Apuntes de Dinámica · 2014-08-14 · Encuentre la tensión en las cuerdas en la figura que se...
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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA CHAPINGO
DPTO. DE PREPARATORIA AGRÍCOLA
ÁREA DE FÍSICA
“APUNTES DE DINÁMICA”
Guillermo Becerra Córdova
E-mail: [email protected]
Apuntes de Dinámica Guillermo Becerra Córdova
2
DINÁMICA La Dinámica es la ciencia que estudia la causa del movimiento de los cuerpos. El movimiento de un cuerpo queda determinado por la naturaleza y la disposición de los otros cuerpos que forman su medio ambiente. La fuerza es la influencia del medio ambiente sobre un cuerpo y la masa es la oposición de un cuerpo a ser acelerado cuando una fuerza actúa sobre él, lo que constituye una propiedad que se suele llamar inercia. La inercia es la tendencia que todo cuerpo posee de mantener su estado. Así, si un cuerpo está en reposo tiene una tendencia a continuar en este estado y será necesario que actúe sobre él una fuerza para cambiar dicho estado. Si el cuerpo se está moviendo tiende por inercia a moverse en línea recta y con una velocidad constante. Isaac Newton formuló tres leyes fundamentales para explicar las causas del movimiento de los cuerpos. Estas leyes fueron establecidas por medio de idealizaciones y abstracciones propias de los procesos científicos en la descripción de la naturaleza. INERCIA El concepto de inercia está íntimamente relacionado con la primera ley de Newton. Una definición común de este término es la siguiente: la inercia mide la tendencia de un objeto en reposo a permanecer en reposo y de un objeto en movimiento a permanecer en movimiento con su velocidad original. Es bien sabido que un camión de carga tiene mucho mayor inercia que una carretilla, es mucho más fácil mover la carretilla que mover el camión, además, se puede detener con mayor facilidad la carretilla que el camión cuando ambos se mueven con la misma velocidad. Es difícil alterar el estado de movimiento de un objeto cuya inercia es grande. La masa de un objeto está relacionada con su inercia, que es la oposición al cambio del estado de movimiento. Cuanto mayor sea la inercia de un objeto tanto más difícil podrá acelerarse. Se mide la inercia en términos de una cantidad fundamental llamada masa, cuya unidad estándar es el kilogramo. PRIMERA LEY DE NEWTON La fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo que se encuentra estático es cero. Se puede resumir este comportamiento de la siguiente manera: un objeto en reposo permanecerá en reposo si actúa sobre él una fuerza resultante igual a cero. Esta afirmación es una parte de la primera ley de Newton. Antes de Newton, casi todos suponían que era necesaria una fuerza para mantener un objeto en movimiento. Si se desliza un objeto sobre una superficie horizontal, pronto se detendrá. Para mantenerlo en movimiento, se deberá continuar empujándolo. En efecto, es casi obvio que los objetos en movimiento, abandonados a sí mismos, se frenan y pronto se detienen. Newton descubrió que esta observación, aunque correcta, no se aplica a objetos sobre los que actúa una fuerza resultante igual a cero. Para el caso del objeto que se desliza sobre la superficie horizontal, descubrió que existe una fuerza que frena al movimiento que es la fuerza de fricción que la superficie ejerce sobre el bloque. Por lo tanto, la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo no es cero. Newton reconoció que el bloque disminuye su velocidad y se detiene a causa de la fuerza de fricción no equilibrada. Mientras más pequeña sea una fuerza de fricción, el cuerpo disminuirá su velocidad más lentamente. Siguiendo esta línea de razonamiento, Newton propuso que si están ausentes las fuerzas de fricción, los objetos que se deslizan no se detendrán. Es decir: si la fuerza resultante que actúa sobre un objeto en movimiento es cero, el objeto continuará su movimiento con velocidad constante. Esta ley afirma que ni la magnitud ni la dirección de la velocidad del objeto cambiarán. El objeto continuará moviéndose a lo largo de una línea recta. Se puede resumir la primera ley del movimiento de Newton como sigue: si la suma vectorial de las fuerzas externas que actúan sobre un objeto es cero, la velocidad del objeto permanecerá constante. Cuando un cuerpo está en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme decimos que está en equilibrio. Entonces es evidente que si queremos tener un cuerpo en equilibrio debemos hacer que la resultante de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo sea nula. Recíprocamente, si
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tenemos una partícula en equilibrio podemos afirmar que las fuerzas actuantes tienen magnitudes y direcciones que su suma sea nula. APLICACIONES DE LA PRIMERA LEY DE NEWTON Cuando una cuerda está estirada por la acción de esfuerzos aplicados en sus extremidades se dice que está en tensión o tracción. El valor de la tensión en la cuerda, representa el valor de la fuerza que la estira o del esfuerzo que hace para sostener algún peso. El la figura 1, la cuerda
OA tira del punto O hacia la izquierda y esta fuerza se representa por la tensión 1T en la figura.
En esta misma figura mostramos la tensión 2T ejercida por OB sobre O. Por otra parte, actúa en
O el peso de 50 N hacia abajo. Como el cuerpo está en equilibrio, concluimos que la resultante de las fuerzas que actúan sobre él es nula. En consecuencia, la suma de las fuerzas en la dirección horizontal y vertical son iguales a cero, es decir:
0xF y 0yF
Figura 1 Descomponiendo las fuerzas Ox y Oy obtenernos las dos ecuaciones siguientes:
030 1
0
2 TCosT
Y
0100300
2 NSenT
Observe que la primera ecuación nos muestra que la fuerza 1T tira del punto O hacia la
izquierda la cual es equilibrada por la componente 2T en dirección Ox. La segunda ecuación
nos muestra que es la componente 0
2 30SenT la que está equilibrando el peso del cuerpo.
Al resolver el sistema de ecuaciones, encontramos que los dos valores de las dos incógnitas:
NT 2.1731 y NT 2002
060
NP 100
1T
B
2T
A
O
030
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4
TT
mgP
Encuentre la tensión en las cuerdas en la figura que se muestra a continuación. En la figura se muestra
Figura 2 Descomponiendo las fuerzas Ox y Oy obtenernos las dos ecuaciones siguientes:
04530 0
2
0
1 CosTCosT
Y
01004530 0
2
0
1 NSenTSenT Observe que la primera ecuación nos muestra que la componente 1T en la dirección horizontal
tira del punto O hacia la izquierda la cual es equilibrada por la componente 2T en la misma
dirección la cual tira del punto O hacia la derecha. La segunda ecuación nos muestra que las
componentes verticales de las tensiones 1T y 2T equilibran el peso del bloque. Al resolver el
sistema de ecuaciones, encontramos que los valores de las dos incógnitas son:
NT 20.731 y NT 66.892 Encuentre la tensión en la cuerda en la figura que se muestra a continuación. En la figura se muestran las fuerzas que actúan sobre el bloque.
Figura 3 Si se desprecia la masa de la polea y la fricción de la misma con el eje, entonces la tensión en los extremos de la cuerda es la misma. Si el cuerpo permanece en reposo, la tensión menos el
030
NP 100
2T
O
1T
A
B
060
045
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5
T
mgP
T T
peso es igual a cero, es decir, la fuerza que se necesita aplicar en el extremo de la cuerda es igual al peso del cuerpo. Encuentre la tensión en la cuerda en la figura que se muestra a continuación. En la figura se muestran dos poleas, una fija y la otra móvil. La polea móvil está sujeta por una cuerda en la cual uno de sus extremos se encuentra fijo a la superficie horizontal y el otro extremo pasa por la polea fija. La cuerda en la polea móvil divide el peso del bloque en dos. En consecuencia, se tiene:
Figura 4
mgTTT 2
Por lo que:
2
mgT 1
Esta relación nos indica que la tensión en la cuerda es igual a la mitad del peso del bloque. Este dispositivo sirve para reducir la fuerza que se necesita para levantar un objeto. Encuentre la tensión en la cuerda en la figura que se muestra a continuación. En la figura se muestran cuatro poleas, una fija y tres móviles. Dos de las poleas móviles están sujetas por una cuerda en la cual uno de sus extremos se encuentra fijo a la superficie horizontal y el otro extremo pasa por otra polea móvil. Uno de los extremos de la cuerda de la tercera polea móvil está fijo a la superficie horizontal y el otro extremo pasa por la polea fija. La cuerda en la primera polea móvil divide el peso del bloque en dos. La tensión en el extremo de la primera polea es dividida por las dos cuerdas de la segunda polea móvil. Finalmente, la cuerda que pasa por la tercera polea divide la tensión de la cuerda que pasa por la segunda polea. En consecuencia, se tiene que:
mgTTT 333 2
3222 2 TTTT
2111 2 TTTT
En consecuencia:
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6
2T
mgP
1T
1T1T
2T
3T3T
Figura 5
81
mgT 2
La fuerza 1T es la octava parte del peso del bloque para poder equilibrarlo.
SEGUNDA LEY DE NEWTON La segunda ley de Newton estudia el efecto que tienen las fuerzas no equilibradas que actúan sobre un objeto. La experiencia cotidiana dice que las fuerzas no equilibradas producen un cambio en la velocidad del objeto, es decir, producen una aceleración sobre el objeto. Newton reconoció que las fuerzas no equilibradas causan aceleraciones y su segunda ley relaciona la fuerza externa resultante que actúa sobre un objeto con la aceleración del objeto. Cuando una fuerza neta actúa sobre un objeto de masa m y produce una aceleración a , las
cantidades están relacionadas por:
amF 3
Esta conclusión es el enunciado de la segunda ley de Newton. La segunda ley de Newton nos indica que cuanto mayor sea la masa del objeto tanto mayor será la fuerza necesaria para cambiar su velocidad. Además, cuanto mayor sea la fuerza neta actuando sobre un objeto, tanto mayor será la aceleración experimentada. En consecuencia con la segunda ley de Newton, si la fuerza neta que actúa sobre un objeto es igual a cero, un objeto en reposo permanecerá en reposo y un objeto en movimiento conservará su velocidad original. APLICACIONES DE LA SEGUNDA LEY DE NEWTON Las leyes de Newton forman parte esencial de los conceptos básicos de la Dinámica, que es la ciencia que se encarga de establecer las causas del movimiento de los cuerpos. La fuerza representa la interacción del medio y el objeto en estudio, identificándose como la causa que origina el movimiento de los cuerpos. Newton estableció que en ausencia de fuerzas un cuerpo no alterará su estado, es decir, si está en reposo, permanecerá en reposo. Aunque escape a nuestro sentido común, lo mismo se
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7
gm2gm1
T T
puede afirmar de un cuerpo que se mueva con velocidad constante y describiendo una trayectoria rectilínea; éste permanecerá así mientras no haya una fuerza que altere su estado. Para un cuerpo que haya sido afectado por una fuerza, ese estado se romperá apareciendo con ello un cambio de rapidez o un cambio en la trayectoria del movimiento del cuerpo si originalmente se desplazaba con movimiento rectilíneo uniforme, o pueden aparecer ambos efectos simultáneamente. Un cambio experimentado en la rapidez de un cuerpo en un determinado intervalo de tiempo, es conocido como aceleración tangencial. De manera equivalente, un cambio en la dirección del movimiento del cuerpo causa una aceleración conocida como aceleración centrípeta. Así, una fuerza que actúe en un cuerpo es capaz de ocasionar en él una aceleración que es proporcional a dicha fuerza. Sin embargo, la aceleración que experimente un cuerpo no solo dependerá de la fuerza que se le aplica, sino también de la cantidad de masa que contenga; entendiéndose a la masa como una medida cuantitativa de la inercia, siendo ésta una propiedad que tienen los cuerpos de presentar resistencia para cambiar su estado. Así, para una fuerza dada, un objeto de menor masa se acelerará más que un objeto de mayor masa. La segunda ley de Newton establece que la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es igual al producto de la masa del cuerpo por la aceleración que experimente. En consecuencia, para identificar las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, se dibuja un diagrama por separado del cuerpo aislado, mostrando un marco de referencia y todas las fuerzas que actúan sobre dicho cuerpo. Este diagrama se le conoce como Diagrama de Cuerpo Libre. Máquina de Atwood Este método es utilizado para calcular la tensión en la cuerda y la aceleración que experimentarán dos objetos de diferente masa que estén atados a la cuerda que pasa por una polea sin fricción y masa despreciable. Dicho dispositivo se conoce como Máquina de Atwood. La figura 6 muestra un dispositivo similar a la Máquina de Atwood. En este ejemplo se antepondrá un signo positivo a la aceleración si el cuerpo se desplaza hacia
arriba y un signo negativo en caso contrario. Las fuerzas que actúan sobre 1m y 2m se
muestran en la figura 6 en la cual T representa la tensión en los extremos de la cuerda.
Figura 6
La ecuación de las fuerzas para 1m es:
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8
amgmT 11 4
Y para 2m se tiene:
amgmT 22 5
Con 1m mayor a 2m .
Estas ecuaciones nos indican que la tensión es menor que el peso del cuerpo de masa 1m y
que la tensión es mayor que el peso del cuerpo de masa 2m ; en consecuencia, el bloque de
masa 1m caerá y el bloque de masa 2m , subirá.
Combinando ambas ecuaciones, tenemos:
21
21 )(
mm
gmma
6
y
21
212
mm
gmmT
7
Estos resultados son válidos si la masa de la polea es despreciable. Para el caso en que esta condición no se cumpla, encontraríamos que la tensión en cada extremo de la cuerda sería diferente. Ejemplo 1.
En una máquina de Atwood las masas de los bloques son de kgm 201 y kgm 102 ,
encuentre la aceleración con la que se moverán los bloques y la tensión en la cuerda. Sustituyendo las masas en la ecuación 6 y 7 para la aceleración y la tensión, tenemos:
22
21
21 /26.330
98
1020
/8.9*)1020()(sm
kg
N
kgkg
smkgkg
mm
gmma
Y
Nkg
Nkg
kgkg
smkgkg
mm
gmmT 6.130
30
3920
1020
/8.9*10*20*22 2
21
21
Ejemplo 2.
En una máquina de Atwood la aceleración con la que se mueven los bloques es de 2/5 sma
y la tensión en la cuerda es de NT 50 , calcule las masas de los bloques.
Utilizando la ecuación 4, tenemos:
amgmT 11
Despejando 1m se llega a:
kgsmsm
N
ag
Tm 42.10
/5/8.9
50221
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9
Utilizando la ecuación 5, tenemos:
amgmT 22
Despejando 2m se llega a:
kgsmsm
N
ag
Tm 38.3
/5/8.9
50222
Ejemplo 3.
En una máquina de Atwood la aceleración con la que se mueven los bloques es de 2/6 sma
y la masa más grande es de kgm 301 , calcule la masa del bloque restante y la tensión en la
cuerda. Utilizando la ecuación 4, despejamos la tensión:
NsmsmsmagmT 8.22)/6/8.9(*)/6()( 222
1
Y sustituyendo la tensión en la ecuación 5, la masa del bloque restante es:
kgkgsmsm
smsmm
ag
agm 215.730*
/6/8.9
/6/8.922
22
12
Ejemplo 4.
En una máquina de Atwood la tensión en la cuerda es de NT 40 y la masa del bloque mayor
es de kgm 201 , calcule la aceleración con la que se moverán los bloques y la masa del
bloque restante. Utilizando la ecuación 4 despejamos la aceleración:
kgkg
Nsmkg
m
Tgma 8.7
20
40/8.9*20 2
1
1
Sustituyendo la aceleración en la ecuación 5 y despejando 2m , se llega al siguiente resultado:
kgsmsm
N
ag
Tm 53.2
/6/8.9
40222
Ejemplo 5.
En una máquina de Atwood la tensión en la cuerda es de NT 40 y la masa del bloque menor
es de kgm 32 , calcule la aceleración con la que se moverán los bloques y la masa del bloque
restante. Utilizando la ecuación 5 despejamos la aceleración:
kgkg
smkgkg
m
gmTa 53.3
3
/8.9*340 2
2
2
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10
T
N
gm1
gm2
T
Sustituyendo la aceleración en la ecuación 4 y despejando 1m , se tiene:
kgsmsm
N
ag
Tm 38.6
/53.3/8.9
40221
Ejemplo 6.
En una máquina de Atwood la aceleración con la que se mueven los bloques es de 2/8 sma
y la masa del bloque menor es de kgm 32 , calcule la tensión en la cuerda y la masa del
bloque restante. Utilizando la ecuación 5 despejamos la tensión:
NsmsmsmagmT 4.53)/8/8.9(*)/3()( 222
2
Sustituyendo la tensión en la ecuación 4 y despejando 1m , se tiene:
kgsmsm
N
ag
Tm 6.29
/8/8.9
4.53221
Plano Horizontal En la figura siguiente se muestra un bloque sobre un plano horizontal atado a una cuerda que sujeta a otro bloque que se encuentra suspendido. Quisiéramos saber ¿Qué fuerzas actúan en
cada bloque?, ¿Qué tan grande debe ser la fuerza horizontal que tira del bloque 1m para que se
mueva?, ¿Cuál debe ser el valor de la masa del bloque 2m para que se pueda mover el bloque
1m si no existe fricción entre las superficies de contacto? y, finalmente, ¿Con qué aceleración se
moverán los bloques?
Figura 7
Las fuerzas que actúan sobre 1m y 2m se muestran en la figura 7, en la cual T representa la
tensión en los extremos de la cuerda. En consecuencia, la ecuación de las fuerzas que actúan sobre para m1 es:
amT 1 8
y
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11
01 gmN 9
Para 2m se tiene:
amgmT 22 10
Combinando ambas ecuaciones, tenemos que:
21
2
mm
gma
11
21
21
mm
gmmT
12
Ejemplo 1. En un arreglo como el que se muestra en la figura 7, la masa del bloque que se encuentra sobre
el plano es de kgm 201 y la que se encuentra suspendida es de kgm 12 . Encuentre la
aceleración con la que se moverán los bloques y la tensión en la cuerda. Utilizando la ecuación 11, encontramos que la aceleración con la que se moverán los bloques es de:
22
21
2 /467.0/8.9*120
1smsm
kgkg
kg
mm
gma
Al sustituir estas masas en la ecuación 12, se concluye que la tensión en la cuerda es de:
Nsmkgkg
kgkg
mm
gmmT 33.9/8.9*
120
)1)(20( 2
21
21
Ejemplo 2. En un arreglo como el que se muestra en la figura 7, la aceleración con la que se mueven los
bloques es de 2/6 sma y la masa del bloque que se encuentra sobre el plano horizontal es
de kgm 201 . Encuentre la masa del bloque restante y la tensión en la cuerda.
Utilizando la ecuación 8, encontramos que la tensión en la cuerda es de:
NsmkgamT 120)/6)(20( 2
1
Empleando la ecuación 10 y despejando 2m , concluimos que:
kgsmsm
N
ag
Tm 58.31
/6/8.9
120222
Ejemplo 3.
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En un arreglo como el que se muestra en la figura 7, la aceleración con la que se mueven los
bloques es de 2/6 sma y la masa del bloque que se encuentra suspendida es de
kgm 202 . Encuentre la masa del bloque restante y la tensión en la cuerda.
Empleando la ecuación 10, y despejando la tensión encontramos que:
NkgsmsmmagT 7620*)/6/8.9()( 22
2
Utilizando la ecuación 9 y despejando 1m , concluimos que:
Kgsm
N
a
Tm 66.12
/6
7621
Ejemplo 4. En un arreglo como el que se muestra en la figura 7, la tensión en la cuerda que une a los
bloques es de NT 25 y la masa del bloque que se encuentra sobre el plano horizontal es de
kgm 201 . Encuentre la masa del bloque restante y la aceleración con la que se moverán los
bloques. Empleando la ecuación 8, y despejando la aceleración encontramos que:
2
1
/25.120
25sm
kg
N
m
Ta
Utilizando la ecuación 10 y despejando 2m , concluimos que:
kgsmsm
N
ag
Tm 92.2
/25.1/8.9
25222
Ejemplo 5. En un arreglo como el que se muestra en la figura 7, la tensión en la cuerda que une a los
bloques es de NT 25 y la masa del bloque que se encuentra suspendida es de kgm 202 .
Encuentre la masa del bloque restante y la aceleración con la que se moverán los bloques. Empleando la ecuación 10, y despejando la aceleración encontramos que:
22
2
2 /55.820
25)/8.9)(20(sm
kg
Nsmkg
m
Tgma
Utilizando la ecuación 8 y despejando 1m , concluimos que:
kgsm
N
a
Tm 92.2
/55.8
2521
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13
T
N
gm1
gm2
T
fr
Ejemplo 6. En un arreglo como el que se muestra en la figura 7, la aceleración con la que se mueven los
bloques es de 2/4 sma y la tensión en la cuerda que une los bloques es de NT 20 .
Encuentre las masas de ambos bloques.
Empleando la ecuación 8, y despejando 1m encontramos que:
kgsm
N
a
Tm 5
/4
2021
Utilizando la ecuación 10 y despejando 2m , concluimos que:
kgsmsm
N
ag
Tm 45.3
/4/8.9
20222
Estos resultados son válidos si no hay fricción entre el bloque 1m y la superficie horizontal. Para
el caso en que exista fricción, el bloque 1m estaría frenado por esta fuerza. Observe la figura.
Figura 8
La ecuación de las fuerzas que actúan sobre 1m es:
amfrT 1 13
01 gmN 14
Nfr 15
amgmT 11 16
y para 2m se tiene:
amgmT 22 17
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14
Combinando ambas ecuaciones, tenemos:
21
12 )(
mm
gmma
18
21
2121 )(
mm
gmmmmT
19
Ejemplo 1. En un arreglo como el que se muestra en la figura 3, la masa del bloque que se encuentra sobre
el plano es de kgm 201 y la que se encuentra suspendida es de kgm 102 . Si el coeficiente
de fricción es de 1.0 , encuentre la aceleración con la que se moverán los bloques y la
tensión en la cuerda.
Empleando la ecuación 18, y despejando 1m encontramos que:
22
21
12 /61.230
4.78
1020
)/8.9))(20)(1.0()10(()(sm
kg
N
kgkg
smkgkg
mm
gmma
O Utilizando la ecuación 19, concluimos que la tensión es igual a:
2
21
2121 /8.9*1020
)10)(20)(1.0()10)(20()(sm
kgkg
kgkgkgkg
mm
gmmmmT
O
Nkg
kgN
mm
gmmmmT 86.71
30
2156)(
21
2121
Ejemplo 2. En un arreglo como el que se muestra en la figura 8, la masa del bloque que se encuentra sobre
el plano es de kgm 201 y la aceleración con la que se mueven los bloques es de 2/5 sma
Si el coeficiente de fricción es de 1.0 , encuentre la tensión en la cuerda que une a los
bloques y la masa del bloque restante.
Empleando la ecuación 16, y despejando T encontramos que:
NsmsmkgagmT 6.119)/5/8.9*1.0)(20()( 22
1
Utilizando la ecuación 17 y despejando 2m concluimos que:
kgsmsm
N
ag
Tm 92.24
/5/8.9
6.119222
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15
Ejemplo 3. En un arreglo como el que se muestra en la figura 8, la masa del bloque que se encuentra
suspendida es de kgm 202 y la aceleración con la que se mueven los bloques es de 2/5 sma . Si el coeficiente de fricción es de 1.0 , encuentre la tensión en la cuerda que
une a los bloques y la masa del bloque restante.
Empleando la ecuación 17, y despejando T encontramos que:
NsmsmkgagmT 96)/5/8.9)(20()( 22
2
Utilizando la ecuación 16 y despejando 1m concluimos que:
kgsmsm
N
ag
Tm 05.16
/5/8.9*1.0
96221
Ejemplo 4. En un arreglo como el que se muestra en la figura 8, la masa del bloque que se encuentra
suspendida es de kgm 202 y la aceleración con la que se mueven los bloques es de 2/3 sma . Si la masa del bloque que se encuentra sobre la superficie es igual a kgm 301
encuentre la tensión en la cuerda que une los bloques y el coeficiente de fricción.
Empleando la ecuación 17, y despejando T encontramos que:
NsmsmkgagmT 136)/3/8.9)(20()( 22
2
Utilizando la ecuación 16 y despejando concluimos que:
020.0)/8.9)(30(
)/3)(30(962
2
1
1
smkg
smkgN
gm
amT
Ejemplo 5. En un arreglo como el que se muestra en la figura 8, la masa del bloque que se encuentra
suspendida es de kgm 202 y la aceleración con la que se mueven los bloques es de 2/3 sma . Si el coeficiente de fricción es de 1.0 , encuentre la tensión en la cuerda que
une ambos bloques y la masa del bloque que se encuentra sobre la superficie horizontal.
Empleando la ecuación 17, y despejando T encontramos que:
NsmsmkgagmT 136)/3/8.9)(20()( 22
2
Utilizando la ecuación 16 y despejando 1m concluimos que:
kgsmsm
N
ag
Tm 17.34
/3)/8.9)(1.0(
136221
Ejemplo 6. En un arreglo como el que se muestra en la figura 8, la masa del bloque que se encuentra sobre
la superficie horizontal es de kgm 201 y la aceleración con la que se mueven los bloques es
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16
de 2/3 sma . Si la tensión en la cuerda que une los bloques es de NT 80 , encuentre el
coeficiente de fricción y la masa del bloque que se encuentra suspendida. Empleando la ecuación 16, y despejando encontramos que:
102.0)/8.9)(20(
)/3)(20(802
2
1
1
smkg
smkgN
gm
amT
Utilizando la ecuación 17 y despejando 2m concluimos que:
kgsmsm
N
ag
Tm 76.11
/3/8.9
80222
Ejemplo 7. En un arreglo como el que se muestra en la figura 8, la tensión en la cuerda que une los
bloques es de NT 60 , la aceleración con la que se mueven los bloques es de 2/3 sma . Si
el coeficiente de fricción es de 1.0 , las masas de los bloques.
Empleando la ecuación 16, y despejando encontramos que:
kgsmsm
N
ag
Tm 07.15
/3)/8.9)(1.0(
60221
Utilizando la ecuación 17 y despejando 2m concluimos que:
kgsmsm
N
ag
Tm 82.8
/3/8.9
60222
Plano Inclinado La segunda ley de Newton establece que la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, es igual al producto de la masa del cuerpo por la aceleración que experimente. En consecuencia, para identificar las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, se dibuja un diagrama por separado del cuerpo aislado, mostrando un marco de referencia y todas las fuerzas que actúan sobre dicho cuerpo. Este diagrama se le conoce como Diagrama de Cuerpo Libre. Las ecuaciones de las fuerzas para m son:
amfrsengm 20
Nfr 21
0cos1 gmN 22
Sustituyendo la ecuación 22 en la ecuación 21 y la 21 en la 20 se tiene que la aceleración con la que se moverá el bloque es de:
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17
sengm
fr
cosgm
gm
N
Figura 9
gsena )cos( 23
Si la aceleración es igual a cero, el coeficiente de fricción es:
tan 24
Es decir, el coeficiente de fricción para un bloque que comienza a deslizarse sobre un plano inclinado es igual a la tangente del ángulo que forma el plano inclinado al momento de comenzar a deslizarse el bloque. Ejemplo 1. Calcule la aceleración con la que se deslizará un bloque si el ángulo de inclinación es de
060 y el coeficiente de fricción es de 5.0 .
Utilizando la ecuación 23, la aceleración es igual a:
2200 /03.6)/8.9))(60)(cos5.0(60()cos( smsmsengsena
Ejemplo 2. Calcule el coeficiente de fricción entre el plano inclinado y un bloque que se encuentre sobre él
si la aceleración con la que se desliza el bloque es de 2/4 sma y el ángulo de inclinación es
de 050
Despejando el coeficiente de fricción en la ecuación 23, se tiene que el coeficiente de fricción es de:
5567.0)50)(cos/8.9(
/4)50)(/8.9(
cos 02
202
sm
smsensm
g
aseng
Ejemplo 3. Calcule el ángulo por el cual un bloque se mueve sobre un plano inclinado si la aceleración con
la que se desliza es de 2/3 sma y el coeficiente de fricción es de 6.0 .
Utilizando la ecuación 22 vemos que es imposible despejar el ángulo por el cual el bloque se desliza con la aceleración y coeficiente de fricción dado en el problema. Para saber el ángulo se recurre al método gráfico, el cual en el lado izquierdo de la misma ecuación se colocan los
Apuntes de Dinámica Guillermo Becerra Córdova
18
términos constantes y en el lado restante los términos que contienen la variable buscada. Así, esta ecuación queda de la siguiente manera:
3061.0/8.9
/3cos)6.0(
2
2
sm
smsen
g
a
Al graficar ambos lados de la ecuación, observamos que el cruce de ambas gráficas nos revela el ángulo por el cual se desliza el bloque con la aceleración y el coeficiente de fricción establecidos en el problema.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
Fu
ncio
ne
s
Ángulo
Figura 10
En la figura 10 se muestra que el ángulo en el cual se cruzan ambas gráficas es en 046 ,
aproximadamente. Ejemplo 4. Si el ángulo con el cual comienza a deslizarse un bloque sobre un plano inclinado es de
030 . Calcule el coeficiente de fricción entre el bloque y el plano inclinado.
Utilizando la ecuación 24, se tiene que el coeficiente de fricción es de:
5773.030tantan 0
Ejemplo 5. Si el coeficiente de fricción entre un plano inclinado y el bloque que se encuentra sobre él es de
5.1 , encuentre el ángulo por el cual comienza a deslizarse.
Despejando el ángulo de la ecuación 24, se tiene:
011 30.56)5.1(tan)(tan
Encuentre la aceleración con la que se moverá el bloque y la tensión en la cuerda mostrada en la figura 11, suponiendo que los coeficientes de fricción entre los bloques y la superficie horizontal es el mismo.
Apuntes de Dinámica Guillermo Becerra Córdova
19
2fr
F
2m
1m
T 2fr
1fr
Figura 11 Las ecuaciones de las fuerzas para cada bloque son:
amfrfrF 121 25
Donde:
gmmfr )( 211 26
Y
gmfr 22 27
Sustituyendo las ecuaciones 26 y 27 en la ecuación 25, se obtiene:
amgmgmmF 1221 )( 28
Y
02 gmT 29
Resolviendo:
1
21 )2(
m
gmmFa
30
Y
gmT 2 31
Ejemplo 1. Calcule la tensión y la aceleración con la que se moverá el bloque de masa 1m mostrado en la
figura 11, si el coeficiente de fricción es de 5.0 , las masas de los bloques son kgm 201 y
kgm 102 , y la fuerza con la que se jala el bloque de masa 1m es igual a NF 200
Utilizando las ecuaciones 30 y 31, se tiene:
22
1
21 /2.020
)/8.9))(10)(2(20)(5.0(200)2(sm
kg
smkgkgN
m
gmmFa
Apuntes de Dinámica Guillermo Becerra Córdova
20
Y
NsmggmT 49)/8.9)(10)(5.0( 2
2
Ejemplo 2. Calcule las masas de los bloques mostrados en la figura 11 si la tensión en la cuerda es de
NT 150 , el coeficiente de fricción es de 5.0 , la aceleración con la que se mueve el
bloque de masa 1m es de
2/1 sma y la fuerza con que es tirado el bloque de masa 1m es de
NF 400 .
Utilizando la ecuación 31, y despejando 2m , se tiene:
kgsm
N
g
Tm 61.30
)/8.9)(5.0(
15022
Utilizando la ecuación 30 y despejando 1m , se tiene:
kgsmsm
smkgN
ga
gmFm 95.16
)/8.9)(5.0(/1
)/8.9)(61.30)(5.0)(2(400222
2
21
Ejemplo 3. Calcule el coeficiente de fricción y la tensión en la cuerda mostrados en la figura 11 si las masas
de los bloques son kgm 101 , kgm 52 , la aceleración es de 2/2 sma y la fuerza es de
NF 100 .
Empleando la ecuación 30 y despejando el coeficiente de fricción, se tiene:
41.0)/8.9))(5)(2(10(
)/2)(10(100
)2( 2
2
21
1
smkgkg
smkgN
gmm
amF
Y empleando la ecuación 31, la tensión es igual a:
NsmkggmT 09.20)/8.9)(5)(41.0( 2
2
Ejemplo 4.
Calcule la tensión en la cuerda y la fuerza con la que se jala el bloque de masa 1m mostrado en
la figura 11, si las masas de los bloques son kgm 101 , kgm 52 , el coeficiente de fricción
es de 5.0 , la aceleración con la que se mueve el bloque 1m es de 2/3 sma
Empleando la ecuación 30 y despejando la fuerza, se tiene:
NsmkgkgamgmmF 98)/8.9))(5)(2(10)(5.0()2( 2
121
Y empleando la ecuación 31, la tensión es igual a:
NsmkggmT 5.24)/8.9)(5)(5.0( 2
2
Apuntes de Dinámica Guillermo Becerra Córdova
21
1fr
T
T
2fr
1m
2m
F
2fr
Ejemplo 5.
Calcule el coeficiente de fricción y la aceleración con la que se moverá el bloque de masa 1m
mostrado en la figura 11, si tensión es de NT 10 , las masas de los bloques son kgm 201
y kgm 102 y la fuerza con la que son jalados es igual a NF 100
Utilizando la ecuación 31 y despejando el coeficiente de fricción, se tiene:
102.0)/8.9)(10(
102
2
smkg
N
gm
T
Empleando la ecuación 30 y despejando la aceleración, se tiene:
22
1
21 /5.3)20(
)/8.9))(10)(2(20)(102.0(100)2(sm
kg
smkgkgN
m
gmmFa
Encuentre la aceleración con la que se moverán los bloques y la tensión en la cuerda mostrada en la figura 12, suponiendo que los coeficientes de fricción entre los bloques y la superficie horizontal son los mismos.
Figura 12
Las ecuaciones de las fuerzas para el bloque de masa 1m , son:
)( 211 mmfr 32
22 mfr 33
amTfrfrF 121 34
Sustituyendo las ecuaciones 29 y 30 en la ecuación 31, tenemos:
amTgmgmF 121 2 35
Las ecuaciones de las fuerzas para el bloque de masa 2m , son:
amfrT 22 36
Apuntes de Dinámica Guillermo Becerra Córdova
22
Sustituyendo las ecuaciones 30 en la 33, se concluye que la tensión es igual a:
amgmT 22 37
Resolviendo para a , se tiene que la aceleración es igual a:
21
123
mm
gmgmFa
38
y para la tensión se tiene:
21
22 )2(
mm
gmFmT
39
Ejemplo 1. Calcule la tensión y la aceleración con la que se moverán los bloques mostrados en la figura 12,
si el coeficiente de fricción es de 5.0 , las masas de los bloques son kgm 201 y
kgm 102 y la fuerza con la que son jalados es igual a NF 400
Utilizando las ecuaciones 38, se tiene que la aceleración es igual a:
kgkg
smkgsmkgN
mm
gmgmFa
1020
)/8.9)(20)(5.0()/8.9)(10)(5.0)(3(4003 22
21
12
Equivalentemente, se tiene:
222
/16.51020
)/8.9)(20)(5.0()/8.9)(10)(5.0)(3(400sm
kgkg
smkgsmkgNa
Al utilizar la ecuación 39, se tiene que la tensión es igual a:
Nkgkg
smkgNkg
mm
gmFmT 66.100
1020
))/8.9)(10)(5.0)(2(400)(10()2( 2
21
22
Ejemplo 2. Calcule las masas de los bloques mostrados en la figura 12 si la tensión en la cuerda es de
NT 20 , el coeficiente de fricción es de 5.0 , la aceleración con la que se mueven los
bloques es de 2/1 sma y la fuerza con que es tirado el bloque es de NF 400 .
Utilizando la ecuación 37 y despejando 2m , se tiene:
kgsmsm
N
ag
Tm 38.3
)/1()/8.9)(5.0(
20222
Al utilizar la ecuación 38 y despejando 1m , se tiene:
kgsmsm
smkgsmkgN
ag
amgmFm 8.58
)/1()/8.9)(5.0(
)/1)(38.3()/8.9)(38.3)(5.0)(3(400322
22
221
Apuntes de Dinámica Guillermo Becerra Córdova
23
Ejemplo 3. Calcule el coeficiente de fricción y la tensión en la cuerda mostrados en la figura 6 si las masas
de los bloques son kgm 101 , kgm 52 , la aceleración es de 2/2 sma y la fuerza es de
NF 100 .
Sumando la ecuación 35 a la 37, se tiene:
ammgmgmF )(3 2121
En consecuencia:
2857.)/8.9))(5)(3(10(
)/2)(510(100
)3(
)(2
2
21
21
smkgkg
smkgkgN
gmm
ammF
Empleando la ecuación 37 y despejando la tensión, se tiene:
NsmsmkggamT 99.23))/8.9)(2857.0(/2)(5()( 22
2
Ejemplo 4.
Calcule la tensión en la cuerda y la fuerza con la que se jala el bloque de masa 1m mostrado en
la figura 12, si las masas de los bloques son kgm 101 , kgm 52 , el coeficiente de fricción
es de 5.0 , la aceleración con la que se mueven los bloques es de 2/3 sma .
Empleando la ecuación 37 y despejando la tensión, se tiene:
NsmsmkgagmT 5.39)/3)/8.9)(5.0)((5()( 22
2
Empleando la ecuación 35 y despejando la fuerza, se tiene:
TgmagmF 21 2)(
NsmkgsmsmkgF 5.39)/8.9)(5)(5.0)(2()/3)/8.9)(5.0)((10( 222
NF 5.167
¿En la figura siguiente, qué fuerza se necesita para dar a los bloques una aceleración de 3.0 m/s2 para un coeficiente de fricción dado?
Figura 13
1m
2m
3m1fr
2fr
F
3fr
1F2F
Apuntes de Dinámica Guillermo Becerra Córdova
24
Las expresiones de las fuerzas que actúan en cada bloque están dadas por:
)( 3211 mmmafrF 40
gmmmfr )( 3211 41
)()( 321321 mmmagmmmF 42
Despejando la aceleración de esta última ecuación se tiene:
321
321 )(
mmm
gmmmFa
43
La fuerza que existe entre los bloques 1 y 2 es:
)( 3221 mmafrF 44
gmmfr )( 322 45
)()( 32321 mmagmmF 46
En consecuencia, la fuerza 1F o la fuerza entre los bloques 1 y 2 es igual a:
)()( 32321 mmagmmF 47
Sustituyendo la aceleración, se tiene:
321
32
321
32132321
)())()(()(
mmm
Fmm
mmm
gmmmFmmgmmF
48
Las fuerzas que actúan sobre el bloque 3 son:
amfrF 332 49
Donde:
gmfr 33 50
amgmF 332 51
Finalmente, la fuerza 2F es igual a:
amgmF 332 52
Apuntes de Dinámica Guillermo Becerra Córdova
25
Sustituyendo la aceleración, se concluye que 2F o la fuerza entre el bloque 2 y 3 es igual a:
321
3
321
32133332
))((
mmm
Fm
mmm
gmmmFmgmamgmF
53
Ejemplo 1. Calcule las fuerzas que actúan en cada bloque mostrado en la figura 13, si el coeficiente de
fricción es de 5.0 , la aceleración con la que se mueven los bloques es de 2/3 sma y la
masa de los bloques es de kgm 101 , kgm 202 y kgm 303 .
Utilizando la ecuación 42 y despejando la fuerza, tenemos:
NkgkgkgsmsmmmmagF 474)302010)(/3)/8.9)(5.0(())(( 22
321
Utilizando la ecuación 46 y despejando la fuerza 1F , tenemos:
NkgkgsmsmmmagF 395)3020)(/3)/8.9)(5.0(())(( 22
321
Utilizando la ecuación 52 y despejando la fuerza 2F , tenemos:
NkgsmsmmagF 237)30)(/3)/8.9)(5.0(()( 22
32
Ejemplo 2. Calcule el coeficiente de fricción y la fuerza, si la aceleración con la que se mueven los bloques
de la figura 13 es 2/2 sma , las masas de los bloques son kgm 101 , kgm 202 y
kgm 303 , la fuerza entre el bloque 2 y 3 es NF 1002 .
Utilizando las ecuaciones 53, se tiene que la fuerza F es igual a:
Nkg
Nkgkgkg
m
FmmmF 200
30
)100)(302010()(
3
2321
Para calcular el coeficiente de fricción, utilizamos la ecuación 42, es decir:
136.0)/8.9)(302010(
)302010)(/2(200
)(
)(2
2
321
321
smkgkgkg
kgkgkgsmN
gmmm
mmmaF
Ejemplo 3.
Calcule la aceleración y la fuerza F , si el coeficiente de fricción que existe entre la superficie
horizontal y los bloques es de 3.0 , las masas de los bloques son kgm 101 , kgm 202
y kgm 303 , la fuerza entre el bloque 2 y 3 es NF 2002 .
Utilizando las ecuaciones 53, se tiene que la fuerza F es igual a:
Nkg
Nkgkgkg
m
FmmmF 400
30
)200)(302010()(
3
2321
Apuntes de Dinámica Guillermo Becerra Córdova
26
1m
2m
3m
1T
gm1gm3
1T
2T
2T
fr
Para calcular lal aceleración con la que se moverán los bloques, utilizamos la ecuación 42, es decir:
22
321
321 /72.3)302010(
)/8.9)(302010)(3.0(400
)(
)(sm
kgkgkg
smkgkgkgN
mmm
gmmmFa
Tres bloques 1m , 2m y 3m están unidos como se muestra en la figura siguiente. Para un
determinado coeficiente de fricción estático entre el bloque de masa 2m y la superficie
horizontal, calcular la aceleración con la que se moverán los bloques y las tensiones en las cuerdas.
Figura 14 Las fuerzas que actúan en cada bloque se muestran en la figura 14. En consecuencia, las ecuaciones de las fuerzas para cada cuerpo son:
amgmT 111 54
amfrTT 212 55
amgmT 332 56
gmfr 2 57
Sustituyendo la ecuación 51 en la 49, se tiene:
amgmTT 2212 58
Combinando estas cuatro ecuaciones encontramos que la aceleración a , las tensiones 1T y 2T
en función de las masas 1m , 2m y 3m , son:
321
213
mmm
gmgmgma
59
321
2121311
2
mmm
gmmgmmgmmT
60
Apuntes de Dinámica Guillermo Becerra Córdova
27
321
3232312
2
mmm
gmmgmmgmmT
61
Estos resultados se obtuvieron suponiendo que la masa 3m se mueve hacia abajo, venciendo la
masa y la fricción de 2m y el peso de la masa 1m .
Ejemplo 1. Calcule la aceleración con la que se mueven los bloques y las tensiones en las cuerdas
mostrados en la figura 14 si sus masas son de kgm 101 , kgm 202 , kgm 303 y el
coeficiente de fricción es igual a 2.0
Utilizando la ecuación 59, la aceleración es igual a:
22
321
213 /61.2302010
)/8.9)(20)(2.0(1030(sm
kgkgkg
smkgkgkg
mmm
gmgmgma
Utilizando la ecuación 60, vemos que la tensión 1T es igual a:
Nkgkgkg
smkgkgsmkgkgkgkgT 13.36
302010
)/8.9)(20)(10)(2.0()/8.9)(20)(10()30)(10)(2( 22
1
Utilizando la ecuación 61, vemos que la tensión 2T es igual a:
Nkgkgkg
smkgkgsmkgkgkgkgT 6.127
302010
)/8.9)(30)(20()/8.9)(30)(20)(2.0()30)(10)(2( 22
2
Ejemplo 2. Calcule las masas de los bloques mostrados en la figura 14, si las tensiones en las cuerdas son
iguales a NT 201 y NT 1502 , la aceleración es de 2/3 sma y el coeficiente de fricción
es igual a 2.0
Utilizando la ecuación 54, vemos que la masa 1m es igual a:
kgsmsm
N
ag
Tm 5625.1
/3/8.9
2022
11
Utilizando la ecuación 56, vemos que la masa 3m es igual a:
kgsmsm
N
ag
Tm 06.22
/3/8.9
15022
23
Finalmente, empleando la ecuación 58, concluimos que la masa 2m es igual a:
Apuntes de Dinámica Guillermo Becerra Córdova
28
1m
F2m
T1fr
2fr
kgsmsm
NN
ag
TTm 21.26
/3)/8.9)(2.0(
2015022
122
Ejemplo 3.
Calcule las masas 1m y 3m , y el coeficiente de fricción que existe entre el bloque de masa 2m
y la superficie horizontal mostrados en la figura 14, si las tensiones en las cuerdas son iguales a
NT 201 y NT 402 , la aceleración es de 2/3 sma y la masa del bloque 2 es igual a
kgm 52 .
Utilizando la ecuación 58, vemos que el coeficiente de fricción es igual a:
102.0)/8.9)(5(
)/3)(5(20402
2
2
212
smkg
smkgNN
gm
amTT
Utilizando la ecuación 54, vemos que la masa 1m es igual a:
kgsmsm
N
ag
Tm 56.1
/3/8.9
2022
11
Utilizando la ecuación 56, vemos que la masa 3m es igual a:
kgsmsm
N
ag
Tm 88.5
/3/8.9
4022
23
Calcular la aceleración con la que se moverán los bloques de la figura 15, suponiendo que se
aplica una fuerza F y los coeficientes de fricción entre la superficie y los bloques son diferentes.
Figura 15 Las fuerzas que actúan en cada bloque están mostradas en la misma figura. Las ecuaciones de las fuerzas para cada cuerpo son:
amfrT 11 62
gmfr 111 63
amgmT 111 64
amfrTF 22 65
Apuntes de Dinámica Guillermo Becerra Córdova
29
gmfr 222 66
amgmTF 222 67
Utilizando las ecuaciones 58 y 61, la aceleración a se calcula por medio de la siguiente
ecuación:
21
1122
mm
gmgmFa
68
Despejando la tensión contenida en la ecuación 58 y sustituyendo la aceleración expresada en la ecuación 62, se tiene:
21
21211 )(
mm
gmmFmT
69
Si no hubiese fricción entre la superficie y los bloques, la ecuación para la aceleración y la tensión se simplificarían:
21 mm
Fa
70
Y
21
1
mm
FmT
71
Ejemplo 1. Calcule la aceleración con la que se moverán los bloques y la tensión en la cuerda mostrados
en la figura 15 si las masas de los bloques son kgm 101 , kgm 202 , los coeficientes de
fricción son 2.01 y 3.02 y la fuerza con la que se mueven es NF 150
Utilizando la ecuación 68, la aceleración con la que se moverán los bloques es igual a:
22
21
1122 /38.22010
)/8.9))(10)(2.0()20)(3.0((150sm
kgkg
smkgkgN
mm
gmgmFa
Utilizando la ecuación 69, la tensión en la cuerda es igual a:
Nkgkg
smkgkgNkg
mm
gmmFmT 46.43
2010
)/8.9)(3.02.0)(20)(10()150)(10()( 2
21
21211
Ejemplo 2.
Calcule la tensión y la fuerza que se aplica al bloque de masa 2m mostrado en la figura 15, si la
aceleración con la que se mueven los bloques es de 2/3 sma , las masas de los bloques son
kgm 101 , kgm 202 y los coeficientes de fricción 2.01 y 3.02 .
Apuntes de Dinámica Guillermo Becerra Córdova
30
Utilizando la ecuación 64, la tensión en la cuerda que tira del bloque de masa 1m es igual a:
NsmsmkgagmT 6.49)/3)/8.9)(2.0)((10()( 22
11
Finalmente, la fuerza que actúa sobre el bloque de masa 2m se calcula por medio de la ecuación
65:
NsmsmkgNamgmTF 4.168)/3)/8.9)(3.0)((20(6.49 22
222
Ejemplo 3.
Calcule la tensión y la masa 2m del bloque mostrado en la figura 15, si la aceleración con la que
se mueven los bloques es de 2/4 sma , la fuerza que tira del bloque de masa 2m es de
NF 150 la masa kgm 151 y los coeficientes de fricción son 2.01 y 3.02 .
Utilizando la ecuación 64, la tensión en la cuerda que tira del bloque de masa 1m es igual a:
NsmsmkgagmT 4.89)/4)/8.9)(2.0)((15()( 22
11
Empleando la ecuación 67, la masa 2m del bloque es igual a:
kgsmsm
NN
ag
TFm 73.8
/4)/8.9)(3.0(
4.8915022
2
2
Ejemplo 4.
Calcule la tensión y la masa 1m del bloque mostrado en la figura 15, si la aceleración con la que
se mueven los bloques es de 2/4 sma , la fuerza que tira del bloque de masa 2m es de
NF 150 , la masa kgm 202 y los coeficientes de fricción son 2.01 y 3.02 .
Utilizando la ecuación 67, la tensión en la cuerda que tira del bloque de masa 1m es igual a:
NsmsmkgNagmFT 2.11)/4)/8.9)(3.0)((20(150)( 22
22
Utilizando ahora la ecuación 64, la masa 1m del bloque es igual a:
kgsmsm
N
ag
Tm 88.1
/4)/8.9)(2.0(
2.1122
1
1
Ejemplo 5. Calcule las masas de los bloques mostrados en la figura 15, si la aceleración con la que se
mueven los bloques es de 2/5 sma , la fuerza que tira del bloque de masa 2m es de
NF 250 , la tensión en la cuerda es NT 100 y los coeficientes de fricción son 2.01 y
3.02 .
Utilizando la ecuación 64, la masa 1m es igual a:
Apuntes de Dinámica Guillermo Becerra Córdova
31
T
gmP
m
kgsmsm
N
ag
Tm 37.14
/5)/8.9)(2.0(
10022
1
1
Utilizando la ecuación 67, la masa 2m es igual a:
kgsmsm
NN
ag
TFm 89.18
/5)/8.9)(3.0(
10025022
2
2
Calcule la tensión en la cuerda que sujeta a un bloque como el mostrado en la figura si: a).- El bloque se encuentra en reposo, b).- El bloque se mueve hacia arriba o hacia abajo con velocidad constante, c).- El bloque se mueve hacia arriba con una determinada aceleración y d).- El bloque se mueve hacia abajo con una determinada aceleración.
Figura 16 a).- Si el bloque se encuentra estático, la tensión es igual a peso, es decir:
gmT 72
b).- Si el bloque se mueve con velocidad constante hacia arriba y hacia abajo, la tensión de nuevo es igual a peso, es decir:
gmT
c).- Si el bloque sube con una aceleración de 2/6 sma , la tensión es igual a:
amgmT
Es decir:
)( agmT 73
d).- Si el bloque baja con una aceleración de 2/6 sma , la tensión es igual a:
amgmT
Es decir:
Apuntes de Dinámica Guillermo Becerra Córdova
32
A
)( agmT 74
Ejemplo 1.
Calcule la tensión en la cuerda que sujeta un bloque de kgm 100 de masa si: a).- El bloque se
encuentra en reposo, b).- El bloque se mueve hacia arriba o hacia abajo con velocidad
constante, c).- El bloque se mueve hacia arriba con una aceleración de 2/6 sma y d).- El
bloque se mueve hacia abajo con una aceleración de 2/3 sma .
a).- Si el bloque se encuentra estático, la tensión es igual a peso, es decir:
NsmkggmT 980)/8.9)(100( 2
b).- Si el bloque se mueve con velocidad constante hacia arriba y hacia abajo, la tensión de nuevo es igual a peso, es decir:
NsmkggmT 980)/8.9)(100( 2
c).- Si el bloque sube con una aceleración de 2/6 sma , la tensión es igual a:
NsmsmkgagmT 1580)/6/8.9)(100()( 22
d).- Si el bloque baja con una aceleración de 2/6 sma , la tensión es igual a:
NsmsmkgagmT 680)/3/8.9)(100()( 22
PREGUNTAS 1.- Establezca el concepto de masa. 2.- Defina el Kilogramo Patrón. 3.- Defina el concepto de Fuerza. 4.- Defina el Newton. 5.- Establezca las tres Leyes de Newton. 6.- Defina el peso de un cuerpo. 7.- Defina la Fuerza de Fricción. 8.- Explique el método experimental por el cual se obtiene el Coeficiente de Fricción Estático. 9.- ¿Un cuerpo puede tener diferentes pesos a pesar de no variar su masa? 10.- ¿Un cuerpo puede tener masa y no tener peso? ¿Puede tener peso y no tener masa?
PROBLEMAS
1.- Calcule los valores de las tensiones en las cuerdas que sujetan el bloque mostrado en la figura 15.
NP 200
1T
B
2T
O
040
Apuntes de Dinámica Guillermo Becerra Córdova
33
NP 200
1T
B
2T
A
O
020
Figura 15 2.- Calcule los valores de las tensiones en las cuerdas que sujetan el bloque mostrado en la figura 16.
Figura 16 3.- Calcule los valores de las tensiones en las cuerdas que sujetan el bloque mostrado en la figura 17.
Figura 17
4.- Encuentre la tensión en la cuerda en la figura 3 si la masa del bloque es igual a kgm 50 .
5.- Si la tensión en la cuerda dela figura 3 es igual a NT 65 , calcule la masa del bloque que
está suspendida.
6.- Encuentre la tensión en la cuerda en la figura 4 si la masa del bloque es igual a kgm 50 .
025
2T
O
1T
A
B
050
NP 400
Apuntes de Dinámica Guillermo Becerra Córdova
34
7.- Si la tensión en la cuerda dela figura 4 es igual a NT 65 , calcule la masa del bloque que
está suspendida.
8.- Encuentre la tensión en la cuerda en la figura 5 si la masa del bloque es igual a kgm 50 .
9.- Si la tensión en la cuerda dela figura 5 es igual a NT 65 , calcule la masa del bloque que
está suspendida.
10.- En una máquina de Atwood las masas de los bloques son de kgm 301 y kgm 152 ,
encuentre la aceleración con la que se moverán los bloques y la tensión en la cuerda. 11.- En una máquina de Atwood la aceleración con la que se mueven los bloques es de
2/7 sma y la tensión en la cuerda es de NT 60 , calcule las masas de los bloques.
12.- En una máquina de Atwood la aceleración con la que se mueven los bloques es de
2/5 sma y la masa más grande es de kgm 451 , calcule la masa del bloque restante y la
tensión en la cuerda.
13.- En una máquina de Atwood la tensión en la cuerda es de NT 50 y la masa del bloque
mayor es de kgm 301 , calcule la aceleración con la que se moverán los bloques y la masa
del bloque restante.
14.- En una máquina de Atwood la tensión en la cuerda es de NT 60 y la masa del bloque
menor es de kgm 52 , calcule la aceleración con la que se moverán los bloques y la masa del
bloque restante. 15.- En una máquina de Atwood la aceleración con la que se mueven los bloques es de
2/5 sma y la masa del bloque menor es de kgm 62 , calcule la tensión en la cuerda y la
masa del bloque restante. 16.- En un arreglo como el que se muestra en la figura 7, la masa del bloque que se encuentra
sobre el plano es de kgm 301 y la que se encuentra suspendida es de kgm 22 . Encuentre
la aceleración con la que se moverán los bloques y la tensión en la cuerda. 17.- En un arreglo como el que se muestra en la figura 7, la aceleración con la que se mueven
los bloques es de 2/7 sma y la masa del bloque que se encuentra sobre el plano horizontal
es de kgm 351 . Encuentre la masa del bloque restante y la tensión en la cuerda.
18.- En un arreglo como el que se muestra en la figura 7, la aceleración con la que se mueven
los bloques es de 2/3 sma y la masa del bloque que se encuentra suspendida es de
kgm 152 . Encuentre la masa del bloque restante y la tensión en la cuerda.
19.- En un arreglo como el que se muestra en la figura 7, la tensión en la cuerda que une a los
bloques es de NT 50 y la masa del bloque que se encuentra sobre el plano horizontal es de
kgm 301 . Encuentre la masa del bloque restante y la aceleración con la que se moverán los
bloques.
Apuntes de Dinámica Guillermo Becerra Córdova
35
20.- En un arreglo como el que se muestra en la figura 7, la tensión en la cuerda que une a los
bloques es de NT 20 y la masa del bloque que se encuentra suspendida es de kgm 302 .
Encuentre la masa del bloque restante y la aceleración con la que se moverán los bloques. 21.- En un arreglo como el que se muestra en la figura 7, la aceleración con la que se mueven
los bloques es de 2/5.6 sma y la tensión en la cuerda que une los bloques es de NT 37 .
Encuentre las masas de ambos bloques. 22.- En un arreglo como el que se muestra en la figura 8, la masa del bloque que se encuentra
sobre el plano es de kgm 251 y la que se encuentra suspendida es de kgm 152 . Si el
coeficiente de fricción es de 1.0 , encuentre la aceleración con la que se moverán los
bloques y la tensión en la cuerda. 23.- En un arreglo como el que se muestra en la figura 8, la masa del bloque que se encuentra
sobre el plano es de kgm 151 y la aceleración con la que se mueven los bloques es de 2/6 sma . Si el coeficiente de fricción es de 1.0 , encuentre la tensión en la cuerda que
une a los bloques y la masa del bloque restante. 24.- En un arreglo como el que se muestra en la figura 8, la masa del bloque que se encuentra
suspendida es de kgm 252 y la aceleración con la que se mueven los bloques es de 2/4 sma . Si el coeficiente de fricción es de 1.0 , encuentre la tensión en la cuerda que
une a los bloques y la masa del bloque restante.
25.- En un arreglo como el que se muestra en la figura 8, la masa del bloque que se encuentra
suspendida es de kgm 402 y la aceleración con la que se mueven los bloques es de 2/4 sma . Si la masa del bloque que se encuentra sobre la superficie es igual a kgm 101
encuentre la tensión en la cuerda que une los bloques y el coeficiente de fricción. 26.- En un arreglo como el que se muestra en la figura 8 la masa del bloque que se encuentra
suspendida es de kgm 302 y la aceleración con la que se mueven los bloques es de 2/2 sma . Si el coeficiente de fricción es de 1.0 , encuentre la tensión en la cuerda que
une ambos bloques y la masa del bloque que se encuentra sobre la superficie horizontal. 27.- En un arreglo como el que se muestra en la figura 8, la masa del bloque que se encuentra
sobre la superficie horizontal es de kgm 151 y la aceleración con la que se mueven los
bloques es de 2/2 sma . Si la tensión en la cuerda que une los bloques es de NT 80 ,
encuentre el coeficiente de fricción y la masa del bloque que se encuentra suspendida. 28.- En un arreglo como el que se muestra en la figura 8, la tensión en la cuerda que une los
bloques es de NT 50 , la aceleración con la que se mueven los bloques es de 2/4 sma .
Si el coeficiente de fricción es de 2.0 , las masas de los bloques.
29.- Calcule la aceleración con la que se deslizará un bloque si el ángulo de inclinación en un
plano inclinado es de 070 y el coeficiente de fricción es de 4.0 .
Apuntes de Dinámica Guillermo Becerra Córdova
36
30.- Calcule el coeficiente de fricción entre el plano inclinado y un bloque que se encuentre
sobre él si la aceleración con la que se desliza el bloque es de 2/5.3 sma y el ángulo de
inclinación es de 060
31.- Calcule el ángulo por el cual un bloque se mueve sobre un plano inclinado si la aceleración
con la que se desliza es de 2/4 sma y el coeficiente de fricción es de 5.0 .
32.- Si el ángulo con el cual comienza a deslizarse un bloque sobre un plano inclinado es de
040 . Calcule el coeficiente de fricción entre el bloque y el plano inclinado.
33.- Si el coeficiente de fricción entre un plano inclinado y el bloque que se encuentra sobre él
es de 2.1 , encuentre el ángulo por el cual comienza a deslizarse.
34.- Calcule la tensión y la aceleración con la que se moverá el bloque de masa 1m mostrado
en la figura 11, si el coeficiente de fricción es de 3.0 , las masas de los bloques son
kgm 151 y kgm 52 , y la fuerza con la que se jala el bloque de masa 1m es igual a
NF 300
35.- Calcule las masas de los bloques mostrados en la figura 11 si la tensión en la cuerda es de
NT 30 , el coeficiente de fricción es de 5.0 , la aceleración con la que se mueve el
bloque de masa 1m es de
2/2 sma y la fuerza con que es tirado el bloque de masa 1m es de
NF 500 .
36.- Calcule el coeficiente de fricción y la tensión en la cuerda mostrados en la figura 11 si las
masas de los bloques son kgm 151 , kgm 102 , la aceleración es de 2/1 sma y la fuerza
es de NF 250 .
37.- Calcule la tensión en la cuerda y la fuerza con la que se jala el bloque de masa 1m
mostrado en la figura 11, si las masas de los bloques son kgm 301 , kgm 152 , el
coeficiente de fricción es de 4.0 , la aceleración con la que se mueve el bloque 1m es de 2/4 sma
. 38.- Calcule el coeficiente de fricción y la aceleración con la que se moverá el bloque de masa
1m mostrado en la figura 11, si tensión es de NT 20 , las masas de los bloques son
kgm 251 y kgm 152 y la fuerza con la que son jalados es igual a NF 300
39.- Calcule la tensión y la aceleración con la que se moverán los bloques mostrados en la
figura 12, si el coeficiente de fricción es de 4.0 , las masas de los bloques son kgm 201 y
kgm 152 y la fuerza con la que son jalados es igual a NF 500
40.- Calcule las masas de los bloques mostrados en la figura 12 si la tensión en la cuerda es de
NT 50 , el coeficiente de fricción es de 5.0 , la aceleración con la que se mueven los
bloques es de 2/2 sma y la fuerza con que es tirado el bloque es de NF 500 .
Apuntes de Dinámica Guillermo Becerra Córdova
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41.- Calcule el coeficiente de fricción y la tensión en la cuerda mostrados en la figura 6 si las
masas de los bloques son kgm 251 , kgm 152 , la aceleración es de 2/3 sma y la fuerza
es de NF 250 .
42.- Calcule la tensión en la cuerda y la fuerza con la que se jala el bloque de masa 1m
mostrado en la figura 12, si las masas de los bloques son kgm 201 , kgm 152 , el
coeficiente de fricción es de 5.0 , la aceleración con la que se mueven los bloques es de 2/3 sma .
43.- Calcule el coeficiente de fricción y la aceleración con la que se moverán los bloques
mostrados en la figura 12, si tensión es de NT 20 , las masas de los bloques son kgm 301
y kgm 152 y la fuerza con la que son jalados es igual a NF 250
44.- Calcule las fuerzas que actúan en cada bloque mostrado en la figura 13, si el coeficiente de
fricción es de 4.0 , la aceleración con la que se mueven los bloques es de 2/2 sma y la
masa de los bloques es de kgm 151 , kgm 252 y kgm 353 .
45.- Calcule el coeficiente de fricción y la fuerza F mostrados en la figura 13, si la aceleración
con la que se mueven los bloques de la figura 13 es 2/6 sma , las masas de los bloques son
kgm 151 , kgm 252 y kgm 353 , la fuerza entre el bloque 2 y 3 es NF 2002 .
46.- Calcule la aceleración y la fuerza F , mostrados en la figura 13, si el coeficiente de fricción
que existe entre la superficie horizontal y los bloques es de 3.0 , las masas de los bloques
son kgm 51 , kgm 252 y kgm 203 , la fuerza entre el bloque 2 y 3 es NF 2002 .
47.- Calcule las masas 1m y 3m , y el coeficiente de fricción que existe entre el bloque de masa
2m y la superficie horizontal mostrados en la figura 14, si las tensiones en las cuerdas son
iguales a NT 201 y NT 602 , la aceleración es de 2/2 sma y la masa del bloque 2 es
igual a kgm 42 .
48.- Calcule la aceleración con la que se moverán los bloques y la tensión en la cuerda
mostrados en la figura 15, si las masas de los bloques son kgm 151 , kgm 302 , los
coeficientes de fricción son 2.01 y 3.02 y la fuerza con la que se mueven es NF 300
49.- Calcule la tensión y la fuerza que se aplica al bloque de masa 2m mostrado en la figura 15,
si la aceleración con la que se mueven los bloques es de 2/5 sma , las masas de los bloques
son kgm 401 , kgm 602 y los coeficientes de fricción son 2.01 y 3.02 .
Apuntes de Dinámica Guillermo Becerra Córdova
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50.- Calcule la tensión y la masa 2m del bloque mostrado en la figura 15, si la aceleración con
la que se mueven los bloques es de 2/4 sma , la fuerza que tira del bloque de masa 2m es
igual a NF 200 , si la masa kgm 101 y los coeficientes de fricción son 2.01 y 3.02
51.-Calcule la tensión y la masa 1m del bloque mostrado en la figura 15, si la aceleración con la
que se mueven los bloques es de 2/3 sma , la fuerza que tira del bloque de masa 2m es de
NF 150 , la masa kgm 402 y los coeficientes de fricción son 2.01 y 3.02 .
52.- Calcule las masas de los bloques mostrados en la figura 9, si la aceleración con la que se
mueven los bloques es de 2/6 sma , la fuerza que tira del bloque de masa 2m es de
NF 300 , la tensión en la cuerda es NT 100 y los coeficientes de fricción son 2.01 y
3.02 .
53.- Calcule la tensión en la cuerda que sujeta un bloque de kgm 500 de masa mostrado en
la figura 16, si: a).- El bloque se encuentra en reposo, b).- El bloque se mueve hacia arriba o hacia abajo con velocidad constante, c).- El bloque se mueve hacia arriba con una aceleración
de 2/9 sma y d).- El bloque se mueve hacia abajo con una aceleración de
2/5 sma .
54.- Calcule la aceleración con la que subirá el bloque mostrado en la figura 16, si la tensión en
la cuerda es de NT 2000 .
55.- Calcule la aceleración con la que bajará el bloque mostrado en la figura 16, si la tensión en
la cuerda es de NT 400 .