Apuntes de Cálculo Diferencial e Integral. Univ. de Costa Rica. (2009).Alfaro, Marco

7/23/2019 Apuntes de Clculo Diferencial e Integral. Univ. de Costa Rica. (2009).Alfaro, Marco

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Marco Alfaro C. 1

UNIVERSIDAD DE COSTA RICA

Escuela de Matemtica

Departamento de Matemtica Aplicada

APUNTES DE CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Prof. Marco Alfaro Carranza

Ciudad Universitaria Rodrigo Facio, Costa Rica

2009


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Marco Alfaro C. 2

Contenidos

1. Lmites de Funciones 4

1.1 Clculo de Lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1 Leyes de los Lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.2 Lmites al innito y asntotas horizontales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91.1.3 Lmites innitos y asntotas verticales. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

1.2 Funciones Continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1 . 3 E j e r c i c i o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9

1.4 Respuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2. Derivada de una Funcin 25

2.1 Reglas de Derivacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2 Derivacin Implcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3 Derivadas de Funciones Trigonomtricas .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4 Derivadas de Funciones Logartmicas y Exponenciales..............................35

2.4.1 Propiedades de la Funcin Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4.2 Leyes de los Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.5 Derivacin Logartmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.5.1 Unas Sugerencias para Derivacin Logartmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.6 Tasas de Cambio Relacionadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

2.7 Derivadas de Funciones Trigonomtricas Inversas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

2.8 Aplicaciones de la Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.8.1 Valores Mximos y Mnimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.9 Recomendaciones para el Trazo de Grcas .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2 . 1 0 E j e r c i c i o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 8

2 . 1 1 R e s p u e s t a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4

3. Integracin 55

3.1 Sumas de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.2 Teorema Fundamental del Clculo .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.3 rea entre Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.4 Integrales de Funciones Logartmicas y Exponenciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.5 Integrales de Funciones Trigonomtricas ....................................... 71

3.5.1 Integrales del tipoR

senm x cosn x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 23.5.2 Integrales del tipo

Rtanm x secn x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4

3.6 Sustitucin Trigonomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.7 Integrales de Funciones Trigonomtricas Inversas...............................77


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Marco Alfaro C. 3

3.8 Integracin por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .783.9 Integracin por Fracciones Simples... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80

3.10 Sustitucin de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.11 Frmulas Bsicas de Integracin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.12 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.13 Respuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92


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Captulo 1

Lmites de Funciones

Considere la funcin denida por f(x) = x2 x + 3; entonces, si investigamos el comportamientode f para valores de x cercanos a 2; tanto para valores menores que 2 (por la izquierda de 2)como para valores mayores que 2 (por la derecha de 2) obtenemos:

x f(x) x f(x)1:0 3 3:0 9:01:5 3: 75 2:5 6: 751:8 4: 44 2:2 5: 641:9 4: 71 2:1 5: 31

1:95 4: 852 5 2:05 5: 15251:99 4: 970 1 2:01 5: 0301

1:995 4: 985 2:005 5: 0151:999 4: 997 2:001 5: 003

es decir, los valores de f(x) se aproximan a 5. Decimos entonces que el lmite cuando x tiende a2 de f(x) es 5, y escribimos:

limx!2

f(x) = 5:

En general, usaremos la siguiente denicin.

Denicin Se escribe limx!a

f(x) = L y decimos que el lmite cuando x tiende a \a" de f es igual

a L; si podemos hacer que los valores de f se aproximen tanto como se quiera a L haciendo xarbitrariamente cercano a a:

Denicin Escribimos limx!a

f(x) = L

y decimos que el lmite por la izquierda de f cuando x tiende a a es igual a L; si los valores def(x) se aproximan arbitrariamente a L tomando a x sucientemente cercano a a; con x < a:Anlogamente,

limx!a+

f(x) = L

signica que f(x) ! L cuando x ! a; con x > a:

4


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Marco Alfaro C. 5

Teorema (Existencia del lmite) El limx!a

f(x) = L existe si y slamente si

limx!a

f(x) = limx!a+

f(x) = L: (1.1)

Ejemplo En el siguiente ejercicio, dar el valor del lmite, si este existe, en caso contrario, explicarpor qu no existe.

1 2 3 4-1-2-4 -3

1

2

3

-1

-3

-2

0

y

x

4

(a) limx!2f(x) (b) limx!4f(x) (c) limx!2+f(x)

(d) limx!1

f(x) (e) limx!2

f(x) (f) limx!2

f(x)

Solucin:(a) Tenemos, de acuerdo al ltimo teorema, que lim

x!2f(x) = 1 = lim

x!2+f(x) ; as que

limx!2

f(x) = 1:

(b) Aqu limx!4

f(x) = 2 = limx!4+

f(x), por lo que limx!4

f(x) = 2: Note que f(4) no existe.(c) En este caso lim

x!2+f(x) = 3:

(d) De nuevo, analizando los lmites laterales se llega a limx!1

f(x) = 1 = limx!1+

f(x) ; as que

limx!1

f(x) =

1:

(e) Finalmente, limx!2

f(x) = 1 mientras que limx!2+

f(x) = 3; de donde concluimos que el limx!2

f(x)

no existe.


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Marco Alfaro C. 6

Ejemplo Sea

f(x) =

x2

1

jx 1j :Hallar (i) lim

x!1+f(x) (ii) lim

x!1f(x) .

Solucin: De la denicin de la funcin valor absoluto, tenemos que

jx 1j =8 1; entonceslimx!1+

f(x) = limx!1+

(3 x)

= 2:

Nuevamente, como los lmites laterales no coinciden, se tiene que limx!1

f(x) no existe.


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Marco Alfaro C. 7

1.1 Clculo de Lmites

1.1.1 Leyes de los LmitesSi lim

x!af(x) = L y lim

x!af(x) = M, se cumple:

1. limx!a

[f(x) g (x)] = L M:

2. limx!a

[c f(x)] = c L: (c 2 R) :

3. limx!a

[f(x) g (x)] = L M:

4. limx!a

f(x)

g (x)

=

L

M; si lim

x!ag (x) 6= 0:

5. limx!a

[f(x)]n = Ln (n 2 N) :

6. limx!a

c = c; limx!a

x = a; limx!a

xn = an:

7. limx!a

n

px = n

pa, n 2 N. Si n es par se supone a > 0.

8. limx!a

n

pf(x) = n

qlimx!a

f(x), n 2 N: Si n es par se supone limx!a

f(x) > 0:

9. Si f(x) es un polinomio o una funcin racional con a 2 Df, entonces

limx!a

f(x) = f(a) :

Aunque no existe ninguna regla general para el clculo de lmites, podemos revisar algunos ejemplosque nos ayuden a identicar los casos de aparicin ms frecuente. Para ello utilizamos, en formacombinada, todas las propiedades enumeradas en el teorema anterior.

Ejemplos

1. Calcular el lmite limx!1

x4 + x 2x3 1 :

Solucin: Mediante una aplicacin reiterada del Teorema del Factor para eliminar la forma inde-terminada 00 , obtenemos

limx!1

x4 + x 2x3 1 = limx!1

(x 1) x3 + x2 + x + 2(x 1) (x2 + x + 1)

= limx!1

x3 + x2 + x + 2x2 + x + 1

=5

3:


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Marco Alfaro C. 8

2. Calcular el lmite limx

!2

px2 + 5 3

x

2

:

Solucin: Nuevamente tenemos una forma indeterminada del tipo 00 ; para eliminarla, esta vezrecurrimos a la racionalizacin del numerador para obtener

limx!2

px2 + 5 3

x 2 = limx!2

px2 + 5 3

x 2

!px2 + 5 + 3px2 + 5 + 3

!

= limx!2

x2 4(x 2) px2 + 5 + 3

= limx!2

(x 2) (x + 2)(x 2)

p

x2 + 5 + 3

= limx!2

x + 2px2 + 5 + 3

=2

3:

3. Calcular el lmite limx!1

3p

x 1x 1 :

Solucin: Si bien es cierto para calcular este lmite podemos recurrir nuevamente a la racionalizacindel numerador como en el ejemplo anterior, esta vez debemos utilizar la frmula de diferencia decubos con exponentes fraccionarios, lo que hace que el problema se torne un poco complejo. Poresto mejor optamos por realizar un cambio de variable de la siguiente forma. Colocamos x = u3,de forma que cuando x ! 1 entonces u = 3px ! 1. Por lo tanto se sigue que

limx!1

3px 1x 1 = limu!1 u 1u3 1

= limu!1

u 1(u 1) (u2 + u + 1)

= limu!1

u 1(u 1) (u2 + u + 1)

= limu!1

1

u2 + u + 1

=1

3

:

Teorema (Sandwich) Si h (x) f(x) g (x) para x en un intervalo abierto que contiene a a, y si

limx!a

h (x) = limx!a

g (x)

entonces limx!a

f(x) = L:


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Marco Alfaro C. 9

La interpretacin geomtrica de este teorema se representa en la siguiente grca.

( )xhy =

( )xfy =

( )xgy =

y

a

L

x

Figura 1: Teorema del Sandwich

Ejemplo Hallar limx!0

f(x) si

4 x2 f(x) 4 + x2

Solucin: En este caso, tomando lmites en la desigualdad anterior, tenemos que

limx!0

4 x2 lim

x!0f(x) lim

x!0

4 + x2

es decir,

4 limx!0

f(x) 4y por lo tanto lim

x!0f(x) = 4:

1.1.2 Lmites al Innito y Asntotas Horizontales

Denicin Sea f denida en ]a; +1[. Entonceslim

x!+1f(x) = L

signica que los valores de f(x) se pueden hacer arbitrariamente cercanos a L; tomando valoresde x sucientemente grandes.Anlogamente,

limx!1

f(x) = L

signica que f(x) ! L tomando valores negativos de x sucientemente grandes.Denicin Se dice que la recta y = L es una asntota horizontal de la curva y = f(x), si

limx!+1

f(x) = L limx!1

f(x) = L


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Marco Alfaro C. 10

y

x

( )xfy =

0

Ly =

Figura 2: Asntota Horizontal

Teorema Si r > 0 es un nmero racional tal que xr est denido, entonces

limx!+1

1

xr= 0 y lim

x!11

xr= 0

Ejemplos

1. Calcular limx!+1

3x2 x 25x2 + 4x + 1

:

Solucin: Extrayendo la mayor potencia de x en el numerador y en el denominador, y uti-lizando el resultado del teorema anterior obtenemos

limx!+1

3x2 x 25x2 + 4x + 1

= limx!+1

x2

3 1x

2x2

x2

5 +4

x+

1

x2

= limx!+1

3 1x

2x2

5 + 4x

+ 1x2

=3

5:


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Marco Alfaro C. 11

2. Determinar las asntotas horizontales a la grca de la funcin f(x) =

p2x2 + 1

3x

5

:

Solucin: Procedemos de manera similar al ejemplo anterior, tomando en cuenta quep

x2 = jxj :

limx!1

p2x2 + 1

3x 5 = limx!1

sx2

2 +1

x2

x

3 5

x

= limx!1

jxjr

2 +1

x2

x

3 5

x= lim

x!1

xr

2 +1

x2

x

3 5

x

= limx!1

r2 +

1

x2

3 5x

=

p2

3

:

Por lo tanto las asntotas horizontales a la grca de f(x) son las rectas y = p

2

3:

Nota Observe que los procedimientos aplicados a los ejemplos anteriores, nos permiten concluirel siguiente resultado para una funcin racional:

limx!1

anxn + an1xn1 + : : : + a0

bmxm + bm1xm1 + : : : + b0=

8>>>>>>>>>:

1, si n > manbm

, si n = m

0, si n < m:

Un resultado similar se obtiene si x ! 1; slo que en este caso se debe analizar adems el signode an:bm y la paridad de n y m:


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Marco Alfaro C. 12

1.1.3 Lmites Innitos y Asntotas Verticales

Denicin Sea f denida en un intervalo abierto alrededor de a: Entonceslimx!a

f(x) = +1

signica que los valores de f(x) se pueden hacer arbitrariamente grandes, tomando x suciente-mente cercano a a:De forma similar

limx!a

f(x) = 1

signica que los valores de f(x) se pueden hacer arbitrariamente grandes y negativos, tomando xsucientemente cercano a a:

Denicin Se dice que x = a es una asntota vertical de la curva y = f(x) si se cumple algunade las condiciones siguientes:

limx!a

f(x) = +1 limx!a

f(x) = +1 limx!a+

f(x) = +1

limx!a

f(x) = 1 limx!a

f(x) = 1 limx!a+

f(x) = 1

2 3-1-2-4 -3

3

-1

-2

0

4

2

Figura 3: Asntota Vertical

y

x

2=x

( )xfy =

1

5

Teorema (lgebra de lmites innitos) Si a; L 2 Rlimx!a

f(x) = +1 y limx!a

g (x) = L

entonces(a) lim

x!a[f(x) g (x)] = +1:

(b) limx!a

[f(x) g (x)] = +1 (L > 0) y limx!a

[f(x) g (x)] = 1 (L < 0)

(c) limx!a

g (x)

f(x)

= 0:


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Marco Alfaro C. 13

Nota Propiedades similares son vlidas para lmites laterales y para cuando

limx!af(x) = 1:Teorema(a) Si n 2 N; n par, entonces

limx!a

1

(x a)n = +1

(b) Si n 2 N; n impar, entonces

limx!a+

1

(x a)n = +1 y limx!a1

(x a)n = 1

Ejemplo Hallar las asntotas verticales de la funcin

f(x) = xx2 + x 2 :

Solucin: Primero observe que f(x) =x

(x + 2) (x 1) ; por lo tanto tenemos que

limx!2

f(x) = limx!2

x

(x + 2) (x 1)

= 1:Anlogamente,

limx!2+

f(x) = limx!2+

x

(x + 2) (x 1)

= +1:En el caso de x = 1; se obtiene

limx!1

f(x) = limx!1

x

(x + 2) (x 1)

= 1:y por otra parte

limx!1+

f(x) = limx!1+

x

(x + 2) (x 1)

= +1:


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Marco Alfaro C. 14

1.2 Funciones Continuas

Denicin Una funcin se llama continua en x = a si

limx!a

f(x) = f(a) : (1.2)

Esto signica que se cumplen las condiciones siguientes:

1. f(a) est denido.

2. limx!a

f(x) existe.

3. limx!a

f(x) = f(a) :

Una funcin se llama continua en ]a; b[ si es continua en cada punto de ]a; b[ : Se dice que f tieneuna discontinuidad evitable en x = a si f puede hacerse continua redenindola en x = a; si estono es posible, la discontinuidad se llama inevitable.

1 2 3 4-1-2-4 -3

1

-1

0

4

Figura 4: Discontinuidades

2

3

En la gura anterior vemos que limx!3

f(x) = 1, sin embargo f(3) = 3, as que f tiene una

discontinuidad evitable en x = 3: Por su parte, limx!3f(x) = 4; mientras que limx!3+f(x) = 2; esdecir el lim

x!3+f(x) no existe, por lo que f tiene una discontinuidad inevitable en x = 3:

Ejemplo La funcin

f(x) =

8 1

es discontinua en x = 1:


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Marco Alfaro C. 15

Solucin: Veriquemos las tres condiciones para que exista continuidad en el punto x = 1:1. Segn la denicin de f, se tiene que f(1) = 2; por lo que esta condicin se satisface.

2. Calculamos ahora los lmites laterales en x = 1:

limx!1

f(x) = limx!1

x

= 1:

Por su parte

limx!1+

f(x) = limx!1+

(2x 1)

= 1:

Concluimos entonces que limx!1

f(x) = 1:

3. Segn esta condicin, comparamos limx!1 f(x) = 1 6= 2 = f(1), as que f tiene una discon-tinuidad evitable en el punto x = 1: Para mayor claridad, veamos lo que sucede con la grca def en este punto:

1 2 3-1-2

1

2

3

-3

-2

y

x-3

-1

Teorema (lgebra de funciones continuas)Si f y g son continuas en a y c 2 R entonces tambin son continuas las funciones(a) f g(b) c f(c) f g(d)

f

g, si g (a) 6= 0:

Teorema(a) Todo polinomio es continuo en R:(b)Toda funcin racional es continua en su dominio.


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Marco Alfaro C. 16

Teorema(a) Si n

2N , es par, entonces f(x) = n

px es continua en [0; +

1[ :

(b) Si n 2 N , es impar, entonces f(x) = npx es continua en R:Teorema Si g es continua en a y f es continua en g (a) entonces (f g) es continua en a:

Ejemplo Hallar el valor de la constante c, para que la funcin f denida por

f(x) =

8 1

sea continua en R:

Solucin: Primero que nada observe que se nos solicita que la funcin f sea continua en toda larecta real, de modo que conviene empezar observando que las funciones

f1 (x) = c2x y f2 (x) = 3cx 2

son claramente continuas en todo R, por tratarse de funciones polinomiales. Con esto, bastaentonces analizar la continuidad de f en el punto x = 1; que es donde, eventualmente, puedeperderse la continuidad al unir ambas funciones. Veamos.

1. En este caso f(1) = c2; por lo que f(1) existe.2. Calculando los lmites laterales en x = 1 :

limx!1

f(x) = limx!1

c2x

= c2:

Mientras tanto

limx!1+

f(x) = limx!1+

(3cx 2)

= 3c 2:Como queremos que este lmite exista, debe cumplirse que

limx!1

f(x) = limx!1+

f(x)

lo que conduce a la ecuacin cuadrtica en c :

c2 = 3c

2

cuyas soluciones son c = 1 c = 2:3. Finalmente, debe tenerse que f(1) = lim

x!1f(x), lo que conduce la misma condicin sobre c:

Concluimos entonces que la continuidad de f en todo R se logra escogiendo c 2 f1; 2g :


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Marco Alfaro C. 17

Ejemplo Encuentre y clasique las discontinuidades, si existen, de la funcin

f(x) = 1 x24 x3 3x2 :

Solucin: Segn el teorema visto anteriormente, toda funcin racional, es decir, el cociente de dospolinomios, es continua en su dominio. En el caso de la funcin f, extrayendo un factor comn de1 en el numerador y el denominador y realizando una sencilla divisin sinttica, se simplica a

f(x) =1 x2

4 x3 3x2

=x2 1

x3 + 3x2 4

=(x + 1) (x 1)

(x + 2)2 (x 1) :

La funcin presenta problemas de indenicin en los puntos x = 1 y x = 2: Al calcular loslmites respectivos en esos puntos, se obtiene:

limx!1

f(x) = limx!1

(x + 1) (x 1)(x + 2)2 (x 1)

= limx!1

x + 1

(x + 2)2

=2

9 :

As que f tiene una discontinuidad evitable en x = 1, pues bastara redenir f(1) = 29 para que lafuncin sea continua en x = 1: Por otra parte,

limx!2

f(x) = limx!2

(x + 1) (x 1)(x + 2)2 (x 1)

= limx!2

x + 1

(x + 2)2

= 1:

Como el lmite en x = 2 no existe, la discontinuidad en este punto es inevitable.


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Marco Alfaro C. 18

Teorema (Del Valor Intermedio) Suponga que f es continua sobre el intervalo cerrado [a; b] y seaN cualquier nmero estrictamente entre f(a) y f(b). Entonces existe un nmero c

2]a; b[ tal que

f(c) = N:

y

x

( )xfy =

0

Figura 5: Teorema del Valor Intermedio

a b

( )af

( )bf

N

c

Esto quiere decir que una funcin continua toma todos los valores comprendidos entre f(a) yf(b) : Este resultado es en realidad una consecuencia inmediata del siguiente teorema conocidocomo Teorema de Bolzano.

Teorema Sea f una funcin continua en el intervalo cerrado [a; b] y supongamos que f(a) y f(b)tienen signos opuestos. Existe entonces por lo menos un valor c 2 ]a; b[ tal que f(c) = 0:

y

x

( )xfy =

0

Figura 6: Teorema de Bolzano

a b

( )af

( )bf

c

Ejemplo Demuestre que la ecuacin

x3 3x + 1 = 0

tiene al menos una raz en el intervalo I = ]0; 1[ :


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Marco Alfaro C. 19

Solucin:

Considere la funcin f(x) = x3

3x+1, la cual es claramente continua en ]0; 1[ por ser una funcinpolinomial. Ntese ahora que al serf(0) = 0 0 + 1 = 1 > 0

f(1) = 1 3 + 1 = 1 < 0

es decir, f(0) y f(1) tienen signos opuestos, el teorema de Bolzano permite concluir que existec 2 ]0; 1[ tal que f(c) = 0, o lo que es lo mismo

c3 3c + 1 = 0:

1.3 Ejercicios1. En el siguiente ejercicio, d el valor de cada expresin, si existe. En caso que no exista,

explique por qu.

2 3 4-1-2-4 -3

1

3

-1

0

4

y

x1

2

(a) limx

!0

f(x) (b) limx

!3+

f(x) (c) limx

!3

f(x)

(d) limx!3

f(x) (e) limx!3

f(x) (f) f(3)


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Marco Alfaro C. 20

2. Considere la funcin f denida por

f(x) =

8>>>>>>>:3x + 1; si x < 1

x2 + 3; si 1 < x 3

4x + 3; si x > 3:

Calcule, si existen, los siguientes valores:

(a) limx!1

f(x) (b) limx!3

f(x) (c) f(3)

3. En la siguiente gura, d el valor del lmite, si existe. En caso que no exista, explique porqu.

(a) limx!2

f(x) (b) limx!3

f(x) (c) limx!3+

f(x)

(d) limx!3

f(x) (e) f(3) (f) limx!2

f(x)

(g) limx!2+

f(x) (h) limx!2

f(x) (i) f(2)

1 2 3 4-1-2-4 -3

1

2

3

-3

-2

0

y

-1

4. Trace la grca de una funcin f que satisfaga todas las siguientes condiciones:

(a) f(3) = f(0) = f(4) = 0:(b) lim

x!2f(x) = 1 y lim

x!2+f(x) = 1 :

(c) f(2) = 3:(d) lim

x!3f(x) = 2 y lim

x!3+f(x) = 2:

(e) f(3) = 1:


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Marco Alfaro C. 21

5. Trace la grca de una funcin f que satisfaga todas las siguientes condiciones:

(a) f es continua en ]1; 5[ ; ]5; 2[ ; ]2; 3[ y en ]3; +1[ :(b) f(0) = f(6) = 0:

(c) limx!1

f(x) = +1 y limx!+1

f(x) = 1:

(d) limx!5

f(x) = 2 y limx!5+

f(x) = 1:(e) lim

x!3f(x) = 1 y lim

x!3+f(x) = 1:

(f) limx!2

f(x) = 1 y f(2) = 1:

6. Calcule los siguientes lmites:

(a) limx!1

x4 + x 2x3 1 (f) limx!2

x 2px + 1 p5 x (k) limx!1

x2 + x 2x2 4x + 3

(b) limx!2

4 x23 px2 + 5 (g) limx!1

px 1

3p

x 1 (l) limx!1x 1

x3 x2 + x 1

(c) limx!1

px2 + 3 2p10 x 3 (h) limx!1

3p

x + 7 2x3 1 (m) limx!3

x 3x2 8x + 15

(d) limx!2

x3 8jx 2j (i) limx!1

1

1 x 3

1 x3

(n) limx!2

p2 x 2

x2 + 5x + 6

(e) limx!2p3x jx

2jx 2 (j) limx!1

3p

x

14px 1 () limx!3

x3

2x2

2x

3

x4 2x3 27

7. Calcule, si existen, los siguientes lmites:

(a) limx!1

3x +

p9x2 x (e) lim

x!+1

p1 + 4x2

4 + x

(b) limx!+1

px2 + 1 px2 1 (f) lim

x!+1p

9x2 + x 3x

(c) limx!+15x3 + 1

10x3 3x2 + 7 (g) limx!1(1

x) (2 + x)

(1 + 2x) (2 3x)

(d) limx!+1

x + 4

x2 2x + 5 (h) limx!+1x3 8x + 52x2 x + 3


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Marco Alfaro C. 22

8. Calcule los siguientes lmites:

(a) limx!1

x2 2x2 x 2 (e) limx!2

4

(x 2)3 (i) limx!1x3 + 3x2 2x 2x3 3x2 + 3x 1

(b) limx!1+

x3

x2 1 (f) limx!22

(x 2)2 (j) limx!2x5 2x4 + 3x2 7x + 2

3x3 11x2 + 8x + 4

(c) limx!2+

x 3x 2 (g) limx!2

x2 2x2 x 2 (k) limx!1+

x4 x3 + 2x2 + 5x 73x3 4x2 x + 2

(d) limx!1+

2 + x1 x (h) limx!2 2x

2 + x + 1x + 2

(l) limx!1

x2 + 8x 9x2 2x + 1

9. Considere la siguiente gura, con base en ella, complete las expresiones dadas de forma quese transformen en verdaderas1 .

-1-2-3-4-5-6-7 1 2 3 4 5 6 7

4

x

y

-3

3

1

-1

-2

-4

2

-5

1 Tomado de Sancho, L, Proyecto MATEM 2007


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Marco Alfaro C. 23

(a) limx!3

f(x) = :

(b) limx!1 f(x) = :

(c) limx!1

f(x) = :

(d) limx!+1

f(x) = :

(e) f tiene una discontinuidad evitable en el siguiente valor de x: :

(f) f tiene una discontinuidad inevitable en el siguiente valor de x: :

(g) Un intervalo en donde f es continua es el siguiente: :

(h) Una asntota vertical de la grca de f es la siguiente: :

(i) Una asntota horizontal de la grca de f es la siguiente: :

10. Determine el valor de las constantes a; b y k para que las siguientes funciones sean continuasen toda la recta real.

(a) f(x) =

8 0:(c) g (x) =

8>>>>>>>:2; si x 1

ax + b; si 1 < x < 3

2, si x 3:

(b) f(x) =8 2:(d) g (x) =

8>:x2

a2

x a ; si x 6= a

8, si x = a:

11. Hallar el valor de la constante a para que el siguiente lmite exista y calclelo.

L = limx!2

3x2 + ax + a + 3

x2 + x 212. Determine las asntotas verticales y las discontinuidades evitables de la funcin denida por

la expresin

f(x) =2x2 + 7x + 6

x4

16

:

(a) Enuncie correctamente el Teorema del Valor Intermedio.

(b) Aplquelo para concluir que la ecuacin x5 + 2x 7 = 50 tiene solucin.13. Demuestre que las grcas de las funciones f(x) = cos x y g (x) = x se intersecan.

14. Aplique el Teorema del Valor Intermedio para probar que existe un nmero positivo c tal quec2 = 2: Esto demuestra la existencia del nmero

p2:


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Marco Alfaro C. 24

1.4 Respuestas

1. (a) 3: (b) 2: (c) 4: (d) No existe. (e) 1: (f) 3:2. (a) 4. (b) No existe. (c) f(3) = 12:3. (a) 3: (b) 2: (c) 2: (d) No existe. (e) 1. (f) 2. (g) 2: (h) 2. (i) 3:6. (a) 53 : (b) 6: (c) 3. (d) 12: (e) no existe. (f)

p3: (g) 32 . (h)

136 . (i) 1. (j) 43 :

(k) 32

. (l) 12

: (m) 12

: (n) 14

. () 1354

.7. (a) 16 : (b) 0: (c)

12 . (d) 0: (e) 2: (f)

16 : (g)

16 : (h) +1:

8. (a) 1: (b) +1. (c) 1: (d) 1: (e) 1: (f) 1: (g) 1: (h) 1: (i) +1: (j) 1:(k) +1: (l) 1:10. (a) k = 43 : (b) a = 2: (c) a = 1; b = 1: (d) a = 4:11. a = 15; L = 1:12. Discontinuidad evitable en x = 2; asntota vertical en x = 2:


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Captulo 2

Derivada de una Funcin

Denicin La derivada de f en x se dene por

f0 (x) = limh!0

f(x + h) f(x)h

: (2.1)

Note que este lmite presenta el cociente del incremento de la funcin y el incremento del argumentode la funcin, segn vemos en la siguiente grca.

0 x hx +

h

( ) ( )xfhxf +P

( )xfy =Q

Figura 1: Derivada de una funcin

De manera equivalente, la derivada de f en x = a; se puede denir por:

f0 (a) = limx!a

f(x) f(a)x a (2.2)

si este lmite existe.

25


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Marco Alfaro C. 26

Es decir, la derivada de una funcin f en un punto P(a; f(a)), como se muestra en la Figura 1, seinterpreta como la pendiente de la recta tangente a la curva f en dicho punto.

Notacin Para el concepto de derivada, utilizaremos cualquiera de los siguientes smbolos:

f0 (x) = y0 =dy

dx=

df

dx= Df(x) = Dxf(x) :

Ejemplo Usando la denicin, calcule la derivada de la funcin. f(x) =p

2x 1:Solucin: A partir de la denicin (2.1), obtenemos lo siguiente

f0 (x) = limh!0

f(x + h) f(x)h

= limh!0p2 (x + h) 1 p2x 1h

= limh!0

p2x + 2h 1 p2x 1

h

= limh!0

2x + 2h 1 2x + 1hp

2x + 2h 1 p2x 1= lim

h!02x + 2h 1 2x + 1

hp

2x + 2h 1 + p2x 1= lim

h!0

2

p2x + 2h 1 + p2x 1

=1p

2x 1 :

Observe que la derivada de una funcin es un lmite, por lo que para hallarlo recurrimos a cualquierade los procedimientos vlidos, en este caso se us nuevamente la racionalizacin del numerador paraeliminar la indeterminacin.

Tambin como lmite que es, la derivada puede o no existir, por lo que ms adelante introducimosel concepto de derivada lateral para decidir este problema.


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Marco Alfaro C. 27

Ejemplo Usando la denicin, calcule la derivada de la funcin. f(x) =x

x + 1.

Solucin: Nuevamente usando (2.1), obtenemos ahora

f0 (x) = limh!0

f(x + h) f(x)h

= limh!0

1

h

x + h

x + h + 1 x

x + 1

= limh!0

1

h

(x + h) (x + 1) x (x + h + 1)

(x + h + 1) (x + 1)

= limh!0

x2 + x + hx + h x2 hx xh (x + h + 1) (x + 1)

= limh!0

1

(x + h + 1) (x + 1)

=1

(x + 1)2:

Teorema Si f es diferenciable en a (es decir, f0 (a) existe), entonces f es continua en a: El recprocoes falso.

Ntese en la Figura 2 el caso tpico de una funcin que es continua pero no derivable en un punto.

1 2 3-1-2-3

1

2

3

0

1= xy

y

x

4

Figura 2: Funcin continua no derivable

Para vericar esto, podemos usar la denicin (2.2) de derivada en el punto a = 1, para locual calculamos los lmites laterales, con el propsito de eliminar el valor absoluto. Introducimosadems los smbolos f0 (a) y f

0+ (a) para denotar las derivadas izquierda y derecha de f en x = a,


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Marco Alfaro C. 28

respectivamente. Entonces

f0 (1) = limx!1f(x)

f(1)

x 1

= limx!1

jx 1j j0jx 1

= limx!1

(x 1)x 1

= 1:De forma idntica tenemos

f0+ (1) = l imx!1+

f(x) f(1)x 1

= limx!1+

jx 1j j0jx 1

= limx!1+

x 1x 1

= 1:

Concluimos entonces que f0 (1) 6= f0+ (1) por lo que la derivada de f en x = 1 no existe, es decir,f no es derivable en este punto.

Otros casos de no derivabilidad de una funcin en un punto pueden ocurrir como consecuencia deuna discontinuidad de la funcin en dicho punto, o bien, que la curva presente un recta tangentevertical(de pendiente innita), como podemos ver en la siguiente gura.

1 2 3-1-2-4 -3

3

-1

-2

0

4

2

Figura 3: Funcin no derivable

y

x

( )xfy =

1


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Marco Alfaro C. 29

2.1 Reglas de Derivacin

Si c; n 2 R, entonces1. (cf)0 = cf0 4. (xn)0 = nxn1

2. (f g)0 = f0 g0 5. (f g)0 = f0g + fg0

3.

f

g

0=

gf0 f g0g2

6. (c)0 = 0

Nota Observe que en particular, si f(x) = ax + b; entonces f0 (x) = a:

Teorema (Regla de la Cadena) Si las derivadas de g y f existen y f g es la funcin compuestaentonces (f g)0 est denida y

[f(g (x))]0 = f0 (g (x))

g0 (x)

o bien, si y = f(u) y u = g (x) ; entonces

dy

dx=

dy

du

du

dx

En particular[[f(x)]n]

0= n [f(x)]n1 f0 (x)

o biend

dx(un) = nun1

du

dx

Ejemplo Derive la funcin f(x) = x5 4x3 + 2x 36 :Solucin: Colocamos u = x5 4x3 + 2x 3; entonces de acuerdo al teorema anterior tenemos quef(x) = u6, y as

f0 (x) = 6u5 u0

= 6u5 x5 4x3 + 2x 30= 6u5 5x4 12x2 + 2= 6

x5 4x3 + 2x 3

5

5x4 12x2 + 2

:

Ejemplo Hallar la derivada de la funcin f(x) = p2x2 2x + 1x

:

Solucin: Si colocamos ahora u = 2x2 2x + 1; entonces f(x) = u12

xy tendremos, de acuerdo a la


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Marco Alfaro C. 30

regla del cociente y la regla de la cadena

f0 (x) =x u120 u 12 (x)0

x2

=x 12u

12 u0 pux2

=

xu0 2u2p

u

x2

=xu0 2u2x2

pu

=x (4x 2) 2 2x2 2x + 1

2x2p

2x2 2x + 1

=x 1

x2p

2x2 2x + 1 :

Teorema Si f0 (a) existe, entonces la ecuacin de la recta tangente a la curva y = f(x) enP (a; f(a)) es:

y f(a) = f0 (a) (x a) (2.3)Note que el teorema anterior es simplemente una reescritura de la denominada forma punto-pendiente para la ecuacin de la recta.

Ejemplo Hallar las rectas tangentes a la curva y = x2

+ 1 que pasan por el origen.Solucin Primero observe que y0 (x) = 2x, as que la recta tangente en el punto P(a; b) segn (2.3)es

y b = 2a (x a) :

12

+= xy

( )2,1( )2,1

( )122 = xy( )122 += xy

0 x

y


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Marco Alfaro C. 31

Como esta recta debe pasar por el origen, es decir, por el punto O (0; 0) ; entonces

0 b = 2a (0 a)esto es,

b = 2a2: (2.4)

Pero el punto P (a; b) debe estar sobre la curva, de forma que tenemos la nueva condicin

b = a2 + 1: (2.5)

De (2.7) y (2.8) se sigue que a = 1, y por lo tanto los puntos de tangencia son Q (1; 2) yR (1; 2) : Finalmente, encontramos que las ecuaciones de las rectas tangentes son y2 = 2 (x 1)e y 2 = 2 (x + 1) :

2.2 Derivacin ImplcitaDada una ecuacin que contiene a x e y; con y una funcin derivable de x; de la forma

F(x; y) = 0

se puede hallardy

dxas:

1. Derive ambos lados de la ecuacin respecto de x:

2. Agrupe todos los trminos que contienendy

dxa la izquierda de la ecuacin, y los dems trminos

a la derecha.

3. Factoricedy

dx

en el lado izquierdo.

4. Despejedy

dxen la ecuacin.

Ejemplo Hallar la derivada dydx

si x3 + x2y + y2 = 0:

Solucin: Suponemos que y = y (x), entonces derivando esta ecuacin respecto de x, obtenemos

3x2 + 2xy + x2y0 + 2yy0 = 0;

agrupando los trminos que contienen a y0x2 + 2y

y0 = 3x2 + 2xy

nalmente, resolviendo para y0 llegamos a

y0 =

3x2 + 2xy

x2 + 2y:

Observe que si y = y (x) entonces la expresin x2y debe derivarse por la regla del producto.


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Marco Alfaro C. 32

La recta normal a una curva es la recta perpendicular a la tangente en el punto de tangenciaP (a; b). Por lo tanto, su pendiente es

m0 = 1m

= 1f0 (a)

:

( )xfy =

TangenteNormal

( )baP ,

y

x0Figura 4: Recta Normal

As que la ecuacin de la recta normal a la grca de y = f(x) es

y

b =

1

f0 (a)(x

a) : (2.6)

Ejemplo Verique que la recta normal a la curva de ecuacin

x2 + y2 = 1

siempre pasa por el origen.

Solucin: Derivando por derivacin implcita la ecuacin dada, tenemos

y0 = xy

por lo que la ecuacin de la recta normal en P (a; b) es, segn (2.6)

y b = 1a=b (x a)

es decir,

y =b

ax

que claramente pasa por el origen.


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Marco Alfaro C. 33

2.3 Derivadas de Funciones Trigonomtricas

Sea x > 0, y considere la siguiente gura

P

Q

R ( )0,1A

( )1,0B

x

Figura 5

O

con \AP B el arco de circunferencia de radio 1 y centro en el origen, entonces tenemos

m]P OA = x = m

dP A:

Adems,sen x = PR < mdP A = x: (2.7)

As,sen x

x>>>>>>:

A + B = 3

C B = 4

A

C = 5

cuya solucin viene dada por A = 2; B = 1; C = 3: As que de (3.13) se concluye que

I =

Z2

x 1 +x 3

x2 + 1

dx

= 2

Zdx

x 1 +Z

x

x2 + 1dx 3

Zdx

x2 + 1:

Finalmente, colocando u = x1 en la primera integral, t = x2 + 1 en la segunda integral, y usandola integral de tabla Z

du

a2 + u2=

1

aarctan

ua

+ C;

se llega a

I = 2 Zduu

+ 12Zdt

t 3Z dx

x2 + 1

= 2ln juj + 12

ln jtj 3 arctanx + C

= 2ln jx 1j + 12

ln

x2 + 1 3 arctanx + C

Ejemplo Calcular la integral I =Z

x2

(x2 + 1)2dx:

Solucin: En este caso se tiene un factor cuadrtico repetido, puesto que M< 0; as que descom-

ponemos el cociente como la suma de fracciones simplesx2

(x2 + 1)2=

Ax + B

x2 + 1+

Cx + D

(x2 + 1)2

=(Ax + B)

x2 + 1

+ Cx + D

(x2 + 1)2

=Ax3 + Bx2 + (A + C) x + (B + D)

(x2 + 1)2


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Marco Alfaro C. 83

Igualando los coecientes se llega al sistema

8>>>>>>>>>>>>>>>:

A = 0

B = 1

A + C = 0

B + D = 0

cuya solucin es A = 0; B = 1; C = 0; D = 1: Tomando en cuenta esto, nuestra integral sereduce a

I =

Zdx

x2 + 1Z

dx

(x2 + 1)2= I1 I2:

La primera integral I1, corresponde a un arcotangente, nos concentramos entonces en resolver la

segunda integral I2. Para ello hacemos el cambio de variable u = tan t; por lo que

dx = sec2 t dt y x2 + 1 = sec2 t:

Esta integral toma entonces la forma

I2 =

Zdx

(x2 + 1)2

=

Zsec2 t dt

sec4 t

= Zcos2 t dt

=1

2

Z(1 + cos 2t) dt

=t

2+

sen2t

4+ C

=arctan x

2+

1

2

xp

x2 + 1

1p

x2 + 1

+ C

=1

2

arctan x +

x

x2 + 1

+ C:

Sumando los resultados de ambas integrales, llegamos nalmente a

I = arctan x +1

2

arctan x +

x

x2 + 1

+ C


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Marco Alfaro C. 84

3.10 Sustitucin de Weierstrass

Considere, para < x < ; la sustitucinu = tan

x2

:

Entonces, de las propiedades de funciones trigonomtricas, se sigue que

cosx

2

=

1

secx

2

=

1r1 + tan2

x

2=

1p1 + u2

:

Tambin,

senx

2

= cos

x2

tan

x2

=

up1 + u2

:

Ahora, ntese que

sen x = 2 senx

2 cosx

2 =2u

1 + u2

y por otra parte,

cos x = cos2x

2

sen2

x2

=

1 u21 + u2

:

Finalmente, como u = tanx

2

; tomando inversas, se llega a

x = 2 arctanu

as que

dx =2 du

1 + u2:

En resumen, se tienen el conjunto de sustituciones

u = tanx

2

; sen x =

2u

1 + u2; cos x =

1 u21 + u2

; dx =2 du

1 + u2

las cuales tienen la ventaja de convertir cualquier funcin racional de sen x y cos x en una funcinracional de u:


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Marco Alfaro C. 85

Ejemplo Calcular la integral I =

Zdx

3sen x + 4 cos x:

Solucin:

Haciendo las sustituciones del caso, tenemos que

I =

Zdx

3sen x + 4 cos x

=

Z 2 du1 + u2

3

2u

1 + u2

+ 4

1 u21 + u2

= Z2 du

1 + u26u + 4 4u2

1 + u2

= Z

du

2u2 3u 2

= Z

du

(2u + 1) (u 2)

= 15 ln

u + 12 15 ln (u 2) + C

= 15

ln

tan

x2

+ 12

15

ln

tan

x2

2

+ C:


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Marco Alfaro C. 86

3.11 Frmulas Bsicas de Integracin

1.Z

un du =un+1

n + 1+ C; n 6= 1 9.

Zcsc u dx = ln jcsc u cot uj + C

2.Z

sen u du = cos u + C 10.Z

csc u cot u du = csc u + C

3. Zcos u du = sen u + C 11. Zdu

pa2 u2= arcsen

u

a + C

4.Z

csc2 u du = cot u + C 12.Z

du

a2 + u2=

1

aarctan

ua

+ C

5.Z

tan u dx = ln jcos uj + C 13.Z

du

up

u2 a2 =1

aarcsec

juja

+ C

6.Z

sec u du = ln jsec u + tan uj + C 14.Z

sec2 u du = tan u + C

7.Z

sec u tan u du = sec u + C 15.Z

eu du = eu + C

8.Z

cot u du = ln jsen uj + C 16.Z

du

u= ln juj + C


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Marco Alfaro C. 87

3.12 Ejercicios

1. Verique que la funcin

F(x) =

8


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Marco Alfaro C. 88

5. Use el Teorema Fundamental del Clculo para evaluar las siguientes integrales denidas. Enlos ejercicios a) al g), haga una grca de la regin cuya rea viene dada por la integral

propuesta.

(a)Z31

(2x 1) dx (g)Z20

j2x 1j dx

(b)Z20

(x + 4) dx (h)Z10

px (1 x) dx

(c)Z43

x2 9 dx (i) Z6

2

xp2x 3 dx

(d) Z2

1 x2 + x + 2 dx (j) Z3

0

xp

3

x dx

(e)Z10

x x3 dx (k) Z1

0

x (x 1)2 dx

(f)Z21

x2 1 dx (l) Z41

x2 x 2 dx6. Dibuje la regin y calcule el rea encerrada por las siguientes curvas.

(a) y = 2 x2; y = x:(b) f(x) = x3 6x2 + 8x; g (x) = x2 4x:

(c) y = x2

+ 2; y = x; x = 0; x = 1:(d) f(x) = x3; g (x) = 2x3 + x2 2x:(e) y = x2 + 2x; y = x + 4:(f) f(x) =

1

x2; g (x) = x2; x = 1; x = 2:

(g) f(x) = 3x 4x2 + x3, g (x) = x2 x:(h) f(x) = x2 + 2x + 8; g (x) = 2x + 3:(i) x = y3 y; x = 1 y4:(j) f(x) = x3 2x; g (x) = x:(k) f(x) = x2 + 1; g (x) = 3 x2; x = 2:


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Marco Alfaro C. 89

7. Calcule las siguientes integrales.

(a)Z

1 + 4x

1 + x + 2x2dx (g)

Ze1

1

x (3 + ln x)2dx (m)

Zx + 1

x2 + 2x + 3dx

(b)Z

ax + b

ax2 + 2bx + cdx (h)

Z2x + 3

2x + 1dx (n)

Z81

dx

x (3ln x + 4)

(c)Z

1 3x3 + 2x

dx (i)Z

dx

x (ln ln x) ln x()

Zx2 + 1

x 1 dx

(d) Ze4

e

1

xpln xdx (j) Z

1

0

3

4 + pxdx (o) Z(2 + ln x)

2

xdx

(e)Z71

4 dx

5 +p

4x + 9(k)

Zx2 2x

x3 3x2 + 1 dx (p)Z

1px (1 +

px)

dx

(f)Z

x

(x + 1)2dx (l)

Zx + 1

x 3 dx (q)Z51

dx

2 +p

x 1

8. Hallar la derivada de las siguientes funciones usando el Teorema Fundamental del Clculo:

ddx Z(x)a f(t) dt = f( (x)) 0 (x) y ddx Z(x)

(x)f(t) dt = f[(x)] 0 (x) f[ (x)] 0 (x)

(a) F(x) =Z2x

cos

t2

dt (e) F(x) =Z1

x

2

tan t dt

(b) F(x) =Zx20

p1 + t3 dt (f) F(x) =

Zpx3

cos t

tdt

(c) F(x) =Zx31

(t + sen t) dt (g) F(x) =Z113x

u3

1 + u2du

(d) F(x) = Z3x2x

u2

1u2 + 1

du (h) F(x) = Zx3px

pt sen t dt


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Marco Alfaro C. 90

9. Hallar la derivada de las siguientes funciones. Use derivacin logartmica.

(a) f(x) =(x + 2)2

(x + 1)3 (x + 3)4(d) f(x) =

1 +

1

x

x

(b) f(x) = xpx (e) f(x) =

px 1

3

q(x + 2)2

q(x + 3)3

(c) f(x) = x 3r

x2

x2 + 1(f) f(x) =

rx (x 1)

x 2

10. Hallar las siguientes integrales aplicando el mtodo de fracciones parciales.

(a) Z dxx2 5x + 6 (f)

Z x dx(x 1) (x + 1)2 (k)

Zx3 + x + 1x (x2 + 1)

dx

(b)Z

5x2 + 20x + 6

x3 + 2x2 + xdx (g)

Zx dx

(x 1) (x + 1)2 (l)Z

x2 + 5x + 7

x + 3dx

(c)Z

3x + 4

x3 2x 4 dx (h)Z

cos x dx

sen2 x 2sen x + 5 (m)Z

3x2 7x3x + 2

dx

(d)Z

8x3 + 13x

(x2 + 2)2dx (i)

Zx2 + x + 1

x2 2x + 1 dx (n)Z

dx

x3 2x2 + x

(e) Z x2 4x + 7x3 x2 + x + 3 dx (j) Z 2x + 3x2 + 2x + 5 dx () Z x + 1(x2 + 4x + 5)2 dx11. Hallar las siguientes integrales.

(a)Z20

dx

x2 2x + 2 (f)Z13

dx

x2 + 6x + 13(k)

Zdxp

e2x 1

(b)Z

2x

x2 + 6x + 13dx (g)

Zdx

(x 1)q

(x 1)2 4(l)

Zx + 2p4 x2 dx

(c)Z x + 2px2 4x dx (h) Z

1p2

0

arccos xp1 x2 dx (m)

Z ex dx(e2x + 1) (ex 1)

(d)Z

8x3 + 13x

(x2 + 2)2dx (i)

Z21

1

3 + (x 2)2 dx (n)Z

dx

2x2 8x + 10

(e)Z

2x 5x2 + 2x + 2

dx (j)Z

3x2 2x2 + 4

dx ()Z

x dx

x4 + 2x2 + 2


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Marco Alfaro C. 91

12. Hallar las siguientes integrales.

(a)Z

ln x dx (g)Z10

arcsen x dx (m)Zln x

x3dx

(b)Z

x2ex dx (h)Z10

ln

1 + x2

dx (n)Z

x cos3x dx

(c)Z

arctan x dx (i)Z

ex cos2x dx ()Z

x

exdx

(d) Zx2 cos x dx (j) Zx arctan x dx (o) Z xex(x + 1)2 dx(e)

Zarcsen x dx (k)

Zln xp

xdx (p)

Zx2e3x dx

(f)Z

x sen x dx (l)Z

x cos3x dx (q)Z

x2 2x + 5 ex dx13. Hallar las siguientes integrales.

(a) Z10

dxx2 + 4x + 5

(f) Z x33p

x2 + 1dx (k) Z 2x 3

(x 1)2 dx

(b)Z

ln2 x dx (g)Z

dx

x px + 2 (l)Zp

x + 4

xdx

(c)Z

ex sen x dx (h)Z

dx3p

x + 4p

x(m)

Zx4 2x2 + 4x + 1

x3 x2 x + 1 dx

(d)Z1

2

0

arccos x dx (i)Z

e2x

e2x + 3ex + 2dx (n)

Z2x2 x + 4

x3 + 4xdx

(e) Z 1xp

x + 1dx (j)Z1 x + 2x2 x3

x (x2 + 1)2dx () Z dx

x3 + 1


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Marco Alfaro C. 92

14. Calcule las siguientes integrales, mediante una sustitucin trigonomtrica.

(a)Z 1

x2p

x2 9 dx (h)Zp

1 4x2 dx () Z dtpt2 6t + 13

(b)Z

x3p

9 x2 dx (i)Zp

9x2 4x

dx (o)Z

x2p1 x2 dx

(c)Z

x3px2 + 9

dx (j)Z30

dxp9 + x2

(p)Z

x3p2 x2 dx

(d)Z2p30

x3p16 x2 dx (k)

Z23

0

x3p

4 9x2 dx (q)Zp

x2 a2x

dx

(e) Z2p2

1t3

pt2 1 dt (l)

Zp2x x2 dx (r) Zpx2 + 1x

dx

(f)Z

1

x2p

25 x2 dx (m)Z

1p9x2 + 6x 8 dx (s)

Zdx

x2p

4 x2

(g)Z20

x3p

x2 + 4 dx (n)Z

dx

(x2 + 2x + 2)2(t)

Zp1 x2 dx

15. Demuestre que Zdxp

x2 + a2= ln

x +

px2 + a2

+ C:

3.13 Respuestas

2. (a) f(x) = 5x3

6 x

2 2

3: (b) f(x) = x

4

12+ 6x + 3: (c) f(x) = x5 5x2 + 5:

(d) f(x) = x3

6 +4x

52

15 +5x6 415 . 3. (a) x

3

3 x2+3x+C: (b) 13x3 + 4x34

3 +C: (c) 572

7 4x3 65 +C:(d) 5

x+ 310x

103 47x

72 +C: (e) 27 (1 + x)

72 45 (1 + x)

52 + 23 (1 + x)

32 +C: (f) 25 (3 x)

52 2 (3 x) 32 +C:

(g) 203p

1 + x3 + C: (h) 2x2m+1

2

4m+1 4xm+n+1

2

2m+2n+1 +2x2n+

12

4n+1 + C: (i)16 (2x 1)

32 + 12 (2x 1)

12 + C:

(j) 12(x2+2x3) + C: (k)

12

p2t2 + 1 + C: (l)

px2

8x + 1 + C: 4. (a) y = x

3

3

x2

4x + 6:

(b) y = 14p1+x2 14p2 : (c) y = x33 + 3x22 + 2x: 5. (a) 6. (b) 10. (c) 103 : (d) 92 : (e) 14 .(f) 83 : (g)

52 : (h)

415 : (i)

223 : (j)

125

p3: (k) 112 : (l)

796 : 6. (a) A =

92 : (b) A =

716 . (c) A =

176 :

(d) A = 3712

: (e) A = 1256

: (f) A = 176

: (g) A = 716

: (h) A = 36: (i) A = 85

: (j) A = 9: (k) A = 8:7. (a) ln

2x2 + x + 1

+ C: (b) 12 ln

ax2 + 2bx + c

+ C: (c) 114 ln

x + 32

32x + C: (d) 2:(e)

p148 p20 + 10ln

p5+5p37+5

: (f) ln jx + 1j + 1x+1 + C: (g)

112 : (h) x + ln

x + 12

+ C.

(i) ln(lnln x) + C: (j) 6 + 24ln 45 : (k)13

ln

x3 3x2 + 1 + C: (l) x + 4 l n (x 3) + C:(m) 12 ln

2x + x2 + 3

+ C: (n) 13 ln

ln512e44 :() x + 12x2 + 2 ln (x 1) + C:(o) 4 ln x + 2 l n2 x + 13 ln

3 x + C: (p) 2 ln jpx + 1j + C: (q) 4 4 l n 2: 8. (a) F0 (x) = cos x2 :


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Marco Alfaro C. 93

(b)F0 (x) = 2xp

1 + x6: (c)F0 (x) = 3x2

x3 + sen x3

: (d) F0 (x) = 25x

2+36x41(4x2+1)(9x2+1) :

(e) F0 (x) = tan( 1

x)

x2 : (f) F0 (x) =cos

px

2x : (g) F0 (x) =81x3

81x227x

3

9x26x+2 : (h) 3x7

2 sen x3

sen

px

2 4px :9. (a) (x+2)(5x

2+19x+20)(x+1)4(x+3)5

: (b)xpx 1

2

1 + lnx

2

: (c) 3x

2+53(x2+1)

3

qx2

x2+1: (d)

1 + 1

x

x hln

1 + 1x

11+x

i:

(e) 5x2+x243(x1) 12 (x+2)53 (x+3)52

: (f) x24x+2

2px(x1)(x2)3

:

10. (a) ln jx 3j ln jx 2j+C: (b) 6 ln xln jx + 1j 9x+1 +C: (c) ln jx 2j 12 ln

x2 + 2x + 2

+C:

(d) 4 ln

x2 + 2

+ 32x2+4 + C: (e) 2 ln jx + 1j 12 ln

x2 2x + 3 + C:(f) 14 ln jx 1j14 ln jx + 1j 12x+2+C: (g) 14 ln jx 1j14 ln jx + 1j 12x+2+C: (h) 12 arctan

senx1

2

+

C:(i) x + 3ln jx 1j 3x1 + C:(j) ln

x2 + 2x + 1

1x+1

+ C: (k)x + ln jxj 12 ln

x2 + 1

+ C:

(l) 2x + 12x2 + ln jx + 3j + C: (m) 12x2 3x + 2ln

3x+23

+ C: (n) ln jxj ln jx 1j 1x1 + C:

() x+32(x2+4x+5) 12 arctan(x + 2) + C:

11. (a) 2

: (b) ln x2 + 6x + 13 3 arctanx+32 + C: (c) px (x 4) + C:(d) 4 ln x2 + 2+ 32x2+4 +C: (e) ln x2 + 2x + 27arctan(x + 1)+C: (f) 8 : (g) 12 arcsec jx1j2 +C:(h) 3

2

32: (i)

p3

18: (j) 3x 7 arctanx2 + C: (k) arcsec ex + C: (l) 2 arcsenx2 p4 x2 + C:

(m) 12 arctan ex + 12 ln jex 1j 14 ln

e2x + 1

: (n)12 arctan(x 2) + C: () 12 arctan

x2 + 1

:

12. (a) x ln jxj x + C: (b) 2ex 2xex + x2ex + C: (c) x arctan x 12 ln

x2 + 1

+ C:

(d) 2x cos x 2sen x + x2 sen x + C: (e) x arcsen x + p1 x2 + C: (f) sen x x cos x + C:(g) 2 1: (h) 2 +ln22: (i) 15ex cos2x+ 25ex sen2x+C: (j) 12 arctan x 12x 14 + 12x2 arctan x+C:(k) 1p

x(2x ln jxj 4x) + C: (l) 19 cos3x + 13x sen3x + C: (m) 14x2 12x2 ln jxj + C:

(n) 19 cos3x +13x sen3x + C: () ex xex + C: (0) e

x

x+1 + C: (p)227e

3x 29xe3x + 13x2e3x + C:(q)5ex x2ex + C:13. (a)arctan3arctan 2: (b) x

ln2 jxj 2 ln jxj + 2

+C: (c) e

x

2 sen x ex

2 cos x+C: (d)1612

p3+1:

(e) ln jxj ln jx + 2j+C:(f) x2 + 1 23 310x2 920+C: (g) 13 ln px + 2 2 13 ln px + 2 + 1+C:(h) 6x24 12x12 4x36 + 3x48 125 x60 + 2x72 127 x84 + 32x96 + 12ln

x12 + 1

+ C:

(i) ex + ln(ex + 1) 4 l n (ex + 2) + C: (j) ln jxj arctan x 12 ln

x2 + 1 12x2+2 + C:

(k) 2 ln jx 1j + 1x1 + C: (l) 2

px + 4 + 2 ln

px + 4 2 2 ln px + 4 + 2 + C:

(m) x + 12x2 + ln jx 1j ln jx + 1j 2

x1 + C: (n) ln jxj + 12 ln

x2 + 4 12 arctan x2 + C:

() 16 lnh(x+1)2

x2x+1i

+ 1p3

arctan2x1p

3

+ C:

14. (a) 19xp

x2 9 + C. (b) 65x2p

9 x2 545p

9 x2 + 15x2p

9 x2 95x2p

9 x2 +C.(c) 13x

2p

x2 + 96px2 + 9 + C. (d) 403 : (e) 124 + 18p

3 14 : (f) 125xp

25 x2+ C. (g) 6415p

2+ 6415 .(h) 14 arcsen (2x) +

x2

p1 4x2 + C: (i) p9x2 4 2 arcsec 3x2 + C: (j) ln p2 + 1+ C: (k) 641215 .

(l) tan x+ 13 tan3 x+C: (m) 13 ln 3x + 1 +

p9x2 + 6x

8+C: (n)

12 harctan(x + 1) +

x+1x2+2x+2i+C:() ln 12 t +q14 t2 32 t + 134 32 + C: (o) x2p1 x2 + 12 arcsen x + C:

(p) x23p

2 x2 43p

2 x2 + C:(q) px2 a2 arcsen ax

+ C: (r)p

x2 + 1 ln1 +

px2 + 1

x

+ C:(s)

p4x24x + C:(t)

x2

p1 x2 + 12 arcsen x + C:


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Bibliografa

[1] Apstol, T. M.: Calculus, Vol I. Segunda edicin, Editorial Revert, Barcelona (1984)

[2] Curtis, P.: Clculo con una introduccin a vectores. Primera edicin, Editorial Limusa, Mxico(1979).

[3] Demidovich, B.: Problemas y Ejercicios de Anlisis Matemtico. Editorial Paraninfo, Madrid(1985).

[4] Larson, R. et al: Clculo con geometra analtica. Mc Graw-Hill. Mxico, D.F. (2006).

[5] Leithold, L.: El Clculo con geometra analtica. Segunda edicin, Harper & Row Latinoame-ricana, Mxico, D.F. (1973).

[6] Piskunov, N.: Clculo diferencial e integral, Tomo I. Ediciones Quinto Sol, Mxico, D.F.(1979).

[7] Pita, C.: Clculo de una variable con aplicaciones. Primera edicin, Prentice Hall Hispanoame-ricana, Mxico, D.F. (1998).

[8] Stewart, J.: Clculo de una variable. Cuarta edicin, Thomson Learning, Bogot (2003).

[9] Takeuchi, Y.: Clculo diferencial e integral. Primera edicin, Editorial Limusa, Mxico, D.F.(1979).

[10] Wisniewski, P. & Lpez, I.: Clculo diferencial de una variable con aplicaciones. Primeraedicin, Thomson Editores, S. A. Mxico, D.F. (2006).

Apuntes de Cálculo Diferencial e Integral. Univ. de Costa Rica. (2009).Alfaro, Marco

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