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Apuntes de Economía I.Prof. Silvano Espíndola.

Septiembre 2002.NOTA SOBRE EL CÁLCULO DE ELASTICIDADES.

1.- ¿Qué es una elasticidad? Es la magnitud de la respuesta del cambio en una variable dependiente como resultado del cambio observado en una variable independiente (medidos los cambios en términos porcentuales).

2.- La definición en términos generales es

3.- Nos interesa saber si

4.- Las elasticidades de la demanda: Si la demanda de un bien x depende de su precio (Px ), del

precio de un bien sustituto en el consumo (Ps ), del precio de un bien complementario en el consumo (Pc ) y del ingreso ( I ), podemos calcular las elasticidades para cada una de estas variables independientes.

Partiremos de una ecuación de la demanda en la que la variable dependiente es la cantidad demandada del bien x (Qd

x).

a) Cálculo de la elasticidad precio directa de la demanda .Para calcular la elasticidad precio directa de la demanda

hacemos que sólo varíe el precio del bien (Px ) Caeteris Paribus. Esto es, mantenemos constantes los valores de las otras variables; por ejemplo: Ps = 5, Pc = 10, I = 2,000. De manera que sustituyendo estos valores en (1) obtenemos:

Sabemos que para expresar la ecuación de la curva de la demanda despejamos Px :

a.1.- La demanda y el ingreso total de los productores.

Cada combinación precio-cantidad sobre la curva de la demanda nos permite obtener el ingreso total ( IT ) por las ventas del producto que también indica el gasto total que hacen los consumidores en un bien.IT = ( Precio x Cantidad ) = GT

Px Qdx IT = Px ∙ Qd

x = GT

A 60 0 $ 0B 50 20 $ 1,000C 40 40 $ 1,600D 30 60 $ 1,800E 20 80 $ 1,600F 10 100 $ 1,000G 0 120 $ 0

Como observamos en el diagrama inferior, el ingreso

total de los productores o gasto total de los consumidores se maximiza cuando se venden 60 unidades a $30 cada una.

También notamos que al productor le conviene bajar su precio de A a B, de B a C y de C a D; o subirlo de G a F, de F a E y de E a D.

Veremos que relación tiene el ingreso total con la elasticidad precio directa de la demanda, que definimos como:

Por definición, si queremos calcular la elasticidad en un punto sobre la curva de la demanda, empleamos la fórmula siguiente:

En donde:

Nota sobre el cálculo de las Elasticidades 2

0 20 40 60 80 100 120

0 20 40 60 80 100 120

10

20

30

40

50

60

Px

Q dx

Q dx

Ingre so Total o Gasto Total

AB

C

D

E

F

G

$1,800$1,600

$1,000

D'E'

F'

G'A'

B'

C'Img = 0

= Pendiente de la ecuación de la demanda (-2 en el ejemplo).

= Cociente de las coordenadas en un punto sobre la curva de la demanda.

Ejemplos: Punto B,

Punto D,

Punto F,

Cuando tomamos el valor absoluto de estas elasticidades (porque son siempre negativas, ya que la pendiente es negativa) definimos:

Si , Elástica.

Si , Unitaria.

Si , Inelástica.

Elástica significa que: % Qdx > % Px.

Unitaria significa que: % Qdx = % Px.

Inelástica significa que:% Qdx < % Px.

Relación entre la elasticidad precio directa y el ingreso o gasto total.

Definición del Ingreso Marginal (Img) =

Multiplicamos (3) por , entonces (reordenando los términos):


Factorizando (4) respecto a Px :

Como , entonces:

Y como la elasticidad precio directa es siempre negativa (cuando la pendiente de la demanda es negativa), tomando el valor absoluto rescribimos (6) como,

Tomando las elasticidades calculadas en los puntos B, D y F, tenemos que:

En B,

En D,

En F,

Recordemos que el ingreso marginal es la pendiente del ingreso total que nos dice que si, Img >0, si vendo más unidades (porque bajo el precio) mi ingreso total por las ventas aumenta. ¿Cuándo me conviene bajar precios? Cuando la elasticidad de la demanda, en valor absoluto, es mayor a uno (elástica). Esto es debido a que

.Si, Img = 0, la , por lo que , el ingreso total

no cambia y, además, es el punto medio de la curva de la demanda en dónde se maximiza el ingreso total (1,800 en el ejemplo).

REGLA: ¡Si la curva de demanda es lineal, se maximiza el ingreso total en su punto medio , ya que la pendiente del ingreso total ( Img ) es cero !


Si Img < 0, cuando vendo menos unidades (porque aumento el precio) mi ingreso total aumenta. ¿Cuándo conviene subir precios? Cuando la elasticidad precio directa, en valor absoluto, es menor a uno (inelástica). Esto es debido a que .

5.- Determinantes del grado de elasticidad de la demanda.

Mayor Elasticidad Menor Elasticidad (Inelasticidad)

1) Más y mejores sustitutos del bien en cuestión.

1) Menos sustitutos

2) Cuando el consumidor gasta un alto porcentaje de su ingreso en el bien.

2) A menor porcentaje del ingreso gastado por el consumidor en el bien.

3) Mientras más usos alternativos tiene el bien.

3) Cuando el bien tiene pocos usos alternativos.

Px

Q dx

E = 0

Px

Q dx

Menor Elasticidad

Px

Q dx

E =

Perfectamente Inelástica Perfectamente Elástica

8

MayorElasticidad

b.- Elasticidades cruzadas de la demanda.

Definición:

Entonces:

Si, , los bienes x e y son sustitutos.

Si, , los bienes x e y son complementarios.


Regresando a la ecuación de la demanda:

Mantenemos constante Px = 30, Pc = 10, I = 2,000Entonces, (Esta NO es una curva de demanda).

Notemos que el punto E nos dice que si, Ps = 5, I = 2,000, Pc = 10 y Px = 30, luego entonces, Qxd = 60, que es la cantidad demandada en el punto D de la curva de demanda que graficamos inicialmente (Dx).

El cambio de E a K, en la curva superior, muestra que, caeteris paribus, un aumento del precio del bien s (Ps) de $5 a $10 va a desplazar la curva de la demanda de x (gráfica inferior) de Dx a D’x. Al mismo precio de x ($30) la cantidad demandada aumenta (por el aumento de la demanda) de 60 a 80 unidades.

¿Qué nos dice la elasticidad cruzada ?

o, a partir de la ecuación anterior:

.

Notemos que son los valores iniciales del precio del bien sustituto (Ps = 5) y de la cantidad demanda (Qx = 60).


Ps

Q dx

40

Px

Q dx

60

80

5 10

E

K

Q dx

Ps

> 0

K'DPx = 30

0

0 60 80 120

DxD'x

60

Ejercicio1.- Hagan lo mismo para obtener , partiendo de

¿Qué significa que la elasticidad cruzada sea negativa?

Observen que, , dado que , lo que indica que x y c son bienes complementarios.

C. Elasticidad ingreso de la demanda.Volviendo a la ecuación de demanda,

, hacemos que, caeteris paribus, Px =30; Ps = 5; Pc = 10.Entonces, . La pendiente de la ecuación es:

, Bien Normal.

I

Q dx

40

Px

Q dx

60

80

2,000 4,000

Q dx

I

= 0.01 > 0

Px = 30

0 0 60 80 120

DxD'x

60

Esta NO es una curva de demanda,se denomina CURVA DE ENGEL

La curva de demanda se desplaza si el ingreso aumenta, en este caso de $2,000 a $4,000. Al mismo precio de x se demandan 80 unidades (20 más que cuando I = 2,000).

La elasticidad ingreso se calcula de la manera siguiente:


O


d.- Elasticidad Punto y Elasticidad Arco.Sabemos que si la ecuación de la demanda es conocida,

podemos calcular la elasticidad en cada punto sobre la curva aplicando la fórmula:

Si, , la ecuación de la curva de demanda es:

Qdx20 40 60 80 100 120

10

20

30

40

50

60

0

Px

A

B

C

D

E

F

G

Punto Px Qdx Elasticidad Punto

B 50 20

C 40 40

D 30 60 Punto Medio

E 20 80

F 10 100

Todos los puntos que se ubican por arriba del punto medio de la demanda (Px = 30, Qd

x = 60 ) tienen, en valor absoluto, elasticidades mayores a 1, y los que están por debajo tienen elasticidades menores a 1.

Supongamos que no conocemos la ecuación de la demanda, y que nos dan las siguientes coordenadas en dos puntos:

P0 = 50 ; Q0 = 20


P1 = 20 ; Q1 = 80Y nos piden calcular la elasticidad. Debemos usar la fórmula de

la elasticidad arco.

El segmento de la curva de demanda que va del punto B al punto E, en promedio, tiene una elasticidad de -1.4.

Ejercicio 2.- Calcule la elasticidad en otro segmento y a lo largo de toda la curva (Esta última debe ser igual a -1).

5.- Elasticidades de la oferta.Si la oferta de un bien x depende de su precio (Px ), del precio

de un substituto en la producción (Ps ), del pago a un factor de la producción (PT ) como, por ejemplo, los salarios de los trabajadores, y depende de la tecnología (T ), la función de la oferta es:

Ox = g (Px, Ps, PT, T )Partiendo de una ecuación de la oferta en la que la variable

dependiente es la cantidad ofrecida ( Qox ), tenemos:

a) Para calcular la elasticidad precio de la oferta, hacemos que sólo varíe Px y mantenemos constantes todas las otras variables independientes que, como sabemos, si estas otras variables cambian esto hará que se desplace la curva de la oferta.

Supongamos entonces que: .

y la ecuación de la curva de la oferta es: . Notemos que

la pendiente es y no a ½.


P x

20

30

40 Q o

=

0

P 12

Q ox40 60 80 100

20 A

B

C

O

La fórmula para calcular la elasticidad precio de la oferta en un punto sobre la curva es:

Nota: Para obtener la elasticidad, tomamos la pendiente de la ecuación Q=2Px.

Punto Px Qox Elasticidad

A 20 40

B 30 60

C 40 80

Esta curva de oferta tiene elasticidad unitaria en todos sus puntos.

Regla.- Una curva de oferta que parta del origen (que su ordenada al origen sea cero y sea lineal), tendrá elasticidad unitaria en todos sus puntos, de tal forma que la curva tendrá elasticidad igual a uno .

Así también podemos demostrar que si la curva de oferta es lineal y parte del eje vertical (precios) tendrá elasticidad mayor a uno (elástica), y si parte del eje horizontal (cantidades) tendrá elasticidad menor a uno (inelástica).

Tomemos las tres siguientes ecuaciones de la oferta:


P x

20

30

40

0

Px = 10 + 1/2 Q

Q ox80

A

B

C

10

50

ox

Px = 1/2 Q ox

Px = - 10 + 1/2 Q ox

Elasticidad en A: .

Elasticidad en B: .

Elasticidad en C: .

¿Tienen las curvas de oferta A y C la misma elasticidad en cada uno de sus puntos? ¡DEMUESTRE QUE NO!

b. Las elasticidades de la oferta dependen de los periodos plazos del análisis económico.

Determinantes de la Elasticidad Precio de la Oferta.Periodos Plazos Insumos Fijos Insumos

Variables Tecnología

Muy corto plazo Todos los insumos son fijos

No hay insumos variables

No hay cambio tecnológico

Corto plazo Algunos insumos son fijos

Algunos insumos son variables


Largo plazo No hay insumos fijos

Todos los insumos son variables


Muy largo plazo No hay insumos fijos

Todos los insumos son variables

SI hay cambio tecnológico

A continuación mostramos las curvas de oferta correspondientes a estos períodos plazos.


P x

0 Q ox

A

Muy Corto Plazo Corto Plazo

Largo Plazo

Muy Largo PlazoB C D E

CPLP

MLP

P

P

P'

P

Q Q Q Q

1

2

0

1

2

Q 3

Partimos del punto A, el precio es P0 y la cantidad ofrecida Q0, si el precio aumenta de P0 a P1 , ¿Qué le sucede a la cantidad ofrecida?

1).- En el muy corto plazo, la cantidad ofrecida no cambia, la oferta es perfectamente inelástica ( ).

2).- En el corto plazo, la cantidad aumenta un poco (de Q0 a Q1 ), y en el largo plazo aumenta más ( de Q0 a Q2 ). El mismo % Precio resulta en un mayor % Cantidad ofrecida en el largo plazo, por lo que la oferta de largo plazo es más elástica que la de corto plazo (está más acostada).

3).- Notemos que en el muy largo plazo la oferta se desplaza hacia la derecha como resultado del cambio tecnológico, este efecto hay que adicionárselo al efecto de largo plazo ( Q2 – Q0 ) + ( Q3 – Q2 ), de manera que el cambio en la cantidad ofrecida es de ( Q3 – Q0 ) unidades.

c.- ¿Qué sucede si cambia algún otro determinante de la oferta?

Volvamos a la ecuación general: . En la determinación de la oferta del muy largo plazo lo que hicimos fue cambiar el valor de la variable tecnológica ( T ), por ejemplo: partiendo de que Ps = 20; PT = 40; T = 4, obtenemos la ecuación de la oferta: , o de la ecuación de la curva de oferta: . Si hacemos un aumento de T = 4 a T = 8, la nueva ecuación de la oferta es: o de la curva de oferta:


P x

30

0 Q ox60 100

A B

-20

Px = 1/2 Q ox

Px = - 20 + 1/2 Q ox

La oferta se desplazó a la derecha y, al mismo precio de $30, la cantidad ofrecida aumentó a 100 unidades ( QO = 100 – 60 = 40 ). Esto lo podemos obtener expresando la ecuación que relaciona la cantidad ofrecida con la tecnología, manteniendo constante Px, Ps y PT.

Sean, Px = 30; Ps = 20; PT = 40QO

x = 20 + 2(30) - 2(20) – 0.5(40) + 10 T.QO

x = 20 + 10 T . (Esta NO es una ecuación de oferta).

T

60

100

0

Q ox

4 8

20

A

B

Q ox

T

= 10

Esta NO es una curva de oferta


Elasticidad de la oferta respecto a la Tecnología.

Entonces, si conocemos esta elasticidad y sabemos que, todo lo demás constante, se ofrecen 60 unidades cuando T = 4, ¿Cuántas unidades se ofrecerán si T = 8?

Entonces, % QOx = (0.6666) % T = (0.6666) (100%) = 66.66%

Si QOx = 60, tenemos que

Nota 3.- Haga lo mismo partiendo de la ecuación original.

Suponga que: Px = 30; Ps = 20; T = 4, y considere un incremento de PT de PT = 40 a P’T = 50.

La ecuación que debe obtener es:QO

x = 20 + 2(30) - 2(20) – 0.5 PT + 10 (4).QO

x = 80 – 0.5 PT

¿Elasticidad de la oferta respecto al precio del trabajo PT ?¿Qué le sucede a la curva de la oferta?

EJERCICIO.Demanda: Oferta:Inicialmente sabemos que: Py = 20; I = 4,000; PT = 50.


1. ¿Cuáles son las ecuaciones de las curvas de demanda y de oferta?

Demanda:

Oferta:

2.- ¿Qué hacemos para obtener la combinación precio-cantidad de equilibrio?

a) en el equilibrio inicial:

o también, , sabemos que

3.- ¡Determine la elasticidad precio de la demanda en el punto de equilibrio !

4.- Determine la elasticidad precio de la oferta en el punto de equilibrio.

5.- La elasticidad cruzada de la demanda del bien x respecto al precio del bien y es:

a)

b)

c)


La respuesta correcta es (b), ya que:

Los bienes x e y son sustitutos en el consumo dado que

d)

6.- La elasticidad ingreso de la demanda en el punto de equilibrio es:

a)

b)

c)

d)

7.- Si el precio del insumo T (PT ) se duplica (de 50 a 100), el nuevo precio de equilibrio será:

a) $320 b) $380c) $400 d) No cambia.

La respuesta correcta es (b), ya que,

Igualando con la demanda original:

8.- La nueva curva de la oferta tiene elasticidad, dada la pregunta 7:

a) Igual a uno.b) Menor a uno.c) Mayor a uno.d) Igual a cero.La respuesta correcta es (c), dado que:


La respuesta correcta es (c), dado que:

Como , x es un bien inferior.

500

0 Q ox400

100

Q ox

= 1

-100

P x

P x

Px = 100 + Qox

A

La curva de oferta relevante parte del eje de los precios, por lo que es elástica en todos sus puntos.

Ejemplo, en el punto A:


DEMANDA OFERTA

I = 2,000; Py = 5; Pz = 10 S = 100

Equilibrio:

P x

30

0 Q x30 120

E

O

40

D

Hacemos que (c.p.)

Nuevo equilibrio:

Exceso de oferta cuando I :

P x

30

0 Q x

30 120

E

O

40

D

25

33.33

25D'10010

E.O.

E'

¿Cómo podríamos haber calculado cuándo I ?


Elasticidad ingreso en el punto de equilibrio inicial.

Partiendo del equilibrio inicial (c.p.)

Exceso de demanda cuando Py = 5;

Nuevo Equilibrio:

P x

30

0 Q x

30 120

E

O

40

D

46.66

35D'

14050

E.D.

E'35

¿Cómo podríamos haber calculado cuándo Py ?

En el equilibrio inicial,

Sustitutos.

Hagan el caso en el que (c.p.)

Complementos.


Cambio en la oferta debido a

Exceso de demanda cuando S > 0;

Nuevo Equilibrio:

P x

30

0 Q x

30 120

E

O

40

D

O'

-20 1015

35

20

E.D.

E'

¿Cómo podríamos haber calculado el QO cuando S > 0 ?

En el equilibrio,


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