘 =𝑘(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)
2 𝑇𝐼
1 + 2 + 3 + 4 … … … + 𝑘 =𝑘(𝑘 + 1)
2 𝐻. 𝐼
1 + 2 + 3 + 4 … … … + 𝑘 + (𝑘 + 1) =𝑘(𝑘 + 1)
2+ 𝑘 + 1
𝑘(𝑘 + 1)
2+ 𝑘 + 1
𝑘2 + 3𝑘 + 2
2
𝑘(𝑘 + 1) + 2𝑘 + 2
2
(𝑘 + 2)(𝑘 + 1)
2
𝑘2 + 𝑘 + 2𝑘 + 2
2
𝑛(𝑛 + 1)
2 𝐿𝑄𝑄𝐷
2) Verifique que para todo número natural n se cumple n≤𝟐𝒏−𝟏
1. Se verifica el cumplimiento para n=1
1 ≤ 21−1
1 ≤ 20
1 ≤ 1
2. Suponemos que para n=k es verdadero
𝑘 ≤ 2𝑛−1
3. Se debe demostrar que para n=k+1 la expresión es verdadera
𝑘 + 1 ≤ 2(𝑘+1)−1
𝑘 + 1 ≤ 2𝑘 𝑇. 𝐼
𝑘 + 1 ≤ 2𝑘−1 1
𝑘 + 1 ≤ 2𝑘 2
1 y 2 multiplicamos
𝑘(𝑘 + 1) ≤ 2𝑘(2𝑘−1)
𝑘 + 1 ≤ 2(2𝑘−1 )
𝑘 + 1 ≤ 2𝑘 𝐿𝑄𝑄𝐷
EJERCICIOS PROPUESTOS
Demuestre por inducción las siguientes igualdades
a) 12 + 22+32+………+𝑛2 = 𝑛(𝑛+1)(𝑛+2)
6
b) (𝑛 + 1)(𝑛 + 2)(𝑛 + 3) … … … . . (𝑛 + 𝑛) = 2𝑛 ∗ 1 ∗ 3 ∗ 5 ∗ (2𝑛 − 1)
c) (12 + 22+32+……..+𝑛5)+ ( 17 + 27+37+……..+𝑛7)=2(1+2+3+…+𝑛)4
d) 12 − 22+32−42 +...+(−1)𝑛−1𝑛2 = (−1)𝑛−1 𝑛(𝑛+1)
2
e) (1 −1
4)( 1 −
1
9 )……..( 1−
1
(𝑛+1)2 ) =𝑛+2
2𝑛+2
Dado la desigualdad Bernoulli
α es fijo, 𝛼 > −1 y 𝛼 ≠ 0
(1 + 𝛼)𝑛 > 1 + 𝛼𝑛
n=2
(1 + 𝛼)2 > 1 + 2𝛼
1 + 2𝛼 + 𝛼2 > 1 + 2𝛼 Es verdadero
n=k
(1 + 𝛼)𝑘 > 1 + 𝑘𝛼 H.I
n=k+1
(1 + 𝛼)𝑘+1 > 1 + 𝛼(𝑘 + 1) T.I
(1 + 𝛼)𝑘 > 1 + 𝑘𝛼
(1 + 𝛼)𝑘(1 + 𝑘) > (1 + 𝑘𝛼)(1 + 𝛼)
(1 + 𝛼)𝑘+1 > (1 + 𝑘𝛼)(1 + 𝛼)
(1 + 𝛼)𝑘+1 > (1 + 𝑘𝛼 + 𝛼 + 𝛼2𝑘)
(1 + 𝛼)𝑘+1 > (𝛼2𝑘 + 𝑘𝛼 + 𝛼 + 1) 1
𝑘𝛼2 > 0 2
𝑘𝛼2 + 𝑘𝛼 + 1 > 1 + 𝑘𝛼
𝑘𝛼2 + 𝑘𝛼 + 1 + 𝛼 > 1 + 𝑘𝛼 + 𝛼
(1 + 𝛼)𝑘+1 > (1 + 𝛼)(𝑘 + 1) 𝐿𝑄𝑄𝐷
CAPITULO 3
ESTADISTICA DESCRIPTIVA
Definiciones Preliminares:
Muestra: es una parte de la población y depende del experimento hacer analizado.
Modelo: es la representación de una realidad, se representa mediante expresiones
matemáticas.
Población: es el conjunto de todos los elementos correspondientes al experimento
analizado, población no es sinónimo de un conjunto inmenso, si no que depende del
experimento.
Modelo Determinístico: es aquel donde los estadísticos están determinados o son fijos.
Modelo Probabilístico: es un modelo de la realidad analizada la cual es aleatoria o
estocástica.
Estadística Descriptiva: es la ciencia que recolecta datos, los analiza, los ordena, los
procesa (mediante herramientas matemáticas), finalmente obteniendo información para
una toma de decisiones.
Estadística Inferencial: se basa en una muestra, la misma que debe ser significativa
en otras palabras debe ser una muestra representativa de la población, mediante la cual
se infiere los parámetros de la población.
SIMBOLOGÍA
Tamaño población N
Tamaño muestra n
Variables X
Valores x
Ejemplo
X: “Bienestar Estudiantil UPS”
X= (“Ingreso familia”, “Casa propia”, “Carro propio”)
𝑋1 = “Ingreso familia”
𝑥1 = 2000
𝑥2 = 1500
.
.𝑥𝑛 = 1000
3.1 DESCRIPCIÓN DE DATOS
La descripción de datos, se la realiza mediante una tabla de frecuencias la misma que
consta de la siguiente información.
a) Frecuencia (𝑓𝑖): en general es el número de datos que contiene la clase i.
b) Frecuencia Relativa (𝑓𝑟𝑖): es el tanto por uno de la frecuencia i en la clase i, y es
igual a 𝑓𝑟𝑖 = 𝑓𝑖
𝑛.
c) Frecuencia Acumulada (𝐹𝑖): es igual al número de datos hasta la clase i.
d) Frecuencia Relativa Acumulada (𝐹𝑟𝑖): es el tanto por uno hasta la clase i, y es
igual a 𝐹𝑟𝑖 = 𝐹𝑖
𝑛.
Tabla de frecuencia:
Es un dispositivo para la agrupación de datos y así facilitar su interpretación.
Ejemplo
Obtenga la Tabla de Frecuencia para los siguientes 40 datos de una muestra,
correspondiente al tiempo que se utilizó para atender a las personas en una estación de
servicio:
3,1 4,9 2,8 3,6
4,5 3,5 2,8 4,1
2,9 2,1 3,7 4,1
2,7 4,2 3,5 3,7
3,8 2,2 4,4 2,9
5,1 1,8 2,5 6,3
2,5 3,6 5,6 4,8
3,6 6,1 5,1 3,9
4,3 5,7 4,7 3,6
5,1 4,9 4,2 3,1
Numero de clase: √𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠
Numero de clase :
√40 = 6,32455532
Longitud clase: Valor máximo – Valor mínimo
Longitud clase: 6,3 – 1,8 = 4,5
Ancho de la clase: longitud de la clase
# 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒 𝑖
Ancho de la clase: 4,5
6= 0,75
Intervalo de Clase
Clase i lim.inferior lim.superior Fi fri F Fri
1 1,75 2,5 5 0,13 5 0,13
2 2,5 3,25 7 0,18 12 0,30
3 3,25 4 10 0,25 22 0,55
4 4 4,75 8 0,20 30 0,75
5 4,75 5,5 6 0,15 36 0,90
6 5,5 6,25 4 0,10 40 1,00
EJERCICIOS PROPUESTOS
Tabla de distribuciones
1. La tabla muestra la distribución del ingreso familiar mensual de 80 familias.
Intervalo Frec. Absoluta Frec. Absoluta
acumulada Frec. Relativa
640-680
680-720 48 60
720-760 0,125
760-800 0,075
800-840
Determine el número de familias que tiene un ingreso menos a 800 dólares
mensuales.
Respuesta: 76.
GALINDO Edwin, Estadística - Métodos y Aplicaciones, ProCiencia Editores 2011,
Ejercicios: Análisis Exploratorio de datos pag18.
2. Se dispone de los siguientes datos incompletos en una Tabla de
Frecuencias, completar la Tabla:
Número Clase Marca F F f/n F/n
1 [1,2) 1
2 6
3 0.25
4 0.7
5 8 0.9
6 0.05
7
Respuesta:
Número Clase Marca F F f/n F/n
1 [1,2) 1.5 1 1 0.025 0.025
2 [2,3) 2.5 5 6 0.125 0.15
3 [3,4) 3.5 10 16 0.25 0.4
4 [4,5) 4.5 12 28 0.3 0.7
5 [5,6) 5.5 8 36 0.2 0.9
6 [6,7) 6.5 2 38 0.05 0.95
7 [7,8) 7.5 2 40 0.05 1
Luis Rodríguez Ojeda, Mcs., Probabilidad y Estadística “Básica para ingenieros”,
Escuela Superior Politécnica del Litoral, Guayaquil- Ecuador, 2007, Ejercicio resuelto
datos agrupados, pág. 29.
3. En la en la tabla indicada los tiempos de espera en las ventanillas de un banco
Tiempo (min) Frec.absoluta Frec. Realtiva
0-3 32
3-6 0.30
6-9
9-12 8 0.05
12-15 0.10
Halle el tamaño de la muestra y complete la tabla de distribución de frecuencias
Respuesta n = 160.
GALINDO Edwin, Estadística - Métodos y Aplicaciones, ProCiencia Editores 2011,
Ejercicios: Análisis Exploratorio de datos pag18.
4. Halle el tamaño de la muestra y reconstruya la siguiente tabla asimétrica de
distribución de frecuencia.
Intervalo Frec. Absoluta Frec. Relativa Frec. Relativa acumulada
10 – 12 7
12 - 0.24
- 0.52
- 5
18-20
Respuesta: n=50.
GALINDO Edwin, Estadística - Métodos y Aplicaciones, ProCiencia Editores 2011,
Ejercicios: Análisis Exploratorio de datos pag18.
5. La tabla muestra la distribución del ingreso familiar mensual de 80 familias.
Intervalo Frec. Absoluta Frec. Absoluta
acumulada
Frec. Relativa
640 – 680
680 – 720 48 60
720 – 760 0.125
760 – 800 0.075
800 – 840
Complete la tabla y determine el número de familias que tienen un ingreso menor a
800 dólares.
Respuesta: 76.
GALINDO Edwin, Estadística - Métodos y Aplicaciones, ProCiencia Editores 2011,
Ejercicios: Análisis Exploratorio de datos
3.2 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Media muestral: es el valor más representativo de un conjunto de datos.
=𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 … … . . +𝑥𝑛
𝑛=
1
𝑛 ∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
Una de las características principales de la media es que se distorsiona con valores
atípicos es decir valores muy grandes o muy pequeños.
Ejemplo:
2, 6, 11, 8, 11, 4, 7, 5, 90
=2 + 6 + 11 + 8 + 11 + 4 + 5 + 5 + 90
9= 16
Cuando se tiene valores atípicos es recomendable utilizar una media cortada,
generalmente a un 5 y 10%.
En el ejercicio anterior se puede observar que existen valores atípicos, por lo tanto
vamos a calcular una media cortada al 30%.
100% → 9
30% → 𝑥 → 𝑥 = 3
𝑥30% = 6 + 11 + 8 + 11 + 5 + 7
6= 8
MODA
Moda muestral: es el dato que más se repite en un conjunto de datos (Mo).
MEDIANA
Mediana muestral: es el valor a partir del cual el 50% de datos están sobre el y el otro
50% de datos están bajo el, no es sensible a datos atípicos (Md).
La mediana se puede calcular a partir de datos que deben estar ordenados de menor a
mayor y para datos pares como impares, cuyo cálculo se puede realizar mediante la
siguiente expresión.
𝑀𝑑 =
𝑥𝑛+1
2
𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟
1
2(𝑥𝑛
2+ 𝑥
(𝑛
2+1)
) 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
Ejemplo
Para datos impares
2, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 7
𝑀𝑑 = 𝑥𝑛+1
2
𝑀𝑑 = 𝑥9+1
2 =
𝑥5
Para datos pares
3, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 23
𝑀𝑑 = 1
2 (𝑥5 + 𝑥6)
𝑀𝑑 = 1
2 (4 + 5) = 4,5
Ejemplo
Para 20 datos obtener el porcentaje
𝑥25% = 𝑥0,25∗20 = 𝑥5 = 5
𝑥65% = 𝑥0,60∗20 = 𝑥12 = 8
𝑥33% = 𝑥0,33∗20 = 𝑥7 = 6
𝑥75% = 𝑥0,75∗20 = 𝑥15 = 23
A partir del dato 23 todos los datos que están sobre él representan el 75, y los datos que
están bajo el representan el 17%.
3.3 MEDIDAS DE DISPERSIÓN
RANGO
Rango: es una medida de dispersión y es igual a su valor máximo menos su valor
mínimo.
Con el rango podemos calcular la desviación empírica, que es aproximadamente:
𝑠 𝑒𝑚𝑝í𝑟𝑖𝑐𝑎 ≈𝑅
4
VARIANZA
Varianza muestral: es un valor representativo de la dispersión de un conjunto de datos
con respecto a la media.
𝑠2 =∑ (𝑥1 − )2𝑛
𝑖=1
𝑛 − 1
𝑠2 =𝑛 ∑ 𝑥𝑖
2 − (∑ 𝑥𝑖 𝑛𝑖=1 )2𝑛
𝑖=1
𝑛(𝑛 − 1)
Ejemplo
11, 2, 6, 8, 11, 4, 7, 5
=11 + 2 + 6 + 8 + 11 + 4 + 7 + 5
8= 6,75
𝑠2 =∑ (𝑥1 − )2𝑛
𝑖=1
𝑛 − 1
𝑠2 =(11 − 6,75)2 + (2 − 6,75)2 + (6 − 6,75)2 + (11 − 6,75)2 + (8 − 6,75)2 + (4 − 6,75)2 + (7 − 6,75)2 + (5 − 6,75)2
7
𝑠2 = 10,21 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑒𝑟𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠.
DESVIACIÓN ESTANDAR
Desviación estándar muestral: es el valor representativo de la dispersión de un
conjunto de datos extraído la raíz.
√𝑠2 = 𝑉𝑎𝑟(𝑥)
𝑠 = √𝑉𝑎𝑟(𝑥)
Ejemplo
Encontrar otra expresión para el cálculo de la varianza
𝑠2 =∑(𝑥1 − )2
𝑛 − 1
𝑠2 =∑(𝑥𝑖
2 − 2𝑥1 + 2)
𝑛 − 1
𝑠2 =∑ 𝑥𝑖
2 − ∑ 2𝑥1 + ∑ 2)
𝑛 − 1
𝑠2 =∑ 𝑥𝑖
2 − 𝑛2
𝑛 − 1
Ejercicio
Encontrar la varianza y la desviación x “edad”
𝑥1 = 22
𝑥1 = 21
𝑥1 = 23
𝑥1 = 22
𝑥1 = 22
𝑥1 = 19
= 21,5
PRIMERA FORMA
𝑠2 =∑(𝑥1 − )2
𝑛 − 1
𝑠2
=(22 − 21,25)2 + (21 − 21,25)2 + (23 − 21,25)2 + (22 − 21,25)2 + (22 − 21,25)2 + (19 − 21,25)2
5
𝑠2 = 1,9
𝑠 = √1,9 = 1,38
SEGUNDA FORMA
𝑠2 =∑ 𝑥𝑖
2 − 𝑛2
𝑛 − 1
𝑠2 =[(22)2 + (21)2 + (23)2 + (22)2 + (22)2 + (19)2] − 6(21,5)2
5
𝑠2 = 1,9
𝑠 = √1,9 = 1,38
3.4 MEDIDAS DE POSICIÓN
Indica la posición del valor dentro del grupo.
CUARTILES:
Q1: Es el valor a partir del cual el 25% de datos están sobre el, y el 75% de datos bajo
ese valor.
Q2: es el valor a partir del cual el 50% de datos están sobre el, y el 50% de datos bajo
ese valor.
Q3: es el valor a partir del cual el 75% de datos están sobre el, y el 25% de datos bajo
ese valor.
DECILES:
D1: es el valor a partir del cual el 10% de datos están sobre el, y el 90% de datos bajo
ese valor, existen diez deciles: D1,D2,…,D10.
PERCENTIL:
Existen 100 percentiles
P1: es el valor a partir del cual el 1% de datos están sobre él, y el 99% de datos bajo
ese valor, asi cada uno de los 99 percentiles restantes.
EJERCICIOS PROPUESTOS:
(Estadística - Métodos y aplicaciones, 2da Edición, Edwin Galindo, Ejercicios 5,
10, 13, 13, 14, 20, 21, 23, 24 ,25)
1. Un inversor tiene ahorros repartidos en 3 depósitos con 200, 5000 y 10 000
dólares, respectivamente. Si el primero le rinde un 5% anual, el segundo un 4%
anual y el tercero un 2% anual. ¿Cuál es el tipo de interés que recibe?
Respuesta: 2.94%
2. Dados los datos y sus frecuencias
Halle: a) Q2; b) Media; c) S; d) RIQ
Respuesta: a) Q2=6; b) x=5.046; c) S=2.63; d) RIQ = 3
xi 1 3 6 9 10
ni 8 20 25 10 2
3. A partir de la siguiente distribución de frecuencias
a) Determine: cuartiles, media armónica, media geométrica.
Respuesta: a) Q1 = 2.9; Q2 = 5.4; Q3 = 8.05; H=3.715; Mg = 4.5837.
4. La tabla muestra la temperatura nocturna (en ºC) durante 200 días.
Intervalo Frecuencia Intervalo Frecuencias
2 – 4
4 – 6
6 – 8
8 – 10
10 – 12
21
16
15
26
23
12 – 14
14 – 16
16 – 18
18 – 20
20 – 22
14
20
22
18
25
a) Determine: Media, mediana, cuartiles inferior y Superior
Respuesta: x=12,29; Q1 = 7.73; Q2 = 11.91; Q3 = 17.36
5. Un automóvil ha recorrido los 832 km que separan Loja de Esmeraldas,
permutando regularmente las 5 llantas (incluida la de emergencia) para que
todas tengan igual desgaste. ¿Cuál es el recorrido promedio de cada llanta?
Respuesta: 665.6 km
6. EL kilometraje que marca un auto, luego de 4 años de uso, es 100 mil kilómetros,
Si el dueño lo compro nuevo y lo hace descansar 1 día, luego de usarlos 4 días
seguidos. ¿Cuál es el recorrido promedio diario de los días manejados,
considerando años de 365 días?
Respuesta: 85.62 km/día
7. Se tiene 4 números. Al añadir el promedio de 3 de ellos al número restante, se
obtienen los números 17, 21, 23, 29. Si se excluye al mayor de estos números,
¿Cuál es el promedio de los 3 restantes?
Respuesta: 8
8. El promedio de 53 números es 600. Si se elimina 3 números consecutivos, se
observa que el nuevo promedio aumenta en 5%. ¿Cuál es el mayor de dichos
números consecutivos?
Respuesta: 101
xi 1.2 2.3 3.5 5.4 7.8 8.3 12.1
ni 2 4 4 6 3 5 1
9. Calcule la mediana de las siguientes temperaturas:
Temp.
(C)
20.5 20 19.5 19 18.5 18 17.5
No.
Días
2 4 3 13 3 4 2
Respuesta: 19
3.5 MEDIDAS DE FORMA
CURTOSIS Y ASIMETRIA Asimetría
La asimetría de una distribución hace referencia al grado en que los datos se repartan
por encima o por debajo de la tendencia central. Y se define como:
𝐴𝑠 =∑ (𝑥𝑖−)3𝑛
𝑖=1
𝑠3∗𝑛
(A) As>0 Asimetría Positiva (B) As=0 Simetría (C) As<0 Asimetría Negativa
Apuntamiento o Curtosis
El coeficiente de apuntamiento o curtosis de una variable sirve para medir el grado
concentración de los valores que toma en torno a su media.
𝐴𝑝 =∑ (𝑥𝑖−)4/𝑛𝑛
𝑖=1
𝑠4− 3
(A) Cr>0 Distribución Leptocúrtica (B) Cr=0 Distribución Mesocúrtica (C) Cr<0 Distribución Platicúrtica EJERCICIOS PROPUESTOS. (Libro
Galindo pagina 43, Estadistica
Descriptiva de S. Fernandez pp 259)
1. Dadas ɳ= 8 mediciones: 4, 2, 6, 5, 7, 5, 4, 6. Determine:
a) ;
b) La mediana;
c) s;
d) El rango;
e) La asimetría;
f) La curtosis ;
Respuestas: a) =4.875 b) Me=5 c) s=1.553 d) R=5 e) As=-0.644 f) Ap=0.592
2. Dadas ɳ= 9 mediciones: 5, 8, 8, 4, 4, 9, 7, 5, 4. Determine:
a) ;
b) La mediana;
c) s;
d) El rango;
e) La asimetría;
f) La curtosis ;
Respuestas: a) =6; (b) 5 ;(c) s=2; (d) R=5; e) As=0.362 (f) Ap=-1.826
3. La dirección general de tráfico está interesada en estudiar la educación vial
en los jóvenes. Para ello selecciona una muestra aleatoria de sujetos que
acaban de obtener el carnet de conducir (grupo 1) y otra con sujetos que
lo tienen hace 5 años (grupo 2) y registra el nº de veces que han perdido
puntos en el último año. Los resultados se muestran a continuación:
Grupo 1: 1 2 4 1
Grupo 2: 2 7 7 8
Respuesta: 1=2; 2=6; S1=1,5; S2=5,5
4. Calcular el valor Asimétrico y Curtosis de los siguientes valores: 2,4,8,2
Respuesta: =4; s=2,82, As=0,53; Ap=-1,86
5. Estudiar la simetría de los siguientes datos:
10-12-12-14-10-10-16-12-14-10
Respuestas: =12; s=2, As=0,53; As=0,6 Asimetría positiva.
3.6 ANALISIS DE DATOS AGRUPADOS
El análisis de los datos se la puede realizar mediante datos individuales y datos
agrupados, generalmente el análisis que se realiza es mediante datos agrupados ya que
el proceso se realiza con una gran cantidad de datos.
Definición: media de datos agrupados:
=1
𝑛∑ 𝑚𝑖, 𝑓𝑖
𝑘
𝑖=1
Definición: varianza de datos agrupados:
𝑠2 =1
𝑛 − 1∑ 𝑓𝑖(𝑚𝑖 − )2
𝑘
𝑖=1
n número de datos
k número de clase
mi marca de la clase i (es el valor central del intervalo de la clase)
fi frecuencia de la clase i
Ejemplo:
La tabla de frecuencias siguiente contiene los datos agrupados en 6 clases del número
de artículos vendidos por un almacén en 50 días. Calcule la media y varianza.
Media:
=1
50(𝑚1𝑓1 + 𝑚2𝑓2 + 𝑚3𝑓3 + 𝑚4𝑓4 + 𝑚5𝑓5 + 𝑚6𝑓6)
=1
50(15 ∗ 2 + 25 ∗ 10 + 35 ∗ 12 + 45 ∗ 14 + 55 ∗ 9 + 65 ∗ 3)
= 40,4
Lo que indica que en promedio diariamente se ha vendido 40 artículos.
Varianza:
𝑠2 =1
49[2(15 − 40,4)2 + 10(25 − 40,4)2 + 12(35 − 40,4)2 + 14(45 − 40,4)2
+ 9(55 − 40,4)2 + 3(65 − 40,4)2]
𝑠2 = 164,12
𝑠 = 12,81
La desviación estándar indica que la diferencia de ventas entre días fue
aproximadamente de 12 artículos.
Ejemplo:
Se dispone de los siguientes datos incompletos en una tabla de frecuencia.
Numero Clase Marca F F f/n F/n
1 [5,10) 7,5 2 2 0,05 0,05
2 [10,15) 12,5 8 10 0,2 0,25
3 [15,20) 17,5 14 24 0,35 0,6
4 [20,25) 22,5 7 31 0,175 0,775
5 [25,30) 27,5 5 36 0,125 0,9
6 [30,35) 32,5 3 39 0,075 0,975
7 [35,40) 27,5 1 40 0,025 1
Se conoce además que la media calculada con los datos agrupados es 19.7
𝐹𝑟 = 0,6(40)
𝑭𝒓𝟑 = 𝟐𝟒
𝐹𝑟3 =𝐹3
𝑛
0,6 =𝐹3
𝑛
𝐹𝑟6 =𝐹6
𝑛
40(0,975) = 𝐹6
𝑭𝟔 = 𝟑𝟗
𝑓6/𝑛 =𝑓6
𝑛=
3
40= 𝟎, 𝟎𝟕𝟓
𝑓2/𝑛 = 𝐹𝑖2/𝑛 − 𝐹𝑖1/𝑛
𝑓2/𝑛 = 0,25 − 0,5 = 𝟎, 𝟐
𝐹𝑟2 =𝐹2
𝑛
0,25(40) = 𝐹2
𝑭𝟐 = 𝟒𝟎
Ecuaciones:
𝑥 + 𝑦 = 12 𝟏. =1
𝑛∑ 𝑚𝑖, 𝑓𝑖𝑘
𝑖=1
19,7 =1
40(7,5 ∗ 2 + 12,5 ∗ 8 + 17,5 ∗ 14 + 22,5𝑥 + 27,5𝑦 + 32,5 ∗ 3 + 37,5 ∗ 1)
788 = 495 + 22,5𝑥 + 27,5𝑦
293 = 22,5𝑥 + 27,5𝑦 𝟐.
293 = 22,5(12 − 𝑦) + 27,5𝑦
293 = 270 − 22,5𝑦 + 27,5𝑦
23 = 5𝑦
𝒚 = 𝟒, 𝟔 ≈ 𝟓
𝑥 + 5 = 12
𝒙 = 𝟕
DIAGRAMA DE CAJA
Sirve para analizar grupos de datos de diferentes poblaciones, o de la misma.
Ejemplo:
A continuación se presenta dos diagramas de caja referentes a dos cursos, que se
desea analizar la nota de estadística, realice el análisis respectivo.
Diagrama caja grupo 1
Min Q1 Q2 Q3
Max
Diagrama caja grupo 2
Min Q1 Q2 Q3
Max
ANALISIS
1) Se puede ver en los diagramas de caja que las notas mínimas y máximas de los
dos grupos son idénticas.
2) Se puede ver en los gráficos que en el grupo 1 hay menos dispersión que en el
grupo 2.
3) Se puede ver en los diagramas que el 25% de alumnos del grupo 1 tienen baja
nota que los del grupo 2.
4) Se puede observar que las notas del promedio del grupo 2 son más altas que
las del grupo 1.
5) Se puede observar que en el grupo 1 las notas son homogéneas alrededor de la
media, mientras que en el grupo 2 comparadas con el grupo 1 se puede
visualizar que existen personas con excelentes notas.
Ejemplos:
1. Se desea conocer la representación de los niveles de cotinina de fumadores.
Remitase a los 40 niveles de cotinina de los fumadores de la siguiente tabla:
NIVELES DE COTININA: Fumador
1 0 131 173 265 210 44 277 32 3
35 112 477 289 227 103 222 149 313 491
130 234 164 198 17 253 87 121 266 290
123 167 250 245 48 86 284 1 208 173
a) Obtenga los valores que construyen el resumen de los cinco números.
b) Construya con los valores una gráfica de caja.
a) Solución: El resumen de los cinco números consta del valor minimo, Q1, la mediana,
Q3 y el valor máximo. Para obtener dichos valores, primero ordene los
datos(acomódelos en orden del mas bajo al mas alto). El minimo de 0 y el máximo son
491 son fáciles de identificar en la lista ordenada. Ahora, proceda a calcular los cuartiles.
Encontramos el cuartil uno:
Q1 = P25 = 86.5
La mediana es 170, que es el valor que está a la mitad entre los valores 20o y 21o,
también encontramos Q3=251.5, al hallar los valores obtenemos los cinco números son:
0, 86.5, 170, 251.5, 491.
b) Creamos la gráfica del cuadro para datos, utilizamos el valor mínimo(0) y el valor
máximo (491) para determinar la escala de valores; después, graficamos los valores del
resumen de los cinco números como se indica a continuación.
0
0 100 200 300 400 500
491 865 170 251.5
.
Mínimo Máximo Mediana 𝑄1 𝑄2
2. Alexander´s Pizza ofrece entregas gratuitas de pizza a 15 millas a la redonda.
Alex el propietario, desea información relacionada con el tiempo de entrega.
Cuánto tarda una entrega típica?. En que margen de tiempos deben completarse
la mayoría de las entregas? En el caso de una muestra de 20 entregas, Alex
recopiló la siguiente información:
Valor mínimo = 13 minutos
Q1 = 15 minutos
Mediana = 18 minutos
Q3 = 22 minutos
Valor máximo = 30 minutos
Elabore un diagrama de caja para los tiempos de entrega. ¿Qué conclusiones deduce
sobre los tiempos de entrega?
El primer paso para elaborar un diagrama de caja consiste en crear una escala
adecuada a lo largo del eje horizontal. Enseguida, dibujamos na caja que inicie en Q1
(15 minutos) y termine en Q3 (22 minutos). Dentro de la caja trazamos una línea vertical
para representar la mediana (18 minutos). Por último, prolongamos líneas horizontales
a partir de la caja dirigidas al valor mínimo (13 minutos) y al valor máximo (30 minutos).
Estas líneas horizontales que salen de la caja, a veces reciben el nombre de bigotes, en
virtud de que se asemejan a los bigotes de un gato.
El diagrama de caja muestra que el valor medio de las entregas, 50% consume entre 15
y 22 minutos. La distancia entre los extremos de la caja, 7 minutos, es el rango
intercuartil. Este rango es la distancia entre el primer y tercer cuartil, muestra la
propagación o dispersión de la mayoría de las entregas.
CAPÍTULO 4
FUNDAMENTOS DE LA TEORIA DE PROBABILIDAD
Definición: principio básico de conteo o principio de multiplicación.
𝑄3
Mediana
12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32
Valor
mínimo
Valor
máximo 𝑄1
El principio indica, si un proceso se lo puede dividir en n subprocesos y cada subproceso
se puede realizar de 𝑟1, …, 𝑟𝑛 maneras, entonces todo el proceso se lo puede realizar
de 𝑟1*𝑟2*…*𝑟𝑛 maneras.
Ejemplo:
Se lanza un dado y una moneda. ¿Cuántos resultados diferentes se obtiene de este
experimento?
Respuesta: al lanzar el dado se puede tener m=6 resultados diferentes; mientras que al
lanzar la moneda se obtiene n=2 resultados diferentes. Por lo tanto, el número total de
resultados del experimento es mxn=6x2=12.
Los doce resultados son:
Cara= c
Sello= s
(1,c),(1,s), (2,c),(2,s), (3,c),(3,s), (4,c),(4,s), (5,c),(5,s), (6,c),(6,s)
PERMUTACIONES
Son los arreglos diferentes que se pueden hacer con los elementos de un grupo.
En estos arreglos se debe considerar el orden de los elementos incluidos, su cálculo
es:
𝑛𝑃𝐾 =𝑛!
(𝑛 − 𝑘)!
COMBINACIONES
Son los arreglos que se pueden hacer con los elementos de un conjunto considerando
que el orden de los elementos en cada arreglo no es de interés.
𝑛𝐶𝐾 =𝑛!
(𝑛 − 𝑘)! 𝑘!
Ejemplo:
Un grupo de 15 personas, 7 leen la revista A, 5 leen la revista B y 6 ninguna revista.
Encuentra la cantidad de personas que leen al menos una revista.
TABLA DE CONTINGENCIA
Leen B No leen B
Leen A 3 4 7
No leen A 2 6 8
Total 5 10 15
Del cuadro se obtiene directamente que:
4 leen A, únicamente
2 leen B, únicamente
3 leen A y B
Por lo tanto, 9 personas leen al menos una revista
Encuentre la cantidad de formas diferentes de elegir cuatro personas que al menos lean
una revista.
₉𝐶₄ =9!
5! 4!= 126
Encuentre la cantidad de formas diferentes de elegir cuatro personas de tal manera que
dos lean solamente A, una lea solamente B, y una no lea revistas.
Cantidad de formas diferentes de elegir 2 de las que leen solamente A: ₉𝑪₄ =6
Cantidad de formas diferentes de elegir 1 de las que leen solamente B: ₉𝑪₄ =2
Cantidad de formas diferentes de elegir 1 de las que no leen revistas: ₉𝑪₄ =6
4.1 ESPACIO MUESTRAL (𝛀).
Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento.
Ejemplo:
Experimento: “Lanzamiento de una moneda”
Ω = cara, sello
Ejemplo:
Experimento: “Lanzamiento dos monedas”
Ω = (𝐶1, 𝐶2),( 𝐶1, 𝑆2), (𝑆1, 𝐶2), (𝑆1, 𝑆2)
Conjunto Partes de 𝛀 (subconjuntos)
El conjunto partes de Ω, se refiere al número de subconjuntos que tiene dicho conjunto;
al número de subconjunto de Ω se le denomina cardinalidad de Ω y es igual a 2𝑛.
Todo espacio muestral podría tener las siguientes características, siendo estas:
a) Espacio muestral de variable Discreta, si sus elementos son números enteros;
finitos si sus elementos son numerables e infinitos si no lo son.
b) Espacio muestral variable continua, si sus elementos forman parte de un
intervalo y sus elementos son infinitos.
Ejemplo:
1) Experimento: “Lanzamiento de una moneda”
Ω = cara, sello, este espacio muestral tiene la característica de ser discreto y
numerable.
2) Experimento: “Sueldo de una empresa”
Ω = 𝑥/𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], 𝑥 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑠𝑢𝑒𝑙𝑑𝑜, tiene la característica de ser continuo y no numerable.
EVENTOS
Los eventos son subconjuntos de Ω, siendo estos de dos tipos, simples y compuestos:
Evento Simple: está formado por un elemento o un punto muestral.
Evento Compuesto: está formado por varios puntos muestrales.
Probabilidad de eventos
Generalmente la probabilidad clásica se define de la siguiente manera:
Probabilidad de A: # 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑎𝑙 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐴
# 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠
Ejemplo:
Un grupo de 15 personas, 7 leen la revista A, 5 leen la revista B y 6 ninguna revista.
Encuentra la cantidad de personas que leen al menos una revista.
Leen B No leen B
Leen A 3 4 7
No leen A 2 6 8
Total 5 10 15
Del cuadro se obtiene directamente que:
4 leen A, únicamente
2 leen B, únicamente
3 leen A y B
P (“al menos lean una revista”) = 9
15
P (“elegir 3 personas, dos lean revista y uno no lea”) = ₃𝐶₂∗₆𝐶₁
₁₅𝐶₃=
3∗6
455= 0,039.
Sea Ω = s = 𝐸1, 𝐸2, … … , 𝐸𝑛 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑠, entonces la probabilidad de la unión de
esos eventos es igual a la suma de sus probabilidades, es decir:
𝑃 (⋃ 𝐸𝑖𝑛𝑖=1 ) = ∑ 𝑃(𝐸𝑖)𝑛
𝑖=1 ;
P (𝐸1 ∪ 𝐸2 ∪…..𝐸𝑛) = P (𝐸1) + P (𝐸2) + … … P (𝐸𝑛), esto se debe a que los eventos
simples son disjuntos, es decir ∨𝑖,𝑗; 𝐸𝑖 ∩ 𝐸𝑗 = ∅ se dice 𝐸𝑖 𝑦 𝐸𝑗 , y tenemos que la suma
de sus probabilidades es igual a 1.
Observación:
s = 𝐸1, 𝐸2, … … , 𝐸𝑛
𝑃 (⋃ 𝐸1
𝑛
𝑖=1
) = ∑ 𝑃(𝐸1)
𝑛
𝑖=1
= 1
Ejemplo:
1) Cuál es la posibilidad que al lanzar un dado se obtenga un número par.
P (“Obtenga par”)
𝑃("𝑆𝑎𝑙𝑒 2"
𝐸1𝑜
"𝑆𝑎𝑙𝑒 4"
𝐸2𝑜
"𝑆𝑎𝑙𝑒 6"
𝐸3)
P (𝐸1⋃𝐸2⋃𝐸3 ) = P (𝐸1) + 𝑃(𝐸2) + 𝑃(𝐸3 ) = 1
6+
1
6+
1
6=
𝟏
𝟐
2) P (“Salga un número en el lanzamiento de un dado”)
P (“sale 1”, “sale 2”, “sale 3”, … , “sale 6”)
P (1
6+
1
6+
1
6+
1
6+
1
6+
1
6 ) = 1
La suma de los elementos muestrales siempre es 1.
Ejemplo:
P (“Extraer 2 baterías buenas”) = ₄𝐶₂
₆𝑐₂=
6
15= 0,4
Interpretación: de 100 veces que se realice el experimento, y se extraigan 2 baterías
en 40 de los casos 2 saldrán buenas.
4.2 AXIOMAS DE LA PROBABILIDAD
1. 𝑃(A) ≥ 0
2. 𝑃(Ω) = 1
3. 𝐴1, 𝐴2 ∈ 𝑠 ⋀ 𝐴1⋂ 𝐴2 = ∅ ⟹ 𝑃(𝐴1 ∪ 𝐴2) = 𝑃(𝐴1) + 𝑃(𝐴2)
PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD
1) Probabilidad de un evento nulo
𝑷(∅) = 𝟎
Demostración:
𝑠 = 𝑠 ∪ ∅
𝑃(𝑠) = 𝑃(𝑠) + 𝑃(∅)
1 = 1 + 𝑃(∅)
𝑃(∅) = 0 𝐿𝑄𝑄𝐷
2) Probabilidad del evento complemento
𝑷(𝑬𝒄) = 𝟏 − 𝑷(𝑬)
Demostración:
𝑠 = 𝐸 ∪ 𝐸𝑐
𝑃(𝑠) = 𝑃(𝐸 ∪ 𝐸𝑐)
𝑃(𝑠) = 𝑃(𝐸) + 𝑃(𝐸𝑐)
1 = 𝑃(𝐸) + 𝑃(𝐸𝑐)
𝑃(𝐸𝑐) = 1 − 𝑃(𝐸)
3) Probabilidad de eventos incluidos
𝑺𝒊 𝑨 ⊂ 𝑩, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝑷(𝑨) ≤ 𝑷(𝑩)
Demostración:
𝐵 = 𝐴 ∪ (𝐴𝑐 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐴𝑐 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵) ≥ 𝑃(𝐴)
4) La probabilidad de un evento está entre 0 y 1
𝟎 ≤ 𝑷(𝑬) ≤ 𝟏
Demostración:
∅ ⊂ 𝐸 ⊂ 𝑆
𝑃(∅) ≤ 𝑃(𝐸) ≤ 𝑃(𝑆)
0 ≤ 𝑃(𝐸) ≤ 1
5) Probabilidad de la diferencia de eventos
𝑷(𝑨 − 𝑩) = 𝑷(𝑨) − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩𝒄)
Demostración:
𝐴 = (𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴 − 𝐵) + 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐴 − 𝐵) = 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵𝑐)
6) Regla aditiva de probabilidad de Eventos
𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩) = 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)
Demostración:
(𝐴 ∪ 𝐵) = (𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐵 − 𝐴)
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴 − 𝐵) + 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) + 𝑃(𝐵 − 𝐴)
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴 − 𝐵) + 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) + 𝑃(𝐵 − 𝐴)
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
Ejemplo:
Si la probabilidad que un estudiante apruebe Algebra Lineal es de 0,7, la probabilidad
que apruebe Ingles es 0,8 y la probabilidad que apruebe ambas materias es 0,6. ¿Cuál
es la probabilidad que el estudiante apruebe al menos una de estas materias?
Solución
P (“apruebe al menos una de las dos materias”)
P (“algebra lineal” o “apruebe ingles”)
𝑃(𝐴1 ∪ 𝐴2) = 𝑃(𝐴1) + 𝑃(𝐴2) − 𝑃(𝐴1 ∩ 𝐴2)
= 0,7 + 0,8 - 0,6
= 0,9
4.3 INDEPENDENCIA DE EVENTOS
Se dice que dos eventos A y B son independientes si el uno no influye en la consecución
del otro y viceversa, es decir:
Matemáticamente:
𝑷(𝑨 𝒚 𝑩) = 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷(𝑨𝑩) = 𝑷(𝑨)𝑷(𝑩)
4.4 CONDICIONALIDAD DE EVENTOS
Sean dos eventos A y B y 𝑃(𝐵) ≠ 0 se dice que el evento A está condicionada a la
consecución del evento B si:
Matemáticamente:
𝑷(𝑨/𝑩) =𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)
𝑷(𝑩)=
𝑷(𝑨𝑩)
𝑷(𝑩)
Ejemplo:
1) La probabilidad del que el evento M ocurra es igual a 1, la probabilidad de
que el evento N ocurra es 3, y la probabilidad de que los complementos de
M y N ocurran es de 𝟑
𝟏𝟎 ¿Son independientes M y N?
𝑃(𝑀) =1
4
𝑃(𝑁) =3
5
𝑃(𝑀𝑐 ∩ 𝑁𝑐) =3
10
𝑃(𝑀𝑐 ∩ 𝑁𝑐) = 𝑃(𝑀 ∪ 𝑁)𝑐 = 1 − 𝑃(𝑀 ∪ 𝑁)
3
10= 1 − 𝑃(𝑀) − 𝑃(𝑁) + 𝑃(𝑀 ∩ 𝑁)
3
10= 1 −
1
4−
3
5+ 𝑃(𝑀 ∩ 𝑁)
3
10=
3
20+ 𝑃(𝑀 ∩ 𝑁)
3
20= 𝑃(𝑀 ∩ 𝑁)
Para demostrar que M y N son independientes se deberá demostrar que:
𝑃(𝑀 ∩ 𝑁) = 𝑃(𝑀)𝑃(𝑁)
𝑃(𝑀 ∩ 𝑁) =3
20 (1)
𝑃(𝑀). 𝑃(𝑁) =1
4∗
3
5=
3
20 (2)
(1) = (2)
⇒ Se concluye que M y N son independientes.
2) Se conoce que el 60% de las mujeres y el 40% de los hombres reaccionan
positivamente ante cierto medicamento. Se les proporcionó el
medicamento a 20 personas de las cuales 12 eran mujeres, se tomó al azar
uno de los resultados y se observó que era de reacción negativa. Halle la
probabilidad de que el resultado corresponda a un hombre.
𝑅−
𝑅+
H 4,8 3,2 8
M 4,8 7,2 12
Total 9,6 10,4 20
𝑃(𝐴1) =8
20
𝐴1 = “al elegir 1 persona al azar esta sea hombre”
𝑃(𝐴2) =12
20
𝐴2 = “al elegir una persona al azar esta sea mujer”
𝑃(𝐴3) =9,6
20
𝐴3 = “al elegir una persona al azar esta reaccione negativamente”
𝑃(𝐴4) =10,4
20
𝐴4 = “al elegir una persona al zar esta reaccione positivamente”
𝑃(𝐴5) =4,8
20
𝐴5 = “al elegir una persona al azar este sea hombre y reaccione negativamente”
𝑃(𝐴6) =7,2
20
𝐴6 = “al elegir una persona al azar sea mujer y reaccione positivamente”
𝑃(𝐴7) =4,8
9,6
𝐴7 = “al elegir una persona al azar sea hombre puesto que reacciono negativamente”
𝑃(𝐴8) =4,8
10
𝐴8 = 𝑅−/𝐻 = “es la probabilidad que al elegir una persona al azar que reacciono
negativamente este haya sido hombre”.
La probabilidad de que al elegir una persona al azar sea hombre conociendo que
reaccionó negativamente se puede calcular de dos formas:
a) 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐻/𝑅−) =4,8
9,6= 0,5
b) 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐻/𝑅−) =𝑃(𝐻∩𝑅−)
𝑃(𝑅−)=
4,8
209,6
20
=4,8
9,6= 0,5
Observación:
a) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵)𝑃(𝐴/𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵/𝐴)
b) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑃((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐶/(𝐴 ∩ 𝐵)
Ejemplo:
1) En un taller trabajan 7 hombres y 3 mujeres, se escogen al azar 3 personas.
Halla la probabilidad de que todas las personas seleccionadas sean
hombres.
P (“3 personas seleccionadas sean hombre”) = P (“1ra persona seleccionada sea
hombre”) P (“2da persona seleccionada sea hombre”, dado que la “1ra persona
seleccionada fue hombre”) P (“3ra persona seleccionada sea hombre, dado que las
anteriores fueron hombres”)
=7
10∗
6
9∗
5
8=
7
24 sin 𝑟𝑒𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛
=7
10∗
7
10∗
7
10=
343
1000 con 𝑟𝑒𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛
EJERCICIOS PROPUESTO
1. En una universidad en la que no hay más que estudiantes de ingeniería,
ciencias y letras, acaban la carrera el 5% de ingeniería, el 10% de ciencias
y el 20% de letras.
Se sabe que el 20% estudian ingeniería, el 30% ciencias y el 50% letras. Tomado
un estudiante cualquiera al azar, se pide.
a) Probabilidad de que haya acabado la carrera y sea de ingeniería.
b) Si se tiene la carrera terminada, ¿cuál es la probabilidad de que sea de
ingeniería?
R: a)0,01 y b) 0,071
2. El 35% de los créditos de un banco son para vivienda, el 50% son para
industria y el 15% para consumo diverso. Resultan fallidos el 20% de los
créditos para vivienda, el 15% de los créditos para industrias y el 70% de
los créditos para consumo. Calcula la probabilidad de que se pague un
crédito elegido al azar.
R: 0,75
3. De los créditos concedidos por un banco, un 42% lo son para clientes
nacionales, un
33% para clientes de la Unión Europea y un 25% para individuos del resto
del mundo. De esos créditos, son destinados a vivienda un 30%, un 24% y
un 14% según sean nacionales, de la UE o del resto del mundo. Elegido un
cliente al azar, ¿qué probabilidad hay de que el crédito concedido no sea
para vivienda?
R: 0,7598
4. En cierta empresa se producen dos bienes A y B en la proporción 3 a 4. La
probabilidad de que un bien de tipo A tenga defecto de fabricación es del
3%, y del tipo B, del 5%. Se analiza un bien, elegido al azar, y resulta
correcto, ¿qué probabilidad existe de que sea del tipo A?
R: 0,4337
5. Tenemos tres urnas: U1 con 3 bolas rojas y 5 negras, U2 con 2 bolas rojas
y 1 negra y U3 con 2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y
extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de
haber sido extraída de la urna U1?
R: 0,26
6. Una bolsa contiene 3 monedas, una de las cuales está acuñada con 2 caras,
mientras que las otras dos son normales. Se escoge una moneda al azar y
se lanza sucesivamente 4 veces, obteniéndose 4 caras. ¿Cuál es la
probabilidad de que la moneda elegida sea la de 2 caras? Razona la
respuesta.
R: 8/9
7. Tenemos dos urnas; una A con 4 bolas rojas y 6 blancas, y otra B con 7
bolas rojas y 3 blancas. Se selecciona al azar una urna, se extrae una bola
y se coloca en la otra urna. A continuación, se extrae una bola de la
segunda urna. Calcula la probabilidad de que las 2 bolas extraídas sean del
mismo color.
R: 0,509
8. Juan y Pedro lanzan una pelota a un blanco. La probabilidad de que Juan
dé en el blanco es 1/3 y la probabilidad de que dé Pedro es 1/4. Supóngase
que Juan lanza primero y que los dos chicos se van turnando para lanzar:
a) Calcula la probabilidad de que el primer lanzamiento que dé en el blanco sea
el segundo de Juan.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que Juan dé en el blanco antes de que lo haga
Pedro?.
R: a) 1/6 y b) 2/3
9. En una clase infantil hay 6 niñas y 10 niños. Si se escoge a 3 alumnos al
azar, halla la probabilidad de:
a) Seleccionar 3 niños.
b) Seleccionar 2 niños y una niña.
R: a) 3/14 y b)27/56
10. Dos niños escriben en un papel una vocal cada uno, ¿cuál es la
probabilidad de que sea la misma?.
R: 1/5
4.5 PROBABILIDAD TOTAL
Sea 𝐴1, 𝐴2 … , 𝐴𝑛 una repartición de Ω y sea B un seceso (eventos) cualquiera, del que
se conoce las probabilidades condicionales.
𝑃(𝐵/𝐴𝑖), ⇒ 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑜 𝐵 𝑒𝑠:
𝑃(𝐵) = ∑ 𝑃(𝐴𝑖)
𝑛
𝑖=1
𝑃(𝐵/𝐴)
Demostración:
𝐴𝑖 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 Subconjuntos
𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = ∅
𝑃(𝐵) = (𝐵 ∩ 𝐴𝑖) ∪ (𝐵 ∩ 𝐴2) ∪ … ∪ (𝐵 ∩ 𝐴𝑛)
𝑃(𝐵) = (𝐵 ∩ 𝐴𝑖) ∩ (𝐵 ∩ 𝐴𝐽) = ∅
𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴𝑖)𝑃(𝐵/𝐴𝑖) + 𝑃(𝐴2)𝑃(𝐵/𝐴2) + ⋯ + 𝑃(𝐴𝑛)𝑃(𝐵/𝐴𝑛)
𝑃(𝐵) = ∑ 𝑃(𝐴𝑖
𝑛
𝑖=1
)𝑃(𝐵/𝐴𝑖)
4.6 TEOREMA DE BAYES
𝑃(𝐴𝑖/𝐵) =𝑃(𝐴𝑖 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵)=
𝑃(𝐴𝑖)𝑃(𝐵/𝐴𝑖)
∑ 𝑃(𝐴𝑖)𝑛𝑖=1 𝑃(𝐵/𝐴𝑖)
EJERCICIOS PROPUESTOS. Tomados del Libro de Walpole R., Myers R., Myers
D.(1999). Probabilidad y estadística para ingenieros. (Sexta edición).
1. En cierta región del país se sabe por experiencia del pasado que la
probabilidad de seleccionar un adulto mayor de 40 años de edad con
cáncer es 0.05. Si la probabilidad de que un doctor diagnostique de forma
correcta que una persona con cáncer tiene la enfermedad es 0.78 y la
probabilidad de que diagnostique de forma incorrecta que una persona sin
cáncer como si tuviera la enfermedad es 0.06.¿Cuál es la probabilidad de
que a una persona se le diagnostique cáncer?
A1 A1 A1 … A1
C: un adulto seleccionado tiene cáncer.
D: El adulto es diagnosticado como que tuviera cáncer.
2. La policía planea reforzar los límites de velocidad mediante el uso de un
sistema de radar en cuatro diferentes puntos dentro de la ciudad. Las
trampas de radar en cada uno de los sitios es L1, L2, L3 y L4 operan 40%,
30%,20% y 30% del tiempo, y si una persona que maneja a gran velocidad
cuando va a si trabajo tiene las probabilidades de 0.2, 0.1, 0.5, y 0.2,
respectivamente, de pasar por esos lugares. ¿Cuál es la probabilidad de
que reciba una multa por conducir con exceso de velocidad?
3. Refiriéndose al primer ejercicio ¿Cuál es la probabilidad de que una
persona a la que se le diagnostica cáncer realmente tenga la enfermedad?
4. Suponga que los cuatro inspectores de una fábrica de películas colocan la
fecha de caducidad en cada paquete de película al final de la línea de
montaje. John, que coloca la fecha de caducidad en 20% de los paquetes,
no la pone una vez en cada 200 paquetes; Tom, que la coloca en 60% de
los paquetes, no lo coloca una vez en cada 100 paquetes; Jeff, quien lo
coloca en 12% de los paquetes, no lo hace una vez en cada 90 paquetes; y
Pat, que fecha 5% de los paquetes, no lo hace una vez en cada 200
paquetes. Si un consumidor se queja de que si paquete de película no
muestra la fecha de caducidad. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido
inspeccionado por John?
5. La contaminación en los ríos en Estados Unidos es un problema de hace
varios años. Considere los eventos siguientes
CAPÍTULO 5
VARIABLES ALEATORIAS
Definición: la variable aleatoria es una función definida por:
𝑥: Ω → ℝ
Observación:
𝑃: Ω → [0,1]
𝐴 → 𝑃(𝐴) ∈ [0,1]
5.1 FUNCION DE DISTRIBUCIÓN (V.A.D)
Definición: sea x una variable aleatoria discreta de la función real F tal que: ∀ 𝑡 ∈ ℝ,
𝐹(𝑡) = 𝑃(𝑥 ≤ 𝑡), se denomina función de distribución de la v.a.d.
PROPIEDADES
1. La Función es Creciente:
lim𝑡→∞
𝐹(𝑡) = 0 𝑦 lim𝑡→∞
𝐹(𝑡) = 1
2. 𝐹(𝑡) = 𝑃(𝑥 ≤ 𝑡) = ∑ 𝑝𝑗𝑗≤𝑡
3. 𝑃(𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏) = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
4. 𝑃(𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏) = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) + 𝑃(𝑥 = 𝑎)
5. 𝑃(𝑥 = 𝑎) = 𝐹(𝑎) − 𝐹(𝑎−)
6. 𝑃(𝑥 < 𝑎) = 𝐹(𝑎−)
7. 𝑃(𝑎 < 𝑥 < 𝑏) = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) − 𝑃(𝑥 = 𝑏)
Observación:
P(x(A)=1) = P(x=1) = P1
P(x=2) = P2
P(x=3) = P3
5.1 ESPERANZAS Y VARIANZAS DE UNA VARIABLE
ALEATORIA
Correlación.- describe la relación lineal entre variables X y Y; existen 4 tipos de
correlación:
Correlación lineal positiva
Correlación lineal negativa
No existe correlación Correlación no lineal
Covarianza muestral.- mide la variabilidad conjunta entre dos variables (x,y).
𝑆𝑥𝑦 =1
𝑛 − 1∑(𝑥𝑖 − )(𝑦𝑖 − 𝑦)
Si x=y
𝑆𝑥𝑦 = 𝑆𝑥𝑥 =1
𝑛 − 1∑(𝑥𝑖 − )(𝑦𝑖 − 𝑦)
𝑆𝑥𝑦 =1
𝑛 − 1∑(𝑥𝑖 − )2 = 𝑆𝑥
2 = 𝑉𝑎𝑟 (𝑥)
𝑆2 → 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎, 𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑐𝑜𝑛 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑜
Coeficiente de correlación lineal: mide la relación lineal existen entre dos variables.
𝑟 =𝑆𝑥𝑦
𝑆𝑥𝑆𝑦, −1 ≤ 𝑟 ≤ 1
Valor de r X y Y
Cercano a 1 tiene correlación lineal positiva fuerte
Cercano a -1 tiene correlación lineal negativa fuerte
Cercano a 0 no existe correlación lineal
Matriz de Varianza y Covarianza.- es una matriz cuadrada simétrica y depende del
número de variables aleatorias.
[𝑆𝑥𝑖,𝑦𝑗] = [𝑆𝑥1
2 𝑆𝑥1𝑥2
𝑆𝑥2𝑥1 𝑆𝑥22 ]
Demostración:
𝑆𝑥𝑦 = 𝑆𝑦𝑥
1
𝑛 − 1∑(𝑥𝑖 − )(𝑦𝑖 − ) =
1
𝑛 − 1∑(𝑦𝑖 − )(𝑥𝑖 − ) = 𝑆𝑥𝑦
Matriz de correlación.- es una matriz cuadrada simétrica y depende del número de
variables aleatorias y su diagonal es 1.
𝑟𝑖𝑗 = [𝑟1,1 𝑟1,2
𝑟2,1 𝑟2,2]
Demostración:
𝑟 =𝑆𝑥𝑦
𝑆𝑥𝑆𝑦
𝑟1,1 =𝑆𝑥𝑥
𝑆𝑥𝑆𝑥=
𝑆𝑥2
𝑆𝑥2 = 1
𝑟1,2 = 𝑟2,1
𝑟1,2 =𝑆𝑥𝑦
𝑆𝑥𝑆𝑦=
𝑆𝑦𝑥
𝑆𝑦𝑆𝑥= 𝑟2,1
ESPERANZA MATEMÁTICA
Definición: la esperanza matemática de una variable aleatoria discreta es:
𝐸(𝑥) = ∑ 𝑝𝑖𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
, 𝑝𝑖 = 𝑃(𝑥 = 𝑥𝑖)
Observación:
La esperanza matemática es una especie de promedio.
𝐸() = 𝑢; La esperanza o promedio de la media aritmética es igual a la media
poblacional.
ESPERANZA MATEMÁTICA DE UNA VARIABLE ALEATORIA
CONTINUA
Definición: la esperanza matemática de una variable aleatoria continua es:
𝐸(𝑥) = ∫ 𝑥 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥+∞
−∞
, ∀ 𝑥 ∈ 𝐼
Observación:
𝐸(𝑥) = ∫ 𝑥 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥𝑏
𝑎
, ∀ 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏)
PROPIEDADES DE LA ESPERANZA MATEMÁTICA
1. 𝑬(𝒄) = 𝒄 , 𝒄 𝒆𝒔 𝒄𝒕𝒆
𝐸(𝑥) = ∫ 𝑥 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥+∞
−∞
𝐸(𝑐) = ∫ 𝑐 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥+∞
−∞
𝐸(𝑐) = 𝑐 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥+∞
−∞
𝑬(𝒄) = 𝒄
2. 𝑬(𝒙 + 𝒚) = 𝑬(𝒙) + 𝑬(𝒚)
𝐸(𝑥) = ∫ 𝑥 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥+∞
−∞
𝐸(𝑔(𝑥)) = ∫ 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥+∞
−∞
𝐸(𝑥 + 𝑦) = ∫ (𝑥 + 𝑦) 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥+∞
−∞
𝐸(𝑥 + 𝑦) = ∫ 𝑥 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥+∞
−∞
+ ∫ 𝑦 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥+∞
−∞
𝑬(𝒙 + 𝒚) = 𝑬(𝒙) + 𝑬(𝒚)
3. 𝑬(𝒄𝒙) = 𝒄𝑬(𝒙)
𝐸(𝑐𝑥) = ∫ 𝑐𝑥 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥+∞
−∞
𝐸(𝑐𝑥) = 𝑐 ∫ 𝑥 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥+∞
−∞
𝑬(𝒄𝒙) = 𝒄 𝑬(𝒙)
LA VARIANZA
Definición: la varianza de una variable aleatoria x (discreta o continua) se define:
𝑽𝒂𝒓(𝒙) = 𝑬(𝒙 − 𝑬(𝒙))𝟐
Demostración:
𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝐸𝑥2 − (𝐸(𝑥))2
𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝐸(𝑥 − 𝐸(𝑥))2
𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝐸(𝑥2 − 2𝑥𝐸(𝑥) + (𝐸(𝑥))2)
𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝐸(𝑥2) − 2𝐸(𝑥𝐸(𝑥) + (𝐸(𝑥))2
𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝐸(𝑥2) − 2𝐸(𝑥)𝐸(𝑥) + (𝐸(𝑥))2
𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝐸(𝑥2) − 2𝐸(𝑥2) + (𝐸(𝑥))2)
𝑽𝒂𝒓(𝒙) = 𝑬𝒙𝟐 − (𝑬(𝒙))𝟐
Definición de varianza variable aleatoria discreta:
Sea x una v.a.d la varianza se define:
𝑉𝑎𝑟(𝑥) = ∑(𝑥𝑖 − 𝐸𝑥)2𝑝𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑉𝑎𝑟(𝑥) = ∑ 𝑥𝑖2
𝑛
𝑖=1
𝑝𝑖 − (𝐸𝑥)2
Definición de varianza variable aleatoria continua:
Sea x una v.a.c la varianza se define:
𝑉𝑎𝑟(𝑥) = ∫ (𝑥 − 𝐸𝑥)2𝑓(𝑥)𝑑𝑥+∞
−∞
𝑉𝑎𝑟(𝑥) = ∫ 𝑥2𝑓(𝑥)𝑑𝑥+∞
−∞
− (𝐸𝑥)2
Observación: si f(x) se define en 𝐼 ∈ [𝑎, 𝑏]
𝑉𝑎𝑟(𝑥) = ∫ 𝑥2𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − (𝐸𝑥)2𝑏
𝑎
PROPIEDADES DE LA VARIANZA
1. 𝑽𝒂𝒓(𝒄) = 𝟎 ; 𝒄 𝒆𝒔 𝒄𝒕𝒆
𝑉𝑎𝑟(𝑥) = ∫ (𝑥 − 𝐸𝑥)2𝑓(𝑥)𝑑𝑥+∞
−∞
𝑉𝑎𝑟(𝑐) = ∫ (𝑐 − 𝐸𝑥)2𝑓(𝑥)𝑑𝑥+∞
−∞
𝑉𝑎𝑟(𝑐) = ∫ (𝑐 − 𝑐)2𝑓(𝑥)𝑑𝑥+∞
−∞
𝑽𝒂𝒓(𝒄) = 𝟎
2. 𝑽𝒂𝒓(𝒙) = 𝒄𝟐𝑽𝒂𝒓(𝒙)
𝑉𝑎𝑟(𝑐𝑥) = ∫ (𝑐𝑥 − 𝐸𝑐𝑥)2𝑓(𝑥)𝑑𝑥+∞
−∞
𝑉𝑎𝑟(𝑐𝑥) = ∫ 𝑐(𝑥 − 𝐸(𝑥))2𝑓(𝑥)𝑑𝑥+∞
−∞
𝑉𝑎𝑟(𝑐𝑥) = 𝑐2 ∫ (𝑥 − 𝐸(𝑥))2𝑓(𝑥)𝑑𝑥+∞
−∞
𝑽𝒂𝒓(𝒙) = 𝒄𝟐𝑽𝒂𝒓(𝒙)
3. 𝑽𝒂𝒓(𝒙 + 𝒚) = 𝑽𝒂𝒓(𝒙) + 𝑽𝒂𝒓(𝒚)
Conocemos: 𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝐸(−𝐸𝑥)2
𝑉𝑎𝑟(𝑥 + 𝑦) = 𝐸[(𝑥 + 𝑦) − 𝐸(𝑥 + 𝑦)]2
𝑉𝑎𝑟(𝑥 + 𝑦) = 𝐸[(𝑥 + 𝑦)2 − 2𝐸(𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 𝑦) + 𝐸(𝑥 + 𝑦)]
𝑉𝑎𝑟(𝑥 + 𝑦) = 𝐸[(𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2) − 2𝐸(𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 𝑦) + 𝐸𝑥 + 𝐸𝑦]
𝑉𝑎𝑟(𝑥 + 𝑦) = 𝐸[(𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2) − 2𝐸(𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2) + 𝐸𝑥 + 𝐸𝑦]
𝑉𝑎𝑟(𝑥 + 𝑦) = 𝐸(𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2) − 2𝐸𝑥2 + 2𝐸𝑥𝑦 − 2𝐸𝑦2) + 𝐸𝑥 + 𝐸𝑦
𝑉𝑎𝑟(𝑥 + 𝑦) = 𝐸[𝑥2 + 2𝑥𝐸𝑥 + (𝐸𝑥)2) + (𝑦2 + 2𝑦𝐸𝑦 + 𝐸𝑦2) + (2𝑥𝑦 − 2𝑥𝐸𝑦 − 2𝑦𝐸𝑥 + 2𝐸𝑥𝐸𝑦]
𝑉𝑎𝑟(𝑥 + 𝑦) = 𝑉𝑎𝑟(𝑥) + 𝑉𝑎𝑟(𝑦) + 𝐸[2(𝑥𝑦 − 𝑥𝐸𝑥 − 𝑦𝐸𝑥 + 𝐸𝑥𝐸𝑦)]
Covarianza (x+y): 𝐸[(𝑥 − 𝐸𝑥)(𝑦 − 𝐸𝑦)]
𝑉𝑎𝑟(𝑥 + 𝑦) = 𝐸(𝑥𝑦 − 𝑥𝐸𝑦 − 𝑦𝐸𝑥 + 𝐸𝑥 + 𝐸𝑥𝐸𝑦)
𝑽𝒂𝒓(𝒙 + 𝒚) = 𝑽𝒂𝒓(𝒙) + 𝑽𝒂𝒓(𝒚)
Ejemplos.
1) Halle la esperanza y la varianza de una v.a x que tiene como función de
distribución:
𝐹(𝑥) =
0; 𝑥 ≤ −1𝑥 + 1
4; −1 < 𝑥 ≤ 3
1; 𝑥 > 3
1
4(𝑥 + 1);
1
4(𝑥 + 1)𝑑𝑥;
1
4(1) =
1
4
𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥) = 1
4; −1 < 𝑥 ≤ 3
0 ; 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
𝐸(𝑥) = ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑥
4𝑑𝑥
3
−1
3
−1
=1
4∫ 𝑥𝑑𝑥
3
−1
= 𝟏
𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝐸𝑥2 − (𝐸𝑥)2
𝐸𝑥2 = ∫ 𝑥2𝑓(𝑥)3
_1
𝑑𝑥 =1
4∫ 𝑥2
3
_1
𝑑𝑥 =7
3
𝑉𝑎𝑟(𝑥) =𝟏𝟑
𝟏𝟎
2) Halle la esperanza y la varianza de la v.a.d definida por:
y 2 4 5 6
p 0,3 0,1 0,2 0,4
𝐸(𝑦) = ∑ (𝑦𝑖𝑝𝑖)4𝑖=1 = (2(0,3) + 4(0,1) + 5(0,2) + 6(0,4)) = 4,4
𝑉𝑎𝑟(𝑦) = ∑(𝑦𝑖)2
4
𝑖=1
𝑝𝑖 − (𝐸𝑦)2
∑(𝑦𝑖)2
4
𝑖=1
𝑝𝑖 = [4(0,3) + 16(0,1) + 25(0,2) + 36(0,4)] =111
5
𝑉𝑎𝑟(𝑦) =111
5− (
22
5)
2
=71
25
3) Sean x,y,z variables aleatorias independientes cada una con media 𝝁 y
varianza 𝝈𝟐.
Esperanza y varianza de S=x+y+z
𝐸(𝑠) = 𝐸(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)
𝐸(𝑠) = 𝐸(𝑥) + 𝐸(𝑦) + 𝐸(𝑧)
𝐸(𝑠) = 𝜇 + 𝜇 + 𝜇
𝐸(𝑠) = 3𝜇
𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝑉𝑎𝑟(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)
𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝑉𝑎𝑟(𝑥) + 𝑉𝑎𝑟(𝑦) + 𝑉𝑎𝑟(𝑧)
𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝜎2 + 𝜎2 + 𝜎2
𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 3𝜎2
𝑇 = 3 → 𝐸(𝑇)
𝐸(𝑇) = 𝐸(3𝑥)
𝐸(𝑇) = 3𝐸(𝑥)
𝐸(𝑇) = 3𝜇
𝑉𝑎𝑟(𝑇) = 𝑉𝑎𝑟(3𝑥)
𝑉𝑎𝑟(𝑇) = 9 𝑉𝑎𝑟(𝑥)
𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 9𝜎2
4) Sea x una v.a.d en el intervalo [-1; 1] y f(x) su función de densidad.
Encuentre E(x) si f(x)= |𝒙|.
𝑓(𝑥) = −𝑥, 𝑥 < 0
𝑥, 𝑥 ≥ 0
𝐸(𝑥) = ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ x(−x)𝑑𝑥0
−1
1
−1
+ ∫ 𝑥(𝑥)𝑑𝑥1
0
𝐸(𝑥) = ∫ −𝑥2𝑑𝑥0
−1
+ ∫ 𝑥2𝑑𝑥1
0
= −1
3+
1
3= 𝟎
EJERCICIOS PROPUESTOS
1) La densidad de probabilidad de una variable aleatoria x está dada por:
315𝑥4(1-𝑥)4 0<x<1
f(x)=
0 otro x
a) calcule la esperanza
b) calcule la varianza de x
2) El tiempo que tarda en atender a una persona en un restaurante es una
variable aleatoria con densidad de probabilidad
0.25(e)−0.25𝑥 0<x<2
f(x)=
0 otro x
a) Calcule el tiempo promedio que se demora en atender a cada cliente
b) calcule la varianza de x
3) El peso (en kilogramos) de una foca se distribuye según
1 1<x<2
f(x)=
0 otro x
a) determine el promedio del peso
b) determine la esperanza
4) El tiempo de vida (horas) de un automóvil tiene por función de densidad
-3x(x-1) 1
2 0≤x≤1
f(x)=
0 resto
a) determine el promedio de horas
b) determine la varianza de x
5) La variable aleatoria X es el tiempo (en minutos) durante el cual un
dispositivo eléctrico se utiliza a su máxima carga durante cierto periodo de
tiempo. Supongamos que X es una v.a continúa cuya función de densidad
esta dada por:
𝑥
15002 si 0≤x<1500
f(x)=
−(𝑥−3000)
15002 si 1500≤x<3000
a) calcule el valor esperado de la variable
RESPUESTA
1 a)0.5 b)0.11
2.a)0.1516 b)0.3813
3.a)1.5 kg b)0.0833
4.a)0.25 horas b)0.0125
5.a)1500 minutos
5.2 FUNCIÓN GENERADORA DE MOMENTOS
Definición de momento: sea x una v.a (variable aleatoria) y sea k un número natural,
se define el momento de orden k, 𝜇𝑘 = 𝐸(𝑥𝑘).
Definición de función generadora de momentos: la f.g.m se define:
𝑀(𝑡) = 𝐸(𝑒𝑥𝑡)
Definida para valores t, en los cuales la esperanza existe.
Teorema: sea x una f.g.m con derivadas continuas de cualquier orden entonces:
𝜇𝑘 = 𝐸(𝑥𝑘) =𝑑𝑘
𝑑𝑡𝑘𝑀(𝑡), 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 = 0
Ejemplos.
1) Encuentre la función generadora de momentos para la v.a cuya
probabilidad es:
x -4 6 10
pi 0,2 0,3 0,5
Sabemos:
𝑀(𝑡) = 𝐸(𝑒𝑥𝑡) = ∑ 𝑒𝑥𝑡
𝑚
𝑖=1
𝑃(𝑥 = 𝑥𝑖) = 0,2𝑒−4𝑡 + 0,3𝑒6𝑡 + 0,5𝑒10𝑡
2) Halle la función generadora de momentos de una v.a cuya función de
densidad es:
𝑓(𝑥) = 1
4; −1 < 𝑥 ≤ 3
0 ; 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
𝑀(𝑡) = 𝐸(𝑒𝑥𝑡) = ∫1
4𝑒𝑥𝑡
3
−1
𝑑𝑥 =1
4𝑡(𝑒3𝑡 − 𝑒−𝑡)
CAPÍTULO 6
DISTRIBUCION V.A DISCRETAS
Distribución de Bernoulli.- Si x v.a, si fue una distribución de Bernoulli entonces tiene
dos posibles resultados
a) Éxito →P (éxito) =p
b) Fracaso → P (Fracaso)=q
Distribución Binomial .- dado n pruebas de Bernoulli conocer la posibilidad de k
éxitos en las n pruebas
𝑃(𝑥 = 𝑘) = 𝑛𝐶𝑘𝑝𝑘𝑞𝑛−𝑘
𝑝 = 𝑃(𝑒𝑥𝑖𝑡𝑜)
𝑞 = 𝑃(𝑓𝑟𝑎𝑐𝑎𝑠𝑜)
𝑥 → 𝐵𝑖𝑛(𝑛, 𝑝) → 𝑃(𝑒𝑥𝑖𝑡𝑜)
Muestra Bernoulli
𝐸(𝑥) = 𝑛𝑝
𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝑛 − 𝑝 − 𝑞
1. Distribución Binomial
𝐸(𝑥) = 𝑛 𝑝
𝑦 = 𝐷(𝑝)
Donde
𝑥 → 𝐵(𝑛, 𝑝) = 𝑦 + 𝑦 + 𝑦 + 𝑦 + ⋯ + 𝑦
→ 𝑄𝑥(𝑡) = 𝑄𝑦(𝑡) ∗ 𝑄𝑦(𝑡) ∗ 𝑄𝑦(𝑡) ∗ … ∗ 𝑄𝑦(𝑡)
= (𝑝𝑒𝑡 + 𝑞) ∗ (𝑝𝑒𝑡 + 𝑞) ∗ (𝑝𝑒𝑡 + 𝑞) ∗ (𝑝𝑒𝑡 + 𝑞) ∗ … ∗ (𝑝𝑒𝑡 + 𝑞)
Teorema de momento
𝑒 = 𝑄𝑡→0(𝑡)
𝑄(𝑡) = 𝑛(𝑝 𝑒𝑡 + 𝑞)𝑛+1 𝑝𝑒𝑡
Si t=0
𝑄(0) = 𝑛(1)𝑛−1 𝑝
= 𝑛 𝑝
𝐸(𝑥) = 𝐸[𝑦 + 𝑦 + 𝑦 + 𝑦 + ⋯ + 𝑦]
𝐸(𝑥) = 𝐸(𝑦) + 𝐸(𝑦) + ⋯ + 𝐸(𝑦)
𝑬(𝒙) = 𝒏 𝒑
Var x = E(x2) – u2 (1)
E(x2) = Q2 (t)
𝑄ΙΙ(𝑡) = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑝 𝑒𝑡 + 𝑞)𝑛−2 − 𝑝𝑒𝑡 − 𝑝𝑒𝑡 + 𝑝𝑒𝑡 [𝑛(𝑝𝑒𝑡 + 𝑞)𝑛−1]
𝑠𝑖 𝑇 = 0
𝑄ΙΙ(𝑡) = 𝑛2𝑝2 − 𝑛𝑝2 + 𝑛𝑝2 (2)
𝑉𝑎𝑟 𝑥 = 𝑛2𝑝2 − 𝑛𝑝2 + 𝑛𝑝 − 𝑛2𝑝2
𝑉𝑎𝑟 𝑥 = 𝑛𝑝 𝑛𝑝2
𝑉𝑎𝑟 𝑥 = 𝑛𝑝(1 − 𝑝)
𝑽𝒂𝒓 𝒙 = 𝒏 𝒑 𝒒
Ejemplos:
1) Una maquina llena de cajas de palillos de fosforo .En una porción del ¡0%la
maquina no llena las cajas por completo se forma al azar 25 cajas de
fosforo . calcule la probabilidad de q no haya más de 2 cajas incompletas
Éxito = “cajas incompletas”
X ”#de cajas incompletas”
𝑃(𝑥 ≤ 2) = 𝑃(𝑥 = 0) + 𝑃(𝑥 = 1) + 𝑃(𝑥 = 2)
𝑃(𝑥 = 0) = 25𝐶0(0,1)0(0,9)25 = 0,07
𝑃(𝑥 = 1) = 25𝐶0(0,1)1(0,9)24 = 0,19
𝑃(𝑥 = 2) = 25𝐶0(0,1)2(0,9)23 = 0,27
𝑃(𝑥 ≤ 2) = 0,54
2) Una encuesta revala que el 20%de la población es favorable a un político y
el resto es desfavorable. Si se eligen 6 personas al azar se desea saber
a) La probabilidad de que las 6 personas sean desfavorables
b) La probabilidad de que a 4 de las 6 personas sean favorables
a)
𝑃(𝑒𝑥𝑖𝑡𝑜) = 𝑝 = 0,8
𝑥 = 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠
𝑃(𝑥 = 6) = 6𝐶6(0,8)6(0,2)0 = 0,26
b) Éxito favorable
𝑃(𝑒𝑥𝑖𝑡𝑜) = 𝑝 = 0,2
𝑥 = # 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠
𝑃(𝑥 = 4) = 6𝐶4(0,2)4(0,8)2 = 0,015
3) Una aeronave dispone de 4 motores que funcionen independientemente la
probabilidad de que falle 1 motor durante un vuelo sea 0,01. Cuál es la
probabilidad de que un vuelo dado :
a) No se observe fallas
b) No se observe más de una falla
c) Si un avión puede seguir volando si al menos dos motores
4 motores
a)
𝑃("𝑢𝑛 𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 𝑓𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑜") = 𝑝 = 0,01
(𝑒𝑥𝑖𝑡𝑜) = "𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 𝑓𝑎𝑙𝑙𝑒 "
𝑃(𝑒𝑥𝑖𝑡𝑜) = 𝑝 = 0,01
𝑥 = # 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑓𝑎𝑙𝑙𝑒𝑛
𝑃(𝑥 = 𝑘) = 𝑛𝐶𝑘𝑝𝑘𝑞𝑛−𝑘
𝑃(𝑥 = 𝑘) = 4𝐶0(0,01)𝑛(0,99)4 = 0,015
𝑃(𝑥 = 𝑘) = 0,96
b)
𝑃("𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎 𝑚𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑎𝑙𝑙𝑎") = 𝑝(𝑥 ≤ 1)
= 𝑃(𝑥 = 0) + 𝑃(𝑥 = 1)
= 4𝐶0(0,01)0(0,99)4 + 4𝐶1(0,01)1(0,99)3
= 0,99
c)
𝑃("𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 2 𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦 𝑠𝑒 𝑎𝑐𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒") = 𝑝(𝑥 ≤ 3)
= 4𝐶3(0,01)3(0,99)
= 3,96𝑋10−6
DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA
Investigar la probabilidad de que en el grupo elegido contenga exactamente k-bolas
rojas
N →bolas
𝑝 =𝑛𝐶𝑘 𝑁−𝑛 𝐶𝑟−𝑘
𝑁𝐶𝑟= 𝑘 = 0,1 … . min [𝑛. 𝑟]
Muestra (1)
𝑝 =𝑛
𝑁; 𝑞 = 1 − 𝑝
𝑃(𝑥 = 𝑘) =𝑁𝑝𝐶𝑘 𝑁 −𝑛 𝐶𝑟−𝑘
𝑁𝐶𝑟= 𝑘 = 0,1 … . min[𝑛. 𝑟]
𝐸(𝑥) =𝑟𝑛
𝑁= 𝑟𝑝
𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝑟𝑝𝑞𝑁 − 𝑟
𝑛 − 1
n→ rojas
N-n→ negras
Distribución Hipergeométrica
𝐸(𝑥) = ∑ 𝑥(𝑘
𝑥)(𝑁−𝑘
𝑛−𝑘)
(𝑁𝑛
)
𝑛
𝑥=0
= 𝑘 ∑(𝑘 − 1)!
(𝑥 − 1)! (𝑘 − 𝑥)!
(𝑁−𝑘𝑛−𝑘
)
(𝑁𝑛
)
𝑛
𝑥=1
∑(𝑘−1
𝑥−1)(𝑁−𝑘
𝑛−𝑘)
(𝑁𝑛
)
𝑛
𝑥=1
Puesto que:
(𝑁 − 𝑘
𝑛 − 1 − 𝑦) = (
(𝑁 − 1) − (𝑘 − 1)
𝑛 − 1 − 𝑦)
(𝑁
𝑛) =
𝑁!
𝑛! (𝑁 − 𝑛)!=
𝑁
𝑛(
𝑁 − 1
𝑛 − 1)
Y con y= x-1, obtenemos
∑(𝑘−1
𝑥−1)(𝑁−𝑘
𝑛−𝑘)
(𝑁𝑛
)
𝑛
𝑥=1
𝑛𝑘
𝑀∑
(𝑘−1𝑦
) (𝑁−1−𝑘+1𝑛−1−𝑦
)
(𝑁−1𝑛−1
)=
𝑛𝑘
𝑁
𝑛
𝑥=1
𝑬(𝒙) = 𝒏𝒌
𝑵
PARÁMETROS
x→ binomial (n,p)
x→ hipergeometrica (N,n,r)
Ejemplos:
1. En una línea de control de calidad se revisan 10 artículos determinando
que hay 3 que no cumplen con las especificaciones. Si se escogen al azar
2 artículos identifique los parámetros de la ley y halle la esperanza de V.A
, que describe el número de piezas correctas , las dos escogidas
N →bolas
𝑁 = 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠
3 artículos no cumplen especificación
2 artículos se escogen al azar
Muestra (r)
𝑃(𝑥 = 0) =3𝐶27𝐶0
10𝐶2= 0,06
𝑃(𝑥 = 1) =3𝐶17𝐶1
10𝐶2= 0,46
𝑃(𝑥 = 2) =3𝐶07𝐶2
10𝐶2= 0,46
𝐸(𝑥) = ∑ 𝑥𝑖𝑝𝑖
3
𝑖=1
= 0 + 0,46 + 2(0,46)
= 𝟏, 𝟑𝟖
𝐸(𝑥) =𝑟𝑛
𝑁= 𝑟𝑝 = 2(
7
10)
𝐸(𝑥) =7
5= 𝟏, 𝟒
2. Para llenar 4 vacantes de contador se presentan 10 personas, 7 h y 3m.
Salen seleccionado 3h y 1m .las M acusan al empleador de discriminación
sexual por que los llevan a juicio si el juez supone que la elección fue al
azar puede decirse que existió discriminación al hacer la elección
𝑁 = 10 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠
1 ℎ𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑠 → 3𝐻
3 𝑚𝑢𝑗𝑒𝑟𝑒𝑠 → 1𝐻
Grupo de 4 personas
𝑥 = "# 𝑑𝑒 ℎ𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑠"
𝑃(𝑥 = 3) =7𝐶33𝐶1
10𝐶4= 0,03
No existe discriminación
DISTRIBUCION GEOMETRICA
n→ correctas
U-n→ incorrecto
Sea una secuencia de pruebas de Bernoulli con probabilidad de éxito p ,en lugar de
contar el # de éxitos ,nos interesa conocer el # de intentos hasta obtener el primer éxito
Una sucesión de prueba de este tipo se dice que es un experimento geométrico
𝑥 = # 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑒𝑥𝑖𝑡𝑜
𝑃(𝑥 = 𝑘) = 𝑞𝑘−1𝑝 ; 𝑘 = 1,2 … ..
𝑥 𝑣. 𝑎. 𝑑 → 𝐺(𝑝)
𝐸(𝑥) =1
𝑝
𝑉𝑎𝑟(𝑥) =𝑞
𝑝2
Distribución Geométrica
Esperanza
𝑄𝑥 (𝑡) = ∑ 𝑒1+𝑘𝑝𝑞𝑘 = 𝑝 ∑(𝑒 + 𝑞)𝑘
∞
𝐾=0
∞
𝑖=0
=𝑝
1 − 𝑒𝑡𝑞
𝐸(𝑥) = 𝑝 𝑞
(𝑞 − 1)2
𝑝 = 𝑞 − 1
𝐸(𝑥) =𝑝 𝑞
𝑝2=
𝑞
𝑟
𝑬(𝒙) =𝒒
𝒑
Varianza
𝑉𝑎𝑟 𝑥 = 𝐸(𝑥2) − 𝑢′
Si t=0;
𝐸(𝑥2) = 𝑄ΙΙ(𝑡)
𝑡2=
𝑞(1 + 𝑝)
𝑝2
𝑉𝑎𝑟 (𝑥) = 𝑞 + 𝑞2 − 𝑞2
𝑝2
𝑽𝒂𝒓(𝒙) = 𝒒
𝒑𝟐
Ejercicios:
1. Cuando se graba un comercial de tv la probabilidad de que un actor recite
el dialogo de su toma es de 0.3. Cuál es la probabilidad que el actor recite
correctamente su dialogo en la 6ta vez
𝑥 = "# 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑖𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒"
𝑃(𝑥 = 6) = (0,7)5(0,3) = 0,05
𝐸(𝑥) =1
𝑝=
1
0,3= 3.33 → 𝑎 𝑙𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑒𝑟𝑎 𝑣𝑒𝑧 𝑠𝑢 𝑑𝑖𝑎𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑠𝑒𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜
𝑉𝑎𝑟(𝑥) =𝑞
𝑝2=
0,7
0,32= 7,78
2. En 1 examen el profesor realiza varias preguntas a 1 estudiante de P de que
el estudiante responda correctamente a cualquier preguntas es =0,9 el
profesor interrumpe el examen apenas el estudiante manifiesta el
desconocimiento de la pregunta hecha calcular
a) Formar la ley de distribución de la v.a que describe el número de preguntas
que realiza el profesor
b) Hallar el numero esperado de preguntas que ha de realizar el profesor
𝑥 = "# 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑔𝑢𝑛𝑡𝑎𝑠 𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟"
𝐸𝑥𝑖𝑡𝑜 = "𝑛𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑎"
𝑃(𝑒𝑥𝑖𝑡𝑜) = 𝑝 = 0,1
𝑃(𝑥 = 𝑘) = 𝑞𝑘−1𝑝
𝑃(𝑥 = 1) = (0.9)0(0,1) = 0,1
𝑃(𝑥 = 2) = (0.9)1(0,1) = 0,09
𝑃(𝑥 = 3) = (0.9)2(0,1) = 0,081
𝑃(𝑥 = 4) = (0.9)3(0,1) = 0,073
𝐸(𝑥) =1
𝑝=
1
0,1= 10
DISTRIBUCION DE POISSON
Sea x una v.a.d se dice que x sigue una distribución de Poisson con parámetro λ es un
promedio de los sucesos por unidad de tiempo es decir: x →P(λ), la distribución de
Poisson indica la probabilidad de sucesos o de una unidad de tiempo
𝑃(𝑥 = 𝑘) =𝑒−λλ
k ; 𝑘 = 0,1,2 … ….
𝐸(𝑥) = c y Var(x) = λ
Observación:
𝑃(𝑥 = 𝑘) =𝑒−λλ(t)t
k ; 𝑘 = 0,1,2 … ….
Distribución de poision
𝐹(𝑥) = ∑𝑒−⋋ ⋋𝑥
𝑥!
∞
𝑥=0
𝑄(𝑡) = 𝐸(𝑒−⋋)𝑒−⋋ ⋋
∝ !
= 𝑒−⋋[1 +∝
1!+
∝2
2!+ ⋯ ]
𝑄(𝑡) = 𝑒−⋋(𝑒𝑡−1)
Esperanza
u=E(x)
Donde
α= Q(t)
∝= ⋋ 𝑒𝑡
∝=⋋ +𝑒1
𝑬(𝒙) = ⋋
Varianza
𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝐸(𝑥2) − [𝐸(𝑥)]2
𝑉𝑎𝑟(𝑥) = (⋋ + ⋋2−⋋2)
𝑽𝒂𝒓 (𝒙) = ⋋
Ejemplo:
1) El promedio de llamadas que recibe una central telefónica en un minuto es
de 1,5 halle la probabilidad de que en 4 minutos se reciban:
a) 3 llamadas
b) Menos de 3 llamadas
c) No menos de 4 y no más de 7
a)
𝜆 = 1,5 [𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎𝑠
𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜]
𝑡 = 4 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
𝑥 = "# de llamadas 4 minutos"
𝑃(𝑥 = 3) =𝑒−(1,5(4))(1,5(4))
3
3!= 0,089
b)
𝑃(𝑥 < 3) = 𝑃(𝑥 = 2) + 𝑃(𝑥 = 1) + 𝑃(𝑥 = 0)
=𝑒−(1,5(4))(1,5(4))
2
2!+
𝑒−(1,5(4))(1,5(4))1
1!+
𝑒−(1,5(4))(1,5(4))0
0!
= 0,04 + 0,01 + 2,47𝑋10−3
= 0,06
c)
𝑃(4 ≤ 𝑥 ≤ 7) = 𝑃(𝑥 = 4) + 𝑃(𝑥 = 5) + 𝑃(𝑥 = 6) + 𝑃(𝑥 = 7)
=𝑒−(1,5(4))(1,5(4))
4
4!+
𝑒−(1,5(4))(1,5(4))1
5!+
𝑒−(1,5(4))(1,5(4))6
6!+
𝑒−(1,5(4))(1,5(4))7
7!
= 0,133 + 0,16 + 0,16 + 0,14
= 0,593
2) En un hotel el promedio de pedidos a la habitación es igual a dos cada
media hora. Halle la probabilidad de que en una hora se reciba
a) Tres pedidos
b) Menos de 3 pedidos
𝜆 = 2 [𝑝𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜𝑠
30𝑚𝑖𝑛] = 4 [
𝑝𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜𝑠
1 ℎ𝑜𝑟𝑎]
𝑡 = 1ℎ
𝑥 = "#𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑢𝑛𝑎 ℎ𝑜𝑟𝑎"
a)
𝑒−(1,5(1))(4(1))3
3!= 0,195
b)
𝑃(𝑥 ≤ 3) = 𝑃(𝑥 = 2) + 𝑃(𝑥 = 1) + 𝑃(𝑥 = 0)
𝑒−(4(1))(4(1))2
2!+
𝑒−(4(1))(4(1))1
1!+
𝑒−(4(1))(4(1))0
0!+
= 0,146 + 0,073 + 0,018
= 0,237
DISTRIBUCION BINOMIAL NEGATIVA
Sea X una variable aleatoria binomial negativa con parámetros r y p. Entonces:
𝑃(𝑋 = 𝑘) = (𝑟 − 1𝑘 − 1
) 𝑝𝑟(𝑞)𝑘−𝑟
1. La función generadora de momentos de X está dada por:
𝑚𝑥(𝑡) =(𝑝𝑒𝑡)𝑟
(1 − 𝑞𝑒𝑡)𝑟 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑞 = 1 − 𝑝
2. 𝐸(𝑋) = 𝑟/𝑃
3. 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝑟𝑞/𝑝2
Ejercicios Propuestos. (Libro Galindo pagina 132)
1. Una jugadora de tenis gana el 30 % de los partidos que realiza. Ella jugara
en un torneo mientras no sea eliminada en el partido.
a) Halle la probabilidad de que sea eliminada en el segundo partido;
b) Si para ganar el torneo se debe ganar 5 partidos consecutivos, ¿cuál es la
probabilidad de que la jugadora pierda en la final del torneo?
c) ¿Cuántos partidos se espera que llegue a jugar durante el torneo?
Respuestas: a) 0.2211 b) 0.007946 c) partidos
2. Una marca de refrescos tiene impresas, en cada una de las tapas, una de
las figuras de los cuatro jinetes del apocalipsis, y quien reúna la colección
completa ganara un premio. Si un comprador cree que hay igual número
de figuras de cada uno de los personajes en la proporción, ¿Cuántos
refrescos a de esperar para ganar el premio?
Respuesta: E(X)= 8.33, es decir 9 refrescos
3. Un lepidopterista solo está interesado en los ejemplares de una clase de
mariposas, que constituyen el 15% de todas las mariposas de la zona. Halle
la probabilidad de que esta persona tenga que cazar 8 mariposas de las
que no le interesan antes de comprar.
a) un ejemplar de clase deseada;
b) tres ejemplares de clase deseada;
Respuestas: a) 0.04087 b) 0.03564
4. En una fábrica, el departamento de control de calidad, revisa los lotes de
piezas que entran, de acuerdo con el siguiente criterio: se van extrayendo
piezas sucesivamente y el lote es rechazado si se encuentra la primera
pieza defectuosa antes de la vigésima extracción. Si conocemos que el 2%
de piezas son defectuosas, ¿cuál es la probabilidad que un lote sea
rechazado?
Respuestas: 0.3188
5. Se sabe que, aproximadamente, el 20% de usuarios de Windows no cierran
el programa adecuadamente. Supongamos que el Windows está instalado
en una computadora publica que es utilizada aleatoriamente por personas
que actúan independientemente unas de otras?
a) ¿Cuál es la probabilidad que el tercer usuario sea el primero que cierra
adecuadamente el Windows?;
b) ¿Cuál es el número medio de personas que usan la computadora desde el
momento en que se enciende hasta que alguien no cierra el programa
adecuadamente?;
Respuestas: a) 0.032 b) 5
6.2 DISTRIBUCIÓN CONTINUAS
Distribución Uniforme.-sea x una v.a.c se dice que x sigue una distribución n
uniforme en un intervalo [a, b] denotado por: x→ U([a ,b])cuya función de densidad es:
𝑓(𝑥) = 1
𝑏 − 𝑎0 , 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
, 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]
𝐹(𝑥) =
0𝑥 − 𝑎𝑏 − 𝑎
1 , 𝑥 > 𝑏
, 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]
𝑬(𝒙) =𝒂 + 𝒃
𝟐; 𝑽𝒂𝒓 (𝒙) = (𝒃 − 𝒂)𝟐
𝐸(𝑥) = ∫ 𝑥 𝑓(𝑥) =𝑏
𝑎
∫ 𝑥 (1
𝑏 − 𝑎) 𝑑𝑥 =
𝑏
𝑎
(1
𝑏 − 𝑎) ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = (
1
2(𝑏 − 𝑎))
𝑏
𝑎
(𝑏2 − 𝑎2) =𝑎 + 𝑏
2
𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝐸(𝑥2) − (𝐸(𝑥2))
= ∫ 𝑥2 (1
𝑏 − 𝑎) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
=1
𝑏 − 𝑎∗
𝑥3
3=
1
3(𝑏 − 𝑎)∗ (𝑏3−𝑎3) =
𝑏2+𝑎𝑏 + 𝑎2
3
𝑉𝑎𝑟(𝑥) =1
3(𝑏2 + 𝑎𝑏 + 𝑎2)
=𝑏2−2𝑎𝑏 + 𝑎2
12
(𝑎 + 𝑏
2) 2
=𝑏2−𝑎𝑏 + 𝑎2
3−
(𝑎 + 𝑏)2
4
=4𝑏2 + 4𝑎𝑏 + 4𝑎2 − 3(𝑎2+2𝑎𝑏 + 𝑏2)
12
=𝑏2−2𝑎𝑏 + 𝑎2
12
𝑉𝑎𝑟(𝑥) = (𝑏 − 𝑎)2
12
DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
Sea x una variable aleatoria continua, se dice que z sigue una distribución exponencial
so el parámetro λ, y se nota que el parámetro X sigue una distribución exponencial
X→Ԑ(λ)
E(X)= 1/λ
E(X)= ∫ 𝑥λe−λx∞
0 dx = lim
𝑏→∞𝑥 ∫ λe−λx𝑏
0 dx
u=x dv= ∫ e−λx𝑏
0 dx
du=dx v=−1
λe−λx
lim𝑏→∞
λ [−𝑥
λ e−λx] + ∫
1
λ
𝑏
0e−λx dx
lim𝑏→∞
[−𝑥e−λx ] − [1
λe−λx]0
𝑏
lim 𝑏→∞
(−𝑏e−λx −1
λe−λx +
1
λ )
lim𝑏→∞
−𝑏 e−λx + lim𝑏→∞
−1
λe−λx + lim
𝑏→∞
1
λ
= 1
λ
Distribución Exponencial
𝑦(𝑡) = 𝐸[𝑒𝑡𝑥] = ∫ 𝑒𝑡𝑥∞
0
⋋ 𝑒−⋋ 𝑑𝑥
= ∫ (⋋ −𝑡)𝑒−(⋋−𝑡)𝑥𝑑𝑥∞
0
𝑬(𝒙) =𝟏
⋋
𝑓(𝑥)𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝐸𝑥𝑝 (⋋ −1) = 1
𝑄(𝑡) =⋋
⋋−𝑡=
1
1−𝑡
⋋
= (1 −𝑡
⋋)−1
Entonces la varianza será:
⋋2= 𝑄(𝑡) = −2
⋋
(1 − 𝑡)−3
⋋
(−1)
⋋=
2
⋋2
𝑉𝑎𝑟(𝑥) = ⋋2−⋋12
𝑉𝑎𝑟 (𝑥) = 2
⋋2−
1
⋋2
𝑽𝒂𝒓(𝒙) =𝟏
⋋𝟐
Ejemplos:
1. Una variable aleatoria está distribuida según una ley exponencial del
parámetro 𝛌=3.
a) Hallar la probabilidad del resultado de la prueba (0.13;0.7)
b) Determine su esperanza y su desviación estándar.
X→Ԑ(λ)
λ=3
a)
𝑓(𝑥) = 0, 𝑥 < 0
λe−λx, 𝑥 ≥ 0
𝑓(𝑥) = 0, 𝑥 < 0
3e−3x, 𝑥 ≥ 0
Pr(0.13≤ x ≥0.7)
∫ 3e−3x dx0.7
0.13
=−1
3 3 ( e−3x) 0.7
0.13
= 3 [−𝑒−3(0.7)
3+
𝑒−3(0.13)
3 ]
= 3(−0.04 + 0.23)
= 0.57
b)
E(x) = ∫ 3e−3x x dx∞
0
= 3 lim𝑏→∞
∫ e−3x x dx𝑏
0
u=x dv= ∫ e−3x dx
du=dx v=−e−3x
3
3 lim𝑏→∞
[𝑥 − e−3x + 1/3 ∫ e−3xdxb
0]
= 3 lim𝑏→∞
[−𝑏e−3x
3] + 1/3 [−
e−3x
3] b
0
=3 lim𝑏→∞
[−𝑏e−3x
3−
e−3x
9+
e0
9]
=3 [ lim𝑏→∞
−𝑏e−3x
3− lim
𝑏→∞
e−3x
9+ lim
𝑏→∞1/9 ]
=3 [−1/3 lim𝑏→∞
𝑏
e3𝑏 − 1/9 lim𝑏→∞
1
e3x + 1/9]
=3 [−1
3(0) −
1
9(0) + 1/9]
= 1
3
2. El tiempo durante el cual las baterías para teléfono celular trabaja en forma
efectiva hasta que falla se distribuye según un modelo exponencial con un
tiempo modelo de falla de 500h.
a) Calcular la probabilidad de que una batería funcione por más de 600h.
b) Si una batería ha trabajado 350h, cual es la probabilidad de que trabaje
más de 300h adicionales.
E(x)= 500h = 1/ λ = 1/500
X→Ԑ(1/500)
𝑓(𝑥) = 0, 𝑥 < 0
1
500e
−1x
500 , 𝑥 ≥ 0
P ("La batería funcione por más de 600h")
x= Número de horas que funciona la batería
P (x=600)
=∫1
500e
−x
500 dx∞
600
=1
500∫ e
−x
500 dx∞
600
=1
500[−500e
−x
500] ∞600
=−𝑒−∞
500 + 𝑒−600
500
=−1
𝑒∞
500
+ 𝑒−6
5
= 0 +𝑒−6
5
=0.30
b)
P(x> 350 + 300 /𝑥 > 350)
P(A/B)= P(𝐴∩𝐵)
𝑃(𝐵)
P(x> 350 + 300/𝑥 > 350)
=𝑃(𝑥>650 ∧ 𝑥>350)
𝑃(𝑥>350)
= 𝑃(𝑥>650)
𝑃(𝑥>350)
= 1−𝑒
−650500
1−𝑒−350500
= 0.72/0.50
= 1.432
DISTRIBUCIÓN NORMAL
X es una variable aleatoria continua, se dice que X sigue una distribución normal 𝑋 →
𝑁(𝜇, 𝜎2), La función de densidad de una distribución normal:
f(x)= 1
√2𝜋. 𝑒
−(𝑥−𝜇)2
2𝜎2 ; ∀𝑥 ∈ ℝ
Hay diferentes formas de 𝑋 → 𝑁(𝜇, 𝜎2).
Su gráfico es simétrico.
Si 𝑋 → 𝑁(𝜇, 𝜎2) ⇒ 𝑍 → 𝑁(0,1).
X⇒Z ; Z=𝑋−𝜇
𝜎
Si x-𝜇 , los datos están centrados.
Si 𝑥−𝜇
𝜎 , los datos están estandarizados.
Ejemplo:
1) El perímetro craneal de os hombres en una ciudad, es una variable aleatoria
con 𝛀=60cm y 𝝈𝟐=2.
a) Qué porcentaje de los hombres tiene un perímetro craneal entre 57 y
64cm.
b) Qué perímetro craneal debe tener un hombre para que el 16.8% de sus
paisanos tengan más cabeza que él.
c ) Y cuanto para que el 35.2% tenga menos.
a) x= "Perímetro craneal de los hombres"
𝑋 → 𝑁(60,2)
P(57≤ X ≤64)
z1=57−60
2 z2=
64−60
2
z1=-1.5 z2=2
= P(-1.5≤ Z≤ 2)
= P(Z≤ 2) - P(Z≤ −1.5)
= 0.9752-0.0668
= 0.9084
b)
Ecuación estocástica
P(x> 𝑇) = 0.166
ZT=𝑇−60
2
ZT=0.97
(0.97*2)+60=T
T=61.94
c)
P(X< 𝑇)=0.352
0.352⇒-0.3-0.008 = -0.38
ZT=𝑇−60
2
ZT=-0.38
=(-0.38*2)+60=T
T= 59.24
2) En una fábrica de autos un ing. está diseñando autobuses pequeños, sabe
que la estatura de la población está distribuida con media de 1.7m y 5cm.
Que altura mínima debe tener los autobuses para que no más del 1% de las
personas golpee su cabeza por la parte superior del bus.
X ="Estatura de la población”
X→N(170cm,5cm)
P(x≥ 𝑇)= 0.01
ZT=2.33
T=(2.33*5)+170
T=181.63cm
3) Se toman dos exámenes sobre 100 puntos en el primero se obtuvo una
media de 80 y desviación estándar de 4 y en el segundo una media de 65 y
desviación estándar de 5. Un estudiante saco 84 en el primer examen y 75
en el segundo. ¿En cuál de los dos resultados obtuvo mejor resultado?
X1→N(80,4)
X2→N(65,5)
P(x< 84) = 84−80
4 = 0.84
P(x< 75) = 75−65
5 = 0.97
DISTRIBUCIÓN GAMMA
Γ(𝛼) = (𝛼 − 1)! ; 𝛼 ∈ 𝕫
∫ 𝑥𝑏−1𝑏
0𝑒−𝑥 𝑑𝑥
u=𝑥𝑏−1 ⇒ du = (b-1)𝑥𝑏−2𝑑𝑥
dv=𝑒−𝑥𝑑𝑥 ⇒ 𝑣 = −𝑒−𝑥
u.v-v.dv
𝑥𝑏−1 . −𝑒−𝑥 − ∫(−𝑒−𝑥). (𝑏 − 1)𝑥𝑏−2𝑑𝑥
lim𝑏→∞
[𝑥∞−1. −𝑒−𝑥] b0+(∞ − 1) ∫(𝑒−𝑥). 𝑥𝑏−2𝑑𝑥
lim𝑏→∞
−𝑏∞−1
𝑒𝑏 +(∞ − 1) ∫(𝑒−𝑥). 𝑥𝑏−2𝑑𝑥
(∞ − 1) ∫ (𝑒−𝑥)∞
0𝑥𝑏−2𝑑𝑥;
(∞ − 1)= ∫ (𝑒−𝑥)∞
0𝑥∞−2𝑑𝑥;
𝚪(𝜶) = (𝜶 − 𝟏)𝚪(𝜶 − 𝟏)
Γ(𝛼) = (𝛼 − 1)(𝛼 − 2)(Γ(𝛼 − 1))
=(𝛼 − 1)(𝛼 − 2)(𝛼 − 3)(𝛼 − 4) ….
𝛼 = 1
𝛽 = 2
∫ 𝑥∞−1∞
0𝑒−𝑥 𝑑𝑥
∫ 𝑥∞𝑒−
𝑥
𝛽𝑑𝑥∞
0
∫ 𝛽𝑦∞𝑒−𝑦(𝛽)𝑑𝑦∞
0
si Y=x/𝛽
𝑑𝑦
𝑑𝑦=
1
𝛽
𝛽∞𝛽 ∫ 𝑦∞∞
0𝑒−𝑦𝑑𝑦
𝛽𝑑𝑦 = 𝑑𝑥
Γ(𝛼 + 1) = ∫ 𝑥∞𝑒−𝑥𝑑𝑥∞
0
∫ 𝑥∞𝑒−
𝑥
𝛽𝑑𝑥 = 𝛽∞+1∞
0 Γ(𝛼 + 1)
1
𝛽∞Γ(𝛼) * 𝛽∞+1 Γ(𝛼 + 1)
𝛽
Γ(𝛼) Γ(𝛼 + 1)
𝛽
Γ(𝛼)∗ 𝛼Γ(𝛼)
𝜷. 𝜶
WEIBULL
Ejercicios propuestos
1. Sea T ~ Weibull (0,5 y 3)
Determine:
a)P(T<1)
b)P(T>5)
c)P(2<T<4)
R: a)0,049 b)1,2208 C)0,011
2. En el artículo “Parameter Estimation with Only Complete Failure
Observation”. Se modela la duración, en horas, de cierto tipo de cojinete
con la distribución de Weibull con parámetros 𝜷 = 𝟒, 𝟒𝟕𝟒𝑿𝟏𝟎−𝟒 𝜶 = 𝟐, 𝟐𝟓
Determiné la probabilidad de que un cojinete dure más de 1000 horas
R:0,151
3. Suponga que la vida útil de cierto elemento es una variable aleatoria que
tiene distribución Weibull con α= 0.5 y λ= 0.01 . Calcular:
a. La vida media útil de ese artículo.
b. La variación de la vida útil.
c. La probabilidad de que el elemento dure más de 300 horas
R: a) 200 b)4447,21 c) 0,177
4. Sabiendo que el número de años de supervivencia de un paciente tras
haber sido sometido a cierta operación quirúrgica tiene una distribución de
Weibull de parámetros alfa y lambda iguales a 3.5 y 0.3, respectivamente,
obtener la probabilidad de que el paciente sobreviva a la intervención
transcurridos 5 años.
R: 0,01
5. Tenemos que seis unidades idénticas, con una confiabilidad probada de
los mismos niveles de tensión de operación y uso . Todas estas unidades
fallan durante la prueba después de funcionar el siguiente número de
horas: T 93, 34, 16, 120, 53, y 75 .
Estime los valores de los parámetros para una distribución de Weibull y
determine la confiabilidad de las unidades para un valor de misión de 15
horas
R: 0,90
EJERCICIOS RESUELTOS
INDUCCION MATEMATICA
1. Determine para que valores de n ∈ N es verdadera la desigualdad al
examinar los valores
𝟐𝒏 > 𝒏𝟐 + 𝟒𝒏 + 𝟓
Al examinar los valores los valores n =1,2,3,4,5.6 se da cuenta que la desigualdad no
se cumple .Por lo que se tendrá que demostrar por el método de inducción incompleta
que para todos los valores de n ≥ 7 la desigualdad es verdadera
Resolución
Paso 1
Si n =7, obtenemos
27 > 72 + 4(7) + 5
cuando n=7 la desigualdad es correcta
Paso 2
(Hipótesis Inductiva) Se supone que la desigualdad es verdadera para un cierto valor de
n=k, o sea,
2𝑘 > 𝑘2 + 4(𝑘) + 5
Paso 3
A partir de la hipótesis inductiva , se desea probar la tesis dada por
2𝑘+1 > (𝑘 + 1)2 + 4(𝑘 + 1) + 5
Al multiplicar la desigualdad dada en la hipótesis inductiva por 2, obtenemos
2𝑘+1 > 2𝑘2 + 8𝑘 + 10
Transformando el segundo miembro de esa desigualdad obtenemos
2𝑘+1 > (𝑘 + 1)2 + 4(𝑘 + 1) + 5 + 𝑘2 + 2𝑘
Teniendo en cuenta que 𝑘2 + 2𝑘 > 0 para todo k ≥ 7, podemos deducir que 2𝑘+1 >
(𝑘 + 1)2 + 4(𝑘 + 1) + 5 , obteniendo lo que se quería demostrar (Tesis).
2. Demostrar que la suma de los n primeros números naturales es igual a
𝒏(𝒏+𝟏)
𝟐
Demostración:
Queremos probar que ∀𝑛 ∈ 𝑁 : 1+2+3+4+……..+n= 𝑛(𝑛+1)
2
Sea p(n): 1+2+3+4+…..n= 𝑛(𝑛+1)
2 , debemos probar que p(n) satisface las propiedades
(1),(2),(3)
(1) p(1) :1= 1(1+1)
2
(2) Se supone que la igualdad es verdadera para un cierto valor de k, es decir,
1+2+3+4……+k= 𝑘(𝑘+1)
2
(3) Sea k 𝜖 𝑁, debemos probar que p(k)==> p(k+1) es verdadero hay que hacer
la demostración suponiendo que p(k) es verdadera
Como p(k+1) : 1+2+3+……..+k+(k+1)=(k+1)((k+1)+1)/2 , p(k+1) debe formarse de p(k)
sumando k+1 a ambos miembros de la igualdad (de la hipótesis inductiva)
1+2+3+…..k + (k+1)= 𝑘(𝑘+1)
2 + (k+1)= (
𝑘
2 +1)(k+1)=(k+1)(
𝑘+2
2)
Se ha confirmado que p(k+1) es verdadera suponiendo que p(k) lo es
Así se ha demostrado que ∀𝑛 ∈ 𝑁 : 1+2+3+4+……..+n= 𝑛(𝑛+1)
2 es verdadera
3. Determine todos los números naturales para los cuales
1*2*3*4……n >2𝑛
Solución: La fórmula no es válida para n =1,2,3
Para n=4 se tiene que 24 =1*2*3*4 >24 = 16 verdadero
Supongamos que la desigualdad es válida para k ∈ 𝑁 con k ≥ 4 ; esto es
1*2*3*4…..k>2𝑘 , k ≥ 4.
Por demostrar que la desigualdad es válida para k+1, es decir que
1*2*3*4…..k(k+1)>2𝑘+1 , k ≥ 4.
En efecto
1*2*3*4……k (k+1) =(1*2*3*4…..k) (k+1) > 2𝑘(𝑘 + 1)> 2𝑘(2) = 2+1
Luego 1*2*3*4……………n > 2𝑛 , 𝑦 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 tanto ∀𝑛𝜖𝑁 , n ≥ 4 1*2*3*4 …….. n > 2𝑛
4. Pruebe que la formula
1*2+2*3+3*4+…..n(n+1)= 𝑛(𝑛+1)(𝑛+2)
3 es valida para todo natural n.
Demostración .Sea p(n), 1*2+2*3+3*4+…….+n(n+1)= 𝑛(𝑛+1)(𝑛+2)
3
Entonces p(1), 1*2 = 1∗2∗3
3 =2 verdadera .
Hipótesis Inductiva : p(k) verdadera, es decir
1*2+2*3+3*4+…….+k(k+1) =𝑘(𝑘+1)(𝑘+2)
3
Tesis: Por demostrar p(k+1), es decir
1*2+2*3+3*4+…..+ k(k+1)+(k+1)(k+2) =(𝑘+1)(𝑘+2)(𝑘+3)
3
Sumando (k+1)*(k+2) a ambos lados a la igualdad de la hipótesis inductiva se obtiene :
1*2+2*3+3*4+……+k(k+1)+(k+1)(k+2)= 𝑘(𝑘+1)(𝑘+2)
3+(k+1)(k+2)
Luego solo resta probar que
𝑘(𝑘+1)(𝑘+2)
3 +(k+1)(k+2)=
(𝑘+1)(𝑘+2)(𝑘+3)
3
Factorizando por (k+1)(k+2), se tiene (k+1)(k+2)(1+𝑘
3)=
(𝑘+1)(𝑘+2)(𝑘+3)
3
Que es justamente la tesis deseada y lo que prueba que p (n) es verdadera para todo
natural n
5. Demuestre que para todo natural n ≥ 2
1
√1+
1
√2+
1
√3+ ⋯ . +
1
√𝑛> √𝑛
Demostración
Sea p(n) la proposición dada, luego para n =2, se tiene que 1 +1
√2 > √2 . La proposición
verdadera
Hipótesis de inducción : n=k
1
√1+
1
√2+
1
√3+ ⋯ . +
1
√𝑘> √𝑘
Tesis: n=k+1, Por demostrar que
1
√1+
1
√2+
1
√3+ ⋯ . +
1
√𝑘 +
1
√𝑘 + 1 > √𝑘 + 1
Sumando 1
√𝑘+1 a la igualdad de la hipótesis inductiva se tiene
1
√1+
1
√2+
1
√3+ ⋯ . +
1
√𝑘 +
1
√𝑘 + 1 > √𝑘 +
1
√𝑘 + 1
Como
√𝑘 +1
√𝑘+1 =
√𝑘2+𝑘+1
√𝑘+1>
√𝑘+1
√𝑘+1 = √𝑘 + 1
Se concluye la demostración
Análisis Exploratorio de Datos
Ejercicios resueltos:
(Estadística - Métodos y aplicaciones, 2da Edición, Edwin Galindo, Ejercicios 2, 3,
6, 8, 9, 10, 19)
1. Dadas n=8 mediciones 4, 2, 6, 5, 7, 5, 4, 6.
Determine:
a) La media muestral
𝑥 =4 + 2 + 6 + 5 + 7 + 5 + 4 + 6
8
𝑥 =39
8
𝑥 = 4.875
b) La mediana
Ordenamos datos:
2 + 4 + 4 + 5 + 5 + 6 + 6 + 7
𝑀𝑑 =1
2(𝑥8
2
+ 𝑥8
2+1
)
𝑀𝑑 =1
2(𝑥4 + 𝑥5)
𝑀𝑑 =1
2(5 + 5)
𝑀𝑑 =10
2
𝑀𝑑 = 5
c) S
𝑆 =∑ (𝑥1 − 𝑥)2𝑛
𝑖=1
𝑛 − 1
=(2 − 4.875)2 + 2(4 − 4.875)2 + 2(5 − 4.875)2 + 2(6 − 4.875)2 + (7 − 4.875)2
7
=8.265625 + 1.53125 + 0.03125 + 2.53125 + 4.515625
7
=16.905003
7
= 4.22625
2. Dadas n=9 mediciones 5, 8, 8, 4, 4, 9, 7, 5, 4.
Determine:
a) La media muestral
𝑥 =5 + 8 + 8 + 4 + 4 + 9 + 7 + 5 + 4
9
𝑥 =54
9
𝑥 = 6
b) La mediana
Ordenamos datos:
4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 8 + 8 + 9
𝑀𝑑 = 𝑋(
𝑛+1
2)
𝑀𝑑 = 𝑋(
9+1
2)
𝑀𝑑 = 𝑋(
10
2)
𝑀𝑑 = 𝑋(5)
𝑀𝑑 = 5
c) S
𝑆 =∑ (𝑥1 − 𝑥)2𝑛
𝑖=1
𝑛 − 1
=3(4 − 6)2 + 2(5 − 6)2 + (7 − 6)2 + 2(8 − 6)2 + (9 − 6)2
8
=12 + 2 + 1 + 8 + 9
7
=32
7
= 4.571428571
3. Calcule el promedio, la media y la moda de las edades de 25 personas:
32 33 34 31 32 31 34 32 34 32 31 34 31
31 32 32 34 34 32 33 34 33 33 34 31
a) Media
n=25
𝑋 =32+33+34+31+32+31+34+32+34+32+31+34+31+31+32+32+34+34+32+33+34+33+33+34+34
25
𝑋 =814
25
𝑋 = 32.56
b) Mediana
Ordenamos datos.
31+31+31+31+31+31+32+32+32+32+32+32+32+33+33+33+33+34+34+34+34+34+34+
34
𝑀𝑑 = 𝑥𝑛+1
2
𝑀𝑑 = 𝑥25+1
2
𝑀𝑑 = 𝑥13
𝑀𝑑 = 32
c) Moda
Puede ser 32 y 34
4. Dados los datos y sus frecuencias
a) Media
𝑋 =(2 ∗ 8) + (5 ∗ 12) + (7 ∗ 16) + (10 ∗ 14)
8 + 12 + 16 + 14
xi 2 5 7 10
ni 8 12 16 14
𝑋 =16 + 60 + 112 + 140
50
𝑋 =328
50
𝑋 = 6.56
b) Moda
La moda es7 porque hay 16 veces
c) Rango
𝑅 = 10 − 2
𝑅 = 8
5. A continuación se dan los resultados de la estatura de 100 estudiantes
a) La media Armónica
𝐻 = 𝑛
∑1
𝑥𝑖
𝑛𝑖=1
𝐻 = 100
1
155∗10+
1
160∗14+
1
165∗26+
1
170∗28+
1
175∗12+
1
180∗8+
1
185∗2
𝐻 = 100
1
1550+
1
2240+
1
4290+
1
4760+
1
2100+
1
1440+
1
370
𝐻 = 184.9
b) La media geométrica
𝑀𝑔 = √(155 ∗ 10) ∗ (160 ∗ 14) ∗ (165 ∗ 26) ∗ (170 ∗ 28) ∗ (180 ∗ 89) ∗ (185 ∗ 2)100
𝑀𝑔 = √7.9328 ∗ 1022100
𝑀𝑔 = 169
6. Las notas de un examen de 6 alumnos son: 6, 5, 9, 19, 3 y 18. Un alumno
aprueba si su nota es mayor o igual que el promedio y que la mediana de
las notas. ¿Qué porcentaje de los alumnos aprobaron el examen?
𝑋 =6 + 5 + 9 + 19 + 3 + 18
6
Estatura (en cm) 155 160 165 170 175 180 185
No. De estudiantes 10 14 26 28 12 8 2
𝑋 =60
6
𝑋 = 10
Aprueban 2 estudiantes
Si 6 estudiantes es el 100%, cuantos son 2?
% =2 ∗ 100
6
% = 33.33 %
(Probabilidad y estadística para ingenieros, Ronald E. Walpole, página 9,
ejercicios 1, 2 3)
7. Un fabricante de componentes electrónicos interesa determinar el tiempo
de vida de cierto tipo de batería. La que sigue es una muestra, en horas de
vida:
123, 116, 122, 110, 175, 126, 125, 111, 118, 117
a) Encuentre la media
𝑋 =123 + 116 + 122 + 110 + 175 + 126 + 125 + 111 + 118 + 117
10
𝑋 =1243
10
𝑋 = 124.3
b) Mediana
Se ordenan los datos
110, 111, 116, 117, 118, 122, 123, 125, 126, 175
𝑀𝑑 =1
2(𝑥𝑛
2+ 𝑥𝑛
2+1)
𝑀𝑑 =1
2(𝑥10
2
+ 𝑥10
2+1
)
𝑀𝑑 =1
2(𝑥5 + 𝑥6)
𝑀𝑑 =1
2(118 + 122)
𝑀𝑑 =1
2(240)
𝑀𝑑 = 120
8. Un fabricante de neumáticos quiere determinar el diámetro interior de
cierto grado de neumático. Idealmente el diámetro seria 570 mm. Los datos
son los siguiente:
572, 572, 573, 568, 570
a) La varianza
𝑋 =572 + 572 + 573 + 568 + 570
5
𝑋 = 571
𝑆 =∑ (𝑥1 − 𝑥)2𝑛
𝑖=1
𝑛 − 1
𝑆 =2(572 − 571)2 + (573 − 571)2 + (568 − 571)2 + (570 − 571)2
4
𝑆 =2 + 4 + 9 + 1
4
𝑆 = 4
b) Desviación Estándar
𝑆2 = 16
c) Rango
𝑅 = 573 − 568
𝑅 = 5
9. En una empresa se registró la edad(en años completos) de sus empleados,
resultando la siguiente tabla
a) ¿Qué porcentaje de los empleados es menor que 50?
Hay 43 empleados menores que 50 años
Decimos: Si 50 es el 100% 43 cuanto será:
% =43 ∗ 100
50
% =4300
50
% = 86%
86% representa a los empleados menores que 50 años.
b) ¿Qué porcentaje de los empleados es mayor que 35.5?
Hay 33 empleados mayores que 35.5 años
Decimos: Si 50 es el 100% 33 cuanto será:
% =33 ∗ 100
50
% =3300
50
% = 66%
31 49 36 39 56 29 57 41 40 51
45 61 40 39 47 27 36 37 16 37
51 18 29 34 42 38 62 31 28 25
36 40 46 37 49 25 21 39 35 37
56 35 48 44 42 43 49 22 25 28
66% representa a los empleados mayores que 35.5.
10. Se conduce un estudio de los efectos de fumar sobre los patrones de
sueño. La medición que se observa es el tiempo, en minutos, que toma
quedarse dormido, se obtienen estos datos.
69.3 56.0 22.1 47.6 53.2 48.1
a) Media
𝑋 =69.3 + 56.0 + 22.1 + 47.6 + 53.2 + 48.1
5
𝑋 =296.3
5
𝑋 = 59.26
b) Desviación Estándar
Debemos encontrar la Varianza muestral, para eso usamos.
𝑆 =∑ (𝑥1 − 𝑥)2𝑛
𝑖=1
𝑛 − 1
𝑆 =(69.3−59.26)2+(56−59.26)2+(22.1−59.26)2+(47.6−59.26)2+(53.2−59.26)2
4
𝑆 =98.8036 + 10.6276 + 1380.8656 + 135.9556 + 36.7236 + 124.5456
4
𝑆 =1787.5216
4
𝑆 = 446.8804
𝑆2 = 199702.09
EJERCICIOS RESUELTOS
Tabla de Distribuciones
1. Completar los datos que faltan en la siguiente tabla estadística:
Xi Fi Fi Ni
1 4 0.08
2 4
3 16 0.16
4 7 0.14
5 5 28
6 38
7 7 45
8
Calcular la media, mediana y moda de esta distribución.
Primera fila:
𝐹1 = 4
4
𝑁= 0.08
𝑁 = 50
Segunda fila:
4
50= 0.08
𝐹2 = 4 + 4 = 8
Tercera fila:
𝑛3
50= 0.16
𝑛3 = 0.16 . 50 = 8
Cuarta fila:
𝑁4 = 16 + 7 = 23
Quinta fila:
𝑛5 =5
50= 0.1
Sexta fila:
28 + 𝑁8 = 38
𝑁8 = 10
𝑛6 =10
50= 0.2
Séptima fila:
𝑛7 =7
50= 0.17
Octava fila:
𝑁8 = 𝑁 = 50
𝑁8 = 50 − 45 = 5
𝑛8 =5
50= 0.1
Se ha pasado un test de 80 preguntas a 600 personas. El número de respuestas
correctas se refleja en la siguiente tabla:
RESPUESTAS NÚMERO
CORRECTAS DE PERSONAS
[0, 10) 40
[10, 20) 60
[20, 30) 75
[30, 40) 90
[40, 50) 105
[50, 60) 85
[60, 70) 80
[70, 80) 65
a) Complete la tabla de frecuencias y calcular
b) la media, desviación media y desviación típica.
b) Calcula la mediana, los cuartiles y los percentiles 20 y 85.
c) ¿Cuál es el percentil de una persona que tiene 65 respuestas correctas?
Intervalo Xi ni Ni xi . ni 𝑥𝑖2𝑛𝑖 (𝑥𝑖 − 𝑋)𝑛𝑖
[0,10)
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
[70,80)
5
15
25
35
45
55
65
75
40
60
75
90
105
85
80
65
40
100
175
265
370
455
535
600
200
900
1875
3150
4725
4675
5200
4875
1000
13500
46875
110250
212625
257125
338000
365625
1506.67
1660,00
1325,00
690,00
245,00
1048,00
1786,67
2101,67
600 1345000 10363,33
a) 𝑥 =25600
600= 42,67
𝜎2 =1345000
600− 42,672 = 420,94
𝜎 = 17,27
b) Para la mediana 600/2 = 300, luego voy al intervalo [40,50)
𝑀𝑒 = 40 +300 − 265
370 − 265. 10 = 43.44
Para 𝑄1 = 600/4 = 150, luego voy al intervalo [20,30)
𝑄1 = 20 +150 − 100
175 − 100. 10 = 26.66
Para 𝑄3 (3/4).600= 450, luego voy al intervalo [50.60)
𝑄3 = 50 +450 − 370
455 − 370. 10 = 59.41
Para 𝑃20 = 600(20/100) = 120, luego voy al intervalo [20,30)
𝑃20 = 20 +120 − 100
175 − 100. 10 = 22.66
Para 𝑃85 (85/100).600= 510, luego voy al intervalo [60.70)
𝑃85 = 60 +510 − 455
535 − 455. 10 = 68.88
CURTOSIS Y ASIMETRIA
Ejercicios Resueltos. (Libro Galindo página 38)
1. Calcular los coeficientes de simetría y apuntamiento de los sueldos de diez
personas que ganan (en dólares).
170 172 168 165 173 178 180 165 167 172
Calculando =171 y s=5,1
∑ (𝑥𝑖 − )3𝑛𝑖=1
𝑛=
(170 − 171)3 + (172 − 171)3 + ⋯ + (172 − 171)3
10= 55.8
∑ (𝑥𝑖 − )4𝑛𝑖=1
𝑛=
(170 − 171)4 + (172 − 171)4 + ⋯ + (172 − 171)4
10= 1191
𝐴𝑠 =∑ (𝑥𝑖 − )3/𝑛𝑛
𝑖=1
𝑠3=
55,8
5,13= 0.421
Los datos son levemente asimétricos, con asimetría hacia la derecha; también, son
platicúrticos, debido a posibles valores atípicos.
2. Calcular los coeficientes de simetría y apuntamiento de la siguiente datos
2 4 8 2
Calculando =4 y s=2,45
∑ (𝑥𝑖 − )3𝑛𝑖=1
𝑛=
48
4= 12
∑ (𝑥𝑖 − )4𝑛𝑖=1
𝑛=
288
4= 72
𝐴𝑠 =∑ (𝑥𝑖 − )3/𝑛𝑛
𝑖=1
𝑠3=
12
2,453= 0.421
𝐴𝑝 =∑ (𝑥𝑖 − )4/𝑛𝑛
𝑖=1
𝑠4− 3 =
72
2,454− 3 = −1
Se trata de una distribución platicúrtica con asimetría positiva.
3. Calcular la Asimetría de los siguientes datos:
6 9 9 12 12 12 15 17
Datos (xi-)^3
6 -166.375
9 -15,625
9 -15,625
12 0,125
12 0,125
12 0,125
15 42,875
17 166,375
Total 12
=11.5
S=3,279
𝐴𝑠 =∑ (𝑥𝑖−)3/𝑛𝑛
𝑖=1
𝑠3 =12/8
(3,279)3 = 0.035
Se muestra una simetría positiva.
4. Calcular la Asimetría de los siguientes datos:
6 9 9 12 12 12 15 17
Datos (xi-)^4
6 915,0625
9 39,0625
9 39,0625
12 0,0625
12 0,0625
12 0,0625
15 150,0652
17 915,0652
Total 2058,5
=11.5
S=3,279
𝐴𝑝 =∑ (𝑥𝑖 − )4/𝑛𝑛
𝑖=1
𝑠4− 3 =
2058,5/8
3,2794− 3 = −0,77
Se trata de una distribución platicúrtica.
5. Calcule el índice de Apuntamiento a partir de los datos:
10-12-12-14-10-10-16-12-14-10
=12
s=2
𝐴𝑝 =∑ (𝑥𝑖 − )4/𝑛𝑛
𝑖=1
𝑠4− 3 =
352/10
24− 3 = −0,8
Se trata de una distribución platicúrtica.
DISTRIBUCION BINOMIAL NEGATIVA
Ejercicios Resueltos. (Libro Galindo pagina 132; Probabilidad y Estadistica 2da
Edicion de Montmery, Runger; pag 126 y Probabilidad y Estadistica de Jsusan
Milton y jesse Arnold; pag72)
1. Un avión de alto rendimiento contiene tres computadoras idénticas. Se
utiliza únicamente una operar el avión; las dos restantes son repuestos que
pueden activarse en caso de que el sistema primario falle. Durante una hora
de operación, la probabilidad de una falla en la computadora primaria es
0.0005. Suponiendo que cada hora representa un ensayo independiente.
¿Cuál es el tiempo promedio para que fallen 3 computadoras?
Sea el número de horas hasta que los tres fallen sistemas fallen, y sea que X1, X2,
X3 denoten el número de horas operadas antes de una falla de la primera, la
segunda y la tercera computadoras usadas, respectivamente. Entonces,
X=x1+x2+x3, Ademas, se supone que las horas comprenden ensayos
independientes con probabilidad constante de falla p=0.0005. Por otra parte, una
computadora de repuesto no es afectada por la cantidad de tiempo que transcurra
antes de activarse. Por consiguiente, X tiene una distribución binomial negativa con
p=0,0005 y r=3. En consecuente.
E(X) =3/0.0005= 6000 horas
¿Cuál es la probabilidad de que las tres computadoras fallen en un vuelo en 5 horas?
La probabilidad es P(X≤5)
P(X≤5) = P(X=3)+ P(X=4)+ P(X=5)
= 0.00053 + (32
) 0.00053(0.9995) + (42
) 0.00053(0.9995)
= 1.25 ∗ 10−10 + 3.75 ∗ 10−10 + 7.49 ∗ 10−10
= 1.249 ∗ 10−9
2. Las fibras de algodón usadas en los propulsores de cohetes son sometidas
a un proceso de nitración, el cual permite que las fibras de algodón entre
en solución. Este proceso tiene efectividad de 90% en cuanto a que el
material producido pueda conformarse según se requiera en una etapa
ulterior de proceso, con probabilidad de 0,9, ¿Cuál es la probabilidad de
que se produzcan exactamente 20 lotes para obtener el tercer lote
defectuoso?
En este caso, el “éxito” es la obtención de un lote defectuoso, por lo que p=0,1 y
r=3. La probabilidad de que X=20 está dada por:
𝑓(20) = (192
) 0.917(0.13)
El valor esperado de X es 𝑟/𝑝 = 3/0.1 = 30 y la varianza de x es 𝑟𝑞/𝑝2 =3(0.9)
(0.1)2 = 270.
Existe otro aspecto que debe resaltarse. Cuando r=1, la distribución binomial negativa
se reduce a la distribución geométrica.
3. Una máquina, que está dañada, envasa latas de conserva de una en una y
de manera independiente. Se considera que el 5% de lo envasado resulta
defectuoso. Si la maquina se detiene penas produce el tercer defectuoso:
a) ¿Cuál es el número de latas producidas hasta que se detiene la maquina?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la maquina se detenga en la novena lata
producida?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que se detenga sin producir ninguna lata buena?
a) Calculemos la esperanza de X:
𝐸(𝑋) =𝑟
𝑝=
3
0.05= 60
Se esperaría producir 60 latas hasta que se detenga la maquina.
b) Calculemos Pr(X=9)
Pr(𝑋 = 9) = 𝐶9−13−1(0.05)3(1 − 0.05)9−3 = 0.00257
c) Que ninguna lata producida fue buena, significa que las 3 primeras latas fueron
defectuosas; es decir, k=3
Pr(𝑋 = 3) = 𝐶3−13−1(0.05)3(1 − 0.05)3−3 = 0.00125
4. Suponiendo que la probabilidad de que una persona contraiga cierta
enfermedad a la que está expuesta 30%, calcule la probabilidad que la
decima persona expuesta a la enfermedad sea la cuarta en Contraerla.
Cada persona expuesta a la enfermedad constituye un ensayo. Estos ensayos
son independientes y la probabilidad de éxito es 0.3.
Por la pregunta concluimos que es una Distribución Binomial negativa.
k=4, p=0.3
X= cantidad de ensayos realizados hasta obtener k éxitos
X=4,5,6….
𝑃(𝑋 = 𝑥) = (𝑥 − 14 − 1
) 0,34(1 − 0.3)𝑥−4, 𝑥 = 4,5,6 ….
𝑃(𝑋 = 10) = (10 − 14 − 1
) 0,34(1 − 0.3)10−4 = 0.08
5. Sí la probabilidad de que un cierto dispositivo de medición muestre una
desviación excesiva es de 0.05, ¿cuál es la probabilidad de que el sexto de
estos dispositivos de medición sometidos a prueba sea el tercero en
mostrar una desviación excesiva? Solución:
k = 6 dispositivos de medición
r = 3 dispositivos que muestran desviación excesiva
p = p(dispositivo muestre una desviación excesiva) = 0.05
q = p(dispositivo no muestre una desviación excesiva) = 0.95
Pr(𝑋 = 6) = 𝐶3−16−1(0.05)3(1 − 0.05)6−3 = 0.001072
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS (ESPERANZA Y VARIANZA)
1) Suponga que f (x) = 0,25, para 0 < X < 4. Calcule la media y la varianza de
la variable aleatoria continua X.
E(x)=∫ 𝑥 𝑓(𝑥)∞
−∞dx =∫ 0.25𝑥
4
0 dx =
0.25 42
2 “es un valor promedio”
E(𝑥2)=∫ 𝑥2 𝑓(𝑥)∞
−∞dx =∫ 0.25𝑥24
0 dx =
0.25 43
3
Var (x)=E(𝑥2) −(E(𝑋))2
Var(x)= 0.25 43
3− (
0.25 42
2)2=
4
3
2) El peso (en gramos) de un insecto se distribuye según
1 si 1≤ 𝑥 ≤ 2
f(x) =
0 resto
a) Determine la esperanza de x:
b) Determine la varianza de x:
E(x)=∫ 𝑥 𝑓(𝑥)∞
−∞dx =∫ 𝑥
2
1 dx =
22
2 -
12
2 =
3
2
E(𝑥2)=∫ 𝑥2 𝑓(𝑥)∞
−∞dx =∫ 𝑥22
1 dx =
23
3 -
13
3=
7
3
Var (x)=E(𝑥2) −(E(𝑋))2
Var(x)= 7
3− (
3
2)2=
1
12
3) El tiempo de vida (en años) de una determinada componente de un juguete
electrónico tiene por función de densidad
-6x(x-1) si 0≤ 𝑥 ≤ 1
f(x) =
0 resto
Hallar su esperanza y varianza
E(x)=∫ 𝑥 𝑓(𝑥)∞
−∞dx =∫ 𝑥 (−6𝑥(𝑥 − 1))
1
0 dx =∫
1
0− 6𝑥3 + 6𝑥2 𝑑𝑥 =2 −
3
2=
1
2
E(𝑥2)=∫ 𝑥2 𝑓(𝑥)∞
−∞dx =∫ 𝑥21
0 (-6x(x-1))dx =−
6
5 +
3
2=
3
10
Var (x)=E(𝑥2) −(E(𝑋))2
Var(x)= 3
10− (
1
2)2=
1
20
4) Calcule la media y la varianza de la estación de servicio de transporte
aereo en donde x es una variable aleatoria continua que representa
tiempo de atención en horas, siendo su densidad de probabilidad
f(x)= 2
5(x+2) 0≤ 𝑥 ≤ 1
0 otro x
Respuesta
E(x)= E(x)=∫ 𝑥 𝑓(𝑥)∞
−∞dx =∫ 𝑥
2
5(𝑥 + 2)
1
0 dx =∫
1
0
2 𝑥2
5+
4𝑥
5 𝑑𝑥=
8
15
Es el tiempo de atención promedio para los clientes
E(𝑥2)=∫ 𝑥2 𝑓(𝑥)∞
−∞dx =∫ 𝑥21
0 2
5(𝑥 + 2)dx = ∫
1
0
2𝑥3
5+
4 𝑥2
5 𝑑𝑥
= 2
(4)5+
4
(3)5=
11
30
Var (x)=E(𝑥2) −(E(𝑋))2
Var(x)= 11
30− (
8
15)2=0.0822
5) Calcule el promedio y la varianza para la atención en la cafetería
En donde x es una variable aleatoria continua que representa el tiempo (horas) siendo
su densidad de probabilidad
2( 𝑥+1
8) 0≤ 𝑥 ≤ 2
f(x)=
0 otro caso
E(x)= E(x)=∫ 𝑥 𝑓(𝑥)∞
−∞dx =∫ 2 𝑥 (
𝑥+1
8
2
0) dx =∫
2
0
(2) 𝑥2
8+
(2)𝑥
8 𝑑𝑥=
(2) 8
8(3) +
(2) 4
16=
7
6
El promedio para la atención a cada cliente
E(𝑥2)=∫ 𝑥2 𝑓(𝑥)∞
−∞dx =∫ 2𝑥22
0 (
𝑥+1
8)𝑑x = ∫
2
0
2𝑥3
8+
2𝑥2
8 𝑑𝑥
=2∗ 16
(4)8+
2∗8
(3)8=
5
3
Var (x)=E(𝑥2) −(E(𝑋))2
Var(x)= 5
3− (
7
6)2=0.3055
DISTRIBUCION DE WEIBULL
1. La duración de un ventilador , en horas, que se usa en un sistema
computacional tiene una distribución de Weibull con α= 1,5 y β= 0,0001
a)¿Cuál es la probabilidad de que un ventilador dure más de 10000 horas ?
𝑃(𝑇 > 10000) = 1 − (1 − 𝑒[(0,0001)(10000)] 1,5)
= 𝑒−[(0,0001)(10000)] 1,5= 0,3679
b)¿Cuál es la probabilidad de que un ventilador dure menos de 500 horas ?
𝑃(𝑇 ≤ 5000) = 1 − 𝑒[(0,0001)(5000)] 1,5) = 0,2978
2. Supongamos que, en una área donde se estudia la instalación de
aerogeneradores, la velocidad del viento en metros por segundo es una
variable aleatoria X con la siguiente función de distribución de Weibull.
𝐹𝑥(𝑥) = 2
25𝑥𝑒𝑥−
𝑥2
25 (𝑥 > 0)
0 (𝑥 < 0)
Si un modelo de aerogenerador está preparado para funcionar con velocidades de
viento
Comprendidas entre los 3 y los 25 metros por segundo ¿qué proporción del tiempo
estaría
Funcionando una vez instalado en esa área?.
Solución:
La proporción del tiempo en que el viento alcanza velocidades comprendidas entre los
3 y
Los 25 metros por segundo es la probabilidad de que en un momento cualquiera la
velocidad
Este en ese intervalo, es decir:
𝑃[3 ≤ 𝑋 ≤ 25] = 𝐹𝑋(25 −)𝐹𝑋(3) = (1 − 𝑒−252
25 ) − (1 − 𝑒−32
25 ) = 0,6977
(X es una variable continua y por eso podemos escribir P[3 ≤ X ≤ 25] = P[3 < X ≤ 25] =
FX (25) − FX(3).) El 69077 % del tiempo el aerogenerador estaría funcionando.
3. Suponga que X tiene una distribución de Weibull con α= 100 horas y β= 0,2
determine la esperanza y la varianza de X
𝐸(𝑥) = 100Γ (1 +1
0,2) = 100 ∗ 5! = 1200 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
𝑉(𝑥) = 1002Γ (1 +1
0,2) − 1002[Γ (1 +
1
0,2)]2 = 3,61𝑋1010
4. El tiempo de falla, en horas, de un rodamiento de una caja de velocidades
se modele satisfactoriamente como una variable aleatoria de Weibull con
β=1/2 y α= 5000 horas .
Determine el tiempo medio de falla y la probabilidad de que un rodamiento
dure mas de 6000 horas. De la expresión de la media.
Solución:
𝐸(𝑥) = 5000Γ [1 +1
0,5] = 5000Γ[3] = 5000 ∗ 2! = 10000 horas
Y tenemos
𝑃(𝑥 > 6000) = 1 − 𝐹(6000) = 𝑒𝑥𝑝 − [(6000/5000)1
2] = 𝑒−1,095 = 0,334
Por lo tanto solo el 33,4% de todos los rodamientos durara al menos 6000 horas.
5. Asuma que la vida de una lámpara fluorescente sigue una distribución de
Weibull con parámetros β=2 y α= 10.000 horas
Determine la probabilidad de que la lámpara dure al menos 8000 horas.
𝑃(𝑥 > 8000) = 1 − 𝐹(8000) = 𝑒𝑥𝑝 − [(8000/10000)1
2] = 𝑒−0,64 = 0,5273
PROBABILIDAD CONDICIONAL
1. El 70% de empresas tiene errores en sus activos financieros, el 60% tiene errores en
sus pasivos financieros y el 40% tiene errores en sus activos y en sus pasivos
financieros. Obtén razonadamente el porcentaje de empresas sin errores en sus activos,
en sus pasivos o en ambos. De una muestra de 500 empresas, ¿cuántas se espera
que no tengan errores ni en sus activos ni en sus pasivos financieros?
Solución:
Llamemos A = tener errores en los activos financieros y B = tener errores en los
pasivos financieros. Entonces:
𝑃(𝐴) = 0,7
𝑃(𝐵) = 0,6
𝑃(𝐴 ⋂𝐵) = 0,4
El suceso “no tener errores en los activos financieros” es AC y por tanto :
𝑃(𝐴𝐶) = 1 − 𝑃(𝐴)
𝑃(𝐴𝐶) = 1 − 0,7
𝑃(𝐴𝐶) = 0,3 lo que significa el 30%.
El suceso “no tener errores en los pasivos financieros” es B C y por tanto :
𝑃(𝐵𝐶) = 1 − 𝑃(𝐵)
𝑃(𝐵𝐶) = 1 − 0,6
𝑃(𝐵𝐶) = 0,4 lo que significa el 40%.
El suceso “no tener errores en ambos” equivale a “no tener errores en los activos
financieros y no tener errores en los pasivos financieros”, es decir, AC ⋂ BC . Pero, por
las leyes de Morgan, AC ⋂ BC = (A ⋃ B)C. Entonces:
𝑃(𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝐶) = 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵)𝐶
𝑃(𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝐶) = 1 − 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵)
𝑃(𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝐶) = 1 − [𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)]
𝑃(𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝐶) = 1 − (0,7 + 0,6 − 0,4 )
𝑃(𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝐶) = 1 − 0,9
𝑃(𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝐶) = 0,1 lo que significa un 10 %
Según lo anterior se espera que un 10% de las empresas no tengan errores ni en sus
activos ni en sus pasivos financieros. Si tenemos una muestra de 500 empresas
podemos esperar que:
50010
100= 50 Empresas no tengan errores ni en sus activos ni en sus pasivos
financieros.
2. Si los sucesos A y B son independientes y compatibles, ¿cuáles de las siguientes
afirmaciones son ciertas?
a) P(A ∩ B) = P(B)
b) P(B ∩ A) = P(A) + P(B)
Solución:
a) Como A y B son independientes
=>𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ) = 𝑃(𝐴) ∗ 𝑃(𝐵) Esta última expresión solamente es igual a P(B) si
P(A) = 1.
b) 𝑃(𝐵 ∪ 𝐴) = 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐵 ∩ 𝐴) ). Si fuera cierta la afirmación entonces
=> 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐵 ∩ 𝐴)
=> 𝑃(𝐵 ∩ 𝐴) = 0
=> 𝐵 ∩ 𝐴 = ∅ y esto es imposible pues A y B son compatibles. Así pues la
afirmación no es cierta.
3. Se ha comprobado que el 48% de los alumnos de Bachillerato de cierta región son
aficionados a la música clásica y a la pintura, y que el 60% de los aficionados a la pintura
también son aficionados a la música clásica. Si se elige al azar un alumno de
Bachillerato de esa región, ¿qué probabilidad hay de que no sea aficionado a la pintura?
Solución:
Llamemos A = ser aficionado a la música clásica y B = ser aficionado a la pintura.
Según el enunciado P(A ∩ B) = 0,48 y P(A/B) = 0,6. Hemos de hallar
P(BC ). Pero como P(A/B) = P(A∩B )/P(B) entonces despejando tenemos
𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐴/𝐵)
𝑃(𝐵) =0,48
0,6= 0,8
=> 𝑃(𝐵𝐶) = 1 − 𝑃(𝐵) = 1 − 0,8 = 0,2
4. En una clase hay 12 alumnos y 16 alumnas. El profesor saca a 4 a la pizarra.
¿Cuál es la probabilidad de que todas sean alumnas?
Solución:
Llamemos A1 = la primera es alumna, A2 = la segunda es alumna, A3 = la tercera
es alumna, A4 = la cuarta es alumna, B1 = el primero es alumno, B2 = el segundo
es alumno, B3 = el tercero es alumno y B4 = el cuarto es alumno.
=>P(todas alumnas) = P(1ª alumna y 2ª alumna y 3ª alumna y 4ª alumna) = P(A1 Ç A2
Ç A3 Ç A4)
=> 𝑃(𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ 𝐴3 ∩ 𝐴4 ) = 𝑃(𝐴1 ) ∗ 𝑃 (𝐴2
𝐴1 ) ∗ 𝑃 (
𝐴3
𝐴1 ∩ 𝐴2 ) ∗ 𝑃(𝐴4/𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ 𝐴3 )
= (16
28) (
15
27) (
14
26) (
13
25) = 0,089
5. Un estudiante hace dos pruebas en un mismo día. La probabilidad de que pase la
primera es 0,6 la probabilidad de que pase la segunda es 0,8 y la de que pase ambas
es 0,5. Se pide:
a) Probabilidad de que pase al menos una prueba.
b) Probabilidad de que no pase ninguna prueba.
SOLUCION
Llamemos A = pasar primera prueba y B = pasar segunda prueba. Se nos
proporcionan tres probabilidades: P(A) = 0’6, P(B) = 0’8 y P(A Ç B) = 0’5.
a) 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0,6 + 0,8 − 0,5 = 0,9
b) 𝑃(𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝐶) = 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵)𝐶 = 1 − 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 1 − 0,9 = 0,1
6. En una muestra de 1.000 personas hay 300 que saben inglés, 100 que saben ruso y
50 ambos idiomas. Con estos datos averigua si son independientes o no los sucesos
“saber inglés” y “saber ruso”.
Solución:
Llamemos A = saber inglés y B = saber ruso. Entonces :
𝑃(𝐴) =300
1000= 0,3
𝑃(𝐵) =100
1000= 0,1
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 =50
1000= 0,05)
Para que los sucesos Ay B sean independientes se ha de cumplir que:
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∗ 𝑃(𝐵) PERO
𝑃(𝐴) ∗ 𝑃(𝐵) = 0,3 ∗ 0,1 = 0,03 ≠ 0,05 = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) .Así A y B son independientes.
7. Estudiando un determinado colectivo de personas resulta que: 2 de cada 5 son
morenas, y 3 de cada 9 tienen los ojos azules, teniendo el resto los ojos de distinto color
al azul. Calcula las siguientes probabilidades:
a) Que una persona sea morena y tenga los ojos azules.
b) Que una persona sea morena o no tenga los ojos azules
Solución:
Llamemos M = ser morena y A = tener los ojos azules. Entonces P(M) = 2/5 y
P(A) = 3/9 = 1/3. Además ambos sucesos son claramente independientes pues el color
del pelo o de la piel no debe de influir para nada en el color que se tenga de ojos.
a) 𝑃(𝑀 ∩ 𝐴) = 𝑃(𝑀) = (2
5) (
1
3) =
2
15
b) 𝑃(𝑀 ∪ 𝐴𝐶) = 𝑃(𝑀) + 𝑃(𝐴𝐶) − 𝑃(𝑀 ∩ 𝐴𝐶) = 𝑃(𝑀) + 𝑃(𝐴𝐶) − 𝑃(𝑀) ∗ 𝑃(𝐴𝐶)
=2
5+
2
3−
2
5∗
2
3=
2
5+
2
3−
4
15=
12
15=
4
5
8.- Para la señalización de emergencia de un hospital se han instalado dos indicadores
que funcionan independientemente. La probabilidad de que el indicador A se accione
durante la avería es de 0,99, mientras que para el indicador B, la probabilidad es de
0,95:
a) Calcula la probabilidad de que durante una avería se accione un solo indicador.
b) Calcula la probabilidad de que durante una avería no se accione ninguno de los dos
indicadores.
Solución:
a)𝑃[(𝐴 ∩ 𝐵𝐶) ∪ (𝐵 ∩ 𝐴𝐶)] = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵𝐶) + 𝑃(𝐵 ∩ 𝐴𝐶)
= 𝑃(𝐴 − 𝐵) + 𝑃(𝐵 − 𝐴)
= 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐵 ∩ 𝐴)
= 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 2 ∗ 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
= 0.99 + 0,95 − 2 ∗ 0,99 ∗ 0,95 − 1,881 = 0,059
b)𝑃(𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶 = 1 − 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 1 − [𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
= 1 − (0,99 + 0,95 − 0,99 ∗ 0,95) = 1 − 𝑂, 9995 = 0,0005
9. Dos profesores comparten un número de teléfono. De las llamadas que llegan, 2/5
son para el profesor A y 3/5 son para el profesor B. Sus ocupaciones docentes les alejan
de este teléfono, de modo que A está fuera el 50% del tiempo y B el 25%.
Calcula la probabilidad de estar presente un profesor cuando le llamen.
Solución:
Sean A = llamar al profesor A, B = llamar al profesor B, F = estar fuera. El problema
ofrece las siguientes probabilidades: P(A) = 2/5 = 0,4 P(B) = 3/5 = 0,6P(F/A) = 0,5 y
P(F/B) = 0,25. De estas dos últimas probabilidades se deduce claramente la
probabilidades P( FC/A) = 0’5 (del tiempo que A está presente) y P( FC/B) = 0,75 (del
tiempo que B está presente).
La probabilidad de estar presente un profesor cuando le llamen se puede representar
así:
𝑃[(𝐹𝐶 ∩ 𝐴) ∪ (𝐹𝐶 ∩ 𝐵)] = 𝑃(𝐹𝐶 ∩ 𝐴) + 𝑃(𝐹𝐶 ∩ 𝐵)
= 𝑃 (𝐹𝐶
𝐴) ∗ 𝑃(𝐴) + 𝑃 (
𝐹𝐶
𝐵) ∗ 𝑃(𝐵)
= 0,5 ∗ 0,4 + 0,75 ∗ 0,6 = 0,65
10. El despertador de Javier no funciona muy bien, pues el 20% de las veces no suena.
Cuando suena, Javier llega tarde a clase con probabilidad 0,2, pero si no suena, la
probabilidad de que llegue tarde es 0,9. Javier ha llegado tarde a clase, ¿cuál es la
probabilidad de que haya sonado el despertador?
Solución:
Sean los sucesos S = el despertador de Javier suena y T = Javier llega tarde a clase.
Entonces P(S) = 0,8 P(T/S) = 0,2 y P(T/S ) = 0,9.
𝑃 (𝑆
𝑇) =
𝑃(𝑆 ∩ 𝑇)
𝑃(𝑇)=
0,16
0,34 ) = 0,47
EJERCICIOS RESUELTOS BAYES
Devore J.(2010). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. (séptima
edición). Cengage learning. México. Pág 48-49, 54-57
1. En la sala de pediatría de un hospital, el 60% de los pacientes son niñas. De los
niños el 35% son menores de 24 meses. El 20% de las niñas tienen menos de 24
meses. Un pediatra que ingresa a la sala selecciona un infante al azar.
a. Determine el valor de la probabilidad de que sea menor de 24 meses.
En los ejercicios de teorema de bayes, es importante identificar los sucesos que forman
la población y cuál es la característica que tienen en común dichos sucesos. en este
caso los sucesos serán:
Suceso H: seleccionar una niña.
Suceso V: seleccionar un niño.
Suceso M: infante menor de 24 meses.
En este caso, la población es de los infantes. Y la característica en común es que sean
menores de 24 meses. Por lo tanto, la probabilidad de seleccionar un infante menor de
24 meses será:
P(M) = P(H)*P(M/H)+P(V)*P(M/V)
P(M)=0.6*0.2+0.4*0.35
P(M)=0.26
Existe una probabilidad de 0.26 de que el infante escogido al azar por la enfermera sea
menor de 24 meses
b. Si el infante resulta ser menor de 24 meses. Determine la probabilidad que sea una
niña.
Primero, hay que reconocer que es una probabilidad condicionada y que la característica
común de los sucesos condicionantes ya ha ocurrido. Entonces, la probabilidad de que
sea niña una infante menor de 24 meses será:
P(H/M)=𝑃(𝐻)∗𝑃(𝑀/𝐻)
𝑃(𝐻)∗𝑃(𝑀
𝐻)+𝑃(𝑉)∗𝑃(𝑀/𝑉)
P(H/M)=0.6∗0.2
0.6∗0.2+0.4∗0.35
P(H/M)=0.12/0.26
P(H/M)=0.46
La probabilidad de que el infante sea niña dado que es menos de 24 meses es de 0.46
2. Un médico cirujano se especializa en cirugías estéticas. Entre sus pacientes, el
20% se realizan correcciones faciales, un 35% implantes mamarios y el restante
en otras cirugías correctivas. Se sabe además, que son de género masculino el
25% de los que se realizan correcciones faciales, 15% implantes mamarios y 40%
otras cirugías correctivas. Si se selecciona un paciente al azar, determine:
a. Determine la probabilidad de que sea de género masculino
Se definen los sucesos:
Suceso F: pacientes que se realizan cirugías faciales
Suceso M: pacientes que se realizan implantes mamarios
Suceso O: pacientes que se realizan otras cirugías correctivas
Suceso H: pacientes de género masculino
La probabilidad de que sea de género masculino se refiere a un problema de
probabilidad total, ya que es el suceso condicionado y las cirugías los condicionantes.
Dicho valor será:
P(H)=P(F)*P(H/F)+P(M)*P(H/M)+P(O)*P(O/H)
P(H)= 0.2*0.25*0.35*0.15+0.45*0.40
P(H)=0.28
b. Si resulta que es de género masculino, determine la probabilidad que se haya
realizado una cirugía de implantes mamarios.
Como el suceso condicionado ha ocurrido entonces se aplica el teorema de bayes,
luego, el valor de la probabilidad será:
P(M/H)=𝑃(𝑀)∗𝑃(𝐻/𝑀)
𝑃(𝐹)∗𝑃(𝐻/𝐹)+𝑃(𝑀)∗𝑃(𝐻
𝑀)+𝑃(𝑂)∗𝑃(𝑂/𝐻)
P(M/H)=0.35∗0.15
0.2∗0.25+0.35∗0.15+0.45∗0.40
P(P/M)=0.0525/0.2825 = 0.19
3. Un Doctor dispone de tres equipos electrónicos para realizar ecosonogramas.
El uso que le da a cada equipo es de 25% al primero, 35% el segundo en y 40% el
tercero. Se sabe que los aparatos tienen probabilidades de error de 1%, 2% y 3%
respectivamente. Un paciente busca el resultado de una ecografía y observa que
tiene un error. Determine la probabilidad de que se ha usado el primer aparato.
Se definen los sucesos:
Suceso P: seleccionar el primer aparato
Suceso S: seleccionar el segundo aparato
Suceso T: seleccionar el tercer aparato
Suceso E: seleccionar un resultado con error
Se puede observar que la pregunta es sobre determinar la probabilidad de que un
examen errado sea del primer aparato, es decir, ya ha ocurrido el error. Por lo tanto,
debemos recurrir al teorema de bayes. Claro está, que es necesario de igual forma
obtener la probabilidad de que los aparatos produzcan un resultado erróneo, por lo tanto:
P(P/E)= P(P)∗P(E/P)
𝑃(𝑃)∗𝑃(𝐸
𝑃)+𝑃(𝑆)∗𝑃(
𝐸
𝑆)+𝑃(𝑇)∗𝑃(𝐸/𝑇)
P(P/E)=0.25∗0.01
0.25∗0.01+0.35∗0.02+0.4∗0.03
P(P/E)= 0.0025/0.0215 = 0.116
Ej. Tomados del Libro de Walpole R., Myers R., Myers D.(1999). Probabilidad y
estadística para ingenieros. (sexta edición). pag 48 y49.
4. En cierta planta de montaje, tres máquinas, B1, B2 y B3, montan 30%, 45% y
25% de los productos respectivamente . Se sabe de la experiencia pasada que el
2%, #% y 2% de los productos ensamblados por cada máquina, respectivamente,
tiene defectos. Ahora, suponga que se selecciona de forma aleatoria un producto
terminado ¿Cuál es la probabilidad de que esté defectuoso?
Considere los eventos siguientes
A: el producto está defectuoso.
B1: El producto está ensamblado por la máquina B1
B2: El producto está ensamblado por la máquina B2
B3: El producto está ensamblado por la máquina B3
Al aplicar la regla de eliminación, podemos escribir:
P(A)= P(B1)P(A/B1)+P(B2)P(A/B2)+P(B3)P(A/B3)
P(B1)P(A/B1)= (0.3)(0.02)=0.006
P(B2)P(A/B2)=(0.45)(0.03)=0.0135
P(B3)P(A/B3)=(0.25)(0.02)=0.005
P(A)=0.006+0.0135+0.005
P(A)=0.0245
5. Con referencia al ejercicio anterior, si se elige al azar un producto y se encuentra
que es defectuoso ¿Cuál es la probabilidad de que esté ensamblado por la
máquina B3
Con el uso de la regla de Bayes:
P(B3/A)=𝑃(𝐵3)𝑃(𝐴/𝐵3)
𝑃(𝐵1)𝑃(𝐴
𝐵1)+𝑃(𝐵2)𝑃(
𝐴
𝐵2)+𝑃(𝐵3)𝑃(𝐴/𝐵3)
P(B3/A)=0.005
0.006+0.0135+0.005
P(B3/A)=0.005/0.0245
P(B3/A)=10/49
