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Apresentação do Cálculo

Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP

CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

Apresentação do Cálculo

1.Introdução

2.O problema da área

3.O problema da tangente

4.Velocidade

5.O limite de uma sequência

6.A soma de uma série

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1. Introdução

O cálculo é fundamentalmente diferente damatemática estudada até aqui.

O cálculo é menos estático e mais dinâmico.

Ele trata de variação e de movimento, bemcomo de quantidades que tendem a outrasquantidades.

Vamos dar uma visão geral do assunto,apresentando algumas das principais idéias docálculo, mostrando como surgem os limites quandotentamos resolver uma variedade de problemas.

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2. O problema da área

As origens do cálculo remontam à Gréciaantiga, pelo menos 2.500 anos atrás, quando foramencontradas as áreas segundo o chamado “métododa exaustão”.

Naquela época os gregos já sabiamencontrar a área de qualquer polígono dividindo-oem triângulos, como na Figura 1 e, em seguida,somando-se as áreas obtidas.

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Figura 1

6


É muito mais difícil achar a área de umafigura curva. O método da exaustão dos antigosgregos consistia em inscrever e circunscrever afigura com polígonos e então aumentando o númerode lados deles. A Figura 2 ilustra esseprocedimento no caso especial de um círculo compolígonos regulares inscritos.

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Figura 2

8


Seja An a área do polígono inscrito com nlados. À medida que aumentamos n, fica evidenteque An ficará cada vez mais próxima da área docírculo. Dizemos então que a área do círculo é olimite das áreas dos polígonos inscritos, eescrevemos

lim nnA A

→∞=

9


Os gregos, porém, não usavam explicita-mente os limites. Todavia, por um raciocínioindireto, Eudoxo (século V a.C.) usou a exaustãopara provar a conhecida fórmula da área docírculo:

2A rπ=

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No Cálculo Integral será usada uma idéiasimilar para encontrar a área de regiões do tipomostrado na Figura 3.

Figura 3

11


Vamos aproximar a área desejada A poráreas de retângulos (como na Figura 4), fazendodecrescer a largura dos retângulos, e entãocalculando A como o limite dessas somas de áreasde retângulos.

Figura 4

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O problema da área é central no ramo docálculo chamado Cálculo Integral. As técnicas queserão desenvolvidas para encontrar áreas tambémpossibilitarão o cálculo de volumes de um sólido, ocomprimento de um arco, a força da água sobre umdique, a massa e o centro de gravidade de umabarra, e o trabalho realizado ao se bombear a águapara fora de um tanque.

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3. O problema da tangente

Considere o problema de tentar determinara reta tangente t a uma curva com equação y = f(x)em um dado ponto P. (Veja a Figura 5).

Uma vez que sabemos ser P um ponto sobrea reta tangente, podemos encontrar a equação de tse conhecermos sua inclinação m.

O problema está no fato de que paracomputar a inclinação é necessário o conhecimentode dois pontos e sobre t temos somente o ponto P.

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Figura 5. Uma reta tangente em P.

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Para contornar esse problema determinamosprimeiro uma aproximação para m, tomando sobre acurva um ponto próximo Q e computando ainclinação mPQ da reta secante PQ. Da Figura 6vemos que

Equação 1

( ) ( )PQ

f x f am

x a−=−

16


Figura 6. Uma reta da secante PQ.

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Imagine agora o ponto Q movendo-se aolongo da curva em direção a P, como na Figura 7.Você pode ver que a reta secante gira e aproxima-se da reta tangente como sua posição-limite. Istosignifica que a inclinação mPQ da reta secante ficacada vez mais próxima da inclinação m da retatangente. Isso é denotado por

lim PQQ Pm m

→=

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Figura 7. Uma reta secante aproximando-se de uma reta tangente.

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e dizemos que m é o limite de mPQ quando Q tendeao ponto P ao longo da curva. Uma vez que x tendea a quando P tende a Q, também podemos usar aEquação 1 para escrever

Equação 2

( ) ( )limx a

f x f am

x a→

−=−

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O problema da tangente deu origem ao ramodo cálculo chamado Cálculo Diferencial, que foiinventado mais de 2 mil anos após o CálculoIntegral.

As principais idéias subjacentes ao CálculoDiferencial devem-se ao matemático francêsPierre Fermat (1601-1665) e foram desenvolvidaspelos matemáticos ingleses John Wallis (1616-1703), Isaac Barrow (1630-1677) e Isaac Newton(1642-1727) e pelo matemático alemão GottfriedLeibniz (1646-1716).

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4. Velocidade

Quando olhamos no velocímetro de um carroe vemos que está a 48 mi/h, o que essa informaçãoindica?

Sabemos que, se a velocidade permanecerconstante, após uma hora o carro terá percorrido48 milhas.

Porém, se a velocidade do carro variar, qualo significado de a velocidade ser, em um dadomomento, 48 mi/h?

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4. Velocidade

Para analisar essa questão, vamos examinaro movimento de um carro percorrendo uma estradareta e supondo que possamos medir a distânciacoberta por ele (em pés) em intervalos de 1segundo, como na tabela a seguir:

t = Tempo decorrido (s) 0 1 2 3 4 5

d = Distância (pés) 0 2 10 25 43 78

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4. Velocidade

Como primeiro passo para encontrar avelocidade após 2 segundos de movimento vamoscalcular qual a velocidade média no intervalo detempo 2 ≤ t ≤ 4:

distância percorridavelocidade média

tempo decorrido=

43 10velocidade média 16,5 pés/s

4 2−= =−

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4. Velocidade

Analogamente, a velocidade média nointervalo 2 ≤ t ≤ 3 é

25 10velocidade média 15,0 pés/s

3 2−= =−

Nosso pressentimento é de que a velocidadeno instante t = 2 não pode ser muito diferente davelocidade média durante um pequeno intervalo detempo que começa em t = 2.

25

4. Velocidade

Assim, vamos imaginar que a distânciapercorrida foi medida em intervalos de 0,1segundo, como na tabela a seguir:

t 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5

d 10,00 11,02 12,16 13,45 14,96 16,80

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4. Velocidade

Computando então a velocidade média nointervalo de tempo [2, 2,5]:

16,80 10,00velocidade média 13,6 pés/s

2,5 2,0−= =−

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4. Velocidade

Os resultados desses cálculos estãomostrados na tabela:

Intervalo de tempo [2, 3] [2, 2,5] [2, 2,4] [2, 2,3] [2 , 2,2] [2, 2,1]

Velocidade média (pés/s) 15,0 13,6 12,4 11,5 10,8 10,2

As velocidades médias em intervalos cadavez menores parecem ficar cada vez mais próximasde 10; dessa forma, esperamos que exatamente emt = 2 a velocidade seja de cerca de 10 pés/s.

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4. Velocidade

Nesse semestre definiremos a velocidadeinstantânea de um objeto em movimento como olimite das velocidades médias em intervalos detempo cada vez menores.

Na Figura 8 mostramos uma representaçãográfica do movimento de um carro redesenhando adistância percorrida como uma função do tempo.Se escrevermos d = f(t), então f(t) é o número depés percorridos após t segundos.

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4. Velocidade

Figura 8

30

4. Velocidade

Então, a velocidade média no intervalo detempo [2, t] é

( ) (2)velocidade média

2f t f

t−=−

distância percorridavelocidade média

tempo decorrido=

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4. Velocidade

É a mesma coisa que a inclinação da retasecante PQ da Figura 8. A velocidade v quandot = 2 é o valor limite da velocidade média quando taproxima-se de 2; isto é:

2

( ) (2)lim

2t

f t fv

t→

−=−

Pela Equação 2 vemos que isso é igual àinclinação da reta tangente à curva em P.

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4. Velocidade

Dessa forma, ao resolver o problema datangente em Cálculo Diferencial, também estamosresolvendo os problemas relativos à velocidade. Amesma técnica se aplica a problemas relativos àtaxa de variação nas ciências naturais e sociais.

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5. O limite de uma sequência

No século V a.C., o filósofo grego Zenonpropôs quatro problemas, hoje conhecidos comoParadoxos de Zenon, com o intuito de desafiaralgumas das idéias correntes em sua época sobreespaço e tempo.

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O segundo paradoxo de Zenon diz respeito auma corrida entre o herói grego Aquiles e umatartaruga para a qual foi dada uma vantageminicial.

Zenon argumentava que Aquiles jamaisultrapassaria a tartaruga, pois se ele começasseem uma posição a1 e a tartaruga em t1 (veja aFigura 9), quando ele atingisse o ponto a2 = t1 atartaruga estaria adiante, em uma posição t2.

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Figura 9

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No momento em que Aquiles atingissea3 = t2, a tartaruga estaria em t3. Esse processocontinuaria indefinidamente, e, dessa forma,parece que a tartaruga estaria sempre à frente!Todavia, isso desafia o senso comum.

Uma forma de explicar esse paradoxo usa aidéia de sequência. As posições sucessivas deAquiles e da tartaruga são respectivamente (a1, a2,a3, … ) e (t1, t2, t3, …), conhecidas como sequências.

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Em geral, uma sequência {an} é um conjuntode números escritos em uma ordem definida. Porexemplo, a sequência

pode ser descrita como sendo dada pela seguintefórmula para o n-ésimo termo:

1 1 1 11, , , , ,

2 3 4 5

…

1na

n=

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Podemos visualizar essa sequência redese-nhando seus termos sobre uma reta na qual estãodeterminados um ponto zero, uma unidade demedida e um sentido crescente, como na Figura10(a), ou desenhando seu gráfico, como na Figura10(b).

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Figura 10

(a)

(b)

40


Observe em ambas as figuras que os termosda sequência an = 1/n tornam-se cada vez maispróximos de 0 à medida que n cresce. De fato,podemos encontrar termos tão pequenos quantodesejarmos, bastando para isso tomarmos nsuficientemente grande.

41


Dizemos então que o limite da sequência ézero, e indicamos isso por

1lim 0n n→∞

=

Em geral, a notação

lim nna L

→∞=

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será usada se os termos an tendem a um número Lquando n torna-se grande. Isso significa quepodemos tornar os números an tão próximos de Lquanto quisermos escolhendo n suficientementegrande.

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O conceito de limite de uma sequênciaocorre sempre que usamos a representaçãodecimal de um número real. Por exemplo, se

1

2

3

4

5

6

7

3,1

3,14

3,141

3,1415

3,14159

3,141592

3,1415926

a

a

a

a

a

a

a

===

==

==⋮

44


então

lim nna π

→∞=

Os termos dessa sequência sãoaproximações racionais de π.

45


Vamos voltar ao paradoxo de Zenon. Asposições sucessivas de Aquiles e da tartarugaformam as sequências {an} e {tn}, onde an < tn paratodo n. Podemos mostrar que ambas as sequênciastêm o mesmo limite:

lim limn nn na p t

→∞ →∞= =

É precisamente nesse ponto p que Aquilesultrapassa a tartaruga.

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6. A soma de uma série

Outro paradoxo de Zenon, conforme nos foipassado por Aristóteles, é o seguinte: “Uma pessoaem um certo ponto de uma sala não pode caminharaté a parede. Para tanto ela deveria percorrermetade da distância, depois a metade da distânciarestante, e então novamente a metade da distânciaque restou e assim por diante, de forma que oprocesso pode ser sempre continuado e não teráum fim”. (Veja a Figura 11).

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Figura 11

48


Como, naturalmente, sabemos que de fato apessoa pode chegar até a parede, isso sugere que adistância total possa ser expressa como a soma deinfinitas distâncias cada vez menores, como aseguir:

Equação 3

1 1 1 1 11

2 4 8 16 2n= + + + + + +… …

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Zenon argumentava que não fazia sentidosomar um número infinito de números. Porém hásituações em que fazemos implicitamente somasinfinitas. Por exemplo, na notação decimal,0,3333… significa:

3 3 3 310 100 1.000 10.000

+ + + +…

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Dessa forma, de algum jeito, deve serverdade que:

3 3 3 3 110 100 1.000 10.000 3

+ + + + =…

Mais genericamente, se dn denotar o n-ésimodígito na representação decimal de um número,então

31 2 41 2 3 40,

10 100 1.000 10.000 10nn

dd d d dd d d d = + + + + + +… … …

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Portanto, algumas somas infinitas, ou, comosão chamadas, séries infinitas, têm um significado.Todavia, é necessário definir cuidadosamente oque é a soma de uma série.

Retornando à série da Equação 3, denotamospor Sn a soma dos n primeiros termos da série.Assim

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6. A soma de uma série1

2

3

4

5

6

7

10

16

10,5

21 1

0,752 4

1 1 10,875

2 4 81 1 1 1

0,93752 4 8 16

1 1 1 1 10,96875

2 4 8 16 321 1 1 1 1 1

0,9843752 4 8 16 32 64

1 1 1 1 1 1 10,9921875

2 4 8 16 32 64 128

1 1 10,99902344

2 4 1024

1 12 4

S

S

S

S

S

S

S

S

S

= =

= + =

= + + =

= + + + =

= + + + + =

= + + + + + =

= + + + + + + =

= + + + ≅

= + + +

⋮

⋯

⋮

⋯ 16

10,99998474

2≅

53


Observe que à medida que somamos mais emais termos, as somas parciais ficam cada vez maispróximas de 1. De fato, pode ser mostrado quetomando n suficientemente grande (isto é,adicionando um número grande de termos dasérie), podemos tornar a soma parcial Sn tãopróxima de 1 quanto quisermos. Parece entãorazoável dizer que a soma da série infinita é 1 eescrever:

1 1 1 11

2 4 8 2n+ + + + + =… …

54


Em outras palavras, a razão de a soma dasérie ser 1 é que

lim 1nnS

→∞=

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