Espacios vectoriales

Version Noviembre de 2011

Pontificia Universidad Catolica de Chile

Indice

1. Conceptos basicos 11.1. Cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Combinaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2. Subespacios Vectoriales 82.1. Definicion y caracterizaciones de los subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2. Operaciones con subespacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3. Bases y dimension 153.1. Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2. Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3. Completacion de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4. Sistemas de coordenadas y cambio de base 244.1. Sistemas de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2. Matrices de cambio de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1. Conceptos basicos

En este captulo, estudiaremos la generalizacion de las ideas y propiedades estudiada en el captulo de Vectoresdadas de la relacion que existe entre Rn y R. El papel de R sera ocupado por cualquier cuerpo de numeros,mientras que el papel de Rn sera ocupado por un espacio vectorial sobre dicho cuerpo.

1.1. Cuerpos

Daremos la definicion de cuerpos y algunos ejemplos de este tipo de estructura algebraica, pero solo desarrol-laremos la teora de espacios vectoriales sobre el cuerpo de los numeros reales R, pues esta nos permite presentartodos los resultados de espacios vectoriales en general, operando algebraicamente con nuestros conocidos numerosreales. Sin embargo, nos sentiremos en libertad para entregar ejemplos que incluyan otros cuerpos (principalmenteel cuerpo de los numeros complejos C) cuando aporten nueva informacion y aclaren de mejor manera las ideas.

Definicion: Un conjunto no vaco K es un cuerpo si tiene definidas dos operaciones binarias:

+ : KK K(, ) 7 + (suma)

: KK K(, ) 7 (multiplicacion)

que cumplen las siguientes propiedades (axiomas de cuerpo):

Axiomas de la suma

(1) La suma es conmutativa: + = + para todo , K.(2) La suma es asociativa: (+ ) + = + ( + ) para todo , , K.(3) Existe un neutro para la suma 0K tal que + 0K = para todo K.(4) A cada K le corresponde un inverso aditivo K tal que + = 0K .Axiomas de la multiplicacion

(1) La multiplicacion es conmutativa: = para todo , K.(2) La multiplicacion es asociativa: ( ) = ( ) para todo , , K.(3) Existe un neutro para la multiplicacion 1K tal que 1K = para todo K.(4) A cada K, 6= 0K, le corresponde un inverso multiplicativo K tal que = 1K .Axioma distributivo

(1) La multiplicacion distribuye con respecto a la suma: ( + ) = + para todo , , K.

Normalmente, anotamos que (K,+, ) es un cuerpo.

Ejemplos:

1. Claramente, el conjunto de los numeros reales R con la suma y multiplicacion usuales es un cuerpo.

2. El conjunto de los numeros complejos C = {a+ bi : a, b R, i la unidad imaginaria} con la suma y multipli-cacion de numeros complejos:

(a+ bi) + (c+ di) = (a+ c) + (b+ d)i (a+ bi) (c+ di) = (ac bd) + (ad+ bc)ies un cuerpo. Recordemos que 0C = 0 + 0i, 1C = 1 + 0i, el inverso aditivo de z = a + bi es z = a bi y elinverso multiplicativo de z es z =

a

a2 + b2 ba2 + b2

i.

3. Q con su suma y multiplicacion usuales es cuerpo, pero N no es cuerpo, pues sus elementos no tienen inversosaditivos ni multiplicativos y Z no es cuerpo, pues sus elementos no tienen inversos multiplicativos.

1

4. Para un ejemplo de cuerpo menos conocido, consideremos el conjunto Z5 = {0, 1, 2, 3, 4} y definimos su sumay su multiplicacion a traves de las siguientes tablas:

+ 0 1 2 3 40 0 1 2 3 41 1 2 3 4 02 2 3 4 0 13 3 4 0 1 24 4 0 1 2 3

0 1 2 3 40 0 0 0 0 01 0 1 2 3 42 0 2 4 1 33 0 3 1 4 24 0 4 3 2 1

Para construir las tablas se realizan las operaciones suma y multiplicacion en aritmetica modular, que en estecaso, sera en aritmetica modulo 5 (lo que anotamos mod 5).

Dado un entero cualquiera x siempre podemos escribir x = 5k+r, donde k es un entero fijo y r {0, 1, 2, 3, 4}.Cuando esto ocurra, diremos que x es igual a r modulo 5. Esto se anota

x = r mod 5

Si x es positivo, r es el resto que se obtiene al dividir x por 5, pero si x es negativo, no es tan claro lo querepresenta r, por eso debemos usar la expresion x = 5k + r.

As, 8 = 3 mod 5, pues 8 : 5 = 1 y el resto de la division es 3, es decir, 8 = 5 1 + 3. De igual modo, tenemosque 17 = 2 mod 5, pues 17 = 5 3 + 2. Pero cuanto vale 14 en modulo 5? Bueno, 14 = 5 (3) + 1,entonces 14 = 1 mod 5. De igual modo, 8 = 2 mod 5 y 17 = 3 mod 5 (compruebelo!).Pero, volviendo a nuestro conjunto Z5, definimos la suma y la multiplicacion de los elementos de Z5 usandooperaciones mod 5. Por ejemplo, 1 + 3 = 4 y 4 = 4 mod 5, luego 1 + 3 = 4 en Z5, pero 4 + 1 = 5 y 5 = 0mod 5, luego 4 + 1 = 0 en Z5. De igual modo, 1 3 = 3 y 3 = 3 mod 5, luego 1 3 = 3 en Z5, pero 2 3 = 6 y6 = 1 mod 5, luego 2 3 = 1 en Z5. De esta forma, se construyen completas las tablas.Y por propiedades de la aritmetica modular, tendremos que estas operaciones son conmutativas y asociativas.Los neutros e inversos de los elementos se leen de las tablas.

De la tabla de la suma, vemos que el unico elemento que al sumarlo con todos los deja igual es 0, luego 0Z5 = 0y, por tanto, de cada lnea podemos determinar los inversos aditivos de los elementos: 0+0 = 0, luego 0 = 0.De la segunda lnea tenemos que 1 + 4 = 0, entonces 1 = 4 y 4 = 1. Ademas, 2 + 3 = 0, luego 2 = 3 y3 = 2.De la tabla de la multiplicacion, tenemos que 0 r = 0 para todos los elementos, como buen neutro aditivo.El neutro multiplicativo es 1, pues 1 r = r para todos los posibles valores de r (vea la segunda lnea de latabla). Los inversos multiplicativos se obtienen buscando los productos que resultan 1: 1 1 = 1, luego 11 = 1,2 3 = 1, luego 21 = 3 y 31 = 2 y 4 4 = 1, luego 41 = 4 en Z5.Con esto, hemos probado que (Z5,+, ) es un cuerpo.

Nota : La forma de construir las tablas de operaciones de Z5, puede realizarse para cualquier entero n. As,puede definirse el conjunto Zn = {0, 1, 2, 3, . . . , n 2, n 1} con la suma y la multiplicacion definidas mod n.Pero (Zn,+, ) sera un cuerpo si y solo si n es un numero primo. Es decir, Z2,Z3,Z5,Z7,Z11, etc. son cuerpos yZ4,Z6,Z8,Z9, etc. no son cuerpos.

Como ejercicio, construya las tablas de operaciones de Z4 y compruebe que hay elementos de Z4 que no tieneninversos multiplicativos.

2

1.2. Espacios vectoriales

Definicion: Un conjunto no vaco E es un espacio vectorial (ev) sobre un cuerpo K si tiene definidas dosoperaciones binarias:

: E E E(x, y) 7 x y (suma)

: E K E

(x, ) 7 x (ponderacion)

que cumplen las siguientes propiedades (axiomas de espacio vectorial):

Axiomas de la suma

(1) La suma es conmutativa: x y = y x para todo x, y E.(2) La suma es asociativa: (x y) z = x (y z) para todo x, y, z E.(3) Existe un elemento neutro aditivo 0E tal que x 0E = x para todo x E.(4) A cada x E le corresponde un inverso aditivo x E tal que x x = 0E .Axiomas de la ponderacion

(1) El 1K es neutro con respecto a la ponderacion: 1K x = x para todo x E.(2) La ponderacion es asociativa: () x = ( x) = ( x) , para todo , K y todo x E.

(3) La ponderacion es distributiva con respecto a la suma escalar: (+ ) x = x x , para todox E y todo , K.

(4) La ponderacion es distributiva con respecto a la suma vectorial: (x y) = x y para todo K y todo x, y E.

Llamaremos vectores a los elementos de E y escalares a los elementos del cuerpo K.

Nota : En la mayora de los ejemplos que se consideran, K = R, sin embargo, todos los teoremas y aplicacionesson validas para espacios vectoriales sobre cualquier cuerpo, a menos que explcitamente se diga lo contrario.

Ejemplos:

1. El conjunto E = Rn es un espacio vectorial sobre R con las operaciones de suma y ponderacion de vectoresdefinidas por componentes (que ahora llamaremos operaciones usuales).

2. El conjunto E = Mmn(R) de todas las matrices de mn es un espacio vectorial sobre R con las operacionesde suma y ponderacion de matrices (que definimos por componentes en su momento).

3. El conjunto E = F(R) de todas las funciones reales f : R R es un espacio vectorial sobre R con la sumay la ponderacion usuales de las funciones.

4. El conjunto E = C1(R) de las funciones reales continuas tambien es un espacio vectorial con las operacionesusuales de funciones.

5. El conjunto E = P(R) = P [x] de todos los polinomios con coeficientes reales es un espacio vectorial sobre Rcon la suma y ponderacion de polinomios(que son las operaciones conocidas de funciones reales).

6. El conjunto E = Pn(R) de todos los polinomios cuyo grado es menor o igual a n, con n N fijo, es unespacio vectorial con las operaciones de suma y ponderacion de polinomios.

3

7. El conjunto E = Pn(R) de los polinomios de grado exactamente igual a n, con n N fijo, no es un espaciovectorial sobre R, pues aunque ambas operaciones definidas cumplen sus cuatro axiomas, tenemos que la sumano es cerrada en el conjunto, es decir, si sumamos dos polinomios de grado n, el resultado no es necesariamenteun polinomio de grado n.

Por ejemplo: si tomamos dos elementos de E, p1(x) = xn + 3 y p2(x) = 4 xn, entonces la suma de ellos

p1(x) + p2(x) = 7 no pertenece a E.

8. Comprobaremos que el conjunto E = {(x, y) R2 : x > 0, y > 0}, que representa el primer cuadrante delplano real R2, dotado con las operaciones

(x, y) (u, v) = (xu, yv) (x, y) = (x, y)

es un espacio vectorial sobre R.

Primero, comprobemos que las operaciones estan bien definidas.

Si (a, b) y (c, d) son elementos de E, entonces (a, b) (c, d) = (ac, bd) pertenece a E, pues ambas componentesson positivas (por ser producto de numeros positivos).

Si (a, b) es un elemento de E y R, entonces (a, b) = (a, b) es un elemento de E, pues si la base x deuna expresion exponencial xy es positiva, entonces la expresion tambien es positiva (compruebelo para y > 0,y = 0 e y < 0).

Ahora, veamos que ambas operaciones cumplen sus axiomas correspondientes. Siempre comprobamos los axiomasde la suma primero.

1. (c, d) (a, b) = (ca, db) = (ac, bd) = (a, b) (c, d) = la suma es conmutativa.2. [(a, b) (c, d)] (e, f) = (ac, bd) (e, f) = (ace, bdf) = (a, b) (ce, df) = (a, b) [(c, d) (e, f)] = la

suma es asociativa.

3. Buscaremos el neutro aditivo 0E = (x, y) tal que para todo elemento (a, b) E se tenga:(a, b) (x, y) = (a, b) (ax, by) = (a, b) x = 1; y = 1

As, en este caso, el vector neutro es 0E = (1, 1).

4. Ahora fijamos (a, b) E y buscamos (a, b) tal que

(a, b) (a, b) = 0E (aa, bb) = (1, 1) a = 1a; b =

1

b

Luego, el inverso aditivo de (a, b) es (a1, b1).1. Calculamos 1 (a, b) = (a1, b1) = (a, b). Luego, 1 v = v para todo v E.2. Ahora, para y en R, calculamos:

( (a, b)) = (a , b) = ((a), (b)) = (a , b) = () (a, b) ( (a, b)) = (a, b) = ((a) , (b)) = (a, b) = () (a, b)

Lo que demuestra el segundo axioma de la ponderacion.

3. (+ ) (a, b) = (a+, b+) = (aa , bb) = (a, b) (a , b) = (a, b) (a, b)4. ((a, b) (c, d)) = (ac, bd) = ((ac), (bd)) = (ac, bd) = (a, b) (c, d) = (a, b)

(c, d).Con todos estos calculos hemos probado que (E,,) es un espacio vectorial sobre R.

9. Por ultimo, probaremos que el conjunto E = R2 es un espacio vectorial sobre R con las operaciones

(x, y) (u, v) =(

3

x3 + u3, 3

y3 + v3

) (x, y) = ( 3

x,

3 y)

Notamos, en primer lugar, que ambas operaciones estan bien definidas.

4

(1)

(u, v) (x, y) =(

3

u3 + x3, 3

v3 + y3

)=

(3

u3 + x3, 3

v3 + y3

)= (x, y) (u, v)

(2)

(x, y)((u, v) (s, t)

)= (x, y)

(3

u3 + s3,

3

v3 + t3

)=

(3

x3 + u3 + s3, 3

y3 + v3 + t3

)=

((x, y) (u, v)

) (s, t)

(3) El elemento (0, 0) es el elemento neutro de este espacio, pues para todo (x, y) en E

(x, y) (0, 0) =(

3

x3 + 03, 3

y3 + 03

)=(

3x3,

3v3)= (x, y)

(4) El inverso aditivo de un elemento (x, y) en E es (x,y), pues

(x, y) (x,y) =(

3

x3 + (x)3, 3

y3 + (y)3

)=

(3

x3 x3, 3

y3 y3

)= (0, 0)

(1) 1 (x, y) =

(31x,

31 y)= (x, y)

(2) Por un lado tenemos que ( + ) (x, y) =(

3

+ x, 3

+ y

), mientras que, por otro lado,

(x, y) (x, y) = ( 3x, 3 y) ( 3 x, 3 y)=

(3

+ x, 3

+ y

)= (+ ) (x, y)

(3) Ahora, ((x, y) (u, v)

)=(

3

(x3 + u3), 3

(y3 + v3)

), mientras que

(x, y) (u, v) = ( 3x, 3 y) ( 3u, 3 v)=

(3

(x3 + u3), 3

(y3 + v3)

)=

((x, y) (u, v)

)(4) Por ultimo,

() (x, y) =(

3

x, 3

y

) ( (x, y)) = ( 3 x, 3 y) = ( 3 x, 3 y)

y

( (x, y)) = ( 3x, 3y) = ( 3 x, 3 y)obteniendo que las tres expresiones son iguales.

Por tanto, el conjunto E es espacio vectorial sobre los reales con las operaciones y .

Nota : Los ejemplos 1 a 6 presentan espacios vectoriales sobre R, sin embargo, si se reemplaza R por un cuerpocualquiera K se obtendran ejemplos de espacios vectoriales sobre K. As, M22(Z3) denota el espacio vectorialsobre Z3 de la matrices cuadradas de orden 2 con entradas en Z3 y P3(C) denota el espacio vectorial sobre loscomplejos de los polinomios de grado menor o igual a 3 con coeficientes en C.

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Debido a que todo conjunto que es un espacio vectorial cumple los mismos axiomas basicos con sus operaciones,ciertas propiedades que no son axiomas son comunes a todos los espacios vectoriales.

Teorema. Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Entonces:

i) El vector nulo 0E es unico.

ii) Para cada x E el vector (x) (inverso aditivo de x) es unico.iii) 0 x = 0E para todo x E.iv) 0E = 0E para todo K.v) (1) x = (x) para todo x E.vi) x = 0E = = 0 x = 0E.vii) Existe un unico vector X solucion de la ecuacion uX = v. Este vector se anota X = v u.

Demostracion: Probaremos algunas afirmaciones. El resto queda propuesto.

i) Si suponemos que 01 y 02 son dos neutros de la suma en E. Entonces,

x E 01 + x = x+ 01 = x y 02 + x = x+ 02 = x

y, por tanto, 01 = 01 + 02 = 02. Lo que demuestra la afirmacion.

iii) 0 x = (0 + 0) x = 0 x 0 x/(0 x) = 0E = 0 x.iv) 0E = (0E 0E) = 0E 0E

/( 0E) = 0E = 0E

vi) Supongamos que x = 0E y que 6= 0. Entonces debemos probar que x = 0E .Como 6= 0, entonces existe 1 y podemos ponderar la identidad 0E = x por 1 = 0E = 1 0E =1 ( x) = 1 x = x. Es decir, x = 0E .

1.3. Combinaciones lineales

En lo que sigue, E sera un espacio vectorial sobre un cuerpo K con las operaciones + (suma) y (ponderacion).

Definicion:

1. Una combinacion lineal (cl) de los vectores v1, v2, . . . , vn E es una expresion de la forma

1v1 + 2v2 + + nvn,

donde 1, 2, . . . , n K.2. Se define el conjunto generado por {v1, v2, . . . , vn} E como el conjunto de todas las cl de estos vectores.

Lo denotamos por {v1, v2, . . . , vn} = {1v1 + 2v2 + + nvn : i K}3. El conjunto {v1, v2, . . . , vn} de vectores de E es linealmente independiente (li) si la unica forma de escribir

0E como cl de los vectores vi es usando coeficientes nulos. Es decir, si se tiene la siguiente implicacion:

0E = 1v1 + 2v2 + + nvn = 1 = 2 = = n = 0

4. El conjunto {v1, v2, . . . , vn} de vectores de E es linealmente dependiente (ld) si no es li, es decir, siexisten escalares 1, 2, . . . , n no todos nulos tales que

1v1 + 2v2 + + nvn = 0E

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Definicion general de conjuntos li y ldSea A E (A podra tener infinitos elementos). Entonces:A es li si dado cualquier subconjunto finito A0 de A, se tiene que A0 es li (con la definicion ya dada).

A es ld si no es li, es decir, si existe un subconjunto finito A0 de A tal que A0 es ld (con la definicion ya dada).

Ejemplos:

1. Sean E = M22(R) y A =

{(1 20 1

),

(0 12 3

),

(2 10 0

),

(0 30 2

)}. Para determinar si A es li o ld debemos

estudiar como se escribe 0E =

(0 00 0

)como cl de los elementos de A:

(0 00 0

)=

(1 20 1

)+

(0 12 3

)+

(2 10 0

)+

(0 30 2

)

=

(+ 2 2+ + + 32 + 3 + 2

)Lo que equivale al sistema homogeneo

+ 2 = 02+ + + 3 = 0

2 = 0+ 3 + 2 = 0

Cuya matriz asociada es1 0 2 02 1 1 30 2 0 01 3 0 2

F2 2F1F3 ( 12)F4 F1

1 0 2 00 1 3 30 1 0 00 3 2 2

F4 73F3

1 0 2 00 1 3 30 1 0 00 23 2 2

F2 F3F4 23F2

1 0 2 00 0 3 30 1 0 00 0 0 0

de donde es claro que el sistema tiene infinitas soluciones, lo que significa que 0E puede escribirse de infinitasformas como cl de los elementos de A. Entonces A es ld.

2. Si E = P [x] y A = {xn : n N {0}} = {1, x, x2, . . . , xm, . . .} podemos probar que A es li, pues si tomamosA0 = {xn1 , xn2 , . . . , xnk}

(un subconjunto finito cualquiera de A) tendremos que

0E = 1xn1 + 2x

n2 + + kxnk

implica, de manera directa, que 1 = 2 = = k = 0, es decir, A0 es li Luego, A es li (En los polinomioshay un conjunto con infinitos vectores li!!)

3. Si E = R3 y A = {(n, 0, 0) : n N}, entonces se tendra que A es un conjunto ld, pues si tomamos

A0 = {(1, 0, 0), (2, 0, 0)}

tendremos que0E = (0, 0, 0) = 2(1, 0, 0) + (1)(2, 0, 0)

y A0 es ld, lo que implica que A es ld.

7

4. Si E = C1 y A = {ex, e2x, e3x}, para decidir si A es li o ld, estudiaremos como puede escribirse 0E , que es lafuncion O(x) = 0 para todo x R, como cl de los elementos de A. Entonces debemos estudiar la ecuacionfuncional

O(x) = ex + e2x + e3x

La ecuacion anterior es valida para todo x R, luego, debe ser entendida como un sistema de infinitasecuaciones cuyas variables son , y , una ecuacion para cada valor de x. Si tomamos un subsistema conlas ecuaciones que se obtienen al evaluar en x = 0, x = 1, en x = 2, que es:

+ + = 0e+ e2 + e3 = 0e2+ e4 + e6 = 0

cuya matriz asociada es 1 1 1e e2 e3e2 e4 e6

1 1 10 e(e 1) e(e2 1)0 e2(e2 1) e2(e4 1)

1 1 10 e(e 1) e(e2 1)0 0 e2(e2 1)(e+ 1)(e 2)

de donde es claro que = = = 0, por lo que A es li

En el mismo espacio vectorial, consideramos el conjunto B = {cos2(x), sen2(x), 1}, donde 1 denota la funcion1(x) = 1 para todo x R, que es claramente un conjunto ld, por la conocida identidad trigonometrica:

cos2(x) + sen2(x) = 1

que implica queO(x) = 1 cos2(x) + 1 sen2(x) + (1) 1(x)

2. Subespacios Vectoriales

2.1. Definicion y caracterizaciones de los subespacios

Definicion: Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Un subespacio vectorial (sev) de E es un subcon-junto no vaco S de E que es un espacio vectorial por s mismo, con las operaciones suma y ponderacion que sonheredadas de E (se consideran las operaciones restringidas a S).

En teora, con esta definicion, para determinar si un subconjunto no vaco S de E es un subespacio vectorial, deberacomprobarse que las operaciones definidas en S cumplen con todos los axiomas de espacios vectoriales. Pero es claroque la mayora de estas propiedades se cumpliran trivialmente, simplemente por ser S E. As, tenemos el siguienteresultado:

Teorema. Sea S un subconjunto no vaco de E. S es un sev de E si y solo si se cumplen las dos implicacionessiguientes:

i) Si x, y S, entonces x+ y S.ii) Si x S y K, entonces x S.

Demostracion: Supongamos que S es un sev de E. Entonces, S es un ev sobre K con las operaciones de Erestringidas a S. Luego, ambas operaciones son cerradas en S, lo que significa que al tomar dos elementos x, y S,el resultado de la suma, x + y, esta en S. De manera analoga, si x S y K, entonces el resultado de laponderacion, x, pertenece a S.

Para la otra implicacion, supongamos que S es un subconjunto no vaco de E que cumple las condiciones (i) y (ii),es decir, las operaciones de E restringidas a S son cerradas y estan bien definidas en S. Debemos probar todos losaxiomas de espacio vectorial.

Como la suma es conmutativa y asociativa para todos los elementos de E, en particular, la suma es conmutativa yasociativa para todos los elementos de S. Ahora, como S 6= , existe al menos un x S, entonces 0 x S por la

8

condicion (ii), pero 0 x = 0E S y, claramente, el neutro de la suma para todos los elementos de E tambien esneutro para los elementos de S (s S 0E + s = s). De forma analoga, tenemos que para cada x S, su inversoaditivo x = (1) x S, de nuevo por (ii). Y probamos que la suma cumple todos sus axiomas.Los axiomas de la ponderacion se cumpliran automaticamente, pues como las igualdades se cumplen para todos loselementos de E, en particular se cumplen para los elementos de S. No hay nada que probar. Entonces S es espaciovectorial sobre K.

Nota 1: De esta manera, para comprobar que un conjunto S es sev de E, debemos comprobar cuatro propiedades:

1. S E.2. S 6= .3. (x S y S) = x+ y S.4. (x S K) = x S.

Nota 2: En la demostracion del teorema queda claro que todo subespacio contiene al neutro del espacio 0E , luegopara probar que S 6= basta probar que 0E S, si no es as, entonces el conjunto S no es sev de E.

Ejemplos:

1. En el espacio vectorial E = M23(R), tenemos que

S1 =

{(a b c0 0 0

): a+ b + c = 1

}

no es un sev de E, pues 0E =

(0 0 00 0 0

)/ S1.

Ahora, S2 =

{(3x y 00 0 z

): x, y, z R

}si es un sev de E, pues

i) S2 E, pues S2 solo contiene matrices de 2 3.ii) 0E =

(0 0 00 0 0

) S2, tomando x = y = z = 0. Entonces S2 6= .

iii) Si X =

(3a b 00 0 c

)e X =

(3a b 00 0 c

)son elementos de S2, entonces

X +X =

(3(a+ a) (b+ b) 0

0 0 c+ c

)tambien pertenece a S2, pues tomamos x = a+ a

, y = b+ b, z = c+ c.

iv) Por ultimo, si X =

(3a b 00 0 c

) S2 y R, entonces

X =

(3a b 00 0 c

)tambien pertenece a S2 tomando x = a, y = b, z = c.

2. En el espacio vectorial E = P3(R) de los polinomios de grado menor o igual a 3, consideremos los conjuntos:S1 = {p(x) E : p(0) = p(1) = p(2) = 0}S2 = {p(x) E : p(1) = p(1) = p(1) = 0}

S3 = {a+ ax x2 + 2ax3 : a R}Iremos comprobando simultaneamente las cuatro propiedades que deben cumplir estos conjuntos para sersubespacios vectoriales:

9

i) S1 E, S2 E y S3 E, pues todos ellos solo contienen polinomios de grado menor o igual a 3.ii) Consideremos 0E = O(x) = 0 + 0x+ 0x

2 + 0x3. Como O(0) = O(1) = O(2) = 0, tenemos que 0E S1.Ademas, O(1) = O(1) = O(1) = 0, luego 0E S2.Pero O(x) / S3, pues el coeficiente de x2 no es igual a 1. De esta manera, ya sabemos que S3 no es sevde E.

iii) Consideremos dos polinomios de E: p1(x) y p2(x).

Si suponemos que p1(x), p2(x) S1, entonces p1(0) = p1(1) = p1(2) = 0 y p2(0) = p2(1) = p2(2) = 0.Luego, la suma de estos elementos (p1 + p2)(x) cumple que

(p1 + p2)(0) = p1(0) + p2(0) = 0 + 0 = 0,

(p1 + p2)(1) = p1(1) + p2(1) = 0 + 0 = 0,

(p1 + p2)(2) = p1(2) + p2(2) = 0 + 0 = 0

Por tanto, (p1 + p2)(x) S1.Si, ahora, suponemos que p1(x), p2(x) S2, entonces p1(0) = p1(0) = p1(0) = 0 y p2(0) = p2(0) =p2(0) = 0. Luego, la suma de estos elementos (p1 + p2)(x) cumple que

(p1 + p2)(0) = p1(0) + p2(0) = 0 + 0 = 0,

(p1 + p2)(0) = p1(0) + p

2(0) = 0 + 0 = 0

(p1 + p2)(0) = p1(0) + p

2(0) = 0 + 0 = 0

Por tanto, (p1 + p2)(x) S2.iv) Ahora consideramos un polinomio p(x) E y R.

Si suponemos que p(x) S1, entonces p(0) = p(1) = p(2) = 0. Luego, el polinomio ponderado (p)(x)cumple que

(p)(0) = p(0) = 0 = 0(p)(1) = p(1) = 0 = 0(p)(2) = p(2) = 0 = 0

Por tanto, (p)(x) S1.Si suponemos que p(x) S2, entonces p(0) = p(0) = p(0) = 0. Luego, el polinomio ponderado (p)(x)cumple que

(p)(0) = p(0) = 0 = 0(p)(0) = p(0) = 0 = 0(p)(0) = p(0) = 0 = 0

Por tanto, (p)(x) S2.En conclusion, S1 y S2 son subespacios de E, pero S3 no lo es.

3. Dado cualquier espacio vectorial E, tendremos que {0E} y el mismo E son dos sev de E.

La siguiente pregunta razonable sera: dado cualquier espacio vectorial E, como podemos determinar todos sussubespacios vectoriales?Para responder esta pregunta, tenemos el siguiente teorema:

Teorema. S es un sev de E si y solo si existe un subconjunto A de E, A 6= , tal que S = A.

Demostracion: Si S = A, con A E, A 6= , entonces es claro que S E (los vectores de S son cl de vectoresen E, por tanto, estan en E), que S 6= (0E es cl de cualquier grupo de vectores de E, en particular, 0E S) y six, y S, entonces ambos vectores son cl de elementos de A, luego, la suma de ellos x+ y tambien es cl de vectoresde A y, por tanto, pertenece a S. De forma analoga, se tiene que si x S, entonces x S para cualquier escalar. As, tenemos que S es sev de E.

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Por otro lado, si suponemos que S es un sev de E, entonces podemos asumir que A = S, pues S E y S 6= , pero,ademas, afirmamos que S = S. Para probarlo, notemos que S S, pues todo elemento de S es cl de s mismoy, por tanto, esta en S. La otra contencion es clara, pues toda cl de elementos en S sera un elemento de S, al serS un subespacio vectorial. Por tanto, S = S.

As, tenemos que todos los subespacios de un espacio vectorial son conjuntos generados por ciertos vectores delespacio.

Ejemplos:

1. Ahora podemos asegurar que los unicos subespacios vectoriales de E = R3 son los conjuntos generados.Podemos listar algunos que ya conocemos:

S = {0E} = {0E}

S = {e1, e2, e3} = R3

Si ~x 6= 0E , entoncesS =

{~x}es la recta que pasa por el origen con direccion ~x. Si ~x, ~y son dos vectores no paralelos, entonces

S ={~x, ~y}

es el plano que pasa por el origen con vectores directores ~x e ~y.

Una vez que desarrollemos el concepto de base, podremos probar que todos los subespacios de R3 son dealguno de los tipos descritos arriba.

2. Consideremos el subconjunto S = {p(x) E : p(0) = p(1) = p(2) = 0} del espacio vectorial E = P3(R).En un ejemplo anterior ya probamos que S es sev de E, por tanto, sabemos que S puede escribirse como unconjunto generado. Determinaremos un conjunto de generadores li de S:

p(x) = a+ bx+ cx2 + dx3 S

p(0) = a = 0

p(1) = a+ b+ c+ d = 0

p(2) = a+ 2b+ 4c+ 8d = 0

a = 0

b+ c+ d = 0

b+ 2c+ 4d = 0

a = 0

b = 2d

c = 3d

p(x) = 2dx 3dx2 + dx3 = d(2x 3x2 + x3)Luego,

S ={

2x 3x2 + x3}y el conjunto A =

{2x 3x2 + x3} es li. De hecho, podemos decir que S es una recta en el espacio de los

polinomios de grado menor o igual a 3.

Nota : En esta seccion hemos desarrollado dos metodos para reconocer que subconjuntos de E son subespacios:comprobando que el subconjunto es no vaco y cerrado bajo suma y ponderacion, o determinando un conjunto degeneradores para expresar al conjunto como un conjunto generado.

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2.2. Operaciones con subespacios vectoriales

Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo K y sean S1 y S2 dos sev de E. Vamos a estudiar como combinarestos dos subespacios para obtener nuevos subespacios de E.

Como estamos tratando con conjuntos, es natural que combinemos estos subespacios usando las operaciones deconjunto. Pero debemos estudiar que sucede con la calidad de subespacio de los conjuntos resultantes. Es decir, nospreguntamos son sev de E los conjuntos S1 S2 y S1 S2?

La respuesta, en el caso de la interseccion, es afirmativa.

Teorema. Si S1 y S2 son dos sev de E, entonces S1 S2 tambien es un sev de E.

Demostracion: Claramente, la interseccion es un subconjunto de E, pues S1S2 S1 E. Ademas, S1S2 6= ,pues 0E pertenece a todos los subespacios vectoriales de E. En particular, 0E S1 y 0E S2, por tanto, 0E S1S2.Ahora, si x, y S1 S2, entonces x, y S1 y x, y S2. Como cada conjunto es un subespacio, tenemos quex+ y S1 y x+ y S2. Por tanto, x+ y S1 S2.Un argumento analogo permite demostrar que si x S1 S2, entonces x S1 S2 para todo escalar .

Que pasa en el caso de S1 S2?

Podemos demostrar de forma directa que S1 S2 E, que S1 S2 6= y que( K x S1 S2) = x S1 S2.

Pero la suma de dos elementos de la union S1 S2 no pertenece necesariamente a este conjunto.De hecho, si en E = R2 consideramos los subespacios S1 =

{(1, 0)} y S2 = {(0, 1)}, es decir, S1 es el eje X y S2es el eje Y . La union S1 S2 consiste de ambos ejes coordenados del plano real. Pero si tomamos s1 = (1, 0) S1y s2 = (0, 1) S2, tendremos que s1 + s2 = (1, 1) / S1 S2.

Entonces, en general,

S1 S2 no es un subespacio vectorial de E.

Nota : Se tiene que S1 S2 es un sev de E si y solo si S1 S2 o S2 S1. Demuestrelo!

Podemos preguntarnos ahora por algun subespacio que contenga a S1S2. Para responder a esto, se hace la siguientedefinicion.

Definicion: Sean S1 y S2 dos sev de E. Se define el conjunto suma de estos subespacios por

S1 + S2 = {x E : x = s1 + s2 con s1 S1 y s2 S2}

Teorema. Si S1 y S2 son sev de E, entonces S1 + S2 es un sev de E.

Demostracion: Probaremos que S1 + S2 es sev de E, viendo que es un subconjunto no vaco de E que es cerradobajo suma y ponderacion.

i) S1 + S2 E, por su definicion. Consideramos solo vectores en E.ii) S1 + S2 6= , pues como 0E S1, 0E S2 y 0E = 0E + 0E, tendremos que 0E S1 + S2.iii) Sean x, y S1 + S2. Entonces existen s1, s1 S1 y s2, s2 S2 tales que x = s1 + s2 e y = s1 + s2. Entonces

x+ y = (s1 + s2) + (s1 + s

2) = s1 + s2 + s

1 + s

2 = (s1 + s

1)

S1

+ (s2 + s2)

S2

Lo que significa que x+ y S1 + S2.

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iv) Sean K y x = s1 + s2 S1 + S2 (claramente s1 S1 y s2 S2). Entonces

x = (s1 + s2) = s1S1

+ s2S2

y x S1 + S2.Con esto hemos probado que S1 + S2 es subespacio de E.

El siguiente resultado nos indica como calcular en la practica el subespacio suma cuando conocemos los gener-adores de los subespacios S1 y S2.

Teorema. Si S1 = A y S2 = B son dos sev de E, entonces S1 + S2 = A B.

Demostracion: Para probar que S1 +S2 AB, notemos que si x S1 +S2, entonces x = s1 + s2 con s1 S1y s2 S2, es decir, x es la suma de un vector que es cl de elementos de A y de un vector que es cl de los elementosde B. Por tanto, x es cl de elementos de A y de B, lo que implica que x A B.La otra contencion se obtiene notando que un vector x A B sera una cl de vectores de A B. Podemos,entonces, separar esta suma en dos: la primera, conteniendo los terminos que involucran vectores de A y la segunda,con los terminos que involucran vectores de B. De esta manera, la primera parte de la suma sera un vector en S1y la segunda parte de la suma sera un vector de S2, por lo que x S1 + S2.

Ejemplo: Sean S1 = {a+ bx+ cx2 : a+ b+ c = 0} y S2 ={1, x2 x} dos sev de E = P2(R). Encontremos los

subespacios S1 + S2 y S1 S2.Por el teorema anterior, para encontrar S1 + S2 nos conviene tener escritos ambos subespacios como conjuntosgenerados. Entonces, partimos por encontrar un conjunto de vectores generadores de S1:

p(x) = a+ bx+ cx2 S1 a+ b+ c = 0 a = b c p(x) = (b c) + bx+ cx2 p(x) = b(x 1) + c(x2 1)

De esta manera, tenemos que todos los elementos de S1 se pueden escribir como cl de los polinomios x 1 y x2 1,es decir,

S1 ={x 1, x2 1}

Luego, usando el teorema anterior, tenemos que

S1 + S2 ={x 1, x2 1}

A

+{1, x2 x}

B

={x 1, x2 1, 1, x2 x}

AB

Para encontrar la interseccion de ambos subespacios, obtendremos un conjunto de vectores generadores, usando elmetodo usual (caracterizar los elementos del subespacio):

p(x) S1 S2 p(x) S1 y p(x) S2

{p(x) = (x 1) + (x2 1) (ya que p(x) S1)p(x) = (1) + (x2 x) (ya que p(x) S2)

Igualando ambas expresiones que tenemos para p(x), tendremos que

(x 1) + (x2 1) = (1) + (x2 x) ( ) + (+ )x+ ( )x2 = 0

lo que se cumplira si y solo si , , y cumplen el siguiente sistema homogeneo: = 0

+ = 0 = 0

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que tiene infinitas soluciones, pues tenemos que es libre. Las soluciones del sistema son

=0

Por ultimo, recordemos que estamos caracterizando los polinomios p(x) que estan en S1 S2. Entonces, reem-plazamos los valores obtenidos de , , y en alguna de las expresiones de p(x) que tenemos. As, tendremosque

p(x) = (x 1) + (x2 1) = (x 1) + (x2 1) = (x2 1 x+ 1) = (x2 x)(si reemplazamos en p(x) = (1) + (x2 x), obtendremos el mismo resultado). Luego, todos los polinomios de lainterseccion son cl del polinomio x2 x, es decir,

S1 S2 ={x2 x}.

Definicion: Un espacio vectorial E sobre K es la suma directa de dos de sus subespacios S1 y S2 si se cumplesimultaneamente que

i) E = S1 + S2.

ii) S1 S2 = {0E}.Esto se anota,

E = S1 S2.

Nota : En el ejemplo anterior, tenamos que S1S2 6= {0E}, por tanto, ya sabemos que P2(R) no es suma directade estos subespacios. Pero, se tiene que P2(R) = S1 + S2?Como decidimos si S1 + S2 es todo el espacio vectorial? Como S1 + S2 es sev de E, entonces, S1 + S2 E, portanto, para determinar la igualdad basta ver si E S1 + S2.Sea p(x) = a + bx+ cx2 (un elemento cualquiera de E), si probamos que p(x) S1 + S2 para todo valor de a, b yc, tenemos la igualdad, si p(x) / S1 + S2 para algunos valores de a, b y c, entonces no tenemos la igualdad.

p(x) = a+ bx+ cx2 S1 + S2 p(x) {x 1, x2 1, 1, x2 x}

Existen , , , R tales quep(x) = (x 1) + (x2 1) + (1) + (x2 x)

Existen , , , R tales quea+ bx+ cx2 = ( + ) + ( )x+ ( + )x2

Esto se traduce en el sistema + = a

= b + = c

Y debemos estudiar cuando este sistema tiene solucion. Analizamos la matriz ampliada asociada: 1 1 1 0 a1 0 0 1 b0 1 0 1 c

F2 + F1 1 1 1 0 a0 1 1 1 b+ a

0 1 0 1 c

F3 + F2

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1 1 1 0 a0 1 1 1 b+ a

0 0 1 0 c+ b+ a

Entonces el sistema tiene solucion, sin importar los valores de a, b y c. Lo que significa que p(x) = a+bx+cx2 S1+S2siempre. Luego,

P2(R) = S1 + S23. Bases y dimension

3.1. Bases

Definicion: Sea E un espacio vectorial sobre K y sea S un sev de E. Un conjunto B E es una base de S si ysolo si B es un conjunto generador li de S, es decir, si se tiene simultaneamente que

i) B es un conjunto li

ii) S = B

Ejemplos:

1. En E = M22(R), consideramos el subespacio

S =

{(1 00 0

),

(0 10 0

),

(1 10 0

)}

De manera obvia, A =

{(1 00 0

),

(0 10 0

),

(1 10 0

)}es un conjunto generador de S, pero tambien es claro

que no es un conjunto li, pues (1 00 0

)+

(0 10 0

)=

(1 10 0

)Para obtener una base de S eliminamos de A todos los vectores que son cl de los demas. En este caso, tenemosque

B =

{(1 00 0

),

(0 10 0

)}es un subconjunto li de A, pero como eliminamos un vector que esta generado por los otros dos, tendremosque B = A = S. As, B es un conjunto generador li de S, es decir, B es una base de S.Solo para dejar clara la importancia de eliminar solamente los vectores que son cl de otros, consideremos elconjunto

C =

{(1 00 0

)}que es li, pero el conjunto generado por C no es S, ya que

(0 10 0

)no es cl de

(1 00 0

).

2. En E = R3, consideremos el subespacio

S = {(x, y, z) : x+ 3y z = 0}Para obtener una base de S, partimos buscando un conjunto generador:

(x, y, z) S x+ 3y z = 0 z = x+ 3y (x, y, x+ 3y) = x(1, 0, 1) + y(0, 1, 3)

Luego,S =

{(1, 0, 1), (0, 1, 3)}y tenemos que A = {(1, 0, 1), (0, 1, 3)} es un conjunto generador de S. Ademas, es claro que A es un conjuntoli, por tanto, A es una base de S.

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Nota : En cualquier espacio vectorial E, tenemos que S0 = {0E} es sev de E. Ademas, tenemos que S0 = {0E},pero el conjunto {0E} no es li, por tanto, S0 no tiene base. Este es el unico subespacio vectorial que no tiene base,es decir,

Si S 6= {0E} es un sev de E, entonces S tiene al menos una base.

3.2. Dimension

Una vez tratado el concepto de base, nos interesa introducir el concepto de dimension. Para esto, se debenestablecer algunos resultados.

Teorema. Sea E un ev sobre K y S un sev de E que es generado por n vectores. Entonces todo conjunto li devectores de S tiene a lo mas n vectores.

Demostracion: Sea A = {u1, . . . , un} un conjunto generador de S con n vectores y sea B = {b1, . . . , bm} unconjunto li de vectores en S. Queremos demostrar que m n.Como B es li, entonces b1 6= 0E, . . . , bm 6= 0E y como S = A,

0E 6= b1 = 1u1 + 2u2 + + nuny alguno de los coeficientes debe ser distinto de cero (si no, la cl dara 0E).Sin perder generalidad, vamos a suponer que 1 6= 0 (si no es ese, les cambiamos el nombre a los vectores de A).Entonces,

u1 =1

1b1 2

1u2 n

1un

y tendremos que {b1, u2, u3, . . . , un} = {b1, u1, u2, u3, . . . , un} = {u1, u2, u3, . . . , un} = Sy escribimos de ahora en adelante

S ={b1, u2, u3, . . . , un}

Ahora, b2 S, luego0E 6= b2 = 1b1 + 2u2 + 2u3 + + nun

Como b1 y b2 son li, entonces alguno de los i 6= 0 (si todos fueran nulos, se tendra que b1 sera un ponderado deb2) y, de nuevo, sin perder generalidad, asumimos que 2 6= 0. Entonces

u2 =1

2b2 1

2b1 3

2u3 n

2un

Luego {b1, b2, u3, . . . , un} = {b1, b2, u2, u3, . . . , un} = {b1, u2, u3, . . . , un} = SRepitiendo el proceso, vamos reemplazando cada uno de los ui por un bi en el conjunto generador de S.

Si suponemos que m > n, entonces los bi nos alcanzan (y nos sobran) para reemplazar todos los ui, es decir,tendremos que

S ={b1, b2, b3, . . . , bn}

y tendremos que bm 6= b1, b2, . . . , bn y que bm S, luego bm es cl de b1, b2, . . . , bn, lo que contradice el hecho de queB es un conjunto liEs decir, m no puede ser estrictamente mayor que n. Luego, m n.

Ahora probaremos que todas las bases de un espacio vectorial tienen el mismo numero de elementos.

Teorema. Sea E un ev sobre K y S un sev de E con una base de n vectores. Entonces todas las bases de S tienenn vectores.

Demostracion: Sea A = {u1, u2, . . . , un} la base con n vectores de S y sea B = {b1, b2, . . . , bm} otra base de S.Debemos demostrar que m = n.Como S es generado por A y A tiene n vectores, entonces, por el teorema anterior, tenemos que B al ser li puedetener a lo mas n vectores. Entonces m n.Pero S = B, por tanto, S tambien es generado por m vectores y usando el teorema anterior, tendremos que A nopuede tener mas de m vectores li Luego, n m.Con esto, hemos probado que n = m.

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Ahora podemos definir la dimension de un espacio vectorial.

Definicion: Sea S un sev de E. Se define la dimension de S como el numero de vectores que tiene cualquier basede S.As, si S tiene bases finitas con n elementos, anotamos que

dim(S) = n

si S = {0E}, entonces se define su dimension como cero (no tiene bases), entonces

dim({0E}) = 0

y si S tiene bases con infinitos elementos, entonces

dim(S) =.

Ejemplos:

1. dim(Rn) = n, pues el conjunto de los vectores canonicos B = {e1, e2, . . . , en} es una base de Rn.2. dim(M22(R)) = 4, pues {(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}es una base de M22(R). En general, tendremos que

dim(Mmn(R)) = m n

3. dim(Pn(R)) = n+ 1, pues {1, x, x2, . . . , xn} es una base de Pn(R).4. dim(P [x]) =, pues {1, x, x2, . . . , xk, . . .} = {xn : n N {0}} es una base de P [x].5. dim(M22(C)) = 8, pues para poder generar una matriz de la forma

(a+ bi c+ die+ fi g + hi

)necesitamos el conjunto

{(1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

),

(i 00 0

),

(0 i0 0

),

(0 0i 0

),

(0 00 i

)}que es una base de M22(C).Notemos que si consideramos el conjunto M22(C) con un espacio vectorial sobre el cuerpo de los complejos,entonces nuestros ponderadores son numeros complejos. Luego, para poder generar una matriz de la forma(a+ bi c+ die+ fi g + hi

)solo necesitamos los vectores del conjunto

{(1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)},

pues (a+ bi c+ die+ fi g + hi

)= (a+ bi)

(1 00 0

)+ (c+ di)

(0 10 0

)+ (e+ fi)

(0 01 0

)+ (g + hi)

(0 00 1

)Entonces cuando el cuerpo del espacio vectorial es C tendremos que dim(M22(C)) = 4 y cuando el cuerpodel espacio vectorial es R tendremos que dim(M22(C)) = 8.

Conocer la dimension de un subespacio nos entrega un dato extra para poder determinar bases, como lo muestrael siguiente resultado.

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Teorema. Sea E un ev sobre K y sea S un sev de E con dim(S) = n. Si A es un subconjunto de S con n vectores,entonces:

i) A es base de S si y solo si A es li

ii) A es base de S si y solo si S = A.

Demostracion: Si A es base de S, claramente A es li y S = A. Luego, para ambas afirmaciones basta demostrarla otra implicacion.

i) Supongamos que A es li. Debemos probar que S = A (lo que significa que A es base de S).Pero en realidad, basta probar que S A (la otra inclusion es obvia).Para esto, sea s S. Si s / A, entonces el conjunto A {s} es li y tiene n+ 1 vectores. Pero dim(S) = n,as que no hay conjuntos li con mas de n vectores. Lo que nos lleva a una contradiccion.

Luego, s A y S A.ii) Supongamos que S = A. Ahora, debemos probar que A es li.

De nuevo lo haremos por contradiccion.

Supongamos que A es ld. Entonces existe al menos un vector en A que es cl de los demas vectores de A,llamemos a a ese vector. Luego,

A {a} = A = SPero, entonces S es generado por un conjunto de n 1 vectores y los conjuntos li de S tienen a lo masn 1 vectores. Pero dim(S) = n, as que las bases de S tienen n vectores li. De nuevo hemos llegado a unacontradiccion.

Por tanto, A es li.

Ejemplo: Sea E un espacio vectorial con base A = {v1, v2, v3, v4, v5}. Demostraremos que

B = {v1 + v2, v2 + v3, v3 + v4, v4 + v5, v5 + v1}

tambien es una base de E.Notemos que E es un espacio vectorial de dimension 5, pues su base A tiene 5 elementos (as que todas las bases

de E tienen 5 elementos).Como B es un conjunto con 5 vectores de E para probar que es una base basta demostrar que B es li o bien

que B = E (usamos el ultimo teorema).Probaremos que B es li. Para esto, escribimos 0E como una cl de los vectores de B:

1(v1 + v2) + 2(v2 + v3) + 3(v3 + v4) + 4(v4 + v5) + 5(v5 + v1) = 0E

= (1 + 5)v1 + (1 + 2)v2 + (2 + 3)v3 + (3 + 4)v4 + (4 + 5)v5 = 0EPero los vectores v1, v2, v3, v4, v5 son li (pues A es base de E)

=

1 + 5 = 01 + 2 = 02 + 3 = 03 + 4 = 04 + 5 = 0

= 1 = 5 = 4 = 3 = 2 = 1 = 1 = 0

Luego, todos los i son cero y los vectores de B son li

Entonces, como dim(E) = 5 y B contiene 5 vectores li de E, tenemos que B es una base de E.

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3.3. Completacion de bases

En esta seccion estudiaremos ciertos elementos tecnicos que nos permiten encontrar bases con ciertas caractersticasprestablecidas. Veremos como extender un conjunto de vectores li a una base, como determinar subespacios quesumen directamente todo el espacio y probaremos el Teorema de la dimension para subespacios.

Teorema. Sea E un ev sobre K y sea S un sev de E con dimension finita. Entonces todo conjunto li de vectoresde S esta contenido en una base de S.

Demostracion: Sea n = dim(S). Entonces todos los conjuntos li en S tienen a lo mas n vectores.Sea A = {u1, u2, . . . , uk} un conjunto li de vectores en S. Entonces , sabemos que k n.Si k = n, entonces A es una base de S (conjunto li con n = dim(S) vectores). Entonces la base de S que contiene aA es el mismo conjunto A.Si k < n, entonces A no es base de S y, por tanto, lo que falla es que A no genera a S. Es decir, existe un vectorv1 en S que no esta en A y definimos el conjunto

A1 = A {v1} = {u1, u2, . . . , uk, v1}

que es liAplicamos el mismo procedimiento y podremos construir conjuntos

A A1 A2 Anktodos li tales que Ai = Ai1 {ui} con ui S Ai1.Entonces el conjunto Ank = {u1, . . . , uk, v1, . . . , vnk} es li y tiene n vectores, lo que implica que Ank es unabase de S que contiene a A.Nota: En la practica, para extender un conjunto li a una base se usa el siguiente procedimiento:

1. Chequear que el conjunto A es li (si A es ld no se aplica el teorema).

2. Obtener una base B cualquiera de S (si es posible, usar la base canonica).

3. Se considera el conjuntoC = A B,

que es ld.

4. Eliminar de C los vectores de B que son cl de los otros vectores de C.

Ejemplo: En E = P4(R), consideramos el subespacio

S = {p(x) E : p(0) = p(0) = 0}

y el conjunto A ={x3 + 7, 2x4

}.

Como (x3+7) = 3x2, (x3+7) = 6x y evaluando en cero dan cero, tendremos que x3+7 S y como (2x4) = 8x3,(2x4) = 24x2 y tambien se obtiene cero al evaluar en cero, tendremos que 2x4 S, es decir, A S.El conjunto A es li, pues

(x3 + 7) + (2x4) = 0 = 2x4 + x3 + 7 = 0 = = = 0,

por tanto, podemos extender el conjunto A a una base de S.Para esto, debemos encontrar una base BS de S. Buscamos los generadores de S:

p(x) = a+ bx+ cx2 + dx3 + ex4 S p(0) = 0 p(0) = 0

{b+ 2c 0 + 3d 0 + 4e 0 = 0

2c+ 6d 0 + 12e 0 = 0 b = 0 c = 0 p(x) = a+ dx3 + ex4

19

As,S =

{1, x3, x4}y claramente el conjunto BS = {1, x3, x4} es una base de S al ser li.Entonces consideramos el conjunto

C = A BS = {x3 + 7, 2x4, 1, x3, x4}

Por ultimo, eliminamos de C los vectores que son cl del resto. En este caso, podemos eliminar x3 y x4, ya quex3 = 1 (x3 + 7) + (7) 1 y x4 = 12 (2x4).As, B = {x3 + 7, 2x4, 1} es una base de S que contiene al conjunto original A.

Nota: Observemos que

S ={x3 + 7, 2x4, 1} = {x3 + 7, 2x4}+ {1} = A+ B A

Ademas,A B A = {0E},

pues los elementos de A y de B A son liDe esta manera, tendremos que S es suma directa del subespacio generado por A y del subespacio generado por loselementos de B que no estan en A.En general, supongamos que se tiene un sev S1 de E, con base A. Para encontrar otro subespacio S2 tal que

E = S1 S2,

basta encontrar una base B de E que contiene a A y tomar S2 como el conjunto generado por B A.

Ahora enunciaremos y probaremos el Teorema de la dimension para subespacios.

Teorema. Sea E un ev sobre K y sean S1 y S2 dos subespacios de E, ambos con dimension finita. Entonces

dim(S1 + S2) = dim(S1) + dim(S2) dim(S1 S2).

Demostracion: Sea {u1, u2, . . . , uk} una base de S1 S2 (es decir, ya sabemos que dim(S1 S2) = k).Como S1 S2 esta contenido tanto en S1 como en S2, podemos completar este conjunto li a bases de S1 y de S2,obteniendo:una base de S1: {u1, u2, . . . , uk, v1, v2, . . . , vm}, lo que implica que dim(S1) = k +m

y

una base de S2: {u1, u2, . . . , uk, w1, w2, . . . , wn}, lo que implica que dim(S2) = k + n.Afirmamos que

B = {u1, u2, . . . , uk, v1, v2, . . . , vm, w1, w2, . . . , wn}es una base de S1 + S2.Probemoslo:

i) Probemos que B es li. Si consideramos una cl de los vectores de B igualada a 0E :

1u1 + + kuk + 1v1 + + mvm + 1w1 + + nwn = 0E ,

debemos probar que todos los coeficientes son cero. Pero esta cl equivale a

1u1 + + kuk + 1v1 + + mvm = 1w1 nwn (1)

20

Luego, 1w1 nwn S1 S2 (esta en S1 por la igualdad (1) y esta en S2 por ser cl de vectores desu base). Entonces

1w1 nwn = 1u1 + 2u2 + + kuklo que implica que

1u1 + 2u2 + + kuk + 1w1 + + nwn = 0E.Como estos vectores son li, tendremos que

1 = 2 = = k = 1 = 2 = = n = 0.Reemplazando estos valores en (1), tendremos que

1u1 + + kuk + 1v1 + + mvm = 0Ey como estos vectores tambien son li, entonces

1 = 2 = = k = 1 = 2 = = m = 0.Y hemos probado que todos los coeficientes de la cl son cero, por tanto, B es li.

ii) Probemos, ahora que B genera S1 + S2. Pero esto es claro, pues

B = {u1, . . . , uk, v1, . . . , vm}+ {u1, . . . , uk, w1, . . . , wn} = S1 + S2.De esta manera, tenemos que dim(S1 + S2) = k +m+ n. Y tenemos que

dim(S1 + S2) = k +m+ n = (k +m) + (k + n) k = dim(S1) + dim(S2) dim(S1 S2)

Corolario. Sean S1 y S2 dos sev de E. Si E = S1 S2, entonces dim(E) = dim(S1) + dim(S2).

Demostracion: Si E = S1 S2, entonces E = S1 + S2 y S1 S2 = {0E}. Luegodim(E) = dim(S1 + S2) y dim(S1 S2) = dim({0E}) = 0

= dim(E) = dim(S1 + S2) = dim(S1) + dim(S2) dim(S1 S2) = dim(S1) + dim(S2).

Terminamos con un ejercicio tipo prueba.

Ejercicio: Considere los subconjuntos

W1 =

(x yz t

)M22(R) :

x+ 2y z + t = 02x y z + 2t = 0

x+ 3y t = 05y z = 0

W2 =

(x yz t

)M22(R) :

x+ y + z t = 0x+ 2y t = 0

2x+ 3y + z 2t = 0

del espacio vectorial E = M22(R).

1. Demuestre que W1 y W2 son sev de E.

2. Encuentre una base y la dimension de W1.

3. Encuentre una base y la dimension de W2.

4. Encuentre una base y la dimension de W1 +W2.

21

5. Encuentre una base y la dimension de W1 W2.6. Es E suma directa de W1 y W2?

Solucion:

1. Para probar que ambos subconjuntos son subespacios de E, vamos a encontrar conjuntos generadores de W1y W2 (el principal motivo para elegir este metodo es que todos los calculos que hagamos nos serviran para lassiguientes preguntas).

Primero calcularemos los generadores de W1:

(x yz t

) W1

x+ 2y z + t = 02x y z + 2t = 0

x+ 3y t = 05y z = 0

Resolvemos el sistema homogeneo, pivoteando la matriz de coeficientes:1 2 1 12 1 1 21 3 0 10 5 1 0

F2 2F1F3 + F1 1 2 1 10 5 1 00 5 1 00 5 1 0

F3 + F2F4 + F2

1 2 1 10 5 1 00 0 0 00 0 0 0

As, (

x yz t

)W1

{x = 3y tz = 5y

(x yz t

)=

(3y t y5y t

)= y

(3 15 0

)+ t

(1 00 1

)Luego,

W1 = A, donde A ={(

3 15 0

),

(1 00 1

)}.

Entonces, W1 es un subespacio de E.

Ahora calcularemos los generadores de W2:(x yz t

)W2

x+ y + z t = 0

x+ 2y t = 02x+ 3y + z 2t = 0

Resolvemos el sistema homogeneo, pivoteando la matriz de coeficientes:1 1 1 11 2 0 12 3 1 2

F2 F1F3 2F1

1 1 1 10 1 1 00 1 1 0

F3 F2

1 1 1 10 1 1 00 0 0 0

As, (

x yz t

)W2

{y = zt = x+ 2z

(x yz t

)=

(x zz x+ 2z

)= x

(1 00 1

)+ z

(0 11 2

)Luego,

W2 = B, donde B ={(

1 00 1

),

(0 11 2

)}.

Entonces, W2 es un subespacio de E.

22

2. Notemos que A =

{(3 15 0

),

(1 00 1

)}es un conjunto li, pues ninguno de los vectores es multiplo del otro.

Entonces A es un conjunto li de generadores de W1, es decir, A es una base de W1 y dim(W1) = 2.

3. Analogamente, tenemos que B =

{(1 00 1

),

(0 11 2

)}es un conjunto li, pues ninguno de los vectores es

multiplo del otro.

Entonces B es un conjunto li de generadores de W2, es decir, B es una base de W2 y dim(W2) = 2.

4. Como W1 = A y W2 = B, entonces W1 +W2 = A B.Es decir,

W1 +W2 =

{(3 15 0

),

(1 00 1

),

(1 00 1

),

(0 11 2

)}

Para encontrar una base de W1 +W2 debemos determinar que vectores de AB son li. Hacemos una cl nulade los vectores:

(3 15 0

)+

(1 00 1

)+

(1 00 1

)+

(0 11 2

)=

(0 00 0

)

=(3 + + 5+ + + 2

)=

(0 00 0

)

=

3 + = 0

+ = 05+ = 0

+ + 2 = 0

= = = = = 0

Entonces AB es un conjunto de vectores li que genera a W1 +W2, es decir, AB es una base de W1 +W2y dim(W1 +W2) = 4.

5. Ahora, deberamos encontrar la interseccion de W1 con W2. Pero esto no sera necesario, pues sabemos que

dim(W1 +W2) = dim(W1) + dim(W2) dim(W1 W2)

= dim(W1 W2) = dim(W1) + dim(W2) dim(W1 +W2) = 2 + 2 4 = 0

Y como el unico subespacio de con dimension cero es el conjunto formado solo por el cero del espacio, tenemosque

W1 W2 ={(

0 00 0

)}y W1 W2 no tiene una base.

6. Como E = W1 W2 si y solo si E = W1 +W2 y W1 W2 = {0E}, debemos decidir si E =W1 +W2 (pues laotra condicion la tenemos).

Pero dim(W1 +W2) = 4 = dim(E), luego W1 +W2 = E pues la base de W1 +W2 tambien es una base de E.

Luego, E s es suma directa de W1 y W2.

23

4. Sistemas de coordenadas y cambio de base

4.1. Sistemas de coordenadas

En esta seccion comenzaremos a reconocer las caractersticas comunes de todos los espacios vectoriales quecomparten dimension. Para esto, el primer paso sera instalar en cada espacio vectorial un sistema de coordenadas.Este proceso consiste en fijar una base del espacio vectorial y usarla como el sistema de referencia para describir elresto de los vectores del espacio.

Consideraremos, de aqu en adelante, las bases de un espacio vectorial como conjuntos ordenados. De estamanera, en E = R4, tendremos que

B1 = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}

yB2 = {(0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1)}

son dos bases distintas del espacio, pues a pesar de contener los mismos cuatro vectores, estos estan ubicados endistinto orden dentro de la base. As, hablaremos frecuentemente de bases ordenadas de E.

Antes de hacer la definicion formal del sistema de coordenadas, revisaremos el siguiente resultado.

Teorema. Sea E un espacio vectorial sobre K y B = {b1, b2, . . . , bn} una base de E. Entonces, para cada elementox E existen unicos escalares 1, 2, . . . , n K tales que

x = 1b1 + 2b2 + + nbn.

Demostracion: Como B es base de E, tenemos que E = B. Luego, es claro que todo x E se puede escribircomo una combinacion lineal de los elementos de B. Lo que debemos demostrar es la unicidad de los coeficientesde esta combinacion.Entonces, supongamos que existen dos conjuntos de escalares 1, . . . , n y 1, . . . , n tales que

x = 1b1 + 2b2 + + nbn y x = 1b1 + 2b2 + + nbn.

Igualando ambas expresiones de x y reordenando la expresion en los elementos de la base, obtenemos que

(1 1)b1 + (2 2)b2 + + (n n)bn = OV .

Esto implica que 1 1 = 0, 2 2 = 0, . . . , n n = 0, pues los vectores de la base son li. Es decir, loscoeficientes de la cl son unicos. 2

Ahora estamos en condiciones de definir el sistema de coordenadas con respecto a una base fija.

Definicion: Sea E un ev sobre K y sea B = {u1, . . . , un} una base de E. Para cada x E, se define su vectorcoordenada en la base B como

[x]B=

12...n

Kn,donde los i son los coeficientes de la cl que describe x en terminos de los vectores de la base B. Es decir,

x = 1u1 + 2u2 + + nun

24

Ejemplos:

1. Sea E = R3. Al considerar la base canonica de E, BC = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)}, tenemosque cualquier vector ~x = (x, y, z) cumple que

~x = x e1 + y e2 + z e3,

entonces [~x]BC

=

xyz

Es decir, el sistema de coordenadas dado por la base canonica de R3 coincide con las coordenadas cartesianasque se usan para definir inicialmente R3.

Consideremos otra base de E, por ejemplo, B1 = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}. Calculemos el vector coordenadade ~x = (x, y, z) en esta nueva base. Para esto, determinemos la cl correspondiente:

~x = (1, 1, 1) + (0, 1, 1) + (0, 0, 1) = (, + , + + )

=

= x+ = y

+ + = z

=

= x = y x = z y

= ~x = x(1, 1, 1) + (y x)(0, 1, 1) + (z y)(0, 0, 1)

= [~x]B1 = xy xz y

Por ultimo, si tomamos la base B2 = {(0, 1, 1), (1, 1, 1), (0, 0, 1)}, que tiene los mismos elementos de B1 peroen distinto orden. Entonces, el vector coordenada de ~x = (x, y, z) es

[~x]B2 =

y xxz y

(las coordenadas cambian de orden, pero contiene las mismas componentes).

2. Sea E = P2(R) y consideremos tres bases de E: B1 = {1, x, x2}, B2 = {1, 1 + x, 1 + x + x2} y B3 ={1, 1 + x+ x2, 1 + x}.Determinemos los vectores coordenadas del vector p(x) = (2x 1)2 en cada una de estas bases.

Como p(x) = 4x2 4x+ 1 = 1 + (4)x+ 4x2, tendremos que [p(x)]B1

=

144

.Para determinar

[p(x)

]B2, debemos escribir p(x) como cl de los vectores de B2:

p(x) = 4x2 4x+ 1 = (1) + (1 + x) + (1 + x+ x2)= ( + + ) + ( + )x+ x2

Entonces: + + = 1

+ = 4 = 4

= = 4, = 8, = 5

25

Por tanto,[p(x)

]B2

=

584

y como B3 contiene los mismos vectores de B2 aunque en distinto orden,tendremos que

[p(x)

]B3

=

548

.Queda propuesto determinar los vectores coordenadas con respecto a estas tres bases de un polinomio genericode E: p(x) = a+ bx+ cx2.

A continuacion enunciamos las principales propiedades de los vectores coordenadas:

Teorema. Sean E un ev sobre K, B = {u1, . . . , un} una base de E y x, x1, x2, . . . , xk vectores de E. Entonces:1. El vector coordenada de x en la base B es unico.

2. Si x1 6= x2, entonces[x1]B6= [x2]B.

3.[x1 + x2

]B=[x1]B+[x2]B

y, para todo K, [x1]B = [x1]B .4. {x1, x2, . . . , xk} es li en E si y solo si

{[x1]B,[x2]B, . . . ,

[xk]B

}es li en Kn.

Demostracion:

1. Es directo del primer teorema de la seccion. Como B es base, x puede escribirse de manera unica como cl dela base, entonces el vector coordenada es unico.

2. Si x1 6= x2, entonces los vectores deben escribirse como distintas cl de los vectores de B (si las combinacionesfueran iguales, entonces x1 = x2).

3. Si x1 = 1u1 + + nun y x2 = 1u1 + + nun, entonces

x1 + x2 = (1 + 1)u1 + + (n + n)uny

x1 = 1u1 + + nun.

En lenguaje de vectores coordenados, lo anterior se anota:

[x1]B=

1...n

, [x2]B =1...n

, [x1 + x2]B =1 + 1...n + n

, [x1]B =1...n

Ahora, la afirmacion es obvia.

4. Notemos que [c1x1 + + ckxk

]B= c1

[x1]B+ + cn

[xk]B

y que[OV

]B= ~0 Kn. Con estas dos observaciones, demostrar la afirmacion es directo. Queda propuesto.

2

26

4.2. Matrices de cambio de bases

Con frecuencia, el problema no sera obtener las coordenadas de un vector particular con respecto a distintasbases, sino mas bien cambiar simultaneamente las coordenadas de todos los vectores de un espacio vectorial queestaban escritos en una base inicial a una nueva base. Este proceso se conoce como un cambio de base del espacioo cambio de coordenadas y, usando todo nuestros conocimientos previos sobre Rn, concluiremos que el cambio debase se lleva a cabo mediante una unica matriz que hara todo el trabajo.

Definicion: Sea E un ev sobre K y sean B1 y B2 dos bases distintas de E. Se define la matriz de cambio de

base de B1 a B2, que anotamos[Id]B2B1

, como la unica matriz que cambia las coordenadas con respecto a la baseB1 en coordenadas con respecto a B2 para todo vector x del espacio, es decir,

x E [x]B2

=[Id]B2B1

[x]B1

Usando la definicion de matriz de cambio de base, podemos determinar mas concretamente la forma de la matrizde cambio de base.

Si dim(E) = n, B1 = {u1, u2, . . . , un} y B2 = {v1, v2, . . . , vn}, tendremos que tanto[x]B1

como[x]B2

son

vectores de Kn. Entonces queremos determinar la matriz[Id]B2B1

de n n tal que

x E [x]B2

=[Id]B2B1

[x]B1

(2)

Describamos la matriz por columnas: [Id]B2B1

=[~c1 |~c2 | |~cn

]Para encontrar la i-esima columna usaremos la igualdad (2) para x = ui (el i-esimo vector de la base B1). Como

ui = 0 u1 + 0 u2 + + 1 ui + + 0 un,

entonces

[ui]B1

=

00...1...0

con el 1 en el i-esimo lugar. Luego, (2) sera:

[ui]B2

=[Id]B2B1

[ui]B1

=[~c1 |~c2 | |~cn

]

00...1...0

= ~ci.

Es decir, la columna i-esima de la matriz buscada sera[ui]B2

y, por tanto,

[Id]B2B1

=[ [u1]B2

[u2]B2 [un]B2 ]Ahora, por el ultimo teorema, tenemos que las columnas de

[Id]B2B1

son li, por tanto, la matriz es invertible ytendremos que su inversa sera ([

Id]B2B1

)1=[Id]B1B2.

27

Ejemplo: Sea E = P3(R) y seaS = {p(x) E : p(1) = p(1) = 0}.

Determinaremos dos bases de S y encontraremos la matriz de cambio de base entre ellas.

Determinaremos un conjunto generador de S primero:

p(x) = a+ bx+ cx2 + dx3 S {

p(1) = a+ b+ c+ d = 0p(1) = b+ 2c+ 3d = 0

b = 2c 3da = b c d = c+ 2d

c, d libres

p(x) = (c+ 2d) + (2c 3d)x+ cx2 + dx3 p(x) = c(1 2x+ x2) + d(2 3x+ x3)

EntoncesS =

{1 2x+ x2, 2 3x+ x3}y B1 = {1 2x+ x2

u1

, 2 3x+ x3 u2

} es una base porque

(1 2x+ x2) + (2 3x+ x3) = 0 = ( + 2) + (2 3)x+ x2 + x3 = 0= = = 0

Como obtenemos una segunda base de S? Bueno, ya sabemos que dim(S) = 2, por tanto, solo debemosencontrar dos vectores de S que sean li.

En general siempre se tendra lo siguiente (buen dato para generar nuevas bases a partir de bases conocidas):

Si {u1, u2, . . . , un} es base de un ev E, entonces{u1, u1 + u2, . . . ,

nk=1

ui

}tambien es una base de E.

En nuestro caso particular, si tomamos los vectores

v1 = u1 = 1 2x+ x2

yv2 = u1 + u2 = (1 2x+ x2) + (2 3x+ x3) = 3 5x+ x2 + x3

tendremos que forman una nueva base de S:

B2 = {1 2x+ x2 v1

, 3 5x+ x2 + x3 v2

}

Ahora determinaremos la matriz[Id]B2B1. Para eso, debemos escribir cada uno de los vectores de la base B1 como

cl de los vectores de la base B2:

u1 = v1 =[u1]B2

=

(10

)u2 = v2 u1 = v2 v1 =

[u2]B2

=

(11

)Entonces: [

Id]B2B1

=[ [

u1]B2

[u2]B2 ] =(1 10 1

)Si calculamos la inversa de esta matriz:(

1 1 1 00 1 0 1

)(

1 0 1 10 1 0 1

)Tendremos que [

Id]B1B2

=([Id]B2B1

)1=

(1 10 1

)Pero esto ya lo sabamos, pues v1 = u1 y v2 = u1 + u2.

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MAT1203 Algebra Lineal

Gua N6 Espacios vectorialesTemporada Academica de Verano 2010

I. Cuerpos

1. Considere el conjuntoM = {a+ b

3 : a, b Q}

con las operaciones

(a+ b3) (c+ d

3) = (a+ c) + (b+ d)

3

(a+ b3) (c+ d

3) = (ac+ 3bd) + (ad+ bc)

3

Demuestre que (M,,) es un cuerpo.2. Considere el conjunto de los numeros reales R con una nueva suma y una nueva multiplicacion, operaciones

definidas por:

x y = x+ y 1x y = xy x y

Decida si (R,,) es un cuerpo. Determine, si existen, el neutro aditivo y el neutro multiplicativo.3. La matriz

A =

6 7 5 85 3 0 29 6 1 5

tiene sus entradas en el cuerpo Z13. Encuentre la forma escalonada reducida de A y determine su matrizinversa si existe.

4. Cuantos elementos tiene M24(Z5)? y M43(Z7)?

II. Espacios Vectoriales

1. Demuestre que el conjunto V = {(x, y, z) R3 : x > 0, y > 0, z > 0} es un espacio vectorial sobre el cuerpoK = R con las operaciones (suma) y (ponderacion) definidas por

(a, b, c) (x, y, z) = (ax, by, cz) (x, y, z) = (x, y, z)

2. Decida si el conjunto de los polinomios de grado menor o igual a 2, V = P2(R), es un espacio vectorial sobreel cuerpo K = R con las operaciones definidas por

(a0 + a1x+ a2x2) (b0 + b1x+ b2x2) = (a0 + b1) + (a1 + b0)x+ (a2 + b2)x2 (a0 + a1x+ a2x2) = a0 + a1x+ a2x2

3. Decida si el conjunto de las matrices de 2 2 con componentes reales, V = M22(R), es un espacio vectorialsobre el cuerpo K = R con las operaciones definidas por(

a bc d

)(a b

c d

)=

(a+ a 1

c+ c + 1 0

) (a bc d

)=

(a bc d

)

29

III. Subespacios Vectoriales

1. Demuestre que el conjunto

S = {p(x) P(R) : 11

p(x)dx = 0}

es un subespacio de V = P(R) (el espacio de los polinomios con coeficientes en R).2. Demuestre que las matrices simetricas forman un subespacio vectorial del espacio de las matrices de n n

con entradas reales. Que sucede con las matrices antisimetricas?

3. En cada caso, decida si el conjunto S en un subespacio vectorial del espacio V indicado.

a) S = {f V : f(c) = 0}, V es el espacio de las funciones continuas definidas en el intervalo [a, b] yc (a, b).

b) S = {(x, y, z) : xyz 0}, V = R3.c) S = {(x1, x2, x3, . . . , xn) : x1 6= x2}, V = Rn.d) S = {Ax : x Rn}, V = Rm donde A Mmn(R)} fija.e) S = {p(x) : p(0) = 2k, k Z}, V = Pn(R).f ) S = {p(x) : p(k) para todo k N}, V = Pn(R).g) S = {A : det(A) = 0}, V = Mnn(R).h) S = {p(x) : p(x) = p(x) + x}, V = Pn(R).i) S = {a+ bx3 : a R, b R, b 0}, V = P3(R).

4. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y sean U , S y W subespacios de V que satisfacen las siguientescondiciones:

U S = U W (3)S W (4)

Suponga queu+ w = u + s

donde u y u son vectores de U , w W y s S. Demuestre que w S.5. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y sean S, T y U subespacios de V . Demuestre que:{

T (S + U) = {0V }S U = {0V }

{T S = {0V }

(T + S) U = {0V }

6. Sean S1, S2 y S3 subespacios del espacio vectorial V tales que S1 S3. Demuestre que

S1 + (S2 S3) = (S1 + S2) S3De un ejemplo que muestre que si la condicion S1 S3 no se cumple, entonces la igualdad anterior no esnecesariamente valida.

7. El conjunto de todas las sucesiones reales

R = {(xn)nN : xn R}

es un espacio vectorial sobreK = R. Determine cuales de los siguientes conjuntos de sucesiones son subespaciosde R.

a) Todas las sucesiones que incluyen infinitos ceros (Ejemplo: xn = 1 + (1)n).

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b) Todas las sucesiones con xj = 0 a partir de algun termino en adelante.

c) Todas las sucesiones decrecientes, es decir, aquellas para las cuales xn1 xn para todo n N.d) Todas las sucesiones convergentes, es decir, aquellas para las cuales lm

nxn existe.

e) Todas las progresiones aritmeticas, es decir, aquellas para las cuales xn1 xn es la misma para todo n.f ) Todas las progresiones geometricas, es decir, todas las de la forma (x1, kx1, k

2x1, . . .), admitiendo cualquierk y cualquier x1.

IV. Dependencia e Independencia Lineal. Bases y Dimensiones

1. Las funciones f1(x), f2(x), . . . , fn(x) definidas en un intervalo I son l.i. en I si

c1f1(x) + c2f2(x) + . . .+ cnfn(x) = 0 para todo x I

implica que c1 = c2 = . . . = cn = 0. El siguiente problema muestra las tecnicas mas comunes utilizadas paradeterminar la independencia lineal de las funciones fi en el intervalo I.

a) Se define el Wronskiano de las funciones f1, . . . , fn por

W (x) =

f1(x) f2(x) fn1(x) fn(x)f 1(x) f

2(x) f n1(x) f n(x)

. . . f(n1)1 (x) f

(n1)2 (x) f (n1)n1 (x) f (n1)n (x)

.

Demuestre que si existe c I tal que W (c) 6= 0, entonces las funciones fi(x) son l.i. en el intervalo I.b) Demuestre que si existen x1, x2, . . . , xn I tales que

f1(x1) f2(x1) fn1(x1) fn(x1)f1(x2) f2(x2) fn1(x2) fn(x2) . . .

f1(xn) f2(xn) fn1(xn) fn(xn)

6= 0

entonces las funciones fi son l.i. en el intervalo I.

c) Demuestre que si la matriz A = (aij), donde aij =

ba

fi(x)fj(x)dx, tiene inversa, entonces las funciones

fi son l.i. en el intervalo I = [a, b].

2. a) Demuestre que x y |x| son l.i. en el intervalo [1, 1], pero son l.d. en el intervalo [0, 1].b) Demuestre que las funciones ex, ex, e2x son l.i. en cualquier intervalo I.

c) Demuestre que las funciones sen(x), cos(x) son l.i. en [0, pi].

d) Demuestre que las funciones sen2(x), cos2(x), 1 son l.d. en cualquier intervalo I.

e) Demuestre que las funciones sen(x), cos(x), sen(2x), cos(2x) son l.i. en el intervalo (,).f ) Demuestre que el conjunto con infinitos vectores {sen(nx) : n N} es l.i. en el intervalo [0, pi].

3. Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo K = R y sea A = {a1, a2, . . . , an} un conjunto de vectores l.i. deV . Si x1, x2, . . . , xn son numeros reales que satisfacen la siguiente condicion:

ni=1

xiai =ni=1

i2

i+ 1ai

ni=1

(n+ 1 i)bi,

donde bi = an+1i, i = 1, 2, . . . , n, encuentre los valores de x1, x2, . . . , xn.

31

4. Sean u1, u2 y u3 vectores de un espacio vectorial V sobre el cuerpo K = R. Determine todos los valores de y para los cuales

{u1, u1 + u2, u1 + u2 + u3} = {u1, u2, u3}.

5. Sean R =

0 1 20 0 10 0 0

yW = {A M33(R) : AR = RA}. Demuestre queW es un subespacio de las matricesde 3 3 y encuentre base y dimension de W .

6. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Demuestre que un conjunto B de vectores en V es base de Vsi y solo si B es l.i. y, ademas, B {v} es l.d. para todo vector v V \B.

7. Dado

W =

(a, b, c, d, e) R5 :

3x1 + 2x2 4x3 + 3x4 x5 = a(k 1)x1 + 3x2 x3 + 7x4 + x5 5x6 = b

x1 + x2 x3 + 2x4 x6 = cx1 + x2 + 3x3 + 4x4 + 2x5 5x6 = d

(k + 2)x1 + 5x2 5x3 + 10x4 5x6 = e

es compatible

Determine la dimension de W , dando bases adecuadas para cada valor de k en R.

8. Sea p(x) = 1 + x+ x2 + + xn. Decida si el conjunto

B = {p(x), p(x), p(x), p(3)(x), . . . , p(n1)(x), p(n)(x)}

es base de Pn(R).9. En V = M22(R), se define

S =

{(1 2k 1

),

(0 1p 0

),

(k 12 3

)},

Encuentre los valores de k y p de modo que dim(S) = 2.

10. Sea S = {x R6 : Ax = 0}, donde

A =

1 1 2 3 a 11 1 1 4 2 b3 3 8 7 c 4 5

y a, b, c R.Determine todos los valores de a, b y c para los cuales dim(S) = 4 y demuestre que T = {(a, b, c) : dim(S) = 4}es un subespacio de R3. Cual es la dimension de T ?

11. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y sea {u1, u2, . . . , ur} la base del subespacioW de V . Demuestreque {u1, u2 + 2u1, . . . , ur + ru1} tambien es una base de W .

32

V. Operaciones de Subespacios Vectoriales. Extension de bases

1. Sean S =

(x yz t

):

x+ y + z + t = 02x 5y + 3z 2t = 0x 6y + 2z 3t = 0

y T ={(

1 11 1

),

(2 11 2

)}.

a) Demuestre que S es subespacio de V = M22(R) y encuentre una base de S y dim(S).

b) Encuentre S T , base y dimension.c) Encuentre S + T , base y dimension.

2. Sean W1 = {1 + 2x 5x2 + x3,3 + x+ 2x2 + 2x3, 1 + 9x 18x2 + 6x3} y

W2 =

a+ bx+ cx2 + dx3 :a+ b+ c = 0a+ c+ 3d = 0b 3d = 0c+ 5d = 0

subespacios de P3(R). Encuentre bases y dimensiones de estos conjuntos. Decida si P3(R) =W1 W2.

3. En el espacio vectorial de las funciones reales continuas considere los subespacios:

S = {exp(x) + exq(x) : p(x), q(x) Pn(R)}T = {exp(x) : p(x) Pn(R)}

a) Encuentre una base de T y determine dim(T ).

b) Pruebe que T es un subespacio de S y encuentre otro subespacio S de S tal que S = T S.4. En V = P3(R) sean

S = {p(x) V : p(1) = 0 y 2p(0) + 3p(0) + 16p(0) = 0}

T = {a+ bx+ cx2 + dx3 V : a b+ c d = 0 y 5a+ c+ d = 0}a) Demuestre que S y T son subespacios de V .

b) Demuestre que V = S T .c) Se define el subespacio U = {x3 x2 x+ 1, x2 + x+ 2}, determine U S, una base y dim(S U).

5. Sea X una matriz de n n con rango r. Considere el subespacio vectorial de V = Mnn(R)W = {Y V : XY = O}.

Determine la dimension W .

6. Sea S1 = {A Mnn(R) : tr(A) = 0}. Determine la dimension del subespacio S1 y otro subespacio S2 deMnn(R) tal que Mnn(R) = S1 S2.

7. Demuestre que si V = W1 W2, entonces para cada vector v V existe un unico vector w1 W1 y un unicow2 W2tales que

v = w1 + w2.

8. Encuentre el valor de para que q(x) = 1 + x+ x2 + 3x3 + x4 pertenezca al subespacioS = {p(x) P4(R) : p(4)(2) = 12p(0) + 4p(0)}.

Determine una base de S y extienda la base de S encontrada a una base de P4(R).9. En cada caso, decida si el subconjunto de V = M22(R) se puede extender a una base de V . Si esto es posible,

encuentrela.

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a) A1 =

{(1 12 6

),

(1 11 2

)}b) A2 =

{(3 10 1

),

(0 11 1

),

(1 11 1

)}c) A3 =

{(1 23 4

),

(1 10 1

),

(2 612 18

),

(9 32 1

)}10. Sea n N. Considere el subespacio vectorial

S1 = {p(x) Pn+5(R) : p(0) = p(0) = p(0) = p(3)(0) = = p(n1)(0) = 0}de Pn+5(R).a) Encuentre una base y la dimension de S1.

b) Determine un subespacio S2 de Pn+5(R) tal que S1 S2 = Pn+5(R).11. En el espacio vectorial V =M32(R), considere los subespacios

S1 =

1 31 0

1 2

S2 =

0 22 0

1 4

, 1 11 0

0 2

, 1 41 1

3 1

S3 =

a db e

c f

V : a+ 2b+ c = 03a d = 0a+ b+ e = 0

a+ b+ f = 0

a) Demuestre que S1 S2 y que S1 S3.b) Encuentre una base y la dimension de S1 S2 S3.c) Demuestre que dim(S1 + S2 + S3) = 4 y encuentre una base B de S1 + S2 + S3.

d) Encuentre una base de V que contenga a B (la base encontrada en la parte anterior).

VI. Coordenadas. Matriz de cambio de base

1. Sea V un espacio vectorial dado y sea A = {u1, u2, u3, u4} una base de V . Demuestre que B = {u1, u1 +

u2, u1 + u2 + u3, u1 + u2 + u3 + u4} tambien es base de V . Si x V es tal que [x]A =

2103

, encuentre [x]B.2. Sean B1 = {1 + x x2, 1 + 2x+ 3x2, x} y B2 = {1 + 2x x2, 3 + x, 1} bases de V = P2(R).

a) Encuentre la matriz de cambio de base de B1 a B2 y la matriz de cambio de base de B2 a B1.

b) Si [p(x)]B2 =

111

, determine [p(x)]B1 y determine explcitamente p(x).3. Considere el subespacio de V = M22(R)

S =

{(x yz t

) V : x+ y + z + t = 0

}.

Encuentre dos bases de S y la matriz de cambio de base entre ellas.

34

4. En R2, la matriz P =

(

)representa el cambio de base de una base B a otra B.

a) Determine el valor de y de , sabiendo que existe un vector v R2 para el cual

[v]B =

(15)

y [v]B =

(11)

b) Ademas, si se tuviera que B = {(1, 3), (1, 1)}, encuentre la base B.

5. El conjunto B = {1+x+2x2, 1x,x2} es una base de P2(R). Si P =1 2 12 4 23 1 2

es la matriz de cambiode base de B a otra base B, determine B.

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