Apresentacao Metrologia Aula 6

7/25/2019 Apresentacao Metrologia Aula 6

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MetrologiaIncerteza da Medio

Prof.: Claudio Vidal


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Objetivos:Estabelecer o processo de determinao daINCERTEZA de uma medio, atravs daexplicao de conceitos bsicos da Estatsticae os procedimentos de clculo da incerteza,para tornar o aluno capaz de utilizar oprocesso na vida profissional, contribuindoara a meta da Metrolo ia a Confiabilidade

Metrolgica..


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Programao aula 6

1. Conceitos Bsicos de Estatstica

2. Incerteza de Medio

3. Diferena entre Erro e Incerteza de Medio4. Exerccio de fixao

Bibliografia: Fundamentos de Metrologia Cientfica e Industrial

Armando Albertazzi G. Jr

Andr R. de Souza


4/63

Reviso de ConceitosBsicos de Estatstica

Mdia

Curva Normal

Desvio Padro


5/63

A curva normal

Definio:Uma distribuio de probabilidades onde o valor de

ocorrncia mais frequente est no meio e as outrasprobabilidades partem dele simetricamente em ambas as

.

forma de sino.


6/63

X

X X XX

X

XXX X XX

X

X

X

X XX

X

X

X

X

X

XX

X

X

X

X X

X

X X

XX

X

X

X

X

X

X

X

X

XX

X

X

X

X

X X

X

X

X

X

X

X

X

X X

X

X X

X

X

X

X

X

XX

X

X

XX

X

X

XX

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X X

X

X XX

XX XX

X

A curva normal (continuao)

52

51

50

49

48

47

46

45

44

43

42

41

40

39

38

37

36

35

34

33

32

31

30

29

28

0 +1-1-2-3 +2 +368,26%

95,45%

99,73%

A CurvaNormal

definida por2

parmetros: e


7/63

Exemplos:

Curva Normal

=

A curva normal (continuao)

= 1 cm

Curva Normal - = 100 cm = 5 cm

100101102103999897 cm

100 105 110 115959085 cm


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Desvio padroDESVIO MDIO

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 mm X1 = 11 mmX2 = 10 mm

X3 = 12 mm

13

12

X4 = 09 mmX5 = 10 mm

X6 = 11 mm

X7 = 08 mm

X8 = 09 mm

11

10

09

08

07

1

0

2

1 2

1

0 1

1 0

2

1

2

10 1 DM =

| Xi |.......N

1

0

2

1 2

1

0 1

10

2

1 21

0 1

21 0

21 10 1

1


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| Xi |.......N

Desvio Mdio =

|X1 -| =

|X2 -| =

|11-10| = 1

|10-10| = 0

Desvio padro (continuao)

|X3 -| =|X4 -| =

|X5 -| =

|X6 -| =|X7 -| =

|X8 -| =

|12-10| = 2| 9-10| = 1

|10-10| = 0

|11-10| = 1| 8-10| = 2

| 9-10| = 1

| Xi | = 8

D.M = 88 =1 mm


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Desvio padro

(X1 -)2 =(X2 -)2 =

(X3 -)2 =

(11-10)2 = 12 = 1(10-10)2 = 02 = 0

(12-10)2 = 22 = 4

Desvio padro (continuao)

= (Xi -)......N (X4 -)2 =

(X5 -)2 =

(X6 -)2 =

(X7 -)2 =(X8 -)2 =

( 9-10)2 = -12 = 1(10-10)2 = 02 = 0

(11-10)2 = 12 = 1

( 8-10)2 = -22 = 4( 9-10)2 = -12 = 1

( Xi )2 = 12

= 12.8 = 1,22 mm


11/63

Os diversos ti os de

desvios padro


12/63


13/63

2. Desvio padro amostral = s

S = (Xi - X)2

N 1

X = mdia da

amostra

photoxpress.com


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Exerccio

1. Construir um grfico de frequencia da altura daspessoas na sala.

2. Em grupos de 4 , tomando o seu grupo (4) como

amostra, calcular a M DIA e o DESVIO-PADR O de suaamostra.

3. Com o professor, calcular o desvio padro da altura detodos os alunos usando o Excel


15/63

3. Desvio padro das mdias = Sx

4 amostras detamanho 3

N = 4

Amostra 1

Amostra 2

n = 3

X = -----------------X1+X2+X3+X4

4

Amostra 3Sx =

(Xi - X)2

N 1

photoxpress.com


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1. Construir um grfico de frequncia das mdias dasalturas das pessoas nas amostras de tamanho 4 doexerccio anterior.

Exerccio

2. Em grupos de 4 , calcular o desvio-padro dadistribuio das mdias


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Relao entre o Desvio-Padro da distribuio dosIndivduos e o Desvio-Padro da distribuio das Mdias

S vale para distribuies de indivduos que tenham

distribuio normal

Distribuio dasmdias n = 4

Distribuio dosIndivduos n = 1

Distribuio dasmdias n = 2

X =n

n

X


18/63

0 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 0

0 1 2 3 4 5 6 7

FREQ

UNCIA

Distribuio dos indivduos no lanamento de 1 dadinho

1-12-11-2

3-12-21-3

4-13-22-31-4

5-14-23-32-41-5

6-15-24-33-42-51-6

6-25-34-43-52-6 6-6

6-55-6

6-45-54-6

6-35-44-53-6

.

1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0Mdia de 2 dados = Xbarra

1/36

2/36

3/364/36

5/36

6/36

Distribuio dos indivduos no lanamento de 2 dadinhos


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Distribuio deprobabilidade triangular


20/63

Mdia de trs dados

216)

30

25

P

robabilidade(1

Mdia de 3 dados

20

15

10

5

00 1 2 3 4 5 6 7


21/63

Mdia de quatro dados

1296)

160

140

120

P

robabilidade(1

Mdia de 4 dados

10080

60

40

200

0 1 2 3 4 5 6 7


22/63

Mdia de seis dados

6656)

5000

4500

4000

Probabilidade(1/

Mdia de 6 dados

30002500

2000

1500

1000

5000

0 1 2 3 4 5 6 7


23/63

Mdia de oito dados

79616)

160000

140000

120000

Pro

babilidade(1/1

Mdia de 8 dados

100000

80000

60000

40000

20000

00 1 2 3 4 5 6 7


24/63

Distribuio das mdias quando adistribuio individual no simtrica:

XXXX X

XXXXX

Distribuio individual

XXXXXXXXXXXX

XXXXXX

XXXXXX

XXXXXXXXXXXX

XXXXX

XXXXXX

XXXXX

XXXXXX

XXX

XXXXXX

XXX

XXXXXX

XX

XXXXXX

XXXX

X

XXXXXX

XXX

XX

XX

XX

XX

18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

Idade em anos

participantes de umfilme Rock HeavyMetal proibido paramenores de 18 anos


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XXXX

XX

XXXX

Distribuiodas mdias de

Distribuio das mdias quando adistribuio individual no simtrica:

18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

XX

XXXXX

XXXXXX

XXXXXX

XXXXXXXX

XXXXXX

XXXXXXXX

XXXXXX

XXXXXXXX

XXXXXX

XXXXX

XXXXXX

XXX

XXX

Idade em anos

pessoas n=

poramostragem


26/63

O modelo de distribuio de mdias tendepara um modelo de distribuio normalqualquer que seja a distribuio dos

indivduos

Paran 4

Distribuio de X

NORMAL


27/63

Erro de Medio

mensurandosistema de

medio

indicao valor verdadeiro

erro demedio

ERRO DE MEDIO a diferena entre o valor indicado pelo

sistema de medio e o valor verdadeiro do mensurando.


28/63

Tipos de errosErro sistemtico: a parcela previsvel do erro.

Corresponde ao erro mdio.

Erro aleatrio: a parcela imprevisvel do erro. oagente que faz com que medies repetidas levem a

distintas indicaes.Ea

Es


29/63

A B

Ea

Es

Ea

Es

CD

Ea

Es

Ea

Es


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Exemplo de erro de medio

11

(1000,00 0,01) g

E = I - VVC

1014

g

0 g1014 g

E = 1014 - 1000

E = + 14 g

VVC = Valor Verdadeiro Convencional = uma estimativa

suficientemente prxima do valor verdadeiro do mensurando


31/63

Erros em medies repetidas

(1000,00 0,01) g(1000,00 0,01) g(1000,00 0,01) g

1014 g

1020

1012 g1015

1015 g1017 g

isperso

0 g1014 g

111111

1000

1010

1018 g1014 g1015 g1016 g1013 g

1016 g1015 g

1015 g1017 g erromdio


32/63

Clculo do Erro Sistemtico

VVIEs =

mdia de infinitas indicaes

valor verdadeiro conhecido exatamentecondies:

VVI


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Estimativa do Erro Sistemtico

VVCITd ====

TENDNCIA uma estimativa do Erro Sistemtico, pois, naprtica, no se conhece o Valor Verdadeiro do mensurando e nemse faz um nmero infinito de repeties da medio.

Tendncia

VVC

TdUTdUTd = Incerteza da

Tendencia.

I = mdia de um nmero finitode indicaes


34/63


35/63

Erro aleatrio e incerteza padro

I-IEa ii==== Amplitudedos Ea

-5 0 5

O valor do erro aleatrio imprevisvel.

I i = i-sima indicaoI = mdia das indicaes


36/63

Incerteza Padro (u) o valor do desvio-padro do erro aleatrio de medio u = s. u

= (Ii - I)2

uma medida da intensidade da componente aleatria do erro de

medioGraus de liberdade ():

corresponde ao nmero de medies repetidas menos um = n 1 Reflete o grau de segurana com que a estimativa da

incerteza conhecida

-5 0 5

n 1


37/63

RepetitividadeA repetitividade define a faixa dentro da qual, para uma dadaprobabilidade, o erro aleatrio esperado.

ESTIMATIVA DA REPETITIVIDADE(para 95,45 % de probabilidade)

2 2

95,45%

Existe umaprobabilidade de

95,45% de que o ErroAleatrio esteja contido

dentro dos limites dadospor 2


38/63

Normalmente se calcula a

repetitividade para 95,45% deprobabilidade, mas tambmpode ser usada outras faixas(95%, 99%, 99,7%)

Repetitividade

95,45%

Para amostras infinitas:

Re = 2 .

Re = metade da faixa dentro daqual o Ea esperado

Para amostras finitas:

Re = t . u

Sendo t o coeficiente de Student para = n - 1 graus de

liberdade.

2 2


39/63


40/63

(1000,00 0,01) g

1014 g

1015 g1017 g )1015(

122

iI

u = incerteza padro

Exemplo de estimativada repetitividade

1014g

0 g1014 g

11

1012 g

1015 g1018 g1014 g1015 g

1016 g1013 g1016 g1015 g

112

u

= =

mdia: 1015 g

u = 1,65 g

= 12 - 1 = 11

t = 2,255

Re = 2,255 . 1,65

Re = 3,72 g


41/63

+3,72-3,72 1015

Exemplo de estimativa darepetitividade

Re = 3,72 g

1015 10201010

O Erro Aleatrio esperado encontrar-se dentro do intervalo dado

por 3,72 g


42/63

Efeitos da MDIA de mediesrepetidas sobre o erro de medio

Uma forma de melhorar a ao dos erros no resultado damedio fazer-se diversas medidas e usar-se a MDIA das

EFEITO SOBRE OS ERROS SISTEMTICOS:

Como o erro sistemtico j o erro mdio, nenhum

efeito observado.

.

erros de medio:


43/63

Efeitos sobre os erros aleatrios

A mdia reduz a intensidade dos erros aleatrios, arepetitividade e a incerteza padro na seguinte proporo:

Efeitos da MDIA de mediesrepetidas sobre o erro de medio

sendo:

n o nmero de medies utilizadas para calcular a mdia

O Erro Aleatrio da MDIA menor que do que o Erro

Aleatrio das INDICAES INDIVIDUAIS.

Re I = ----------Re I

nu I = ----------

u I

n


44/63

Relao entre o Desvio-Padro da distribuio dos Indivduose o Desvio-Padro da distribuio das Mdias

S vale para distribuies de indivduos que tenhamdistribuio normal

Distribuio das

Relembrando o incio da aula:

Distribuio dosIndivduos n = 1

Distribuio das

mdias n = 2

mdias n = 4

X =n

n X


45/63

Exemplo No problema anterior, a repetitividade da balana foi

calculada:

Re = 3,72

Se vrias sries de 12 medies fossem efetuadas, asmdias obtidas devem apresentar repetitividade daordem de:

gI

07,112

72,3Re

12

========


46/63

Fazer exerccios

1. Calculo do Desvio Padro no Excel

2 Foram feitas 6 medidas de um padro de VVC=50,00g com uma balana eletrnica. Encontrou-

se os valores: 50,30g, 50,20g, 50,40g, 50,35g,50,25g, 50,15g. Calcule :

Incerteza padro u =

Repetitividade Re =A Tendncia (Erro Sistemtico) Td=A Correo C =


47/63

Erro ou incerteza?

Erro e Incerteza no so sinnimos.

Erro de medio:

o nmero que resulta da diferena entre an ca o e um s s ema e me o e o va or

verdadeiro do mensurando.

E = I - VV


48/63

Erro ou incerteza?(continuao)

Incerteza de medio:

o parmetro, associado ao resultado de umamedio, que caracteriza a faixa dos valores que

-5 0 5

u

podem, fundamentadamente, ser atribudos aomensurando.

u = s

s = desvio-padro


49/63

A incerteza de qualquer medio deve ser sempredeterminada. Deve fazer parte de qualquer resultado.

Erro ou incerteza? (continuao)

Conhecer e declarar a incerteza associada a uma medio uma obrigao que deve nortear qualquer trabalho srio.

A incerteza est associada ao resultado de qualquer medio.Decorre da ao combinada de mltiplas fontes de erros.


50/63

sistema de medio

Fontes de erros:

sinal de

fatores externos

operador

fatoresinternos

fatores externos

retroaoretroao

mensurando

photoxpress.com


51/63

Erros provocados porfatores internos

Imperfeies dos componentes e conjuntos(mecnicos, eltricos etc).

No idealidades dos rinc ios fsicos.

fora

alongamento

regio linear regio no linear


52/63

Erros provocados por fatoresexternos

Condies ambientais

temperatura

presso atmosfrica

Tenso e freqncia da rede eltrica

Contaminaes

Laboratrios de medio = salas de medio climatizadas,

fontes de tenso eltrica estabilizadas e blindagenseletromagnticas so prticas comuns.

Cho de fbrica = raramente as condies ambientais socontroladas (custo). Portanto, as incertezas so sempre

piores.


53/63

Erros provocados por retroao

A presena do sistema de medio modifica omensurando.

Retroao a interao entre o SM e o mensurando podendoprovocar alterao no seu valor.

65 C

65 C70 C

20 C


54/63

necessria uma anlise aprofundada e um amplo

conhecimento dos fenmenos envolvidos para detectar,quantificar e corrigir o erro de retroao.

No exemplo do caf, 2 medidas poderiam diminuir o erro de

Erros provocados por retroao

retroao:

1. Usar um termmetro com menor massa trmica (ex. umtermopar).

2. Usar um recipiente isolado com um VOLUME MAIOR de

caf.


55/63

Erros induzidos pelo operador Habilidade

Acuidade visual

Tcnica de medio Cuidados em geral

Fora de medio

Alguns sistemas de medio so menos dependentes dooperador. Por exemplo:

Uma balana eletrnica digital

Um micrmetro digital

Uma forma de verificar a influencia do operador no resultado;

- Fazer diversas medidas do mesmo mensurando com vriosoperadores e comparar com diversas medidas feitas por um

mesmo operador. photoxpress.com


56/63

O Mensurando considerado

Invarivel:

se seu valor permanece constante durante operodo em que a medio efetuada.

.

Varivel:quando o seu valor no nico ou bem

definido. Seu valor pode variar em funo daposio, do tempo ou de outros fatores.

Exemplo: a temperatura ambiente.


57/63

Em termos prticos

Mensurando Invarivel:

As variaes do mensurando so inferiores areso u o o .

Mensurando Varivel:

As variaes do mensurando so iguais ou

superiores resoluo do SM.


58/63

Incerteza de medio

A incerteza de medio a faixa que enquadra

as variaes resultantes da ao combinada das;

variaes do mensurando

e o erro aleatrio do processo de medio.

calculada pelo produto entre a incerteza-padro

e o coeficiente t de Student respectivo..


59/63

Incerteza de medio

O resultado da medio (RM) expresso pela frmula:

RM = I + C t.u

I = mdia das n indicaes disponveis

Obs. Como estamos calculando a incerteza da mdia, ou baseado no s (desvio-padro) das mdias

t = coeficiente de Student para n-1 graus de liberdade

u = incerteza padro calculada a partir das n indicaesdisponveis.


60/63

Diferena entre incerteza de medio erepetitividade

Os 2 parmetros so calculados da mesma forma = t . U

ua a erena en re e es

A incerteza de medio calculada em funo da aocombinada das variaes do mensurando e do erro aleatriodo sistema de medio.


61/63

Diferena entre incerteza de medio erepetitividade (continuao)

A repetitividade obtida considerando apenas o erroaleatrio do sistema de medio. Ou seja, se tiver feito a

.

temperatura ambiente) vou obter a incerteza de medio.

Se quiser saber qual a repetitividade do sistema demedio tenho que fazer uma srie de medidas de outromensurando invarivel e em condies que se aproximemdas condies em que o mensurando varivel foi medido.


62/63

11 RM = I + C Re

Exemplo de determinao do RM (resultadoda medio)Calculo do RM de uma medida individual

1014g

0 g1214 g

Re = 3,72 g

C = -15,0 g

RM = 1214 + (-15,0) 3,72

RM = 1199,0 3,72

RM = (1199,0 3,7) g

Repetitividade previamente medida .


63/63

1014 g

1015 g

=

Exemplo de determinao doRM (resultado da medio)Calculo do RM da MDIA de vrias medidas

da mesma pea

Re = 3,72 g

C = -15,0 g

RM = 1215 -15,0 3,72 /9

RM = 1200,0 1,24

RM = (1200,0 1,2) g

1014g

0 g1212 g

1215 g1218 g1214 g1215 g1216 g

1213 g1216 g1215 g

I = 1215 g

11

1215 g1218 g

1111

Apresentacao Metrologia Aula 6

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