Appunti per le classi quarte-2012-13

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Appunti per le classi quarte-2012-13

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  • Elenco dei simboli pi importanti

    Elenco dei simboli pi importanti

    SIMBOLO SIGNIFICATO= uguale diverso (disuguale) circa uguale< minore> maggiore minore o uguale maggiore o uguale pi o meno

    a valore assoluto (modulo) di a: a2=a={ a , se a0a , se a0Insiemi

    appartiene non appartiene esiste (ovvero il quantificatore esistenziale) per ogni (ovvero il quantificatore universale)

    Insiemi numerici Numeri interi positivi o numeri naturali Numeri interi relativi Numeri razionali Numeri reali

    Operazioni insiemistiche

    Unione Intersezione

    Relazioni insiemistiche

    contenuto o uguale a... (concetto di sottoinsieme) contenuto in ... Contiene o uguale a... (concetto di soprainsieme) Contiene...

    Insieme vuoto (cio l'insieme che non contiene alcun elemento)Logica

    o (inclusivo), vel, or (disgiunzione inclusiva) e, et, and (congiunzione)

    oppure seallora oppure: implica (deduzione) se e solo se

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  • Propriet delle potenze e alcune formule algebriche pi importanti

    Propriet delle potenze e alcune formule algebriche pi importantiPropriet delle potenze

    Siano a ed n . Ricordiamo, anzitutto, le seguenti definizioni: 1) se n > 1, si chiama potenza ennesima (o n-ma) del numero reale a, il prodotto di n

    fattori uguali ad a, cio:an= aaa. . . . . .a

    n volte

    2) se n=1, si pone: a1=a ;3) se n=0 e a0 , si pone: a0=1;

    4) se n0 e a0 , si pone: an= 1an

    .

    Dalle definizioni date segue che le propriet delle potenze a esponente intero dei numeri razionali, valgono anche per le potenze a esponente intero dei numeri reali.Cio, se a ,b ed m ,n , risulta:

    P1) aman=amn ; P2) am :an=amn ;P3) am n =amn ; P4) ab n=anbn;

    P5) ab n

    = an

    bn.

    Elenco di alcune formule algebriche pi importantiDati a , b e c si pu provare facilmente che valgono le seguenti identit:

    FA1) Differenza fra quadrati: a2b2= ab ab ;FA2) Quadrato di un binomio: ab 2=a22 abb2;FA3) Cubo di un binomio: ab 3=a33 a2 b3 a b2b3 ;FA4) Somma e differenza fra cubi: a3b3= ab a2abb2 ;FA5) Quadrato di un trinomio: abc 2=a2b2c22 a b2 a c2 b c .

    N.B. Nell'insieme dei numeri reali la somma di quadrati a2b2 non si pu scomporre. Tuttavia, esistono delle formule, utili in determinati casi, che consentono una fattorizzazione particolare di un gruppo di polinomi di questo tipo ed esattamente:

    1. a2+ b2= (ab )22 a b 2. a4+ b4=(a2b2 )22a2 b2 e, in generale:

    3. n si ha: a2n+ b2n=(anbn )22 anbn

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  • I sistemi di equazioni di primo grado

    I sistemi di equazioni di primo grado

    Innanzitutto ricordiamo che la forma normale (o canonica) di un sistema in due equazioni di primo grado la seguente:

    {a xb y=ca ' xb' y=c 'dove a, b, c, a', b' e c' e x e y rappresentano le incognite. Tuttavia, se il sistema assegnato non fosse scritto in forma normale, con le operazioni di m.c.m., somme fra monomi simili, semplificazioni ecc..., sempre possibile riuscire a riscriverlo nella forma algebrica migliore possibile per applicare uno dei metodi risolutivi illustrati nei paragrafi seguenti.

    I. Metodo di sostituzioneDopo aver effettuato tutte le operazioni presenti nel sistema e ridotto i monomi simili, si isola un'incognita da una delle due equazioni, ossia si ricava unincognita in funzione dellaltra seguendo possibilmente il consiglio di isolare quell'incognita il cui coefficiente numerico pi prossimo ad 1. Poi, se la variabile isolata si trova al membro di sinistra dell'uguaglianza, sostituiamo l'espressione che al membro di destra, nella restante equazione che, riducendosi ad una sola variabile, si risolve facilmente.Infine il valore dellincognita cos ottenuto lo sostituiamo nellequazione in cui laltra incognita era stata isolata.Esempio svolto:

    {3 x6 4 4 y7 5 = x410 y342 x3

    y12

    =3 x1

    55 y1

    12calcoliamo il m.c.m:

    {15 x6 16 y7 20 =2 x4 5 y3 2040 x30 y1 60

    =36 x1 5 5 y1

    60eliminiamo i denominatori:

    {15 x9016 y112=2 x85 y1520 x 30 y30=36 x3625 y5isoliamo le incognite dalle costanti:

    {15 x2 x16 y5 y=9015811240 x36 x30 y25 y=36530semplifichiamo e scriviamo il sistema in forma normale:

    {13 x21 y=2254 x5 y =11isoliamo x nella seconda equazione:

    {13 x21 y=225x=5 y114sostituiamo nella prima equazione

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  • I sistemi di equazioni di primo grado

    {13(5 y114 )+ 21 y=225x=5 y114

    .

    Osserviamo che nella prima equazione abbiamo una sola incognita: risolviamo allora rispetto ad essa:

    {65 y14384 y=900x=5 y114 {149 y=1043

    x=5 y114

    {y=1043149 =7x=5 y114

    infine sostituiamo il valore di y cos determinato nella seconda equazione per trovare x:

    {y=7x=57114 =244 =6e la soluzione, riscritta in forma ordinata, :

    {x=6y=7 .II. Metodo di somma o sottrazione o metodo di riduzione

    Dopo aver effettuato tutte le operazioni presenti nel sistema, ridotto i monomi simili e posto il sistema nella forma canonica,

    1. si individua il minimo comune multiplo dei coefficienti di unincognita2. si trova il fattore che consente di ottenere tale m.c.m. (e il suo opposto) per

    lincognita considerata3. si sommano algebricamente in colonna le due equazioni: in questo modo scompare

    unincognita4. si risolve lequazione cos ottenuta ad una sola incognita5. a scelta si pu ripetere il procedimento per leliminazione dellaltra incognita

    oppure effettuare il metodo di sostituzione.Esempio svolto (riprendendo l'esempio del numero I):

    {13 x21 y=225, chiamiamo ( 1 ) la prima equazione4 x5 y=11 , chiamiamo ( 2 ) la seconda equazione Procediamo cercando di eliminare la x: il m.c.m. tra 13 e 4 52, perci moltiplichiamo la prima equazione per 4 e la seconda per 13 (queste moltiplicazioni sono ammesse in virt del secondo principio di equivalenza per le equazioni) e poi eseguiremo la sottrazione membro a membro. Conveniamo di indicare questa operazione con la seguente notazione:

    4 1 13 2 dove 1 e 2 indicano, rispettivamente come scritto sopra, la prima e la seconda equazione del sistema e conseguentemente:

    {4 13 x21 y =422513 4 x5 y =1311 Per eliminare la y sufficiente eseguire la sottrazione membro a membro ovvero:

    {52 x84 y=90052 x65 y=143 {52 x84 y=90052 x65 y=143__________________________________

    52 x52 x84 y65 y=900143

    149 y=1043 y=7

    In maniera del tutto equivalente, eseguiamo l'operazione:5 1 21 2

    allo scopo, stavolta di eliminare la y:

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  • I sistemi di equazioni di primo grado

    {5 13 x 21 y =522521 4 x5 y =2111 {65 x105 y=112584 x105 y=231__________________________________

    65 x84 x105 y105 y=1125231

    149 x=894 x=6

    Quindi la soluzione :{x=6y=7 .III. Metodo del confronto

    un'applicazione della propriet transitiva dell'uguaglianza che afferma che se A=B e B=C allora A=C. Infatti, se il sistema ridotto alla forma normale, isoliamo la

    stessa incognita in entrambe le equazioni e, poi (in virt della propriet transitiva dell'uguaglianza), uguagliamo le espressioni situate ai membri di destra.Si ottiene cos unequazione in una sola incognita (per es. x), facilmente risolvibile.Allo scopo di individuare il valore dell'altra incognita (la y), sostituiamo il valore ottenuto (di x) in una delle due equazioni di partenza e cos riusciamo ad ottenere la soluzione completa.Esempio svolto (riprendendo ancora l'esempio del numero I):

    {13 x21 y=2254 x5 y =11isoliamo x da entrambe le equazioni:

    {x=22521 y13x=5 y114

    uguagliamo i due membri di destra:22521 y

    13= 5 y11

    4 90084 y

    52=65 y143

    52eliminiamo i due denominatori e risolviamo rispetto ad y:65 y 84 y=900143 149 y=1043 y=1043

    149=7

    Adesso, isoliamo y da entrambe le equazioni ed uguagliamo ancora i due membri di destra:

    {y=22513 x21y=114 x5

    22513 x21

    =114 x5

    calcoliamo il m.c.m (=110), eliminiamo i due denominatori e risolviamo rispetto ad x :112565 x=23184 x 65 x84 x=2311125149 x=894 x=894

    149 x=6

    Quindi la soluzione : {x=6y=7 .IV. Metodo di Cramer o delle matrici

    Consideriamo ancora un sistema ridotto alla forma normale: {a xb y=ca ' xb' y=c ' .Siano delta, delta x, delta y, rispettivamente, le seguenti espressioni:

    =a ba ' b '=ab 'a 'b , x=c bc ' b '=cb 'c 'b e y=a ca ' c '=ac 'a 'c. Se 0 le soluzioni si trovano calcolando:

    x=x

    e y= y

    Esempio svolto (riprendendo un'ultima volta l'esempio del numero I):

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  • I sistemi di equazioni di primo grado

    {13 x21 y=2254 x5 y=11=13 214 5=135 421=6584=149 ,x=225 2111 5 =2255 1121=1125231=894 e y=13 2254 11 =1311 4225=143900=1043

    { x= x =894149 =6y= y

    =1043149

    =7

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  • Definizione e propriet dei radicali

    Definizione e propriet dei radicaliDefinizione: dati tre elementi a + e m ,n si definisce radicale di indice m e radicando an la

    potenza anm ed esattamente:

    anm =

    DEF.

    man .Quindi per poter svolgere agevolmente qualunque operazione con i radicali sar necessario applicare correttamente le propriet delle potenze. Intanto ricordiamo che:

    Se n numero intero pari Se n numero intero disparina=b significa a=bn

    se a, b sono numeri reali positivi o nulli

    na=b significa a=bnse a, b sono numeri reali positivi, negativi o nulli

    Esempi:9=3 ; mentre 9 non esiste; 327=3 e 327= -3 .Operazioni:Semplificazione: nan=a ; ad esempio 454=5 . npamp=nam ; esempio: 14a30=7a15 ; poich si semplifica la frazione: 3014 = 157 .Somma