Apunte de Funciones

Universidad Mayor Escuela de Ingeniera Informtica

Prof.: Mario E. Seplveda Contreras Clculo I

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Funciones Reales de Variable Real En la Matemtica Aplicada, el trmino funcin aparece en innumerables casos. As, la expresin del rea de un crculo es funcin, pues depende del radio de ste, la presin atmosfrica depende de la altura sobre el nivel del mar, la fuerza de atraccin ejercida por dos masas entre s, es funcin de la distancia que las separa, etc. En estos ejemplos, los valores de una cantidad variable, que podemos llamar y , depende de los valores de otra cantidad, que podemos llamar x . En cada caso, si tambin es cierto que el valor de y , est completamente determinado por el valor de x . Euler, generaliz e invent una simbologa y = f (x ) , que se lee y es funcin de x . En las ciencias exactas, una funcin se identifica, generalmente con una frmula que relaciona dos o ms variables, es decir, los valores de una cantidad variable suelen depender de los valores de otra, por ejemplo: - El rea de un crculo depende de su radio. - El permetro de una circunferencia depende del radio. - El volumen de un cubo depende de la longitud de sus aristas. - La distancia requerida para frenar un automvil hasta detenerlo, es funcin de la rapidez que lleva el mvil cuando se comienza a frenar. - Etc., etc. El estudio que haremos de las funciones, es el tradicional, es decir, comenzaremos por considerar un sistema de coordenadas rectangulares. Sistema de coordenadas cartesianas. Un sistema de coordenadas cartesianas, llamado tambin sistemas de coordenadas rectangulares, o plano cartesiano, que consiste en dos ejes (rectas) perpendiculares, que estn divididos en cuatro cuadrantes.

En el plano cartesiano se pueden graficar o dibujar puntos, funciones, o relaciones en general. Para ello se le asignan valores a las variables independientes, por ejemplo a la x , para obtener la variable respuesta o variable dependiente y , de modo que se obtiene la coordenada ( x, y ) . Queda de manifiesto que la x , se ubica en el eje horizontal, por lo que la y , se ubica el eje vertical. Luego estos puntos se dibujan en el sistema de ejes coordenados. Def.: Una relacin R en AxB es una funcin (o relacin funcional), cuando a cada elemento x A (Dominio), se le hace corresponder un nico elemento y B (Codominio), de modo que sea vlido que ( x est relacionado con y ), es decir, tenemos, (x A)(! y B )( xR y ) El nico valor y de la relacin, que ahora se llama funcin, se denota por R (x ) o bien f (x ) , que se acostumbra escribir y = f (x )



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Esquema:

Una funcin de A en B , en AxB , se escribe como:

f :ARBR x a y = f ( x)Obs.: Denotaremos funcin de A en B , f : A B o ( x, y) f / y = f ( x) . La funcin f : A B , tal que la imagen de cada elemento x A es y B , se denota por

f : A B / y = f ( x)Condicin de existencia:

( x A )( ! y B / ( x, y ) f )

Condicin de unicidad:

( x, y ) f ( x, z ) f y = x

Obs.: Una funcin es como una mquina que asocia una salida a cada entrada permitida. Las entradas constituyen el dominio de la funcin. Al conjunto de salida lo llamamos Imagen o Rango de la funcin.

x Entrada

Mquina Proceso

f (x )

Salidda

Ejemplos: 1) Consideremos el conjunto A, dado por los nombres de personas y el conjunto B, dado por las edades de las mismas personas, cuya correspondencia se indica en el esquema siguiente.

Vemos que A = { S , P, L, M } , y el B = {13,15, 20, 56, 39 }



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Obs.: La edad de S es 13 aos, tambin se dice que la imagen de S es 13, lo que se anota matemticamente como f ( S ) = 13 Es decir; f ( S ) = 13 ; f ( P ) = 15 ; f ( L ) = 56 ; f ( M ) = 39 Por lo que Dom ( f ) = { S , P, L, M } , y el Rec ( f ) = {13,15, 56, 39 } Obs.:

13 i) Codom ( f ) = B = { ,15, 20, 56, 39} ii) Rec ( f ) Codom ( f )

2) Sea la funcin P , permetro de una circunferencia de radio r , la que se conoce como P = 2 r , que se denota por P ( r ) = 2 r , el permetro en trminos del radio. Tambin se acostumbra escribir como f ( x ) = 2 x , con x igual al radio de la circunferencia. Vemos tambin que el Dom ( f ) = R + {0}, y el Rec ( f ) = R + {0}.

Def.: Se llama funcin real de variable real, aquella en que el dominio y el codominio son conjuntos de reales, es decir, f : A R B R , tal que y = f (x ) Obs.: Si en una funcin real no aparece su dominio dado en forma explcita, tomamos el dominio de la funcin como el mayor conjunto posible de valores reales x , para los cuales la frmula da valores reales, o bien la frmula es vlida. Ejemplos: Funcin 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Dominio Imagen o Recorrido

f ( x) = 3x 5

R R

R

f ( x) = x 2f ( x) = 2x + 3 4x 5

R {

5 4

}

[ 0, [ R {1 } 2 [ 0, [ [ 0, [

f ( x) =

x3

[ 3, [

f ( x) = 2 3x f ( x) = 3 x + 6

] , 2 ] 3[ 2, [ [ 2 , 2 ] ] , 2] [ 2 , [

[ 0, [[0 , 2 ] [ 0, [

f ( x) = 4 x 2 f ( x) = x 2 4

Obs.: Una funcin puede expresarse utilizando letras distintas para denotar sus variables. Ejemplo:

r = 3s 2 9 ;

y = 3 x 2 9 ; z = 3u 2 9 , son frmulas que expresan la misma

funcin Elevar al cuadrado, multiplicar por tres y restar 9 Def.: Sean f y g dos funciones. Se dice que f ( x) = g ( x) s y slo s Domf = Domg , x .



4

Ejemplos: 1) f ( x) = ( x 3)( x + 3) ; g ( x) = x 2 9 Vemos que el Domf = Domg = R , por lo que f ( x) = g ( x) 2) f ( x ) = | x | ; g ( x) = x 2 Como Domf = Domg = R , por lo que f ( x) = g ( x) 3) ; g ( x) = x + 2 Vemos que el Domf = R {2} ; Domg = R Domf Domg1 , si x = 0 Vemos que el Domf = Domg = R , en tanto que f ( x) = g ( x) f ( x) = x 2 + 1 ; g ( x) = x + 1 , si x 02

f ( x) =

x 2 4 x2

f g

4)

Def.: Sean f : A B ; g : B C y h : A C , tal que Rec( f ) = Dom( g ) Esquema:

h( x ) = g of ( x) = g ( f (x )) , si

x

f

f (x )

g

g ( f ( x ))

Ejemplos: 1 1) Sean A = { , 2, 3}; B = {a, b, c, d } ; C = {5, 6} y las funciones f : A B ; g : B C , definidas como f = {(1, a), (2, b), (3, d )} ; g = {(a,5), (b,5), (c,5), (d ,6)} Solucin: gof = {(1,5), (2,5), (3,6)} 2)

f ( x ) = 1 x 2 ; g ( x) = x

Solucin: Domf = R ; Recf = ] , 1] ; Dom g = R + 0 ; Recg = R + 0 Como Rec f Dom g No existe gof (x ) Como Recg Domf , es decir , R + 0 R fog ( x) = f ( g ( x)) = f ( x ) = 1 ( x ) 2 = 1 x 1 x2 ; g ( x) = 2 3) f ( x ) = 2 x x 4 + + Solucin: Domf = R ; Recf = ] , 1] ; Dom g = R 0 ; Recg = R 0 Como Rec f Dom g No existe gof (x ) Como Recg Domf , es decir, R + 0 R fog ( x) = f ( g ( x)) = f ( x ) = 1 ( x ) 2 = 1 x Def.: Sea f : A B funcin, f se dice 1 a 1 o inyectiva s y slo s f ( x1 ) = f ( x 2 ) x1 = x 2 ,

x1 , x2 DomfTambin se dice que f es inyectiva si x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) Ejemplos: a) f ( x ) = 3 x 8 Aplicando la definicin de inyectividad se tiene: f ( x1 ) = f ( x 2 ) x1 = x 2 Luego 3x1 8 = 3x 2 8 3x1 = 3x 2 x1 = x 2 , por lo que la funcin es inyectiva. b)

f ( x) = 5 x 2 + 32 2 2 2 2 2

Aplicando la definicin de inyectividad se tiene: f ( x1 ) = f ( x 2 ) x1 = x 2 Luego 5 x1 + 3 = 5 x 2 + 3 5 x1 = 5 x 2 x1 = x 2 x1 = x 2 x1 = x 2 , por lo que la funcin no es inyectiva.



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c)

f ( x) =

2 x 5 2 x2 5 2x 5 f ( x1 ) = f ( x 2 ) 1 = 3x + 4 3x1 + 4 3x 2 + 4 (2 x1 5)(3x2 + 4) = (2 x 2 5)(3x1 + 4) 6 x1 x2 + 8 x1 15 x2 20 = 6 x1 x2 + 8 x2 15 x1 20

23x1 = 23x2 x1 = x 2 . Vemos que la funcin es inyectiva.Def.: Sea

f :AB

funcin, f se dice sobreyectiva s y slo s

y B , x A , tal que f ( x) = yEs decir: Una funcin f definida en un dominio A R , se dice sobreyectiva, si x Dom( f ) , y B (Codominio) de la funcin, tal que todas sus imgenes conforman el conjunto B , es decir, Rec( f ) = B . Ejemplos: a) f ( x ) = 4 x 7 Vemos claramente que el dominio y el recorrido es el conjunto de los reales, pues para cada real x , se obtiene siempre un real y . Por lo que el recorrido R coincide con el codominio R tambin. b) f ( x) = 2 x 2 3

Vemos claramente que el dominio es R , y el recorrido es el conjunto [ 3 , [ , (parbola, cuyas ramas se abren hacia arriba, con vrtice V (0 , 3) ). Por lo que el recorrido R no coincide con el codominio R , es decir, Re c( f ) = [ 3 , [ R . Por lo tanto, la funcin dada no tiene inversa. c)

f ( x) =

2 Se puede ver que el Dom( f ) = R { 4 } y el recorrido o conjunto imagen es Re c( f ) = R {5 } 5 Con estos datos vemos que el recorrido obtenido, no coincide con el codominio R , es decir, 2 Re c( f ) = R {5 } R . Se ve claramente, que la funcin dada no tiene inversa.

2 x 3 4+5 x

x+ }, tal que f ( x) = 43 5 2 x Se puede observar que el dominio es R {2 } , y el recorrido es 34 3

d) Dada f : R {2 } R { 3

R { 4 } . Por lo que el recorrido 3

coincide plenamente con el codominio R . Obs.: Cuando no se especifica el dominio y codominio, se entender que es todo R . Adems se entiende que son funciones reales de variable real, es decir, f : A R B R Def.: Si f : A B funcin inyectiva, esto es, dos elementos distintos del dominio tienen imgenes distintas, entonces podemos definir una relacin inversa g : Re c( f ) A , que resulta ser tambin una funcin. Por cierto que la funcin g resulta ser una funcin porque f es inyectiva. Se dice entonces que la funcin g , que se denota por f 1 es la funcin inversa de f , o que tambin f es invertible. Sea f : A B una funcin inyectiva y f 1 : Re c( f ) A .


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Si ( x, y ) f ( y, x) f como

y viceversa, si ( x, y ) f

1

( y, x) f , lo que se puede anotar

y = f ( x) x = fObs.: fof1

1

( y)

( x) = x f f

[

1

( x) = x

]

Def.: Una funcin que cumple con ser inyectiva y sobreyectiva, se dice que es biyectiva. Por lo que se dice invertible o que posee inversa. Ejemplos: a) f ( x ) = 3 x 8 Esta funcin es inyectiva y sobreyectiva, es decir, es biyectiva, por lo que posee inversa, la que est +8 dada por x = y 3 f 1 ( x ) = x +8 3 b)

f ( x) =

2 x 5 3x+4

. Esta funcin es una biyeccin (inyectiva y sobreyectia), luego tiene inversa, la que4 y +5 23 y

est dada por x =

f 1 ( x) =

4 x +5 2 3 x

Obs.: Para hallar la inversa se puede despejar la x en trminos de y , luego se intercambian las variables. Aplicaciones: Supongamos que conocemos el nivel de contaminacin de la empresa en funcin de la produccin, adems sabemos que la produccin depende del tiempo, la funcin compuesta nos permitir ver cmo se relaciona la contaminacin y el tiempo. 1) Un estudio ambiental sugiere que el nivel medio diario de monxido de carbono en el aire est dado por C ( p ) = 0,7 p + 3 partes por milln, cuando la poblacin sea p miles. Se estima que dentro de t aos la poblacin ser de p (t ) = 8 + 0,2 t 2 miles. a. Exprese el nivel de monxido de carbono en el aire en funcin del tiempo. Respuesta: Como C ( p ) = 0,7 p + 3 , p (t ) = 8 + 0,2 t 2 , entoncesC ( p (t )) = 0,7(8 + 0,2 t 2 ) + 3 = 0,14t 2 + 8,6

b. Calcule el nivel de monxido de carbono transcurridos 5 aos. Respuesta: El nivel de monxido de carbono a los 5 aos es C ( p (5)) = 0,14 0,25 + 8,6 = 12,1 partes por milln. 2) Una empresa acucola, determina que la funcin de la demanda para la produccin de x unidades de alevines, est dada por x( p ) = 4800 20 p , donde p es el precio de venta (en dlares). A su vez los costos totales estn dados por C ( x ) = 6000 + 3 x dlares. Cul es el costo si vende a 7,5 dlares la unidad? Solucin: C ( x ( p )) = 6000 + 30( 4800 20 p ) = 150 .000 600 p C ( x (7,5)) = 150.000 600 5,8 = 145.500 dlares.

Ejercicios Propuestos:1) La funcin de demanda para la produccin de x unidades de cierto alimento para peces, est dado por x( p ) = 9000 20 p , cuya funcin de costo total viene dada por C = 12000 + 30 x . a) Determine la funcin de ingreso total.



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b) c) d) e)

Estime el ingreso para 12 unidades vendidas. Encuentre la funcin utilidad. Cunta utilidad genera la venta de 48 unidades? Estime el costo para una produccin de 36 unidades.

2) Dados los conjuntos A = {1, 2, 3}; B = {0,1, 2,3} ; definir por extensin la funcin f : A B , que asigna a cada elemento del dominio su cuadrado disminuido en 1. Representar y clasificar f . 3) Para las funciones siguientes f y g , hallar fog (x) y gof (x ) si existen: a) f ( x) = 3 5 x ; g ( x) = 2 3 x 2 2x 1 b) f ( x) = ; g ( x) = 6 9 x 3x + 5 c) f ( x) = 5 4 x ; g ( x) = 7 x 2 2 d) e) f) g) h)f ( x) = 5 4 x ; g ( x) = 7x2 2 x3

f ( x ) = 5 + 3 x ; g ( x) = 2 x 2 2 + 7x f ( x) = 8 + 3x ; g ( x) = 3x 6f ( x) = 4 3 x x 2 ; g ( x) = 3x 2 5 + 2x

f ( x ) = x + 7 ; g ( x) =

x x+3

Def.: Sea f una funcin definida en un intervalo I contenido en su dominio, entonces: a) La funcin f es creciente en I , si para dos nmeros x1 , x 2 en I , se cumple que si

x1 < x2 f ( x1 ) f ( x2 ) .Obs.: Esto indica que a medida que los x aumentan, tambin aumentan los y . Grficamente:

b) La funcin f es decreciente si x1 , x 2 en I , se cumple que

x1 < x2 f ( x1 ) f ( x2 ) .Obs.: Esto indica que a medida que si los x aumentan, disminuyen los valores de y . Grficamente:



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Grfico de funciones reales de variable real: Se llama grfico de una funcin al conjunto de los puntos ( x, y ) del plano, tales que y = f (x ) Cada par ordenado puede ser interpretado como un punto del plano cartesiano. Por ejemplo, si anotamos f ( 2) = 5 , significa que el par (2 , 5) es un punto del plano, cuya abscisa es 2 y su ordenada es 5 . Algunas funciones de particular inters: 1) La funcin Constante: f C : A R , se llama Funcin Constante, si c R , tal que f C ( x) = c, x R Su grfica es una recta paralela al eje X, y est dada por:

2) La funcin Identidad: I A : A A , se llama Funcin Identidad si I A ( x) = x , x A Su grfica pasa por el origen y est dada por:

3) La funcin Lineal: Una funcin lineal f : A R , de la forma f ( x ) = mx + b , x A , representa una lnea recta, que pasa por el origen, en el plano cartesiano. Su dominio es R y su recorrido tambin es R. Su grfica est dada por:



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Obs.: El valor de m corresponde a la pendiente o inclinacin, y el valor de b es el corte con el eje Y, es decir, cuando ( x = 0 ). 4) La funcin Valor Absoluto: Est definida por f : A R + , con f ( x) = x , siendo A R , cuyo dominio es R , y su recorrido es R + . Significa que cualquiera sean los valores de x , las imgenes o las y sern siempre positivas o cero. x , si x 0 Recordar que x = x , si x < 0 Su grfica est dada por:

5) La funcin Raz Cuadrada: Esta funcin tiene la forma f ( x ) =

tambin R + {0}, es decir, Dom( f ) = R + {0} = {x R / x 0 } , y el

x , donde el dominio es R + {0}, y su recorrido es

Re c( f ) = R + {0} = {y R / y 0}

Su grfica est dada por:

6) La funcin Cuadrtica: Esta funcin tiene la forma f ( x) = x 2 , cuyo vrtice es el origen de coordenadas, donde el

dominio es R , y su recorrido es R + {0}, es decir, Dom( f ) = R = [ , [ , y el recorrido

Re c( f ) = R + {0} = {y R / y 0} = [0, [

Su grfica se llama parbola, y est dada por:

En general, una parbola tiene la forma f ( x) = ax 2 + bx + c , con a 0 , a , b, c en R . Su grfica est dada por:



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Obs.: Si a > 0 , sus ramas se abren hacia arriba.

Obs.: Si a < 0 , sus ramas se abren hacia abajo

Obs.: Sea = b 2 4 ac , entonces: a) Si > 0 , la grfica corta al eje X en dos puntos, a saber x = b b2 4a c 4a

Estos valores son los llamados ceros o races de una funcin, que son las intersecciones con el eje X

b) Si = 0 , la parbola es tangente al eje X en el vrtice. c) Si < 0 , la parbola no corta al eje X. La grfica est por sobre o por debajo del eje X. El dominio de esta funcin es R , es decir, Dom ( f ) = R El recorrido o conjunto imagen es:

4 ac b , , si a > 0 4a Re c( f ) = 2 , 4 ac b , si a < 0 4a 2

[ ]

[

]

Obs.: a) El recorrido va desde el vrtice hacia abajo o hacia arriba. b) Tambin podemos obtener las coordenadas del vrtice a travs de la expresin V ( 2ba , f ( 2ba ) ) , donde la abscisa es x = 2ba , y la ordenada es f ( 2ba ) . Ejemplos Resueltos de Aplicacin: 1) El ingreso I (en dlares), obtenido por vender x unidades de un producto acucola, est dado por I ( x) = 60 x 0,01x 2 . Determine el nmero de unidades que deben venderse al mes, de modo que se maximice el ingreso. Cul es ese ingreso mximo? Solucin: Las coordenadas del vrtice de esta parbola, cuya ramas se abren hacia abajo, nos darn el mximo nmero de unidades y de ingreso, la que est dada por x = 2ba x = 2 60,01 = 3.000 unidades e 0

y = f ( 2ba ) y = f (3000) = 60 3000 0,01 3000 2 = 90.000 dlares, es decir, V (3.000 , 90.000) . Significa que para 3.000 unidades, se tendrn 90.000 dlares de ingreso.2) El costo promedio por unidad (en dlares) al producir q unidades de cerdos est dada por

C ( q ) = 20 0,06q + 0,0002q 2 . Cul es el nmero de unidades de cerdos que minimizan elcosto promedio de esta produccin. Solucin: Las coordenadas del vrtice de esta parbola, cuya ramas se abren hacia arriba, nos darn el mnimo nmero de unidades y de costo, la que est dada por 06 q = 2ba q = 2 00,,0002 = 150 e

y = f ( 2ba ) y = f (150) = 20 0,06 150 + 0,0002 150 2 = 15,5 dlares, es decir, V (150 ,15.5) .



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Ejemplos Resueltos: 1) Dadas las funciones, halle el dominio y recorrido. Intervalos de monotona. Grafique. a) f ( x ) = 2 x 5 Solucin: Dom( f ) = {x R / 2 x 5 0} = [5 , [ , y su recorrido es 2

Re c( f ) = {y R / y 0} = [0 , [


f (x ) es estrictamente creciente en [5 , [ 2

b)

f ( x) = 3 x 2 9Solucin:

Dom ( f ) = R , y su recorrido es Re c( f ) = [ 9 , [


f (x ) es estrictamente creciente en [0 , [ f (x ) es estrictamente decreciente en ] , 0 ]Los ceros o races son x = 3 , x = 3

c)

f ( x) = 2 + 3 x 4Solucin:

Dom ( f ) = R , y su recorrido es Re c( f ) = [ 2 , [

Su grfica est dada por

[4 , [ 3 f (x ) es estrictamente decreciente en ] , 4 ] 3f (x ) es estrictamente creciente en

No tiene ceros o cortes con el eje X.

d)

f ( x) = x 2 4 x + 3Solucin:

Dom ( f ) = R , y su recorrido es Re c( f ) = [ 1, [

Su grfica est dada por



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f (x ) es creciente en [2 , [ f (x ) es creciente en ] , 2 ] Los ceros o races son x = 1 , x = 3 ,que son las intersecciones con el eje X.

Las coordenadas del vrtice estn dadas por x = 2ba x = 4 = 2 e 21

y = f ( 2ba ) y = f ( 2) = 2 2 4 2 + 3 = 1 , es decir, V ( 2 , 1) .e)

f ( x) = 6 + x x 2Solucin:

Dom ( f ) = R , y su recorrido es Re c( f ) = ] , 25 ] 4 f (x ) es estrictamente creciente en ] ,1 2

Su grfica est dada por1 2

f (x ) es estrictamente decreciente en [ , [ Los ceros o races son x = 2 , x = 3 , que son lasintersecciones con el eje X.

]

Las coordenadas del vrtice estn dadas por x = 2ba x = 2 11 =1 1 1 y = f ( 2ba ) y = f ( 2 ) = 6 + ( 2 ) ( 2 ) 2 =

1 2

e

27 4

, es decir, V ( 1 , 27 ) . 2 4

Ejercicios Propuestos: Representar grficamente en el plano, encuentre el dominio y recorrido de las funciones siguientes. Sug.: Use el maple para que verifique sus resultados. Al final del texto hay modelos de ejemplos. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k)

f ( x) = 3 f ( x ) = 2 f ( x ) = 3 x + 2

l) n) o) p) q) r) s) t)

f ( x) = x 2 + 4 x 5y= y= x2 x 2 x+2

m) f ( x) = 6 + x x 2

y = x2 y = 2x 3 y = 1 + 2x 3f ( x) = x 2 f ( x) = x 2 + 22

f ( x) =

f ( x) = x + 2 f ( x) = 1 + x + 2 f ( x) = 1 x + 2 f ( x ) = 2 x + 2

f ( x) = 2 x f ( x ) = ( x 2) 2 f ( x ) = ( x + 2) 22

Universidad Catlica de Temuco Escuela de Acuicultura

Prof.: Mario E. Seplveda Contreras Clculo Diferencial e Integral

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7) La funcin Exponencial: Def.: Sea a > 0 , a 1 . La funcin f : R R + tal que f ( x) = a x , se llama funcin exponencial de base a . Obs.: Vemos claramente, que su dominio es R y su recorrido es R + . Obs.: Si a > 1 , la funcin es creciente, y si 0 < a < 1 , la funcin es decreciente. Obs.: a x = a y x = y Grficamente, tenemos:

f ( x) = a x , a > 1

f ( x) = a x , 0 < a < 1

Como f (x ) , es una funcin biyectiva, entonces existe su inversa f Logaritmo

1

( x) ,

que es llamada La funcin

8) La funcin Logaritmo: Def.: Sea a > 0 , a 1 . La funcin f : R + R , tal que f ( x) = log a x , se llama funcin logaritmo en base a . Grficamente, tenemos:

f ( x) = log a x

Obs.: - Si a > 1 , entonces f ( x) = log a x , es una funcin creciente.-

Si a < 1 , entonces f ( x) = log a x , es una funcin decreciente. Si b > 0 y x > 1 , entonces log b x > 0 Si b > 1 y 0 < x < 1 , entonces log b x < 0

Los logaritmos en base 10, se llaman Logaritmos Comunes o de Briggs, cuya base se omite, escribiendo

log 10 x = log xTambin existen los Logaritmos Naturales, cuya base es el nmero irracional e = 2,7182818281 8281....... , que se denotan como lnx , es decir log e x = lnx .c Obs.: log b a = c b = a (definicin de logaritmo)



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Obs.: log c a = log c b a = b (Igualdad de logaritmo) Propiedades: 1) log a a = 1 2) 3) 4) 5) 6) 7)

log a1 = 0 log c ( a b) = log c a + log c blog c ( a ) = log c a log c b b log c a p = p log c a

a log a x = xlog b a = log c a log c b

Obs.: log a 0 = NO existe!! Ejercicios: Determinar la verdad o falsedad de las siguientes igualdades: a.

log 2a = log 2 log a b. log 6 2 + log 6 3 = 1

log( x 2 y 2 ) = 2 log x 2 log y d. log 2yx = log y + log 2 + log xc. e. f.

x log x = log x 2 log x y = log( x y ) log x g. log( x y ) = log yh. i.

log x log x = (log x )

2

log x = log xy log y log y log( x + y 2 ) = log x 2 log y log x = log 1 y

j. k. l.

log x = log x y log y m. log x log x = log x 2 1 log 10 = n. log 25 5 log 5o.

()

log x 2 1 = 2 log x y log y



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APLICACIN DE LOS LOGARITMOS Existen etapas del proceso productivo de la empresa, que grficamente se modelan como una funcin logartmica o exponencial. Tambin, si deseas solicitar un crdito bancario y quieres saber por ejemplo, en cunto tiempo vas a pagar una determinada deuda, aplicando funciones logartmicas se puede resolver dicha situacin. Adems, si un proceso se comporta en forma exponencial y deseas saber la tasa de crecimiento, los logaritmos ayudarn a resolver este conflicto. Etc. Ejemplos: 1. La poblacin del mundo est creciendo a un ritmo aproximado del 3% anual, recordando el modelo P (t ) = P0 e 0, 003 t , donde t es el tiempo en aos. Cunto tardar la poblacin mundial en duplicarse? Solucin:

P (t ) = P0 e 0, 03 t 2 P0 = P0 e 0 ,03 t 2 = e 0, 03 t / ln ln 2 = 0,03 t t =ln 2 0 , 03

t = 23,1 aos.

2. Cuntos aos t demorar una suma de dinero P para triplicarse a un inters compuesto del 8% anual? Solucin:

A = P0 (1 + 0,08) t 3P0 = P0 (1 + 0,08) t 3 = (1 + 0,08) t / ln 3 ln 3 = t ln(1,08) t = ln(ln,08 ) t = 14 aos. 13. Si se depositan P dlares al 8% de inters, compuesto de forma continua, cunto tiempo tardar en doblarse el capital?. Respta.: 8,66 aos Solucin: Para representar el hecho de que se dobla el capital, escribimos

P (t ) = P0 e 0, 08 t 2 P0 = P0 e 0, 08 t 2 = e 0 ,08 t / ln ln 2 = 0,08 t t =ln 2 0 , 08

t = 8,66 aos.

4. La presin atmosfrica P ( en libras por pulgadas al cuadradas), a x millas sobre el nivel del mar, est dada aproximadamente por P = 14,7 e 0, 21 x . A qu altura ser igual la presin atmosfrica a la mitad de la que existe al nivel del mar? Sugerencia: La presin al nivel del mar es aquella donde x = 0 . Respta. 3,3 millas. 5. El nmero de cerdos afectados por una enfermedad contagiosa, viene dado por la expresin 1000 , donde t indica el tiempo en das. c (t ) = 1 + 999 e 2 ,1 t a) Cuntos cerdos estarn contagiados 1, 2, 7 das? Solucin:

1000 1000 = 8 personas. 2 ,11 123,3 1 + 999 e 1000 1000 Para 2 das, es decir, si t = 2 c ( 2) = = = 62,6 63 personas. 2 ,1 2 15,98 1 + 999 eSi t = 1 c(1) =



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A los 7 das, es decir, si t = 7 c (7) = personas.

1000 1000 = = 999,6 1000 2 ,1 7 1,0004 1 + 999 e

b) Represente grficamente la evolucin de la enfermedad.

6. La cantidad de radio existente en una muestra, despus de t aos, se descompone de acuerdo a la siguiente ley C (t ) = C 0 e 0, 00041 t . a) Qu cantidad de radio queda de una muestra de 10g al cabo de 1.500 aos? b) Cul es la vida media (en aos) del radio? c) Represente grficamente la funcin. Solucin: a) Si t = 1500 C (1500) = 10 e 0, 000411500 = 5,406 g b) De los 10g iniciales, deben quedar 5g. Luego 5 = 10 e 0, 00041 t ln(0,5) = 0,00041 t t = 1.690,6 aos. c) Su grfica est dada por:

7. Para un hueso de un pez, se calcul que se haba desintegrado el 20% del carbono 14. Si el % de C -14, en restos fsiles viene dado por la frmula p (t ) = 100e 0, 00012 t . a) Hallar la edad aproximada de este hueso. b) Cuntos aos deben pasar para que en ese hueso quede slo el 5% del C-14. c) Represente grficamente la funcin. Solucin: a) Si t = 1500 C (1500) = 10.e 0,000411500 = 5,406 g b) De los 10g iniciales, deben quedar 5g, luego 5 = 10 e 0, 00041 t ln(0,5) = 0,00041 t t = 1.690,6 aos. c) Grficamente se tiene:



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8. Un arquelogo descubre en unos restos seos que la razn C 14 C 12 es dos quintos de la que se encuentra en la atmsfera. Qu edad tienen esos restos, si el perodo de semidescomposicin del carbono-14 es de 5730 aos? Solucin: La razn C 14 C 12 viene dada por la funcin R (t ) = R0 e k t . Vamos a calcular el valor de k , sabiendo que R(5730) = 1 , supuesto que R0 = 1 2 Luego,1 2

= e 5730 k ln( 1 ) = 5730 k k = 0,00012 22 5

Si R(t ) = 2 , se tendr que 5

= e 0, 00012 t ln( 2 ) = 0,00012 t t = 7636 aos. 5

EJERCICIOS PROPUESTOS: Resolver las ecuaciones que se indican: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Respuestas: 5 32x 5

4 2 x 5 : 0,5 3 x 1 = 0,25 6 ( 1 8

)

9

2 x 4

(1 ) 3

x +1 3

= 27 5 : ( 1 ) 913 2 x 1 27

x

2 x+3 9

013 2

a 2 x + 3 a x +1 a x = 1

(4 )

4 2 x +1 9

: (1

)

=9

log(3 x 4) + log( x + 2) = log(15 x + 2) + log x log 5 log x log( x a ) = log( x a ) log( x + a ) log x 1 + log x + 4 log( x + 1) = 0 log( x + 2) log x = log 12

5 / 52 11

Ejercicios Extras: Resolver las siguientes ecuaciones. a. 2 2 x 2 x +2 = 12 b. 4 x + 3 2 x 10 = 0 c. 4 x + 3 120 = 4 x +1 d. e.

( 0, 4 )

log 2 x +1

= (6,25) 2log x

3

log 3 ( x 2) = 2 log 3 2 log 3 ( x + 1)



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Ejercicios Propuestos de Aplicacin: 1. Un capital

I 0 , crece de acuerdo con la ley I (t) = I 0 e 0,1 t , donde I (t )

es el monto en pesos

del capital, al cabo de t meses. En cunto tiempo el monto alcanza los $70.000 , con un capital inicial de $15.000 ? 2. El nmero de bacterias de un cultivo en un tiempo t , en horas, est dado por N = N 0 e 5 t i) ii) iii) iv) Cuntas haba en el instante t = 0 ? Cundo su nmero ser el doble de la cantidad inicial? Haga un grafico para representar el nmero de bacterias segn sea el valor de t . Cul ser el nmero de bacterias despus de 24 horas?

3. El radio se descompone segn la frmula y = k 0 e 0 ,038 t , donde k 0 es la cantidad inicial ( t = 0 ) e y es la cantidad no desintegrada en un tiempo t . Hallar en cunto tiempo se habr descompuesto solamente la mitad de la cantidad original. 4. El peso W (t ) en kg., de un material radiactivo al cabo de t das est dado por W (t ) = 10 5 2 t . a) Dibuje la funcin. b) Cul es el dominio de W (t ) ? c) Cul es el peso del material radiactivo? i) Al comienzo del experimento. ii) Al cabo de 1 1 das. 2 iii) 3 das antes de realizar el experimento. d) En cuntos kg ha disminuido el peso del material al cabo de una semana? 5. Una poblacin de bacterias (en millones), se desarrolla segn la frmula P (t ) = 15e 0,02 t , donde t es el nmero de aos transcurridos a partir de 1980. a. Determinar la poblacin proyectada para el ao 2008 b. Cuntas bacterias haba en el ao 1980? 6. Cuando cierta maquinaria industrial tenga t aos, su valor de reventa sert

V (t ) = 4.800 e 5 + 4.000 dlares. Determine: a) Cul era el valor de la mquina cuando estaba nueva? b) Cul era el valor de la mquina despus de 10 aos? c) Cundo la mquina alcanza el valor de reventa de 8.117 dlares? d) Represente grficamente la funcin de reventa de la mquina.7. A un precio de $ p , se venden q = 100.000 200 p unidades de un determinado producto. Por otra parte, el costo de produccin de esas q unidades est dado por

C (q ) = 150.000 + 100q + 0,003q 2 . a) Determinar la funcin que da cuenta de la utilidad total. b) Cuntas unidades que se deben vender, para tener una mxima utilidad. c) A cunto asciende la mxima utilidad? d) Representar grficamente la funcin utilidad.8. Bajo ciertas condiciones, una compaa encuentra que la utilidad P , al fabricar x kg. de alimentos para peces, est dada por P = 90 x x 2 + 1000 . a) Para qu valores de x es igual a cero la utilidad? b) Cuntas unidades se deben producir para tener la mxima utilidad?



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c) Cul es la utilidad mxima? d) Representar grficamente la funcin utilidad. 9. El costo de producir q unidades de un cierto producto se describe por la ecuacin

C (q) = 4.000.000 + 300q + 0,01q 2 , donde C es el costo total, expresado en dlares. a) Cuntas unidades debern producirse a fin de minimizar el costo promedio por unidad? b) Cul es el mnimo costo promedio por unidad? c) Cul es el costo total de produccin en este nivel de produccin?10. Una empresa vende todas las unidades de semillas de ostin que produce a US$4 cada una. El costo total de la empresa C por producir x unidades, est dado en dlares por C = 50 + 1,3x + 0,001x 2 . a) Escriba la expresin para la utilidad total P como una funcin de x . b) Determine el volumen de produccin de x , de modo que la utilidad P sea mxima c) Cul es el valor de la utilidad mxima? 11. (Costo) Un laboratorio, dedicado a fabricar productos alimenticios para peces, ha determinado que el costo de producir q unidades por semana, est dado por C ( q ) = 5000 + 6q + 0,002q 2 . Evale el costo de producir: a) 1000 unidades por semana. b) 2500 unidades por semana. c) Ninguna unidad. 12. El costo promedio por unidad (en dlares) al producir q unidades de cierto producto, est dado por

C ( q ) = 20 0,06q + 0,0002q 2 . Cul es el nmero de unidades que minimizan el costopromedio de esta produccin. Encuentre el costo promedio. Grafique. 13. La reaccin de una persona a una droga puede manifestarse como, disminucin de la presin sangunea, aumento de la temperatura en el cuerpo, variacin del pulso u otros cambios fisiolgicos. Se sabe que la intensidad depende de la cantidad de droga administrada. Suponga que x es la cantidad de droga administrada y la reaccin est dada por f ( x ) = x (4 x) . a) Cundo se obtiene la reaccin mxima, y cul es? b) Cundo la droga no manifiesta reaccin? 14. Las alturas y los pesos de un grupo de peces estn relacionados mediante la siguiente funcin lineal p ( x ) = 75,1039 + 0,8657 x , donde x es la altura en cm. , p es el peso en Kg. a) Grafique la funcin. b) Estime el peso de un pez de 168 cm. 15. En pruebas experimentales de dietas para cerdos, se determin que el peso promedio de los cerdos era una funcin lineal del nmero de das posteriores al inicio de la dieta, la dieta tuvo una duracin mxima de 100 das. Si el peso de un cerdo al comienzo de la dieta ( t = 0 ) fue de 20 Kg y despus subi 6,6 Kg. Cada 10 das. a. Determinar el peso P como funcin del nmero de das posteriores al inicio de la dieta. b. Evaluar el peso del cerdo 50 das despus de haber comenzado la dieta. c. Estimar el peso que registrar el cerdo al final del mximo perodo de la dieta. Respta.: a) P (t ) = 0,66t + 20 b) 53 Kg c) 86 Kg 16. (Fisiologa) En una prueba para metabolismo de azcar en la sangre, llevada a cabo en un intervalo de tiempo, la cantidad de azcar en la sangre era una funcin del tiempo t (medido en horas), est dada por A(t ) = 3,9 + 0,2 t 0,1t 2 . Encuentre la cantidad de azcar en la sangre:



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i) Al principio de la prueba. ii) 1 hora despus. iii) 2 1 despus de iniciada 2 17. La demanda de un producto de una determinada empresa est en funcin de su precio de venta. La empresa vende a un precio de $ p y q = 50.000 5 p unidades de ese producto al ao. Determinar: a) La funcin I ( p ) , que da el ingreso anual de la empresa. b) El precio al cual se vender el producto, que maximizar el ingreso anual. c) Calcular el ingreso mximo. d) Representar grficamente la funcin ingreso. 18. En una tienda se venden calculadoras, y se ha encontrado que cuando se venden en un precio de p dlares, el ingreso R como una funcin del precio est dada por

R( p ) = 750 p 2 + 15.000 p . a) Cul debe ser el precio unitario para que el ingreso sea mximo? b) Para ese precio, cul es el ingreso mximo? c) Represente grficamente la funcin ingreso.19. Una epidemia est propagndose a travs de la poblacin y se estima que el nmero de personas que contraer la enfermedad en funcin del tiempo transcurrido desde que se descubri la epidemia est dado por: n(t ) = f (t ) = 300t 3 20t 2 , donde n es el nmero de personas enfermas, t vara entre 0 y 30 das, medido en das contados a partir desde que se inici la epidemia. a. Cuntas personas se espera que hayan contrado la enfermedad al cabo de 10 das? b. Cuntas personas se espera que hayan contrado la enfermedad al cabo de 30 das? 20. El tamao de una poblacin de insectos en el tiempo t (medido en das) est dado por 2000 . Determine la poblacin inicial p (0) y el tamao de la poblacin despus p (t ) = 3000 1+ t 2 de 1 y 2 das. Encuentre la funcin inversa, expresando t como una funcin de p , para t 0 . 21. La poblacin de cierta nacin en desarrollo est dada en millones de habitantes por la frmula , en donde t es el tiempo medido en aos desde 1970. Cundo alcanzar la poblacin los 25 millones, suponiendo que esta frmula mantiene su validez?. (Rp.: La poblacin tardar 25,5 aos; a mediados de 1995).

P = 15 e

0, 02 t

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